Text
И. В. САВЕЛЬЕВ
УМУМИЙ
ФИЗИКА КУРСИ
I том
МЕХАНИКА. ТЕБРАНИШЛАР ВА ТУЛКИНЛАР.
МОЛЕКУЛЯР ФИЗИКА
РУСЧА ТУРТИНЧИ. ЦАЯТА ИШЛАНГАН
НАШРИДАН ТАРЖИ-МА
СССР Олий ва махсус Ор»ш таъмм министр.шги
томошЛан рлий техника iftye юрпмарининг
студгктлара унун >у},1ланма сифатида
рухсст вешлган
«УКИ1УВЧИ* НАШРИЁТИ
ТОШКЕНТ—1973
РУСЧА БИРИНЧИ НАШРИГА ЁЗИЛГАН СУЗ БОШИДАН
Китобхоиларнинг эътиборига эрвола цмлинаётган бу китоб олий
техника у^ув юртлара учун ёзилган умумий физика курси буйича
у^ув цулланманинг биринчи томидир. Автор куп йиллар даномида
Москэа ниженер-физиклар институтида умумий физикадан даре бер-
ди. Шу сабабли автор ушбу цулланмани ёзишда, аввало, олий
техника уцув юрт.чарининг инженер-физик ихтисоск студентларнии
назарда тутганлиги табиийдир.
Автор китобни езишда удувчиларни физика фанининг асосий
ндеялари ва методлари билаи таништиришга, уларии физика
нудтаи назаридан фикр юритишга ургатишга интилди. Шунинг
учун >$ам китоб уз характери билан энциклопедии асар эмас. Унииг
маэмуни асосан физика ^онунларннипг маъносини тушунтиришга
ва улардан тушунган ^олда фоидаланишга баеишланган. Автор
учувчини мумкин цадар кулрод мисоллар билап таништирмшии
эмас, балки унта физика фанининг фундаментал асосларидан чуад'р
билим беришни олднга ма^сад ^илиб цуйган.
И. Савельев
1961 В,
1 КИСМ
МЕХАНИКА11ИНГ ФИЗИК АСОСЛАРИ
МУКАДДИМА
Механика жисмларнинг ёки уларнинг цисмларининг бир-бирига
нисбатан кучишидан иборат булган материя царакатининг энг содда
тури цацидаги таълимотднр.
Биз жисмларнинг кучшиини кундалик цаётимизда кузатамнз.
Шунниг учун цам механика тушунчалари кургазмалидир. Механика
барча табиий фанлар ичида энг аввал кенг ривожланганлигига цам
сабаб ана шу.
Бир жиемнинг царакати турли жисмларга нисбатан цар хил ха-
рактерда булиши мумкин. Масалан, агар 1 жисм бизга нисбатан
тннч турган булиб, 2 ва 3 жисмлар бир томонга цараб бир хил тез-
лнк билан царакатланаётган булев, у цолда 3 жисм 1 жиемга нис-
батан кучади, бирок 2 жиемга нисбатан эса тинч холатда цолади.
Шу сабабли царакатни тушунтириш учун бернлган жиемнинг ца-
рикатини бошца даидай жиемга (ёки бир-бнрларига нисбатан тинч
турган жисмлар группасига) нисбатан дисоблаш кераклиги цацида
келишиб олиш лозим. Ана шу мацсадда танлаб олинган жисм
(ёки жисмлар группаси) саноц системасини ташкил этади.
Амалда царакатни тавсифлаш учун саноц системасини ташкил
этувчн жисмлар билан бирор координата системасини, масалан, де-
карт ёки тугри бурчакли координаталар системасини богяашга туь-
рн келади.
Жиемнинг координаталари унинг фазодаги вазиятнни а ниц ла ги-
га имкон беради. \аракат фазо ва вацтда содир булади (фазо ва
вацт— материянинг мавжуллик формалари). Шу сабабли цпракатни
тавсифлаш учун вацтни цам цисоблаш керак. Бу соат ёрдамида
амалга оширнлади.
Таилаб олинган саноц системаси билан богланган координата
системасига ва соатга эга булган цолда жисмларнинг царакатинн
тавсифлашга £тса булади.
Жисмларнинг харакати, одатда, у.чарга кучлар таъсир этнб тур-
ган шаронтда содир булади. Бу кучларнинг таъсири жисмларнинг
^аракатланиш характеринн белгилаш билан бирга уларии дефорь-а-
циялайдн, яъни уларнинг улчамлари билан шакллариии учгартира-
ди. Куп холларда бундай деформациялар шу цадар заиф буладики,
жисмларнинг ^аракатини тавсифлашда уларни эътиборга олмаса
цам булади. Агар царалаётган масаланннг шартларига биноан жисм-
пинг деформацияларани эътиборга олмаслик мумкин булса, буцдай
жисм абсолют цаттиц жисм дейилади. Шуни назарда тут-
мо^ керакки, табиатда абсолют цаттиц (яъни мутла^о деформацИя-
ланмайдиган) жисмлар йуц. Фацат жисмлар маълум шароитларда
^аракатланган вацтда деформациянинг роли ^исобга олмаслик да-
ражада кичиклиги уларни абсолют цатгид жисм деб цабул цилиш-
га имкон беради.
Баъзан жисмларнинг ^аракатини царалаётганда уларнннг улчам-
ларини эътиборга олмаса булади. Бунинг учун жисмнинг улчам-
ларн берилган масалада иш куриладиган бошда барча улчамлардан
кичик булиши керак. Масалан, автомобилнинг Самарцанддан Тош-
кентга боргунча босиб $тган йулнии аиидлаётганда автомобиль ул-
чамларини эркобга олмаса цам булади.
Муайян масалада улчамларини эътиборга олмаса ^ам буладиган
жнсмин моддийнуцта деб аталади. Берилган конкрет жисмаи
моддий нуцта деб ^абул цилнш мумкин ёки мумкин эмаслик маса-
ласи жисмнинг улчамларига эмас, балки масаланинг шаргларига
бониадир. Бир жисмнинг узи айрим ^олларда моддий нуцта деб
^аралиши мумкин булса, бош^а зрлларда эса улчамли деб цара-
лиши зарур булади. Масалан, Ернинг 1\уёш Ътрофидаги \аракати
траекториясини цисоблаганда Ерни моддий нуцта деб цараш мум-
кин Жисмларнинг Ер юзндаги ^а-
/7) ракзтини текшираётгавда эса у
Z/J ^лча м ли жисм деб ^аралиши зарур.
х-у / КаттиК жисмнинг jjap ^аидай
[J-) 1/J царакатини иккнта асосий ^аракат
g ,'Цу А' турига — нлгариланма ва айланма
а' ^аракатларга ажратиш мумкин.
Xyj Нлгариланма ^аракат — бу шуи-
1 // дай ^аракатки, бунда ^аракатлана-
ётгаи жисм бнлан боглниган истал-
/ ган тугри чизиц узига параллеллн-
1-рясм. гича колзди (1-расм).
Айланма ^аракат вацтида жисм-
книг бирча ну^талари марказла-
рн айланиш £чи деб аталувчи бирдан-бир туери чизиада ётувчи
айлаиалар буйлаб чарикатланади (2- а раем). Айланиш уцн жисм-
дан таш^арида ётиши ^ам мумиин (2- б раем).
О 6
2-раси.
Бирор жисмни моддий нуцта деб цабул цилганимизда укинг улчам-
ларини \исобга олмаганлигимиз сабабли у ортали утувчи yi; атро-
фидаги айланма заракат зацидаги тушунча бундай жисмга яроцсиз.
Механика уч цисмга булннадк 1) кинематика, 2) статика ва
3) динамика. Кинематикада жисмларнинг ^аракатини бу заракатнн
юзага келтирувчи сабабларнн хисобга олмаган золда урганилади.
статикада жисмларнинг мувоэанат шартларини урганилади ва, ни-
Зоят, динамикада жисмларнинг заракатини у ёки бу хариктердаги
харакатларни юзага келтирувчи сабиблар (жисмлар орасидаги узаро
таъсирлар) билаи бокланган ?$олда урганилади. Мувозанат ^аракат-
нинг хусусий ^оли булгани учун динамика цонунлари статика учуй
замин булнши табиийдир. Шу сабабли физика курении урганишда
статика булиыинн ало^ида урганнлмайди.
Т БОБ
КИНЕМАТИКА
1-§. Ну»рганинг кучиши. Векторлар ва скалярлар
Молдин ну^та уз ^аракати давомида цандайдир чизиц чизади.
Бу чизицни моддий ну^тавинг траекторияси дейилади. Траектория-
сининг шаклига ^араб, ^аракат туврн чизицли. айланма, эгри чи-
зн^ли ва искази .\аракатларга ажратилади.
Фараз ьр<лайлик, моддий нурта (бундан кейии биз цисцалик
учун уни ну^та деб атаймиз) бирор траектория буйлаб / нуцтадан
2 нуцтага кучган булсни (3-расм). Траек-
тория буйлаб ^нсоблаиган 1 ну^та билам 2
нурта орасндаги масофа утилган йулдан
иборатдир. Уни биз з билан белгилаймиз.
1 нуцтадан 2 нуцтага утказадитан туири
чизиц кесмаси кучиш дейилади. Уни гм
билан белгилаймиз. ОДчиш j/з узуилигидан
(У г« кесыанинг узунлигига тенг) талн^арн
яна йуналиш билан ?^ам характерланади.
^аци^атан ^ам, иккита бнр хил катталик-
даги гв ва rIS к^чишларни тасаввур ци.тай-
лик (4-раем). Бу кесмаларнинг узунлиги
царамасдан улар турли кучршларии харак-
курияиб турибди.
бнр хил булишнга
терлаётганлиги яедол ..Je____ .Jr__
Кучишга ухшаш катталиклар алортда ^ущиш ^оидасига буйсу-
нади. Бу доидани цуйидаги мисол ёрдамида тушунтириш мумкии.
Фараз Дилайлик, нуцта кетма-кет иккн марта кучеин (бу кучишлар
ris ва г13 булсин, 5- раем). Бу икни кучишнинг йигиндиси деб улар-
нинг натижасига мое натижага слаб келувчи учинчн бир г18 ку-
чншни чаб^'л >(нлиш табиийдир.
Шу кучшнга ухшаш катталиклар, яъни ^ам катгалигн, хам
йуналиши билан характерланувчи ва шунингдек, бир-бири бмлан
5- расмда куфсатилган цоида буйича цутимлувчи катталиклар, век-
торлар деб аталади. Тезлик, тезланиш, куч ва цатор бош^а кат-
таликлар вектор катталиклар ^исобланади. __
Фацат сои ^иймати билаи характерланиши мумкин б^лган кат~
таликлар скаляр дейилади. Скалярларга Йул, ва^т, масса ва бошца-1
лар мисол була олади. —J
Векторлар одатда йугон >;арфлар билан белгиланади. Масалам,
/ нуцтадан 2 ну^тага кучиш вектори ги билан белгиланади. Од-
дий шрифт билан ёзилган худди шу царф мос векторнинг катталиги
(сон кийматиу ни ёки, одатда айтилишича, шу векторнинг модули-
ни ифодалайди* 1. Модулни ифодалаш учун, шунингдек, иккита вер-
тикал чизиц орасмда олинган вектор снмволдан ^ам фойдаланилади.
Шундай цилиб,
[А| — А = А векторнинг модулига,
|ги| — гв = г„ векторнинг модулига.
Векторнинг модули — скаляр б$либ, у доим мусбат б^'лади.
Чнзмаларда векторлар стрелкали тутрн чизиц кесмаларн ^олида
тасвирланади. Кесманилг узунлшц цабул цилинган масштабда век-
торнинг модулини берса, унинг стрелка билан курсатилган Йуналиши
эса векторнинг йуналншини курсатади.
5- расмда курсатилган векторларии цУшиш операцияси символ-
лар ёрдамида цуйидагича ёзилади:
*И + ~ г18-
2-§. Векторлар ^ацнда баъэи тушуичалар
Параллел тутри чизи^лар буйлаб (бир томонга ёки ^арама-цар-
шн томонларга) йуналган векторлар Коллинеар векторлар дейилади.
Йуналишлари бир текисликка параллел булган
векторлар компланар векторлар дейилади.
Модулларн бир хил бутган ва бар томонга
йуналган коллинеар векторлар узаро тент деб ляг
^исобланади*. Модулларн тенг, лекин ^арама- А о с
царши йуналган коллниеар векторлар бир-бири-
дан ишораси билан фар, ^илади деб >[исобла-
нади. Масалан, 6-расмда тасвирланган вектор- 1
1Ёзгап вд^тла векторлар устнга стрелка цуйилган царфлвр билан белги-
л.1надя (масалан, гц). Бу холла стрелкасиз худдК уша хаРФ векторнинг модули-
пи нФодялаГли.
1 Бунда эркци векторлар, яънн фазонинг псталгдн нуцтосилан бошлаб чика
еуладигап векторлар наззргп тутилятн. Эркин вектор л врдаи ташцарн учлярн век-
тор орцали }тувчи члзих буРлаб сирпаниши мумкин бфлгак снрпанувчи вектор-
лар ва бог.чанган векторлар. яъии апн>( бир иуцтагя кубилган векторлар хам бор.
Кгйинги мкки векторни эркнн векторлар оркдли ифодалаш мумкин; шу сабаблн
векторлар хнеобнга эркил векторлар тушунчасн асос келнб олинган. Бу эркнн
вектор одатда тУгридан-т^гри вектор деб юритилади.
9
лар ва уларнинг модуллари орасида цуйидаги муносабатлар
Гринли:
А В, А = —С; В = —С;
Л = в = с еки [А|—|В] = |С].
Векторларни цушиш. Иккита вектор цУшилнб умумий ташкил
ятувчи вектор ^осил цнлнши за^ида аввалги париграфда гапирил-
ган эди. Бизга иккита А ва В векторлар берилган булснн (7- а
7-раем.
раем). Умумий ташкил этувчи С векторни топиш учун В векторни
узига параллел >$олда шундаи кучирнмизки, натижада унинг боши
А векториниг охирн билан устма-уст тушсин’ (7-6 раем), У х,олда
А векториниг бошцдан В векторнинг охнрига ^ариб утказилган
С вектор натижавий векторнинг узгинасн булади;
С = А + В.
Бирок векторларни бошцача усулда кам кушиш мумкни (7-е
раем). В (ёки А) векторни мккаласининг учлари устма-уст тушади-
ган «уилиб кучирамиз. Сунгри А ва В векторлардан параллелогримм
тузамиз. Бу параллелограммиинг диагонали, равшанки, 7-6 раемда
топилган С векторнинг узгинаси булади. Ана шу сабибга кури
баъзиад векторлар параллелограмм ^оидасига бнноан цушиладн
деб айтилади.
Бу курилган пккала б) ва в) усул >,ам бир хил натижа берадн.
Бирок; иккитадан купроц векторларни ^шиш учун б) усул осонро^
ва дулайроаднр. Айтайлик А, В, С ва D векторлар берилган бул-
син (8-раем). Векторларни узлярнга параллел ^олда шундаи кучи-
1 Бунлай К)>чиришга В векторни ^зига тент ва боши А векторнинг охирн
билан усгма-усг тушадигаи векторлар билан алмаппирншдаи иборат деб цараш
мумкин.
10
раммзки, Аар бар кейинги векторнинг боши аввалги векторнинг
охири билан устма-уст тушсин. На гижада синик чизнц доснл була-
ди. Натижавий вектор Е курнлаётгаи векторларнинг биринчиси
А нинг бошидан кейингисн L) нинг охирига А^раб утказилган век-
торнинг узгинасиднр. Натижавий вектор Е берилган векторлар цан-
дай та|пмбда хушилветганлигига 6орли^ эмаслкгига осонгина ншонч
Аосил ^нлиш мумкин. 8-б расмда E=A4-B4-C + D хол> 8-в
расмда эса Е — D + В + С + А цол тасвирланган.
9- раем. 10- рас*
Векторларни айириш. Иккн векториниг айирмаси А — В деб
шундай С векторга айтиладики, уни В вектор билан цушганда А
вектор хосил булснн (9-раем). А —В айирмани
А—В = А + (—В)
куринишда ёзиш мумкин булганлигя сабабли С = А — В векторни
А векторга катталиги В векторга тенг, аммо й^налиши унга теск*.
ри булган векторни хосил цилиш мумкин
10- расмда А ва В векторларнинг йигиндиси билап айнр.масм
узаро та^ослаиган.
Векторларни ташкил этувчиларга ажратнш. ХЯР цандай А век-
торни, йигиндиси А векторни хосил Аилувчи бир нечта А,, А, ва
Х<жазо векторлар билан алмаштирнш мумкин. Бу х^да А,. А, ва
Хоказо векторлар А векторнинг ташкил этувчилари дейилади. А
векторни бир нечта векторлар билан алмаштирнш операцияси А век-
торни ташкил этувчиларга ажратиш
дейилади. И-расмда А векторнинг
тутри бурчакли координата укта-
рн бунлаб Йуналган ташкил этувчи-
ларга ажратилиши тзенирланган.
А„ Ау, А, символлар билан А век-
торнинг х, у, г уцларн буйлаб таш-
кил этувчилари белгиланган.
Векторнинг угука проекцияси.
Айтайлик, бизга А вектор ва фа-
зодаги бнрор Йуналиш (^ц) берил-
гаи бу зеин. Бу у^ни биз, .масалан,
л \арфи билан белгилайлик (12-
расм). А векторнинг боши билан
охири ортали п га перпендикуляр
У
цилиб текисликлар гтказамиз. Бу текисликлар п уз билан кесишган
Г ва 2' ну^галар А векторнинг боши билан охирннинг проекци-
ялари деб аталади. узнииг текисликлар орасидаги кесмасининг
катталиги А векторнинг п йуналишига (ёки уц^а) проекцияси де-
Йиладн. Векторнинг проекцияси скаляр катгалик б)'лади. Агар Г
нузтадан 2‘ нуцтага цараган йуналиш п
йуналиш билан бир хил булса проекция
мусбат зисобланади; акс золда проекция
манфий булади.
Проекцияни уша векторнинг зарфи
билан белгилаиади, бунда шу зарфга
индекс цилиб векторнинг проекцияси ту-
ширилган йуналишни курсатувчи зарф
ёзиладн. Масалан. А векторнинг п йуна-
лишга проеКцияси Ап билан белгила-
нади.
12-раем. Энди А вектор п билан зосил
цилган ф бурчакни (12-раем) эътиборин-
гизга завода цмламиз. Лп проекцинни цуйидаги йул билан зисоб-
лаш мумкин:
(2-1)
А„ = A cos ф,
бу ерда А —вектор А нинг модули.
Агар вектор берилган йуналиш билан Уткир бурчак ташки л ^ал-
ея, у ^олда бу бурчакнинг коеннуси мусбат, демак, векторнинг
проекцияси зам мусбат булади. Агар вектор ук, билан Утмас бур-
чак зосил зилса, у золда бу бурчакнинг косинуса ва проекцияси
манфий булади. Агар вектор берилган Уц^а перпендикуляр булса,
унииг проекцияси нолга тенг. «,
13- раемда бнр нечта векторлариинг к ва у координата ^зларига
проекциялари курсатилган. Бу проекциялар учун цуйидаги муно-
сабатлар уринлидир:
13- расы.
12
Лу = Ву>0, Су<0.
Агар А вектор к, у ва г уцларн билан а, р ва у бурчакпарни
ташкил килса, у з^олда унинг проекцияларн цуйидагиларга тенг
булади:
А„ = А cosa, ]
Ау = A cosp, 1
At = A cosy. J
Векторнинг учта у^а проекцияларн берилган булса, векторнинг
у знии ^ам ясаш мумкинлигнни тушуниб muni г ийин эмас. Демак,
(2-2)
jjap цандай вектор учтя сон
билан, яъни унинг координата
уцларидаги проекциялара би-
лан берилиши мумкин экан.
Скаляр эса фа^ат битта сон
билан берилади.
Бир мечта векторлариинг
Е= A + B + C-+-D Йиганди-
сини текширайлик (14-раем),
Равшанки,
(2.4)
яъни векторлар йитиндисинмнг
бнрор йуналишга проекция-
си цущилаётган векторлариинг
уша йуналишига проекцияларн
йигиндисига тенг.
Радиус-вектор. Координа-
талар бошвдан иу^тага утка-
зилган векторга шу ну«^та-
нинг радиус-вектора деб зйти-
лади (15- раем). Радиус-вектор
г ну^танинг фазодаги вазияти-
ни бир цийматлн белгилайди.
Унинг координата уцларига
проекцикси, раемдан к$риниб
турибдики. нуцтанннг декарт
координаталарига тенг:
г, = х; гу = р
Вектор г модулининг квадрати координата лар квадратлари йигии-
дисига тенг
г* = *’ + у* 4- 2*. (2.5)
Векторни скалярга кунайтириш. А вектории а скалярта купай-
тиргаида модули А векторнинг модулидан |а| марта катта булгаи В
вектор \осил булади. Бу В векторнинг йуналиши эса агар а ска-
ляр мусбат булса, А векторнинг йуналишига мос, а скаляр м;ш-
13
(2.6)
фий булгаяда эса А векторнинг йуналишига карама-царши буладн.
Агар В = оА булса, В == |о| А булади
Векторнн Ь скалярга булиш векторни а=? ^-скалярга купайти-
ришгз тенг кучлидир.
Бнрлик вектор. ХЙР бар А векторга йуналиши А векторнинг
йуналиши билан бир хил, модули эса бирга тенг булган бнрлик
вектор Адирлик таццосланиши мумкаи. К^уйидаги муносабатлар ту-
шу варлидир:
А = А-АйирлиК(
Адирлик = д' •
Бирлик вектор яна бошцача ном — орт номига ^ам эга. Вектор-
нинг координата Jiyiapu буйлаб Ах, А>р А, (11-расмга гарант) таш-
кил эгувчилари векторнинг шу У^ларга булган проекцняларининг
модулларига тенг:
im-ил
IAJ = |AJ.
Координата у^ларн билан бнр хил йуналган бнрлик векторлар
киритайлик. Уларии цуйидагича белгнланади: х уци буйлаб йунал-
ган бирлик вектор 1 символ билан, у уъ,и б?йлаб йуналгани j сим-
вол билан ва г уци буйлаб йуналгани эса — к симэолн билан белгила-
иади1. I, j ва к векторлар мое равишда х, у ва z У^ларнинг ортла-
ри дейилади.
У ва^тда, масалан, Ах ташкил этувчини цуйидаги к$ринишда
ёзиш мумкин булади (11-рисмга царанг):
А, - AJ (2.7)
^а^и^атан >;ам, ДД векторнинг модули |AJ га, яъни |АЛ| га тенг
булади. Энди, агар А, вектор х ут\и билан бир хил йуналган, яъни
уиинг йуналиши I ортнинг Йуналиши билан бир хил булса, у ва>»тда
11-расмдан осонгина куриш мумкинки, At мусбат булади, борди-ю,
Ах манфий х томонга ^араб йуналган, яъни I векторга тескари йу-
налган б^лса, Ах манфий булади, демак ЛД нинг йуиалиши 1 аинг
йуналишига тескара, яъни А, векторнинг йуналиши билан бир хил
булади,
Колган нккнта Ау ва Az ташкил этувчилар учуй Vм (2.7) га
$хшаш ифодалар ёзиш мумкин:
Ау = Ау], АЛ = АД.
А вектор Уз ташкил этувчиларининг йигиндисига тенг булган-
лиги учуй ^уйидаги тенгликни ёзиш мумкин:
А- /Ц + ДЛ-АЛ (2.8).
Шунингдек, ех, tK, е2 велгилар цам цулламнлади.
Шундай цилиб, исталгак векгорни унинг координата у^ларнга
проекциялари ва шу уцлариинг бирлт.к векторлари орцали ифода-
лаш мумкин экан. '
Векторнинг ^оснласи. Фараз крлайлик, (2.8) вектор ва^т даво-
мнда маълум А (0 цонун билан узгарсин. Бу векторнинг координа-
та укларига проекциялари I вацтнинг аввалдан бервлган функция-
ларидан иборат демакдир:
А«-Ц,Ю+И,Ю + Ц(0
(агар координата ^улари фазода бурялмаса, у^ларнаиг ортлари вацт
давомида узгармайди).
Вацтнинг At оралитида векторнинг проекциялари ДЛХ, ДЛу, ДАХ
орттирма олади, бунинг натижасида векторнинг >зи эса ДА =
= 1ДД, 4- JAAy + кЛДг орттирма олади деб фараз цилайлик. А век-
торнинг I ваф давомида уэгариш тезлигнин куйидаги муносабат
билан характёрлаш мумкин:
(2-9>
Биз ёзган бу ифода А нинг At ва?;т оралигида уртача ^згариш тез-
лигинн беради. А вацт давомида узлуксиз, сакрамасдан узгаради
дейлик. У цолда вацг оралиги At цанча кичик булса, вацтнинг
Д/ ораляццс тегяшли ихтиёрий моментндаги А нннг уэгариш тез-
лигини характерловчи катталик (2.9) шунча аннадх^ булади. Шун-
дай ^илиб, А векторнинг вацтнинг i пайтидаги уэгариш тезлиги Д/
ни чексиз кнчрайгирганда (2.9) ифоданинг интиладиган лимитига
тенгдир:
Узгариш тезлиги А = Нт ~ =
i?-0 “ Д/-.0 Л* Л/-С д*
Функция Д/ оргтармасининг аргумент орттирмаси At га нисбатн
At нолга нигилгандаги лимити / функциянииг i буйича ^осиласн
дейилади ва символ билан белгиланади. Демак, А векторнинг
ва^т давомида ^уэгариш тезлиги
(2J0)
га тенг экан.
Олинган ифодани (2.8) формула билан солиытирсак, (2.10) да
„ . оА
ортлар енида турган купаитувчилар векторнинг координата ук-
ларга проекцияларидан иборнг экаилнгнии осонгина куримиз;
15
Белгилар цуйишда куда э?{тиёт булиш керак. Масалан, век-
торнинг х ут^ига проекциясини ) символ бнлан белгилаб бул-
майди, чункн бундай символ Ах га ухшаб векторнинг х у^и буй-
лаб ташкил этувчисини ифодалайди. Шунингдек, бу проекциями
(—J символ билан (А воктернинг проекцияси Ах билан белгилан-
ганидек) белгилаш мумкин эмас, чункн умуман айтганда,
дан фарцлидир. Шу сабабларга кура ) ва ^окаяо курннищда-
е . „ <1* пр х
ги оелгилардан фоидаланишга тугри келади.
3-§. Тезлих
Моддий ну^анинг (уни келгусида биз ^ис^алик учун тугридан-
тугри ну^та деб атаймиз) фазодаги вазиягини г радиус-вектор, ёр-
дамида бериш мумкин. Ну^а харакатланган вактда г векторнинг.
16- рам
умуман айгганда, дам катталиги,
дам йуналиши узгаради1.
Бирор вацт моменги t ни бел-
гилаб олайлик. Бу ва^тга радиус-
векторнинг г даймати мос келади
(18-расм). I моменгдан кейин ке-
ладиган китих (уни биз элементар
деб айтаймиз) Д/ ващ оралиги да-
вомида нуцта As элемеитар йул
Утади ва элементар Аг га кучишда
бу кучиш радиус-векторнинг Д/ ва^т
оралигидаги орггирмасига тенгдир2 *.
Куйндагича нисбат гузайлик:
Дг
Дг ‘
(3.1)
Берилган I да (3.1) векторнинг дам модули, ^ам йуналиши,
умуман айгганда, А/ вацт оралигннинг катталигига боглиц. Оралиц
Д/ ни камайтириш (шу билан бирга мос ривишда AS билан Аг ^ам
камая боради) билан бирга (3.1) нисбатни кузата борамиз. Маълум
б^лншича Л1 нниг цийматн етарлнча кичрайгандан кейин (3.1) ^ам
катталяк жи^атдан, ^ам йуналиш жи^атдан деярли узгармай ^ола-
1 Машк УЧУ» «Урадиус-вектсринняг а) фацат катгалиги, 6) факат fif иялн-
ши }згл ради ran цолляр учуй траекториями ччзиб чиним тавспи этнладп.
1 Символ Д (лельта) паи теки хил максаддя фоЛдалапамиз; а) бирор кагта-
лккимиг улушини белгилаш учун. Масялэн, биз текшираётгяи ^ол учун А/ цара-
каг давом этадигам т^ла вацтнинг улушига, Дз эса нуцта утадиган бутуй Пул-
нннг улушига тенгднр; б) бирор катталикириг орттнрмасини белгилаш учун. Биз
тскшираётган ^ол учун Дг радиус-вектор г нинг Дг вацт ичндаги орттиршаси.
16
да. Бу jjoi Д/ волга иитилганда (3.1) писбат маълум лимитга ин-
тилишини курсэтади. Ана шу лимит ^аракатланаё гган нуцтанинг
ва^гнинг t момешидаги v тезлиги дейилади. Бу айтилган хулоса
символ тарзида цейидагича ёзилади:
v = b's- (32>
Шундай ^илиб, тезлик дебД/чекснэ камайганда Дг нинг At га
нисбати ингиладиган лимитга айтилади. Демак, тезликни ^аракат-
17- раем. 18- раем.
ланаётган ну^та радиус-векторинннг вадт буйича хосиласи сифати-
да ифодалаш мумкин:
Тезлик унинг таърифига курн вектор катталикдир, 17-расмдан
куриниб турабднки, вектор траектория учун кесувчн экан. (3.2)
лимитга яцинлашган сари бу векторнинг траектория билан кесишиш
нуцталари тобора бир-бирига ядинлаша бориб (Д$ нолга иптила-
ди), бир ну^тага тупланади, натижада кесувчи уринмага айлана-
ди. Шундаи килиб, тезлик вектори траекториянинг мое нуцтасига
утказилган уринма буйлаб йуналган булар экан (18-раем).
(3.2) формулага биноан тезлик векторннинг модули хунидягича
ёзилиши мумкин;
-’-M-fcffl-Sl’ff1- (ЗЛ>
_ Бу ифодада |Дг| Оринга Дг ёзнб
булмайди. Д jr| символ г вектор орт-
тнрмасининг модулини ифодалайди,
цолбуки Дг эса г вектор модулаиннг
оргтирмаси Д|г] дир. Бу икки катта-
лик бир-бирига тенгэмас:
|Дг|у.Д|г] = Дг.
Бунта цуйидаги мисол ёрдамнда
ишонч хосил цилиш мумкин (19-раем).
2—1317
70Я88Л
Фараз ^лайлик, бирор вектор А шундай ДА орпирма олсники,
бунда унинг модули ^эгармасин:
|А + ДА| = |А|.
Демак, А вектор модулининг орттирмаси волга тенг (А]А| =
= ДЛ = 0). Бу ва^тнинг узнда вектор орттирмасинннг модули |ДА[
нолдан фарклндир (у 2 — 3 кесманинг узунлнгига тенг). 20-раем
берилган |ДА| учун модулнинг ррггирмасн Д)А| факат— |ДА| билан
+ |ДА| оралигидаги цийматларга эта булишини курсатади.
Элементар As й^л, умуман
айтганда, капалик жи^атдан эле-
ментар кучишнинг |Дг] модули-
дан фар»; цнлади (21-раем). Би-
ро»;, агар йулиинг Д/ кичик вацт
оралвдларнга мое Д$ кесмаларн
__м
а? 4<|-м
20- рэсм 21- ртси.
ва Дг кучишларни олсак, у З[олда Д$ билан |Дг| орасидаги фарц у
1;адар капа б^лмайди, бунда А/ кичрайган сарм Аз орта борувчи
аницлик билан |Дг] га тенглаша боради. Ана шуларга асосланиб
Чуйндагини ёзиш мумкин:
lira T?litn ?l
бундан (3.4) га хюс ла келиб чицади: ривищда тезлик модули учун »^йидаги форму- e=lim^ = ^-. (3.5)
4-§. Утилган нулям дисоблаш
(3.5) дан кичик At лар учун »;уйидаги хулоса келиб чицади:
At денчалик кичик булса, ернгги тацрнбий тенглнк шунчалик аниц-
poi; бажарилади. Агар v тезликнинг карта лиги t ва^нинг функ-
ции с и сифатцда маълум булса, у додда ну»;та моментдан мо-
ментгача $тган нулни цисоблаб гопиш мумкин. Бунинг учун tt —
ва»^- оралигини N та кичик Atv Ata, .... А1„ вацт оралицларига
бучиб чи^амиз; бунда бу ораЛи\ларнинг катталиклари турлича бу-
18
лиши ?{ам мумкин. Нуцта ^тган бутун з йулнн мое М вак?
орали^ларн ичида рнлган Asv Аз»..........Asw й^ллар Ймгицдиси
сифалида ёзиш мумкин:
s = Asi + Аз» + ... + ASj/ — У Аз/.
(4.1) га мос ривишда As, (/—1 дан 2V гача булган ихтиёрий
сон) 1$шилувчиларнинг ^ар бнри
&st s o1AZi
куринишда ёзялипш мумкин, бу ерда A/z Asz йулнн у-гпш учун
кетган ва^ оралиги, v, эса — тезликнинг бнрор А/, ва^т ичидаги
цинматн. шундай цмлиб, *
(4.2)
A/z вацг орали^лари цанча кнчнк булса, бу ёзилган теиглик
шунча ани^ бажарилади. Хамма Af( лар иолга интилганда (бунда
А// оралицлар сони чексиз ортиб кетади) унг томонда турган йигнн-
дининг лимита роппа-роса s га теиглашадн:
N
s = 11m У V. Ы,.
-°(ti
(4-3)
Тезлик ваминнг фуикциясцдир: tf=v(t).
Математнкада к нинг а дан b гача орали^аги ^ийматлари учун
ёзилган
N
11m
Длг|"»О
куринишдаги ифода ани^ интеграл деб аталадн ва символик равиш-
да ^уйидагича ёзилади:
j/(4<U
Демак, ну»^га дан гача булган вацг оралиги ичида утган
Йул цуйидаги анн>4 нитегралга тени
<1
*-[о(/)Л. (4.4)
Утнлган йулии v гезлик ва i вацт орасидаги богланиш эгри
чнзиги билан чегараланган шаклнинг юзи снфатида тасаввур цилиш
мумкинлигини курсатайлик. о = o(f) функциянинг графипшн чи-
1 Бир хил кррннишлагн N та ^шклувчнвянр йнгивдиснпи ат шундай к|-
ринищда ёэнш кабул кнлинган.
19
зайлик (22-раем). Купайтма г1(А^ сон жнцатдан пггрихлангзн
(Z нчи) соцанннг юзига тенг. Ана шундай купайтмалзрнинг йирин-
диси t уц t = ti ва I = ft тугри чизицлар ва шунингдек, шунга
ухшаш соцаларнинг устки царгоцлари цосил цилган синиц чизиц
билан чегараланган юзга тенг булади. Д/( нолга интилгаида цам-
ма соцаларнинг кенглиги камая боради (шу билан бмрга уларнинг
сони Орта боради) ва синиц чиэиц лимитда v = о(/) эгри чизицца
айланади.
Шундай цилиб, дан /а гача булган вацт оралигида ртнлган
йул сон жицатдан v = v(l) график, t вацт уци цамда t = ва
t = 1Я тугри чизицлар билан чегараланган шаклнинг юзига тенг
экан.
5-§. Текис царакаг
Тезлиги йуналиш жнцатдан цар цанча узгарса цам, катталик
жицатдан узгармайднган царакат текис царакат дейилади.
Текис царакатда (4.3) форму ла даги v{ ларнинг цаммаси бирдай
булиб, v га тенг булади. Шунинг учун v умумий купайтувчини
йиеинди белгиси остидан ташцарига чицариш мумкин:
s = lim v = v lim AZf.
Элементар вацт оралицларининг йигиндиси нуцта s йулин Утгуича
кетган t вацтнн беради’. Шундай цилаб, цуйидаги тенгликни ёзиш
мумкин:
s = vt. (5.1)
1 t хзрфи вацт оралнгинм белгилаш учун (берплган цол учун Сиз ана
шундаГ кпллик), вацт моментики белгилаш учун цам (насалан, 3-J книг бошида
аня шундай ни.питан вли) ишлатнлаверади. Ана шу икки холин катъиян бир-бирн-
дак фарк чилиш иерак.
20
(5.1) формула дан текис ^яракат тезлиги s Йулнинг 'шу Йулни
утиш учун кетган t вацтга нисбатига тенг деган хулосага келамиз:
₽ = 7 (5.2)
(5.2) га асосан текис царикат тезлиги катталик жицатдан jjapa-
катланаётган нуцта вацт бирлиги ичида утган йулга тенг деб ай-
тишимиз мумкин. Потение царакат учун бу фикр мутлацо потери.
Бу цолда вацтнинг бернлган / моментидаги тезлик катталик жи-
цатдан, агар нуцта t моментдаги тезлигини бундан кейин цам сац-
лаб колган булса, нуцтанинг вадт бирлигида ^тадиган йулига тенг
булади деб айтиш мумкин.
6-§. Тезлик векторининг координата уцларнга проекциялари
Тезликни ифодаловчи (3.2) муносабатда лимит аломатн остида
вектор турибди. (3.2) да ана шу вектор урннга унинг бирор
йуналишга проекциясиниолсак, рив-
шанки, биз V векторнинг худдн
уша йуналишга проекциясинн топа-
миз:
пр. v = lim -Р.Л— (6.1)
Д1-0 Л‘ *
29- раемдан куриниб турибдики,
Дг векторнинг уцларга проекцня-
ларн бирор жойга кучган нуцта ко-
ордината л арниинг орттирма ларнга
тенг экан:
(Дг)х = Дх;
(Дг)у = Ду;
(Дг)л = Дг.
Бу нфодаларнн (6. 1) формулага ^униб, тезлик векторининг
координата ^цларага проекцияларини топамиз:
А/-.0 Д/ dl
vv= = lim 4? = ;
Л/-»0 Д< Д/-0 Д(
V.. =
М-0 й( Л/ (A
Фнзикада катталиклар нинг вацт f буйнча росила лари ни мос цол-
да устига нуцта цуйилган символларм билан белгиланадн;
Ох dr At
~dt^Xi 'ш==г > -а^г ва Аоказо.
Бу белгилардан фойдаланиб, v векторнинг координата уцлари-
га проекцияларини цуйвдагнча ёзиш мумкин:
vK = х; vv~ у; vt = z. (6.2)
Эслатиб утамизки, (2. И) формулаларда А = г деб олиб, (6.2)
формулаларни ^осил цилиш мумкин.
7-§. Теэланнш
2-§ да векторнинг ^осиласи ^ацнда айтилганига асосланиб, мод-
дий нуцта v тезлигининг t вагдга цараб \згариш суръатини цуйи-
даги катталик билан характерлаш мумкин:
Бу катталик нуцтанинг тезланиши деб аталади.
Агар теаланиш вацтнинг функцияси w(f) сифатида берилган ва
бошлангнч моментдаги (/ = О да) тезлик v0 маълум булса, у ^олда
вацтнинг ихтиёрий t моментидаги v теэликни топиш мумкин. Бу
вйтилганлар ^уйидаги формула ёрдамида амалга оширилади:
V = vo + J wdt
w Узгармас булса,
v = ve + w/. (7.2)
Тезлик векторнни
v = to*4-jo*, + = ix + 1у + к*
куринишда ёзайлик [(6.2) га царанг].
Бу ифодани t буйича дифференциаллаб ^уйидагиня топамиз:
»=-гп='4м+<4^+к4<г>-
“4х) х нинг t буйича иккинчн ^осиласи булган.чиги учун уни к
символ билан белгилаш мумкин. Худди шуига ухшаш
= (у)> “ (4 Демак, W = lx + jp 4- к?. (7.3)
(7.3) ни (2.8) формула билан тац^ослаб, теззик векторининг
координата уцларига проекция лар и учун цуймдаги ифодаларни осон-
гнна топишнмиз мумкин;
= X, = у =» г . (7.4)
22
8-8. Тугри чизицли текис узгарувчан \араиат
Тугри чизицли \аракатда тезлик вектори доим бирдан-бир тугри
чизи^ли траектория буйлаб йуналганлиги учун w векторнинг $уна-
лиши v векторнинг йуналиши билан устма-уст -гушади еки унга
тескари йуналган булади. Агар w нинг й ура лиши v нинг йунали-
ши билан бир хил булса. у $олда тезлик катталик жгцатдан орта
боради ва ^аракат тезланувчаи булади. w йуналиш жи^атдаи v га
тескарн булса, у ^олда тезлик кама я боради ва \аракат секинла-
нувчан булади.
Тезланиши узгармайдиган тугри чизи^ли ^аракат текис £з-
гарувчан ^аракат дейилади. Тезлик вацт буйича цандай узга-
раётганлигига караб царакат текис тезланувчан ва текис
секинланувчан ^аракатларга ажратилади.
Текис узгарувчан ^аракат учун (7.2) формула урийли булиб,
бунда унга кирувчи барча v, v0 ва w векторлар битта тугри чн-
зиц буйлаб йуналган. Бу векторларни v0 векторнинг йуналиши би-
лам устма-уст тушувчи х йуналишга проекциясини олсак, ^уйидаги-
га эга бУламиэ:
Рж = Ц>* + «'Л (8 О
vt, vOx ва шх мос векторларнинг модулларига тенг. Бу модул-
лар агар векторнинг йуналиши х нинг йуналиши билан бир хил
булса <+» ишора билли, векторнинг йуналиши х нинг йуналишига
карама-царши б^лса, «—» ишора билан олина ди.
Одатда, тугри чизицли ^аракат урганилаётганда (8.1) тенгла-
мада х нинг индекслари тушириб цолдириладн ва тугридан-т^гри
о = 0®+“* (8-2)
куриышвда ёзилади, бунда (8.2) тенгламага карувчи катталиклар
векторларнинг проекцияларига ухшаш катталиклар деб цабул ни*
линади. Бунда унча тугри булмаган (а мио купчнликка сингнб кет-
ган) термине логиядан фойдаланиладн. Масалан, ш тезланиш деб
юритилади ва w, нинг ишорасига цараб бу тезланиш мусбат ёки
манфий деб ^исобланади. (8.2) функцияни яоддан то. нхтиёрий t
ва^т моментигача булган оралицда интетраллаб, утнлган йул учун
цуйидаги формулани топамиз [(4.4) га царанг)]:
s-j(o. + u«)dl=^4~. (8.3)
бу ерда w—алгебраик катталик.
[Пуни таъкидлаб утамизки, бу формула I вацт давомида нуцта
^аракатииннг йуналиши (тезлнкнииг ишорасв) узгармагаидагина
Утнлган йул учун тугри натижа (беради.
23
&-§. Эгри чизи^лн царакатда теэланиш
У мумий ^ол учун теэланишни топищдан аввал эгри чизицли ^а-
ракатнинг энг содда ^олини—нуцтадинг айлана буйлаб некие jja-
ракатнни цараб чнцамиз.
Фараз цилайлик, вацтнииг текширилаётган t моментида нуцта
I цолатда булсин (24-расм). А/ вацтдан кейин нуцта ! — 2 ёйга
тенг булган As йулни утиб
2 ^олатга келади. Бунда нуц-
танинг v тезлиги Av орттир-
ма олади ва тезлик вектор»
катталик жи^атдан узгармас-
дан (текис ^аракатда | v | =
=const) Дф бурчакка бурила-
ди; бу бурчакнинг катталиги
As узунликдаги ёйга таянган
мариазий бурчакка тенгдир:
4,-^. ' (9.1)
бу ерда /? — нуцта царакатла-
наётган айлананинг радиуси.
Тезлик векторннинг Av opi-
тирмасини топайлик. Буиинг
учун (v 4- Av) векторнн унинг боши v векторнинг бошига устма-уст
тушадиган цилиб кучирамиз. У ва^тда Av вектор v векторнинг
охиридан (v + Av) векторнинг охирига Утказнлган кесма билан
нфодаланади. Бу кесма томонлари v ва (v + Av) га ва учидаги
бурчак Д\р га тенг булган теиг ёнли учбурчакнинг асосн б^либ
хизмат циладн. Агар А<р бурчак кичик булса (кичик А/ лар учун
бу шарт бажарилади), у ^олда бу учбурчакнинг томонлари учун
тацрнбан цуйцдагн тенгликни ёзиш мумкин:
|Av| s рАф1.
Av векторви унинг модули билан Av буйлаб йувалгдн бирлик
вектор купайтмвеи сифатида ёзиш мумкин. Ана шу бирлик век-
торли п' деб белгилаймиз. У ва^гда
Av = ]Av| n's уДфп'.
Бу формулага (9.1) даги Дф нинг цийматини цуйиб, цуйидагини
топамиэ:
Av = v-^ln-. (9.2)
Av ни А/ га та^симлаб кейин лимитга утсак, теаланишни
топамиэ.
w = Km — = lim
Л(.сй' д(.0Я Ы
* At) деб ёзиш мумкин емас, чунки бу лолда Av = 0 булади.
24
Бу ифодада v ва R — узгармгс катталмклар; нисбатнинг лими-
ти теэликнинг и модулини берадн; бирлик вектор л' нинг лимита л
бирлик векгорга усгма-уст тушади; кейингиси айланага I нуцтада
нормал булиб, марказга караб йуналгандир. Шундай цилаб,
w„-4-n- (м
Биз топган бу тезланиш траекториям утказилган нормал буй-
лаб йуналгандир; у нормал тезланиш деб ат&лади ва w„ билан
белгиланади [(9.3) ифодада цилганимиздек]. Нормал тезланишнинг
модули:
^=4- <w>
Траектория эгрилиги ь.анча куп (айлананинг радиуси /? цанча
кичик) булса, теэликнинг берилган о цийматида w„ шунча катга
булади. Эгрилик улчови сифатида айлананинг эгрилиги деб аталув-
чи 1//? катталик цабул цилинади.
Равшанки, ихткёрий эгри чизиц буйлаб ^аракатланувчи нуцта-
нинг тезланиши цам траекториянинг эгрилигига (бу эгрилик траек-
ториянинг турли ну^таларида турлича булиши табиийдир) боглиц
булади. Бундам кейин масалани оддийлаштириш учун биз фацат бир
текисликда ётувчи (ясси) эгри чизицлараи текшириш билаигина
чегараланамиз. Ясси эгри чизицнйпг бирор нудтасидаги эгрижгн
унинг бералган жойидаги чексиз кичик цнсмида унга устма-уст
тушувчи айлананнрг эгрилигига тенг булади. Бундай айлана ясси
эгри чнэицнинг берилган нуцтасндаги эгрилиги доирасн дейилади.
1 нуцтадаги эгрилак доирасини топиш учун (25-раем) ^уйндагвча
иш куриш керак. Эгри чизи^да I нуцтага яцин ётган 2 ва 3 нуц-
таларни оламиз. 1, 2 ва 3 лар орцали айлана утказдмиз. Бу ай-
лананинг 2 ва 3 нуцталарнии / нуцтага чексиз ян.инлаштирган
вацтда оладиган сунгги вазияти эгрйлпк доирасининг узгияаси
булади. Бу доиранинг радиуси чизнцнинг / нуцгадагн эгрилик ра-
диусиии, доиранинг маркази эса / нуцта учун эгрилик марказнни
берадн.
Эгри чизицнинг С эгрилиги х.
аналитик усулда >(уйвдагича ифо-
даланади; V
I аз g
а»-о As \ ’у
/ °'"
25-расм. 26-расм.
* 25
бу ерда Д<р—эгри чизицнияг бир-биридан As масофада ётган нуцга-
ларига утказилган уринмалар орасидагибурчак(26-расм). Шундай ци-
либ, эгрилик эгри чизик йуналишининг уэгариш тезлиги» яъни эгра
чизик буйлаб каракатланаёТган урийманинг бурилиш тезлиги билан
Жарактерланар экан; С га тескарн булган катталик /? эгрилик ра-
диусига тенг. Айлана учун ана шундай й$'л билан топилган эгри-
лик радиуси айлана рндаусидан иборат булишига ишонч косил ци-
лиш мумкин
Яна 26-расмта мурожаат цилайлик. 1 ва 2 нунралардагн урин-
ыаларга перпендикулярлар утказамиэ, Бу перпендикуляр бирор О нук-
тада кесишади, бунда к ва /?" масофалар, умуман айтганда, бир
хил булмайди. -^-нисбатни тузайлмк. As катталикнн тахминан
R'Affi билан алмаштириш мумкин. У вацтда
Аф 1
As R’ ’
I ва 2 нуцталар бир-бнрига цанча якин ётса, яънн As цвнча
кичик бу-лса, кейинги такрнбий тенглик шунча аиикрок бажарилади.
As ни колга интилтнрсак, куйндагнга зга буламиз;
Агар 2 нуцтани чексиэ равишда / нуцтага икннлаштнра борсак,
перпендикулярлариинг кесишиш нуцтаси эгрилик марказидан иборат
булган бирор нуцтага интилади. Иккала R' ва J?’ масофалар эгри-
лик раднусига тенг булган бирдан бир R лиматга интилади. R га
тескарн булган катталик чизикнинг / нудтадагн эгрилигини берадн.
Энди исталган ясен эгри чизиц буйлаб каракатланаёгган ну к-
танинг тез.танишини топан-
лик. Тезликнинг (нуцта I
Колатдан 2 колатга кучиши
учун KeiraH At eaift орн-
лигига мос) Av орттнрмасн
векторини иккига Av„ ва
Av, ташкил этувчиларга
ажратамиз (27- раем). Бу
ташкил этувчиларнм шундай
танлаб оламизки, / нукта-
дан Avn векторнинг охяри-
гача булган масофа бошлан-
гвч моментдаги тезликнинг
мудулига тенг булени. У
цолда, чамаси, Av, вектор-
нинг модули тезлик модули
ортгирмасига тенг булади;
|Av, । = A [v| = Av.
йуналиши AvT векторга мое булган t бирлик вектор киркгиб.
сунгги ифоданн з^уйидаги куринишда ёзиш мумкин1 * *;
Avx = Дет'. (9.5)
Бианн (9.4) формулага олиб калган муло\азаларнм такрорлаб,
цуйидагини топишимиэ мумкин:
Ду„ = о^п'. (9.6)
Таърнфга биноан туда тезланмш вектори цуйндагнга тенг;
w = lim^j= 1|тА*',*Ал = lim + lim ,
(9.6) ни ^исобга олсак, lim = Ит^ -^-п'
Лимитда яисбат v тезлнкни, /?' — эгрилик радяуси 7? ни
беради, п' вектор эса траекторияга / муртада угказнлган нормал-
нинг п бирлик вектори билан устма-уст тушади. Бу лимитни w„
билан белгиласак:
(9.7)
Иккинчи лимит (уни w, билан
белгилаймиз), (9.5) ^нсобга олсак,
Лимитга утилгаида т' вектор т бирлик вектор билан устма-уст
тушади. Кейингиси траекторияга 1 ну^тадан утган урннма буйлаб
^аракат йуналган томонга караб й5'налган ва v тезликнинг бнрлак
векторига айнан тенгдир [(2.6) га царанг]:
о"
w =/lim4-V=--’- (9.8)
Шундай цилиб, w вектор иккита wM ва w, векторларнинг йигин-
диси (28- расьО сифатнда ифодаланиши мумкин экан. Бу вектор-
лараинг бира (w„) v тезлкк векторига перпендикуляр ва траек-
тория эгрилиги марказита караб, нккинчисн (wj эса траекторияга
^тказилган уринма буйлаб йуналган. Агар тезлик катталик жи^ат-
дан ортса — мусбат булсаj, у ^олда wx —^аракат йуналиши
1 Босмахяида цора т, р, <о на ф з^арфлар булмагани учун улар билан
белгилана нгаи вектор катталиклар урнига ёзмалагидек, усгнга чнзицча цуйнл-
ган ^арфлар терилди. (Ред.)
21
буйлаб йуналади,
агар тезлик катталик жюртдан камайса
/Л>
1 Л
и»
манфий булса , у ва^тда wt — ^аракат йуналишига тес^ари ,йуна-
ладн.
Вектор wt тангенциал тезланиш деб аталади. Утезлнкнинг
катталик жи^атдан узгаришини характерлайди. Агар тезлик катта-
лик жи^атдан узгармаса, у вацтда
тангенциал тезланиш нолга тенг ва
w = w„ булади.
Вектор wn (нормал тезланиш) тез-
ликнинг йуналиши буйича узгаришини
характерлайди. Агар тезликнинг йу-
налиши узгармаси, ^аракат тугри
чизнцли траектории буйлаб содир бу-
лади. Тугри чизи^нинг эгрнлиги нол-
га тенг (мос равишда /? эгрилик ра-
диуси чексизликка тенг), бинобарин,
нормал тезланиш нолга тенг ва w =
Умумий ^олда тула тезланишнннг модули цуйидагига тенг
(28- раем):
10- §. Айланма ^аракат кинематикаси
Бирор 00 уц (29- раем) атрофида айланувчи абсолют цаттш\
зкиемни ташкил цилган бирча нуцталарининг марказлари айланиш
у^ида ётган айланалар буйлаб ^аракатланади. Хар биР нуцтанинг
радиус-вектори (айлананинг марказидан берилган нуцтага утказил-
гин вектор) А/ вацт ичида бирдан-бир Дф бурчакка — цаттиц жисм
нинг бурилиш бурчагига бурнлади.
Жиемнинг бирор ф бурчакка бурнлишнни узунлнги ф га тенг,
йуналиши эса бурилиш содир булган у^нинг йуналиши билан устма-
уст тушувчи кесма* куринишида бериш мум-
кин. Берилган уч атрофида бурилиш цайси
томонга булвётганлигнни курсатиш учун
бурилишнинг ва уни тасвирловчи кесманинг
й$налишларини унг винт цоидаси деб ата-
лувчи цоида билан боглашга келишнб олишимиз мумкин. Бу
цоидага биноаи кесманннг йуналиши кесма буйлаб карага-
нимизда айланиш соат стрелкаси йуналиши буйлаб содир була-
ётган йуналишда булиши керак (у'нг винтнинг бошини соат стрел-
каси йуналиши буйлаб бурасак, у биздан узоцлашаётганлигяин
к$рамиз, 30- раем). Шундаи цилиб, жиемнинг бурилвшини циймат
ва йуналишга эса деб олишимиз мумкин экан. Бироц бурилишни
вектор деб jjhccx и учун бунинг f зи старлн эмас — шу усул би-
лан тасанрланадиган бурнлишларни параллелограмм ^оидэсига асо-
сан цушиладиган булиши керакАкталган катталикдаги бурилишлар
учун супгги шарт капоатлантирилмайдм. Буни сферанинг айланиш
мисолида курсатайлик (31- раем). Сферанинг /—1 Д атрофида л/2
бурчакка бурнлиши (бу бурилиш ф1 ке ла билан тасвирланган) ва
ундан кеиин 2—2 уц атрофида я/2 га бурилиши (ф3 кесма), сфе-
ранинг А ну^таси дастлаб Д' ^олатга кейин эса А” ^олатга кучи-
шига олиб келади. ,ф, ва ф3 лардан параллелограмм усулида олин-
ган ф3 кесма (бу кесманинг узунлиги л/1 2 га тенг) билан тас-
вирланувчи бурилиш А нуцтани А' дан фарк цилувчи В ^олатга
кучиради. Демак, фа кесма билан тасвирланувчи бурилиш кетма-кет
годир булувчи ф, ва ф, бурилишлврга айнан тенг эмас ва. шунинг
учун ^ам уларнинг йигиндиепдан иборат б_?ла олмайди Шундаи
цнлиб, жиемнинг уц атрофидаги бурнлишини йуналган кесма билан
таснирлаш мумкин булса дем уни вектор деб бЪмастигига ииюнч
^осил цилдик.
Жуда кичик бурилиш бурчаклари учун а^вол бош^ачаро^. Жуда
кичнк бурилиш вактида жиемнинг истатган нуцтаси $тган йулни
тугри чизиц деб ^исоблаш № чкпн. Иккита кетма-кет содир булув-
29
32- расы.
чи \ф, ва А<р» кичик бурилишлар, 32- расмдан куринишича, жисм-
нинг ихтнёрий нуцтасинн шундай Afj 4- Дг£ кучишини юзага келти-
радики, у Дф1 ва Дфа дан параллелограмм цоидасига асосан олииган
Дф3 кучишга тенг булади. Бундан жуда кичик бурилишлар вектор-
лар даб царалиши мумкин деган ху-
лоса чицади (уларни биз Дф ёки dip
кУринишда ёзамиз).
Биз dtp векторнинг йуналишини
уни жисмнинг айланиш йуналиши би-
лан маълум йусинда боглаш орцали
аницладик. Тезлих V. тезланиш w,
радиус-вектор г каби катталикларни
текширган вацтда уларнинг й$нали-
шнии танлаш ^аг;ида суз цам булма-
ган эди; бу йуналиш катталикларнинг
табиатидан уз-узидан келиб чиркан
эди. Ана шундай векторлар цутб век-
торлари дейилади. dg> га ухшаб
йуналиши айланиш (ёки айланиб утиш)
йуналиши билан богланадиган вектор-
лар аксиал векторлар дейилади.
Вектор катталик
(10.1)
-.0 Д/ tit
бу ерда Д/ — Дф бурилиш содир булиши учун кетган вацт жисм-
нинг бурчач тезлиги дейилади1. Вектор ь> жисм айланаёттан уц
буйлиб унг винт цоидасига биноан йуналган (33- раем) б$'либ, ан-
сиал вектордан иборат.
ВО
бундам
7=—. (10.3)
о
Маълумкг. вацт бирлигида содир буладиган айланишлар сони v
дйндлгига тенг.
v = (10.4)
Т 2Л
(10.4) дай бурчак тезлик вацт бирлигидаги айланишлар сони-
чинг 2л га купайтирилганига тент эканлнги келаб чидади;
со = 2nv.
Айланиш даври ва айланишлар сони тушунчаларини нотекис
айланма ^аракат учун ^ам садлаб долса булади. Бунда жисм бе-
рилган оний бурчак тезлик билан айланганда у бир айланиб чиди-
ши учун кетган вацтни Т нинг оний динмати деб тушунилади; v
деб эса хулди ана шундай шароитда жисмнинг вадт бирлигидаги
айланишлара сони тушунилади.
Вектор со жисмнинг уз атрофида айланиш тезлиги узгариши дН-
собига (бу зрлда у катталик жидатдан узгаради) булгани _каби,
айланиш удннияг фазода бурнлиши дисобнга дам (бу ^олда со нинг
йуналиши узгаради) узгараши мумкин. Фараэ дилайлнн. со вектор
А/ вадтда Дш орттирма олеин. Бурчак тезлиги векторининг вадт
брйича узгариши бурчак тезланиши деб аталувчи дуйидаги
катталик билан характерланади:
5 = lim—. (10.6)
дг-о М dl
0 вектор кам со каби аксиал вектор.
Айланиш удинннг йуналиши фазода узгармаса, тезлик фацат
катталик жтцатидан узгаради ва бунда | Дсо| = | Дсо] булади. Бу
^одда (10.6) дан бурчак тезланишнинг модули учун щгйидагн нфо-
да келиб чицади:
0 = lim^=|^l (10.7)
л/-о Л/ | dt)
Агар 0 деб 0 векторнинг со йуналишига вроекцинсини тушунсак.
у ^олда (10.7) формула цуйидагича ёзилади.
₽=1|гп^ = £. (10.8)
(10.8) формуладаги 0 —алгебраик катталик бйлиб, агар со вацт
Утиши билан ортса (бу ^олда 0 ва со векторлар бир хил йуналиш! а
sra булади), мусбаг дийматга. агар со камайса (бу ^олда 0 билан со
бир-бирига царама-царши й^налган), манфий ^ийматга эга булади.
Айланаётган жисмнинг турли нуцталари турли v чизи^ли тез-
ликларга эга булади. \ар бир ну^танияг тезлиги тегишлн айлана*
ларга угказилган уринма буйлаб йуналган б^либ, уз йуналишини
3)
узлуксиз узгартира боради. Ну^та тезлигинннг катталиги жисмнинг
(о айланиш тезлиги ва айланиш уцндан берштан нуцтагача булган
7? масофа билан анидланади.
М цисца ва^т оралигида жисм Дф бурчакка бурилган булсин
(34- раем). Бунда 7? утуцан Д$ масофада ётган ну^га
As = /?Д(р
Таърифга биноан нуцтанинг чизи^лн
тезлиги
Й5’Л утади, б
яъни
v = lim — = hm
AI-*O at bt-*0
R lim &
= Я^ = АЛ>.
д/^oAt
v = toR.
(10.9)
° Шундай фмиб, нуцта айланиш у^и-
34- раем дан цанча уэоц ётса, у шунча каттароц
чизицли теэлик билан ^зракат,панар экан.
Айланаётган жнем ыу^таларинИнг чизицли тезланишини топай-
лик. Нормал тезлкк (9.4) га биноан:
Бу ифодага (10.9) лай v нн олиб келиб itfftcax, ^уйидагнни топа-
миз:
Юл-со1/?. (10.10)
Тангенцнал тезланишнинг модули (9.8) га биноан j | га тенг.
Ява (10.9) тенгламадан фойдаланиб цуйидагини топамиз:
W, = ||lm 4»I _|lin, _|цт«“I_ Я I Dm—I = яр,
1 ДГ-.0 А/ I | й/-»О А/ I I дг*о й< I IД/-0 Д< 1
яъни •
Шт=р/?. (10.11)
Шундай цилиб, нормал тезланиш ^ам тангенцнал тезланиш ^ам
айланиш увидан нудтагача булган 7? масофа орпшш билан чизи^ли
ортар экан.
11- §. v ва ю векторлар орасидаги богланиш
Юдорида курилган векторларни цушиш ва айириш, шунингдек
векторяи скалярга купайтириш (2- § га каранг) амалларидан таш-
цярн яна векторларни бир-бирига купайтириш амаллари ^ам мав-
жуддир. Иккита вектории бир-бирига икки усул билан купайтириш i | "
мумкин; биридчи усул натижада бирор янги векторни беради, ик- ’ В'
32
кинчи усул эса скаляр катталикка олиб келади. Эслатиб утамизки,
векторни векторга булиш усули йуц.
^озир биз векторларнинг вектор купайтмасини куриб чицамиз.
Векторларни скаляр купайтириш усулини биз кейинроц, унга зару-
рат тутилганда урганамиз.
Никита А ва В векторнинг вектор купайтмаси деб цуйндагидек
хоссаларга эга булган учинчи С векторга айтилади;
1) С векторнинг модули
купайтирнлаётган векторлар-'
пинг модулларн билан улар
орасидаги а бурчакнинг сину- A
си купайгмасига тенг (35- >.
раем).
С -= АВ sin a; «Л г'
\\$^с I
2) С вектор А ва В век- -JOtf
торлар ётган текисликка пер-
пендикуляр булиб, унииг йу- [дд! ^Ssj
налиши А ва В лариинг йу-
налишн билан унг вин цри- °
дасига асосан бомангандир. 35- раем,
агар С вектор буйлаб царасак,
у $олда биринчя купайтувчидан иккинчи купайтувчига цараб энг цис-
ца йул билан бурилиш соат стрелкаси буйтаб амалга ошади.
Вектор купайтмани символик йул билан ^йидагнча ёзиш муы-
кин.
I АВ] ёкн А х В.
Бич бу усулларнинг биринчиендан фойдаланамиз, шу билан бирга
баъзэн фэрмулалчрин уцишни енгилчаштириш мацсадида купайти-
рилувчилар орасига вергуль белгисини цуямиз. Бир вацтпинг узида,
дом купайтириш белгиси, дом квадрат довслардан фэйдаланиш мум-
кин эмас; [А х В). |АВ| = ЛВ sin а каби ёзиш мутлацо мумкин эмас.
Бу тенгчикда чап томовда вектор, унг томонда эса бу векторнинг
модути. яьни скаляр турабди. К.уйидагича ёзичса, тутри булади:
| |АВ| | = АВ sin а.
(П.1)
Dj । ф куиайтманинг йуналиши биринчи купайтувчидан иккин-
чисяга цараб бурилиш йуналишига боглиц брлгацлиги учун иккига
векторнинг бир-бирига купайтириш натижаси купайтирилувчиларнииг
тартибигя боглиц булади. Купайтиритувчилар таргибининг узгарииш
натижавии »ктор йуналишчцинг узгаришига олиб келади (35- раем).
[ВА| = — [АВ| ёки В х А = —(А х В).
тндай f«”h6, вектор купантма коммутативлик
жан.
33
Вектор купайтма дистрибутив, яъни
1А.(г1 + В,+ + Bw>] = [ABJ + [Ав,1 + . -HABJ (11.2)
экаилигини исботлаш мумкин.
Никита цутб ёки Никита аксиал векторларнинг вектор купайт-
мася аксиал векюрлардан иборатдир. Биро»; аксиал векторнинг цутб
векторига к^пайтмаси (ёки тсскариси) цутб вектори булади. Аксиал
вектор лари ииг йуналишини белгиловчи шартнниг тескарига узгари-
ши бу ^олда вектор купайтма олдидаги белгининг узгаришмга ва
бир ва^тда купайгувчилардан бири олдидаги ишоранинг тескарисига
узгаришига олиб келади. Патижада вектор купайтма билан группа-
ланувчи катталик узгармай услади.
36 [йСи
37- раем
Вектор купайтманинг модулига оддий геометрик маъно бсриш
мумкин: АВ sin а ифода А ва В векторлар устида чизилган парал-
лелограммнинг юзига тенг (36- раем, бу >;олда С — [АВ] векгор
чизма текислигига тик ва чизма орцасига ^араб йуналган).
А ва В векторлар узаро перпендикуляр йуналган булснн (37- раем).
Ьу векторлараинг иккиламчи вектор купайгмасини досил ^илайлик:
D = [А, 1ВАЦ.
яъни В векторни А векторга купайтнрайлик, кейин эса А векторни
биринчи куиайтириш натижасида ^осил булган векторга вектор ку-
пайтирайлик. [ВА] вектор ВА (sina = siny= 1) га тенг булган мо-
дулга эга >;амда А ва В векторлар билан п/2 га тенг бурчаклар
>;осил цилади. Демак, D векториниг модули |А|-||ВА]| = А-ВА =
— АгВ. D векгор В вектор билан бир хил йуналган,чигини 37- расм-
дан осонгина к£риш мумкин. Бу бизга цуйидаги муносабатни ёзиш-
га асос була олади:
|А, |ВАЦ = Л*В. (11.3)
Келгусида (П.З) формуладан куп фойдаланамиз. Бу формула
фа^ат А ва В векторлар узаро перпендикуляр булган г[олдагииа
5риилм эканинн эслатиб утамиз.
(10.9) формула v ва ш векторларнинг модулларини бир-бирига
боглайди. Вектор купайтма ёрдамида векторлар орасидаги бокла-
34
нИшни берувчи муносабигни ёзиш мумкин. Жисм г уди атрофида
ш бурчак тезлик билан айланаётган булсин (38- раем). со нинг
биз v тезлигини- зидираётган нудганинг г радиус - векторнга
вектор купайтмаси йуналиши V вектор билан бир хил булган ва
модули w sin а = со/? га, яъни v га [(10.9) формулага да ранг] тенг
век гордая иборат экан лиги ни осонгина билиб олнш мумкин. Шун-
дай цилиб, [йг[ купайтма йуналиш
жидатдан )[ам, модули жидатдаи зам z
V векторга тент экан:
У=|ЙГ1. (11.4) и
(11.4) формулага бошдача кури-
ннш Сериш мумкин. Бунинг учун г
радиус векторни иккт а векторнинг йи-
риндиси шаклида — г уцда параллел
булган rz вектор билан г удца пер-
пендикуляр R векторларнинг йикин-
диси шаклида, яъни г = гг 4- R кури-
нишда ёзиш мумкин (38- раемга
заранг). Бу ифодани (11.4) формула»
га цуйиб ва вектор купайтма дист-
рибутив купайтма эк ан лиги дан [(11.2)
га заранг [ фондаланиб, дуйидагини
38- раем.
ТОЙ миз: _ _ _ _
|<ог| — [со (гг 4- R)] — [tort] 4- [coR].
со ва г, векторлар коллинеар векторлардир. Шу сабабли улар-
нннг вектор купайтмаси нолга тент (sina = 0) Демакх
V = [coRI (11.5)
деб ёзиш мумкин.
Келгусвда айланма заракатии тазлил зилишда биз займа вазт
R билан уз устида олинган нудтадан утказилган г радиусвектор-
нииг айланиш £знга перпендикуляр ташкил этувчисини белгилай-
миз. Бу векторнинг модули уздан нузтагача булган /? масофани
беради.
88
II БОБ
МОДДИЙ НУЦТА ДИНАМИКАСИ
12- §. Классик механика. Унинг цулланиш чегараси
Кинематикада жисмларнинг х;аракати ^ацида гапирилиб, жисм
нима сабабдан бош^ача эмас, худди шундай (масалан, айлана буй-
лаб текис ёки тугри чизиц буйлаб текис тезланувчан) ^аракатла-
нади, деган масалага эътибор берилмавдп.
Динамика жисмларнинг харакатини унинг у ёки бу характерда
бучишини белгиловчи сабаблар (жисмлар орасидаги узаро таъсир-
лар) билан богланган ^олда ургатади.
Класскк механика ёки ньютон механикасига дннамиканннг 1687
йидда Ньютон аницлаган учтя цонун асос дилиб олинган.
Ньютон цонунлари (цолган барча физика цонунларн каби) таж-
рибада топилган куп фактларии уыумлаштириш натижасида май-
донга келган. Бу цонунлариинг тугрилнгиии (жуда Кенг булса ^ам,
jjap ^олда чекли сондаги ходисапар учун) тажриба патижаларига
мос келиши билан тасдицланади.
Ньютон механикаси ксйинги икки юз йия ичида шундай катта
муваффа^иятларга эришдики, XIX асрнииг куп физикларибу меха-
никанннг мислсиэ куч-дудратига туда ииюнган эдилар. Улар истал-
ган физикавий ^одисани тушунтприш — уин Ньютон цонуняарига
буйсунувчи механик прсцессга келтиришдан иборатдир, деб х;исоб-
лар эдилар. Бироц фан ривожланиши билан классик механика ту-
шунчаларига мутлацо мос келмайднган фактлар очилди. Бу факт-
ларни янги назарня — махсус ннсбийлик назарияси ва киаит меха-
никаси тушунтириб берди.
1905 йилда Эйнштейн яратган махсус нисбийлик назариясида
фазо ва вацт ^ацндаги Нью гон тушунчаларн янгидан цайТа цараб
чицнлда. Бундай цайта карат, «катга тезликлар механикасининг»
ёки релятивистик механиканннг яратмлишига олиб келди. Бирок
яиги механика зеки Ньютон механикасини бутунлай иикор днлма-
ди. Релятивистик механика тенгламалари лимитда (ёруглик тезли-
гидан кичик тезликлар учун) классик механика тенгламаларвга
айланади. Шундай цилаб, классик механика релнтивпстик механи-
кага унинг хусусий з^оли сифатида кирди ва ёруглик тезлигидан
кичик тезликлар билан содир буладиган ^одисаларин таърифлаш
учун узининг аввалги и^амиятини садлаб долди.
Классик механика билан асрамизнинг 20- йилларида атом фи-
бикэси ривожи жараёнида юзага келган квант механикаси ораси-
даги муносабат ^ам худди ана шундай. Квант механикаси тенгла-
мал^ри цам лимитда (атом массаларидан кап арок массалар учун)
/классик механика тенгламаларини берадн. Демак, классик механика
Кам квант механикасига унинг лимигдаги коли сифагида кирган
экан.
Шуидай килиб, фаннииг тарак^иети классик механиками йуцца
чи^армасдан фа^ат унинг цулланиш чегараси чекланганлигини кур-
сатди холос. Ньютон цонунларига асосланувчи классик механика
катта массали (атомлар массасига нисбатан) кнчик тезлик (ёруглик
тезлнгига нисбатан) билан ^аракат.чанувчи жисмлар механикасидир.
13- §. Ньютон пиит биринчи кону ни
Инерциал санок системалар
Ньютоннинг биранчи к°нУни куйидагича таърифланади: хар
цандай жисм тинч ёки тугри чизикли ва текис %аракат цыатини
то бошца жисмлар томониёан курсатиладиган таъсир бу зрлат-
чи $згартиришга мажбур этмагунча са^лаб урлади. Курсаталган
бу икки колат жисмнинг тезланиши волга тенглиги билан ажралаб
туради. Шунинг учун биринчи конуннн цуйидагича гаърифлаш мум-
кин: каР кандай жисмнинг теэлнги то унга бошка жисмлар томо-
видан курсаталган таъсир унн узгартармагуНча доимийлигига (ху-
сусан нолга тенглигича) долади.
Труни таъкидлаб ytHui керакки, бошка жисмларнинг у ёки бу
таъ«рига дучор булмагйн жисм табиатда мавжуд эмас. Амалда
кузатиладиган тинч ёки текис ва тугри чиэикли ^аракат ^олларида
жисмларга курсатиладиган таъсирлар узаро мувозанатлашган бу-
лади. Масалан, стол устида ётган китобга Ернинг тортиш кучи
хамда стол томоп'йдан курсатиладиган босим кучн таъсир цилади.
бунда бу иккала таъсир бир-бирини мувозанатлаганлигв туфайли
китоб тинч ^олатда туради.
Бирничи цонуида баси дилинган фикр унча равшан эмас. Гали-
лейга дадар (1564—1642) ташди таъсир тезликни узгартириш учуй
эмас, балки у ни узгартирмай са^лаш учун зарур деб ^исобланар
эди. Бу фикр аравачанинг текис ^аракати секинлашмаслиги учун
у ни узлуксиэ туртаб туриш зарурлиги каби нуидалик ^аётдан маъ-
лум булган фактларга асосланган эди. КОЗИР эса, биз биламизки,
аравани тургар эканмиз унга таъсир цилувчи иш^аланиш кучини
мувозанатлаймиз. Аммо бу ^олни етарли даражада тушуниб етма-
сак, ташци таъсир теэликнинг узгаришига (яъни тезланишга) са лб-
чи бутмай, балки тезликка сабабчи булади, деган хулосага келиш
дийин эмас.
Ньютоннинг биринчи донуин цар цандай санод системада \ам
бижарилавермай и. Биз харакатнннг характери сано1\ система н и нг
танлаб олинишига ботли^ эканлигини таъкидлаб утган эдик. Бир-
бирига нисбатан бйрор тезланиш билан ^аракат цилаётган икни
сано^ системами текширайлик. Агар жисм улардан бирига нисбаган
37
тинч турган булса, маълумки, иккннчисига нисбатан у тезланиш
билан ^аракатланади. Демак, Ныотоннниг биринчи ^онуни бир
вакднцдг узида иккала системада цаноатлантарилиши мумкни эмас.
Агар саноц системада Ныотоннинг биринчи цонунн цаноатлан-
тирилса, бу системами инерциал система дейилади. Бу цонуннинг
узи баъзан инерция -цонуни деб ^ам юритилади. Ньютон цонуни
бажарнлмайдиган саноц система ноннерциал саноц система деб ата-
лади. Чексиз куп инерциал систем а лар мавжуд. Бирор инерциал
системага нисбатан тугри чизицли ва текис (яъни ^згярмас тезлик
битая) ^аракатланувчи исталган саноц система jjaw инерциал бу-
лзди. Бу цацда 17- § да гапирилади.
Маркази 1\уёш билан усгма-усг тушувчн, 9цлзри эса мос ра-
влшда танлаб олинган юлдузларга томон йуналган саноц система-
сининг инерциал система эканлиги тажрнбада аницланган. Бу сис-
тема гелиоцентрик саноц системада дейилади (гелиос еузи — юнонча
булиб. унинг таржимасн цуёш демакдир). Гелиоцентрах системага
нисбатан текис на т>три чизицли харакатланувчи исталган саноц
система инерциал булади.
Ер, куёш на юлдузларга нисбатан эллипс шаклидаги эгри чн-
зицлн траектория буйлаб царакагланади. Эгри чизицли харакат доим
маълум тезланиш билан содир булади. Уидан ташцарн Ер уз уци
а грофида айланиб туради. Ана шу сабабларга кура Ер сирти билан
богланган саноц система гелноцентрак саноц системага нисбатан
тезланиш билан харакат цилади ва инерциал булолмайди. Бироц
буидай системанииг тезланиши шу цадар кичикки, куп х^^арда
уни деярлн инерциал деб цнсобласа булади. Лекин Ер сирти би-
лан богланган саноц системанииг ноинерциаллиги унга нисбатан
царалаётган механик х°Днсалзрнинг характерига муцим таъсир кур-
сатади. Ана шуцдай цолларнииг биъзиларини биз келгусвда тах-
лил циламиэ.
14- §. Ныотоннинг иккиичи цонуни
Ньютбннинг иккинчн црнунцда иккига янги физик катталик
куч ва массе иштирок этади. Куч берилган жиемга бошка жисм-
лар томонидан курсатилаётган тяъсирнниг мицдори билан йунали-
шини курсатадн. Масса эса жисмшптг бу таъсирга «жавоб берув-
чанлигини» ми^дор томонидан характерлавди.
Юцорида таъквдлаб утилганцдек, бирор жиемга курсатиладиган
таъсир икки хил цодисани юзага келтириши: жиемнинг тезлнптни
узгартириши ёки уни деформациялаши (яъни унинг улчамлари ва
шаклинн) узгартириши мумкни. Бу Ьккала эффектам (тезланишни
Хам, деформацияни хам) улчаш мумкин булгаилиги сабабли улар-
нинг исталганидан таъсирии мнхдоран, яъни кучяи тацхослаш вз
улчаш учун фойдаланиш мумкин.
Куйндяги тажрибани куриб чихайлик Юхори учи к^чмас цилиб
махкамланган пружина оламиз. Пружинанинг пастки учига бирор
юк нламнз (3^- раем). Бу юкнинг (ва пружинанинг юцори учи мах-
камланган жиемнинг) таъенрида пружина маълум даражада узаядн
ва вагижада пружинага ма^камланган курсаткич стрелка цузгал-
мае шкала буйлаб 0 белгидан 1 белгига цараб бурилади. Х,ар би-
рани алохида-алоцида нлганимизда пружинами бир хил узайншга
мажбур этадиган юклардан бар нечтасини танлаб оламиз. У цолда
бу юклардан цар бири пружинага илинганда унга бир хил таъсир
курсатади ва бу таъсирни пружинаиннг учига маълум катгаликдаги
кучяинг таъсири сифатида характерласа булади
деб таъкндлаш мумкин.
Энди пружинага бир вацтда иккита кж ила-
миз. Уларнинг цар бири фацат катталик жицаг-
даи э.мас, балки йуналиш жицатдан цам бир хил
таъсир курсатади. Равшанки, бу цолда пружниа-
га таъсир этувчи куч 2 марта катта булади.
Тажрибанииг курсатишича, бу цолда пружина
цам2 марта купроц узаяр экан. Учта бир хил
гок бир вацтда таъсир курсагганда пружина уч
марта купрон деформацияланади ва цоказо.
Демак, пружинанинг узайишн унга таъсир
этувчи кучга пропорционал экан. Тугри, Гук
цонуни номи билан юритилувчи бу цонун фа-
кат у кадар катта булмаган деформациялар
Ж тина бажарилади, Деформациянннг катта-
цар бир конкрет пружина учун аниц
чегарадан утгандан кейин куч билан деформа-
ция орасидаги пропорцноналлмк цаноатлангирил-
май цоладн’. Шуидай цилиб, биз кучларни
мицдор жицатдан солиштириш усулига эга бул-
днк: иккита' куч катталикларининг нисбати пру-
жинанииг шу кучлар юзага келтираётган эластик
деформациялари нисбатига тенгдир,
Кучни улчаш усулин’и топгач, жисмиинг тезланиши унга таъсир
Э1увчи кучиниг катталигига цамдай боглиц булишини текширайлик.
Бунинг учун цуйидагича тажриба утказамиз (40- раем). Юктаранг
цилиб тортиб турган ип таъенрида аравачанинг текис горизонтал
стол устндаги царакатини урганамиз. Чузилишига цараб таъсир
этаётган кучии аинцлаш учун аравача билан ип орасига пружина
цуямиэ. Маълумкн. таъсирнннг йуналиши ипнинг йуналиши билан
40- расы.
1 Гук ^онунига буйсувувчи деформация эластыя дефолиация дейилади.
39
бир хил булади. Ипга ^ар хил юклар осиш билан а катни юза-
га келтираётган кучни узгартириш мумкин.
Бундай тажриба чуйидагича ватижа беради: агар пружинанинг
таранглиги узгармаса. аравача текис тезланувчан ^аракатланади ва
бунда и) тезланиш / кучга пропорционал булади;
(14.1)
Аравачанинг килдиракчалари билан уц орасидаги, шунингдек,
гилднраклар билан стол орасидаги иш^аланишнннг булиши нати-
жага хатолик кирнтишини эътиборга олиш керак. Бирон ишкаланиш
камайган сари бизнинг натижамиз (14.1) муносабатга я^инлаша
боради. Топилган цонуният бизга кучларни миь^доран та^цослаш-
иинг яна бир усулини беради: иккита /, ва Д кучиинг нисбатини
ана шу кучлар таъсирида бирор жнем олган ва и'г тезланиш-
ларни аницлаш йули билан чам топиш ыумкни-
-!|=!й. (142)
ft «у
Агар бошца аравачанн олсак, у вацтда бу аравача учун ^ам
>;аракатнннг характери ва куч билан тезланиш орасидаги муноса-
баг бирдек цолса ^ам, умуман айтгаида, унинг уша / куч таъси-
рида олган тезлаииши бошцача булади. Бу аравачаларнинг куч
курса! аегган «таъсирга берилмаслиги» турлича эканлиги. одатда
айгилншича, турлича инерциоилиги билан тушунтирилади.
Кучнянг катталиги ва йуналиши цандай булмасин f куч катга-
лигннинг бу куч юзага келтираетган w тезланишга нисбатн бернл-
гаи жисм учун узгармайди’. Турли жисмлар учун бу нисбат хар
хил булар экан. Маълумки. //го нисбатнинг катталиги берилган
жиемнинг ииерционлигини характерлайди. Шунннг учун жиемнинг
инерционлигини ми^доран характериаш учун f/w нисбатга пропор-
ционал булган ва жиемнинг массаси деб аталадиган физикавий
катталикдан фойдаланамиз. Жиемнинг массасини т билан белгилаб
^уйидаги тенгликин ёзиш мумкин:
т~Д (14.3)
Ана шуидай йул билан ани^ланган масса жисм инерциаллиги-
нинг улчови булади. (14.3) ннсбагдан массаларии солиштириш усули
келиб чнцади: иккита жиемнинг тх ва т2 массалари нисбати бу
жисмларга бир хил куч бераётган и>, ва тезланншларнинг теска*
ри нисбатларига тенгдир:
(14.4)
Тенг кучлар таъсирида бир хил катталикдаги тезланиш олади-
ган (ишцалиш эътиборга олмайдиган даражада кичик деб фараз
* Бу фацит жлел'нинг тезлиги ёр}глнкнииг ftj’uinm^ani тезлипдан кичик
булган ^ал учунгина урвялиднр.
40
цилинади) бир мечта аравачанн олайлнк. Бундай аравачаларнннг
массалара тенг булади. Бу икки аравачанн нп билан бир-бирага
боглайлик (40- расмга гарант) Бу тажриба иккита узаро бирлаш-
тирилган аравачанинг бирор / куч таъсирида олган тезлаииши шу
куч таъсирида ^ар бир аравачанинг олган тёзланишидан икки мар-
та кичик эканлигини курсагади. Агар учта аравачанн бирлаштир-
сак, системанинг jjap бирининг тезланишидан тезланишк уч марта
кичик булади ва ^оказо. Бундам масса аддитиалик хоссасига ьга
эканлиги келиб чицади; бу деган суз бир неча кисмдан ташкил
топтан жиемнинг массаси унинг ало^ида цисмлари массалари йи-
гандисига тенг эканлигини англатади1.
(14.3) ифодани цуйидаги куринишда ёзайлик:
w = k—, (14.5)
бу ерда k—пропорционаллик коэффициенты. (14.5) муносабат Нью-
тон иккинчи цонунининг аналитик ифодасидир.
Шундай цилиб, Ньютоннинг иккинчи цонуни цуйидагича таъ-
рифланади: цар цандай жиемнинг пезланиши унгатаъсир этувчи
кучга mtjrpu ва жиемнинг массасига пескари пропорционал. Бу
1;онун хам Ньютоннинг биринчи цонуни каби фа^аз инерциал са-
ноц системалардагина уранли.
Хусусий ^олда куч нолга тенг б^лса (жиемга бошца жисмлар
таасир курсатмаса), тезланиш цам (14.5) га биноан нолга тенг б?-
лади. Бу эса Ньютоннинг биринчи цонунига мос келади. Шунииг
учун, биринчи 1-1онун иккинчи конунга унннг хусусий ^оли булиб
киргандек туюлади. Бирок; бунга царамасдан биринчи цонун .иккин-
чи цонуидан мустацил равишда таърифланади, чункн аслини ол-
ганда унда инерциал саноц системалар мавжудлиги ^ацидаги (пос-
тулат) фикр бор.
Бир жиемнинг иккинчи жиемга таъсири маълум бир йуналишга
эга. Демак, куч цам сон цийматидан таш^ари яна уз йуналиши
билан ^ам характерлаиадиган катталикдир. Лекнн кучни векторлар
категориясига цушиш учун бунинг узигина етарли эмас. Кучлар
^аидай цушилиш цридаларнга буй-
сувишиин ани^ламоц зарур. Бунинг „ s
учун иккита таранг ип таъсирида Х'
турган аравача билан тажриба ут- \
казамнз (41 - раем, аравачанинг уст | \
томоидан куриниши). Тажриба ара- —---------------f
вачанинг f, ва fs кучлар таъсирида Ц;-----дг* тк
олган тезлаииши f, ва ft кучлар-
дан векторларни ^ушиш цопдасига
асосан олинаднган I куч узмнннг \
таъсирида олган тезланишига ^ам 41- раем.
1 Массанииг ядаптивлиги хакидаги даъво факйт Ньютон механмсасн допра-
сидапша тугри холос. Релятивнстнк исханикяда масса адднтов эвас.
41
йуналиш ва катталик жн^атдан тенг эканлигини к^рсатади. Де-
мак, куч вектор катталикдкр.
Куч вектор булганлиги ва тезланишнинг йуналиши кучнинг
йуналиши билан мос тушганлиги учун (14.5) тенгла’.ани вектор
к^рннишида ёзиш мумкин.
w = *-. (14.6)
т
Масса т ва проторционаллик коэффициента k скаляр катталик-
ларднр. (14.6) тенглама классик механиканинг асосий тенгламаси
^исобланади.
15- §. Фнзикавий катталикларнинг улчов бирликлари
ва улчамлнклари
Юцорида цайд цилинганидек, физика цонунлари фнзикавий кат-
таликлар орасида миедорий муносабатлар урнагади. Бундам муно-
сабатларни урнатиш учун турли фнзикавий катталикларни улчаш
имкониятига эга булиш керак.
Бнрор физнкавий катталикнн (масалан, тезликни) улчаш — бир-
лцк учун цабул цилннган уша турдаги катталик билан (олинган
мисолда тезднк билан) солиштнриш демакдир.
Умуман айтганда, ^ар бир фнзикавий катталик учун бош^а
катталик тардан мустацнл бутган мхтиёрий улчов бнрлигини урна-
тиш мумкин булар эди. Бирок, маълум булишича, асоснй деб ьа-
бул цнлинган (принцнпда ихгиёрай) учта катталик учун Улчов
бнрлигини ихтиёрий танлаб олиш билан чегараланнш мумкин экан.
Барча цолган катталнклариинг улчов бирликларини эса учта асо-
снй катталикка асосланган т^олда мос катталикнн асоснй каталик-
лар билан ёки шу йусинда бирликлари аницлангак бошца катта-
ликлар билан боглайдиган физика цонунларидан фойдаланиб аниц-
лаш мумкин экан.
Айтилганларин т^уйидаги мисол билан тушунтирайлик. Биз масса
билан тезланиш учун улчов бнрлигини аникладик деб фараз т\и-
лайлик. (14.5) муносабат бу катталикларни учничи фнзикавий кат-
талик—куч билан т^онуний равишда бо1лайди. Кучнинг улчов
бнрлигини шуидай танлаб оламизки, бу тенгламада пропорционал-
лик коэффициента бирга тенг бу лени. У ва^тда (14,5) соддаро^
курннишга келади
и> (15.1)
т
(15.1) дан кучнинг топнлган бирлигн шундай кучдан нбораткн,
бу куч таъсирида массаси бирга тенг булган жисм бирга тенг
тезланиш олади, деган хулоса чнцади |( 15.1) га/ — 1 ва т- 1 ни
куйсак, w * 1 ни топамиэ].
Улчов бирликларини юцоридагидек топиш усулидан фойдал.:нкл-
ганда физик муносабатлар соддароц курннишга келади. Улчов бир-
ликларининг туплами эса маълум системани т^осил ^илади.
42
Бир-бирларндан асосий бирликлар цандай танлаб олингаилнги
билан фарц цилувчи бир нечта система мавжуд. Уэунлнк. масса ва
вакднинг бирликларн асос цилиб олинган системалар абсолют
системалар дейилади.
СССР да 1963 йилнинг 1 январидан СИ символн билан белги-
ланувчи Халцаро бирликлар системасини белгиловчи ГОСТ 9867-61
давлат стандарты цабул цилинган. Бу бирликлар системасини фан-
нинг техниканинг ва халц хужалигининг барча сохатэрида, шунинг-
дск, уцнтиш процессида устунроц система сифатида цулланнлишн
кер’ак СИ нинг асосий бирликларн цуйвдагилар цисобланади: узун-
лич бирлиги — метр (цисца бетгнси м). масса бирлиги — килограмм
(кг) ва вацт бирлиги — секунд (сек). Шундай цилиб, СИ абсолют
системалар цаторига киради. Курсатилган учта бирлнкдан ташкари
СИ да асосий бирликлар сифатида ток кучи бирлиги амлерни (а)
термодинамик температура бирлиги — Кельвин градуснни (°К) ва
ёруглик кучи бирлиги — шамни (ш) цабул цилннган.
Метр деб криптон-86’ атоминннг 2Р10 ва 5rf5 caryiapw орасидаги
электрон утишга мос нурланншнинг (криптон-86 нииг заргалдох нур-
ланиш чизигининг) вакуумдаги тулцин узунлигинннг 1650763,73 та-
сига тенг узуилик кабул цилинган. Метр Ер меридианннинг тахминан
~ 4GOOOOOO УлУшига тенгДиР- Шунингдек, метрга Царралн ва метрнинг
у души чан иборат бирликлар мавжуд километр (1000 м), сантиметр
(1/100 м.) миллиметр (1/1000 л) микрон (1/1000 000 м} ва хоказо.
Килограмм Севрдаги (Париж яцинида) халцаро улчов ва таро-
з глар бюросида сацчанадиган платина-иридий: жисмнинг массасндан
иборат. Бу жисм килограммнинг халкаро ну-схаси деб аталади- Нус-
хаиингДЬассаси 4''С температурадагн 1000 см* тоза сувнннг массасига
яцнн. Грамм 1/1000 кнлограммга тенг.
1900 ннл 0 январь эфемерид вацти* билан соат 12 учун тропик
йилнинг 1/31556925.9747 цисмнин секунда деб олинади. Секунда
тахминан уртача цуёш суткаларинннг 1/86400 цисмига тенг.
Физикапа. шунингдек СГС система деб аталувчи абсалют бир-
ликлар системаси хам цулланилади Бу системада асосий бирлик-
л р сантиметр, грамм ва секундлардир.
Биз кинематикада киритган катгаликлариниг (тезликлар ва тез-
ланишларнинг) бирликларн асосий бирликларидан келиб чнцадигаи
цосилавин бирликлардир. Чунончи, тезлнк бирлиги цилнб вацт бирли-
гн ичида (секундда) узуилик бирЛигига (метрга ёки сантнметрга) тенг
й'л утувчи текис царакатланаётгаи жисминнг тезлиги цабул цилинади.
1 Бу белгиларнипг маъноси «Атом фнэ> каси> булщ-пдл тушунтириладн.
1 Плвтикаиниг иридий билан котишиаси жуда цаттиц ва корроэияга чндаы-
лидип (яъни атрофдаги му^нт унга деярлп химнявий таъсир курсатмайди)
• Яъни 1899 йил 31 декабрь соат 12 учун. Эфемерид вяцтн деб текис 5ту»-
чи ва^тга айтклади. Бу вацтии Ернинг 5з }ци атрофнда нслекис аблянишини Цисоб-
га олиб, тузатма инрнтига йрлн билая топиш мумкин. 1900 Витта плова Цнли-
нншига сабаб тропик йнл юз Янл ичида тахминан 0,5 сскундга камайчтяднр
43
Бу бирлик СИ системада м]сек ва СГС системада эса см!сек билан
белгиланади. Тезланиш бирлиги цилиб жиемнинг тезлиги вацт бирлнги
ичида (секундига) бир бирликка (л/сёк га ёки см/ерк га) узорадиган
текис узгарувчан ^аракатнииг тезланиши цабул цилинади Бу бирлик
СИ системада ч'ее№ ва СГС системада см/сек* билан белгиданади.
"СИ системада куч бирлиги ныотон (н) деб аталади. (15.1) га
биноан ньютон 1 кг массалн жиемга \м!секч тезланиш баради^ан куч-
дир. СГС системада куч бирлиги дина (дина) дейилади. Бир дина
1 г массалн жиемга 1 см'-сек1 тезланиш берадиган кучга тенг. Ныотон
билан дина орасидаги куйидаги муносабат уриилн:
1л = 1кг-1 м!сек* = I03?- Ю’см/сек1 = 103 дина.
Техникада МКГСС (у одатда техник система деб аталади) систе-
ма кенг цудланилар эди. Бу системанинг асосий бирликлари метр, куч
бирлиги — килограмм-куч (кгк ёки кг) дир. Килограмм-куч 1 кгмасса-
гз 9,80655 м сек2 тезланиш берадиган куч сифатида таърифланади.
Бу таърифдан I кгк=9,80655 н (тахминан 9,81 н) деган хулоса
чиьади МКГСС системада (15.1) га биноан масса бирлиги ^илиб
1 к’к куч таъенрида 1л/сстс* тезланиш оладиган масса »\абул ^илин-
гян. Бу бирлик кгк сек*!м билан бепиланади, у алохдда номга эта
эмас. Равшанки, 1 к?к-сек®/л=9,80655 кг (тахминаи 9,81 кг).
Бирликлар системасини тузиш усулидав асосий бирликларнинг
$згариши ^осмлавий бирликларнинг узгаришнга олиб келади деган
xvnoca чицадн Агар вацт бирлиги ^илиб секунд урнига минутни
о как, яъни ва) т бирлнгини 60 марта катталаштирсак, у з^олда тез-
•лик бирлюи 60 марта кичравдн, тезланиш бирлиги эса 3600 марта
кичраяди.
Асосий бирликлар узгарганда бирор катталикнинг улчов бирли-
ги кандай узгаришини куреэтувчи муносабат шу катталикнинг ул-
чамлиги дейилади. Исталган физикавий катталикнинг улчамлигини
курсатиши учун унинг ^арф белгисини квадрат кавслар ичига оли-
нади. Масалан, [о| символ тезлнкнинг улчамлигини билдиради. Асо-
спи каттачикларнинг улчамлигини ифодалаш учуй махсус белгилар:
узунлик учун L, масса учун М на ва^т учун Т ишлатилади. Шун-
дай ^илиб, узунликни I ^арф билан, массани m билан ва вацтни t
билан белгилаб цуйндагиларнв ёзиш мумкин экан.
[/]=£; |/н)=Л1; [tj=7.
Бу белгиларда исталган физикавий катта-тнкнинг улчамлиги La
М' Т' куринишга зга (а, р ва у мусбат ^ам, манфий ^ам -булиши
хусусий ^олда улар нолга тенг булиши цам мумкин). Бу ёзув узун-
лик бирлнги /?! марта ортганда берилган катталикнинг бирлиги л1 марта
ортишнни билдиради (мос равишда катталикнинг бу бирликлардаги
цийматини ифодалайднган сон л’ марта камаяди); масса бирлиги пл
марта ортганда берилган катталикнинг бирлиги ti' марта ортади ва
ви\оят, пиуг бирлиги л8 марта ортганда бери чган катталикнинг бир-
лиги п' марта ортади.
44
Физика цонунлари уларга кирувчи кагталнкларнкнг улчов бнр-
лиги танлаб о.чниганлигига бомиц булмаганлиги учун бу цонунларни
ифодаловчи тенгламаларнинг мюкала томонининг улчамликлари бир хил
булиши керак. Бу шартдан бирничидан, олинган физикавий муноса-
бат ларнинг тУгрилигинм текширии: учун ва иккинчидан, физикавий
капал юларнннг Улчамликларини аницлаш учун фойдаланиш мумкин.
Масалан, тезлик о — куринишда ёзиладн. Дз нинг улчамлиги
L га М ники sea Т га тенг. Бу ёзилган муносабатнинг унг томонмнинг
улчамлиги ( Дз )/[ Ы \=LJT=LT~l. Унинг чап томонидаги ифоданинг
улчамлиги ^ам шундай булиши керак. Демак,
(15.2)
Бу ёзилган муносабат улчамлик формуласи, унинг унг томони эса
мос капаликнынг (берилган цол учун тезликнинг) улчамлиги дейи-
Дг; - «
лади. -ау — — муносабатга асосан тезланишнинг улчамлигини аниц-
лаш мумкин:
Кучнинг улчамлиги
1Л 1ml М = MLT~\
Колган барча катталнкларнинг улчамликлари >^ам худди шундай
йул билан аиицланадн.
16- §. Ныотоннинг учннчи цону-ни
Жисмларнинг бир-бирларига булган ^ар цандай таъсири узаро
таъсир характернее зга: агар Л1, жисм Л1а жиемга бирор 121 куч
би тан таъсир курсатса, у ^олДа М& жисм ^ам уз навбатида М,
жиемга 112 куч билан таъсир цилади.
Тажриба курсатадики, узаро таъсирлашувчи жисмларнинг бир-
бирига таъсир кучлари доим катталик жи^атидан тенг ва йуналиш
жи^атидан царама-карши булар экан. Куйидаги мисолни курайлик.
Масса лари тг ва ш2 булган, ташци жисмларнинг таъсиридан изо-
ляция цилинган икки жисм (масалан, электр зарядларга эга бул-
ганлиги сабабли) бир-бирларкни тортсив (ёки итарсан) (42-раем).
/и ,ia fn кучлар таъсирида жисмлар мос равишда ва тезла-
иишлар олади. Бу тезланишларнинг катталиги жнсмларнннг масса-
ларнга тескари пропорционал:
wi mi
Буцдан т,а)1= тенглик ва демак, кучларнинг тенглиги
/и—/и келиб чицади. Равшанкн, кучларнинг йуналиши ^арама-цар-
шидир.
Жнсмларнннг тезланишини эмас, балки даражаланган пружнна-
ларнинг (улар ёрдамида узаро таъсирлашувчи жисмларни цузгалмас
таянчларга «боглаш» мумкин) чузилишини солиштириш орцали хам
ю^оридаги натнжага келиш мумкин (42-6 рлсм). Бу >>олда пружн-
нанинг деформацняси орцали улчанган /„ ва /и кучлар ^ам кат-
талик жи^атдан бнр хил булади.
Ньютоннинг учинчи цонуни ана тунга ухшаш тажриёадан олин-
ган фактчарнинг умумлаштиришидан иборат. Ньютоннинг узи бу
^онунни цуйидагича таърифлаган: «таъсирга доим тенг ва царама-
царши йуналган акс таъсир бор, бошцача айтгаида—икки жиемнинг
бир-бирига таъсири узаро тенг ва царама-царши томонларга йунал-
ган». Бу таърифда «таъсир* ва «акс таъсир» термннлари учрагди,
шупивг учун чам жисмлар бир-бирига таъсир этувчи кучлар бир-
бнрцдан фарц цилса керак, деган.тасаевур ландо булиши мумкин.
«Таъсирга» беихтиёр бош роль, «акс таъсирга» эса иккинчи дара-
жали роль ажратилади. Аслида бу иккала 1М ва !и куч бнр-бирига
тенгдир. Шунинг учун Ньютоннинг учинчи цонунини цуйидагича
таърифлаган яхширо^: жисмларнинг бир-бирига курсатадиган \ар
цандай таъсири узаро таъсир характерига эга, i/заро таъсирла-
шувчи жисмларнинг бир-бирига таъсир кучлари доим катталик
жщатдан тенг ва йдналиш жщатдан царама-царшидир. Куч-
ларнинг 42-расмда курсатилган белгиларидин фойдаланиб, учинчи
Ионуннинг маъносини »уйидагича ёзиш мумкин:
!i.“ -f«. (16.1)
Айтилганлардан кучлар доим жуфт ^олда пайдо булади; бирор
жиемга цуйилган исталган кучга унга катталик жи^атдан тенг ва
^арама-царши йуналган узаро таъсирлашаётган иккинчи жиемга
фйилган бошца бир кучни таццослаш мумкин деган хулоса чицади.
17-§, Галилейнинг нисбийлнк прннцини
Бир-бирига нисбатан узгармас v0 тезлик билан харакатланувчн
иккита санои; системасинн текширайлнк. Булардан 43- расмда К
т^арфя балан белгиланган системани шартли равишда кучмас деб
^исоблаймиз. У з^олда иккинчи К' система тугри чизицли ва текис
^зрякатланади. К системаиинг х, у, г координата у^ларини ^амда
К' системанниг xf. у', г' у^ларини х билан Z устма-уст тушддн-
40
43-раем
ган, у ва у', шунингдек. г ва г' уцлар бир-бирларнга параллел
йуиаладиган цилиб танлаб оламиз.
Бирор Р нуцтанинг К системадаги х, у, г координаталарн билан
худди шу нуцтанинг К' системадаги х', у’, г' координаталарн
орасидаги богланншни топайлик. Агар вацтин иккала снстеманинг
координата бошларн устма-уст турган пайтдан бошлаб ^исобласак, у
вацтда 43- расмга биноан х=х' +
vBt булади Ундан таш^ари,
у — у* ва г — г' булиши равшан.
Бу муносабатларга классик ме-
ханикада цабул цилииган ик-
кала системада ^ам вацт бир
тарзда утади, яъни 1 — 1' деб
фараз цилсак, у ^олда тургга
тенглама тупламига эга буламиз:
x = x' + vot, |
(п-i)
t=f.
булар Галилей узгартиришлари деб аталади.
(17.1) муносабатлардан бириичиси бнлан охиргиси фацат ц> нинг
ёругликнинг б^шли^аги тезлиги-ан (уни биз с царфи бнлан бет-
гилаймиз) кичик цийматлари (t’fl<< с) учунгина тугри ?кан. v0 нинг
с га яцин цийматларида Галилей уэгартиришларини бунга нисбатан
умумийроц булган «Оптика» бобида айтилган (масалан, 1J1 томнинг
(37.10) формулаларага царанг) Лоренц узгартиришлари би пан ал-
маштириш мумкин. Классик механика чегарасида (17.1) формулу
ларни тугри деб фараз цилинади.
*(17.1) Ыуносабатларни вацт буйича дифференциалласак, Р иуц-
танинг АС ва К-' санок системаларидади тезликлари орасидаги бог-
ланишни топамиз:
X = х'+ о0 ёки о,— о* + v0,
у — у' ёки vy = vu,
г — г' ёки vt = Vz-
(17.2)
(17.2) даги бу учта скаляр муносабат К системага нисбатан
улчанган v тезлик вектори билан К' системага нисбатан улчаиган
v' тезлик вектори орасидаги
v = v'4-Vo
(17-3)
муносабатга эквивалентдир. Бунга ишонч ^осил цилиш учун (17.3)
век гор тенгликнинг х, у, г уцларга проекциясинн олиш кнфоя. На-
тижада (17.2) формулалар >^осил булади
47
(17.2) ва (17-3) формулалар классик механнкада тезликларни
цушиш цоидаларини беради. Бунда шуни назарда тутмоц керакки,
К на К' системалариинг координата уцлари йуналишларини ихти-
ёрий танлаб олинганда ^ам (17.3Г муносабат вектор муносабатлар
каби уэ кучини сацлаб цолаверади. (17.2) муносабатлар эса уцлар
фа цат 43-рисмдагидек тан лантан дагина бажарилади холос.
13-§ да бирор инерциал системага нисбатан узгармас тезлик
билан ^аракатланувчи ихтиёрий саноц систсмаси ^ам инерциал бу-
лиши таъкидлаб утилган эди. Энди биз бу фикрни исботлаш им-
кониятига эгамиз. Бунинг учун (17.3) муносабатни вацт буйича
дифференциаллаймиз. v0 доимий эканлигини ^исобга олсак:
v = v‘ ёки w = w'. (17.4)
Бундам бирор жисмнинг тезланиши бир-бирига нисбатан тугри
чпзицли текис ^арикатланувчи барча системаларда бир хил булади
деган хулоса келиб чицадк. Шунийг учун агар бу систёмалардан
бирор таси инерциал булса (бу кучлар булмаганда w=0 демакдир),
у вацтда цолганлари хам инерциал булади (w' ^ам нолга тенг).
Механиканинг асосий тенгламаси (14.6) кинематик катгалнклар-
дан фацат тезланишнигнна уэ ичига олиши, тезлик эса унга кир-
маслиги бнлан характерлападн. Бироц биз юцорида аницлаганимиз-
дек, иккита К ва К' ихтиёрий танлаб олинган инерциал саноц
системасида Жисмнинг тезланиши бир хил булади. Бундам Ньютон-
нннг иккинчи цонунига биноан жисмга К ва К' системаларда таъ-
сир этувчи кучлар ^ам бир хил булади, деган хулоса келиб чица-
ди. Демак, бир инерций ! системадан иккинчисига f/тганда ди-
намика конунлари узгармас булар экан, яъни одагда антилишича,
координата чарнииг бир инерциал системадан иккинчисига у1ищи
физикавий катталикларга нисбатан инвариант утиш булар экан.
Механика нуцтаи назаридан цйрагаида ^амма инерциал саноц си-
стемалари узаро эквивалентдир: уларнинг бироргасини ^ам бошца-
ларидан юцори цуйиб булмайди. Амалда бу ?\ол берилган саноц
системасида утказилгаи механик тажрнбаларнинг ^сч цайсисидан
система тинч турибдими ёки тугри чизицли текис ^арикат цилаё-
табдими—буни билиб булмаслигида намоён булади. Масалан, турт-
кисиз тугри чизицли ва текис харакаглаиаётган поезд нагони ичида
турнб, агар вагон ойнаендан царамасак, вагон тинч турибдими ёки
^аракатланаётибдими, буни била олмаймиз. Бундай шароитда
жисмларнинг эркин тушиши биз ташлаган жисмнинг царакати ва
барча бошца механик процесслар гуё вагон тинч тургандагидек
содир булади.
Юцорида баён цичинган ^одисаларни Галилей аницлаган эди.
Бирча механик ^одисалар турли инерциал системаларда бир хил
содир булганлигн сабабли ^еч цаидай механик тажрибалар ёрда-
i чча бери iran санок система тинч турганлиги ёки тугри чизмкли
ва текис ^арякат цилаетганлигини билиб булмаслиги ^ацидаги бу
цонун Галичеипииг ниебнйлик принц и пи деб аталади.
18- §- Огирлик кучи ва огирлик
Барча жисмлар ерга тортилиш. кучи таъсири остида ер сиртига
нисбатан бар хил тезланиш билан тушади. Одатда тортилиш ку-
чнии g харфи билан белгиланади. Бу Ер бнлан богланган саноц
система да т массали хар цандай жисмга огирлик кучи деб
аталувчи
Р—mg (18.1)
куч таъсир цилишини англатади1. Жисм ер сиртига нисбатан тинч
ту-рганда Р куч жисмни туширмай ушлаб турган осма ёки таянч-
нинг рёакцияси® 1, билан мувозанатда булади (!,=* *—Р). Ньютон-
нниг учинчи цонунига биноан жисм бу холДЗ осма ёки таянчга—
!, га тенг булган G куч билан таъсир цилади:
G = Р = mg.
Жисмнинг осма ёки таянчга курсатадиган G кучи жисмнинг
огирлиги дейилади. Бу куч фа цат жисм билан таянч (ёкиосма)
Ерга нисбатан цузгалмас булгандагина mg га тенг булади. Жисмлар
бирор w тезланиш бнлан харакатланаётгаи булса, G огирлик mg га
тенг булмайди. Буни цуйидаги мисолдан тушуниб олиш мумкин.
Фараз хилайлик, осма рамкага махкамланган пружина курниишида
булнб, жисм бнлан биргаликда w тезланиш билан харакат.тансин
(44-раем). У ва^тда жисмнинг харакат тенгламаси хуйвдаги кури-
нишга эга булади:
p_pjr=mw. (18.2)
бу ер да fr— осман ннг реакцияси, яъни пружинанннг жисмга таъсир
кучи. Ньютоннинг учинчн цонуннга биноан жисм пружинага 1Г—
куч билан таъсир хила ди ва бу куч таърифга биноан шу шаронтда
жисмнинг G огирлигидан иборат булади. (18.2) да f, реакция ку-
чиц^— G куч билан, Р огирлик кучини эса mg купайтма бнлан ал-
маштирсак, цуйидагинн топамиэ:
G = m(g-w). (18.3)
(18.3) формула жисмнинг огирлигини умумии куринищда ифода-
лайда. У ихтиёрий курниишдаги осма ёки таянч учуй тугри.
Фараз хнлайлик, жисм билан осма вертикал йуналишда хара-
кат хнлеил (44- раем).
(18.3) нинг ипнинг йуналишига проекдиясини туширамиз:
G = m(g±«y). ' (18.4)
Бу ифодада G, g ва w лар мос векторларнинг модулларидир. «4->
ишора юкорига йуналган w га, «—» ишори эса пастга цариб йу-
налган w га теплили.
1 Ер би 1 < to . мг. и с « ок си- • -й ноинерцчал булганлиги саб н
• j к, ш и. гмнн 1 । . f-тиб турган к) ... н бир кадар фарк ^илади г,, «я» .
4? ♦ ti »-.f.vcaapoi; г«-м»«»<яи.
рг, Ж1<М№ уяннг харакотщи «сгараловчи жисм том^удаг - .f-
к,-.*.' чЧИГи. t-т . а4ти
4—1317
49
(18.4) формуладан G огирлнкнинг модули Р огирлик кучидан
катта ^ам, кичик jjaM булиши мумкин. Рамка осма билан бирга,
вркин тушаётганда w - - g ва жиемнинг осмата таъсир кучи G нол-
га тенг булади. Натлжада ваэнсизлик ^олати юзага келади. Ер
атрофида двигатели ршрилган ^олатда парвоз цилаётган коемнк
кема худди эркин тушаётган рамка g тезланиш билан ^аракатла-
44 расы
пади, бунинг натижасида кема ичидаги жисмлар вазнсиз холатда
булади, улар узлари тегиб турган жисмларга босим курсатмайди.
Шуни таъкидлаб утамиэки, к£п лолларда огирлик кучи Р бн-
лан жиемнинг огирлиги С ни чалкаштирнб юбориладн. Бунта сабаб
туки, гаянч кучмас бул ганда ~Р ва G кучлар чам катталик жи-
^атдан, з^ам йуналиш жихатдан бир-бирига тент (иккалови jjaMmg
га тенг) булади. Бирод шунн эсда тутмоц керакки, бу кучлар турли
жисмларга цуйилган: Р жиемнинг узига ^уйилган булса. С жием-
нинг Ернинг тортиш кучи майдонида эркин даракашии чегарилаб
турувчи осмага ёки таянчга цуйилгандир. Ундан ташцари жисм
jjapaKar т^лаётибдими ёки тинч турибдими, бундам цатъи назар
Р куч доим mg га тенг, огирлик эса таянчлар билан жиемнинг
тезланишига боглиц булиб mg дан катта ^ам булиши, кичик т^ам
булиши, хусусан ваэнсизлик долатида нолга айланиши ^ам мум-
кин.
Масса билан огирлик ориендаги (18.3) муносабат жисмларнинг
массаларини тортиш й?лн билан солиштирмш усу.чини беради —
жисмларнинг бир хил шароитда (одатда н — 0 да), Ер сиртини
бир нудтаенда анвцланган огирликларанннг нисбати шу жисмлар
массаларинииг нисбатига тенг:
О,: G*: 6а: ... = т^.т^т^:
47- § да эркин тушиш тезлаиишн g ва огирлик кучи Р жой-
нннг географик кенглигига боглиц эканлигини курсатамиз. Ундап
ташцари Р ва g, шунингдек денгиз сатцндан баландликка. ^ам
боглвц—Ер марказидан у-зо^лашган сари улар камая борадн.
60
19-ft, Ишкаланиш кучлари
Ишцаланиш кучлари бир-бирига тегиб турган жисмлар ёки
уларнинг тегиб турган цисмлари бнр-бирига нисбатан кучган вацт-
да юзага келади. Иккита тегиб турган жисмлар бир-бирига нисбатан
кучган вацтда юзага келган ишцаланиш ташцн ишцаланиш дейилади;
била яхлит жиемнинг (масалан, суюцлик ёки газнинг) цисмларн
орасидаги узаро нищалаинш ички ишцаланиш дейилади.
1\апиц жиемнинг суюцлик ёки газеимон муцнгга нисбатан ца-
ракатланган вацтда юзага келадиган ишцаланиш кучини ички иш-
цаланиш кучлари цзторига цушиш керак, чункн бу цолда муцит-
нинг жиемга бевосюа тегиб турган цатламларини жисм уз тезли-
гнга тенг тезлик билан эргаштиради ва жиемнинг царакатига
мудитпинг шу цатламлари билан уларга нисбатан ташци булган
цатламларн орасидаги иткаланиш таъсир курсатади.
Иккита цэттиц жисм сиртларниинг орасида бирор катлам, маса-
лан, мой цат лам булмаган шароитдаги ишцаланиш цуруц ишца-
ланнш дейилади. Кдттиц жисм билан суюц ёки гаэсимон муциг
орасидаги ёки шунта ухшаш муцит цатламлари орасидаги ишцала-
ниш цовушоц (ёки) суюц ишцалиш дейилади.
1\уруц ншцаланишга мослаб сирпаниш ишцаланиши ва тебра-
ниш ишцаланишини бир-биридан фарц кнлади.
Ишцаланиш кучлари ишцаланувчи сиртларга (ёкицатламларга) Jt-
казилган урннма буйлаб бу сиртларнинг (цатламларнинг) нисбий си-
лижишнга царшнлик курсатадиган булиб йуналгандир. Масалан, агар
сутоцликнмнг иккита цатлами турлн тезликлар билан царакатланиб
бир-бири буйлаб сирпанса, у цолда тезроц царакатланаётган цатламга
цуйилган куч царакатга тескари, секнироц царакатланаётган цатламга
цуйилган куч эса цатламнинг царакати буйлаб йуналади.
' КУРУК ншцаланнш. Куруц ишцалакишда ишцаланнш кучи фа-
цат бир цатлам иикинчнсииннг устида сирпангаидагина юзага кел-
масдан, шунингдек, ана шундай сирпанншии амалга оширишга
уринган вацтда цам юзага келади. Кейингисини тинч холатда-
ги ишцаланиш кучи дейилади. Буига мисол тарицасида бир-
бирига тегиб турган I ва 2 жисм лари и текширайлнк, бунда 2 жисм
к\чмас цилиб мацкамланган (45-раем). / жисм 2 жиемга жисм-
ларнинг бнр-бирига тегиш сиртига утказилган нормал буйлаб йу-
валган fn куч билан босилиб туради.
Бу куч нормал босим кучи дейилади ва
жиемнинг огирлигнга ва бошца сабаблар- I ,
га боьлиц булади. / жиемни 1 ташци 1 "
куч таъенрида силжнтишга уринаб ку- * .
райлик. Бунда жисмларнинг цар бир I / I „
конкрет жуфти учун ва нормал босим . J _ - - I
хучининг циймати учун ! кучнинг / I г* -
жиемни жойидан жилдириш учунетарли I z_________I
булган маълум мннимал f0 циймат бор
эхаилиги маълум булади. Ташци кучнинг 45- раем.
51
0</</о чегарадаги цийматларида жисм урнидаи силжимайдн. Нью-
тоннинг иккинчи цолунига биноан, агар i куч унга катталик жи-
хагдан тенг ва йуналиши тескарн куч (бу куч ^олатдаги ицщалиш
кучи 1И1Ы( нинг узгинасиднр. 45-раем) билан мувозанатлашеагина
амалга ошиши мумкин. Тинч ^олатдаги ишцалиш кучи автоматик1
равишда f ташци кучга тенглашади (агар / хуч /0 дан катта 6Jvi-
мася) f0 тинч холатдаги ишцаланиш кучинниг энг катта циймати-
дан иборат эканлигини осонгина курит мумкин.
Эслатиб ^тамизки, Ньютоннинг
учинчи цонунига биноан 2 жиемга
>^ам тинч ^олатдаги иш^аланиш ку-
чи (у 45- расмда пунктир билан
курсатилган) таъсир ^нлади. Бу
кучнинг катталиги Тиш* кучга теиг,
йуналиши эса царама-^ршмдир.
Агар I ташци куч [0 кучдан
катта булса, жисм сирпана бошлай-
ди, бунда жиемнинг тезланишини
иккита кучнинг: таш^н 1 куч билан
1ишк сирпанишдаги иниуаланнш ку-
чининг умумий ташкил этувчиси
белгилайди. кучнинг катталиги
у ёки бу даражада сирпаниш теэлн-
-f.
46- раем.
гига боминдир. Бу богланишнинг характеринн ишцалрнувчи сиртлар-
нинг табиати билан >рлати белгилайди. Ишцаланиш кучинниг
тезлигка гдраб узгаришининг купроц учрийдиган куриннши 46-
раемда келтирилган (уцлар буйлаб иш^аланиш кучи билан тез-
лнкнинг сирпаинш юз бераётган йуналишга проекциялари цуйил-
ган; бу икки проекциянинг ишораси, маълумки, царама-цар-
шидир). Графах тинч ^олатин ^ам, сирпаниш ^олатнни ^ам уз
ичига олади. Тнич ^олатдаги ишцаланнш кучи, юцорида цайд ци-
линганидек, нолдан графикда вертикал чизиц билан курсатилган
/0 гача булган чегарадаги цийматларга зга булиши мумкин. Сир-
панишдаги ндлуаланиш кучи тезлик ортиши билан дастлаб бир оз
камаяди, маълумки бунда и нолга интилганда у кучнинг циймат.и
/0 га интилади. Тезликнинг кейинги ортишида ишцаланиш кучи зфм
орта бошлайди.
Сиртларнинг полати ва табиати узгармаган лолларда2 сирпаниш
нчиуаланиш кучи деярли тезликка боглиц булмай цолнб тинч jfo-
латдаги ишкаланиш кучи нинг максимал цийматига тенглашар
экан (46-6 раем).
1 Бу цодися худли пружина чУзувчи куч та*сирил« «Ввтсмлтик» равишда
унинг влвстик кучи ташки кучни гувозанптлайдягвн даражада ч}эилишига Jx-
шаб кетиди.
’ Сиртларнинг Узгарншн сирпаниш вяктида уидаги гадир-оудирликлариинг
текисланишв, цизиш натнжасида скснпланиш вя ^окаэолар хнеобнга булиши
мумкин.
52
КУРУЦ ишцаланиш ^онунлари цуйидагилардан иборат; тинч з$олат-
даги максимал ишцаланнш кучи, шунингдек сирпаниш иш^аланиш ку-
чи ишцалаваётган жисмларнинг бир-бирига тегиш юзига боглиц эмас
па ишкдланаётган сиртларии бир-бирига сшуиб турувчи [п нормал
босим кучи кагталигига пропорционал экан:
(19.1)
/ипщ— ^/я-
Ишцаланиш кучининг тегиш снртанинг кагталигига боглиц эмас-
лнги цуйидаги мисолда яццол кузга ташланади. Агар жисм тугри
бурчакли параллелепипед (гишт) шаклида булиб, иккинчи жиемга
отрлигк таъсиридагина босилиб турган булса, у вацтда максимал
иш^аланнш кучинниг (ёки бир тезликнинг узида олниган иш^ала-
киш кучинниг) катталиги бу жисм иккинчи жиемнинг сиртига цай-
си гомони билан ишцаланаётганлигмга ботлиц булмайди.
(19.1) тенгламадаги улчамсиз коэффициент k ни (тегишли ра-
вишда тинч ^олатдаги ёки сирпанншдаги) ишцаланиш коэффициен-
ти дейилади. У ишцаланаётган сиртдарнинг табиатига ва ^олатига,
масалан, гадир-будурлитига боглн^. Сирпаниш учун ишцаланиш
коэффициент!! тезлик функциясидир.
Йшцаланиш коэффициентанииг катталиги \а^ида тушунча бериш
мацсадида баъзи бир материаллар учун тинч з^олатдаги шшрланиш
коэффициента цийматлариин кслтириб утамиз (1-жадвал).
1-жндвал
Материал
Металл бнлан металл (моПсиз)
Г.гс'ч болан металл
Егоч билан ёгоч
Металл билан чарм
Ишцаланиш кучлари табиатда жуда му^ам а^амиятга эта. Биз-
иннг кундалик ^аётимизда ишцаланиш куп ^олларда фоцдили роль
^йнайди. Яхмалак ва^тида йул сиртц билан йуловчилар пойабзали-
нинг таг чармн ва транспорт гилдираги орасидаги ишцаланиш анча
камайганлнги туфайли .йуловчилар билан транспорт ^анчалик кий-
ннчиликларга дучор булишини эсга олайлик. Ишцаланнш кучи
булмаганда уй жи^озларини худди кема чай^алаётганда ^илипгани
каби полга ма^камлаш зарур булар эди, акс ^олда пат бир оз
ногоризонтал б/ ica ^ам улар паст томонга сирпаниб кетган булар
эди. Уцувчинипг узи ;тм шунга ухшаш мисолларни келтириши
мумкин.
Купчилнк ^олларда ишцаланиш жуда катта салбий роль уйнай-
дя ва шу сабабли уни куп ^олларда к.иайтириш тадбирларнни
курншга «угри келади. Масалан, подшипниклардаги ёки шлдирак
втулкасн би-ц1 уц орасидаги ишцаланишлар ана шундай иш^ала-
вншлардаЕ з «у>-
53
Ишцаланиш кучларнии камайтиришнннг энг радикал (асосий)
усули бу сирпаниш ишцаланишини думаланиш ишцаланиши билан
алмаштиришдан иборатдир. Думаланиш ишцаланиши, масалан, ясен
ёки эгри сирт билан унинг устида думалаиаётган цилиндрик ёки
шарсимон жисм орасида юзага келади. Думаланиш ишкаланишл
з^ам сирпаниш иищаланиши цонунларига буйсувади, бироц бу )рл-
да ишцаланпш коэффициенти анча кичик булади.
Цовунюц ишцаланиш ва муцитнинг >рршилиги. ^овушоц иш-
цаланиш цуруц ишцаланищдан фар<{Л>1 равишда шу билан харак-
терланаднки, тезлик нолга айланиши билан ^овушоц ишцаланиш
кучи ^ам дар^ол нолга тенглашади. Шунинг учун ташци куч кан-
чалик кичик булмасин, у цовушоц му^нтнииг цатламларига нисбин
тезлик бера олади. Бундай му^итнинг катламлари орасидаги иш^а-
ланиш кучи буйсунадиган цонуилар суюцликлар механикасига ба-
гишланган бобда та.учил цилйнади.
Бу параграфда биз цаттнц жисм билан цовушоц (суюц ёки газ-
симон) му\ит орасидаги ишцаланиш кучларини текшириш билан
чекланамиз. Шу-ни назарда тутмок керакки, жисмлар суюц ёки
г зеимон му^итда ^аракатланганда асл иш^аланиш кучларидан
ташцарн яна му^итнинг царшилнк кучларн деб аталув-
чн кучлар ^ам юзага келади; шу билан бирга бу кучлар ишидла-
ниш кучларига царагаида анча катга булиши мумкин. Бу кучлар-
иинг пайдо булиш сабабларини батафсил урганиш нмкониятнга эга
булмаганлигимиз туфайли, биз ишцаланиш кучларн ва му^итнинг
к;аршиликлари биргалнкда (бу йигинди кучни биз иш^аланиш кучи
деб атаймиз) буйсунаднган ^онуниятларни баён этиш билан чега*
раланамиз. Цис^ача бу цонуниятлар цуйидагилардан ибораг.
Ишцаланиш кучининг кагталиги жисмнинг шаклнга ва улчам-
ларига, жисм сиртининг ^олатига, му^нтга нисбатан тезлигига ва
ни\оят ^оеушоцлик деб аталувчи хоссасига боглиц булади. Иш^а-
ланиш кучи билан жисмнинг му^итга нисбатан тезлиги орасидаги
характерли богланиш график равишда 47- раемда тасвирланган.
Нисбатан кичик тезликларда ишцаланиш кучи тезликка цараб ор-
тади:
(19^)
бу ерда «—» ишора иш^аланиш кучи тезликка гескари йуиалган-
лигнни билдиради.
Катта тезликларда чизицли цонуя
Ч квадратик цонунга айланади, яъни иш-
цаланиш кучи теэликнинг квадратига
пропорционал равишда ортади.
----—ь. _________X. 1иш«- - к,и' у. (193)
0
X. fei ва ka коэффициентяаонииг (уларни
'ч ишцаланиш коэффициентлари деб аташ
' мумкин) катгалиги жисмнинг шаклига
47-расы. на улчамларнга, жисм сиртининг ^ола-
гига му?ртнинг цовушо^лик хоссаларига жуда кучли богланган.
Масалан, улар глицерин учун сувникнга Караганда анча Kai га.
(19.2) цснун (19.3) га айланадиган теэликнинг циймати >Jbm уша
сабабларга боглиц экан.
20-§. Эгри чизи^ли ^аракат вацтида таъсир этувчи кучлар
9-§ да курсатилганидек, эгри чизицли ^аракат вацтидаги тез-
ланишни иккита: нормал w„ ва тангенциал wt тезланишларнинг
йигиидиси шаклида ёзиш мумкин. Шунга мос равишда жисмга таъсир
этувчи кучни хам Нормал 1п ва
тангенциал h ташкил зтувчиларга
ажратиш мумкин. Кучнинг нормал
ташкил этувчиси теэликнинг катта-
лигини узгартирмасдан унинг йуна-
лишини узгартнради; тангенциал
ташкил этувчиси эса тезликни кат-
талик жи^атдан узгартирйб, унинг
йуналишини узгартирмайди. Буидан
мутртм хулоса чицади; агар вацт-
нинг >^р бир пайтидаги жисмга
таъсир этувчи' куч унинг тезлигига
перпендикуляр булса, у вацтда тез-
ликнинг йуналиши узгариб, кагта-
лигн узгармайди. Ундан ташцари
куч катталик жи^атдан Узгармаган
шароитда нормал тезланиш v*/R ?(ам
(/?—траекгориянинг эгрилик радиуси) катталик жи^атдан узгар-
майди ва жисм эгрилиги узгармас траектория, яъни айлана буйлаб
^аракатланади.
Жисм айлана буйлаб текис ^аракатлангаида унинг тезлиги ва
унга таъснр этувчи куч доим айлананинг марказнга ^араб йунал-
ган («интилган») булади, шунинг учун цам улар марказга мнтил-
ма тезланиш ва марказга интилма куч деб аталади.
лАмалда марказга интнлма тезланиш купинча ^аракатланаётгаи
жисмга бир вацтда бир веча жисм таъснр цилишн туфайли юзага
келади. Мисол сифатида Р огирлик кучи билан таранг ипнниг 1Г
реакциям (48-раем) таъсирада турган жисмнинг айлаиа буйлаб
текис зрракатини текширайлик. Бу ерда марказга интилма fMH куч
Р ва 1Г кучларнинг тенг таъсир зтувчнеидир.
21-Ньютон конунларининг амалда ^улланилиши
Ньютоннинг вектор куринищда ёэнлган иккинчи цонуни хуч,
жисмнинг массаси ва тезланиши орасида умумий богланиш урна-
тади. \исоблашни амалга ошириш учун векторлардан улардипг мос
равишда танлаб олинган йуналишларга тушарилган проекциялари-
55
Pj/ntg
га утиш керак< Бунда проекцияларнинг цуйидаги хоссаларидан
фойдаланилади:
1) тенг векторлар бар хил проекцияларга эта;
2) бирор векторнинг скалярга купайтириш натижасида ^осил
цилинган векторнинг лроекцияси шу вектор лроекциясинннг £ша
скалярга купайтмасига тенг;
3) векторлар йигиндисининг лроекцияси, |$шнлувчи векторлар
проекциялари йигиндисига тенг.
Бир нечта мисолни цараб чи^амиз.
1-мисол. Массалари т, ва т, булган иккита жисм к^чмас
блок орцали утказилган чу.'.нлмайдиган вазисиз ипнинг учларига
ма^камланган (49-раем). Ип блокнинг ариц-
чаларидан деярли ишадланишсиз сирпаниши
мумкин. Ипнинг тарангланиш кучини ва жисм-
ларнинг тезланищини топинг.
Жисмларнинг ^ар бирига иккита куч: огир-
лик кучи Р билан ипнинг реакцияси f, таъсир
цилади (мисолни Ер билан богланган система-
да уни инерциал деб в;абул цилиб ечамиз).
Иккала жисм учун иккинчи цонун тенглама-
енни ёэамиз:
₽1+ »п= «1*1. I п
Р«+^=т,«.- ) (211)
Ип блокда ишцаланишсиз сирпаиганлиги
ва вазисиз булгаин учун унинг таранглиги
бутун узунлнги буйлаб бир хил булади.
Шунинг учун иккала кучнинг модули г бир
хнл булади. Ип чузилмайдиган булганлиги
сабабли иккала жиемнинг тезланишларн каг-
талик жтцатдан бир-бирига тенг w,= tvt— w
булади.
(21.1) тенгламалардан биринчисини xt йуиалишга (49-раем),
иккинчиснии эса хг йуиалишга проекциясини туширсак, куйидаги
системами топамиз.
49- раем.
(21.2) тенгламалар системасини /г ва w номаълумларга нисба-
тан ечиб, цуйндагиларни топамиз:
R— Р. т.— т,
Ц) = ——— = —;—- К,
т, + т, nij + mt °
'T m, 6‘
Arap mi> ml б^лса, in мусбат, яъни биринчи жиемнинг тезла-
нишн W, ю^орига ^араб, иккинчи жиемнинг тезланиши w, эса
пастга цараб йуиалади. ^«<^1 булса, иккала тезланишиниг йуна-
56
лишлари царама-царши томонларга узгаради. ntj— т, булса, 'жисм-
лар тезланишсиз ^аракатлавади (ёки тиич ^олатда туради).
Тезланишни бнлган ^олда (8.2) формула ёрдамцда жиемнинг
тезлигини осокгина топиш мумкин.
2-мисо л. т массали жисм I уэунликдаги чузилмайдиган нп-
иинг учига осиб цуйилган (50-раем). Ипнинг таянчига
ган нуцтаси Ерга нисбатан узгармас
ва горизонт билан а бурчак ташкил
этувчи w тезланиш билан уаракат-
ланади. Ипнинг вертикалдан оркш бур-
чаги (ф бурчак) ва жиемнинг ипга
таъсир кучи f топилсин.
Жисм >^м ипнинг таянчга ма^-
камланиш нуцтасииннг тезланишига
тенг булган w тезланиш билан ^ара-
кат ланади. Демак, жисм учун иккинчи
цонуниннг тенгламаси куйидаги кури-
нишга эта булади:
ма^камлан-
Бу тенгламага кирувчи векторлар-
ни * ва у координата уцларига про-
екциясини тушириб цуйидагини топа-
миз:
| (21.3)
-nvwy. I ' '
50-расмдан куриниб турибдики,
Рх=0, Ру= — —mg;
«/sin»;
/,у“ /,созф = /созф;
?£>х=з in cosa; iVy— w sin a
(цидирилаётган ! куч билан f, куч катталик жи^атидан бир-бирига
•фг).
Проекцияларнинг цийматларнин (21.3) га дуйсак:
0 + /sin ф = mw cosa.
— mg + /cos ф =» ma1 sin ex.
Бу тенгламалар системасини ф ва / га нисбатан ечсак,
. wcosa
8 Ч» — g Wsina’
f = m 2g«eisina + w*. (21.4)
a= ±л/2 да («+» ишора w юцорига цараб йуналншига «—>
эса w нинг пастга цараб йуналишига теги шли) (21-4) фермулабиз-
га танищ булган (18.4) формулага айланади.
67
22-§. Импульс
Ньютон иккинчи цонунн теигламаси
= 1 (22 1)
га бош^ача куриниш бериш мумкин Классик ыеханикада т масса
узгармас катталик эканлигини ^исобга олиб, уни хоснла ишораси.
остига киритиш ва (22.1) ни куйидатнча ёзиш мумкин:
Вектор кагталик
р = tnv (22.2)
моддий ну^танинг импульси дейилади* 1 *. Импульснинг таърифидан
фойдаланиб, иккинчи ^онуниинг тенгламасини куйидаги куринищда
ёзамиз:
®=1. (22.3)
Конуннинг узини эса цуйвдагича гаърифлашнмиз мумкин: моддий
нуцта импульсининг вацт буйича ^осиласа Hlftmaea таъсир этув-
чи Парча кучларнинг тенг таъсир этувчисиеа. тенг.
(22.3) тенглама (22.1) тенгламага Караганда кенгроц цуллани-
лади. Нисбнйлик назарняси аннцлашича жиемнинг массаси тезлик-
нинг функцияемднр: тезлик ортиши билан масса орта борадн. Тугри
массаиннг тезликка боглнцлиги’ шуидаки, ёруклик тезлигидан ки-
чикроц тезликларда масса деярли ^згармайдн. Бирок катта тезлик-
ларда эса масса тез суръат билан орта борганлнги сабабли (22.1)
тенглама яроцсиз булиб цолади. Шу вацтнинг уэвда (22.3) тенгла-
ма ана шундай шароитлардэ цам уринли булиб цола беради. Шун-
дай цнлиб (22.3)тенглама релятивистах ыеханикада Vм У3 дамия-
тини сацлаб ^олар экан (12—§ га царанг),
(22.3) ни di га купайтирсак, цуйидаги муносабатга келамиз:
dp = fdt (22.4)
Бу муносабатни интегрилласак, 4 дан ta гача утган вацт оралигн-
даги импульс ортгирмасини топамиэ:
p,-pl=Jdp = jwt (22.5)
1 Илгррн «импульс» термини ураягв «хаРакят ынцдори» термини ишлагилар
ЭДи.
тр
1 Бу богланкш куйндагича хрриншша эта -т^—т- *« ,
бу ерда т — жиемнинг санок систпиадаги массаси, жисм бу санок систеыасигв
нисбатан v тезлик билан каракатланадн, то—тинч холатдаги, яъад р=0 тезлик-
лаги масса, с— ёругликвинг бушлигдаги теалиги.
58
Хусусий ^одда, агар f = const булса, (22.5) тенглама т ва^т орали-
ги учун импульсга р,— Pj—H орттирма беради.
Эслатиб утамизки. (22.3) дан импульс ва^т буйича цаидай уэга-
ришини аницлаб, жиемга таъсир этувчи кучни топиш мумкин де-
ган хулоса чицади.
23- §. ЛДмдулWMHHT С* ЦЛЯВМШ ^онуни
N та моддий вуцтадан ташкил топган система ни (уни циоуалик
учуй жисмлар системаси деб атаймиз) ^араб чи^айлик. Системанн
ташкил этувчи жисмлар, ^ам узаро, ^ам берилган системага таал-
луцлибулмаган жисмлар билан узаро таъсирлашиши мумкин. [Вун-
га кос равишда системанинг жисмларига таъсир этувчи кучларни
ички ва таш^и кучларга ажратиш мумкин. Берилган жиемга систе-
ма нинг бошца жисмлари кУрсаттаи таъсир кучини ички кучлар,
системага кирмаган жисмларнинг таъсир кучнин эса тагшуи кучлар
деб атаймиз.
Агар таппуи кучлар булмаса, система ёпнц система дейилади.
Системанн ташкнл этувчи жисмлар импульсларининг вектор йигин-
дисига р системанинг импульси деб айтилади:
N
₽=Pi+ р,+ ... 2 р,-
Системанинг инерция маркази деб шундай нуцтани айта-
мизки, унинг фазодаги вазияти ь^уйидагн формула билан ани^лава-
днган гс радиус-вектор била и берилади:
mlrl+'nSrl+ - + mN rN S/Wl
Г.--------;-------------- -Т. - ----. (23.1)
ТП14-Я1+ - - - т
ffti бу ерда i нчи жиемнинг массаси, г,—шу жиемнинг фазодаги
^олатини ани^ловчи радиус-вектор, т — системанинг массаси.
Инерция марказннинг декарт координаталарн гс нинг координа-
та уцларига проекцняларига тенг;
м У/л.л
’ = '.-Т— (23.2)
Шуми таъкидлаб утиш кераккн, инерция маркази системанинг
огарлик мараази билан устма-уст тушади.1
Инерция марказннинг тезлиги rt ни вацт буйича дифференцйал-
лаб топилади:
v =; = 2""
с с т т ‘
1 Бу фацат огирлих кучишшт бнр жпвели иаЯдоиидагииа $ривли (41- £ га
В9
mlvl к^пайтма р,- га тенг эканлигини, Vpz эса системанинг им-
пулъсннн беришиин э^исобга олиб цуйндагини ёзиш мумкин:
Р = mvc. (23.3)
Шундай цилиб, системанинг импульси системанинг массаси би-
лая инерция маркази тезлигинннг купайтмасига тенг экан.
Система учта жнсмдан иборат деб фараз цилайлик (51- раем).
Ички кучларнинг ^ар бирига, ма-
салан, 1 жисмга 2 жисмнинг 1М
таъсир этувчи кучига / жисмнинг 2
жисмга акс таъснр этувчи ftl кучи
мос келади, шу билан бирга Нью-
тоннинг учинчи цонунига мувофиц
fM= — !и. F,, Fs ва Fs символлар
билан ташци жисмларнинг мос ра-
вишда системанинг 1- ва 2~ ва 3-
жисмларга таъсир кучларн белги-
ланган.
Учта жисмнинг з^р бири учун
(22.3) тенгламани ёзамиз:
f«+ fja+ Fj-
»u+>w+Fr
tn+ Fa-
цушайлик. Ички кучлариннг йнгин-
диси нолга тенг, шунинг учуй:
4<₽.+i>>+i>>)-a₽=F-+F=+F^ <234)
Таш^и кучлар булмаганда
демак, ёпи14 система учун р—узгармас экан.
Бу натижани исталган N сондаги. жисмлардан ташкил топтан
система учун осонгииа умумлаштириш мумкин. Йигиндиларии цис-
цача ёзиш усулидан фойдаланиб, з^амма N та жисм учун (22.3)
тенгламани цуйидагича ёзишимиз мумкин:
гР< = У,«+Г< «-1.2 (23.5)
(23.5) (яфода бир-биридан i индексининг цийматлари билангина
фар| ланадиган Д' та теигламалар спстемасидан иборат. Бу тенг-
ламаларнннг з^ар бирида йигинди /г индекс буйича олинади, бунда
60
I- тенгламада k индекс 1 дан N гача булган барча (k = i
цийматидан тани^ари) цийматларни цабул цилади.
Бу тенгламаларни tJe= — tkI эканлигини ^исобга олган ^олда
узаро цушсак, цуйидагига эга буламиз:
N
sP-2F- (23.6)
Демак, система импульси векторидан ва^т буйича олинган росила
система жисмларнга цуйилган барча ташци кучларнинг вектор
йигиндисига тенг экан.
Ёпи^ система учун (23.6) муносабатнинг унг томони нолга
тенг, шунниг учун р вардта богли^ эмас. Бу фикр импульснинг
сацланиш. цену ни ниц г мазмунидан иборатдир. Бу цонун ^уйидагича
таърифлавади: поддай нууталар ётщ системасининг импульси
Узгармайди..
Эслатиб утамизки, ташци таъсирлар остнда турган система учун
^ам, агар система жисмларнга таъсир этувчи таш^и кучлар йигин-
диси нолга тенг булса, импульс узгармайди. Борди-ю, танп\и куч-
лар йириндиси нолга тенг булмасдан бу йигиндининг бирор йуна-
лишига проекцияси нолга тенг булса ^ам импулкнингшу йуиатиш
буйлаб ташкил этувчиси узгармайди. дацицатан jjaw, (23.6) тенг-
ламашшг барча катталикларининг ихтиёрий х йуналишга проек-
циясини тушириб ва
(л Р)п₽Л р*
эканлигини >;исобга олнб, цуйидагинн топамиэ:
(23.7)
Худди шу тенгламадан биз юцорида баён этган фикр келиб чи-
Нади.
(23.3) га биноан импульснинг сацланиш цонунидан жисмлар-
нинг епид системасининг инерция маркази ё тугри чизицли ва те-
кМ ^аракат цитади, ё тинч цолатда цоладн деган хулоса чи^ади.
Импульснинг сацланиш цонунига асосланган жуда Куп чодиса-
ларнинг номини айтиш мумкни. Маса 1ан, силлиц пол устида тур-
ган одам бирор буюмни жойидан сураётгаида албатта узи царама-
царшн томонга сирганиб кетади. Ракеталарнинг (ва реактив двига-
телларнинг) ишлаши шунга асосланганки, ёиилги ёнган вацтда
^осил булган газ тар оцими ракетанинг соплосидаги чи^ншн нати-
жаснда ракетага импульс баридади Бу импульс чицаётгаи газлар
олган импульсга тенг булади.
(2»tl) фориулаларга царанг.
Ill БОБ
ИШ ВА ЭНЕРГИЯ
24- §. Иш
Фараз дилайлик, f куч таъсир этаётган жйсм бирор траектория
буйлаб $ йулнн утган булсин. Бунда куч ё жиемнинг тезлигмни
узгартириб унга тезланиш беради, ё ^аракатга царшилик курсатаёт-
ган бойца кучнинг (ёки кучларнинг) таъсирини компенсациялайдл.
f кучнинг s йулда курсатган таъсири иш деб аталувчи катталик
билан характерланади.
Кучнинг кучиш руй бераётган йуналишга лроекцияси fs нинг куч
цуйилган ну^та босиб утган s йулга купайтмасидан иборат ска-
ляр кагталикка иш деб айтилади:
A = /,s. (24.1)
Кучнинг кучиш руй бераётган йуналишга (яъни тезликнинг йу-
нелишига) f3 проекцнясининг катталиги доим узгармай ^олганда-
гина (24.1) ифода уринли булади. Хусусан жисм тугри чнзтцли
^аракат цилса ва узгармас / куч ^ацакат йуналиши балан узгар-
мас а бурчак )(осил цилса, бу шарт ^аноатлантирнладн. fs = [ cosa
булгани учун (24.1) ифодани цуйидаги куринишга келтириш мум-
кин!
A = /scosa. (24.2)
Иш—алгебраик катталик. Агар куч билан кучиш йуналиши
орасидаги бурчак уткнр (cos а > 0) булса, иш мусбат булади Агар
а бурчак утмас (cosa<0) булса, иш манфий булади. a = л/2 да
иш нолга тенг. Кейинги хулоса механикадаги иш тушунчаси од-
дий иш ^ацидаги тушунчадан тубдан фа[ц цилишини курсатади.
Оддия тушунчага биноан хар цандай зури^иш, масалан мускул-
ларнингзурицишиалбат,а, иш бажарилишига олиб келади. Масалан,
юк ташувчи одам отир юкни тик туриб ушлаб туриши учун, айниц-
са бу юкни горизонтал йулда кучириши учун мускулларини куп
зури^тирадн, яъни «иш бажаради». Биро1у бу ^олларда иш механик
катталик сифатида нолга тенг.
Агар кучнинг кучиш йуналишга проекцияси ^аракат ва^тида
доимий туолмаса, у ва^тда ишни ^исоблаш учун s йулни элементар
жисмларга булиб чи^иш керак. Бу Дз ^исмларини шу туадер кичик
олиш ксракки, жисм ^ндан цисмини утиши учун кетган вацт ичида
f, нинг катталиги деярли узгармас деб ^исоблаш мумкин булсин.
У вацтда jpp бир элементар киемвда кучнинг иши тахминан цуйи-
дагига тенг:
ДЛ^ДДз.
s йулда бажарилган бутун иш эса элементар ишларнинг йигиндисн
сифатида ^исобланиши мумкин булади:
Л *= У Д Л, а 2 f3i (24.3)
Барча Дь\ лар нолга интилганда тахминий (24.3) тенглик цуйи-
даги аниц тевгликка айланади:
ds1.
(24.4)
52-расмда /, нинг графиги траекториядаги ну^та ^олатининг
функцияси сифатида чизилган (го-
ризонтал уцни s деб ^исоблаш мум-
кин, бу у^нинг 1 ва 2 нуцталари
орасидаги кесманинг узунлиги йул-
вннг тули^ узунлигига тенг).
Гук цонунига буйсунувчи пру-
жинами чузиш ва^тида баждоилган
ишни топайлик. Пружинага курса-
тилаётган таъсир кучининг катта-
лигн займа ва^т f = kx (х — пру-
жинанинг чузилиши) эластик кучга
теиглигича цолиши учун пружина-
ми аста-секин чузамнз. Куч к^чиш
йуналиши буйлаб таъсир цилганлиги учун /х = f. Куч йилган
ну^ганинг утган йули х га тенг (53- раем). 53-раемга биноан
пружинами х га чузиш учун бажариладиган иш
n
(24.5)
„ ' Бу У0™ Чак’ потекис \арзк31 ва^тида Фтнлган «л формуласннй чнка-
ряеттан ва^тдяждек h-уло^азалар юритилади (4- § га каранг).
63
монидан уни чузганда
54- раем.
Пружинами х га цисган ва^тда ^ам катталиги ^амда ишораси
пружинами чузиш ва^тада бажарилган ишга тенг иш бажарилади.
Кучнинг проекцняси /х бу ^олда манфий (пружинага таьсир этув-
чи куч чапга цараб йуналган, х эса унгга цараб усади, 53- расмга
царанг), барча Дх лар манфий, натижада мусбат булади.
Шуми таъкидлаб угамизки, эластик кучнинг, яъни пружина то-
^ам, ^исганда ?рам уни дефармацияловчн
жиемга таъсир этувчи куч—Ах*/2 га
тенг, чунки эластиклик кучи ва^тнинг
^ар бир моментида деформация юзага
келтирувчи кучга катталик жи^атцдан
тенг, лекин йуналиш жи^атидан тескарн.
Иш бирликлари. Иш барлиги цилиб
кучиш йуналишида таъсир цилувчи бир
бирлик кучнинг бир бирлик йулда бажар-
ган иши цабул цилинаДи:
I) СИ системада иш бирлигн жоулъ
(ж) булиб, у I ньютон кучнинг I метр
йулда бажарган ишига тенг;
2) СГС системада иш барлиги эрг булиб, у I дина кучнинг 1
сантиметр йу'лда бажарган ишига тенг;*
3) МКГСС системада килограммометр (кгк-м) булиб, у I кгк
кучнниг I метр йулда бажарган ишига тенг.
Ишнинг бирликлари орасида куйидагича муносабатлар уранли-
дир:
I ж == I н. I л = 10е дина-101 см = 10’ эрг;
I кгк-м — I кгк-1 м 9,81 н-1 м = 9,81 ж.
Векторларнннг скаляр кувайтмаси. Ишнинг ифодаси куч векто-
ри билан к^чиш векторнинг скаляр купайтмаск куринишцда ёзи-
лиши мумкин.
Икки га А ва В векторлар модулларининг улар орасидаги а
бурчак косинусига купайтмаенга шу векторларнннг скаляр купайт-
масн деб айтилади (54-раем). Скаляр купайтма символик Ав ку-
ринишда ёзилади; бунда векторининг символлари орасига ^еч кан-
дай белги ггуйилмайди1.
Шундай кнлиб, таърифга биноан скаляр купайтма куйидагига
тенг:
АВ — АВ cos а. (24.6)
Бурчак а уткир булганда, АВ нолдан катта, а утмас булгаи-
да эса нолдан кичик, икки узаро перпендикуляр векторлариинг
(а = л/2) скаляр купайтмаск нолга тенг.
Таъкидлаб утамизки, векторнинг квадратн деганда векторшшг
J^-узига скаляр купайтг >си гушунилади:
А2 - АЛ - 44 cos О «= Л4. (24.7)
\-В ва iA,Bj ка««. ш.чар к ipoi( шш
64
(векторнинг \з-узига вектор купайтмаси нолга тенг). Демак, век-
торнинг квадраги унинг модулннинг квадратига тенг.
Таърифлардан келиб чицадикн, скаляр купайтма купаювчнаар
тартибига богли1\ эмас; шунинг ?{ам вектор купайтмадан фар^ли
улароц скаляр купайтма коммумативдир.
(24.6) ифодага ^йцдагича куриниш бериш мумкин;
АБ — АВ cos а = А (В cosa) = В (A cosa)
54- расмдан ку риниб турибдики, В cosa, В векторнинг А вектор иуна-
лишига булган проекциясига, яъни Вл га, шунингдек A cosa — Ав, А
векторнинг В вектор йуналишига проекциясига тенг. Шунинг учун
скаляр купайтмани бош^ача таърифлаш т^ам мумкин: купайтири-
лаётган векторлардан бирининг модулями иккинчи векторнинг би-
ринчи вектор йуналишига туширилган проекциясига купайтиришдан
^осил булган скалярга икки векторнинг скаляр купайтмаси дейи-
лади.
АВ = АвВ = АВЛ, (24.8)
Векторлар йигиндисининг проекцняси ^ушилуачи векторлар про-
екцияларинннг йигиндисмга тенг. Бундан келиб чицадики:
А(В + С+ ... ) = Л(В + С+ ... )Л-А(в>,+Сд+ ... ) =
= АВЛ + АСЛ -I- . .. ° АВ + АС 4- ..
Шундай цилиб, векторларнннг скаляр купайтмаси дистрибутпвдир,
яъни бирор А векторнинг бир нсча векторлар йигиндиснга скаляр
кучайчмаси шу А векторнинг цушилувчи векторларнннг jpp бнрига
ало^цда скаляр купайтмалари йнгиндисига тенг экан.
Векторларнннг скаляр купайтмасидан фойдаланиб, ишнинг ифо-
даси (24.4) ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
(24.9)
бу ерда As деб биз аввал Дг орцали нфодаланган элемензар ку-
чиш вектори тушунилади (элементар кучиш модули \г| лимитда
элементар йулга тенг 3-§ га царанг).
Фараз цилайлик, жиемга умумий ташкил этувчиси I = У f* га
тенг булган бир веча куч бир вацтда таъсир ^илсин. Скаляр ку-
пай! манинг дистрибутивлигидан умумий ташкил этувчи As йулда
бажарган АЛ ишни цуйидаги
♦ ЛИ = (i I ) As = У (l.As) .
формуладан ^исоблаб топиш мумкин, яъни бир неча кучлар таш-
кил этувчисииииг умумий ташкил этувчиси бажарган иш хзр бир
куч ало^цда бажарган ишларнинг алгебраик йигиитисига тенг це-
ган хулоса чиьади.
6—1317 65
Элемеятар As крчиш
As = v А/
к^ринншда ёэилишв мумкин. Шунинг учун (24.9) формулага КУЙи-
даги курннишни бериш мумкин.*
A = & ti = J f vdt
(24.10)
K>- расы
(24.8) га биноан ДДв — /As,, бу ерда
As, элементар кУчишнинг куч йУналишн-
га проекцияси. Шунинг учун ишни ^уйи-
дагн куринишда ёзиш мумкин:
Л = 1т УА(Л5,), = f/ds,. (24 11)
(Д,А"° 5
Агар кучнинг катталиги билан йуна-
лнши узгармаса (55- раем), у ва^тда
(24.9) формулада f векторни интеграл
ишорасидан таш^арига чи^ариш мумкин,
натижада ишнннг ифодаси ^уйидаги ку-
ринишга келади.
Л - tjds = fs - Is,, (24.12)
6v ерда s кучириш вектори, sf~ уникг
вуч йуналишига проекцияси.
26-§. Цувват
Амалда фацат бажарилган ишиинг катталигигина эмас, балки
бу ишни бажарнш учун кетган вадт дам адамиятга эга. Шу са-
бабли иш бажариш учун мулжалланган механизмларни характер-
лаш учун берилган механизм вадт бирлигида цандай иш бажари-
П1ини кУрсатадиган катталик кйритилади. Бу катталик цувват
дейилади. Шундай цилиб tv з^увват ДА ишнинг шу ишни бажариш
учун кетган А/ ва^тга нисбатига тенг экан:
(251)
Агар нстагаича кичик ва бир хил А/ ва)(Т орали)\лари ичида
бажарилган А4 ишлар бар хил булмаса, у цолда цувпат ва^т буйи-
ча узгарувчан булади. Бундам лолларда цувватнинг оний ^иймати
текширилади:
= (25.2)
Д1-*0 а' Д
Оний цувват (25.2) доимий булмаган з^олда (25.1) ифода цув-
ватнинг А/ вак,т вчвдаги уртача цийматинн беради.
di вацт ичида куч цуйилгаи нуцта rfs га кучган брлсин. У
вацтда dt вацт ичида бажарилган элементар dA иш
dA = f ds
га тенг ва цувватнн цуйидагн куринишда ёзиш мумкин булади:
Ц7 => — г=ж f —
W dt dt *
Биро^ тезлик вектори v га тенг. Демак, адвват куч вектори
балан куч ^уйилган нуцтанинг ^аракат тезлиги векторннинг ска-
ляр купайтмасига тенг экан:
1T = fv. (25.3)
Кувват бирликларн. Цувват бирлиги деб шундай цувват цабул
цилинадики, бунда вацт бирлиги (сек) вчвда бир бирлик (ж ёки
эрг) иш бажарилади. СИ системада цувват бирлиги ватт (вт)
булнб жоуль таксим секунд (ж}сек) га тенг. СГС системада ь;ув-
ват бирлиги (эрг<сек) махсус номга эга эмас. Ватт билан эрг) сек
орасвда ^уйндаги муносабат мавжуд: I em = 10’ эрг1сек.
МКГСС—системада р^вват бирлиги от кучи (о. к.) бУлиб, у
секундига 75 килограмметрга тенг. 1 о, к, ° 736 etn.
26- §, Кучларнинг потенциал майдонн. Консерватив ва
ноконсерватнв кучлар
Агар фазонинг л«Р бир нуцтаснда жисмга бош^а жисмлар ну^«
тадан нуцтага цонуният бнлан Узгариб борувчи куч бнлан таъсир
11либ турган булса, жисм кучлар майдонцда турибди дейилади.
Масалан, Ер сиртига ш\ин жсйда жисмга огирлик кучларн таъсир
цилади — фазонинг jjap бир нуьд'асида унга
вертикал буйлаб пастга йуналган P^mg -------------------\
куч таъсир циладн.
Иккннчи мисол тарицасида пружина /
ёрдамида барор 0 марказга «бовлаяган» М [ ifr \
жисмнн текширамиз (56-раем). Пружина- Г*~ gp I
нинг бир учи кучмас О нуцТа атрофида \ £ /
шарнир равишда исталган йУналишда aft- \ £ /
лапа олади, иккннчи учи эса М жисмга
ма^камланган. Фазонинг хар бир нуцтаенда 7~
М жисмга радиус буйлаб (0 иарказ билан ff
М жисм ортали ^тгант^ри чизи^ буйлаб)
йуналгап б6’
♦ / = (26.1)
куч таъсир ^нлади, бу ерда г—0 марказдан жиемгача булган ма«
софа га — деформацияланмагаи пружинанннг узунлиги, k — пропор-
ционаллик коэффициент Агар г > г0 (пружина чузилган) булса,
куч марказга цариб йуналган ва «—> ишорасига эга (куч билаи г
Ъ1
радиус-векторнинг йуналиши царама-царшидир); arap r<Zr0 (пру-
жина сицилган) булса, куч маркаэдан ташцарага цараб йуналган
ва «+> ишорага зга. Биз текширган бу кучлар майдони марказий
к>члар майдонн деб аталувчи майдовнинг хусусий бар ^олвдир. Бу
майдрн шу билан характерланадики, у эгаллаган фазонинг ис«
талган нуцтаснда таъсир цилувчи куч бирор марказ орцали утади,
кучнинг катталиги эса фацат шу марказгача булган масофагагина
боглиц булади / = /(г).
Огирлик кучн майдони цам кучларнинг марказий майдонига ми-
сол булади.
Келтирилган мисоллар шу билан характерлики, жиемга таъсир
цилувчи кучлар фа цат жиемнинг фазодаги вазиятнга (аницроги
жиемнинг унга таъсир курсатаётган бошца жисмларга нисбатан
вазиятнга) боглиц булиб, жиемнинг тезлнгнга боглиц эмас.
Фацат жиемнинг вазиятнгагина боглиц булган кучлар учун улар
жисм устида бажирилаётган иш йулга боглиц булмасдан, фацаг
жиемнинг фазодаги бошлангич ва сунпи ^олатларигагина боглиц
булиб цол:лии цам мумкин. Бу ^олда кучлар майдони потенциал
мяйдон, кучларнинг узлари эса консерватив кучлар деб ата-
лади. Бажарган иши жисм бар ^олатдан иккинчи ^олатга цандай
йул балан утганлигига боглиц булган кучлар ноконсерватив
кучлар дейилади.
Консерватив кучларнинг исталган ёпиц йулда бажарган иши нолга
тенг. ^ацицатан хам, потенциал майдонда турган жисм айланиб
^таётган ёпиц йулни икки циемга буламиз: I йул, унинг буйлаб
жисм / нуцгадан 2 нуцтага Утади ва II йул, унинг буйлаб жнем
2 нуцтадан / нуцтага утади. Бу мисолда 1 ва 2 нуцталарни мут-
лацо ихтиёрий тан лаб оламиз (57- раем). Бу тун ёпнц йулда бажа-
рилган иш айрим циемнинг цар бирнда бажарилган ишларнннг
йнгиндисига тенг:
^ = (Аг)1=(А1)и. (26.2)
Бирор йулда, масалан, II йулда (57- раем) жисм / нуцтага Ут-
гап вацтда бажарилган иш уша йулда 2 нуцтадан / нуцтага цай-
тиб утиш вацтида бажарилган ишиинг тескари ишора билан олин-
ган цийматига тенг эканлнгини курсатайлик. Траекториянинг Д$
цисмини (58- раем) олайлик. Потенциал майдоида / куч фацат жисм-
17- раем.
58- раем.
66
нинг фазодаги ^олатига боглид булиб, жиемнинг харакат эрлатнга
(хусусан, ^аракаги йуналишига) боглид булмагачлнги сабабли As
йулда бажарилган элементар нш бир томонга ^араб ^аранат-
лангаН ва1\тда ДА = f As царама->\арши томонга >;араб ^аракатланган
ваада эса A4' = fAs' га тенг булади. Да' = —As булганлиги учун
дд' = _ д.4. Бу йулнинг ихтиёрий элнментар участкасн учун, де-
мак. бутуи йулдаги бажарилган иш учун Уринлидир, шунинг учун
№1>„ “-(Ajll- <263'
Олннган натижадан фонда ланиб (26.2) тенгликни цуйидагича
ёзиш мумкин:
А — Mis)! — (Аа)ц. (26.4)
Бироц кучларнинг потенциал майдонида бажарилган иш йулга
богли^эмас, яъни(ДМ)! =(Ли)ц. Демак, (26.4) ифода нолга тенг,
худди ана шуни исботлаш зарур эди.
Агар исталган ёпи^ йулда бирор кучларнинг бажарилган иши
нолга тенг булса, у вацтда бу кучларнинг жисм бир ^олагдан ик*
кинчи ^олатга угиш вацтида бажар-
ган иши, афтидан, йулга боклиц бул-
майди (бунн юцоридаги мулог^аза-
ларнинг аксинча юргнзнш нули би-
лан исботлаш мумкин). Шунингучун
кучларнинг потенциал майдонини
иши исталган ёпиц йулда нолга
тенг булган кучларнинг майдони
сифатида таърифлаш мумкин. Куч-
лгрнинг потенциал майдонида ёпи^
йшда бажарган иши нолга тенг бул-
ганлиги учун кучлар спик йул-
нинг айрим 1\исмларида мусбат
иш бажарса, бошца 1\исмларида эса
манфий иш бажаради. Ишхаланиш
кучларинмнг Л/ вацт оралигада ба-
жарган иши (24.10) га мувофик
1$уйидагига тенг.
60- раем.
АЛ - fv&t - —fv&t.
чунки I ва v векторлар доим цара-
ма-царши йуналишларга эга.’ Де-
м^с, ишцаланиш кучларинмнг иши
1 Бунда царакатланаётган жисм билан к?чмас (саноц системага нисбатан) жисм-
лар орасидаги ншцяланиш назарла тутиладя. Баъзи ^оллардя ишхаланиш куч-
ларининг иши мусбат цвы булиб цолншп мумкин. Бу ^ол. масалан, ишцелапнш
кучи беричган жисм билан худди уша Пуналищца, бпроц унга инсба^н каттароц
тезлик билли царакатланаётган бойца жисмлар орасидаги Узаро таъсир натижа-
сида юзагвкелган вацтда учрайди.
69
доим манфий булиб, ёпиц йулда нолдан фарк -цилади. Шундай
цилиб, ишка.чаниш кучлари ноконсерватив кучлар цаТорига кмрар
экан
Огирлик кучлари майдони потенциал маЯдон эканлигини исбот-
лайлнк. Жиемга траекториянииг исталган нуцтасида таъсир этувчи
куч бар хил Р = цийматга эга ва вертикал буйлаб пастга йу-
иалган (59-раем). Шунинг учун (24.12) га биноан иш
Л = Р (й, — й.) = mg (ЛА - ЙД (26.5)
Куриниб турибдики, бу ифода йулга богли^ эмас, демак огирлик
кучлари майдони потенциалдир.
Марказий кучлар майдони ^ам потенциал майдон ^нсобланади.
As йулда бажарилган элементар нш (60-раем).
44 =/(г) As,.
Бироц As нинг берилган жонда кучнинг йу вал ишига, яъни г ра-
диус-векторнинг йуналишига проекцняси 0 ну^тадан жиемгача бул-
ган масофанннг Аг орттирмасига тенг: Asy = Аг Шунинг учун
АД = /(г)Аг.
Бутун йулда бажарилган иш
А - ХМ,-»" 2>,>Лг, “ j /W* •
Сунгги ифода, вфтндан, фа^ат /(г) функциянинг турига ва rt
билан г, нинг ^нйматларига боглиц холос. У траекториянииг ку-
ринишига Jjeq боглиц эмас, шунинг учун кучларнинг марказий май-
дони ?{ам потенциал майдондир.
27-§. Энергия. Энергиянинг са^лаинш цонуни
Тажриба шуни курсатадики, жисмлар купннча бошца жисмлар
устида иш бажариш имкониятига эга буладилар. Жиемнинг ёкн жисм- —‘j
лар системасининг иш бажариш ^обилиятнни характерловчи физик I
катталик энергия дейилади. Жисм энергияга эга булишига hkkk_j
иарса: биринчвдан, жиемнинг бирор тезлик
2 билан царакатланиши ва иккинчидан, жисм-
/ нинг кучлар потенциал майдонида турганлигн
------Cw----сабаб булиши мумкни. Биринчи турдаги энер-
я------------гия кинетик энергия дейилади. Иккинчи
t турдаги энергия эса потенциал энергия
дейилади. Цис^ача кинетик энергияни — jjapa-
61- раем. кат энергияси, потенциал энергияни эса —>^о-
лат (вазият) энергияси деб аташ мумкин.
Кинетик энергия. Фараз ^илайлик, v тезлик билан ^аракатла-
нувчн т массали 1 жисм (моддий ну^та назарда гутилади) бориб
урилган 2 жиемга f куч билан таъсир >\илсин (61-раем), at вацт
70
нчида куч цуйилГан нуцта ds = vdl га кучади ва иатижада 1 жисм
2 жисм устида
tL4 = fds=fvdi (27Л)
иш бажарадн. Равшанки, берилган фхдда / жисм ^аракатланаётгаи-
лиги туфайли sra булган энергия аапасн ^исобига, яъни Т кинетик
энергия ^исобига иккинчи жисм устида иш бажарадн (агар / жисм
харакатланмаганда ds кучиш >;ам, демак dA иш зрм нолга тенг
булар эди). Шунинг учун 1 жисм бажарган ишни уиннг кинетик
энергиясининг камайишига* тенглаштириш мумкин!
dT.
(27.1) ин эътиборга олиб куйидагини топамиз:
d7=-!vd(. (27.2)
Ньютоннинг учинчи цонунига биноан 2 жисм 1 жиемга F= — f
куч билан таъсир курсатганлнгн туфайли 1 жнемнвш* тезлиги dt
вацт ичида цуйидагича орттирма олади:
dv - I'dl = — ifdi.
Кейинги тенгдикнинг иккала кисмиин /nv га скаляр купайтириб
Куйидагини топамиз:
/nvdv=—fvdL (27.3)
(27.3) ин (27.2) билан солиштириб dT учун чуйицагн ифоданн
топамиз:
dT^tnvdv. (27.4)
(24.8) формулага биноан vdv скаляр купайтмани o|dv[cosa —
= (dv)rrpts куринишда ёзиш мумкин: бунда (dvjc векторнинг
V вштор йуналишига проекцняси.
61- раемдав (dv)npB тезлик модули-
нинг брттирмасига, яъни dv га тенг деган _ Z!
хулосага келиш мумкин. Шунинг учун у. / j
(27.4) ифодаии цуйидагича ёзиш мумкин: -я»--------w/----<'
(27.5)
62- расы.
ат
1 Бирор а катталикиинг узгаришипи ё унинг ортгирмаси бнлан, ё камайиаж
билан хврактерлаш мумкин. Каттялнк а нинг орттпрмасн деб (уни биз Да деб
белгилайинз) бу катталнкиинг рхирги (oj на бошлаинч (о,) циВыатларз аВнрм.а-
ага аР.тнладн:
орттирма ™ Да = oi — fli-
в катталнкиинг камавнши деб унинг бошланрич (и,) ла охирги (aj ^ийматларк
айирмасиги айтилади;
камвйиш s о> — в» = —- Да.
Катталнкиинг р^мрПиши тескарн ишора билан олииган ортгирыяснга тенг. Орт-
тирми бнлан намабиш алгебранк капаликларднр. Агар ai>fli б^лса, орттирма
ыусблт, канайиш »ся манфнйдир. а, < а, булган цоллерда аса орттирма манфий,
камайиш аса мусбэт булали.
• Бу нфодл1пю.А1-соба дебёзиш мумкин эмас, чунад умуыниа11тгандаИ»]#Л>.
Бундам1 v тезлик билан ^аракатланувчи т массати моддий нуцта-
нинг кинетик энергияси
т -'у'. (27.6)
(27 6) ифодаиияг сурат ва махражини tn га купай гириб га пги
купайтма жисмнинг р импульсига тенг эканлигини эътиборга олиб
кинетик энергия ифодасини цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
7' = £- <2”)
Жуда му^им бир масалани цайд ^илиб утамиз: жисм устида
бажарилган А' иш унинг кинетик энергиясининг орттирмасига тенг
AT = Tt —Т,. Буни исботламо^ учун элементар ишнинг ифодаси-
ни ёзамиз:
dA' — t'vdi
(Г— жисм усгида иш бажарувчи куч, v — жисмнинг тезмги).
Энди f'dt купайтманн dp = mdv 1(22.4) га гарант)]. билан алмаш-
тирсак, фгйидагини тсяамиз:
dA'-- f'vdt = rnvdv = rnvdv = d (—) = dT.
Бу ифодани интеграллаб ^уйвдаги формулами топамиз:
A'^Tt — Ti. (27.8)
(27.8) дан энергиянинг улчамлиги ^ам ишнинг улчамлигига ух-
шаш деган хулоса чицади. Бу энергиями ^ам ишни улчащда цул«
л ниладиган бярликларда улчашга имкон беради.
Потенциал энергия. Кучлар потенциал майдонида турган жисм-
ни (бунда моддий нуцта назарда тутилади) цараб чицайлнк. Май-
доннинг ^ар бир ну^тасига (у г радиус-вектор билан характерла-
надн) бирор U(r) функциянинг маълум цийматинн тац^ослайлик.
Буни цуйидагича амалга оширамиз. Бирор бошлангич 0 нуцта учун
функциянинг Uo га тенг ихтиёрий циймагини цабул циламиз. Функ-
циянинг бир нуцтадаги Ux цийматини топиш учун Uo га жисм /
нугтадан 0 ну^тага кучаётганда майдон кучларн жисм устида ба-
жарган Л10 ишни цушамиз;
Ut^U0 + Aie (27.9)
(шуни цайд цилиб утамизки, бу йул билан аницланган U функция-
нинг улчамлиги иш ёки энергиянинг улчамлигига тенгдир). Кучлар
потенциал майдонида бажарилган иш йулга боглиц булмаганлиги
учун (26-§ га царанг) бу йул билан топилган Их циймат бир ^ий-
маглн булади.
1 (97.5) теигламапи интеграллаш Т = + const ифодяга слаб келади.
Гт.ро> физик мулохаэаларлан равшанкн, » = 0 да кинетик энергия Т хам нолга
тенг, бундам констан:ага нолга тспг леб олиш керак деган хулоса чихали.
72
Майдоннннг барча цолган нуцталари учун $ам U (г) нинг ций-
матмри худди ана шундай йул билан топиладн. Хусусан, U (г)
нинг 2 нуцгадаги цаймати ^уйидагига тенг.
Ба = Бг ‘-Ao (27.10)
Uy — Ui айирмани ^исоблайлик. Бупинг учун (27.9) дан (27.10)
нфодаии айирамнз ва Ао = — Ав (26- § га царинг) экаилвгидан
фойдаланамиз. Натижада цуйндагини топамиэ:
LJ — Ut ~ (Ц, + А о) — (Б о + Ао) = Ао — Аг = Ао "Ь Аг •
Бнроц Ав + Лог йигинди майдон кучларн жисмни I нуцтадан 2
нуцгзга 0 нукта ортали утувчи траектория буйлаб кучиргая eaiyr-
да бажарилган ишни берадн. Биро^ жисм / нудтадан 2 нуцтага
нсталган бош^а траектория буйлаб (жумладан 0 нукда орцали уг-
майдиган траектория буйлаб ^ам) кучирнлган вактда ^ам бажарилган
иш худди ушандай булади. Шунинг учун Ао +А» йириндинн
тугридан-тутри А12 куринишда ёзиш мумкни. Натижада цуйидаги
муносабатга келамиз:
Ц—l/, = A«- (27.11)
Шундай ^ялнб, Б/(г) функция ёрдамида жисм устида майдон
кучлари ихтиёрий I нур^тадан бошланиб ихтиёрий 2 нуцтада тугай-
диган ихтиёрий йулда бажарган ишини аницлаш мумкин экан. Бу
иш / - - 2 йулда U (г) функциянинг кдмайишига тенг экан. Сунгти
айтганлэримиз U(г) ни механик энергиянинг биз потенциал
энергия деб аталган бир тури сифатида таърифлашга ммкон бе-
ради.
1)0 ихтиёрий булганлиги 1(27.9) формулага царанг! сабабли по*
тенциал энергия бирор ноанмц адднтив доимий сонга 1^адар аник-
лик бХкин топилнши мумкин экан. Бироц бу ^ол ^еч цандай a^a-
миятга’эга эмас, чунки барча физик катталикларга U нинг жисм-
нинг икки ^олатига мос цийматлари фар^и киради. ^Аыалда жисм-
нинг бирор маълум ^олатидаги U энергиясини нолга тенг деб
^исоблаб, бошца ^олатларнинг энергиясини эса шу энергияга нис-
баган олинади.
Б'(г) функциянинг конкрет куриниши куч майдонмнинг харак-
терига боглиц булади. Масалан, оьирлик кучи майдонида Ер сирти
яципида т массалн жисмнинг потенциал энергияси куйидаги ку«
ринишга эга:
U^rngh, (27.12)
бу ерда й — U ^0 булган сат^дан улчанган биландлик. Бу фикр
жисм ft, баландликдан йг баландликка кучган вацтда огирлик ку-
чи, ишни ифодаловчи (26.5) формуладан келиб чн^адн.
ё' нинг jj»«o6 бошини ихтиёрий танлаб олиш мумкин булган-
лиги сабабли "отенциал энергия манфий »\ийматларга ^ам эга бу-
лишн мумкин. Масалан, агар Ер сиргида турган жисмнинг потен-
циал энергиясини нолга тенг деб цабул ^илсак, у вактда Л' чуцурлик*
даги цуду^нльг тагцда ётган жисмнинг потенциал энергияси U =
73
— mgh’ булади (63-раем) Ь\айд цилиб ^тамизкн, кинетих энергия
каыфий була олмайдв.
Ю^орида цараб чи^илган мисолда U = mgh потенциал энергии
огирлик кучи майдонида турган жиемнинг энергияси деб айтган
эдик. Бироц аншуро^ айгганда, потенциал энергия узаро таъсир-
лашувчи жисмлар системаснга тегишли булиши керак. Масалан,
та^лнл цнлинган мисолда V = mgh энергия Ер—жисм системаси-
нинг энергиясидир. Жисмлар системаси-
нинг энергияси улариннг бир-бирига нис-
батан эгаллаган вазиятнга боглиадир.
Потенциал энергияга фагуат узаро таъ-
сирлащувчи жисмлар системасигина эмас,
балки ало^ида олинган эластик деформа-
циялйнган жисм (масалан, циенлган ёки
чузилган пружина) цам эга булиши мум-
кин, Бу ^оЛДа потенциал энергия жиемнинг
айрим ^исмлари бир-бирларига нисбатан
цандай жойлашганлигига (масалан, пружи-
на ц^шнн урамлари орасидаги масофага)
богли^ булади.
(24.5) га баноан пружиианн х га чу-
зиш учун ^ам циснш вацтдагидек A =
иш бажарнлиши керак. Бу иш ^нсобига
Еинанинг потенциал энергияси ортади.
к, пружина потенциал энергияси х
билан цуйидагича богланган:
U-*- (27.13)
64- расмда бу муносабат график усулда
таевнрланган.
Жисмлар системасининг тула механик
энергияси. Умумий цолда жисм бир вацт-
да jjaM кинетик энергияга, ^ам потенциал энергияга эга булиши
мумкин. Бу энергияларнинг йигивдиси т£ла механик энергиями
ташкил ^илади. Масалан, Ер сиртидан А баландликда Ерга нис-
батан о тезлик билан ^аракатланаётган М жисм
Л
63- роем
U
Стцпиа 0 V$uuum
(.<е) Ь-е)
64- раем.
E = ^ + mgh.
(27.14)
тула энергияга эга булади.
Анн^роц айтганда, бу ифода Ер — жисм системанннг тула энер-
гиясини ифодалайдн: mgh — системанннг узаро потенциал знер-
гнисн, — М жисмиинг кинетик энергияси, Ернинг кинетик
энергияси эса биз текшираётган сано^ системада нолга тенг, ана
шу ^ол (27.14) энергиянк М жиемнинг энергиясидир деб айткшга
асос була оладн.
Потенциал ва кинетик этгергиялар бнр-барларига айланиши мум-
кин. Аввал тинч турган жиемнинг h баландликдан эркин тушнш
Холиин текширзйлик. Тушиш бошланншидан аввал жиемнинг ки-
нетик энергияси нолга тенг (жисм тинч ^олатда) потенциал энер-
гияси эса mgh га тенг. Тушишнинг охнрига келиб жиемнинг тез-
лиги
v = yr2gh (27.15)
га ва демак, кинегик энергияси
Т = =? = 2<Йг>‘=таЛ
га тенглашади, бироц h = 0 балаидликда потенциал энергия нолга
тенглашади. Шундай хнлиб, потенциал энергия эквивалент ми^до-
рнга кинетик энергияга айланади.
Ер сиртидан кл;орига вертикал ^илиб v тезлик балан отилган
жисм дастлаб rm'ft. кинегик энергияга ва нолга тенг потенциал
энергияга эга булади. Жисм аста-секин гезлнгини йу^ота бориб,
Л балаидликка кутарилади. Бу h баландлик бошлангич тезлик би-
лан (27.15) муносабат ёрдамида богланган. Л балаидлнкда жием-
нинг тезлиги ва демак, унинг кинетик энергияси нолга тенгла-
шади. бирок, энди унинг потенциал энергияси цам кинетик энергия-
синвиг да с тл а баи запасига тенглашади.
Иккала ^олда хам (жисм Ер сиртига и^ин жойда Ерга тушаёт-
ганда хам ва юкорнга кр гарилаётганда хам) жнемкинг тула энер-
гияси узгармайди (жиемнинг хаРакатига хаВ0ИННГ харшнлигинн
Хисобга олмаймиз). h’ баландликнинг исталган (0 < h' < h) орали-
гида хуйидаги йиганди
\ ^ + тгЛ'
о' — V баландликдаги тезлик (mgh га ёки га тенг эканлнгига
осонгияа ишонч хосил цилиш мумкин*.
Бу натнжа жиемга факдт потенциал энергиянн юзага кел^ирув-
чи куч (mg куч Ер —жисм сисгемасидд таъсир курсатувчи ички
кучдир) таъсир этганлиги сабаблнгина келиб чивди. Ташци кучлар
мавжуд булган холлаРЛа бош^ачарок булади. Бу кучларнинг
системами хосил хилувчн жисмлар устида бажарган иши хисобига
системанннг тула энергияси Узгаради. Фараз хИлайлик, дасглаб
Ер сиртида тинч турган М жиемга mg огирлик кучидан капарок
булган ва вертикал буйлаб ю^орига йуналган / куч таъсир курсат-
емн (бу'кучни фа\ат Ер — М жисм системага кирмайдиган жисмлар
юзага кёлтириши мумкин). У вацтда жисм бирор тезлик билан
кутарнла бошлайди ва буяинг натижаевда унинг потенциал ва
книетик энерпшеи орта бошлайди, бунда тула энергиянинг ортиши
таш^и / кучи и R- М жисм устнда бажарилган ишига тенг булади.
* Буни машц тари^гемдд исботлаб чи^ишнн У^'вчинянг fsura цаьола кила-
75
Оратарида консерватив кучлар таъсир этаётган N та жисыдан
ташкил топган системанинг туда механик энергияси бутун систе-
манинг потенциал энергияси билан системанинг кинетик энергиясидан
ташкил топади; бу кинетик энергия эса уз навбатида системами таш-
кил этувчи ало^ида жисмларнинг кинетик энергияларвдан ташкил
топади:
£ .,1/4-7= I 4-^
(27 16)
Знергиянпнг^ сацланиш конуни. Ораларида фацаг консерватив
кучлар таъсир курсатаётган N жисмдан ташкил топган системами
цараб чицайлик (65- раем). Фараз ^илайлик, / жисм ихтиёрий тра-
ектория буйлаб /' ^олатга кучган
/ булсин. Бунда / жиемга система-
Лиинг бошца жисмлари томонидан
таъсир этувчи кучлар / жиемнинг
' кучиш йулига боглицбулмаган ва
f Л -''’Ф < фацат жиемнинг цолган барча
’ жисмларга нисбатан бошлантич ва
," сунгги ^олатларигагииа боглиц бул-
. 4 ган ншнн бажаради. Худди шунга
ухшаш барча N жисмлар янги jjo-
'У латларга кучган ва^тда системада
таъсир курсатувчи консерватив куч-
лар бажарган иш фа^ат жисмлар-
65-раем. нинг бир-бнрларига нисбатан бош-
лангич ва сунгги ^олатларига бог-
лик булади. Демак, жисмларнинг хар бир узаро вазиятнга (jjap бир
конфнгурациясига) //потенциал энергиянинг маълум цийматини кур-
сатиш ва бир конфигурациндан бошца конфигурациям утган ва^да
консерватив кучлар бажарган ншни U нинг шу конфигурацияларга
мое ^ийматларининг айирмаси сифагида бажариш мумкин экан:
А. = 1/1 — <4 (27.17)
Системанинг жисмларига ички консерватив кучлардан гапца-
ри, шунингдек ташци_ кучлар ^ам таъсир курсатади деб фараз ци-
лайлик. г- жиемга куйилган барча кучлар бажарган ишни ички
кучлар бажарган (Лп)/ иш ва берилган жиемга таъсир этувчи
ташци кучлар А', нншнинг йигиндисн сифатида тасаввур ^илнш
мумкин. Биз биламизки, тула иш жисм кинетик энергиясининг
ортишига сарф булади [(27.8) га царанг]. Демак,
+ (27.18)
(27.18) ифоданинг бутун жисмлар буйича йигиндисиии олсак,
цуйвдагига эга буламиз:
2 (/luh + 2 а/ = 2 (ГЛ - у (ГЛ (27.19)
76
(27.19) ифодадаги йигиндиларнинг биринчиси система бошлан-
гич (биринчи) конфагурациясидан сунгги (иккинчи) конфигурация-
сига утган вацтда консерватив кучларнинг жисмлар устида бажар-
ган ишдан иборат (27.17) га биноан бу иш потенциал энергиянинг
процесс бошидаги ва охиридаги ^ийматлари айирмаси куринишида
ёзичиши мумкин:
(27.19) ифоданинг чал томонидаги иккинчи йигинди ташци куч-
лар томонидан система жисмлари устада бажарилган тула ишдан
иборат. Уни А! билан белгилаймиз.
(27.19) нниг унг томони Г, — Tj га, яъни система тулиц ки-
нетик энергиясивинг процесс боШидаги ва охиридаги дайматлари
айирмасига тенг эканлиги рившан.
Шундай цилиб, (27.19) формула ин цуйидаги куринишда ёзии
мумкин экан:
t/x — Ut + A' = 7, — 7\.
Формуладаги аъзоларни тегишли равишда группалаб цуйидагнни
топамиз:
(Г,+1/.)-(Г,+(/.)=Л'.
Ни^оят, система тула энергияси Е = Т + U белгисини киритсак,
цуйидаги муносабатнн топамиз:
Д£ = £,-£, ° А’. (27.20)
Шундай |\илиб, ориларида консерватив кучлар таъсир этаётган
жисмлар систсмаси т^ ла энергиясининг орттирмаси система жисм-
ларига цуйилган ташци кучларнинг бажарган ишига тенг экан.
Агар система спи^ булса, у вацтда (27. 20) га биноан Д£ = О,
буидан 1
£ = cost (27.21)
дсган хулоса чицади.
(27.20) ва (27.21) формулалари мсханиканинг асосий ^онун-
ларидан бири — зиергиянинг саклавиш цонунининг мохиятини акс
эттирадм. Механикада бу туонун ^уйндагича таърифлана^н: орал£
рида (Jat^am консерватив кучлар matcup этаётган жисмлар ёпиц
системасининг тула механик энергияси узгармайди.
Агар eiiMi; системада консерватив кучлардан ташкари ноконсер-
ватив кучлар, масалан, шщаланиш кучлари, таъсир курсатаётгав
булса, у ва^тда системанинг тула механик энергияси сацлаимайди.
Нокоисерватив кучларни тайней кучлар деб цараб ^уйидагини ёзиш
мумкин:
ЕЛ — £j = Ai. к-
бу ерда А» h. — нокоисерватив кучлар бажарган иш. Иш^а-паниш
кучлари одатда фйнфий иш бажаради (69-бетдаги нзо.уа ца-
77
ранг). Шунинг учун ёпи^ системада ишцалавиш кучларн булса,
вакт утиши билан тула механик энергия камая боради. Ишцала-
ниш кучларннйнг таъсирида механик энергия бош^а номеханик
турдаги энергияларга айланади. Бундай лолларда умумийроц бул-
ган сацланиш цонунн бажарилади. Исталган таоцк таъсирлардан
изоляцияланган системада зиергиянинг барча турларининг (номеха-
ник турларнинг т^ам) йигиидиси Узгармайди.
28- §. Потенциал анергия бнлан куч орасидаги богланыш
66-раем.
Потенциал майдоннинг jjap бир муцтасига бир томондан
жисмга таъсир этувчи f куч векторининг бирор диймати мос
келса, нккинчи томоидан, жмем U потенциал энергнясининг \ам
бирор ^иймати мос келади. Демак, куч билан потенциал энер-
гия орасида маълум богланнш мавжуд
булиши керак. Ана шу боЕланишни то-
пиш учун жиемни кичик As масофага
силжигилгая вактда майдон кучларн ба-
жарган элементар Д.4 ишии ^нсоблай-
лик. Бу As силжиш фазода ихтиёрий
танлаб олинган s йуналиш буйлаб содир
булади деб цабул ^иламиз (66-раем). Бу
иш цуйидагнга тенг:
ДЛ = Д,Д5. (28.1)
бу ерда fs кучнинг s йуналишига проекцияси.
Берилган мисоада иш потенциал энергия ^исобига бажарилган-
лигн учун у потенциал энергиянинг s у^нинг As кесмасндаги — АС/
камайишига тенг булади:
А4-« — АС'. (28.2)
(28.1) билан (28.2) ни солиштириб цуйидагнни топамиэ:
fsbs = — ДУ,
бундан
Ь“Д- (28-3)
(28.3) ифода f, иннг As кесмасндаги уртача дийматини бера-
ди. fs нинг берилган ну^тадаги ^ийматини топиш учун лнмигта
Утиш керак:
<2М>
С/, s уд буйлаб кучилгандагина эмас, датто боища йуналишлар
буйлаб кучганда цам Узгарганлиги учун (28.4) формуладаги ли-
мит U дан s буйича хусусий ^осмладан иборатдир:
(2B-S)
78
(28.5) муносабат фазодаги ихтиёрий йуналиш учун, хусусан,
л", у. Z декарт координата уцлари йуналишлари учун $ам уринли-
(28 6)
(28 6) формулалар куч векторнинг координата уциарига про-
екцияларини ифодалайди. Агар бу проекциялар маълум б^лса, куч
векгорининг узи чам аниц булади (2.8) га биноан
Математикада
(28.7)
векгорни шу скалярнинг градиенти дейилади ва grada символн
билан белгиланади (бу ерда а — х, у, г ларнинг скаляр функция-
си). Демак, куч потенциал энергиянинг тескарн мшора билан олин-
ган градиентига тенг экан
f = — gradt/. (28.8)
Мисол. Мисол тарицасида огирлик кучи ыамдонини цараб чи-
цамиз. г Уцнн вертикал буйлаб юцорига йуналтирамиз (67-рисм).
Координата уцларини бундам .танлаб
олгаида потенцвал энергия цуйидаги- -
дек курннишга эга булади [(27.12)
га царанг).
U =\mg2 4- const.
Кучнинг у^ларга проекцияси (28.6'-
га биноан Цуйидагнга тенг;
/ж = 0, /, = 0. =
буидан куч mg га тенг булиб г га
царама-царшк, яъни вертикал буйлаб
пастга йуналган деган хулоса чицади.
67-раем.
29-§. Механик системанинг мувозанаг шартлари
ёпиц системада т^лик; энергия узгармас булгани учун кинетик
энергия фа цат потенциал энергиянинг камайиши цисобига ортиши
мумкин холос. Агар система шундай цолатда турган булсаки, бун-
да жисмлариниг теэликлари нолга тенг, потенциал энергияси эса
мннимал циймагга эга булса, у ^олда ташци таъсир булмагунча
79
в
системанннг жисмлари \аракатга кела олмацди, яъни система »«”
нозанат зрлатда туради.
Шундай дилиб, ёпиц система учун жисмларнинг фа^ат шундай
конфигурациям мавжуд булиши мумкинкн, у системанннг потен-
циал энергияси мин имумига мос келади.
Система жисмларининг узаро вазияти фацат битга катталик,
масалан к координатаси ёрдами билан анодланиши мумкин булган
^олни текширайлик. Мисолтари-
з^асида Ер ва кучмас з^илиб мау
камланган эгилган сим буйлаб
снрпанувчи шарчадан иборат сис-
тема ни ке.тгириш мумкин (68-а
69-расм.
раем). Иккинчи мисол сифатида пружина учига ма^камланган ва
горизонтал йуналтирувчи буйлаб снрпанувчи шарчани курсатиш мум-
кин (69-о раем). t/(x) функциянинг графиклари 68-6 ва 69-6
расмларда келтирилган. U нинг мииимумларига х нинг хв га тенг
цийматлари мос келади (69-расмда) х0 деформацияланмаган пру-
жинанинг узунлнги). I/ нинг минимумлик шарти цуйидаги куриниш-
га эга:
^ = 0. (29.1)
(28.6)га мос равишда (29.1) шарт
fx = 0 (29.2)
га тенг кучлцдир (U фаз\ат битга уэгарувчи х нинг функцияси
dll __ dU \
булганда лГ “ лГ )•
Шундай з^илиб, системанннг потенциал энергиянинг минимумига
мос келадиган конфигурациям шундай хоссага эгаки, унда систе-
80
мадаги жисмларга таъсир этувчи кучлар нолга тенг булади. Бу
иатижа U бир неча узгарувчининг функцияси булган умумий 340.1-
да цам тутрилигича цолади.
68- расмда тасвирланган з^олда (29. I) ва (29. 2) шартлар х га
тенг х'о лар учун з^ам (яыш U нинг максимум» учун з;ам) бажарила-
веради. Шарчанинг х нинг бу цийма'.'и билан белгилападиган уп-
лати 342м мувозанат зрлат булади. Бирок бу мувозанат х — х0 даги
мувозанатдан фаркди равишда тургун булмайди: шарчани бу зрлат-
-дан бир оз чицарилса бас, дардол шарчани х'о з^олатдаи узоклаш-
тирувчи куч юзага келади. Шарчани тургун мувозанат з^олатвдан
(унинг учун х х0) силжитилган вацтда юзага келувчи кучлар
шундай йуналгаики, улар шарчани мувозанат холатга цайтаришга
интилади.
Системанинг потенциал энергияскии ифодаловчи функциянинг
курин иши маълум булса, система харакатининг характер» з^акида
цатор хулосалар чикариш мумкин. Буни 68-6 расмда тасвирланган
график дан фойдаланиб тушунтирайлнк. Агар системанинг тула энер-
гияси графиада чиэилган горизоитал чизик ^ийматларига мос келса.
у ва^гда система ё jq дан xt гача булган чегарада, ё х, дан чек-
сизликкача булган чегарада ^аракат ^илиши мумкин. Система
х< Xj ва ха < х < х, со)(ага кнра олмайди, чункн потенциал Энер-
гия тулик энергиядан катта була олмайди (мабода шундай булган
да, у з{олда кинетик энергия манфий булиб цолар ЭДИ). Шундай
Килиб, ха < х < хв со^а шундай потенциал т^си^ки, система барил-
ган энергия запаси билан у ортали ута олмас экан.
68-6 расмда U нинг графиги орцали системанинг х нинг бе-
рилган кийматидаги кинетик энергиясини топиш усули тушунти-
рилган.
30-§. Шарларнинг марказий урнлншн
Жисмлар бир-бирига урилгаида деформациялаиади. Бунда жисм
лариинг урилищдан олдинги кинетик энергияси кисман ёки т£ла
равищда эластик деформация потенциал энергияси билан жисмлар-
нинг ички энергиясига айланади. Жисмларнинг ички энергияси ор-
тиши уларнинг температурасиин ортишига олаб келади.
Табиатда иккн хил урилиш тури мавжуд, будар—абсолют
эластик ва абсолют ноэластик урилишдар. Абсолют эластик урилиш
деб шундай урилишга айтиладики, бунда жисмларнинг механик
энергияси, энергиянинг бош^а номеханик турларига айламмайди.
Бундай урилиш вацтида нянетик энергия батамом ёки кисман элас-
тик деформация потенциал энергиясига айланади. Кейин эса жисм-
лар бир-бирини итариб дастлабки шаклига цайтади. Натижада элас-
тик деформация потенциал энергияси кайтиб кинетик энергияга ай-
ланади ва жисмлар маълум тезликлар билан бнр-биридан ^очади.
Бу тезликларнинг катталиги билан йуналиши иккита шартга —
— жимлар системасининг тулик энергиясининг сацланишига з^ам-
да тулик импульсининг сакланишига боглац булади.
6-1317 81
Абсолют ноэластик урилиш шу билан характерланаднки, бунда
деформация потенциал энергияси юзага келмайди, жисмларнинг кн-
нетик энергияси батаном ёки цисман ички энергияга айланадн;
урилишдан сУнг туцнашган шарлар ё бир хил тезлик билан jjapa-
катланади, ё тинч \олатда цолади. Абсолют иоэластик урилиш вад-
тида фацат импульснинг сацланиш цонунигнна бажарилади, меха-
ник энергиянинг сацланиш цонунн эса бажарилмайди— цар хил
турдаги — механик ва ички энер-
гиялар йирнндисининг сацланиш
цонуни Уринли булади холос.
Биз иккита шарнинг марка-
вий урилишини текшириш билан-
гина чегараланамяз. Агар ури-
лишга цадар шарлар уларнинг 1
марказларн орцали Утувчи тугри
чнзиц буйлаб харакатланаётган
булса, урилиш маркавяй урилиш
дейилади. Марказий урилиш вацтида
а
т2
6 -
70- расы.
__________________лг_________цуйкдаги ^олларда туцнашиш
юз бериши мумкин: 1) агар шарлар бир-бирига царнб йрналаётган
булса (70- а раем) ва 2) агар шарлардан бнттаси яккннчиенга цувиб
етаётган булса (70-6 раем).
Шарлар ёпиц система цоснл циладн ёки шарларга цуйилган
ташци кучлар бир-бирини мувозаиатлаб чурадн деб фараз цяламнз.
Аввал абсолют ноэластик урилишвн царнб чицайлик. Шарлар-
нинг массаларн Wj ва mt уларнинг урилншнга цадар теэликлари
эса у|0 ва vI0 булсин. Сацланиш цонунига биноан шарларнинг
урилишдан кейинги йигиндк импульси уларнинг урилишдан аввалги
йнгипди импульсига тенг булиши керак:
mavu + = «iV + = (m, + mjv (30.1)
(v—шарларнинг урилишдан кейинги тезлиги, у нккала шар учун
бар хил).
(30.1) дан цуйндаги келиб чицади:
У _ ^Ую + тлчо.
mi+m.
(30.2)
V1O ва vM векторлар бир туври чизиц буйлаб йуналганлиги
учун у векторнинг йуналиши ^ам шу тугри чизнцнинг йуналиши
билан устма-усг тушади. Агар б) цол урннли булса (70- раемга ца-
ранг). У цолда v вектор цам vIO ва у10 векторлар билан бир то-
монга ^налган. Борди-ю а) цол Урннли булса. у вацтда v вектор
у 1о векторларнннг цайси бирн учун т{ vlo купайтма катта булса,
уша вектор буйлаб йуналади.
у векторнниг модули цуйндаги формула ёрдамида ^собланиши
мумкин:
(заЭ)
«2
бу ерда ва vrt ва v,o векторларнннг модули; «—> ишора
а) ^олга, «-Ь» ишора эса б) ^олга мос келадн.
Энди абсолют эластик урнлишни цараб чю$айлик. Бундай ури-
лншда иккита садланиш цонуни: нмпульснннг сацланиш цонуни
билан механик энергиянинг сацланиш цонуни бажарилади.
Шарларнинг массаларини тк ва билан, уларнниг урилишнга
цадар теэликларнни v10 ва vw билан ва нидоят, урилишдан кейнн-
ги теэликларнни vx ва V, билан белгилаймиз. Импульс ва энер-
гиянинг сацланиш цонунини ёзайлик;
^-iVio 4- mtvu = 4- пщ, (30.4)
"h*i2o , ffl«v8 1
2 + 2 — 2 + 2 ‘
(30.5)
(30.4) ни цуйидагича уэгартирамнз:
«i(vio—*1) = —*«) (зо.е)
(Д’ — В2) = (А — В) (А 4- В) эканлигини днсобга олиб (30.5) ни
цуйидаги куринишга келтнрамиз:
"'iCvio - vx) (v10 + VO = m^v, — vM) (v,—v*). (30.7)
Симметрия тушунчаларнга асосланиб шарларнинг тезликларк
урклишга дадар цандай тугри чизид буйлаб йуналган булса, ури-
лишдан кейии ?(ам Уша тугри чизиц буйлаб йуналади деган фикр-
га келиш мумкин. Демак, (30.6) ва (30.7) даги барча векторлар
коллинеардир, Бу (30.6) ва (30.7) ларни солиштиришдан келиб
v„ + V,-V, + VM (30.8)
чи^адн деб хулоса чицаришга имкон беради.
(30.8) ни mt га купайтириб ва чиццан натижанн (30.6) дан
айириб, кейин эса (30.8) ни гг^ га купайтириб ва чнедан натижанн
(30.6) билан цушиб, шарларнинг урилишдан кейниги тезликларииннг
векторларини топамиз:
Vi==
v = пи)
4 fti
(30.9)
Сонлк ^исоблар бажариш учун (30.9) ни v10 векторнинг йУна-
лишнга проекцияснни оламиз:
1 . ffij + т,
' fr.j+m,
Бу формулаларда ва охо —ксс векторларнииг кодуллари
vx ва t>, эса уларнинг проекцияларндир. Юцоридагн <—> ишора
1 (24 7) га гарант.
И
шарлар бир-бирига царама-карши йуналган цоли учун, остидаги«4-»
шпора эса биринчи шар иккинчисини цувиб етаётган цол учун та-
алтуцлидир.
Шуни цайд цилнб утамизки, эластик урилишдан кейин шарлар-
имнг тезликлари бир хил була олмайди. \ацицатан ЧДМ v10 ва v*o
лар учун ёзилган (30.9) ифодаларни бир-бирига тенглаб ва 5?згар-
тиришлар киритиб цуйндагини топамиз:
V10 = Vso.
Демак, шарларнинг тезлиги урилишдан кейин бир хил булиши учун
бу тезликлар урилишга цадар хам бир хил булиша керак экан. Ле-
кин, маълумки, бундай шароитда урилиш содир булмайди. Бундан
урилишдан кейин шарлар тезлигининг бир хил булишлик шарти
энергиянинг сацланиш цонунига зид келар экан деган хулосага ке-
ламиз. Шундай цилиб ноэластик урилишда механик энергия саклан-
мас экан у цисман туцнашаетган шарларнинг ички энергиясига ай-
ланади, бу эса уларни цизишига олиб келади.
Урилаётган шарларнинг массалари бир-бирига тенг: ml = тл
булган зрлни текширайлик. (30.9) дан бундай шароитда цуйндаги-
лар келиб чицади:
*1 = Vw *1 = V10>
яъни шарлар туцнашган вацгда тезликларини узаро алмашаирар
экан. Хусусан, агар бир хил массали шарлардан бири, масалан ик-
кинчнси урилишга цадар тинч турган булса, у цолда урилишдан
кейин бу шар биринчи шар цаидай тезлик билан келиб урилган
булса, ушандай тезлик билан царакатланади; биринчи шар эса ури-
лишдан кейин тинч цолатга ётади.
(30.9) формула ёрдамнда шариннг тинч турган ёки царакатла-
наётган деворга (уин чексиз катта та массали ва чексиз катта ра-
диусли шар деб цараш мумкни) эластик урилгандан кейинги тез-
лигиин аинцлаш мумкни. (30.9) ифодаларнинг сурат ва махражини
та га тацсимласак ва т^та купайтмага эга булган аъзоларни таш-
лаб юборсак, цуйидагини топамиз:
Vi~2vt0—v„,
Vs = vso.
Олинган натижадан келиб чицадики, деворнинг тезлиги узгар-
мас экан. Шарларнинг тезлиги эса агар девор цузгалмас булса
(vlu = 0) уз йуналишини царнма-царши томоига узгартиради; девор
цзракатланаётган булса цам шарнинг тезлиги катталик жицатдан
узгаради (агар девор шарга царши царакатлаваётган булса, у 2уго
га ортади ва агар девор цувиб бораётган шардан «цочаётган» бул-
са. у Ъг'т га камаяди).
[V БОБ
НОИНЕРЦИАЛ САНОК СИСТЕМАЛАР
31- §. Инерция кучлари
Ю^орида (13- § га ^аранг) баён ^илингацидек, Нью гон цонун-
лари фак;ат инерциал саноц системалардагина тугри холос. Барча
инерциал системаларга нисбатан берилган жисм бир хил w тезла-
нишга эга булади. Исталган ноинерциал саноц система инерциал
саноц системаларга нисбатан бирор тезланиш билан ^аракатланган-
лиги сабабли жисмнинг ноинерциал сано^ системадаги w' тезлани-
ши w дан фарцли булади. Жисмнинг инерциал ва ноинерциал сис-
темалардаги тезланишлари фарцини а символ билан белгилаймиз:
w — w'=a. (31.1)
Агар ноинерциал система инерциал системага нисбатан илгарн-
ланма ^аракатланса, у ^олда а ноинерциал сано^ системанинг тез-
ланишига тенг булади. Айланма ^аракат вацтида ноинерциал
системанинг турли нуцталарининг тезланишлари турлича булади.
Бундай ^олларда а ин ноинерциал системанинг инерциал системага
нисбатан ^аракат тезланиши деб таърифлиб булмайди.
Фараз цилайлик, бошца жисмлар томонидан берилган жисмга
курсатилаётган барча кучларнинг умумий ташкил этувчиси f га
тенг булсин. У ^олда Ньютоннинг иккинчи цонунига бнноан
и= if.
Ноинерциал саноц системага нисбатан тезланишни эса (31.1) га
мос равишда цуйидаги куринишда ёзиш мумкин;
w' = w — а- — f — а.
т
Шуидай цилиб, агар жисмга црйилган барча кучларнинг ташкил
этувчиси нолга тенг булса \ам жисм ноинерциал сано^ системага
нисбатан —а тезланиш билан, яъни гуё унга —та га тенг куч
таъсир этаётгандагидек ){аракатланади.
Демак, ноинерциал саноц система ла рдаги ^аракатни таърифла-
ган вацтда, агар жисмларнинг бар-бирига таъсири туфайли юзага
чицадиган кучлар билан бир цаторда инерция кучлари деб
еталувчи 1/п кучлар цам (бу кучларин жисм массжи билан унинг
ниерциал ва ноинерциал сано^ системаларга нисбатан олинган тез-
85
ланишларн фарцининг купайтмасига тенг деб олмоц керак) цнсобга
олннса, динамика тенгламаларидан фойдаланиш мумкин:
= — m(w~ w') = — та. (31-2)
У вацтда Ныотоннинг иккинчи цонуни тенгламаси ноинерциал
саноц системада цуйндаги к^ринишга эга булади:
mw'-f + V (31-3)
Айтилганларни цуйндаги мисол бнлан тушунтирайлик. Аравачага
Й>натилган кронштейнга ип ёрдамида юк осилган булсин (71-раем),
Аравача тинч цолатда турган ёки
71- раем.
тезланишсиз царнкат цилаётган
булса, ип вертикал цолатда бу-
лади ва огирлик кучи Р ни ип-
нинг f, реакциясн мувозанатлаб
Туради. Энди аравачани w0 теэ-
ланиш билан илгариланма цара-
катга келтирамнз. У цолда нп
вертикалдан шундай бурчакка
огадики, бунда Р ва fr кучлар-
нинг умумий ташкил этувчиси
жиемга w0 тезланиш беради. Р
ва tr кучларнинг умумий ташкил
втувчяси нолдан фарцли б^ли-
шига ца рама сдан жисм аравача
билан богланган саноц система-
га нисбатан тинч цолатда була-
ди. Жисм бу саноц системага нисбатан тезланишга эга эмаелн-
гмни формал равишда Р ва fr кучлардан ташцари яна
1/л-------
(31.4)
инерция кучи цам таъсир этайтганлиги бнлан тушунтириш мумкин.
Инерция кучларининг киритилиши жисмларнинг царакатини
исталган (инерциал ва ноинерциал) саноц системаларда бнр хил
царакат тенгламаларн билан ифодалашга имкон беради.
Инерция кучларнни эластик, гравитацион кучлар ва ишцаланиш
кучлари билан, яъни жиемга бошца жисмлар таъсир к^рсатишн
натижасида юзага чицаднган кучлар билан бир цаторга цуйиб бул-
ыаслигини аниц тушуниб олиш керак. Инерция кучлари механик
цодисалар кузатилаётган саноц системанинг хоссаларнга боглиц. Шу
ыаънода уларни фиктив кучлар деб аташ цам мумкин.
Инерция кучларнни Киритиш учун принципиал зарурат йуц.
Принцнпда исталган царакатни доим инерциал саноц системага нис-
батан текширнш мумкин. Бнроц амалда жисмларнинг ноинерциал
саноц системаларга нисбатан, масалан, Ер сиртига нисбатан, цэра-
катя цнзицтиради. Инерция Кучларндан фойдаланиш тегишли маса-
лами бевосита шундай саноц системага нисбатан текширишга
никои берадики, бу эса царакатни инерциал системада гекширган-
дагидан анча ецддароц булади.
32- §. Марказдаи цсчма инерция кучи
Узига перпендикуляр утган Z уцца нисбатан to бурчак тезлик
билан айланувчи дискни текширайлик (72- раем). Диск билан бир-
га унинг кегайнга кийдирилган, дискнинг марказита пружина ёрда-
мида мацкамлангаи шарча айланаётган булсин. Диск айланганда
шарча кегайида, шундай ваэиятни эгаллайдики, уида пружинанинг
тарангланиш кучи шарча мас-
сасининг марказга интилма
тезланишга купайтмасига, яъни
to* R га (бу ер да /? —диск
марказидан шарчагача булган
масофа) тенг булади.
Диск билан богланган са-
ноц системага нисбатан шарча
тинч цолатда булади, чункн
шарчага пружина томонидан
таъсир этаётган кучдан таш-
царн диск марказидан радиус
буйлаб йуналган
/1.
72- раем.
= т®7? (32.1)
куч цам таъсир курсатади, Айланаётган (икерциал системаларга
нисбатан айланаётган) саноц системада юзага келувчи (32.1) куч
марказдаи цочма инерция кучи дейилади.
Айланувчи саноц системадаги турли ну^аларнннг тезланиши
катталик ва йуналиши жицатидан инерцвал системага нисбатан тур-
лича булади. Шунга мос ривищда марказдаи цочма инерция кучи
жиемнинг айланувчи саноц системадаги вазиятнга боглиц булади,
Жисм айланувчи саноц системада тинч турадими (шу вацтга ца-
дар биз фараз цнлганимиздек) ёки уига нисбатан v' тезлик билан
царакатланаднми, бундан цатъи назар жиемга марказдаи цочмэ
инерция кучи таъсир курсатаверади.
Жисмларнинг ер сиртига нисбатан царакатига дойр масалаларии
аниц ечган вактларда та^р/?£рсоз<р га тенг булган инерция кучини
73- раем.
цисобга олмоц керак, бу ерда т—
жиемнинг массаси, шЕр — Ернинг уз
уци атрофида айланиш бурчак тез-
лигя. /?£Р — Ер шарининг раднуси,
<р — жойнинг географик кенглнги
(131- раемга царанг).
Машц. Марказдаи цочма инер-
ция кучини цуйндаги куриннщда
ёзиш мумкинлиги исботлансяи.
m [<о, [г', to]] = т o/R, (32.2)
бу ерда т — жиемнинг массаси,
<о — айланувчи саноц системанинг
87
бурчак тезлиги, г* — жисмнинг айланувчи саноц системанинг боши-
га нисбатан радиус-векторн; бу системанинг боши айланиш у^и-
нинг бнрорга нуцтасига устма-уст тушади, R вектор г' нинг айла-
ниш уцига перпендикуляр ташкил этувчиси (73- раем).
33- §. Кориолис кучи
Жисм айланаетган саноц системага нисбатан ^аракатланганда
марказдан цочма инерция кучидан ташцарн Кориолис кучиёки
кориолис инерция кучи деб аталувчи яна бигга куч юзага
келади. Кориолис кучининг юзага келншипи цуйидаги мисолда ку-
ватиш мумкин. Вертикал yq атрофида айлана оладнган горизонтал
жойлашган дискни олайлик. Диск-
ка радиал ОА тугри чизи^ утка-
замнз (74- а раем). О дан А га
дараб у’ гезлик билан бир шарча
думалатамиз. Агар диск айланма-
ётган булса, у ^одда шарча биз
чизиб дуйгаи тугри чизи^ буйлаб
думалайди. Агар дискни стрелка
билан курсатилган томонга айлан-
тирсак, у вацтда шарча пунктир
бййан тасвирлаиган ОВ эгри чизид
б£йлаб думалайди. шу бнлан бирга
бунда уиинг диекка нисбатан тез-
лиги v* уз йуналишини узгартира-
ди. Демак. айланаетган саноц сис-
темага нисбатан шарча гуё унга
74-расм.
унинг v* тезлигига тик йуналган fK куч таъсир Kj/рсатгандай бу-
лади.
Шарчани айлаваётган диск устида радиал тугри чизиц буйлаб
думалашга мажбур этиш учун ОА деворчага ухшаш йуналтирувчи
урнатиш керак (74- б раем). Шарча думалаганда йуналтирувчи де-
ворга унга барор fr куч билан таъсир этади. Айланувчи системага
(диекка) нисбатан йуналиши узгармас тезлик билан >,аракатланади.
Буни 1, куч шарчага цуйилган ва у' тезликка перпендикуляр f к
инерция кучи билан мувозанатлашганлиги билан тушунтирнш мум-
кин. Худди шу 1к куч Кориолис инерция кучидир. Бу кучин хусу-
сий доллар учун (31.2) формуладан цидирамиз.
1 - цол. Жисм радиал йуналиш буйлаб айланиш уцига перпен-
дикуляр узгармас v' тезлик билан ^аракатланади (75- раем; айла-
ниш уци раем текислигига перпендикуляр), v' узгармас б^лганлиги
учун w' тезланиш нолга тенг ва инерция кучи mW га тенг.
Вактнннг бирор t моментнда жисм t ^олатда турибдидеб фараз
^илайлик. Бу моментда к$'чмас сано^ системага нисбатан v тезлик
нккита ташкил этувчядан иборат булади: радиус буйлаб ташкил
этувчи V/; у жисмнинг у’ тезлигига тенг ва радиусга перпендику-
ляр ташкил этувчи vx\ у модули б?йича ш/? га тенг (/? —айланиш
уцидан жисмгача булган масофа, <а — айланувчи саноц системанинг
бурчак тезлиги).
dt вадт ичида жисм >;зракати йуналишини кУрсатувчи тугри
чизиц dtp = cod/ бурчакка бурилади, жисм эса бу тугри чизиц буй-
лаб dR = v'dl кесмага Кучади ва катижада 2 ^олатга Утащи. Нати-
жада v теэликнинг иккала ташкил этувчиларн ^ам Узла рига пер-
пендикуляр dvLl = v'dtp ва ttojj = u>Rdtp орттирмалар олиб dtp бур-
чакка бурилади. Ундан ташцари vx ташкил этувчннинг модули
do12—cod/? = con'd/ гаортади. Бундай булишига сабаб шуки, 2 \о-
латда v нинг радиусга (жисм у буйлаб ^аракатланади), перпенди-
куляр ташкил этувчиси <o(/? + d/?) га тенглашиб услади.
Шундай цилиб, dt ваг,г вчнда v тезлик олган dv орттирмани
учта dvJ(, dv х2 ва dvB ортгирмаларнинг (75- раемга гарант) йи-
гиндиси сифагида тасаввур дилиш мумкин экан: бунда бу ортгир-
малардан бирннчи иккитаси v' век торга перпендикуляр, учничиси
эса v' 1\айси йуналиш буйлаб йуналган булса, Уша томонга йунал-
гандир (d<p жуда кичик эканлигини назарда тутмо^ зарур).
75- раем..
dv нинг тегишли ташкил этувчиларнии dt га тацсимлаб w тез-
ланишнинг кучмас системага нисбатан ташкил этувчиларини топа-
миз: Wjj гашкил этувчининг модули
dv. n 2П
J “«о?-г=иЧг
га тенг. Бу ташкил этувчи v' га боглиц эмас: у v* = О да ^ам
мавжуддир. Бу ташкил этувчининг т га к^пайтмаси бизга маълум
булгак .марказдан ^очма инерция кучини беради.
dvx| ва dvх2 нинг йигиндисига тенг булган dvx ташкил этувчи
dt га булингандан cj/нг w нинг модули цуйндагига тенг булган
wx ташкил этувчисини беради:
^,1 „ dv 2 и<р dR r , ,
w±=—+~=v ^--l-co-^ = co + coo'= 2ОУ'.
Вектор wx (келгусида биз уни wK билан белгилаймиэ (v) га
ва со га перпендикуляр булиб
wK = 2[<ov'l (33.1)
89
76- раем.
курииишда ёзилиши мумкин (75- рисмда со вектор раем текислигк-
га тик ва бизга >\араб йуналган). (33.1) тезланиш кориолис
тезлаииши дейилади. Уни т га купайтириб ва ишорасини
тескаркга узгартириб, кориолис инерция кучнни топамиз:
f^-2m[v’wj. (33.2)
2-цо л. Айланаётган системага нисбатан жисм айланиш уцига
тик текисликда ётган айлана буйлаб царикатланади, бунда айлана-
нинг маркази Jrua Уеда ётади (76- раем). Айланаётган системага
нисбатан жисм марказга интилма тезла-
нишга эга булади ва бу тезланиш
= (33.3)
бу ерда п —v* га тик бирлик вектор
б^либ, ийланиш марказита цараб йунал-
гандир.
Жисмнниг кУчмас саио^ системага нис-
батан тезлнги 7? радиусга перпендикуляр
булган иккита о' ва со/? ташкил этувчи-
лардаи ташкил топади. v' тезликнинг йу-
налишига ва системанинг ийланиш йунали-
шига царнб бу ташкил этувчилар ё бир
хил, ё ^арама-царши йуналишларга эга
булади. v тезликнинг модули ^уйидагига
тецг булади:
о=|с/ ±<о/?|, (33.4)
бу ерда «+» v' тезлик билан со/? нинг бар хил йуналишига
«—» эса — царама-^арши йуналишига мос келади.
Кучмас системага нисбатан цам жисм айлана буйлаб текис ца-
ракат цилади, шу сабабли w ни цуйидагвча ёзиш мумкин:
W - П = n + co’/?ri ± 2ur con.
К К А
Биринчи цУшилувчи айланувчи системага нисбатан w' тезланиш-
дан иборат [(33.3) га царанг]. Демак,
а = w — vi' = со’/?п + 2о'<оп.
Шу ифодага мос равишда инерция кучи иккита ташкил этувчи-
дан иборат буладн:
fln = — ma = mco*/?n + 2то'оп. (33.5)
Бу кучлардан биринчисн марказдан цочма инерция кучи, иккин-
чиси эса —1* кориолис кучидир.
Куч 1К V7 на со векторларга перпендикуляр булиб цуйидагича
вуналгандир: а) агар и' ва о/? тезликларнинг йуналишлари бир
хмл булса, у ва1\тда марказдан таощарига ^араб ва б) агар v’ га
uR тезлнклар царама-царши йуналган б^лса, у чолда маркаага ца-
раб йуналган (пастдаги ишора). Афтндан бу иккала >{олни цуйндаги
нфодага бирлаштирнш мумкин:
fK = 2/n[v'o>]. (33.6)
Топилган ифода (33.2) га айнан ухшашдир.
Жиемнинг айланувчи саноц системада ^аракатининг иккита ху-
суснй долинн к^рнб чикдик, эндн жиемнинг нхтнёрий даракати
долита мурожаат цилайлик. Бунда умумийрод дол булиши учун К'
номнерциал санок система К кучмас (инерциал) системага нисбатан
айланибгина цолмасдан унга нисбатан илгариланма дэракат дам
дилади деб фараз цилайлик. Лекин биз аввал умумий долни текши-
риш вадтида керак буладиган бнтта мудим муносабатии чндарамив.
Векторнинг цузгалмас ва айланувчи координата системаларада-
гн орттирмаларн орасидаги муносабат. Иккита координата система-
сийи олайлик, улардан битгаси (уни К' билан белгилаймиз) иккии-
иисига (К) нисбатан ю бурчак тезлик билан айланаётган булсин.
Бу снстемаларни шундай таилаб оламизкк, уларнинг г ва г' Удларн
айланиш уди билан. яъни со вектор билан устма-уст тушсия.
К' системанинг боши О' нудтага жойлашган бирпр А векгорни
текширайлик. А вектор вадт утиши билан узгаради деб фараз дн-
лайлик. Векторнинг К координата системасида кузатиладиган- dt
вадт нчидаги орттирмаснии dA билан, худди уша ва^ ичнда К'
координата системасида кузатиладиган ортгирмани эса d'A билам
белгилаймиз. dA ва d'A орттирмдлар турлича эканлигини тушуниб
олиш цийин эмас. Агар А вектор К' системага нисбатан узгармас
ва демак, унннг бу системадаги орттирмаси d'A нолга тенг (бу X04
77- расмда тасвирланган) деб фараз ^илсак, бу варса яццод сезя-
лади. Бирон, X системага нисбатан
лади. РасЦдан к^рнниб турибдикк
К' система dtp = axtt бурилиши учун
кетган dt ва^т ичида А вектор dA
орттирма олади. Бу орттирмани dtp
нинг А га вектор купайтмаси, яъни
dA = (dtp. А] куринншда ёзиш му м-
кин. ХаЧиЧата11 dA нниг мо-
дули A sinadtp га тенг булиб, dA
гектор узи эса dtp ва А векторлар
ётган (улар шундай ётган булиши
керакки, dtp дан А га к,араб бури-
лиш Унг винтни dA йуналиши буй-
лаб кучишига олиб келиши керак)
текисликка перпендикуляр йунал-
ган. Шунн цайд циламиаки, боши
координата бэшида эмас, балки ис-
талган нуцтада ётган вектор учун
худди шундай натижа чи^ади. Агар
А вектор координата уцларига нисбатан цандай жойлашганлигидан
цатъи назар К1 система цандай бурчакка бурилса, А вектор ётган
ва г’ уцца параллел булган текислик цам худди шундай dtp бур-
чакка бурилишини цисобга олсак, юцоридаги натижани тушуниб
олишимиз мумкин.
Умумий цолда d'A орпнрма К' системада нолдан фарцли бул-
ганда X системадаги орттирма цуйндаги формула билан аницла-
нади;
dA — d'A-|-[dtp. А]. (33.7)
Худди шу муносабат биз жисм царакатининг умумий цолинн
текширган вацтда керак буладиган муносабатнинг ^згинасидир.
Ана шу цолни текширишга утайлик.
Ноинерциал саноц системада жисм царакатининг умумий хол.н.
Иккита К ва К' саноц системаларни олайлик (78- раем). Булардан
бири А инерциал булиб, ик-
кинчнси К' эса К га нисба-
тан илгарнланма царакат цн-
лиш билан бирга г уцца доим
параллел цолувчи г' уц атро-
фида текис айлансин (со век-
, - тор цам, катталик цам йуна-
лиш жицатдан узгармайди).
Моддий нуцта т нинг К сис-
темага нисбатан ваэияти г
радиус-вектор билан, К' сис-
темага нисбатан вазияти эса
г' радиус-вектор билан бел-
ей ла нади. Бу векторлар билан
К координата системаси бо-
шидан К' система бошигача утказилган г0 радиус-вектор ораенда-
ги муносабат цуйидагича булиши равшан:
г=г04-г'. (33.8)
т нуцтанинг К системага нисбатан тезлигн гаърифга биноан
цуйидагича:
v=5 (33-9)
А' системага нисбатан тезлигн эса
= (33.10)
га тенг, бу ерда d'r' орцали г' радиус-векторнинг К' системага
нисбатан орттирмаси белгиланган.
(33.8) га бниоан г радиус-векторнинг К системадаги орттирмаси
цуйидагнга тенг:
dr = dr04-dr'. (33.11)
D2
Бу ерда dr'—г' радиус-векторнинг К системадаги орттирмаси. Бу
юцорида [(33.7) га царанг] аницланганига биноан К' системада ку-
( затиладиган d'r' орттирма билан [dy, г'] = [cor' ] di вектордан таш-
кил топтан: _
dr’ = d’r' 4-[<or']d/. (33.12)
Сунгги муносабатни (33.11) муносабатга цуйиб цуйндаги ифо-
дага эга буламиз.
dr = dr0 4- d'r' 4- [«or' | dt.
Бу ифодани dt га булиб ва (33.9) цэмда (33.10) ларни цисобга
. олиб цуйндаги формулами топамиз:
v = v0 4- v* 4- (<ог' [, (33.13)
бунда v0 = ^— К' системанинг К системага нисбатан илгарилан-
ма царакачи тезлиги. Агар К’ система фацат илгариланма царакат
цилса, у цолда й = 0 ва (33.13) формула бизга таниш булган (17.3)
формулага айланади. v0 ва V* тезликлар нолга тенг булган цолда
(33.13) дан (11.4) формула келиб чицади.
Энди (33.13) билан ифодаланувчи v векторнинг К системада
кузатиладиган ортгирмасили топай лик w = const эканлигини цисоб-
га олиб цуйндагини топамиз:
dv = dvc 4- dv’ 4- [со, dr' ].
Бу формулада dr' ни унинг (33.12) циймат билан, dv' ни эса худ-
ди (33.12) га ухшаш ифода билан алмаштирайлик:
dv' = d'v' 4- ldg>, v'J = d'v' 4- [W1 dt
(dv'—v’ векторнинг К системада кузатиладиган орттирмаси, d'v'
эса v' нинг К системадаги орттирмаси). Урин алмаштиришлардан
кейин цуйндаги ифодани топамиз:
dv = dv0 4- d' v' 4- [“V* ] dt 4- [<*, (d'r' 4- |o>r' ] d/)[.
Вектор купайтманинг дистрибутивлигидан фойдаланиб, топилган
ифоданинг сунгги цушилувчисини [<i>,d'r'] 4-[<*>,([ыг'| di)[ куриниш-
да ёзиш мумкин. Демак,
dv = dv0 4- d'v' 4- [mv'] dt 4- [<•>, d'r'] 4- [w, [<or']] dt,
(сунгги цушилувчида скаляр купайтувчи dt ни вектор купайтма
белгиси остидан чицариб юбордик).
Топилган ифодани dt га буламиз:
л “ 5 + тг + l"v'1 +1"’ ^1 + |“г'11'
at at at L at J
d'r' j
д» га тенг булганлиги учун биринчи иккита вектор купайтма
бар-бирига ухшаш ва уларни битга 2 [cov'] цушилувчига бирлаш-
тирищ мумкин. цосила таърифга биноан т нуцтанинг К систе-
93
мадаги w тезланиши, худди шунта ухшаш w'—т нуцтанинг К'
системадаги тезланиши. Шундай цилиб.
w = w0 + w' + 2 [civ' J + [g>, ftor’H, (33.14)
бу ерда w0 — К’ система координата бошинниг тезланиши {К' сис-
теманинг «нлгариланма» тезланиши).
31- § да a w — у/" векторни т га купайтнрсак ва ишоранн
тескарига алмаштирсак, инерция кучи топмлишини айтган эдик.
(33.14) га биноан
а = w — w' = w0 4- 2 [<ov' ] 4- [ю, [й, г'Ц.
Демак,
fto = — mw9 4- 2т Jv'S] + т [to, [г'ы][ (33.15)
сунгги никита цушилувчининг ишорасинн ^згартириш учун купай
тирувчиларнинг Примни алмаштириладн. (33.15) формула инерция
жучниинг барча турларини $з ичига оладн,
Масалан, агар К‘ система К системага нисбатан айланишснз
фацат нлгариланма \аракат цил^а, инерция кучи 1<л = —mwc [(31.4)
формулага ^араиг]^_ Айланма царакат адм юз бараетган булса, цУ-
шимча 1 к = 2лп[ v'<u| [(33.2) формулага гарант! кориолис кучи ва
Lk. = лг[», [г'ю]| маркаэдан цочма инерция кучи юзага келади.
Марказдан цочма инерция кучинн 1К1ц. = лка*К кУринищда >^м
ёэса булади [(32.2) формулага царанг).
Шуни эслатиб ^тамизки, кориолис кучи фацат жисм Уз вазия-
тини айланувчи сано^ системага нисбатан узгартирган ва^тдагика
юзага келади (vz - 0 да кориолис кучинниг ифодасн иолга айла-
нади). Яна шуни цайд циламнзки, кориолис кучи докм айланиш
Уцига перпендикуляр текисликда ётади.
Кориолис инерция кучи намоен буладиган ^аракатларга мисол-
лар. Жисмларнинг ер сиртига нисбатан ^аракати билан боглиц
булган цодисаларнн тушунтираётганда куп лолларда кориолис куч-
79- раем.
№
80- раем
ларинн дисобга олишга тугри келади. Масалан, жисмлар эркия
тушаётганда уларга кориолис кучи таъсир цилиб, уларни осилит
чизнгидан шарада цараб оддиради (79- раем). Бу куч экваторда
максимум булиб, цутбларда нолга айланади.
Учиб бораётган снаряд кориолис инерция кучларн таъсирида
огади (80- раем). Шимолга цараб турган замбаракдан уц узилгандэ
снаряд шимолий ярим шарда гарбга, жанубий ярим шарда эса жа-
нубга осади. Меридиан буйлаб жанубга цараб отилгаида отит йУ-
•ШШ1
нубга огади. Меридиан буйлаб жанубга ^ара_
налишлари ю^оридагига тескарн булади. Эк-
ватор буйлаб агар гарб томонга цараб У^узил-
са, кориолис кучлари снарядни Ерга цараб
босади, агар Ук, шард томонга узилган булса,
у ваадда кориолис кучларн снарядни говорите
цараб кУтаради. Меридиан буйлаб ихтиёрий
йуналишда (шимолга ёки жанубга) ^арннат-
ланаётган жисмга таъсир адлувчн кориолис
кучи шимолий ярим шарда ^аракат йунали-
шига нисбатан унгга, жанубий ярим шарда
эса чапга адраб йуналганлигнга ишонч jjo-
сил адлишни китобхоннниг узига ^аволд
адламиз. Бу Цол доим шимолий ярим шарда
дарёларнннг унг циргоги ва жанубий ярим
шарда эса —чап адрадн ювнлишнга олиб
келади. Худди шу сабаблар икки нзлн темир
йулларнниг йзлари турлича едирнлишига олиб
келади.
Кориолис кучлари маятник тебранган ва^т-
да адм намоёя булади. 81- раемда маятник
юкчаскиинг траекториясн курсаталган (содда-
лик учун маятник кутбда жойлашган деб фа- а,. расм_
раз адлинган.) Шимолий цутбда кориолис Ку-
чи доим маятник юриши буйлаб унгга, и$анубий ярим шарда эса—
чапга йуналган булади. Натижада траектбрйянинг кУриниши розет-
кага (наадпга) ухшайди.
Расмдан куриниб турибдики, маятникнинг тебраннш текнелиги
Ерга нисбатан соат стрелкаси буйлаб бурилади, бунда у бир сут-
када бир марта айланади. Гелиоцентрик санод системага нисбатан
ацвол бошцача тебраннш текислиги узгармайди, Ер эса унга нисба-
таи бурнлиб, бир суткада бир марта айланади.
Географии кенглиги <р булган жойда маятникнинг тебраннш
текислиги бир суткада 2л sirup бурчакка бурилишини курсатиш
мумкин.
Шундай цилиб, маятникнинг тебраннш текислигини кузатиш Ер-
нинг уз Уци атрофида айланишинк бевосита исботлар экан (бундай
мзцеадлар учун мулжалланган маятниклар Фуко маятииклар деб
ата чади).
V БОБ
КЛТТИК ЖИСМ MEXAHI1KACI1
34- §. Цаттиц жисм царакати1
Муцаддимада биз цапиц жисм царакатининг икки асосий тури
илгарнланма ва айланма ^эракат турларн билан танишдик.
Илгарнланма харакатда жиемнинг барча нуцталарининг бир хил
вацт оралицларида кучиши катталик ва йуналиши жи^атядан бир
хил булади, шу сабабли барча нуцталарнинг тезлиги ва тезлаииши
вацтнинг \ар бир моментида бир хил булади. Шу сабабли бутун
жиемнинг (масалан, унинг инерция марказннинг) ^аракатини тула
характерламоц учун унинг битга нуцтасининг царакатиин билиш
кифоя цилади.
Айланма цэракат вацтнда цаттиц жиемнинг барча нуцталари
марказларн айланиш уци деб аталувчи бир тугри чизиц устида
жойлашган айланалар буйлаб царакатланади. Айланма царакатни
таърифлаш учун айланиш Уцниинг фазодаги вазиятнни ва жием-
нинг вацтиинг цар бир моментидаги бурчак тезлигини бермоц ке-
рак.
Маълум булишича, цапиц жиемнинг ихтиёрмй ^эракатини юцо-
рида эслатилган иккита асосий ^аракат турларининг йигиндиси
сифатвда тасаввур цилиш мумкни экан. Буни ясси царакат ^оли
учун, яъни жиемнинг барча нуцталари параллел текисликларда
кучадиган цол учун курсатамиз. Ясен ^арнкатга цилиндрнинг те-
кислик буйлаб думаланиши мисол булиши мумкин (82- раем).
Каттиц жиемнинг / ^олатдан 2 ^олатга ихтиёрий кучишини
(82- раем) иккнта кУчишнинг 1 ^олатдан Г ёки Г цолатга илга-
рнланма кучиш билан О' ёки О’ уц
атрофида бурилишнинг йигиндисн
сифатида тасаввур цилиш мумкин.
Равшанки, кучишни бундай илгари-
ланма ва айланма кучишга ажра-
тншни чексиз куп усуллар билан
амалга ошириш мумкин-у, бироц
цар цандай цолда цам жисм албатта,
бнр хил ф бурчакка бурнладн.
Ю^орида айтилганига мос ра-
вишда жиемнинг бирор нуцтаси-
82- раем
1 Бу бобде 45- § дав бошца барча жо^ларда абсолют цатгнь; жисм назарда
тутилади.
96
нииг элементар ds кучишини иккита «илгариланма» dsv за «айлан-
ма» dsBl) кучишларга ажратиш мумкин:
ds = dsB 4- dsafl,
бунда dsH жиемнинг барча нуцталарн учун бир хил.
ds кучишни бундай ажратишни ю^орида к^рганимиздек, турли
усуллар билан амалга ошириш мумкин, бунда ^ар гал dsj(| на ds_
лар >,ар хил булса цам, жием-
нинг айланма кучиши жисм-
нн бир хил dtp бурчакка (бнроц
турли уцларга нисбатан) буриш
орхали амалга ошарилади.
ds ни тегишли dl вахт ора-
лигига та^симлаб, нуцтанинг у
тезлигини топамиз:
ZfS dSH
»-«-77+-S7--v«+v’
бу ерда v0 илгариланма ^зраках
тезлиги у жиемнинг барча нуцта-
лари учун бир хил, у* эса — айланиш натижасида юзага чнцадиган
тезлик у жиемнинг турли нуцталарн учун турлича.
Шундай цилиб, 1\аттиц жиемнинг неси царакатини яккита цара-
катнииг — vc тезликли илгариланма ^аракат билан а) бурчак тез-
лик .н (82- расцда (о вектор раем текислигига тик булиб, раем ор-
хасига дараб йуналган) айланма царакатнинг йигиндиси сифатида
тасаввур цилиш мумкин экан. Мураккаб хэракат хзхндаги бундай
тасанвурии куп йуллар билан амалга ошириш мумкин. Бу усуллар
бир-биридан v0 ва у' ларнинг цийматлари турлвча эканлиги билан
фарХ цилса хам, улар бир хил со бурчак тезликка мос келади.
Масалан, текислик устида сирпанмасдан думаланаётган цилиндр-
нинг харакатини (82- раем) v0 тезликли илгариланма хаРакаТ lia
бир вацтда <а бурчак тезлик билан ух атрофида айланиш ёки
= 2v0 тезликли илгариланма хзракат ва ушандай а бурчак тез-
лик билан О' уц атрофида айланиш ёки нидоят, яна фацат ушан-
дай бурчак со тезлик билан О' ух атрофида айланиш сифатида та-
саввур цилиш мумкин.
Каттих жиемнинг мураккаб даракати цайси саноц системага
нисбатан текширнлаётган булса, шу системани кУчмас деб олиб,
жиемнинг харакатини кучмас системага нисбатан vc тезлик билан
харакатланаётгап санох системада со бурчак тезлик билан анлапиш
деб тасаввур дилищ мумкин.
г р.адмус’векторли нухтакинг жиемнинг айла ниши туфайли юза-
га келган у" чизикли тезлиги хуйидагига теиг (84- раем):
v’ = [сог].
7—1317
97
Демак, бу нуцтанинг жисм мураккаб царакат цилган вацтдаги тез-
лнги цуйндаги курнмишда ёзилмщи мумкин
v = v0 + I“d. (34.1)
Шундай нуцталар мавжудки, (улар жиемнинг ичнда ёки унинг
ташцарненда ётиши мумкин) улар иккала — нлгарнланма ва айлан-
ма царакатда иштирок эта туриб, цузгалмай цоладн. Хацицатан
дам, берилган v0 ва
и
84- раем.
<0 учун доим шундай г ни топиш мумкинки,
бунда (34.1) нолга тенг булади. Фараз цилай-
лик, берилган моментда илгариланма даракат-
ланаётган саноц системанинг тезлигн v0 га тенг
булсин (85- раем). Бу системада жисм стрелка
билан курсатилган йуналишли <в бурчак тез-
лик билан айланаётган б$'лснн. Айланиш
бнлан боглиц булган v' тезлик турли нуцталар
учун расмда курсатилгандек цийматларга эга.
О' нуцта учун v'o ва v' тезпиклар катталик
жицзтдаи тенг ва йуналишлари царама-царши-
дир. Демак, бу нуцтанинг кУчмас саноц сис-
темага нисбатан тезлиги нолга тенг.
Шу билан бирга, агар <о билан вектор купайтмаси — v0 векторга
тенг булган камида битга г вектор мавжуд булса, у вацтда цатор
векторлар мавжудки, уларнинг о га вектор купайтмаси худди шун-
дай натижа беради: ы нинг 86- расмда тасвирланган исталган г
85- раем.
86- раем.
векторга вектор купайтмаси бир хил катталикка ва бир хил йуна-
лишга эга булади. БувдаЙ радиус-векторлар бнлан аницлаиаднган
нуцталар царалаётган вацт моменткда ^аракатсиз булади. Бу нуц-
талар раемдан кУриниб турибдики, бир тугри чизиц устида ётиб
оний айланиш Уци деб аталувчн Уцин цоенл цилади Оний ай-
ланиш Уцинниг вазияти кузгалмас санок Системага нисбатан ва
жиемнинг узнга нисбатан умуман айтгайда, Вацт утиши билан Уз-
гара борадм. Думаланаётган цилиндр учун (82- раем) оний О' уц
08
цилнндрнинг текисликка тегиб турган чизнри билан устма-уст ту-
шади Цилиндр думалаганда оний уц цам текислик буйлаб (яъни
кУчмас саноц системага нисбатан) цам цилиндр сирти буйлаб крчиб
юради.
Жиемнинг барча нуцталаринннг вацгнинг цар бир моментидаги
тезликларини тегишли оний Уц атрофида айлаинши туфайли юзага
келади деб цисоблаш мумкин. Демак, цатгиц жиемнинг ясен цара-
катини оний уцлар атрофида цатор кетма-кет элементар айлаиищ-
лардан иборат деб цисоблаш мумкин.
Умумий цолда царакатни (ясен эмас) оний уц атрофида айланиш
билан шу уц буйлаб илгариланма кУчишдан иборат деб тасаввур
цнлиш мумкин.
35- §. Цаттиц жисм инерция марказининг царакати
Жиемни элементар £nnt массаларга булаб. уни узаро вазиятв
Узгармайдиган модднй нуцталар системаси деб тасаввур цнлиш мум-
кин. Ана шу элементар массалардан исталгани бир вацтда элемен-
тар масса текширнлаётган жиемнинг бошца элементар массаларв
билан узаро таъсирлашншн туфайли юзага келадиган цам ички
кучлар цам ташци кучлар таъсири остида булиши мумкин. Маса-
лан, агар жисм Ериинг тортиш кучи таъсирцда турган булса. у
цолда жиемнниг цар бир элементар Д/ty массасига Д/n^g га тенг
ташци куч таъсир цилади.
Хар бир элементар масса учун Ньютон иккинчи црнунининг
тенгламасини ёзайлик:
Д/njW, - f, + F/f (35.1)
бу ерда fz — барча ички кучларнинг тенг таъсир этувчиси, F, эса
берилган элементар массага цуйилган барча ташци кучларнинг тенг
таъсир этувчиси. (35.1) тенгламаларни цамма элементар массалар
йигиидиси учун ёзиб цуйндагини топамиз:
2^fw,= 2'.+2₽<- (35.2)
Бироц системада таъсир курсатувчи барча ички кучларнинг йн-
йиндиси нолга тенг. Шу нинг учун (35.2) тенглама цуйндаги содда
куринишга келади:
£дт,и,+ 2г,. (35.3)
бу ерда Унг томоида жиемга таъсир курсатувчи барча ташци куч-
ларнинг тенг таъсир этувчисн цосил булади. (35.3) тенгламанинг
чал томонвда турган йигиндинн жиемнинг т массасинннг унинг
инерция марказк wf тезланишига купайтмаси билан алмаштирнш
мумкни, Хацацатан цам инерция марказининг радиус-векторн [(23.1)
га царанг] цуйидагига тени
г —_
е m
ОТ
Бу муносабатни вацт буйича икки марта дифференциал лаб ва
г = wr ва г, — w, эканлнгияи дисобга олиб ^уйидагини ёзиш мум-
кин:
mv/„= (35.4)
Демак,
2f„ (35.5)
бундан цуйндаги хулоса чицади: массаси жисмнинг мааасига тенг
булган моддий нуфна жисмга ф/йилган барча кучлар таъсирида
цандай царакатланса. фиптик жисмнинг инерция маркази %ам
шундай царакатланади.
Агар 1\аттиц жисмнинг массаси билан унга таъсир этувчи кучлар
аниц б|лса, (35.5) тенгламадан цаттиц жисм инерция мараазининг
царакатини ани^лаш мумкни. Илгариланма \аракат учун бу тенг-
лама фацат инерция мариазининггина эмас, билки жисмнинг истал-
ган бошца нуцтасининг тезланишини аницлаб беради.
Зв- §. ](аттнц жисмнинг айланиши. Куч моменти
Жисмнинг цузгалмас Ух атрофидаги царакати нима билан аниц-
ланншннн топиш учун цуйидаги тажрибанн цараб чицамиз. Учлари-
га бир хил огир т юклар маркамланган енгил крест шаклндаги
жисм олайлик (87- раем). Крестнинг маркаэига погона ли шкив ур-
на тамиз. Бу крестни шкив билан бирга ликда Уцка шундай урната-
мизки, бу ух атрофнда айланиш
деярли иш^аланишсиз содир
булсин.
Иннинг учини шкивнинг по*
гоналаридан бирнга ма^камлаб,
бу ипни шкивга ураймиз га ъп-
нинг эркин учини блок Граали
Утказиб, учига Р юк богла-5 сгиб
цуямиз. Агар Р юкни ь$йиб ю »ор-
сак, крест ортиб борувчи <о бур-
чак тезлик билан текис тезла-
87- раем. нувчан айлана бошлавдк.
Юкнинг Р огирлигини, шкив-
нинг I радиуцини, юклариниг т
массасини ва уларнинг ухлардан R узоцлигини узгартирнб, бу фак-
торлар р бурчак тезланишига ^андай таъсир курса тишини текши-
райлик. Бундай текширишлар натижасида ^уйидагиларни аницлай-
миз: р бурчак тезланиш:
1) илнинг f таранглигига ва шкивнияг / радиусига тугри лро-
порциоиал;
2) юкларнинг т массаснга ва айланиш уцидан юкларгача бул-
ган /? масофанинг квадратига тескари пропорционал.
100
Демак айланма харакатнинг тезланиши фанат жисмга таъсир
этувчи f кучгагина эмас, балки айланиш Уцидан кучнинг таъсир
чизигигача булган I масофага \ам боглиц экан. Купайтма ft акпа-
ниш 5'нига нисбатан кучмоментидеб аталувчи катталикнн бе-
₽аАШунингдек бу хараб чицилган тажрибадан бурчак теэликнинг
катталиги айланувчи жисмнинг массасигагина эмас, балки масса-
нинг айланиш уцига нисбатан таксимланишига хам 6of.hi. деган
хулоса чицади. Бу икки х°лни хисобга °
катталик жисмнинг айланиш уцига нис
инерция момент и деб аталади.
Шундай цилиб, айланма харакатни ypi
учун иккнта янги фнзикавий катталик — ку
менти билан инерция моментини киритилии
рур экан.
Куч момента тушунчаснни аницлашдан
лайлик. Инерция моментини эса кейинги i
рафларда текширамиз.
Нуцтага нисбатан куч момента. Бир
нуктага нисбатан f кучнинг момента деб
М = [гГ],
ифода билан белгиланувчн М вектор катталикка айтилади, бу ерда
г — О нуцтадан кучлар хуйилган нуцтагача утказилган радиус век-
тор. Бу таърифни тушунтирувчи 88- раем О ну^та (момент уша
нуцтага нисбатан олниади) ва f вектор раем текислигида ётади,
деган фараз билан чизилган. У вацтда г вектор .хам шу текисликда
ётади, М вектор эса биз томондан раем текислигига цараб перпен-
дикуляр йуналган. М вектор нчига крестча чизилган доирача шак-
лида таевнрланган1.
(36.1) таърифдан М аксиал вектор деган хулоса чицади. Унинг
йуналиши шундай танлаб олинганки, О нуцта атрофида куч йуна-
лиши буйлаб айланганда М вектор унг вннт системасини ташкил
цилади.
М векторнинг модули
М = r/sina = If. (36.2)
бу ерда а - г ва 1 векторларнинг йуналишлари орасидаги бурчак,
I = rsina эса О нуцтадан кучиинг таъсир чизигига туширилган пер-
пеидикулярнинг узу нлиги (88- раемга царанг). Бу узуилик кучнинг
Онуцтага нисбатан елкаси дейилади.
1 Бундан кейин раем текислигига перпендикуляр руналгаи векторларнп агар
у биз томонпан раемга лараб йуналган б}лСа, крестли доирача била» на вектор
бнзга караб йуналган булса, марказита ну^та куйизган доирача билан тасвирляй-
миз. Кургазмалпрок б}лиши учуп векторни учи конуссимон ва дуу то^от-'а
крестсияон пати бор найза курипишида тасаввур цилиш мумкин. У вагдта aiop
вектлр бгзгл караб йуналган (t йза бнзга караб учиб келаёгган) булса, иукдаля
д< 1 Г ычз, бор i-ю ее • би; «ди узо оашаетган (пайэа биз тоус-жан
уч,1й ксгаепаи; 6Jjca, биз крестлн д »|рачан’и курампз.
Ю1
Куч моменти билан унинг модулини ифодаловчи (36.1) ва (36.2)
формулаларга бошцача куриниш бернш мумкин. Бунинг учун f куч-
нинг векторини иккита: г билан коллинеар булган fr ва г га пер-
пендикуляр булган f, ташкил этувчиларга ажрзтамиз (89-расм).
Маркази О нуцтада ётган г радиусли айланани куз олдимизга кел-
1 и рай лик. бунда f, ташкил этувчи айланага утказилган уринма буйлаб
\ йуналган булади (36.1) формулада f век-
v торни f, 4- 1т йигниди билан алмаштн-
£ г । 1 _ у рамиз ва вектор купайтманииг дистри-
А ' бутивлигидан фойдаланамиз:
/1 М = [rfj - [г, (f, + f,)l - + [r.f, 1.
Биз топган бу ифодада биринчи цу-
89-расм. шилувчи нолга тенг, чунки г ва fr век-
торлар узаро коллинеар. Демак, нуцтага
нисбатан куч моментнни цуйидаги куринишда ифодалаш мумкин:
М = [г, f J. . (36.3)
г ва ft векторлар узаро перпендикуляр булгаилиги учун М вектор-
нинг модули
M~rft
Вектор купайтманииг дистрибутивлигццан умумий 1$йилиш нуц-
тага эга булган кучлар йнгиндисининг моменти ц^шилаетган куч-
лар моментлари йнгиндисига тент деган хулоса чнкади:
M = + ..•)!-Mil+ 1гЦ4- ...«
=. 4- М, 4- ... (36.5)
Жуфт куч момента. Катталик жуцатдан тенг булган н^арама-
царши йуналган ва бир тугри чизиц буйлаб таъсир курсатмайди-
гая иккита кучга жуфт куч деб айтилади (90- раем). Кучлар таъсир
к^рсатаётгав т^гры чизи^лар орасидаги / масофа, жуфт кучнинг
01-расм.
елкаси дейилади. Жуфт кучнинг мсгалган нуцтага нисбатан момен-
ти бирдай эканлигини нсботлайлик. Буни аввал кучлар цайси те-
кисликда таъсир нурсатаётган булса, $'ша текисликда ётган нукта
102
учун бажарайлик (90- расмга царанг). Модули бнр хил булган ft
ва f кучларни f царфи билли белгилаймиз. f, кучнинг моменти //,
га тенг ва бизга цараб йуналган, fa кучнинг моменти эса flt га
тенг ва расмнинг орцасига цараб йуналган. Натижавий момент раем
орцасига цараб йуналган булиб цуйидагига тенг:
М-»/О-f/.
Топилгаи бу муносабат О нуцтанннг жуфг куч ётган текнеликда-
ги вазнятига боглиц эмас.
Энди О нуцтари тамоман ихтиёрнй равишда танлаб олайлик
(91-раем). Бу вуцтадан f, ва f2 кучларнинг цуйилиш нуцталаранинг
г, ва г, радиус-векторларини утказайлик. h кучнинг цуйилиш нуц-
тасидан fs кучнинг цуйилиш нуцтасига ru вектор утказамнз. Рав-
шанки,
г, - г, + Ги (36.6)
f, ва 1* кучларнинг йигинди моменти
М = [г.Ы + [гЛ].
г, векторни (36.6) га асосан алмаштириб ва вектор купайтманииг
днетрибутивлигидан фойдалаинб, цуйидагини ёзиш мумкин:
М = щи -H(«i + ru)fj = [гЛ1 + (гД| + 1гыГа|.
f, — f, булганлнги учун биринчи иккита цушилувчилар узаро
ейишиб кетиб, охирнда цуйидаги ифода келиб чицади:
М = lruf,|.
Шундай цилнб, жуфт кучлар моменти кучлар ётган текисликка
перпендикуляр йуналган (QS- рисм) булиб, циймат жихатдан куч-
лардан нсталган бнттасининг модулииннг елкасига купайтмасига
тенг экан.
Уцца нисбатан куч моменти. Агар жисм О нуцтага нисбатан
ихтиёрий айланаднган булса, у долда f куч таъсири остида жисм
куч билан О нуцта ётган текисликка перпендикуляр уц атрофида,
яъни берилган нуцтага нисбатан олинган кучлар момен-
тининг йуналиши билан устма-уст тушувчи уц
атрофида бурилади. Моментиинг катталиги /*
кучнинг жиемни шу уц атрофида айланти- |
риш цобилиятинн характерлайди. I м
Агар жисм фацат бирор белгиланган Уц - |
атрофидагииа айлана олса, у цолда кучнинг /
жиемни шу уц атрофида айлантири олиш
цобилияти кучнинг уцца нисбатан
моменти деб аталувчн катталик билан ха- . >
рактерланади. C4Z I
f кучнинг Уцца нисбатан моменти нимадан I
иборат эканлигини тушуниб олиш учун f нинг Vj |
О нуцтага нисбатан моментинн топамиз ва
бу моментнинг М векторини О нуцтаданбош- 92-раси.
юа
лаб чнэамиэ (93- раем; бунда f, г на М векторлар раем текислиги-
да етмайди деб фараз цилинади). О нуцта ортали г уц деб агалув-
чи уц утказамиэ ва М векторни иккита: 1И,— уцца параллел’ 'на
Л1л — уцца перпендикуляр ташкил эгувчиларга ажратамиз.
93- раем
Z
Мг
94- раем.
О нуцтага (у уцда ётади) нисбатан куч
момеитининг г параллел ташкил этувчиси
уцца нисбатан куч моменти деб
юритилади. Уцца нисбатан куч моментини
М, символ билан белгилаб цуйндагини
ёзиш мумкин:
М, - (г*1г. (36.7)
Бералган М учун М, векторнинг катта-
лиги билан йуналиши z уц цандай танлаб
олинганлигига боглиц. Агар г Уц М век-
торнинг йуналиши билан устма-уст тушеа,
у цолда М; вектор М га тенг булади,
агар г уц М векторга перпендикуляр
булса, у цолда М, = 0 булади.
Мг нинг (36.7) ифодасини кургазмали-
роц цилиб ёзиш мумкин. Бунинг учун г
радиус-векторнй иккита: гг — уцца парал-
лел ва R уцца перпендикуляр (94-рнсм)
ташкил этувчиларнинг йигиндиси сифатида
тасаввур циламиз. У вацтда z уцца нисба-
тан куч моментини цуйндаги куранишда
ёзиш мумкин
Мг = IrfL = |(г, + R), fl, -- |r.,fL +|RfL-
Бироц fr_.fl вектор z уцца перпендикуляр:
демак, унинг бу уц буйлаб ташкил этувчи-
си нолга тенг. Шунинг учун биз цуйндаги
формулага келамиз:
М, = [МЦ. (36.8)
Энди f кучнинг векторини учта: г уцца параллел f 1(. R вектор-
га коллинеар fR ва ницоят г уц ва R вектор орцали утувчи текис-
ликка перпендикуляр йуналган ташкил этувчиларнинг йигиндиси
сифатида тасаввур этамиз. 94-расмда энг сунгги ташкил этувчи
крестли доирача билан белгиланадн. Агар маркази г уцда ёгган R
радиусли айлананн куз олдимиэга келтирсак, у вацтда f. ташкил
эгувчи бу айланага утказилган уринма буйлаб йуналади. (36.8) да
М, ташкил этувчпии М векторнинг г укко проскцчясидан (у Мг символ билан
белгилаиалн) фарц цил^ох керах; бу ерда Мг— вектор. М2зся скаляр алгебраьк кат-
талик: улар орасидя оддиП Й* = богланиш мавжуд; бу ерда ег — г у^нииг
бирлик вектори (орт). [Бу орт, шумипглек к символа билан цам белгнлтнади;
(2.8) формулага кераиг.]
104
f векторни юцорида эслатйб ^тилган ташкил этувчиларнинг йигин-
диси бнлан алмаштирамиз:
м, = [Rfi, - [R.(f в + fK + = IR.h L + IWrL + WAV
Бу учтя ташкил этувчиларнинг jjap бирини ало^ида-ало^ида
Kj/риб чицамиз. [R, f|| вектор г Уцца перпендикуляр, шунннг учун
унинг уц буйлаб ташкил этувчиси нолга тенг.
[R, 1Я1 вектор уз-узидан нолга тенг, чунки уни ташкил цнлган
купайтувчилари коллинеардир. Демак, биринчи иккн ташкил,этувчи
нолга тенг экан. [R,f,] вектор г уцца параллел (уни ташкил цил-
ган иккала купайтувчи хам z уцца перпендикуляр), шунннг учун
унинг уц буйлаб ташкил этувчиси унинг узига тенг:
|R,fJ, = [R,fJ. Шундай цилиб, биз цуйндаги формулага келамиз!
Mz = [R,fJ. (36.9)
R ва f, векторлар узаро перпендикуляр. Шунннг учуй Мг век-
торнинг модули цуйндагнга тенг;
|Мг| = /?/Л (36-Ю)
R катталик fx кучнинг г уцца нисбатан елкаси дейилади.
(36.9) ифодадан Мг момент f кучининг узи таъсир курсатаёт-
ган жиемни г уц атрофида бура олиш цобилиятини харакперлайди
деган хулосага осонгина келиш мумкин. Хацицатан цам fR ва fs
ташкил этувчилар жиемни г уц атрофида айлантира олмайди. Де-
мак, биз текшираётган бурилиш фа цат f, ташкил этувчи томони-
дангина юзага келнши мумкин ва шу билан бирга бу ташкил этув-
чкнинг R елкаси- цанча катта булса. у бу бурилишни шунча осон-
роц амалга оширади.
Уцца нисбатан момент учун хам (36.5) муносабат уринли, яъни
тенг таъсир эгувчииннг моменгини цушилувчн
ца нисбатан моментларн йигиндисига тенг:
М3 = МЯ + М^+ ... (36.11)
Ички кучларнинг йигнндн моменти. Истал-
ган иккита элементар массаларнинг узаро таъ-
сир кучлари бир тугри чизиц устида ётади
(95- раем). Уларнинг исталган О нуцтага нис-
батан моментлар катталик жицатдан узаро
тенг ва йуналнш жицатдан царама-царшидир.
Шунннг учун ички кучларнинг моментларн
жуфт-жуфт булиб бир-бирнни мувозанатлайдн
ва модднй нуцта, хусусан, цаттиц жисмларнинг
исталган система учун барча ички кучлар мо-
1 Мг нинг ыодулини Мг схмБОЛН билам белгилаш
символ М векторнинг г уцца гроекцияаши ифодалайди; бу проекция мусбат
Ч-iM, мавфий хим булиши мумкин. Векторнинг модуля эса доны мусбат. 1Мг -
~ tMJ муносабат уринлидир
кучларнинг уша уц-
95- раем.
ярамайди, чунки кейиогя
105
ментларининг йнгинднси доим нолга тенг булади. Бу фикр барча
ички кучларнинг исталган нуцтага нисбатан моменгларининг йи-
гиндиси учун цам бу кучларнинг исталган уцца нисбатан момент-
ларининг йигиндиси учун цам уринлидир.
37-§. Моддий нуцтанинг импульс моменти. Импульс моментининг
сацланиш цонуни
Моддий нуцтанинг импульс моменти (царакат мицдори моменти)
цам худди куч моментига ухшаш усул билан аницланади. О нуц-
тага нисбатан импульс моменти цуйидагига тенг;
L = (гр) = m(rvl (37.1)
бу ерда г — О нуцтадаи фазонннг моддий нуцта ётган нуцтасига
Утказилган радиус-вектор (96- раем; f вектор бизга келгусида керак
булади). p = mv—нуцтанинг импульси [(36.1) формула билан тац-
цосланг].
I = rs’TKt елканн киритиб, импульс моменти векторининг моду-
лини цуйидагича ёзиш мумкин:
L —гр sina = 1р. (37.2)
Импульснинг z уцца нисбатан моменти деб, уцца ётган 0 нуц-
тага нисбатан L импульс моментининг шу уедаги ташкил этувчи-
си L, га айтилади (97-раем):
L, = [гр],. (37.3)
(36.9) формулани чицариш вацтида юргнэилган мулоцазаларнн
такрорлаб цуйндагини топамиз:
L, = (R, р,| = MR’*,], (37.4)
бу ерда R—радиус-вектор г нинг г Уцца перпендикуляр ташкил
этувчиси, р, эса р векторнинг г уц ва т нуцта орцали Угувчи те-
кисликка перпендикуляр ташкил этувчиси.
106
Импульс моментининг вацтга цараб уэгаришн нимага боглиц экан-
Лнгини аницлайлик. Бунинг учун купай гмани дифференциаллаш цои-
дасилан фойдаланиб, (37.1) ни t вацт буйича дифференциал лайм из:
<ЭТ5>
Биринчи цушилувчн нолга тенг, чунки у бир хил йуналган вектор-
ларнинг вектор к^пайтмасидан иборат. ХаКн^атан Чам вектор
v векторга тенг ва, демак, йуяалиш жи^атидан р = mv векторга
устма-уст тушади. -^-вектор Ньютоннинг иккинчи цонунига биноан
жиемга таъсир этувчи f кучга тенг [(22.3) га царанг]. Демак, (37.3)
ифодани цуйидагича ёзиш мумкин:
= irf | = М, (37.6)
бу ерда М — L импульс моменти цайси О нуцтага нисбатан оли-
наётган булса, уша моддий нуцтага цуйилган кучларнинг моменти.
(37.6) мукосабатдан моддий нуцтага таъсир Этувчи кучларнинг
бирор О нуцтага нисбатан натижавий моменти нолга тенг булса, у
цолда моддий нуцта импульсининг шу О нуцтага нисбатан моменти
узгармайди деган хулоса келиб чицади.
(37.6) формулага кирунчи векторларнннг г уц буйлаб ташкил
Э1увчиларинн олсак, цуйидаги ифодани топамиз1.
(37.7)
(37.6) формула (22.3) формулага Ухшайди. Бу формулаларни
бир-бирига таццосласак, импульснинг вацт буйича цосиласн моддий
нуцтага таъсяр этувчи кучга тенг булгани каби, нмпульс моменти-
дан вацт буйича олинган цосила куч моментига тенг булади деган
хулосага келамиг.
1 (2.11) формулага бнвоан (dL/dOnpj— вектор-
нинг г Уцца проекцняси, L эса L, векторнинг г Уцца проекцняси. Тенгликнинг икки
^исминн г Укнинг еж ортита кУпаТтирамчз ва l га боглиц эмаслигнни цисобга
олиб, уни унг томонда хосила ишораси остита кирнтамиз Натюкада цуйндагини
лопамни
МЛ Л „ ч
Бирок е, нннг векторнинг г Jw проекциясига купайтмиси бу векторнинг г Уц
буГИаб ташкил этувчиечни берали (132-бетдаги иловата каранг). Демак,
/Л\ d
)ж=* dlLt‘
, ldL\ <П. , ,
бу ерда ( I векторнинг г Уц буйлаб ташкил этувчиси.
ЮТ
Бир неуа мисол куриб чицайлнк.
]-мисол. Фараз цилайлик. моддий нуцта'л 96-расмдаги пунк-
тир тугри чизиц буйлаб царакатланснн. ХаракаТ тугри чизицли
бул.-анлигидан моддий нуцтанинг импульси фацат модули буйича
$згарадн, бунда
^ = f.
dt
бу ерда f — кучнинг модули [курилаётган цолда f билан р бир хил
йуналган (96- расмга царанг), шунннг учун > 0).
Елка I узгармаслнгича цолади. Демак,
Бу (37.6) формулага мос келади (берилган цолда L нинг фа цат мо-
дули узгаради холос, у ортада, шунинг учун)^| = (~).
/~Х 2-мисол. Массаси т булган моддий нуцта /?
/ \ радиусли айлана буйлаб царакатланмоцда (98- раем).
I L Моддий нуцта имлульеннинг О айлана марказита
1 нисбатан момента модуль жицатидан цуйидагига
\ тенг:
L = mvR. (37.8)
д / L вектор айлана текислигига перпендикуляр
б^лив, нуцта царакатининг йуналиши билан L
чи-рпси вектор унг винт системасини цосил цилади.
R га тенг булган елка узгармаганлиги учун импульс момента
фацат тезлик модучининг узгариш цнеобига узгариши мумкин.
Моддий нуцта айлана буйлаб текис царакатланганда импульс мо-
менты катталик жицатидан цам йуналиш жицатидан цам узгармай-
ди. Бу Цолда моддий Нуцтага таъсир этувчи кучнинг момента нол-
та тенг эканлигини тушуннб олиш цийин эмас.
3-мисол. Моддий нуцтанинг кучлар марказий майдонидаги
царакатини текширайлик (26- § га царанг). (37.6) га мос равишда
моддий нуцта импульсипинг кучлар марказита нисбатан олинган мо-
менти катталик ва йуналиш жицатидан узгармаслигн керак (марка-
зий кучнинг марказга нисбатан момента нолга тенг). Кучлар марка-
зидан т нуцтага утказилган г радиус-вектор билан L вектор узаро
бир-бирларига перпендикуляр. Шунинг учун г вектор доимЬ йуна-
лишга перпендикуляр булган текисликда цолаверади. Демак, моддий
нуцтанинг марказий майдонидаги кучларнинг царакати кучлар мар-
кази орцали утувчи текисликда ётган эгри чизиц буйича содир б?-
лар экан.
Марказий кучларнинг ишорасига цараб (яъни улар тортищув
кучлари ёки итарнлиш кучлари булишига цараб), шунннгдек бот-
лангнч шароитларга цараб траектория гиперболадан, парабоЛадан ёки
элчипсдан (хусусий цолда айланадан) иборат булиши мумкин. Ма-
ioa
салак. Ер фокусларидан бирида Куёш жойлашган эллипссимон ор-
бита буйлаб царакатланади.
Импульс моментинннг сацланяш цонуни. N та моддий нуцтадан
ташкил топтан системани текширайлик. 23-§ да цилганимиздек,
нуцталарга таъсир этувчи кучларни ички ва ташци кучларга аж-
ратамиз. Лмоддий нуцтага таъсир эчувчи ички кучларнинг натн-
жавий моментини символ билан, худди шу нуцтага таъсяр
этувчи ташци кучларнинг натижавий моментини эса Мх символ би-
лан белгилиймиз. У цолда (37.6) тенглама i-моддий нуцта учуа
цуйндаги курннишига эга булади:
+ (1-1. 2, .... W).
Бу ифода бир-биридан i индеиси билан фарц цилувчи N та тенгла-
ма тупламцдан иборат. Бу тенгламаларни бир-бирига цушиб, цуйи-
дагини топамиз:
N N JV
y5L‘= <379>
куйидаги катталик
L" 2L' = 2|r” ы (3710>
моддий нуцталар системаси импульсининг моменти
деб аталади.
Ички кучлар моментларн йигиядиси [(37.9) формуланинг унг
томонидан биринчи йигинди] 36-§ нинг охирида курсатилганидек,
нолга тенг. Демак, ташци кучларнинг йипшди моментини М сим-
вол билан белгилаб, цуйндаги тенгликни езишимиз мумкин:
N
% = у м, - М (37.11)
[бу формуладаги L ва М символлар (37.6) формуладаги худди шун-
дай символларга Караганда бошцача маъноларга эга[.
Моддий нуцталарнииг ёпиц системаси учун М — 0 булганлнгн
сабабли импульсиинг йигинди момента L вацтга боглиц эмас. Шун-
дай цилиб, импульс моментипинг сацланиш цонунига
келдик: моддий нуцталар ёпиц системасининг импульс моменти
&згармайди.
Шуии таъкидлаб утамизки, агар система- жнсмларига таъсир
этувчи ташци кучларнинг йшинди моменти нолга тенг булса, таш-
ци кучлар таъенрида турган бундай система учуй Цам импульс мо-
менти узгармайди.
Ш9
(37 11) тенгламаларнинг чап ва тдМонларида турган вектор-
лардан уларнинг z у^и б^йича ташкил этувчилариНи олиб куйидаги
муносабатни топамиз:
^ = ^М,. = М,- (37.12)
Ташци кучларнинг О нуцтага нисбатан натижавий момента под-
дан фарк-м (М.¥= 0), бироц м векторнинг бирор z йуналиш брйича
ташкил этувчиси Мг нолга тент булиб ^олиши мумкин. У ва^тда
(37.12) га биноан система импульСи моментининг z уц б^йнча таш-
кил этувчиси L, сацланиб цолади.
38-§. Айланма царакат динамнкасининг асоснй тенгламаси
Хар бири умумий г ортали ^тувчи текисликлардан бнрортаси-
нинг устида цола туриб бирор ^аракат цила оладиган моддий нус\-
талар системасинитекширайлик (99-расм). Хамматекисликлар бу уц
атрофида бяр хил со бурчак тезлик билан айлана
г олиши мумкин.
(11.5) формулага биноан z-нуцта тезлигининг
Ь» тангенциал ташкил эпувчиси цуйидаги куринишда
/1 ёзилишн мумкин:
I/ t\”‘ *« = l“.
I л- бу ерда R| — г{ радиус-векторнинг г перпен-
I ЧЛ дикуляр ташкил этувчиси (унинг R, модули г уц-
j j>‘ дан ну^тагача булган масофани беради). у^нннг
। Z J бу цийматини (37.4) формулага цуйсак, нуцтанинг
г уцца нисбатан импульси момента ифодасиин то-
J С ламиз:
L,t = m, |R„ [о, RJ| = m^co
К»-раем. биз ((11.3) муносабитдан фондалавдик: R, ва со
векторлар ^заро перпендикуляр].^
Бу ифодани барча нуцталар б^йича цушиб ва со умумий купайт-
мани йшиндн кшораси остидан чи^ариб, система импульсининг г
1)^ца нисбатан момента учун цуйидагв ифодани топамиз:
N
l,-»2тХ с381»
С—1
Моддий нуцталар массаларининг улардан z уццача булган масо4>а
квадратнга к^пайтмалари йигиндисига тенг ушбу
н
/, = 2 т1^“ <38-2)
110
фнзикавий катталнк моддий нуцталар системасннинг г у^ца нис-
батан инерция моменте дейилади (ало\нда олинган ^ар бир
mJ?, ц^шилувчи /-моддий ну^танинг z у ада нисбатан инерция
моментидан иборат).
(38.2) нн зргсобга олсак, (38.1) куйвдагн курннишга келади:
L, =» /,©. (36.3)
L, нинг бу ифодасини (37 12) муносабатга црйсак, айланма чара-
кат динамнкасининг цуйидаги асосий тенгламасиин топамиз:
^(См-м,. (36.4)
Бу тенглама шаклан Ньютон иккинчи цонунининг
тенгламасига ухшайди.
35-§ да биз абсолют адттиц жисмни ораларидаги масофалар
узгармайдиган моддий нугдалар системаси деб адраш мумкин экан-
лигини айтиб утган эдик. Бундай система учун белгиланган куз-
галмас г уада нисбатан инерция моменти I, узгармас катталикдир.
Демак, (36.4) тенглама абсолют адттид жисм учун цуйидагн тент-
ламага айланади:
/;₽« мг, (36Л)
бу ерда ₽= ы —жисмнинг бурчак тезланиши И, — жисмга таъснр
этувчи ташци кучларнинг натижавий моменти.
(38.5) тенглама шаклан
mw = f
тенгламага ухшаш.
Айланма харакат динамикаси тенгламаларини нлгариланма jja-
ракат динамикаси тенгламалари билан солиштирсак, айланма ха-
ракатда куч ролини куч моменти, масса ролини эса инерция мо-
менти уйнашнни ва тунга ухшашларни (2-жадвал) осонгнна пай-
цаб олишимиз мумкин.
2-жадвал
Илг дошвма дар«ат АЯлапде даракаг
mw = 1 /,P = Mz
p=»znv
4₽_ . a £ U
1 —куч т — масса v — чизихли тезлнх W — чизнцли тезланет р—импульс М ёки М4 — куч мояентн lz—инерция моменти to —бурчак тезлик Р—бурчак тезланиш L — импульс моменти
111
Куч моменти ва инерции моменти тушунчаларини биз цаттиц
жиемнинг айланишини текширишга асосланиб киритган эдик. Би-
po»s бу катталиклар айланншга алоцадор булмаган цолда мавжуд.
Масалан, исталган жисм, у айланмоцдами ёки тинч турибдимн, бун-
дам цатъи иазар (худди жисм узикинг царакат хрлатига боглиц
булмаган равишда маьлум массага эга булганн каби) исталган уцца
нисбатан маълум инерция моментига эга булади. Куч моменти цам.
момент цайсн уцца нисбатан олинаётгаи булса, уша уц атрофида
айланмокдами ёки йуцми, бундам цатъи назар мавжуд булади.
Кейинги ^олда текширилаётган кучнинг моменти афтидан, жиемга
таъсир курсатаётган бошца кучлар бнлан мувозанатлашади.
(38.5) тенгламадан барча ташци кучларнинг натижавий моменти
волга тенг булганда жисм узгармас бурчак тезлик билан айланади.
деган хулоса чицадн. Агар жисминнг инерция моменти жиемнинг
алоцида цисмларининг узаро ваэиити узгариши цисобига узгара ол-
са, Мг — 0 булганда //о купайтма узгармай цолади [(36.4) га ца-
ранг] ва /. инерция моментининг узгариши о бурчак тезликни
тегишли равнщда узгаришига олиб келади. Айланаётган курсида тур-
ган одам кулочини ёзган вацтда рекиироц айлана бошлайди, цул-
ларини кукрагига босганда эса секинроц, бу цодисани худди ана
шу цонуният бнлан тушунтирилади.
Умумий айланиш уцига эга булган иккита дискдан иборат сис-
темани текширайлик (100- раем). Диск чарнинг махсус ясалган дунг
жойлари орасига сицнлган пружина жойлаштириб, уларнн ип билан
боглаб цуямиз. Агар няни ёциб юборсак, у цолда нормал цолати-
га цайтаётган пружина таъсирида ичкала диск царама-царши то-
монларга цараб айлана бошлайди. Дисклар олган импульс момент-
лари катталик жи^атдан тенг ва йуиалнш жи.\атдан царама-царшн
булади;
/,<0, = //о,.
Шу сабабли система имлульсининг йигинди моменти аввалгвдек
нолга тенглигича цолади.
Симметрии уци атрофида эркнн айлана оладиган рамага уцлари
устма-уст тушмайднган цилиб урнатилган дисклардан иборат
101-расмда тасвирланган системада цам ацвол тунга ухшаш була-
ди Агар дискларнинг дунгликлари орасига урнатилган пружинани
100- раем
101- рас.
скциб трртнб турувчи ипни ёциб юборсак, дисклар айланма цара-
катга келади, бунда бу дисклар бир томонга цараб айланишини
куриш мумкин. Дисклар билан бир вацтда рама царама-царши то-
монга цараб айланадн ва натижада системанинг т^ла импульс мо
менти нолга тенглигвча цолади.
Юцорида куриб утилган иккала мисолда цам система алоцида
цисмларнннг айланиши ички кучлар таъсири остида юзага келди.
Демак, системанинг цисмлари орасида таъсир этувчи кучлар смете-
манинг алоцида цисмларининг импульс моментларнии ^згартира
олиши мумкин эди. Бироц бу ^згаришлар доим шундай юз беради-
ки, системанинг йигинди импульси моменти узгаришсиз цолади.
Системанинг тула импульс моменти фацат Ташци кучлар таъсири
остидагина узгариши мумкин колос.
39- §. Инерция моменти
Аввалги параграфда инерция моменти элементар массаларнинг
улардан уццача булган масофанинг квадратига купайтмаларкнинг
йитиндисн сифатида таърифланган эди [(38.2) га царанг]. Таъриф-
дан инерция моменти аддитив катталнкдир, деган хулоса чнцади.
Бу эса жиемнинг инерции моменти унинг цисмлари инерция момент-
ларининг йигиндисига тенг эканлигини билдиради.
Жисм ичидаги массанииг тацсимланишини зичлнк деган каттаг
лик ёрдамида характерлаш мумкин. Агар жисм бир жинсли б^лса,
яъни унинг хоссаси барча Нуцталарида бир хил булса, у цолда
₽=у (39.1)
га тенг булган катгалик зичлнк дейилади, бу ерда гп — жиемнинг
массаси, v эса унинг цажми. Шундай цилиб, бир жинсли жисм
учун зичлнк жиемнинг цажч бирлигидаги массасидан ибораг
экан.
Массаси нотекис тацсимланган жисм учун (39.1) ифода зичлик-
нинг уртача циймагннн беради. Бундай цолда берилган нуцтадаги
зичлнк цуйидагича ёзилади:
P’S)
Бу ифодада Ат—лимит утганда зичлнк аницланаётган нуцтага
цараб тортиладиган AV цажмдаги масса.
(39.2) да лимитга утншин AV нинг чиидан бир нуцтага цараб
тортилншидан иборат деб тушу ниш нотугри булади. БуЦдай тушун-
ганда бирн атом ядросига тугри келган, иккинчисн ядролар орали-
ыга тугри келган иккита 1 ярли устма-уст тушувчи нуцталар учуй
жуда катта фарц цилунчи натижа (баринчи нуцта учун жуда катта
кнймат, иккинчисн учун ноль) келиб чицар эди. Шунинг учун ДИ
ни физикавпи чексиз лчнк цажм цоенл булгунга цадар кичрайтн-
риш керак. Фиэикавин чексиз кичик цажм дсганда бир томондан
Б-1317 ИЗ
унинг доирасида макроскопии (яъни к$п мицдордагн атомларга xqc)
хоссаларни бир хил деб цисобласа буладиган даражада етарлича
кичик, иккинчи томонда эса модданинг дискретлигн (узлуклилиги)
сезилмайдиган даражада етарлича катта деб цисобласа буладиган
цажм тушунилади.
(39.2) га биноан Дт, элементар масса берилган нуцтадаги р
жисм зичлигининг тегншли AV, элементар ^ажмга к^пайтмасига
тенг:
Дги, = р/ДУр
Демак, инерция моментини цуйвдаги куринншда ёзиш мумкин:
/ = 2р/лИ, (39.3)
|биз (38.2) формуладаги 7?, ни г{ билан алмаштирдик].
Агар жиемнинг зичлиги Узгармас булса, унн йигинди ишораси
остидан чнцариш мумкин;
I (39.4)
(39.3) ва (39.4) муносабатлар тахминий булиб, элементар цажм-
дар ва уларга мос элементар Дт, масса лар цанча кнчмк булса,
шунча аницлаша боради. Демак, инерция ыоментларини толнш ва-
вифаси интегра л ла шдан иборат экан:
/ = J r’d/п = jpr’dV. (39.5)
(39.5) даги интеграллар жиемнинг бутун цажми буйлаб олина-
ди. Бу интегралларда р ва г катталиклар нуцтанинг, масалаЬ,
ж, у ва г декарт координатларнинг функциясндир.
Мисол сифатвда бир жннсли дискнннг
, - унинг текислигига перпендикуляр ва мар-
’’ । казидан утувчи уцца нисбатан инерция мо
ментинн топайлик (102-раем). Дискии dr
цалннликдаги цалцасимон цатламларга
булиб чицамиз. Бундай битта цатламнинг
барча нуцталарн ^цдан бир хил г га тенг
булган масофада ётади. Бундай цатлам-
нинг цажми
] dV=62nrdr,
I J бу ерда Ь — дискнннг цалинлиги.
f)> Q Диск бяр жинсли булганлиги учун,
унинг зичлиги барча нуцталарда бир хил
102-рйсм. булади ва демак, р ни (39.5) да интеграл
кшорасидан ташцарига чицариш мумкин:
к
/ = p(rMV= pi^bSnrdr,
114
бу ерда R— дискнннг раднуси. Узгармас купайтувчи 2пЬ ни ин-
теграл белгиси остидан ташцарнга чицарамиз:
к
/ = 2п&р j г*фг = 2п5р
о
Ницоит, р зичликнинг дискнннг bnR1 цажмига купайтмасига
тенг булган дискнннг tn массасини киритиб цуйидагини топамиз:
1\араб чнцнлган мисолда жисм бир жинсли ва симметрии 6jhn-
ганлиги цамда инерция моментини биз симметрия уцнга нисбатан
цидирганимиз сабабли инерция моментини топиш анча осонлашади.
Агар, биз дискнннг, 'масалан, дискка перпендикуляр булган ва
унинг цнррасидан утган О'О' Уцца нисбатан инерция моментини
топмоцчн булганимйзда цнсоблашлар равшанки, анча мураккаблаш-
ган булар эди (102 расмга царанг). Бундай цолларга агар Штейнер
теоремасидан фойдаланилса, инерция моментини топиш анча енгил-
лашадн. Штейнер теоремаси цуйидагича таърйфланадк; исталган $ща
нисбатан инерция моменти I шу Ума параллел булган ва жием-
нинг инерция маркази орцали утувчи Уцца нисбатан инерция
моменти 1В билан жиемнинг tn массасининг Уцлар орасидаги а
масофа квадратига купайтмасининг йиеиндисига тенг:
I = /0+ та\ (39.7)
Штейнер теоремаенга биноан дисининг 0'0' Уцца нисбатан
инерция моменти дискнннг маркази орцали Утувчи Уцца нисбатан
биз топган инерция моменти билан /пЯ* нинг (О'О' ва 00 уцлар
орасидаги масофа дискнннг /? радиусига тенг) йигиндиенга тенг:
Шундай цилаб, Штейнер теоремаси аелнда исталган Уцца нис-
батан инерция моментини цисоблашнн жиемнинг инерции маркази
орцали Утувчи уцца нисбатан инерция моментини цисоблашга кея-
тирар экан.
Штейнер теоремаенни исбот-
лаш учун исталган шаклдаги
жисм оламиз (103-раем). Икки-
та бир-бирига параллел 00 ва
0'0' Уцларини олайлик. Бу Уц-
лардан бири (00 Уц) жиемнинг
инерция маркази орцали Утсин.
Бу уцлар билан хуг ва х'у'/
коордннаталар Уцларнии боелай-
миз. Бу координата Уцларнии
шундай таилаб оламизки, г уц
Ив
00 уц билан, / уц эса О'О' уц билан *'устма-уст тушсин (103-
расмда бу уклар раем текислигига перпендикуляр йуналган). Ун-
дан ташцари х ва х' удларнн улар бир-бирига устма-уст тушади-
ган ва жисмнинг инерция маркази орцали утадиган цилиб танлаб
оламиэ. У вандда элементар массаларнинг координаталари
ораеида цуйидаги муносабат уринли булади:
х’,= a+xt-, у’, = у(»
бу ерда а — уцлар орасидаги масофа.
дан 00 уц^ача масофанинг квадрата
г’ = А + У%, (39 8)
О’О' уедача булган масофа квадрати эса
= X,2 4- у* = (х, + af 4- yt. (39.9)
(39-8) ин ^исобга олгаида жисмнинг 00 ?цка нисбатан инер-
ция моменти цуйидагича ифодаланади:
^=2г- Д/Л/ = (39.10)
О'(У уцца нисбатан инерция моменти эса [(39.9) ни ^исобда
олгаида]
/ = 2 г‘ 8А'Яг=’2Ка + х0’+ (39.11)
Кнчик ^авслар нчидаги ифодани квадратга к^тариб ва ?[осил
булган цушилувчиларни мос равишда группалаб (39.11) ифодани
^уйидаги курннишга келтириш мумкин:
/ = 2 (*? + 14) + °2 S A%4-2<*2 (39.12)
(39.12) даги йитиндилардан биринчиси (39.10) га айнан тенг,
яъни /0 дан иборат; иккинчи йигинди та2 ни беради; учинча йи-
гинди эса, куриниб турибдики, нолга тенг. XatWaTaH ^ам 2 уц
жисмнинг инерция маркази орцали утганлиги учун инерция маркази-
нмнгхе координатаси нолга тенг. Illy билан бирга таърафга биноан
хе— бундай 2нолга тенг деган хулоса чидади.
Шундай ^илиб, (39.12) ифода цуйидаги курннишга келади:
( = («+ та2>
худди шуин исботлаш тала » цилинган эди 1(39.7) га царанг].
Энди биъзи жисмлар учун (жисмлар бир жинсли деб фараз ци-
линади, т — жисмнинг массаси) инерция моментларинннг цнймат*
ларини келтираб утамиз.
1. Жисм кесими ихтиёрий шаклга эга булган ингичка узун
стержендан иборат. Стерженнинг кувдаланг улчами b стерженнинг
I узунлнгидан анча кичик (6 /). Стерженга перпендикуляр булган
116
ва унинг цощ уртасидан утган Уцца (104-раем) нисбатан инерции
моменти куйиаагига тенг:
2. Диск ёки цилиндр учун /? нинг I га нисбатан исталган ций-
матда булганда (105-раем), цилиндрнииг геометрик уци билан
устма-уст тушувчн уц^а нисбатан
инерция моменти цуйнддгига тенг;_______________gl___________
' [ .l~p
3 Жисм юпца дискдан иборат. 1 О [
Дискнинг ^алинлиги b дискнинг /? 104-раем.
радиуецдан куп марта кичик (Ь £ /?).
Дискнинг днаметри билан устма-уст тушувчн уцца нисбатан инер-
ция моменти ^уйидагига тенг (106- раем).
I = mR2.
105- раем
106- раем.
4- R радиусли шарНинг унинг маркази ортали утувчи у (да
нисбатан инерции моменти цуйидагига тенг:
I = |mR’.
40- §. 1^атти^ жисмнинг кинетик энергияси
1\агтиц жисмнинг куэгалмас у»У атрофида аЙланиши. Жисм биз
г уц деб ном берган цузгалмас уц атрофида айланаётган булсин.
Лт, массанинг чизицли тезлиги цуйидаги куринишда ёзилиши мум-
кин:
к,» Rtw,
бу ерда Rt—z у^ан гача булган масофа. Демак, /-элемен-
тар массанинг кине!нк энергияси ^уйидагига тенг:
&Л = = У <А
117
107- расы.
Жиемнинг кинетик энергияси унинг цисмлари кинетик энергия-
яарндан ташкил топади:
Г -
Бу муносабатвкнг Унг тоюнндаги йиьнндя жиемнинг айланиш Уци-
га нисбатан !г инерции моментндан иборат. Шундай цилиб, ц^э-
галмас Уц атрофида айланаётган жиемнинг
кинетик энергияси цуйидагига тенг экан:
T-'Jf. (40.1)
Топилган ифода илгариланма царакат-
ланаётган жисм кинетик энергиясининг Т—
— мфодасига Ухшайди. Айланма царакатда
масса ролини инерции моменти, чизицлн
тезлик ролини эса бурчак тезлик уйнайди.
Цаттиц жисм айланган вацтда ташцн
кучларнинг бажарган иши. Жмем цузгал-
мас г Уц атрофида айланган вацтда ташци
кучлар бажарган ишни топайлик. Элемен-
тар Д/п, массага цУйилган ташци кучни ft билан белгилаймиз: dt
вацт ичида /-элементар масса
ds,= 7?4d<p
йулни утадн (107- раем), бу ерда d<p — dt вацт ичида жисм бурилган
бурчак.
Бу йУлда f/ куч бажарган иш кучнинг кучиш йуналишига про-
екцняси (уни f-i символ билан белгилаймиз) билан белгиланади
(т—элементар масса царакатланаётгав айланага утказилган урин-
манинг бирлик вектори; бу векторнинг йуналиши берилган момент-
даги кучиш йуналиши билан устма-уст тушади). Шундай цилиб,
dX,- fuds,= fuRidy.
Бнроц faR, катталик f, кучнинг г уцца нисбатан моментининг,
яъни [Мж(] модулига тенг: агар мусбат булса, <+> ишора билан,
ягар Д, манфий булса, «—> ишора билан олинади. (36.10) форму-
лага цараыг; (бу формулвда Д—проекция эмас, балки Д кучи-
нинг модулиднр). Демак,
А4,-±|Мн|<*Р- (40.2)
Элементар бурилиш бурчагини аксиал вектор деб цараш
мумкин:
d<p=v>dt.
dA, иш агар Мя ва Лу билан бир хил йуналганда мусбат ва агар
Mz, ва dg> векторларнииг йуналишлари царама-царши булса, ман-
ив
фий бУлишинн билнб олиш цийин эмас. Шукниг учун (40.2) фор-
мулага цуйидагича кУриниш бериш мумкин:
d<4,= Mxld<p.
Жиемга цуйилган барча кучларнинг ишн айрим кучлар бажар-
ган ишларнинг йигинднеига тенг:
dA = ^dAt « 2 dip.
К>авс ичида турган йигинди жиемга цуйилган барча ташци кучяар-
нинг айланиш уцига нисбатан натижавий Mz моментнни беради.
Демак,
dA= М/ф. (40.3)
Бу ифода илгариланма царакат вацтидаги ишнинг dA = fds ифо-
дасига ухшайди. Таццослашлар шунн курсатадики, айланиш учун
куч ролиин куч моменти, чизицлн ds = vdt кучиш ролини эса бур-
чак кучиш dip = codf уйнар экан,
Амалда ищни цисоблаш учун цуйндаги
dA = Ма dip — Mjodt (40.4)
ифодадан фойдаланилади, бу ерда Мш деб жиемга цуйилган барча
ташци кучлар натижавий моментининг со вектор йуналишига про-
екцинси тушунилади. Чекли вацт оралирн ичццаги иш (40.4) нфо-
дани интеграллаш орцали топилади:
Л-рЛ=^М.<1ф=(мвИ<К. (40.5)
Агар кучлар натижавий моментининг со йуналишга проекцняси
Узгармаса, у вацтда уни интеграл кшорасидан ташцарнга чицариш
мумкин:
А — Ма j dtp = Ми ф. (40.6)
(<р — жисм t вацт ичида бурилгае бурчак.)
Жиемнинг ясен царакат вацтидаги кинетик энергияси. Биз
34-§ да жиемнинг ясен царакатини иккита царакат—бирор v0
тезликли илгариланма царакат ва тегишли уц атрофида айланма
царакат йнгиндкеи сифатида тасаввур цилиш мумкин эканлигини
курган эдик. Жисм билан К' координата системасини боелаб, унинг
z' уцини жиемнинг айланиш бурчак тезлиги вектори со буйлаб йу-
1 Элементар маосаларгя к.уОнлган итки f’j кучлар учун цам шундай мулоца
заларни такрорласак, биз цуйидагн dd = форыулани топамиз, бу ерда
Мг — барча нчкн кучларнинг натижавий моменти. Бу момент биз биламнзни,
нолтя тенг (36-§ нинг сунгги абэацнга царанг). Демак, жисм айланган вактла
ички кучларнинг йинщдк иши нолга тенг экан.
119
налтирачиз. (33.13) формулага биноан жисмнинг /-элементар
массасининг цуэгалмас К коорданата системасидаги тезлигиин ^у-
йвдаги куранишда ёзиш мумкин:
v»= ve+ [w, rj.
бу ерда v0— Кг система координата боши О' нинг тезлиги, г,—
элементар массанинг О' нуцтага нисбатан вазиятини белгиловчи
радиус-вектори.
I- элементар массанинг кинетик энергияси1
ДЛ= = /] |2.
Квадратга кутариш амалиин бажарсак:
&Tt = 1 ДтД^ + 2v0[w, г, ] + [®, <[’). (40.7)
<о нинг г’, га вектор купайтмани со нинг г, радиус-векторнинг
г' уеда перпендикуляр ташкил этувчиси R, га купайтмаси билан
алмаштириш мумкин эканлигини биламиз ((11.4) формулага ва ун-
дан кейинги текстга царанг]. Бу вектор купайтманинг модули о/?,
га тенг (чунки о билан R, узаро перпендикуляр).
Демак, [со, rjp= vHfy Бу ифодани (40.7) га ц^ямиз ва ДТ\
нинг барча элементар массалари буйича йигиндисиии оламиз. На-
тижада биз жисмнинг кинетик энергиясини топамиз:
т=42Дгп< +2voi“. д«сг<(+ 42
Хамма ^аддаги узгармас катталикларни йигинди ишораси ости-
дан чи^арамиз:
т •= -2-x'()2Ami+v0i ы> 2Дт' +4
(иккннчи цушилувчинн узгартираётгаида биз тенглвннинг унг то-
монида вектор ва скаляр купайтмаларнинг дистрибутивлигидан фой-
даландик).
Элементар массаларнинг йигиидиси ^Д/n, жисмнинг m мас-
сасидан иборат. ^Длг,г'( ифода жисм массасининг жисм инерция
1 Векторнинг квадрата унинг вюдулинннг квадратига тенг: эканлиги-
ни эслатиб утамиз.
120
маркззянинг К' системадаги радиус-векторига к^пайтмасига теиг
[(23.1) формулага царанг). Нгцоят, жисмнинг г' ай-
ланиш yiyira нисбатан /, инерция моментини беради. Шунинг учун
T-y- + vJ« mrj-l !£-’. (40.8)
О' нуцта сифатида жисмнинг С инерция маркаэини олсак, яъни
К‘ координаталар системаси бошини С нуцтага жойлаштирсак, бу
ифодаин соддалаштиришимиз мумкин. Бу ^олда гс=0 булганлигн
учун иккинчи ^ушилувчи йуц булиб кетадн. Шунинг учун vc билан
инерция маркази тезлигнни, 1е билан эса С нуцта орцали утувчи
айланиш уцига нисбатан жисмнинг инерция моментини Селгилаб,
жисмнинг кинетик энергияси учун цуйндаги формулами топамиз:
т=т4+'4- «°-®>
Шундай дилиб, ясси >;аракатда жисмнинг кинетик энергияси
инерция марказининг тезлигига теиг тезлик билан содир булувчн
нлгариланма ^аракат энергияси билан жисмнинг инерция маркази
ортали утувчи уц атрофида айланиш энергиясцдан ташкил топар
экан.
41-§. 1(аттиц жисм динамикаси ^онунларининг iy/лланнлиши
Аввалгн параграфларда аницланганидек, ^аттн^ жисмнинг >ja-
ракати иккита тенгламани ^аноатлаитирадн |(35.5) ва (38.5) ларга
царанг):
(41-1)
2Х- (-нл)
Демак, жисмнинг ^аракати жисмга таъсир этувчи таш^и куч-
лар ва бу кучларнинг М, моментлари билан белгиланар экан. Куч-
лар моментини исталган кузгалмас ёки тезланишсиз ^аракатланув-
чи уцца {I инерция моментини ^ам худди уша уцца) нисбатан
олиш мумкин. Агар ташци кучларнинг тезланиш билан ^аракат-
ланаётган уцца нисбатан олганнмнзда биз аслида ноинерциал са-
ноц системада (41.2) тенгламани ёзган булар эдик. Бу ^олда
жисмга цУйилгаи ташци кучлардан ташк.ари инерция кучларини ва
уларнинг моментларинн ^ам ^исобга олиш керак.
Жисмга таъсир этувчи 1, кучларнинг цуйилиш нуцталаринн
уларнинг таъсир чизнклари буйлаб куиириш мумкин, чунки бунда
2^ йигинди >;ам ва момент цам узгармайди (кучни унинг
таъсир чизиги буйлаб кучиргаида исталган нуктага нисбатан елка
узгармайди). Ана шундай кучиришлар орцали бир неча кучни улар-
нинг жисмнинг ^аракатига курсатаетган таъсири нуцтаи назаридан
121
уларга эквивалент булган битта куч бнлан алмаштирнш мумкин.
Масалан, бир текисликда ётган иккита ва 1» кучни (108-раем)
цуйилиш нуцтаскнн уан таъсир этаётган чизиц буйлаб ихтиёрай
танлаб олса буладиган эквивалент f куч билан алмаштирнш мум-
кин.
Жиемга таъсир этаётган параллел кучларни уларнинг тенг
таъсир этувчиси билан алмаштирнш мумкин. Бу тенг таъсир этув-
. чи барча кучларнинг йигиндиенга тенг
булиши ва шу билан бирга жиемнинг
уг шундай нуцтасига ц^йилиши керакки, бу
нуцтанинг моменти алоццда кучлар мо-
I ментларинннг йигиндиенга тенг булсин.
( , w*; f Огирлик кучининг тенг таъсир этув-
( "VJ чисини топайлнк. Огирлик кучи цитгнц
. жиемнинг бирча элементларига ц^йилган
/ / булиб, Дт® элементар массага Дт®# га
( О J тенг куч таъсир курсатади. Бу кучлар-
нинг йпгиндисн Р = mg га тенг. Огир-
лик кучларининг исталган О нуцтага
нисбатан йигинди моменти
108- раем
М = Jiri. (Д/М)].
бу ерда Г/—Д/n® нинг ваэиятини О нуцтага нисбатан аницловчи
радиус-вектор. Скаляр купайтувчи tunf ни иккинчи купайтувчцдан
биринчисига ^ткаэиб ва умумий купайтувчи g ни йигинди белгнеи
остадан чицаркб цуйидагини топамиз:
м - 1(2л»1,г,). и.
Бироц кичнк цавс нчида турган йигинди жисминнг т массасининг
С инерция маркази радиус-вектори г® га купайтмасига тенг. Шу-
иннг учун
м ~ ((тг®)> в! = (г®, (msil = (г®. ₽1. (41.3)
яъни огираик кучининг исталган нуцтага нисбатан йигинди момен-
та С нуцтага цуйилган’пд* кучнинг момеитнга айнан ухшар экан.
Шундай цилиб, огирлик кучларининг тенг таъсир этувчиси
Р = mg га тенг булиб. жиемнинг инерция марказита ц^йилар экан.
(41.3) дан огирлик кучларининг инерция марказига нисбатан
моменти нолга тенг деган хулоса чицади (бу цолда г®— 0). Кайен
нуцтага нисбатан огирлик кучларининг моменти нолга тенг булса,
j/ша нуцта жиемнинг огирлик маркази дейилади. 23- § да цайд цилиб
|’тганимиздек, жиемнинг огирлик маркази унинг инерция маркази
бнлан устма-уст туша ди. Т$три, фацат тортишнш кучи майдониьи
берилган жисм чегарасида бир жиисли деб цисоблаш мумкин б^л-
ган цолларда, яъни турли элементар массаларга цУйнлгаи кучлар
бир хил йуналган ва массага пропорционал булган цоллардагина
бу фикр тугри булади. Бу шарт улчамлари Ер шарининг улчамла-
12Э
109- раем.
рига цараганда анча кичик булган жисмлар учунгина бажарилади.
Агар улчамлар Ернинг улчамларига яцин булса, умуман айтганда,
огирлик маркази билан инерция маркази устма-уст тушмайди. Буни
оддий бир мисолда тушунтнрайлнк. Бир жинсли узун стержень
Ерга якин жойда турган булснн (109-раем). Стержень расмда кур-
сатилганидек вазиятда турганда унинг турлн элементларига цуйил-
ган тортилиш кучларн тахминан параллел
брлаДи. Тенг элементларга цУйилган
кучларнинг катталиги Ердан узо^лаш-
ган сари 1/г’ (г —Ер марказидан эле-
ментгача булган масофа) цонуният билан
узгаради. Маълумки, бу ^олда огирлик мар-
кази инерция марказита нисбатан стержен-
нинг Ерга якинроц учига цираб кУчган 6J-
лади.
Инерциал системага нисбатан илгари-
лайма ^аракатлакаётган ноинерциал сано^
системада жиемнинг ^аракатини текшириш
вацтида кнритиладиган инерция кучлари
^ам худди огирлик кучининг куч майдони
бир жинсли булган ^олдагн хоссаларига ухшаш хоссаларга эга
булади. Хацицатан >^м Д/п, элементар массаларга цУйилган инер-
ция кучлари — Am,w0 га тенг, яъни бир хил йуналган на массага прс>
поринонал (илгариланма ^аракатлаваётган ноинерциал системанннг
барча нуцталари учун wD бир хил) булади. Бизнн (41.3) фор-
мулага олиб келган муло^азаларии такрорлаб, натижавий инерция
кучи — mw0 га тенг (т—жиемнинг массаси) ва инерция маркази-
та цУйилган эканлигини кУрсатиш мумкин.
Илгариланма царакатланувчи ноинерциал сано^ система билан
богланган ва жиемнинг инерция маркази орцали утувчи (яъни жисм
инерциал системада илгариланма ^аракатланаетган уцца нисбатан]
инерция кучлари моменти нолга тенг (бу цолда натижавий инерция
кучлари инерция марказита ц^йилган эканлигини биз курган эдик).
Шунинг учун (41.2) тенгламани инерция кучларнни ^исобга олмай ана
шундай уцца нисбатан езиш мумкин. Яна бир бор таъкидлаб утамиз-
ки, фа^ат инерция маркази орцали утувчи ва инерциал сано^ система-
га нисбатан Уз йуналишини узгартирмайдиган (бурилмайдиган) уь^а
нисбатангина ана шундай цилиш мумкин. Ясен ^аракат учун инер-
ция маркази орцали утувчи ва ^аракат содир булаётган текиелнкка
перпендикуляр йуналган Уц ана шундай Уц цасоб.танади.
Цаттиц жиемнинг мувозанатн шартлари. Маълумки, илгарилан-
ма даракатии ёки айланишнн юзага келтирувчи сабаблар булмаса-
гииа, жмем тинч цолатда туриши мумкин. Бунинг учун (41.1) ва
(41.2) ларга бнроаи цуйндаги иккита март бажарилиши зарур ва
етарли ^исоблавади:
1) жиемга цуйилган бирча ташци кучларнинг йигинднеи нолга
тенг булиши керак:
2*<=в- (41.1)
JB
2) ташци кучларнинг исталган цузгалмас рцца нисбатан нати-
жавий моменти нолга тенг булиши керак:
2*1,-0. (41-S)
Амалда (4'1.5) шарт бир текисликда ётмаган учта исталган ц^з-
галмас уцлар (масалан, х, у ва г координата уцлари) учун бажа-
рилса, шунинг узи кифоя экан. Бунда у исталган бошца уц учун
цам бажарилаверади.
(41.4) на (41.5) муносабатлар цаттиц жиемнинг мувозанат шарт-
ларининг Узгинасидир.
Каттиц жисм механикаси цонунларининг
цулланилишнга мисоллар
1-мнсол. Бир жинсли тусин иккита таянчда ётибди (ПО-раем).
Таянчларнинг fj ва L реакция кучларини топинг.
Огирлик кучларининг тенг таъ-
сир этувчиси Р га тенг булиб, инер-
ция марказнга цуйилган. Тусин цуз-
галмас, шунинг учун (41.4) га биноан
Р. *1 ва Та кучларнинг йигиндиси нол-
га тенг булиши керак. Бундан цуйи-
цаги муносабат келиб чицади:
110- раем-
бу ерда Р, h ва /j— ташкил этувчи кучлариниг модулларн.
Тусинга таъсир этувчи барча кучларнинг исталган уцца нисба-
тан натижавий моменти цам, хусусан, чап томондаги таяич нуцта-
рига инсбатан моменти нолга тенг булиши керак [(41.5) га царанг|.
Бундан
Р (Г-/,) =
, _ Р
'« 2
mgsiny
ft
ill-раем.
Биз А ва It номаълумли иккита тенгламага эга бУлднк Энди
уларни ечиб, цуйщагиларии топамиз:
Р 1—2/.
f‘ “ Т !-(<,+« '
2- мисол. Радиуси /? га ва
массаси т га тенг булган бир
жинсли цилиндр ция текислик
буйлаб ншцаланншеиз дума-
ланибтушмоцда. Текисликнинг
циялик бурчаги <f га (111-
расм), ба тандлиги эса h га
тенг бУлсвн (Л » R). Цилиндр-
нинг бошлангич тезлнги нолга
тенг. Цилнидрнинг горлзон-
тал циемга- чнццан яайтдаги
121
бурчак тезлиги ва унинг инерция марказннинг тезлиги топил-
син.
Ечимнинг иккита вариантини берамиз.
1-ечиш усули. Цилиндр учта куч: Р = mg, шлцаяаниш кучи
кшк ы текислккнинг реакцияси f, таъсири остида харакат
цилади. Ньютоннинг учинчи цонуннга биноан f, реакцняницг мо-
дули Р кучнинг нормал ташкил этувчисига (унинг катталиги
mg cos g> га) тенг.
Цилиндр билан ция текислик орасидаги ишцаланиш уларнинг
бир-бирига тегиш нуцталарида юэага келади. Цилиндрнинг бу нуц-
талари вацткинг цар бир моментида кучыаганлнги (улар оний ай-
ланиш у цини цосил цилади) туфайли бу ерда эслатилаётган ишца-
ланнш кучи тинч цолатдаги ишцаланиш кучидан иборат булади.
19- § дан маълумки, тинч цолатдаги ишцаланиш кучи нолдан то
максимал f0 цийматларгача эга булиши мумкин. Бу максимал ^ин-
мат ишьрланиш коэффициентининг бир-бирига тегиб турувчи жисм-
ларни Узаро снциб турувчи нормал босим кучига купайтмасига тенг
(fv—kmg cosy). Берилган цолда ишцаланиш кучи шундай циймат
оладйки, бунда сирпаниш сира брлмайди. Цилиндр текисликда ду-
маланаётганда тегиш нуцталарининг чизицли тезлиги нолга тенг
булган цоллардагика сирпаинш йУц булади. Кейинги шарт эса
инерция марказннинг тезлиги vc вацтнинг цар бир моментида ци-
линдрпинг со айланиш бурчак тезлиги билан цилиндр R радиусининг
купайтмасига теиг, яъни
Vc =-b)R (416)
булгандагииа бажарилади.
Шунга мос равишда инерция марказннинг wc тезлаииши fl бур-
чак тезланишининг R га купайтмасига теиг;
₽А’. (41.7)
Агар бу щартларни бажариш учун зарур булган ишцаланиш
кучи /ишг. максимал f0=kmg cos <р цийматидан ортмаса, у цодца
цилиндр сирпанишсиз думаланиб тушади. Акс цолда сирпанишсиз
думаланиб тушиш амалга ошмайди.
Сирпанишсиз цол учун1 (41.1) тенгламанинг царакат йуналиши-
га проекцняси цуйидаги куринишга эга:
mtve= mg sin <р — /-ж. (41.8)
Цилиндрик уцига нисбатан езилган (41.2) тешламада фацат
ишцаланиш кучи моментигииа нолдан фарц цилади. Колган куч-
лариипг. жумладан инерция кучларииинг тенг таъсир этувчисининг
йуналиши цилиндрнинг уци билан устма-уст тушганлиги сабабли
1 Сирпанишли цол учун (41.8) даги куч тинч цолаадги ишцаланиш
кучи эмас, балки сирпаниш.цаги ишкалаинш кучидан иборат булади.
126
уларнинг бу Удци нисбатан момеитлари нолга тенг. Шундай ци-
лнб, (40.2) тенгламани цуйидагнча ёзамнэ:
(41-9)
бу ерда / — цилиндрнинг }з $цига нисбатан инерция момента бу-
либ, у яхлнт бир жинсли цилиндр учун у тК* га тенг.
(41.8) ва (41.9) тенгламаларда учта: fKav ₽ ва w номаълум
катталиклар иштирок этади. Биро»; кейинги иккита катталик ишца-
ланиш йу^иги шартидан келиб чицувчи (41.7) муносабат opi-дли
Узаро богланган (41.7)—(41.9) тенгламаларни биргаливда ечиб
(^амда / = эканлигини ^исобга олиб) цуйидагиларии топа-
миз:
/«^ = ym£sing>;
wc= ygslnqi;
а 2 g .
p = Тя sm’’-
(41.10)
(41.И)
(41.12)
Энди биз цилиндрнинг сирпаиишсиз думаланиб тушншини таъ-
ыннлайдиган тинч ^олатдаги ишцаланиш кучининг (41.10) цийматк-
ни топганимиэдан кейин ана шундай думаланиб тушиш амалга
ошиши учун ^ндай шарт цавоатлантирилиши зарурлигинн ани»;ла-
лашимиз мумкин. Цилиндр сирпаиишсиз думаланиб тушиши учун
(41.10) куч тинч цолатдаги иш»^ланиш кучминнг Л/ng cos ф га тенг
(буни биз юцорида курдик). максимал цийматидан ортмаслнги ке-
рак:
у mg sin ф < kmg cosq>.
Бундан келиб чицадики,
tg ф 3k'.
Агар текисликнинг 1;иялик бурчаги ф иннг тангенси цилиндр
билан текислик орасидаги тинч ^олатдаги ишцаланиш коэффициен-
тннинг учланган »;ийматидан ортиц булса, думаланиб тушиш сир-
ианишсмз содир була олмайди.
(41.11) дан келиб чидишича цилиндрнинг инерция маркази текис
теэланувчан царакагланади. -we тезланиш анмц булса, цилиндрнинг
думаланиб тушиш ва»ри 1Л ни, яъни цилиндр Л/sin ф га тенг йул-
нн утиши учун кетган вацтии топиш мумкин. Бу йул wc ва /д лар
билан дуйидагича богланган:
Л юе»д
sin? ~ 2 ’
бунта wc нинг (41.11) цийматянн олиб келиб ц^йнб, цуйидагинн
топамиз: _ .
я Sin? Т g'
Бу Baifr худди n)t каби цилиндрнинг массаснга цам, радиуси™
jjaM боглиц эмас1; у фа^ат текнсликнинг цнилик бурчагн <р билан
цилиндрнинг циргоцлари балаидликларинииг h фардига боглид
холос.
Цилиндр горизонтал участкага чиддан вадтда инерция маркази-
нинг тезлиги дуйцдагига тенг булади:
цилиндрнинг бурчак тезлиги эса
» - V4eh-
Шуни дайд дилиб утамизки, ишдаланнш кучи (41.10) цилиндр ус-
тида еш бажармайди: чунки цилиндрнинг ана шу куч дуйилган
ну дталари вадтнинг дар бир моментида кучмаслигича долади.
Горизонтал текислик учун (<j =»0) (41.11) ва (41.12) формула-
ларга биноан агар цилиндрга дастлаб бирор нлгариланма ва унга
мос равишда (снрпаниш булмайдиган дилиб) бурчак тезлик берил-
ган булса, у тезланишсиэ даракатланади, деган хулоса чицади. Ас-
лида эса даракат секинланувчан булади. Бундай сеиннланиш дума-
ланиш ишдаланиш кучи таъсирнда юзага келади. Бу куч шундай
йуналганки, уиннг моменти <о бурчак тезликни камайтиряди, куч-
нинг $тзи эса инерция марказини тегишли равищда (яна сирпаниш
юзага келмайдиган дилиб) секиилаштиради. Думаланиш ишдаланиш
кучи думаланаётган жисм устида манфий нш бажаради.
Цилиндрнинг дия текислик буйлаб думаланиб тушиши дакидагк
масалани ечаётганда биз думаланиш ишдаланишини дисобга ол-
мадик.
2-ечиш усулн. Ишдаланиш кучи иш бажармаётганлиги (ду-
маланиш ишдаланишини дисобга олмаймиз) учун цилиндрнинг тула
энергияси Узгармайди. Бошлангич моментда кинетик энергия иолга,
потенциал энергия эса mgh га тенг. Думаланиш охирига келиб
потенциал анергия нолга тенглашади, бирод унинг дисобига кине-
тик энергия юзага келади [(40.9) га даранг]
„ I/D*
2~
Скрпаниш булмаганлнги учун ос билан <о ос-=со/? муносабат
ордали богланган. Кинетик энергия ифодасига со = ва 1е —
=- у ml? дарив ^йсак, ^уйидагяни топамиз:
тигс mt?c 3 .
Т =• -у 4- —• =
1 Бу фа^ат бир жинсли яялнт цилиндр учунгииа тугри.
127
Думалаимшнинг бошидаги ва охиридаги т^ла энергиилар £зарс
тенг булиши керак:
•т-ти® ^mgh,
бундан
бурчак тезлик эса
»=
3-мисол. т~ масса л и жиемга жуда цисца М вацт давомида Уз-
гармас f куч таъсир
курсатади. Д£ вацт оралигадан бошца вацт
ичида унга цеч цандай жисмлар таъсир
этмайди. Жиемга ТД£ импульс берилгаинга
цадар у тинч цолатда турган эди. Кучнинг
таъсири тухтатилгандан кейин жисм цан-
дай царакат цилишини аницланг.
(41.1) тенглама берилган цолда цуйида-
ги куркншига эга:
mwc = 1.
бундан
wc_±t. (41.13)
Демак, токи куч таъсир этар экан, жиемнинг инерция маркази
куч таъсира йуналиши буйлаб текис-тезланувчан харакатланади.
I кучнинг инерция марказнга нисбатан елкасини I царфи билан бел-
гнлаймиз (112-раем). Инерция маркази С орцали шундай цилиб
00 уц утказайликки, у куч таъсир курсатаётгав чизиц ва жием-
нинг инерция маркази орцали утувчн текисликка перпендикуляр
булсин. (41.2) тенглама бу уцца нисбатан цуйндаги к£ринишга эга
булади:
/£₽=Л1,
бу ерда 1С—жиемнинг 00 уцца нисбатан инерция моменти, M=*ft
эса 1 кучнинг уша Уцца нисбатан моменти. Бу тенгламани fl га
нисбатан ечиб цуйидагнни топамиз:
P = i = A (41.14)
'о 'с
Шундай цилиб, куч таъсир этиб турган Д< вацт нчнда жисм
шундай цолатда буладики, унинг инерция маркази кучнинг таъсир
чизири брйлаб т^три чизицли текис тезланувчан царакатланади ва
шу билап бирга инерция маркази орцали Утувчи уц атрофида Уз-
гармас бурчак тезлик (41.14) билан айланади, Д/ вацт оралигининг
128
охирига келиб инерция
эришади:
марказининг тезлигн цуиндаги цийматга
., И/
vc“ ”сЛ(-й'
бурчак тезлигн эса
• и
га тенг булиб цолади.
Бу vc ва <о нинг биз топган цийматлари жиемнинг кучнинг таъ.
сири тУхтагандан кейинги царакатинн белгилайди.
Шуни эслатиб Утамизки, олинган натижа фацат кучнинг таъсир
вацти ичида жисм кучнинг I елкасини бутун At вацт оралиги да-
вомида етарли аницлик билан Узгармас деб цисобласа буладиган
кичик бурчакка бурилсагина т^три булади.
С инерции марказидан
®х = &с, рх = и!с (41.15)
шартлар билан белгнланувчи х масофада ётган О' нуцтанинг тез-
лиги нолга тенг булишини куриш цийип эмас (112-раем). Демак,
О' нуцта орцали утувчи уц олий айланиш уци булар экан. (41.15)
га ва р учун топилган ифодаларни цуйсак, цуйц^лп ни топа-
миз.'
Кучнинг таъенрида жисм цуйидагича кинетик энергия олади.-
Т нинг I га боРлиц булишига сабаб шуки, I ортиши бнлан куч
цуйилган нуцтанинг At вацт ичида утган йУли ортади ва демак,
кучнинг жисм устида бажараётган иши цам ортади.
42-§. Эркин уцлар. Бош инерция уцлари
Агар бирор жиемни исталган уц атрофида айлантириб кейин
уни эркин цУйсак, у цолда айланиш Уцннинг фазодаги вазияти уз-
гаради: Уц инерция саноц системага нисбатан ё бурилади, ё куча-
ди. Ихтиёрий олинган Уцнм Узгармас цолатда сацлаб турищ учун
унга маълум бир кучлар билан таъсир кУрсатиш керак.
Масалан, агар жисм 113-раемдагидек шаклга эга булиб, 00 Уц
атрофида <о бурчак тезлик билан айланаётган булса, у цолда ай-
ланиш уцпни цУзгалишсиз сацлаб туриш учун унга М = masrl ай-
лантнрувчн момент берадиган кучлар цУйилиши керак. Ха,^натан
цам, m массами г радиусли айланалар буйлаб царакатлантириш
9—131 т 123
О
О
113- раем.
учун, уларга цар бири nwfl га тенг булган fj ва fj кучлар цУйи-
лиши керак. Бу кучлар М — mw^rf моментли жуфт цосил цилади.
Агар масалан, уцнн унга мос fj ва кучлар билан таъсир кур-
сатадиган подшипникларга урнатнш орцали бу момент юэага чи-
цишнга йул цуймасаи, у цолда айланиш
Уци стрелка билан курсатилган томонга
цараб бурилади.
Агар т массалараи боглаб турувчи
стержень 00 айланиш уцига перпенди-
куляр булиб, масса тар Уцдан цар хил
rt ва г, масофаларда ётса (114-раем), у
цолда уцнннг фазода кучишига йул цуй-
маслик учун цодшипниклар уцца бир хил
йуналган ва модулларининг йигиндиси
марказга интилма кучларнинг ва/j мо
дуллари айирмасига тенг булган 1, ва h
кучлар билан таъсир этиши керак:
fi+f^nuo9 (Г1— гД
(а ва Ъ кесмалар узаро тенг булса, Д ва
/, кучларнинг катталиги цам бир хил
булади; акс цолда fta=f9b шарт ба-
жара лиши керак).
Фазодаги вазияти ташцирндан бирор
кучларнинг таъсиркснэ сацланадиган
айланиш уци жиемннуг эркин Уци
дейилади. 114- расмда тасвирланган цол
учун п = гя булганда. 00 уц маълумки.
эркин уц булади.
Исталган жисм учун эркин уцлар
булиб хизмат циладиган ва жиемнинг
инерция маркази орцали утувчи учта
узаро перпендикуляр уцлар мавжуд экан-
лигини исботлаш мумкин; улар бош
инерция уцлари деб аталади.
Бир жинсли параллелепипед учун (115-раем) царама-царши ёт-
ган ёцпарни кесиб утувчи С^Ор ОВО2 ва OSO8 уцлар бош инерция
Уцлари булиши равшан.
Симметрия уцига эга булган жисм (масалан, бир жинсли’ ци-
линдр) учун симметрия уци бош инерция уцларидап бнриднр, бош-
ца иккита уц вазифасини эса симметрия уцига тик ва жиемнинг
инерция маркази орцали утувчи, текисликда ётувчн иккита Узаро
114- раем
1 Жнем Уц атрофнла бурплгап сари бу кучларнинг йуналиши Узгара бо-
ралн.
1 Жиемнинг эичлигм цар бнр месимда фацат симметрия уцмдан улчападнгая
м.хофанию фунхцнясн булса етарли.
130
перпендикуляр уцлар бажариши мумкия (116- раем). Шундай цилиб,
симметрия уцига эга булган жнемда бош инерция уцларидан фа цат
биттаси фнксацняланган (цУзгалмас) экан.
Марказий симметрияли жисм, яъни эичлмги фацат маркаэнгача
булган масофага боглиц булган швр учун инерция маркази орцали
Утувчи учта узаро перпендикуляр Уцлар бош инерция Уцларидир.
Демак, бош инерция уцларидан бирк цам фиксацняланмаган экан.
115- рлсм.
Ot
О,
116- раем
_ Ж"смнннг бош Уцларнга нисбатан инерция моментлари, умуман
турлича булади: ft А 7, /- ls. Симметрия уцига эга булган жисм
учун иккита инерция моменти бир хил катталикка эга, учинчиси
эса улардан фарц цилади: ft^/8 ва ницоят, марказий симмет-
рияли жисм учун учала момент бнр хил булади: /]=»/,= ft.
Агар жисм унга ташцарндан \еч цандай таъсир курсатилмайдиган
шароитда айланаётган булса, у вацтда фацат инерция моментининг
максимал ва минимал цийматларига мос келувчи бош Уцлар атро-
фидаги айланишгина тургун булади. Катталик жицатдач оралиц
моменгга мос келувчи уц атрофида айланиш тургун булмайди. Бу
эса айланиш уци ана шу бош уцдан бир оз булса дам огган вацтда
юзага келунчи кучларнинг огиш йуналишда таъсир этишини бил-
диради. Айланиш тургун Уцдан огган вацтда бу огиш натижасида
юзага келган кучлар таъсирида жисм яна тегишли бош уц атро-
фида айланишга цайгадн-
Айтилганларга ицюнч цосил цилиш учун параллелепипед шак-
лидаги бирор жиемни (масалан, гугурт цутиенни) унга бир вацтда
айланма ц ара кат бсриб улоцтирсак булади1. Бунда жисм пастга
тушаёгиб энг катта ёки энг кичик цирралари орцали утувчи уцлар
атрофида тургун айлана олишияи аннцлаймнз. Жиемни урта цирра-
лари орцали Утувчи уц атрофида айланадиган цилиб улоцтпришга
интнлеак, нжобий натижага эриша олмаймиз.
Бу кол учун огчрлик кучйж-нг такирч л\п*нчпта вг* мае V фака г
жиемнинг пастга цараб тушпшрга сабабчн булади, малое.
131
Ташцаридан, мйсапан, айланаётган жнем осиб цуйилган ип то-
монндан таъсир курсатилаётган булса, у цачда инерция моменти»
нинг энг катта цинматига мос келувчи бош уц атрофидаги айла-
иншгина тургун булади. Ана шу сабабга кура бир учндан ипга
а 117-до. °
осиб цуйилган стержень тез айлантирилганда узнга перпендикуляр
булган ва марказидан утувчи Уц атрофида айлана бошлайди
(117- а раем). Чеккасидан ипга осиб цуйнлган диск цам ана шун-
дай айланади (117-6 раем).
43- §. Цаттиц жиемнинг импульс моменти
Биз 38-§ да цаттиц жиемнинг импульс моменти учун топган
L,»/© (43.1)
ифода фацат жисм цузгалмас Уц, яъни фазода подшипниклар ту-
тиб турадиган Уц ёки эркин уц атрофида айлангандагипа уринли
булади. Бошца цолларда L билан w орасидаги богланиш анча му-
раккаблашади, хусусан, L импульс моменти векторининг йуналиши
и бурчак тезлнги векторининг йуналиши билан устма-уст тушмайдн.
Координата уцларини1 жиемнинг бош инерция уцлари буйлаб
йуналтирамиз. Фараз цилайлнк, о вектор бу Уцларнинг цеч цийси-
си билан устма-уст тушмасин (118-
расм). У цолда унинг уцлар буйлаб
<ох, <оу, (i)z ташкил этувчилари, умуман
айтганда. нолдан фарц цилади.
купайтма (43.1) га биноан L вектор-
нинг г буйича ташкил эзувчиенни бе-
ради. Худди шунга ухшаш 1ла>к ку-
пайтма Lx ташкил этувчнни, эса—
Ly ташкил этунчини беради. Агар
бош уцларга нисбатан fy, 1г инер-
ции моментларн бир-бирига тенг бул-
маса, у цолда натижавий вектор L =
118- раем. = Lx + Ly -j- Lz нинг йуналиши, 118-
1 Бу ерда жисм билан богланишн 1'атъиЯ булган ва у билая бирга_айлана*
диган уцлар наэарда тупитадл.
132 f
расмдан Kj/ркнишича, <о векторнинг йуналиши билан бир хил й£-
налмайди. Фацат о бош уцлардан бири буйлаб, масалан, г уц
буйлаб йуналган шароитдагина со нинг бошца уцлар буйлаб таш-
кил этувчилар (яъин <ох ва соу лар) нолга тенг ва натижада Lx
ва Ly ташкил этувчилар цам нолга тенг булади ва биз (43.1) фор-
мулага келамиз.
Шундай цилиб, координата Уцлари сифатида жиемнинг бош
инерция уцларини танлаб олсак, а ва L векторлар орасидаги 6of-
ланиш цуйндаги куринишга келади;
L = 1ки>к + 4- I,(43.2)'
<ох = »оя1 ва цоказо эканлигини эсга олиб сунгги ифодага цуйида-
гича куриниш бериш мумкин:
L = (/хсох)1 + (fyojy)J + (/,«»,) к.
бундан L ва со векторларнинг координата уцларига про екциялари
орасидаги богланиш цуйидагича куринишга эга деган хулоса чица-
дш
Аж = 1я<чк, = /у tOy, Lz = 1гчуг. (43.3)
Координата уцлари жиемнинг бош инерция уцлари билан уст-
ма-уст тушмаса, бу богланиш яна мураккаблашади. Бу цолда L
ва со нинг проекциялари орасидаги богланиш цуйидагича булади;
i. “ ч>. + /„ и, + /„ , |
Л, - /„га, + /„<», + /„га,. I (43.4)
Л, « /„га, + /,угау -к /„га,. |
Т£ццизта — к, у, г) катталик иккинчи ранг симметрии тен-
зор* деб агаладиган тензорни цосил цнлади. Механикада бу тензор
инерция тензори дейилади. Тензорнинг компонеитлари ко-
ордината уцларинипг танланишига боглиц. Агар координата Уцлари
жиемнинг бош инерция уцлари бнлан устма-уст тутдеа, у цолда
1гк, Iyv ва [„ лардан бошца барча компонентлар нолга айланади
ва (43.4) формулалар (43.3) формулага айланади 1(43.3) да ни
Lt билан белгиланган ва цоказо].
Биз моддий нуцталар системаси учун топган (37.11) тенглама
цаттиц жисм учун цам j-рннли булади. Бу цолда L деб координа-
та Уцларига туширилган лроекциялари (43.4) формулалар билан
аницланадиган вектор тушунилади.
Энди цаттиц жиемнинг бош инерция уцларининг бирортаси би-
лан цам устма-уст тушмацдиган цузгалмас г уц атрофида айланиш
Цолини текширайлик. Бундай уц фацат унга ташци кучлар таъсир
к^рсатаётгандагина цузгалмас булиши мумкин (масалан, 113-раем-
га царанг). Бу кучларнинг z уцца нисбатан моменти нолга тенг
(кучлар таъсир курсатадиган йуналиш уц орцали }тадн) булиши
Агар т-снэсришгг компонеитлари lik — /to шартип цапоатл-.пирса, бунлай
тензор симметрии тензор дейилади.
!33
paoiiiaii, бирок бу $кда Ьтган истждгаи О нуцтага ннебатаи кучлар-
моменти нолдан фаркли. Ана шу сабабга крра жисмнинг z £кка
нисбатан импульс момент» L, (згармайдд. L, = М, ва Мл = 0)
О ну^тага нисбггав импульс моменти Л^эса (берилган Л0-7 учуй
унинг Йуналиши г уц» буйлаб- Й^ьгалган1 « нинг Й^наллшг бнлан
устма-уст тушмайди) ташци кучларнинг унга периендануляр йунвл»
ган М моменти таъсирнда жисм билан бирга бурилади (^L—М/-
У0)
44г g. Гарвсиогмар
Симметрия уци атрофида. катта теэлнн билам айлвяунч» ггнр
симметрии жисмнн гироскоп ёки (пилдирок) дев юричиладн-. Сим-
метрия уки гироскопнинг бош инерция уцларндан бнрн б£лнб xhj-
мат цилади, шунинг учун гироскопнинг импульс моментининг йу-
налиши унпнг айланиш билан устма-уст тртпзди. Гироеко»
Удининг фазодвги йуналишини узгарги-
0 риш учун (37.11) га мос равишда унга
ZZ.
О
119- раем.
ташь;н кучлар Моменти бнлан таъсир крр-
сатнш играя. Бунда гироежвляк эффект деб
ном олган цуйидаги ^одиса кузагилад»;
г $ё гироскспиннг 00 удиви О' О' (119-
расы) тугри чизиц атрофида буриши керак
булган кучлар таъсирнда гироскопнинг
I у^и О" О’ т$три чнзнд атрофида бу рала-
ди (00 у к, ва О' О' тугри чизиц раем те-
кислигида ётади. О’ О" тукри чизин; ва fxz
ft кучлар эса бу текисликка перпендику-
ляр йуналган деб фараз цилинади).
Биринчи цараганда гироскопнинг бун-
дай гайри табиил булнб к^рингам хагги-
^аракати, маълум булншича, айланма ца-
ракат, динамикаси цонунларига, яъни Нью-
тон цонунларига батамом мос эканлигини
к$рнш цийин эмас. ^а^ицатан ^ам, ft ва Т2 кучларнинг
моменти О' О' тугри чизиц буйлаб йуналган. А/ вацт ичида гиро-
скопнинг L импульс моменти М бнлан бнр томонга йуналган
AL --= МД/ орттирма олади. Гироскопнинг импульс моменти А/ вацт-
дан кейин раем текислнгида ётган натижавий L' = L + AL га тенг
булади, L' векторнинг йуналиши гироскоп айланиш уцининг янгн
йуналиши билан устма-уст тушади. Шуидай цнлиб, гнроскоинмнР
айланиш уь;и О" О" тугри чизиц атрофида шундай буриладнки, М ва
L векторлар орасидаги бурчак квчраяди. Агар гироскопга М мо
ментининг йуналиши $'згармайдиган тапнут кучлар билан узок
давомида таъсир к^реатсак, у к^Д8 гироскопнинг ^ки ни\ояг
шундай колатнн оладнки, унинг хусусий айланншлари укн билан
Йуналиши ташки кучлар таъсирнда содир булаётгэн айланиш
J.M
м йуналиши билля устма-уст тушади (L вектор йуиынитм буйича'
М вектор билан устма-уст тушади).
Гироскопнинг таърифлангвн каттн-^аракати г и рос коп и к ком-
пас (гирокомпас) деб аталувчи асбобга всос цилиб олинган. Бу
асвоб Уци горизонтал текисликда эркин бурила оладиган гиро-
скоп дан ибораТ (120-раем). Ер су ткали айлан гаи лиги сабабли гк-
роокопга уни Ер уци атрофида айлантирмшга интилувчи (худди 119-
раемда fj в* ft кучлар гироскопии О' О' тугри чизиц атрофида
айлантирмшга интилгани каби) кучлар таъсир
цнлади. Натижада гироскопнинг уци шундай ьу
буриладики, гироскоп импульс моменти вектори
L билаи Ерминг бурчак тезлиги вектори
орасидаги бурчак кичраяди. Бу то L билан шЕр Н
орасидаги бурчак змннмйл булиб цолгунга цаднр, у \
яъни гироскоа меридионал текисликда жоилаш- \
Лунга т^адар даеем этади (юцорнда цараб чицил- J |
ган умумий 1флдан фарцли равишда гироскопик j J
компас уцикттг бурилиши шуидай чегаралаб
цуйилганкн, бу уц фа цат горизонтал текисликда ""у /
жойлашиши мумкин колос. / /
Гироскопии компаснииг магнит стрелкалн ком- / у7
пасдан цулай фарци шундаки, унинг курсатиши- —
га магнит огиши' гртсобига буладиган тузатма
кцритиш зарурати йуцдир, шуиннгдек стрел-
кягв унинг яцин атрофида турган ферромагнит 120-расн
нарсаларнинг (масалан, кеманмпг пулат таиа-
симинг ва бошцаларпинг таъсирнни бартараф цилиш учун тадбир-
лар куришга ^ам эцтиёж цолмайди. Ана шу сабабларга кура ^о-
аирги вацтда навигация ишларнда асосан гирокомпасларншлагилади.
Гцроскопик кучлар. Гироскопнинг уцини керак томонга бурит
вацтнда гироскопии эффект туфайли гироскопнинг уци ^рнашган
таннчларга таъсир курсатувчи гироскопик кучлар юзага келади.
Масалан, гнроскошшнг 00 уцини О' О' тугри чизиц атрофида маж-
буран бурган вацтда (121-расм) 00 ук О’ О’ тугри чиэиц атрофидз
бурилишга интилади. Ана шу бурилншнинг олдини олиш учун ги-
роскопнинг узига подшипниклар томоиидан Г, ва F,' кучлар таъсир
курсатицш керак. Ньютоннинг учинчи цонунига биноан Уц цам
подшипникларга Тц ва f( кучлар билан таъсир к^рсатади. Ана шу
кучлар гироскопик кучлардир.
Магадан, кемалярдаги буг турбиналари нодшипникларинн лойп-
^алаш вацтида гироскопик кучларни дисобга олншга тугрк келади.
Турбииалинг роторн гироскопга ухшайди. Кема бунлама тебранган-
да турбинаиинг мажбуран О' О' ту»-ри чизнц атрофида бурила»
(122- расы). Бу f, ва Ц гироскопик кучлар юзага келишига са-
1 MarHirr огкш деб магнит ва географих мериднанлар орасядапг бурчакка
Напади.
133
бабчи булади ва бу кучлар уцнинг подшипникларга цушимча,
баъзида эса анча сезиларяи босим к^рсатишга олиб келади.
Гироскоп ирецессияси. Агар гироскопга таъсир курсатувчи куч-
лар моменти катталик жицатдан вацт буйича узгармай цолиб, ги-
роскоп уци билан биргаликда у билан доим тугри бурчак цосил
О
]2|-рвсм.
122- раем.
цилган цолда бурилса, гироскопнинг алоцида турдаги царакатв
юзага келади. Масалан, £ци огирлнк кучи майдонида гурган шар-
нирда айланадиган гироскоп ана шундай шароитда булади (123-
расы). Гироскопга цуйилган ташци кучларнинг моменти катталик
жицатидан цуйидагига тенг:
Л1 =* zn g Zslna, (44.1)
О'
123- раем.
бу ерда т — гироскопнинг мас-
саси, I — шарнирдан гироскоп
инерция марказига цадар масо-
фа, a — гироскоп уци вертикал
билан цоенл цилган бурчак. М
момент гироскоп уци орцали
утувчи вертикал текисликка
(123-расмда бу текислик штрих-
ланган) перпендикуляр йуналган.
М кучлар моменти таъсирида
гироскопнинг L импульс моменти
dt вацт ичида йуналиши брйи-
ча М вектор билан бир томонга
йуналган, яъни L векторга пер-
пендикуляр булган цуйидагича
орттирма олади:
dL = Mdt.
(44.2)
136
dA орттирма олиш натижасцда L векторнинг узгарипшга гиро-
скоп уцниинг 00’ тугри чизиц атрофида шундай бурилишига
мос ксладики, бунда а бурчак доимнй цолади. Бундай цолда
гироскопнинг узи етган вертикал текислик d<p бурчакка бурилади.
Бир вацтда М вектор цам горизонтал текисликда ана шундай бур-
чакка бурилади. Натижада dt вацтдан кейин L ва М векторлар
дастлаб узаро цандай жойлашган б$дса, ушандай вазиятни эгаллайди.
Бундан кейинги dt вацт элемента ичида L вектор энди узининг
янги («биринчи» элементар бурилвшдан кейин юзага келган) ций-
матига персендикуляр булгани яна dL орттирма олади ва цоказо.
Натижада гироскопнинг уци узлуксиз равишда О шарнир орцали
утончи вертикал атрофида айланиб, учидаги бурчаги 2a га тенг
коиус чизади. Бунда L векторнинг фацат йуналншигнна рзгаради,
унинг катталиги эса узгармайди, чунки dL элементар орттнрмалар
доим L векторга пероендикуляр йуналган.
Гироскопнинг бу таърифланган царакати прецессии деб ата-
лади, бунда гироскоп уци ташци кучлар таъсирида конус чизнб
айланади (хусусий цолда, а = л,2 булганда конус текисликка ай-
ланади). -
L вектор прецессия вацтида айлана буйлаб буладиган текис
царакат вацтида тезлик векторининг царакатига ухшаш царакат ци-
лади. Айлана буйлаб текис царакат вацтида тезликнинг элементар
орттирмаси dv доим v векторга перпендикуляр ва wdt га тенг, бу
ерда jwj узгармас. Гироскоп учун dL—L векторга перпендикуляр ва
Mdt га тенг, бу ерда |М| j/эгармас.
Конуснинг уцн орцали утувчи текислнкнинг айланиш бурчак
тезлиги прецессия тезлиги дейилади. Прецессия бурчак тезлиги, маъ-
лумин, цуйидагига тенг;
(44.3)
бу ерда dtp—эслатилган текислик dt вацт ичида бурилган бурчак.
Бу бурчак |d/| нинг Asina га нисбати сифатида тасаввур цилинишн
мумкин (123-расмга царанг, L векторнинг боши О шарнир билан
устма-уст тушади деб фараз цилинадиу
|rfL!
(44.2) ва (44.1) га биноан
|dL] = Mdl = mgts\nadt.
Бу ифодани (44.3) га цуйнб ва А ни Ito билан алмаштиряб
Цуйидагини топамиз:
dv=4^^f ^dt.
• I a sina Ao
Бундан прецессиянинг бурчак тезлиги
- г/ — -d?
dl ' An "
(44.4)
137
(44.4) дан прецессия тезлигн гироскопик Уцнияг горизонтга
нисбатан ofhui бурчагига богли^ эмас деган хулоса чицадн.
Импульс моменти /со одатда катта булганлигидан прецессия
тезлигн о' кичик булади, бунда со епанча катта булса, со' шун-
*га кичик булади. Гироскопнннг йуналиши бурчак тезлигн со ка-
майиши билан прецессии тезлигн со' ортади.
Шуни назарДа тутмоц керакки, прецес-
сия вацтида гироскопйннг импульс моменти
унинг симметрия уци билан устма-уст туш-
маЙди, чунки гироскопнинг царакати ик-
/I кита айланишнинг — симметрия уци ат-
рофида со бурчак тезлик билан айланиш-
' нинг ва вертикал атрофида прецессия
бурчак тезлнги со' билан айланишиинг йи-
гннднсидан ташкил топади. Натижавий бур-
чак тезлик <о + <о' га тенг (124-раем). Би-
роц со' -X ш булганлигидан такминан со
co'sfto ва L =/со деб зртсоблаш мумкин.
Прецессия бурчак тезлиги формуласн (44.4)
124 раси.
ни чицарищда биз ана шундай тахминий
эрссобдан фондаланган эдик.
45-§. Цаттиц жиемнинг деформацнясм
Юкорида басн цилинганйдек, кучлар таъсири остнда жисмлар
деформацияланади, яъни уларнинг улчамлари билан шакли рзгара-
ди. Агар деформацияни юзага келтирган кучнинг таъсири т^хта--
гяидан кейин жисм дастлабки рлчамларини ва шакчини кбайта
эгалласа, бундай деформация эластик де^юрмация дейилади. Биз
бу ерда асосий эластик деформацияларни цисцагина та^лвл цилиш
бнлан чегараланамиз.
Агар деформацияни юзага келтирувчи куч цар бир конкрег
жисм учун гпи^ булган чегарадан ортиц булмаса, деформация элас-
тик булади. Куч ана шу чегарадан ортиб кетса, жнем кучнинг унга
тжьсири т^хтагандан кейин сацланиб цоладнган цолдиц ёки
пластик деформация олади.
Каттиц жисм деформацнясининг барча мумкин булган хиллари
иккита асосий деформацияга: чфзнлиш (ёки сшртлиш) ва силжиш
дрформациясига келтирилиши мумкин..
Буйлама ч^зилиш (ёки бир томоилама сицилиец). Агар узгармас
весимли бир жинсли стерженнинг учдарига унинг уци брйлаб йу-
валган ва таъсири бутуй кссим буйлаб текис тацсимланган J, ва
ft (/i = fe=* Г) кучлар цуйсак, у >^олда стержениннг I узунлигн
мусбат (ч^зилиш учун), ёки манфий (сицилиш учун) А/ орттирма
олади (125-раем). Бунда стерженнинг ^ар бир ихтиёрий танлаб
олинган б/ элементи унинг узунлигига пропорциона л булган А (б-')
орттирма олади. Шунинг учун стерженнинг ^амма элемент лари
учун нисбат бир хил булар экан. Шу сабабдан табиий_равиш-
«•
да стерженнинг деформациясинн характерлайдиган катталик смфа-
тида унинг узунлигннинг нисбий Узгаришини, яъни
»=Т <45 1)
НИ олиш цулай.
Нисбий узайиш е аницланишига к<фа Улчамсиз катталикдир.
Ч узилищ учун у мусбат, сицилиш учун эса манфий булади, ~
|25- раем.
Тажрнба берилган матерналдан ясалган стерженлар учун вЖг
тик деформация вацтидаги нисбий узайиш стержень кундаланг ке-
симииннг юз бирлигига тугри нелувчи кучга пропорциона л экан ли-
пши курсатади:
Пропорциона л лик коэффициента а эластиклик коэффици-
ент дейилади. У фацат стержень материалннинг хоссаларига
боглиц.
Кучнинг шу куч таъсир цилаётган сиртнинг катталигига нис-
бати кучланиш дейилади. Жиемнинг цисмлари узаро таъсирлаш-
ганлигн сабабли кучланиш жиемнинг барча нуцталарига берилади —•
стерженнинг борлиц цажми кучланган цолатда булади. Агар куч
сиртга утказилган нормал буйлаб йуналса, кучланиш нормал
кучланиш дейилади. Агар куч узи таъсир этаётган сиртга утказнл-
ган уринма буйлаб йуналса, кучланиш тангенциал кучланиш
дейилади. Нормал кучланишви и царфи билан, тангенциал кучла-
нишни эса т царфи билан белгилаш цабул цилинган.
Нормал кучланиш тушунчаси
(45.3)
ни киритсак, (45.1) тенгламани цуйидагича ёзишлмнз мумкин.
к — <му. 05.4)
W5
Шундай цилиб, нисбий узайиш нормал куччанишга пропорционал
экан. (45.4) дан эластиклик коэффициент а циймат жнцатдаи бир-
лик кучланиш таъсиридан юзага келаднган нисбий узайишга тенг
деган жулоса чицади.
Матсриалнинг эластик хоссаларинн характерлаш учун эластик-
лик коэффициента а билан бир цаторда унга тескарн булан Е =
= 1/а катталик цам ишлатнлади. Бу катталик Юнг модули деб
аталади.
(45.4) ря п ни Е билан алмаштирсак, цуйидагини топамиз:
e = J. ('15.5)
бундан Юнг модули шундай норма ч кучланишга тенгки, унинг
таъсирида матерналиинг нисбий узашппи, агар имкони булса, бирга
тенг б^лар эди (яъни узунлик орттирмаси Д/ дастлабки I узунлик-
ка тенг булар эди, бироц астида алча кичик кучланишлардаёц
стержень узилиб кетади, эластиклик чегарасига эса бундан цам
тезроц эришилади) деган хулоса чицади.
(45.1) ва (45.5) ни цисобга олганда (45.3) ни цуйидагк кури-
Иншга '’тир'"" чсмкин:
1Л1, (45 6)
бу ерда .•—берилган стержень учун узгармас коэффициент.
(45.6) га биноан эластик деформация вацтида стержеппинг уза-
йиши стержеига таъсир этувчи кучга пропорционал (45.6) муноса-
бат берилган деформация кучи учун Гук цонунпни ифодаланди.
Бу цонун эластиклик чегарасида бажарилади.
Дефор!мцня вацтида стержень узуилигининг узгаришига мос
равишда стерженнинг d крндаланг улчам.чари цам узгаради (125-
расм). Бу Узгариш цабул цилипишига к^ра нисбий кундаланг кен-
гайиш ёки ^‘ч-нлиш билан характерлаиади:
. = (457)
Равшанки, е билан в' нинг ишораси доим цар хил булади: чу-
зилиш вацтида Д/ мусбат. Arf эса манфий, сицилиш учун эса А/
манфий. Ad эса мусбат булади. Тажриба е' нинг е га пропорцио-
нал эканчигини курсатади:
р' - — ри, (45 В)
бу ерда ц— флцат матсриалнинг хоссаларигагина боглиц булган
мусбат коэффициент. У кундалаиг сицилиш коэффициен-
та ёки Пуассон коэффициент» дейилади.
Смлжиш. Тугри бурчаклн параплелилипед шаклндапт бнр жиис-
ли жисм олиб, унинг царама-царши е«чарига уларга вараллел йу-
налган fj ва fj (/1=/2 —/) кучлар цуямиз (126-раем). Агар куч-
ларнинг таъсири тегишли ёциинг бутун S сирти буйлаб текис
140
тацсимланса, у цолда шу ёцца параллел булган впстаерий кесммда
тангенцнал кучланиш юзага кетади:
I - . («.9)
Кучланишлар таъсирида жисм шундай деформациялаиадики
тепадаги (расмда) ёц остндагига нисбатан бирор а масофа га снлжнй
ди. Агар жисмнн фнкран эле-
ментар горизонтал цатламларга
б£лсак, у цолда царбир цатлам
цушни цатламларга нисбатан
силжнйдн. Ана шу сабабга кура
бундай турдаги деформация си л-
жиш деган ном олган
Снлжиш деформацпяси вац-
тида дастлаб горизонтал цатлам-
ларга перпендикуляр булган цар
цандай тугри чизиц бирор <р
бурчакка бурилади. Демак, ик-
126- раем.
кита ихтиёрий олинган датлам-
нинг ба силжишининг шу цатламлар орасида bb масофага нисбати
исталган цушни цатламлар жуфти учун бир хил булади. Табиий-
ки, ана шу нисбатии снлжиш деформациясини характерлаш учун
таилаб олиш мумкин:
? - “ = W
(45.10)
у катталик нисбий снлжиш деб аталади. Бурчак ф жуда
кичик б^лганлнгидан (йфя=ф деб олиш мумкин. Демак, нисбий
снлжиш у силжиш бурчаги <р га тенг экан. Тажриба курсатадики,
нисбий силжиш тангенцнал кучланишга пропорциокал экан,
V-J-T. (43.11)
Коэффициент G фа кат материалиинг хоссасига боглиц булиб,
силжиш модули воми билан юритилади. У шундай тангенцнал
127- расы.
кучланишга тенгки, бундан катта кучланишларда
э.тастиклик чегарасидан утиб кетилмаганда сил-
жиш бурчаги 45° га тенг (tg<p = 1) б^лсин-
Биз тацлил цилган асосий деформациялардан
ташцари думалоц стерженнинг бурали-
шини цараб чицайлнк. Агар думалоц стержен-
нинг бнр учини цуэгалмайднган цилиб мацкам-
лаб, иккинчи учига стержень уци буйлаб й$нал-
ган М айлантирувчи момент цуйсак (127-раем),
стержень шундай деформациялаиадики, бунда
унинг пасткн асоси юцориги асоенга нисбатан
бирор ф бурчакка бурилади.
Буралиш деформацияси силжиш деформация-
Сцдан иборат эканлигини курит цийин эмас.
141
цнцатан ^ам, агар стерженни увннг ^ига перпендикуляр цатлам-
ларга фикран булиб чицсак, у цолда буралнш бундай цатламлар-
нинг >^ар бирининг унга цушни цатламларга нисбатан силжишига
олиб келади. Т^гри, бундай силжиш бир жинсли булмайди: цат-
лашшпг АЗ цисми стержень уцидан цанча узоцдд ётса, шунга
ухшаш цушни ца+ламнга нисбатан ушанча к^проц силжийди.
Тегишлн ^исоблар ртказиб стерженнинг буралиш бурчаги таж-
рибага мос келадиган цуйвдаги нфода билан аницланишинк курса*
тиш мумкин:
(45.12)
бу ерда I — стерженнинг узунлиги, г — унинг радиуси, G — силжиш
модули, М — айлантирувчи момент.
Берилган стержень учун доимий булган М нинг олдидаги ку-
пайтувчини k дарфи билан белгилаб (45.12) муносабатни цуйидаги
курннишга келтирнш мумкин:
<p —foM. (45.13)
С^нгги муносабат буралнш учун Гук цонуинни нфодалайди. Берил-
ган матсриалдан ясалгаи стерженнинг узунлиги узгармаганда про-
порционаллик коэффициента k стерженнинг цалинлигига жуда куч-
ли боглиц булади (у Чг* каби узгаради).
Эластик деформация энергияси. Эластик деформацняланган
жисм, масалан, чуэилган ёки сицилган стержень деформацинлан-
маган х.олатга цайтаётиб. худди чузнлган ёки сицилгаи пружина
кгби ташцн жисмлар устида иш бажариши мумкин, яъни цаидай-
дкр эвергяя зап ас ига эга булади*. Бу энергия жисм элементлар»-
нииг узаро вазиатига боелиц булганлнги учун у потенциал энер-
’гнядан иборатдир. Деформацняланган жисмнинг энергия запаси
д«рормациялаш влцтида ташци кучлар бажарган ишга тенг экан-
лнгн равшан.
Эластик чузилган (сицилгаи) стерженнинг энергиясини ^исоб-
лайлик. Чузиш вацтнда стерженга катталиги (45.6) нфода билаи
аншдонувчи куч бнлан таъсир курсатиш керак. Бу кучнииг иши
д<
л- ( М*.
О
бу ерда стерженнинг абсолют узайиши к билан белгиланган, у
деформация вацтнда 0 дан Д/ гача узгаради.
х узайишига мос келувчи f куч (45.6) ифодага биноан цуйида-
гяга тенг:
f = kx
* (^1 (3* га ои шуигя тегншлн 7ехс?га царыг.
Демак,
. Г ES . ES ЬР ...
A — I —xdx=-r —±=17»,
олинган нфодэнннг сурат на махражини I га крпайтириб, суигра
Л/// ни нисбнЙ узайиш в бнлан алмаштириб ва SI стерженнинг V
дажмини беришинн дисобга олиб дунцдагини топамиз-
U-Sfv. (45,14)
Энергия знчлкгн и тушунчасини кирнтайлик. У ни биз AU энер-
гиянинг шу энергия ыужассамлашган ДУ дажмга ннсбати сифати-
да гаърифлаймнз:
Биз текшнраётган долда стержень бир жннсли ва деформация
текис, яъни стерженнинг турли нудталарида бир хил булга и л иск
учун (45.14) энергия дам стерженда узгармас анчлик билан текис
тадсимлангандяр. Шунинг учун.
деб дисоблаш мумкин.
(45.15) нфода чузялиш (ёки сидилкш) вадтидаги эластик дефор-
мация эпергиясининг зичлигини беради. Худди юдоридагидек йул
билан силжиш вацтидаги эластик деформация энергиясянинг зич-
лиги учун дуйидаги ифодзеини топнш мумкин;
х = ^-'. (45 16)
‘ Толняга» wmr потенциал энергяяга sxshmib, &в хеформагсшяап-
нагаи мжмиинг энергиясини нолга тенг деб олдик.
143
VI БОБ
БУТУН ОЛАМ ТОРТИШИШИ
46-§. Бутун олам тортишиш цонуни
Табиатда з$амма жисмлар узаро бир-бирига тортишиб туради.
Бу тортишиш буйсупадиган цонунни Ньютон кашф цилган булиб,
бутун олам тортишищ цонуни деб аталади. Бу цонунга
биноан иккита жиемнинг бир-бирига тортишиш кучи бу жисм-
ларнинг массаларига тугри пропорционал ва у юр орасидаги ма-
софанинг квадратига тескари пропорциана idup:
Z-rV'. <46|>
бу ерда у — гравитацпоп доимий деб аталувчи пропорцноналлик
коэффициента. Куч узаро таъсир лашувчи жисмлар орцали утувчи
тугри чизиц буйлаб йуналган (128-раем). (46.1) формула катталик-
лари жицатидан тенг fu ва fsl кучларнинг цийматини беради.
128- раем
129- раси-
(46.1) муносабатда ran бераётган жисмлар, афтидан, моддий
нуцталардир. Моддий нуцта деб цараш мумкин булмаган жисм-
ларнинг узаро таъсир кучларнни аницлаш учун уларии Ат элемен-
тар массаларга, яъни цар бири моддий нуцта деб цабул цилса бу-
ладиган кичик цажмларга булиб ташлаш керак (129-раем). (46.1)
га биноан I жиемнинг i— элементар массаси 2 жиемнниг k —
элементар массасига
М„ = Т^^ГИЯ,. («.2)
'ik
куч билан тортилади, бу ерда г^с. —Ат,- дан A/nft га цараб йу-
налган бирлик вектор, rtk эса шу элементар массалар орасидаги масо-
фа.
144
(46 2) нинг k нинг барча цийматлари буйича йигиндисини олиб,
2 жисм томонидан I жиемга тегишли элементар Дт{ массага таъ-
сир курсатувчи барча кучларнинг тенг таъсир этувчисини топамиз:
AIn = 2v5^7iL,r«««»- I46 3)
k 4k
Ницоят, (46.3) нннг i индексининг барча цийматлари бувмча йигин-
дисини олиб, яъни биринчи жиемнинг барча элементар массаларнга
цуйилган кучларни цушиб, 2 жиемнинг I жиемга таъсир кучини
топамиз:
(«Л)
i k 'Ik
Йигинди i ва k индексларнинг барча цийматлари буйича олннади.
Демак, агар I жиемни Nt та, 2 жиемни эса N3 та элементар массалар-
га тацсимласак, у цолда (46.4) йирипди Nt та цушилувчига эга
будар экан.
Ныотоннинг учннчн цонунига биноан 1 жисм 2 жиемга — 1ц
га тенг булган fai куч бнлан таъсир курсатади.
Амалда (46.4) йигиндини топиш интеграллашга келтирнладн уму-
ман айтганда уни аницлаш жуда мураккаб математик масаладир.
Агар узаро таъсирлашувчи жисмлар бир жинсли шартлардан иборат
булса1, у цолда (46.4) га асосан утказнладиган цисоблар цуйндаги
натижага олиб келади:
. fi>“V (16-5)
бу ерда ва ms — шарларнниг массалари, г—уларнинг мар-
казлари орасидаги масофа, гибнр —бнриичи шариинг марказидан ик-
кинчи шариинг марказига цараб йуналган бирлик вектор. Шундай
цилиб, шарлар г$гё массалари шарларининг массасига тенг булган
ва уларнинг марказига жойлашган моддий нуцталардек узаро таъ-
сирлашар экан.
Агар жисмлардан биттаси жуда катта /? радиус ли шар (маса-
лан, Ер шара) булса, иккинчи жисм эса шарга Ухшамасдан R дан
анча кичик улчамларга эга булиб, шарнинг сиртига яцнн жойда
’ётса, у цолда уларнинг узаро таъсирлашуви (46.5) формула (унда-
ги г урнига шариинг радиуенни олиш керак) билан ифодаланади
(иккинчи жиемдан шар сиртигача масофани, шунингдек ржкинчи
жиемнинг улчамларини /? га нисбатан жуда кичик булгани учуй
цисобга олмаса цам булади),
(46.1) теигламадаги у пропорцноналлик коэффициентига нисба-
тан Ньютон нннг иккинчи цонунидаги пропорцноналлик коэффициен-
тига ухшаш муносабатда булиш (яъни кучнинг улчов бирлигнии
танлаш дисобига уни бирга текглаштириб юбориш) мацсадга муво-
1 Бунда масса ттксимоти дар бир шар донрасяда марказий симметрняга эга
булса, яъни зичлик фацат шарнинг марказидан улчаиган масофанчиг функция»
булса етарли.
10—1317
145
фиц эмас, чунип увдай цялганимнзда цар хил физккавий додяса-
ларип тадлил цилган вацтда битта фнзикавяй катталик — кучнинг
турли у.ччсв бярликлиридан фойдаланишга мажбур булиб цоламиэ.
Борди-ю (46.1) га кнрувчи катталикларии улчаш учун аввал цабул
цилинган бирлнклардан фойдалансак, у цолда гравитанион доимнй
V улчамлк катталик булади ва унинг цийматини тажриба ёрдамнда
аннцлашга т$трк келади (46.1) га биноан у нинг улчамлиги цуйн-
дагнга тенг:
'VI ]Я1»| № мт1' J
у нинг циймати маълум массали жисмларнинг узаро тортишиш
кучини улчаш орцали топиЛГан. Бундай улчашларни бажарншда
катта цийинчиликлар юзага келади, чунки ыаосаларини бевосита
5'лчаса буладнган жисмлар учун тортишиш кучлари жуда цам ки-
чик экан. Чуиончи, дар биринииг массаси
100 кг дан булган ва бир-биридан 1 м ма-
оофада турган иккита жисм 10‘ н, яъни
ГО“*Гкуч билан Узаро таъстрлашар экан.
у ни аннцлаш борасндагн биринчи му-
ваффациятли иш Кавендиш (1798 й.) амал-
га оширган тажрнбадан нборатдир. Кавен-
диш бу тажрнбада кучни Улчаш учун жу-
да сеэгир булган бурама тарози усулидан
фойдалаиди (130-раем). Енгил шайнга
мацкамланган иккита цургошин шар т (цар
бирининг массаси 729 граммдан) симмет-
рии урнатилган М шарлар (массалари 158
килогра^мдан) ёнига жойлаштирилган.Шайи
эластик ипга осилгав булиб, бу ипнинг бу-
ралишига цараб шарларвниг бир-бирига тортишиш кучини аннцлаш
мумкин булган. Ипнинг юцориги учи созлаш мосламасига мацкам-
ланмб, бу мосламанн бураш орцали т ва М шарлар орасидаги ма-
софави узгартариш мумкин. у книг цар хил усуллар бнлан топнл-
ган цийматларидан цуйидагиси энг авиц деб цисобланади:
у =6,670-10““ м9,кг-сек\
Сама гм&м/
130 ркм.
М
Агар (46.5) да /Пр т* ва г ларнн бирга тенг деб олсак, у цол-
да кучнинг цийматн у га тенг буладя. Шундай цилиб, цар бири-
нинг массаси 1 кг га тенг ва марказларв бир-биридан 1 м масофа-
да ётган иккита шар Узаро 6,670-10““ н куч билан тортишар экан.
47-§. Огмрлнк кучинниг жойнннг географик кенглигнга цараб
узгариши
Жисмларнинг Ер сиртига нисбатан цзракатини урганган вацтда
Ер балан богланган саноц система ноинерциал эканлигини назарда
тутнш керак. Орбита буйлаб царакатга мос келадиган тезланиш
14€
Ериинг суткали айланищи бнлан боглн^ булган тезланишга Кара-
ганда анча кичин. Шунинг учун Ер билан богланган сано^ система
инерциал системага нисбатан узгармас го бурчак тезлик билан айлана-
ди, дебетарли даражада аншушк билан айтиш мумкин. Демак, жисм-
ларнинг Ерга нисбатан ^аракапшн текшираётганда ^йидагича мар-
каздан цочма инерция кучи ифодаснни киритнш керак:
Л. - «“’г.
бу ерда т —жиемнинг массаси, г—Ер уцидан жиемгача булган
масофа (131-раем).
Д'
131
Жисмларнинг Ер сиртидаа балацдлиги катта булмаган доллар
билан Чегараланнб, г ни /^cosy га тенг деб олиш мумкин (R^—
Ернннг радиуси, f—жойнинг географии кенглиги). У ^олда мар-
каздан цочма кучнинг ифодасн цуйндагк курянишга келедн:
fln =пко1/?Прсозф. (47.1)
Жисмларнинг Ерга нисбатан одатда кузатиладиган эркнн тушиш
тезлаииши g иккита кучнниг таъсирида юзага келади: булардан
бири жиемнинг Ерга тортишиш кучи fff ва иккинчисн |/я. Бу икки куч-
нинг тенг таъсир этувчиси
Р=1г+^
огнрлик кучидан иборат (18~§ га царанг). Р куч т массали жием-
га g тезланиш бергандиги учун ^уймдаги муносабат 5рннли:
P = mg. (47.2)
Р огирлик кучинниг Ерга тортишиш f₽ кучидан фарцк катта
вмас, чункн марказдан цочма инерция кучи f га цараганда анча
кичик. Масалан. 1 кг масса учуй mrfR^ тахминан 0,035 н га (го 2л
нинг 86400 сек га ннсбатига тенг, 7?^ тахминан 6400 км га тенг)
булса, эса тахминан 9,8 к га тенг, яъни марказдан ^очма ине-
рция кучинниг максимал (экваторда кузатиладиган) ^нйматидан тех-
мннан 300 марта катта экан.
ИГ
бизан p ларнинг йуналишлари орасидаги а бурчакни синус-
лар теоремасидан фойдаланнб ^исоблаш мумкин:
35
sinyj Р ms 9.8 т ' т
бундан
sin а 0,0035 si пф cosg> 2= 0.0018 sin 2ф.
Кичик бурчакнинг синусинн тахминан бурчакнинг
а -0,0018 sin 2ф (47.3)
циймати билан алмаштириш мумкин.
Шундай килиб, географик кенглик ф га цараб а бурчак нолдан
(экваторда, у ф = 0 ва цутбда ф = 90=) то 0,0018 рад ёки 6' гача
(45" кенгликда) тебраниб турар экан.
Р нинг йуналиши юк та ранг цялнб тортиб турган ипнинг й|'на-
лиши (у осма йуналиши деб юритилади) билан устма-уст тушади.
куч Ериииг марказига цараб йуналган. Демак, осма ил фа цат
кутбларда ва экваторда Ер марказига «араб йуналган булиб, ора-
лиц кенгликларда (47.3) нфода билан аницланадиган бурчакка
огади.
fg — Р айирма цутблар нолга тенг булиб, экваторда максимал
цийматига эришади. Бу циймат [к кучнинг 0,3 % ига тенг. Ер ша-
рм цутбларяда ялпоцроц б^лганлигидан [к кучнинг узи цам кенг-
ликка цараб бир цадар 'Узгаради: у экваторда цутблардаги цийма-
тидан 0,2 % камроц. Натижада эркин тушиш тезланиши g кенг-
лнкка цараб 9,780 м/сек? дан (экваторда) 9,832 м/сек? гача (цутблар-
да) узгаради. g = 9,80665 м/сек* циймат нормал (стандарт) циймат
сифатида цабул цилинган.
Эркин тушаётган жисмлар инерциал, масалан, гелиоцентрик са-
мец системага нисбатан g тезланиш билан эмас, балки fp га ухшаш
йуналган ва катталиги fg/m га тенг тезланиш w билан царакатла-
нишнии эслатиб утамиз. ХаР хил жисмлар учун g бир хил экан-
лигидан to нинг цам бир хил эканлиги келиб чицишини осонгина
курсатиш мумкин (131- расмга царанг). Хдцицатан \ам цар хил
жисмлар учун f£ ва Р векторлар устида чизилган учбурчаклар ух-
шаш (а ва ф бурчаклар Ер сиртининг берилган нуцтасида турган
бирча жисмлар учун бир хил булади). Демак, fg\P нисбатга тенг
булган нисбат цамма жисмлар учун би{? хил, бунда g лар бир
хил б£лса, w лар цам бир хил булади деган хулоса чицадн.
48- §. Инерт масса ва гравитацион масса
Масса икки хил цонуида: Ньютоннинг иккннчи цонунида ва
бутун олам тортишиш цонунида иштирок этади. Биринчи цолда у
жисмнинг инерт хоссаларинн характерласа, иккинчнсида эса — гра-
внтациои хоссаларинн, яъни жисмларнинг бир-биринн тортнш хос-
саларинн характерлайди. Шу муносабат билан т1п инерт масса
14В
билап тр гравитацион (тортишувчк) массадан фарц цилиш керак
эмасми, деган савол туги чади.
Бу саволга фаадт тажрибагина жавоб бериши мумкин. Гелио*
центрик саиоц системада жисмнинг эркин тушншини ^араб чнцай-
лик. ^ар цандай жисмга цам Ср сиртининг яцинида Ернннг тор-
тнш кучи таъснр курсатади. Бу куч (46.5) га биноан 1\уйцдагига
теки
бу ерда те— берилган жисмнинг гравитацион массаси, AfEfi — Ер-
нинр гравитацион массаси, /?Fj> — Ер шарининг радиуси.
Бу куч таъсирнда жисм w (лекин g эмас; олдинги параграфга
Иаранг) тезланиш олади ва бу тезланиш / кучнинг min инерт мас-
сага булган нисбатига тенг булади:
..яа
ТКер
(48.1)
Тажриба тезланиш w барча жисмлар учун бир хил эканлигини
курсатади (g нинг бир хиллигндан, ю^ормда курган эдикки, to нинг
бир хил эканлигн келиб чицади). Куоантувчи у—^ам барча
Я Ер
жисмлар учун бир хил экан. Инерт масса билан гравитацион масса
орасидаги фарц сезилиши мумкин булган бошца барча тажрябалар
цам худди шундай натижага олиб келади.
Гажрибадан топилган фактла^нинг ^аммаси %амма жисмлар-
нинг инерт ва гравитацион мсЯсалари цатъиян бир-бирига про-
порционал эканлигини курсатади. Бу шуни англатадики, улчов
бирликларини тегишлича танлаб олинса, гравитацион на инерт мае*
салар бир-бирига айнан тенг булиб цолади, шунинг учун >;ам фи-
зикада т^гридан-тугри масса ^а^ида ran юритилади. Гранитацион
ва инерт массаларнинг айнийтигинн Эйнштейн умумий нисбийлик
нйзариясига асос цилиб олган.
Шуни цайд 1^илиб утамизки, аввалдлноц (46.1) да биз масса
инерт массага ухшайди деб олганмиз; шунинг учун ^ам у нинг
сон цийматини nig = деб фараз ^илпб туриб топган эдик. Шу-
нинг учун (48.1) ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
w = v-^. (48.2)
"Ер
Кейннгн муносабатдан Ернииг AfLo массасини ани^аш мумкин.
Унга w, /?Fj> ва у ларнинг улчанган цийматлари 1\уйилса. Ернииг
массаси учун 5,98-1024 кг циймат топилади.
Сунгра Fp орбитасининг /?ор радиуси ва Ернииг 1^уеш атро-
фида тула айланиш вацти Т маълум булса, Цуёшиинг масса-
119
«инн топиш мумкин. Ернинг 2л/7) Га тгнг теэлавншя
Ернннг К,уёшга тортилиш кучи таъенрида юзага келади. Демак,
mfea ''op — V
бундай К,уёшиинг массасннн цисоблаб чицариш мумкни.
Бошца осмон жнемларинннг массалари ана шундай йул билан
топилган.
40- §• Кеплер довуплари
Ныотоннинг бутун олам тортишиш цонунинн кашф цилишига
планеталар харакатининг Кеплер томонидан очнлган учта цонуни
асос булди:
1. Барча планеталар фокусларидан бнрида Куёш яюйшшган ел-
лнпслар буйлаб царакатланади.
2. Планетанинг радиус-вектора тенг аацтлар нчида тенг юздар
чизади.
3. Планеталарнннг Цуёш атрофида айланиш давр.тарининг ква-
дратлари нисбатлари улар орбиталарининг катта ярим уцлари кубла-
рининг нисбатларига тенг,
Кеплернинг биринчи цонуни планеталар марказий кучлар май*
донида царакатланмшини курсатади. Хацицатан цам, биз 37- § да
жиемнинг марказий куч майдонидаги траекторияси ясен темнелик-
дан — фокуси кучлар маркази билан устма-уст Тушувчи гипербо-
ладан, параболадан ёки эллипсдан иборат эканлигйнн курган эдик.
Соддалаштириш учун орбиталар эллипс эмас, айланалардан
иборат (шундай фараз цнлиш мумкин, чункн цамма планеталарнинг
орбиталари айланаларидан нам фадц цилади) деб олиб, планетанинг
царакат тезланишини цуйндаги курннншда ёзиш мумкин:
бу ерда v — планетанинг царакат тезлигн, г — орбитанниг радиусн.
v ни 2лг/7 билан алмаштирайлик (Т — планетанинг К,Уёш ат-
рофида айланиш да ври):
4п"/
u>
Сунгги кфодага асосан планеталарга Куёш томонидан курсатн-
ладнган таъсир кучларининг нисбати цуйидагича ёзнлади:
fi _ mt4>|__та1г1^2
h ~ nWt ~ т^Т3,
Кеплер учинчн цонунига биноан айланиш даврлари квадратлари-
нинг нисбатннн орбиталар радиусларинннг кублари нисбати билан
алмаштириб цуйидагиии топамиз:
х .f _ {31.54
hh ,?
iso
Шундай цилиб, Кеплерниаг учннчя цонуиндан планетанинг Ку-
Ьнга тортилиш кучи планетанинг массасигд тугри пропорцноиал ва
ундан Куёшгача булган масофанинг квадратига тескари лропорцио
нал деган хулоса чицадш
Прапорционалдяк коэффициент» k £з навбатида Куёппмйг Л-\
мвссасига нропорцноналдир деб фа раз цилиб, Ньютон бизга таннш
булган [^уйидагн бутуй олам торти-
шшп цонунинн ифодаловчи формула-
ми толди:
Г = »^.
Кеплернинг иккинчи цонуни им-
пульс момеиткнинг сацланиш цону-
нннннг хулосасидир. 132- расмдан ку-
риннб турибдики, dt вацт ичида ради-
ус-вектор чиаган dS юз учбурчакнинг
trit асосининг учбурчак бкландднгн I
га (у планета нмпульсинииг 1^уёшга
нисбатан елкаси бнлан устма-уст гу-
шади) купайтмасинннг ирмнга тенг:
132- раем.
(L — планетанинг нмпульсн моменти булнб, у mul га тенг).
ифода секторинл тезлик дейилади. Шундай цилиб, секторная
dS L
«"«“di “Si-
Кучларнинг марказий майдонида импульс моменти узгармайди,
демак, планетанинг секторная тезлигн цам 5‘эгармаслиги керак.
Бу вацтнинг тенг оралицлари ичида радиус-вектор тенг юзлар чн-
8ишнни билдиради.
50- §. Космик тезлнклар
Жисм Ер атрофида радкуси Ер радиусн дан кам фарц ц«-
ладиган айлаиа орбита буйлаб царакатланиши учун у аниц бир
vt тезликка эга булиши керак; бу Oj тезликнинг катталнгини жисм
массасикннг марказга интилма тезланишга купайтмаси жиемга
таъсир этувчи огирлик кучига тенг экаялиги шартидаи топиш
мумкин:
mBL=me-
«г#
Бундан ____ v
Vi~VgR^. (50 1)
151
Демак, бирор жисм Ернииг йулдошига айлапиши учун унга
биринчи космик тезлик деб аталадиган v1 тезлик бериш керак
экан. g ва ларнннг цнйматларини формулага ьуйсак, биринчи
космик тезлик учун цуйидаги цийматни топамиз:
г»! Й,Ь-6,4'10в^8.10я м!сек = 8 км'сек.
Тезлиги га тенг булган жисм Ерга тушиб кетмайди. Бирок
бу тезлик жисм Ернинг тортиш сферасидан чициб кетиши. яъни
Ердан то Ернинг тортиш кучи му^нм роль уйнаман црладиган ма-
софагача узоцлашиб кетиши учун етарли эмас.
133- рэси.
Бунинг учун зарур булган тезлик иккинчи кос-
мик тезлик дейилади.
Иккинчи космик тезликни топиш учун жисм-
ни Ер сиртидан чексизликкача узоцлаштириш
учун Ернинг тортиш кучига царши мажбуран
бажариладиган ншни ^исоблаш керак. 26- § да
биз марказий кучлар майдонида бажарилган иш
йулгабоглиц эмаслигини исботлаган эдик.Жисм-
ни Ернинг маркази ортали утувчн тугри чн-
зик буйлаб кучириш учун бажариладиган ишни
^исоблайлик (133- раем), dr йулда бажарилган
элементар нш ^уйндагига тенг:
ал -.fdr-y^-dr.
дан г = со гача булган йулда бажарил-
ган ишни интеграллаш орцали топамиз:
Огирлик кучнин Ерга тортилищ кучига тенглаштирнб ^йидагини
езиш мумкин:
mg = Y —Н; бундам у = mgREp.
°Ер Ер
Шундай цилиб, (50.2) ишни цуйндаги куринишда ёзиш мумкин:
А = ing^Ep. (50.3)
Ернинг тортишини еигиб, Ернинг тортиш кучи доирасидан чициб
кетнш учун жисм (50.3) ишни бажариш учун етарли энергия запаси-
га эга булиши керак. Бунинг учун зарур булган мннимал тезлик
а, иккинчи космик теэликнинг узгинасидар. У ^йидагн шартдан
топилади:
—- = mg/?rP>
152
бундам
Vi “ V'2gRt p. (50.4)
(50.4) ни (S0.1) билан солиштирсак, иккинчи космик тезлик би-
ринчи космик тезликдан 2 марта катта экаплиги кураниб турибди.
8 км]сек ди У2 га купайтирсак, os учун тахминан 11 км!сек га
тенг цийматии топамиз.
Космик тезликларга дунёда биранчн булиб СССРда эрашилди.
1957 йилнинг 4 октябрида Совет Иттифоцида кишилик жамияти
тарихида биринчи марта Ернинг сунъий йулдоши муваффа^иятли учи-
рилди. 1959 йилнниг 2 январида иккинчи космик тезликка эришнлдн.
Шу куни совет тупрогидан Ернинг тортиш сферасидан чн^иб бизнинг
}\уёш системамизнинг сунъий сайёрасига айланган космик ракета
учирилди. 1961 йилнинг 12 апрелида Совет Иттифодида, Дунёда
биринчи булиб одам космик фазога муваффа^иятли парвоз цилди.
Биринчи совет космонавта Юрий Алексеевич Гагарин Ер атрофини
айланиб чиеди ва Ерга муваффациятли 1(унди,
VTT BOB
СУЮЦЛНКЛАР BA ГАЗЛАР СТАТИКАСИ
Механиканниг -еуюцлик вя газлврня рргйнют билан шугуяланя-
дяган булями пщромехйника ва аэромеханика дейилади. Улар уз
«авбатида гидростатика ва аэростатикага (улар суюцлик -ва газлар-
рщг муеозанатиня урганади) з^амда -гидродинамикага ва аэродияами-
кага (улар суюцлнк ва газлврвинг царакатани Урганада) булинади.
Ушбу бобда статика ваён этнладм.
51- §. Босим
Суюк,лик ва гаэсимон жисмлар шу бнлан характерланадики,
улар силжншга царшилик кУрсатмайди ва шу сабабли истаганча
кичик кучлар таъсирида цам уз шаклини Узгартира олади. Суюц-
лик ёки газнинг цажмини узгартириш учун, аксинча, анча катта
чекли ташци кучлар зарур. Ташци таъсирлар натижасида суюцликлар
ва гааларнинг з$ажми Узгарганда уларда ни^оят бориб ташци КУЧ"
ларинг^таъснрани мувозакатловчи эластик кучлар юзага келади.
Суюцлик ва гаэларнннг эластик хоссалари уларнинг ало^ида Кисмла-
ри бир-бирига ёки уларга тегиб турувчи жисмларга бу суюцлик ва
газларнииг сицилиш даражасига боглнц булган куч билан таъсир
курсатиши ортали намоён булади. Ана шу таъсир босим деб ата-
лувчи катталик билан характерланади.
Мувозанатда турган суюцликки текширайлик. Мувозанатда тураб-
ди деган суз унинг алодида цисмлари бир-бирига ёки улар бнлан че-
гарадош жисмларга нисбатан кучмаслигини билдиради. Суюцликда
фикрац AS юзча ажратамиз (134-рэсм). Суюц-
ликнинг шу юзча буйлаб бир-бирига тегиб тур-
AS ган цисмлари бир-бирига катталик жи^атдан
___.А/" ( ____ _ тенг, нуналяшлари царама-царши булган куч-
1______________ лар бнлан таъсир курсатади. Бу кучларнинг
7ч \ характерная аннцлаш учун юэчанинг бнр томо-
V нидан суюцликни фикран олиб цуйиб бу слип-
~~ х. / ган суюцликнпнг таъсирини шундай катталик
“* ~~ “ ва й^налишдаги кучлар билан алмаштирамиз-
____________ км, натижада суюцлнкнинг бошца цисмлари-
в„, нинг мувозанат з^олати бузилмасин. Бу куч-
134-рвем. лар AS га нормал йуналган булиши керак,
154
чуням яке цолда уляряинг тангенцнал twhwkf втувчиси суюц-
лик булакчаларини царвкатга нелтириб мувованятчм бу этан б^лар
эди. Демен, суюцлнннинг AS нага н^рсатадигэ» таъемр яучлвр»-
пинг А/ тенг таъсир этувчиси фгм шу юзга уткжмлган верим
буйлаб йуналган. Юзча сиртинииг вирлигига т^>р» «лувчи i втч
суюцликдагн босим дейилади. Шундай цилиб, таърмфга биноан Но-
сим р цуйидагига тенг якан:
,-п- »»
Агар суюцликнинг &S юзга курсатаётган таъсир кучи у б$Аля0
текис тацсимлаиса, у цолда (51.1) ифода ургача Фкшин ифедядай-
ди. Берилган нуцтадаги босимни топиш учун AS » волга внтил-
тирмоц керак. Демак, нуцтадаги босим цуйидаги ифода билан
аницлади:
₽»»
Газдаги босим цам яудди шундай Аул билан топ клади.
Босим — скаляр катталик, чунки унинг катталиги суюцликнинг
(ёки газнинг) берилган нуцтасидаги шу босим тегмпли булган AS
юзнинг ваэиятига богли^ эмнс. Бу фиирий исботлаш учун цотиш
принципн коми бнлан юритилувчн принцип дан фойдаланамиз. Бу
принципга биноан суюцдиининг исталган цажмнни мувозанат №-
роитнни бузмасдан зичлиги суюцлик зичлигига теиг булган цаттнц
жисм бнлан алмаштириш мумкин.
Текшириластган нуцтанинг яцин атрофида фикран суюцликкниг
уч ёцли призма шаклидаги цотиб цолган цажмини ажратиб олайлик.
Бу цажмнинг асл куриниши 135- а расмда ва иккита проекциям
135-6 расмда тасвирлангап. Призманинг цар бнр Сгнга унга нормал
буйлаб йуналган ва тепли-
ли босимнинг сиртнинг кат-
т лчгига купайтмасига тенг
булган снртци куч таъсир
курсатади. Ундан ташцари
призмага унинг отирлнгига
тенг булган цажм кучи таъ-
сир цилади. Сирт жиемнинг
чнзицли ^лчамларининг квад-
ратига, цажм эса—учинчи
даражасига пропорционал
булганлигидан призманинг
улчамларв кичрайганда
цажм кучи сиртцк кучлар-
га цараганда тезроц нолга
интнлади. Биз охнри бориб
лимитда ажратилган цажмнк
нуцтага нелтиришимнзни наг
1ЭЬ- раем.
К»
варда тутиб, мулоцазаларнннг бошидаёц цажм кучини эътибррга
олмасак цам булади. У цолда мувозанат шарти сиртци кучларнинг
йигиндиси нолга тенг булишидан иборат булади. 135-6 расмда кур-
сатилган х, у ва г уцларга туширилган проекциялар орцали му-
возанат шартлари цуйидагича ёзилади:
ASi " ₽#se eina, P»S* — peS#cosa, pASt — ptSt. (51.3)
135-6 раседан курнниб турибдики, призма ёцларининг сиртлари
ораснда цуйидагича муносабатлар уринли экан:
Si = S^sinct, 5, = S8cosa, St = St.
Бу муносабатларии цисобга олсак, (51.3) формулалар цуйадаги-
ча куринишга келади;
Р1 = Р» = РВ, Р< = РЬ- (51.4)
Лимитга утган вацтда ажратиб олинган цажм нуцтага туплан-
ганлнги сабабли pi, р^, ps ва цоказо босимларни суюцликнинг бит-
та нуцтасинининг узига тегишли деб олиш мумкин,
Призманинг фазодаги вазияти ва а бурчак ихтиёрий булганлп-
ги учун (51.4) босимнинг катгалиги шу босим тегишли булган юз-
чанинс вазиятнга (ориентациясига) боглиц эмас деган хулоса чица-
дн; худди шуни исботлаш талаб цилниган эди.
Дастлаб цараганда вектор катталнкка (кучга) иролорционал
булган босим скаляр катталик эканлигя цизиц туюлади. Бироц
шуни назарда тутмог, керакки, AS юзчани цам унга утказилгаи
нормал буйлаб йуналган, яъни юзчага таъсир курсатаётган куч
билан бир томонга йуналган вектор деб цараш мумкин. Демак.
аслида босим иккита коллинсар At ва AS векторларнинг нисбатига
тенг экан. Маълумки, бундай катталик скаляр катталикдир.
Босим бирликлари цуйидагилардир:
1) СИ системада — н/л«2;
2) СГС системада—дина!см“-.
Ундан ташцари босимнн улчаш учункупинча цуйндаги система-
дан ташцари бирликлардан цам фойдалаинлади:
1) техник атмосферада (белгиси ат), у 1кгк/сл«* га тенг;
2) физик ёки нормал атмосферада (белгиси атм), у баландлиги
760 .мл< булган симоб устунининг боснмига тенг.
Физикада босим купинча миллиметрларда улчангап симоб усту-
пи билан улчанадн. Босимнинг турли бирликлари ораснда цуйндаги
муносабатлар уринли:
1 мм сим уст — 0,001 м 13,6-10’кг/ж* 9,81 м/сек* — 133 н!мг\
1 атм ~ 760-133 1,01 10ь н/м2 = 1,033 ат;
I ат-9,81.10» =0,981-10» н/ла= 0,968 атм.
52-§. Тинч цолатдагн суюцлчк ва газда босим тацсимоти
Агар суюцликда (ёки газда) цажм кучлари булмаса, у цолда
бутун цажмда босимнинг узгармай цолишн мувозанат шартидан
иборат булган булар эди (Паскаль цонуин). Ха,\иКатан СУ10^"
1Ь6
ликда ихтиёрий ориентирланган баландЯигя А/ га ва всоси AS га
тенг цилиндрик >;ажм ажратайлик (135-расм). Агар бир-биридан А/
масофада ётган нуцталарда босим Ар га фарц цилса, у вацтда
ннлнндрнинг уци буйлаб Ар AS куч таъсир к^рсатган б^лар ва
4pAS
Р Р*ЛР
136- раем
137- раем.
бунинг натижасида суюцлик царакатга келиб мувозанат бузилган
булар эди. Демак, цажм кучлари булмаган шароитда мувозанат
цолатдагя суюцликнинг исталган жойи учун — 0 шарт цаноат-
лантирилиши зарур, бундан р = const деган хулоса чицади.
Хажм кучлар бор булгаида босим цаидай тацчгимланишини тек-
гоирайлнк. Сую цликда горизонтал жойлашган кичик AS кесимли
(137-расм) цилиндр шаклцдаги «цотган» цажм ажратамиз. \ажм
кучи вертикал буйлаб йуналганлиги учун цилиндр уцн буйлаб ик-
кита p,AS ва ptAS кучлар таъсир этади. Мувозанат шартидав
Pi ~р3 эканлиги келиб чицади; демак. суюцлнкнинг бир хил ба-
ландликда (яъни битга горизонтал текисликда) ётган барча нуцта-
ларида босим бкр хил цийматга эга б^лар экан.
Энди цотган цилиндрик цажмни шундай танлаб оламизки, унинг
Уцн вертикал йуналган булсин (133-расм). Бу цол-
да цилиндр асосига унинг уци буйлаб курсатила-
днган босим кучидан ташцари цажм кучмдеЛАХ
(р—суюцлик зичлиги, h — цнчиндрнинг баланд-
лигн) таъсир курсатади ва мувозанат шарти цуйи-
даги куринишга эга булади:
ptAS = PjAS 4- pgftAS.
AS га цисцартириб цуйидагини топамиз:
л =p,+egh.
Шундаи цилиб, иккита турлн биландликлардаги
босимлар бир бириддн шу баландликлар ораснда ёт-
ган ва кундаланг кесими бирга тенг булган суюц-
лик вертикал устунининг огирлигига тенг цийматга
фарц цилар экан.
aAS |
138- рясм
53- §. Итариб чицарувчи куч
Турли баландликлардаги босимлар цар хил булганлигн натижа-
сида суюцлик ёки газ ичида турган жисмларга таъсир этувчи ита-
риб чнцариш (Архимед) кучлари юзага келади. Итариб чицарувчи
157
кучнинг катталнгмни топяш учун жисмни <цоттан» суюцлнк (газ)
цажми бнлан алмаштирамиз. Бу ^ажм мувозанатда турганлигн са-
бабли уникг огирлик кучи унинг сиртига таъсир этувчи барча ба-
сим кучларннинг тенг таъсир этувчиси бнлан мувозакатлашиши ке-
рак. Худди шундай сирт кучлари жисмнинг узига цам таъсир кур-
сатади ва уларнинг тенг таъсир этувчиси итариб чицарувчи кучни
цоснл цилади.
Цургошин.
UmapuS
^чикррубчи куч
Итариб чщаруйчи
Оеирлик кучи
teupwt кучи
139- реем
140 ркм.
Айтилгаялардаи итариб чнцару в чи куч жисм ^ажмидаги суюц-
лнк огирлигига тенг ва вертикал буйлаб юцорига цараб таъсир эта-
дк деган хулоса чмцади. Котган ^ажм унинг исталган вазнятида
^ам мувозанатда (фар!?снз мувозанатда) цоладн. Демак, итариб чн-
Йарувчн кучнинг цуйилнш нуцтаси жисм хажминннг огирлик мар
казн билан устма-уст тушади. Жисмнинг узининг огирлик мараази
фацат жисмнинг эичлиги барча нуцталарда бир хил булган ^олда-
гина зажмнннг огирлик мариази билан устма-уст тушади. Акс \ол-
да улар устма-уст тушмаслиги мумкин. Мнсол учун цургошин ва
ёгоч ярим шарлардан ясалган шар олайлик (139-расм). Итариб чи-
царувчн куч шариинг мариазига цуйилган б^лса, огирлик кучининг
цуйилиш нуцтаси эса цургошин ярим шар томонга цараб силжиган
булади.
Агар жисмнинг Уртача знчлиги суюцликнннг зичлигидан кичик
булса, у ^олда мувозанат цолатида жисм фа цат цисмангина суюц-
ликка ботиб туради. Бунда огирлик кучи (у жисмнинг огирлик мар-
казига цуйилган) ва итариб чицарувчи кучлар (улар жисмнинг су-
юцликка ботган цисминмнг огирлик марказига цуйнлган) катталик
жицатдан бар-бирига тенг булиши ва бир тугри чизиц буйлаб таъ-
сир этнши керак (140-расм), акс ?{олда улар айлаитирувчи момент
юзага кслтиради ва натижада мувозанат бузилади.
VIII БОБ
ГИДРОДИНАМИКА
54-g. Оцкм чизм^ларм ва найлари, О^имнинг узлукснзлнгн
Сую^ликнннг ^аракатини тушунтириш учун сую^ликнинг дар
бнр зарраси учун траектории билан тезликни ва^тннкг функциясм
сифатида ёзиш керак. Бу усулки Лагранж ишлаб чиц^ан. Бнроц
суюцлнкнинг зарраларинн кузатмасдан, фазонинг ало^ида ну цтаЛа-
рины кузатиб, Jjap бир берилган ну^тадан суюцлнкнинг алсцнда
варралари цандай тезлик билан утаётганлигини ^айд ^илнб борса
^ам булади. Бу иккинчи усул Эйлер усули деб аталади.
Сую^ликнинг з^аракат ^олатипи
фазонинг j^ap бнр нуцтаси учун тезлик V ю А
векторный вацтиинг функцняси сифа-
тида ёзиш оркали ^ам ани^ласа бу- yr
лади. Фазонинг барча нуцталари учун
берилган v векторлар туплами тезлик
вектори майдоннни ^осил цилади. Бу
майдонни цуйндагича таснирлаш мум- 141-раем.
кин. Хэрэкатланаётган сую^ликда
шундай чизицлар ^тказамизки, уларнинг уринмалари \ар бнр
нуцтадз йуналиши v вектор йуналиши билан устма-уст туцгсин
(141-раем). Бу чизи^лар оцнм чизицларн дейилади.
Оцим чизи^ларнии шундай утказишга келишнб оламмзки, улар-
нинг цуюцлиги (у чизи^лар сони LN нинг улар кёсиб утаётгаи,
уларга перпендикуляр ДХ юзчанинг катталигига нисбитй билан ха-
рактерланадн) берилган жойдагн теэликнинг катталигига пропор-
ционал булени. Ушанда оцим чизи^ларининг манзарасига караб v
векторнинг фазонинг турли ну^таларидаги йуналиши ^ацидагина
эмас, балки катталигн ^аьр<да цам фикр юритнш мумкин булади:
тезлик каттароц булган жойда оцим чизицлари знчроц ва аксинча,
тезлик кичикроц булган жойда о^им чязи^лари сийракрок, булади.
v векторнинг катталиги ва йуналиши ^ар бир нуцтада вацт утиши
бнлан Узгариши мумкни булганлиги учун оцим чизицларинннг ман-
вараси jjaM узлуксиз узгариши мумкин. Агар тезлик вектори фазо-
нинг ^ар бнр нуцтасида бирдек ^олса, у ^олда оцим t\apop топган
ёки стационар дейилади. Стационар о^иш вацтмда суюкликнннг
‘исталган нуцтаси фазонинг берилган нуцтасини бирдан-бир v тезлик
15»
билан утади. Стационар оцнш ват^тида оцим чизицларининг манзараси
Узгармайдц ва бу цолда оцим чизицлари зарарларнинг траекториялари
билан устма-уст тушади.
Суюцликнинг оцим чизицлари билан чегараланган цисми оцим
ней и деб аталади. v вектор цар бир нуцтада оцим чизигига урин-
ма булганлигидан оцим найининг сиртига цам уранма булади; де-
мак, суюцлик зарралара царакат вацтида оцим найининг деворлари-
ни кесиб утмайди.
Оцим найининг тезлик йуналишига перпендикуляр S кесимини
олайлнк (142-раем). Фараз цилайлик, суюцлик зарраларининг цара-
кат тезлиги бу кесимнииг цамма нуцтала-
рида бир хил б$лсин. А/ вацт ичида S ке-
сим орцали бошлангич моментда S даноА^
масофадан катта булмаган масофада ётган
барча зарралар утади. Демак, Д< вацт ичи-
да S кесим орцали Svbl га тенг суюцлик
цажми, вацт бирлиги ичнда эса S кесим ор-
цали So га тенг суюцлик цажми утар экан.
Оцим найини унинг цар бнр кесимида тез-
ликни доимий деб цисобласа буладиган дара-
жада ингичка цилиб оламиз. Агар суюцлик сицнлмас булса (яъни
унннг зичлиги цамма ерда бир хил булиб узгарман цолса), у цолда
Sj ва S8 кесимлар орасида (143-расм) суюцлик мнкдори узгармай-
дн. Демак, вацт бнрлиги ичида 5л ва
Sj кесимлар орцали оциб $'тувчи суюц-
лик цажмлари бир хил булиши керак:
SiVt = S,v,
(оцим найининг ён спртлари орцали
суюцлик зарралари утмаелнгини эсла-
142- раем
тамиз).
Юцорида келтирилган мулоцазалар
5л ва Sa кесимларнинг исталган жуфти
учун тааллуцлидир. Демак, сицнлмас —*
суюцлик учун берилган найнинг ис-
талган кесимида Sv катталик бнр хил . ——-
булиши керак экан:
So — const.
Бу слинган натижа оцим ниц г узлуксизлнги цацидаги
теореманинг мазмунини намойиш цнладн.
(54.1) га биноан оцим найининг кеенми узгарувчан булса, си
цилмас суюцликнинг зарралари тезланиш билан харакат цилади.
Горизонтал оцим найида (144-раем) бу тезланншнинг юзага келиши-
га фацат най уци буйлаб босим доимий булмаганлиги сабаб булп-
шн мумкин: тезлик кам булган жойларда босим каттароц булиши
керак ва аксинча. Оцнш тезлиги билан босим орасидаги мицдорий
богланнш кейинги параграфларда топилади.
Оцимнинг уэлуксизлиги цацидаги теорема реал суюцликларга
160
ва гаэлариинг снцнлувчанлигини цисобга олмаса буладиган доллар-
да цатто газларга дам цуллаш мумкин. Тегишли цисбблар курса-
тадики, суюцликлар ва газлар товуш тезлигидан кичик тезликлар
билан царакатланган вацтда уларни етарли даражада аник,лик бн-
лан сицнлмас деб цнсоблаш мумкин экан.
55- Бернулли тенгламаси
Суюцликларнинг царакатини текшпраетганда куп цолларда су-
юцликнннг бир кисмининг бошца цисмларига нисбатан царакатк
вацтида ишцаланиш кучлари юзага чицмайди деб цнсоблаш мумкин.
Ички ишцаланиши (цовушоцлик) батамом йуц булган суюцлик
идеал суюцлик дейилади.
Стационар оцастган идеал суюц- РЛ г
ликда кичик кесимлн оцим панини
ажратиб олайлик (145-рэсм). Оцим
найининг деворлари за оцим чнзиц-
ларига перпендикуляр ва Sa ке-
симлар билан чегараланган суюц-
ликнинг хажминн курайлик. Д/ вацт
ичнда б'у цажм оцим найи буйлаб
кучади, бунда S, кесим &lf йул утиб
5, цолатга кучади, 8Я кесим эсаД/,
йул утиб Sj цолатга ^тади. Оцим
узлуксиз булганлигидан штрих тан-
ган цажмлар бир хил AV, = Д1/2=
— Д17 бу иди. Суюцликнинг цар бир
заррасининг энергияси унинг кине-
тик энергияси билан Ернинг тортиш
145- part-
кучи майдонидаги потенциал энергиясидап ташкил топади. Оцим
стационар булгани учун At вацтда н кейин царалаётган жисм-
нипг штрихланмаган цисмининг исталган нуцтаенда (масалан, 145-
раемдаги О нуцтани царанг) турган зарранинг тезлиги (демак, кинетик
энергияси цам) вацтнинг бошлангич моментида уша нуцтада тур-
ган зарранинг тезлигига тенг булади. Шунинг учун бутун тек-
ширилаётган хажм энергиясининг ДЕ орттнрмасини штрихлангаи
ДГ2 ва Д1\ хажмчалар энергияларпнинг айирмаси сифатида цисоблиб
чнцарнш мумкин.
Оцим найининг кесимини ва Д/ кесмаларни шу цадар кичик
цилиб оламизки, штрихлангаи цажмчаларнинг цар биранинг барча
нуцталарида v тезлик, р босим ва h баландлик бир хнл деб да-
соблаш мумкин булсин. У вацтда энергияшшг орттирмаси цуйида-
гича ёзилади:
= + .(S5.1)
(р—суюцликнинг эичлигн).
Идеал суюцликда ишцаланиш кучлари йуц. Шунинг учун энер-
гия орттирмаси (55.1) ажратилган цажм устида босим кучлари ба-
4-1317
161
акарган ишга Тенг булиши керак. Ен сиртга кУрсатиладиган босим
кучлари цар бир нуцтада Узлари ц^йилган нуцталарнинг к|чиш
й^налишига перпендикуляр б^лганлиги учун иш бажармайдн. Фацат
ва St кесимларга ц^йилган кучларнинг яшигима нолдан фарцлн,
колос. Бу нш цуйндагига тенг:
А = рА&Ъ — р&Ы, = (₽! — «р)ДУ. (5Б.2)
(55-1) ва (55.2) нфодалараи бнр-бирига тенглаштириб, ДУ га цис-
цартвриб ва бир хил индекслн цадларни бараварнинг бир томен ига
утказиб цуйидагини топамиз:
pu? Pt'o
j1 + P«*i + Pi=-f +Prt + P.- (55.3)
Sj ва Sj кесимлар ихтиёрий олинган эди. Шунинг учун оцим
найининг исталган кеснмида 4- pgh 4- р ифода бир хнл ций-
мачта эга булади, деб айтиш мумкин. Биз (55.3) тенгламани чица-
раетганимизда цилгая тахминларимизга мувофиц бу тенглама фацат
S кундаланг кесим нолга ннтилгандагина, яъни оцим найи чиэиц-
на айлангандагина т$ла равншда а ниц тенгламага айланади. Шун-
дай цилиб, (55.3) тенгламанннг чап ва унг томенларида иштирок
этувчи р, v ва h катталикларни бирдан-бир оцкм чиэигининг икки-
та ихтиерий нуцталарига тегишли деб цараш керак.
Бу биз топган натижани цуйидагича таърифлашимиз мумкин:
стационар о^ётган идеал суюцликда исталган оцимчизиги буйлаб
цуйндаги шарт бажарилади:
f ^ + Р£Л-ЬР= const. (55.4)
(55 4) тенглама ёки унга тенг кучли булган (55.3) тенглама
Бернулли тенгламасн дейилади. Бу тенгламани биз идеал
суюцлнк учун топган л игимизга царамасдан у ички ишцаланиши
упча катта булмаган идеал суюцликлар учун цам етарли даражада
аниц бажарилади.
Бернулли тенгламасидан келиб чвцадиган баъэи бир хулосалар-
ни цараб чицайлик. Фараз цилайлик, суюцлик шундай оцаётган
бУлсинки, тезлик барча нуцталарда бир хил катталикка эга бул-
син. У вацтда (55.3) га биноан исталган оцим чнзнгннинг ихтнё-
рий икки нуцтаси учун цуйндаги тенглик бажарилади:
Л—PiePg(Ai —ЛД
бундан бу цолда цам босим тацсимоти худди тинч цолатда турган
суюцликдагидек булади, деган хулоса чицади ((52.1) га царанг].
Горизонтал оцим чиэиги учун (55.3) шарт цуйндаги куринишга
эга булади:
у + Pi = “2" + Ра»
162
Сцб
иънн тезлик каттароц булган нуцталарда босим кичикроц б}лар
экан (шундай бУлишини биз олдинги параграфда юзаки цараб
чиццан эдик).
Оцим тезлигн каттароц булган нуцталарда босимнинг кнчра-
йнши сув шарраси насосининг туэилишига асос цилиб олинган
(146-раем). Сув шарраси атмосферага очиладиган, яъни учндаги
босим а.Тлосфера босимига тенг булган найга бериладн. Найда ин-
гичка жой б^либ, у орцали сув каттароц тез-
лик билан оцади. демак, натижада бу ердаги
босим атмосфера босимидан кичикроц булади.
Насоснинг найми ураб турган ва май билан
унинг ингичка жойидаги узилиш орцали ту-
ташган камерасида цам босим худди шундай
булади. Камерага цаносн суриладиган цажмии
улаб ундаги цавони (ёки бошца бирор газни)
тахмипан 100 мм сим уст гача суриб олиш
мумкин. Сурилаётган кд вони сувнинг шарра-
сн атмосферага олиб чициб кетади.
Бернулли тенгламасини суюцликнинг огзи
очиц катта идиш тешигидан оциб чнциш цо-
лига татбиц этайлик, Суюцликда бир томон-
дррн кесими идишдаги суюцликнинг очиц енр-
тидан, иккинчи томбидаги кесими эса суюц-
лик оциб чицаётган тешикдан иборат булган
'оцим иайини ажратиб олайлик* (147-расм).
Бу кесимларнинг цар бирида тёзликнн ва
уларнинг бирор бошлангич юзчадан баланд-
лигини бир хил деб цисоблаш мумкин. Шу-
нинг учун цам худди шундай фараз цилиниб
топилган (55 3) тенгламани бу цолга цул-
лаш мумкни. Ундан ташцари иккала кесим-
да цам босимлар атмофера босимига тенг,
Шунинг учун цам улар бир хил булади. Шу
билан бирга кенг идчшдаги очиц сиртнннг
силжиш тезлигини нолга тенг деб олиш
мумкин. Ана шу айтилганларнннг цаммасини
цисобга олиб (55.3) тенгламани царалаётган цол учун цуйидагича
ёзиш мумкни:
P£*i = V + р£А‘-
146- р»см
бу ерда v—тешикдаи оциб чициш тезлнги. р га цнецартираб ва
суюцликнинг очиц сиртииинг тешикдан баландлиги h —ht — ht
ин киригиб цуйидагини топамиз:
~2 = бУНДан V =1 2gA. {55.5)
1 Лницроги тешикдан чнцвётгвн шарраиинг кескмнни. Агар тегишли чоролчр
курилм.-га. шарранинг кесимн тешикдан кичик булади.
163
Бу формула Торричелли формуласн дейилади.
Шундай цилиб, 04И14 сирт остида Л чуцурликда ётган тешик ор-
црли суюкликнинг о^иб чи^иш тезлиги h баландликдан тушаётган
исталган жисм оладиган тезликка тенг булар экан. Бу натижа су-
юцлик идеал деб фараз ^илиш орцали топилганлигини эсда тутмоц
керак. Реал сую^ликлар учун оциш тезлиги кичикроц булади ва
суюцликнннг ь^вупго^лиги цанча катта булса, тезлик (55.5) ций-
ыатидан шунча купро^ фарц цилади.
56-§. Оцаётган сукиулнкдаги босимни улчаш
Аввалги параграфда биз суюцлнкдаги босим оцим тезлигига бог-
лигу эканлигини аншуладик. Суюдликка унинг босимини улчайдиган
асбоб киритсак, у суюцликнинг даракати характерини бузиши,
демак, улчанаётган босимнинг катталигини \ам узгартириши мум-
кин. Сукауликка букилган манометрик найни тешигини оцимг»
148-‘расм.
149- раем.
дара гиб туширайлик (148-раем). Бундай най Питоияйи деб ата-
лади. Учи билан най тешигининг марказига тацалувчи одим чизи-
гини текширайлнк. Каралаётган одим чизиги тезлиги найдан катта
масофада ётган тулдинланмайдиган одим учун о дан бевосита те-
шик олдидаги одим учуй нолгача Узгаради. Бернулли тенгламаенга
биноан тешик олдидаги (демак, манометрик найидаги дам) босим
дузгатилмагаи оцимдаги р босимдан рсЯ/2 га каттарод булади. Де-
мак, Пито найи билан туташтирилган маноментр
р’=р+? (66.1)
босимни курсатади.
Улчамлиги босим Улчамлигига тенг булган бу рн2/2 д^шилувчи
динамик босим дейилади. р босимни эса, одатда ста тик босим
дейилади. Статик ва динамик боенмларнинг йигиндисига тенг бул-
ган р босим т^ ла босим дейилади. Демак, Пито найи ёрдамида
туда босимни улчаш мумкин экан (56.1).
Агар ингичка букилган найнинг ён томонларидан тешик очеак,
у ^олда бундай тешиклар ёвцдаги тезлик (демак, босим ?;ам) т$’л-
цннланмаган о^имнинг тезлигидан (ва боенмидан) кам фарц ^илади
(149-раем). Шунинг учун бундай найга уланган манометр зонд
деб аталиб сую^ликдаги статик р босимни курсатади.
164
/7 мпнонатрга
150- раси
Тула ва статик босимлар маълум булса, рс% динамик босимни
ва демак, v оцим тезлигини ^ам топит мумкин (суюкликнинг зич-
лиги маълум деб фараз ^илинади). Агар
Пито найи билан зондни 150-расмда кур-
сатилгандек ^илиббирлаштнриб, дифферен-
циал маяометрнинг (яъни босимлар фарди-
ни улчайдиган манометрнинг) >;ар хил тир-
сакларнга туташтирсак, у >;олда манометр-
нннг) курсатишлари бевосита динамик
босимни беради. Манометрии v тезлик
бирликларида даражаласак, суюцликнинг
оцим тезлигини улчайдиган асбоб >:оспл
ЦИЛИШНМИЗ мумкин.
57-§. Суюкликнинг вдикатига импульснинг ащланиш
цонунини ^уллаш
Хар хпл жисмлар каби суюцликлар билан газларга ^ам нм-
пульснинг сацлапиш цонуннни татбнц ^илиш мумкин. Шу цонунпи
баъзи бир масала ларни ечиш учун татбид ди лап лик.
Одаётган суюкликнинг букилган найнинг деворига реакцияси.
Букилган най ичида сицилмас сугодликипнг стационар сними царор
топди, деб фараз цилайлик (151-раем). Масалани соддалаштирнш
учун узгармас S кеенмлн най оламиз. У >£>лда о^имнинг узлуксиз-
лигига биноан тезлик ^ар бир кесимда катталик жи^атдан бир хил
ва v га тенг булади.
Найнинг St ва St кесимлар билан чегараланган букилган i\hc-
мининг ^зжмнни 1\араб чицайлик. Д/ вадт ичида Sj кесим орцалн
бу ^ажмга Kj —рЗоТдД/ импульега* эга булган Sv&i суюцликми^-
дори 01916 кпради. Бир взятиинг ичида, бу ^ажмдан 5, кесим ор-
тали Kj — pSt)VsA/ импульега эга булган худди ушанча суюцлпк
миедори оциб чи^адн, Шундай 191-
либ, найнинг букилган ^исмНнннг
деворлари At вацт ичида узларинит1
ёнидан О1\иб утаётган суюцликка ДК =
К2 — Ki =pSo (v2 — Vj) Д/ импульс
орттирмасини беради. Биз билами эки,
жисм импульсининг ваг^т бирлиги ичи-
даги орттирмаси жисмга таъсир этувчи
кучга тенг. Демак, найнинг деворла-
ри суюцликка тенг таъсир этувчиси
f = — в pS»(v2 — Vj) га тенг Сул-
тан кучлар билан таъсир курсатар
экан. Ньютоннинг учинчи ^онунига би-
151- раем.
1 Босим >{ам импульега ухшэб р чарф билан белгилаиадн. Шу сабабли. анг-
лашшшовчнлнк брлыаслигн учун иыпульсни К чаРФи 6илан белгилайыиз.
166
иоан оцастган суюцлик наннинг деворига тенг таъсир этув-
чнси
==pSv(Vi —v«) (57.1)
га тенг булган кучлар билан таъсир к^рсатар экан. Куч tr оцаёт-
ган суюцликнинг найнинг деворла рага реакцияси дейилади.
Оциб чнцаётган шарранннг реакцияси. Идишдаги тешнкдан оциб
чнцаётган суюцлик шарраси (152- раем) А/ вацт ичида ?зи билан
бирга АК = pSvv&l (р — суюцликнинг
зичлигн, S — тешикн инг юзи, v — шар-
ранииг оциб чицмш тезлиги) импульс
- —олиб кетади. Бу импульсни оциб чи-
— цаётган суюцликка идиш беради. Нью-
_-----------k _ дг тоннинг учинчи цонунига биноан идиш
чнцаётган суюцликдан А/ вацт
— АК импульс олади, яъни
I, — pSov (57.2)
куч таъсир курсатадн.
Бу куч оциб чнцаётган суюцлик шаррасинннг реакцияси дейи-
лади. Агар идишни аравачага ^рнатсак, у цолда fr куч таъсири
остида у шарранннг йуналишига теска ра йуналишда царакатга ке-
лади.
Суюцликнинг тешнкдан оциб чнциш тезлиги учун ёзилган (55.5)
ифодадан фойдаланиб fr кучнинг катталигинн топамиз:
fr = pSv' = 2ghpS. (57.3)
152-раем.
оциб
ичида
унга
Агар f, куч тешикни беркитиб турган п?какка суюцлик курса-
тадиган гидростатах босим кучига тенг булганда (биринчи цараган-
да шундай туюлиши мумкин), fr куч ghpS га тенг булар эди.
Аслнда эса fz куч икки марта катта экан. Бунга сабаб шуми, шар-
ра оциб чицаётганда суюцликнинг юзага келадиган царакати бо-
симнинг цайт-j тацсимлан ишига олиб келади, бунда тешикнинг цар-
шисида ётган девор ёнидаги босим тешикли девор ёнидаги босимдан
каттароц булади.
Реактив двигателлар ва ракеталариинг царакати оциб чнцаётган
газ оцимининг реакция к^рсатнш цодисасига асосланган. Реактив
царакат учун атмосферанинг аарурати булмаганлиги сабабли ундан
космик фаэога учишда цу.чланнлади.
Планеталарнро алоцалар назариясининг всосчнси буюк рус олн-
ми ва ихтирочнеи К. Э. Циолковскийдир (1857—1935). У ракета-
нинг учнш назариясини яратди ва реактив аппаратлардан планета*
лараро алоцалар учун фойдиланиш мумииилнгинн асослиб берди.
Хусусан, Циолковский мураккаб ракеталариинг учиш назариясини
ншлаб чнцди. Буидай ракеталарда цар бир сунгги погона уидан
олдинги погона ёцнлгини тула сарфлаб ракетадан ажрилгандан ке-
йин ншга тушади. Циолковский гоя лари космик фазони узлаштириш
[Бе
ва ургаянш бораснда .Совет Иттифоцини етакчи Оринга чицарган
совет олимлари цамда ннженёрлари томонидан янада рнвожланти-
рилди ва амалга ошнрилди.
58* §. Ички ишцаланиш кучлари
Идеаъ яъни ишцаланишснэ суюцлик бу абстракциядир. Борлиц
реал суюцднклар ва газларга куп ёки оз даражада цоаушоцлик ёки
ички ишцаланиш хосдир. Р^овушоцлик суюцлик ёки газда юзага
'келган царакаг уни юзага келтирувчи сабаблар т^хтагаидан кейин
аста-секин т^хтаб цолишвда намоён булади.
Ички ишцаланиш кучлари буйсунадиган цонуниятларни аннцлаш
учун цуйидаги тажрибани цараб чицайлнк. Суюцликка иккита бир-
153- раси.
бирига параллел ва чизицлн Улчамлари улар орасидаги d масофадан
анча катта булган пластинкалар ботирилган булсин (153- раем).
Остки пластинка урнида цолдирнлмб, устндагисинн остидагиГа нис-
батак бирор п0 тезлик билан царакатга келтнрайлик. Бу тажрибада
устки пластинканк доимий о0 тезлик билан царакатлантириш учун
аниц бир узгармас f куч билан таъсир курсатищ керак эканлиги
куринади, Взцоланки, пластинка тезланиш олмас экан, демак, бу
кучнинг таъсири катталик жицатдан унга тенг ва царама-царши
йуналган куч билан мувозанатлашади. Афтидан, бу куч пластинка
суюцликда царакатланган вацтда унга таъсир этувчи ишцаланиш
кучидан иборат булса керак. Уни 1ИШЧ билан белгилаймиз.
Пластннканикг ип тезлигини, пластинкаларнннг S юзини ва улар
орасидаги d масофани узгартира бориб,
<S8.1>
вканлигани топнш мумкин, бу ерда п — пропорционаллик коэффи-
циенти, у суюцликнинг табиатига ва цолатнга (масалан, темпера-
турасига) боглиц булиб, ички ишцаланиш коэффнцнентн
ёкн цовушоцлик коэффициенти, ёки тугридан-т^гри суюц-
дакяннг (газнннг) цовушоцлнги дейилади.
167
Юцоридаги пластинка царакатлангаида осткисига цам га
тенг булган fHiDit куч таъсир курсатади. Остки пластинка цузгал-
мисдан цолиши учун кучии 1' куч ёрдампда мувозанатлаш ке-
рак.
Шундай цилиб, суюцликка ботирилган иккита пластинка бнр-
бирига нисбатан царакатлангаида улар орасида (58.1) куч билан
характерланувчи узаро таъсир юзага келар экан. Пластннкалариннг
узаро таъсири, афтидаи, улар орасидаги суюцлик орцали суюцлик-
нинг бир цвтламидан иккинчисига узатилиш нули билан амалга
ошеа керак. Агар тирцишнинг исталган жонида фикран пластинка-
ларга параллел текислик утказсак (153- раемдаги пунктир чизицца
царанг), у цолда суюцликнинг бу текислик устнда ётган циемн
текислик остидаги цисмига куч билан, суюцликнинг текислик
остида ётган цисми эса текислик устида ётган цисмига 1ИШ1Ь куч
билан таъсир курсатади ва бунда 11шк ва Гш|. кучлар (58.1) фор-
мула билан ифодаланади деб айтишимиз мумкин булади. Шундай
цилиб, (58.1) формула фацат пластинкалар таъсир этаётган ишца-
ланиш кучннигина эмас, цатто суюцликнинг узаро тегиб тургав
кисмлари орасидаги ишцаланнш кучини цам ифодалар экан.
Агар суюцликнинг турли цатламларкдаги зарраларининг теэли*
гинч текширсак, у цолда бу тезлик пластинкага перпендикуляр
буиан г йуналиш буйлаб (153- раем) чизицлн
(532)
а
KOIivh билан узгаришини топамиз.
Суюцликнинг пластинкаларга бевосита тегиб турган зарралари
гу? уларга ёпишнб цолади ва уларнинг тезлигн пластинка тезлигн-
га тенглашади. (53.2) формулага биноан
dv _
dz d
(58.3) дан фойдаланиб, ички ишцаланиш кучининг формуласи
(56.1) ни цуйидагича куринишга келтириш мумкин: ,
U=4^. (56.4)
dv » _
катталик z уцИ буйлаб тезлик цанчалик тез узгараетганли-
гини курсатади ва тезлик градиенти деб аталади (аницроги, у тез-
лик градиентининг модулидир; градиент узи эса вектор катталик).
(56.4) формула тезлик чизнцли цонув билан ^згарган цол учун
топилган эди (бу цолда тезлик градиенти узгармас булади). Маъ-
лум булишича, бу формула тезлик цатламдан-цатламга Утгаида
исталганча бошца цонун билан узгарганда цам тутрилигича цолар
экан. Бу цолда иккита чегарадош цатламлар орасидаги ишцаланиш
кучини аницлаш учун цатламларнинг тасаввур цилинган ажралищ
168
сирти цаердан утса, градиентвииг уша жойдаги цийматини олиш
керак. Масалан, суюцлик цилиндрик най ичида царакатлангаида
тезлик найнинг девор лари ёнида нолга тенг булиб, найнинг уцида
эса максимал цнйматга эга булади. Оциш тезликларн у цадар кат-
та булмаганда исталган радиус буйлаб
v - Ч*~ й' <58’5>
цонун билан узгаришини курсатиш мумкин, бунда /? — найнинг
радиуси, v0 — найнинг уцидаги суюцлик цатдамининг тезлиги, v —
найнинг $кидан г масофадаги тезлик (154- раем).
Суюцлик ичида фикран г ради-
усли цилиндрик сирт чизамиз. Су- _________________________
юцликнинг шу сиртнинг турли томон-
ларида ётган цисмлари бир-бирига
маълум куч бнлан таъсир курсатади,
Бу куч юз бирлигига нисбатан один-
гаида цуйидагнга тенг булади:
. dv 2vbt 154-раем.
I ~ Ч— = 4 —г»
1 ‘dr Д’
яъни найнинг ^цндан чегара сиртгача булган масофага пронорцио-
нал равишда ортар экан 1(58.5) ни г буйича дифференциаллаганда
цоенл буладиган «—» ишорани биз тушириб цолдирдик, чунКи (58.4)
ички ишцаланиш кучининг фацат модулини беради.
Ушбу параграфда айтилган цамма гаплар суюцликлар бнлан
бир цаторда газларга цам тааллуцлидир.
СИ системада цовушоцлик бирлиги цилиб тезлнк градиенти цар
1 метрга 1 м/сек булганда цатламлариинг тегиб турган 1 л’ юзига
1 н ички ишцаланиш кучини юзага келтираднган цовушоцлик ца-'
бул цилинган. Бу бирлик н-сек/r,^ билан белгиланади.
СГС спстемачд цовушоцлик бирлнги цилиб пуаз (лэ) олчнади. У шундай
цовушоклчмка теигки, унда катламларнииг тегиб турган юзи 1 см’ булганда тез-
ликяинг 1 см га 1 см/сек градиенти 1 дина куши юзага келтнради. 10“® луязга
тенг бирлик микропуаз (мкпз\ дейилади.
Пуаз билан СИ системадаги цовушоклкк бирлиги ораснда куйидаги муноса-
бат Уринли булади.
1«.сек/д? = 10 пэ.
Цовушоцлик коэффициента температурага боглиц булиб, бу бог-
ланишнинг характери суюцлик ва газ чар учун цар хил булади.
Суюцлнкларда температура кутарилмши билан цовуцюцлнк коэффи-
циент кескин камаяди. Газларда эса, аксинча, температура кута-
рилнши билан цовушоцлик коэффициента ортади. Температура
узгарганда т) нннг узгариш характера турлича булиши суюцлик ва
газларда ички ишцалишнинг табиати турлича эканлнгидан далолат
беради.
169
Б9- §. Ламадар м турбулент один
Суюдликнинг (ёки газнинг) нкки хил одншн куэатилади. Баии
доллйрда сую длин г^ё вралашмасдан бир-бирига нисбатан снрпана-
етган датламларга ажралган долда одади. Бундай одимии лами-
на р (датлам-датлам) одим дейилади1. Агар ламинар одимга буялган
(рангли) сукнупик одимини кнритсак, у одимпинг бутуй узунлиги
давомида ёйилмасдан одадн, чунки суюд-
— - .-*• . 1 = лнкнияг зарралари ламинар одимда бнр
датламдаи бошдв катлэмга утмайдн.
______. =-*= ____________ Ламинар одим стационардир.
—- - Одимнинг тезлиги ёки к^ндаланг f л-
______—*Г________ чамлара узгарса, одиш характери кескип
узгаради. Суюдлик интенсив равишда
155-раем. аралаша бошлайди. Бундай одим тур-
булент одим дейилади. Турбулент одим
вадтида заррачанивг тезлиги дар бир берилган жойда доим
тартибенз равишда узгариб туради— одим ностационяр булади.
Агар турбулент однмга рангли суюдлик душимча. у долда суюдлик'
цушилган жойдан узодка бормасданод одимнинг бутуй КесИмИ Bj'ii-
лаб текис тардалиб кетадн.
Одим тезлигининг най удидан ^лчанган масофега дараб £зга-
риш карактернни курсатувчи 154- раем ламинар одимга тегищли-
дар. Турбулент одим вадтида теэликнинг най кссиминииг дар бир
нудтасидаги Уртача (вадт б?йнча) днймати Дедвда гапирпш мумкин.
Турбулент одимдагм уртача тезликлариннг профили 155- раемда
тасзирлангаи Най деворннинг ёнида тезлик -ламинар одчмдагша
дараганда кучлнрод , кесимпинг долгая дисмларида эса камрод уз-
гаради
Инглиз олнмн Рейнольдс одиш характери улчамсиэ
Ке=^5 (59 1)
катталикнинг дийматига боглнд эканлигини анндлади, бу ерда р —
суюдлнк (ёки газнинг) зичлигиС v—одимнинг уртача (найнинг ке-
сими буйлаб Олинган) тезлиги, д — cjюдликнинг довушодлик коэф-
фнциейти, / — кундаланг кесим учун характерли булган улчам,
масалан, кесими квадрат булса, квадратнинг томони, думалод кесим
булса, унииг радиуси ёки диаметри ва доказо’.
(59.1) катталик Рейнольдс сони дейилади. Рейнольдс сони
кичик булган долларда ламинар одим кузатилади. Re нинг .маълум
цийматидан (у критик диймат деб аталади) бошлаб, одим турбулент
характера эга булади. Агар думалод най учун характерли улчам
сифатида унннг г радиусини двбул дилсяк, у долда Рейнольдс со-
1 Латннча cfa lamina пластинками, та4£9>п1 awna»'»>’,n.
’ (59 1) нфода ?л»выс“з Каттяляк эк*' . »»«л х°сил днляш ЗДуачн-
Hlrw fairs ^авола днлннад».
иннинг (ушбу JpM учун у Re =ь рцг/т) курннишга эга) критик циО-
мати 1ООО га тенг булар экан1. Рейнольдс сонига иисбат сифатида
суютуткнинг хоссаларига боглнц булган иккита: р — эичлик дамда
tj цовушоцлнк коэффициента киради. Бу
V=-1 (S92)
иисбат кинемятик цовушо^лик дейилади. v дан фар^лм ра-
вишда п динамик ^овушо^лик дейилади. Кинематик цову-
шо^ликдан фойдаланиб, Рейнольдс соннга куйидагича куришм
бериш мумкин:
Re=-. (S9.3)
V
Рейнольдс сонн сукм^пнкларнинг цувур, канал шу кабиларда
о^ишида ухшашлнк иритерийсн була олади. Агар турли кундаланг
иесимли вайларда Jjap хил суюцликларнннг (ёки газларнинг) оциши
учун Re нинг бир хил цнймати мос келса, уларнинг ециш харак-
тери ^ам мутлацр бир хил булади.
60- §. Жнсмдараинг суюдликлар ва гязларда вдмкати
Жисм суюдлик ёки газда’ ^аракатланганда унга маълум кучлар
таъсир курсатади. Бу кучларнинг тенг таъсир этувчисннн R ^арфн
билан белгнлайлик (156- раем). R кучпи бири Q жисмнинг ^арака-
тй йуналишига тескари (ёки жисмга урилаётган одимнинг йуналиши
буйлаб) йуналган ва нккинчиси Р бу йуналишга перпендикуляр
булган иккита ташкил этуичига ажратиш мумкин. Q ва Р ташкил
этувчилар мос равишда пешона царшнлкк ва кутарувчн
куч деб аталади. Равшаяки, ^аракат йуналишига нисбатан сим-
166- р«см.
157- рясм
* Равшйиин, t сифйтяда наГп илг рсдиусинч выас диаметрини слсии, у ^олда
биз Re нинг критик киРиатиии 2 марта орттирив олншимнэ керак.
а Жиси суюцлихка нисбатан $згар*ис тезлик билан дарают цилса жисмга
таъсир Втувчн куч Галнлейнинг нисбичлик яазарийсига бниоам црзеалиай турган
жисмга нисбатан суюцляк Ушандяб тталнк билан ^аракатлэнган впцтда жисмга
таъсир ятадитаи кучга теиг булади. 156- раем кеЧниги долга тегнимн
171
метрик булган жиемга фацат пешона царшнчик таъсир курсатишн
мумкин, кутарувчи куч эса бу цолда нолга тенг булади.
^исоблашлардан идеал суюцликда текис царакат цилаётган
жисмларга пешона царшилмк таъсири булмаслиги маълум булди.
}\овушоцлнкка эга букмаганлигидан идеал суюцлик жиемнинг сиртн
буйлаб эркин сирганиб уни айланиб оцади. 157- расмда идеал суки;-
лик жуда узун («чексиз») цилиндрни айланнб оццан вацтда оцим
чизицлари цандай шаклга эга булиши курсатилган. Тула айланиб
оцнш булганлнгидан оцим чизицлари А ва В нуцталар орцали утув-
чи тугри чизицца нисбатан цам .С ва D нуцталар орцали утувчи
тугри чизицца нисбатан цам мутлацо симметрии булади. Шунинг
учун А ва В нуцталар ёнида босим бир хил булади (ва тулцин-
ланмай оцнш вацтида катта булади, чунки бу нуцталар ёнида тез-
лик кичикроц); худди шунингдек С ва D нуцталар ёнидаги босим-
лар цам бир хил булади (ва тулцинланмаган оцимдагига цараганда
кичикроц булади, чунки бу нуцталар ёнида тезлик каттароц). Де-
мак, цилиндрнинг сиртига курсатиладнган натижавий босим кучи
(у цовушоцлик бор булганда пешона царшиликни юзага келтнрган
булар эди) нолга тенг б*лади.г Бошцача шаклдаги жисмлар учун
цам худди шундай натижалар олинган.
Жисм цовушоц суюцликларда царакатланганда эса бошцачароц
цодиса кузатилади. Бу цолда жуда юнца суюцлик цатлами жием-
нинг сиртига ёпишнб олади ва у билан бирга ^аракатланиб ёнида-
ги цатламларни ишцаланиш туфайли эргаштнриб кетади. Жиемнинг
сиртидан узоцлаша борган сари цатламларнииг тезлиги на мая бо-
ради ва ницоят, сиртдап бирор масофада суюцлик жиемнинг цара-
кати таъсирида тулцинланмайди. Шундай цилиб, жисм тезлик гра-
диентига эга булган суюцлик цатлами билан ураляб цолар экан.
Бу цат.замни чегара цатлам дейилади. Унда ишцаланиш кучлари
мавжуд булиб, натижада улар пешона царшиликни юзага келтира-
ди. Аммо цодиса шу билангина чегараланиб цолмайди. Чегара
цатламнинг мавжудлиги жиемнинг суюцлик томонидан айланиб
оцнш царакатини тубдан узгартириб юборади. Тула айланиб оциш
1мумкин булмай цолади. Сирт^аги цатламда ишцаланиш кучларк-
нинг таъсири оцим жиемнинг сиртидан ажралиб чицишига ва нати-
жада жиемнинг орцасида уюрмалар цосил булишнга олиб келади
(158- раемга царанг, унда цовушоц
суюцликнинг цилиндрни айланиб
оциши курсатилган). Бу уюрмаларни
оцим олиб кегади ва у ишцаланиш
таъсирида аста-секни сунадн; бунда
уюрмаларнинг энергияси суюцликни
иситншга сарфланадн. Жисм орцасида
хосил булган уюрма соцасида босим
пасаяди ва шунинг учун босим куч-
ларннннг тенг таъсир этувчиси нол-
дан фарцли булиб, пешона царшили-
158- раем.
гини юзага келтиради.
172
Шундай цилиб, пешона царшилик ишцаланиш царшилиги билан
босим царшилигидан ташкил топар экан. Жиемнинг берилган кун-
даланг улчамларида босим царшилиги унинг шаклига жуда кучли
боглангандир. Шунинг учун цам у шакл царшилиги деб хам ата-
лади. Суюцликнинг айланиб оциши жуда осон булган шакл томчи
шакли булпб, бундай жисмлар энг кичик босим царшилигнга эга
(159- раем). Ихтирочилар само-
лётлариинг фюзеляжига ва ца- ----------------------
нитларвга, автомобилларнинг -« ~
кузовларига ва цоказоларга ана •*—* X-
шундай шакл беришга интила- V-
дилар.
Ишцаланиш царшилиги билан --------—'
босим царшилиги орасидаги нис- 159-расм.
бат Рейнольдс сонининг циимати
билан аницланади (59.3). Бу цолда I—жиемнинг бирор характерлн
улчами (масалан, шар шаклидаги жисм учун радиус), v — жием-
нинг суюцликка нисбатан тезлиги.
Re нинг кичик цинматларидан асосий родни ишцаланиш царши-
лиги уйнайди, шунинг учун босим царшилигини эътиборга олмаса
цам булади Re ортиши билан босим царшилигининг роли орта бо-
ради. Re нинг катта цийматларида пешона царшиликда босим куч-
лари асосий роль уйнайди.
Рейнольдс сони оцимда жиемга таъсир курсатаётгап кучлар-
нинг царактернни аницлаб Сериб, бу цолда цам цодисаларнинг ух-
шашлигини аницлаб берувчи ^лчов булиб хизмат цилиши мумкин.
Бу цол моделлашда цулланилади. Масалан, агар самолётнинг уэи
билан модели орасидаги геометрик ухшашликдан ташцари улар учун
Рейнольдс сонининг тенг булиши шарти цаноатлантирилган булса.
самолётнинг модели газ оцимида кудди самолётнинг асл нусхаси
каби узини тутади.
Стокс цонуни. Re кичик, яъни харакат тезлиги кичик булганда
ва I цам кичик булганда; ((59.3) га царанг] муцитнннг царшилиги-
ни амалда фацат ишцаланиш кучлари юзага чицаради. Стокс аниц-
лаган цонунга биноан бу цолда царшилик кучи т} динамик цову-
шоцлик коэффициентига, жиемнинг суюцликка нисбатан v царакат
тезлигига ва жиемнинг I характерлн улчамига пропорционал була-
ди: f — (жиемдан суюцликнинг чегараларигача булган масофа,
масалан, идишнинг деворларигача булган масофа жиемнинг улчам-
ларига царагагда анча катта деб фараз цилинади). Пропорционал-
лик коэффициенти жиемнинг шаклига боклиц. Агар шар учун 1 деб
унинг г радкусини олсак, у цолда пропорционаллик коэффициенти
6л га тенг булар экан. Демак, суюцликларда кичик тезликларда
шарчанниг царакатига курсатиладнган царшилик кучи Стоке цону-
ннга биноан цуйидагига тенг:
, с I
[ ~ блтр-у.
(60-1)
173
Суюцлик ёкц.га» ичида вертикал тушзётгая шарчага -учта кучг
1) иастга цараб йуналган огирлик кучи у лг*р£(г— шарчанннг ра-
диуси, р — унинг зичлиги), 2) юцррига цараб йуналган к^тарувчи
куч у лтлрой'(р[1 — суюцлик ёки газнннг зичлиги) ва 3) шарчанннг
царакаткга тескари, яъни юцорнга цараб йуналган Бтуо царшилмк
кучи таъсир цилади. Биринчи икки куч катталик жицатдан узгар-
мас булиб, учннчиси эса v тезликка пропорционалдир. Шу сабабдан
маълум t'a тезликка эришилгач, кутарувчн куч билан царшнлик кучи
цушнлиб огирлик кучини мувозанятлаиди ва натижада шарча тез-
ланишсиз текнс царакатлана бошлайди. Текнс царакат v0 тезлнгини
цуйндаги шартдаи осонгина топиш мумкин:
= - пг«р.г + бл lira,.
Бу тенгламани га нисбатан ечсак,
(Ю.2)
(60.2) дан шарчанннг цовушоц муцитда текис тушиш тезлигн
унинг радиусн квадратига пропорционал эканлиги куриниб турибдн.
Юцорида аницланган сабабларга кура (60.2) формула фацат кичик
шарчалар учун яроцлидир.
Кичик шарчаларнинг суюцликда /екис тушиш тезлнгини улчаб
(60.2) формуладан суюцликнинг tj цовушоцлигини топиш мумкин.
Цовушоцликни бундай топиш усулидан баъэан амалда фойдалани-
лади.
Кутарпш кучи. Кутариш кучи юзага келиши учун суюцликнинг
цовушоцлиги ацамнятга эга эмас. 160- расмда идеал суюцлик ярим
1С0- раем
Р Я
цилиндрик айлзниб чнццан вацтдаги
оцим чизИцлари курсатилган. Тула
айчаниб оциш булганлнги учун
оцим чизицлари CD тугри чизицца
нисбатан симметрии булади. Ачмо
АВ тугри чизицца нисбатан манза-
ра симметрии булмайди. Оцим чц-
зицлари С нуцта ёнида цуюцлаш-
ганлнги учун бу ердаги босим D
ёнидаги босимдан кичикроц булади
иа натижада кутарувчи Р куч ву-
жудга келади. Цоаушоц муцитда
цам кутарувчи куч худди шу й?д
билан вужудга келади.
Самолётии цавода ушлаб ту-
рувчи куч бу унинг цанотларига
таъсир курсатувчи кучдир. Пешона
царшилнк самолстнннг учишида за-
рарпи таъсир курсатади. Шу сабабдан сампл?тиинг цанотлари ва
фюзеляжи суйри шаклида ясалади. 1\анагиинг профили шу билан
бирга етарли катталикда кутарувчи куч юзага келтириши керак.
К,анот учун 161 расмда кУрсатилган буюк рус олими Н. Е: Жу-
ковский .(1847—1921) кашф дилган профиль энг оптимал профнл-
дир. Жуковский ва унинг Удувчиси С. А. Чаплигни узлариннкг
таддидотлари билан ^озирги замон аэродинамикасига асос солдилвр.
Шунинг учун В. И. Ленин Жуковскийни рус авиациясининг отасн
деб атаган эди. Жуковский к^тариш кучини аницлаш формул асини
келтириб чидарди. Бу формула самолётларга тегишли барча аэроди-
намик >уисоблар учун асос булиб хйзмат дилади.
2- ЦИСМ
ТЕБРАННШЛАР ВА ТУЛЦИНЛАР
' IX Б О Б
ТЕБРАНМА ХАРАКАТ
61-§. Тебранншлар цацида умумий маълумотлар
У ёки бу даражада такрорланувчаилнги билан ажралиб туради-
гап процессларга тебранншлар деб айтилади. Ана шундай такрор-
ланувчанлик хоссасига, масалан, соат маятникнинг тебраннши, камер-
тон торииинг ёки оёцчаларицииг тебраннши, радиоприёмник контури-
даги конденсатор цопламаларн орасидаги кучланишнинг тебраннши ва
^оказолар эгадир.
Такрорланаётган процесснинг физик табиатпга цараб тебраннш-
лар: механик, электромагнит, электромеханик ва цоказо тебраниш-
ларга ажраладн. Ушбу бобда механик тебранншлар тацлил цилн-
нади.
Тсб|мнишлар табиатда ва техникада кенг тарцалган. Купчилик
цолларда улап салбнй роль уйпаидилар. Рельсларнинг цушилиш
жойидан утаетгаида поезднииг гклдираги берадиган турткилар таъ-
сирида куприкнпнг тебраннши, сузиш винтинииг айланиши натижа-
енда кема танаспнинг тебраннши (вибрацияси), самолёт цанотлари-
нинг вибрацияси цалокатга олиб келиши мумкин булган нроцесс-
лзРДиР-„ Бундай лолларда вазифа тебранишлариннг юзага чикишига
йул цуймаелнкдан ёки >;ар хил тебранншлар хавфли чега’рагача
кутарилишига царши курашишдан иборат булади.
Шу билан бирга тебранма процесслар техниканинг турли со^а-
лари асосий ацамиятга эга. Масалан, радиотехника тебранма про-
цессларга асосланган.
Тебранаётган системага курсатилаётган таъсиринипг характерна?
га^цараб,//1ебрани1Ш1[|р эркиц (ёки. хусуснй) тебранишларга,^1ажбу>|.
рий тебранишла рга .^йвтотебранишларга ВсУИараметрик Te6paHffliwanU
га булинади.
Бир марта туртки берилгандан ёки мувозанат ^олатидан чи
ралгандан кейин Узича тебранаднган системада юз берадиган теб- |
ранишларга эркин ёки xycyctg ^£брднишлар Де^ аятидади, jjytira*^
мисол цилиб ипга осиб цуЙилРан шарчанИнг (маятникнинг) "тебра-
нишнни олиш мумкин. Тебранншлар вужудга келиши учун шарчани
туртнб юбориш ёки уни мувозанат трлатидан четга чицариб цуйиб
юбориш кифоя.
Даврий равишда узгарувчи (ташци куч таъсири остида булади-
ган тебранншлар мажбурнй тёбранишлар деб юритилади. Бунса
устидан одамлар тарТйбли цадам ташлаб ^таётган куприкнпнг теб-
ранишлари мисол була олади.
Лвтотебранишлар вацтяда мажбурий тебранишлардаги каби теб-
ранувчи системага ташци кучлар таъсир цилади, бирок, бундай
таъсир курсатилиши зарур булган вацт момеигларинн тебранувчм
системанинг уэи белгмлайди — ташци таъснрни системанинг узи
бошцаради. Автотебранувчи системага соат мисол булиши мумкин.
Маятник кутариб цуйилган тошнинг ёки буралган пружинанинг
энергияси цисобига туртки олиб туради, бунда бу турткилар
маятник урта цолатдан утаётган моментлардагина берилади.
Параметрик тебранншлар вацтида ташци таъсвр цисобига система-
нинг бирор параметри, масалан, тебранаётган шарча осилив тур«ц
ипнинг узуилига даврий равишда узгариб туради.
Энг содда тебраниш бу гармоник тебранишдир. Гармоник теб-
раниш шундай цодисаки, уида тебракувчи катталик (масалан,
маятникнинг огиши) вацт буйича синус ёки косинус цонуни буйи-
ча узгаради. Бу турдаги тебраниш цуйндаги сабабларга кура жу-
да муцимдир: бирннчидан табиатда ва техникада учрайдиган теб-
ранишлар уз характер» билан гармоник тебранишларга жуда яцни,
иккинчидан бошцача куранишдагн (вацтга цараб бошцача узгара-
диган) даврий тебранишларии устме-уст тушган бир неча гармоник
тебранншлар сифатида тасаввур цнлиш мумкин.
62-§. Гармоник тебранншлар
Пружинага осиб цуйилган т массали шарчадан иборат система-
ни цараб чицайлик (162-раем). Мувозанат холатида mg куч /Д/о
эластик куч билан мувозанатлашади-'
mg=fi&t0 (62. 1)
Шарчанннг мувозанат цолатидан
огишини х координата билан харак-
терлаймиз, бунда к укни пастга вер-
тикал йуналтнриб, уцнинг нолини шар-
чанинг мувозанат цолатн билан уст-
ма-уст тушнрамиз.
Агар шарчани мувозанат цолатдан
х масофага (х— алгебраик катталик)
огдирсак, у цолда ^пружина й/04-х
гя узайган булади ва1 натижавий куч-
нннг х уцца п|юекцняси (бу проекция-
ни тугридац-тугри / царф билан бел-
гилаймиз) цуйндаги цийматни олади;
1С2- раем.
I7T
12—1317
(62.1) мувозанат шартяня цисобга олсак, цу.чидапин толамйэ!
f~kx. (62.2)
(62.2) формулада «—» ишора силжиш бнлан цуч царама-цар-
шн йУналганлигини англатади: агар шарча мувозанат цолатидан
пастга цараб огса (*>0), куч юцорига цараб й^налади (/<0),
шарча юцорига цараб огса (л<0), куч пастга цараб й$наладн
(/>0). Шундай цилиб, f куч цуйидагича хоссаларга эга экан: 1)
у шарчанинг мувозанат цолатдан силжишнга пропорционал, 2) у
доим мувозанат цолатга цараб йуналган.
Бу цараб чиццан мисолимизда (62.2) куч аслида уз тибиати
билан эластик кучдир. Бошцача табиатга эта булган куч цам худ-
ди шундай цонуниятга буйсуниши, яъни—kx га тенг булиб цолнши
мумкин, бу ерда ft—доимий мусбат катталик. Одатда бундай ку-
ринишдаги кучлар уларнинг табиатидан цатьн иазар квазиэлас-
тнк кучлар деб аталади.
Системани х га силжитиш учун квазнэластик кучга царши цуйи-
дагича иш бажариш керак:
/=-
(—[)dx = I kxdx=
Бу иш системанинг потенциал энергияси запасини вужудга иелтм-
рншга сарфланадн. Демак, кваэиэластик куч таъсир к^рсатаётган
система мувозанат цолатда х масофага склжиганяа
В,
(62.3)
потенциал энергияга1 эга б$лар экан (мувозанат цолатдагн потен-
циал энергияни нолга теиг деб оламиз),
(62.3) ифода деформацняланган пружннанинг потенциал энер-
гияси формуласи (27- ’°' “ " х~”
13) га ухшайди.
Яна 162-расмда тасвирланган система-
га мурожаат цилайлик. Шарчани х=а га
силжитиб, сунгра системани уэ цолнга цуя-
миз. /=— kx куч таъсирида шарча муво-
занат цолатга цараб тобора ортиб борувчи
v —х тезлик бнлан царакатланади. Бунда
системанинг потенциал энергияси камая бора-
ди (163-раем), лекнн To6oj»a ортиб борувчи
Е^пис*/? кинетик энергия майдонга келади
(пружннанинг массасини цисобга олмаймиз).
Шарча мувозанат црлатига цайтгандан кейин
* Биз кинетин вл потенциал гигргнял ринит мсяашкада нш евтилг-н Сел-
гиларидан воз кечишга мажбурмиз. Тебранмтлар цацидаги тэълиыотдл Т царфм
билан одатда, тевраииш двври белгиланади. Молекуляр физнияда U царфи Лнлаи
жиемнинг ички энергияси белгиланади. Шунинг учун виз келгуенда кинетик энер-
гиями Е* спивали бнлан, потенциал энергияни эса Ер символ» бнлан белгилайниэ.
J78
цам инерция билан царакатння даном эттнрвди. Бу цараквт се-
кянданувчан булиб, кинетик энергии батамом потенциал энергияга
айлаигач. яъни шарчанинг силжишк—а га тенг б^лгач, Tj/хтаб цо-
лади. Суигра шарча орцага цараб цайтган вацтда цам худди
шутдай процесс содир булади. Агар системада ишцаланиш
булмаса, системанинг энергияси сацланиб цолади ва шарча х—а
дан х=—а гача оралнцда чекснз узоц вацт царакатланади.
Шарча учун Ньютон иккинчи цонунининг тенгламаси цуйидаги
куринишга эга булади:
тх = - kx.
Бу тенгламанн цуйидагича узгартнрамиз:
х+^Жж=°- (62.4)
к олдидаги коэффициент мусбат. Шунинг учуй уни цуйидаги кури-
нищда ёзиш мумкян:
“! = m' (62.5)
бу ерда о)(1—цациций сон.
(62 4) га (62.5) даги белгйни ц^йиб цуйидагини цосил цила-
миз.
л + <о>д=О. - (62.6)
Шундай цилиб, (62.2) к^ринишдаги куч таъсиридаги шарчанинг
царакати иккинчи даражалн чнзнцли бир жинсли дифференциал
тенглама билан ифодалакар экан.
(62 2) тенгламанинг умумуй ечимн цуйидаги к^риимшга эга
эканлигнга осонгина ишонч цосил цилиш мумкин:
x^acosta^t+a)1, (62.7)
бу ерда а ва а—нхтиёрий катталиклар.
Шундай цилиб, х силжиш вацтга цараб косинус цонуни бнлан
узгарар экан. Демак, f=—kx куринншдаги кучнинг таъсири ости-
да тургаи системанинг царакати
гармоник тебранишдан иборат экан. К
Гармоник тебранишнинг графиги,
яъни (62-7) нннг графиги 164- ----------
расмда тасвирланган. Горизонталук ' , • /А
буйлаб / вацт, вертикал уц буйлаб V / \
силжиш х цуйилган. Косинус —1 -----У — 7 Y , /
дан 4-1 гача чегарада узгарганли- \ /
гидан х нинг цийматлари — а дан-Ь \ /
а гачз чегарада ётади. * ___________________
Системанпцг мувозанат цолати-
дан энг катта огмши тебраннш 164- раси.
1 Еки х—aeii) (C1V4-® ), Оучда n'=-a-f-n/2.
179
амплитудаси дейилади. Амплитуда а узгармас мускат катта-
ликдир. Унинг циймати дастлабки огишниНг ёки системами муво-
занат ^олатидан чицарган турткининг катта-кичиклигига боглиг;.
Косинус ишораси остидаги (ос/ 4- а) катталик тебраннш фазаси
дейилади. Узгармас катталик а вацтиинг t~0 моментндаги фаза-
нинг ^ийматндан иборат булиб, тебранишнинг бошланщч фа-
гаси дейилади. Bat^T \исоб бошининг ^згарнши билан а ^ам уз-
гаради. Демак, бошлангич фазанинг ^иймати вацт х.исоб бошига
боглиц экан. х нинг 1\иймати фазага 2я соннинг цушилишига ёки
айрилишига боглик булмаганлиги учун ^амма ва1\т к.ам бошлангич
фазами у модули буйича л дан кичик буладиган г^илиб танлаб
олиш мумкин. Шу сабабдан одатда а нинг —я бнлан 4-я ораси-
да ётган дийматларигина текширилади.
Косинус давра 2л га тенг булган даврий функция булганлиги-
дан гармоник тебранаётган системанинг турли цолатлари1 шундай
Т ва1\т оралиги ичида такрорланиб турадики, бу на^г давомида
тебраннш фазаси 2л га теиг орттирма олади (163-расы). Бу ваг^г
оралиги Т тебранишлар даври деб аталадн. У куйидаги шартдан
толнлиши мумкин: [<ой(^4-7) 4*«] = |<оо?4*а]4~2я» бундам
Т____2л
“ <%• (62.8)
Вацт бирлиги ичидаги тебранишлар сони v тебраннш частота*
с и дейилади. Афтндан, v частота тебранишнинг давом этиш ва^ти
Т билан цуйидагичи богланган:
-4-
Частота бирлнги деб даври 1 сек га тенг булган тебранишнинг
частотаси кабул цилишан. Бу бирлик герц (гц) деб аталади. 103 гц
га тенг частота килогерц {кгц) деб, 10е гц эса —мегагерц {Мгц)
деб аталади.
(62.8) дан
_'2Л
“““т- (62.10)
Шундай дили5, ш0 2л секунд ичидаги тебранишлар сонидан
нборат экан. катталикнн айланавий ёки циклик частота
дейилади. У одатдаги частота v бнлан дуйидагича богланган:
ш0= 2nv. (62.11)
(62.7) ни зацт буйича диффереицмаллаб, тезлик ифодасини
топамиз:
v == *==—W’n (<М+«)==осойсо5(ш0«-Нх + (62 12)
* Механик системанинг ^апати системами ташкил цилган жисмларнинг коор-
дииаталари ва тезликларннинг днйматлари бнлан характерланишини аслатиб уга-
миа.
180
(62.12) дан куриниб турибдики, тезлик ^ам гармоник ^онун
буйича узгарар экан. Теэликнинг амплитудаси эса аюв га тенг
(62.7) билан (62.12) ни солиштирсак, тезлик силжишдан фаза
буйича л/2 га илгари юркшини курамиз.
(62.12) яНЗ бир марта вацт буйича дифференциалласак, тезла-
ниш ифодасини топамиз:
w = х =—аьй cos (coot -Ь а) = aio? cos л). (62.13)
(62.13) дан тезланиш билан силжиш царама* царши, фазаларда
Узгаради деган хулоса чицадн. Бу шуни англатадикн, силжиш
энг катта мусбат кийматга эришган-
да тезланиш энг катта манфнй
цниматга эришади ва аксинча.
165-расыда силжиш, тезлик ва
тезланишнияг графиклари бир-би-
рага тавдослангаи.
Х,ар бир конкрст тебраннш
амплитуда ва а бошлангич фаэа-
нинг маълум цийматлари бнлан ха-
рактерланади Бу катталикларнинг
цийматлари берилган тебраннш учун
бошлангич шартлардан.яъни силжиш
х0 ва вантнинг бошлангич момеити-
даги и„ теэликнинг ^ийматлари ор-
кали топилиши мумкин. Ха1\н6атан
ViM, (62.7) ва (62.12) ларда 1=0
деб олсак, иккита тенгламага эга
буламиз:
х0—a cos a, t)0=—дшо sin a.
булардан цуйидагилараи топамиз:
„=/^+^0
f “S
165- расы.
(62.14)
*«“ =-ад- (62.15)
(62.15) тенглама а нинг —л дан 4-л гача ораливда ётган
иккита цайматвни ^аноатлаптиради. а нинг бу ^йматларидан ко-
синус билан сицусга тугра ишора берадмган ^ийматини танлаб
олиш керак.
63-§. Гармоник тебраннш энергияси
Квазнэластик куч консерватив кучдир. Шунинг учун гармоник
тебранишнинг туда энергияси доимий допиши керак. Биз юцорида
тебраннш процессида кинетик энергия потенциал энергмяга ва ак-
181
синод, потенциал энергия эса кинетик энергияга айлаяиб турнши*
ии, шу бнлан бирга система мувозанат цолатдан энг кун отган
пайтда туда энергия Е Узининг максялал Е^„ цийматига эришгаи
фацат потенциал энергиядан иборат булиши ни аницлаган эдмк:
Е e F „
2 ’ (63.1)
система мувозанат цолатидан Утаётган пайтда эса тУла энергия
батамом шу моментда Узининг максимал £*„,„ цийматига эришгаи
энергиядан иборат булади:
£=F
2 ~2~~ (63.2)
(юцорида тезлик амплитудаси аа0 га тенг эканлиги курсатилгаи
эдн). (63.1) ва (63.2) ифодалар бвр- бирига тенг эканлигини осои-
гнва курнш мумкин, чунки (62.5) га биноан nic^=A.
Гармоник тебранишнинг кинетик Ел ва потенциал Ер эиергня-
лари вацт буйича цандай Узгаришини цараб чицайлнк, Кинетик
энергия [х учун ёзилган (62.12) ифодага царанг]
£,= "?= («и + «).
2 s— <• (63.3)
Потенциал энергия цуйидагича ифодаланади;
(63„
(63.3) билан (63.4) ни цУшиб ва (62.5) муносабнтни цмсобга
олиб цуйидагиин топамиз:
166- раем
£р , f. hd‘ f- tna*t£>?\
=Ел+Е^ (еки _____с), (63.5)
бу (63.1) ва (63.2) гаухшашдир.
Шундай цилиб, гармоник тебраниш*
нинг Тула энергияси чиндап цам
Узгармас экан.
Тригонометрияда маълум бУл*
ган формулалардан фойдаланиб Ел
ва Ер ларнинг ифодаенни цуйи-
-агича куринишга келтнриш мум-
кин:
£л= £ sin^t 4- а)= Е Ц —
— 7 и» 2(<^+а)], (63.6)
£,-£си^+о) = Е[1+
+ -!, си W-) “)1. (63.7)
бу ерда Е—системанинг т-?ла энергияси. (63.6) ва (63.7) фор-
мулаяардан Е ва Ер энергнялар 2ь>0 частота билан, яъни гармоник
тебраниш частотасндан 2 марта катта частота бнлан Узгаришк к{-
риниб турибдя.
166-расмда к, Е„ ва Ер ларнннг графиклари бир-бнрнга тац-
цосланган.
Маълумки, синуснинг цам, яосинусяинг цам квадратининг Ур-
тача цийматк яримга тенг. Демак. Ek нинг Уртача цийматя Ер
нннг уртача цийматига мос келади ва Е/2 га тенг экан.
64- §. Гармоник осциллятор
Куйидаги тенглама буйича тебранадиган система
х4-сооЖ = О, (64.1)
бу ерда —Узгармас мусбат катталик (62.6) га царанг гармо-
ник осциллятор (ёки гармоник вибратор) деб юртиладн. Биз
биламизки, (64.1) тенгламанинг ечими цуйндаги куринишга эга:
х = a cos(ц/4-а). (64.2)
Демак, гармоник осциллятор мувозанат цолати ёнида гармоник
тебранувчи системадан иборат экан.
Уз- узидан равшанки, аввалги параграфлэрда гармоник тебраниш
учун олинган барча натижалар гармоник осциллятор учун цам
Уринли. Яна цУшимча иккита масалами цараб чицайлнк.
Гармоник осцилляторнинг ммпульсийи топамиз (64.2) ни вацт
буйича дифференциаллаб ва олинган натижани осцилляторнинг т
массасига кУпайтнрнб цуйидагини топамиз:
р = т к = —(е>0/ + а). (64.3)
Осциллятор х снлжншн билан хариктерланувчи цар бир ваэият-
да бирор р нмлулигга эга булади. р ни х нинг функциясн курп-
нишида топиш учун (64.2) ва (64.3) тенгламалардан t вацтни
Йуцотнш керак. Бунннг учун ана шу тенгламаларнн цуйндаги кури-
нишда ёзамиз:
y = cos(oV + a).
Бу ифодаларйн квадратга к^тариб ва узаро ц?шиб цуйцдагинн
топамиз:
। Р' _ 1
* (64.4)
167-расмда гармоник осциллятор р нмцульсининг х огишга ка-
раб Узгаришини курсатувчи график тасвирланган. р, к координата-
183
-таь)а
167- раем.
лар текислиги одатда фаза текислиги, бунга мос график эса
фазавий траектория деб юритилади. (64.4) га биноан гармо-
ник осцилляторнинг фазавий траекторияси ярим ^лари а га ва
таь>0 га тенг эллипсдан иборат. Фазавий траекториянинг кар бир
нуцтаси х отит билан р импульснн, яъни осцилляторнинг вацт-
иинг бирор моментидаги ^олатини тасвирлайди. Вацт утиши билан
^олатци -асвирловчи нр^та (цнсцача у тасвирий нуцта деб юрити-
лади) фазавий траектория буйлаб
кучнб тебраннш даври ичида уни
if ла айланиб чицади. Тасвирий
нуцта соат стрелкаси буйлаб кучи-
шига ишонч .\осил ^илиш ^ийнн
эмас. ХаЧиНатак ^ам, шундай t*
вацт моментини оламизки, о0/'4-
+ «=2лп (п бутун сон)булсин.
Вацтнинг бу мсментига х=а ва
р=0 мос келади (167-расмдага
1 нуцтага царанг). Ва^тнинг бун-
дам кейниги моментларида х ка-
мая боради, р эса модули орта борувчи манфий ^ийматлар цабул
^илади. Демак, тасвирий нудта 167-рисмда курсаталган йуиалиш-
да, яъни соат стрелкаси буйлаб ^аракатланади.
Эллипснинг юзини топайлик. Маълумки, у эллипс ярим Дари-
нин г л га купайтмасига тенг:
с 2 л тааао
S = лата<о0= — ——.
(63.5) га мос равишда осцилляторнинг Тула энергияси;
2л/«0 катталик эса l/ve га тенг, бу ерда v0 осцилляторнинг хусу-
сий частотаси, у берилган осциллятор учун узгармас катталик.
Демак, эллипснинг юзини цуйидагича куринишда ёзиш мумкин:
s=i£-
бундан
£ = *о£. (64.5)
Шундай гдглиб, гармоник осцилляторнинг туда энергияси эллипс-
нинг юзига пропорционал булиб, бунда осциллятсрнинг хусусий
частотаси пропорционаллик коэффициента вазифасини $тар экан.
Эллипснинг юзи typdx интеграл сифатида ^исоб данный мум-
кин. Шунинг учун (64.5) формулани цумндаги курннишга келти-
риб ёзиш мумкин:
£ — v0$pdx.
Сунгги нфода квант мехавикасининг асосивн яритишда му^им
роль уйнади.
164
Энди осцмлляторни турли эрлатларда топиш эхтимоли ца^идаги
масалами цараб чи^айлик. Осцилляторнинг тезлиги у мувозанат
Холатидан утаётган пайтларда энг катта ^ийматига эришади. Му-
возанат эрлатидан энг катта огиш пайтларида эса тезлик нолга
айланади. Бунда осцилляторнн мувозанат эрлати атрофида топиш
э\Тимолидан унн энг четки холатинняг бири яцинида топиш эхти-
моли каттарок деган хулоса чицади. Буни 168-расмдан тушуниб
олиш мумкин. Унда эхтимоллик зичлиги деб аталадиган кат-
таликни тасвнрловчи эгри чизиц келти-
рилган. Осцилляторнинг берилган dx
чегарасида булмш эхтимоли dw ни
аницлаш учун эгри чизи^нинг тегиш-
ли жойидаги ординатасини dx га ку-
лайтириш керак. Масалан, 168- расм-
даги штрихланган тасманинг юзи кат-
талик жгцатдан осцилляторнинг бе-
рилган dx интервал ичида топилиш
эдтнмолнга тенг. Э^тимолликлар зич-
лиги эгри чизигининг остидаги бутун
юз осцилляторнинг —а билан -р а че-
гарадаги. бирор холатида топилиш
э\тимолини беради. Демак, у хар
ХандаЙ б^лиши мумкин булган ходиса
э\тнмоллиги сифатида бирга тенг булиши керак.
КаЙд цил<б утамизки, кваит механикаси гармоник осциллятор-
пинг турли холатлари кртимоллиги учун анча фарцли натижада р
беради.
65-§. Системанинг мувозанат холати атрофидаги
кичик тебранишлари
Вазияти битта катталик (биз х билан белгилаймиз) ёрдамида
берилиши мумкин булган ихтиёрий механик системани олиб тек-
ширайлик. Бундай.холларда система битта эркинлик даражасига
эга дейилади. Системанинг вазиятини аницловчи катталик булиб
бирор текисликдан бошлаб улчанадиган бурчак ёки берилган эгри
чизиц, хусусан, тугри чизиц буйлаб Улчанадиган масофа ва хоказо-
лар хизмат хилиши мумкин. Системанинг потенциал энергияси бит-
та х узгарувчинпнг фуикцияси булади: Ер=Ер{х). х нинг хисоб бо-
шини шундай танлаб оламизки, системанинг мувозанат холатида х
ьолга_тенг булсин. Ушанда Ер (*) функция х=0 да мннимумга
эга булади. Ер (х) ни к нинг даражалара буйича хяторга сямнз.
Бунда кичик тебранишларин ь;араш билан чегараланамиз, шунинг
Бу эгри ЧИ314 ? тенглама бнлан ифодалавади.
185
учун х нинг юцори дарижаларини эътнборга олмасак Vм булади.
Маклорен форму пасите биноан
Е„(х) = £Д0)+£ДО)*+| £*,(())»:*
(л кичик бршанлнгидан долган цадларни цисобга олмаймиз).
Ер{х) функция х=0 да минимумга эга булганлиги учун Е'р(0)
нолга тенг, £'(0) эса мусбат булади. К>уйидагича белгилар кири-
тамиз:
У цолда
ЕД0)=6, Е-Ст=к <*>0)
E/X)=6+|W.
(65.1)
(65.1) ифода квазиэластик куч таъсир к^рсатаётган система-
яинг потенциал энергияси ифодаси (62. 3) га ухшайди (Ь констан-
тами нолга тенг деб олиш мумкин).
(28.5) ифодадан фойдаланиб, системага таъсир курса таётган
кучни топиш мумкин:
W.—
Шундай цилиб, система мувозанат цолатидан кам огиб тебрана-
ётган шароитларда унинг потенциал энергияси силжишнинг квадрат
функциясидан иборат, системага таъсир этувчи куч эса квазиэлас-
тик куч кУринишида б лар экан. Демак, исталган механик система
мувозанат цолатдап кам огиб тебранса, унинг тебранишлари гармо-
ник тебранишларга яцин булар экан.
169- раем.
66-§. Математик маятник
Математик маятник деб вазнсиз ва чузилмай-
диган ип билан унга осилган бир нуцтада мужас-
самланган массадан иборат идеал системага айтн-
лади. Узун ингичка ипга осилган кичикроц отар
шарча математик маятникка етарли даражада яцин
булади, Маятиикпинг мувозанат цолатдан огишини
ип вертикал бнлан цосил цнлган <р бурчак орци-
ли характерлаймиэ (169-рисм). Маятник уз муво-
занат цолатидан otran вацтда fnwl sin <р га (т—
маятникнинг массаси, I эса узунлиги) тенг айлан-
тирувчи М момент юзага келади. У шундай йунал-
ганки, маятннкни мувозанат цолатига цайтариш-
га интнлади. Шу хусусияти жицатдан бу куЧ квазиэластнк кучга
Ухшайди. Шу сабнбдан силжиш билан куч каби М момент билан
Ж
бурчак силжиш го Га царама-царши ншоралзр бериллии керак1.
Демак, айлантирувчн моментнинг ифодасн цуйидапяа к^ринншг»
»га булади:
M——mgts\ny. (66.1)
Маятник учун айланма царакат динвмикаси теягламасинн ёэай-
лик. Бурчак тезланишини ф билан белгилаб на маятникнннг инер-
ция моменти. тР га тенг эканлигини цисобга олиб цуйидагини
топамиз:
тР ф =— Rigtsin ф.
Сунгги тенгламани
Т+Т“"Т=° (66.2)
муринишга келтириш мумкин.
Кичик тебранишларнн текшириш билан чегараланайлик. Бу цол-
да Е1ПфЛ'ф деб олиш мумкин. Ундан ташцари
<66.3>
белгини киритсак, цуйидаги тенгламанн топамиз:
ф + <йоф = 0, (66.4)
бу тенглама пружинага осилган шарча учун езнлган (62.6) тенг-
ламага айнан $хшашдир. Унинг ечимн цуйидаги нурилинпз эга!
ф—д cos («ot-f-a). (66.5)
Демак, кичик тебринишлар учун математик маятникнинг огиш бур-
чаги вацт буйича гармоник уэгарир экан.
(66.3) дан математик маятникнинг тебраниш частотаси фацат
маятник узунлиги билан огирлик кучи тезланишига боглнц булиб,
маятникнннг массасига боглнц эмас эканлиги келиб чицади. (66.3)
нн цисобга олганда (62.6) формуладаи математик маятникнинг
тебраниш даври учун мактаб нурсидан маълум булган цуйидаги
ифодани топамиз:
T-toj/L. (66.6)
1 ф ни бурнлиш йфналнши бнлан унг влвт кондтси буйича боглангзн влггор
леб цараб (ф нинг кичик цийматлори учун шундай цилиш мумкин), М вл © лар-
нинг яшореларннннг цлрама- циршнлигнин М вл Ф векторлар царама- царшн томов-
«арга йУиалгаалиги бнлан тушуктириш мумкин (169- раем).
1К
(65.2) тенгламани ечсак, тебраниш даври учун цуйндаги фор-
мулами топишимиз мумкин:
7 = 2я]/1 {1 + (1)’ sin-(1 A)1 sin-A + .. . j.
бу ерда а—тебранншлар амплитудаси, яъни маятникнинг мувозанат
цолатидан энг куп огнш бурчаги.
67- §. Физик маятник
Инерция маркази билан устма- уст тушмайдиган цузгалмас нуц-
та атрофида тебраниш хусусиятига эга булган цаттиц жнем физик
маятник деб аталади. Мувозанат цолатида маятникнинг С инерция
170- р км.
маркази маятникнинг О осилит нуцтаси ости-
да у билан бир вертикалда ётади (170-раем-
га царанг). Маятник мувозанат цолатидан ф
бурчакка огганда маятникни мувозанат цола-
тига цайтарашга интилунчн момент юзага
келади. Бу момент цуйидагига тенг:
М = —mgl sin ф, (67.1)
бу ерда т—маятникнинг массаси, I—маятник-
нпнг осилит нуцтаси билан инерция маркази
орасидаги масофа. М билан ф нинг Й^налиш-
лари царама-царши булгапи учун <—» ишори
цуйилган.
Маятникнинг осилит нуцтаси орцали утув-
чи Уцца нисбатан инерция моментини I цар-
фи билан белгилаб, цуйидагини ёзишимиз мумкин:
/ф =—mg?sin ф.
(67. 2)
Кичик тебранншлар учун (67.2) бизга маълум булган цуйндаги
тенгламага айланади:
Ф4-о’оФ=0. (67.3)
Бу цолда бнлан цуйндаги катталик белгиланади: • ' • (67.4)
(67. 3) ва (67. 4) тенгламалардан цуйндаги хулоса чицади: му-
возанат цолатдан кам орган вацтларда физик маятник гармоник
тебранар экан ва бу тебранишларнинг частотаси маятникнинг мас-
сасига, маятникнинг айланиш уцига нисбатан инерция моментига
ва маятникнинг айланиш уци билан инерция маркази орасидаги
188
масофага пропорционал б$лар экан. (67.4) га биноан физик маят-
никнинг тебраниш даври цуйидагига тенг:
Т-2Я1/Х.
г mgl (67.6)
(GB.6) ва (67.5) формулаларни солиштирсак, узунликлари
'"л.“йГ (67.6)
га тенг булган математик маятникнинг тебраниш даври берилган
физик маятникнинг даврига тенг деган хулоса чицади. (67.6) кат-
талик физик маятникнинг келтирилган узунлиги деб ата-
лади. Шундай цилнб, физик маятникнинг ке.тгнрилган узунлиги
шундай математик маятникнинг узунлигидан иборатки, бу маятник-
нинг тебраниш даври берилган физик маятникнинг тебраниш дав-
рига тенг булади.
Осилит нуцтасини инерция маркази билан бирлаштирувчи туг-
ра чизиц устида айланиш уцидан келтирилган узунликка тенг
масофада ётган нуцта физик маятникнинг тебраниш маркази
дейилади (170-расмдаги О' нуцтага царанг).
Штейнер теоремасига биноан маятникнинг / инерция моменти
цуйидагича куринищда ёзилиши мумкин:
(67.7)
бу ерда маятникнинг айланиш $цига параллел булган ва инер-
ция маркази орцали утувчи уцца нисбатан инерция моменти. (67.7)
ни (67 6) формулага цуйсак цуйидагини топамиз:
fc““sF + t (67.8)
(67. 8) дан келтирилган узунлик доим I дан катта деган хулоса
чицади, чунки осилит нуцтаси билан тебраниш маркази инерция
марказининг турли томонларида ётади.
Маятникни унинг О' тебраниш маркази билан устма- уст тущ-
ган нуцтасидан осамиз. (67,8) га биноан, бу цолда келтирилган
узунлик цуйидагига тенг булади: f
Ыг + ‘- /(67.9)
бу ерда Г—маятникнинг дастлабкн тебраниш маркази бид/н инер-
ция маркази орасидаги масофа l'=lmn—.' эканлигини цисобга олиб
(67.9) нфоданй цуйидагича езишимиз мумкин:
'»= =aL-o [<'" + т1"> - т"'«' ]•
Квадрат цааслар ичида турган ифода нолга тент. Хацицатан
цам, 70+/п/а—дастлабки айланиш $цига нисбатан олинган / инер-
ция моментига тенг; (67.6) га биноан худди шу катталикка т11Иц
189
ефода цам тенг. Шундай цилнб. биз маятникни тебраннш маркази-
дан осган вацтда келтнрилган узуилик ва демак, тебранишлар
даври худди дастлабкидек булади деган хулосага келамиз. Демак,
осиш нуцтаси билан тебраннш маркази алмашнниш хоссаснга эга
экан: осиш ну^таси тебраннш марказига утказилса. аввалги осиш
нуцтаси янги тебраннш марказига айланиб цолар экан.
Тфнкарма маятник деб юритиладиган маятник ёрдамида огирлик
хучи тезланишнни аницлаш усули ана шу биз ани^лаган алмашн-
ниш хоссаеига асослангандир. Тункарма маятник деб учларига
я^ин жойда ма.\камлаб цуйнлган иккита параллел таянч призма-
лари булиб, щу призмаларидан навбат билан оснб г^йса буладп-
ган маятникка антилади. Маятник, зарур булгаида у буйлаб кучир-
са ёки унинг бирор жойига ма.^камлаб цуйса буладиган огнр юк-
лар бириктирилгаи. Юкларни жилдириш ортали уларнинг шундай
цолдти топиладиин, бунда маятникни исталган призмасидан осганда
у бир хил давр билан тебранади. У ^олда призманинг таянч фгр-
ралари орасидаги масофа /ягп га тенг булади. Маятникнинг теб-
раншц цаврини улчаб ва I кьл нинг топилган ^ийматидан фойда-
ланиб куйидаги
Т = 2л ]/ !=»
формуладан g огирлик кучи тезланишнни топишимиз мумкин,
68-§. Гармоник тебранншларни график усулда тасвирлаш.
Векторлар диаграмма™
Катор масалалараинг ечилиши, хусусан. бир томонга йуналган
бнр иеча тебранишларин бир-бирига цушиш тебранишларнн текис-
ликдаги векторлар куринишцда график усулда тасвирланган ва^тда
анча енгил ва кургазмали булади. Ана шундай усул билан топил-
ган схема векторлар диаграмма™ дейилади.
Бир у»; олиб уни х билан белгилаймиз
(171-раем). устеда ётган О ну^тадан
у^ билан а бурчак косил »р<лувчи а узун-
ликдаги вектор чизамиз. Агар бу векторни
<оо бурчак тезлик билан айлаптира бошла-
са, у .\олда векторнинг учинипг проекцня-
си х уци буйлаб — а билан + а чегарасида
J/згаради, шу билан бирга бу проекциянинг
о
171-раем.
коордииатаси вацт буйича цуйидагича цонун билан узгаради:
х =всоз(и01 4-а).
Демак, вектор учининг уцца проекцияси гармоник тебранади ва
бу тебранишнинг амплитудаси векторнинг узунлнгига, айлана час-
тотаси векторнинг айланиш бурчак тезлигига ва бошлангич фазаси
эел вацтнинг бошлангич моментида вектор у и бнлан ташкил цил-
ган бурчакка тенг булади.
199
Бу айгганлардан гармоник тебранишни узунлиги тебриниш
амплитудасига, к билан ташкил цилган бурчаги тебранишлар-
нннг бошлангич фазнсига тенг булган вектор билан тасвирлаииши
мумкин деган хулоса чи^ади.
69- §, Бир хил Йуналишдаги тебрвнншларни *^шнш
Жисм бнр вацтда бнр Йуналиш ёки турли йуналишлар буйлаб
содир булаётган бнр неча тебранншларда иштнрок втадигаи дол-
лар .\ам учраши мумкин. Масалан, агар шарчани пружина ёрдами-
да рессорларда тебранаётган вагоннинг шипига осиб чуйсак, у
цолда шарчанинг Ерга нисбатан ^аракатн вагоннинг Ерга нисба-
тан тебранншларидан ташкил топадм.
ЭДналишлари ва частоталари бир хил булган иккита гармоник
тебранмшларнинг цушилишини цараб чицайлик. Тебранувчи жисм-
нинг х снлжишн цуйндагидек куринишга эга булган х3 ва сил-
жншларнинг Йигиндисйван иборат-
«!= a, cos (toei 4-01X1
ха = а3 cosftoj + схг). ] ' ’ '
Бу иХки тебранишни а2 ва а, векторлар ёрдамида тасвнрлайлнк
(172-раем). Векторларнинг цушилнш цон дасига биноан натнжаиЛ
в векторни чнзайлик. Бу векторнинг х у^яга
проекцияси ^шилувчи векторлар проекция-
ларининг йигиндисига тент, яъни
X = *д + X,
эканлигини кУриш кийин эмас.
Демак, а вектор натижавий тебраниш-
дан иборат. Бу вектор jjsm at ва а2 вектор-
лар каби а бурчак тезлик билан айланади.
Шунинг учун натижавий ^аракат частота-
си амплитудаси а ва бошлангич фазаси
а булган гармоник тебранищдан иборат 6J-
Графикдан к^риниб турибдики,
= of -f- o’ —2<JiO2cos [л—(а,—а,)) = of + of 4-
+ 2а3ая cos (ctj — a,), (69.2)
tsa= + . (69.3,
Шуидай цилиб, гармоник тебранншларии векторлар ёрдамида
тасвирлаш усучи бир неча тебранишларии кушиш операцнясини
вскторларни кушиш операциясига келтирншга имкон бнрар экан. Бу
усул айницса, олтикада жуда фойдалндир. Масалан, бирор ну^-
1 |даги ёруглик тебранншлари шу нуцтага тулцин фронтивннг тур-
ли ну^таларидан келувчи куп тул^мнларнинг Йшиндвсн сифатида
ани^ланади.
*91
(69.2) ва (69 3) формулаларни (69. i) ифодаларни узаро цушиш
ва тегкшли тригонометрии узгартиришлар бижариш йули билан цам
чицариш мумкин. Лекин бу формучаларии топишнниг биз цулла-
ган усули анча соддалиги ва кургазмалилиги билан ажралиб ту-
ради.
Амплитуда учун ёзилган (69.2) ифодани тацлил цилайлик. Агар
икки тебранишиннг фазалари айирмаси as—нолга тенг булса,
натижавий! тебранишиннг амплитудаси at ва а2 нинг йигинднсига
тенг. Агар —Oj айирма 4-л ёки —л га тенг булса, яъни ик-
кала тебраниш царама-царшн фазаларда булса, у цолда натижавий
тебранишнинг амплитудаси |at—аг\ га тенг булади.
Агар xt ва х? тебранишларнинг частоталари цар хил булса, аа
ва аа векторлар >;ар хил тезликлар билан айланади. Бу цолда на-
тнжавий а векторнинг катталиги пульсацияланиб туради ва у уз-
гарувчан тезлик бнлан айланади. Демак, бу цолда натижавий ца-
рикат гармоник тебраниш эмас, цандайдир мураккаб тебраима
процессдан иборат булади.
70-§. Титраш
Иккита бир томонга йуналган цушилувчи гармоник тебраниш чар-
нинг частоталари жуда кам фарц цилган цолда алоцида ацамиятга
эга. Бундай шароитда натижавий царакатни пульсацияланувчи
амплятудали гармоник тебраниш деб цараш мумкин эканлигини кур-
сатайлик. Бундай тебранишлар титраш дейилади,
Тебранишлардан бирининг частотаснни со бнлан, иккннчисиники-
ин эса о 4- До билан белгилаймиз. Шартга биноан До» Ик-
кала тебранишнинг амплнтудасини бир хил ва а га теиг деб ола-
низ. Тебранишлар частоталари бир-биридан бир оз фарц цилганлиги
учун вацтнииг цисоб бошини иккала тебранишнинг бошлангич фе-
залара нолга тенг буладиган цилиб танлаб олиш мумкин. Амалда
биз иккала тебранишнинг силжиш пари бир вацтда энг катта мус-
бнт цийматга эршпадиган иайтни кутиб туриб, шу пайтда «секундо-
мерни ишлатнб юборишимиз» керак. У вацтда бу икки тебранпнпшнг
тенгламалари цуйидаги куринишга келади.
X, = cos со t,
х2 — a cos (оф- До) I.
Бу ифодаларни узаро ц^шиб ва косинусларнннг йигиндиси учун
тригонометрии формулани цуллаб цуйидагини топамиз:
X = хх ф- ха = (2а cos 0 coswt (70.1)
(иккинчи купайтувчида <о га нисбатан кичик болтани учун Д<о/2
ни цисобга олмадик).
(70.1) функциянинг графиги 173-а расмда тасвирланган. График
~ = 10 булган цол учун тузилган.
198
(70.1) да цзвс ичидаги купайтунчи иккинчи купайтувчига нис-
бктан анча секни узгаради. булгаин учун coswi куиайтув-
чд бар неча марта тула тебранмб чиццунча кетган вацт ичида цавс
ичида турган купайтунчи деярли узгармайди. Бу бизга (70.1) теб-
ранишнн о» частотали ва амплитудаси бирор даврий цонун билан
173- рясм.
Узгаридиган гармоник тебраниш деб царашга имкон беради. К, а вс
ичида турган купайтма амплнтуданинг бундай Уэгариш цонуниии
ифодалай олмайди, чунки у — 2а билан 4- 2а чегарасида Узгаради,
цолбуки, амплитуда таърифга биноан мусбат катталмкдир. Амплн-
туданинг графиги 173-6 расмда курсатилган. Амплитуданннг ана-
литик ифодаси цуйцдагича булади:
амплитуда = |2acos у/[. (70.2)
лир
(70 2) функция модул белгиси остида турган ифоданинг чис-
тотасидан 2 марта катта частотага, яъни Д«о часготага эга булган
даарий функция (косинус ва унинг модулннинг графиклара таццос-
ланган 174- раемга царанг). Шундай ци-
либ, амплитуданинг пульсация часто-
твеи—унк титраш частотаси деб юрити-
лади — цушнлаётгаи тебрании^ариинг
частоталари айирмасига тенг экан.
2а cos / купайтма фацат амп-
литудани белгилаб цолмасдан теб-
ранишлар фаэасига ^ам таъсир курса-
тншиии дайд цилиб утмоцчимиз. Бу
амплитуданннг цушни максимумларига
тегншли отишлари царама-царшн ишо-
ра,чарта эга эканлигида намоёи булади
(173-а раемдаги ва Мг нуцталар-
га царанг).
W'
|гир|
174- раем.
13-1317
193
71-5- Узаро перпендикуляр тебрапишларнн ц£шмш
Иккита эркинлик даражасига эга булган, яъни вазиятини аниц-
лаш учун иккита катталик зарур булГан снстемавв цараб чицаАлик.
Буига бир учи шарнир цолда мацкамлаб цуйилган сигил уэун пру-
жинага оснлган огир шарча мисол була олади. Бу шарча пружина
билан биргнлмкда бнтта текисликда маятник каби тебранади. Шар-
чаиннг В83ИЯТНЙИ пружина уци бнлан вертикал уц ташкил цнлган
Ф бурчак ва шараирнпнг уцидав шйрчйнинг
марказигача бфлгам I масофа орцали аниц.шв
г мумкин Шарча иккита тебраиишда: бирнн-
<чидаи ф бурчак уэгарадиган тебраиишларда,
икнничндан I масофа узгаридиган тебра*
нишларда нштирок эта олади. Биринчи тебра-
нишнинг частотасини пружинанинг t узунли-
гй ba g огирлик кучи тезланнши, нккпнчй тёб-
ранншнииг частотасини эса г!ружинанйнТ
эластиклик коэффициент k ва шарчанннг т
массаси белгнлайди. Агар бнр вацтда иккала
тебраниш уйготилса, у цолда шарча, умуман
айгганда, шак.тя иккала тебранишлвриинг час-
тоталари ва бошлапгич фазалараинг лисбн-
178- раем. тага богдиц булган цандайдир мураккаб
траектория буйлаб царакатлаиади (175-раем).
Иккинчи мисол сифатида узун ингичка ипга оснлган огир шар-
чанн (математик маятникни)1 цариб чицайлнк Бу шарча узаро пер
пеадикулярЙуналишларда'икки хич тебраиишда булиши -мумкин, шу
билан бирга бу икка ш тебралишнинг цам -частоталари бир-бирига
вимц тенг булади (иккала частота цам маятмнкнннг I узунлиги на
g огирлик кучининг тезланнши бнлан аницланади). Бу цолда шар-
ча, умуман айтганда, шакли иккала тебранишнинг [фазалари аймр-
масига боглиц булган цандайдир эгри чизи^и траектория буйлаб
цэракатлапади.
Энди х ва у уцлар буйлаб содир булаётган бнр хил w частота-
лм узаро перпендикуляр иккита гармоник тебранншни цушншга
утамиз. Вацтиннг цисоб бошини биринчи тебранишнниг бошлангнч
фаэасн нолга тенг буладиган цилнб танлаб еламнэ.-У вацтда теб-
раншилар теигламалари цуйидагича ёзилади.
х = a cos ш I, 1
у = Z>cos(<of 4-а), I 171
бу ерда се —иккала тебранищнннг фаэалари айирмаси.
(71.1) ифода иккита тебраиишда иштирок этаётган жисм цара«ат-
ланаётган траекториянинг параметрнк шаклда тенгламаенни беради.
* 06 $ ла 0нэ йаятттик берилган т«к1«ликля т«*р₽на1н\ дев ф»*ав дихан
»янх, шунннг учуй увн бнтта эркинлик длражвеита эта булган систем»» деб царав
мумкин ВДВ.
194
Траектория тенгламасини одднй куринищда топиш учун (71.1)
тенгламадан 4 нн йуцотнш керак. Биринчи тенгламадан цуйидагини
топамиз:
coswf=^-« (71.2)
Демак, ___
sincut = у I —(71-3)
Энди иккинчи (71.1) генгламадагн косннусии йигиндняинг ко-
синуси формуласнга асосаи ёямиз цамда cosui ва sinwf лар Урни-
га уларнинг (71 2) ва (71.3) цийматларнии ц^ямиз. Натижада цуйи-
дагв тенгламани «химиз:
Сунгги тенгламани у цадар мураккаб булмаган }>згарт*ришяардан
кейин цуйндаги долга келтнриш мумкин:
4-^ — ^cosa — siiftt. (71-4)
Аналитик геометриндан маълумки (71.4) тенглама Уцлари к ва
у уцларга нисбатан ихтиёрнй ориентировиган эллипс тенгламасн-
нннг |'згинасидир- Эллмпснияг орвентациясн ва унинг ярки уцла-
ринииг кагтаяигя а ва Ь вмплхтудаларга цвмда а фвзалар фарцига
мураккаб равишда богяицдмр.
Баъзи бяр кусусий доллар учун травкториялариинг шаклиии
текшцрайлкк:
1. Фазалар фарци а иолга тенг. Бу долда (71.4) тенглама цуйм-
дагн куринишга келади;
С-
бундан цуйндаги тугри чизнц формуласи келиб чицади:
Тебракувчи нуцта шу т^гри чнзнц буйлаб царакатланади, бунда
коордиаата бошидан бу т^грн чизнццача булган масофа г = I л* + V1
га тенг. Бунга к на у лариикг (71.1) ифодасини цуГмЛ ва а—О
эканлш инн цисобгс ояиб г нинг вацт буйича узгариш цонуннви то-
намиз:
Г = V^ + fi*008 wf- (7I-6)
(71.6) дан к^рииадикн^атижавнй доракат (71.5) буйича частотаси
ш ва амплнтудаси ] (J* [• га тенг булган гармоник тебранишдап
иборат 6jrrap экан (i 76- раем),
Г95
2. Фазалар фарци а = + л tn тенг булсин. (7>.4) тенглама
цуйидагича курннишга эга
бундан натижавий \аракат
тугри чизиц буйлаб содир булувчи гармоник тебранишдан иборат.
деган хулоеа чицади (177-раем).
176- раем.
177- раем.
3. а = ± л/2 да (71.4) тенглама цуйиДагича
(71.7)
яъни координата уцларига келтирилган эллипсдан иборат булади.
Бунда эллипснинг ярим уцлари тебранишлариинг мос амплитуда-
ларига теиг. а ва b амплитудалар тенг булса, элпи.пс айниб, айла-
нага утади. а = + л/2 ва а * — л/2 доллар эллипс ёки айлана
буйлаб царакатнинг йуналиши билан фарц цилади Агар а = -|- л/2
булса, (71.1) тенгламани цуйидагича ёзиш мумкин:
x~acos<at, 1
у = — b sin со/. J
U
178- рас>-
/ — б моментда жисм 1 нуцтада булади (178-раем), Вацтнинг
бундан кейинги моментларида х координата камаядв, у координата
эса манфий ишора олади. Демак, царакат Йуналиши соат стрел-
каси Йуналиши буйлаб содир булар экан.
а = —л/2 булганда тебраниш тенглама-
си цуйидагича булади:
х — fl cos of, 1
=6sinti)f. ] (71-9)
Бундан царикат соат стрелкаси Йуна-
лишига тескари й^надишда содир була-
ди, деган хулосага келиш мумкин. Ай-
тилганлардан /?радиусли айлана буйлаб
со бурчак тезликли текис царакат Ники-
та узаро перпендикуляр
196
х — Rcoscot,
У = ± sin cot
(71 10)
тебранишлариинг Йиеиндиси сифатида тасаввур цилнниши мумкин
деган хулоса чицади (ифодадагн «+» ишора царакатиинг соагстрел-
каси йуналишига тескари, < — » ишора эса соат стрелкаси йуналиши
буйича булишини билдиради).
Хулоса таряцасида шуни таъкидлаб ^тамизки, агар узаро перпенди-
куляр тебранишлариинг частоталари бир-биридан жуда кичик Аса
га фарц цилса, уларни бир хил частотали, лекин фазалари айарма-
си секин узгараднган тебранишлар сифатида тасаввур цилнш мум-
кин, цацицитан цам, тебраниш тенгламаларини цуйидагича езиш
х — a cos cot,
у = b cos [cot + (* (at ф- a)],
ва Acot + а ифодани вацт буйича чнзицли цонун билан секин уз-
гарадиган фазалар фарци деб цараш мумкин.
Бу цолда натижавий царакат курнниши секин узгарадиган эгри
чизиц буйлаб содир булади. Бу эгри чизиц аста-секин фазалар айир-
масининг — я дан + я гача оралицдаги бирча цийматларига мос
келувчи шаклларни олган цолда узгара боради.
72- §. Лиссажу шакллари
Агар J'sapo перпендикуляр тебранишлараинг частоталари бнр
хил бу л мае;-, у цолда натижавий царакатнинг траекторинси Лис-
сажу шакллари деб аталувчи жуда мураккаб эгри чизи1упардаи
иборат булади. i79-расмда частоталар нисбати 1:2 га ва фазалар
айирмаси эса л/2 га тенг булганда цосил б^ладиган энг содда
траектораялардан бири келтирилган. Бу цолда тебранишлар тенг-
ламаси цуйидагича курннишга эга:
х — a cos cot,
у = b cos (2<о t 4- £).
197
Hyifra x Уц буйлаб бнр четки ^олатдан иккинчи четки эсрлат-
га утгунга ^адар кетган вацт ичида . у Уц буйлаб ноль ^олатидау
чициб, бир четки цолатга. суиг иккинчи четки ^олатга боряб, яиа
ноль долатга цайтишга улгуради.
Частоталар нисбати 1:2 га ва фазалар айирмасн нолга тенг
булгаида траектория очиц эгри низшую (180-раем) айланади ва
иу^та бу траектории буйлаб у ё^-бу ёеда ^аракатланади.
Тебранишлар частота ларининг
нисбатини ифодаловчи рационал каср
бнрга цанча яцин булса, Лиссажу
шакллари шумна мураккабро^ булар
экан. 181-расмда мисол тарициси-
да частоталарнинг нисбати 3 : 4 га
ва фазалар амирмаси л/2 га тенг
булгавдаги эгри чмзнц курсатил-
гаи.
73-§. сунувчи тебранишлар
Гармоник тебранишлар тенгла-
маси пи чицараетганда биз тебрамув-
чи ву^тага квазмэластик куч таъ-
снр >ртладн деб фгсоблаган эдик.
\ар цандай реал тебранувчи систе-
181-расы. мада доим каршнлик кучлари мав-
жуд булиб, уларнинг тдъсирм сис-
тема эиергнясининг камайишига олиб келади. Агар камайган энсрт
гия ташцн кучларнинг иши дисобига тулдирилиб турилмася, тебра-
пншлар сУнади.
Эркин (ёки хусусмй) сунувчн тебраннш чарн и цмраб чи^айлнк.
"Тебранишлар эркин Экан, демак, система таШцн кучлар томонядаи
мувозанат цолатидан чиццан ёки ташци кучлар ^ясобига дастлаб-
ки туртки олиб сунгра уз \олига ^уйилган ва унГа фацат к план-
эластик куч билан му^итиинг ^мршнлик кучи таъсир цилаётган цо-
латда туради. Биз кичик тебранишларни цараш билан чегаралана-
миз. У ?[олда системанинг тезлиги \ам кичик булади, кичик тез-
ликларда эса царшилик кучи тезликка лролорционал:
fT = — rv — — rx.
473.1)
бу ерда г — ^аршилик коэффициента деб аталувчи узгармас катта-
лик. «— > ишора fr билан ь дарима-царш и Йуналгаилигини билди-
ради.
Табранаёттан жисм учун Ньютон нкиинчи ^онунивинг тенгла-
масини ёэамиз:
tnx — —kx—rx •
1ЗД
У ни цуВидагн курннишга келтирамиз:
Х + 20Х 4-«’х =0, (73.2)
бу ерда иуйндагк белгнлардан фойдаландшо
2P=j. (73.3)
«4-Й- <ге-4>
ав накида шуни эслятиб ^тамнзки, му^нтнинг ^аршилиги бул-
магаида, яъни г — 0 б^л ганда система ана шундай частота бнлан
зркнн тебранган б^яар здио Бу частота сиотдаасининг хусусий
тебраннш частотаси дейилади.
Гармоник осциллятор учун а амплитуда билая яницланунчи теб-
ранишлар цулочи (чегараси) ^згаришсиз ^оладн. Му^итнинг царши-
лигя таъсирида тебранишлар цулочи кнчраяди. Шунинг учун (73.2)
тенгламанннг ечнмннн цуйндаги куринишда цидираб курий лик.
к — а (/) cos (со/ 4- а), (73.5)
бу ерда о(0—вакт функцияси.
(73.5) нн /вацт буйича дифференциаллаб х ва к Ларин топайлйо
к =ясоз(<о/ -f-а) —ew8in(<o/4-a),
х «*=в(ь>/ + а) —2а си sin (ы/ 4-а)—асо* cos(<о/ 4-а).
Бу ифоддларии (73.2) га 1фйиб, унга мураккаб б^лмаган рзгар-
тириш lap ^тказсак, цуйндаги муносабатнн топамиз:
[ а 4-2jia 4-(«J —ы’)а|соэ(ы/ 4-а) —2ы I a 4-₽alsin(w/4-a) О.
Бу бяз топган тенглама / нинг исталган цяйматларида бнжарилишн
учуй cos(<o/4-«) ва sin (orf + а) ларнинг олдидаги коэффициент-
flap нолга тенг булиши керак. Шуидай цнлиб, бяз цуйндагн иккита
тенгламани топамиз:
а 4- ра = 0, (73-6)
а + 2Д а 4- (ы’ — сл7) а = 0. (73.7)
(73.6) тенгламани цуйидягича ёзиш мумкин:
J = —ря, бундан ^ = —pd/.
Срнгги тенгламани интегралласак, 1пя = —р/4-»пя0, бу ерда к
теграллаш доимнйси 1пя0 билан белгяланган. Ни\оят, топилта
муносабатнн потенцирлаб а(1) учун цуйидаги йфоданк топамиз";
a —₽a ва а =Р2д эканлигини осонгина куриш мумкин. Бу ций-
матларни (73.7) тенгламага цуйсак, цуйидаги муносабатнн топамиз:
₽2 a — 2ра a + (tog—<о2) a. = 0.
бу муносабатии нолдан фарцли а купайтувчига цисцартирсак, ы9
нинг цийматини топамиз:
“* = “» — 01- (73.9)
<*$> ₽2 булса, to цацнций сон булади ва (73.2) дифференциал тенг-
ламанинг ечими (73.5) курипншда ёзилиши мумкин. Шундай цилиб,
суннш жуда кучли булмагаида (р '<и0) тебранишлар цуйидаги
функция билан тасвирланади:
х = aoe~pl cos (tot + а). (73.10)
Бу функциянииг графиги 182- расмда келтирилган. Пунктир чизиц-
лар билан тебранаётган нуцтанинг х кучиш чегаралари курсатипган.
х (73.10) функциянииг курпни-
шига мос равишда системанинг
I—v аве'м \аракатини частотаси <о га теиг
в г 1 А ‘ ю амплитудаси (73.8) цонун би- .
il I I Н°' /MU’A t JiaH >згаРУвчи гармонии тебра-
ii- I pl /Ч Г\ I |L ”ИШ деб цараш мумкин. 182-
II II I / I/ расмдаги пунктир чизицлардан
У w » -V-. юцорндагиси а (I) функциянииг
т графивши беради, бунда а0 кат-
«—* талик вацтнинг бошлангич пайти-
1М-рп< . даги амплитуда цийматини бил-
диради. Бошлангич силжиш ха
а6 дан ташцари яна а бошлангич фаэага цам боглиц: х0 — дйсоьа
(182-раем).
Тебранишлариинг суннш тезлиги суннш коэффицнентн
деб аталувчн р = г/2 m катта.пик билан аннцланади. Амплитуда е
марта камайиши учун кетган т вацтни анш^лайлик. Таърифга бино-
ан е~1" =е-1, бунда ₽т = >. Демак, суннш коэффициента катталик
жнцатдан амплитуда е марта камайиши учун кетган вацтнинг тес-
нари цнйматига теиг экан.
(73.9) га биноан сунувчи тебранишлариинг даври
т _ 2л
РЗ")
Муцитнинг царшилиги кичик (^«ш’) булса, тебранишлар дав-
ри амалда Т = 2л/<ов булади. Суниш коэффициента ортиши билан
тебранишлар даврн ортади.
Кейниги бирор томонга энг куп огншлар (масалан, 182-расмда-
гн а', а", а'" ва цоказолар) геометрик прогрессия цосил цилади. Ха‘
200
цнцатан цам, агар а' =аое. * булса, у вацтда «’ =а«г м'+п =
=a'e~^t а'" = ц0 е~^^+гт) =а"-' 7 ва цоказо. Умуман, бир даврга
фарц циладиган вацт моментларига тегишли амллитудаларнннг нис-
бати цуйидагига теиг булади:
= е₽г.
a(f + 7)
Бу нисбат суннш декременти, унинг логарифми эса с^ниш-
нннг логарифмик декременти дейилади:
Р3.12)
Бу кейинги катталик одатда тебранишлариинг сунишнни .характер-
лаш учун ишлатилади. ₽ ни (73.12) га мос раиншда 1 цамда Г
орцали ифодалаб, амплитуданннг суниш цонунини цуйидагича ёзиш
мумкин
а=аое
Амплитуда е марта узгариши учун кетган т вацт ичида систе-
ма Nt = t/T тебраниб улгуради. е г=е~1 шартдан — ХЛ^=]
келиб чицади. Демак, сунишнинг логарифмик декременти катталик
жицатдан амплитуда е марта камайиши учун кетган вацт ичида со
дир булувчи тебранишлар сонининг тескари цийматига тенг экан.
Тебраниш снстемасини характерлаш учун к^пинча тебраниш
системасининг ас л лиги деб аталувчн
Q = 4=nlV, (73 13)
катталикдан фойдаланилади. Контурнинг асллиги унинг таърмфига
биноан тебранишлар амплитудаси е марта камайиши учуй кетган
т вацт ичидаги системанинг Nt тебранишлари сонига тенг эканлиги
куриниб турибди.
Сунувчи тебранишлар бажараётган системанинг импульсини то
пайлик. (73.10) функцияни вацт буйича дефференциасЯНб ва то
пилган натижанн т массага купайтириб, цуйидагини топамиз-
р = тх = — та0 ё~^' [0 cos (cot + а) + со sin (cot -|- а)|.
Бу ифодани цуйидагича узгартириб ёзиш мумкин:
р— р0 e~fl cos (со/ -|- а + ф), (73.14)
бу ерда р0 = таи У а,* -[ 02 —таоыо эса цуйидаги шартни цано
атлантиради:
201
Агар е*~ купайтма б^лмаганда 71-§ да цилганимнздек (73.10)
ва (73. И) тенгламалардан I ни чицарнб юбориб к ва р координа-
талкэда координата £ цларига нисбатан бурнлтан эллилснинг тенгла-
масиин топган б^лар адик. Экспоненциал купайтма е~?' ющг бор-
Л1П1 эллипс ичига цараб
Р
1ИЗ-расм
5ралувчи спира ль шаклнда булишига олиб
келади. (183- раем) Ана шу спираль
с^нувчи тебраншпнннг фазовий тра-
екториясндан иборат. Бунда cjtanui
коэффициента р цанча катта б^лса,
бу спираль координата уцларига
нисбатан шунча к^проц осади.
К (73.11) форму ладан <о§— р’ О
б^лганда тебранншлар даври чек-
сизлнкка айланади, яьни царакат
даврий б^лмай цолади деган хуло-
са чицади. Тегишли математик ана-
лизлар шуни курсатаднки, Р’чО
булганда царакат аиериодик (даврий
эмас) характерна эга будар экан.
Бу царакатда мувозанат цолатидан
чицарнлган система тебранмасдан
£з мувозанат цолатига цайтнб кела-
дн. 184-расмда апериоднк царакат
вацтида системанинг мувозанат цо-
латнгд цайтишидаги мумкин булган
нккн йул тасвирланган. Система бу
й?лларда цайсн бири билан мугоза-
^нат цайтиши цолатга бошлангич
t шартларга боглиц. Агар системах,
силжиш бнлан характерланувчи цен
латдан мувозанат цолатига цараб
цуйндаги шартга бУйсунувчи св бош-
лангич тезлик
бвдаи царакатлана бошласа, у вацтда 2 эгри чизиц билли таевнр-
жвган царакат амалга ошади.
74-в. Автотебранншлар
Сукувчя тебранншлар вацтнда системанинг энергияси муцитнинг
фрнилигнпн енгишга сарфлакадн. Агар эиергиянипг бундай камани-
тулдирнб турилса, тебранншлар сунмас тебранишларга айланз-
jp. Системанннг энергияси ташцаридан бериладигаи турткм цисоби-
Л тулдирнб турилиши мумкин. Лекин бу турткилар система!а
уаипг тебранишлари билан бир хил тактда берилиб турилишн «е-
IK
рак, акс цолда улар тебранишларйи сусвйтириш цатго бутунлай'
тухтатнб цуйиши мумкин. Тебранувчи система ташци таъсирин Jan
бошцармб, бернлаётгвн турткиларни узннмнг царакатвга соэлаб ту-
радиган цнлиш цам мумкин. Ана шундай сусГема автотебра нув-
чи, у бажэрадиган сунмас тебранншлар а втотебранишлвр деб
вТйлади.
Энг содда явтотебранувчи системага мисол сифатида J86-расм-
да тасвирланган мосламапн кУрнб чицайлнк. Эгнлувчан эластик
пластинканинг бир учи цузгалмас цилнб мацхамланган. Агар плас-
типкаиинг эркин учини пястга
тортиб юборсак, у с£нувчи
тебранма царйкат цнла бош-
лайди. Агар пластинка энг
юцори цолатда турган пайтда
унинг учите томадиган цилиб
сув оциэиб цуйсак, тебраниш-
ларйн cj/нмас тебренишларгя
айлантиришнмиз мумкин. Сув
томчнлари пластинканинг учи-
те .урилиб ишцаланиш натижа-
снда йуцотилган тебраниш
энергиясини тиклаб туради.
Автотебранувчи системага
иккинчи мисол сифатида соат
механизмини цараб чицамиз.
Соатнинг маятииги эгнлган ра-
чат— анкер билан бирга бир
5цца £рнатилган (186-расм)»
Анкернинг учларида палстта-
лар деб-яталувчи махсус дунг-
ликлзри бор. Тшили юргизуfl-
чи^ гнддирак уни айлантнриш-
га ннтилувчи тош оснлган
занжирёки буралгзн пружина
185- раем
таъенрида туради. Бирок fh.i- 1ьб- раем.
дирак куп вацт давомида тиш-
ларининг бири билан у еки бу палеттанинг ён сиртага тирйлйб
туради. Маятник тебранганда бу палетта тишнинг сирти буйлаб
сирганади. Фацат маятник Jpra цолатга яцин турган пайтларда-
гина палетталар тпшларнннг й£лннн тусмайди ва юргизувчн гил-
дирак бурилиб узининг устки томони бнлан лалепавинг ция цм-
лчб кесилгаи учи буйлаб снрпанувчи тиши ёрдамида анкернн тур-
тадп. Маятник тебранишннннг т£ла цикли (даври) ичида юргиэувчя
гилднрах иккита тишга бурилади, бунда палетгаларнинг цар бири
биттадан турткн олади. Ана шу турткилар воситаси бнлан нута-
рнлган тогининг ёки буралган пружинанинг энергияси цисобигама-
Ятвихнинг тлцаланиш туфайли н^цоттан энергиясини тянлаб турв-
лади.
75-§, Мажбурий тебранишлар
Тебранувчи системада даврий узгариб турувчи ташци куч (биз
уни мажбур этувчи куч деб атаймиз) таъсирида содир б^лувчи
тебранишлар мажбур этувчи куч вацт буйича гармоник
f=°F0costti (75. IT
цонун билан узгаради деб фараз цилайлик.
>(аракат тенгламаснни тузган вадтда мажбур этувчи кучдан
ташцарн эркин тебраннш вацтида системада таъсир к$рсатадиган
кучларни, яъни квазиэ.тастик куч билан му.\итнинг царшилик кучини
^ам цисобга олиш керак. Тебранищтар етарли даражада кичик деб
фараз ^илиб, авдалгидек ' ^аршилик кучини тезликка нропорционал
деб дисоблаймиз: у ^олда даракат тенгламаси цуйидагнча ёзилади;
тх = — kx — rx + F0cosa>t.
Бу тенгламани т га тадсимлаб ва к ^агада к ли ^адларни чап то-
монга ^тказиб, иккинчи даражали чизицли дифференциал тенг-
ламага зга б^ламиз:
х -| 2₽ х -1- со’ х — /0 cos со/, (75.2)
бу ерда ft) = = эса С^ниш коэффициента, соо =. сие-
теманннг хусусий тебраннш частотаси.
Дифференциал тенгламалар назариясидан маълумки, бир жинс-
ли б£лмаган тенгламанинг умумий ечими бир жинсли тенгламанинг
умумий ечими билан бир жинсли б£лмаган тенгламанингхусусий ечими
йшиндисига тенг. Маълумки, бир жинсли тенгламанинг умумий ечими
i(73.2) тенгламанинг умумий ечими булган (73.10) функцияга ца-
ранг| цуйидаги курннишга эга:
х = а0 e~?l cos (<o't + а'). (75.3)
бу ерДа со' = |/<о’— 0®, а0 ва а'лар эса ихтиёрий катталиклар.
Энди (75.2) тенгламанинг хусусий (ихтиёрий Узгармас коэффи-
циентларга эга б^лмаган) ечимини топиш цолди. Фараз цилайлик,
бу ечим цуйидаги курннишга эга булсин:
х = о cos (со/ — ф) (75.4)
(бу \олда бошлангич фазани а билан эМас, —ф билан белгила-
гаи цулай). Векторлар диаграммасн ёрдамида (68 ва 69-§ ларга
паранг) бизнинг фаразимиз т^гри эканлигнга осонгина ишонч досил
днлншимиз ва шунингдек, а билан ф нинг (75.4) функция (75.2)
тенгламани цаноатлантиришига имкон берадиган циГ|матларини то-
пншимиз мумкин. (75.4) ни вацт буйича дифференциаллаб, (75.2)
генгламанинг биринчи иккн ^адини цуйвдагича ёзишимиз мумкин:
2Дх = —2Pwasin(cof—ф) = 2fkoa cos (со/—(75.5)
хм
х = — co® a cos (со/ — ф) — ы*а cos(<o/ — q> -J- (75.6)
(75.2) дан /Ocos<ol гармоник тебраннш худди шундай частотами
учта гармоник тебранишнинг: (75.6), (75.5) ва (>**= cog acos (со/—ф)
тебранишларнинг йигиндисидан иборат деган хулоса чицади. Агар
кейинги тебранишни ч^а узунлигндаги ва унг томонга йуналган
вектор билан тасвирласак, у вацтда (75.5) тебраннш узунлиги
2fkoa га тенг ав со*х векторга нисбатан соат стрелкасига тескарн
я/2 бурчакка бурилган вектор билан, (75.6)
тебраннш эса oftj узунликдаги cogx вектор-
га нисбатан п бурчакка бурилган вектор
билан тасанрланади (187- раем). (75.2) тенг-
лама ^аноатлантирилиши учун цайд ци-
линган учта векторнинг йигиндиси /0 cos со/
тебранишни тасвирловчи вектор бнлан бир
хил булиши керак. а амплитуданинг |фйи-
даги шарт билан белгиланадиган цаймат-
ларидагина бу векторлар бир хил булади
(187-а раемга ^аранг):
(ы*-и*)а
(cog—со’)2 а* + со2 a’ = /g,
бундан
° в У((й*0-<йУ H-40W ’ <757)
187-а раем со < сов >рлга тргрн келади
со > too ^олга тегишли 187- б расладан о
пинг худди шундай >\иймати топилади.
187-раем шунингдек, (75.4) мажбурий
тебранишнинг у ни юзага келтирган (75.1)
мажбур этувчи кучдаи кечикишн катталиги
булмиш ф нинг цийматини топишга ^ам им-
кои беради. Расмдан цуйидаги келиб чи-
цади:
2Вю ме с\
tg<P = ~9 • • (75.8)
D
pd*-wS)O
1S7- раем.
b
(75.4) га а ва ф нинг (75.7) ^амда (75.8) формулалардан чнг^ди-
ган цинматларпни цуйсак, бнр жинсли б?лмаган (75.2) тенглама-
нинг хусусий ечимини топамиз:
* = л- cos (со/ — oirctg — . (75.9)
(75.9) функция бнлан (75.3) нйнг йигиндиси системанинг маж-
бурий тебраннш ва^тидаги ^араквтнин ифодаловчи (75.3) тенг-
ламанинг умумий ечимини беради. (75.3) цушилувчи продесснинг
дастлабки босцичида, тебранишлар ^арор топаётган вацтда (188-
расм) сезиларли роль уйнайди. Ва^г утиши билан (75.3) кушилув-
2(И
чи экспоненциал е-1* к^пайтувчи туфайли тобора кичрая борадн ва
етарлича вацт 5'тгандан -кейин уни ташлаб юбрриб ечимда фацат
(75.9) цушнлувчини олиб цолиш мумкин.
Шундай цилиб, (75.9) функция барцарор мажбурий тебраниш-
ларни ифодалар экан. Бу тебранишлар частотаси мажбур этувчи
хуч частотаснГа тенг булган гармоник тебранишлардан иборат.
Мажбурий тебранншларнинг амплитудаси (75.7) мажбур этувчи
й»
TripaHumfaj
баЛЧардр^йшцби
1М- рас!.
кучнинг ямллнтудасига пропорционал, Берилган тебранувчн (аииц
й>0 ва р га эга булган) система учун амплитуда мажбур этувчи
кучга гронорционал булади. Мажбурий тебранишлар фаза буйича
мажбур этувчи кучдан орцада цолади, бунда кечикиш катталиги <р
мажбур этувчи кучнинг частотасига цам боглиц булади 1(75.8) га
царанг].
Мажбурий тебранишлар амплитудаси, мажбур этувчи куч часто-,
таснгв боглицлигн тунга олиб келадики, берилган система учуй
аннц булган бирор чэстотада тебранишлар амплитудаси максимал'
цийматга эришади. Тебранувчи система айницса ииундай частотали
мажбур этувчи кучнинг таъсирига берилувчан экви. Бу цоднса ре-
зонанс деб, бунга мос частота эса резонанс частота деб
аталади.
<Чрм резонанс частотани аннцлаш учун (75.7) функциянииг мак-
сямумшш ёки худди шунинг £зн, махраждагн илдиз остида турган
ифоданинг минимумини топиш керак. Бу ифодани со буйича диф-
ференциаллаб ла нолга теиглаштириб, ареЭ ни аницловчи шартнн
топамиз:
— 4 (tog— со») со ] 8р% *=0. (75.10)
(75.10) Тенглама учта ечимга эта; в = 0 ва ы = +
Нолга тенг ечиы махражнинг максимум цийматига мос келади.
Цодган иккита ечимдэн манфий сон физик маънога эга б^лйагаи
4G0
катталик сифатида (частота манфий булиши- мумкин эмас) ташлаб
юборнладй. Шундай цилиб, резонайс частота учуй битта циймат
толиладн:
(55.»)
Частотанивг бу цийматинн (75.7) га цУйиб, резбнанс вацтидаги
амплитуда учун цуйидаги ифодани топамиз:
<75.12)
•А
.А
180- раем
(75 12) га биноан муцвтнннг царшилиги булмаганда резонанс
вацтидаги амплитуда чексизликка айланган булар эди. (75.Л) га
биноан эса худди шундай шароитларда (₽ = 0 булганда) резонанс
частота системанинг соо хусусий тебраниш лари частотасига jenr б£-
лади.
Мажбурий тебранишлар амплитудасининг мажбур этувчи куч
частотасига (ёки худди шунинг узи, тебранишлар частотасига) ца-
раб узгариши 189-расмда курсатилган. Графнхдаги ало^ида эгри
чизицлар, параметр 0 нинг турли цийматларига тегишлидир. (75.11)
ва (75,12) ларга биноан 0 цанча кичик бУлса,. берилган эгри чи-
аициинг максимума юцорироцда ва унгда етади. Суннш анча катта
(2 02>woI) булгавда. резонанс частотанинг ифодаси мав^ум буляб
цолади. Бу эса шуни англатадики, бундай шароитларда резонанс
кузатилмайдн—частота ортишн билан мажбурий тебранишлар амплн-
тудаси бнр меъёрда камая боради (189-раемдаги пастдаги эгри
чизицца царанг). (75.7) функциянииг 0 параметршшг турли ций-
матларнга тегишли 189-расмда тасвирлаигаи графиклари толпами
резонанс чизицлари дейилади.
Резонанс чизицлари цацнда яна цуйидагини эслатиб утидо мум-
кин. <о нолга интилгавда барча эгра чнзннлар нолдан фарцли ва
/•/‘’о га. яъни F^h га теиг булган бирдан-бир чегаравий цийматга
мнтнлади. Бу циймат снстемавянг мувозанат цолатндаи Гв уэгар-
мае куч таъенрида силжишидан иборат. <» чексизликка ннтилганда
цамма эгри чизицлар асимптотик равишда нолга интилади, чунки
частота катта булганда куч узининг йуналишини шу цадар тез
5'згартирадики, система мувозанат цолатидаи сезидарли даражада
енлжиб улгурмайди. Ницоят, ₽ цанча кичик б$лса. резояансга яцин
жойда амплитуда частотага цараб шунча тез узгаришини, макси-
мум шунча «у-ткирроц» булишини цайд цилиб у-тамиз.
(75.12) формуладан суниш заиф булганда (яъни р (ол булган-
да) резонанс вацтидаги амплитуда тахминан цуйидагига тенг була-
ди, деган хулоса чицади:
°— - "Йг-
Бу ифодани узгармас куч Fo таъенрида (у fi/<o0a га тенг эканлиги-
ни биз аницлаган эдак) системанинг мувозанат цолатдан х0 енлжи-
шига тацсимлайлик. Натижада цуйидагини топамиз:
Срез ч*» _______ 2л_______Л
Срез *t>» _____ _____Л ____г.
*о ~ 2₽ ~ 2₽Г “ X “
((73.13) формулага царанг.) Шундай цилиб, Q аеллик резонанс
вацтида амплитуда системанинг катталик жицатдаи мажбур этувчи
куч амллитудасига тенг ^згармас куч (фацат суниш кичик булган
шароитдагина шундай булиши мумкин) таъенрида мувозанат цолат-
да н силжишидан неча марта катта эканлигини к£рсатар экан.
187- раемдан к^риниб турибдики, мажбурий тебранншлар фаза
буйича мажбур этувчи кучдан брцада цолар экан, бунда кечикнш
«р катталиги 0 билан л орасида ётади. f нинг турли цийматлари-
да <р нинг <о га цараб ^згариши 190- раемдаги графикда тасвир-
ланган. частотага <р = мос келади. Резонанс частотам хусу-
сий частотадан кичик булади [(75.11) га царанг). Демак, резонанс
пайтида ф<л/2. Суниш заиф булганда гоРез~гчв ва резонанс ша-
роитида <р ни л/2 га тенг деб цисоблаш мумкин.
Машиналар ва цар хил инпюотларш цуришда резонанс цоди-
сасини цисобга олишга тугри келади. Бундай цурилмаларниш
хусускй тебраниш частотаси ташци таъсирларнинг частотасига мут-
лацо яцин бУлмаслиги керак. Масалан, кема танасннинг ёки само-
лёт цанотининг силкиннш хусусий частотаси сузиш винти ёки
паррак юзага келткриши мумкин булган тебранишларнинг частота-
сидан кескин фарц цнлиши керак. Акс цолда силкмнишлар (вибра-
циялар) юзага чициб, цалокатга олиб келишн мумкин. Устидан
аскарлар саф тортиб Утаётганда к^приклар цулаб кетган цоллар
тарихда маълум. Букга куприкнинг хусусий тебраниш частотаси
колонна нинг кадам ташлаш частотасига яцин булиб цолганлигн
сабаб булган.
Шу билан бирга резонанс цодисаси купинча, айницса акусти-
када, радиотехникада ва бошцаларда жуда фойдали роль уйнайди.
76-§. Параметрик резонанс
Аввалги параграфда цараб чицилган цолда системага цуйилган
ташци мажбур этувчи куч бевосита системами мувозанат цолатдан
силжишини юзага чицарган эди. Маълум бУлишича, системами
кучли равишда тебранншга имкон берадиган бош-
цача ташци таъсир цам мавжуд экан. Бундай
таъсир шундаи иборатки, системанинг бирор
параметри тебранншлар билан бир вацтда даврий
равишда Узгарадъ Шунинг учун цам бу цодиса-
нинг Узи параметрик резонанс дейилади.
Мисол учун энг содда маятник — ипга осил-
ган шарча олайлик. Агар маятникнинг I узунли-
гини четки цолатларда турган пайтда орттириб
ва маятник урта цолатда турган пайтларда эса
камайтириб даврий равищда узгартариб турсак
(191-раем), у цолда маятник цаттиц тебранабош-
лайди. Бунда маятникнинг энергияси ипга таъ-
сир кУрсатаётган куч бажарадиган иш цисобига
ортади. Маятник тсбранаётганда ипнинг таранг-
лик кучи узгариб туради: у четки цолатларда (бу цолатларда тез-
лик нолга айланади) кичик ва урта цолатда (бунда маятникнинг
тезлигн максимал) катта бУлади. Шунинг учун маятникни узайтир-
ган вацтдаги ташци кучнинг манфий иши .маятникни цисцартиргаи
вацтда бажариладиган мусбат ншга цараганда кичикроц булади
Натажада ташци кучнинг бир давр ичида бажарган иши нолдап
катта бУладн.
И—1317
J БОБ
ТУЛЦИНЛАР
77-§. Тулцннларнннг эластик му^итда тардалишн
Агар эластик (цатгиц, суюд Аки газ ^олатдвги) муцнтнинг би-
рор жойидаги зарралар тебраитирилеа, у долда зэрраларнинг £заро
таъсирланиши натижасида бу тебранишлар му^итда бирор v тезлик
билан заррадан заррага тарцала бошлайди. Тебранишларнинг фазо-
да таркдлиш процесси тулцнн деб аталади.
Ту л кин тарцалаётган му^итнинг зарралар» Тулцин билан бир-
га кучмайдн, улар фа^ят уз мувозанат ^олатлари атрофида тебра-
ниб туради колос. Зарраларнинг тебраниши т^лцнн тар^алаётган
й^налишга нисбатан цандай й^налганлнгига царар т^лцинлар буй-
лама ва кундаланг тулцинларга ажратнладц, Буйлама тулциида
му^итнинг зарраларн, т^лцннлар тарцалаётган йуналиши4 буйлаб
тебранади. Кундаланг т^л^нда му^нтнинг зарраларн т^лцинлар
тарцалаётган йувалишга перпендикуляр й^налншда тебранади. Ме-
ханик кундаланг т^лцннлар фа кат сялжйш царйгилйгига эга бул-
ган му^ятда вужудга келиши мумкин. Шунинг учун сую\ ва газ
долатдаги музуитларда фацат буйлама т^лцивлар вужудга келишн
мумкин. ЦаттИ| муднтда ^ам буйлама. хам кундаланг тулциилар
вужудга кетиши мумкин.
1С2- расу.
SIB
Му\итда кундаланг тулцин тарцалган вацтдагн зарраларнинг
царакати 192-расмда кУрсатилган. Бир-биридан д- vT масофада,
яъни чорак тебраннш даври ичида Утаднган йУлга тенг масофада
турган зарралар 1,2, Зы докаэо соилар билан белгиланган. Схе-
ммда ноль деб цабул цилинган ва^т ыоментнда тУлцин уц буйича
чандаи Jiirra тярадлиб / заррага етади, бунинг натижасида зар|м
Уз кетндан бошца ’арралярнн эргаштириб юцорига ^араб снлжнй
бошлвЦд*.
193-р»СЧ-
Чорак тебракищ даври Jttbb, / зарра юцоридаги четки \олат-
га етади; бар вацтда 2 зарра мувозанат вазиятидан силжий бош-
ляйди. Яма чорак давр утиши билан биринчи зарра юцоридаи паст-
га цараб царакатланнб мувозанат цолатидан Утады, иккинчи зарра
*«г четки говори долатига эрншади, учинчн зарра эса муаозаиат
^олатядаи чи^йб км^орнга цараб силжий бошлайдн. Ва^тнинг Т га
тенг момеятяда биринчи зарра т^ла тебраниши цнклинн Утиб бу-
лади ва дастлабки мсэментдагвдек ^олатнга келади. ТУлцин вацт-
нннг Т маменткгачв vT йулнн утиб 5 заррага етнб келади.
103- раоада муцитда буйлвма тУл^нн тарцалаётганда зарралар-
иинг ^яракатлаНнши курсатилган. Кундаланг тУлциннн та^лил ци-
лаётган ва^тда юргизилган барча муло^азаларни бу >^олга ^ям тат-
би^ 4р<яиш мумкин. бироц бунда юцорнга ва пастга силжишлар
Уринга унгга ва чапга силжиш ц&цида гапириш керак. 193- расн-
дан кУрнниб турнбдики, буйлама тУл^ин тар^а.чаётгацда му^итда
Еврраларнинг тУл^инннцг тар^алиш йуналиши буйлаб и тезлик
билан крчувчи навбатма-навбат ^ую^ланиш за снйракланищларн
(расмда зэрраларнинг г;ую»;л*нищи пунктр чизмц билан уралган)
юзага келиб турар экан.
Тулцан мавжуд экан, мудитнинг зарраларн Узлармнннг му во
занят \олатлари атрофида доим тебраннб туради, бунда 192- ва
193-расмхифдан кУрнииб турвбдики, турли зарралар фааа буйича
211
силжиган цолда тебранар экан. Бир-биридан vTl масофада турган
зарралар бир хил фазада тебранадн (фазага 2л ни цушсак, у \еч
цандай таъсир курсатмайдн). Бир хил фазада тебранаётган узаро
яцнн зарралар орасидаги масофа Л тулцин узу и лиги дейилади
(194-рас ига царапг, унда зарранинг мувозанат цолатдан £ смлжн-
ши т^лциннинг тарцалиш йуналиши буйлаб улчанадиган х масофа-
нингфункцияси сифатида ифо-
' > даланган). Т£лцин узунлиги,
ни--------равшанки, т£лциининг бир
-~\i Z~\ давр ичиДа тарцалган масо-
—--------уС—-V------к фасига тенг:
А = vT. (77.1)
194- раем.
Бу мунофабатда Т ни 1/v билан [(62.9) га цэранг; v—тебраниш-
лар частотасн] алмаштнреак, цуйидагини топамиз:
Av = v. (77.2)
Сунгги муносабатни цуйидагича мулоцаза горитиб цам топншимиз
мумкин. Бир секунд ичида тулцин манбаи v марта тебраииб, цар
бир тебранишида муцятдв битта «дунглнк» битта «чуцурлик» цосил
цилади. Мамба v-тебраннш бажараётган моментга келиб биринчи
«дунглнк» v йулнн утишга улгурада. Демак, v уэунликда v дона
дунглик ва v допа «чуцурлик» ётиши керак.
Аслмда фацат х уци буйлаб ётган зарраларгина тебраимасдан
(192- ва 193- расмларда тасвирланганидек), бирор цажмдаги зарра-
лар туплами тебранади. Тулцин процесс тебраниш манбаидан тар-
цалиб фаэонинг янги-янги цисмларнни эгаллай боради. Тебраниш-
лар вацтиинг t моментига етиб келган нуцталараянг геометрии
урни тулцин фронт и деб аталади. Тулцин фронти фаэонинг
тулцин процесса тарцалган циемвдан тебранишлар цали юэага кел-
маган цисмини ажратиб турувчи сиртдан иборат.
Бир хил фазада тебраиувчи нуцталарнинг геометрик урни т£л-
цин сиртн деб аталади. Тулцин сиртини фаэонинг тулцин про-
цесси б^лаётган исталган куцтаси орцали $тказиш мумкин. Демак,
мцтпинг цар бир моментига битта тулцин фронти мос келса, тул-
цин сиртлари чексиз куп булар экан. Тулцин сиртлари царакат-
ланмайди (улар бир хил фазада тебранувчн зарраларнинг мувозанат
цолатлари орцали 5тадн). Тулцин фронти доим кучиб юради.
Тулцин сиртлари исталган шаклда булиши мумкин. Энг содда
цолда улар текислик ёки сфера шаклида булади. Бу цолларда
тулцин мос рааншда ясен ёки сферик тулцин дейилади. Ясен т^л-
цинда тулцин сиртлари бир-бирига параллел текисликлардан, сфе-
рик тУлцинда эса — концентрик сфералэрдаи иборат булади.
1 БуЪда тегишлн эарралярнииг мувозанат цолатларн бнр-бпри/ии vT масофада
сишш иазарда туталади-
212
78-§. Ясей ва сферик тулцинлар тенгламалари
Тебранаётган нуцтанинг силжишини унинг х, у, г координата-
лари1 на i вацтнинг функцияси сифатида ифодаловчи тенглама
Е = 6(*. I/. г. О (78.1)
тУлцин тенгламаси деб аталади. (78.1) функция t вацтга нисбатан
цам, к, у, г коордииаталарга нисбатан цам даврай булиши керак.
Е нинг t га нисбатан даврий эканлиги у, х, у, г координатали
нуцтанинг тебранишини таевнрлаганлигидан келиб чицади. Унинг
координаталар буйича даврийлиги эса, бир биридан X масофада
ётган нуцталар бир хил тебранганлигидан келиб чицади.
Тебранишлар гармоник характер™
зга деб фараз цилиб, ясен тулцин учун
Е функциянииг куриипшини топай тик.
Масаланн соддалаштириш учун коорди-
ната 5’цларини х уци т^лциннинг тар-
цалиш йуналиши билан устма-уст ту-
шадиган цилиб йуналтирамиз. У вацтда
тулцин сиртлари х Уцца перпендикуляр
булади ва тулцин сиртнииг барча нуцта-
лари бир хил тебранганлнги учун Е фа-
цат х билан t га боклиц булади:
Е = 6 U. О-
Фараз цилайлик х = 0 текисликда (195-расм) ётувчн нуцталар-
нинг тебраниши цуйидаги куринцшга эга булсин:
Е (0, t) = a cos at.
Нуцталарнинг х нинг ихтиёрий цийматига тегишли текиелнкдагв
тебранйшларинйнг курпнишини топайлик. Тулцин Х = 0 текислик
билан бу текислик орасидаги йулни утиши учун
Т == —
V
вацт керак, бу ерда v — тУлциннинг тарцалиш тезлиги. Демак, к
текисликда ётувчи куцталарнннг тебраниши х — 0 текисликда ётган
зарраларнинг тебранишидан вацт буйича т га орцада цолади, яъни
цуйидаги курннишга эга булади:
Е(«, 0 = 0 C0!U(I—О-о COSO)(< — -!). (78 2)
Шундай цилиб, ясен тулцин тенгламаси цуйидагича ёзилади:
Е = a cos <в (t — i).
1 Бунда нуцта мувозанат црляпшиш коордкнасаларк назарла тутилагя.
213
(78.2) даги £ катталик х координата.™ исталган нуцтанинг I в&цт
моментидаги силжишидан иборат. (78.2) тенгламани чицараётгами-
миэда тебраниш амплнтудаси барча нуцталарда бнр хил деб фарва
цнлган эдик. Ясен тУлцин учун тулцин энергияси муцнтда клял-
масагнна ана шундай цолнн нузятиш мумкин.
• (/ — -—)= const (78.3)
деб фараз цилиб, (78.2) да турган фазанииг бирор цийматвни бел-
гилаб оламиз.
(783) ифода t вацт билан фазанннг белгиланган циймати бе-
рилган моментда амалга ошадиган х жой орасидаги богланишнн
беради. Ундан ~ пинг келнб чицаднгаи цийматинн аницлаб фаза--
нинг берилган цийматининг кучиш тезлнгини топамиз. (78.3) ифо
дани дифференциаллаб цуйидагини топамиз:
dt —- dx = О,
S
бундай
(73.4)
Шуидйй цилиб, (78.2) тенгламадаги тулцнниннг тарцалиш тезл*и
ги v фазанннг к^чиш тезлигидан иборат экан. Шу сабабдан бу тезлик
фаза тезлигн деб аталади. (78-4) дан (78.2) тУлциннинг тезли-
гн мусбат деган хулоче чицади. Демак, (78.2) тенглама jc нинг
ортиш томоннга цараб тарцалувчи тУлцннни нфодалар экан. К,ара-
ма-царШн томонга цараб тарцалувчи тулцин цуйндаги кУринншгя
вга;
Е=a cos <о(Г + -£-). (78.5)
Хацицатан цам, (78.5) тУлциннинг фазасинн Узгармвс сонга
тенглаштмриб ва у тенгламани дифференциаллаб цуйидагини тояа~
миз:
бундан (78.5) тУлцин х нннг камайиши томоннга цараб тарцаладн,
деган хулоса чицади.
Ясен тулцин тенгламаенга / ва х га нисбатан симметрии кури-
ниш бернш мумкин. Бунине учун т^лцин сони деб аталувчн А кат-
таликни киритамнз:
к = ^ (78 в)
(77-1) на (78.6) дан т^лцин сони А, айланиш (циклим) часто
таен (о ва тулциннинг фаза тезлигн v ораснда цуйидагича муно-
сабат бор деган хулоса чицади;
V = у. (78.7)
ам
(78.2) да v нинг унинг (78.7) циймати билан алмаштириб ва
цавс ичига а ни киритиб, ясен тулцин учун цуйндаги куринишдаги
тенгламани топамиз:
£ = a cos (to! — kx). (78.8)
х нинг камайиши томоннга цараб тарцалувчи тУлциннинг тенг-
ламаси (78.8) дан фацат kx нннг олдидаги ишора билан фарц ци-
дади.
Энди сферик тулцин тенгламаенни топамиз. \ар цандай реал
тулцин манбаи бирор чекли улчамга эга булади. Бнроц, агар ман-
баг* нисбатан унинг Улчамларидан анча катта масофаларда содир
вулэднган тулцин процессларин текшириш билан чегаралансак, у
цолда манбани нуцтавий деб царашнмиз мумкин.
Агар тУлциннинг барча йУналишлар буйлаб тарцалнш тезлигн
бир хил булса. у цолд^ нуцтавий маиса цосил цилаётган тулцин
сферяк бУлади. Фараз ^нлайлнк, манбанинг тебранишларн фазасн
*>t га тенг булснн. У вацтда г радиуелн тулцин сиртда ётувчя
нуцталар «(£ — r/v) фаза балан тебранади (тулцин г йУлни Утншн
учун т — rfv вацт керак). Бу цолда тебранншлар амплнтудаси, цат-
то тУлцин энергияси муцит томонидан ютилмаса цам, Узгарншсиз
цолмайди — манбадан узоцлашган сари 1/г цокуният билан каман
борадн (82-§ га царанг). Демак, сферик тУлциннинг тенгламаси
цуйидагича куринишга эга брлар экан:
Е=уСОШ(1 —£). (78.9)
Бу ерда в — узгармас катталик булиб, уминг циймати манба-
дан бирлик масофадагн амплитудага тенг. а нинг Улчамлиги ампли-
тудаиинг улчамлиги билан узунлик улчамлвгининг (г нинг ул-
чамлиги) купайтмасига тенг.
Шуни эслатиб Утамнзкн, гараграфнинг бошида цилияган фараз-
ларга биноан (78.9) тенглама манбанинг улчамларидан анча катта
булган г лар учунгнна турри, г нолга интилганда амплитуданинг
нфодаск чексиаликка айланади. Бундай нотугрн натижа чнцишига
тенгламани кичик г лар учун цУллаб булмаслиги сабаб булади.
79- ИхтиёрмЙ йУналишда тарцалувчи ясен
тулцин теигламасн
Аввалги параграфда биз Jt Уци йуналишида тарцалувчи ясен
тулцин тенгламаенни топдик. Энди к, у, z координата уцлара би-
лан а, р ва у бурчаклар цосил цнлувчн йуналишда тарцалувчи
ясен тулцин тенгламаенни топайлик. Координата уци бошидан
Утувчи текнелнкдзги (196- раем) тебранншлар цуйндаги куринишга
вга деб фарэа цилайлик;
E = acosti)f. (79.1)
2IS
Координата бошидан / масофада ётган т^лцин сиртилн (текис-
лигинй) к^райлпк. Бу текмсливдаги тебранишлар (79.1) тебраннш-
лардан т = //и вацтга кечикади;
Е = о cos (•>(/ — ^). (79.2)
I нн ца рала ётган текмсликнинг нуцталарини г радиус-вектор
ортали нфодалаилих, Бунинг учун т$».пцин сирти нормалннннг п
бирлик векторкии кнритамиз. п нинг
У . сиртиинг исталган ну^таси г радиус-
\ векторига скалир купайтмасм бирдан-
бир циймат — t га тенг эканлигини
v jx. осонгина куриш мумкин:
\ / \ ПГ = ГСО5ф = /. (79.3)
\ нинг ифодасини (79.2) га
\ ^£йиб ва бир зацтда и ни цавслар
V ичига киритиб цуйидагини топамиз;
\ g = ccos(u/—^-пг) (79-4)
\ со/» нисбатан k т^лцин соннга тенг
’ 1(78.7) га цараиг]. Модули А=2л/Х
1$ю- раем. тУл^нн сонига тенг булган ва т^лцнн
сиртининг нормали буйлаб fifкалган
k - Ап (79.5)
вектор тулцин вектори дейилади. (79-4) га А ни киритиб >;уйи-
дагнни топамиз:
|(r, /)s^ccos(G)/— kt) (79.6)
(79.6) функция г1 радиус-векторли ну^танинг вацтнинг t мо-
нентидаги огишини беради.
Нуцтанинг радиус-векторидан унинг х, у, г координаталарига
утиш учун кг скаляр к^пайтмани векторларнинг координата уцла-
рига проекцияларн орцали ифодалаймиз:
kr = + Aj,y + k^.
У вацтда ясси т£лцин тенгламаси цуйидаги курннишга келади:
£(х. у, г: 0 = a cos(w/ — kjc—kvy—A.z), (79.7)
бу ерда, А,—j^cosa, Ay = ^cosp, Az = ^cosy.
(79.7) функция x, у. г координатали нуцтанннг вацтнинг ( мо-
ментидагн о ишини ифодалайди. Агар и х 5ци бичан устм^-уст
тушса, у >^олда = A, ku = k„ = 0 ва (79.7) тенглама (78.8) тенг-
ламага айланади.
* 213-Сетг8ги изоуа царанг.
SI6
Ясси т^лцин тенгламаси баъзан
E = Rc«e (79-8)
куринишда ёзиладн, бунда крпинча Re тушириб ^олдирилиб, бу
нфоданинг фацат цациций цнсми олинвди деган фараз билан тугри-
дан-т^ррн хуйидаги куринишда ёзиладн:
Е = ое“"'-*’1. (79.9)
80- §. Тулдни тенгламаси
Маълум булншича, исталган тул^иннинг тенгламаси дифферен-
циал т^лдин тенгламаси деб аталувчи дифференциал тенгламанинг*
ечимидан иборат экан. Тулцин тенгламасини топиш учун ясси три
цинни ифодаловчи (79-7) функциянинг координаталар ва вадт буйича
иккинчи хусусий ^оснлаларини тавдослаймиз. (79.7) ни хар бир
узгарувчи буйича иккм марта дифференциаллаб, цуиидагини топамиз:
^г = —to5 a cos(wf — кг) = — го2£, (80.1)
А
= —kx a cos (at— кг) = —
= —k\ a cos (at—кг) = —k^,,
= —k\ a cos (at— kr) = —
(80.2)
(80.2) тенгламаларии Jaapo ц^шамиэ:
S+ *0’ + '0' = — ~ I80-3 *)
Энди (80.1) ва (80.3) тенгламаларии бир-бирига таццосласак,
цуйидагини топамиэ:
<УЕ , УЕ д’Е А» й»Е
dxi ду> + йг’ ы’ дР *
Нидоят, (78.7) га баноан эканлигини хис°бга олиб
узил-кесил хуйидагини топамиз:
, ±1 = J. •
djp г ду1 + йга vs дР
(80.4)
1 Бу тенгламанинг чал томонинн Лаплас оператори Д ёрдаадла гхчаилэш-
Ti-раш мумкин. Лаплас оператор! билан х, у, г узгарувчилзрнннг фунхциясндан
улар буйича олинган иккннчи даражази хусусий ^осмлалар йингодиснпн берувчн
вмаллар туплами снмволн равишда белгиланнли.-
ох’ ду1 дг*
Лаплас операторилан фойдалаииб (80.4) тенгламани куй» таги кУрннишм
сэиш мумкин;
ДЕ = ± ±1
Vs дР •
217
(80 4) тенглама биз цидираётган тулцин тенглаиасининг Узги-
нзсидир. Тулцин тенгламаснни фацат (79.7) функцнягина эмас, Цат-
то цуйидаги куринишдаги исталган функция цам цаноатлаитйрншн-
га-осонГййв йшонч цосил цнлиш мумкин:
Л x.y.z;t) = /(wf — kjc—k*y — ktt). (80.5)
Х»цицатаи цам. (80.5) нинг унг томонидаги цавслар ичидаги
ифодани £ бидан белгнласак, цуйидагига эга бУламиз:
(80.6)
Кудди шунга Ухшаш
S-*!/'; ^=*‘,Г; (в<>7>
(80.6) ва (80.7) ифодаларни (80.4) тенгламага цУйиш йули бнлан
v = си/ft деб (80.5) функция тулцин тенгламасинк цаноатлантиришн-
га йшонч цосил цилнш мумкин.
(80.4) кУрннишдаги тенгламани цакоатлантирувчи цар цандай
функция бирор тулциини ифодалайди, бунда ^f-олдндаги коэффи-
циентининг тескарн цийматига тенг булган катталикдан олингак
квадрат нлдиэ бу тУлцнннинг фаза тезлигини беради. (80.4) тенгла-
манинг ечимига цуйилган, цушимча шартларга цараб/ у ёки бу тул-
цин цосил цнлинииги мумкин.
81- g Эластик тулцмнларнииг тарцалиш тезлиги
♦араз цмлаЛдик. к Уци йуналиши буйлаб буйаама ясен тулцин
тарцаластган булсин. Муцнтда баландлиги Ах га ва асосикимг юзи
S га теиг б?лгаи цилиндрик цажм ажратамнз (197- раем), х коор-
динаталари цар хил булган £ зарраларнннг силжишлари вацтнинг
цар бир моментида цар хил булар
экан (194- раемга царанг, уида
Е х мнцг функцияси сифатида
тасвирланган). Агар цилиндрнинг
координатаси х га тенг асоси вацт-
нинг бирор моментида Е га силжк-
ган булса, у вацтда х + Ах коор-
дннатали ясос Е + га силжнйди.
Демак, царалаётган цажм деформа-
цийланади—у ДЕ га узаядн (АЕ —
алгебраик катталик; ДЕ<0 булган-
At
да цилиндр енцилади) ёки “ нис-
бий узайншга эга булади кат-
талик цилиндрнинг уртача дефор-
зам ооглиц булганлиги учун
)98 расы.
мациясини беради. 5 функция х га цараб чкзицлн цонум бнлан fr
гзрмаганлнги сабабли цилиндрнинг турли кесимларидаг» цациций
деформация бир хил булмайди. х кесимдаги е деформациями топиш
учун Ах нн нолга интилтнрнш керак. Демак,
- -
‘ ~ S #1.1)
(£ функции х дан ташцарн t га
ерда хусусий цосила ёзилган).
Яузилиш деформацияси-
нинг мавжудлиги кичик де-
формяцннларда деформация
кагталигига пропорционал бул-
ган Нормал кучланиш о бор-
лнгидан далолат беради. (45.5)
биноан
а = &=£*. (812)
бу ерда £—муцмтнипг Юнг
модули.
Шуни цайд цилнб ^тамизки, нисбий деформация ва демак,
о кучланиш дам вацтнпнг белгнланган моментида х га боглиц <198-
расм). Зарраларнннг мувозанат цолатдан огнши максимал булган
жойда деформация билан кучланиш иолга тенг булади-, Зарралар муво-
занат холатидан Этаётган жойларда деформация билан кучланиш мак-
симал цинматга эрншади, шу билан бирга мусбат ®а манфни дефор-
мациялар (яъни чузилаш ва сицилишлар) навбат билан алмашнпиб
туради. Шунга мос равишда, 77- § да цайд цнлингайидек, б|'йлама
тулцшт муцмтиинг навбат билан алмашиниб кс.^уйчИ синракЛйнмйг
ц.1мда цуюцланишларидан иборат б^тадн. '
Яна 197- расмда тасаирланган цилиндрик дажМга' Мурож^ат Цй*
либ унинг учун даракат тенгламасини ёзайлик. Ах ни жуда инчик деб
олиб цилиндрнинг тезлаииши ^га тенг деб цабул цилишммцз мум-
кин. Цилицдриинг массаси pSAx га тенг, бу ерда р —• деформэция-
ланмаган мухйтиинг знчлиги. Цилиндрга таъсир этувчи куч цилиндр
асосининг S юзин1шг (х -|- Ах -] £ -] А|) ва (х + £) кес^млардаги
нормал кучланишларнинг айирмасига купайтмасига теиг булади:
isE K»U+i+sr(£)J.
(8(.3)
-) катталикин кичик б лар учун катта ани^лик билан
даги нуряяишда ёзиш мумкин:
‘«-о
219
бу ерда деб Е нинг к буйича х кесимдаги иккинчи хосиласн ту-
шунилади.
Дх, £ ва катталиклар кичик булганлиги учун (81.3) ифодага
нисбатан (81.4) Узгартирншларнн ц?ллаймиз:
f=s£ Ы)+да(4х+Е+ЛЕ>]-[(1'1/ +
(эластик деформация вацтида нисбий узайиш ~ бирдан анча кичик
булади. Шунинг учун Д| <<. Дх, ана шуни эътиборга олиб (Дх 4- Д£)
йккиндида Д£ ин тушириб цолдирса цам булади).
Ныотоннинг иккинчи цонуни тенгламасига масса, тезланиш ва
кучни цуниб, цуйидагини топамиз:
Ницоят, 5Дх га цисцартириб, цуйндаги тенгламага келамиз:
_ ₽ ** гя. «
бу тенглама Е функция у ва г га боглиц булмаган хусусий цол
учун ёзилган (80.4) тулцин тенгламасининг £згикасидир.
(81.5) ва (80.4) ларни таццослаб, цуйидагини топамиз:
« = (81.6)
Шундай цилиб, буйлама эластик т^лцинларнинг фаза тезлигн
Юнг модулининг муцит зичлигига нисбатидан олинган квадрат ил-
дизга тенг экан.
Кундаланг тулцинлар учун цам ана шундай цисоблар тезликнинг
цуйндаги ифодаснин беради:
,8|л
бу ерда О—силжиш модули.
82- §, Эластик тулцин энергияси
Ясен б?йлама тулцин тарцалаётган муцитда шу цадар кичик эле-
ментар AV цажм ажратиб оламизки, бу цажмнинг барча нуцталари-
да деформаниялар билан царакат тезликларини бир хил ва мос ра-
вишда ва ларга тенг деб олиш мумкин булсин.
220
(45.15) формулага биноан, биз ажратнб олган цажм цуйидагича
эластик деформация потенциал энергиясига эга булади:
ДЕ, = ^ДУ= 4(||)‘ЛУ
бу ерда е =- Ц- — нисбий узайиш, Е эса Юнг модули.
(81.6) га биноан Е Юнг модулини ро® (р —муцитнинг зичлиги,
v — т^лциннинг фаза тезлигн) билан нфодалаш мумкин. У вацтда ДУ
цажмнинг потенциал энергияси цуйидагича ифодаланади:
ЛЕ, EV, (82.1)
1^аралаётган цажм шунингдек кинетик энергияга цам эгв булади:
Л&=1^УЛ|/’ (82-2>
рАУ — цажм нинг массаси, ~ — унинг тезлиги).
(82.1) ва (82.2) нфодалариинг йигицдиси тула энергияни беради:
Д£ = Лй + Д£, = 4₽[(«)! + и'(«)"]дк
ЕЕ энергияни у мужассамлашган ДУ цажмга тацсимласак, энер-
гия знчлигини топамиз:
и=-И(£)’+,'(*Л- да-3>
Ясси т$лцивнинг (78.2) тенгламаенни I ва х буйича дифференциал-
ласак:
Бу ифодаларни (82.3) формулага цуйсак, цуйидагини топамиз:
и — р (Iя <о’ siifto (t — -£-) = р a' to® sin® (tat— kx). (82.4)
КУндаланг т^лциннннг энергия зичлиги учун цам ана шундай вфо-
да келиб чицади.
(82.4) дан куриниб турибдики, вацтнинг цар бнр берилган момен-
тидати энергия зичтиги фазонинг турли нуцталарида турлича экан.
Бир нуцтанинг £зида энергия зичлиги вацт буйича синус квадрати
цонуни билан ^згаради. Синус квадратининг уртача циймати яримга
221
тенг булганлиги учун энергия зичлигипинг муцитняяг \ар бир нуц-
тасидагч уртача (вацт буйича) цкймати ^йидагига тенг булади:
й-урАЛ (82.S)
Энергия знчлиги (82.4) ва унинг Уртача циймати (82.5) муцит-
нинг р знчлиги, »> частотанинг квадратига ва т$7щиннинг а ампли-
тудами квадратига нропорциоиал экан, Ана шувдаЙ муносабат фа-
»;ат ясен тул^ин учунгина эмас. балки бош^а турдаги тул!{инлар
учун ^ам уринли.
Шундай ^нлиб, т5>Л1{ИН юзага келаднган му^ит ц^шнмча энергия
вапасига эга экан. Бу энергияни тебранишлар манбандан му^нтнинг
турли нудтяларига лциннинг уаи ташиб келади, демак, т$'лцин Jзк
билан энергия олиб Юрар экан. Тулцин бирор сирт орцали гацт бир-
лиги ичида ташиб f гтан энергии мицдори сирт ортали утувчи энер-
г « сырим и Ф дейилади. Энергия о^ими скаляр катталик б^либ,
унинг j/лчамлиги энергия j/лчамлигининг ва^тнинг j/лчамлигига нис-
бахига тенг, яънн цувватяинг улчамлигига f кшайди. Ана шунга мос
равишда Ф ни эрг]сек, ватт ва фжазоларда £лчаш мумкин.
Энергия oijMMM му^итионг турли нуцталарида турли ннтененвлик-
ка эгг б^лнши мумкин. Фазонинг турли нудталарида энергиянинг
одой процессная карактерлаш учун энергия оцимнммнг зич-
лиги* деган катталик кнритилади. Бу катталнкнинг ^иймати бе-
рилган нуцтада энергии кучнетган й^налишга перпендикуляр жой-
лашган бирлик юз орцали Утувчи энергия оцимига тенг. Энергия
оь{ими эичлигн векторининг йуналиши энергия к^чаётган йуналиш
билан устма-уст тушади.
Тфлцин тарцалаётган й^налишга перпендикуляр Д5 юз ортали
А/ вадт ичида ДЕ энергия оцаб Утадн, деб фараз ц-и чайник. У \o.i-
да энергия оцииннннг зичлнга / таърифга биноан цуйидагнга тенг
булади
(«6>
^катталик Д$, сирт орцали Утувчи энергия окими АФ эканлигн-
ни дисобга олиб, цунидаги тенгликни ёзиш мумкин:
<в27>
ASi. jO3 орцалв Л1 вацт ичида асоси А5Х ва баландлиги сД/ (о —
— тул^иннкнг фаза тезлиги) булган цилиндр дяжмн ичидаги энер-
гия оциб £тади (199- раем). Агар цнлиндр-
нинг барча ну^таларндаэнергия эичлигинн
7"1 бир хил деб ^исоблаш мумкни б^лишн
учун унинг ^лчамларн етарли даражада
\ « У/ кичик (AS, ва А/ларнинг кичиклнги цнсо-
У—у бига) булса. у ва^тда А£ ни энергия
| । зичлиги и -нинг цмлнцдрницг >^жмнга
(у AS.c/Af га тенг) кунайтмаси сифатида
IW-.P*». тойиш мумкин:
и?
AE^u&S v&t.
Бу AE нинг ифодасини (82.6) формулага ^йсаи, цуйндатт» тема-
ми»:
J = uv. (82.8)
о фаза тезлигини fij/налиши тул^нн тарцалищн Яйиалиии №нмя
(энергиянинг к£чнш йуналиши билан ^ам) уетма-ует тушувчн век-
тор деб ^аряб, цуйидагнни ёзишимиэ мумкин:
J = «». (82.#)
Энергия оцвмн анчлиги векторннн биринчи марта буюи рус
фиэнги Н. А. Умов киритгаи flj/либ, унм Умев вентери д еб «-
лади. (82.9) вектор и энергия эичлнги каби фазонинг турли Ryipra-
ларнда турлича бршб, фазонинг берилган нуцтасида эса синус км-
дратн цонуми билан ^згаради. Унинг уртача ^иймети (82 5) им
хисобга олгаида адйидагига тенг:
)я«.= й» =-ipnWv. (82. И)
Агар фазонинг бирор ну^тасчда j нПнг цнйматн маълум булев,
шу нуцтага исталганча ориентирлаб жойлаштнрнлган кичик AS юв
ортали утувчи энергии оцнминн топиш мумкин (200- раем). Бунинг
у тун AS нинг J векторга перпендикуляр те- jjc Я
кнеликка проекцияснни туширамиз. Проек- V _______
цияюшг катгалиги AS равшанин цуйида- Г"\
гича булади: | ; *. r j
A'SX = AS cos a, (82.11) _ _2\лЛ._Ц.
бу ерда a — AS га утиаэилган нормал п w
бнлан j вектор сриендаги бурчак. 200- раем.
AS кичик булганлиги учун AS орцалн оцаётган оцим ASX Орта-
ли оцаетган о>\имга тенг деб олиш мумкин. AS L ортали одаетгав
сн^нм эса (82.7) га биноан цуйидагига тенг;
ДФ -/А5Х.
ASX ни унннг (82.11) ^-иймати билан алмшнтарсак,
ДФ = /AS cosa.
Ammo j cosa катталик j векторининг AS юзга ^тйаэилгвн a
ворчал й^налишн- буйлаб ташкил этувчисининг Уэгинасндир;
Zt — j cosa.
Демак,
М)=/ЯА5 (#2 121
Жб ёзиш мумкин.
223
Шундай цилиб, кичик AS юз орцали утувчи энергия оцимш
унинг зичлиги векторининг нормал ташкил этувчисининг AS га ку-
пайтмасига тенг экан.
Ихтиёрий S сиртнипг исталган нуцтасндаги j ни билган цодда
шу сирт орцали утувчи Ф энергия оцимини цисоблаб чицариш мум-
кин. Шу мацсадда сиртни шундай кичнк AS участкаларга тацсим-
лаймнзки, уларнинг цар бирини ясен деб цисоблаш. J векторни эса
цар бир AS чегарасида катталик жидятдан цам, йуналиш жицатидан
цам Узгармас деб цисоблаш мумкин булсин. У вацтда цар бир AS
участка орцали утувчи элементар АФ оцимни (82.12) формулага асо-
сан цисоблаб чнциш мумкин. Бунда /„ нинг цар бир AS учун уз
цийматини олиш керак; j„ нинг циймати эса j векторнинг AS тур-
ган жойдагн цийматига ва бу юзнннг j га нисбатан ориентациясига
бонлиц булади.
S сирт орцали утувчи тулиц оцим элементар оцимларнннг йигиш
дисига тенг булади:
Ф = 2 А *5' (8213)
Бу без топган ифода тацрибийдир. Ф нинг] аниц цийматини то-
пиш учун барча AS ларнн нолга интилтириш керак. Бунда (82.13)
йигинди интегралга айланади
®=k<fS. (82.14)
бу интеграл бутун S юз буйлаб олиниши керак. (82.14) формула
енртнинг турлн нуцталарида энергия оцими зичлиги билан шу сирт
орцали утувчи энергия оцими орасидаги богланишни беради.
Сферик т^лциннинг тулцин сирти орцали утувчи энергия оцими-
нн дисоблайлик. Энергия зичлиги оцнмннинг нормал ташкил этув-
чиси тулцин сиртининг барча нуцталарида бир хил ва цуйидагидек
Уртача цийматга эга булади:
А =
(а, — тУлцнннинг манбадан г масофадаги амплитудаси).
(82.14) да jn Узгармас катталикни интеграл ишорасидан ташца-
рнга чицарсак, цуйндаги куринишга келади;
фр₽т =А$ = -§• (О, v 4 пг\
Агар тулцин энергияси муцитда ютилмаса, истилган радиуелн
сфера орцали Утувчи уртача оцам бнр хил булиши керак.
ФГрт == 2ярш* va\r* = const.
Бундан сферин тулциннинг а, амплитудаси тулцин манбаигачв
булган масофа г га тескарн пропорционал экан ((78.9) га царнкг|.
224
78- § да биз тулцин энергияси муцит томонидан ютилмаган
шароитдагина ясен тулциннннг амплитудаси узгармас б^лишинм
цайд цилиб утган эдик. Акс цолда манбадан узоцлашган сари тул-
циннннг интеисивлнги аста-секин камая боради—т^лцнпнинг cj/ни-
1Ш1 кузатилади. Тажриба бундай суниш экспоненциал цонун билан
содир б^лншини курсатади. Бу тулциннннг амплитудаси х масофа-
га цараб а — аа е ’7‘ цонун билан камая боришидан далолат беради.
Демак, неси тулцнннинг тенгламаси цуйидагича куринишга эга
вкан:
£ = ао е '* cos (<ot — kx). (82.15)
у катталик тулциннннг с j? и и ш коэффициенти (ёки
Uf лцнннинг ютнлиш1 коэффициенти) дейилади. Унинг улчамлиги узун-
лик Улчамлигига тескаридир. Шуни тушуниб олиш осонки, у га
тескари катталик тулцнннинг амплитудаси цандай масофада е мар-
та камййишини курсатади (тебранишларнинг суниш коэффициенти-
ни р билан таццослаиг. 73- §).
(82.10) га мос равишда (82.15) т^лциннинг интеисивлиги х ма-
софага цараб цуйидагича цонун билан камая боради:
<8216)
Ютувчи муцитда тарцалаётган сферик тулциннннг тенгламаси
цунмдаги куринишга эга булади:
j = £C-cos»>(i—1-). (82.17)
83- §. Тулциилариинг мнгерференцияси ва дифракцияси
Агар муцитда бир вацтда бир нечта тулцин тарцалаётган бул-
са, у цолда муцит зарраларииинг тебраннши зарраларнинг цир бир
тулцин алоцнда-алоццда тарцалган вацтдаги тебранигпларининг гео-
метрик йигиндисидан иборат булар экан. Демак, тулцинлар бир-бири-
пи бузмасдан тутридан-тугри цушилар экан. Тажрибадан келиб
чицадиган бу фикр тулцинларнинг суперпозиция (цу'шилиш)
принцип и деб аталади.
Агар муцитнннг цар бнр нуцтасндаги айрим-айрим тулцинлар
юзага келтирган тебранишларнинг фазалари фарца Узгармас булса,
тулцинлар когерент дейилади. Равшанки, фацат бир хил частота-
ли тулцинларгина когерент булиши мумкин.
Когерент тулцинлар ц Ушилган вацтда интерференция цоди-
саси юз беради. Бу цодиса шундаи иборатки, тебранншлар баъзи
нуцталарда бир-бирини кучайтнреа, бошца нуцталарда заифлаш-
тиради.
* Тулцин лмплитулясииинг эмас, (hmikii ршнг иптнкивлш риьиг кам^йишини ха-
рактерлайдигав кятгаликни ютнлиш коэффициенти деб аталса тутрнроц булар эди.
Бу катталик 2 у га тенг.
16-1317
225
Фазалар фарци узгармас булган О, ва О3 нуцтавий маибалар (бундай
маибаляр узларн цосил цнлган тулцннларга ухшвб когерент мэвба-
лар деб юритилади) тирцатаётган иккита тулцнннн текшираЙлих,
Тулцинларнннг цар бири цосил цилаетган тебранишлариинг иикалд*
си цам бнр хил Йуналишига эга (бунинг учун тулцин манбалари ора<
сидагн масофа манбалардан берилган нуцтагача булган масофадаи
анча кичик булиши ёки тебранишлариинг йУналашн манба билан
берилган нуцта ётган текисликка перпендикуляр булиши керак) де-
ган шарт билан муцнтнинг бирор иуцтасидаги натижавий тебраниш-
ии топайлнк.
О, ва Oj манбаларнинг тебраниш фазалари мос равишда (о/-}-а3)
ва («/-(-та,) ларга тенг булсии. У вацтда берилган нуцтадаги теб-
раннш цуйидаги тебранишлариинг йигандисмга тенг булади:
— a, cos (at + ctj — krj,
te = Og COS (<id + Og — fcfg),
бу ерд^ Дд ва а^—т^лцинларнинг текшнрилаетган нуцтадаги амплы-
тудалари, А—тулцин сони, г, ва г,—тулцин манбалармдан бернягм»
нуцтагача булган масофа.
Цуйидаги шарт билан аннцланадигак тебранишлар бнр-бирини
иучайткрадн
»(Л —rj--(«,—<Ч)” ±2"» (л-О, 1,2,...) (83 (),
ва аатижавнй царакат «о частотам ва (а, + в,) амплитудами гармо-
ник тебраннщдян иборат булмайди.
Цуйидаги
*(г,— <Й-(=| — <Ч) - + 2я (л + 4) (л = 0,1,2,...) (83.2)
шартни цаноатлинтирэдиган нуцталарда эса тебранишлар бяр-бмрини
азнфлаштирадн ва натижавий царакат (с, — а,| амютгудали гармо-
ник тебранищдан иборат булади. л, —- в, булган хусусий цолда бу
нуцталарда тебрнниш булмайди.
(83.1) ва (83.2) шартлардан
— ri ~ = «юз* (S3 3)
деган хулоса чнцадн.
Аналитик геометриядам (83.3) тенглама фокуслари Ол ва Ол нуц-
таларда ётган гиперболаиннг теигламасндан иборат эканлиги маъ-
лум. Шундай цилиб. тебранишлар бир-бирини кучаДтярадыган нуц-
талариинг геометрик £рни гиперболалар оиласидап иборат экан
(201- расы, бу раем а3 — а^ О цол учун чизилган. Туташ чизиц-
лар билан тебранишлар бир-бфини кучайтирадкган жойлар, пунктир
чизицлар билан эса — тебранишлар бнр-бирини заифлаштнрадягам
экойлар курсатилган).
Тулцинлар уз йузида тусодца учраса уни айланиб утади, Бу поли-
са дифракция дейилади. Дифракциинииг юзага келишннн Гюй-
генс принципига асосланаб тушунтирнш мумкин. Бу принцип тулцин
фронпшинг вацтнинг I моментида маълум булган вазиятнга асосла-
нйб t -f- At вацт момситидаги тулцин фронтинн ясвш усулнни бера-
рк. Гюйгенс принципига биноан тулцин царакат етнб борган дар
2UI- раем
202- расы.
бир нуцта иккнламчи тулцинлар учун марка?- булиб хнзмат цилади;
бу тулцннларни ураб олган эгри чизиц кейинги моментдаги тулцин
фронтмннкг мзйя-Ыик беради. (202- расы, муцит бир жинсли эмас—
тулцин тезлнги раемнинг пастки цисмида юцоригн Цисмидагадан кат-
тароц деб фараз цилинади.)
Тешиклн неси туенцца унга параллел булган тулцин фронти ту-
шадтган булсин (203- раем). Гюйгенс принципига биноан тулцин
фронтннинг тешикка рупара келувчи цисмининг цар бир нуцтаси
бир жинсли ва изотропии муцитда сфернк шаклга эга б^-лган икцн-
ламчи тулцинлар учуй маркая булиб хнзмат цилади. Иккидамчн
тулцннларни ураб олувчи эгри чизиц чизеак, биз тулцин. туенцнинг
цнргогидан айланиб J-тиб, тешикиинг орцасида геометрик соя соца-
сига (расмда бу соцанинг чегаралари пунктир чизиц бнлан к^рсатнл-
ган) кириб борганлигини курамиз.
2ЙЗ- расы.
84- §. Тургун тулцинлар
Иккита бир хил амплитудали бир-бирига цараб • йуналган ясен
тулцинлар узаро цушилганда жуда муцим интерференция цодисаси ку*
ватилади. Натижада юзага келувчи тебранма процесс тургун т f л-
цнн дейилади. Амалда тургун тулцинлар улар тусицлардап цайтган
вацгларда юзага келади. Т^сицца келиб туюаётган трщин билан
унга царши келаётган цайтган тулцин бир-бирига цушилнб тургун
тулцин цосил цилади.
У^арима-царюи йуналишларда тарцалаётган иккита ясси тулцин-
нннг тенгламаларннн ёзайлик:
Ej = a cos (at — kx),
gj = a cos (tot + kx).
* Бу икки тенгламани узаро цушиб ва натижани косинуслар йи-
гнндисн формуласига асосан узгартириб цуйидагини топамиз:
Е = £а= 2а cos kx coseof.
Тулцин сони k нн унинг 2 лД циймати билан алмаштириб Г нинр
ифодасига цуйидагича куринищ бериш мумкин:
5 — (2а cos 2л у) cos tot. (84.1)
(84.1) тенглама тургун тулцин тенгламасидир. Ундан к^рнниб
турибдикн, тургун тулциннннг харбир нуцтасида учрашаётган т£л-
цинларнинг частотасига тенг частота билан тебранншлар содир бу-
лади ва бу тебранишларнинг амплитудаси х га боглиц экан;
амплитуда = |2а cos 2л * |.
2л у = + пп (п =0, 1, 2. . . .) (84.2)
тенгликни цаноатлантнрувчи нуцталарда тебранншлар частотаси
максимал 2а цийматга эришади. Бу нуцталар тургун тулциннннг
дунглнкларн деб аталади. (84.2) шартдан дунгликларнинг
координаталарининг цийматлари келиб чицади:
хда=±л|. (n=0. 1. 2, ...). (84.3)
2»^=±(» + 4)л (п-0. 1.2. ..)
тенгликни цаноатлантнрувчи нуцталарда тебранншлар амплнтудаси
нолга айланади. Бу нуцталар тургун тулцинларнинг тугунлари
дейилади. Муцнтнинг тебранншлар тугунчда жойлашган нуцталари
тебранмайди. Тугунлари инг коордиваталари цуйндаги цнйматларга
эга:
Игуг = ± (л + 4)4 (» = 0. 1. 2 . . .). (84.4)
£28
(84.3) ва (84.4) формулалардан цушни дунгликлар орасидаги
масофа худди цушнн тугунлар орасидаги масофа каби А/2 га тенг
деган хулоса чицади. Дунгликлар билан тугунлар бир-бирига нис-
батан чорак тулцин узунлигига силжигандир.
Яна (84.1) тенгламага мурожаат цилайлик. (2асоз2яу) ’ ку-
пайтма ноль цийматидан утаётганда рз ишорасини ^згартиради.
Шунга мос равишда тугуннинг турли томонларндаги тебранишлар-
Тугун Тугун Тугун Тугун
204- раек
нннг фазасн л га фарц цилади, яъни тугуннинг турли томонларида
ётган нуцталар царама-царши фаэаларда тебранади. Иккита цушни
тугун орасидаги барча нуцталир синфаз равишда (яъни бир хил
фаэада) тебранади. 204-расмда нуцталариннг мувозанат цолатидап
огишииинг вопий фотосуратлари» тасвирланган. Биринчи «фотосу-
рат» огишлар энг катта абсолют цийматларига эришган п^йтга
тегишли. Кейнигн вфотосуратлар» чорак даврга тенг вацт оралиц-
ларида олинган. Стрелкалар билан зарраларнинг тезликларн кур-
сатилган.
(84.1) тенгламани х ва t буйича дифференциалласак, биз му-
цитнинг деформацияси билан^зарралар тезлигининг узгариш цонуни-
ни топамиз:
е — = — 2 — д sin 2n^-cos<o/, (84.5)
= — 2ыа cos 2лsin of. (84.6)
(84.5) тенглама деформация тургун тулцинини, (84.6) аса — тезлик
тургун тулцннинн ифодалайдн. Бу тенгламаларнинг куринишидан тез-
лнкнинг тугун ва дунгликлари силжишнннг тугун ва дунгликлари би-
лан устма-уст тушади, деган хулосага келамиз: деформациянивг тугун
ва дунгликлари эса мос равишда тезлик ва силжишнннг д^нглик-
лари билан устма-уст тушади (205-раем). £ билан в макенмал
цийматга эришганда 5 иолга айланади ва аксинча. Шунга мос ра-
вишда бир дэвр ичида тургун тулциннннг энергияси пики марта
гоц батамом потенциал энергияга (у асосан тулциннннг тугунлари
229
гнида, яъни дгформацмянниг дунгликларн жойлашгав ерда мужэс-
самлашади), гс^ батаном кинетик энергняга (у «сосан т^л^иннинг
дунглиги ённда, яъни теэликнинг дунглиги жойлаыган ерда му-
жассамлашадн) айланади. Натижада энергия ^ар бнр тугуйдан унга
Чушни дунглнкларга ва д|нгл)жлардан цушня тугунларга к^чиб
туради. Тулциннннг исталган кетимида уртача энергия о^нмн нол-
га тенг.
85-§. Торнинг тебраниши
Икки учи ма^камланган таранг торда кундаланг тулцинлар
уйготилса, тургун т^лцинлар юзага келади. Бунда тор ма^камлан-
ган учларида тугунлир жойлашмши керак. Шунинг учун торда
205- раса.
206- расм-
фа^ат ирим туллии узунлиги торнинг
узунлигига бутун со» карта нисбатда
булган тулцинларгина сезнларли интеН-
сивлик билан юзага келади (206- раем).
Бундай цуйцдвги шарт келиб чмрда
/=«2 ®ки Хл= «
(п = 1, 2,3, ...). (85.1)
бу ерда I — торнинг узунлиги. (85 Л j
тул^ш уэунликларига цуйидаги час-
тоталар мос келади:
(" = ». 2.3, ...)
(к — ту*циинннг фаза тезлиги, у тор-
нинг таранглик кучига ва тор узуилик
бирлнгининг массасига, яъни торнинг
чизю^ли зичлигнга боглнд).
vn частота лар торнлнг хусусий
тебраннш частота лари дейила-
ди. Хусусий частоталар, маълум
булишичз, асосий частота деб аталув-
чи ^уйидаги
частотага карралн нисбатда булар
экан. п »= 2, 3 ... ларга мос келувчи
частоталар сбертонлар (биринчи обер-
тон п = 2 га, нкнннчн обертон п =3
га ва ^окаэо, мос келади) деб атала-
дн. Умумий 1{олда торнинг тебраижш»
\ар хил хусусий частотали бир неча
тургун тулк^няарнинг цушилиошдш!
иборат.
230
86- ft Дойле? эффекти
Фараз ^илайлик, эластик мухитда тулции манбаидан 'бирор мя-
софада муцнтнинг тебранишларини сезувчи (уни биз приёмник деб
атаймяз) цурилма жойлашган булсин. Тулднн манбаи билан при-
ёмник т^лцин тарцалаётган мухитга нисбатан цузгалмаса, у лолда
приёмник цабул цилаётган тулгргилар частотаси манбаиинг v0 теб-
ранни часютасига тенг булади. Агар манба ёки приёмник, ёки
булмасз иккаласи цам мухитга нисбатан харакатланаётган б^лса.
у вэ^тда приёмник ^абул цилиётган v частота v0 дан фарх цилиши
мумкин. Бу ходиса Допплер эффекти деб юритилади.
Соддалик учуй приёмник билан маиба уларни бирлаштйрувчи
тугри чизиц буйлаб ^аракатланади деб фараз цйламиз. Агар манба
приёмник томонга харакатланаётган б$'лса, манбанинг vM тезлигини
мусбат ва манбе приёмиивдан узоцлашаётган булса—манфий деб
Хисоблаймиз. Худди тунга J/хшаш агар приёмник манбага я^инла-
щаётгаи булса, приёмникнннг тезлиги v„ ни мусбат ва приёмник
манбадан узоцлвшаётган булса—манфий деб хис°блаймиз.
Агар манба хУзгалмасдан v0 частота билан тебранаётГан булса.
у хрлда манба v0-тебранишни бажараётган номентда биринчи теб-
рвниш яратган тулцнкнинг <хнрраси» мухитдй v й£л утишга улгу.
ради (о — т$'лциннинг мухитга нисбатан тархдлиш тезлиги). Демак.
манби бйр секунд ичида нратгнн *0 «Х»фра» билан «чуцурчалар» о
узунлйкдз жойлмиади Борди-к> манба мухитга нисбатан тезлик
билвя харакатланаётгай булса, у вацтда манба v0-тебранишни ба-
жараётгаи моментга келиб биринчи тебраннш яратган сциррн» ман-
бадан v—V* масофада буладк (207-раем.) Демак, п — оиузунлнк-
ка v0 дона < цирра» вд «чуцурчалар» жойлашади. Шунинг учун тул*,
If
207- расу.
1{ии узунлиги цуйидагига тенг булади:
X = 5^!. (86 1)
о узунликка хакча «цирра» билан «чу^урча» сигсв, ц^згалмас
приёмник ённдаи бир секундда шунча а^нрра» ва «чу^урча» утади.
Агнр приёмник Опр тезлик билан харакатланса. у холда бир се-
кунд е тенг вахт оралиги охирнга келиб, у шу вахт оралигиницг
бошиДа унинг хозирги х°латидан о масофада турган «чухурчани»
ХабуЛ хилади. Шундай хилиб. приемник бир секундда и 4- on|>
231
(208- раем) узунтикка сжадиган «цирралар» ва «чуцурчаларга» те-
гишли сондаги тебраншиларни цабул цилиб олади ва цуйидагича
частота балан Тебранади:
V в .Ц Ч'Р (86.2)
(86.2) га Л нинг (86.1) ифодадши цуйиб, цуйидагини топамиз:
(86.3) формулага биноан приёмник билан манба улар ораси-
даги масофа цисцараднган цилиб царакатлангаида приёмник цабул
циладиган частота v манбанинг v0 частотасидан катта булади. Агар
*<анба билан приёмник орасидаги масофа ортса, v частота ve дан
кичик булади.
v теБраниш
208- раем
Агар манба билан прнёмникнинг царакати йуналиши уларнн
бирлаштирувчи тугри чизиц билан устма-уст тушмаса, у вацтда
(86.3) формуладаги ва оир ларни манба ва приемвикнннг тез-
ликларининг курсатилган тугри чизицца проекциялари деб тушу-
ниш керак.
87-§. Товуш тулцинлар»
Агар цавода тарцалаётган эластик тулцинларнпнг частотасй
тахминан 20 дан 20000 гц оралигида б^лса, у цолда улар инсон
цулстида товуш сезгисини уйготади. Шунинг учун частотасй ана
шу курсатилган чегарада ётган исталган муцитдаги эластик тул-
цинлар товуш тулкинлари ёки тугрцдан-тугри товуш деб аталади.
Частотасй 20 гц дан кичик булган эластик тулцинлар инфрато-
вуш деб аталади; частотасй 20000 гц дан катта булган тулцин-
лар ультратовуш дейилади. Инфра-ва ультратовушларни ин-
сон цулоги эшитмайди.
Газ ва суюцликлардаги товуш т^лцинн фацат б^йлама тулцин
булиши мумкин ва галма-гал келувчи сицилиш ва сийракланипь
лврдан иборат булади. К^аттиц жисмларда тарцалаётган тулцинлар
цам буйлама. цам кундаланг булиши мумкин.
Одамлар цабул цилган товушларни уларнинг юксаклиги, тембрн
ва цаггицлигнга цараб бир-биридан фарц цилади. Ана шу цар бир
субъектив бацога товуш тулцанининг аниц физикавий характерис-
тикаси мос келади.
232
^ар дандай реал товуш оддий гармоник тебраниш эмас, балки
маълум частоталар тупламига эга булган гармоник тебранишлар-
иинг вигиндисидан иборат. Берилган товушда иштирок этувчи теб-
ранишлар частоталари т^плами товушнииг акустик спек три
деб аталади. Агар товушда v' дан v" гача ннтервалдаги барча
частотага эга булган тебранишлар иштирок этса, у долда спектр
туташ спектр дейилади. Агар товуш vlt vg, va ва доказо дискрет
(яъни бир-биридан чекли интерваллар би-
лан ажралган) частотали тебринишлардан -
ташкил топган булса, спектр чизидли спектр
дейилади. 209- расмда туташ (юдорида) ва
чнзид (пастда) спектрлар тасвирланган.
Абсцисса £да буйича v тебраниш частота-
си, ордината уди буйича унинг интенсив-
лиги I дуйилган.
Шовдинлар туташ акустик спектрга ага.
Чизид спектрлм тебранишлар у ёки бу да-
ражада юксакликдаги товуш сезгисини уй-
готади. Бундай товуш одангдор товуш дейи-
лади.
Одангдор товушнинг юксаклиги асосий
(энг кичик) частота (209- расмдаги v2 час-
тотага даранг) билан белгиланади. Обер-
тонларнинг (яъни vt, v8 ва доказо частота-
1
У/ ЪЧЪ VjVe...
209- рясм.
ли тебранишлариинг) нисбий интенсивлиги товушнинг ринг-беранг-
лигини ёки тембрини белгилайди. Х®Р хил музика асбоблари
уйр’отадиган товушлар турли спектрал таркибга эгалиги. масалан.
найми скрипка ёки роклдан товушн ордали фарц диЛйшга нмкон
беради.
88- §. Товуш т^лдинларининг газлардаги тезлиги1
Газдаги эластик тулцин газнинг фазода галма-гал келувчи си-
дилиш ва сийракланиш содаларидан иборат. Демак, босим фазонииг
дар бир нудтасида ^ртача р дийматидан (у тулцин йуд булган ша-
роитдаги газнинг босимига тенг) даврий равищда Др га огиб тура-
ди. Шундай дилиб фаэонинг бирор нудтасидаги босимнинг оний
дийматинн дуйидаги к^ринищда ёзиш мумкин;
р'= Р+ Ал
Товуш тр1дини х уди буйлаб тарцалаётган булсин. 81-§ да биз
даттид мудитда эластик тулцинлар тезлнгини топаётганда дипгаии-
мнздек, газнинг баландлиги Ах ва асоси S га тенг цилиндр шак-
лидаги дажмини текширамиз (210-раем). Бу дажм ичидаги газнинг
массаси pSAx га тенг, бунда р — тулдинланмаган газнинг зичлиги.
1 102- ва 103-f лар }рганилтавдан кейин бу параграфни яна бнр эсга олиш
дозны.
ваз
Лл кичик бртганлнгй учун цилиндрнинг .барча нуцталарида тезла-
вишпи бир хил на га тенг деб цисоблаш мумкин.
Газнинг цажмига таъсир курратдётган / кучни торцш учун ци-
линдр асосинкнг S юзини (л -j- 5) ва (х 4- Дх 4- J 4- Д£) кесимлар-
даги босимларнинг айирмаснга к?-
пайтмаснни олиш керак. (81.5) фор-
мулами топиш вацтида келтирган
мулоцазялариюеня такрорлаб цуйи-
дагинк топамиз:
210- реей.
/—g'SAx.
[(81.5) формулами чицараетгаии-
мизда А£ <g Ах деб фарвз цилганля-
гимадни эслатиб £тамиэ4 Шундай
цилиб, газнинг ажратиб олинган
цажминннг массасинн, унинг тезла-
нишини ва унга таъсир этувчи
кучни топдик. Энди газнинг бу
цажми учун №ютон иккинчи цону-
нннинг тенгламаенни ёзайлик);
(pS Л» £,' =—£ S Ах.
S Ах га цксцартирсак,
..^*5 Ир /са I»
Pjl-----(881)
Бу топилган дифференциал тенгламада иккита помаълум функ-
ции 6 ва р' иштирок этади. Тенгламани ечиш учун бу функция-
лардан бирини иккиичдеи орцали ифодадаш кер&. Бунин? учун
газнинг р' босими билан унинг цажмининг нисбий ^згариши
орасидаги богланиишя топайлий’. 'Ку ббрлайнш газнинг сицилищ
(ёки кеигайиш) процессининг-характерига боглиц. Товуш т^лцини-
да газнинг сицилиш ва сийракланишлари бири-бирннинг кетидан
шу цадар тез юрадикн, натижада муцитнннг цушни участкаларн
бнр-бирига нсснцлнк бернб улгура олмайди. Шунннг учун процесс-
ии адйабатик деб цисоблаш мумкин. Аднабатик процесс учун газ-
нинг берилган массасининг босими билан цажми орасидаги борла-
ниш (103.4) формула билан ифодаланади. Шунинг учун ёзиш мум-
К11НКИ1
Р (S ЛЧ' = ₽’ (S (Лх + АЦ1’ = p'[S (Ах+ |дх)]' =
-₽'<SAx)’(l + g)'(
ИМ
бу ерда у—тазнииг Узгармас босимдагн нсснцлик сигмммхяяг уэ-
гармас дажмдагж исснцляк 'сигимига нисбати. Бу тенгликни (SAx>
га цнсцартирсзк,
p-p'o+s)'-
Фаразгя всосан 1 экавлигидан фойдаланнб, (1 + g*)’ ифо-
дани Ц нинг даражаларн буйича цаторга ёяыиз ва кичиклик дар»-
жаси юцори булган цадларнн ташлаб юборамиз. Натижада цуйида-
ги формулами топамиз:
р =р'(> + те)-
Бу тенгламани р' га нисбатан ечамнз:
р'—^рс-чь*- <м2>
Топилган муносабатдан осонгина Ар нинг ифодасини топишимиэ
мумкин;
Ар =р'—р - — v Ре <вв.З)
у—бирга якин сон брлганлиги учун (88.3) дан |-^|-
Шундай килвб, ^<1 шартнингфиэик маъиосм боопяинг Уртача
к.ийматидаи спппм босимнинг Увидан к?п марта кичим мошлигтш
бнлдиради. Бу кацш^ан кам шуидай: атмосфера босими р тахмн-
паи 10* мм сны. устунига тенг б^лганда жуда чвтпц тоаушмр
учун дам дано босиминннг тебраниш амплитудаси 1 мм сим. ус-
тунидан ортмайди.
(88.2) ни х буйича дифференцналласак, цуйидагини топамиз:
-гор —j-.
Рлцоят,^- нннг бу толнлган цийматини (88.1) формулага цейсам,
<м«>
дифференциал тевглвмаии топами.
1 Бяа х<1 иирт учуй Урняля Цтя ~ 1 "~к ♦°Р“Ул**а" <М*я-
«андик.
S35
(88.4) ни (80.4) тулцин тенгламаси билан сояиштирсак, товуш
тулцинларининг газдаги тезлиги учун цуйидаги ифодани топамиз:
« = V (88.5)
(р ва р— тулцинланмаган газнинг босими билан зичлиги эканли-
гини эслатиб j/тамиз).
Дафъатан цараганда товушнинг газдаги тезлиги босимга 6of-
лицдек туюлади. Бироц аслцда бундай эмас, чунки газ босими уз-
гаргацда унинг зичлиги цам узгаради.
Одатдаги босимларда газларнинг хоссаларини цуйидаги тенгла-
ма яхши ифодалайди:
pV=^/?7-, (88.6)
бу ерда т — V цажмдаги газнинг массаси; р — 1 моль газнинг мас-
саси, у газнинг молекуляр огирлигига тенг. Газнинг т массасини
унинг V цажмига тацсимласак, р зичликни топишимиз мумкин.
(88.6) тенгламани m/V га нисбатан ечсак
Бу зичликнинг ифодаспни (88.5) га цУйсак, товушнинг газдаги
тезлиги учун цуйидаги формулани топамиз:
» = (88.7)
Бундан товушнинг газдаги тезлиги температурага ва газни харак-
терловчи у ва р катталикларнннг цийматига боглиц б^лишини би-
лиш цийин эмас. Товушнинг газдаги тезлиги босимга боглиц эмас.
Молекулалар исснцлик царакатининг уртача тезлиги цуйидагича
ифодаланади [(106.17) га царангр
1/SRT
V nW
Бу формулами (88.7) билан таццосласак, товушнинг газдаги v тез-
лиги молекулаларнипг уртача тезлигига цуйидагича богланганлмги-
ни курамиз:
»=>»«« j/ф. (88.6)
у нинг цаво учун 1,4 га тенг цнйматини ц^йсак, Ох-
лади. у нинг максимал цнймати 5/3 га тенг. Бу цолда v^t[tvUQ^
Шундай цилиб, товушнинг газдаги тезлиги молекулаларнинг нссиц-
лик царакати уртача тезлигига яцин экан, бнроцу, доим оиОЯ дан
бир неча марта кичик булади.
Уй температураси (тахминан 290°К абсолют температура) учун
товушнинг цаводаги тезлигини тацрнбан топайлик. >^аво учун у =
236
•=1,40, р=29. Универсал газ доимийси 8,31 10s ж’пмоль-град
га тенг. Бу цийматларии (88.7) формулага цуяйлик:
v = . 340 м1сек
v нинг биз топган циймати тажриба й^ли билан топилган цнй-
матга яцин. Молекуляр етирлиги маълум газда товушнинг тезли-
гини j/лчаб, (88.7) формула ёрдамида у ни — газнинг узгармас бо-
сим ва узгармас цажмдаги иссицлик сигимларининг нисбатини
топиш мумкин. Амалиётда ана шу усулдан фойдаланнлзди.
Товуш днсперсияга эга эмаслиги, яъни унинг тезлиги частотага
цараб узгармаслигя диццатга сазовор фактдир. Борди-ю ана шундай
богланиш мавжуд булганда нутц яратиш мумкин булмаган, цар
цолда уни яратиш жуда цийинлашган булар эди. Шу билан бирга
куй эшнтиб роцатлавиш имкониятндан цам мацрум булар эдик.
89- §. Товуш кучинниг шкаласи
Товуш тулцинларининг интенсивлиги деб тулцин узи билан олиб
юрган энергия оцими зичлигининг уртача цийматига айтилади. Тул-
цин товуш сезгисини уйготиш учун эшитиш чегараси деб аталувчи
бирор минимал мнтенсивликка эга булиши керак. Эшитиш чегара-
си цаммада цар хил булиб, товушнинг частотасига боглиц. Одам
цулоги 1000—4000 гц орасидаги частоталн товуш ларга жуда сезгир бу-
лади, Частотапннг бу соцасида эшитиш чегараси тахминан 10“®
врг/см^-сек га тенг. Бошца частоталарда эшитиш чегараси юцори-
роц булади (211-расмдаги пастки эгри чизицца царанг).
£11- раем.
Йнтенсивлик тахминан 10s—104 ярус*?-сек атрофида булганда
тулцин товуш сифатида сезилмай цолади ва цулоцда фацат огриц
цамда босим сезгисини уйготади. Интенсивликнинг ана шундай сез-
гн уйготаднган циймати огриц сезиш чегараси деб аталади. Огриц
237
сезиш чегараси \ам- эиготиш чегараси каби частотага боглиц (211-
расыдагн кцорягм эгри чнзиц^а царанг; бу расмда кёлтирилган
Уртача нормал-жнигунчи г^логзда тегншли).
Субъектив ба\оланадиган ^атти^лик товуш тулцинларининг нн-
тенсивлигига Караганда анча секинро^ Усади. Интенсизлик геомет-
рик прогрессии буйича усганда цатти^лик тахминан арифметик
прогрессия буйича. яъни чнзицли усади. Ана шунга асосан г^аттиц-
лик даражаси L берилган товушнинг / иптенсивлигининг бошлан-
гичи деб ь^абул цилинган /0 иитенсналикка нисбатянннг логарифм*!
сифатида ани^ланадн:
£«=lg~ (89.1)
Бошлангич интенсивлнк До= 10 * арг/см-сек деб ^абул фишна-
ди. Шунинг учун эшитиш чегараси тахминан 1000 гц частотада
ноль атрофида ётади (L — 0).
(89.1) формула бнлан аницланувчи цатти^лнк даражаси бирлжи
бел деб аталади. Одатда упдан 10 марта кичикро^ бирликлардан -
децнбеллардан (дб) фоадаланиладн. Равшанкн. L нинг децибеллар-
да улчднадиган циймати цуйндаги формула билан ифодаланади:
А = 10 1g у-. (89.2)
Исталган иккита /, ва /L интенснвликларнннг нисбати дам де-
цнбелларда ифодаланиши мумкиилнпшн эслатнб Утамнз:
41. - 101g (69.3)
(89.3) фррмулага асосан децнбелларда тулцин интенснвлигинннг
бирор йулда кймайиши (с^ниши) ^ам децнбелларда ифодаланиши
мумкин. Масалан, 20 Об—интенсивлнкнинг 100 марта камайган-
лигинн билднради.
ТУлцнн одам цулогида товуш сезгисипи уйгота Ьчадиган ннтсн-
сивййкларнинг бутун сот^аси (10* дам- то 40’ эрг/см^-сек гача)
цаттицяик дафажасннинг 0 дан 130 дб цийматларига мос келади.
3- жадвалда баъзи типик товушлар учун ^аттицлнк даражасвннпг
тахминий ^ийматлари келтирилган.
Товуш тулцинларннинг энергияси жуда ^ам кичик. Масалан,
агар бир стакан сув цатти^лик даражаси 70 Об булган товуш тул-
цинининг унга тушаётгаи энергиясини тулнц ютадн (бу холда бнр
секундда ютилган энергия мицдори 60-10-" эрг/сек га тенг була-
ди) деб фараз цилсак, у \олда су ин и уй температурасцдан то цай-
иагунча иситиш учун уттиз минг йилга яцин вацт керак булади.
Товуш тУлкинларн интенсивлиги / билан босимнинг тебраннш
амплитудаси (Ар)ст орасидаги богланишни топайлнк. Бу параграф-
нинг бошида интенсивлнк / энергия о^имн зичлигининг уртача цик-
матига тенг деб эслатнб утган эдик. У ^олда (82.10) га биноан
•(уйидагини ёзиш мумкин:
/ = Лрт = у ра®<огУ. (89.4)
24а
ерда p—тул^иилаямагви газнинг эичлигн, а—ыэднт эеррвлари-
нннг тебранншляря амплитудаси1, яъни £—катгалвняииг тебриншв-
лари амплитудаси, <о — частота, и — т^лцнннинг фазаний тезлиги.
3-жаден л
ТОВУШ a»pW*P«CTBK«CH
Каттнцлни
даражмы. Лб
Интетк11мнш
Соатларвинг тнциллаши .
J м масофада шнпфлаш.............
Паст своз билан гапирвш..........
Рртача цАттнцликдаги путч ...
1^атп|д йутд..............
Мчуфиц ....................................
Самолет мсторининг иювцнии:
Б * масофада . -..........
3 м мясофадя...............................
30
40
60
70
«0
120
130
Фараз ^нлайлмк, Е функция £ = a cos юр — цоиун бнлан ys-
гарсия. У вацтда ^=a*sln«op — (88.3) га бниойи Ад =>
= —-Ц иннг цийматнни олиб келиб т^йиб Лр нинг ^згармм
донуннни топамиэ:
Др -= — у р a £ sin ю (1— -J) “ — (М™ sin ю(1—
Бундан тебраннш амплитудаси £ (яъни я) босммнннг тебраннш
амплитудаси (Др)„, • илан цуйндвгмча богланган деган хулоса чи-
W:
а - (89 6)
у ры '
(89.4) формулага а нинг (89.5) цийматм билан v нинг (88.6)
цийматини олиб келаб »$йиб ва у кадар мураккаб булмаган 5э-
гаришлар бажариб цуйидагн
, <А^,
' Ipv
(89.6)
муносабатнн топиш мумкннлигнга ишонч ^осил ^илиш тр»йин эмас.
Бу формуладэн фойдаланиб 0 дан 130 дб гача оралнцдаги цат-
ти^лик даражасига ^аво босими тебрннишлари амплнтудасинннг тах-
минан 3 • 10’* дина!см4 дан (яъни 2 • 107 мм сим. уст. дан) 1000 дина)см*
гача (яънн^1 мм сим. уст. гача) цийматн мос келишинн цисоблаб
чицариш мумкин
Зарраларнннг а тебраннш амплнтудалари бнлан варралар тезли-
1 Мучнтнинг зарраларн деганда а ловила шиекулалар виас, балки чвзшрпн
$лчамлар|! т^ш^ип узунлигидан к$п марта кичик булган махрссиопмк (яъни
уз ичига «уп анпрордатн натекулаларни олган) цяжмлар тушунпледн.
азо
ги (|)m амллитудасининг тахминий цийматларини топайлик. Буни
(89.5) формула билан нфодаланган а нинг цийматини аницлашдан
бошлаймиз. = 2я 9канлигини цисобга олсак, цуйндаги муноса-
батин топамиз:
«*»>
(у«1Д демак, 2лу—10).
^аттнцлик 130 дб булганда (&р)т/р нисбат тахминан 10_* га,
цапицлик 60 дб булганда эса бу нисбат тахминан 2.10~7 га тенг
булади. \аводаги товуш тулцинларининг узунлиги 17 м (v=20 гц
булганда) билан П мм (v —20000 гц булганда) оралицда ётади. Бу
цийматларни (69.7) формулага цуйсак, цаттицлик 60 дб булганда
зарраларнинг тебранншлари амплитудаси энг узун тулцинлар учун-—
-3-10 мм га, энг цисца тулцинлар учун эса—3-10 7 мм га
тенг эканлигини аницлаймнз. Цаттицлик 130 дб булганда энг узун
тулцинлар учун тебранншлар амплитудаси —1,7 мм га етади.
Гармоник тебранншлар учун тезлик амплнтудаси (£)„ силжиш
амплитудаси а нннг со айлана частотага купайтмасига тенг
(Е)т— эканлигини биз биламиз. (89.5) ни со га к$'пайтирсак, цу-
йидаги муносабатии топамиз:
(]Х _ 1 <А^
V у р р •
Демак, цаттицлик 130 дб булганда тезлик амплитудаси тнхми-
San 340 м[сек- 10^—0,34 м>сек га тенг. Цаттицлик 60 дб бул-
шда эса тезлик амплитудаси тахминан 0,1 мм!сек га тенг.
Тезлий амплитудаси силжиш амплитудасидан фарцли равишда
тулцин узунлигига боглиц эмас.
В0-§. Ультратовуш
Вир томонга йуналган. яъни ясен тулцинга яцин тулцин цосил
цнлиш учун манбанинг (нурлаткичнинг) j/лчамлари тулцин узунли-
гцдан куп марта катта булиши керак. \авода товуш тулцинлари-
нинг узунлиги тахминан 15 м дан 15 мм гача оралицда ётади. Су-
юц ва цаттиц муцктларда тулцин узунлиги я на цам капа (бу му-
цнтларда товуш тулцинларининг тарцалиш тезлигн цаводагига
цараганда каттароц). Амалда ана шундай узунликдаги бир томонга
йуналган тулцин ярата оладиган нурлаткич цуриш имкониятн й^ц.
Узунликлари анча кичикроц булган ультратовуш тулцинларни яра-
тишга келсак, ацвол бошцача. Тулцин узунлиги кичрайган сари
тулциннннг тарцалиш процесснда дифракцияиннг роли цам сусая
боради. Шунинг учун ультратовуш тулцинларвнинг бир томонга
йуналган дастасини (ёруглик дастаси каби) цосил цилиш мумкин.
£40
^озирги вацтда ультратовуш тулцинларини яратиш учун асо-
сан иккита цодиса: тескари пьезоэлектрик эффект цамда магнито-
стрикция цодисаларидан фойдаланилади. Тескари пьезоэлектрик
эффект шундан иборатки, баъзи бир кристаллардан (масалан, кварц,.
сегнет тузи, барий титанати ва бошцалардан) маълум усул билап
кесиб олинган пластинка электр майдони таъсирцца бир оз деформа-
цияланади (майдон бир томонга йуналганда чузилса, тескари томонга
йуналганда эса сицилади). Ана шундай пластинкани узгарувчан
кучланиш берилган металл цопламалари уртасига жойлвштирсак,
пластинканинг мажбурий механик тебрапишларини уйготашнмиз
мумкин. Агар электр кучлаяишнмнг узгариш частотаси пластннка-
нинг хусусий тебраншл чари частотасига тенг келса юцорндагидек
тебранншлар айницса интенсивлашади Пластинканинг тебранишла-
ри уни ураб турган суюц ёки газсимон муцитга берилаб уцда
ультратовуш тулцин уйготади.
Магнитострикция црдисаси шундаи иборатки, ферромагнит мод-
далар (темир, никель, баъзи бир цотишмалар ва бошцалар) уларга
магнит майдони таъсир цилганда бир оз деформацияланадн. Шу-
нинг учун ферромагнит стерженни узгарувчан магнит майдонига
(масалан, узгарувчан ток одаётган галтак ичига) жойлаштириб уцда
механик тебраниш.1ар уйготищ мумкин. Бу тебранншлар резонанс
шароитцда айницса интенсив булади.
Бир томонга йуналган ультратовуш дасталари сувда локация
(предмстларни топиш ва уларгача булган масофаларни аницлаш)
ишлари олиб боришда кенг цулланилмоеда. Ультратовуш локация-
си цацидаги фикрни биринчи булиб француз физиги П. Лаижевсн
(1872—1946) уртага ташлаган ва биринчи жацон уруши нацтида сув
ости1 кемалариии пайцаш учун асбоб ишлаб чиццан эди. ХОЗ,,РГИ
вацтда ультратовуш локаторлари айсбергларни, балиц галаларини
ва хоказоларни пайцаш учун ц^лланнлади.
Шу нарса маълумки, цичциргацдан сунг акс садонпнг, яъни ту-
сиццан, цоядаи, урмондан, цудуцдаги сувнинг сатцндан ва цоказо-
лардан цайтган товушнинг цайтиб келиши учун кетган вацтни
аницлаб ва бу вацтнинг ярмини товуш тезлигига купайтириб тф-
сиццача булган масофани топиш мумкни. Юцорида эслатилган ло-
катор, шуиингдек чуцурликни £лчаш ва денгиз остининг рельефинп
аницлаш учун ишлатиладиган эхолот ана шу прннципга асосланиб
тузилган. Кемага ^рнатилган нурлаткич вертикал й^налишда цисца
ультратовуш if лцинлари юборади. Денгиз остндан цайтган импульс-
лар приёмник томонцдан цайд цилинади. Импульс жунатилган
пайт билан уни цайтиб цабул цнлиш пайти ораснда утган вацтга
асосан чуцурлик цисоблаб топилрди.
Ультратовуш локацияси усулн куршапалакка цоронгида учган
вацтда тугри fifn топишга имкон беради. Куршапвлак даврий ра-
вишда ультратовуш частотали имлульслар чицариб туради ва эши-
тиш органи ёрдамвда цабул цилиб туриладиган цайтган снгналларга
цараб катта аницлпк бнлан узини уриб турган предметларгача 6f л-
ган масофани аницлайди.
16-1317
241
1928 Аилда совет олнми С. Я. Соколов ультгатовуишв дефекто-
скопия, яъни буюмларнннг пунсон лари ни (дефектларинм) топит мац-
садлари учун цуллаш усулини таклнф этдн. Агар нуцсоннинг ул-
чамлари тулцин узунлнгидан катта булса, у вацтда ультратовуш
импульс нуцсондан орцага цайтиб келади. Буюмга ультратовуш
ммлульсларини юбориш ва цайтган ммпульсларни цайд цилиш орцали
фацет бу юм лар да нуцсонлар борлигини билибгина цолмасдан, бу
иуцсонларнмвг улчамларини ва улар цаерда жойлашганлигиин цен
аннцлаш нумкин. Соколов ва бошца оллмлар ншлаб чнццан ульт-
ратовуш дефектоскопияси усули тобора кевг цулланилмоцда.
Ультратовуш тулцинлар катта интенсивликка эга булганлиги ва
узи Утаётган муцнтда босимни кучли тебрантирганлиги орцасида
цатор узига хос цодисаларнв юзага келтирадн. Буларга: суюцлнкда
сузиб юргвн зарраларнинг майдаланнщи, эмульсиялар цосил були-
ши (бир суюцлик ичида у билан аралашмайдиган иккинчи суюц-
ликнинг майда томчиларининг сузиб юриши), диффузия, эриш нро-
цессларининг тезлаииши, кимёвий реакцияларнинг активлаппиви ва
цоказолар киради.
з-кисм
МОЛЕКУЛЯР ФИЗИКА ВА ТЕРМОДИНАМИКА
Х[ БОВ
БОШЛАНГИЧ МАЪЛУМОТЛАР
§. Молекуляр-кинетик назарня (статистика) да термодинамика
( Молекуляр физика фнзиканинг бир болями булиб. модданинг
тузилиши ва хюссаларнни молекуляр-кинетик тасаввурларга асосла-
ииб урганади. Бу тасаваурларга биноан, цаттиц, суюц ёки газ цо-
латидагн цар цаидай жисм жудаАмайда алоцида зарралар—молеку-
лалардан1 иборат. КаР цаидай 'моддаиииг молекулалари аниц бир
йуналишга эга булмаган тартнбсиз царакат цолатида булади. Бу
царзкатнинг ннтенсквлигя модданинг темлературасига бог лиц.
Молекулалар каотик царакат цилншининг бевосита далнли броум
цяракатидир. Бу цодиса шундай ибораткн, суюцлик ичида нуаллац
долатда Юрган жуда майда (фацат макрос коп да куринадиган) зарра-
лар тухтовскз бетартиб царакат цилиб туради; бу царакат ташци
сабабларга боглиц'булмай, модца нчидаги царзкатнинг на моей 6J-
лншидан иборат экан. Броун зарралари молеку. шларнинг тартнбсиз
турткклари таъсири остида царакат цилади./
Молекуляр-кинетик назарня нинг мацсадн'жисмларнинг бевосита
тажрибада кузатнладнган хоссаларини (босим, температура ва цо-
казодарни) молекулалар таъсирининг умумий натижаси сифатида
талцин цпл ишдан иборат. Бунда бу и азария айрим молекула ларнинг
царакати билан эмас, балки зарралариинг жуда катта ту пламя ца-
ракатинн характерлаКдиган фацат уртача мицдорлар билангина иш
куриб, статистик методдан фойдаланади. Шунинг учун молекуляр-
кинетик назария статистик физика деб цам юритипади.
Жисмларнинг цар хил хоссалари ва модца цолагининг узгариш-
ларини термодинамика цам урганади. Лекин молекуляр-кинетик
назариядан фарцли равишда термодинамика жисмларнинг ва табиат
цодисаларининг макроскопик хоссаларини уларнинг микроскопик
манзараснга эътнбор цилмай урганади. Термодинамика молекула
ва атом тушунчаларидан фойдачанмай ва процессларни микроскопик
нуцтаи назардаи текширмий туриб цам бу процессларнинг бориши
угрисида цатор хулосалар чицарншга нмкон беради.
Термодинамикага жуда куп тажрибалардан олинган фактларии
умумлаштириш орцали топилган бнр нечта асосий цонунлар (тер-
* Атойларни бнр атои.нг молекулалар деб цараш мумкин.
243
модинамика асослара деб аталувчи цонунлар) асос дилиб олинган.
Шунинг учун дам термодинамика хулосалари жуда умумий харак-
тера эга.
Модда долатииннг узгаришларини текширишга турли хил нуц-
таи назарлардан ёндашиб термодинамика билан молекуляр-кинетик
назария бир-бирини тулдиради ва аслвда, бориб бирлашнб кетадм.
Молекуляр-кинетик тасанвурларнинг тара^диёти тарихнга назар
та шлир эканмиз, аввало шуни цайд ^илиш керакки, модданипг
атомлардан тузилганлнги тугрисндаги тасаввурларни цадимги грек-
лар айтиб утган. Ленин бу гоя л ар даднмги грекларда фадат гениал
фаразгина булган XV11 асрга келиб атомистика дайта яратилди,
лекин энди у фараз сифатида эмас, балки илмий гипотеза сифатида
дайта яратилди. EJp гипотеза гениал рус олими ва мутафаккирн
М. В. Ломоносов (1711—1765) асарларида айвидса кенг ривожлан-
тирилди. Ломоносов уз замонасида маълум булган барча фнзикавий
ва химиявий додисаларнииг ягона манзарасини беришга уринди.
Бунда у материя тузилишининг корпускуляр (дозирги замен тер-
миналогняси буйича—молекуляр) тасаввурларига асосланди. Ломо-
носов узи яшаган даврда дукмрон булган теплород (жиемдаги
миддори жисмнинг иададар исиганлигини курсатадиган фаразий
иссидлик суюдлиги) назариясига дарши чндиб, «иссидликнинг са-
баби» жисм зарраларннинг айланма даракат дилишидадир, деган
хулосага кеддн. Шундай дилиб. молекуляр-кинетик тасаввурларни
аслида Ломоносов таърифлаган.
XIX аернинг иккинчи ярми ва XX аср бошларида датор олим-
ларнинг асарлари туфайли атомистика илмий назаряяга айланди.
82-g. Молекулалариянг массаси вв улчамлари
Атом ва молекулаларнинг массаларияи характерлаш учун а том
огирлик ва молекуляр огирлик деб аталадиган катталик-
лар дулланилади (уларни атом ва молекуляр масса деб аташ туг-
рирод булур эди).
Химиявий элементнинг атом огирлиги (Л) деб, шу элемент атоми
массасининг С12 атоми массасининг 1/12 дисыига нисбатига айти-
лади (масса сони 12 булган углерод изотопи С12 билан белгилана-
дм; «Атом физикаси»га д.). Модданннг молекуляр массаси (/И) деб.
ц;у модда молекулэси массасининг С’® атоми массасининг 1/12
дисыига нисбатига айтилади. Атом ва молекулалар массаларннннг
шу тарифа анидлаиадиган шкаласи Си— 12 шкала* деб аталади. Бу
1 Илгарилари О*’= 16 шкала дрлланл inp эди, бу шхалага биноан. О1* нинг
(кнслородн1шг масса сони 16 булган иаотони) атом огирлиги 16 га тенг. Лехин
О11 шкала бош^в .атом ва молекулалар массаларини масса-спистрографик усулда
такцослаш учун аокулайлир Бу мадсадла углерод изотопчаридак бири жуда
хулай. Шунинг учун соф на тптбидий физика Халквро кгтифодннинг (ЮПлГ))
1960 йнлда булиб утган X Бош всамблеяси С,я= 12’ шкалами тавсия этдп. Шу
муносабат бнлан СССР ФА атом еа молекуляр сгпрлякларпииг янги шкаласига
утнюга царор цилди.
.244
шкала буйича С” книг атом огирлиги роси 12 га. О” кислородни-
ки 15,9949 га, элементлар ичида энг енгил булган водородники
эса (нзотопларининг тХбиигу аралашмаси учун (1,0080 га тенг. Таъ-
рифга кура, атом ва молекуляр огнрликлар улчамсяз катталикяар-
дир. у
Массанинг С11 атоми масбасининг 1/12 цисмига тенг булган
бирлиги г;исцача латинча «и»/ (unit ёкн русча «е» ^арфи «единица»
сузидан1 олинган) билан белгиланади. Бу бнрликнинг килограмм
^исобида нфодаланган каттали гини т6 билан белгилаимиз, у ^олда
атомнннг килограмм билан ифодаланган массаси Atiio га, молеку-
ла нинг массаси эса Afffig га теиг булади.
Химиявий жн\атдан содда булган иккн модда шундай миедор-
да олинсаки, уларнинг тх на т8 массалари нисбати уларнинг
А, ва А2 атом оьирликлара.нисбатига тенг булса, улардаги атом-
л^ф сонм тенг бугиди. Буцм тушунйб олиш тршин эмас. Шунга
ухшаш, массаларжнниг нисбати молекуляр огирликларннниг нис-
батига- тенг буладиган миадофларда олинган иккита химиявий му-
раккаб моддада ^ам (молекулалар сони бир хил булади.
Мазкур эЛрментнинг кфлрграмм \иеобида ифодаланган массаси
Уз атом огирлигига сон жи^атдан тенг буладиган миддори кило-
грамм-атом деб аталади. Мазкур модданинг килограмм ^исобида
ифодаланган массаси уз молекуляр огирлигига сон жюртдан тенг
буладиган миадори rf и Л о г р а м м-м о л е к у л а ёки ^ис^ача кило-
ноль деб аталади (кмоль билан белгкланади).
СГС системасида килограмм-атом фрнила грамм-атом (мазкур влеиентакнг
А граммдан ибс>рат булган мицдорп), килограмм-молекула Уриида грвым-моле-
вула, яъни моль (мазкур модданинг/И граммдая иборат миддори) дУлланклади.
Килограмм-молекуланннг р массаси М молекуляр массага сон
жгцатдан тенг булади. Шунинг учун ^ам баъзан р молекуляр огир-
лик Деб аталади. Лекин шуни начарда'Тутмоц лозимки^ М улчам-
сиз катталик булиб, кнломолнииг р массасининг улчамлиги кг/кмоль.
Равшанки, атомларни бир атомли молекулалар деб ^исоблаб, ки-
лограмм-атомнн р сининг сон циймати А га тенг булган килограмм-
молекула деб цисоблаш мумкин.
Килограмм-молекулаларнинг массалари нисбати тегишли молеку-
ляр огирликлар нисбати билан бир хил булгани учун, барча мод-
даларнинг бир киломолида
А Мт&
га тенг, яъни сон жицатдан 1/т0 га тенг вини бир хил милорда
молекула бор. сон Авогадро сони деб аталади.
Аа =6,023.10” кмоль~1
вканлигн тажрибада топилган.
* Биз бирлик с}зинииг биринчи ^арфига цвраб «б» белей киритдик.
245
СГС снстеммнда «овданннг «$а1ш-ыолекулмшвгн ьожкулвлар сот Лк>
гадро сонп деб аталади. Бшюбаряп, бу с.чсгемада
N* =- 6,023- 10я jhmjT1.
Авогадро сонини билган цолда т* бирлик массани топмш мум-1
мин. Дарцацицат, пц нинг сон циймати l/tfA га, яъни 1/6,023- 10s* =
«= 1,66-10_” кг га тенг. Шундай цилиб,
цар цандай атомнинг массаси 1-66-10”” А кг га тенг,
цар цандай молекуланинг массаси 1,66-10"” М кг га тенг.
Энди молекулаларнинг улчамларн цандай эканлигини чамалаб
кУрамиз. Суюцликларда молекулалар бир-бирига анча яцин жойла
ишди деб фараз цилиш табинйдир. Шунинг учун битта молекула-1
нинг цажмини чаыалаб топиш учун бирор суюцликнинг, масалан,1
сувнннг бир киломоли цажмини киломолдаги молекулаларнинг Л*’
сонига булиш керак. Бнр киломоль (яъин 1В кг} сувнннг цажмч»
0,018 л®. 'Бинобарин) битта молекулага тугри келган цажм цуйид
гига тенг:
«_«30.10-»
Бундан сув молекулаларининг чнзицлк ^лчамдари тахмннац
цуйидагига тенг вканлнги келиб чицади:
1<30.10-*^3- 10"“ л =«. 3 А.
Бошца моддалар нолекулаларинннг ^лчвмлари цам -бир jiev
янгстрем тартибида булади.
С8-§. Сястеманмнг .цолата, Процесс
Текшнрнлаёттап жисмлар тупламинк биз жисмлар снстемаси деб
ёки соддагина цилиб система деб атаймиз. Суюцлик на у билан му- ’
возанат цолатидаги бур системага мвсол б^ла олади. Хусусий цол-
да система битта жисмдан иборат булиши цам мумкин. j
Хар цандай система температураси, босими, цажми ва цокаэо
вараметрлари билан фврц цилувчи турли хил цолатларда булиши
мумкин. Системанинг цолатини характерлайднгаи бундай катталик-
лар цолатлар параметрларн деб аталади. !
Бирор параметр цамма вацт цам аннц бнр цийматга эга булавер-
майди. Масалан, агар жисмнннг цар хил нуцталарида температура-
си бир кил булмаса, у цолда жиемнинг Т параметри маълум бир
цийматга эга деб булмайди. Бу цолда цолат мувозанвтсиз долат
деб аталади. Агар бундай жисм бошца жисмлардан ажратилиб, fs
долига цУйилса, у цолда температура текислашиб, жиемнинг цамма
нуцталари учун бир хил булган Т циймат олади, яъни жисм му-
возанат цолатга |тади, Жисм ташцаридан курсатиладнган таъсир
натижаемда мувозанат цолатидан чицарилмагунча Т нинг бу ций-
мати узгармай тураверадн.
246
Бошца параметрлар цам, масалан, р босим цам узини шундай
ту тиши мумкин. Агар жипс цилиб ишланган поршень ёр дамида ци-
линдрик идиш ичига цамалган газ Олиб, поршенни идиш ичига
тез киргизнлса1 у цолда поршень остидагн газнинг босими цолгаи
ажмдаги газнинг босимидан катта булади. Бнпобарин, бу цолда
13 р босимнинг маълум бир циймати билан характерлана олмайди
»а унинг цолати мувозанатсиз цолат булади. Лекнн поршенни ич-
. арига итариш тухтатидса. цажмнин/ цар
лил жойида (цар кил нуцгаларида) газ-
, ннг босими бара вар лашади ва газ муво-
»анат цолатга утади.
Шундай цилиб, системанинг мувоза-
нат цолати деб шундай цолатга айти-
адики, бу цолатда. системанинг барча па-
I аметрлари танин бир циЙматларга эга бу-
лади на бу цийматлар ташци шароит узгар-
мас экан, истаганча узоц вацт давомида Ja-
гармай цолаверадн.
Агар координата уцларига цандайдир
нкки параметряинг цийматларн цуйиб чи-
цилса, у цолда системанинг исталган муво-
з HIHT цолати у та графакда битта нуцта билан тасвирланншн мумкин
(Масалан 212-расмдаги I нуцтага царанг). Мувозанатсиз цолатнн
бундай усул билан тасвирлаб булмайди. чунки мувозанатсиз цолат-
га параметр лардан чеч булма ганда биттаси танин ли бир цийматга
Sra 'булмайди.
\ар цаидай процесс, яъии системанинг бир цолатдан бошца цо-
итга утиши система мувозанатининг бузилишига олиб келади. Би-
юбаран, системада бирор процесс юз бераётгаида система мувоза-
натсиз цолатлардан бирин-кетин утади. Поршень бекитиб турган
чдншдаги газик сицйшнинг юцорида куриб утилган процессига на-
ар ташласзк, поршенни идиш ичига киргизишда газ цанча тез си-
цилса, мувозанат шунчалик куттроц бузиладй, деган хулосага келамиз.
Агар поршень ичкарига жуда секин итарилса, у цолда мувозанат
арзИмагаН даражада бузилади ва цар жил нуцталардаги босим би-
рор уртача р цийматдан жуда оз фарц цилади. Газ ницоят даража-
да секинлик бйлап сицилиш пировард цолатда газ цар бир пайтда
босимнинг маълум бир циймати билан характерланади. Бннобарни,
бу цоца газнинг цолати цар бир пайтда мувозанат цолат булади
ва чсксиз Секин ^таднган процесс мувозапат цолатлар кетма-кетли-
гидая иборат булади.
Мувозанат цолатларнинг узиуксй» кегма-кетлигидан иборат бул-
ган процесс чувозанатлн процесс деб аталади. Айтилган.’мр-
дзн и. да секин утадиган процессгнна мувозанатли процесс буладя
деган хулоса чицади. шунинг учун мувозанатли процесс абстракцнидлр.
Мувозанатли процессии графикда тегишли эгри чизиц (212-раем)
бнлан тасвирлаш мумкин. Мувозанатсиз процессларни биз шартлп
оавишда пунктир эг ри чизицлар бичан тасвир >аймиэ.
2Я
Мувозанат холат ва мувозапатли процесс тушунчалара термо!
дииамикада катта роль уйнайди. Термодинаыиканинг барча мнцдр-
рий хулосалара фацат мувозанэтли процессларгагива аниц цул-
ланнлиши мумкин.
\ 94- §. Системанинг ички энергияси
Бирор жисмнийг Ички энергияси деб, шу жиемнинг энергаяси-
даи бир бутун деб олинган шу жиемнинг кинетик энергияси билаь
жиемнинг ташки кучлар майдонидаги потенциал энергиясиин айириб
ташланганда цолгаи энергияга айтилади. Масалан, бирор газ мас-
сасининг ички эиергиясини аинцлаган вацтда газнинг идиш билан
биргаликда циладигак царакати энергияси ва газнинг Ер тортиш куч-
лари майдонида турганлиги натижасида эга буладиган энергияси I
цнеобга олинмаслиги керак. '
Бннобарин, ички энергия тушунчаси молекулалар хаотик цара-
катинннг кинетик эиергиясини, молекулалар орасидаги узаро таъ-
сир потенциал энергиясиин ва молекулалар нчидаги энергияни
ичига о. lap экан.
Жисмлар системасинннг ички энергияси цар бир жиемнинг ало-
цнда олингэндаги ички энергияларн йигиндиси билан жисмлар ор
сидаги узаро таъсир энергиясннинг йигиндисига тенг, Жнсмла,
орасидаги узаро таъсир энергияси жисмлар бир-бирига тегиб туради.
ган чегаранмнг юпца цатламидаги мо.чекулалараро узаро такси-
энергиясидан иборат.
Ички энергия система цолатининг функциясидир. Демак, систс
ма тайинли бир цолатга келиб цолгаи \ар бир цолда унинг ичк.
энергияси, системанинг олдинги цолаттари цандай булганида- |
цатъи назар, мазкур црлат учунгина кос булган ципмат цабул ц1
лади. Бннобарин, система бир цодетдвн бошца цолатга утиши; ,
унинг ички энергияси ^згараши ички энергияпипг бу цолатлард ’
ги цийматлари айирмаенга .цамиша тенг булиб, бир цолатд
бошца цолатга ^тнладиган йулга, яъни системанинг бир цолатдс
бошца цолатга утишига олиб келган процесс.тарга ёки процессл.
мажмуига боглиц эмас.
95-§. Термодинаммканинг биринчи асосн
Ички энергия асосан турлича булган икки процесс цнеобига,
яъни жисм устида А' иш бажараш ва жиемга Q иссицлик мицдо-
ри бернш цисобига узгариши мумкин. Иш бажарнлганда системага
таъсир курсатувчи ташци жисмлар кучади. Масалан, идиш пчида-
ги газни цамаб турган першении идиш ичига итарганда поршень !
сурилиб газ устида А' иш бажаради. Ныотоннинг учиичи цонуми-
га асосан, бунда газ цам поршень устида А = — А' иш бижара,чи. J
Жиемга иссицлик бериш вактида ташци жисмлар кучмайдн ва,
бииобарин, жисм устида макроскошк (яъни жисм таркибпга ор-
ган барча молекулалар т^плэмига тегишли) иш бажариль-йди. Бу
248
цолда ички энергия шу сабабдан узгарадики, купроц нсяган жием-
нинг алоцида молекулалари камроц исиган жиемнинг молекулала-
ри устида иш бажаради. Бунда энергия нурланиш орцали цам уза-
тилади. Жисмдаи жиемга энергия уташига олиб келувчн микро-
скопия процессларнинг (яъин бутун жиемни эмас, балки унинг ай-
рнм молекулаларини уз ичига олувчи процессларнинг) мажмуи
иссицлик узатиш деб аталади.
Бир жиемнинг иккинчи жиемга узатган энергия мицдори жисм-
ларнинг бир-бири устида бажарган А иши билан аницлангани каби.
бир жиемнинг иккинчи жиемга иссицлик узатиш Вули билан берган
энергияси мицдори, бир жиемнинг иккинчи жиемга берган Q иссицлик
мицдори билан аницланади. Шундаи цилнб, система ички эпергия-
синипг орттирмаси система устида бажарилган А' иш билан сис-
темага берилган Q иссицлик мицдори йигиндисига тенг бу.чипж
керак:
С'8 —t/, Q + A- (95 1)
Бу ерда Ut ва —система ички энергиясииинг оадинги ва ке-
йинги циймэтлара. Одатда ташци жисмларнинг система уствда ба-
жарадиган А' иши урннга системанинг ташцн жисмлар устнда ба-
жарадиган А иши (бу иш —А' га тенг) текширнлади. (95.1) тенг-
имада А' уриига —А цуйиб ва уни Q га нисбатан ечиб, бутенг-
емвни цуйндаги куринишга келтирнш мумкин:
<2=«1/,-Ц+Л. (95.2)
(95.2) тенглама энергнянинг сацланиш цонунини ифодалайди ва •
те р мод ина мика нин г биринчи цонуни (асоси) нннг'
•змунидан иборат. Уни cjte билан бундаВ айтиш мумкин: сиапе-
рга берилган иссицлик мицдори системанинг ички эиергиясини
ииритга еа системанинг ташци жисмлар устида иш бажариши-
1 сарфланади.
Айтилганлардан системага иссицлик берилганда цамиша систе-
-чинг ички энергияси ортади деган хулоса чицмаслиги керак.
.уядай цол булиши цам нумкинкн, системага иссицлик берилиши-
царамай, унинг энергияси ортмасдан, балки камаиди: Us < Ut.
цолда (95.2) га асосан, А > Q булади, яъни система цам оли-
(ётган Q иссицлик цисобига, цам ички энергия запаси цисобига
м бажаради; нчки энергия запасинннг камайиши Ux—Ua га тенг.
Уни цам назарда тутиш керакки, (95.2) даги Q ва А катталиклар
гебранк катталиклардир (Q < О эканлнги цацицатда система ис-
,лик олмасдан, балки иссицлик бераётгаиини билдиради).
(95.2) дан_<2 иссицлик ммцдорини иш ёки энергия улчанадиган
|| .рлнкларда улчаш мумкин деган кулоса чицади. СИ системаснда
1ССИЦЛИК мицдорининг улчов бирлиги—жоуль.
| Исо’Ч-'1|1К мицчорн калория реб аталадпган ыаксус бирлик бнлан
л ул^издч. Бнр калория I г сувни 19,5 дан 20,5’ С га цадар иситиш учун
,як 6J таднган иссюршк ьищорига тенг. Мянг ка.чорня катта калорий ёюг ни-
. алорня даб аталади.
249
№<р- налорня 4(t8 ж m мнжваяыгг жаалнги тяжрибада umnvewaw. Вяпо-
барин, бир шоу ль 0,24 кдлодяга эквивалент. /^4,18 ж/ кал катталик иссиц-
л к кн н к г механик эки и валенти деб аталади.
Агар (95.2) «лглаиага кяруачч каттеликлар цар хил бирликл рла ифодалли-
гэд булса. у чолда бу илгталикларянг баъэнларини тегншлн зквмалеитга ку-
лдЛтнрнш керак. Масалы, Q ни калория дисобнм. U м А пн нвэуль дпгобнца
ыфодаласак. (85.2) ыуиосабатни цуйндагн куринишда Сэиш керак:
IQ^Ut-Ui^ А
Буялап буба бяз цамиша Q. А м U лар бир хнл бирлнкларда нфодмаига4
деб фараз циянбь блряичк y.aiyuiiHiir теигламасинн (95.2) куринишда ёзамиэ.
(95.4) ни бутун процесс б^йяча шиеграллаганда (95 2) тенглама
билан айнам бир хил булган дуйидаги нфода топидадн;
-<>,) +А
d'A ни ннтеграллаш натижасини
Система бажарган ишни ёки система олган иссндлик мйцдоринл
дисоблашда одатда текширнлаётган процесс бир датор элементар)
процессларга- ажратиладики, бу процесслэрнинг дар бирн система
параметрларннинг жуд» кичик (пировардида — чексиз кичик) узга-
ришиса мос келадн. Элементар процесс учун, (95.2) тенглама
Д'<2 = Д{/ + Д'А (95.3|
ул=А,-Л,
куринишда ёзиш мумкин эмас эканлигини яна бир марта таъкид-
,1зб утамнз. Бу ёзув система бажарган иш ишнинг биранчи ва нк-
нинчи долатлардаги дийматлара (яъни заласлари) анирмасига тенг
>канлигини билдирган булар эди.
96- §. Жнсминнг дажми узгарганда бажарадиган мши
куринишда булади, бу ерда A'Q — исси дликнннг элементар мидЫ
* 1 .. л . _____.... .. Kt t .лиш ^uprruoptinuur
куринишда булади, бу ерда Д'ф — иссидлнкнннг элементар миддо^ ж
ри, Д'А — элементар иш ва АС/ — система ички энергнисининг ма- - 7*н‘*’*’инг УЭ!,га тегиб турган бошда жисмлар билан днладиган
на шу элементар процесс дявомидаги ооттирмаси. * У”инг У“а «исмларга курсатадиган босими орка-
Шуни нвзарда гутиш мудимки, A'Q ва Д'А ни Q ва А катта Газнинг идиш деворлари билан, шунинг-
ликларнинг ортгирмаси деб дараш ярамайди. Бирор f каТталикниы g ‘*’б. » ~“и СУЮЧ жисмнинг атрофидаги мудит (масалан, газ)
элементар процессга тегишли булган А сини бу миддорнинг орг» JW0 тяъсириин босим ордали тавсифлаш мумкин.
тирмаси деб дисоблэш учуй, бнр долатдан иккинчи долатга JthuZ £ "Уч^Ра Цунилгав нуцтадар к^чгаяда жисмнмлг хаж1
-------............................. ^япапиРяи Млга ^«2
тегишли булган йнгиндк мана шу утиладиган й^лга боек *» j
булмаелмгн, яънн f катталик долат функцияси б^лиши керак. \)-
лат функцмяск долатларминг дар бирнда £з «запасига» эга б^лагх
деб гапи|иш( мумкин- Масалан, системанинг дар хнл долатлар;
эСа буладиган ички энергияси запаси дадада гап бориши мумкннл
Кейннчалик биз курамизки, система бажарган ишнинг катталм
гц ва система олган иссндлик мж^дори системанишД бир долатдЛ
6уш1у1 Лу».я..» с—9
дйм долат функцияси эмас, шунинг учуц системанинг дар хил дс-1
латл^рда эга С*;сд,,гп.” рчи иш запаси хакила ran були|
ши Мумкин эмас. I
г .------«Г "------—----«—"«'“Г /»"««•
.жараднган ишн босим ва жисм дажмининг Уэгаришлари ордалв
Родаланиши мумкин. Бу ифодани тоонш учун —*--------- -
- рвб чидамиэ.
Жиле дилиб ншлавган ва осон енрпана-
,иган поршень билан бекитилган цилиндрик
ниш (213-расы) ичига газ дамалган б^лсяя.
'-•ар бирор сабаб билан газ кенгая бошласа,
пшн. сурн* >С7пАа ..ui бетпе-
guЧИ. Першении Ай кесмага к^чириш учун гвз
ЧУЙИДЯТН ММСОЛВЯ
гй ва система олган иссндлик мицдорч икгаинцшд г ^и>п им кеш ан иошласа,
бошка холатга утиш йудига боглик булади. Бинобарин, Q дам. f ’юршенни суриб, поршень устида иш бажа-
' ' 7НКЦИЯСН эмас, шунинг учуй системанинг дар хил д. диди. Иоршенин Ай кесмага к^чириш учун «г
буладиган иссндлик ёки иш запаси дадида ran булс^-М*3»* элементар иш дуйвдагига тенг:
! Д'А = /Ай,
_ . . -газнинг поршенга курсатадиган
КУ’'НИ_Газнинг р босимнпкиг
I- -------J !•«>> nun.ii »Л/ЮП <ЫМ<1Ш-
тирсак, дуйидагнни топамиз:
Д'А =pSbh.
ШИ мумкни JM4.
Шундай дилиб, А ва Q ёнида турган А символнкиг ма-Бносп J
ёнида турган Д символняиг мавдосидан бошдача булади. Дна qe^y ерда f —
долин таъквдлаб утиш учун А. ва Q ёвидаги А га штрих дуйилга>| -аъсир кучи.
At/ символ ички энергия орттирмасини бнлдирадп, A'Q ва А5А 'си1чоршеннинг S юзнга кЬпайтма"| б 'лл'иж',п"1"
воллар эса орттирмани эмас, балки элементар иссндлик мкддорн ....я.....- у си силан алмаш-
элементар ишни билдиради.
З^исоблзш учун (95.3) тенгламада дифференциалларга У.тилад!
77" -----*-•'"« о/’/vununr тенгламаси куйидаги к>*
рянншга* келади:
^исоблзш учун (95.3) тенгламада даирферсициоллиргв
Уида крмодяиамиьа Онри.ча косииниг теягламаи. щйида™ к| SAA «?пайтма гю ^ажмпвинг ЛУ ишиа,.,.
-------------- >'ч>" э«"'«ир иш„„„г Uly’
d'Q=dt' i-d'A.
\ 1 (95.4) тепгллнада dU т}лид дифференциал булиб, d'Q’ вв d’A лар т)
Дифференциал эмас,
260
(95.
.-------- —. . . ..|Л"^Ч,ДОП mvjM
нинг учун элементар ишнинг ифодасини дуйидагича ёзамиэ:
Д'А-рДУ. (96.1)
авшанки, (96.1) дагн Д'А катталик алгебраик катталнкдир. Дар-
:адидат, газ сицилаётганда ДА кучиш йуналиши билан газнинг пор-
епга курсатадиган / таъсир кучи йуналиши дарама-дарши була-
261
ди, шу туфайли Л'Л элементар иш манфий булади. Бу цолда цажм-
нннг AV орттирмаси ишораси цам манфнйдир. Шундай цилиб, (95.1)
формула газнинг цажми цар цандай узгарганда цам ишни тугри
ифодалайди.
Агар газнинг босими доимий булиб цолаверса (бунинг учун тем-
пература айин вацтда тегишлича Узгариши керак), у цолда цажм
Vt цийматидан V, цийматигача узгарганда бажарилган иш
А«=Ж-К). (95.2)
булади. Агар цажм узгарганда босим доимий цолмаса, у цолда (96.1)
формула етарли даражада кичик ДУ учунгипа тугри булади. Бу цол-
да цажмнинг чек ли узгаришларида бажари ладиган иш (96.1) кури-
нишдаги элементар ишларнинг йигиндиси сифатида, яънн интеграл-
лаш йули билан цисобланиши керак:
V,
Аи - f р dV. (96.3)
93- § да айтилганлардан маълумки, биз топган формулалар фа-
цат мувозанатли процессларга цулланклиши мумкин холос.
Ишнинг топилган ифодаларн цаттиц, суюц ва газ цолвтвдаги
жисмлар цажмининг цар цандай узгаришлари учун тугри. Бунга
йшонч цосил цилиш учун яна бир мисол куриб чицамиз. Ихтиерий
шаклдаги цаттиц жисм олиб, уни суюц ёки газ цолатидаги муцит-
га ботирамиз, маълумки, бу муцит жисмнннг цамма нуцталарига
бир хил р босим курсатади (214- раем). Жисм кенгайиб, натижада
унинг сиртининг айрим &St элементар цисмлари цар хил А/ц миц-
дорда кучади, деб фараз цилайлик. Унда i-цисм рД5,Дй, га тенг
булган Д'Л| иш бажаради. Жисм бажарган иш унинг айрим цисм-
лара бажарган ишлар йигиндиси сифатида топилиши мумкин:
* д'л -2Л'Л< = 2м^ла<-
Хамма цнемлар учуй бир хил булган р босимнн йигинди ишора-
си остидан ташцарига чицарнб, 2 AS1AAI йиринди жисм цажмй-
214- раем. 215- раем.
нинг AV орттирмасини ифодалашинн эътиборга олсак, бажарилган
ишни
Д'А = pAV
куринишда ёзиш мумкин, яъни умумий цолда цам биз (95.1) фор-
мулам топамиз-
Жисм цажмининг уэгариш процессини (р, V) диаграммам (215-
расм) тасвирлаймиз. Л'А = p/AV, элементар мшга графикда энсиз-
гина штрихли тасмачанинг юзи мос келади. Равшанки, Ууц р = f<V)
эгри чизиц, Vj ва V, туррц чизицлар билан чегара ланган юз цажм-
нинг Vi цийматдан V, цийматга цадар узгаришида бажарилган
ншга тенг.
Шуни айтиб утамизки, (96.1) ифоданннг дифференциаллар орцали
ёзилган шаклидан фойдалансак, термодинамика биринчи асосининг
(95.4) тенгламаенни цуйидагича ёзиш мумкин;
d'<2=dt/ + pdV. (95 4)
87-g. Температура
Температура тушунчасинн цуйидаги мулоцазаларга асосланган
цолда таърифлаш мумкин. Агар бир-бирига тегиб турган бир цан-
ча жисм иссицлик мувозанати цолатнда булса, яъни улар иссицлик
узатюи йулн билан узаро энергия елмашмаса, бу жисмларнинг
температураси бир хил булади. Агар жисмлар бир-бирига иссицлик
беришн мумкин буладиган шароит яратилганда улардан бири ик-
кинчисига иссицлик узатиш орцали энергия берса, у вацтда бирин-
чи жиемнинг температураси иккинчисиникига цараганда юцори деб
цисобланади. Жисмларнинг цажм, электр царшилик ва шу каби
цатор хоссалари температурага боглиц. Температурили мицдорин
жицатдан аницлаш учун бу хоссаларнннг цар биридан фойдаланиш
мумкин.
Температурани улчаш учун танлаб олинган жиемни (термомет-
рии жиемни) эриётган муз билан иссицлик мувозанати цолатига
келтирамиз, жиемнинг бу цолатдаги температурасини 0" деб ола-
мнз ва жиемнинг температурани улчаш учун биз цулламоцчи бул-
ган хоссасини (температура белгисини) мицдорий жицатдан харак-
терлаймиэ. Бундай белги сифатида жиемнинг цажми танлиб олин-
ган ва унинг 0а даги циймати Vo га тенг деб фараз цнламиэ.
Сунгра уша жиемнинг узини атмосфера босими остида цайнаётгаи
сув билан иссицлик мувозанати цолатига келтирамиз, бу цолатда
унинг температурасини 100” га тенг деб оламиз ва бунга мос келади-
ган Й100 цажмни аницлаймиз. Биз танлаб олган температура белги-
си(бу мисолда—цажм) температура узгариши билан чизицли узгара-
ДИ деб цисоблаб, термометрии жиемнинг цажми V булган цолати-
да температураси цуйидагига тенг булади деб ёзиш керак:
Г =-v~Vi >«>'• <971>
'100— »0
233
Шу прица топилган температура шкаласн, маълумки, Цельсий
шкаласи деб аталади. Температурами ?лчаш учун цажм эмас, балки
бирор бошца белги олинганда цам (97.1) га укшаш муносабатнн’
ёзнш мумкин.
Термометрии айтнб утилгак усул билан даражаЛаб олиб, ундан
температура ни улчаш учун фойдаланиш мумкин. Букине учун уни
тсмнсратураси улчанаётган жисм билан иссицлик мувозанати цо-
латига келтвриш ва цажм катталигини топиш керак
Табиатн цар хил булган термометрик жисмлардан (масалан,
симоб ва спирт) ёки турли хил температура релгиларидан (маса-
лан, цажмдан ва электр царшиликдан) фойдаланувчи термометр-
ларии таццослаганда уларнинг курсатишлари даражалаш усули
туфайли О’ ва lOO" да бнр хил булиб, бошца температураларда
фарц цилади. Бундан шундаи хулоса чицадики, температуралар
шкаласннн бир цнйматли аницлаш учун, даражалаш усулидан таш-
цари, яна термометрик жисм ва температура белгисмни цандай тан-
лаш цацида цам келишаб олиш керак. Темпера ту рала рнинг эмпирик
шкала деб аталувчи шкаласнни аницлашда буларнннг цандай тан-
ланиши кейинги параграфда баён этилади. Аввалдан шуни айтнб
^тамизки. термометрик жиемнинг хоссаутарига боклиц булмаган
шкала термодкнамнканныг мскинчн цонуиига асосан аницлйниши
иумюи* (130- £ га ц), Бу шкала температуралариинг абсо-
лют шкаласн деб аталади
,9£- §р Идеал газ цолатининг тенгламасн
Бирор газ массасннннг цолатн р босим, V цажм ва 1° темпере-
турадан- иборат учта иараметрнинг цийматлари билан ан1гцланади.
Бу ыарамелрдар бир-бирига цояуиий равищда богланган ки, улардан
биринниг .^эгарншн натижаенда бошцалари цам узгаради. Айтиб
утилган богдзшап аналитик усулда
F{p,V, Г) = 0 (98.1)
функция куринишида ифодаланиши мумкин. Бирор жиемнинг пара-
ыетрларм ораецдагн богланишин ифодаловчи муносабат шу жисм-
нннг цолат тенгламасн деб аталади. Бннобарин, (98.1) му- ‘
носабат берилган газ массасииннг цолат теигламасидир.
Агар (98.1) тенгламани параметрлардан бирортасига, масалан,
р га нисбатан ечсак, цолат тенгламасн
p^f(V, О (982)
KfpHHHuira келади. Мактаб курсидан маълум булган Бойль—Мариотт
ва Гей-Люссак цонуиларн параметрлардан бира узгармас булган
шароитдаги цолат тенгламалариин пфодаланди. Масалан, Бойль—
Мариотт цонунига кура, температура узгармагаида бералган газ
массаси учун газнинг босими унинг цажмига тескари пропорциопал
равишда узгаради. j5yiiH аналитик раишпда цуйидагича езиш мум-
кин:
(98.3)
pV — const (Г = const).
254
Айнк бир температурага мос келувчк цолатляр мавжуд (р, V)
днаграммада (98.3) тенглама билан аяи^ланувчи эгри чиаик,. яъни
гипербола бнлан тасвирланади. Темпервтуранинг цар бир цнйматмга
Узининг »грн чнзнги мос келади (216- а раем). Бу эгри чиэи^ляр
мэотермалар д₽б аталади («изо»— бир хил, тенг).
216- рады.
Газийнг узгзрмас температура да бир цолатдан бошца цолатга
утиши месте рм и к процесс деб аталади. Иэсгермик врщессда
газ долатвни таевнрловчн нуцта изотерма буйлаб к^чади.
(р, Г) ёки (V, Г) днаграммада нзотермик процесс р Уцига
(мос равишда V Уцнга) параллел булган тугой чнзнц билан таевнр-
лаивди. Бу шивцляр цам изотерма булади. Учничи параметр бул-
ган V (мос равищда р) нинг цнйматя бу т$грн чиэицлар буйлаб
доимий цолмайди, балки jjtpn чнзяц буйлаб стрелка билан иурса-
тмлган ВУналишда кучилганда унинг цнйматн орта боради (216-0
ва а раем).
Гей-Люссак цонуннга кура, босим узгармас б^лгзвдв бернлгаи
газ массасинннг цажми температурага цараб чязицлн рзвшвда £з-
гарадя:
V = Ц)(1 +«Г) (р = const). <98.4)
З^ажм узгармас булганда босим учун цам шунга ухшаш бог-
лаяиш уринли:
Р ~ р0 (1 + а/ь) (V = const). (98 5)
Бу тенгламаларда — Цельсий шкаласи буйича цисобланган
температура, Уо —0°С даги цажм, р0-~0сС даги босим. Иккала
тенгламада цам а коэффициент бир хил булиб, унинг циймати
1/273 l/epaffl.
Узгармас босимда юз берадиган процесс из оба рик процесс
деб аталади. Газ учун бундай процесс (V, 1°) днаграммада (98.4)
.дугри чизиц билан тасвирланади (217-о раем; турли т^три чизицлар
Турли босимларга тегишлидир). Бу тугри чизиц изобара деб ата-
fa, 1 Анкцрогп 1/573, ГБ град~\
755
лади. (р, t°) 8ки (р, V) диаграммада изобара 1° уцига ёки мос
равишда V уцца параллел йуналган тугри чизиц куринишида булади.
Узгармас цажмда юз берадиган процесс изохорик процесс деб
аталади. (р, Г) диаграммада изохоралар 217-6 расмда курсатилган
шаклда булади.
217- расч
Шу ни цайд цилиб $тамиэки, (98.4) ва (98.5) ларга асосан, бирча
изобара ва барча изохоралар Г уции
1 + а!° = О
шарт билан аницланувчи айни бир нуцтада кесиб £тади, бундан
t =—1 = —273,15°С.
Температураминг саноц бошини шу нуцтага жойлаштириб, биз
температураларнинг Цельсий шкаласидан абсолют шкала ёки Кель-
вин шкаласи' деб аталувчи шкаласига утамиз. Кейинчалнк биз,
абсолют температуранинг (яъни абсолют шкала буйича цисоблан-
гантемпературанинг) физик маьносижуда чуцур эканлигнйикура миз.
Абсолют шкаланинг таърифига биноан абсолют температура
билан (биз бу температурани Т царфи билан белгилаймиз) Цельсий
шкаласи буйича кисобланган температура уртасида цуйидаги муно-
сабат уринлидир:
Т - Г 4- 1 ° Г + 273,15. (98.6)
Масалан, U С температурага 273,15'К мос келади. 0°К га тенг
температура абсолют ноль деб аталади, унга — 273»15°С мос
келади.
х Мос равишда бу шкаланинг градусн 'К билан белгиланади,
(98.4) ва (98.5) тенгламаларда Цельсий температурасидан аб-
солют температурага утамиз. Бунинг учун (98.6) га мувофиц ра-
вишда t° нинг урнига Т — 1/а ни цуямиз:
и = к0(1+а1а)=к.|1+а(Т-|)|-а1/,Г (98.7)
ва шунга ухшаш
р—ариТ. (99.8)
Бу тснгламалардан цуйидагнлар келиб чицади;
= £ (Р = const), (98.9)
S = (V= const), (98.10)
бу ердагл 1 ва 2 индексларн айни бир иэобарада ётувчи- |(98.9)
учун] ёки айни бир иэохорада 1(98.10) учун! ётувчи нхтиёрий яр-
латларга тегишлидир.
Бойль—Мариотт ва Гей-Люссак цонунларн тацрибий цонунлардир.
Хар цандай реал газнинг зичлиги цанча кичик булса, яъни цажми
цанча катта булса. у (98.3), (98.9) на (98.10) тенгламаларни шуича
аиицроц цаноаттзнтиради. (98.3) га мувофиц, босим камайгапда
цажм орт 11н, (98.9) га мувофиц эса, температура к^тарнлиши би-
лан цажм ортади. Бинобарин, Бойль—Мариотт ва Гей-Люссак цонуп
лари унча паст булмаган температураларда ва унча катта булмаган
босимларда тугри булади.
(98.3). (98.9) ва (98.10) теигламаларга аниц буйсунадигаи газ
идеал газ деб аталади. Идеал газ абстракт тутунчаднр. \ар
цандай реал газ зичлиги камая боргани сара уз хоссалари билли
идеал газга яциилаша борадн.
Ха во, азот, кислород каби баъзи газлар уй температураси ва
атмосфера босими шароитида идеал газга жуда яцин булади. Гелий
ва водороднинг хосса пари идеал газ хос-
саларига айницса яциндир.
Бойл!—Мариотт ва Гей-Люссак тенг-
ламаларнни бирлаштириб, идеал газ цо-
латининг тенгламасини топиш мумкин.
Бунинг учун (р, Г) диаграммада пара-
метрларннннг цийматлари V,, Г, ва
Ро, Л булган иккита нхтиёрий цолат
оламиз (218- раем). 1 — Г изотермадан
ва Г —2 изохорадан иборат булган 1
дан 2 га утнш процессиям куриб чица-
миз. Равшан ки, Г цолатнинг температу-
раси / цолатнинг температурасига теиг
булади, Г цолатдаги цажм 2 цолатдаги
цажмга тенг. р' босим. умуман айтганда,
Pt ва pt босимлардан фарц цилади.
Р
218- раем.
17—1317
7.ва Г дозатлар яйви бир изотермам ётадя. Шунннг учун
(98 3) га мувофиц равишда
Г ва 2 цолатлар айнн бир изохорада ётади. Бинрбарин, (98.10)
га мувофиц,
Л ~ У?
Бу тенгламалардан р’ ни йуцотиб, цуйндаги тёнглайапн тойЙ-
миз
аШ=ЫЬ.
Г, • г,
I ва 2 холатлар иутлацо нхтиёрий равишда тавлаб олннганлитв
учун, цар цандай цолатда цам
ff-B (98.11)
булади деб таъкиДлаш мумкин, бу ерда В —берилган газ массаси
учуй ^згармас булган катта тикдир.
Авогадро кашф цнлган цонунга асосан, бир хил шароимда
(пъни бир хил температураеабир хилбосимда) барча газларнинг
килограмм-молекула гари бир хил ^аж.ига зеа булади. Жумладан,
нормал шароитлардебаталувчн шароитда, яъни О'С ва 1 атм босимда
цар цандай газнинг бир киломо.тннннг цажмн22,4 Мкмоль га тенг1.
Бундан газ мицдори бир киломолга тенг булганда (98.11) даги В катта-
лик барча газлар учуй бир хил булади деган хулоса чицади. ВнвтТа-
янкнннг бир киломолга т^грн келадиган цийматини R царфи билан,
кнломолнннг цажминн К„ бнлан белгилаб, (98.11) тенгламани цу-
йидагича ёзиш мумкин:
'-'T~=R (9912)
Бу тенглама Клапейрон тенгламасн деб аталади. Бу
тенглама идеал газ кнломолининг параметрларинн бир-бири билан
бигландн ва, демак, у идеал газ цолзти тенгламасинннг узгннасн-
дир. Бу тенглама одятда
р¥„ = ХГ (98.13)
мурннишда ёзилэди. R катталик универсал газ донмийси
деб аталади. Унинг цийматини Авогадро цонуни ёрдамнда цнсоб-
лзб топиш мумкин. Бунииг учун (98.12) да р Ирцига 1,01 -10* н/м1
1 Шуни айтнб утамнзки, нориал шаронтлардэ 1 м* газда
6,00 10,li
l-= gg 4 - « а,бв-ю**
К на молекула, 1 с** ла аса U = 3,68- ИР* молекул* й^лади. 1 (ёии 1') «нм
Л о dim и дт сев и деб аталади.
зм
(1 атм}. К^рййга 22,4 мЧкмоль ва Т f ринга 273°К ц?йнш ке-
рак:
„ _ 1,0110‘ 22.4 («/«) «* . = 8 3, . № «-.
л — 273 град-кмоль град-кмоль
Нормал шароитларда 1 моль газ цажми 22,4 л/моль булади.
Газнинг киломолини моль ортали ва жоулларни эрг ва калориялар
орцали ифодаласак, универсал газ доимийсинннг цуйндаги циймат-
ларинн осонгина топишимиз мумкин:
Я-в-ЭМО' = w^ssr-
Баьзан /? доимий градус-молга тугри келган литр-атмосфера
дообида, кфоддланяди:
_ I алия 22,4 kJ моль плаэп л атм
R ~ ' 2737^3--------
Бир киломолга тегишли тенгламадаи цар цандай т массаля
гяага тегишли тенгламага Jthui осон, буйинг учун бнр хил босим
ва бир хир температурада газнинг г киломоли бир киломолнякнга
карагаьда е марта ортнц цажм »галлаи|Ини эътиборга олиш керак:
у =« zVKti. (9В. 13) ни г /п/р га купайтириб ва aV™ Принта V ня
ц^йяб, цуйндаги тенгламани топамиз:
pl'-.^RT. (98.14)
бу ерда т — газ массаси, р — киломолинииг массаси. Бу тенгла-
ма цар цандай т масса ли идел газ цолаткннмг тенгламасидир. Бу
тенгламадаи (98.3), (98.9) ва (98.10) тенгламаларнинг келиб чицяшя-
ня к£риш осон.
Идеал газнинг температураси билан бошца параметрларм £рта-
евдаги богланишнинг соддалнги бу газни термометрии модда сифа-
тдда ншлатиш соцасида кенг нстнцбол очиб беради. ^ажмиииг
доимкй цолишнни таъмннлаб, температура белгиси сифатида газ
босимидан фойдаланилганда температура шкаласи идеал равищда
чнзяцли булган термометр цосил цнлиш мумкин. Бундан буён биз
бу шкалами температураларнинг идеал газ шкаласи деб атаймнз.
Халцаро келишувга мувофяц, амалда термометрик жисм сифа-
тида водород олинади. (98.14) тенгламадаи фойдаланиб ва термо-
метрии жисм сифатида водород олиб тузялган шкала температу-
раларнинг эмпирик шкаласи деб аталади.
XII DO Б
ГАЗЛАРНИНГ ЭЛЕМЕНТАР КИНЕТИК НАЗАРИЯСИ
Молекуляр-кинетик назария модда долатинмнг энг содда доли
булган газ долатини талцин этишда катта-катта ютуцларга эрищди.
Кинетик назария соддалаштирувчн бир цатор фаразлар киритилган
шароитдаги узининг энг элементар куринишида дам газ долатининг
асосий хоссаларини ва газларда буладиган додисаларни сифат жи-
датидангина эмас, балки мнддор жидатидан дам (бирга яцин сон-
ли купайтувчига цадар анидлнк бнлан) изодлаб бера олади.
Биз ечмодчн булган биринчи масала газнинг идиш деворларига
берадиган босимининг катталигини дисоблаш масаласидир. Бу ма-
салзнинг ечилиши абсолют температуранинг физик табиатини очиб
беради.
98- §. Газ лар кинетик назариясииннг босимга оид тенгламаси
Газнинг энг содда молекуляр-кинетик модеаи цуйидагичадир.
Газ олисдан бир-бирига узаро таъсир курсатмайдиган ва хаотик
равишда даракатланадиган бир хил молекулалар тупламидир. Моле-
кулаларнинг улчамлара шу цадар кичикки, уларнинг дажмлари
йигиндисини ндишнинг дажмига нисбатан эътиборга олмаса дам
булади. }^ар бир молекула асосан дамма вацт эркин даракат ци-
лади ва баъзан бошца молекулалар билан ёки идиш деворларн
билан эластик равишда туцнашаб туради.
Бундай модель идеал газнинг худди узгинасидир. Реал газларда
молекулаларнинг улчамларн чекли булиб, улар бир-бирига оралари-
даги масофа оргиши балан тез камайиб кетадиган кучлар билан
таъсир курсатади. Лекин газнинг зичлиги камайган сари молекула-
ларнинг хусусий дажми газ эгаллаб турган дажмга цараганда камая
борадн, молекулалар орасидаги уртача масофалар эса шу цадар
ортиб кетадики, бунда молекулаларнинг бир-бирига курсатадиган
узаро таъсир кучларини бутунлай эътиборга олмаса дам булаверади.
Лемак, дар цандай газ уз хоссалари жидатдан идеал газга ядинлаш-
гаи шароитларда бнэ юцорнда тавсифлаб Утган моделга асос цилиб
олннган фаразлар уринли булиб чицади.
Идиш деворига келиб урнлганида молекула деворга импульс
беради, бу импутьснинг сон циймати молекула импульсиникг узга-
ришнга тенг. Девор смртининг дар бир AS элементини куп мицдор-
260
даги молекулалар муттасил равишда бомбардимон цилиб туради,
Бунинг натижасида AS элемент А/ вацт ичида AS га нормал бу-
йича йуналган АК йигинди импульс олади. Механикадан маълумки,
АК. нинг At га нисбати AS га таъсир этувчи кучга, бу кучнинг
A.S га нисбати эса р босимга тенг.
Молекулалар мутлацо тартнбсиз, хаотик равишда царакат ци-
лади; улар барча йуналишлар буйича бир хил эцтимоллик билан
царакат цилади, бу йуналишларнинг цеч бири бошцалари олдида
устунлик цила олмайди. Бундай фикрга келишимизга сабаб шуки,
газ идиш деворларига цамма жойда бир хил босим курсатади. Агар
борди-ю молекулаларнинг бирор йуналишдаги царакати устунлик
цилганда, унда табиий равишда деворнинг мана_шу йуналиш то-
монда ётган цисмига купроц босим курсатилган булар эди.
Молекулалар тезлигининг катталиги жуда хилма-хил булиши
мумкин. Бунинг устига, молекуланинг тезлиги, умучан айтганда,
цар бэр туцнашиш натижасида узгариши керак1, бунда тезлик бир
„хил эцтимол билан ортиши цам, камайиши цам мумкин. Бунга са-
баб шуки, иккита молекуланинг туцнашишдан аввалги умумий ки-
нетик энергияси туцнашишдан кейинги умумий кинетик энергия-
сига тенг булиши керак. Бинобарин, туцнашиш натижасида бир
ыолекуланинг тезлиги ортса, иккинчи молекуланинг тезтиги кама-
йиши керак.
Цуйилган масалани ечншни соддалаштираш учун молекулалар
царакатининг характерига алоцадор булган баъзи соддалаштирувчи
фаразлар киритамиз. Биринчндан, молеку чаларни фацат узаро пер-
пендикуляр булган учта йуналншда царакатланади, деб фараз цн-
ламиз. Агар газда А дона молекула булси, у цолда бу йуналиш-
ларнинг цар бири буйлаб истаган пайтда А/3 дона молекула
царакат цилади, шу билан бирга, уларнинг ярми (яъни А/6 цисми)
бу йуналиш буйлаб бнр томонга, иккинчи ярми бунга царама-
царши томонга царакат цнлади (219- раем). Бундай фарззга асос-
ланаб, бизпн цизицтараётган йуналишда (масалан, деворнинг маз-
кур AS элементига fтказилган нормаль буйлаб) молекулаларнинг
1/6 цисми царакат цилади, деб цисоблай-
миз.
Иккинчи соддалаштнриш шунданибо-
ратки, биз цамма молекулалар тезлиги-
нинг и циймати бэр хил, деб цисоблай-
миз.
Биринчи соддалаштирши босимни ци-
соблашнинг отирги натижасига таъсир
курсатмайди, шундай эканлигини биз бун-
дак кейинги параграфда курсатамиз; ик-
кинчи соддалаштпришдан воз кечиш ма-
А-
/л
й
210- раем.
1 Массялари бир кил б?лган иккита шер уэаро
ганда тезлнкдари алмашади.
эластик марказий т^кпага-
261
220-расы.
салага цандай анжутик хнрнтншинн шу параграфнннг $знда xj-
рамиз.
Идиш деворига урилаётган молекуланннг Jiua деворга берадн-
Г8н импульснин знсоблайлнк Молекуланинг деворга урилишдан
аввалги нмпульси AS га 5'тказнлган ташци нормал буйлаб йуналган
б$либ (220- раем), mv га тенг. TJ^na-
шиш натижасида импульснинг ииюраси
Узгаради. Шундай цилиб, молекула им-
пульейнннг орттирмасм цуйндагигя тенг
булиб цолади:
(— ту) ~ (ту) =• — 2ту. (9Q. 1)
Ньютоннинг учнвчн цонунмга асосйй,
молекула келиб урилгаида девор нормал
буйича йуналган 2ту импульс оладн.
Асоси AS ва баландднгн vAt бул-
ган цилиндр зажми ичида жойлашган
ва деворнинг AS элемента томонга зараб заранатлайэётгам барча
молскулалар деворнинг шу элементига At ва^т ичида стнб борадн
(221- раем). Бу молекулаларнинг соин:
AV— nvASAi, ($9.-2)
бу ерда п — дажм бирлигидаги молекулалар сони.
Т^ри, деворга зараб бораётганида бу молекулаларнинг бир
тема бош^а молекулалар билан туцнашиб, натижада £эинннг зармат
йуналишини узгартмради ва AS га етаб боролмайди, деган зътироз
Зам билднриш мумкни. Лекин молекулаларнннг Узаро ту и. на-
шувларн улар заракатининг хаотак характерини бузыайди: деворга
Зараб кетаётган молекулалар группасядан бирор миддордагн моле-
кула бопн\а йуналишларда заракат.чанувчн группаларга цушилганда
ушанча миадордаги молекула бош^а группалардан чи^иб, деворга
Зараб зарнкатланаётган группага цушнладн. Шунинг учун деворга
стнб борадиган молекулалар соннни зисоблаШда молекулаларнннг
бир-бири билан буладиган узарО ту^нашувларини эътиборга олмаса
Зам булади. (99.2) га мувофи^, AS юзга иа^т бирлиги ичида ури-
ладиган молекулалар сони
hN । АС
4<=«"lAS
га тенг б$либ, бирлик юзга (AS* I м*) бирсе-
кундда буладиган зарблар сони цуйидагнга
тенг;
лхд/" Т 3)
(99.2) зарблар сонинн зар бнр тУцнашувда
деворга бериладиган (99.1) импульега к^пайтнр-
сак. деворнинг AS элементига Ai вант ичида
22!- р:>см.
М.2
бериладиган натижавий ЛК импульс цосил б^ладя!
ДК = 2mv nu&S&t = у nmv'AS&l.
ЛК имлульснн Ы вацт оралигкга б?лсак, &S юзга таъсир этув-
чк кучни тонамнз. Нн^оят. топилган бу кучни AS юзга б^лсак.
газнинг нднш деворларнга курсатадиган босиминн топамиз. Бино-
барин.
р ~ ” 4 199 *•
в = mv*/2 нфода молекула нлгариланма заракатининг кинетик
энергияси экйнлигист дисобга олиб, босимнинг ифодасини дуйндагн
курннишга келтнркш мумкни:
р =. | ж. (99.5)
Топилган формулаларни анализ цилишга кнришишдан олдин
барча молекулаларнинг тезлнклари тенг деб ^нлган фараздан воз
кечиш о^ибати бу формулаларнинг куринишяга ^андай таъсир ци-
лишини анш\лаймиз.
Молекулаларнинг тезликлар» турлича булсин, яъин ^ажм бнр-
лнги ичида булган п та молекуладан п, тасининг тезлиги амалда г,
булсин, nt та молекуланинг тезлиги ия ва. умуман, п, та молеку-
лаиннг тезлиги v{ булсин, деб фараз ^иламиз Равшанки,
П1 ++ л, + ... = 1". = п.
Молекулалараииг тезликларн буйича тадскмотянн билган »рлда
молекулалар тезлигкнинг. Уртв цийматини топиш мумкин. Бунинг
учун барча л та молекуланинг тезликларинн ц^шиш ва бу натн-
жани п га булиш керак:
•ч д» _______/V_____
р_<«< + t>i+ • • • 4-Ovbty + t»»4- ♦ • 4-t%4- • • +vi+vi + — + vi+
Бунда биз г>, к^шилувчннн nL марта, о, цУшнлувчини пя марта
олишимиз керак ва доказо. Бянобарин v ни цуйидагн куринишда
ёзиш мумкин.’
i _ Vl t ± (99.6)
Молекула нлгариланма ^аракатннинг е кинетик энергаяси уст«-
да цам худди шундай муло^азалар юритнб, бу энергиянинг уртача
дийыати учун цуйидаги ифодани топамиз:
•-42"'''» >М7>
бу ерда п\ — энергияси деярли вг га тенг булган молекулалар сони.
Шуни цайд циламизки, (99.7) га биноан, дажм бирлиги ичидаги
молекулалар кинетик энергиясининг йигинднеи лв га, яъни дажм
263
бир.тигидаги молекулалар сонининг битта молекуланинг уртача энер-
гиясига купайтмасига тенг, ту билан бирга, бу натижа молекула-
ларнинг тезликлар буйича тацсимотн цандай булишига боглиц эмас.
Молекулалар тезликлар буйича бирор тарзда тацсимланган деб
фараз цилиб, молекулаларнинг идиш деворига берадиган зарблари
сониии аницлаймиз. Тезлигининг циймати vt булган молекулалар
ораснда турли хил йуналишларда царакат цилувчи молекулалар
бор. Шунинг учун, соддароц цилиб деворнинг AS элементига ца-
раган йуналиш буйича бундай молекулаларнинг 1/6 цисми царнкат
цилади, деб цисоблаш мумкин. Бинобарии, тезлигн ut булган моле-
кулалардан At вацт ичида AS элементга (222- раем)
ANt = ~ n.VjASAi (99.8)
дона молекула етиб боради. Тезликлари цар цандай булган моле-
кулалар берадиган зарбларнинг тулиц сони:
&N -2A-V< = | &sf't i/W-
(99.6) га мувофиц равишда ^ntvt ни nv билан алмаштнриб,
бирлик юзга вацт бирлиги ичида бериладнган зарблар сонини цуйи-
дагича1 ифодалаймиз:
(99.9)
Бу ифода биз олдин топган (99.3) ифодадан фацат шу билан
фарц цнладики, унда цамма молекулалар учун бир хил булган v
тсч тик уриида молекулаларнинг уртача v тезлнги цатнашади.
AN/ молокулалардан цар бири 1(99.8)
га ц.] депорта урилганцда унга 2mvt
импульс беради. \ар хил тезликли моле-
кулаларнинг At вацт ичида AS элемент-
га берадиган натижавий импульсы цуйи-
дагига тенг;
АК = 2mv.AN; — V 2mv, ~п. vtASAt.
Босимни топиш учун АЛ ни AS ва
At га булиш керак:
?22'рагм р=4 2°' “т “ 42л®*’
бу ерда Kj = /7ш//2— тезлигн vt булган молекула илгариланма
царакатининг кинетик энергияси.
1 Бу формула такрнбийформу.чадвр. Аннцроц цнеобланганда (бундан кейингн
параграфа царанг) »иуйндаги формула цосил буладк;
AN
ASAt
1 -
ynu.
(99.7) га мувофиц равишда ^п,р; ни ле билан алмаштириб,
р босимни топамиз:
2 - 2 mV* 1П.
р = ^ле = -д л-j-. (99.10)
Бу ифода олдин топилган (99.5) ифодадан шу билан фарц ци-
ладики, грамма молекулалар учун бнр хил булган е энергия урнида
бу ифодада уртача в энергия цатнашади.
Газларнинг кинетик назариясида (99.10) тенглама асосий тенг-
лама цисобланади. Бу тенгламага асосан, босим \ажм бирлигидаги
молекулалар илгариланма ^араката кинетик энергиясининг уч-
Сан икки ^исмига тенг.
(99.10) дан шу нарса куринадики, л узгармас булганда (яъни
берилган газ массасининг цажми узгармас булганда) босим моле-
кула илгариланма царакатининг уртача е кинетик энергиясига про-
порционалдир. Шу билан бирга биз бундан олдинги параграф»
курдикки, идеал газ шкаласи буйича улчанган Т температура идеал
газнинг цажм узгармас булгандаги босимига прог.орционал катталик
сифатида анйцланади. Бундан Г температура е га пропорпионал
деган хулоса чицади. Т абсолют температуря бнлан е орасидага
пропорцноналлнк коэффициентини топиш учун (99-Ю) тенгламани
идеал газ \олатннинг (98. )3) тенгламасн билан таццослаймнз. Бу-
нине учун (99.10) тенгламани киломолнинг Укы цажмнга купай-
тирамиэ:
рУкм ™ -д’ (пГкм) К.
Хажм бирлигндаги молекулалар сонининг бир кнломолиинг цаж-
мига купайтмаси Авогадро сонига тенг эканлигини цнеобга олиб,
цозиргина ёзилган тенгликни цуйндаги куринишда ёзиш мумкин:
Ьу тенгламани илр киломоль идеал газиииг — RT .цолат тенг-
ламаси билан таццослаб, цуйндаги хулосага келамиз:
бундан
в=-|И'. (99 11)
бутенгламада Больцман доимийси деб аталадиганR/N^arra-
лик k царфи билан белгиланган. Унинг циймати:
* = Д -гати =1,38- КГ"~ = 1,38.•
N* 6,02-10м ’ град ' град
265
Шундай цилиб, биз муцин хулосага келдик: абсолют темпера-
тура битта молекула царакатинннг уртача энергнясигя пропорцио-
нал булган каттрлиодир. Бу хулоса фацат газлар учунгинв эмас,
балки дар цандай цолатдаги модца учун дам т^гриднр.
(99.11) ифода шу жицатдан ажойибки, унда Уртача в энергии
фацат температурага боглйц б^либ, молекуланинг массасига боглиц
емяс.
Идеал г*э цолвтмнннг тенгламаснда R Урнига N Kk ц^йнб на
нисбагиинг п га тенг эканлигини цнсобга олиб, босим учун
цуйидаги муцим формулами топиш мумкин:
Р = лЛГ. (99 12)
Агар бнр цанча хил газдан иборат аралашма олсак, ундаги мас-
са лари цар хил булган молекулаларнинг уртача тезлиги цар хил
б^лсада. бироц молекулаларнинг уртача энергияси айни бир хил
булади. Бу цолда босим цуйидагига тенг булади:
р - nkT « (л, + л* 4- . . .)kT, (99.13)
бу ерда л,, аа цокаэолар цажм бирлигндагн биринчи. иккинчи
а цокяэо навли молекулаларнинг мицдорннн бклдиради. (99.13)
ифодани
р =• ntkT 4- n»kT 4- . , .
к|риН1Ш№да тасвнрлаш мумкин. .Пекин п^Т ифода — бордн-ю
идишда фацат биринчи навли молекулалар булганда юзага келади-
ган pi босим, ntkT ифода— идишда фацат иккинчи навли молекула-
лар булганда юзага келадигаи р, босим ва цокаэо. Идишда бирор
навли молекулаларнинг фацат ?зллри арнлашмздагича мицдорда б^л-
гакда юзага келадиган босим газ аралашмасинккг тегншли компо-
нентасининг парциал босими деб аталади. Парциал босим
Тушунчасини каритиб, (99.13) га асосан, цуйидаги тенглнкни ёзиш
мумкин.
Р Р1+Р. + - 2а (99.14)
Шундай цнаиб, биз Дальтон цонунини толдик, бу цо-
мунга биноан: идеал газлар аралашмасининг босими шу араяаш-
наваги газ юр парциал босимларининг йигиндисига тенг.
100- §. Молекулалар тезликларинииг йуналишлар буйича
тацсимланншнни аннц цисобга олиш
Бу параграфда биз молекулалар фацат узаро перпендикуляр
булган учта йуналиш буйлабгнна царакат цилади, деган содда та-
саввурдан фойдаланмай, молекулаларнинг деворга берадиган зарб-
лари сонини аниц цисоблаб чицамиз. Ундаи ташцари, ана шу сод-
далдштириш босимнинг бундан олдинги параграфда топмлган (99.4)
ифодасига ръсир эгмаслигини цам курсатамиз.
Фазодаги цар Цандай А^тяипни бирор О Иуцтадзн бош лаб пн-
.чнлган ва йуналишга эга булган О А кесма шаклмдэ твсвнрлаш
мумкин (223- раем). О нуцта орцали Z ^ц ва шу |ц орцали Р,
текислик ^.тказаммз. OZ ?ц орцали ^тадитан р текнелик (ОЛ й$иа-
лнш шу текисликда ётади) саноц боши деб цабул цалмнган F#
текислик билан у бурчак цосил цилади. О А йуналиш O'i ?ц билав
О бурчак цосил цилади, Равшанкм, б ва ф бурчаклар берилса, ОА
йуналиш тулмц аннцланган булади, Х,ар йуналишлар учун у
бурчак 0 дан 2л гача, 0 бурчак эса 0 дан
л гача чегарнларда узгаради.
Шундай цилиб, цар бир молекула учун
берилган в ва ф бурчаклариинг цийматлари
орцали газ молекулаларкнннг царикат йу-
налишини хариктерлаш мумкин экан. 6 на
Ф бурчаклар бирор тайинли OZ йуналиш-
дан (бундай йуналиш сифатида, масалан,
юэчэга утказилган нормалнинг йуналишини
олиш мумкин) ва шу уц орцали (тГан Ро
текнеликдан бошлаб цисобланадн.
Лекян бундан бошцача, янада кургаз-
малироц угулдан фойдаланиш мумкин. О
иуцтани марказ цилиб нхтиёрий R раднус-
лн сфера чизамиз (224- раем). Бу сферада-
ги цар цандай А нуцта О дан А га темой
булган бирор й^налишнн белгилайди. Бини-
барин, газ молекулалари царикатланаднган
йуналишлар сферадаги нуцталар орцали
берилишн мумкин.
Молекулаларнинг барча йуналишлар
буйлаб царакат.чаниш эцтимоли бнр хил
эканлиги шунга олиб келадикн, молекул
лаларнииг царакат йуналишини тасвирловчи
нуцталар сферада бир хил р зичлнк билан
тацсимланади. Бу зичлнк текширилаётган
молекулалар N сонининг сфера сиртига
булинганига тенг:
р .
4л/?’
(100.1) 224 рьсм-
Молекулаларнинг узаро туцнашишм натижасида уларнинг цари-
кат йуналиши узгаради, бунинг оцнбатнда N та нуцтанинг сфера
сиртидагн вазиятн муттасил узгарйб ту ради. Лекин молекулалар
царакати тартнбсиз булганлнги оцибатмда нуцталарнниг зичлиги
доим Узгармай цолаверади.
Фазодаги мумкин булган йуналишлар сони чекенз куп эканлиги
равшаи. }^ар бир пайтда, текшприлаётган молекулалар ейнита (ZVra)
зенг булган чекли сондаги йуналишлар бУйлабгина молекулалар
2в7
царакат цплади. Шунинг учун, тайинли (сферадаги Л нуцта билан
таснирланадиган ёки О ва <р бурчакларнинг цийматлари би чан аниц-
ланадиган) царакат йуналишига эга булган молекулаларнинг сопи
тугрисидаги масала маънога эга эмас. Дарцацицат, мумкни булган
йу'налишлар сони чексиз катта, молекулалар сони чекли булгаии
учун аниц бир йуналиш буйлаб цеч булмаганда битта молекуча
царакат циляши эцтимоли нолга тенг.
Мазкур йуналишга (0 ва ф бурчаклар билан аницланадиган йу-
налишга) яцинроц булган йуналишларда царакатланадиган молеку-
лалар сони цацидаги масалани цуйиш уринли булади. Бундай йуна-
лишларга сфера сиртининг Л нуцта атрофида олинган AF элемен-
тининг барча нуцталари мос келади (224- раем). Молекулаларнинг
царакат йуналнншни тасвирловчи нуцталар сферада бир текис тац-
симланган булгани учун, AF элемент ичига тушадиган нуцталар
сони цуйидагига тенг булади:
= N (100.2)
AM ёнида 0, ф индекслар бу ерда царакатинннг йуналиши 6 ва
ф бурчаклар билан аницланадиган йуналишга яцин булган молеку-
лалар назарда тутилганлигини курсатади. AF дан утувчи йуналиш-
ларни уз ичига олган AS = M-jR* фазовий бурчакнн киритиб,
(100.2) форму лани цуйидагича ёзиш мумкин:
дл, (100.3)
4П
Молекула чарнмиг деворга- урилиш шароитлари (жумладан, зарб
вацтида деворга бериладиган импульс) молекулалар царакатинннг
йуналиши билан деворнинг AS элементига утказилган нормал ора-
ецдаги 0 бурчаккагпна боглиц булиб ф бурчакка боглиц эмас. \ажм
бирлигадаги п молекуладан царакати йуналиши нормал билан О
дан 0 4- <10 гача чегарада бурчак цосил циладиганларинннг dnd сони
цаича эканлигини топамиз. Бунинг учун (100.2) га мувофиц, сфера
сиртининг 6 нинг буидай циймаз ларига мос
келадиган dF элементики топиш керак.
Нормаль 225- раемдан куринишича, сиртнинг бу эле-
мента шар камаридан иборат булиб, унинг
асосининг узунлиги, 2л/? sin 0 га ва зци
R(i® га тенг- Бундай камарнинг сирти
="=2 л/? sln °^6 ="= 2я/?* sin 0d°
f I булади. Бинобарин, (100.2) га мувофиц dna
I Z5 / ни топамиз:
\ / dn, - n - 1 л sin 6d0. (100.4)
\ / 4П/?1 2
-------sinO купайтувчи молекулаларнинг 0
225- ряси. бурчак цийматларига цараб тацсимланишини
утказигган
Норма»
VAlcosO
226- рясм.
характерлайди. Агар 'молекулаларнинг аини бир dO бурчаклар
интервалига тугри кечадиган лекин 0 нннг кцийматлар| билан фарц
циладиган dn0 мицдорларини таццосласак, у цолда бундай dnfl лнр
sin 6 каби уэгаради.
Энди молекулаларнинг AS юзга А/ вацт ичида берадиган зарб-
ларн сонини топамиз. ХаР»<кетининг йуналиши ДЗ га “
нормал билан 0 + d6 гача ора-
лицда ётувчи бурчаклар цо-
сил циладиган молекулалардан
226- расмда курсатилган огма ци-
лиидрнянг ДУ хажмн ичидаги
барча dnt таен Д5 га А/ вацт
ичцда етиб боради1. ДУ цажм
цуйидагига тенг;
ДУ = ASv&t cos 0,
бу ерда v — барча молекулалар
учун бир хилдебфараз цилинган
тезлик.
Хажм бирлигидага бкзни ци-
аицтираётган молекулалар сопи
(100.4) формула билан аницла-
нади. Шунннг учун,
dNe — dnt AV = —п sin OdOASwA/ cos 0.
(100.5)
Бу ифодани 0 дан л/2 гача соцзда 0 буйича интеграллаб’, AS юзга
А/ вацт ичида бернладиган зарбларнинг тулиц сонини топамиз:
Т
t\N =*• j d;Va = у noASAi j sin 0 cos Gd6 — wASAf.
о
Бундан фойдаланиб, бирлик юзга вацт бирлиги ичида берилади-
ган зарблар сонини цуйидагича ифодалаймиз:
Бу ифода биз олдингн параграфда топган (99.3) ифодадан 3/2 га
тенг булган купайтувчи бнлангина фарц цилади.
Энди газнинг деворга берадиган босимини цисоблашга ^тамиз.
Деворга 0 бурчак остида келиб урнладиган цар бир молекула де-
ворга нормал буйича йуналган ва 2тоcos 0 га тенг булган импульс
беради (227- раем). Денорнинг AS элеменгнга А/ вацт ичида (100.5)
1 0 бурчаги тайин цийматга sra булган барча йуналншларни биз фикран ф
бурчаклчиг ихтиёри^ цийвдъга мос келувчи битта текиелнкхв келтирамнз.
* 0 книг я/2 дай л гача булган циТматларкга AS дан кетаётга» мояскула-
лар мос келадн.
269
формула бн.чаи гнпцланувчи dNt дана молекула в бурчак остчм
келиб урнлади. Бииобарин, бу молекулаларнинг AS юзга берадитая
импульси дуйядагяга тени
dKt “ 2лш cos QdN9 = nmv'&S&t cos’ 0 stn-ft/O.
Барча й5налншлардвги молекулаларнинг AS гв бераднгян т?лн^
АА нмпулыси интеграллаш й?ли билан топилади:
ДК = f iK, = tvm'ASM f cos' 0 sin = 4 imMStl.
Шунинг учун босим ^уйидагача ифодаланади:
<100 7’
(100.7) нфода бвсимнинг молекулалар фа^ат узаро перпендику-
ляр булган учта йрналмш буйлаб царакат цнлади деган фаразга
асосявниб топилган (99.4) ифодаси билан бир хил булиб чи^ди. Бу
227 pack.
йкки нфодаиинг бир хил булиб чмцишннннг
сабаби шундаки, юцорнда биз ^илган фа-
раз натижаснда, бир томондак, молекула-
лариинг деворга урилнш сонн камайса
К 100.0) ни (99.3) га солиштнринг), нккнн-
чи томондан, ^ар бир зарбда деворга бе-
ри.гадиган импульс ортади. (99.4) фор-
мулами чи^яришда биз \ар бир зарбда девор-
га 2ти га тенг булган- импульс беридади,
деб ^исоблаган эдмк. Аслида эса деворга
бериладиган импульснинг катталнги 0 бур-
чакка боглю^ шунинг учун бир зарбда бериладиган уртача им-
пульс j nw га тенг булади. Натижада бу иккала ани^ыаслик бир’
бйртян компенсацнялайди ва масалами соддалаштиряб ^ярагаяда
дам босим учун аннц нфода келиб чнцаверадн.
101- §. Энергиянинг молекула эркннлик даражаларн буйича
текис тацсимланиши
Молекула Уртача энергиясинннг 99- § да топилган
(1011)
вфодаси молекуланинг нлгариланма ^аракатк эиергиясннигина \н-
еобга олади. Лекин молекула нлгариланма .^аракат билан
бнр цаторда айланиши ва унинг таркибидаги атомлар тебраиыа ца-
рвквт цнлнши мумкин. )\аракатнинг бу иккала турига энергиянинг
бирор запаси тргрн келади. Бу энергия запаси молекуланинг эркии-
KW
у, г декарт координаталарн
22Я- мем.
лн* дярйЖАллрк б|йнча зоергмянинг теине тацап*Л*нниш ^гриеж-
д1Г» цонунга асосан авшуитадм; бу \онуы статистик фиэдада
аницланаДН-
Механик системанинг эркинлик. даражалари сани деб, смете-
манинг вазия'тини ифодамй омдиган эркли катталиклар сонига
ийтилади. Масалан, моддий мучтанинг фаэрдаги вазиятн. унинг
учта координатасниюя (масалан, х,
ёмы г, 6, 9 сфсрик координаталары
хокаэо) чнйматларн билан т^лих анн^-
лаыадм. Шунга мувофи^ Р«ишда
моддий нуктанынг эркинлик даражяла-
рн сойм учга тенгдир.
Абсолют хатТИХ жисмнинг вэзня-
тими аиичлаш Учун унинг инерция
марказинниг учта (х, у, г) к оорд и на-
таем, жисм билан богланган ва унинг
инерция маркази (228- раем) ерцалн
утуйчл бирор укнннг йуналишини
«5рсатувчи иккита О ва q> бурчак ва,
ми^оят, жисм билан богланган Ва би-
риичи учч» перпендикуляр булган
иккинчи учнннг йуналишини белгаловчи ip бурчак берилган булмши
керак. Шуидай цилнб, абсолют деттич жмем олтнта Эркин лик дара-
жаларига эга, 6, <f ва ip бурчаклар узгармаган шароитда инерция
марказинмнг координаталари чаггнЧ жисмнинг нлгариланма харака-
ти туфайлигина узгаради. Шунинг учун бунга мос эркинлик дара-
жаларн нлгариланма эркинлик дяражалари деб аталади. Инерция
марказининг вазиятн узгармас булгаада 6, q>. ip бурчаклардаи ис-
талган бйтгасинииг узгаришига жисмнинг айланишн сабаб булади,
шунинг учун буларга мос эркинлик дяражалари айланма эркинлик
даражалари деб аталади. Бинобарин, абсолют даттнц жисмнинг ол-
тига эркинлик даражаевдан учтасн нлгариланма ва учтаси айланма
эркинлик даражалари экан.
Ораларида цаттих богланишлари булмаган N драг моддий йух*
тадав иборат системанинг 3/V эркинлик даражалари булади (N п
нуцтадан дар биринннг вазиятн учта координата билап ифодалани-
ши керак). Икни ну^танинг би[ьбнрига нисбатан вазмятини у&гар-
тирмай турадиган хар каиДай даттнк богланиш эркинлик даража-
лари сонини бнттага камайтиради. Масалан, система ораларидагн
t масофа узгармай турадиган иккита моддий ну^тадан иборат булса
(229- расы), у >,о.|дз системанинг эркинлик даражалари сони бешга
тенг булади. Дархагрн^ат. бу ^олда иу>\таларнинг коордппаталари
Уртасида
U - Jtt)’ + (% - yty+<101 2)
муносабвт урнилн булади. бунинг иатижэсида моордннаталар эркмн
булмай услади: координаталардан ихтиёрий бештаен бернлгапбуле»,
олтнвчи координата (101.2) шартдан аннхланади Бу бешта э^мйн-
37)
229- расы.
дик даражасини классификация цилиш учун бир-бирига мацкам
богланган иккита моддий ну угадан иборат системанинг вазиятини
цуйидагича аннцлаш мумкин эканлигини эслатиб утамиз: бунинг
учун система инерция марказннинг учта координатаси (230- рясы)
ва фазода система уцининг (яъни ^ша
икки нуцта орцали утувчи тугри чизиц-
нинг) йуналишини аницлайдиган иккита
0 ва ф бурчак берилган булиши керак.
Буидан эркинлик даражаларининг учта-
си илгариланма ва иккитаси айланма
эркинлик даражалари эканлиги келиб
чицади. Айланма эркинлик даражалари
системанинг 00 уцига перпендикуляр
булган иккита узаро перпендикулярО'О' ва 0’0" уц атрофида айла-
шпига мос келади (231-раем). 00 уц атрофида айланиш моддий
нуцталар учун маънога эга эмас.
Агар иккита моддий нуцта бир-бирига цаттиц богланиш билан
вмас, балки эластик богланиш билан (яъни нуцталар орасидаги му
ДО- рь '•
О'
231- раем.
возанатли гв масофа дар цаидай Узгарганда нуцталар орасидаги
масофанн бошлангич далатига цайтаришга интилувчн кучлар пайдо
буладиган цилиб) богланган булса, унда эркинлик даражалари сопи
олтига тенг булади. Бу цолда системанинг вазиятини аннцлаш учун
инерция марказннинг (232- раем) учта коордннатасини, иккита 0, ф
бурчак ва нуцталар орасидаги г масофани бериш керак. г нинг
узгарншлари системадаги тебранишларга мос келади, шунинг учун
бу эркинлик даражаси тебранма эркинлик даражаси деб аталади.
Шундай цилиб, курнб утилган бу система учта илгариланма, икки-
та айланма ва битта тебранма эркинлик даражасига эга.
Бир-бири билан эластик равишда богланган N та моддий нуц-
тадан иборат системани куриб чицамиз. Бундай система 3/V та
эркинлик даражасига эга. Нуцталарнинг системанинг потенциал
энергияси минимумига мос келадиган мувозанатли конфигурацияси
мавжуддир. Мувозанатли конфигурация нуцталар орасидаги масофалар-
ницг тайинли булиши билан характерланади. Агар нуцталар мувозанатли
273.
конф игу рацияга мос келадиган вазият.йрдан чицарилса, системада
тебранишлар юзага келади Системанинг вазиятини аннцлаш учун
мувозанатли конфигурациянинг вазиятини ва нуцталарнинг мувоза-
натли вазиятлардаи кучишини характерловчи катталикларни бериш
керак. Нуцталарнинг мувозанат вазиятидан кучишини характерлай-
диган катталиклар тебранма эркинлик даражаларига мос келади.
Мувозанатли конфигурациянинг
вазияти, абсолют цаттиц жиемнинг
вазиятн каби, олтита катталик билан
аницланади, буларнинг учтасига
илгариланма ва учтасига айланма
эркинлик даражалари мос келади.
Шундай цилиб, тебранма эркинлик
даражалэри мицдорн 3/V —6 га
тенг булади1.
Газларнинг иссицлик сш-имини 232.
аницлашга дойр тажрибалардан
шундай хулоса чицадчки, молекуланинг эркинлик даражалари соня-
нн аницлашда атомларни моддий нуцта деб цараш керак. Биноба-
рин, бир атомли молекуланинг учта илгариланма эркинлик даражаси
булади леб, икки атомли молекуланинг атом лар орасидаги богланиш-
нииг характерига царабучта илгариланма ва иккита айланма (богланиш
цаттиц булган цолда) эркинлик даражаси булади деб ёки богланиш
эластик булганда бу бешта эркинлик даражасидан ташцари япа
битта, яъни тебранма эркинлик даражаси булади деб, богланиши
цаттиц булган уч атомли молекуланинг учта илгариланма ва учта
айланма эркинлик даражаси булади деб цнсоблаш лозим ва цокаэо.
Шуни цайд циламизки, молекуланинг эркинлик даражалари меч-
та булмасии. улардан учтаси илгариланма эркинлик даражалари
булади. Молекуланинг илгариланма эркинлик даражаларидан цеч
бири бошцаларидан афзал булмагани учун уларнинг цар бирига
урта дасобда (101.1) цийматнинг учдан бир цисмига теиг булган,
яъни kT/2 га тенг булган энергия тугри келиши керак. ХаРакаг
турларининг хеч бири бошцаларидан афзал эмас ва бииобарнн, эр-
кинлик даражаларидан ихтиёрий бигтасига, яъни илгариланма,
айланма ва тебранма эркинлик даражаларидан ихтиёрий бигтасига
Урта цисобда бир хил ва 1гТ]2 га тенг энергия (апицроц айтгаида,
кинетик энергия) тугри келиши керак деб фараз цилиш табиийдир.
Бу даъпо молекуланинг эркинлик даражалари буйича энергиянинг
текис таценмланиши тугрисидаги цонуннинг мазмунидан иборат. Бу
цоиданинг нацадар тугри эканлиги бундан кейинги параграфда аниц-
ланади.
1 Нуцталарпипг мувозанат вазиятлари бир тугри чнзи^ча ётмайди, леб фараз
ци.пинадн. Акс ^олда айланма эркинлик даражалари факат иккита, тебранма эр-
киилик даражалари эса .,.V — 5 булади. Иккита пуцталан иборат системани тек-
Цлфганда биз худди мана шуидай цолии учратган эдак,
18—1317
273
Эмргнянннг текис тацснмлавинзн тугрнеидагн цонунга аедеам,
молекула цанчалик муриккаб, унинг эркинлик даражалари цвнча
kJtj б$лса, бу молекула энергнясининг е Урта циймати (Jma темое-
ратурада) шунча купроц булади. е ни аницлащда молекуланинг теб-
ранма эркинлик даражасинивг энергетик смгими илгариланма бни
ай лайма эркинлик даражасиникига цараганда иккн марта катта
булиши лозим эканлигини цисобга олиш керак. Буиинг сабабн ищи-
даки, молекуланинг илгариланма ва вйланма царикатида фацат кн-
иетнк энергия бор булса, тебранма царакатда кинетик энергия цам,
потенциал энергия цам булади; шу бнлан бирга, гармоник осцнд-
ляторда кинетик ва потенциал энергнянмнг $рта циймати бир хил
булар экан. Шу сабабдан цар бир тебранма эркинлик дараждсига
Jpra циеобда бири кинетик энергия тарэндаги ва яна вира потен-
циал энергия тарэндаги иккита kT/2 т$трн келиши керак.
Шундай цилиб, молекуланинг Уртача энергияси цуйидагига тенг
булиши керак:
сМ Г=4*г, (ила»
бу ерда i—молекуланинг илгариланма, вйланма ва нккнланган
тебранма эркинлик даражвлври сонлэрининг йигмндиси:
/ = Яилг + ЛЛл + 2л»ев- (101.4)
Атомларн орасидаги богланиши цаттиц булган молекула лярда
/ нинг циймати молекуланинг эркинлик даражаларн сони билан бир
хил бреди.
(S' 102- §. Идеал газнинг ички энергияси ва иссицлик смгими
Идеал газ молекулалари бир-бирн билан олибдЯн, jhapo таъсир-
лашмаганлиги сабабли бундай газнинг ички пнёргияся вйрим моле-
кулалар энергияларининг йнгинднснга тенг булади. Бннобарин, бнр
киломоль идеал газнинг ички энергияси Авогадро сони билан битта
молекуланинг Уртача энергияси купайтмасига. тенг булади:
Vm~NAt~±NAkT (102.1)
Ихтиёрнй т массалн газнинг ички энергияси бир молнии г ички
энергияси билан т массадага киломоллар сонининг купайтмасига
тенг бУ'лади:
(7 = ” = - -i «Г. (102.2)
Р Р 2
Бирор мц£мнцнг иссицлик сцгими деб, шу жиемнинг темпера-
турасини бир градуугд кС/тарищ цчуц шц жиемга беримши эарур
булга» uecutf^uK мш^дорига н&нг катта шкка аитрлади. Дгар жием-
га d'Q иссицлик мицдори берилганда унинг температураси dT цадар
£74
ортса, У цолда таърифгз кура жиемнинг иссицлик chfhwh цуйяда-
гича б$ладш
С«-=^- (102.3)
(102.3) катталикнинг £лчамлнги ж/град булади.
Бир киломоль модданинг иссицлик ситимини С царфи билан бел-
гклаймиз. С нинг улчамлиги ж]град-кмоль булади.
Модда массаси бирлигининг иссицлик сигнмн солиштирма
йссицлик сигими деб аталади. Уни биз с царфи бнлан белги-
лаймиз. с нинг рлчамлнги ж]град-кг.
Бир киломоль модда инкг иссицлик Сигими билан уша модданинг
солиштирма иссицлик сигими Уртасида цуйидаги муносабат бор:
с = —. (102.4)
И
Иссицлик сигиминкнг катталнги жиемни иситмш вацтидаги ша-
ронтларга боглиц булади. Жисм цажми Уэгармайднган шароитда
ёки босими узгэрмайдигян шароитда иситилган цоллардаги иссицлик
chi ими энг куп цизициш уйготади. Биринчи цолда иссицлик сигими
Узгармас цажм ичроитидаги иссицлик сигими деб аталади ва
билан белгкллнади, иккинчи цолда узгармас босим шароятндаги ис-
енцлик сигими деб аталади ва Ср билан белгнланади.
Агар жисм цажми узгармайднгаи шароитда иситилса. бу жисм
ташци жисмлар устида иш бажармайдн ва, би иобарин, термодиыа-
миканинг биринчи асосига [(95.4) га ц. мувофиц, бутуя иссицлик
жиемнинг ички энергиясиин ортгирншга кетадн:
d'Qv—dU. (102.5)
(102.5) дан цар цандай жиемнинг £згармас цажм шароитидагя
иссицлик смгими цуйидагига тенг эканлиги келиб чицади:
С,-*£ (102.6)
Бннобарин, бар киломоль идеал газнинг Узгармас цажм шарой-
тидаги иссицлик сигимини топиш учун газ ички энергнясининг (102.1)
нфодасини температуря буйича дифференциаллаш керак. Дифферен-
циал лаб Cv ня топамиз,
C, = |ff. (1027)
Бу ифодадан идеал газнинг узгармас цажм шароитидаги исснц-
лик сигими газ цолатининг параметр ларига, ж ум ла да и температура-
га боглиц булмаган 5'згармас катталик эцйнлиги келиб чицади.
Шуни эслатаб ртамнзки, (102.7) ин эътиборга олганда идеал
газнинг ички эиергиясини цуйидаги крринишда ифодалаш мумкин:
4«.=V- (,028)
275
Агар газ узгармас босим шароитида иситилса, у цолда газ кенга-
йиб, ташци жисмлар устида мусбат иш бажаради. Бннобарин, бу
цолда газнинг температурасини бир градусга ошириш учун уни уз-
гармас цажм шароитида иситгандагага цвриганда купроц иссицлик
керак; бу цодда нсснцликнинг бир цисми газнниг иш бажаришига
сарф булади. Шунинг учун Узгармас босим шароитидаги иссицлик
сигими Узгармас цажм шароитидаги иссицлик сигимвдан каттароц
бУлиши керак.
Бир киломоль газ учун термодинамика биринчи асосининг (96.4)
тенгламасиин ёзамнз:
d'Qr =-= dUm dVK„, (102.9)
Бу ифодада d'Q ёнида турган р индекс иссицлик газга р босим Уз-
гармас булган шароитда берилаётгаинни курсатади. (102.9) ни dT
га булиб, бир киломоль газиянг узгармас босим шароитидаги иссиц-
лик сигимининг цуйидаги ифодасини топамиз:
с^+,^. (102.10)
Юцорида куриб утганимиздек, цад киломолнинг узгармас цажм
шароитидаги иссицлик сигимидир. Шунинг учун (102.10) формула
цуйидагича ёзилипш мумкин:
с₽=с^ + р(^); (,02и)
катталик Р босим узгармагаида киломолнинг температураси
бир градусга ортгаида унинг цажми олган ' орттирмадан иборат.
(98.13) цолат тенгламасига мувофиц равишда,
V
““ р ‘
Бу ифодани Т буйича дифференциаллиб (р — const), цуйидагини
топамиз:
== R
\ dT 1Р р
Ницоят, бу натижанн (102.11) муносабатга цУйиб, цуйидагини
топамиз:
Cp-Cv+R. (102.12)
Шундай цилиб, босим Узгармагаида бир киломоль идеал газнинг
температураси бир градусга ортгаида бажарадиган иши универсал
газ дсимийсцга тенг булар экан.
Шуни цайд циламизки, (102.12) муносабат идеал газ цолатининг
тенгламасидан фойдалаииб топилди ва бннобарин, у фацат идеал
газ учунгнна тугридир.
276
(102 7) формулами эътиборга олиб, Ср ни цуйидагича ифодалаш
мумкин:
+ (102.13)
(10 2.13) ни (102.7) га б$>либ. цар бир газ учун узига хос бул-
ган Ср нинг Cv га ннсбатнни топамиз.
(102.14)
(10 2.14) дан куриниб турибдики, у катталик молекула эркинлик
даражаларининг сони ва характерн бнлан аницланар экан.
4- жадвалда Ск„ Ср ва у ларнинг цар хил молекулалар учун
(102.7), (102.13) ва (102.14) формулалардан топиладигаи киймат-
лари келтирилган.
5- жадвалда назариядан топнлган натижалар экспериментал
маълумотлар билан солиштирилган. Назариядан топнлган циймат-
лар молекулалар цаттиц деб цилинган фараз асосида (жадвалга
берилган эслатмада курсатилган битта цолдан мустасно) олинган;
экспериментал маълумотлар эса уй температурасига яцнн темпера-
тураларда топнлган.
___________________4- ж а д и я я
Молекула Атоылвр орпсндагн Эркинл ик даражала- рк сони / cF ск I
характерн Илгар. айл. пор.
Бир атомли - 3 - - 3 * л|сч 4* 1,67
Икки атомли Капиц 3 2 - 5 Ct 1,40
« Эластик 3 2 1 7 4* 1,29
Атомларининг сони учта ва ундаи ор- тиц Капиц 3 3 - 6 1 1,33
5- ж а двал
Го дяги атоы- лар сонн Су .1<г-з •t/град. клом ср. ю-з зк]град. кмг'М 1
Нала)». тажр. ваажр. тажр. iraaap. тажр.
Гелий (Не) 1 12.5 12,5 20,8 20,9 1.67 1,67
Кислород (Oj) 2 20.8 20,9 29,1 28,9 1,40 1.40
Углерод оксилн (СО) . . . 2 20,8 21.0 29.1 29,3 1.40 1.40
Сув бугляри (Н2О) . . . 3 25.0 33,2* 27.8 33.2 41,5* 36.2 1.33 1.25* 1.31
пи» Ьу маълумотдар / = 8 булган, яъни яна битта кУшимча тебранма эркнп-
Даражаси бор деган цолга тегншли.
277
5- жадвалдан нррипиб турганидек, биринчи цярашда наэарня ва
тажриба натижалари доч булмагаида бир атомли ва йкки атомли
молекулалар учун жуда доноатяаварлн даражада мос келади. Ар.
лида эса шундай эмас. Биз курнб ^тган назарияга мувофиц, газ-
ларнинг мссицлик сигнмларн7?/2 га мррали булган бутун совлар
б£лиши керак, чункя эркинлик даражалари сонн фацет бутун сов
була оладн. Шунинг учун Cv ва Ср книг R/2 га каррали булгэа
4
293- ржи
цийматларидаи салгина фарц цилиши принципиал роль уйнайдн.
Жадвалдан куриниб турибдики, бундай фарцлар. бор, дотто улар
улчашлар вацтида й£л ц£йилиши мумкин булган хатолардан ан^а
катта.
Иссицлик сигимининг температурага цараб уэгаришига мурожаау
цилинганда назарня билан эксперимент орасидаги келишмовчнлнк ей-
мнцса сезиларлн булиб цоладн. Бнр киломоль водороднинг Cv ис-
сицлик сиримн билан температура орасидаги богланишнмнг тажри-
бзда топилган эгри чизнгм 233- расмда тасвирланган. Назарияга
мувофиц, иссндлик сигнми температурага боглиц булмаслиги керак
1(102.7) га ц}. Расмдан куриниб турибдики, бу дол маълум темпе-
ратура интерваллари ичидагина тугри булади. Лекин дор хил ин-
тервалларда иссицлнк сигимининг дойматларн молекуланинг эрицц-
лик даражалари с.онинйнг >jap хил цийматларига мос келади. Ма-
салан, 1—Г цисмда Cv иссицлнк сигими 3/2^ га тенг. Демак,
молекула $'знни фацат илгарнлзима эркинлик даражаларига эга
булган система каби тутади. 2—2' цасмда Cv иссимхк сигими
— R га тенг. Бинобарин, бу цисмга тегишли температураларда мо-
лекулада анча пастроц температураларда намоён буладиган учта
нлгариланма эркинлик даражаларига яна иккита айланма эркинлШ
даражяси ц^шилади. Нифонт, етарли даражада юцори температура-
лард» Cv нссш^шк сигами ~ J? га теиг б<7либ цоладн, бу дол эса.
278
бундай темпсратуоаларда молекула тебранма царакат флишидан
дадолат беради. Айтнб утилган бу интерваллар орасида иссндлик
сигиии температурага богли^ равишда монотон усади, яъни исоц,-
яик смтимц эркинлик даражаларкнннг бутун б$лмаган Узгярувчм
Соната нос квлгандай булади.
' Шундай ^илиб, молекуланинг иссндлик сиримвда намоён бУлз-
орган эркинлик даражалари сони температурага бониц экан. Паст
текператураларда молекулалар фа^ат нлгариланма ^аракат ь^илади.
Юцорироц температура.тарда молекулалар илгарнланма царакат ^н-
лиши билан бирга айланади >>ам. Нидоят, янада юь.ориро^ темпера•
тураларда даракатнинг оддинги иккита турига молекулаларнинг
тебранма ^аракати дам цушилади. Иссндлик сю ими эгри чизигииннг
монотон юришндаи шу нррса куринадики, бунда айланма, с^нгра
эса тебранма даракат цилйщга молекулаларнинг ^аммаси бирданига
киришмайди. Анвал, масалан, молекулаларнинг озроц кисми айлан-
ма даракатга келади. Температура кугарилиши биэан бундай моле-
кулалар сони орта бориб, маълум бир температурага эришнлгач,
|4Олекулаларцинг деярли цаммаси айланма царакат циладиган була*
ди. Молекулаларнинг т* бранна ^аракати учун >^ам шундай ^одиса
содир булади.
Иссндлик сигимининг характери бундай булииж сабабини кпапт
механикаси шархлаб беради. Квант назариясининг курсатишича,
молекулаларнинг айланма ва тебранма ^аракатларн энергияси квант-
лангап булади. Бунинг маъиоси шуки, молекуланинг айланма ^ара-
кат энергияси ва тебраииш энергияси ихтиерий ^ийматларга эмас.
балки фацат дискрет цийматларга (яънн бир-бнрндан чекли мицдор-
га фарц цилувчи ало\ида цайматларга) эга бу-тади. Бинобарин,
\аракатнинг бу турларнга тегишли булган энергия фацат сакраб
Узгариши мумкин. Ймариланма ^аракат энергияси учун эса бундай
чгкланнш йу>4, яъни у узлуксиз Узгаради.
Тебранишларга тегишли энергиянинг йул цуйиладиган алохнда
цийматлари (ёки физикада цабул цилннганмча айтганда, энергия сатц-
лярн) орасидаги интерваллар айланма ^ракат энергнясииикндан бир
тартиб ю^ори булади. Иккиатомлн молекуланинг ийланма ватебряи-
ма сатхларннинг соддалаштирилган схемасн 234-расмда берилган1.
106-^ да биз газ молекулаларининг купчилнгининг энергияси
уртача е энергия цийматига яцин булиб, жуда оз ^нсмининггина
энергияси уртача е эпергиидан анча катта булишнии курамиз. Шу
туфайли молекулаларнинг сезиларли удуши айланма ёки тебранма
^Зракатда нштирок этиши учун уларнинг уртача энергияси тегишли
энергиянинг йул цУйиладнган свт^лэра орасидаги масофага нисба-
бвтан етарли даражада катта булиши керак.
Шунчалик паст температура олайлнккн, бунда молекуланинг в
Уртача энергияси айланма царнкат энергиясннинг йул цУйнладиган
Аслнда нЧланма сапртарн орасидаги масофалар бнр хил эмас. Лекин бмшнг
ий текшираётгян масала учун ацаыняти fify
279
биринчи цийматидан анча кам булсин (234- расмдаги пастки пунк-
тир тугри чизицца царанг). У вацтда барча молекулаларнинг арзи-
маган цисмигина айланма царакат цилади. Шунинг учун газ моле-
кулалари фацат илгариланма царакат цилади, деса булади. Темпс-
ратуранинг унча катта булмаган Узгаришлари илгариланма царакат
эвергиясинигина узгартиради. Шунинг учун газнинг иссицлик сиги-
ми у /? га тенг булиб чицади (233- расмда тасвирланган эгри чн-
зицнинг /—/' цисмига царанг)^
Температура кутарилганда в ортади, бунинг натижасида моле-
кулаларнинг борган сари купроц цисми айланма царакат цила бош-
лайди. Бу процессга 233- расмдаги эгри чизициинг г—2 цисми мос
Еайл
(Ю^ори
тенп)
келади.
Молекулаларнинг цаммаси айланма царакатда иштирок этадиган
булгандан кейин 2—2' горизонтал цисм бошланади. Бу цисмга те-
гишли температураларда цалн в уртача энергия тебраниш энергия-
сининг йул цуйиладнган сатцлари орасидаги
масофадан анча кичик булганлнги учун
амалда молекулалар тебранмайди. Темпе-
рнгура янада кутарила боргани сари то-
бора к^проц молекула тебранма царакат
цилишга интила боради, бу процессга нссиц-
лик chfhmh эгрн чизигннннг 2'—3 утнш
цисми мос келади. Ницоят, етарлича юцорн
температурада бирча молекулалар тебранма
царакатда иштирок эта бошлайди, шунинг
учун иссицлик СИГИМИ-g-/? га тенг булиб
цолади.
Иссицлик сигнминипг биз нлгара сурган
классик назараясига цайтар экакмиз, унинг
натижалари айрнм температура интервалла-
ри учун тахминан тугри ва шу билан бир-
га, цар бир интервалга молекуланинг уз
эркинлик даражалари сони мос келади, деб
айтиш мумкин.
103- §. Идеал газ аднабатасииниг
тенгламаси
-----1
(Цртачатемп)
\^---£(паып.
О темп)
0^
234- раем. Ташци муцит билан иссицлик алмашмас-
дан юз берадиган процесс адиабатик про-
цесс деб аталади. Идеал газнинг адиабатик процессдаги’ параметр-
ларини бир-бирига богловчи тенгламаии топамиз.
Термодинамика биринчи асосининг (96.4) тенгламасига идеал газ
ички энергиясининг dU ифодасини цуямиз:
d'Q = "c.dT + jxIV.
Адиабатик процесс учун d'Q — 0 булгани учун, цуйидаги шарт
бажарилиши керак:
-CjdF+p <IV=0. (103.1)
Энди идеал газнинг цолат тенгламасидан фойдаланнб, р ни V
ва Т орцали нфодалаймиз:
ва уни (103.1) га цуямиз. Нолдан фарцли m/р купайтуичига цис-
цартириб, натижада цуйидаги ифодани топамиз:
C^+RT- =0.
Бу ифодани цуйидагича ёэамиэ:
^ + Д^=о.
Т V
Буни эса
d(blT+^ 1пГ)-0
куринишда езиш мумкин; бу ифодадан адиабатик проиессда
In Т +£- In Г- const (103.2)
эканлиги келиб чицади.
Идеал газ учун Ср—Су = /? эканлигини цисобга олиб, RlCv
нисбатии у—1 орцали алмаштириш мумкин; бу ерда у^Ср/Сг
(103.2) да нисбатни у— I билан алмаштвриб ва чиццан нфо-
дани потенцирлиб, цуйидаги тенгламани топамиз:
TV-1 = const. (103.3)
Топнлган бу муносабат идеал газ адиабитасияинг Т ва V уз-
гарунчилар орцали ёзилган тенгламасидир. Бу тенгламадан р ва V
узгарувчилар орцали ёзилган тенгламага утиш мумкин, бунинг учун
идеал газ цолатининг тенгламасцдаи фойдаланиб, Г нк р ва V ор-
цали алмаштириш керак:
т =±
m R
Бу ифодани (103.3) га цуйиб ва т, р ва R — доимий миадорлар
эканлигини цисобга олиб, цуйидаги муносабатни топамиз:
pV1 —const1. (103.4)
’ Равшанки, (103.2)—(103.4) муносабатлардагн consl нинг циймати турлича.
281
(ЮЗА) муносабат идеал газ адиабатасннинг р ва V узгарувчн-
лар орцали ёзилган тенгламасндир. Бу тенглама Пуассон тенг-.
ла маем деб цам аталади.
Адпабатанинг (ЮЗА) тенгламаенни иэотерманинг (98.3) теигла-
масига солиштиркшдан адиабата изотермага царагаида тикроц эцан-
лиги келиб чнцади. Изотерма ва аднзба-
• ™ W’lv BWir 6bi' О’- V) "W
\ I тадаги цийматини цисоблаб топамиз (235-
\ I раем). (98.3) тенгламани днфференциал-
М лаймнз:
р dV 4- Vdp = О,
бундан изотерма учуй цуйидагини тона-
' у мнз:
235-р». <"”S>
(103.4) ни дифференциаялаб.
рук'-1 dV + k’d/>=0
тенгламйии топамиз, бундан
Шундай цилиб, адиабата цнялик бурчагннинг тангенсн нзотерма-
мниига цараганда у марта ортиц экан.
Бу мулоцазаларнинг цаымасида биз газ цолатн цар ^ИР пайтда
р ва Т параметрларнинг маълум цийматлари билан характерланади
деб, бошцача с?з бнлан айгганда, текшнрндаёттан бу адиабатик
процесс ыувозанатли процесс, деб фираз цилгав эднк. Бкз биламнз-
кя, жуда секин Утадиган нроцессгина мувозанатли процесс була
олади. Шу билан бирга, нссицликни мутлацо уткаэмайдиган мод-
далар табиатда булмагани учун, бу процесс цанча цисца вацт да-
ном этса, системанинг атрофидаги муцит билан алмашннаднгаи нс-
енцлик мицдори шунча кам булади. Шундай цилиб, тез утувчи
процессларгииа адиабатик лроцессларга яцин булиши мумкин. Бун-
да! нроцессга ичцдв товуш тУлцини тарцалаётган газнинг цар бир
нуцтя\'ида юз берадиган сяцмлиш ва кенгайиш процесс» мисол бу-
яа олади. Бунда газнинг цалатн катта цажм ичида ыувозанат-
ля булмаганлигига (цар хил нуцталарда р ва Т цар хил) царамай,
цвр бир анча кичик цажм ичида газнинг цолатн (103.4) адиабата
тенгламасн орцали анча цаноатланарли равишда тавсифланади.
104-§. Полнтропнк нроцесслар
Биз юцоридаги параграфларда текширнб утган процессларнинг
даммасн полнтропнк процесСнйнг хусусий цолларидир. Агар бирор
процесс дэвомнда идеал газнинг босыми билан цажми -орасцдагн
богланиш
дан -J-оо гача цийматлар цабул
п Проиад
0 1 изотермик Аднабзя<н Иэохорик
const (104.1)
муносабат билан нфодалевса, бундай процесс политропик процесс лвб
аталади, бунда л курсаткич —со д;:: ’ ~ “"бу."
цилади.
6-жадвалда в нинг шун-
дай цийматлари курезтилган-
ки, бунда политропик процесс
бизга олднндаи маълум бул-
ган ироцесслардан бырига эй-
ндн ухщдб. цолади. Жадвал-
нйнг олдннгй учта сатрм уз-
узидан равшан. Туртинчн
сатрнинг тугризканлигнга
1ШЮНЧ осяя цнлиш учун
(104.1) политропа тенгламаенни
рЛ?-лГ;,
бундаги 1 ва 2 нндекслари нхтиёрий равишда олинган иккита V>
латги тегишли. (104.2) дан п даражали иддиэ чнцарамиз:
цуйидаги кураншида £зэммэ:
{104.2)
fit h-P;v,.
Энди л нм -j-со ёки —со га интилтирсак, биз
Vj-V.
шартга келамиз, бу шарт изохорик процессии характерлайди.
Бир киломоль идеал газ учун ёзилган цолат тенгламэенга асо-
сан,
₽ = Rr (104.3)
р нинг бу цийматини (104. 1) тенглама га цуйсак ва Ц нннг уэгар-
мас катталик эканлигини цисобга олсак, политрояанинг Т »а V уэ-
гарувчилар орцали ёзилган тенгламаенни топамиз:
7V,_|-const' (104.4)
Бнр киломоль идеал газнинг политропик процессдегв нсснцлич
сигнммни топаАлик. (98.4) ва (102.8) га асосан,
d'Q = CydT + pdV.
Бннобарин,
С - Sr ж Ч + ₽ St (104.6)
1ЙЗ
дг ни топиш учун политропанинг (104,4) куринишдаги тенглама-
сидан фойдаланамиз. Бу тенгламанн дифференциаллаймиз.
V-'dT + Т(л-1) V "~‘dV = О,
бундан
dV _ V R
dT Т(п— 1) “ Р{п—1)
бу ерда биз (104.3) муносабатдан фойдаландик.
-dt- нинг топнлган цийматини (104.5) формулага цуйсак, бир
киломоль идеал газнинг политропик процессдаги иссицлик сигими
цуйидагича ифодаланади;
(104.6)
Бу ифодада р, V ва Г цолат лараметрларн цатнашмайди. Шундай
цилиб, (104.6) иссицлик сигими доимий катталик экан. Шу мупо-
сабат билан политропик процессларни иссицлик сигими Узгармай
цола берадиган процесслар деб таърифлаш мумкин. Бу таъриф
(104.1) таърифга цараганда анча умумийроц; бу таъриф ихтиерий
табиатлн жисмлар цамда системада рта цулланилнши мумкин,
(104.1) таъриф эса фацат идеал газ учун тутридир.
С =*Сп — const деган фаразга асославиб туриб, бу шароитда
идеал газ (104.1) тенгламага буйсунишини курсатгаи мумкин, бу
ерда
(104.7)
Бу хулосани машц тарицасида чицариб куришни тавсия этамиз.
105-§. \ар хил процессларда идеал газ бажарадиган иш
Маълумки, барор жиемнинг 1 цолатдан 2 цолатга утишила
ташци жисмлар устида бажарадиган иши цуйидагига тени
(96 3 га ц.):
А.= \pdv.
(105.1)
Бу ннтегрални ечиш учун р ни V орцали ифодалаш керак. Бу-
нинг учун цар хил процесслар вацтида р билан V орасидаги бог-
ланишдан фойдаланамиз.
Идеал газ политропасининг (104.1) тенгламасини цуйидагича
ёзиш мумкин:
284
бу ерда plt V, ва ps, V2—газнинг мос равишда биринчи (бошлян-
гич) ва иккинчи (охирги) цолатларидаги босими ва цажмининг
цийматлари, р ва V—ихтиёрий оралиц цолатдаги босим ва цажм.
Бу муносабатга мувофиц равишда, газ босимини унинг цажми
ва бошлангич цолатидаги параметрларанинг цийматлари орцали
нфодалаймиз1:
р=12У1. (105.2)
И
(105.2) ни (105.1) га цуйиб, ишни топамиз:
(Ю5.3)
Аввало булган цолни куриб чицамиз; у цолда (105 3) даги
интеграл цуйидагига тенг булади:
Интегралнинг бу цийматини (105,3) га цуйиб, соддагнна шакл
алмаштиришлар бажарсак, ишни топамиз:
А.-Ц ’-(ЙГ']- “М'4)
Идеал газ цар цандай процессда цатнашганнда цам унинг параметр-
лари узаро (98.14) цолат тенгламасига асосан богланган булишн-
дан фойдаланиб, ишнинг (105.4) ифодасини бошцача ёзиш мум-
кин. Жумладан, бу цол бошлангич цолат учун цам тугри:
(105.5)
(105.5) нм (105.4) га цуйиб, ишни топамиз:
А»—
(105.6)
(105.4) ва (105.6) ифодалар идеал газнинг мзотермик процесс-
дан (бунда n —1 булади) бошца цар цандай политропик щюцессда
бажарадиган ишидир’. Хусусан, адиабатик процессда
^,нГ]
(105.7)
' Боснии охирги цолатнинг параметрлари орцали цам худди шундай ифода-
лаш мумкин.
* л=1 булганда (105.4) ва (105.6) ифодалар ноаниц булиб цолади.
2*5
еки
*•= 7 j- (10Б8>
Идеал гязнинг «зотермик процессда бажарадиган ишннн дисоб-
лйб чй^ариш учун (105.1) формуладаги босимни >{олат тенглама-
сига мувофи^ равишда бошца катталиклар ортали ифодаДаймиз.
Натижада, ишнинг ифодасини топамиз (Т узгармас булгани учун
у ни интеграл остидан ташцарига чшздшш мумкин):
л„ -
Шундай ^илиб, иэотермик процессда идеал газ бажарадиган
нш щгйидагига тенг:
Ai-jT w In^S. (105.9)
Изобарнк процессда дар цандай жисм бажарадиган, шу жум-
ладнн идеал газ бажарадиган иш, (105.1) га асосан, вдгйидагига
тенг булади:
(105.10)
(105.4) да п нм поЛга тенг деб олгаида цам аЙни ₽ша «ати-
ж( келиб чицади. Пировардидд ту ня цайд ^иламизки, изохорик
цкгаеосда иш нолга тенг булади, бу дол дар ^яндай жисм учун т$г-
ридир.
ЮЙ-g. Газ молекулаларянииг тезликлар буХича тадсимляняшм
Гат молекулаларв жуда хилма-хил тезликлар билан дяракят
цнлади; алкида влннган дар бнр молекула тезлиги дам катталиги
жидатдан, дам йуналиши жндатдан молекулаларнинг бкр-бирн-
га т^цнашувн туфайли муттаенл Узгариб туради (кейинчалик биз
журамнзкн, нормал шаронтларда дар бар молекула секундига тех-
ника н 10е туднащувга дуч келади).
^аракатнинг барча йуналишлари тенг вдтимолли булган и учун
молекулалар йуналишлар буйича бир текис тацсимлаиади: цир даи-
дай ориентирлангаи, лекин катталиги узгармас булган AQ фазовнй
бурчак ичида Jfap бнр пайтда урта дисобда бир кил A(Vf сондаги
молекулаларнинг ^аракатн йуналиши ётади.
Молекулалар тезлигннннг и сон цнйматига келганда адол бош-
цачароь;. v нинг нолдан чексизликкача булган со\адаги мумкин
б|лгая ^ийматлари бнр хил э^тимоллик билан учрамайди. Бу ку-
лоса цуйидагн муло\азалардан келиб чицади. Ту^нашуаларда мо-
лекула лари ин г тезлиги тасодифий равишда узгаради. ^андайдир
бнр молекула кеша-кет цжтор туцаашувларда узи бнлан ту»ушш-
г1н бошца молекулалардан энергия олишн ва натижада унинг
впертидеи c fpTa цнАматдан анча сртиб истин мумкин. Лекин
газнннг дамма молекулалари уз эиергивеинн ника- ю нгонв мссчеиу-
лага бериб, $злари тухтаб цоладиган жуда фантаствк доши тасав-
вур этганда хам бу молекуланинг энергияси ва, бинобарин, унинг
тезлиги чехли булади. Шундай цнлиб, газ молекулаларвнинг тез-
лнги бирор цинматдан бошлаб со гача булган цнйматларга
Хеч эга 6Ул* одмайдж Барча молекулаларнинг жамн этрлисинццг
сезиларлн ^меммни битта молекулага туплашга олиб келаднгав
гроцесслариинг содир булиш э\тнмоли жуда кам, шуннмг учун
тезликвниг уртача цнйматиг* нисбатан жуда катта болтам тезлик-
лар жуда камдан- кам ^олларда учрайдн, деб айтиш мумкин. Худ-
дн шунннгдек, молекулаларнинг у зеро туцнащншларн взтнжаснда
молекуланинг тезлиги расо волга тенг булншн }(ам аыалда мумимн
эмас. Бииобарин, уртача цмйматга нисбатан жуда кичик ва шунияг-
дек зКуда катта тейлнкли молекулаларнинг учраш в^тимоли жуда
кичик экан. Шу билан бнрга, «->0 булганда^ам, ссб^лганда хам
шундай тезликли молекулаларнинг учраш эхтимоли нолга ннтилади.
Айтнлганлардан шундай хулоса чицадики, молекулаларнинг теэ-
ликлары асосан энг катта эхтимолли бирор цнйматга яции булади.
Молекулаларнинг и нинг цнйматларн буйича та^снмланишиин
ми^дор томондан тевсифлайдиган усулни аницлаш учун цуйндэгн
нургазмали й^лдан фойделанамиз. Тезликларнинг цийматларнни о
уцида нуцталар билан белгилаб чицамиз, у ^олда Xе Р бир молеку-
лага бу угуга битта нуцта мос келади. Бу нуцтанннг cshoi; бошн
деб цабул цилинган О нуцтадан ^исоблантан маеофасн сом жи*
хатидан мазкур молекула тезлигининг катталигига тенг булади
(236- раем).
Бирор миедор газдагн барча N дона мочекуланннг тезлик лари-
мн бар ва^тда ашщлаш усулини би.чамиз, деб фараз ^ялайлик.
Топилган натижаларнн v 5^ндэ ну^талар шактида белгнлаб чицсак1,
молекулалар тезликларинмнг барор t пайтдаги *оний фотоеуратшнр
цосал л^илган б^ламиз (237- расы). Агар v нннг хаммй цийматлврц
эхтимоли бир хил булганда эди,
бу ну^талар v уца буйича бир
текис тацсимланган булар эди.
Лекин юцорида курган иынздек,
тезликлар асосан эхтимоли энг
катта булган бирор кмнматга
я^ин цнйматларга эга булади.
Теэликнинг нолга я^ин ва жу-
да катта ^нйматлэри анча кам
учрайди. Шунинг учун v $цида
ну^талир яотекис тацсимданади,
уларнинг эичлиги ^цнннг хаР кил
Кисмларнда хаР хил булади.
1 Хар бир иу^таяи белгплаб члунв учу» атнги бнр секунд сарф.пмж
S, 7 10'» пу^тани белгилаб чирпи учун ИЯ* вил мециат цнлГан б^ляр «днк.
~ 1Г- "
V,
236- уесм
AM,
о
о dff
237- рясм.
Нуцталар зичлигнни Ас интервал ичига тушган AAf„ нуцталар
сонининг уша интервал катталигига нисбати сифатида (237- раем)
таърифлаб, яъни
деб олиб, бу катталик v нинг фуикцияси |р=р(о)| деб айтиш мум-
кин. КаЦиЦат0н дам, р нинг «циймати До интервал v уцнинг цаерн-
да олинганига. яъни v га боглиц.
Икки молекуланинг цар бир узаро тУцнашиши тегишли нуцта-
ларнинг v Уцидаги вазиятини тасодифий равишда узгартирадн. Шу-
нннг учун tt, I, ва цоказо пайтларга тегишли цатор <фотосуратли-
ричи» (238-раем) бар-бирнга солиштирсак, умуман айтганда бу
«фотосуратларда® устма- уст
.4р. _ тушадиган нуцталар булманди.
* X х н у» нн w «Пекин газ мувозанат цолатда
' ~ (яъни параметрлари узгармайди-
tt-----м- X н х —м >- ган холатда) булса, молекула-
.............................. ларнинг тезликлари буйича тац-
h - к м м м хх х и г енмлаииши Узгармаи цолаверади.
•.............................Шунинг учун v уцинннг цар хил
. ............ ^|jcm щрцддрц НуцТалар тацсимо-
23в-рисм Тйнинг зичлиги цамма вацт бнр
хил булади.
Газнинг айнан бир хил шароитларда (р ва Т лари бир хил)
турган бир .нечта порциясини олсак, улардаги молекулаларнинг
тезликлари буйича таценмоти дам айнан бнр хил булади. Ленин
нуцталарнипг с уцида тацсимлааищ характера бир хил Солгали
цолда. уларнинг зичлиги молекулаларнинг текширилаётган N сони-
га пропорцмонал булади ва бннобарин, газнинг дар хил порцмялзри
учун цар хич булади. Исталган мицдордаги газ учун цуйидаги
муносабат уринли булади.
pfr-L= 1 A/v«
ri V tw
/м =
(106 1)
Шу тарзда аницланган [(и) функция газ молекулаларининг тез-
ликчари буйича тацсимланишини харантерлайди ва та цен мот
фуикцияси деб аталади. /(о) функциянинг шаклини бмлгаи цол-
да берилган N дона молен уладан тезликлари До интервал ичига
тушадиган молекулалар соннни, яъни тезликларининг циймати о
дан t'-J-Ao гача содада ётаднган молекулаларнинг Д/Vj, сонини то-
пищ мумкни:
bN„=Nf(v)&v. (106.2)
Куйидаги
ЛЛ’г „ X л
Г~W < (105.3)
288
нисбат молекуланинг тезлигн тезликларнинг берилган До интервали
(о билан п-|-Лс ораснда ётадиган интервали) ичидаги циГяиатларга
эга булиши эцтимолини курсатади (Д/V ёнидаги и индекс Д и ин-
тервалнн белгилаш учун ишлатилган)1.
v Уцни нечта интервал™ булиш мумкин булса, ушанча &vt
интерваллар буйича олинган
йигинди, равшанки, молекулаларнинг тулиц Д' сонига тенг булишя
керак. Бундан тацсимот функциясинннг цуйидаги хоссаси келиб
чицади:
V/(of)Ao, =1. (106.4)
Бу натижанм цуйидагича изоцлаб бериш мумкин:
ифода молекуланинг тезлигн 0 дан со гача булган со^адаги цим-
матлардан бирига тенг булкшииинг эцтимолидан иборат. Молекула-
нипг тезлигн албатта цандайдир бир цийматга эга булгани учун
аитиб утилган бу эцгимол ишопчли воцеанннг э^тимоли булиб, у
бирга тенг.
Аницроц айтганда, (105. -1) шарт цуйидагича ёзилиши керак:
| f(v)dv~ 1. (106.5)
(106.2)—(106.5) мупосабатлар тацсимот функциясннинг уму-
мий таърифидан келиб чнцмб, бу функциянинг конкрет куриннши
цандай эканлигига боглиц эмас.
Тацсимот функциясини назарий й£л билан Максвелл топган
булиб, бу функция унинг коми билан аталади. Бу функциянинг
куриниши цуйидагича:
—ЙГ -
f(v)=Ae v\ (106.6)
бу ерда А—и га боглиц бУ'л.маган купайтувчи, т—молекуланинг
массаси, А—Больцман доимийси.
Максвеллнинг тацсимот фуикцияси учун ту нарса характерли-
кн, е нинг даража курсаткичцда молекуланинг царалаётган и тез-
1 Бирор молекуланинг тезлигн ихтиёрий олинган маълум бир v цннматга тенг
булишининг эцтимолн 0 га тенг. Бундай булишиншгг сабабн шундики, о книг
мумкин булган цийматлари соня чокенз булиб, молекулаларнинг N сонн гарчн
жуда катта б^лса цам, лекин чекли (100-§ дагн (100.1) билан (100.2) орас.ч-
даги текстга солнштярннг!
19—1317
289
jiurwa мое келадиган тиу2 кннетшг энергиясининг ^ifT нлттлмшц,
яъни молекуланинг Уртача энергмяснни ифодаловчи каттздиниа
«—> ишора билан олннгаы нисбати туради.
v ортгаида е~*°* муринншдагн к^пайтувчи г? купайтужяпшнг
ортмш суръатнга царагаада тезроц камаядн, шунинг учун тацснмот
функцияси нолдан бошланиб (о3 купайтувчн сабабли), макснмумга
ftO)
аришади ва суигра асимптотик
равишда нолга интилади (239-
раем), /(о) эгри чизиц цуршаб
турган юз (105.5) муноса-
батга мувофиц бирга тенг.
(105.5) шарт (105.6) да-
ги А купайтувчнни цисоблаб
топншга нмкон беради:
л( е~ЯГ lfdv_l
239- ржи. Бу шарт функциями нормален]
шартн деб, Дэса норыаловчн
кунайтувчи деб аталади. Хжоблаш натижасида А ммнг циймати
4п(2й£т) "га Т0НГ 9канлигн виицланган. Шундай цилиб Максвелл
тацсимот функцнисянннг куриниши цуйидагича экви;
7М“^(аЯт)'/’' л (100.7)
Кутгаиимиздек, функциянииг конкрет куриниши газнинг тури-
г> (молекулвсининг массзсига) ва цолат параметрита (7 темперй-
турага) ботлиц булиб чицди. Шунн цайд цнламизкм, газнинг босими
ва цажми молекулаларнинг тезлнклар буйича таценмотига таъсир
курсатмайди.
Теяликнннг цацицатда учрайдиган цийматлари чекли чегара бн-
лан чекланган цолда (106.7) функция тезликнинг чексиз циймати-
дагина 0 га айланганлиги сабабли (105.7) функция тацсимотни
нот^три тавсифлагандай булиб куриниши мумкин. Лекин v нинг
анча катта цайматларнда (105.7) функция нолдан шу цадар кам
фарц цнладики, цозиргина цайд цнлингаи келишмовчилик амалда
цеч цандай ацамиятта sra б^лмай цолади.
Тацснмот функцнясининг максимал цийматига мос келувчи теэ-
ликнинг эцтимоли, равшанки, энг катта булади. Дарцацнцат, агар
тезликлари ихтиерий равишда танлэб олинган, лекин катталиги тенг
булган Ао интервалларда ётувчи молекулаларнинг AN„ сонларн
солишпфилса, у цолда максимум атрофига жойлашган интервзлга
тегишли bNv анг катта булади. Шундай цилиб, /(v) мннг максиму-
ме
мюш -тъпиш мЬсйласнн* ечар эканмиз, биз эцтямоли 9ж катта б?л-
тан 0. г тезликйК тойёан буЛамиз. (105. 6) ни v буйича дифферем-
циаллаб. бундан чиццан ифодани нолга тенглаймиз:
-0.
Тезликнинг бу текгламанн цаноатлантирадиган о ~ 0 ва о=сп
цийматлари До) нинг мннимумларнга тугри келади. с нинг цавслар
ичидаги ифодани нолга айлантируечи циймати биз излаётган о»чт
нинг узгипаси:
"w”/— (Ю6.8)
(106.7) га энг катта эцгимоллн тезликни црйиб,До) нинг макси*
мал цнйматини топамиз:
(106 0)
Тацсимот эгри чизиганийг газ температураснга ва молекула мае*
сасига боглнц равишда цандай Узгаришини тадцнц циламиз. (106. 8)
на (106. 9) лардаи шундай хулоса чицадмкн, температура кутарил-
ганда (ёки молекуланинг массаси камайганда) эгри чизнцнинг мак-
симу ми (иг томонга сурилади ва пасайнб цолади. шу би-
лам бкрга биз бнламизки. эгри чизиц цуршаб турган юз $'згармай
цолаверади. 240- расмда икки-
та тацснмот эгри чизигибир*
ба рига солиштирнлган; бу чи-
змцларнн дар хил 7, ва 7,
температуралдрга (т бир хил
булганда) тегишли деб ёки мо
лекулаларнинг турли хил т1
ва mt массалзрига (7 бир хил
булганда) тегишли деб цнсоб-
лаш мумкин.*
Тезликларн бирор о0 ций-
матдан катта булгаи молеку*
лаларнннг нисбий сони
j В*
ифода билан аницланади.
Графмкда бу интегралга эгри чизиц билан чегараланган юзнннг
Ч) Дад уш томонда ётаднган цисми мос келади. 240- раемдаи ку-
Рнна° турибдики, тезликларн v0 дан катта булган молекулаларнинг
нисоий сони температура к^тарилишн билан тез ортади.
291
У- ж а два л
’.XT —.% 1 в ] 'вхт — % N' 74
0—0,5 в,1 1 2-3 4.6
0,5-1.5 70,7 >3 0,04
1,5—2 16,6 >5 8-10-»
7- жадвалда тезликларнинг ^ар хил интерваллари учун молекула-
ларнинг (105. 7) функцияга мос келувчи &N/N нисбий сонлари
келтирилган. Жадвалдан куриниб турибдики, барча молекулаларнинг
70% идан ортииининг тезлиги энг катта э\тимолли тезликдан 50%
дан ортиц булмаган мшудорда фар^ цилади. Урта ^исобда молеку-
лалардан атиги 0,04 % ининг тезлнги »ЭАТ дан 3 мартадан зиёдроц
катта булади. 12 миллиард молекуладан урта ^исобда фацат битта-
сининг тезлиги 5оит дан ортиц булади.
Молекулаларнинг тезликлари буйича тацсимотини билган цолда
теэликнинг урта цийматини, шунннгдек теэликнинг функцияси бул-
ган ^ар ^аидай катталик пинг, масалан, и* нинг урта цийматини
топиш мумкин.
Тезликлар у^нни жуда кичик &vt интервалларга буламиз. >\ар
бар интервалга, (106.2) формулага биноан, цуйцдаги ми»\дорда мо-
лекула тугри келади:
ДА^=Л До()Ао,. (105.10)
&vt интервал жуда кичик булганн учуй AJVo дова молекула-
дан дар бирининг тезлигини тахминан vt га, яъин теэликнинг Aoz
интервалга тегишли ^ийматларидан бирига тенг, деб дисоблаш
мумкин. У дол да барча N дона молекуланинг тезликлари грймат-
ларининг йигивдисини v, AA't>J куринишда тасвирлаш мумкин.
Бу йигиндини молекулаларнинг N сонига булиб, v уртача тезлик-
нинг цуйцдаги [(106.10) ни дисобга олиб[ ифодасини топамиз:
Йигиндидан интегралга ?тиб, v ни топамиз:
Г- (i06.il)
О
Агар (105.11) га f(v) нинг (105. 7) ифодасини дуйиб, интеграл-
ни дисоблаб чицарсак. дуйндагига эга буламнз:
(106.12)
Г пт'
292
Худди шу йул билан тезлик квадратининг Ь» урта дийматини
дам цуйидагича ифодалаш мумкин:
Бунга До) нинг_ ифодасини д^йиб, интеграл ни дисобласак, г?=»
~3kTlm чидади. v* нинг квадрат илдизи уртача квадратик тезлик
деб аталади. Шундай дилиб
Пррт. на.
Y ~ V т (106.13)
Бу натижа е нинг оддин топилган (99.11) ифодасига мос ке-
лади. Бунга ишонч досил дилиш учун (99.11) да в урннга Inv^iZ
ни дуйиш керак.
Шунга эътибор бериш керакки, &-Ао?рт_ кв ва о =/= о3.
(106.8), (106.12) ва (106.13) ларни таддосласак, на
И>рт. кв. лар газнинг температураси ва молекуланинг массаснга
бир хидда бонлид эканлигини пайдаш мумкин, булар бир-баридан
фа дат сонли купайтувчи билангина фард дилади. Агар оэкг ни I
га тенг деб олсак, й—1,13, Оурткв. =1,22 булади (241-раем).
Яна бир марта шуни даид диламизки, молекулаларнинг теэлик-
лари буйича тадсимланншининг Максвелл топгаи донуни ва ундан
келиб чидадиган барча патижалар мувозанат долатида турган газ
учунгина тугри. Бу донун исталган, бирод етарли дэражада катта
булган Л' сопи учуй дам Уринли. Максвелл донуни статистик до-
нундир. Статистика донунлари эса данчалик куц сондаги бир хил
объектларга татбид этилса, шунча тугрирод натижа беради. Объект-
лар сони оз булганда статистика берадиган маълумотлардан анча-
гина четланишлар кузатилищн
мумкин.
Агар газларнинг мувозанат
долатга эга аралашмаси берил-
ган б^лса, у долда дар бир нав
молекулалар узига тегишли т
билан (106.7) донун буйича тад-
симланади. Огиррод молекулалар
енгилрод молекулаларга дара-
ганда урта дисобда кичик тез-
лик билан даракат дилади.
Молекулаларнинг тезликлар
буйича олинган
2*г Л/о
dNv~ N 4л/
(106 14)
293
тацсимОгига аеослапиб турнб, мвлекулалариииг нлгарилмша цара-
кат кинетик энергияси цийматлари буйича тацснмланишинн топиш
мумкин. Бунин г учун V уэгарувчндан /т?/2 га тенг булган е jta-
гарувчига Jthih керак. (106.14) да v = ~\/^L ва »л-
т т у 2л»
маштиришлар инритиб, цуйидагини топамиз:
dN, =N 8 -1 е кг у е de,
Ул(ЛТ),а
(105.15)
Су ерда dJV,—энергнясининг циймати в дан в f-rfe гача оралицда
ётган молекулалар сони.
Шундай цилиб, молекулаларнинг в цийматлари буйича тацснм-
ланиши
f(e)~A'e №у~?
(106.16)
функция бнлан характерлвнади. бу ерда И"—норма ловчи купайтув-
чи булиб, у —-----га тенг,
Пнровардида молекулаларнинг, масалан, кислород молекулала-
ринннг Уртача тезлнгини чамалаб топамиз. \исобни цулайлаштириш
учун (106. 12) дагн kim нисбат у ринга унга тенг булган Rfy нис-
батан оламиз. У цолда уртача теэликнинг нфодаси цуйидаги кури-
нишга келади:
й= j/jES. <105.17)
Кислороднинг молекуляр огнрлиги 32 га тенг. Бвнобаран, бнр
киломолнинг массаси р=32 кг/кмоль. Уй теыператураси тахминан
300°К га тенг, (106.17) формулага ундагн хатталиклариннг сон
цийматларини цуйиб, и ни топамиз*
10* 300 ^snn
г 3,14-32
Шундай цилиб, кислороднинг цар бир молекуласи бнр секунд
ичида урта цисобда 0,5 км га тенг йул босиб Утар экан. Молеку-
ла бошца молекулалар билан жуда к^п туцнашиб тургани учун
бу йул синиц чнзнц цосил цилунчн жуда куп сондаги тугри чнзиц-
ли цисца кесмалардан иборат булади.
Водород молекулаларининг массаси кислород молекулаларииннг
массасидан 16 марта кичик булга ни учун уша температурада во-
дород молекулаларниинг тезлиги 4 марта ортиц б^лаб, уй темле-
ратурасида урта цисобда деярли 2 км)сек га тенглашади.
291
197- §. Макс вся лниш тацсимот цонуннин тажрибада
текшириш
Молекулаларнинг тезлнгини биринчи марта 1920 йилда Штерн
тажрибада анйцлади. Бу мацсадда ишлатилгай асбоб иккита коак-
сиал цилиндрдан иборат эди, (242- раем). Асбобнинг уци буйлаб
устига кумуш югуртирилган платина сим тортилгац, Бу сим узидан
Этаетган электр токи таъсирцда исиганида унинг сиртидан кумуш
атомлари бугланиб чициб Турган. Бутланиб чицаётган атомларнинг
тезликлари симнинг темлературасига мос эди.
Симдап чиццан атомлар радиал йуналишдарбуй-
лаб царакат' цилган. Ички Цйлиндрда б^йлама-
сига кетган энсиз тирциш булиб, у орцали таш-
царига атомларнинг энсизгина дастйси (молеку-
ляр дзета) чнццан. Кумуш атомлари цаво моло-
ку лалари билан туцнашиб Уз йулидан четлаш-
маслиги учун бутун асбоб ичидаги цаво суриб
олинган. Кумуш атомлари ташци цилиндрнинг
242 раем
юзига бориб утириб, унда энсиз вертикал тасма
к^рпнжиида цатлам цосил цилган.
Aiap бутун асбоб айланма царакатга кел-
тирилса, молекуляр дзета цосил циладиган из
ташци цилицдрнинг сирти буйлаб бирор As ма-
софага сурнлади (2J2- раем). Буига сабаб шукн,
кумуш атомлари цилиндрлар орасидаги масофани
босиб ?тиш учун кетган вацт ичида асбоб бирор
Аф бурчакка бурилиб улгуради, натижада даста-
нинг царшисида ташци цилиндр сиртининг аввал-
ги gt изга нисбатан As — 7?Дф масофага сурил-
ган бошца цисми келиб цолади. (7? —ташци цилиндрнинг радиу-
си). Кумуш атомларянипг царакатини цилиндрлар билаи бирга
айланувчи саноц сисгсмасига нисбатан текширганда из атомларга
2т |v«l га тенг булган Кориолис кучи таъсир цилиши натижасида
кучади деб изоцлаш мумкин.
Дастлабки ва сурилиб цолгаи кумуш тасмачалари орасидаги
As масофани цилиндрларнинг » бурчак тезлигн, асбобнинг геомет-
рияСи ва атомларнинг v тезлигн билан бомаш мумкин. Учиб утиш
вацтини At орцали белгилаб, цуйидаги тенгликни ёзиш мумкни:
As =« gi/?A(.
(Ю7.1)
Ички .цилиндрнинг радиуси ташци цилиндрнинг /? радиуенга
цараганда жуда кичик б^лгани учун кумуш атомларининг А/ учиб
утиш вацтннц цуйидагига тенг деб олиш мумкни:
«.
295
Бу ифодани (107.1) га цуйиб ва цосил булган теигламани v га
нисбатан ечиб, v ни топамиз:
v As •
Изнннг As снлжишини ва асбобнинг айланиш течлигини улчаб,
атомларнинг v тезлигини аннцлаш мумкин. Тугри, бу ерда ахвол
шу билан мураккаблашадики, атомлар тезликларига цараб тацсим-
лангани туфайли уларнинг тезлиги цар хил булади ва натижада,
снлжиган цатлам чаплашиб кетади1. Изнинг профилины (242-расм)
тскшириш орцали кумуш ачомларининг тезликлар буйича тацсимоти
цандай эканлиги тугриснда тах-
Малекуляр ЛГ\ Цолцон миний тасаввур цосил килнш
• » ( -------/нХ—мумкин эдн.
роста Д 1 j \ Штерн тажрибасмнинг нати-
| j v I I жалари атомлар Уртача тсзлиги-
\ J \1 нинг Максвелл таксимотидан
Z г | келиб чицадиган цийматлари tJi-
' ~ рн эканлигини тасдицлади. Тац-
243- расы. симотнинг ^зинниг характери
тугрисида бу тажриба жуда тацри-
бий маълумотлар бера олади, холос.
Тацсимот цонуни Ламмерт тажрибасида (1929 й.) янада аниц-
роц текшмриб курилди. Бу тажрибада молекуляр дзета айланувчи
икки диск орцали ‘утказитган; 6v дисклардаги радиад тирцишлар
бир-бирига нисбатан бирор ф бурчакка снлжиган (243-раем). Би-
рпнчи дискдаги тирциш орцали учиб утган молекулаларнинг цам-
масн цам иккинчи дискдан утавермайди; дзета йулига иккинчи
дискдаги тнрциш т^три келиб цолган пайтда иккинчи диекка етиб
келган молекулаларгина иккинчи дискдан утади. Теэроц царакат-
ланувчи молекулалар иккинчи диекка анча эрта, анча секинроц
царакатланувчи молекулалар эса жуда кечикиб келганлиги учун
иккинчи дискдан олмайди. Шундай цилиб, бу цурилма даста-
дан тезлиги аниц бир цийматга эга булган молекулаларни ажратиб
олмшга никои беради (тирцишларининг эпи чекли булгани учун
бу асбоб тезликларн бирор бу интервал ичида ётувчи молекула-
ларни ажратади) Асбоб ажратиб оладиган молекулаларнинг уртача
тезлиги цуйидаги шартдан топилиши мумкин: бундай молекула-
лариинг дисклар орасидаги I масофани босиб утишга кетадиган tt
вацт (^ = //р) днекларнинг ф бурчакка бурнлишига кетадиган lt
вацтта (Za =ф/ш) тенг булиши керак. Иккала вацтни тенглаштириб,
тезликнн топамиз:
* Асбоб цкмирламаЙ турганда цосил буладнган катламнпнг аии асбобнинг
геомстрнясигогииа, жумладаи, молекуляр дастз члцеднгап тнрцгшнннг еннгаппга
боглнц булади
ДО
Асбобнинг tu айланиш тезлигини (ёки дисклар орасидаги ф
бурчакнн) узгартириб, даста ичидан тезлигининг циймати цар лил
булган молекулаларни ажратиб с >иш мумкин. Сунгра бу молекула-
ларни маълум вацт давомида туплаб, уларнинг дастадагн нисбий
мицдориин аннцлаш мумкин.
Ламмерт тажрибасининг ва уша мацседда утказилган бошця
тзжрибаларнинг натижалари Аичсвелл томонидан наэарий равишда
топнлган тацсимот цонуннга бутун.чай мувофиц келади.
Шу ни цайд цил>Ш1 лознмки, мдишдаги тирцнщдан чиццан дастэ-
дагн молекулаларнинг тезликлар буйича тацсимоти молекулаларнинг
ёпиц идишда уринли булган тацсимотндан бир оз фарц цилади.
Тезроц царакатлаиунчи молекулалар тешнкдан секннроц царакат-
ланувчи молекулаларга царагэнда куироц мицдорда утгани учуй
даста тезроц царакатланувчи молекулаларга бойроц булади. Тещин
орцали вацт бирлиги ичида учиб утадиган молекулалар мицдори V
тезликка пропорционал булгани учун, дастадагн тацсимот (105.6)
функция билан эмас, билкн
I,(i>) if
функция билан характерланади, бу ерда — нормаловчи куиай-
тувчи.
Бу цолда энг катта эцтцк^пли те’ шк v’ • vPTa',a
тезлик эса v'— 1/?л*Г булади.
108- §. Барометрик формула
Бйрор Л баландчикдагк атмосфера босими газнинг шу баланд-
ликдан юцорида ётувчи цатламлари нинг огнрлиги таъсирида юзага
келади.
Л баландликдаги босимни р царфи билан белгилайлик. У цол-
да h + dh баландликда босим р + dp булади, лекин dh ноддан
катта булса, у цолда dp нолдан кичик булади. чунки атмосфе-
ранинг Юцорнда ётган цатламларининг огнрлиги ва, бннобарин, бо-
сими биландлнкка кутарилган сари камаяди. р ва р + dp босим-
Viap орасидаги айирма асосининг юзи бирга
1енг ва баландлиги dh булган цилиндр (244-
раём) цажми ичидагн газ огирлигига тенг:
₽ — (Р + dp) “ Pg dh, P-df -т
г ,
ерда р — Л баландликдаги газнинг зичлиги. д £ ~ -
Бундан д
dp =—pgdh. (108.1)
\олат тенгламасцдан фо11даланиб. газ анч-
лигинн босими ва температураси орцали ифо- 244-расы.
297
.далаш- мумжии. ДО^орнда айтнб утгвииыиадек, .нораал швроитга
яцнн шароитларда атмосфера таркнбядаги газларннцг хоссалари иде-
ал газ хоссаларидан жуда кам фарц цилади. Шунинг учун (98.14>
тенгламадан фойдаланамиз. Бу тенглдмани nj/V га ннсбатан ечнб,
р зичлнкни топамиз:
<Ю8.2>
р нинг бу ифодасини (108.1) га дуйнб, dp ни топамиз:
dp
бундай
t — ’ «»»3)
Т температура h нинг бирор функцияси булади. Агар бу функ-
пиинкнг куриниши маълум б^лса, (108..3) тенгламани ечиб (ицтег-
раллаб), р ни Л нинг функцияси сифатида топиш мумкин.
Температура узгармас булган дол учун (108.3) ни интеграл»
ласад, дуйидагмга эга буламиз:
1пр..-^4 Inc.
бу ерда С — Узгармас катталик (интеграллаш доимийсини бу ерда
1пС 'Орц'али ифодалаш цулай)
Топилган ифодани потеицирлаб, Д ни топамиз.
р-хСе ,
Бунга й = 0 ни цейсах,
Рп ~ С
эканини топамиз, бу ерда />„ босим h 0 баландливдаги босимни
балдиради.
Шундай ^илиб, биз температура узгармайди, деб цилган
фаразимиз асосвда босим билан биландлнк орасидаги богланиш.
учун дуйндаги формулани трпдик:
_*£*
". (108.4)
Бу формула барометрии
формула деб аталади. Бупдан
газ цаича огнр (ц г;анча катта) ва
температура цанча паст булсз.
балапдлнк ортиши билан босим
шунчалик тез камаядн деган ху-
лоса чидади. 245- расмда (108.4)
-4 куринишидаги иккита эгри чизиц
тасаирланган булиб. уларии
Иб-рвсм. Р ларга \Т бир хил булган-
0
Рв
!г,-м
да) ёки W хвл ларгз fa вир *ил бУлгаиДа) «юс мелув’ж эгри
чнзицлар деб талцин этиш мумкин.
100-§. Больцман та^еммотн
(106.4) да р босимни nkT билан алмаштириб [(99.12) га ц.1,
з^ажм барлигвдаги молекулалар соиннинг баландликка цараб узга-
риш цонумини топамиз:
Бу ерда «в — баландлиги волга теиг булган жойда дажм бир-
лигидаги молекулалар соли, п — Л баландлнкда ^ажм бирлигидаги
молекулалар сони.
Топилган бу ифодани j/згартнриш мумкин, бунинг учун р/Я
нисбатни унга тент булган tn(k ннсбатга алмаштнриш керам, бу
ерда т — битта молекуланинг массаси, k — Больцман доимийсм:
--»*• П09.1)
п — п^е
(109 1) дан келиб чнцадики, температура пасайиши билан мол-
дан фарцли балаидликлврдаги зарралар сони камдя бориб, Г ~ 0
булгаида бу зарралар сони 0 га айланади (246-раем). Абсолют
ноль температурада барча молекулалар Ер сиртига тушиб цолган
булар ади. Ю^орн температураларда, акевнча, молекулалар сони
(л) баландликка цараб секннроц камаяди, натижада молекулалар
балаидлик буйича деярлк текис таценмланади.
Бу фактнинг фазмиавий саОаби жуда одднй. Молекулаларнинг
балаидлик буйича Jjap бар конкрет тацсимотн иккита тенденция
таъсири нятижасида карор топади: 1) молекулаларнинг nig куч
билан характерлицадмган Ерга тортилнши уларни Ер сиртига ту-
шнришга интнлади; 2) !<Г катталик билан характерланувчи иссмц-
лик ^аракатн молекулаларни барча баландликлар буйлаб текис
сочиб юборишга интнлади. т денча катта ва Т цанча кичик бул-
са, биринчи тенденция кучлироц таъсир курсатади ва молекулалар
Ер юзига я^инрон; жойда тупланишади. Т = 0 булган пировард
>,олатда иссицлик ^аракати бутунлай тухтайдн ва молекулалар Ер-
нииг тортиш кучи таъсири остида Ер юзига жойлашади. Темпери-
тура юцорн булгаида нссицлик даракати устунлик дилади ва мо-
лекулалариншг зичлиги баландликка кутарилган сари секин какая
борадн.
Хар хил баландлнкда молекула з^ар хил потенцивл энергия
запаенга эта булади;
~mgh. (109.2)
м Бинобарин, молекулаларнинг балаидлик буйича тацсимотини
курсатувчи (109.1) формула уларнинг потенциал энергия ^иймат-
SS9
лари буйича тацсимотини цам ифодалайди. (109.2) ни цисобга олиб,
(109,1) формулани цуйидагича ёзиш мумкин:
бу ерда по—молекуланинг потенциал энергияси нолга тенг булган
жсйда олинган бирлиги цажмдаги молекулалар сони, п—фазонинг
молекулалар потенциал энергияси ер га тенг булган нуцталарцдаги
цажм бирлигида бор булган молекулалар сони.
(109.3) дан чицадики, потен-
циал энергияси кам булган жой-
да молекулалар зичроц жойла-
шади ва» аксинча, потенциал
энергияси катта булган жойда
молекулалар зичлиги камроц бу-
лади.
(109.3) га мувофиц, моле-
куланинг потенциал энергияси
цийматлари ер1 ва ер, булган
Л нуцталардаги лг ва л, нинг бир
246- раем.
бирнга нисбати цуйидагига тенг:
и*
<104 4)
Больцман шуни исбот цилдики, (109.3) тацсимот формул геи
ва ундан келиб чицадиган (109.4) формула хаотик иссицлик цяра-
кати цолатидаги исталган бир хил зарралар туплами учун фацат
ер тортиш кучларининг потенциал майдонидагина эмас, балки куч-
ларнинг цар цандай потенциал майдонида цам тугри эканлигини
исбот цнлди. Шу муносабат билан (109.3) тацсимот Больцман
тацсимоти деб аталади.
Максвелл цонуни зарралзрнинг кинетик энергияси цийматлари
бУйича тацсимотини кУрсатгани цолда, Больцман цонуни зарра-
ларнинг потенциал энергияси цийматлари буйича тацсимотини ифо-
далайди Иккала тацсимот цонуни учун цам экспоненциал купай-
тувчининг борлиги характерлидар; бу купайтувчининг курсаткичида
битта молекула кинетик энергиясинияг ёки мос равишда потенциал
энергнясининг молекула иссицлик царакатининг Уртача энергиясиин
аницловчи катталикка нисбати туради.
(106.14) иа (109,3) тацсимотларни битта Макс вел л—Больц-
ман цонуни цилиб бирлаштириш мумкин; бу цоиунга муво-
фац, тезликлари v билан v Ч- dv ораснда стадиган молекулаларнинг
цажм бирлиги ичидаги сони цуйидагига тенг;
ц =Ло4п * *Г кГ v*dz), U09.5)
300
бу ерда По сон—ер = Обуладиган нуцтада олинган цажм бнрлигидаги
молекулалар сони, Е — молекуланинг тулиц энергияси булиб. унянг
кинетик ва потенциал энергиялари йигиндисига тенг.
(109,5) ни v (106.5) шартга биноан vбуйича 0 дан со гяча
ннтегралласак, (109.3) тацсимот цонуни билан бир хил булган
цуйидаги ифода цосил булади;
п — пле
(109.5) тацсимотда ер потенциал энергия ва яиЛ/2 кинетик
энергия, бннобарин, Е т^лиц энергия цам цатор узлуксиз циймат-
лар цабул цнла олади. Агар заррачанинг тулиц энергияси, масалан,
атомнинг ички энергияси каби цайматларнинг фацат Д Ег, ...
каби дискрет цаториннгина цабул цила олса, Больцман таксимо-
тинннг куриниши цуйидагича булади:
(1СЭ'6>
бу ерда АГ, —энергияси Е, булган цолатда турган зарралар сони,
Л —цуйвдаги шартни цаноатлантириши зарур булган пропорцно-
паллик коэффициенти;
У N, = А 2 « " “ Н.
(N — текширилаётган системадаги зарраларнинг тулиц сони.)
Охирги муносабатдан топилган А нинг цийматини (109.6) фор-
мулага цуйиб, энергиянинг цийматлари дискрет булган цолга тегиш-
лн Больцман таксимотинивг узил-кесил ифодасини топамиз:
~ С (109.7)
110-§. Перреннинг Авогадро сонини аницлаши
Перрен Авогадро сонини аницлашга дойр тажрибаларига (109 4)
тацсимотни асос цилиб олди (1909 й.). Суюцлик ичида муаллац
цолда юрган жуда майда цаттиц зарралар Броун царакати (91*§гац.)
деб аталадиган тартибсиз бетухтов царакат цолатида булади. Бу
царакатнинг сабаби шуидаки, цаттиц зарраларнинг улчамлари етар-
ли даражада кичик булганда уларга цар томондан келиб урилади-
ган молекулалар берадиган импульс лар компенсацияланмай цолади.
Улчамлари сезиларли даражада каттароц булган заррага бнр вакт-
иинг узида жуда куп молекулалар урилганлигн учун молекулалар
берадиган зарблариинг умумий натижасн анча яхши компенсация-
301
миди. Зарраниял улчамлзрн жуда кичмина оулганда айрнм мо-
лекулалар тезликларшгннг ва келиб урилаётган -молекулалар сояи-
няиг уртача цнйматларидан четланиши сезилиб цолади. Агар заррага
бир томондан келиб урилаётган молекулаларнинг тезлиги ёки сонК
заррага иккинчи томондан келиб урилаётган молекулалармииг тез-
лиги ёки сонидан бошцачароц б^лнб цолса, заррага бернлаёгган
натижавий импульс нолдан фарцли булади ва зарра
V тегишли томонга цараб царакатга келади. Бундан
кейинги пайтда натижавий импульснинг йуналиши
бошцача булади. Бннобарин, зарра цамма вацт
тартнбсиз равишда кучиб юради.
Броун царакатн шуни курсатадикя. стар лича
|—t • I—1 кичик зарралар (юцорида айтиб утмлган цодиса
туфайли) молекулалар циладиган иссицлик дарака-
247- раем тида нштиР0к Этадн. Иссицлик царакатнда цпна-
шар экан бундай зарралар узларипи бацайбат мо-
лекулалар каби ту тиши ва улар кинетик назариянинг цопун ларига,
жумладан (109.4) цонунга буйсуннши керак.
Перрен тажриба ларидагм асосий цийинчилик бир хил зарралар
тайерлаш ва уларнинг массаларинм аницлашдам иборат булган.
Перрен. центрифугазаш методини такрор-такрор ц^ллаб, гумми-
гутиинг* амалда бир хил шарчаларидан иборат булган жуда бир
жинсли эмульсия тайёрлаиша муваффац булдн. Гуммигут шарча-
ларининг радиуси миироянннг ундан бнр улушларининг бир нечта-
си чамасида булган. Бу эмульсия чуцурлиги 0,1 мм булган ясен
шиша кювета ичига солиииб, микроскоп орцали царалган (247-расм).
Микроскопнрнг к^риш майдони чуцурлиги шу цадар кичнк б£лган-
ки. у орцали цара ганда ца линлиги тахминан 1 мк га тенг горкэоп-
тад цатламда жойлашган зарраларгина курннган. Микроскопии
вертикал йуналищда суриш билан броун зарра ла рининг баланд лик
буйича тацсимотини тадциц этцш мумкин булган.
Микроскоп орцали цараганда куринадиган цатламнинг кювета
тубидан цисобланган баландлнгини h царфи билан белгилаймиз.
Микроскопнинг куриш майдонига тушадиган заррачалар сони
&N=*n(h)S&h
формула билан аницланади, бу ерда л (ft)— Л баландликда олин-
Ган цажм бнрлигядвги броун зарраларияяиг соан, S — микроскоп
ку0мш майдонннинг юзи, Ай—Juia майдониннг чуцурлиги.
Броун зарраларига (109-3) формулами татбиц этиб, цуйидаги
твнгликнй ёзиш мумкнн:
л(Л) == ЛдТ *г,
* Гуммигут-Ост-Индия ва ЦеЛлонда ^садиган баъя тур дарахтлар тана-
еинн чицвдмгха ЧТ*Ц шмра,
буердял0еон—h = О-беландлынд* олннгаицажмбмрйнгмдаг» э«фр»-
лар сони, // — эмульсиядапг броун заррасинииг огирлигм, ям*
Архимед цонунвга- еид туэатманн цисебга олиб топнлган оглрлвк.
Никита й, ва Лг бяландликда микросковнинг к^риш майденига
тушадипн зарраларнннг ДМ сонлари цуйидагича нфодалэиад*
AM, -= nlte '“SAb,
АМ,^Пле~^~ SAh.
Ницоят, ANtlANt нисбатни логарифмлаб, цуйидаги ифодага
келамиз:
. АЛ, = p’ih,~h,)
AN, ЛТ
Бу формулага р', Т, (ht — Л,), ANt ва ДМ, ларнинг улчаб
топнлган цийматлартни «фйиб, ундаи Больцман доимийси булмнги
А ни топиш мумкин. Срнгра, универсал газ доимийси /? ни А га
булиб, Авогадро сонини топиш мумкин булган.
МА пинг Перрен цар хил эмульсиялар мшлэтганда топнлган
циймати 6,5-10” двн 7,2-10“ кмоль-1 гача булган чегарада ётган.
Л'А нинг анча аннц бошцв методлар билан топнлган циймати
6,02- 10я* кмоль-1 га тенг. Шундай цилиб, Авогадро сонининг Пер-
рен топган циймати унинг бошца усуллар билан толилган циймат-
л а рига яхшигина мос келади. Бу цол броун зарраларпга (109.4)
тацсимот цонунини татбиц этнш мумкин эканлигини нсботлайди.
111-g. Эркнн югуриш йулннинг уртача уэунлиги
Газ молекулалари нссидлин цяракатида иштирок стар экан,
уалуксмз равишда бнр-бири билан туцпашиб туради. Икки молеку-
ла бир-бирига туцнашганда уларнинг марказлДри яцннлашадмгаи
ммнимал масофа молекуланинг эффектна диаметри d деб ата-
лади (248- раем). Кейинчалнн биз курамнзки (117- $ га ц.), молекула-
ларнинг тезлиги ошганда, яъни температура кутармлганда эффекта®
диаметри бироз хамаяди. а = nd2 катталикмолекуланинг эффен-
тив кесимн деб аталади.
Молекула кетма-кет келадиган иккита туцнашиш орасидаги
вацт ичида бирор [ йул босиб утади, бу йул эркин югуриш йули-
иииг уэунлиги деб аталади. Эркин югуриш йулннинг узунлнги
тасоднфнй мицдардир. Баъэан молекула иккита
туцнашмш орасида анча катта йул босиб~утишга
муваффац Суладн, баъэан эса бу йул жуда кичик 'Х
булиши мумкин. Курсатшв мумкинки, молеку- ( у )
ланинг цеч туцнашмасдан I йул босиб утиши- i Al i J
нинг w (/) эцтнмоли
W(f) = e 3 (1H.I) 248-раем/
a»3
формула билан ани^анади, бу ерда X— молекуланинг кетма-кет
келган иккита ту^нащиш орасида босиб утадиган уртача I йулн,
бу йул эркнн югуриш йулннинг уртача узунлиги де5
аталади. (111.1) га мувофиц, молекуланинг бирор I йулнн ^еч туц-
нашмасдан утишининг эхтимоли I ортган сари экспоненциал равиш-
да камаяди. Бир секунд ичида молекула урта дисобда уртача и
тезликка тенг булган масофани босиб утади. Агар молекула бир
секунд ичида урта ^исобда v марта ту^нашеа, у долда эркнн
югуриш йулннинг уртача узунлиги
X - г (111.2)
булвши равшан.
Туцнашишларнинг уртача v сонини ){исоблаб топиш учун, бонн
да бу биттасидаи бошца \амма молекулалар уз жойида цимирла-
майдиган булиб ^отиб долган, деб фараз циламиз. Биз ажратиб
олган молекуланинг ^аракатини кузатиб борайлик. К,нмирламай
турган молекулага ту^нашгапдан кейин у г;имирламайднгаи бирор
бошца молекула бнлан ту^нашмагунча тугри чизиц буйича учадк
(249-раем). Кузталмас молекуланинг марказидан биз ажратиб олгш
молекула учиб кетаётган т^три чизнздача булган масофа моле-
куланинг d эффектив диаметридан кичик булгаида бу молекулалар
туцнашади. Туцнашиш натижасида молекула уз ^аракатининг йуна-
лишини узгартиради, бундай сунг у яна бирор вацт давомида т^гри
чнзиц буйича ^аракэтчана бораб. унинг йулида маркази 249- раемда
курсаталган d радиусли цилиндр ичида >;аракат циладиган молеку-
ла учрагандан кейин яна \аракат йуналишини узгартиради.
Бир секунд ичида молекула v га тенг булган нул босиб утади.
Равшанки, мана шу нацт ичнда ^Узгалмас молекулалар билан юз
берадиган туциашишлар сони марказлари узунлиги и, радиуси d ва
^амжи ndlv булган тирсакли цилиндр ичида ётувчи молекулалар
сонига тенг. Цилиндрнинг бу ^ажмини дажм бирлигидаги моле-
кулалариинг п сонига купайтириб, ^аракатдаги битта молекуланинг
^узгалмас молекулалар билан буладигая туцнашишларининг бир
секуиддаги уртача сонини топамиз:
v' = nd2v п
^аки^атда эса дамма мо-
лекулалар доим ^аракат цилаб
туради, бунинг натижасида
туЕ^нашишлар сони молекула-
ларнинг бир-бирига нисбатан
циладиган ^аракатининг урта-
ча тезлиги билан аиикланади.
Тегишли зртсоблзр шуни кур-
сатадики, молекулалар ниобий
^аракатининг уртача тезлиги
304
молекулаларнинг идиш деворларига нисбатан царакатининг v тезли-
гидан J/2 марта ортиц. Шунинг учун бир секунд ичидаги ту^-
нашишларнинг уртача сони >\уйидагига тенг булади:
v = V2‘nd,wt (111.3)
Бу сонни (111.2) га цуйаб, эркнн югуриш йулннинг уртача
узунлигини цуйидагича ифодалаймиз:
d эффектна диаметр урнига молекуланинг о эффектна кесими-
ни Е^уйиб. цуйндаги формулами топамиз:
/2 On
(111.5)
Узгармас температурада п сон р босимга нропорционал pan ши-
да узгаргани учун, эркин югуриш йулннинг уртача узунлиги босим-
га тескари пропорционаддир:
(1Н6)
Юцорида айтиб утилганидек, температура кутарилганда моле-
кулалариинг эффектив диаметри камаяди. Шунинг учун температура
кутарилганда эркин югуриш йулннинг уртача узунлиги ортади. X
билан Т орасидаги богланиш Сёзерленднинг цуйидаги формуласи
билан нфодала надн:
х“х-тТс- (1117)
бу ерда С — хар бир газ учун характерли булган узгармас катта-
лик, унинг улчамлиги температура улчамлиги билан бнр хил, у
Сёзерлепд доимийси деб ата-
лади. Хо, — эркин югуриш йу-
лннинг Т =s <х б^лгандаги
уртача узунлиги.
(111.7) дан куринадики,
Т — С температурада X нинг
циймати 0,5 Хм га тенг бу-
лади.
250- раемда кислород учун
X нинг температурага богла-
ниш графаги курсатилган(С=
= 125е).
Эркин югуриш йулннинг
уртача узунлиги цаидайтар-
табда эканлигини ва бир
секундда содир буладиган т^-
нашувтарнинг уртача сонини
20—1317
чамалэб курвйлил. Молекулаларнинг ^лчамяирн бнр кеча анггтрем
чамасида булншинн биз 92- § да анн^лаган эди*. Малеяулаиинг эф-
фектна радиусини 1 А га, яъни Ю— *м га тенг деб оламнз. Ffep-
мал шароитларда л Лошмидт Соиига, яъни 2,6S-102* м~* га тенг.
Бу маълумотларни (111.4) формулага ц^йиб, X нм топамиз:
^2-10 ’ж-г-Ю^см.
/2 3,14-4-10~а'»-2,68 10’*
Босим 10~8 мм сим. уст. (бу босим тахминан Ю~в от га мос
келади) булганда, X узунлик 10 см чамасида булади. Бинобарим,
идипшинг чиэицли Улчамлара бир цанча сантиметр чамасида булса,
бундай босимда молекулалар, идишнинг бир деворидан иккинчи
деворига бир-бирлари билан деяраи туцнашмасдан етиб боради,
дейиш мумкни. Босим 10-’ мм сим. уст. булганда X бнр цанча
ун метрлар атрофида булади
8- жадвалда баъзи газлараннг нормал шаронтдаги X сшшнг ций-
матлари ва молекулаларининг эффектна диаметраари келтирилган.
8-жадвал
Г*л >. (ГС 780 ММ спи. уст. млроитам. м лД г« Г, 0*С н МО мм ежи, уст. торогтн», м
Н, Не Q, 1.10-10-» 1,75-10-» 0,63 10~’ 2,75 2,18 3,(И Nn Хаве СО, 0.59 -10-» 6,66- J0-’ 0,39 10-7 3.76 3,74 4.65
Бир сеиунддаги тУцнашувлар сонини топиш учу» молекула-
ларнинг уртача о теэлмгиии X га б^лиш мумкин. 106- § да биэ
кислород учуй v нинг циймати 500 м]сек чамасида эканлигини топ-
тан эдик. Бу мнцдорни 8-жадвалдан олинган X =0,63- Ю-7 м ций-
матга булиб, бир секунддаги туцнашувлар сони тахминан 8- KJ*
сек-1 га тенг эканини топамиз. Шундай цилиб, нормал шарсит-
ларда туцнашувлар сони секу ид ига бир неча миллиардни ташкил
этади. Босим камайиши билан туцнашувлар сони р боснмга гро-
порционал равишда камаяди.
112-§. Кучиш цодисалари. Газларнинг цову шок, лиги
Шу вацтгача биз мувозанат цолатидаги газни текшириб келдик.
Бундай цолат газ эгаллаб турган цажми инг цам мп нуцталарида
температура, босим, турли хил мэлекулаларинпг нисбий сони ва
шу каби катталикларнинг бир хил булиши билан характер-
ная ад и. Энди биз газнинг мувозанат цолатдан четлашганида юз
берадиган цодисаларни текшнрамиз, л скин бунда четланишлар унча
катта б^лмаган цолларнн текшириш билан чегараланамиэ. Буидай
Ж*
.цацясаларжу цодисалари деб аталаяя, уларнинг шундяй втя-
/винияниг сабабн кейяяроц ойдннлашади. Баз бундай цодисаларни нг
фацат учтасики — ички ишцаланиш (яъни цовушоцлик), иссицлик
IП9зувчанлик ва диффузаяни куриб чицамиз.
Шуни цайд цкламизки, статистик физика жисмларнинг фацат
мувозанат цолатн билан иш куради. Мувозанат бузилганда юз бе-
радиган процессларни урганувчи фан физмкавий кинетика
деб аталади,
Утиш додисалариня биз газларнинг g
фжушоклигцдан бошлаб текшнрамиз.
Агар газ оцимидагн и тезлик цатламдан
цвгламга узгарса, у цолда иккита ц^шии--------------------
цатлам чегарасида (251- раем) ичкинш- * и
цвланиш кучи таъсир цилади. Механика- ^~S~
дан маълумки, бу кучнинг каттэлиги цуйи- • - ---------*-
даги эмпирик формула билан аннцла-
нади:
(П2.1) 251-p.w.
бу ерда q — цовушоцлик коэффициенти (ёки ички ишцаланиш коэф-
фнциеити),------тезлик градиенти, яъни газ царакатининг и тез-
лиги цвтламларии ажратиб турган сиртга перпендикуляр булган г
йуналнщда нацадар тез узгаришин к^рсатадиган катталик, S эса
/ куч таъсир цилаётган сиртнинг катталиги.
Инки ишцаланиш кучининг nafao булишинн тушуниб олиш
учун, цалинлигн Дг булган бир-бирига тегувчи иккита газ цатла-
мини куриб чицамнз. Катламлар турли хил их ва «, тезликлар
билан (252- раем) цяракатланади, деб фараз цнламиз. Газнинг дар
бир ыолекуяасн иккита даракатда: уртача тезлигн v булган исснц-
лик даракатида ва тезлигн и булган тартибли дарнкатда цяткаша-
ди; и тезлик о дан анча кичик (о-—Ю’ж/сек, энг куччи бурой да
шамол тезлигн ~ 10е м]сек булади).
252- р*см.
Бирор пайтда цатламларнинг импульсларн Кд ва Ка булснн. Бу
импульслар узгармай цололмайди, чункн иссицлик царакати туфайли
молекулалар бир цатламдан нккинчнеига муттаенл утиб туради. Af
вацт ичида 5 енрт орцали иккала йуналнщда бир хил
&N=^nuS&t (112.2)
30?
дона молекула Утади (молекулалар тартибли царакатининг моле-
кулалар тезлигининг катталигига курсатадиган заиф таъсирини
эътиборга олмаса цам булади).
Молекула иккинчи ^атламга утганда шу ^атламнинг ыолекула-
лара билан ту ^нашади, бунинг натижасида у уз импульсинлнг ортиц-
часини бош^а молекулаларга беради (агар у каттароц тезлик билан
даракатланувчи цатламдан учиб келган булса) ёки уз импульсини
бошца молекулалар цмсобига оргтиради (агар у кичикроц тезлик
билан царакатланувчи ^атламдан учиб келган булса). Натижада
тезроц царакатланувчи цатламнинг импульси камаяди, секи проц
даракатланувчи цатламнинг импульси эса ортади.
Масалан, молекулалар А/ вацт ичида биринчи цатламдап Д/С1
га тенг булган импульс олиб кетади:
ДК', = Д/V т п, t
бу ердаги АЛ' сон (112.2) формула билан аницланади, т—моле*
кула массаси.
Айни вацтда биринчи ^лтламга
ДК', — Д N тия,
импульс олиб утилади. Бинобарин, А/ вацт ичида биринчи цатлам-
11ИНГ импульси цуйидагпга тенг орттирма олади:
AK| = AK"J1—Д/С, ««j)= i nvm(ua—Uj)S&t.
Ана щунга ухшаш мулоцазалар юритиб, иккинчи ^атламнннг
импульси бунда
AKg = — AKj
орттирма олишини осонгина аницлаш мумкин.
Импульснинг узгариши билан куч орасидаги богланишга асос*
ланиб туриб, цуйидаги фикрни айтиш мумкин: цатламлар гуё
биринчи цатламга S сирт буйлаб
fi = ~ nvm (ut — ut}S (112.3)
куч, иккинчи цатламга эса
/« = — /в = р път (и, — н2)3
куч таъсир цилаётганидек царакатланади.
(112.3) формуладан иккита цушни ^атламнинг бир-бирига к$р-
сатадиган Таъсир кучи ажралиш снрти орцали бир секундда моле-
кулалар олиб утадиган импульега тенг, деган хулоса чицади.
Ишдаланиш кучнницг охирги формуласинн топиш учун
тезлик иккита цатламнинг чегарасида биз уйлагандек сакраб уз-
гармасдан, балки ^тламларга перпендикуляр булган г йуналишда
узлуксиз узгаришини цисобга олиш керак (u=u(z), 253-расмга ц.|.
S сирт орцали учиб утадиган \ар бир молекула узининг охирги
308
ту^нашиш юз берган жойдаги тезлигининг и циймати бнлан аннц-
ланадиган импульс олиб утади.
S снртдан ундан \ар хил I масофаларда бошца молекулалар
билан тукнашган молекулалар учиб утади; бунда молекуланинг
\ар хил I масофаларда туцнашиш эхтимоли (111.1) формула билан
анм^анади. Урта цисобда молекулаларнинг охирги туцнашуви S
снртдан эркин югуриш йули
нинг уртача л узунлигнга
тенг булган масофада юз бе-
ради (253- раем). Шунинг
учун, S ортали юцоридан
пастга ураган (раемда) йу-
налишда учиб утадиган мо-
лекулалар тезлигининг цийма-
тм г + X координатали кеенм-
даги цийматкга тенг деб, паст-
дан ю^орига цараган йу-
налишда утадиган молекула-
лар тезлигининг ^иймати z—X
координатали кесимдаги ^ий-
матига тенг деб олиш керак1.
X жуда кичкина булгани учун
бу тезлнкларни ^уйидасича
ифодалаш мумкин:
«(г + Х)
u(z—X)
бу ерда и (г) — газнинг S ажралиш чегарасини биз фикран жон-
лаштирган жойдаги кесимдаги тезлиги, — ^осиланинг уша ке-
симдаги ^иймати.
Энди ишцаланиш кучини (112.3) формуладан фойдаланиб \исоб-
лаб чицариш мумкин, бунинг учун их ва и* урнига уларнинг (112.4)
цийматлариии ^уйиш керак:
/-i^n(g-2X)s.
пт купайтма газнинг р зичлигига тенг эканлигини эътиборга олиб,
бу формулани цуйвдаги куринишда ёзиш мумкин:
1 -(г I”* )fs- ‘"2-5>
(112.5) формулани (112.1) эмпирак формула билан таадрслаш
шуни к$'реатадики, биз газокинетик тасаваурларга асосланиб f нинг
’ Бу фактки молекулаларнинг I эркпв югурнш й?ли буйича тацснмотя эъта-
oopia олинган цолда утказилгаи аннц х'коб таеднклайди.
309
ва S га богланншним тугри топмбгмна цолшй, балмн ч црву-
цюцлик исеффицнентниинг нфодаскнк дам тотчкк. Дарцацмцат,
бу формулаларии солиштнрсан,
4 = TjPvA (1)2.6)
акянлиги келиб чицади.
Биз эътиборга олмвган бир цатор фякторларни дисобга олувчн
янада аниц цисоблар цам худди шундай формулага олиб келади,
бироц уцдаги сонлн коэффициент бир оз бошцачароц.
Газларнииг цовушоцлик коэффициентинннг биз топган (112.6)
мфодасинн текширайлик. р урнига пт ц?йиб ва v Уртача тезлик
VT/т га пропорционал, эркин югуриш йулннинг уртача А уэумли-
ги эса l/nd* га пропорционал эканлигини эътиборга олиб, цовунюц-
лик коэффициентини цуйидагича ёзиш мумкин:
(На.7)
Аввало шу нарса диццатни узига жалб циладвки, ч коэффици-
ент цажм бирлнгидаги молекулалар сонига, бннобарин, босимга
цам (р = п ЬТ) боглиц эмас. Биринчи цпрашда ажабланарли булиб
курннган бу натижанинг сабаби цуйндагичадир. Босим пасайганда
п камаяди, яъни импульс олиб $тишда иштирок этувчи молекула-
ларнвиг сони камаяди. Айни вацтда А ортади, демак, битта моле-
куланинг царама-царшн йуналишларда олиб утадиган импулыглари-
инмг фарци ортади. Натижада тезлик градиеитннинг берилган
цийматида молекудалар олиб утадиган импульслар йигиндиси бо-
симга боглнц б^лмай цолади. Бу хулоса А катталик газ оцаётган
тирцишнинг улчамларига (масалан, найнянг диаметрига) нисбатан
жуда кичик булган шаронтлардагина тугри булади. Бу шарт бажарвл-
мандиган б$-ла боргани сари цовушоцлик босимга к$проц боялиц
була бориб, босим камайиши бнлан у цам камаяди. Эркин югуриш
йулннинг Уртача уэунлиги газ оцаётган тирцишнинг улчамларига
яцинлашгандз молекулаларнинг ариин югураш й$ля газ оцаётган
тнрцишнинг катталиги билан белгиланади ва натижада А узунлик
босимга боглиц булмай цолади. Босим камайган сари цажм бирли-
гидаги молекулалар сони цам камаяверади, бунинг натижасида т]
коэффициент цам камаяди.
(112.7) га^биноан, температура к]/т*рнлганда цетуимпушк коэф-
фициента ]/Т га пропорционал равишда ортиши керак. &- жадвал-
да цавоиьшг цар хил температураллрдаги цовущоцлигмнянг тажрн-
бада топнлган цийматлари келтирнлган.
•ГО
Агар т) коэффициент V-T га про • . в-ж в ля а*
пдрцмонал рминцда узгаргаада эди.
у цолдя ц/ VT нисбат узгармасдан
цолшпи керак эд ж. Жадвалдан кури-
ниб турибдики, Т ортгаида бу нисбат
бир цадар ортади. Демак, т] коэффи-
циент VT га цараганда бир оз тезроц
ортади. Бунинг сабабн эркин чопиш
йуля уртача узушшгининг температурага ба лнцлнгвдир, бу бог-
ланишяи биз бундам оддинги нараграфда цайд цилиб £ттан эднк.
Гая цовушоцлнгинннг молекулалар массасига богланншинн моле-
кулаларининг массвларя бир-бирид н фарц циладиган, лекин
эффектна кесимлари бнр хил булган газларда текширид курнш
мумкин. Бундай газларга одатдаги на огир водород (дейтерий) ми-
сол була олади. Дейтерий атомларининг (мос равишда молекулалара-
нннг цам) массаси одатдаги водород атоминикндаи 2 марта катта
булади. Водород ва дейтерий молекулаларининг электрик хоссалари эса
деярли бир хил Молекулалар орасидаги узаро таъсир ва, бннобарин,
молекуланинг эффектин кесими молекулаларнинг электрик хосса-
лари (Уилан аницлангани учун дейтерий билан водороднинг эффектна
кесими бир хил булади ва уларнинг цовушоцлик коэффициентлари-
нинг нисбити айни бир темп1- ратурада р 5: 1 нисбат каби бршшя
керак Дейтерийнинг т] си водороднинг т} седан 1,39 марта катта
эканлиги тажрнбада топнлган. Бу циймат назариядан топнлган ций-
матга жуда ццид.
113-Газяарнииг иссицлик утказувчанлнгк
Агар бирор муцитда бирор г йуналиш буйлаб температура доя-
мий цолмаса, у цолда уша йуналиш буйлаб иссицлик оцими царор
ТОлнши тажрибада аннцланган. бу иссицлик оцнминмнг катталиги
«=—<1,3|>
формула билан аницлаяади, fly ерда q—г уцца перпендикуляр ва-
зиятда жойлашган S юз орцали вацт бирлиги ичида оциб утадиган
ат
иосицявк ммцдорн, — температура градиента, х — муцитнинг хос-
саларига бгм-лиц булган пропорцноналлик коэффициеитнднр; у ис-
сйцлик У'тказувчанлнк коэффнциенти деб аталади. q
нинг улчамлиги лс/сек (ёки 9рг/сек, ка.ч/сек ва цоказо). Бинобарнн,
х нинг улчамлигя яс м сек-град булади. (113.1) формуладагн <—»
ишора температура ортадигян йуналиш билаи иссицлик оцаётган
йуналиш цараме-цирпн! эканлигини, яъни иссицлик температуранинг
пйсайи!и томониса цараб ор^шини билдиради. (113.1) даги иссицлик
оцимн алгебранк к<ята зикдир: агар иссицлик г уцнииг мусбат йу-
Ш
налишида оцса, q мусбат булади, агар иссицлик г уцнинг манфий
йуналишида оцса, у цолда q манфий булади (254- раем).
3 юэ орцали t вацт ичида оциб утадиган Q иссицлик мицдори-
ни цисоблаб топиш учун q ни t га купайтнрищ керак:
(113.2)
Газдаги иссицлик оцамини молекуляр-кинетик тасаввурларга асос-
ланиб туриб цисоблаб чицаришга царакат цилиб курайлнк. Агар
газнинг цар хил нуцталардаги температураси цар хил булса, у цол-
да молекулаларнинг бу нуцталардаги уртача энеогняси цам цар хил
254- раем.
булади. Молекулалар иссицлик царакати натижасида бир жойдан
бошца жойга кучар экан, уэлари жамгарган энергияни олиб $тади.
Энергиянннг буидай утиши газларда иссицлик утказувчанлик про-
цессининг юзага келишнга сабаб булади.
57зида олинган бирор йуналиш буйлаб температура цандай-
дир бир усул билан уэгартириб турилган газни куриб чицамиз.
Бу йуналишнн z царфи билан белгилаймиз. Бу йуналишга перпен-
дикуляр булган S юани фикран тасаввур циламиэ (255-раем). X
юз орцали унинг нормали йуналишида учиб ута^ган молекулалар
сони:
1113.3)
ифода билан аницланиши бизга маълум.
Хар бир молекула у билан бошца молекула охирги марта туц-
нашган жондаги температурага мое энертяга эга булади. Бу туц-
нашув урта цисобда X дан мо-
лекуланинг эркин югуриш йули-
нинг уртача X узун лиг ига тенг
масофада юз беради. Шунннг
учун чапдаи унгга цараб учаёт-
ган молекулаларни (г—X) те-
кисликдагн 7\ температурага мос
келувчик, энергияга эга дейиш.
цврама-царши йуналишда учаёт-
ган молеку уларии эса (г 4 X)
текисликдаги Та температурага
мос кечувчи tj энергияга зга
дейиш лозим.
г Л t Z-A
255- раем.
312
п ваг1 катталиклар температурага боглик. Шунинг учун S юз
орцали чапдан унгга цараб учиб утаетган молекулаларнинг сонини
топиш учун (113.3) формулага п ва v нинг 7\ температурага мос
келадиган цийматларинн цуйиш, Уигдан чапга цараб учнб утаетган
молекулаларнинг сонини топиш учуй эса, п ва v нинг Tt температу-
рага мос цийматларинн ц$йиш керакдек куринади. Ленин S юз
орцали царама-царши йуналишларда учиб ^таётган зарралар сони
цар хил була олмаслигини тушуниш осон. Агар бу сонлар бнр хил
булмаганида эдн, S юз орцали иссицлик утишидан ташцари модда
цам оциб утган булар, яъни фаэонинг бнр цисмидаги газ иккинчи
цнсмига ута бошлаган булар эди. Биз эса бутунича олиб царал-
ганда газ царакатланмайди, деб фараз циламиз.
S юэ орцали цар бир йуналиш буйлаб учиб утадиган мелекула-
ларнинг сонини (113.3) формуладан топамиз, бунда п вао иннг S
кгсимдаги цийматларини цуямиз. У цолда S юз орцали г уцнинг
мусбат йуналишида бир секунд ичида молекулалар олиб утадиган
энергия мицдорини цуйидагича ёзиш мумкин:
j и-,) =
“IniSpfT.-TJ. (11.1.4)
X жуда кичик булгани учун
7,-Г—^X.T.-r+g'»,
деб цисоблаш мумкин, бу ерда Т—S юз жойлашган жойдаги тем-
пература, —7’ дан г буйича олинган цосиланинг уша жондаги ций-
мати. Бу цийматларин (113.4) формулага цФйиб, q ни топамиз:
Бу ифодани молекуланинг m массасига ва Л'А Авогадро сонига к$-
пайтирамиз ва буламиз:
I _ I kNK dT ,
q = — ~mn v S-и----2 л.
' 6 2 dz
Сунгра, mn = p эканлигини ва
L^L-LLr^Lc -c
еканлигини цисобга олиб, (cv — цажм ^згармас булгаидаги солиш-
тирма иссицлик сигими), q ни цуйидагича ёзиш мумкин:
«--(IpuXcJgs. (113.5)
313
<*113:б}- Hff (ИЭ.’^ та «оляиггирнб/ газларнинт нсси^лии утказувчан-
лик коэффициентная цуйидагича ифодалаймиэ:
tc — l^pvlcv. (113.6)
Ч нмрг,< 112.6) формуласиин к цинг (11.3-6) формуласига солню-
эианлигиии топамиз. Янада аии(фо^ бажарилган ^исоблар к бнлан
Ч «фасада ^уйидагича богланиш мавжуд эканлигини курсатади:
. к=Кч«чг-
Бу ерда К —‘Сонли коэффициент булиб, (^уйидаги формула бнлан
впнцланади:
Шуедай лнб, бир атомлн газлар (у — С^СУ = 5/3) учун К =
==2,Б, иккн атомли газлар (у =7/5) учун К = 1,9 ва показе.
х иннг молекулами харакгерлайдиган миадорларга ва газ пара-
метрларига увидай богли^ эканлигини ани^лаймиз. х — t]cv булгани
учун бу богланншни топиш мацсадида (112.7) мн cv нинг
ev”^cv=®r jfi~;
ифбдасига кярган каттлликларгя кУпайтириш етарли.
Натижада изланаётган богланишни топамиз:
<"38’
' Бу боЕлаииш q га дойр (112.7) богланншдаи шу билан фарц
фШадики, х коэффициент |/т га тескари пропорционал, ч эса Vт
га тугри пропбрционалдир. Бундан ташдари, х коэффициент молекула
эркинлик даражаларининг сони ва характерига (/ сонига) боглнд-
дир. х нннг басим ва температурага богланищи худди т] ники ка-
бидир. Бинобарин, иссицлик утказувчанлик коэффициента босимга
боглиц булмайди (то К узунлик исси^лик узатилаётган вдяшнннг
чизи^лн улчамига я^ин дийматга эришмагунча) ва температура кута-
рилганда УТ га Караганда бнр 6з тезрод ортэди.
114- §. Газларда диффузия ^одясаси
Бир ^анча компоиентадан, нъви бир нечд хил молекулалардан
иборат газ аралашмаенни курнб чи^айлик. i- компонентанинг \ажм
бирлигидаги молекулалари сонини nt билан белгилаймиз. Ха»км
бирлигидаги молекулаларнинг тулик сони ^уйидагига тенг булади:
п
314
-2»,-
Аралашмадаги i- жмнкнгеитанииг шкбнй котиятрац^ясн деб
^лчовсиз
катталикка айтплади.
Равшанки, ^амма компоненталар нисбнй кояцентрацияЛармнинг
йигиидиси бирга тенг
2‘,-2=Н-.
Бирор компонентанинг абсолют монцентрацижн деб, уша вав
молекулаларнинг \ажм бирлигидаги массасига айтилади. Шу тарифа
яни^ланган концентрация мазкур компонентанинг парцнал эичлиги-
дав иборат. I- компонента молекуласининг массаси tnt булса, у ^ол-
да абсолют концентрация цуйидагига тенг булади:
с, = nt mt.
Газ аралашмасининг босими айрим компоненталар парцнал бо-
сим лара нинг йигиндисига тенг ва ^ажм бирлигидаги Кюлекулалар-
ницг тули^ сони бнлан ани^лаввди:
р ~ Д- = Л/ А 7 — «АГ
Фазонинг турли нуцталарида газ компоненталарининг концент-
рацмяси бир хид булмий цолиши мумкин. Бу эудлда молснудалар-
иинг иссндлик царакати. туфайли концентрацияларнинг тсрглашиш
процессы юз беради, бу процессда I- компонентанинг массаси унинг
хонцентрациясн камаядмган йуналишдя кучади. Бу протесе диф-
фузия деб аталади.
Диффузия процессида молекулаларнинг тулмц сони ва, бяноба-
рни, босим узгармайди. фа^ат турли пав молекулалар ^айтр та^-
симланади, яъни th катталиклар узгаради, шу билав бирга бирор
жойда компоненталардан бири учун п, сртса, айин ва^тда. бош^а
компоненталар учун п, узгаради,
натижада я, лар йигинднеи узгар-
май ^олаверади
Бундан буен бу параграфда гал
икки компонентали газ аралашма-
ларм тугрисида боради.
Бирор >{ажм ичида иккала ком-
понента нинг z йуналиш буйлаб
концеитрациялари градненти бирор
йул бнлан ва^т буйича уэгартнр-
май caiyia6 турнладн дй5 фараз
^иламиз (256- раем, бу раемда аб-
солют концентрациялар урнига
т^ажм бирлигидаги-молекула лари ин г
256- роси.
3*5
бу концентрацняларга пропорционал булган сонлари гасвирлан-
ган). Бутун цажмда босим бир хил. Бннобарин, цар бир кесим-
да П} + п* йигинди бир хил булади. Бу цолда г га перпендикуляр
булган S юз ортали биринчи нав молекулаларнинг купрок, чапдан
унгга цпраб йуналган оцими цосил булади. Бу оцимни бир секунд
ичида <$ юз ортали олиб утиладиган Л4, масса билан характерлаш
-мумкин. Бу массанинг цуйидагича ифодаланиши тажрибадав топил-
ган:
Л1,~— D^-S, (1И1)
бу ерда D— пропорционаллик коэффициенти булиб, диффузия
коэффициенти деб аталади. —S юзфикран жойлаштирилган
кесимдаги абсолют конце нтрациянипг градиенти.
Равшанки, S юз орцали t вацт ичнда олиб ^тиладиган масса
цуйидагига тенг:
Mtt= — D^Sl. (114.2)
Айни вацтда иккинчи нав молекулаларнинг биринчи пав моле-
кула ларга царшн йуналган оцими мавжуд булади, бу оцим цам
олдингиси каби цуйидаги ифода билап апицланади:
(114.1) тенглама диффузкянинг эмпнрак тенгламасидир. Бундаги
« — » ишора масса (молекулалар) мазкур компонентанинг концентра-
цияси камаяднган йуналиигда кучишини курсатади.
Диффузия тенгламаенни молекуляр-кинетик тасаввурларга всос-
ланиб чицаришга уриниб курамиз ва цисобни соддалаштирнш учун
иккала компонента молекулаларининг массалари бир-биридан жуда
оз фарц цилади (т^т^т) ва уларнинг эффектив кесимлари
деярли бир хил (t^ я» <та я» о) деб цисоблаймиэ. Бу цолда иккала
компонента молекулаларининг иссицлик царакатининг v уртача тез-
лигини бир хил деб олиб, эркин югуриш йулннинг уртача узунли-
гинн
л = -4—
К5ои
формуладан цисоблаб топиш мумкин, бу ерда n = nt +
Биринчи компонента концентрациясининг г уц буйлаб узгариши
ei = ci (г) функция орцали ифодалансин, деб фараз цилайлик. S юз
орцали учиб утувчи цар бнр молекула узига тегишли т массаин
олиб утади (И| т т эканлигини эслатиб утамиз). Биринчи компо-
нента молекулаларининг S юз орцали г уц йуналишида бир
секундда утадиганлара сонини N\ билан, г йуналишга царама-
царши утадиган ушандай молекулалар сонинн N". билан белгилаимиз.
ЗИ
У цолда биранчи компонентанинг бир секунд ичвда z йуналишда олиб
утиладиган массаси цуйидаги к^ринишда тасиирланиши мумкин:
— (114.3)
Олдинги цоллардагидек (ц. 112 ва 113-§), S юзни кесиб $тун-
чи молекулалар X дан эркин югураш йулинииг уртача узунлигига
тенг мас'офаларда турадиган кесимлардан учиб келади, деб цисоблаш
мумкин. У цолда X дан z уц йуналишида учиб утадиган молекула-
лар сони цажм бирлигидаги молекулалар сонининг г — X координа-
тали кесимга тугри келадиганп^ циймати билан аницланади, бунга
царши йуналишда учиб утадиган молекулаларнинг сони z + X ко-
ординатали кесимга тугри келаднган n"t цмймат билан аинцланади.
Шундай цилиб N\ ва N"t сонлари
Д', =|-п1г)Х
ифода билан аницланади, бу ерда учун п\ = nt(Z — X) цаймат,
N’\ учун эса п" — л, (г + X) сон олиниши керак. N', ва N'\ нинг ций-
матларини (114.3) га цуииб, Mt ни топамиз:
М, ‘ — J- vS $'2W
* 6 di
т — Узгармас мицдор булгани учун т ифодани кури-
.. ж До
нишда езиш мумкин, бу эса коннентрациянинг градиептндан
иборат. У цолда
М,------l^gs. (114.4)
(114.4) ни (114.1) билан гсоли1птириб, диффузия коэффициенти-
нинг газокинетик ифодасини топамиз:
D=J«X. (114.5)
D иннг улчон бирлиги м^/сек эканлиги (114.5) дан келиб чицади.
Бизнинг бу мулоцазаларимиа аралашманинг иккала компонен-
тасига бир хилда тааллуцлидир. Бннобарин, иккала компонента
учун диффузия коэффициентининг циймати бир хил булади.
(114.5) ни (112.6) га таццослаб, ч билан D орасидаги цуйида-
ги богланишни топамиз:
ч-рО-
(114.5) га о ва X нинг ифодасини цуйиб,
D — -—1 f
noYtn ’
317
жаВЛйГйИй ТОПиШ мумкин. ♦] ва и лардан фарцлп ^ларвЦ диффузия
ввффицмйнтк гцажм бИрлигядаги молекулалар Сон ига ва. бяноба-
рнн р босимга тескарн пропорционал экан:
D няяг температурага богланиши худди т] вл х иннг температурага
богл впиши каби булади.
Биз иккала компонента молекулаларининг масс а лари на
эффектна кесимлара бнр хил деб фараз цнлганимиз учун аслида
(114.5) ифода хусусий диффузия коэффициентов инг, яъни бирор газ
молекулаларининг уща газ молекулалари муцнтидаги диффузияси
коэффициентининг нфодасидан иборатдир. Хусусий диффузия цодисаси-
ни кузатош учун бир жинсли газ молекулаларининг бир цисмини бирор
усул билан нищонлаб чицищ керак. У вацтда нишонланган моле-
кулалар концентрацияси ва нишонсиз молекулалар коицентрациясн
доимий булмаса, газда турли жинсли молекулаларнинг царама-цар-
ши йуналган оцимлари пайдо булар эди ва бу оцимларнинг катта-
лиги (114.4) формула билан аницланган булар эди. Амалда хусу-
сжй диффузия цодисасини нишонли атомлар методидан фойдаланиб
тадцнц цилиш мумкин. Бу метод изотоплар аралашмасидаи, яъни
айни бнр химиками элементнинг бир-биридан фарц циладиган. ма-
салан, бири радиактив булган, бошцаси , стабиль (барцарор) булган
атомларининг аралашмасидаи фойдаланишдан иборат.
Турли массали ва турлн кесимли молекулалар аралашмаси учун
диффузия коэффициент» цуйидагича нфодаланншн цисоблаб топил-
бу ерда В -сопли коэффициент, т' — —молекулаларнинг
келтирнлган масса деб аталувчи массаси ва rfu = — М1’
фектив диаметрларнинг ярим йигиндисн.
115-§. Ультрасийраклашган газлар
Молекулалариниг эркин югуриш йули уэунлиги идишнинг чизиц-
лн улчамларндан ортиц булса. идиш ичида вакуумга эришилди, деб
гапирилади. Бундай газ улътрасийраклашган газ деб аталади. Гарчи
с^знинг том маъносида вакуум сузи *бушлик» ни бмлдирса цам,’
улътрасийраклашган газда цажм бнрлигида жуда куп молекула бу-
лади. Масала», боснм 10-в мм сим. уст. булганда 1 ,и’ да тахми-
нан |010 молекула булади. Бундан ташцари, жуда кичик коваклар-
да вакуум деб таъриф ланадпгян цолат атмосфера бос имида цам
юзага келтирилшпи мумкин.
’ Улътрасийраклашган газларнинг характер» бнр цатор хусуснят-
ларн билан ажралиб туради. Вакуум шароитларнда газнинг бир
818
цисмн иккинчи цнсмига босим курсатади, деб гапнриш тугри «мае,
Одатдаги цмроитларда молекулалар бнр-бири билан тез-тез туцна-
шнб тура ди. Шунинг учун газны фикран иккн цкмга «жратиия
мумкин булган дар цандай енрт буйлаб молекулалар орасидд им-
пульс алмашиш юз беради ва, бннобарин, газнинг бир цисмн м-
хмичи цнсмига ажралнш сир™ буйлаб р босим билан таъсир цнла-
дн. Вакуум цолатнда молекулалар идишнинг девори биланпжа
импульс алмашинишадн, натижада газ-
нинг деворга берадиган босими тушун-
часигина маънога эга булади. Бу до-
латда газда ички ишцаланиш дам бул-
майди. Ленин ультрасийраклашган газ
ичида даракатланувчи жиемга ишцала-
вяш кучлари таъсир цилади, бунинг са-
I J—
I Г“'
L/nUj 1
г ......
баби шундаки, молекулалар бу жиемга 257-рлсм.
урилиб, унинг имлульсини узгартиради.
Бу масаланн батафсилроц куриб утамиз.
Ультрасийраклашган газда иккита пластинка бир-бирига иарал-
лел равишда царакат цилсин (257- раем). Пластинкалариннг теэлвн-
лари их ва га тенг. Молекула пластинкага урилгаи пайтда мо-
лекула бнлан пластинка ©расида содир булган Узаро таъсир тунга
олиб келадикн, молекула пластинкадан сапчнб, иссицлик тезлигига
цушимча тезлик олади ва бу цушимча тезлик катталик ва й у на ли-
ши буйича пластинке тезлигига тенг булади.
Юдорнгн пластинханинг бирлик юзига цар секундда пи дона
молекула келиб урилади, бу молекулалар пастдаги пластинкага ол-
динги урилишда олган тезликнинг и, ташкил этувчиенга эга була-
ди. Бу молекулаларнинг цар бири импульснинг mut та шин л этув-
чисига эга булади. Молекулалар юцориги пластинкадан сапчнб
цайтганцда импульснинг mu, ташкил этувчиенга эга булади. Бине-
баран, цар бир молекула юцориги пластинкага урилганда унинг
импульси -Uj) мицдорида камаяди. Пластинка смртинниг
бирлик юзига нисбатан олгандя импульснинг вацт бирлиги ичидаги
Узгариши цуйидагига тенг булади;
я v т (ut — ua).
Маълумки, бу уэгарищ пластинка сиртининг бирлик юзига таъ-
сир этувчи кучга тенг;
/ = |pf <«! — «*) (115.1)
(биз тп урн ига р ц^йдик).
Пастни плвегинканмнг' бнрлик свртягв катталиги худди шуядяД,
лекил унга царама-царши йуналган куч таъсир цилади.
Ишцаланиш кучи бнлан пластинкалар тезликларн аймрмаен ора-
сидаги пронорцноиаллик коэффициентами ншцалаати коэффицкевти
25Я- расы-
деб аташ табиийдир. (115.1) дан бу коэффнциенткинг - р v га теиг
экаилиги, яъни газнинг зичлнгига ва бинобарин, газнинг пластин-
ка ва идин] деворига берадиган босимига пропорционал эканлши
келиб чиь^ди (бу босим учун p=*nkT нфода сац.ганади).
Энди газнинг вакуум щароитида мссшршк узатиши тугрисидаги
масалага мурожват циламиз. Орасида улътрасийраклашган газ тур-
ган иккита пластинхани куриб чи^амиз, бу
пластинкалариииг темпсратуралари Г, ва 7,
булсин (258- раем). Агар молекулалар ^ат-
ти\ жисмнинг сиртига абсолют эластик ра-
вишда урилганвда эди, у холда молекула-
ларпянг пластинкадан саичиб кетишдагн
тезлигининг катталиги (бинобарин, энергия-
си хам) урилишдан олдинги тезлигига тенг
булар эди. Натижада молекулалар пластинкадан пластинкага
энергия олиб ута олмаган б$лар эди. Лекин бу хулоса тэжрнбага
зид келади. Бинобарин, давор билан унга келиб урилаётган моле-
кула орасидаги узаро таъсир эластик зэрб характерига эга эмас.
Аслида бу узаро таъсир куйидагича юз беради: деворга урилгап
молекула унга цис^а вагр- давомида ёпишиб колгандай булади, бун-
дан сунг молекула девордап муттацо ихтиёрий йуналищда бирор
тезлик билан узоцлашади ва бу теэликнинг катталиги урта ^исобда
деворнинг температурасига ьис келади’.
Энди яна 258-расмга мурожаат циламиз. Юк.орнги пластинкага
Хар секунд ичида уриладиган пи S дона молекуланинг ?уар бири
Узи билан kTt энергия олиб келади ва /г7\ энергия олаб кета-
ди. Бинобарин, молекуланинг пластинкага ^ар бир урилиши нати-
жасида пластинка k (7\ — 7^) энергия йуцртади. Молекула >,ар
бир урилганда иккинчи пластинка ушанча миадорда энергия олади.
Шундай цилиб, молекулаларнинг хаР секунд ичида пластинкадан
пластинкага олаб утадиган энергияси мицдори цуйидагиги тенг
булади:
Бу ифодани /п/Уд га к^пайтирнб ва булиб хуйцдагини топамиз:
? = |piiv(T1-7’,)S. (115.2)
1 Молекулаларнинг девор билан буладиган Узаро таъсири характерига сил бу
аширшк биэпннг 99- § ди босимни ^нсоблаш.ча топган натижаларимчзга таъсир
»к!1лмаПди. Агар гяз ва деворнинг температурасн бир хил булса, молекулаларнинг
девордан сапчмб кетишдагн тезлиги уларнинг девор! а келиб урилиадап! тезлигн-
га урта дпеобда тенг булади. Зарб натижасида молекулалар импульсииинг узга-
рнши Урта дисобда абсолют эластик зарб булган цолдагидек булади.
320
га тенг булган иссндлик утказувчанлик коэффициента уль-
тра сийраклашган газда газнинг зичлигига пропорционал булар экан.
Бинобарин, босим пасайганда бирдевордан иккинчи деворга иссид-
лик узатиш камаяди, одатдагн шароитларда эса газнинг иссицлик
$тказувчанлиги юцорнда курганимиздек босимга бошиц булмайди.
116-§. Эффузия
Ичвда ультра сийраклашган гази бор идишни куриб чнцайХик,
бу идиш тешикли тусик билан икки ^исмга б$'линган булсин (259-
раем.) Агар тешикнинг улчамлари молекуланинг эркин чопиш йули
узунлигидан кичик булса, у ^олда молекулалар тешик ортали бир-
бирига ту^нашмасдап якка-икка учаб утади. Бундай шароитларда
газнинг тешик ортали о.^иши эффузия деб аталади.
Эффузияда бир цатор $’знга кос ^одасалар
юз берад!Г, биз буларнинг иккитасини кураб
чш^йлик. Муло^азаларимизни соддалаштириш
учун биз, идиш ичидаги газ шу цадар кучли
сийраклаштирилганки, эркин югуриш йулннинг
узунлиги идишнинг чизнцли - улчамларидан ор-
т>% деб фараз ^иламиэ. Бу \олда молекулалар
тусшраги тешик ортали jth6, то идишнинг 259- расы,
деворларнга етгунча тугри чизи^лн траектория-
лар буйлаб ^аракат цилади.
Иссндлик эффузияси.. Идишнинг ик-
кала ^исми деворларининг 7\ ва 7, температу-
ралари >,ар хил булсин (260- раем). Эркин чопиш
йулннинг X узунлиги тешикнинг d диаметри-
дан анча кичик булгаида (A ,d) идишни гул-
дириб турган газнинг мувозанат шарти ft ва р}
босимларпинг тенглиги булади. Босим nkT га
тенг булгапи учун идишнинг иккала ^исмининг ^ажм бирлигида-
ги молекула тар сони ва бинобарин, газнинг зичлиги бу ^олда тем-
ператураларнинг нисбатига тескари муносабатда булади:
Г,
260- раем.
Г,
(116.1)
Ультра сийраклашган газда (А^> d) эса мувозанат шартлари бош-
цача булади. Агар идишнинг биринчи ^исмидан иккинчи ^исмига
тешик орцалн бир секунд ичида уталтган молекулалар сони тешик
ортали царама-^аршн йуналишда бир секунд ичида утаётган моле-
кулалар сонига тенг булса, ва^т утиши билан узгармайдиган (ста-
ционар) ^олат царор топади. Тешик орцали утадиган молекулалар
сони nv га пропорционал булгани учун мувозанат шарти
ЯЛ =
21-1317
321
к^рннмшда булади. "Г~ р*7' булгани учун цуййдагж тепглюсларни
ё;иш мумкин1:
<"62>
Шундай цилнб, газ зичликларининг нисбати одатдаги шароит-
лардагидан (116.1 га ц.) бошцачароц булар экан.
(116.2) ни цисобга олсак, босимлар нисбати цуйидагича булади:
я _ - 1/Ь
Л п^т, г Т?
Идипшинг иккала цнсмида босимлар тенг булганда мувозанат
юз берадиган одатдаги шароитлардан фарцли равишда вакуум ша-
роитида босим идишнинг деворларн температураси юцори булган
цнсмида ортицроц булар экан.
Икки газнинг учрашма нэотермик эффуэияси.
Идишнинг температураси цамма жойда бар хил булган ва аввалдан
мдишнинг цар хил цисмларидя молекулаларининг массалари к£п фврц
циладиган цар хил газлар бор бутган цолнн текширайлнк. Аннцляс
учун идишнинг чаи цнсмида водород (Af=2), унг цнсмида кислород
(М—32) бор деб оламиз Водороднннг р, босими кислороднинг р,
босимндан 2 марта кичнк булснн. Бннобарин, кислородга онд гц
сои водородга оид пх сондан 2 марта катта: nt = 2nj. Босимлар»
нинг узи шундайки, иккала газ учун Л узунлик идишнинг чизицли
улчамларндан катта.
Агар тусицдаги тешик очилса, бу тешик орцали кислород ва водо-
роднинг учрашма эффузион оцимлари юзага келади (261- раем). Бунда
водород молекулаларининг оцими га пропорциона л,^ кислород
молекулаларининг оцими эса га пропорционал'булади. 1/[/т
булгани учун водород молекулаларининг уртача тезлигн кислород мо-
лскулаларининг уртача тезлигидан 4 марта ортиц булади: = 4vt.
Гарчн идишнинг водород турган циемдаги босими кислород турган
циемдаги босимидан кичик бу эса-да, натижада водород молекулала-
рининг оцими кислород молекулаларининг оцамидан 2 марта катта
булади. Эффузион оцимлар босимларнитенглаш-
тириш урнига босимлар фарцининг ортишига олиб
келади. Тугрй, вацт утиши билан идишнинг ик-
кала циемцда водород ва кислород концентра-
цияларн тенглашади (аввал тезроц царакатланувчи
молекулалар, яъни водород молекулалари кон-
центрацияси, с^нгра эса кислород молекулалари
концентрациялари тенглашади) ва пировардида
босимлар тенглашади. Идишнинг иккала цнемв-
Ъ I о,
п, |
/?, I
261-раем.
1 Олдинги параграфда айтял1аиларгй мувофиц, идиш деворига урилгаим
tccfti’ji молекула уидан деворнииг темперзтурасига мос тезлик бнлан сапчнб new
/и, деб цнеоблаймиз.
322
даги pt ва р, босимларнпнг вацт буйича узгариш»г 262- расмда гра-
фик равишда тасвирланган.
Компоненталари айни бир химиявий элементларнипг цар хил мзо-
топларидан (турли атомларидан) иборат эканлиги бнлан фарцланун-
чи газ аралашмаларани ажратишда эффузия цодисасидан фойдала-
вилади. Изотопларнинг химиявий хоссалари айнан бир хил булгани
учун уларии химиявий усуллар билан ажратиб б?лмайди.
О
263- ркы.
4 Газни ажратишнияг эффузион усули принцяпн 263-расмда кур-
сатнлган*. Расмда <О» синводи билан белгиланган газ аралашма-
смнйнг оцими икки цисмга тармоцланнб, улардан бири майда тс-
шикли (А. > тешиклар улчами) тУсицдан уткаэилади. Массалари ки-
чик булган молекулаларнинг иссицлик царакатн уртача тезлигн
катта булгани учун, тусицдан Утган оцим бошлангич оцимга цяра-
ганда енгнл молекулаларга бир оз бойийди. Бойитилган бу оцим
(/' оцим) яна икки цисмга ажратилади, улардан бири иккинчи го-
вак тусицдан утиб енгилроц молекулаларга янада бойайдн. Бу про-
цессии куп марта такрорлаш натнжасида асосан молекулалари те-
гишли химиявий элементнинг еягилроц изотопларига эга булган
газ олиш мумкин.
1 Тармхйн бу усу* «жхоала^ии дчффри* усуамя* гифатнш геЛ Ивгугри
вфодалаичб цолгаи.
XIII БОБ
РЕАЛ ГАЗЛАР
[/ 117-§. Газлариинг идеалликдан четлаинши
Юцорвда айтиб утилганндек, реал газлариинг характери босим
унча юцори булмаган, температура эса етарлича юцори булган цол-
лардагина
pV=~RT
(98.14) тенглама билан анча яхши тавсифланади. Босим ортиши ва
температура камайиши билан бу тенгламадан анча четланишлар
кузатилади. 10-жадвалнинг иккинчи устунида нормал шароитларда
бир литрга тенг цажм эгаллайдиган азот массаси учун pV купайт-
манинг цийматлари келтнрилган. Бу цийматлар цар хил босимлар
ва айни бир 0°С температура учун берилган.
рУ.ат.л
1 1,000 1,000
100 0,991 1,000
200 1,048 1,009
Б00 1,390 1,014
1000 2,069 0,893
(98.14) тенгламага мувофиц, температура узгармаса, рУ купайт-
ма узгармай цолавериши керак. Аслида эса жадвалдан куриниб
турганидек, 200 ат тартибидаги босимларда сезиларли фарц юзага
келади. Бу фарц босим ортиши билан муттасил ортиб бориб, босим
1000 ат булганда 100% дач ортиб кетадн. (98.14) тенгламани
келтириб чицаришда биз молекулаларнинг ^лчамлариня ва уларнинг
Гир-бирига слисдан курсатадиган Узаро таъсириин эътиборга олма-
гаи эдик, шунинг учун бу фарцлар биз учун ажабланарли вмас.
Шу билан бирга, босим ортгаида газнинг зичлиги ортади, бу эса
молекулалар орасидаги уртача масофанинг камайишига олиб кела-
ди; шунинг учун молекулаларнинг цажми ва улар орасидаги Гваро
таъсир муцим роль уйнай бошлайди.
324
Биз цилган цисобга мувофиц (ц. 92-§) молекулаларнинг улчам-
лари 10-8 см тартибида булади. Молекуланинг г радиусини 1(г 8 см
га тенг деб олиб, битта молекуланинг цажми цуйидагича булишини
топамиз:
|лг* - У 3.14 • 10-“ =а 4 10-“сл<’.
Бннобарин, нормал шароитда 1 смэ газдаги молекулаларнинг
хажми тахминан
4- 10~м-2,7- 1018 1(TW
булади. Бу цажмни газнинг цажмига (1 см”) нисбатан бемалол
эътиборга олмаса цам булади.
Агар газ (98.14) тенглймага буйсунганда эди, у цолда босим
5000 ат га цадар кутарилганида газнинг зичлиги 5000 марта ортган
ва бир 1см” даги молекулалар цажяи 1Q_*.5-103 = 0,5 с№ га тенг
булар эди. Шундай цилиб, газ эгаллиб турган цажмнинг ярми мо-
лекулаларга тугрн келар эди. Молекулалар царакат цилищи учуй
келадиган цажм атмосфера босимидагвдан 2 марта кичик булар
эди. Мутлацо равшанкм, бундай шароитларда цажмнинг босимга
тескари пропорционаллиги бузилиши керак.
Молекулалар орасидаги узаро таъсир характерини 264-расмда
келтнрилган эгри чизиц ёрдамвда курсатнш цаммадан яхши Бу
эгри чизиц икки молекуланинг узаро потенциал энергиясини бу мо-
лекулалариннг марказлари орасидаги г масофанинг функцияси си-
фатида тасвирлайдн. Бу эгри чизицнн ясашда бир-бирндан чексиз
катта масофада турган (яъни узаро таъсирлашмайдиган) молеку ж-
ларнинг потенциал энергияси нолга тенг деб олинган. Бинобаршг,
г чексизликка интилганда эгри чизиц г уцига асимптотик равишта
якинлашиб боради.
264- раем.
Потенциал энергиянинг г масофа фуикцияси сифатндаги ифода-
сини билган цолда молекулалар бир-биридан цар хил масофада тур-
ганида цандай куч билан узаро таъсирлашишини аницлаш мумкин.
Бу инн г учун механнкадан маълум булган
муносабатдан фойдаланиш керак. Бу ердаги <—> ишора шуни бил-
дирадикн, молекулалвриннг узаро таъсир кучлари уларии энг кичик
потенциал энергняли цолатга келтиришга интилади. Бннобарин. мо-
лекулалар орасидаги масофалар г0 дан ортиц булганда улар ораснда
узаро тортиш кучлари таъсир цилади, молекулалар орасидаги масефа-
лар га дан кичик булганда эса улар ораснда итариш кучлари таъсир
цилади. Эгри чизикиниг тегишли жондаги тиклиги кучнинг каттали-
гини курсатади.
Молекулаларнинг яцинлашиш (бир-бнрига туцнашиш) процессным
ер эгри чизиц ёрдамида куриб чицамиз. Молекулалардан бирннинг
марказини фаразнй равишда коордмнаталар бошига жойлаштирамиз,
иккинчи молекуланинг марказини г уц буйича кучади, деб фараз
циламиз. Иккинчи молекула е4 = Cj бошлангич кинетик энергия
запаснга зга булгани цолда чексизликдан биринчи молекулага томом
йуналишда учиб келаётган булсин. Биринчи молекулага яцинлашар
экан, иккинчи молекула тортишиш кучи таъсири остида тобора ор-
тиб борувчи Тезлик билан царакат цилади. Натижада молекуланинг
ел кинетик энергияси цам ортади. Ленин системанинг га тенг
булган е — вА+ е тулиц энергияси узгармайдн (иккита молекула сис-
темаси берк системадир), чункн айни вацтда ер потенциал энергия ка-
маяди. Иккинчи молекула координатаси г0 булган нуцтадан утганда
тортишиш кучлари итариш кучлари билан алмашади, бунинг оцибатада
молекуланинг тезлиги тез камаяди (итаришиш соцасида ер эгри чизиц
5куда тик кетади). ер потенциал энергия системанинг ej тулиц энсргия-
снга тенг булиб цолгаи пайтда молекуланинг тезлиги нолга айланади.
Бу пайтда молекулалар бир-бирига энг яцин келади. Молекулалар
бир-бирига энг яцин келган шароитда уларнинг марказлари ораевда
цолган энг кичик d, масофа молекуланинг эффектив диамстрндан
иборат булади. Молекула тухтагаидан кейии эса цамма цодисаЛар
тескари тартибда содир буладн: аввало молекула итаришиш кучи
таъсири остида тобора ортиб борунчи тезлнк би чан царакат цилади;
координатаси г0 булган нуцтадан утгач, молекулага унинг царака-
тини секиилаштирунчи тортиш кучи таъсир курсата бошлайди ва
мнцоят, дастлнбки е± кинетик энергия запасига тенг энергия билан
чекспзликка цараб кетади.
264- раемдан курнниб турнбдики, молекула уз царакатинм кат-
тароц е, энергия запаси билан чексизликдан бошлаган цолда моле-
кулаларнинг марказлари яна цам яцинроц келар экан, яъни улар
орасидаги минимал масофа <4 аввалгидан кичикроц булар экаи.
Шундай цилиб, молекулаларнинг эффектив дцаметри уларнинг ур-
тача энергиясига ва, бннобарин, температурага боглиц экан. Тем-
326
нература к$тарЙЛиши билан молекулаларнинг эффектив d диаметри
камаяди, буиниг натмжасида эркин югуриш йулининг 1 уртача узун-
лигн ортади |(111.7) га ц.).
Молекулалар Уртасидаги рзаро таъсириинг идеал газ зрлатннннг
тенгламаенни чицаришда фараз дилинган характери 265- расмда тас-
вирлангаи потенциал эгри чизицца мос келади. Молекулалар ораси-
даги масофалар г6 дан катта булганда ер узгармайдн, шунинг учун
бу >^о л да куч нолга тенг булади. г — г0 бул-
ганда ер чексизликка вйланиб, молекулалар
марказлариин гв дан кичик масофага яцин-
лашишга тус^ннлик цилувчи потенциал барьер
э^осил булади. Газда молекулалар орасидаги
уртача масофалар етарли даражада катта бул-
ганда гина шундай соддалаштирилган муло-
^азалйр уринли булади: г катта булганда 264-
раемдаги эгри чизик; жуда ётиц кетади,
натижада булади. Молекулалар ора-
265- раем.
сидаги уртича масофа камайгани сари, яъни
газ зичлиги ортгани сари молекулалар ораснда тортишиш кучлари-
нинг роли тобора ортади. Ю^орвда куриб утганнмиздек, айни
вацтда газ эгаллаб турган ^ажмнннг молекулалар ^аракатланадн-
ган цисми камаяди.
Бу айтилганларнипг цаммасидан шундай хулоса чнцадики, зич-
лик катта булганда газларнинг карактерини тугри ифода этаднган
тенглама, биривчидап, молекулаларнинг бир-бирини тортишини в а
мккинчидан, молекулалар маълум чекли хусусий цажмга эга экан-
лигини \исобга олишн керак.
I/118-§. Ван-дер-Ваальс тенгламасн
Реал газларнинг характерини ифода этиш учун берилган жуда
куп тенгламалар ичида Ван-дер-Ваальс тенгламасн энг содда були-
ши билан бирга жуда яхши натижалар берар экан. Бу тенглама
pVKtt = RT тенгламага тузатмалар киритиш йули би тан ^осил ци-
линган булиб, ^йидагича куринишга эгадир:
(₽ + -,£-) <V" -6>=ет' (11в1>
бу ерда р — газга ташцаридан курсатилаётган босим (бу босим газ-
нинг идиш деворларига курсатадигаи босимига тенг), а ва b — Ван-
Дер-Ваальс доимнйлари булиб, дар хил газлар учун э^ар хил (\ий-
матга эга; бу ^ийматлар тажриба нули билан толилади. Агар босим
квадрат метрга ныотон зртсобида, дажм киломолга куб метр дисо-
бида ифодаланса, а доимийнинг улчамлиги н-м?/к.молъ\ Ь доимий-
нинг улчамлиги м*/кмоль булади. Баъзаи а доимий атлУ1моль*
билан, b доимай эса л]моль билан >;ам ифодаланади.
321
Ь доимий молекулалар улчамлари чекли булгаим туфайли цажм-
нинг молекулалар царакат цилолмайдиган цисмини аницлайди. Бу
доимий молекулалар цажмининг туртланганига баравар, шундай
эканлиги цуйидаги мулоцазалардан келиб чицади. Идишда фацат
иккита молекула булсин. Бу молекулалардан истаган бирининг мар-
кази иккинчи молекуланниг марказига молекуланинг d диаметридан
кичик масофага яцин кела олмайди (266-раем). Шундай цилиб, ик-
кала молекуланинг марказлари радпуси d бул-
ган сферик цажмга, яъни молекуланинг саккиз-
та цажмига тенг цажмга киролмайди. Буин битта
ыолекулага нисбатан цисоблаганда унга моле-
куланинг туртланган цажмига тенг цажм тугри
келади. Одатда, молекулалар жуфт-жуфти би-
лан туциашгани учун (бир вацтда учта ва ун-
266-раем. дан купроц молекулаларнинг туцнишиш эцти-
моли жуда кичик), бу мулоцазалар молеку-
лаларнинг цар цандай жуфти учун тутридир. Бундан шундай ху--
лоса чицадики, газ молекулаларининг цар бирига нисбатан цисоб
цилганда улар битта молекуланинг туртта цажмига тенг цажмда,
цамма молекулалар эса уларнинг бутун цажмига турт баравар ке-
ладиган цажмда царакат цила олмайди.
o/V^m тузатма молекулаларнинг бир-бирига узаро тортишиши ту-
файли цосич буладиган р, ички босимни ифодалайди. Агар молеку-
лалар уртасидаги узаро таъсир тусатдан йуц булиб цолса эди, у
цолда гаэпи уша цажмда сацлиб цолиш учун ташци босимни pt ички
босимга тенг мицдорда орттиришга тугри келган булар эдн. pt нинг
цажм квадратига тескарн пропорционал булишининг сабаблари цу-
йидагичадир. Молекулалар орасидаги тортишиш кучлари масофа ор-
тиши билан тез камайганлиги сабабли бирор г масофадан бошлаб
молекулалар орасидаги узаро таьсмрнн мутлацо эътиборга олмаса
хам булади. г масофа молекуляр таъсир радиуси деб аталади.
г радиусли сфера молекуляр таъсир сфераси деб аталади. Газда
фаразип бир текислик утказамиз (267-раем) ва газнинг бу текис-
ликнинг икки томоннда ётган цисмлари бир-бирани цандай куч би-
лан тортишини бацолаб куришга харакат циламиз. Бу кучнинг сирт
бирлигнга тугри келган циймати ички босимга тенг
булади.
Фаразий текисликдан чап томоида турган моле-
кулаларнинг цар бнрини текисликдан унг томоида
турган молекулаларнинг мазкур молекула атрофи-
га чизилган молекуляр таъсир сферасининг текис-
лнкдам нарига утиб турган цисми доираси ичида
турганлари узига тортади (267- расмда бу молеку-
лалар крест билан белгиланган). Бундай молеку-
лаларнинг сони ва, бниобарин, текисликдан чапто-
>*онда ётган молекулаларнинг цар бирига таъсир
этувчи куч цажм бирлигидаги молекулаларнинг п
сонига пропорционалдир. Текисликдан чап томонда 267-раем.
328
торгам молекула тарнинг цалинлиги г булган цатламга тушадигдо-
л<ригагина текисликдан унг томоида тургаи молекулаларнинг тор-
та и кучи таъсир цилади. Бу молекулаларнинг сони цам п га про-
порционтчдир. Шундай цилиб, газнинг бнр цисми иккинчи цясми-
ни тортадиган куч ва бинобаршд ички босим ns га пропорционал
булиб чицдн. и сон газ цажмига тескари пропорционал булгани
учун, ички босим цажмнинг квадратига тескари пропорционал бу-
лади.
(11 В. 1) тенглама бир киломоль газ учун ёзилган. z киломоль
газга мос келувчи ихтиёрай т массали (г = пг/р) газга оид тенгла-
мага утиш учуй угла шароитда z киломоль газ г марти ортиц цажм
агаллашини, яъни
У=Лгки
булишинн цисобга олиш керак.
(11В.1) да VKW урнига Viz цуйиб, цуйидаги тенглама ни топамиз:
(₽+2)М-^-
Бу тенгламани z га купайтириб ва цуйидаги
а' = z’fl; Ь' *= zb (118.2)
белгнларии киритиб, z моль газга оид Ван-дер-Ваальс тенгламасини
цосил циламиз:
(₽ + £) (V-V)=zRT. (118.8)
Ван-дер-Ваальснинг z киломолга оид доимийлари а' ва Ь' царфлари
билан белгиланган. Бу донмийлар билан а ва b орасидаги богла-
ниш (118.2) муносабатлар орцали берилади. а' нинг улчамлиги н-м9,
Ь' доимийнинг улчамлиги цажмнинг улчамлиги билан бнр хил.
Ван-дер-Ваальс тенгламаси газлариинг характерини (98.14) тенг-
ламага цараганда цанчалик яхши ифодалашини 10-жадвалда (ол-
динги параграфга царанг) келтнрилган маълумотларга цараб фикр
юритиш мумкин. Жадвалнинг учинчи устунида (р + р) (V—6')1
мицдорнинг цийматлари, иккинчи устунида pV нинг цийматлари бе-
рилган, иккала устундаги цийматлар цам азот газининг бир хил
массаси учун берилган. Жадвалдан куриниб турибдики, Ван-дер-
Ваальс тенгламаси эксперимент натижаларига (98.14) тенгламадан
кура анча яхшироц мос келади.
Зичлиги камайганда барча реал газлариинг хоссалари идеал газ
хоссаларига яцинлашгани учун, цажм чексизликка интилгандаги
лимитда Ван-дер-Ваальс тенгламаси (98.14) тенгламага айланади.
Бунга йшонч цосил цнлиш учун, pV купайтма тахминан узгармай
’ (118.3) га бннояи бу катталик доимий булиши керак.
329
цолишини ^исовй олмоц цамда (118.3) тенгламада р ва Р ни наве-
дан ташцарига чицармоц керак:
₽lV+M)
(118.3) тенгламада цавсларни очиб чициб ва цоенл булган ифо-
дани Р га к^пайтириб, Ван-дер-Ваальс тенгламасини
pV — (b'p + гЯТ) Р + а'V =а'1/ (118.4)
курннишга келтиркп мумкин. \осил булган бу тенглама V га нис-
битан кубик тенглама булиб, унинг коэффициёнтлари р ва Т пара-
метрларга ботлиц. Коэффициентлари цациций булган озод цадли куб
тенглама учта ечимга эга булади. Коэффициентлар орасидаги муно-
сабатиинг цандай булишига цараб учала ечим цацицай булиши ёки
бнтгаси цациций, долган иккитаси комплекс булиши мумкин. \ажм
фа цат цацицай була олганн учун комплекс ечимлар физик маънога
ага эмас.
268- раемда температураиинг бир цанча цийматларига оид Ван-
дер-Ваальс изотерма лари тасвир ланган. Температура Т' булиб, ба-
сим p'i дай р'а гача соцада узгаргаида (118.4) тенгламанинг кеэффн-
циентлари шуидай буладики, унинг учала ечими цам цацицнй
булади; босимлар цийматн бошцача булгаида унинг фа цат битта
ечнмнгнна цацмцкй булади. Температура кутарилншн билан тенглама-
нинг учта цтцкций ечими орасидаги фарц камаяди (Т' ва Т" иэо-
термаларни солиштиринг; Т">Т'). XflP бир модданинг узига хоа
булган маълум бир Тир температурадан бошлаб цар цандай босим-
да (118.4) тенгламанинг фацат битта ечими цацаций булиб цола-
веради. Тир температура критик температура деб аталади,
Агар температура орттира борилса, тенгламанинг Т,» К ва Узечим-
ларига мос келувчи нуцталар бир-бирига тобора яцинлашмб, критик
нуцтада устма-уст тушади, бу нуцта 268-расмда К царфи билан
белгиланган. К куцта критик нуцта деб аталади. Тегишли изотер-
ма учун К нуцта бурилиш нуцтасидир. Бу нуцтада (118.4) тенглз-
мапинг учала цакицнй ечими бир хил булади. Критик изотермага
К нуцтада $’тказилган уринма темпе-
ратура критик температурага интил-
ввн цолда р’, р" ва цоказо кесувчилар
интиладиган лимитдир. Бинобарин, бу
уринма барча кесувчилар каби, V ^цн-
dp
га параллелдир, шунинг учун цоси-
ла К нуцтада нолга тенг. Унданташ-
цари, бурилиш ыуцтаецда иккин-
чи цосила нолга тенг булиши керак.
(118.1) тенгламани р га нисбатан
ечамиаг
«зв
---• <118.3)
r Vkm —b V2
Бу ифодани буй»» дмффереипналлаДми81
ар _ ПТ , Ча
<ч.-ч,+ т^?
aw ба
№. и„ •
Критик нуцтада, яъни уларга Т = TKV, VKlf = VK„i4l циймат-
лар цуйилганда бу нфодалар нолга айланиши керак]
_ кт -*. 20 _ О
(Уцм-хр “^км.кр
^р _Q
('ижкр ~~ьу ^км.кр
Бу тенгламалар К нуцта учун ёзилган
«Гир 0
v-,.„
(118.5) тенглама билан бирга Ржр, VFUMp га 7ир номаълуыли уч-
та тенглама цосил цилади. Бу тенгламалар скстемасининт ечими
цуйидзгичя:
V„Bp =36,
_ а
Ркп — 27*» ’
Г — 8а
-! ~ 27W
Шундай цнлиб, Ван-дер-Ваальснинг*л ва Ь доимииларини билган
Холда критик нуцтага тегишли , Ркр ва ^кр катталикларни
топиш мумкин экан, улар критик катталиклар деб аталади.
Аксннча, критик катталикларнинг маълум цийматларига «араб Ван-
дер-Ваальс доимийларининг цийматларнии топиш мумкин.
Критик катталикларнинг ифодаларидан
p.t -1^..
эканлнги келиб чицади, вадолонки идеал газнинг цолат тенглама-
сига асосан
P„v„ -кт„
теиглик бажарилнши керак эди.
331
119-§. Экспериментал изотермалар
Изотермами тажриба йули билан топиш учун газ цолатцдаги мод-
да олиб, уни суриладиган поршенлн идиш ичига солит (269- раем) ва
секин сица бошлаш керак. Бу вацтда модданинг температураси Узгар-
май цолишига ацамнят бериб туриб, босим ва цажмни бир вацтда цайд
цила бориш керак. Бундан тажриба лар дан критик температуралар-
дап паст температураларда олинган натижалар 270- расмда «Урсатил-
269-расы.
ган. Дастлаб цажм камайнши билан газнинг боенмк ортади*, шу билан
бирга изотер.манинг бориши Ван-дер-Ваальс тенгламасига жуда мос
келади. Лек ин цажмнинг бирор Vr цийматидан бошлаб экспериментал
изотерма (116.3) тенгламага буйсунмай цуяди. Хажмнинг шуцийма-
тидак бошлаб идишдаги босим узгариши тухтайди, бунда модданинг
узи эса бир жинсли булмай цолади: газнинг бир цисми кон-
денсацияланиб суюцликка айланади. Модда иккита фазага: суюц
ва газ фазасига ажралади. Хажм янада камая борган сари модда-
нинг тобора купроц цисми суюц фазага утади, бу утиш процессида
босим Узгармай туради, расмда бу босим рт.б билан белгиланган.
Модданинг конденсацияланиб, суюцликка айланиш процесси та-
мом булгач (цажм Ус цийматга эришганда шундай булади), цажм-
нинг бундан кейинги камайишида босим тез ортади. Бунда изотер-
ма яна (116.3) тенгламага тахминан буйсунади. Изотерманинг бу
цисмига тегишли цолатларда модда яна бир жинсли булади, лекин
газ цолатида эмас, балки суюц цолатда булади.
Шундай цилиб, Ван-дер-Ваальс тенгламасн модданинг газ цола-
тиннгина эмас, балки модданинг суюц цолатга утиш процессини ва
суюцликнинг енцилиш процессини цам тавсифлайди.
Экспериментал изотермани Ван-дер-Ваальс изотермасига солиш-
тириш шу нарсани курсатадики, бу изотермалар модданинг бир фа-
1 Температураси критик теипергтурадан паст б^лгал газ долатидагн модда
баъзан бур деб аталади
зали цолатларпга тегишли цисмларда анча яхши устма-уст тушиб,
модданинг икки фазага цатламланиш соцасида мутлацо чар хил бу-
лади. Бу сохада Ван-дер-Ваальс изотермасвдаги X шаклидаги бу-
килишга экспериментал изотермада тугри чизицли горизонтал цисм
мос келади. Тугри чизицли бу цисм шундай жойлашадики, X шак-
лидаги букиямш цамраб ётган Л ва Fa юзлар бнр хил була-
ди (270- раем).
Изотерма нинг горизонтал цисмяга тегишли цолатларда модданинг
суюц ва газ фазалари уртаенда мувозанат юзага келади. Узининг
суюцлиги билан мувозанатда турган газ (ёки буг) туйинган бур
деб аталади. Танинли бнр температурада мувозанат амалга ошиши
мумкин булган рт.с босим туйинган буг босими (ёки эластиклнги)
деб аталади.
Босим рт-б булганда газ цолатидаги модда эгаллаб турган
цажм Vr билан белгиланган; У£—босим худди шундай булганда суюц
цолатдаги модданинг цажми. Модданинг бирлик массасининг цажмн-
ни солиштирма У' цажми деб атаймиз. У цолда модданинг масса-
си т га тенг булганда туйинган бур ва суюцликнинг Т температу-
ра ва рт-б босим ыароитидаги солиштирма цажмлари цуйдагича
булади:
(119. 1)
Хажтннпг оралицдаги цар цандай У цийматида (271-раем) мод-
дапинг массасн то булган циемн суюц цолатда, массаси булган
цисми буг цолатида булади. Бннобарин, суюцликка У'е/ив цажм
туйинган бугга sca’V'6mfl цажм тугри келади. Бу иккала цажмнинг
йигиндиси V цажмга тенг булиши керак.
V^V'cffle+V^j.
Бунга солиштирма цажмларнниг (119. 1) ифодаларини ц$йиб ва
m массаин т^-т^ йигинди билан алмаштириб, цуйидагини топамиз:
бундан
•пс_ УГ—У_У_
mt V—— х
Бннобарин, икки фазали цолатда i
суюцлик ва туйинган буг массалари- |
пинг нисбати цолатни тасвирловчи нуц- | _
та изотермадаги горизонтал циемнм । *i «"
булиб цосил цилган кесмаларнннг нис- i i v
батига тенг. ! j
272- расмда температуранинг бир ----------!----1---
цанча цийматларига оид экспериментал £ v
изотермалар курсатилган. Расмдан ку- 271- раем.
333
риниб турибдики, температура к^тарилиши билан изотермапннг го-
риэонтал цисми цпсцаради ва Ткр критик темпсратурада бу цисм
нуцтага айланиб цолади. Шунга мувофиц равишда суюцлик ва ту-
йинган бугнинг солнштирма цажмларн фарци ва, бннобарин. уларнинг
аичликлари фарци камаяди. Критик температурада бу фарц бутун-
лай йуцолади. Айни вацтда суюцлик билан бур орасидаги цар цан-
дай фарц цам йуцолади. Суюцлик ва трйинган бут зичлигининг тем-
272- расцдан куринаднки, туйинган бур босими температура кр-
тарилнши би-пан ортиб бориб, критик нуцтада ркр цийматга эриша-
дн. рг.в нинг температура! а богланиш эгри чизири 274-расмда кур-
сатилган. Эгри чизиц критик нуцтада тутайди, чунки критик тем-
пературадан юцори температураларда туйинган бур тушунчасининг
маъноси йуцолади. Эгри чизиц учланган нуцта деб аталувчи ТУч. нуц-
тадан бошлаиадн. бу нуцта тугрисида ran 151-§ да боради.
Агар изотермаларнинг горизонтал цисмларининг четки нуцтала-
ра орцали чизиц у'тказилса (272-раем), модданинг икки фазали цен
латлари соцасини чегараловчи цунгароцсимон эгри чизиц цосил бу-
лади. Критик температурадан юцори температураларда модда цар
цандай босим шароитида бир жинсли булади.
Бундай температураларда моддани цар цанча
цисган билан суюлтириб булмайди.
Критик температура тушунчасини биринчи
Л' булиб Д. И. Менделеев 1860 йилда кирит-
ган. Менделеев бу температурани суюцлик-
нинг абсолют цайнаш температураси деб ата-
гвн ва уни суюцлик молекулалари орасида
тутиниш кучлари йуцоладнган ва суюцлик
босим ва у эгиллаб турган цажм цаидай бу-
лишвдан цатъи назар бугга айланиб кетади-
ган температура деб цисоблаган.
---------' КункиРОЦсимон эгри чизиц ва критик изо-
'V терманинг К нуцтадан чапда ётган цисми
27<- раем. (р ,У)_дНаграммани уч соцага булади (275- раем).
334
Модданинг бир жинсли суюц цолатларп соцаси ция штрих чизиц
билан белгиланган. Биз биламизки, цунгироцсимон эгри чизиц таги-
да икки фазали цолатлар соцаси ётадн ва, ннцоят, цунгироцсимон
эгри чизнцдан ва критик изотерманннг юцориги тармогидан унг
томоида ётаднган соца модданинг бир жинсли газ цолатларини ифо-
далайдн. Охирги соцада критик изотерманннг Унг тармоки тагида
ётувчи цисмни алоцида ажратиб, унн 6yF соцаси деб аташ мумкин.
Р
275 раем.
Бу соцадаги цар цандай цолат газ цолидаги бошца цолатлардан шу
жицатдан фарц циладики, бошда бундай цолатда булган модда уни
нзотермик сиццаида суюцланади. Кратик температурадан юцори
температурада бирор цолатда турган модда цар цанча сицилганда
цам суюцликка «шланмайди. Газ цолидаги цолатларни газ ва бур
реб ажратнш одат тусига кнргаи эмас.
Бир цолатдан бошца цолатга утиш процесси икки фазали соца-
ни кесиб утмайдиган цилиб таиланса (276- раем), суюц цолатдан
газ цолатига (ёки газ цолатндан суюц цолатга) моддани икки фаза-
га ажралтирмасдан утказиш мумкин. Бу цолда утиш процессвда
модда цамма еацт бир жинсли булиб цолаверади.
120-§. Ута туйинган бут ва ута нентилган суюцлик
Ван-дер-Ваальс изотермасини экспериментал азотермага солнш-
тиришдан шу нарсани аницладнкки, экспериментал изотерма S шак-
лидагн /—2—3—4 букнлнш урнига (277-раем) модданинг икки
фазали цолатларнга мос булган тугри чизицли 1—4 циемга эга бу-
лади. Бунга сабаб 1—2—3—4 букилиш мос келувчи бир жинсли
цолатлар!шнг бнрцарор эмаслигндир. Агар 2—3 циемда цосила
мусбат эканлигини цисобга олсак, бу циемга оид цолатларнинг тур-
гун эмес эканлиги равшан булиб цолади. Бинобарии, 2—3 цолат-
лардан кстма- кет ута оладиган модда мутлацо гайри табиий хосса-
ларга эга булар эди: газ цажми ортгаида босим- камаймасдан, 6.i i-
ки ортгвн булар эди.
035
f—2 на 3—4 ^исмларда росила манфий. Шунинг учун мод-
данииг бу ^исмларга тегишли долатлари ^а^ицатда амалга ошиши
мумкиндек туюлади. Дар^а^и^ат, маълум шароитларда модда 6v
^исмларга мос ^олатларга чиндан >,ам эга булади. Лекин бу ^рлат-
лар уцчалик бар^арор эмас: масалан, А ^олатда бугга чанг зарра-
часи тушди дегунча бутун модда ик-
ки фазага ажралиб, В ^олатга утиб
кетади (277- раемда стрелка билан кур-
сатилган А >В ^тишга царанг). Шу
каби унчалик барцарор булмаган
^олатлар метастабил ^олатлардеб
аталади. /—2 ^олатлардаги модда
ута иситилган суюдлик деб, 3—4 ^о-
латлардаги модда ута туйинган бур
деб аталади.
Етарлича паст температураларда
Ван-дер-Ваальс изотермасидаги буки-
лишнинг пастки г^исми V у^ин кесиб
277-раем. утади ва манфий босимлэр со^асига
утиб кетади (277- раемдаги пастки
иэотермага царанг). Равшанки, манфий босим таъсири остидаги.мод-
да сикичган хрлатда эмас, балки чузилган \олатда булади. Маъ-
лум шароитларда модданинг бундай ^олатларини ^а^икатда амалга
ошириш мумкин. Шуидай ^илиб, пастки изотерманинг 5—6 кисми
ута иситилган сую^ликка, 6—7 цисми эса чизилган суюцликка мос
келади.
Модданинг метастабил ^олатлари г;андай шароитларда амалга
оширилиши мумкин эканлигини кураб чикамнз. Ишни у>та туйин-
ган бугаи куриб чи^ищдан бошлаймиз.
Агар бугда бегона аралашмалар мутлацо булмаса, бугаинг кон-
денсацияланиб суюцликка айланиш процесси бошлана олмайди.
Томчи ^осил булиши учун жуда куп молекулалар бир-бирига сую^-
ликдаги молекулалар орасидаги масофалар цандай булса, тахминан
ушандай тартибдаги масофаларга бир вагдда яцинлашиши зарур,
бундай булиши эса мутлацо эхдимолдан холидир. Конденсация
юзага кслиши учун бугда конденсация маркази деб аталувчи мар-
казлар булиши зарур. Бу марказлар узларяга я^ин учиб келган
молекулаларни тутиб олиб, уларни конденсацияланган фазага ут-
казади. Чанг зарраларн, суюдлик томчилари ва айницса, зарадлн
заррачалар (иоплар) конденсация марказлари була олади.
Шундай цнлиб, агар бур бегона аралашмалардан ва ионлардан
яхшилаб тозаланса, у мазкур темлературадагн туйинган бугнинг
рТб босимидан ортиц булган босим остида >^ам буг ^олида тура
олади. Бу ^олат метастабил ^олат булади: а^алли битта конден-
сация маркази пайдо булган \амоно ута туйинган бур ^олати бузк-
лади ва модда иккн фазали з^олатга утади.
Амалда ута туйинган бур ^осил ^илиш учун туйинмаган бур
336
Р
278- расы.
Р
кескни кенгайтириладн. Бур тез кенгайтирилганда таш^а му^ит
билан иссндлик алмашинмайди ва натижада совийди. Бугнинг хо-
латный тасвирловчи нукта бу долда адиабата буйлаб кучади. 103-§
да курсатилганидек, аднабита изотермага Караганда тикроц кута-
рилади, бунинг натижасида бур Тх температурага мос булгай /
стабил ^олатдац (278- раем) пастроц Г,
•температурага мос келувчи 2 метаста-
бил холатга ута олади. Бундай про-
цессдан Вильсон камерасида, » яъни
зарядли заррачаЛариниг (масалан га-
за ррача ларнинг) излараин кузатишга
мулжалланган асбобда фойдаланилади.
Сув ёки спирт бугларига туйинган ^аво
Вильсон камераси ичида кескин кен-
гайтирилади. Натижада хаво совийди
ва бур ута туйинган ^олатга утади.
Камера ичига учиб кирган заррача уз
йулида молекулаларни ионлаштиради.
Ута туйинган буг бу ^осил булган
иоплар устида майда томчилар шак-
лцда конденсация ла ниб, яхши кури-
надиган из ^осил килади.
Энди ута иситилган суюдлик
з^осил килиш шароитларини куриб чи-
Камиз. Шиддатлн бур цосил булиш
(яъни цаннаш) процесси конденсация
процесси каби, суюцлнк ичцдаги бегона
аралашмаларда, масалан, цум заррала-
ри ёки сую^ликда эриган газ пуфак-
чаларида юз бериши мумкин. Агар
суюцлик хаттиХ булган бегона ара-
лашмалардан ва узвда эриган газлар-
дан яхшилаб тозаланса, суюцликни
иситиш йули билан мазкур температурадаги туйинган бугиинг
р,.в босимидан кичик булгай босимли з^олатга найнатиб юбормас-
дан утказиш мумкин» Бу зрлат ута иситилган суюцлик холата
булади.
Суюдлик книг одатдаги эрлатдан ута иситилган ^олатга утиши
279-раемда курсаталган (стрелка билан курсаталган /—2 утшга
^аранг). Ута иситилган суюдлик уплати метастабил долатдир. Ута
иситилган суюцликка цум зарраси ташланса, суют;лик цайнаб
кетади ва модда икки фазали стабил ^олатга утади (277-раемдагн
C-+D J’THuira каРанг)-
Суюцликни, масалан, симобни цуйидагича чузиш мумкин: агар
симобга бир учи кавшарлаб ^уйилган узун шиша най ботирилнб,
кейин унинг каишарлиб цуйилган учини ю^орига ^аратилиб секин-
вста ташцарига тортиб чи^арила бошланса, у ^олда бундай най
ичида билаидлиги 760 мм дан анча орти^ булган симоб устуни jjo-
Ч.ТЗ- раем
22^1317
337
сил цилиш мумкин. Бннобарин, най ичмдаги симобии атмосфера бо-
сими кучи эмас, балки молекулалар орасидаги тутиинш кучи тутиб ,
турадн. Нам ичмдаги снмоб ч^зилган цолатда, яъни манфий босим
остида булади.
121-Реал газнинг ички энергияси
Реал газнинг молекулалари орасидаги ^заро тяъсар натижасида
молекулалариинг Узаро Ер потенциал энергияси юзага келади ва
бу энергия молекулалар царакатининг Ek кинетик энергияси бнлан
бирга газнинг ичкн энергиясини ташкил этади:
U = ЕЛ+Ер.
Биз биламизки, бир киломоль газдаги молекулаларнинг кинетик
энергияси Еь=СуТ га тенг [(102.В) га ц.], яъни температураинмг
функциясидир. Молекулалариинг уваро потенциал энергияси улар-
нннг орасидаги уртича масофага боглиц. Шунинг учун Ер потен-
циал энергая V газ цажмининг функцияси булиши керак. Бяно-
барин, реал газнинг ичкн энергияси Т ва V дан иборат икки пара-
метрниш функцияси булади.
Газ кенгаяётганда молекулалар орасидаги тортишиш кучларшга
епгиш учун иш бижарилиши керак. Механикадан маълумки, ячо
кучларга царши бажарилган иш системанинг потенциал энергиясини
орттиришга сарф булади. Ташци кучларга царши бажарилган шп
d’A=pdV ифода билан аницланган каби, бир киломоль газ моле-
кула лари уртасида таъсир цилувчн ички кучларга царши бажири-
ладиган иш d‘A=p,dVKM ифода куринишида Езмлиши мумкин, бу
ерда pt — Ван- дер- Ваальс теигламасига буйсунадиган газ учун
га тенг ички босим. d’A ин молекулалар узаро потенциал
энергиясининг dEp орттирмасмга тенглаб, цуйидаги ифодани топамиз:
dE^p'dV^^-dV^
Бу ифодани интеграллаб, Ер потенциал энергия учун цуйцдагя
ифодани топамиз:
£;=—— +const.
Интеграллаш доимийсининг цийматини шундай танлаб олиш ке-
разки, цажм чексизликка интилган вацТда лимитда ичкн U энергия-
нинг ифодаси идеал газ ичкн энергиясининг нфодасига айланади-
ган булсин (цажм ортгаида цамма реал газлариинг хоссалари идеал
газникига яцмнлашишмни эслатиб утамнз). Бу мулоцазаларга асос-
ланиб, интеграллаш доимийсини нолга тенг деб олиш керак. У
цолда реал газнинг ички энергияси цуйидагича нфодаланади:
Um=CvT— (121.1)
338
Йундан куринадикя. температура катернлганда цам, цажм ортгаида
цам ички энергия ортар экан.
Агар газ ташци муцит билан иссицлик алмашмасдан ва ташци
шп бажарилмасдан кенгайса ёки сицилса, у цолда термодинамнканинг
биринчи цонунига мувофиц, газнинг ички энергияси Узгармай цолв-
вериши керак. Энергияси (121.1) формула билан аницланувчи гач
учун бу цолда цуйидаги шарт бажарилиши керак:
dU„ - Cv d7 + °-Л'.. - 0.
буидан dT на dVKU нинг ншораларн цар хил эканлиги келиб чи-
цади.
Бннобарин, бундай шароитларда газ цамиша кенгайганда сови-
ши, снцнлганда эса исиши керак.
к/ 122-S. Жоуль—Томсон эффекти
Жоуль билан Томсон газнн иссицлик изоляциясига эга булган
ва ичида говак тусиги бор трубкадан утказганвда газ т}сиц орця-
ли утиб кенгайишн натижасида температураси бир оз узгаришиня
пайцаганлар. Температура &Т узгаришинннг ишораси бошлангич
босим ва температура™ цараб манфий ёки мусбат булиши ва, жум-
ладан, нолга тенг булиб цолиши цам мумкин. Бу цодиса Жоуль—
Томсон эффекти деб аталади. Агар газ температураси пасайса
(АТ<0), эффект мусбат ишорали деб цисобланадн; агар газ исиса
(А7' 0) эффект манфий ишорали деб цисобланадн.
Жоуль—Томсон тажрибасининг схемаси 280- расмда курсатнл-
ган. Деворлари яссицликпи жуда ёьюн утказадиган трубка ичида
газнинг барцарор (вацт утиши билан узгармайдиган) оцими цосил
цилинади. Трубка ичида майда тешиклари булган т^сиц (нахтадан
цилииган тицни) бор булиб, мана шу тицнида босим энг катта pt
цийматидан энг кичик р3 цийматига цадар узгарган. Бунинг нати-
жасида газ кескин кенгайган. Тажрнбада температуралар айирмаси
АГ=Т2—Tt улчаб борилган.
Газнинг / ва 2 кесимлар билан чегараланган цисминн фикран
ажратиб олайлик. Газ трубка ичида царакат цилгани сари бу кесим-
лар куча боради. Бир оз вацт утгандан кейин бу кесимлар мос
равишда /' ва 2' вазнятларга келиб цолди деб фараз циламиз.
Газнинг Уша мицдори т^сицдзн кейин тусицдан олдингига Караган-
да каттароц цажм эгаллагани учун 2 кесим 1 кесимга царагаида
каттароц кесмага силжийди. Газнинг фикран ажратиб олмнган миц-
дори учун термодинамика биринчи асосшшпг тенгламасини ёзамиз.
Газ ташци муцит билан иссицлик алмашмасдан (адиабатик) кеигая-
ДИ. Шунинг учун газ ички энергиясининг орттирмаси газ устида
бижарилган ншга тенг булиши керак:
Ц—Ut=A'. (122 Л
339
Газнинг мазхур мицдори устида бажариладиган бу ишнн унга
цушни булган газ бажаради. Газнинг ажратиб олинган цнсмига
чап томондан pjS куч таъсир цилади (S—трубканинг кесими), бу
куч царакат томоннга йуналган. Унг томоидан эса, царакатга
царши йуналган р£' куч таъсир цалади. Натижа а газнинг биз
текшираетган цисми устида А’ иш бажарилади:
А‘=p1Stl—piSti.
280- раем.
Slt купайтма газнинг кенгайишдан олдин эгаллаб турган V, цаж-
ми, Slt купаГггма эса газнинг кенгайгандан кейнн эгаллаб турган V,
цажми эканлигини цисобга олиб, ишни цуйидагича ифодалаш мум-
кин:
A^PtVj—p^
Бу ифодани (122.1) га цуйиб, цуйидаги муносабатии топамиз;
(122.2)
Шундай цилиб, Жоуль—Томсон тажрибаси Гшароитида газнинг
ички энергияси эмас, балки цолат фуикцияси булган кат-
талик сацланар экан1.
Биз киломоль газга оид цисоблар бажарамиз. Кенгайгандан
кенин газнинг цажми катта булади, шунинг учун бу газни етарли-
ча даражадаги аницлик билан идеал газ деб цисоблаш мумкни.
Шунинг учун p3Vt ни RTa га тенг дениш, Ua=Cy7\ деб олиш мум-
кин. (IIB.1) га мувофиц,
Ц учу» (121.1) ифодани олиш керак. Бу ифодаларнинг цаммаснин
(122.2) га цуямиз:
Cv Г,- £ = с, ,t,+rt„
1 Термсдннамикада бу функция газда бор булган иссицлик ёки эвталыня
деб аталади.
840
Учинчи kJ шилу вчини цуйидагича ёзиш мумкин.
RTtVt /^(Vj-fc+b) rvr , КГ.б
V|_fc =------------ = а/ 1 + у-_6
Буни цисобга слиб, ДГ ни топамиз:
лт — т_____т___ * / RTtb _ 2д \
дг-г. VJ. (1223)
ДГ нинг ишораси цавслар ичидаги нфоданинг ишораси билан
аницланадн. Цуйидаги шар г бажарилгавда нолинчи эффект (ДГ-0)
уринли булади:
RTtb ?а _n
V|-6 V, u- (122.4)
(Vt, 7,) текисликда (122.4) тенглама 281-расмда тасвирланган эг-
ри чизиц билан ифодаланади. Бу эгри чизицнинг нуцталари Тг ва
V, параметрлврнинг ДГ--0 булган вацтдаги цийматларинн аниц-
лайди. Эгри чизи!£дан юцорвда ётунчи нуцталар 7\ ва Vi нинг
ДГ -0 булган вацтдаги цийматларинн, яъни эффект ман-
фий булгандаги цайматларини
аниклайди (эгри чизицдан юко- Г,
рига цараб кучнлганда цавс
ичидаги биринчи цушилувчн
ортади ва цавс ичидаги ифода
поддан катта булиб цолади).
Эгри чизицдан пастда ётув-
чи нуцталар 1\ ва Vj пара-
метрларнинг эффект мусбат
(ДГ<0) булгандаги цийматла-
рини аницлайди. (122.4) тенг-
лама билан ифодалапувчи эгри
чизиц инверсия эгри чизньи
деб аталади.
Шундаи цилиб, эффектиин г
ишораси ва катталиги газнинг
бошл^нгич температураси ва
бошлангич цажми (ёки бош-
лангич босими) билан аницла-
нади. 71 булганда эф-
фект цамиша манфий була-
ди. Г(< — булган цолда
бошлаигич цажм етарлича кат-
та булгандагина (яъин бош-
лангич босим етарлича кичик
булгандагина) эффект мусбат
булади.
2В1- раем
341
Бошлангич ^ажм (босим) тайннли бир цнйматта $га бултавда
ДТ катталик бошлангич Г, температурага чизнцли боглиц равишда
узгаради (282-раем). Газнинг бошлангич температураси гднча пает
булса, у Жоуль—Томсон эффекта натижасида шунча купрон со-
вийди.
Шуни цайд цилиб утампзки, Жоуль—Томсон эффекта асосан
газнинг идеалликдан четлашпии туфайли юз беради. Идеал газ учун
pV—RT булади ва (122.2) шарт
С iTg+R7\=CV Т.+RT,
шартга айланади, бандан Tt~T, эканлнги келиб чицвди.
j/ 123- §. Газларни суюлтариш
Газни суюлтариш учун уни Т^р критик температурада н паст
температурагача совитиш керак. i 1- жадвалнинг иккинчи устунида
баъзн газлар критик температураларининг цийматлари келтирилган’.
Жадвалдан куриниб турибдики, кислород, азот, водород ва гелий
каби газларни суюц ^олатга ^тказиш уларнинг температурасинн
жуда куп пасайтиришни талаб цилади. Газларни суюлтирлшнинг
саноатда цуллаииладнган усулларидан бнрн (Линде методи) газни
совитиш учун Жоучь—Томсон эффектига асосланган.
Н-жатвпл
Мода* Кратик температуре. °C ArMociiepe весами иироитида К>Е1«О1 температура^". °C
Кислород - . . — 119 -183
Азот ... — 147 -196
Водород . -240 - ’53
Гелий . . -268 —269
283-раемда Линде методининг принципиал схемаси берилган. К
компрессорда сицилган газ Д' совнткичдан утиб, унинг ичида инвер-
сия ну^тасидан паст булган температурагача совийди. Газ янада
кенгайганда Жоуль—Томсон эффекта натижасида псиб кетмасдан
СОВИ1ЛИ учун у шунчалик паст температурагача совитилади. Сунгра
газ И. А. иссндлик алмаштнргич^ннг ички трубкасида о\иб. Др
дросселдан утиб, кескин кенгаяди ва натижада соеийдн (бу ерда
дроссель Жоуль—Томсон тажрибасидаги пахта тацнн вазифаенни
утайди).
Иссндлик алмаштиргич иккита узун цар хил диаметрли трубка-
дан иборат булиб, бири нккинчисининг ичига кнритилган: иссндлик
алмаштнргичнинг ?лчамлари кичикро^ булиши учун иккала трубка
спирал цнлиб уралган. Ички трубканинг деворлари иссикликин
’ Жадвалнинг иккала уступила ца’м температураларнииг яхлитлйягап цибмат-
лери берилган.
342
якшм утказадигай ^клинган. Таш^и трубка эса иссицлик ^тказмай-
диган цилиб изоляцияланган. Агар трубка лар буйчаб дастлабки темпе*
ратуралари ^ар хил булгай газлар о^ими царама- (^арши йуналишда
рцизилса, у ^олда ички трубка девори ортали иссицляк алмаши-
ниши натижасида газларнинг температураси тенглашади: иссндлик
алмаштиргичга кираётганда температураси юцорироц булган газ
иссиьрчик алмаштнргичдам $та
боргани сари совий боради, унга
царши келаётган о^им эса аксин*
на исийди.
Курилмани мшга туширган
цамоно газ кенгайганда темпера*
турасининг пасайиши газни суюл-
тириш учун кифоя цнлмайди.
Салгина совитилган бу газ иссиц-
лик алмаштнргичнинг ташци 283-раем,
трубкасига юборилади ва нати-
жада ички трубкадан дросселга томом о^аётган газ бир оз совий-
ди. Шунинг учун газнинг дросселга келаётган з^ар бир кейингн
улуши олдингисига цараганда настрой температурага эга булади
Шу билан бирга, газнинг бошлангич температураси цанча пас г
булса, Жоуль—Томсон эффекта ^исобига унинг температураси
шунча купро^ пасаяди. Бинобарин, газнинг ^ар бир кейингн улуши
кенгайишдан олдин 5'ЭИдан олдинги улушга Караганда пастроц тем-
пературага эга булади ва ундан ташцари, кенгайганда оддингиси-
дан Kj/проц совийди. Шундай цилиб, Т$п туплагичдаги газнинг тем-
ператураси тобора купро^ пасаяди ва ни\оят, температура шунча-
лик пасаяднки, кенгайгапдан кейин газнинг бир цисми конденсация*
ланиб суюцликка айланади.
Газларнн суюлтиришпинг саноатда цулланиладнган иккинчи усу-
ли (Клод методи) иш бажарганда газнинг совиши ^одисаснга асослап-
ган. Сицилгап газ поршенли машинага (детандерга) юборилади, бу ерда
Газ кенгайиб ички энергияси ^исобига поршень устида иш бажаради.
Натижада газнинг температураси пасаяди. Бу усулни совет физиги
П. Л. Капица такомиллаштирган. У газни совитиш учун поршенли
детандер урнига турбодетаидер, яъни аввал сицилган газ билан ай-
ланма ^аракатга келтириладиган турбина ишлайди.
Кайнаш температураси паст булган суюлтн*
рилган газлар Дыоар идишлари деб аталадигаи
махсус конструкцияли идишларда сацланади. Бу
идишлар цуш деворли булиб, улар орасидаги
траво (газ) яхшилаб с^риб олинади (284- раем).
Вакуум шароитида газнинг иссндлик утказувчан-
лиги босим камайиши билан камаяди (115- § га i'v)
Шунинг учун идиш деворлари орасидаги ^авоси
суриб олинган бушлик жуда яхши иссицлик иэо-
ляторк булиб хизмат дилади. Дьюар идишлари
284-раем. шишадан ^ам, металлдан цам ясалади, уларнинг
313
сигами бир печа ун миллилчтрдан бир неча минг литрларгача бо-
ради.
Суюлтирилган газнинг температураси унга таъсир цилаётган бо*
сим билан аницланади. 11-жадвалда газлариинг атмосфера босими
шароитидаги цайнаш температуралари бералган. Суюлтирилган газ
цайнаётгандаги босимни камайтириб (бувинг учун цосил булаётган
бугларни муттасил суриб олиб туриш керак), бу газнинг темпера-
турасини пасайтириш мумкни. Температурани бу йул билан шун-
чадик пасайтириб юбориш мумкинки, натижада суюцлик цаттиц
цолатга утади.
XIV БОБ
ТЕРМОДИНАМИКА АСОСЛАРИ
124- §. Муцаддима
Дасгаввал термодинамика иссицлнкнинг ишга айланиши цацнда-
ги фан сифатида юзага келган. Бироц термодинамикага асос цилиб
олингая цонунлар шу цадар умумий характерга эгаки, шу сабабли
термодинамик методлар цоэнрги вацтда жуда куп физик ва химик
процессларни тадцнц цилишга, модда ва нурланиш хоссаларини ур-
ганншга самарали татбиц этилмоцда. 91- § да цайд цилиб утилгани-
дек, модданинг хоссаларини ва бир цолатдан бошца цолатга айланиш
лроцессларини урганишда термодинамика цодисаларнинг мик-
роскопик манзарасига эътнбор цилмайди. Термодинамика цодисалар-
ни тажрибадан топнлган всосий цонунларга (асосларга) таяннб
туриб текширади. Шунинг учун термодинамика топган хулосалар-
нинг цацицийлик даражаси унга асос цилиб олинган цонунларнинг
цацицийлик даражаси билан бир хнл булади. Бу цонунлар эса, таж-
рибалардан топнлган гоят к^п маълумотларнн умумлаштириш ор-
цали топилгандир.
Термодинамиканинг дастлабки иккита цбнуни унинг асоснни
ташкил цилади. Биринчи цонун энергиянинг бир турдан бошца
турга айланишларида Гринли буладиган мицдорий муносабатларни
аницлайди. Иккинчи цонун эса энергиянинг бу айлаиншлари мум-
кин буладиган шароигларин, яъин процесслар цандай йуналишда
юз бериши мумкинлигини аницлайди.
Биринчи асос 95-§ да таърифланган эди |(95. 2) формулага ц.|.
Иккинчи асоснинг таърифи 126-§ да бернлади.
Термодинамикада мувозанатли цолат ва цайтувчан процесс тушуи-
чалари катта роль уйнайди. Мувозанатли цолат тушунчаси 93-§ да
нзохлаб утилган эди.
Кайтувчан процесс деб шундай процессга айтиладики,
бу процесс тескари йуналишда юз берганда система процесснинг
тугри йуналишкда утган цолатлардан энди фацат тескари тартибда
утади. 93- § да айтилганлардан фацат мувозанатли процессгина цан-
тувчан процесс булиши мумкин деган хулоса чицади.
Цайтувчан процесс, равшанки, цуйидагича хоссага эга: процесс-
иинг тугри йуналишда боришида система бирор элементар кисм-
да d'Q иссицлик олиб, d'A иш бажарса (285-раем), у цолда про-
цесснинг тескари юришида система уша циемда d'Q’—d'Q ис-
сицлик беради ва унинг устида d'At=dtA иш бажарилади. Шунивг
315
учун цапт^вчан процесс, бир йтначишда, суигра тескари йуналишда
цайтиб содир булганда ва натижада система бошлангич цолатига
цайтиб келганяда система атрофида турган жисмлардэ цеч цандай
Узгариш цолмаслиги керак.
Айланма процесс (ёки цикл) деб шундай нроцессга айтила-
дики, бу процессда система бир 1^атор узгаришлардан кейин бош-
лангнч цолатига цайтиб келади. Графикда цикл спиц эгри чизиц
била» тасвирланади (286- раем). Afi-
ланма процессда бажариладиган
иш со» жицатидан эгри чизиц ураб Р
олган юзга тенг. Дарцацнцат, 96- §
да курсатклганидек /—2 циемда
dQ'aQ
285-реем
286- р&еы.
бажариладиган иш мусбат б^лнб, унгга томон цнялатиб чнзилган
штрихли юзга сон жицатдан тенг (соат стрелкаси буйича юэ бс-
радигаи цикл текширилмоцда). 2—1 циемдаги иш манфий булиб,
чапга огдириб чизилган штрих билан белгиланган юзга сон жицат-
дан тенг. Бннобарин, бир цикл давомида бажариладиган иш сон
жицатидан эгри чизиц ураб олган юзга тенг булиб, тугри циклда
бажарилган ишнинг (яъни соат стрелкаси йуналиши буйнча юз
бераётган циклда) ишораси мусбат, тескари циклда эса манфий бу-
ладн.
Циклни бажариб булгандан кейин система дастлибки цолатига
цайтиб келади. Шунинг учун цолатнинг цар цандай фуикцияси,
жумладан ички энергия циклнинг боши ва охирида бир хил цмй-
матга эга булади.
Wi25- §. Иссицлик машннаенникг фон дали мш коэффициенти
\ар цандай двигатель бирор айланма процессии (циклни) к$п
марта бажарадиган системадан иборат. Цикл давомида иш бажа-
рувчи модда (масалан, газ) олдин V, цажмга цадар кенгайсин,
cfiirpa эса яна бошлангич V, цажмига келгунча сицилсин (287-
расм), деб фараз цилайлик. Бир цикл давомвдлги иш ноддан катта
булиши учун кенгайиш ороцессида босим (бннобарин, температура
цам) сицнлиш процессидаги босимдан ортиц булиши керак. Бунине
346
учун нш бажарувчи моддага кенгайнш пропессида иссицлик бериш,
сицнлиш нроцесснда эса ундан иссицлик олиш керак.
Циклнинг иккала цисми учун термодинамика биринчи цонуни-
нинг тенгламаенни ёзамиз. Кенгайшцда ички энергия Ut циймати-
дан Ut цийматягача узгарадн, бунда система Qx иссицлик олади
ез Л, иш бажаради, Биринчи цопунга мувофиц,
Qi=44—Ц + А- (125.1)
Сиццлншда система А, иш бажа-
ради ва Q,' иссицлик беради, бу эса
— Qa иссицлик олиш билан бир хил-
днр. Бннобармн,
—Q/= fi~Ua+ А,. (125.2)
(125.1) ва (125.2) теигламаларнн
ц^шиб, цуйидагиларни топамиз:
Qi-Q/ = A+A.
4- Л* йигинди системанинг цикл
давомида бажзрадиган тулиц А иши
эканини цисобга олиб, цуйидагича ёзиш
A = Qi-Qat.
287-рвсж
мумкни:
(125.3)
Ташцаридан лладяган иссицлик цисобига иш бажарувчи даври!
ншлайдиган двигатель иссицлик машиняси деб аталади.
Термодияаыиканинг биринчи всоси баъзан цуйидагича таъриф-
ланади: биринчи тур перпетуум мобиле (абадий двигатель) яратиш,
яьнк ташадридан олади гаи энергиядан ортиц микдорда иш бажара
оладиган даврий ншлайдиган двигатель яратиш мумкин эмас.
(125.3) дан куринаднки, ташцаридан олинадиган Q, иссицлик
Иицдорининг цам мае и цам фойдали ишга сарфланмайди. Двигатель
цикл билан мшчаши учуй иссицликнинг Qa га тенг булган цисми
ташци муцитта цайтарнб берилиши керак ва, бннобарин, у фойдали
иш бажаришга сарфланмайди. Равшанки, иссицлик машинаси таш-
царидан оладиган Qj мссицликни фойдали А ишга цанчалик тулароц
анлантирса, бу машина шунчалик фойдалироц булади. Шунинг
учун иссицлик машинасини ц фойдали иш коэффициенти (цисцача
ф. и. к.) билан характер л аш цабул цилинган. Ф. и. к. цикл давоми-
да бажариладиган А йГининг цикл давомида олинадиган Q, иссиц-
ликка нисбати сифатида анкцланади;
Ч-^- (125.4)
(125.3) га асосан Л = ^ — Q/ булгани учун ф.нк. нннг ифо-
дасини цуйидаги к^ртпиида ёзиш мумкин;
л
П =
(125.5)
317
Ф. и. к. нинг таърифидан у бирдан ортнц була олмаслиги келиб
чицади.
Агар 287- расмда тасвирланган цикл орцага цайтарилса, совит-
кич машинанинг цикли цосил булади. Бундай машина температура-
си Т3 булган жисмдан цикл давомида Qa иссицлик мивдори ола-
ди ва 7', температураси юцорироц булган жиемга Q, иссицлик
мицдори беради. Цикл давомида машина устида А иш бажарилиши
керак. Совиткич машинанинг эффектнвлиги уиинг совитиш коэф-
фициенти билан характерланади. Бу коэффициент совитилаётган
жисмдан олинган Qa иссицлнкнинг машинани ишлатншга сарф ци-
линадиган А ишга нисбати сифатида таърафланади:
совитиш коэффициента — ~~ ~ .
л 4i — «
J 126-§. Термодинамиканинг иккинчи асоси
Термодинамиканинг иккинчи асоси, биринчиси каби, бир цанча
йул билан таърифланиши мумкин. Иккинчи асоснинг энг равшан
таърифи бундай уцилади: камроц мсиган жисмдан купроц исиган
жиемга иссицлик уз-узидан ута олмайди. Янада аницрец таърифи:
ягона охирги натижаси камрок исиган жисмдан купроц исиган
жисяга иссицлик берилишидан иборат булган процесслар амалга
ошмайди.
Лекин ацволки иккинчи асос иссицликнинг камроц исиган жнем-
дан купроц исиган жиемга утишига умуман йул цуймайди деб
тасаваур цнлиш ярамайдн. Олдинги параграфнинг охирнда биз нс«
сицликнинг бундай утишига олиб келадиган процессии куриб $тдик.
Лекин бу утиш процесснинг якка-ю ягона натйжаси эмас эди.
Иссицликнинг бундай утишнда атрофдаги жисмларда узгаришлар
юз берди, бу узгаришлар система устида А иш бажарклишига
алоцадор эди.
Иккинчи асос бундай таърифланиши цам мумкин: бирдан-бир
охирги натижаси бирор жисмдан маълум мицдор иссицлик олиш
ва бу иссицликни бутунлай ишга ай шнтириб юборишдан иборат
буладиган процесслар амалга ошмайди.
Биринчи царашда иккинчи таърифга, масалан, идеал газнинг
изотермик кенгайиш процесси царама-царшидек туюлиши мумкин.
Дархацицат, идеал газ барор жисмдан олган иссицлик бутунлай
ишга айланиб кетади. Лекин иссицлик олиш ва уни ишга айлан-
тириб юбориш процесснинг ягока охирги натижаси эмас, ундан
ташцари, бу процесс натижасида газнинг цажми узгаради.
Иссицлик машпнасида иссицлик ишга айланганда албатта цу-
шнмча процесс юз беради. Бу цушимча процесс совуцроц жиемга
бирор мицдор Q/ иссицлик бериш процессидир (125-§ га ц.), бунинг
натижасида купроц исиган жисмдан олинадиган иссицлик миц-
дори ишга бутунлай эмас, балки цисман айлантирилади.
Асоснинг иккинчи таърифидаги даъвобаринчи таърифдаги даъво-
дан мантицвй равишда келиб чицишига ишониш осон. Дархацицат,
зла
иш масалан, ишцаланиш воситаскда бутунлай иссицликка айланти-
рмлиши мумкин. Шунинг учун бирор жисмдан олипган иссицликни
иккинчи таъриф инкор этадиган процесс ёрдамида бутунлай ишга
айлантириб. сунгра бу ишни температураси юцорироц булган бошца
жиемга бериладнган иссицликка ишцаланиш аоситаснда айлантириб
биз биринчи таърифга мувофиц булмайдиган процессии амалга
оширган булар эдик.
Термодинамиканинг иккинчи асоси таъцицлайдиган процесслар-
дан фойдаланиб, энергиянинг океан каби битмас-туганмас манбаи-
дан олинадиган иссицлик цисобига иш бажарувчи двигатель яратиш
мумкин булар эди. Амалда бундай даигатель абадий двигателдан
фарц цилмаган булар эди. Шунинг учун иккинчи асос баъзан цуйи-
дагича таърифланади: иккинчи хил перпетуум мобиле, яъни иссиц-
ликни бир резервуардан оладиган ва бу иссицликни бутунлай ишга
айлантирадиган даврий равишда ишловчи двигатель яратиш мумкин
эмас.
|/ 127- §. Карно цикли
Бирор жисм темлературалари 7\ ва Тя булган ва иссицлик
сигими чексиз катта булган иккитд иссицлик резервуари билан ис-
енцлик алмашина оладиган булсии, деб фараз цилаилик. Бу эса бу
резервуарларнинг чекли мицдорда иссицлик олиши ёки бериши улар-
нинг температурасини узгартирмаслигини билдиради. Бундай шароит-
ларда жисм цандай цайтувчан цикл бажара олишини аницлайлик.
Равшанкн, царалаётган цикл шундай процесслардан тузилади-
ки, бу процессларнинг баъзилари давомида жисм резерауарлар билан
иссицлик алмашиниши мумкин, баъзнларНца эса жисм ташци муциг
билан иссицлик алмашмайдиган булиши (адиабатик процесслар)
мумкин.
Иссицлик алмашиш юз берадиган процесс давомида жиемнинг
температураси тегишли резервуарнинг температурасига тенг булиб
цолгандагина бу процесс цайтувчан процесс булиши мумкин. Дар-
цацицат, масалан, жиемкинг температураси резервуарнинг 7\ тем-
пературасидан кичик булганда жисм ундан иссицлик олса, у цолда
уша процесснинг узи тескари йуналишда юз бергаида жиемнинг
температураси, адр цалай, 7\ дан паст булмаган цолдагина резер-
вуардан олган иссицлигини унга цайтариб бера олади. Бннобарин,
процесс тугри ва тескари йуналишда юз берганда жиемнинг темпе-
ратурасн цар хил булади, жисм иккала цолда цолатларнинг турли
жил кетма-кетлигидан (бир хил булмаган температуралар билан
жарактерланадиган) }'тади ва бу процесс цайтмас процесс булади.
Шуидай цилиб, иссицлик алмашиши билан юз берадиган про-
цесс цайтувчан булиши учун жисм резервуардан иссицлик олаёт-
ганнда цам ва уни процесснинг тескари йуналишда бориши а цай-
тариб бераётганда цам жиемнинг температураси резервуар темпера-
турасига тенг булиши керак. Аницроц айтгаида, иссицлик олишнда
жиемнинг температураси резервуар температураецдан чексиз кичик
34S
мнадор цадар кичик б$лишц керак (акс ^олда резервуардан жисм-
га иссш^нк оцмайди), иссндлик ^айтириб беришда эса жисмнинг
температураси резервуар температурасидан чексиз кичик мицдор
цадар ортиц булиши керак. л
Бинобарин, температураси доимий цола Оерадиган резервуар
билан иссндлик алмашнш юэ бсрадиган ягона цайтувчан процесс
резервуар температураси шароитида юз берадиган нзотермик про-
цессдир.
Шундай цилиб, иссицлик сигими чексиз катта булган икки
иссицлик резервуари билан иссндлик алмашищда цэтнашадиган
жисм (ёки система) бажарадиган цайтувчан цикл фа^ат иккита
изотерма (резервуарлар температураснда) ва иккита адиабатадам
иборат була олади, деган хутосага келднк. Бундай циклни биринчи
булиб француз инжемери Сади Карно текширган булиб, у К а р и о
цикли деб аталади. Шуни цайд цила.мизки, таърифга кура Карно
цикли цайтувчан циклдир.
Масалан, иш бажарувчи модда сифатида газ олинганда К^рпо
цикля цандай цилиб амалга оширилишини куриб чгщамиз. Знч ци-
либ мосланган поршень билан бекитнлган цилиндр ичига газ цамай-
ыиз. Цилиндр деворлари ва поршеннни иссндлик Утказмайдиган мате-
риалдан ясаймиз, цилиндрнинг тубини эса, аксинча, иссицликни
яхши утказадиган моддадан ясаймиз. Цилиндр ва поршеннинг
иссицлик сшшмини эътиборга олмайдиган даражада жуда кичик деб
дисоблаймиз.
Бошлангич пайтда поршень газнинг дежмига ва 7, темпера-
турасига мос вазиятда турсин. Цилиндрпи температураси Гх булган
резервуар устига цУямнз ва газ V, з^ажм эгаллагунча жуда секии
кенгайишн учун имковият яратиб берамиз. Бунда газ резервуардан
Q, иссицлик олади (288-раем). Сунгра цилиндрни резервуар усти-
дан оламнз, тубнии иссицлик утказмайдиган цопцоц билан ёпамиз
ва газ температураси 7, цийматгача пасайгунча аднабатик равишда
кенгайиши учун имкоиият яратиб берамиз. Натижада газнинг ^аж-
мн Уа га тенг булиб цолади. Сунгра исснцлик Утказмайдиган
цопцоцни олиб ташлаб, цилиндрни 7Й температурали резервуар
устнга цуямиз ва газни ^ажми V* булгунча изотермик рааншда
шундай енцамизки, унн бундан кейин адиабатнк си^цанимизда тем-
288- раем.
350
иератураси 7\ га етгаида хажми V1 ^ийматга эга буладиган булемн
(акс \олда цикл бекилмай цолади). Ни\оят, цилиндрни резерауар
уствдан оламиз, тубиии иссмцлнк Утказмайдиган цопцо^ билан
И»-рлсм.
бекитамиз ва газни адиабатик равишда сициб, уни бошлангич до-
латига (температураси 7\ ва хажми Ц булган долатига) келтирамиз.
Агар газ идеал газ булса, бунга тегишли цикл (р, V) дваграм*.
маенда 289- раемдагидек кУринишга эга булади (293- раемга хам ца-
ранг).
/ 12€-§. 1\айтувчан ва цайтмас машнналарнмнг фойдалн
v иш коэффициенты .
Термодинамиканинг иккинчи хону’нига асосланиб туриб, айнй
бир иситкич ва совиткич билан ишлайдиган барча цайтувчан маши*
наларнинг ф. и. к. циймати бар хил эканлигини исбот этиш мумкин.
Исботни тескарнснни фараз цилишддн бошлаймиз. Ихтиёрий
иккита М ва N кайтувчан исси^лик машннаси оламиз (290-раем)
ив машиналардан бирининг, масалан, М нинг ф, и.к. иккиичисини-
Кидан ортих деб фараз циламиз. Келгуснда курамизки, бу фараз
бнзни термодипамиканинг иккинчи цонунига знд натижага олиб ке-
Дади ва бинобарин, бу фараз рад цилиниши
Керак.
Мулохазаларимиз соддароц булиши учун
цикл давомида Иккала машина иситкичдан бир
кил швдорда йссицлик олади, деб фараз хи-
«амиз1. ^исцалик учун бу иссндлик миадори-
ш Qj билан белгилаймиз:
Ci*f = <2w= Qr
«в»-------
1 Бундай фараз цилиш WT эмас. Агар
tnQlM =» nQ1N бУлядигая цнлиб слаб, М машинапнпг т циклита А маиинаши»
И цикл* Лива соляштарнш керак.
| Иситкич |
k, Ufe,
|ЙГ*
I Собиткич ]
290-раем
бФлса, т вя л н
351
Фаразимизга кура 4M>4W> яъни
Ci Л Qi ’
бу ерда 0'2„ ва (?2N —М ва Д' машнналарнинг цикл давомида
совиткичга берадиган иссицлик мицдорлари.
Равшанки, бу фзразга асосан, М машина цикл давомида N
машинага цараганда купроц нш бажариши керак ва ишлар айирмася
и (Qi ^2Al) Wl ~ Ф 2N ^2М" (128.1)
N машинами тескари томонга юргизиб, совиткич машина вазифаси-
да ишлатамиз. Бунда машина цайтувчан булгани учун у цикл даво-
мида совитгичдан Q'2V мицдорда иссицлик олади (бу иссицлик миц-
дори машинанинг тугри ищлаганида совиткичга берадиган иссицликка
тенгДваиситкичга^ мицдорда иссицлик беради. Ундан ташцари, цикл
давомнда машина устида AN иш бажариш керак. Бу ишни бажариш
учун М машинадан фойдаланиш мумкин. Бунинг учун М машинани W
машинага уни царакатга келгирадиган цилиб цушиш керак. Шундай
цилиб бириктирилган машиналар бирор цайтувчан иссйцлик маши-
насндан иборат булади.
Мураккаб машинаиннг бир цикл ичидаги балансини куриб чн-
цамиз. М машина искткячдан иссицлик олади; N машина худди
шундай мицдордаги иссицликни иситкичга цайтариб беради. Бино-'
барин, цикл бажариш иатнжасида мураккаб машина иситкичдан
иссицлик олмайди цам, унга иссицлик бермайди ’дам. Цикл даво-
мида совиткичдан Q = Q'.2N — Q’2M иссицлик олинади.
М машина бажарадиган Ам ишкинг бир цисми N машинани
ишга туширишга сарф булади. Ишнинг А = —Лл. га тенг цол-
дигини эса, биз хоцишимиз билан ишлатишимиз мумкин. (128.1) га
асосан, бу иш мураккаб машина совиткичдан оладиган Q иссиц-
ликка тенг.
Бннобарин, иккала машинани юцорнда айтнб утилган тарзда
цушганимизда биз шундай процессии амалга оширган булар эдикки,
бу процесснинг ягона натижаси бир жисмдан (совиткичдан) Q ис-
сицлик мицдори олиш ва бу иссицликин бутунлай ишга айлантириб
юбориш булар эди, цолбуки, термодинамиканинг иккинчи цонуни
бундай булиши мумкин эмаслигини тэсдицлайди. Шундай цилиб,
Ч м> т;л. булади деган фараздаи воз кечиш керак экан.
Tl.'n<-’llv булади деган фараз цам термодинамиканинг иккинчи
цонунига зид хулосага олиб келади. Буига ишоич цосил цнлиш
учун М машинани тескари йуналишда ишлатиб, юцорида баён этил-
ган мулоцазаларни такрорлаш керак. Шундай цилиб, цайтувчан ик-
кала М ва N машинанинг ф. и. к. бир хил булиши керак. Биз М
ва N машнналарнинг цайтувчан машиналар эканлигидан бошца фа-
разлар цилмаганимиз учун топилган натижа барча цайтувчан маши-
352
| Цситкич |
ТвГ
?•©-£(*>
Qn\ у С» уСЛ
| Совиткич J
291-раем.
наларнинг тузилиши ва иш бажараднган моддасининг хоссаларидан
цатъи назар уларнинг цаммаси учун тугри булади.
Шундай цилиб, биз айни бир иситкич ва айни бир совиткич
билан ншлайдиган барча цайтувчан машнналарнинг ф.и.к. лари бир
хил булиши керак. деган хулосага келдик. Ьинобарин, цайтувчан
машинанинг ф.и.к. иситкичнинг ва совиткичнинг температурасига-
гина боглиц булиши мумкин.
Э<5и цайтувчан О еа цайтмас Н машнналарнинг ф.и.к. ла-
рини солиштирамиз (291 -раем). Кайтмас машинанинг ф.и.к. цайтув-
чан машинаникига цараганда катта деб фа-
раз циламиз. Иккала машина цикл давомида
иситкичдан бир хил мицдорда Q1(Q|O=Qih =
= Qj) иссицлик олеин. Цайтувчан машинани
тескари томонга юргизиб ва бунда каитмас
машина цайтувчан машинани ишлатадиган
цилиб олиб, иккита цайтувчан машина учун
юргизилган мулоцазаларни такрорлаб, т)н>цо
булади деган фараз термодинамиканинг ик-
кинчи асосига зид натижага олиб келншиин
курсатиш мумкин.
Каитмас машинанинг т) коэффициенти цайтувчан машинанинг т]
коэффициентидан кичик булиши мумкин эм, - - здгини бу усул билан
курсатиб булмайди. Чункн бу цолда мулоцазалар юритишвммзда
биз цайтмас машинани тескари ишлатишимизга тугри келган бу ар
эди. Гарчи шундай цилиш мумкин булса-да, цайтмас машина тес-
кари йуналишда ишлаганда бажараднган иши ва унинг иситкич ва
совнтиич билан алмашинадиган иссицлик мицдорлари унинг тугри
йуналишда ишлаган вацтда бажараднган иш ва иссицлик миц-
дорларндан фацат ишораси балан фарц цилади, деб цисоблашга
асос йуц.
Шундай цилиб. биз юритган мулоцазалар цн>що булади деган
фараздан воз кечишни талиб цилади, бироц т><т)о булиши эцтимо-
лини Йуцца чицармайди. Шу билан бирга. цатор физик мулоцаза-
лар шуни курсатадики, цайтмас машинанинг ф. и. к. ушандап ша-
роитларда ншлайдиган цайтувчан машинанинг ф.и.к. дан хамиша
кичик булади. Бу мулоцазаларнинг баъзилари билан танмшиб чи-
цамиз.
Газ кенгайиши ва сицилишининг цайтувчан ва цайтмас цикл-
ларини таццостаймиз. Цикл кайтувчан булиши учун у жуда секнн
бажарилиши керак, бунинг натижасида газнинг босими бутун цажм
буй аб тенглашиб улгуради. Цикл давомида бажариладиган тулиц
иш кенгайишдаги мусбат А ь иш билан сицилишдаги манфий Д_
ишдан ташкил топали Натижавий иш 4 = 4+ — А_ га тенг була-
ди (кенгайганда газ иссицлик олади, сицилганда эса иссицлик бе-
ради, деб фараз цилинади).
Агар цикл цайтмаидигаи цилиб, яъни етарли 1 аражада тез
бажарилса. у цолда босим бутун цажм буйлаб тенглашнб улгура
олмайди ва кенгайиш вацтида поршень гагидаги газнинг босими
23—1317 че*
цайтувчан циклдаги поршеннинг худди шу вазиятпдагн босимдан
кичик булади, сицилиш вацтида эса, аксинча, бир оз ортицроц бу-
лади (292- раем). Натижада мусбат А'± цушилувчи Л_|_ дан кичик,
манфий А'_ цушилувчи эса А_ дан катта булади, тулицУГ = А'+ —
—иш эса цайтувчан циклдагндан кичик булади. Мос равиш-
да, цайтмас циклнинг ф. и. к. цам цайтувчан циклникидан кичик
булади.
Ишцаланишда иш цамкша иссицликка айланади, яъни ишцаланиш
типик цайтмас процессдир. Шунинг учун цайтувчан машинада иш-
цаланиш булмаслиги керак. Фараз цилайлик, бирор цайтувчан маши-
на цикл давомида иссицлик олиб, А иш бажарсин. Цилиндр би-
лан поршень ораенда ишцаланиш бор деб фараз цилиб, машинанинг
цайтувчанлигини буэамиз. Ишцаланиш борлиги туфайли А ишнинг
бир цисми иссицликка айланади, бу иссицлик совиткичга утади
ёки атрофдаги муцитта сочмлиб кетади. Натижада машина иситкич-
даи худди аввалгидек Qt иссицлик мицдори олиб, А дан кичик иш
бажаради, бииобарии, машина цайтувчан булмай цолгаидан кейин
унинг ф.и.к. камайиб кетади.
Шундай цилиб, биз цуйидаги даъволарни исбот цилдик:
1) айнан бир хил шароитларда (мос равишда иситкич ва совит-
кичларининг температура.чари бир хил булган) барча цайтувчан ма-
шиналарнинг ф. и.к. бир хил булади;
2) цайтмас машинанинг ф.и.к. иш шароити ухшаш булган
цайтувчан машинанинг ф.и.к. дан цамиша кичик булади.
129-§. Идеал газ учун Карно циклннинг ф. и. к.
Цайтувчан машинанинг ф. и. к. унинг тузилишн ва иш бажа-
рувчи моддасининг хоссаларига боглиц булмасдан. фацат иенткичи
билан совиткичининг температурасигагина боглиц эканлиги бундан
олдннги параграфда аницланди. Лекинф.и.к. билан иситкичнинг7\
температураси ва совиткичнлнг 7^ температураси орасидаги боглаинш-
нинг куриниши аницланмай цолиб кетди. Бу бонпанишни топиш
учун иш бажарадигаи моддасининг хоссалари анча содда булган
354
машинани кураб чинит табиийдпр. Идеал газ худди ана шундай
хоссаларга эга. Биз биламизки, иситкич ва совиткичнинг иссицлик
сигими етарлича катта булганда |127-§гац.| ягона цайтувчан цикл
Карно цикли булади.
Шундай цилиб. идеал газ учун Карно циклили цараб чицамиз.
Агар биз бундай циклнинг ф.и.к ни 7\ ва 7, температуралар функ-
цияси сифатида топа олсак, шу би-
лан биз барча цайтувчан машина-
лариинг ф. и. к нфодасини топган
буламиз.
Таърифга кура, иссицлик ма-
шинасининг ф. и. к. цуйидагига тенг:
('»>)
бу ерда цикл давомида иситкич-
дан олинадиган иссицлик, Q't —цикл
давомида совиткичга бериладиган
иссицлик.
Изотермик процессда идеал газ-
нинг ичкн энергияси узгармай цо-
лаверади. Шунинг учун газ олган
Qj иссицлик мицдори газнинг / цо
латдав 2 цолатга Утишила бажарадиган Д, ишга тенг (293- раем).
Бу иш (105.9) га асосан цуйидагига тенг;
, (129.2)
бу ерда т — машинадаги идеал газ массаси.
Совиткичга бериладиган Q't иссицлик мицдори газни 3 цолат-
дан 4 цолатга утказишда уни сициш учун сарф буладиган А'и иш-
га тенг. Бу иш цуйидагига тенг;
(129.3)
Цикл ёпиц булиши учун 4 ва 1 лолатлар айин бир адиабатада
ётиши керак. Бундан
TAT'-V,'” (129.4)
шарт келиб чицади [адиабатанинг (103.3) тенгламасига ц.|.
Худди шунингдек, 2 ва 3 цолатлар айни бир адиабатада ётганн
T1V,’-1 -T’jV'/-1 (129.5)
шартиы^т^15ЛЭАН (129.5) ни (129.4) га булиб, циклнинг ёпиц булнш
(129.6)
355
Энди (129.2) ва (129.31 ни ф.и.к. нинг (129.1) ифодасига «фя-
миз:
— /?гл1п Ь —
У Vi Р У«
Р V»
Ни\оят, (129.6) ин дисобга олиб т) ни топамиз:
ti = ZLVk- 029.7)
Шундай ^илиб, идеал газ учун Карно циклининг ф.и.к. ^аци-
цатан хам фаг,ат иситгич билан совиткичнинг температурасига
боглиц экан.
Юцорида яйтиб утганимиздех, (129.7) нфода хаР цандай ^айтув-
чан машина ф. и. к. нинг ^ипматини курсатади.
130-§. Температураларнннг термодинамик шкаласи
Кайтувчан ыашиналар ф.и.к. нинг ишловчи модда хоссаларига
боглиц эмаслиги ха^идаги 128- § да исбот этилган теорема термо-
метрии жисмнинг таиланишига боЕпиц булмаган температуралар
шкаласиин белгилашга имкон беради. Юцорчда айтиб 5'тилган тео-
ремага асосан:
каттатик ва бинобарин, Q's/Qi нисбят Карно цикли учун иситкич
билан совиткичнинг температураларигагина 6оелиц булади. Бу тем-
ператураларнниг з^али бизга маълум булмаган бирор шкала буйича
катталигини &j ва 1>, билан белгилаб, ьуйидагини ёзиш мумкин:
(130.1)
бу ерда f(&я, &s)—иситкич \амда совиткич температураларининг уни-
версал функцияси (яъни барча Карно цикллари учун бир хил бул-
ган функцйя).
(130.1) муносабат жисмларнинг температурасмни уларнинг Карно
цикллари давомида оладиган ва берадиган иссндлик мицдорлари
орцали анмхлашга нмкон беради.
(130.1) функциянинг 1ф*1идаги хоссаси бор эканлигини исбот
циламиз*
/(»,.»,) = ($$ (130.2)
бу ерда 6(1} —температуранинг универсал функцияси.
Биранинг совиткичи айни вацтда иккинчиси учун иситкич булиб
хизмат ^иладиган иккита ^айтувчан машинани куриб чицамиз (294-
расм). Иккинчи машина температураси 0, булган резервуардан ола-
356
дитан иссндлик микдори увга биринчи машина берадиган иссндлик
ыикдормга тенг, яъни Q»=Q/ деб фараз грмамвз. (130.1) форму-
лага мувофиц, jjap бир машниа учун ^уйидаги нисбатларии ёзамиэ:
§ = Д»„»,). (130.3) в-.. 1
% = /(»..fs). (130.4) ®
Иккала машина би чан температураси &t бул- г=----—।
ган резервуарни температураси &| булган мент- 1-2------- I
кичдан Q, иссндлик оладиган ва температураси дй
&в булган совиткичга ф8' иссмнлнк берадиган шС
ягона ^айтувчан машина1 деб хисобласак, цуйи- Ln'
даги нисбатни ёзишимиз мумкин: ♦»
О' '
(130.5) 294-раем.
(130.5) ни (130.3) га буламиз:
Q't = КК О.)
Q, Ю1. '
Ни^оят, бу ифодани (130.4) ифода билан солнштириб ва Q,' = Q,
вкрнини дисобга олиб, дуйидаги муносабатнн топамиз:
(130.fi)
Бу муносабат иккн жисмнинг i , ви i)a температураларин < бир-
бирига бо₽лаКп.и, шу билан бир! а, бунда учинчи жисмнинг В, тем-
ператураси ^атнашади. Бу жиемнн узич-кесил танлаб олишга кели-
шиб, иъни &х ни узгармайдиган ^илиб олиб, биз (130.6) формула-
иинг суратн ва махражида турган Д&,, В) функцияни битта 6
узгарувчининг функцияси холига келтирамиз. Бу функнияни 0(C)
ортали белгилаб, (130.6) формулани
А » иг)
куринишда езамиз, ёки индексларинн алмаштириб
. №.8.) = |^ (136.7)
куринишга келтирамиз, бу эса (130.2) нинг ^згинаевдир.
_ °(fi) Функция фа^ат температурага борлиц. Шунинг учун унинг
цийматларидан тегишли жисмнинг температурасини характерлаш
учун фойдаланиш, яъни жисмнинг температураси & га тенг деб
фараз ^ялищ мумкин, бу ерда 0 = О(Я). У ^олда (130.1) ифода
Чуйидаги куринишга келади:
С» _е^
—_________ Q, б) '
* Q'• == <?з б^лгаии учун шунда,- деб ^исоЗгас мумкни
(130.8)
857
(130.8) муносабат температураларнинг термодинамик
шкаласига асос цилиб олинган. Бу шкаланинг афзал томонн
шундаки, у температурами улчашда ишлатиладиган жиемнинг (Карно
циклида иш бажараднган модданинг) танланишига боглиц эмас.
(130.8) га мувофиц икки жиемнинг температураларини солиш-
тириш учун бу жисмларии иситкич ва совиткич сифатида ишлатиб
Карно циклиии амалга оширии керак. Жиемга — «совиткичга» бе-
рилган иссицлик мицдорининг жиемдан — «иситкичдан» олинган
иссицлик мицдорига нисбати бу жисмлар температураларининг нис-
батини ифодалайди.
6 нинг сон цийматини бир цийматлн аницлаш учун температура
бирлигини, яъни градусни танлаш тугрненда шартлашиб олиш ло-
зим. Абсолют градус деб атмосфера босими шароитида цайнаётган
сувнниг температураси билан эрнётган муз температураси орасидаги
айирманинг юздан бир цисми олинади. Шундай цилиб, абсолют
термодинамик шкаланинг градуси идеал газ шкаласининг градусига
тенг экан.
Температураларнинг термодинамик шкаласи идеал газ шкаласи
билан бир хил эканини куриш осон. Дарцацицат, (129.7) га асосан
<21-С/ __ Л-Л
Qi 7, ’
бундан цуйидаги тенглик келиб чицади:
(130.9)
(130.8) ва (130.9) ни таццослаб цуйидагини топамиз:
Ьй
Бннобарин, 6 температура Т га пропорционал ва иккала шкала-
нннг градуси бир хил булгани учун 6 = Т.
х 131-§. Келтирилган иссицлик мицдори. Клаузиус
* тенге нзли1 и
Кар цандай иссицлик машинаси жисмларнинг айни бнр циклни
куп марта такрорлайдиган системасидан иборат. 128-§ да биз бар-
ча цайтувчан машнналарнинг ф и.к. бир хил эканлигини, цайтмас
машинанинг ф.и.к, эса цамиша цайтувчан машинаникидан кичик экан-
лигини курсатдик. Бу фактни аналитик рааншда цуйидагича ёзиш
мумкин:
b-^<T~T'. (131.1)
41 'i
Бу тенгсизликнинг чап томонида ф.и.к. нинг цар цандай маши-
на учун ярайдиган таърифи турибди, унг томонида эса цайтувчан
машина ф.и.к. нинг 129-§ да топилган ифодаси турибди. (131.1) да
тенглик белгиси цайтувчан машинага, тенгсизлик белгиси цайтмас
машинага тегишлидир.
358
Равшанки, (131.1) муносабат жисмларнинг цайтувчан (тенглик
белгиси) ёки цайтмас (тенгсизлик белгиси) цикл бажарувчи цар цан-
дай системаси учун цам тугридир. Шу билан бирга, бу циклнииг
цанча марта такрорланишидан. бннобарин, бу системанинг иссицлик
машинаси сифатида мшлатилиши ёки ишлатилмаслигидан катьи
назар бу муносабат уринли булади. Келгусида биз (131.1) к$ри-
нищдаги муносабатларни текшмрганимизда жисмларнинг бирор’сис-
темаси бажараднган циклни назарда тутамиз.
(131.1) ифодадан цуйндаги муносабат келиб чицади:
Qi Л Л'
Уни мусбат катталикка купайтириб цуйидагини топамиз:
Ницоят, бунинг чап ва унт томонларидан ~ ни айириб,
£-*<0 (131.2)
ифодани цосил циламиз.
(131.2) муносабатга система оладиган Q} иссицлик цам, система
берадиган Q' иссицлик цам цатнашади. Бундан буен биз умумлаш-
тириш билан шурулланамиз. шу мацсадда биз (131.2) иннг к$'ри-
нишини ц)ундай ^згартирамизки, унда системанинг бошца жисмляр-
дан оладиган Q, иссицлик мицдорларигина булсин, шу билан бир-
са, бу иссицлик мицдорларнни алгебраик катталиклар деб цисоб-
лаймиз: агар олинадиган Q мусбат булса, иссицлик бирорта ташци
жисмдан системага берилади; агар Q манфий булса, система ташци
жиемга иссицлик беради. Шундай цилиб, температураси Tt булган
жиемга бериладиган Q',, иссицликни биз шу жисмдан олинадиган
ва ~(?г га тенг булган Q, иссицлик бнлан белгилаймиз. Унда
(131.2) ифода инцоят цуйидаги куринишга келади:
^ + ^<0. (131.3)
Бу муносабат Клаузиус тенгсизлиги Деб аталади.
Системанинг цандайдир бир жисмдан олган иссицлик мицдори-
нинг шу жисм температурасига нисбатини Клаузиус келтирил-
г а и иссицлик мицдори деб атаган. Клаузиус терминология-
сидан фойдаланиб, (131.3) ни цуйидагича уциш мумкин: агар бирор
система цикл бажарар экан. бу цикл давомида температуралари
дои.мий булган (295- раем) иккита иссицлик резервуари (жисм) би-
лан иссицлин алмашеа, бу цикл цайтувчан булганда келтирилган
иссицлик мицдорларининг йигиидиси нолга тенг булади, цикл цайт-
мас цикл булганда эса бу йигинди поддан кичик булади.
3.70
Агар система цикл дар^мпда иккита эмас. балки Л' та жисм
билан (296* раем) иссицлик лмашеа ва тем ерату ки Т, булган
жиендан Q, иссицлик мицддри олса (бу иссицлик мусбат булиши
цам манфий булиши дам мумкин), у цолда (131.3) га ухшатиб цу-
йнд ,лрт . рнлишн керак деб фараз цилиш табш. дир:
295- раем. 296- раем.
Кбайта-цайта так pop лай бермаслик учун шу нарсага келишиб
оламизки, бундан буён бирор ифодада , <.“ёкн белгилар турган
c.ivua црлларда тенглпк белгиси цайтувчан процессларга, тенгсиз-
лии белгиси цайтмас процессларга тегишли булади. Бу айтилган
гаплар (131.4) ифода учун дам уриилидир.
Шу чоццача биз тек ширил, о-тган система билан иссицлик алма-
шаётган жисмларнинг иссицлик сигими шу цадар катта ва шунинг
учун иссицлик алмашиш процессн бу жисмларнинг Т{ температура-
сига таъсир курсатмайди, деб фараз цилиб келган эдик. Агар бу
шарт бажарилмаса, у цолда системага Q, иссицлик берилганда те-
гишли жиемнинг Tt температураси узлуксиз узгаради. Бу цол учун
(131.4) ифодага vxuiaraH ифода ёзиш учун Qt иссицлик узатиш
процессларининг цар бирини шундай бир цатор элементар процесс-
ларга ажратиш керакки. Су процесслар жуда кичик булиб, булар-
нинг цар бирида A'Q, элементар иссицлик мицдорини доимий (ле-
кин цар бир Д'р, учун бошца булган) 7", температуре да узатилади,
деб цнсоблаш мумкин булсин. Унда биз (131.4) урнига цуйидаги-
ни ёзишимиз керак:
0. (131.5)
О
Энди бу ерда i индекс система билан иссицлик алма иадиган жисм-
нидг номерини эмас, белки система бажарадиган цмклии булиб цо-
сил цилинган элементар процесслардан бйрининг номерини билди-
ради; A'Q,- эса I- номерли элементар процесс давомида ташци жисм-
360
ларнинг биридан система оладиган иссицлик мицдорнни бипциради,
Т,— уша ташци жиемнинг системага Л иссиь.-ик бериш пайтмдаги
температураси. тагидаги Q белги йигинди бутун цикл буйича
олинип и кераклигини курсатади.
(131.5) ифода шуми билдирадлкн, цикл цайтувчан булганда сис-
теманинг цикл давомида ташцаридан олган элементар келтнрилган
иссицлик мицдорларинииг йигинднеи нолга тенг булади, цикл цайт-
мае булган цолда бу йигинди поддан кичик булади.
Аницроц айтгаада, (131.5) муносабат цуйидагича ёзилиши лозим:
ф^<0, (131.6)
бу ерда интеграл бутун цикл буйича олинади
132-§. Энтропия
Келтнрилган иссицлик мицторларининг йнрнндисини цикл учун-
гина эмас, балки айланма булмаган цар 1^андай процесс учун хам
цосил цилиш мумкин, ту билан бирга, бир цолатдан иккинчи цо-
латга цайтувчан утншда бу йигиндининг бир ажойиб хоссаси намо-
ем булади. Вупи биз цозир кj рамиз.
Цайтувчан бирор цик.- с-иб, унда иккита ихтиёрий 1 ва 2
цолатларни ажратамиз (2м7- р ем). .олатлар циклни расмда 1
ва II рацаылари билан белгиланган иккита тармо< а ажратади
Бундам олдмнги па)>аграфда нурсатгани-
миздек, келтнрилган иссицлик мицдорларинииг
бутун цикл (цикл цайтувчан!) буйича олинган
йигинднеи нолга теиг.
(132.1) йигиндига кирувчи барча цушилув-
чиларни икки группага ажратиш мумкин, би- 297-раем
ринчи группага I тармоцца тегишли цуши-
лувчиларии, иккинчи группага эса II тармоцца тегишли цушилувчи-
ларни киритамиз. Унда (132.1) ифода цуйидагича ёзилиши мумкин:
(132.2)
<i> (Й)
Биринчи йигинди 1 цолатдан 2 цолатга 1 тармоц буйича утиш-
га, иккинчи йигииди эса 2 цолатдан 1 цолатга II тармоц буйича
утишга мос келади.
1 Биз (131 3) дни (131.6) пи к-пприб чнкаришд! цилган ыулоцазаларг.м)
аииц иебвт деб цараб б^лмайт Лекин (J31-6) ифодани (131.3) лен жуда анрц
в । билан келтириб чицариш мумкин
361
1 ^олатдан 2 холатга бирор ^айтувчан утишга ь.ос кедаднган
куйядаги йигиндини куриб чи^амиз (298-раем):
V A'Q
(rge) 7 '
(132.3)
Агар утиш йуналиши узгартирилса, процесс цайтувчан процесс
эканлиги туфайли (132.3) йигиндининг ишораси узгариши керак.
АС
298- раем.
(132.3) даги барча
Узгаради, натижада
Дар\ацицат, масалан, 298- раемда бел-
гиланган элементар гдемда процесс
. 1 -* 2 йуналишда булгаида система
"* температураси Т булган бирор жисм-
дан A'Q иссндлик мицдори олади, уша
^иемда процесснинг йуналиши 2—1
булгаида система температураси Т бул-
ган уша жисмга худди шундай A'Q
мигдорида иссицлик бериши, яъни
—Д'О иссицлик олиши керак. Шундай
цилиб, утиш йуналиши Узгарганда
цУшилувчиларнниг ишораси харама-^аршисига
2 — v W (132Л)
1-2 ' 2-1 ‘
(К»*тув) (кайтув)
булади.
(132.4) хоссага асосланиб (132.2) ифодани цуйидагнча ёзамиэ:
2^-2 й?-0.
1-2 ‘ 1-2 1
<П (11}
Бундан цуйидаги натижа келиб чицадш
2^-2 “А
1-2 1 1-2 '
(132.5)
Бош да олинган ^айтувчан циклни биз мутлацо ихтиёрий равиш-
да олганимиз учун (132.5) муносабат / ва 2 ^олатларни уэ ичига
олган >;ар ^андай цайтувчан цикл учун бажарилиши керак, Жум-
ладан, 1 ва 11 тармо^лардан >^осил булган цикл урнига 1 тармо^
ва 297- раемда пунктир билан курсатилган ^айтувчан 111 тармоедан
)(осил булган циклни куриб чн^иш ва ю^оридагича мулоз^азалар
юритиб, (132.3) йигиндининг 1И тармоеда тегишли ^иймати унинг
J тармо^ца тегишли ций.матига тенг эканлнгига ишонч з(осил ^илиш
мумкин.
Шундай цилиб, биз жуда му^им хулосага келдик: системанинг
бир ^олатдан (бошлангич) иккинчи (охирги) фхьатгз цайтувчан ути-
382
шида оладиган келтирилган иссицлик мицдорларининг йигиндиси
утиш йулига боглиц эмас ва бинобарин, системанинг бошлангич
ва охирги холатларигагина боглиц.
Биэ биламизки, ички энергии орттирмалари йигиндисининг з^ам
шундай хоссаси бор. Энергии цолат функцияси булганлиги туфайли,
1 цолатдан 2 цолатга З(ар ь>андай утишдаги ички энергия орттир-
маларининг йигиндиси энергиянинг бу цолатлардагй дийматлари
айирмасига тенг булиши керак:
Ули^и,— Ц. (132.6)
1-2
Равшанки, юцорида айтилганлар цолатнинг цар цандай функция-
си учун, яъни системанинг цолати билан бир цийматли аницлана-
диган з^ар цандай катталик учун тугри булади:
(^ат>-/(2>-/(!>• (132.7)
1-2
Агар катталик цолатнинг функцияси булмаса, у холда унинг
элементар мицдорларининг йигиндиси системанинг бир цолатдан
бошца цолатга утиш йулига боглиц булиб цоляди, Бундай катта-
лик чар жумласига. масалан. иш киради. Бизга маълумки,
иш шу процессии тасвирловчн эгри чизик (215-расмга ц.) цамраб
олган юзга тенг ва афтидан, утиш йулига боглиц.
Система оладиган иссицлик мицдори учун хам худди шундай
булади. Термодинам икании г биринчи асосига мувофиц равишда
2,Л'С-2'М'+ (132.8)
1-2 1-2 1-2
(132.8) нинг унг томонидаги йигиндилардан бирничиси йулга
боглиц эмас, иккинчиси эса йулга боглиц. Бинобарин, VA'Q кат-
талик утиш йулига боглиц. Куйидаги
У
(чаРтуо)
йигиндининг 1 з^олатдан 2 цолатга ^айтувчан ^утишдаги йулга бот-
лиц эмаслиги цайтувчан процессда A'Q/F нисбат бирор з^олат функ-
циясининг орттирмасидир, деб айтишга асос беради. Бу функция
энтропия деб аталади. У S э^арфи билан белгилакади. Шундай
цнлиб,
<1S2-9>
3GJ
(132.9) га асосан энтропиянинг орттирмаси цайтувчан процессда
системанинг ташцаридан оладиган элементар иссицлик мицдорннниг
шу иссицлик олинаетган пайтдаги температурага нисбатига тенг1.
Энтропия цолат фуикцияси булгани учун энтропия орттирмала-
рининг йигиндиси энтропиянинг охирги ва бошлангич цолатлардаги
цнйматтарининг айирмасига тенг булиши керак |( 132.6) билан со-
лиштнримг]:
— '‘т “ —AS-S'— St (132.10)
(кайту^
Янада аницроц цисоблагаида (132.10) йигиндилар интеграляар
билан алмаштирилнши керак:
(Хайтув)
Энтропия—аддитив катталик. Бу эса системанинг энтропняси
унинг айрим цнсмларининг энтропиялари йигиндмсига тенг экани-
ни билдиради.
133-§. Энтропиянинг хоссалари
Цайтувчан процессда келтирилган иссицлик мицдорларининг
(132.10) йигиндиси энтропиянинг орттирмасига тенг. Энди цайтмас
процессда келтирилган иссицлик мицдорларининг йигиндиси билан
энтропии орттирмаси орасидаги муносабат цан-
дай эканлигини аницлаймиз. Бунинг учун
цайтмас ва цайтувчан тармоцлардан иборат
циклни (299-раем) куриб чицамиз. Бутун
цикл цайтмас цикл булгани учун келтирилган
иссицлик мицдорларининг бутун цикл буйича
олинган йигиндиси нолдан кичик булиши ке-
рак;
Бу йигиндинн цар хил тармоцларга тегишли булган икки цисм-
га ажратамиз:
2т+2т<"- <1331>
(К1ЯТМ1С) <К«йтув)
» Цайтуэтвн прсиессда иссицлик алмашувчи жпемлярнинг температураси бнр
хил булади.
«64
(132.10) га мувофиц равишда, бу йнгиндиларнинг иккинчисн эн-
тропиянннг / ва 2 цолатлардаги цийматлари айирмасига тенг. Шу-
нинг учун (133.1) муносябатни цуйидагича ёзиш мумкни:
2 т?+К-ЗД<о.
(МЙтмас)
бундан цуйидаги хулоса келиб чицади:
s,~3,> 2т^ (133.2)
<каЛ7м*с)
(132.10) ва (133.2) ифодаларни бирлаштириб, цуйидагига эга
буламиз:
s,-s,>2t- <,333>
бу ерда тенглик белгиси / цолатдан 2 цолатга цар цандай цайтув-
чан утишга тегишли, тенгсичлик белгиси эса /-*-2 йуналишдаги
хар кандай цайтмас утишга тегишли. (133.3) даги Т температура
системага Л'ф иссицлик бергац жиемнинг температурасини билди-
ради. Кайтувчан процессда бу температура системанннг температу-
расп билан бир хил булади.
Равшанки, (133.3) муносабат цар бир элементар процесс учун
бажарнлиши керак:
(133.4)
ёки
(133.5)
Шуни цайд цилиб утимизки. энтропия холат фуикцияси булгани
учун
s,— Si-
1-2
ифода (132.6) ва (132.7) ифодалар каби, тегишли утиш цайтувчан
ёки цайтмас бУ’Лишидан цатъий назар хамиша т^три булади. Цуйидаги
s.-s.-2Te
1-2
формула эса фацат цайтувчан утиш учунгина тугри булади.
Эв5
Агар система ташци мухитдан изоляциялаиган булса, яъни таш-
ци муцит билан иссицлик алмашмаса, у цолда (133.3) даги цамма
Д'<2 лар нолга тенг булади, унинг оцибатида эса
5.-5,» О, (133.6)
ёки мос равишда
Д5>0.
(133.7)
берадигандаги процесс
Шундай цилиб, изоячциччанган системанинг энтропияси (агар
системада цайтмас процесс юз бераётган булса) фацат ортиши
ёки доимий цолавериши (агар системада цайтувчан процесс юз бе-
- раётган булса) мумкин- Изоляциялаиган системанинг энтропияси
камайиши мумкин эмас.
Биз биламизки, ташци муцит билан иссицлик алмашмасдан юз
атак процесс деб аталади. Бннобарин,
цайтувчан адиибатик процесс давомида
энтропия Узгармайди, шунинг учун
цайтувчан адиабата изэнтропа деб
аталиши мумкин. Янги терминология-
дан фойдаланиб, Карно цикли иккита
изотерма ва иккнта иээнтропадан ибо-
рат. деб айтиш мумкин. Равшанки,
(Т, S) диаграммада Карно цикли тугри
туртбурчак (лактида булади (300- раем).
ТУ'гри туртбурчакнинг юзи сон жица-
тидан системанинг бир цикл давомида
оладиган иссицлик мицдорига тенг.
ЗОо-расм. Дархацицат, (133.4) га асосан. систе-
манинг цайтуичан процессда оладиган
Элементар иссицлик мицдори цуивдагига тенг:
A'Q^TAS. (133.8)
Бннобарин, системанинг цайтувчан изотермик процессда олади-
гая иссицлик мицдори цуйидагича ифодаланиши мумкин:
Q=T(Sa— S,), (133.9)
бу ерда S,— процесснниг бошндаги энтроция, $8—охиридаги эн-
тропия.
(133.9) дан фойдаланиб, системанинг цикл цосил цилувчн изо-
термкк процесслар давомида оладиган иссицлик мицдорнни цуйида-
гича ёзиш мумкин:
7\(Si—S8), Qat= 5#(Sj—Sj).
Цикл давомида олинадиган т?'лиц иссицлик мицдори цуйидагига
тенг:
- Q = QM+ = ТО«- 5г) + Тг (Ss— S,) = (Т,- TJ (Sj- S2).
Куриниб турибдики, буидаги охирга ифода циклнинг юзига тенг.
Эбв
Энтропиянинг камая олмаслигини билдирувчи (133.7) муносабат
фацат изоляциялаиган системаларга тегншлидир. Агар система таш-
ци мухит билан иссицлик алмашса, унинг энтропиясининг уэгариш
характери цар цандай булиши мумкин. Жумладан, агар система
ташци жисмларга иссицлик берса (система оладиган A'Q иссицлик
мицдори манфий булса), системанинг энтропияси камаяди.
Агар изоляцияланмаган система цикл бажарса, у цолда унинг
энтропияси цолат функцияси булганлиги учун цам циклиннг охири-
да бошлангич цийматини цабул цилади. Лекин циклнинг бориши
давомида энтропия, умуман айтганда, узгаради, шу билан бирга, у
циклнинг баьзи цисмларнда ортиши, баъзи цисмларида эса камайи-
ши мумкин, чунки энтропиянинг бир цикл давомидаги узгаришлари
йигиндиси нолга тенг булиши керак.
Энтропиянинг цайтунчан изотермик процесс вацтида узгаришини
топайлик. (133.3) га мувофиц, энтропия орттирмаси цуйидагига
тенг:
Узгармас температурами йигинди ишораси остидан чицариб, эн-
тропия орттирмасини цуйидагича ифодалаймиз:
‘ 1-2
бу ердя Q1B—системанинг 1 цолатдан 2 цолатга цайтувчан изотер-
мик утиши давомида олган иссицлик мицдори. Агар бу иссицлик
мицдори манфий б^лса, Ss<S1 булади.
Энтропиянинг цайтмас процессдаги Узгаришини топиш учун сис-
темани айнн уша охирги холатга келтирувчи цандайдир бир цай-
тувчан процессии куриб чициш ва бу процесс учун келтнрилган
иссицлик мицдорларинииг йигиндисини топиш лозим. Буни цуйидд-
ги мисолда тушунтириб утамиз. Температура лари цар хил Tt ва Та
булган (Л > Г2) иккита жисмдан иборат изоляциялаиган системани
текширамиз. Жисмлар уртасида иссицлик алмагииниш юз бергап-
лиги туфайли уларнинг температуралари тенглашадм. Бу процесс,
равшанки, цайтмас процесс булиб, унинг давомида системанинг
энтропияси ортиб бориши керак.
Соддалик учун иккала жиемнинг иссицлик сигими бир хил ва
С га тенг деб фараз циламиз. Унда иккала жиемнинг иссицлик
мувозанати цолатига келгандаги охирги температураси цуиндагига
тенг булади:
т.-Л+Д (i33.il)
Система энтропиясининг узгаришини цисоблаб топиш учун сис-
темани иккала жисм учун бнр хнл булган То температурали цо-
латга келтирувчи цайтувчан процессии куриб чицамиз. Бу процесс
367
Агар система ташци мухитдан изоляцияланган булса, яъни таш-
ци муцит билан иссицлик алмашмаса, у холда (133.3) даги цамма
A'Q лар нолга тенг булади, унинг оцибатида эса
(133.6)
ёки мос равишда
Д5>0. (133.7)
Шундай цилиб, изоляцияланган системанинг энтропияси (агар
системада цайтмас процесс юз бераётган булса) фацат ортиши
ёки доимий цолавериши (агар системада цайтувчан процесс юз бе-
раётган булса) мумкин. Изолнцияланган системанинг энтропияси
камайиши мумкин эмас.
Биз биламизки, ташци муцит билан иссицлик алмашмасдан юз
берадигандаги процесс
300- раем.
адиабатик процесс деб аталади. Бннобарин,
цайтувчан адиабатик процесс давомида
энтропия Узгармайдн, шунинг учун
цайтувчан адиабата изэнтропа деб
аталиши мумкин. Янги терминология-
дан фойдаланиб, Карно цикли иккита
изотерма ва иккита изэнтропадан ибо-
рат. деб айтип! мумкин. Равшанки,
(Т, S) днаграммада Карно цикли тугри
туртбурчак шактида булади (300- раем).
Тугри туртбурчакнинг юзи сон жица-
тидап системанинг бир цикл давомцда
оладиган иссицлик мицдорига тенг.
Дар цацицат, (133.4) га асосан, систе-
манинг цайтувчан процессда оладиган
элементар иссицлик мицдори цуйидагига тенг:
Д'(? = 7Д$. (133.8)
Бннобарин, системанинг цайтувчан изотермик процессда олади-
ган иссицлик мицдори цуйидагича ифодаланиши мумкин:
Q=T(Ss—S,), (133.9)
бу ерда S,—процесснниг бошндаги энтропия, S>— охиридаги эн-
тропия.
(133.9) дан фойдаланиб, системанинг цикл цосил цилувчи изо-
термик процесслар давомида оладиган иссицлик мицдорини цуйида-
гича ёзиш мумкин:
7\ (Si—St), ^81=* Tt (S>—3i).
Цикл давомида олинадиган тУ'ЛИц иссицлик мицдори цуйидагига
тенг:
' Q = Qn+ 084 = Л (Sj-S,) + Г. (Sa- Sx) = (Т,- Тг)(Sa- Se).
Куриниб турибдикн, буидаги охирги ифода циклиинг юзига тенг.
Эбв
Энтропиянинг камая олмаслигини битдирувчи (133.7) муносабат
фацат изоляцияланган системаларга тегишлидир. Агар система таш-
цн муцит билан иссицлик алмашса, унинг энтропиясининг узгариш
характери цар цандай булиши мумкин. Жумладан, агар система
ташци жисмларга иссицлик берса (система оладиган A'Q иссицлик
мицдори манфий булса), системанинг энтропияси камаяди.
Агар изоляцияланмаган система цикл бажарса, у цолда унинг
энтропияси цолат фуикцияси булганлиги учун цам цнклнинг охири-
да бошланкич цийматини цабул цилади. Ленин цнклнинг бориши
давомида энтропия, умуман айтганда, узгаради, шу билан бирга. у
цнклнинг баъзи цисмларида ортиши, баъзи цисмларида эса камайи-
ши мумкин, чунки энтропиянинг бир цикл давомидаги узгаришлари
йигиндиси нолга тенг булиши керак.
Энтропиянинг цайтувчан гьотермик процесс вацтида узгаришини
топайлик. (133.3) га мувофиц, энтропия орттирмаси цуйидагига
тенг:
1^2 1
Узгармас температурани йигинди ишораси остидан чицариб, эн-
тропия орттирмасини цуйидагича ифодаланмиз:
(133.10)
‘ 1-2
бу ерда Q,e—системанинг 1 цолатдан 2 цолатга цайтувчан изотер-
мик утиши давомида олган иссицлик мицдори. Агар бу иссицлик
мицдори манфий булса, булади.
Энтропиянинг цайтмас процессдаги узгаришини топиш учун сис-
темани айни уша охирги цолатга келтирувчи цандайдир бир цай-
тувчап процессии к$риб чициш ва бу процесс учун келтирилган
иссицлик мицдорларининг йигиндисини топиш лозим. Буин цуйцда-
ги мисолда тушунтириб утамиз. Температуралари цар хил Tt ваТа
булган (Г1> Тг) иккита жисмдан иборат изоляцияланган система ни
текширамиз. Жисмлар уртасида иссицлик алмашиниш юз бергац-
лиги туфайли уларнинг температуралари тенглашади. Бу процесс,
равшанки, цайтмас процесс булиб, унинг давомида системанинг
энтропияси ортиб бориши керак.
Соддалик учун иккала жиемнинг иссицлик сигими бир хил ва
С га тенг деб фараз циламиз. Унда иккала жиемнинг иссицлик
мувозанати цолатига келгандаги охирги температураси цуйидагига
тенг булади:
(133.11)
Система энтропиясининг узгаришини цисоблаб топиш учун сис-
темами иккала жисм учун бир хил булган То твмпературали цо-
латга келтирувчи цайтувчан процессии куриб чицамиз. Бу процесс
367
системанинг биринчи жисмининг цандайднр бир ташци жисмга би-
рор мшуюр иссицликни цайтувчан тарэда бериб, температураси Т9
цийматга цадар камайишидан на иккинчи жисмнинг тапщаридан
худди шундай милорда цаитувчан тарэда иссндлик олиб, темпера-
тураси То цийматга цадар ортишидан иборат. Бу иккала процесс
цайтувчан процесс булиши учун улар шундий содир булиши керак-
ки, системанинг жисмларидан хар бирининг ва тегишли ташцн
жисмнинг температураси цар бир пантда бир хил булиши керак.
Бирничи жисм совиганда унинг энтропияси ^уйидагича орттир-
ыа олади:
as, = fa_j^-cin£.
Иккинчи жисм исиганда эса унинг энтропияси олган орттирма
Чунидагига тенг булади:
Д3,_ j«!-j“-Cln£-
Шуни цайд цилиб Утамизки, 7\ > Т9 > Tt болтани учун Д51
манфий, ДЗ, эса мусбат булади.
Система энтропнясининг Узгариши айрим жисмлар энтропияси
Узгаришлари йигиндисига тенг:
4S-4S1+AS,~Cln^+Cmp - С1п (133.12)
(133.12) га То нинг (133.11) цийматини цУйиб, система энтро-
пияси орттирмасининг узил-кесил ифодасини топамиз:
М-сьВД.
4/ |7 в
Бу нфодаиниг \ацицатан ^ам нолдан катта эканлигини курса-
тамиз. Бунинг учун логарифм белгиси остидагн ифодани цуйвдаги-
ча Узгартирамиз;
(Т.+rj» Т?+2Т1Т, + г| Т* — 2^7,4-Г1 + 4Г,Га (7,—।
47,7, 47,Ti 4Г,Т, ” 1 + 47,77^
Бу ифода бирдан катта булгани учун унинг логарифма мусбат
булади ва, бинобарин, ДЗ > 0.
Жисмлар системасининг цайтувчан изотермин процесс вацтнда
бажарадиган ишини ^исоблаб чицарамиз. (95.4) тенгламага асосан.
d'A=d'Q—dU.
368
(133.5) формуладан цайтувчан процессда d'Q=TdS эканлиги
келиб чи^ади. Бу ^ийматни d’A нинг ифодаснга цуямиз:
d'A=TdS — dU.
dT — 0 булгани учун (изотермик процесс) TdS катталикнн 4(73)
билан алмаштириш мумкин. Унда ишнинг ифодаси цуйидаги кури-
нишга келади:
d'A~d(TS)—dU---------d(U — TS). (133.13)
Шундай ццдиб, ^айтувчан изотермик процессда системанинг
ташци жисмлар устида бажарадиган мши ^уйидаги катталикнивг
камайишига тенг булади:
f r-ъ — TS. (133.14)
F \олат функцияси эканлигини куриш кимин эмас. Бу катта*
лик эркнн энергия деб аталади Бу энергия система ички
энергияспнинг кантувчан изотермик процессларда ташци ишга ай-
ланадиган кисмядаи иборат. Ички ва эркин энергия орасидаги
айирмага тенг булган TS катталик баъзан богланган энер-
гия деб аталади.
(133.13) муносабатнн интегралгаб, ишни топамиз:
(А,)и= «^-4 (133.15)
Шуни цайд ^иламизки, адиабатнк процесс ^олида (Q = 0) сис-
тема бажарадиган иш система ички энергиясинииг камайишига
тенг:
(133.16)
Изотермик процессларда эркин энергия ички энергия ролини Уй-
найди.
(133.16) муносабат цайтувчан процессларда цам, цайтмас про-
цессларда \ам урннлидир. (133.15) муносабат эса цайтувчан про-
цесслардагина уринли булади. К^антмас процессларда d'Q < TdS
[(133.5)га ц.[. Бу тенгсизликни d'A—d'Q—dU тенгламага 1$Йиб,
^айтмас изотермик процессларда иш ^уйидаги шартни цаноатланти-
ришипи топиш осон:
(^и)нзотермик Fj Fj.
Бинобарин, эркин энергиянинг камайиши изотермик процессда
система бажара оладнган энг катта ишни белгилайдп.
134- §. Нернст теоремасн
(132.11) ифода энтропиянинг узини эмас, балки унинг икки^о-
йнгдаги цийматлари айирмасини ани^лайди Нернст энтропиянниг
' 1»«*инг исталган ^олаттаги цийматинн аии^лашга имкон берадиган
теоремами исботлади.
24—1317
869
Баъэан термодниамиканниг учинчи асоси деб аталадиган Нернст
Теоремаси бундай уцилади: абсолют температура нолга интил-
ганда \ар грядой жиемнинг энтропияси хам но-чга интилади:
limS=0.
Т-0
(134.1)
Нернст теоремасига асосан, цар цандай жиемнинг абсолют нол-
даги энтропияси нолга тенг. Шунга асосан, Т гемпературали цо-
латдаги энтропия цуйидагича ифода ла ниши мумкин:
(134.2)
Масалан, агар жиемнинг босим узгармас булган шароитдаги
иссицлик сигими температураиииг функцияси сифатида маълум
булса, энгропияии цуйидаги формула буйича цисоблаб чицариш
мумкин:
S= (134.3)
135- §. Энтропия ва эцтимоллик
Больцман энтропиянинг статистик талцини жуда содда экани-
ни аницлаган. Бундан оодивги параграфда изоляцияланган, яъни
Уз цолига цоэдиритган системанинг энтропияси камая олмаслиги
курсатилди. Иккинчи томондан, уз цолига цолдирнлган система
эцтимоли камроц цолатлардан эцтимоли каттароц цолатларга ути-
ши равшан. Система эцтимоли каттароц булган цолатга утиб ол-
ганидан кейин унда чексиз узоц вацт цолади. Агар бир хил ва шу
билан бир га энг катта эцтимолликка бнр цолат эмас, балки цатор
цолатлар эга булса, у цолда изочяцияланган система бундай цо-
латларнинг биридан бошцаларига ута олади. Шундай цнлиб, изо-
ляциялангав системанинг энтропияси ва цолатларининг эцтимоли
уз характерлари билан бир-бирига ухшайди: улар ортиши ёки дои-
мийлигича цолавериши мумкин.
Юцорида келтнрилган мулоцазалардан системанинг энтропияси
билан унинг цолати эцтимоли уртасида маълум бир богланиш бу-
лиши керак, деган хулоса кеацб чицади. Больцман бу богланиш
цуйидагича курннишга эга эканлигини курсатди:
(135.1)
870
уртасидаги тацсимоти
301 • раем.
бу ерда k — Больцман дом-виси, W— система цолатининг тер-
модинамик эцтимоли; система ллятицинг термодинамик
эхтимоли [дегавда смстемянмнг шу цо липни а-лига оширадиган
турой хил усулларнинг сони т^лунилади1
IV кат га тикни нг маъносинн тушуниб олиш учун цуйидаги мн-
солни куриб чицамиз. Идиш ичида фацат туртга молекула бор,
деб фараз циламиз. Идишии фикран иккита теиг циемга: чап ва
J/нг циемга буламиз (301-раем). Молекулаларнинг царакат цилиши
туфайли уларнинг идишнинг иккача цисми
5'згариб туради. Бир-бцрид-'п идишнинг унг
ва чап цисмидаги молем шларнннг сони би-
лан фарц цилувчи цоштирни куриб чица-
мнз. Молекулаларга номер цуйиб, <ар бир
цолатни амалга ошириш мумкин буладиган
усуллар сонини цисоблаб чицамиз. \исоб-
лаш натяжалари 12- жадаялда курсатит-
ган. Молекучаларнинг идишнинг иккита
ярми уртасида мумкин булган 16 тацен-
мотидан олтнтаси унгда ва чапдабир хил мицдорда молекула б£л-
гаи цолатларга тугри келади, саккнзт^си э».а идишнинг бир ярмида
битта молекула, иккинчи ярмида учта молекула булган цолатга
тугри келади. Фацат иккитасигина идишнинг бир ярмида цамма
молекула-ар туп "логан цолатларга тугри келади
Хар бир молекуланинг идишнинг чап ярмида брлнш эцтимоли
билан идишнинг унг томонидагп ярмида булиш эцтимоли бир-би-
рига теиг.
Шунинг учун молекулаларнинг 16 тацсимотидан цар бирининг
такрорланувчанлиги бир хил. Бннобарин, муайян бир холатни
амалга ошириш усуллирннинг сони бу цолатнинг эцгныолинн аниц-
лайди.
Юцорида биз курдикки, молекулалар туртта б_- лгав цолда улар-
нинг цаммаси идишнинг яримларидан бнрида тупланишннинг эцти-
моли энг катта (1/8 га теиг) б* иди Левин мол»-» , лалар сонини
купроц цилиб олгаида ацвол жиддий равишда J -гаради. 13- жад-
валда унта молекула учун турли цоптларнн яма зга ошириш усул-
лармнинг сонлари курсатилган. Бу > лда барча молекулаларнинг
идишнинг битта ярмида тупланиш эвгимеди аггиги 1/512 га тенг.
Жуда куп цолларда (1024 xo/s»8H 672 тесида) идишнинг иккала
цисмида бир хил (Б—5) ёки деярли бир хил (6—4 ёки 4—6) моле-
кула булади.
А/ дона молекулами идишнинг икки цнсмига тацсимлаш усул-
ларининг трлнц сони 2v га тенг эканлигини курсатиш мумкни (бу-
1 Термодинамнк эцтвмол одатда вцтнмол деб аталувчи метематик эцтнмолдав
Г ’% длали. Бирор воцеаиинг математик эцтимоли шу воцеа г-ц» цулай цоллар
цпммлари тенг ц .. > ». • • . Б:ш<л ->ии, «ятематак
мер СОН б ч4 .11 1- •. •. К ЭЦГИ-
»а, бутунсон fwtaxuMLM- а <*пя Ьугг* сои < »4м«паиади.
371
нинг ДО = 4 ва ДО = ю доллар учун тугри эканлигига биз ншонч
хосил цилдик). Шунинг учун молекулаларнинг ДО сони, масалан,
1О20 га тенг булса, цамма молекулаларнинг идишнинг битга ярми-
га тупланиш эцтимоли ницоят даражада кичик булади (бу эцтимол
иккииинг 10м даражали иккига булинганига тенг),
12-жав вал
Бошда газ идишнинг унг томонидаги буш цисмидан тусиц би-
лан ажратилган чал цнсмида тупланган булсин, деб фараз цила-
миз. Агар тусицни олиб ташласак, газ уз-узидан бутун ндишга
тарцалади. Бу процесс цайтмас процесс булади, чункн иссицлик
царакати натижасида барча молекулаларнинг идишнинг бир цис-
мига тупланиш эцтимоли юцорида курганимиздек, деярли нолга
тенг, Бннобарин, газ ташци таъсирсиз уз-узидан яна идишнинг
чап ярмига туплана олмайди.
372
Шундай цилиб, газнинг бу-
тун идишга тарцалиш процес-
сининг цайтмас процесс булиш
сабаби шундаки, унга тескари
булган процесснинг эцтимоли
жуда кичикдир. Бу хулосани
бошца процессларга цам жо-
рий этиш мумкин. Х,ар цандай
цайтмас процесс шундай про-
цессдирки, унга тескари бул-
ган процесснинг юз бериш
вцтимоли жуда кичикдир.
136-§. Идеал газнинг
энтропияси
W
Гнгда
0 Ю 1
1 9 10
2 8 45
3 7 [20
4 б 210
5 5 252
6 4 210
7 3 120
8 2 45
9 I 10
10 0 1
Цаымаси булиб 210= 1024
Идеал газ энтропиясининг
ифодасини топамиз. Энтропия аддитив катталик булгани учун унинг
бир киломоль газга тегишли цийматини топишнинг узи етарлндир.
Ихтиёрий т массали газнинг энтропияси S =—5КИ булади.
Термодинамика биринчи асосининг' (96.4) тенгламаенни олиб,
унга идеал газнинг dU ички энергияси ифодасини цуямиз;
d'Q^= C,dT 4- pdVK„.
d"QKM ни T га булиб, dSKM ни топамиз [(133.5) га ц. процесс
цайтувчан процесс деб фараз цилииади]:
+ т dV“- (136 1)
Идеал газнинг цолат тенгламасига асосан, р/Т нисбат ₽/УкИ га
тенг. Бннобарин, (136.1) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
JC ____dT in
dSKM дан аницмас интеграл олиб, цуйидагини топамиз:
SKM=Cvln7’4-«lnVK4,+Se™. (136.2)
бу ерда £вкн—интеграл лаш доимийси. (136.2) формула бир кило-
моль идеал газ энтоопиясини Т ва V узгарувчитар орцали ифода-
лацди. Skm нинг бошца узгарувчилар орцали ёзилган ифодалари-
га утиш учун цолат теигламаендан фойдаланиш мумкин. (136.2)
формулада VRH урнига /?Г/р цуйиб, цуйидаги ифодани топамиз:
$км=Су1пТ+ /?|п/? + Я1пТ-/?1пр 4-&К-
/?1пЯ 4- Sflxu йигинднни 5^кмбилан белгилаб ва идеал газ учун
Cv -L R йигинди Сг. га тенг эканлигини назарда тутиб, SKtl ни
цуйидагича ёзиш мумкин:
S„= Ср In Г— R 1пр 5^ (136.3)
373
Ни\оят. (136.2) ч. 1 чп pV,.fR билан алмзштириб, SKM нинг
цуйидагп ифодасини тг .ин,
S~ - С. 1цр ср In V^+ s^u, (136.4)
бу ерда
^ = S.-CvlnR.
Икки хил газнинг ар» чашганда эитропнянинг узгаришини чде-
соблэйлик. Хар бири бир кижхоль мигудорида олинган икки хил
газ бир хил р боем оир хил Т температура шароитида тусичу
бнлан ажрагнлган бщ ,ид V у.жмни банд (уилиб турнбдн, деб
фараз ци.1жлик (36.-[ 1 р туси -, олиб цуйидса. газ чар узаро
диффузияланиб, натиж-мл у ринит >,ар бири 2V ч^ажмга тарцала-
ди. Э^осил ' 1ган цм пп^на ик-чла газнинг парцнал босими р/2
га тенг б. иди Ра a i арнинг аралашиш процесси цайтмас
процессдир шунинг у •, а сигтгманинг энтропияси ортади. (136.3)
ифодадан i]« плцииб, >• , нтр цилсннинг иккала газ энтропия-
лари йигиндиенга теиг булган бошлангич цийматини цуйндаги шакл-
да ёзиш M'jmkuh;
5веш - (Сг, InT- R 1пр *- SJ J-(Ср, InТ — /? 1гц> + S‘4). (136.5)
Газлар арапапггирнл|яндан кейингн энтропиями ералашмада-
ги икка 1 кемпонента энчрипияларининг йигиндиси сифатида чуисоб-
лаб чицари- hvwkhh-
InT-RIn; т-.Ь0|) + (С,,1гТ-«1п£ + Ли).
Энтропияиинг орттирмаси куйидагнга теиг:
AS-S„.,-S„» -2Rlrw-2Rln{ -2Rln2. (136 6)
Шуидай цилиб, газларни аралаштиргаида энтропт цаци^атан
цам ортар экан
Хар хил газларнинг >;ар гуандай жуфти учун энтропия орттир-
маси бир хнл (у 2/?1п2 га тенг) булиши (136.6) натижани айни
бир хил компоненталар чуолига, яъни дастлаб тусицнинг икки томо-
нида айни бир хил газ турган чуолга жорий этишга имкон берган-
дек булиб туюлади. Турли хил компоиенталардан айни бир хил
компоненталарга утиш Гиббс парадоксига олиб келади: тусиц олиб
ташланса, на диффузия ва на бошца гувйт-
мас процесслар юз бермайди, лекни нати-
жада энтропия. (136.6) га тенг мивдорда
ортгандек булади. Лекин (136.6) ифодани
компоненталар айни бир хил булган чуолга
татбиц этишнотутри. (136.6) формула турли
хил компоненталар олннган чуол учун чица-
рилган, бу ч^олда аралашмадаги компонент
РгР И-к Pi-P й-к
302- раем.
$7$
талардан \ар бири р, париизл босимга эга деб .\исоблаш мумкин.
Компоненталар айни бнр хил булган \олда туснцни олиб ташла-
гаидан кейин аралашма эмас, балки бошдаги газнинг узи \осил бу-
лади, уиннг босими уша р босимга тенг булиб, фацат мицдори
икки моль булади, холос. Унинг Sox«P энтропияси (136.3) фор-
мулага асосан, ^уйидагига тенг булади (газ мицдори икки моль
булганн учун (136.3) ифодани икки марта орттириш керак):
Sow = 2 [Ср In Т — R In р 4- 5дки I,
бу ифода эса 5сош нинг (136.5) да С^С^—Ср ва S^—S^—S^,
деб олннганда ^осип буладиган ифодасига тенг.
XV BOB
\f МОДДАНИНГ КРИСТАЛЛИК ДОЛАГИ
137- §. Кристаллик цолатнинг узига хос хусусмятлари
Табиатда цаттиц жисмларнинг купчилиги кристалл тузилишга
эга булади. Масалан, деярли барча минераллар ва барча металлар
цаттиц цолатида кристалл булади.
Кристаллик цолатнинг уни суюц ва газ цолатидан ажратиб ту-
рунчи узига хос хусусияти анизотропия бсрлигида, яъни бир
цатор физик хоссаларнинг (механик, иссицлик, электр, оптик хосса-
ларнинг) йуналишга боглиц булишидадир.
Хоссалари барча йуналишлар буйича бнр хил булган жисмлар
изотроп жисмлар деб аталади. Газлардан ва баъзи суюцликлар-
дан бошца цамма моддалар, шунингдек аморф цаттиц жисмлар изо-
троп жисмлардир. Аморф цаттиц жисмлар ута совитилган суюцлик-
лардан иборат (149- § га ц.).
Кристалла рнинг анизотропияляк хоссасига эга булишига улар
таркибмдаги зарраларнинг (атом ёки молекулаларнинг) тартибли
жойлашганлиги сабаб булади.
Зарраларнинг тартибли жойлашуви кристалларнинг ташци кури-
ниши мунтазам булишида иамоён булади. Кристалларнинг ёцлари
ясси булиб, бу ёцлар цар бир мазкур жнисли кристаллар учун
маълум бир цийматга эга булган бурчаклар остида кесишади. Кри-
сталларни жмлслашиш текислиги деб аталадиган текисликлар буйи-
ча парчалаш осон.
Кристаллар геометрик шаклининг мунтазам булиши ва анизо-
тропияси одатда намоён булмайди, чункн кристалл жисмлар поли-
кристаллар куринишида, яъни бир-бирига спишиб усиб кетган
ва тартибсиз жойлашган майда кристаллчалар туплами курниишида
булади. Поликристалларда анизотропия айрим олинган цар бир
кристаллчадагина кузатилади, кристаллчаларнинг тартибсиз жой-
лашгани туфайли бутун жисмда эса анизотропия борлиги билин-
майди.
Суюцлантирилган модда ёки эритмада махсус кристалланиш
шароитлари яратиш йули билан улардаи цар цандай модданинг
монокриста л лар и ни, яъни катта-катта якка кристалларни
цосил цилиш мумкин. Табиатда баъзи мннералларнинг монокристал-
лари табний цолатда учрайди.
Кристалл атомларинииг тартибли жойлашуви шундан иборатки,
атомлар (ёки молекулалар) мунтазам геометрик фазовий яанжаранинг
376
тугунларига жойлашади. Бутун кристаллин кристаллпинг эле-
ментар ячейкаси деб аталаднган алии бнр структуравий эле-
ментам уч турли йуналишда куп марта такрорлаш йули бнлан цо-
сил цнлиш .мумкин (303- а раем). Элементар ячейка цирраларннинг
а, Ь ва с узунликлари кристаллнинг вйнийлик даврларн деб
аталади.
а 6
303- раем.
Элементар ячейка учта а, Ь, с вектордан ясалган параллелепи-
пед булиб, бу векторларнинг модуллари айнийлик даврларига
тенг. Бу параллелепипед а, Ь, с цнрраларидай ташцари, яна уша
цирралари орасидаги а, р, ва у бурчаклари билан цам характерли-
нади (303- б раем), а, Ь, с ва а, р. у катталиклар элементар ячей-
кани бир цийматли аницлайди ва унинг параметрлари деб аталади.
Элементар ячейкани турли хил усуллар билан танлаб олиш
мумкин. Бу цол 304-расмда текис структура мисолида курсатил-
ган. Девор юзини нааоатяадшб ёпиштириладпган учбурчак шаклн-
даги оц ва цора кошиилар билан цоплаш учун цар хил ячейка-
ларни икки йуналишда куп марта такрорлаш керак. Масалан /, 2
ва 3 ячейкаларга царанг; ячейкалар такрорланаднган йуналишлар
стрелкалар билан кУрсатилган. 1 ва 2 ячейкалар узида минимал
мицдорда структура элементларига эга булиши билан фарц цилади
(уларда битта оц ва битта цо-
ра кошин бор). Кристалл мод-
данниг химиявий таркибипи
характерловчи атомларни Уз
ичига энг оз олган (масалан,
муз кристалнда кислороднинг
бир атоми ва водороднинг ик-
ки атомидан иборат булган)
ячейка бошлапгич ячейка деб
аталади. Лекин одатда бош-
лангич ячейка урнига атом-
ларнинг сони купроц булган.
бнроц симметрияси бутун кри-
сталлдагн симмстриядек бул-
ган элементар ячейка танлаб
олинади. Масалан, 304- расмда Ю4- расм.
377
тасвирланган текис структура кошинларнннг учидан Уз текислиги-
га перпендикуляр равишда утган цар цандай уц атрофида 120° га бу-
рилгаида Уз-узига устма-уст тушади. Элементар ячейка ( )цинг хам
шундай хоссаси бор. / ва 2 ячейкаларнинг симметрия даражаси
камроцдир: улар 360° га бурилгандагина уз-узига устма-уст тушади.
138- §. Кристалларнинг классификацияси
Красталл паи».ара симметриянинг турли куринишларнга эга була
олади. Кристалл панжаранниг симметрияси деганда панжаранинг
бирор фазовнй кучншларида Уз-узи билан устма-уст тушиш хоссаси
тушунилади.
Хар цандай папжара энг аввал трансляцион симметриям эга
булади, яъни айниПлик даври мицдорнда сурнлгаида (трансляция
цнлинганда) уз-узи билан уома-уст тушади". Симметриянинг бошца
турлари орасида бирор уклар атрофидвги бурнлишларга нисбатан
симметриями, шуницгцек, маълум бир текисликларга нисбатан кУз-
гучасига акслантнришни цайд цилиб Утамиз.
Агар панжяра бирор Уц атрофида 2л/п бурчакка бурилганда у>
9зи билан устма-уст тушеа (бннобарин, панжара бу уц атрофида
бир мара ту лиц айланганда уз-узи билан п марта устма-уст тушади)
у цолда бу уцп-тартнбли симметрия Уци деб ататади. 1-тартибли
тривиал уцдви ташцври, 2-. 3-, 4- ва 6- тартиблн симметрия уцла-
ригина булиши мумкинлигиии кУрсатса булади. Бундай симметрия
уцларига эга булган структура тарпинг мисоллари 305- расмда схе-
матик равишда курсатилган (турли хил атомлар с , тугараклар.
;ора тугарактар ва крест тар билан белгиланган).
Панжара бирор текисликдан кузгучасига акс"инганида уз-узига
устма-уст тушиб цолса, бундай текисликлар си метрик текислик-
лари деб аталади. 305- расмда симметрия текислигига цам мисол
келтнрилган.
Симметриянинг турли хнллари кристалл панжараларнинг сим-
метрия элементлари деб аталади. Симметрия уцлари ва сим-
305- расы.
* Панжаранинг с.- л-етриясн та. ш'рилаётгачда эистатлнннг у.т. мвдрн чек-
лн эканлиги зынборда» • --............' «жар 'к-лнз ианжарг. . цнеоб-
лапали
378
метрия текиспикларидан бошца симметрия элементлари цам булиши
мумкин, лекин биз уларни текширмаймиз
Кристалл панжара, одатда, бир вацтнинг уэида симметриянинг
бнр цанча куринишларига эга булади. Лекни симметрия элемент-
ларининг хар цандай мажмуаси цам цацицатда булавермайди. Маш*
цур рус олими Е. С. Федоров курсатдики, симметрия элементлари-
нинг 230 та комбинацияси булиши мумкин, булар фазовий
группалар деб аталган Бу 230 та фазовий
группа симметрия аломатларига цараб 32 синф-
га бутинади. Ницоят, барча кристаллар эле-
ментар ячейкасининг шакли цандай були-
шига цараб еттита кристаллографии скстма-
га (ёки сингонияга) булинади, уларнинг
хар бири эса симметриянинг бир цанча син-
фини уз ичига олади.
Кристаллографии системалар симметрияси-
нинг ошиб бориш тартибнда цуйидагича жой-
лашади.
1. Триплин система. Бу система
учун а * Ь > с\ ay Р7 у булиши характерли-
дир. Элементар ячейкаси цийшнц бурчаклн
параллелепипед шаклида булади.
2. Моноклин система. Икки бурчаги ту'ри бурчак булиб,
учянчиси т$три бурчакдан фа|)ц цилади (учинчи бурчак сифатида р
бурчак олиш цабул цнлипглп). Бннобарин a-Lb с, о = у — 90";
Р-/-90Л Элементар ячейкаси тугри призма шаклида булиб, унинг
асосида параллелограмм ётади (яъни у тугри параллелепипед шак-
лида булади).
3. Ромбик система. Трамма бурчаклари тугри, цамма цир-
ралари цар хил: а-^Ь-/-с, а=р — у =90°. Элементар ячейкаси тугри
бурчаклн параллелепипед шаклида булади.
4. Тетрагона л система. 5(амма бурчаклари тугри, иккита
цирраси бир хил: а=Ь^с\ а = р =у = 90°. Элементар ячейкаси
тугри призма шаклида булиб, унинг асрсида квадрат ётади.
5 Ромбоэдрик (ёки тритонал) система. Хаыма цнрралари
бир хил, цамма бурчаклари цам бир хил булиб, 90 дан фарц ци-
лади: а = Ь~ с; а = р = у^90°. Элементар ячейкаси диагонали
буйлаб сицилишдан ёки чузилишдан деформацияланган куб нук-
лида булади.
6. Гексогонал система. Кирралари ва улар орасидаги
бурчаклари цуйидаги шарттарга буйсунади: а = Ь^=с; а = ₽ = 90°;
у = 120. Агар унинг учта элементар ячейкаси 306- расмда курса-
тилганча бирга цушилса, олтн бурчаклн мунтазам призма цосил
булади.
7. Кубик система. цирралари бир хил, цамма бур-
чаклари тугри бурчак а = & = с; а — р~ у — 90\ Элементар ячей-
каси куб шаклида булади.
379
t39-§. Кристалл павжараларнинг физик турлари
Кристалл панжаранияг тугунларига жойлашган зарралариннг
табиатига ва зарралар уртасидаги узаро таъсир кучларинннг харак-
терига цараб кристалл панжаралир турт турга булинади ва тунга
мос равишда турт хил; ионли, атомли, металл ва молекуляр крис-
таллир булади.
t. Ионли кристаллар. Кристалл панжаранинг тугунларида
з\ар хил ишорали иоплар жойлашади. Улар орасидаги узаро таъсир
кучлари асосан электростатик кучлар (Кулон кучлари) булади.
Турли ишорали зарядланган ионлар орасидаги тортиюишнинг элек-
тростатак кучлари туфайли юз берадиган богланиш гетереполяр
(ёки ионли) богланиш деб аталади. Ионли панжаранинг типик
мпсоли ош тузининг (NaCi) 307- рисмда курсаталган панжараси
була олади. Бу панжара кубик системага тегишлидир. Натрийнинг
мусбат заридли ионлари 014 тугараклар билан, хлориинг манфий
зарядли ионлари цора тугараклар билап тасвирланган. Расмдан к$/-
риниб турибдики маълум бир ишорали ионнинг энг яцин цушниси
унга тескари ишорали ион булади. Газ холатида NaCl шундай мо-
лекулалардан иборат булвдики. буларда натрий ионлари хлор ион-
лари билан жуфт-жуфт булиб бириккан. Na иони ва О ионидан
молекула ^осил цилувчи группа крнсталлда ало^ида-ало^ида бут-
майдьГ. Иоили кристалл молекулалардан эмас, балки ионлардан
иборат булади. Бутун кристаллин жуда катта битта молекула деб
караш мумкин.
2. Атомли кристаллар. Кристалл панжарининг тугун-
ларида нейтрал атомлар булади. Кристаллдаги (шунингдек молеку-
ладаги) нейтрал атомларни бирлаштирувчи богланиш гомеополяр
(ёки ковалент) богланиш деб аталади. Гомеополяр богланищцаги
узаро таъсир кучлари электр кучлари (лекин Кулон кучлари эмас)
характерна булади. Бу кучларнинг пайдо булиш сабаблари фацат
квантлар механикаси асосида мзо^лаб берилиши мумкин.
Электронлар жуфти гомеополяр богланишда буладтъ Бу эса икки
атомни бир-бирига боглашда цар бир атомдан биттадан электрон
цатнашмшини бнлдиради. Шу сабабли гомеополяр богланиш маълум
бир гомонга караб йуналган булади. Гете-
307- расы.
реполяр богланиш ^олида цар бир ион
узига анча яцин булган \амма ионларга
таъсир курсатади. Гомеополяр богланиш
з^олида эса атомнинг таъсири бу атом
билан умумий электронлар жуфтига эга
б<.-ган атомга цараб йуналади. Фа".тт
валентлнк электронлар, яъни атоми билан
заифроц богланган электронлар гомеопо-
ляр богланишда цатнашади. }\ар бир
электрон фацат битта атом билан бог-
ланишда була олгани учун, мазкур атим-
нинг цатнаша олиши мумкин булган
380
богланишлар сони (бу атомга бос лани, пи мумкин булган душни
атомлар сони) унинг валентлигига тенг.
Олмос ва графит атомли кристалларга типик мисол була олади.
Бу иккала модда химиявий жи\атдан айнан бир хил (улар углерод
атомларидан тузилган) булиб, лекин кристалл тузилишларн жи^атн-
дан бир-биридан фарц цилади. 308-а рисмда олмоснинг кристалл
панжараси, 308- б раемда графитнинг панжараси курсаталган. Кри-
сталл структуранинг модда хоссаларига таъсир курсатишк бу ми-
солдан яхши куриниб туради.
308- раси.
Типик ярим утказгич бУлган германий (Ge) ва кремнийнинг (Si)
^ам панжараси худди олмосники (олмос типидаги панжара) кабн
булади Бу панжара шу би тан характерлидиркн, унда ^ар бир атом
атрофида мунтазам тетраэдр учларига жойлашган туртта цушни
атом ундан бир хил масофада туради. Туртта валентлик электрон-
ларидан \ар бири мазкур атом) и ^ушвилардан бири билан богловчи
электронлар жуфтида цатнашади.
3. Металл кристаллар. Бундай кристалл панжаранинг
цамма тугунларида металлнинг мусбат ионлари жойлашади. Йонлар
Хосил булишида атомидан ажраб цолган электронлар бу мусбат
монлар уртаенда газ молекулаларига Ухшаб бетартнб ^аракат цилиб
юради. Бу электронлар мусбат монларни бирга ушлаб турувчи «це-
мент» ролини уйнайдн; акс \олда панжара йонлар уртасидаги нта-
ришнш кучлари таъсири остида парчаланиб кетган бУлар эди. Шу
билан бирса, иоплар \ам элсктронларни кристалл панжара доира-
сида ушлаб туради ва шунинг учун электронлар панжарадан чициб
кета олмайди.
Купчилик металларнинг панжараси цуйидаги уч турдан бири
булади: ^а1кмда марказлашган кубик панжара (309- а раем),
ёцларада марказлашган кубик панжара (309-6 раем), тулиц гексо-
гонал панжара (309- в рисм). Буларнинг энг охиргиси гексогонал
панжара булиб, с/а нисбати J/8/3 га тенг. Ёцларида марказлашти-
рилган кубик панжари ва зич гексогонал панжари бир хил шарлар
энг зич жойлашган ^олларга мос келади.
4. Молекуляр кристаллар. Кристалл панжаранинг ту-
гунларида маълум йуналишца ориентирланган молекулалар жойла-
381
шади. Кристаллдаги молекулалар ораснда таъсир циладиган богла-
Hwui кучларининг табиати худди газларни идеалликдан четга чица-
ришда молекулалар ораснда таъсир цилувчи тортишиш кучлари
nit
309- рйсм.
табиати билан бир хил. Шу сабабли бу кучлар Ван-дер-Ваальс
кучлари деб аталади. Масалан. Н2, N,. Oit СО2, HgO модцалар мо-
лекуляр панжара цосил цилади. Шундай цилиб. одатдаги муз, шу-
нингдек цуруц муз (цаттиц карбонат ангидрид) молскуляр крис-
таллардан иборат.
140-§. Кристалларда юз берадиган иссицлик царакати
Кристалл панжарасининг тугунлари зарраларнинг уртача вазия-
тини курсатиб туради. Зарраларнинг узлари (нон, атом ёки моле-
кулалар) эса бу „уртача назмятлари атрофида муттасил тебраниб
туради: температура к^тарилганда бу тебранишларнинг интенсив-
лмгн ошади.
Кристалл цосил цилувчи зар-
ралар ^ртасидаги торгишиш куч-
лари бу зарралар орасидаги ма-
софалар анча кичик булганда ма-
софа камайиши билан тез ортиб
борувчи итаришиш кучларига
алмашадм. Бу фикр турли хил
ишорали икки ион учун цам
тугри булади. чувки ионларнинг
электронлм цобицлари бир-бири-
га жуда яцин келганида улар
орасидаги итаришиш кучлари куп-
роц таъсир цила бошлайди*.
Шундай цилиб. кристаллда
цар цандай к$'рикишли зарралар
Уртасидаги узаро таъсир 310-
раемда тасвирланган (264- раем
Зарралар ера- идаги
уртача tiacotpa
В10- раем.
* Ионлар Уртасидаги fsapo таъсир характера иккита нуцтавий заряд ораси-
даги таъсирга Караганда кича иурдккабднр.
882
билан солиштаринг) потенциал эгри чизиц орцали ифода ланиши мум-
кин. Бу эгри чизиц миннмумга нисбатан симметрия эмас. Шу сабабли
варрЯларнннг мувозанат вазияти атрофидаги жуда кичик тебраниш-
ларигина гармоник тебранма царакат булади. Температура к^тари-
лиши натижасида тебранншлар амплитудаси ошиб бориши билан
ангармонизм (яъни тебранишларнинг гармоникликдан ' четланиши)
куч ли равишда напоён була боради. Бу цол эса, 310- раем дан ку-
риннб’ турганндек, зарралар орасидаги уртача масофалариинг ошу-
вига ва, бннобарин, кристалл цажмининг катта лашу вига олиб ке-
лади. Кристалларнинг исснцликдан кеигайиши ана шундай талцин
цилинади.
141- §, Кристалларнинг иссицлик сигими
Зарраларнинг кристалл панжара тугунларнда жойлашиши улар?
нинг узаро потенциал энергнясининг минимум бучишкгз мос ке-
лади. Зарралар мувозанат ваэиятидан цар цандай йуналишда сил-
жиганда заррани бошлангач вазиятнга цайтаришга интилувчи куч
пайдо булади, бунинг натижасида зарра тебранма царакатга ке-
лади. Ихтиёрий йуналишда содир булаётган тебранншни учта ко-
ордината Уцлари йуналишида булаётган тебранишларнинг цушнлинги
деб тасаввур цилиш мумкин. Шундай цилиб, кристаллдаги цар бир
зарранинг учта тебранма эркинлик даражаси бор, деб цисоблаш
мумкин.
tOt § да аницладикки, битта эарранииг цар бир тебранма эр-
кинлик даражасига цар бири Урта цисобда kT нннг ярмига тенг
булган иккита энергия тутри келади; бу энергиянинг битта ярмн
кинетик энергия тарзнда, иккинчи ярмн потенциал энергия тарзида
булади. Бннобарин, цар бир заррага. яъни атомли панжарадаги
атомга, ионли ёки металл панжарадаги1 нонга урта цисобда 3 кГ
энергия тугри келади. Кристалл цолатдаги бир киломоль модда-
нинг эиергиясини топиш учун битта зарранинг уртача эиергиясини
' Кристалл пзнжари тугунларнда жойлашган зарралар соинга купан-
тириш керак. Химиявий жицатдан содда булган моддаларда крис-
талл панжара тугунларцдаги зарралар сони Авогадро сонигя (N д)
тенг булади. Бошца цолларда, масалан NaCl каби моддаларда эса
зарралар сони 2#д булади, чункн бир моль NaCl да Ад дона на-
- трий атоми ва Аа дона хлор атоми булади.
Атомли ёки металл кристаллар цосил цилувчи химиявий содда
моддаларни куриб чициш билан чекланиб, кристалл цолатидаги бир
килограмм-атом модданинг ички энергиясиин цуйидагича ифодалаш
мумкин:
ё/ки = АдЗйТ = 3/?Г.
1 Молекулир кристалларда масала бирмунча мураккаброц. Молекулалар ил-
гариланма тебранншлар билан бирга буралма тебранншлар дам килади. Бундан
ташцари, молекулалар ичидаги ягомлвр дам тебранма дарааат циладл,
3S3
Ичкн энергиянинг температура бир градус к^тарилгандаги орт-
тирмаси (102.6) га асосан, цажм узгармас булган цолдаги иссиц-
лик сигимига тенг булади. Бннобарин,
Cv — 3R ях 25 • 10s ж!град- кг-am.
(t4t.l)
Иситилганда цаттиц жисмларнинг цажми жуда оз узгаради,
шунинг учун уларнинг босим ^згармас булган цолдаги иссицлик
сигими цажм узгармас булган цолдаги иссицлик сигимидан арзи-
маган мицдорда фарц цилади. Модомики шундай экан, Деб
олиш ва цаттиц жиемнинг ис-
сицлик сигими туррисидй гапи-
риш мумкин.
Шундай. цилиб, (141.1) га
асосан, кристалл цолатидаги хн-
миявий содда моддаларнинг бир
килограмм-атомининг иссицлик
сигими бир хил ва 25•103 ж/град-
• кг- ат булади. Бу фикр Дью-
лонг вв Птининг тажрибада то-
пилган цонунянинг мазмуниди||.
Бу цонун к$п «оддалар учун уй
811- раем.
температураси шароитида етарлича аницлик билан цаноатлантирил'а-
ди. Лекин, масалан, уй температурасида олмоснинг иссицлик си-
»ими 5,6-10s ж/град^кг-ат булади. Ундан ташцари, и ристал лар-
пинг иссицлик сигими (141.1) га зиД равишда, температурага бог-
лиц ва бу богланиш характери 311- расмда курсатилган. Абсолют
ноль яцинида цамма жисмларнинг иссицлик сигими Т* га про-
порционап б^либ, фацат цар бир модданинг узи учун характерлн
булган енча Юцори температураларда (141.1) муносабат цаноатлан-
тириладн. К^пчилик жисмлар уй температурасидаёц (141.1) габуй-
сунади, олмоснинг иссицлик сигими 1000°С тартибндаги темпера-
тура дагина (141.1) цийматга эришади.
1\аттиц жисмлар иссицлик сигимининг Эйнштейн ва Дебай ярат-
ган жуда аниц назариясн, биринчцдан, тебранма царакат энергия-
еннинг квантланишини цисобга слада (102-§ га ц.). Иккинчидан,
бу назария кристалл панжарадаги зарраларнинг тебранишлари эркли
тебранишлар эмаслигини цисобга олади. Мувозанат вазиятидан су-
рил ган варра узига яцин зарраларии узи билан эргаштириб кетади.
Кристаллдаги зарраларнинг кучли узаро таъсири шунга олиб ке-
ладакн, бирор зарранинг тебранишидан юзага келган галаёнланиш
бошца зарра ла рга узатилади ва кристалл да тирцалувчи т^лцан
цосил цилади. Бу тулцин кристаллнинг чегарасига етиб бориб,
орцага цайтади. Тарцалаётган тулцин билан цайтган тулцин цушил-
ганда, маълумки, тургун тулцинлар цосил булади. Чегараланган
муцит ичидаги тургун тулцинлар маълум шартларни цаиоатланти-
тириши лозим (бундай шарт, масалан, муцит чегарасида т^лцин-
нинг цаварицлиги жойлашсин деган шарт булиши мумкин). Бу
384
шартлар тургун т^'лцинларнинг мумкин булган узунликларини еки
тебранишлар частотасинн чеклаб цуяди. Маълумки, масалан, уч-
лари мацкамлаб цуйилган торда цосил буладиган тургун тулцмн-
ларнинг узунлиги I — «Х/2 шартни цаноатлантнриши керак, бу
ерда I — торнинг узунлиги, п — бутун сон. Шундай цилиб, крис-
таллардаги иссицлик царакатини дискрет частотали тургун тулцин-
лар тупламининг (спектрининг) цушилишидан иборат деб тасаввур
цилиш мумкин.
Кристаллар иссицлик сигимининг квант назарияси тажриба
маълумотларига жуда яхши мос келади, жумладан, у юцори тем-
перитуралар шароитида кристалл-цолатдаги моддаларнинг иссицлик
сигими (141.1) билан ифодаланишини курсатади.
25-1317
XVI БОБ
МОДДАНИНГ СУЮЦ ХОЛАТИ
142- §. Суюцликларнинг тузилиши
Модданинг суюц цолати газлар билан кристаллар орасида бул-
ганп цолда иккала цолатнияг баъзи хусусиятларига эга булади*
Жучладан, суюцликлар красталл жисмлар каби маълум бир цажмга
эга булади, шу билан бирга, суюцлик газга ухшаб уэи турган идиш
шаклнни олади. Яна кристалик цолатда зарралар (атом ёки моле-
кулалар) маълум тартибда жойлаюади, газларда эса бу жицатдан
ол'-,1нда мутлацо тартиб Й^ц. Рентгенографии тадцпцотларга биноан,
сую .пжлар зарраларининг жойлашиш тартнби жицатидан царалган-
да \ам кристаллар билан газлар уртасида оралнк урин эгаллайди,
( »)цлик зарралари яцин тартиб деб аталадиган тартибда жой-
лашган булади. Бу эса цар цандай заррага нисбатан олиб царал-
ганда цушни зарралар тартиб билан жойлашган эканлигини билди-
ради. .Пекин мазкур заррадан узо1^лашилганн сари зарраларнинг
унга нисбатан жойлашиш тартнби буэилиб боради ва зарралар жой-
лашишидаги бу тартиб анча тез йуцолиб кетади Кристал ларда эса
узоц тартиб деб аталадиган тартиб бор, бу эса цар цандай зар-
рага нисбатан бошца зарраларнинг анча катта цажм доирасида тар-
тибли жойлашишини билдиради,
Суюцликларда яцин тартибнинг борлиги суюцликлар структура-
сини квазикристалик (крмсталлсимон) структура деб аташга сабаб
булади. Суюцликларда (суюц кристйллардан ташцари) узоц тартиб
булмагани учун улар эарралари тартибли жойлашган кристалларга
хариктерли булган анизотроплик хоссасига эга булмайди.
Чузянчоц молекулали суюцликларда анча катта цажм донраси-
да молекулалар бнр тартибда ориентирланади, шунинг учун оптик
ва баъзи бошца хоссалари анизотропияга буйсунади. Бундай суюц-
ликлар суюц кристаллар деб аталган. Буяарда молекулаларнинг
ориентирланишнгииа тартибга солинган булиб, молекулаларнинг бир-
бирига нисбатан жойлашувида, одатдаги сукпуликлардаги каби, узоц
тартиб йуц.
Суюцликларнинг кристаллар билан газлар уртасида оралиц урин-
да туриши суюц хрлатнинг хоссалари жуда мураккаб булишига
сабаб булган. Шунинг учун суюц цолат иазарияси кристалик цолат
ва, айницса, гаэсимон цолат пазараисига Караганда анча кам ри-
вожланган. Шу чоццача суюцликларнинг бутуилай тугалланган ва
умум томонидан эътироф этилган назарияси лритилган эмас. Суюц
3*6
зрлзт назариясииннг цатор проблемаларини ишлаб чициш соцасида
совет олими Я. И. Френкелнинг хиэматлари катта.
Френкель гоясига биноан, суюцликлардаги иссицлик царакатн-
нинг карактери цуйидагичадир. \ар бир молекула бирор вацт даво-
мида маьлум бнр мувозанат вазияти атрофида тебраниб туради.
Вацт-вацги билан молекула олдинги вазиятидан Уз Улчамлари тар-
тибидаги масофада турган янги вазиятга сакраб утиб, мувозанат
вазияти урнини узгартиради. Шундай цилиб. молекулалар маьлум
жойлар атрофида бирор вацт давомида булгани цоада суюцлик ичида
секин кучиб юради. Я. И. Френкелнинг образли таъбири билан
айтганда, молекулалар кучманчилик цаёти кечирнб, бутун суюцлик
ичида кезмб юради, бунда цисца вацт ичида кучиб олганидан сунг
циёсан уэоцроц вацт давомида утроц цаёт кечиради Утроцлик муд-
дати хилма-хил С^либ, тартибсиз равишда навбатлашади, лекин цар
бйр суюцликда айни бир мувозанат вазияти атрофида тебранишлар-
нинг уртача давом этиш муддати маълум бир цийматга эга булиб,
температура кутарилганда бу муддат бирданига камайиб кетади.
Шу муносабат билан, температура кутарилганда молекулаларнинг
царакат чан лиги ошади, бу эса суюцлик цовушоцлигининг камайиши-
га олиб келади.
Шундай цаттиц жисмлар борки, улар куп жицатдан кристалла^
га яцин б^лишидан кура суюцликларга яцин булади. Аморф жисм-
лар деб аталувчи бундай жнсмларда анизотропия булмайди. Улар-
нинг зарралари суюцликлардаги каби, фацат яцин тартиб билан
жойлашган булади. Иситилгалда кристаллу ап суюцликка Утиш про-
несен сакраб юз бергани цолда (бу тУгрида 149- § да батафсил
гапирамиз), аморф цаттиц жисмдан суюцликка утиш процесси уз-
лу кс из равишда юз беради. Бу фактларнинг цаммаси аморф цаттиц
жисмларни ута совитилган суюцликлар деб царашга асос беради,
цовушоцлиги жуда катта булганидан уларнинг зарраларининг цара-
катчанлиги чеклаб цуйилган.
Шиша типик аморф цаттиц жиемга мисол булади. Смола, битум
ва шу кибилар аморф жисмлар жумласидандир.
143- §. Сирт таранглпги
Суюцлик молекулалари бир-бирига шунчалик яцин жойлашадики,
улар орасидаги тортишиш кучлари анча мицдорда булади. Узаро
таъсир кучлари масофа ортган сари тез камайгаии учун (264- расм-
даги эгри чизицца царанг) бирор масофадан бошлаб молекулалар
орасидаги тортишиш кучларнни эътиборга олмаса цам булади. Биз
биламязки (118- § га ц.), бу г масофа молекуляр таъсир радиусн
деб,. г ратиусли сфера эса молекуляр таъсир сфераси деб -аталади.
Молекуляр таъсир радиусн молекулалар эффектив диаметрларипш1Г
бир цанчяси тартибидагп каттялмкка тенг булади.
Хар бнр молекулани маркази уша молекуладабул1ан сфера (мо-
лекуляр таъсир сфераси) ичидаги барча цушни молекулалар узига
тортади. Суюцлик сиртидан г дан зиёдроц масофада турган молекуча
387
учун бу кучларнинг тенг таъсир этувчиси Урта цпсобда нолга тенг
булиши равшан (312- раем). Суюцлик сиртидан г дан кичик масофада
турган молекула билан адсол бошцача булади. Бугнинг (ёки суюц-
лик билан чегарадош булган газнинг) зичлиги суюцлиининг зичли-
гидан куп марта кичик булгани учун молекуляр таъсир сфераси-
динг суюцликдан ташцарига чициб турган цисмида сферанииг
цолгаи цисмидагига цараганда молекула оз булади. Натижада ца-
линлиги г булгай енртга яцин цатламдаги цар бир молекулага
суюцликнинг ичига цараб йуналган куч таъсир дилади. Бу кучнинг
катталиги цатламнинг ички чегарасидан ташци чегарасига томом
йуналишда олганда ошиб боради.
Молекула суюцликнинг ичкарисидан сирт цатламига утганида
сирт цатламида таъсир циладиган кучларга царши иш бажарнши
зарур. Бу ишни молекула узининг кинетик энергияси цисобига ба-
жаради ва бу иш молекуланинг потенциал энергиясини оширишга
сарф булади; бу процесс юцорига учиб кетаётган жисмнинг Ер тор-
тиш кучларига царши бажарган иши жисмнинг потенциал энергия-
сини оширишга сарф бУлишига ухшайди. Молекула сирт цатламидан
суюцлякнинг ичкарисига утганда унинг сирт цатламида эга булган
потенциал энергияси молекуланинг кинетик энергиясига айланади.
Шундай цалиб, молекулалар сугоцликнинг сирт цатламнда цу-
шимча потенциал энергияга эга булади. Бутун сирт цатлами суюц-
ликнииг ички энергиясига таркибий цисм сифатида кирувчи цушимча
энергияга эга бУлади.
Мувозанат вазияти потенциал энергиянинг минимум бу-лишига
мос келгани учун, уз цолига цуйиб берилган суюцлик сирти мини-
мал булган шаклга, яъни шар шаклига келади. Одатда биз «Уз цолига
цуйиб берилган» суюцликларни эмас, балки Ернинг тортиш кучи таъ-
сири остидаги суюцликларнн кузатамиз. Бу цолда суюцлик тортишиш
кучлари майдонвдаги энергия ва сирт энер-
гияси Йигинднсидан иборат булган умумпй
энергия минимум буладиган шаклни олади.
Жисмнинг улчамлари ошгаида зажми
чизицли улчамларининг куби кабн, сирти эса
квадрата каби усади. Шунинг учун Жисм-
нинг цажмига пропорционал булган торти-
шиш майдони энергияси жисмнинг улчам-
лари ошгандз сирт энергиясига цараганда
теэроц ошади. Суюцликнинг майда томчи-
ларида сирт энергияси устунлик цилади,
шунинг учун бундай томчилар шакли сферик
шаклга яцин булади. Суюцликнинг катта
,томчилари бу цолда сирт энергияси ошуви-
1га царамасдан Ернинг тортиш кучларн таъ-
|сири остида ялпаяди. Суюцликнинг катта-
катта массалари Узи цуйилган идиш шак-
лини олади ва эркин сирти горизонтал бу-
313-раем. либ туради.
38$
Сирт энергияси борлигн туфайли суюцлик Уэ сиртини цис^яр-
тнришга интнлади. Суюфшк Узини цисцаришга интиладиган элас-
тик чузилган парда ичига солиб цуйилгандек тутади. Хацицатда
суюцлнкни ташцаридап чегаралаб турадиган ^еч цандай нарда
йУц. Сирт цатлами дом Уша Сую^ликнинг молекулаларидан таркиб
топган ва сирт цатламидаги молекулаларнинг уваро таъсири харак-
тери суюцлик ичидаги билан бирдай. Гап шундаки, сирт дотламн-
даги молекулалар суюдлик нчидаги молекулаларга Караганда цУшим-
ча энергияга эга.
Суюцлик сиртининг ёпиц контур билан чегараланган бир цисми-
ни фикран ажратиб оламиз. Бу цисмнинг цисдоришга интилиши
тунга олиб келадики, у узига ^ушни булган цпсмларга бутун кон-
тур буйича ёйилган кучлар билан таъсир цилади (Ньютоннинг учнн-
чи ^онунига асосан сирт цатламининг ташци цисмлари текширила-
ётган бу кисмга катталиги худди шундай, лекин дорама-царши ^нал-
ган кучлар билан таъсир цилади). Бу кучлар сирт таранглиги
кучларн деб аталади. Сирт таранглигн кучи суюдлик сиртига
утказилган уринма буйлаб узи таъсир курсатаётган контур цисмига
перпендикуляр равишда йуналган.
Сирт таранглиги кучининг контурнинг узуилик бирлигига тугри
келадиган цийматини а билан белгилаймиз. Бу катталик сирт та-
ранглигн коэффициенти деб аталади. Бу катталик метрга
ньютон (СИ да) ёки сантиметрга дина (СГС да) цисобида улчанадн.
Сирт таранглиги коэффициентининг катталиги суюцликнинг табиатн-
га ва суюцлик турган шароитларГа, жумладаи, температурага боглид.
Суюцлипнинг сирти ташци кучлар таъсири ^исобига ошадиган
бирор процессии кураб чицамиз. Масалан, тор найдан суюцлик о^яб
чи^ишида бундай процесс юз беради (313- раем). Суюдлик бундай
найдан томчилаб ог^иб чи^ади. Томчи бевосита узилиш олдидаи
|иаклини цилиндр шаклида деса буладиган буйинда осилиб туради.
Томчининг огирлнги буйки кесимини чегаралаб турган контур буни-
ча таъсир этувчи сирт таранглиги кучлари билан мувозанатлашади.
Бу кучларнинг натижаловчисини 2лга куринишида тасвирлаш мум-
кин, бу ерда г—буииннияг радиуси. Бунин узунлиги А/ мивдорида
ошганда огирлик кучи
Л' = 2лга Д/ — а До
иш бажаради, бу ерда Ди = 2лгД/ — томчи сиртининг орттирмаси
(сирт о дорфи билан белгиланган, чунки бу параграфда биз S дорфи
билан энтропияни белгилаймиз).
Агар сиртнинг ортит процесси адиабатик равишда юз бергаи
булса эди, у >,олда суюдлик устида бажариладиган иш суюцликнннг
ички энергияси орттирмасига тенг б}/лар эди; АС/ = А’ = аДо.
Лекин бу \олда ички энергия орттирмаси сирт энергиясининг bUznn
орттнрмэсидангина эмас, балки дожмий энергия орттирмасидан, яъни
сую|р!икдаП1 ички цисмлар энергиясининг АЬглажн орттирмасидан дом
иборат булади. Бунинг сабаби шундаки, сирт ортгаида суюдлик
совийди (молекулалар суюцлнкнинг ичкарисидан сирт ^атламига
389
утганда уларнинг тезлиги камайншннн эслатиб утамиз) Ичкн энер-
гия фацат сирт энергияси цисобита узгариши (яъни AU — AUcuf,t
булиши) учун суюцлж сиртининг ошиш пронесении кзотермик ра-
вншда jn-казиш керак. Бу цолда суюцлик сирти А’ ~ иш бажа-
риш цисобига ошганда суюцлик атрофидаги муцитдан Q = У AS =»
= A (TS) иссицлик келиб цушилади, бу ифодада X царфи суюцлик
сирт цатлэмининг энтропиксини билдиради. Энтропия адднтив кат-
талик булгаин учун суюцликиниг ички цисмларининг цолати ва
бннобарин, энтропияси узгармайди. Шундай цилиб, ички энергия
орттирмаси цуйидагига тенг булади.-
&U = &ЛнРТ = А' + Q = аАа ф А (ГХ)сиРт.
Бу муносабатии
аАа — А (£7 — 7X)cHpr = АГснрт
куринишида ёзиш мумкин, бу ерда AFCHpr — юзи До булган сирт
цатламининг эркин энергияси*.
Шундай цилиб, биз а сирт таранглиги коэффициента суюцлик
сиртинииг бирлик юзига тугри келадиган эркин эяергияга тенг, де-
ган хулосага келдик. Шунинг учун сирт таранглиги коэффициент инк
метрига ньютон (ёки саптиметрига дина) цисобидагина эмас, балки
квадрат метрига жоуль (ёки мос равишда квадрат саптиметрига эрг)
цисобида цам ифодалаш мумкин.
14- жадвалда баъзи суюцликлар учун
* а коэффицнентнинг уй температурасидагн
цийматлари келтнрилган.
Аралашмалар сирт таранглиги коэф-
фициентам купли таъсир цилади. Маса-
лан, сувда совун эрятнлганда унинг сирт
таранглиги коэффициента камайиб, 0,045
н/м гача тушиб цолади. Сувда NaCl эри-
тилгавда, акеппча, унинг сирт тарангли-
ги коэффициента ошади.
Температура кфгарилгани сари суюцликнинг зичлиги билан унинР
туйинган бугининг зичлиги уртасидаги фарц камаяди. Шу муноса-
бат билан сирт таранглиги коэффициента цам камаяди. Критик
температурада а нолга айланади.
v/t44- §. Суюцликнинг эгриланган сирти остидаги босим
Суюцликнинг бирор ясен контурга таянувчи сиртини к^риб чи-
цамиз (314- а раем). Агар суюцлик сирти неси булмаса, унинг цис-
царишга интилиши суюцлик сирти ясси б^лгандаги босимга цушнм*
ча равишда босим цосил цилади. Сирт цавариц булган цолда бу
цушимча босим мусбат (314- б раем), сирт ботиц булганда эса цу«
шимча босим манфий булади (314- в раем). Сирт ботиц булган
цолда цисцараётганда суюцликии чузади.
Симоб
Сув .
Бензол
Спирт
Эфир
0,490
С.О73
0.029
0.023
0,020
1 (133 14) фюриулага царедг.
390
А*Лр р,-Лр
6 6
314- росм-
Равшаяки, цушимчз босим кат-
та лиги сирт таранглиги коэффи-”'
циентн (а) ва сиртнинг эгрилиги op- Pt
тиши билан ортиши керак. К^шим-
ча босимни суюцликнинг сферик “
сиртн учун цисоблаб. чицарамиз.
Бунинг учун суюцликнинг сферик
томчисини диаметр текислиги билан иккита ярим шарга фикран ажра-
тамиэ (315-раем). Сирт таранглиги туфайчи иккала ярим шар бир-
бирига куйидагига тенг куч билан тортишади;
f — la = 2л/?а.
Бу куч иккала ярим шарни бир-бирига
S = л/?1 сирт буйича цисади ва бннобарин
цушимча
= Х = = 1144.1)
г S пФ R ’
босим цосил булишига сабаб булади.
Сферик сиртнинг эгрилиги цамма жойда
бир хил булиб, сфераиинг R радиуси билан
315-гаем. аннцланади. Равшанки, R цанчэлик кичик
бУлса, сферик сиртнинг эгрилиги шунчалик
катта булади. Ихтиёрий сиртнинг эгрилипши уртача эгрилик деб
аталадиган эгрилик билан характерлаш цабул цилинган, бу эгрилик
сиртнинг цар хил нуцталари учун цар хил булиши мумкин.
Уртача эгрилик нормал кесимларнинг эгрилиги орцали аницта-
нади. Сиртнинг бирор нуцтасидаги нормал кесими деб сиртги шу
нуцтада утказилган нормал орцали $’тадиган текислик билан п^'
сиртнинг кееншун чизюига айтилади. Сфера учун цар цандай нор-
мал кесим радиуси R булган айланадир (/?— сфера радиуси). Н -
= 1/7? катталик сферанинг эгрилигини билдиради. Л мумий цолда
сиртнинг айни бир нуцтасидан утказилган нормал кесимларнинг
эгрилиги турлича булади. Эгрилик радиусларига тескари катталик-
лар йигиндисининг ярми. яъни
//* ' Д -|- ' | (1«.2)
кэтталик узаро перпендикуляр булган нормал кесимларнинг цар
цандай жуфти учун айни бир цийматга эга булиши геометрияда ис-
бот цилннади. Бу катталик сиртнинг маълум нуцтасидаги уртача
эгрилигидир.
(144.2) формуладагн Rx ва /?, радиуслар ал-
гебрами катталиклардир. Агар нормал кесимнинг
эгркпик маркази шу сиртнинг тагида ётса, бунга
тегишли эгрилик радиуси мусбат булади; агар
эгрилик маркази сиртдан юцорнда ётса, эгрилик
радиуси манфий булади (316- раем). Шундай ци-
либ, ясен булмаган сиртнинг уртача эгрилиги
нолга тенг булиши мумкин. Бунинг учун Rx 316-раем.
391
ва /?2 эгрилик радиусларинннг катталиги тенг ва ишорасй царама-
царши булиши керак.
Сферада Rt = Ra = R булади ва (144.2) формуладан Н = 1/R
эканлиги келиб чицади. R нинг бундан топиладиган цийматини
(144.1) га цуйиб, сферик сирт остидаги цушимча босимни топамиз:
Др = 2На. (144.3)
Агар Н деганда сиртнинг тагида цушимча босим аницланадиган
нуцтасндаги Уртача эгрилиги тушунилса (144.3) формула цар цан-
дай шаклдаги сирт учун тугри булар экан. Шундай эканлигини
Лаплас исбот цилиб курсатди. (144.3) ифодага уртача эгриликнинг
(144.2) ифодасини цуйиб, цар цандай сирт оствдаги цушимча босим
формуласини топамиз:
Лр = а^~+“)- (144.4)
Бу формула Лаплас формуласи деб аталади.
(144.4) формула билан аницланадиган цушимча босим ингичка
найларда (капиллярларда) суюцлик сатцининг узгаришига сабаб бу-
лади. шунинг учун цам бу босим баъзан капилляр босим деб ата-
лади.
R радиусли доиравий цилиндр шаклидаги сиртни кУриб чицамиз.
Нормал кеснмлар сифатида сиртнинг цилиндр уцидан утадиган те-
пислик билан кесишувидан цосил булган кесим-
НИ ва Уцца перпендикуляр булган текислик
_____________ билан кесишувидан цосил булган кеснмни ола-
миз (317- раем). Биринчи кесим тУгри чизиц
) (^1 = сг) булади, иккинчи кесим R радиусли
У айлана бУ'лади (Т?4 =/?). (144.2) формулага
( биноан цилиндрик сиртнинг эгрилиги 1/2/? га
I If тенг, яъни ушзндай радиусли сферик сиртнинг
эгрилигндан 2 марта кичик. (144.4) формула-
га биноан, R радиусли цилиндрик сирт ости-
' *®см даги цушимча босим цуйидагига тенг булади:
(144.5)
Агар суюцликда газ пуфакчаси булса, пуфакча сирти цисцариш-
га интилиб, газга цУшимча босим беради. (144.1) формулани чица-
ришдаги мулоцазаларни такрорлаб, бу босим мицдори 2&IR га тенг
эканини курсатиш мумкин. К,ушимча босим 1 ат бУлгаида суадаги
пуфакчанинг радиуси нимага тенг булишини топамиз. 20°С даги
сувнинг сирт таран глиги коэффициенти 0,073 н]м га теиг. 1 ат эса
тахминан 105 «;,ч4га тугри келади. Бннобарин, R нинг циймати цу-
йидагига тенг булади;
г» 2а 2-0,073 , с |л-« , -
/?=-*-= -~s—»1,5-10 ’ _мч= 1,5-10 ’ля.
ар 10s
Шундай цилиб, пуфакчанинг диаметри тахминан 3 мк булганда
цушимча босим Др = 1am булади. Диаметри 1 мм булган пуфакча
2 мм сим. уст. дан ортиц цушимча босим беради.
392
145- §. Суюцлик билан цаттиц жиемнинг ёндошиш
чегарасида буладиган цодисалар
Сирт цатламидаги молекулалар турган махсус шароитлар тугри-
сида 143- § да айтилган цамма гаплар бутунлай цаттиц жисмларга
цам оидцир. Бннобарин, цаттиц жисмлар, суюцликлар каби, сирт
таранглигига эга.
Хар хил муцитлариинг ажралиш чегарасидаги цодисаларни куриб
чицишда шуни назарда тутиш керакки, суюц ёки цаттиц жиемнинг
Сирт энергияси Jwa суюц ёки цаттиц жиемнинг хоссаларигагина
эмас, балки улар билан чегарадош булган модданинг хоссаларига
дам боглиц. Тугри сини айтгаида, бир-бнри билан чегарадош бул-
ган икки муцитнинг умумий ан сирт энергияси билан иш куриш
керак (313- раем). Моддалардан бири газ б^либ, иккинчиси билан
318- рясм.
819- раем.
химиявий реакцияга киришмайдиган ва унда жуда оз эрийдиган
цолдагина умумий сирт эиергиясини тилга олмасдан содда цилнб
иккинчи суюц ёки цаттиц жиемнинг сирт энергияси (еки сирт та-
ранглиги коэффициенти) тугрисида гапириш мумиин.
Агар бирданнга учта модда: цаттиц, суюц ва газ цолатидаги
модда бир-бири билан чегарадош булса (319- раем), уида бутун
система уму май потенциал энергия (сирт энергияси, огирлик кучи
майдонидаги энергия ва цоказо) минимум буладиган конфагурация
олади. Жумладан, у чала модда чегарадош буладиган контур цаттиц
жисм сиртвда шундай жойлашадики, бунда контурнинг цар бир
элементига цуйилган сирт таранглик кучларининг контур элементы
силжий оладиган йуналищдаги (яъни цаттиц жисм сиртига утказил-
ган уринма йуналишидаги) проекциялари йигиндиси нолга тенг 6J-
лади. Контурнинг узунлиги А/ булган элементинннг мувозанат
шарти цуйидагича ёзилиши 319- раемдан келиб чицади:
А/®ц.г — cos &, (145.1)
бу ер?д ак.г, ак,с, ас,г—цаттиц жисм—газ, цаттиц жисм—суюцлик
ва суюцлик — газ чегараларидаги сирт таранглиги коэффициентлари.
Каттиц жисм сиртига ва суюцлик сиртига ^тказилгаи уринмалар
орасидаги 8 бурчак чегаравий бурчак деб аталади (бу бурчак
суюцлик ичида цнсоб цилинади). (145.1) га асосан,
393
cos 8 = • (145 2)
Куйцдаги шарт бажарилган цолдагина чегаравнй бурчак (145.2)
ифода бнлан аннцланади;
(145.Э)
Ос.г
Агар (145.3) шарт бажарилмаса, яъни |<хх,г—ак.с|>«с.с булса,
v нинг цеч цандай цийматида мувозанат юз бермайди. Икки цолда
шундай булади.
1) > ак.с+ «е.г- Бунда 8 бурчак цар цанча кичик 6f лмасин ач,г
куч долган иккитасини цам босиб кетади (320- а раем). Бу цолда
суюцлик цаттиц жисм скр-ш б$Йлиб чексиз ёйилиб кетади. Бу цол
т у л и ц ц л л а ш дейилади. Каттиц жисм билан газ орасидаги сирт-
нн икки сирт билан; цаттиц жисм билан суюцлик ва суюдлик билан
газ орасидаги сиртга алмаштириш энергетик жицатдан фойдали б^лар
экан. Тулнц цуллашда чегаравнй бурчак нолга тенг булади.
<*«,с «V
а 6
329- рлсм.
2) ctx.e > а^.г + есс>[. Бунда 8 бурчак л га цар цанча яцнн булса
^ам “ц.с КУ4 цолган иккитасини цам босиб кетади (320-6 раем). Бу
цолдд суюдлик бнлан цаттиц жисм чегарадош булган сирт нуцгага
тортйлади. Суюцлик цаттиц сиртдан ажраладн —бу цол т^лиц
ц^лламаслик дейилади. Каттиц жисм билан суюдлик орасидаги
енртни иккита сирт билан: цатгиц жисм билан газ ва суюдлик
бнлан газ орасидаги сиртга алмаштириш энергетик жицатдан фой-
дали экан Т^лиц цУлламасливда чегаравнй бурчак л га тенг.
(145.3) шартга риол ци-
/ _ линганда чегаравнй бурчак
ал.г ва ак.с кучлар орасидаги
муносабатиикг цаидай б^л.н-
а 7Я й <л Шига к,араб. Jh-аир йх }тмас
ц *,с булиши мумкин. Агар ак,#
821- Рж». " КУ «Удач катта 6}жц
у ^олдасозё^ 0 ва 8 бурчак
уткир булади (321- а раем). Бу з$рлда ^сман з^'ллаш юз беради.
Агар ак,т куч а^,с кучдан кичик булса, cos Э<0 ва 8 бурчак утмас бур-
чакб^лдди (321- б раем). Бу .холда цисман цулламасчик юз беради.
^улламаслик цизицарлн цодисалариинг юз беришига сабаб
булади. Маълумки, епанган вина еки устара лезикеси сув бети-
да ч^киб кстмасдан тура олади. Биринчи царашда ажабланарли
394
б^пиб туюлгаи бу ^одисанинг
сабабларини энергетик муло^аза-
лар асосида очиб бериш ^амма-
сидан осон. Пулатнннг ёгланган
спртинн сув ?$лламайди, пулат
билан сувнинг ёндошиш сирти-
нинг энергияси пулат билан .\апо
ёки ^аво билан сув орасидаги
сирт энергиясидан анча катта бу-
лади. Нинанннг сувга бутунлай
чуиишида сирт энергияси SaKlT
(пулат — каво) цийматидан SaK,c
(пулат—сув) цийматга цадар оша-
ди, бу ерда S — нинанннг сирти.
Сирт энергиясининг вина чука-
стгандаги узгаришини 322- раем-
да тасвирлангак £СкР1 эгри чизир;
ифодалайди. Нинанннг идиш ту-
бидан ^исобланган баландлиги h
билан оелгиланган: hD—суюклик
, сиртининг адиш тубндан з^исоб- 923- расы.
лангав батандлиги. Нинанннг Ер
тортиши кучи майдонидаги £торт потенциал энергияси билан h Си-
ландлик орасидаги богланиш коердинаталар бошидан утадиган тутри
чиэик шаклнда булади. £сирт ва ЁТо₽т энергиялер йигнндисига тенг
булган тУлик энергия h = да минимум булади, бу Х«л эса нииа-
II цнг сув бетида калцпб сузиб юришига имкон беради. Агар мина-
ми босиб, сувга шунчалик ботирсаккм, бунда ту лик энергия макси-
мум кийматидан $тнб камая бошласа, у колдз няна бундан кейин
узи янада ч^ка бошлаб, ннуоят, бутунлай ч^киб кетади,
*Еалвирда сув ташиш» мумкинлигинннг сабаби кам шуига ух-
шайди. Агар сув галвирнн кУ-мамаса (бунинг учун галвир тукмл-
гаи еммларга парафин суркаш мумкин) ва суп катлами уоча Нялик
булмаса, унда суюклик с., кинилг пастга цараб бир ов кучишп оци-
батида сирт энергияси ошади, энергиянинг бу орттирмаси мнкдори
энергиянинг огирлик кучи майдонида Каманинiядан ортик булади
(323-раем). Шунинг учун галяирда сув тУкитмасдан туради.
14в- §. Капнллярлнк к°Дисалари
Чегаравнй бурчакнинг мавжудлигв шупга олиб келадики, идиш
дсворларн яцнннда суюдлик сирти эгриланади. Ингичка найда (ка-
пилляр да1) ёки икки девор уртасидаги тор бугизда суюкликнинг
бутун сирти эгриланган булади. Агар суюклик идиш деворларинн
Хуллась, сирт ботиц сирт булади, агар кулламаса, суюклик сирти
Кавариц булади (324-раем). Суюкликнинг бундай эгричанган сирти
мениск деб аталади.
1 Ланина ca;lllus —соч дгганн. Капилляр — «сочдех ингичка най»
395
Агар капиллярнинг бир учи кенг идишга цуйилган суюцликка
ботирилса, калиллярдаги эгриланган сирт остндаги босим кенг идиш-
даги ясен сирт остндаги босимдан Др мицдорнда фарц цилади; бу
Др бесим (144.4) формуладан аннцланади. Натижада капилляр цул-
ланганда ундаги суюцлик сатци кенг идишдагидан юцори булади.
Капилляр цулланмаганда капиллярда суюцлик сатци кенг идишда-
гидан паст булади.
Тор найларда ёки тор б^изларда суюцлик сатци баландлиги-
нянг узгариши капиллярлик деб аталади. Кенг маънода капилляр
цодисалар деганда сирт таранглиги мавжудлиги орцасида пайдо 6J-
ладиган барча цодисалар тушуниладн. Жумладан, сирт таранглиги
туфайли цосил буладиган (144.4) босим. юцорида айтиб утилгани-
дек, капилляр босим деб аталади.
Суюцликнинг калиллярдаги сатци билан кенг идишдаги сатци
орасида шундай h фарц цосил буладики, бу цолда pgA гидростатик
босим Др капилляр босимни мувозанатлайди;
(146.1)
Бу формуладаги а — суюцлик — газ чегарасидаш сирт таранглиги
коэффициента, R— менискнннг эгрилик радиуси.
Менискнинг R эгрилик радиусини & чегаравий бурчак ва капил-
лярнинг г радиуси орцали ифодалаш мумкин. Дарцацицат, R = r/cos 8
эканлиги 324- рвемдан к^риниб
турибди. R нинг бу цийматини
(146.1) га цуйиб ва цосил булган
тенсламани h га нисбатан ечиб,
Л=.°асо,-|>- (146.2)
Рб'-
формулами топамиз. Х5'ллааДи*
ган суюцлик капиллярда kJ-tb-
рилгани ва цулламайдиган суюц-
лик пасайгаин учун & < л/2
(cos &> 0) булган цолда (146.2)
дан топиладиган h лар мусбат.
8 > л/2 (cos & < 0) булган цолда эса h лар манфий булади.
(146.2) формулами чицаришда биз менискин сферик шаклдадеб
фараз цилган эдик. h нинг формуласини энергетик ----------------
асоенда цам келтириб чицариш мумкин, унда мениск-
нинг шакли тутриенда цандайдир тахмнилар цилиш-
га эцтиёж цолмайди.
Менискнинг мувозанат* вазияти суюцлик — ка-
пилляр системасининг Ер потенциал энергияси ми-
нимум булишига мос келади. Бу энергия суюцлик би-
лан девор уртасидаги, суюцлик билан газ Уртасидаги
ва девор билан газ Уртасидаги чегараларнинг сирт
энергиясидан цамда суюцликнинг Ер тортиш кучи
майдонидаги потенциал энергинендан иборат булади. 325- раем.
o-i.rvo e>i,h'O
324- раем.
мулоцазалар
896
Суюцликнинг капиллярда к^тарилиш баландлигн 'кичикроц ЛА
мицдорга узгарган цол учун энергиянинг АЕр орттирмаси цаидай
б^лищини топамиз. Суюцлик балаццлиги ДА цадар ошгаада унинг
капиллярга тегиб тураднган сирти 2лгДА цадар ортади, бунинг на-
тижаснда энергия 2лгДАак.с га тенг орттирма олади. Айни вацтда
девор билан газнинг бир-бирига тегиб тураднган сирти камаяди,
бунда энергия орттирмаси — 2nr^haKi, га тенг булади. Ернингтор-
тиш кучи майдонндаги потенциал энергия gpnrsAAA га теиг орт-
тирма олади, бу орттирма суюцликнинг югрихлаб цуйилган цажмн
билан А нинг купайтмасига тенг булади (325- раем). Кенг идиш-
даги суюцлик сатцининг узгиришини эътиборга олмаса цам булади.
Шундай цилиб,
АЕр — 2лг(акл—ак,г)АА + nr*pghbh.
Бундан цуйидаги цосилаин топамиз:
- 2лг (а„ — о.,.,) + nr'pgh.
I
Бу цосилаин нолга тенглаштнриб, мувозанат шартиин, мувозанат
I шартидан эса А нн топамиз:
<4*1. (146.3)
pgr
Лекин (145.2) га мувофиц ак.г—Оц,с =ae,rcos&. Бу цийматин
(146.3) га цгйиб ва аС1Г ни а билан белгилаб, (146 2) форму лани
цосил циламиз.
Суюцликка ботирилган параллел пластинкалар орасидаги тор
жойда мениск цилиндрик шаклда булиб, унинг эгрилик радиуси
f* =°(dj2) cos 8 булади, бу ерда d—пластинкалар орасидаги оралиц.
1(144.5) га асосан, бу цолда капилляр босим га тенг
булади. Капилляр босим билан гидростатик босим уртасидаги
d
шартдан т» «ииэмиз:
h _ 2a cos ft
Pgd
Агар яхшилиб жнлвирланган иккита пластинкани цуллаб, бир-
бирпга тегизиб цуйсак, улар орасида сезиларли тутиниш кучи пай-
до булади. Бу цодисанннг енбаби куйндагича. Икки пластинка ора-
|сида суюцлик сирти эгрилапади "(326- раем). Бннобарин, суюцлик
ичидаги босим атмосфера боенмидан цуйидаги мицдорда кичик бу-
лади.
I 4₽=“(^+i)-
Пластинка тулиц цуллангаида R^d/2 булади, бу ерда d—плас-
тинкалар оралиги. I Ъастпнкаларга параллел текислик билан ке-
397
силгавда цосил булган кесимнинг /?в радиусн Rt га цараганда анча
катта булади. Шунинг учун ~ ~ деб олса булади. Агар
цар бнр пластинканинг суюцлик билан ц^лланган сиртининг юзи S
га тенг б^лса, у цолда пластинкалар бнр бирига цуйидаги / «уч
билан сицилади:
. . с 2aS
/ = ApS -
(146.44
!}=h
326- раем.
Пластинкалар оралиги уларнинг юзидаги гадир-будурликларнинг
улчамлари билан аницланади. Сув билан цулланган пластинкалар
оралиги 1 мк чамаецда булганда Др капилляр босим 1 ат ча-
масида булади: агар бу пластинкалар улчами 10 X10 см б£лса,
улар орисидаги тутнииш кучи 100 кГ га етиши мумкин.
Пластинкалар орасида’ уларии ц^лламайдиган суюцлик турган
цолда пластннкаларни бир-биридан итарувчи куч пайдо булади. Бу
кучнинг капа жги цам (146.4) формула билап цисоблаб топилади.
XVII Брв
ФАЗАВИЙ МУВОЗАНАТ ВА АЙЛАНИШЛАР
147- §. Муцадднма
Системанинг бнр жинсли ва хоссалари бир хил булган цисмларн
термодинвмикада фаза деб аталади. Фаза тушунчасини цуйндаги ми-
солларда тушунтйриб Утамиз. Епиц ндишда сув ва унинг устида
цаво билан сув буги аралашмасн бор. Бу цолда биз иккита фаза-
дан иборат б^лгак система билан иш курамкз: бир фаза сув булиб,
иккинчи фаза эса цаво билан сув буги аралашмасндир. Агар сувга
бнр исча булак муз ташланса, бу булакларнинг цаммаси учинчк фа-
ва ташкил этади. Бирор модданинг турли кристалл модификацняла-
ри цам турли хил фазалар булади. Масалан, олмос ва графит угле-
роднинг турлн хил цаттиц фазаларнднр.
Маълум бнр шароитларда айни бир модданинг турли хил фаза-
лари бир-бирига тегиб мувозанатда була олади. Икки фаза темпе-
ритуралариянг маълум бир интер вал ид агина мувозанатда булади,
шу билан бирга температуранинг цар бнр Т цнйматига мутлацр
аниц р босим тугри келади. босимнинг бу цнйматида мувозанат бу-
лиши мумкин. Шундай цилиб. икни фазаиинг мувозриат цолатлари
(р,Т) диаграммасида
Р-КТ) (i«l)
чизиц билан тасвирланади.
Масалан, суюцлик билан унинг тУйннган бури мувозанатда бу-
ладнган температуралар интервалн, 119- § да кУрганимиздек, учлан-
ган нуцта билан критик температура орасида ётади. Бу цолда (147.1),
функциянинг графиги туйинган бур эластиклигннинг эгри чизигидан
иборат булади.
Айни бир модданинг уч фазаси (цаттиц, суюц ва газснмон ёки
суюц ва иккита цаттиц фазаси) температура ва босимнинг ягона
цийматларидагина мувозанатда була олади. (р, Г) днаграммада тем*
пература ва босимнинг бу цийматларнга учланган нуцта деб ата*'
ладиган нуцта тУгрн келади. Бу нуцта иккиталаб олинган фазалар
мувозанатишшг згри чизицлари кесишган нуцтада ётади.
Айни бир модданинг учтадан ортиц фазасининг мувозанатда
бУлолм^слит’и термодинамякада тажрибага мувофиц равишда исбот
цилияади.
Модда бир фазэдан бошца фазага утганда бирор мицдор иссиц-
лик ютилали ёки ажралиб чицади, бу иссицлик мицдори утишнинг
399
яшнрин иссицлиги ёки, соддароц цилиб, утиш иссицлиги деб ата-
лади. Бир кристалл модификациядан бошцаснга утиш цоллари борки,
буларда иссицлик ютилмайди цам, чицарилманди цам. Бундай ^тиш-
лар барннчи тур фазавий J/тишлар деб аталадиган одатдаги утнш-
лардан фарцли улароц, иккинчи тур фазавий утишлар деб аталади.
Биз биринчи тур фазавий утишларни куриб чнциш билан чегара-
ланамиз.
148- §. Буглшгнш ва конденсация
Кар цандай темперигурада суюц ва цаттиц жисмларда бирор
мицдор молекула буладики, уларнинг энергияси бошца молекулалар-
нинг тортиш кучини енгишга, суюц ёки цаттиц жисм сиртидан чи-
циб кетишга ва газ фазасига утишга етади. Суюцликнинг газ цола-
тига утиши бугланиш деб, цаттиц жиемнинг газ цолатига утиши
сублимация деб аталади.
Цаттиц жисмларнинг цаммаси мустаносиз озми-купми сублима-
цияланади. Биъзи моддаларда, масалан, цаттиц карбонат ангидрид-
да (сунъий муз) сублимация процесси билинерли тезлик билан юз
беради; бошца моддаларда бу процесс одатдаги температураларда
шунчалик секин юз берадики, уни амалда сезиб булмайди.
Бугланиш ва сублимвцияда жисмдан анча тез царакатланувчи
молекулалар чициб кетади, натижада цолган молекулаларнинг урта-
ча энергияси камаяди ва жисм совийди. Бутланаётган (ёки субли-
мацияланаётган) жиемнинг температурисини узгартирмай туриш учун
унга муттаенл равишда иссицлик бериб туриш керак. Модданинг
бирлик массасини температураси модданинг бугланишдан олдииги
температурасидек булган бугга айлантириб юбориш учун унга бери-
лиши лозим булган q иссицлик солиштирма бугланиш (ёки
сублимация) иссицлиги деб аталади.
Бугланишда сарф булган иссицлик конденсацияланишда цайта-
риб берилади: конденсацияланишда цосил буладиган суюцлик (ёки
цаттиц жисм) исицди.
Суюцликнинг бугланиш нссицлигини чамалаб курамнз. Бирор
мицдор суюцлик бугланаётганда газеимон фазага утаётган молекула-
лар сирт цатламада таъсар этувчи кучларга царши иш бажариши
керак (143- § га ц.). Бу кучлар цатламнинг г цалинлигига тенг
йулда таъсир цилади. Кучнинг мана шу йулдагн уртача циймати-
ин/ билан, масса бирлигцдаги молекулалар сонини п' билан белги-
лаб, сирт цатламада таъсар этувчи кучларга царши бажарилган
ишни n'fr куринишда ифодалаш мумкин. Бугланиш процессада мод-
данинг цажми ортади, шунинг учун бунда ташци кучларга царши
нш бажариш варурати цам тугилади. Агар модда бугланаётганда
ташци р босим уэгармай турса, у цолда ташци кучларга царши
бажарилган иш р (У'б — У'с) га тенг булади, бу ерда У'б ва |/'с —
—буг ва суюцликнинг солиштирма цажмлари. Юцорида айтиб утил-
ган иккала иш бугланиш пссицлиги q цисобига бажарилади. Шундай
цилиб,
q = n'fr + p(V'6-V't). (148 1)
400
Температура кутарилган сари^уф^л^риш иссицлиги камайшпи
(148.1) ифодадак куринади. Дарца1(ицэт?^темлеритура кутарилиши
билан туйинган бугнннг зичларлиги ортади, бу эса молекулага сирт
цатламида таъсир этувчи кучларни камайтиради. Туйинган буг ва су-
юцликнинг солиштирма цажмларидаги фарц хам камаяди. Бннобарин,
температура кутарилганда (148.1) даги иккала цушилувчи цам ка-
маяди. критик темлературада бугланиш иссицлиги нолга айланади.
Суюцлик билан унинг бути уртасида мувозанат царор топишини
куриб чицамиз. Ичига тулдирмасдан суюцлик цуйилган герметик
идиш оламиз (327- раем). Дастлаб суюцлик устидаги фазодан модда
бутунлай чицарнб ташланган булсин, деб фараз циламиз. Бугланиш
процесси натижасида суюцлик устидаги фазо молекулалар бнлан
банд була бошлайди. Газсимон фазага утган молекулалар бетартаб
царикат цилиб, суюцлик сиртига келиб урилади, бундай туцнашиш-
ларнинг баъзиларида молекула суюц фазага утади. Вацт бирлиги
ичида суюц фазага утувчи молекулалар сони равшанки, суюцлик
сиртига келиб урилувчи молекулалар сонига пропорционал булади.
Визга маълум булганидек [(99.9) га ц.), сиртга (суюцлик сиртига)
келиб урилувчи молекулалар сопи эса, $'з навбатида пи га пропор-
циоиалдир, яъни р босим ошуви билан купаяди. Бннобарин, бугла-
ниш билан бирга молекулаларнинг газсимон фазадан суюц фазага
утишидек тескари процесс юз беради, бу процесснинг интенсивлиги
суюцлик устидаги фазода молекула чар зичлиги ортиши билан ошади.
Мазкур температура учуй тайинли бир босимга эришилгач, суюцлик-
дан чицнб кетаётган ва унга цайтиб тушаётган молекулалар сони
тенглашади. Шу пайтдан бошлаб бугиинг зичлиги узгармай цуяди.
Суюцлик билан бур уртасида динамик мувозанат тоз беради (327-
расм), системанинг хажми ёки температураси узгармас Ькан. бу
мувозанат бузилмай туради.
Динамик мувозанат цолатга тугри келган босим
туйинган бурнинг рт.в босимидир. Агар идишнинг
цажми оширилса, буг босими пасаяди ва мувозанат
бузилади. Натижада барор мицдор суюцлик бугга
айланиб, босим яна рт б га тенг булиб цолади. Шун-
га ухшаш, идишнинг цажми камайтарилса, бирор
мицдор буг суюцликка айланади.
Вацт бирлиги ичида суюцликдан чициб кетади- 327 рясм
ган молекулалар сони темперигура кутарилганда
тез ошади. Суюцлик сиртига келиб уриладиган молекулалар сони
температуранииг кичикроц даражасига (о орцали ) Т каби) боглиц.
Шунинг учун температура кутарилганда фазалар уртасидаги муво-
занат бузнлади ва бирор вацт давомида молекулаларнинг суюцлик —
буг йуналишдаги оцими буг—суюцлик йуналишдаги оцимцдан ортиц
булиб туради. Босим ошиб ниа динамик мувозанат юз бермагунча
бу цол давом этаверади. Шундай цилиб, суюцлик билан буг уртаси-
да царакатчан (динамик) мувозанат юз берадигандаги босим, яъни
туйинган буг босими температурага боглиц булар экан. Бу богла-
нишнинг куриниши 274- риемда тасвирланган.
26—1317 4(Н
Суюцлик бнлан газ уртасццаги мувозанат т^грмснда айтилган гап-
ларнниг цаммаси цаттиц жисм—газ системаси учун цам т$три. Кар
бир температурага босимнинг цаттиц жнем билан газ Уртасида ца-
ракат чан мувозанат царор толадиган тайинли бнр циймати мос кела-
ди. Одатдаги температураларда купчилик жисмлар учун, масалан,
цятгиц металлар учун -бу босим шу цадар кичик бУ'ладики, уии энг
сеэгир асбоблар билан цам пайцаб б^лмайди.
149- §. Эриш ва крмсталлаимш
Кристалл жиемнинг суюц цолатга j/тиш процесси цар бир модда
учун тайинли булган маълум бир температурада юз беради ва бирор
мицдор иссицлик сарфлашни талаб цилади. Бу иссицлик мицдори
эриш иссицлиги деб аталади.
Дастлаб кристалл цолатда булган моддага цар секундда айни
бир мицдорда иссицлик бераб турилса, унда жисм температураси узгари-
шннингвацтга богланишэгрн чизиги 328-рисмда курсатилган шаклда
булади. Дастлаб жиемнниг температураси цамиша сшиб боради. Т
Г
эриш температурасига етгач
(328- раемдаги 1 нуцта), жием-
га аввалгнча иссицлик бериб
турилншига царимасдан, унннг
температураси Узгармай ц^яди.
Шу би чан бир вацтда цаттиц
жиемнинг эриш процесси бош-
ланади. бу процесс давомида
r t модданинг янги-янги улушлари
328- раем. суюцликка айланиб боради.
Эриш процесси тамом бу лаб,
бутун модда батамом суюц цолатга утй булгандан кейин (328-
раемдаги 2 нуцта) темлеригура яна кутарила бошлайди.
Аморф жиемнинг нсиш эгри чизиги бошцача булади (328- раем-
даги пунктир эгри чизиц). Иссицлик муттасил бериб турилганда
аморф жиемнинг температураси узлуксиз кутарилиб боради. Аморф
жисмлар учун суюц цолатга утишнинг тайинли бир температураси
булмайдн. Бу утиш процесси сакраб эмас, балки узлуксиз юз бера-
ди. Жнем юмшайдиган температуралар соцасиннгина курсатиш мум-
кин. Бундай булишниннг сабаби шундаки, суюцликлар билан аморф
жисмлар бир-бирндан молекулаларининг царакатчанлик^даражаси би-
лангина фарц цилади, аморф жисмлар, юцорида айтиб утганимиздек.
цаттиц совитилган суюцликлардир.
Эриш температураси босимга боглиц. Шундай цилнб, модданинг
кристалл цолатдаи суюц -цолатга f тиш процесси босим ва темпера-
турининг цийматлари бнлан характерланадиган мутлацо тайинли бир
шароитларда юз беради. Бу цийматлар тупламига (р, Т) днаграммада
эгри чизиц тугри келади, бу эгри чизиц эриш эгри чизиги деб ата-
лади. Эриш эгри чпзнги жуда тикроц кетади. Музнннг ариш темпе-
402
Р
mVi
329- расы.
ратурасини, масалан, Г Узгартириш учун босимнн 132 ат мицдори-
ga узгартирнш керак.
Эриш эгри чизиги нинг нуцталари кристалл ва суюц фазалар
бир-бири билан мувозанатда буладиган шароитларни белгиландн.
Суюцлик ва кристалл массалари У'ртасидаги муносабат цар цандай
булган цолда, яъни системанинг цажми т У'^дан mV'c гача булга и
цийматлар цабул цилннадиган цолда бундай мувозанат юз бериши
мумкин, бу ердаги т-~система массаси, У'ква У'с— цаттиц ва суюц
фазаларнинг солиштирма цажмлари. Шунннг учун эриш эгри чизи-
гининг цар бир нуцтасига (р, V) днаграммада
горизонтал тугри чизиц кесмаси мос келади
(329- раем). Бу кесманинг муцталари билан
и|юдаланадиган цолатларда модданинг темпе-
ратураси бир хил булгани учун, 329- раемда-
ги / —2 тугри чизиц кесмаси изотерманииг
модданинг икки фазали цолатига мос цнемидак
иборат (272- раемдагн изотермаларнинг гори-
вонтал цисмларига таццосланг).
Эришга тескари булган кристалланиш про-
цессн цуйидагича юз беради. Сугоцликнн
унинг цаттиц ва суюц фазалари маълум бир бо-
сим шзронтида мувозанатда буладиган температурага цадар (яъни
ариш бошланадкган температурага цадар) совитганда айни вацтда
кристаллар рса бошлайди. Бу кристаллар кристалланиш куртаклэри
ёки мариазлари деб аталадиган марказлар атрофида цосил булади.
Айрим крнсталлчалар боргаи сари Уса бориб, оцибатда бир-бирига
бирикиб поликрнсталик цаттиц жисм цосил цилади.
Суюцликда муаллац цолда юрган цаттиц зарралар кристалланиш
марказлари булади. Бундай зарралзрдан яхшилэб тозалангэн суюц-
ликни кристалланиш температурасидан пастроц температурага цадар
совитищ мумкинки, бунда кристалланиш цали бошланмаган булади.
Суюцликнинг ута совитилган бундай цолати метастабил булади.
Бундай суюцликнинг мувозанат температурасида турган суюцлик па
кристалларга ажралиб кетиши учун унга бирор чаиг заррасининг
тушиши кифоя. Лехин баъзи цолларда ута совитилган суюцлик мо-
лекулалар икинг царакатчанлнги арзимаган даражада булиб, метаста-
бил цолат анча узоц вацт давомида сацланиб цоладн. Бундай цол-
ларда суюцликнинг о^вчанлиги жуда кам булиб, у аморф цаттиц
жисмдан иборат булади.
Модда эриш вацтида цанча иссицлик ютган булса, красталланищ
процесси а худди ушаича мицдорда иссицлик ажралиб чицади.
\/ 1Б0-§. Клапейрон — Клаузиус теигламаси
Бундан олдинги параграфларда куриб утдикки, модданинг цар
цандай икки фазаси маълум бир босим шароитидагина мувозанатда
булади. Бу босимнинг катталиги температурага боглиц булади Бу
богдйпишнинг умумнй куринишини термодинаммканинг иккинчи асо-
403
сндан фойдаланиб топиш мумкин. Бунинг учун бир модданннг му-
воэаиатда турган иккита фазасидан иборат булган системага оид
Карио циклини куриб чи^амиз.
Икки фазали системага оид Карно цикли (р, V) диаграммада
330-раемда курсатилган шаклда булади (иситкич билан совиткич-
нинг температураларн бир-биридан жуда кичик Д7 миьдорга фарц
р цилади, деб фараз цилинади). Тем-
_ тпятипаги Т булган излтопмя.
-4-Г- Г
—Г,
. । ! ’—-и
к
330- расы.
ператураси Т булган изотерма-
нинг горизонтал цисмининг чет-
ки нуцталари / ва 2 рацамлари
билан. белгиланган. I ва 2 ^олат-
лар бир фазали ^олатлардир.
1—2 кесманннг оралицдаги'
барча нудталари икки фазали 30-
латларни тасвирлаиди, бу jjo
латлар бир-биридан модда ма-
ссасниннг биринчи ва иккинчи
фаза уртасида гбайта тацсимлаин-
ши билан фарк дилади.
Л -► В изотермик процессда модданинг бирор m массаси бир
фазадан бош^а фазага айланади. Бунда модданинг хажми m(V’—VJ)
га тенг булган орттирма олади, бу ерда V' ва —биринчи ва ик-
кинчи фаэанинг солиштирма >ржмлари. Модданинг бир фазадан
бошца фазага бундай айланиши учун моддага = mqn иссндлик
мнодори бериш керак, бу ерда qllt—модданинг Т температура шарой-
тида / цолатдан 2 цолатга утишнда ютадиган солиштирма исснцли-
ги, Q, иссицлик системанинг цикл давомидз пситкицдап оладиган
иссицликдир. Иссндлик совиткичга С -* D изотермик процесс даво-
мида берилади. Берилган иссицлик мицдори Q't — tn‘ q'l2, бу ерда
— температура Т — АТ булган шароитда 1 — 2 утиш процесси-
даги исснцлик, т' эса С -* D процесс давомида бир фазадан бошца
фаззга айланган модда мивдори. Модданинг бу мицдори т дан бир
оз фарц дилади, чунки модданинг бирор массаси бир фазадан бош^а
фазага адиабатик процесслар давомида айланади.
Цикл давомида бажариладиган А иш сон жи^атдан циклпинр
юзига теиг. Шунинг учун ишни ^йидагича ёзиш мумкин:
А^т(У2 — VJ) &р.
(150.1)
(150.1) тенглик та^абий тенгликдир. Др нолга интиладнган
(бунингучун ДТ нолга интиладнган булиши лозим) лимитда (150.1)
нфода тугри тенгликка айланади.
Таърифга биноан, циклнинг ф.и.к, цуйидагига тенг;
_А _ /п(У^—Vi)Ap
4 ~Qi
050.2)
404
Шу билан бирга, (129.7) га асосан?
дт
(1503)
нинг (150.2) ва (150.3) ифодаларини бир-бирига тенглаштирэ-
миэ:
Бундан
(150.4)
(150.4) тафрибий тенглик АТ нолга интилган лимитда тугри
тенгликка айланади:
dp
(150.5)
(150.5) муносабат Клапейрон—Клаузиус формуласи(ёки тенглама-
си) деб аталади. Клапейрон—Клаузиус тенгламаси мувозанат фолатда-
гн босимдан температура буйича олинган \осила билан утиш про
пессининг иссифлиги, температура ва мувозанатда турган фазалар
солиштнрма фажмларинивг айирмаси орасидаги богланишни аинф-
лайди.
(150.5) тенгламага асосан. фосиланинг ишораси исснфлих
ютилганда тоз берадиган фазавий $тиш процессида фажмнинг цандай
^згарищига (ортишига ёки камайишига) боглиф. Суюфлик ёки фаттиф
жисм бугланганда фамиша фажм ортади, шу сабабдан бугланиш
л , dp
эгри чизиги учун, шунингдек, сублимация эгри чизиги ^чун^ гр-
сила фафат мусбат булади; температура кутарилгавда мувозанат
фрлатдаги босим ортади.
Одатда аришда фажм ортади, шунинг учун |^>0:босим ортганда
эриш температураси кутарилади. Лекин баъзи моддаларда (булар
жумласига сун \ам киради) суюф фазанинг фажми фагтиц фазанинг
фажмидан кичик (Vs<Vj) булади1. Бу фолда <0, яъни босим
ортганда ариш температураси пасаяди. Музин цаттиф снциб, унинг
температурасини 0°С дан оширмасдан фам аритиб тобориш мумкин.
Бир кристалл фолатдан бошцасига утиш процессининг темпера-
тураси босим ортганда кутариладиган ёки пасаядиган булиши цат-
тиц фазалардан цайси бирининг солиштирма фажми ортиц булиши-
га боглиф.
1 Мактумхи, сув музлэгаида фажми ортада. Шу сабабли музнипг зичлиги
сувиикцдая кичик булади.
405
151- §. Учланган нуцта. Х0*0* диаграммаси
331-раем.
Суюцлик ва у билан мувозанат цолатида булган буг тарзидаги
моддаии олиб, унинг цажмиин ^згартирмай туриб ундин иссицлик
ола бошлаймиз. Бу процесс давомида модданинг температураси па-
саяди ва шунта яраша босим цам камаяди. Шунинг учун модда-
нинг цолатини (р, Г) диаграммада тасвирловчи нуцта бугланиш эг-
ри чизиги буйлаб (331-раем) пастга кучади. Бу нуцта модданинг
кристалланиш температурасига (бу тем-
пература мувозанат цолатидаги босим-
га тугри келади) эришилгунча пастга
кучаверади. Бу температурини Туч би-
лан белгилаймиз. Кристалланиш про-
цесси давом этиб турган бутун вацт
нчида температура ва босим узгармай
туради. Бунда чицадиган иссицлик
кристалланишда чицадиган иссицлик-
дир.
Ту, температура билан унга мос
мувозанат цолатидаги руч босим тем-
пература ва босимнннг модданинг
учта фазаси; цаттиц, суюц ва газ
фазаси мувозанатда буладиган ягона цийматларидар. Бунга (р, Т)
диаграммада мос келувчи нуцта учланган нуцта дёб аталади.
(Бундай цнлнб, учланган нуцта модданинг учала фазаси бар вацтда
мувозанатда буладиган шароитларии аннцлайди.
Кристалланиш процесси тамом булгач, цаттиц ва газ фазалар
мувозанатда булади. Агар моддадан иссицлик олиш давом этавер-
са, у цолда температура яна пасая бошлайди. Кристалл фаза би-
лан мувозанатда булган бугнннг босими шунга яраша камаяди.
Модданинг цолатини тасвирловчи нуцта сублимация эгри чнзиги
буйлаб пастга кучади.
Учланган нуцтага оид температурада модда руч га тенг босим
шароитида эрийди. Босим бошцача булганда эриш температураси
бошца булади. Боснм бнлан эриш температураси орасидаги богла-
ниш учланган нуцтвда бошланувчи эриш эгри чизиги билан тасвир-
ланади. Шундай цилиб, учланган нуцта
иккита фазанииг, чунончй цаттиц ва суюц,
суюц на газ, ницоят, цаттиц ва газ фаза-
ларнинг мувозанат шароитларини аницловчи
учта эгри чизицнинг кесишиш жойнда ётар
экан. Эриш эгри чизиги цаттиц ва Суюц
фазаларнинг солиштирма цажмларн ораси-
даги муносабатга цараб, 331-расмда кур-
сатилганидек(^г> 0) ёки 332-расмда кур-
сатилгандек булади.
fl
332- раем.
406
Эриш, бугланиш за сублимация эгри чизицлари координаталар
текнслигнни учта соцага булади. Сублимация ва эриш эгри чкзиц-
ларидан чап томоида цаттиц фаза соцаси ётади, эриш ва бугла-
ниш эгри чизицлари орасида суюц цолатлар соцасн ётади ва ницоят,
бугланиш ва сублимация эгри чизицларидан унг томоида модданинг
газ цолатлари соцаси ётади. Бу соцалардан бирида олинган цар
цандай нуцта модданинг тегишли бнр фазали холатинн тасвирлайдч
(хамиша мувозанатли цолатлар, яъни ташци
гвароитлар узгармаганда модда истаганча
узоц вацт була оладиган цолатлар назарда
тутилади). Соцаларни бир-биридан ажри-
тиб турган эгри чизицлардан бирида один
ган цар цандай нуцта модданинг тегишли
икки фазасининг мувозанат цолатини тас-
вирлайди. Учланган нуцта модданинг учала
фазасининг мувозанат цолатини тасвирлайдч.
Шуидай цилиб, диаграммадаги цар бир
нуцта модданинг маълум бир мувозанат
цолатини тасвирлайдн. Шунинг учун бу
,ч>аграмма цо л а т диаграммасп дебата-
Р
333- Г-с»
лади.
Кристалл ’модифакацияларн бир нечта б$-.ган модда учун цолат
днаграммаси анча мурахкаб б', .да. Турли хил кристалл модифика-
Ииялари сони мккига тенг булган цолга оид диаграмма 333-расмда
т.» гчрлапган. Ьу цс.ща учланган нуцта иккита булади. Расмдаги
А < нуцтада суюцлик, газ ва модданинг биринчи кристалл модифи-
кацияси мувозанатда булади, Уч' нуцтада эса суюцлик ва модда-
нинг иккала Кристалл модификациясм мувозанатда булади.
Аниц бир модданинг цолат днаграммаси эксперимент маълумот-
ларига цараб тузил «ди. Модданинг цолат днаграммаси маълум булса,
цар хил шаройгларда(р ва Т нинг турли хил цийматларида) модда цан-
дай цолатда булишнни, шунингдек турли хил процессларда модда бир
цолатдан цаидай бошца цолатга айланишини олдиндан айтиш мумкин.
Буни цуйидаги мисоллар устида тушунтириб утамиз.
Агар 1 нуцта (331- раемга ц.) мос келадиган цолатда модда
олиб уни изобарик равишда нситсак, унда модда /—2 пунктир
тугри чизиц билан курсатилган цолатлардан, яъни кристалл—суюц-
лик—газ цолатлардан бирин-кетин утади. Агар уша моддани 3 нуцта
билан белгиланган цолатда олиб, уни цам изобарик равишда исмтсал,
цолатлар кетма-кетлиги бошцача булади (3-4 пунктир тугри чизиц):
кристаллар суюцликка айланмасдан, бевосита газга айланг.б кетади.
Холат днаграммаендан шу нарса куранаднки, суюц фаза учлан-
ган нуцтанинг босимидан кичик булмаган босимлар шароитпдагина
мувозанат цолатида була олади (бу фикр 333» расмдаги II цаттиц
фазага цам тегиш чй}. pJ4 дан кичик босимларда суюцлик ута со-
виган цолатда булади.
Одатдаги купчилик моддаларга тегишли учланган нуцта атмос-
фера босимидан анча пастда ётади, шунинг уч} и бу моддалар цат-
407
гиц цолатдан газ цолатга оралицдаги суюц цолат орцали утади,
Масалан, сувнинг учланган нуцгасига 4,58 мм сим. уст, босим ва
D,0075°C температура мос келади. |
Карбонат ангидриднниг учланган нуцтасига 5,11 ат босим на
— 56,6 С температура мех: келади, Шунинг учун карбонат ангид-
рнди атмосфера босими шароитида фацат цаттиц цолатда еки газ
цолатида була олади, Цаттиц карбонат ангидрид (цуруц муз) бево-
сита газга айланади. Карбонат ангидриднниг атмосфера босими ша- >
роитндаги сублимация температуриси — 78СС га тенг.
Агар кристалларнинг солиштирма цажми суюц фазанннг солиш-
тирма цажмидан ортиц булса, баъзи процессларда модданинг ха-
рактери жуда цам узига хос булиши мумкин. Масалан, шундай
моддани / нуцта билан тасвирланган цолатда (332-расмга ц.)
олиб, уни изотермик равишда сицамиз. Бундай сицишда босим ор-
тади ва процесс днаграммада вертикал тугри чизиц билан (раемдаги
/ — 2 пунктир тугри чизиц) тасвирланади. 332- раемдан куринадики, "
‘босим ошгавда модда цуйидаги цолатларда булиб утади: газ—крмстал-
лар—суюц цолат. Модда цолатининг бундай кетма-кетлиги учланган
нуцта температурасидан кичик темлератураларда юз бериши равшан.
Пировардида цолат диаграммаеннинг яна бир хусусиятини айтиб .
утамиз. Бугланиш эгри чизиги критик К нуцтада тугайди. Шу сабабли •’
суюц цолатлар соцасидан газ цолатлар соцасига критик нуцгани айла-
ниб, бугланиш эгрн чизиги билан кесииыасдан утиш мумкин (332-
раемда пунктир билан курсатилгап 3 — 4 утиш процесси). Бундай утиш
процессининг (р, V) днаграммада цандай тасвирланиши 276- расмда
курсатилган. Бу цолда модданинг суюц цолатдан газ цолатга (ва
тескари тартибда) утиш процесси бнр фазали цолатлар кетма-кст-
ЛИП! орцали узлуксиз равишда юз беради.
Суюц ва газ цолатларнинг бир-бирига узлуксиз утишининг сабаби
шундаки, улар бир-бирндан сифат жицатидан эмас, балки мицдор
жицатидан фарц цилади, жумлвдан бу цолатларнинг иккаласида
цам анизотропия йуц. Кристалл цолатнииг суюц ёки газ цолатга уз-
луксиз утиши мумкин эмас, чунки кристалл цолатнииг Узига хос ,
томони анпзотропивдир. Анизотропияга эга булган цолатдан зиизо-
тропняси булмаган цолатга утиш пррцесси сакраб юз беради — ани-
зотропия цисман булиши мумкин эмас, у ё булади ё булмайди, учин-
чи имконият булиши мумкин эмас. Шу сабабли сублимация эгрн
чизиги ва эриш эгри чизиги, бугланиш эгрн чизиги критик нуцтада
узилиб цолгани каби, узилиб цололманди. Сублимация эгри чизиги
р =0 ва Т = 0 нуцтага келади, эриш эгри чизиги чексизликка кетади.
Худдишунингдек, бир кристалл модификациядан бошкасига Утиш
процесси цам узлуксиз юз бериши мумкин эмас. Модданинг турли 1
хил кристалл модифакациялари бир-биридан узларига хос симмет- t
рия элементлари билан фарц цилади. Бирор симметрия элемеити бор
булиши еки бутунлай булмаслиги сабабли бир цаттиц фазадан бош-
ца цаттиц фазага утиш процесси фацат сакраб юз беради. Шунинг
учун иккита цаттиц фазапинг мувозанатда булиш эгри чизиги, эриш t
эгри чизиги каби, чексизликка кетади.
403
МУНДАРИЖА
Русча т^ртинчи яашрига суз боши..............
Русча биринчи нашрнга ёзилган суз бошидан ...
1- кием
МЕХАНИКАНИНГ ФИЗИК АСОСЛАРИ
Муквддима..........
| боб. Кинематика...........................
1- §• Нуцтанинг кРчнши. Векторлар ва скалнрлар
й- §. Векторлар цацнда баъзи тушунчаляр ....
8- §. Тезлик ................. . ..
4- §. Уталган будни цисоблаш................. .
5- §. Текис царакат .................................
6- |. Тезлик векторининг координата уцларита гроекннялари
7- §. Тезланиш........................................
8- |. Тугри Чизицли текис уагарупчан царакат .
9- |. Эгри чнзнцли царакатда те. аииш , . .
10- §. Айланма царакат кинематикасн ....
И- §. V вя <о векторлар орасидаги боглапиш .
II боб. Моддий нуцта дииамнкаси . .
12- §. Классик механика. Унинг цулланиш чегараси......
13- $. Ньютоинннг биринчи цонуни. Инерциал савок сиетемалар . . .
14- §. Ныотоннинг иккинчи ценуии ...........’ . . . ч . . . .
15- S- Фнзикавнп катталикларщ-иг улчов бирликлари вз Улчамликлари
16- §. Ньютоинннг учинчи цонуни................... ...
17- §. Галилебнивг нисбийлик приншши ...
• 18- §. Огирлик кучи ва огирлик . ........ . ,
19- |. Ишцаланиш кучлари .........................
20- §. Эгрн чизицли царАКат вацтида таъсир этувчи i .члар
21- §. Ныотон цонувларининг амалда цулланнлаши ....
22- §. Импульс..........................................
23- §. Импульснинг сацланиш црнуцп . .
1| боб. Иш на анергия .
24 в. Иш.................. .........................
25- § Кувейт ............................................... ,
26- §. Кучларнинг потенция а маПлош!. Ко-ерватвв ва нокоисернаи'в
куччар ............................................. t ......
27 §. Энергия. Энергнянпиг сацланши цонуни ...........' . ' . .
28- §. Потс1Й-няч энергии бнлан куч орасидаги Гюгланнш .
29- §. Механик системанинг мувозанат шарт.чари . .
>0- S Шарларнинг марказий урнлнши................
2SSSS 83 3 88883? 5?
409
[V боб. Ноинерциал саиоц системалар •
31- § Инерция кучлари............... ® '
32- $ Марказдаи цочма инерции куч>г . В7
33- § Кориолис кучи................. “
V боб' Каттип жисм меквннкасн .
34- §. КатТ|Ч жиси ПиР®кпти................................. ' аа
35- § Капиц жисм инерция нарказинииг царакати . . . »»
36- §. Каниц жисмнинг вПлапиши. Куч момента.....................ИЮ
37- §. Моддий нукгаиипг импульс момента. Импульс моментииннг сац-
лаптп цойуни................................................-
38- §. ЛЧланма царакат д.шамикасннинг асоснй тенгламаси
39- §. Инерция моменти..............................
40- §. жисмнинг кинетик энергияси................. •J
41- §. Катп,К жисм дннатгкасн цопунларишшг /флланялнши
42- § Эркин 5цлар. Бош инерция рцларн . ............ }.- •
43- §. Кэттиц жисмнинг импульс момента . . . '
, ,44- § Гидроскоплар.................... ”
JC- 45- §. Р^апик жисмнинг диформацаися
VI боб, Бутун план тортишишн
46- 5 Бутун план тортпшвш ионунв................................144
47- §. Огирлик кучининг жойнинг географик кектлигига цпраб узгариши 146
43- Инерт масса ва гравитацион масса . . . Z*TjflU
4В §. Кеплер цонунлерн . "1."0
50- § КОСМИК тезликлер . . »........ 1г>1
VII боб, Суюцликлар па газлар статикаси . 1г»4
51- §- Босим................................................ 1г>4
52- § Тинч цолатдаг i суюцлик па гаэда босим тацеммоти
53- § Итариб чицарувчй куч ......
VIII боб- Гидродинамика.................
54- §. Оцим чизнцлзрн ва найларн. Оимвднг узлунензчяги . 159
55- §. рернулли тешламасп.................................... 161
56- §. Сцаётган суюцлнвдагп босимин улчаш.....................164
67- § Суюцлпкнямг царакатнга импульснинг сацланнш цонувинч ц^ллаш 165
53- §. Ички ишдаланиш кучларн.................................167
50- *, Ламинар ва турбу.«нт оцим.......................... - 170
60 $ Ж.чсмларнинг суюцликлар ва газларда царакин . . 1/1
2- П И С М
ТГБРАНИШЛАР НА ТГЛЦИИЛАР
]Х боб. Тебранма даракат 17я
61- §- Т.Аианпшлар цацч i умумий маълу
J®» §Т 1 -шс£3ик ;а6р?чии. тар
§. Гармоник свропИШ Энергияси .
64- § Гармоник осциллятор....................................... •*>
6б- § I'jith чзнипг муьаант цолати атрофидаги кичик теоранип1ларн
М- §, Математик » • • > • * ...... • - .... 1 w
вХ- §. Физик маятинк ............... .... . ।
6в § Гармоник тебраиишларни график 1 таевнрл тш
410