АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ГМ,ВАИНИККО

А.Ю.ВЕРЕТЕННИКОВ

Итерационные
процедуры
в некорректных
задачах

Ответственный редактор
доктор технических наук
Б. Т. ПОЛЯК

е

МОСКВА «НАУКА»
1986
УДК 517.94 518.61

Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные
процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

В книге с единой точки зрения изучаются различные методы
регуляризации линейных некорректных задач. Обсуждается вопрос
о выборе параметра регуляризации для итерационных методов.
Указан априорный выбор параметра, приводящий к оптимальным
по точности методам на классах истокопредставимых решений.
В случае апостериорного выбора по принципу невязки получены
оптимальные по порядку методы. Исследовано влияние ошибок,
в том числе случайных, на каждом шаге итераций.

Для математиков и специалистов в области теории управ-
ления, физики и др.

Ил. 2. Библиогр. 93 назв.

Рецензенты

В. К. ИВАНОВ, Р. Ш. ЛИПЦЕР, В. П. ТАНАНА

g 1502000000-188 । j]

© Издательство «Наука», 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие задачи самых разнообразных отраслей физики, теории
управления и других наук принадлежат к классу некорректных
задач. Это задачи, в которых сколь угодно малые возмущения
исходных данных могут вызывать большие изменения резуль-
татов. Исходные данные обычно известны приближенно, что
значительно усложняет численное решение некорректных задач
и интерпретацию получаемых результатов. Математическое тол-
кование некорректных задач и фундамент теории были в нача-
ле 60-х годов заложены в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лав-
рентьева и В. К. Иванова. К настоящему времени разработаны
устойчивые методы решения (методы регуляризации) для раз-
нообразных некорректных задач. Наиболее полно исследованы
вариационные методы регуляризации, особенно метод А. Н. Ти-
хонова [72, 43].

В данной монографии акцент делается на итерационные ме-
тоды регуляризации. Основное внимание уделено исследованию
точности и помехоустойчивости методов решения линейных не-
корректных задач. Обсуждаются различные способы выбора
параметра регуляризации (момента останова для итерацион-
ных методов). Среди них центральное место занимает принцип
невязки: параметр регуляризации (момент останова итераций)
подбирается так, чтобы невязка приближенного решения по ве-
личине была сравнима с уровнем точности исходных данных
задачи. Такой выбор параметра легко реализуется, особенно в
итерационных методах, и в рассматриваемых нами ситуациях
приводит к результатам, по точности близким к оптимальным.

Основной математический аппарат, используемый в моно-
графии,— теория линейных операторов. В гл. V используются
некоторые методы теории вероятностей. В текст включен ми-
нимум ссылок, библиографические замечания вынесены в конец
книги.

Авторы выражают глубокую благодарность М. А. Красно-
сельскому и всем своим коллегам за помощь и полезные советы.
глава

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
И ИХ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

Корректность или некорректность постановки задачи является
одной из основных характеристик математических моделей, ис-
пользуемых при изучении явлений физики, теории управления
и других наук. Грубо говоря, задача поставлена корректно, если
она разрешима, решение единственно и непрерывно зависит от
входных данных задачи, и некорректно поставлена в противном
случае. От корректности или некорректности задачи зависит ее
дальнейшая математическая обработка. Для корректно постав-
ленной задачи малые ошибки в исходных данных неопасны, ибо
они мало влияют на решение. Некорректно поставленные зада-
чи, наоборот, очень чувствительны к погрешностям в исходных
данных, и устойчивое относительно них решение — главная
проблема. Такая устойчивость достигается регуляризацией за-
дачи. Грубо говоря, регуляризация некорректной задачи — это
такое ее включение в параметрическое семейство корректных
задач, что при предельном значении параметра получается ис-
ходная (некорректная) задача или эквивалентная ей. Часто та-
кое включение удается реализовать итеративным способом. Ни-
же (разд. 1, 2) даются более четкие определения корректности,
некорректности и регуляризации задачи. В разд. 3, 4 обсужда-
ются проблемы точности методов регуляризации. Данная глава
носит вводный характер и в основном содержит известный ма-
териал.

1.	Некорректно поставленные задачи

1.1.	Понятие некорректно поставленной задачи. Пусть Е и
F — метрические пространства, А : E-^F — оператор, действую-
щий из Е в F. Рассмотрим уравнение

Au—f.	(1.1)

Задача заключается в отыскании элемента и^Е по элементу
f^F, известному, как правило, с некоторой погрешностью.

Задача (1.1) называется корректно поставленной
по Адамару или просто корректной на паре пространств Е,
F, если выполнены следующие три условия: 1) при каждом
eF существует решение и^Е; 2) это решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от f: из fn-^f (по метрике F)
следует сходимость соответствующих решений	(по мет-

рике Е). Если же нарушается любое из перечисленных трех
условий, то задача (1.1) называется некорректно постав-
ленной или просто некорректной. Другими слова-
ми, задача (1.1) поставлена корректно, если оператор А имеет
непрерывный обратный А~‘: F->-E, и некорректно поставлена в
противном случае.

1.2.	Линейные некорректно поставленные задачи. В дальней-
шем мы будем рассматривать только линейные задачи, когда
пространства Е и F банаховы, а А^2?(Е, F), т. е. Л — линейный
непрерывный оператор, действующий из Е в F. В случае ли-
нейной некорректной задачи (1.1) сколь угодно малые возму-
щения в правой части f могут вызывать сколь угодно большие
возмущения решения, если оно вообще существует.

В приложениях типичны задачи (1.1), в которых dim Е=оо
и оператор А вполне непрерывен. Такие задачи некорректны. То
же самое можно сказать об уравнении (1.1) с незамкнутой об-
ластью значений 5?(Л)=ЛЕ оператора А — нарушены условия 1
и 3. Иногда задача (1.1) с незамкнутой областью значений
5?(Л) называется существенно некорректно постав-
ленной.

Задача (1.1) с замкнутой областью значений 5?(Д) называ-
ется нормально разрешимой. Нормально разрешимые
задачи по ряду свойств более близки к корректным задачам,
нежели к задачам с нарушением условия 3 в определении кор-
ректности.

1.3.	Интегральные уравнения первого рода являются типич-
ными примерами некорректных задач. Рассмотрим уравнение
Фредгольма первого рода

ь

(Au)(t) ==	(t, s)u(s)ds — f (t) (c^t^.d).	Cl.2)

a

При естественных ограничениях на ядро J4f(/, s), например в
случае непрерывного ядра, интегральный оператор А вполне не-
прерывен как оператор из пространства С[а, Ь] в пространство
С[с, d], и задача (1.2) на этой паре пространств поставлена
некорректно; она некорректна и на паре пространств Lp(a, b) и
Lp(c, d). Ситуация сходна и в случае многомерных интеграль-
ных уравнений первого рода по замкнутым кривым и поверхно-
стям и пр.

В некоторых случаях удается указать пару пространств Е и
F, на которой задача (1.2) поставлена корректно. Например,
уравнение Вольтерра первого рода

t

(Ды)(/) = ^ ^(/, s) и (s) ds = f (t) (a^t^F)	(1.3)
корректно поставлено между пространствами Е=С[а, Ь] и F=
=С0‘[а, Ь] — пространством непрерывно дифференцируемых
функций f^Cl[a, b] с f(a)=0. С другой стороны, задача (1.3),
как и (1.2), некорректна между пространствами Е=С[а, &] и F=
=С[а, Ь] — это вытекает из полной непрерывности оператора
Ле2’(С, С).

Возникает естественный вопрос, нельзя ли для любой задачи
подобрать такую пару пространств, на которой задача будет
корректной. Ответ следующий. Во-первых, описание таких пар
пространств обычно весьма сложно. Уравнение Вольтерра пер-
вого рода в этом смысле является счастливым исключением. Так,
уравнение Фредгольма первого рода с бесконечно гладким яд-
ром не допускает такого описания. Во-вторых, мы вовсе не сво-
бодны в выборе пространств Е и F. Выбор пространства F дик-
туется той метрикой, в которой правая часть уравнения извест-
на с достаточной точностью. Как правило, f получается в ре-
зультате обработки некоторых измерений и ее погрешность
мала в метриках С или L2 * * * *, но велика в метриках С"* и IF"*'2.
В таких случаях мы вынуждены положить F=C или F=L\
С другой стороны, выбор пространства Е диктуется той метри-
кой, в которой мы желаем приблизить искомое решение, обычно
это также метрики С или L2, но могут быть и метрики Ст, Wm'2.
По этим причинам даже уравнение (1.3) обычно следует решать
хак некорректное, хотя для него мы и знаем пару пространств,
на которой задача корректна.

2. Регуляризатор некорректно поставленной задачи

2.1. Понятие о регуляризаторе. Рассмотрим линейную некор-

ректную задачу

Au=f,	(2.1)

где Ле27 *(Е, F) — линейный непрерывный оператор, Е, F — ба-
наховы пространства. Пусть )е^(4), т. е. задача (2.1) разре-
шима. Подпространство Л9(/1) = {иеЕ : Ли=0} может быть не-

тривиальным, т. е. содержать ненулевые элементы, и тогда ре-
шение уравнения (2.1) не единственно. Множество всех реше-
ний обозначим через A~lf (полный прообраз элемента f).

Как правило, в приложениях вместо )е^?(Л) в нашем рас-

поряжении имеется некоторое его приближение f6^F, ||fe—
^6; при этом ft может не принадлежать 5?(Л). Приближенная
задача Au—ft, может, таким образом, быть неразрешимой. Но
даже если Де5?(Л), то все равно решение этого уравнения
нельзя брать в качестве приближенного решения уравнения
(2.1),—это связано с отсутствием непрерывной зависимости ре-
шения от правой части. Как быть? Можно ли восстановить ре-
шение уравнения (2.1) с приемлемой точностью, если правая
часть дана с малой погрешностью? Ответ положителен, если для
задачи (2.1) существует регуляризатор.
Регуляризатор задачи (2.1} — это такое однопара-
метрическое семейство операторов : F-*-E (О<б^бо), что для
каждого /е#(Д)

sup inf — ы||->-0 приб->0.

/бЕГ,!1/а-/1йв «=л-7

Регуляризатор называется непрерывным, линейным и т. д., если
каждый оператор (О<б^бо) непрерывен, линеен и т. д. За-
дача (2.1) называется регуляризуемой (непрерывна
регуляризуемой, линейно регуляризуемой), если для нее суще-
ствует хотя бы один регуляризатор (непрерывный регуляриза-
тор, линейный регуляризатор). Наличие регуляризатора позво-
ляет при любом /е5?(Д), известном приближенно с точностью
б (life—/11^6), восстановить точное решение и в пределе при б->
->0. В реальных задачах, хотя б и мало, как правило, предель-
ный переход б—-0 неосуществим. Тем не менее есть надежда,
что 5?6fs будет хорошим приближением к точному решению. По-
этому построение регуляризаторов некорректных задач пред-
ставляет не только большой теоретический интерес, но и дает
ключ к устойчивому решению таких задач.

Известны примеры интегральных уравнений вида (1.2) с гладким ядром-,
для которых в случае Е=С[а, 6], F—L2(c, d) не существует регуляризатора.
(пример Л. Д. Менихеса [55]). Существуют также нерегуляризуемые урав-
нения с E=F=C[a, &]. С другой стороны, если пространство Е рефлексивно1
(например E — L^(a, Ь) с 1<р<оо), то задача (2.1) непрерывно регуляри-
зуема (см., например, [62]). В случае, когда Е и F гильбертовы, задача (2.1)-
линейно и непрерывно регуляризуема. Целый класс таких регуляризаторов.
указывается в гл. III.

2.2.	Случай неточно заданного оператора. Более тщательный
анализ некорректных задач требует учета неточностей и в опе-
раторе Д, возникающих из-за неточностей математической мо-
дели описываемых явлений и в результате погрешности дискре-
тизации в стадии подготовки к решению задачи на ЭВМ. Итак,
вместо «точного» уравнения (2.1) с )е5?(Д) мы имеем в своем
распоряжении некоторое возмущенное уравнение Дпи=^. Что-
бы не осложнять анализ, будем всегда предполагать, что опера-
тор А^£ (Е, F) действует между теми же пространствами Е
и F, что и точный оператор А, причем life—fII ^б, ||ЛП—ЛЦ^т],
где бит] — малые положительные числа. Здесь возможны и дру-
гие подходы, основанные на понятии дискретной сходимости
(см. [17]).

Пусть (Е, F) — некоторый класс операторов, куда вхо-
дят А и Дп. Назовем 91-регуляризатором такое двупара-
метрическое семейство операторов 31^ : FXW-+E (О<б^бо, 0<
<т|^г|0), что для всякого Де31 и каждого /е5?(Д)

sup inf |1 J?6n(f6, Дч)~«||->-0 при б —>-0, т] —> 0.
usA-‘f

11/в-/11<С.1Ип-Л||<ч
Если 31 состоит только из одного оператора А, то это определе-
ние возвращает нас к понятию регуляризатора задачи (2.1) в
смысле п. 2.1. Наиболее интересен случай 31=2’(Е, F). Оказы-
вается, что если банахово пространство Е рефлексивно, то су-
ществует непрерывный 2?(Е, F) -регуляризатор. Конкретные
Я-регуляризаторы будут построены в гл. IV для случая гиль-
бертовых пространств Е и F.

3.	Оптимальные и оптимальные по порядку методы

3.1.	Понятия оптимальных и оптимальных по порядку мето-
дов. Любое отображение Ф : F^E может трактоваться как
метод решения задачи (2.1): он сопоставляет правой части
fe,^F (life—f||^6) элемент &f^E, который принимается за
приближенное решение уравнения. От отображения SP не тре-
буется ни линейности, ни непрерывности. Столь общее понима-
ние метода полезно тогда, когда речь идет о сравнении точно-
сти всевозможных способов решения задачи (2.1). Точность ме-
тода & на множестве Лс^Е характеризуется наибольшим
отклонением

q?(д; .уйГ; .S/5) = sup ||^fe — и\\.	(3.1)

Метод :F-+E называется оптимальным (по точности)
на Л, если

<р(б; .И; З5^) — inf <р(б; Л; З5);	(3.2)

асимптотически оптимальным на Л, если

lim {<р(б; Л\ S^O/inf <р(б;	З5)} = 1;

б->0	&

оптимальным по порядку на Л, если

<р (б; Л\ J>6) ^cinf <р(б; .//; 53), 0 < б б0, с = const

(инфимум берется по всем методам).

3.2.	Оценки наибольшего отклонения. Теорема 3.1 (см.
[43]). Для всякого метода Ф и любого центрально-симметрич-
ного ограниченного множества Л<^Е имеет место неравенство

<р(б; Л\ ^)><о(б; Л),	(3.3)

где

со (б; Л} — sup	Ц и ||.	(3.4)

ue,tt .||Ли||<в

Доказательство. Пусть е>0, а й^Л таково, что
||Аи||^б, ||й||^со(б; Л)—&. Ввиду центральной симметрии Л
имеем также —й^Л и, сузив в (3.1) супремум по и^Л до мак-
симума по й и —и, получим

Ф (б;	> max [ sup || SFfn— u||, sup || UPfo + и ||1 .

I ,б	f6~	I

(l!fe--4uK6	®М+л“1Кб	J

Далее, полагая fe=0, получим

Ф (6; Л-; 5s) > max {|| J>0 — и ||, || 2Р0 -•]- и ||} >

-«11 + 11^0+«||)>

>±11(^0- м)-(^>0 + й)|| = ||«||>®(д;

что в силу произвольности е и доказывает теорему 3.1.
Обозначим	б) = {иеЕ : ||Дн—/11^6}.

Лемма 3.1. Пусть множество Л<^Е центрально-симметрич-
но, выпукло и ограниченно. Тогда для всякого f^F, для кото-
рого ^#ПЛ’(/:, б) непусто, выполняется следующее неравенство
диаметров:

с11ат[^'ПЛ’(), б) ]^diam[jjrriX3(0, б)].	(3.5)

Доказательство. Пусть и,, и2^Л(~]Л>(^ б) таковы,
что Н«!—«Л^с11ат[^'ПЛ’(/', б)]—е (е>0). Ввиду центральной
симметрии Л имеем —и^Л, —и2^Л, а ввиду выпуклости Л
также !>!=(«!—иг)12^Л, v2=(u2—и1)/2^Л. Далее, из и„ и2^
б) следует 11X^,11 = 11 (Ath-f) - (Xu2-f) ||/2	(||Хи,-f|| +

+ ||Xu2—f||)/2^6, t. e. u„ i'2e/(0, б). Таким образом, u„ v2^
^ЛПЛ’(0, б) и diam[^#n-/T’(0, в) ]^||vt—u2ll=ll«i—
^diam[ЛГМЧ[, б)]—e. Ввиду произвольности e>0 отсюда по-
лучаем (3.5). Лемма 3.1 доказана.

Заметим, что ЛгГ|Л’(0, б) центрально-симметрично и выпук-
ло вместе с Л и

diam[jrnX’(0, б) ]=2ш(б; Л}.	(3.6)

Теорема 3.2. Для любого центрально-симметричного вы-
пуклого ограниченного множества Л^Е имеет место неравен-
ство

inf ф(б; Л\ < 2<о (6; .//).	(3.7)

Доказательство. Возьмем любой такой метод что
в случае непустого ^#ПтГ(/б, б) элемент принадлежит это-
му множеству. Тогда по лемме 3.1

Ф (б; Л; SF) = sup || Sfift — и || =
fesF,«еж,цли-f с1Кв

= sup	sup — «11^

fe: ЖПЛ-(1б-в)*0 веИПс'НМ.в)

< sup diam [Л Q Ж(/в, 6)] С

fe: Mn^(f6.e>^-0

diam [.// П Ж(0, 6)] = 2w (б; Л).

Теорема 3.2 доказана.
3.3.	Равномерная сходимость методов на Л. Для оптималь-
ного по порядку на выпуклом, центрально-симметричном мно-
жестве Л метода : F-+E имеем (см. (3.3) и (3.7))

<о (6; Л)^ sup H^We— и || ^2ссо(б; .#)•
келлвея,|ИиЧб1йв

Если со (б; ^)->-0 при б—>-0, то такие методы будут равномерно
сходиться на Л. Широко известна

Теорема 3.3. Пусть Л(~]Л?(А')=0 и Лс.Е компактно,
т. е. замкнуто, и любая последовательность элементов из Л со-
держит сходящуюся подпоследовательность. Тогда со(6; Л)^>-
—>0 при б->0.

Важным примером центрально-симметричных выпуклых ог-
раниченных множеств являются множества вида

Лв={и<=Е\ u=Bv, Hull^l},	(3.8)

где	Е) — некоторый линейный непрерывный оператор

из некоторого банахова пространства G в Е. Если пространство
G рефлексивно, то Лв будет и замкнутым; если к тому же В^
^S(G, Е) вполне непрерывен, то Лв будет компактным. Эле-
ментарно доказывается

Лемма 3.2. Для сходимости со (б; Лв)-А} при б—>-0 необ-
ходимо, а в случае рефлексивного пространства G и достаточ-
но, чтобы выполнялись следующие два условия: 1) 5?(В)П
ПЛ9(А)=0; 2) из слабой сходимости и„---->0 в G и сильной

сходимости АВип->0 в F вытекает сильная сходимость Bvn-+0
в Е.

Теорема 3.4. Пусть оператор А<^£(Е, F) вполне непре-
рывен и пространство G рефлексивно. Тогда для сходимости
со (б; ^#в)->0 при б—>-0 необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись следующие два условия: 1) 3?(В)Г|.Л9(Д)=0; 2) опера-
тор B^S’(G, Е) вполне непрерывен.

Доказательство немедленно вытекает из леммы 3.2,
второе условие которой ввиду полной непрерывности оператора
АВ (оператора А) принимает следующий вид: если vn—>-0, то

В случае рефлексивного пространства G это равносиль-
но полной непрерывности оператора В. Теорема 3.4 доказана.

3.4.	Достаточное условие оптимальности метода по порядку.
Следующая элементарная теорема оказывается весьма удобной
при проверке конкретных методов решения уравнения (2.1) на
оптимальность по порядку.

Теорема 3.5. Пусть Лс.Е — центрально-симметричное
выпуклое ограниченное множество, а метод : F^E таков, что
для каждого f&^F, для которого непусто множество {и^Л :
: IIАи—/Л^б}, выполняются соотношения

Pifa е сгЛ, || A (&6f6) - f6 К	(ci > 0, с2 > 0).	(3.9)

Тогда этот метод оптимален по порядку на Л:

ср (б; Л\ .5%) [1 + шах {сп с„}1	^)-	(3.10)

ip
-те
Доказательство. Имеем (см. (3.1))

<р(б; Л\ 3йе) =	sup	sup ||#>6/6 — и\\.

f6: Л	0 «=ЛПЛб.1»

Здесь в силу (3.9) ^6fe—«е (с,+ Г)Л,

|| А (Ж> - «Ж IIA (ЗД) - М +1| Au - f61|	(с2 + 1) 6,

поэтому (см. (3.4))

ср(б; М\ 5%)	® ((с2 + 1)6, (сх + 1)^)^<о(сб, сЛ),

<?=1+ max{<?!-, с2}.

Остается заметить, что со(сб; <7^)=с<о(б; Л) при с>0, и вос-
пользоваться неравенством (3.3). Теорема 3.5 доказана.

3.5.	Случай приближенно заданного оператора. Рассмотрим
теперь случай, когда оператор А в уравнении (2.1) также из-
вестен лишь приближенно и вместо А^2?(Е, F) в нашем рас-
поряжении некоторое его приближение (Е, F), ИА^—А11=^
^т]. Под методом решения уравнения (2.1) в таком случае
естественно понимать любое отображение (ср. с п. 3.1) @:ЕХ
ХЯ—<-Е, §1е2’(Е, Е), сопоставляющее приближенным данным
и А„ (life—fЦАП—А||^т]) некоторый элемент © (ft,, А„)е
е£, который трактуется как приближенное решение уравнения
(2.1). Здесь §1 — некоторое множество операторов, содержащее
оператор А. Точность метода ©на множестве Л^Е охаракте-
ризуем наибольшим отклонением

ф(б, ту .//; ©) — sup	||@(f6, Аг,) — «||,	(3.11)

US

Мп-ЛЦй’! .Mn“-f6lKe
где

bM = sup || и ||.	(3.12)

ue,n

Метод FXW-+E называется Я-оптимальным на Л,
если

ф (б, ту .//; ©бП) =inf Ф(6> Л'- Л',©)',
а

асимптотически Я-оптимальным на Л, если

iim {if (6, ту, .//; (glen/inf ф (6, ту Л\ ©)} — 1;

б-*о,п->о	а

Я-оптимальным по порядку на Л, если

ф (б, ту 9?\ ©бт1) с inf Ф (б, ту .//; ©), 0 < б б0, 0 < г] т)0
а

(инфимум берется по всем методам ©: ЕХ®->Е).

Теорема 3.6. Пусть Лс^Е — центрально-симметричное
ограниченное выпуклое множество. Тогда

w(б + Ьмтц; ^)^шГф(б, ту Л; @)^ 2<о(б + 2б^т]; Л), (3.13)
а

где со (б; Л) — определенная в (3.4) функция.
Доказательство. Докажем левое неравенство (3.13).
Допустим противное: для некоторого метода FX&-+E имеем
ф(6, г]; Л\ <co(64 &^r]; Л). Положив в (3.11) АЧ=А, полу-
чаем, в частности,

sup || ©(fe, А) — «||<®(б + Ьм'Ц', Л].

Wu-f^6tbMl\

Но tF= <§?(-, А) : F-+E является методом в смысле п. 3.1, и по-
следнее неравенство противоречит теореме 3.1.

Докажем правое неравенство (3.13). Введем подмножество
методов вида @(ft,	5s : F-+E, постоянных относительно

Ane2l. Имеем

inЕ тр (d, q; Л; inf	sup (|	— и ||

SP	и=,й ,f ft&F .Дц^й

ЦДя-Д|Йч ,||АяМд1Кв t'i’jli’l

inf sup	W&fe,—u|| = inftp(6+ 2^11;	S5)^

& ui=M,f^F	tP

IHu-fdfee+sbjtn

< 2(0 (6 + Л)

(мы сузили множество, по которому берется инфимум, затем
расширили множество, по которому берется супремум, и, нако-
нец, применили теорему 3.2). Теорема 3.6 доказана.

Т е о р е м а 3.7. Пусть Лс^Е — центрально-симметричное
выпуклое ограниченное множество, а метод FX%-^-E та-
ков, что для любого А„е91 (||АП—А||^т]) и любого f^F, для
которого непусто множество {и^Л : ||Али—М1^3 + ^лт]}, вы-
полняются соотношения

^64 ==	(/б, Ая) || /б ||	^2 ($	л)> ^1» ^2 О*

(3-14)

Тогда этот метод 91-оптимален по порядку на Л\

ф(6, гр, Л\ @вя) [1 + max {q, с2}] inf ф(6, rj; Л\ @).	(3.15)

в

Доказательство. При фиксированном Ап (Апе91,
ЦАП—А|| <т]) имеем дело с методом в смысле п. 3.1 и из усло-
вий (3.14) на основе теоремы 3.5 получаем

sup	||@бп(/б, Ая) —u||<

< [1 + max {q, <?2}] inf sup	|| © (f6, An)—u||-

а иемд6еР,|]Дяи-/в,,/^бг&жя

Беря верхнюю грань по А„, приходим к (3.15). Теорема 3.7 до-
казана.

3.6.	Другое определение оптимальности. В основу определения (3.11)
наибольшего отклонения метода @:FX2’(£, F)-»-E бралось следующее на-
блюдение: для точных 4es2’(E, Е) и ueJf найдутся такие	F) и

ft^F, что ||ДЧ—Л|| = г), life—Ди|| = б, :|Дпи—fell — 6 + ||ы||г|- Действительно, по
известному следствию теоремы Хана — Банаха существует такой линейный
непрерывный функционал u*eE* (Е*—сопряженное к Е пространство), что
||u*|| = l, <и, и*>=||и||. Указанным выше требованиям удовлетворяют Дп=
= Д+ц<-, и*>и/||и||, f6=Au—6u/||u||.

Возможны другие определения наибольшего отклонения метода на мно-
жестве [43]:

Ф1 (б, q; М\ = sup И (Аз- А>) — “И-	(3.16)

u=^,feSF,4= ЦЕ.Р)

IH-^nlKn.lHu-fdlfee

Эта характеристика замечательна тем, что она полностью определена зада-
нием множества ЖаЕ и оператора 4че2’(Е, F); по оператору А проводится
варьирование. Из (3.13) и результатов [43] следует, что для множеств типа
(3.8) Со inf-ф (б, п; Мв\ @)^1'пГф| (б, ц; МБ\ @)^с!пГф (б, Т); Яв\ &). По-
а	а	а

нятия оптимальных по порядку методов, соответствующих характеристикам ф
и фь совпадают; понятия оптимальности и асимптотической оптимальности
различаются.

4.	Случай класса истокопредставимых решений

4.1.	Условия оптимальности. Продолжим изучение точност-
ных характеристик методов решения линейной некорректно по-
ставленной задачи

Au=f.	(4.1)

Здесь и ниже на протяжении всей книги будем считать, что
А^2?(Н, F) — линейный непрерывный оператор из гильбертова
пространства И в гильбертово пространство F. Введем множе-
ство

JtP(,= {ut=H: u=\A\pv, v^H, Hvll^p}, p>0, p>0.	(4.2)

Здесь |A| = (A*A)l/2eS’(ff, И) — самосопряженный неотрица-
тельный оператор (модуль оператора A), A*<=3?(F, И) — сопря-
женный к А<=3?(Н, F) оператор. Элементы вида u=|A|pu при-
нято называть истокопредставимыми порядка р; р>0
может быть дробным. Учитывая, что ||Аа»|| = || IАI о»||, имеем (см.
(3.4))

io(6;J^pp)= sup || и ||= sup |||А|/г>||.
Р0.1И«11С6	МЙР ,|ЦЛ | Р+М=£б

Если В— самосопряженный неотрицательный (не обязатель-
но ограниченный) оператор, действующий в некотором гильбер-
товом пространстве, то для любых р и q (fi^Lp^Lq) и любого и
из области определения оператора В4 имеет место так называе-
моенеравенствс моментов [47] ||Ври||||В’ы||р/’||и||1-(’,/’).
Если и — собственный элемент оператора В (Bu—'ku), то
||Ври|| = ||В’и||р/<'||и||1-<р/<').

При помощи неравенства моментов с оператором В=|А|
находим <о(6; v#PP) ^р1/(р+1)6р/(р+1). Если |А | v=Kv, А= (6/р)1/<р+1),
М=р, то IIIA |p+1v||=A,p+,||v||=6 и

®(б; ЛГРР)=р,/,р+1,6р/<р+1>.	(4.3)

Если А принадлежит не точечному, а непрерывному спектру
оператора |А|, то существует такая последовательность и„, что
||vn||=p, | А | vn—Avn->0 при /w-оо, и мы снова приходим к ра-
венству (4.3). В итоге для выполнения (4.3) достаточно, чтобы
точка (6/р)|/(р+1) принадлежала спектру <т(|А|) оператора |А |.
Подчеркнем, что для существенно некорректных задач нуль
является точкой сгущения для <т(|А|), поэтому существует по
крайней мере счетное множество значений 6=6п->0, для кото-
рых справедливо равенство (4.3).

Теорема 3.1 в данной ситуации принимает следующую фор-
му: для всякого метода & решения задачи (4.1) имеет место
неравенство

ф(б; ЛГРР; ^) 5>р’/<р+‘>бр/<р+‘)	(4.4)

по крайней мере при тех 6>0, для которых (6/р)1/(р+1)ео (| А |).

В п. 1.5 гл. III будет указан некоторый метод для которого

ф(6; АР;^6)^рг/(р+1)бр/(р+1).	(4.5)

Значит, при указанных б

inf ф (6; М р; ^) = piAp+D5p/(p+11.	(4.6)

Отсюда получаем следствия: если для некоторого мето-
да

Ф(б; /?6)^ср1/(Р+1>6р/(рм), 0<6^6о, с = const,

то такой метод оптимален по порядку на ^#РР; если же

lim p-’/<P+D6"p/(p"\p(6;	.-?б)< 1,

6-Н)

то такой метод асимптотически оптимален на ^#РР; наконец, если
Ф(6; Лр(>\ .^)^р1Л'’+1>ёр/(р+1),

то метод оптимален на ЛРР. Равенство (4.6) и следствия из не-
го заменой и'=и—и0 распространяются и на множества вида

Лрри = {и^Н . u-up=\A\?v, v<=H, llvll^p},	(4.7)

симметричные относительно некоторой точки иа^Н.

4.2.	Случай приближенно заданного оператора. В случае
приближенно заданного оператора А из (4.3) и (3.13) вытека-
ет (см. также (3.12)), что для всякого метода @
(АеЯе2’(/7, F)) выполняется неравенство

4 (6, п; А₽: > р1/(р+1) (6 + W7"*1’.	= 1И Гр- (4-8)

Эта оценка распространяется и на множества А>р«» (см- (4-7)):

4 (б, 11; Ари»; <£) > р1/(р+1> (б + ьРР1})р/{р^.	(4.9)

Каждый метод @бП, для которого

4 (б, я: Ари»; Ы < срр (б + п)',/(р+1) (0 < б б0, о < n с п»),

Я-оптимален по порядку на А>р«<>-

В отличие от (4.8) оценка (4.9) груба, так как

sup ||«|| = ||«oll+ МГр>6Рр приио=#О.

“еЛрри,
глава

КЛАСС МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

Объектом исследования данной книги является некоторый
класс методов устойчивого решения линейных некорректных
задач в гильбертовых пространствах. Этот класс содержит ряд
широко используемых в вычислительной практике методов, на-
пример методы А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, и различ-
ные итерационные методы. Мы начнем с рассмотрения этих кон-
кретных методов (разд. 1, 2) и установим для них некоторые
общие свойства в виде оценок на порождающие функции. По-
стулируя затем подобные свойства, выделим общий класс ме-
тодов (разд. 3).

1.	Методы М. М. Лаврентьева и А. Н. Тихонова
и их итерированные варианты

1.1.	Решаемая задача и ее симметризация. Пусть Н и F —
гильбертовы пространства, А^2’(Н, F), т. е. А — линейный не-
прерывный оператор из Н в F- мы не требуем замкнутости об-
ласти значений 52(A) или тривиальности нулевого подпростран-
ства Л5(А). Таким образом, задача

Au=f,	(1.1)

о методах решения которой будет идти речь, вообще говоря,
некорректна.

Применяя к обеим частям уравнения (1.1) сопряженный к
А оператор A’eS’(Г, И), приходим к уравнению

А’А«=А7	(1.2)

(симметризация Гаусса). Оператор А*А/=3? (Н, Н) са-
мосопряжен и неотрицателен. Обозначим через Q ортопроектор
на52(А)еГ (замыкание 52(A)).

Предложение 1.1. Множества решений уравнения
(1.2) и уравнения

Au=Qf	(1.3)

совпадают.

Доказательство. Пусть уравнение (1.2) имеет реше-
ние и., т.е. А Аш --A'f. Тогда <Aw,—f, Av}=0Vv^H, т. е. Aw,—f
ортогонален Si (Л), а значит, и Si (Л), Поэтому Q(Au.—f)=0, а
поскольку QA—A, го Au.=Qf, т. е. и, — решение уравнения
(1-3).

Пусть теперь, наоборот, уравнение (1.3) имеет решение zi.<=
т. б. Au.=Qf. Поскольку A’Q=A*, то применение оператора
Л* дает A*Au.—A*f, т. е. «. — решение уравнения (1.2). Предло-
жение 1.1 доказано.

Решения уравнения (1.2) будем называть квазиреше-
ниями или решениями в смысле наименьших
квадратов уравнения (1.1). Последнее название связано с
тем, что решения уравнения (1.2) (уравнения (1.3)) миними-
зируют функционал Ф(«) = ||Л«—/||2=||Л«—Qf||2 + Ilf—Qfll2, и^Н.
Из предложения 1.1 следует, что в случае fe%(A) множество
квазирешений уравнения (1.1) совпадает с множеством его ре-
шений. Если fe=3£(A), Qf^Si(A), то уравнение не имеет реше-
ния, но имеет квазирешение. Если Qfe=3£(A), то уравнение не
имеет даже квазирешения. В случае f^Si(A) особый интерес
представляет решение задачи (1.1) наименьшей нормы, назы-
ваемое нормальным решением. Нормальное решение
ортогонально Л5(Л). Аналогично в случае Qfe^?(A) особый
интерес представляет квазирешение уравнения (1.1) наимень-
шей нормы; оно называется псевдорешением или нор-
мальным квазирешением. С понятием псевдорешения связано
понятие псевдообратного Л+к оператору Л. Его можно
определить как оператор, сопоставляющий любому f^F, для ко-
торого QfeJ?(A), псевдорешение A+f уравнения (1.1). Опера-
тор Л+ линеен, но ограничен он тогда и только тогда, когда
&(A)sF замкнуто.

1.2.	Симметризация интегральных уравнений первого рода.
Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода

ь

(Au) (t) = Ж (t, s) u(s) ds = f (f) (c^.t^.d)	(1.4)

а

с вполне непрерывным оператором из Н=Ьг(а, Ь) в F=L2(c, d).
Сопряженный к нему оператор Ат действует из F=L2(c, d) в Н=
—Ь2(а, Ь) по формуле

d

(ATf)(s)— ^УСЦ, s)f(t)dt,	(1.5)

С

где черта над Ж (t, s) означает комплексное сопряжение. Сим-
метризация Гаусса уравнения (1.4) примет вид

ЛтЛи=Л7,	(1.6)

или
d	b	d

J УС (t, s) J УС (t, о) и (о) dadt = J УС (f, s) f (/) dt (a<ss^b).
с	а	с
Простейшая симметризация (1.6) хороша не во всех ситуациях.
Если о решении уравнения (1.4) известно, что оно имеет сумми-
руемые в квадрате производные до порядка т (m^l) включи-
тельно, и если мы хотим построить к нему гладкое приближе-
ние (методами, описываемыми в дальнейшем), то целесообраз-
но рассматривать оператор уравнения (1.4) действующим из
H=Wm'2 (а, Ь) в F=L2(c, d). Мы изменили только пространство,
в котором ищется решение; пространство F=L2(c, d) осталось
прежним — в приложениях правая часть уравнения (1.4), как
правило, известна с хорошей точностью в среднеквадратичной
норме. Сопряженный с J4e2’(F‘-’(<i, b), L2(c, d)), оператор
A*eS’(L2(c, d), Wm'2(a, b)) имеет вид (см. (1.5))

А=/Аг,	(1.7)

где /е2’(Е(а, b), Wm'2(a, b)) — оператор, сопряженный к опе-
ратору вложения Wm-2 в L2:

(V, w)L^=(v, Jw)wm,2 Vv^Wm-2, w^L2.	(1.8).

Действительно, (1.7) немедленно следует из (1.8):

<А«,	={и, Atv)l* = (и, JATv')wmt2 Vu^Wm'2, i'E L2.

Симметризация Гаусса интегрального уравнения (1.4) примет
вид

JATAu=JATf.	(1.9)

Структура оператора / зависит от формы скалярного произ-
ведения в Wm-2, которое можно определить по-разному. Если
положить
ь _________________________ ________

(U,w')wm,z — [w'm) (t)v™ (/) + и (/) V (/)] dt,	(1-10)

а

то J=L~', где L — дифференциальный оператор

Lu— (—1)ти(2т> + и, ит (a)=uw (b) =0 (k=m, ..., 2т— 1);

(1-Н)

область определения 3){L) оператора L состоит из функций
u^W2m’2(a, b), удовлетворяющих указанным в (1.11) гранич-
ным условиям. Действительно, (1.8) будет выполнено с

если (v, Lu)l2=(v, u)Wm2Xrv^Wm'2, u&2)(L). Последнее ра-
венство проверяется интегрированием по частям; при этом вне-
интегральные члены аннулируются за счет граничных условий.
Если положить
т b

(и, v)wm>2 =2^9/ Ф	(0 у,/) (0 dt>	(1 •12)

ро а

где веса q>(t) неотрицательны и / раз непрерывно дифферен-
цируемы, /7о(О>О, qm(t)>0, то снова J=L *, но теперь диффе-
ренциальный оператор L имеет вид

т	к I Лкп \

k=0	\	f

т

5(-i)ftJrr(^(O^(O)L-a = o,

*=/

m h ,ik~i

S(-l)*^(7H^(ft,(0)U=0 (/=1.............m).	(1.13)

k=!

В частности, при m=l

Lu = —+ <7o(0«(0,	u'(a)=u' (b) = 0;

at \ at J

при m=2

Lu=^lq2(t)^\-±(qi(t)^\+q0 (t) и (0,
dt2 \ dt2 ) dt \ dt J

u" (a) =u" (b) =0, q2 (a) w'" (a) —qi (a) u' (a) =0,

q2 (b) u'" (b)-qt (b)y' (Z>) =0.

1.3.	Метод M. M. Лаврентьева и его итерированный вариант.
Метод М. М. Лаврентьева применяют для решения некоррект-
но поставленных задач с самосопряженными неотрицательны-
ми операторами. Будем считать, что в уравнении (1.1) H—F, А—
=А*^0. Метод М. М. Лаврентьева заключается в пе-
реходе к регуляризованному уравнению

a,u-{-Au=f,	(1-14)

где a — малый положительный параметр (параметр регуляри-
зации). Обозначая через 1 тождественный оператор, имеем
<(a/ + A)tz, w>^a||u||2 VtteH, поэтому оператор al+A обратим,
II (a/+А)-1||<сГ'. Задача (1.14), таким образом, корректна, и
некорректная задача (1.1) вкладывается в семейство коррект-
ных как предельный случай при а->0.

Опишем одну итеративную модифакцию метода
М. М. Лаврентьева. Зафиксируем натуральное число т^1.
Пусть и0 — некоторое априори известное приближение к реше-
нию уравнения (1.1). Положив ы0,а=ы0, последовательно вычис-
лим uba, . . . , ита как решения уравнений

auna+Auna=aun-i<a+f (п= 1, ..., т).	(1-15)

В качестве приближенного решения уравнения (1.1) примем
элемент uma. Заметим, что в случае /п=1, и0=0 мы имеем дело
с методом (1.14).

Приближение ца= (а/ +Л)‘7 минимизирует функционал
4fa(u)=a||u||2 + <Au, ц> - <u, f> - <f, u>.
К интегральному уравнению
ь

(Au)(t)~^X (t, s)u(s)ds = f(f)	(1-16)

a

метод M. M. Лаврентьева и его итерированный вариант приме-
нимы, если ядро X(t, s) симметрично (Х(/, s)=X(s, /)) и все
собственные значения оператора А неотрицательны; тогда опе-
ратор А самосопряжен и неотрицателен в пространстве Н=
= L2(a, b). Методом М. М. Лаврентьева интегральное уравнение
(1.16) включается в параметрическое семейство интегральных
уравнений второго рода

ь

аи (/) + $ Ж([, s)u(s)ds = f(t), а>0.	(1-17)

а

1.4.	Метод А. Н. Тихонова и его итерированный вариант.
Метод А. Н. Тихонова применим к задаче (1.1) в ее общей по-
становке (без условия самосопряженности). Простейший вари-
ант метода А. Н. Тихонова заключается в отыскании
точки минимума функционала Фа(и) =a||u||H2+ ||Au—fllr2, и^Н,
где а — малый положительный параметр. Эта задача на мини-
мум равносильна определению и из уравнения

au+A*Au=A‘f.	(1.18)

Наряду с описанным вариантом метода А. Н. Тихонова
(1.18) можно применять его итерированный вари-
ант. Зададим начальное приближение ийа=и^Н и натураль-
ное число m^l и последовательно вычислим и1/х......um,a по

формулам

a«n,tx+A*Aun>II=aun_1,a+A7 (п=1, ..., т);	(1-19)

элемент ита примем за приближенное решение уравнения
(1.1).

В применении к интегральному уравнению (1.4) метод
А. Н. Тихонова (1.18) принимает различные формы в зависи-
мости от пары пространств Н и F, между которыми интеграль-
ный оператор А рассматривается. При H=L2(a, b), F=L2(c, d)
уравнение (1.18) имеет простейший вид au+ATAu=ATf, или в
развернутой форме

d______ ь	d______

au (s) + Ж (t, s) $ Ж (t, о) и (a) dadt ~^Ж (t, s)f (i) dt (a^s ^b).
c	a	c

При H=Wm'2(a, b), F=L2(c, d) уравнение (1.18) принимает вид

aLu+ATAu=ATf,	(1.20)

где L=J~' — дифференциальный оператор порядка 2т с 2т гра-
ничными условиями, форма которых зависит от используемого в
Wm’2 скалярного произведения. Если оно имеет вид (1.10), то
уравнение (1.20) примет вид

г

ь

а [(— 1 )mu<2m> (s) + и (s)] + J J -К (t, s) Ж (t, a) dt и (a) do =

a U
d_____

= s)f (t)dt (asZss^.b), (a) = u[k} (b) — 0

(k = m, ...,2m—1).	(1.21)

1.5.	Порождающая система функций методов М. М. Лав-
рентьева и А. Н. Тихонова. Рассмотрим сперва случай H=F,
Л=Л’^0 и метод М. М. Лаврентьева (1.14). Решение уравне-
ния (1.14) можно выразить в форме иа=(а/+Л)-7=^а(Л)/:, где

£»(%) = (а+Х) Л OsS/.<oo.	(1.22)

Индукцией по т легко проверить, что приближение ит,а, най-
денное по итерированному варианту метода М. М. Лаврентьева
(1.15), представимо в виде uma=(7—Л§'та(Л))г/(| + §'та(Л)/:, где
оператор gm,a(A) построен по функции

£«,«(*) = V(1 -Xga(K))W) = 4 [1 -(1 -Xge(X))m], (1.23)
Z,

/=о

или с учетом (1.22)

„/	,	/	„	\ m-i

am,a(X)=V ----— = - l-(—— )	, 0^X<oo.

(1.24)

Снимем теперь условия самосопряженности задачи (1.1) и
рассмотрим метод А. Н. Тихонова для него. Решение уравнения
(1.18) дается формулой «а=(а/+Л*4)_1Л7=£а(Л*Л)Л7, а ре-
шение уравнения (1.19) — формулой «m,a=(/—Л*Л^т,а(Л*Л))ц0 +
+ gm,a(Л*Л)Л7, где g«(X) и gm,a (X) — определенные в (1.22) и
(1.24) функции.

Систему функций ga(X), a>0, назовем порождающей
для методов М. М. Лаврентьева (1.14) и метода А. Н. Тихоно-
ва (1.18), а систему функций gm,a(X), a>0,—порождающей для
итерированных вариантов (1.15) и (1.19) указанных методов.

Лемма 1.1. Для системы функций ga(X) = (a+X)-1, a>0,
справедливы соотношения

ga(M>0,	0^1-Xga(X)==aga(X)	(OsS/.<oo),	(1.25)

sup ga(X) = a-1, sup X/’ga (X) = — a-1/',	(1-26)

0^?.<ao	2

sup V'(l-Xga(X)) = p”(l(O^p^l).	(1.27)

Доказательство основано на элементарных вычисле-
ниях.
Лемма 1.2. Для системы функций gm.a(h), а>0, определен-
ных в (1.24), справедливы соотношения

gm.« W > 0, 0^1— \gm,a (X) gm>a (X) (0 X < ос), (1.28)

sup gm,a^) = mar1, sup X%gm>a(X)sim^ar'A,	(1.29),

0«£X<oo	0^?.<oo

sup XP(1—hgm.a(ty) = ( — 'j fl--— 'j	ap (0<p^/n).

o^X<oo	\ m / \	m /

(1.30)

Доказательство. Ясно, что gm,<x(X)^O,
sS 1— Xgm a(k)	1, и с учетом (1.25) получаем

m-i

1 hgm.a (X) = (1	Kga (X)) = (1 —Xga (X)) V (1 —Xga(X))m 1

m

i=°

m-i

2 (1 - *ga (W = — gm,a (X).
m	m

/=o

Неравенства (1.28) установлены.

Первое из неравенств (1.29) очевидно, а второе доказыва-
ется так:

^V‘gm,a (X) = [ 1 — (1 — Xgm,a (Х))]% [gm,a (Х)]% <

[gm, а (X)]	.

Поскольку Хр(1—Xgm.a(X)) = [Xp/m(l-Xga(X))pn, то из (1.27)
немедленно вытекает (1.30). Лемма 1.2 доказана.

1.6.	Случай задачи с самосопряженным знакопеременным
оператором. Рассмотрим снова задачу (1.1) с H=F, А=А*, но в
отличие от п. 1.3 мы теперь не предполагаем неотрицательности
оператора А. Конечно, такую задачу, как всякую другую линей-
ную задачу, можно решать методом А. Н. Тихонова (1.18). Од-
нако здесь применима и следующая модификация мето-
да М. М. Лаврентьева: приближенное решение иа урав-
нения (1.1) определим из уравнения

iau+Au=f, а>0, i=f—1.	(1-31)

Можно применять итерированный вариант метода: по «о,0—
= и^Н последовательно вычисляем ..., цт,а как решения
уравнений

iau„,a + /l«„,a=ia«n-i,a + /: (п=1, ..., т).	(1-32)

Приближения иа и ит<а, найденные из (1.31) и (1.32), опять
представимы в виде «a=ga(X)f, Um,a=(/—Agm,« (A))«o+gm,«H)f,
по-иному выглядят лишь порождающие системы функ-
ц и й:

ga(X) = (ai + X)-‘,	—оо<Х<оо,

gm, а (X) —

/=э

____(ai)y

(ai + X)/+1

L[1_ f ai Vl
X |	\ a i + X / J ’

— oo X <^oc;
остается в силе и соотношение (1.23).

Лемма 1.3. Для указанных порождающих систем функций

sup I ga (k) I = a"1, sup |gm,a(k)| = ma-1,	(1.33)

— 30<Л<00	—0©<Х<00

sup I X |₽ I 1 - Xga (К) I = [рР (1 - Ру-р ]у‘ ар (0 < р < 1), (1.34)

—оо<А<оо

„	Г / n \ Р / п \т-Р1%

sup И |l-^.aWI= — I1- — ) аР

(0^p<m).	(1.35)

Доказательство. Равенства (1.33) очевидны, (1.34)
доказываются непосредственным счетом, а (1.35) получаются
из (1.34) аналогично предыдущей лемме. Лемма 1.3 доказана.

В случае вещественного гильбертова пространства Н вместо
(1.31) можно рекомендовать метод

u«=Reva, иа=(1а/+Л)-7	(1.36)

с использованием комплексного расширения пространства Н.
Условия (1.36) равносильны условию

a2ua + A2ua=Af,	(1.37)

и их можно трактовать как специальную вычислительную схе-
му метода А. Н. Тихонова (ср. с (1.18)). При малых а вычис-
ления по схеме (1.36), несмотря на выход в комплексное рас-
ширение, могут ввиду большей численной устойчивости оказать-
ся более целесообразными, чем вычисления по схеме (1.37).
Это связано с неравенствами || (га/+Л)-1||^а-1, II(а2/+Л)_1И
=^а-2, которые в случае Оенст(Л) превращаются в равенства.

К интегральному уравнению (1.16) методы (1.31), (1.32) и
(1.36) применимы, если ядро (t, s) симметрично.

2.	Простейшие итерационные методы

2.1.	Некоторые итерационные схемы. В предыдущем разделе
регуляризация некорректной задачи достигалась ее включением
как некоторого предельного случая (а=0) в семейство коррект-
но поставленных задач. Теперь обратимся к итерационным ме-
тодам регуляризации. Параметром регуляризации в них явля-
ется номер итерации. Дадим описание простейших итерацион-
ных методов сперва в самосопряженном случае, когда H—F, Л=
=Л*^0. Зададимся начальным приближением иа^Н, его разум-
но брать ближе к искомому точному решению задачи (1.1); при
отсутствии всякой информации о точном решении можно поло-
жить цо=О. По «о последовательно вычислим

^(AUn^-f), п=1, 2, ... (0<ц<2/||Л||).	(2.1;

Здесь ц — постоянная. Вот другая итерационная схема:

ап,,-]-Аип==аип_,-}-{, п=1, 2, . . . (a=const>0);	(2.2)
каждый шаг итерации заключается в решении корректно по-
ставленной задачи. Постоянная а здесь не обязательно мала,
регуляризация достигается за счет многократного итерирова-
ния, При меньших а для достижения цели хотя и требуется
меньшее число итераций, но сами итерации более трудно осу-
ществить — ухудшается мера устойчивости задачи (2.2). Стоит
обратить внимание на формальное сходство итерационного ме-
тода (2.2) с итерированным вариантом метода М. М. Лавренть-
ева (1.15). Однако регуляризация в этих двух методах дости-
гается по-разному: в итерированном варианте метода М. М. Лав-
рентьева за счет малости а при фиксированном числе итераций,
а в итерационном методе (2.2) — за счет большого числа итера-
ций при фиксированном а.

В общем случае несамосопряженной задачи с Ле27(//, F)
предварительно симметризуем задачу (переходим от (1.1) к
задаче (1.2)) и затем применим те же итерационные схемы, что
и выше. Таким образом, приходим к итерационным схемам

Un=«n-i-p^,(J4u„_1-f),	п=1, 2, ...	(0<р<2/||ЛII2) (2.3)

и

аип+Л*Ли„=ац„_1 + Л7,	п=1, 2, ... (a=const>0). (2.4)

В дальнейшем (2.1) и (2.3) будем называть явными ите-
рационными схемами, а (2.2) и (2.4) — неявными.

Посмотрим, как выглядят итерационные схемы (2.3) и (2.4)
в применении к интегральному уравнению (1.4). Положив Н—
= Wm2(a, b), F=L2(c, d) и приняв в Wm'2 скалярное произведе-
ние (1.10), приведем итерации (2.3) и (2.4) к виду краевых за-
дач

(—О'” u)J2m) (s) -}- «п (s) — (—1) Un-i (s) 4- un-i (s) —



— H

Ж (t, a) un-i (p) do — f (t) dt

(a^	b),

Un} (a) = Un} (b) = 0 (k = m, ... , 2m— 1), n=l,2, ...

и соответственно

г» г d___

a [(— l)”^ (s) 4- un (s)J 4- J Jj Ж (t, s) Ж (t, a) di un (a) da =
a Lc

d______

= a [(-l)X_"i’ (s) 4- un-! (s)] 4- J (t, s) f (t) dt (a < s b),

u'n} (a) = u{„ ’ (ft) = 0 (k = m, ... , 2m — 1), n = 1, 2, ... .

2.2.	Непрерывный аналог итерационных методов (мет т
задачи Коши). Рассмотренные выше итерационные мет
можно трактовать как разностные схемы решения задачи К
В самосопряженном случае (H=F, А=А*^0) речь идет о за-
даче Коши

u'(t)+Au(t)=f, u(O)=u0.	(2.5)

Пусть т — шаг по времени, и„=и(пт), n=0, 1, ... . Аппрокси-
мируя производную u'(t) разделенной разностью (u„—«„-О/т,
можно написать следующие две разностные схемы для задачи
(2.5):

—---+ Аип-1 ==f, п = 1, 2, ... (явная схема Эйлера),

т

и — и

-------- + Aun~f, п=1,2, ... (неявная схема Эйлера),
т

При т=ц явная разностная схема Эйлера превращается в ите-
рационную схему (2.1), а при т=1/а неявная разностная схе-
ма — в итерационную схему (2.2). В несамосопряженном слу-
чае соответствующая итерационным методам (2.3) и (2.4) за-
дача Коши выглядит так:

и'(0+А*Лы(0=А*Л	ы(0)=«о.	(2.6)

Разностные схемы для задач Коши (2.5) и (2.6) могут слу-
жить источником и других итерационных методов решения урав-
нения (1.1). Определенный теоретический интерес представляет
и точное решение задач (2.5) и (2.6). В качестве приближен-
ного решения уравнения (1.1) в таком случае берется решение
хс(() задачи (2.5) или (2.6); время t играет роль параметра ре-
гуляризации.

2.3.	Порождающая система функций итерационных методов.
Выразим ип через начальное приближение ил. Индукцией по п
легко проверить, что для итераций (2.1) —(2.4) имеем соответ-
ственно

= (/— |ъ4)"и0 4- 2(/-М)'>Л	(2-1')

/—О п

ип = (а (а/ + АГЧЧ + 2 [а (а/ + А)-1]/ (а/ + A)’1 f, (2.2')
/=0

«„ = (/- рА’А)п «0 + 2 (/ - М‘А)' liA-f,	(2.3')

/=° п

ип = [а (а/ + А*А)-1]" «0 + 2 (а/ + А* А)-1/ (а/ + А'А)’1 А’Д
/=0

(2.4')
Введем функции

gn w=gn.» (Ь) = 2 а - ^у и=и - (1 - m

п = 1,2....... /=°	(2.7)
Тогда 1— Ag„(A) = (l —рА)п и (2.1') и (2.3') можно представить
в виде

un=(I—Agn(A))u0 + gn(A)f, п=1, 2,	(2.8)

un=(/-XMgn(XM))u0 + gn(4M)X7,	п=1, 2, ....	(2.9)

Определенные в (2.7) функции gn,M(A) являются порождаю-
щими для явных итерационных схем (2.1) и (2.3).

Введем функции

”-1	„/	1 г / а \"1

Яп(М = Яп.а(^)=2—-1- (-ТГ ’

п = 1, 2, . . . .	(2.10)

Тогда приближения (2.2') и (2.4') тоже запишутся в виде фор-
мул (2.8) и (2.9). Определенные в (2.10) функции g„.a(A) явля-
ются порождающими для неявных итерационных схем
(2.2) и (2.4).

Лемма 2.1. Для определенных в (2.7) функций gn,n(A)
при условии (0, 2/а) справедливы соотношения

£пЛМ>0 (0^А<а; п=1, 2, ...),	(2.11)

тах §п.и(^) = Нп> max ^Agn,ti(^X (ри)’/г (п=1,2, :..),

(2.12)
max Ар | 1 — 'kgn.n (ty | Ъп~р (я = 1, 2, . .. ; 0 < р < оо),

(2.13)
где

у,, = max / (— ) , ар sup I 1—ра |пнр] < оо,	(2.14)

(\ ре,/ n>i	J

а в случае ре(0, 1/а]

Ъ=(р/(ре))р.	(2.15)

В случае це(0, 1/а], кроме того,

0^1-Agn4I(A)^(pn)-*gn,,,(A) (О^А^а; п=1, 2, ...). (2.16)

Доказательство. При Ае[0, а], це(0, 2/а) имеем
|1—цА|^1, и из (2.7) следуют соотношения (2.11), (2.12). До-
кажем (2.13). Функция <р„(А)==Ар| 1—Ag„,M(A) |=АР| 1—цА|" обра-
щается при А=1/ц в нуль, имеет на отрезке [0, 1/р] единствен-
ную стационарную точку А=р/(р(п+р)), которая является точ-
кой максимума, а при А> 1/ц стационарных точек нет. Если ре
е(0, 1/а], а Ае[0, а], то А^1/ц, поэтому

max <рп(А)^фп	} ==	(—] Рп~Р;

\ Ц (" + Р) /	\ Р / \ п + Р J
при р>1/а получаем

щах <рп (X) max J q>„ [ у

I \ и (га + р)

= max ( —^-—)	п~р, ар 11 — pa |п

Для получения оценок {(2.13), (2.14)} и {(2.13), (2.15)} оста-
ется заметить, что [п/(п+р)]п+р^.е-р, или In (n+p) — In n2Ss
>p/(n+p).

Пусть не(0, 1/а]. Левое из неравенств (2.16) очевидно, а
правое вытекает из следующей выкладки:

1

1 -	(Ь) =(1 - 1Ж)“ < (1 -	= — У (1 - рЛ)""^ :

— 2 G — Н^У И = (н«)-1 gn.n (W.

г-э

Лемма 2.1 доказана.

Лемма 2.2. Для определенных в (2.10) функций справед-
ливы неравенства

gn,a (^)	0, 0^1 — ^gn,a (^) ’С gn,n (^)

(0^Х<ос; п= 1, 2, ...),	(2.17)

sup gn>a(X) = — , sup X’/2g„,a(XX (—V (n — 1, 2, .. .),

0^X<co	Ct	C<^.<oo	\ Ct /

(2.18)

sup V(1—lgn>a(X)) <^(ap)pn-P (n>p>0).	(2.19)

0^7 <oo

Эта лемма по существу является переформулировкой лем-
мы 1.2. Лишь для получения оценки (2.19) из (1.30) следует
учесть, что (1 —(р/п))п-р^1.

2.4.	Порождающая система функций непрерывного аналога
итерационных методов. Решение задачи Коши (2.5) дается фор-
мулой

t

и (/) = е~!Аи0 4- e-'^-^fds.

о

Обозначим

t

gt (X) = J e-«-s^ds = Г1 (1 — е-«'),
о

(2.20)

(2.21)

тогда 1— kgt(k)=e	и формула (2.20) принимает вид u(t) =
= (/—Agt(A)')ul>+gt(A)f. Решение задачи Коши (2.6) запишет-
ся аналогичным образом:

u(t) = (/—A*Agt (Д’Д)) u0 + gt (Д*Д)Д7-	(2.22)

Элементарно доказывается

Лемма 2.3. Для определенных в (2.21) функций gt(k)
справедливы соотношения

gt(X)>0, O^l-Xg^X^rW) (OsS/.<oo; i>0),	(2.23)

sup (X) = /, sup %'/2gt (X) = Qt'A (t > 0),	(2.24)

O^Z,<co	С^Л<оо

sup Xp(l—Xgt(X)) = (pM)p/_p (£>0; 0^p<oo),	(2.25)

0^X.<oo
где

9= sup X-1/2(X—e-x)« 0,6382.	(2.26)

0<X<oo

3.	Класс методов регуляризации

3.1.	Определив класса методов. Дадим теперь описание клас-
са методов решения уравнения (1.1), содержащего как частные
случаи рассмотренные в разд. 1, 2 методы. Напомним (см. [45]),
что вещественнозначная функция g:[0, а]—>-Р измерима по
Борелю, если при каждом c^R множество {Хе[0, а] : g(X) sS
=Сс} принадлежит о-алгебре борелевых подмножеств R, т. е.
наименьшей о-алгебре, содержащей все замкнутые подмноже-
ства R. Комплекснозначная функция измерима по Борелю, если
ее вещественная и мнимая части измеримы по Борелю. В част-
ности, непрерывные и кусочно-непрерывные функции измеримы
по Борелю.

Пусть {gr(X)}re(o,<») — такое семейство измеримых по Боре-
лю вещественно- или комплекснозначных функций на [0, а], что

sup | gr (X) ] < yr (г>0), у = const,	(3.1)

sup Xp11 — hgr(X)|sSypr~p (r> 0; O^p^po; p0>0),

yp = const.	(3.2)

В случае H=F, Д=Д*^0, ||Д||^а приближенное решение
уравнения (1.1) построим в виде

ur=(J-AgT(A))uo + gT(A)f,	(3.3)

где и0<=Н — начальное приближение (например, u0=;0), £Г(Д) =
а

— § gr(k)dP(k) — функция gr от оператора А (см. [5]), Р(Х) —
о

спектральное семейство проекторов оператора Д. Заметим, что
измеримость gr(X) по Борелю обеспечивает ее измеримость от-
носительно всевозможных мер d<P(X)«, u>, и, v^H, а ограни-
ценность gr(K) влечет за собой ограниченность оператора £г(Д)е
«=<?(//, Н),

|grH)||< sup |gr(l)|< sup I gr(X) I yr.

В случае несамосопряженного оператора А<=3?(Н, F) пред-
варительно перейдем от (1.1) к самосопряженной задаче (1.2).
При условии ||Л||2^а можно построить приближение

ur= (I—A*AgT (Д *А)) ы0 + gr (Л*Д) Д7.	(3.4)

Систему функций {gr(M} назовем порождающей для
методов (3.3) и (3.4). Важную роль будет играть наибольшее
ра, при котором (3.2) имеет место; назовем это число квали-
фикацией методов (3.3) и (3.4). Определенную роль будут
играть и постоянные 7 и 7Р, а также постоянная у,, для которой

sup к‘/г (gr (F) | у//г (г > 0).	(3.5)

Из (3.1) и (3.2) следует V2|g,(^) | ^ [ (1+7о)тг]'Л, поэтому мож-
но положить, например, у.=[ (1 + 70)7] \ но, как правило, это
грубо. Иногда вместо постоянных 7, 7. и ур будут использованы
их асимптотические аналоги

у = Нт{г~1 sup |gf (Х)|},	у,= Йт{г-'/» sup |gr(X) |},

r-»oo	r—>oo

yp = lim {rp sup V11 — kgr (X) |}.	(3.6)

Г—*00

Приведем

1. Из
вость при

дальнейшие комментарии к условиям (3.1) и (3.2).

справедливости (3.1) при р=0 и р=ро вытекает его справедли-
всех промежуточных р с уР=уо’_(р/р»'у₽'/₽“ (О^р^ро) 

*Ро

2. Если (3.1) и (3.2) выполнены для некоторых комплекснозиачных фуик-

ций gT, то они выполнены и для вещественных частей Re gr. При переходе
от gr к Regr постоянные у, у, и ур уменьшаются, а в некоторых случаях

даже повышается квалификация метода.

3.	При Х=ц/г из (3.2) получаем Re gr(jx/r) (1—урц-р)ц-1г (jx>0,
г>0) и, фиксируя достаточно большое ц, видим, что

xr= sup |g, (X)OfJr (r>0), p = const >0.

Таким образом, условия (3.1) и (3.2) соответствуют такой «нормированной»
параметризации семейства {g"r}, что Рг^хг<уг (г>0), 0<Р^у. Мы могли
бы в основу всех рассмотрений положить более общие условия

хг | оо при г—»оо,	sup Хр | 1— Kg (X) | sgy хгр (г>0; 0 s£ps£p0).

О^Л<а	р

Однако такие условия после перепараметризации семейства (gr = gX/.) пе-
реходят в условия (3.1) н (3.2) относительно gr. С другой стороны, в целях
сравнения методов желательна одинаковая параметризация порождающей
системы функций.
4.	Определенное преимущество имеют порождающие системы функций,
определенные на [0, оо). В таком случае при построении приближений (3.3)
и (3.4) не надо думать о норме оператора А. Более того, в этом случае метод
(3.3) можно применять для решения задачи (1.1) с линейным неограниченным
оператором А—А*^0, а метод (3.4)—для решения задачи (1.1) с линей-
ным неограниченным замкнутым плотно определенным оператором А : S)(Д) с

(эти условия обеспечивают существование сопряженного Д* : 2) (А*) с
dF-^H и самосопряженность оператора Д*Д). Из (3.1) и (3.2) вытекает, что
операторы Д*Д§Г(Д*Д) и §Г(Д*Д)Д* ограничены: ||Д*Д^г(Д*Д) ||С 1+Vo,
||£г(Д*Д)Д*|| Поэтому эти операторы могут считаться продолженными
по непрерывности на все пространство Н и соответственно F, и приближение
(3.4) можно строить для любых иа<^Н, f^F.

3.2.	Обсуждение примеров. Леммы 1.1, 1.2, 2.1—2.3 говорят
о том, что рассмотренные в разд. 2, 3 методы укладываются в
рамки п. 3.1. Параметр регуляризации в этих методах по сло-
жившимся традициям был обозначен по-разному. В методе
М. М. Лаврентьева ««= (а/ + A)~lf (Д=Л*^0, а>0) и методе
А. Н. Тихонова ua=(a/+A*A)~lA*f (а>0) положим г=а~* и пе-
реобозначим через иг. Тогда эти приближения примут форму
(3.3) и (3.4) с цо=О; в силу леммы 1.1 порождающая система
функций gr(X) = (г-1 + Х)-1, г>0, удовлетворяет условиям (3.1)
и (3.2) с а=оо, 7=1, 7р=рр(1—рУ~р (O^p^l); кроме того,
7.=1/2. Это методы квалификации р0=1- Та же замена г=а-1
позволяет интерпретировать лемму 1.2 как результат о том, что
итерированный вариант метода М. М. Лаврентьева (1.15) и ите-
рированный вариант метода А. Н. Тихонова (1.19) порождены
системой функций (/.) =7^1[ 1 —(1+г7.)	г>0, удовлетворя-

ющей условиям (3.1) и (3.2) с а — оо, у = т, ур = (р/т)р(\—
— (р/т))т~р (О^р^т). Это методы квалификации р0=т.

В итерационных методах (2.1) —(2.4) параметр г принимает
лишь целочисленные значения: г=п=1, 2, .. . . Выразив ип че-
рез «о, мы придем к формулам (2.8) и (2.9), в которых порож-
дающая система функций g„(X), п=1, 2, ..., определена в (2.7)
в случае явной и в (2.10) в случае неявной итерационной схе-
мы. Тем самым рассмотренные итерационные методы тоже при-
надлежат к классу методов (3.3) и (3.4). Лемма 2.1 говорит о
том, что в случае явных итерационных схем (2.1) и (2.3) усло-
вия (3.1) и (3.2) выполнены с 7=ц, 7.=ц'/2, Ро=°° и уР, опреде-
ленном в (2.14) или (2.15) в зависимости от соотношения меж-
ду ц и а (а<оо). Лемма 2.2 говорит о том, что в случае неявных
итерационных схем (2.2) и (2.4) условия (3.1) и (3.2) выполне-
ны с 7=а"‘, 7.=а_1/’, 7Р=(ар)р, р0—оо с той оговоркой, что рас-
сматриваются только п^р-, в случае конечного а условия (3.1)
и (3.2) выполнены для всех п=1, 2, ... с уР—рр тах{ар, ар}.

Как уже отмечалось, в неявных итерационных методах (2.2)
и (2.4) удобно варьировать обоими параметрами п и а. Если
положить r—nfa, то лемму 2.2 можно интерпретировать так:
условия (3.1) и (3.2) выполнены с 7=1, fp=Pp с той оговоркой,
что делается не менее int р итераций (intp— целая часть р).
Квалификация метода будет зависеть от способа варьирования
п и а. В частности, р<>=оо, если п—^оо при г=п/а->-оо.

В непрерывных аналогах (2.5) и (2.6) итерационных мето-
дов положим r=t и переобозначим ur=u(t). Тогда формулы
(2.20) и (2.22) перейдут в (3.3) и (3.4); в силу леммы 2.3 порож-
дающая система функций gr(X)=2v_1(l—е~гК) удовлетворяет ус-
ловиям (3.1) и (3.2) с а=оо, <у=1, у.—0, р0=оо, ^Р=(р/е)р
(0<р<оо).

3.3.	Один подкласс методов. Введем иные условия на порож-
дающую систему: функции gr(K) вещественнозначны, измеримы
по Борелю и

gr (X) > 0, 0	1 — lgr (X) С gr (k)/nv, xr = sup gr(K), (3.7)

₽rs£xrCy, p=const>0, 7=const (r>0).	(3.8)

Приближенные решения уравнения (1.1) по-прежнему строим
по формулам (3.3) и (3.4). Заметим, что из (3.7), (3.8) выте-
кает (3.2) с Ро=1, Чр=р-р (O^p^l). Действительно, из (3.7)
заключаем, что

0	1 — \gr (X)	1, 0 < X (1 - У-gr (X)) < ^gr (X)/xr С 1 /ХгСр-^"1,

т. е. (3.2) выполнено при р=0 с у0=1 и при р—1 с ^i=p_1. От-
сюда следует справедливость (3.2) для промежуточных р с ур=
=Р-Р. Поскольку в (3.8) содержится и предположение (3.1),
то условия (3.7), (3.8) выделяют некоторый подкласс методов
по сравнению с основными условиями (3.1), (3.2). Указанному
подклассу принадлежат, в частности, методы, обсуждавшиеся
в п. 3.2. Подтверждение этому можно найти в леммах 1.1, 1.2
и 2.1 —2.3. Некоторое исключение составляет лишь явная ите-
рационная схема: для нее условия (3.7) и (3.8) выполнены не
при це(0, 2/а), а лишь при це(0, 1/а] (см. формулировку
леммы 2.1).

3.4.	Задача с неточными данными. Наши основные усилия
будут направлены на изучение случая с приближенными дан-
ными в задаче (1.1): вместо точных /е5?(Д) и А^2’(Н, F) в
нашем распоряжении некоторые приближения f^F и
Ап^2>(Н, F), ||/в—||Лл—При построении прибли-
жения (ср. с (3.4)) ur=(I-ApApgr(ApAJ)u» + gr(ApAp)A^
принципиальных трудностей не возникает, так как оператор
самосопряжен и неотрицателен. Более осторожным следу-
ет быть при построении приближения (ср. с (3.3))

ur — (J Af}gr (An))w0 + gr(Ai)	(3.9)

в случае самосопряженной задачи (1.1) с H=F, Д=Д*^0. Для
построения приближения (3.9) операторы Ар тоже должны быть
самосопряженными и неотрицательными (напомним, что функ-
ции gr(K) предполагались определенными на [0, а]). Обычно
аппроксимирующие операторы и бывают самосопряженны-
ми (ДЛ=Д„*), но не всегда они неотрицательны. Из неравенства
II А„—АIIи неотрицательности А следует лишь, что Ап^—г]/.
Дополнительным огрублением операторов А„ можно эту непри-
ятность преодолеть: вместо Ап можно использовать А/=Ап+гД,
для которых А/^0, IIА/—А||^2г]. Однако такое огрубление
операторов Ал можно и не проводить, если функции gr опреде-
лены и измеримы по Борелю, каждая на своем отрезке [—аг-1,
а], а>0, a^HAJI. Тогда приближение (3.9) можно строить для
ге (0, сс/т]], чего вполне достаточно для наших дальнейших це-
лей. В дополнение к (3.1) в таком случае введем условие

s'ip | gr (X) | У~г, (г>0), у" = const.	(3.10)

-а/—

Из (3.10) следует, что

sup |Х |₽| 1 — Xgr(X)|s^Ур1г~р (r>0; Os^p<oo), (3.11)

7P_==(l + a7-)ap=const.

Для методов, обсуждавшихся в п. 3.2, условие (3.10) вы-
полнено.

3.5.	Случай самосопряженной задачи со знакопеременным
оператором. Здесь рассматривается случай H=F, А=А‘; усло-
вие неотрицательности А теперь не налагается. Приближенное
решение уравнения (1.1) можно строить по формуле (3.3), если
функции gr(X) определены, ограничены и измеримы по Борелю
на некотором отрезке [—а0, а], ао^0, а>0, содержащем спектр
оператора А: ст(А)е[— а0, а]. На функции gr: [—а», а]->-С есте-
ственно наложить условия, аналогичные условиям п. 3.1:

sup |gr(A)|<yr (r>0), y = const,	(3.12)

sup |X|P] 1 — Xgr (X) ]	(r>0; 0^p^po), yp = const.

(3.13)

В силу леммы 1.3 модификация метода М. М. Лаврентьева
(1.31) и итерированный вариант (1.32) принадлежат к классу
методов, выделяемых условиями (3.12), (3.13); при этом опять
полагаем г=а-1.

Аналогом (2.2) является итерационный метод

iawn + Au„=iau„^l + f, п=1, 2, ... (i=V—1),	(3.14)

в котором a=const>0 фиксировано. Порождающая система
функций имеет вид

^0 <ai+%) 1 AL \ai-j-X/ J

Положив r—п, получаем (3.12), но вместо (3.13) выполняется
более слабое условие

sup |X |р11—Xgn(X)| ypn~pl‘t (n= 1, 2, ...; 0^р < оо).

—оо<А<оо

(3.15)
Нет естественного аналога и для явной итерационной схемы
(2.1), Для которого выполнялись бы условия (3.12) и (3.13).

3.6.	Порождение семейства gr одной функцией g. Укажем
один общий способ построения семейства gr, удовлетворяюще-
го на [0, оо) условиям пп. 3.1, 3.3. Пусть g : [0, оо)->-7? или
g : [0, со)-^С — ограниченная измеримая по Борелю функция.
Положим

gr(A)=r^(rA) (0<7.<оо), г>0.	(3.16)

Тогда 1— Agr(A,) = l— r'Kgfr'k) и условия (3.1) и (3.2) выполнены
с а=оо, если

Y== sup |g(X)|<oo,	(3.17)

ур= sup V11 — Xg (X) | < оо (О<р^ро);	(3.18)

0^А,<<зо

условие (3.5) при этом выполнено с

у,== sup Х'Л | g (к) | < оо.	(3.19)

С^Л<оо

Условия (3.7) и (3.8) выполнены с а=оо, ;р=ч=х, если

g(X)>0, 0<s 1 —Xg(X)=C АН (0^Х<ос),

х = sup g(X)<)oo.	(3.20)

Аналогично обстоит дело с выполнением основных условий,
если семейство функций gr построено по формуле (ср. с (3.16))

gT(k) =rg(rX) (—оо<Х<оо), г>0,	(3.21)

где g ; (—оо, оо)—или g : (—оо, оо)—>-С — заданная измери-
мая по Борелю функция. А именно условия (3.12) и (3.13) вы-
полнены с а0=а=оо, если

sup |g(X)|<oo,	(3.22)

—оо<Х,<ж>

Ур = sup |Xf I 1 — Xg(X)|<oo (0<p^p0).	(3.23)

Рассмотренные в разд. 1, 2 методы, за исключением итера-
ционных, порождены по схеме (3.16) или (3.21): в методах
М. М. Лаврентьева и А. Н. Тихонова g(X) = (1+ Х)а в их
итерированных вариантах g(X)=X-1[l — (14-А)-"1]; в методе
(1.31) g(X) = (i-f-X)-1, а в его итерированном варианте (1.32)
g(X)=X_1[l —im(t + X)~m]; в непрерывных аналогах (2.5) и (2.6)
итерационных методов g(X)=X~‘(l —е~к).

В качестве еще одного примера приведем метод спект-
ральной срезки, точнее, два варианта этого метода. В слу-
чае H=F, А=А‘>0 приближенные решения задачи (1.1) име-
ют вид

uT=A~l[l-P(r-l)}f,

ur=A~l [ 1~Р (г-1) ]f+гР (г-1) f.

2 Заказ № 4706

(3.24)

(3.25)

33
где P(V) — спектральное семейство ортопроекторов оператора
А; заметим, что Л обратим на подпространстве [7—Р(К)]Н, Х>0.
В случае знакопеременного оператора А=А* приближения
строятся в виде

иг=Л-‘[7-П(г-*)р,	(3.26)

иг=Л-*[/-П(г-*П+гП(г-%	(3.27)

где П(Х) =Р(Х)—Р(—X), Х>0. Приближения (3.24) и (3.25)
имеют вид (3.3) с порождающими системами соответственно

ё' (М = 0

г 1 X <( оо,
О X < г-1

И gr (X) =

I Г,

г 1 sCX оо,
OsgXs^ Г1.

Обе эти системы функций представимы формулой (3.16) соот-
ветственно с

g(k) ==

( X \ 1	Х<^ оо,

10,0 с Х< 1

и g (X) =

f X \ 1 ^Х<^оо,
( 1, OsC Х< 1.

Подсчет постоянных (3.17) —(3.19) дает соответственно, 7=7.=
= 1, 7р=1 (0<1р<оо), р0=оо и 7=7.= 1, Ъ~Рр(Р+ 1)_(р+1>
(0^р<оо), р0=оо. Кроме того, для второй из пары функций
g(X) выполнено (3.20), поэтому для метода (3.25) выполнены
условия (3.7), (3.8).

Аналогично обстоит дело с приближениями (3.26) и (3.27).

3.7.	Другая возможность симметризации несамосопряженной
задачи. Метод (3.4) основан на симметризации Гаусса — от
уравнения (1.1) мы перешли к уравнению Л*Л«=Л7 с самосо-
пряженным неотрицательным оператором Л’Л ей2 (Я, И). От
уравнения (1.1) можно перейти также к уравнению AA*z=f с
самосопряженным неотрицательным оператором АА*^3? (F, F).
Соответствующее приближенное решение имеет вид

zr= (J—AA*gr (Л Л*)) zQ + gr (ЛЛ *) f.	(3.28)

Приближения (3.4) и (3.28) тесно связаны: если ий=А*гй, то
ur=A*zT при всех г>0. Доказательство вытекает из следующей
леммы, которая неоднократно будет использована и в дальней-
шем.

Лемма 3.1. Если g — ограниченная измеримая по Борелю
функция на [0, а], А^2?(Н, F), ||Л||2^а, то

A*g(AA*)=g(A*A)A*, Ag(A,A)=g(AA")A.	(3.29)

Доказательство. 1. Рассмотрим отдельно случай не-
прерывной функции g(X) — доказательство в таком случае осо-
бенно прозрачно. Непрерывную функцию можно на конечном
отрезке [0, а] с любой степенью точности равномерно аппрокси-
мировать полиномами. Пусть е„= max |g„(X) — g(X) |->-0 при

п-^-оо, где gn — некоторые полиномы. Тогда ]|§„(ЛЛ*)—g(AA’) ||^

||£п(Л’Л)— g(A*A) ||^е„->-0. Для полинома g„ формулы
(3.29)	верны, так как

Д’(ЛА’)к=(А*А)М*, A(A‘A)ft=(AA’)M, £=0, 1, 2..........

В пределе при п^оо получаем равенства (3.29) и для g.

2.	В случае необязательно непрерывной функции g и, воз-
можно, бесконечного отрезка [0, оо) возьмем за основу поляр-
ное разложение операторов А и А”:

A=t/(A*A),;= (AA‘)'/!t/,	A*=Ut(AAy,’=(A,A)^Ut.	(3.30)

Напомним свойства встречающихся в разложении операторов
(подробнее о ним см. в [44]). Операторы | А| = (А*А)'1г^З?(Н, Н)
и |А*| = (AА*)'12^2?(F, F) самосопряжены и неотрицательны, а
оператор U^9?(H, F) и сопряженный к нему оператор
eS’ff, Н) обладают свойствами: IIt/i»|| = ||о|| для fgJ?(A*) <=Н,
Uv=0 для иеЙ(А‘)±=Л’(А)^Я, ||t/M = llz|l для z&%(A)c=F,
U*z=0 для ze5?(A)J-=A’(A*)sF (такие операторы носят назва-
ние частичных изометрий). Операторы P=U*U и Q=UU* явля-
ются ортопроекторами на 5?(А‘) и соответственно на 5?(А).

Из (3.30) следует, что UA*A=AA*U, значит, и 1?Р(к) =
— Q(k)U, где Р(Х) и Q(X)—спектральные семейства ортопроек-
торов операторов А‘А и АА* соответственно. Из интегральных
представлений g(A*A) = J g(k)dP(k) и g(AA*) =

получаем следующее равенство Ug(A*A)=g(AA*)U. Приме-
няя к обеим частям равенства оператор (АА*)71, получим на
основании (3.30) второе из равенств (3.29). Первое из равенств
(3.29) следует из второго, если поменять ролями А* и А=А**.
Лемма 3.1 доказана.

3.8.	Итеративное повышение квалификации метода. Высокая
квалификация метода является его положительным качеством.
Некоторые утверждения о сходимости методов верны лишь при
условии, что квалификация метода больше некоторого критиче-
ского значения (см., например, гл. III, разд. 3). В связи с этим
представляют интерес такие модификации исходного метода,
которые повышают квалификацию. Ниже описывается одна
такая модификация, связанная с итеративным применением ме-
тода. Рассмотрим метод (3.3) в условиях (3.1), (3.2). Пусть его
квалификация р0<оо. Зададим натуральное число т^Л и по
начальному приближению «01Г=иоеЯ вычислим т итераций, по-
строенных на основании формулы (3.3):

Agr (А)	(A) f, п=1.....т.	(3.31)

Тогда um>r представляется формулой вида (3.3): um,r=
= (/—Agm>r(A))ut,4-gm,r(A)/:, причем функции

т-1

gm.r w = 2 (! -Igr (k)lgr (X) = Х-1 [ 1 (1 — hgr W)m] (3.32)
/=э
удовлетворяют (3.1) и (3.2) при О^р^тро. В самом деле,

sup l&n.r (Ь) | У yir = yr (r > 0),
o^Z^a	.

1=3

sup Xp I 1 - KgmJ (X) I = sup V [ 1 - KgT r =

o^Z^a	o^Z^a

= [ sup Wlm I I - ),gr (X) If < (yp/m)mr-p
o^Z^/n

(r>O;O<p^mpo).

Итак, m итераций повышают квалификацию метода в т раз.

В случае метода (3.4) итерации выглядят так:

ы„,г=(/-Д’Д^(Д*Л))Ып_1.г+^(Л*Д)Л7, п=1, •  •, т. (3.33)

Квалификация метода повышается снова в т раз.

Если для базисного метода выполнены условия (3.7), (3.8),
то эти условия будут выполнены и для итерированного варианта
метода. Действительно, в силу (3.7) функции gr(Z) и 1—Xgr(X)
своих наибольших значений достигают при Z=0. Поэтому из
(3.32) получаем

gm,г (М > о, xm,r = sup gm,г (X) = mXr,
ft^Z^a

o^i-Xgm.r(X) = (i-^r(Z))m = (i-Xgr(M) — У (1-
m

/-о

0 (УЛ ГП—1

- bgr (*)Г’	— — У ( 1 -Чг W = gm.r (X),

zr m	ym.r

t. e. функция gm,r тоже удовлетворяет условиям (3.7), (3.8).

Указанный здесь способ повышения квалификации мы уже
применяли в случае методов М. М. Лаврентьева и А. Н. Тихоно-
ва (см. пп. 1.3, 1.4).

4.	Класс итерационных методов

4.1.	Основной класс итерационных методов. Дадим описание
класса итерационных методов решения уравнения (1.1), содер-
жащего как частные случаи рассмотренные в разд. 2 методы.
Пусть g : [0, a]-+R — ограниченная измеримая по Борелю функ-
ция. В самосопряженном случае (H=F, Д=Д*^0, ||Д||^а) ите-
рации строим по формуле

u^u^-g^A) (Atin-i-f), n=l, 2, ...

(4.1)

а в случае произвольного оператора А^2’(Н, F), ||Д||2^а

un=un-l—g(A*A)A*(Aun-l—f), п=1, 2, ....	(4.2)
Индукцией по п легко проверить, что приближения (4.1) пред-
ставимы в виде

«„ = (/- Ag (А))"«о + 2 (/- Ag (A))'g (А) А

/=0

а приближения (4.2) — в виде

ип = (/ - A*Ag {А’А))пий + £ (/ - A'Ag (A*A))'g (А‘А) АД,

Л=0

т. е. они имеют соответственно форму (3.3) и (3.4) с параметром
г=п и системой порождающих функций

gn (Z) = £ (1 - Zg (Z))'g (Z) = ГЧ1 - (1 - Zg (Z))nJ,

п= 1,2, . . . .	(4.3)

Лемма 4.1. Пусть функция g : [0, а]—-/? измерима по Боре-
лю, ограничена и непрерывна в точке Z=0, причем g(0)>0 и

Р8= sup |1— Zg(Z)|<l Vee(O.a).	(4.4)

ag?.<a

Тогда для определенных в (4.3) функций g„ выполнены условия
(3.1) и (3.2) с Ро=о°, причем

Т = sup g(Z), Уо=1,	(4-5)

т= lim{n-1 sup |grt (Z) |} = g (0),	(4.6)

n—»oo

у. = lim sup z% | gn (4 |} = 9 [g (0)r'/j,	(4.7)

n-»oo

0 s sup Z-'-'* (1 — е~к) яг 0,6382,

0<X<oo

yp=lim {пр sup Zp| 1 — Kgn (Z) I) =pP(g(0) e)~p, 0=Cp<oo.
n->oo o<A^a

(4.8)

Для непрерывной функции g : [0, условия леммы вы-
полнены, если

0<g(Z)<2/Z (0<£Z<a).	(4.9)

Доказательство. В силу (4.4) g(Z) >0 при Z> 0; кроме
того,

sup | 1 — Kg (Z) | = 1.

Из (4.3) заключаем, что 0<g„(Z) <Zng(7.) (O^Z^a). Значит,
выполнено условие (3.1) с постоянной у, указанной в (4.5):

sup | gn (Ч I п sup g (Z) = у/г.
Из (4.4) и равенства 1—Xg„(X) = (l — Xg(X))" вытекает спра-
ведливость (3.2) с 7о=1 при р=0. Докажем, что (3.2) выпол-
нено при р>0. В силу условия g(0)>0 и непрерывности g(V)
в точке Х=0 существует такое ее (0, а) и такая постоянная р>0,
что

₽^g(X)^y	(О^Х^е).	(4.10)

Будем считать, что 8^1/у. Тогда 0=С 1—Xg(X)	1—рХ (О^Х^

^е) и

sup X'' 11 — Xgrt (X) [ = sup Хр | 1 — Xg (X) |'!

(n x P /	n \

------) I 1-------—) =
p (rt + p) / \ n + p J

f n \P f	D \nrP t П \P

= |	| | 1-----—|	|	| e~Pn~p;

\ P / \ n + p) \ P J

здесь мы учли, что функция Хр(1 —(JX)" своего максимума на [0,
1/р] достигает в точке Х=р/(р(п + р)) и воспользовались нера-
венством

(1-(//п))"^е-‘ (n^t>0).	(4.11)

На отрезке [е, а] в силу (4.4) имеем

sup Хр|1’—Xg„(X)| = sup Xp j 1—Xg (X) ар3е =

= ap($a«p) n~p	СрП-p, cp= const;

мы учли, что •0e"n_p—>-0 при n-*-oo. В итоге условие (3.2) выпол-
нено с Чр=тах{ррр_ре~р, ср}.

Если в (4.10) е брать сколь угодно малым, то р будет сколь
угодно близким к g(0). Учитывая также, что в дополнение к
(	t \ п

(4.11)	( 1----->-е~' при п->оо и

\	п J

пр sup Хр | 1 — Xgrt (X) | sg aP'O^.p -> 0,

получаем равенство (4.8). Равенства (4.6) и (4.7) доказывают-
ся более элементарно при помощи оценки супремума в отдель-
ности -на [0, е] и [е, а] с малым е>0 с учетом близости g(X) к
g(0) на [0, е]. Лемма 4.1 доказана.

Замечания. 1. Из (4.3) вытекает, что

sup gn(X)^b-1n (b > 0; п = 1,2,...).	(4.12)

Такая оценка полезна при больших Ь. Кроме того, для любого
8>0 найдутся такие достаточно большие Ь>0 и пс, что

sup Хр|1—Xgn(X)^e/j-p прип>п8.	(4.13)

Действительно (ср. с (4.10)), 0^1— Xg(X) ^1—РХ (О^Х^а),
где р>0 и ае(0, а] — некоторые постоянные, а<р~*. Выберем
и b так, что арпр^а"^е при n.~^nt и что b^p/fi, Ьре~ье^е. То-
гда при п^пс

sup Х₽ I 1 — Xg„ (X) I аР^а < т-р,

а учитывая убывание функции Хр(1—^К)" на отрезке [Ьп~г, а],
имеем

sup Х₽ 11 — Xg„ (X) | sup Хр (1 — pX)rt

Ьп~1<.?^а

(b/n)p (1 — b^/ri)n bpe~biin~p т~р.

2.	Лемма 4.1 верна лишь в случае конечного а. Однако с не-
большой оговоркой она будет справедлива и в случае g :[0, оо)->
—>/?, если наложить некоторое условие на поведение g(Z] на
бесконечности. Достаточно, например, ч^обы выполнялось со-
отношение Х| 1—Zg(Z) | I (О<Х0^Х<оо). Условие (3;2) будет
выполняться при п^р-, форма остальных утверждений лем-
мы 4.1 не изменится.

3.	Если функция g определена и ограничена на [—а, а], то
функции gn : [—а, а]->-Я удовлетворяют условию (3.10):

sup |gn(b)|^Y'n (/г = 1,2,...),	(4.14)

-ап-'g^j

=	1)а’’,	с = sup |g(X)|.

Действительно, для Хе[—ап~1, 0] имеем
п-1	п-1

I gn (М |	211 — ^g (К) |71 g (К) । sc 2 (1 + сап1)1 с=

i=o	i=o

= [(1 + сап'1)" — 1 ] а-1п у~п.

В случае непрерывной в точке Z=0 функции g:[—а,	из

тех же рассуждений следует, что

sup |gn(X) |} ^(e“g;o) — 1)а-1,

4.2.	Подкласс итерационных методов. Выделим из класса
итерационных методов (4.1) и (4.2) подкласс, для которого вы-
полнены условия (3.7), (3.8). Нам эти условия понадобятся не
только для определенных в (4.3) функций g„(Z), но и для
функций, получаемых из (4.3) естественным распространением
на ненатуральные г^1 (см. (4.16)).

Лемма 4.2. Пусть функция g : [0, а]->2? измерима по Бо-
релю, неотрицательна и

0^1—Xg(X)	(Og^XigZa), х= supg(X)<oo. (4.15)

X	cS^a

Тогда для функций gr : [0, определяемых равенствами

gr(X)=X-'[l-(l-Xg(Z))r] (0<X^a), gr(0)=rg(0), r^l.

(4.16)
выполнены условия (3.7), (3.8) с той оговоркой, что рассматри-
ваются только значения параметра г^1:

gr(X)>0, 0< 1 — Xgr(X)^-^l (0<Х<£а), г>1,(4.17)
zr

xr = sup gr(k) = nr, г>1.	(4.18)

Кроме того, для г>р (3.2) конкретизируется так:

sup Хр I 1—Kgr(K) |	рР (еи)~р (г — р)~р (0^р<оо).	(4.19)

Утверждения сохраняют силу и при а=оо.

Доказательство. Из (4.15) следует, что

1-W)^—-Ц- (О^Х^а), (4.20)

g(0) = x= sup g(X).

Отсюда видно, что функция g непрерывна в точке Х=0 и удов-
летворяет условию (4.4). Таким образом, выполнены условия
леммы 4.1.

Докажем (4.18) для определенных формулами (4.16) функ-
ций gr. Поскольку (1—р)г^ 1—р,г при O^p^l, r^l, то

gr(X) ^V‘[l-(1-rXg(X))]=rg(K)	(0<X<a), r>l,

и мы приходим к (4.18). При этом gr(0)=rg(0)=rx=xr.

Для доказательства (4.17) надо установить оценку (см.
(4.18))

(1 -Agf(X))^(хгХ)-*[ 1-(1-Xg(X)r]	(0<Х^а), г>1.

Вместо этого достаточно убедиться в справедливости более
сильного (см. (4.20)) неравенства

(1 +xz.)-rsC (хгХ)-*[ 1-(1 +xZ)“r]	(0<Х<^а), г>1,

или

1+гхХ<: (1+xX)r (О^Х^а), r^l.

Последнее неравенство проверяется элементарно: для функции
ф,(Х) = 1 + гхХ— (1 + хХ)г с г^1 имеем фг(0)=0 и ф/(Х):С0
(0гСХ<оо). Итак, (4.17) установлено. Из него следует, в част-
ности, что функции gr(X) непрерывны в точке Х=0.

Докажем (4.19). В силу (4.20) имеем

s'Jp Хр | 1 — Xgr (X) I sup — ----= ( ——'l и-p {1-—'l

(l+zZ)r \r — Pl \ r — p]

(максимум достигается в точке Х=р/((г—р)х)). Учитывая (см.
(4.11)), что (l+p/(r—р))-г=(1—р1гУ^е~р (г>р), получаем
(4.19). Лемма 4.2 доказана.
Рис. 2. Линейная функция g(X)
удовлетворяет условию (4.15)

/ — 1/Х, II — 3/(a+3X), 111 - g(Z)-3M—

9Х/(4а=) (О^о)

Рис. 1. Условие (4.15) выполня-
ется, если график функции g(X)
расположен в заштрихованной об-
ласти

Z— 1/А, II -Х/(1+хЛ),

Геометрическая интерпретация условия (4.15) дана на
рис. 4.1.

4.3.	Обсуждение примеров. Наиболее простые итерационные
схемы соответствуют функции g(K) =p=const. А именно мето-
ды (4.1) и (4.2) в таком случае приобретают форму явных ите-
рационных схем (2.1) и (2.3). Условия леммы 4.1 выполнены,
если ре(0, 2/а); условия леммы 4.2 выполнены, если це(0, 1/а].
При g’(X) = (а+/.)“*, a=const>0, методы (4.1) и (4.2) приоб-
ретают форму неявных итерационных схем (2.2) и (2.4). Усло-
вия лемм 4.1 и 4.2 выполнены.

Из класса итерационных методов с линейными функциями
g можно рекомендовать метод с g(X) =3/а—(9/4а2)Х (0sC2.sC а).
Последняя функция удовлетворяет также условиям леммы 4.2
и является в некотором смысле экстремальной среди линейных
функций, удовлетворяющих условиям указанной леммы (см.
рис. 4.2).

4.4.	Операторная форма итерационных методов. В случае
большого количества итерационных шагов более выгодной мо-
жет оказаться операторная форма итераций (4.1), позволяю-
щая строить ип для номеров вида n=m* (fe=l, 2, ...; m^=2—
задаваемое натуральное число). По начальному оператору

C0=g(A)	(4.21)

итеративно строим операторы

Ck = Ck^{l-ACk-J, fe=l,2,....	(4.22)

/=Э
Легко убедиться, что приближения

«„=(/—ACh)u0 + Ckf (п=т\ fe=l, 2, ...)	(4.23)

совпадают с приближениями (4.1).

Операторная форма итерационного метода (4.2) имеет сле-
дующий вид:

C0=g’(B), В=А*А,	(4.24)

Ск = Ск_^(1-ВСк_у, fe=l,2........	(4.25)

/=0

un=(/-BCft)u„+CM7 (n=mh, fe=l, 2, ....).	(4.26)

Различные итерационные методы, соответствующие различ-
ным функциям g’(X), в операторной форме отличаются друг от
друга только начальным приближением Со. Например, С0=ц/
(0<ц<2/а) в случае операторной формы явных итерационных
схем (2.1) и (2.3), Со= (а/+А)-1 в случае схемы (2.2), Со=
= (а! + В)~' в случае схемы (2.4). Чаще всего схемы (4.21) —
(4.23) и (4.24) — (4.26) привлекаются с т=2 (схемы Шуль-
ца — Хотеллинга).

5.	Сходимость приближенных методов
в случае точных данных

5.	1. Случай самосопряженной задачи. Теорема 5.1. Пусть
H=F, А=А*^0, ||АII и выполнено условие (3.2). Тогда для
приближения (3.3) справедливы следующие утверждения. 1. При
каждом f^H имеет место сходимость

Aur-*~Pf при г-^-оо,	(5.1)

где Р — ортопроектор на 3?(А). 2. Если /е5?(А), то

иг-*-и. при г—>-оо,	(5.2)

где и. — ближайшее к м0 решение уравнения (1.1). Если при этом
начальная погрешность имеет вид

м0—u,=Apv, р^О,	(5.3)

то справедливы оценки погрешности

—	(р>0,р>0,р + р<ро), (5.4)

||А’(цг-ы.)||=о(г-(р+”) (р^О,	р + р<ро).	(5.5)

3.	Если /ё=3?(А) и |gr(0) |—»-оо при г->оо, то

||ur||—>-оо при Г~+-<х>.	(5.6)

Отметим, что из этих утверждений лишь оценки (5.4) и (5.5)
используют условие (3.2) в полной мере; остальные утвержде-
ния будут доказаны при ослабленных предположениях

sup 11 — ^г(М1<?о = const (г>0)>	(5.7)

1—при r->oo VXe(0, а].	(5.8)
Доказательству теоремы предпошлем вспомогательные ре-
зультаты.

Лемма 5.1. Пусть Л=Л*;5гО, ||Л||^а и выполнены усло-
вия (5.7) и (5.8). Тогда для каждого

(J—Agr(A))w-+Pllw при г->оо,	(5.9)

где Ро—1—Р — ортопроектор на Af(A) = {u^H: Лм=0}.

Доказательство. Поскольку (J—AgT (Л)) Р0о>=Р0ш,
Ро + Р=/, то достаточно показать, что (J-Agr(A))Pw^>-0 при
г->-оо. Пусть Р(Х) — спектральное, семейство проекторов опера-
тора А. Обозначив для краткости v=Pw, имеем

|| (/ - Agr (Л)) Pw||2 = j 11 - kgr (X) pd (P (X) v, v).
0

Поскольку vd-jV(A), to Z=0 является точкой непрерывности
функции <P(X)f, и соответствующая мера одноточечного
множества {0} равна нулю. В силу (5.7) и (5.8) подынтеграль-
ная функция равномерно по X ограничена и почти всюду сходит-
ся к нулю при г—>-оо. По теореме Лебега о предельном переходе
под знаком интеграла получаем || (/—Л£г(Л))Рш||->-0 при г->оо.
Лемма 5.1 доказана.

Лемма 5.2. Пусть А — А”^0, ||Л||^а и выполнено условие
(3.2). Тогда для каждого ис=Л3(Л)-1- = 3?(Л) имеет место соотно-
шение

гр||Лр(7—Л£г(Л))и||->-0 при г—>оо (О^р<ро).	(5.10)

Доказательство. По условию (3.2)

г? || Ар (/ — Agr (Л)) || ==5 гр sup Хр 11 — 7.gr (X) |< Yp (r > 0).

Поэтому соотношение (5.10) достаточно установить для какого-
нибудь плотного в 5?(Л) подмножества. В этом легко убедиться
непосредственно, но проще всего сослаться на теорему Ба-
н ах а—Ш те й н г ау з а, которая утверждает следующее. Пусть
Е и — банаховы пространства, В, Вп^З?(Е, Et). Сходимость
Впи-*-Ви при п->оо для всех и^Е имеет место тогда и только
тогда, когда эта сходимость имеет место на некотором плотном
в Е подмножестве и нормы ||В„||, п=1, 2, ..., ограничены не за-
висящей от п постоянной.

В качестве такого плотного множества возьмем ^(Лр°~р).
Это множество плотно в своем замыкании 5?(Лр»_р) =3?(Л)
(здесь существенно, что р<р0), и для любого элемента и =
=Лр»_рше5?(Лр»~р)

гр || Ар (/ - Agr (Л)) v || = гр || ЛРо (/ - Agr (Л)) ш||
Трог-!р“~р) IIw II -> 0 ПРИ г •

Лемма 5.2 доказана.
Доказательство теоремы 5.1. Из (3.3) следует, что

Aur—l=(I—Agr(A))(Aua—f).	(5.11)

Поскольку РоА = О, то на основании (5.9) получаем Аиг—f-+-
->—Pef, т. е. Aur-+f—P,J = Pj при г->оо. Тем самым утвержде-
ние 1 доказано.

Докажем утверждение 2. Пусть /еЯ!(Д), и.-ближайшее к
н0 решение уравнения (1.1). Из (3.3) следует

и— и.= {1—Agr(4 ))(«„--«.)•	(5.12)

Поскольку ц0—и.Л-АР(А), то при помощи (5.9) немедленно по-
лучаем сходимость (5.2). В случае начальной погрешности (5.3)
из (5.12) получаем

Ач(иг— и,)=А^(1—Agr(A))v,	(5.13)

Р’(«г-«,Ж sup Xw|l-Xg,(X)|M-

Отсюда на основании (3.2) немедленно получаем оценку (5.4),
а при помощи (5.10) также оценку (5.5); заметим, что элемент
v в представлении (5.3) всегда можно выбрать ортогональным
к Л’(Д).

Докажем утверждение 3. Допустим, что для некоторых г„->
—>-оо имеем ||«rr II const; покажем тогда, что [^&(А). С учетом
определения иг (см. (3.3)) и (5.7) имеем также ||^Г(1 (Д)/||
^const. В гильбертовом пространстве всякая ограниченная по-
следовательность содержит слабо сходящуюся подпоследова-
тельность; не ограничивая общности, будем считать, что сама
последовательность gTn (A)f слабо сходится: grn (А)[— ->и',п-+-
—>-оо. В силу леммы 5.1 Agrn (A)f-*-Pf, п-^оо. Из последних двух
соотношений следует, что Au' = Pf, Pft=9l(A). Теперь для полу-
чения включения fc=5?(A) остается заметить, что Ро? = О. По-
следнее вытекает из условия |g’r(0)|->oo при г—>-оо, равенства
g, (O)Pof = Pogr(A)f и ограниченности последовательности
grn (A)f. Теорема 5.1 доказана.

Дополнения к теореме 5.1. 1. Теорема 5.1 и ее дока-
зательство распространяются на случай знакопеременного опе-
ратора А=А*. Вместо (3.2) используется условие (3.13) или его
ослабления, аналогичные (5.7), (5.8); условие (5.3) примем в
виде и0—ut= | А | pv.

2. В случае а = оо и неограниченного оператора A=A*^Q
утверждения 2 и 3 теоремы 5.1 и их доказательства проходят
без изменений. Утверждение 1 и его доказательство проходят
при условии uoet25(A), из которого, в частности, следует, что
иге=2)(А) при г>0. В случае произвольного иоеН утвержде-
ние 1 сохраняет силу, если в условии (3.2) потребовать, чтобы

1; отсюда опять следует, что иг<^3)(А) при г>0. Для дока-
зательства (5.1) полезно заметить, что если начальным и
и»2 соответствуют и,' и и/, то ||Диг‘—А«г2|| ^у^-'Нмо1—и02Н- По-
этому из справедливости (5.1) для иос=2>(Л) вытекает справед-
ливость для всех и„^Н.

Укажем некоторые следствия из оценок (5.3), (5.4):

||мг—ц.||<^ур|М|/-р (О^р^ро),	(5.14)

М'/2(«г —	, М	f О р sCPo----М ,	(5.15)

||Aur—(O^p^po-l)	(5.16)

(в (5.15) и (5.16) предполагаем р0^‘/2 и соответственно р0^ 1).

Решения уравнения (1.1) минимизируют функционал

Чг(«) = <Ли, ц>—(f, и}—(и, f}, ut=H,	(5.17)

который можно записать в виде V(и) =ЧГ (и.) + ||Л,/! (и—и.) ||2. Из
оценки (5.15) следует, что

T(ur)- Т (u,)^Tp+-/J|o||2r-(2p+1) (О^р^Ро-1^).	(5.18)

В частности, при р = 0, т. е. в случае произвольного f«=52(A), име-
ем Чг(нг)—Ф(и.) ^У'/22||«о—и.||2г-1.

5.2. Случай несамосопряженной задачи. Рассмотрим теперь
случай уравнения (1.1) с произвольным оператором /1е
f=2’(//, F). Обозначим через Р^ЗАН, И) и Q^2’(F, F) орто-
проекторы соответственно на 5?(Л’)е/7 и ^i(A)^F, а через Рое

Н) и Q,^3(F, F) — ортопроекторы соответственно на
Л’(Л) и Л’(Л’). Тогда P0+P = I, Qo+Q = /. Непосредственными
следствиями из лемм 5.1 и 5.2 являются

Лемма 5.3. Пусть ||Л||2^а и выполнены условия (5.7) и
(5.8). Тогда при г->оо

(/—A'Agr(A'A) )w^Pow VweH,	(5.19)

(/—AA'gr(AA*))z^Qoz Vz^F.	(5.20)

Лемма 5.4. Пусть ||Л||2^а и выполнено условие (3.2). Тог-
да при г—>оо

г^|||д|р(/-л*л^(Л*Л))ш||^о (О=ср<2ро) ушеж(лн,

(5.21)

гР/21| | л* ]р (/ — Л A*gr (ЛЛ*)) г || -> 0 (0 < р < 2р0)

УгеЕ.Л'ЧЛУ,	(5.22)'

где |Л| = (Л’Л),/г, |Л*| = (ЛЛ*)'\

Теорема 5.2. Пусть ||Л||2^а и выполнено условие (3.2).
Тогда для приближения (3.4) справедливы следующие утверж-
дения.

1.	При каждом f^F имеют место соотношения

Aur-+Qf, A'Aur^A'j при г->оо.	(5.23)

2.	Если ф/е5?(Л), то

иг-^и. при г->оо,	(5.24)
где и, —ближайшее к ий квазирешение уравнения (1.1). Если
при этом начальная погрешность представима в виде

и0-и.^\А\^и, р^О (|А| = (Д*Д),,!),	(5-25)

то справедливы оценки погрешности

|| | А |? («г — и.) II Ур+<7)/2IIVII	(р > 0, q > 0, р + q 2р0)

(5.26)

|Pf(Ur-w.)|| = o(r-<^ (р>О,р>О,р + <?<2ро). (5.27)

3.	Если Q/s5?(A), то ||ur||->оо при г->оо.

Утверждения, касающиеся сходимости, сохраняют силу при
ослаблении (3.2) до условий (5.7), (5.8); лишь оценки (5.25) —
(5.27) используют условие (3.2) в полном объеме.

Доказательство. 1. Из (3.4) при помощи (3.29) полу-
чаем

А и -f = (I-AA*gr (АА-)) (Au0—f),	(5.28)

Д- (Д и— Г) = (/—A*Agr {A* A)) A* (Auo—f) •	(5-29)

Поскольку <2оД = О, РоД* = О, то в силу леммы 5.3 получаем (5.23).

2.	Если Qf^ft(A), то из (3.4) следует, что
иг—и,= (/—A*Agr(A*A)) (и0—и,),	(5.30)

а отсюда на основании (5.19) получаем сходимость (5.24). Если
начальная погрешность и0—и, представима в виде (5.25), то в
соответствии с (5.30) имеем

| А | “(и—и.) = | А | (I—A*Agr (A'A)) v.	(5.31)

Отсюда на основании (3.2) и (5.21) получаем оценки (5.26) и
(5.27).

3.	Пусть ||ur„ || con st при некоторых г„->оо. Покажем, что
тогда Q/e5?(A). С учетом (3.4) и (5.7) имеем также
||grfl (A‘A)A7H<const, и можно считать, что ип'==
^gTr(A*A)A*f---^и'^Н, п—гоа. В силу (3.29) Аип' =

=AA*gTu (AA*)f, и из (5.20) следует Aun'-+f—Qof = Qf, п-^оо.
Значит, Au'=Qf, Qf^?(A). Теорема 5.2 доказана.

Обсудим случай неограниченного замкнутого плотно опреде-
ленного оператора А : 0(A)cH->-F. Допустим, что (3.2) спра-
ведливо с а=оо. Тогда утверждения 2 и 3 теоремы 5.2 и их дока-
зательства проходят без изменений; утверждение 1 и его дока-
зательство проходят без изменений, если и0^3)(А), Аи0—f<=
etZ5(A*). В случае произвольного и0^Н утверждение 1 остается
в силе, если в условии (3.2) потребовать, чтобы р0^1. Тогда, в
частности, иге®(Д), Аиг—fe=0(A*') при г>0.

Теорема 5.2 может расцениваться как теорема об аппрокси-
мации псевдообратного оператора Д+. В частности, утверждения
2 и 3 можно трактовать так: gr(A*A)A*f—*A+f при г-*~сю тогда
и только тогда, когда /е^5(Д+)=5?(Д)ФЛ’(Д*).
Укажем следствия из оценки (5.25), (5.26):

||«г—u.ll^Yp/alMIr-”72 (О^р^2ро),	(5.32)

||Д«—QfH^Y(P+1)/2Mr-(p+1)/2 (О^р^2ро—1),	(5.33)

||А*(Л«-f) ||^Т(р+2)/г1|у||г-(р+2,/2 (OsCp^2po-2)	(5.34)

(в (5.33) предполагается 'Л, а в (5.34) — р0^1).

Квазирешения уравнения (1.1) минимизируют функционал

ф(«) = ||Ли—(||2,	(5.35)

который можно записать в виде Ф(«) =Ф(«.) + ||А«—Qf\\z. Из
оценки (5.33) следует

Ф (wr) — Ф («.)< y{P+1)li || и||2r-(f+D (О р < 2р0 — 1).	(5.36)

В частности, при р = 0, т. е. в случае произвольного fe=F с Qfs
е&(А), имеем Ф(иг)—Ф(,7.)^Ту22Ци0—и,\гг~'.
2 глава

ЗАДАЧА С ПРИБЛИЖЕННОЙ
ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

В этой главе изучается сходимость и быстрота сходимости при-
ближенных методов решения линейного уравнения Au = f, пра-
вая часть которого известна приближенно: вместо точного fe
е5?(А) в нашем распоряжении некоторое его приближение f6,
life—/11=^6. В таком случае в приближениях иг, введенных в
гл. II, нельзя устремлять г к бесконечности (при г->оо эти при-
ближения, как правило, расходятся). Вместо этого следует ука-
зать такое согласование г=г(б) параметра г с уровнем точности
правой части, чтобы при б—>-0 соответствующие приближения
ыГ(«) стремились к точному решению уравнения. Это согласова-
ние желательно провести так, чтобы получить оптимальные по
порядку, а при возможности оптимальные по точности методы.
Будут рассмотрены два основных способа выбора (согласования
с б) параметра регуляризации — априорный и апостериорный.
Априорный выбор г возможен, если известен класс решений (на-
пример, класс истокопредставимых решений), которому решение
при данном fc=5?(A) принадлежит. Поскольку такая информа-
ция обычно недоступна или неточна, то априорный выбор пара-
метра г имеет в основном теоретическое значение: он позволяет
выявлять принципиальные возможности метода. Более практи-
чен апостериорный выбор г по невязке: выбирается то значение
г, при котором невязка ||Аыг—/в|| сравнима с б. Этот способ осо-
бенно удобен в итерационных методах —счет ведется до того п,
при котором невязка ||Aun—f6|| будет достаточно малой. Подоб-
ное согласование г (или п) с б принято называть принципом
невязки. Оказывается, что при выборе г по принципу невязки
мы получаем оптимальные по порядку методы на классах исто-
копредставимых решений и некоторых других классах. Подчер-
кнем, что при этом сам выбор г не использует информацию об
истокопредставимости и вообще какую-либо другую информа-
цию, кроме оценки ИЛ—fl|s^6.

1.	Априорный выбор параметра регуляризации
(теоремы сходимости и элементарные оценки)

1.1.	Задача и методы решения, обсуждаемые в этой главе,
в основном те же, что и в гл. II. Итак, решению подлежит задача

Au=f,	(1.1)
где ДеЗДД, F), причем II и F — гильбертовы пространства.
Уравнение (1.1), вообще говоря, некорректно, так как никаких
ограничений о замкнутости 5?(Д) или тривиальности Л’(Д) не
накладывается. В отличие от гл. II теперь не будем считать f
известным точно. Пусть вместо f в нашем распоряжении имеется
некоторое его приближение f6^F, причем известна оценка
ц^б—где б —малое положительное число. В приближен-
ных методах, построенных в гл. II, вместо f будем использовать
f6: в самосопряженном случае (H=F, Д=Д*^0, ||Д||^а) при-
ближенное решение уравнения (1.1) имеет вид

ur= (I—AgT(A))u0+gr(A)f(l;	(1.2)

в несамосопряженном случае с произвольным A^S’(H, F),
||Д||2^а, приближенное решение имеет вид

ur= (I—A*Agr (ДМ)) u„+gr (ДМ) Д‘/о.	(1.3)

Напомним основные условия на порождающую систему фун-
кций:

sup |gr(X) (r>0),	(1.4)

sup Xp I 1 — Kgr (л) К Ург-Р (r>0;0<p^po), po>0.	(1.5)

о^Л^а

В утверждениях о сходимости допускается ослабление (1.5) до
условий

sup |1-^г(л)|<у0 (г>0),	(1.6)

1—Xg’r(X)->0 при r->oo VXG=(0, а].	(1.7)

1.2.	Случай самосопряженной задачи. Теорема 1.1. Пусть

H=F, А =А'^0, НДН^а, /с=5?(Д), ||fe—/11^6 и выполнены усло-
вия (1.4), (1.6), (1.7). Выберем в приближении (1.2) параметр
г=г(б) так, что

г(б)—>-оо, бг(б)->0 при б->0.	(1.8)

Тогда ur(S,->-u. при 5—>-0, где и. — ближайшее к uD решение урав-
нения (1.1).

Если начальная погрешность представима в виде

«о—u, = Apv, р>0, llvll^p	(1.9)

и выполнены условия (1.4) и (1.5), то при выборе

г = dppVlP+Dg-VfP+i), dp =	(!.1О)

справедлива оценка

||«г—и.||^сРр1/(р+1,бр/<р+1)>	0<р<р0,	(1.11)

cv= (p^p+O-j-p-P/fP+o^p/tp+o^i/tp+i).	(1.12)

Доказательство. Погрешность приближения (1.2) вы-
ражается формулой

« -«• = (I-Agr(A))(u0-u.)+gr(A) (ft-fy	(1.13)
Поскольку «. — ближайшее к и0 решение уравнения (1.1), то на-
чальная погрешность «0—и, ортогональна А?(А) и по лемме 5.1
агл. II

||(/—Agr(A)) («о—«.)||->0 при г->-оо.	(1-14)

Второй член в силу условия (1.4) оценивается так:

IISr(A) (Л—f)ll=^V'-6;	(1.15)

эту оценку, вообще говоря, нельзя улучшить. Этот член тем
меньше, чем меньше г, и при г->оо он стремится к оо. Итак, для
первого члена в выражении погрешности (1.13) желательны
большие г, для второго — малые. Компромисс достигается за
счет условия (1.8), в силу которого оба члена стремятся к нулю
при 6—>-0.

В случае начальной погрешности (1.9) на основании (1.5)
имеем

II (l-Agr(A)) (и-и.) || = || (J—Agr(А))A₽v||^уРг-’1М1,

что совместно с (1.13) и (1.15) дает ||«г—«.||^уРг_рр+угб. Ми-
нимизируя правую часть по г, получаем для г выражение (1.10),
а для погрешности ||«г—«.II — оценку (1.11), (1.12). Теорема 1.1
доказана.

Замечания. 1. Теорема 1.1 сохраняет силу и в случае не-
ограниченного оператора А=А*^0, если в условиях (1.4) —(1.7)
а = оо.

2.	Вполне аналогичный теореме 1.1 результат справедлив и
в случае знакопеременного оператора А=Д* с о(А)^[—а0, а],
если аналоги условий (1.4) —(1.7) выполняются на [—а0, «]•

3.	Допустим, что о(Д) = [0, а] и (1.4) справедливо со знаком
равенства. В случае выбора r($)=db~i существуют такие f6e=F,
life—fll^S, что ||«r({)—u.ll^yd при всех 6>0, т. е. сходимости
ыг(б) к м. нет. Но все же имеет место слабая сходимость
Иг(«>	>-«. при д->-0, если Л9(А) =0.

Действительно, в силу (1.13) и (1.14) дело сводится к дока-
зательству сходимости gr(t}(A)(fi—f)---->0. Поскольку

Н^г(в)(A) (f«—f)IIsCyr(6)6 = yd = const (6>0),

то достаточно убедиться, что (gr(6)(A) (f6—f), «>->-0 при б->0
для каждого и из некоторого плотного в Н подмножества. В слу-
чае Л’(Д)—0 таковым является 3?(Д): для и —Av имеем

1<Яг(б)(Д)(ЛЧ), и>| = |<Ляг(в)(Д)(Л-П, «>|^(1+у»)Мб.

4.	Если <т(А) = [0, а], а условия (1.4) и (1.5) имеют место со
знаком равенства, то для любого е>0 существуют такие
v (1Ы1=^р) и f6 (||fo—/||=^6), что в случае начальной погрешно-
сти (1.9) при всех г>0 выполняется неравенство

hr-«Jl>-^=Ac₽pi/(pH,6p/('*l> о<р^Ро,	(1.16)

где cf — определенная в (1.12) постоянная.
Действительно, возьмем такие v = р) и (||ze||=6), что
||(7—Л^г(Л))Лри||^(1—e)||(Z—Agfr(X))Xpllllu||,

IlgrHMXl — e)kr(X)||||ze||,

Re <(/ - Agr И)) Apv, gr (A) z6) > 0

(последнее неравенство достигается умножением на подходя-
щее число £, |£| = 1, что не портит предыдущих двух неравенств).
Полагая f6=f+z6 и замечая, что при сделанных, предположениях
||(/-А^г(А))Ар||=уРг-р, ||£г(Л)И=уг, получаем из (1.13)

||Ur __ « J = || (/ - Agr (A)) Apv ||2+2Re«I-Agr (Л)) Apv, gr(A)ze>4-
+ II gr (A) z61|2 > (1 - e)2 (y>-Pp2 + y2r262),

откуда

II Ur - и JI >	(ypr-Pp + yrd) >	Crp^^p/^1}-

V 2	v 2

1.3.	Случай несамосопряженной задачи. Напомним, что из
условий (1.4) и (1.6) вытекает неравенство

у, = sup(r-'/s sup Х'/! | gr (X) I) < оо.
г>о о<Х<а

Пусть Q — ортопроектор в F, проектирующий на 5?(А).

Теорема 1.2. Пусть А^З?(Н, F), ||А||2^а, Qfe5?(^4),
life—fll =Сб и выполнены условия (1.4) и (1.6), (1.7). Выберем в

приближении (1.3) параметр г = г(6) так, что

г(6)—>-оо, 62г(6)->0 при б->0.	(1.17)

Тогда иг(б)->«. при 6->0, где и, — ближайшее к «0 квазирешение
уравнения (1.1).

Если начальная погрешность представима в виде

u0—и.= |Д|ри, р>0, ||u||sCp (| А | = (А’А),/г)	(1-18)

и выполнены условия (1.4) и (1.5), то при выборе

Г = dpP2/(P»)6-2/(₽+1),	dp = (pyp/2/y.)2/(p+1)	(1.19)

справедлива оценка

II «г — u,H<cppi/(p+i)6p/(p+l’, 0<рС2р0,	(1.20)

Ср = (pi/(P-i) p-p/fp+Dj ур/,р+1’у^р+1).	(1.21)

Доказательство. Для приближения (1.3) имеем

и — и.= (l—A*Agr(A'A)) (ua—u.)+gT(A*A)A*(ff,—f)	(1.22)

(мы учли, что A*Au.=A*f). По лемме 5.3 гл. II

Ш—A*Agr(A*A)) (u0—и») ||->0 при г->оо.	(1.23)

Пользуясь полярным разложением А’= (А'А)',ги* (см. (3.30)
гл. II), получаем

кг(лм)д*||=||йГ(дм)И*д)'Лк sup ь,/,ЫЬ)|^т//’.
поэтому

||^(A’A)A*(f6-/)||^Y.r'6.	(1.24)

Из (1.22) —(1.24) на основании условия (1.17) получаем схо-
димость ||мг(в)—и,||->0 при 6->-0.

В случае начальной погрешности (1.18) условие (1.5) дает

|| (/ - A*Agr (А*А)) (и. - и,) || = || (/ - A*Agr (Д’А)) (А*.<'% ||
^¥р/2Г-р/2р

и ||«г—и.11^уР/2Г'р/2р+у.г'/!6, 0<ps^2p0. Минимизируя по г, по-
лучаем (1.19) —(1.21). Теорема 1.2 доказана.

Замечания. 1. Теорема 1.2 сохраняет силу и в случае ли-
нейного неограниченного замкнутого оператора А : Ф (А) с:77->
->F, 0(A) = Я, если в условиях (1.4) —(1.7) а = оо.

2.	При выборе r(6)=d6-2 существуют такие f^.F, ||f5—f||^
что мг(в) при б—>-0 расходится по норме. Все же при любых
fe (life—f II ^б) имеет место слабая сходимость ыг(в)--►«., б->0.

Действительно, в силу (1.22) и (1.23) достаточно показать,
что gr(e) (A’A)A*(fe—f) >0 при б->0. Последняя сходимость
вытекает из следующих фактов: 5?(А‘) плотно в 5?(А*) =РН\

II gr(S) (А*д) Д’ (fs—f) II у. [г (6) ] !/гб = y.d'11 = const (г > 0);

<gr(A*A)A*z, u> = <gr(A*A)A*z, Puy,
|<gr(e)(A*A)A*(fe—f), A*z>|	(1+уо)11г||б->О при 6->0.

Выбор r = db~z будет еще раз обсуждаться в разд. 5.

3.	Если о(|А |) = [0, а], а условия (1.4) и (1.5) имеют место
со знаком равенства, то для любого е>0 существуют такие
у (1|у|1 = р) и fe (life—fll =б), что в случае начальной погрешно-
сти (1.18) при всех г>0 выполняется неравенство

U —-!^с;Р’/(р1'1’бР/(₽+1), 0<р<2р0>	(1.25)

/2

где ср — определенная в (1.21) постоянная.

Доказательство такое же, как для (1.16).

1.4.	Применение к итерационным методам. Пусть функция
g : [0, а]->Д удовлетворяет условиям леммы 4.1 гл. II. Тогда ите-
рационные методы

un = un_l—g(A) (Aun-t—ft), n=l,2, ... (A==A’>0)	(1.26)

и

^(A,A)A’(A«n_1—fe), n=l, 2, ...	(1.27)

укладываются в рамки условий {(1.2), (1.4), (1.5)} и {(1.3),
(1.4), (1.5)} соответственно с той оговоркой, что параметр г = п
принимает только натуральные значения. С учетом асимптотиче-
ских значений постоянных (см. лемму 4.1 гл. II) y=g’(0), у.=
= 9[g(0) ]l/2, yj> = pp(g(0)e)_p, из теорем 1.1 и 1.2 получаем сле-
дующие результаты.

Теорема 1.3 Пусть H = F, А = А"^0, ||А||^а, /е5?(Д),
life—fllsCS. Остановим итерации (1.26) на некотором п = п(б).
Если п(б)->°°, бп(б)-И) при б->0, то м„(б)->и. при 6->0, где и. —
ближайшее к решение уравнения (1.1). Если начальная погреш-
ность представима в виде (1.9), то при выборе (int — целая часть)
л(б) =int(dpp,/<^+1)б-1/<p+1,), dp = pe-p/(p+1,/g-(0), справедлива
асимптотическая оценка погрешности

— II“р-6)	t/*11.	ср = (р+ 1)е-"/(р+11, 0<Р<ОС. (1.28)

6-W р1/(Р+)'б'’/ч+1>

Теорема 1.4. Пусть A^S^H, F), ||А||2^а, Qfe5?(A),
||fe—/||^б. Остановим итерации (1.27) на некотором п = п(б).
Если ц(б)-^оо, 62п(6)->0 при б->0, то мп(8)->м. при 6->-0, где
и, — ближайшее к и0 квазирешение уравнения (1.1). Если на-
чальная погрешность представима в виде (1.18), то при выбо-
ре п(б) =int(dPp2/<p'll)6"2/(p+1)), 5р = р(р+2,/(р+1) (2е) _р/(р+1>02/(р+1)/
/g(0), имеет место асимптотическая оценка погрешности

^11“^)-“*»^,;	(р-1- 1)0о/р+1)

11П1 	Cn, Сп —

б^э р1/(Р+1 б9 'Р+ь	(2ре)р/(2',+ 2’

0<р<ос. (1.29)

1.5.	Обсуждение. В условиях теорем 1.1 и 1.2 сходимость
иг(6^и» получена для любого /ей? (А) (в теореме 1.2 даже для
любого f с Qfe5?(.4)). Поэтому методы {(1.2), (1.8} и {(1.3),
(1.17)} представляют собой регуляризаторы задачи (1.1). Вве-
дем, как и в гл. 1, множества

= {и^Н: и—и0 — \А |р v, || v ||< р},	=

р>О,р>О.	(1.30)

Оценка (1.20) свидетельствует об оптимальном порядке метода
{(1.3), (1.19)} на v#ppu, при О<р^2ро и любом р>0 (см. гл. I,
п. 4.1). Аналогично оценка (1.11) свидетельствует об оптималь-
ном порядке метода {(1.2), (1.10)} на <<рр„, при	р>0

в случае самосопряженной задачи (1.1). Если ср=1, то соответ-
ствующий метод оптимален по точности на конечно, оцен-
ки (1.11) и (1.20) в таком случае должны быть неулучшаемыми.
При выводе этих оценок мы в выражениях погрешности (1.13)
и (1.22) оценили оба члена в отдельности и применили неравен-
ство треугольника, поэтому нет оснований ожидать, что оценки
будут неулучшаемыми. Мера возможной! неточности оценок
(1.11) и (1.20) характеризуется неравенствами (1.16) и (1.25).
Кроме того, неравенство (1.16) позволяет делать следующий
вывод: если (1.12) выдает ср>У2, то метод пеоптимален на
•^рри0 при всяком выборе г = г(б). Аналогично из (1.25) следует
неоптимальность метода (1.3) на при всяком выборе г =
= г(б),если (1.21) выдает ср>У2.

Есть все же методы, оптимальность которых на удается
установить на основе оценок {(1.11), (1.12)} и {(1.20), (1.21)}.
Для одного из вариантов спектральной срезки (см. гл. II,
п. 3.6) имеем ?=!, vP = рр (1+р)_(1+р), и подсчет постоянной
(1.12)	дает ср=1 при всех ре[О, оо). Таким образом, для зада-
чи (1.1) с H = F, А = А*^0 метод

ur = A~l[I—P(r-‘)]/e+rP(r-,)f6, r = p(p+l)-'p1'<p+1)6-1/(p+o
оптимален на при всех р>0, р>0.

В общем случае, переходя с помощью полярного разложения
А = £/|Л| от несамосопряженной задачи (1.1) к самосопряжен-
ной |А |« = U*f, получаем (для общего случая) оптимальный на
JtPS> метод

пг=|А|-1[/-Р(г-1)]^+гР(г-1)^Л,
Г = р(р+1)~'р1/(р+1)6-1/<р+1).

Здесь Р(Х) — спектральное семейство проекторов оператора |А |.

Для метода А, Н. Тихонова имеем (см. гл. II, лемму 1.1) у.=
= '/2, Ур = Рр(1— РУ~Р, и при р=1 (1.21) дает <^=1. Таким обра-
зом, метод А. Н. Тихонова иа= (а/+А’А)-‘А7«, а = р_16, оптима-
лен на Проиллюстрируем зависимость ср от р в случае ме-
тода А. Н. Тихонова табличкой значений:

р 0 0,1 0,25 0,5 1,0 2,0
ср 1,00 1,07 1,06 1,03 1,00 1,19

Как видно, ср при 0^р^2 близко к 1, но вопрос об оптималь-
ности метода на при р=А=1 остается открытым.

Для итераций (1.26) с помощью (1.28) получаем

р	0	0,1	0,25	0,5	1	2	3	4	оо

ср	1,00 1,01	1,02	1,07	1,21	1,54	1,89 2,25	оо

Для итераций (1.27) формула (1.29) дает следующие значения
ср:

р	0	0,1	0,25	0,5	1	2	3	4	5	оо

ср	1,00 1,09	1,11	1,08 1,05	1,01	1,01	1,02	1,05	оо

Итерационные методы заведомо не будут асимптотически опти-
мальными на J8fPPu0 при больших р, ибо ср-+оо при р-хю; при
умеренных р вопрос об асимптотической оптимальности остается
открытым. В разд. 2 мы проведем более тщательный анализ,
позволяющий ответить па поставленные вопросы.

2. Анализ оптимальности методов

2.1.	Лемма о полунормах. В [91] установлен следующий ре-
зультат: для любых гильбертовых полунорм |-|i (i=0, 1, 2) на
гильбертовом пространстве X имеет место равенство

sup | х |0 = min sup I х |0.

Этому утверждению можно придать следующую форму.
Лемма 2.1. Пусть X и Xt (z = 0, 1, 2) — гильбертовы прост-
-панства, Ci^S’(X, Х{) (i = 0, 1, 2) — линейные непрерывные опе-
раторы, причем ||СоХ||2/(||Cjxll2-!-1|С2х||2) sCc = const. Тогда

sup ||Сох|| = inf sup	||Сох||.

C.xlKl.llCjPlfel	о<«1 Мад*+:1-Ь:ад*]'/»<1

Вместо инфимума по t^(0, 1) здесь можно написать мини-
мум по te[0, 1] — он достигается.

2.2.	Наибольшее отклонение приближений. Введем множест-
во v#BPu0= {«еЯ: u—u0 = Bv, IlnllsCp}, где В — некоторый линей-
ный непрерывный оператор из некоторого гильбертова простран-
ства G в Н.

Лемма 2.2. Пусть H = F, Д=Д*^0, ||4||^а. Тогда для при-
ближения (1.2)

sup	|| Ur — U || —

ием ВРуо 7беГ,1Ии-/б1й6

= inf \\^(l-Agr(A)) ВВ' (I ~Agr(A)) +

0<t<l II t

+тЬб2бг(Л)^(Л)1Г'	(21)

Доказательство. Для приближения (1.2) и любого ue
g/1 имеем uT—u= (I—Agr(A)) (u0—u)+gr(A) (f^-Au), поэтому

sup	|| Ur — u || = sup II (/ — Agr (A)) Bv +

“e mbpu„-fi	в1йв	M^p.IHI^

+ grH)z||= sup \\p(I— Agr(A) Bv + f>gr(A)z\\.

Применим лемму 2.1, положив X=G%F, X0 = H, X, = G, X2~
= F( = H),

co\ V\=P(f — Agr (4)) Bv 4- 6gr (4) z,

\ 2 )

Cj ( v}=v, C2H=z, x=p')e% = GxF.

\ z /	\ z /	\ z /

В результате получим

sup	||«r — «11= inf sup || p(/ —

USMBpu0	0<г<1

-	Agr (4)) Bv + bgr (4) z || = iny Co

где GfXFf-t — гильбертово пространство, по составу элементов
совпадающее с GxF, но снабженное скалярным произведением,
порожденным скалярными произведениями^,v^)Gt =t<(vl, v2)G,
= (1—z2>F. Сопряженный к (GtXF^i, H)
оператор CQ"^S> (Н, GtXFi-t), как легко проверить, действует
по формуле

С Q U - I	_	j , W k..L_ 11,

\{\—t)~^gr(A)u	/

Значит,

II Со	= II С«с; || 1н.н) = II ГУ (/ - Agr (Д)) ВВ* (I -

-	Agr(A)) + (1 - tYWgr (Д) ~gr (Д) ||^(/ЛН),

и мы приходим к равенству (2.1). Лемма 2.2 доказана.

Лемма 2.3. Для приближения (1.3)

sup || иг — и || = inf II — р2 (/ —

ые>иврЫ(|,/6еГ,|1Л“-М11=£б	o<i<i|l t

— A*Agr (Д’Д)) ВВ- (/ — A* Agr (Д*Д)) +

+тЬб2я'(Д‘Д) л’л^и’л)|[/!-

Доказательство вполне аналогично доказательству
леммы 2.2.

2.3.	Наибольшее отклонение в случае класса истокопредста-
вимых решений. Введем дополнительное условие (см. гл. II,
п. 3.6)

gr(A) =rg(rk) (0=£Д<оо), г>0,	(2.2)

где g: [0, оо)->7? — такая измеримая по Борелю функция, что

у= sup |g(X)|<oo,

(2.3)

Yp= sup Ар| 1 — Xg(А,) | < ос (О^р^ро), Ро>°-

0^Х<со

Положим В= | Д |₽, р>0, т. е. в качестве ЯВ9Щ: рассмотрим опре-
деленное в (1.30) множество ^ррио.

Теорема 2.1. Пусть H=F, Д = Д’^0 и выполнены условия
(2.2) и (2.3). Тогда для приближения (1.2) при

r = dpi/<P+^"1/(pvl), d>0	(2.4)

справедливо равенство

sup || Ur - и || =	р1/(р+1) бр/(р+1),	(2.5)

где

CdFp&= inf sup <fp(d, Лр),	(2.6)

0</<! цеа(1/р1/(Г+1'в-1/.Г+1)Д)

фЖ t, p) = [Т-р | h (p) |2 +	| g (p) |2p,

/i(p)= 1 — pg(p).	(2.7)
Доказательство. Формула (2.1) приобретает вид

sup || иг — «||= inf sup Г— p2A,"p | 1 —
°<!<l ?-отЛ) L 1

- rkg (Л) I2 +	I g (rX) I2 ]1/2 =

= inf sup Г-у p2 (p/r)2p I h (p) I2 + —62r21 g (p) I2T’ •
o<«i u=cM| L ‘	1 — ‘	-I

При г из (2.4) это дает (2.5). Теорема 2.1 доказана.

Пренебрегая тонкостями, вызываемыми спектром оператора
А, можно рекомендовать такое значение d в (2.4), при котором
достигается минимакс

inf inf sup q>p(d,t,ii) = Cp.	(2.8)

d>0 0</<l 0^H<oo

Тогда вместо (2.5) получаем

sup	IK —u||^cApV(p«>6p/:₽+1).	(2.9)

u&WppUoJ6SF,||4M6lhg6

Заметим, что при pe(0, p0] функция фр'Ф, t, p) ограничена
no p.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.2) и (2.3). Тог-
да для приближения (1.3) при

r = dp2/(₽+1)5_2/(p+1), d>0	(2.10)

справедливо равенство (2.5),в котором

£drp6= inf	sup	<pp(d, t, p),	(2.11)

0</<l	йр"/(Г+Гв--’/(Г+1'Л»Д)

чШц)= рф(р)|2 + -lx|g(p)|2]'/! •	(2.12)

Доказательство аналогично доказательству теоре-
мы 2.1.

Пренебрегая опять тонкостями, вызываемыми спектром опе-
ратора А*А, можно рекомендовать выбор параметра (2.10) с по-
стоянной d, при которой достигается минимакс

inf inf sup <р2 (d, t, p) = cp.	(2.13)

d>o o«<i е<:ц.<со

Тогда вместо (2.5) получаем оценку (2.9) с сР, определенным в
(2.13). Заметим, что при ре(0, 2р0] функция фр2(с1, t, р) ограни-
чена по р.

„2.4. Стационарные точки. Знание стационарных точек функ-
ций фр‘(4/, t, р) и фр2(d, t, р) облегчает решение минимаксных
задач (2.8) и (2.13).

Лемма 2.4. Пусть функция g(X) непрерывно дифференци-
руема и удовлетворяет (2.3) и пусть функция /i(A,) = 1— Xg(A,)
строго убывает, /i'(A.)<0 (0^/.<оо). Тогда при	фун-
кция фР*(сС t, р) имеет в области d>Q, 0</<1, р>0 единст-
венную стационарную точку, а именно точку с координатами

d = /l-‘(l/(p+D), /=1/(р+1), ц = /1-*(1/(р+1)).	(2.14)

Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу на-
ложенных условий функция h переводит (0, оо) взаимно одно-
значно на (0, 1).

В (2.7) проведем замену g(p) =р-1(1—й(р)). Приравнивая
к нулю первые частные производные t, р) по d, t и р, по-
лучаем для определения стационарных точек условия

— 2рГМ“2р-1 р-+2 (р) + 2 (1 — 0~Ж2 (1 — h (р))2 = О,

— Г2(Г-рц-рИ2 (р) + (1 — ty2 d2y~2 (1 — h (р))2= О,

Г1сГ2р [грр;-'7-1/!2 (р) + 2р2рй (ц) h' (р)] + (1 — ty'd2 [— 2ц’3 (1 —
- h (р))2 - 2р“2 (1 - h (р)) h’ (ц) ] = 0.

Первые два уравнения представляют собой линейную однород-
ную систему относительно p2j7z2(p) и р~2(1 — й(р))2, поэтому в-,
стационарной точке

— 2рГ1бГ2р"1 2(1— tyrd

-t~2d--p	(1— ty2d?

откуда /=1/(р+1). Если умножить первое уравнение на d, та
совместно с третьим оно представляет собой линейную однород-
ную относительно f-1d"2p и (1—t)~ld2 систему, поэтому в стацио-
нарной точке

— 2pp'2p/i2(p)	2ц’2(1—/i(p))2

2рр’р-1Л2 (р) + 2p2₽/i (р) h’ (р) — 2р~3(1 —Мр))2— 2р~2(1 —

- 2р|ГгЛ2 (р)

—/г(р))й'(р)

ИЛИ

— p/i2(p)	(1— /1(р))2

/t(p)/i'(p) — (1 —/i(p))/i'(р)

Учитывая, что 0</г(р)<1, /i'(p)=#0 при 0<р<оо, получаем
для р уравнение /i(p) = 1/(р+1), откуда р = h~l(1/(р+1)). Нако-
нец, из первого уравнения с учетом найденных значений t и р
получаем d=h~'(\/(р+1)). Лемма 2.4 доказана.

Аналогично доказывается

Лемма 2.5. Пусть выполнены условия леммы 2.4. Тогда
при 0<р + 2р0 функция q>P2(cf, t, р) имеет в области d>Q, 0<
<Д<1, р>0 единственную стационарную точку, а именно точку
с координатами (2.14).

2.5.	Условия оптимальности методов. Теперь мы в состоянии
сформулировать и доказать центральные результаты раздела.

Теорема 2.3. Пусть Н=Е, Л = А’^0 и пусть функция
[0; оо)->7? непрерывно дифференцируема и удовлетворяет ус-
ловиям (2.3), причем функция /i(X) = l-Xg(X) строго убывает,

(0^/.<оо)- Если при некотором ре (0, р0]

^(p) = (p+l)[/i-1(l/(p+ 1))]“;W4u) +

+ (p4-l)p-1[ft’1(l/(P + l))l2g2(p)^l (0Ср<ос),

(2.15)

то для приближения (1.2) с порождающей системой функций
(2.2) при

r=/i-‘(l/(p+l))p,/(p+,)6-|/(p+1’	(2.16)

справедлива оценка

sup hr — «Kp^l’6p/f+1*,	(2.17)

us M f pu0’f6в|Й 6

т. e. метод {(1.2), (2.16)} оптимален по точности на Жррщ по
крайней мере для тех 6>0, для которых (б/р)1/(р+1)еа(Л) (см.

п. 4.1 гл. I). Если же неравенство (2.15) при некотором це
е[0, оо) нарушено, то для операторов Л =4*^0 с <г(Л)э[0, е],
е>0, при достаточно малых б>0 и всех г>0 имеет место нера-
венство

sup	\\иг — и||>р'(^1’бр/(р+1),	(2.18)

«е «;Pu,-MeF,||Af-fe!|^e

т. е. метод (1.2) не будет оптимальным на J8fpp„o ни при каком
выборе параметра г=г(6, ^рр„э).

Точка p, = h~'(1/(р+1)) стационарна для фР‘(р), и

^1(Л-,(1/(р+1))) = Е	(2.19)

Доказательство. В силу теоремы 2.1

bf	sup \\ur — и || = Cppj р’/(р+1’бр/(рь11,

r>o u=>KfpU(i,f6=F,||4«-/6ll^e

где сР(Л— inf cdppe^cp, a cp определен в (2.8). При этом сР(Л-+ср
d>o

при 6->0, если о(Л) = [0, е], е>0. Если ср=1, то при соответст-
вующих d и г (см. (2.4)) имеем оценку (2.17); если же ср>1,
о(Л) = [0, е], а б>0 достаточно мало, то при всех г>0 имеем
неравенство (2.18). Таким образом, суть доказательства теоре-
мы заключается в установлении равносильности условий (2.15)
и ср=1.

Элементарный подсчет показывает, что фр‘(Д h(d), d) = \ при
всех d>0. В частности, в стационарной точке (2.14)

^-‘(l/tp+l)), 1/(р+1), /г-*(1/(р+1))) = 1.	(2.20)

Нетрудно убедиться, что функция [<рР‘(Д t, ц)]2 =
=d~2pf-,p,2?/i2(g)+6/2(l—/)-*£2(ц) строго выпукла по совокупно-
сти переменных d и t, поэтому в стационарной точке она дости-
гает минимума: [фр‘ (d, t, h~l (11(p+1))) ]2> 1 при всех (d, t)^=
^(^“‘(l/h+l)), l/(p+l)). Значит, равенство cp=l имеет место
тогда и только тогда, когда фр*(h~l(1 /(р+1)), 1/(р+1), ц)^1
(0^[i<oo) (минумум по d и t в определении ср (см. (2.8)) тог-
да достигается при d = 7i~'(l/(p+l)), t= 1/(р+1)). Последнее
неравенство равносильно условию (2.15), так как

Фр (И) = [Фр (ft’1 (1/(Р + 1)), W + 1), и)]2-

(2.21)

Итак, ср=1 тогда и только тогда, когда выполнено условие
(2.15). Этим завершено доказательство оценок (2.17) и (2.18).

Утверждение о стационарной точке функции фр‘(ц) вытекает
из леммы 2.4 и равенств (2.20) и (2.21). Теорема 2.3 доказана.

Теорема 2.4. Пусть А^З?(Н, F) и пусть функция
g. [0, оо)—>7? удовлетворяет перечисленных в теореме 2.3 усло-
виям. Если при некотором ре(0, 2р0]

Ф^(р) = (р + 1)[Г1(1/(Р+ 1))]’W(P) +

+ р-1(р+ 1) hr1 (1,(р + 1))ро2([1)=С1 (0sCp<oo),

(2.22)
то для приближения (1.3) с порождающей системой функций
(2.2) при

г = /г-,(1/(рт1))р2/<г+1,6-2/(р+1>	(2.23)

справедлива оценка (2.17), т. е. метод {(1.3), (2.23)} оптимален
по точности на ^#ррио по крайней мере для тех 6>0, для которых
(6/р)2/<р+1,ео(Л*Л). Если же неравенство (2.22) при некотором
це[0, оо) нарушено, то для операторов А^2’(Н, F) с о(Л*Л)э
Э[0, е], е>0, при достаточно малых д>0 и всех г>0 имеет
место неравенство (2.18), т. е. метод (1.3) не будет оптимальным
на J(ppu:, ни при каком выборе параметра г = г(б, ^#рри,).

Точка ц = /г_‘(1/(р+1)) стационарна для фр2(р), и

Фр (/Г1 (1/(р + 1))) = 1-	(2.24)

Доказательство аналогично доказательству теоре-
мы 2.3.

2.6.	Оптимальность методов М. М. Лаврентьева и А. Н. Ти-
хонова. Метод М. М. Лаврентьева

Ыа=(а/ + Л)-.^в (а=г-*; Л=Л*>0)	(2.25)

укладывается в схему методов {(1.2), (2.2)} с «о = О, g(Z) =
= (1+Х)-1. Метод А. Н. Тихонова

иа=(а/+Л-Л)-‘Л7в (а = г-‘)	(2.26)

укладывается в схему методов {(1.3), (2.2)} с «о = О и той же
функцией g'(X). Условия (2.3) выполнены с р0=1; функция
§(/.) = (1+А.)-1 удовлетворяет и прочим ограничениям теоре-
мы 2.3. Условия (2.15) и (2.22) в данном случае принимают соот-
ветственно вид

^*(p) = (p+l)(p-2Vp + P) (1 + ц)-2^1 (0^ц<со),	(2.27)

V(p) = (Р+1) (р-рРр+ц) (1+р)-2^ 1 (0<^ц<оо).	(2.28)
Элементарный анализ показывает, что условие (2.27) выпол-
нено для /к=(0, рА], где рЛ=72(У5—1) «0,618; для р>рЛ имеем
и. 1(0) = (p+l)P> 1- В данном случае Л(Л) =g'(A) = (1+Л)
й~‘(1/(р+1)) =Р- Таким образом, метод М. М. Лаврентьева
(2.25) с выбором параметра а=р_‘р_1/(р+1)61/(1’+1) при 0<р=Срл
оптимален на ^#РР ppuo-

sup ||ua-uKP1/(ptl,6P/(r+11-	(2.29)

«=лр₽.^е/7.1И«-М11^б

При р>Рл метод М. М. Лаврентьева не будет оптимальным па
jfpp ни при каком выборе а = а(6, ^#РР); при р>1 он теряет даже
оптимальный порядок.

Нетрудно убедиться, что условие (2.28) выполнено при
0<Zp^2. Таким образом, метод Л. Н. Тихонова (2.26) с выбором
параметра а = р-,р~2/(р+,)62/(₽+1) при 0<р<2 оптимален на Ярр,
т. е. справедлива оценка (2.29). При р>2 метод А. Н. Тихонова
теряет оптимальный порядок на Jtpp.

2.7.	Оптимальность непрерывного аналога итерационных ме-
тодов. Непрерывные аналоги итерационных методов (методы за-
дачи Коши)

u'(t)+Au(t) =f6, u(0)=uo (Z = r; A = A’^0)	(2.30)

и

и'(t)+A*Au(t) = A'f6, u(0)=uo (t = r)	(2.31)

укладываются в рамки методов {(1.2), (2.2)} и {(1.3), (2.2)}
с g'(A)=A_|(l~е~к), !i(k)=e~K. Условия (2.3) выполнены с р0 =
= оо; выполнены и прочие условия, наложенные па эти функции
в теореме 2.3. Условия (2.15) и (2.22) в данном случае прини-
мают вид

tp(Н) = (Р + 1) {Un (1 + p)]-LVpe-^ + р^ [In (1 + р)]2 р’2(1 -

— е^)2}<1,	(2.32)

tp(H) s(P+ 1) {[In (1 +р)Г>е-:и + р~1[1п(1 +р)1 р'Ч!-

— е-^)2}С1.	(2.33)

Аналитическое исследование этих условий наталкивается на
определенные трудности, поэтому производилась проверка на
ЭВМ. Условие (2.32) заведомо нарушено при р>рь где р!«
» 1,043 — решение уравнения фР‘(0) = (р+1)р-‘[ln( 1+p) ]2= 1.
С другой стороны, численная проверка показала, что при 0<р<;
г$Р1 условие (2.32) выполнено. В данном случае /i~*(l/(p+l)) =
==1п(1+р). Таким образом, метод (2.30) с моментом останова
г=1п(1+р)р1/(р+,?б-’/(р+,> при 0<р<р, оптимален на v#ppu„:

sup ||и(/) — u|l^pl/<p+l'6p/;f41).

“е-игрИо.Гбег.1ИМб|йб

(2.34)

При р>р, метод задачи Коши (2.30) не будет оптимальным на

*^o>pu0 ни при каком выборе момента останова t=t(b,

Условие (2.33) заведомо нарушено при р>р', где р'«7,172 —
решение уравнения рг—4р 1п(р+1)+2[1п(р+1) ]2 = 0, а именно:
при ,р<.р' стационарная точка p, = /i_1(l/(p+l)) = 1п(1+р) для
фр2(ц) является точкой максимума, а при р>р'— точкой мини-
мума. Однако проверка на ЭВМ показала, что условие (2.33)
выполнено лишь при 0<р^р2, рг~7,124. Таким образом, метод
задачи Коши (2.31) с моментом останова / = 1п(1+р)р2/(р+1) •
,§-2/(р+1) прИ о<р^р2 оптимален на Jtppua, т. е. справедлива
оценка (2.34). При р~>р2 метод (2.31) не будет оптимальным на
^РРи„ ни при каком выборе момента останова t = t(8, Мрри^-

2.8.	Асимптотическая оптимальность итерационных методов,
как будет показано ниже, имеет место на тех же множествах
v#ppu„, на которых непрерывные аналоги этих методов оптималь-
ны (см. п. 2.7).

Теорема 2.5. Пусть H=F, Д=А*^0, ЦАЦ^а и функция
g-.[О, a\-+R удовлетворяет условиям леммы 4.1 гл. II. Тогда при
1,043 для итерационных приближений

u„ = un_t—g-(A) (Aun_t—f8), n=l, 2, ...	(2.35)

с остановом на

n=n(6, p, p) =int{ln(l+p) [g(0) ]_1p1/(p+1)6_1/(p+1)}	(2.36)

справедливо соотношение

sup „ .Kte.p.pi—“II

lim USMpP“^sp№tt	1,	z2.37)

6-H	pl/IP+l'gp/f-P+l)

т. e. метод {(2.35), (2.36)} асимптотически оптимален на v#ppuo.

Теорема 2.6. Пусть Age2’(/7, F), ||А||2^а и функция
g:[0, удовлетворяет условиям леммы 4.1 гл. II. Тогда при
0<р^р2л;7,124 для итерационных приближений

un = un-i—g(AtA)A*(Au„-1—f6), п=1,2, ...	(2.38)

с остановом на

n = n(6, р, р) =int{ln(I+p) [g(0) ]'*р2/(р+1)6~2/(р+1>}	(2.39)

справедливо соотношение (2.37), т. е. метод {(2.38), (2.39)}
асимптотически оптимален на Лрри,..

Доказательство теоремы 2.5. Итерационный метод
(2.35) включается в класс методов (1.2) с порождающей систе-
мой функций (см. п. 4.1 гл. II)

gn (X) = V (1 - bg (Wg (X) = 4- [1 - (1 - Xg (X))"],
/=о

n = l,2......

По лемме 2.2

sup	\\Un-~ и\\ =

U—M	f 6^=^.

= inf sup Ц-р2^!1 —	+

0<«1 к=а(Л> L ‘	I — t	J
sup \(Р + 1) р2+₽ I 1 - lgn (X) |2+ £±J b2 I gn (Ь) I2?
L	P	1

max sup (p+ l)p2V-p 11— Xgn(ty|2+	b21 g„(X) |2j

ftp + 1) pW4(тГН <n >n^-

L	p \b / j }

Мы положили /=1/(p+1), а затем воспользовались неравенст-
вами (4.12) и (4.13) гл. II. Здесь е>0 —сколь угодно малое чис-
ло, а Ь и пе — достаточно большие числа, зависящие от е. Для
п=я(б, р, р), указанного в (2.36), при достаточно малом е и до-
статочно большом b имеем

Г(р 4- 1) р2е2п_,р + £-±-1S2 (у)2]'4 р’(р+1)6р/(р+1),

и для доказательства (2.37) остается оценить величину

s„ (б, р, р) = sup [(р+ 1)р2Х?р | 1—Xg„(X) |2+	b21 gn(X) |f .

[	р	.1

В условиях леммы 4.1 гл. II имеем g„(X)^0 (0<+^а); кроме
того, 1— ?.g„(X) = [1— Xg(X)]n>0 (0С?<а), где ае(0, а] не за-
висит от п. Вводя замену Х=ц/л, получаем

s«(6, р, р)= sup Г(р + 1) р2я-2ф’р (1 — — g f—+

L	\ п \ п !)

Ввиду непрерывности g(X) в пуле имеет место сходимость

max

— e~«( )н

->0

при п —ОС,

и при п=п(б, р, р), указанных в (2.36),

lim	=== SUP «Р + ’)[1п + P)]~ip ^(°) №р^<^+-

б-н) pl/(p+i)gp/(pti) с<ц<ь

+ £±l[ln(l +р)]2 [g(0)рГ2(1-е-^у}'Л= sup [^(g(0)p)]'+
Р	(ЙЙИ'ё6

(см. (2.32)). Поскольку грр*(ц) < 1 (OsgZpCoo) при 0<р^р1г
то при таких р имеет место соотношение (2.37). Теорема 2.5 до-
казана.

Выбор d = ln(l+p) [g(0)]_I в (2.36) и /=1/(р+1) в ходе рас-
суждений был продиктован тем, что стационарная точка (точка
максимума в случае ОСр^р,) функции <pP‘(d, t, ц) для непре-
рывного аналога (2.30) итерационных методов имеет вид (см.
(2.14)) d=ln(l+p),/=1/(р+1), р = 1п(1+р).

Доказательство теоремы 2.6 вполне аналогично до-
казательству теоремы 2.5; вместо леммы 2.2 используется лем-
ма 2.3.
3.	Апостериорный выбор параметра регуляризации
(принцип невязки]

3.1.	Границы изменения и свойства невязки. Чтобы правиль-
но сформулировать правила выбора параметра регуляризации
г по невязке ||Aur—fe||, надо хотя бы приблизительно знать гра-
ницы ее изменения. Практический выбор г упрощается, если не-
вязка ||Аиг—fe|| является непрерывной монотонной функцией
от г.

Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (1.4) и (1.6), (1.7).
Тогда как для приближения (1.2), так и для приближения (1.3)

Иш || Aur — fell = || Аи0 — fa ||,	(3.1)

Г—*0

lim || Aur — fe || = inf || Au — f6||,	(3.2)

а для приближения (1.3), кроме того,

lim || A* (Aur - f6) || = || A* (Au0 - fe) ||,	(3 3)

lim || A’ (Aur-M||=0.	(3.4)

T—»oo

Если выполнено условие

11—	^£г2(л) I С 11— Xgn(X) |	(0C?.Ca) при 0<r,Cr2l (3.5)

to ||Aur—fe||, а для приближения (1.3) также ||A* (Aur—f6) || явля-
ются невозрастающими функциями г. Если выполнено условие

grn (Х)->£г(М при r„-»r>0 VXge[0, а],	(3.6)

то ||Aur—fe||, а для приближения (1.3) также ||A"(Aur—/б)|| не-
прерывны по г.

Доказательство для приближений (1.2) и (1.3) про-
дится по единой схеме, и мы ограничимся случаем приближения
(1.3), о котором сформулировано больше утверждений. В силу
(1.3) и (1.4) ||ur—Uoll^yllA’O'e—A«o)llr и иг-+и0 при г->0. Отсю-
да следуют (3.1) и (3.3). Соотношения (3.2) и (3.4) следуют из
утверждения 1 теоремы 5.2 гл. II; заметим, что ||f—Qf|| =
= inf ||f—Au|| Vf^F. Далее, в силу леммы 3.1 гл. II
иен

Aur—f6= (I—AA'gr (АА’)) (Аи0-Л),	(3.7)

А’(Аиг—fe) = (/—А*А^г(А‘А))А,(Ам|)—fe).	(3.8)

Значит,

а

\\Aur-f6f=^\\-Kgr^d(Q^)Z,z), г=Ди0—fe,
о

II А* (Аиг - ft) ||2 = J | 1 - Igr (X) \>d {P (1) v, v\ v = A* (Au0-fe),
0

где P(X) и Q(X) — спектральные семейства проекторов для one-
64
раторов А*А и АА* соответственно. Отсюда и из (3.5) вытекают
утверждения леммы о монотонности \\Аиг—fell и ||Д*(Диг—fa) II
ПО г. Поскольку функции 11—A,gr(A,) |2 на [0, а] ограничены не
«зависящей от г постоянной у02 (см. условие (1.6)), а по условию
(3.6) при гп->-г>0 имеет место поточечная сходимость
(А,) |2->-| I— Xgr(X) |2, Age[0, а], то по теореме Лебега по-
лучаем также l|A«r„-fe||->l|Au-fell,	||Д‘(Д«г„ —f.) |1->

->||Д*(Д«,—/в) 11, т. е. ||A«r—fell и ||Д‘(Аи,—f6) || непрерывны по г.
Лемма 3.1 доказана.

В случае линейного неограниченного замкнутого плотно определенного
оператора А :	соотношения (3.1) и (3.3) несколько изменятся.

Допустим, что выполнены условия (1.4) н (1.5) с ро5=1- Тогда для прибли-
жения (1.3) при г>0 имеем иг^Ф(А), Aur—fe,t=3)(A*),

( || Аи0 — /. ]], если и0 е S) (Д),
Ит||Д«г-/в|| =	(3.9)

r_»0	I ос	в противном случае,

1|| Д* (Ди0 — /в) 1Ь еслн "о 6 (Д), Аи0—f6eS) (Д*),
Пт || Д* (Аиг — f6) |1 = I
г-*о	I оо	в противном случае.

(3.10)

Для приближения (1.2) в случае неограниченного оператора Д=Д*5=0
соотношение (3.1) заменится на (3.9). Остальные утверждения леммы 3.1. со-
храняют свою форму.

3.2.	Правила выбора параметра регуляризации. Допустим,
что fe5?(A), ||fe—f|^6. Тогда по лемме 3.1 для приближений
(1.2) и (1.3) имеем

Нт || Aur - f61| = inf || Au - f6 КII fe - f II =C 6.
r-*oo	U^H

Эта оценка, вообще говоря, неулучшаема: если f6—fGEAa(A‘),
life—f 11 = б, то (Au—f, f—ft) = O и

inf J Au - fe || = inf (|| Au +	||2)>/. = || f5 - f И = 6.

u^n	u^H

Но если Л°(Д*) =0, то^(Д)=Еи lim ||Aur-fe|| = 0.
r—>30

Укажем теперь количественную характеристику невязки тех
приближений иг, которые мы будем считать приемлемыми.

Правило П. Зададим числа &,>1 и	Если

l|Aw0—f6||^.b26, то положим г=0 (т. е. за приближенное решение
Уравнения (1.1) примем начальное приближение м0). В против-
ном случае выберем такое г>0, для которого

M^IIAu— fell<M.	(3.11)

Правило П'. Зададим. числа б>1 и 0е(О, 1). Если
||Ам0—fe||^&6, то положим г=0. В противном случае выберем
любое такое г>0, что

М«,—fell==£f>6,	(3.12)

||Дмг—ftW^bb для	некиюрого r'GE[0r, г].	(3.13)

3 Заказ № 4706	<.
В действительности здесь указаны лишь общие принципы
выбора г, а не алгоритмы их осуществления. Алгоритмическая
реализация правила П' особенно удобна в случае итерационных
методов: если итерации остановить на первом г=п, для которого
выполнено (3.12), то (3.13) автоматически выполняется для г' —
— п—1. Правило П' пригодно и при вычислениях по операторно-
му варианту метода итераций, предоставляющему ип только для
п = т\ k=\, 2, . В таком случае следует положить Q=\/m.
Итеративную реализацию правила П' можно организовать и для
неитерационных методов, проведя вычисления иг для г = гп с гп =
= гп_1/0, п=1, 2, ..., до того номера п, для которого впервые
удовлетворяется (3.12). Здесь существенно монотонное убыва-
ние невязки ||Диг—fell с ростом г, т. е. условие (3.5).

Правило П предназначено для методов, в которых невязка
||Аиг—fe|| непрерывно зависит от г. Если ЛЭ(Д’)=О, то выбор г
из (3.11) осуществим и при &1 = &2=1- Здесь мы имеем дело с
критическим уровнем невязки ||Диг—f6|| = 6. Как будет показано
в разд. 4, выбор г из условия ||Диг—fe|| = 6 для приближения (1.2)
не оправдывается, а для приближения (1.3) приводит к хоро-
шим результатам.

Для приближения (1.3) можно ввести аналоги правил П и
П' с заменой невязки ||Диг—fell на «вторую» невязку
||Д*(Диг—fe)||. Поскольку ||Д’(Диг—f0)Ц—*-0 при г->-оо (см. (3.4)),
то условия &!>1 и &>1 можно заменить па &t>0 и 6>0.

3.3.	Вспомогательные результаты. Лемма 3.2. Пусть Д =
= Д*^0, ||Д||^а и выполнены условия (1.4) и (1.6). Если для
некоторых const и у0€еЛ’(Д)-1- при п->-оо имеем ау„=
=Д (/—Agrn (Д))уо->0, то	(/—Agrn (Д))ц„-»-0.

Доказательство. В силу (1.6) последовательность vn
ограничена: ||пп|| ==^уо11с>о11, tif=N={\, 2, ...}. Поэтому из этой по-
следовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпосле-
довательность; пусть vn-----(n<=N'^N). Тогда Avn-------->-Ди

(nGEJV')- Но по условию wn=Avn-*~0, значит, Дп = 0, пеЛ’(Д).
Теперь

|| vn ||2 = {vn, (I — Agrn (Д)) п0> = (уп, п0) — {wn, grn (Д) п0)-»
-э-(п, vo) = O

так как uy„-»O, ||g,„ (Д)IICyr„Cyr, v^Jf(A), vtl^Af9(A)±. Итак,
всякая слабо сходящаяся подпоследовательность ограниченной
последовательности vn стремится к нулю по норме. Отсюда сле-
дует, что и вся последовательность v„ стремится при п—>-оо по
норме к нулю. Лемма 3.2 доказана.

Лемма 3.3. Пусть Age2’(/7, F), ||А||2^а и выполнены ус-
ловия (1.4) и (1.6). Если для некоторых r„^r=const и
еДэ(Д)± при п-^-оо имеем А (/—A*Agrn (Д*Д))п0->0, то (/—
—A'AgTr. (А*А))ио-^0.

Доказательство аналогично доказательству предыду-
щей леммы.
Демма 3.4. Пусть выполнены условия леммы 3.3. Если для
г г=const и По^еА^А)1- при п—>оо имеем А*А(/—А*А-
.g^(A‘A))c0->0, то (/—A*Agrn (A’A))uo-»-O.

3.4.	Случай самосопряженной задачи. Начальное приближе-
ние считаем не зависящим от б. Ближайшее к и0 решение
уравнения (1.1) обозначаем, как обычно, через и..

1 Теорема 3.1. Пусть H = F, А = А’^0, ||А||^а, feHj?(A),
ц;в—f||^6 и выполнены условия (1.4) и (1.5) с р0>1, уо=1-
Пусть параметр г=г(б) в приближении (1.2) выбран по правилу

П или П'. Тогда
бг(б)->-0, ur(8)->u. при б—>-0.	(3.14)

Если начальная погрешность представима в виде
и0—u, = Apv, р>0, ||у||^р,	(3.15)

то справедливы оценки
г(бХ^рР1/(р+1)6-1/(р+1),	(3.16)

]|ur(6)- uJ^cPpl/(p+l’6p/<p+i>, 0<p^p0—1,	(3.17)

где в случае правила П

dp = (?₽„/(&! - 1))1/(р+1), ср = (b2 + l)p'(p+D + vdp, (3.18)

а в случае правила П'

^ = 9’1(Тр»/(^-1))1/<рЬ1), Ср = (6 + 1)р/(р+1) + ?</р.	(3.19)

Такие же утверждения верны в случае необязательно неот-
рицательного А=А", o(A)s[—а0, а], если вместо условий (1.4)
и (1.5) ввести их аналоги на [—а0, а], а вместо (3.15) потребо-
вать и0—и, = | А |pv, р>0, М<£р.

Доказательство. Имеем и0—u.geA’(A)-1-,

ит—и,= (/—Agr(A)) (u0—u.)+gr(A) (f0—f),	(3.20)

Aur~f6—A (J-ASr (A)) («„-«.) - (I—Agr (A)) (fe-f).	(3.21)

В силу лемм 5.1 и 5.2 гл. II

11(7—Agr(A)) («0—«.)И->-0 при г—>-оо,	(3.22)

о,=г||А(/—Ag-r(A))(u0—u.)II-»-0 при г-^-оо	(3.23)

((3.23) справедливо лишь при условии р0>1). Кроме того, из

(1.4) и (1.5) следует, что

llg’r(A) (f8—f) || ^угб,	(3.24)

II/—Agr(A)||^Yo=l.	(3.25)

Если правило П или П' при сколь угодно малом б>0 выдает
г=0, то ||Аи0—/бН^бгб, соответственно ||Аи0—fe|| sC&6, и в пре-
деле при б->-0 получаем Au0=f, т. е. и0 — решение уравнения
(1-1). В таком случае утверждения теоремы тривиальны. По-
этому будем считать, что при достаточно малых б>0 определяе-
мые правилами П и П' параметры г=г(б) положительны.

Рассмотрим случай правила П. Для определяемого им г=
= г(б) на основании (3.11), (3.21), (3.25) имеем

||A (I-Agr (А)) («„-«.) II < (b2+1) б,	(3.26)

||A(Z—Agr(A)) (ц0--u.)ll>(bt-1)6.	(3.27)

Из (3.23) и (3.27) заключаем, что (bt—1)б<^ог(в)/г(6), или
б/ (б) ^ог(б)/(&1—1). Отсюда на основании (3.23) заключаем, что
бг(б)->-0 при б-*-0. Если при этом г(б)->-оо (это основной слу-
чай), то в силу (3.20), (3.22) и (3.24)	Если же для неко-

торых б„->-0 последовательность г(б„) окажется ограниченной,
то все равно ur(«n)->-u.—это следует из неравенств (3.24), (3.26)
и леммы 3.2. Итак, соотношения (3.14) установлены.

Докажем оценки (3.16) и (3.17) в случае правила П. Пусть
начальная погрешность представима в виде (3.15). Ввиду (1.5)

|| A (J-Agr(A)) (u0-u.) || = || A^i (J-Agr (A)) v||	(3.28)

что совместно с (3.27) дает искомую оценку {(3.16), (3.18)} на
г (б) сверху. Подобной оценки снизу нельзя установить в прин-
ципе. Казалось бы, это не позволит оценить первый член в фор-
муле погрешности (3.20) (ср. с доказательством теоремы 1.1).
Но его удается оценить через невязку приближения иг, которая
мала по условию выбора г. При помощи неравенства моментов
оценим

|| (/ - Agr (А)) (ц0 - и,) || = || А₽ (/ - Agr (A)) v || С

|| Ap+I (I — Agr (A)) v ||₽/(’+» || (/ — Agr (A)) v ||1/<р+ о <

|| А (/ — Agr (А)) (и0 — и.) ||₽Лр+1'р’/(р+ о.	(3.29)

Совместно с (3.26) это дает

|| (I-AgT(А)) (и-и.) ||<[ (Ь2 +1)б]₽/<р+*>р</<р+о.

Теперь оценку {(3.17), (3.18)} получаем из (3.20), (3.24) и
(3.16). Здесь мы допустили, что г(б)>0. Если ||Аи0—М1^62б,
то в соответствии с правилом П полагаем г=0. Оценка {(3.17,
(3.18)} верна и в этом случае, ибо тогда

II ио — ы« II = II Apv || || Ap+1t> ||р/(р+1)р1/(ри) =

= Ц А(М0— MJH^P+DpiAPH) < [(fr2 + 1)6]Р/(Р^р1'(Р+1>.

В случае правила П' рассуждения аналогичны. Вместо (3.26)
и (3.27) возьмем за основу соотношения r^r'lQ,

IIA(I—Agr(А)) («„-«.) ||< (&+1)б,

НА (I-Agr'(A)) (u0—м.) ||> (6-1)б,

вытекающие для г=г(б) из (3.12), (3.13), (3.21) и (3.25). Тео-
рема 3.1 доказана.
Замечания. I. Теорема 3.1 сохраняет силу и в случае
у0>1, если в правилах П и П' потребовать &1>7о и соответст-
венно Ь>^0; несколько видоизменятся постоянные ср и d.p.

2.	В случае метода (1.2) квалификации р0=1 теорема 3.1 те-
ряет силу. Вместо (3.23) имеем лишь oreconst при г->-оо, и это
позволяет при условии Л’(А)=0 вместо (3.14) доказать лишь,
что

Sr (б) const, мг(б)--->-и. при 6->-0.	(3.30)

3.	Теорема 3.1 сохраняет силу и в случае неограниченного
А=А’^0, если в (1.4) и (1.5) а=оо.

4.	Для каждой индивидуальной задачи (1.1) с начальной по-
грешностью (3.15) оценки (3.16) и (3.17) допускают уточнение:
6*/<р+‘>г(6)->0, ||ur(6)—гг.||=о(6₽/(₽+1)), 0<р<р0—1.

Для доказательства в (3.28) и (3.29) следует воспользовать-
ся соотношениями (см. леммы 5.1 и 5.2 гл. II)

r*+1IIA*+‘(/-Agr(A))v|RO, || (/—Agr(A)) v|K0 при r->oo.

3.5.	Случай несамосопряженной задачи. Теорема 3.2.
Пусть А^2’(Н, F), ||A||2sga, fe5?(A), ||}б—files и выполнены
условия (1.4) и (1.5) с р0> 1/2, у0=1. Пусть параметр г=г(6) в
приближении (1.3) выбран по правилу П или П'. Тогда

62г(6)->0, иг(6у-+и. при 6->-0.	(3.31}

Если начальная погрешность представима в виде

и0—u.= |A|₽v, р>0, Мер (| А | = (А'А)’^),	(3.32)

г (6) гС dPp2/(p+1)S“2/(pu),

— u.ll^^p’Ap+Wfp*-*), 0<р==£ 2р0 —1,

(3.33)

(3.34)

где в случае правила П

dp = (У(Р+1)/2Ж - I))2/(p4 ср = (Ь2 + 1)₽/<р«) + y.dj4, (3.35)
а в случае правила П'

dp = 9'1 (Y(P+i)/;/(& - 1)}’/<р+1>, ср = (Ь + 1)Р'(^)+у,4*.	(3.36)

Доказательство аналогично доказательству теоремы
3.1. Имеем

« —«.= (I—A*Agr (А*А)) (и— и.) + gr (А‘А) A* (fe—f),	(3.37)

Aur-f6=A(/-A*Agr(A*A)) (u0—«.) — (/—AA*gr(AA*)) •

•(Л—D-	(3.38)

В силу лемм 5.3 и 5.4 гл. II

II (/—A*Agr(A’A)) (иа—и.) II—»-0 при г-э-оо,	(3.39)

о,=г,/2||А (/—A*Ag-r(A’A)) (и— м.)Ю при г-»-оо.	(3.40)
Из условий (1.4) и (1.5) следует, что
||gr(AM)A’(fe-f)ll<’f*r*6,	(3.41)

li/-A*Agr(A’A)||<To=l.

Дальнейшие выкладки вполне аналогичны соответствующим
рассуждениям в доказательстве теоремы 3.1. Различие в утверж-
дениях двух теорем вызвано различиями в соотношениях (3.23)
и (3.40), а также тем, что в случае начальной погрешности
(3.32) имеем (ср. с (3.28))

|| A (Z — A*Agr (А*А)) (и0 - и.) || = || (А’А)(Р+	(/ - A*Agr (A* A)) v ||

Т(р+1)/г'-'(р+1)/2Р,	0 < р < 2р0 — 1.

Доказательство теоремы 3.2 завершено.

Замечания. 1. Теорема 3.2 сохраняет силу и при у0>1,
если в правилах П и П' потребовать &1>'у0, &>у0; видоизменят-
ся лишь постоянные ср, dp.

2.	В случае метода (1.3) квалификации р0=1/2 теорема 3.1
теряет силу. Но все же б2г(6)Cconst, иг(в,----->-и* при 6->0.

3.	Теорема 3.2 сохраняет силу и в случае линейного неограни-
ченного плотно определенного замкнутого оператора A :£Z)(A)cr
c^H-+F, если в условиях (1.4) и (1.5) а=оо.

4.	Для каждой индивидуальной задачи (1.1) с начальной по-
грешностью (3.32) 62/(р+1)г(б)->0, ||иг(6)—u«||=o(6p/(p+l>, 0<р<
<2р0—1.

3.6.	Выбор параметра регуляризации по второй невязке поз-
воляет установить сходимость приближения (1.3) в предположе-
нии Q/ge5?(A). Более точно — наложим на выбор г=г(б) усло-
вие

M<IIA*(Au— Л)||<М,	(3.42)

Теорема 3.3. Пусть Ae^S?(H, F), ||А||2<а, Q/ge5?(A),
life—flls=6 и выполнены условия (1.4) и (1.5) с р0>1. Пусть па-
раметр г=г(6) подобран так, что выполнены неравенства (3.42).
Тогда

6r(6)->-0, ur(6)->-u. при 6—*-0,	(3.43)

где и* — ближайшее к и0 квазирешение уравнения (1.1). В слу-
чае начальной погрешности (3.32) справедливы оценки

г (6) < d p-V(,'H2)5-2/(r;+2)i

(3.44)

||«r(d) —	0<p^2(p0—1),	(3.45)

где dp и cp — некоторые постоянные.

Доказательство. Формула (3.37) остается справедли-
вой и при условии QfGE5?(A) вместо fGE52(A), ибо A’Au.=A*f.
Из нее следует, что

A*(Au—f6)=A*A(Z-A*Agr (А’А) )(«„-«.)-А* (7-АА’Х

Xg,(AA*))(f6-f).	(3.46)
В силу леммы 5.4 гл. II

Ог=г||Л*Л (I—Л*Л£Г(Л‘Л)) («о—и*) II—»-0 при г-н-оо (3.47)
(здесь существенно условие р0>1).

для г=г(6), определяемого условиями (3.42), в силу (3.46)

||A*A (I—A*Agr (ЛМ)) («о—и.) II < (&г+WVl)S,	(3-48)

||Л*Л(7—Л*Лй-г(Л*Л)) (и — «*)||>(б — Нг-’/2)б.	(3.49)

Из (3.47) и (3.49) заключаем, что dr(б)—>-0 при 6->0. Затем из
(3.37), (3.39) и (3.41) заключаем, что ыг(15)—>-ы* при б->0; в слу-
чае, когда г(б) остается при 6->0 ограниченным, привлекаем
лемму 3.4 и неравенство (3.48).

В случае начальной погрешности (3.32)

НЛ‘Л(7—Л‘Лй-г(Л*Л))(«„—«*) ||^7(р+2)/2г-(₽+2,/2р,

что совместно с (3.49) дает оценку (3.44). Оценив в (3.37) вто-
рой член на основе (3.41) и (3.44), а первый посредством нера-
венства моментов через (3.48), приходи.ч к оценке (3.45). Тео-
рема 3.3 доказана.

Мы рассмотрели только аналог правила П для второй не-
вязки. Равным образом теорема 3.3 справедлива для аналога
правила IT.

Замечания. 1. В теореме 3.3 условие у0=1 не понадоби-
лось.

2.	В случае р0=1 теорема 3.3 теряет силу; имеет место (3.30).

3.	Теорема 3.3 сохраняет силу и для неограниченного плотно
определенного замкнутого оператора А, если в (1.4) и (1.5)
а=оо.

4.	Для каждой индивидуальной задачи (1.1) с начальной по-
грешностью (3.32) б2/<₽+2)г(б)->-0, ||«Г(б)—н*||=о(6₽/(₽+2)), 0<р<
<2(р0—1).

3.7.	Обсуждение. В условиях теорем 3.1 и 3.2 сходимость
получена для любого /е5?(Л) (в теореме 3.3 даже для
любого f с Qf^&(A)'). Поэтому методы (1.2) и (1.3), допол-
ненные правилами П или П' выбора параметра г, представляют
собой регуляризаторы задачи (1.1). (Эти регуляризаторы нели-
нейны. Заметим, что г=г(б), определяемое в соответствии с П
или П', в действительности еще зависит от (а не только от б),
что в обозначениях не отражено.) Оценки (3.17) и (3.34) гово-
рят о том, что эти методы оптимальны по порядку на классах
v#ppuo. Правда, по сравнению с априорным выбором г эти оценки
уступают в широте шкалы по р (ср. (1.11) с (3.17) и (1.20) с
(3.34)). Но подчеркнем и следующее важное обстоятельство:
выбор г по правилам П или П' в отличие от априорного выбора
г, рассмотренного в разд. 1, 2, не требует информации о при-
надлежности решения задачи (1.1) какому-нибудь классу
Тем не менее правила П и П' правильно регулируют выбор г,
если решение принадлежит какому-то из этих классов,— в этом
суть теорем 3.1 и 3 2.
В теоремах 3.1 и 3.2 мы предполагали, что условие (1.5)
выполнено с 7о=1. Это не совсем обязательное предположение
(см. замечания после теорем 3.1 и 3.2) оправдывается тем, что
оно выполнено для всех конкретных методов, обсуждавшихся в
гл. II. Для всех этих методов выполнено и условие (3.5), гаран-
тирующее монотонное поведение невязки и облегчающее прак-
тическое применение правил П и П'. Условие (3.6), гарантирую-
щее непрерывность невязки по Параметру г, выполнено для ме-
тодов М. М. Лаврентьева, А. Н. Тихонова, их итерированных
вариантов, непрерывного аналога итерадионных методов, одного
из вариантов метода спектральной срезки (а именно варианта
с непрерывными порождающими функциями).

В теоремах 3.1—3.3 мы еще предполагали, что условие (1.5)
выполнено соответственно с р„> 1, р0>1/2, р0>1. Это принципи-
альное ограничение, которое не позволяет применять правила
П, ГГ и их аналоги типа (3.42) для методов низкой квалифика-
ции. В частности, правила П и П' неприменимы для метода
М. М. Лаврентьева, ибо квалификация р0=1. Простейший вы-
ход из положения — применение итерированного варианта мето-
да (его квалификация р0=т, где т — число итераций). Для ме-
тода А. Н. Тихонова правила П и П' применимы, но непримени-
мо правило (3.42).

3.8.	Применение к итерированным вариантам методов
М. М. Лаврентьева и А. Н. Тихонова. Следующие две теоремы
являются непосредственными следствиями из теорем 3.1 и 3.2 и
рассмотрений гл. II.

Теорема 3.4. Пусть H=F, А=А*>0, /е5?(А), ||fe—f||s£6.
Подберем параметр а=а(6) в итерированном варианте метода
М. М. Лаврентьева

«о.сс = «о» a“n.cc + Аип,а =aun-lta -J- fe, П = 1,..., tn (т>2) (3.50

таким образом, что	—fell^SM, l<b,^b2. Тогда

б/а(б)->0, «т,а(в)->и* При <5—>-0. Если ы*е^ррио, то

а (6) > dpp~1/< 9+1)31/(р+о,

|| И/п,а(в) — и. IK Срр1/(Р+1>5р/(Р+1>, 0 < р sg т — 1,
где

dp= (I _	(&i_ p-vtm),

т \ mJ

cp — (b2 + 1)’Лри> + (р + 1) f 1 — P_+iym-1-P>/(P+1>(bi _
\ mJ

Еще раз подчеркнем необходимость условия щ>2 в этой тео-
реме. Из рассмотрений п. 3.10 следует, что при т=\ получаем
сходящийся процесс, если а=а(6) в приближении ua=uaii=
= (а/+А)“'(аыо + fe) выбирать из условия	—f0||=c626er

0<б1=Сб2, 0<s<l. Но при этом теряется оптимальный порядок
метода на ^Рриэ.
Теорема 3.5. Пусть A^S?(H, F),	||fe~|l|^6. Под*

берем параметр а=а(б) в итерированном варианте метода
А. Н. Тихонова

Uot а—

аипа+А-Ан„,а=ан„-1,«+^Ъ.	•••• т («>!)	<3-51>

таким образом,что

1<Ь^Ьг.

Тогда б2/а(б)->0,	при б->0. Если u.e^ppu„, то

а (б) > d;p-2/(p+1)62/(f+1),

||ыт,а(б)- и,К с<р1/(р+1>бр'<р+1\ 0<р^2т-1,

(3.52)

(3.53)

где

d = Р+1 I 1 _ Р+ 1 y2m-1-P)/(p+1)(bi _ 1)-з/(р+1)э

р 2т \ 2т )	1

с„=(б! + 1)м«» +	(1 -	_ 1)W1>.

При m=l, но=О эта теорема затрагивает метод А. Н. Тихо-
нова иа— (а/-|-А*А)_1А7в. Забегая вперед и ссылаясь на резуль-
таты п. 4.4 (см., в частности, (4.21)), отметим, что в случае ме-
тода А. Н. Тихонова и его итерированного варианта (3.51) в
(3.52) можно брать и &i=l, b^b,. Правда, оценки для а (б) в
таком случае не будет, но оценка (3.53) при 0<р=^1 справедли-
ва с ср*= (б2+ 1)р/(р+1) независимо от числа итераций т>1.

Теоремы 3.4 и 3.5 сохраняют силу, если не фиксировать т>1,
а допускать что m=m(6)->oo при б—>0. Это соответствует неяв-
ной итерационной схеме с варьированием параметра а; см. об-
суждение п. 3.2 гл. II.

3.9.	Применение к итерационным методам. Применим тео-
ремы 3.1—3.3 к итерационным методам и дополним результаты
асимптотическими оценками (ср. с п. 1.4). Пусть g : [0,	—

ограниченная измеримая по Борелю функция, удовлетворяющая
условиям леммы 4.1 гл. II. Рассмотрим итерационные схемы
(1.26) и (1.27).

Теорема 3.6. Пусть H=F, Л=Л*^0, ||Л||^а, /е5?(Л),
ИЛ—Д|=С6. Остановим итерации (1.26) на первом п=п(б), для
которого ||Лы„—/el|s£&6, &=const>l. Тогда бп(б)->-0, uB(8)->-u.
при 6—>-0. Если	0<р<°о, то

Г— п (б)	II «„ б) - II .

lim ------—------lim ---------------’-------sC Cn,

e—X) pi/(p+i)g-i/(pn)	<5^a	pi/(F+l)§p/(p+i)

где

ap=(p+l)(fe-I)-1/<p+‘>[g(O)e]-‘,

Cp=(& + l)p/(p+1)+(p+I)(&—l)-*/(p+1)e-’.

, Теорема 3.7. Пусть A^S’^H, F), ||Л||2^а, /е5?(Л),
H/«—/Н^б. Остановим итерации (1.27) на первом п=п(б), для
которого ||Aun—fe||s^&6, Ь>1. Тогда 62п(6)->0, ып(в)->«.
б—>-0. Если u.e^pPUa, 0<р<оо, то

при

г—	п (6)

lim ----------—---------

б-»]	p2/(pcl)g-2/(p+l)

II ил(б )—“*!'
б^э pl/(P+l)go/(p+l)

Р<

^р>

С

где

^Р = (Р4- 1)(Ь—1)-2/<г+1)12ёг(О)е]-1,

ср = (b + 1)D/(P+1) 4- (Р + 1)'" (Ь — 1)-1/(р+1) 0 (2е)-\ 0	0,6382.

Теорема 3.8. Пусть A^S?(H, F), ||А||2^а, Qf^WA), life—
—fll^6. Остановим итерации (1.27) иа первом п=п(б), для ко-
торого ||А*(А«П—fs)ll^b8, b=const>0. Тогда 6п(6)—>-05 ^П(б)
при б—>-0. Если и#е^#рри0, 0<р<оо, то

пбг_______мб)_______________р±а_______

б^э p’/(P4-u)e-V(c+2) ~~~ 2g(0)eb'1^	’

lim II ып(б) ~ Ч ^^р/(м.г)

б^Э p-'/(p+.-)g->/(0<-2)	’

Теорема 3.9. Пусть выполнены условия теоремы 3.8. Оста-
новим итерации (1.27) на первом /г=/г(б), для которого
||ц„—Un-iW^bb, b=const>0. Тогда бп(б)->-0, и„(С,^и. при 6—>-0.
Если ы.е^#ррЦ„ 0<р<°о, то п(б) ^dpp2/(₽+2)6-2/(p+2>, dp=const,

|| U«(6) — «, II СрР^-^Р^, Ср = const.

Эта теорема является непосредственным следствием теоре-
мы 3.3. Действительно, ип—ип~{ =—g(A*A)A* (Аип_!—fs), откуда
следует, что

Р || А* (Аи^ - fe) 1| || ип - ип+11|	у || A’ (Аип-, - Л) ||,

где при наложенных условиях на g : [0, a]—rR.

Р= inf g(X)>-0, у = supg(X)<oo.

о<Х<а

3.10.	Принцип невязки для методов низкой квалификации.
Правильно согласуй уровень невязки с б, можно получить схо-
дящиеся процессы и для методов низкой (даже нулевой) квали-
фикации. Рассмотрим в качестве примера класс методов (1.2) с
H=F, А=А‘, ц(А) = [—а0, а]. Пусть выполнены условия

sup | gr (X) | sC к (r>0),	(3.54)

sup |X|P| 1 — kgr(K)\^ yrr~sP (r> 0; 0 <p<Po)>	(3.55)

где 0<s<l. Это методы нулевой квалификации (квалификация
была бы р0 при s=l). Мы уже встречались с одним представите-
лем таких методов — это метод итераций (3.14) гл. II; условия
(3.54) и (3.55) для него выполнены с s=l/2, р0=оо.
Пусть /ей? (А). Допустим, что в (3.55) рэ>1. Покажем, что
Уг(в)_,-и. при 6->0, если г=г(б) выбрать из условия

Г b^WAu-f^b^ (0<Ь^Ьг).	(3.56)

Действительно, аналогично лемме 5.2 гл. II устанавливает-
ся, что

аг=г"||А(7—Agr(A)) («о—и*)||^-0 при г^оо.	(3.57)

Для определяемого из (3.56) г=г(6) на основании (3.21) полу-
чаем

||А(7—Ag-r(A)) («„—«*) ||^М’ + Уоб,	(3.58)

||А (I—Agr(A)) {и-и.) \\>Ь&—{о6.	(3.59)

Из (3.57) и (3.59) b,bs—^Ob^orr~s, откуда следует, что 6г(б)->-0
при б—>-0. Отсюда при помощи (3.20), (3.22), (3.24) и утверж-
дения типа леммы 3.2 получаем, что мг<в)—б->0.

4. Критический уровень невязки

4.1.	Постановка вопроса. В этом параграфе мы изучим под-
класс методов (1.2) и (1.3), выделяемый условиями (см. п. 3.3
гл. II)

g7(X)>0, 0 С 1 — kgr (X) С -^-	((<А,^о),

хг

(4.1)

$Г^.Хг= sup gr(^)^yr, Р = const >0, у - const, r>0.

Напомним, что из (4.1) вытекает (1.4) и (1.5) с р0=1.

Нашей основной целью будет анализ сходимости приближе-
ний ит при выборе г=г(б) из условия \\Аиг—/6||=б. Для итера-
ционных методов проанализируем останов итераций на первом
п=п(б), для которого ЦАи„—М1<б. В правилах И и И' (см.
п. 3.2) это соответствует случаю b,=b2=l, b=l. Оказывается, что
такой уровень невязки в некотором смысле критичен: для при-
ближения (1.2) он приводит к расходящемуся процессу, а для
приближения (1.3)—к сходящемуся, оптимальному по порядку
на .,<pPUi.:, 0<р=С 1.

4.2.	Теорема о расходимости. В случае оператора A = A‘^sO
условие Л’(А)=0 равносильно положительности оператора:
А>0. В силу леммы 3.1 для такого оператора ||Aur—при
г—>ОО,

Теорема 4.1. Пусть H=F, A=A*>0, ||A||s^a, /еЙ?(А),
причем начальное приближение и0 таково, что

(7—Agr(A)) (ио—и*)=£О при r>0.	(4.2)

Пусть выполнены условия (4.1) и (3.6). Тогда для любого Л7>0
и любого (фиксированного сколь угодно малым) 6>0 найдется
такое /в=/в, м, что ||/в—/||=б, но при определении г=г(б) из усло-
вия \\Аит—/д||=б для приближения (1.2) имеем ||ыг(в)—и*Ц>М.
Доказательство проведем при дополнительном условии
о полной непрерывности оператора А, что упрощает выкладки.
Обозначим через к, и ф,- (/ = 1, 2, ...) собственные значения и
собственные элементы оператора А: А<р,—к^}, /.,>0, ||ф,-||=1
(/=1,2,...) , к—>-0 при /->оо. Элемент f6 выберем так, что ft,—f=
=О;6ф;, где (Jj=l, если Re(u0—ы*,ф^>^0, и о}= — 1 в противном
случае; номер	М) выбирается достаточно большим (см.

ниже). Имеем

“г — = (7 — Agr (Д)) (и0 — и.) + gr (Д)	— f) =

= (J — Agr (Д)) («о — «.) + oftgr (М <Г/,	(4-3>

Аип — f6 = A(l — Agr (Д)) («о -«.)- (7 - Agr (Д))(fe - f) =

= А (7 - Agr (Д)) (и0 - и.) - о,Л (1 - к,' г	<Р/.	(4.4)

Из (4.3) и (4.4)

II «г — и. || > bgr	гг = || (7—Agr (Д)) (и„—и.) || ->-0 при г->ос,

II Aur - f6Г > || Д (7 - Agr (Д)) (и0 - и.) ||2 + 62 (1 - к!3г (X/))2,
так как в силу выбора ст,-

Re < A (J — Agr (Д)) (и„ — и,), — 07 5 (1 — к/3г (к,)) ср,) =

= — орк, (1 — kjgr (к,))2 Re(и0 — u„ ф/) > 0.

Выберем г=г(б) из условия ||Диг—/в||=б. Тогда

|| Д (7 - Agr (Д)) (и0 - и,) ||2 + б2 (1 - к1ёг (к,))*	б2.

С учетом (4.2) отсюда заключаем, что г(6)—>-оо при /-><»; в силу
(4.1) имеем также £г(в| (X,)	(Х.,+х;(^)_,->-оо при /->оо, по-

этому

11«г(б)—uJI>6gr(6>(Xj)—при /->-оо.

Теорема 4.1 доказана.

В соответствии с теоремой 4.1 в итерированном варианте ме-
тода М. М. Лаврентьева (3.50) уровень невязки ||Дыт, а—fe||=6
приводит к расходящемуся процессу. То же самое можно ска-
зать о непрерывном аналоге итерационных методов и'(/)+
+Au(t)=ft„ u(0)=uo с выбором /=/(б) из условия ||Д«(/)—/б|| =
=6. Нетрудно видоизменить приведенные рассуждения для ите-
рационного метода (1.26) и установить расходимость процесса
при останове на первом п=п(б), для которого ||Ды„—/Л||=С6.

Следует заметить, что отрицательный результат в теореме
4.1 получен при весьма специальных возмущениях правой части
/е5?(Д). Если возмущения имеют случайный характер или даже
детерминированный, ио не имеющий отношения к собственным
элементам оператора Д, то, как показывают численные экспе-
рименты [20], ухудшение приближения иг при приближении не-
вязки ||Аиг—fe|| к критическому значению б хотя и имеет место,
но выражено нерезко.
4.3.	Вспомогательное неравенство. Следующий вспомогатель-
ный результат небезынтересен и сам по себе.

Лемма 4.1. Пусть A^Z(H,F), ||Л||2^а и выполнено усло-
вие (4.1). Тогда для приближения (1.3) и любого и^Н

8 иг - и II2 + Иг (8 Лиг - f6 II2 -1! Au - f6 II2)

C<(/ — A*Ag> (A*A)) (u0 — u), u0 — u) (r>0).	(4.5)

Доказательство. В соответствии с (3.7) имеем

8М - fell2 = J (1 - Xg,(X))2d(Q(X) (Au0 -fc), Auq - f6),	(4.6)

О

где Q(X)—спектральное семейство проекторов оператора АА*.

Для приближения (1.3) и любого и^Н имеем

Ur — и = (/ — A*Agr (А* А)) (и0 — u) + gr (АА) А* (fe — Аи).	(4.7)

Отсюда

||	ur- uf = ((I- A-Agr (А" А)) (и0 - и), (/ —A*Agr (А* А)) (и0-М))+
4- 2Re ((/ - A*Agr (А* А)) (и„ - и), gr (Л* Л) Л* (f6 - Ли)) +
+ <gr (А* А) Л* (fe - Аи), gr (A*A) A (f6 -Аи)) =

= ((/ - AAgr (Л*А))2 («0 - и), и0 - ы) +

+ 2 Re(Agr(A’A) (/ - AAgr (А А)) (и„ — и), f6 - Аи) +

+ (AAgr (АА) gr (АА) (f6 - Аи), f6 - Аи)

(на последнем шаге преобразований мы воспользовались форму-
лами (3.29) гл. II). Далее, раскладывая Аы0—ft, на слагаемые
Л («о—и) и Аи—напишем вспомогательное равенство

(gr (АЛ*) (/ - AAgr ((АА)) (Аи0 - f6), Аи0 - f6) =

= (gr (АА) (I - AAgr (AA)) A (u0 - u), A (u0 - u)) +

+ 2 Re(gr (AA) (I - AA*gr (AA)) A(u0 - u), Au-f6) +

+ (gr (AA) (I - AAgr (AA)) (Au - f6), Au- f6) =

= ( A*Agr (AA) (1 - AAgr (AA)) (u0 - u), u0-u)~

- 2 Re (Agr (AA) (I - AAgr (AA)) (u0 - u), f6 - Au) +
+ (gr (AA) (I - AAgr (AA)) (f6 —Au), f6 - Au).

Полученные два равенства сложим почленно:

II иг - и ||2 + (gr (АА) (f - AAgr (АА)) (Аи0 - f6), Аи0 -f6) =

= ((I - A*Agr (А"А)) («0 - и), и-и) + (gr (ЛЛ*) (fe - Аи), f6 - Аи).

По условию (4.1) gr(X)>xr(l—hgr^)), вследствие чего

(gr (АА) (I - AAgr (ЛА’)) (Аи0 - f6), Аи0 -fs) =

= ^gr(M(^ —^gr(F))d(Q()^)(Аи0 fe), Au0 fc^

0

> xr J (1 -Kgr (X))2d(Q(l)(Au0 - f6, Au0-f6) = Иг|| Aur-f61|2
(см. (4.6)). Учитывая также, что (g\.(AA*) (fe—Au),ft—Au)^Z
^xr|lf»—Au||2, приходим к неравенству (4.5). Лемма 4.1 дока-
зана.

4.4.	Теорема сходимости. Обсудим сперва возможность выбо-
ра г в приближении (1.3) из условия

||Ам-М1=б.	(4.8)

Допустим, что выполнено условие (3.6), /ей? (A), ||А«0—fell>6.
Если Л’(А*)=0, то ввиду непрерывности невязки по г и предель-
ного соотношения lim \\Аиг—fell=0 условие (4.8) определяет ко-

нечное г=г(б)>0. Пусть теперь Л5(А*) нетривиально. В силу
теоремы 5.2 гл. II Аиг—ft,-+Qf6—ft, при г—>-оо. Условие (4.8) мо-
жет не определить конечного г, если ||Qfe—М1^б. Но Qft,— орто-
гональная проекция элемента ft, на подпространство Й?(А)еЕ,
а /ей? (А), поэтому верно и обратное неравенство ||Q/6—
s£||f—fell^6. Итак, условие (4.8) только в одном случае может
не определить конечного г — в случае Qft=f, life—fll=6. Посколь-
ку A*Q=A*, то приближение (1.3) в таком случае запишется в
виде иг={1—A*Agr(A*A))ua+gr(А*А)A*f и при r->oo стремится
к и* (см. теорему 5.2 гл. II). В таком исключительном случае
можно условиться считать, что правило (4.8) выдает г(б) = °о,
причем их,=и». Для практических целей целесообразно нало-
жить на г априорное ограничение r(6)C<i/62, d=const>0, т. е.
выбирать г=г(б) из условия (4.8), если равенство (4.8) будет
достигнуто при rs£d/62, и положить r(6)=d/62 в противном слу-
чае, не вычисляя ит для больших г.

Теорема 4.2. Пусть А<=2? (Н, F), ||A||2s£a, /ей? (A), ||fe—
—/Иб и выполнены условия (4.1) и (3.6). Выберем параметр
г=г(б) в приближении (1.3) из условия (4.8). Тогда ur(S)->u* при
б—>0, причем в случае начальной погрешности

«„—«.= | А |рц, р>0, ||v||s£p	(4.9)

справедлива оценка погрешности

II urW — и, || < 2р/(р+1>р1Лри)6р/<р+1\ 0 < р < 1.	(4.10)

Если (1.5) выполнено с р0>1, то в случае начальной погрешно-
сти (4.9) справедлива также оценка

11м'-(в) — “Jl^cfP1/(pi'1)6P/(₽+1),	(4.11)

где ср — решение уравнения

с==2р/(р+1)+улР1/12р)с-1/р.	(4.12)

Сходимость иг(в)->-и. сохраняется, если на определяемое из
(4.8) г=г(б) наложить априорное ограничение г(б)=Сс//б2, d=
=const>0; оценки (4.10) и (4.11) в таком случае верны при до-
статочно малых б>0.

Доказательство. При г= г (б) имеем ||А«Г—fs||=6>||f—
—feil=l|Au.—f6|], и неравенство (4.5) дает

||иг— м*||2=С<(/—A*Agr(A*A)) (u0——и»), ц0—и.>.	(4.13)
Ёсли г(б)—>-<» при б->-0, то отсюда немедленно следует сходи-
мость	Если же r(5)^r=const при б->0, то сходимость

при б->0 получаем из леммы 3.3 так же, как в доказа-
тельствах теорем 3.1 и 3.2.

Докажем оценку (4.10). С учетом (4.9) перепишем (4.13) в
виде

||ur—и.||<|/(Л|Д|М,	Kr=I—A*Agr(A*A).	(4.14)

В силу условия (4.1) оператор Кт самосопряжен и неотрица-
телен. Теми же свойствами обладает оператор КГ,/2|Д|Р, и можно
применить неравенство моментов: ||«г—u.||s£||/<’r,p+1,/(2p)X
X | Д |p+1v||p/(p+1,l|v|l1/(p+1). При 0<р=С1 имеем (р + 1)/(2р)>1.
Учитывая также, что в силу (4.1) ||Kr||^l, ||Kr’||s£l (s>0),
имеем

|| Мс+1)/(зр) IД г1VII Иг 1Д Г II = IIА Кг (и0 - Ц.) ||.

Из (3.38) находим

|| АКг («о - «.) || || Аиг - f61| + Ц (/ - AA'gr (ДД*)) (Л — ЛК 2S,

(4.15)

и приходим к искомой оценке (4.10).

Докажем оценку (4.11). Из (4.14) и (1.5)

||ur—H*||=C(vpr~p)''2p (0<p^p0).

Если г(б)>с-2/ру//рр2/(р+1)б-2/(р+1), то отсюда
11«г(в)—«*11^ср,/(р+1)бр/(р+1).

(4.16)

(4.17)

Если же г(б)^с-2/рур1/рр2/(р+1)б_2/(р+1), то оценку проведем на
основании (3.37) и (3.41), оценивая выражение Кг(и0—и.) при
помощи неравенства моментов и (4.15):

II Кг (Ио - «.) II = II м ИгГ II < IIIA \^KrV II KrV ||V(P+1)
sC II АКг («о — «.) ||р/(р+1> IIv ||1/(р+1)	(25)р/р*1) р1/(р+1).

В рассматриваемом случае

II“/(«) — «.К (2р/(р+1) +1’.Тр/<2р)с-1/р) р1/(р+1)бр/(р+1).

(4.18)

Оценки (4.17) и (4.18) принимают единую форму (4.11), если
постоянную с определить из условия (4.12).

Рассмотрим случай, когда ||Д«Г—М1>б при 0<г=Сс?/62. Тогда
при указанных г выполнено (4.13), откуда с учетом выбора
r(6)=d/62 получаем сходимость ||иг(в)—и*||—>0 при 6->0. Если
начальная погрешность представима в виде (4.9), то из (4.13)
получаем (4.14) и (4.16); выбор r(6)=d/62 приводит к оценке
ll«r(e>—H*||^Yp'M_p/2p6p (0<р=Ср0), более точной при малых б,
чем (4.10) и (4.11). Другими словами, априорное ограничение не
выбирать г большим, чем d/б2, не портит оценок (4.10) и (4.11)
при малых 6>0. Теорема 4.2 доказана.
В связи с оценкой (4.10) отметим следующее. Если г=г(6).
выбрать из условия

&16^||Л«Г—bi, b2=const, l^bi^bz,	(4.19)

то в случае начальной погрешности (4.9) справедлива оценка

К(«)-М2 + М6) (tf-!K2<

[(/,2 4- 1)Р/(Р+1)р1/(РН)бр/(р+1)]2(	0 < р ==£ 1	(4.20)

(ее доказательство основано на (4.5) и получается повторением
выкладок при выводе (4.10)). Отсюда

II «/•(«) - «. II < (b2 + 1 )р/(р+1)р1/(Р+1)бр/(₽+1), 0 < р 1,	(4.21)

причем в случае ^>1

г (6)	Р'1 (Ы — I)"1 (b2 + l)2'’/(p+1’pV(P+i)6-3/(p+I),	(4.22^

Правая часть оценки (4.21) тем меньше, чем меньше Ь2. Но было
бы поспешным делать вывод, что наивысшая точность действи-
тельно достигается при fe1=fe2=l, т. е. по правилу (4.8),—оценку
(4.21) мы получили из (4.20). отбрасыванием в левой части чле-
на fjr(6) (bi2—1)6.

Оценка (4.21) более точна, чем оценка {(3.34), (3.35)} при
0<р^1.

Отметим, что оценку на г(6) можно получить только при ус-
ловии 6,>1. В случае правила (4.8) г(6) может оказаться при
фиксированном 6 сколь угодно большим в зависимости от fa,
НЛ-/Н6.

4.5.	Критический уровень невязки в итерационных методах.

Рассмотрим класс итерационных методов (см. п. 4.2 гл. II)

un=un-i—g(A’A)A*(Aun~i—ft), n=l, 2,...,	(4.23)

где функция g : [0, а]->4? ограниченна, измерима по Борелю и

g(ty^0, 0^1—(X)g(А)/х (О^Х^а), к= sup g(X).

о<с?.<Са

(4.24)

Теорема 4.3. Пусть Ле2’(//,Е), ||Д||2^а, f^SZ(A),
Ilfs—fli=C6, ||Au0—f6||>6 и выполнено условие (4.24). Остановим
итерации (4.23) на первом п=п(6), для которого

ЦЛип—М^б.	(4.25)

Тогда ип(Г,^и. при 6->0, причем в случае сти (4.9) справедливы оценки	начальной	погрешно-
II ия(в) — и, II < 2рЛ'м‘1)р1/(р+1)6₽/(р+1) 4- х'б, 0	<Р^1,	(4-26)
Г=	 II ип(б) — и* II ~	'  11 m ——	С ср, 1 < р < ос,  й-»0 pi/(p+i)§p/(p+i)		(4.27)

где

х'= sup X'/>g(X),	(4.28)

o<?.<Ca
a cP — решение уравнения

с=2р/(р+» + 0(р/е),/2С->/р;	0~ 0,6382.	(4.29)

Сходимость ип(в)->-и. при 6—>-0 и оценка (4.27) сохраняются,
если в качестве п=п(6) выбрать первое и, для которого выпол-
нено хотя бы одно из неравенств

||А«П—Д||<б, n^d/82 (d=const>0);	(4.30)

оценка (4.26) остается справедливой при достаточно малых
6>0.

Доказательство. Приближения (4.23) имеют форму
(1.3) с порождающими функциями

п-1

g«(b)=2 (1-W))W)=V41-(1-WM
i=o

(см. п. 4.1 гл. II). Эти функции допускают естественное расши-
рение на вещественные г:

gr(X)=V‘[l-(l-W))r] (0<XCa), gr(0)=rg(0), г>1.

Формула (1.3) позволяет определить иг для всех г>1. Нетрудно
проверить, что для иг сохраняется соотношение (4.23):

ur+l=uT—g(A*A)A*(Aur—fll), r^R, г>1.	(4.31)

По леммам 4.1 и 4.2 гл. II функции gr: [0, а ]->-/?,	1, удовлет-

воряют условиям (4.1) и (1.5) с ро=<х>, причем

V, = lim {г-'/» sup №gr (А)} = 6 [g (О)]1/*, 0	0,6382,

г—>оо

___	(4.32)

Yp= lim{rP sup 11 —	(X) |} == [g (0) е]_р, 0Cp<oo.

г->оо

Выполнены и условия (3.5) и (3.6).

К приближению иг применима теорема 4.2. Ввиду убывания
невязки ||Aur—fs|| по г для определяемого условием (4.8) г=г(б)
имеем п(б)—1<г(6)<п(6), где п(б)—первое п, для которого
выполнено (4.25); заметим, что п(б)>1, так как ||А«0—fell>6.
Для иг(в) справедлива оценка (4.10), а оценку (4.11) можно до-
полнить ее асимптотическим вариантом

lim || ur(6) — u, || p-i/(p+i)g-P/(P+i) Cp>

б-»0

где cp—решение уравнения (4.12) с асимптотическими значения-
ми констант, определенными в (4.32), т. е. ср — решение уравне-
ния (4.29). Доказательство теоремы будет завершено, если уста-
новить, что

П^п(в) Ur(б)IIх 6•	(4.33)

Ясно, что gr, (A,) >gr (А.) при г^г, причем gr,(R)—g-Aty возраста-
<ет по г, (г,>г). В соответствии с равенством ur,—иг=
=— [gr,(А'А) — gr(А* А) ] A*(Аы0—f6) имеем

IIиГ1 — UrII2 = J [gn(X) — gr (X)]2d(P (X) w, w), w = A*(Au0 — fa).
0

В частности,

|| «Я(в) — «Г(в) II2 = J [gn(6) (Ь) — gr(6) (X)]2 d (P (X) w, w)
0

j [gr(e;+i (X) — gr(e)(X)]2d (P(X)ay, ay> = ||ur(8)+l —	||2.

0

Но из (4.31) ||ur+1—ur||<x'||Aur—fe||=x'6, и мы приходим к не-
равенству (4.33). Теорема 4.3 доказана.

Замечание. Если останов итераций (4.23) проводить на
первом п=п(6), для которого

||Аи„—Ml<^6 (6=const>l),	(4.34)

то в случае начальной погрешности (4.9) справедлива оценка

II Wn(6) — и. IK (& + 1 )Р/(Р+1)р1/(Р+1)<5Р/(Р+>) + х'б, 0 < р С 1; (4.35
в соотношении (4.27) ср определяется как решение уравнения
с=(б + 1)р/<р+1) + 9 (р/е) ,/2с~1/р. При б>1 можно оценить и п(б)
(см. (4.22)).

Переформулировка теоремы 4.3 для конкретных итерацион-
ных методов не претерпевает почти никаких изменений, уточня-
ется только постоянная х' (см. (4.26), (4.28)). В случае явной
итерационной схемы

u^Un-i—pA’(Aun_,—fs), n=l,2,...

(0<ц<1/а, а>||А||2)

имеем g(X) = pi, х'=а|/2ц. В. случае неявной итерационной схемы
а«п+Д*Д«п=аып_1+Л7в, л=1,2,... (a=const>0)

имеем g(X) = (а+Х)-1> х'^Ла-72- Выполнение условия (4.24) в
случае этих и некоторых других итерационных методов отмеча-
лось в п. 4.3 гл. II.

5. Оптимальность по порядку
в ослабленных нормах

5.1.	Обсуждение примера с интегральным уравнением. Пусть
требуется решить интегральное уравнение первого рода

ь

(Au)(t)	s)u(s)ds = f(t)	(5.1)
Допустим, что интегральный оператор А уравнения (5.1) вполне
непрерывен как оператор из L2(a,b) в L2(c,d), а правая часть
известна с малой среднеквадратичной погрешностью: Нк—flk2<
<6. Пусть о точном решении и (5.1) известно, что оно принадле-
жит соболевскому пространству Wm'2(a, b). Как уже отмечалось
в п. 1.2 гл. II, такую априорную информацию можно учесть, рас-
сматривая в уравнении (5.1) А как оператор из H=Wm 2(a, Ь) в
F=L2(c,d), используя соответствующую симметризацию А*Аи=
=A*f уравнения (5.1) и строя по ней методы класса (1.3) (не-
которые из этих методов для интегрального уравнения (5.1) кон-
кретизированы в пп. 1.4 и 2.1 гл. II). Результаты разд. 1—4 дают
условия сходимости приближений иг(в) к точному решению по
норме Wm-2(a,b). Поскольку пространство Wm2(a,b) непрерыв-
но (и даже компактно) вложено в пространство С[а, Ь], то при-
ближения ur(S) будут сходиться и по норме С[а, Ь].

Обычно представляет интерес найти хорошие аппроксимации
к точному решению уравнения (5.1) именно в норме С[а, &]. По-
этому естественно поставить вопрос о таком выборе параметра
г=г(б) в приближении (1.3), чтобы в результате получить опти-
мальный или хотя бы оптимальный по порядку метод решения
уравнения (5.1) на множествах вида

= {и (ЕЕ Wm-' (a, b): ||« —Р>°>

когда погрешность приближения измеряется по норме С[а, Ь].

5.2.	Постановка вопроса. Обсуждение примера п. 5.1 дает мо-
тивировку следующей постановки вопроса. Дано уравнение (1.1)
с оператором А^З? (Н, F), где И, F — гильбертовы пространст-
ва. Дано также банахово пространство Е, в которое Н непрерыв-
но вкладывается: Н^Е, ||u||E<cEH||«||fr	(cbrr=const). Вы-

делим в Е подмножество

Яр=Лриа=--{и^Н-. \\и — и0\\ц^р}С2Е, р>0,	(5.2)

где иа^Н — некоторый фиксированный элемент; его же исполь-
зуем в качестве начального в приближении (1.3). Задача заклю-
чается в таком выборе параметра г в (1.3), чтобы получить
оптимальный по порядку на метод решения уравнения (1.1),
когда погрешность измеряется по норме Е. Иными словами, вы-
бор г=г(б) должен обеспечить оценку

sup IIиг{6) — и||е с с inf sup |Р/б —«к-
ifl u^H,fe<=F
1ИМб;'йб	&-.F->E	[|ЛМбКб

(5.3)

Постоянная с здесь указывает, насколько соответствующий ме-
тод уступает оптимальным на Ла методам (в случае оптималь-
ного метода с=1).

5.3.	Априорный выбор г. Теорема 5.1. Пусть А^З?(Н, F),
ЦАЦ2Са и выполнены условия (1.4) и (1.5) с р0>1/2. Тогда при
г=с?6-2, d=const>0,	(5.4)
для приближения (1.3) справедлива оценка (5.3) с
с=1+тах{чХ/'Р~1 + 'К/> W-y2P + 7»}.	(5.5)

у' sup sup | Xgr (X) | C 1 + y0.	(5.6)

r>o

Доказательство достаточно провести в случае «о=0;
случай произвольного иа^.Н к нему сводится заменами и—uQ=v,
ur—ut> = vr. Итак, Jt9=jft9 = {и^Н : ||«||н^р} —центрально-сим-
метричное выпуклое ограниченное множество в Е. В силу теоре-
мы 3.5 гл. I неравенство (5.3) для приближения (1.3) будет вы-
полнено с с=1 +тах{с,, с2}, если

IIUrllsSGp, ||Aur—М1<с2б (c^l.c^l)	(5.7)

для всякого f^F, для которого существует и^Н со свойствами
П«'1и^р, ||Аи—М<6. Для приближения (1.3) с ио = О имеем

ur=g(A*A)A'(ft—Au) + gr(A*A)A*Au,

Aur—ft=—A(I—A*AgT(А*А))и-(I-AA'gr(АЛ’)) (fr-Aw).

При помощи (1.4), (1.5) и (5.6) получаем, что при всех г>0

llwrll«^7.r'Ad-4-7'p,	(5.8)

\\Au- ЛН^удг-'^р + уД	(5.9)

В частности, выбрав г в соответствии с (5.4), имеем

|| иг ||н	y.d‘/« + у' р,	|| Аиг — fo || < (У'/Л'/’Р + То)

т. е. (5.7) выполнено с c1 = y.d'/2p_1+y,> с2=у./Д_,/2р + у(|. Тем са-
мым (5.3) выполнено с постоянной с, указанной в (5.5). Теорема
5.1 доказана.

Для метода А. Н. Тихонова выбор параметра регуляризации
(5.4) предложен в [71].

Если, кроме (1.4) и (1.5), выполнено условие

0<1— Xgr(X)<l (0<АХа), г>0,	(5.10)

то 7и=у/=1; минимизируя постоянную (5.5) по d, получаем
d= (y./VyJp2, т. е. г желательно выбирать так:

г= (Т'/Л.)Р2б“2;	(5.11)

ему соответствует оценка (5.3) с

c=2+h.n)'K	(5.12)

Теорему 5.1, а также три следующие теоремы следует расце-
нивать как теоремы сравнения методов. Они не утверждают схо-
димости метода. Однако если вложение НаЕ компактно и
Л’(А)=0, то из неравенства (5.3) на основании теорем 3.2 и 3.3
гл. I получаем

sup || «г(в) -- и ||£ -► 0 при S -► 0.

ие Лр, f6^F,II Au—f6|Кв
5.4.	Выбор г по принципу невязки. Теорема 5.2. Пусть
||Я||?^а и выполнены условия (1.4) и (1.5) с
р0^1/2, 7о=1- Выберем параметр г в приближении (1.3) по пра-
вилу П или П' (см. п. 3.2). Тогда справедлива оценка (5.3), в
которой в случае правила П

с= 1+тах{7д./2(й1—1)_1 + 7/, Ь2},	(5.13)

а в случае правила П'

с=1-|-тах{О“1!'[7Л'ь(й—1)^‘ + 7/]1 Ь},	(5.14)

где bi, Ь2, Ь, 0 — постоянные из правил П и П'.

Доказательство сводится к проверке условий (5.7) для
приближения (1.3) с «о=О, в котором г=г(б) определено по пра-
вилу П или П'. Напомним, что при всех г>0 имеют место нера-
венства (5.8) и (5.9). Из (5.9) и (3.11) находим, что r^^y^bi—
—1)-1рб-1; подставляя эту оценку в (5.8), получаем ||и||н<

Итак, (5.7) выполнено с ^=7,77,(61—
—1)“‘ + V, c2=b2 и доказательство в случае правила П заверше-
но. В случае правила П' доказательство аналогично. Теорема 5.2
доказана.

Допустим опять, что выполнено условие (5.10). Минимизируя
(5.13) по bt и Ь2 (&2>&!>1), видим, что правило П желательно
использовать с

6i=ft2= 1 +(КЛ'л)'/!;	(5.15)

тогда оценка (5.3) справедлива с

с=2+(7Л'/;)'\	(5.16)

как и в случае априорного выбора (5.11). Подчеркнем, что те-
перь мы получили этот результат, не располагая информацией
о величине р. В этом смысле принцип невязки имеет большое
преимущество перед априорным выбором г. Обратим внимание
и на следующее любопытное обстоятельство: постоянная с в
(5.3) в случае выбора г по правилам П или П' не зависит не
только от р, но и от нормы пространства Е, в которое Н вкла-
дывается (см. (5.14), (5.16)). Таким образом, метод имеет оди-
наковый оптимальный порядок сразу по всем нормам, подчи-
ненным норме исходного пространства И.

Для подкласса методов (1.3), выделяемых условиями (4.1),
в разд. 4 был обоснован выбор параметра г из критического
уровня невязки. Обсудим целесообразность такого выбора с точ-
ки зрения получаемой при этом оценки (5.3).

Теорема 5.3. Пусть А^З?(Н, F), ||Д||2<а и выполнены ус-
ловия (4.1). Допустим, что для приближения (1.3)

1|Л«Г—М1=Ь6, Ь>\.	(5.17)

Тогда справедлива оценка (5.3) с

с=1+тах{6, 7#[7;+р(й2-1) ]-'/=+!},	(5.18)

где р — постоянная из условия (4.1).
Доказательство. Пусть uo=O, a f^F таково, что для
него существует и^Н со свойствами ||и||н^р, IIАи—/Д|Сб. Как и
в случае предыдущих теорем, надо установить неравенства (5.7),
оценив по пути постоянные ct, с2 в них. В силу (4.5) и (5.17)
имеем ||«г—ы||2-|-£Зг (Ь2—1)б2^ ||и||2^р2, поэтому

Н иг || С || и—и || + || и || С [ р2—Зг (Ь2—1) б2 ] F + р.

Если для г=г(б), определяемого уровнем невязки (5.17), имеет
место неравенство

r> h.2+0 (б2—О ]-‘р2б~2=г',

то предыдущая оценка ||иг|| примет вид

\\иг ця< h.[V+P(fe2-i) 1_,/!+О р-	(5.19)

Если же, наоборот, г^г', то к точно такой же оценке (5.19) при-
ходим просто па основании (5.8), учитывая, что в данном случае
у'=1. Итак, каково бы ни было г=г(б), справедлива оценка
(5.19). Совместо с (5.17) это означает, что (5.7) выполнено с
с, = 7.[7,2+^(&2—1)]’ ,/2 + 1, с2=Ь. Значит, справедлива оценка
(5.3) с постоянной с, указанной в (5.18). Теорема 5.3 доказана.

В частности, если в (5.17) положить 6=1, т. е. вычисление иг
довести до критического уровня невязки ||Аиг—/в|| = 6, то оценка
(5.3) имеет место с с=3. Это не лучший результат, которого
можно добиться. Постоянная (5.18) примет наименьшее значе-
ние, если 6 = уД (62—1) ]-’/* + 1, что приводит к уравнению

Р (62 — 1) (6 — I)2 + у,:(6 — I)2 — у2 = 0	(5.20)

относительно рекомендуемого 6. Нетрудно видеть, что в области
63=1 это уравнение имеет ровно одно решение. Для конкретных
методов отсюда проще всего 6 найти численно.

5.5.	Еще один способ выбора г возможен, если известно чис-
ло р, определяющее класс (5.2). Предлагаемый способ интересен
тем, что он применим и в ситуации, когда неизвестен уровень б
погрешности правой части уравнения (1.1). А именно выберем
такое г=г(б), что

diP<llur—«olln^dzP,	(5.21)

где у'— Определенное в (5.6) число, di и d2 — задаваемые числа.
Зависимость г от б непосредственно не видна, но все же она
имеет место (см. ниже доказательство теоремы 5.4).

Обсудим вопрос о существовании г, при которых выполнены
соотношения (5.21). Допустим, что имеет место (3.6), тогда иг
непрерывно (по норме Н) зависит от г. Если Qf<£=&(A) =АН, то
по теореме 5.2 гл. II ||«г||н—>оо при г->оо. В таком случае
11«г—«о11и принимает все значения от 0 (при г=0) до оо (при
г->оо) и существует г, при котором выполнено (5.21). Если же
Qfc^l%(A), то по той же теореме иг сходится при г—>оо по нор-
ме Н к решению уравнения Au=Qf6, ближайшему к и0, и может
случиться, ЧТО ||«г—UoIIh<^iP при всех г>0. Договоримся в этом
случае считать, что правило (5.21) выдает r=oo с Uoo=limur.

Г-*оо
86
Практический выбор г из условия (5.21) упрощается в случае
монотонной зависимости ||мг—u0||H от г. Если выполнены усло-
вия (3.5) и (5.10), то ||ur—«о11я является неубывающей функци-
ей г. Действительно, из (3.5) и (5.10) вытекает, что 0Cgri(?.)s£
s£gr2(X) при 0<г(<г2, 0<7.$£а, и утверждение о монотонности
J|«r—«о11я вытекает из равенств иг—u0=gT(A*A)A*(fe,—Аие),

]| иг — и0 ]|н = J | gr (X) (Р (X) w, ш), w = А* (Аи0 — /6),
О

где Р(Х)—спектральное семейство проекторов оператора А*А.

Видоизменение правила (5.21) для итерационных методов
таково: итерации останавливаем на первом п=п(8), для кото-
рого

||«п—«о11я^</р (d=const>f'J.	(5.22)

Теорема 5.4. Пусть А<=3?(Н, F), ||А||2=^а и выполнены ус-
ловия (1.4) и (1.5) с р0>1/2. Выберем параметр г=г(6) в при-
ближении (1.3) таким образом, чтобы выполнялось (5.21). Тог-
да справедлива оценка (5.3) с постоянной

c=l-|-max{d2,	к')_1 + 7о}-	(5.23)

Доказательство. Дело сводится опять к проверке усло-
вий (5.7) для приближения (1.3) с ио=О, в котором параметр г
удовлетворяет условиям (5.21) тоже с «о=О. При всех г>0 спра-
ведливы неравенства (5.8) и (5.9). Из (5.8) и (5.21) находим
—7z)p6-1; подставляя это неравенство в (5.9), полу-
чаем ||А«Г——7/)-1+'Ко]й- Совместно с (5.21) это
означает, что (5.7) выполнено с ct = d2,	—,у')-,+'То-

Применение теоремы 3.5 гл. I дает оценку (5.3) с постоянной с,
указанной в (5.23). Теорема 5.4 доказана.

Допустим, что выполнено условие (5.10), вследствие чего
To=1f'=l. Минимизируя постоянную (5.23) по dl и d2 (d2>dt>\),
получаем рекомендуемые значения dt = d2 = 1 + (^Ду,)1/!; им соот-
ветствует оценка (5.3) с с=2+(уд./;)'/2, как и в случае априор-
ного выбора и выбора по невязке на уровне \\Аит—fell = [1 +
+ (КЛ'/Э72 ]$•

5.6.	Приложение к конкретным методам. Конкретизируем вы-
сказанные рекомендации о выборе параметра для метода
А. Н. Тихонова и итерационных методов. В случае метода
А. Н. Тихонова

u«=(aZ+A’A)-*A7e (a=r-‘; по=О)	(5.24)

выполнены условия (1.4), (1.5), (4.1), (5.10); при этом ^=^=1,
Т*=7’/2=1'/2, у0=7/=1- Рекомендуемые правила выбора а прини-
мают вид: а=р~2б2 в случае известных р и 6; уровень невязки
IIA«a—Ml = 3/2б в случае известного б; уровень ||иа|1и=3/2р в слу-
чае известного р. Каждый из этих выборов а обеспечивает вы-
полнение неравенстга (5.3) с с=2,5. Привлечение теоремы 5.3
позволяет несколько улучшить результат о выборе а по принци-
пу невязки: решением уравнения (5.20) являются 1,436 и при
||А«а—М1=Ь6 оценка (5.3) справедлива с с=2,436. Для тихонов-
ского приближения к весьма хорошему результату приводит'
критический уровень невязки ||А«а—М1=б. Действительно, иа
минимизирует функционал ЦАи—М2 + а||«|1и2 на Н, а при а=г-*,
определенном по правилу П с bt = b2 = l, также функционал
IIuIIh на множестве {u^H:\\Aii—fe||.<6}, вследствие чего (5.7)
выполнено с с1=с2=1, а (5.3) —с с=2. Такой же результат спра-
ведлив при выборе а из условия |«а||и=р.

Непрерывный аналог итерационных методов

u'(t)+A*Au(t)=A*ft, и(0)=ио,	(5.25)

как мы знаем, укладывается в рамки условий (1.3) — (1.5), (4.1),
(5.10); при этом у = 0=1, у, = 0«0,6382, у.Л= (2е)~'/г, у()=у/=1-
Рекомендуемые значения момента останова t принимают следую-
щий вид: /=0~' (2е)-,/гр26-2«0,672р26-2 при известных б и р; уро-
вень невязки ||Аи(()—Л11 = [1+0'/!(2е)-1',]б« 1,5236 в случае из-
вестного 6; уровень ||«(?)—«0||н= [ 1+0'/2(2е)_,/,]р« 1,523р в слу-
чае известного р. Каждый из этих выборов обеспечивает выпол-
нение оценки (5.3) с с=2 + 0'/2(2е)~'/‘«2,523. Решая (5.20), по-
лучаем 6« 1,497, и уровень невязки ||А«(/)—М1 = ^6 обеспечи-
вает оценку (5.3) с с «2,497.

Для класса итерационных методов

un=«n_l-g(A*A)A*(A«n_1-fe), п=1,2,...	(5.26)

с функцией g: [0, удовлетворяющей условиям леммы 4.2
гл. II, справедливы результаты, вполне аналогичные перечис-
ленным выше о непрерывном аналоге. При известных б и р вы-
бираем п(б) =int{(0g(0) )~‘(2е)-1р2б2} «int{0,672[g(0)-1p26-2};
при известном б счет останавливаем на первом п=п(б), для
которого |A«„/j||^C [1+0'/!(2е)_,/,]б« 1,5236; при известном р
счет останавливаем на первом п = п(б), для которого
Н«п—«оНя^[ 1 +0'/г(2е)-,/*]р« 1,523р. В каждом из этих трех вы-
боров п справедлив асимптотический аналог неравенства (5.3)

SUP	II “п(в)— и Не

— 11«-Uo!Ih<р. foeF, 1Ии-МКв "'°'	-	._

пт------------------------------------(5.27)

б-э inf	sup	Н-^/л—«Не

с с=2 + 0'/2(2е)_,/<«2,523. При останове на первом п=п(б), для
которого |A«n—fe|| 1,4976, оценка (5.27) справедлива с
с=2,497.

Если пространство Е, в которое вкладывается Н, тоже гиль-
бертово, то возможен такой выбор параметра а=а(б, Е, р), при
котором метод А. Н. Тихонова (5.24) оптимален на Л40=Л4ро. До-
казательство основывается на лемме 2.1.
4

ЗАДАЧА

С ПРИБЛИЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

Эта глава по проблематике весьма близка к предыдущей. Теперь
не только правая часть, но и оператор в уравнении

Au=f	(0.1)

считаются известными приближенно: вместо fe5?(A) (или f^F
с Qfe5?(A)) и А^З? (Н, F) даны некоторые их приближения
ft,^F и А^З? (Н, F), ||fe—f||<6, ||An—А||<т]. Для приближенно-
го решения уравнения (0.1) привлекаем те же методы, что и
в гл. III: в случае H=F, А=А*>0, Ап=А/>0 приближенное ре-
шение строится в виде

ur=(I—A^r(An))«0 + gr(An)fs;	(0.2)

в случае несамосопряженной задачи — в виде

иг—(1 — AtiAngr (Ar)Ar))) w0 + ёг (AriA)) A^fs,	(0-3)

где «0 — начальное приближение. Приведем сводку условий на
систему измеримых по Борелю функций gr: [0,	(или

gr: [0, а]-^-С). Основные утверждения будут доказаны при ус-
ловиях

о|Фа I ёг (МI Уг (г > 0),	(0.4)

sup А,"| 1 — Xgr(X)|Сург-р (r>0; Os£p<po), р0>0. (0.5)
о^Л^а

Предполагается, что ||Ап||^а (в случае метода (0.2)) или
||Ап||2<а (в случае метода (0.3)). Во многих оценках фигуриру-
ет постоянная

V. sup {/"'/• sup | gr(X) I).
r>0	0^>.^а

Часть утверждений будет доказана при ослабленном условии
(0.5):

sup | 1 — Х&- (X) | С у0 (г > 0),	(0.6)

sup 1] 1 — Xg,(X) | -> 0 при г -оо.	(0.7)

В случае знакопеременного оператора А=А* в пространстве
H=F вместо (0.4) — (0.7) используются условия
sup |gr(X)|s£yr (г > 0),	(0.8)
sup IX |p I 1 — Xgr (X) I ypr~p (r > 0; 0 sC p s	£ Po), Po > 0, (0.9)
sup 11 —Xgr(X)|CYo (r>0), -a0^^a	(0.10)
sup | X | | 1 — Xgr (7.) |	0 при r —oo.  —aQ<Z}^a	(0.П)

В случае, когда А=А*^0, а оператор АП=АЛ* не знакопостоянен,
условие (0.4) дополняется условием

sup | gr (ty | У r	у' = const.	(0.12)'

-аг-'^Л^о

Напомним, что (см. гл. II, п. 3.4) из (0.12) следует

sup | X |₽ | 1—kgr (X) | у~Рг~? (г>0; 0<^р<оо).	(0.13)'

-аг-^Л^о

ур = (1 + ay ) аР = const.

Свойства непрерывности и монотонности невязки приближения
(0.2) и (0.3) связаны с условиями

grn (X) -> gr (X) при r„->-r>0 VXs[0, а],	(0.14)

I 1 — Xg^X) | sC| 1 — Xgn (X)I при 0<X^a, 0 <r1^r2, (0.15)

0<l—/.gr(X)Cl (OCXCa).	(0.16)

Наконец, важный подкласс методов (0.3) выделяется условиями
gr (X) > 0, 0	1 — bgr (X) gr (Х)/хг (0<X<a; г>0),

y.r = sup gr(X), Pr^xr^yr (r>0), P>0.	(0.17)

Ближайшее к начальному приближению u0 решение (в слу-
чае fe5?(A)) или квазирешение (в случае Qfe5?(A)) уравне-
ния (0.1) обозначаем через и», как и ранее. Здесь Q — ортопро-
ектор в F, проектирующий на 5?(А).

1. Оценки разности степеней операторов

1.1. Формула разности степеней операторов. Пусть А=А‘^Э
и В=В*>0. Установим формулу

оо

А“ — Ва = — — [ [(// + Д)-1 _ (Ц + В)’1] dt (0 < а < 1).

Л J
о

(1.1)

Эта формула является следствием из формулы А. Балакришна-
на дробной степени оператора (см. [80]); ее можно также по-
лучить из формулы (14.16) монографии [48]. В целях полноты
изложения наметим путь вывода (1.1). 1. Для Ле=Л + е/, Ве=
=В + е1, е>0, основная формула исчисления операторов (см.
[36], с. 608) дает

Л“ — В* =-- — [ А°= [(X/ — АГ1 - (X/ — Be)’1] dk,

2 л i J

Г

где Г — любой спрямляемый контур в комплексной плоскости,
охватывающий спектры операторов Ае и Ве и лежащий в обла-
сти однозначности аналитической функции V; однозначность V
обеспечим, проведя разрез комплексной плоскости вдоль отри-
цательной вещественной оси. 2. Из равенства

(V - А)"1 - (V - В.У1 = (X/ - Ла)’1 (Л8 - Ве) (X/ - ДА1

вытекает оценка

- А)"1 - (М-ВА1 II А--------.

dist (А., <г(Л8)) dist (X, а(Вв))

Пользуясь этой оценкой, легко убедиться, что в качестве Г мож-
но взять, например, параболу ReZ=c(ImX)2, а затем деформи-
ровать ее, прижав ветви к отрицательной вещественной оси

—оо); с учетом равенств Аа=/ае1ал,	(/=|А,|=—X)

на верхней и нижней ветвях это приводит к равенству (1.1) для
положительно определенных операторов Ае и ВЕ. 3. Предельным
переходом е--0 получаем формулу (1.1) для Л и В. Предельный
переход осуществим ввиду неравенства

||(Д+ЛЕ)-1-(// + Ве)-‘^тах{||(Д+Ле)-1||, |А + Ве)-‘Н}

которым мы воспользуемся вблизи нуля, и неравенства

Н (/7+ЛД-1- (//+ВЕ)-Ч|С||Л-ВЦ/-2,

которым воспользуемся при больших t.

1.2.	Случай самосопряженных неотрицательных операторов.
Лемма 1.1. Пусть Л=Л*5*0, Лп=Лл*^0, ||Л„—Л||Стр Тогда при
любом вещественном pSsO справедлива оценка

|| Л^ — Л1А CpTiminll’p>,	ср = const.	(1.2)

Если ||Л||Са, ||Лл||Са и выполнено условие (0.5), то при р>0

[|Лп<7гп (Л^ —- Лр)||^erpTi,	егр->0 при г -»ос,	(1.3)

где введено обозначение Gri)=7—Л^ДЛА

Доказательство. Докажем оценку (1.2). Рассмотрим
сперва случай р=<х^(0, 1). По формуле (1.1)

Л?| - Л°= = — АДД. J Г [(// + ЛА1 - (tl 4- Л)"1] dt. (1.4)
На (0, г]) воспользуемся оценкой || (//+Лп)-,-~	а

на (т), оо)—оценкой || (tl + Лп)_1 — (Д+Л)-‘]|вытекающей
из равенства

(7/+Лп) 1—(tl+А)_,= (Д+Л,,)-1 (Л—Л,,) (tl+Л)~*.	(1-5)

В результате приходим к оценке (1.2):

]|4_	+	V211- (0<а<1).

л \ а 1 — а >

При р=0 оценка (1.2) тривиальна. При целом p=k^l из ра-
венства

A^-Ak = 2 Л(1(Лп-Л)Л&-1-/
/=0

получаем ||Лл*—Л^ПСс^т], т. е. оценка (1.2) верна и в таком слу-
чае. Наконец, при p=k-(-a, где kZ^A целое, ае(0, 1), имеем
Ллр—Лр=Лп',(Лл“—Л°) + (Л^—Л*)Л“, и в оценке нуждается
только член

ОО

Л* (Лл — Л“) = — f taA^ l(tl + ЛпГ1 — (// + Л)-1] dt.

Л J
о

При помощи (1.5) и неравенства ||Лл(^/+Лп)_*||^1 оцениваем:

цл^ [(// + лп)-1-(// + лг1]||<

КГгч

Пользуясь первой оценкой на (0,1) и второй на (1, оо), получа-
ем ^^(Л^—Л“)||^||Лл||'!“1( 1 + ||ЛП||)т), и доказательство (1.2) за-
вершено.

Докажем оценку (1.3). Для простоты допустим, что условие-
(0.5) выполнено,с Po^l. При pSH оценка (1.3) немедленно вы-
текает из (0.5) и (1.2), причем егр=сру1г_|. При р=ае(0, 1) име-
ем (см. (1.4))

оо

AaG^ (Лп - Аа) = - s^. [ [(tl + ЛпГ1 - (tl + Л)-1] dt.

Л J
о

Пусть ₽>е(0, а). Замечая, что ||Л(tl + Л„)~*|| =Снаходим

|| Л^ \(tl + ЛПГ - (tl + Л)"1] ||

"	(У]Г V 2Т]-

Пользуясь опять первой оценкой на (0, 1), а второй на (1, оо)г
приходим к оценке (1.3), в которой era=ysr_fin_‘(a—(J)-1sin ал +
НЦ,/--1. Если положить ji=a/2, то er<t=27«/2r_<I/2 + ^ir_‘. Лемма
1.1 доказана.
1.3.	Случай несамосопряженных операторов. Для А, Ллэ
обозначим |А | = (Л’Л)\ | Л„| = (Л/Лл)'\ В=ЛМ,
Вп=Лп л„.

Лемма 1.2. Пусть ||ЛП—Л||^г]. Тогда при любом веществен-
ном р^О справедлива оценка

III ЛпГ - I Л|РКсР(1 + |1Пnl) <in(1’pt, ср = const. (1.6)

Если ||Л|12а, ||Л„||2^а и выполнено условие (0.5), то при р>0

||ЛпЛгП(|Лп|р-|Л|РЖегрП, егр->0 прпг->ос,	(1.7)

где КгЛ=^—Л/Лл§г(Л/Лп).

Доказательство. Неравенство (1.6) равносильно нера-
венству

||ВРП - В’Ц^сД! + | In П|) тГп<^р\ С; = с2Р,	(1.8)

которое удобнее доказывать. Для целого p = kz^l из равенств

Bn - Bk -	- В> Bk~l4> В^~В=(Лч -Л) +

+ (л;-л*)л

следует более точная, чем (1.8), оценка

НВ?- В‘||^с/г] (6=1,2,...).	(1.9)

При р = ае(0, 1) по формуле (1.1) немеем

В“-Ва = —£1^ [/“[(// + Bn)-i —(tl + BY^dt. (1.10)

На (0, т]2) воспользуемся оценкой ||(//+Вл)-1—(tl+B) -1|| ^/-i,
а на (т]2, 1) и (1, оо) соответственно оценками

вытекающими из равенства

(// + Bn)"1 - (И + В)-1 = (tl + Bn)’1 [Л; (Л - Лп) +

+ (Л* - Л^) А] (Н + В)’1	(1.11)

и неравенств II (//+Л/Лл)-‘Л1|*||^^-/-’/г, ||Л (/7+Л*Л)-*1К

В результате при а=И=1/2 получаем

цва_	+ 2л 1^2 + (||дпЦ + ||Л||) J_1 .

л L а	2а 1	1 — а J

(1-12)

Поскольку (1—Tf^-'sClln Т]| (0<£<1), то т] (1— т]2а-1) X
X (2a—l)-'^r]|ln Т]| при а>1/2 и ц(1—rf11-1) (2а—1)-1 =
= т12а(1—т)‘-2а)(1— 2а)-1Ст]2а|1пт|| при а<1/2; при а=1/2 мно-
житель | In т] | появляется при интегрировании непосредственно.
Итак,

H_+2|lnr1h«2“> + (IIAnlU-MH)-^- <
л L а	1— ат

^^«+^|lnnhn’intl-2“> + (II An НИ АII) Т] (0<а<1),

(1.13)

и оценка (1.8) в случае р=ае(0, 1) установлена.

Рассмотрим, наконец, случай p=k-\-a., где k^l—целое,
ае(0, 1). Тогда В/—Bv=Bk(Bf—Ва) + (В/—Вк)Ва. Второй
член в правой части оценим на основании (1.9). В оценке нуж-
дается первый член (см. (1.10))

оо

в£ (Вп — в“) = —	[ fB$ [(tl+B^)-1 — (Н + В)'1] dt.

Л J
о

Поскольку 1|В,|(В+В,|)_1||^1, то из (1.11) следует

цв^^ + ВпГ-^ + ^ГПК

II Вп||А-1(|| Ап|| + II А||) ^-1Л>
1||ВчГ(||АпН1|А||)Нт].

Первой оценкой воспользуемся на (0, 1), второй — на (1, оо).

В результате получим уточнение оценки (1.8):

||В/—ВИ1^ср'т1 (р>1).	(1.14)

Тем самым завершено доказательство оценки (1.6).

Перейдем к доказательству оценки (1.7). Она равносильна
оценке

||Вп’Кгп (Вп — вР)||^егр'П, егр-*0 при г-»-ос. (1-15)

которую мы и докажем. Для простоты будем считать, что усло-
вие (0.5) выполнено с р0^1/2. При р^1 оценка (1.15) немед-
ленно вытекает из (0.5) и (1.14), причем е/гр = ср/у./1г“,/1. При
р=ае(0, 1) на основании (1.10) и (1.11) имеем

В^Кгп (В“-В“) =

оо

= -s-^ J fB^Krn (fl + Bn)"1 а; (А - Ап) (Н + В)-1 dt -
о

оо

_sinan.	(tI	(Л. _ A (i/ fi)-idt_

Л J
0

Ввиду полярных разложений An — U,}B^‘, A — UB"‘ (|| (/„Ц =
—1|[7|| = 1) получаем неравенство

{00

J
о
+ J ia || В%К^ (tl + Bn)’11| || B% (tl + В)'11| dt\ n.

0	J

Пусть ,Be(0, а), ,ВС 1/2. Учитывая, что ||Bn°(// + Bn)-1||	(/>-

>0; O^o^l), при помощи (0.5) оценим подынтегральные

нормы

IIBn^n^ + SnrKhH/?’
h-/z’/2MnlU >

-р-е

цвХп^ + ^ГК '• Р

Верхние варианты этих оценок используем на (О, 1), нижние —
на (1, оо). В результате приходим к оценке (1.15) с

е- = 2 Vpr-P + (II Лп II + IIАII) уу,г~'<

(а — р) л

В частности, полагая ji=a/2, получаем

= 4уа/2г-“/2 + (II Лп II + IIЛII) уу,г\

(1.16>

Лемма 1.2 доказана.

Как видно из доказательства (см. (1.12), (1.14)), при р=#1
в оценке (1.6) можно убрать множитель 1 + | In т] |, но в таком
случае коэффициент ср в (1.6) будет иметь особенность в точке
р=1. Т. Като установил оценку [87]

|||Лп|-|Л]||^^-(2 + 1п-1|Лп11 + 1|Л|1)г]	(1.17)

и показал, что в общем случае оценка вида || | Л„| — |Л | ||^ст] не-
верна.

Оценку (1.17) можно легко получить из (1.13) при а=1/2;
|| |Л„| — |Л 11|^ (2/л) (1—In т]+1|Лл|| + ||Л||)г]. Напишем это нера-
венство для операторов А,ЛП и АЛ, где X— положительный пара-
метр: Х|||Лп|-|Л|||^(2/л)[1-1п(М)+^(11ЛЛ-||Л||)]ХЛ. Разде-
лив на к и минимизируя правую часть по X, приходим к (1.17).

Условие (0.5) в леммах 1.1 и 1.2 использовалось лишь при
выводе оценок (1.3) и (1.7). Эти оценки сохраняют силу и при
замене (0.5) более слабым набором условий (0.6), (0.7).

1.4.	Случай самосопряженных знакопеременных операторов.

Аналогично леммам 1.1 и 1.2 доказывается

Лемма 1.3. Пусть Л=Л*, Лл=Л/, ||ЛП—Л||^т]. Тогда при
р^=0 справедлива опенка (1.6). Если о(Л)е[—а0, а], а(Л„)^
s[—do, о] и выполнено условие (0.9), то при р>0 справедлива
оценка

ЦЛпОгт, (| Лп|р — | Л |р) [| ^ erpri, егр->0 при г-> оо.	(1.18)

1.5.	Случай неограниченных операторов. Следующие две лем-
мы доказываются по той же схеме, что и леммы 1.1 и 1.2.

Лемма 1.4. Пусть А и Лч— самосопряженные неотрицатель-
ные операторы,(Л л) з^М) и

4и||^п(||Ы|| + 1Ии||) Vu<=0(A)<=H.	(1.19)

Пусть условие (0.5) выполнено с а — оо. Тогда

1|	(Л£ - Ар) и ||	CpT1™in<vP> (ц и || +1| Apu ||)

(1.20)

VuQ3)(Ap), О^р^Ро',

если в (0.5) ро> 1, то

|| А^ (Л& - Ар) и || зд (|| и 1| + И Ари ||)

(1-21)

УиеЖ), о^р^ро—1,

где постоянные ср и егр не зависят от и, т], Л. причем сР не
зависит также от г, а егр->-0 при г-»-оо.

Близкие утверждения с порчей оценки (1.20) множителем
1 + | In г] | справедливы в случае самосопряженных операторов
без условия их неотрицательности, если вместо (0.5) выполнено
(0.9) с а0=а=оо.

Лемма 1.5. Пусть Л и Л„— плотно определенные линейные
замкнутые операторы из Н в F, такие, что SD(Лр)(Л) и
||Лри-Ли||^т](||и|| + 1|Ли1|)	Уие^(Л)^/7.	(1.22)

Пусть условие (0.5) выполнено с а = оо. Тогда

II Кт (I Лп |р - | Л |Р) и К СР ( 1 + I 1П 1] |)	(|| и И + || 1 Л |Р ЫЦ)

(1.23)

У«€®(1Л|Р), 0<р^2р0;

если в (0.5) р0>1/2, то

МЛ (IЛ |р -1Л |р) «К (Ц«|| +111Л |ри\\у

(1-24)

У«е®(1Л|р), 0<р^2р0—1;

если р0>1, то

II лмл о лп |р -1 л и и и < е;я di и л+и 1 л \р и ю

(1.25)

Уи^®(|Л|р), О^р^2(ро—1),

где cp=const, егр->0, е'гр->0 при г->-оо; их характер таков же.
как в лемме 1.4.
Обозначения Gril и /(,„ те же, что и в леммах 1.1 и 1.2.

Сделаем некоторые поясняющие замечания в связи с обла-
стями определения операторов в (1.19) —(1.25). Из (1.22) при
т]<1 следует (см. [44]), что Ф (Л „) =3) (Л). В (1.23) —(1.25)
операторы ДП)| Л„|р, Лп/<гл| Л„|р, ЛТ|’Л^ГП | Лл |р при соответствую-
щих р в силу (0.5) ограничены и их можно считать расширенны-
ми по непрерывности на все пространство //; ограничены и опе-
раторы Krv А^К„„ Лл*ЛпКгл, и проблем с областями определения
не возникает.

2.	Априорный выбор параметра регуляризации

2.1.	Случай самосопряженной задачи. Рассмотрим ситуацию,
когда оператор Л = Л‘ может быть знакопеременным.

Теорема 2.1. Пусть H=F, А—А\ ЛП=Л/, ||ЛП—Л||^т],
о(Лл)^[—аи, а] (О<ц^т]о), /е5?(Л), ||/б—/11^5 и выполнены
условия (0.8) и (0.10), (0.11). Выберем параметр г=г(6, ц) в
приближении (0.2) таким образом, что

г(6, 1])->оо, (6 + ц)г(6, т))~+-0 при 6->0, т|->0.	(2.1)

Тогда иг(Д.при 6->0, ц->0.

Если начальная погрешность представима в виде

и0—и.— -|Л |ри, р>0, Hvll^p	(2.2)

и выполнены условия (0.8) и (0.9), то при выборе

r=d(64-T1)-,/(p+,), d=const>0	(2.3)

справедлива оценка

||нг—u.||s£cPP<i(6 + n)I>/tp+1), 0<р^р0.	(2.4)

Установим сперва некоторое обобщение леммы 5.1 гл. II.

Лемма 2.1. Пусть А—А*, Лл=Лч*, [|ЛП—ЛЦ^ц, о(Лп)е
е[—а0, а] и выполнены условия (0.10) и (0.11). Тогда

ЦС?гПи||—>0 при г—>-оо, т|—>0 ¥с/е?Е(Л)±=5?(Л).	(2.5)

Доказательство вытекает из следующих замечаний:
в силу (0.10)	(г>0, О<т]^т]о); для элементов вида

и—Aw, образующих в 5?(Л) плотное подмножество, на основа-
нии (0.11) имеем

|| G^v || = Ц G^Aw |1 ^ || Grn (Л - Лп) w |1 +1| 0гпЛп® ||

<(ТоП+ sup |Ц| 1 — kgr (М1) HI0 при Г-+ОС, ц->0.

-а^^а

Лемма 2.1 доказана.

Доказательство теоремы 2.1. Из (0.2) получаем

«г—u. = G.,.„(z/0—».)+§г(Лп) (f6—Ллм,).	(2.6)

Поскольку по условию (0.8) |!gv (Л„) || sup |gr(X)|=CV> а

4 Заказ № 4706

97
НЛ—Л^.Ц^б+llu.lh, то

llgr(ЛJ (Д-Лп«.)||^г(б+ llu.lh).	(2.7)

Из (2.5) — (2.7) и (2.1) вытекает ||иГ(в,„)—и.||->0, б->0, т]->0.

В случае начальной погрешности (2.2) в силу (0.9) и лем-
мы 1.3

II G,n (u0 - «,) || = || G^ | A |p v || ^ || Grli (| A |p -1Л |p) v || +
+ II Ghi I \Pv II <yoc₽ (1 + I In П I) nmin<LP,P + yPr-pP,
что совместно с (2.6) и (2.7) дает оценку

II «г — «. II sC Wp (1 + I In Т] 1) i]minll’plP 4- урГ-гр + yr (6 +1| u,|| n).

(2.8)

При г, указанном в (2.3), получаем (2.4). Теорема 2.1 доказана.

Минимизируя правую часть (2.8) по г, приходим к следую-
щей рекомендации выбора г в случае начальной погрешности
(2.2):

г dpP’/<^'>(6 + ||м.Ь)",/('?и\ ^ = (ръ/т)1/(₽+1);	(2.9)

такому г соответствует оценка

0+ |и.1ч)‘’'<’*".

(2.10)

Цщ — u,1|sSYocp(1 + |lnr]|)riminll’plp + CpP1'(p+1)

с' =	_1_ p-P/(p+i)) yMpHlyi/X/H-D.

Теорема 2.1 сохраняет силу и в случае, когда А и Лл—такие
неограниченные самосопряженные операторы, что ^>(Лл)э^>(Л)
и 1Ип«—Ли||<г;(||и|| + ||Ли||), и^2)(А) (последнее — вместо ус-
ловия ||Лл—Л||^т]; условия (0.8), (0.9) и т. д. должны выпол-
няться на (—оо, оо), т. е. а0=а=оо).

В случае Л=Л‘^0, Лл=Лп>^0 теорема сходимости форму-
лируется вполне аналогично теореме 2.1, лишь условия (0.8) —
(0.11) заменяются соответственно на (0.4) — (0.7). Кроме того,
привлечение леммы 1.1 позволяет избавиться от множителя 1 +
+ | In г] | в первом члене оценки (2.10); напомним также, что ср^
^2 при 0^р^1. Представляет еще интерес случай, когда Л =
=Л*^0, но операторы Лл=Лп* не обязательно неотрицательны:

Теорема 2.2. Пусть H=F, А=Л’^0, ЛП=Л/, ||ЛП—А||
||Лл||^а (ОС-ц^Ло), f^^(A), ИЛ—/'Н^б и выполнены условия
(0.4), (0.5) и (0.12). Выберем г—г (б, п) в приближении (0.2)
так, что выполнено (2.1). Тогда ur(6,n)->u. при б->0, т]->0. Если
начальная погрешность представима в виде (2.2), то при выборе
(2.3) параметра г справедлива оценка (2.4).

Доказательство отличается от приведенного незначи-
тельными деталями: с учетом (0.12) (см. также (0.13)) имеем

||Gn, || < max {у0, yj, ||gr (Лп) || г max {у, у),

IIIЛl₽Gm II ''р max {у,„ уД, O-Cr^arf1.
2.2.	Случай несамосопряженной задачи. Из леммы 2.1 сле-
дует

Лемма 2.2. Пусть А, Arie2’(H, F), ||Л„—А||^п> ||Лп||2^а и
выполнены условия (0.6) и (0.7). Тогда

||/C-nu||->0 при г-> оо, 1]->-0	Vве^’(Л)1 = J?(A), (2.11)

IIKrnZlI-* о при г-* оо, T]-> 0	\'ге.Г(Т)х==^(Л), (2.12)

где

Кгт\ = J — A)A)gr (AjA)),	Кгг\ = / -—Ar]A|gr (АА)'	(2.13)

Теорема 2.3. Пусть A, A,I^S’(H, F), ||ДЛ—ДЦ^т], ||Д„||2^

(0<т] По), f^!%(A), ||fe—/||^б и выполнены условия (0.4)
и (0.6), (0.7). Выберем параметр г=г(б, н) в приближении (0.3)
так, что

г (б, н) ->• эс, (б + т])2 г ($, п)0 при б -> 0, г] -> 0.	(2.14)

Тогда ur(6j])->u. при б->0, п->0-

Если начальная погрешность представима в виде

и0—и.— |Д|ри, р>0, ||ц||^р	(2.15)

и выполнены условия (0.4) и (0.5), то при выборе

r=d(6 + n)-2/(p+1), d=const>0	(2.16)

справедлива оценка

||иг—w.!l	Cppd(6 + T])’,''/,+11, 0<р<2р0.	(2.17)

Доказательство. Для погрешности приближения (0.3)
имеем

нг — ы, =• К.п] (н0 — ut) + gr (АИч) А> (fe — AiH.)	(2.18)

(см. обозначения (2.13)). Здесь (ср. с п. 1.3 гл. Ill)
llgr(A*A) лл*П ^г',г и

II gr (д;дп) 4 Qe - Л«.) II (6 + II «.IIП)-	(2.19)

Из (2.18),	(2.19),	(2.11) и (2.14) следует сходимость

||ur(M)—U.IK0 при б-А), н~>0.

В случае начальной погрешности (2.15) при помощи (0.5) и
леммы 1.2 находим

II («о - «.) II = II	I А |р v К ИМ А, Г -1 А |р) v || +

+ И„1 | А)М< Тоср(1 + 11п н |) nmin{1’p)P + Тр 2Г-"/2р
и далее

II иг — и, || ЪСР (1 + I In n I) nmin,1’p>P + Тр/л/~р/’Р +

+ у//2(б + ||«.||>]),	0<р^2р0.	(2.20)

Выбирая здесь г по (2.16), получаем оценку (2.17). Теорема 2.3
доказана.
Минимизируя правую часть (2.20) по г, приходим к следую-
щей_рекомендации выбора г в случае начальной погрешности

г = dp(^ (б +1| и. ||	dp = (рур/2/т.)2/0+1);	(2.21)

такому выбору г соответствует оценка

К —Н- | In т) |) T]min<i p>P +

+ ^Р! (р+1)(б|+||«,Цт1)р/(р+1), 0<р<2ро,	(2.22)

б/ == (p’/(P+l)	р-р/(рИ)) yP,'(p+l)yl/(PH).

Как отмечалось в конце п. 1.3, множитель 14-|1пт]| при р=/=1
можно из оценки (1.6), а значит, и из оценки (2.22) убрать (по
тогда коэффициент сР будет иметь особенность в точке р=1).
Для р=\ этот множитель тоже удается из (2.22) убрать. Имен-
но, условие (2.15) при р = \ равносильно условию

«о—и.=Д’?, llzll^p,	(2.23)

тогда

II («„ - и.} 11 - || Kr^Z ||	|| Кгп (Д’ - Д’) 2 || + И Kr^z II <

< (ТоЛ + Y‘//_,/2) р.

Рекомендация выбора г в случае начальной погрешности (2.23)
(или (2.15) ср = 1) приобретает форму

г = Т/ф~ *р (б + II «.|| ц)	(2.24)

и дает оценку

||«.—«.|| ^Уорт1 + 2(’(41/г)''2р'/2(6 + ||«.||т1)'/г.	(2.25)

Если уравнение (0.1) разрешимо лишь в смысле наименьших
квадратов, то по сравнению с теоремой 2.3 результаты ослабля-
ются:

Теорема 2.4. Пусть Д,	F), ||ДП—ДЦ^ц, ||Дп||2^а

(0<ц^т]0), Q/s5?(A), life—/||^6 и выполнены условия (0.4) и
(0.6), (0.7). Если в приближении (0.3) выбрать г—г(б, ц) так,
что

г(б, ц)—>°°, (62 + q)r(6, ц)->0 при б->0, ц->0,	(2.26)

то «г(М)->«. при б->0, т]-»-0.

Если начальная погрешность представима в виде (2.15) и
выполнены условия (0.4) и (0.5), то при выборе

r=d(6+n)-2/(p+2), d=const>0	(2.27)

справедлива оценка

||«-«.||^сррЛ(6 + ц)р/^+2),	0<р<2р(|.	(2.28)

Доказательство. Надо заново оценить второй член в
правой части равенства (2.18). Имеем /6—Дч«. =
= (f«—Д)«. -ь (/—Q)). Поскольку Д*(/—Q)=0, то
\\AJ(f-Qf) 11 = 11 (A*—A*) (f—Qf) II	и вместо (2.19)

получаем

II gr и;A0 л; (fe - Anu.) II с: у//. (6+ || и, II n) + ?п] \\f-Qf ||. (2.29)
В остальном повторяем рассуждения доказательства предыду-
щей теоремы. Теорема 2.4 доказана.

Теоремы 2.3 и 2.4 сохраняют силу и в случае плотно опреде-
ленных неограниченных замкнутых операторов А и Ал, таких,
что <2)(А^^0(А) и ||Ллн—Лн||^т|(||н||4-||Лн||) VweS>(A); ус-
ловия (0.4), (0.5) и т. д. должны выполняться на [0, оо), т. е.
а=оо.

2.3.	Обсуждение. Утверждение теоремы 2.1, касающееся схо-
димости приближений иг, можно трактовать так: метод (0.2) с
выбором параметра в соответствии с (2.1) является §1-регуляри«
затором, где (Я, И) —множество самосопряженных опера-
торов. Оценка (2.4) свидетельствует о том, что метод {(0.2),
(2.3)} Si-оптимален по порядку на множестве

Л(Р1>ив={и(=Н: u—u0=\A\pv, ||u||sCp}, О<р^ро, р>0.

Действительно, ввиду производительности f, f6 и Л„ этой оценке
можно придать вид

sup 1|Иг(в,п) — «Кc№d (й + п)р <ри).

где

b = bPPUa= sup \\и || = ||w0 fl + bpp, bp(> — sup ||w|| = ||Л||рр.
us MppUo	ue_ llpp,

С другой стороны, для любого	имеем (см. неравен-

ство (4.9) гл. 1)

sup II © (/б, Ап) — и || > р>/(р<-1) (6 + /?pPii)p/(p+1) (2.30)
и- ,грри„^6еР’А1]-31

Сопоставление этих двух неравенств и говорит о том, что метод
(0.2), (2.3) Sl-оптимален по порядку на

Аналогичную трактовку можно придать и теоремам 2.2—2.4.
В частности, в условиях теоремы 2.3 мы имеем дело с F)-
регуляризатором {(0.3), (2.14)}, причем метод {(0.3), (2.16)}

А)-оптимален по порядку на 0<р^2р0- В условиях
теоремы 2.4 тоже имеем S’(Я, А)-регуляризатор (0.3), (2.26), но
метод (0.3), (2.27)—неоптимального порядка. Интерес эта тео-
рема представляет главным образом по той причине, что сходи-
мость получена в ситуации, когда уравнение (0.1) разрешимо
лишь в смысле наименьших квадратов.

2.4.	Асимптотическая оптимальность. Обсудим вопрос о воз-
можности выбора параметра r = r(6, r|, в приближениях
(0.2) и (0.3) с целью получить асимптотически оптимальные ме-
тоды на множестве,

ЖРР=Яррр— {ut^FF. u==|A|pv, ||u||s£p}, р>0, р>0.

Будем считать, что в приближениях (0.2) и (0.3) «0—0. Для лю-
бого и<=Лр„ и приближения (0.3) с любыми f^F и A^SF{H,F)
такими, что ||А„—Alls^i], ||Алы—f6||^6 + />ppi] (bpp= ||А||рр), име-
ем (ср. с (2.18)) ир—u — wr' + w2, где

и»; =	(IД |р — I Г) V, u = ~\A\nv, М<р,

wr — (I AqAqgy (AqAi)) I A) |P V + gr (AqAq) Ar| (fb — Ai)«).

Величина ||даг‘ II оценивается на основе леммы 1.2 идаетв ||ыг—ы||
вклад о(т)р/(р+1)). Величина ||ауг2|] подробно изучена в разд. 2 гл.
III с той разницей, что там вместо Ар мы имели дело с операто-
ром А, а вместо life—А„ы|| ^б+Ьррц имели ||f6—Аи\\^б; обозначим

v, = (I—A*Agr (А*А)) | А | ри + gr (А‘А) А’ (Д-Аы).

Теорема 2.4 гл. III дает необходимые и достаточные условия для
справедливости оценки l|Vr(8)ll^p1/(p+1)6p/(p+1); для итерационных
методов в п. 2.8 гл. III указаны условия справедливости асимп-
тотического аналога этой оценки. Для w2 в соответствующих
случаях получаем оценку ЦаУг(б+ьрРп) II ^р‘/(р+1) (б + &РРт1)р/<!,+1)
или ее асимптотический аналог, и в результате

SUP ll“r(6vb «> — “II
ие. Kpp.fjsF.^s

e->j,n->3	pl/(₽+14s 4-&ppT])p/(₽+1>	""

В силу неравенства (2.30) это означает, что мы имеем дело с
асимптотически S?(FI, F)- оптимальным методом. Аналогичные
рассуждения можно провести для приближения (0.2) и устано-
вить условия асимптотической 91+-оптимальности; здесь $1+—
множество самосопряженных неотрицательных операторов.

Конкретизируем результаты для методов, рассмотренных в
пп. 2.6—2.8 гл. III. Метод М. М. Лаврентьева на= (a/4-A„)_1fs
с выбором параметра а = р-)р-1/<р+1) (64-ЬРРт1)‘/(г>+1’ асимптоти-
чески 91+-оптимален на МРР при 0<р=С‘/2(У5—1) «0,618; при
этом

sup	|| иа — и || < 2г)"р + р1/(Рт1) (б 4- Ьррц)р1{р+1}.

Uz~Alpp,f^^F ,Лу|£=2(+

Непрерывный аналог итерационных методов u'(t) +ApU(t) —
—ft,, w(0)=0, с выбором момента останова / = 1п(1+р)р1/(р+1,Х
X (б4-/’ррт1)_1/<р+1) асимптотически 51+-оптимален на ЛРР при 0<С
<^<4^—1,043.

Итерационные методы

ив=0, u„—u„-t—g(A,t) (ApUn-t—fb), п — \, 2, ...
с функциями g-. [О,	подчиненными условиям леммы 4.1

гл. П, и остановом на

n = int{ln (1 +р) [g(O)-‘p,/<p+,) (б + Ьррп)-’^1’}

асимптотически $1 ^-оптимальны на ЛР9 при тех же ре (О, р,].

Метод спектральной срезки (ср. с п. 1.5 гл. III)

иа = Л? [/ —	(a)] f& +	(а) f6,

а = (р 4- 1) p'Jp-i (р+1) (6 + Ь№х\)1 /(Рг1)

асимптотически й+-оптимален на Лрр при любом ре(0, оо).
Здесь Р^(Х)—спектральное семейство проекторов оператора
АП=АП*^О. Метод

= Дй1 [/ -- Пп (а)] fe +	(а) fe,

а = (р + 1) р1р-,'<р+11 (6 +ЬррГ\)1 <р+1)),

Пч(а)=Рл(а) — Р„(—а)

асимптотически ^-оптимален на ЛРР при 0<р<оо, где Исд
Н)—класс самосопряженных операторов без условия
неотрицательности.

Метод А. Н. Тихонова иа= (а/+Ал‘Д,1)_,Ал7в с «=
=р-'р_2/(₽+1) (6+^ррг1)2/(₽+1) асимптотически F)- оптимален
на Лрр при 0<р^2.

Непрерывный аналог итерационных методов и'(0 +
+ A,*Anu(t)—Apf6, ы(0)=0, с выбором момента останова /==
= 1п(1 + р)р2/(р+1) (6+ЬрРт])-2/<,>+1’ асимптотически 3?(Н, F) -опти-
мален на ЛРР при 0<ps^pa^7,124. Итерационные методы

и0 = 0, ип = Un—1 — g (АцА^) Ал (ArjUn-i — fe), п = 1,2, ...

с функциями g: [0, а]—>/?, подчиненными условиям леммы 4.1
гл. II, и остановом на

H = int{ln(l+P) lg(0) ]-1р2/(₽+1’ (6 + ЬРР1])_2/(р+1’}

асимптотически 3?(Н, А)-оптимальны на ЛРР при тех же ре
е(0, р2].

3.	Апостериорный выбор параметра

3.1.	Границы изменения невязки. Пусть выполнены условия
(0.4) и (0.5). По лемме 3.1 гл. III как для приближений (0.2),
так и (0.3) имеем

Ит||Алиг —f6|| = || Anu0 —f6||,	(3.1)

г—>о

lim || Anur —fe|| = inf ||Anu —f6||.	(3.2)

Г—>oo	U^zH

Кроме того, при условии (0.14) невязка ||Апыг—fe|| непрерывна
по г и принимает при подходящем ге (0, оо) любое значение из
промежутка, концы которого определены в (3.2) и (3.1); при ус-
ловии (0.15) ||Ллиг—/«И монотонно убывает с ростом г.

Если fe5?(A), Au.—f, то

lim || A-^Ur — /в|| = inf || Апи — /в || || А^и, — f61|< 6 +1| и,|| i]. (3.3)
г—<»	u&i

Эта оценка, вообще говоря, неулучшаема. Действительно, в случае
А=А*>0 возможно, например, равенство Аи. = т]и., т. е. и. — собственный
элемент, соответствующий малому собственному значению; элемент f=r\u.
не обязательно мал — можно взять и. большой нормы. Обозначим vt = u^f
/||«.|| и положим АЛ=А—ц<-,	fs = /'+6y.. Тогда life—/11=6, Ал=

=А%>0, 11А„—А||г£т], Апц.=0, f,-Anu.== (fe-f)-(An-A)u.= (б +
.+1|и,|1 т))и*еЛ’(Ал). Для приближения (0.2) отсюда следует

~ (7 A^gf^. (-4^)1	f д) (7 A^g^ (мо «•) 4"

Ч- (7 Angr(An)) (А^нж /5) - - (7 A^gr (4ц))

и в силу условия (0.5) lim ЦАЛ«Г—foil = IIАлн.—/9|| — 6 +1|и,||т]. Итак, для при-
Г-*эо

ближения (0.2) в (3.3) могут достигаться знаки равенства, даже если А>0.

В случае Ае2’(/7, F) н приближения (0.3) таких примеров еще больше.
Пусть, например, z,eF таков, что ||A*zT1ll=i), ||zn!l = 1; заметим,.что такой zn
наверняка существует, если 0<г]<||А||, a 5?(А*) незамкнута (последнее рав-
носильно незамкнутости 58(A)). Допустим, что Л°(А)=0. Положив
)'=cAA*z,ls5?(A), имеем u* = cA*zn; обозначим п» = и./||и»|| = н./(ст]). По-
ложим далее fe=f+fizn, АЛ=А—ц<-, v,>zn. Тогда life—/||=6, ||АЛ—А|| = ц,
f6—Ал«.= (6 + ||u.||t])z^, г^АГ(А^*). Поэтому

А^г - /в =	<ЛЛ» (Лп“о - & =

“ (7	A^A^g^. (А^А^))	^*) 4~	/в*

и в силу условия (0.5) lim ||A^ur—М = 1ИЧ“»—/ell =6 + ||н*||т], т. е. в (3.3)
Г—»оо

опять достигаются знаки равенства.

3.2.	Правила выбора параметра регуляризации. Неравенство
(3.3) п его неулучшаемость подсказывают следующие два пра-
вила выбора г, аналогичные правилам П и П'в п. 3.2 гл. III.

Правило 3.1. Зададим числа />,>1 и b2^bt. Если

ЦДлио—М1^&2(б+1|щ|1п),	(3.4)

то положим г=0 и за приближенное решение примем и0. В про-
тивном случае выберем любое г>0, при котором

Ь, (6+ ||Ы.||п) -Ml + H«-Hn) •	(3-5)

Здесь и, — ближайшее к и0 решение уравнения (0.1). Выбор г
по такому правилу осуществим, если невязка ||Алыг—fell непре-
рывна по г. Формулируемое ниже правило 3.2 в непрерывности
невязки не нуждается.

Правило 3.2. Зададим числа &>1 и 0е(О, 1). Если при
г=0

1И„«г-М1^Мб + Н«-Нп).	(3.6)
то положим г=0. В противнохМ случае выберем любое г, при ко-
тором (3.6) выполнено, причем для некоторого	г]

\\А^иг—Д||	(б 4- llzz.Hi]).	(3.7)

Применение правил 3.1 и 3.2 затруднительно: надо знать
оценку нормы ||ы,||. Представляют интерес модификации этих
правил, в которых ||и,|| заменяется величиной ||ыг|| или 1|ы0114-
-j-l|wr—Uo II.

Правило 3.3 такое же, как правило 3.1, с заменой (3.4) и
(3.5) на условия

IIAjjUo ft,II b2 (б-|- llz/oll 1]),	(3.8)

bi [б + (IIи„|| 4-1|иг—и01|) 1]]	||Лi/ir—ft,||

^&2[б4- (IlMoll 4- ||z/r—Z/ollТ] ].	(3.9)

Правило 3.4 такое же, как правило 3.2, с заменой (3.6),
(3.7) на

||Алыг- Mls^b[64- (IlMollН-IIи?—z/0||)i]J,	(3.10)

—М1>Ь[б+ (l|zz0||4-||ur—Moll) nl-	(З.И)

Правило 3.5 такое же, как правило 3.1, с заменой (3.4),
(3.5) на

ЦДл«о—Ml	Ъ2 (б 4- II zz01| 1]),

b1(6+l|//r||i1)^||Anz/-MI^&2(64-il«,.|ln).

Правило 3.6 такое же, как правило 3.2, с заменой (3.6),
(3.7) на

|| Anur — fe|| < b (б +1| иг || 1]),	|| А^иг- — f61| > b (б + || иг, || п).

При больших т| может случиться, что невязка ||Апыг—Ml
слишком велика при всех г>0 для выполнения условий правил
3.3—3.6 и они не срабатывают. Чтобы быть уверенным в функ-
ционировании правил 3.3—3.6 при всех т| (0<т]т|0), целесооб-
разно наложить на г верхнюю границу, при достижении которой
вычисления прекращаются. Эту верхнюю границу следует вы-
брать так, чтобы при малых б>0 и т]>0 она не влияла на выбор
г. Для приближения (0.2) такой границей оказывается
d/(6-j-r|), d=const>0, а для приближения (0.3)—d/(64-i])2-
Если, например, для приближения (0.3) применяется правило
3.5, но при re[0, d/(64-i])2] невязка не достигла уровня
||Алыг—Ml^&2(б+11 иг||ц), то поиск г прекращаем и выбираемг=
= б7/(б + н)2-

Правила 3.1—3.6, дополненные для г верхней границей
d/(64-i]), назовем правилами 3.1'—3.6'; правила 3.1—3.6, до-
полненные верхней границей df(б4-1])2, назовем правилами
3.1"—3.6". В таких правилах весьма полезны свойства монотон-
ности ||Алиг—fe|| и ||ur—-и0||. Монотонное убывание невязки
||Алпг—f4||, как уже отмечалось, гарантируется условием (0.15).
Если, кроме (0.15), выполнено условие (0.16), то, как показано
в п. 5.5 гл. III, ||ur—и0|| монотонно возрастает по г. В таком слу-
чае множество тех г, для которых выполнено (3.10),— это неко-
торый бесконечный интервал [г(б, т|), оо); условие (3.11) не раз-
решает в нем брать слишком большие г.

Правила 3.4' и 3.4" особенно хорошо приспосабливаемы к
итерационным методам: итерации останавливаются на первом п,
для которого выполнено (3.10), или на int{d/(б + ц)}, соответст-
венно, int{d/(б+ц)2}, если невязка не достигла уровня (3.10).

Укажем еще два правила выбора г по «второй» невязке
11АтГИчыг—Д) II для приближения (0.3). В соответствии с леммой
3.1 гл. III ИАДА^и,—/б)||->-0 при г-э-оо.

Правило 3.7. Зададим числа &,>0 и ба^б,. Если
||An*(Anu0—Л)II(б + я), то положим г—0. В противном слу-
чае выберем любое г>0, для которого бДб+л)^
^IIA;(Anu-м ц^б2(б+т1).

Правило 3.8. Зададим числа б>0 и 0е(О, 1). Если при
г=0 выполняется ||А(Алиг—Л)11^Ь(б-1-г]), то положим г=0.
В противном случае выберем такое г>0, для которого это нера-
венство выполнено, причем для некоторого r'i=[0r, г] должно
выполняться ||А/ (A^ur—f6) II > б (б + я).

Для итерационных методов

Un = un-i — g (А^Ат,) Aii (АцИл-i fe), n == 1 > 2, ...

из неравенств 0<^= inf g(X)^ sup g(X) = y<oo следует,

ЧТО

P || Ai) (Ar|Un-i — fe) || ^ || un — un-i || T || Ai) (ArTjUn-i fe) ||,

и в правилах 3.7 и 3.8 можно невязку ||A^*(Anun—f6)|| заменить
поправкой ||u„+t—u„||. Таким образом, для итерационных мето-
дов правила 3.7 и 3.8 можно трактовать как правила останова
по поправке.

3.3.	Формулировка основных результатов (теоремы3.1—3.4).
Как обычно, под и. понимаем ближайшее к и» решение или ква-
зирешение уравнения (0.1); начальное приближение и0 считаем
не зависящим от б и тр

Теорема 3.1. Пусть H—F, А=А*^0,	А^=Ап’^0,

||АЛ—A||<ip ||А„||С"a (ОСт^тр), f(=#(A), |lfe—f||==^6 и выпол-
нены условия (0.4) и (0.5) с р0>1,	1. Пусть параметр г—

= г(д, т|) в приближении (0.2) выбран по любому из правил 3.1,
3.2, 3.3'—3.6', причем в случае правил 3.5' и 3.6' дополнительно
предполагаем, что Л’(А)=0 или d достаточно мало, так что

бх[ 1—4/7тах{||Аll/Hf||, 1}]>1 в случае правила 3.5',	(3.12)

б[1—dy тах{||А||/||f||, 1} ]>1 в случае правила 3.6'.	(3.13)

Тогда

(б + т])г(б, г})-*-0, ^г(в,ч)“*-и, при б—>0, ц—>-0.

(3.14)
Если начальная погрешность представима в виде

и0—u.=Apv, р>0, ||и||<Др,	(3.15)

то справедливы оценки

г(б, q) =£^pp(5 + r|)“l/(p'rl\

IIИг(в,ч>—«.II^Срр(6+п) р/(₽+11, 0<р^р„—1,

(3.16)

(3.17)

где постоянные cPi, и dpp, кроме р и р, зависят от параметров bt,
Ьг, Ь, 0, d правил выбора г. В случае начальной погрешности
(3.15) с О<р<ро—1

(6+q)l/<p+1’r(6, q)->0,

||Иг(в,п>—«.Il=o((6 + q)p/(p+l)) при б—>0, q-^-0.

(3.18)

(3.19)

Такая же теорема верна для приближения (0.2) и в ситуации,
когда А=А*, АЛ=АЛ’, о(/!„)£=[—а0, а] (0<qs2q0), а вместо
(0.4) и (0.5) введены условия (0.8), (0.9) с р0> 1, у0=1- Условие
^0=1 можно снять, если в правилах выбора г положить Ь^ч*»

В условиях теоремы 3.1 метод (0.2), дополненный соответст-
вующим правилом выбора г, определяет 81 ^-регуляризатор, где
Я+ — множество неотрицательных самосопряженных операторов.
Этот регуляризатор оптимален по порядку на классах »#ррио,
О<р^ро—1, р>0.

Рассмотрим случай, когда А=А*^0, но оператор АЛ=А^* не
обязательно неотрицателен.

Теорема 3.2. Пусть H = F, А—А’^0, АП=АЧ‘, ||ДЛ—А|| ^q,
||Ал||^а (0<qsCq0), fe#(A), ||f6—/II ^б и выполнены условия
(0.4), (0.5) с р0>1 и (0.12). Пусть параметр г = г(6, т|) в при-
ближении (0.2) выбран по одному из правил 3.1'—3.6', причем в
случае правил 3.5' и 3.6х считаем выполненным условие dlF(A) =
= 0 или соответствующее из условий (3.12) и (3.13). Пусть, на-
конец,

ds^a, &1>max{"(0, 1 + ^_}, &>тах{'у(), 1 + гЛ(_},	(3.20)

где Ь, &, и d — постоянные из правил выбора г, а а и ч~— посто-
янные из условия (0.12). Тогда справедливы утверждения тео-
ремы 3.1.

Заметим, что в случае у0=1 и произвольных /л>1, Ь>1 не-
равенства (3.20) выполнены, если d достаточно мало.

Теорема 3.3. Пусть A, A^S?(Н, F), ||АП—А||^q, ||AJI2а
(0<q^qo), /ей? (A), ||fe—/||<б и выполнены условия (0.4) и
(0.5) с р0>1/2, 7о=1. Пусть параметр г = г(б, q) в приближе-
нии (0.3) выбран по любому из правил 3.1, 3.2, 3.3"—3.6", при-
чем в случае правил 3.5" и 3.6" дополнительно считаем выпол-
ненным требование Л5(А) = 0 или

Ml— г/,/”у.тах{||А||/||/||, 1}]> 1 в случае правила 3.5", (3.21)

&[1—rfl/l'y.max{||A||/||f||, 1}]>1 в случае правила 3.6". (3.22)
Тогда

(6 +1])гг(6, г])->-0,	при б->0, г|—>0.	(3.23)

Если начальная погрешность представима в виде

Ыо—u.= |A|pt!, р>0, ||и||<р,	(3.24)

то справедливы оценки

г(б, л)=^<М$+п)_2Лр+1\	(3.25)

Н«г(»,л)—м.11^сРР(6 + 11)р/^1>,	0<р^2р„—1,	(3.26)

причем в случае 0<р<2р0—1

(64_n)V(p+i>r(6j	(327)

1Кб,.—«.||=o((6 + n)*/(*+1>)	при	б->0,	л->0.	(3.28)

Условие 70=1 можно заменить условием	Ь>уо. В усло-

виях теоремы 3.3 метод (0.3) с соответствующими правилами
выбора г определяет S? (H, F) -регуляризатор, оптимальный по
порядку на классах Jtppuo, 0<р^2р0—1, р>0.

Правила 3.7 и 3.8 применимы и в том случае, когда уравнение
(0.1) разрешимо в смысле наименьших квадратов. Но при этом
получается неоптимальный по порядку на ^#ррцо метод.

Теорема 3.4. Пусть A,	F), ||Ал—А|| т), ||AJI2а

(0<г]г|0), Qfe5?(A), ]|fs—/11^6 и выполнены условия (0.4) и
(0.5) с р0> 1. Пусть параметр г=г(6, т]) в приближении (0.3)
выбран по правилу 3.7 или 3.8, причем	—Qfll, соответст-

венно b>Yoll/—Qf\\- Тогда

(б + т|)г(6, т|)—->-0, иг(вл)->«, при 6->0, г]->0.

(3.29)

В случае начальной погрешности (3.24) справедливы оценки

г(6, Г|) ^с?Рр(б + г|)_2/<р+2),

||ыг(0]Л)—и.11^сРР(б+-п)р'"р+2), 0<р^2р0—2,

причем в случае 0<р<2р0—2

(6+п)2/<р+2)г(б, ц)->0,

(3.30)

(3.31)

(3.32)

||ыг(в,л)—ы.||==о((64-г1)р/(р+2’) при 6—>0, -q—>-0.	(3.33)

В случае /ей? (А) имеем f—Qf=O и />i>0, Ь>0 можно вы-
брать произвольно. В общем случае условия Ь,>7о11/—Q/II и &>
>7ollf—Q/II убрать нельзя. Поскольку Qf на неизвестно, то сле-
дует положить	Ь>7«11Л1.

Доказательства теорем 3.1—3.4 даны в пп. 3.5—3.8.

3.4.	Вспомогательные результаты. Лемма 3.1. Пусть А =
=А*>0, Ап=Ап‘>0, ||АЛ—Allsgt],	и выполнено условие

(0.5) с р0>1- Тогда для Gryi=I—A„gT(Ari) справедливо соотно-
шение

г|| АпСи1и||-э- 0 при г-э-оо, г|-> 0	\'э5.7'(А')1.	(3.34)
Лемма 3.2. Пусть A, A^S{H, F), ||АП—AIK1!, HAJIKa и
выполнено (0.5) с р0> 1/2. Тогда

ЛпКГТ1и|1->0 при г->оо, 1] ->0	Vue-АДА)1,	(3.35)

где КтЛ=1—А*А^г{АлАл). Если р0>1, то

г || ЛпЛпКт^-* 0 при г-> оо, т)-> 0	VyS^/’(A)J-.	(3.36)

Доказательство утверждений (3.34) — (3.36) проводит-
ся по единой схеме и основывается на теореме Банаха—Штейн-
гауза. Ограничимся проверкой условий теоремы Банаха—Штейн-
гауза для сходимости (3.35). По условию (0.5) нормы операто-
ров ограничены в совокупности: г'/аIIЛП/<ГТ)|) = r7j|| (А^*А^) 1/2 ЛДН
Д-f/, (г>0, т]>0)- Для элементов вида v=A'z, образующих в
Л9(Д)±=52(А‘) плотное подмножество, в силу (0.5) имеем

г* || А^КпУ || = г'/* || A^rnA’z || с: || А^Кгъ (А* - А^) z || +

г * || Лл/СщЛ^г || с: (т%л + г* sup X11 — lgr (X) |) || z || -> 0
og Xg а

при г->оо, г]->-0. Мы учли, что АДГПАЛ‘=АПАЛ*(/—АД/^ДАИп*))
(см. лемму 3.1 гл. II). Леммы 3.1 и 3.2 доказаны.

Соотношение (3.34) остается в силе и в случае, когда опера-
торы Ап знакопеременны, но в дополнение к условиям леммы 3.1
выполнено условие (0.12), а также когда операторы А и Д, зна-
копеременны, g(A^)s[—а0, а], а вместо (0.5) выполнено (0.9) с
р0> 1. Подобные дополнения можно высказать и к формулируе-
мым ниже леммам 3.3 и 3.5.

Лемма 3.3. Пусть А=А*^0, Л^Л/^0, ||ДЛ—А1Кя,
ЦДЛЖ« и выполнены условия (0.4) и (0.6). Если для некоторых
иоеЛ’(А)±, г„<Т=const и г|,->0 имеем -4Лп ОГ/Л|у0->0 при п->оо,
то Gr„n„^->0.

Лемма 3.4. Пусть A, A,l^2’(H, F), ||АП—А1Кт], ||Ал||2^а
и выполнены условия (0.4) и (0.6). Если для некоторых иое
еЛДАД, r„s^r=const и т|„->0 имеем Д^/С^Уо-^О или
при П->ОО, ТО Krn4nV(r+ 0-

Доказательство этих лемм аналогично доказательству
леммы 3.2 гл. III.

Лемма 3.5. Пусть А=А*>0,‘ А^=А/Д:0, ||АЛ—А1Кт]>
IIAJK°- fe5?(A), life—fllи выполнены условия (0.6) и (0.7).
Тогда для приближения (0.2) имеем

lim ||«г —«0||>||«. —«0||,	(3.37)

г-><зо,б—>о,т|--*о

а если Л’(А) =0, то и

lirn	|| «г || >|| «,||-	(3-38)

Лемма 3.6. Пусть Д, АЛ^2?(Н, F), ||АП—AIKi), ||Ал||2^а,
fe^?(A), life—ЛК б и выполнены условия (0.6) и (0.7). Тогда
для приближения (0.3) справедливо (3.37), а в случае Л’(Л)=0
также (3.38).

Доказательство лемм 3.5 и 3.6 проводится по одинако-
вой схеме, и мы ограничимся случаем леммы 3.5. Заметим преж-
де всего, что

ЦЛлыг—М1->0 при г—>оо, 6->0,	(3.39)

(здесь, как и в (3.37) и (3.38), предел берется при независимом
стремлении аргументов к своим предельным значениям, без вся-
кого согласования г с б и т|). Действительно,

ЛцНг /е = Grt\ (ЛцН0 •— /'й) = ОГ<1Л (hq -— uj -J- Grt\ [(Лц — Л) н0 —

По лемме 2.1 || GrnA (и0—н.)||->0 при г—>оо, г|->0; в силу (0.6)
HGmll^To, и мы приходим к (3.39).

Соотношение (3.37) докажем от противного: допустим, что
для некоторых г„->оо, б„->0, т]„->0 имеем Ит||иГп—н0||<\\и,—и0||.
Тогда последовательность и,.п ограничена, и из нее можно из-
влечь слабо сходящуюся подпоследовательность; пусть иГп---->-

Тогда АиГп---t~Au'. Из (3.39) следует, что Au.rn-+-f. Поэтому

Аи'—[у т. е. и' — решение уравнения (0.1). Из слабой сходимо-
сти игп—и0---ги'—иа следует, что ||и'—ц0|| lim|| иГп—ы0|1<

<||и«—Holl, а это противоречит определению и, как ближайшего
к uQ решения уравнения (0.1). Противоречие доказывает (3.37).
Соотношение (3.38) доказывается таким же образом. Леммы 3.5
и 3.6 доказаны.

3.5.	Доказательство теоремы ЗЛ. Для приближения (0.2)
имеем

иг — и, = Gn\ («„ — «.) +§гИч)(/« —Лпн,),	(3.40)

AtyUr — f& — ЛцСрц (н0 — и.) — Gr-ц (fe — ЛцН»).	(3.41)

Из доказательства теоремы 2.1 нам известно, что

l|Grn(H0—и,) ||->0 при г->оо, т|->0,	(3.42)

ПЯг(Лп) (f6-Л„щ) ||^v(6 + Il«.lhi);	(3.43)

в силу леммы 3.1

огл=г||ЛпОгп(и0—и.)!1->0 при г^-оо, т]->0.	(3.44)

1.	Случай правила 3.1. Если правило 3.1 выдает г —0
при сколь угодно малых б>0, iq>0, т. е- Млы<>—/Л^&г(б +
-|-1|и,||г|), то в пределе б->0, г)—>-0 получаем Лн0=Л т. е. ип — ре-
шение уравнения (0.1). В таком случае утверждения теоремы
тривиальны. Будем считать, что при достаточно малых б>0 и
г|>0 правило 3.1 выдает г—г(6, т|)>0. Поскольку ||Grn|| У» =
= 1, то из (3.5) и (3.41) следует, что при г=г(б, г|)

IM.GrJUo-H.) ||^ (б2 + 1) (б+ ||н.|1п),	(3-45)

||ЛАД«о-«.)И> (&1-О (6+ 11«.||т1).	(3-46)
Из (3.46) и (3.44) следует первое из соотношений (3.14); под-
робные рассуждения в аналогичной ситуации проведены в п. 3.4
гл. Ш- Второе из соотношений (3.14) затем следует из (3.40),
(3.42) и (3.43), если г (б, ц)->оо при б—>0, т)->0; если же г (б, ц) sC
con st при б—>-0, т)—>-0, то вместо (3.42) здесь привлекается
(3.45) и лемма 3.3.

Пусть Но—и. представимо в виде (3.15). Оценим заново эле-
мент AnGrn(u0—и,). В силу (0.5) и леммы 1.1

II (и0 и.) || = || Дг/7п]Д₽у || || Дт|бгг| (Ар — Д^) и || +

+1| Дч+16гп^ || < (егрЛ + ТрнН'*1)) р, О С р < р0 --1, (3.47)
где егр->-0 при г—>-оо. Сопоставляя это с (3.46), получим

Ъ>+.г-(р+1)Р^ (Ь4-1)б+ [ (6.-1) Hu.ll-егрр]л.

Отсюда следует оценка (3.16).

Оценка (3.17) следует из (3.40), (3.43), (3.16) и проводимой
ниже оценки члена Grn(u0—и,). Имеем

11	(«о - «,) II = II Gr^Apv || < || Grn (Д₽ - Д^) v || + || G^v ||.

По лемме 1.1 ||Grn(Ap—Дпр)u||^cpT)mtn<1-₽'p, что дает в оценку
||«г—uj| вклад о((б+т])р/(р+1)). Норму ||GrnA4pр|| оценим при по-
мощи неравенства моментов, леммы 1.1 и неравенства (3.45):

II G^Afr II = II A^v || ==£ || A^G^v Ц₽/(р+1) || G^v ||1/(p+1) ==£

|| Г₽“’ || v ||1/(p+l> (|| AnGf11 (A{J - Ap) v J +

—u.)||)p/(₽+1>Pi/(p+1)^

[бгрт)р + (b2 + 1) (6 +1| u. || n)]^1’ p1/(phl>.	(3.48)

В итоге приходим к искомой оценке (3.17).

При ОСр-Сро—1 справедливо соотношение гр+1||Дпр+1Сгпи||-э-
—>0 при r->oo, т)->-0 (ср. с (3.34); без ограничения общности мож-
но считать, что аеЛ’(Д)-1-). Вводя соответствующее уточнение в
(3.47), приходим к (3.18). Наконец, оценку (3.19) получаем по-
вторением проведенных выкладок, воспользовавшись соотноше-
нием (3.18) вместо (3.16) и уточнив (3.48) за счет сходимости
|| Grriv ||->0 при г->-оо, ц-э-0. Мы завершили доказательство теоре-
мы 3.1 в случае правила 3.1 выбора г.

2.	Случай правила 3.2. Дальнейшие цели заставляют
нас трактовать это правило несколько шире, чем это дано в
п. 3.2. А именно, считаем заданными числа &'>1, b^b' и 0е
^(0, 1) и будем выбирать такое г=г(б, ц), что

||ДпНг-М1^Ь(б+||н.||т1),	(3.49)

Яг'е[0г, г]: ||Дпиг—М^'(б+||и.||т])	(3.50)

(к правилу 3.2 возвращаемся, если Ь'=Ь). Если г=г(б, ц) >0
удовлетворяет этим неравенствам, то (ср. с (3.45) и (3.46))
г(б, ц) (б, Т])/0,

||AnGrn(u0-u.) || < (b +1) (б+ IIи. 1|л),
IIAnGn'n(«о—«•) II > (b'—1) (6 + ll«. II n) 

Дальнейшие рассуждения повторяют проведенные.

3.	Случай правила 3.3'. Как и в случае остальных пра-
вил, теорема тривиальна, если правило 3.3' выдает г = 0 при
сколь угодно малых б>0 и т)>0, т. е. если Aw0=/. Будем счи-
тать, что Аи0Наша цель — показать, что тогда при достаточ-
но малыд б>0 и т)>0 для выбранного по правилу 3.3' г—г (6, ц)
выполняются неравенства

(^i е) ($ + IIм» II Л)	|| А^иг — /в || ^ (Ь2 —|— е) [д —|— (||w0|| +

+ ll«.-«ol|)nL	(3.51)

где е>0 сколь угодно мало (зафиксируем его так, что bt—е>1).
Тем самым доказательство теоремы с правило.м 3.3' будет сведе-
но к случаю правила 3.1.

Покажем, что при достаточно малых б>0 и т)>0

г(б, n)<d/(6 + n)	(3.52)

(правило 3.3' при таких бит) равносильно правилу 3.3). Дейст-
вительно, достаточно рассмотреть случай г(б, т))->-с>о при б—>0,
Если г(б, п) ^^/(б+л)> т0 1/г(б, л)	(б + т))/^. и при ма-

лых б >0, т)>0 из (3.41), (3.44) и (3.37) получаем

IIA/Zr—fsll £~<Jrr/-1 + б+	Л <~(,1[б+ (lluoll + II «г—Woll) л!>

что противоречит (3.9). Противоречие доказывает (3.52).

Из (3.40), (3.42), (3.43) и (3.52) следует, что i|ur(S.T0||sgconst
при б—>-0, т]->-0. Если г (б, т])->-оо при б->-0, т)->-0, то из (3.9) и
(3.37) при достаточно малых б>0 и т)>0 получаем

(bj. — е) (б 4-1| w„ || т]) sS || А^иг — М с (б + IIIIЛ)

с большой пока постоянной с. Но это уже позволяет применить
теорему с правилом 3.1 и получить сходимость пг(в п)->и., а затем
из (3.9) получить уточненные неравенства (3.51). Если же
г (б, л) =C7=const при б->0, т]~>-0, то сходимость ur(6,n)->u. полу-
чаем при помощи леммы 3.3, а затем из (3.9)—снова (3.51).
Тем самым завершено доказательство теоремы 3.1 в случае пра-
вила 3.3' выбора г.

4.	Случай правила 3.4' сводится к случаю правила 3.2 в
расширенной трактовке (3.49), (3.50). А именно, если г—
= г(б, т])>0 определено по правилу 3.4', то, как и выше, дока-
зывается, что при достаточно малых б>0 и т]>0 выполняется
(3.52) и правило 3.4' при таких б>0 и т)>0 равносильно прави-
лу 3.4. Затем показывается, что для г = г(б, ц) при достаточно
малых б>0 и т)>0

II Anwr — f61| sC (b + e) [6 4- (|| u01| 4-1| w, — u01|) г)],

|| A^Ur' — f61| >(b — e) (6 4-1| u, || n).

5.	Случай правила 3.5'. Если Л5(A) =0, то рассуждения
вполне аналогичны случаю правила 3.3' с использованием (3.38)
вместо (3.37). Рассмотрим случай, когда выполнено (3.12). Ид
(3.40), (3.42) и (3.43) с учетом неравенства г (б, q) ^d/(6 + q)
получаем

Нт ||«г(в,п)||>||ы,||— Ит уг (б, q) (б + ||«,|| q) >
б->о,п->о

ЖII —	+	(6 + п)-1>

>||и.||(1 — Т^тах{1/||н.||, 1}).

Из равенства Au,—f следует, что 1/||и.||ЦЛЦ/11/Ц. Привлекая
(3.12), окончательно получаем

lim b± || нг{в,п) || > fq || и, ||, b[ > 1.

Это неравенство позволяет, как и выше, свести случай правила
3.5' к случаю правила 3.1. В случае правила 3.6' доказа-
тельство аналогично. Теорема 3.1 доказана.

3.6.	Доказательство теоремы 3.2 получается незначительным
видоизменением рассуждений предыдущего пункта. Из условий
теоремы следует, что о(Ап)^[—q, а], поэтому при q^ar-1 (при
r^a/q)

||Grn||< S'JP I 1 —	tnax{y0, 1 + y“rq}.

Максимальное значение r=r(6, q), допускаемое правилами
3.1х—3.6х, равно d/(6+q), и с учетом первого из условий (3.20)
получаем l|Gr(6,n|TJ|г^гпах^о, l + dy}. Вместо (3.45) и (3.46) по-
лучаем

|| АцСл! («0 — и.) || sC [b2 + шах {у0, 1 + dy }] (б + || и, || q),

II AiGn, («0 — и,)Ц > ]&х — шах {у0, 1 + dy’}] (6 ф-1|«Дq).

Здесь вступает в действие второе из условий (3.20), позволяю-
щее перенести дальнейшие рассуждения в русло п. 3.5. Предва-
рительно убеждаемся, что при достаточно малых б>0 и q>0
правила 3.1х и 3.2х равносильны соответственно правилам 3.1
и 3.2.

3.7.	Доказательство теоремы 3.3 повторяет доказательство
теоремы 3.1. Чтобы прояснить причины количественных разли-
чий в формулировках двух теорем, мы повторим доказательство
в пределах правила 3.1.

Для погрешности и невязки приближения (0.3) справедливы
формулы

«г — и, — Кп\ («о — н*) 4" gr (4г|А1) А) (/е — Ап«,),	(3.53)

AriUr — /д = Аг|Лгг| (Wq u„) — Кгу\ (ft — А^и*),	(3.54)

где /<гл==7—An*Angr(An*An),	A,1A11*gr(A,1A1*). В силу лем-

мы 2.2 и (2.19)

И,л(Но—«.)11->0 при г—>-оо, q—>-0,	(3.55)

|| gr (A^An)	(ft — Апн.)||	У.г'А (6 + || и, || q);	(3.56)
в силу леммы 3.2

агп = г’/’ИДпКл! (иа — и.)||-»- 0 при гос, т]->- 0.	(3.57)

Допустим, что Аиоу=/. Тогда правило 3.1 при достаточно ма-
лых 6>0 и т)>0 выдает г=г(6, т])>0. Поскольку ||£rt)||= 1,
то из (3.5) и (3.54) следует, что при г=г(6, т])

II АДСпМ и») II sj (&2 + 1) (6 +1|и,||Т)),	(3.58)

||А„ЛгДи0-н.)||> (&,-1) (6 + ll«.lh).	(3-59)

Из (3.57) и (3.59) следует первое из соотношений (3.23). Из него
и (3.53), (3.55) и (3.56) следует и второе из соотношений (3.23),
если г(6, т])->оо при 6->0, т)->0. Если же г(б, т]) =<+=const при
б-*-0, т]^>-0, то вместо (3.55) привлекается (3.58) и лемма 3.4.

Пусть и0—и, имеет вид (3.24). В силу (0.5) и леммы 1.2

|| АЛ> (и0 - «.) || = II A^Krn | А |р V || < IIА^ (| А |р -1А„|р VII +
+ II Ai A’m I Ai|₽ и || < (егд] + у,,, ч)/2г-	р, 0 CpsC2p0— 1,

(3.60)

где егр->0 при г->-оо. Сопоставляя это с (3.59), получим
7<?+1)/2''_<р+1)/2Р> М—1)6+ [ (Ь,—1) llw.ll—ег„р]п-

Отсюда следует оценка (3.25). При 0<р<2ро—1

г(р+1)/2||Ая/(г,1|Ая|рц||->0 при г-э-оо, т]->0

(ср. с (3.35); можно считать, что t/e#(Л)*-). Вводя соответству-
ющие уточнения в (3.60), получаем также соотношение (3.27).

Оценка (3.26) следует из (3.53), (3.56), (3.25) и проводимой
ниже оценки члена КтЛиа—и*)- Имеем

(«о - «.) II=11	И1ЧК1 (| А |р - I Ап |₽) и| +

+ 11 Кт |Ап Inli-

ne лемме 1.2

|| Кг^ (| А|р -1Д 0иК (1 + 11п П |) nmin(bp> 114

и вклад этого члена в оценку ||иг—«,|| имеет порядок o(tip/1₽+1>).
Член И,л|Ап|ри|| оценим при помощи неравенства моментов,
леммы 1.2 и неравенства (3.58):

II/и | An|pv|| = ]||A4|pK^K||| А.Г1К^Г₽,1) WKr^v ||1/,₽vl) <

I Ащ М||р/(р+1,|| у ||1/<р+1)

(II (| An |р -1 А |р) v II + || АъКгч (и0 -и,) ||)p^+1’pi/(P+l)^
=С [ЕгрПР + (&2 + П (6 + || U, || Я]Р/(Р+1) М'4-1*-

В итоге приходим к оценке (3.26). Если здесь учесть, что
IIКтцУ||—>-0 при г->оо, т]->-0, а вместо (3.25) привлечь (3.27), то
получаем также соотношение (3.28). Доказательство теоремы
3.3 в случае правила 3.1 выбора г завершено. Случаи других
правил не вносят в доказательство новых моментов.

3.8.	Доказательство теоремы 3.4. Формула (3.53) верна и в
случае Qfe52(A). Из нее следует, что

Ап (Ац1/г • fe) = ЛцДц/Ст] (н0	и,) XmAn (fs	(3.61)

При этом (см. (2.29) и его вывод)

|| gr (АХ) Ап (fe — АП'С) II + у + (6 +1| и, || г)) + уг Ц f — Qf || т], (3.62)

|| КпХ (/в — Ач«.) || <	(6 + j| ut || п) + То И - Qf IIП- (3.63)

В силу леммы 3.2

0гл^г|!Ал’Ал7<гп(ио—и.) [|->0 при г->оо, т]->0.	(3.64)

Если правило 3.7 при сколь угодно малых 6>0 и ц>0 выда-
ет г=0, то А“(Аи0—f)=0, т. е. и„— квазирешение уравнения
(0.1), и утверждения теоремы тривиальны. Будем считать, что
г=г(6, т]), определяемое правилом 3.7, положительно. Из усло-
вий правила и (3.61), (3.63) находим, что для указанных г =
=г(6, я)

|| АпАпКгч («о — nt) || Ь2 (6 + л) +	(6+|| и, || т]) + у01| f —Qf ||ц,

(3.65)

|| AnAntfrn (+ — II > (6+n) —	(6+ II«. h) — ТоII f —Qf II n-

(3.66)

По условию теоремы b,—у0||/—Q/||>0. Поэтому если г(б, г])->оо
при б->0, т]->0, то при достаточно малых 61>0 и т]>0

|| АщАщКи! («0 — и,) || bj (5 + т]), bi 0.

Отсюда совместно с (3.64) находим, что (б+т])г(б, г|)->0 при
д->0, т)->-0. Отсюда и из (3.53), (3.55) и (3.62) получаем сходи-
мость иг(в>Л)->-«», если г(6, т))->-оо при б->0,	если же

г (6, ц) =Cr=const, то вместо (3.55) привлекается (3.65) и лемма
3.4. Мы доказали (3.29).

В случае начальной погрешности (3.24) при помощи леммы
1.2 и условия (0.5) находим

|| АпАпКгп (и0 — «,) || = || АпАг|Кгп | А |р v ||
^ЦДХЛч (I А\р-\AXvIl + MX^ | An |Ч<
< («+П + Т(Р+2)/2Г-(р+2,/2) р, О < р 2р0 - 2,

где е'гр->-0 при г—>оо. Совместно с (3.66) это дает оценку (3.30).
Вывод остальных оценок проводится по стандартной схеме.
В случае правила 3.8 доказательство аналогично. Доказательст-
во теоремы 3.4 завершено.

3.9.	Случай неограниченных операторов. Результаты пара-
графа сохраняют силу и в случае неограниченных операторов А
и Ап, если ограниченной является разность Ап—А, ||АП—А|| =Сц.
Конечно, условия (0.4), (0.5) и т. д. должны выполняться с а —
= оо. Кроме того, условия (3.12) и (3.13) следует принять в
виде

bi[l— Дутах{1/||щ||, 1}]>1, &[ 1—dy тах{1/||и.||, 1}]>1,

а условия (3.21) и (3.22) — в виде

Ml— сГд. тах{1/||н,||, 1} J >1, Ь[1— d'% max{1/||«.||, 1} ] >1.

В случае неограниченного А нет естественной оценки величины
1/||и.|| и правила 3.5Z, 3.6', 3.5", 3.6" практически применимы
лишь при условии Л’(Л)=0.

Оказывается, что теорема 3.1 остается в силе и в случае, ког-
да для самосопряженных неотрицательных операторов А и Ап
вместо ||Л„—А|| gCr| имеем S)(Лл)э^)(Л),

||Л„и—Ли||^т](||«|| + ||Л«||) Уи<=0(Л),	(3.67)

а теоремы 3.3 и 3.4 — в случае, когда для замкнутых плотно оп-
ределенных операторов А и Л„ имеем ^5(Лл)=э.0(Д), ^5(Лл*) =
=>35 (Л‘) и

||ЛП«—Л«|1^т](||«|| + ||Ли||) Упе35(Л)^Я,	(3.68)

1|Лл*2—.4*г|| ^т](||ц|| + ЦЛ/zll) Vzg=W)^.	(3.69)

В доказательстве этих теорем происходят лишь незначительные
-изменения (вместо лемм 1.1 и 1.2 используются леммы 1.4 и 1.5).
В пояснениях нуждается другое, а именно применимость правил
3.1—3.6 и их модификаций,— последнее из неравенств в цепочке
(3.3) теперь неверно. Покажем, что тем не менее

inf ||Лпи — f61|^6 + ||«. ||т],	(3.70)

и^Э^(А)

откуда следует lim ||Ллиг—Д||^6+ ||«.|1г|. Это обеспечивает при-
Г—>оо

менимость указанных правил выбора г. Доказательство доста-
точно провести в условиях (3.68), (3.69). Обозначим через Qn
ортопроектор в F, проектирующий на 52(Лл). Имеем (/—Q„)Xn=
= 0, Лл*(/—фл)=0, вследствие чего (3.69) дает || (/—Qn)X
Х(Л—ДЛ)|| = ||(Д‘—Лл*) (/—Qn)||=gO], и мы приходим к (3.70):

= ||(/-Q^)(/6-/) + (/-Qn)(X-X^«,K6+||u.h.

Отметим, что условие (3.69) близко условию

||Л>-Л-г||^т](||г|| + ||Л’г||)	^е=®(Л*).	(3.71)

Точнее, при г|<1 из (3.69) следует

||4г-Л*г||^-2и(1|г|| + ||Л’г||)1
1 —ц

а из (3.71)

||Л;г-Л*гК-^-(||г||-|-]|Л;г|1)

1 —п
В случае, когда выполнено лишь условие (3.68), а условие
(3.69) нарушается, имеем inf liA„u—f5||^6 + (||u.|| + НЛ1)т) и
правила 3.1—3.6 нуждаются в соответствующих модификациях.
Например, условия (3.5) следует принять в виде

Мб+ (11«.1Н IlflDn]Л11=^Мб + (Ш1+11Л1)п]-

3.10.	Критический'уровень невязки. Если порождающая си-
стема функций £г:|.0, a]->-R удовлетворяет условиям (0.17) и
(0.14), то для приближения (0.3) удается обосновать выбор па-
раметра г из условия

ЦАпиг-ЛИ = 6+II и. IIП	(3.72)

или более практического условия

||Али -ЛИ = 6+ (11«о11 + И« -«oll)n-	(3-73)

Правда, оценки оптимального порядка на классах* удается
установить лишь в случае (3.72); выбор (3.73) может приводить
к существенно завышенным значениям г. Это вынуждает делать
пессимистический вывод о целесообразности привлечения крити-
ческого уровня невязки в случае неточно заданного оператора.
Подробности см. в [20, 22].

Напомним, что для приближения (0.2) критический уровень
невязки приводит к расходящемуся процессу даже в случае точно
заданного оператора (см. п. 4.2 гл. III).

4.	Помехоустойчивость итерационных методов

4.1.	Случай самосопряженной задачи. Переформулировка ре-
зультатов разд. 2, 3 для итерационных методов не вызывает осо-
бого труда. Дополним соответствующие результаты изучением
устойчивости итерационных методов приближений относительно
малых возмущений типа погрешностей округления. Подобные
возмущения, как будет видно из дальнейшего, в некорректных за-
дачах безопасны лишь при не слишком большом количестве ите-
рационных шагов.

Начнем с рассмотрения итерационного метода

g(An)(AnHn_1—Л), n=l, 2, ...	(4.1)

для самосопряженной задачи (0.1) с H = F, Л = А*^0. Из-за по-
грешностей округления или каких-то других помех на каждом
шаге итераций допускаются неточности, и реальные вычисления
можно промоделировать итерационной схемой

ип = ип_х — g(Дп)(А,)«,,-! — Л) + wn, и = 1,2.. (4.2)

где wn^H, п^1, —малые в каком-то смысле возмущения. Здесь
будем считать, что ||а?п||^е (п=1, 2, ...), где е —малый поло-
жительный параметр (обычно е<С6 + т]). Более сложный случай,
когда wn (n=l, 2, ...) малы лишь в вероятностном смысле, изу-
чается в следующей главе.

Теорема 4.1. Пусть H—F, Л=Л’^0, ЛП=ЛП‘, ||Лл—Л||^ц,
||Лп||<а (ОСп^По), /<=3?(Л), life —

(/1=1,2, ...)•

Пусть функция g: [—a, a]-+R непрерывна и

0<g(Z)<2/X при OsgZsCa.	(4.3)

Остановим итерации (4.2) на таком /г = га(6, ц, е), что

/г(б, т)> е)->оо, (б + ц+е)п(б, т). е)->0

при 6->0, т]->-0, е->0.	(4.4)

Тогда	при 6->0, Т)—>-0, е->-0, где и, — ближайшее к

й0 = м0 решение уравнения (0.1).

Если начальная погрешность представима в виде

и0—и, = Ари, р>0, ||у||^р,	(4.5)

то при

/i=int{d(6 + i'] + e)~1/(p+1)}, d = const>0	(4.6)

справедлива оценка погрешности

\]йп-U.\\^cppd^ + f] + е)”'1^1*, 0<р<оо.	(4.7)

Доказательство. Индукцией по п убеждаемся, что

un = (/ — Лп£ (Лщ)) а0 + 2 — ^ng Ип)У g (Лщ) fe +
/^0

+ 2	wn-j = (J — Лц^п (Лщ)) и0 -f-

(=0

+ gn (Лщ)/^ + 2 V — Лч£ (Лп)У wn-j-	(4-8)

i^o

Функция gn определена формулой (4.3) гл. II; в силу леммы 4.1
гл. II для нее выполнены условия (0.4) и (0.5) с р0 = оо, ^„=1, а
также условие (0.12). Из (4.8) находим

Un U,~U — Ar\gn (Лщ)) (и0 — и.) + gn (Лп) (/е — Лпи,) +

+ 2 (/-^g(4))z^-/.	(4.9)

Отсюда

II ип — и, II < || (/ — Лт^„ (Лп)) (u0 — u.) II + уп (6 + II u. II я) 4- пе.

(4.Ю)

Дальнейшие рассуждения повторяют доказательства теорем 2.1
и 2.2, которые соответствуют случаю е=0. Доказательство тео-
ремы 4.1 завершено.

Из (4.10) видно, что погрешность ||й„—и.|| от е зависит таким
же образом, как от 6 и i). Иначе обстоит дело с невязкой ||Апйп—
—f6||, и при останове по невязке мы вынуждены потребовать
большей малости е по сравнению сбит].

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, при-
чем е = е(б, т]) таково, что

е(6, т]) |In (6 + т)) |/(6 + т])->-0 при S—>-0, т]->-0.	(4.11)

Остановим итерации (4.2) на первом п = га(6, т|), для которого
выполнено хотя бы одно из неравенств

||Апй«-h\\^b(6 + ||«„h), n>d/(6-Hl),	(4-12)

где b>l, 0<d^.a (в случае Ап^0 можно считать а=0, a d>0
произвольным). Тогда

(6 + т])п(6, т]) -т-0, йп(б,п)-^-и. при 6-+-0, г|->-0.	(4.13)

Если начальная погрешность представима в виде (4.5), то
п(6, т|) 55^(6 +(4.14)
Цйп(бЛ)—«.||^сРР(6 + т])р/1р+,), 0<р<оо.	(4.15)

Второе из неравенств (4.12) влияет на выбор момента оста-
нова только при немалых 6>0 и rj>0.

Доказательство этой теоремы в основном повторяет до-
казательство теорем 3.1 и 3.2. Наша цель — показать, что при
условии (4.11) возмущения wn в итерациях (4.2) не успевают
повлиять ни на невязку ||Апггп—f6||, ни на погрешность ||и„—«.II.

Из (4.9) вытекает формула

Ai\Un — fe — Aiq (7 Align (An)) (u0 uj —

— (J — A^gn (Ar,)) (/e — An«,) + V An (/ Ang (An))7 Wn-j-
"	(4.16)

Здесь (ср. с (3.44))

</«n^«||An(/ —Ang„(An))(«0 —«.)||->-0 при n-э-оо, т]->0.

(4-17)
Покажем, что

lim ||/ — Angn(An)||<ed«''»	(4.18)

n-<x,n^n,nCd/n

(в случае Ап^0 эту деталь доказательства можно опустить, так
как тогда \\1—Angn(An) ||^1). Действительно, из неравенства
следует, что x\^.d/n, поэтому

II! — A^gn (Ап) | < sup | 1 — Xg„ (X) |
-П<Д-С<1

< шах И, s'jp I 1 — Xgn(A.)|l .
Но (см. замечание 3 к лемме 4.1 гл. II)

ТТпГп1 sup | gn(M | sC l)d-1
fl—*oo	—d 

поэтому

Tim sup |1 —	(X) К 1 + liin- sup | gn (X)| e№°\

n-+x -dln^J^-D	n -dln^.f^4

и мы приходим к (4.18).

Оценим в (4.16) член с возмущениями wn, считая выполнен-
ным неравенство ns^d/(б + ц):

2 Ап(1 — Лп§(4п))/ш,г-/Ц^еУ sup |X111 — kg(k) |' +
~d/n<^a

J=o

sCe| a-j- 2 — We(a4-c2 lnra)<e (6, ij) (a + c3 |in(6-)i])
\ S 1 J

clr c2, c3 = const.

Мы учли, что для функций gn выполнено условие (0.12), откуда
для 1—Х.£\,(Х) = (1—Xg(X))J вытекает неравенство (0.13); кроме
того, мы воспользовались неравенством (0.5). В силу условия
(4.11) отсюда следует, что

lim

П'-»ОО,б-^Э «Л1"=»0

П-1

2 + (/ - -V (AJY Wn-j
i^o

= 0.

(4.19)

6 + П

Примем правило останова итераций в несколько упрощенной
для теоретических рассуждений форме: итерации (4.2) остановим
на первом п = п(8, т]), для которого выполнено хотя бы одно из
неравенств

HAjMn — fi(6 + || u„||i]), n>d/(6 + ri),

(4.20)

в которых по-прежиему б>1, а постоянная d>0 достаточно мала,
так что

+«(»'< 5.

(4.21)

Ради простоты ограничимся рассмотрением основного случая,
когда м(б, т))-*оо при 6-^0, ц—>-0 (случай ограниченного га(б, ц)
поддается анализу п. 3.5). Заметим, что п(б, т])—l^d/(б + т)),
что позволяет применять соотношения (4.17) — (4.19) и получить
из (4.16) при малых б>0 и ц>0

II Ацйп б,г|) —/б ||^-----------

fi + П)
где

+ (^<o| + <7)(6 + ||«J| Л),

о —о(6, г,)—>0, q = q(b, ц)-*0 при 6->0, ц->0.
Если п(8, 1])^^/(б + л), то отсюда и из (4.21) при малых б>0
и т) >0 получаем

1ИпМ«(«.ч)— М1<Й(б+ ||И.||Т]) ,

т. е. останов итераций (4.2) все равно происходит из-за выпол-
нения первого из неравенств (4.20).

Из (4.16) — (4.18) теперь получаем при п = п{8, т|)

|| (/ — Angn (Дп)) (и0 - «.) || С [Ь +	+ q (6, п)1 (6 + 11«. И),

Мп (/ - Дп£п-1 (Ап)) («о - «*) II > lb - 0“™ - q (6, n)J (6 +1| u. || n).

Это аналоги неравенств (3.45) и (3.46). Дальнейшие рассужде-
ния полностью следуют доказательств}' теорем 3.1 и 3.2 и не
будут повторены. Отметим только, что выполнение условий
(3.13), (3.20) достигается за счет малости с?>0; величина d влия-
ет на останов итераций лишь при немалых б и ц. Теорема 4.2 до-
казана.

4.2. Случай несамосопряженной задачи. Рассмотрим итераци-
онной метод

= Un—1 — g (AnAn) Ат| (ArjUn—i— /б), ft = 1,2, ...	(4.22)

и его возмущенный аналог

Un = tin—i	g (Дг|Дг|) Дц (A^Un—i — ft,) 4“ wn, n = 1,2, ... . (4.23)

Метод (4.22) требует большего числа итераций, чем метод
(4.1), вследствие чего возмущения (||ш„|| е) успевают больше
накопиться, и при останове итераций мы вынуждены наложить на
« более жесткие условия, чем в теоремах 4.1 и 4.2.

Теорема 4.3. Пусть A, A^S’(Н, F), ||АП—А || ц, ||A J2а
(0<пСц0), f<=5?(4), !lfe—fli<6, IlWnllСеСс(б + ц)2 (n=l,
2, ...), с = const. Пусть функция g : [0, a]-^R непрерывна и удов-
летворяет условию (4.3). Остановим итерации (4.23) на таком

л = п(б, Г]), что

п(б, г])—>-оо, (б + т|)гп(б, т])->0 при б->-0, г|-*-0.	(4.24)

Тогда йп(в,п)->-и. при б->-0, т]->-0, где и,— ближайшее к йа = иа ре-
шение уравнения (0.1). Если начальная погрешность представи-
ма в виде

и0—ц.= |Л |рп, р>0, IMIsCp,	(4.25)

то при

« = int {г/(б +т|) ^2/(р+1'}, c?=const>0	(4.26)

справедлива оценка погрешности

IIUn-u.||<cppd(б + T])*z<*+1>, 0<р<оо.	(4.27)
Доказательство основывается на формуле
ип — ил — (1 — Ar\Ar\gn (Л^Л^)) (и0 — «,) +

+ gn (Лт)Лт>) Лп (/л Лпи,) 4-	(/ — ЛПЛП§ (Аг\Ач\))' wn-j~,

i=o

(4.28)

функция gn определена формулой (4.3) гл. II и удовлетворяет
условиям (0.4) и (0.5) ср0 = оо, у0=1. Отсюда

II ип — и, || || (/ — ЛпЛпё„ (ЛпЛп)) (ц0 — и.) || + у,п'/2 (8+|| wj| П)

(4.29)

Дальнейшие выкладки очевидны (ср. с доказательством теоремы
2.3). Теорема 4.3 доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены условия теоремы 4.3. Оста-
новим итерации (4.23) на первом га = га(6, т|), для которого выпол-

нено хотя бы одно из неравенств
||Лпи„- f6K&(6 + || w„h), n>d/(S + n)2,	(4.30)

где & = const>l, d=const>0. Тогда
(6+ц)гп(6, г])-*-0, ип(«гЛ)->-«. при 6->-0, т|->0.	(4.31)

Если начальная погрешность представима в виде (4.25), то
«(6, ц)^^,р(6 + г1)р/(р+1),	(4.32)

||ип(вл)—u.||^cpp(6 + i1),,/<p+1’. 0<р<оо.	(4.33)

Доказательство. Из (4.28) вытекает формула

Лг|Цп — fe = Лг| (/ — Лг|Л11§л (Лг|Лг|)) (и0 — U,) —

— (J —Лг|Лг|£п (Л^Лг])) (fe — A^uj -|-

+ 2 ^ч(^ — Лц1Лп£(Лц1Л1)))/а>п-/.	(4.34)

/=о

Здесь (см. (3.57))

Опп == п'41| Лп (/ — ЛпЛп£л (Л^Лп)) (u0 — uj ||	0 при п-> ОО, 1]->0,

(4.35)

(/ - A^gn (ЛХ)) (ft ~ Аци.)|| ^ S +1| u. || n,	(4.36)

2	(^ — Л^Л^ (ЛпЛп))/а>я_/| e V

/=»	II \	!

(4.37)
поэтому

II лпи„ — f61| с аяпп-’/« + S +1| и, II t] + e (a + c2n‘/»).

sS e (a 4- c2n’/«),
Взяв пробное ft = j}/(6 + r])2 с малым р>0, получаем, что при до-
статочно малых 6>0 и т|>0

| Лпип — fe ||	ОппР /2 (б + л) + б + IIи» IIЛ +

+ С(6 + л)2(а + с2р%/(б + л)) < б (б + II».||Л).

Это говорит о том, что при достаточно малых 6>0 и л>0 итера-
ции (4.23) можно остановить на первом п = «(б, р), для которого

ЦЛ^„-М1^Ь(6+1|и Пл), ь>1,	(4.38)

и тогда (6 + л)2«(б. л)“*0 пРи б->0, т)->0. Из (4.34) — (4.37) по-
лучаем

|| Лп (/ — ЛХйлДп) ИпЛп)) (м0 — и.) [] С (b + 1 + Я) (б +1| w, || л),
||ЛП(/ — ДпДпй«(б,п>-1(Л‘Л))(ио — »,)||>(б— 1 — Я) (б + Ци.|| л).

где q = q(b, р)->0 при 6->0, т|-*0. Это аналоги неравенств (3.58)
и (3.59) и, повторяя рассуждения п. 3.7, получаем доказательст-
во теоремы при останове итераций по правилу (4.38). Переход к
правилу останова (4.30) проводится стандартным образом. Тео-
рема 4.4 доказана.

4.3. Оценки накопления погрешностей округления. Сравним
идеальные итерационные приближения ип с возмущенными й„.

Теорема 4.5. Пусть H = F, Лл=Лл*^0, ||Лл||^а, ||щ„||^8
(п=1, 2, ...). Пусть непрерывная функция g: [0, удовле-
творяет условию (4.3). Тогда для итерационных приближений
(4-1) и (4.2) справедливы оценки

||ип —и„'||^пе,	(4.39)

]|(4t)u„ — /6) — (Лпи„ — /б)|| «^c(lnn)e, c = const, п = 1, 2.

(4.40)

Доказательство вытекает из равенств

ип — и„ = 3	—	(4.41)

1=0

(ЛцИп — /б) — (Лг|Ил	/б) = 2 Лп (7 Л,]£ (Лп)/ wn-j

i=o

и неравенств

||/ — Лпё(Лп)||< шах | 1 — A,g(A.)|«ci,

2 II Лп (/ — ЛПЙ (ЛП)У II а + с2 In п
i=o

(см. доказательство теоремы 4.2). Теорема доказана.

При к^еЛДЛ,,) (п=1, 2, ...) равенство (4.41) принимает вид

~ п~г

Un — Н/1 = 2 Ш"~/’
поэтому оценка (4.39) неулучшаема. Нет оснований утверждать,
что и оценка (4.40) неулучшаема. Однако можно доказать, что
(см. [88])

sup lim || (Anu„ — fo) — (Апип — f6) || = оо,
п-»оо

где верхняя грань берется по всем последовательностям

(п = 1,2,...).

В случае А=А*^0, но не обязательно неотрицательного
оператора А„=A„* (IIАп—А || ^т|), погрешность может накапли-
ваться существенно быстрее, чем в случае Ап^0. Правда, при
n^.d/v\ мы еще не вошли в опасную зону:

|| «п — «я ||	(1 + c'ri/sC ne(l + c'dtrr)n ^.ec'dn&,

/=0

с'= max |g(?v)|.

—сс^/^э

Теорема 4.6. Пусть A^SF(H, F), ||AJ2 sCа, ||ш„||^е (п =
= 1, 2, . .). Пусть непрерывная функция g: [0, а]-*/? удовлетво-
ряет неравенству (4.3). Тогда для итерационных приближений
(4.22) и (4.23) справедливы оценки

||«л — Нп||Спе,	(4.42)

||(Antin — /б) — (Anurl — /б) || < с^е,	(4.43)

|| Ап (Апйп — )6) — An (Апи„ — /б) ]| С с2 (In п) е, п = 1, 2.

(4.44)

Доказательство вытекает из равенства

'3-1

П,г — 11п = 2 (I	Ar|Ar|g (ArjAri))7 Wn-j•

Оценка (4.42) неулучшаема, а в дополнение к оценкам (4.43)
и (4.44) отметим, что (см. [88])

sup || (Anun — /в) — (Апип — )б) II > G (In п)\ с( — const > 0,

<жл>

sup lim || Ап (Ап»л — /б) — An (An»,t — /в) || =

{wn[ п-*х>

где верхняя грань берется по всем последовательностям {wn}<^H
с ||wn|lI^e (n=l, 2, .. .).

В условиях теорем 4.2—4.4 останов итераций происходит со-
того, как погрешности округлений успевают настолько накопить-
ся, чтобы испортить результат по сравнению с идеальными ите-
рациями.
глава

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ошибок

В предыдущих главах были исследованы регуляризационные
свойства различных итерационных методов решения линейного
уравнения, в том числе при неточно заданных операторе А и пра-
вой части f исходной задачи. В практических вычислениях при-
ходится еще учитывать влияние неизбежных ошибок на каждом
шаге вычислений, вызванных, например, погрешностями округ-
ления. Настоящая глава посвящена анализу одной из возможных
моделей, позволяющих учесть эти дополнительные ошибки (см.
схемы (4.3) гл. IV и (2.1) ниже). Оказывается, что здесь можно
применять обычные правила останова или некоторые их моди-
фикации, если эти добавочные ошибки достаточно малы. При
этом малость можно понимать в различных смыслах. Случай ма-
лых по норме ошибок рассмотрен в разд. 4 гл. III. Настоящая
глава посвящена исследованию влияния случайных ошибок, ма-
лых в некотором вероятностном смысле (см. разд. 2—4). Такой
подход, по-видимому, естествен, так как часто ошибки округле-
ния можно считать случайными. В этой ситуации удается уста-
новить сходимость приближенных решений к точному также в
каком-либо вероятностном смысле. Мы ограничиваемся рассмот-
рением апостериорных правил останова. Анализ априорных пра-
вил может быть проведен на основе тех же методов. В разд. 1
приведены некоторые сведения из теории вероятностей. Разд. 4
посвящен описанию модели одного статистического подхода к
априорному выбору параметра регуляризации.

1.	Некоторые сведения из теории вероятностей

Здесь предполагается, что читатель знаком с основами тео-
рии вероятностей. Некоторые известные результаты приводятся
без доказательств; эти доказательства можно найти, например, в
178]. Часть результатов являются аналогами известных теорем
для случая гильбертова пространства и для семейств случайных
величин (с. в.), зависящих от параметра; они приведены с дока-
зательствами.

1.1.	Случайные величины со значениями в гильбертовом про-
странстве. В дальнейшем нам придется иметь дело со случайны-
ми помехами к'„ в итерационных процедурах. При этом всегда
предполагается заданным полное вероятностное пространство
(Q,	Р), на котором определены все с. в. wt, w2, . .. со значе-

ниями в сепарабельном гильбертовом пространстве /7, наделен-
ном борелевской о-алгеброй $ (т. е. минимальной о-алгеброй, со-
держащей все шары вида (хеЯ : ||х—х„||<г)). Хорошо известна
Лемма 1.1. Если |: (Й, ^“) -> (//, Я} — случайная величина,
то ||£|1 : (Й,	^‘) —также случайная величина.

В дальнейшем мы будем использовать выражения типа
Р(||£||>е) <6 без напоминания о том, что множество (со : |||(®) ||>
>е) является событием, т. е. входит в 3~, и, значит, определена
его вероятность.

Пусть EllgH <°о. Тогда существует такой (неслучайный) век-
тор т^Н, что E<g, /> = <т, /> при всяком (см., например,
L66, 76]). Вектор т определен однозначно, он называется мате-
матическим ожиданием g и обозначается Eg.

1.2.	Условное математическое ожидание. Пусть 3— под-о-ал-
гебра о-алгебры на вероятностном пространстве (Й,	Р),

т.	е. любое множество из о-алгебры 3 входит в 3~. Если g — с. в.
на (Й, У, Р) со значениями в Н и с конечнььм математическим
ожиданием E||g||<oo, то условным математическим ожиданием
§ при условии 3 называется такая случайная величина ц на (Й,
Р) со значениями в Н, что (1°) т| S-измерима (2°), Е7(^>)Х
—т|> 0 = 0 для всякого 3)^.3, Существование и единст-
венность такой с. в. 1] с точностью до значений на множестве Р-
меры нуль из о-алгебры 3~ можно вывести из теоремы Радона—
Никодима о производной меры и теории распределений в гиль-
бертовом пространстве (см. [66], а также [76]).

Условное математическое ожидание g при условии 3 обозна-
чается E(g|S). Равенство = E(g|S) понимается как равенство
почти наверное.

Пусть £ — еще одна с. в. на (Й,	Р). Обозначим через З'1

о-алгебру, порожденную 5, т. е. минимальную о-алгебру, содер-
жащую всевозможные множества вида (и :£(о)еГ, Геб?). Тог-
да условным математическим ожиданием g при условии £ назы-
вается с. в. Е(^|£) = Е(В|^). Здесь полезно следующее утверж-
дение (см., например, [78]).

Лемма. Найдется такая борелевская функция h, что
E(g|ST=) =Л(£) (п. н.)

Из определения вытекают следующие свойства условных ма-
тематических ожиданий. Пусть 3— под-сигма-алгебра 3~.

1.	EE(||S) = Eg.

2.	Пусть т] S’-измерима, Е||т)||<оо, Е||£т]||<оо. Тогда
E(nB;S)=nE(B|S) (Р-п.н.).

3.	Если а, Ь — постоянные и аЕ| + ЬЕт]<оо, то
E(aB + b]|S) = aE(g|S) +ЬЕ(Я|^).

1.3. Неравенство Колмогорова. Пусть g(, ...,	— независи-

мые в совокупности с. в. со значениями в гильбертовом простран-
k

стве 77, Е|, = 0, Зл=2	Тогда для всякого с>0

1-1
P I max ||S*|l>c) Cc-2 Е||5ПЦ2.

\l<k^n	)

Доказательство (аналогично, например, [78]). Пусть

3) = ( max Sk || > c j ,

3)h= (IISJlCc, l^isgrfe—1, ||SJ|^c), IsCfesCn.

Тогда

3) = 2 3k, E]| Sn ||2 > E || Sn ||21 (®) - 2 EII5,. ||21 (Ш
k~-i	ft—i

Ho

E||S„||27(^) = Ej|S,||2/(^) + 2E(Sb (g.,-. 4- ... +E„)>/(®,)-h
+ E||h„+	+E.,||2/(^ft)>El|SA||2/(W,

поскольку

E(Sft, E*n + ••• + g,,) 7 (34ft)—

= EE ((Sb gfc+1 + ... + In) / (Ш | ^1) = 0

(^*ft5 = o(g1, ..., gft)— о-алгебра, порожденная с. в. g,, ..., gft).
Стало быть,

Е || Sn I!2 > 2 Е11S* И2 / (3%) > с2 2 Р (®ft) = <-'2Р (25),
ft ।	с- ।

что и доказывает искомое неравенство.

1.4. Сходимость последовательностей случайных величин.
Пусть g„, п=1, 2, ... — случайные величины на вероятностном
пространстве (Q, Р) со значениями в II. Говорят, что после-
довательность сходится (к некоторой с. в. g) по вероятности, если
Р(НВп-|||>С)-Ч), П-►оо, для всякого с>0, и сходится к ней в
среднем квадратичном, если E||g„—g||2->0, «-►оо.

Предложение 1.1 (ср., например, с [78]). 1. Последова-
тельность сходится с вероятностью 1 (к некоторой с. в. g) тог-
да и только тогда, когда последовательность g„(co), n^l, фун-
даментальна для почти всех osQ. 2. Последовательность gn(co)>
«^1, фундаментальна для почти всех соей тогда и только тог-
да, когда для всякого с>0

P(sup||g„,ft —g„||>c)->0, н—►оо.

Доказательство. 1. Если Р(g„->-g) = 1, то

Р( suplIg.-g/Ksupng.-gll + suplIgz-gll -> 0\ = 1,
\k,l>n	k^m	1>п	п-’°° ]

Т. е. последовательность gn (со) фундаментальна при почти всех со.

Наоборот, пусть Л9= (со : g„(o>) не фундаментальна) и P(2T) =
= 0. Пусть

^(й) = [ lirnM«),

I 0,	(i)£ .А ‘
(вне Л5 предел limgn(co) существует). Тогда | —случайная вели-
чина и Р(1п-*Ю = 1.

2. Пусть

^./=(ю:||ВА(ю)-?/(о))||>е), В8 = П №
k^n

Тогда Ж = (J В8 == (J B',ni. Поэтому
s>0 m-i

P(^) = O<=>pf и В7"1') =0<=4Р(В1/'”) = 0, т>ШР(В6)=0,

е>0£ФР( (J В*,А->-0, тг-> ос «4>Р( sup ||Eft— £/||>е\->0,
\*>n,/>n I	\k,l>n ~	' J

tl-*- oo,

что эквивалентно искомому утверждению.

1.5. Сходимость рядов. Пусть ...,	... — последова-

тельность независимых в совокупности с. в. со значениями в Н,
5„=зг=в(а+...+Впа.

Предложение 1.2 (Колмогоров—Хинчин). Пусть Eg“ = 0,
оо	оо

SE||£га||2<оо и ряд 2 Е||£,“||2 сходится равномерно относи-
-i=i	i—1

тельно э:. Тогда

/ оо	\

р 2 & < °° =1
\i=l

и сходимость ряда 2 равномерна по вероятности, т. е.
r-i

P^supJSn-S“||>c)r:o,	(ОО),

где

>-=1

Доказательство. Пусть с>0. Имеем

Р (sup || S?;rk - S“I) > с) = lim Р ( max ||S^k - S*|| > с \
\/е^1	/	2V—>оо	/

л+Лг	оо

^limc-* 2 Е||Е“||2 = с“2 2 ЕШ2

Л7—>0О	,	fc-*

R=n.	k—П

*на втором шаге мы использовали неравенство Колмогорова),
откуда

supP (supllSn^ — 8п||>с^ ->-0,	тг->оо.

а \£>1	/

В силу предложения 1.1 отсюда следует искомое утверждение.
1.6. Закон больших чисел. Предложение 1.3. Пусть с. в.

k=lt 2, ... со значениями в Н независимы в совокупности и
удовлетворяют условиям

sup (5W||/« | ^ра^С<оо,	(1.1)

\A=1 J

2 E||^-E^||W2)<C<oo	(1.2)

А=1

и ряд в (1.2) сходится равномерно по а. Пусть

(|| S“ к ад-

П>1

Тогда

lira infP(®“)=l.	(1.3)

Л-»оо а

Доказательство удобно разбить на части, I. (лемма Теп-
п

лица). Пусть u„^0, at>0, b„=2 ак, Ьп-+оо, хп“=>х“ (/г->оо),

||xj — х®|[^С. Тогда

2 акХк/Ьпт£х.а.

k=i

В самом деле, выберем пе так, чтобы ||х„“—х“||<е/2, п^а„, и
;а,>а8, чтобы

пв

2аА||х?-х«||/Ьт8<е/2.

k=i

Тогда (n^/n8)

< 2	—Х“||/Ьп =

k=l

/ ла	' \ п

= 1 ak\\Xk — X“||/bnj -I- 2 ak\\x<k— x“||/bn^

\Л=1	/ fe=ns+i

/"s	\ n

^12Мад*“1|/Ч + S u*||x^ —Xa[|/b„^(e/2)+

\*= 1	/	A=n6+1

+ (e/2) = e.



II (лемма Кронекера). Пусть 0<&!<.. .<&n->oo, 2 *a<^oo>

II

2 be С, и ряд 2 х* сходится равномерно по а. Тогда
6=1	£>1

л

2 MVhSiO,

С ъ 4=1

3 Заказ № 4706

П —>- оо.
л

Действительно, пусть bo = O, So = O, Sn= 2 Тогда (сумми

Л=1

рование по частям)
пп	п

2 bkxf = 2 bk (S/i — Sk-i) = bnSn	b0S0 2 Sk-i (bk bi-i),

4=1	*=1	*=1

так что
n	n

2	= $" 2 Sk-iQ-klbn Z> о

4=1	4=1

в силу (I) (здесь aft=bft—&*-i), что и доказывает лемму.

Ill	(вероятностный вариант леммы Теплица). Пусть а„^0,
»

ах>0, Ьп = 2 ак< ^"_>о0 и для всякого с>0
fc™l

₽(U“ - Г11>с)^0, n^oc,

supP(||E“ — Н“||>С)Д*0, C-+OO. Тогда для всякого с>0

(ц	п

h“-2 а^1Ьп

II 4=1

оо,

Дейс7вительно, пусть пЕ таково, что при п^пе

Р(||Е“-Т||>с/2)^е/2 (8>0)

и me>nt таково, что
/л8	\

Р 2 ak\\^-e\\/bms>c/2
'Й=1	'

Тогда при п~^те имеем (ср. с п. I)

р( В“-( 2

\	\й=1

с

IV	(вероятностный вариант леммы Кронекера). Пусть 0<
оо

<&i<.. .<&„->оо, 2	< 00 и ряд V if сходится равномерно

по вероятности, т. е. P(sup||S„“—S“||>c)2?0, N->oo, где Sa =
n>N

— 2	£>0 и supP(|||“ — s“||>C)^0, С-->сю. Тогда для

всякого с>0
В самом деле (см. п. II),

>с <P(sup ||S“ — S“||>с/2) +
I

4-P sup
I

s“-2 s^/b*
k—i

где ah=bh—bh-i. В силу n. Ill и условия правая часть здесь рав
номерно стремится к нулю при N-+00.

V, Имеем

1	" k / gg-Egg \

"Ра " £ \ *Ра / ’

В силу предложения 2.2 и равномерной сходимости ряда

«>	оо td____р^а

2 ад - Е1“||2/(Ж) ряд 2 -Ч;—

сходится равномерно по вероятности. В силу п. IV отсюда
дует

сле-

Р sup

S“~ESg
"Pa

>clzX0, N00 (c^>0).

Пусть e>0. Выберем такое N, что

/	||S? — ES®||	\

supP sup ---------- > 1 <e/2.

a \ N || nPa ||	/

Тогда в силу условия (l.P)

inf P (|| Sg || sC 2n0a, n > V) > 1 — e/2.
a

Далее, выберем такое X,>0, что

sup P (sup || Sg II > XjX e/2.
a

Такой выбор возможен в силу условий (1.1) и (1.2). Тогда при

Англах (2, Xi) получаем

inf Р (®“) > 1 — е.
a

Предложение 1.3 доказано.

1.7.	Марковские моменты. Пусть (^"(, /^0)—поток неубы-
вающих сг-алгебр на (Q,	Р). С. в. т на нем же называется мар-

ковским моментом относительно потока (^”(), если при всяком t
справедливо включение (со: t(<d) >/)
Отметим простое свойство марковских моментов: если т —
марковский момент (м. м.), то xA^ = min (т, t) — также м. м. при
любом В. самом деле, если t>s, то (xA<<s)=0sF„ а
если t^.s, то (x/\t^s) =Q\(r>s)eF,.

1.8.	Мартингалы и супермартингалы. Пусть на вероятностном
пространстве (Q, £Г,_ Р) задан поток вложецных сг-алгебр (F"t):
<ЗГ ,аЗГ при всяких и случайный процесс £ со зна-
чениями в /?‘, измеримый относительно этого потока, т. е. задано
семейство с. в. |(, /^0, при каждом t измеримых относительно
grt, Поток (|(, ЯГ t) называется мартингалом, если при всех 0^

' В, = Е(В(|ЗГ),

и супермартингалом, если при всех

1.9.	Остановленные супермартингалы. Предложение 1.4
(см., например, [78]). Пусть |4, F"() —супермартингал (мартин-
гал), т — марковский момёнт относительно потока (iF(). Тогда
(B«At. ^*t) —также супермартингал (мартингал).

Пусть последовательность (Х„, образует мартингал,
Хо = О, и Е(|Хп+1-Хп|2|^пх) ^е2. Тогда

ЕХп=0, ЕХ„2^е2п.

Пусть т — марковский момент относительно (iFn*), Р(т<оо) = 1.
Нас интересует, справедливы ли соотношения

ЕХт = 0, ЕХг<е2Ет.	(1.4)

Предложение 1.5. Пусть (Xn, —мартингал, Хо=О,
Е(|Хп+1—Xn|2|F"„x)<e2 (Р — п. н.). Тогда имеет место соотно-
шение

ЕХ?^е2Ет.	(1.5)

Доказательство. Поскольку

Е (№п+1 - е2 (п + 1)) - (X2 - е2п) |	=

= Е ((Х„ + (X„u - Х„))2 - X- е21 F"„)• =

= Е ((Х„+1 - Х„)2 + 2Х„ (Х„+1 - Хп) - s21 Р*) 0,

то (Xn2—e2n, F"„x) —супермартингал. Значит, в силу предложег
ния 1.4 (Х„Лт—е2(пАт), FV) —также супермартингал, поэтому

Е (Х^лх — (п А т)е2) Е (х(п-1)лг — ((п — 1) А т) е2) С • • • <
т. е.

Е Х„Лт е2Е (п А т)> я>0.

Отсюда

ЕХ2Лт^е2Ех,
н в силу леммы Фату получаем искомое неравенство (1.5). Пред-
ложение 1.5 доказано.

Предложение 1.6. (Дуб). Пусть (Хп, —супермар-
тингал (мартингал), т — марковский момент, Р(т<со) = 1,

Е|Хт|<оо, lim |Xn|dP=0. Тогда

00 т>п

(Р —п. н.).

(=)

Предложение 1.7. (см. [78]). Пусть (Х„, fFnx)—супер-
мартингал (мартингал), т — марковский момент, Ет<оо, и для
всякого п^О и некоторого С>0

Е (| Хп„ - Хп 11Т"*) С (Р - п. н.).

Тогда Е|ХТ| < оо и

ЕХТ Хв.

2.	Помехоустойчивость при случайных возмущениях:
сходимость по вероятности

2.1.	Пусть для решения задачи

Au=f	(2.1)

применяется схема

ип = Un-j — ЛпА)«л-1 + tQo + w„, л > 1.	(2.2)

Все результаты этого и следующего разделов сохраняются и для
более общей схемы вида (4.23) гл. IV, но усложняются некото-
рые выкладки. Ради простоты изложения мы ограничиваемся
случаем (2.2). Пространство И, как уже говорилось, предполага-
ется сепарабельным, wn— случайные величины со значениями в
Н.

2.2.	Оценки скорости сходимости и числа итераций. Пусть
с. в. wn, n^l, независимы в совокупности, имеют конечный вто-
рой момент, Е||wn||2<оо, и

sup | Еwk е 1.	(2.3)

Предполагается, что ошибки wn зависят от малого параметра е
и при этом ряд

2 Е || wk — Е wk ,|2/(е2/г2) С < оо	(2.4)

сходится равномерно при е^1. Для такой равномерной сходимо-
сти достаточно, например, чтобы выполнялись неравенства

Е||ауА—Е^д||2^е2,	&>1.

Предполагается, что ||ЛП||, ||Д|| 1,

И-Ilf*~fII^6^1-
Таблица 1

По	JI = ate + ад  т = inf (п>1: || ип —	|| s	sp)		
пх	|i — М + **4  т= inf (n>0:	— /б||	=Sp)		
па	Hn = M + Mllunll m = inf (n>0:	либо n	>aPn2	
По	H = ate + ад  m = inf (n>l): (n — [n/2])	un ~~ “[n/2] II Й	sp	
п;	ц = M  m = inf (n>l: (n — [n/2])-1	(a, s  \	fe=[n/2]+l	— [«/2]) fa	
п;	M M (« — [«/2])"1	2 ГМ  A=[n/’]+l		
	tn = inf (n>l: [n — [n/2])-1  либо п^>ац-2)	(a. S  \	Л=[п/2]+1	~uk j - (n - [n/2]) f6	=SPn

Уравнение (2.1) предполагается разрешимым. Исследуются сле-
дующие правила останова (табл. 1), где пг— момент останова,
alt а2, а>0, bu b2>\, fe.>||u.||, inf 0 = оо, «„ = ()).

Например, правило (По) останавливает процедуру на шаге с та-
ким номером п^1, при котором впервые выполнено неравенство
li ип—wn- ill fi.

Регуляризация устанавливается при следующих соотношени-
ях между малыми параметрами (с>0) (табл. 2).

Таблица 2

По	e	(6 + T|)2
nt	8 c (6 + I))3
n2	8 с C (6 + T])3
n;	8 = O ((6 + Ц)/I In (6 + T]) I )
n;	8 SS C (6 + Ц)2
n2'	8 C (6 + Г))2
Пусть Wr = Wn‘=^wk, ^=.^=((0:	n=l, 2,...).

*=i

В силу предложения 1.3
infP(®?)^l, Х->оо.	(2.5)

а

Теорема 2.1. При всяком Х>0 для правил (По) и (По')
справедливо соотношение

Пт / (3)?.) (S + т]) т — 0,	(2.6)

б,Г|-»О

а для правил (П„ П2, П/, П2')

lim /(®x)(S + г|)2/п = 0.	(2.7)

в,Ч-»э

Теорема 2.2. При всяком Х>0 для всех правил останова
(По-П/)

Нт /(®л)||мт — и.|| = 0.	(2.8)

в,Г|-»Э

Теорема 2.3. Пусть й0—и,= | А |рц, р>0, ||и||=%>. Тогда при
всех Х>0 и достаточно малых бит] для правил (По, П/) спра-

ведливы соотношения

/(®x)||um-u.||<Cp,r(6 + п)о/(р+2),	(2.9)

/ (Dx) tn C’p,r (d + n)-Wl2>,	(2.10)

а для правил (П1( П2, П/, П2')

1(^к)\\йт-иА^Ср,г(Ь + ^р+1\	(2.11)

/ (®л) т С”; (6 4- т])"2/(р+ °•	(2.12)

Как и в детерминированном случае, для каждого конкретного
и»—и. оценки и сходимость несколько лучше: для правил (По,
П'о)

lim	+	(2.13)

б.Ч-^-э

lim /(3\)/n(d + я)’/(р+2) =0,	(2.14)

в,п-»э

а для правил (П1; П2, П/, П2')

lim /(®х)||ит-«.||(б4-т1Г/(^,) = 0,	(2.15)

в,г|-»о

lim /(®z)/n(6 + т])2/(р+1) =0.	(2.16)

С одной стороны, в силу (2.5) на все соотношения (2.6) —
(2.16) можно смотреть как на некоторые утверждения о сходи-
мости по вероятности. С другой стороны, при доказательстве их
Гудет использовано только определение множеств 3%. и никакие
вероятностные результаты привлекаться уже не будут. Поэтому
соотношения (2.6) — (2.16) можно трактовать и в чисто детерми-
нированном смысле: если || Я7П|| ^Хел при всех п^1, то справед-
ливы эти соотношения.

При несколько более жестких предположениях на помехи
можно вместо закона больших чисел использовать закон повтор-
ного логарифма. Например, пусть Еи/П —О, Ее2, л^1, с. в.
w„ независимы в совокупности и множества определяются
следующим образом: 3)к'= (и: || W„|| In In п, nj>l). Тогда
справедливо соотношение inf P(S>/)->l, А->оо, и можно, по-ви-
8

димому, получить результаты теорем 2.1—2.3 при меньших огра-
ничениях на величину е.

2.3.	Вспомогательные утверждения. Пусть qn = u„—и,, В^=
т= I	А^, В / А ?4, sn XqUn' fe, гп — un_ 1 и„, рп (л [л/

Мп), £„= (41 2 Uk~(rt~1«/21)А)/(«— [rt/2]).

fe=[n/2]+l

Лемма 2.1. (ср. с (4.28), (4.34) гл. IV). Справедливы соот-
ношения (здесь считается И^дА=0 при k^O, В^=1—Д^п)

Qn = Bt\Q0 = 2 Bn4> (А — 4]Uj -f- Wn —
k=0

-	- 2 (BZk+1 - B^k) Wk,	(2.17)

k=i

sn = A-qBrflo — B^ (fe — AiU J + 4i (117 n — B^ 1W7 J —

-	2 4, (BZk+1 - B^k) Wk,	(2.18)

k=i

(n-[«/2])^= 2 (A^q0-Bkri(f6-A^u,)) +
fe=[n/’]+l

+ 2 A^ (Wn^ - r[n/2]_ft),	(2.19)

rn = B,i (7 — Bt\) q0 — 5^4) (/e — 4|U„) — wn +

+	(/ - Bn) (Wn - вг^1) - 3 (/ - Bn) (ВГ+1 - B"-ft) Wkt

A=1

(2.20)

(n- ln/2J) pn = (B"+1 - B^/2]+1) q0 +

4	2 51)4) (fe — ^n^) — (H7n — w[n/a]) -f-

k—[n/2]H

<2-21)

+	2 B^-B^Wn-k-r-W^.^-
k—0
Первые два равенства леммы получаются из (4.28) и (4.34)
гл. IV с помощью суммирования по частям, остальные следуют
из них или доказываются аналогично.

Лемма 2.2. Справедливы неравенства

Hn(Bn+1-Bn)K(3/2)S/’^ + 3/2)"3/’,	(2.22)

||(7-Вп)(ВГ-ВчЖ4(А! + 2)-2, k>0.	(2.23)

Лемма 2.3. Для всякого Х>0 найдется такое С>0, что вы

полнены неравенства

I (®х) || Чп К J (II II + (6 + ПII«. II) + Спг),

/(®0|

1(®к)\

sn — АцВцЧ01| sC / (3)к) (S + т] || и, 4- Сле),

(п-[п/2]К„

У А)Вг) <7о

*=[п/2]+1

< / (®>.) ((Л - [л/2]) (б + Т] || Uj) + Сл’^е),

(2.24)

(2.25)

(2.26)

I (3)к) II Гп - (/ - ВгО <7о К / (®л) (п-’/* (5 + Т] IIu. II) + Спг),

(2.27)

I (®х) || (л -1л/2]) рп - (В^1 - В^/21+1) Чо ||

гС / (25?) (л‘л (б + т] || и, ||) + Сел In л).	(2.28)

Эти оценки следуют из предыдущих двух лемм,
слагаемое Сле в (2.27) возникает из оценок

ЦШп|| = ||Г„-И7„_1||^2Хле,

|(/_вп)СУ„ - вг^жх(л+ 1)8,

2\\(I-Bn)(BZk+l-BZk)\\\\Wk\\^
k=l

Например,

А.ле 2 4 (л — & + 2) 2 4Хл8 2 2-

k=l	k=2

Слагаемое Сел In л в (2.28) возникает из неравенств
|| Г„- Г[п/2] || С 2Хел,

2II в^ (I - вп) IIII Wn-^ - w [п/^ II

2Хле 2 (^ + 1) 1 2Хел In л.
k=0

Лемма 2.4. (см. леммы 2.1 и 3.2 гл. IV). При всяком
ЛеЛ^УГЛ)-1- имеют место равенства

lim II ед = о,

T|->0,n->оо
lim n\\B%(J-BJx\\ = O,
¥|—Я),П—*oo

lim n'4|| AnB(}x|| = O.

Лемма 2.5. Если Bx=O, то

lim sup|| B^x || =0.
Ч-Х) п>1

В самом деле, имеем

|В£х]|^||ВпхЦ==||(Вп-В)хК2Я ||х||->0, п->0.

2.4.	Доказательство теоремы 2.1. Случай (П/).

Пусть u°n+, = un°—А/Алип°+АЛ». и0° = й0, гп0 = и°п-.1—ип,>, р„° =
= (n—ln/2])-,(u0[n/2]—u„°), m° = inf (п>1 : ||р„’НСНо^ц/2). При
л<т° выполняется неравенство р„°>ц0. Поэтому в силу (2.28)

(m" — 1 — [(т“ — 1)/2|) < | и’1ил — и'„ || <
(<- ЙГ-“да‘) «.I + (т")'л (б + л КI).

если /п°<оо. Если т° достаточно велико,	то первое сла-

гаемое в правой части мало в силу леммы 2.4, а второе мало по
сравнению с (т°—1 — [(т°—1)/2])ц0- Стало быть, /поцо мало, а
именно /n°p0<v, если /n°>Av. Если	то /n°po^Avpo->O при

б,	т]->0. Итак, в любом случае

/п°Цо->О, б, т]-*0.	(2.29)

Поскольку при достаточно больших

(п - 1 - [(n - 1)/2]) Цо > || (В" - Bfi"-1’721-1) 70|| +п’/«(б+т] || и. ||),
то всегда /п°<оо.

В силу (2.28), (2.29) и условия из табл. 2 при всяком Х>0

/(®г) llpm’ll^ (р/2) + Се lnm° =

= (ц/2) + С(е|1п (6 +г]) |/(6 + т])) (б + n) X

+ (In m°/|ln (6 + т|) |)

при достаточно малых 6, т]. Отсюда

1{3)х)т^.тй	(6, т]—>0),

стало быть..

/(^х)тц->0	(6, т]->0).

Аналогично рассматривается случай (По).

Случай (П/). Пусть р.0 = хц, 0<х<1, хб,>1, хб.>||и.||,
В силу (2.26) имеем

(/п»-1-[(/п»-1)/2])ц0<

<{то	_ I _ [(то _ ! )/2]) (|| AnB«m”+1)/% || + б + т] Ц и. II).
если т°<<х>. Отсюда в силу леммы 2.4 и выбора ц0 получаем

/п°Цо-*0,	г]->0

как при так и в противном случае. Как и выше, получаем,
что всегда /и°<оо, поскольку при достаточно больших п выпол-
няется неравенство

(п — [п/2]) Цо > (л — [п/2])‘Л || д0Ц +

+ (л-[л/2])(6 + п1Ы1)> £ IIМ-
fe=[n/2]+1

Далее, в силу (2.26) и условия из табл. 2

1 (3)7) ||	|| + С (т°)‘/г е/(т° — [т°/2])	ц0 + с (т°)у' (6 -J- iq) ц sS И

при достаточно малых т), 6. Стало быть,

/(®;.)m^m’,	6, Т]->0.

Аналогично рассматривается случай (ГЦ).

Правила (П2, П2') будут рассмотрены чуть позже, при дока-
зательстве теоремы 2.2.

2.5.	Доказательство теоремы 2.2. Рассмотрим слу-
чай (По) Пусть В«7о¥=О. Тогда при условии || И7„|| ^Хел, л^1 в
силу (2.27) имеем т->оо (6, т]->0). Короче без всякого условия
этот факт можно записать в виде

/(®t)/n-‘->0, б, т]-*0.	(2.30)

Докажем это соотношение подробно. Поскольку В — самосопря-
женный оператор, то из В^о=/=0, следует Впдо=/=О, п=1, 2, ....
В силу (2.27) при всяком л^1 имеем

I(3)()rr^I(3)^Bn(I—B)^, 6, т]->0.

По определению нормального решения <70eAf (АМ)1- и, зна-
чит,	(АМ)1-, л^>1 (если, например, Bq0 = u + v, ue

eAf(AM), ueAf(AM)1-, то B2q0 = u + Ви и <«, W) = (Bq0—v,
Bq0—v> = (B2q0—Bv, q0> — <Bq0—v, v) = (u, q0> — (u, 0=0—0 =
= 0). Далее, нуль не является собственным значением сужения
оператора А*А на инвариантное подпространство N(A*A). Поэто-
му Вп(1—B)qa^=Q, л^1. Стало быть, ни при каком фиксирован-
ном п при достаточно малых 6, т] и при условии 3)к останова быть
не можзт, а это и означает справедливость соотношения (2.30).

Из (2.30) в силу леммы 2.4 следует

/(®;)||В09()||->О, 6, Т]->0.

Далее, в силу теоремы 2.1 и условия из табл. 2 справедливы соот-
ношения

/(^\)лг'/!(б + т]||«.||) ->0, б, г]->0,

/(^\)тц^с1(3)^т(б + т])2->-0, б, т]-»-0.
Поэтому в силу (2.24) получаем

I (®л) || qm ||	/ (®ь) (II Яо II + т'/г (6 + ПII«. II) + Cs/n)^0,6, т]->0.

Пусть Bqo=O. Тогда в силу леммы 2.5 ||Bnm^oll->-0, б, т|—>-0 и,
значит, вновь в силу (2.24) находим

lim I (®x)]|0n||sC ЙпГ 1 (S)k) (тУ‘ (6 + т]||м, || + Стъ) — 0.

б,Г)->0	б,Л-^О

Случай (П/). В силу теоремы 2.1 имеем

(m'/1(6 + r)llw*ll) + Cms)->0, 6,	(2.31)

Поэтому в силу (2.24)

lim / (®х)||фп||= Пт 7 (,®л) || B^qQ ||.	/2 32)

Как и выше, если Bqa=/=G, то выполнено соотношение (2.30),
и тогда /(^>л) IIBnm^||->0 в силу леммы 2.4. Если же Bqo=O,
го || В-9о|1 ->-0 в силу леммы 2.5.

Случай (П,). В силу теоремы 2.1 справедливы соотноше-
ния (2.31), (2.32). Дальнейшее рассуждение повторяют случай
(IL/)- Аналогично рассматривается случай (П/).

Случай (П2) для теорем 2.1 и 2.2. Введем более де-
тальные обозначения: пусть /и, (6, т], 8, Ь1г Ь,) и m2(6, rj, s, bit
bz, а)—моменты останова соответственно для правил (П,) и
(П2). Убедимся в справедливости соотношения

1(3)к)тг(8, т], 8, bi, b2, a) ^7(^)«ii(6, т], е, bt, b.,)	(2.33)

при Ь„> ||а.||б2 и достаточно малых 6, т]. В силу доказанного для
(П() имеем

7 Ь2 II Мт1(в,П,8,61,6«» II Ь„

при достаточно малых 6, т]. Поэтому

М + V (®л) || ит1(б,п,е,6о,6м) || т) М +	(s> П 0),

Значит, действительно при 6, т]->0 имеет место соотношение
(2.33). Отсюда сразу вытекает утверждение теоремы 2.1 для
правила (П2). Далее, в силу теоремы 2.1 и условия из табл. 2
(мы опускаем индексы у т2 и mJ

lim I (®л) (/п‘/« (6 4- т] || и* ||) + Ст2& = 0,

б,Г)-»О

поэтому

ШБ 7(Ж)|К 11=	7(^ЖЧ11-

о,*п—>о	6,Я->о

Если Bqo=j£=O, то из (2.25) следует соотношение (2.30), откуда
7(^)115^11^0, 6, т]->-0.

Если В<7о = О, то ||B^q^\\->0 (т]-*0) в силу леммы 2.5.
Случай (П/) рассматривается аналогично: для него так-
же проверяется справедливость соотношения (2.33).

2.6.	Лемма 2.6. Пусть Bq0=Q. Тогда для всех правил оста-
нова (По—П/) найдется такая постоянная А=А(||^011> 11«*11)>0,
что

1(2).; /п>К)->0,	6, т]->0.

Доказательство. Случай (По). В силу леммы 2.3 и
условия имеем при п^1

|| г’ Ц < 1|	(I - Вц) q01| +1| В^ (f6 - Апн.) || С

СII	(Вп - В) q011 + II В^Ад (fa - Апн.) Ц.

Поэтому в силу леммы 1.1 гл. IV

II rnQ II С е„-41] + n~'h (6 + Т] II и. II ) ,
гдее„->-0при п->оо. Пусть 7C=inf (n^l : е„_1т] + и_'/!(б + 'п11м*11) <
< (ai6+a2T])/2, 6>0, т]>0). Множество таких п непусто, так что
Д<оо. Имеем	||гкй||<ц0=ц/2, поэтому	Поскольку

при достаточно малых 6, т], то

1(2).; т>К)-+О,	6, т]->0.

Аналогично рассматриваются случаи (П»'), (П,), (П/).

Случай (П2) следует из (nt) в силу неравенства (2.33).
Точно так же случай (П/) следует из (П/). Лемма доказана.

2.7.	Доказательство теоремы 2.3. Случай (По').
Пусть ц0=(л/2, и пусть выполнено соотношение (2.30). Тогда
1(2).)^т° (6, т]—>0). Поэтому для доказательства формулы
(2.10) достаточно установить соотношение

m“<C\r(6 + n)~2/fp+2) (6, П->0).	(2.34)

При n = m°—1 в силу леммы 2.3 имеем

Но < (^ - [«/21 Г1 (И В^ - В^/2]м)	+

+ (6 + п1Ы1) s

Й = [«/2]-И

Имеем

||в^к^,

UВГ1 - В^/з]+1) <70II = II (ВГ - B^2]+1) q01| =

= II (B"+l - В^1'1) (Д' A)p/2v|| = (I - Вп) В[пл/21+1 х
k—a

X в£ (Д*Д)Р/2 и|	2п И Д;дпВ^/2]+1 (А*А)р/2 v Ц.

Если п достаточно велико, то получаем
|л0<41|Д;апвГ]+1(Д‘А)р/2 4
Далее, в силу леммы 1.1 гл. IV

8Л;лХ"/81п (А*А)р/г V КII	(4Лп)Р/2 VII +

+1| д;дх/21+1 ((л;л)₽/2 - (д*д )р-’) v и
^СпЧ1+р/2)||В|1п/4]и|| + еп.р/,2и,

где 8„,р/г-*0 при п->оо. Отсюда получаем ц0^Сп“<1+р/2), если
rt=/n°—1 достаточно велико. Стало быть, действительно имеет
место оценка (2.34), а с ней и (2.10). Отсюда же получаем
(2.14), если учесть, что ||Вч[п/41и||->0 при п->оо, г}->0: поскольку
<7вЕУ(Д*Д)х, то можно, не умаляя общности, считать, что и
г>е?У(Д*Д)х; это соображение в дальнейшем уже не оговарива-
ется.

Соотношение (2.9) следует из (2.10). В самом деле, в силу
леммы 2.2, условия из табл. 2 и (2.10) имеем

/ (®л) И qm || / (3)к) || B^qQ || + С(б+ п)1-1^2’ + Се (6 + ПГ2/(р+2>^
/ (ЗМЦ В^о || + С (6 + п)<р+0/(^2) С (6 + П)р/(р+2)а (6, п),
(2.35)
где а(б, г])—>0 при б, т]-»-0. Поэтому для доказательства нера-
венства (2.9) достаточно установить оценку

/(^)ЦВ^0Ц^С(б +п)Р/(Р+2) (6. П->0).	(2.36)

В силу условия теоремы, леммы 1.2 гл. IV и неравенства мо-
ментов (см. выше) имеем

II Вп<70|| = 11(Д’ A )p/iv || || % (А^)р1г о || +1) Впп ((А^Г’г -
- (Д*Д )р/2) П КII В" (д; ДпГр/2 V ||р/(р+2> II В& Ц2/(р*2) +
4-С(1 + I In я I) T]min<1’p) ||«||-	(2.37)

При п=т имеем р„=Сц, поэтому в силу леммы 2.3
р>7(^)(/и -[/П/21Г1 (||(ВГ1-ВГ2Ь1)<7о1|-

— /И*/» (б + н || и, ||) — Сет In т) > I	(|| Bfi(J — Bn) qQ || —

— (m/2)~V1 (6 + я || и, ||) — Се In т).

Далее, при малых б, т] в силу теоремы 2.1 и условия из табл. 2
имеем

7(S\)eIn m<CC(6 + r}),

поэтому, если т достаточно велико, то

•Cn^/(^)||B^(/-Bn)(7J|,
или

/ (®Л) II в^ (ДХ)1+Р/2 и II < С (б + п).	(2.38)

Отсюда и из (2.37) следует соотношение (2.36), а с ним и иско-
мое неравенство (2.9).
Для доказательства (2.13) в силу (2.35) достаточно прове-
рить равенство

lim 7(^)K(70||(6+rir/<F+i, = 0,

в,	ч-

которое следует из (2.38), (2.37) и того факта, что

lim 7(ЗД|В^о|| = О.

6,two

Пусть теперь Bq0 — Q. Тогда соотношения (2.10) и (2.14)
следуют из леммы 2.6. Далее, в силу лемм 2.3 и 2.6 и условия
из табл. 2 имеем

/ (®л) || qm || < || Brtfo II +	(6 + ПII«.II) + СК (6 + П)

2ц ho II + К* (6 + И ||и. ||) + СК (6 + п)

(6, т] —> 0),

что влечет за собой (2.9) и (2.13).

Случай (П/). Пусть Bqoy=O. Тогда справедливо соотно-
шение (2.30). Пусть р0 = хр, 0<х<1, xbt>l, х&*>||«*||. При
малых 6, т) имеем /(Ф^т^т0. Поэтому для доказательства
(2.12) достаточно установить оценку

т° =С С (б 4- ц)~21^ (б, я 0).	(2.39)

При п—т0—1 в силу леммы 2.3 имеем

Ро<(« — [«/2] г1 2 НИ

W'’/21+l

^(n- fn/2])-1 2 (||4BUll + 6 + n||M.II)^
fe=[n/->] + l

II	7-+Ч || + б + ц || и, ||.

В силу выбора go получаем

Ио^СМпвГ"1)/г]+1<7о11-

Далее, в силу леммы 1.2 гл. IV

II АДл/г1+Ч II = II АВГ1" (А*АГ1 VII

HI AiBn/1+1 (АИч) И + II А1Вг|Я/“]+1 (( ДпДг1)Р ’ —

- (Д'4)р/2) V || < Сп~{р+1'>1-1| B^v II + e;p/2ri,

где е'п.р.^О при п->оо. Стало быть,

ЦоССп-(р+1’/2,

если п—та—1 достаточно велико. Отсюда получаем (2.41) и
(2.12). Отсюда же вытекает соотношение (2.16), если учесть,
что ||Вп[п/41п||->-0 при п->оо, ц->0.
Соотношение (2.11) следует из (2.12). В самом деле, в силу
леммы 2.3, условия из табл. 2 и (2.11) имеем

/ (35к) |1 qm К / WII II + С (6 4- n)l-1/(p+1) +|Се (6+ чГ'(₽+1)^
/ (2М № |+С(б + ч)р/(р+1) + С (б + пГ/<р+1’=

= / (®Л) || B%q01| + С (б + т])р/<Р+1) + С (б + П)2р/(р+1).

(2.40)

Поэтому для доказательства неравенства (2.11) достаточно
установить оценку

/(®х)||В^0КС(б + ч)Р/(р+1) (б, я->0).	(2.41)

В силу условия теоремы, леммы 1.2 гл. IV и неравенства мо-
ментов имеем

[| В"п0 II== [|	(Д‘Д)₽/’р II II Вр (ДП‘А,)Р/*РII +

+ )|В"((Л;д,1)^-(Л‘Д)р/2)«11^

II в; (д;лп) p+^v ||Мр») || B"v ||1/(р+1) +

4-	С (1 4- ] In п |) чгп'п(1,р) || v ||.	(2.42)

Далее, при п=т имеем поэтому в силу леммы 2.3

Н > / (3)к) ((« - [П/21Г1	2 МЛо||-(6+П||«.ID -Сеп'/«)>

> I W (|| AnBn4q01| - (б 4- Ч|| «.Ц) - Сеп'/«).

При малых б, ч в силу теоремы 2.1 и условия из табл. 2 имеем
ып'/г <1 с (б 4* ч)	(8 4* 4)) = 0 ($ + 4)

при б, ч~>-0. Стало быть, при малых б, ч получаем

си>/(^)МЛо11-

/ (WII В" (Д;А,)(^)/*рII < с (б 4- ч).	(2.43)

Отсюда и из (2.42) следует (2.41), а с ним и искомое неравен-
ство (2.11).

Для доказательства (2.15) заметим, что в силу (2.7) слагае-
мое С(б + ч)р/(р+1) в (2.40) можно при данном qa заменить на
о((б + ч)р/(р+1)). Поэтому (2.15) будет установлено, если прове-
рить равенство

lim I (Як) || В^о Ц(б4-Ч)-р/(р-Н) — 0т
в,п-»о

которое является следствием (2.42), (2.43) и того факта, что

Пш7(®х)|1В^о|| = О.

о.Ч->о
Пусть теперь Bq„~O. Тогда соотношения (2.12) и (2.16) сле-
дуют из леммы 2.6. Далее, в силу лемм 2.3 и 2.6 и условия из
табл. 2 имеем

^2т]||<?1)|| + К"(6 + п11ц>11) + C/<(6 + iq)2,

что влечет (2.11) и (2.15).

Случаи (По) и (П,) рассматриваются аналогично (П/) и
(П/). Таким же образом с помощью соотношения (2.35) и уже
доказанного для (П,, П/) рассматриваются и случаи (П2, П/).

Теорема 2.3 доказана.

На распределения ошибок wn можно налагать и другие
ограничения, лишь бы они позволяли воспользоваться теорема-
ми типа закона больших чисел или повторного логарифма.
Иногда достаточно требование попарной независимости (см.
[88]), более того, ошибки w„ при разных п могут быть и слабо
зависимыми. Можно интересоваться близостью величины P(S\)
к единице при Х,->-оо, это вероятностная задача об уклонениях.
Результаты, аналогичные теоремам 2.1—2.3, справедливы и для
непрерывного аналога дискретной схемы (2.1). Некоторые из
них содержатся в [28]. Отметим, что в силу (2.6), (2.7) и рас-
суждений настоящего параграфа правила (По, Пь По', П/) мо-
жно несколько видоизменить аналогично (П2) и (П/). Напри-
мер, для (Hj) можно определить момент останова следующим
образом: m = inf (п^О: ||Лпй„—либо /г^ац~2), а>0. Все
утверждения тогда останутся в силе, а правило останова в та-
ком виде несколько удобнее для практического использования.

3.	Сходимость в среднем квадратичном

3.1.	Основные предположения и результаты. Пусть для ре-
шения задачи (1.1) применяется схема

ип= ип-1—A*Aun-i + A*f -Г wn, n^l.	(3.1)

Предполагается f^&(A), гильбертово пространство H сепара-
бельно, wn (n^l)—независимые в совокупности случайные

величины на вероятностном пространстве (£2, Р) со значе-
ниями в Н,

Ешп = 0, E||wJ|2^e2,

(3.2)

Здесь изучается лишь одно правило останова по невязке т =
= inf (/liJsO: ЦАип—либо п^ац-2), а>0 (т — момент
останова). Пусть вновь и.— нормальное относительно и0 реше-
ние задачи (1.1), ц = ц(е)->0, е->-0.

Теорема 3.1. Пусть выполнено неравенство

(&>1).

(3.3)
Тогда справедливы соотношения
Ет^1Ы7(ц2-82),	(3.4)

limp2Em — 0.	(3.5)

S—*0

Теорема 3.2. Пусть выполнено неравенство

е<Кр2 (К>0).	(3.6)

Тогда имеет место равенство
limE||«,n — «,||2 —0-	(3.7)

8-»0

Равенство (3.7) означает регуляризацию в среднем квадра-
тичном.

3.2.	Доказательство теоремы 3.1. Пусть &~k=
= о(и)ь ..., W;,)—о-алгебра, порожденная случайными вели-
чинами wly ...,wh. На множестве (£<т) имеем

Е (II Я* н ||21	= Е (II qk - A'Aqk + wk ||2 \STk)^

II Яь II2 - 2 A*Aqk ) 4- || A*Aqk ||2 + в2 <
< || qk ||2 -1| (A'A)*qk ||2 + 82 = || qk ||2 -1| Aqk Ц2 + 82 <
^1М-(н2-в2).

Стало быть,
Е/ (k + 1 < т) || qk+i ||2 < Е/ (k < т) || qk,i ||2 <

Е/(fe <т)||^||2 — (р2 — 82) / (/г </п).	(3.8)

Складывая все такие неравенства от 0 до п, получаем

Е/(п+ 1 <.ш)||(7пи||2^||(7о||2 —(и2 — е2)2Е/ (i<tn),
откуда следует

(р2-е2)£Е/(<<т)СЫг
i=a

при всех п^1. Устремляя здесь п к бесконечности и пользуясь
равенством

2 Е/ (i < т) = Ет
i=a

для случайных величин с целыми неотрицательными значения-
ми, в силу теоремы о предельном переходе получаем оценку
(3.4).

Отметим, что правая часть (3.4) не зависит от а.

Сложим неравенства (3.8) не от нуля, а от г до /г (0<г<п).
Получаем

п

Е/ (n + 1 <m)||<7„+1||2^E/(r <m)||<7r||2 —(И2 — e2)S Е/
i=r

Отсюда

(|Л2—е2) Em<r(|i2—е2) + Е||</г||2.

Поэтому для того, чтобы доказать (3.5), достаточно установить
соотношение

lim lim Е ||gr||2 =- 0.	(3.9)

Г—

Поскольку

qr — Brq0 -|- Br~l + Br~'w2 + . . . + Bwr^ + wr,
то имеет место неравенство

E||?r||2^||B^0||2 + re2.

Значит, для доказательства (3.9) достаточно проверить равен-
ство

lim || Brq01| = 0,

Г~

которое следует из леммы 2.4 и определения нормального ре-
шения. Теорема 3.1 доказана.

3.3.	Доказательства теоремы 3.2. Пусть Bq„=^=0.
Тогда Brq„^0 и ABrq^0 при всех r= 1, 2...........Значит, из ра-

венства

Aqn = ABnq0 + AB^ku'i
i=i

следует справедливость соотношения

(Р) lim т = оо
8—>0

((P)lim означает предел по вероятности). В силу ограниченно-
сти ||Bn<7oll при имеем

Игл Е||Вт7о||2 = О.
8—>0

Поэтому получаем

е 11 qm II2

8-Ю

< 2 li m Е || Вт qQ||2 -4- 2 lim Е Y B"l~kwk =
8-И1	8—*3

k •—1
tn	2

— 21imE V Bm~kwk I .

Г!-Я)
k-л I
Далее,

т

k—1

2	/ т \2

\t=i /

Е

Пусть

S„ = 21Ы1-	= Е\Ы	Rn — Sn — Mn.

k~i	k—i

Тогда

ESm = Е (Мт 4- R,,,)2 С 2Е.И;„ Т 2Е/&.

Поскольку М„—мартингал, то в силу предложения 1.5 имеем
ЕЛ4т2^е2Ет. Далее,	поэтому E/?m2^e2Em2. Итак,

Е5т2^2е2Ет + 2е2ац~2Ет->0, е->0, что и доказывает искомое
соотношение.
т

Пусть В<?о=0. Тогда qm В'"-'даь поэтому

1-=1
т	12

Йт£||<^ ||« = ж Е ,
8->Q	8-^Э	.	I

и далее доказательство повторяет рассуждения для случая
В<?о=#О. Теорема 3.2 доказана.

4.	Статистический подход к выбору параметра регуляризации

4.	1. Метод М. М. Лаврентьева. Отступим на время от итера-
ционной схемы и рассмотрим метод Лаврентьева для самосопря-
женного случая Д=Л*^0. Пусть u,t— (a/+/l)-1f6, для просто-
ты считаем, что оператор А известен точно и ||Л ||	1. Ниже из-

лагается модель одного эвристического подхода к выбору па-
раметра а.

Будем считать, что экспериментатор имеет дело не с одной
некорректной задачей, а с последовательностью таких задач
M(n), f(n), п=1, 2, ...), где операторы А(п) и правые части
/(«) выбираются из некоторых классов соответственно опера-
торов и элементов пространства Н с некоторыми частотами.
Более строго это означает, что на классе пар (Д, f) с естест-
венной о-алгеброй задано некоторое вероятностное распределе-
ние 53, неизвестное наблюдателю, и (Д(га), f(n)) являются реа-
лизацией последовательности независимых статистических экс-
периментов на этом классе. Ставится задача: по результатам
наблюдений так выбрать параметр а, чтобы минимизировать
максимум ошибки ||иа—и.|| па подмножестве SlczSJl достаточно
большой вероятности .^(91) ^1—6 или хотя бы максимум не
самой ошибки, а какой-то се оценки сверху. Можно иредиоло-
жить например, оценку, описываемую ниже. Имеем

II «а-«.11=11 (а/ + ЛГ7б-Л-7К

II (а + АД1 /в - (а + Д)-1/|| 4- II ((а + АД1 - А-1) Аи.Ц <

О

—dE7u

где £\—спектральное разложение для оператора А. Далее,

dE}.ut

+ №

Пусть е(к) = (Еки., и.). Тогда

Интегрируя по частям, получаем

СС2

(сс + X)2

de (X) =

сс2

(<* + 1)2

1

е(1) + -Зос— dk.

V '	.) (аДХ)3

О

Допустим, что мы на основании некоторых наблюдений подо-
зреваем, что детерминированная функция с(Х), O^X^l, часто
является мажорантой для функции е(Х). Тогда можно поста-
вить эксперимент для статистической проверки гипотезы (ё(Х)^г
^е(Х), ОдД.д;!) против альтернативы (ЛХ0: e(X0)<e(k)). Счи-
тается, что некоторое число случайно выбранных задач (А, /)
мы можем решить с повышенной точностью, а в модели — про-
сто точно. Если проверка с заданным уровнем надежности по-
казала, что гипотеза верна, то с этим уровнем надежности мы
имеем оценку

||«а-«Л^— + -4-6(1)+	,	(4.1)

а I (а + I)2 J (а + Л)2	/

X	о

и теперь в соответствии с пашей программой задача свелась к
минимизации правой части неравенства (4.1) по а. Задавая
конкретный вид функции ё(Х), можно находить минимум пра-
вой части (4.1) с помощью известных методов анализа.

4.2.	Итерационная схема. Рассмотрим итерационную проце-
дуру (2.1). Для псе также можно поставить вопрос о статисти-
ческом обосновании выбора момента останова т. Как и в
разд. 3, будем считать, что пара (А, /') распределена на прост-
ранстве (S(Н, F), F) в соответствии с некоторым распределе-
нием ||Д||^1. Требуется по реализации последовательности
независимых статистических испытаний так выбрать момент
останова, чтобы минимизировать, например, среднеквадратич-
ную ошибку Е||<7,„||2 или хотя бы ес оценку сверху с достаточной
степенью надежности. Мы считаем при этом, что величины
(Лп, ft, Wi, ..., w„, ...) независимы в совокупности. При этом
удобно считать, что ошибки wt, ..., w„, ... заданы на своем ве-
роятностном пространстве (Q, Р) и символ математического
ожидания Е относится именно к мере Р. Уровень же надежно-
сти относится к мере

В силу независимости ошибок wn от (Л^, f0) имеет место не-
равенство

Е|Ы2^2||ВМ2 + 2(6 + пЫ1)2п-м2п.

Далее,

||В"<М2= Jd-Wh/o

— (1 ^)2,t d (£у/о> Я»}-
о

Пусть r(A) = (EKq0, q0) и нам удалось проверить гипотезу
(г(А)^г(А), О^АгС!) против альтернативы (ЯА(1: г(А0) <г(А0))
с заданным уровнем надежности 1—р/2. Тогда с этим же уров-
нем надежности имеем

Е h„'|p < п (е2 + 2 (6 + п || U.K2) + J (1 - k)™dr (А)=
о

= п (е2 4- 2(6 + nh.ll)2)-$Ф)<Ш -

О

= п (е2+ 2 Ий + nIIи, ||)2+ $ г (А) (1 — A)-"-1 dk j |
\	\	о	/

п ( е2 Н- 2 ( (6 + n НII)2 + J 7(A) (1 - A)«-’dA | ).
\	\	о	/

Пусть с тем же уровнем надежности проверена гипотеза ||ц.||^

<С. Тогда с уровнем надежности 1—р имеет место оценка

Eh«||2^«[e2+2[ (6 + nQ2+ J 7(A) (1 — A)-n-^A| ) .	(4.2)

\-	\	0	/ '

Задача свелась к минимизации по п правой части неравенства
(4.2).

4.3.	Пример. Пусть функция г (А) имеет вид

г(А) = я/(О^А<А0)-ЬМ(А0СА^ 1), О^П<Ь.
Тогда имеем

i _	л»	1

J г (X) (1 — dk = a J (1 — X)a«-i dk + b J (1 — dl =

о	о	>-0

1	1->-0

= а $ Х2'1->б/Х + b $ х-п-^х =

1-7-0	О

Значит, с уровнем надежности 1—р

Е|)7п|)2Сп(е2+2 (\б + пС)2 +^-а(1 -%„)*" +^-) •

Пусть у= (е2/2) + (6 + цС)2. Рассмотрим на (0, оо) функцию
h(x) = yx +-^^-(1 — V2X1+-J- •

Ее производная равна

=v —4^ (I - W- + ^- (1 -	1" (I -ч	

(4.3)

Здесь b и а —постоянные, а 7—>-0 при 6, ц, е->0. Стало быть,
решение х0 уравнения h'(x)=0 велико, х0->оо при ^->0. Бэтой
ситуации главный член правой части (4.3) равен у---— , а хг

____	2х2

приближенно равно Уа/2у.

Вторая производная имеет вид

h" w =	(1 - V2* -	(1 -Vх х

6х3	X2

xln(l —Хо) + .. .>0, х>0.

Значит, min h(ri) достигается на одном из двух целых чисел,
п—1,2,...

ближайших к л'0«]/а/2у (если само ха дробное). В точке х0
функция h принимает значение

h (х0) ~ ?х(,+ ^7=/2у(1—Хо)^ +	—V2оух(е--|-6+т1).

Мы получили порядок оценки сверху величины ЕЦ7Л2 с задан-
ным уровнем надежности.
6 глава

———=—

НОРМАЛЬНО
РАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ

Задачу Au=f с оператором А^2?(Н, F), имеющим замкнутую
область значений 9Z(A)^F, принято называть нормально раз-
решимой. По терминологии гл. I нормально разрешимые зада-
чи не являются существенно некорректными, но все же будут
некорректными, если тГ(Л)^0 или 91(A) ^F. Именно такие
задачи и будут в поле нашего внимания.

В случае приближенно заданного оператора и правой части
(||ЛП—Л||^г], ||f6—fll^S) некорректно поставленная нормально
разрешимая задача требует регуляризации, как и всякая дру-
гая некорректная задача. В роли регуляризаторов ниже исполь-
зуются методы, введенные в гл. II. Отличительной чертой нор-
мально разрешимой задачи является то обстоятельство, что при
удачном выборе параметра регуляризации г решение или псев-
дорешение и, удается восстановить с точностью, сравнимой с
точностью исходных данных. Л именно, удается установить оцен-
ку вида

"	н-n (н-п)2

где ц=||Л + || (см. также (1.1)), Q — ортопроектор, проектирую-
щий на 91 (Л); постоянная с выписывается.

Оказывается, подобные оценки имеют правильный порядок
не только по 6 и т), но и по ц. Это обстоятельство ставит опре-
деленные ограничения на класс тех задач, к которым результа-
ты главы стоит применять,— должно соблюдаться соотношение
6 + т]<Сц (в случае )е5?(Л)) или даже соотношение ц<Сц2
(в случае f^9l(A)). Результаты применимы, например, к инте-
гральным уравнениям второго рода

и (/) — X § 9С (t, s) и (s) ds =f (/),

D

когда X — характеристическое значение. Формально и каждая
система линейных алгебраических уравнений принадлежит
классу нормально разрешимых задач, однако не всегда выдер-
живается указанное соотношение между q и ц.
1.	Возмущение операторов,
имеющих замкнутую область значений

1.1.	Операторы с замкнутой областью значений. Пусть, как
обычно, Н и F — гильбертовы пространства.

Лемма 1.1. Оператор А^2’(Н, F) тогда и только тогда
имеет замкнутую область значений 02(A) ^F, когда

ц= inf ||Лы||>0.	(1.1)

и=Н,

Доказательство. Пусть выполнено условие (1.1). По-
кажем, что 32(A) ^F замкнуто. Пусть zne^?(A), z„->-z (гаеА').
Обозначим через ип прообраз zn, ортогональный Л9(А). В силу
определения р, (см. (1.1)) ||Аип||2>p||«J|, поэтому последова-
тельность ип ограничена (||un'll р_‘llzJI) и из нее можно извлечь
слабо сходящуюся подпоследовательность. Пусть ип-----------

(fiE'Vt.V). Тогда Аип---->~Аи (n^N'), а так как Awn=zn->z,

то z—Au, z^ffi(A). Это доказывает замкнутость 5?(А).

Пусть теперь, наоборот, 5?(А) замкнуто. Покажем, что вы-
полнено (1.1). Обозначим через В сужение оператора А на
Л’(А)-1- (ортогональное дополнение к Л’(А)). Подпространства
ЛЛА)^ и 5?(А) как замкнутые подпространства гильбертовых
пространств и сами являются гильбертовыми (в частности, пол-
ными) пространствами. Это позволяет воспользоваться теоре-
мой Банаха о непрерывности обратного оператора: поскольку В
переводит Л’(А)-1- взаимно однозначно на 5?(А), то он имеет
ограниченный обратный В~1^3?(5?(А), Л’(А)-1-). Условие (1.1)
выполняется с ц—1/||В_1||. Лемма 1.1 доказана.

Из полярного разложения A = U (А*А)'!г вытекает, что 5?(А)
замкнуто тогда и только тогда, когда 5?((А*А),/!) замкнуто. При
этом определенному в (1.1) числу р можно дать следующее рав-
носильное определение: р,— это наименьшая ненулевая точка
спектра неотрицательного самосопряженного оператора (А*А)^,
или

р,2 = min Х= min %;

Ле<Т(Л*Л), Л^о Хе<Т(ЛЛ»), 1^3

мы учли, что о(А‘А) и о(АА*) с точностью до точки 0 совпада-
ют. Отсюда, между прочим, можно сделать вывод, что 01(A) ^F
замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто 02(А*)^Н.

Из замкнутости 5? (А) следует ограниченность псевдообрат-
ного А+; при этом ||А + || = р,-1.

1.2.	Лемма о локализации спектра. Сформулируем вспомога-
тельный результат, используемый в следующем пункте.

Лемма 1.2 (см. [38]). Пусть	Н)—самосопря-

женный оператор, ПеЗ’ (Н, Н) — некоторый ортопроектор.
Если для каждого и^Н выполнены неравенства

(СПи, П«>Сс,||Пи||2,

(1.2)

<С(1— П)щ (/—П)м)>с2||(7—ПМ12,
причем C!<C2, то интервал (с,, с2) состоит из регулярных точек
оператора С, т. е. (с„ с2)ГИ(С) =0-

Доказательство. Пространство Н разлагается в орто-
гональную сумму Н=Н,®Н2 подпространств Я^ПЯ и Н2—
= (1—П)Я. Это разложение порождает матричное разложение
оператора С:

с=={ СПС12\ = / ПСП ПС(/ —П) \
k С22 /	\ (/ — П) СП (/-П) С (/—П) ) ’

с«=с^£(н}, Ht).

Пусть Хе (с,, с2). Эта точка будет регулярной для оператора С,
если для любого уеЯ уравнение (X/—C)u — v имеет единствен-
ное решение пеЯ. Это равносильно однозначной разрешимости
системы

Хщ—CijUj С|2п2^=щ, Xu2 C2jUi C22u2 — u2,	(1.3)

где и и2еЯ2 заданы, а и и2еЯ2 искомые. Из (1.2)
следует, что

о(Си)<=(—оо, С1],	о(С22)с[с2, оо).	(1.4)

Значит, % — регулярная точка операторов Си и С22. Из первого
уравнения системы (1.3) выразим

Hi= (X/—CH)-‘C12u2+(V—Сц)_1щ

и подставим во второе уравнение:

Xw2— [ C2l (XI—Си) - 'С12 + С22] u2=и2+С21 (XI—Си) -1У1.	(1-5)

Из (1.4) следует, что оператор (XI—С,,)-1 при X>Ci неотрица-
телен, а вместе с ним неотрицателен и (самосопряженный в силу
равенства С21—С12) оператор С21(Х1—CH)-1Ci2. Поэтому ниж-
няя грань спектра оператора C2i(Xl—Си)_,С12 + С22 не меньше
с2 (см. (1.4)). Следовательно, уравнение (1.5) имеет единствен-
ное решение и рассматриваемая точка X^(clt с2) регулярна для
С. Лемма 1.2 доказана.

1.3.	Локализация спектра при возмущении оператора. Из
(1.1) следует, что

а(ЛМ), о(ЛЛ*)^{0}и[112, 1|Л||2).

Поставим вопрос о том, насколько это локализующее множест-
во может «расплыться» при возмущении оператора Л.

Лемма 1.3. Пусть Л, Лче^ (Я, F), выполнено условие
(1-1) и

ЦЛл—ЛН^ц, 0<т1<ц/2.	(1.6)

Тогда

aUU0,a^)c[O,n2l Ul(p-n)2, Мп Fl-	(1-7)

Доказательство. Применим лемму 1.2 с С=Лл*Лл, взяв
в качестве П ортопроектор, проектирующий на Л’(А). Тогда
(/—П)и±А(Л) и

(СПи, Пи) = || Л^Пи ||2 = || (Лп — А) Пи ||2 + л211 Пи ||2,

(С(7-П)и, (7-П)и) = ||Лп(/-П)и||2>[||Л(/-П)и||-

- 11(A)- А)(1-П)и||]2>(р-п)2||(/ - П)и||2.

По лемме 1.2 (л2, (ц,—л)2) П<ДА*А) =0, т- е- имеет место
включение (1.7). Лемма 1.3 доказана.

Нетрудно построить пример такого оператора Лп, ||Лл—А||^
^т]<р/2, что точки т]2 и (ц—т])2 принадлежат о(Лп*Лп).

Обозначим через цп2 наименьшую точку спектра о(Д*А)
вне [0, г]2]. Таким образом,

<т(Лг)А), (AiA) [0, л2] U [Цч> ||А||2].	(1-8)

Число рл в дальнейшем будет играть Важную роль. Его можно
рассматривать как аппроксимацию числа ц (см. (1.1)), доступ-
ную в ситуации, когда оператор А неизвестен.

Лемма 1.4. Пусть выполнены условия (1.1) и (1.6). Тогда

|Нч—И^л-	О-9)

Доказательство. По лемме 1.3 интервал (л\ (р—т])2)
свободен от точек о(Лл’Лч). Поэтому (1.9) будет доказано, если
установить непустоту множества (ДД’А)П[ (р—л)2, (р + т])2].
Рассуждая от противного, допустим, что указанное множество
пусто. Ввиду замкнутости о(Лп‘Лп) тогда имеем

<э(АИп)П (Л2. +) = 0

с некоторым сч>р + л- (в действительности можно было бы по-
ложить сп—р„, но мы пока не знаем, что (ДАГА) И ЬА °°) не’
пусто). Применим лемму 1.2 с С—А*А, взяв за П = ПП спект-
ральный проектор оператора Лч*Лл, проектирующий на инвари-
антное подпространство этого оператора, соответствующее ча-
сти его спектра в [0, rf]. Тогда /—Пп проектирует на инвари-
антное подпространство оператора Лл*Лл, соответствующее ча-
сти спектра в [с/, ||Лл||2]. Имеем

(СЩи, Ппи)=||ЛЩи ||2А [|| (Л-Лч)ПчиЦ +|| ЛпЩи ||]2<(2л)2 ЦПпи|)2,
(С(/-Пп)и, (I-ПТ))и) = ||Л(7 —Пп)и||2>

> [Ц Лт)(7—Пг))и|| -1|(Лп—Л) (7-Щ) и||]2>(сп—л)2||(7—Щ)и||2

По лемме 1.2 интервал ((2л)2, (сп—ц)2) состоит из регулярных
точек оператора Л*Л. Но р.2ео(Л*Л) принадлежит этому интер-
валу. Полученное противоречие доказывает непустоту о(Лп‘Лп)П
П[ (и—л)2- (ц + л)2] и вместе с ней (1.9). Лемма 1.4 доказана.

1.4.	Оценки спектральных проекторов. Как обычно, через
Р<=2?(Н, Н) и (F, F) обозначаем ортопроекторы, проекти-
рующие соответственно на 3?(Л‘)^77 и Й?(Л)^Е (в данном слу-
чае 5?(Л) и Й?(Л’) замкнуты). Введем также ортопроекторы
Рп=3?(Н, Н) и Q^2’(F, F), проектирующие на инвариантные
подпространства операторов ЛП*ЛП и А^Ап* соответствующие ча-
сти а(Лп’Лп) и а(ЛИп*) в (м-Л НАН2] (см. (1.8)).

Лемма 1.5. Пусть выполнены условия (1.1) и (1.6). Тогда

IIP- Р11^п/(н—п)> HQ- QH^n/(n- ч),	<1-Ю>

||(/-Рч)РН^п/(ц-п). ll(/-Q4)QII^Ti/(H-n)-	(1-10

\\Pn(j-Р) Н^г1/(ц-п), IIQJ7- Q) НАп/(н-А-

Доказательство. Сперва докажем (1.12). Оператор
(А*А)1/2 нз подпространстве Рч77 обратим,

|| (А’АГМ^ (и—П) Hull2, «еРпЯ.

Учитывая также, что А (7—Р) =0, имеем

IIРД7-Р) ||< (и - пГ1 IK A^mj — Р) И = (р, — Т1Г1 II РяХ
х(л;а),/2 (/- Р) IIА (И - А’1 II (^А),/2 (/- Р) II =
=(н-пГ111А(/-Р)11=(н-п)’111(А-А(/-РЖ(н-т1Г1л.

Аналогично доказывается второе из неравенств (1.12).

Докажем (1.11). Ортопроектор I—Рп проектирует на инва-
риантное подпространство оператора А*А, соответствующее
части с (А*А) в [0, т]2] (см. (1.8)). Поэтому

IIЛ „ (7-Pn) II = II (Л/Л п) % (7-Рп) || ^ Tl-

Кроме того, Л л (7—РЛ)Н= (7—Q4)F. Учитывая также, что Р=
=А+А, A+=A+Q, ЦЛ+11 = р-1, оценим

|| (7 - Pn) Р || = || Р (7 - Рп) || = || Л+Л (7 - РПЖ
А || Л+ (Л - Л.) (7 - Рп) || +1| Л+Лп (7 - Рп) ||
sup	|| Л+Qz || ^p-1ri(l +||Q(7 — Qn)||).

Из соображений симметрии получаем аналогичное неравенство
II (7-Qn)QH Ар-‘г](1 + НР(7-Рл) II).

Обозначая en=max{|| (7—РП)Р||, ||(/—Qn)Q||}, из последних двух
неравенств получаем еч^ц.-1т1(1+еч)> откуда еп^(ц—г))_1т].
Этим (1.11) доказано.

Неравенства (1.10) являются прямым следствием (1.11) и
(1.12). Действительно,

II (Рч - Р) uf = IIPn (Рп - Р) и||2 + II (7 - Pn) (Рп - Р).иГ =
= || Рп (7 - Р) и ||2 +1|(7 - Рп) Ри ||2

< (И - <V (II7 - Р) U||2 +1| Ри II2) = (р - пГА II«II2.

Лемма 1.5 доказана.

Оценки (1.10) — (1.12) асимптотически точны. Покажем, например, что
в случае нетривиального Л’(Л) найдутся такие Лпе2’(Я, F), ||ЛП—Л||^г|, что

||(/-Рп)Р||>П/(А+П2),/’.	(1.13)
Число Х=0 является собственным для Д*Д. Число Х=ц2 либо собственное,
либо принадлежит непрерывному спектру; для простоты примем, что оно тоже
собственное. Итак, Д*Дио=0, Л*Лц1 = р2«| для некоторых «о, uteH, ||uoll =
= ||uil| = l; при этом <«0, «1>=0. Для Zi = p_,.Aui имеем ||zill2=
= ц,_2<Л*ЛИ1, «|>= 1. Оператор Лч определим формулой

Лпи=Ли+т]<и, Uo>Zi, ueH.

Тогда ||ЛП—Л|| = 1] и Лл(«о—p-’r]«i) =0, т. е. и0—ц~1г]и1&Л’(Лп)е(/—PJH-
Поскольку Ui^PH, то

II (/ - Л]) РШи -	“1И>

т.	е. имеет место (1.13).

| <«,, и0 — Ц I
|| и0 - p.-1nui ||

Ч

(И2 + П2)% *

2.	Регуляризация нормально разрешимых задач

2.1.	Класс методов регуляризации. Пусть требуется решить-
уравнение

Au—f,	(2.1)

где	F)—линейный ограниченный оператор из гиль-

бертова пространства Н в гильбертово пространство F с замк-
нутой областью значений &(A)^F. Напомним, что условие:
замкнутости 5?(Л) равносильно условию

u = inf ||Д«||>0.	(2.2)

u&i,u 1оГ(Л ),м=1

Если f^ft(A), то уравнение (2.1) разрешимо в обычном смы-
сле. Если же )е5?(Л), то ставится задача о вычислении псевдо-
решения уравнения (2.1), т. е. элемента и.е//, минимизирую-
щего невязку \\Аи—)|| и имеющего среди минимизирующих эле-
ментов наименьшую норму. Для нормально разрешимой задачи:
(2.1) псевдорешение существует и единственно при любом f^F-,.
оно дается формулой u,=A+f, где А+—псевдообратиый к А,
При )&5?(Л) псевдорешение совпадает с нормальным решением
(решение наименьшей нормы).

Пусть вместо точных данных f^F, А^З?(Н, F) в нашем рас-
поряжении f^F, А^2’(Н, F),

\\k-fM,	(2.3)

1ИП—Л||^т),	0<т]<|л/2.	(2.4)

В случае AF(A)^=0 и (или) 5?(Л)у=Е задача (2.1) требует регу-
ляризации. С этой целью мы привлекаем класс методов, вве-
денный в гл. II.

Пусть {gr}Гб(0,оо) семейство измеримых по Борелю функций
gr: [0, a]->-R, а^||Лл||2 (0<т)<ц/2), таких, что при всех г>0
имеют место неравенства

sup | gr (А.) | < yr, y = const,	(2.5)
sup lp11 — Igr (M I< ЧрГ-Р, yp = const, p> 1,	(2.6)

0<l—(O^Ua)	(2.7)

(условие (2.6) ниже понадобится лишь при фиксированном
/>^1). Приближения к псевдорешению u,=A+f уравнения (2.1)
построим в виде

иг = gr (A^Ari) A^fs,	(2.8)

tir = gr (Лт)А)) A^A^Ur = gr (ЛгрАп) А)/б, gr(h)=kgr (X).	(2.9)

Из (2.5) — (2.7) вытекают такие же неравенства для функ-
ций gr'-	_

sup | gr (M | < yr, sup X₽ | 1 — kgr (X) | < ypr~P, (2.10)

oghga	ogbga

OsCl— Xgr(k)<l (0<?.sC(z).

При этом 7^7, 7p=C27p.

На уровне замечаний и дополнений будем обсуждать и слу-
чай, когда (2.7) нарушено; при этом можно допустить и комп-
лексозначность функций gr(A,). Этим объясняется форма записи
условий (2.5) и (2.6), не учитывающая (2.7).

2.2.	Априорный выбор параметра регуляризации. Напомним,
что цч2—наименьшая точка спектра оператора АП*АЛ вне [0, ц2].

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.7), при-
чем в (2.6) р = 1. Тогда при г = (7pnt])-1, а также при г=(7цц)-1
справедливы следующие оценки погрешности: в случае fe5?(A)
для приближения (2.8)

к - ду|<.8+-!1±^+-^!'л11л,'Ь ;	(2.П)

Ц — Г)

в случае произвольного f^F длй приближения (2.9)

6 + [i + (i+y^),z»lM+fU	u_Qn

[I — р	' (и — п)2

Доказательство. Имеют место равенства

— ц, = —Kn-ft -J- gr (А^А^) Аг] (/о	Ат)Ц,),	(2.13)

ur и, = — KrnU, + gr (ArjArj) Аг] (/б — АцЦ,),	(2.14)

где u,=A+f—псевдорешение уравнения (2.1), функция gr(X)
•определена в (2.9),

^Сгт) = I — Ar]Ar]g> (Ат| Ат]),	Krr\== I — Ar)A^gr (АцА^).	(2.15)

)1«г-А+/К

Поскольку Ри, = и,, а Рп коммутирует с функциями от операто-
ра АЛ’АЧ, то

I! ^и, ||2 = || Р^и, II2 +1| Кт (/ - Рд) Ри, II2.
При П01М0ЩИ неравенств (2.6), (2.7) и (1.11) оценим

II pv\Krn || ^ sup 11 — Xgr (X) | <р^2 sup А11 — kgr (X) |

(2.16)

II (/ - PJ P И sup 11 - \gr &) III (7 - Pn) P К (H - ПГЧ

(2.17)
В итоге

II || [рч4Т1<2 + (Н — П)-2П2]'/* || и, ||.	(2.18)

Аналогично доказывается неравенство

II Кг^и, || < [рй17;<2 + (И - ПГ2^ II «Л	(2.19)

(мы учли, что функция gr(X) удовлетворяет аналогам условий
(2.6), (2.7)). Далее, в силу (1.8)

|| gr (4)4i) 4> || = sup. | gr (X) |
ХеаСЛ^Л^)

<max {sup X'/»|gr(X)|, sup %*/« |gr (A) |} C

<шах{т] sup | gr (%) |, p^1 sup A | gr (X) |}

и неравенства (2.5) и (2.7) приводят к оценке

IIgr (ХЛ) Ля 11^ max {ул], щ1} = сГГ).

(2.20)

С учетом равенства gr(A) =Agr2(A,) (см. (2.9)) получаем анало-
гичным образом

||gr(XiAi) Aj)ll sSmax {y2r2t]3, и/} = <4,
|| gr (4)4i) ||^ c^n.

(2.21)

(2.22)

Если )&5?(A), to Au,=f, fe~Anu,= (f6~f) + (A—An)u,, и
оценка (2.20) дает

||gr(4)4i)4,(/б —4)И,)||^4rri (6 +1|«,||т]).	(2.23)

Если f^F произволен, то Au, = Qf, f6—Anu,= (f6—f) +
+ (A—A^)u,+ (f—Qf), и с учетом равенства A*(J—Q)—0 оцен-
ки (2.21) и (2.22) дают

|| gr (4)4i) 4) (/с	4)W.) || Сщ || (/б — f) + (A — 4)) ut || +

+ c\ \\^-A*)(I-Q)f\\^ crv (6 +1| u. ||ri)+£) || f - Qf || A

(2.24)

Неравенства (2.18), (2.19), (2.23) и (2.24) позволяют оце-
нить погрешности ||wr—w.|| и ||йг—w.|| (см. (2.13) и (2.14)) при
любом г>0. При г=(7ЦчП)_1 и при г= ('уцг])'1 имеем

(и—n)-‘>	y+v< (ц—ri)_2Ti< (ц—n)-t>

и мы приходим к оценка.м (2.11) и (2.12). Теорема 2.1 доказана.

Оценки (2.11) и (2.12) говорят о том, что погрешности при-
ближений иг и йт имеют такой же порядок малости, что и по-
грешности исходных данных задачи. Такая точность прибли-
женного решения достижима только в случае нормально разре-
шимых задач.

Если условие (2.7) нарушено, то вместо (2.17) и (2.20) полу-
чаем

J Кл, (7 — Рп) РII (1 + ?и]2) (ц, —пГЧ

||gr ИпЛ) Лп || шах {угг], Ип1 (1 + 1Ц У/’1)}-

Остальные детали рассуждений не изменятся, и оценки (2.11)
и (2.12) лишь слегка видоизменятся.

2.3.	Случай методов высокой квалификации. Если условие
<2.б) выполнено с р>1, то возможно некоторое уточнение оце-
нок (2.11) и (2.12). Но более важно то обстоятельство, что па-
раметр г можно выбирать меньшим, чем указано в теореме 2.1.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.7), при-
чем в (2.6) р>1. Если feJ?(X), то для приближения (2.8) при

(У/:/е1)1/Р Ип р 1Г1/Р < < е2 (ТМпП) \ ei > 0, 0 < е2^ 1	(2.25)

справедлива оценка

I, Ur _ л+/ ц 6+1(1+^+	.	(2 26

н —п

Для приближения (2.9) при любом и

(Ур/е1)1/Рц-2+1/^т1_1/р г С е2 (уцпП)-1, е2 > 0, 0 < е2 < 1	(2.27)

справедлива оценка

-	,+#|1^ 6 + 1(1+e1)2 + (l+s22(H-ЦИПЕЯЛ+ЛЦ

и- П

] 11/-РЛ1 -

(и-п)2

(2.28)

Доказательство. Перегруппируем члены в (2.13) и
(2.14):

Ur— U'—Vr + Wr, Ur — U, — Vr + Wr,
где

(2.29)

vr — Krf\ut +’ gr (Лг]Лг]) Лг] (Л — Лц) u,,
vr — Prr\Ut + gr ( Лг)Лг]) Af\ (Л —|Лг]) u„
Wr = gr (Л^Лт)) Лг](/б — /) (/€=J? (Л)),
wr = gr (Л^Лг]) Ля [(/a — f) + (f — Qf)1 
В силу неравенств (2.20) — (2.22) и верхних ограничений на г,
которые в (2.25) и (2.27) одинаковы, имеем

||аУг || С W С	(2.30)

+ c-^Wf-Qfh < н?б +	<№•	(2-31)

Далее, используя некоторые детали доказательства теоремы 2.1,
оценим отдельно

II Р-^r II С 1\^РУ_рГ-р + II и, |[,

II Р-^г II <	+ р-1^] || и, ||,

II (/ — PJ Vrll С [ (р ~ п) -*Т]+ТГ112] II«.II>

Ц (7 - Л) Vr II С [ (р - П) -1т]+/г2п4] || и,||.

Отсюда при выполнении (2.25) и (2.27) получаем соответственно

I У ГII = (II Р^г II2 + II (/ — Рч) У Г ||2)% СК 1 + S1)2 +

+ (1 + е2)2]Vt II И, II (и — T])-1 П,	(2.32)

|| и,||С К1 + ej2 + (1 + fe2 (р — пГ1 ц)2],/! || и. || (Ц — Ц)-1 П- (2.33)

Из (2.29) — (2.33) вытекают оценки (2.26) и (2.28). Теорема 2.2
доказана.

При достаточно малых г] величины б, и е2 в (2.25) и (2.27)
удается выбрать сколь угодно малыми; здесь существенно, что
условие (2.6) справедливо с р>1. Например, при

Г = (ур/у)1Л₽+1)рп'2Р/(Р+1)т1-2/(Р+1»

оценка (2.26) справедлива с

Е1 = 82 =	(ПРп1)^17^1’.

Впрочем, теорема 2.2 верна и при р=1, только тогда 81 и е2 не
удается выбрать малыми и оценка (2.26) уступает (2.11).

2.4.	Вопрос о неулучшаемости оценок. Оценки (2.11), (2.12), (2.26) и

(2.28)	имеют неулучшаемый порядок не только по 6 и т], но и по р. Ниже ука-
зан пример, в котором обратные неравенства

IK - Л7II >	.	/ е 91 (Л),	(2.34)

г т П

й-л+/||>[7-в + Ил+^Г +0, |^-Qn Ж о<ег< 1,
1_\ р + ц )	\ р2 + ц2 / J

(2.35)
справедливы при всех г>0, причем 0,->-1 при г->-оо.

Допустим, что ц2 является для А*А собственным значением кратности 2
или более:

A*Aut = p.2Ui, ||и,-|[ = 1 (i=l,2), <ui, и2>=0.

Обозначая zi==n~'Au{ (i=l,2), имеем

Aui = [iZ{, A*Zi = nut, ||Zi|| = 1 (i=l,2), <zi, z2> = 0.
Допустим также, что Л°(Д*) нетривиально, гоЕЛ°(Л*), ||zbl| = l; тогда
<г0, г,>=0 (i=l, 2). Положим

u, = bui, т. е. Qf=bpzt (6 = ||и.||>0),

f=Qf+3*o (₽=||f~Qfll>0),

f»=f—tel, Л11=Я + т]<-, U|>zt+T]<-, и2>г0.

Тогда Ilfs—/|| = 6, ЦЛ,—Л||=т],

Лп*=Л*+ц<-, Zi>Ui+T]<-, z0>u2.

Нетрудно видеть, что

= (Н + л) Zi, Л*г! = (и 4- ц) Ир

Лпи2 = pz2 4- пг0. Л* (рг2 4- пг0) = (и2 4- ц2)
поэтому

Л* n“i= (И + Л)2 «1. Л^Лпи3 = (И2 4-П2) “2.

Л^ (fa — Лпи*) = — (и + л) ($ + М “1 + Зл“г-

Равенство (2.13) в данном случае имеет вид

“г —	— И — (И 4- Л)2^ ((И + Л)2)] *“1 —

— gr ((И + Л)2) (И + Л) (6 + 6л) “1 + gr (И2 + Л2) ₽Л“2;

равенство (2.14) выглядит так же, лишь функция gr заменяется на £г. Отсюда

II иг — и* II2 =!(1 — О1 + л)2gr ((и + л)2)]ь + (и + л)2 gr «и + л)2) ~п 1 +
I	Р + Л J

Г	В f Г (	6 4-Ьп)13

+ (р2 + л2) gr (и2 + л2) —7;—7 п > min V- —Т-	+

1	р2 + л2 J L I р + л J J

Г	3 I2

+ (И2 + Л2) gr (Р2 + Л2) - 7 ,  2 Л .	(2.36)

L	р2 4- л2 J

При 3 = 0 имеем /е5?(Л), и если 6 и ц достаточно малы (если (6+6т|)/(р +
4-Л) ==£&), то оценка (2.36) приобретает вид (2.34). Заменяя gT на gr и учи-
тывая, что в силу (2.10) Xgr(X)->T при г->-оо, Х=#0, из (2.36) получаем также
оценку (2.35).

Нетрудно также сообразить, что условия (2.5) — (2.7) недостаточны для
оценки вида ||иг—и.||^с(р) (6+1|и»11л) Для приближения (2.8), если /е5?(Л).
Выбор r=dr|_1/(p+i) (d=const>0; р из условия (2.6)) дает при любом feF
точность || иг—и, || = О (64-Т|р/(р+1>) •

2.5.	Аппроксимация псевдообратного оператора. Приближе-
ния (2.8) и (2.9) можно записать в виде

Ur~ ВГГ£$, Ur~
где

^ri\ == gr (ЛцЛц) Ац, Brt\ = Brr\At\Brr\-	(2.37)

Эти операторы аппроксимируют A+.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (2.2) и (2.4) —
(2.7). Если в (2.6) р — 1, то при г= (урпл)-1 справедлива оценка

+ + п. (2.38)
(и-л)2
Если в (2.6) р>1, то при г, указанном в (2.27), справедлива
оценка

|В„-я + <' +».>, + ч	ч (2.39,

(ц-н)2

Доказательство немедленно вытекает из. (2.12) и (2.28}
(при f6 = f, т. е. 6=0), если учесть, что ||Л+/1|ц-1||Qf|| и

c.HQfll +GII и - Q)fll^ (g2+g2)WII.

Доказательство теоремы 2.3 завершено.

В отличие от Вгп оператор РГТ| аппроксимирует А+, вообще
говоря, лишь на ^?(Л). Но он может быть использован при ап-
проксимации проекторов на ^?(Л‘) и ^?(Л).

2.6.	Аппроксимация проекторов на область значений и нуль-
подпространство оператора. Напомним, что Р и Q — ортопроек-
торы, проектирующие соответственно на 1%(А*) и ^?(Л).

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (2.2) и (2.4) —
(2.7). Тогда при г, указанных в (2.25), справедливы оценки

||ВгпЛ^-P||<-L±^-n,	П, (2.40)

ц — п	и— п

е = шах {е1э е2}.

Доказательство. Имеет место равенство см. обозначе-
ние (2.15))

Р/цЛз] — Р = ВгцЛц (/ — Р) — Кп\Р = Ру\Кгх\Р 

-(I- Рп)КтР + Р^Аъ (I-P) + (I-Рп) U-P).

Ортогональные разложения

Н = РН®(1-Р)Н, Н = РпН®(1-Рп)Н

порождают представление оператора В^А^—Р в виде матричного»
оператора

С f-PJ^P Р^ВгМ1-Р) \
(/ - Р„) К^Р (I - Рп) В^ (/ - Р)/ ’

Аналогично тому, как в теоремах 2.1 и 2.2, оценим

||Р^Кгг\Р||< sup 11 — kgr (X) | <itfPVpr-p<

^61(H — Л)1!!»

|| (/ - Pn) Kr^P II < II (/ - Pn) P || < (|X - П)’1 n,

U РпВ„Ап (I - P) || || Pn (/ - P) || (|X - пГ n.

||(/ —Pn)BrnAn(/ —P)||^ sup X|gr(X)|^Fn2^e2Hn1ns^

o^-sn2

s^e2(p — -q)’1 П-
Итак, нормы элементов матрицы Сг„ оцениваются соответствую-
щими элементами числовой матрицы

/	f 8i 1 \ •

(н—п) „ >

\ 1 /

норма (наибольшее собственное число) последней матрицы оце-
нивается через

(р—f])_,T]max {1+еь 1 + ег}.

Как нетрудно сообразить, такую же оценку имеет норма операто-
ра Вгйч—Р, порождающего матричный оператор Сгп. Этим дока-
зана первая из оценок (2.40). Вторая доказывается аналогично.
Теорема 2.4 доказана.

В теореме 2.4 соединены случаи условия (1.6) с р=1 и р>1.
Различие этих случаев выявляется при рассмотрении тех 8! и
б2, для которых существуют удовлетворяющие (2.25) г. Как уже
отмечалось, при р>1 параметр г = г(х\) удается выбрать так,
что (2.25) выполнено с е1=е1(т])->0, ег=е2(т])->0 при В та-
ком случае сравнение оценок (2.40) и (1.10) показывает, что
ВГ(Ч),Ил и ЛлВгТО1П аппроксимируют Р и Q с той же асимптоти-
ческой точностью, что и Л, и Qn; напомним, что оценки (1.10)
асимптотически точны.

С таким же успехом Р и Q можно аппроксимировать опера-
торами ВгИч и AJirn-

Операторы /—Р и /—Q являются ортопроекторами, проекти-
рующими, соответственно на Л5(Л) и Л3 (Л*). Они аппроксими-
руются операторами

Кип = / — ВгпЛп = I — АпА^г (ЛцЛ^),

Кн]=== / — Лт)Вгп = I — AiyA^gr (ЛцЛ^)

с той же точностью, с какой Р и Q аппроксимируются операто-
рами ВГПЛЧ и ЛПВГП (см. теорему 2.4).

При помощи матричной техники, использованной в доказа-
тельстве теоремы 2.4, можно несколько улучшить и оценку (2.39).

2.7.	Апостериорный выбор параметра по невязке. Если
/еЗ?(Л), то для приближения (2.8) в условиях (2.3) — (2.7)
имеем

lim И Лпиг —	+ u, = A+f

/->00

(см. гл. IV, п. 3.1). Параметр г можно апостериорным образом
подобрать, так, чтобы

1Ич«г—М = Чб + 11«.1Н), Й>1	(2.41)

или

11Л„мг—М = 6(6+||цг||п), ь>1.	(2.42)

Будем смотреть на b как на параметр, который можно менять.
Это позволяет на основе формулируемой ниже теоремы судить о
точности приближения иг при разных г, соответствующих разным
уровням невязки. Кроме того, это позволяет перенести различие
||ы.|| и ||«г|| в Ь. Точные формулировки проводим для принципа
невязки в форме (2.41), но сказанное позволяет судить и о точ-
ности приближений, найденных по принципу невязки в практи-
ческой форме (2.42).

Подчеркнем, что привлечение принципа невязки возможно
безо всякой информации о р и без вычислений его приближения
рп. Тем не менее, как показывает сравнение доказываемой ниже
теоремы с теоремами 2.1 и 2.2, принцип невязки выдает значе-
ние г=г(б,т]), при котором приближение иг по точности срав-
нимо с точностью, достигаемой априорным выбором г при извест-
ных р или рп.

Теорема 2.5. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.7),
/е5?(Л), 6>р(р—т])-1. Пусть параметр г=г(6,т]) в приближе-
нии (2.8) подобран так, что выполнено (2.41). Тогда

II Ur - A+f ||< {(b + 1 + en) 6 + (b + 2 + M IIЛ+fIIЛ}/(H - n).

(2.43)
где

Sn = VVpP [b — p (p — пГТ17" hl (P — nf1]1-17'’;	(2.44)

если (2.6) выполнено с р>1, то ел->0 при т,->0.

Доказательство. Из (2.41) следует, что

|](ЛщЛц)^' Рц (иг — и,) || —1| Рц (ЛцЛщ)/’ (ur и,) ||

II (АпЛт))7"2 (иг — U.) || = || Лк] (tlr — U,) ||	II ЛцИг — /б II 4-

4-lfo-ЛП«.|К(Ь+ i)(6+h.h)>
поэтому

II Рп (Ur - «,) IK (н - л) 1 (b + 1) (6 +1| и, II п).	(2.45)

Из (2.13) рассуждениями, проведенными при доказательстве тео-
ремы 2.1, получаем

|| (/ — Рп) («г — «,) |К (И — П)'1 ПII«. II + ТП (6 +11 и, || л).	(2.46)

Остается оценить г=г(6,т]). В основу положим равенство

Л^Иг — [б — — (I — A-^A^gr (Л^Лт])) /а = — Кгп/а.

Мы учли, что ЯГ(ЛП*ЛП)Лп*=Лп‘^г(ЛлЛп*) (см. лемму 3.1 гл. II).
Переписав это равенство в виде

An^Ur — == Кп\ (Aj}Ut — /в) Kri]An]P^ut — ^С-цЛц (/ — Д4)2 Put>
на основе (2.41) и выкладок, аналогичных проведенным при
доказательстве теоремы 2.1, находим

b (6 +1| и, || п) (& +1| и, || т}) + (р —	|| и. 1| 4-

+ п2(н —п)"1||«.||'.

или

(b — 1) (6 +1| и, || ц) — г]2 (р — т])-11| и, || < (р — т])1-2р?рг-р ||и. ||.
Отбросив в левой части положительный член (6—1)6 и разде-
лив на ||«Д1. получаем

[6—р(р—

0 г4уУ₽^-Н(Н-П)1]’1/Р(Н-ПГ2+‘/'’т1/'’.	(2-47)

Из (2.45) — (2.47) следует оценка (2.43), (2.44). Теорема 2.5 до-
казана.

Аналогичный результат справедлив и для приближения urt
если fsS?(A). Случай произвольного feF обсуждается в следую-
щем пункте.

2.8.	Использование второй невязки. По лемме 3.1 гл. III для
приближения (2.9) при условиях (2.10) имеем ||Ап*(Апйг—МН->Д
при г->-оо.

Теорема 2.6. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.7),
и пусть параметр r = r(6, г]) в приближении (2.9) подобран

Pn(A«r-WII = Hl^h. Ь>\.	(2.48)

Тогда

|й.-Л7|<,'+,;)6||+Д+1!;)|Л,'1'1 +

+ + + 49

(и - ц)2
где

= {ЙУР № - 1 Г1Л2₽) h (р - л) 111~1/Р}2.	(2-50)

е^=е^(ц — ц)-1ц->-0 при ц->0;	(2.51)

если (2.6) выполнено с р>1, то е/->0 при ц->0.

Доказательство. Из (2.48) следует, что

II Qn (Л«г — /а) II (и — пГ1 ь || /в || п-

Поскольку Au„ = Qf, то для

(fe AqW*) = On (fe — f) H* On M — АО и, + Qu (/ — Q) f

при помощи (1.12) находим

HQn(fe — AA)ll^ + ll«.h + (H — nPnllf — Qfll-

На основании двух последних неравенств

|| QnA (йг - u.) || < 6 +1| mJ| ГЦ- (p - г])'1 (b || fe || +1| f - Qf ||) n.

Отсюда с учетом равенства Q„An(ur—м ) =А^РУ)(ит—и ) получаем
оценку

Рл («/• — «.) || ^ (р — ц)'1 (5 +1| ««h) + (Р-— П)’2 (t> || fe II +

+ llf —QflDn-	(2.52)
Далее из (2.14) повторением некоторых деталей доказательства
теоремы 2.1 находим

II (/ — /%) (иг — м.) II < (р. — Т])’1 Т] II и, || + У2Г2Т13 (6 + II и, || я) +

+ M2ll/-Qfh.	(2.53)

Оценим г=г(6, т]). Имеем (см. обозначение (2.15))

Лп (Ац11г —	— Kn\At\fs,

Ап (At]tir — f&)~ — Krt\PriA-rifa — К.п\ (I — Рц) A/e-
Отсюда в силу (2.48) и (2.6)

(b II /б II < < ((н - п)1’2^ II f6 II)2 + (п IIЛII)2,

что дает оценку

г < х1'р (&2 - 1Г1/(2Р) (р - 11)-2+l/V/p.

(2.54)

Из (2.52) — (2.54) следует оценка (2.49) — (2.51). Теорема 2.6
доказана.

3.	Конкретизация результатов для метода А. Н. Тихонова
и итерационных методов

3.1.	Приложение к методу А. Н. Тихонова. Метод А. Н. Тихо-
нова соответствует функциям

gr(K) = (а+Х)-1, ос = г-1,

для которых условия (2.5) — (2.7) выполнены с р=1, y=l,Yi = l;
в (2.10) у( = 2. При р>1 условие (2.6) нарушено. Приближения
(2.8), (2.9) и (2.37) имеют вид

На == (ос/ 4* ArjAj) 1 Лп/s, иа = (ос/ -j-ЛцЛ^) 1 АцАцИа,

Ban (а^ 4- ЛпЛп) 1 Лп, Ban = ВапЛпВси,.

Непосредственным следствием из теорем 2.1 и 2.3 — 2.6 является
следующий результат.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.4).

Тогда при a=pnr] (а также при а=рц) справедливы оценки

II««—Л7И < — -1 + ^2) 11 A+fi п , f е <# (Л),	(3.1)

р. ц

fef, (3.2)

н - п	(н — п)2

IIВ - Л+II <1L±2I^ п 3’387	, .

||Вап л ||^	П~(и_п)2П,	(3.3)

||ВапЛп-Р||<-^3—, ||ЛпВап —Q||<—.	(3.4)

(р — И)	р — П
Если f<=&(A) и а определено так, что

\\A^ua — f&\\ = b((> + \\A+f^}),	—|х(ц--т1Г1>0,	(3.5)

то

„ Л+п^ (1 + ь + <)б + (2 + *+

||мя-Л7К--------!—— -------------!--	<3-6)

Если fef произвольно и а таково, что
|| Лт| (Arfta — /б) || — b || f 6 || Т), b > 1,
то

, + «(»-

J-----------------------------П

(И ~ П)2

(3.7)

(3.8)

где e„=4(b2—1) 1(р—'п) Ч

В (3.5), (3.6) Сц-*-Ь—1 при т)—И). Ориентируясь на это пре-
дельное значение и минимизируя оценку (3.6) по Ь, получаем,
что для принципа невязки (3.5) можно рекомендовать значе-
ние Ь = 2.

3.2.	Случай итерированного варианта метода А. Н. Тихонова.
Зафиксируем натуральное число т^2 и по начальным прибли-
жениям но,а = О, гго,а = О вычислим т итераций

Un,a =(ос/ -I- ЛцЛ^) 1 (aun-i,a 4* Лц/б), п= 1, • • . > tn, (3.9)

Un,a == (®7 ЛцЛг]) 1 (ciUn—i.a -|- АцАцЧта), 71=1,... ,777. (3.10)

В качестве приближенных решений уравнения (2.1) принима-
ются ur = um a и йг=йт,а (г=а"1). Как известно из гл. II, эти зна-
чения представимы в виде (2.8), (2.9) с функцией

gr(K) = У -----2----== — 1---------!--- , Г = а1,

Д (a + X)'+1 Х L (1 +rX)m 1

для которой условия (2.5) — (2.7) выполнены с р = т, у = т,
ут=1; в 1.2.10) ут = 2. Приближения (2.37) имеют вид

т-1

Вщ ~	~ 2 а> (а^ 4“ Л^ЛцУ^^Л^,

7=2

В~   D<>n)  о(т>л п(т)
гЛ — £>a-ri — •Оа'ц/i'nOai).

Применимы теоремы 2.2 — 2.6. Ограничимся указанием оценок
при априорном выборе а.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.4). Тог-
да при

1

о-< e|/mfin тт11/"г. е!>0, 0<е2<1
для nr=nma и ВГП=В2?1) справедливы оценки (2.26) и (2.40),
а при

еТ’тщщ а < (s1/2)l/mp^-1/"!i-|1/"!, ех > 0, 0 < е2 < 1

для ггг = йт,а и Вгп=В^ справедливы оценки (2.28) и (2.39).

Судя по этим оценкам, итерированный вариант метода
А. Н. Тихонова несколько точнее неитерированного. Более су-
щественным является то обстоятельство, что параметр aXi)1/m
не надо брать столь малым, как в неитерированном варианте
(аХт)). Это позволяет увеличить устойчивость вычислений.

3.3.	Итерационные методы. Пусть g: [о,	— непрерыв-

ная функция, такая, что aZMAJ2 (0<т]<ц/2) и

0<g(X)<2/X (0<2.s5a).	(3.11)

Тогда

9(s)= max 11 — Xg(X)|< 1 Vse(O.a).	(3.12)

Обозначим еще

y= max g(A).	(3.13)

Введем оператор

Bn=g(An*An)An*	(3.14)

и построим итерации

«о = 0, Un = Un—i — (AfjUn—i — fe), ti = 1, ... , r,	(3.15)

u^ === 0, Un — Un—i B^ (A-qUn—i — A^Ur), tt — 1, . .. , r. (3.16)

Число итераций г примем за параметр регуляризации. Для но-
меров вида п = 2* итерации (3.15) и (3.16) можно легко вычис-
лить по схеме Шульца—Хотеллинга (см. гл. II, п. 4.4)

Ссп == g (AiAq), Ckr\ = Са-ьп (2/ — An>4), k = 1,2, ...,

(3.17)

Wn =	Un==	n = 2 , k = 1,2, ... .

(3.18)

При этом операторы

Bkt\ = Ckt\ Ап»	B/w = В hi}	(3.19)

Можно трактовать как аппроксимации к А+.

Наиболее распространенные итерационные методы соответ-
ствуют функциям

g(X) =y = const, 0<у<2/а,

и

g(X) = (а + Х)-1,	a=constZ>0,

"—это явная и неявная итерационные схемы, неоднократно об-
суждавшиеся в предыдущих главах. Для этих схем соответ-
ственно

0(s) =max {| 1—ys|, 11—уа|}

и

0(s) =a(a + s)_1.

По лемме 4.1 гл. II итерационные методы (3.15) и (3.16)
принадлежат классу методов (2.8) и (2.9), для которых усло-
вия (2.5) — (2.7) выполнены с любым р>0. Поэтому мы смогли
бы сразу дать переформулировку теорем 2.2 — 2.6 для итера-
ционных методов. Однако специфика методов позволяет уточ-
нить нижнюю границу тех г, при которых справедливы указан-
ные в теоремах 2.2 — 2.4 оценки.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (2.2) — (2.4) и
(3.11). Если г четно и (см. обозначения (3.12) и (3.13))

1п(е1ц^1ц)/1п0(ц?1) г ^ е2(6цпг])~1,	е1>0,0<е2^1, (3.20)

то при )&3?(Л) для итерационного приближения иг справедлива
оценка (2.26). Если г четно, fef и

In (fe1p^1-n/2)/ln 0 (ц^) й? г е2 Cwi)”1»	е1>0,0<е2< 1,

(3.21)
то для итерационного приближения йг справедлива оценка
(2.28). Если k таково, что для r=2ft выполнено (3.20), то для
Bkn справедливы оценки^ (2.40); если k таково, что для r=2h вы-
полнено (3.21), то для справедлива оценка (2.39).

На нечетные г утверждения о справедливости оценок (2.26)
и (2.28) распространяются при условии, что вместо (3.11) вы-
полнено неравенство

0<g(X)^lA (Os^^a).	(3.22)

Доказательство. Методы (3.15), (3.16) и (3.17), (3.19),
как уже отмечалось, укладываются в рамки методов (2.8), (2.9)
и (2.37) с функцией

gr(X) = Y (l~W))'g(X) = -L[l_(l_Xg«],

J=0

г =1,2,3.....

Условие (2.5) для gr(h) выполнено с постоянной у, определен-
ной в (3.13); условие (2.6) тоже выполнено при всех р>0 (см.
лемму 4.1 гл. II), но ниже это не используется. Из равенства

1—ШМ = (1—W))3 г=1,2,3,...

видим, что при четных г выполнено и условие (2.7); при нечет-
ных г оно выполнено при усиленном условии (3.22). Отсюда же
видим,что

max |l-Xgr(X)| = [0(s)]r.	(3.23)
Из равенства

1 - Kgr (X) = 1 - X2g? (X) = 2 (1 - Kg (K))r -(I-Kg (K))2r

с учетом возрастания функции 2x—x2 на [0, 1] получаем также,,
что

max 11 — K~gr (К) | = 2 [0 (s)]r - 10 (s)f =S= 2 [0 (s)lr.	(3.24}

Используя (3.23) и (3.24), оценим в (2.29) заново

II P^vr || sC {[0 (Hn)f +	IIu, II»

II P^r || < {2 [0 (nn)f + нч’п} II и. II;

заметим, что нижнее ограничение на г в (3.20) подобрано из
условия [0(цл2) ] г^е1цл“1т]. Нормы || (/—Рл)цг|| и Ц (/—Ря)г»гЦ
оцениваем по-прежнему. В результате при г, указанных в (3.20)
и (3.21), для vT и vr снова получаем оценки (2.32) и (2.33). Не
изменятся и другие детали доказательства теоремы 2.2, и мы
приходим к оценкам (2.26) и (2.28). Оценки (2.39), как уже от-
мечалось, являются непосредственным следствием из оценки
(2.28). Наконец, при доказательстве оценок (2.40) заметим, что
в данном случае

II Р^Кп\Р\\ [0 (ц?|)]г ех (р — цГ1 ip,

другие детали доказательства теоремы 2.4 не изменятся. Тео-
рема 3.3 доказана.

В соответствии с (3.20) и (3.21) минимальное количество ите-
раций (3.15) или (3.16), достаточное для достижения точности
(2.26) или (2.28), имеет порядок гХ | In(е^) |; минимальное ко-
личество операторных итераций (3.17), достаточное для дости-
жения точности (2.39) и (2.40), имеет порядок ^Xlog2|ln(e1r]) |.

Нетрудно переформулировать на случай итерационных мето-
дов (3.15) и (3.16) и теоремы 2.5 и 2.6 об апостериорном выборе
момента останова г. Величины ел, е/ и е" в оценках (2.43) и
(2.49) будут иметь порядок елХг1|1пт11> е/Хт]2(1п т])2,
е/'Х-г^Опт])2.

Результаты без труда распространяются и на непрерывный
аналог итерационных методов и прочие конкретные методы, рас-
смотренные в гл. II.

3.4.	Случай неограниченного оператора. Результаты данной
главы остаются в силе и в случае неограниченных замкнутых
плотно определенных операторов Д, Д„: Т/-»-/7, таких, что опера-
тор Ди—А ограничен и подчинен условию (2.4); условия (2.5) —
(2.7) и (3.11) считаются выполненными с а = оо. Вместо (2.4) и
ограниченности Дл—А можно ввести более естественные для не-
ограниченных операторов условия

ц дпм—|| ^ ц (|| и || +1| Ди ||),	и^а)(А) = з)(А^с:н,

II д;2 - A*z II Т] (IIz II +11 A*z II),	2 е 3) (А') = % (А^ с F,

йо в таком случае структура констант в оценках погрешности не-
сколько изменится.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

А. Н. Тихонов и М. М. Лаврентьев свои методы регуляризации
предложили и в случае приближенно заданной правой части
обосновали в [71, 50]. В. К- Иванов [41] предложил и обосновал
метод квазирешений, который в простейшем случае равносилен
методу А. Н. Тихонова со специальным выбором параметра
регуляризации, обеспечивающим слабую сходимость прибли-
жений.

Наиболее полная литература имеется о методе А. Н. Тихоно-
ва. Особо выделим работы В. К- Иванова [42] и В. А. Морозова
[56—59], положивших начало изучению принципа невязки для
метода А. Н. Тихонова. Затем эта тематика изучалась в работах
[8, 10, 34, 35]; отметим также недавние работы [3, 40, 73, 79].
Принцип невязки для метода А. Н. Тихонова к настоящему вре-
мени всесторонне изучен, рассмотрены задачи в банаховых про-
странствах, нелинейные задачи, различные модификации прин-
ципа. Следует отметить, что в литературе понятие «принцип не-
вязки» трактуется неоднозначно.

Немало работ имеется и по методу итераций для некоррект-
ных задач. В [89, 77, 46, 68] он исследован в случае точных дан-
ных для линейной задачи, в [50]—в случае неточных данных;
принципу невязки останова итераций посвящены работы [8, 10,
39, 40, 18]. Перечисленные работы затрагивают явную итераци-
онную схему. Неявная итерационная схема на уровне априорно-
го задания числа итераций исследовалась в [56, 90, 49]. В [93]
введена более общая итерационная формула (3.4) гл. II. Прин-
цип невязки для такого класса итерационных методов подробно
исследован в [19—22], частично в рамках более общего класса
методов, описанных в разд. 3 гл. II. В частности, выяснилось,
что итерационные методы с остановом по принципу невязки оп-
тимальны по порядку на всех классах истокопредставимых ре-
шений р>0, р>0. Некоторые свойства оптимальности
для индивидуальной задачи при останове по невязке выявлены
в [63].

В последнее время выполнен ряд интересных работ [84—86,
2,32, 33, 75, 64, 65, 61, 27] по нестационарным и нелинейным ите-
рационным методам, которые не вошли в рамки данной книги;
в частности, обоснован принцип невязки для ряда таких мето-
дов. Итерационные методы для нелинейных задач исследованы
в [15, 12, 4, 26] и ряде других работ; они тоже остались вне поля
зрения данной книги.

Идея построения регуляризаторов некоректно поставленных
задач как некоторых функций от оператора решаемого уравне-
ния выдвинута в работах А. Б. Бакушинского [6—11] (см. также
[81—83]). В [8, 10, 13, 16] изучен и принцип невязки, но выбор
параметра осуществляется на завышенном уровне невязки, пор-
тящем оптимальный порядок метода.

Изложение гл. !!•—IV данной книги следует работам [20—
22]. В этих работах, в частности, введены условия (3.1), (3.2)
гл. II и выявлена ведущая роль квалификации метода при обос-
новании принципа невязки, а также выделен подкласс методов
(см. п. 3.3 гл. II), позволяющий обосновать этот принцип на кри-
тическом уровне невязки. Утверждения типа леммы 4.1 и теоре-
мы 4.2 гл. III для метода А. Н. Тихонова и явной итерационной
схемы были ранее получены в работе И. В. Емелина, М. А. Крас-
носельского [40]. Элементарная теорема 3.5 гл. I и ее приложе-
ния к анализу оптимальности методов регуляризации в ослаб-
ленных нормах приведены в [25]. С помощью теоремы 3.7 гл. I
эти результаты без труда переносятся и на случай приближенно
заданного оператора. Об оптимальном выборе параметра в ме-
тоде А. Н. Тихонова см. работу Л. А. Агеева [1]. Другой опти-
мальный алгоритм построен в [67].

В работах [82, 83, 92] исследован класс методов в условиях
точно заданных правой части и оператора. Более полный набор
подобных результатов следует из теорем 5.1 и 5.2 гл. II.

Устойчивость метода итераций относительно малых детерми-
нированных помех — содержание разд. 4 гл. IV — обсуждалась
в [39, 40, 18]; операторная форма итераций проанализирована
в [54].

Сходимость по вероятности для итерационных процедур со
случайными ошибками в некорректных задачах исследовалась в
работах {28—31, 88]. Эти результаты в переработанном виде
излагаются в разд. 2 гл. V. Отметим близость методов разд. 3
гл. V к методам стохастической аппроксимации. В другой поста-
новке регуляризующие свойства некоторых алгоритмов типа
стохастической аппроксимации в некорректных задачах изуча-
лись в [14]. Идея метода статистического выбора параметра ре-
гуляризации, предлагаемого в разд. 4 гл. V, принадлежит
М. А. Красносельскому.

Долго считалось, что некорректные нормально разрешимые
задачи не допускают решения с точностью исходных данных
О(д + т])- Лишь в 1982 г. С. Джумаев [37] и В. А. Морозов,
С. Ф^Гилязов [60] показали, что для тихоновских приближений
иа и йа (см. обозначения разд. 3 гл. VI) справедливы оценки
||«а—A+f||^c (б + п) Для /&9?(А), ||йа—А+/||^с (6+т]) для лю-
бого fe/*; структура постоянной с ими не исследовалась. Гл. VI
представляет развернутое изложение заметок [23, 24], в которых
подобные результаты получены для класса методов с акцентом
на выяснение структуры постоянных. Отметим, что лемма 1.3
гл. VI была получена независимо в [23, 24] и [38]; мы предпо-
чли изложить элегантное доказательство С. Джумаева и Э. Му-
хамадиева, основанное на их лемме 1.2 гл. VI.

Более подробную библиографию по различным аспектам тео-
рии и методов регуляризации некорректных задач можно найти
в монографиях [26, 43, 51, 52, 70, 72, 73, 76] и в обзорах [58, 74,
53]. В частности, нами осталась незатронутой проблема вычис-
ления значения неограниченного оператора на возмущенном
элементе. Об этой проблеме см. [43]; в [69] проведено сравне-
ние априорного и апостериорного выборов параметра регуляри-
зации.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Агеев А. Л. К вопросу о построении оптимального метода решения ли-
нейного уравнения I рода.— Изв. вузов. Математика, 1983, № 3, с. 67—68.

2.	Алифанов О. М., Румянцев С. В. Об устойчивости итерационных методов
решения линейных некорректных задач.— Докл. АН СССР, 1979, т. 248,
№ 6, с. 1289—1291.

3.	Альбер Я. И., Рязанцева И. П. Принцип невязки в нелинейных задачах
с монотонными разрывными отображениями — регуляризующие алгорит-
мы—Докл. АН СССР, 1978, т. 239, № 5, с. 1017—1020.

4.	Альбер Я. И., Рязанцева И. П. Вариационные неравенства с разрывными
монотонными отображениями.— Докл. АН СССР, 1982, т. 262, № 6,
с. 1289—1293.

5.	Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильберто-
вом пространстве. М.: Наука, 1966. 543 с.

6.	Бакушинский А. Б. Один общий прием построения регуляризующих ал-
горитмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом про-
странстве.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1967, т. 7, № 3,
с. 672—677.

7.	Бакушинский А. Б. Избранные вопросы приближенного решения некор-
ректных задач: (Тексты лекций). М.: Изд-во МГУ, 1968. 90 с.

8.	Бакушинский А. Б. К распространению принципа невязки.— Журн. вы-
числ. математики и мат. физики, 1970, т. 10, № 1, с. 210—213.

9.	Бакушинский А. Б. Замечания об одном классе регуляризующих алгорит-
мов.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, т. 13, № 6, с. 1596—
1598.

10.	Бакушинский А. Б. К обоснованию принципа невязки.— В кн.: Диффе-
ренциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут, ун-та,
1973, с. 117—126.

11.	Бакушинский А. Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения
линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами.— Изв. ву-
зов. Математика, 1978, № 11, с. 6—10.

12.	Бакушинский А. Б. К принципу итеративной регуляризации.—Журн. вы-
числ. математики и мат. физики, 1979, т. 19, № 4, с. 1040—1043.

13.	Бакушинский А. Б. Принцип невязки в случае возмущенного оператора
для общих регуляризующих алгоритмов.— Журн. вычисл. математики и
мат. физики, 1982, т. 22, № 4, с. 899—903.

14.	Бакушинский А. Б., Апарцин А. С. Методы типа стохастической аппрокси-
мации для решения линейных некорректных задач.— Сиб. мат. журн.,
1975, т. 16, № 1, с. 12—18.

15.	Бакушинский А. Б., Поляк Б. Т. О решении вариационных неравенств.—
Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 5, с. 1038—1041.

16.	Бакушинский А. Б., Сизиков В. С. Некоторые нестандартные регуляризую-
щие алгоритмы и их численная регуляризация.— Журн. вычисл. матема-
тики и мат. физики, 1982, т. 22, № 3, с. 532—539.

17.	Вайникко Г. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Тарт, ун-т, 1976.
162 с.

18.	Вайникко Г. М. Оценки погрешности метода последовательных прибли-
жений для некорректных задач.— АиТ, 1980, № 3, с. 84—92.

19.	Вайникко Г. М. Принцип невязки для класса итерационных методов.—
В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения. Новоси-
бирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 19—28.

20.	Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных
задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Тарт, ун-т, 1982, ПО с.
21.	Вайникко Г. М. Принцип невязки для одного класса регуляризациоииых
методов.— Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1982, т. 22, № 3,
с. 499—515.

22.	Вайникко Г. М. Критический уровень иевязки в методах регуляризации,—
Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1983, т. 23, № 6, с. 1283—1297.

23.	Вайникко Г. М. Об оптимальной регуляризации нормально разрешимых
задач.— В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных за-
дач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 23—29.

24.	Вайникко Г. М. Аппроксимация псевдообратного оператора.— В кн.: Ме-
тоды решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Таллин: Вал-
гус, 1984, с. 11 —14.

25.	Вайникко Г. М. Об одном классе методов регуляризации при наличии
априорной информации о решении.— Учен. зап. Тарт, ун-та, 1984, вып. 672,
с. 3—8.

26.	Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
400 с.

27.	Васин В. В. Проекционно-итерационные методы регуляризации линейных
некорректных задач.— Методы решения некорректных задач и их прило-
жения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 38—46.

28.	Веретенников А. Ю. О методе задачи Коши в некорректных задачах при
случайных помехах.— Учен. зап. Тарт, ун-та, 1984, вып. 672, с. 10—15.

29.	Веретенников А. Ю. Об итерационных методах в некорректных задачах
при случайных ошибках.— АиТ, 1984, № 12, с. 34—39.

30.	Веретенников А. Ю., Красносельский М. А. Регуляризация некорректных
задач остановом в условиях случайных ошибок.— В кн.: Численное реше-
ние краевых задач и интегральных уравнений. Тарту: Тарт, ун-т, 1981,
с. 79—81.

31.	Веретенников А. Ю-, Красносельский М. А. Регуляризующие правила
останова в условиях случайных ошибок.— Докл. АН СССР, 1983, № 3,
с. 521—524.

32.	Гилязов С. Ф. Об оценках скорости сходимости итерационных методов
решения линейных операторных уравнений.— В кн.: Численный анализ на
Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1976, вып. 14, с. 97—101.

33.	Гилязов С. Ф. Устойчивое решение линейных некорректных уравнений
методом наискорейшего спуска.— В кн.: Методы и алгоритмы в числен-
ном анализе. М.: Изд-во МГУ, 1981 ,с. 50—65.

34.	Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Обобщенный принцип не-
вязки.— Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1973, т. 13, № 2,
с. 294—302.

35.	Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. О применимости принципа ие-
вязки в случае нелинейных некорректных задач и о новом регуляризую-
щем алгоритме их реш’ения.— Журн. вычисл. математики и мат. физики,
1975, т. 15, № 2, с. 290—297.

36.	Данфорд И., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-
во иностр, лит., 1962. 895 с.

37.	Джумаев С. О приближённом вычислении псевдорешеиия.— Докл. АН
ТаджССР, 1982, т. 25, № 10, с. 584—587.

38.	Джумаев С., Мухамадиев Э. Об оптимальном выборе параметра регуля-
ризации для решения линейных систем с приближенными данными.—
В кн.: Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Тал-
лин: Валгус, 1984, с. 26—29.

39.	Емелин И. В., Красносельский М. А. Правило останова в итерационных
процедурах решения некорректных задач.— АиТ, 1978, № 12, с. 59—63.

40.	Емелин И. В., Красносельский М. А. К теории некорректных задач.—
Докл. АН СССР, 1979, т. 244, № 4, с. 805—808.

41.	Иванов В. К. О линейных некорректных задачах.—Докл. АН СССР, 1962,
т. 145, № 2, с. 270—272.

42.	Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого
рода.— Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1966, т. 6, № 6, с. 1089—
1094.

43.	Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных
задач. М.: Наука, 1978. 206 с.
44.	Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

45.	Колмогоров А. Н„ Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

46.	Красносельский М. А. О решении методом последовательных приближе-
ний уравнений с самосопряженными операторами.— Успехи мат. наук,
1961, т. 15, вып. 3, с. 161—165.

47.	Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближен-
ное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

48.	Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболев-
ский П. Е. Интегральные операторы в пространстве суммируемых функ-
ций. М.: Наука, 1966. 499 с.

49.	Крянев А. В. Итерационный метод решения некорректных задач..— Журн.
вычисл. математики и мат. физики, 1974, т. 14, № 1, с. 25—35.

50.	Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической
физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 92 с.

51.	Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шшиатский С. П. Некорректные за-
дачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

52.	Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач.
Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

53.	Лисковец О. А. Теория и методы решения некорректных задач.— В кн.:
Математический анализ: (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1982,
т. 20, с. 116—178.

54.	Минц А. Об устойчивости операторных итераций относительно погреш-
ности округления.— Учен. зап. Тарт, ун-та, 1984, вып. 672, с. 35—39.

55.	Менихес Л. Д. О регуляризуемости отображений, обратных к интеграль-
ным операторам.— Докл. АН СССР, 1978, т. 241, № 2, с. 282—285.

56.	Морозов В. А. О регуляризующих семействах операторов.— В кн.: Вычис-
лительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967, вып. 8,
с. 63—95.

57.	Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений
методом регуляризации.— Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1968,
т. 8, № 2, с. 295—309.

58.	Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.— В кн.: Ма-
тематический анализ: (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1973, т. 11,
с. 129—178.

59.	Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных за-
дач. М.: Изд-во МГУ, 1974, 359 с.

60.	Морозов В. А., Гилязов С. Ф. Оптимальная регуляризация некорректных
нормально разрешимых операторных уравнений.— В кн.: Методы и алго-
ритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ, 1982, с. 11—18.

61.	Морозов В. А., Гилязов С. Ф. Регуляризация условно-корректных опера-
торных уравнений методом сопряженных градиентов.— В кн.: Методы и
алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ, 1982, с. 19—28.

62.	Петунии Ю. И., Пличко А. Н. Теория характеристик подпространств и ее
приложения. Киев: Вища шк„ 1980. 216 с.

63.	Раус Т. О принципе невязки при решении некорректных задач.— Учен,
зап. Тарт, ун-та, 1984, вып. 672, с. 16—26.

64.	Саре Л. Одно семейство нелинейных итерационных методов для решения
некорректных задач.— Изв. АН ЭССР. Физика. Математика, 1982, т. 34,
№ 3, с. 261—269.

65.	Саре Л. Двухшаговые a-процессы и их применение для решения некор-
ректных задач.— Учен. зап. Тарт, ун-та, 1983, вып. 633, с. 41—49.

66	Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. М.: Наука,
1975. 232 с.

67.	Страхов В. И. О решении лииенйых некорректных задач в гильбертовом
пространстве.— Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 8, с. 1490—1495.

68.	Страхов В. Н. К вопросу о скорости сходимости в методе простой ите-
рации.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, т. 13, № 6,
с. 1602—1606.

69.	Страхов В. И. О выборе константы в правиле А. Н. Тихонова задания
параметра регуляризации при решении линейных условно-корректных за-
дач.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1981, т. 21, № 3, с. 1315.

70	Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.
157 с.

71.	Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач.— Докл.
АН СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49—52.

72.	Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. 2-е
изд. М.: Наука, 1979. 285 с.

73.	Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Я гола А. Г. Регуляри-
зующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 198 с.

74.	Тихонов А. Й., Морозов В. А. Методы регуляризации некорректно постав-
ленных задач.— В кн.: Вычисл. методы и программирование. Изд-во МГУ,
1981, вып. 35, с. 3—34.

75.	Трушников В. Н. Один нелинейный регуляризационный алгоритм и неко-
торые его применения.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1979,
т. 19, № 4, с. 823—829.

76.	Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками
в данных. Новосибирск: Наука, 1982. 189 с.

77.	Фридман В. М. Метод последовательных приближений для интегрального
уравнения Фредгольма I рода.— Успехи мат. наук, 1956, т. И, вып. 1,
с. 233—234.

78.	Ширяев А. И. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

79.	Ягола А. Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных
задач в рефлексивных пространствах.— Журн. вычисл. математики и мат.
физики, 1980, т. 20, № 3, с. 586—596.

80.	Balakrishnan V. Fractional powers of closed operators and the semi-groups
generated by them.— Pacific J. Math., 1960, vol. 10, p. 419—437.

81.	Engl H. W. Necessary and sufficient conditions for convergence of regula-
rization methods for solving linear operator equations of the first kind.—
Num. Funct. Anal, and Optimization, 1981, vol. 3, N 2, p. 201—222.

82.	Groelsch C. U7. On the rate of convergence for approximations to the ge-
neralized inverse.— Numer. Funct. Anal, and Ojtimization, 1979, vol. 1, N 2,
p. 195—201.

83.	Groelsch C. W. The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equa-
tions of the first kind.— In: Research Notes in Math. Boston etc.: Pitman,
1984, vol. 105. 104 p.

84.	Kammerer W. J., Nashed M. Z. Steepest descent for singular linear opera-
tors with nonclosed range.— Applicable Analysis, 1971, N 1, p. 143—159.

85.	Kammerer W. J., Nashed M. Z. On the convergence of the conjugate gra-
dient method for singular linear operator equations.— SIAM J. Numer.
Anal., 1972, vol. 9, N 1, p. 165—181.

86.	Kammerer U7. J., Nashed M. Z. Iterative methods for best approximate so-
lution of linear integral equations of the first and second kinds.— J. Math.
Anal, and Appl., 1972, vol. 40, N 3, p. 547—573.

87.	Kato T. Continuity of the map S->|S| for linear operators.—Proc. Jap.
Acad., 1973, vol. 49, N 3, p. 157—160.

88.	Krasnoselskii M. A., Emelin I. V., Veretennikov A. Ju. On regularization of
ill-pozed problems by stop-rules of iterative procedures with random er-
rors.— Numer. Funct. Anal, and Optimization, 1982, vol. 5, N 2, p. 199.

89.	Landweber L. An. iteration formula for Fredholm integral equations of the
first kind.— Amer. J. Math., 1951, vol. 73, p. 615—624.

90.	Martinet B. Determination approchee d’un point fixe d’une application pseu-
do-contractante. Cas de 1’application prox.— C. R. Acad. Sci., 1972, vol. 174.
N 2, p. 163—165.

91.	Melkmann A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in
Hilbert spaces from inaccurate data.— SIAM J. Numer. Anal., 1979, vol. 16,
N 1, p. 87—105.

92.	Poljak В. T. Iterative algorithms for singular minimization problems.—Non-
linear Programming, 1981, N 4, p. 147—166.

93.	Strand O. W. Theory and methods related to the singular function expansion
and Landweber’s iteration for integral equations of the first kind.—SIAM
J. Numer. Anal., 1974, vol. 14, p. 798—825.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Задача корректно поставленная 4

—	некорректно поставленная 5

—	нормально разрешимая 5

— регуляризуемая 7

— существенно некорректно постав-
ленная 5

Измеримость по Борелю 28

Истокопредставимость 13

Квазирешение 17

Квалификация метода 29

Классы методов регуляризации 28, 29,
32

Мартингал 132

Метод асимптотически оптимальный 8

— асимптотически 51-оптимальпый 11

—	оптимальный 8

—	Я-—оптимальный 11

—	оптимальный по порядку 8

— 81 — оптимальный по порядку 11

Метод А. Н. Тихонова 20

----’итерированный вариант 20

Метод задачи Коши 24

Метод итераций 23, 34, 36, 37

----непрерывный аналог 24

----неявная схема 24

---операторная форма 41

---- явная схема 24

Метод М. М. Лаврентьева 19

----итерированный вариант 19

---- модификации 22

Метод спектральной срезки 33

Наибольшее отклонение 8, 11

Неравенство моментов 13

— Колмогорова 126

Нормальное решение 17

Полярное разложение 35

Порождающая система функций 29

------итерированных вариантов ме-
тодов А. Н. Тихонова и М. М. Лав-
рентьева 21

------ методов А, Н. Тихонова и
М. М. Лаврентьева 33

------класса итерационных методов
21

----- — модификации метода М. М.
Лаврентьева 26, 37

—-----непрерывного аналога итера-

ционных методов 22

------неявной итерационной схемы
27

------явной итерационной схемы 26

Принцип невязки 48

-----критический уровень 75

----правило выбора параметра 65,
104, 105

-----правила останова итераций 65,
104—106, 134

Псевдообратный оператор 17

Псевдорешение 17

Регуляризатор 7

31 — регуляризатор 7

Решение в смысле наименьших квад-
ратов 17

Симметризация Гаусса 16

Супермартингал 132

Сходимость в среднем квадратичном
127

— по вероятности 127

Теорема Банаха—Штейнгауза 43
ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ................................................ 3

Глава 1

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
И ИХ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ......................................... 4

1.	Некорректно поставленные задачи......................... 4

2.	Регуляризатор некорректно поставленной задачи ....	6

3.	Оптимальные и оптимальные по порядку методы	....	8

4.	Случай класса истокопредставимых	решений..................13

Глава 2

КЛАСС МЕТОДОВ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ.........................................16

1.	Методы М. М. Лаврентьева н А. Н. Тихонова и их итерирован-
ные варианты...............................................16

2.	Простейшие итерационные методы..........................23

3.	Класс методов регуляризации.............................28

4.	Класс итерационных методов..............................36

5.	Сходимость приближенных методов в случае точных данных 42

Глава 3

ЗАДАЧА С ПРИБЛИЖЕННОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ........................48

1.	Априорный выбор параметра регуляризации (теоремы сходимо-
сти и элементарные оценки).................................48

2.	Анализ оптимальности методов............................54

3.	Апостериорный выбор параметра регуляризации (принцип не-
вязки) ....................................................64

4.	Критический уровень невязки ........................... 75

5.	Оптимальность по порядку в ослабленных нормах ....	82

Глава 4

ЗАДАЧА С ПРИБЛИЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ...........................89

1.	Оценки разности степеней операторов.....................90

2.	Априорный выбор параметра регуляризации.................97

3.	Апостериорный выбор параметра..........................103

4.	Помехоустойчивость итерационных методов................117
Глава 5

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК 125

1.	Некоторые сведения из теории вероятностей.............125

2.	Помехоустойчивость при случайных возмущениях: сходимость
по вероятности...........................................133

3.	Сходимость в среднем квадратичном.....................145

4.	Статистический подход к выбору параметра регуляризации 148

Глава 6

НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ..............................152

1.	Возмущение операторов, имеющих замкнутую область значений 153

2.	Регуляризация нормально разрешимых задач..............157

3.	Конкретизация результатов для метода А. Н. Тихонова и
итерационных методов.....................................167

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ..............................172

ЛИТЕРАТУРА...............................................175

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ....................................179
Геннадий Михайлович ВАЙНИККО

Александр Юрьевич ВЕРЕТЕННИКОВ

ИТЕРАЦИОННЫЕ

ПРОЦЕДУРЫ

В НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧАХ

Утверждено к печати

ордена Ленина Институтом проблем
управления АН СССР

Редактор издательства

А. А. Боровая

Художник

Б. К. Шаповалов

Художественный редактор

Н. А. Фильчагина

Технический редактор

Л. И. Куприянова

Корректор

Р. 3. Землянская

ИБ № 31438

Сдано в набор 06.12.85

Подписано к печати 14.03.86

Т-00074. Формат 60X90’/ie

Бумага кн.-журнальная

Гарнитура литературная

Печать высокая

Усл. печ. л. 11,5. Усл. кр. отт. 11,63. Уч.-изд. л.

Тираж 2850 экз. Тип. зак. 4706. Цена 1 р. 20 к.

Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»

117864 ГСП-7, Москва В-485,

Профсоюзная ул., 90.

2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

«НАУКА»

ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ КНИГИ:

Бримкулов У. Н., Круг Г. К., Саванов В. Л.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
СЛУЧАЙНЫХ полей и процессов

10 л. — 1 р. 50 к.

В книге рассматриваются вопросы планирования и анализа эксперимен-
тов, когда объектами исследования являются случайные поля и процес-
сы. Такими объектами могут быть, например, пространственно-времен-
ные случайные океанографические, метеорологические, радиотехнические
поля и другие стохастические объекты. Излагаются методы оценивания
характеристик случайных полей и процессов, оптимального планирова-
ния экспериментов и численные процедуры построения оптимальных
планов.

Для специалистов, занимающихся планированием экспериментов и
статистической обработкой данных.

кибернетика.

МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРЫ В ИГРАХ И ЗАДАЧАХ
10 л.

В сборнике рассказывается об играх и задачах, которые приобрели осо-
бый интерес в связи с вторжением в нашу жизнь микрокалькуляторов.
Подбор задач обеспечивает последовательное изучение возможностей
современных микрокалькуляторов. Статьи сборника — своеобразная
школа программирования, дающая читателю «вторую грамотность», при-
вивающая навыки, необходимые каждому, кто пользуется микрокаль-
куляторохм и готовится к работе с персональными ЭВМ.

Для широкого круга читателей, интересующихся развитием совре-
менной науки.