Author: Вабищевич П.Н. Самарский А.А
Tags: математика физика математическая физика термодинамика теплофизика издательство урсс
ISBN: 5-354-00234-6
Year: 2003
Text
А.А. Самарский
П.Н.Вабищевич
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Москва. 2003 УРСС
ББК 22.18, 22.19, 22.311, 22.317
Настоящее издание осуществлено при финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 00-01-14001)
Самарский Александр Андреевич, Вабищевич Петр Николаевич
Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.
ISBN 5-354-00234-6
Книга посвящена методам исследования проблем теплопередачи современ-
современными численными методами. Описаны основные подходы к аналитическому
исследованию математических моделей теплопередачи традиционными средства-
средствами прикладной математики. Рассматриваются численные методы приближенного
решения стационарных и нестационарных многомерных задач теплопроводно-
теплопроводности. Большое внимание уделяется задачам с фазовыми превращениями, задачам
термоупругости и теплообмена излучением; процессам тепло- и массопереноса.
бсуждаются проблемы управления и оптимизации тепловых процессов. Рассмо-
Рассмотрены вопросы численного решения обратных задач теплообмена. Приведены
примеры решения различных двумерных задач теплопередачи с программами для
ЭВМ.
Книга расчитана на студентов и аспирантов факультетов прикладной мате-
математики вузов, специалистов по прикладному математическому моделированию.
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 15.12.2002 г.
Формат 60x90/16. Тираж 800 экз. Печ. л. 49. Зак. N° 168
Отпечатано в ГУП «Облиздат». 248640, г. Калуга, пл. Старый Торг, 5.
ISBN 5-354-00234-6
© А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, 2002
© Едиториал УРСС, 2002
ИЗДАТЕЛЬСТВО У X \w^ У^>
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Internet: http://URSS.ru
Тел./факс: 7 @95) 135-44-23
Тел./факс: 7 @95) 135-42-46
958-ID 1431
785354 002344
Оглавление
Предисловие 15
Глава 1. Введение 20
1.1. Математическое моделирование 20
1.2. Применение компьютеров при математическом моделировании . 22
1.3. Вычислительный эксперимент 27
1.4. Численное моделирование процессов теплопередачи 32
Глава 2. Математические модели теплофизики 35
2.1. Теплопроводность твердых тел 36
2.1.1. Уравнение теплопроводности 36
2.L2. Криволинейные ортогональные системы координат .... 38
2.1.3. Анизотропные среды 39
2.1.4. Гиперболическое уравнение теплопроводности 40
2.1.5. Задачи 40
2.2. Замыкающие соотношения 41
2.2.1. Начальные и краевые условия 41
2.2.2. Условия сопряжения 44
2.2.3. Прямые и обратные задачи для уравнения
теплопроводности 46
2.2.4. Задачи оптимизации 48
2.2.5. Задачи 49
2.3. Фазовые превращения 50
2.3.1. Классическая задача Стефана 50
2.3.2. Обобщенная формулировка задачи Стефана 52
2.3.3. Квазистационарная задача Стефана 53
2.3.4. Фазовые переходы в многокомпонентных средах 53
2.3.5. Задачи 55
2.4. Конвективный теплообмен 56
2.4.1. Уравнения Навье—Стокса 56
2.4.2. Двумерные течения 58
2.4.3. Свободная конвекция 60
2.4.4. Другие модели 61
2.4.5. Задачи 63
2.5. Тепловое излучение твердых тел 64
2.5.1. Основные положения теплообмена излучением 64
2.5.2. Граничные задачи теплообмена с учетом излучения 65
2.5.3. Теплообмен между телами 66
2.5.4. Задачи 67
2.6. Термоупругость 68
2.6.1. Основные уравнения термоупругости 68
2.6.2. Специальное представление уравнений Ламе 70
2.6.3. Плоские задачи 70
2.6.4. Тонкие пластины 71
2.6.5. Задачи 72
Оглавление
2.7. Библиография и комментарий 73
2.7.1. Общие замечания 73
2.7.2. Литература 73
Глава 3. Аналитические методы теплопроводности 74
3.1. Безразмерный анализ 75
3.1.1. Общие соображения и модельная задача 75
3.1.2. Обезразмеривание задачи 76
3.1.3. Параметрический анализ задачи 77
3.1.4. Задачи 78
3.2. Аналитические решения линейных задач 79
3.2.1. Метод разделения переменных 79
3.2.2. Метод функций Грина 82
3.2.3. Интегральные преобразования 83
3.2.4. Задачи 85
3.3. Точные решения нелинейных задач 86
3.3.1. Функциональные преобразования нелинейных задач .... 86
3.3.2. Преобразования независимых переменных 88
3.3.3. Общие преобразования 90
3.3.4. Задачи 90
3.4. Асимптотические методы теплопроводности 92
3.4.1. Регулярный режим теплопроводности 92
3.4.2. Методы возмущений 94
3.4.3. Распространение тепла в тонких телах 96
3.4.4. Теплопроводность композиционных материалов 98
3.4.5. Задачи 99
3.5. Библиография и комментарий 101
3.5.1. Общие замечания 101
3.5.2. Литература 101
Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности 102
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. . 103
.1. Линейное стационарное уравнение теплопроводности ... 103
.2. Принцип максимума 105
.3. Задачи стационарной теплопроводности
в гильбертовом пространстве 106
.4. Априорные оценки в гильбертовых пространствах 109
1.5. Задачи ПО
4.2. Построение разностных схем 111
4.2.1. Приближенное решение краевых задач 111
4.2.2. Основные понятия теории разностных схем 113
4.2.3. Простейшие разностные операторы 115
4.2.4. Метод непосредственной аппроксимации 118
4.2.5. Консервативные схемы 123
4.2.6. Интегро-интерполяционный метод 125
4.2.7. Разностные схемы метода конечных элементов 128
4.2.8. Разностные схемы повышенного порядка
аппроксимации 131
4.2.9. Задачи 133
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 135
4.3.1. Каноническая форма разностного уравнения 135
4.3.2. Принцип максимума 136
4.3.3. Однозначная разрешимость разностных задач 138
4.3.4. Теоремы сравнения 140
Оглавление
4.3.5. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле . . 142
4.3.6. Третья краевая задача 143
4.3.7. Задачи 145
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве . . . 147
4.4.1. Уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве . 147
4.4.2. Некоторые разностные соотношения 150
4.4.3. Априорные оценки и сходимость разностной
задачи Дирихле 152
4.4.4. Неравномерные сетки и разрывные коэффициенты 156
4.4.5. Граничные условия третьего рода 159
4.4.6. Задачи 162
4.5. Прямые методы решения сеточных уравнений 164
4.5.1. Методы решения систем линейных уравнений 164
4.5.2. Метод прогонки 166
4.5.3. Двумерная задача 167
4.5.4. Метод разделения переменных 169
4.5.5. Задачи 171
4.6. Итерационные методы линейной алгебры 173
4.6.1. Основные понятия 173
4.6.2. Метод простой итерации 175
4.6.3. Чебышевский набор итерационных параметров 176
4.6.4. Метод переменных направлений 176
4.6.5. Двухслойные методы вариационного типа 178
4.6.6. Метод сопряженных градиентов 179
4.6.7. Задачи 180
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 181
4.7.1. Разностная задача стационарной теплопроводности 181
4.7.2. Двухслойный итерационный метод 182
4.7.3. Диагональный оператор В 184
4.7.4. Треугольные итерационные методы 188
4.7.5. Попеременно-треугольные методы 190
4.7.6. Задачи 197
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 198
4.8.1. Криволинейные ортогональные координаты 198
4.8.2. Нерегулярные сетки 201
4.8.3. Метод фиктивных областей 204
4.8.4. Методы декомпозиции без наложения подобластей 207
4.8.5. Методы декомпозиции с наложением подобластей 211
4.8.6. Задачи 215
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 216
4.9.1. Краевая задача для квазилинейного уравнения 216
4.9.2. Разностные схемы 218
4.9.3. Сходимость простейшей разностной схемы 219
4.9.4. Итерационное решение нелинейной сеточной задачи ... 221
4.9.5. Сходимость итерационных методов 223
4.9.6. Задачи 225
4.10. Библиография и комментарий 227
4.10.1. Общие замечания 227
4.10.2. Литература 229
Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности 231
5.1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка . 232
5.1.1. Линейное нестационарное уравнение теплопроводности . 232
Оглавление
5.1.2. Принцип максимума 234
5.1.3. Операторная формулировка задач нестационарной
теплопроводности 235
5.1.4. Задачи 237
5.2. Разностные схемы для нестационарных задач 238
5.2.1. Многослойные разностные схемы 238
5.2.2. Каноническая форма двух- и трехслойных
разностных схем 239
5.2.3. Устойчивость двухслойных разностных схем 240
5.2.4. Связь устойчивости по правой части с устойчивостью
по начальным данным 241
5.2.5. Запись трехслойной схемы в виде двухслойной 243
5.2.6. Сходимость разностных схем для нестационарных задач . 244
5.2.7. Задачи 245
5.3. Равномерная сходимость разностных схем для уравнения
теплопроводности 246
5.3.1. Разностные схемы для уравнения теплопроводности .... 246
5.3.2. Погрешность аппроксимации схем с весами 248
5.3.3. Принцип максимума 249
5.3.4. Сходимость разностной схемы 250
5.3.5. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности ... 252
5.3.6. Задачи 253
5.4. Теория устойчивости разностных схем 255
5.4.1. Необходимые и достаточные условия устойчивости 255
5.4.2. р-устойчивость разностных схем 257
5.4.3. Устойчивость по правой части 258
5.4.4. Устойчивость трехслойных разностных схем 260
5.4.5. р-устойчивость трехслойных схем 262
5.4.6. Устойчивость трехслойных схем по правой части 264
5.4.7. Задачи •. . . 264
5.5. Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения
теплопроводности 266
5.5.1. Устойчивость двухслойных схем с весами 266
5.5.2. Точность двухслойных разностных схем 268
5.5.3. Трехслойные схемы с весами 269
5.5.4. Задачи 271
5.6. Асимптотическая устойчивость разностных схем для уравнения
теплопроводности 272
5.6.1. Асимптотическая устойчивость 272
5.6.2. Двухслойные схемы 274
5.6.3. Трехслойные схемы 278
5.6.4. Задачи 279
5.7. Гиперболическое уравнение теплопроводности 280
5.7.1. Дифференциальная задача 280
5.7.2. Устойчивость схем с весами 281
5.7.3. Симметричные схемы 282
5.7.4. Задачи 283
5.8. Регуляризация разностных схем 284
5.8.1. Принцип регуляризации 284
5.8.2. Регуляризация двухслойных разностных схем 285
5.8.3. Энергетически эквивалентные регуляризаторы 287
5.8.4. Регуляризация трехслойных схем 288
5.8.5. Задачи 289
Оглавление 7
5.9. Нелинейные нестационарные задачи 290
5.9.1. Квазилинейное уравнение теплопроводности 290
5.9.2. Линеаризованные разностные схемы 292
5.9.3. Нелинейные разностные схемы 294
5.9.4. Итерационная реализация неявных схем 294
5.9.5. Точность разностных схем 296
5.9.6. Задачи 297
5.10. Библиография и комментарий 298
5.10.1. Общие замечания 298
5.10.2. Литература * 300
Глава 6. Экономичные разностные схемы нестационарной теплопроводности 301
6.1. Вычислительная реализация неявных схем 302
6.1.1. Сеточная эллиптическая задача 302
6.1.2. Явный итерационный метод 303
.3. Итерационный метод переменных направлений 305
.4. Попеременно-треугольный метод 306
.5. Итерационные методы с эллиптическим оператором В . . 308
1.6. Задачи 309
6.2. Метод переменных направлений 310
6.2.1. Продольно-поперечные разностные схемы для уравнения
теплопроводности 310
6.2.2. Устойчивость схемы переменных направлений 312
6.2.3. Точность схем переменных направлений 313
6.2.4. Другие схемы переменных направлений 314
6.2.5. Задачи 315
6.3. Факторизованные разностные схемы для уравнения
теплопроводности 316
6.3.1. Факторизованные схемы 316
6.3.2. Устойчивость факторизованных схем 317
6.3.3. Принцип регуляризации для построения
факторизованных схем 319
6.3.4. Трехслойные факторизованные схемы 321
6.3.5. Задачи 323
6.4. Аддитивные разностные схемы 323
6.4.1. Аддитивное расщепление оператора теплопроводности .. 323
6.4.2. Промежуточные задачи 325
6.4.3. Понятие суммарной аппроксимации 326
6.4.4. Аддитивные разностные схемы 328
6.4.5. Априорные оценки для аддитивных разностных схем.... 329
6.4.6. Задачи 331
6.5. Локально-одномерные разностные схемы 332
6.5.1. Локально-одномерные схемы для уравнения
теплопроводности 332
6.5.2. Сходимость локально-одномерной схемы 334
6.5.3. Сходимость в равномерной норме 337
6.5.4. Аддитивно-усредненные разностные схемы 338
6.5.5. Задачи 340
6.6. Библиография и комментарий 341
6.6.1. Общие замечания 341
6.6.2. Литература 342
Оглавление
Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами 343
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 344
7.1.1. Модельная однофазная одномерная задача Стефана .... 344
7.1.2. Ловля фронта в узел пространственной сетки 345
7.1.3. Метод выпрямления фронта 347
7.1.4. Выпрямление фронта в двумерной задаче 349
7.1.5. Общее преобразование независимых переменных 352
7.1.6. Задачи 353
7.2. Методы сквозного счета 356
7.2.1. Двухфазная задача Стефана 356
7.2.2. Разностная схема со сглаженными коэффициентами .... 357
7.2.3. Экономичные схемы 359
7.2.4. Энтальпийная формулировка задачи Стефана 361
7.2.5. Комбинированные алгоритмы 362
7.2.6. Задачи 363
7.3. Преобразование зависимых переменных 364
7.3.1. Однофазная задача Стефана 364
7.3.2. Преобразование Дюво 365
7.3.3. Метод штрафа 367
7.3.4. Разностные схемы метода штрафа 369
7.3.5. Задачи 370
7.4. Квазистационарная задача Стефана 371
7.4.1. Двумерная модельная задача 371
7.4.2. Алгоритмы сквозного счета 372
7.4.3. Выделение границы фазового перехода 373
7.4.4. Однофазная задача 376
7.4.5. Введение новой неизвестной 377
7.4.6. Обращение переменных 379
7.4.7. Задачи 380
7.5. Моделирование фазовых переходов в бинарных сплавах 382
7.5.1. Двухфазная зона 382
7.5.2. Кристаллизация без перераспределения примеси 383
7.5.3. Термодиффузионная задача Стефана 384
7.5.4. Численное решение термодиффузионной задачи 385
7.5.5. Задачи 386
7.6. Библиография и комментарий 387
7.6.1. Общие замечания 387
7.6.2. Литература 388
Diaea 8. Теплообмен излучением 389
8.1. Стационарное излучение выпуклых тел 389
8.1.1. Модельная задача 389
8.1.2. Разностная задача 391
8.1.3. О сходимости разностной схемы 391
8.1.4. Решение сеточных задач 393
8.1.5. Задачи .* 394
8.2. Нестационарные задачи излучения 394
8.2.1. Двумерная задача для выпуклых тел 394
8.2.2. Разностная схема 395
8.2.3. Экономичные схемы 397
8.2.4. Задачи 398
8.3. Теплообмен излучением при заданных температурах 399
8.3.1. Задача теплообмена с учетом переизлучения 399
Оглавление
8.3.2. Интегральное уравнение теплообмена излучением 400
8.3.3. Дискретная задача 401
8.3.4. Решение системы уравнений 403
8.3.5. Задачи 405
8.4. Теплоперенос излучением и теплопроводностью 406
8.4.1. Согласованная задача теплообмена излучением
и теплопроводностью 406
8.4.2. Сеточная задача 407
8.4.3. Итерационные методы решения задачи •. . . 408
8.4.4. Нестационарная задача 409
8.4.5. Разностные схемы 410
8.4.6. Задачи 411
8.5. Библиография и комментарий 411
8.5.1. Общие замечания 411
8.5.2. Литература 412
Глава 9. Конвективный теплообмен 413
9.1. Разностные схемы для стационарных задач теплопроводности
с конвекцией 414
9.1.1. Уравнение теплопроводности с конвекцией 414
9.1.2. Монотонные разностные схемы для одномерной задачи . . 417
9.1.3. Принцип регуляризации для построения монотонных
разностных схем 420
9.1.4. Монотонные схемы для многомерных задач 422
9.1.5. Одномерная задача с дивергентным оператором 423
9.1.6. Безусловно монотонные схемы \ • 425
9.1.7. Многомерное дивергентное уравнение 427
9.1.8. Задачи 428
9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности
с конвекцией 430
9.2.1. Основные свойства разностных операторов конвективного
переноса 430
9.2.2. Итерационные методы решения сеточной задачи 433
9.2.3. Метод простой итерации 435
9.2.4. Метод минимальных поправок 437
9.2.5. Выбор оператора В 438
9.2.6. Метод переменных направлений 440
9.2.7. Задачи 442
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 444
9.3.1. Нестационарные задачи теплопроводности
с конвекцией 444
9.3.2. Дифференциально-разностная задача 446
9.3.3. Разностные схемы с весами 446
9.3.4. Явно-неявные схемы 448
9.3.5. Монотонные схемы 450
9.3.6. Схема расщепления по физическим процессам 452
9.3.7. Экономичные схемы для многомерных задач 453
9.3.8. Задачи 455
9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции 456
9.4.1. Задача конвекции в естественных переменных 456
9.4.2. Дифференциально-разностная задача 459
9.4.3. Простейшая разностная схема 462
9.4.4. Неявные разностные схемы 464
1 Зак 168
10 Оглавление
9.4.5. Схема расщепления 466
9.4.6. Задачи 468
9.5. Задачи конвекции в переменных «функция тока, вихрь скорости,
температура» 469
9.5.1. Постановка задачи 469
9.5.2. Одномерная задача для уравнения четвертого порядка . . . 470
9.5.3. Аппроксимация по пространству в задаче конвекции .... 473
9.5.4. Разностные схемы 475
9.5.5. Безытерационная реализация граничных условий
для вихря скорости 478
9.5.6. Устойчивые линеаризованные схемы . . . ., 480
9.5.7. Задачи 482
9.6. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями.... 484
9.6.1. Задача Стефана с учетом движения расплава 484
9.6.2. Методы с выделением границы фазового перехода 485
9.6.3. Методы сквозного счета в естественных переменных .... 487
9.6.4. Метод фиктивных областей в переменных «функция тока,
вихрь скорости» 489
9.6.5. Вычислительная реализация метода фиктивных областей . 491
9.6.6. Задачи 492
9.7. Приближение пограничного слоя 493
9.7.1. Течение на начальном участке канала 493
9.7.2. Разностная схема 495
9.7.3. Аналог переменных «функция тока, вихрь скорости» .... 497
9.7.4. Переменные Мизеса 498
9.7.5. Задачи 499
9.8. Библиография и комментарий 501
9.8.1. Общие замечания 501
9.8.2. Литература 502
Глава 10. Задачи термоупругости 504
10.1. Равновесие нагретого упругого тела 505
10.1.1. Плоская задача 505
10.1.2. Разностная схема 507
10.1.3. Сходимость разностной схемы 508
10.1.4. Регуляризованные итерационные методы 509
10.1.5. Задачи 510
10.2. Динамическая задача термоупругости 512
10.2.1. Нестационарная двумерная задача 512
10.2.2. Дифференциально-разностная задача 513
10.2.3. Разностные схемы с весами 515
10.2.4. Регуляризованные схемы 516
10.2.5. Экономичные схемы 516
10.2.6. Задачи 517
10.3. Термоупругие напряжения в пластинах 518
10.3.1. Равновесие неравномерно нагретой пластины 518
10.3.2. Разностная задача 520
10.3.3. Прямой метод решения сеточной задачи 521
10.3.4. Итерационное уточнение граничного условия 522
10.3.5. Регуляризованные итерационные методы 524
10.3.6. Задачи 526
10.4. Колебания пластин 527
10.4.1. Динамическая задача термоупругости 527
Оглавление 11
10.4.2. Дифференциально-разностная задача 529
10.4.3. Схемы с весами 530
10.4.4. Регуляризованные схемы 531
10.4.5. Экономичные схемы ; . . . . 532
10.4.6. Задачи 533
10.5. Библиография и комментарий 534
10.5.1. Общие замечания 534
10.5.2. Литература 534
Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами 535
11.1. Численные методы решения вариационных задач 536
11.1.1. Вариационная формулировка краевых задач 536
11.1.2. Задачи управления 539
11.1.3. Условия оптимальности 540
11.1.4. Численное решение задач без ограничений 542
11.1.5. Решение задач оптимизации с ограничениями 544
11.1.6. Метод штрафа 545
11.1.7. Задачи 545
11.2. Управление источниками в стационарных задачах
теплопроводности 546
11.2.1. Задачи термостатирования 546
11.2.2. Градиент функционала 547
11.2.3. Разностная задача 549
11.2.4. Решение сеточной задачи 550
11.2.5. Градиентный метод 553
11.2.6. Задачи управления с ограничениями 554
11.2.7. Задачи с геометрическими ограничениями 555
11.2.8. Точечное управление 556
11.2.9. Задачи 559
11.3. Управление источниками в нестационарных задачах 560
11.3.1. Нестационарная задача термостатирования 560
11.3.2. Условия оптимальности 561
11.3.3. Разностная задача 563
11.3.4. Итерационный метод 565
11.3.5. Другие задачи управления 566
11.3.6. Задачи 567
11.4. Управление граничными режимами 568
11.4.1. Управление тепловым потоком на границе 568
11.4.2. Разностная задача 570
11.4.3. Управление температурой 571
11.4.4. Граничный контроль 572
11.4.5. Нестационарные задачи 573
11.4.6. Задачи 575
11.5. Задачи оптимального нагрева 576
11.5.1. Задача оптимизации конечного температурного
состояния 576
11.5.2. Разностная задача 577
11.5.3. Экономичные схемы 580
11.5.4. Граничное управление 581
11.5.5. Упрощенная оптимизация 582
11.5.6. Задачи 583
11.6. Библиография и комментарий 584
11.6.1. Общие замечания 584
11.6.2. Литература 585
1*
12 Оглавление
Глава 12. Обратные задачи теплообмена 586
12.1. Приближенное решение обратных задач
математической физики 587
12.1.1. Основные классы обратных задач 587
12.1.2. Основные подходы к приближенному решению
некорректных задач 589
J2.1.3. Выбор параметра регуляризации 591
12.1.4. Вариационные методы решения обратных задач
математической физики 593
12.1.5. Возмущенные краевые задачи 594
12.1.6. Задачи . . 595
12.2. Ретроспективная обратная задача теплообмена 596
12.2.1. Условная корректность 596
12.2.2. Метод квазиобращения 598
12.2.3. Разностные схемы метода квазиобращения 599
12.2.4. Регуляризованные разностные схемы 603
12.2.5. Вариационные методы и нелокальное возмущение
начального условия 605
12.2.6. Задачи 607
12.3. Стационарная граничная обратная задача 609
12.3.1. Модельная задача 609
12.3.2. Метод квазиобращения \ . 610
12.3.3. Разностные схемы метода квазиобращения 613
12.3.4. Регуляризованные схемы 617
12.3.5. Нелокальное возмущение начальных условий 619
12.3.6. Задачи 620
12.4. Нестационарная граничная обратная задача 622
12.4.1. Постановка задачи 622
12.4.2. Метод квазиобращения 622
12.4.3. Продолжение по пространственной переменной 625
12.4.4. Задачи 628
12.5. Коэффициентные обратные задачи теплообмена 630
12.5.1. Модельная задача 630
12.5.2. Параметрическая идентификация 631
12.5.3. Пошаговая идентификация 635
12.5.4. Упрощенный итерационный метод 638
12.5.5. Задачи 639
12.6. Библиография и комментарий 641
12.6.1. Общие замечания 641
12.6.2. Литература 642
Гпава 13. Примеры численного моделирования теплофизических процессов . . 643
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле . . . 644
13.1.1. Постановка задачи 644
13.1.2. Задача в безразмерных переменных 645
13.1.3. Разностная задача 646
13.1.4. Итерационное решение сеточной задачи 649
13.1.5. Программа 658
13.1.6. Примеры расчетов 660
13.1.7. Задачи 662
13.2. Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы 662
13.2.1. Постановка задачи 662
13.2.2. Разностная схема 664
Оглавление 13
13.2.3. Программа 668
13.2.4. Примеры расчетов 671
132.5. Задачи 673
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 673
13.3.1. Постановка задачи 673
13.3.2. Разностная задача 676
13.3.3. Численное решение интегрального уравнения 684
13.3.4. Программа и примеры расчетов 688
13.3.5. Задачи 693
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения
с боковым подогревом 694
13.4.1. Постановка задачи 694
13.4.2. Задача в переменных «функция тока, вихрь скорости,
температура» 695
13.4.3. Разностная схема 696
13.4.4. Решения сеточных эллиптических задач 707
13.4.5. Программа ' 715
13.4.6. Примеры расчетов 720
13.4.7. Задачи 721
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 722
13.5.1. Плоская задача 722
13.5.2. Разностная схема 724
13.5.3. Итерационный метод 734
13.5.4. Примеры расчетов 738
13.5.5. Задачи 740
13.6. Расчет термостата 741
13.6.1. Постановка задачи 741
13.6.2. Разностная задача 744
13.6.3. Алгоритм решения задачи 744
13.6.4. Примеры расчетов 755
13.6.5. Задачи 757
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 757
13.7.1. Постановка задачи 757
13.7.2. Нелокальное возмущение граничных условий 758
13.7.3. Локально одномерная разностная схема 759
13.7.4. Сглаживание входных данных 761
13.7.5. Квазиреальный эксперимент «... 763
13.7.6. Программа и примеры расчетов 764
13.7.7. Задачи 772
13.8. Библиография и комментарий 772
13.8.1. Общие замечания 772
13.8.2. Литература 773
Приложение. Математический аппарат теории разностных схем 774
Гильбертовы пространства 774
Линейные операторы в конечномерном линейном
пространстве 776
Операторы в конечномерном гильбертовом пространстве 777
Предметный указатель 780
Светлой памяти
Николая Николаевича
ГОВОРУНА
посвящаем
Предисловие
Книга посвящена вопросам математического моделирования и вычи-
вычислительного эксперимента в проблемах теплопередачи. В настоящее время
основные достижения в теоретических исследованиях связаны с исполь-
использованием мощных вычислительных средств (компьютера и численных
методов), в то время как традиционные аналитические методы приклад-
прикладной математики носят вспомогательный характер. Сущность современ-
современного уровня прикладных теоретических исследований выражает триада
вычислительного эксперимента — «модель—алгоритм—программа». Ав-
Авторы ставили своей целью на примере широкой и хорошо проработанной
области прикладных исследований — теплофизики — дать, по-возможно-
сти, цельное изложение современных методов прикладной математики,
методологии вычислительного эксперимента.
Предлагаемая книга ориентирована прежде всего на специалистов,
как настоящих, так и будущих, по математическому моделированию.
Конкретная область прикладных исследований может лежать и далеко
от собственно проблем теплопередачи. Проблемы теплопередачи, с одной
стороны, имеют очень большое распространение, и их математические
модели проработаны достаточно полно. С другой стороны, математичес-
математические модели теплопередачи столь многообразны, что могут рассматривать-
рассматриваться как наиболее характерные модели очень многих классов прикладных
исследований.
По своему содержанию книга может рассматриваться как учебное
пособие по курсам современного математического моделирования для
студентов старших курсов. В зависимости от аудитории, возможна ориен-
ориентация на теоретические либо на прикладные аспекты численных методов,
выделение и углубленное изучение отдельных классов прикладных задач
в рамках дополнительных и самостоятельных курсов.
Можно рассчитывать, что материал книги будет полезен и для ис-
исследователей, занимающихся проблемами прикладного численного мо-
моделирования. Это связано с тем, что в значительной своей части книга
содержит материал, который еще не публиковался в монографической
и учебной литературе.
Изложение базируется на использовании математического аппарата,
который обычно излагается студентам факультетов прикладной мате-
математики. Основой математического аппарата служат элементы теории
операторов в конечномерных гильбертовых пространствах. Такой мате-
математический аппарат, в определенном смысле, является минимальным для
16 Предисловие
сколько-нибудь строгого и последовательного изложения теории числен-
численных методов решения задач математической физики.
Авторы рассчитывают на то, что книга будет полезна и при подго-
подготовке студентов инженерных специальностей. Поэтому в книге основной
упор сделан на алгоритмическую сторону численных методов, именно
под этим углом зрения проводится отбор и изложение материала. Цели
ориентации на такого массового читателя служит описание результатов
некоторых специально выполненных расчетов с приведением демонстра-
демонстрационных программ для компьютера.
Имеется ряд книг по численному моделированию различных проблем
теплопередачи, ориентированных на лиц с инженерной подготовкой.
В этих книгах инженерный уровень изложения материала достигается
за счет рассмотрения лишь простейших, элементарных положений вы-
вычислительной математики, которые часто дополняются множественными
ссылками на оригинальные работы без какого-либо их анализа. Мы
в своей книге стремились к не столь легковесному, а к более адекватному
отражению достигнутого уровня развития теории и практики численных
методов. На этом несколько более повышенном математическом уровне
необходимо вести подготовку специалистов в прикладных областях.
В настоящее время массовыми стали расчеты по численному ре-
решению двумерных нестационарных нелинейных задач для уравнений
математической физики. Поэтому при выборе базовых, основных мате-
математических моделей мы ориентировались именно на хорошо освоенные
вычислительной практикой двумерные задачи, хотя и для простейших
расчетных областей. Рассматриваемые вычислительные алгоритмы явля-
являются основой для оригинальных исследований более сложных задач.
Среди важнейших классов прикладных задач мы выделили задачи
управления и обратные задачи теплообмена. Как нам представляется,
предлагаемая книга является в настоящее время единственной, в которой
представлены с необходимой полнотой все три основные класса задач
математической физики — прямые задачи, задачи управления и обратные
задачи для уравнений с частными производными.
Теория численных методов приближенного решения задач матема-
математической физики развивается в нескольких направлениях. Прежде всего
можно отметить конечно-разностные методы и метод конечных элемен-
элементов. В данной работе в качестве основы выбраны разностные методы.
Различие подходов проявляется на этапе построения дискретной зада-
задачи — алгебраической системы уравнений. Кроме того, мы в основном
рассматриваем задачи в регулярных областях и на регулярных сетках,
где различия метода конечных элементов и разностных методов если
и есть, то они непринципиальны. Дополнительные соображения в пользу
разностных методов связаны с имеющейся вычислительной практикой
решения нестационарных нелинейных задач для уравнений с частными
производными, в частности, в проблемах тепло- и массопереноса.
Предисловие 17
Настоящая книга касается различных частей прикладного математи-
математического исследования. Введение (глава 1) посвящено общему описанию
проблем прикладного математического моделирования, использованию
вычислительных средств. В главе 2 дается конспективное описание ма-
математических моделей теплофизики, основных типов задач. При отборе
материала мы ориентировались на описание процессов тепломассообмена
с участием твердой фазы. Поэтому, например, важные прикладные про-
проблемы теплообмена излучением рассматриваются лишь в приближении
поверхностного излучения и т. д.
Исследование прикладной проблемы начинается с применения тра-
традиционных (аналитических) методов прикладной математики. Особое
внимание здесь уделяется вопросам получения решений упрощенных за-
задач. В главе 3 приведены иллюстративные примеры использования ана-
аналитических методов при исследовании типичных проблем теплопередачи.
Главы 4-6 по своему содержанию являются центральными и касаются
различных аспектов численного решения классических задач теплопро-
теплопроводности разностными методами.
Вопросы численного решения стационарных задач теплопроводности
рассматриваются в главе 4. При изложении материала мы начинаем с на-
напоминания некоторых основных результатов теории уравнений с частны-
частными производными. В частности, для стационарных уравнений формули-
формулируется классический принцип максимума, который имеет естественную
теплофизическую интерпретацию. При построении дискретных анало-
аналогов мы ориентируемся на то, чтобы разностные уравнения наследовали
основные свойства дифференциальной задачи. Рассматриваются вопросы
построения разностных схем для стационарных задач, излагаются прямые
и итерационные методы для нахождения приближенного решения.
Тот же комплекс вопросов рассмотрен в главе 5 для нестационарных
задач. Здесь необходимо обратить особое внимание на общую теорию
устойчивости разностных схем. Исследование конкретных схем сводится
к проверке необходимых и достаточных условий в виде простейших опе-
операторных неравенств. Различные классы экономичных разностных схем
(переменныхнаправлений, локально-одномерных и т.д.) рассматривают-
рассматриваются в главе 6.
Главы 7-10 касаются вопросов численного моделирования специ-
специальных проблем теплообмена. Изложение базируется на использовании
ранее разработанных разностных методов решения стационарных и не-
нестационарных задач теплопроводности. Глава 7 посвящена задачам тепло-
теплопроводности с фазовыми превращениями с участием твердой фазы. Рас-
Рассматриваются задачи в классической постановке Стефана, затрагиваются
вопросы моделирования плавления/кристаллизации бинарных сплавов.
Особенности задач теплообмена излучением с поверхности твердого тела
исследуются в главе 8. При моделировании процессов теплообмена в не-
невыпуклом теле приходиться учитывать ^шшше излучения с отдельных
участков границы.
18 Предисловие
Важнейший класс задач теплообмена связан с конвективным перено-
переносом тепла (глава 9). Для таких задач строятся общие классы монотонных
разностных схем, для которых выполнен принцип максимума. Задачи
тепло- и массопереноса рассматриваются в приближении Буссинеска.
Обсуждаются вопросы численного решения таких задач на основе есте-
естественных переменных «давление, скорость» и переменных «функция тока,
вихрь скорости» в приближении пограничного слоя. В главе 10 численные
методы применяются для приближенного решения задач термоупругости.
В качестве модельных рассмотрены задачи расчета термоупругого состо-
состояния твердого тела прямоугольного сечения и тонкой пластины.
Задачи управления тепловыми процессами рассмотрены в главе 11.
Дается краткое описание градиентных методов итерационного решения
вариационных задач, на основе которых строятся численные методы
решения задач управления. Выделены классы задач управления рас-
распределенными источниками тепла в стационарной и нестационарной
постановках при различных критериях (функционалах) качества. Второй
важный прикладной класс составляют задачи управления граничными
температурными режимами.
Основные классы обратных задач для уравнения теплопроводно-
теплопроводности обсуждаются в главе 12. Рассматриваются вопросы приближенного
решения задач теплопроводности, когда восстанавливаются начальные
условия, граничные режимы или коэффициенты уравнения. Обсужда-
Обсуждаются вопросы устойчивого решения на основе возмущений исходных
дифференциальных (метод квазиобращения), а также разностных (регу-
(регуляризация разностных схем) уравнений.
Глава 13 касается вопросов конкретного численного моделирова-
моделирования на основе описываемых ранее методов на примере содержательных
модельных двумерных задач теплопередачи. Изложение начинается с по-
постановки задачи и выделения безразмерных определяющих параметров
задачи. Дается достаточно подробное описание вычислительного алго-
алгоритма и программы на ФОРТРАНе, приводятся примеры выполненных
расчетов, а также распечатка самой программы.
В тексте работы за исключением разделов «Библиография и ком-
комментарий» фактически отсутствуют ссылки на другие работы. За счет
расширения объема работы (как нам представляется, не очень суще-
существенного) основной материал излагается полностью. Этим облегчается
достижение учебных целей.
В книге не делается даже попытки какого-либо систематического
анализа имеющейся литературы по затрагиваемым проблемам. Приведе-
Приведены лишь ссылки на книги, которыми мы пользовались и которые могут
служить целям более углубленного изучения отдельных вопросов. Ссыл-
Ссылки на оригинальные работы отсутствуют по различным причинам. Выбор
из огромного множества отдельных работ в любом случае отражает субъ-
субъективные взгляды авторов, требует решения вопросов приоритетности
Предисловие 19
тех или иных исследований и т. д. В частности, при подготовке расши-
расширенной библиографии для авторов был бы естественен крен в сторону
русскоязычной литературы.
Работа над книгой велась в стимулирующей и творческой атмо-
атмосфере на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной
математики и кибернетики Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова и в Институте математического моделирования Рос-
Российской академии наук. Мы благодарны коллегам и ученикам за помощь
и участие на различных этапах работы над книгой. Особенно признатель-
признательны авторы М. М. Макарову, который взял на себя труд подготовки всех
приведенных в книге программ для компьютера.
Понимая всю сложность работы, неизбежные недоработки, авторы
заранее благодарят за критические замечания и предложения по пробле-
проблематике этой книги.
Предлагаемая книга впервые вышла в свет в 1995 г. Она была
опубликована на английском языке издательством Wiley под названием
Computational Heat Transfer (vol. 1 — Mathematical Modelling, vol. 2 —
The Finite Difference Methodology). В то время мы не имели никаких
финансовых возможностей для ее публикации на русском языке.
А. А. Самарский
П. Н. Вабищевич
Глава 1
Введение
Мы начнем с обсуждения общих вопросов применения математи-
математических методов в научных исследованиях. Современный этап развития
характеризуется широким использованием средств вычислительной тех-
техники и численного моделирования. Эти вычислительные средства суще-
существенно расширяют возможности теоретических исследований. Возмож-
Возможности прямого сопоставления с натурными экспериментами поставили
проблему более тесной взаимосвязи экспериментальных и теоретических
исследований.
В этом плане можно говорить о новой методологии научных ис-
исследований, которая объединяет теоретические и экспериментальные
исследования. Эта методология основана на интегрирующей роли совре-
современного математического моделирования. Рассматриваемая технология
научных исследований реализуется в рамках вычислительного экспери-
эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее вы-
высокая ступень математического моделирования, порожденная преоблада-
преобладающим использованием компьютеров и численных методов для изучения
математических моделей.
Приводится краткое описание различных типов вычислительного
эксперимента. Отмечаются особенности использования традиционных
аналитических средств прикладной математики в современных исследо-
исследованиях, роль вычислительных алгоритмов и соответствующего программ-
программного обеспечения.
1.1. Математическое моделирование
Моделирование широко применяется в научных исследованиях и при
решении прикладных проблем в различных областях техники. Эта методо-
методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной
природы посредством исследования их естественных или искусственных
аналогов (моделей). Моделирование в таком общем плане представля-
представляет собой двуединый процесс создания моделей и исследования моделей
после того, как они построены. Использование моделей всегда и не-
неизбежно связано с упрощением, идеализацией моделируемого объекта.
Сама модель, естественно, не охватывает объекта во всей полноте его
1.1. Математическое моделирование 21
свойств, а отражает лишь некоторые его исследуемые характеристики —
она сходна с познаваемым объектом только по определенной совокуп-
совокупности признаков. Модель строится для отражения лишь части свойств
исследуемого объекта и поэтому, как правило, проще оригинала. И самое
важное, модель более удобна, более доступна для исследования, чем
моделируемый объект.
Для более полного исследования объекта привлекается ряд моделей,
каждая из которых моделирует те .или иные характеристики объекта.
В прикладном исследовании даже для отражения одних и тех же свойств
объекта всегда имеется возможность привлечения различных моделей.
Модели различаются по степени качественной и количественной аде-
адекватности исследуемому объекту относительно выбранных характеристик,
по возможностям их исследования. Успех моделирования определяется
именно удачным выбором моделей, их набора. Естественно, что этот
выбор в большой степени субъективен и базируется на всех имеющихся
экспериментальных и теоретических представлениях об объекте, на всем
приобретенном ранее опыте моделирования.
Среди различных моделей можно выделить в качестве основных фи-
физические и математические модели. Математические модели являются
наиболее характерными в естественнонаучных исследованиях идеальны-
идеальными (умозрительными) моделями. Физические модели относятся к ма-
материальным (предметным) моделям, которые, имитируя часть свойств
исследуемого объекта, имеют ту же природу, что и моделируемый объект.
При физическом моделировании вместо изучения объекта прово-
проводится экспериментальное исследование физической модели. Физические
модели имеют важное достоинство, которое заключается в том, что сре-
среди свойств модели есть и такие, которые по той или иной причине
невозможно исследовать на математических моделях. Например, такая
ситуации имеет место, когда сама математическая модель отсутствует
или она настолько сложна, что не представляется возможным ее ис-
исследовать с необходимой полнотой. Поэтому в ряде случаев физическое
моделирование является единственно возможным способом получения
достоверной информации об объекте исследования.
В основе физического моделирования лежит теория подобия. Поми-
Помимо геометрического подобия (подобия формы, геометрическая модель)
необходимо и физическое подобие модели и моделируемого объекта.
В соответствующих точках пространства на соответствующие моменты
времени значения физических величин для объекта должны быть про-
пропорциональны значениям тех же величин для модели. Это позволяет
пересчитать экспериментальные результаты, которые получены для мо-
модели, на исследуемый .объект. Сутью такого моделирования является
то, что для модели и объекта должны быть одинаковы определяющие
безразмерные критерии подобия.
При математическом моделировании исследование свойств и харак-
характеристик исходного объекта заменяется исследованием его математичес-
22 Глава 1. Введение
ких моделей. Математические модели изучаются средствами математики
(прикладной математики). Современный этап математического модели-
моделирования характеризуется широким привлечением компьютеров, методов
вычислительной математики.
Математизация научного знания, под которой понимается приме-
применение математических понятий в естественных и гуманитарных науках,
технике, является приметой нашего времени. Часто и уровень развития
той или иной науки характеризуется по степени использования матема-
математических методов. Известный афоризм «Во всяком знании столько науки,
сколько в ней математики» отражает это мнение.
При математизации научных знаний выделяется этап абстрагиро-
абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его
математической формы (строится математическая модель).
Вторым этапом математизации является исследование математичес-
математических моделей как чисто математических (абстрактных) объектов. С этой
целью используются средства самой математики, как уже созданные, так
и специально построенные. В настоящее время большие возможности
для исследования математических моделей предоставляют вычислитель-
вычислительные средства: компьютеры и численные методы.
Третий этап применения математики в прикладных исследованиях
характеризуется интерпретацией — приданием конкретного прикладного
содержания математическим абстракциям. Специалист по прикладному
математическому моделированию, работая бок о бок со специалистами
в прикладной области, всегда за математическими абстракциями видит
конкретное прикладное содержание.
Эвристическая роль математического моделирования проявляется
в том, что вместо натурного эксперимента проводится математический
эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздей-
воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение
математической модели, зависимости решения от того или иного пара-
параметра. Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно
глубже исследовать явление или процесс.
1.2. Применение компьютеров
при математическом моделировании
Появление электронных вычислительных машин, быстрое развитие
вычислительной математики, повсеместное использование вычислитель-
вычислительной техники чрезвычайно расширило возможности математического мо-
моделирования. Вычислительные средства, под которыми мы понимаем
компьютеры и вычислительные методы, позволили решить с приемлемой
точностью и за разумное время задачи, которые ранее были недоступны
для исследования, дали возможность реализовать крупнейшие научно-
1.2. Применение компьютеров при математическом моделировании 23
технические проекты. В качестве примеров отметим использование ком-
компьютеров при запуске и управлении полетом космических кораблей, при
обработке данных сейсмической разведки полезных ископаемых, полное
численное моделирование аэродинамики реальной конфигурации само-
самолета, успехи компьютерной томографии в медицине и т. д. Даже в чистой
математике компьютеры нашли достойное применение: доказательные
вычисления на компьютерах, решение знаменитой проблемы четырех
красок и т.д.
Идет быстрое формирование новых научных дисциплин, новых на-
научных направлений, основанных на широком использовании вычисли-
вычислительных средств при теоретическом исследовании прикладных проблем.
Отметим в этой связи прежде всего вычислительную физику, вычисли-
вычислительную гидродинамику, вычислительную геометрию, вычислительную
алгебру. В этом ряду мы, естественно, выделяем вычислительную тепло-
теплофизику.
Исследование математических моделей подразумевает прежде все-
всего качественное изучение математических моделей и получение точного
или приближенного решения. Компьютер предоставляет новые возмож-
возможности не только для нахождения приближенного решения численными
методами, но и для качественного исследования математической модели.
Качественное исследование начинается с размерностного анализа
задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить
число определяющих параметров задачи. Выделение малых или больших
безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно
упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи
при разработке численных методов ее решения.
Сама математическая модель может быть достаточно сложной, не-
нелинейной. Это зачастую делает невозможным качественное исследова-
исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому
в подавляющем большинстве случаев проводится качественное исследо-
исследование на более простых, но обязательно содержательных по отношению
к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны го-
говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической
модели (моделей для модели).
Большое внимание при качественном исследовании математических
моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректно-
корректности. Прежде всего рассматривается проблема существования решения.
Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уве-
уверенность в корректности математической модели. Кроме того, кон-
конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены
в основу приближенных методов решения поставленной задачи.
При прикладном математическом моделировании важным является
вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений вход-
входных данных. Такая неустойчивость наиболее характерна для обратных
задач и должна учитываться при построении приближенного решения.
24 Глава 1. Введение
Для нелинейных математических моделей может быть характерна
множественность, неединственность решения. При качественном иссле-
исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифурка-
бифуркации решения, вопросы выделения нужного, искомого решения и т. д.
Методы качественного исследования для различных типов матема-
математических моделей разработаны с неодинаковой полнотой. В качестве
примера моделей, где качественные методы принесли наиболее впечатля-
впечатляющие результаты, отметим обыкновенные дифференциальные уравнения.
В теории уравнений с частными производными качественные методы
также используются, хотя и не в такой большой степени. В качестве
содержательного примера отметим имеющий отношение к математиче-
математическим моделям теплопередачи принцип максимума для параболических
и эллиптических уравнений второго порядка, который позволяет про-
провести качественное исследование математических моделей, основанных
на уравнениях с частными производными.
Точное или приближенное решение находится с использованием
аналитических и численных методов. В качестве классических примеров
аналитических методов отметим методы разделения переменных, инте-
интегральных преобразований для линейных задач математической физики.
Для нелинейных математических моделей особое значение имеют
методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Этот
подход базируется на использовании асимптотических разложений по вы-
выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам уделяется
при рассмотрении сингулярно возмущенных задач.
Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо
передаваться некоторыми частными решениями. Поиск частных решений
нелинейных задач основывается на использовании автомодельных пере-
переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе
математической модели.
Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть
исследованы на компьютерах численными методами. В отличие от ана-
аналитического решения, которое может давать явную параметрическую
зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном
решении требуется многократное решение задачи при изменении того
или иного параметра. Но ведь аналитическое решение нелинейных задач
является исключением из правил, а численное решение — норма.
Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования
компьютеров при математическом моделировании. Мы будем основ-
основное внимание обращать на использование вычислительных средств при
нахождении приближенного решения задачи. Необходимо однако отме-
отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного
исследования математической модели, этапе отыскания аналитических
решений модельных задач. Например, компьютеры можно использовать
для нахождения автомодельных решений. При выделении автомодель-
автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных
1.2. Применение компьютеров при математическом моделировании 25
сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению.
Общее решение последнего находится на основе использования систем
аналитических вычислений на компьютерах (методов вычислительной
алгебры), таких как Maple.
В применении компьютеров при математическом моделировании
можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня. Первый из них
характеризуется исследованием достаточно простых математических мо-
моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные
'средства используются наряду и наравне с другими методами (аналити-
(аналитическими, чисто математическими) прикладной математики.
Выделенный этап применения компьютеров при математическом
моделировании характеризуется условной цепочкой «заказчик (теоре-
(теоретик) — исполнитель (прикладной математик)». Заказчик ставит задачу,
анализирует результаты, а исполнитель обеспечивает решение задачи
с применением компьютера. В этом случае речь идет о решении кон-
конкретной (достаточно узкой) задачи с определенным набором входных
данных.
Второй этап (уровень) применения компьютеров характеризуется
исследованием сложных математических моделей. В этих условиях вы-
вычислительные средства становятся основными, абсолютно преобладаю-
преобладающими. Традиционные средства прикладного математического моделиро-
моделирования выполняют вспомогательную, обслуживающую роль (качественное
исследование задачи в сильно упрощенных постановках — модельные
задачи, тестирование вычислительных алгоритмов и т.д.).
Именно возможность исследования сложных математических мо-
моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых
позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные ком-
компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное
программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать
научные исследования в рамках единой технологии вычислительного
эксперимента, который включает в себя теоретические и эксперимен-
экспериментальные исследования.
Прежде всего отметим место математики и ее методов в теоретичес-
теоретических и экспериментальных исследованиях, а затем перейдем к характери-
характеристике новой интегрирующей технологии научных исследований.
Использование математических методов характерно для теоретиче-
теоретического уровня познания действительности. С развитием и углублением
наших теоретических познаний шире привлекается математический ап-
аппарат, используются новые математические понятия и идеи. Сами ма-
математические модели уместно разбивать на два типа: фундаментальные
и прикладные. Для каждого типа моделей математический аппарат играет
различную роль, а тем более такой мощный как компьютеры и численные
методы.
В каждой науке теоретический уровень характеризуется формулиров-
формулировкой основных законов и положений. Далее развитие науки происходит
26 Глава 1. Введение
на основе анализа следствий из этих фундаментальных положений, их
сопоставления с экспериментальными данными. Фундаментальные мо-
модели не могут быть выведены из эксперимента, но могут быть подсказаны
им. Следствия из фундаментальных моделей, которые мы называем при-
прикладными моделями, должны сопоставляться с экспериментом. Такое
сопоставление является критерием пригодности самой фундаментальной
модели. Создание новой фундаментальной модели приводит к пересмотру
основных законов, самого теоретического фундамента науки.
Методы математики естественно привлекаются для исследования
следствий из фундаментальных моделей. Поэтому обычно речь и идет
о прикладном математическом моделировании, что отражает, в извест-
известной степени, то обстоятельство, что мы имеем дело с прикладными
математическими моделями.
Современный этап развития механики, физики и техники характери-
характеризуется сложными фундаментальными моделями, которые приводят ко все
более сложным, более совершенным прикладным математическим моде-
моделям. Но, и это естественно, возрастают и возможности математических
методов.
Сделаем несколько замечаний относительно использования матема-
математических методов в экспериментальных исследованиях. Эксперимента-
Экспериментатор, в самой общей схеме своего исследования, воздействует на иссле-
исследуемый объект, получает информацию о результатах этого воздействия
и обрабатывает ее.
В каждом экспериментальном исследовании проводится статисти-
статистическая обработка опытных данных. Количественная оценка влияния от-
отдельных факторов (параметров) проявляется в построении эмпирических
зависимостей, интерполирующих с той или иной точностью экспери-
экспериментальные данные. В этом случае можно говорить об использовании
аппроксимационных математических моделей, в которых содержатель-
содержательные математические модели как таковые просто отсутствуют. Получение
критериальных зависимостей в теплофизике есть пример таких аппрок-
аппроксимационных моделей.
Настоящий уровень развития экспериментальных исследований ха-
характеризуется все более широким применением все более совершенных
приборов. Сами приборы неизбежно вносят возмущения в исследуемое
явление или процесс. С целью избавления от этих погрешностей строится
математическая модель прибора. Экспериментальные исследования все
чаще ведутся с помощью измерительно-вычислительных комплексов, ко-
которые позволяют получать, хранить и обрабатывать экспериментальные
данные.
При обработке опытных данных приходится иметь дело с обратны-
обратными задачами. Методы приближенного решения таких задач в настоящее
время активно разрабатываются. Поэтому и на стадии обработки и ин-
интерпретации данных экспериментальных исследований вычислительные
средства находят все более широкое применение.
1.3. Вычислительный эксперимент
27
1.3. Вычислительный эксперимент
Теоретические и экспериментальные исследования обладают боль-
большой степенью автономности. В условиях, когда фундаментальные мо-
модели известны, апробированы может быть поставлена проблема более
тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных
исследований. Речь идет о новой интегрирующей технологии научных
исследований, которой является вычислительный эксперимент.
Изложим вначале общую схему вычислительного эксперимента, а за-
затем дадим краткую характеристику его основных этапов. Более раз-
развернутое описание дается в последующих главах настоящей работы.
Понимая вычислительный эксперимент в узком смысле, как создание
и изучение математических моделей исследуемого объекта с помощью
вычислительных средств, можно выделить в качестве основы триаду
«модель—алгоритм—программа». В широком (методологическом) смы-
смысле под вычислительным экспериментом мы понимаем новую технологию
научных исследований. Основные этапы вычислительного эксперимента
прослеживаются на рис. 1.1.
компьютер
реальный
эксперимент
компьютерная
программа
математическая
модель
—
1
объект
исследования
вычислительный
алгоритм
исследование
модели
Рис. 1.1
Мы будем в своем изложении ориентироваться только на детермини-
детерминированные объекты исследования, которые характерны для теплопереда-
теплопередачи. В случае вероятностных объектов используется свой математический
аппарат. Для исследуемого объекта сначала строится математическая
модель. Она базируется на известных фундаментальных моделях. Вычи-
Вычислительный эксперимент, по своей сути, предусматривает исследование
группы близких моделей. Вначале строится простая, но достаточно со-
содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов,
с точки зрения близости к экспериментальным данным модель. В процес-
процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих ци-
циклах модель уточняется, учитываются новые факторы и т. д. Поэтому мы
всегда можем говорить (более того, должны говорить) о наборе, упорядо-
упорядоченном наборе (об иерархии) математических моделей, каждая из которых
28 Глава 1. Введение
с той или иной точностью описывает действительность. И в рамках наи-
наиболее простой модели необходимо добиваться согласия с экспериментом.
После построения математической модели традиционными сред-
средствами прикладной математики проводится предварительное исследова-
исследование математической модели. Суть вычислительного эксперимента, его
содержательное зерно состоит в исследовании математических моде-
моделей на компьютерах численными методами. Здесь же речь идет только
о предварительном исследовании математической модели. На этом эта-
этапе с доступной полнотой, на принятом в математике уровне строгости
решаются вопросы о корректности полной задачи.
Основное содержание предварительного исследования математичес-
математической модели состоит в выделении модельных (упрощенных) более простых
задач и их всестороннем исследовании, так как полная математическая
модель слишком сложна. Модельные математические задачи в цикле
вычислительного эксперимента строятся для двух различных целей: во-
первых, для качественного исследования полной задачи (а опосредова-
опосредовано и исследуемого объекта), во-вторых — для проверки, тестирования
вычислительных алгоритмов приближенного решения полной задачи.
При качественном исследовании модельных (упрощенных) задач
изучаются вопросы множественности решения, его устойчивости и т. д.
Большое значение имеют также точные частные решения существенно
нелинейных задач, асимптотические решения и т. д. Таким образом здесь
применяется обычный математический арсенал теоретического исследо-
исследования проблемы.
На следующем этапе вычислительного эксперимента строится дис-
дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Сама
математическая модель включает в себя, как правило, уравнения с част-
частными производными (ядро математической модели), системы диффе-
дифференциальных и алгебраических уравнений. Построение вычислительных
алгоритмов и их исследование является вотчиной вычислительной мате-
математики. Здесь также наблюдаются две тенденции научных исследований.
В традициях (парадигме) чистой математики одни исследователи
изучают дискретные модели и численные методы их исследования вне
связи их с прикладным математическим моделированием, реализацией
на компьютере в контексте решения прикладной проблемы. Проводятся
строгие доказательства о существовании решения дискретной задачи,
получают теоретические оценки погрешности приближенного решения,
сходимости итерационного процесса.
Представители прикладного направления в вычислительной матема-
математике работают на несколько другом («физическом») уровне строгости,
для которого характерны такие нестрогие понятия как «практическая
сходимость», «реальные сетки» и т.д. Безусловное требование полной
строгости при прикладном математическом моделировании ни к чему
хорошему не приводит.
1.3. Вычислительный эксперимент 29
Вычислительный эксперимент характеризуется двумя особенностя-
особенностями, которые необходимо учитывать при создании адекватного ему про-
программного обеспечения. Это, во-первых, многовариантность расчетов
в рамках фиксированной математической модели и, во-вторых, многомо-
дельность. Здесь уже нельзя обойтись одной программой на компьютере,
нужно иметь возможность легко менять ее для решения близких задач
(задач для набора моделей).
Программное обеспечение вычислительного эксперимента базиру-
базируется на использовании комплексов и пакетов прикладных программ.
Комплекс программ предназначен для решения близких по своей ма-
математической природе задач из одной предметной области. Он включа-
включает в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей
степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы.
В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуще-
осуществляется вручную.
В пакетах прикладных программ для сборки используются системные
средства ЭВМ, что позволяет в значительной степени автоматизировать
этот процесс. Пакеты прикладных программ, рассматриваемые как техно-
технология решения задач в рамках вычислительного эксперимента, позволяют
наиболее эффективно использовать накопленный программный продукт,
резко поднять производительность труда программистов.
Затем в цикле вычислительного эксперимента проводится серия
расчетов на компьютере при изменении тех или иных параметров зада-
задачи. Полученные данные анализируются и интерпретируются с участием
специалистов в прикладной области. Обработка результатов проводится
с учетом имеющихся теоретических представлений и эксперименталь-
экспериментальных данных. Она осуществляется, во-многом, в традициях классического
натурного эксперимента. Сами опытные данные представляются в виде
таблиц, графиков, фотографий с дисплея, кинофильмов и т. д. На-
Надо только всегда иметь в виду, что объем обрабатываемой информации,
детализация полученных результатов в вычислительном эксперименте не-
несравненно больше. В вычислительном эксперименте проблемы хранения
и обработки информации имеют все возрастающее значение.
На этапе анализа результатов становится ясным, удачно ли выбра-
выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация. Если есть
необходимость, модели и численные методы уточняются и весь цикл
вычислительного эксперимента повторяется.
Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, чрезвычайно
важно отметить его универсальность, которая позволяет легко переносить
эту технологию на исследование других объектов. Это обстоятельство ха-
характерно вообще для математического моделирования и порождено тем,
что многие явления и процессы имеют одни и те же математические
модели. Тот факт, что вычислительный эксперимент является много-
многоцелевым, позволяет на основе накопленного опыта математического
30 Глава 1. Введение
моделирования, банка вычислительных алгоритмов и программного обес-
обеспечения быстро и эффективно решать новые задачи.
Второй особенностью вычислительного эксперимента как техноло-
технологии научных исследований является его междисциплинарный характер.
Мы постоянно подчеркиваем это обстоятельство, говоря о том, что
прикладной математик объединил теоретика и экспериментатора для бо-
более быстрого достижения общей цели. Вычислительный эксперимент
может рассматриваться как удобная форма кооперации в сфере ум-
умственного труда, повышения его производительности. В едином цикле
вычислительного эксперимента работают и теоретик, и экспериментатор,
и прикладной математик, и программист.
Можно отметить следующие отличительные особенности и преиму-
преимущества вычислительного эксперимента перед натурным экспериментом.
Во-первых, вычислительный эксперимент проводится даже тогда, когда
натурный эксперимент невозможен. Например, исследование тепловых
процессов при термоядерных параметрах (кроме взрыва атомной бомбы
пока нет других возможностей достичь их).
Во-вторых, при использовании вычислительного эксперимента резко
снижается стоимость разработок и экономится время. Это обеспечивает-
обеспечивается многовариантностью выполняемых расчетов, простотой модификации
математических моделей для имитации тех или иных реальных условий.
Создание новых изделий и технологий напрямую связано с тяжелой,
дорогостоящей и длительной доводкой. Вычислительные средства позво-
позволяют в значительной степени сэкономить время и деньги именно на этой
стадии.
Данные экспериментальных исследований используются для кали-
калибровки математических моделей, контроля точности приближенного ре-
решения задачи. В традициях экспериментального исследования мы воздей-
воздействуем на математическую модель и обрабатываем результаты (вот почему
мы говорим об эксперименте, хотя и вычислительном). И лишь изредка
мы контролируем точность своего «прибора», сравнивая его с эталоном.
В традициях теоретического исследования в вычислительном эксперимен-
эксперименте мы имеем дело с математической моделью, а не с самим объектом. Эти
общие черты мы рассматриваем как дополнительные аргументы в пользу
интерпретации вычислительного эксперимента в широком (методологи-
(методологическом) смысле как интегрирующей технологии научных исследований.
Вычислительный эксперимент необходимо рассматривать как новую
технологию научных исследований в перспективе, как тенденцию, как
логику развития организации научных исследований. В настоящее время
он, в основном, реализуется в узком смысле по цепочке «заказчик-
прикладной математик». Более тесная увязка теоретических и экспери-
экспериментальных исследований в единой технологии научных исследований
является ярко выраженной тенденцией нашего времени. И примеча-
примечательно, что основным связующим звеном этой методологии является
вычислительный эксперимент.
1.3. Вычислительный эксперимент 31
Остановимся теперь на краткой характеристике основных областей
применения вычислительного эксперимента. Основное внимание уделим
классификации видов эксперимента по применениям и по типам исполь-
используемых математических моделей. Такая взаимоувязанная классификация
позволяет ориентировать исследователя на использование адекватного
математического аппарата исследования математических моделей.
Математическое моделирование традиционно развивается в недрах
фундаментальных наук: механике и физике, для которых отмечается наи-
наивысший уровень теоретических исследований (другими словами, уровень
математизации). В этих науках с внедрением современных математичес-
математических методов, в том числе и численных, относительно благополучно. Для
теплофизики, например, характерно наличие устоявшихся математичес-
математических моделей, существует банк основных задач. Поэтому здесь основное
внимание уделяется построению вычислительных алгоритмов и созданию
достаточно гибкого программного обеспечения.
Значительно менее совершенен математический арсенал инженера
и технолога. В технике до настоящего времени традиционным явля-
является путь опосредованного внедрения научного знания. Прежде всего
новые идеи становятся достоянием фундаментальных наук, затем транс-
трансформируются в той или иной прикладной области и лишь затем —
в конкретных технических проектах и разработках. Это относится прежде
всего к применению современных математических методов теоретичес-
теоретического исследования, математическому моделированию и вычислительному
эксперименту. Такой путь превращения идеи в конкретное научно-техни-
научно-техническое решение, новую технологию неоправданно долог и расточителен.
В современных условиях необходимо обеспечить повсеместное непо-
непосредственное внедрение математических методов в науку и технологию.
Математическое моделирование технологических процессов сулит огром-
огромную выгоду, переход на новый качественный уровень самой технологии.
Наиболее благодатное поле для приложения методов математического
моделирования и вычислительного эксперимента — техника и промыш-
промышленность, технология.
Мы выделяем три основных типа вычислительного эксперимента:
поисковый, оптимизационный и диагностический. Такая классифика-
классификация проводится, с одной стороны по областям приложений, с другой
стороны — по природе используемых математических моделей. Чтобы
пояснить это, рассмотрим каждый из них более подробно.
При исследовании нового процесса или явления обычный подход
связан с построением той или иной математической модели и прове-
проведением расчетов при изменении тех или иных параметров задачи. Этот
тип вычислительного эксперимента мы называем поисковым вычисли-
вычислительным экспериментом. Если основу математической модели составляют
уравнения с частными производными, то в цикле вычислительного экс-
эксперимента исследуется и решается численными методами прямая задача
математической физики. В результате его проведения дается описание
32 Глава 1. Введение
наблюдаемых явлений, прогнозируется поведение исследуемого объекта
в тех или иных условиях, возможно и реально недостижимых. Такой тип
вычислительного эксперимента характерен при проведении теоретичес-
теоретических исследований в фундаментальных науках.
С другой стороны, при математическом моделировании технологи-
технологических процессов в качестве основного может быть выбран оптимизаци-
оптимизационный вычислительный эксперимент. Для него характерно решение задачи
оптимизации по уменьшению затрат, облегчению конструкции и т. д. Для
сформулированной математической модели ставится соответствующая
задача оптимального управления, задача оптимизации.
Характерным примером могут служить задачи оптимального упра-
управления для уравнений математической физики, например, граничного
управления, когда граничные условия подбираются так, чтобы миними-
минимизировать соответствующий функционал (функционал качества). В этом
случае многовариантные расчеты проводятся с целью подобрать упра-
управляющие параметры, а результатом является решение в том или ином
смысле оптимальное.
При обработке данных натурных экспериментов используется диагно-
диагностический вычислительный эксперимент. По дополнительным косвенным
измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процес-
процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого
процесса известна, ставится задача идентификации модели, например,
определяются коэффициенты модели. Диагностическому вычислитель-
вычислительному эксперименту обычно ставится в соответствие обратная задача
математической физики.
Часто приходится сталкиваться с положением, когда математической
модели исследуемого процесса или явления нет и создать ее не пред-
представляется возможным. Такая ситуация характерна, в частности, при
обработке данных натурного эксперимента. Тогда обработка проводится
в режиме «черного ящика» и мы имеем дело с аппроксимационными
моделями.
Таким образом мы поставили в соответствие поисковому вычисли-
вычислительному эксперименту прямую задачу, оптимизационному — задачу
оптимизации, а диагностическому — обратную задачу.
1.4. Численное моделирование
процессов теплопередачи
Поясним на примере простейшей модели теплопередачи — одно-
одномерном уравнении теплопроводности — типы вычислительного экспери-
эксперимента, выделим основные классы задач прикладного моделирования.
Рассмотрим тонкий цилиндрический стержень с теплоизолирован-
теплоизолированной боковой поверхностью. Будем считать, что один его конец тепло-
теплоизолирован, а на другом задан определенный температурный режим.
1.4. Численное моделирование процессов теплопередачи 33
Температура Т(ж, t) определяется из уравнения теплопроводности
дТ д ( дТ\
срть=тАк^У 0<х<1> t>0- A)
В уравнении A) с — коэффициент теплоемкости, а к — коэффициент
теплопроводности. Дополнительно ставятся граничные
Т@, «) = «(*), B)
*Ц-(М) = о (з)
и начальное условия
Т(*,0) = Т0(*). D)
Будем исследовать влияние нелинейных теплофизических коэффи-
коэффициентов с = с(Т), р = р(Т) и к = к(Т) на процесс распространения
тепла по стержню, т. е. рассмотрим прямую начально-краевую зада-
задачу A)-D). Даже в такой простой задаче могут наблюдаться удивительные
явления, связанные с нелинейностью математической модели. В частно-
частности, имеет место эффект конечной скорости распространения тепловой
волны. Это исследование можно связать с поисковым вычислительным
экспериментом.
Рассмотрим теперь задачу оптимизации в рамках тех же определя-
определяющих уравнений процесса. Будем считать, что необходимо удерживать
температуру в точке х = I близкой к некоторой заданной функции g(t),
а можем мы управлять температурой на другом конце (задача граничного
управления). Математически задача может формулироваться следующим
образом. Необходимо найти управление v(t) такое, что достигается ми-
минимум функционала качества
'max
J = f(T(l,t)-g(t)Jdt, E)
о
где *тах — время наблюдения. Здесь T(x,t) определяется из решения
уравнения A) и условий B)-D).
Такая задача минимизации типична для оптимизационного вычи-
вычислительного эксперимента. Конечно, это простейшая постановка задачи.
Реальная ситуация может отягощаться значительно более сложными урав-
уравнениями, функционалами качества, которых к тому же может быть не-
несколько, и т. д. В таких сложных ситуациях часто приходиться ограничи-
ограничиваться простейшими методами перебора для решения оптимизационных
задач.
Рассмотрим, наконец, пример, который иллюстрирует диагностичес-
диагностический вычислительный эксперимент. Ставится задача определения гранич-
граничного режима (температуры) на левом конце стержня (при х = 0), который
4 Зак. 168
34 Глава 1. Введение
недоступен для непосредственных измерений. Но дополнительно измеря-
измеряется температура на другом конце (при х = /) с некоторой погрешностью
(функция g(t)). Математически задача формулируется точно так же, как
и задача оптимального управления, рассмотренная выше. Необходимо
найти функцию v(t) из условия минимума функционала E) при до-
дополнительных ограничениях A)-D). В этом случае мы имеем типичную
обратную задачу в экстремальной постановке. В теории обратных за-
задач теплообмена рассматриваемая нами задача есть граничная обратная
задача теплопроводности.
Представляется совершенно необходимым на рассматриваемом при-
примере обратить внимание на специфику задач оптимизации (синтеза), их
отличия от обратных задач. Мы видели, что та и другая задача имеют одну
и ту же математическую форму (математическая постановка идентична).
Однако между ними имеются принципиальные различия. Прежде всего
отметим, что мы имеем дело в обоих случаях с некорректными задачами.
Задача относится к классу корректных (в классическом смысле),
если решение задачи существует, оно единственно и непрерывно зависит
от входных данных. Если какие-либо из этих условий нарушаются, то
задача относится к классу некорректных. Мы не будем касаться здесь
вопросов существования решения, а посмотрим, к каким последствиям
приводит нарушение других условий корректности в задачах оптимизации
и обратных задачах.
Предположим, что решение задачи неединственно. В задачах опти-
оптимизации этот фактор следует рассматривать как благоприятный — мы
имеем несколько (и может быть даже очень много) решений нашей задачи.
Поэтому у нас имеется выбор и мы можем оптимизировать наше реше-
решение еще и по некоторым другим параметрам, характеристикам. В случае
обратной задачи ситуация совершенно иная. Неединственность решения
обратной задачи означает, что в данной постановке мы не можем ре-
решить задачу. Необходимо уточнить (доопределить) задачу, при обработке
данных натурного эксперимента нужны дополнительные измерения.
Аналогичная ситуация возникает и при нарушении устойчивости
решения относительно малых возмущений входных данных (в нашем
иллюстративном примере — малых возмущений функции g(t)). В слу-
случае задачи оптимизации и обратной задачи большие возмущения в v(t)
приводят к малым возмущениям в g(t). Это обстоятельство в задачах
оптимизации, где нужно найти управление v(t), снова может рассматри-
рассматриваться как благоприятное — мы можем в достаточно большом диапазоне
менять управление, что почти не скажется на функционале качества.
А в обратных задачах это означает, что мы можем восстановить гранич-
граничный режим только с большой погрешностью. Тем самым и в данном
аспекте задачи оптимизации и обратные задачи имеют принципиальные
различия. И эти различия необходимо специально подчеркивать, так как
идентичность математических формулировок этих задач может привести
к неверным методологическим посылкам.
Глава 2.
Математические модели
теплофизики
Объектом нашего исследования является тепловое поле, перенос
тепла от одних участков твердого тела к другим. Тепловое поле на данный
момент времени t определяется распределением температуры по телу,
т.е. функцией Т = Т(х,у,z,t)9 где (ж,у,z) — декартовы координаты.
В простейшем случае тепловой поток направлен из области с более
высокой температурой в область с более низкой температурой.
Выделяют следующие три основные способа переноса тепла:
1) теплопроводность — перенос, определяемый взаимодействием ми-
микрочастиц соприкасающихся тел;
2) конвекция — перенос, обусловленный пространственным перемеще-
перемещением вещества. Наблюдается в движущихся средах (жидкости, газы);
3) излучение — перенос энергии в виде электромагнитных волн.
Во многих прикладных проблемах процесс переноса тепла осуще-
осуществляется различными способами (сложный теплообмен). При описании
конвективных переносов необходимо учитывать процессы теплопровод-
теплопроводности между отдельными частями сплошной среды (тепло- и массопере-
нос). Радиационный теплообмен (излучение) может осложняться тепло-
теплопроводностью, конвекцией и т. д. Примером такого сложного теплооб-
теплообмена могут служить процессы при фазовых превращениях, химических
реакциях. При рассмотрении процессов теплопередачи в твердых телах
большое значение могут приобретать эффекты, связанные с расширением
тел при повышении температуры.
В данной главе излагается материал справочного характера. При-
Приведены основные математические модели переноса тепла в различных
условиях. Основное уравнение теплопроводности записывается в различ-
различных ортогональных системах координат. Большое внимание уделяется
краевым условиям и условиям контакта различных сред (условия сопря-
сопряжения).
Для моделирования процессов плавления и затвердевания в качестве
основной рассматривается классическая задача Стефана. В более общих
ситуациях требуется использование более сложных моделей. В частности,
отмечаются некоторые моменты моделирования бинарных сплавов.
4*
36 Глава 2. Математические модели теплофизики
Значительные сложности возникают при моделировании теплооб-
теплообмена излучением. Использование полных моделей переноса излучением
затруднено, в основном, ввиду большой размерности задачи. Поэтому
большое значение приобретают более простые модели, среди которых не-
необходимо выделить диффузионное приближение, приближение лучистой
теплопроводности. В данной книге в качестве базовых рассматриваются
простейшие модели излучения с поверхности твердого тела.
Конвективный перенос связан с использованием тех или иных мо-
моделей движения среды. Наибольшее распространение в теории тепло-
и массопереноса получили уравнения Навье—Стокса в приближении
Буссинеска. Дальнейшее упрощение связано с использованием парабо-
лизованных уравнений, приближения пограничного слоя и т. д.
Деформирование твердых тел при тепловых воздействиях описы-
описывается уравнениями термоупругости. Математическая модель базируется
на дополнении уравнения теплопроводности системой уравнений упруго-
упругости. Отдельного упоминания заслуживают более простые модели, связан-
связанные, например, с описанием напряженного состояния тонких пластин,
оболочек и т. д.
2.1. Теплопроводность твердых тел
2.1.1. Уравнение теплопроводности
Основное положение теории теплопроводности, известное как закон
Фурье, состоит в предположении пропорциональности теплового потока
градиенту температуры в однородной неподвижной среде: q = -k grad Г,
где к — коэффициент теплопроводности. Для получения уравнения пере-
переноса тепла запишем закон сохранения энергии в виде
divg + /, A)
где / определяет мощность внутренних источников теплоты, с —удельная
теплоемкость и р — плотность среды.
Подстановка выражения для потока тепла в A) позволяет записать
следующее основное дифференциальное уравнение теплопроводности:
cp^ = div(fcgradT) + /. B)
Коэффициенты и правая часть уравнения теплопроводности могут
зависеть от точки пространства (неоднородная среда). В этом случае
с = с(х, y,z), p = p(x, y,z), k = k(x, y,z), f = f(xy y,z),a само уравне-
уравнение теплопроводности является линейным параболическим уравнением
второго порядка.
Типичной в теплофизических исследованиях является ситуация, ко-
когда теплофизические свойства среды зависят от температуры, т. е. в урав-
уравнении B) с = с(Т), р = р(Т), к = k(T), f = f(T). Таким образом мы
приходим к квазилинейному уравнению теплопроводности.
2.1. Теплопроводность твердых тел 37
Если теплофизические свойства среды постоянные (однородная
среда), то уравнение теплопроводности B) упрощается и принимает
вид:
Здесь использованы обозначения: а = к/(ср) — коэффициент темпера-
температуропроводности, Д = div grad — оператор Лапласа.
Другой частный случай уравнения теплопроводности B) соответству-
соответствует описанию установившихся тепловых полей. Стационарное уравнение
теплопроводности имеет вид (в B) dT/dt = 0)
div(fcgradT)--/ D)
и является эллиптическим уравнением второго порядка.
При моделировании теплопереноса в движущейся среде (движущей-
(движущейся системе координат) уравнение теплопроводности B) соответствующим
образом трансформируется. Переход основан на замене частной произ-
производной по времени d/dt на полную производную по времени (субстан-
(субстанциональную производную)
d д
где v — локальная скорость среды. Поэтому уравнение теплопроводности
в движущейся среде записывается следующим образом:
ср( — +vgradTJ = div(fcgradT) + /. E)
Здесь член с vgradT определяет изменение температуры за счет конвек-
конвективного переноса.
Уравнение теплопроводности в обычной прямоугольной (декарто-
(декартовой) системе координат (ж, г/, z) получается на основе приведенной ин-
вариантой записи (уравнения B)-E)) с учетом того, что:
) д д Л дах дау daz
—, — >, diva= ——К -т-2- 4- -тг~-
х ay oz) ox ay oz
Отсюда следует, что уравнение B) можно записать следующим образом:
дТ д ( дТ\ д ( дТ\ д
dt дх у дх ) оу \ ду J dz
Аналогично выписываются и другие уравнения. Например, уравнение C)
переписывается с учетом того, что оператор Лапласа Д в декартовых
координатах есть
38 Глава 2. Математические модели теплофизики
2.1.2. Криволинейные ортогональные системы координат
Выпишем теперь основное уравнение теплопроводности в наибо-
наиболее широко используемых в вычислительной практике криволинейных
ортогональных системах координат.
Пусть функции х\ = xi(x,y,z)9 х2 = x2(x,y,z) и ж3 = x3(x1yiz)
определяют координаты точки (ж, у, г) в криволинейной ортогональной
системе координат (хих2,хз) и это преобразование не вырожденное.
Элемент длины и элемент объема в криволинейной ортогональной си-
системе координат даются выражениями:
ds *= (g\ dx\ + g\ dx\ + g\ dx\I/2 и dv = д\д2дг dxx dx2 dx3y
где gi, g2, дз — метрические коэффициенты.
Обозначим ii, i2, 1з — единичные векторы локального базиса. Тогда
для произвольного скаляра з/> имеем
I dip 1 dip I dip.
9\ 9х\ д2 дх2 # дх
Для вектора а = (ai,a2,a3) основные операции векторного анализа
в криволинейной ортогональной системе координат выглядят следую-
следующим образом:
diva=^ (Ы)+{)+
Среди повторных операций выделим оператор Лапласа:
9i929i
0 (9i9lty\ 9{9192-г_и ,.
+ ЬГ2\92 дх2) + дхА~ а~-11" (П)
Ранее (см. F)) было выписано уравнение теплопроводности в декартовых
координатах, дая которых х\ = ж, х2 = у, ж3 = z, g\ = 1, g2 = 1
и 0з = 1- Для цилиндрической системы координат имеем xi = г, х2 = ^,
a?3 = 2, Pi = l, 02 = ^и0з = Ьив соответствии с (8), (9) уравнение
теплопроводности B) примет вид
дт \
2.1. Теплопроводность твердых тел 39
Аналогично для сферической системы координат имеем х\ = г,
ж2 = 0, #з = у>, 9\ = 1, #2 = f> и (ft = rsin0. Поэтому уравнение
теплопроводности записывается следующим образом:
дТ 1 9/ ,0Т\ 1 д ( ЛдТ
1
д ( 1 дТ
I к
)+/. A3)
r2sin0d<p\ sin0 0y>,
Из A0), (И) можно получить и соответствующие выражения для ро-
ротора и оператора Лапласа в цилиндрических и сферических координатах.
2.1.3. Анизотропные среды
Мы привели уравнение теплопроводности для случая, когда среда
изотропна. Теплофизические характеристики многих твердых тел (напри-
(например, кристаллов, композиционных материалов) характеризуются анизо-
анизотропией, т. е. их свойства различны в различных направлениях. В этом
случае теплопроводность является не скаляром, а тензором второго ранга.
Для тензора теплопроводности к имеем
Пхх кху kxzl
к = КуХ Куу KyZ , A4)
[kzx kzy kZZm
причем этот тензор симметричный (кху = кух, kxz = kzx и т.д.).
Уравнение теплопроводности сохраняет свою форму в виде B) с уче-
учетом A4). В покоординатной записи вместо F) будем иметь
дТ 8 / дТ . дТ . dTs
а / ат t № , дт\ а /, ат
В случае однородной среды, когда теплофизические характеристики
постоянны, анизотропное уравнение теплопроводности A5) с учетом
симметричности тензора теплопроводности к упрощается к виду:
ет а^г д2т
Cpdt -k+k
Это уравнение характеризуется наличием смешанных производных. От
них можно избавиться, если перейти к некоторой новой прямоугольной
системе координат (х\ у\ z'), в которой уравнение A6) примет наиболее
простой вид:
дТ Э2Т 82Т д2Т
40 Глава 2. Математические модели теплофизики
Оси координат (х\ у\ z') называются главными осями теплопроводности,
а коэффициенты kx>y Ay, kz> — главными коэффициентами теплопровод-
теплопроводности соответственно.
2.1.4. Гиперболическое уравнение теплопроводности
Закон Фурье получен на основе предположения бесконечной скоро-
скорости распространения тепла в среде (градиент температуры и плотность
теплового потока в любой момент времени соответствуют друг другу).
Для высокоинтенсивных нестационарных тепловых процессов необходи-
необходимо учитывать конечность скорости распространения (инерцию) тепла.
Отражением этого служит закон Фурье с дополнительным членом:
(Z = -fcgradr-rr^, A8)
at
где тг = const — время релаксации тепловых напряжений. Для получения
уравнения переноса тепла подставим A8) в A) и получим
Уравнение A9) является уравнением гиперболического типа — гипербо-
гиперболическое уравнение теплопроводности.
2.1.5. Задачи
I Задача 1. Запишите в произвольной системе ортогональных координат
уравнение теплопроводности для движущейся однородной среды.
Решение. Рассматривается уравнение теплопроводности
дТ f
— + vgradT = аДТ+ ¦*- B0)
at cp
в произвольной ортогональной криволинейной системе координат. При-
Принимая во внимание (8) и A1), получим:
дТ vx дТ v2 дТ v3 дТ _
dt g\ дх\ g2 дх2 ^
gl dxij dx2\g2 dx2) dx3\ g3 dx3j\ cp'
Задача 2. Преобразуйте уравнение теплопроводности для движущейся
однородной среды к самосопряженному уравнению в условиях, когда
rotv = 0 {безвихревые, потенциальные движения).
2.2. Замыкающие соотношения 41
Решение. Снова рассматривается уравнение B0). Его несамосопря-
несамосопряженность обусловлена наличием конвективного слагаемого v grad Т. Для
того, чтобы от него избавиться, попробуем представить решение в виде
Т(ху у, z, t) = R(xy уу zy t)u(xy у, zy t) B1)
и подобрать соответствующим образом функцию R(xy yy zy t).
При rotv = 0 заданное поле скоростей можно представить в виде
v = gгadФ, где Ф — потенциал скорости. С учетом B1) уравнение
теплопроводности принимает вид:
ди (8R \
R~zr + ~тг- + grad Ф grad R 1 и + R grad Ф grad и =
dt \ dt )
= aRAu + aARu + 2а grad R grad и + —.
cp
Зададим функцию R так, чтобы выполнялось равенство R grad Ф =
2а grad R. С этой целью можно положить R = еф^2а\ Тогда для опреде-
определения неизвестной и получим искомое уравнение:
Это уравнение уже не содержит членов с первыми производными по про-
пространству. >
2.2. Замыкающие соотношения
2.2.1. Начальные и краевые условия
Распределение температуры в точках среды на различные моменты
времени определяется из уравнения в частных производных (уравнения
теплопроводности). Для однозначного определения температурного поля
Т(ху уу zy t) помимо уравнения теплопроводности необходимо сформули-
сформулировать дополнительные (замыкающие) соотношения, так как решения
уравнений в частных производных определяются с точностью до некото-
некоторых произвольных функций. Для того, чтобы исключить этот произвол,
и формулируются некоторые дополнительные соотношения: в некоторых
точках известно само решение, производные от решения в некоторых
направлениях и т.д.
Расчет температурного поля осуществляется в некоторой выбранной
области пространства. Для простоты ограничимся случаем постоянной
расчетной области п, в которой и ищется решение уравнения теплопро-
теплопроводности.
Будем считать, для определенности, что исследуется процесс тепло-
теплопередачи, начиная с момента времени t = 0 до некоторого момента време-
3 Зак 168
42 Глава 2. Математические модели теплофизики
ни t = *max > 0. Поэтому решение уравнения теплопроводности (см. B),
п. 2.1) ищется в цилиндре Q = {(ж, у, z, ?) | (ж, г/, z) G П, 0 < ? < *тах}, т. е.
дТ
ср— = div (ft grad T) + /, (ж, у, z, 0 G Q. A)
Это уравнение содержит частные производные как по пространству,
так и по времени. Поэтому дополнительные соотношения должны зада-
задаваться на множествах точек пространственной области ?2 и временного
интервала @, tmax), на некоторых множествах точек цилиндра Q.
Для уравнения теплопроводности обычно ставятся краевые задачи.
В этом случае дополнительные соотношения задаются на границе Q
и называются краевыми условиями. Условия на боковой поверхности
цилиндра Q соответствуют условиям по пространственным переменным
(на границе пространственной области П). Поэтому для таких условий
уместно использование термина граничные условия. Условия на нижнем
основании Q соответствуют заданию начальных условий.
Имеется возможность задания и более сложных условий. Например,
вместо начальных условий при t — 0 могут быть заданы дополнительные
условия на другом сечении цилиндра Q, например, при некотором
t = t*. Другими словами, множество точек, где заданы дополнительные
соотношения, может лежать и внутри Q. Некоторые возможности в этом
направлении обсуждаются ниже при выделении основных типов задач
для уравнения теплопроводности.
Обычно считается, что температурное поле задано на начальный
момент времени, т. е.
Т(х, у, z, 0) = Т°(ж, у, г), (ж, у, г) G п. B)
При рассмотрении высокоинтенсивных температурных процессов на ос-
основе гиперболического уравнения теплопроводности (см. A9), п. 2.1)
необходимо задавать два условия по времени. Например, в начальный
момент времени известна температура и скорость ее изменения во вре-
времени. Это позволяет задать помимо B) и условие:
—Т(х, у, z, t) = #(х, у, г), (я, у, *) G П, t = 0. C)
Задание условий типа B) требует при прикладном моделировании
проведения прямых измерений температуры на некоторый фиксирован-
фиксированный момент времени. Такие измерения не всегда возможны. Поэтому
могут использоваться и другие подходы. Например, для уравнения A)
могут быть приемлемыми условия на конечный момент времени, т. е.
вместо условия B) задано условие
Т(х, у, z, *max) = Гт(ж, у, *), (я?, у, г) G П. D)
В этом случае по условиям D) необходимо на основе уравнения тепло-
теплопроводности восстановить температурное поле в предыдущий момент
2.2. Замыкающие соотношения 43
времени t < tmax. Таким образом, мы формулируем ретроспективную
задачу для уравнениягтещюпроводности.
Среди граничных условий для уравнения теплопроводности выделя-
выделяют как основные граничные условия первого, второго и третьего рода.
Наиболее простая ситуация характеризуется заданием температурного
поля на границе дп (граничные условия первого рода):
Т(х} 2/, z, 0 = д(х, г/, я, *), (я, у, z, t) G Г, E)
где Г — боковая поверхность п: Г = {(х,г/,z,t) | (ж,у,г) € #П, О < t < tmax}.
Условия первого рода E) называются также условиями Дирихле.
Граничные условия второго рода (условия Неймана) соответствуют за-
заданию на границе теплового потока. Для уравнения теплопроводности A)
в изотропной среде оно записывается в виде:
€\Гр
k— = q(x, у, z, <), (*, У у *, t) 6 Г, F)
где через д/дп обозначена внешняя по отношению к области п нормаль
к границе дп.
Более сложная ситуация возникает с постановкой граничных условий
второго рода для уравнения теплопроводности в анизотропных средах
(см. A5), п. 2.1). Пусть cos(n,ж), cos(n,у), cos(n,z) — направляющие
косинусы внешней нормали. Поток определяется выражением
дТ ( дТ дТ дТ\ . ч
- = [кхх- + кху- + kxz-j cos(»f х) +
дт дт , дт
- + k2Z-)cos(n,z), G)
которое соответствует дифференцированию по нормали. Граничное усло-
условие второго рода записывается в виде
— = q(x,y,z,tI (*,?,*,«)€ Г, (8)
которое обобщает условие F) (определяя д/ди = к д/дп) на случай
анизотропных сред.
Граничное условие третьего рода моделирует конвективный теплооб-
теплообмен между поверхностью твердого тела с окружающей средой, которая
имеет температуру Тс. Обычно считается, что тепловой поток пропорци-
пропорционален разности температур между поверхностью и окружающей средой
и поэтому для изотропной среды имеем
k^L + а(т ^ Тс) = о, (х, у, z, t) e Г, (9)
дп
44 Глава 2. Математические модели теплофизики
где а — коэффициент теплообмена. Аналогично формулируется соответ-
соответствующее условие (см. (8)) в случае анизотропных сред.
Граничные условия третьего рода могут рассматриваться как наиболее
общие из приведенных выше. Эти условия можно записать в форме
к— + а(Т -g) = q, (я, У) s, t) G Г. A0)
on
Тогда при а —> 0 из A0) мы получим условие второго рода F) и, напротив,
при а -*• оо следуют условия первого рода E).
2.2.2. Условия сопряжения
Отдельного обсуждения заслуживают условия на границе контакта
двух сред с различными теплофизическими характеристиками — условия
сопряжения. Прежде всего остановимся на вопросе, какие условия сопря-
сопряжения естественны для уравнения теплопроводности и следуют из самого
уравнения, а следовательно, их можно явно не формулировать. В этом
случае условия контакта обуславливаются только разрывами теплофизи-
ческих характеристик при переходе границы сред.
Будем считать, что контакт двух однородных сред проходит по плос-
плоскости х = 0. Теплофизические характеристики, отнесенные к среде,
занимающей полупространство х > 0, будем помечать плюсом, а для
второй среды (когда х < 0) будем использовать обозначения с минусом.
Рассмотрим уравнение теплопроводности в виде
причем коэффициенты уравнения разрывны при х = 0:
, *>0,
(с+, р+,к+,
С учетом такого разрыва коэффициентов уравнения A1) естественно
считать, что само решение уравнения (температура Т) непрерывно, а вот
его первые производные уже разрывны. Поэтому напишем условие не-
непрерывности температуры при переходе из одной среды в другую в форме
[Г] = 0, х = 0, A3)
где через [ ] обозначен скачок при переходе границы контакта. В рассма-
рассматриваемом случае [Т] = Т(х + 0, у, z) - Т(х - 0, у, z). Осталось сформу-
сформулировать условия сопряжения для первых производных температуры.
Для того, чтобы получить реализуемые (естественные) условия со-
сопряжения для уравнения теплопроводности A1) с разрывными коэффи-
коэффициентами A2), можно поступить следующим образом. Выделим на гра-
границе контакта некоторую ограниченную область 6S и проинтегрируем
исходное уравнение теплопроводности A1) по области шириной 2е:
2.2. Замыкающие соотношения 45
Qe = {(x,y,z) \ —e < х < ?, (j/,z) ? ?5}. С учетом непрерывности
температуры (условие A3)), конечности разрывов при е —> О получим:
дх дх
6S
В силу произвольности элемента 6S получим условие сопряжения в виде:
A4)
Условие сопряжения A4) отражает непрерывность теплового потока.
Естественные условия сопряжения записываются аналогично A3),
A4) на произвольной криволинейной границе сопряжения двух сред S —
внутренней границе области п. Они отражают непрерывность темпера-
температуры и теплового потока и записываются в виде:
[Г] = 0, (*,»,*) €5, A5)
= 0, (x,y,z)eS. A6)
Условия сопряжения A5), A6) есть условия идеального контакта. Под-
Подчеркнем еще раз, что условия A5), A6) являются естественными для урав-
уравнения A1) с разрывными коэффициентами A2), они включены в само
уравнение и нет необходимости каждый раз формулировать их отдельно.
В случае анизотропной среды вместо A6) используется условие
непрерывности теплового потока в форме
[S]=°> («,»,«) €5, A7)
L J
где использованы обозначения G).
Если на границе двух сред не выполнены условия идеального кон-
контакта (непрерывности температуры и теплового потока), то необходимо
специально формулировать условия сопряжения, которые дополняют
уравнение теплопроводности, записанное в каждой отдельной среде. Эти
условия сопряжения отражают особенности тепловых процессов на гра-
границе контакта, особенности поведения решения задачи при переходе
границы контакта и не всегда могут включаться в само уравнение тепло-
теплопроводности. Рассмотрим некоторые возможности в этом направлении.
Пусть на границе контакта имеется поверхностный тепловой источ-
источник мощности qs. Тогда справедливо предположение о непрерывности
температуры, т. е. выполнено условие A5), а вот тепловой поток претер-
претерпевает разрыв. Вместо однородного условия сопряжения A6) необходимо
записать неоднородное условие сопряжения вида:
: q$, (х, у, z) t о. \lo)
46 Глава 2. Математические модели теплофизики
Условия сопряжения A5) могут включаться в само уравнение те-
теплопроводности, которое записывается для всей расчетной области без
выделения границы контакта S. Поверхностный источник тепла учиты-
учитывается дополнительным слагаемым в уравнении A1):
(и 1 I и \
В уравнении A9) 6s есть поверхностная ?-функция, определяемая так,
что для любой функции Р(ху у, z) справедливо соотношение:
/ 6sP(xy y3 z) dx dydz= / Р(ж, j/, z) ds.
n s
В вычислительной теплофизике выделяют и другие типы условий
сопряжения. В качестве примера отметим условия типа сосредоточенной
теплоемкости, когда также имеет место непрерывность температуры,
а разрыв теплового потока определяется соотношением:
*я" = °sP^r, (*.У.^) € 5, B0)
771J G6
где cs — сосредоточенная теплоемкость контакта. Условия сопряже-
сопряжения A5), B0) с использованием поверхностной ?-функции включаются
в уравнение теплопроводности подобно уравнению A9).
В прикладных исследованиях большого внимания заслуживают усло-
условия неидеального контакта. Такой случай реализуется, например, при
недостаточно плотном соприкосновении шероховатых твердых тел. При
неидеальном контакте тепловой поток непрерывен, что является отраже-
отражением закона сохранения энергии. Таким образом одно условие сопряже-
сопряжения мы имеем — условие A6). Температура при переходе границы неиде-
неидеального контакта терпит разрыв, пропорциональный тепловому потоку:
где коэффициент контактного теплообмена а связан с условиями кон-
контакта.
2.2.3. Прямые и обратные задачи
для уравнения теплопроводности
Выделим некоторые основные классы задач для уравнения тепло-
теплопроводности. Прежде всего мы рассматриваем краевые задачи, кото-
которые характеризуются заданием соответствующих начальных и граничных
условий. Например, для уравнения теплопроводности A) может быть
поставлена первая краевая задача, когда уравнение дополняется началь-
начальным условием B) и граничным условием первого рода E). Аналогично
2.2. Замыкающие соотношения 47
ставится вторая краевая задача, когда вместо E) используется условие F),
третья краевая задача — условие (9).
Можно выделить в качестве самостоятельного объекта исследования
случай, когда на части границы 6п\ заданы граничные условия одного
рода, а на оставшейся части 8U2 (#^2 = дп \ д?1\) — другого. Например,
для уравнения A) граничные условия могут иметь вид:
Т(ж, у} z, t) = g(x, у, ж, 0, (я, у, z, t)eTu
дТ
к~дп = д^'у' *' '^ ^ж' у'*' ^ е Ть
где Га = {(ж, у, z, t) | (ж, у, z) G dQa) 0 < t < *max}, а = 1,2. Тем самым
мы имеем смешанные граничные условия, смешанную краевую задачу.
Отмеченный класс краевых задач характеризуется тем, что дополни-
дополнительные условия задаются на границе 8Q, (боковой поверхности Г) и при
t = 0 (начальные условия). Это важнейший класс задач для уравнения те-
теплопроводности, хорошо исследованный в теории уравнений с частными
" производными.
Рассматриваемые краевые задачи относятся к классу корректно по-
поставленных (корректных по Адамару). Напомним, что задача для урав-
уравнения с частными производными называется корректно поставленной
задачей, если выполнены следующие три основные условия:
1) решение задачи существует;
2) это решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от коэффициентов уравнения и допол-
дополнительных условий (граничных и начальных условий).
Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то задача относится
к классу некорректно поставленных задач. Чаще всего некорректность
связывается с нарушением условия устойчивости решения (условия 3)
по отношению к малым возмущениям входных параметров задачи.
Интерпретация краевых задач с точки зрения причинно-следствен-
причинно-следственных связей позволяет рассматривать краевые задачи как прямые задачи
для уравнения теплопроводности. Нарушение причинно-следственных
связей в обратных задачах проявляется чаще всего в том, что обратные
задачи являются некорректно поставленными.
Обратные задачи для уравнения теплопроводности состоят в том, что
необходимые замыкающие условия (граничные и начальные) не полно-
полностью заданы или/и не полностью определено само уравнение (не заданы
коэффициенты, правая часть, не определена расчетная область). Вме-
Вместо этого известна некоторая дополнительная информация о решении,
уравнении, области и т.д. Надо иметь в виду, что эта дополнитель-
дополнительная информация может задаваться в самом различном виде. Некоторые
возможности в этом направлении рассматриваются ниже.
48 Глава 2. Математические модели теплофизики
Простейшим примером обратной задачи теплопроводности может
служить задача, для которой вместо начальных условий B) при t = 0 за-
заданы условия D) на момент времени t = *max (ретроспективная обратная
задача теплопроводности, задача с обратным временем). Важное приклад-
прикладное значение имеют обратные задачи для уравнения теплопроводности,
когда не заданы необходимые граничные условия. Например, на части
границы дп\ заданы два условия, а на оставшейся части границы 8U2
условия не заданы, например,
Т(х, у, z, t) = g(x, у, ж, *), (ж, 2/, z, t)eTu B2)
k— = q(x, у, z, 0, (ж, г/, z, 0 € Г,. B3)
Такая ситуация имеет место, когда по каким-либо причинам часть гра-
границы 9П2 недоступна для прямых измерений температуры и теплового
потока.
2.2.4. Задачи оптимизации
В обратных задачах теплообмена дополнительная информация мо-
может иметь простейший вид и соответствовать заданию температуры и/или
теплового потока во внутренних точках расчетной области П и/или на ее
границе, как и в прямых задачах теплообмена. Выделим отдельно класс
задач, в которых неизвестные величины определяются на основе мини-
минимума одного или нескольких функционалов. Речь идет о задачах условной
минимизации, когда ограничения состоят в том, что минимизация ве-
ведется на решениях краевой задачи для уравнения теплопроводности. Тем
самым речь идет о задачах оптимизации для уравнения теплопроводности.
Например, обратная задача по восстановлению граничного режи-
режима A), B), B2), B3) может быть сформулирована и как задача оптими-
оптимизации. Обозначим
Т(я, у, z, t) = ф, у, ж, 0, (ж, 2/, z, t) e Г2, B4)
где, v — искомая функция. Решение уравнения теплопроводности A),
дополненное начальным условием B) и граничными условиями B2),
B4), обозначим Т = T(v; x, у, z, t). Граничный режим на Г (функцию w)
определим из условия (см. B3)):
J(w) = minJ(v), B5)
где
J(v) = f (k^ - q(x, у, z, О) ds. B6)
Подобным образом формулируются и задачи оптимального управле-
управления щш уравнения теплопроводности. Задача минимизации B5), B6)
2.2. Замыкающие соотношения 49
на множестве ограничений A), B), B2), B4) в этом случае интерпретиру-
интерпретируется следующим образом. Необходимо определить граничный тепловой
режим B4) (оптимальный режим) с тем, чтобы достигалось необходимое
качество (функционал B6)).
Таким образом, можно выделить три основных класса задач для
уравнений теплопроводности. Первый из них связан с рассмотрением
стандартных краевых задач — прямых задач теплообмена. Второй класс
прикладных задач — это обратные задачи теплообмена, третий — задачи
оптимизации, задачи оптимального управления.
2.2.5. Задачи
Задача 1. Внутри изотропной среды находится однородное включение
с границей S, коэффициент теплопроводности которого значительно
больше коэффициента теплопроводности среды. От включения в окру-
окружающую среду передается количество теплоты Qs(t)- Рассматривая
процессы теплопроводности в среде, сформулируйте необходимые гра-
граничные условия на границе включения.
Решение. В силу того, что коэффициент теплопроводности включе-
включения значительно выше, чем для окружающей среды, можно считать, что
на S поддерживается некоторая постоянная температура:
Т(я, у, z, *) = go(t), (x, у, z) e S. B7)
Эта температура определяется из дополнительного интегрального соот-
соотношения. В силу закона сохранения энергии имеем
fk^ds = qs(t). B8)
J on
Условия B7), B8) есть искомые нелокальные условия на границе включе-
включения 5.
Учет теплоемкости включения приводит к уточнению условия B8):
/¦
дп
где М — масса включения, а с — его удельная теплоемкость. >
I Задача 2. Сформулируйте условия идеального контакта для уравнения
теплопроводности движущихся сред.
Решение. Рассматривается уравнение теплопроводности (см. E),
п. 2.1), которое удобно переписать в каждой отдельной среде в виде
сьгр
ср— + div (\срТ) - Т div (еру) = div (к grad T) + /.
at
50
Глава 2. Математические модели теплофизики
Рассуждения, подобные проведенным выше, позволяют сформулировать
следующие условия сопряжения:
[Г] = 0,
дТ
(ж, у, г) е 5,
где vn — нормальная компонента скорости. >
2.3. Фазовые превращения
2.3.1. Классическая задача Стефана
Мы рассматриваем фазовые превращения с участием твердой фазы —
твердое тело—жидкость. Примером таких проблем являются процессы
затвердевания и плавления в металлургии. Соответствующие математи-
математические модели характеризуются наличием подвижных заранее неизвест-
неизвестных границ фазового перехода — задач со свободными (неизвестными)
границами.
Основная предпосылка при мо-
моделировании фазовых превращений
твердое тело—жидкость состоит в том,
что фазовый переход происходит при
заданной постоянной температуре фа-
фазового перехода Г*. Пусть фазовый
переход происходит на границе раз-
раздела фаз, которую мы обозначим S,
причем S = S(t). Эта граница раз-
разделяет расчетную область ft на две
подобласти. Область ft+(?), занятая
жидкой фазой, где температура пре-
превышает температуру фазового перехо-
перехода, есть u+(t) = {(ж,г/,z) G ft, T(x,y,z,t) > Г*}. Соответственно,
область ft~(?), занятая твердой фазой, ft~(?) = {(ж,у, z) \ (x,y,z) G П,
Т(х, у, z,t) < Т*} (см. рис. 2.1). Аналогичные обозначения используем
и для теплофизических величин в каждой отдельной фазе.
Выпишем соответствующие уравнения теплопроводности. В твердой
фазе имеем
Рис. 2.1
с р
= div(fc-gradT ) + / ,
, y,z,t)eQ ,
A)
где Q = {(х, у, z,t) | (ж, з/, z) G ft , 0 < t < гтлх}. Учитывая конвектив-
конвективный перенос в жидкой фазе, получим
дТ+
B)
2.3. Фазовые превращения 51
Нас интересуют условия на границе фазового перехода 5. Прежде
всего на этой границе контакта двух сред справедливы предположения
о непрерывности температуры, т. е.
[т] = о, (*,y,*)es. (з)
Фазовый переход сопровождается выделением/поглощением определен-
определенного количества тепла. Поэтому тепловой поток на границе фазового
перехода разрывен и определяется величиной
= -LVni (Xiy,z)eS. D)
Здесь L — энтальпия фазового перехода, a Vn — скорость движения
границы фазового перехода по нормали.
Как мы уже выше отмечали, предполагается, что фазовый переход
происходит при постоянной температуре Т*. Поэтому сама граница
фазового перехода S определяется на каждый момент времени следующим
образом: S = S(t) = {(ж,у,z) E ft, Т(ж,у,zy t) = Т*} или, в другой
форме, на границе фазового перехода выполнены условия первого рода:
T{x,y,z,t) = T\ {x,y,z)eS(t). E)
Условия C)-E) есть условия Стефана, а соответствующая задача для
уравнений A), B) называется задачей Стефана. Рассматриваемая задача
характеризуется тем, что исследуются процессы в обоих фазах, поэтому
в этом случае говорят о двухфазной задаче Стефана. Предельная ситуация
характеризуется тем, что тепловое поле в одной из фаз известно (темпе-
(температура равна температуре фазового перехода). Поэтому рассматривается
тепловое поле только для одной из фаз — однофазная задача Стефа-
Стефана. В этом случае неизвестная граница фазового перехода S является
не внутренней, а внешней.
Например, будем считать, что область ft" занята твердой фазой
при температуре Т*. Тогда для нахождения температуры в жидкой фазе
используется уравнение B) в переменной области ft+(?) со следующими
условиями на S:
T+{x,y,z,t) = T\ (x,y,z)eS(t). F)
k+??- = -LVn) (s,y,z)€S(t). G)
era
Условия типа F), G) характеризуют однофазную задачу Стефана.
В некоторых случаях приближение Стефана не всегда оправдано.
Различные уточнения математических моделей фазовых превращений
активно обсуждаются в литературе. Не касаясь деталей, отметим следу-
следующий основной момент. Условие Стефана E) основано на предполо-
предположении мгновенного выравнивания температуры к температуре фазового
перехода и соответствует фактически предположению неограниченности
скорости фазового перехода. Это предположение в ряде случаев про-
противоречит действительности. Ситуация напоминает проблему описания
52 Глава 2. Математические модели теплофизики
высокоинтенсивных тепловых процессов (гиперболическое уравнение те-
теплопроводности). Для того чтобы избежать этого, можно использовать
вместо граничного условия первого рода E) более общее граничное усло-
условие третьего рода, получение которого базируется на описании кинетики
фазового перехода. Например, вместо условия F) в однофазной задаче
использовать условие
к+^- + а*(Т+-Г) = 0, (x,y,z)€S(t), (8)
которое ограничивает тепловые потоки к границе фазового перехода.
Условие (8) используется наряду с условием G), которое выражает закон
сохранения энергии при любом движении границы фазового перехода.
2.3.2. Обобщенная формулировка задачи Стефана
С точки зрения построения эффективных вычислительных алгорит-
алгоритмов чрезвычайно важное значение имеет тот факт, что задача Стефа-
Стефана допускает обобщенную формулировку, при которой условия C)-E)
включаются в само уравнение теплопроводности. Включение неоднород-
неоднородных условий сопряжения на заданной границе раздела в само уравнение
обсуждалось выше (см. A9), п. 2.2). В задаче Стефана ситуация осложня-
осложняется тем, что граница раздела фаз S сама неизвестна, ее-то и нужно найти.
Поясним переход от уравнений A), B) с условиями C)-E) к одному
уравнению теплопроводности. В соответствии с п. 2.3 уравнения A), B)
можно записать в виде одного уравнения
= div(kgmdT)-6sLVn + f, (xyy,z,t)eQ. (9)
Вблизи границы фазового фронта введем локальную ортогональную коор-
координатную систему (ж', у\ z')9 метрические коэффициенты которой равны
единице. В этих новых координатах поверхностная ?-функция 6 s есть
6$ = 6(х' - а?о), где уравнение х1 = x'Q определяет границу S. Анало-
Аналогично для скорости движения свободной границы имеем Vn = dx'/dt.
Условие Стефана E) соответствует тому, что в новых координатах
Т = Т(х', у\ z\ t)9 T(x'o, у1 у z\ t) = T*.C учетом этого получим
68Vn = 6(х' - *о)^ = б(Т - Т*)^. A0)
Подстановка A0) в (9) дает искомое уравнение
=div(fcgradT) + /, (s,y,z,*)€Q. A1)
)
t J
Уравнение A0) примечательно тем, что сама неизвестная граница фа-
фазового перехода явно не присутствует. Учет теплоты фазового перехода
эквивалентен заданию эффективной теплоемкости:
2.3. Фазовые превращения
53
Квазилинейное уравнение теплопроводности A1) лежит в основе эффек-
эффективных вычислительных процедур приближенного решения задач типа
Стефана.
2.3.3. Квазистационарная задача Стефана
Выделим как самостоятельную задачу с фазовыми переходами, ко-
когда рассматривается стационарное тепловое поле в движущейся среде.
Обозначим постоянную скорость движения среды v0 и пусть вектор s
определяет направление движения. Тогда в уравнении A1) v = vo = vos.
Стационарное температурное поле Т = Т(#, у, z) с учетом фазового пе-
перехода будет определяться из уравнения
v0 (cp + L6(T - Г*)) — = div (к grad T) + f,
(x,y,z)€u. A2)
Тем самым квазистационарная задача Стефана характеризуется тем, что
в каждой отдельной подобласти (в П+ и п~) тепловое поле описывает-
описывается эллиптическим уравнением второго порядка A2), граница фазового
перехода неподвижна, но неизвестна.
2.3.4. Фазовые переходы в многокомпонентных средах
- Рассматриваемая выше задача Стефана относится к случаю, когда
претерпевает фазовый переход чистое вещество. Большое практическое
значение имеют проблемы затвердевания/плавления веществ с примесью,
многокомпонентных сред. Остановимся на случае сплава двух веществ.
Проблема затвердевания в данном случае определяется тем, что фа-
фазовый переход для одного вещества происходит при одной температуре,
второго вещества — при некоторой другой (различаются температуры фа-
фазового перехода). Поэтому существует
какой-то интервал температур, при ко-
котором одна часть вещества находится
в жидком состоянии, вторая — в твер-
твердом (двухфазная зона).
Пусть индекс 0 соответствует пер-
первому веществу, индекс 1 — второму.
Обозначим через С концентрацию вто-
второго вещества. Эта ситуация схематич-
схематично отражена на диаграмме фазового
состояния (рис. 2.2). При С = О и С = 1 (присутствует только одно
вещество) фазовый переход происходит при заданной температуре фазо-
фазового перехода (Го* и Т* соответственно). При некоторой промежуточной
концентрации С' затвердевание начинается при некоторой температуре
Т\щ(С) (температура ликвидус) и полностью заканчивается при темпера-
температуре Tsoi(C;) (температура солидус). Таким образом, простейшая модель
затвердевания бинарного сплава может основываться на задании этого
характерного интервала температур.
54
Глава 2. Математические модели теплофизики
Рис. 2.3
Расчетная область П теперь будет
состоять из трех подобластей (рис. 2.3):
как и ранее из области n+(t), занятой
жидкой фазой, области П~, занятой
твердой фазой, и области П*^), где
происходит затвердевание, где присут-
присутствуют обе фазы: {^(t) = {(яг, у, z) \
(x,y,z) ей, Tso, < Т < Тщ}. Опре-
Определим через Ф(Г) долю твердой фа-
фазы при температуре Т. Тогда уравне-
уравнение теплопроводности для всей обла-
области можно записать в виде:
[cp-L—J I — +vgradTj =div(fcgradT) + /, (x,y,zyt)eQ. A3)
Естественно, что из уравнения A3) следует уравнение (И) для чи-
чистого вещества, когда
Т < Т\
О, Т>Т\
причем Т* = Tyiq = Tsoi. Уравнение A3) лежит в основе простейшей
квазиравновесной модели двухфазной зоны.
При моделировании конкретных процессов может оказаться спра-
справедливым предположение о том, что ширина двухфазной зоны мала
(по сравнению с характерными линейными размерами задачи). Поэтому
можно ограничиться простейшим предположением о заданной зависимо-
зависимости температуры фазового перехода от концентрации (Т* = Тущ = Т^):
Г(х, у, z, t) = Т\С% (х, у, z) e 5@-
A4)
При моделировании сплавов часто необходимо рассматривать и пе-
перераспределение примеси за счет фазовых переходов (особенно в жидкой
фазе). Не останавливаясь на этом детально, отметим в качестве харак-
характерной задачу с узкой двухфазной зоной. Тепловое поле описывается
уравнениями A), B), дополненными условиями C), D) на границе
фазового перехода 5, которая определяется согласно A4).
Аналогично ставиться задача и для определения концентрации.
В частности, соответствующие уравнения диффузии имеют вид:
дС~
dt
= div(?> gradC ),
+ div (v C+) = div (?>+ grad C+),
A5)
A6)
dt
где D+}D~ — коэффициенты диффузии в жидкой и твердой фазах
соответственно.
2.3. Фазовые превращения 55
Сформулируем простейшие условия на границе фазового перехода
для концентрации. Концентрация примеси на границе фазового перехода
разрывна, и обычно используемое приближение основано на предполо-
предположении о том, что
С~ = ксС+у (xyyiz)eS1 A7)
где кс — коэффициент распределения примеси. Для определенности бу-
будем считать, что условие A4), определяющее границу фазового перехода,
записывается при С+.
Закон сохранения массы позволяет сформулировать следующее усло-
условие сопряжения для потоков (v = 0 на S в уравнении A6)):
)— + vnc\ =0, (x,y,z)es.
Принимая во внимание A7), это условие можно записать в виде
Условия сопряжения A7), A8) дополняют уравнения диффузии A5), A6).
Естественно, формулируются и некоторые условия на границе расчетной
области, которые мы здесь не обсуждаем.
2.3.5. Задачи
I Задача 1. Сформулируйте условия на границе фазового перехода для
скорости в жидкой фазе с учетом скачка плотности.
Решение. Если плотность непрерывна на границе фазового перехо-
перехода, то для скорости в жидкой фазе получим естественное условие v = 0,
)
Изменение плотности (характерно ее уменьшение) при переходе
из твердой фазы в жидкую приводит к тому, что скорость по нормали
к границе фазового перехода отлична от нуля (расширение вещества) в то
время, как касательная составляющая остается равной нулю, т. е.
vxn = 0, (x,y,z)eS. A9)
Закон сохранения массы дает следующую связь между vn и скоростью
движения границы фазового перехода Vn:
Отсюда получаем
(*,у,*)€5. B0)
Р+,
Условия A9), B0) полностью определяют скорость жидкой фазы на гра-
границе фазового перехода. ь
56 Глава 2. Математические модели теплофизики
Задача 2. В квазистационарной задаче Стефана для однородной среды
укажите преобразование уравнения теплопроводности, которое позво-
позволяет избавиться от конвективных членов (слагаемых с производными
по направлению /).
Решение. В отдельных подобластях П+ и П~ справедливо стацио-
стационарное уравнение теплопроводности
8Т f
v0—- = аДТ+ —, (ж, 2/, z) е Ю+ U П . B1)
ol ср
Рассмотрим выражение
а а
— div (R grad T) = a AT + --(grad Д, grad T).
XI it
Сравнивая с B1), выберем функцию R(x} у, z) так, чтобы выполнялось
равенство
|gradi? = v0. B2)
Для любого постоянного вектора vo равенство B2) будет выполнено при
R(x, у, z) = ехр | - -rv0 >u(x, yy z), B3)
где г = xi -f j/j + a;k. Подстановка B2), B3) в уравнение B1) дает искомое
уравнение
div (R grad T) + Д — = 0, (ж, у, z)Gfi+Ufi'.
Тем самым получили самосопряженные уравнения в каждой отдельной
подобласти. >
2.4. Конвективный теплообмен
2.4.1. Уравнения Навье—Стокса
Конвективный перенос тепла обусловлен движениями самой среды.
Например, очень важно учитывать конвективный перенос при рассмо-
рассмотрении процессов теплопередачи в жидкости (расплаве). Математические
модели теплопроводности в этом случае должны дополняться моделями
движения самой среды, механики сплошной среды. Приведем характер-
характерные модели движения теплопроводящей среды, широко применяемые
в прикладных исследованиях.
Рассматриваются процессы теплопередачи в жидкости (газе). Закон
сохранения массы дает уравнение непрерывности:
^ 0. A)
2.4. Конвективный теплообмен 57
Во многих случаях (медленные по отношению к скорости звука движения
среды) можно считать плотность жидкости постоянной для всей среды
в любой момент времени (модель несжимаемой жидкости). В этом случае
уравнение A) принимает вид:
divv = 0. B)
Для компонент скорости используем обозначения v = (и, v, w). Урав-
Уравнения движения вязкой среды {уравнения Навье—Стокса) записываются
в виде:
ди \ др д д д
+vgrz6u)=-- + -axx + -axy + -axz + pfx,
dv /\ dp д д д
ayx + ayy + ^ + p/y, C)
dw л \ др д д д
В C) f = (Д,/У,Л) — вектор массовых сил, а через а^ обозначены
компоненты симметричного тензора вязких напряжений.
Для несжимаемой ньютоновской жидкости имеем
ди dv dw
"..=2*-, ^=2^' a"=2T}^
dv\ /ди dw\ (dv dw w
где rf — коэффициент вязкости. Подстановка D) в C) дает искомые
уравнения движения несжимаемой жидкости.
Для однородной среды, когда все характеристики постоянны, урав-
уравнения Навье—Стокса упрощаются и принимают вид:
р[ — +vgradv) = -gradp + r/Av + pf. E)
\dt )
Учет сжимаемости среды приводит к появлению дополнительного слага-
слагаемого в уравнении E):
р( — +vgradvj = -gradp + r]A\+ К+ - )
grad div v -I- pi, F)
где ? — коэффициент второй вязкости. Часто используется простейшее
предположение о том, что ? = 0.
Уравнение непрерывности и уравнения Навье—Стокса описывают
движение среды. Осталось записать уравнение теплопроводности в жид-
жидкости. Наиболее просто оно выглядит в случае несжимаемой среды:
IдТ \
Cppl — +vgradTJ =div(fcgradT) + ^. G)
58 Глава 2. Математические модели теплофизики
Здесь Ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, а г)Ф —
член, который определяет энергию диссипации в виде тепла за счет
вязкости, вязкого трения. Для Ф имеется выражение
dv\2 (ди dw
Учет сжимаемости среды приводит к уточнению диссипативной функ-
функции Ф и к появлению дополнительного слагаемого в уравнении тепло-
теплопроводности G).
Система уравнений B), E), G) является основной для моделирования
конвективных движений вязкой однородной жидкости. В качестве неиз-
неизвестных выступают температура Т, скорость v и давление р. Плотность
при этом считается заданной. Эта система дополняется соответствую-
соответствующими граничными и начальными условиями. Например, на границе
расчетной области ?1 заданы однородные условия для скорости:
v = 0, (x,y,z)eduy (9)
т. е. выполнены условия непротекания (vn = 0) и прилипания (vxn = 0) —
условия твердой стенки. Для рассматриваемой системы уравнений B),
E), G) характерно то, что явно уравнения для давления нет, но зато
фактически имеется два уравнения (одно векторное — E) и одно ска-
скалярное — B)) для скорости. То же, в определенной мере, можно сказать
и относительно граничных условий (см., например, (9)).
Можно исключить давление из уравнения движения E). Для этого
используется соотношение
vgradv = -gradv2 -vx rotv. A0)
Подставляя A0) в E) при постоянных р и rj и применяя к обоим частям
уравнения операцию rot, получим
—-т rot (v x rot v) = i/А rot v + rot f, A1)
где v = г)/р — коэффициент кинематической вязкости. Таким образом
приходим к системе уравнений B) и A1) для определения скорости.
2.4.2. Двумерные течения
Рассмотрим более подробно случай, когда распределение тепло-
физических и гидродинамических характеристик движущейся жидкости
не зависит от одной координаты, от 2. Тогда мы приходим к двумерной
по пространству задаче тепло- и массопереноса. Для моделирования та-
таких плоских течений широко используются переменные «функция тока,
2.4. Конвективный теплообмен 59
вихрь скорости» вместо физических (естественных) переменных «ско-
«скорость, давление».
Уравнение непрерывности несжимаемой жидкости B) принимает
вид:
ди dv Л
0
Из A2) видно, что для компонент скорости «иг» можно использовать
представление через функцию тока ¦ф, (¦ф = const — линии тока):
Существенно то, что при таком представлении уравнение непрерывно-
непрерывности A2) выполняется автоматически.
Для вихря скорости двумерных течений имеем
Принимая во внимание A3), получим
и> = -Д^. A4)
Уравнение движения возьмем в форме A1). Непосредственные выкладки
Принимая во внимание A3), конвективное слагаемое в уравнении A5)
можно записать в несколько другом виде:
>, <ф) 8ш д'ф ди) дг/>
div(a;v) = vgrada; =
D(x, у) дх ду ду дх'
как якобиан преобразования (о;, ip) —> (ж, у).
Система уравнений A4), A5) и есть искомая система уравнений
движения вязкой несжимаемой жидкости в переменных «функция тока,
вихрь скорости».
Подстановкой A4) в A5) можно исключить и вихрь скорости и по-
получить одно псевдопараболическое уравнение четвертого порядка для
функции тока ^, (^-уравнение):
М + D(x,y) V дх + ду У }
Аналогично преобразуется и уравнение теплопроводности
60 Глава 2. Математические модели теплофизики
с соответствующим выражением для диссипативной функции Ф:
Ф =
\0я2 0J
Переход к переменным «функция тока, вихрь скорости» несколь-
несколько упрощает исходные уравнения. В частности, вместо трех уравнений
(уравнение непрерывности и два уравнения для компонент скорости)
имеем два стандартных уравнения математической физики для функции
тока A4) (эллиптическое уравнение) и для вихря скорости A5) (парабо-
(параболическое уравнение). Однако для таких новых неизвестных определенные
сложности возникают при реализации граничных условий.
Например, условия непротекания и прилипания (см. (9)) дают два
условия для функции тока:
дф
i> = const, -? = 0, (ж, у) е дп. A7)
on
Тем самым мы имеем два условия для уравнения A6), но не имеем условий
для вихря скорости. Кроме того, величина константы в условиях A7)
может быть не задана (например, при течении в многосвязных областях),
а определяется из дополнительных условий (см. задачу 2).
2.4.3. Свободная конвекция
Большое внимание в теоретических исследованиях проблем тепло-
и массообмена уделяется свободной конвекции — движению жидкости
в поле сил тяжести, обусловленному неравномерностью температурного
поля.
Жидкость обычно считается несжимаемой и изменение плотности
учитывается только в задании гравитационных сил. Температура и плот-
плотность отсчитываются относительно некоторого стационарного равновес-
равновесного состояния То = const, />0 = const. Поэтому Т = Го + Т', р = ро + р1
и Т1, р1 малы. Изменение плотности с температурой учитывается следу-
следующим выражением для р': р' = -ро/ЗТ', где J3 — коэффициент темпера-
температурного расширения.
Производится линеаризация уравнения Навье—Стокса E) при усло-
условии, что f = pg, где g — вектор ускорения свободного падения. В линей-
линейном приближении {приближении Буссинеска) получим
A8)
Уравнение для температуры берется в виде:
Срр ( — + v grad T')= div (k grad T1) + 7/Ф. A9)
Система уравнений B), A8), A9) является основной для описания сво-
бодноконвективных движений жидкости. Она дополняется соответству-
соответствующими граничными и начальными условиями.
2.4. Конвективный теплообмен 61
2.4.4. Другие модели
Отметим в качестве важных прикладных моделей тепло- и мас-
сопереноса модели установившегося течения однородной несжимаемой
жидкости по трубе произвольного сечения. Будем считать, что на грани-
границе поддерживается постоянный температурный режим. Пусть ось трубы
совпадает с осью z. Скорость жидкости направлена по оси z и является
функцией координат х и у. Аналогично Т = Т(х, у). В этих предположе-
предположениях уравнение непрерывности B) выполняется тождественно, уравнение
движения E) дает:
Из уравнений B0), B1) следует постоянство давления по сечению трубы
и в силу и = и(х, у) из B0) имеем dp/dz = const = 6p/l, где Sp — заданная
разность давлений на концах трубы, а I — длина трубы. Уравнение
Пуассона B0) для распределения продольной скорости рассматривается
в сечении трубы п и дополняется граничным условием прилипания:
и = 0, (ж, у) 6 «П. B3)
Аналогично для температуры однородной жидкости из G), (8) полу-
получим
д2Т д2Т т)\(дч\2 (ди\2Л / .
Граничное условие имеет вид:
Т = То = const, (ж, у) е дп. B5)
Уравнение B4) и граничное условие B5) определяют поле температур
при предварительно рассчитанном по уравнению B0) и условию B3)
полю скоростей. В обоих случаях мы имеем дело с классической задачей
Дирихле для уравнения Пуассона.
Многие упрощенные модели базируются на предположении о слабых
изменениях скоростей и температуры в продольном направлении по срав-
сравнению с изменениями в поперечном направлении. На этом основаны,
в частности, модели тонкого слоя, пленочных течений и т.д. Наиболее
известной моделью такого класса является модель пограничного слоя.
Рассматривается в качестве примера обтекание тонкой пластины вяз-
вязкой теплопроводной несжимаемой жидкостью (рис. 2.4). Ось х направим
вдоль пластины, а у — поперек. Вблизи границы существует неболь-
небольшой слой, где происходит существенная перестройка течения (жидкость
62
Глава 2. Математические модели теплофизики
Рис. 2.4
' У
Рис. 2.5
замедляется). Эта тонкая, примыкающая к границе обтекаемого тела
область называется пограничным слоем. Аналогичная перестройка тече-
течения происходит и на входе в плоскую щель (рис. 2.5).
Считая течение стационарным и плоским (двумерным), уравнения
пограничного слоя при обтекании пластины можно записать в виде:
ди ди дЧ B6)
B7)
ди dv
Уравнения B6), B7) рассматриваются при соответствующих граничных
условиях.
Как мы видим (см. уравнение B6)), приближение пограничного
слоя базируется на пренебрежении вторыми производными в продоль-
продольном направлении. Аналогичным образом рассматривается и тепловой
пограничный слой. Считаем, что набегающий поток имеет некоторую
постоянную температуру. Тогда стационарное уравнение теплопроводно-
теплопроводности в этой движущейся однородной среде примет вид
uW+vW=a№ B8)
где, напомним, а — коэффициент температуропроводности.
Укороченные уравнения Навье—Стокса типа уравнений погранич-
пограничного слоя B6)—B8) лежат в основе многих прикладных исследований.
2.4. Конвективный теплообмен 63
В частности, многие классы свободноконвективных течений могут ис-
исследоваться на основе приближения пограничного слоя.
2.4.5. Задачи
Задача 1. Выпишите уравнение для давления при моделировании плос-
плоских течений несжимаемой жидкости в переменных «функция тока,
вихрь скорости».
Решение. Уравнение Пуассона для давления получается при при-
применении к уравнению движения E) операции div с учетом условия
несжимаемости B). В плоском случае уравнения движения имеют вид:
ди ди ди 1 др ,„ЛЧ
dv dv dv 1 dp Л /ЛЛЧ
Дифференцируя уравнение B9) по х, уравнение C0) — по у и учиты-
учитывая A2), получим
Подстановка A3) в C1) дает искомое уравнение
* C2)
Задача 2. Сформулируйте условия на твердой границе для однознач-
однозначного определения функции тока при моделировании плоских течений
в двухсвязной области.
Решение. Пусть двухсвязная область п имеет внутреннюю грани-
границу 7 и внешнюю Г. На обоих частях границы (см. A7)) функция тока
постоянна. Компоненты скорости определяются первыми производны-
производными функции тока A3). Поэтому мы можем определить функцию тока
с точностью до постоянной. Положим
* = 0, (*,»)€ Г, C3)
<ф = const, (ж, у) е 7- C4)
Для того, чтобы определить неизвестную постоянную в C4), вос-
воспользуемся следующим соотношением на границе j:
dp ди ,~ч
*=**' ^у)€ъ C5)
54 Глава 2. Математические модели теплофизики
где д/дз — производная по касательной. Соотношение C5) получаем
при рассмотрении уравнений движения B9), C0) на границе 7 с учетом
условий прилипания и непротекания.
Условие однозначности определения давления на 7 Дает из C5)
следующее соотношение:
— ds = 0. C6)
которое и дополняет граничные условия C3), C4). Дополнительное
условие типа C6) может формулироваться и на внешней границе Г.
Заметим, что условие C5) и аналогичное условие
др дш .
могут рассматриваться как граничные условия для определения давления
(см. уравнение C2)), при условии, что поле скоростей, а значит, и вихрь
скорости и, известны. >
2.5. Тепловое излучение твердых тел
2.5.1. Основные положения теплообмена излучением
Нагретые тела излучают в окружающее пространство энергию в виде
колебаний электромагнитного поля. Кванты энергии имеют скорость с,
длину волны Л и частоту и, причем с = \v. Энергия кванта определя-
определяется выражением hi/, где h — постоянная Планка. Обозначим через Е
плотность потока поверхностного излучения, проходящего через едини-
единицу площади поверхности и переносимой квантами различных частот.
Для единичного интервала частот соответствующая величина называется
спектральной (монохроматической) плотностью и обозначается Еи:
*-§•
Излучение, попадающее на некоторое тело, частично отражается, ча-
частично поглощается, а также частично проходит через него. В частности,
когда все излучение поглощается, мы имеем дело с абсолютно черным
телом.
Математические модели переноса тепла излучением сложны и труд-
трудны для численного исследования. Трудности порождаются, в основном,
тем, что полные модели базируются на использовании многомерных
уравнений переноса. В ряде случаев можно ограничится более простыми
моделями. В частности, большое внимание уделяется многогрупповым
диффузионным приближениям, приближениям лучистой теплопровод-
теплопроводности и оптически тонкого слоя.
2.5. Тепловое излучение твердых тел 65
Мы ориентируемся на описание процессов теплообмена в твердых
телах. Большинство не очень тонких твердых тел практически непро-
непрозрачно для тепловых лучей. Поэтому оправдано предположение о том,
что процессы поглощения и отражения протекают только на поверхно-
поверхности твердых тел. Математические модели радиационного теплообмена
существенно упрощаются.
Спектр излучения абсолютно черного тела с температурой Т опре-
определяется законом Планка:
где га — постоянная величина.
Для интегральной плотности потока с учетом A) из B) получаем
Е
00
= f Evdv = aT\ C)
Соотношение C) известно как закон Стефана—Больцмана, а а — посто-
постоянная Стефана—Больцмана.
Реальные твердые тела не полностью поглощают излучение. Для их
характеристики используют понятие степень черноты е, (е < 1) и ис-
используются законы Планка и Стефана—Больцмана с таким поправочным
коэффициентом. Например, для плотности потока вместо C) использу-
используется выражение:
Е = еаТ4. D)
Степень черноты обычно постоянная величина, В более общем случае ее
часто считают зависимой от температуры, т. е. е = е(Т).
2.5.2. Граничные задачи теплообмена с учетом излучения
На основе простейшего описания излучения с использованием зако-
закона Стефана—Больцмана C) (или D)) можно формулировать сопряжен-
сопряженные задачи теплопередачи теплопроводностью и излучением. Речь идет
об обычном уравнении теплопроводности внутри твердого тела и уточне-
уточнении граничных условий с учетом излучения и поглощения.
Рассмотрим одиночное твердое выпуклое тело П с границей дп.
Передача тепла внутри тела осуществляется теплопроводностью и поэтому
(см. п. 2.1)
дТ
ср— = div (k grad Т) + /, (*, у, г) G П. E)
at
Учитывая только собственное излучение твердого тела и конвективный
теплообмен с окружающей средой, на границе дп сформулируем гранич-
граничные условия третьего рода:
к— + а(Т - Те) + еоТ* = 0, (х, у, г) € дП. F)
on
6 Зак. 168
66 Глава 2. Математические модели теплофизики
Граничное условие F) уточняется в случае, когда необходимо прини-
принимать во внимание и излучение окружающей среды, внешнее излучение
и т. д. Аналогичное замечание можно сделать в случае невыпуклой грани-
границы 6п, когда необходимо учитывать поглощение излучения от отдельных
участков границы (самооблучение).
Как мы видим, математические модели процессов теплопередачи
в твердых телах с учетом излучения в данном случае несущественно
сложнее моделей передачи тепла теплопроводностью. Надо только отме-
отметить, что граничное условие F) существенно нелинейно.
Граничное условие с учетом закона Стефана—Больцмана в при-
приближении абсолютно черного тела и окружающей среды записывается
в виде:
дТ
к— + а(Т - Те) + ^(Г4 - Гс4) = 0, (х, у, х) € дп.
an
Это условие можно записать как обычное условие конвективного тепло-
теплообмена
к^ + аа(Т - Те) = О, (я, у, г) € дп G)
с нелинейным коэффициентом теплообмена
2 Гс2). (8)
Краевая задача для уравнения E) с условиями G), (8) наиболее
близка к стандартным задачам теплопроводности, обсуждаемым нами
ранее в 2.2.
2.5.3. Теплообмен между телами
Ранее мы рассмотрели вопрос учета теплообмена излучением для
одного тела, когда учитывается только собственное излучение. В теории
радиационного теплообмена большое внимание уделяется случаю многих
тел, которые разделены прозрачной для излучения средой. При формули-
формулировке граничных условий принципиальным является учет не только соб-
собственного излучения, но и излучения других тел. Аналогично учитывается
собственное излучение в случае невыпуклой границы твердого тела дП.
Будем, для примера, считать те-
ла абсолютно черными, а излучение —
изотропным, т. е. его интенсивность
не зависит от направления. Закон Сте-
Стефана—Больцмана C) дает выражение
Рис. 2.6 для собственного излучения поверхно-
поверхности тела по всем направлениям полу-
полупространства. Поток излучения тела в отдельном направлении пропор-
пропорционален потоку излечения в направлении нормали к поверхности и ко-
косинусу угла между ними (закон Ламберта).
\ *
71
2.5. Тепловое излучение твердых тел 67
Определим через п(М) нормаль к точке М поверхности дп, а через
г = г(М, Р) — расстояние между точками М и Р поверхности (рис. 2.6).
Результирующий поток излучения в точке поверхности складывается
из потока собственного излучения и поглощаемого потока. Поэтому
можно записать следующее соотношение, выражающее закон сохранения
энергии:
g(M,0 = *T4(M,0-- /ar4(P,0~cos(n(P),r)cos(n(M),r)^, (9)
дп'
где cos (n(M), г) — косинус угла между нормалью и отрезком, соеди-
соединяющим точки М и Р. В (9) интегрирование идет по дп' = дп'(М) —
части границы дп тел, которая видна из точки М.
Таким образом для определения плотности потока излучения полу-
получено выражение (9). Тепловое поле внутри тел определяется из уравнения
теплопроводности E). Граничное условие принимает вид:
дТ
к— + а(Т - Те) + q = 0, (ж, у, г) G дп. A0)
on
Упрощение модели E), (9), A0) достигается в случае, когда рас-
рассматриваются твердые тела с изотермическими поверхностями. В этом
случае потоки излучения на поверхности каждого отдельного тела посто-
постоянны. Поэтому из (9) для определения потоков получим алгебраические
соотношения.
2.5.4. Задачи
I Задача 1. Рассмотрите два предельных случая для закона Планка,
когда величина ти С 1 и тг/ > 1.
Решение. В первом случае, когда гпи < 1 воспользуемся разложе-
разложением
Это дает закон Рэлея—Джинса:
hu2T
с2 т
В случае ти > 1 пренебрегаем единицей в знаменателе формулы
Планка и получаем
17» л_ —TnvIT
Ejv = Z7T—r-e
Эта формула известна как закон смещения Вина. >
6*
68 Глава 2. Математические модели теплофизики
I Задача 2. Сформулируйте условия сопряжения для неидеального те-
теплового контакта с учетом излучения в зазор.
Решение. Считая зазор прозрачной средой и на основе закона со-
храиения энергии, получим непрерывность тепловых потоков (см. F),
п. 2.2) в форме:
Условие контактного теплообмена остается обычным (см. B1), п. 2.2):
, дТ
дп* ' '
Аналогично выписываются условия с учетом не абсолютной черноты
соприкасающихся тел (см. закон Стефана—Больцмана в форме D)). >
2.6, Термоупругость
2.6.1. Основные уравнения термоупругости
Под действием тепла твердые тела расширяются. Этот эффект терми-
термического расширения учитывается в рамках линейной теории упругости.
Приведем основные уравнения термоупругости, которые включают в себя
уравнение для смещений твердого тела и уравнения для распределения
температуры.
Обозначим через и = (и, v, и) — смещение твердого тела от положе-
положения равновесия. Уравнения движения твердого тела имеют вид:
д2и д д д
d2v д д д
д2ш д д д
^ +
Для компонент тензора упругих напряжений имеем
ди dv дш
Г \02—-yTy <tu=\0+2ii—
ди dv дш
2.6. Термоупругость 69
где A, fi — постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды.
Слагаемые с температурой обуславливают движения упругой среды за счет
теплового воздействия, причем j = (ЗА + 2fi)a. Здесь а — коэффициент
линейного расширения, определяет влияние температуры. В A) р — как
обычно плотность среды, a f — вектор заданных объемных сил.
Считая среду однородной, подстановкой B) в A) получим уравнения
Ламе
А + (А + /л) grad div и - 7 grad T + pi. C)
р—г
at1
Система гиперболических уравнений второго порядка C) дополня-
дополняется соответствующими начальными и краевыми условиями. Например,
естественно задавать начальное смещение и скорость:
u(x,2/,z,O) = uo(x,2/,z), D)
—(х,у,г,0) = щ(х,у,г). E)
Простейшее краевое условие для системы уравнений Ламе соответ-
соответствует заданию смещений на границе расчетной области, например:
u(s,y,z,*) = 0, (хуу,г)едП. F)
Тем самым при заданном температурном поле среды напряженное состо-
состояние определяется краевой задачей типа C)-F).
Уравнение теплопроводности в твердом однородном теле с учетом
сжимаемости несколько отличается от обычного уравнения и имеет вид
(без учета внутренних источников тепла):
r\rp rn a
Второй член в левой части G) для твердых тел обычно мал и часто
не учитывается. Уравнение теплопроводности G) с соответствующими
краевыми условиями позволяет определить температурное поле при за-
заданных деформациях.
Уравнения C), G) представляют собой систему уравнений термо-
термоупругости. Естественно среди задач термоупругости можно выделить как
самостоятельный класс стационарные задачи. В этом случае система C),
G) упрощается и имеет вид:
fiAu + (А + fi)grad divu- jgradT + pi = 0, (8)
ДГ = 0. (9)
В задачах теории упругости (а равно и в задачах термоупругости)
большое внимание уделяется переформулированию исходной задачи для
перемещений с использованием новых неизвестных. Ниже отмечены
некоторые возможности в этом направлении.
70 Глава 2. Математические модели теплофизики
2.6.2. Специальное представление уравнений Ламе
Среди возможных общих представлений решений задач упругости
отметим в качестве важнейшего представление через решения обычных
уравнений колебаний второго порядка.
Будем искать решения уравнения C) при f = 0 в виде
u = grad <р + rot Ф. A0)
Воспользовавшись тождеством
Д = grad div - rot rot,
перепишем уравнение C) при f = 0 в виде:
д2и
p-TTf = (А + 2\i) grad div u - /х rot rot u - 7 8гас* T. A1)
at1
Подстановка A0) в A1) дает:
grad ( (А + 2fi)A<p - -уТ - р-^- ) + rot (/хДФ - р-^\ = 0.
Отсюда непосредственно заключаем, что (р можно определить из уравне-
уравнения
fT. A2)
Для Ф в этом случае имеем векторное уравнение:
д2Ф
р— = »АФ. A3)
Таким образом динамическая задача расчета термоупругого состо-
состояния сводится к решению гиперболических уравнений второго поряд-
порядка A2), A3) и параболического уравнения G). Уравнение A2) опи-
описывает распространение продольных волн (волн сжатия) со скоростью
сх = ((А + 2fi)/p) . Аналогично уравнение A3) описывает распростра-
распространение поперечных волн (волн сдвига) со скоростью с2 = (fi/pI/2.
2.6.3. Плоские задачи
Остановимся подробнее на плоской деформации. В этом случае
w = 0, а и и v зависят только от х и у. Рассматривается равновесное
состояние, когда внешние массовые силы отсутствуют — в уравнении (8)
f = 0. Тогда можно ввести функцию напряжений Эйри 1р такую, что
д2ф д2Ф д2ф
Для функции напряжений получаем бигармоническое уравнение
^ 0. A4)
2.6. Термоупругость 71
В A4) через и обозначен коэффициент Пуассона: v — А/B(А + /i)) ^ 1/2.
Принимая во внимание простейшее стационарное уравнение теплопро-
теплопроводности G), получим для функции напряжений однородное бигармони-
ческое уравнение:
ДД^ = 0.
В теории упругости бигармоническое уравнение широко представлено
и его можно рассматривать в качестве базовой математической модели
теории упругости (уравнение A4)). Отметим, что в рассматриваемом
плоском случае
Ч dAtl) д4ф
2+
В качестве других базовых моделей теории упругости следует отметить
гиперболическое уравнение второго порядка (уравнение колебаний A2),
A3)), системы гиперболических уравнений (уравнения Ламе C)).
2.6.4. Тонкие пластины
В теории упругости большое внимание уделяется моделям дефор-
деформирования тонких пластин и оболочек, мембран. Сформулируем соот-
соответствующие уравнения, описывающие термоупругое состояние тонкой
пластины.
Рассматривается напряженное состояние упругого тела в форме ци-
цилиндра малой высоты h. Выберем декартову систему координат так, что-
чтобы плоскость z = 0 была серединной. Рассматриваются малые прогибы
пластинки под действием нормальных нагрузок и теплового воздействия.
В качестве основного уравнения для стационарных прогибов пласти-
пластины постоянной толщины выступает уравнение Софи Жермен:
DAAw = q- ДМТ, A5)
где D — цилиндрическая жесткость, q = q(x, у) — нагрузка, а Мт —
изгибающий момент, обусловленный температурными воздействиями.
Для Мт имеем представление:
Л/2
T(x,y,z)zdz. A6)
-Л/2
При этом температурное поле определяется из решения соответствующего
уравнения теплопроводности (стационарное уравнение теплопроводно-
теплопроводности (9)). В простейшем частном случае постоянной температуры имеем
Мт = 0, т. е. такие тепловые воздействия не приводят к смещениям вдоль
нормали к пластине. Влияние инерционных сил приводит к следующему
уточнению уравнения A5):
DAAw + ph—z- =q- ДМГ. A7)
Л/2
/
72 Глава 2. Математические модели теплофизики
Уравнение A7) дополняется нестационарным уравнением теплопровод-
теплопроводности G).
2.6.5. Задачи
Задача 1. Получите выражение для деформации неограниченной упру-
упругой среды с заданным распределением температуры Т = Т(х> у, z) Ф
То = const, (ж, у, z) е п, причем Т(х, у, z) = То, (ж, у, z) ? п.
Решение. Стационарное термоупругое состояние описывается урав-
уравнением (см. A1)):
(Л + 2/г) grad div u - ц rot rot u = 7 grad T.
Это уравнение имеет частное решение
rotu = 0, A8)
Для и, определяемого по A8), A9), имеет место общее представление:
fdx dy' dz
1 fdivu(x\
= grad / —
4тг J r
dx dy' dz ,
где г = ((ж - x1J + (у - у'J + {z — z1J) . Принимая во внимание A9),
получим
и = -
J \ (T(x', y\ z') - To) dx1 dy' dz1,
так вне области О, температура постоянна. >
Задача 2. Получите стационарное уравнение напряженного состояния
тонкой пластины в случае неравномерного по толщине нагрева, когда
теплообменом в продольном направлении можно пренебречь.
Решение. В рассматриваемых идеализированных условиях уравне-
уравнение теплопроводности (9) упрощается и имеет вид:
?-«. ' «ад
Интегрирование B0) и подстановка в A6) дает:
Это выражение используется в уравнении A5). Тем самым температур-
температурные градиенты в поперечном направлении приводят к изгибу тонкой
пластины. >
2.7. Библиография и комментарий 73
2.7. Библиография и комментарий
2.7.1. Общие замечания
2.1. Математические модели теплопроводности рассматриваются в клас-
классических руководствах [5-7, 11, 12].
2.2. Постановки краевых задач для уравнений теплопроводности обсу-
обсуждаются в курсах уравнений математической физики (см., напри-
например, [16]). Обратные задачи теплообмена наиболее полно предста-
представлены в [1, 2].
2.3. Задачи с фазовыми превращениями затрагиваются в учебной ли-
литературе [6, 11]. Более подробная библиография приведена ниже
в главе 7.
2.4. Общие модели тепло- и массопереноса обсуждаются в книгах [3, 8,
10, 17] (см. также главу 9).
2.5. Модели излучения в значительно более общем контексте (не только
поверхностное излучение твердых тел) рассматриваются в работах
[4, 5, 14].
2.6. Среди общих руководств по теории упругости отметим [9, 13, 15],
работы, посвященные собственно задачам термоупругости, отмечены
в главе 8.
2.7.2. Литература
1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.
2. Бек Дж., Блакуэм Б., Сент-Клэр ?., мл. Некорректные обратные задачи
теплопроводности. М: Мир, 1989.
3. Джалурия Й. Естественная конвекция. Тепло- и массообмен. М.: Мир, 1983.
4. Зигель Р., ХауэллДж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975.
5. Исаченко В. Я., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергоиздат,
1981.
6. Карслоу У., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.
7. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.
8. Ландау Л.Д.9 Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965.
10. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.
И. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.
12. Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1972.
13. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
14. Спэроу Э.М.У Сесс Р. Д. Теплообмен излучением. Л.: Энергия, 1971.
15. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
16. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1977.
17. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.
5 Зак 168
Глава 3.
Аналитические методы
теплопроводности
Проблемы теплопередачи в простейших случаях исследуются на ос-
основе классических аналитических методов прикладной математики. Для
более сложных задач привлекаются вычислительные средства (ЭВМ и чи-
численные методы). Аналитические методы используются также при чи-
численном решении для предварительного изучения математической моде-
модели, для тестирования самих вычислительных алгоритмов.
Исследование прикладных математических моделей начинается с пе-
перехода к безразмерным переменным. Такой переход позволяет провести
анализ задачи (выделить малые (большие) параметры). В безразмерных
переменных сокращается число параметров задачи, что особенно важно
при многопараметрическом исследовании прикладной модели. Напри-
Например, в задачах оптимизации речь может идти о фактическом понижении
размерности задачи минимизации. Выделение критериев подобия по-
позволяет провести сопоставление результатов по разным экспериментам,
выявить подобие процессов.
Наиболее продвинуты аналитические методы теплопроводности для
решения линейных задач. Такие методы с многочисленными приме-
примерами до сих пор составляют основное содержание многих руководств
по теории теплопроводности. Среди методов решения краевых задач те-
теплопроводности можно выделить метод разделения переменных, методы
интегральных преобразований.
Значительное внимание заслуживают точные решения нелинейных
задач. Такие частные решения позволяют проанализировать специфику
задачи, связанную с нелинейностью. Некоторые точные решения нели-
нелинейных задач теплопроводности могут быть получены на основе введения
автомодельных переменных. В более общей ситуации может привлекать-
привлекаться групповой анализ. Отметим и некоторые функциональные преобра-
преобразования, которые позволяют от некоторых нелинейных задач перейти
к линейным задачам, для которых можно уже строить общие решения.
Среди приближенных методов прикладной математики следует от-
отметить методы возмущения. Выделение малого параметра позволяет
в ряде случаев построить приближенное аналитическое решение. Среди
3.1. Безразмерный анализ 75
важнейших результатов в этом направлении следует отметить теорию
гомогенизации. На ее основе в случае композитных сред с включениями
малых размеров можно вычислять эффективные характеристики сред.
Асимптотические методы широко используются в теории тепло-
теплопроводности. В качестве примера отметим исследование регулярного
теплового режима, который соответствует развитой стадии процесса.
3.1. Безразмерный анализ
3.1.1. Общие соображения и модельная задача
В практической деятельности понятно желание использовать единую
систему единиц. При математическом моделировании, в вычислительной
практике такой единой системой является безразмерная система единиц.
И такое ограничение в применении других систем единиц имеет гораздо
более глубокое содержание, чем просто удобство унификации.
При приближенном решении задачи на компьютере, конкретной
аппаратной реализации вычислительного алгоритма есть проблема оши-
ошибок округления. Для того, чтобы снизить влияние ошибок округления
на точность приближенного решения проводится масштабирование. Ис-
Искомое решение не должно быть слишком большим по модулю. Это до-
достигается тем, что искомые величины домножаются на соответствующие
масштабные множители (преобразуется сама задача). При обезразмерива-
нии достигаются цели масштабирования, причем безразмерные величины
изменяются примерно от -1 до 1.
Второе соображение в пользу необходимости использования безраз-
безразмерных переменных касается выделения малых (больших) параметров
задачи. Именно в безразмерных переменных можно сравнивать одни
члены уравнения с другими. Малые (большие) безразмерные параме-
параметры позволяют строить упрощенные математические модели, проводить
асимптотический анализ задачи (находить приближенное решение).
Наконец, и при прикладном численном моделировании это наиболее
важно, использование безразмерных параметров позволяет сократить об-
общее число параметров математической модели. Поэтому влияние группы
параметров на решение можно проследить, если рассмотреть влияние
меньшего числа параметров.
Рассмотрим простейшую модель нагревания цилиндрического стерж-
стержня с теплоизолированной боковой поверхностью и длиной I. Для просто-
простоты ограничимся случаем, когда теплофизические характеристики стержня
(а также и другие параметры задачи) постоянны. Процесс теплопередачи
описывается одномерным уравнением теплопроводности, которое имеет
следующий вид
cp^ = fc^ + /, 0<x<ly *>0, A)
5*
76 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
где использованы обычные (см. главу 2) обозначения. Будем считать, что
на одном основании стержня поддерживается теплообмен с окружающей
средой с температурой Тс:
-fc^ + a(T-Tc) = 0, x = 0. B)
ох
Пусть на другом конце стержня задан тепловой поток:
*§ = «, х = 1. C)
Кроме того, считаем, что начальная температура стержня не совпадает
с температурой окружающей среды, например,
Т(а,0) = 0. D)
Этим исчерпываются необходимые начальные и граничные условия для
уравнения A).
3.1.2. Обезразмеривание задачи
Поставленная задача A)-D) характеризуется следующим набором
параметров: /, с, р, k, /, a, Tc, q. Даже для такой простой задачи реше-
решение задачи зависит от восьми параметров: Т = Т(ху t; Z, с, р, fe, /, a, Tc, q).
Поэтому исследование влияния каждого из них уже не всегда представля-
представляется возможным. Обычно в вычислительной практике параметрическое
исследование ведется в некоторой небольшой области изменения па-
параметров, части параметров вблизи некоторого выбранного состояния.
Поэтому часто можно ограничиться влиянием одного параметра при
фиксированных других.
Обезразмеривание начинается с выбора характерных значений (ве-
(величин), на которые мы будем обезразмеривать, на которые мы будем
масштабировать. Этот выбор не всегда прозрачен и зависит от специ-
специфики моделируемой проблемы. Для исключения субъективного фактора
необходимо ориентироваться на сложившиеся традиции обезразмерива-
ния в конкретной области исследования.
В рассматриваемой задаче в качестве масштаба обезразмеривания
пространственной переменной х можно взять длину стрежня I — ли-
линейный масштаб. Используя для безразмерных переменных те же обо-
обозначения, что и для размерных но со штрихом, имеем х = 1х', где
х1 — безразмерная переменная. В качестве масштаба температуры, если
стержень не очень сильно нагревается, можно взять температуру среды:
Т = ТСТ', где Т' — безразмерная температура. Аналогично пусть t = М',
где характерный масштаб времени ?о пока не определен.
Подстановка в уравнение теплопроводности A) приводит нас к сле-
следующему уравнению в безразмерных переменных
3.1. Безразмерный анализ 77
В уравнении E) присутствует безразмерный комплекс (безразмерный па-
параметр) Os = l2f/(kTc) — число Остроградского.
Определим теперь масштаб времени следующим образом: t0 = cpl2/k.
Тогда уравнение теплопроводности еще более упростится:
w = wr+os' 0<x><]' t>>0' F)
и будет содержать лишь один параметр (число Остроградского).
Обезразмерим теперь граничные и начальные условия. Имеем из гра-
граничного условия B)
+ Bi(Tl) = 0, х' = 0, G)
ох
где Bi = al/k — число Био. Аналогично, условие C) принимает вид
5F-*- *' = '•
где Кг = ql/(kTc) — число Кирпичева. Для начального условия имеем
Т'(х',0) = 0. (9)
Задача в безразмерных переменных E)-(9) характеризуется следую-
следующими безразмерными параметрами: Os, Bi, Кг. Отметим, что вместо вось-
восьми параметров задачи мы пришли лишь к трем: Т' = Т'(х\ t'\ Os, Bi, Кг).
Понятное дело, что задача в безразмерных параметрах значительно проще
для исследования.
Переход к размерным величинам представляет собой простой пе-
пересчет безразмерных решений умножением на размерные множители.
Именно на уровне задач в безразмерных переменных проявляется подобие
различных задач. В самом деле, пусть мы имеем две задачи с различными
линейными размерами, теплофизическими параметрами. Предположим,
что в безразмерных переменных они записываются одинаково. Тогда эти
две задачи подобны, они отличаются лишь масштабными множителями.
Поэтому и переход от одной задачи к другой не составляет труда.
3.1.3. Параметрический анализ задачи
Запись задачи в безразмерных переменных позволяет выделить ма-
малые (большие) параметры и на основе этого упростить задачу. В нашем
простейшем примере A)-D), например, при х = 0 реализуются гранич-
граничные условия третьего рода. Встает вопрос, при каких режимах охлаждения
от этих условий можно перейти к граничным условиям первого (второго)
рода. В безразмерных переменных граничный режим определяется од-
одним безразмерным числом Био. Если Bi > 1 в G), то можно положить
Т' = 1, х1 = 0 (граничное условие первого рода). Если наоборот, Bi < 1,
то имеем граничное условие второго рода: дТ'/дх' = О, х1 = 0. Более
78 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
точный ответ на поставленный вопрос о граничном режиме решается
практикой моделирования. Например, при Bi < 0,01 с точностью до про-
процентов обычно реализуется отмеченное упрощенное граничное условие.
Второй пример параметрического анализа задачи A)-D) может за-
заключаться в ответе на вопрос, когда от нестационарного уравнения A)
можно перейти к стационарному уравнению. Предположим, что рас-
рассматривается тепловой процесс на временном промежутке от 0 до tmax.
Тогда достаточно сравнить характерное время распространения тепла
?0 = cpl2/k и tmax. Если tmax > t0, то можно вместо A) использовать ста-
стационарное уравнение. В этом случае обезразмеривание времени можно
провести на tmax и вместо уравнения F) получим
т.е. присутствует малый параметр е = to/tmax. Конечно, при малых вре-
временах влияние нестационарности проявляется — малый параметр при
производной по времени (уравнение A0) является сингулярно возмущен-
возмущенным).
Аналогичный анализ может быть проведен и по исследованию вли-
влияния источника в уравнении A). Если параметр Os <C 1, то им можно
пренебречь. В противоположном случае Os > 1 приходим к сингулярно
возмущенной задаче, и, если нас не интересуют приграничные эффекты,
мы можем пренебречь теплопроводностью в исходном уравнении A).
Тем самым параметрический анализ задачи в безразмерных пере-
переменных позволяет проводить упрощения исходной математической за-
задачи, исследовать качественное поведение решения. Подчеркнем, что
при таком анализе мы обходимся минимальными математическими
средствами.
3.1.4. Задачи
I Задача 1. Выделите безразмерный параметр, учитывающий конвек-
конвективный перенос тепла.
Решение. В качестве модельного выступает уравнение
д2т Л
+ / <J *>Of
где и — скорость среды. Обезразмеривание (см. F)) приводит к уравне-
уравнению
дТ1 дТ' д2Т' , , ,
P ° °<<1 <>0
Здесь искомый безразмерный параметр Ре = ulcp/k есть число Пекле.
3.2. Аналитические решения линейных задан 79
В качестве характерного времени можно взять to = Vй- Тогда урав-
уравнение в безразмерных переменных приобретает несколько другой вид:
I Задача 2. Укажите условия, при которых можно не учитывать тепло-
I ту фазового перехода при моделировании процессов теплопроводности.
Решение. Проведем обезразмеривание соответствующей одномер-
одномерной однофазной задачи Стефана. Будем считать, что мы имеем дело
с однофазной задачей. Теплота фазового перехода L учитывается в усло-
условии (см. п. 2.3):
идТ rd7l
где х = rj(t) — граница фазового перехода.
Обезразмеривание A1) позволяет выделить характерное безразмерное
число Ste = L/(cp), которое называют числом Стефана. При Ste < 1
можно пренебречь выделением тепла при фазовом переходе. >
3.2. Аналитические решения
линейных задач
3.2.1. Метод разделения переменных
В дальнейшем в качестве основной математической модели будет
выступать линейное уравнение теплопроводности в форме:
с(х)^ = div (k(x) grad ti) + f(x, <), хеп, t> 0. A)
Будем рассматривать как общие трехмерные задачи, так и задачи мень-
меньшей размерности, поэтому в A) х = (xux2i..., sm), m = 1, 2, 3. Уравне-
Уравнение A) описывает (см. п. 2.1) процесс переноса тепла теплопроводностью
в неоднородной изотропной среде.
Уравнение A) дополняется начальным условием
и(х, 0) = щ(х), хеп B)
и однородным граничным условием, например, первого рода:
и(х, 0 = 0, хе дП. C)
То, что граничное условие однородное, является принципиальным при
использовании метода разделения переменных. Поэтому в задаче с об-
общими граничными условиями необходимо сначала перейти к задаче
с однородными условиями.
80 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
Метод разделения переменных (метод Фурье) основан на построении
частных решений уравнения A) в виде произведения
u(x,t) = 0(t)v(x), D)
причем каждый сомножитель зависит от своих переменных. Рассмотрим
вначале случай однородного уравнения (в A) /(ж, t) = 0). Подстановка D)
в A) в этом случае дает для 0(t) и v(x) следующие уравнения:
div (k(x) grad v) + Xc(x)v = 0, xGfi, E)
dO
— + A0 = 0, * >0. F)
at
Как следует из C), уравнение E) дополняется граничным условием
v(x) = 0, хе дп. G)
Задача E), G) имеет нетривиальные решения лишь при некото-
некоторых значениях Л и называется спектральной задачей (задачей Штурма—
Лиувилля). Соответствующие значения Л называются собственными зна-
значениями, а им соответствующие решения v(x) — собственными функциями.
Для спектральной задачи E), G) упорядочим собственные функции
по их возрастанию:
Ai < А2 < ... Лп < • • •, Ит А„ -? оо.
п—юо
Причем все они положительны, т. е. Ai > 0. Обозначим соответствующие
собственные функции через vn(x), п = 1,2,
Отметим основные свойства собственных функций задачи E), G).
Рассмотрим гильбертово пространство % — /^(fi), скалярное произведе-
произведение в котором определяется выражением
B/, v) = J y(x)v(x) dx,
а норма \\y\\ = (у, уI^2. Аналогично для положительных с(х) определим
весовое гильбертово пространство Нс такое, что
\\У\\1 = (У, У)с, (j/, v)e = (су, v) = у c(x)y(x)v(x) dx.
п
Собственные функции задачи E), G) ортонормированы вИс,а имен-
именно, имеет место (vn, ve)c — 6пе, где
6пе - i " пфе
— символ Кронекера.
3.2. Аналитические решения линейных задач 81
Зная решение спектральной задачи E), G), можно определить общее
решение уравнения F):
МО = Спе~Ая', Сп = const. (8)
Представим теперь решение задачи A)-C) при f(xyt) = 0 в виде
суперпозиции построенных частных решений:
Коэффициенты с„ определяются из начального условия B): с„ = (щ, vn)c
— коэффициенты разложения функции щ(х) по собственным функци-
функциям vn(x)c (коэффициенты Фурье).
Таким образом получим решение задачи A)-C) с /(ж, t) = 0 в виде
«(x,O = f>o,t>n)ce-A(*). (9)
Учет неоднородности в уравнении A) приводит в методе разделения
переменных к дополнительному слагаемому в представлении (9), так что
вместо (9) будем иметь
00
Ф> 0 = Х^°> v»)« e'Ktvn(x) +
n=l
00 «
+ ? / ('(*> т>> v«)c e-X-{t-T)drvn(x). A0)
Таким образом получаем общее решение A0) задачи теплопроводно-
теплопроводности A)-C). Аналогично рассматривается случай граничных условий вто-
второго рода, третьего рода, смешанных граничных условий и т. д. Само ре-
решение представляется в виде бесконечных рядов, поэтому для извлечения
конкретного результата часто необходимо иметь возможность упрощать
тем или иным образом исходную задачу, упрощать и точное решение.
Построение общего решения базируется на основе известного ре-
решения спектральной задачи E), G). Отметим, что существует не так уж
и много частных случаев, когда решение этой задачи известно и основ-
основные учебные пособия по теории теплопередачи их содержат. В частности,
для решения спектральных задач может использоваться метод разделения
переменных. Тоже замечание можно отнести и к случаю стационарных
задач теплообмена.
Приведем в качестве примера решение простейшей одномерной
задачи: п = @,1). Рассматривается уравнение теплопроводности
S=S+/(m)' о<ж<1> t>o
с начальными и граничными условиями B), C).
82 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
Соответствующая задача на собственные значения и собственные
функции (см. E), G)) имеет вид:
^+Аг; = 0, 0<*<1, A2)
v@) = О, г;A) = 0. A3)
Спектральная задача A2), A3) имеет следующее решение:
Лп = тгп2, vn{x) = y/l sin (жпх), п = 1, 2,... . A4)
В соответствии с A0) и A4) и представляется решение уравнения A1)
с условиями B), C).
3.2.2. Метод функций Грина
При построении решений краевых задач математической физики
получил распространение метод функций Грина. Будем рассматривать
задачу A), B), когда граничные условия первого рода неоднородные:
и(х, t) = g(x, t), x e dtl. A5)
Функция Грина G(x,t\x',tl) (функция источника) для этой задачи
определяется как решение уравнения
с(х)— = div (k(x) grad G) + 6{x -x,t- t1), A6)
с однородными начальными и граничными (условия C)) условиями. Здесь
6(ху t)-6 — функция (см. п. 2.3). Тем самым функция Грина G(x, x'\ t, t1)
представляет собой поле температур от мгновенного (в момент време-
времени t') теплового источника, помещенного в точку х'. Решение общей
задачи A), B), A5) однозначно представляется через функцию Грина. Тем
самым проблема сводится к нахождению такой функции. В некоторых
простейших задачах теплопроводности (в частности, при аналогичном
рассмотрении стационарных задач) такое построение удается провести.
Для и(х, t) имеем
t
и(ху t) = J M*')G(x, x'; t, 0) dx' + f f g(x\ t')k(x') ^ da' dt' +
f(x\i?)G(x,t;x'J)dx'tf. A7)
о
t
¦//¦
о п
Первое слагаемое в правой части A7) учитывает неоднородность в началь-
начальной температуре, второе — неоднородность граничного условия и тре-
третье — неоднородность самого уравнения A).
3.2. Аналитические решения линейных задач 83
Выделим важный случай, когда рассматривается процесс теплопе-
реноса в неограниченной изотропной среде. В этом случае область П
совпадает со всем пространством Rm и ограниченное решение определя-
определяется из уравнения A) и начального условия B) (задача Коши). При таких
условиях G(x, x'\ t, t1) есть фундаментальное решение и соответствующее
интегральное представление решения имеет вид:
и(х, t)= f uo(x)G(x, x; *, 0) dx .
Для однородной среды имеем
G{x, x\ t, 0) = B(
A) f:(i)
t=l
Отметим возможность построения функции Грина методом разделе-
разделения переменных. Для этого достаточно взять в A0) правую часть /(ж, t)
в виде tf-функции, что дает
00
G(x, x'; t, 0 = X) c(x')vn(x')vn(x) exp {-An(* - t')}.
n=l
Из этого уравнения можно сделать, в частности, вывод о симметрии
функции Грина по пространственным аргументам при с(х) = const.
3.2.3. Интегральные преобразования
Для некоторой функции (оригинала) f(t) интегральным преобразова-
преобразованием (образом) называется функция
причем К(р, t) есть ядро преобразования.
В аналитической теории теплопроводности интегральным преобра-
преобразованиям уделяется повышенное внимание. Рассматриваются как стан-
стандартные преобразования в бесконечных пределах, так и преобразования
с конечными пределами интегрирования а и Ь. Наиболее известны
косинус- и синус-преобразования Фурье, преобразование Меллина, пре-
преобразования Ханкеля и т. д.
В качестве наиболее характерного примера практического использо-
использования интегральных преобразований при решении задач теплопередачи
84 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
отметим применение интегрального преобразования Лапласа. Для непре-
непрерывной функции f(t) действительного аргумента t при \f(t)\ ^ const е*0*,
существует интеграл
00
= Je-ptf(t)dt,
при ? ^ ?о- По известному образу F(p) определяется обратное преобра-
преобразование Лапласа:
Существует обширный табличный материал по преобразованию Лапласа
и некоторым другим интегральным преобразованиям.
Не останавливаясь на деталях, отметим принципиальную возмож-
возможность использования интегрального преобразования Лапласа для на-
нахождения точного решения задач теплопроводности. Рассмотрим зада-
задачу A)-C). Домножим уравнение A) на ядро преобразования Лапласа e~pt
и проинтегрируем по t от 0 до оо. Пусть
e~ptu{x, t) dt
— образ решения. Непосредственные выкладки дают
c(x)(pv - г*0) = div (k(x) grad v) + F(x, p), x G fi, A8)
где F(xyp) — образ источникового члена в правой части уравнения A).
Уравнение A8) дополняется граничными условиями
v(xyp) = O, хедп, A9)
вытекающими из C).
Таким образом пришли к решению задачи Дирихле A8), A9) для
эллиптического уравнения второго порядка, в которой присутствует пара-
параметр р. Если такая задача может быть решена, то далее ищется обратное
преобразование Лапласа.
В рассматриваемом случае преобразование Лапласа проведено по вре-
времени. Естественно, что в ряде задач более удобно использовать преобразо-
преобразование Лапласа по некоторым пространственным переменным. Например,
это можно сделать в случае рассмотрения стационарных и нестационар-
нестационарных процессов теплопроводности в полупространстве. Примеров такого
типа может быть множество.
3.2. Аналитические решения линейных задан 85
3.2.4. Задачи
Задача 1. На границе изотропного тела с постоянной начальной тем-
температурой осуществляется теплообмен со средой, температура ко-
которой изменяется во времени. Выразите решение этой задачи через
решение задачи с постоянными граничными условиями.
Решение. Необходимо найти решение уравнения
с(х) -^- = div (k(x) grad и), aiEfl, t > О, B0)
удовлетворяющее условиям
и{х, 0) = щ = const, ж G ft, B1)
где р(^) — температура среды.
Будем искать решение (метод Дюамеля) в виде
t
ф, t) = uo + J g(t')-^v(x, t - О dt'. B3)
о
Подстановка B3) в B0)-B2) дает следующую задачу для нахождения
функции v(x, t):
с(х)—- = div (k(x) grad v), x € ft, t > 0,
at
v(z, 0) = 0, ж G ft,
А:(ж) JL + a(v - l) = 0, ж G 9ft.
an
Тем самым приходим к задаче, которая характеризуется постоянными
граничными условиями. >
Задача 2. Пренебрегая внутренними источниками тепла, методом
разделения переменных получите общее решение гиперболического урав-
уравнения теплопроводности.
Решение. В этом случае уравнение переноса тепла имеет вид
(см. п. 2.1):
с(х) (^ + ту j?\ = div (k(x) grad и), ж G ft, t > 0.
Помимо условий B), C) задается дополнительное начальное условие:
^(*,о) = «,(*), *еп. B4)
86 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
При применении метода разделения переменных вместо F) появится
уравнение второго порядка:
dO d20
Решение этого уравнения с учетом начальных условий B), B4) позво-
позволяет записать искомое решение поставленной задачи гиперболической
теплопроводности в виде
n=l
+ ((u\,vn)c + (щ, vn)c/BTr))
где 7 = A - 4Аптг)/Bтг). Представляет несомненный интерес сравнение
этого решения с решением обычной задачи теплопроводности (представ-
(представление (9)), когда время релаксации ту -+ 0. >
3.3. Точные решения нелинейных задач
3.3.1. Функциональные преобразования нелинейных задач
Многие математические модели теплопереноса нелинейны. Прежде
всего, можно отметить задачи описания процессов распространения тепла
в средах, теплофизические характеристики которых непостоянны, а за-
зависят от температуры. По-существу нелинейными являются процессы
с фазовыми превращениями, сопряженные задачи тепло- и массопере-
носа. Не имея возможности построить общие аналитические решения
нелинейных проблем теплопереноса, мы вынуждены ограничиться неко-
некоторыми частными точными решениями.
Решения нелинейных задач позволяют установить новые эффекты,
свойства математических моделей, которых нет у линейных моделей. По-
Поэтому точные решения нелинейных уравнений имеют важное значение
в теоретических исследованиях. При проведении численного исследо-
исследования частные решения нелинейных уравнений используются и для
проверки точности вычислительных алгоритмов, для их тестирования.
В качестве характерного примера рассмотрим квазилинейное урав-
уравнение теплопроводности следующего вида:
ди
с(и)— = div (k(u) grad и). A)
При построении аналитических решений этого уравнения нет большо-
большого смысла формулировать какие-либо граничные и начальные условия,
выделять какую-то расчетную область. По полученному частному ре-
решению нелинейного уравнения замыкающие условия по необходимости
формулируются исходя из самого частного решения.
3.3. Точные решения нелинейных задач 87
При получении решения уравнения A) можно стремиться перейти
с помощью некоторых преобразований зависимых и независимых пе-
переменных к линейной задаче. В качестве наиболее простого примера
отметим функциональные преобразования вида:
у = ь(х,г) = Ф(и). B)
Преобразования типа B) редко позволяют перейти к полностью линейной
задаче, но позволяют провести линеаризацию хотя бы частично.
В теории теплопроводности хорошо известно преобразование Кирх-
Кирхгофа
v = / k(s)«
\ds. C)
о
Подстановка C) в A) дает уравнение
где c(v) = c(u(v))/k(u(v)). Уравнение D) соответствует переходу к задаче
с линейным коэффициентом теплопроводности.
Особенно полезно использовать преобразование Кирхгофа в стаци-
стационарных задачах, когда для новой зависимой переменной v мы полу-
получаем линейное уравнение: Дг; = 0. Отметим, что при рассматриваемом
преобразовании граничные условия первого рода остаются линейными,
линеаризуются и граничные условия второго рода.
Частичная линеаризация уравнения теплопроводности A) может до-
достигаться и при использовании преобразования Гудмэна:
и
v = Jc{s)ds. E)
о
В случае преобразования E) уравнение A) приобретает вид
— = div(a(v)gradv), F)
при a(v) = k(u(v))/c(u(v)), т.е. переходим к задаче с постоянным коэф-
коэффициентом теплоемкости.
Квазилинейные параболические уравнения D), F) могут рассматри-
рассматриваться как модельные уравнения нелинейной теплопроводности.
Более сложный пример использования преобразования зависимых
переменных связан с модельным уравнением механики сплошной среды
при описании процессов конвективного переноса. В качестве одного
из важнейших выступает уравнение Бюргерса:
ди ди д2и ,„ч
88 Глава 3. Лналитическиечметоды теплопроводности
которое имеет характерную квадратичную нелинейность, а коэффици-
коэффициент v моделирует влияние вязкости. Будем рассматривать задачу Коши
для уравнения G), т. е. дополним его начальными условиями
и(ху 0) = щ(х), ~оо < х < оо. (8)
Для того, чтобы получить общее решение задачи G), (8) используется
преобразование Коула—Хопфа:
Подстановка (9) в G) позволяет получить линейное уравнение теплопро-
теплопроводности:
dv d2v
Начальное условие для уравнения A0) с учетом (8), (9) имеет вид
где vq — произвольная постоянная, а
х
X(x) = Juo(s)ds.
Общее решение задачи Коши для уравнения теплопроводности A0), A1)
хорошо известно (см. п. 3.2) и может быть представлено в виде
00
v(x, t) = voj G(x - & t) exp | - ^ J de,
A2)
где G(x, t) = Dirut)~^2 exp {-x2/Dvt)}. Решение задачи для уравнения
Бюргерса G), (8) получается из A2) в соответствии со связью (9).
3.3.2. Преобразования независимых переменных
Упрощение исходного нелинейного уравнения может достигаться
за счет преобразования зависимых переменных. Используя автомодель-
автомодельные переменные, можно свести исходное уравнение с частными произ-
производными к обыкновенному уравнению. Проиллюстрируем такие способы
на некоторых хорошо известных примерах.
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности в виде (см. F)):
3,3. Тонные решения нелинейных задан 89
Будем искать решения уравнения A3), которые зависят только от од-
одной переменной ? = ?(ж, t) — соответствующие решения и(ж, t) = v{?)
называются автомодельными решениями.
Для уравнения A3) в качестве автомодельной переменной можно
взять
С учетом A4) для первых производных имеем
ди ? dv ди 1 dv
Уравнение A3) при использовании автомодельной переменной примет
вид
)
Тем самым для построения точного решения нелинейного уравнения
теплопроводности A3) нужно найти решение обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения A5). Во многих интересных случаях это можно
сделать аналитически.
Построим для уравнения A3) автомодельное решение типа бегущей
волны:
? = х - 2И, A6)
где D = const — скорость движения тепловой волны.
Подстановка A6) в A3) дает для v(() обыкновенное дифференци-
дифференциальное уравнение
dv d
Из уравнения A5) непосредственно следует
Dv + k(v)— = const.
Выбирая постоянную
Отсюда следует, что
равной
V
f k(i
J s
0
нулю,
k(v) d\
v di
r)
получим
¦ -D? + const.
A7)
Конкретизация выбора коэффициента к(и) (см. задачу 2) позволяет
на основе A7) провести дальнейшие выкладки.
90 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
Автомодельное решение типа бегущей волны хорошо изучено для
уравнения теплопроводности с нелинейным источником:
ди д2и Л? ч
уравнение Колмогорова—Петровского—Пискунова.
3.3.3. Общие преобразования
Построение точных решений нелинейных уравнений может прово-
проводиться на основе одновременного преобразования как независимых, так
и зависимых переменных. Поиск таких преобразований ведется в на-
настоящее время на основе группового анализа уравнений. Ищутся такие
преобразования, при которых исходное уравнение не меняется, оста-
остается инвариантным. Знание группы преобразований помогает находить
частные решения, строить новые.
Для модельного уравнения A3) ищутся преобразования зависимых
и независимых переменных вида:
A8)
где аиа2}... ,щ — параметры группы преобразований.
В качестве примера преобразований типа A8), полученном при
групповом анализе уравнения A3), отметим возможность линеаризации
этого уравнения при к(и) = и~2. Для этого используется преобразование
ч — 1
Из A3), A9) непосредственно вытекает
JLIY—VY— -— \] -п
Y
,0т дз2)\
Отсюда следует, что всякое решение линейного уравнения
преобразованием A9) переводится в решение квазилинейного уравне-
уравнения A3).
3.3.4. Задачи
Задача 1. Получите автомодельное решение двухфазной задачи Сте-
Стефана в однородной среде, занимающей полупространство, при граничных
условиях первого рода.
3.3. Точные решения нелинейных задач 91
Решение. Ищется решение уравнения
ди _ д2и
dt " дх2
в отдельных фазах с граничным условием
ЦО, t) = U = const. B0)
Начальное состояние характеризуется постоянной температурой V:
u(x,0) = V. B1)
В точке х = rj(t) > 0 происходит фазовый переход и пусть температу-
температура фазового перехода равна нулю. Тогда выполнены условия сопряжения:
и(х - 0) = и(х + 0) = 0, х = ту(О, B2)
Будем искать решение, зависящее от автомодельной переменной
(см. A4)). Для определения v(Q при k(v) = 1 получим
a<i<Z, B4)
где параметр а = r)/Bt^2) определяет положение границы фазового
перехода, а
*
— интеграл ошибок.
Подстановка B4) в B0)-B2) позволяет найти постоянные
Verf(a)
аг ~ "l-erf(aI h ~ l-erf(a)
Для нахождения границы фазового перехода а из B3) получим уравнение:
U V La _а
erf (a) l-erf(a) тг1/2
На основе полученного решения можно рассмотреть и автомодельное
решение однофазной задачи, когда V = 0. >
¦
Задача 2. Рассмотрите процесс распространения бегущей тепловой
волны по среде с нулевой температурой при степенной зависимости
коэффициента теплопроводности от температуры.
92 Епава 3. Аналитические методы теплопроводности
Решение. Рассматривается автомодельное решение A6) уравне-
уравнения A3) при
к(и) = и°, <г = const > 0. B5)
Уравнение A7) при B5) дает
1
-v = -D? + const. B6)
с
Полагая константу интегрирования равной нулю, получим, что v > 0 при
? < 0. Из B6) следует
UU t\ _ / (<rD(Dt - ж)IЛ\ Dt - х> 0,
\ 0, D^ - ж < 0.
Это решение характеризуется конечной скоростью (параметр D) распро-
распространения тепловых возмущений. >
3.4. Асимптотические методы
теплопроводности
3.4.1. Регулярный режим теплопроводности
При описании процесса распространения тепла в твердом теле выде-
выделяют три стадии. В качестве одной из них выступает стадия регулярного
режима, которая реализуется при достаточно больших временах. По-
Поэтому рассмотрим более подробно асимптотическое поведение решения
уравнения теплопроводности от времени.
Пусть температура определяется из уравнения
ди ), «en, «>о, A)
с(х)div(fc
дополненного начальным условием
и(х,0) = щ{х)) хеп, B)
и стационарными граничными условиями третьего рода:
Ф) ^ + а («(*, t) - g(x)) =0, хедп. C)
При t —» оо решение задачи A)-C) стремится к стационарному, которое
обозначим ttoo(z). Оно определяется из уравнения
div (к(х) grad u^) = 0, хеп D)
и граничных условий
3.4. Асимптотические методы теплопроводности 93
Решение задачи A)-C) представим в виде: и(х, t) = и^х) + гф, t).
Для отклонения от стационарного решения из A)-C) и D), E) получим:
с(х) -^ = div (k(x) grad w), aiGfl, t > 0, F)
<ф, 0) = щ(х), s G ft, G)
fc(z) -^ + aw(x, 0 = 0, ж € 9fi- (8)
an
Для проведения асимптотического анализа решения задачи F)-(8)
используем метод разделения переменных (см. п. 3.2). Имеет место пред-
представление
,vi)ce-Xitvi(x), (9)
1=1
где А, и гф), г = 1,2,... — собственные функции и собственные
значения задачи:
div (k(x) grad v) + Xc(x)v = 0, x G ft, A0)
k(x)^- + av(x) = 0, ж € 5П. A1)
on
Поведение температуры при малых временах характеризуется тем,
что в разложении (9) необходимо учитывать все гармоники, решение
существенно зависит от начального распределения. На развитой стадии
процесса, при достаточно больших временах реализуется так называемый
регулярный режим теплообмена. В этом случае в силу быстрого возра-
возрастания собственных чисел Л, с номером гармоники % влияние высших
гармоник практически не проявляется и поэтому эта асимптотическая
стадия процесса характеризуется тем, что
w(x, t) » ф, t) = (tio, i>i)c e~Al4(z), A2)
т. е/ поведение решения определяется только первой гармоникой. На дан-
данной стадии процесса влияние начальных условий, распределение началь-
начальной температуры играет второстепенную роль. И наконец, третья стадия
процесса соответствует стационарному режиму, когда гф, 0 = 0.
На стадии регулярного режима имеем из A2)
Idv
-— --Л! = const.
v at
Тем самым относительная скорость изменения температуры для регуляр-
регулярного режима постоянна (не зависит ни от координат, ни от времени).
В теории регулярного теплообмена большое внимание уделяется
выявлению зависимости темпа охлаждения Х\ от граничных режимов
и теплофизических свойств среды.
94 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
3.4.2. Методы возмущений
В аналитической теории теплопроводности значительное внимание
уделяется методам возмущений. Выделяются малые параметры задачи
в уравнениях, граничных условиях и проводится исследование зависимо-
зависимости решения от таких параметров. Влияние малого параметра (параме-
(параметров) на исследуемый процесс проявляется в той или иной зависимости
решения соответствующей задачи от малого параметра. В регулярно
возмущенных задачах малый параметр приводит к малым изменениям
решения задачи, если это не так, то мы имеем сингулярно возмущен-
возмущенную задачу. Существенное изменение решения за счет малого параметра
в сингулярно возмущенных задачах происходит в части расчетной области
(пограничные слои, внутренние слои и т.д.).
Чтобы не загромождать изложение несущественными деталями, огра-
ограничимся простейшими модельными стационарными задачами теплопро-
теплопроводности. Пусть и?(х) — решение возмущенной задачи, а щ(х) —
невозмущенной (для которой параметр е = 0). Близость возмущенного
решения к невозмущенному в области п будем оценивать в равномерной
норме:
Для регулярно возмущенных задач
\\ие(х) - щ(х)\\С(п) -> О, если е -> 0. A3)
Для сингулярно возмущенных задач условие A3) не выполнено, типич-
типичной является ситуация, когда
\\ие(х) - uo(x)\\c(D) —> 0, если ? -» 0 при JO С П,
т. е. близость имеет место не во всей области П, а только в ее некоторой
подобласти D.
Задача асимптотического анализа состоит в построении функции
U(xy е) такой, что
\\щ(х) - U(xy е)\\С(п) -+ 0, если е -¦ 0.
Обычно асимптотическое приближение U(x, e) строится в виде ряда
по степеням малого параметра:
00
U(Xie) = V^ екщ(х е). A4)
*=о
Особенности сингулярно возмущенных задач удобно проиллюстри-
проиллюстрировать на простейших примерах. Рассмотрим следующую краевую задачу
для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
d2ue due
A6)
3.4. Асимптотические методы теплопроводности 95
Краевая задача A5), A6) соответствует описанию стационарного
температурного поля с учетом конвективного переноса. Анализ направлен
на то, чтобы понять особенности задач с преобладающим конвективным
переносом.
Очевидно, что точное решение задачи A5), A6) имеет вид
«*<*) = 7=7^' A7)
Для вырожденной задачи (е = 0) имеем
щ(х) = х. A8)
Из A7), A8) непосредственно получаем \\и?(х) - щ(х)\\С(о,\) = О(е), т.е.
задача A5), A6) с преобладанием теплопроводности (параметр е мал)
регулярно возмущенная.
Нетрудно выписать для нее и соответствующее асимптотическое
разложение A4). Для этого подставим A4) в исходное уравнение A5)
и приравняем члены при одинаковых степенях е. Для нахождения щ
получим задачу:
0<*<1,
= 0, Ml) = 0.
Примером сингулярно возмущенной задачи является задача
щ@) = 0, МО = 1, B0)
которая отличается от задачи A5), A6) только тем, что малый параметр
стоит теперь возле второй (старшей) производной (малый параметр е за-
заменен на большой — \/е). В задачах тепло- и массопереноса эта ситуация
соответствует преобладанию конвекции над теплопроводностью.
Точное решение сингулярно возмущенной задачи A9), B0) имеет
вид
1 - е~х/?
<>
Как следует из уравнения A9), ио(х) есть постоянная.
Постоянная щ(х) выделяется граничными условиями, но какое
из двух граничных условий B0) выбрать априори неясно. Член пропор-
пропорциональный е отвечает за диффузию тепла за счет теплопроводности,
а второй член отражает конвективный перенос за счет движения самой
среды. Для конвективного слагаемого естественны условия, которые со-
соответствуют заданию граничных условий там, где среда движется внутрь
96 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
расчетной области. Поэтому, для задачи A9), B0) получим
щ(х) = 1. B2)
Конечно, такое представление следует и из B1).
Решение сингулярно возмущенной задачи A9), B0) характеризуется
тем, что при уменьшении параметра возмущения все равно есть часть
области (окрестность точки х = 0), вблизи которой решение возмущен-
возмущенной задачи не близко к решению вырожденной задачи. Это обусловлено
тем, что для возмущенной задачи ставятся дополнительные граничные
условия. И это типично для задач с малыми параметрами при старших
производных.
Наличие пограничного слоя требует специальных способов постро-
построения асимптотических приближений. Помимо регулярных членов асим-
асимптотики присутствуют и сингулярные члены (пограничные функции),
которые учитывают поведение решения внутри пограничных слоев.
Рассмотренная ситуация типична и для более общих задач тепло-
теплообмена: нестационарных, многомерных, нелинейных. Методы малого
параметра позволяют построить приближенное решение нелинейных за-
задач теплообмена. В этом случае каждый член асимптотического ряда
является решением более простой линейной задачи.
3.4.3. Распространение тепла в тонких телах
Асимптотические методы широко используются для построения при-
приближенных моделей, в качестве которых выступают первые члены асим-
асимптотического разложения. В качестве хорошо известного примера отме-
отметим модели распространения тепла в тонких цилиндрических телах.
Рассмотрим распространение тепла в тонком однородном цилиндре
постоянного сечения D. Пусть / — длина этого цилиндра, d — его
диаметр, а ось совпадает с осью Хз. Рассматривается случай, когда
d/l < 1. Внутри стержня стационарный процесс описывается уравнением
д2и д2и д2и
+ + Щ=°> (*ь*2)€Д 0<х3<*. B3)
Считаем, что на боковой границе цилиндра поддерживается теплообмен
с окружающей средой по закону:
к— + аи(х) = 0, (хьх2) е dD. B4)
Кроме этого заданы некоторые граничные условия на торцах, на-
например,
2), B5)
2). B6)
Влияние граничных условий B5), B6) при построении асимптотики
по малому параметру е = d/l проявится в появлении пограничных слоев
вблизи торцов. Мы на этот элемент не будем здесь обращать внимание.
3.4. Асимптотические методы теплопроводности 97
Параметр е появляется при обезразмеривании уравнения. Выбирая
в качестве характерного линейного размера длину стержня и сохраняя
обозначения, уравнение B3) перепишется в следующем безразмерном
виде:
д2и д2и , д2и
+ °> (*ь*2)е!>, 0<х3<1. B7)
Граничное условие B4) дает
-^ + Bi u(x) = О, (хи х2) е 3D. B8)
on
Будем считать, что число Био достаточно мало, а именно, Bi = Ge2. Ка-
Казалось бы, что для получения приближенного решения задачи B3)-B6)
достаточно положить в B7) и B8) е = 0и прийти к обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению вдоль оси цилиндра. Однако укороченное
уравнение немного сложнее.
Ищем асимптотическое решение в виде
4(s,?). B9)
*=о
Для первого члена асимптотического разложения B9) имеем задачу:
д2ип д2щ
-^2" + -^- = 0, (xux2)eD, .0<я3<1, C0)
дш
-^ = 0, (xux2)edD. C1)
Аналогично для второго члена:
^ O, (xux2)edD. C3)
Решением задачи C0), C1) является произвольная функция продоль-
продольной координаты, т.е. щ = гго(ж3). Задача C2), C3) есть задача Неймана,
которая разрешима при выполнении равенства
2чх д2чЛ гдщ
+)dx^ld8
D dD
С учетом C2), C3) это тождество дает искомое уравнение для распро-
распространения температуры в тонких стержнях:
~^Т - Gxu0 = 0, 0 < ж3 < 1,
з
8 Зак 168
98 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
где
Ids
х= dD
J dx{ dx2
D
есть отношение периметра к площади сечения.
Аналогично рассматриваются нестационарные задачи, задачи для
слабоискривленных стержней, цилиндров переменного сечения и т.д.
3.4.4. Теплопроводность композиционных материалов
Асимптотические методы нашли широкое применение при рассмо-
рассмотрении процессов теплопередачи для композиционных материалов, Рас-
Рассматриваются неоднородные среды с периодической структурой, которые
характеризуются включениями малых размеров. Для описания процессов
теплопереноса применяются различные процедуры усреднения. На осно-
основе асимптотического разложения по малому параметру, характеризующе-
характеризующему размер включения, ставится задача для осредненных характеристик
процесса. Приведем характерный результат теории гомогенизации.
Будем рассматривать композиционный материал, который занима-
занимает область Q. Он представляет собой периодическую структуру разме-
размера ?, т.е. состоит из кубиков De. Свойства материала неоднородны
по выделенному кубику, но для каждой ячейки композиционной среды
являются одинаковыми. В простейшем случае композиционный матери-
материал представляет из себя периодическую среду, которая характеризуется
включениями другого материала.
В области П рассматривается уравнение теплопроводности
с*(ж/б:)-^- = div (k?(x/e) grad ие), хеП, * > О C4)
с граничным и начальным условиями:
ие(х,0) = щ(х)) хеп, C5)
ue(xyt) = 0, хедп, C6)
Теплоемкость и теплопроводность материала периодичны с периодом е
по каждому направлению, что отражено в выбранной зависимости се(х/е)
и ke(x/e).
Асимптотическое решение задачи C4)-C6) строится при условии,
что размер включений мал по сравнению с размерами области п. Пусть
у = х/е и для решения и?(х) строится двухмасштабное разложение:
ие(х) = и°(х) + еи\х, у) + eV(z, у) + ..., C7)
где функции ик(х} у) периодичны по переменной у.
Для практики представляет интерес прежде всего нулевой член раз-
разложения C7), который интерпретируется как простая среда с эффектив-
эффективными теплофизическими характеристиками. Соответствующее уравнение
3.4. Асимптотические методы теплопроводности 99
теплопроводности имеет вид:
хеп, *>0, C8)
где
— средняя по элементарной ячейке теплоемкость. Коэффициенты те-
теплопроводности определяются осреднением решений специальных задач
в ячейках.
Пусть wx(y) — периодическое решение задачи:
дке
div(fceB/)grad «;')=- —
оу
такое, что w*(y) = 0. Тогда для fc, имеем
Таким образом, вычисление эффективных характеристик композицион-
композиционного материала связано с предварительным решением задач на отдельной
ячейке.
Второй подобный пример использования асимптотических разложе-
разложений для построения эффективных характеристик связан с рассмотрением
процессов теплообмена при мелкозернистой границе. Пусть пе имеет
мелкозернистую (волнистую) границу дп6 с характерным размером вол-
волны е. Пусть на границе осуществляется теплообмен со средой по закону
к^- + aV(x) = 0, хе дпе. C9)
дп
При усреднении границы рассматривается эффективное условие третьего
рода, но с другим коэффициентом теплообмена:
к— + аи(х) = 0, хе дп.
Для эффективного коэффициента теплообмена асимптотический анализ
дает формулу а = а?х, где % есть локальное отношение длины грани-
границы дп6 к длине усредненной границы дп.
3.4.5. Задачи
Задача 1. Получите выражение для темпа охлаждения Х\ однородного
тела как меру неравномерности температуры по поверхности тела и его
объему.
100 Глава 3. Аналитические методы теплопроводности
Решение. С учетом A2) необходимо получить соответствующее вы-
выражение для первого собственного значения задачи A0), A1). Имеем
из уравнения A0) для темпа охлаждения (первого собственного значения)
А. = Yw i = " г"ГТ^ • D°)
c{x)v\(x) cjv\(x)dx
п
Для первого интеграла получим, используя A1),
/ div (kgmdv\) dx = -а / V\(x) ds. D1)
п дп
Поэтому D0) и D1) дает
Jv(x,t)ds
с J v(xy t) dx
п
Приведенное соотношение известно как теорема Кондратьева. >
I Задача 2. На основе процедуры осреднения получите уравнение тепло-
теплопроводности в тонких однородных телах.
Решение. Для тонкого однородного тела с сечением D возьмем
уравнение теплопроводности в виде
а2Л, Л2Л, ср. >
1 ' 0<а*3<1, *>0. D2)
и пусть
кр- + а(ф) - ис(хь«)) = 0, (х,, х2) 6 3D. D3)
an
Проинтегрируем уравнение D2) по сечению D. Пусть
/ и(х, t) dxx dx2
VM = fdx{dx2
D
— средняя по сечению температура. Тогда будем иметь:
ev Л Ltds
т~адх\ +afdx,dx2-
D
Последнее слагаемое преобразуется с учетом граничного условия D3):
d
с
dD 8D
3.5. Библиография и комментарий 101
Для тонких тел можно принять допущение о постоянстве температу-
температуры по сечению. Поэтому подстановка D5) в D4) позволяет написать
окончательное уравнение теплопроводности:
- д2у а dD * ( )
— ( _ )
dt~adx] с J dxxdx2 (V Uc)'
D
В стационарном случае это уравнение это уравнение обсуждалось с по-
позиций асимптотического анализа. >
3.5. Библиография и комментарий
3.5.1. Общие замечания
3.1. Вопросы обезразмеривания задач теплопроводности обсуждаются
в [2]. Основы теории подобия для задач теплообмена более подробно
изложены в [4].
3.2. Классические методы решения краевых задач математической фи-
физики изложены в [10]. Их применению к задачам теплопроводности
посвящены книги [2, 6].
3.3. Общие методы поиска точных решений нелинейных уравнений из-
изложены в работах [5, 8].
3.4. Исследованию регулярного режима теплопроводности посвящена
книга [11]. В работах [3,7] изложены методы малого параметра
применительно к широкому классу задач прикладной математики.
Теория гомогенизации наиболее полно представлена в [1, 9].
3.5.2. Литература
1. Бахвалов Н. С, Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических
средах. М.: Наука, 1984.
2. Беляев Н.М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях.
М.: Высшая школа, 1982.
3. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных
возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
4. ГухманА.А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1973.
5. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Нау-
Наука, 1983.
6. Карташов Э. М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел.
М: Высшая школа, 1979.
7. КоулДж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.
8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,
1978.
9. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.
10. Тихонов А. #., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1972.
П. Чердаков П. В. Теория регулярного режима. М.: Энергия, 1975.
Глава 4.
Стационарные задачи
теплопроводности
Изложение численных методов решения задач теплофизики мы на-
начинаем с простейшей задачи, связанной с описанием стационарного
температурного поля. Перенос тепла осуществляется теплопроводностью,
а температура описывается эллиптическим уравнением второго порядка
с соответствующими краевыми условиями. Излагаются основные вопро-
вопросы теории разностных схем, связанные с переходом к дискретной задаче,
ее исследованием и приближенным решением.
Вначале мы приводим основные факты из теории краевых задач для
эллиптических уравнений. Сеточная задача с необходимостью должна
наследовать те или иные свойства исходной дифференциальной зада-
задачи. Например, таким свойством может выступать принцип максимума.
Исследование краевых задач базируется на получении тех или иных
априорных оценок решения задачи. Аналогичная техника используется
и при обосновании сходимости разностного решения к точному. В каче-
качестве основного применяется аппарат теории операторов в гильбертовых
пространствах. Поэтому представляет интерес рассмотрение дифферен-
дифференциальных задач именно с этих позиций.
Первый основной вопрос, который возникает при решении при-
прикладных проблем, связан с построением дискретной задачи. На примере
простейшей одномерной задачи рассмотрены различные возможности
построения сеточных задач. Применяется, в частности, интегро-интерпо-
ляционный метод, который имеет прозрачную физическую интерпрета-
интерпретацию. Разностные схемы могут быть построены на основе использования
метода конечных элементов.
Основной теоретический вопрос связан с оценкой погрешности при-
приближенного решения. Формулируется принцип максимума для разност-
разностных задач. С его помощью доказана сходимость приближенного реше-
решения к точному для простейших стационарных задач теплопроводности
в равномерной норме. На основе сеточных априорных оценок показана
сходимость разностного решения в Соболевских пространствах.
Рассмотрены основные методы решения сеточных эллиптических
задач. В простейших случаях, когда переменные разделяются, можно
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка 103
применять быстрые прямые методы. В более общей ситуации привле-
привлекаются итерационные методы. Излагается общая теория итерационных
методов в гильбертовых пространствах. Среди итерационных методов
основные успехи связаны с построением треугольных итерационных ме-
методов вариационного типа.
Определенные сложности возникают при решении эллиптических
задач в нерегулярных областях. Кратко рассмотрены основные подходы
к решению таких задач. Традиционно широко для таких задач приме-
применяются методы с использованием нерегулярных расчетных сеток. Среди
подходов к решению задач в нерегулярных областях отмечается метод
фиктивных областей. В последнее время значительное внимание уделя-
уделяется методам разделения (декомпозиции) сложных областей на простые
подобласти.
Кратко обсуждаются вопросы приближенного решения нелинейных
стационарных задач теплопроводности. Основное внимание уделяется
методу Ньютона—Канторовича.
4.1. Краевые задачи
для эллиптических уравнений
второго порядка
4.1.1. Линейное стационарное уравнение теплопроводности
Для общей анизотропной среды, занимающей ограниченную об-
область п, уравнение теплопроводности (см. п. 2.1) имеет вид:
- Е ^ {kal}{x)^) = /(Ж)' * = (*., *2, -.., *т) € п. A)
Здесь в силу симметричности тензора теплопроводности выполнены усло-
условия: кар = кра, а, р = 1, 2,..., га. Для рассматриваемого дифференци-
дифференциального оператора теплопроводности естественно считать выполненными
условия равномерной эллиптичности:
mm m
X) &
а=\
для произвольных ?а, а = 1,2,..., т.
Принимая во внимание движение среды, уравнение теплопроводно-
теплопроводности A) дополняется слагаемыми с первыми производными:
где через Ьа(х) обозначены соответствующие компоненты скорости.
104 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Более простые модели связаны с использование уравнения тепло-
теплопроводности в форме:
^(?) D)
которое описывает перенос тепла теплопроводностью в изотропной среде.
Для однородной среды (к(х) = const) имеем уравнение Пуассона
(с заменой f(x) на f(x)/k).
Уравнения A), C)-E) могут рассматриваться как основные при
моделировании стационарной теплопроводности. Они дополняются со-
соответствующими граничными условиями.
В качестве основного выступает условие Дирихле:
и(х) = д(х), х G дп, F)
когда на границе поддерживается заданная температура.
Для уравнений теплопроводности A) и C) граничное условие Ней-
Неймана (заданный тепловой поток) имеет вид:
ди
to=9(x), *€0ft, G)
где
ди ^ ди
— производная по конормали, причем cos(n, xa) — направляющие
косинусы внешней нормали п. В случае уравнений D), E) условие G)
упрощается с учетом того, что:
ди ди
- = *(*)-, хедп. (8)
Задача Неймана A), G) разрешима с точностью до постоянной только
при выполнении условия
J f(x)dx + J g(x)ds = 0.
дп
Конвективный теплообмен с окружающей средой моделируется гра-
граничным условием третьего рода:
ди
•j? + <r(x)u = g(x), хедП, (9)
где <г(х) ^ 0 — коэффициент конвективного теплообмена.
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка 105
Всюду, если не оговорено противное, считаем, что коэффициенты
в уравнении и граничных условиях, граница расчетной области и само ре-
решение задачи и(х) достаточно гладкие. Например, полагаем, что функция
и(х) дважды непрерывно дифференцируема в области, т.е. и(х) € С2(п)
и т.д.
4.1.2. Принцип максимума
Будем рассматривать уравнение теплопроводности в наиболее общей
форме C). Отражением простого факта о том, что в теле максимальная
температура достигается только на границе, если отсутствуют внутренние
источники тепла, является принцип максимума для эллиптических уравнений
второго порядка.
Теорема 1. Пусть Lu^O (Lu ^ 0) в ограниченной области П. Тогда
максимум (минимум) функции и(х) достигается на границе области,
т.е.
max и(х) = max и(х) ( min и(х) = min и(х)). A0)
хеп хеш ^ хеп хедп '
() (
хеш ^ хеп
Из принципа максимума следует единственность решения задачи
Дирихле C), F). Важнейшим следствием принципа максимума является
теорема сравнения.
Теорема 2. Пусть для функций и(х) и v(x) имеют место неравенства
Lu^Lv, хеП, u(x)^v(x)y xedCty ' A1)
тогда и(х) ^ v(x) во всей области fi.
Принцип максимума дает возможность получить простейшие апри-
априорные оценки для задачи Дирихле C), F) в равномерной норме.
Теорема 3. Для решения задачи Дирихле C), F) справедлива оценка
\\и(х)\\т < \\9(х)\\ст + М||/(*)||с(п>, A2)
где постоянная М зависит от диаметра области п и коэффициентов
уравнения C).
Априорная оценка A2) отражает непрерывную зависимость решения
задачи Дирихле от правой части и граничных условий.
Аналогичная оценка имеет место и для третьей краевой задачи C),
(9), если <т(х) отделена от нуля.
Теорема 4. Для решения задачи C), (9) при выполнении неравенства
(т(х) ^ (То > 0 справедлива оценка
\\и(х)\\с{п) ^ М(\\д(х)\\с№ + И/(*)Нс(п)), ()
где постоянная М зависит от п, L и постоянной <т0.
7 Зак. 168
106 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Вместо C) рассмотрим теперь уравнение
Lu + с(х)и = /(ж), х€П. A4)
На основе принципа максимума можно установить следующее утвержде-
утверждение.
Теорема 5. Для решения задачи A4), F) при с(х) > 0 справедлива
оценка
А\^\\
II ФО llc(ft)
Обобщение простейших априорных оценок A2), A3), A5) в различ-
различных направлениях можно найти в литературе по уравнениям математи-
математической физики.
4.1.3. Задачи стационарной теплопроводности
в гильбертовом пространстве
Сформулируем задачи стационарной теплопроводности в простран-
пространстве функций, квадратично интегрируемых на П, т.е. в простейшем
гильбертовом пространстве Н = Ь2{0). Скалярное произведение в Н
определяется выражением
, v) = I y(x)v(x) dx,
а норма ||у|| = (у,»I/2.
Задачи теплопроводности рассматриваются при однородных гранич-
граничных условиях, т.е. в F), G), (9) функция д(х) = 0, х G дП. На таком
множестве функций определяется соответствующий дифференциальный
оператор задачи.
Пусть, например, дифференциальный оператор Л задан выражением
^J П A6)
на множестве функций
и(х) = 0, х е дп. A7)
Такой оператор Л самосопряжен и положительно определен в Н
(Л = Л* и Л ^ 6Е, где Е — тождественный оператор), т. е.
(Ащу) = (щАу), A8)
(Аи, и) > б\\и\\\ 6>0. A9)
Доказательство A8) основано на использовании следующей формулы
интегрирования по частям функции многих переменных:
дп
(n, xa) ds- J ^-Ух(х) dx. B0)
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка 107
Полагая в равенстве B0)
)—, у2(х) = v(x),
получим
W ???* <21)
Оператор Л рассматривается (см. A7)) на множестве функций, обра-
обращающихся в нуль на границе. Поэтому из B1) непосредственно следует:
„ ?M*^fe B2)
Принимая во внимание kap = kpa отсюда и получим условие самосопря-
самосопряженности A8).
Для оператора Д, заданного на множестве функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
^ = о, хедп, B3)
также получим равенство B2). Аналогичные выкладки для условий тре-
третьего рода
^ + <r(s)u = 0, xedtl B4)
аи
дают
(Ли,v) =
n
Тем самым и оператор третьей краевой задачи самосопряжен.
Установим теперь положительную определенность оператора Л на
множестве функций A7), т.е. покажем выполнение оценки A9). Из B2)
и условия эллиптичности B) непосредственно следует неравенство:
Для функций и(х), определенных в ограниченной области ft, спра-
справедливо неравенство Фридрихса:
J
u\x) dxZbjf^Cjffte + cif u2(x) ds, B7)
J jf
П Л а=Х Ш
108 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
где положительные постоянные С\ и с2 зависят только от области. Для
и(х), которые обращаются в нуль на границе дп, неравенство B7)
принимает вид:
||и||2 = / иг(х) dx^ci / ^2 ( ^~ ) dx- B8)
Для прямоугольника п = {х \ х = (хьж2), 0 < ха < la} a = 1,2}
для постоянной с\ в неравенстве B8) можно получить выражение:
с\ = ^r'2/(/f2 + /J2). Объединяя B6) и B8), получим искомое условие
положительной определенности:
(Аи,и)^— \\u\\2. B9)
Для граничных условиях третьего рода B4) при а(х) ^ а0 > 0 из B5)
получим неравенство:
то
Г \. > ои ди Г л
/ ЛЛ, л.\ I XI. /л»\ Алл I I >-/л«\Л.^ J^ V
I ^X w* Cv I ' ' f / "//v/# \ *^ / (vu/ I f C/ I «L/ I Cv tvu ^^
f m / л.. \ 2
X) \jtej dx+а° J u2wds-
Учитывая неравенство Фридрихса B7), получим условие положительной
определенности оператора Л для третьей краевой задачи в форме:
(Ащи) >тт(^-> ^)lN|2. C0)
При рассмотрении оператора задачи Неймана (A6), B3)) ключевую
роль играет неравенство Пуанкаре:
J
u\x) dx^c3fjr (J^j dx + с4 (У и(х) dx^j , C1)
где постоянные с3 и с4 не зависят от и(х). Решение второй краевой
задачи определяется с точностью до постоянной. Выделим единственное
решение и(х) такое, что
fu(x)dx = 0. C2)
п
В этом подпространстве для оператора Л из B2) и C1) получим
неравенство
(Au,u)>jM\ C3)
Таким образом, оператор Л на множестве функций удовлетворяющих
условиям B3) и C2) также положительно определен.
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка 109
Аналогично рассматриваются и более сложные задачи стационарной
теплопроводности. В частности, можно отметить задачи со смешанными
граничными условиями, когда на различных частях границы задаются
условия разных типов.
Выделим случай уравнения теплопроводности, когда источниковый
член содержит слагаемое пропорциональное температуре, т. е. вместо
уравнения A) рассмотрим следующее уравнение:
- ? 5Г (М*)|г + с{х)и =
Соответствующий оператор Л1 будет самосопряжен. Знакоопределен-
Знакоопределенность при с(х) ^ со будет определяться неравенством
(ДЧ и) = (Лщ и) + (сиу и)>F + со)|М|2.
В простейшем случае со ^ 0 оператор Л1 равно как и оператор Л является
положительно определенным.
4.1.4. Априорные оценки в гильбертовых пространствах
Приведем простейшие оценки решений задач стационарной тепло-
теплопроводности для уравнения A) с условиями F), G), (9). Для гильбертового
пространства W\ (ft) норма определяется выражением:
IW«)lfe«> = / Г«2<*> + Е (Ю1 **¦
Ju L а=1 \VU/e/ J
Для решения краевых задач A), F) и A), (9) имеет место оценка:
N*)llwi'<n) < c5(\\f(x)\\Lm 4- \\g(x)\\L2m). C4)
Оценка C4) выполнена и для решения задачи Неймана A), G) при
выполнении условия нормировки C2).
Отметим также аналогичную оценку в случае, когда исходное уравне-
уравнение имеет дивергентное слагаемое в правой части. Вместо A) рассмотрим
уравнение
Соответствующая априорная оценка для уравнения C5), дополненного
условиями F), G), (9) имеет вид:
(),() ыт)C6)
Оценки в других нормах могут быть получены на основе теорем вло-
вложения из оценок решения в W*(О). Например, из оценок C6), C5)
в одномерном случае (т = 1) следуют оценки в равномерной норме.
110 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.1.5. Задачи
Задача 1. Покажите, что постоянная М в оценке A2) решения задачи
Дирихле C), F) может быть выбрана равной ||#(ж)||с(Ю)> где функция
v(x) удовлетворяет условиям:
Lv>\, х е U, C7)
v(x) ^0, х ? дП. C8)
Решение. Рассмотрим функцию
w(x) = v(x)\\f(x)\\m + \Ш\\ст ± ФУ C9)
С учетом C8) на границе дП имеем w(x) ^ 0. Внутри области из C9)
непосредственно следует
Lw = \\f(x)\\C(u)Lv±f(x).
Принимая во внимание C7), получим Lw ^ 0. В силу принципа макси-
максимума получим w(x) ^ 0 во всей области П.
Неотрицательность w(x) позволяет из C9) получить оценку
()
Тем самым проблема получения априорной оценки свелась к на-
нахождению мажоратной функции v(x), удовлетворяющей условиям C7),
C8). В частных случаях это удается очень просто сделать. >
Задача 2. Покажите положительную определенность оператора
°Ха
на множестве функций удовлетворяющих однородным граничным усло-
условиям первого рода, если
т. е. при конвективном переносе тепла в несжимаемой среде.
Решение. Представим оператор Л' в виде
а(х)гЦ-, D2)
ах
где А — оператор, определяемый согласно A6). Свойства оператора А
исследованы ранее, в частности, установлена оценка положительной
4.2. Построение разностных схем 111
определенности A9) (см. B9)). Для второго слагаемого в D2) с учетом
условия D1) имеем:
I У^ Ьа(х)-^и(х) dx = -- I u\x) divb dx = 0.
J *-* oxa 2 J
п a=1 п
Поэтому (А'и, и) = (Аи, и) > (*i/ci)||t*||2, где к\ и с\ постоянные в B)
и B8). >
4.2. Построение разностных схем
4.2.1. Приближенное решение краевых задач
Рассматриваются проблемы нахождения приближенного решения за-
задач теплофизики численными методами. Прежде всего коснемся вопроса
о том, каким вообще может быть это приближенное решение, как оно
может представляться. Будем считать, что речь идет о поиске приближен-
приближенного решения некоторой стационарной задачи теплопроводности. Точное
решение обозначим и(х), ж € П. Для простоты, будем считать пока, что
речь идет о решении одномерной задачи, т. е. П = @,1).
Можно отметить как основные два класса численных методов: сеточ-
сеточные и проекционные. Сеточные (разностные) методы основаны на пере-
переходе от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргу-
аргумента. В нашем случае на отрезке [0,1] вводятся точки (узлы) ж,- Е @,1),
г = 1,2,..., N - 1, хо = 0, xn = I, образующие сетку шн = шн + ди>н,
где и>ь — множество внутренних (г = 1,2,..., N - 1), а дш^ — граничных
(i = о и i = N) узлов. Пусть h — параметр характеризующий эту сетку
(плотность расположения узлов, расстояние между узлами).
Приближенное решение непрерывной задачи ищется в узлах сет-
сетки и обозначается уы = Ун(х{), г = 0,1,... ,iV. Для нахождения этой
функции дискретного аргумента формулируется разностная задача. Пусть
линейная краевая задача записывается в следующем виде
Lu = f{x), xGfi, A)
lu = g(x)} x 6 дп. B)
Поставим в соответствие непрерывной задаче A), B) разностную задачу:
C)
D)
где Lh,lh — некоторые разностные операторы, приближающие (аппрок-
(аппроксимирующие) операторы L и I дифференциальной задачи A), C).
В проекционных методах решения задач математической физики
функции непрерывного аргумента приближаются также функциями не-
непрерывного аргумента и в этом их принципиальное отличие от сеточ-
сеточных методов. Переход к конечномерной задаче осуществляется следую-
следующим образом.
112 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Пусть решение нашей задачи и(х) принадлежит некоторому про-
пространству W. В этом пространстве выделяется подпространство Нм, кото-
которое определяется линейной оболочкой элементов Wk(x)9 к = 1,2,..., М.
Тем самым приближенное решение ищется в виде
м
им(х) = ]Г) akwk(x). E)
*=i
Затем из каких-либо соображений формулируется задача для опреде-
определения коэффициентов ак, к = 1,2,... ,М разложения E). Тем самым
проекционный метод характеризуется выбором базиса (функций wk,
к= 1,2,..., М) и способом отыскания коэффициентов разложения. От-
Отметим некоторые возможные подходы к определению ак, к = 1,2,..., М.
Будем считать, для простоты изложения, что рассматривается кра-
краевая задача A), B) с однородными граничными условиями (д(х) = 0)
и функции wk(x), к = 1,2, ...,М этим условиям удовлетворяют, т.е.
lwk = 0, х е дп. Задача сводится к определению коэффициентов ак,
к = 1, 2,..., М из условия приближенного выполнения уравнения A).
Определим невязку
RM(x) = LuM - /(ж), х е П, F)
с которой выполняется уравнение A) на приближенных решениях E).
Различные способы выбора коэффициентов разложения E) определяются
теми или иными способами минимизации невязки F).
Пусть рассмотрение ведется в обычном гильбертовом пространстве
Н = ^(П). Зададим некоторые весовые функции jk, к = 1,2, ...,М
и найдем ак, к = 1,2,..., М из М условий
(Дм,7*) = 0, fc=l,2,...,M. G)
Укажем некоторые варианты выбора весовых функций ук, к =
1,2, ...,М. В методе наименьших квадратов ищется минимум нормы
невязки, т. е. (Rm, Rm) —> inf. Это соответствует тому, что
fc=l,2,...,M.
Метод коллокаций состоит в том, что точно удовлетворяется исход-
исходное уравнение лишь в М выбранных точках (точках коллокаций хк,
к = 1,2, ...,М). В общей формулировке F), G) метод коллокаций
соответствует выбору ук(х) = 6(х-хк), к = 1,2, ...,М, где 6(х) —
#-функция.
Класс проекционных методов, носящих название метод Галеркина,
связан с выбором
Ъ{х) = wk(x), fc=l,2,...,M. (8)
К этому методу близко примыкает (для самосопряженных операто-
операторов L — просто совпадает) метод Ритца. Пусть решение нашей задачи A),
4.2. Построение разностных схем 113
B) с однородными граничными условиями эквивалентно решению задачи
минимизации квадратичного функционала J(u) = (Lu, и) - 2(/, и). Тогда
приближенное решение им (я), имеющее вид E), естественно искать как
минимум такого функционала.
Условия G) позволяют сформулировать соответствующую систему
линейных алгебраических уравнений для нахождения ак, к = 1, 2,..., М.
Например, для метода Галеркина (8) имеем
м
h Wi)aj = (/, щ), i = 1, 2,..., M. (9)
Отметим, что основные проекционные методы (из этого списка выпадает
метод коллокаций) приводят к необходимости использования процедур
интегрирования для вычисления элементов системы линейных уравнений
для определения неизвестных коэффициентов разложения (см., напри-
например, (9)).
В вычислительной практике в настоящее время большое распростра-
распространение получили проещионно-сеточные методы {метод конечных элемен-
элементов). Этот класс методов определяется специальным выбором элементов
(конечных элементов) wk, к = 1,2, ...,М. Эти функции имеют ло-
локальный носитель, т. е. лишь в небольшой окрестности функция wk(x)
не равна нулю, и представляется, например, в виде полинома малой сте-
степени. В ряде случаев коэффициенты ак9 к = 1,2,..., М разложения E)
можно непосредственно связать с приближенным решением в некоторых
точках области п. Поэтому проекционные методы в некоторых случаях
можно рассматривать как способ построения разностных задач. В ме-
методе конечных элементов коэффициенты разложения могут находиться
на основе отмеченных выше подходов.
4.2.2. Основные понятия теории разностных схем
При численном решении прикладных задач разностными метода-
методами необходимо рассмотреть следующий взаимосвязанный круг проблем.
Задача состоит в получении приближенного решения с некоторой задан-
заданной точностью за приемлемые вычислительные затраты. Это достигается
на пути перехода от непрерывной задачи к дискретной. При построении
дискретных задач (при аппроксимации уравнений и граничных условий)
желательно сохранить за разностным решением важнейшие качественные
характеристики искомого решения. В качестве примера, отметим свойство
консервативности — выполнение законов сохранения и для разностной
задачи. Вторым характерным примером может выступать свойство моно-
монотонности — выполнение принципа максимума для разностного решения.
Разностное решение должно сходиться к точному решению при
измельчении сетки. Желательно иметь оценки уклонения разностного
решения от точного в зависимости от параметра h. Теория сходимости
114 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
разностных схем базируется на изучении погрешностей аппроксимации
и устойчивости разностного решения по отношению к малым возмуще-
возмущениям правой части уравнения и граничных условий.
Для получения приближенного решения мы должны решить соот-
соответствующую систему уравнений. С этой целью развиваются различные
методы решения сеточных задач, которые максимально учитывают спе-
специфику задачи.
Введем некоторые основные понятия теории разностных схем. Бу-
Будем снова вести речь о решении некоторой (не обязательно одномерной)
задачи A), B), которой ставиться в соответствие разностная задача C),
D). Выбирая различные сетки а7&, мы получаем некоторое множество
разностных решений {ун}, зависящих от параметра h. Тем самым рас-
рассматривается семейство разностных задач C), D), которое будем называть
разностной схемой.
В зависимости от необходимой точности приближенного решения
е и выбирается сетка &н (параметр h(e)). Пусть #/, — пространство
сеточных функций и щ{х) — значения точного решения и(х) на сетке а7д.
Для погрешности разностного решения будем использовать обозначения:
Zh = Vh-uh, ж€о7Л.
Основной проблемой теоретического исследования является получе-
получение априорных оценок для погрешности решения. Сформулируем задачу
для Zh. Подставляя ун = Zh + щ в C), D), получим:
чМж), х Е uhi A0)
Здесь tyh = (ph — LhUh — невязка в уравнении для погрешности, ко-
которая называется погрешностью аппроксимации уравнения A) разностным
уравнением C). Соответственно v^ = хъ — h^h — невязка в граничном
условии для погрешности, которая называется погрешностью аппроксима-
аппроксимации граничного условия B) разностными граничными условиями D). Под-
Подчеркнем, что эти погрешности аппроксимации рассматриваются на ре-
решениях исходной задачи A), B).
Решение разностной задачи C), D) сходится к решению задачи A),
B), если в некоторой сеточной норме || • \\xh \\zh\\xh = \\yh - uh\\xh -> 0,
при h —> 0. Разностная схема сходится со скоростью O(hk), k > 0,
(имеет к-ft порядок точности), если при достаточно малых h ^ ho
выполнено неравенство \\zh\\\h ^ Mhk, где положительная постоянная М
не зависит от h.
Разностная схема C), D) аппроксимирует задачу A), B), если
\\Фн\\гн - 0 при h - 0, |М|ЗЛ - 0 при h - 0, где || • ||2Л и || • ||ЗЛ -
некоторые сеточные нормы.
Важнейшим свойством разностной задачи является устойчивость
решения по отношению к малым возмущениям правой части и граничных
условий. Для линейной задачи C), D) устойчивость разностной схемы
4.2. Построение разностных схем 115
вытекает из оценки:
ll»fclli*=Mi||W||2h + M2||xfc||3fc. A2)
Из оценки A2) для разностной задачи C), D) следует аналогичная оценка
для погрешности:
. A3)
Поэтому, если схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то
она сходится.
Таким образом, проблема сходимости линейных разностных схем
сводится к исследованию погрешностей аппроксимации исходного урав-
уравнения и граничных условий и получению априорных оценок A3) для
погрешности разностного решения.
4.2.3. Простейшие разностные операторы
Рассмотрим проблемы аппроксимации на примере простейших диф-
дифференциальных операторов первой и второй производной. Опуская ин-
индекс Л, обозначим через и равномерную сетку с шагом h на интервале
ft = [0,1] (ш — множество внутренних узлов): и = {ж | ж = ж, = tft,
Исследуем различные аппроксимации дифференциального операто-
оператора первой производной: Lu = du/dx на введенной сетке. Будем рассма-
рассматривать достаточно гладкие функции и(х) Е C^(?2), k ^ 2.
Поставим в соответствие дифференциальному оператору L разност-
разностный оператор L^. Множество узлов сетки, которые используются для
построения оператора L^, называется шаблоном. Определим погрешность
аппроксимации оператора L разностным оператором Lh в г-ом узле
выражением ^ = ЬнЩ - (Lu)i.
Разложение по формуле Тейлора в окрестности внутреннего узла
ж = ж,- дает:
иш = щ ± h_{x{) + __(ж,.) ± __(Ж|.) + O{h%
Поэтому для левой разностной производной (опуская индекс г) имеем
Тем самым оператор Lh аппроксимирует оператор L с первым порядком
(^ = O(h) в каждом внутреннем узле) при и(х) G С^2\п).
Аналогично для правой разностной производной следует:
Lhu = и,, ^р = ?(х.) + \^{щ) + O(h>). A5)
116 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
При использовании трехточечного шаблона (узлы х,-_ь a;,-, xi+\) можно
использовать центральную разностную производную:
которая аппроксимирует производную со вторым порядком при и(х) ?
СC)(П).
Для оператора второй производной Lu = d2u/dx2 подобные выклад-
выкладки дают:
Этот оператор аппроксимирует вторую производную со вторым порядком
при и(х) е CD)(ft).
Погрешность аппроксимации оценивалась в отдельном узле. Для
оценки погрешности на сетке и необходимо использовать какие-то се-
сеточные нормы. Например, можно применять норму в С(ш) и в ^(о;):
1/2
В приведенных примерах A4)—A7) погрешность аппроксимации имеет
один и тот же порядок в обоих этих нормах. Конечно, это не так в общем
случае — порядок может быть разный в различных нормах. Рассмотрим
в качестве характерного примера аппроксимацию оператора второй про-
производной на неравномерной сетке w = {х \ х — ж,-, г — 1,2, ...,iV,
х0 = 0, xn = /} с шагами hi = ж,- - Х{-\. Определим на трехточечном
шаблоне разностный оператор
LhU. = 1
где hi = 0,5(fe,-+i +ft,-).
Непосредственные выкладки дают для пофешности аппроксимации:
A9)
Поэтому \\<р\\с = O(ho) и ||^|| = O(ho), где ho = max Л,, т.е. имеем лишь
первый порядок аппроксимации.
Исследование структуры пофешности позволяет показать, что опе-
оператор A8) имеет все же второй порядок при соответствующем выборе
нормы. Пусть, например,
N-X
?<
«=1
4.2. Построение разностных схем 117
Принимая во внимание
для главного члена погрешности имеем
Исходя из A9), представим погрешность в виде ^i = $ + $> гДе
о 1 1 2^и 2 ¦
Имеем
~ Vk) = *fr+i ~ V\-
Учитывая B0), получим ||^9||-i = O(hg). Поэтому
||^*||-i < Mhl, те- оператор A8) аппроксимирует вторую производную
со вторым порядком на любой неравномерной сетке. Это обусловле-
обусловлено специальной (дивергентной) формой погрешности и согласованным
с таким видом погрешности выбором нормы.
Рассмотренные разностные операторы построены выше на основе
использования формулы разложения Тейлора (операторы первой произ-
производной A4)—A6)) и операции повторного дифференцирования (разност-
(разностные аппроксимации A7), A8) для второй производной). Альтернативой
может выступать подход на основе определения производной как реше-
решения соответствующего интегрального уравнения и применения некоторых
квадратурных формул.
Пусть dku/dxk = f(x), тогда имеет место соотношение
Тем самым мы может определять fc-ю производную как решение инте-
интегрального уравнения B1) при известной и(х).
В качестве примера, построим разностные операторы, аппроксими-
аппроксимирующие первую производную (к = 1 в B1)). На равномерной сетке ш
имеем
«••+1
Щ-+1-«.•-! = ] f(t)dt. B2)
118 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Применяя для вычисления интеграла в B2) квадратурную формулу пря-
прямоугольников, получим центральную разностную производную
Использование квадратур с многими внутренними узлами приводит нас
к так называемым компактным разностным операторам. Например, при-
применение квадратурной формулы Симпсона для B2) дает:
2h 6
В этом случае без формального расширения шаблона достигается более
высокий порядок аппроксимации. Но при этом вычисление производной
связано с обращением трехдиагональной матрицы.
4.2.4. Метод непосредственной аппроксимации
Построение разностных схем в случае задач с гладкими коэффи-
коэффициентами в регулярных областях можно осуществить на основе непо-
непосредственного перехода от дифференциальных операторов к разностным.
Проиллюстрируем этот подход на модельной одномерной краевой задаче
стационарной теплопроводности.
Рассматривается уравнение
/(а:)' 0<ж</' B3)
при к(х) ^ К\ > О, дополненное смешанными граничными условиями:
-Ц0)^@) + <ги@) = 9и B4)
в@ = Й- B5)
Построим разностную схему для задачи B3)—B5) на равномерной
сетке и с шагом ft. Рассмотрим разностное выражение
{аих)х = —г-их - тих.
h h
С учетом A4), A5) получим
а,+1 - а,- du ам + о,- d2u
(ъ) +
{ащ)х =
_
Во внутренних узлах сетки ш заменим дифференциальное уравнение B3)
разностным:
~(йУх)х = V, х е w, B7)
4.2. Построение разностных схем 119
где <fi — f(xi), » = 1,2, ...,iV-l. Для нахождения о,- сравним B6) и
d / , .du\ dkdu .d2u
к{) к{)
При выборе а,, таких, что
h dx B8)
k(Xi)
будем аппроксимировать исходное дифференциальное уравнение B3)
разностным уравнением B7) с точностью O(h2).
Условиям B8) удовлетворяют, в частности, следующие формулы для
определения о,:
a>i = *i-i/2 = Kxi - 0,5ft),
1 IV1 B9)
Разностное уравнение B7) дополняется условием (см. B5))
2/* = <72. C0)
Больший интерес представляет аппроксимация граничного условия тре-
третьего рода B4). Заменим первую производную при х = 0 правой раз-
разностной производной и придем к следующей аппроксимации граничного
условия B4):
-ЦО)Ух,о + (гуо=д\' C1)
Граничное условие аппроксимируется на двухточечном шаблоне
с первым порядком. Для повышения порядка рассмотрим разностное вы-
выражение а\ух$ на решениях задачи B3)-B5). Простейшие выкладки дают
ft2) =
Принимая во внимание уравнение B3) и граничное условие B4), придем
к следующей аппроксимации второго порядка:
Более высокий порядок удается получить за счет аппроксимации краевого
условия на решениях исходной дифференциальной задачи. Такой при-
прием широко используется при построении разностных схем повышенной
точности, некоторые примеры обсуждаются ниже.
120
Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Аналогично рассматриваются и краевые задачи для эллиптических
уравнений. Мы ограничимся для простоты изложения двумерными за-
задачами. Переход к случаю большего числа измерений чаще всего носит
редакционный характер и в книге не рассматривается. Будем считать рас-
расчетную область п прямоугольником: Q = {х\ х = (жь х2), 0 < ха < 1а,
а = 1,2}. Введем равномерную по каждому направлению сетку ш с ша-
шагами h\ и h2:
ш = {х | х = Xij = (ihXyjh2), i = 0,1,..., Nu
j = 0,1,..., N2y Naha = lai a= 1, 2},
и пусть ш — множество внутренних, а дш — множество граничных узлов
(рис. 4.1).
Х2
V
<
>—<
>
>
>
', *1
Рис. 4.1
Аппроксимация эллиптических уравнений проводиться на основе
рассмотренных выше аппроксимаций обыкновенных уравнений. Пусть,
например, рассматривается задача стационарной теплопроводности в не-
неоднородной среде с заданным температурным режимом на границе, т. е.
и(х) определяется как решения следующей задачи Дирихле:
и(х)=д(х),
где
C3)
C4)
C5)
Краевой задаче C3)—C5) поставим в соответствие разностную задачу:
\у = <р(х), х?ш, C6)
у(х)=д(х), х€дь>, C7)
4.2. Построение разностных схем
121
где с учетом B7), C5) положим
2
Ау =
C8)
а=\
Для коэффициентов разностной схемы C6), C8) в соответствии с B9) по-
положим, например, й\(х\,хг) = к(х\ -0,5/ь1,ж2), a2(x\,X2)=k(xuX2-0y5h2).
Для достаточно гладких коэффициентов и решений задачи C3)—C5)
разностная задача C6)—C8) аппроксимирует дифференциальную задачу
со вторым порядком.
Отдельного упоминания заслуживают проблемы аппроксимации за-
задач теплопроводности в анизотропных средах, когда уравнение тепло-
теплопроводности содержит смешанные производные (см. п. 2.1). Будем рас-
рассматривать задачу Дирихле C3), C4), когда
= ~ М«)^Г • C9)
при соответствующих ограничениях на коэффициенты кар.
Для задачи C3), C4), C9) рассмо-
рассмотрим разностную задачу C6), C7) при
условии, что
2
Каждый из операторов Lap аппрокси-
аппроксимируем разностным оператором:
Ла00 = -Г
х2
кг
1 1
Рис. 4.2
D1)
Разностная схема C6), C7) в этом случае рассматривается на девяти-
девятиточечном (рис. 4.2) шаблоне (узлы (х{ + ahux2 + Ph2), a,P = 0, ±1).
В частности при постоянных коэффициентах уравнения C3), C9) ап-
аппроксимация D0), D1) дает:
к°°у<*<> -
а=\
хххг
Представим оператор Аар в виде
(Л
где
122 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Нетрудно убедиться, что операторы А~р и Л^ имеют первый,
а Аар — второй порядок аппроксимации. При а = /3 имеем
j ((^22Ух2)х2 + (к22Ух2)х2) = («22^)^2,
где
\,х2) = -(ки(х} - hux2) + М*ь ж2)),
2) = 2 (fc22<2Ci, Ж2 - h2) + ^(Ж!, Х2)).
Принимая во внимание B9), для погрешности получим
Аааи - Laau = О(|Л|2), \h\2 = hi + hl a = 1,2.
Рассмотрим теперь оператор со смешанной производной:
АГ ^*^
Формула Тейлора дает (см. A4), A5)):
du h2 d2u
()(
Полагая v = &i2tt?2, получим
2 axi 2
Аналогичные выкладки дают
h fi h Л
Lu +
Отсюда и следует вывод о том, что Апи - L\2u = ()
Аналогично рассматривается разностная схема C6), C7), D0), если
вместо аппроксимации D1) использовать
К(ЗУ = " j ((*«/#»/»)*. + (карУх(,)ха)-
Краевые условия для рассматриваемых задач в прямоугольнике аппрок-
аппроксимируются аналогично одномерному случаю. Поэтому мы не будем
на этом останавливаться более подробно. Задачи в нерегулярных обла-
областях обсуждаются отдельно.
4.2. Построение разностных схем 123
4.2.5. Консервативные схемы
Вывод основных дифференциальных уравнений основан на записи
соответствующих законов сохранения для элементарных объемов (инте-
(интегральная форма законов сохранения) и стягиванием этих объемов к ну-
нулю. Этот предел и есть дифференциальная форма законов сохранения.
Метод конечных разностей означает по сути обратный переход от диффе-
дифференциальной модели к интегральной. Естественно требовать при таком
переходе, чтобы законы сохранения выполнялись. Разностные схемы,
выражающие законы сохранения на сетке, называются консервативны-
консервативными разностными схемами. При этом законы сохранения для всей сетки
должны быть алгебраическим следствием разностных уравнений.
Приведем пример неконсервативной схемы, которая расходится
в случае разрывного коэффициента теплопроводности. Будем рассма-
рассматривать задачу
= О, 0 < х < 1, D2)
и@) = 1, иA) = 0. D3)
Левую часть уравнения D2) запишем в раздифференцированном виде
и поэтому
-к(х)^-— — = 0, 0<ж<1. D4)
В соответствии с принципом непосредственной аппроксимации зада-
задаче D3), D4) поставим в соответствие разностную схему
- кухх - к*уо = 0, хеш, D5)
Уо = 1, У* = 0. D6)
Покажем, что схема D5), D6) расходится в классе кусочно-постоян-
кусочно-постоянных коэффициентов теплопроводности
Будем считать, что в точке разрыва х = ? выполнены условия идеального
контакта:
о)-«(*-<)) = о,
[*|)]=0-
В этих условиях задача D2), D3) имеет решение в виде кусочно-линейной
функции
Постоянные а<> и /?о находятся из условий сопряжения: «о =
124 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Приведем теперь решение разностной задачи D5), D6). Пусть ? —
xn + $h, где хп =nh, 0 < в < 1. В силу того, что коэффициент кусочно-
постоянный, имеем ухх,г = 0 при всех i Ф п и г Ф п + 1. Поэтому
— <*Ж, 0 ^ X = Х{; ^ Жп,
Для определения коэффициентов аир запишем разностное уравне-
уравнение D5) при х = хп и х = хп+\. Имеем
A - аа„)) + апаЛ = О,
+ ап+1 (/J(l - жя+1) - A - ахп)) = О,
где ап = (Skx - *2)/4, an+i = (fc, + 3Aj2)/4, Ьп = Cfcj + *2)/4 и bn+i =
EAj2 - A?i)/4. Принимая во внимание, что хп = ? - Oh и жп+1 = ^ + A - 0)h
из D8) получим
11 "
Предельный переход при h —> О дает
С помощью линейной интерполяции доопределим сеточную функцию
на всем отрезке О^ж^ 1 и при h -*• 0 получим предельную функцию
lii°Xx °Л1<\' D9)
Сравнивая D9) с D7), видим, что предельная функция и(х) совпадает
с точным решением задачи и(х) только при а0 = «о и р0 = Д), а это
возможно лишь при х = 1> т-е- ПРИ fci = fc2. Поэтому при к\ Ф ki
разностная схема D5), D6) расходится.
Нетрудно видеть, что функция и(х) есть решение задачи D2), D3)
с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности, которое в точ-
точке разрыва удовлетворяет неоднородным условиям сопряжения:
п(х)\ = 0, \к-^ = q = ао(х -
Величина мощности сосредоточенного источника тепла q изменяется
в широких пределах в зависимости от %. Таким образом, физическая
причина расходимости схемы D5), D6) проявляется в появлении допол-
дополнительного источника (стока) тепла в точке х = ?, в том что в этой
схеме нарушен баланс тепла (закон сохранения). Поэтому при постро-
построении разностных схем необходимо ориентироваться на консервативные
разностные схемы.
4.2. Построение разностных схем 125
4.2.6. Интегро-интерполяционный метод
Для построения консервативных разностных схем естественно ис-
исходить из законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек раз-
разностной сетки. Такой метод построения консервативных разностных
схем получил название интегро-интерполяционный метод {метод баланса).
К этому подходу тесно примыкает метод контрольного объема, кото-
который фактически не использует дифференциальную формулировку задачи
и отражает законы сохранения непосредственно для отдельных ячеек
среды.
Рассмотрим применение интегро-интерполяционного метода на при-
примере построения разностной схемы для модельной одномерной зада-
задачи B3)—B5). Обозначим q(x) = -k(x)du/dx поток тепла. Будем строить
разностную схему на равномерной сетке ш. Проинтегрируем уравнение
теплопроводности B3) на отрезке ж,_1/2 ^ х <
-7
f(x)dx. E0)
Балансное соотношение E0) отражает закон сохранения количества
тепла для отрезка ж,_1/2 ^ # ^ ?i+i/2- Величина <fc-i/2 дает количе-
количество тепла, втекающее через сечение #,-_i/2> #+1/2 — количество те-
тепла, вытекающее через сечение ж»'+1/2- Дисбаланс этих потоков обу-
обусловлен распределенными источниками (правая часть E0)). В интегро-
интерполяционном методе мы исходили из уравнения B3), в методе
контрольного объема тоже соотношение E0) выписывается непосред-
непосредственно.
Для получения разностного уравнения из балансного соотноше-
соотношения E0) необходимо использовать те или иные восполнения сеточных
функций. Выразим потоки в полуцелых узлах через значения функции
и(х) в узлах. Для этого проинтегрируем соотношение du/dx = -q(x)/k(x)
на отрезке ж,_1 ^ х < xt:
Обозначая
а/Г-
получим
E3)
126 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
При записи E2) величина а, имеет физический смысл среднего теплового
сопротивления рассматриваемого отрезка #,-_i/2 < х < ж»+1/2- На осно-
основании E0), E3) запишем для внутренних узлов разностную схему B7)
с правой частью
xi+\/2
<P = l J Я*) dx E4)
3i-l/2
Граничное условие первого рода B5) аппроксимируется согласно C0).
Для аппроксимации условия B4) снова используется интегро-интерполя-
ционный метод. Проинтегрируем уравнение B3) на отрезке 0 < х ^ Х]/2.
Соответствующее балансное соотношение теперь имеет вид:
«1/2
Яо - Я\/2
*1/2
Как и ранее получим q\/2 ~ Q>\UXiq, а для нахождения q0 используется
граничное условие B4): qo = g\ - <гщ. Это позволяет записать соотноше-
соотношение C2) при
«1/2
2 /*
<ро = - / f(x) dx.
о
Коэффициенты разностной схемы вычисляются с использованием
тех или иных квадратурных формул. Например, для гладких коэффи-
коэффициентов первая формула в B9) соответствует использованию формулы
прямоугольников для вычисления интеграла E2), третья — формулы
трапеций. Сравнивая со схемой B7), C0), C2), можем заключить, что
консервативная схема имеет второй порядок аппроксимации для гладких
коэффициентов и решений. Эта схема принадлежит к классу однородных
разностных схем (коэффициенты разностного уравнения и граничных
условий рассчитываются по одним и тем же формулам для любого узла
сетки).
Полностью аналогично методом баланса строится разностная схема
для модельной задачи в случае неравномерной сетки. Пусть на неравно-
неравномерной сетке Ж|-1/2 = ж* — Л,-/2, #»+i/2 = ajt-+ft,-+i/2. Тогда для внутренних
узлов сетки получим разностное уравнение
Ум ~ Vi Vi-Vi-Л • 1 <-> кг л т\
~h а<—h-—) =^' « = 1,2,... ,ЛГ — 1. E5)
В E5) коэффициенты вычисляются по тем же формулам E2), E4), что
и в случае равномерной сетки. Граничное условия имеют вид C0), C2).
4.2. Построение разностных схем 127
Введем усредняющие операторы Стеклова с помощью соотношений:
x+h/2
= ± f и® Ц%
-т E6)
+u(x) = z f щ(?) <*?> S~u(x) = г /
h J h J
X X-ft
В обозначениях E6) коэффициенты консервативной схемы определя-
определяются выражениями: а(х) = (S~(k~l(x)))~ , <р(х) = 5/(х), а балансное
соотношение E0) есть результат применения усредняющего оператора S
к исходному уравнению B3):
, хеш.
Можно ввести оператор повторного усреднения
Г = S2 = S+S~ = S~S+ E7)
и строить разностную схему на основе применения оператора Т к исход-
исходному уравнению. Для усредняющего оператора Т с учетом E7) имеем
х x+h
Ти(х) = ^( f(t + h-x)u(t)dt+ I(x + h-t)u(t)dtj
х-Л x
Для уравнения B3) в таком варианте интегро-интерполяционного метода
получим разностную схему B7) с коэффициентами:
Q,IX) -— О Л/1Ж). (Р\Х) ^ JL Т\Х), 1Эо/
На основе интегро-интерполяционного метода относительно просто
строятся разностные схемы и для многомерных задач. Некоторые бо-
более сложные случаи можно рассмотреть отдельно, а пока остановимся
на задаче стационарной теплопроводности в однородной среде C3)—C5).
Аналогично E6) зададим усредняющие операторы по отдельным напра-
направлениям, например,
Х.+Л./2
*,-*./2 E9)
x2+h2/2
S2u(x) = —
h2
x2-h2/2
128 Diana 4. Стационарные задачи теплопроводности
По аналогии с E6), E7), E9) определяются операторы S* и Та, а = 1,2.
Усредняющий оператор на плоскости естественно определить как произ-
произведение соответствующих одномерных операторов: 5 = S\S2, Т = Т\Т2.
Построим для задачи C3)—C5) разностную схему на равномерной
сетке на основе стандартного варианта интегро-интерполяционного ме-
метода. Для этого рассматривается уравнение баланса по прямоугольнику
Oij = {х | X = (Х\,Ж2), «1,1-1/
Такая процедура соответствует действию усредняющего оператора 5 к ис-
исходному уравнению:
SLu = 5/(ж), ж G о;.
На этой основе придем к разностной схеме C6)—C8) при
*2,j+l/2 *l.i+1/2
= 5,52/(«) = ^ У
Аналогично рассматривается вариант с действием усредняющего опе-
оператора Г (в одномерном случае B7), E8)). Та же техника позволяет
рассматривать разностные схемы и для общего уравнения стационарной
теплопроводности C3), C9), задачи с граничными условиями третьего
рода.
4.2.7. Разностные схемы метода конечных элементов
Построение разностных схем может осуществляться на основе метода
конечных элементов. Снова рассмотрим модельное одномерное уравне-
уравнение стационарной теплопроводности B3), ограничившись для простоты
граничными условиями:
и@) = 0, иA) = 0. F0)
Будем использовать равномерную сетку U с шагом Л. Проекционно-
разностную схему построим на основе метода Ритца.
Поставленная задача B3), F0) эквивалентна минимизации функци-
функционала
J(u) = J (^) dx - 2 J f(x)u(x) dx. F1)
о о
4.2. Построение разностных схем
129
Будем искать приближенное решение задачи минимизации функциона-
функционала F1) в виде разложения (см. E) при М = N - 1):
N-\
F2)
к=\
Функции wk(x), к = 1, 2,..., N - 1 выберем в виде (рис. 4.3):
f (\ tr» S0 ft»
X - Ж,_1
a:t_i
F3)
-, Xi $ X
U
1-1
I
Рис. 4.3
Коэффициенты разложения определяются из системы линейных уравне-
уравнений (9). Отметим, что в случае выбора функций wk, к = 1, 2,..., N -1 со-
согласно F2), F3) имеем у* = а*, & = 1, 2,..., JV-1 и поэтому мы приходим
к уравнению для определения сеточной функции ук, к= 1, 2,..., N - 1.
Непосредственные вычисления дают
¦hh
(Lwi+U Wi) = (Lwu Wi+i) = -77 / k(x) dx,
' г h J f~ /i У
ЮЗак. 168
130
Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Полученную трехдиагональную систему уравнений для определения
коэффициентов а*, к = 1, 2,... ,N - 1, можно записать в виде раз-
разностного уравнения B7). Соотношения F2) могут быть записаны в ви-
виде E8). Таким образом приведенная схема конечных элементов совпадает
с разностной схемой, полученной на основе интегро-интерполяционного
метода.
Аналогично строятся разностные схемы при выборе базисных функ-
функций в виде кусочных полиномов более высокой степени (квадратичных,
кубических и т.д.).
В качестве иллюстративного примера построения схем конечных
элементов в многомерном случае рассмотрим простейшую задачу стаци-
стационарной теплопроводности в однородной среде, когда (см. п. 4.1) про-
процесс теплопроводности описывается уравнением C3), C5) при к(х) = 1
и пусть в C4) д(х) = 0. Эта задача эквивалентна задаче минимизации
функционала:
Для построения конечномерного
подпространства разобьем исходную
расчетную область п на некоторые эле-
элементарные ячейки. В двумерном слу-
случае в качестве таковых естественно вы-
выбрать треугольники, причем внутри та-
таких ячеек приближенное решение явля-
является линейной функцией.
Связываясь с равномерной прямо-
прямоугольной сеткой с шагами h\ nh2, разо-
разобьем окрестность узла (жи, x2j) на пря-
прямоугольные треугольники диагоналя-
диагоналями, которые проходят, например, через вершины узлов (xu,x2j) и
(a?i)t-_i,a;2j-i). В качестве базисных функций, связанных с внутренни-
миузлами (x]iix2j), возьмем функции (рис.4.4):
х е nlj9
X t llij,
Рис. 4.4
\-(x2/h2-j),
i + (s2/ft2-i), хеп5ф
1 - (x\/h\ - i) + (x2/h2 - j), x e ilij9
o, x i и n?,
a=\
4.2. Построение разностных схем 131
В таком варианте метода конечных элементов разностная схема имеет
вид C6), C8) при а{ — а2 = 1 и
~Г /
\h2 J
Г / f()iA)dx-
\h2 J
Другие более содержательные проекционно-сеточные схемы можно найти
в обширной литературе по методу конечных элементов.
4.2.8. Разностные схемы повышенного
порядка аппроксимации
Если коэффициенты и решение исходной дифференциальной задачи
имеет повышенную гладкость, то можно строить разностные схемы по-
повышенного порядка аппроксимации. Выше мы рассмотрели примеры для
уравнений второго порядка, когда погрешность аппроксимации имеет
второй порядок. Получение разностных схем с более высоким порядком
аппроксимации может достигаться различными путями.
Поясним имеющиеся возможности на примере построения разност-
разностных схем повышенного порядка аппроксимации для уравнения
Lu = ~ = f(x). F5)
Первая возможность связана с использованием аппроксимаций диффе-
дифференциальных операторов разностными на расширенных шаблонах. На-
Например, вместо обычного трехточечного шаблона можно использовать
пятиточечный и тогда
-Щ-2 + 1б^_! - ЗОщ + \6иМ - Щ+2
]\и =
12ft2
На основе разложения Тейлора легко убедиться, что оператор Л аппрокси-
аппроксимирует оператор L с четвертым порядком при и(х) € С®. В соответствии
с этим уравнению F5) поставим в соответствие разностное уравнение:
Ау = (р, F6)
где в простейшем случае <р(х) = f(x).
Повышенный порядок аппроксимации уравнения F5) может до-
достигаться и без формального расширения шаблона с использованием
компактных аппроксимаций. На основе интегрального определения про-
производной B1) при к = 2 и применения квадратурной формулы Симпсона
можно получить разностное уравнение F6) при
Лу = -|*„ ф) = ^(f(x - ft) + lOf(x) + f(x + ft)). F7)
Для одномерных задач разностные схемы повышенного порядка точ-
точности могут быть построены на основе точных разностных схем, для кото-
которых сеточное решение совпадает с точным решением дифференциальной
132 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
задачи в узлах. Для уравнения E7) точная схема строится применением
к исходному уравнению усредняющего оператора Т (см. D9)). В силу
(см. задачу 1)
точная разностная схема записывается в виде
-щх = Tf{x). F8)
Используя те или иные квадратурные формулы, из F8) можно получить
схемы необходимой точности. В частности, приведенная выше схема F7)
принадлежит этому классу.
Весьма эффективен способ повышения порядка аппроксимации
на решениях аппроксимируемых уравнений. С этим эффектом мы уже
сталкивались, когда строилась аппроксимация C2) граничного условия
третьего рода. Рассмотрим аппроксимацию уравнения на решениях для
уравнения F5).
Будем использовать обычную трехточечную схему, а повышенный
порядок будем достигать за счет подправления правой части, т. е. в схе-
схеме F6) оператор Л определен согласно F7), а
<p(x) = f(x) + r(x). F9)
Рассмотрим погрешность аппроксимации V = <Р - Ли. Имеем
Au = Lu L2u + O(h4).
и поэтому, принимая во внимание, что (аппроксимация на решениях)
L2u = Lf, получим
h2
1> = f + r-Lu+-Lf + °(h4)-
Для того, чтобы получить четвертый порядок аппроксимации, достаточно
положить в F9), например,
Ф) = ^^у, или ф) = ^/». G0)
Второй вариант полностью совпадает с приведенной выше схемой F7).
Таким образом повышение порядка аппроксимации достигается раз-
различными способами. Аналогичные подходы в той или иной мере могут
использоваться и в многомерных задачах. В качестве характерного приме-
примера рассмотрим схему повышенного порядка аппроксимации на решениях
для уравнения Пуассона C3), C5) (к(х) = 1) на равномерной прямо-
прямоугольной сетке.
4.2. Построение разностных схем 133
Рассмотрим оператор Л, который определен согласно C8) при аа = 1,
а = 1,2. Для погрешности аппроксимации аналогично одномерному
случаю имеем
G1)
Из уравнения C3) получим
Подстановка в G1) дает
l\u = Lj/ - L\L2u1 b\u =
Заменяя L\Liu разностным выражением
придем к разностному уравнению
О(|Л|4).
А2у - *12 2Л!Л2у = <р(х), G2)
где, например,
Разностное уравнение G2), G3) аппроксимирует уравнение Пуассона
на решениях с четвертым порядком при и(х) G С^(Г2), и f(x) € C^(ft).
4.2.9. Задачи
Задача 1. Покажите для операторов усреднения D8), D9) справедли-
справедливость следующих соотношений:
Решение. Согласно определения оператора 5+ (см. E6)) имеем
x+h
Аналогично рассматривается и оператор 5". Для оператора Т будем
исходить из его определения как квадрата оператора 5. Непосредственные
134 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
выкладки дают
x-h/2
x+h/2
1 Г 1 / du du
x-h/2
u(x - h) - 2u(x) + u(x + h) _
= J~2 = ЩХ{Х).
Тем самым доказано последнее соотношение G4). >
I Задача 2. Постройте точное трехточечное разностное уравнение для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка B3).
Решение. Проинтегрируем уравнение B3) от ж, до ж и разделим
на к(х):
Xi
Повторное интегрирование G5) по х от #,_i до ж, дает:
Xi Xi X
Xi-\ *,-, Xi
Аналогично интегрированием от Х{ до xt+i получим:
Х{
Из двух последних соотношений следует разностное уравнение B7) при
условии, что коэффициент а определяется в соответствии с E2), а правая
часть
Vi = ^ (ai+] [ -Ц / f@ d? dx + a-k [ r^-r f f@ d( dx). G6)
Xi Xi *i-l X
На основе использования тех или иных квадратурных формул для вычи-
вычисления интегралов в E2) и G6) получим разностное уравнение с необхо-
необходимой погрешностью аппроксимации. >
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 135
4.3. Равномерная сходимость
разностных схем
4.3.1. Каноническая форма разностного уравнения
Для исследования устойчивости и сходимости разностных схем в рав-
равномерной норме используется принцип максимума. Он применяется для
общих разностных уравнений, записанных в канонической форме.
Пусть ш — множество узлов (сетка) в некоторой ограниченной обла-
области п. Разностная схема записывается на некотором шаблоне ffl(x),
связанном с узлом х. Все точки шаблона Ш(х) за исключением узла х,
образующие окрестность узла х, обозначим Ш1'(ж). Будем считать, что
разностное решение у(х) определяется как решение разностного уравне-
уравнения, которое запишем в виде
А(х)у(х) =
Такая запись называется канонической формой разностного уравнения.
В качестве примера рассмотрим первую краевую задачу в прямо-
прямоугольнике для стационарного уравнения теплопроводности в изотропной
среде:
и(х) = д(х), х е дп. C)
с достаточно гладкими коэффициентами и решением.
Краевой задаче B), C) обычным способом (см. п. 4.2) ставится в
соответствие разностная задача на равномерной прямоугольной сетке ш:
2
аУха)ха = ф), xeQ, D)
у(х)=д(х), хеЭП, E)
где, например, а}(х) = k(x\ - 0,5/ib ж2), а2(х) = к(хих2 - 0,5/i2)-
Разностное уравнение D) запишем в канонической форме A). Для
коэффициентов А(х), В(х) и правой части F(x) получим
А(х)"
Ц + Ц '
= 7Г^~> Bixiji xi-\j) - ~Т2~»
= Г2^~"' B(xij> xhj~\) = "IT"'
п2 п2
Нх) = 4>ij> x =
Для внутренних узлов сетки.
136 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Для граничных узлов можно считать ЯЛ'(ж) пустым множеством,
и граничное условие E) записывается в канонической форме A) с
А(х) = 1, F(x)=g(x), хедш. G)
Тем самым разностная задача D), E) записывается в канонической
форме F), G), и
А(х) > О, х е (о/),
В(*,О>0, А(х)= Y1 В(*.О, *€«. (8)
Такие свойства коэффициентов канонической формы являются наиболее
важными при формулировании принципа максимума для разностных
уравнений.
4.3.2. Принцип максимума
Для разностных уравнений подобно эллиптическим уравнениям
(см. п. 4.1) имеет место принцип максимума. Это является отражени-
отражением того, что разностное уравнение передает такие свойства решений
непрерывных задач. Принцип максимума формулируется для разностных
уравнений, записанных в канонической форме A).
Определим через VV (W ? а;) некоторое множество узлов разностной
схемы, записанной в канонической форме A), и пусть
W= U Щх).
xew
В случае задачи Дирихле D), E), например, W — множество вну-
внутренних узлов. Множество узлов W называется связной сеткой, если для
любых х' G W и х" G W можно указать такую последовательность узлов
хих2,...,хк, что
"
х, е т'(х')у х2 е 9Л;(ж,), ..., хке яя!(хк-х), х" е а
т. е. каждый последующий узел принадлежит окрестности предыдущего.
Определим сеточный оператор
(х) = А(х)у(х)- ^ В(х,Оу(О, (9)
и пусть
D(x) = А(х) -
Для коэффициентов сеточного оператора Л выполнены условия
А(х) > 0, В(х, 0 > 0, D(x) S* 0, х ? Ж A1)
Тогда разностное уравнение A) на подмножестве узлов W можно записать
в виде
Ау(х) = F(x)y х ? W. A2)
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 137
Для сеточного уравнения A2) справедлив принцип максимума (ср. с тео-
теоремой 1 в п. 4.1).
Теорема 1. Пусть у(х) Ф const на связной сетке W и выполнены
условия A0), A1). Тогда, если Ly(x) ^ 0, х 6 W (Ly(x) ^ 0,
х € W), то у(х) не может принимать положительного максимального
(отрицательного минимального) значения на VV.
Доказательство проводиться от противного. Пусть, например, вы-
выполнено условие
Ly(x)^0} xeW. A3)
Допустим, что наибольшее положительное значение сеточной функ-
функции у(х) достигается в некоторой точке х1 Е W, т. е.
у(х) = т*ку(х) >0. A4)
w
Принимая во внимание (9), A0), получим
') = D(x')y(x)+ ? B(x\t)(y(x')-y(t)). A5)
При выполнении условий A1) и в предположении A4) из A5) непо-
непосредственно получим Ly(x') ^ 0. Это не будет противоречить A3), если
Ly(x') = 0. Последнее будет иметь место, если оба слагаемых в правой
части A5) равны нулю:
D(x')y(*') = 0,
Принимая во внимание то, что у(х') > 0 и В(х\ ^) > 0, получим
). A6)
Так как у(х)Фconst, существует точка х" GVV такая, что у(х")<у(х').
В силу связности сетки VV существует последовательность точек
х\) #2, • ¦ •, Xk, такая, что каждый последующий узел принадлежит окрест-
окрестности предыдущего. Принимая во внимание A6), получим у{х\) — у(х').
Повторяя предыдущие рассуждения сначала для узла х\, затем для узла х2
и т.д., получим у(х') = у(х\) = y{xi) = ... = y(xk). Имеем
Ly(xk) = D(xk)y(xk) + ]Г B(xh,t)(y(xk)-y(?))>
>B(xkix")(y(xk)-y(x"))>0.
Это противоречит условию A3), и тем самым допущение A4) невер-
неверно. Случай отрицательного минимума рассматривается заменой у(х)
на ~~у(х). Теорема доказана.
Еще раз специально подчеркнем, что принцип максимума устана-
устанавливается на любом связном подмножестве узлов VV разностной сетки ш.
9 Зак 168
138 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.3.3. Однозначная разрешимость разностных задач
В краевых задачах для дифференциальных уравнений эллиптичес-
эллиптического и параболического типа принцип максимума позволяет доказать
единственность решения. В случае разностных задач ситуация еще более
благоприятная — можно показать и существование решения.
Разностная задача, записанная в канонической форме A), пред-
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой
число неизвестных равно числу уравнений. Поэтому для того, чтобы эта
задача была однозначно разрешима при любой правой части, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело
только тривиальное решение.
При рассмотрении разностного уравнения (I) на всей сетке ш для
каждого узла х возможны два случая. Первый из них связан с тем, что
окрестность узла Ш'(х) есть пустое множество, и такой узел называется
граничным узлом (см., например, G)). Второй возможный случай (вну-
(внутренний узел) характерен тем, что 9Л'(х) содержит хотя бы один узел.
Если все узлы сетки внутренние, то
ш = U Ш'(х) = о>, дш = ш\ш = 0.
В зависимости от того, присутствуют ли граничные узлы или нет,
сформулируем условия однозначной разрешимости разностной задачи,
записанной в канонической форме A), непосредственно вытекающие
из принципа максимума (W = ш).
Следствие 1. Пусть для разностного оператора (9), A0) выполнены
условия A1) на связной сетке и и дш Ф 0. Тогда разностная задача A)
имеет единственное решение.
Нам необходимо показать, что однородное уравнение
Ау(х) = 0, х Е ш A7)
имеет лишь тривиальное решение. Очевидно, что у(х) = 0, х G появляется
решением A7). Покажем, что других решений нет.
Для граничных узлов х G дш при выполнении A1) из A7) следует,
что у(х) = 0, х € дш. Для внутренних узлов ш справедлив принцип
максимума, в силу которого, с одной стороны, у(х) ^ 0 (не может
достигать положительного максимума), а с другой стороны, у(х) ^ 0
(не может достигать отрицательного минимума). Это возможно лишь при
у(х) = 0, х G п.
Обратимся теперь к случаю, когда сетка не содержит граничных
узлов.
Следствие 2. Пусть для разностного оператора (9), A0) выполнены
условия A1) на связной сетке и, и существует хотя бы один узел х'
сетки и, в котором
Л(ж')Х), хеш. A8)
Тогда разностная задача A) имеет единственное решение.
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 139
Для однородного уравнения A7) мы можем применить принцип
максимума (ш = ш). В силу которого имеем у(х) ^ 0 (у(х) ^ 0), т. е.
имеется единственная возможность у(х) = const, x Е ш. На таких у(х)
в точке х' имеем
Ау(х') = D(x')y(x') + ? *(*'•«) Ы*') - »«» = *(*')»(*') = 0.
Тем самым у(х) = у (ж') = 0, ж G о;.
На основании следствия 1 устанавливается однозначная разреши-
разрешимость разностной задачи Дирихле D), E), коэффициенты которой удо-
удовлетворяют условиям G), (8).
Для доказательства разрешимости разностных задач с условиями
третьего рода используется следствие 2. В качестве характерного приме-
примера рассмотрим задачу стационарной теплопроводности с конвективным
теплообменом с внешней средой (см. п. 4.1). Искомая функция и(х)
удовлетворяет уравнению B) в прямоугольнике п, и заданы граничные
условия третьего рода:
ди
-к(х)-—(х) + а(х)и = д(х)у ха = 0,
* <">
к(х)—-(х) + (т(х)и = д(х), жа = /а, а =1,2.
оха
В узлах равномерной сетки ш внутри области п исходное уравнение B)
аппроксимируется разностным уравнением D), а граничные условия
третьего рода A9) аппроксимируются со вторым порядком на решениях
задачи B), A9) аналогично одномерному случаю (см. п. 4.2). Например,
при х = @, x2j), j = 1, 2,..., N2 - 1 имеем
= -ф)и(х) +д(х) +1 (/(*) + (а2щ2)Х2
Отсюда и следует аппроксимация второго порядка, которую запишем
в виде:
-M*i+ij)lfai + Ф)У - у(«2Ух2)х2 = у/(я) + д(х). B0)
Аналогичные аппроксимации используются и в других точках на гра-
границе дп.
При записи разностной задачи в канонической форме A) в узлах
внутри п имеем выражения F). Для узлов на границе дп в соответствии
9*
140 Глава 4. Стационарные заданы теплопроводности
с B0) получим D(x) ^ а(х). Принимая во внимание следствие 2, можем
заключить, что разностная задача, соответствующая третьей краевой зада-
задаче B), A9), при а(х) ^ 0 и а(х) > 0 хотя бы в одном узле на границе дП
однозначно разрешима.
4.3.4. Теоремы сравнения
На основе принципа максимума доказываются теоремы сравнения
для различных решений задач. Примером такого результата может высту-
выступать теорема 2 из п. 4.1. Аналогичные результаты имеют место и в случае
разностной задачи A). Снова рассмотрим отдельно случай, когда имеются
граничные узлы (дш Ф 0) и когда их нет (дш = 0).
Теорема 2. Пусть для разностного оператора (9), A0) выполнены
условия A1) на связной сетке ш и дш Ф 0, а для сеточных функций
у(х) и z(x) справедливы неравенства
Ау ^ Л*, хе ш, у(х) ^ z(ж), х Е дш. B1)
Тогда у(х) ^ z(x) и во внутренних узлах сетки х Е ш.
Для доказательства рассмотрим функцию v(x) = у(х) - z(x). Из B1)
имеем Av ^ 0, х Е ш и у(х) ^ 0, х Е дш. В силу принципа максимума
получим v(x) ^0, х Е ш, что и доказывает теорему 2.
Для оценок разностного решения полезно следующее следствие из те-
теоремы сравнения.
Следствие 3. Пусть у(х) и Y(x) — решение задан
Ay = F(x), хеш, у(х) =д(х), хедш, B2)
ЛГ = $(«), хеш, Y(x) = в(ж), ж Е А* B3)
д, если
\F(x)\^$(x), хеш, \д(х)\^в(х), хедш, B4)
то \у(х)\ ^ У (х) для всех хеш.
Доказательство основано на применении теоремы сравнения 2 для
функций у(х) (-у(ж)) и Y(x).
Сеточную функцию Y(x)9 присутствующую в этом утверждении,
естественно называть мажорантной функцией для решения разностной
задачи B2). Она определяется как решение задачи B3) при ограниче-
ограничениях B4).
Еще проще формулируется теорема сравнения, когда граничных
узлов нет.
Теорема 3. Пусть для разностного оператора (9), A0) выполнены
условия A1) на связной сетке ш = ш, и существует хотя бы один
узел х' сетки ш, в котором выполнено условие A8). Тогда, если для
функций у(х) и z(x) имеет место Ау ^ Az, х Е ш, то у(х) ^ z(x)
во всех узлах сетки.
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 141
Это утверждение есть непосредственное следствие принципа макси-
максимума для функции v(x) = у(х) - z(x).
Мажорантная функция определяется аналогичным образом.
Следствие 4. Пусть у(х) и У (ж) — решение задач
Ay = F(x), хеш, B5)
ЛУ = ?(ж), хеш, B6)
Тогда, если
\F(x)\ ^ У(ж), хеш, B7)
то \у(х)\ ^ У (ж) для всех хеш.
На основе приведенных теорем сравнения строятся простейшие
априорные оценки решения разностной задачи A).
Следствие 5. Для решения задачи
Ау = 0, хеш, у(х) = д(х), хедш
справедлива оценка
\\у(х)\\с{ш) = max |у(ж)| ^ \\д(х)\\с(ды). B8)
Для доказательства определим мажорантную функцию У(ж) как
решение задачи
ЛУ = 0, хеш, У(ж) = \\д(х)\\с(ди), хеш.
В силу следствия 3 имеем |у(ж)| ^ У (ж), хеш. Для функции v(x) =
Н^(ж)Нс(Л;) - Y(x) имеем Лг; ^ 0, ж G ш и v(x) = 0, ж е дш и поэтому
v(x) ^ 0, ж е ш. Следовательно, У (ж) ^ ||</(#)||c@w)> И ПОЭТОМУ имеет
место неравенство B8).
Приведем также простейшую априорную оценку и по правой части
разностного уравнения A).
Следствие 6. Если D(x) > 0 при ж еш = ш, то для решения задачи
Ay = F(x), хеш
справедлива оценка
II Т?/~\
B9)
Пусть У (ж) — решение уравнения
ЛУ = \F(x)\y хеш. C0)
Тогда в силу следствия 4 \у(х)\ ^ У (я), хеш. Мажорантная функ-
функция У (ж) достигает своего максимального значения в некотором узле ж'.
Запишем в этом узле уравнение C0):
D(x')Y(x')+
142 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Но Г(х') ^ Y(?) и поэтому D(x')Y(x') ^ \F(x')\. Следовательно,
YU')<lF{x')l <\\F{X)\\
ПХ)< D(x>) Цщх)^-
Тем самым необходимая оценка для мажорантной функции получена.
4.3.5. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
Полученные выше результаты используем для получения априорных
оценок решений разностной задачи Дирихле D), E) и исследования
скорости сходимости.
Разностная задача D), E) записывается в виде B2) с соответствующи-
соответствующими свойствами сеточного оператора Л. Представим решение задачи B2)
в виде суммы
y(x) = y«\x) + yW(x), хеш, C1)
где у^\х) — решение однородного уравнения с неоднородными гранич-
граничными условиями:
Ау{]) = О, х е о/, у{*\х) = g(x), x G дш, C2)
а у^2\х) — решение неоднородного уравнения с однородными гранич-
граничными условиями:
Ау{2) = F(x), хеш, у{2)(х) = 0, хе дш. C3)
Для решения задачи C2) на основании следствия 5 имеем оценку
11уA)(*)Нси < Ш*)\\см- C4)
Для оценки решения задачи C3) для неоднородного уравнения необ-
необходимо построить соответствующую мажорантную функцию Z(x). Пусть
имеется (ср. со случаем задачи Дирихле для эллиптического уравнения —
задача 1 из п. 4.1) некоторая сеточная функция w(x) такая, что
Aw ^ 1, хеш, w(x) ^0, хе дш. C5)
Тогда на основании следствия 3 в качестве мажорантной функции для
задачи C3) может выступать Z(x) = w(x)\\F(x)\\C(w). И поэтому имеет
место оценка
\\у{2)(х)\\с(«) ^ M\\F(x)\\cM, C6)
|Щ)()
В силу C1), C4), C6) для решения разностной задачи Дирихле B2)
имеет место априорная оценка:
1|0(*)Нс<«I1 ^ Ш*)\\с(дш) + M\\F(x)\\ciu). C7)
Постоянная М в этой оценке определяется как максимальное реше-
решение C5). Для оценки разностного решения типа C7) важно показать, что
постоянная М может быть взята не зависящей от сетки.
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 143
Приведем характерную оценку для постоянной М. Пусть в прямо-
прямоугольнике п для длин сторон имеет место l\ ^ h- Будем считать, что
функция w(x), удовлетворяющая условиям C5), зависит только от пере-
переменной х\. Можно определить w(x\), принимая во внимание исходную
разностную схему D), E), как решение следующей одномерной задачи:
-Ц™*,)*, = 1, fti<si^li-ftb C8)
ti>@) = 0, ii>(l,) = 0. C9)
При к(х) ^ К\ > 0 (условие эллиптичности) для решения одномерной
задачи C8), C9) нетрудно получить оценку 0 ^ w(x) ^ к^Н]. Поэтому
в априорной оценке C7) можно положить
. D0)
Таким образом константа М в C7) не зависит от шагов сетки. Сама
оценка C7) выражает устойчивость разностного решения по правой части
и граничным условиям.
На основе оценки устойчивости C7), D0) можно получить и соот-
соответствующие оценки для погрешности разностного решения. Для
z(x) = у(х) - и(х),
где и(х) — решение дифференциальной задачи B), C), получим уравне-
уравнение
Az = ф(х), хеш, z(x) = 0, хе дш, D1)
где t/>(x) — погрешность аппроксимации на решениях задачи B), C). Для
достаточно гладких коэффициентов и решений (см. п. 4.2) имеем
||#г)||си^М1(^ + /^). D2)
На основании оценки C7) для решения задачи D1) с учетом D2)
получим оценку погрешности:
||ф)||см<ММ,(Л? + М). D3)
Таким образом разностная схема D), E) равномерно сходится со вторым
порядком.
4.3.6. Третья краевая задача
Аналогично рассматривается задача стационарной теплопроводно-
теплопроводности B) с условиями третьего рода A9). Не останавливаясь подробно
на деталях, отметим некоторые основные моменты исследования.
Обозначим через и/1) — множество узлов сетки U, лежащих внутри
прямоугольника Q, а через о/2^ — множество узлов на его границе
(ш = о/1) + ш®). Разностное решение определяется из уравнений
, xeJ2). D4)
144 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
В D4) сеточный оператор Л при х Е ш^ определяется согласно D), а при
х € и® оператор Л соответствует аппроксимации B0).
Снова представим решение разностной задачи в виде C1), причем
для у^(х) разностная задача имеет вид:
Лг/A) = F{l\x), х е ш{[\ Л</A) =0, хе и>{2). D5)
Разностное решение у^2\х) находится из условий
Лг/B) = 0, xeJl\ At/B)=FB)(s), хеш{2). D6)
Получим сначала оценку решения г/2)(ж). Определим мажорантную
функцию Y^2\x) как решение задачи
ЛГ<2> =0, х € «<'>,
Ar<2> = M<2> = ||F<2>(*)||c(wB))( xeJ2K D7)
В силу принципа максимума (W = ш^) решение задачи D7) достигает
максимального значения на множестве узлов ш^2К Аналогично след-
следствию 6 имеем
D(x)
Принимая во внимание (см. B0)) условие D(x) ^ <т(х) ^ сг0 > 0, из по-
последнего неравенства для задач D6), D7) следует, что
\\УB)(х)\\с(и) ^ \\Y{2)(x)\\c{u) ^ <То]М{2). D8)
Рассмотрим теперь задачу D5). Для нее мажорантная функция опре-
определяется как решение задачи:
ЛГA) = мA) = ||^0)(ж)||с(а;A)))
Искомую оценку для решения задачи D9)
A) ^ E0)
с постоянной М, не зависящей от параметров сетки, получим в случае
однородной среды, т. е. когда в уравнении B) к(х) = const.
Рассмотрим вспомогательную функцию w(x), зависящую от одной
переменной х\. Пусть при постоянном к(х) эта функция определяется
из условий:
Aw = МA), х е Jl\ A(])w = 0, же ш{2). E1)
При х G а/2) оператор Л^1^ соответствует аппроксимации граничных
условий третьего рода с а(х) = сг0 на участках границы х\ = 0, х\ = 1\
и а(х) = 0 на оставшихся (условия Неймана).
4.3. Равномерная сходимость разностных схем 145
Сравним решения двух задач D9) и E1). Для их разности v(x) =
Y^(x) - w(x) имеем:
Лг; = 0, хе и>{]\ A{l)v + (Л - ЛA))УA) = 0, х G и>{2). E2)
Имеем Л-ЛA) = D^\x) ^ 0 и для решения задачи E2) получим v(x) ^ О,
т.е. функция w(x) выступает в качестве мажоранты для задачи D9).
Разностная задача E1) соответствует определению решения из сле-
следующей одномерной задачи:
il = 1, hi ^ х\ ^ 1Х - ft,,
Для этой задачи имеет место оценка
О < w(x) < М =
т. е. постоянная М не зависит от шагов сетки. На этом основании можем
получить оценку E0).
Объединяя D8) и E0), получим априорную оценку для решения
задачи D4):
||»(«)||см < М||^A)(я)||сИ)) + аЛ^\*)\\с^у E3)
Эта оценка полностью согласуется с соответствующей оценкой для ре-
решения дифференциальной задачи (см. п. 4.1).
На основе E3) обычным образом устанавливается скорость схо-
сходимости соответствующей разностной схемы. Задача для погрешности
формулируется в виде:
kz = ^(ж), х е ш{]\ kz = v(x), х е и>{2\
где *ф{х) — погрешность аппроксимации уравнения, а и(х) — погреш-
погрешность аппроксимации граничных условий третьего рода. Для погрешности
разностной схемы D), B0) справедлива оценка типа D), т.е. разностная
схема D), B0) сходится со вторым порядком.
4.3.7. Задачи
Задача 1. Покажите, что для разностной задачи
= h h^x^l-h, E4)
3,@) = 0, 2/@ = 0 E5)
при а(х) ^ к> 0 имеет место оценка
0 ^ у(х) < аГ1*2. E6)
146 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Решение. Представим правую часть уравнения E4) в виде хх = 1
и получим
а>Ух +х = с = const.
Отсюда получим рекуррентное соотношение
у{ = й_, - h2- + /i-, i = 1,2,..., TNT,
a, a;
причем ftt = ж,-. Суммирование по t от 1 до & с учетом первого усло-
условия E5) дает:
^ ?- E7)
Принимая во внимание второго условие E5), при г — N получим
выражение для постоянной с:
A
Подстановка в E7) дает
Ьгг Ак т-^ К1г
Принимая во внимание Ak ^ An , отсюда получим
г
т. е. имеет место искомая оценка E6). >
Задача 2. Установите условия выполнения принципа максимума для
разностной задачи Дирихле (п. 4.2) повышенного порядка аппроксима-
аппроксимации.
Решение. Во внутренних узлах прямоугольной сетки п разностное
уравнение записывается в виде
А\у + А2у * 2А\А2у = <р(х), E8)
где Ааи = UxaXa, <x = 1,2. Запишем уравнение E8) в канонической
форме A) и проверим выполнение условий A1), которые обеспечивают
выполнение принципа максимума.
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 147
Непосредственные выкладки дают:
(*> О = J2 (^ + ^1J i
Имеем D(x) = О, х G о;, А(х) > 0 при любых шагах сетки. Однако
условия В (ж, ?) ^ 0 выполнены только при
Условие E9) показывает, что для того, чтобы для разностной задачи Ди-
Дирихле повышенного порядка аппроксимации E8) был выполнен принцип
максимума, достаточно использовать прямоугольную сетку с не очень
сильно различающимися шагами. >
4.4. Сходимость разностных схем
в энергетическом пространстве
4.4.1. Уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве
Исследование разностных схем проводится в конечномерном про-
пространстве, поэтому ограничимся свойствами линейных операторов в ко-
конечномерных гильбертовых пространствах (см. также дополнение). Пре-
Прежде всего отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный
оператор ограничен.
Рассматривается гильбертово пространство Н со скалярным про-
произведением B/1,2/2) и нормой \\y\\2 = B/,у). В Н действует линейный
ограниченный оператор А. Норма оператора А определяется выражением
\\A\\ = sup \\Ay\\.
IMN
Если для любых 2/i,2/2 € Я выполнено (Ауиу2) = (у\,А*у2)9 то опера-
оператор А* называется сопряженным оператору А. Для линейного ограничен-
ограниченного оператора А имеет место ||А*|| = ||j4||. Если А = А*, то оператор А
называется самосопряженным, если же А — -А*, то оператор А назы-
называется кососимметричным. Самосопряженными являются операторы АА*
148 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
и А* А. Отметим также, что D*)* = А и (Л*) = (А~])*, если обратный
оператор А~х существует.
Любой оператор можно представить в виде суммы самосопряженно-
самосопряженного Ло и кососимметричного А\ операторов: А = Ао + А\9 причем
Имеют место равенства (Ау, у) = (Аоу, у), (Aiy, у) = 0.
Оператор А называется положительным (А > 0), если (Ау,у) > 0
для всех у Е Н кроме у = 0. Если (Лу, у) ^ 6(у,у), б > 0, то опера-
оператор Л называется положительно определенным. Число (Лу, j/) называется
энергией оператора. Запись А ^ В соответствует тому, что для всех у G Я
имеет место неравенство ((>! - В)у1 у) ^ 0.
Если для операторов Л и Б существуют постоянные 72 ^ 7i > 0,
такие, что
7iB ^ Л ^ 72^,
то операторы Л и В называются энергетически эквивалентными. Если
SE^A^ AE,
где J5? — тождественный оператор (Еу = у), то числа ? и А называются
границами оператора Л.
Операторы А и Б называются перестановочными, если (АВ)у =
(ВА)у для всех у € Н. Для любого самосопряженного неотрицательного
оператора Л существует квадратный корень Б, такой что Б2 = Л, который
обозначается Л1/2.
Для положительного и самосопряженного оператора А можно опре-
определить энергетическое пространство На, определяемое скалярным про-
произведением (у\,У2)а = (Ауиу2) и нормой \\у\\2А = (Ау,у). Неравенство
Коши—Буняковского {неравенство Шварца)
в НА принимает вид
(Ауи у2J ^ (Ауи у\)(Ауъ у2).
Если А — положительно определенный оператор А ^ 6Е, б > 0,
то существует обратный оператор А~1 и Ц-А!! ^ б. В конечномерном
пространстве любой положительный оператор положительно определен,
и поэтому для него существует обратный. Для самосопряженного опера-
оператора А при любом целом п имеет место ||ЛП|| = ||Л||П.
Для самосопряженного положительного оператора А можно ввести
негативную норму
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 149
Можно использовать эквивалентное определение этой нормы:
у#> \\У\\А
Рассмотрим в конечномерном гильбертовом пространстве Н опера-
операторное уравнение первого рода
Ау = <р, A)
где А — линейный оператор, <р — заданный, а у — искомый элементы Н.
Уравнение (I) однозначно разрешимо, если однородное уравнение Ау = О
имеет лишь тривиальное решение у = 0.
Приведем некоторые простейшие априорные оценки решения урав-
уравнения A) при различной информации об операторе А.
Пусть А — положительно определенный оператор
А^бЕ, 6>0. B)
Тогда для решения A) верна оценка
112/11 ^ ~1М|. C)
Домножая уравнение A) скалярно на у, получим
(Ау,у) = (<р,у). D)
Для оценки левой части D) используем условие B), а для правой — нера-
неравенство Коши—Буняковского (неравенство Шварца): |(у>, у)\ ^ |М| * 112/11-
Для нормы решения получим искомую оценку C). Оценка C) обес-
обеспечивает устойчивость решения уравнения A) по отношению к малым
возмущениям правой части.
Для самосопряженного и положительного оператора А (А = А* > 0)
априорную оценку решения уравнения A) можно получить в энергетиче-
энергетическом пространстве, а именно, имеет место точная оценка
IMU = IML-- E)
Принимая во внимание у = А~1<р, из D) непосредственно получим
равенство E).
Для несамосопряженного оператора А оценки типа E) можно по-
получить в энергетическом пространстве, порожденном самосопряженной
положительной частью оператора А. Пусть
А = А0 + А\у Ао = А*о > 0, А\ = -А*и
тогда для уравнения A) справедлива априорная оценка:
В этом случае равенство D) принимает вид:
150 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Для правой части на основе обобщенного неравенства Коши—Буняков-
ского имеем:
Это позволяет получить оценку F).
На основе F) для положительно определенного оператора Ао ^ 6Е,
6 > 0 имеем:
IMI2V = Uo W) < llVlllMI2 < ^IMI2-
Тем самым имеет место априорная оценка
IMU < 6~]/2\\<Р\\- G)
В отличие от F), в G) правая часть уравнения A) оценивается в обычной,
а не в негативной норме.
Предположим теперь, что несамосопряженный оператор А удовле-
удовлетворяет условию
А ^ -уА, А = (А)* > 0. (8)
Тогда решение уравнения A) можно оценить в энергетической норме,
связанной с самосопряженным оператором А. А именно, справедлива
оценка
^- (9)
Из равенства D) и условия (8) следует
i) ^ (Ау,у) = (у?,
Из этого соотношения и следует искомая оценка (9).
При выполнении условий (8) можно оценить правую часть F) в дру-
другой негативной норме на основании неравенства
° ° —1 —1
Это следует из эквивалентности неравенств А ^ jA, A ^ fA для
самосопряженных и положительных операторов.
4.4.2. Некоторые разностные соотношения
Прежде всего напомним некоторые введенные ранее и введем новые
обозначения теории разностных схем. Для простоты изложения огра-
ограничимся рассмотрением равномерных сеток. На отрезке [0, /] введем
сетку
U={x\x = Xi = ih, г — 0,1,..., N].
Для отдельных частей сетки используем обозначения:
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 151
ш = {х | х = Х{; = гЛ, t = 1,2,..., N - 1},
o;+ = {s|* = *,=ifc, t = l,2,...,tf}, ^
о;" = {ж | х = ж,- = г/i, г = 0, 1,..., N - 1}.
Обозначим через 1г(ж,-) = Н,- — средний шаг сетки:
1ц = А, • = 1,2,..., JV— 1, Ио = -А, ^ = 2Л*
На сетке U определим гильбертово пространство Н(п>) с помощью
скалярного произведения
Аналогично определяется скалярное произведение в #(VV):
(у, v)w =
где, например, W = а;, а;+, а;~.
Приведем также сеточные аналоги формул дифференцирования про-
произведения функций и интегрирования по частям. На основе введенных
ранее определений операторов правой и левой разностной производ-
производной (см. п. 4.2) непосредственно проверяется справедливость равенств:
Равенства A1) являются сеточным аналогом формулы дифференцирова-
дифференцирования
d d d
Сеточными аналогами формулы интегрирования по частям
ь ь
/dy [ dv
-?v dx = y(b)v(b) - y(a)v(a) - J y— dx
a a
являются сеточные тождества:
(Ух, v)u = -(у, 1ъ)ы+ + yNvN - 2/i v0,
B/2, v)w = -(y, vx)u- + ff^-ivjv - 2/0vo-
Заменяя в A2) у, на a,2/j,t, получим первую разностную формулу Грина:
((а>Ух)х, v)u = -(a^ Vx)u+ + a>Nyx,NvN - а,г/ЖH^0. A3)
Вторая разностная формула Грина имеет вид:
)N - ax{yxv - vxyH. A4)
152 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Для сеточных функций у(х), v(x), обращающихся в нуль при х = О
и х = /, формулы A3), A4) упрощаются и имеют вид:
u fr)w+. A5)
((*Уж)х,у)ы- faiavj^^O. A6)
Аналогичные определения используются при рассмотрении двумер-
двумерных (в общем случае и многомерных) сеточных функций. В прямоуголь-
прямоугольнике
П = {х | х = (хих2), 0^ха< U, « = 1, 2,
введем равномерную сетку ш\ с шагом /ii по х\ и сетку о/2 с шагом h2
по второму направлению. Пусть а; = wj x ^ и поэтому
а; = {х\х = ху = (»fti,ift2),
t = O,l,...,JV,, ;=О,1,...,ЛГ2, NQha = lQ, а =1,2},
и пусть а; — множество внутренних, а 9а; — множество граничных узлов.
Пусть теперь Ъ,(х) = Ь,](х1)Ь,2(х2), где средние шаги fii(zi) и ^2(^2)
по отдельным направлениям введены выше. В соответствии с ранее
принятыми обозначениями, например,
Аналогично определяются скалярные произведения и на других про-
пространствах сеточных функций.
4.4.3. Априорные оценки и сходимость
разностной задачи Дирихле
Рассмотрим вопросы построения априорных оценок в энергетиче-
энергетическом пространстве на примере задачи стационарной теплопроводности
в неоднородной среде с простейшими однородными условиями первого
рода. В прямоугольнике п рассматривается эллиптическое уравнение
Lu = /(ж), х е ft, A7)
и(х) = 0, хе дпу A8)
где
Lu = ±Lau, Len = -JL(k(x)?-). A9)
Соответствующую разностную задачу (см. п. 4.2) запишем в виде:
Ау = <р(х), хеш, B0)
2/(ж) = 0, хе дш, B1)
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 153
где
2
Ay = J2 Л«^ А°У = -(а<*Уха)ха. B2)
а=\
Принимая во внимание однородное условие B1), введем простран-
пространство сеточных функций Н, заданных на w и равных нулю на дш.
Скалярное произведение в Н зададим соотношением
Обозначим
2
Ay = Ay = J2Aayi yeH B3)
и запишем разностную задачу B0)—B2) в виде операторного уравнения
первого рода A).
Основные свойства сеточного оператора А устанавливают следующие
леммы.
Лемма 1. Оператор А, определяемый согласно B3), самосопряжен
и положителен в Н.
Оператор А запишем в виде
А = Ах Л- А2, B4)
где
Аау = Аауу yeH, a = 1, 2.
Покажем, что каждый из операторов Аа, а = 1,2 обладает необходимыми
свойствами:
Аа = А*а>0, а = 1,2. B5)
Имеем, например, для оператора Ai
(А2у, v)=^2h,J2 A2y(x)v(x)h2. B6)
Принимая во внимание формулу Грина A6), получим
A2y(x)v(x)h2 = -
Тем самым B6) принимает вид (А2у, v) = (у, A2v), т. е. оператор А2
самосопряжен. Аналогично рассматривается и оператор А\, и поэтому,
в силу представления B4), А - А*.
154 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Для доказательства положительности оператора А2 привлекается
первая формула Грина A5). Получим
(А2у,у) = ?>i ]? A2y(x)y(x)h2 = ? fti ? а2(Ух2)%. B7)
Отсюда и следует положительность оператора А2. Свойства А\ исследу-
исследуются аналогично. На основании B4), B5) заключаем, что положительным
является и оператор А.
При аа = 1, а = 1,2, оператор А является сеточным оператором
о
Лапласа, который будем обозначать А. Принимая во внимание B7),
получим
J, у) = \\Vy\\2 =?>'!? (У*,)% + Z> ? Ы'** B8)
Лемма 2. Оператор А, определяемый согласно B3), при О < К\ ^
аа(х) ^ к2, х Е ш, энергетически эквивалентен сеточному оператору
о
Лапласа А, причем
К\А ^ А ^_ к2А. B9)
Двухстороннее неравенство устанавливается на основе равенства B7)
и предположений о коэффициентах разностной схемы, сформулирован-
сформулированных в условиях леммы.
Априорные оценки решения разностной задачи B0)-B2) полу-
получим в сеточном пространстве, являющемся аналогом Соболевского про-
пространства W2 (п). Некоторые априорные оценки для непрерывной зада-
задачи A7)—A9) приведены в п. 4.1. По аналогии с функциями непрерывного
аргумента определим гильбертово пространство сеточных функций, за-
заданных на а; и обращающихся в нуль на ди, с нормой
Как и в непрерывном случае, априорная оценка для решения раз-
разностной задачи B0)—B2) базируется на сеточном аналоге неравенства
Фридрихса.
Лемма 3. Для сеточной функции у(х), заданной на сетке ш и обра-
обращающейся в нуль на дш, справедливо неравенство:
llVt/Ц2 ^ М\\у\\\ М=^ + ~. C1)
Заметим, что оценка C1) устанавливается для любой прямоугольной
сетки в11с более точной постоянной М = 8(Zj~2 + l^2). Доказательство
неравенств с такой постоянной М для равномерной сетки может быть
основано на исследовании спектральной задачи для сеточного оператора
Лапласа (см. п. 4.6).
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 155
Рассмотрим одномерную сеточную функцию v(x\) = у(х\, xi). С уче-
учетом однородных граничных условий для v(x\) имеем
к=\
N
%,khu. C3)
Для оценки правых частей C2) и C3) используется неравенство Коши—
Буняковского в форме
к к к
Полагая а* = щиъЬ\ , bk = /i| , из C2), C3) получим
tfhu C4)
iV
v?<ai-»u) Sk,*J*!. C5)
Умножая неравенство C4) на /j — я?],-, неравенство C5) на хц и скла-
складывая их, получим
2 (^) Ль C6)
Умножение C6) на hi и суммирование по всем г (квадратурная формула
трапеций для участка параболы) позволяет из C6) получить оценку:
1}
Подставляя вместо г;(ж|) функцию y{x\)xi), умножая на h2 и суммируя
по Х2 Е и>2, получим
Аналогичное соотношение имеет место и при оценке нормы раз-
разностной производной по переменной ж2. Это и позволяет с учетом B8)
получить неравенство Фридрихса C1).
156 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
На основе неравенства Фридрихса C1) из C0) получим
\\y\\\^M,\\Vy\\\ М^О+М).
Принимая во внимание B8), B9), для оператора А следует оценка:
(Ау,у)>^г\\у\\1 C7)
Свяжем с нормой C0) соответствующую негативную норму || • ||_i,
определяя ее соотношением
IMI-i=sup——.
ф \\y\\
Аналогично F), (9) установим априорную оценку разностной зада-
задачи B0)-B2), записанной в виде операторного уравнения A), B3).
Теорема 1. Для разностной задачи B0)-B2) справедлива априорная
оценка
1Mb ^ — IMI-1- C8)
Доказательство основано на использовании тождества D) и использо-
использовании оценки C7). Используя для правой части неравенство (у>, у) <
IMI-ilMli, придем к доказываемой оценке C8).
Из оценки C8) следует, в частности, однозначная разрешимость раз-
разностной задачи B0)-B2). Обычным образом устанавливается сходимость
разностных схем при гладких коэффициентах. Для погрешности z раз-
разностного решения задачи A7)—A9) будем иметь операторное уравнение
Az = i>, C9)
где яр — погрешность аппроксимации уравнения. Для нее (см. п. 4.2)
справедлива оценка
M2\h\\ \h\2 = h] + h\. D0)
Имеем с учетом C0)
NIi- D1)
Принимая во внимание оценки C7) и D0), для решения задачи C9)
получим ||z||i ^ Мз|Л|2, М3 = к^]М\М2. Таким образом, разностная
схема B0)—B2) сходится со вторым порядком в энергетическом про-
пространстве.
4.4.4. Неравномерные сетки и разрывные коэффициенты
Не проводя каких-либо подробных рассмотрений, отметим особен-
особенности исследования точности разностных схем в более общем случае
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 157
неравномерных прямоугольных сеток. Как мы видели в п. 4.2, при ап-
аппроксимации второй производной на обычном трехточечном шаблоне
неравномерной сетки погрешность аппроксимации имеет второй поря-
порядок лишь в специальной негативной норме, а в С (и) и в Li{w) —
только первый. В рассматриваемом энергетическом пространстве второй
порядок сходимости сохраняется и на неравномерной сетке.
Специфика неравномерных сеток проявляется в представлении по-
погрешности аппроксимации уравнения в виде
1>(x) = 1>°(x) + f(x), D2)
где ^°(ж) имеет специальный дивергентный вид.
Применительно к двумерной разностной задаче B0)-B2) использо-
использование неравномерных сеток соответствует структуре погрешности в ви-
виде D2) с
*\х) = 0{\h\\ D3)
2
/(*) = Y, Vaxa, Va(x) = O(\h\2). D4)
Получим оценку погрешности из уравнения C9) в случае, когда структура
погрешности определяется соотношениями D2), D3). Имеем
где второе слагаемое оценивается согласно D1), а для первого с учетом D4)
получим
2
(*,^°) = ?(*.*«.)• D5)
На основании сеточных тождеств A2) для функций, обращающихся в нуль
на дш, получим
V2x2(x)z(x)h2 = -
Аналогичное соотношение справедливо и при а = 1. Подставляя в D5),
применяя неравенство Коши—Буняковского и учитывая B8), D4), полу-
получим B,-0°) ^ ^4l^|2||V2;|| ^ М4|/&|2|И|1. Таким образом снова приходим
к оценке ||z||i ^ Ms\h\2, которая получена при представлении погрешно-
погрешности в виде D3), D4). Напомним, что такая структура погрешности имеет
место в случае использования неравномерных сеток для нахождения
гладкого решения.
Погрешность представляется в желаемом виде D2)-D4) и в случае
решения задач стационарной теплопроводности A7)—A9) с разрывным
158 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
коэффициентом теплопроводности. Это достигается использованием ин-
тегро-интерполяционного метода. В соответствии с п. 4.2 в разностной
схеме B0)-B2) для задачи A7)—A9) имеем
D6)
где усредняющие операторы определяются выражениями:
Х|+Л|/2 x2+h2/2
\ Г 1 [
S\u(x) = — / m(?i, Ж2) d?i, S2u(x) = — / u(x],
h\ J h2 J
xi-ht/2 x2-h2/2
Погрешность аппроксимации для разностной задачи B0)—B2), D6) имеет
вид:
2
а=\
Рассмотрим, например, первое слагаемое в правой части D7). Используя
свойства усредняющих операторов, получим
S\S2L\u - А\и —
**>?),., J
где
x)p-) +a,tt5|. D8)
Аналогично можно определить
x)p-) +a2t*2. D9)
Таким образом, в разностной схеме B0)—B2), D6) погрешность предста-
представляется в дивергентном виде
#г) = ^°(*) = !>«.• E0)
а=\
Такой желаемый вид D8)-E0) имеет погрешность для схемы, полученной
интегро-интерполяционным методом.
В качестве характерного примера рассмотрим простейшую ситуа-
ситуацию, когда коэффициент теплопроводности разрывен, и линия разрыва
х\ = const проходит через узлы равномерной прямоугольной сетки ш
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 159
(х\ = X\k = kh\ G ш\). На этой границе раздела выполнены однородные
условия сопряжения (см. п. 2.2):
В каждой отдельной подобласти х\ > х\к и х\ < х\к при достаточно
гладких коэффициентах и решении из D8), D9) непосредственно вы-
вытекает, что г)а(х) = O(\h\2), и поэтому разностная схема B0)-B2), D6)
сходится со вторым порядком. Более сложная ситуация возникает при
рассмотрении случая с разрывом х\ = const, который не проходит через
узлы сетки, а тем более, когда разрыв коэффициента теплопроводности
происходит на произвольной криволинейной поверхности.
Аналогичные рассуждения проходят и в случае ситуации с поверх-
поверхностным тепловым источником. В этом случае вместо E1) рассматрива-
рассматриваются (см. п. 2.2) неоднородные условия сопряжения:
[и] = О, Г *|н = qsy x} = х]к. E2)
Условия E2) моделируются рассмотрением краевой задачи для уравнения
Lu = 6(х] - xlk)qs + /(ж), х ? О,
где б(х\) — ?-функция. Применяя интегро-интерполяционный метод,
придем к разностной схеме, которая отличается от схемы B0)—B2), D6)
лишь в узлах, лежащих на линии разрыва, где
Ау = <р(х) + S2qS) х\ - х\к.
Аналогично строятся аппроксимации условий типа сосредоточенного
источника и в более общем случае.
4.4.5. Граничные условия третьего рода
Отметим некоторые наиболее важные моменты исследования сеточ-
сеточных эллиптических задач с граничными условиями третьего рода. В ка-
качестве модельной задачи рассмотрим уравнение A7), A9), дополненное
граничными условиями
- к(х)-^-(х) 4- <т(х)и = 0, ха = 0,
ди a=h2' E3)
4x)~z—(х) + (г(х)и = 0, ха = /а,
аха
Соответствующую разностную задачу будем рассматривать на множестве
сеточных функций Я, заданных на всех узлах сетки ш. Скалярное
произведение в Н зададим соотношением
B/, v) = (г/, я)йг,
160
Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
где
Для записи разностной задачи в операторном виде используем обо-
обозначения B3), B4). С учетом аппроксимации граничных условий E3)
со вторым порядком на решениях задачи (см. B0) в п. 4.3) положим
2
+ fti, x2)yXl - (т{х)у), хх = 0,
А\У =
E4)
2_
hx
- — (а2(хх, х2 + Н2)уХ2 - а{х)у), х2 = 0,
2
E5)
При таком выборе операторов Аа, а = 1, 2, оператор А обладает не-
необходимыми свойствами, а именно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 4. Оператор А, определяемый согласно B4), E4), E5), само-
самосопряжен и положителен в Н при а(х) > 0.
Для доказательства покажем справедливость B5). В данном случае
v(x)h,2. E6)
(A2y,v) =
На основе формулы Грина A4) имеем
A2y(x)v(x)X\2 = - ^2 (a2y^2)X2v(x)h2 +
^2J/*2(яь0)-
(я,, 0)у(х{,
ь h)y(xx,
,, 0)
, Л2К2(я?ь 0) + а(х{, 0)»(жь 0))»(я?ь 0)
У(х)АМх)\хь
Отсюда и вытекает самосопряженность оператора А2. Аналогично
устанавливается самосопряженность и оператора Ах.
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 161
Доказательство положительности операторов Аа, а = 1,2, основы-
основывается на первой формуле Грина A3). Выкладки подобно приведенным
выше дают
E7)
Поэтому при положительных <т(х) оператор А2 положительный.
То же можно сказать и об операторе А\. Это завершает доказательство
леммы.
Учитывая то, что теперь у(х) Ф О на дш, определим
ft> Е (»Л+Е ^ Е fe
и норму согласно C0).
Определим сеточный аналог нормы Liidui) с помощью выражения
IMIL =
Для сеточных функций, не обращающихся в нуль на дш, имеет место
неравенство Фридрихса в следующей форме.
Лемма 5. Для произвольной сеточной функции у(х), заданной на сет-
сетке ш, справедливо неравенство:
l|VjH|2 + m|M|L^M|M|2, M = M(m), E8)
где положительные постоянные т и М не зависят от сетки.
Не приводя доказательства, отметим лишь, что оценки типа E8)
могут быть получены аналогично приведенному выше доказательству
леммы 3. Вместо C2), C3) достаточно использовать соотношения
t N
Vi = ^2 ^ь*л1 + vo, Vi = - ^2 vxukh\ + vN
k=\ k=i+\
и е-неравенство \ab\ ^ ea2 + b2/De), где е — любое положительное число.
Для разностной задачи с граничными условиями третьего рода,
записанной в виде операторного уравнения A), B4), E4), E5), устана-
устанавливается априорная оценка типа C8).
Теорема 2. Для разностной задачи A), B4), E4), E5) при <т(х) ^
0"о > 0 справедлива априорная оценка
||»||1<М,|И-ь E9)
где М\ = М\ (к\, G0, m, M).
12 Зак 168
162 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Принимая во внимание неравенство Фридрихса E8), имеем
llfflli = IIVy||2 + |М|2 < A + M'])\\Vy\\2 + тМ-]\\у\\2дш. F0)
На основании E7) для оператора А с учетом ограничений на коэффици-
коэффициенты дифференциальной задачи получим оценку:
(Ay,y)>KX\\y\\2 + *0\\y\\L. F1)
Объединяя F0) и F1), получим оценку снизу (Лг/, у) ^ Mf1 ||у||?, из ко-
которой обычным образом (см. доказательство теоремы 1) следует искомая
априорная оценка E9).
Скорость сходимости разностной задачи с граничными условиями
третьего рода исследуется полностью аналогично задаче Дирихле, что
позволяет нам не останавливаться на этом подробнее.
4.4.6. Задачи
Задача 1. Покажите энергетическую эквивалентность разностного
оператора задачи стационарной теплопроводности в анизотропных
средах с граничными условиями первого рода.
Решение. Рассматривается краевая задача A7), A8), где
^Ч д ( ди \
при kap(x) = kpa(x). Соответствующая разностная схема (см. п. 4.2)
записывается в виде B0), B1) при
2
Ау =
где
Аа(ЗУ = --((карУх^х,, + (карУхр)хо).
На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ди9 опреде-
определим оператор А с помощью соотношений: А = 0,5(^4" + А+), где
2 2
а, А+у = -
Принимая во внимание разностные соотношения A2), непосредственно
убеждаемся в том, что операторы А~, А+ самосопряженные при кар(х) —
кра(%)- Например,
уд о,
кра(%)- Например
2
(А'у, v) = ~YL ((каругр)ха, v) =
4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 163
Yl F2)
если учесть то, что у(х) = v(x) = О, х ? #а>.
На основе неравенства равномерной эллиптичности B) из п. 4.1
имеем
f 2 v 2
а=1 V/
и, в частности, /q ^ Ъаа ^ к2, а = 1,2. С учетом этого неравенства
из F2) получим
/С! (Ау, у) ^ (Ау, у) < *2(iy, У)-
Аналогичными свойствами обладает и оператор А+. Тем самым разност-
разностный оператор задачи Дирихле для эллиптического уравнения со смешан-
смешанными производными энергетически эквивалентен разностному оператору
Лапласа с постоянными эквивалентности к\ и к2. >
Задача 2. Для разностной задачи
~ (о>Ух)х = <р, хеш, F3)
2/о = О, yN = 0 F4)
получите оценку
Ы\см < М|М1-.. F5)
Решение. По аналогии с теоремой 1 для схемы F3), F4) имеем
оценку
HiflL, < —MU F6)
АС!
где а(х) ^ к\ > 0.
Для одномерных сеточных функций v(x), обращающихся в нуль при
х = 0, Z, справедливо неравенство:
^ 2Л. F7)
Доказательство неравенства проводится аналогично лемме 3. Неравен-
Неравенство C6) в наших обозначениях имеет вид
12*
164 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Отсюда и следует оценка F7). Подставляя
\\у\\Ь(и) < -jWVyW2 < ^ll»lli
в неравенство F6), придем к доказываемой оценке F5). >
Оценка F7) является простейшим примером сеточных аналогов те-
теорем вложения (в данном случае пространств С@, Z) и И^1 (О, I)).
4.5. Прямые методы решения
сеточных уравнений
4.5.1. Методы решения систем линейных уравнений
Исходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяет-
заменяется сеточной. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения есть
система линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений
сеточной функции. Для их нахождения используются методы линейной
алгебры, которые максимально учитывают специфику сеточных задач.
Особенности сеточных задач проявляются в том, что соответствующая
матрица системы алгебраических уравнений является разреженной, т. е.
содержит много нулевых элементов, имеет ленточную структуру. При
решении многомерных задач матрица имеет очень большой порядок,
равный общему числу узлов сетки. Например, при рассмотрении дву-
двумерных задач на сетке с числом узлов N\ по одному направлению
и N2 — по другому матрица имеет порядок iVii\T2. Поэтому сеточные
задачи предъявляют повышенные требования к возможностям используе-
используемой вычислительной техники — памяти, быстродействию, особенно при
использовании стандартного общематематического обеспечения ЭВМ.
Систему линейных алгебраических уравнений запишем в виде
Ay = f, @
где А — квадратная матрица размерности т х т с элементами а,;-.
Для решения задач линейной алгебры используются прямые (точные)
и итерационные методы. К прямым относятся методы, которые в пред-
предположении отсутствия ошибок округления дают точное решение задачи
за конечное число арифметических операций.
Классическим прямым методом численного решения задач линейной
алгебры является метод Гаусса. К настоящему времени разработаны раз-
различные модификации этого метода для более полного учета специфики
решаемых задач: метод Гаусса с выбором главного элемента, методы для
разреженных матриц и т. д.
Метод Гаусса основан на представлении невырожденной матрицы А
в виде произведения двух треугольных матриц (LU — разложение):
А = LU, B)
4.5. Прямые методы решения сеточных уравнений
165
где
L —
In
h\
hi
*ml
1
0
0
0
hi
hi
Iml
«12
1
0
0
0
«33
Im3
«в
«23
1
... 0
... 0
... 0
... Щт"
... U2m
... U3m
C)
0 0 0 0
1
D)
Решение задачи A) при использовании разложения B)-D) распадается
на решение двух простейших задач:
Lv = /, Uy = v.
E)
Для нахождения коэффициентов матриц L nU используются рекур-
рекуррентные соотношения (компактная схема Гаусса):
= а]и
ип =
г =
F)
aij -
la
i = 1, 2, ...m.
Вычислительные затраты на ХС/' — разложение матрицы А оцени-
оцениваются в Q = О(т3) арифметических действий. При решении уравнения
на основе B)-E) основные затраты связаны именно с этапом вычисления
элементов матриц L kU. При известных L nU решение задач E) с трех-
диагональными матрицами требует только q — О(т2) арифметических
действий.
Для систем уравнений A) с симметричной матрицей А (А = А*)
используется метод квадратного корня (метод Холецкого), который по-
позволяет примерно в два раза сократить вычислительную работу. В этом
случае используется представление
А = LDL\
G)
где D — диагональная матрица с элементами +1 и -1. Элементы
разложения G) определяются по формулам:
166 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
In = ki|1/2, dn = sign o,i, t= l,2,...,m,
da = sign ( an - Y] l2ikdkk ), l{i =
t-l \ ;-' 1/2
an - ]P Z^d** j,
i-i
otl -
(8)
, 3 <h 3 = 1, 2,..., m.
Непосредственное применение выше отмеченных прямых методов ре-
решения систем линейных уравнений для многомерных сеточных задач
неэффективно. Для двумерной задачи с общим числом узлов iV^ метод
Гаусса и метод квадратного корня потребовали бы Q = ОGУ,3^23) ариф-
арифметических действий. Учет разреженной структуры матрицы А позволяет
в ряде случаев существенно облегчить ситуацию.
4.5.2. Метод прогонки
При приближенном решении одномерных краевых задач теплопро-
теплопроводности приходим к сеточным задачам с трехдиагональной матрицей.
Для таких задач используется специальные варианты метода Гаусса, наи-
наиболее полно учитывающие специфику задачи. Запишем соответствующую
разностную задачу в виде
С\у\ -Bly2 = Fh
-Ам-х + С{у{ - BiyM =F{1 i = 2, 3,..., m - 1, (9)
-АтУт-\ + СтУт = Fm-
Для решения разностной задачи (9) используется представление
У% =ОЦ+\Уг+\ +А-+1, t= 1,2,...,Л1- 1, Ут=Рт+\- (Ю)
Коэффициенты этого рекуррентного представления решения определя-
определяются следующим образом:
а2 = С;1Ви аш=(С{-А{аУ]Ви t = l,2,.. .,m- I,
{), t=l,2,...,m.
Рекуррентные соотношения A0), A1) для нахождения решения за-
задачи с трехдиагональной матрицей (9) представляют собой хорошо из-
известный метод прогонки. Формулы для коэффициентов A1) определяют
прямую прогонку, а формулы A0) — обратную прогонку. Легко видеть,
что для решения задачи требуется всего Q = О(т) арифметических
действий. Такое существенное и принципиальное сокращение вычисли-
вычислительной работы обусловлено спецификой матрицы, ее разреженности
и тем, что метод Гаусса в рассматриваемой редакции полностью учи-
учитывает эту специфику. Поэтому различные варианты метода Гаусса для
4.5. Прямые методы решения сеточных уравнений 167
разреженных матриц с большим успехом используются при решении се-
сеточных уравнений, которые возникают при использовании разностных
методов, метода конечных элементов для приближенного решения задач
математической физики.
В вычислительной практике нашли применение многие различные
варианты метода прогонки. Отметим, в частности, методы циклической
прогонки для решения задач с периодическими краевыми условиями,
потоковый вариант прогонки, метод немонотонной прогонки, методы
прогонки для задач с ленточными матрицами и т. д.
Для применения расчетных формул прогонки A1) необходимо, что-
чтобы знаменатель С, - А{Щ не обращался в нуль. Обсудим теперь понятие
вычислительной устойчивости прогонки. Решение задачи определяется
по рекуррентным соотношениям A4), которые могут допускать накоп-
накопление погрешности. Пусть, например, при вычислении ут допущена
ошибка ет, т.е.-найдено ут = ут + ет. Погрешность в других значениях
в соответствии с A4) будет определяться из соотношений ?, = at+i?t+i,
г— 1,2,..., m - 1. Отсюда видно, что может произойти сильное накопле-
накопление погрешности, если а, по модулю больше единицы. Для устойчивости
достаточно потребовать, чтобы |а,| ^ 1 для всех г.
Лемма 1. Пусть действительные коэффициенты системы (9) удовле-
удовлетворяют условиям
0, |Ст|>0,
О, |В,|>0, г = 2,3,...,т-1, A2)
t = 2,3,...,m-l A3)
и хотя бы в одном из неравенств A3) выполняется строгое неравенство.
Тогда в A0), A1) имеют место неравенства
Q - Ai<Xi ф 0, \щ\ О, г = 2, 3,..., т.
Сформулированные выше достаточные условия A2), A3) вычисли-
вычислительной устойчивости прогонки есть не что иное как условия диагональ-
диагонального преобладания матрицы А.
4.5.3. Двумерная задача
Методы решения сеточных уравнений, соответствующих много-
многомерным стационарным задачам теплопроводности, будем рассматривать
на примере простейшей двумерной задачи в прямоугольнике п с гладкими
коэффициентами и граничными условиями первого рода (задача A7)—A9)
из п. 4.4). Соответствующая разностная задача (B0)-B2) из п. 4.4) на пря-
прямоугольной равномерной по каждому направлению сетке записывается
168 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
в следующем виде. Во внутренних узлах сетки при использовании про-
простейших аппроксимаций для коэффициентов и правой части разностной
схемы имеем
1 Л Ц+Ц ~ Ун h yij-Vi-\A
1
kiJ-{/2 h2
1 ^ г ^ Nx - 1, 1 < j < JV2 - 1. A4)
Для узлов на границе получим
0, 1 < i < ЛГ, — 1. 1 '
Разностная задача A4), A5) представляет собой систему линейных
алгебраических уравнений, в которой в качестве неизвестных выступают
значения приближенного решения во внутренних узлах сетки, т.е. j/tJ,
1 < t ^ JV] — 1, 1 ^ j• ^ Ni - 1. Общее число неизвестных равно
(N\ - l)(N2 - 1). Непосредственное применение метода Гаусса без учета
разреженной структуры матрицы приводит к затратам Q = O(iV13JV23)
арифметических действий. Существенное сокращение вычислительной
работы достигается за счет применения метода матричной прогонки,
который является обобщением рассмотренного выше метода скалярной
прогонки.
Введем векторы
Ух = (УгьУп, • • •, 2Mr2-i), Fi = (/ih /»2,..., /ty\r2-i), A6)
т.е. вектор у, соответствует неизвестным в узлах г-ого столбца сетки ш.
Тогда разностную схему A4), A5) можно записать в виде трехточечного
векторного уравнения (9), где теперь A^B^d — квадратные матрицы
порядка N2-\, а т = N\ - 1. В нашем случае А{ = (а^) и Б, —
диагональные матрицы, а С, — трехдиагональная матрица. Расчетные
формулы матричной прогонки имеют приведенный выше вид A0), A1),
причем а,- — квадратная матрица, а /3, — вектор размерности iV — 1.
Обсуждаемый алгоритм матричной прогонки предъявляет повышен-
повышенные требования к используемой памяти ЭВМ. В процессе расчета необхо-
необходимо помнить все матрицы а,, и поэтому требуемая память оценивается
величиной Р = O(N2N\). Вычислительная работа определяется необхо-
необходимостью (см. A1)) обращения матриц С,—-А,-а,-, и поэтому Q = O(iNT23iVi).
Этот метод можно использовать в задачах, для которых N2 <C N\ (число
узлов по направлению х\ значительно больше числа узлов по напра-
направлению х2). Кроме того, метод матричной прогонки с успехом приме-
применяется при решении систем дифференциальных уравнений небольшой
размерности.
4.5. Прямые методы решения сеточных уравнений 169
Одним из наиболее широко известных прямых методов решения се-
сеточных эллиптических задач является метод редукции. Он используется
при решении краевых задач с разделяющимися переменными. Приме-
Применительно к рассматриваемому случаю модельной задачи A4), A5) будем
считать, что к = kfa). Запишем сеточную задачу в виде следующего
трехточечного векторного уравнения:
-у,--! + Су{ - yi+l =F{, i = 1, 2,..., m - 1, A7)
2/o = O, ym = 0, A8)
где в данном случае т = N\.
Принципиальным упрощением общего (см., например, A1)) трех-
трехточечного векторного уравнения является то, что матрицы А{ и Б,
единичные (А{ = Б, = Е)у а матрица С, = С — постоянная. Для про-
простоты мы ограничились (см. A8)) условиями первого рода. В настоящее
время имеются обобщения метода редукции на случай сеточных задач
с условиями второго, третьего рода, периодическими условиями в рамках
предположения о разделении переменных.
Метод редукции также является специальным вариантом метода Гаус-
Гаусса для системы уравнений A7), A8) с т — Is и основан на поочередном
исключении из уравнений A7) неизвестных у, последовательно с не-
нечетными номерами г, затем из оставшихся уравнений — с четными,
кратными 4 и т. д. При таком исключении на каждом шаге уменьша-
уменьшается число неизвестных и в конце концов остается одно уравнение для
нахождения ys/2. Обратный ход позволяет найти все неизвестные.
Реализация метода редукции требует Q = O(N2N\ log 2^1) арифме-
арифметических действий. Такая оценка существенно лучше соответствующей
оценки для метода матричной прогонки. На один узел сетки затрачивается
ОAо§2^) арифметических действий, что близко к оптимальной асим-
асимптотической оценке 0A). Поэтому метод редукции относят к быстрым
методам решения сеточных уравнений.
Для сеточных эллиптических задач с постоянными коэффициентами
оптимальные характеристики (Q = 0(N\N2)) имеет марш-алгоритм.
В настоящее время получили распространение библиотеки и ком-
комплексы программ линейной алгебры, ориентированные на сеточные за-
задачи, которые возникают при решении задач математической физики
разностными и проекционно-сеточными методами. Это прикладное про-
программное обеспечение включает в себя наряду с другими хорошо разрабо-
разработанные и оттестированные программы решения сеточных задач на основе
отмеченных выше методов.
4.5.4. Метод разделения переменных
Классический подход к решению простейших линейных задач мате-
математической физики (см. п. 3.2) связан с использованием метода разде-
разделения переменных. Естественно ожидать, что аналогичная идея получит
11 Зак 168
170 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
свое развитие и применительно к сеточным уравнениям. Рассмотрим
модельную сеточную задачу A4), A5), когда коэффициент к зависит
только от одной переменной (для определенности положим к = к(х2)).
Задачу A4), A5) в таких предположениях запишем в виде:
Ау = р, хеш, A9)
у(х) = 0, хе дш, B0)
где теперь
Л = Л,+Л2, B1)
Aiy = -</*„*,, Л2у = -к~\х2)(к{х2 - Н2/2)уг2)Х2, B2)
а правая часть (р(х) = f(x)/k(x2), x E и.
Для применения метода Фурье для решения двумерной задачи
D3)-D5) рассмотрим задачу на собственные значения по переменной х\:
Aiv + Av = 0, h\^x\^l\-hu B3)
v@) = 0, v(h) = 0. B4)
Соответствующие собственные значения и собственные функции обо-
обозначим A*, Vk(x\)9 к = 1,2, ...,iVi - 1. Собственные функции в силу
самосопряженности оператора А\ ортонормированы в Н(и>\), так что
(vkjvt) = Skh A*1,1*2) = ^
Считая их известными, будем искать приближенное решение задачи
A9)—B1) в виде разложения:
у(х) = ]Г ск(х2)ук(хх), хеш. B5)
Подстановка B5) в уравнение A9) дает
Ni-\ N\-\
где (рк(х2) — коэффициенты Фурье правой части:
Ni-\
<pk(x2) = 5^ 4>(*)vk{?\)h\- B6)
Принимая во внимание B0), B3), B4) и ортогональность собственных
функций, для определения ск(х2) получим задачу:
Л2с* - Хкск = (рк(х2), h2^x2^l2- h2i B7)
с*@) - 0, скA2) - 0, к = 1, 2,..., ЛГ, - 1. B8)
Разностная задача B7), B8) при каждом fc = 1,2,... ,JVj - 1 решается
методом прогонки.
4.5. Прямые методы решения сеточных уравнений 171
Таким образом, метод Фурье основан на определении собственных
функций и собственных значений сеточной задачи B3), B4), вычислении
коэффициентов Фурье правой части согласно B6), решении задач B7),
B8) для коэффициентов разложения и, наконец, решение задачи опре-
определяется по формулам суммирования B5).
Применение описанного алгоритма сопряжено, вообще говоря, со
значительной вычислительной работой. Даже если собственные значе-
значения и собственные функции A*, Vk(x\)9 к = 1, 2,... ,N\ - 1 известны
точно, процедуры вычисления сумм B5), B6) требуют Q — O(NfN2)
арифметических действий.
Эффективные вычислительные алгоритмы метода разделения пере-
переменных связаны с быстрым преобразованием Фурье (FFT). В этом случае
можно вычислить коэффициенты Фурье правой части и восстановить
решение при затратах Q = O(N\N2 log 2^1)- Применительно к сеточному
оператору А\ быстрое преобразование Фурье используется при граничных
условиях первого рода B4), условиях второго рода, периодических услови-
условиях при N\ = 2s. В этих конкретных случаях задача на собственные значе-
значения имеет точное решение (собственные функции — косинусы и синусы).
Для задачи B3), B4) имеем (см. задачу 2)
«-G)
1/2 . кжхх
sin——, * = 1,2,... ,JVi —
Алгоритмы быстрого преобразования Фурье основаны на выделении
одинаковых сомножителей Vk(x\), x\ Е и>\ в суммах типа B5), B6)
и перегруппировке слагаемых. Подробное описание различных вариантов
быстрого преобразования Фурье содержится во многих руководствах.
Выше рассмотрен подход с быстрым преобразованием Фурье по од-
одной переменной и применением прогонки по другой переменной. Для
задач с постоянными коэффициентами можно использовать преобразова-
преобразование Фурье по обоим переменным (разложение по собственным функциям
двумерного сеточного оператора Л). Среди других интересных возмож-
возможностей отметим алгоритмы FACR, которые сочетают метод редукции
(CR) и преобразование Фурье (FA) для тех же задач с постоянными
коэффициентами.
4.5.5. Задачи
Задача 1. Получите расчетные формулы метода циклической прогонки
для решения системы уравнений
-AiVi-i + Qyi - Вм+х =Fi, г = 0, ±1, ±2,..., B9)
коэффициенты которой периодичны с периодом га:
C{ = C,-+m, F{ = Fi+m. C0)
11*
172 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Решение. В силу периодичности решения (у, = г/,+т) будем искать
его при г = О,1,..., m - 1. Поэтому задачу B9), C0) запишем в виде:
-АоУт-\
yi - Дгл+i = Fu г = 1, 2,..., m - 2, C1)
Присутствие слагаемого cioB первом уравнении C1) и слагаемого
с Вт-\ в последнем уравнении C1) не позволяют применять обычные
формулы прогонки. Для решения C1) используется метод циклической
прогонки, основанный на хорошо известном в линейной алгебре методе
окаймления.
Будем искать решение задачи C1) в виде
yi = wi+yovii t = 0, l,...,m, C2)
где W{ — решение следующей неоднородной задачи:
-AiWi-.\ + Qwi - BiWi+l =Fiy г = 1, 2,..., m - 1, C3)
wm = 0.
Для второй сеточной функции формулируем трехточечную задачу
vo = 1,
-AiVi-x + См - BiVM =0, г = 1, 2,..., m - 1, C4)
Vm= 1
с неоднородными граничными условиями.
Выясним, при каких условиях C2)-C4) дает решение задачи C1).
Уравнения C1) при i = 1, 2,..., т - 1 выполнены, а первое из этих урав-
уравнений позволяет определить г/о- Подставляя C2) в первое уравнение C1),
получим
-i +B0W{
Со - A)Vm_i - Bov]
Каждая из задач C3), C4) решается стандартным вариантом метода
прогонки. Необходимо только отметить, что один из прогоночных ко-
коэффициентов у этих задач общий, а именно, решения представляются
в виде:
Метод циклической прогонки применяется в задачах с периодически-
периодическими граничными условиями (задачи теплопроводности в цилиндрических
и сферических координатах). >
4.6. Итерационные методы линейной алгебры 173
Задача 2. Найдите значения параметра А (собственные значения),
при которых существуют нетривиальные решения fi(xj) (собственные
функции) разностной задачи:
Ухх + Аг/ = 0, хеш, C5)
2/@) = 0, г/@ = 0. C6)
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что собствен-
собственные значения задачи C5), C6) есть
4 2 7Г&
А* = ~2 sin —, * = 1, 2,..., m - 1,
а для собственных функций получим
1/2
ч /2\1/2 . *rfc*i
так как Xj = jh. Собственные функции fik(xj) ортонормированы в H(w),
т.е.
х?ш
где бы — символ Кронекера. >
4.6. Итерационные методы
линейной алгебры
4.6.1. Основные понятия
Обсуждаются методы решения системы линейных уравнений
Ay = f A)
итерационными методами. Здесь А рассматривается как линейный опе-
оператор, действующий в конечномерном гильбертовом пространстве Я,
/ — заданный элемент Я, а у необходимо найти.
Итерационный метод основан на том, что начиная с некоторого
начального приближения г/о € Н последовательно определяются при-
приближенные решения уравнения A) г/1,г/2,... ,гд,..., где к — номер
итерации. Значения г/Л+1 определяются по ранее найденным ук, Ук-\,....
Если при вычислении ук+\ используются только значения на предыдущей
итерации ук, то итерационный метод называется одношаговым (двухслой-
(двухслойным). Соответственно, при использовании ук и ук-\ итерационный метод
называется двухшаговым (трехслойным).
Любой одношаговый итерационный метод можно записать в виде
ВкУк+\ — СкУк + Tk+\f, B)
где Вк, Ск — линейные операторы, a t*+i — числовые параметры.
Решение уравнения A) должно удовлетворять B), т. е. ВкУ = Cky+Tk+\f.
174 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
С учетом уравнения A) можно положить Вк - С* = Tk+\A. Выражая С*
через Ак иБь запишем B) в виде
= f, * = 0,1,... . C)
Это есть каноническая форма двухслойного итерационного метода. При
заданном уо все последующие приближения находятся по C).
Для характеристики точности приближенного решения естественно
ввести погрешность zk = у к - У- Итерационный метод сходится в энер-
энергетическом пространстве ##, порожденном самосопряженным и по-
положительно определенным в Н оператором D, если \\zk\\o —> 0 при
к -* 0. В качестве меры сходимости итераций принимают относительную
погрешность е, так что
\\Уп-у\\в^е\\уо-у\\п. D)
В силу того, что само точное решение у неизвестно, оценка точности
приближенного решения проводится по невязке г к = Аук - f — Аук - Ау,
которая может быть вычислена непосредственно. Например, итерацион-
итерационный процесс проводится до выполнения оценки
Цг„|| ^ Фо||. E)
Использование критерия сходимости E) соответствует выбору D = А*А
в D). Минимальное число итераций, которое гарантирует точность е
(выполнение D) или E)), обозначим щ(е).
При построении итерационного метода мы должны стремиться к ми-
минимизации вычислительной работы по нахождению приближенного ре-
решения задачи A) с заданной точностью. Пусть Qk — число арифметичес-
арифметических действий для нахождения приближения ук и пусть делается п ^ щ(е)
п
итераций. Тогда общие затраты оцениваются величиной Q(e) = Y^Qk-
к=\
Применительно к двухслойному итерационному методу минимизация
Q(e) может достигаться за счет выбора операторов Вк и итерационных
параметров тк+\. Обычно операторы Вк задаются из каких-либо сообра-
соображений, а оптимизация итерационного метода C) осуществляется за счет
выбора итерационных параметров.
В теории итерационных методов для выбора итерационных пара-
параметров получили распространение два подхода. Первый из них связан
с использованием априорной информации об операторах итерационной
схемы (о Вк и А в C)). Во втором подходе (итерационные методы вариа-
вариационного типа) итерационные параметры находятся на каждой итерации
из минимума некоторых функционалов и явно не используется априорная
информация об операторах.
Вначале мы остановимся на общем описании итерационных мето-
методов без указания структуры сеточных операторов Вк. Конкретизация
4.6. Итерационные методы линейной алгебры 175
результатов для сеточных эллиптических операторов рассматривается
в следующем параграфе.
Будем рассматривать в качестве основной задачу A), когда опера-
оператор А самосопряжен и положительно определен (А = А* > 0) в конечно-
конечномерном гильбертовом пространстве Н. Рассматривается итерационный
процесс
yj±izy± f, * = o,i F)
т. е. в отличие от общего случая C) оператор Вк считается постоянным
(не изменяется в процессе итераций).
4.6.2. Метод простой итерации
Метод простой итерации соответствует использованию в F) посто-
постоянного итерационного параметра тк = т, т. е. рассматривается итераци-
итерационный процесс
УкУк/, * = 0>1,..., G)
в предположениях, что
А = А*>0, В = В*>0. (8)
Итерационный метод G) называется стационарным.
Пусть априорная информация об операторах В и А задана в виде
двухстороннего операторного неравенства
ЪВ^А^ъВ, 7i > 0, (9)
т.е. операторы В и А энергетически эквивалентны.
Теорема 1. Итерационный метод G), (8), (9) сходится в Hd,
D = А,В при 0 < т < 2/7i. Оптимальным значением итерацион-
итерационного параметра является т = tq = 2/G1 +72)» я для числа итераций п,
необходимых для достижения точности е, справедлива оценка
п > по(е) = j^, A0)
где
1
Заметим, что в A6) щ(е), вообще говоря, нецелое и п — мини-
минимальное целое, при котором выполнено п ^ щ(е). Теорема 1 указывает
путь оптимизации сходимости итерационного процесса G), (8) за счет
выбора оператора В в соответствии с (9), т.е. оператор В должен быть
близок оператору А по энергии. В этом смысле наиболее благоприятная
ситуация соответствует, конечно, выбору В = Аито=\,п=1 (прямой
метод).
176 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.6.3. Чебышевский набор итерационных параметров
Оптимальный набор итерационных параметров в F) связан с корня-
корнями полиномов Чебышева, поэтому такой итерационный метод называется
чебышевским итерационным методом {методом Ричардсона).
Определим множество Мп следующим образом:
Мп = l-cos (-Г—*)» t=l,2,...,nl. A1)
Для итерационных параметров rk используется формула
тк — , \ik ? Мп, к = 1, 2,..., п. A2)
1 + РФк
Теорема 2. Чебышевский итерационный метод F), (8), (9), A1), A2)
сходится в Hd, D — А,В и для числа итераций п, необходимых для
достижения точности е, справедлива оценка
п ^ по{ё) — ZT"» A3)
In/),1
где
Заметим, что в чебышевском методе (см. A1), A2)) расчет итерацион-
итерационных параметров осуществляется по заданному общему числу итераций п.
Естественно, что вырожденный случай п = 1 соответствует рассмотрен-
рассмотренному выше методу простой итерации.
Практическая реализация чебышевского итерационного метода свя-
связана с проблемой вычислительной устойчивости. Это связано с тем,
что норма оператора перехода на отдельных итерациях больше единицы
и может происходить рост локальной погрешности до авоста. Проблема
вычислительной устойчивости решается специальным упорядочиванием
итерационных параметров (выбором /z* из множества Мп). Для вычи-
вычисления оптимальных последовательностей итерационных параметров т*
по заданному числу итераций п предложены различные алгоритмы.
4.6.4. Метод переменных направлений
Среди специальных итерационных методов, которые широко исполь-
используются в вычислительной практике, отметим метод переменных направле-
направлений. Это метод применяется, прежде всего, при приближенном решении
двумерных сеточных эллиптических задач, с чем и связано его назва-
название. Здесь используется операторная формулировка метода переменных
направлений.
4.6. Итерационные методы линейной алгебры 177
Пусть решается уравнение A) с оператором А, который представля-
представляется в виде суммы двух операторов, каждый из которых самосопряжен:
А = А1+АЬ
Аа = А*а, 6аЕ ^Аа^ АаЕ, 6а>0, а = 1,2. к '
Переход с итерации к на следующую к + 1 осуществляется в два этапа.
На первом из них находится промежуточное значение Ук+\/г из уравнения
f. A5)
На втором этапе решается задача
А1П+щ + АгУш = /• A6)
В A5), A6) и — итерационный параметр, подлежащий определению.
В более общем случае используются отдельные итерационные параметры
в A5) и A6). Для перестановочных операторов л4а, а = 1, 2 (А\А2 = ^2^i)
метод переменных направлений используется в варианте с переменными
итерационными параметрами.
Систему уравнений A5), A6) запишем в виде
= (Е- шА2)ук
(Е + шА2)ук+\ = (Е- шА\)ук+\/2
Тем самым переход к новому итерационному приближению связан с обра-
обращением операторов Е + и А \ и Е + шА2. Поэтому метод переменных на-
направлений целесообразно применять, когда обратить операторы E+wAa,
а = 1,2 существенно проще, чем исходный оператор А.
Итерационный процесс A5), A6) записывается в каноническом виде
стационарного итерационного процесса G) с факторизованным опера-
оператором
В = (Е + шА\)(Е + и)А2)
и г = 2ш.
Теорема 3. В методе переменных направлений A4)—A6) при 61 = 62=6,
А\ = А2 = А оптимальное значение итерационного параметра равно
ш = (ЯД), а для погрешности справедлива оценка
где р определено согласно
178 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.6.5. Двухслойные методы вариационного типа
Выше рассматривались итерационные методы решения задачи (I)
в условиях, когда задана априорная информация об операторах В и А
в виде констант (см. (9)) энергетической эквивалентности 71 и 72- Через
эти постоянные определяются оптимальные значения итерационных па-
параметров. Получение этих постоянных может оказаться сложной задачей,
поэтому есть смысл пытаться строить итерационные методы, для которых
итерационные параметры вычисляются без такой априорной информа-
информации. Этот класс методов известен как итерационные методы вариационного
типа. Начнем с рассмотрения двухслойного итерационного метода F)
в предположениях (8).
Обозначая невязку гк = Аук - / и поправку wk = B~lrki расчетную
формулу для итерационных параметров можно представить в виде:
(Dwk,zk)
(Dwk,wk)
Итерационный процесс F) запишется следующим образом
Ук+\ =Ук- Tk+\wk) к = О,1,... .
Конкретизация итерационного метода достигается за счет выбора
D = D* > 0. Этот выбор должен быть подчинен, в частности, усло-
условию возможности вычисления итерационных параметров. В формулу A7)
входит невычисляемая величина zk, и поэтому выбор D — В (см. теоре-
теорему 1) здесь не проходит. Вторая отмеченная выше возможность D = А
приводит нас к методу скорейшего спуска, когда
П+\ =
(Awk,wk)
Среди других возможностей выбора D отметим: D = АВ~ХА — метод
минимальных поправок.
Двухслойный итерационный метод вариационного типа сходится
не медленнее метода простой итерации. Сформулируем соответствующий
результат применительно к методу скорейшего спуска.
Теорема 4. Итерационный метод G)-(9), A8) сходится в На и для
числа итераций п, необходимых для достижения точности с, справед-
справедлива оценка A0).
В вычислительной практике наибольшее распространение получили
трехслойные итерационные методы вариационного типа. По скорости
сходимости они не хуже итерационного метода с чебышевским набором
итерационных параметров.
4.6. Итерационные методы линейной алгебры 179
4.6.6. Метод сопряженных градиентов
В трехслойном (двухшаговом) итерационном методе новое прибли-
приближение находится по двум предыдущим. Для реализации метода требуются
два начальных приближения уо, у\. Обычно уо задается произвольно,
а у\ находится по двухслойному итерационному методу. Трехслойный
метод записывается в следующей канонической форме трехслойного ите-
итерационного метода:
Вук+\ = <*к+\(В - тк+\А)ук +
+ (I - аш)Вук-1 + a*+i**+i/> * = 1, 2,..., A9)
где ак+\ и Tfc+i — итерационные параметры.
Вычисления по A9) основаны на представлении
г/Л+1 = ак+\Ук + A - <*к+\)Ук-\ - ak+\Tk+]wky B0)
где wk = B~]rk. Реализация трехслойного итерационного метода часто
связана с использованием представления:
Ук+\ = Ук + >ЧсРк, * = 0,1,...,
Po = wo, Л = ю*+М*Л-ь fc=l,2,....
Сопоставляя B0) и B1), устанавливаем связь параметров А* и /х* с пара-
параметрами а* и тк:
Хк = -а*+1Г*+1, /xfe = (afc+i - 1) .
OLk+\Tk+\
Используя введенные обозначения, расчетные формулы итерационного
метода сопряженных направлений дают
= ( '- '""" /}Dv""Zk' ч—) , fc=l,2,..., a, = :
Основное свойство итерационных приближений по методу сопряженных
направлений состоит в том, что
(Cvj,у() = 0, j = 0,1,...,г - 1, <= 1,2,... .
Отсюда следует, например, что метод сопряженных направлений сходится
за конечное число итераций, не превышающее размерность конечномер-
конечномерного пространства Н.
В случае D — А, как следует из B2), итерационные параметры
рассчитываются по формулам:
Л-0,1,...,
Л
= A
k-\) ak
= 1,2,...,
180 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Расчет итерационных параметров трехслойного итерационного мето-
метода A9) в соответствии с B3) определяет метод сопряженных градиентов,
который наиболее широко используется в вычислительной практике.
Теорема 5. Метод сопряженных градиентов A9), B3) при выполне-
выполнении (8), (9) сходится в На и для числа итераций п, необходимых для
достижения точности е, справедлива оценка
1п2е-'
п > щ{е) = -—гт-,
In Pi
где
4.6.7. Задачи
Задача 1. Покажите, что норма оператора
S(oj) = (Е + иА)~\Е - шА) B4)
при
6>0 B5)
минимальна при и = ш0 = (ЯД) и равна
«1
Решение. Будем рассматривать оператор 5 как оператор перехода,
т.е. Zk+\ = Szk. Оператор B4) соответствует канонической форме
т
+ ш)А ^ В ^ F~]
С учетом B5) получим (А + ш)А ^ В ^ F~] + и)А. Поэтому для
постоянных энергетической эквивалентности (см. (9)) получим
7i = 6A +и>6)-\ 72 = АA + шА)~{. B7)
Оптимальное значение (теорема 1) г = т$ = 2/G1 + 72) дает
1 1 = 1.
1+А/
Отсюда и следует искомое выражение B5) для и.
Минимальная норма определяется выражением
Подстановка B5), B7) приводит к B6).
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 181
Задача 2. Получите расчетные формулы A7) для двухслойного итера-
итерационного метода.
Решение. При исследовании погрешности a Hd положим zk =
l2Vk. Для Vk получим уравнение
= Е-тС, ife = O, 1,...,
где С = Dxf2B~xAD~xl2, a S — оператор перехода от одной итерации
к другой.
Естественно выбирать итерационный параметр тк+\ из условия ми-
минимума нормы погрешности zk+\ в Hd (vk+\ в Я). Имеем
||г>*+1||2 = ((Е - Tk+lC)vk, (E - тшС)ук) =
= \\vk\\2 - 2rk+](Cvki vk) + 7*+i(Ct7jfc, Cvk) =
(CvkyvkJ
Отсюда следует, что минимум нормы достигается при выборе
(Cvk, vk)
т*+1" Jc^cn)- B8)
Принимая во внимание определение С и обозначая невязку rk=Ayk-f
и поправку ад* = B~lrk, из B8) получим расчетную формулу для итера-
итерационных параметров в искомом виде A7). >
4.7. Итерационные методы решения
сеточных уравнений
4.7.1. Разностная задача стационарной теплопроводности
В качестве модельной рассматривается задача стационарной тепло-
теплопроводности с условиями первого рода в прямоугольнике. Разностная
задача на прямоугольной равномерной сетке (см. п. 4.2) имеет вид:
Ау = (р(х), х е и, A)
у(х)=д(х), хеди, B)
где
2
Ау = ^2 А*У> л«2/ = -(<*аУха)ха. C)
Исследование сходимости итерационных процессов проводится в про-
пространстве сеточных функций Я, заданных на и и равных нулю на дш.
182 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Для этого в разностной задаче A)-C) исключаются с учетом B) гранич-
граничные узлы. Скалярное произведение в Н определяется обычным образом:
{y,v) = {y,v)u={y,v)w.
Для того, чтобы писать разностную задачу A)-C) в виде оператор-
операторного уравнения первого рода
Ау = /, D)
обозначим
2
Ау = Ау = ]П Аа», уеН. E)
а=\
В приведенной записи уже у(х) = 0, х ? ди, т.е. в граничных узлах эта
сеточная функция не совпадает с разностным решением. Неоднородность
граничного условия учитывается дополнительной неоднородностью пра-
правой части разностного уравнения A). Правая часть уравнения D) отлична
от правой части разностного уравнения A) лишь в приграничных узлах.
Нетрудно убедиться, что / = <р + (p\hj2 + (p2h22, где
(р\(х)= { О, 2/i, ^xi <J, -2Л,
x2), a?i =/i -Ль
(p2(x) = { О, 2Л2 < x2 ^ l2 - 2Л2,
), x2 = l2-h2.
Аналогичная процедура применяется и для разностных задач с другими
типами неоднородных граничных условий.
Свойства разностного оператора А исследованы в п. 4.4. В частно-
частности, показана самосопряженность и положительность оператора А. Кроме
того, при 0 < К\ < аа(х) ^ к2, х G ш оператор А энергетически экви-
эквивалентен сеточному оператору Лапласа, т. е. выполняется двухстороннее
операторное неравенство
о о
К\А ^ А ^ к2А. F)
4.7.2. Двухслойный итерационный метод
Для приближенного решения сеточной задачи A)-C), записанной
в виде уравнения D), будем использовать итерационный метод
f, * = 0,l,... G)
при заданном начальном приближении у$. Проблема выбора итерацион-
итерационных параметров рассматривалась выше. Теперь обсудим вопросы выбора
оператора В в итерационном методе G).
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 183
Скорость сходимости при А = А* > О, В = В* > 0 определяется
константами энергетической эквивалентности 7i и 72'
7i?^<72#, 7i > 0, (8)
точнее, величиной f = 71/72 • Поэтому выбор оператора В должен быть,
с одной стороны, таким, чтобы он был легко обратим, и с другой стороны,
таким, чтобы величина ? была максимальной.
Различные классы легко обратимых операторов обсуждаются ниже.
Среди них можно выделить простейший класс операторов умножения
на выбранную сеточную функцию, которым соответствует диагональная
матрица. Просто обращаются треугольные сеточные операторы, которые
соответствуют нижней или верхней треугольной матрице. Естественно,
что то же относится и к произведению таких операторов (факторизо-
ванный оператор В). Метод переменных направлений также строится
на основе использования факторизованного оператора.
Важное значение при построении итерационных методов имеет прин-
принцип регуляризации итерационных методов. При выборе В будем исходить
из некоторого оператора R = R* > 0 (регуляризатора), который энерге-
энергетически эквивалентен оператору А:
c{R^A ^с2#, cx >0. (9)
Пусть теперь оператор В строится на основе регуляризатора R, т. е.
на основе выполнения оценки
R ^ 7°2#, 7°i > 0. (Ю)
Из (9), A0) следует необходимое неравенство (8) с 7i = ci7i> 72 =
причем
Регуляризатор R выбирается так, чтобы отношение с\/с2 не зави-
зависело от шагов сетки и имело более простую структуру. В случае нашей
задачи A)-C) в качестве регуляризатора естественно выбрать оператор
Лапласа у, причем в силу F) са = ка> « = 1, 2, т. е. постоянные выби-
выбираются непосредственно по заданному коэффициенту теплопроводности.
В силу этого отношение с\/с2 не зависит от параметров сетки.
При отмеченном выборе регуляризатора R имеются две возможности.
Первая из них связана с тем, что отношение К\/к2 в задаче стационар-
стационарной теплопроводности не очень мало. Вторая возможность обусловлена
тем, что это отношение слишком мало и зависимость числа итераций
от этого отношения не может устроить. В этом случае требуется исследо-
исследование скорости сходимости итерационных процессов, которые строятся
непосредственно по оператору А без введения регуляризатора R.
184 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.7.3. Диагональный оператор В
Простейший класс итерационных методов связан с выбором диаго-
диагонального оператора В. В этом случае
В = Ь(х)Е, A2)
и расчет нового итерационного приближения проводится по явным фор-
формулам. К этому классу методов принадлежит и итерационный метод
Якоби, который соответствует выбору в качестве В диагональной части
оператора А и т* = г = 1.
Задача построения оптимального выбора В в классе операторов A2)
решена. Отношение ? = 71/72 B двухстороннем операторном неравен-
неравенстве (8) для А = А* > О будем максимальным, если в качестве В выбрать
диагональную часть оператора А. И в этом смысле метод Якоби является
оптимальным.
Исследование скорости сходимости итерационного метода G), A2)
проведем на основе использования регуляризатора R, в качестве которого
о ^^
выберем сеточный оператор Лапласа у. Принимая во внимание то, что
Ау- ц ц •
положим в A2)
Ь(х) = 2(ЛГ2 + Л2-2). A3)
о
Для получения оценки A0) (при R = А) при выборе A2), A3)
можно использовать минимальное F) и максимальное (А) собственные
значения оператора Лапласа:
6Е^А^ АЕ. A4)
Собственные значения задачи Ау = Ху складываются из собствен-
собственных значений соответствующих сеточных операторов по переменной х\
и х2 и представляются в виде (см. задачу 2 из п. 4.5):
а=\ а а
Отсюда для минимального и максимального собственных значений по-
получим:
л. 1 л- 1 СГ —"СХ л I "ОС
а=\ а=\ а а а=\
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 185
Из A4), A5) при выполнении A2), A3) получим оценку A0) с
72 Л
где |/i|2 = h] + /i2. На основании A6) и A1) получим соответствующие
оценки для числа итераций итерационного метода G), A2), A3).
В соответствии с п. 4.6 для числа итераций метода простой итерации
с оптимальным значением г = ть = 2/G1 + 7г) и метода скорейшего
спуска при выборе В согласно A2), A3) справедлива оценка
Тем самым число итераций пропорционально общему числу узлов
(неизвестных) и отношению максимального значения коэффициента те-
теплопроводности к минимальному.
Для чебышевского итерационного метода и метода сопряженных
градиентов вместо A7) имеем (см. теоремы 2 и 5 в п. 4.6) следующую
оценку:
По сравнению с методом простой итерации метод с чебышевским набором
итерационных параметров сходится значительно быстрее.
В случае, когда отношение х = *2/*i (задачи стационарной тепло-
теплопроводности в составных телах с разномасштабными теплофизическими
параметрами), зависимость числа итераций в A8) от х может оказаться
неприемлемой. Поэтому представляется целесообразным рассмотрение
итерационного метода с диагональным оператором В, построенным не-
непосредственно по оператору А (без регуляризатора).
Рассмотрим итерационный метод G) для задачи D) при задании В
в виде A2), где с учетом A)-C)
Ь(х) = rjfafa + hux2) + a](x)) + -n(a2(xux2 + h2) + a2(x)). A9)
Для оценки скорости сходимости итерационного метода G), A2), A9)
необходимо найти постоянные 7а > а = 1> 2 в неравенстве (8).
Покажем вначале, что в нашем случае имеет место равенство
71+72 = 2. B0)
На множестве сеточных функций Я, заданных на ш и равных ну-
нулю на дш, рассмотрим новую сеточную функцию V{j = v(xu> x2j) =
j, x2j)9 для которой в силу A2)
(Bv,v) = (Bu,u). B1)
186 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Принимая во внимание A)-D) для Av, в отдельном узле сетки
х = (хц, xij) имеем:
At/ = - -2 (а{(хи + hux2j)(vMJ - Vij) - a\{x){vij - vf-_,j))-
n\
- 71 (fl2(a:it-, a?2; 4- h2)(vij+x - tty) - а2(ж)(г;0 - v,v-i)) =
= (-l)^Ai* + 2(-l)i+jb(xu, x2j)Uij = (-l)«+''BB - A)i».
Ha основании этого
(Av,v) = 2(Bu,u)-(Au,u). B2)
Постоянные 7j и 72 в неравенстве (8) определяются отношениями
(Аи, и) (Av. v)
71 = min -— г, 72 = max — -.
иф0 {ВщиУ v#> (Bv,v)
Принимая во внимание B1) и B2), получим
(Av,v) , (Аи, и)
72 = max — = 2 - mm — = 2-71.
„^0 (Bv,v) иф0 (Ви,и)
Таким образом, приходим к соотношению B0).
Из B0) следует, что в методе простой итерации при выборе В
согласно A2), A9) оптимальное значение итерационного параметра
то = 2/Gi +72) = 1- Оценка 71 базируется на использовании следу-
следующего обобщения сеточного аналога неравенства Фридрихса (лемма 3
в п. 4.4). Рассмотрим одномерную сеточную функцию у(х) на равномер-
равномерной сетке о7. Имеет место следующее утверждение (задача 1).
Лемма 1. Пусть р(х) ^0 w а(х) ^ к > 0 для х ? ш, у@) = 0,
уA) = 0. Тогда справедливо неравенство
(ayl\)u+ ^M(py,y)Ui B3)
где М~] = maxv(x), a v(x) — решение задачи
х€ь>
(avj)x = -p(x), хеш,
v@) = 0, v(l) = 0. { }
Воспользуемся теперь оценкой B3) для того, чтобы получить левое
неравенство (8) при A2), A9). На основании B3) имеем
(aayh l)tf > Ma(py, y)Ua, a = 1, 2. B5)
Сеточные функции М^1(х2), М{](х\), где М~] = maxva(xa), a = 1,2,
х€ша
в соответствии с B4) определяются из решения трехточечных задач:
Ма)Ха = -Ъ(х), хеш, va(x) = 0y xa = 0,la. B6)
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 187
На основании B5) имеем
(Ау,у)>(^2м;1ъ(х)у, уу
Сопоставляя с (8), A2), в качестве 7i можем взять
2
Iq] = min M^l(x2) + min M^ixx). B7)
Исследование влияния коэффициента теплопроводности (отношения
X = ki/k\) сводится с учетом B0) к изучению величины 7i> которая
определяется согласно B6), B7). Определенные выводы можно сделать
на основе асимптотического, \h\ —> 0, анализа. Вместо краевых задач B6)
с учетом A9) будем рассматривать следующие краевые задачи:
х е п, va(x) = о, xe дп.
Анализ краевых задач B7) показывает, например, что для сред с кусочно
постоянным коэффициентом теплопроводности (составные конструкции)
имеются случаи, когда 7i существенно зависит от перепада коэффици-
коэффициентов х — к2/к\ (У\ ~ X1)- Тем самым в отдельных случаях как и при
использовании регуляризатора, так и без него не удается избежать за-
зависимости числа итераций от х — кг/к\- При построении оператора
В по диагональной части А эта зависимость может быть только сла-
слабее. Надо сказать, что приведенные соображения в той или иной мере
относятся и к другим способам выбора оператора Б, которые обсужда-
обсуждаются ниже, в частности, к методу переменных направлений, треугольным
итерационным методам.
На задачах в составных телах с большим перепадом коэффициентов
преимущества итерационных методов вариационного типа проявляются
еще более зримо. В чебышевском итерационном методе выбор итераци-
итерационных параметров регламентируется только постоянными энергетичес-
энергетической эквивалентности операторов А и В 71 и 72- Выбор итерационных
параметров в методах вариационного типа адаптирован к поведению по-
погрешности приближенного решения и определяется не только границами
спектра G1 и 72) соответствующей обобщенной спектральной задачи,
но и распределением собственных значений. Поэтому при использо-
использовании итерационных методов вариационного типа для приближенного
решения задач теплопроводности в составных телах зависимость числа
итераций от х — ъ/^х слабая.
188 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.7.4. Треугольные итерационные методы
В качестве оператора В можно взять не диагональный оператор
(см. A2)), а оператор В, который соответствует нижней (верхней) тре-
треугольной матрице или произведение операторов такой структуры. Итера-
Итерационные методы такого класса наиболее популярны в прикладных рас-
расчетах. Вначале остановимся на случае выбора В, который соответствует
одной треугольной матрице (несимметричный случай). После этого будут
рассмотрены итерационные методы с факторизованными треугольными
операторами.
Рассмотрим задачу D) в условиях, когда самосопряженный и поло-
положительный оператор А представляется в виде:
А = Ах + А2, Ах = А\. B9)
Пусть оператор V соответствует диагональной части А, С — нижней
треугольной матрице. Тогда в силу А = С + V + С* для операторов Аа,
а = 1, 2 из разложения B9) получим
Ах = }р + С. C0)
Для итерационного решения уравнения D) используем следующий вари-
вариант метода простой итерации:
{1> + тАх)Уш~Ук+Аук = /, * = 0,1,...> C1)
известный как треугольный итерационный метод. В канонической записи
двухслойного итерационного метода C1) соответствует выбору
B = V + tAx. C2)
Треугольные итерационные методы часто записывают в виде
yk f, ,,
Принимая во внимание C0), получаем г = 2о>/B ~ <*>)•
Среди треугольных итерационных методов D4) отметим метод Зейде-
ля, для которого г = 2 (oj = 1). Отдельного упоминания заслуживает ме-
метод верхней релаксации, который соответствует выбору г = 2/FB - б))]^29
где б — постоянная в неравенстве А ^ 6V, б > 0.
Априорная информация в треугольных итерационных методах может
задаваться в виде следующих операторных неравенств:
6V ^ A, AxV~lA2 ^ ^А, 6>0. C3)
Теорема 1. Итерационный метод B9), C1), C2), C3) при оптималь-
оптимальном г = т0 = 2/FАI/2 с V = V* > 0 сходится в НА,и для погрешности
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 189
справедлива оценка \\zn\\A ^ /INU, где
-G
¦/ ' Д
Из C4) обычным образом следует оценка для числа итераций
необходимых для достижения относительной точности е. Заметим, что
в вышеприведенных рассуждениях V не обязательно представляет собой
диагональную часть оператора А.
Метод верхней релаксации соответствует выбору итерационного па-
параметра т, близкого к оптимальному итерационному параметру. Для
метода верхней релаксации справедлива та же оценка C4) для числа
итераций.
Возможности треугольных итерационных методов C1) проиллюстри-
проиллюстрируем на сеточной задаче Дирихле для уравнения Пуассона (уравнение D)
о
при А == А), т.е. рассмотрим задачу A)-C) при аа(х) = 1, а = 1,2.
о
В качестве V выберем диагональную часть оператора А:
Vy = d{x)E, d(x) = 2{h~x2 4- Щ2). C5)
Для операторов Аа, а = 1,2 разложения B9) имеем следующие предста-
представления на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш:
А —уХ2. C6)
h
ух, + Ух2, А2у
fi[ hi h\
Найдем теперь постоянные 6 и Д в неравенствах C3). На основе
выбора C5) и известного минимального собственного значения (см. A5))
сеточного оператора Лапласа, имеем
2/*2 2Tth\ 2h] .
6
Принимая во внимание C5), C6), получим
Для правой части имеем
1 2 2 , ч 1 / 2
(i422/, i42t/) = 7T(j/ar,» О + ГТ-(Л,, Ух2) + TiiVxi
h\ hxh2 h2
Принимая во внимание
2 , , /1 1 \ 1 , 2 вЧ 1
h\h2
Л /Р
190 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
получим
(jL ±y C7)
Тем самым приходим к неравенству (A\V lA2y,y) ^ 0,5(Лу, у). Сопо-
Сопоставляя со вторым неравенством C3), имеем А = 2.
При оптимальном значении итерационного параметра г = tq для
числа итераций из C4) получим оценку
щ(е) = О ( — In - 1, C8)
которая близка к оценке чебышевского итерационного метода (см. A0))
с диагональным выбором оператора В.
Метод Зейделя характеризуется выбором г = 2. Число итераций
оценивается величиной
Тем самым метод Зейделя сходится значительно медленнее метода верхней
релаксации. Число итераций как и в методе простой итерации с диаго-
диагональным оператором В в рассматриваемых двумерных сеточных задачах
пропорционально общему числу узлов.
4.7.5. Попеременно-треугольные методы
В треугольных итерационных методах C1) оператор В строится
согласно C2). Естественно, что можно строить Б и по оператору А2. По-
Поочередное использование операторов Аа, а = 1, 2 характерно, например,
для метода симметричной верхней релаксации, когда новое итерационное
приближение находится следующим образом:
уш/2 ff = 0)
Исключая промежуточное значение, приходим к итерационной схеме
метода простой итерации
с оператором
B = (V + tAi)V~](V + tA2). C9)
Оператор В в этом случае соответствует произведению двух треугольных
и диагональной матриц. В C2) оператор В несамосопряжен, а фактори-
зованный оператор C9) при разложении B9) уже самосопряжен. Поэтому
здесь возможно повышение скорости сходимости итерационных методов
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 191
за счет выбора итерационных параметров тк. Не связывая выбор опе-
оператора В с итерационными параметрами, зададим класс попеременно-
треугольных итерационных методов выбором оператора В в следующем
факторизованном виде
В = (V + uAy)V~] (V + шА2) D0)
для итерационного решения уравнения D) с оператором А, подчиняю-
подчиняющимся условиям B9).
Скорость сходимости итерационного метода G), D0) определяется
постоянными энергетической эквивалентности 7i» 72 в двухстороннем
неравенстве (8). Найдем эти постоянные при априорной информации
в виде неравенств E3).
Для оператора В имеем
В = (V + uA{)V~] (V + шА2) = Р + ш(Ах + А2) + u2A\V~x A2. D1)
Принимая во внимание C3), получим
Тем самым для 7i имеет место
71 = I
Для получения постоянной 72 представим оператор В на основании D1)
в следующем виде
В = V - ш(А\ + А2) + ш2А]Т)~]А2 + 2w(A\ + А2) =
= (V - uA])V~](V - шА2) + 2шА.
Так как оператор V положителен, получаем (By,у) ^ 2и>(Ау,у), т.е.
.4 ^ 72-0, где
72 = ^;. D3)
Сейчас мы можем выбрать параметр ш в D0) исходя из условия максимума
? = ?(<*>) = 7i/72- С учетом D2), D3) получим
71 2^
Максимум ((ш) достигается при
и = шо = 2@ Д)~1/2, D4)
и он равен
192 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
На основании полученных оценок можно сформулировать соответству-
соответствующий вывод о сходимости попеременно-треугольного итерационного
метода при оптимальном выборе параметра и.
Теорема 2. Попеременно-треугольный итерационный метод G), B9),
C3), D0), D4) с небышевским набором итерационных параметров
сходится в На и Дв, причем для числа итераций справедлива оценка
а ? определяется согласно D5).
Учитывая малость ту, для числа итераций можно получить более
простое выражение
1 б iAC.
*=A' D6)
Существенным моментом для попеременно-треугольного метода является
задание априорной информации в виде операторных неравенств C3).
Попеременно-треугольный метод может реализовываться и в вари-
варианте метода сопряженных градиентов. И в этом случае число итераций
характеризуется оценкой D6).
Класс попеременно-треугольных итерационных методов определя-
определяется выбором оператора В в виде D0) и конкретизируется заданием
оператора V. Отметим некоторые возможности в этом направлении.
о
Снова рассмотрим задачу D) с А = А. Стандартный вариант попе-
попеременно-треугольного итерационного метода связан с выбором
V = Е. D7)
При этом постоянная 6 в первом неравенстве C3) есть минимальное
собственное значение оператора А:
4 7жН\ 4 7irh,2 ,,лЧ
*=ftTinV+^inV D8)
Операторы Аа, а = I, 2 определены согласно C6). На основе полученной
выше оцензКи C7) заключаем
С учетом D8), D9) определяется оптимальное значение параметра ш
в D0), при котором для чебышевского итерационного метода верна
оценка числа итераций
(^i) E0)
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 193
Таким образом, число итераций пропорционально корню квадратному
от числа узлов по одному направлению (в нашей двумерной задаче —
корню четвертой степени от общего числа узлов). Оценка E0) значительно
предпочтительнее оценок, полученных ранее для других итерационных
методов.
При решении задачи A)-C) с переменными коэффициентами по-
попеременно-треугольный итерационный метод может строиться на основе
регуляризатора R, в качестве которого можно взять сеточный оператор
Лапласа. В этом случае вместо оценки E0) будем иметь
Для таких задач построен попеременно-треугольный метод с выбором
диагонального оператора V. Подобно рассмотренным ранее итерацион-
итерационным методам с диагональным оператором В, удается в ряде случаев осла-
ослабить зависимость числа итераций от отношения к,\/к2- При разложении
оператора А, соответствующего задаче A)-C), аналогично C6) имеем
2
E2)
Здесь использованы следующие обозначения: а*1 (х) = а\(х\
а^1 (х) = а2(х\, xi + /12). Оператор V задается в виде Vy = d(x)E, где
2
а=\
Сеточные функции ba, ca, a = 1,2 определяются из решения трехточеч-
трехточечных краевых задач.
Для нахождения Ьа = max va(x) решается задача
Аналогично са = max wa(x), где
При таком выборе оператора V имеют место неравенства
0=1,
Д = 4max{max(c,(x2) + б^г)J, тах(с2(х,) + ь\/
14 Зак 168
194 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Зависимость числа итераций от числа узлов и отношения к\/к2 ана-
анализируется на основе исследования решений приведенных одномерных
сеточных задач.
Параметр и в попеременно-треугольном методе G), D0) можно
включить в оператор V и использовать G) с В = (V + A\)V~\V + А2).
Оптимизация итерационного метода достигается только за счет выбора
оператора V.
Заслуживает внимание попеременно-треугольный итерационный ме-
метод в форме
Б = B>+ ?)?>-'(?> + ?*). E3)
Если в качестве V взять 0D, где в — постоянная, a D — диагональная
часть А, то выбор E3), как и в случае треугольных итерационных методов,
эквивалентен ранее рассмотренному выбору. Конечно, если V Ф 0D,
то эквивалентности между этими вариантами попеременно-треугольного
итерационного метода уже нет.
Вариант попеременно-треугольного метода G), E3) известен как
метод приближенной факторизации. Приведем возможный выбор опера-
оператора V в E3). Подчиним выбор диагонального оператора V условию
равенства строчных сумм:
Бе = At, E4)
где е — единичный вектор (е = A, 1,..., 1)). Условие E4) позволяет
конструктивно определять V без привлечения какой-либо априорной
информации о границах оператора А.
Рассмотрим вопросы построения оператора В в условиях E3), E4)
применительно к модельной задаче A)-C). В частности, необходимо
показать, что V > 0 и поэтому В = В* > 0.
Запишем задачу A)-C) в виде
4 = 1,2,...,ЛГ,-1, j = l,2,...,JV2-l.
В записи E5) соответствующие коэффициенты обращаются в нуль,
если у(х),х ? ди. В противном случае они определяются следую-
следующим образом: а^ = h~[2a\(x)9 6,; = /^2а2(ж). Для диагональной части
из A)-C) имеем
dij = h^2(a](x{ + hu x2) + а{(х)) + /iJ2(a2(xbx2 + h2) 4- a2(x)).
Для задачи E5) выполнено условие диагонального преобладания
Tij = dij - (aij + ui+xj + bij + biJ+l) ^ 0, п; 5Ё 0. E6)
Строгое неравенство имеет место для приграничных узлов (г = 1, N\ - 1,
J = 1,ЛГ2- 1).
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 195
Получим расчетную формулу для элементов дц сеточного операто-
оператора V на основании условия «близости» E4) операторов А к В. Имеем
((?> + С*)у).. = gijyij - Oi+ijyi+ij - bij+iy.j+1,
и поэтому
+
Равенство строчных сумм E4) с учетом этого равенства дает:
Из этого равенства следует следующая рекуррентная формула для нахо-
нахождения элементов сеточного оператора V:
gij = dij - aij(aij + b,--i j+i)ftli j - bij(bij + di+x j-Oft^-i, E7)
причем вычисления начинаются с расчета pi i.
Покажем, что при выполнении условия диагонального преоблада-
преобладания E6) следует положительность д^9 определяемых по E7). Пусть
Pij = (a«'+i,; + bij+i)g?j, E8)
тогда E7) можно записать в виде д^ = d^ - dijp^]j ~ bijPij-\. Это
равенство преобразуется следующим образом:
gij - Oi+ij -bij+x = A -Pij)gij = Tij + ao(l -Л-1 j) + by A -ftj-i). E9)
Соотношение E9) с учетом E6) позволяет по индукции доказать выпол-
выполнение условий д^ > 0, р^ ^ 1, т. е. В = Б* > 0.
Для исследования скорости сходимости попеременно-треугольно-
попеременно-треугольного метода G), E3), E4) приведем оценки постоянных энергетической
эквивалентности в неравенстве (8). На основе E7) имеем представление:
В = А - С, F0)
где С — сеточный оператор, определяемый выражением
(Су)у = Ъ&- j
14*
196 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Непосредственные выкладки дают
(Су, У) = ^2 ai+\,Aj+\9ijl(yi+\,j - yij+\fh\h2. F1)
Поэтому С ^ 0 и 7i = 1 в (8).
Более проблематична оценка для 72 • Среди существующих возмож-
возможностей отметим случай, когда имеет место
Pij < 1 - <¦ О 0, хеш. F2)
Из F1) имеем
(Су, у) = ^2gij] ((*i+\jbij+\)]/2(yi+ij - yij) +
F3)
Применяя е — неравенство (a -f bJ < A -f e)a2 + A -h e ')Ь2 при выборе
? = ai+\j/bij+\ к правой части F3), получим
(Су, у) = ]Г &/
+ (a»+i,j + bij+\)bij+\(yij - yij+\J)h{h2.
Так как при диагональном преобладании
(Ау, у)
то при выполнении F2) приходим к оценке (Су, у) ^ A -
Тем самым 72 = С в неравенстве (8). Таким образом, при выполне-
выполнении F2) итерационный метод G), E3), E4) с чебышевским набором
итерационных параметров сходится, а для числа итераций справедлива
оценка
по(е) = -
где С — постоянная в F2).
Для широкого класса сеточных эллиптических задач имеет место
оценка ( = O(N\ + N2) и тем самым попеременно-треугольный метод
в варианте метода приближенной факторизации сходится с числом ите-
итераций, пропорциональным корню квадратному от числа узлов по одному
направлению.
4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 197
4.7.6. Задачи
Задача 1. Пусть р(х) ^ 0, р(х) ^Ом а(х) ^ к > О на равномерной
сетке и. Покажите, что для любой сеточной функции у(х), такой,
что у@) = 0, уA) = 0, имеет место оценка
)ш, F4)
где М = max v(x), a v(x) — решение задачи
хеш
(ащ)х = -р(ж), х е а;, г;@) = 0, v(l) = 0. F5)
Решение. На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль
на концах отрезка [0,/], определим сеточный оператор А = А* > 0
соотношением Ау = -(аух)х> х G ш. Рассмотрим задачу на собственные
значения
Ау = Хр(х)у. F6)
Для задачи F6) при всех у(х) имеет место
(^У,уКАт1п(ру,у), F7)
где (•, •) = (•, -)ш. Равенство достигается на собственных функциях, соот-
соответствующих минимальному собственному значению Amin, которую будем
обозначать w(x). Так как (Ау, у) = (aj/|, 1)+, то в силу F7) искомая оцен-
оценка F4) будет установлена, если мы покажем, что М ^ Amin.
Прежде всего поясним, что w(x) > 0, х G ш (более точно, w(x) —
знакопостоянна). Предположим, что это не так и w(x) меняет знак
на сетке ш. Рассмотрим теперь функцию \w(x)\ и получим
_ (q|tp||, l)g;+ l
l) " (pw\\) '
неравенство противоречит тому, что минимум отношения
2
достигается при выборе w(x). № у '
Рассмотрим теперь равенство Aw = \minp(x)w. Отсюда в силу
w(x) > 0, х е ш имеем
Принимая во внимание F6), для знаменателя получим
(pw, 1) = (Av, w) = (vy Aw) ^ max v(x)(Aw, 1),
так как и Aw ^ 0, x G v. Тем самым, из F8) следует Amin ^ M, что
и завершает доказательство. >
198 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Задача 2. Пусть в итерационном методе G)
А = А\+А2,
6аЕ ^Аа^ АаЕ, Аа = А*а, а = 1, 2,
а оператор В представляется в следующем факторизованном виде:
В = (Е + шА])(Е + иА2). G0)
Укажите оптимальное значение параметра и.
Решение. Скорость сходимости определяется постоянными 7ь 72
в неравенстве (8). Поэтому сначала найдем их и выберем и в G0)
из условия максимума отношения 7i/72- Это исследование в значитель-
значительной мере повторяет исследование оператора попеременно-треугольного
итерационного метода.
Из G0) имеем
В = Е- ш(А\ + А2) + шгАх А2 + 2ш(А\ + А2) =
-(Е- иА\)(Е - шА2) + 2шА.
Тем самым 72 = 1/B<*>). Принимая во внимание условия F9), получим
Пусть 6 = min 6а, Д = max Да, тогда
а а
В = Е + ш(А\ + u42) + w2i4iЛ2 ^ ( - + w -f о;2Д J Л.
Тем самым для 71 имеет место
71 ~ \+ш
Минимизируя ^ = f(o;) = 7i/725 получим для оптимального значения
о; = о;о = @Д)/2. Факторизованный оператор G0) соответствует исполь-
использованию метода переменных направлений с автономным определением
итерационных параметров r*+i в итерационном методе G) (безотноси-
(безотносительно к параметру о;). >
4.8. Численное решение задач
в нерегулярных областях
4.8.1. Криволинейные ортогональные координаты
Определенные сложности возникают при численном решении кра-
краевых задач теплопроводности в сложных расчетных областях. До сих
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 199
пор мы рассматривали задачи в прямоугольной области (регулярной рас-
расчетной области). Простейший подход к решению задач в нерегулярных
областях состоит в использовании криволинейных координат, в которых
расчетная область становится регулярной. Вначале будем ориентировать-
ориентироваться на ортогональные криволинейные координаты.
В теплофизике большое внимание уделяется цилиндрическим коор-
координатам при моделировании тепловых полей в цилиндрических областях.
Вторым примером может служить использование сферической системы
координат (см. п. 2.1).
В цилиндрической системе координат стационарное тепловое поле
в изотропной среде описывается уравнением
1 д ( дТ\ I д {1дТ\ д (дТ
Примером двумерной задачи теплопроводности является осесимметрич-
ная задача, когда коэффициенты, правая часть и само решение не зависят
от угла (р. Уравнение A) в этом важном частном случае принимает вид:
(*) ' B)
Второе упрощение уравнения A) связано с ситуацией, когда тепловые
характеристики и температурное поле не зависят от координаты z (плос-
(плоская задача теплопроводности). Уравнение A) в этом случае соответствует
использованию полярной системы координат (г, <р), причем
1 д ( дТ\ 1 д ( \дТ
Уравнения B), C) можно записать в следующем дивергентном виде
д ( дТ
k
дт) д<р
Уравнения D), E) принадлежат с точностью до обозначений классу
рассмотренных ранее задач теплопроводности, если их записать в виде
самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с пере-
переменными коэффициентами:
*>?) =/(»), «а F)
При этом для уравнения D)
Х{ = г, х2= z, к{(х) = ххк(х), к2(х) = ххк(х) G)
200 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
с заменой x\f(x) на f(x). Уравнение E) записывается в виде F) с ани-
анизотропным коэффициентом «теплопроводности»:
Х\ = г, х2 = у?, &i(#) = Х\к(х), к2(х) = Х\ к(х). (8)
Уравнение F) решается в прямоугольнике п, который в исходных
цилиндрических переменных для уравнения D) соответствует расчету
температуры в цилиндре (полом, если х\ ^ /f > 0) в сечении (р = const.
Аналогично прямоугольник п в F) соответствует решению уравнения E)
в бесконечно вытянутом цилиндре, сечение которого есть круг, круговой
сектор, кольцо, кольцевой сектор.
В силу переформулировки уравнений вопросы построения разност-
разностных схем, исследования сходимости разностного решения к точному, ре-
решения сеточных уравнений исследуются по рассмотренной выше схеме.
Нам остается отметить только отдельные основные особенности краевых
задач F), G) и F), (8).
Уравнение F) при G), (8) вырождается при Х\ = 0, поэтому в за-
задачах, для которых эта точка лежит на границе П (сплошной цилиндр
в D), сечение-круг, круговой сектор в E)), требуется известная осто-
осторожность. При х\ = 0 естественно требовать ограниченности решения
уравнения F), G) (или F), (8)), что эквивалентно требованию
ди
ton *!*(*)- >0. (9)
а:,—>О ОХ\
Условие (9) соответствует отсутствию теплового потока при х\ = 0.
Обсудим особенности построения разностных схем с условием (9).
С этой целью выделим оператор L\ по переменной х\\
д ( ., ,ди
Для решения краевой задачи для уравнения F), G) (или F), (8)) в пря-
прямоугольнике Q = {х | х — (х\,х2), la < ха < 1+} при /f = 0 с краевым
условием (9) наиболее удобно использовать следующую квазиравномер-
квазиравномерную сетку по переменной х\ сетку
ш={х\\х{=хи, я?ю = 0, a?H = (t-0,5)ft!, г = 1, 2, ...,#]},
т.е. равномерную сетку, сдвинутую на полшага (потоковая сетка). Далее
разностная аппроксимация уравнения F), G) (или F), (8)) строится
на основе интегро-интерполяционного метода (см. п. 4.2).
Обозначим q\(x) = -х\к(х)ди/дх\ и проинтегрируем наше уравне-
уравнение F) по х\ от 0 до h\ (окрестность узла хх = h\). Будем иметь
I
L\udx\ = q\(h\yx2) - #i@, Ж2).
о
Поток q{@yx2) = 0 в силу условия (9), а дальнейшие преобразования
проводятся обычным образом.
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 201
Таким образом, мы придем к разностной схеме для уравнения F), G)
(или F), (8)) с условием (9), которая характеризуется тем, что разностное
решение при х\ =0 не находится. Вторая возможность построения
разностной схемы для F), G) (или F), (8)) связана с использованием
обычной сетки. Особенностью разностной задачи F), (8) будет то, что все
разностные решения при х\ = 0 равны друг другу. Реализация последнего
условия должна обсуждаться отдельно, поэтому можно рекомендовать
использование потоковой сетки по радиальной переменной.
При решении задач типа F), (8) отдельного упоминания заслуживают
периодические краевые условия по переменной х2 A2 = 0, 12 = 2тг). Со-
Соответствующий алгоритм решения одномерных сеточных задач с такими
условиями уже обсуждался (см. п.4.5, задача 1).
4.8.2. Нерегулярные сетки
Традиционно широко используются нерегулярные расчетные сетки
для приближенного решения задач стационарной теплопроводности. Для
пояснения возможных подходов в качестве модельной рассмотрим за-
задачу Дирихле для уравнения Пуассона (стационарная теплопроводность
в однородной среде):
а=\ °Ха
u(x)=g(x), хедП. A1)
В ряде случаев для нерегулярных областей удается построить со-
согласованную сетку, которая образована узлами обычной прямоугольной
неравномерной сетки с узлами, лежащими на границе. Пример согласо-
согласованной разностной сетки приведен на рис. 4.5. Для того, чтобы граница
состояла из узлов, приходится использовать сильно неравномерные сетки.
Проблемы построения разностной схемы для задачи A0), A1) на пред-
представленной сетке решаются обычным образом.
Построить согласованную разностную сетку можно только для очень
узкого класса областей. Поэтому проблема нерегулярности расчетной
области решается на основе других подходов. Простейшим приемом
является использование в расчетной области обычной прямоугольной
сетки, а граничное условие A1) переносится в ближайший к границе дп
узел сетки (рис. 4.6). Фактически речь здесь идет о переходе от задачи A0),
A1) к задаче в другой области, граница которой согласована с сеткой
(аппроксимация границы).
Наиболее естественным и достаточно универсальным является под-
подход с использованием сетки, которая состоит из узлов регулярной (рав-
(равномерной) сетки (внутренние узлы) и дополнительных нерегулярных
граничных узлов х Е дш, лежащих на границе области П (рис. 4.7). Эти
узлы образованы пересечением линий, проходящих через узлы регулярной
13 Зак 168
202
Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Рис. 4.5
/'
/
/у
—
**—'
\ Л Л Л
1—s
/, ЛГ,
Рис. 4.6
J
4
0
3
2
>—<
>—(
| 4
>
>
>
)
>
Рис. 4.7
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 203
сетки с границей расчетной области. Рассмотрим на примере модельной
задачи A0), A1) вопросы построения разностных схем на таких сетках
более подробно.
Для аппроксимации уравнения в приграничном узле 0 (рис. 4.7)
естественным представляется использование нерегулярного пятиточеч-
пятиточечного шаблона:
Разностная схема для задачи A0), A1), построенная на основе аппрокси-
аппроксимации A2), исследуется обычным образом. В частности, для схем этого
класса выполнен принцип максимума (см. п. 4.3). На основе этого могут
быть получены оценки точности разностных схем типа A2) в равномерной
норме.
Более сложным представляется вопрос исследования свойств раз-
разностного оператора в гильбертовом сеточном пространстве Я. Для задачи
Дирихле естественно (см. п. 4.4) определить Я как множество сеточных
функций, обращающихся в нуль на дш, со скалярным произведением
w(x)hlh2y , A3)
где ш, как обычно, множество внутренних узлов.
Нетрудно убедиться, что во введенном пространстве Я оператор А,
соответствующий аппроксимации типа A2) не является самосопряжен-
самосопряженным. Потеря такого важного свойства при переходе от дифференциаль-
дифференциальной задачи к разностной существенно усложняет исследование сходи-
сходимости разностной схемы, затрудняет построение эффективных методов
решения сеточной задачи. В своем рассмотрении итерационных методов
(см. п. 4.6, п. 4.7) мы вообще ограничились рассмотрением задач с са-
самосопряженными сеточными операторами А. Разрешить эту проблему
можно двумя различными путями.
Определим новое пространство Я, в котором скалярное произведе-
произведение вводится более сложным образом. В нашем случае шаг сетки зависит
от узла (для нас уже несущественно, что сетка квазиравномерна). Опреде-
Определим средние шаги h\ (x) и Ъ,2(х) по отдельным направлениям для каждого
узла. Например, для A2)
h\ + h\
h(x) = h2.
Пусть h(x) = h\(x])h2(x2) и скалярное произведение в Я есть
При таком определении Я разностный оператор А, соответствующий
аппроксимации A2), уже будет обладать необходимым свойством само-
самосопряженности.
13*
204 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Второе интересное направление связано с сохранением гильбертово-
го пространства со скалярным произведением A3) и небольшой модифи-
модификацией самого сеточного оператора. Вместо разностного уравнения A2)
будем использовать
( Уо-У\\ ,v , v
) " У~Х1Х2 = /( о)' ( }
Как показывает анализ, такая модификация не ухудшает свойств мо-
монотонности разностной схемы, точность ее сохраняется, а условие са-
самосопряженности выполнено в простом гильбертовом пространстве Н
со скалярным произведением A3). Тем самым, представляется возмож-
возможность выбора между A2), A4) и A3), A5).
Здесь мы отметили некоторые возможности решения задач стацио-
стационарной теплопроводности при использовании нерегулярных ортогональ-
ортогональных (прямоугольных) сеток. Естественно, что еще более широкие воз-
возможности предоставляет выбор неортогональных сеток. Например, мож-
можно ориентироваться на применение неортогональных четырехугольных
сеток. Такая технология имеет свои особенности как в части построения
разностных схем на таких сетках, так и в части их исследования. Эта
тематика лежит в стороне от основной проблематики книги и поэтому
здесь не рассматривается.
4.8.3. Метод фиктивных областей
Большой технологичностью при приближенном решении краевых
задач в нерегулярных областях обладает метод фиктивных областей. Он
основан на дополнении исходной расчетной области до некоторой регу-
регулярной области п0 (О, С По), например, до прямоугольника в двумерных
задачах (рис. 4.8). После этого задача в По решается обычными раз-
разностными методами. Необходимо так
продолжить решение исходной задачи
в фиктивную область п\ = О \ По» что-
чтобы разностное решение задачи в рас-
расширенной области По давало прибли-
приближенное решение в исходной области п.
Задача в расширенной области ха-
характеризуется наличием малых (боль-
(больших) коэффициентов дифференциаль-
Рис 4 8 ного уравнения. Это обуславливает не-
необходимость специального исследова-
исследования вопросов точности и вычислительной реализации итерационных
методов решения соответствующих задач. Некоторые возможности мето-
метода фиктивных областей проиллюстрируем на примере задачи A0), A1)
при однородных граничных условиях. Ограничимся, для простоты, рас-
рассмотрением вопросов сходимости приближенного решения к точному
на дифференциальном уровне.
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 205
Приближенное решение A0), A1) при д(х) = 0 обозначим ие(х),
где € — параметр продолжения. Будем определять его как решение
следующей краевой задачи Дирихле:
(к(L ДК Л() € По, A6)
щ(х) = 0, ЖЕ дп0. A7)
Среди основных вариантов метода фиктивных областей выделим
вариант с продолжением по старшим коэффициентам. Для задачи A0),
A1) при д(х) = 0 определим коэффициенты задачи в расширенной
области следующим образом:
ке(х), ф), f?(x) = i A8)
при достаточно малом е. Вариант метода фиктивных областей A6)—A8)
соответствует рассмотрению задачи стационарной теплопроводности в со-
составном теле Г20 = ft\ U П в условиях, когда коэффициент теплопровод-
теплопроводности в части расчетной области (в Oj) большой. Естественно рассчи-
рассчитывать, что в этих условиях температура в П\ будет выравниваться,
а условия на границе A7) дадут щ(х) —> 0 при е —» 0. Соответству-
Соответствующая оценка близости приближенного и точного решений имеет вид
\\щ(х) - u(x)\\wi(n) ^Me2.
Вторым хорошо известным вариантом метода фиктивных областей
для приближенного решения задачи Дирихле для эллиптических урав-
уравнений является вариант с продолжением по младшим коэффициентам.
В этом случае коэффициенты при вторых производных продолжаются
в фиктивную область непрерывно. Для приближенного решения зада-
задачи A0), A1) с однородными граничными условиями используется краевая
задача A6), A7) с
Соответствующая оценка точности для варианта A6), A7), A9) имеет вид
\\ue(x)-u(x)\\wi{Q)^Me. B0)
Вариант метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэф-
коэффициентам позволяет рассмотреть задачи типа A0), A1) с неоднородными
условиями Дирихле. Для этого продолжим функцию д(х) в фиктивную
область fti и зададим правую часть уравнения A6) равной f?(x) = е~2д(х)
при х ? П\.
Приближенное задание граничных условий на дп, лежащей внутри
расширенной области Uq, наиболее естественно реализуется в варианте
метода фиктивных областей с поверхностной tf-функцией. Продолжим
206 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
f(x) в фиктивную область п\ и вместо A0), A1) рассмотрим задачу для
уравнения
Ы)(«е - 9(х)) = /(*), х G По B1)
с граничными условиями A7).
Получим оценку точности варианта метода фиктивных областей
с использованием поверхностной 6 — функции.
Теорема 1. Для приближенного решения и?(х)9 определяемого из B1),
A7), и точного решения и(х) задачи A0), A1) верна оценка B0).
Доопределим решение задачи A0), A1) в фиктивной области п\ как
решение задачи
2 д2
= /(*)> *6П„ B2)
ф) = в(ж), ж Е дП, B3)
и(я?) = 0, же дП0. B4)
Домножая уравнения A0), B2) на погрешность w?(x) — ие(х) - и(х)
и интефируя их по п и ft] соответственно, получим
J m fw'^ B5)
п0 дп по
где [•] означает скачок при переходе границы дп. Аналогично для
(
задачи B1), A7) имеем
2
S / ~^Г"?г dx + ^ I ^ - s^w^dx
Of=l
= f *w<dx-
J а а J
по дп по
Вычитая B5) из B6) и принимая во внимание граничные условия A1),
B3), придем к соотношению
Для правой части B7) неравенство Коши—Буняковского дает
гди]
Л?ЬЧБ.
дп
B8)
Отбрасывая первое слагаемое в B7), из B7), B8) получаем
\Ы\ыдп) < Се2. B9)
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 207
При выполнении B9) на основе неравенства Фридрихса (см. п. 4.1,
однородные граничные условия первого рода A7), B4)) из B8) следует
оценка \\ие (х) - ^(аОНи^фо) ^ Me. Эта оценка тем более выполнена для
части области п С По, т.е. справедливо искомое неравенство B0).
В настоящее время известны варианты метода фиктивных областей
и для более сложных, чем A0), (И), задач. Например, вместо условий
первого рода могут задаваться граничные условия второго, третьего рода.
Краевые задачи метода фиктивных областей типа A6), A7) характе-
характеризуются большим перепадом коэффициентов эллиптического оператора.
В варианте с продолжением по старшим коэффициентам (см., например,
A8)) малый (большой) параметр присутствует при старших производных
и поэтому мы сталкиваемся с сингулярно возмущенной задачей. Вари-
Вариант с продолжением по младшим коэффициентам (см. A9)) не связан
со столь существенной трансформацией задачи. Поэтому при прикладном
математическом моделировании лучше ориентироваться именно на такие
варианты метода фиктивных областей.
Для построения разностных схем метода фиктивных областей есте-
естественно использовать интегро-интерполяционный метод, который как раз
и ориентирован на задачи с разрывными коэффициентами. Сеточные за-
задачи решаются на основе использования различных итерационных мето-
методов. И по скорости сходимости итерационных процессов варианты метода
фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам пред-
предпочтительнее вариантов с продолжением по старшим коэффициентам.
4.8.4. Методы декомпозиции без наложения подобластей
Альтернативным методу фиктивных областей подходом к прибли-
приближенному решению краевых задач в нерегулярных расчетных областях
является метод декомпозиции (разделения) расчетной области на простые
подобласти. Такой подход активно обсуждается применительно к разра-
разработке методов решения краевых задач на параллельных ЭВМ.
В каждой отдельной подобласти решаются свои краевые задачи, связь
осуществляется посредством граничных условий. В подобластях может
вводиться своя сетка, согласованная или несогласованная с сетками
в других подобластях. Поэтому разностные схемы декомпозиции области
на сеточном уровне могут интерпретироваться как разностные методы
на составных сетках.
Среди методов декомпозиции расчетной области можно выделить два
важнейших класса. Первый из них связан с использованием разделения
на подобласти без налегания. Второй класс методов представлен методами
декомпозиции с налеганием отдельных подобластей.
Для пояснения существа методов декомпозиции будем рассматри-
рассматривать в качестве модельной задачу в L -образной (рис. 4.9) области. Эту
нерегулярную область П удобно разбить на две регулярные подобла-
подобласти (прямоугольники) п) и п2 без налегания. Два очевидных варианта
208
Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Рис. 4.9
такого разбиения L-образной области представлены на рис. 4.9. Для ре-
решения разностных задач в отдельных подобластях можно использовать
в ряде случаев быстрые прямые методы решения сеточных уравнений,
рассмотренные в п. 4.5. Поэтому основное внимание уделяется методам
нахождения приближенного решения на общей границе 7 подобластей
п\ и П2 G = 9Q\ П дп2).
Пусть в области п решается краевая задача A0), A1). Как и при опи-
описании метода фиктивных областей ограничимся пояснением основных
моментов метода декомпозиции на дифференциальном уровне. Если бы
было известно граничное условие на 7» то решение в Q, распалось бы
на решение несвязанных краевых задач в отдельных подобластях п\ ип2.
Обозначим точное решение задачи A0), A1) в подобласти п\ через и\(х),
аналогично и2(х) — решение в п2. Условие сопряжения на границе 7
в этих обозначениях примут вид
ди2
C0)
Здесь па, а = 1, 2 — внешняя по отношению к области Па, а = 1, 2 нор-
нормаль. Построим простейший итерационный процесс явного уточнения
граничного условия первого рода на 7 с учетом C0) по формуле:
ик+] - ик
^ '
C1)
где и(х) = и\(х) = и2(х). Уточнение граничного условия проводится
по дисбалансу потоков. В каждой отдельной подобласти па, а = 1,2
решается краевая задача:
d2uQ
^0x1 '™
иа(х) = д(х),
иа(х) = -и(ж),
х е
х е 7-
\ т,
C2)
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 209
Альтернативой C1) может служить итеративное уточнение граничного
условия второго рода (по дисбалансу температуры):
тк+\ V дп дп
ди дщ ди2
где теперь — = = общее граничное условие второго рода
дп дп\ дп2
на 7-
В более общем операторном виде неявное итерационное уточнение
граничного условия типа C1) записывается следующим образом:
ик+\ _ к
В + Аик = 0, к = 0,1,..., C3)
где
Ли + C4)
Итерационные методы типа C3), C4) известны под названием итераци-
итерационные методы матрицы емкости.
Отметим некоторые основные моменты исследования сходимости
итерационных методов декомпозиции. Итерационный процесс удобно
рассматривать для погрешности wk(x) = uk(x) - и(х). В этом случае C3)
дает
wk+l-wk ,
В + Awk = 0, к = 0, 1,..., C5)
т
а оператор Aw, задаваемый соотношением C4), определен для х € 7>
причем (см. A0), C2)):
«=. dx° C6)
wa(x) = 0, xeja = d?la\y,
wa(x) = w(x), x ? j.
Покажем, что оператор Л на множестве функций, удовлетворя-
удовлетворяющих C6), является самосопряженным в Н = ?г(т)- в этом случае
на основании формулы Грина имеем
(Aw, v) = T] [ -t^-Vc dx = V / -^-wa dx = (w, Av),
j^J dna j^J dna
т. e. A = A*. Аналогично для энергии оператора А получим
(Aw, ги) = У] -^-и>а dx = У2 / (Srad w<*f dx-
210 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Принимая во внимание неравенство Фридрихса, получим
2 2
с\ ^2 I Wk'(fie) ^ (Aw> W)^C2^2 I К1к'(ад C7)
с некоторыми положительными постоянными са, а = 1,2.
Дальнейшие уточнения связаны с оценками следов функций wa(x)
из W-K^ta) на 7- С учетом неоднородности граничных условий только
на 7 имеют место неравенства
С учетом этого неравенство C7) переписывается в виде
С5|Ы1и,«/2G) ^ (Лу), w) ^ C6\\wa\\wmby C8)
Принимая во внимание вложение w\'2(j) в ?2G) > получим
(Aw, w) ^ m(w,w),
где т = с$ > 0, т.е. оператор Л положительно определен в Н.
Полученное неравенство C8) позволяет указать желательный выбор
оператора В в итерационном процессе C5). Пусть В = В* и
тогда оператор В будет энергетически эквивалентен оператору Л. Кон-
Конкретные конструкции оператора В могут быть построены, в частности,
на основе эквивалентных норм в Иу 2(т)-
Аналогичные рассуждения можно провести и на разностном уровне
применительно к рассматриваемой задаче A0), A1) в L-образной области.
В частности, можно рассмотреть скорость сходимости метода C1), C2)
с явным уточнением граничного условия. Такое рассмотрение дает для
соответствующего разностного оператора следующие оценки:
tf = 0A) > 0, A = O(h~]). C9)
где h — шаг сетки по переменной х2 или переменной х\ (рис. 4.9).
На основе C9) оценивается скорость сходимости конкретных итераци-
итерационных методов.
При вычислительной реализации итерационных методов декомпо-
декомпозиции необходимо иметь в виду то, что на каждой итерации уточняются
условия только на части границы области, именно на части сеточных
узлов необходимо найти решение сеточной задачи в подобласти. Такая
задача в ряде случаев может быть решена на основе прямых методов зна-
значительно быстрее, чем задача нахождения решения во всех узлах сетки.
В вычислительной практике получили распространение и многие
другие варианты методов декомпозиции. Среди них можно отметить
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях
211
подходы с использованием разнотипных условий на общих границах
подобластей (условия Дирихле—Неймана). При ориентации на при-
применение методов декомпозиции при решении задач на параллельных
ЭВМ повышенное внимание уделяется проблемам зависимости ско-
скорости сходимости соответствующих итерационных процессов от числа
подобластей.
4.8.5. Методы декомпозиции с наложением подобластей
Более перспективным для приближенного решения краевых задач
в сложных нерегулярных областях является использование методов де-
декомпозиции с наложением подобластей. При декомпозиции нерегуляр-
нерегулярной области естественно стремиться использовать регулярные подобла-
подобласти. В этом случае численное решение в отдельной подобласти может
быть реализовано наиболее эффективно (упрощаются проблемы гене-
генерации сетки, построения и исследования разностных схем, решения
сеточных уравнений). Этот подход может быть более успешно реа-
реализован именно при использовании методов декомпозиции с налега-
налеганием отдельных подобластей (большая свобода в выборе регулярных
подобластей).
Рис. 4.10
Примеры декомпозиции с налегающими подобластями для L-образ-
ной области представлены на рис. 4.10. Рассматривается итерационный
метод решения модельной задачи A0), (И) на основе решения задач
в отдельных областях. Чаще всего итерационные методы декомпозиции
для краевых задач эллиптических уравнений второго порядка строятся
на основе классического альтернирующего метода Шварца и его модифи-
модификациях.
Введем необходимые обозначения. Пусть Та = дп П дпа, ja =
dtta \ Га, а = 1, 2 и поэтому дО, = Г] U Г2, дпа = Га U 7а, ос = 1, 2.
В итерационных методах декомпозиции поочередно решаются краевые
задачи в подобластях п\ и ?22, поэтому необходимо на каждой итерации
задавать краевые условия на уа, а = 1, 2. В альтернативном методе
Шварца на этих участках границы формулируются условия Дирихле.
212 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Приближенное решение задачи A0), A1) на fc-ой итерации в обла-
области п\ обозначим ик(х), а в области п2 — и\{х). При заданном ик(х),
х ? 72 находится ик(х) на 7i из решения краевой задачи в подобласти п2\
Luk+{ = f(x), x e O2, D0)
uk+l(x)=g(x), хеТ21 D1)
ч*+\х) = чк](хI хеЪ, D2)
где
а=1
По найденному ик+1(х) уточняется щ{х) на границе 7ь Например,
Ъ—\х)"и\\х) + ик](х)-ик0+](х) = 0, ж €7ь D3)
Классический альтернирующий метод Шварца соответствует выбору ите-
итерационного параметра т в D3) равному 1. Для нахождения ик+](х) во всей
подобласти п\ решается краевая задача:
Lux = /(ж), х G fij, D4)
t*f+I(x) = <?(*), х€Г,. D5)
Скорость сходимости итерационного процесса D0)-D5) в С(п) уста-
устанавливается на основе принципа максимума для эллиптических операто-
операторов второго порядка (см. п. 4.1). Введем следующие обозначения:
\
щ{х), х G ?2\Пь
Определим va(x) как решение краевой задачи
Lva = 0, х е П«, D6)
va(x) = 0, хе Га, D7)
va(x)=\} хе 7а- D8)
Пусть ^! = maxvi(a;), g2 = n\axv2(x). В силу принципа максимума
0<qa < 1, а= 1,2.
Теорема 2. Итерационный процесс D0)-D5) сходится при
°<Т<ТШ,
со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи A0), A1).
При оптимальном значении итерационного параметра г = т0 = 1
выполняется оценка
\uk(x)-u(x)\^M(q,q2)k) x G П. D9)
4.8. Численное решение задан в нерегулярных областях 213
Для доказательства сходимости ик(х) к и(х) в П достаточно в силу
принципа максимума доказать сходимость ик(х) к и(х) только при
х € 7i • Пусть wa(x) = иа(х) - и(х)9 а = 1, 2 и определим оператор Л
соотношением
Aw\ — w\(x) - w2{x), xEj\. E0)
Обозначим через <7а(ж, х1) функцию Грина задачи Дирихле для урав-
уравнения D6) в области Па, а = 1, 2. Из D3)-D5) имеем представление
wx(xl)—Gx(x,xl)dx\ ЖЕ 72. E1)
7i
Аналогично из D0)-D2) определим оператор S2:
w2{x')—G2{x, х') dx\ x € 7i. E2)
дп2
72
С учетом E1), E2) и принимая во внимание (см. D2))
, х€72, E3)
для оператора Л из E0) получим
Awx = w}(x) - S2S]w](ж), х G 7i• E4)
Принимая во внимание положительность dG\(x1x')/dni в E1), по-
получим
—-G}(x,x')dx'. E5)
Нетрудно видеть, что
71
ъ
где v\(x) — решение задачи D6)-D8). Это позволяет из E5) получить
оценку
IKIIcGi)^«ilNillcG,). l№ll<9i- E6)
Аналогично из E2) имеем
I|w2llcGi) < Чг\Ы\сы> H52ll < 42- E7)
Принимая во внимание E3), из E6), E7) вытекает
11«Ы1сG,) ^Ч\Яг\\щ\\с(ЪУ E8)
Из E4), E8) получим двухстороннее неравенство
E9)
214 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Подставляя E4) в D3), получим
w^ix) = wk}(x) - r(tof(i) - S2S]wkl(x)), x e 7i. F0)
Для оператора перехода S = S(r) (wk+](x) = Swk(x)) имеем пред-
представление S = A - t)E + TS2S). Принимая во внимание оценки норм
операторов 5а, а = 1, 2, получим
Достаточное условие сходимости ||5(т)|| ^ I приводит к следующим
ограничениям на итерационный параметр г @ < т < 2/A + qxqi)),
которые фигурируют в формулировке теоремы.
Из F1) непосредственно вытекает, что min||5(r)|| достигается при
т
т = т0 = 1. При таком значении итерационного параметра из F0)
получаем
Из этого неравенства непосредственно вытекает доказываемая оцен-
оценка D9). Теорема доказана.
В настоящее время имеются обобщения альтернирующего метода
Шварца в различных направлениях. Заслуживает упоминания, в частно-
частности, асинхронный вариант. Классический (синхронный) вариант метода
Шварца, рассмотренный выше, соответствует решению задачи сначала
в одной подобласти (в нашем случае — в п\), уточнению гранично-
граничного условия (на 7i) и переходу к решению задачи в другой подобла-
подобласти (в П2). Такая жесткая (синхронная) последовательность вычислений
может препятствовать эффективному использованию альтернирующего
метода Шварца на параллельных ЭВМ. Асинхронный вариант свободен
от такого недостатка и основан на использовании вместо D3) итераци-
итерационной процедуры
F2)
т. е. граничное условие на 7i уточняется по решению задачи в обла-
области ^2 на Л-ой итерации. По сравнению с классическим вариантом
метода Шварца (задача 2) скорость сходимости асинхронного варианта
значительно ниже (при q\ = q2 в два раза).
При исследовании сеточных аналогов альтернирующего метода
Шварца, подобно рассмотренным, может использоваться принцип мак-
максимума для сеточных задач (см. п. 4.3).
4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 215
4.8.6. Задачи
Задача 1. Для уравнения A0) рассмотрите аппроксимацию граничного
условия третьего рода
-^ + а(х)и = д(х), хедп F3)
on
на согласованной сетке.
Решение. Рассмотрим узел 0, лежащий на границе (рис. 4.5). Пере-
Перепишем F3) в виде
cos (п, ж,)-— + cos (n, х2) —- + (т(х)и = д(х), F4)
ОХ\ ОХ2
где cos(n, ха), а = 1,2 — направляющие косинусы внешней нормали.
Простейшая аппроксимация F4) дает
cos (n, xO^r1 + cos (n, х2)^=^ + а(х)у = р(х). F5)
Для погрешности аппроксимации имеем
du h\d2u\ . J ди h*2d2u\
+ а(х)и - g(x) + O((h\J + (/i*2J). F6)
Тем самым F5) аппроксимирует с первым порядком граничное усло-
условие F4).
Повышения порядка аппроксимации на решениях уравнения A0)
в некоторых случаях можно достичь за счет специального выбора ша-
шагов h*a, а = 1,2 согласованной сетки. Запишем F6) в виде
*) = cos (я, «,)^0 - cos (n, *2)Щ|
Если имеет место следующее соотношение между шагами
h* h*
COS (П, Zi)y = - COS (П, Ж2)у, F7)
то с учетом A0) для аппроксимации
cos (n, *,)^=^ + cos (n, х2)У-^ + cos (n, Ж1)§/(ж) + *(*J> = «(*)
ft, ft2 2
погрешность имеет вид i/>(x) = O((h\J + (Л2J). Конечно, само постро-
построение согласованной сетки, а тем более с условием F7) на шаги, удается
провести только в некоторых частных случаях. >
216 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Задача 2. Исследуйте скорость сходимости асинхронного варианта
альтернирующего метода Шварца, когда граничное условие уточняется
согласно F2).
Решение. Сходимость асинхронного метода Шварца D0)-D2), D4),
D5), F2) рассмотрим на прямой сумме пространств Н = Н\ ФНг, где
%* = C(ia), ol = 1,2. Для элемента U = (щ,^) Е Н норму определим
выражением \\U\\ = ||^i||CGl) + ll^2llcG2)- Д™ погрешности W = (wuw2)
итерационный процесс D0)-D2), D4), D5), F2) записывается в виде
— + AWk = 0. F8)
г
С учетом введенных ранее обозначений для оператора Л теперь имеем
Л=[_% -?]=Е-Р. F9)
С учетом F9) перепишем F8) в виде
Wk+X = A - r)Wk + rPWk. G0)
Учитывая полученные выше оценки для Sa, ее = 1,2, из F9), G0)
получим
-т|
г max 9e||IF*||.
Следовательно, итерационный процесс D0)-D2), D4), D5), F2)
сходится при 0 < г < 2/A + д), где q = msixqa со скоростью геоме-
а
трической прогрессии к решению задач A0), A1). При оптимальном
значении итерационного параметра т = т$ = 1 выполняется оценка
H^tllcM + И***Псы ^ Mqk. Сравнивая эту оценку с оценкой D9), за-
заключаем, что асинхронный вариант метода Шварца сходится значительно
медленнее, чем синхронный. Число итераций увеличивается не менее,
чем в два раза. >
4.9. Нелинейные задачи стационарной
теплопроводности
4.9.1. Краевая задача для квазилинейного уравнения
Обсудим некоторые вопросы, которые возникают при численном
решении нелинейных задач теплопроводности. В качестве модельной
рассмотрим задачу стационарной теплопроводности в прямоугольной
области О, в случае, когда теплофизические характеристики среды зависят
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 217
от температуры. Температура определяется как решение следующей задачи
Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка:
и(х) = д(х), х G дП. B)
Как обычно, предполагаем выполненными условия
КХ ^ к(х,и) <Л2, АС!>0. C)
Сначала установим достаточные условия, при которых решение за-
задачи A), B) единственно. Исследование единственности решения не-
нелинейных задач базируется на рассмотрении соответствующих линейных
задач. Это общее положение проиллюстрируем на примере задачи A), B).
Будем считать, что есть два решения ир(х), /3 = 1, 2, т. е.
^(^^)^)Ы «6 0, D)
ир(х) = д(х)} х € Эй. E)
Пусть щ(х) = tu2(x) + A - t)u\(x), w(x) — и2(х) - щ(х), тогда
l
/dF
— {x,ut)dt.
о
С учетом введенных обозначений для разности решений из D), E)
получим
^ д ( dw f дк дщ
* ^ дха у дха J Oil @xa
l
xGfi, F)
а=1
0
w(x) = 0, xe дп. G)
Таким образом, проблема единственности решения нелинейной зада-
задачи A), B) свелась к исследованию единственности решения однородной
краевой задачи Дирихле для линейного уравнения F). Простейшая си-
ситуация имеет место, когда коэффициент теплопроводности не зависит
от температуры (& = к(х)). Тогда при
?^(х,И)<0 (8)
218 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
для уравнения E) справедлив классический принцип максимума
(см. п. 4.1). Это позволяет сделать вывод, что имеется только триви-
тривиальное решение краевой задачи F), G) w(x) = 0, т.е. решение задачи A),
B) при линейном коэффициенте теплопроводности и выполнении (8)
единственно.
Более интересной представляется ситуация с к = к(х, и). Оказы-
Оказывается, что принцип максимума выполнен и для линейных уравнений
типа F) (см. задачу 1). Это имеет место, когда дополнительно к C)
считается выполненным условие ограниченности и производной коэф-
коэффициента теплопроводности по температуре:
?Н*м- (9)
Условие (8) также предполагается выполненным. На основании этого
устанавливается единственность решения задачи A), B) при выполне-
нии C), (8), (9).
На основании принципа максимума устанавливается единственность
и более общих, чем A), B) нелинейных стационарных задач. В этой
связи отметим лишь случай, когда коэффициент теплопроводности за-
зависит и от производных от температуры, а также задачи с нелинейными
граничными условиями. Некоторые важнейшие примеры таких задач
рассматриваются в других частях работы.
4.9.2. Разностные схемы
Приведем некоторые разностные схемы для квазилинейной задачи
стационарной теплопроводности. Будем считать, что в прямоугольнике О,
введена равномерная прямоугольная сетка ш = ш и дш с шагами h\
и h2 по переменным х\ к х2 соответственно. Поставим в соответствие
задаче A), B) нелинейную разностную схему
Лу = <р, хеш, A0)
у(х)=д(х), хедш. A1)
Для достаточно гладких функций f(x,u) правую часть A0) можно взять
в виде
<р = f(x,y)> хеш. A2)
Разностный оператор в A0) представляется следующим образом:
2
Л.Т/ ~~~ ^ Л. 1J Л. \1 ~—* — \ о, \х it )т/~ I о. *~~ 12 A3)
а=1
Коэффициенты нелинейного разностного оператора можно взять в про-
простейшем (см. п. 4.2) виде
а,(ж, у) = к(хх- 0,5/i!, хь 0,5(у(х) + у(хх - hu x2))),
; ( A4)
а2(ж, у) = к[хих2- 0,5/i2,0,5(у(ж) + у(хих2 - h2))j.
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 219
Можно использовать и другие аппроксимации, например,
а\{х,у) = -(к(х{ -huxby(x{ -hux2)) +k(xyy))y
)
l)
a2(z, y) = - \^k(x], x2 - /i2,2/(^1, z2 - h2))
Разностную схему A0)—A2) при выборе аппроксимации A5) удобно
записать в виде
ЛаУ = -(Цх,у)Уха)Ха- (Ф,у)уХа)-а, а= 1,2.
Исследование погрешности для нелинейных разностных схем A0)—A4)
(A0)—A3), A5) или A0)—A2), A6)) проводится аналогично линейным
задачам (см. п. 4.2). Каждая приведенная схема аппроксимирует исходную
краевую задачу с достаточно гладкими коэффициентами и решением
со вторым порядком.
Значительно сложнее обстоит дело с рассмотрением точности нели-
нелинейных разностных схем. В частности, вывод о том, что из устойчивости
и аппроксимации следует сходимость разностной схемы (см. п. 4.2) от-
относится только к линейным разностным схемам. В настоящее время нет
общей теории нелинейных разностных схем, поэтому зачастую прихо-
приходится исследовать конкретную нелинейную разностную схему каждый
раз самостоятельно. Кроме того, это исследование базируется на бо-
более технически сложном математическом аппарате (более громоздком).
Поэтому мы ограничимся здесь простейшим случаем задачи A), B), ко-
когда коэффициент теплопроводности линейный, а нелинейность только
в правой части. Основной математический аппарат нашего рассмотре-
рассмотрения ограничивается принципом максимума разностных схем, который
сформулирован нами в п. 4.3.
4.9.3. Сходимость простейшей разностной схемы
Рассматривается разностная схема A0)-A2) с линейным разностным
оператором
2
АУ = 2 Ла2/> АаУ = -(aa(*)iO«e> a = 1, 2. A7)
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся, связана с однозначной
разрешимостью разностной задачи. Для нелинейных сеточных уравнений
разрешимость не следует как в случае линейных задач из того, что
соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение.
Необходимо дополнительное исследование проблемы разрешимости.
220 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Для разностной задачи A0)-A2), A7) однозначная разрешимость
имеет место при выполнении условия (8). Доказательство этого факта
не совсем просто, и поэтому мы его опускаем. Остановимся на един-
единственности решения разностной задачи A0)—A2), A7). Как и для диф-
дифференциальной задачи A)-C) будем считать, что имеется два решения
разностной задачи A0)—A2), A7), которые обозначим ур, C — 1,2. Для
разности v(x) = уг(х) - У\(х) получим задачу
Av=-±(x,y)v, хеш, A8)
v(x) = 0, хе дш, A9)
где
1
%(х> yt) dt> yt{x) = Ых)"A"t)yi(x)- B0)
о
На основе принципа максимума (см. п. 4.3) для сеточной задачи A8),
A9) при выполнении (8) получим v(x) = 0, х е ш, т. е. решение нелиней-
нелинейной разностной задачи A0)—A2), A7) единственно при выполнении (8).
Сформулируем теперь задачу для погрешности. Для z(x)=у(х) - и(х),
х G ш имеем
Kz-Mx,y)z = -Tl>, хеш, B1)
аи
z(x) = 0, хе дш, B2)
где у определяется аналогично B0), а погрешность аппроксимации
*ф(х) = Аи - f(x,u). Для достаточно гладких коэффициентов и ре-
решения дифференциальной задачи (см. п. 4.2) получим ^(х) = O(\h\2),
\h\2 = h\ + h\. Для решения линейной разностной задачи B1), B2) при
выполнении условия (8) справедлива оценка в равномерной норме:
НФ)Нсм < №(*)Псм, B3)
где М = \\и)(х)\\с(ш), a w(x) определяется из условий
Лгу ^ 1, хеш, w(x) ^0, х е дш.
Тем самым для нелинейной разностной схемы A0)—A2), A7) при выпол-
выполнении (8) устанавливается сходимость со вторым порядком.
Заметим, что на основании принципа максимума легко устанавли-
устанавливается ограниченность решения разностной задачи. Имеем
/(*, у) = /(*, 0) + f(x, у) - /(*, 0) = /(я, 0) + У-(х, у)у, B4)
аи
где теперь
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 221
Разностное уравнение A0), A2) запишем с учетом B4) в виде
Ау " Й(Х'V)y = ""/(Ж> 0)> хеи' B5)
Для решения задачи (И), B5) при выполнении (8) оценка B3) дает
( ^ <М"Н/(ж>0)||с(а;), где постоянная М определена выше.
4.9.4. Итерационное решение нелинейной сеточной задачи
Решение нелинейных разностных уравнений возможно на осно-
основе использования итерационных методов. Не касаясь сколько-нибудь
подробно вопросов общей теории методов итерационного решения не-
нелинейных разностных задач, отметим некоторые возможности в этом
направлении. Сначала опишем итерационные методы для нелинейной
сеточной задачи A0)—A3), а исследование сходимости проиллюстрируем
снова на простейшей задаче A0)—A2), A7).
Будем рассматривать нелинейную разностную задачу A0)—A3). Про-
Простейший итерационный процесс связан с вычислением коэффициентов
сеточного оператора Л по предыдущей итерации. Если так вычисляется
и правая часть, то новое приближение Ук+\(х) находится из решения
линейной задачи:
МУк)Ук+\ = /(^, ук), хеш, B6)
ук+\(х) = д(х), хедш, B7)
где
а=\
Для решения нелинейных уравнений большое распространение получили
методы, родственные классическому методу Ньютона (методы квазилине-
квазилинеаризации).
Линеаризация нелинейной правой части
/(ж, ук+\) « /(ж, ук) + — (ж, ук)(Ук+\ - Ук)
приводит к итерационному процессу, который основан на решении раз-
разностного уравнения
МУк)Ук+\ - т-(я, Ук)Уш = f(x, Ук) - т-(г, ук)Ук, хеш B8)
аи ои
с граничными условиями B7).
Более последовательным представляется использование квазилине-
квазилинеаризации для всего разностного уравнения A0)—A3), что соответствует
применению метода Ньютона. В этом случае новое приближение опре-
определяется из разностного уравнения
ti(yk)yk+i=F(xyyk), хеш B9)
222 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
и граничных условий B7). Сеточный оператор А'(ук) в B9) имеет вид
. C0)
Для правой части теперь имеем
(ж, 2/*) = /0*, 2/*) - 0^0*, 2/л)Ул ~ X) ( у^(ж' У^)(Ук)хаУк) . C1)
2 • е\
Решение нелинейной разностной задачи A0)—A3) методом Ньютона B7),
B9)—C1) связано с обращением на каждой итерации сеточного эллипти-
эллиптического оператора Л'(ук). Этот оператор в отличие от оператора А(ук)
не является самосопряженным, что существенно усложняет проблему.
Итерационный метод B7), B8) с частичной линеаризацией (только
по правой части, а не по коэффициенту теплопроводности) в этом смы-
смысле является более предпочтительным. Необходимо, однако, отметить,
что метод Ньютона обладает более высокой (квадратичной) скоростью
сходимости.
При решении нелинейных систем уравнений получили распростра-
распространение различные обобщения классических итерационных методов реше-
решения линейных систем уравнений. В качестве примера можно отметить
методы нелинейной релаксации. Простейшую нелинейную разностную
схему A0)—A2), A7) запишем в виде
где использованы обозначения п. 4.7. Итерационный метод релаксации
при итерационном параметре и = 1 соответствует определению нового
приближения из решения задачи:
(С + V)yk+] + С*ук - /(я, ук) = 0. C2)
Реализация итерационного процесса C2) связана с решением одномер-
одномерного нелинейного уравнения в каждом внутреннем узле сетки.
Возможности оптимизации итерационных методов решения нели-
нелинейных разностных задач значительно уже, чем для линейных сеточ-
сеточных уравнений. В частности, это относится к выбору итерационных
параметров.
При использовании итерационных процессов типа B7), B8) и B7),
B9) на каждой итерации решается сеточная эллиптическая задача. Такая
линейная задача может, в свою очередь, решаться на основе исполь-
использования итерационных методов. Тем самым мы приходим к двухсту-
двухступенчатым итерационным методам, которые характеризуются внешними
и внутренними итерациями. Оптимизация двухступенчатых итерацион-
итерационных методов может достигаться за счет ограничения числа внутренних
итераций (решение линейной задачи не обязательно проводить до полной
сходимости, до точности решения всей задачи).
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 223
4.9.5. Сходимость итерационных методов
На примере простейшей нелинейной разностной задачи A0)-A2),
A7) обсудим вопросы исследования сходимости итерационных процессов
типа B6), B7) и B7), B9). Рассмотрим вначале следующий метод простой
итерации
АУк+1~Ук + АУк - /(*, ук) = О, хеш. C3)
Итерационный процесс C3) соответствует использованию B6) при г = 1
(последовательные приближения по нелинейности, метод Пикара) для
приближенного решения задачи A0)—A2), A7).
Задача для погрешности vk = Ук - У итерационного процесса B7),
C3) имеет вид:
^ ^ ъ)п = 0> х € w> C4)
где
— (ж, yk)vk = /(ж, ук) - /(ж, у).
На множестве сеточных функций у(х), обращающихся в нуль на дш,
определим обычным образом сеточные операторы
Bv = Av, Akv = Av - —(ж, yk)v, хеш. C5)
ду
Итерационный процесс C4) переписывается в виде
B!*±Lz?»+iMk = 0> fe = 0)i,.... C6)
Скорость сходимости итерационного процесса C6) (см. п. 4.6) определя-
определяется постоянными ja, a = 1, 2 неравенства
7,Ж^72?, 71 >0. C7)
Из C5) при -М < df/dy ^ 0 непосредственно следует 71 = 1, 72 =
1 + 6~{М. Здесь 6 > 0 — постоянная в оценке В ^ 6Е.
Для оптимального значения итерационного параметра г в C6) имеем
2 2
7i
Для погрешности справедлива оценка
где ро = (I - О/С1 + 0» i ~ 7i/72. Тем самым исследование скорости
сходимости простейшего итерационного метода B7), C3) во многих
основных моментах повторяет исследование сходимости метода простой
итерации (п. 4.6) для линейных задач.
224 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Рассмотрим теперь метод Ньютона для приближенного решения раз-
разностной задачи A0)—A2), A7). В соответствии с B8) новое приближение
определяется из разностного уравнения
&Ук+\ ~ ^(ж, Ук)Ук+\ = /(я, Ук) - ^(я, Ук)Ук, хеш, C8)
дополненного граничными условиями B7). Для погрешности получим
задачу
Лг>*+1 - —(ж, vjb)vft+i = -Р(ж, у, у*), ж G а;, C9)
аи
Vk+\(x) = 0, х€дш. D0)
Правая часть уравнения C9) представляется следующим образом:
df
F(x> У> Ук) = /(я, Ук) ~ f(x, у) - —(ж, у*)(у* - у).
В силу разложения
а/ 1 а2/ 2
имеем
1
и уравнение C9) принимает вид
Л -—( ) -_I^-/f - ) 2 с. D\)
+ ди + 2 ^у2 ' * '
На основе исследования линейной задачи D0), D1) можно сделать
заключения о скорости сходимости метода Ньютона. Для погрешности
на основе принципа максимума (см. B3)) имеем оценку
D2)
при условии, что
I ^1
2 W
Пусть q = ММ\, тогда из D2) получаем
Отсюда следует, что метод Ньютона сходится при условии, что начальное
приближение достаточно близко к решению. А именно, при условии
я\\Уо — у\\с(ы) ^ 1» итерации сходятся по квадратичному закону.
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 225
При рассмотрении итерационных процессов (в том числе и для нели-
нелинейных задач) значительное внимание уделяется монотонности прибли-
приближенного решения. Например, монотонный итерационный процесс может
давать приближение снизу, т. е. у0 ^ у\ ^ ... ^ у к ^ Ук+\ < •• • < У-
Пример монотонного процесса для нелинейной задачи A0)—A2), A7)
рассмотрен в задаче 2. Метод Ньютона при условии, что функция /(ж, у)
выпуклая или вогнутая по второму аргументу, дает приближение сверху
или снизу для точного решения задачи. Пусть, например, f(x,y) —
вогнутая функция, т. е.
7у(я>2/)^0.
Тогда из D1) (принцип максимума) следует Vk+\ = Ук+\ - У ^ 0, т.е.
метод Ньютона дает приближение снизу (yk+\ ^ у)-
4.9.6. Задачи
Задача 1. Покажите, что задача Дирихле для эллиптического урав-
уравнения
^(^^ D3)
имеет единственное решение при с(х) > 0 и \Ьа(х)\ ^ М.
Решение. Необходимо показать, что однородная задача
Lu = 0, х е П, D4)
и(х) = 0, х е дп D5)
имеет лишь тривиальное решение. Для этого покажем, что и(х) ^ 0,
х G п при f(x) ^ 0, х G П и и(х) ^0, х G дп (принцип максимума).
Аналогично доказывается, что и(х) ^ 0, х Е ft при f(x) ^ 0, х Е О
и и(х) ^ 0, х Е дп. В этих условиях задача D4), D5) имеет лишь
тривиальное решение.
Доказательство проведем от противного. Будем считать, что при
f(x) ^ 0, х Е п и и(х) ^ 0, х Е дп в некоторой подобласти Г2+ (Г?+ С п)
и(х) > 0, ж Е О+. D6)
Проинтегрируем уравнение D3) по подобласти п+. С учетом, что
и(х) = 0, ж Е сЮ+ имеем
- f k(x)—dx+ f c(x)udx= f f(x)dx.
dQ+ dQ+ dQ+
В предположениях D6) левая часть этого равенства положительна, а пра-
правая — неотрицательна. В силу полученного противоречия имеем и(х) ^ 0
во всей области П. >
16 Зак 168
226 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
Задача 2. На основе итерационного метода простой итерации C3)
для приближенного решения задачи A0)—A2), A7) при выполнении (8)
постройте монотонный итерационный процесс.
Решение. Вместо C3) рассмотрим следующий итерационный про-
процесс
(Л + с(х)Е)Уш~Ук + Аук - /(*,Ун) = 0, х G и>. D7)
Подберем с(х) и итерационный параметр г в D7) так, чтобы получить
монотонное приближение снизу, т.е. уо ^ у\ ^ ... ^ Ук ^ Ук+) ^ • • • ^ У-
Пусть начальное приближение выбрано так, что
Л»о-/(*,Уо)^О, D8)
а граничные условия выдерживаются точно. Для погрешности имеем
df
Az°~ ~дп^х'Уо^г° ^°
и на основе принципа максимума z0 ^ 0, т.е. начальное приближение
задается снизу: у0 ^ у.
Пусть wk+] = yk+l - ук. Для w\ из D7) получим
(Л + с(х)Е)у + Ауо ~ /(*, Уо) = 0,
и поэтому в силу предположения D8) w\ ^ 0. При произвольном к из D7)
получим
^+'^+Л^ - ^(x,yk)wk = 0.
Это равенство перепишем в виде
(A + c(ar)^K+1=Fft, D9)
где
2Ъ = A - т)(Л + c(x)E)wk + г Гс(ж) + ^(ж, ^Лод. E0)
Относительно параметров итерационного процесса будем предполагать,
что
с(х) >М> Ц
ду
0<т<1. E1)
В таких условиях при выполнении D8) из E0) следует F\ ^ 0. Кроме
того, из D9) следует, что (Л + c(x)E)w2 ^ 0. Покажем, что аналогичные
соотношения имеют место и на всех других итерациях.
Доказательство проведем по индукции. При к = 1 имеем F\ ^ 0,
(Л -f c(x)E)w2 ^ 0. Предположим, что аналогичное соотношение имеет
место и при Л-1,т.е. i^_i ^ 0 и (А+c(x)E)wk ^ 0. Рассмотрим теперь^.
4.10. Библиография и комментарий 227
Положительность этой функции при сформулированных предположениях
непосредственно следует из E0) при выполнении условий E1). Второе
необходимое неравенство (Л -f c(x)E)wk+\ ^ 0 следует из D9).
На основе принципа максимума из (Л + c(x)E)wk+\ ^ 0 следует, что
Ук+\ -Ук ^ 0. Принимая во внимание уо ^ у, получим, что итерационный
процесс при выполнении условий E0) и задании начального приближения
согласно D8) дает монотонное приближение для решения задачи (8),
A0)-A2), A7) снизу.
Если начальное приближения удовлетворяет условию
Лг/о - /(я, уо) > 0,
то рассматриваемый итерационный процесс дает монотонное приближе-
приближение сверху. >
4.10. Библиография и комментарий
4.10.1. Общие замечания
4.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка явля-
являются базовыми задачами математической физики. Им уделяется
большое внимание во всех основных руководствах по уравнениям
с частными производными [7, 13, 31]. Принцип максимума явля-
является классическим методом исследования однозначной разрешимо-
разрешимости первой краевой задачи для эллиптических уравнений второго
порядка [3, 9, 17]. На основе теорем сравнения получены соот-
соответствующие оценки решений краевых задач в равномерной норме.
Для задач с пониженной гладкостью решения краевые задачи для
эллиптических уравнений рассматриваются в Соболевских простран-
пространствах [7, 9, 13, 14]. Наибольшее внимание уделяется получению
априорных оценок в гильбертовых пространствах W^ify, к = 1,2.
Здесь мы ограничились лишь простейшими оценками, которые в том
или ином виде наследуются соответствующей разностной эллипти-
эллиптической задачей.
4.2. При приближенном решении эллиптических задач наиболее широко
используются разностные методы [2, 15, 22-28] и метод конечных
элементов [16, 18, 29, 30]. Построение разностных схем на основе не-
непосредственной аппроксимации традиционно широко представлено
в первых руководствах по численному решению задач математичес-
математической физики [6, 20, 21]. Общий интегро-интерполяционный принцип
построения разностных схем, который обсуждается в данной работе,
предложен в работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского и впер-
впервые систематически изложен в монографии [22]. Его дальнейшему
развитию посвящена работа [27]. Другие подходы к построению раз-
разностных схем для эллиптических краевых задач (например, методы
аппроксимации квадратичного функционала, интегрального тожде-
тождества) изложены в указанных выше работах.
16*
228 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
4.3. Традиционный аппарат исследования точности разностных схем для
задач с гладкими решениями связан с использованием принципа
максимума для разностных уравнений. Запись разностной схемы
в канонической форме позволила с общих позиций исследовать
основные краевые задачи для эллиптических уравнений. В своем
изложении мы следовали работам [24, 25].
4.4. Методы гильбертова пространства позволили получить основные
результаты относительно точности разностных схем. В частности,
удается провести исследование задач на неравномерных сетках, задач
с разрывами и т.д. При изложении материала, как и в работах [24,
25], мы предъявляли повышенные требования к гладкости точного
решения. Более глубокие результаты для эллиптических краевых
задач с обобщенными решениями излагаются в [27].
4.5. Прямые методы решения систем линейных алгебраических урав-
уравнений излагаются во всех традиционных курсах линейной алгебры
(см., например, [8, 32]). Разностные методы, метод конечных эле-
элементов приводят к матрицам разреженной структуры, учет которой
позволяет существенно сократить вычислительную работу [10]. Для
ленточных матриц (в частности, для трехдиагональных) наиболее
известен метод прогонки с его различными вариантами. Подробное
изложение таких алгоритмов с их обоснованием имеется в книге [28].
Для сеточных эллиптических задач с разделяющимися переменными
используются специальные прямые методы, например, метод редук-
редукции и быстрое преобразование Фурье. Более подробное обсуждение
этих методов с различных позиций имеется в [28, 34].
4.6. Общая теории итерационных методов излагается по книге [28], есте-
естественно, в более сжатом виде. В частности, не затрагиваются вопро-
вопросы решения проблемы вычислительной устойчивости чебышевских
итерационных методов. Ранее большой популярностью пользовал-
пользовался метод переменных направлений. Однако, оптимальный набор
итерационных параметров удается построить только для сеточных
эллиптических задач с разделяющимися переменными, для которых
имеются более быстрые прямые методы. Поэтому мы ограничились
общим случаем метода переменных направлений с неперестано-
неперестановочными операторами. Другие возможности методов переменных
направлений подробно обсуждаются в литературе [24, 28]. Для со-
сохранения методического единства при изложении вариационных
методов (как двух- так и трехслойных) выбор итерационных параме-
параметров подчинялся естественному требованию прямой алгебраической
минимизации невязки на новой итерации. В литературе (см., напри-
например, [33]) по итерационным методам большее внимание уделяется
более сложной, менее прозрачной интерпретации метода сопряжен-
сопряженных градиентов. В данной главе не затрагивается чрезвычайно важная
проблема решения сеточных эллиптических задач с несамосопряжен-
несамосопряженным оператором.
4.10. Библиография и комментарий 229
4.7. При оценке эффективности итерационных методов, выборе опти-
оптимальных параметров итерационных методов мы следуем работе [28].
Качественное исследование зависимости скорости сходимости клас-
классических итерационных методов от разрывных коэффициентов про-
проведено в работе [5]. Попеременно-треугольный итерационный метод
предложен А. А. Самарским в 1964 г. Более полное его изложе-
изложение имеется в [28]. Метод приближенной факторизации, который
в симметричном виде здесь трактуется как попеременно-треуголь-
попеременно-треугольный метод, описан в книге [4]. Общая теория итерационных методов
в подпространствах излагается в [12].
4.8. Использование криволинейных ортогональных координат и локаль-
локально нерегулярных сеток традиционно широко используется в вычи-
вычислительной практике [24, 27, 28]. Здесь мы не касаемся проблем
генерирования неортогональных сеток, проблем решения краевых
задач на таких сетках. Метод фиктивных областей развивается с на-
начала 1960-х годов. Подробное обсуждение вопросов использования
такого подхода имеется в [5]. Методы декомпозиции пока практи-
практически не представлены в монографической и учебной литературе.
Исключение составляет книга [15], одна из глав которой касается
методов этого класса. Методы декомпозиции без налегания обсужда-
обсуждаются в работе обзорного характера [1].
4.9. Методы приближенного решения нелинейных краевых задач для
эллиптических уравнений затрагиваются с различных позиций в ли-
литературе по разностным методам и методу конечных элементов.
Разностные схемы исследуются в работе [И], итерационные методы
для класса нелинейных разностных схем обсуждаются в [28]. Для
систем нелинейных уравнений общим руководством может служить
книга [19].
4.10.2. Литература
1. Лгошков В. И. Методы разделения области в задачах математической фи-
физики // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991. Вып. 8.
С. 3-51.
2. Бахвалов Н. С, Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука,
1987.
3. БерсЛ.,Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир,
1966.
4. Булеев Н. И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука,
1989.
5. Вабищевин П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической фи-
физики. М.: Изд-во МГУ, 1991.
6. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.
7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
8. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
230 Глава 4. Стационарные задачи теплопроводности
9. ГилбаргД., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с част-
частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
10. Джордж А., Лю Д. Численное решение больших разреженных систем урав-
уравнений. М.: Мир, 1984.
11. Карчевский М. Л/., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных задач
математической физики. Казань: Изд-во Казанского государственного уни-
университета, 1976.
12. Кузнецов Ю. А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычислитель-
Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1985. Вып. 2. С. 265-350.
13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
14. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа. М: Наука, 1973.
15. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
16. Марчук Т. #., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы.
М.: Наука, 1981.
17. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.
М.: ИЛ, 1957.
18. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эл-
эллиптических уравнений. Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1979.
19. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных
систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.
20. Рихтмайер Р. Д. Разностные методы решения краевых задач. М.: ИЛ, 1960.
21. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
М.: Мир, 1972.
22. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
23. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.
24. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
25. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических урав-
уравнений. М.: Наука, 1976.
26. Самарский А. А., Тулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
27. Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для диффе-
дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа,
1987.
28. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: На-
Наука, 1978.
29. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.
30. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Наука,
1980.
31. Тихонов А. #., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1972.
32. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
М.: Физматгиз, 1963.
33. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.
34. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир,
1987.
Глава 5.
Нестационарные задачи
теплопроводности
Основной задачей вычислительной теплофизики является исследо-
исследование нестационарных тепловых полей, описываемых уравнением те-
теплопроводности, которое относится к уравнениям параболического ти-
типа второго порядка. Изложению вопросов построения и исследования
разностных схем для нестационарных краевых задач теплопроводности
и посвящена данная часть работы. Особенности построения экономич-
экономичных разностных схем для приближенного решения многомерных задач
рассматриваются отдельно (таким задачам посвящена глава 6).
Начинаем мы с материала справочного характера, который касается
свойств краевых задач для дифференциальных уравнений второго по-
порядка параболического типа. В частности, формулируется классический
принцип максимума для первой краевой задачи. Приведены простейшие
априорные оценки решения дифференциальной задачи в гильбертовых
пространствах, которые характеризуют устойчивость решения по отно-
отношению к малым возмущениям начальных условий и правой части.
Обсуждаются особенности построения разностных схем для неста-
нестационарных задач. Значительное внимание уделяется общим вопросам
устойчивости разностных схем. Разностное решение, как приближенное
решение корректной краевой задачи для дифференциального уравнения,
должно быть устойчиво по отношению к малым возмущениям началь-
начальных условий. При оценке погрешности разностного решения основное
внимание уделяется исследованию устойчивости разностного решения
по правой части.
Исследование точности разностного решения в равномерной норме
может проводиться на основе принципа максимума. Исследуются чисто
неявные разностные схемы для уравнения теплопроводности, которые
относятся к классу безусловно устойчивых (без каких-либо ограничений
на шаги сетки по времени и пространству). Для других схем сходимость
устанавливается при некоторых ограничениях на шаг по времени (условно
устойчивые разностные схемы).
Для исследования устойчивости в гильбертовых пространствах ис-
используется общая теория устойчивости разностных схем. Она базируется
232 Глава 5. Нестационарные заданы теплопроводности
на записи многослойной разностной схемы в каноническом виде и в фор-
формулировании условий устойчивости в тех или иных нормах в виде опе-
операторных неравенств. Эта теория является точной в смысле совпадения
необходимых и достаточных условий.
Общая теория устойчивости разностных схем применяется для иссле-
исследования двух- и трехслойных разностных схем для уравнения теплопро-
теплопроводности. В частности, проведено исследование устойчивости обычных
схем с весами. На основе установленных результатов об устойчивости
формулируются соответствующие результаты о точности разностных схем.
Отдельно выделены вопросы исследования регулярного режима те-
теплопроводности. Для правильного описания развитой стадии вводится
понятие асимптотической устойчивости. Проведен анализ асимптотиче-
асимптотической устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности.
В частности, показано, что обычная симметричная разностная схема
является безусловно устойчивой в обычном смысле и условно асимпто-
асимптотически устойчивой.
Рассматриваются разностные схемы для гиперболического уравнения
теплопроводности. На примере простейших краевых задач теплопровод-
теплопроводности отмечаются особенности использования разностных методов для
приближенного решения нелинейных задач.
5.1. Краевые задачи для параболических
уравнений второго порядка
5.1.1. Линейное нестационарное уравнение теплопроводности
Будем описывать тепловое состояние твердого тела, которое занимает
объем Q, начиная с начального момента времени t = О до некоторого
конечного момента времени t — Т, Т > 0. Пусть Q = {(ж, t) \ x ? П,
0 < * < Т}, а Г = {(ж, t) | х е дп, 0 < * < Г} — боковая поверхность Q.
Процесс распространения тепла в анизотропной среде описывает-
описывается (см. п. 2.1) следующим уравнением теплопроводности:
c(x)^+Lu = f(x,t), (x,t)eQ, A)
где
при обычных ограничениях
*а/3 = *0а, а, /3 = 1, 2, .. . , Ш,
а=\ а,Д=1 а=1
m
«2
5.1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка 233
Уравнение A), B) является классическим линейным параболическим
уравнением второго порядка, которое относится к базовым уравнениям
математической физики.
Уравнение теплопроводности A) в более общем случае подвижной
среды записывается при
*•-??(*¦*>?) ¦?»*>?. «>
В дальнейшем в качестве базовых рассматриваются задачи для уравнения
теплопроводности A) в изотропной среде, когда
Отдельно выпишем уравнение теплопроводности для однородной среды,
когда и коэффициент теплопроводности к(х) и коэффициент тепло-
теплоемкости с(х) постоянны. Обезразмеривая задачу (см. п. 3.1), придем
к простейшему уравнению второго порядка параболического типа с по-
постоянными коэффициентами:
Уравнение теплопроводности A) (или C), F)) дополняется необхо-
необходимыми граничными условиями. Наибольшее внимание уделяется задаче
Дирихле, когда
u(x,t)=g(x,t)y xeT. G)
Более общая ситуация (конвективный теплообмен с окружающей средой)
соответствует заданию граничных условий третьего рода:
-j? + <r(x,t)u = g(x,t), хеГ, (8)
где <т(ж, t) ^ 0. В (8) использованы обозначения главы 4. Для нестаци-
нестационарных уравнений также можно выделить как самостоятельную задачу
с граничными условиями второго рода, когда а(х} t) = 0.
Корректной краевой задачей для уравнения A) является задача с из-
известной начальной температурой:
и(х10) = щ(х), хеп. (9)
Температурное поле и(х, t) в любой точке расчетной области п на любой
момент времени 0 < * < Т определяется из уравнения теплопроводно-
теплопроводности A), B) (или A), C) и т. д.), граничных условий G) (или, например, (8))
и начального условия (9).
15 Зак 168
234 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
5.1.2. Принцип максимума
Для нестационарного уравнения теплопроводности A) справедлив
принцип максимума, который устанавливает то, что максимальная тем-
температура достигается либо на границе области, либо в начальный момент
времени при отсутствии объемных источников. Принцип максимума для
параболических уравнений формулируется в следующем виде. Определим
оператор С соотношением
ди
Си = с(х) — + Lu
at
и рассмотрим уравнение A), C), D).
Теорема 1. Пусть Си^О (Си ^ 0) в ограниченной области Q. Тогда
максимум (минимум) функции и(х, t) достигается на границе облас-
области дп и (или) при t = 0, т. е.
тахгг(ж, t) = max {max u(x,t), тахи(ж, 0)},
xeQ xer zen
minu(x,t) = min{mmu(x1tI min^(x, 0)}).
xeQ xer хеп '
На основе принципа максимума легко устанавливается единствен-
единственность решения первой краевой задачи A), C), D), G), (9). Как и в стаци-
стационарных задачах, большое значение имеют теоремы сравнения, которые
следуют из принципа максимума. Примером может служить следующее
утверждение.
Теорема 2. Пусть для функций и(ху t) и v(x> t) имеют место нера-
неравенства
Cu^Cv, (x,t)eQ,
f*(M)O0M)> 0М)€Г, A1)
тогда и(ху t) ^ v(x, t) во всей области Q.
Приведем априорные оценки в равномерной норме для параболиче-
параболических краевых задач, основанных на принципе максимума.
Теорема 3. Для решения первой краевой задачи A), C), D), G), (9)
справедлива оценка
M\\f(x,t)\\c{Qh A2)
где постоянная М зависит от диаметра области О, и коэффициентов
уравнения A), C), D).
5.1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка 235
Из оценки A2) следует непрерывная зависимость решения первой
краевой задачи для параболического уравнения второго порядка от на-
начальных данных, правой части и граничных условий. Постоянная М
определяется аналогично тому, как это делается для стационарных задач
(см. п.4.1).
Утверждения, аналогичные теоремам 2 и 3, можно сформулировать
и для задач с граничным условием третьего рода (8) при естественных
ограничениях а(х, t) ^ tr0 > 0.
5.1.3. Операторная формулировка задач
нестационарной теплопроводности
Задачи нестационарной теплопроводности будем рассматривать при
однородных граничных условиях (в G), (8) функция g(x, t) = 0, (ж, t) G Г)
в гильбертовом пространстве Н = L2 (П). Пусть Л есть оператор тепло-
теплопроводности, который соответствует определению L согласно B) при
граничных условиях первого, третьего рода. Оператор Л введен и обсу-
обсуждается в п. 4.2. Дополнительно определим оператор В = с(х)Е. В силу
этого уравнение теплопроводности A) запишем в виде эволюционного
уравнения первого порядка в Н:
B^ + Au = f, 0<t<T. A3)
at
Это уравнение дополняется начальным условием
и@) = ч0. A4)
Для рассматриваемых краевых задач оператор Л самосопряжен и по-
положительно определен, т. е.
Л = Л* > 6Е, 6>0. A5)
Считая, что с(х) ^ со > 0, в силу определения оператора В имеем
В = В*^с0Е) со>0. A6)
В важнейшем частном случае однородной среды (см. F)) В = Е. Кроме
того, операторы Ли В постоянны, т.е. не зависят от t.
Оценки устойчивости для нестационарных задач основываются на
использовании леммы Гронуолла. Сформулируем ее в следующей простей-
простейшей редакции.
Лемма 1. Пусть w(t), s(t) ^ 0, т > 0 и для всех 0 < t < Т, Т > 0
выполнено неравенство
*?^mw(t) + 8(t). A7)
at
Тогда
t
w(t) ^ emt (w@) + f e~mTs(T) dr). A8)
о
15*
236 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Несколько загрубляя оценку A8), получим неравенство:
t
J s{r)dr\
о
Получим на основе этой леммы простейшие оценки устойчивости
решений задачи A3), A4), если операторы подчинены условиям A5), A6).
Эти оценки будут служить ориентиром при получении соответствующих
оценок разностного решения. Скалярно домножая уравнение A3) на u(t),
придем к равенству
\jt(Bu, и) + (Ли, u) = (f,u). A9)
С оператором В свяжем гильбертово пространство Нв, для которого
||гг||| = (Ви,и). Принимая во внимание положительность оператора Л
и используя неравенство
из A9) получим
На основании леммы отсюда следует оценка устойчивости по начальным
данным и правой части для задачи A3)—A6) вида
\\u(t)\\B^\\u(O)\\B + max\\f(t)\\B->. B0)
Приведем некоторые другие априорные оценки для задачи A3)—A6),
которые, не являясь оптимальными для дифференциальных задач, в тоже
самое время ориентируют нас при получении соответствующих оценок
разностных решений.
Принимая во внимание A5), из A9) получим неравенство
~I
Для правой части используем оценку
Это дает неравенство
из которого следует оценка
1И0Нв< N0I11 + ^; max ||/(t)||2. B1)
2.0 t
В отличие от B0) здесь дается оценка для квадрата нормы решения, а для
оценки правой части используется норма в Н.
5.1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка 237
Аналогичная оценка для задачи A3)—A6) может быть получена
(см. задачу 2) и в Нд. Отметим также возможность получения оце-
оценок устойчивости в некоторых общих пространствах %v> порожденных
постоянным оператором V — V* > 0. Пусть операторы В и А пере-
перестановочны. В силу условий A6) существует обратный оператор В~х
и от уравнения A3) можем перейти к уравнению
^ + A'u = B-]f, 0<*<Г, B2)
at
где А' = В~х А. Для перестановочных операторов Аи В в силу A5), A6)
получим А' = (А')* > 0. Оценка B0) для уравнения B2) приобретает вид
N011 < N0)||+* max ИВ/»- B3)
t
Для рассматриваемых задач теплопроводности условие перестановочно-
перестановочности операторов Аи В будет выполнено при с(х) = const. Если дополни-
дополнительно оператор V перестановочен с Л', то из B2) следует оценка
NOIb < N0)lb + *max||*T7lb, B4)
t
которая обобщает B3).
5.1.4. Задачи
Задача 1. Получите для первой краевой задачи для параболического
уравнения
Си + ф, t)u = f{x, 0, (s, t) € Q B5)
при d(x} t) - fic(x) ^ 0, // < 0 априорную оценку в равномерной норме.
Решение. Для получения априорной оценки решения первой кра-
краевой задачи для уравнения B5) в равномерной норме воспользуемся
преобразованием v(xy t) = е^и(х, t). Для v{x, t) получим уравнение
Для этого уравнения при выполнении условия d(x, t) - цс(х) ^ 0 спра-
справедлива априорная оценка типа A2). В наиболее интересном случае /х < 0
приходим к следующему утверждению.
Для решения первой краевой задачи B5), G), (9) при
ф, t) - цс(х) ^0, ii < 0
справедлива оценка
+ Me-*r\\f(z,t)\\c(Q). B6)
Приведенная оценка B6) отражает факт возможного ограниченного роста
решения (температуры), который обусловлен источником тепла пропор-
пропорциональным температуре (слагаемое d(x, t)u в B5)). >
238 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
I Задача 2. Для задачи A5)—A8) получите априорную оценку в Н^.
Решение. Покажем, что для рассматриваемой задачи имеет место
неравенство
/2 B7)
/@
Домножая скалярно уравнение A5) на du/dt, получим
С учетом A8) имеем
du
а для правой части используется оценка
du
2
/ du\
(>• *) < *
Постановка в B8) дает неравенство
из которого следует искомая оценка B7). >
5.2. Разностные схемы
для нестационарных задач
5.2.1. Многослойные разностные схемы
Обметим некоторые общие особенности разностного решения не-
нестационарных задач. Будем считать, что рассматривается приближенное
решение задачи в области Q на отрезке времени [О, Т]. В П вводится про-
пространственная сетка uh, с которой связывается некоторое конечномерное
пространство Щ. Введем сетку и по времени, для простоты, равномер-
равномерную, шт = {t | t = tn = пт, п = 0,1,..., N, Nt = Т} с шагом г > 0.
Приближенное решение рассматривается как функция yh(tn) дискретно-
дискретного аргумента tn G шт со значениями из пространства Я/, (yh(tn) G #ь).
В дальнейшем будем использовать обозначения уп = ун{К)-
Пусть Ва, а = 0,1,...,р — некоторые линейные операторы,
действующие в Я/», а <рп — некоторая сеточная функция. Назовем
Ср+ 1)-слойной операторно-разностной схемой разностное уравнение
ВрУп+р + ?p-iyn+p-i + • • • + ^02/п = ^п, П = 0, 1, . . . , A)
5.2. Разностные схемы для нестационарных задач 239
которое связывает разностное решение на (р + 1) временных слоях. Для
однозначного определения решения из A) необходимо задать р начальных
значений уа, а = О,1,... ,р - 1.
В наших дальнейших рассуждениях основное внимание уделяется
двух- и трехслойным схемам. При р = 1 имеем двухслойную разностную
схему
В{уп+] + Воуп = <рп, п = 0, 1,... B)
при заданном уо ? #/». Аналогично при р = 2 определяется трехслойная
разностная схема. Ее мы запишем в следующем виде:
В2уп+2 + Вхуп+Х + Бо2/п = ^n, n = 0, 1,..., C)
если заданы уо и у\.
5.2.2. Каноническая форма двух- и трехслойных
разностных схем
Исследование разностных схем для нестационарных задач удобно
проводить на основе приведения разностных схем к единому, канони-
каноническому виду. Любую двухслойную разностную схему можно записать
в следующем виде:
— Уп Л л ,
+ Ауп = <рп, п = 0,1,...,
где т„+1 = ?n+i - tn — шаг по времени (вообще говоря, неравномерный).
Для перехода от B) к канонической форме двухслойной разностной схемы
достаточно учесть уп+{ = yn+rn+i(yn+] -уп)/тп+] и положить В = тп+хВ\,
А = B\+Bq. Как мы уже отмечали, для изложения существа вопроса нам
достаточно рассмотреть разностные схемы на равномерной временной
сетке. Поэтому будем рассматривать двухслойную разностную схему
+Ayn = Vui n = 0,l,.... D)
В теории разностных схем широко используются безиндексные обо-
обозначения
2/n+i - Уп
У = Уп, <Р = <Рп, Ух = .
Поэтому двухслойная разностная схема D) записывается более компакт-
компактно:
Byt + Ау = <р. E)
Схема C) записывается в следующей канонической форме трехслойной
разностной схемы:
»2*+Я „=1,2,..., F)
240 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
считая сетку по времени равномерной. Для перехода от C) к F) положим
В = т(В2 - Во), R = j № + Во), А = В0 + В{+ В2.
В безындексных обозначениях
1/ , v Уп+\-Уп-\ Уп+\ -2уп + Уп-\
У1 = j W + ») = 2т ' № = т2
трехслойная разностная схема F) принимает вид
2 Ay = <p. G)
Для определения решения на новом временном слое в случае D)
необходимо решить уравнение
Byn+i=F(<pn,yn). (8)
Двухслойная разностная схема называется явной схемой, если В = s(x)E,
s(x) Ф 0. В противном случае (Б Ф s(x)E) мы имеем дело с неявной
схемой. Для трехслойной разностной схемы F) имеем
(В + 2тДJ/п+1 = F(<pn, yn, t/n-i),
и поэтому она будет относиться к классу явных разностных схем при
В + 2тЛ = s(x)E. При В + 2tR Ф s(x)E имеем неявную трехслойную
разностную схему.
5.2.3. Устойчивость двухслойных разностных схем
Понятие устойчивости разностных схем является важнейшим при
приближенном решении нестационарных задач. Не давая общих опре-
определений, поясним суть проблемы на примере двухслойных разностных
схем D).
Корректность разностной схемы D) связана с выполнением условий
существования, единственности и непрерывной зависимости разностно-
разностного решения от входных данных. Проблема однозначной разрешимости
разностной схемы D) (см. (8)) решается на уровне предположения о су-
существовании В.
Входными данными для двухслойной разностной схемы D) являются
функции 2/о и (рп из некоторых сеточных пространств. Будем считать, что
заданы две нормы: || • Ilia для решения и || • |Ьл Для правой части. Дадим
простейшее (в смысле используемых норм) определение устойчивости
двухслойной разностной схемы D).
Двухслойная разностная схема называется устойчивой, если суще-
существуют такие постоянные Ма > 0, а = 1,2, не зависящие от Л, т, п,
такие что при любых входных данных у0, <рп, п = 0,1,..., N выполнено
неравенство
\\Vn\\\h<Mi\\yo\\]h+M2 max ||^||2Л. (9)
5.2. Разностные схемы для нестационарных задан 241
Отдельно можно рассмотреть устойчивость по начальным данным
однородной разностной схемы
ВУп+1~Уп+Ауп=0, п = 0,1,.... A0)
Разностная схема A0) устойчива по начальным данным, если имеет место
неравенство
ЫЬл^АГПЫЬл. (И)
Для неоднородной разностной схемы с нулевыми начальными дан-
данными естественно ввести понятие устойчивости разностной схемы по пра-
правой части. Разностная схема
+AynSS(pni n = o,l,..., 2/0 = 0 A2)
устойчива по правой части, если выполнена оценка
\\yn\\\h^M2 max \\<pk\\2h. A3)
Введение понятий устойчивости разностной схемы по начальным
данным и по правой части более точно отражает смысл двух слагаемых
в общем условии устойчивости (9) и позволяет в ряде случаев ограничится
исследованием устойчивости только по начальным данным.
Устойчивость многослойных схем может исследоваться на основе
сведения к эквивалентной двухслойной схеме. Такие возможности бу-
будут обсуждаться нами ниже при рассмотрении трехслойных разностных
схем. Это дает нам возможность ограничиться понятием устойчивости
двухслойных разностных схем.
5.2.4. Связь устойчивости по правой части с устойчивостью
по начальным данным
Покажем, что при согласовании норм из устойчивости по начальным
данным следует устойчивость по правой части. Будем называть разност-
разностную схему равномерно устойчивой по начальным данным, если существует
постоянная р > 0 и постоянная М\, не зависящая от h, т, п, та-
такие, что при всех уп ? Щ для однородного разностного уравнения A0)
справедлива оценка
ll№+illi»^plMli*, A4)
причем рп ^ М\. При р Ф 1 будем говорить о равномерной р-устойчивос-
р-устойчивости разностной схемы A0) по начальным данным.
Сама величина р может зависеть от г (от г не должна зависеть
постоянная М\). Можно выбрать р в виде
р=\+сг, р^е", A5)
где с ^ 0 не зависит от Л, г, п. При выборе A5) для постоянной М\
получим (М\ ^ рп) М] = е021.
242 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Однородную разностную схему A0) можно записать в виде
yn+\=Syni n = 0,1,..., A6)
где
S = E-tB~xA A7)
есть оператор перехода разностной схемы с одного временного слоя
на другой. Вообще говоря, оператор S может зависеть от п. Требование
равномерной устойчивости разностной схемы A0) по начальным данным
в силу A6) и произвольности уп Е #л эквивалентно ограниченности
нормы оператора перехода S постоянной р:
\\S\\ < Р- A8)
Получение оценок устойчивости типа (9) для двухслойной разност-
разностной схемы D) базируется на следующей разностной лемме Гронуолла
(ср. п. 5.1).
Лемма 1. Пусть ?п и Тп — неотрицательные функции, определенные
на сетке шТ и р > 0. Тогда из неравенства
fn, 71 = 0,1,..., A9)
следует оценка
n~V*. B0)
*=о
Доказательство B0) проводится по индукции. При п = 0 неравен-
неравенство B0) очевидно выполнено (совпадает с A9)). Пусть B0) выполнено
и при некотором п = т - 1. Из A9), B0) имеем
*=0
т
)
*=0
Тем самым неравенство B0) выполнено и при п = т.
Связь между устойчивостью по начальным данным и по правой части
устанавливается следующим утверждением.
Теорема 1. Пусть разностная схема D) равномерно устойчива по на-
начальным данным в норме \\-\\\h- Тогда разностная схема D) устойчива
и по правой части, и для ее решения справедлива оценка (9) при
5.2. Разностные схемы для нестационарных задач 243
Принимая во внимание возможную зависимость операторов раз-
разностной схемы от временного слоя, перепишем уравнение D) в виде
ук+\ = Sk+]Vk + тВъ]<Рк- Отсюда непосредственно вытекает Hjfo+ilU ^
l|S*+ilHl2/fclU+rII^Vfcllifc- Условие равномерной устойчивости схемы D)
по начальным данным (см. A8)) позволяет перейти к неравенству
\\Ук+\Ы^р\Ы\\н + т\\в;1<рк\ин. B1)
На основании B0) из B1) получим оценку
^""*^*1^*!!!*- B2)
В силу предположений о равномерной устойчивости по начальным дан-
данным /9n+l ^ Mi и рп~к ^ М), и поэтому из B2) получим
||»В+||||Л ^ М, (\\yo\Uh + J2 ГИБ*~V*lhft) • B3)
Принимая во внимание
п
гп+] max \\B;]<pk\\]h^T max V
приходим к оценке (9) устойчивости и по начальным данным, и по правой
части для схемы D) при ||^1Ьл = ll^Vfclli/» и М2 = М\Т. Теорема
доказана.
Определение устойчивости может ориентироваться на соответствую-
соответствующие оценки для квадрата нормы разностного решения (см. оценки B1),
B7) в п. 5.1 для дифференциальной задачи). Вместо (9) можно требовать
выполнения неравенства
\\yn\\2lh^M]\\y0\\]h + M2 max \\(pk\\22h.
Однако в таком случае нет возможности получить из устойчивости по на-
начальным данным устойчивость и по правой части. Переход к оценкам
квадратов норм может производится на основе трансформации (задача 1)
разностной леммы Гронуолла.
5.2.5. Запись трехслойной схемы в виде двухслойной
Пусть Я = Щ и введем пространство Н2 = Н 0 Н как прямую
сумму двух пространств Я. Для векторов Y = {y\)y2} из Я2 B/1,2/2 ? Н)
сложение и умножение на число вводятся покоординатно. Пусть Y =
{2/ь2/2} и V = {vuv2}9 а а и Ь — числа, тогда aY + bV = {аух + bvu
ау2 + bv2}. Скалярное произведение в Я2 определяется выражением
(
244
Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Представим трехслойную разностную схему, записанную в канони-
канонической форме F), в виде двухслойной разностной схемы
-Г"
Для этого введем вектор
„ (у„ + Уп-\ \
B4)
B5)
Выбор вектора Yn может проводиться и по-другому (вариант, отличный
от B5), рассматривается, например, в задаче 2).
Непосредственные выкладки дают для операторов разностной схе-
схемы B4) следующие представления:
A 0 '
0 R-\A
§H')J
B6)
B7)
а для правой части B4) имеем
Фп = {<pn, 0}. B8)
Запись трехслойной разностной схемы F) в виде двухслойной схе-
схемы B4)-B8) позволяет определить соответствующим образом устойчи-
устойчивость трехслойной схемы по начальным данным и по правой части.
5.2.6. Сходимость разностных схем для нестационарных задач
Понятия аппроксимации, сходимости и точности разностных схем
для нестационарных задач вводятся по аналогии с соответствующими
понятиями для стационарных задач (см. п. 4.2). Пусть и(х, t) — точ-
точное решение некоторой дифференциальной задачи. Будем считать, для
примера, что приближенное решение ищется на основе разностной схе-
схемы D). Для погрешности разностного решения zn = уп - Uh(tn) получим
разностную задачу
11 = 0,1,..., z0 = г/о - t»A@). B9)
Для погрешности аппроксимации ij)n имеем следующее выражение
/ B(uh{tn+])-uh(tn))
*Фп = - Auh(tn) + <рп.
5.2. Разностные схемы для нестационарных задач 245
Разностная схема D) имеет аппроксимацию O(\h\m + rl), m > О,
Z > 0 на решениях и(х, t), если
max Ш2Л^М3(|ЛГ + Л C0)
Пусть с той же точностью аппроксимируется и начальное условие, т. е.
выполнена оценка
\\yo-uh(O)\\lh^M4(\h\m + Tl). C1)
Если разностная схема D) устойчива, т.е. выполнена оценка (9), то для
погрешности имеем
+ M2 max ||^||2Л. C2)
Из устойчивости (оценка C2)) и аппроксимации (оценки C0) и C1))
следует, что разностная схема D) имеет точность O(\h\m + т1), т.е.
из устойчивости и аппроксимации следует сходимость разностной схемы.
5.2.7. Задачи
Задача 1. Покажите, что из выполнения оценки
?п+1<ест?п + ;Гп, 11 = 0,1,..., C3)
на сетке шТ для неотрицательных ?„ и Тп следует неравенство
S2+l < e<2c+?>W02 + - У>Bс+^-* + er)Tl C4)
с произвольным е > 0.
Решение. Из C3) следует, что для любого е > 0
^2п ^ р€2п + е?Т^2,
где р = е^2с+€^т. Используя разностное неравенство Гронуолла, отсюда
и получаем оценку C4). >
Задача 2. Запишите трехслойную схему F) в виде двухслойной схемы
уп+1 = 5Гп + Фп, C5)
выбирая вектор Yn = {уп-ь Уп}-
Решение. Будем исходить из записи трехслойной схемы в виде
В2уп+\ + Вхуп + Boffn-i = <Рп> п = 1,2,.... C6)
Тогда для элементов матрицы S = (Sap) получим
5п = 0, 512 = Е, 52, = -В^Бо, S22 = -B2lBu C7)
246 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
а для правой части Фп = {0, В^фп}- Сопоставляя C6) с F), имеем
Во = R - —Б, Я, = А - 2Д, В2 = R + у В. C8)
Формулы C7), C8) определяют оператор перехода в двухслойной раз-
разностной схеме C5). >
5.3. Равномерная сходимость разностных
схем для уравнения теплопроводности
5.3.1. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
Базовой задачей нестационарной теплопроводности при нашем рас-
рассмотрении является двумерная задача распространения тепла в твердом
изотропном цилиндрическом стержне прямоугольного сечения п при
заданном температурном режиме на границе. Рассматривается уравнение
теплопроводности
c(x)^+Lu = f(x,t), (x,t)€Q, A)
с оператором
5
Уравнение A), B) дополняется граничным и начальным условиями:
u(xtt)=g(x,t), яЕГ, C)
и(х,0) = щ(х), хеп. D)
Особенности построения разностных схем для параболических урав-
уравнений проявляются в выборе аппроксимаций по времени. В п. 4.2 обсу-
обсуждались вопросы аппроксимации по пространству, например, на основе
интегро-интерполяционного метода.
Будем, как обычно, считать, что в прямоугольнике Q, введена рав-
равномерная прямоугольная сетка ш с шагами h\ и hi по переменным х\
и Х2 соответственно. Для получения консервативной аппроксимации
по пространству проинтегрируем уравнение (J) по окрестности каждого
внутреннего узла
uij = {х | X = (Х\УХ2), «1,1-1/2 ^ #1 ^ #1,»+1/2> x2J-\/2 < Х2
Определяя через v(x, t)9 x G и приближенное решение уравнения (I)
на момент времени t, придем к системе обыкновенных уравнений
dv
Ь(х) — + Av = ф(х, 0, х е w, 0<t^T. E)
at
Здесь сеточная функция Ь(х) соответствует аппроксимации коэффициен-
коэффициента теплоемкости с(ж), а оператор Л связан с аппроксимацией дифферен-
5.3. Равномерная сходимость разностных схем 247
циального оператора L, задаваемого согласно B). В случае достаточно
гладких коэффициентов и решений можно положить (см. п. 4.2)
2
Av = Yl A«v> A«v = -(МФг«)*а> а = li 2, F)
а=1
b(x) = с(ж), ж € а;. G)
Система уравнений E) дополняется условиями, вытекающими из C),
D). По аналогии с F), G) используем следующие простейшие аппрокси-
аппроксимации:
v(x, t) = g(x, <), х € flw, 0 < « < Г, (8)
ф,0) = 1н,(«), ^ G w. (9)
Переход от параболической краевой задачи A)-D) к системе обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений E)-(9) соответствует использованию
метода прямых.
Для получения разностной схемы для задачи E)-(9) необходимо
использовать те или иные аппроксимации по времени. Снова применим
интегро-интерполяционный метод. При использовании двухслойных раз-
разностных схем в разностное уравнение входят значения на двух временных
слоях: при t = tn и t = tn+\. Проинтегрируем уравнение E) на отрезке
tn ^ t^ tn+\ (усреднение по времени).
Интегрирование первого слагаемого в E) дает
/
)^- dt = Tb(x)n+I " = rb(x)vt.
at t
При интегрировании функций, зависящих от времени, используется
выражение
/ г(ж, t) dt = т((тг(х, tn+x) + A - (т)г(х, tn)),
где а — некий числовой параметр (вес квадратурной формулы). С учетом
этого, при интегрировании уравнения A) получим следующую разност-
разностную схему
Уп+]~Уп
с условиями
Ъ(х)Уп+]~Уп +A(ayn+{ + (l-a)yn)=ipn, хеш, п = 0,1,... A0)
xe ди>} (и)
уо(х) = щ(х), хеи. A2)
Разностная схема A0)—A2) есть разностная схема с весами.
248 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Отметим некоторые важнейшие частные случаи разностной схе-
схемы A0)—A2). При а = 0 мы имеем дело с явной схемой. В этом случае
для определения решения на новом временном слое используются следу-
следующие расчетные формулы: уп+\ =уп- Ь~](х)т(Ауп - <рп), х е ш с учетом
условий A1), A2).
Среди неявных схем наибольшее распространение в вычислительной
практике получили симметричная схема и чисто неявная схема. Симме-
Симметричная схема (схема Кранка—Николсона) соответствует выбору а = 0,5.
В этом случае A0) принимает вид
У1 = (рп) п = 0,1,.... A3)
ь{х)^ + А (рп) п 0,1,....
При а = 1 мы имеем дело с чисто неявной разностной схемой:
ь{х)Уп+1-Уп + Ау^ = ^ п = 0,1,.... A4)
Чисто неявную схему A4) называют иногда схемой с опережением.
5.3.2. Погрешность аппроксимации схем с весами
Рассмотрим погрешность аппроксимации схемы с весами A0)—A2).
Для погрешности аппроксимации имеем
тР = -Ъ(х)щ - А(ай + A - <г)и) + <р, A5)
где и = и(х, tn), й = и(х, tn+\) — решение дифференциальной задачи
A)-D) на соответствующий момент времени. Положим и — u(x,tn+\/2)
и й = du/dt и используем разложения
2 A6)
(т2I A7)
^ A8)
Будем считать (см. п. 4.2), что сеточный эллиптический оператор Л
аппроксимирует дифференциальный оператор L со вторым порядком:
Аи = Lu + O(|/i|2), \h\2 = h] + h\. A9)
Представим погрешность аппроксимации A5) с учетом A6)—A8) в виде
+<р =
bU + U ( Л л
у> = -о(х)щ - А— I а - - \тАщ
= b(x)u + J-(Au-Lu) , vr ,, 2
Если дополнительно к A6)—A9) принять, что (р = / + О(т2 И- |Д|2), то для
погрешности получим выражение
^ = -U--JtAu + O(r2 + \h\2). B0)
5.3. Равномерная сходимость разностных схем 249
Общее представление B0) для погрешности аппроксимации раз-
разностной схемы с весами A0)—A2) для задачи теплопроводности A)-D)
позволяет получить
Го(гЧ^), . = 0,5,
Таким образом, симметричная разностная схема A3) имеет второй поря-
порядок аппроксимации по времени и пространству, в то время как другие
схемы с весами — первый по времени и второй по пространству. В не-
некоторых случаях погрешность аппроксимации по пространству схемы
с весами на решениях уравнения теплопроводности удается повысить
(см. задачу 1).
5.3.3. Принцип максимума
В п. 4.3 сформулирован принцип максимума для разностных уравне-
уравнений. Используемая каноническая форма базируется на записи разностной
схемы в виде выражения разностного решения в некотором узле через
разностные решения в окружении этого узла. В таком общем виде прин-
принцип максимума может быть использован и для исследования разностных
схем для нестационарных задач, только в этом случае шаблон разностной
схемы будет включать значения на разных временных слоях.
Запишем разностную схему с весами A0)—A2) в канонической форме
относительно узла (ж, t) = (х,;, tn+\). Разностный оператор Л представим
(см. п. 4.3) в виде
= А(х)у(х)-
где
•ai(s) , a2(xij+\) + а2(х)
A{x) = -щ ц
а, (ж)
n2 n2
Коэффициенты схемы A0) определяются, например, следующим образом:
(х) = ^ (к(х) + Цхих2- h2)).
250 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Сохраним приведенные обозначения для шаблона по пространствен-
пространственным переменным. Тогда разностная схема A0) запишется в виде
B2)
Для разностной схемы B2) можно сформулировать условия, достаточ-
достаточные для выполнения принципа максимума. Неотрицательность всех ко-
коэффициентов при разностном решении в правой части B2) приводит
к условиям
<К*О, B3)
Ъ(х) - (\ - <т)тА(х) ^ 0. B4)
Условие B3) является естественным и не дает ограничений на шаг по вре-
времени. Условие B4) будет выполнено при всех г только для случая <т = 1,
т. е. только для чисто неявной схемы принцип максимума выполнен
безусловно.
При других а из B4) имеем
Учитывая выражение для коэффициентов разностной схемы A0), из B5)
получим достаточное условие выполнения принципа максимума схемы
с весами:
Оценка B6) показывает, что принцип максимума выполнен для схем
с весами с а Ф 1 при жестких ограничениях на шаг по времени г =
2
5.3.4. Сходимость разностной схемы
На основе принципа максимума устанавливаются соответствующие
оценки устойчивости и сходимости разностных схем в равномерной
норме. Для разностной схемы A0)—A2) также можно получить априор-
априорную оценку, выражающую устойчивость разностной схемы по началь-
начальным данным и правой части. Оценка может быть получена в норме
II2/H = max ||t/n||c(u/)- При рассмотрении нестационарных задач мы ори-
О^СЛГ
ентируемся на получение оценок в норме разностного решения на одном
слое. Фактически это соответствует использованию принципа максимума
для разностного решения на отдельном временном слое (для сеточного
эллиптического оператора).
5.3. Равномерная сходимость разностных схем
251
Для оценки решения на п-Ь 1 (n ^ 0) временном слое перепишем B2)
в виде
<гтА(х))уп+1(х) =
где
Fn, B7)
. B8)
При сформулированных выше условиях B3), B4) на параметры
разностной схемы рассмотрим сеточную эллиптическую задачу B7), B8).
Наиболее просто получить оценку решения разностного уравнения B7)
с однородными граничными условиями (в A1) д(х, tn+\)), что достаточно
при исследовании сходимости разностной схемы.
Для уравнения B7) с однородными граничными условиями справед-
справедлива (см. следствие 6 в п. 4.3) оценка
Шх)\\
В нашем случае
D(x) = b(x) + атА(х) - от
i
При таких D(x) и выполнении B3), B4) из B8) имеем
\Fn(x)
\С(ш)
Ш
D\X)
С{и)
Тем самым для уп+\(х) получим оценку
\\Уп(х)\\с{ш) + т\
Ы*)\
Пси
B9)
На основании разностной леммы Гронуолла из B9) получим искомую
оценку для разностной схемы B7), B8) с однородными граничными
условиями:
C0)
*=0
Ь(х)
Оценка C0) отражает устойчивость разностной схемы A0)—A2) с весами
по начальным данным и правой части в равномерной норме. Напомним,
что эта оценка получена в предположении выполнения принципа мак-
максимума (при выполнении оценок B3), B4) для параметров разностной
схемы).
252
Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Для исследования точности разностной схемы A0)—A2) формулиру-
формулируется соответствующая задача для погрешности zn = уп - и(х> tn), x Е ш.
Из A0)—A2) получим
b(x)Zn+l~Zn + A(azn+] + A - a)zn) = Vn,
хеш, п = о, 1,...
с однородными условиями
Zn+l(x) = 0, хедш,
zo(x) = 0, х е ш.
Для задачи C1)—C3) оценка C0) принимает вид
C2)
C3)
*=о
b(x)
C4)
Принимая во внимание оценку B1) для погрешности аппроксимации
разностной схемы A0)—A2), получим
llyn+i-ttllcn^MK + lfcl2), C5)
где v = 2 при G = 0,5 и v — 1 — в других случаях. Еще раз под-
подчеркнем, что устойчивость и сходимость разностной схемы установлена
при выполнении условий B3), B4). В более слабых нормах, как бу-
будет показано ниже, оценки, аналогичные C5), будут получены в менее
ограничительных условиях на параметры схемы.
5.3.5. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности
В вычислительной практике получили распространение и трехслой-
трехслойные разностные схемы с весами^ хотя они используются значительно реже
двухслойных. В трехслойных схемах необходимо дополнительно хранить
решение со слоя п — 1. Вместо A0) используем следующую разностную
схему
0Ь{х)уь + A - 0)Ъ(х)у1 + \{ах$ + A - <г\ - (Т2)у + а2у) = V?,
хеш, n = i,2,..., ( }
где и = ип-\, с дополнительными условиями A1), A2). Для того, чтобы
начать расчеты по трехслойной разностной схеме, необходимо поми-
помимо 2/о знать 2/i. Для нахождения у\ может использоваться какая-либо
двухслойная разностная схема.
Разностная схема C6) характеризуется тремя весовыми параметрами:
0, (Т\ и <72. Обычно используются два класса трехслойных разностных
схем, каждый из которых содержит только один параметр. Прежде всего
выделим симметричные разностные схемы, которые записываются в виде:
C7)
Ъ(х)уо + А(а$ + A - 2а)у + ау)=<р, п = 1, 2,...
5.3. Равномерная сходимость разностных схем 253
Схема C7) соответствует следующему выбору весов в C6): в = 0,5,
ах — а2 = 0". Нетрудно убедиться, что симметричная трехслойная схема
с учетом A9) имеет второй порядок аппроксимации по времени и по про-
пространству.
Второй класс трехслойных разностных схем для уравнения тепло-
теплопроводности соответствует использованию чисто неявных аппроксима-
аппроксимаций для эллиптического оператора. В этом случае разностное уравнение
имеет вид
0b(x)yt + A - 0)Ъ{х)т + Л$ = <Р, п = 1, 2,..., C8)
т.е. в C6) о*] = 1, 02 = 0. Для погрешности аппроксимации разностной
схемы C8) имеем
{О(т2 + |Л|2), <т = 1,5,
О(т + \h\2), <тф1}5.
Тем самым в классе трехслойных разностных схем C8) также имеется
схема второго порядка аппроксимации.
Можно показать (задача 2), что для симметричных трехслойных
схем C7) при а Ф 0,5 простые достаточные условия выполнения прин-
принципа максимума типа B3), B4) сформулировать не удается. В этом
плане большие возможности предоставляет несимметричная трехслойная
разностная схема.
С целью исследования разностной схемы C8) запишем ее в виде,
аналогичном B2):
@Ъ(х)+ тА(х))уп+1(х) = т V В(х^)Уп+\(О +
+ Ь(х)B0 - \)уп(х) + Ъ(х)(\ - 0)уп.1 + т<рп.
Отсюда видно, что при выполнении условий 20-1 ^0, 1-0^0, т. е.
при 0,5 ^ 0 ^ 1 принцип максимума выполняется. Однако схема второго
порядка @ = 1,5) этим условиям не удовлетворяет. Заметим, что при
0,5 ^ 0 ^ 1 принцип максимума выполнен без каких-либо ограничений
на параметры разностной сетки.
5.3.6. Задачи
Задача 1. Для одномерной нестационарной задачи теплопроводности
/(М)' 0<ж<*> 0<«<Т, C9)
u@, t) = ^@, u(l, t) = g2(t)y 0 < « < T, D0)
и(хH) = щ(х)) 0<х<1 D1)
постройте двухслойную разностную схему повышенного порядка ап-
аппроксимации (тр = О(т2 + h4)).
254 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Решение. И в этом случае повышение точности разностной схемы
достигается за счет аппроксимации на решениях, подобно тому как это
имело место в некоторых стационарных задачах (п. 4.2). На равномерной
сетке ш для приближенного решения задачи C9)—D1) будем исполь-
использовать схему с весами A0) при Ау — -ухх, х € ш. Для погрешности
аппроксимации имеем выражение
й + ч ( 1\
<ф = -щ - Л— ( а - - I rAut -f у. D2)
Разлагая в ряд Тейлора в точке (ж, гп+\/2), получим
г- т2-
щ = й -f О(т ), и = ч й-\ ч + О(т ),
2 / 8 2 D3)
u u+u + j
Подставляя D3) в D2) и принимая во внимание, что
д2и
получим для погрешности представление
Если положить <р = /, то придем к выражению для погрешности аппрок-
аппроксимации B0). На решениях уравнения C9)
д4и _ д2й d2f
и поэтому D4) преобразуется к виду:
Для получения схемы повышенного порядка аппроксимации положим
а = 0,5 — /i2/A2r), а правую часть разностной схемы зададим в виде
Задача 2. Сформулируйте условия, при которых для симметричной
трехслойной разностной схемы C7) выполнен принцип максимума.
5.4. Теория устойчивости разностных схем 255
Решение. Схему C7) запишем в виде
+ A-2аJг
-2<гт 5] В(я?,О»»-1(О + (Ь(«)-2сггЛ(х))уп-|(ж) + 2г^||. D5)
Условие положительности коэффициентов в правой части может быть
выполнено только при а = 0,5. Если а — 0,5, то ограничения на шаг
по времени обуславливаются необходимостью выполнения условия ти-
типа B4): Ь(х) - 2<ттА(х) ^ 0. Отсюда и следуют ограничения на шаг
по времени следующего вида
1 minc^ 2 2 ,
2maxfc(x)v '
для трехслойной симметричной разностной схемы C7) при а = 0,5. >
5.4. Теория устойчивости разностных схем
5.4.1. Необходимые и достаточные условия устойчивости
Изложение результатов общей теории устойчивости разностных схем
начнем с выделения класса двухслойных разностных схем с самосо-
самосопряженными операторами. Рассматривается устойчивость по начальным
данным и правой части разностной схемы, записанной в канонической
форме (см. п. 5.1):
ВУп+1~Уп+АУп = <рп, п = 0,1,... A)
с постоянными (не зависящими от п) сеточными операторами
В = В\ А = А\ B)
Простейшие оценки устойчивости двухслойной разностной схемы сле-
следуют из оценок устойчивости по начальным данным. Эти и некоторые
другие возможности обсуждаются ниже. Под устойчивостью разност-
разностной схемы по начальным данным понимается равномерная устойчивость
в смысле определения, данного в п. 5.2.
Исследование устойчивости будем проводить на основе метода энер-
энергетических неравенств. Поэтому получим прежде всего простейшее энер-
энергетическое тождество для разностной схемы A). Умножим уравнение A)
скалярно на 2ryt = 2(уп+] - уп). Это дает равенство
2т(Вуи yt) + 2т{Ауп, yt) = 2т(<рп, yt). C)
256 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Второе слагаемое в левой части C) преобразуем с учетом формулы
Уп
Подстановка D) в C) дает
Уп = ^(Уп+\ + Уп) - ^2"-
\ + Уп),Уп+1 -Уп) = 2r((pn,yt). E)
Для самосопряженного оператора А имеем
(А(Уп+\ + Уп), (Уп+\ - Уп)) = САуя+ь Ifo+i) + (АУп, Уп+\) -
- (АУп+\, Уп) - Dу„, Уп) = (Ауп+и Уп+i) - Uyn, Уп).
Это позволяет переписать E) в следующем виде
ьУп+i) = ЙУп,Уп) + 2т(^п,2/0- F)
Разностная схема с <рп = 0 устойчива (более точно, равномерно устойчи-
устойчива) в HD, D = D* > 0, если выполнена оценка
G)
Основной результат теории устойчивости разностных схем формулируется
в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием устойчивости раз-
разностной схемы A) при А = А* > 0 по начальным данным в На является
выполнение неравенства
Во > \А, (8)
где Б0 = 0,5(Б + Б*).
Здесь самосопряженность оператора В не предполагается. Для до-
доказательства достаточности мы должны показать, что из (8) следует
оценка G). Для однородной разностной схемы (<рп = 0) энергетическое
тождество F) принимает вид
yn). (9)
При выполнении неравенства (8) получим
т. е. оценку G) при D — А.
Необходимость будет установлена, если мы покажем, что из условия
устойчивости (оценки G) при D = А) следует операторное неравен-
неравенство (8). Выполнение (8) означает, что для любого v G Я выполнено
(Bv,v)>^(Av,v). A0)
5.4. Теория устойчивости разностных схем 257
Запишем энергетическое тождество (9) при п = 0:
2т(вгд(в - ^)й(О),й@)) + (Ауиух) = (Ау0, уо).
Принимая во внимание устойчивость схемы по начальным данным,
отсюда получаем
2т((Б - Т-А)у№,й@)) = -(АуиУх) + (Ау0,у0) > 0,
т.е.
Для любого v = 2/*@) ? Н находим у о = ->1 lBv ? Я. Устойчивость
имеет место при произвольных начальных условиях уо, и поэтому для
любых v выполнена оценка A0), т.е. операторное неравенство (8). Тем
самым и необходимость доказана.
Специально подчеркнем, что приведенный результат является не-
улучшаемым, условия устойчивости являются точными, так как необхо-
необходимые и достаточные условия совпадают.
Аналогичные условия устойчивости можно привести и для устойчи-
устойчивости разностной схемы A), B) по начальным данным вЯ5.А именно,
условие (8) необходимо и достаточно для устойчивости в Нв при В > 0.
Доказательство достаточности этого условия на основе метода энергети-
энергетических неравенств проведено в задаче 1.
5.4.2. р-устойчивость разностных схем
В некоторых важных прикладных задачах требуется исследование
разностной схемы на р-устойчивость с р Ф 1, когда вместо G) выполнена
оценка Цг/n+ilb ^ /^llj/nlb- Примером может служить асимптотическая
устойчивость (р < 1) для обычного уравнения теплопроводности. Для
обратных задач теплопроводности характерна ситуация с ростом нормы
решения по времени, т.е. р > 1. Поэтому, обобщая теорему 1, сфор-
сформулируем соответствующий результат о р-устойчивости с произвольным
р>0.
Теорема 2. Для разностной схемы A), B) условия
(и)
необходимы и достаточны для р-устойчивости в На при А > 0 (в Нв
при В > 0).
Доказательство проведем на основе получения соответствующих опе-
операторных неравенств. При этом неявная схема A) сводится к явной
и проводится оценка соответствующего оператора перехода.
18 Зак 168
258 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Ограничимся доказательством для случая В > 0 в Нв. Так как В > О,
то для однородной разностной схемы A) имеем
Уп+\ =уп- тВ-]Ауп, п = О, 1,... . A2)
В силу В = В* > 0 существует В]^2, применяя который к A2), получим
xn+l=Sxni n = 0,l,..., A3)
где хп = В]/2уп и
S = E-tC A4)
Здесь
1/21/2 A5)
— самосопряженный оператор.
Следующее неравенство для оператора перехода S
p A6)
эквивалентно условию устойчивости
IK+iIKpIM- A7)
С учетом хп — Вх'2уп перепишем A7) в виде искомой оценки устойчи-
устойчивости в Нв:
||»п+||Ы^р||»п1Ь. A8)
От неравенства A6) перейдем к неравенствам для операторов разност-
разностной схемы A). Для самосопряженного оператора S неравенство A6)
эквивалентно двухстороннему операторному неравенству
-рЕ ^S^pE. A9)
Принимая во внимание A4), из A9) получим
\Z±E ^ С к 1±1Е. B0)
Подставляя A5) в B0) и умножая его слева и справа на Б1/2 (неравенство
при этом сохраняется), получим двухстороннее неравенство A1).
Доказательство устойчивости в На в большей своей части проводится
аналогично переходом к явной схеме для хп = А^2уп.
5.4.3. Устойчивость по правой части
Приведем некоторые оценки, которые характеризуют устойчивость
разностной схемы A), B) по начальным данным и правой части. Прежде
всего сформулируем утверждение, вытекающее из устойчивости по на-
начальным данным и теоремы 1 из п. 5.2 о связи устойчивости по правой
части и по начальным данным. Здесь мы ограничимся случаем р = 1. Пе-
Переход к более общему случаю произвольного р > 0 носит редакционный
характер и не представляет трудностей.
5.4. Теория устойчивости разностных схем 259
Теорема 3. При А > О и выполнении неравенства (8) для разностной
схемы A), B) справедлива априорная оценка
r||B-VnlU. B1)
k=Q
Если В > О, то
п
^2\\(рп\\в-г. B2)
Оценки B1), B2) непосредственно следуют из доказанной общей
оценки B3) из п. 5.2 (Мх = 1, || • ||,Л = || • |b, D = А, В).
Полезны оценки устойчивости разностного решения по правой части
в других нормах. Некоторые случаи для решения дифференциальной
задачи отмечены в п. 5.1. Подобные оценки можно получить, загрубляя
условие (8).
Теорема 4. При А > 0 и выполнении неравенства
^А, B3)
где е > 0, для разностной схемы (I), B) справедлива априорная оценка
В B4) правая часть оценивается в наиболее простой норме. До-
Доказательство B4) проводится на основе энергетического тождества F).
Имеем
2т(<рп> и) < 2т\Ш\ ¦ |М| ^ 2те|Ы|2 + ^|Ы|2.
Подставляя в F) и используя условие B3), придем к неравенству
Принимая во внимание разностную лемму Гронуолла, из этого неравен-
неравенства получим искомую оценку B4).
Теорема 5. При А > 0 и выполнении неравенства
В>1-^тА, B5)
где е > 0, для разностной схемы A), B) справедлива априорная оценка
1 п
\\Уп+1\\2а ^ \Ы\л + -^ ?тЫв-" B6)
fc=0
18*
260
Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Снова рассмотрим энергетическое тождество F). Справедливы сле-
следующие неравенства
2T(<pn,yt) < 2т\\<рп\\в->Ы\в ^ 2т/ЗЫ\2в + ^1Ы||-. B7)
для любого /3 > 0. Подставляя B7) в F), получим
^ B8)
Имея в виду B5), выберем /3 так, чтобы 1 + е = 1/A - /?). Тогда B8)
дает следующую оценку решения на слое:
из которой и следует априорная оценка B6).
5.4.4. Устойчивость трехслойных разностных схем
Приведем некоторые условия устойчивости трехслойных разностных
схем, которые записываются в следующем каноническом виде:
+т R
2т т<
при условии, что постоянные сеточные операторы
B9)
А = А\ В = В\ R = R*. C0)
Устойчивость трехслойной разностной схемы B9), C0) будем ис-
исследовать на основе сведения к соответствующей двухслойной схеме
и использования сформулированных выше результатов об устойчивости
двухслойных схем.
Пусть
(Уп + Уп-\ 1
Уп = S ^ ' Уп " 2/n JJ
тогда (п. 5.2) трехслойная схема B9) записывается в виде
уп+1 _ y
В, ,,
г
В C2) операторы А и В определены следующим образом:
А 0 I
C1)
C2)
C3)
C4)
5.4. Теория устойчивости разностных схем
261
а правая часть C2)
Фп = {<Рп,О}. C5)
При сформулированных предположениях C0) оператор А является
самосопряженным, а В — несамосопряженным. Как уже отмечалось,
необходимым и достаточным условием устойчивости по начальным дан-
данным двухслойных разностных схем при А = А* > 0 является выполнение
неравенства (теорема 1 справедлива и при В Ф В*):
В ? 1
C6)
Устойчивость имеет место в пространстве Яд, при этом в силу C1), C3)
для V = {vj, vi} имеем
^lyy C7)
C8)
C9)
Н^+'На^ИГНа. D0)
Нам необходимо проверить выполнение неравенства C6) и условия
А > 0, чтобы получить оценку устойчивости по начальным данным D0)
двухслойной разностной схемы. При выполнении неравенства C9) в си-
силу C7) имеем А > 0. Из определения операторов А и В согласно C3),
C4) имеем
Теорема 6. Для разностной схемы B9), C0) с А > 0 при
R > Х-А,
имеет место оценка устойчивости по начальным данным
(r-1-a)
Поэтому для любого элемента V = {vuv2} из Я2 имеем
(в- ?а) V = {яг;, +т(д- ±а)ъ, -т(д- J^im j.
Отсюда следует
Следовательно, неравенство C6) будет выполнено при условии В ^ О
(неравенство C8)). Тем самым теорема доказана.
262 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Заметим, что как и при доказательстве устойчивости двухслойной
схемы (теорема 1), так и в случае трехслойной схемы B9) условие самосо-
самосопряженности оператора В фактически не используется. Второе замечание
касается того, что при выполнении C9) условие C8) является не толь-
только достаточным, но и необходимым условием устойчивости разностной
схемы B9), C0).
Сформулированный результат может быть получен на основе со-
соответствующего энергетического тождества для трехслойных разностных
схем, а также при оценке нормы оператора перехода при записи раз-
разностной схемы аналогичной использованной в задаче 2 из п. 5.2. Все это,
однако, приводит к использованию более громоздких выкладок, поэтому
мы ограничимся приведенными соображениями.
5.4.5. р-устойчивость трехслойных схем
Для получения условий р-устойчивости трехслойных разностных
схем B9), C0) можно преобразовать исходную разностную схему так,
чтобы условия устойчивости преобразованной схемы (с р — 1) давали
условия р-устойчивости исходной схемы. Аналогичный подход можно
было применять и в случае двухслойных разностных схем, что приводит
(задача 2) к устойчивости в менее удобных нормах.
Пусть в разностной схеме B9) произведено преобразование
yn=pnvm n = 0,l,.... D1)
Простейшая оценка для нормы новой сеточной функции vn+\ вида
IK+ill ^ ||«п|| соответствует оценке \\уп+\\\ < р\\уп\\, которая связана
с р-устойчивостью. Аналогичная ситуация имеет место и при использо-
использовании норм в Н2.
Трехслойная разностная схема B9) преобразуется с учетом D1) к виду
2r r2 ' v '
В D2) операторы определены через операторы исходной разностной
схемы B9) с помощью соотношений
D3)
RB + R,
At 2
А = ?-—В + (p-lJR + pA.
IT
Посмотрим, как трансформируются условия устойчивости разностной
схемы D2) в операторные неравенства для исходной разностной схе-
схемы B9). Условие А > 0 с учетом D3) принимает вид
Ч^-В + (р- \JR + рА>0. D4)
5.4. Теория устойчивости разностных схем 263
Проверим теперь выполнение условия
R > ^А. D5)
Принимая во внимание D3), получим
о2 1
Поэтому неравенство D5) преобразуется к виду
^—В + (р + 1J# - рА > 0. D6)
Необходимое и достаточное условие В ^ 0 принимает вид
0. D7)
2
Осталось сформулировать соответствующую оценку устойчивости. Для
разностной схемы D2) при отмеченных условиях на операторы справед-
справедлива (теорема 6) оценка
ll^n+1|ll^ II Vя II* D8)
где
Vn = {Vn + *"-\ vn-vn.^ D9)
причем
Принимая во внимание D1), из D9) получим
У =Р | 2 ,Vn-pvn-\>.
Поэтому можем определить
|»' + ffl-' y E0)
, ynpyn_
Оценка D8) в этом случае примет необходимый вид
\\Гп+1\\х^р\\?п\\х. E1)
Тем самым можем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 7. Для разностной схемы B9), C0) при выполнении нера-
неравенств D4), D6) и D7) имеет место оценка р-устойчивости по на-
начальным данным E0), E1).
Отметим, что оценка устойчивости E1) получена в сложных, в част-
частности зависящих от р, нормах. При некоторых более жестких ограни-
ограничениях на операторы разностной схемы можно получить оценки в более
простых нормах.
264 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
5.4.6. Устойчивость трехслойных схем по правой части
Приведем некоторые оценки устойчивости трехслойной разностной
схемы B9), C0) по правой части. Простейшие оценки можно получить
на основе записи трехслойной разностной схемы B9) в виде эквивалент-
эквивалентной двухслойной разностной схемы (задача 2 из п. 5.2)
при Yn = {уп-\у Уп} и Фп = {О, В2 Vn}, где В2 = R+Bt) xB. Определим
для вектора Y = {у\, у2} норму с помощью выражения
2 _ 1 2 2
4 R~4A'
Теорема 8. Для разностной схемы B9), C0) с А > 0 при выполнении
неравенств C8), C9) справедлива оценка
\\Yn+]\\D ^ Hr'lb + 2 \\В2{(Рп\\я- E4)
При сформулированных условиях на операторы разностной схе-
схемы B9), C0) имеет место устойчивость по начальным данным. Соот-
Соответствующая оценка устойчивости D0) означает в новых обозначениях
устойчивость в норме, определяемой согласно E3). Из E2) имеем
|ФЬ- E5)
В силу устойчивости по начальным данным
1|5У"|Ь < 11ПЬ, E6)
и осталось преобразовать второе слагаемое в E5). Имеем
^ Vi 12 1Рп\\1 E7)
Подставляя E6), E7) в E5), получим доказываемую оценку E4).
Как и в случае двухслойных разностных схем спектр оценок устой-
устойчивости по правой части может быть существенно расширен, в частности
за счет использования различных норм для правой части разностной
схемы B9), C0).
5.4.7. Задачи
Задача 1. Для разностной схемы A), B) с положительными операто-
операторами А и В при выполнении условия (8) получите методом энергетиче-
энергетических неравенств оценку устойчивости по начальным данным в Нв.
5.4. Теория устойчивости разностных схем 265
Решение. Для получения нового энергетического тождества умно-
умножим скалярно однородную разностную схему A) на 2т#:
) = 0. E8)
Принимая во внимание D) и аналогичную формулу
получим
2т(Вуи у) = (В(у -„),$ + „)+ т2(Вуи yt) = \\y\\l - \\y\\l + т2\\уг\\2в,
т г г3
2т(Ау, $) = - (А(у + у - ryt), $ + yn + ryt) = -\\у + у\\\ - у 1Ый-
Подстановка этих соотношений в E8) дает
Hj/IIb - IMIs + т2(\Ы\2в - ^Ы\2А) + J||j/ + J/Hi = 0. E9)
При выполнении неравенства (8) имеем
и поэтому из E9) следует оценка \\у\\в ^ \\у\\в> т-е- разностная схема A),
B) устойчива в Ив. >
I Задача 2. Получите условия р-устойчивости двухслойной разностной
схемы A), B) на основе преобразования D1).
Решение. Разностная схема A) записывается в виде
jg Л± _|_ AVn — jpn^ n = 0,1,... . F0)
Для операторов схемы F0) имеем
В = рВ, А=?^В + А. F1)
Разностная схема устойчива в Я^, если
Л> 0, В ^ ?-А. F2)
Эти условия приводят к двухстороннему операторному неравенству р-
устойчивости A1). При этом для исходной разностной схемы имеет место
оценка р-устойчивости по начальным данным вида ||yn+illj ^ Plljfollji-
Тем самым устойчивость получена в более сложной, чем раньше норме
(см. теорему 2). >
17 Зак 168
266 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
5-5. Устойчивость и сходимость разностных
схем для уравнения теплопроводности
5.5.1. Устойчивость двухслойных схем с весами
Начнем с рассмотрения двухслойных разностных схем с весами,
которые построены в п. 5.3 для первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности. Для удобства операторной формулировки будем, как
обычно, считать, что граничные условия однородны. Разностную схе-
схему A0)—A2) из п. 5.3 запишем в виде
hi )Уп+] ~~Уп \( +П- ) )- G -0 1 (\)
Т
Уо(х) = щ(х), х€ш. B)
Здесь оператор Л определен на множестве сеточных функций, обращаю-
обращающихся в нуль на ди и
2
Лу = ^2 ^Л C)
а=\
где, например,
АаУ = -(аа(х)ща)Ха, а =1,2. D)
Схему с весами A) запишем в каноническом виде
вУП±1^У1+Ауп = 1рпу n = 0(i,... E)
с операторами
В = Ь(х)Е + сттЛ, А = Л. F)
Разностная схема E), F) принадлежит к классу схем с весами, для
которых
В = D + атА. G)
Пусть в схеме E), G) оператор А = А* > 0, тогда необходимое и до-
достаточное условие устойчивости в На по начальным данным (теоремы 1
и 2 из п. 5.4)
В > \А (8)
принимает вид:
/ 1\
А > 0. (9)
Пусть D ^ 0, тогда условие (9) будет выполнено при всех о ^ 0,5,
независимо от временного шага (безусловная устойчивость). Если допол-
дополнительно известна положительная постоянная Д такая, что
А ^ ДД A0)
5.5. Устойчивость и сходимость разностных схем 267
то условие устойчивости (9) будет выполнено при
'>'-?;¦ <и>
Это неравенство можно интерпретировать как условие на шаг времени
при а < 0,5:
Например, для явной схемы условие на шаг по времени имеет вид
т<то = |. A3)
Полученные условия конкретизируем для разностной схемы A), B),
которая записывается в виде E), F). В этом случае отмеченные свойства
операторов А и D очевидны. Поэтому разностная схема с весами A),
B) безусловно устойчива по начальным данным при а ^ 0,5 в На.
В частности, это относится и к симметричной схеме. Ранее (см. п. 5.3)
безусловная устойчивость (в равномерной норме) была показана только
для чисто неявной схемы.
При а < 0,5 схема с весами условно устойчива. Пусть А постоянная
в неравенстве
Л ^ АЪ(х)Е, A4)
тогда условие устойчивости имеет вид (И), A2). Загрубляя A4), можно
получить явные ограничения на шаг по времени от параметров сет-
сетки по пространству. Пусть со = minc(x) и к2 = тахА;(ж). Принимая
во внимание неравенства
Ь(х)Е ^cqE, А ^ к2А ^ /с2Лтах?7, A5)
о
где А — сеточный оператор Лапласа, а Атах — его максимальное соб-
собственное значение. Для Атах (см. п. 4.7) можно использовать следующую
оценку
Атах<4(/*Г2 + /12-2). A6)
Принимая во внимание оценки A5), A6), можно сделать вывод о спра-
справедливости неравенства A4) с
A = 4-(h;2 + h?). A7)
со
Из A2) и A7) следуют следующие ограничения на шаг по времени:
Приведенную оценку можно (при а < 0,5) сравнить с более жесткой
оценкой устойчивости разностной схемы с весами (см. B6) в п. 5.3)
17*
268 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
в равномерной норме:
При а < 0,5 предельный шаг по времени в оценке A8) превышает
шаг по времени в оценке A9) (его можно увеличить в A - (г)/(\ - 2а)
раз). Оценка A8) отражает (также как и оценка A9)) существенную
зависимость максимального шага от h (т = O(\h\2)).
5.5.2. Точность двухслойных разностных схем
Для исследования точности разностной схемы с весами A), B)
необходимо рассмотреть задачу для погрешности zn(x) = уп(х) - и(х, tn),
х G ш:
b{x)*n+l-Zn + л(^+1 + A _ ^^ = ^
хеш, п = о, 1,...,
zo(x) = 0, х в и>. B1)
Для погрешности аппроксимации имеем (см. п. 5.3)
2, B2)
где v — 2 при G = 0,5и1/=1, если <т Ф 0,5.
Для погрешности соответствующие оценки можно получить на осно-
основе результатов устойчивости разностной схемы B0), B1) по правой части
(см. теоремы 3-5 в п. 5.4). Здесь мы используем аналог теоремы 4 для
разностной схемы E), F).
Теорема 1. При А — А* > 0, D = D* > 0 и а ^ 0,5 для разностной
схемы E), F) справедлива априорная оценка
^- B3)
В условиях теоремы В ^ D -f 0,5т4 и основное энергетическое
тождество (F) в п. 5.4) дает
2r(Dyu yt) + (Ауп+иуп+]) ^ (Ауп, уп) + 2т(<р„, yt).
Пользуясь оценкой
получим неравенство
Отсюда следует доказываемая оценка B3) устойчивости разностной схе-
схемы E), F).
5.5. Устойчивость и сходимость разностных схем 269
Применим теперь эту теорему к задаче для погрешности B), B1).
Принимая во внимание F), получим
т(Ь 'Фк^'Фк)' B4)
~ *=0
Из этой оценки вытекает более простая:
^ B5)
Оценки B4), B5) обеспечивают с учетом B2) сходимость разностной
схемы A), B) со вторым порядком по пространству и порядком v
по времени.
5.5.3. Трехслойные схемы с весами
Рассмотрим условия, при которых устойчива трехслойная разност-
разностная схема для уравнения теплопроводности. Общая трехпараметрическая
схема имеет (см. схему C6) в п. 5.3) следующий вид:
$b(x)yt + A - 0)b(x)yj + A(axy + A - ах - а2)у + а2у) = <р B6)
с заданными уо(х) и у\ (х), х G ш и однородными граничными условиями.
Прежде всего запишем схему B6) в каноническом виде
2 B7)
By
Непосредственно убеждаемся, что схема B6) имеет канонический вид B7)
при
В = Ъ(х)Е + {с\ - <т2)тЛ,
т 2
В случае B7), B8) операторы В, R и А самосопряженные, причем А > 0.
Устойчивость схемы по начальным данным обеспечивается (теорема 6
из п. 5.4) выполнением неравенств:
В > 0, R > ^А. B9)
Разностную схему B7), B8) будем рассматривать при дополнительном
ограничении в ^ 0,5. Случай, когда это не так (в < 0,5) должен иссле-
исследоваться отдельно (см. задачу 2) и для рассматриваемых задач теплопро-
теплопроводности интереса не представляет). Принимая во внимание операторное
неравенство A4), из B8), B9) получим
<ti-<72^-—, C0)
270 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Эти условия выполнены при
G, -<72^0, 0+<72>2> 0 0,5.
Из полученных условий C0), C1) устойчивости общего класса трехслой-
трехслойных разностных схем B6) следуют условия устойчивости выделенных
в п. 5.3 однопараметрических семейств трехслойных разностных схем.
Для симметричных трехслойных разностных схем имеем
* =2» <г\=(г2 = <г. C2)
Условия устойчивости C0), C1) в случае C2) принимают вид простейшего
неравенства
а > I. C3)
Класс чисто неявных трехслойных схем соответствует заданию параметров
схемы B6) в виде
<7, = 1, <72 = 0. C4)
В случае C4) условие C0) очевидно выполняется, также как и C1) при
8>\- C5)
В частности, схема второго порядка аппроксимации по времени и про-
пространству, для которой (см. п. 5.3) в = 1,5, также устойчива.
Для исследования сходимости трехслойных разностных схем исполь-
используются оценки устойчивости по правой части. Из таких результатов нами
сформулирована теорема 8 в п. 5.4. При условии устойчивости разност-
разностной схемы B7), B8) по начальным данным для погрешности разностного
решения Zn = {zn-i> zn} справедлива оценка
ll^"+llb^ll^lb + Sl№lle, C6)
где
B2 = R+±B, C7)
а норма определяется в соответствии с
Из оценки C6) следует, что необходимо согласовывать точность опреде-
определения разностного решения на нулевом и первом слое с погрешностью
аппроксимации трехслойной схемы.
5.5. Устойчивость и сходимость разностных схем 271
Получим более простую для вычислений оценку для нормы по-
погрешности аппроксимации. Имеем с учетом C7) и положительности
операторов В к R
Н^ЧНл = 2т||(Б + 2тДГЧНл ^ 2т||В-ЧНл.
Дальнейшие выкладки ведутся с учетом конкретных выражений B8)
для сеточных операторов. Например, для симметричной схемы B7), B8),
C2) имеем В = Ь(х)Е, R = а А и поэтому 2r\\B~l^n\\R = 2ar\\b~{^n\\A.
Можно получить и более приемлемые нормы для погрешности аппрок-
аппроксимации. Однако мы не будем на этом здесь останавливаться. На основе
проведенных рассуждений можно сделать вывод о сходимости трехслой-
трехслойных разностных схем в соответствующих нормах.
Дополнительный достаточно очевидный момент, как уже отмеча-
отмечалась, связан с необходимостью согласования точности расчета уо и у\
с погрешностью аппроксимации трехслойной схемы. Например, если
используется трехслойная схема второго порядка аппроксимации по вре-
времени, то с этой же точностью должно быть найдено у\ на основе какой-то
двухслойной разностной схемы.
5.5.4. Задачи
Задача 1. Исследуйте устойчивость разностной схемы E) при А — А*,
если
ат2А2. C8)
Решение. В рассматриваемом случае необходимые и достаточные
условия устойчивости в ЯА дают
О ^ 2В - г А = 2Е - т А + 2ат2А2 =
В силу этого разностная схема E), C8) будет безусловно устойчива при
а ^ 16. >
Задача 2. На основе регуляризации явной разностной схемы Ричардсона
постройте безусловно устойчивую явную разностную схему.
Решение. Схема C9) принадлежит к классу симметричных схем
с весами при
0 = ~> 0*1 = 0*2 = 0" = 0.
272 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
При таких значениях условия устойчивости C0), C1) никогда не выпол-
выполняются, т. е. схема Ричардсона абсолютно неустойчива.
Проведем регуляризацию разностной схемы на основе возмущения
диагональной части сеточного оператора, которую обозначим D. Придем
к разностной схеме Дюфорта и Франкела
/ \
b(x) — + Ayn+Dl ynj =ipn. D0)
Схема D0) отличается от схемы C9) заменой уп в диагональной части
оператора Л на полусумму решений сп + 1 ип-1 временных слоев.
Она записывается в каноническом виде B7) с
Схема B7), D1) будет устойчива по начальным данным при выполнении
неравенства
R-\a=\BD-A)>0. D2)
4 4
Для сеточных эллиптических операторов Л, определяемых согласно C),
D), имеет место оценка Л < 2D, доказательство которой проведено
в п. 4.7. А это значит, что выполнено условие устойчивости D2). Недо-
Недостатки разностной схемы D0) связаны с тем, что она имеет условную
аппроксимацию: ^п = О(т2 + \h\2 + r2|/i|~2), т.е. ^n = O(\h\2) при
г = O(\h\2) как и для обычной явной схемы. >
5.6. Асимптотическая устойчивость
разностных схем для уравнения
теплопроводности
5.6.1. Асимптотическая устойчивость
При описании процессов теплопроводности выделяется стадия ре-
регулярного режима (см. п. 3.4), которая характеризуется затуханием ре-
решения с асимптотикой главного (минимального) собственного значения
соответствующего оператора теплопроводности. Естественно стремиться
строить разностные схемы, чтобы они передавали такое асимптотическое
(при больших временах) поведение решения.
Обычно используемое условие устойчивости решения по начальных
данным состоит в том, что норма решения не возрастает со временем, т. е.
исследуется устойчивость разностных схем при /9=1. Для правильного
описания регулярного режима теплообмена необходимо, чтобы решение
затухало и закон затухания был бы определенный. Разностные схемы, ко-
которые удовлетворяют этому требованию, будем называть асимптотически
устойчивыми.
5.6. Асимптотическая устойчивость разностных схем 273
Будем рассматривать простейшее уравнение теплопроводности
ди ЛЛ
52 п <° (»
с граничными и начальным условиями:
и(х, 0 = 0, х G дп, t> 0, B)
и(х, 0) = щ(х), жба C)
На асимптотически развитой стадии регулярного теплообмена решение
определяется выражением
и(х, t) « w(x, 0 = («о, г^,)с e"Al^! (ж), D)
где Ai — первое собственное значение и соответствующая ему собственная
функция W\(x).
Краевой задаче A)-C) ставится (в соответствии с п. 5.3) разностная
задача
dv
— + At; = 0, х е и E)
at
в конечномерном пространстве сеточных функций Н с начальным усло-
условием
v(x, 0) = ио(х)у хеш. F)
В E) оператор Л самосопряжен и положительно определен:
Л = Л* ^ 6Е, б > 0, G)
где б — минимальное собственное значение разностного оператора Ла-
Лапласа Л. Для решения задачи E), F) на асимптотической стадии имеет
место представление, аналогичное D). Для формулирования адекватных
условий устойчивости приведем соответствующую оценку для нормы.
Домножая уравнения E) скалярно на v(t)9 получим с учетом G)
о = Nl^jjr + (
d\\v\\
dt " ¦¦
Из этого неравенства непосредственно вытекает следующая оценка устой-
устойчивости по начальным данным решения задачи E), F):
Представляется вполне обоснованным потребовать убывание нормы
и разностного решения задачи E), F) в соответствии с оценкой (8). Это
274 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
требует несколько уточнить понятие устойчивости соответствующего раз-
разностного решения. Разностная схема будет асимптотически устойчивой,
если имеет место следующая оценка устойчивости по начальным данным
\Ы\ ^ е-Н"\Ы\. (9)
Оценка (9) будет иметь место, если соответствующая разностная
схема /о-устойчива с
р = е~бт. A0)
В таком контексте исследование асимптотической устойчивости осно-
основывается на рассмотрении условий р-устойчивости с р, определяемой
согласно A0).
5.6.2. Двухслойные схемы
Запишем для E), F) обычную схему
1 + A-(г)уп)=0, п = 0,1,... A1)
с весом а.
Напомним (п. 5.4), что двухслойная разностная схема
В + Ауп = 0, п = 0, 1,... A2)
при А = А* и В = В* р-устойчива в На при А > 0 (в Нв при В > 0)
тогда и только тогда, когда выполнены условия
Проверим выполнение условий ^-устойчивости A3) для схемы с веса-
весами A1). Она записывается в каноническом виде A2) с операторами
В = Е + атА, А = А. A4)
Рассмотрим вначале правую часть двухстороннего неравенства A3). В слу-
случае A4) имеем
А^?-^Е + а([+р)А. A5)
Неравенство A5) будет в случае A4) выполнено при всех г при следующем
выборе веса:
а ^ —— = <т0. A6)
1+р
Обычное условие устойчивости (при р = 1) приводит к стандартному
условию безусловной устойчивости а ^ 1/2.
5.6. Асимптотическая устойчивость разностных схем 275
Принимая во внимание A4), левая часть A3) преобразуется следую-
следующим образом:
(A - р)а - \)А < 1-^-Е - б(\ - A - р)<т)Е. A7)
Неравенство A7) будет выполнено при
^ - 6A - A - р)а) < 0.
Отсюда вытекают ограничения на вес сверху:
Для задачи E)-G) рассматриваются р-устойчивые разностные схемы с р,
определяемым согласно A0). Проверим выполнение условий A6), A8)
на вес в таких предположениях. При р = е~6т имеем
1 1 1 _ 2р J _ 1 _1_
<Т]а°- 1_ р \+р fr~ \-р2 бт~ sh Fт) 1т
так как sh(/z) > /х при /х > 0. Тем самым нельзя указать вес сг, при
котором выполнены неравенства A6), A8), другими словами, среди двух-
двухслойных разностных схем с весами A1) нет безусловно асимптотически
устойчивых.
При отсутствии абсолютно р-устойчивых схем можно отметить неко-
некоторые классы условно /э-устойчивых схем с весами. Наряду с G) имеется
оценка для оператора Л сверху:
Л ^ ДЯ, A9)
где А — максимальное собственное значение разностного оператора
Лапласа Л.
Рассмотрим вначале вопрос о допустимых шагах по времени, не фик-
фиксируя при этом выбор веса разностной схемы. При выполнении A9)
вместо A6) имеем
°>°« = ТТр-Ь B0)
В этом случае
_ 1 11 1 _
ff| " а° ~ —р " ТТр 6т + Ат~
__1 1_/ _?_\ 1 l( v
" sh Fт) 6т V А) shOi) ц( V)y
где rj = 6/А.
276 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Допустимые шаги по времени определяются условием (Т\ - а0 ^ О,
т. е. выполнением неравенства
--A-4)^0.
sh (ji) \i
Это неравенство эквивалентно условию
где <р(ц) = fi/sh(fi). Покажем, что для функции у?(/х) при /z ^ 0 имеет
место неравенство
Ф) > 1 - J- B2)
Неравенство B2) эквивалентно неотрицательности функции
При исследовании неотрицательности функций будем использовать
утверждение, доказанное в задаче 1. В нашем случае
0, |@) = 0, 0@) = 0
0
при ^ > 0. Отсюда и следует справедливость неравенства B2).
Из B1), B2) следует /х2 ^ 6г/, и поэтому даже при оптимальном с точ-
точки зрения асимптотической устойчивости выборе веса а = <го(то) = а\(т0)
для шага по времени имеем
0 < г ^ го, г02 « —. B3)
Принимая во внимание, что 6 = 0A) иД = O(|/i|2), условие асимптоти-
асимптотической устойчивости B3) дает для максимального шага r0 = O(\h\).
Следует заметить, что с учетом погрешности аппроксимации по про-
пространству условие асимптотической устойчивости можно заменить на ус-
условие р-устойчивости с р = e~6hT, где 6h = 6 + O(\h\2). Однако рассчиты-
рассчитывать при этом на сколько-нибудь существенное увеличение предельного
шага по времени не приходится. В неравенстве B0) мы можем положить
теперь \i — 6hr. Вместо B3) придем к оценке 0 < г ^ т0, т02 « 6?/(<^Д),
которая ненамного слабее, чем B3).
Таким образом, для любых асимптотически устойчивых разностных
схем с весами шаг по времени должен подчиняться условию B3). Для
конкретных схем (схем с заданным весом а) это условие может только
заменяться на более жесткое.
5.6. Асимптотическая устойчивость разностных схем 277
Отметим наиболее интересные случаи разностных схем с весами. По-
Получим соответствующие условия р-устойчивости симметричной (а = 1/2)
и явной (а — 0) схем. В обоих случая левая часть A3) (неравенство A8))
выполнено. Это следует из неравенства
1-/9 6Т ' 2'
которое верно при р = е~6т для всех т > 0. Для доказательства этого
достаточно установить неотрицательность функции
при положительных \i. В этом случае
и поэтому имеет место неотрицательность функции (p(fi) при /г > 0.
В силу этого неравенство A8) выполнено при всех 0 ^ а ^ 1/2.
Остается отметить т, при которых выполнена и правая часть нера-
неравенства A3) (неравенство B0)):
(^I- B4)
Для оценки допустимых шагов по времени воспользуемся при fi = бт ^ 1,
г > 0 неравенством
р= — ^1-р=1-бт, 6т ^ 0.
С учетом этого неравенство B4) будет выполнено, если
1. B5)
Для симметричной схемы (а = 1/2) неравенство B5) будет очевидно
выполнено при
0 <т <То = jk '/2- B6)
Аналогичные рассуждения дают оценку для явной схемы вида:
0 < т ^ го = |, B7)
т.е. г0 = O(\h\2). Условие асимптотической устойчивости B7) для явной
схемы совпадает с условием обычной устойчивости (р = 1). Ограничения
на временной шаг симметричной схемы B6) близки к оптимальным
условиям асимптотической устойчивости (см. B3)).
278 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
1
г
0,5
2,513
0,75
0,734
0,9
0,230
0,95
0,107
0,975
0,052
Таблица 5.1
0,99
0,020
С позиций теории р-устойчивости можно рассмотреть и схемы с
а > 1/2. Они абсолютно устойчивы при р = 1, но ни при каких ограни-
ограничениях на шаги по времени типа B6), B7) не являются /^-устойчивыми
с р = е~6т. При небольшом ослаблении на величину р для таких разност-
разностных схем можно получить устойчивые схемы со слабыми ограничениями
на шаг по времени.
Для примера рассмотрим чисто неявную разностную схему. В этом
случае неравенство A6) (и тем более B0)) выполнено. Положим р = е~1бт,
где 0 < 7 < 1 (менее жесткие ограничения на убывание решения). Тогда
выберем максимальный шаг т0 так, чтобы выполнялось и неравен-
неравенство A8). Это неравенство будет выполнено при а = 1, если
-'-"*'> нЬ;- B8)
Неравенство B8) будет выполнено для 7 < 1 при бт ^ r(j). Соответ-
Соответствующие цифровые данные приведены в таблице 5.1. Тем самым при
соответствующих ограничениях на шаг по времени т ^ т0 = 6~lr(j)
имеет место р-устойчивость разностных схем с весами при р = е~1бт.
5.6.3. Трехслойные схемы
Подобный анализ асимптотической устойчивости может быть про-
проведен и для трехслойных разностных схем. Для приближенного решения
начальной задачи E)-G) будем использовать схему
+(l) +
+ А(ахуп+} + A - G, - а2)Уп + спУп-\) = 0 B9)
с весами 0, <ть сг2.
Рассмотрим в качестве первого примера неявные схемы с весами,
когда в B9) ах — 1, а2 = 0. При к ^ 2, где к = 20 - I, условия
асимптотической устойчивости приводят к неравенству
/х = бт < Jin ^ti. C0)
Z К — 1
В частности, из C0) вытекает более простая оценка /х ^ \/к. Полученные
ограничения на шаг по времени т ^. tq = l/(/c<5) необременительны.
Среди трехслойных симметричных разностных схем @ = 1/2, <т\ = ai = <г)
нет безусловно асимптотически /^-устойчивых схем с р = е~6т.
5.6. Асимптотическая устойчивость разностных схем 279
5.6.4. Задачи
Задача 1. Покажите, что при выполнении
dkf
dpf
-^(х) ? О, х > О, р ^ О
имеет место f(x)^O для всех х ^ О.
Решение. Для того чтобы убедится в справедливости этого, доста-
достаточно рассмотреть разложение функции f(x) в ряд Тейлора:
Задача 2. Исследуйте на асимптотическую устойчивость комплекс-
комплексную схему, которая записывается в каноническом виде A2) при
В = Е + тА+ у Л2, А = Л + ^Л2. C1)
Решение. Правая часть A3) выполнена при всех р > 0, а левая
с учетом C1) приводится к виду
т2А2 + тА>—-Е.
9
Принимая во внимание р — е~6т и оценку G), приходим к неравенству
-/г2 + /х^ ef1 - 1, д = вг.
Оно не выполнено ни при каких /х. Подобно чисто неявной схеме можно
взять р = е~1бт при 0 < 7 ^ 1- Данные по зависимости 6т ^ гG)
приведены в таблице 5.2.
7
г
0,5
9,037
0,75
4,136
0,9
2,591
0,95
2,180
0,975
1,984
Таблица 5.2
0,99
1,869
Тем самым рассматриваемая разностная схема имеет хорошие асим-
асимптотические свойства (даже при очень близких к единице значениях
параметра 7 допускается достаточно большой шаг по времени). Кроме
того, схема A2), C1) в отличие от чисто неявной схемы имеет второй
порядок точности по г. >
280 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
5.7. Гиперболическое уравнение
теплопроводности
5.7.1. Дифференциальная задача
Для моделирования высокоинтенсивных нестационарных процессов
теплопроводности используется (см. п. 2.1) гиперболическое уравнение
теплопроводности, которое учитывает конечную скорость распростране-
распространения тепловых возмущений. Уравнение переноса тепла в изотропной среде
имеет вид
^ ^ f(x,t), (x,t)€Q, A)
с обычным оператором теплопроводности
а=1
В A) V — параметр релаксации теплового потока. В качестве замыкающих
соотношений будем использовать следующие граничные и начальные
условия:
и(х, *) = 0> я е Г, C)
и(х, 0) = ио(я?), х е П, D)
ди
—(х,0) = щ(х), х?п. E)
Получим априорную оценку решения задачи A)-E), которая может слу-
служить ориентиром при исследовании устойчивости соответствующих раз-
разностных схем. Домножим скалярно вН = ?г(^) уравнение A) на du/dt:
( ди ди\ V д ( ди ди\ 10 / ди\
lc?'Tt) + 2di{cm' т) + 2*{Ьш>и) = V' т)- F)
Правая часть F) оценивается следующим образом:
Из F), G) следует
J{t) ^ \\\c-'l2f\\\ (8)
где с учетом однородных граничных условий C) величина
5.7. Гиперболическое уравнение теплопроводности 281
определяет норму решения задачи A)-E). Применяя к (8) лемму Грону-
олла (п. 5.1), получим оценку
t
J(t) ^ .7@) + \ J ||с-1/2(х)/(Ж) r)fdT. A0)
о
Априорная оценка (9), A0) при V = 0 вырождается в обычную оценку
устойчивости решения задачи теплопроводности (задача 2 из п. 5.1).
5.7.2. Устойчивость схем с весами
Для приближенного решения задачи A)-E) естественно использо-
использовать трехслойные схемы с весами. Общее трехпараметрическое семейство
таких разностных схем имеет вид
0b(x)yt + A - O)b(x)yj + Vb(x)y-tt +
+ А(<г\$ + (I - <г\ -(Т2)У + <72У) =<P (И)
с заданными уо(х) и у\(х), х G ш.
Схема A1) записывается в каноническом виде трехслойных разност-
разностных схем при
В = Ь(х)Е + (ах - <т2)тАу А = АУ
Рассматриваемая разностная схема отличается от схемы с весами для урав-
уравнения теплопроводности только дополнительным слагаемым Vr~2b(x)E
в операторе R, которое улучшает условия устойчивости.
В A2) операторы Б, R и А самосопряженные, причем А > 0.
Проверим выполнение условий устойчивости разностной схемы A1)
по начальным данным, которые имеют вид
В > 0, R > ^А. A3)
Из A2), A3) следует, что устойчивость схемы A1) будет иметь место при
„IV
В частности, из A4) следует абсолютная устойчивость при обычных
(см. п. 5.5) ограничениях на веса
^0 ^ в>
Конкретизация норм разностного решения проводится в соответствии
с общей теорией устойчивости трехслойных разностных схем (п. 5.4).
282 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
5.7.3. Симметричные схемы
Среди схем с весами выделим однопараметрическое семейство сим-
симметричных разностных схем, для которых
*=»> *1=*2 = <г. A6)
В этом случае разностная схема A1) имеет погрешность аппроксимации
1>n = O(r2 + \h\2).
При выполнении A6) условие устойчивости A4) принимает вид
В частности, симметричная явная схема (а = 0) условно устойчива:
г2 ^ 4V/A, т.е. при г < O(\h\).
Приведем разностный аналог априорной оценки (9), A0) для сим-
симметричной схемы A1), A6) в случае а = 0,25. Вводя обозначения
запишем симметричную разностную схему A1), A6) при а — 0,25 в виде
w + w $ 4- v
± Vb(x)wt + Л-у- = <р. A9)
Ъ{х)
Принимая во внимание очевидные равенства
т т
v + v = -(г& - гу), 0 - г; = -(w + гу),
домножим скалярно в Н разностное уравнение A9) на w -f w:
f w -\- w \
lb(x)—-—,w + wj +V(b(x)wuw + w) +
v), 0 - v) = (y>, t& + w). B0)
Для правой части используется оценка
l-(b-{(x)<p,<p). B1)
Принимая во внимание, что для самосопряженных операторов Q спра-
справедливо равенство
(Q(*i +*2),*i - z2) = (Q^i,^i) - (^2,z2),
из B0), B1) получим
, w) + (А«,«) ^ V(b(«)w, w) + (Av, v) + ^{V~\x)<p, tp). B2)
5.7. Гиперболическое уравнение теплопроводности 283
С учетом обозначений A8) из B2) получим неравенство
— (b~ (x)(pky^pk)) B3)
*=i 2
где
Зп - V(b(x)yj, yj) + (л^А V~y- J. B4)
Неравенство B3) является разностным аналогом (9), а норма B4) согла-
согласована с нормой A0) дифференциальной задачи.
Полученная оценка обеспечивает устойчивость по начальным дан-
данным и правой части. Поэтому для симметричной схемы непосредственно
установлена сходимость к точному решению в достаточно простых нор-
нормах. Это же замечание относится и к соответствующей разностной схеме
для обычного уравнения теплопроводности (V = 0 в A1)).
5.7.4. Задачи
Задача 1. Постройте для гиперболического уравнения теплопровод-
теплопроводности A), B) разностную схему четвертого порядка аппроксимации
по времени.
Решение. Разлагая в точке (ж, tn), x €и>, имеем
_Эи Т^дЫ 4 _(Ри Т^д\ 4
Поэтому
. Т2 8Ъи . .T2dAU / 4 , ,2ч / ч
— Ь(х) — Vb(x) — (р -\- О(т -\- \h\ ). B5)
6 dt 12 Ot
Из уравнения A) следует
л1 , В\ t fi2u ди t df
Поэтому B5) позволяет написать следующую разностную схему
Ъ(х)у. + Vb(x)y-tt + Ay + — {Ь(х)уц + Лу?) +
+ ^ ((VA - Ь(х))Ш - Ау;) =<р + -L^f. + ^Л, B6)
В силу проведенных построений разностная схема B6) имеет погрешность
аппроксимации О(т4 + \h\2). >
284 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
I Задача 2. Исследуйте устойчивость разностной схемы повышенного
I порядка аппроксимации по времени схемы B6).
Решение. Схема B6) записывается в каноническом виде с операто-
операторами
т2
В = Ь(х)Е + —А, А = А,
Условие устойчивости преобразовывается с учетом неравенства Л
АЬ(х)Е следующим образом:
Тем самым устойчивость имеет место при выполнения неравенства
V 1 \ 1 1 Л
Отсюда видно, что при V ^ 1/BД) рассматриваемая разностная схема
устойчива. >
5.8. Регуляризация разностных схем
5.8.1. Принцип регуляризации
Построение и исследование устойчивых разностных схем прово-
проводится на некоторых общих положениях. Таковым при построении раз-
разностных схем является принцип консервативности, который базируется
на требовании выполнения законов сохранения для дискретного аналога
дифференциальной задачи. Построение устойчивых разностных схем для
эволюционных задач может основываться на принципе регуляризации
разностных схем. Принцип регуляризации для построения итерационных
методов обсуждался в п. 4.7.
Принцип регуляризации разностных схем может рассматриваться как
общее правило улучшения качества (устойчивости, точности и т.д.)
разностных схем. Он основан на улучшении качества простейшей раз-
разностной схемы за счет возмущений сеточных операторов. Первичная
(производящая) разностная схема записывается в канонической форме,
а возмущение операторов проводится с учетом общих условий устойчиво-
устойчивости. Сами условия устойчивости, сформулированные в виде операторных
неравенств, указывают путь улучшения разностных схем.
Принцип регуляризации разностных схем является общим методи-
методическим приемом. Технологическая сторона этого принципа заключается
5.8. Регуляризация разностных схем 285
в следующей последовательности его использования. Построение устой-
устойчивых разностных схем осуществляется в несколько этапов.
1. Для исходной дифференциальной задачи записывается простейшая
разностная схема. Эта схема аппроксимирует дифференциальную
задачу, но не принадлежит к классу безусловно устойчивых.
2. Исходная разностная схема записывается в каноническом виде.
3. На основе общих условий устойчивости возмущаются сеточные опе-
операторы разностной схемы без нарушения условий аппроксимации.
Этим достигается построение класса устойчивых регуляризованных
разностных схем.
В дальнейшем принцип регуляризации будет применяться для по-
построения экономичных разностных схем при решении многомерных за-
задач. Этот подход применяется также при построении устойчивых раз-
разностных схем для некорректных (обратных) задач для эволюционных
уравнений. Здесь мы проиллюстрируем принцип регуляризации для по-
получения устойчивых разностных схем.
5.8.2. Регуляризация двухслойных разностных схем
Снова (см. п. 5.3) рассматривается краевая задача теплопроводности
c(x)^+Lu = f(x,t), (x,t)?Q, A)
ф,*) = 0, яЕГ, B)
и(х1О) = щ(х)у хеп, C)
где
В соответствии с принципом регуляризации разностных схем возьмем
в качестве исходной простейшую явную разностную схему
Уп+Ауп = <рп, хеш, п = 0,1,..., E)
уо(х) = щ(х), хеш. F)
В E) оператор Л определен на множестве сеточных функций, обращаю-
обращающихся в нуль на дш и, например,
2
Л» = - 5^(ав(ж)%)Яв , хеш. G)
а=1
Разностная схема E)-G) аппроксимирует исходную краевую задачу
A)-D) с точностью О(т + \h\2). Она принадлежит к классу условно
286 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
устойчивых, а именно, (см. п. 5.5) устойчивость имеет место при
т^го=д> (8)
где А — постоянная в неравенстве
Л ^ ЬЦх)Е. (9)
Будем строить абсолютно устойчивые разностные схемы на основе услов-
условно устойчивой разностной схемы E)-G). В соответствии со сформули-
сформулированным принципом регуляризации запишем схему E) в каноническом
виде двухслойных разностных схем
ВУп+]~Уп+Ауп = <рп, п = 0,1,.... A0)
Для сеточных операторов В и А имеем
В = Ъ(х)Е, А = А. A1)
Регуляризация основана на переходе от исходной разностной схе-
схемы к некоторой другой (возмущенной) схеме. Пусть 1Z = IV > 0 —
регуляризирующий сеточный оператор, через а обозначим параметр ре-
регуляризации (возмущения). Для устойчивости разностной схемы A0)
в На, где А = А* > 0 (в Нв при В = В* > 0) необходимо и достаточно
выполнение условия
В > Т-А. A2)
Регуляризацию в соответствии с необходимым и достаточным услови-
условием A2) естественно связать с аддитивным возмущением сеточного опе-
оператора В. Поэтому регуляризованную схему для E) запишем в виде
(Ь(х) + all) Уп+]~ Уп + Ауп = <рП} хеш, п = 0,1,... . A3)
Для регуляризованной схемы A3) имеет место следующее утверждение.
Для сохранения аппроксимации необходимо выбрать параметр возмуще-
возмущения а = О(т).
Покажем, что разностная схема A3) безусловно устойчива вЯ^и Нв
при выборе регуляризатора И — Л, если
*>\-{. A4)
Доказательство этого базируется на проверке необходимого и достаточ-
достаточного условия устойчивости A2). В случае схемы A3) имеем
В = Ь(х)Е + а11у А = А. A5)
С учетом (9) при И = Л подстановка A5) в A2) дает
Отсюда и следует доказываемое утверждение.
5.8. Регуляризация разностных схем 287
Заметим, что регуляризация A3) с К = Л соответствует не чему
иному, как применению обычной схемы с весами (а = сгт), а условие A4)
есть условие устойчивости схемы с весами (см. A1) в 5.5).
Естественно, что регуляризатор 1Z может выбираться по-разному.
Среди этих возможностей отметим выбор К = Л2. Для такого регуляри-
затора неравенство A2) преобразуется следующим образом:
В - Т- А = Ь(х)Е + «Л2 - ^Л =
Г2
Отсюда и следует, что при R = Л2 и а ^ ——, cq = min c(x) регуляризо-
16со
ванная разностная схема A3) абсолютно устойчива. Пример такой схемы
при Ь(х) = 1 рассмотрен ранее (см. задачу 1 в п. 5.5).
Улучшение свойств явной схемы E) мы провели за счет возмущения
сеточного оператора В двухслойной разностной схемы A0). Определен-
Определенные возможности предоставляет принцип регуляризации двухслойных
разностных схем и при возмущении оператора А (см. задачу 1).
5.8.3. Энергетически эквивалентные регуляризаторы
Мы рассмотрели регуляризаторы 11, непосредственно связанные
с исходным оператором теплопроводности Л. Принцип регуляризации
может быть основан на использовании регуляризаторов И, которые энер-
энергетически эквиваленты регуляризаторам, построенным на основе опера-
оператора Л. Такой подход использовался нами ранее в п. 4.7 для построения
итерационных методов решения стационарных задач теплопроводности.
Регуляризаторы удобно строить на основе простейших сеточных эл-
эллиптических операторов. Для коэффициентов сеточного эллиптического
оператора Л, определяемого согласно G), имеет место 0 < к{ < аа(х) ^ я2,
х ? и, где, например, К\ = mmk(x), ki = max k(x). Поэтому оператор Л
энергетически эквивалентен сеточному оператору Лапласа, который мы
обозначаем А:
к{А^А^к2А. A6)
Рассмотрим регуляризованную схему A3) с регуляризаторами, по-
построенными по оператору Лапласа. При И = А необходимое и достаточ-
достаточное условие A2) преобразуется с учетом (9) и A6) следующим образом
В - ^ А = Ъ(х)Е + aA-jA^
кг
288 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Отсюда следует, что устойчивость регуляризованной разностной схе-
схемы A3) с регуляризатором И — А будет иметь место при а ^ Ki (т/2 - Д ~х).
Это условие более жесткое, чем условие A4) устойчивости регуляризо-
регуляризованной разностной схемы A3) с И = А.
Аналогично рассматривается регуляризованная разностная схема A3)
при ft = (АJ. В этом случае
В - Т-А = Ь(х)Е + а(АJ - ^А = Ь{х)Е + ^А2 - ^ А,
и поэтому устойчивость будет иметь место при а ^ к2т2/(\6со). Та-
Таким образом в этом случае параметр регуляризации а пропорционален
квадрату максимума коэффициента теплопроводности.
5.8.4. Регуляризация трехслойных схем
Отметим возможности регуляризации трехслойных разностных схем
для задачи A)-D). В качестве исходной возьмем симметричную явную
схему (схему Ричардсона) (см. п. 5.5):
Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по времени и про-
пространству и записывается в канонической форме
By* + T2Ryit -f Ay = (р A8)
с операторами
В = b(x)E, R = О, А = А. A9)
Условия устойчивости разностной схемы A8) имеют вид
В ^ О, R > iji, A > 0. B0)
Схема A8), A9) является абсолютно неустойчивой в силу невыполнения
второго неравенства B0). Поэтому регуляризация может достигаться
за счет возмущения сеточного оператора R.
На основе A7) построим следующую регуляризованную схему
b(x)yf + otRy-ti + Ay = (p. B1)
Схема B1) записывается в канонической форме A8) с
В = Ъ(х)Е, R = aft, A = А. B2)
Отметим некоторые возможности выбора регуляризатора. Простейший
из них связан с заданием И равным D, где D — диагональная часть
сеточного оператора А. Принимая во внимание (см. п. 4.7) неравенство
А < 2D, при 11 = D получим
~aD~4 > \a~~2)D'
5.8. Регуляризация разностных схем 289
Поэтому при а ^ 0,5 условия устойчивости B0) регуляризованной раз-
разностной схемы A8), B2) будут выполнены. Частный случай регуля-
регуляризованной разностной схемы B1) при выборе а = 2 соответствует
использованию рассмотренной ранее в п. 5.5 схемы Дюфорта и Фран-
кела. Заметим, что а = 0A), и поэтому регуляризованная разностная
схема B1) существенно ухудшает аппроксимацию.
Пусть теперь в регуляризованной разностной схеме B1) И = Л.
В этом случае
при а > 0,25. Такой выбор регуляризатора соответствует использованию
обычной симметричной трехслойной схемы (см. п. 5.5), причем а — ат2.
При такой регуляризации схема сохраняет второй порядок аппроксима-
аппроксимации по времени и пространству. Можно отметить и некоторые другие
возможности построения регуляризованных разностных схем. Например,
как и в случае двухслойных разностных схем можно выбрать регуляриза-
тор на основе энергетически эквивалентного оператора.
5.8.5. Задачи
I Задача 1. Постройте регуляризованную разностную схему на основе
явной схемы A3) с возмущением оператора Л.
Решение. Рассматривается схема
Ь(а)Уя41~Уи + (Л - аП)уп = <рп, хеш, п = 0,1,.... B3)
г
Положим И — Л2 и проверим выполнение необходимых и доста-
достаточных условий. Принимая во внимание (9), условие положительности
оператора А = Л - аЛ2 дает ограничение на параметр регуляризации
снизу:
<* < Л .* , v. B4)
A min сух)
Неравенство A2) преобразуется следующим образом:
В - Т-А = Ь{х)Е + ^(аЛ2 - Л) =
Отсюда и следует оценка для а сверху:
а>0 T,v B5)
8 max с(х)
20 3ак. 168
290 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Явная схема A3) условно устойчива. Для максимального шага по времени
(при оптимальном а) имеет место ограничение
. B6)
)
Сравнивая B6) с условием устойчивости явной схемы A3) (г ^ 2/Д),
видим, что регуляризованная схема B3) при 11 = Л2 допускает несколько
больший шаг по времени. >
I Задача 2. Рассмотрите регуляризованную схему B1) с регуляризато-
ром 11 = Е {модифицированная схема Дюфорта и Франкела).
Решение. В этом случае регуляризованная схема имеет каноничес-
канонический вид
В = Ь(х)Е, R = aE, A = A.
Для сеточного оператора Л, определяемого согласно G), имеем
Л < 2D ^ 4 max k(x)(h^2 + h^E.
Условие B0) приводит к следующим ограничениям на параметр регуля-
регуляризации: а > maxk(x)(h^2 + h^2). >
5.9. Нелинейные нестационарные задачи
5.9.1. Квазилинейное уравнение теплопроводности
Отметим некоторые вопросы построения разностных схем для задач
нестационарной теплопроводности в средах, тепловые характеристики
которых зависят от температуры. Будем рассматривать уравнение тепло-
теплопроводности в изотропной среде
ди
с(х, u)—+Lu = /(ж, t, и), (ж, t) E Q, A)
где
Уравнение A), B) дополняется условиями
u{x,t)=g{x,t), хЕГ, C)
и(х, 0) = щ(х), хеП. D)
Отметим условия, при выполнении которых решение задачи един-
единственно. Исследование опирается на соответствующий результат о един-
единственности решения соответствующей линейной задачи. Пусть и(х, t) в Q
5.9. Нелинейные нестационарные задачи
291
удовлетворяет параболическому уравнению
Е *
E)
с непрерывными в Q коэффициентами. На основе принципа максимума
можно показать, что решение задачи C)-E) единственно. Заметим, что
это имеет место независимо от знака коэффициента ао(х) t).
Предположим, что существует два решения задачи A)-D) up{x)t),
?=1,2:
F)
с соответствующими граничными и начальными условиями. Для разности
решений w(x) = ui(x) - щ{х) получим (см. п.4.9) краевую задачу
dw дс
ди{
д
а=\
dw дк. ди{
G)
гу(ж, 0 = 0, х е Г, (8)
и;(ж, 0) = 0, ж € П. (9)
Здесь использованы обозначения
8F Г 8F
—(х,и)= I —(x,ue)d0, ив(х) = 0и2(х)-(\-в)и](х).
о
Линейная краевая задача G)-(9) принадлежит к отмеченному выше клас-
классу задач C)-E). Поэтому тривиальное решение w(x11) = 0 задачи G)-(9)
будет единственным при достаточной гладкости коэффициентов с(ж, и),
к(х,и)9 правой части f(x,t,u) и решений задачи A)-D). Можно потре-
потребовать выполнения неравенств
дс
(
дк
М.
A0)
Тем самым единственность решения нелинейной краевой задачи тепло-
теплопроводности A)-D) имеет место в классе ограниченных нелинейных
коэффициентов.
20*
292 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
5.9.2. Линеаризованные разностные схемы
На основе ранее построенных разностных схем для простейше-
простейшего нелинейного стационарного уравнения теплопроводности (см. п. 4.9)
приведем некоторые разностные схемы для нестационарной задачи. Опре-
Определим нелинейный сеточный эллиптический оператор стационарной те-
теплопроводности A(v)y на множестве сеточных функций, заданных на ш,
с помощью соотношения
а=1
Исходной дифференциальной задаче A)-D) ставится в соответствие диф-
дифференциально-разностная задача
b(x,v)-^+A(v)v = <p(x,t,v), хеш, 0<*^Т, A2)
at
v(xyt)=g(x,t), хедш, 0<t^T, A3)
v(x, 0) = щ(х), хеш. A4)
Здесь, например,
Ъ(х, v) = c(x, v), (р(х, t, v) = /(ж, t, v), хеш,
а коэффициенты аа(х, v) задаются в виде
п](х,у) = к(х\ - 0,5/1Ь х2,0,5(у(ж) 4-у{х\ - hux2)))y
а2(х,у) = к(хих2 -0,5h2,0,5(y(x) + y{x\,x2 ~ h2))),
или
1
j
Приведем некоторые разностные схемы для задачи A2)—A4). Прежде
всего можно выделить класс линеаризованных разностных схем, которые
характеризуются тем, что решение на новом временном слое находится
из решения линейной разностной задачи. Простейшая из них характери-
характеризуется тем, что коэффициенты берутся с предыдущего временного слоя.
Примером может служить разностная схема
п = 0,1,..., A5)
A6)
Уо = щ(х), хеш. A7)
Эта разностная схема имеет, очевидно, погрешность аппроксимации
О(т + \h\2).
5.9. Нелинейные нестационарные задачи 293
Развитием разностной схемы A5)—A7) может служить схема с ква-
зилинеаризованной правой частью:
Ь(х, Уп)-2^—- + ЧУп)Уп+\ = р(х, tn+uyn) +
д<р
+ —(ж, in+1, уп)(Уп+\ - »п), ж G о;, п = 0,1,... . A8)
cty
Схема A8), оставаясь линейной, имеет больший запас устойчивости
по нелинейной правой части.
Линеаризованные схемы могут строиться на основе разностных схем
предиктор-корректора. В этом случае разностная схема A5) модифициру-
модифицируется следующим образом. На этапе предиктора используется явная схема:
+ ЧУп)Уп = ?>(ж, *п, Уп),
х е w, п = 0,1,....
Схема A9) используется для вычисления коэффициентов и правой части,
и поэтому этап коррекции может соответствовать использованию схемы:
Ъ(х,уп+{)Уп+1^ Уп +A(yn+l)yn+l =?KMn+i,5rn+i), /20ч
хеш, п - о, 1,... .
Этап коррекции может осуществляться, например, и на основе схемы
линеаризации A8). Поэтому имеет смысл использовать вместо B0) схему
Ъ(х, Уп+\)-^^—- + Л(уп+\)Уп+\ = ?>(«, Ьп+иУп) +
У\ хеиу 11 = 0,1,.... B1)
Вместо B1) можно использовать несколько другой вариант квазилинеа-
квазилинеаризации:
У У Уп+i) +
+ ^~(х> *п+ь Уп+i)(yn+i - 2/n+i), ж € w, n = 0, 1,... .
Приведенные схемы демонстрируют большие возможности по по-
построению линеаризованных разностных схем. При прикладном математи-
математическом моделировании требуется проведение специальных методических
исследований по выбору разностных схем для определенного класса не-
нелинейных краевых задач. Теоретическое рассмотрение дает в нелинейных
задачах зачастую лишь слабые ориентиры.
Естественно, что линеаризованные разностные схемы для зада-
задачи A2)—A4) можно построить и на основе трехслойных разностных
294 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
схем. Не останавливаясь на подробном описании, ограничимся лишь
простейшими примерами. Для приближенного решения задачи A2)—A4)
можно использовать трехслойные симметричные разностные схемы
Ц^п)^^^^ B2)
хеш, n=o,i,...
с соответствующими начальными и граничными условиями. Эти лине-
линеаризованные схемы имеют второй порядок аппроксимации как по про-
пространству, так и по времени.
5.9.3. Нелинейные разностные схемы
В вычислительной практике получили широкое распространение не-
нелинейные разностные схемы, в которых решение на каждом временном
слое находится как решение нелинейной разностной задачи. Такие схемы
строятся аналогично разностным схемах для линейного уравнения тепло-
теплопроводности. Например, чисто неявная разностная схема для A2)—A4)
имеет вид
Ъ{х, уп+])^^—- + А(уп+1)уп+х = <р(х, *„+,, 2/n+i), ,23ч
хеш, п = о, 1,...
с дополнительными условиями A6), A7). Аналогично строятся и аналоги
схем с весами. В качестве примера приведем нелинейный аналог двух-
двухслойной симметричной разностной схемы (схемы Кранка—Николсона):
(b(x, уп) + Цх, tn+])) Уп+1~ Уп + А(уп)уп
Из трехслойных нелинейных разностных схем отметим неявные
схемы следующего (см. п. 5.3) вида:
+ A(yn+l)yn+\ = (p(x,tn+uyn+]), хеш, п = 0,1,... .
При в = 1,5 эта неявная схема имеет погрешность аппроксимации вто-
второго порядка по времени и пространству, а соответствующая линейная
схема безусловно устойчива. Приведенные разностные схемы являются
прямыми аналогами неявных схем для линейной краевой задачи неста-
нестационарной теплопроводности.
5.9.4. Итерационная реализация неявных схем
Для нахождения разностного решения на новом временном слое
неявных схем необходимо решать нелинейную разностную задачу. Для
определения уп+\ используются те ли иные итерационные процессы. Они
5.9. Нелинейные нестационарные задачи 295
строятся на основе обсуждаемых в п. 4.9 методов решения стационарных
нелинейных задач теплопроводности. Отметим некоторые важные осо-
особенности соответствующих нелинейных сеточных задач.
1. При итерационной реализации неявных разностных схем имеется
хорошее начальное приближение. Пусть wk — итерационное при-
приближение решения уп+\ на А;-ой итерации. В качестве начального
приближения естественно брать решение на предыдущем слое, т. е.
wk = Уп-
2. Сеточная задача для определения уп+\ содержит малый параметр —
шаг по времени т. Этот параметр существенно влияет на скорость
сходимости итерационного процесса (чем меньше т, тем выше ско-
скорость сходимости соответствующего итерационного процесса).
Отмеченные особенности характерны и для линейных сеточных задач
при реализации неявных схем и более предметно обсуждаются в главе 6.
Здесь мы ограничимся только некоторыми примерами.
Будем рассматривать нелинейную разностную схему B3). Простей-
Простейший итерационный процесс связан с последовательным уточнением не-
нелинейных коэффициентов. В этом случае новое итерационное приближе-
приближение wh+] для уп+\ находится из решения краевой задачи для разностного
уравнения
Л-+1 _
&(*, wk)
+ Л(«> V = Ф> tn+uw%
хеш, п = о, 1,... .
Линеаризованная разностная схема A5) совпадает с итерационной схе-
схемой B4), если ограничиться одной итерацией.
Модификация B4) связана с линеаризацией правой части, когда
используется уравнение
= Ф, *»+ь *>*) +
(ж, *n+l, wk)(wk+] - wk), хеш, п = 0, 1,... .
ду
Свойство самосопряженности сеточного эллиптического оператора для
определения нового приближения при такой модификации итерацион-
итерационного процесса B4) не нарушается.
Большое распространение при реализации нелинейных разностных
схем для нестационарных задач получил метод Ньютона. В этом случае
новое приближение находится из разностного уравнения
+ ^^yj^
ду т
—(xitn+uwk)(wk+l-wk)) хеш, п = 0,1,.... B5)
ду
296 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Здесь (см. п. 4.9) сеточный эллиптический оператор A'(wk) имеет вид
2
A'(wk)v = A(wk)v -У2( -^-(х, wk)(w%i
т.е. он не является самосопряженным.
Сеточная задача для уравнения B5) решается на основе использо-
использования итерационных методов. Но факт несамосопряженности сеточного
эллиптического оператора существенно усложняет проблему. Исследо-
Исследование скорости сходимости итерационного процесса B5) проводится
стандартным образом, но в силу громоздкости мы его опускаем.
5.9.5. Точность разностных схем
Исследование нелинейных разностных схем для нестационарных
задач математической физики осложняется отсутствием общей теории
нелинейных разностных схем. Методика изучения линейных разностных
схем, изложенная выше, является в достаточной мере общей и стандарт-
стандартной и состоит в исследовании погрешности аппроксимации, устойчивости
и сходимости. В части получения оценок точности общая теория линей-
линейных разностных схем не переносится на нелинейные разностные схемы.
Поэтому в настоящее время имеется очень много различных подходов
к исследованию сходимости разностных схем в нелинейных задачах. Это
отражает такую же ситуацию и в теории нелинейных уравнений матема-
математической физики.
Как и в случае стационарных задач теплопроводности (см. п. 4.9)
ограничимся простейшей нелинейной задачей A)-D), когда нелинейной
является только правая часть, т.е. с = с(х)9 к = к(х). Для такой задачи
рассмотрим чисто неявную схему B3), которая принимает вид
)+Ay=(p(xty) хеш п = 0,1,..., B6)
()
где теперь Л — линейный оператор:
2
-(аа(х)уга)Ха, а =1,2.
Будем считать, что правая часть B6) удовлетворяет условию
—(xyt,y)^v = comt. B7)
оу
Для исследования единственности разностного решения, определяемого
по уравнению B6) и условиям A6), A7), предположим существование
двух решений у'п, у„. Для разности vn(x) = Уп(х) - у'п(х) получим задачу
^(xitn+uy)vn+u x?", n = 0,l,..., B8)
ду
5.9. Нелинейные нестационарные задачи 297
vn+] = О, хе дш, B9)
v0 = о, х е w. (зо)
Пусть для шага по времени выполнено соотношение
min b(x)
тогда для разностной задачи B8)—C0) будет выполнен принцип макси-
максимума (см. п. 5.3), и поэтому она имеет только тривиальное решение. Если
в B7) постоянная v отрицательна, то единственность имеет место при
любых шагах по времени.
Для исследования точности разностной схемы B6), A6), A7) сформу-
сформулируем соответствующую задачу для погрешности zn(x) = yn(x)-u(x, tn),
х ? ш. Пусть ^п(ж) — погрешность аппроксимации, причем 1рп(х) =
О(т + \h\2), \h\2 = h] -f h\. Погрешность решения удовлетворяет уравне-
уравнению
Ъ(х)— -+Azn+i-—(я?,<п+1,у)гя+|=^„, жЕо;, n=0,i,... C1)
г ау
и однородным граничным и начальным условиям B9), C0). Пусть в B7)
i/^0, тогда (см. п. 5.3) на основании принципа максимума получим
оценку
Тем самым для чисто неявной разностной схемы показана сходимость
при выполнении B7) с неположительной постоянной и.
5.9.6. Задачи
Задача 1. Покажите, что для задачи A)-D) с с = с(ж), к = к(х)
при выполнении неравенства
справедлива априорная оценка
Решение. Используя разложение
/) f
/(*, *, и) = f(x, t, 0) + -?-(х, t, п)и,
уравнение A), B) запишем в виде:
19 Зак 168
298 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
Далее отдельно рассматривается задача для однородного уравнения
(устойчивость по граничным и начальным условиям) и задача с од-
однородными граничными условиями (устойчивость по правой части).
Задача 2. Для задачи теплопроводности A)-D) с с = с(х), к = к(х)
постройте линейные схемы предиктор-корректора второго порядка
аппроксимации по времени и по пространству.
Решение. Этап предиктора используется для вычисления нелиней-
нелинейной правой части на момент времени ?n+i/2- Корректор соответствует
использованию линеаризованной симметричной схемы:
b{xf^l^ + Ayji±l±yi = (p{x>tn+}/byh хеа>) п = 0,1,....
Для нахождения у можно использовать схему
хУ ~ Уп _
Естественно, для нахождения у могут использоваться и другие схемы.
Приведенная схема предиктор-корректора имеет погрешность аппрокси-
аппроксимации О(т2 + \h\2). >
5.10. Библиография и комментарий
5.10.1. Общие замечания
5.1. Линейные краевые задачи для параболических уравнений второго
рассматриваются во всех учебниках по уравнениям математической
физики [3, 7, 19]. Модельным уравнением выступает именно урав-
уравнение теплопроводности. Такие же задачи возникают при описании
процессов диффузии. Принцип максимума для уравнения теплопро-
теплопроводности имеет прозрачную физическую интерпретацию и на его
основе наиболее просто получаются результаты о единственности
решения основных краевых задач [21]. Нестационарные задачи ма-
математической физики часто рассматриваются как дифференциально-
операторные в соответствующих пространствах. Наиболее полно та-
такие задачи исследованы в книге [6]. Мы ограничились простейшими
оценками в гильбертовых пространствах.
5.2. Общая теория разностных схем для нестационарных задач излагается
в соответствии с [12-14], где, в частности, введены канонические
формы разностных схем для нестационарных задач. Одним из важ-
важнейших моментов при исследовании двухслойных разностных схем
является установление связи устойчивости по начальным данным
и устойчивости по правой части.
5.10. Библиография и комментарий 299
5.3. Методы построения разностных схем для нестационарных задач хо-
хорошо отражены в учебной литературе [1, 2, 9-12]. Мы привели
оценки погрешности только в случае достаточно гладких решений.
Более общие задачи (разрывные коэффициенты, обобщенные ре-
решения и т. д.) рассматриваются аналогично стационарным задачам.
Такой материал можно найти в [12, 14]. Исследование точности раз-
разностных схем проведено на основе принципа максимума. Обычно
(см. [12-14]) этот материал излагается для задач с постоянным коэф-
коэффициентом при производной по времени. Для рассматриваемых при-
прикладных задач теплофизики такое упрощение не всегда оправдано.
5.4. Общая теория устойчивости разностных схем излагается в соответ-
соответствии с работами [12-15]. Переход к канонической форме позволил
сформулировать в виде операторных неравенств необходимые и до-
достаточные условия устойчивости. Наиболее полное изложение этой
теории имеется в книге [16], где имеется также обзор других методов
исследования устойчивости разностных схем, приводится большое
число примеров.
5.5. Здесь приведена конкретизация результатов общей теории устойчи-
устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности. Содержа-
Содержание тесно примыкает к книгам [12-16]. Исследование различных
разностных схем для нестационарных задач теплопроводности дру-
другими методами имеется в [2, 4, 9-11,18].
5.6. Понятие асимптотической устойчивости введено в [16]. В [14, 16]
приведены примеры асимптотически устойчивых разностных схем.
В частности, проведено изучение обычных схем с весами для уравне-
уравнения теплопроводности. Здесь асимптотическая устойчивость связы-
связывается с р-устойчивостью разностной схемы, причем величина р < 1
согласована с асимптотическими свойствами дифференциально-раз-
дифференциально-разностной задачи.
5.7. Исследование устойчивости трехслойных разностных схем для ги-
гиперболического уравнения теплопроводности проведено на основе
общей теории устойчивости. Аналогичные разностные схемы для
телеграфного уравнения, подобного гиперболическому уравнению
теплопроводности, исследованы в [16].
5.8. Принцип регуляризации как общий методологический прием постро-
построения и исследования разностных схем предложен А. А. Самарским
в 1967 г. и обсуждается в [14]. Здесь он использован для построения
безусловно устойчивых разностных схем на основе исходных условно
устойчивых или неустойчивых разностных схем. Другие применения
принципа регуляризации нашли отражение в других частях работы.
5.9. Нелинейные краевые задачи теплопроводности рассматриваются
во многих оригинальных работах. В частности, книга [17] посвя-
посвящена исследованию процессов для так называемых режимов с обо-
обострением. Теория квазилинейных параболических задач отражена
19*
300 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности
в книге [8]. Разностные методы решения нелинейных задач теплопро-
теплопроводности рассматриваются в [5, 20]. Мы ограничились изложением
лишь отдельных моментов построения и исследования нелинейных
разностных схем.
5.10.2. Литература
1. Бахвалов Н. С, Жидков Н. Л., Кобельков Г М. Численные методы. М.: Наука,
1987.
2. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. М: ИЛ, 1963.
3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М: Наука, 1976.
4. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач. Нестационарные
задачи. ML: Изд-во МГУ, 1972. Вып. 2.
5. Карчевский М. М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных задач
математической физики. Казань: Изд-во Казанского государственного уни-
университета, 1976.
6. Крейн С. Г Линейные дифференциальные уравнения в банаховых простран-
пространствах. М.: Наука, 1967.
7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
8. Ладыженская О. А., Солонников В.А., Уральцева Н. И. Линейные и квазили-
квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1973.
9. Марчук Г И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
10. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. М.: ИЛ, 1960.
11. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
М: Мир, 1972.
12. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
13. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.
14. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
15. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
16. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
17. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. Я., Михайлов А. П. Режимы
с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.
М.: Наука, 1987.
18. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом
сеток. М.: Физматгиз, 1960.
19. Тихонов А. И., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1972.
20. Федотов Е. М. Разностные схемы для нелинейных нестационарных задач.
Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1987.
21. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.
М.: Мир, 1968.
Глава 6-
Экономичные разностные схемы
нестационарной теплопроводности
В главе 5 построены классы двухслойных и трехслойных разностных
схем для двумерного уравнения теплопроводности. При использовании
неявных разностных схем для нахождении решения на новом временном
слое приходится обращать сеточный эллиптический оператор. С этой
целью используются те или иные прямые и итерационные методы ре-
решения сеточных эллиптических задач. Вычислительные затраты в этом
случае могут значительно превосходить затраты при нахождении решения
по явной схеме.
Для явных схем число арифметических операций, приходящихся
на один узел сетки, не зависит от общего числа узлов, т. е. вычислительная
работа асимптотически оптимальна. Такие разностные схемы называют
экономичными разностными схемами. Но явные разностные схемы имеют
достаточно жесткие ограничения по устойчивости на допустимый шаг
по времени. Для рассмотренных выше неявных разностных схем в много-
многомерных нестационарных задачах аналогичные характеристики вычисли-
вычислительных затрат, вообще говоря, не достигаются, но среди этих схем есть
и классы безусловно устойчивых. Поэтому встает проблема построения
разностных схем, которые по вычислительной реализации были бы анало-
аналогичны явным схемам, т. е. экономичными, и в то же самое время были бы
абсолютно устойчивы, т. е. в этой части сохраняли бы качество неявных
схем. Обсуждению проблемы устойчивых экономичных разностных схем
для уравнения теплопроводности посвящена данная глава.
Рассматриваются проблемы вычислительной реализации неявных
разностных схем для многомерных нестационарных задач. При итераци-
итерационном решении сеточных эллиптических задач на верхнем временном
слое скорость сходимости зависит не только от шагов по пространству,
но и от шага по времени.
Примерами простейших экономичных разностных схем для уравне-
уравнения теплопроводности могут служить хорошо известные схемы перемен-
переменных направлений. Следует заметить, что метод переменных направлений
плохо обобщается на случай трехмерных задач с неразделяющимися пе-
переменными.
302 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Для построения экономичных разностных схем широко используют-
используются факторизованные схемы, в которых оператор на верхнем временном
слое представляется в виде произведения экономичных операторов. Такие
схемы могут строиться на основе принципа регуляризации разностных
схем.
Рассматриваемые экономичные схемы относятся к классу аддитив-
аддитивных разностных схем. Они характеризуются тем, что определяющий се-
сеточный оператор (в нашем случае — оператор теплопроводности Л) пред-
представляется в виде суммы нескольких операторов более простой структуры,
например, в виде суммы одномерных сеточных операторов. На основе по-
понятия суммарной аппроксимации строятся и исследуются общие классы
аддитивных разностных схем.
На основе общих результатов теории аддитивных схем анализиру-
анализируются двухслойные и трехслойные экономичные разностные схемы для
уравнения теплопроводности. Расщепление на сумму одномерных се-
сеточных операторов приводит нас к локально-одномерным разностным
схемам. Отмечены другие возможные направления построения аддитив-
аддитивных разностных схем нестационарной теплопроводности.
6.1. Вычислительная реализация
неявных схем
6.1.1. Сеточная эллиптическая задача
В качестве примера будем рассматривать обычную двухслойную схему
с весами для уравнения теплопроводности (см. п. 5.3) при моделировании
процессов теплопередачи в прямоугольной области Г2:
Ъ(х)Уп+1~Уп+А(ауп+1 + (\-(т)уп)=<рп, хеш, п = 0,1,..., A)
уп+\(х) = д(х, tn+]), x? дш, B)
уо(х) = щ(х), хеш. C)
Эта схема имеет погрешность аппроксимации О(ти + \h\2), где и = 2 при
а = 0,5 и v = 1, если а ф 0,5.
Пусть Д — постоянная в неравенстве
Л ^ АЪ(х)Е, D)
тогда (см. п. 5.5) схема с весами A)-C) устойчива при выполнении
неравенства
Для нахождения решения на новом временном слое из A)-C) получим
сеточную эллиптическую задачу (а > 0) для уравнения
+ <хЛ уп+х = Fny xe w, F)
6.1. Вычислительная реализация неявных схем 303
дополненного краевым условием B). Правая часть F) имеет вид
Сеточная эллиптическая задача B), F) характеризуется явным присут-
присутствием временного шага г и весового параметра <г. Поэтому предста-
представляется целесообразным исследовать скорость сходимости итерационных
методов для задачи B), F) от этих параметров.
6.1.2. Явный итерационный метод
Запишем сеточную эллиптическую задачу B), F) в виде операторного
уравнения
Av = f G)
в гильбертовом пространстве сеточных функций, заданных на о; и обра-
обращающихся в нуль на дш. Для оператора А имеем представление
^ стА. (8)
т
В силу такого представления
А = А* > 0 (9)
при г > 0 и а > 0.
Для приближенного решения задачи G) будем, для определенно-
определенности, рассматривать двухслойный итерационный процесс с чебышевским
набором итерационных параметров тк:
+ Avk = f, fc = 0,1,... . A0)
тк+\
При
В = В*>0 A1)
и выполнении двухстороннего операторного неравенства
7i? ^ A ^ 72#> 7i > 0 A2)
для числа итераций чебышевского итерационного метода (9)-A1), не-
необходимых для достижения относительной точности е9 справедлива
(см. п. 4.6) оценка
где
1 ?1/2 7.
В силу A3), A4) при итерационном решении задачи G), (8) основной
интерес представляет зависимость ? от т и а.
304 Глава 6. Экономичные разностные схемы
В качестве простейшего примера рассмотрим итерационный процесс,
когда в качестве оператора В берется (см. п. 4.7) диагональная часть
оператора А. Для сеточного оператора (8) диагональная часть D = d(x)E
имеет вид
d(x) = 7i(ai(x! +h\,x2) + ai(xux2)) +
п\
+ ^(а2(хих2 + h2) + a2(xux2)) + —. A5)
Приведем оценки для постоянных 7а > <* = 1>2 в неравенстве A2) при
выборе В = D.
Как и ранее (см. п. 4.7) имеет место равенство
71+72 = 2. A6)
Для оценки 7i подобно рассмотренному ранее в п. 4.7 предельному случаю
а = 1, г = оо используются решения одномерных трехточечных задач.
В качестве 7i можно взять
2
7i = min^^M^1 = min M^l(x2) + min M{\x\).
Сеточные функции М1~1(ж2), M^ixx) определяются согласно
М~х = max va(x), a= 1,2,
где
^a^J*. ~^(ж)> ж G a;, va(x) = 0, жа = 0,1а.
Влияние т и а удобно проследить на примере задачи теплопроводно-
теплопроводности в однородной среде, когда и и сетка квадратные (h = h\ — h2). В этом
случае Л(ж) = fc0, с(ж) = со и левое неравенство A2) принимает вид:
akQ(Av, v) + ^(v, v) > Tl {^- + ^) (t»,«), A7)
о
где А — сеточный оператор Лапласа на квадратной сетке. Принимая
во внимание неравенство
о 4 7irh
А^бЕ, e=_sin2 —,
где 6 — О(\) — минимальное собственное значение, из A7) получим
следующее выражение для 7i •
6ko<TT + CQ
71 = Ah-ikovr + o- °8)
Из A8) вытекает следующая асимптотическая зависимость
?± 2(от)). A9)
6.1. Вычислительная реализация неявных схем 305
При использовании симметричной схемы с учетом асимптотики
погрешности аппроксимации и условия асимптотической устойчивости
(см. п. 5.6) естественно выбрать шаг по времени т = O{h). Тогда из A9)
имеем ? = O(h), и тем самым число итераций рассматриваемого итера-
итерационного метода будет зависеть от общего числа узлов. Оценка A3) дает
п ^ щ(е) = O(ft~l/2 In (e)). B0)
При а Ф 0,5 и г = O(h2) (погрешность аппроксимации в этом случае
O(h2)) вместо B0) из A9) получим
т. е. число итераций явно не зависит от числа узлов. Другое дело, что отно-
относительная точность итерационного решения е должна быть согласована
с погрешностью аппроксимации, тем самым с сеточными параметра-
параметрами. Но в любом случае эта зависимость слабая (при € = т^, C > 0,
щ(е) = О (in (г)), и поэтому итерационный метод при таком соотно-
соотношении шагов по пространству и времени можно относить к экономичным
методам решения нестационарных задач.
6.1.3. Итерационный метод переменных направлений
Отметим особенности использования итерационного метода пере-
переменных направлений для решения сеточной эллиптической задачи G),
(8) на верхнем временном слое. В этом случае оператор (8) необходи-
необходимо (см. п. 4.7) представить в виде
А = А,+А2> Аа = А*а, а =1,2. B1)
С этой целью используем разбиение оператора Л на одномерные
операторы:
Л = Л,+Л2, Ла = Л;>0, а =1,2. B2)
Тогда с учетом (8) представим операторы Аа, а = 1, 2 в виде
Ах =/?^ +<тЛь А2 = A -/3)^ + <тЛ2, B3)
где /3 — некоторый числовой параметр @ ^ /3 < 1), выбор которого
необходимо подчинить условию минимума числа итераций.
Для приближенного решения уравнения G) используется итераци-
итерационный метод переменных направлений с постоянным итерационным
параметром о>0:
~ vk , А . .
B4)
О70
306 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Скорость сходимости итерационного процесса B4) определяется (см.
п. 4.6) постоянными Аа, ба, а = 1,2 в неравенствах:
6аЕ ^Аа^ ДаЯ, 6а > 0, а = 1,2. B5)
Уменьшение нормы погрешности определяется величиной
= -гЧ «=1.2.
Для слагаемых B2) сеточного оператора Л имеют место (см. п. 4.7)
неравенства типа B5):
6аЕ ^ Л„ ^ АаЕ, 6а>0, а = 1,2, B6)
где
?„ = ОA), Аа = О(К2), а =1,2. B7)
Из B4)-B6) непосредственно следует
^ B8)
= ™^ + (г2 Д2 = A_/,M!«ь^ + <гд2. B9)
Т Т
Исходя из B8), B9) получим соответствующие выражения для ?а =
6а/Аа> а — 1, 2. Как и ранее, при т = О(/&) имеем ?а = O(h), a = 1, 2
и &» = 0A), а = 1, 2 при г = O(h2). Для числа итераций справедливы
те же заключения, что и в ранее рассмотренном случае итерационного
метода с диагональным сеточным оператором В. Например, при т = O(h)
справедлива оценка, аналогичная B0).
Для исследуемого итерационного метода переменных направле-
направлений B4) полезно отметить следующее обстоятельство, которое касается
выбора параметра /3 в разложении B3). При г —> 0 естественно ожидать
увеличения скорости сходимости. Однако это имеет место только при
выборе р = 0 или /J = 1. При 0 < /3 < 1 из B8), B9) следует
minb(a)
lim ?а = -—г
r->o max Ь(ж)
и для задач теплопроводности с непостоянной теплоемкостью скорость
сходимости итерационного метода будет конечной при уменьшении шага
по времени. Поэтому при разложении B3) необходимо выбрать либо
Р = 0, если 6\/А\ > S2/A2i либо р = 1 при б[/А{ < *6г/&2-
6.1.4. Попеременно-треугольный метод
Среди итерационных методов решения сеточных эллиптических за-
задач выделяется попеременно-треугольный метод, для которого число
6.1. Вычислительная реализация неявных схем 307
итераций пропорционально корню квадратному из числа узлов по одно-
одному направлению. Рассмотрим возможности этого метода применительно
к решению задачи на верхнем слое при реализации неявных схем для
уравнения теплопроводности.
Будем считать, для простоты, что рассматривается уравнение G)
с постоянными коэффициентами сеточного оператора (8), т.е.
А= —Е + акоА, C0)
о
где А — сеточный оператор Лапласа.
В этих условиях попеременно-треугольный метод соответствует вы-
выбору оператора В в A0) в виде
В = (Е + шоА])(Е-\-шоА2), C1)
где
А = А\+ A2i A\ = А2.
Принимая во внимание C0), получим
^Е + ак0Аа, а =1,2. C2)
IT
Для числа игераций попеременно-треугольного метода A0), C1) имеет
место (см. п. 4.7) оценка
lnBg-') б
По{€)= B2'/2,i/4)' *=Д' C3)
где 6 и Д — положительные постоянные в операторных неравенствах
jA. C4)
Для получения этих оценок для оператора C0) воспользуемся соответ-
соответствующими оценками для оператора Лапласа (см. п. 4.7):
о
о о о о /\ о
А &6В, AlA2^jA1 C5)
где
б = ОA), А = О(|ЛГ2). C6)
Принимая во внимание C0), C2) и C5), для постоянной 6 в нера-
неравенстве C4) получим
б = - + ако6. C7)
С учетом C2), C4) и C5) имеем
АХА2 = (^E +
_
308 Глава 6. Экономичные разностные схемы
и тем самым
2сп о
А = — + ак0А. C8)
Из C7), C8) и C6) следует, что г] = 6/А = O(\h\~2r), поэтому для числа
итераций попеременно-треугольного метода получим
) C9)
В силу оценки C9) при г = O(h) число итераций будет пропорцио-
пропорционально только /i/4. Такая слабая зависимость от сетки по пространству
служит хорошим основанием использования попеременно-треугольных
методов, а равно и других быстрых итерационных методов решения се-
сеточных уравнений для реализации неявных схем для нестационарных
задач математической физики. В настоящее время вопросам итерацион-
итерационной реализации неявных схем уделяется все большее внимание.
6.1.5. Итерационные методы с эллиптическим оператором В
Остановимся отдельно на использовании в качестве оператора В
итерационного метода A0) сеточного эллиптического оператора с посто-
постоянными коэффициентами, т.е.
B = gl + dE D0)
с некоторыми постоянными д > 0 и d ^ 0. Для обращения оператора В
можно использовать быстрые прямые методы (см. п. 4.5).
При 0 < К\ ^ аа(х) ^ к2, хеш оператор Л энергетически эквива-
эквивалентен сеточному оператору Лапласа, т. е.
к]А^А^к2А. D1)
Пусть в рассматриваемой разностной схеме A)-C) 0 < Ь\ ^ Ь(х) ^ Ь2-
Поэтому для оператора А, определяемого согласно (8), с учетом D1)
имеем
А^—Е + ак2А, А^ —Е + сг^А. D2)
т т
Для оценки скорости сходимости итерационного метода A0), D0) не-
необходимо найти постоянные ja, а — 1, 2 в A2). В частности, можно
поставить задачу оптимального выбора параметров д и d в D0).
Рассмотрим в качестве примера случай задания В согласно D0)
о
с d — 0, положив д = 1, т. е. В = А. На основании оценок D2)
и 6Е ^ А ^ Ке получим в A2)
7i = -(А) +<тки ъ = -(«Г1
т т
6.1. Вычислительная реализация неявных схем 309
Отсюда следует, что для ? = 71/72 имеем
Нт * = ?¦«(?)-'=О(|Л|2).
О
Тем самым выбор В = А абсолютно непригоден для реализации неявных
схем.
Примером значительно более удачного выбора может служить зада-
задание
т. е. в D0)
В случае D3) из неравенств D2) следует двухстороннее неравенство A2) с
^ЦЛт'^1' Ъ = 2. D4)
^ 0[ + &2 К\ + &2 )
На основании D4) можем заключить, что скорость сходимости итераци-
итерационного процесса A2), D2) не зависит от шагов сетки по пространству
и времени и определяется только перепадом коэффициентов теплопро-
теплопроводности и теплоемкости.
6.1.6. Задачи
Задача 1. Сформулируйте сеточную эллиптическую задачу на верх-
верхнем слое при использовании трехслойных схем с весами для уравнения
теплопроводности.
Решение. Для определения уп+\ получим уравнение G) с (см. 5.3)
оператором
т
В частности, реализация симметричных трехслойных схем связана с обра-
обращением сеточного эллиптического уравнения
Для класса неявных трехслойных разностных схем имеем
0Ъ(х)
А = —— + Л.
т
В силу этого приведенные выше рассуждения о зависимости скорости
сходимости итерационного процесса от шага по времени остаются в
силе. >
310 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Задача 2. Приведите простейшие оценки согласования точности ите-
итерационного процесса реализации неявной схемы с погрешностью аппрок-
аппроксимации.
Решение. Пусть решение на новом временном слое находится ите-
итерационно с некоторой абсолютной погрешностью ?0, т.е. вместо уп+\
находится уп+\, причем уп+\ = уп+\ + ?о. Тогда вместо уравнения A)
выполняется
хеш, n = o,i,... .
Тем самым вносится дополнительная погрешность. Для сохранения точ-
точности разностной схемы О(ти + \h\2) достаточно потребовать, чтобы
€0 = O(rl/+1), т. е. решение на новом временном слое должно находиться
с повышенной точностью. >
6.2. Метод переменных направлений
6.2.1. Продольно-поперечные разностные схемы
для уравнения теплопроводности
Рассматривается базовая двумерная задача нестационарной тепло-
теплопроводности в изотропной среде, когда процесс переноса тепла описы-
описывается уравнением теплопроводности
ди
с(х)— +Lu = f(x, t), (х, t) e Q, A)
at
где
V- д Л/ ч ди\
*•—Ея^ВДя;)- <2)
Для удобства использования операторных формулировок будем считать,
что граничные условия для уравнения A) однородны. Пусть, например,
граничные и начальные условия имеют вид:
и(х t) — 0 х ? Г C^
и(х, 0) = щ(х), хеп. D)
После дискретизации по пространству от задачи A)-D) придем
(см. п. 5.3) к системе уравнений
dv
Ь(х)— +Av = ф(ху t), хеш, 0<t^T, E)
at
дополненной условиями
v(x, 0 = 0, х е ди, 0<t^T, F)
v(x, 0) = щ(х), хеш. G)
6.2. Метод переменных направлений 311
В уравнении E) для оператора Л используется, например, следующее
представление:
2
a=] \°/
Aav = ~(a>a(x)vxa)Xai a = 1, 2,
a b(x) — c(x) при ж G о;.
Разностные схемы метода переменных направлений для уравнения
теплопроводности (I), B) основываются на представлении оператора
по пространственным переменным Л в виде (см. (8)) суммы двух опе-
операторов Л] и Лг, каждый из которых является одномерным. Разностные
схемы, базирующиеся на обращении одномерных операторов, относятся
к классу экономичных, так как соответствующие вычислительные затра-
затраты (трехточечная прогонка, ленточные матрицы) на один узел не зависят
от общего числа узлов.
Классическая разностная схема переменных направлений {схема Писме-
на—Рэкфорда) для задачи E)-G) состоит из двух шагов. Сначала по из-
известному уп находится вспомогательная сеточная функция (которую мы
обозначим г/п+1/2) из уравнения
Интерпретируя yn+i/2 как решение на момент времени tn+\/2 = ?п + т/2,
можно заметить, что (9) соответствует определению решения по чи-
чисто неявной схеме по переменной хх (оператор А\) и по явной схеме
по переменной х2 (оператор Л2).
Понятно, что в такой транскрипции второй шаг метода переменных
направлений будет соответствовать использованию уравнения
b(x)yn+i~?+i/2 + A,j,n+1/2 + Л21Л.+, = yv A0)
Тем самым второй шаг соответствует использованию явной схемы по пер-
первой переменной и чисто неявной — по второй переменной.
Реализация схемы переменных направлений (9), A0) соответствует
определению г/п+1/2 и уп+] из уравнений
(ъ(х) -f ^А,)уя+1/2 = (ъ(х) - ^А2)уп + ~?>п,
(ъ(х) + ^Л2)у„-ы = (ъ(х) - ^) ^
Запись A1) указывает на то, что решение находится обращением со-
соответствующего одномерного сеточного оператора (методом прогонки)
сначала по одной переменной (одному направлению), потом по другой
312 Глава 6. Экономичные разностные схемы
переменной (другому направлению). Поэтому схему переменных напра-
направлений (9), A0) иногда называют продольно-поперечной разностной
схемой для уравнения теплопроводности.
6.2.2. Устойчивость схемы переменных направлений
Исследование устойчивости схемы (9), A0) может основываться
на следующем полезном утверждении.
Лемма 1. Пусть В = В* > 0, А^О в Я. Тогда при а ^ 0,5 имеет
место неравенство в Нр
\\(В - A - a)rA)y\\D < \\(В + orA)y\\D, A2)
если Х) = Б~1.
Имеем
\\(B-(l-a)rA)y\\2D-\\(B + arA)y\\2D =
= ((Б - A - <t)tA*)D{B - A - <т)тА)у, у) -
- ((В + <ttA*)D(B + атА)у, у) =
= -t{{A*DB + BDA)y, у) + A - 2а)т2\\Ау\\Ъ.
В силу предположений леммы, правая часть неотрицательна, т. е. имеет
место неравенство A2).
Полагая D = В, из уравнений A1) непосредственно получаем
[Ъ(х) + ^A,)j/n+1/2|o ^ || (Ь(х) - ^Л2)з/„||д + 1|ЫЬ, A3)
(Ь(х) + Т-Кг)уп^ \D < | (b(x) - ^Л,)уп+1/2|в + ^|ЫЬ. (Н)
Складывая A3) и A4) и учитывая A2) при а — 0,5, получим
|| (Ъ(х) + ^Л2)у„+||о < \\(ь(х) - \b)yn\D + т|Ы|в. A5)
Снова применяем A2), что дает
[Ь(х) + ^Л2)j/n+1 \\d < I (b(x) + ^
На основании разностного аналога леммы Гронуолла из этого неравен-
неравенства обычным образом получим следующую оценку устойчивости схемы
переменных направлений (9), A0) по начальным данным и по правой
части в HD, D = B~l:
*=о
6.2. Метод переменных направлений 313
Специально отметим, что из полученной оценки A6) непосредственно
не вытекает сходимость разностной схемы (9), A0) ввиду присутствия
в ней вспомогательной сеточной функции уп+1/2 • Эта ситуация характерна
для всех рассматриваемых ниже экономичных схем, поэтому на нее
необходимо обратить особое внимание.
6.2.3. Точность схем переменных направлений
Для исследования точности разностной схемы переменных напра-
направлений (9), A0) запишем соответствующую задачу для погрешности
zn = Уп(х) = u(x,tn), хеш, полагая zn+l/2 = уп+\/2 - и (функцию и
выберем позже). Из (9), A0) непосредственно получим
+ Лл+,,2 + A2zn+1 = & A8)
Для погрешностей имеем
Положим в A9), B0)
_ ип + ип+1 г2
и=
В этом случае из A9), B0) следует
г2 , ип+1-ип
jb (х)А2 . B1)
~ и„) = 0.
Кроме того, в силу B1) имеем
п -Ь(х) ~Л2 + О(тЛ).
Принимая во внимание
получим
i>2 = ** = о(т2 + |Л|2). B2)
Тем самым при специальном определении промежуточного решения
(см. B1)) разностная схема переменных направлений (9), A0) имеет
второй порядок аппроксимации по времени и по пространству.
314 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Для исследования точности рассмотрим сеточную задачу A7), A8).
Принимая во внимание B2) и используя оценку A6) при точном задании
начальных условий, получим
п
Ь(х) + ^A2)zn+I | ^ ? ТШо, B3)
где D = Б. На основе оценки B3) мы можем сделать вывод о том,
что схема переменных направлений (9), A0) сходится со скоростью
0(т2 + \h\2) в соответствующей норме.
6.2.4. Другие схемы переменных направлений
Среди других наиболее известных схем переменных направлений
помимо (9), A0) отметим разностную схему Дугласа—Рэкфорда, она запи-
записывается в виде
уФ-У = ^ B4)
= 0. B5)
На первом шаге B4) аппроксимируется уравнение теплопроводности
на всем временном интервале, второй шаг B5) вводится для устойчи-
устойчивости. Поэтому за схемами типа B4), B5) закрепилось название схемы
стабилизирующей поправки. Нетрудно убедиться, что схема B4), B5) имеет
погрешность аппроксимации 0(r+|/i|2) и является абсолютно устойчивой
(как частный случай факторизованных схем, рассмотренных в п. 6.3).
Разностные схемы переменных направлений для задач с перемен-
переменными коэффициентами типа рассматриваемой нами A)-D) относятся
к классу безусловно устойчивых. Однако построение таких схем для
трехмерных задач сопряжено со значительными трудностями. Чтобы
прояснить эту ситуацию, достаточно записать схему переменных на-
направлений (9), A0) в виде двухслойной схемы, исключая уп+\/2 из (9)
и подставляя в A0).
В случае, когда рассматривается трехмерная задача теплопроводно-
теплопроводности в однородном параллелепипеде с граничными условиями первого
рода, соответствующая дифференциально-разностная задача имеет вид
уравнения
dv
— + Ау = ф(х,Ь), хеш, 0<*^Т, B6)
at
с условиями F), G). В данном случае
з
Av = J2 A«v> А°У = ~Ухаха. B7)
а=1
6.2. Метод переменных направлений 315
Принципиальным при использовании метода переменных направлений
для уравнений B6), B7) является то, что операторы Ла, а = 1,2,3,
являются самосопряженными, неотрицательными и попарно-перестано-
попарно-перестановочными, т. е.
АаАр = АрАау а, р =1,2,3. B8)
В таких условиях простейшим обобщением схемы стабилизирующей
поправки может служить схема:
А2уп + АзУп = <рП)
Можно предложить аналоги схемы переменных направлений (9), A0) при
рассмотрении задачи теплопроводности в условиях B6)—B8).
6.2.5. Задачи
Задача 1. Напишите схему переменных направлений для уравнения
теплопроводности A), B) с неоднородным граничным условием
u(x,t)=g(x,t), хеГ. B9)
Решение. Во внутренних узлах сетки используется разностная схе-
схема (9), A0), и вопрос состоит в аппроксимации граничного условия B9).
Для сохранения точности удовлетворим граничные условия точно так,
чтобы иметь однородные граничные условия для погрешности решения.
Принимая во внимание B1), в граничных узлах положим
Уп+Уп+l Т2 , уп+] - уп
Уп+Ф = —Г- + -Ъ (х)А2—-v—, (зо)
уп(х) = g(x, tn), х е ди.
В таких условиях для погрешности решения справедливы приведен-
приведенные выше оценки, и поэтому схема (9), A0) с граничными условиями C0)
будет сходиться со вторым порядком по времени и по пространству. >
Задача 2. Для задачи теплопроводности в однородной среде покажите
устойчивость схемы переменных направлений на основе общей теории
устойчивости разностных схем.
Решение. Для однородной среды схема переменных направлений
(см. B6)) имеет вид
У^У = <Рп, C1)
316 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Уп+) " Уп+\/2 , А , А /ОЛЧ
+ At// + А2уп+\ = Рп, C2)
где
2
At; = ^2 Aav, Аау =
а=1
причем Ла = Л?, а = 1,2 и AiA2 = A2Aj.
Исключая 2/n+i/2, получим
Поэтому схема переменных направлений C1), C2) записывается в кано-
канонической форме двухслойной разностной схемы при
Осталось проверить выполнение условия устойчивости. Имеем с учетом
перестановочности и положительности операторов Ла, а = 1, 2
Л AA ^Л #
В - Т-А = Я + Л + AiA2 ^Л = # + v
2 2 4 2 4
Поэтому схема переменных направлений C1), C2) устойчива в На- >
6.3, Факторизованные разностные схемы
для уравнения теплопроводности
6.3.1. Факторизованные схемы
Рассмотрим возможности построения класса экономичных разност-
разностных схем на основе представления сеточного оператора на верхнем
временном слое в виде произведения экономичных (одномерных) опера-
операторов. Такие схемы называются факторизованными разностными схемами.
Для задачи A)-D) из п. 6.2 построим двухслойную разностную схему,
которая имеет канонический вид
^Ул + Ауп = 1рп! n = o,i,..., A)
где
А = А, Л = Л,+Л2, Ла = Л*>0, а = 1,2. B)
Факторизованная схема соответствует выбору оператора В в виде
В=ВХВ2, C)
где Bai а = 1, 2 — экономичные операторы.
D)
'\х){Ь{х)Е + <ттЛ)
6.3. Факторизованные разностные схемы 317
Выберем операторы Ва, а = 1, 2 в виде
В\ =
В2 = Ь'\х){Ь{х)Е + <ттЛ2).
При таком задании В каждый из операторов Ва, а — 1,2, соответствует
использованию обычной схемы с весами для одномерного оператора
теплопроводности.
Вычислительная реализация факторизованной схемы A), C) связана
с решением задач:
Вхvn + Ауп = <рп, В2^^—- = vni n = 0,1,....
Некоторые другие, отличные от C), D) возможности построения факто-
ризованных схем обсуждаются ниже. В некоторых случаях (см., например,
задачу 2 в п. 6.2) схемы переменных направлений записываются в виде
факторизованной схемы A)-D).
6.3.2. Устойчивость факторизованных схем
Факторизованная схема имеет канонический вид двухслойной схе-
схемы A) с операторами А и В, которые определяются согласно B) и C),
D). Прямое исследование устойчивости в На на основе проверки необ-
необходимого и достаточного условия
В>Т-А E)
для схемы A)-D) проходит только для случая перестановочных опера-
операторов Ло, а = 1,2 и Ь(х) = const. Поэтому можно пытаться доказывать
устойчивость схемы A)-D) в более сложных нормах. Ориентиром может
служить доказательство устойчивости схемы переменных направлений,
проведенное в п. 6.2.
Будем рассматривать только устойчивость по начальным данным,
поэтому в A) <рп — 0. Запишем уравнение A) с учетом C) в виде
В2уп+\ = В2уп - тВТ1 Ауп. F)
Добавим и вычтем из правой части F) слагаемое равное BаУ1В2уп, что
дает
В2уп+\ = Af—B2yn + -г-{В2 - 2атВ;1А)уп. G)
2G 2G
Принимая во внимание B), D), получим
В2 - 2атВ;]А = В^\ВХВ2 - 2<ттА) =
= В;1((Ь(х)Е-{-атА1)Ь''](х)(Ь(х)ЕЛ-атА2) -2атА^ =
= В;1 ((Ь(х)Е - arA])b'\x)(b(x)E - атА2)У (8)
318 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Получим оценку устойчивости факторизованной схемы A)-D) следую-
следующего вида:
l|B2»n+i|b<||B2»nlb, (9)
где D = Ъ(х)Е. Для этого обозначим vn = b^2(x)B2yn и умножим G)
на D1/2 = Ъх12{х)Е слева. Получим
2G - 1 1
где с учетом (8) для оператора Q имеет место представление:
Q = Ь1/2(х)(Ъ(х)Е + (ттЛ,) (b(x)E - <ттАх) x
х Ь~\х)(Ь(х)Е - атА2) (b(x)E + <7tA2)
В силу этого представим Q в следующем виде
Q = 5i5j, A1)
где
Sa = b{/2(x)(b(x)E + <TTAay\b(x)E + <TTAa)b-]/2(x)) a=l,2. A2)
Для операторов 5а из A2) имеем более удобное представление:
Sa = (Е + атАа)-](Е + <ттАа),
Aa = b-xl2{x)Aab-xl\x), a =1,2.
В силу B) аналогичными свойствами обладают и операторы Ла:
Ла = Л*>0, а =1,2. A4)
Сформулируем следующее утверждение, известное как лемма Кел-
лога.
Лемма 1. Пусть оператор С ^ 0 в Н. Тогда при любом /3^0 имеет
место
||(Я-/ЗС)(# + /ЗСГ1К1. A5)
Пусть S = (Е- /ЗС)(Е + рС)~1 и G = (Е + /JC), тогда A5) эквива-
эквивалентно операторному неравенству J = Е - S*S ^ 0. Имеем
G* JG = (Е + рС*)(Е + /JC) -(Е- (ЗС*)(Е - /JC) = 2/?(С* + С)
и поэтому неравенство A5) имеет место для неотрицательных операто-
операторов С.
В силу леммы из A3), A4) получим ||5в|| ^ 1, а = 1, 2. В силу A1)
не превосходит единицы и норма оператора Q, поэтому из A0) следует
оценка ||vn4-ill ^ llvnll> которая имеет место при всех а ^ 0,5. Тем
самым приходим к доказываемой оценке (9) для разностного решения.
Таким образом установлена безусловная устойчивость факторизованной
схемы A)-D).
6.3. Факторизованные разностные схемы 319
6.3.3. Принцип регуляризации для построения
факторизованных схем
Для построения устойчивых факторизованных схем используем
принцип регуляризации (см. п. 5.8). Наиболее широкие возможности
этот подход предоставляет для построения безусловно устойчивых факто-
факторизованных схем для параболических задач, когда Ь(х) = const (для опре-
определенности Ь(х) = 1). При рассмотрении задач теплопроводности такая
ситуация характерна при моделировании процессов в однородном теле.
Неперестановочность соответствующих операторов порождена гранич-
граничными условиями или же тем, что расчетная область п не является прямо-
прямоугольником. Поэтому класс задач с постоянной сеточной функцией Ь(х)
важен и достаточно содержателен.
В более общем случае используется простое преобразование уравне-
уравнения
Ь(ж)-^ + Av = <f>(x)t), хеш, 0<t^T
at
к виду, когда множитель при производной по времени равен единице
с сохранением свойств самосопряженности и положительности оператора
по пространственным переменным. Для этого достаточно ввести новую
сеточную функцию w(x,t) = b^2{x)v{x)t), xGo/. Уравнение при этом
принимает вид
^ + A'w = ф'(х,«), х е о/, 0 < t < Г, A6)
at
где
Л' = 6-1/2Л*Г1/2, ф'(х, t) = Ъ~х1\х)ф{х, t).
В силу B) оператор Л' обладает следующими свойствами:
Л' = Л', + Л'2, Л'а = (Л^)* > 0, Л'а = Ь-1/2ЛаЬ/2, а = 1, 2.
Рассматривается дифференциально-разностная задача для уравнения A6)
с условиями
w{x, 0 = 0, х е дш, 0<t^T, A7)
w(x, 0) = ио(ж), х еи>. A8)
Для приближенного решения задачи A6)—A8) будем исходить из ре-
гуляризованной разностной схемы A), где
В = Е + аП. A9)
Пусть схема A), A9) устойчива, т.е. выполнено условие E). На основе
этой схемы построим также устойчивую экономичную схему с фактори-
зованным оператором
В = ВХВ2. B0)
320 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Заметим, что мы ограничиваемся двумя слагаемыми для простоты, более
общая ситуация с разложением оператора 1Z на большее число операторов
рассматривается полностью аналогично.
Пусть 1Z представляет собой сумму экономичных операторов
B1)
С учетом A9), B1) построим факторизованный оператор B0) с
/9=1,2. B2)
Покажем, что если исходная схема A), A9) устойчива, а опера-
операторы Ир, /5=1,2 являются самосопряженными, неотрицательными
(Ир = П*р ^ 0, р = 1,2) и перестановочными (П\П2 = К2П\), то
устойчивой является и факторизованная схема B), B2). Тем самым прин-
принцип регуляризации позволяет на основе устойчивой, но неэкономичной
разностной схемы, строить экономичные устойчивые разностные схемы.
Для доказательства достаточно проверить выполнение неравенст-
неравенства E). В силу перестановочности операторов Ир, р = 1,2 имеем И\И2 =
П2И\ ^ 0 и из B0)-B2) получим
В = ВХВ2 =Е + а(Пх + П2) + сс"ЯхП2 ^ В. B3)
Так как выполнено E), то устойчивой является и факторизованная схема.
Принимая во внимание жесткие требования на операторы Ир9
Р = 1,2, при их выборе удобно исходить из простейших сеточных опера-
операторов И. Воспользуемся тем, что оператор Л энергетически эквивалентен
о
сеточному оператору Лапласа А, т.е. выполнена оценка
о о
К\ А ^ Л ^ к2А.
В качестве регуляризатора (см. п. 5.8) естественно взять оператор % =
Ь/2ЛЬ~1/2. Поэтому для оператора Л' задачи A6)—A8) и такого регу-
регуляризатора будет выполнено двухстороннее неравенство энергетической
эквивалентности
к\Я ^Л; ^ к2П.
Исследование регуляризованной схемы A), A9) показывает, что для
устойчивости достаточно, например, подчинить выбор параметра регуля-
регуляризации а условию
а>к2Т-. B4)
Далее ограничимся простейшим случаем, когда Ь(х) = 1. Для оператора А
используем представление
1 = А\+ Аъ Ару = -
6.3. Факторизованные разностные схемы 321
Операторы Щ = Ар, /3 = 1,2 обладают необходимыми свойствами
самосопряженности, неотрицательности и перестановочности. Поэтому
факторизованная схема
(Е + аПх)(Е + аП2)Уп+1~Уп +Ауп = <рП1 п = О,1,...
т
будет абсолютно устойчивой при выполнении неравенства B4).
Отметим вторую возможность разложения B1) для рассматривае-
рассматриваемого случая. Принимая во внимание B3), условия устойчивости будут
выполнены для самосопряженного неотрицательного оператора И, если
в B1)
П\ = П2. B5)
Выбор B1), B5) соответствует разложению оператора И на треугольные
операторы (см. п. 4.7).
При использовании в качестве И оператора Лапласа для Ир, C = 1,2
имеем
*«-?*. *—Е?- <*>
Реализация факторизованной схемы B4), B5) соответствует использова-
использованию формул «бегущего» счета. Интересно отметить, что такая фактори-
факторизованная схема может быть построена для общей задачи с Ь(х) Ф const
(см. задачу 1).
6.3.4. Трехслойные факторизованные схемы
Покажем возможности использования принципа регуляризации при
построении трехслойных экономичных факторизованных схем для клас-
класса задач A6)-A8). Проведем сначала общее рассмотрение на примере
исходного семейства разностных схем
Уп+\-Уп-\ 2^Уп+\-^Уп + Уп-\ . . 0 /07ч
2^ + Т П ^2 + Ауп = (рпу п=1,2,..., B7)
которые соответствуют заданию В = Е в канонической форме трехслой-
трехслойной схемы. Для того, чтобы пояснить идею построения факторизованных
разностных схем на основе принципа регуляризации запишем исходную
схему B7) в виде
{Е + 2тП)Уп+1~Уп = Ffa-uVn, ?>»), B8)
где
F(yn-Uyn, Vn) = BтП - Е)Уп~Уп~1 - 2Ауп + 2<рп.
т
Построение факторизованной схемы на основе B8) проводится полно-
полностью аналогично случаю двухслойной разностной схемы. Пусть подоб-
подобно B1) имеет место разложение
П = Пх + П2. B9)
22 Зак. 168
322 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Факторизованную схему запишем в виде
г> п Уп+\ ~~ Уп у-,/ v /*п\
В{В2 = FB/n_,, yn, (рп), C0)
где с учетом B8), B9) положим
/3=1,2. C1)
Пусть снова операторы Ир, р = 1,2 являются самосопряженными,
неотрицательными (Ир = 1Z*p ^ 0, /3 = 1,2) и перестановочными
(И]И2 — ^2^1 )• Будем считать, что для исходной разностной схемы вы-
выполнены условия устойчивости схемы B7) ci = i*>0,T.e. (см. п.5.4)
выполнено неравенство
П > Х-А. C2)
Покажем, что в этих условиях устойчива и факторизованная схема C0).
Для этого запишем ее в каноническом виде
г,Уп+\2Уп + Уп-\ , Аяш п |0 mv
К — +Ауп = <рп, п=1,2,.... C3)
В
Непосредственные выкладки дают
в = Е + 2т2п]п2, д = тг + т7г17г2. C4)
В силу этого достаточные условия устойчивости схемы C3) при предпо-
предположении C2) выполняются, так как
В > Е, R>1l> -А.
В качестве иллюстрации полученного результата построим факто-
факторизованную схему на основе следующей регуляризованной (см. п. 5.8)
схемы для задачи с Ь(х) = 1:
Уп+]^Уп-] + Щуп,, - 2Уп + уп_х) + Куп = у>п,
ж G о;, п — 1,2,... .
В качестве регуляризатора 7^ выберем аЛ. Регуляризованная схема C5)
устойчива при выполнении неравенства а > к2/4. В этих же условиях
будет устойчива и факторизованная схема C3), C4), где
Пр = а Ар, Ару = -Ухрхр, Р = 1,2.
Аналогично рассматриваются трехмерные задачи.
6.4. Аддитивные разностные схемы 323
6.3.5. Задачи
Задача 1. Исследуйте устойчивость факторизованной схемы A), C),
D) при условии, что
А = Л, Л = А\ -f Л2, Л* = Л2. C6)
Решение. Для оператора В с учетом C), D), C6) имеем
В = (b{x)E
= (Ь(х)Е - <ттЛ|)б~1(ж)(Ь(ж)# - отЛ2) 4- 2<tt(Ai + Л2). C7)
В силу сопряженности операторов Л^ ,/3=1,2 (см. C6)) из C7) следует
В ^ 2<ттА, C8)
и поэтому факторизованная схема A) будет устойчива при а ^ 0,25.
Заметим, что оценка C8) получена нами ранее в п. 4.7 при рассмотрении
попеременно-треугольного итерационного метода. >
Задача 2. Постройте факторизованную схему на основе неявной трех-
трехслойной схемы второго порядка точности по времени и пространству
(Бейкер и Олифант):
' 71=1,2,.... C9)
2т
о
Решение. Схема C9) имеет вид B8) с оператором 11 = A/3)А.
Факторизованная схема строится в соответствии с C0) и C1), причем
о о
Ир = Ар, Ару = -Ухрхр, /3=1,2.
Сама факторизованная схема принимает вид
Зуп+\ -4уп + Уп-\ (\ 2
о о
AA
2r
хеш, п= 1,2,... .
Учитывая свойства положительности, самосопряженности и перестано-
о
вочности операторов Ар, /3 = 1,2 легко проверяется условие устойчиво-
устойчивости схемы D). >
6.4. Аддитивные разностные схемы
6.4.1. Аддитивное расщепление оператора теплопроводности
Следует заметить, что проблема построения экономичных разност-
разностных схем для общих трехмерных задач теплопроводности не решается
22*
324 Глава 6. Экономичные разностные схемы
на основе использования факторизованных разностных схем и схем пере-
переменных направлений. Устойчивость этих схем удается показать в случае
переменных коэффициентов только в двумерном случае. Поэтому воз-
возникает необходимость рассмотрения экономичных разностных схем для
многомерных задач с более общих позиций, требуется пересмотреть само
понятие аппроксимации разностных схем.
Будем рассматривать общее многомерное уравнение теплопроводно-
теплопроводности в изотропной среде
ф)^?+?* = /(*, О, (*,<)€<?, A)
где
*—§?(*<)• <2>
Дополним A), B) условиями
«(«,0 = 0, *ег, (з)
и(ху0) = щ(х)) хеп. D)
Дискретизация A)-D) по пространству приводит нас к дифферен-
дифференциально-разностной задаче
dv
Ь(х)—+Ау = ф(х,Ь), хеш, 0<*^Г, E)
at
v(x, 0 = 0, х G дш, 0<t^T, F)
v(xy 0) = tto(z), x e u>. G)
Определим через Ла, а = 1,2,..., га разностный оператор теплопровод-
теплопроводности по направлению ха следующим образом:
Лаг; = -(аа(ф*в)Яв, а = 1, 2,..., т. (8)
Тогда оператор Л представляется в виде суммы одномерных операто-
операторов Ла, а = 1, 2,... ,т:
Л = Л1+Л2 + ... + Лте. (9)
Разностные схемы, в которых переход с одного временного слоя
на другой связан с решением последовательности задач для операто-
операторов Ла, а = 1, 2,..., т, будем называть аддитивными разностными схе-
схемами. Рассмотренные выше в п. 6.3 примеры экономичных разностных
схем относятся к классу аддитивных разностных схем.
В (9) проведено расщепление оператора Л на одномерные сеточные
операторы Аа, а = 1, 2,..., т. В качестве простейших операторов мо-
могут быть взяты и другие операторы. Например, ранее рассматривались
схемы с расщеплением на треугольные операторы. При рассмотрении
более общих нестационарных задач операторы Ла, а = 1,2,..., т могут
нести и другую смысловую нагрузку. В общем рассмотрении аддитивных
разностных схем можно отвлечься от конкретного содержания отдельных
операторов Ла, а = 1, 2,..., т в разложении (9).
6.4. Аддитивные разностные схемы 325
6.4.2. Промежуточные задачи
Обсудим основные подходы к построению аддитивных разностных
схем. Для этого необходимо сформулировать вспомогательные задачи
с операторами Ла, а = 1,2, ...,т аддитивного расщепления (9), ре-
решение которых даст приближенное решение исходной задачи E)-G).
Для построения аддитивных схем используются два основных подхода:
аддитивные схемы с дробными шагами по времени и аддитивные схемы
с целыми шагами.
Пусть для приближенного решения задачи E)-G) введена сетка
по времени шТ = {t \ t — tn = пт, п = 0,1,..., iV, Nr — Т} с шагом
т > 0. Каждый полуинтервал (?„, tn+\] разобьем на пг частей, введя точки
tn+a/m = гп+<хт/™>> Уравнение E) с учетом аддитивного представления (9)
оператора Л запишем в виде
(^Ь ос
х е W, о < t < т.
Здесь фа(х, t) — произвольные функции того же класса гладкости, что
и ф(х, t), удовлетворяющие условию
а=1
В соответствии с A0) будем решать последовательно следующие про-
промежуточные задачи. Вспомогательные функции va(x,t) определяются
из уравнений
b(x)dvl д , . . л л х х
m at
b(x) dvQ
b(x) dvm m m
хеш, n = o,i,... .
Начальные условия для A2) имеют вид
+ AQva - фа(х, t) = 0, *„+(в-1)/т < * ^ tn+a/m, A2)
В качестве приближенного решения задачи E)-G) на моменты времени
t = tn выступает vm(x, tn).
326 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Промежуточные задачи A2), A3) решаются на отдельных частях по-
полуинтервала (tn, tn+\]9 поэтому разностные схемы, построенные на осно-
основе A2), A3), можно назвать аддитивными разностными схемами с дробными
шагами.
Второй способ построения аддитивных схем основан на решении
вспомогательных задач на всем временном полуинтервале (tny tn+\] (адди-
(аддитивные разностные схемы с целыми шагами). Для определения функции
va(x, t) используются уравнения
dvl , ,
dt l ' ' п \ п+ь
Ь(ж)-^- -f Aava - фа(ху 0 = 0, tn < t^ tn+u A4)
dvm m m
dt m ' ' n ^ n+ *
ж Go;, n = 0,1,...,
дополненного начальными условиями
v\x, 0) = щ(х), v\x, tn) = vm(x, tn), n = 1, 2,...,
При реализации A4), A5) сначала решается уравнение для v](x, t)
(а = 1 в A4)) при начальном условии v\x,tn) = vm(x,tn) и находится
v{(x} tn+\), которое используется в качестве начального для определения
v2(xy t) и т. д. За приближенное решение задачи E)-G) на момент времени
tn+\ принимается vm(x,tn+\).
Следует заметить, что между двумя рассматриваемыми подходами для
построения аддитивных разностных схем (A2), A3) и A4), A5)) имеется
тесная связь. При условии, что коэффициенты сеточного уравнения E)
не зависят от времени, а правые части фа(х, t) = 0, задачи A2) A3)
и A4), A5) просто совпадают друг с другом. Именно такая ситуация имеет
место в нашем случае задачи теплопроводности в неоднородных средах
(уравнение A), B)) при моделировании процессов теплопроводности
без внутренних источников тепла (f(x,t) = 0 в A)). В более общих
ситуациях предпочтительнее использование второго варианта с решением
вспомогательных задач на целых временных шагах.
Встает вопрос о точности, с которой система уравнений A4), A5)
позволяет найти приближенное решение задачи E)-G). Для этого при-
приходится расширить понятие аппроксимации.
6.4.3. Понятие суммарной аппроксимации
Выше мы отметили близость приближенного решения, получаемого
из решения группы промежуточных задач A4)-A5), к решению зада-
6.4. Аддитивные разностные схемы 327
чи E)-G). Каждая отдельная промежуточная задача не аппроксимирует
исходную задачу (не дает приближенное решение) и только последова-
последовательное решение всех промежуточных задач с их согласованием через
начальные условия позволяет получить приближенное решение. Поэтому
в этом случае говорят о том, что задача A4)—A5) аппроксимирует E)-G)
в суммарном смысле (суммарная аппроксимация).
Рассмотрим погрешность
zx (ж, t) = v\x,t)- v(x, t), tn<t^ tn+],
za(x, t) = va(x, t) - v(x, tn+l), tn<t^ tn+], a = 2, 3,..., ra.
Сформулируем соответствующие задачи для погрешности. Подставляя
za(x) /),а=1,2)...,шв A4), A5), получим уравнения
dza
b(x)—+Aaza = тПМ), х е и, tn<t^ tn+u
n = 0,1,..., а= 1,2, ...,m,
которые дополняются условиями
*1(*,0) = 0, ЛМп) = *т(М»), п=1,2,...,
га(ж, *п) = гв"!(х, «„+,), а = 2, 3,..., т, п = 0, 1,....
Пофешность аппроксимации для каждой промежуточной задачи A6),
A7) определяется выражениями
^(х, t) = -Aav(x, *я+1) + 0а(ж, 0, a = 2, 3,..., т.
Из A8) следует, что для каждой промежуточной задачи ij)a(x, t) — O(l),
т.е. задачи A6), A7) не аппроксимируют E)-G). Рассмотрим теперь
i>{x, t) = <фх(ж, t) + ^2(х, 0 + ... + <фт(х, t). Из A8) следует
ф(ху t) = 0(ж, 0 - ФО—
Принимая во внимание
v{x, «я+1) = v(e, 0 + О(т), a = 2, 3,..., т, *„ < t ^ tn+u
получим
Va(x, t) = j>a{x, t) + 4а(х, t), 4>а(х, t) = О(т),
4а(х, 0 = фа(х, t) - Kav(x, t) - 6а] ^,
где 6ai — символ Кронекера. На решениях задачи E)-G)
Л«» - Нх)^ = О,
а=\ а=\ а=1
328 Глава 6. Экономичные разностные схемы
и поэтому для суммарной погрешности аппроксимации имеем
а=\
Будем говорить, что A4), A5) аппроксимирует E)-G) в суммарном
смысле с первым порядком.
Для оценки точности будем считать, что выполнены следующие
условия: ||AaA^v|| ^ М, а,/3 = 1,2,..., га. Как показывает дополнитель-
дополнительный анализ, при таких дополнительных условиях оценка близости имеет
вид ||г;т(х, tn) - v(x, tn)\\ = О(т), т. е. на основе решения промежуточных
задач A4), A5) можно получить приближенное решение исходной диф-
дифференциально-разностной задачи E)-G) с первым порядком по времени.
Интересно отметить, что в случае, когда <(>(x,t) = О, фа(х,г) = О,
а = 1, 2,..., га, b(x) = const, а операторы Ла, а = 1, 2,..., га перестано-
перестановочны друг с другом (ЛаЛ^ = Л^Ла), тогда A4)—A5) дает точное решение
задачи E)-G) (см. задачу 1): vm(xy tn) = v(x, tn).
Для повышения точности приближенного решения задачи E)-G)
на основе решения промежуточных задач можно использовать следующую
идею симметризации (двуциклическая организация). Задача A4)—A5)
схематически отображается следующей цепочкой А\ -+ Кг —> ... —> Лт,
которая отражает последовательность решения промежуточных задач.
Симметризованная цепочка имеет вид
0,5Лт->0,5Лт_, ->...-> 0,5Л,.
Это соответствует использованию вместо (9) следующего аддитивного
представления оператора Л:
2ш
Л = ]ГХа, A9)
Г0,5Ла, а=1,2,...,га,
Аа = < B0)
[ 0,5A2m-e+i, а = га + 1, га + 2,..., 2га.
В этом случае имеет место оценка \\vm(x,tn) - v(x, tn)\\ = О(т2) при
некоторых дополнительных условиях гладкости.
6.4.4. Аддитивные разностные схемы
Аддитивные разностные схемы можно получить, аппроксимируя про-
промежуточные задачи A4), A5) по времени. Не давая общих формулировок,
ограничимся построением простейших двухслойных разностных схем.
Пусть Уп+a/m — приближенное решение va(x) t) на момент времени
t = tn+\. Используем для каждой промежуточной задачи двухслойную
6.4. Аддитивные разностные схемы 329
схему с весами. Тогда, принимая во внимание начальные условия A5)
и аддитивную разностную схему с весами <та, а = 1,2,..., т, получим
,/ v Уп+а/т ~ Уп+(а-\)/т . / /i \ \ a
a=l,2,...,m.
Двухслойная аддитивная разностная схема может быть записана
в следующем каноническом виде
Уп+а/т-Уп+(а-\)/т тг-г а . .
В + У/Ааруп+р/т = <Рп, a=l,2,...,m. B2)
т
т
/3=0
Приведенная выше аддитивная схема B1) имеет канонический вид B2)
при
В = Ь(х)Е, Ааа = ОгаЛ«, Аа%а-\ = A - ^а)Ла,
Исследование сходимости аддитивных схем имеет существенные осо-
особенности ввиду того, что для них имеет место суммарная аппроксимация.
Поэтому необходимо получить специальные оценки устойчивости ад-
аддитивных разностных схем по правой части, из которых при условии
суммарной аппроксимации и следовала бы сходимость разностной схе-
схемы. Приведем некоторые общие результаты в этом направлении.
6.4.5. Априорные оценки для аддитивных разностных схем
Рассмотрим аддитивную разностную схему
4- 2^ Aaf3zn+p/m = ipn,
/?=o
a = 1,2,... ,m, 2o = 0.
Представим погрешность аппроксимации в виде
< = 4° + fc, B4)
о
где *ф„ удовлетворяет условиям
m
а=0
Будем считать, что аддитивная схема B3) обладает суммарной аппрокси-
аппроксимацией, т.е.
L">0, если г-0, |Л|-0 B6)
в некоторой норме || • ||2л.
21 Зак 168
330 Глава 6. Экономичные разностные схемы
Для получения необходимой априорной оценки для аддитивной
схемы, учитывающей B4), B5), будем считать, что для B3) имеет место
обычная оценка устойчивости по правой части:
т
Af max ? М»- B7)
B8)
ПОЛОЖИМ Zn+afm = ?7n+Q/m + 0n+a/m И ОПрвДвЛИМ Пп+а/т ИЗ УСЛОВИЙ
Б '- —±—— = i>nt a=l,2,...,ml ?уо = О.
Из B8) с учетом B5) имеем
a
= ?77n + Г ^ ^, Бт/n+i = Вг)п = . . . = Вщ = 0.
Поэтому для всех п = 1,2,... имеем т/п = 0, zn = 0п и
/3=1 j9=e
С учетом этого для 0n+Q/m получим задачу
-0п+(а-\)/т ^
+
/9=0
где правая часть имеет вид
Й = ^п + г ? Aaf3JT В~14>1 C0)
/9=1 7=^+1
Используя для задачи оценку B7), непосредственно получаем
\\zn\\lh^M max ^ИЙНи+т max
max
Учитывая C0), перепишем эту оценку в окончательном виде
и
. C1)
%=1 e=l/J=1 t=/J+1 2Л
Эта оценка для разностной задачи B3) указывает, что при выполнении
условий суммарной аппроксимации B4)—B6) имеет место сходимость
аддитивной разностной схемы B2) при выполнении дополнительных
условий типа
||'^|| C2)
6.4. Аддитивные разностные схемы 331
Напомним, что оценка точности аддитивной разностной схемы C1) по-
получена в предположениях об устойчивости этой схемы в обычном смысле
(неравенство B7)). В таком контексте можно говорить, что из устой-
устойчивости и суммарной аппроксимации следует сходимость аддитивной
разностной схемы.
В настоящее время имеются и некоторые другие априорные оценки
для двухслойных аддитивных разностных схем B2), которые, в частности,
позволяют несколько ослабить дополнительные условия типа C2).
6.4.6. Задачи
Задача 1. Покажите, что промежуточные задачи A4)—A5) дают
точное решение для задачи
dv о
— + Av = 0, хеш, 0<t^T, C3)
at
v(x,O) = uo(xI хеш. C4)
Решение. В этом случае
и пусть Л], Aj, w}(x\), w)(x2), i = 1, 2,..., i\Tj - 1, j = 1, 2,..., JV2 - 1
— собственные значения и собственные функции оператора Аа, а = 1, 2
(см. п. 4.5).
В соответствии с A4), A5) сначала решается задача
dv о | I
— + A\vx = 0, 0<t<*i=T, vl(x,0) = u0(x), хеш.
at
Решение имеет вид
•'(«.О = 1 V
Далее рассматривается задача
dt) ° ~i 0 1
— +A2v =0, 0<t^r, v2(xy0) = vl{x,tl)y
at
Решение имеет вид
Ni-\ N2-\
jEE uo(x)wl(x[)w]j(x2)h]h2 x
Это решение совпадает с решением исходной задачи C3), C4) на момент
времени t = г. Таким образом, решение вспомогательных задач дает
точное решение на моменты времени t = tn. >
21*
332 Глава 6. Экономичные разностные схемы
I Задача 2. Запишите схему переменных направлений (см. п. 6.2) как
двухслойную аддитивную разностную схему.
Решение. Рассматривается схема
Уп+1/2-Уп
ь{х)
C5)
г
Уп+1/2-Уп+1/4
Используя разложение
Л = 0,5Л2 + 0,5л, + 0,5Л, + 0,5Л2,
Pn = 0,5y>n + 0 + 0 + 0,5y>n,
запишем аддитивную схему (см. B1))
,/ \ Уп+\/4 ~~ Уп
Ъ(х)'
Ь(х)
Ь(х) '— '- + 0,5Aiyn+1/2 = 0,
,/ \Уп+\ ~~ Уп+3/4
Ь(ж)
т
Непосредственные вычисления дают
1>п = 1>1п+1>2п + 1>3п + 1>п = О(Т2 + |Л|2),
т. е. схема переменных направлений как факторизованная схема име-
имеет второй порядок суммарной аппроксимации по времени и простран-
пространству. >
6.5. Локально-одномерные
разностные схемы
6.5.1. Локально-одномерные схемы
для уравнения теплопроводности
Здесь мы проведем исследование сходимости аддитивных разностных
схем, построенных в п. 6.4. Для приближенного решения задачи A)-D)
из п. 6.4 используется аддитивная разностная схема
t/ \Уп+а/т~~Уп+(а-\)/т
Ь(х) — —
6.5. Локально-одномерные разностные схемы 333
Здесь принято, что оператор Ла определяет теплопроводность по напра-
направлению ха:
Aav= -(а>а(х)Уга)Ха, а = 1,2,..., т, B)
причем
Л = Л1+Л2 + ...Н-Лт. C)
Каждый из операторов Ла, а = 1, 2, ...,т в аддитивном представле-
представлении C) является одномерным, и поэтому аддитивные разностные схе-
схемы A)-C) называются локально-одномерными разностными схемами.
Как показано в п. 6.4, исследование сходимости аддитивных раз-
разностных схем может основываться на получении оценок устойчивости
и изучения суммарной аппроксимации. Сделаем несколько замечаний от-
относительно получения априорных оценок устойчивости аддитивных раз-
разностных схем на примере локально-одномерной схемы A)-C), ограничи-
ограничиваясь, для простоты, устойчивостью по начальным данным в некотором
гильбертовом пространстве Я#, порожденном оператором D = D* > 0.
Требуется получить априорную оценку />-устойчивости
* D)
с некоторой постоянной р > 0 для разностной задачи A) с $J = 0,
а = 1,2,... ,га. Для этого имеются две основные возможности. Первая
связана с исключением промежуточных сеточных функций уп+а/т > ol =
1,2,... ,T7i - 1 из разностного уравнения A). Понятно, что для задач
с общими неперестановочными операторами Аа, а = 1,2, ...,т этот
путь технически очень сложен и мало конструктивен.
Второй подход при исследовании устойчивости аддитивных разност-
разностных схем основан на получении априорных оценок для всех промежуточ-
промежуточных сеточных задач. Пусть, например, мы можем получить для каждого
а = 1,2,..., т априорные оценки устойчивости следующего вида:
||Уп+а/т1Ь ^ pa\\yn+(a-\)/m\\D E)
с некоторыми ра, а = 1, 2,..., т. При получении оценки E) аддитивная
схема A) рассматривается как обычная двухслойная разностная схема при
каждом фиксированном a = 1, 2,..., m. Тогда из E) получим искомую
оценку D) с
fa. F)
В частности, на основе оценок D), F) можно исследовать асимптотиче-
асимптотическую устойчивость локально-одномерных схем для уравнения теплопро-
теплопроводности.
Подчеркнем важное обстоятельство. При каждом а = 1,2, ...,т
оценки устойчивости E) должны быть получены в одной и той же норме,
334 Глава 6. Экономичные разностные схемы
если не рассматривать более общую ситуацию с последовательным вложе-
вложением отдельных пространств. Для схемы (I) этого можно добиться, если
рассматривать устойчивость в нормах, которые не связаны с операторами
Ae,a=l,2,...,m.
6.5.2. Сходимость локально-одномерной схемы
Для исследования устойчивости аддитивной разностной схемы A)
используем подход с получением априорных оценок типа E) при ка-
каждом фиксированном а = 1, 2,..., т. В этом случае мы имеем обычную
схему с весами, исследование устойчивости которой в некоторых про-
пространствах Hd проведено в п. 5.5. Однако приведенные ранее оценки
получены в нормах, связанных с операторами А. Поэтому приведем
некоторые дополнительные оценки обычной схемы с весами.
Рассмотрим схему с весами, которая записывается в каноническом
виде
ВУп+]~Уп+Ауп = <рп, 11 = 0,1,... G)
с операторами
В = Е + атА, А = А* > 0. (8)
Получим оценку устойчивости для схемы G), (8) в Я.
Разностную схему G) запишем в виде
Vn, (9)
где оператор перехода
5 = Е - тВ~хА = Е-т{Е + атА)-хА. A0)
Установим условия, при которых норма оператора S не превосходит
единицы (устойчивость схемы с р = 1). Для этого необходимо прове-
проверить выполнение неравенства J - S*S - Е ^ 0, которое с учетом A0)
принимает вид
Для получения эквивалентного неравенства домножим его слева и справа
на (Е + от А) и придем к неравенству
2А + тB<т- \)А2^0. A1)
Из A1) следует, что ||5|| ^ 1 при выполнении обычного (см. п. 5.5)
условия
где Д — постоянная в оценке
А ^ Д#. A3)
6.5. Локально-одномерные разностные схемы 335
При выполнении A2) из (9) получим оценку
Hfc+ilKllyJI + TllJrV-ll A4)
для схемы с весами G), (8).
Рассмотрим теперь несколько более широкий класс схем с весами,
когда в уравнении G)
A = A*>0. A5)
Для получения соответствующей оценки введем (см. п. 6.3) новую функ-
функцию vn = D^2yn и домножим уравнение G), A5) на D~^2, что дает
где
В = Е + сгтА, А = D~l/2AD-]/2 = (А)* > 0. A7)
Разностная схема A6), A7) принадлежит к классу уже рассмотренных
схем с весами G), (8). Оценка устойчивости A4) в данном случае имеет
вид
ll»»+ilb<ll»nlb + r||B-Vnlb. A8)
Тем самым для задачи G), A5) имеет место устойчивость в ## при
выполнении условия A2), где вместо A3) используется оценка
А ^ AD. A9)
Теперь мы можем получить оценку устойчивости для локально-
одномерной схемы A). Принимая во внимание
D = b(x)E, Ba = D + aaTAa, a=l,2,...,m, B0)
для каждого фиксированного а = 1,2,..., m имеем задачу типа G), A5)
и на основе оценки A8) имеем
||Уп+а/т1Ь < \\Уп+(а-\)/т\Ь + т\\В~VhIId-
Для правой части можно использовать более простую оценку
lltfn+a/mlb ^ llffn+(a-l)/mlb +т||^|Ь-|. B1)
Имеем НВд^НЬ = {DB~xv, B~]v) = (Gv,v). С учетом B0) докажем
неравенство G = B~]DBa] ^ D~}. Для этого домножим его справа
и слева на Ва, что дает
D ^ BaD~lBa = (D + aaTka)D-\D Л- аатАа) =
= D + 2аатАа + (aaTJAQD']Aa.
В наших предположениях последнее неравенство выполнено с очевид-
очевидностью.
336 Глава б. Экономичные разностные схемы
Оценка B1) имеет место (см. A2), A9)) при
1 1
а ^ 2 А т'
где Аа — постоянная в неравенстве Аа ^ AaD, а = 1,2,..., га. Будем
считать эти условия выполненными.
Складывая B1) при всех а = 1,2,..., га, приходим к оценке устой-
устойчивости аддитивной схемы A):
-г. B2)
а=\ k=0 ar=l
Оценка B2) и есть искомая оценка устойчивости локально-одномерной
схемы A).
Для исследования сходимости схемы A) запишем задачу для погреш-
погрешности Zn+a/m = yn+a/m - У>(Х, tn+\), X G Ш\
,/ v zn+a/m ~ zn+(a-\)/m A / ,л ч \ ,а
b(x) / ^ + Ла (aazn+Q/m + A - (таJп+(а_1)/т) = С
а=1,2,...,га, 2:0 = 0.
Здесь и(х, t) — точное решение задачи
Z'«U = /(X'<). (*,*)€<?, B4)
tt(a:>«) = Ol жЕГ, B5)
«(ж, 0) = -ио(ж), ж G П, B6)
где
Для погрешности аппроксимации получим выражения
( ) а = 2,3,..., т.
В силу этого погрешность аппроксимации представляется в виде
# = # + #, B7)
где для грп имеем
о, dil
ipn = ~с(х)— - Lxu + /i(a?, i),
4п = -^«^ + /«(ж, 0» а = 2, 3,..., га,
6.5. Локально-одномерные разностные схемы 337
при
a=l
На решениях задачи B4)-B6) имеем
?& = 0. B8)
а=\
Для второго слагаемого в B7) получим
j>° = O(T + \h\2), B9)
т. е. локально-одномерная схема A) обладает суммарной аппроксимацией.
Далее воспользуемся оценкой C1) из п. 6.4. На основании априорной
оценки устойчивости B2) получим
п т
Цг„+1|Ь^т^^||^|Ь-,, (зо)
где
J-\xLl C1)
/3=а+\ Р-а
Для задач с достаточно гладкими решениями из оценки C0), C1) и усло-
условий суммарной аппроксимации B7)—B9) получим
||yn+i - *(*, tn+])\\D ^ М(т + \h\2), C2)
т.е. локально-одномерная разностная схема A) сходится с первым по-
порядком по времени и вторым по пространству в ##, D = Ь(х)Е.
6.5.3. Сходимость в равномерной норме
Покажем сходимость локально-одномерной разностной схемы A)
в равномерной норме. В этом случае оценка устойчивости также полу-
получается на основе получения оценок при фиксированном а = 1, 2,..., га
и соответствующих результатов п. 6.4. Поэтому техника исследования
точности остается такой же, как и при получении оценки C2).
Безусловная равномерная сходимость показана (см. п. 5.3) для чисто
неявной схемы. Поэтому при исследовании равномерной сходимости
локально-одномерных разностных схем ограничимся случаем схемы A)
при аа = 1, а = 1, 2,..., га, т. е. рассмотрим схему
,/ ^Уп+a/m ~" Уп+(а-])/т А а t ~ /ii\
Ъ(х) L * — + КаУп+а/т = <Рп, <* = 1, 2, . . . , Ш. C3)
338
Глава 6. Экономичные разностные схемы
Оценка устойчивости для схемы C3) получается на основе принципа
максимума обычным (см. п. 5.3) образом. При каждом фиксированном
а = 1, 2,..., га получим
\\Уп+(а-\)/т(х)\\с(е>)
Ъ(х)
С(ш)
Суммируя по а от 1 до га, получим оценку для одного временного слоя
Нг/„+1(*I1си < ||»»(х)Нсм + т Т, Ц'тГ
а=\
Ь(х)
С(ы)
Отсюда вытекает искомая оценка устойчивости локально-одномерной
схемы C3) по правой части и начальным условиям
\\Уп+\(х)\\с(ы)
Ь(х)
C4)
k=0 a=\
Исследование сходимости проводится на основе суммарной аппроксима-
аппроксимации и оценки устойчивости C4) по приведенной выше схеме и приводит
к оценке точности ||yn+1(a;) - u(x, *n+i)llc(«) ^ М(т 4- \h\2) для локально-
одномерной схемы C3).
6.5.4. Аддитивно-усредненные разностные схемы
Рассмотренные ранее аддитивные разностные схемы основаны на
жесткой синхронизации вычислений — для нахождения yn+Q/m необхо-
необходимо знать г/п+(а-1)/ш- В плане использования аддитивных разностных
схем для построения параллельных алгоритмов более привлекательными
могут оказаться локально-одномерные схемы с возможностью организа-
организации асинхронных вычислений. Отметим некоторые возможности в этом
направлении.
Не давая общих формулировок, построим асинхронную локально-од-
локально-одномерную схему для модельной задачи теплопроводности A)-D) из п. 6.4.
Определим вспомогательные сеточные функции уп+а/т из следующих
разностных уравнений:
Ь(х)
2/n+ar/m Уп
-;
тт
Ь Ла(стауп+а/т +
а = 1,2,..., га.
По этим функциям находится решение на новом временном слое:
1
C5)
C6)
На каждом временном слое решается m одномерных задач, и поэтому
эти схемы относятся к классу локально-одномерных аддитивных раз-
разностных схем. Заметим, что решения уп+а/т> <* = 1,2,..., га, находятся
6.5. Локально-одномерные разностные схемы 339
независимо друг от друга (асинхронные вычисления). Далее проводит-
проводится усреднение этих решений (см. C6)). Поэтому схемы типа C5), C6)
называют аддитивно-усредненными разностными схемами.
Нетрудно получить (задача 2) оценку B2) устойчивости по правой ча-
части и начальным данным аддитивно-усредненной разностной схемы C5),
C6).
Рассмотрим теперь задачу для погрешности
Zn+a/m = Уп+а/т ~ и(х, tn+I), Zn = уп - и(ху *„), X E Ш.
Из C5) и C6) имеем
+ &(<rZ + 0 ~
а= 1,2, ...,
m
Для погрешности аппроксимации имеет место выражение
u(x,tn+x)-u(x,tn)
^n~ 6W mr
- Aa(aau(x1tn+l) + (\ - aa)u(x,tn)) +tp%, a= l,2,...,m.
В силу этого аддитивно-усредненная разностная схема обладает суммар-
суммарной аппроксимацией, т.е. выполнены условия B7)-B9).
Сходимость схемы C5), C6) на основе устойчивости и суммарной
аппроксимации исследуется обычным (см. п. 6.4) образом. Положим
1 w
zn+a/m — Vn+a/m 4" 9n+a/mi Vn+\ = / v Vn+a/m- C9)
ar=l
Здесь rjn^a/m определяется из условий
Ь(а;) ' -i>n, a=l,2,...,m, % = 0. D0)
ГПТ
Складывая эти уравнения, получим
ТП
f Y
В силу B8) и C9) имеем 7}п+] = rjn = ... = щ = 0. Из D0) следует
^n+a/rn = тотЬ^)^"» a = 1, 2,..., m - 1. Сформулируем теперь задачу
для ^п+л/ш- Принимая во внимание C7)-C9), получим
4- Aa(*a0n+a,m + 0 "
а= 1,2,... ,
340 Глава 6. Экономичные разностные схемы
1 т
= -?*¦+./«. D2)
Для грп имеем
#? = 4п - ттт7аЛаЬ~ W°?- D3)
Используя для задачи D1)—D3) оценку B2) и учитывая zn = $п, получим
т
н*.+.1ь < -гЕЕ №IL>- +тЕ™тЕ 1М„ь-Wziia-. D4)
Л=0 а=1 fc=0 а=1
Оценка D4) обеспечивает сходимость аддитивно-усредненной схемы C5),
C6) с первым порядком по времени и вторым по пространству для
достаточно гладкого решения задачи A)-D) из п. 6.4.
6.5.5. Задачи
Задача 1. Для рассматриваемой модельной задачи напишите локально-
одномерную разностную схему второго порядка аппроксимации по вре-
времени.
Решение. В соответствии с п. 6.4 используется двуциклическая ор-
организация вычислений, которая соответствует симметричному расщепле-
расщеплению следующего вида
2ш
_ Г0,5
~~ \ 0,5
а=1
,5Ла, а= 1,2, ...,
,5Л2т-а-и, ос = т + 1, т + 2,..., 2т.
Для получения локально-одномерной разностной схемы каждая проме-
промежуточная задача аппроксимируется симметричной схемой. Это приводит
нас к разностной схеме следующего вида
,/ ч Уп+а/2т ~ Уп+(а-\)/2т 1. t \ a
а= 1,2,...,т,
О\Х)
+ тЛт+1-/?(з/п+1/2+^/2т + 2/п+1/2+@-1)/2т) = ^п* >
/3 = 1, 2,...,т.
Для правой части предполагается выполненным обычное соотношение
2т
6.6. Библиография и комментарий 341
Задача 2. Получите оценку устойчивости
*=0 а=1
аддитивно-усредненной разностной схемы C5), C6).
Решение. При каждом фиксированном а = 1,2, ...,т и ранее
сформулированных условиях на веса аа имеем (см. B1))
Ill/n+a/mlb ^ WVtiWd + ™»1№?|Ь->- D6)
Из C6) непосредственно следует
llVn+lll ^ -
т
что с учетом D6) дает оценку устойчивости D5), которая совпадает
с оценкой B2) для обычной локально-одномерной схемы A). >
6.6. Библиография и комментарий
6.6.1. Общие замечания
6.1. Обычные схемы с весами для многомерных уравнений хорошо ис-
исследованы теоретически и широко используются в вычислительной
практике. Рассматриваемые в этой части особенности реализации
неявных схем затрагивались во многих работах. Наше исследование
базируется на общей теории итерационных методов [14]. Описанная
модификация метода переменных направлений отмечена в работе [ 1 ].
6.2. Методы переменных направлений описываются во всех основных
руководствах по разностным методам [2, 4, 6-11, 15, 16]. Они берут
свое начало с работ Писмена, Рэкфорда и Дугласа A955 г.). Следует
заметить, что их безусловная устойчивость в задачах с переменными
коэффициентами устанавливается только для случая двух измере-
измерений. Для трехмерных задач требуется перестановочность отдельных
операторов друг с другом.
6.3. Вопросы построения факторизованных разностных схем рассматри-
рассматривались во многих работах (см. [3, 5, 9, 16] и приведенную там библио-
библиографию). При изложении принципа регуляризации как общего под-
подхода к построению факторизованных схем мы следуем работам [8, 10].
6.4. Понятие суммарной аппроксимации и общий подход к построению
аддитивных разностных схем для эволюционных задач с дробными
шагами предложены А. А. Самарским в 1962 г. Аддитивное расщеп-
расщепление с целыми шагами также предложено А. А. Самарским A965 г.).
Дальнейшее развитие теории отражено в [5, 8, 10, 16].
342 Глава 6. Экономичные разностные схемы
6.5. Здесь конкретизируются общие результаты теории схем суммарной
аппроксимации для приближенного решения многомерной задачи
теплопроводности в параллелепипеде. При подготовке материала ис-
использовались работы [8, 10, 16]. Равномерная сходимость локально-
одномерной разностной схемы для параболических уравнений в не-
нерегулярных областях исследована А. А. Самарским A963 г.). Аддитив-
Аддитивно-усредненные схемы рассматриваются в работах Д. В. Гордезиани,
начиная с 1965 г.
6.6.2. Литература
1. Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей.
М.: Изд-во МГУ, 1987.
2. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.
3. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач. Нестационарные
задачи. М.: Изд-во МГУ, 1972. Вып. 2.
4. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
5. Марчук Г. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
6. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач. М.: ИЛ, 1960.
7. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
М: Мир, 1972.
8. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
9. Самарский Л. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.
10. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
11. Самарский А. А., ГулинА.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
12. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
14. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: На-
Наука, 1978.
15. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом
сеток. М.: Физматгиз, 1960.
16. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математи-
математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.
Глава 7.
Задачи теплопроводности
с фазовыми переходами
Важный класс нелинейных проблем теплообмена (см. п. 2.3) связан
с процессами фазовых превращений. Мы рассматриваем переходы твердое
тело—жидкость. Для моделирования процессов плавления/кристаллиза-
плавления/кристаллизации чистых веществ используется классическая модель Стефана, которая
характеризуется заданием постоянной температуры на границе фазового
перехода. Более общие модели допускают образование пространственной
зоны кристаллизации, в которой температура равна температуре кри-
кристаллизации, используются также модели с непостоянной температурой
фазового перехода.
Для численного решения задач с фазовыми переходами использу-
используются два основных подхода. Прежде всего укажем методы с выделением
границы раздела фаз. Эти методы иногда называют variable domain meth-
methods. Второй класс образуют методы без выделения этой границы, т. е.
методы сквозного счета (fixed domain methods).
К первой группе методов относятся методы, в которых положение
свободной границы отслеживается на каждом временном слое. С этой
целью используются численные методы, в которых свободная граница
определяется положением соответствующих узлов. Это достигается за счет
использования новых динамических независимых переменных или же
согласованных динамических сеток в исходных переменных.
В одномерных задачах адаптация к границе раздела фаз может осуще-
осуществляться и за счет использования переменного шага по времени. Такой
подход к использованию переменных шагов по времени (ловля фронта
в узел пространственной сетки) хорошо известен и давно используется.
В некоторых случаях можно использовать аналогичный подход с пере-
переменным шагом по пространству. Такие методы плохо приспособлены
к решению многомерных задач.
К методам с выделением границы фазового перехода относятся ме-
методы с выпрямлением фронта, когда используется динамическая сетка
постоянной структуры с закреплением узлов на границе раздела фаз. При
изложении этих подходов мы ориентируемся на формулировку задачи
в новых независимых переменных, в которых расчетная область регуляр-
регулярна. Для простоты изложения рассматривается однофазная задача Стефана.
344 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Для многомерных задач с фазовым переходом использование чи-
численных методов с явным выделением границы раздела фаз во многих
случаях связано с алгоритмическими сложностями и большими вычисли-
вычислительными затратами. Для приближенного решения таких задач широкое
распространение получили методы сквозного счета. Для этого использу-
используется обобщенная формулировка классической задачи Стефана. На основе
методов решения квазилинейных задач теплопроводности строятся соот-
соответствующие численные методы решения задачи Стефана. В таких задачах
используется и энтальпийная формулировка задачи Стефана, когда в ка-
качестве неизвестной выступает не температура, а энтальпия. Для решения
многомерных задач используются экономичные разностные схемы.
Прогресс в теоретическом исследовании проблем со свободной (не-
(неизвестной) границей в настоящее время достигнут за счет рассмотрения
этих задач как вариационных. Для однофазной задачи Стефана вводит-
вводится новая независимая переменная (преобразование Байокки), которая
позволяет получить более простую задачу. На основе метода штрафа,
примененного к соответствующему вариационному неравенству, строит-
строится метод сквозного счета для задачи Стефана.
Квазистационарная задача Стефана описывается стационарным урав-
уравнением теплопроводности. Отмечаются особенности численных методов
решения таких задач. В частности, методы сквозного счета могут быть по-
построены на основе выделения особенности решения на границе фазового
перехода.
Отмечаются основные особенности математических моделей фазо-
фазовых превращений в сплавах. Формулируются модели с равновесной двух-
двухфазной зоной. В некоторых случаях приходится учитывать диффузию
примесей в жидкой, а иногда и в твердой, фазах.
Нелинейность задач с фазовыми переходами обусловлена, прежде
всего, наличием неизвестной (свободной) границы фазового перехода.
Кроме того, как и в обычных задачах теплопроводности, нелинейность
может быть связана с зависимостью теплофизических параметров от тем-
температуры. Для того, чтобы подчеркнуть особенности задач с фазовыми
переходами будем считать жидкую и твердую фазы однородными средами
с постоянными теплофизическими характеристиками.
7.1. Методы с выделением границы
фазового перехода
7.1.1. Модельная однофазная одномерная задача Стефана
Поясним основные подходы к численному решению задач типа Сте-
Стефана с выделением границы фазового перехода на примере простейшей
одномерной однофазной задачи Стефана. Рассмотрим отрезок п = (О,1),
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 345
который точкой х = rj(t) (граница фазового перехода), 77@) > 0 разбива-
разбивается на две подобласти:
Q+(t) = {х | 0 < х < т/@>, П~@ = {х | ф) <х<1}.
Будем считать температуру фазового перехода равной нулю (и* = 0), по-
поэтому в твердой фазе, которая занимает область О~, положим и(х, t) < 0,
а в жидкой (область п+) — и(х, t) > 0. Для определения температуры
в жидкой фазе рассматривается уравнение теплопроводности (однородная
среда)
?~^ = 0' xGn+W> o<t^r. (l)
Дополним уравнение A) начальным условием
e(*,0) = «o(x)>0, xeu+(t). B)
Пусть левый конец поддерживается при заданной температуре:
u@,t) = g(t)>0, 0<t^T. (З)
На границе фазового перехода выполнены (см. п. 2.3) следующие условия:
«(«,<) = 0, « = 17(9, 0<t^T, D)
Напомним (см. п. 2.3), что постоянная Л связана с энтальпией фазового
перехода.
В силу сформулированных предположений о граничных и началь-
начальных условиях в однофазной задаче Стефана A)-E) скорость движения
границы фазового перехода (vn = dr]/dt) положительна, т. е. область
жидкой фазы постепенно расширяется. Монотонное возрастание функ-
функции 7j(t) следует из принципа максимума (см. п. 5.1) для параболических
уравнений.
7.1.2. Ловля фронта в узел пространственной сетки
Отметим некоторые простейшие вычислительные алгоритмы реше-
решения поставленной одномерной задачи A)-E) с учетом монотонного рас-
расширения области жидкой фазы. Рассматриваются методы с выделением
границы фазового перехода, поэтому с неизвестной границей связывается
узел расчетной ^етки.
В области Q, введем равномерную сетку с шагом ft:
и пусть ш — множество внутренних узлов. По времени будем использовать
неравномерную сетку
wr = {t\t = tn = <„-1 +гя, *0 = 0, и - 1, 2,..., JV, tN = T}
346 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
с переменным шагом тп > 0. Следует выбирать шаг по времени тп+],
п = 0,1,..., N - 1 таким, чтобы за этот временной промежуток (от tn
до ?n+i) граница фазового перехода сдвинулась ровно на один шаг
пространственной сетки. Этот подход известен как метод ловли фронта
в узел сетки.
Будем считать, что начальная область П+@) покрывается частью
введенной сетки ш, которую мы обозначим u>q (ivq С ш). Согласован-
Согласованную сетку на любой момент времени tn в области tt+(tn) обозначим
ш„, причем Шп С ь>п+1. Для граничного узла этой динамической сет-
сетки используем обозначение х = rj(tn) = inh. Поставим в соответствие
уравнению A) чисто неявную разностную схему
0, хеш^и п = 0,1, F)
где в безиндексных обозначениях
Лг/ = -ухх-
Аппроксимация начального условия B) дает
Уо(х) = щ(х), х G Ц>\ G)
Граничные условия C), D) приводят к условиям
yn+l@) = g(tn+]), (8)
2/п-и(ж) = 0, x = in+\h. (9)
Осталось аппроксимировать условие E). Принимая во внимание предпо-
предположение о сдвиге фронта на один узел, имеем
drj h
dt ~ rn+1'
Для сохранения второго порядка по h на решениях (см. п. 4.2) аппрокси-
аппроксимируем условие E) следующим образом:
Уп+\(х)-уп+\(х-1ь) \h + 0y5(yn+l(x)-yn(x)) .
1 = и, х = гп+\П.
Разностная задача F)—A0) аппроксимирует дифференциальную зада-
задачу A)-E) с точностью О(т 4- h2).
В качестве неизвестных в задаче F), (8)—A0) выступают решение
на новом временном слое уп+\ и шаг по времени тп+\. При заданном
т„+1 разностное решение можно найти из первой краевой задачи F), (8),
(9) либо смешанной краевой задачи F), (8), A0).
Для решения нелинейной алгебраической задачи F)—A0) на каждом
новом временном слое t = tn+\ используются те или иные итерационные
процессы. Простейший из них связан с итерационным уточнением шага
по времени тп+\. Пусть задано начальное приближение т^\ (например,
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 347
естественно положить т^+1 = тп). При заданном т*+1 соответствующее
приближение для t/n+i находится из решения следующей линейной раз-
разностной задачи:
Гп+1
11 = 0,1,
С этой целью используется алгоритм трехточечной прогонки (см. п. 4.5).
Разностное соотношение A0) используется для уточнения шага
по времени. В простейшем случае имеем
,5(,и*)-^
При необходимости вместо таких последовательных приближений ис-
используется итерационный процесс с релаксационным параметром.
В данном варианте метода ловли фронта в узел фиксирована сетка
по пространству. Для таких простых задач как A)-E) можно использовать
и варианты с фиксированной сеткой по времени, когда подстраивается
шаг по пространственной переменной. В этом случае удается исполь-
использовать безытерационные процедуры перехода с одного временного слоя
на другой.
7.1.3. Метод выпрямления фронта
Для одномерной задачи A)-E) естественным является подход с ис-
использованием вместо х новой независимой переменной ?, такой чтобы
в новых переменных задача решалась в фиксированной области. Про-
Простейшая такая замена для задачи A)-E) имеет вид
х = Ш- A3)
Новая переменная ? изменяется в фиксированных пределах от 0
(на левом конце х = 0) до 1 (на границе фазового перехода х = rj(t)).
При рассмотрении задач теплопроводности с фазовыми превращениями
подходы с такими преобразованиями независимых переменных известны
как методы выпрямления фронтов, так как в этом случае граница фазового
перехода совпадает с фиксированной координатной линией.
Сформулируем задачу Стефана A)-E) в новых независимых пере-
переменных (?,?)• Пусть
348 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
тогда с учетом A3) получим
ди _ 1 dv ди _dv ? drj dv
С учетом этого уравнение A) примет вид
Начальное условие B) дает
а граничные условия C), D) преобразуются следующим образом
v@,t)=g(t)>0, A6)
v(l,0 = 0, 0<^Т, A7)
Полученная краевая задача A4)—A8) для определения v(?, t) и rj(t) являет-
является нелинейной, но в отличие от исходной задачи A)-E) рассматривается
в фиксированной расчетной области: 0 < ? < 1. Необходимо отметить
присутствие в уравнении A4) члена с первой производной по перемен-
переменной ?, который отражает перенос тепла за счет движения расчетной
области.
Для численного решения задачи A4)—A8) в новых переменных бу-
будем использовать разностные методы. Уравнение A4) аппроксимируем
на равномерной сетке
ш = {? | ? = & = ifc, % = 0,1,..., N, Nh=\}
следующим образом
где 0 = т) (t).
Разностное уравнение A9) дополняется условиями
г/0(?) = щ(?т)@)), ? G о;, B0)
yn+i@)=fl(tn+i), n = 0,l,..., B1)
yn+i(l) = 0, n = 0,1,.... B2)
Из A4) и A8) следует, что при ? = 1 выполнено уравнение
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 349
Поэтому аппроксимация граничного условия со вторым порядком по h
на решениях уравнения A4) имеет вид
2т +
J = °' B3)
{=1, п = 0,1,... .
Реализация разностной схемы A9)—B3) связана с определением
на новом временном слое t = tn+\ сеточной функции уп+\ и 6п+\ из не-
нелинейной системы уравнений. С этой целью используются те или иные
итерационные методы. Например, аналогично методу ловли фронта в узел
можно применять следующий (см. A1), A2)) итерационный процесс. При
заданном вк находится yj+, как решение следующей задачи:
Л* Уп+\ - Уп Х+1-*п1?+1A + Л)
Для уточнения вп+\ используется соотношение B3). Например, простей-
простейшая линеаризация дает
ft +A
2т
Конечно, вместо этого можно использовать и другие формулы,
в частности, определять новое приближение 0^| из соответствующего
квадратного уравнения.
7.1.4. Выпрямление фронта в двумерной задаче
Для исследования возможностей метода выпрямления фронта в мно-
многомерных задачах рассмотрим следующую модельную однофазную задачу
Стефана. Пусть прямоугольник (рис. 7.1)
П = {х | х = (хих2), 0<xQ<la) a = 1, 2}
разбивается свободной границей S - S(t) на две части: U+(t) (жидкая
фаза) и fl,~(t) (твердая фаза). Будем считать, что граница фазового перехо-
перехода S описывается уравнением х\ = г)(х2, t), 0 ^ Х2 ^ h и в течение всего
350
Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
исследуемого времени сохраняет свою структуру (функция rj(x2,t) при
каждом фиксированном t является однозначной — свободная граница
без самопересечений, 0 < t](x2i t) < l\).
Однофазная задача Стефана для од-
однородной среды описывается уравне-
уравнением
2
ди ^ д2и _
B4)
x = (xux2)en+(tI
с начальным условием
Рис. 7.1
;0). B5)
На фиксированной части границы j = 7@ = дпп du+(t) положим
и(х, t) = g{x, 0^0, х е 7, 0 < i < Г. B6)
На свободной границе имеем (см. п. 2.3)
г*(ж,0 = 0, х eS(t), 0<t^T, B7)
^(ж, t) = -Wni х Е Sit), 0<t^T. B8)
Здесь п — внешняя нормаль, а У„ - скорость движения свободной
границы по нормали к S.
В рассматриваемых условиях можно провести выпрямление фронта
по переменной Х\, используя преобразование х\ = (\Г)(х2} t). Далее зада-
задача B4)-B8) записывается в новых независимых переменных ? = (?ь&)»
причем
Полагая и(х, t) = v(f, t), с учетом B9) получим
ди dv д?\ dv dv ?i
dv
at T](xbt)dt
C0)
Для записи оператора Лапласа в новых переменных вместо непосред-
непосредственных преобразований используем общие соотношения тензорного
анализа. Пусть дар, а, C = 1,2 — компоненты метрического тензора,
J — якобиан преобразования, который в нашем двумерном случае равен
J = 0U022 - 012021 • Обозначим через да13, а, р — 1,2 — компоненты ас-
ассоциированного (обратного метрическому) тензора. Тогда для оператора
Лапласа в произвольной системе координат имеем
C1)
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 351
Для задания д°Р используемого преобразования вычислим снача-
сначала компоненты метрического тензора. Для этого запишем B9) в виде
t), x2 = 6 и получим
{dxxf + (dx2J = rj2(d^J + 2?,Т7^ df, dfc + [l + (б ^
В силу этого имеем
2 , 9r7 , Л ^
^2 \ ^2
и поэтому
12 21 {l*l 22
=5 =-^^' 9 =
а для якобиана преобразования получим выражение
J = tf'. C3)
Подстановка C0), C1) в B4) дает искомое уравнение
коэффициенты которого определяются согласно C2), C3). Уравнение C4)
рассматривается в фиксированной регулярной области
П< = {«1* = F,6), 0 < & < 1, 0 < 6 < *2>.
Соответствующим образом преобразуются начальные и граничные усло-
условия B5)-B7). Как обычно, отдельного рассмотрения заслуживают усло-
условия на свободной границе (при 6 — 0 B8).
Принимая во внимание краевое условие B7), из B8) получим
!^-{x,t) =-\VU я: €5(«), 0<«<Г, C5)
ОХ\
где V\ — компонента скорости движения фронта вдоль оси Х\. Из
ди _ 1 dv
'dx'i'vWi
и уравнения свободной границы х\ — ?/(а:2,0 из C5) получим
*% ^ 1 0<^г
Заметим, что условие на свободной границе C6) полностью совпадает
с аналогичным условием для одномерной задачи (см A8)).
352 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Дальнейшее рассмотрение задачи в новых переменных проводится
по той же схеме, что и в одномерном случае. Итерационное уточне-
уточнение неизвестной границы на каждом временном слое теперь связано
с уточнением не одного параметра, а функции. Поэтому здесь могут
оказаться полезными упрощенные безытерационные схемы, которые со-
соответствуют, например, использованию одной итерации в приведенных
итерационных процедурах для одномерной задачи.
7.1.5. Общее преобразование независимых переменных
Для многомерных задач могут использоваться и более общие пре-
преобразования независимых переменных, чем приведенное выше растя-
растяжение по одной переменной. Для рассматриваемой задачи B4)—B8)
выпрямление фронта может осуществляться общим динамическим пре-
преобразованием
*1 = *lF,6,0, «2= Мб, 6, О- C7)
Новые переменные выбираются так, чтобы свободная граница была
фиксирована. Например, исходная нерегулярная область u+(t) на каждый
момент времени отражается на регулярную
Ъ = U U = Кьб), 0 < ?а < dl = const, а - 1, 2}.
Примером такого непрерывного преобразования служит рассмотренное
выше преобразование B9).
Аналогично рассматриваются и двухфазные задачи Стефана. В этом
случае преобразуется не только область u+(t), но и область Cl~(t) (твердая
фаза). Понятно, что при этом возникают дополнительные сложности,
которые мы не будем как-либо комментировать здесь.
Дискретизация по новым переменным фактически соответствует ис-
использованию нерегулярных согласованных со свободной границей сеток,
адаптивных к границе фазового перехода. Поэтому к проблеме постро-
построения вычислительного алгоритма выпрямления фронта можно подойти
с позиций построения таких сеток, не указывая непрерывного преобра-
преобразования переменных, не формулируя дифференциальную задачу в новых
переменных. В каком-то смысле такие построения могут представляться
и лишними.
При построении сеток в многомерных задачах типа Стефана необ-
необходимо отметить важное обстоятельство. А именно, сетка должна быть
динамической, перестраиваемой, по крайней мере, на каждом времен-
временном слое. В таком контексте многие известные подходы к построению
сеток для таких задач не совсем подходят. В частности, это относится
к ортогональным сеткам. Построение ортогональных сеток достаточно
сложная задача, которая решается для достаточно простых классов обла-
областей со значительными вычислительными затратами.
Среди различных подходов к построению двумерных задач наибо-
наиболее экономичными являются алгебраические методы. Примером может
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 353
служить использование фиксированной
сетки по переменной xi в задаче B4)-
B8) и локально равномерной сетки по
переменной х\ (рис. 7.2). Фактически
это соответствует использованию алге-
алгебраических соотношений B9). Конеч-
Конечно, такой подход может рассматриваться
и в более общих ситуациях.
Другие известные подходы к по-
I I I
J J
I / / /
/ / /Ту
i / / //
/7
I /
f ///
I IK
О /. х.
строению сеток, связанные так или ина- l l
че с решением некоторых вспомогатель- Рис. 7.2
ных задач для уравнений с частными
производными, менее пригодны для быстрого построения перестраивае-
перестраиваемых, динамических сеток. В вычислительной практике получили распро-
распространение методы «эллиптической» генерации расчетных сеток. Понятно,
что решение Соответствующих краевых задач может по вычислительной
работе значительно превосходить затраты на переход с одного временного
слоя на другой.
Методы с генерированием согласованных динамических сеток осо-
особенно важны при повышенных требованиях к точности результатов чи-
численного решения. С этой целью используются и адаптивные сетки.
Основные особенности решений задач типа Стефана локализуются вбли-
вблизи границы фазового перехода, где разрывны производные решения.
Поэтому для повышения точности естественно использовать сетки, ди-
динамически сгущающиеся вблизи границы фазового перехода.
7.1.6. Задачи
Задача 1. Для модельной однофазной задачи Стефана A)-E) рассмо-
рассмотрите вариант ловли фронта в узел нерегулярной сетки по простран-
пространству.
Решение. Будем использовать неравномерную сетку по простран-
пространственной переменной. Новые узлы этой сетки будем определять условием,
что в этот узел попадает граница фазового перехода. Пусть на момент
времени t = tn+\ сетка состоит из узлов х, = ж,_1 + hi, г — 1,2,..., in+\,
причем положение граничного узла хт, т — in+\ неизвестно (нам не за-
задан шаг hm). Поставим в соответствие A) разностное уравнение
rn+i fti+i+ /*i \ hi+\ hi
\<i<m. C8)
Уравнение C8) дополняется соответствующим начальным и граничными
условиями:
ye+,@) = g(tn+i), yn+i(xm) = 0. C9)
24 Зак 168
354 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Для аппроксимации условия E) используем простейшее разностное со-
соотношение
Уп+\(Хт) ~ Уп+\(Хт-\)
Для решения нелинейной задачи C8)-D0) по определению уп+\ и hm
применим метод прогонки (см. п. 4.5). Для этого используем обозначения
Vi = уп+\(х{)9 г — 0, 1,... , т. Разностная задача C8)—D0) записывается
в виде трехдиагональной системы линейных уравнений
Covo - Bov{ = F0)
- Aw.) + См - BiVi+\ =Fi} i = 1, 2,..., m - 1,
"~ Am-\vm-\ + CmVm = Fmy
и решение ищется в виде
v{ = af-+1t;f-+i H-ft+i, i= 1,2, ...,m- 1, vm = pm+\.
Для прогоночных коэффициентов используются следующие расчетные
формулы
a0 = Co]Bo, ai+{ = (Q - А{а{у]В{, г = 0,1,..., т - 1,
А) = Q^, Д-+| = (С,- - Аа,)^ + ilift), t = 0,1,..., m.
В нашей разностной задаче C8)-D0) имеем
1 1 р >•+!+fr rft»-H+fti , 1 , 1
В силу этого мы можем вычислить все коэффициенты а,, /3, вплоть
до г — m - 1. Принимая во внимание граничные условия C9), D0),
получим
1 _ Ргп
A/lm llm
Используя выражение для рт, придем к кубическому уравнению для
определения hm:
h2m\
Как показывает дополнительный анализ, это уравнение имеет один дей-
действительный и два комплексно-сопряженных корня. После того, как
найден шаг сетки, обратной прогонкой восстанавливается решение раз-
разностной задачи.
Следует подчеркнуть, что описанный алгоритм ловли фронта бе-
безытерационный, хотя разностная задача C8)—D0) и нелинейна. >
\ 2rn+] hm /im_j / Л \ 2rn+i hm-\J
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 355
Задача 2. Запишите уравнение теплопроводности B4) в новых незави-
независимых переменных (?i,&) при заданном динамическом преобразовании
переменных C7).
Решение. Полагая и(х, t) = v(f, t), получим
du _ dv d?x dv d?2 dv
Из C7) имеем
~df'i"dt'd^ + ~dt'd^ = 0>
dx2 d(x dx2 d?2 dx2 _
и поэтому
dh _ 1 (dx2dx\ dxx dx2
~dt ~ 7 1Габ ~~dt
\
D2)
_ дх2 Эх2дхЛ
dt ~
дхх дх2 дх} дх2
Здесь J = —- —;— —- -— якобиан преобразования.
д?] д?2 д?2 д?{
Запишем теперь оператор Лапласа в новых переменных, используя
для этого общее представление C1). Для преобразования C7) имеем
дх\ дх\
dxt = ^7-d?x + -- d?2,
о?\ д?2
дх2 дх2
Поэтому для компонент метрического тензора получим
2 / л \ 2
(дХ]у /дх2у
дххдхх дх2 дх2
'di;w2 + 4;w2' D3)
922 =
Для ассоциативного метрического тензора непосредственные выкладки
дают
11 т~2 12 т~2 22 т~2 //i/i\
О ~ ,/ Q22\ Q —• —«/ Q\2i 9 — J 9\\' \ • '/
24*
356 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Подстановка C1), D1)-D4) в уравнение B4) дает искомое уравнение
dv I fdx2 dxx dxx dx2\ dv 1 /dxx dx2 dx2 dxx \ dv
Jdb\j d?{ j db) J 06 V J 06 J ah ) ~~
Здесь коэффициенты метрического тензора преобразования C7) опреде-
определяются по формулам D3). >
7.2. Методы сквозного счета
7.2.1. Двухфазная задача Стефана
В п. 2.3 отмечалось, что классическая задача Стефана допускает
обобщенную формулировку в виде одного нелинейного уравнения тепло-
теплопроводности, при которой реализуются необходимые условия на границе
фазового перехода. Это дает возможность строить вычислительные алго-
алгоритмы приближенного решения задач с фазовыми превращениями без
явного выделения свободной границы. О таких методах мы говорим как
о методах сквозного счета.
Рассматривается модельная двухфазная задача Стефана в прямо-
прямоугольнике П. Свободная граница S — S(t) разбивает О, на две подобласти
Q+(t) и u~(t) (рис. 7.1). В обоих подобластях выполняется уравнение
теплопроводности. Как обычно, будем считать, что тешгафизические
параметры твердой и жидкой фаз постоянны, для обозначения принад-
принадлежности к той или иной области будем использовать индекс «+» или «-».
Запишем в каждой подобласти уравнение теплопроводности
^ep A)
В начальный момент задается некоторое распределение температуры:
«*(«, 0) = ио(х), х € П*@). B)
Пусть 7* = 7*0 = дП П аП±(<) и
u±(x,t)=g(x,t), ябт*, 0<*<Г. C)
Температуру фазового перехода принимаем равной нулю и поэтому сво-
свободная граница S = S(t) определяется следующим образом:
5(«) = {х | х G П, и(х, 0 = 0}. D)
На ней выполнены (см. п. 2.3) два условия сопряжения, отражающие
непрерывность температуры и закон сохранения тепла:
[и] = 0, х? 5@, E)
k—\ = -XVn, х € 5@, F)
7.2. Методы сквозного счета 357
где А — энтальпия фазового перехода, a Vn — скорость движения
свободной границы по нормали к S(t).
Рассматриваемая двухфазная задача Стефана A)-F) может быть
записана в виде одного общего уравнения теплопроводности во всей
области П. Пусть 6(и) — дельта-функция, тогда вместо уравнений A)
и условий сопряжения D)-F) можно рассматривать одно уравнение
теплопроводности
(с(и) + \6(ч)) - - У) — (*(«)—) = О,
х е п, о < t < г.
Здесь коэффициенты теплоемкости и теплопроводности разрывны и име-
имеют вид
-, ti < 0, (я?€П").
В соответствии с B) и C) уравнение G) дополняется условиями
и(х,0) = щ(х), хеп, (8)
и(х, t) = g(x, t), хедП, 0<t^ T. (9)
Особенность задачи Стефана проявляется в наличии слагаемого с
?-функцией в левой части уравнения G). Выделение или поглощение
тепла при фазовом переходе соответствует наличию сосредоточенной
теплоемкости на границе фазового перехода. Сама краевая задача G)-(9)
не очень сильно отличается от рассмотренных выше квазилинейных задач
теплопроводности (см. п. 5.9). Это позволяет нам перейти к построению
соответствующих разностных схем.
7.2.2. Разностная схема со сглаженными коэффициентами
Простейший подход к приближенному решению задачи Стефана
в формулировке G)-(9) состоит в том, что коэффициенты уравнения G)
сглаживаются, т. е. совершается переход к обычной задаче теплопровод-
теплопроводности.
В уравнении G) теплоемкость с(и) и слагаемое Х6(и) входят одина-
одинаковым образом. Заменим ^-функцию 6(и) некоторой функцией ?(м, А),
которая отлична от нуля только внутри интервала сглаживания [-Д, А],
и введем эффективную сглаженную теплоемкость
с(и) = с(и) + 6(и,А). A0)
При необходимости проводится сглаживание и коэффициента тепло-
теплопроводности (к(и) заменяется на к(и)) и вместо уравнения G) ищется
358 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
решение уравнения со сглаженными коэффициентами
В вычислительной практике получили распространение различные
аппроксимационные формулы для 6(и, Д), которые строятся из условия
сохранения баланса тепла на интервале [-Д, Д]. Простейшая их них
связана с заданием
. 0, |u| > Д.
В качестве второго примера может отметить параболическую аппрокси-
аппроксимацию, когда
'й('-г)- М<А- (,з)
О, \и\ > Д,
для которой условие
6(щ A)du=l
-А
также, очевидно, выполнено. Как показывают численные эксперименты,
точность разностного решения слабо зависит от выбора той или иной ап-
проксимационной формулы для ^-функции, в частности, от выбора A2)
либо A3). Более существенное влияние оказывает величина параметра
сглаживания Д, который естественно зависит от используемой сетки
и определяется, чаще всего, эмпирически в результате методических
расчетов.
В методах сквозного счета разностную схему строят на основе ис-
использования уравнения A1), считая коэффициенты этого уравнения до-
достаточно гладкими. Сама граница фазового перехода не выделяется,
не участвует в построении разностной схемы. При необходимости сво-
свободная граница идентифицируется как нулевая изотерма (см. D)) после
того, как решение найдено.
Для решения задачи (8), (9), A1) применяются рассмотренные ранее
разностные методы. В соответствии с п. 5.9 применим, например, чисто
неявную разностную схему
Ъ(уп+])Уп+1~Уп +A(yn+l)yn+l=0, *€«, n = 0,l,.... A4)
Здесь
-ЧУ), A5)
7.2. Методы сквозного счета 359
K(v)y = -(а>а(у)Уха)ха, хеш,
Граничные и начальные условия (8), (9) дают
Уо(х) = щ(х), хеш, A7)
yn+\(x)=g(x)tn+]), хедш, п = 0,1,... . A8)
Для определенности положим
al{y) = k@M(y(x) + y(x{ -hux2))),
а2(у) = *@,5(у(х) + у(хих2 - ft2)))-
Реализация нелинейной разностной схемы A4)—A9) осуществляется
на основе итерационных методов. Простейший из них связан с итера-
итерационным уточнением коэффициентов. Новое приближение находится
из решения линейной разностной задачи (см. п. 5.9)
b(wk)- Hi + A(wk)wk+l =0, хеш, B0)
т
wk+\x)=g(x1tn+l), хедш, п = 0,1,... . B1)
Как правило, достаточно нескольких итераций B0), B1), чтобы обеспе-
обеспечить хорошую точность. Вместо итерационного процесса B0), B1) можно
использовать метод Ньютона, который приводит к несамосопряженной
сеточной эллиптической задаче для нового приближения.
В вычислительной практике большой популярностью пользуется ли-
линеаризованная чисто неявная разностная схема, когда коэффициенты бе-
берутся с предыдущего временного слоя. Для рассматриваемой задачи (8),
(9), A1) во внутренних узлах сетки используется уравнение
Уп + МУп)Уп+у - 0, хеш, п = 0,1,..., B2)
(Уп)
т
дополненное граничными условиями A8). При решении задач с фазовыми
превращениями безытерационная разностная схема A8), B2) зачастую
оказывается более предпочтительной по сравнению с чисто неявной
схемой A4)—A9) по суммарным вычислительным затратам.
7.2.3. Экономичные схемы
Для решения многомерных задач типа Стефана естественно исполь-
использовать экономичные разностные схемы. Для общих трехмерных задач
устойчивые разностные схемы могут быть построены на основе адди-
аддитивных локально-одномерных разностных схем, схем суммарной аппрок-
аппроксимации (см. п. 6.5). Для рассматриваемой двумерной задачи (8), (9),
360 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
(И) можно применять и факторизованные разностные схемы (см. п. 6.3)
(разностные схемы переменных направлений).
Приведем в качестве примера локально-одномерную разностную
схему для задачи (8), (9), A1), основываясь на чисто неявной схеме для
промежуточных задач. В соответствии с п. 6.5 определим приближенное
решение в два этапа. Сначала с учетом аддитивного представления A6)
находиться разностное решение уп+\/2 как решение следующей разност-
разностной задачи:
У]/2 ~ Уп + Ь\(Уп+\1г)Уп+чг = 0, хеш, B3)
Уп+\/2(х) = д(х, tn+]), х е дш. B4)
После этого из решения сеточной краевой задачи
г./ \Уп+\ ~~ 2/п+1/2 , а / \ л ,- /<-*г-\
Ь(уп+1) + А2(Уп+\)Уп+\ =0, хеш, B5)
уп+\(х) = 9(ху tn+\), хедш B6)
находится решение уп+\ на новом временном слое.
Реализация схемы суммарной аппроксимации B3)—B6) связана с ре-
решением ряда одномерных нелинейных сеточных уравнений для нахожде-
нахождением г/п+1/2 и уп+\- С этой целью может использоваться итерационный
процесс типа B0), B1) либо метод Ньютона. При этом соответствующие
системы линейных уравнений решаются методом прогонки.
Линеаризованной разностной схеме A8), B2) будет соответствовать
разностная схема с уравнениями
Ь(у„)Уп+тт~Уп + Л,Ыуп+,/2 = 0, B7)
Цуп)Уп+1~тУп+и2 + А2(у„)Уп, 1=0, хеш B8)
и граничными условиями B4), B6). Вместо B8) часто используют урав-
уравнение
ь(уп+\/2) + А2(уп+\/2)Уп+\ =о, хеш,
рассчитывая на увеличение запаса устойчивости линеаризованной раз-
разностной схемы.
Можно рассмотреть и другие варианты разностных схем числен-
численного решения многомерных задач Стефана на основе использования
экономичных аддитивных схем, описанных в главе 6. Это относится,
в частности, к схемам переменных направлений, которые позволяют
рассчитывать и стадию установления температурного режима.
7.2. Методы сквозного счета
361
7.2.4. Энтальпийная формулировка задачи Стефана
При решении задач с фазовыми превращениями твердое тело-
жидкость часто в качестве неизвестной функции используется не темпе-
температура и(х, t), а энтальпия w(x, t). Для задачи G)-(9) новую функцию
(энтальпию) зададим с помощью соотношения
dw
— = с(и) + Х6(и).
аи
B9)
Введение энтальпии соответствует (см. п. 3.3) использованию преобразо-
преобразования Гудмэна. В рассматриваемом случае однородных твердой и жидкой
фаз в соответствии с B9) положим
«(«) =
с щ
C0)
Как следует из C0), новая неизвестная
функция w терпит разрыв на границе
фазового перехода (при и = 0).
Уравнение теплопроводности G) с
учетом C0) принимает вид
w(u)
А
-А
dt
9
дха
C1)
Рис. 7.3
Для того, чтобы построить вычислительные алгоритмы сквозного сче-
счета, необходимо сглаживание разрывной функции w(u). Снова обозна-
обозначим параметр сглаживания Д и введем кусочно-линейную непрерывную
функцию (рис. 7.3)
wA(u) =
0,
- w(-A)
C2)
)
2 2Д
где w(A) = с+Д+А, w(-Д) = -с"Д. Вместо C2) мы можем использовать
и более сложные аппроксимационные формулы.
Точное уравнение C1) заменяется приближенным:
dwA
д
е п, о < t < г.
C3)
Полученная задача для C2), C3) решается численно. Если в качестве
неизвестного используется функция w&(u), то в этом случае говорят
о приближенном решении задачи Стефана в энтальпийной постановке.
23 Зак 168
362
Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Исключение w&(u) в C2), C3) приводит нас к схеме со сглаживанием
в рассмотренной выше температурной постановке (задача 2).
Из C2) непосредственно следует формула для определения и(х} t)
по заданному ()
u(x,t)=<
2Д
w(A)-w(-A)
C4)
гуд
С
С учетом этого уравнение C3) примет вид
<35>
с соответствующим коэффициентом ()
При заданном функциональном преобразовании C4) нет проблем
с формулировкой начальных и граничных условий для уравнения C5).
Следует заметить, что простые функциональные зависимости C2), C4)
между и(ж, t) и гид (ж, t) имеют место при заданных постоянных ко-
коэффициентах теплоемкости. В более сложном случае с = с(и) переход
к энтальпийной формулировке осуществляется не так просто.
Для численного решения C5) используются разностные схемы, опи-
описанные выше при рассмотрении методов сквозного счета в температур-
температурной постановке. Для идентификации свободной границы используется
условие
. . w(-Д) + м(Д)
10@) = —i '- ^—- = const,
которое соответствует D).
7.2.5. Комбинированные алгоритмы
К методам сквозного счета мы отнесли методы, которые не свя-
связаны с выделением свободной границы раздела фаз. При использова-
использовании сглаживания коэффициентов в обобщенной формулировке задачи
Стефана (8), (9), A1) для вычисления коэффициентов разностной за-
задачи A4)—A9) используются простейшие формулы типа A5), A9), т.е.
построение дискретной задачи проводится на основе непосредственной
аппроксимации (см. п. 4.2). При построении разностных задач можно
исходить из более совершенных процедур, в частности, использовать
7.2. Методы сквозного счета 363
метод баланса (интегро-интерполяционный метод). Метод баланса мож-
можно использовать для построения разностной схемы непосредственно для
задачи G)-(9) в выделением границы.
Применение интегро-интерполяционного метода связано с исполь-
использованием квадратурных формул для вычисления коэффициентов соот-
соответствующей разностной задачи. Для повышения точности необходимо
учесть разрывы коэффициентов дифференциального уравнения. Это име-
имеет место, например, при интегрировании уравнения A1) с разрывным
коэффициентом теплоемкости. В силу этого, граница фазового перехода
выделяется. При использовании аппроксимационных формул A2), A3)
с необходимой точностью следует выделять линии разрыва (изотермы
и ± Д = const) коэффициента теплоемкости. Это же замечание отно-
относится и к случаю использования энтальпийной формулировки задачи
с фазовыми превращениями.
Обсуждаемые разностные методы решения задачи со сглаженными
коэффициентами (8), (9), A1) в части построения дискретной задачи
близко примыкают к методам с выделением границы фазового перехода.
Поэтому можно указать класс комбинированных методов, в которых идеи
обоих подходов тем или иным способом сочетаются друг с другом.
7.2.6. Задачи
I Задача 1. Для задачи (8), (9), A1) постройте линеаризованный аналог
разностной схемы Дугласа—Рэкфорда.
Решение. В соответствии с п. 6.2 аналогом этой схемы будет
УП + МУп)Уп+1/2 + А2(Уп)Уп = 0, C6)
Ь(у„)Уп+* ~У"*'/2 + А2Ы(Уп+. - Уп) = 0. C7)
Реализация поправки (второго этапа в схеме C6), C7)) может осуще-
осуществляться на основе разностного уравнения
Ь(Уп+\/2) "** т П+1/2 + А2(уп+!/2)(»п+1 - Уп) = 0.
Это уравнение отличается от C7) только вычислением коэффициентов
не по временному слою t = tn, а по решению уп+\/2- >
I Задача 2. Постройте линеаризованную разностную схему в темпера-
температурной постановке на основе сглаживания C2).
Решение. Для задачи C2), C3) со сглаженными коэффициентами
используем разностную схему
23*
364 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Линеаризация этой схемы дает схему B2), в которой
Принимая во внимание C2), получим
с +с+
dwA I ТТ + —— > М < А>
\и\ > А.
Такая линеаризованная схема соответствует использованию аппроксима-
ционной формулы A2) для ^-функции. >
7.3. Преобразование зависимых
переменных
7.3.1. Однофазная задача Стефана
Ранее (см. п. 7.1) мы рассматривали преобразования независимых пе-
переменных так, чтобы в новых координатах исходная область со свободной
границей отображалась в фиксированную область. Вторая возможность
преобразования исходной задачи связана с введением вместо и(х} t) новой
неизвестной. В качестве примера преобразования зависимых переменных
отметим введение в п. 7.2 энтальпии w(x,t) вместо и(х,1). Здесь мы
отметим еще одну возможность введения новой неизвестной.
Рассматривается модельная однофазная задача Стефана в прямо-
прямоугольнике п, та же, что и в п. 7.1. В жидкой фазе справедливо уравнение
теплопроводности
fr-E^| = 0> x = (xux2)€u+(t), 0<t^T, (I)
к которому добавим простейшие начальные и граничные условия
и(х, 0) = 0, х е П, B)
u(x,t)=g+(x,t)>0, яе7+, 0<^Г, C)
где 7+ = 7+@ = дпП dfl+(t) и П+@) = 0.
В твердой фазе температура постоянна и равна нулю:
и(х, 0 = 0, хе tt~(t) = U\ft+(t), 0<t^T. D)
В частности, на фиксированной части границы области п~ (t) имеем
E)
7.3. Преобразование зависимых переменных 365
На свободной границе S(t) — дп+ П дп~ выполнены обычные
условия
!*(*,*) = О, хе 5@, 0<<<Г, F)
ди
—(*, t) = -XVn, x G 5@, 0 < * ^ Г, G)
где Vn — снова скорость движения границы фазового перехода.
Будем считать, что граница фазового перехода 5@ задается уравне-
уравнением t = т)(х), т.е.
S@ = {(*,<) I * = Ч(*), *^}- (8)
Для определенности положим
U+(t) = {(x)t)\t>V(x), хеп},
(T(t) = {(x,t)\t<Ti(x), хеП}.
В этом случае граничное условие G) (задача 1) принимает вид
grad и grad т/ = -Л, t = т/(ж), 0<t^T. (9)
Поставленная задача A)-G) характеризуется тем, что решение не-
непрерывно во всей области ?2, но первые производные терпят разрыв при
переходе свободной границы. Новая неизвестная функция вводится так,
чтобы для нее были непрерывны и первые производные. Для нахожде-
нахождения такого более гладкого приближенного решения можно использовать
более простые вычислительные алгоритмы.
7.3.2. Преобразование Дюво
В качестве новой неизвестной будем использовать функцию
t
w(x, 0 =
fu(x,e)de, 1>ф) (xen+(t)),
A0)
(xeu-(t)us(t)).
Преобразование, аналогичное A0), впервые предложил Байокки для
задачи фильтрации через земляную дамбу со свободной (неизвестной)
границей смачивания. Для тепловых задач Стефана такое преобразование
использовал Дюво (преобразование Дюво).
Переформулируем однофазную задачу A)-F), (9) для новой неиз-
неизвестной w(x, t). Прежде всего из A0) непосредственным дифференциро-
дифференцированием получаем
^(М) = «(М), *€П, (И)
ос
т. е. температура и(х, t) имеет смысл скорости изменения функции w(x, t)
со временем.
366 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Для производных по пространственным переменным имеем
t
dw f ди , v дт)
Ф)
Принимая во внимание условие F) на свободной границе, определяемой
согласно (8), получим
Ф)
Аналогично
2 ' 2
Ф)
С учетом (9), уравнения A) и соотношения A1) эти представления вторых
производных дают
ф) "-1 ф)
dw
= и(х, t) - и(х, ф)) +\ = —(х, 0 + Л.
Тем самым функция w(x> t) удовлетворяет уравнению
f\ 2 /J4/1
В силу D), A0) в твердой фазе
w(x,t) = 0, x€u~(t). A3)
На свободной границе соотношения F), A0) дают
цж,О = о, xes(t)y A4)
а второе условие G) преобразуется к виду
^ = 0, х € 5(<). A5)
В силу B) начальное условие имеет вид
ю(ж,0) = 0, хеп. A6)
7.3. Преобразование зависимых переменных 367
Осталось сформулировать граничные условия на дп. С учетом C),
E) запишем их в виде
и(ж, 0 = д(х, 0, х Е дп = 7+ U у".
Принимая во внимание A1), это граничное условие преобразуется к виду
t
w(x, t)= f g(x, в) <L0y x e 0fi. A7)
о
Таким образом приходим к задаче со свободной границей A2)—A7) для
новой неизвестной функции w(x, t).
Задача A2)—A7) отличается от исходной задачи A)-G) для темпера-
температуры тем, что теперь само решение и его первые производные непрерывны
во всей области п.
7.3.3. Метод штрафа
В подобласти u~(t) можно (см. A3)) считать выполненным одно-
однородное уравнение
dw v^-ч d2W
— -]Г —= о, *en-@, о<*<г. A8)
dt ^ dxl
Объединяя A2) и A8) и принимая в расчет однородные условия A4), A5)
на свободной границе, можем записать одно общее уравнение во всей
расчетной области:
Z ^ <> en(«) o<t<T A9)
71Г
где разрывная правая часть имеет вид
<•>¦{? ТА «»
Уравнение A9), B0) дополняется граничными условиями A7) и началь-
начальным условием A6).
Можно пытаться строить однородные вычислительные алгоритмы
сквозного счета на основе поставленной задачи A6), A7), A9), B0).
Однако разрывная правая часть B0) существенно затрудняет проблему
приближенного решения задачи для w(x, t).
При теоретическом исследовании (вопросы однозначной разрешимо-
разрешимости, гладкости свободной границы) с успехом используется формулировка
задачи A6), A7), A9), B0) в виде вариационного неравенства. Для при-
приближенного решения вариационной задачи используется метод штрафа.
368 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Не давая вариационную формулировку рассматриваемой задачи, приве-
приведем лишь задачу для приближенного решения, полученного на основе
метода штрафа.
Обозначим приближенное решение метода штрафа для задачи A6),
A7), A9), B0) через we(x, t), где е > 0 —- параметр штрафа. Для нахо-
нахождения w?(ж, t) формулируется следующая задача. В области ft решается
уравнение с однородной правой частью:
Е+^КК = -А' *^ft, 0<*<Г, B1)
01 а=1
где /3?(v) — оператор штрафа:
Начальные и граничные условия для B1), B2) имеют (см. A6), A7))
обычный вид
w? (ж, 0) = 0, xGfi, B3)
t
B4)
Рассмотрим теперь уравнение B1), B2) для приближенного решения.
Пусть линия уровня we(x) = 0 определяет приближение для свободной
границы, т.е.
5,@ = {(х, t) | «ф, 0 = 0, х е П], B5)
и поэтому
ut(t) = {(x1t)\we(x1t)>0i хеп}у
nj(t) = {(ж, 0 | ме(ж, 0 < 0, хе ft}.
Для того, чтобы убедиться в возможности такого определения подобластей
ft^@ и ft^"@> рассмотрим краевые задачи в отдельных подобластях.
В подобласти tt?(t) выполнено (см. B1), B2)) уравнение, совпадающее
с исходным уравнением A2), и соответствующие граничные условия.
Поэтому в ft^"@ действительно we(x, t) > 0. Для подобласти UJ(t)
получим
dwe x _ „, . . , _ п_^
В силу принципа максимума (см. п. 5.1), положительности А и однород-
однородных условий первого рода на dU~(t) имеем we(x, t) < 0.
7.3. Преобразование зависимых переменных 369
При стремлении параметра штрафа е к нулю функция w?(x,t),
определяемая из B1)—B4), дает приближенное решение задачи A6), A7),
A9), B0), т.е.
lim \\w?(x, t) - w(x, t)\\ = 0, x e ft, 0 < * < T.
Задача B1)—B4) характеризуется только разрывом коэффициента fi?(w?).
Приближенная свободная граница определяется согласно B5).
7.3.4. Разностные схемы метода штрафа
Приведем некоторые разностные схемы для приближенного нахо-
нахождения решения задачи A6), A7), A9), B0). Для этого используется
задача B1)—B4). При достаточно малых значениях е поставим в со-
соответствие дифференциальной задаче метода штрафа следующую чисто
неявную разностную схему. Используя обычные обозначения, аппрокси-
аппроксимируем на равномерной прямоугольной сетке уравнение B1) разностным
уравнением
Упи-У». + Ду +р(у )у = Л xeu) п = 0,1,... B6)
с дополнительными условиями
Уо(х) = 0, хеш, B7)
уп+\(х) = д(х, *п+1), х € 0ю, п = 0,1,... . B8)
Здесь как обычно
2
ау = ]С АаУ> АаУ = "У***-' хеш.
сг=1
Реализация нелинейной разностной схемы может основываться на ис-
использовании следующего итерационного процесса:
т Уп + Л/+1 + p?{vk)vM = -А, х G w, B9)
хедш (зо)
с начальным приближением v° ^ уп. Новое приближение находится
на основе внутреннего итерационного процесса, построение которого
проводится с привлечением результатов п. 4.7 с учетом специфики се-
сеточной эллиптической задачи B9), C0) (диагональный неотрицательный
сеточный оператор /3?(vk)E). Вместо нелинейной схемы B6)—B8) мож-
можно использовать линеаризованную схему, которая соответствует одной
итерации итерационного процесса B9), C0).
370 Diana 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Обычным образом строятся экономичные аддитивные схемы для
задачи B1)—B5). Приведем в качестве примера аддитивную локально-
одномерную схему (см. п. 6.5):
Уп+\/2 ~ Уп А Л
+ А\уп+\/2 = 0,
Уп+\ - Уп+\/2
ж Go;, n = 0,1,...
с соответствующими начальными и граничными условиями. Аналогично
строятся и другие разностные схемы суммарной аппроксимации.
7.3.5. Задачи
I Задача 1. Преобразуйте условие G) на границе фазового перехода S(t),
уравнение которой есть t = tj(x)9 к условию (9).
Решение. Принимая во внимание F), из G) получим
^- = -XVa, a =1,2, C1)
где Va — компонента скорости движения свободной границы по напра-
направлению ха, а = 1,2. Для точек на границе фазового перехода имеем
Fe = ^, a =1,2. C2)
Из уравнения границы t = r}(x) непосредственно следует
г-^г-1- <33>
x at
а=\ —"
Домножим C1) на дг)/дха и, складывая при а = 1,2, с учетом C2), C3),
получим
2 ди ду _
Это и есть искомое соотношение (9) на границе фазового перехода. >
Задача 2. Переформулируйте граничное условие третьего рода
для функции w(x> t), определяемой согласно A0).
7.4. Квазистационарная задача Стефана 371
Решение. Из A0) имеем
t t
I/(X) ф)
Дифференцируя это равенство с учетом A1) и C4), получим
Интегрируя по ^, отсюда имеем
t
— + <r(x)w = у (/+(ж,«), * G 7+, 0 < * < Т.
о
Тем самым приходим к граничному условию третьего рода для новой
функции w(x,t). >
ТА. Квазистационарная задача Стефана
7.4.1. Двумерная модельная задача
Под квазистационарной задачей Стефана мы понимаем (см. п. 2.3)
задачу о стационарных тепловых полях в цилиндрических телах, когда гра-
ница фаз движется без изменения своей формы вдоль образующей. Такие
задачи имеют важное прикладное значение в микроэлектронике (получе-
(получение монокристаллов), металлургии (непрерывное литье), сварке и т.д.
Рассмотрим модельную двумерную задачу о движении бесконечной
пластины мимо теплового источника. Пусть направление движения пла-
пластины со скоростью vq совпадает с осью Х2. В неподвижной системе
координат уравнение теплопроводности имеет вид
при г = (х^хг), 0 < а?| < 1|, -оо < xi < оо. Здесь коэффициенты
теплоемкости и теплопроводности постоянны в каждой фазе, т. е.
, и > О, Г к+, и > О,
Сформулируем краевые условия на границах пластины. Будем считать,
что нижняя часть пластины теплоизолирована:
*(«)?= 0. *i=Ji> B)
on
372
Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
а на верхнюю действует тепловой поток (моделирование источника тепла):
JN/лЛ — п(^г\ "> О т». — О (Х\
'"V /7% — У\ / ^ > 1 — > V /
причем д(х) Ф 0 только в небольшой окрестности точки ж2 = 0 (локаль-
(локальный источник тепла).
Вдали от источника температура пластины постоянна:
uix) = — 1, |ж2| —> оо. D)
Для определенности будем считать, что мощности теплового источника
достаточно для полного проплавления пластины (примерная картина
изотерм представлена на рис. 7.4).
Рис. 7.4
Поставленная квазистационарная задача Стефана A)-D) характери-
характеризуется неограниченностью расчетной области. Для приближенного реше-
решения этой задачи выделим достаточно большой прямоугольник
и будем рассматривать уравнение A) в Q, дополнив его условиями
на боковых границах:
*(аО = -1, |*2| = *2. E)
Отметим некоторые возможные подходы к приближенному решению
задачи A)-C), E).
7.4.2. Алгоритмы сквозного счета
Как и при приближенном решении нестационарных задач (см. п. 7.2)
для численного решения квазистационарной задачи A)-C), E) можно
использовать алгоритмы с выделением и без выделения границы фазового
перехода. Необходимо только по возможности учитывать особенности
квазистационарных задач Стефана, которые проявляются в том, что
исходное уравнение является эллиптическим, а не параболическим.
Заметим, что эллиптический оператор квазистационарной задачи
несамосопряжен. Для таких задач вопросы построения разностных схем,
7.4. Квазистационарная задача Стефана 373
исследования точности и методы решения сеточных задач нами практи-
практически не рассматривались. Отдельные моменты применительно к задачам
тепло- и массопереноса затрагиваются ниже. Здесь же мы ограничимся
рассмотрением подходов к численному решению на уровне дифференци-
дифференциальных постановок.
Простейший подход к приближенному решению задачи A)-C), E)
связан с построением итерационных методов сквозного счета на основе
сглаживания коэффициентов в уравнении A). От уравнения A) в соот-
соответствии с п. 7.2 перейдем к уравнению
fa')° en <6)
где с(и) = с(и)+6(и, Д) при использовании обычной аппроксимационной
формулы для ?-функции:
f -L |tt| ^ Д,
\и\ > Д.
При численном решении задачи B), C), E), F) можно использо-
использовать простейший итерационный процесс последовательного уточнения
коэффициентов. На каждой итерации решается линейная краевая задача
a=I
an
an
vk+l(x) = -l, \x2\ = l2.
Тем самым на каждой итерации решается линейная краевая задача для
эллиптического уравнения с конвективным слагаемым.
7.4.3. Выделение границы фазового перехода
В рассматриваемой задаче A)-C), E) граница фазового перехода 5
(см. рис. 7.4) имеет простую структуру. Поэтому для таких задач успешно
могут применяться методы с выделением границы фазового перехода.
Запишем уравнение теплопроводности в каждой отдельной фазе, т. е.
7Г
374 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Выделим явно условия сопряжения на границе фазового перехода S, для
которой
5 = {х | х е fi, u(x) = 0}. (8)
Условия на 5 имеют вид
М = о, xes, (9)
Л Vo cos (n, x2), xeS. A0)
[*?]¦-
Для упрощения задачи B), C), E), G)—A0) удобно использовать
преобразование Кирхгофа (п. 3.3):
о
В этом случае уравнение G) примет вид
где q(v) = Voc(u(v))/k(u(v)). На свободной границе
условия сопряжения (9), A0) принимают вид
М = 0, х € 5, A3)
|^l=-AF0coS(n,x2), *€S. A4)
Соответствующим образом преобразуются и граничные условия B),
C), E).
Задача для уравнения A1) характеризуется особенностью решения,
которая проявляется в неоднородных условиях сопряжения A3), A4)
на неизвестной границе A2). Методы решения задач со свободной грани-
границей строятся на методах итерационного уточнения неизвестной границы.
Поэтому можно говорить, что на каждой такой итерации при известном
приближении для границы приходится рассматривать задачу с неодно-
неоднородными условиями сопряжения A4). Аналогичные подходы могут ис-
использоваться и при построении разностных схем с выделением свободной
границы при приближенном решении нестационарных задач. В силу не-
нестационарности в таких задачах можно использовать и безытерационные
варианты такого подхода (ограничиваясь одной итерацией).
Опишем на дифференциальном уровне итерационный процесс по-
последовательного уточнения свободной границы. Естественным является
7.4. Квазистационарная задана Стефана 375
подход с определением нового приближения из решения следующего
линейного уравнения
f^ = 0 хЕП^иП" A5)
ог=1 2
когда
5Л = {ж|хеП, г/*(ж) = 0}. A6)
Условия сопряжения A3), A4) дают
[V J=0, X ? б*, A7)
= V>*(s), жЕ5л, A8)
где ^*(я) = -AV0 cos (nk, x2). Тем самым вычисление скачка нормальных
производных проводится по найденному приближению для свободной
границы.
Для численного решения задачи A5)—A8) можно использовать раз-
различные подходы. Простейший из них связан с построением разностной
схемы непосредственно для этой задачи. Для использования интегро-
интерполяционного метода полезно включить неоднородные условия со-
сопряжения A7), A8) в уравнение. В соответствии с п. 2.2 единое уравнение
в П будет иметь вид
2 а2 к+\
где 6s — поверхностная ^-функция.
Для приближенного решения задачи A5)—A8) можно использовать
различные варианты аддитивного выделения особенности. Для этого
определим решение задачи A5)-A8) в виде
vk+\x) = w(x) + z(x). B0)
Выберем достаточно гладкую в П? и П^ функцию z(x) такой, чтобы для
w(x) условия сопряжения на S* были однородны. Поэтому мы должны
строить функцию z(x) такую, что
[г] = 0, ж € Sk, B1)
f-i-
l«»j
Sk. B2)
С учетом B0)-B2) для w(x) получим уравнение
d2w к dz ^ d2z
без особенностей во всей области П.
376 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Теперь вся проблема в построении достаточно гладкой функции z(x),
удовлетворяющей условиям B1), B2). Необходимо также, чтобы для ее
вычисления вычислительные затраты в худшем случае были соизмеримы
с затратами на решение краевой задачи для w(x). He пытаясь сколько-
нибудь подробно описывать возможные подходы для построения функ-
функции z(x) в рассматриваемой задаче, отметим лишь аддитивное выделение
с помощью гармонических потенциалов.
Принимая во внимание свойства потенциала простого слоя, положим
z{x) = j i>k{y)G{x,y)dy, B3)
где G(x, у) — фундаментальное решение двумерного оператора Лапласа:
G(x, у) = ^ Ш ((*, - у,J + (Х2 - Уг?УФ-
В этом случае условия сопряжения B1), B2) будут выполнены.
При вычислительной реализации метода потенциалов необходимо
вычислять потенциал во всех узлах расчетной сетки. Прямое использова-
использование формулы B3) приводит к значительным вычислительным затратам.
На основе решения краевых задач для уравнения Пуассона можно стро-
строить экономичные алгоритмы вычисления значений потенциала во всей
расчетной области.
7.4.4. Однофазная задача
При некоторых условиях можно выделить как самостоятельную од-
однофазную квазистационарную задачу. Это имеет место в случае, когда
можно считать постоянной температуру в жидкой фазе. Выравнивание
температуры может быть обусловлено, например, значительно большим
коэффициентом теплопроводности, либо интенсивным конвективным
перемешиванием. В рассматриваемых условиях полного проплавления
пластины (рис. 7.4) можно рассмотреть отдельно однофазную задачу при
х2 > 0 и задачу х2 < О (изменяется только знак скорости). Для опреде-
определенности будем рассматривать задачу при х2 > 0. т.е. в области
D- = {х | х е п~, х2 > 0}.
Уравнение теплопроводности имеет вид
где теперь q = Voc~/k~.
На свободной границе 5, определяемой согласно A2), имеем
v(x) = 0, х G S. B5)
7.4. Квазистационарная задана Стефана 377
С учетом того, что п — внешняя нормаль, второе условие на сво-
свободной границе имеет вид
dv
— = -\v0 cos (n, z2), xe S. B6)
an
Для полной формулировки задачи дополним B4)-B6) граничными усло-
условиями
^=0, хх=1и B7)
-?=g(x)>0, аг,=О, B8)
Ф) = -р» \х2\=12. B9)
Кратко остановимся на возможных подходах к приближенному решению
квазистационарной однофазной задачи Стефана B4)-B9).
7.4.5. Введение новой неизвестной
Как и для нестационарной однофазной задачи для приближенного
решения задачи B4)-B9) можно вместо v(x) ввести новую неизвест-
неизвестную w(x) с помощью преобразования Дюво. С этой целью рассмо-
рассмотрим B4)-B9) как нестационарную задачу (в системе координат, связан-
связанной с движущейся пластиной) и используем преобразование Дюво для
общей нестационарной однофазной задачи. Вторая возможность, на ко-
которой мы здесь остановимся, связана с проведением преобразования для
стационарной задачи.
Пусть уравнение свободной границы имеет вид х2 = rj(x\), т.е.
S := \Х \ х2 =
и поэтому (рис. 7.4)
п~ - {х | х2 > г}(х\), х € П}.
В качестве новой неизвестной будем использовать (см. п. 7.3) новую
функцию w(x), которая определяется через v(x) с помощью соотношения
w(x) =
v(xu0)d$y х2>фх) (же ZT),
C0)
0, х2 ^ ф{).
378 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Из C0) непосредственным дифференцированием интеграла с перемен-
переменными пределами интегрирования получаем
х2 х2
и аналогично
?ф). C2)
Дифференцирование C1), C2) дает
а=1
Ш= J Щ^'^-^иФ^ + ь;.
Принимая во внимание уравнение B4) и граничное условие B5), это
соотношение преобразуется к виду
?w dv , , чЧ дп dv ,
С учетом граничного условия B6) имеем
Поэтому ^(а;) удовлетворяет уравнению
^Г , X6L. C3)
На свободной границе S выполнены однородные условия
w(x) = 0, xeS, C4)
^-(х) = 0, x?S. C5)
an
Наиболее просто переформулируется граничное условие B9). Принимая
во внимание C2), получим
S = F- " = ''¦ C6)
С учетом C1) граничное условие B7) дает
х2
' ^(*чО)М = О, X]=h. C7)
7.4. Квазистационарная задача Стефана 379
Аналогично на верхней границе пластины имеем
х2 х2
^ = J ^l{xu0)de = f 9{0>0)de' C8)
№ i?@)
Граничное условие C) зависит от точки касания свободной границы S
верхней границы пластины (от точки х2 — tj(O)). Аналогичная ситуация
имеет место и при рассмотрении квазистационарной однофазной задачи
Стефана с неоднородными условиями первого рода.
Дальнейшее рассмотрение задачи C3)—C8) проводится по схеме
п. 7.3. В частности удобно использовать метод штрафа (задача 1) при
построении вычислительных алгоритмов сквозного счета для прибли-
приближенного решения задачи для новой функции w(x). Решение соответ-
соответствующей нелинейной эллиптической задачи может быть найдено итера-
итерационным методом, подобно рассмотренным ранее для нестационарной
задачи Стефана.
7.4.6. Обращение переменных
Для приближенного решения квазистационарной однофазной задачи
Стефана B4)-B9) с успехом может использоваться метод обращения
переменных. Он основан на переходе к новым координатам, причем
в качестве независимой переменной выступает само решение задачи.
В рассматриваемой задаче B4)-B9) от независимых переменных х\, х2,
в которых расчетная область неизвестна, перейдем к новым независимым
координатам
6=*ь 6 = *, C9)
в которых свободная граница S фиксирована. В таком методе выпрям-
выпрямления фронта в качестве неизвестной выступает функция х2 — x2{x\^v),
т. е. независимая переменная становится зависимой и наоборот. Пре-
Преобразование C9) соответствует использованию переменных Мизеса.
Для якобиана преобразования имеем
дх^дх^ _ дх^дх^ _ дх^
~ % 06 06 06 " 0« ' ( }
Коэффициенты метрического тензора (см. задачу 2 в п. 7.1) будут иметь
вид
дхЛ2 (дхЛ2 .,(дх2\2
_ _ дх\ дх\ дх2 дх2 _ дх2 дх2
вхЛ2
380 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Принимая во внимание
ду _ 1 _ (дхЛ'
и соответствующее выражение для оператора Лапласа в новых коорди-
координатах, от уравнения B4) придем к следующему уравнению для функции
x2(xuv):
q+()(
4 дхх\ j ) дх2 v J
Подстановка D0), D1) в это уравнение дает искомое уравнение
2 2д2х2
дх2дх2 д2
х2 (дхЛ2д2х2 =
дхх \dv) дх] ' ^ '
dv дх\ dv ax\ \ ov / ох\
Это нелинейное уравнение рассматривается в фиксированной прямо-
прямоугольной области
Di = {(xhv) \0<x} <lu -I/AT <v<0}.
Тем самым нелинейность исходной задачи, обусловленная наличием
свободной границы, проявляется в нелинейности уравнения D2) при
переходе к задаче в фиксированной области.
Свободная граница 5 в силу граничного условия B5) определяется
зависимостью х2 = х2(хи 0). Для формулировки граничных условия при
v — 0 используем условие
dv
—- = -XV0 cos (n, ж2), xeS,
ax2
которое следует из B5), B6). Это позволяет использовать следующее
граничное условие второго рода в новых переменных
v = 0.
Другие краевые условия формулируются аналогично (задача 2).
Для решения нелинейной краевой задачи для уравнения D2) со сме-
смешанными производными можно использовать итерационные методы с по-
последовательным уточнением коэффициентов, подобно рассматриваемым
выше в методах сквозного счета решения задач типа Стефана.
7.4.7. Задачи
Задача 1. На основе метода штрафа (п. 7.3) сформулируйте кра-
краевую задачу для приближенного решения задачи со свободной грани-
це C3)-C8).
7.4. Квазистационарная задача Стефана 381
Решение. В прямоугольнике 0 < хх < /ь 0 < х2 < 12 приближенное
решение w?(x) ищется как решение уравнения
dw? ^ &we
где теперь
О,
На границах выполнены условия
dw?
we(x) = 0, x2 = 0} ~fa
0 Ж / S
Нелинейность этой задачи помимо нелинейного оператора штрафа обу-
обусловлена и граничным условием при х\ = 0. >
I Задача 2. Переформулируйте краевые условия B7)—B9) в переменных
Мизеса {для уравнения D2)).
Решение. Наиболее просто записывается условие B9) в новых пе-
переменных:
) = l2i v = -—.
Для преобразования условий B7), B8) используем соотношение
дх2 __ dv
дхх " дхх'
В силу этого B7) дает граничное условие
Для B8) имеем
—- = Jg(x), x{ = 0.
дх\
Последнее условие является нелинейным.
382 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
7.5. Моделирование фазовых переходов
в бинарных сплавах
7.5.1. Двухфазная зона
Затвердевание характеризуется совместным протеканием тепловых
процессов в твердой и жидкой фазах, кинетическими процессами на по-
поверхностях растущих кристаллов. Поэтому эти процессы определяются
двумя характерными временными масштабами. Первый из них связан
со скоростью плавления/кристаллизации, скоростью движения границы
фазового перехода. Второй масштаб времени обусловлен скоростью само-
самого фазового перехода, его кинетикой. Обычное предположение, которое
лежит в основе рассматриваемой выше задачи Стефана, связано с тем,
что скорость образования новой фазы значительно превышает скорость
движения границы фазового перехода. Поэтому при рассмотрении фа-
фазовых переходов исходят из того, что фазовые превращения происходят
мгновенно и есть четко выраженная граница фазового перехода.
При моделировании быстро протекающих процессов кристаллиза-
кристаллизации/плавления часто оказывается невозможным пренебречь скоростью
роста новой фазы. Поэтому при кристаллизации жидкого вещества фа-
фазовый процесс начинается и продолжается некоторое время, за которое
граница затвердевания продвигается на заметное расстояние. Помимо
границы начала затвердевания (границы жидкой фазы), границы конца
затвердевания (границы твердой фазы) имеется и область, в которой при
постоянной температуре фазового перехода происходит фазовое превра-
превращение. Эта область, в которой присутствует как твердая так и жидкая
фазы называется двухфазной зоной. Для ее описания естественно ввести
новую неизвестную — долю твердой фазы.
В силу сказанного при больших скоростях движения границы кри-
кристаллизации/плавления фазовый переход происходит в некоторой про-
пространственной области (двухфазной зоне). Медленные движения границы
фазового перехода приводят к тому, что двухфазная зона утонынается,
и как предельный случай мы имеем выраженную границу фазового пе-
перехода, т. е. классическую задачу Стефана. Вопросы учета конечности
скорости фазового перехода, самой кинетики роста новой фазы мы здесь
затрагивать не будем.
Аналогичная ситуация имеет место и при рассмотрении процессов
кристаллизации/плавления простейших бинарных сплавов (две компо-
компоненты, одна примесь). В этом случае появляются новые временные
масштабы: имеется характерный временной масштаб диффузии приме-
примеси (выравнивания концентрации примеси) в твердой и жидкой фазах.
Это существенно расширяет спектр возможных направлений протека-
протекания фазовых переходов. Некоторые характерные режимы кристаллиза-
кристаллизации/плавления мы здесь и затронем.
7.5. Моделирование фазовых переходов в бинарных сплавах
383
Рис. 7.5
При постоянной температуре двух-
компонентный сплав может находить-
находиться в трех различных состояниях. Будем
считать, что температура фазового пе-
перехода чистого вещества (С = 0) равна
нулю и при малых концентрациях при-
примеси температуры солидуса и ликвиду-
ликвидуса представляют собой прямые линии
(рис. 7.5), причем температура ликвидуса
падает с увеличением концентрации при-
примеси. При температуре и = щ = const
сплав в зависимости от концентрации может находится в твердом состоя-
состоянии (при С <CS) или жидком состоянии (при С > С/). При Cs < С < Q
имеется промежуточное равновесное состояние, когда присутствуют как
жидкая, так и твердая фазы. Происхождение данной двухфазной зоны
обусловленно именно многокомпонентностью сплава.
7.5.2. Кристаллизация без перераспределения примеси
Рассмотрим простейшую модель кристаллизации бинарного сплава,
основанную на следующем предположении. Предположим, что за вре-
время кристаллизации примесь не успевает сколько-нибудь существенно
перераспределиться на веществу. В рамках равновесной модели это пред-
предположение будет соответствовать тому (см. рис. 7.5), что фазовый переход
происходит в интервале температур (us,ui), где us равновесная темпе-
температура солидуса (начала затвердевания) и щ — температура ликвидуса
(начала плавления, конца затвердевания).
Выделение теплоты кристаллизации учитывается заданием эффек-
эффективной теплоемкости с(и) по формуле
Z(u) = с(и) - А—, A)
аи
где i/>(u) — объемная доля твердой фазы, определяемая по равновесной
диаграмме конкретного сплава. Функцию ip(u) естественно предполагать
непрерывной и удовлетворяющей условиям i/>(u) = 1 при и ^ us, ij)(u) = 0
при и ^ щ и 0 < tl)(u) < 1, если us < и < щ.
Тепловое поле при фазовых превращениях бинарного сплава в нашем
приближении будет описываться обычным уравнением теплопроводности
а=1
особенность которого проявляется в задании эффективного коэффици-
коэффициента теплоемкости согласно A).
Приближенное решение задачи для уравнения B) может основы-
основываться на использовании разностных схем, приведенных ранее в п. 7.2.
384 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
Уравнение B) отличается от уравнения со сглаженным коэффициентом
теплоемкости в методах сквозного счета лишь заданием (специальным
сглаживанием) эффективного коэффициента, т. е. выбором интервала
сглаживания {(и3,щ) вместо А) да специальной аппроксимационной
зависимостью (-dif>/du вместо 6(и, Д)).
Уравнение B) можно аппроксимировать, например, чисто неявной
схемой
Ь(уп+1)Уп^~Уп + Л(уп+1)уп+1 =0, хеш, п = 0,1,...,
рассмотренной в п. 7.2. Там же приведены и некоторые другие разност-
разностные схемы. Поэтому нам нет необходимости здесь подробно на этом
останавливаться.
7.5.3. Термодиффузионная задача Стефана
В качестве модельной будем рассматривать задачу с фазовыми пере-
переходами и диффузией примеси в прямоугольной области п, которая по-
подобна модельной двухфазной задаче из п. 7.2. Будем считать, что скорость
движения границы фазового перехода при кристаллизации/плавлении
бинарного сплава небольшая и диффузия примеси играет существенную
роль. В этом случае имеется граница фазового перехода (узкая двухфазная
зона) 5 = S(t)9 которая разделяет жидкую (Q+(t)) и твердую фазы (Q,~(t)).
В рамках равновесного приближения граница фазового перехода
определяется по температуре ликвидуса для концентрации С+ примеси
в жидкой фазе, или температурой солидуса по концентрации С~ в твер-
твердой фазе. Концентрации примеси в жидкой и твердой фазах связаны
соотношением
С = кС+, х е 5(«), C)
где к — коэффициент распределения.
В нашем простейшем случае (рис. 7.5) уравнение ликвидуса имеет
вид щ = -тС+, где постоянная га определяет угол наклона, и поэтому
u(x,t) = -mC+(x)tI я? €5(<), Q<t^T. D)
Условия C), D) определяют специфику рассматриваемой задачи с фазо-
фазовыми переходами.
Краевая задача в отдельных фазах формулируется обычным образом.
В каждой подобласти выполнено уравнение теплопроводности
^^=°. *6П*(О, 0<<<Г E)
а=] ха
с некоторыми начальными и граничными условиями:
и±(х10) = щ(х)) xG^(O), F)
u±(xyt)=g(x,t)) же 7*, 0<*<Т, G)
где снова 7* = 7*@ = дП П dQ±(t).
7.5. Моделирование фазовых переходов в бинарных сплавах 385
На границе фазового перехода выполнены обычные условия:
[«] = <), xes(t), (8)
Ь?1 = ~Wn, х
Все отличие проявляется в задании условия D) на свободной границе
вместо обычного условия Стефана:
и{х, 0 = 0, хе S(t)y 0<t^T.
Сформулируем теперь задачу для распределения примеси. Будем
считать, что коэффициенты диффузии примеси постоянны в каждой
фазе, поэтому уравнение диффузии имеет вид
d
Будем предполагать, что примесь не может покинуть вещество, и поэтому
используется граничное условие
D*^-(M) = 0, ^7*, 0<<<Г. A1)
on
На фанице фазового перехода помимо соотношения C) выполнено сле-
следующее условие (п. 2.3)
A2)
выражающее закон сохранения массы. Дополнительно задается некоторое
начальное условие
Термодиффузионная задана Стефана состоит в определении темпера-
температурного поля из решения задачи E)-(9) и поля концентраций из решения
задачи C), A0)—A3) при условии, что граница раздела фаз определяется
равенством D). Особенностью диффузионной задачи являются не со-
совсем обычные условия сопряжения C) и A2), а тепловой — переменная
температура на границе фазового перехода (условие D)).
7.5.4. Численное решение термодиффузионной задачи
Для поставленной задачи C)—A3) не удается получить обобщенную
формулировку в виде системы двух уравнений (температуры и диффузии)
во всей расчетной области п. Поэтому не удается построить методы сквоз-
сквозного счета для решения термодиффузионной задачи Стефана, подобно
рассмотренным в п. 7.2 для чисто тепловой задачи Стефана. Поэтому
в различных вариантах можно применять вычислительные алгоритмы,
26 Зак 168
386 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
основанные на выделении границы фазового перехода. Достаточно по-
подробное описание имеющихся подходов приведено в п. 7.1.
В вычислительной практике наиболее широко исследуются одномер-
одномерные термодиффузионные задачи Стефана. В частности, это относиться
к вариантам подхода с выделением границы фазового перехода при ис-
использовании методов выпрямления фронта. Необходимо только иметь
в виду, что термодиффузионная задача рассматривается обычно в двух-
двухфазной постановке.
Среди различных упрощений отметим лишь некоторые. При моде-
моделировании перераспределения примеси обычно можно пренебречь диф-
диффузией в твердой фазе, так как D+ > D~. Тем самым по моделированию
диффузии примеси мы будем иметь однофазную задачу (см. задачу 1).
Заслуживают отдельного упоминания и приближения термодиффузи-
термодиффузионной задачи Стефана, когда в жидкой фазе концентрация выравнивается
(эффективный коэффициент диффузии D+ > 1). Это может быть обу-
обусловлено интенсивным конвективным перемешиванием. В этом случае
температура фазового перехода (см. условие D)) будет постоянная на всей
границе, но соответствующим образом меняться во времени. Такую си-
ситуацию можно отдельно просмотреть при использовании однофазного
приближения для тепловой задачи.
7.5.5. Задачи
I Задача 1. Сформулируйте задачу диффузии примеси в жидкой фазе,
считая что в твердой фазе примесь не распространяется.
Решение. Условия задачи соответствуют тому, что мы можем поло-
положить D~ = 0. Уравнение диффузии в жидкой фазе имеет вид (см. A0)):
Граничные условия A1) дают
дС+
D+—(x,t)=0, x€7+, 0<*<Т.
on
Моделирование условий на границе фазового перехода зависит отто-
оттого, идет ли процесс затвердевания (Vn < 0), либо процесс плавления
(Vn > 0). Наиболее интересная ситуация имеет место, когда на одной
части границы S идет затвердевание, а на другой — плавление. В этом
случае мы имеем дело со сменой граничных условий.
При плавлении поле концентраций в твердой фазе (функция С~(х))
задано, и поэтому на такой части границы имеем из C) граничное условие
первого рода
C+(z,t) = k~lC-(x)i xeS(t).
7.6. Библиография и комментарий 387
При затвердевании граничное условие следует из условия сопряжения A2)
с учетом D~ = 0. Это приводит к краевому условию третьего рода
дС+
D+-—(x, t) = -Vn(l - k)C+, x € S(t)
on
на границе фазового перехода. >
Задача 2. Сформулируйте условия для определения температуры пла-
плавления в условиях, когда примесь в твердой фазе не диффундирует,
а в жидкой — полностью перемешивается.
Решение. В рассматриваемом случае температура фазового перехода
постоянная в каждый момент времени на границе фазового перехода, т. е.
и(х, t) - -mC+(t)y x e 5@, 0 < t < Т.
Для определения зависимости С+ = C+(t) привлекаются балансные
соотношения. Обозначим через С~(х) — примесь в твердой фазе. При
проплавлении захваченная из твердой фазы примесь идет на изменение
концентрации примеси в жидкой фазе. В силу этого для C+(t) получим
= J C-(x)Vn dx,
s(t)
где Vn > 0 — скорость движения границы фазового перехода. >
7.6. Библиография и комментарий
7.6.1. Общие замечания
7.1. Методы с выделением границ фазовых переходов используются в раз-
различных вариантах давно и широко. Аналогичные подходы приме-
применяются и при решении более общих задач со свободной границей.
Исследования в этом направлении ведутся, начиная с пятидеся-
пятидесятых годов. Здесь, как и в других частях этой книги, мы не имеем
возможности цитировать оригинальные работы, не будем пытать-
пытаться решать вопросы приоритета. Ограничимся ссылками на работы
только общего характера. Общее обсуждение вычислительных алго-
алгоритмов решения задач типа Стефана дается в работе [7], методы
с выделением свободной границы рассматриваются в книге [2].
7.2. Методы сквозного счета на основе сглаживания коэффициентов
рассматриваются, начиная с работ А. А. Самарского и Б. М. Будака
с соавторами A965 г.), где рассматривались многомерные задачи.
7.3. Преобразование Дюво для задачи Стефана описано во многих книгах
по вариационным неравенствам (см., например, [5, 8]). Численное
исследование одно- и двухфазных задач на основе такого подхода
26*
388 Глава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами
проведено в работах Ichikewa К. А. A979 г.). Метод штрафа ши-
широко используется при теоретическом и численном исследовании
вариационных неравенств [3].
7.4. Вопросы разрешимости квазистационарной задачи обсуждаются в ра-
работах [4, 6]. Аддитивное выделение особенности при численном
решении таких задач на основе теории потенциала предложено
П. Н. Вабищевичем A983 г.). Обращение переменных в различных
эллиптических задачах обсуждается в книге [2].
7.5. Проблемы моделирования многокомпонентных сплавов затрагива-
затрагиваются во многих работах. Различные модели двухфазной зоны об-
обсуждаются в работе [1], где приведены результаты аналитического
и численного исследований.
7.6.2. Литература
1. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. Ри-
Рига: Зинатке, 1980.
2. Вабищевыч П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей.
М: Изд-во МГУ, 1987.
3. Гловински Р., Лионе Ж.-Д., Тремольер Р. Численное исследование вариацион-
вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.
4. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. Т. 40. 1985.
Вып. 5 B45). С. 133-185.
5. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
6. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.
7. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967.
8. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободной границей.
М.: Наука, 1989.
Глава 8
Теплообмен излучением
Мы выделили (см. п. 2.5) простейший класс моделей излучения
твердых тел. В этом случае перенос излучением осуществляется толь-
только с поверхности. Для одиночных выпуклых тел излучение теряется
с поверхности по закону Стефана—Больцмана. При моделировании мы
имеем обычную краевую задачу со специальным нелинейным граничным
условием.
В системе твердых тел, одиночном теле с невыпуклой границей необ-
необходимо учитывать падающий на поверхность поток излучения. Это приво-
приводит к необходимости решения соответствующих интегральных уравнений.
Для системы изотермических твердых тел задача упрощается и сводится
к системе алгебраических уравнений.
В этой главе мы рассматриваем особенности решения задач излу-
излучения для простейшего модельного двумерного случая, когда излучение
учитывается с одной части прямоугольной границы. Рассматриваются
отдельно стационарные и нестационарные задачи теплопроводности.
Нелинейные задачи теплопроводности с учетом переизлучения рас-
рассматриваются на примере модельной задачи для невыпуклого тела. Учет
переизлучения проводится в рамках постановки соответствующих гра-
граничных условий. Основное внимание уделяется методам решения инте-
интегрального уравнения для плотности теплового потока.
Более общие задачи (учет селективности излучения, поглощающая
окружающая среда) могут быть рассмотрены аналогично. Приближенные
модели для системы излучающих изотермических тел, подробно рас-
рассматриваемые при изложении инженерных методов теплофизики, здесь
не обсуждаются.
8.1. Стационарное излучение выпуклых тел
8.1.1. Модельная задача
Рассмотрим процессы теплопередачи, которые моделируются дву-
двумерной задачей в прямоугольнике
п = {х\х = (хиХ2), 0<Ха<1а, «=1,2}.
390 Глава 8. Теплообмен излучением
Среда предполагается изотропной, поэтому стационарное тепловое поле
описывается уравнением
Через 7 обозначим часть границы расчетной области:
7 = {х | х Е дп, х2= /2},
и пусть Г = дп\"у.
Будем считать, что на Г поддерживается заданный температурный
режим, т.е.
и(х)=д(х)у х?Т. B)
На оставшейся части границы происходит теплообмен с окружающей
средой. Учитывая излучение с этой поверхности, запишем (см. п. 2.5)
граничное условие в виде
*«? + а*(хНи ~ ?(*)) + а2(х){и4 - g\xj) = 0, х Е 7, C)
где д(х) — температура окружающей среды. Перепишем это условие
в виде
*Г + ^i(«)t* + <т2(я)и4 = д(ж), х € 7-
an
Здесь коэффициент <т1(ж) > 0 обусловлен конвективным теплообменом
с окружающей средой, а <т2(х) > 0 — потерями тепла на излучение.
Приведем некоторые простейшие факты для краевой задачи A)-C),
нелинейность которой обусловлена только граничным условием C). Нас
будет интересовать прежде всего единственность решения. Доказательство
единственности проводится на основе принципа максимума (см. п. 4.1,
а также п. 4.9). Будем считать, что существует два решения задачи A)-C)
ир(х),/3 = 1, 2. Рассмотрим разность
у)(х) = щ(х)-и2(х).
Пусть в некоторой точке х области п функция w(x) > 0 (если это
не так, то рассмотрим разность и2(х) - и\(х)). Из A), B) имеем
-?^(*<)=о, «о.
w(x) =0, жЕГ,
и поэтому максимум функции w(x) достигается в некоторой точке Xq E у.
В силу этого
dw Л
->0, * = *оЕ7.
8.1. Стационарное излучение выпуклых тел 391
С другой стороны, граничное условие C) дает
dw 4 4\
к— = <г\(х)(и2 - щ) + (Т2{и2 - и\) < О, х = х0 е 7,
так как и\(х) < и2(х) в точке х = х0 ? 7- Полученное противоречие
и дает w(x) — О, ж G Г2.
8.1.2. Разностная задача
В П введем обычную прямоугольную сетку ш с шагами /ij и h2
и пусть множество граничных узлов до; = Г/» U 7л> где ж G 7л — узлы,
лежащие на 7-
Уравнение A) во внутренних узлах аппроксимируется разностным
уравнением
2
аУха)ха = <р(х), хеш, D)
где, например,
ai 0*1, жг) = *(«1 - 0,5ftj, х2), а2(хи х2) = fc(xi, ж2 - 0,5ft2).
Граничные условия B) дают
у(х)=д(х), xeTh. E)
Граничное условие C) записывается в виде
ди 4
к(х)—(х) + <т}(х)и + <т2(х)и =q(x), x2 = l2.
Аппроксимация на решениях (см. п. 4.3) со вторым порядком этого
условия дает
По аналогии с дифференциальной задачей A)-C) можно показать един-
единственность решения разностной задачи D)-F) (задача 1). Доказательство
существования проводится другими методами и здесь не рассматривается.
Мы предполагаем априори существование решения как дифференциаль-
дифференциальной (достаточно гладкого), так и разностной задачи, т. е. выполнены
достаточные условия разрешимости как для исходной, так и для разност-
разностной задач.
8.1.3. О сходимости разностной схемы
На основе принципа максимума можно получить соответствующие
априорные оценки для решения разностной задачи D)-F) в равномерной
норме (см. п. 4.3), а также соответствующие оценки для погрешности.
392 Глава 8. Теплообмен излучением
Сформулируем, например, задачу для погрешности z(x) = у(х) - и(х).
Из A), D) и B), E) получим
2
*гак = ^(*), * € w, G)
ф) = 0, ЖЕ ГЛ, (8)
где погрешность аппроксимации
Несколько сложнее в силу нелинейности выглядит краевое условие на 7л •
Из C), F) следует
a>i(x)Zxa + v(x)z - у (axzxx)zx = %(х), х G 7л- (9)
Здесь ^(х) = O(\h\2), а коэффициент а(х) определяется выражением
а = сг, (я?) + <т2(я)(у + г^)B/2 + и2), A0)
Разностная краевая задача с граничными условиями третьего рода рас-
рассматривалась в п. 4.3. Для задачи G)-(9) имеет место априорная оценка
при а(х) ^ (j0 > 0. Как следует из A0), при с\(х) ^ а0 > 0 для этого
достаточно, чтобы как решение разностной задачи у(х)9 так и решение
дифференциальной задачи и(х) были неотрицательны. В задачах тепло-
теплообмена условие положительности температуры естественно и достига-
достигается заданием неотрицательных функций /(ж), д(х). При исследовании
дифференциальной и разностной задачи соответствующие утверждения
должны, вообще говоря, доказываться.
Здесь уместно сделать следующее замечание. Условие Стефана—
Больцмана предполагает положительность температуры. При формаль-
формальной записи краевого условия на излучающей поверхности в виде C)
предположение о положительности температуры явно не присутствует.
Это затрудняет качественный анализ соответствующей задачи. Однако
можно несколько преобразовать условие C), чтобы упростить ситуацию.
Положим и+ = max@, и) и запишем краевое условие на излучающей
поверхности в виде
к— + ах(х)и 4- сг2(х)(и+L = q(x), x G 7- A1)
era
Физическое содержание задачи излучения осталось прежним. А вот ма-
математическая форма изменилась. Поэтому для задачи A), B), A1), на-
например, можно легко показать положительность решения (задача 2).
Аналогично рассматривается и соответствующая разностная задача.
Таким образом, в классе неотрицательных решений разностная схе-
схема D)-F) сходится со вторым порядком в равномерной норме к доста-
достаточно гладкому решению задачи A)-C).
8.1. Стационарное излучение выпуклых тел 393
8.1.4. Решение сеточных задач
Разностная схема D)-F) нелинейна, и для нахождения прибли-
приближенного решения мы должны использовать те или иные итерационные
методы. Для этого удобно разностную схему записать в следующем опе-
операторном виде
Aff = F(a,y), xeuUjh, A2)
где Л — линейный сеточный оператор, который соответствует краевой
задаче с условиями третьего рода. Уравнение дополняется краевыми
условиями E).
Принимая во внимание D), F), для Л имеем
A3)
<г\{х)у) - {ахухх)Хх, х G 7л-
Ау=
Для правой части разностного уравнения A2) из D), F) аналогично
получим
(<р(х), хеш,
2 A4)
f(x) + — (q(x) - (Т2(х)у4), х е 7л.
Сформулированная разностная задача E), A2)—A4) принадлежит
к классу нелинейных разностных задач, итерационные методы решения
которых рассмотрены в п. 4.9. В частности, для приближенного реше-
решения уравнения A2) с условиями E) можно использовать простейший
итерационный процесс последовательных приближений
АУк+1~Ук +Aft-F(g,ft) = 0, хеииЪ-
В силу неограниченности производной правой части F(x, у) по у можно
ограничиться простейшим выбором итерационного параметра г, положив
его равным 1. Вторая возможность связана с использованием переменного
итерационного параметра.
Для приближенного решения задачи E), A2) можно использовать
итерационный метод Ньютона. В этом случае новое приближение нахо-
находится из решения разностного уравнения
dF dF
АУк+\ - у (ж, ук)Ук+\ = F(x, yk) - —(ж, ук)ук, х е ш U 7л-
При хорошем начальном приближении этот итерационный метод имеет
квадратичную скорость сходимости.
25 Зак 168
394 Глава 8. Теплообмен излучением
8.1.5. Задачи
I Задача 1. На основе принципа максимума покажите единственность
решения разностной задачи D)—F).
Решение. Воспользуемся принципом максимума для разностных
схем (см. п. 4.3). Для разности двух решений разностной задачи D)-F)
v(x) получим
2
v(x) = о, х е гЛ,
и поэтому максимум (как и в дифференциальной задаче — положи-
положительный) достигается в некотором узле х = xq ? 7л- Непосредственной
проверкой убеждаемся, что при таких условиях граничное условие
a>2(x)vx2 + <T\{x)v + <г2{х){у\ - у\) - у{а\Щх)Хх = 0
в узле х = х0 ? 7л не выполняется. Тем самым, решение разностной
задачи D)-F) единственно. >
I Задача 2. Покажите, что при неотрицательных f(x), g(x) и q(x)
решение задачи A), B), A1) неотрицательно.
Решение. На основании принципа максимума (п. 4.1) при f(x) ^ 0
и д(х) ^ 0 решение уравнения A), удовлетворяющее условиям B),
не может достигать отрицательного минимума в п и Г. Предположим,
что отрицательный минимум достигается на 7- Тогда левая часть A1) будет
отрицательна, а правая положительна. Данное противоречие и доказывает
неотрицательность решения задачи A), B), A1). >
8.2. Нестационарные задачи излучения
8.2.1. Двумерная задача для выпуклых тел
Обсуждаются особенности разностного решения нестационарных за-
задач излучения выпуклых тел на примере модельной задачи в прямоуголь-
прямоугольнике П. Рассматривается обычное уравнение теплопроводности
4-
Оно дополняется начальным условием
и(х, 0) = щ(х)} хбП. B)
8.2. Нестационарные задачи излучения 395
Используем для отдельных частей границы обозначения предыдущего
параграфа. На части границы дО, задано условие первого рода
и(х, t) = g(x, 0, я G Г, 0 < « < Г. C)
На другой части задаются нелинейные граничные условия третьего рода,
которые запишем в виде
ди
к1Г + а* (х)и + ЫФ = «(*> *)» х € 7, 0 < < < Г. D)
ста
Здесь коэффициенты сг^ж) и а2(х) предполагаются положительными.
Как и для стационарной задачи (см. п. 8.1) на основе принципа
максимума устанавливается (задача 1) единственность решения зада-
задачи A)-D).
8.2.2. Разностная схема
Для численного решения нестационарной задачи A)-D) с нели-
нелинейными граничными условиями используются стандартные разностные
схемы. Ориентируясь на использование принципа максимума для обо-
обоснования безусловной устойчивости разностных схем, будем в качестве
базовой использовать чисто неявную разностную схему.
Для внутренних узлов сетки по пространству w и граничных узлов 7л
определим оператор
2
Kfck, хеш,
E)
уг2 + <г\(х)у) -
п2
и положим Ь(х) = с(ж), ж G о; U 7л- С учетом введенных обозначений
аппроксимируем уравнение A) следующим разностным уравнением
b(x) + Ayn+i-Fn(x,yn+[)y
В этом разностном уравнении
Fn(x,yn+
где
FC,t,ff)=<j
Условия B), C) дают
у0 (х) = щ
уп+\(х)=д(
25*
l) =F{l
2
1г2
м!+1),
x€u)Ufh, n 0,1,....
еЛ+ьУп+i),
10 ~ cri{x)y ), х ? 7ft-
х € w U 7ft,
F)
G)
(8)
(9)
A0)
396 Глава 8. Теплообмен излучением
Чисто неявная разностная схема E)—A0) аппроксимирует исходную
дифференциальную задачу с погрешностью О(т -f \h\2). Подобно ста-
стационарной задаче устанавливается единственность разностного решения
на новом временном слое. Принцип максимума позволяет установить
устойчивость этой нелинейной схемы, ее сходимость (см. п. 5.3).
Исследование разностной схемы E)-A0) проводится по схеме п. 5.9.
В частности, для нахождения решения на новом временном слое ис-
используются итерационные методы, подобные тем, что рассматривались
в п. 8.1. Например, метод Ньютона приводит к следующей линейной
сеточной задаче:
Ъ(х)~ ^+Awk+1=Fn(x,wk) + ^(x,wk)(wk+]-wk), A1)
г оу
wk+l(x)=g(x,tn+]), xerh, A2)
где
xeuwyh, n = o, i,...,
при начальном приближении w°(x) — 2/„(ж).
Среди линеаризованных разностных схем для задачи A)-D) отметим
следующие. Линеаризацию граничного условия на новом временном слое
можно провести относительно решения на предыдущем временном слое.
Это приводит к схеме
Ь(х) + Луп+\ = Fn{x, уп) + у(я, Уп)(Уп+\ ~ 2/п),
жЕ о; U 7л, п = 0, 1,...,
которая соответствует использованию одной итерации метода Ньютона
(yn+l=wl в A1), A2)).
Более глубокая линеаризация связана с тем, что правая часть в приве-
приведенной схеме вычисляется по предыдущему временному слою, используя
для определения уп+\ -уп явную схему. Необходимо только отметить, что
линеаризация чисто неявных схем приводит к более жестким условиям
сходимости разностных схем, хотя и позволяет уменьшить вычислитель-
вычислительную работу для нахождения решения на новом временном слое.
Заслуживает отдельного упоминания линейная схема с линеариза-
линеаризацией краевого условия D) относительно температуры внешней среды.
Граничное условие
k-?+cr](x)(u-g(x1t))+a2(x)(u4-g4(x1t))=0)
х е 7, 0 < t^ Т
записывается в виде
ди
k—+a(x,t,u)(u-g(x,t))=0, ж € 7, 0 < t < Т,
on
8.2. Нестационарные задачи излучения 397
где коэффициент
а(х, t, и) = ах(х) + а2(х) (и + g(xy t)) (и2 + д2(х, t))
интерпретируется как эффективный коэффициент теплообмена. Линеа-
Линеаризованная схема для задачи A)-C), A3) строится на основе вычисления
коэффициента J(x, t, и) по предыдущему временному слою.
8.2.3. Экономичные схемы
Экономичные разностные схемы для приближенного решения зада-
задачи A)-D) строятся на основе расщепления линейной части
а=\
где с учетом E)
() ж Go; U 7л,
{-(а>2Ух2)х2, хеш,
2
т-(а2(х)уг2 + (Т\(х)у), х е 7л-
п2
Приведем в качестве примера схему переменных направлений. Она
(см. п. 6.2) имеет вид
Х?~Уп + Л12/п+1/2 + к1Уп = Fn(x, yn), A4)
,/ ч2/п+1 ~~ Уп+1/2 А А „ / ч
Ь(х) — -f Ai»n+1/2 + Л2Уп+\ = Fn(x, yn+1),
xGct;U7n, n = 0,1,...,
т.е. нелинейная часть связывается с оператором А2.
На первом этапе решается линейная сеточная задача A4), на вто-
втором — нелинейная. Следует заметить, что одномерная сеточная зада-
задача A5) при каждом фиксированном х\ характеризуется нелинейностью
только в одном расчетном узле. Для таких задач (задача 2) можно строить
специальные итерационные алгоритмы, вычислительные затраты для ко-
которых не зависят от общего числа узлов. Поэтому локально-одномерные
схемы для задачи A)-D) с нелинейным граничным условием будут эко-
экономичными. Аналогичное замечание касается и более сложных задач
излучения.
398 Глава 8. Теплообмен излучением
8.2.4. Задачи
I Задача 1. Покажите единственность решения задачи A)-D).
Решение. Доказательство проводится от противного. Пусть суще-
существует два решения задачи A)-D) up(x,t), где /3 = 1,2. Рассмотрим
разность w(x, 0 = ^(#,0 ~u2(x,t). Будем считать, что в некоторой
точке (ж, 0 области функция w(x, t) > 0 (в противном случае рассматри-
рассматривается разность и2(х, 0 ~ 1*1 (я, 0)- Из 0)~C) имеем
uW ^—¦% U
а=\ °
г^(ж, 0) = 0, х е П,
ад(ж, 0 = 0, ж G Г, 0 < * < Т.
В силу принципа максимума для параболических уравнений (см. п. 5.1)
максимум функции ги(ж, 0 достигается в некоторой точке х0 G 7 на мо-
момент времени t = ?0- В этой точке
—— > 0, ж = Хо G 7) ^ = ^о-
on
В этих условиях граничное условие D) дает
dW Л А
к——h <г\(х)(и2 - щ) + 0*2(^2 - t*i) < 0, х = ж0 G 7)
an
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Задача 2. Д//я решения нелинейной сеточной задачи
-Агуг-Х + Ciy,- - Btfi+i = i^-, г = 2, 3,..., m - 1, A6)
-^m_,2/m_i 4- Cmym = Fm(ym),
рассмотрите вариант метода прогонки (параметрическая прогонка),
когда решение ищется в виде
1Л = ЩУт + У>» t = 0,l,...,m. A7)
Решение. В силу A6), A7) можно определить сеточные функции щ
и W{ из решения трехточечных задач. Для определения щ используются
уравнения
С\и\ - В\и2 — 0,
-АгЩ-х + Qui - BiUi+l =0, г = 2, 3,..., m - 1, A8)
Urn = 1,
8.3. Теплообмен излучением при заданных температурах 399
а соответствующая задача для w, имеет вид
Cxw\ -B{w2 = Fu
-Аш^ + Qwi - BiWi+] =FU i = 2, 3,..., m - 1, A9)
wm = 0.
Решение задач A8), A9) проводится на основе обычного (см. п. 4.5)
варианта прогонки и проблем не вызывает. Необходимо только отметить
наличие общего прогоночного коэффициента, что позволяет сократить
вычислительные затраты.
После того, как сеточные функции щ, wt, г = 1, 2,..., т найдены,
подстановкой представления A7) для решения задачи A6) в последнее
уравнение получим нелинейное уравнение
-Ат{ит-Хут + wm_i) + Стут = Fm(ym)
для одной неизвестной ут. Для решения нелинейного уравнения ис-
используются стандартные методы вычислительной математики, например,
метод Ньютона. >
8.3. Теплообмен излучением
при заданных температурах
8.3.1. Задача теплообмена с учетом переизлучения
Для невыпуклых тел или системы тел необходимо проводить учет
тепловых потоков, которые попадают на элементы поверхности тела
с других участков поверхности. Это приводит к дополнительным тепло-
тепловым потокам, повышению температуры поверхности и, таким образом,
к увеличению самого потока теплового излучения. В таких условиях
естественно говорить о дополнительном излучении, переизлучении.
Задача расчета процессов теплообмена должна рассматриваться в со-
согласованной постановке. Интенсивность теплового излучения зависит
от температуры поверхности, которая, в свою очередь, зависит от те-
тепловых потоков на поверхности, от теплового излучения. Прежде чем
рассматривать такую общую задачу, остановимся на упрощенной модели,
считая температуру поверхности заданной. Это даст нам возможность со-
сосредоточиться именно на задаче расчета теплового излучения твердых тел.
Для описания процессов теплообмена излучением рассмотрим про-
простейшее твердое тело с невыпуклой границей. Будем рассматривать
процессы теплопереноса в условиях двумерной задачи, когда расчетная
область представляется (рис. 8.1) составленной из двух прямоугольников
(L-образная область):
п = п' и п",
п' ={х\х = (хих2), 0<ха<1'а, а =1,2},
П" = {х | х = (хих2), 0 < ха < С ol = 1, 2}.
400
Глава 8. Теплообмен излучением
При расчете теплообмена из-
излучением необходимо учитывать
потоки тепла с поверхности у', по-
попадающие на 7", и наоборот. Здесь
приняты следующие обозначения
7 = 7 U 7",
j {х\хедп ял/;}
и Г = 0П\7.
Далее будет рассматриваться
задача теплообмена в такой расчет-
Рис g j ной области в различных услови-
условиях. Мы начнем с расчета тепловых
потоков, обусловленных излучением на 7» B предположении, что рас-
распределение температуры излучающей поверхности 7 известно. Поэтому
положим
и(х)=д(х), хе-у, A)
в стационарных задачах. При рассмотрении теплообмена в нестационар-
нестационарных условиях время выступает в качестве параметра. Поэтому расчет
нестационарного теплообмена излучением в рамках приближения из-
известной температуры излучающей поверхности проводится полностью
аналогично.
8.3.2. Интегральное уравнение теплообмена излучением
Для получения интегрального уравнения теплообмена излучением
между участками границы jf и 7" будем считать для простоты окружаю-
окружающую среду — непоглощающей и неизлучающей, а излучение с поверхно-
поверхности тела — изотропным. Соответствующее интегральное уравнение для
плотности теплового потока в общих условиях выписано в п. 2.5.
Пусть q(x) — поток излучения в точке х поверхности 7- Он опре-
определяется как сумма собственного излучения qo(x) и части падающего
излучения, которая отражается. Для q(x) имеем следующее интегральное
уравнение
q(x) - к(х) J G(x, Qq(t) d? = qQ(x), x G 7,
B)
где к(х) — коэффициент отражения. Коэффициент отражения изменя-
изменяется в пределах от 0 до 1. Для реальных твердых тел 0 < к(х) < 1.
Собственное излучение обусловлено только температурой тела, и в соот-
соответствии с законом Стефана—Больцмана из A) имеем
qo{x) = a2(x)g\x), C)
где 02(х) — излучательная способность тела.
8.3. Теплообмен излучением при заданных температурах 401
Ядро интегрального уравнения B) определяется выражением
°(х> $ = ттЦcos (nW> r>cos W*),r>> <4>
тгг^а;, s)
где г(ж, () — расстояние между точками жи(,а cos (п(ж), г) — косинус
угла между нормалью к 7 в точке х и отрезком, соединяющим жи(.
Отметим некоторые свойства интегрального уравнения B), кото-
которое является интегральным уравнением Фредгольма второго рода. При
к(х) — const ядро интегрального уравнения, как следует из D), симме-
симметрично. Кроме того, ядро неотрицательно, т. е.
J 0. E)
При положительных к(х) Ф const интегральное уравнение B) легко
приводится к интегральному уравнению с симметричным ядром (см. за-
задачу 1).
8.3.3. Дискретная задача
Для приближенного решения интегрального уравнения B) исполь-
используются численные методы. Метод квадратур приближенного решения
интегральных уравнений основан на замене интегралов соответствующи-
соответствующими суммами. Применим метод квадратур для перехода от интегрального
уравнения B) к системе линейных алгебраических уравнений. Пусть
X{ji = 1, 2,..., т — точки выбранной дискретизации границы у. При
решении согласованной задачи теплообмена в качестве таковых можно
взять граничные узлы расчетной сетки.
Исходными для построения дискретной задачи методом квадратур
являются соотношения
х{е% t=l,2,...,m. F)
После замены интеграла в F) квадратурной суммой получим систему ли-
линейных алгебраических уравнений для приближенного потока излучения
Vi « q(xi). Для случая границы 7» составленной из отрезков прямых,
получим
m
Vi - к(х{) ]Г PjGfa, ?j)vj = qo(xi), ij = 1,2,..., m, G)
j=i
где pj, j = 1, 2,..., m — коэффициенты выбранной квадратурной фор-
формулы. Как и при применении методов непосредственной аппроксима-
аппроксимации дифференциальных задач (см. п. 4.2), построение дискретных задач
на основе метода квадратур может привести к системам уравнений, для
которых теряются важные характеристики исходной задачи. В частности,
может нарушаться закон сохранения лучистой энергии.
402 Глава 8. Теплообмен излучением
Более приемлемым способом дискретизации интегрального уравне-
уравнения B) является метод баланса (интегро-интерполяционный метод). Для
произвольных криволинейных границ рассмотрим с каждой отдельной
точкой Х{, г = 1, 2,..., т некоторую окрестность границы 7t с площадью
mess7i = / dx, так что
7.
В каждой такой части границы будем считать собственное излучение
(температуру) и поток излучения постоянными. В теории теплообмена
излучением за таким подходом закрепилось название зонального метода.
Для получения дискретной задачи в сформулированных условиях
сначала проинтегрируем уравнение B) по каждому элементу границы 7»,
г — 1, 2,..., га. Это дает вместо F) исходные соотношения
J q(x) dx- f к(х) f G(x, О q(t) d? dx = j qo(x) dx,
7. 7. 7 H (8)
i= 1,2, ...,m.
Принимая во внимание наши предположения о поведении искомого
решения и правой части уравнения B), из (8) получим
Vimessyi-K(xi)^2 / / G(x,?)d?dx Vj = qo(xi)mcssjiy г= l,2,...,m.
1=1 i i
Эта система уравнений принимает вид
Q*> t = 1, 2,..., m, (9)
где величины
w{ = mess7iVt, Qi = mess7tg0(^), t = 1, 2,..., m,
определяют потоки излучения на весь элемент поверхности 7i, t = 1,
2,... ,m. Величины
7« 7;
определяют условия теплообмена излучением между элементами поверх-
поверхностей 7» и jj и носят название угловых коэффициентов.
Для плотности теплового излучения из (9), A0) получим систему
уравнений
m
Vi - к(х{) ]Г (fjiVj = qo(xi), i = 1, 2,..., m. A1)
8.3. Теплообмен излучением при заданных температурах 403
Эта система уравнений является основной при исследовании теплообме-
теплообмена излучением.
Теплообмен между отдельными телами, имеющими некоторые задан-
заданные температуры, описывается системой алгебраических уравнений (9).
Проблема расчета сводится к вычислению угловых коэффициентов. Все
руководства по радиационному теплообмену содержат формулы для ана-
аналитического вычисления угловых коэффициентов в наиболее важных
случаях. В общем случае произвольной поверхности 7 необходимо рас-
рассчитывать эти характеристики согласно формуле A0).
Из определения угловых коэффициентов и ядра интегрального урав-
уравнения D), A0) непосредственно вытекают следующие важные свойства.
Аналогично E) имеем:
Vij^O, ij = l,2,...,m. A2)
Закон сохранения энергии приводит к
m
v<l> A3)
причем равенство в A3) имеет место только для замкнутых поверхно-
поверхностей 7-
Сформулированные свойства A2), A3) необходимо учесть наряду
с условием 0 < к(х{) < 1 при выборе методов решения системы уравне-
уравнений (И).
8.3.4. Решение системы уравнений
Запишем систему уравнений A1) в виде
Av = 0, A4)
где А — квадратная матрица размерности т х т с элементами
aij = 1 - к(х{)(ру, i, j = 1, 2,..., га, A5)
а в — вектор правых частей:
0i = qo(*i), t = l,2,...,m. A6)
Исследование однозначной разрешимости базируется на том, что
матрица системы A4) является монотонной матрицей (М-матрицей).
Для того, чтобы установить это для задачи A4)—A6), удобно исполь-
использовать принцип максимума для сеточных уравнений (см. п. 4.3). С этой
целью запишем алгебраическую задачу в канонической форме и проверим
условия выполнения принципа максимума.
Определим через
404 Глава 8. Теплообмен излучением
множество узлов дискретизации границы у. Через W(x) определим ша-
шаблон узла х и W(x) - W'(x) U х. Запишем задачу A4)—A6) в виде
Av(x) = F(x)) xGW, A7)
где сеточный оператор Л задается выражением
Av(x) = A(x)v(x)- J2 *(*>*М*)> A8)
и пусть
J2 В&0- A9)
В случае задачи A4)—A6) для A8), A9) имеем
А(х)=1-к(хг)<рц, B(x?)=n(x)<pih D(
(Щ
Принимая во внимание A2), A3) и условие 0 < я(ж,-) < 1, из B0)
получим для коэффициентов сеточного оператора Л условия
А(х) > 0, В(х, 0 > 0, D(x) > 0, х е W.
А это значит (см. п. 4.3), что для уравнения A7) выполнен принцип
максимума. На его основе доказывается однозначная разрешимость зада-
задачи A4)-A6).
Для оценки точности приближенного решения привлекаются соот-
соответствующие априорные оценки сеточной задачи и оценки используемой
квадратурной формулы. Для достаточно гладких границ и решений для
погрешности аппроксимации имеем *ф(х) = O(hl), где h0 — характерный
шаг дискретизации у.
Учитывая неотрицательность правых частей уравнения A4), устано-
установленный принцип максимума позволяет сделать вывод о неотрицатель-
неотрицательности самого приближенного решения, т.е. v(x{) ^ 0, t = 1,2,... ,m.
Следует заметить, что такие свойства приближенного решения мы полу-
получили при специальном (консервативном) методе построения дискретной
задачи. Использование метода квадратур может приводить к сеточным
задачам, для которых приведенные выше свойства решения дифферен-
дифференциальной задачи не наследуются.
Для решения задачи A4) используются прямые или итерационные
методы. Перед этим полезно провести симметризацию системы линейных
уравнений. С этой целью разделим уравнение A1) на (/c(x,)mess7»)
и получим
m
0» « = 1,2,...,т, B1)
8.3. Теплообмен излучением при заданных температурах 405
где с учетом A0)
-//*'
ъ ъ
•»•
(ф,-) mess 7,-)
Систему уравнений B1), B2) запишем в виде
АВ=0, B3)
где теперь А — симметричная квадратная матрица размерности т х т
с элементами
aij = l-<pij, ij = l,2,...,m.
Переход от задачи A4) к задаче B3) связан с введением новых
переменных согласно B2). Поэтому из положительности оператора А
следует и положительность оператора А, т.е. в уравнении B3)
1=A)*>0. B4)
Вопросы решения задач типа B3), B4) подробно рассматривались
нами в главе 4. В частности, для решения задачи B3), B4) можно ис-
использовать (см. п. 4.5) прямой метод Холецкого. Большого внимания
заслуживают (особенно при решении трехмерных задач) итерационные
методы. Здесь можно применять итерационные методы вариационно-
вариационного типа (см. п. 4.6) с различным выбором оператора В (например,
в качестве В выбирается диагональная часть ^4). В силу трудностей
с заданием априорной информации о границах оператора А получи-
получили распространение и традиционные итерационные методы (например,
верхней релаксации).
8.3.5. Задачи
I Задача 1. Приведите интегральное уравнение B) к интегральному
уравнению с симметричным ядром.
Решение. Несимметрия обусловлена множителем к(х). Разделим
уравнение B) на (к(х)) и введем новую неизвестную
406 Глава 8. Теплообмен излучением
Уравнение B) примет вид
q(x) - J G(x, О Ш) Ч = &(*), х € 7. B5)
7
Здесь правая часть
(ф))
а ядро имеет вид
1/2 >
В силу симметрии ядра G(x) ?) (см. E)) симметричным будет и ядро
G(x, ?) интегрального уравнения B5). >
I Задача 2. Покажите справедливость неравенства A3) для угловых
коэффициентов.
Решение. Принимая во внимание определение A0) для угловых коэф-
коэффициентов, получим
3 7. 3 Ъ 7. 7
Для ядра G(x, ?), определяемого согласно D), имеем
(x,l)dZ^\, B7)
причем равенство имеет место только для замкнутых поверхностей j.
Подстановка B7) в B6) и дает доказываемое неравенство A3). >
8.4. Теплоперенос излучением
и теплопроводностью
8.4.1. Согласованная задача теплообмена излучением
и теплопроводностью
Наибольший интерес представляет задача учета переизлучения для
невыпуклых тел (системы тел), когда необходимо учитывать переносы
тепла внутри тела. Здесь такая согласованная задача учета теплообмена
излучением и теплопроводности рассматривается для модельной области
(рис. 8.1).
8.4. Теплоперенос излучением и теплопроводностью 407
Остановимся на постановке стационарной задачи. В области П те-
тепловое состояние описывается уравнением
В обозначениях п. 8.3 (см. рис. 8.1) будем считать, что
и(х) = д(х), хеГ. B)
На 7 происходит теплообмен с окружающей средой и осуществляется
перенос тепла излучением. Пренебрегая излучением окружающей среды,
граничное условие запишем в виде
где здесь д(х) — температура окружающей среды, <j\ (х) — коэффициент
конвективного теплообмена, a q(x) —¦ радиационный поток.
Для неизвестной q(x) выполнено (см. п. 8.3) интегральное уравнение
q(x) - к(х) J G(x, t)q($ Ц = «,(*, и), хеЪ D)
7
где 0 < к(х) < 1 — коэффициент отражения, а правая часть определяется
выражением
qo(x, и) = а2(х)и4(х)) E)
где (Т2(х) — излучательная способность тела.
Поставленная согласованная задача теплообмена излучением и те-
теплопроводностью A)-E) характеризуется тем, что неизвестные и(х)
и q(x) завязаны в общую систему уравнений через граничные условия C)
и правую часть E) интегрального уравнения D).
8.4.2. Сеточная задача
Задача A)-E) включает в себя задачу расчета теплового поля вну-
внутри тела и задачу расчета потоков теплового излучения. Каждая такая
отдельная задача рассматривалась ранее. В п. 8.1 обсуждались подходы
к приближенному решению задачи теплопроводности с учетом излучения
в упрощенной постановке, когда нет переизлучения. Такая задача есть
предельный случай A)-E), когда к(х) — 0. Второй предельный случай
связан с условием, когда температура внутри тела известна и рассчиты-
рассчитывается поток теплового излучения, рассмотрен в п. 8.3. На основе этого
можно подойти к приближенному решению согласованной задачи A)-E).
Прежде всего выпишем соответствующую сеточную задачу. Будем
считать, что в области П введена согласованная со всей границей рав-
равномерная прямоугольная сетка. Пусть ш — множество внутренних узлов
408
Глава 8. Теплообмен излучением
сетки, а 7'» 7" — множества узлов, лежащих на у' и 7" соответственно
GЛ = 7л U 7л)- Пусть г/(ж), х Е о; U 7л — приближенная температура,
а з(ж), х ? 7л — поток. Тогда A)-C) ставится в соответствие разностная
задача
Ay + FoOr)s = Fi (ж), ж G a; U 7л- F)
Здесь Л — линейный сеточный оператор, который соответствует краевой
задаче с условиями третьего рода на 7- Он определяется (см. п. 8.1)
выражением
2
tVxa)xai хеш,
Ау =
2_
hi
2
7л-
Сеточная функция F0(x) отлична от нуля только на 7л и определяется
следующим образом
го, хеш,
/12'
Аналогично задается и правая часть уравнения F).
Аппроксимация интегрального уравнения D) с правой часть E)
(см. п. 8.3) приводит к сеточному уравнению, которое мы запишем
в следующем виде
(Е - R)s - F2(x, у) = 0, хеъ- G)
Здесь оператор R соответствует аппроксимации интегрального оператора,
а ^(ж, у) — правой части E).
Таким образом ставится задача решения системы уравнений F), G).
В силу нелинейности для приближенного решения этой задачи исполь-
используются те или иные итерационные методы решения систем нелинейных
уравнений (см. п.4.9).
8.4.3. Итерационные методы решения задачи
При построении итерационных методов решения задачи F), G) бу-
будем ориентироваться на методы, которые основаны на такой организации,
при которой на каждой итерации решаются обычная краевая задача тепло-
теплопроводности и задача расчета теплообмена излучением в условиях задан-
заданных температур. Отметим некоторые возможности в этом направлении.
8.4. Теплоперенос излучением и теплопроводностью 409
Простейший подход связан с использованием метода Зейделя. При-
Приближенное решение задачи F), G) на А:-ой итерации обозначим ук(х))
sk(x) и определим новое приближение из решения следующей линейной
задачи:
(8)
* = 0,1,.... (9)
Переход на новую итерацию осуществляется на основе решения краевой
задачи теплопроводности при заданных потоках излучения (задача (8))
и расчете излучения (задача (9)) по полученному полю температур.
В некоторых ситуациях полезно строить итерационные процессы,
основанные на решении нелинейной краевой задачи при х ? о; U y'h,
подобные тем, что рассматривались в п. 8.1. С учетом G) перепишем F)
в виде
Ay + F0(x)F2(x, у) + F0(x)Rs = Fi(x), xeuUjh. A0)
Здесь слагаемое F0(x)Rs учитывает переизлучение. Для приближенного
решения задачи G), A0) можно использовать итерационный процесс,
аналогичный (8), (9), когда вместо (8) решается уравнение
V+1 + F0(x)F2(x, yk+l) + F0(x)Rsk = F,(x), x € u> U 7л. A1)
Нелинейная задача A1) рассматривалась в п. 8.1 и соответствует тому,
что с предыдущей итерации берется только переизлучение. Собствен-
Собственное тепловое излучение (слагаемое Fq(x)Fi{x1 у)) выносится на верхний
итерационный слой.
Обсуждаемые итерационные процессы (8), (9) и (9), A1) (а также
и другие, не приведенные здесь) могут комбинироваться с внутренними
итерационными процессами. Так, например, для приближенного реше-
решения уравнения (И) может использоваться метод Ньютона. Мы, конечно,
не будем даже пытаться как-то охватить это многообразие таких двухсту-
двухступенчатых итерационных процессов для нашей задачи F), G).
8.4.4. Нестационарная задача
Кратко обсудим вопросы приближенного решения нестационарных
согласованных задач теплопереноса теплопроводностью и излучением.
С этой целью сформулируем модельную нестационарную задачу. В обла-
области Q рассматривается уравнение
с начальным и граничными условиями
и{х, 0) = щ(х), хеп, A3)
u(x,t)=g(x,t), are Г, 0 <«< Г, A4)
410 Глава 8. Теплообмен излучением
ди
к— + <г\(х)(и - g(x, *)) + q(xy *) = 0, x G 7, 0 < < < Г. A5)
an
Нестационарный поток теплового излучения определяется из интеграль-
интегрального уравнения
q(x, t) - п(х) [ G(x, О q(t, t) d? = (T2{x)u\x, t\
{ A6)
x e 7, o<t^T.
В этом уравнении время выступает в качестве параметра.
8.4.5. Разностные схемы
В качестве примера приведем некоторые разностные схемы для при-
приближенного решения согласованной нестационарной задачи A2)—A6).
При этом мы можем ориентироваться на результаты п. 8.2, где рассмо-
рассмотрена задача учета только собственного излучения.
Использование чисто неявной разностной схемы приводит нас к сле-
следующей разностной задаче:
Ь(х) Уп+1~Уп + Лг/п+1 +Fo(x)8n+X =FX (а?), *€ыи7л, A7)
(E-R)sn+{ -F2(a:,yfl+I)=0> я€7л, п=0,1,.... A8)
При реализации разностной схемы A7), A8) используются итерационные
методы типа (8), (9) и (9), A0).
Можно использовать и различные линеаризованные разностные схе-
схемы для приближенного решения задачи A2)—A6). Имеет смысл привести
разностные схемы, примыкающие к рассмотренным в п. 8.2.
С этой целью можно вместо чисто неявной схемы A7), A8) рассмо-
рассмотреть схему, в которой используется уравнение
K = F]{x))
n = 0, 1,... .
Разностная схема A8), A9) на этапе расчета теплопереноса внутри тела
с учетом собственного излучения полностью совпадает с рассмотренной
в п. 8.2. В частности, на основе A8), A9) могут строиться и соответству-
соответствующие схемы суммарной аппроксимации.
При построении разностных схем для нестационарных задач ти-
типа A2)—A6) необходимо учитывать следующее обстоятельство. На каждом
временном слое необходимо решать задачу расчета потока теплового из-
излучения. Поэтому необходимо минимизировать вычислительные затраты
на этом этапе. Можно использовать итерационные методы, ориентируясь
на то, что существует хорошее начальное приближение для потока те-
теплового излучения с предыдущего временного слоя. Вторая возможность
8.5. Библиография и комментарий 411
связана с обращением матрицы системы уравнений, которая соответству-
соответствует интегральному уравнению и ее постоянному хранению. Это связано
с тем, что задача расчета потока характеризуется изменением лишь правой
части интегрального уравнения.
8.4.6. Задачи
I Задача 1. Выделите окрестности точек границы у при дискретизации
интегрального уравнения D).
Решение. Для перехода к сеточному уравнению G) используются
узлы сетки, лежащие на границе у. Пусть
N'aK = la, N'aK = Ze, a = 1, 2,
т.е. точка излома границы j — это узел (N'UN2). Необходимо найти
температуру и поток излучения в узлах
(г,^')> *=JW + 1, ^' + 2,...,<, B0)
(<j), j = J??+l,JV242,...,ffi, B1)
и в узле (JV{, N"). С каждым этим граничным узлом связывается окрест-
окрестность, равная h{ в случае B0), h2 — в случае B1) и 0,5(/ij + h2) для узла
(лг;,л#).
I Задача 2. Напишите линеаризованную схему с использованием явной
схемы для расчета потока теплового излучения.
Решение. По явной схеме
Ъ(х)*п+1~Уп + Ауп + F0(x)sn = Fx(x), х е ш U 7л,
рассчитывается yn+i. Эта функция используется для линеаризации правой
части разностного уравнения для потока и поэтому
dF2
(Е - R)sn+l - F2(x, yn) - —(ж, »я)(у„+1 - »„) = 0,
ж€7л, п = 0,1,... .
Приближенная температура рассчитывается согласно A7). >
8.5. Библиография и комментарий
8.5.1. Общие замечания
8.1. Численные методы решения задач с нелинейными граничными усло-
условиями затрагиваются во многих работах. Здесь используется стан-
стандартный для теории разностных методов решения эллиптических
краевых задач математический аппарат [8,9].
412 Глава 8. Теплообмен излучением
8.2. Для нестационарных задач с учетом собственного излучения при-
применены обычные разностные схемы [7]. Краевые задачи для пара-
параболических уравнений второго порядка с нелинейными краевыми
условиями обсуждаются в книге [11].
8.3. Имеется обширная литература (см., например, [1,3-6,10]), которая
посвящена решению задач излучения в простейших постановках,
когда температуры известны. Там же излагаются методы, основан-
основанные на решении соответствующего интегрального уравнения. Вы-
Вычислительные алгоритмы решения интегральных уравнений широко
представлены в книге [2].
8.4. Мы ограничились простейшими соображениями по поводу решения
задачи теплопроводности в твердом теле с учетом переизлучения.
8.5.2. Литература
1. Блох А. Г., Журавлев Ю.А., Рыжков JI. Н. Теплообмен излучением. М: Энер-
гоатомиздат, 1991.
2. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы,
программы. Киев: Наукова думка, 1986.
3. Зигель Р., ХауэллДж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975.
4. Исаченко В. Я., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергоатом -
издат, 1981.
5. Карслоу У., ЕгерД. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.
6. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983.
7. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
8. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических урав-
уравнений. М.: Наука, 1976.
9. Самарский А. А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:
Наука, 1978.
10. Спэроу Э.М., Сесс Р. Д. Теплообмен излучением. Л., Энергия, 1971.
И. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.
М.: Мир, 1968.
Глава 9
Конвективный теплообмен
Важное прикладное значение имеют процессы переноса тепла с уче-
учетом движения среды. Примером может служить движение неравномерно
нагретой жидкости под действием выталкивающей силы (свободнокон-
вективные движения). Процессы теплопереноса в этом случае обусло-
обусловлены не только теплопроводностью, но и движением среды. В свою
очередь в таких процессах тепло- и массообмена тепло и обуславливает
само движение среды.
Учет конвективного переноса тепла проводится в рамках уравнения
теплопроводности с конвективным слагаемым. Сначала рассматривается
ситуация, когда движение среды задано. Задачи для уравнений тепло-
теплопроводности с учетом конвективного переноса обладают определенной
спецификой. Она проявляется в том, что операторы конвективного пе-
переноса являются несамосопряженными.
Сначала рассмотрены вопросы построения разностных схем для ста-
стационарных уравнений конвективного переноса тепла. Выделяется класс
монотонных разностных схем, для которых выполнен принцип максиму-
максимума. Проводится анализ различных разностных аппроксимаций конвектив-
конвективных слагаемых в уравнении теплопроводности. Обсуждаются особенности
итерационных методов решения сеточных эллиптических задач с неса-
несамосопряженными операторами, ориентируясь на задачи конвективного
теплопереноса.
Строятся различные разностные схемы для нестационарных задач
конвективного теплопереноса. Основное внимание уделяется монотон-
монотонным разностным схемам при использовании дивергентной и недивергент-
недивергентной записей уравнения теплопроводности. Для многомерных нестацио-
нестационарных задач описываются соответствующие экономичные разностные
схемы.
Проблемы тепло- и массопереноса моделируются на основе уравне-
уравнений Навье—Стокса в приближении несжимаемой жидкости. Рассмотрены
методы решения задач конвекции при использовании исходных перемен-
переменных «скорость, давление, температура». Для формулирования приемлемой
задачи для давления используются аддитивные операторно-разностные
схемы. Это дает сеточные параболические задачи для компонент скорости
и температуры и сеточную эллиптическую краевую задачу для давления.
414 Глава 9. Конвективный теплообмен
Для двумерных задач конвекции традиционно широко используются
методы, основанные на использовании переменных «функция тока, вихрь
скорости и температура». Такой подход приводит к обычным уравнениям
математической физики для неизвестных. На основе общей теории ад-
аддитивных разностных схем строятся безытерационные разностные схемы
с заданием вихря скорости на границе.
Для моделирования течений вязкой несжимаемой теплопроводной
жидкости в каналах, трубах используются упрощенные модели, основан-
основанные на решении параболизованных уравнений Навье—Стокса. Анали-
Анализируются особенности решения задач в таких постановках на примере
задачи о течении на входе в плоский канал.
Рассмотрены проблемы моделирования задач плавления/затвердева-
плавления/затвердевания с учетом конвективных движений расплава. Основное внимание
уделяется построению разностных схем сквозного счета. С этой целью
для моделирования течений жидкости привлекается метод фиктивных
областей в различных вариантах.
9.1. Разностные схемы для стационарных
задач теплопроводности с конвекцией
9.1.1. Уравнение теплопроводности с конвекцией
Будем в двумерной области п рассматривать процесс теплопереноса,
обусловленный теплопроводностью и движением самой среды. Считая
среду однородной, запишем уравнение теплопроводности в виде
с ]Г va(x)- ^2 kTT = /(*)> х = (*ь х2) е П, A)
в=1 °Ха а=\ °Ха
где va(x), a = 1,2 — компоненты скорости (v = (vi,v2)), которые мы
считаем заданными.
Считаем среду несжимаемой, и поэтому компоненты скорости свя-
связаны соотношением v = 0, т. е.
» «» <2>
Такое допущение, оправданное во многих прикладных проблемах, позво-
позволяет нам несколько сузить класс рассматриваемых задач и дает возмож-
возможность строить более ориентированные вычислительные алгоритмы.
Условие несжимаемости B) позволяет переписать (J) в виде
который соответствует дивергентной записи конвективных слагаемых.
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 415
Уравнение A) (или C)) дополняется обычными условиями первого-
третьего рода на границе. Например, положим
и(х)=д(х), хедп, D)
т. е. на границе поддерживается заданный температурный режим. В более
общем случае используется граничное условие третьего рода:
ди
k— + a(x)u = g(x), хедп, E)
on
где а(х) ^ О — коэффициент конвективного теплообмена с окружающей
средой.
Для уравнения теплопроводности с конвективным переносом спра-
справедлив принцип максимума (см. п. 4.1). Причем он выполнен как для
недивергентного уравнения A) (см. п. 4.1), так и для дивергентного
уравнения C) (см. задачу 1 в п. 4.9). С выполнением принципа максиму-
максимума связывается понятие монотонности решения, что имеет прозрачную
физическую интерпретацию. Свойству монотонности решения уделяет-
уделяется (и не всегда заслуженно) повышенное внимание при приближенном
решения задач конвективной теплопроводности.
На основе принципа максимума обычным образом устанавливается
единственность решения краевых задач для уравнений A), C) с условия-
ми D), E).
Рассмотрим более подробно оператор конвективного переноса тепла.
Положим, что
vn(x) = vn = 0, х е дП, F)
т. е. нормальная компонента скорости движения среды на границе области
равна нулю (замкнутая область, условие непротекания). Определим для
уравнения A) оператор V(v) с помощью соотношения
V(\)w = vgrad w = ^2 vct(x)^—• G)
«=i dx<*
Аналогично для уравнения C) получим
?^. (8)
При выполнении условий несжимаемости B) операторы конвективного
переноса, определенные в недивергентной G) и дивергентной (8) формах,
совпадают.
416 Глава 9. Конвективный теплообмен
В гильбертовом пространстве Н = ?2 (Л) при выполнении F) имеем
(V(v)w, w) = vw grad w dx = - / v grad w2 dx =
= - /div (v w2) dx / w2 div v dx = - / vnw2 dx = 0.
n n дп
Тем самым, введенный согласно G) (или (8)) оператор конвективно-
конвективного переноса при выполнении F) является кососимметричным вИ =
( )
( )
Помимо G), (8) полезно привести еще одну запись для оператора
конвективного переноса:
V(\)w = vgrad w + -wdivv = ^ 2 аж
Выбор этого представления примечателен тем, что оператор V(v) является
кососимметричным, даже если условие несжимаемости B) не выпол-
выполнено.
При выполнении B) все приведенные выражения для оператора V(v)
(G)-(9)) эквивалентны друг другу. При переходе к дискретной задаче
такую эквивалентность часто бывает трудно обеспечить, например, в слу-
случае, когда условие несжимаемости (ее разностный аналог) выполнено
не точно.
С учетом введенных обозначений запишем уравнение теплопровод-
теплопроводности в виде
cV(v)u-?>— = /(*), я ЕЛ, A0)
а=\
дополнив его соответствующими граничными условиями. На основании
кососимметричности оператора V(v) можно получить простейшие апри-
априорные оценки. Например, при однородных условиях первого рода (в D)
д(х) = 0) из A0) непосредственно имеем равенство
Отсюда следует простейшая оценка по правой части
N*)llv2'<n) ^ M\\f(x)\\L2{n).
Аналогично рассматриваются и более общие задачи, в частности, с гра-
граничными условиями E).
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 417
9.1.2. Монотонные разностные схемы для одномерной задачи
Разностные схемы, для которых выполнен принцип максимума,
будем называть монотонными разностными схемами. Их построение мы
начнем с простейшей одномерной задачи. Будем рассматривать уравнение
Ь(*)^-0 = /(*), 0<х</, A1)
с граничными условиями
u@)=gu u(l)=g2. A2)
Для приближенного решения задачи A1), A2) введем равномерную
разностную сетку ш с шагом ft. Приведем вначале разностную схему
с центральными разностями
*(*)»! - Ухх = /(ж), хеш, A3)
2/о=0ь Ум =92- A4)
Разностная схема A3), A4) во внутренних узлах сетки записывается
в следующем каноническом виде (см. п. 4.3):
А(х)у(х) = В+{х)у{х + ft) + В-(х)у(х - ft) + F(x), хеш A5)
при
в+(х) -1 _ М в-(х) -1 + ьМ
В (Х) ~ V 2Л ' В (Х) ~ h? + 2Л '
F(x) = f(x), хеш.
Для разностной схемы A5) достаточные условия выполнения прин-
принципа максимума имеют (см. п. 4.3) вид:
A(x)>0, B±(x)>0, D(x)^0, хеш, A7)
где D(x) — А(х)-В+(х)-В~(х). Условия A7) для схемы с центральными
разностями будут выполнены лишь при достаточно малых шагах сетки
(малых скоростях в задачах конвективного переноса тепла):
Лтах|Ь(х)|<2. A8)
Безусловно монотонные разностные схемы для задачи A1), A2)
можно построить при использовании аппроксимаций первого порядка
направленными разностями. Введем обозначения
Ь+(х) = \{Ь{х) + |Ь(х)|) ^ 0, Ъ~(х) = 1-(Ъ{х) - \Ь(х)\) ^ 0,
так что Ь+(х) = Ь(х), если Ь(х) > 0 и Ь+(х) = 0 при Ь(х) < 0.
28 Зак 168
418 Глава 9. Конвективный теплообмен
Вместо A3) будем рассматривать разностное уравнение
'Ъ+(х)ух + Ь"(х)уя -yxx= f(x), хеш, A9)
с граничными условиями A4). Легко проверяется выполнение принципа
максимума (условия A5), A7)) для схемы с направленными разностя-
разностями A4), A9). Такие разностные схемы, учитывая конвективную природу
коэффициента Ь(х) в уравнении A1), называют схемами с разностями
против потока.
Схема с направленными разностями является монотонной при любых
шагах сетки. Ее недостатки связаны с тем, что в отличие от схемы с цен-
центральными разностями, она имеет лишь первый порядок аппроксимации.
Поэтому были предприняты многочисленные попытки построения моно-
монотонных разностных схем второго порядка аппроксимации, для которых
удалось бы избавиться от ограничений типа A8). Отметим некоторые
основные результаты в этом направлении.
В методическом плане удобно от уравнения A1) перейти к самосо-
самосопряженному уравнению
Нетрудно убедиться, что для этого достаточно положить
х
к(х) = ехр | - J Ъ@ df}, Ф) = k(x)f(x).
о
Далее строятся обычные разностные схемы второго порядка точности для
задачи A2), B0). Например, для гладких коэффициентов и правой части
можно использовать разностную схему
~(аух)х = ?(ж), хеш, B1)
где аппроксимация правой части не конкретизируется, а
x-h/2
а(х) = *(*-|) =exp|- J Ъ@ «J. B2)
о
Очевидно, что схема A4), B1) является монотонной.
С учетом B2) положим
x-h/2 х x-h/2
в(х) = схр|- У Ь(?К}ехр{-уЬ(?к}=*(*)ехр{- J
х 0 х
С точностью O(h2) зададим
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 419
Тогда левая часть B1) преобразуется следующим образом
h
Принимая во внимание равенства
h
получим
к(х)
( (b(x)h\ Г b(x)
(ехР{ -if )-ехр{ --V
h
Hx)f_(b(x)h
2 V I 2
Поэтому схему B1) можно записать в виде
Ь(х)уо - A + Л)^^ = /(ж), ж Е а;, B3)
где
1 + R = Olx)^-:—е—гл; = Нх) cth 0(х). в(х) = -~^~. B4)
Разностная схема B3) отличается от схемы с центральными разностя-
разностями A3) дополнительным слагаемым, пропорциональным R. Нетрудно
видеть из B4), что R -у 0 при h -> 0.
Экспоненциональная схема A4), B3), B4) является безусловно мо-
монотонной, имеет второй порядок аппроксимации. Ее недостаток обу-
обусловлен тем, что вычисление коэффициентов разностной схемы связано
с многократным вычислением экспонент. Поэтому естественным явля-
является желание упростить коэффициенты разностной схемы, сохранив при
этом ее качества.
Используя разложение при малых 0(х)
положим в B3)
Л=?!М, w.»(a». B5)
Нетрудно убедиться, что схема A4), B3), B5) является монотонной при
любых шагах сетки.
28*
420 Глава 9. Конвективный теплообмен
9.1.3. Принцип регуляризации для построения
монотонных разностных схем
Ранее принцип регуляризации как способ улучшения качества раз-
разностных схем обсуждался нами при построении итерационных мето-
методов (см. п. 4.7) для получения устойчивых разностных схем (см. п. 5.8).
Понятным является желание использовать принцип регуляризации для
построения монотонных разностных схем (как схем, для которых выпол-
выполнен принцип максимума).
Будем исходить из некоторой исходной разностной схемы, для кото-
которой безусловное выполнение принципа максимума не имеет места. При-
Применительно к рассматриваемой задаче (И), A2) в качестве таковой есте-
естественно взять разностную схему с центральными разностями A3), A4).
Она является условно монотонной (см. ограничения на шаг сетки A8)).
Построение монотонной схемы по схеме второго порядка аппрокси-
аппроксимации осуществляется на основе возмущения сеточных операторов так,
чтобы для возмущенной схемы достаточные условия выполнения прин-
принципа максимума A7) при записи схемы в каноническом виде A5) имели
место. В качестве регуляризованной для схемы с центральными разно-
разностями A3) возьмем схему B3), где R — регуляризирующий множитель.
Для сохранения второго порядка аппроксимации необходимо выбрать
R = O(h2).
Регуляризованная схема B3) записывается в каноническом виде A5)
при
F(x) = /(х), хеш.
Условия A7) будут выполнены при
1 + R + в(х) > 0,
b(x)h B6)
1+Д-0(*)>О, 0(x) = -LL.
Так как в(х) = O(h), то для выполнения B6) и сохранения второго
порядка достаточно положить
R = R(x) = aO2(xI a>^. B7)
Тем самым, регуляризованная схема A4), B3), B7) является безусловно
монотонной и имеет второй порядок аппроксимации. Конечно, вме-
вместо B7) можно использовать и более сложные регуляризаторы. Таким
примером служит экспоненциальная схема, когда выбор регуляризатора
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 421
осуществляется согласно B4). Полученная ранее схема A4), B3), B5)
принадлежит классу регуляризованных разностных схем A4), B3), B7).
Интересно отметить, что достаточные условия B6) монотонности
регуляризованной схемы A4), B3) можно удовлетворить за счет выбора
R = R(x) = а\0(х)\, а^1. B8)
Однако в этом случае нарушается порядок аппроксимации — регуля-
ризованная схема A4), B3), B8) имеет первый порядок аппроксимации.
В наиболее приемлемом случае регуляризации B8) при а = 1 мы имеем
обычную схему с направленными разностями A4), A9). Действительно,
прямые вычисления дают
= ь^У + *?>» ]b{fh УЧУ* = ъ+
При построении монотонных схем мы исходили из условно монотон-
монотонной схемы второго порядка. Регуляризация проводилась в направлении
сохранения этого порядка с улучшением свойств монотонности. Вто-
Вторая возможность связана с выбором в качестве первичной безусловно
монотонной схемы первого порядка аппроксимации, а регуляризацию
осуществить с целью повышения порядка аппроксимации. Приведем
пример такой регуляризованной схемы.
Будем исходить из безусловно монотонной схемы с направленными
разностями первого порядка аппроксимации A9). В качестве регуляри-
регуляризованной схемы возьмем
Ъ+(х)уг + b~(x)yx - (I + R)ysx = /(ж), хеш. B9)
Эту схему удобно записать в виде
Ь(х)у* - A + Д + \0(х)\)угХ = /(*), хеш. C0)
В C0) для получения схемы второго порядка можно положить
R = R(x) = -\0(х)\ + ав\х)) а > ~,
т.е. мы приходим к рассмотренной ранее схеме A4), B3), B7).
Можно предложить простые регуляризованные схемы A4), B9),
непосредственно не связанные со схемами, полученными на основе
регуляризованных схем с центральными разностями. Примером может
служить выбор
Схема A4), B9), C1) имеет второй порядок аппроксимации и является
безусловно монотонной.
Построение регуляризованных монотонных схем фактически прово-
проводилось на основе изменения коэффициента теплопроводности — вместо
422 Глава 9. Конвективный теплообмен
коэффициента, равного 1, использовался коэффициент, равный 1 + R.
Вторая фактически эквивалентная возможность связана с изменением
скорости. Вместо B3) будем теперь использовать регуляризованную схему
в виде
<32>
т. е. модуль скорости соответствующим образом уменьшается. Далее со-
совершенно аналогично регуляризованной схеме B3) показывается без-
безусловная монотонность схемы A4), C2) при выборе регуляризоторов
согласно формулам B7), B8).
Монотонизация разностных схем основана на том или ином пода-
подавлении конвективных слагаемых за счет изменения либо коэффициента
теплопроводности (регуляризованная схема B3)), либо за счет умень-
уменьшения самих конвективных слагаемых (регуляризованная схема C2)).
Такие процедуры оправданы только для задач, когда преобладание кон-
конвективных слагаемых имеет место только в небольшой части расчет-
расчетной области. Для того, чтобы сохранить качество решения (его мо-
монотонность) мы идем на потери в точности аппроксимации в этой
локальной области. И в этом смысле важна точность регуляризован-
регуляризованной схемы только вне этой области. Поэтому мы и говорим, что ре-
регуляризованная схема B3), B7) (либо схема B7), C2)) имеет второй
порядок аппроксимации. Это утверждение никак не относится к части
расчетной области, где монотонизация работает (в части области, где
9.1.4. Монотонные схемы для многомерных задач
После рассмотрения модельной одномерной задачи A1), A2) и об-
обсуждения различных подходов к построению монотонных схем можем
перейти к построению монотонных схем для двумерных задач теплопро-
теплопроводности с конвекцией.
Будем рассматривать модельную задачу для уравнения A) с гранич-
граничными условиями первого рода C) в прямоугольнике п. Монотонные
схемы будем строить на основе схемы с центральными разностями.
Во внутренних узлах равномерной прямоугольной сетки уравнению A)
поставим в соответствие разностное уравнение
а=\ а=1
где Ьа(х) соответствует аппроксимации va(x), a= 1,2. Граничные усло-
условия D) дают
у(х) = д(х)у х € &/. C4)
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 423
Разностная схема C3), C4) аппроксимирует уравнение A) с точно-
точностью O(h] + h]) и будет монотонной при выполнении условий
hak~l max \ba(x)\ < 2, «=1,2,
хеш
которые являются непосредственным обобщением условий A8).
Для построения монотонных разностных схем второго порядка ап-
аппроксимации применим принцип регуляризации. Регуляризованную схе-
схему запишем в виде (см. B3))
2 2
+ Rp)kV*№ = ?(*)« * € ш. C5)
В соответствии с B7) положим
R = R{+R2) Rp(x) = aOJi(x), /J=l,2, C6)
где
Как и в одномерном случае, регуляризованная разностная схема C4)~C6)
будет безусловно монотонной при а > 0,25.
Аналогом регуляризованной схемы A4), C2) для задачи C3), C4)
служит схема
Относительно монотонности регуляризованной схемы C4), C7) справед-
справедливы те же выводы, что и относительно регуляризованной схемы C4), C5).
Аналогично строятся многомерные аналоги и других приведенных
выше монотонных схем для одномерной модельной задачи A1), A2).
Это связано с тем, что, если для соответствующих одномерных сеточных
операторов достаточные условия выполнения принципа максимума спра-
справедливы, то они справедливы и для многомерного аддитивного сеточного
оператора.
9.1.5. Одномерная задача с дивергентным оператором
Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем примени-
применительно к уравнению теплопроводности с конвекцией, которое записано
в недивергентном виде A). Большое значение придается уравнению те-
теплопроводности в дивергентной форме C). Использование дивергентной
записи позволяет, в частности, получить консервативные разностные
схемы.
424 Глава 9. Конвективный теплообмен
Для обсуждения вопросов построения монотонных разностных схем
для дивергентных уравнений рассмотрим модельную одномерную задачу,
аналогичную задаче A1), A2). Пусть ищется решение уравнения
±(b(x)u)-^ = f(x), 0<х<1, C8)
удовлетворяющее краевым условиям A2).
Поставим в соответствие C8) разностное уравнение с аппроксима-
аппроксимацией конвективного слагаемого центральными разностями:
(Ъ(х)уI~Ухх = Ях), хеш. C9)
Запишем C9) в каноническом виде A5) с
4
F(x) = /(ж), хеш.
Проверим выполнимость достаточных условий монотонности A7) для
схемы A5), D0). Имеем
и поэтому помимо выполнения условий A8) (положительность В±(х))
необходимо, чтобы (условие D(x) ^ 0)
Ъ(х + ft) ^ Ь(х - ft). D1)
На первый взгляд, условие D1) естественно. В самом деле, уравне-
уравнение C8) можно записать в виде
Поэтому условие D1) соответствует требованию положительности коэф-
коэффициента при и(х) в уравнении D2) для выполнения принципа максиму-
максимума. Но для дивергентных уравнений принцип максимума выполнен и без
таких ограничений на коэффициент Ь(х).
Для того, чтобы снять ограничение D1), сформулируем новые до-
достаточные условия выполнения принципа максимума для A5), отличные
от A7). Для системы уравнений A5) условия A7) есть условия монотон-
монотонности соответствующей трехдиагональной матрицы. Условие D(x) ^ 0
соответствует диагональному преобладанию по строкам. Но можно вме-
вместо этого использовать условие диагонального преобладания по столбцам,
когда D(x) определяется следующим образом:
D(x) = А(х) - Б+(ж - ft) - В~(х + ft). D3)
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 425
Покажем выполнение принципа максимума для задачи A4), A5) при
выполнении условия A8), где теперь D{x) определяется согласно D3).
Теорема 1. Пусть в A4), A5) F(x) ^ 0, (F(x) ^ 0) и ga ^ 0
{9а ^ 0), а = 1, 2. Тогда при выполнении условий A7), D3) у(х) ^ 0,
хеш (у(х) ^ 0).
Доказательство проводится от противного. Предположим, что суще-
существует подмножество узлов
ш* = {х | х е шу х ^ х ^ х"}
сетки ш такое, что у(х) < 0, х е ш*, причем з/(ж' - Л) ^ 0 и г/(ж" -f Л) ^ 0.
Пусть
Ау{х) = А(х)у{х) - В+(х)у(х + Л) - В-(х)у(х - ft)
и с учетом D3) рассмотрим выражение
А» = ?U(*)y(*) - B+(x)j/(x + ft) - В»2,(х - ft)) =
(*) + В+(х -h) + B~(x + h))y(x) -
- В+(х)у(х + ft) - В-(х)у(х - ft)).
Имеем в наших предположениях
X) (B+(x-h)y(x) - В+(х)у(х + Л)) =
хеш*
= В+(х' - %(«') - Б+(х")г/(х" + ft) < 0,
X (B-(x+h)y(x) - В-(х)у(х - ft)) =
хеш*
= В-(х" + h)y(x") - В-(х')у(х' - ft) < 0,
и поэтому
X А» < X) ?(*)»(*) < 0.
А это противоречит условию F(x) ^ 0. Случай у(х) ^ 0 рассматривается
аналогично. Тем самым теорема доказана.
Для схемы C9) условия A7), D3) выполнены при условии A8).
Тем самым показано, что нет необходимости требовать выполнения
дополнительного условия D1).
9.1.6. Безусловно монотонные схемы
Приведем вначале монотонную разностную схему с направленными
разностями для одномерной задачи A2), C8). Используя ранее введенные
обозначения, разностную схему возьмем, например, в виде
(Ъ+у)х + (Ь~у)х ~Ухх = /(«), хеш. D4)
27 Зак 168
426 Глава 9. Конвективный теплообмен
которая аппроксимирует уравнение C8) с первым порядком. Для иссле-
исследования свойств монотонности запишем ее в каноническом форме A5) с
b+(x-h)
F(x) = f(x), хеш.
При таких коэффициентах достаточные условия монотонности A7), D3)
выполнены при любых шагах сетки.
Построим теперь экспоненциальную схему для задачи A2), C8). Для
перехода к самосопряженному уравнению снова введем функцию
= exp <{ -
о
Тогда уравнение C8) принимает вид
О < х < I.
Далее для этого уравнения строятся обычные разностные схемы на трех-
трехточечном шаблоне. Простейшая из них имеет вид
Схема D5) имеет канонический вид A5) с
А(х) = В+(х -h) + В~(х + Л),
v ; k(x-h/2)'
Условия монотонности A7), D3) с очевидностью выполняются.
Более простые безусловно монотонные разностные схемы для за-
задачи A2), C8) построим на основе принципа регуляризации. Будем
в качестве исходной брать условно монотонную разностную схему с цен-
центральными разностями A4), C9). Запишем вместо C9) возмущенное
разностное уравнение типа C2):
Эта разностная схема сохраняет консервативный вид и, как нетрудно
убедиться, всегда монотонна при выборе регуляризатора согласно B7)
или B8). Схема A4), B7), D6) имеет второй порядок аппроксимации,
а A4), B8), D6) - первый.
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 427
Просто строится и аналог регуляризованной схемы A4), B3). Для
этого вместо C9) рассматривается разностное уравнение
(Ъ(х)у)> - (A + R)y).x = f(x), xeu. D7)
Выполнение условий монотонности A7), D3) для схемы D7) легко прове-
проверяется. Регуляризованная схема D7) явно не интерпретируется как схема
с возмущенной скоростью или коэффициентом теплопроводности.
Естественно, существуют возможности получения регуляризованных
монотонных разностных схем второго порядка аппроксимации на основе
схемы с направленными разностями. Не останавливаясь на этом по-
подробнее, отметим только, что схема с направленными разностями D4)
записывается (задача 2) в виде регуляризованной схемы D7) с про-
простейшим регуляризатором R = \0(х)\, т.е. она принадлежит к классу
регуляризованных разностных схем A4), B8), D7).
9.1.7. Многомерное дивергентное уравнение
Теперь мы имеем возможность рассмотреть вопросы построения
монотонных разностных схем для уравнения теплопроводности с кон-
конвекцией, когда оно записано в виде C). В качестве базовой выберем
разностную схему с центральными производными
2 2
13 Ых)у) *. - 2 *».*. = *>(*)• хеш> D8)
<х=\ а=1
дополненную граничными условиями C4).
Пятиточечное разностное уравнение во внутренних узлах сетки будем
записывать в следующей форме
А(х)у(х) = Bt(x)y(x{ + hux2) + Bi(x)y(xx - hhx2) +
+ В}(х)у(хих2 + h2) + B2{x)y{xux2 - h2) + F(x), хеш. D9)
Обычные достаточные условия выполнения принципа максимума
(см. п. 4.3) для разностной схемы C4), D9) имеют вид
А(х)>0, Я±(я)>0, a =1,2,
D(x) ^ 0, х е а/,
где
2 2
D(x) = A(x)-Y^B+(x)-^2B-(x). E1)
а=1 а=1
Для разностных схем с дивергентным конвективным слагаемым условие
диагонального преобладания D(x) ^ 0 не выполнено. Как и в одномер-
одномерном случае необходимо заменить E1), положив
D(x) = А(х) - В+{хх - ft,, х2) - БГ(*1 + Ai, *2> ~
- В}(хих2 - А2) ~ В2(хих2 + h2). E2)
27*
428 Глава 9. Конвективный теплообмен
При условиях E0), E2) для разностной схемы C4), D9) выполнен
принцип максимума, а именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть в C4), D9) F(x) ^ 0(F(x) ^ 0) и д(х) ^ 0
(д(х) < 0), х G дш. Тогда при выполнении условий E0), E2) у(х) ^ 0,
хеш (у(х) ^ 0).
Доказательство проводится полностью аналогично приведенному вы-
выше доказательству теоремы 1.
В силу этого разностная схема C4), D8) будет монотонной при тех же
условиях, что и ранее рассмотренная разностная схема C3), C4), т. е. при
условиях
hak"x max \ba(x)\ < 2, а = 1,2.
Безусловно монотонные разностные схемы строятся на основе при-
приведенных выше регуляризованных разностных схем для одномерной за-
задачи A2), C8) и проверке принципа максимума в форме условий E0),
E2). Поэтому мы ограничимся лишь небольшой сводкой результатов.
Определим регуляризирующие множители Rp(x)) /3 = 1,2 соглас-
согласно C6). Разностной схеме D7) будет соответствовать регуляризованная
разностная схема
2 2
Аналогом схемы A4), D6) является регуляризованная схема
Эти регуляризованные схемы с выбором регуляризоторов согласно C6)
имеют второй порядок аппроксимации и монотонны при всех а > 0,25.
9.1.8. Задачи
Задача 1. Постройте безусловно монотонную регуляризованную схему
типа A4), B3) для уравнения с переменным коэффициентом теплопро-
теплопроводности:
А*. А / А». \
= /(ж), 0 < х < I. E3)
Решение. Для задачи A2), E3) в качестве исходной возьмем схему
с центральными разностями
Ъ(х)у* - (к(х - Н/2)уг)х = /(х), хеш,
которая является условно монотонной. Регуляризация по типу B3) при-
приводит нас к схеме
Ь(х)у* - A + R)(k(x - h/2)yj)x = f(x), хеш. E4)
9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвекцией 429
Выберем теперь R так, чтобы сохранить второй порядок аппроксимации
и получить безусловно монотонную схему. Схема A4), E4) записывается
в каноническом виде A5) с
F(x) = f(x), х€о>.
Для выполнения условий монотонности A7) достаточно положить
R = а*(х), 0(х) = Щ± тах{* (х + |), * (х - |) }
и выбрать а > 0,25. >
Задача 2. Запишите разностную схему с направленными разностя-
разностями D4) в виде
= /(*), xew, E5)
Решение. Для того, чтобы D4) была эквивалентна регуляризован-
ной схеме с центральными разностями E5), необходимо выполнение
равенства
(Ъ+(х - h)y(x - ft) + b~y)x = {Ь(х)у). - (Щх)\у).х. E6)
Для правой части E6), домноженной на 2Л, имеем
M(b(x)yh - (|0(х%)г*) = Ь(х + h)y(x + h)-
- b(x - h)y(x -h)- \b(x + h)\y(x + h)+
+ 2\b(x)\y(x) - \b(x - h)\y{x -h) =
= 26"(x + h)y(x + ft) - 2b+(x - h)y(x - h)+
= 2F"(x + h)y(x + ft) - b-(x)y(x))+
+ 2(b+(x)y(x) - b+(x - h)y(x - ft)) =
= 2ftF+(x - h)y(x -h) + b~y)x.
Тем самым, искомое равенство E6) доказано, и в силу этого разностная
схема с направленными разностями D4) представляется в виде E5). >
430 Глава 9. Конвективный теплообмен
9.2. Итерационные методы решения задач
теплопроводности с конвекцией
9.2.1. Основные свойства разностных операторов
конвективного переноса
Ранее мы рассмотрели свойства монотонности разностных схем для
уравнения теплопроводности с конвекцией в двух важнейших случаях:
когда используются аппроксимации конвективных слагаемых в неди-
недивергентной и дивергентной формах. Итерационные методы решения
соответствующих разностных задач могут строиться на основе свойств
монотонности сеточного эллиптического оператора. Однако значитель-
значительно большие возможности мы имеем при рассмотрении итерационных
методов в гильбертовых пространствах. Этот математический аппарат
использовался нами при подробном рассмотрении итерационных ме-
методов решения сеточных задач с самосопряженными положительными
операторами (см. п. 4.6, 4.7). Здесь мы коснемся особенностей решения
задач с несамосопряженными сеточными операторами. Поэтому начнем
со свойств сеточных операторов конвективного переноса.
Рассмотрим уравнение теплопроводности с конвекцией в форме
(см. п. 9.1)
2 ,2
cV(y)i« - ?>^ = /(*), хбП, A)
а=1
где V(v) — оператор конвективного переноса. Уравнение A) дополним
простейшим краевым условием
и(х)=д(х), хедп. B)
Среди важнейших свойств оператора V(v) отметим его кососимме-
кососимметричность: V(v) = -V» в П = L2(Ct).
Коэффициенты теплоемкости с и теплопроводности к в уравне-
уравнении A) постоянны, и поэтому их влияние в дальнейших построениях
несущественно. Будем рассматривать задачу A), B) при с = 1, к = 1,
к которой мы придем при соответствующем обезразмеривании уравне-
уравнения A) (более подробно см. п. 3.1).
Поставим обычным образом в соответствие дифференциальной за-
задаче A), B) (с = 1, к = 1) разностную задачу на прямоугольной сетке:
У(Ъ)у + Ау = ф), хеш, C)
у(х)=д(х), хедш, D)
где V(h) — сеточный оператор, соответствующий конвективному пере-
переносу (вектор b имеет компоненты Ьа(х), а = 1, 2), а Л — сеточный
оператор Лапласа:
2
АУ = ]С АаУ> АаУ = ~у*«х«' ^
9.2. Итерационные методы решения задан теплопроводности 431
Определим через Я пространство сеточных функций, заданных на ш
и равных нулю на дш. Для этого неоднородные граничные условия D)
включаются (см. п. 4.1) в правую часть уравнения C). Поэтому будем
рассматривать разностную задачу
v(b)» +л» = /(*), хеш F)
для у е Я.
Рассмотрим теперь свойства разностного оператора F(b) в Я. Пусть
V(h) соответствует аппроксимации конвективных слагаемых уравне-
уравнения A), записанных в недивергентной форме (оператор V(v) опреде-
определен согласно G) в п. 9.1). При использовании центральных разностных
производных имеем
2
Г(Ь)» = ?>«(*)»*.. G)
а=1
Найдем сопряженный к V(h) оператор.
Скалярное произведение в Я определяется выражением
B/> v) = X) У(ХМФ> h =
хеш
и поэтому
а=1 ac€w
На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш,
имеем
В силу этого
2
Е(М*)»)*.- (8)
а=1
Тем самым, оператор, сопряженный к оператору конвективного пере-
переноса в недивергентном виде G), равен с обратным знаком оператору
конвективного переноса в дивергентном виде:
{Ьа(х)у)ёа. (9)
432 Глава 9. Конвективный теплообмен
На основании G)-(8) можно предложить следующий выбор опера-
оператора конвективного переноса
1 2
а=1
т. е. в виде полусуммы оператора конвективного переноса в дивергентной
и недивергентной форме. На основании (8) имеем
V(b) = -V*(b), A1)
т. е. разностный оператор конвективного переноса в форме A0) является
кососимметричным. Заметим, что это свойство имеет место при любых
скоростях Ь(х).
Для дифференциальной задачи отмечался еще один выбор конвек-
конвективного слагаемого, для которого условие кососимметричности справед-
справедливо при любых скоростях (см. (9) в п. 9.1). Однако построение разност-
разностного аналога, для которого имело бы место свойство A1) представляется
более затруднительным или приводит к аппроксимациям типа A0).
Рассмотрим теперь свойства операторов при аппроксимации конвек-
конвективных слагаемых направленными разностями. Пусть теперь (см. п. 9.1)
Определим оператор конвективного недивергентного переноса в виде
2
У(Ь)У = ^2(Ьа(х)Уха + Ъ+(х)уга). A2)
а=\
Принимая во внимание, что
~(x)yX]v(x)h = 53 Мж)(у(х* + Л1»Ж2) - y(x))v(x)h2 =
iFj (a?i — /ij,X2)v(xj — /ij,x2) — b\ (x)v(x)jh2 =
получим
a=l
9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 433
И в случае аппроксимации направленными разностями A2) сопряжен-
сопряженный оператор, определяемый A3), равен с обратным знаком оператору
конвективного дивергентного переноса. Поэтому при аппроксимации
конвективного оператора в виде
Е(ь() Ь(Ь (ьШ №))) О4)
5
будет выполнено условие кососимметричности A1).
Нами выделены две аппроксимации конвективных слагаемых в
виде A0) и A4), при которых условие A1) выполнено без каких-ли-
каких-либо дополнительных ограничений на компоненты скорости. Причем вы-
выбор A0) соответствует использованию схем с центральными разностными
производными (второй порядок аппроксимации), выбор A4) соответ-
соответствует схемам с направленными разностями (первый порядок аппрок-
аппроксимации). При построении разностных схем для уравнения теплопро-
теплопроводности с конвекцией и при их исследовании мы будем ориентиро-
ориентироваться именно на такой выбор разностного оператора конвективного
переноса.
9.2.2. Итерационные методы решения сеточной задачи
Запишем разностную задачу F) в виде операторного уравнения
первого рода
Ау = /, A5)
где оператор А несамосопряжен. Для него выделим симметричную Ао
и кососимметричную А\ части:
А = А0 + Аи A6)
где
Ао = \(А + А% АХ = ±(А-А').
Для задачи F) с выбором аппроксимаций конвективных слагаемых,
удовлетворяющих условиям A1), имеем
Ао = Л, A7)
Ах = V(b). A8)
Таким образом, в задаче теплопроводности с конвекцией симметрич-
симметричная часть сеточного оператора соответствует обычной теплопроводности,
а кососимметричная — конвективному переносу тепла.
Для оператора Ао имеет место обычная (см., например, п. 4.7)
двухсторонняя оценка
A9)
434 Глава 9. Конвективный теплообмен
где б и Д — минимальное и максимальное собственные значения раз-
разностного оператора Лапласа:
2 4 А 2 •
а=\ а
_ ^ 4 27гЛа
а=\ а=\ а а а=1 "и
Для приближенного решения задачи A5)—A8) будем использовать
двухслойные или трехслойные итерационные методы. Специфика рассма-
рассматриваемой задачи A5) заключается в несамосопряженности оператора А.
В главе 4 построены различные итерационные методы для задач с са-
самосопряженным оператором. Для того, чтобы воспользоваться такими
методами можно провести симметризацию исходного уравнения A).
В методе симметризации вместо исходного уравнения A5) рассма-
рассматривается уравнение _
Ау = /, B0)
где _
А = A* A, f = A*f.
В уравнении B0) оператор А уже самосопряжен, и поэтому для его
приближенного решения можем использовать рассмотренные ранее ите-
итерационные методы. Применим, например, двухслойный итерационный
процесс
Б**~ *fW"bl У™ Т" "^ 1 е\ л /<¦> 1 \
с самосопряженным положительно определенным оператором В. Ско-
Скорость сходимости итерационного метода B1) определяется постоянными
энергетической эквивалентности операторов А и В:
Трудности использования итерационных методов B0), B1) для за-
задачи A5)—A8) связаны с тем, что число обусловленности (отношение
максимального собственного значения к минимальному) для матрицы
А = А*А значительно выше, чем число обусловленности исходной ма-
матрицы (вместо O(\h\~2), где \h\2 — /iJ + Z^), имеем O(\h\~4). Поэтому
итерационные методы с чебышевским набором итерационных параме-
параметров, методы сопряженных градиентов, примененные в симметричной
задаче B0), могут значительно уступать простейшим итерационным мето-
методам решения исходной задачи A5) с несамосопряженным оператором А.
Кроме того, возрастают вычислительные затраты на реализацию одной
итерации. В силу отмеченных обстоятельств метод симметризации редко
используется при приближенном решении задач типа A5)-A8).
9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 435
Для приближенного решения задачи A5) будем использовать двух-
двухслойный итерационный метод
BVk+\-Vk +Ayk = fi fc = o,l,... . B2)
Далее мы рассмотрим различные варианты выбора оператора В и итера-
итерационных параметров
9.2.3. Метод простой итерации
В качестве простейшего варианта итерационного процесса B2) рас-
рассмотрим случай постоянных итерационных параметров, т. е.
B*»Z»+A9k = ft * = 0,l,... B3)
Исследование скорости сходимости итерационного метода B3) про-
проводиться по обычной (см. п. 4.6) схеме.
Изменение нормы погрешности zk = Ук~у исследуется в простран-
пространстве Я#, где D = D* > 0. Положим zk = D~l^2Vk и получим из B3)
следующее уравнение для vk:
vk+{=Svk, S = E-rCy * = 0,l,..., B4)
где, напомним, С = D^2B~]AD"^2, a 5 — оператор перехода от одной
итерации к другой.
Рассмотрим сходимость итерационного процесса B3) в случае, когда
оператор В самосопряжен и положительно определен:
В = В* > 0. B5)
Тогда в качестве D можно взять оператор Бив этом случае
С = Б/2АБ/2. B6)
Будем считать, что априорная информация для несамосопряженного
оператора
С = Со + Си Со = \{С + С*), С, = 1(С - С*)
задана в виде
7i# < С ^72#, ЦС1К73, 7i >0. B7)
Ранее рассмотренный (см. п. 4.6) случай самосопряженного оператора С
соответствует 7з = 0 в B7).
Представим оператор перехода S явной схемы B4) в виде
S = 9Е - tCq + A - в)Е - тС{.
Неравенство треугольника дает при 0 < в < 1 для нормы оператора 5
оценку
в \\Е - ~Со|| + ||A - 0)Е - тСМ B8)
436 Глава 9. Конвективный теплообмен
Необходимо указать значения параметров в и г, при которых эта норма
минимальна.
Первое слагаемое в правой части B8) представляет собой оператор
перехода для явной схемы с самосопряженным оператором Со, когда
в качестве итерационного параметра выступает т/в. В силу теоремы 1
из п. 4.6 при выполнении первого операторного неравенства B7) опти-
оптимальным является
?¦*¦ т°=;гЬ B9)
и в этом случае
Iя-И-*-?!• <-?• <зо)
Для второго слагаемого в B8) с учетом (c\vy v) = О, B9) и оценки B7)
имеем
||(A _ в)Е - тС,Н|2 = A - 0J|И2 - 2тA - 0)(C,t>, v) +
+г2 над2 ^ (A - вJ+rfaio2) Hi2.
Подстановка в B8) с учетом оценки C0) дает
||5|| ^ V(B), <р{0) = Лв + (A - вJ + T0273VI/2.
Функция у?(^) достигает минимума (задача 1) при
и в этом случае
Тем самым, влияние несамосопряженной части оператора С оценивается
отношением (I - я)/A + к).
Возвращаясь от B4) к исходной задаче B3), B5), получим оценку
погрешности
IMb^pSINIb. (зз)
Переформулируем оценки B7) в виде операторных неравенств для итера-
итерационного процесса B3), B5). Подставляя B6) в первое неравенство B7)
и учитывая B5), придем к двухстороннему неравенству
ЪВ^А^ l2B, 7i > 0. C4)
Второе неравенство B7) эквивалентно
Принимая во внимание B6) и полагая B~]^2v = у, получим
(В-]А1У,А1У)^71(Ву,у). C5)
Тем самым, можно сформулировать следующее утверждение.
9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 437
Теорема 1. Для метода простой итерации B3), B5) при оптимальном
значении итерационного параметра B9), C1) справедлива оценка C2),
C3), где 7а, а = 1, 2, 3 — постоянные в неравенствах C4), C5).
Этот результат можно рассматривать как непосредственное обобще-
обобщение теоремы о скорости сходимости метода простой итерации в самосо-
самосопряженном случае (см. п. 4.6).
9.2.4. Метод минимальных поправок
Среди двухслойных итерационных методов вариационного типа
(см. п. 4.6) можно выделить метод минимальных поправок, который
минимизирует норму погрешности в Яр, D = А*В~]А при В = В* > О,
причем (и это для нас наиболее важно) от оператора А требуется только
положительная определенность, т. е. оператор А может быть несамосо-
несамосопряжен.
Обозначим невязку rk = Аук - / и поправку wk = B~lrk. Для
поправки из B2) нетрудно при выполнении B5) получить уравнение
0, fc = 0,l.... C6)
В методе минимальных поправок минимизируется норма поправки wk+\
в Нв. Из C6) имеем
• \\wk+\\\2B = (В(Е - Tk+lB~lA)wky (E - rk+{B-]A)wk) =
= \\*>к\\в - 2rk+](Awk, wk) + Tb+x(B~lAwk, Awk).
Отсюда и следует, что при А > 0 норма на новой итерации будет
минимальной при выборе
(Awkwk)
C7)
Для скорости сходимости метода минимальных поправок B2), C7)
справедлива оценка C3) при выполнении неравенств C4), C5). При
вычислении итерационных параметров по формуле C7) априорная ин-
информация об операторах в виде неравенств C4), C5) не используется.
Необходимо заметить, что реализация метода минимальных попра-
поправок B2), C7) связана с двукратным обращением оператора В (для на-
нахождения поправки wk и для определения сеточной функции B~lAwk,
которая необходима для определения итерационного параметра по фор-
формуле C7)).
В настоящее время большое внимание уделяется различным обоб-
обобщениям трехслойных вариационных итерационных методов для решения
задач с несамосопряженными операторами. В своем изложении мы ориен-
ориентируемся на построение простейших итерационных методов для решения
несамосопряженных сеточных эллиптических задач. Поэтому мы ограни-
ограничимся методом простой итерации и методом минимальных поправок.
438 Глава 9. Конвективный теплообмен
9.2.5. Выбор оператора В
Рассмотрим сеточную задачу F), которая возникает при аппрокси-
аппроксимации первой краевой задачи для уравнения теплопроводности с кон-
конвекцией. Запишем ее в виде A5), A6), причем при использовании ап-
аппроксимаций конвективного переноса, удовлетворяющего условию A1),
получим представление A7), A8).
При итерационном решении задачи A5), A6) методом простой ите-
итерации B3), B5) скорость сходимости определяется параметрами 7а >
а = 1, 2,3 в неравенствах (см. C4), C5)):
7i > 0, C8)
(В У(Ь)у, V(b)y) ^ 7з(В», У). C9)
Отметим некоторые возможности по выбору оператора В.
В простейшем случае явного итерационного метода (В = Е) для
постоянных 7а, а = 1, 2, 3 в неравенстве C9) из A9) имеем
7i = 6} 72 = А. D0)
Получим теперь оценку сверху для нормы оператора конвективного пе-
переноса. Для конкретизации результатов рассмотрим его в виде A0),
который соответствует использованию центральных разностных произ-
производных. Аналогично рассматривается и случай аппроксимаций напра-
направленными разностями, когда V(b) определяется согласно A2). Запишем
одномерный аналог оператора конвективного переноса A0) в виде
= ^ ((Ь(х + Л) + Ь(х))у{х + Л) - (Ь(х -h) + Ь(х))у(х - Л)).
Непосредственные выкладки дают
- (b(x - ft) + Ь(х))у(х - ft)J < ^ max Ь2(х)(у, у).
В силу этого неравенство C9) при В = Е будет иметь место с
D1)
Подстановка D0), D1) в C1), C2) дает к = 0A), и, тем самым, зависи-
зависимость скорости сходимости от шагов сетки явного итерационного метода
простой итерации остается такой же, как и в самосопряженном случае.
9.2. Итерационные методы решения задан теплопроводности 439
Как и следовало ожидать, она замедляется при возрастании скорости
движения среды.
Естественным является использование итерационного метода про-
простой итерации B3), B5) при В = Л, т.е. на верхний итерационный
слой выносится оператор теплопроводности, а конвективные слагаемые
берутся с предыдущей итерации. При таком выборе в операторном нера-
неравенстве C4) имеем
7i = 1, 72 = 1. D2)
Для получения оценки C9) при В = Л воспользуемся неравенством
(Л V(b)y, V(b)y) ^ б~1 (V(b)y, V(b)y), D3)
которое следует из A9). Для оценки нормы оператора снова рассмотрим
одномерный пример. Имеем
-(b(x-Q
+ (b(x - ft) + Ь(х)) (у(х) - y(x - ft)) + (b(x + ft) - b(x - ft)) y(a
Принимая во внимание неравенство
при m = 3, приходим к оценке
2 3 2 3 2
||*о(&J/|| ^ 7 maxb (х)((уХ1 ух) + (Ух, Ух)) -f т тахЬ^ж)^, у). D4)
С учетом неравенства
{Ух, Ух) + Ы Ух) ^ ~2(^ж, у)
и сеточного аналога неравенства Фридрихса (см. п. 4.6)
(у, у) ^ -М(ухХ,у)
из D4) получим
2 3 / 2\
||Vb(fr)sr|| < -Bmax62(x)-f Mmax(b°(x)) )(-УхХ,у),
4 \ ж^о; хеш '
где постоянная М зависит только от размера области.
На основании полученной оценки для исходного оператора конвек-
конвективного переноса A0) получим искомую оценку
2
хеш
J )(Ау,у).
/
440 Глава 9. Конвективный теплообмен
С учетом D3) полученное неравенство дает
(Ы) J) D5)
хеш ^
На основании D2), D3) можно сделать заключения о скорости сходимости
метода простой итерации B3) при выборе В = Л для приближенного
решения задачи A5)—A8).
Прежде всего, скорость сходимости не зависит от параметров расчет-
расчетной сетки. Естественно, что в таких задачах скорость сходимости зависит
от величины конвективных слагаемых. Однако в рассматриваемом случае,
вообще говоря, есть зависимость и от градиента конвективных слагаемых
(см. D5)).
Реализация метода простой итерации с В = Л может быть основана
на использовании прямых методов (см. п. 4.5), или итерационных методов
решения самосопряженных эллиптических задач (см. п. 4.7). В последнем
случае речь идет о применении двухступенчатых итерационных методов.
9.2.6. Метод переменных направлений
В качестве еще одного (помимо рассмотренного выше явного ме-
метода) примера построения итерационного метода к несамосопряженной
сеточной задаче рассмотрим метод переменных направлений. Метод пе-
переменных направлений в самосопряженном случае рассматривался ранее
в п. 4.6.
Будем рассматривать уравнение A5), когда оператор А представим
в виде суммы двух операторов, каждый из которых теперь несамосопря-
несамосопряжен:
А = А1+А2. D6)
Для задачи E), F), A0) разложению D6) соответствует выбор
Aa = Va(bQ) + Aa, a =1,2, D7)
где
D8)
o=i
Va(ba)y=l-{(ba(x)y)ia+ba(z)yiJ.
Будем рассматривать метод переменных направлений для прибли-
приближенного решения задачи A5), D6) с постоянным итерационным параме-
параметром о;, когда (см. п.4.6)
Ук+\/2~Ук , А , Л ,
'- + jtijfc+i/2 + А2ук = /,
UJ
D9)
. At
+ jIi jfo+i/2 + A2yk+\ = /.
9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 441
Оценку скорости сходимости итерационного метода D9) при неса-
несамосопряженных операторах Аа, а = 1,2 проведем в условиях, когда
априорная информация задана в следующем виде:
Аа>6аЕ, 6а>0,
\\Аау\\2^Аа(АаУ,у), а =1,2.
Как и в самосопряженном случае (см. п. 4.6) обозначим через Zk
погрешность и пусть v* = (Е + u)A2)zk. Тогда имеет место равенство
vw=Svk, S = SiS2. E1)
где
S, = (Е + шАх)~\Е - шА\), S2 = (E + шА2)~х{Е - и>А2).
Из E1) получим оценку
При выполнении условий E0) норма оператора Sa оценивается
(задача 2) величиной
и достигает минимума при ш = ша = FаАа) . При таком значении
итерационного параметра
min ||SJ2 = —$~i, & = 7Г' а = 1? 2*
w 1 + ^а Аа
В наиболее благоприятном случае #i = б2 = 6, А\ = А2 = Д имеем
1 -1 "л
Сравнение с методом переменных направлений в самосопряженном слу-
случае (п. 4.6) показывает, что скорость сходимости для несамосопряженных
задач в два раза ниже.
Для анализа скорости сходимости метода переменных направлений
в задаче теплопроводности с конвекцией (в задаче A5), D6)-D8)) необхо-
необходимо получить оценки для постоянных 6а, Д«, ос = 1, 2 в E0). Нетрудно
убедиться, что в разложении D8) каждый отдельный оператор является
кососимметричным, т. е.
Ш) = -Ш, а =1,2. E2)
В силу этого для 6а, а= 1,2 имеем
Осталось получить постоянные Дв, а = 1, 2 в E0).
442 Глава 9. Конвективный теплообмен
На основании D7) имеем
(Аау, Аау) ^ 2(Лау, Аау) + 2(Va(ba)y, Va(ba)y) ^
где
а=1 '""
Для 7а по аналогии с D5) имеем
7а = Т
J), а =1,2.
В силу этого получим, что в E0) Да = O(/i«2), а = 1,2, и зависит
от самой скорости конвективного переноса и ее изменения. Асимптоти-
Асимптотическая зависимость от шагов сетки числа итераций метода переменных
направлений остается такой же как и в самосопряженном случае.
9.2.7. Задачи
Задача 1. Пусть
72-71 2 /с„ч
Ро = , то = . E4)
72+7i 72+Ti
При каких в G @,1) функция
достигает минимума и нему он равен.
Решение. Удобно ввести новую переменную
1-7/
~ 1 + а2'
Имеем
Для определения точки минимума вычислим производную
Пр0
Необходимое условие минимума дает
2 + a2y/2 = V(l+a2f2. E6)
9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 443
В случае E5) г\ Е (-а2,1) и, допуская любые а ^ О, выберем положи-
положительный корень уравнения E6):
Принимая во внимание условие ро < 1, получим щ ? @,1). В силу
в этой точке достигается минимум, равный
Ро 1 + а'
Принимая во внимание E4), получим
1 - Ро = to27i72,
Щ = (l-pl + тМУ* = Кр0> E8)
0 _ 1-/С2 3
'°-1 + К/,„' К-G172+7|)'/2-
При таких оптимальных параметрах минимум функции (р(в) равен
Эти соотношения получаются подстановкой E8) в E7).
Задача 2.
при
и и = щ =
Покажите, что для
S(u>) = (E +
А^бЕ, б>0,
(tfA) справедлива
2 1-
Щ 1 +
нормы оператора
шА)~1(Е-соА)
\\Ау\\2^А(Ау,у)
оценка 2
л\ /2 с
? А 0
^•/2' ^ Д"
E9)
F0)
F1)
Решение. Положим
(Е + шА)у = v,
тогда в силу E9) имеем
Sv = (Е - шА)у.
444 Глава 9. Конвективный теплообмен
Принимая во внимание
\\(В ± шА)у\\2 = \\y\\2 ± 2ш(Ау, у) + ш2\\Ау\\2, F2)
получим тождество
\\(Е + шА)у\\2 - \\{Е - шА)у\\2 = 4w(Ay, у). F3)
На основе F2) и априорной информации F0) приходим к оценке
F4)
шА)у\\2,
Учитывая
\\(Е-
где
\\(Е + шА)у\\2<
F3) и F4), имеем
шА)у\\2 \\(Е + и>А)у\
F ] + 2ш + Дог
|2 4и>(Ау, у) ^
2ш6
)(Ау,у).
1 -/си/
к —
Таким образом, установлено неравенство
т.е.
1-
Минимум правой части достигается при максимуме к, т. е. при о; = о;0 =
1 и в этом случае имеет место оценка F1). >
9.3. Нестационарные задачи
конвективного переноса тепла
9.3.1. Нестационарные задачи теплопроводности с конвекцией
При описании динамических процессов теплопередачи будем учи-
учитывать как теплопроводность, так и движение среды. Уравнение тепло-
теплопроводности в однородной среде будет иметь вид
E*|^ = /(*•«). *ея, 0<*<т, A)
где слагаемое V(\)u определяет перенос тепла за счет движения среды
со скоростью v = \(ху t).
Среда предполагается несжимаемой, и поэтому для V(v) исполь-
используются различные представления. В недивергентной форме (см. п. 9.1)
имеем
JO(x,t)p^, B)
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 445
при использовании дивергентной записи:
&.. C)
0Х
а=\ 0Ха
Эти формы эквивалентны при выполнении условия несжимаемости
В п. 9.2 в качестве основной формы записи конвективного слагаемого
выступает
т. е. берется полусумма конвективных слагаемых в дивергентной и неди-
недивергентной формах.
Уравнение A) дополняется соответствующими граничными и на-
начальными условиями. Для определенности, положим
u{x,t)=g{x,tI хедП, 0<*<Т, E)
и(х, 0) = щ(х), хеП. F)
Для нестационарного уравнения теплопроводности A), B) выполня-
выполняется классический принцип максимума. Монотонность решения задачи
теплопроводности с конвективным слагаемым в виде C), D) при про-
произвольных у(х) (не удовлетворяющих условию несжимаемости) требует
отдельного рассмотрения.
При условиях, что нормальная компонента скорости обращается
в нуль на границе области (см. п. 9.1), оператор конвективного перено-
переноса V(v) кососимметричен в % = Ьг(п), т.е. V(v) = -V*(v). На основании
этого можно получить простейшую оценку устойчивости решения зада-
задачи A), F) при однородных граничных условиях E). Домножая уравне-
уравнение A) скалярно на и(х, t), получим
a=1 п п
Из этого равенства непосредственно следует следующая оценка устойчи-
устойчивости по правой части и по начальным данным:
t
IK*, ОН ^ |К(*)|| + -с J ||/(х, т)\\ dr. G)
о
Можно получить и несколько более общие, чем G) оценки. Существенно
то, что в таких оценках влияние конвективного переноса не проявляется.
446 Глава 9. Конвективный теплообмен
0.3.2. Дифференциально-разностная задача
В дальнейшем будем считать, что обезразмеривание уравнения A)
проведено так, что в A) с = 1, fc = 1. В прямоугольнике П введем
обычным образом равномерную сетку ш с шагами ha) a = 1,2. Пусть
(см. п. 9.1, 9.2) сеточный оператор Лапласа Л соответствует аппроксима-
аппроксимации оператора теплопроводности, т. е.
2
Ау = ^2 Л«2/> Ку = ~Ухаха а = 1,2. (8)
Будем, для определенности, использовать для оператора конвективного
переноса аппроксимацию на основе определения D). Тогда справедливо
представление
(9)
Определим через v(x, ?), ж Е ш приближенное решение уравнения A)
в момент времени t и в приведенных обозначениях придем к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
dv
V(b) Av = <p(x,tI хеш, 0<t^T. A0)
at
Принимая во внимание E), F), дополним A0) условиями
v(x,t)=g(xyt), хедш, 0<t^T, A1)
у(х,0) = щ(х), хеш. A2)
Для задачи A0)—-A2) можно получить аналогичные G) оценки устойчи-
устойчивости по начальным данным и правой части при рассмотрении задачи
на множестве сеточных функций Н, обращающихся в нуль на дш.
9.3.3. Разностные схемы с весами
Построим и исследуем на устойчивость разностные схемы для при-
приближенного решения задачи A0)-A2), которую будем рассматривать
при однородных граничных условиях (сеточная функция g(x, t) включа-
включается в правую часть разностного уравнения). Запишем для A0)—A2)
двухслойную разностную схему с весами. Во внутренних узлах сетки ш
используется разностное уравнение
^~у^у(ь)(*1уя+1+а^
хеш, n=o,i,...,
которое дополняется начальным условием
Уо(х) = щ(х), хеш. A4)
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла
Для исследования устойчивости запишем схему A3) в каноническом
виде
ВУп+]~Уп+Ауп = <рп, п = 0,1,... . A5)
т
Здесь сеточные операторы имеют вид
Рассматриваемая схема с весами характеризуется тем, что оба операто-
оператора А и В являются несамосопряженными. Поэтому общие результаты
устойчивости (необходимые и достаточные условия) (см. п. 5.4) напрямую
(без преобразования задачи) использовать не удается.
Рассмотрим класс схем A3), A4), когда веса одинаковы:
<тх = <т2 = с A7)
В силу A6), A7) имеем
В = Е + атА, А Ф А* ^ 0. A8)
Отметим условия, при которых схема A5), A8) устойчива. Будем рас-
рассматривать только устойчивость по начальным данным, т. е. (рп — 0
в уравнении A5).
Теорема 1. Разностная схема A5), A8) устойчива в Н и в HDi
D = В*В при выполнении операторного неравенства
*А>0. A9)
Для доказательства запишем схему A5) в виде:
Уп+\ = Syni
где оператор перехода
S = Е - тВ~] А = Е-т(Е + атА)-1А. B0)
Устойчивость в Я имеет место, если J = Е - S*S ^ 0. С учетом
перестановочности операторов А и Б, определяемых согласно A8), имеем
E-S*S = E-(E- тА*(В*У]) (Б - тВ~1А) =
= г((В*У]А* + АВ~1) - т2(В*У{А*АВ-] > 0. B1)
Домножая B1) слева на Б*, а справа на Б (неравенство при этом
остается в силе), получим для B0)
В*{Е - S*S)B = т(А*В + В*А) - т2А*А =
= т(А* +А) + тBат - г)А*А > 0. B2)
Полученное неравенство B2) и есть доказываемое неравенство A9).
448 Глава 9. Конвективный теплообмен
Доказательство устойчивости в ## при D = В*В проводится пол-
полностью аналогично. В терминах операторных неравенств условие устой-
устойчивости в ##, D = D* > О эквивалентно выполнению неравенства
J = D - S*DS ^ 0. В нашем случае D = В* В и поэтому
D - S*DS = В*В - (В* - тА*)(В - тА) =
= г (А* В + В* А) - т2А*А. B3)
Подстановка В = Е + от А в B3) снова приводит нас к A9).
Очевидно, что для схемы A5), A8) неравенство A9) будет выпол-
выполнено при а ^ 0,5, т. е. в этом случае мы имеем абсолютно устойчивую
разностную схему. И в этом смысле разностные схемы с весами при неса-
несамосопряженном положительном операторе ничем не отличаются от схем
с весами при самосопряженном положительном операторе.
При а < 0, 5 имеет место условная устойчивость. Пусть дополни-
дополнительно к A8) известна оценка
\\Ау\\2^А(Ау,у). B4)
Тогда неравенство A9) будет выполнено при
или
Для конкретизации условий B5) для задачи A0)—A2) необходи-
необходимо получить оценку B4). Неравенства такого типа были рассмотрены
в п. 9.2 при изучении скорости сходимости метода переменных напра-
направлений. На основании этого можем заключить, что в B4) постоянная
А = O(||/i||~2) и зависит от самой скорости конвективного переноса и ее
изменения.
9.3.4. Явно-неявные схемы
Среди схем с весами A3), A4) заслуживает отдельного рассмотрения
схема, когда конвективные слагаемые берутся с предыдущего временного
слоя, т. е.
G, =0, G2 = <Т. B6)
В явно-неявной схеме A3), B6) на верхний временной слой выносится
только симметричный оператор теплопроводности:
A = V(b) + A. K '
Рассмотрим условия устойчивости схемы A5), B7). В силу кососим-
кососимметричности оператора V(b) и симметричности оператора Л положим
А = Ао + Аи B8)
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 449
где как обычно
2 2
Схема A5), B7) соответствует B8) и выбору оператора
В = Е + <ттАОу Ао > 0. B9)
Исследование устойчивости схемы A5), B8), B9) при дополнительном
ограничении
\\А1У\\2^М(Аоу,у). C0)
Наше рассмотрение базируется на следующем утверждении.
Теорема 2. Для разностной схемы A5), B8), C0) при Ао > 0 и
В А ^ еЕ, е > 0 C1)
справедлива оценка
/ Ti/Г \
fell*. C2)
Доказательство основывается на следующем полезном факте.
Лемма 1. Для разностной схемы A5) справедливо энергетическое то-
тождество
yt) = 0. C3)
Для того, чтобы получить C3), достаточно скалярно умножить A5)
на 2ту% = 2(з/п+1 - уп) и учесть равенство А — Ао + А\.
Принимая во внимание равенство C3) и условие C1), имеем нера-
неравенство
,У%) + (Аоу„+\,Уп+\) - (АоУпуУп) <2т| -(Aiyn,yt)\. C4)
Правая часть оценивается с учетом C0) следующим образом:
| - (Ахуп, yt)\ ^ elltfrU2 + —||j4iyn||2 < e\\yt\\2 + —(Аоуп, Уп)- C5)
Подстановка C5) в C4) дает
(АоУп+и ffn+i) ^ ( 1+2^JtAoffn,ffn)-
Отсюда с учетом неравенства
1/2 м
—т
4е
и следует искомая оценка устойчивости C2).
ЗОЗак.168
450 Глава 9. Конвективный теплообмен
Используем теперь доказанную теорему 2 для исследования явно-
неявной разностной схемы A5), B8), B9). При выполнении условия
подчиненности C0) кососимметричной части симметричной и а ^ 0,5
справедлива оценка
()/n|Uo. C6)
Это следует из того, что в случае B9) неравенство C1) выполнено при
а ^ 0,5 и выборе € = 1.
Тем самым, для явно-неявной схемы A5), B7) будем иметь /)-устой-
чивость (оценка C6)) с
, М
где М — постоянная (см. C0)) в неравенстве
\\V(b)\\2^M(Ay,y). C7)
Такая оценка получена нами в п. 9.3 при рассмотрении метода про-
простой итерации для приближенного решения стационарной задачи тепло-
теплопроводности с конвекцией при выборе В = Л. В C7) М не зависит
от сетки по пространству, а только от скорости конвективного переноса.
9.3.5. Монотонные схемы
Для приближенного решения задачи A0)-A2) можно строить по ана-
аналогии со стационарной задачей монотонные схемы. В этом случае не-
необходимо ориентироваться на аппроксимации конвективных слагаемых
в недивергентной B) или дивергентной C) формах. При построении
монотонных схем будем опираться на принцип регуляризации. Поэтому,
например, вместо задачи A0)—A2) с
2
^(b) = J2 VM> У«(Ь«)У = Ь°(х)У?а C8)
а=\
будем (см. п. 9.1) рассматривать регуляризованную задачу, когда уравне-
уравнение имеет вид
dv ^—>
-^ + V(b)»-5>+ty)tV, = pOM), x€a;' 0<*<Т. C9)
Регуляризаторы выберем, например, в виде (см. п. 9.1)
R = R]+R2, Rp{x) = ав2{,(х), /9=1,2, D0)
где
М*> = ^, />=1,2. D1)
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 451
Среди схем с весами A3), A4), A7) для задачи A1), A2), C9)
безусловно монотонной является чисто неявная разностная схема
Уп+\ ~~ Уп V^
т + ff»+i 2^ + р уп+i ,„,, - у>п, D2)
ж Go;, 71 = 0, 1,... .
Подобно стационарной задаче, регуляризованная схема D2) будем мо-
монотонной при а > 0,25. Аналогично рассматриваются схемы с другими
типами регуляризаторов. Схемы с весами для задачи A1), A2), C9) бу-
будут монотонны только при соответствующих ограничениях на шаг сетки
по времени, аналогичные тем, которые имеют место для задачи с само-
самосопряженным оператором теплопроводности (см. п. 5.3).
Регуляризация разностный схем может осуществляться за счет воз-
возмущения конвективных слагаемых. В этом случае вместо A0), C8) рас-
рассматривается дифференциально-разностное уравнение
D3)
а регуляризаторы выбираются, например, согласно D0), D1). Безусловно
монотонной схемой при а > 0,25 будет разностная схема
Уп+\-Уп , v^ h(x) /.. ч . л _
D4)
хеш, п = о, 1,... .
Аналогично стационарному случаю (см. п. 9.1) строятся монотон-
монотонные схемы в случае, когда используется дивергентная аппроксимация
конвективных слагаемых. Например, при аппроксимации центральными
разностными производными вместо C8) имеем
v<b) = X>A>, D5)
Va(ba)y=(ba(x)y)ia.
Для задачи A0)—A2), D5) может использоваться (см. п. 9.1) регуля-
регуляризация на основе уравнения, аналогичного D3):
>,еш, о <«< г.
30*
452 Глава 9. Конвективный теплообмен
Монотонной при любых шагах сетки по времени и пространству будет
разностная схема типа D4), когда
хеш>
с регуляризатором D0), D1) при а > 0,25.
Тем самым, монотонные чисто неявные разностные схемы строятся
на основе соответствующих монотонных разностных схем для стацио-
стационарных задач теплопроводности с конвекцией, подробно рассмотренных
в п. 9.1.
9.3.6. Схема расщепления по физическим процессам
Здесь мы выделим специальный тип аддитивных разностных схем
для задачи (9)—A2), которые часто в силу своего прикладного содержания
называются разностными схемами расщепления по физическим процессам.
Для построения аддитивной схемы для задачи (9)—A2) запишем
уравнение A) в виде
dv
— + Ay = (p(xytI хеш, 0<*^Г, D6)
at
где
А = АХ+А2, D7)
причем
Ах = F(b), A2 = Л. D8)
Расщепление D6) соответствует выделению отдельно конвективного пе-
переноса (оператор А\) и переноса теплопроводностью (оператор А2).
В силу этого аддитивное представление D7) связывается с расщеплением
по физическим процессам.
Принимая во внимание свойства оператора V(b), определяемого
согласно (9), для расщепления D7) имеем
Ax = -Al А2 = А*2>0. D9)
Для задачи D6), D7), D9) можно использовать различные аддитивные
разностные схемы, которые для задач с самосопряженными операторами
обсуждаются в главе 6. Отметим некоторые основные возможности в этом
направлении.
При расщеплении на два оператора можно использовать наряду
со схемами суммарной аппроксимации и схемы типа переменных напра-
направлений. Аналогом обычной схемы переменных направлений из п. 6.2 для
задачи D6), D7), D9) служит следующая разностная схема:
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 453
Схема E0) записывается как факторизованная схема (см. п. 6.3) A5)
с оператором
В = (Е + <ттАх){Е + сгтАг) E1)
при а = 0, 5.
Устойчивость факторизованной схемы A5), D7), D9), E1) по на-
начальным данным (<рп = 0 в A5)) при а ^ 0, 5 обеспечивается оценкой
\\(Е + атА2)уп+11| < \\(Е + *тА2)уп\\. E2)
Доказательство E2) лишь в небольших деталях отличается от доказатель-
доказательства устойчивости факторизованной схемы, которое приведено в п. 6.3.
Реализация факторизованной схемы при расщеплении D7), D8)
соответствует расчету на верхнем временном слое сначала конвективного
переноса тепла, а затем — переноса тепла теплопроводностью.
Для приближенного решения задачи D6), D7), D7) могут применять-
применяться и другие схемы суммарной аппроксимации, подробно рассмотренные
в п. 6.4. Пусть
<Рп = <р\ + (fly
тогда аддитивная схема с весами для рассматриваемой задачи D6), D7),
D9) имеет вид
Уп+1/2~У"
+ А, (а1Уп+, + A - „)*) = <pl
Т E3)
Уа+17"+1/2 + М**»г + 0 - ^)Уп+.) = vl
Устойчивость (а с учетом суммарной аппроксимации (см. п. 6.4) и сходи-
сходимость) обеспечивается при аа ^ 0,5, а = 1,2 в Я. Каждое из отдельных
уравнений схемы E3) представляет собой обычную схему с весами для
операторов Aai a = 1,2, для которых безусловная устойчивость в Я
обеспечивается теоремой 1.
9.3.7. Экономичные схемы для многомерных задач
Экономичные схемы для многомерных задач строятся на основе
аддитивного расщепления оператора теплопроводности с конвекцией
на сумму одномерных операторов. Нашу модельную двумерную зада-
задачу A0)—A2) запишем в операторном виде D6), D7) с
Aa = Va(ba) + Aa, «= 1,2, E4)
где операторы Ла, а = 1, 2 определены согласно (8), а операторы Va(ba),
а. = 1,2 в соответствии с (9) (или C8), или D5)).
Для основного варианта аппроксимации конвективных слагаемых
(по формуле (9)) имеем
Va(ba) = -VZ(ba), a =1,2,
454 Глава 9. Конвективный теплообмен
и поэтому с учетом E4) имеем
Аа>0, а = 1,2. E5)
Для задачи D6), D7), E5) могут использоваться различные адди-
аддитивные разностные схемы. Например, при а ^ 0,5 будет устойчива
факторизованная схема A5), E1) — разностные схемы переменных на-
направлений.
При решении многомерных (особенно трехмерных) задач большие
возможности предоставляют локально-одномерные схемы. Для зада-
задачи D6), D7), E5) такая схема записывается в виде E3) и она устойчива
в Я.
Построение монотонных локально-одномерных схем базируется на
использовании аппроксимаций конвективных слагаемых в виде C8)
или D5). Рассмотрим в качестве примера разностную схему с неди-
недивергентной аппроксимацией конвективных слагаемых. На основе C8)
вместо E4) используем расщепление
Ар = Ур(Ър) + A + Rp)Ap, p = 1, 2, E6)
где Rp, p = 1,2 определены, например, в соответствии с D0), D1).
Для приближенного решения задачи D6), D7), E6) можно исполь-
использовать разностную схему
Уп+1/2 - Уп А I
Т E7)
Уп+\ ~ Уп+\/2
В локально-одномерной схеме E6), E7) для каждого отдельного уравне-
уравнения выполнен принцип максимума, на основе которого устанавливается
(см. п. 6.5) устойчивость и сходимость схемы суммарной аппроксима-
аппроксимации в равномерной норме. Аналогично исследуются и другие классы
локально-одномерных монотонных схем.
Можно строить локально-одномерные разностные схемы суммарной
аппроксимации на основе более глубокого расщепления, комбинируя D8)
с расщеплением по отдельным направлениям. В этом случае
Aa = Va(ba), A2+a = Aon a =1,2. E8)
Для задачи D6), D7), E8) можно использовать аддитивные разностные
схемы суммарной аппроксимации
Уп+а/4 ~ Уп+(а-1)/4 . / /i \ \ <*
Ь Аа {<ГаУп+а/4 + A - <7а)Уп+(а-\)/4) = Уп>
а= 1,2,3,4.
Устойчивость таких схем имеет место при ранее приведенных ограниче-
ограничениях на веса (<та ^ 0,5, а = 1, 2,3,4).
9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 455
9.3.8. Задачи
Задача 1. На основе теоремы 2 исследуйте устойчивость регуляризо-
ванной разностной схемы
(Е+аК)Уп+1~Уп +Ауп = <р„, хеш, п = 0,1,..., E9)
т
где А = V(b) + Л при И = Л, И — А* А, И = Л2 для приближенного
решения задачи (9)-A2).
Решение. Схема E9) имеет канонический вид A5) при
В = Е + аП. F0)
При выборе регуляризатора И = Л неравенство C1) выполнено при
а ^ 0,5т с е = 1. Принимая во внимание неравенство подчиненно-
подчиненности C7), из C2) следует оценка C6).
При выборе И = А*А, с И = Л2 для разностной схемы E9) имеет
место оценка
( ^)|л, F1)
если
<62>
Например, при И = А* А из неравенства C1) получим
В - ^А = Е + аА*А - -А =
Отсюда следует оценка F2) для параметра регуляризации а, а из C2) —
оценка F1) для разностного решения. Аналогично рассматривается слу-
случай П = Л2. >
Задача 2. Покажите устойчивость по начальным данным аддитивной
разностной схемы
—~—— + АаУп+а/т = (р^ а = 1, 2,..., т F3)
при Аа ^ 0, а = 1,2,..., т.
Решение. Домножим скалярно уравнение F3) на уп+а/т и с учетом
неотрицательности оператора Аа получим
(Уп+а/т, Уп+а/т) ^ (Уп+а/т> Уп+(а-\)/т) ^
| " ||Уп+(а-1)/т11» а = 1, 2, . . . , ТД,
456 Глава 9. Конвективный теплообмен
т.е.
ll»n+o/mll < ll»n+(o-l)/mll, Л = 1, 2, ... , Ш.
Отсюда и следует искомая оценка
ll№+ill < IIVWII < llj/oll
устойчивости разностного решения по начальным данным. >
9.4. Нестационарные задачи
естественной конвекции
9.4.1. Задача конвекции в естественных переменных
Большое прикладное значение имеют процессы совместного проте-
протекания тепло- и массопереноса. При естественной конвекции движение
жидкости обусловлено изменением плотности с изменением температуры
и подъемом более легкой жидкости в поле силы тяжести. Моделированию
естественной конвекции уделяется очень большое внимание в вычисли-
вычислительной практике. Здесь мы отметим основные моменты построения
и реализации разностных схем для задач конвекции в случае, когда ис-
используются так называемые естественные переменные «скорость, давление
и температура».
В прямоугольнике Q рассматривается течение теплопроводящей жид-
жидкости в приближении Буссинеска (см. п. 2.4). Далее будем использовать
следующие обозначения. Пусть v = (vuv2) — скорость, р — нормали-
нормализованное на плотность давление и и — отклонение температуры от рав-
равновесной. Будем считать, что ускорение свободного падения направлено
вертикально вниз (вдоль координаты жг). Уравнение движения записы-
записываются в виде
d\
— + (v,grad)v + gradp - vdiv gradv - peu = 0, t ч
at (l;
x = (xux2) Gfi, 0<t^T.
Здесь v — кинематическая вязкость, коэффициент C определяет объем-
объемное расширение, вектор е = @,1) задает направление выталкивающей
силы.
Уравнение неразрывности в приближении несжимаемости имеет вид
divv = 0, хбп, 0<t^T. B)
Перенос тепла осуществляется теплопроводностью и за счет дви-
движения жидкости. Пренебрегая тепловыми потерями на вязкое трение
и работой сил давления, уравнение теплопроводности запишем в виде
(к = к/с)
du
— + (v,grad)u-/cdivgradtt = /(z,O, zEft, 0<t^T. C)
at
9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции 457
Таким образом, тепло- и массоперенос описывается уравнения-
уравнениями A)-C) для трех неизвестных: вектора скорости v, давления р и тем-
температуры (точнее, отклонения температуры) и. Дополним систему урав-
уравнений A)-C) необходимыми граничными и начальными условиями.
Будем считать, что граница области дп твердая и неподвижная.
Условия прилипания и непротекания дают однородное граничное условие
первого рода для скорости:
v(z,*) = 0, хедп, 0<t^T. D)
Пусть на ней поддерживается заданный температурный режим:
и(х, t) = g(x, 0, х е дп, О < t < Г. E)
При t = О заданы начальные условия
v(x,0) = v°(a), ж ЕП, F)
и(ху0) = и°(х), хеп. G)
Для однозначного определения давления можно использовать усло-
условие
[(8)
[
Краевая задача естественной конвекции A)-(8) является предметом
нашего дальнейшего рассмотрения. Как обычно, будем предполагать су-
существование и достаточную гладкость решения этой задачи. Однозначная
разрешимость имеет место при достаточно малых /5 и больших и.
Определим через W подпространство векторов v, удовлетворяющих
условию несжимаемости B) (подпространство соленоидальных векторов)
и однородным граничным условиям D). Уравнение A) при v G VV
запишем в следующем операторном виде
-^ 4- V(v)v + Vy + i/A/v - реи = 0, 0 < t < Т, (9)
at
где, как и ранее, V(v) — оператор конвективного переноса,
V\ = gmdp A0)
оператор давления, а ЛГ = - div grad — оператор Лапласа. Уравнение
переноса тепла C) записывается аналогично:
^ + V(v)u + кЛГи = /(я, 0, 0 < * ^ Г. A1)
at
Отметим основные свойства операторов V, V, ЛГ. В рассматриваемой
двумерной задаче для векторов v определим пространство Hi = Н 0 Н9
Н = Li (п) так, что скалярное произведение
(vi,v2) = (tti,t42) + (t;i,t>2), va = K,va), a= 1,2.
29 Зак. 168
458 Глава 9. Конвективный теплообмен
Для оператора конвективного переноса (см. п. 9Л) в Н имеем
V(v) = -V». A2)
Очевидно, что это свойство кососимметричности сохраняется ив %•
Оператор Лапласа Я в Н и %2 симметричен и положителен
ЛГ = ЛГ>0. A3)
Для оператора давления, определяемого согласно A0), при выполнении
условия D) получим
(pv, v) = (gradp, v) = -(p, div v).
Принимая во внимание условие несжимаемости B), получим (Vv, v) = 0,
т. е. на множестве векторов v ? W оператор PbW2 кососимметричен:
V = -V*. A4)
При построении разностных схем для задачи естественной конвек-
конвекции A)-(8) естественно стремиться, чтобы сеточные аналоги операто-
операторов V9V и ft/ наследовали основные их свойства A2)—A4). Причем здесь
мы должны уделить основное внимание именно оператору давления, так
как разностный оператор Лапласа и оператор конвективного переноса
нами уже рассматривались.
Для получения простейшей оценки устойчивости для задачи A)-(8)
по начальным данным и правой части (д(х, t) = 0 в E)) домножим
скалярно в Hi уравнение (9) на v, а уравнение A1) — скалярно в Н на и.
Это с учетом свойств операторов V, V, Af приводит нас к простейшим
оценкам
^IMKflNI, ^1ЫК11/0М)Н- A5)
Из A5) непосредственно следуют
||(,OIIll()|| ||/(,)||,
<€@,Т]
||v(x,0ll < \\y°(x)\\+pT\\no(x)\\+pt2 max' ||/(x,*)||.
t€@,T]
Приведенные оценки обеспечивают ограниченность решения нелинейной
задачи A)-(8).
Операторная формулировка в виде уравнений (9), A1) явно не со-
содержит давления — задача рассматривается на подпространстве солено-
идальных функций. Определим теперь оператор градиента Q из Л в Щ
с помощью соотношения
?p = gradp. A6)
На основании равенства
(gradp, v) + (р, div v) = 0,
9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции 459
справедливого для всех v(x,t), удовлетворяющих D), сопряженный к Q
оператор, действующий из Hi bW, есть
0. A7)
На основании A6), A7) оператор Лапласа представляется в виде
Я = g*G, а сами уравнения A), B) могут быть записаны в следующем
операторном виде
d\
— + V(v)v + QV + кЛ/v - ptu = 0, A8)
at
g*y = 0, 0 < t < T. A9)
Действуя на уравнение A8) оператором Q* и принимая во внимание A9),
приходим к следующему уравнению для давления
= -g* V(v)v + pg*(eu), 0 < * < Г. B0)
Уравнение B0) есть уравнение Пуассона для давления при извест-
известных скоростях и температурах. Оно дополняется краевыми условиями,
которые следуют из уравнения A8), записанного на границе расчетной
области дп с учетом условий прилипания и непротекания D). Формули-
Формулируются граничные условия второго рода и задача Неймана решается при
дополнительных условиях однозначности (8).
9.4.2. Дифференциально-разностная задача
Будем строить разностные схемы на основе записи уравнений сво-
свободной конвекции в виде операторных уравнений A1), A8), A9). В вы-
вычислительной гидродинамике большое внимание уделяется построению
разностных схем, когда сеточные функции, приближающие отдельные
компоненты скорости, давление и температуру, определяются на раз-
различных сетках (сдвинутые сетки, узлы и центры ячеек и т.д.). В этом
случае, конечно, усложняется логика вычислительного алгоритма, требу-
требуется более громоздкий математический аппарат для исследования свойств
разностных схем. Затруднителен также переход к задачам на нерегуляр-
нерегулярных сетках. Поэтому мы ограничимся разностными схемами, в которых
все сеточные функции определены на единой сетке.
Пусть в прямоугольнике О введена обычная равномерная сетка
и разностный оператор V(\) соответствует некоторой аппроксимации
дифференциального оператора конвективного переноса, G — оператору g
и, как и ранее, Л — оператору Лапласа ЛЛ Сохраняя за приближенными
решениями те же обозначения, что и за точными, после дискретизации
по пространству от уравнений A1), A8), A9) придем к следующей
системе дифференциально-разностных уравнений. Для внутренних узлов
сетки используем разностное уравнение движения в форме
¦37 + V(v)v + Gp + vAv - реи = 0, х G и>. B1)
at
29*
460 Глава 9, Конвективный теплообмен
Уравнение неразрывности принимает вид
G*v = 0, хе о/, B2)
который согласуется с выбором разностной аппроксимации градиента
давления. Уравнение B2) записывается на множестве узлов ш1 сетки ш,
которое связано с конкретным выбором оператора G. Уравнение для тем-
температуры имеет стандартный вид на множестве внутренних узлов сетки ш:
du
V() A f(x,t), хеш, 0<t^T. B3)
+ V
at
Аппроксимация D), E) дает граничные условия
v(z,0 = 0, хедш, B4)
и(х, t) = g(x, 0, х е дш, 0 < * < Т. B5)
Из F), G) получим начальные условия
у(ж, 0) = у°(ж), хеш, B6)
и(х,0) = и°(х)у хеш. B7)
Условие однозначности давления (8) записываются для всех сеточных зна-
значений давления, участвующих в разностном уравнении движения B1), т. е.
][>(х,0М2 = 0, 0<*<Т. B8)
хеш
Для построения разностных операторов удобно ввести скалярное
произведение в сеЮТном гильбертовом пространстве Н обычным обра-
образом:
(У> ™) = (У, и>)ш = ^2 y(x)w(x)h}h2,
х?ш
т. е. суммирование ведется по внутренним узлам сетки ш = ш и дш. Пусть
2
Ку = J2 Аау, Аау = -шаха, а = 1,2, B9)
а для конвективных слагаемых будем использовать (см. л. 9.2, 9.3) выра-
выражения
«=i C0)
При таком задании операторы Ла, а = 1, 2 являются самосопряженными
и положительными, а операторы Va(va), а = 1,2 — кососимметрич-
ными в Я — на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль
на дш, и аппроксимируют соответствующие дифференциальные опера-
операторы со вторым порядком.
9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции 461
Прежде чем строить сеточный оператор G, рассмотрим разностные
операторы левой и правой производной на Н. Пусть для ха,а = 1,2
определена сетка ша, причем
иа = {ха | ха = iha, г = 1, 2,..., Na - 1},
^а = {Ха I Sa = iha, t=l,2,..., iVe},
"a = {ж« I яа = гЛа, « = 0,1,..., Na - 1}.
Для одномерной сеточной функции определим оператор правой разност-
разностной производной
Day(xa) = Ухау ха еша, а = 1,2. C1)
На основе формулы суммирования по частям (см. п. 4.4) для сеточных
функций wa{xa), обращающихся в нуль при ха ?ша,а= 1,2, получим
(Daya, wa)Ua = ^2 yxaw<*h<* =
В силу этого определим сопряженный оператор с помощью соотношения
D*aw(xa) = -iifr#J ха еш%у а = 1,2, C2)
т. е. с точностью до знака оператор D*a совпадает с оператором левой
разностной производной.
Вместо C1) можно использовать соотношение
Day(xa) = Уат,, Ха е Way <* = 1,2. C3)
Аналогично C2) для сопряженного оператора можно использовать выра-
выражение
Daw(xa) = -wXay xa€w~, a = 1,2. C4)
Осталось рассмотреть аппроксимации центральными разностными про-
производными. Пусть теперь
Day(xa) = yia, xa еша, ol = 1,2, C5)
тогда на множестве сеточных функций wa(xa) = 0 при ха ? ша, а = 1,2
имеем
^>(ж«) = -tii?e, жа е ша, а = 1,2. C6)
На основании C1), C2) (C3), C4) или C5), C6)) построим операто-
операторы G и G* в B1), B2). Определим, например,
Gp = PiP, Dip}, хеш, C7)
где операторы Da, a = 1,2 заданы согласно C1) (C3) или C5)). Принимая
во внимание
уравнение B2) принимает вид
2
?>>« = 0. C8)
а=1
462 Глава 9. Конвективный теплообмен
Заметим, что разностное уравнение неразрывности C8) записывается
на различных множествах сеточных узлов а/. При использовании, на-
например, аппроксимаций C5), C6) уравнение C8) выполнено при хеш
с учетом того, что va(x) = 0, х ? ш. Для C1), C2) имеем ш' = а;+, где
О7+ = {X | X = (XUX2), Ха в (л>а)-
Аналогично для C3), C4) ш' = ш~, где
аГ = {х | х = (хи х2), ха е а;"}.
На этих же множествах узлов выполняется условие однозначности давле-
давления B2).
Нетрудно видеть, что использование C1), C2) или C3), C4) (напра-
(направленные разности) для C7), C8) приводит к аппроксимации уравнений
конвективного движения с первым порядком по пространству, а для C5),
C6) в C7), C8) (центральные разностные производные) имеем второй
порядок аппроксимации.
9.4.3. Простейшая разностная схема
Особенности реализации разностных схем для задач конвективного
теплообмена удобно проиллюстрировать на примере схемы, когда в урав-
уравнении движения конвективные слагаемые и перенос теплопроводностью
берутся с предыдущего временного слоя. Эта схема является аналогом
явной схемы для уравнения теплопроводности.
На равномерной сетке по времени поставим в соответствие системе
дифференциально-разностных уравнений B1)—B3) следующую разност-
разностную схему
Уп + V(vn)yn + GPn+l + i/Avn - ptun =0, x e u>, C9)
G4+, =0, x e a/, D0)
Un+*~Un + V(yn)un + кАип =<рП} хе a/, D1)
д = 0,1,... .
Эта система разностных уравнений дополняется (см. B4)-B8)) усло-
условиями:
Ў„+,(«) = 0, хедш, D2)
un+x{x) = g{x,tn+x), хеди, п = 0,1,..., D3)
vo(z)=v°(*), хеш, D4)
ио(х) = и°(х)у хеш, D5)
+|(ф|к2 = 0, 11 = 0,1,... . D6)
9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции 463
Устойчивость схемы C9)-D6) будет иметь место при соответствующих
ограничениях на шаг по времени. Нас больше интересует вопрос о вычи-
вычислительной реализации этой схемы. Для определенности будем считать,
что операторы G и G* определены согласно C7), C8). Из C9) имеем
vn+i = Vn - T(V(\n)\n + Gpn+i + J'Avn - /3eun), хеш. D7)
С учетом граничных условий D2) подстановка этого выражения в урав-
уравнение неразрывности D0) позволяет получить уравнение для давления.
Пусть и" — подмножество узлов сетки о/, для которых при определении
оператора G*v не используются граничные узлы сетки ш. Тогда из D0),
D7) имеем разностное уравнение
G*GVn+x = G*Fn+1, Хбш\ п = 0,1,..-, D8)
где
Положим
Fn+i = V(vn)\n - vn + vAvn - Pev>n - —.
ц>"= {х\х = (хих2I жаЕо>а> а =1,2}.
При использовании C1), C2) имеем
Ша = {ха | ха = iha, % = 2, 3,..., Na - 1}, а = 1, 2.
Множество узлов и11 для C3), C4) определяется при
ш'а = {ха | ха = tfte, г = 1, 2,..., Na - 2}, а = 1, 2,
а для C5), E6)
d? = {жа | ха = iha, % = 2,3,..., Na - 2}, а = 1,2.
При выборе аппроксимаций первого порядка (C1), C2) или C3),
C4)) имеем
2
а=1
т. е. уравнение D8) есть не что иное как уравнение Пуассона для давления.
Отметим только то, что это уравнение записано на множестве узлов ш",
которое не совпадает с множеством внутренних узлов ш. Для аппрокси-
аппроксимаций C5), C6) центральными разностными производными имеем
2
а=1
что соответствует аппроксимации оператора Лапласа на расширенном
(через узел) пятиточечном шаблоне.
Осталось выписать разностные соотношения при х G о/ \о/'. Для
аппроксимаций первого порядка эти соотношения можно рассматривать
464 Глава 9. Конвективный теплообмен
как краевые условия для уравнения D9). Рассмотрим, например, эти
условия при аппроксимации C1), C2). В узле х = х* = (х\, х2) ? о/ \а;",
х\ = fti, х2 Е и" уравнение неразрывности D0) имеет (опуская индекс
п+ 1) вид
Подстановка D7) в E1) даст следующее разностное уравнение
^ ^ x = x\ E2)
Пусть теперь х = х* = (х\,х2) Е а/ \о/', х\ = /ь х2 Е и>2, тогда D0)
записывается в виде
v\(x\ - h\yx2) = 0, х = ж*.
С учетом D7) получим
рг(х) = -F,(«, - Л,,ж2), « = »*. E3)
Аналогично E2), E3) выписываются разностные уравнения в других
точках х € и' \ш". Граничные условия E3) могут быть включены в раз-
разностное уравнение, записанное в виде E2) в узлах х = (х\ — h\, x2). Тем
самым, можно ограничиться разностными уравнениями во внутренних
узлах сетки о;.
Разностная задача D8), D9), E2), E3) есть задача Неймана для урав-
уравнения Пуассона, выписанная в узлах ш, с краевыми условиями на грани-
границе, отстоящей на полшага от сетки ш (потоковая сетка). Для однозначной
разрешимости уравнения D8), D9), E2) дополняются условием D6).
Аналогично E2) формулируются краевые условия и при выборе
аппроксимаций C3), C4). Более громоздкой представляется запись раз-
разностных уравнений для давления в узлах х Е о/ \ ш" при использовании
аппроксимаций центральными разностями C5), C6).
Таким образом, реализация разностной схемы C9)-D6) приводит
к необходимости решения на каждом временном шаге сеточной элли-
эллиптической задачи Неймана для нахождения давления. Такой элемент
присутствует в большинстве используемых разностных схем для уравне-
уравнений гидродинамики в естественных переменных и может рассматриваться
как основная трудность соответствующих вычислительных алгоритмов.
9.4.4. Неявные разностные схемы
В линейных параболических задачах безусловно устойчивыми явля-
являются неявные схемы, для которых вес а не меньше 0,5. В частности,
большого внимания заслуживают чисто неявные схемы, которые обла-
обладают лучшими асимптотическими качествами, свойством монотонности.
9.4. Нестационарные заданы естественной конвекции 465
Поэтому естественно использовать для приближенного решения диф-
дифференциально-разностной задачи B1)—B8) следующую чисто неявную
схему:
=0, хеш, E4)
G4+i=0, хеш', E5)
+ V(Yn+\)un+\ + к&ип+] = <рп, хеш, E6)
т
71 = 0,1,.-.
с условиями D2)-D6).
Получим для этой разностной схемы оценку устойчивости, которая
соответствует приведенной выше оценке устойчивости для дифференци-
дифференциальной задачи. Будем считать, что граничное условие D3) однородное
(включено в правую часть уравнения E6)). Домножим разностное урав-
уравнение E4) скалярно в Н2 = Я 0 Я на vn+b а уравнение E6) скалярно
в Я на ип+\. Принимая во внимание E5) и условие кососимметричности
оператора C0), получим
E7)
E8)
Из неравенства E8) получим оценку
n+i max II^H-
Подстановка E9) в неравенство E7) приводит к неравенству
INI + /J*n+ilNI + /»i+i max ||^||. F0)
В силу нелинейности задачи естественной конвекции оценки устойчиво-
устойчивости E9), F0) не дают возможности показать сходимость разностного ре-
решения к точному. Для этого требуется специальное исследование (см. для
простейших нестационарных задач теплопроводности, например, п. 5.9).
Реализация чисто неявной схемы затруднительна. Это связано,
в частности, с нелинейностью разностной задачи. Поэтому в вычи-
вычислительной гидродинамике, тепло- и массопереносе большое распро-
распространение получили линеаризованные схемы, когда скорости в операторе
конвективного переноса берутся с предыдущего временного слоя. Вме-
Вместо E4), E6) используются разностные уравнения
= 0, хеш, F1)
- + V(\n)un+] + кАип+1 =<рп, хе ш, F2)
466 Глава 9. Конвективный теплообмен
При организации вычислений сначала из уравнения F2) с учетом
граничных условий D3) находится температура на новом временном
слое, а затем по E5), F1) при выполнении D2), D6) рассчитывается поле
скоростей и давление.
9.4.5. Схема расщепления
Задача совместного определения давления и поля скоростей из урав-
уравнений E4), E5)- (или линеаризованных уравнений E5), F1)) является
достаточно сложной. Поэтому используются различные подходы для ее
упрощения. Наиболее интересный связан с построением аддитивной схе-
схемы, которая соответствует последовательному расчету давления, а затем
и поля скоростей — расщепление по физическим процессам.
Запишем уравнение B1) в виде, аналогичном (9):
— + V(v)v + Pv + vAv - реи = 0, xGw, F3)
at
где формально положим Pv = Gp. С учетом B2) оператор
Р = -Р*. F4)
Для построения аддитивной схемы запишем F3) в виде
-1 + A(v)\ = реи, хеш, F5)
где
А{у) = Ах+А2. F6)
Отделяя оператор давления, положим в F5), F6)
А2= Р. F7)
Далее для задачи F5)-F7) применяются те или иные аддитивные раз-
разностные схемы (глава 6).
Приведем в качестве примера чисто неявную схему суммарной ап-
аппроксимации, которая имеет вид
+ A} (vn+1/2)yn+I/2 = /Jettn+,/2, F8)
'- + А2Уп+\ =0, х G ш. F9)
т
Безусловная устойчивость этой схемы обеспечивается выполнением усло-
условий (см. F4), F7)) Аа ^ 0, а = 1, 2.
Первый полушаг F8) соответствует (см. F7)) решению обычной
краевой задачи для параболического уравнения — расчет поля скоростей
без учета давления. Более подробного обсуждения заслуживает второй
9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции 467
полушаг F9) — поправка скоростей на давление. С учетом определения
оператора Р имеем
Уп+1~гУп+]/2+сРп+1 = о, хеш, G0)
G4+1 =0, хе а/. G1)
Задача D2), D6), G0), G1) принадлежит к типу задач, которые мы
рассматривали ранее при реализации простейшей схемы C9)-D6). Для
давления получим уравнение D8) с учетом того, что теперь
Вместо F8) можно использовать и линеаризованную схему
G2)
которая также является безусловно устойчивой. Следует заметить, что для
линеаризованных схем оценки устойчивости типа E9), F0) обеспечивают
и единственность разностного решения.
Среди других линеаризации особого упоминания заслуживает широ-
широко используемая в вычислительной практике схема, когда конвективный
перенос рассчитывается по предыдущему временному слою. Например,
при использовании схемы суммарной аппроксимации с F9) приближение
для vn+i/2 определяется из уравнения
?>> + F(vn)vn + i/Avn+1/2 = /Jetin+,/2. G3)
Схема F9), G3) аналогична явно-неявной схеме, которая рассмот-
рассмотрена в п. 9.3 для задач теплопроводности с конвекцией. Для расчета
температуры естественно использовать аналогичную линеаризованную
схему
— + V(yn)un + яЛип+1 = <рп-
На основе схемы суммарной аппроксимации F8), F9) (или F9), G2))
можно провести обычным образом более глубокое расщепление. Напри-
Например, выделив этап конвективного переноса отдельно, либо построить
локально одномерные схемы вместо F8) (или G2)). Такие идеи уже нами
обсуждались (см. п. 9.3), и мы не будем на этом подробно останавли-
останавливаться. Заметим только, что в задачах гидродинамики в естественных
переменных «скорость, давление» давление рассчитывается по решению
эллиптической краевой задачи, что часто не позволяет нам рассчитывать
на построение экономичных разностных схем.
468 Глава 9. Конвективный теплообмен
9.4.6. Задачи
I Задача 1. Сформулируйте разностные соотношения для узлов х ?
а/ \ ш" при использовании аппроксимаций C5), C6).
Решение. Для примера выпишем условия при х = х* = (х\,х2),
когда х\ =0, х\ = h\, x2 6 ш'а- При х\ = h\ условие D0), подобное E1),
имеет вид
--^-(х\ + hux2) - (v2)? =0, х = х*.
Принимая во внимание C5) и D7), получим
\Х\ H-/&b#2) "" Р ° ? == Т~"
Более просто выписываются условия при х\ = 0, х2 Е о;«. В этом случае
имеем
V\(X\ + fti, Х2) = 0, X = Ж*,
что дает
Pi (*\ + ^, х2) = - JP, (ж), ж = х\
Условия в других узлах х G и1 \ и" выписываются аналогично. >
I Задача 2. Для задачи F5)—F7) постройте линеаризованную схему
переменных направлений и приведите оценку устойчивости.
Решение. Для задачи F5)-F7) линеаризованную схему переменных
направлений (аналог схемы Письмена—Рэкфорда) запишем в виде
VrH-l/2-Vn
0,5т
-Ўп+1/2 ,
0,5т 1ХИ/
Оценка устойчивости (см. п. 6.2) имеет вид
\\(Е + 0,5rA2)vn+1|| < ||(JS + 0,5rA2)vn|| + \rp(\\un\\ + \\un+{\\).
2
С учетом определения оператора А2 имеем
||(J57 + O,5r^2)vn+1||2 = ||vn+1||2 + ^-||Gpn+1||2.
Аналогичные оценки имеют место и при использовании других схем
переменных направлений. >
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 469
9.5. Задачи конвекции в переменных
«функция тока, вихрь скорости,
температура»
9.5.1. Постановка задачи
Рассматривается двумерная нестационарная модельная задача сво-
свободной конвекции в прямоугольнике ft, сформулированная в п. 9.4 (зада-
(задача A)-(8)). Вместо естественных переменных «скорость, давление» будем
использовать переменные «функция тока, вихрь скорости».
Введем (см. п. 2.4) функцию тока ip(x} t) так, что компоненты ско-
скорости выражаются через нее с помощью соотношений
Ы> д<ф
* "= A)
причем условие несжимаемости B) в п. 9.4 в этом случае выполняется
автоматически.
Для рассматриваемых двумерных плоских течений вихрь скорости
имеет только третью компоненту, т. е. rot v = @,0, w), причем
w=dv1__dv1
дх\ дх
Уравнение движения A) из п. 9.4 преобразуется к следующему уравнению
для вихря скорости
dw , ч JU d2w л ди
_+v(v)t0-,?_-/,_=<>, (з)
х = (хих2) ей, o<t^T.
С учетом A), B) получим уравнение для функции тока:
~J2lTT = w> хеш> 0<t^T. D)
Уравнение для температуры остается прежним:
^ E)
В C) и E) конвективный член записывается с учетом определе-
определения компонент скорости согласно A). Например, для конвективного
слагаемого, определяемого (дивергентная запись) согласно
2 q
VW = Y, У>«)> V><> = ^~(v-wh « = 1> 2, F)
: оХ
470 Глава 9. Конвективный теплообмен
имеем
При таком определении конвективного слагаемого имеем
(V(v)in,tf)=0.
Система уравнений C)-E) дополняется соответствующими гранич-
граничными и начальными условиями. Условия прилипания и непротекания
на границе прямоугольника п записываются в виде
V>(M) = 0, хедп, 0<*<Т, (8)
^(<М) = 0. хедП, 0<t^T. (9)
an
Начальное распределение скорости (начальное условие F) в п. 9.4) зада-
задается следующим образом:
ф(х,0) = <ф°(х), же П. A0)
Условия для температуры остаются прежними:
и(Х) t) = g(x, t), я: € вП, 0 < * < Г, A1)
u(x,0)=u°(x), xefi. A2)
Приведем также псевдопараболическое уравнение четвертого по-
порядка для функции тока. Определим двумерный оператор Лапласа L
с помощью соотношения
тогда подстановка D) в C) дает
L2ip
Lj + V(v)Li> + pLi>p = 0, х?п, 0<t^T. A3)
dt иХ\
Граничные условия (8), (9) есть условия Дирихле для уравнения чет-
четвертого порядка A3). Для стационарных задач мы имеем задачу Дирихле
для нелинейного эллиптического уравнения, главной частью которого
является бигармонический оператор.
9.5.2. Одномерная задача для уравнения четвертого порядка
Особенности построения разностных схем для уравнений с частными
производными четвертого порядка поясним на примере простейшего
обыкновенного уравнения четвертого порядка. Пусть Q, = @, /) и ищется
решение уравнения
—А = /(х), 0 < х < I A4)
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 471
Рассмотрим два основных типа граничных условий для уравне-
уравнения A4). На каждом конце отрезка задаются два граничных условия,
одно из них есть
ч@) = 0, tt(l) = 0, A5)
а второе есть
|,о, = «, ?<„ = », (,*>
либо
?<0) = 0, g,0 = 0. „7,
Введем равномерную сетку ш в п с шагом ft:
ш = шидш = {х\х = Ш, г = 0,1,..., N, Nh = l}.
Для аппроксимации граничных условий A5)-A7) используем следующий
прием. Расширим сетку ш за счет дополнительных узлов с номерами
i = —I, г = JV+1. После аппроксимации уравнения и граничных условий
эти фиктивные узлы исключаются.
С точностью O(h2) четвертая производная аппроксимируется раз-
разностным выражением следующего вида
щ+2 - 4и,-+1 + вщ - Ащ-х + Щ-2
ЩХ-ХХ = ^ .
Поэтому уравнение A4) аппроксимируется следующим разностным урав-
уравнением во внутренних узлах сетки
ихххх = /(ж), хеш. A8)
Граничное условие A5) дает
у(х) = 0, х е дш. A9)
Рассмотрим вначале аппроксимацию граничного условия A6). Используя
центральные разности, имеем
у(х + ft) = y(x -ft), xe дш. B0)
Для A7) получим
»я = 0, хедш. B1)
Принимая во внимание A9), граничное условие B1) можно записать
в виде
у(х + ft) = -у(х - ft), xe дш. B2)
Краевая задача A4), A5), A7) допускает простое расщепление на две
краевые задачи для уравнений второго порядка. Сначала решается краевая
задача
-ТТ = /(*)> 0<х</, B3)
ах1
«@) = 0, 1/@ = 0, B4)
472 Глава 9. Конвективный теплообмен
а затем уравнение
»(*)> 0<х</, B5)
с условиями A5).
Аналогичная ситуация имеет место и для разностной задачи A8),
A9), B2). Задаче B3), B4) соответствует разностная задача
-ю*. = /(«), я G ш, B6)
Цж) = 0, жЕ 0а;, B7)
а уравнению B5) — разностное уравнение
-Ухх =w(x), жец B8)
которое дополняется условиями A9).
Определим теперь на множестве сеточных функций, обращающихся
в ноль при х ? ш, оператор
Лу = -Ухх> хеш,
тогда разностную схему A9), B7)-B9) можно записать в виде
А2у = /(ж), хеш. B9)
С учетом граничных условий A9), B2) имеем
Kt<JV-l, C0)
Разностная задача A8)—B0) отличается от задачи A8), A9), B2) только
граничными условиями (вместо B2) имеем B0)), может быть записана
в операторном виде
A2y + p(x)y = f(x), хеш, C1)
где сеточная функция р(х) отлична от нуля только в приграничных узлах:
{0, h<x <l-h,
2 C2)
jjj, * = М-л.
В силу неотрицательности этой функции оператор сеточной задачи C1)
является самосопряженным и положительным.
Задачу C1) можно интерпретировать как задачу типа A9), B7)-B9).
А именно, определим сеточную функцию w(x) как решение разностного
уравнения B7) со следующим неоднородным граничным условием
^ w(l) = - ly(l - h). C3)
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 473
Это соответствует записи разностного уравнения B9) и в граничных узлах
сетки с учетом A9), B0).
9.5.3. Аппроксимация по пространству в задаче конвекции
После рассмотрения одномерного примера нам можно перейти
к формулировке дифференциально-разностной задачи, соответствующей
аппроксимации по пространству задачи конвекции C)-E), (8)—A2).
Пусть теперь П — прямоугольник, а ш — равномерная сетка в нем.
На множестве сеточных функций Я, обращающихся в нуль на границе
сетки, определим сеточный оператор Лапласа обычным образом:
~Ухаха, а =1,2. C4)
Для конвективных слагаемых используем аппроксимации второго поряд-
порядка на основе дивергентной записи F), G). В безындексных обозначениях
получим
2
а=1
Vx{vx)w = (i>i2w)el, V2(v2)w = -A>iw)i2i
причем на основании условий прилипания и непротекания компоненты
скоростей, вычисляемые по центральным разностям функции тока *ф,
равны нулю на дш. При выборе C5) имеет место разностное тождество
KV>)=0, C6)
так как функция тока обращается в нуль на дш.
Уравнению A3) с учетом однородных граничных условий (8), (9)
для функции тока ставится в соответствие дифференциально-разностное
уравнение
jtk1> + V{y)hil> + i/(AV + PW) ~ Pu*x = 0, C7)
Здесь сеточная функция р(х) определена в соответствии с C1), C2)
и имеет вид
Ха < 1а - Лв,
la-hay a =1,2.
474 Глава 9. Конвективный теплообмен
Здесь учтено, что при аппроксимации конвективных слагаемых в соот-
соответствии с C5) значение вихря на границе несущественно.
На расширенной сетке для разностного бигармонического операто-
оператора Л2 имеем
При аппроксимации уравнения теплопроводности E) используется
обычный (вместо F), G)) выбор конвективных слагаемых в виде полусум-
полусуммы конвективного переноса в недивергентной и дивергентной формах.
Положим
-1 C9)
1
а 2
и поэтому
1 Г dtp ди д ( dtp
D0)
и'ц/ ии, и I илу \ |
дх\ дх2 дх2 \0#i / J
Аппроксимация C9), D0) дает
D1)
а=1
где
Vi(vi)t*=-(^2ttjl + (*j2«)ll),
V2(v2)u= --A>*ио2+(<ф?иJ2).
При такой аппроксимации конвективных слагаемых оператор V(\) явля-
является кососимметричным и поэтому (ср. с C6))
u,i»)=0. D3)
С учетом D1)—D3) и граничных условий A1) дифференциально-
разностное уравнение для температуры имеет вид
du ~
— 4- V(\)u н- «Aw = ф} t), хеш, 0 < < < Г. D4)
at
Правая часть уравнения D4) поправляется в приграничных узлах с учетом
неоднородности граничных условий (И) (см. п. 4.7).
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 475
Уравнения C7), D4) дополняются начальными условиями
i>(x,0) = i>°(x), хеш, D5)
и(х,0) = и°(х), хеш, D6)
которые соответствуют A0), A2).
Приведем простейшие оценки решений дифференциально-разност-
дифференциально-разностной задачи C7), D4)-D6), которые согласуются с соответствующими
оценками (см. п. 9.4) решений исходной дифференциальной задачи.
Определим сеточное гильбертово пространство Яд, в котором скалярное
произведение определяется выражением (и, v)& = (Аи, v), а || • || — норма
в Я. Домножим скалярно в Я уравнение C7) на я/>, а уравнение D4) —
на и. С учетом C6) следует
Принимая во внимание однородность граничных условий, имеем
Поэтому из уравнения C7) получим
D7)
Из уравнения D4) с учетом D3) будем иметь
jt\\u\\ ^ Ы\. D8)
Неравенства D7), D8) полностью согласуются с неравенствами A5)
из п. 9.4 для решения дифференциальной задачи. Из D7), D8) непо-
непосредственно вытекают следующие простейшие априорные оценки:
D9)
U(,)\\M()\\ (\\()\\ / max |H*,i)||.
<€@,Т]
При исследовании разностных схем мы будем ориентироваться на полу-
получения подобных априорных оценок.
9.5.4. Разностные схемы
Приведем некоторые разностные схемы для сформулированной диф-
дифференциально-разностной задачи C7), D4)-D6). Естественно использо-
использовать чисто неявную разностную схему, которая имеет вид
^^^=0, E0)
476 Гпава 9. Конвективный теплообмен
т П+1 П+1 П+1 П> E1)
хеш, n = о, 1....
В силу нелинейности при реализации разностной схемы E0), E1)
используется тот или иной итерационный процесс. Можно применять
и простейшую линеаризованную схему
ж G w, n = 0,1...,
когда конвективный перенос осуществляется по полю скоростей с пре-
предыдущего временного слоя. Но даже в этом случае для нахождения
^n+i необходимо обращать сеточный эллиптический оператор четвертого
порядка.
Для разностной схемы E0), E1) нетрудно получить соответствующие
оценки устойчивости. Для этого скалярно домножим уравнение E0)
на Vn+ь а уравнение E1) соответственно на ип+\. По аналогии с D7),
D8) получим
Дальнейшее упрощения удобно пояснить, возвращаясь от уравне-
уравнения E2) к системе уравнений для сеточной функции тока и сеточному
вихрю скорости. Пусть
Л^п+1 = Wfi+i, хеш, п = 0,1,..., E4)
тогда уравнение E2) примет вид
+ V(\)w + v(Aw+p(x)ipn+])-/3(un+l)ii =0,
n=o,i,....
В уравнении для вихря E5) член p(x)rpn+\ обусловлен тем, что граничное
условие для вихря не задано.
Как и в одномерном примере (см. B7), C3)), операторное уравне-
уравнение E5) можно записать в виде обычного уравнения
4- V{vn)wn+{ + vAwn+x - /ЗК+i)*, = 0, ,_
хеш, n = o,i,...
с некоторыми неоднородными граничными условиями. Определим функ-
функцию
2
g(x,t) = -^h2apa(xa)ip(x,t). E7)
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» All
Тогда граничные условия для уравнения E6) можно записать в виде
( 9n+\(x\+hux2), ж, =0,
( v I Jn+\(x\ ~hux2), ж, = lu
wn+l(x)={ E8)
9п+\\х\, Х2 + Я Х2 = 0,
<7n+l(#b #2 ~~ ^2), Х2 = 12у
так что, например,
2
к;п+1@, Ж2) = —24>(h\, х2), 0 < х2 < 12.
hx
Условия E7), E8) есть не что иное, как хорошо известные граничные
условия Тома для вихря скорости. Еще раз подчеркнем, что уравнение E5)
эквивалентно уравнению E6) с граничными условиями E7), E8). Это есть
просто операторная запись E6)—E8), переход от задачи с неоднородными
граничными с условиями к задаче с однородными граничными условиями.
На основе E4), E5) можно строить разностные схемы более удобные
для вычислительной реализации. Простейший подход связан с тем, что
граничные условия для вихря берутся с предыдущего временного слоя,
т.е. в E8)
2
9п+\(х) = " X) hlP<*(xa)ipn(x)-
Это соответствует определению функции тока из уравнения E4), а вихря
из
lWn + V(vn)wn+l + i/(Ai*n+, + p(x)i/>n) - /3K+ib, = 0,
xGw, n = 0,1,... .
Схема E4), E9) очень удобна для реализации (решаются два элли-
эллиптических уравнения второго порядка), но она не является абсолютно
устойчивой. Ее условная устойчивость обусловлена именно граничными
условиями.
Второй путь построения безусловно устойчивых разностных схем
связан с итерационным уточнением граничного условия при реализации
схемы E4), E5) (E4), E6)-E8)). Пусть fi — итерационный параметр,
тогда при итерационном уточнении граничного условия на каждой ите-
итерации решается система уравнений
*, = 0,
478 Глава 9. Конвективный теплообмен
Понятное дело, что такой подход ведет к существенному увеличению
вычислительной работы. Кроме того, встает проблема выбора итераци-
итерационного параметра fi.
9.5.5. Безытерационная реализация граничных условий
для вихря скорости
Построим безусловно устойчивые разностные схемы в переменных
«функция тока, вихрь скорости», которые не связаны с итерационным
уточнением граничного условия. Для этого будем исходить из диффе-
дифференциально-разностной задачи C7), D4)-D6). Уравнение C7) запишем
в виде
—A^ + -4iA^ + il2A^ = /3t*jI, хеш, 0<t^T. F0)
где
А] = V(\) + i/Л, А2 = ир(х)Е. F1)
Тем самым, выделение граничных условий для вихря осуществляется
оператором А2.
Для уравнения F0), F1) можно использовать те или иные аддитивные
разностные схемы. Например, схема суммарной аппроксимации будет
иметь вид
i, F2)
хеш, »=o,i F3)
Полагая
первый полушаг разностной схемы F2), F3) можно рассматривать как
уравнение для вихря скорости:
П+1/2 + V(yn+i/2)wn+]/2 + vAwn+]/2 = /?(un+i) j,, F4)
а второй полушаг F3) — как уравнение для функции тока:
Л^п+1 + Ti/p(x)ipn+] = wn+\j2, хеш, 7i = 0,1,.... F5)
Заметим, что уравнение F4) соответствует определению вихря ско-
скорости при однородном граничном условии первого рода. Учет неодно-
неоднородности проводится в уравнении F5), которое отличается от обычного
уравнения для функции тока E4) в приграничных узлах.
Для того, чтобы показать абсолютную устойчивость схемы F2), F3),
достаточно домножить скалярно уравнение F2) на ^n+i/2> а уравне-
уравнение F3) — на VWi- Непосредственно следуют оценки
т.е.
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 479
Вместо F2), F3) можно строить и другие аддитивные разностные
схемы. Учитывая, что часто стационарные задачи решаются на основе
установления решения нестационарной задачи, приведем более удобную
для этих целей схему переменных направлений:
fH-1/2 + VP{X)$TI = Z^K+lb,, F6)
+ F(
+ i/AVn+i/2 + vp(xI>n+\ = /?K+i)*, • F7)
Устойчивость разностной схемы F6), F7) исследуется так же, как
устойчивость схемы переменных направлений для уравнения теплопро-
теплопроводности (см. п. 6.2). Полагая
запишем F6), F7) с учетом F1) в виде
(Л + 0,5rA,A)^n+1/2 = (А - 0,5TA2)il>n + 0,5т#„,
(Л + 0,5r,42)Vwi = (Л - 0,5x^)^+1/2 + 0,5т#п.
Отсюда непосредственно имеем
Л,
F8)
-, +0,5г||*п||А-|.
На основании определения оператора конвективного переноса соглас-
согласно C5) имеем (см. C6))
2) =0.
Поэтому (см. доказательство леммы в п. 6.2)
= ((Л - О
Это дает возможность получить из F8) оценку
||(Л+ 0,5
480 Глава 9. Конвективный теплообмен
Принимая во внимание лемму из п. 6.2, приходим к искомой оценке
| | || ||A-, + 0,5трп||л-.. F9)
Подобным образом рассматриваются и другие схемы, примыкающие
к схеме F6), F7). В качестве примера рассмотрим схему стабилизирующей
поправки (чисто неявную факторизованную схему), которая записывается
в виде
i)j,, G0)
= о,
хеш, п = 0,1,... . G1)
Первый этап реализации схемы G0), G1) соответствует использованию
обычной неявной схемы, когда с предыдущего временного слоя берутся
только граничные условия для вихря. В этом контексте второй этап (раз-
(разностное уравнение G1)) можно рассматривать как вычисление функции
тока с коррекцией на явное задание граничных условий для вихря. Поэто-
Поэтому такие схемы и названы схемами коррекции по граничному условию.
9.5.6. Устойчивые линеаризованные схемы
Отметим, что оценка F9), а равно и ранее приведенные оцен-
оценки, получены при выбранной аппроксимации конвективного слагаемого
согласно C5) для нелинейных схем. При линеаризации конвективных
слагаемых такая устойчивость уже не имеет места. Здесь мы отметим
возможности построения устойчивых линеаризованных схем, близких
к линеаризованным схемам для уравнения теплопроводности с конвек-
конвекцией (см., например, E3)). Естественно новый класс разностных схем
связывать с выбором новых аппроксимаций конвективных слагаемых.
На основании F), G) имеем
л,/ч д
Vf
\дх2 ) дх2 \дхх ) дхх \дх2 V дх2 \dxi *)
V ; дхх
2 [дх2 дх{ + дхх \дх2)\ + 2 [дхх дх2 + дх2 \дхх
Определим вектор
. . dw dw
w={wuw2}y ^1 = --—, w2 = —, G2)
дх2 ох\
тогда можем записать конвективный перенос вихря в виде
V(v)w = V(w)^, G3)
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 481
т. е. мы интерпретируем конвективный перенос вихря скорости как эф-
эффективный перенос функции тока.
В соответствии с G2), G3) используем симметричную аппроксима-
аппроксимацию типа D1), D2):
2
*>) = ?№«), G4)
где с учетом G2)
V2(w2I> = -(«^j, + (wj,V>b2)-
При аппроксимации конвективного переноса в соответствии с G3),
G4) имеем
,1>)=0, G5)
более того, кососимметричными будут и оба отдельных оператора V^w^),
а=1,2.
Не останавливаясь подробно на схемах с такой аппроксимацией,
приведем лишь некоторые из них. Схеме E0), E1) соответствует следую-
следующая чисто неявная разностная схема с
i =0, хеш, п = 0,1,... . G6)
Так же, как G6), абсолютно устойчивой является и линеаризованная
разностная схема
+ V(vrn)ipn+l +
)I = 0, хеш, п = 0,1,... . G7)
Можно получить и соответствующие схемы с коррекцией по граничному
условию для вихря. Учитывая вопросы вычислительной реализации, здесь
необходимо использовать запись F0) с
Ах = i/Л, А2 = F(w) + vp(x)E, G8)
причем А2 ^ 0 при любых w.
Безусловно устойчивыми будут не только нелинейные аддитивные
схемы для F0), G8) с коррекцией, но и линеаризованные. Например,
G0), G1) будет соответствовать линеаризованная схема вида
G9)
32 Зак 168
482 Глава 9. Конвективный теплообмен
1 _ ^ = 0) (80)
хеш, п = 0,1,2,... .
Разностное уравнение G9) можно записать как уравнение для вихря
uAwn+l/2 + V (wn)i>n + М*I>п = /3(«„+1)|,. (81)
Схема (80), (81) характеризуется расчетом вихря, когда конвективный
перенос и граничные условия берутся с предыдущего временного слоя,
а уравнение для функции тока имеет существенно нестандартный вид.
9.5.7. Задачи
Задача 1. Для одномерной задачи A4)-A6) рассмотрите разностную
схему второго порядка аппроксимации с использованием направленных
разностей для граничных условий.
Решение. Уравнение A4) аппроксимируется на равномерной сетке
следующим образом:
Ухххх = /(*)> h<x<l-h. (82)
Из A5) имеем
а для аппроксимации второго граничного условия используем направлен-
направленные разности второго порядка аппроксимации, например
у(х) = 0, хе ди, (83)
рого граничного условия использу
рядка аппроксимации, например
du -и(х + 2h) + 4и(х + h) - Зи(х) h
ТХ* Th = их--ихх.
Аппроксимируя A6), получим
Ух - тУхх = 0, х = 0,
h (84)
Нетрудно видеть, что (82)-(84) есть разностная задача с несимметричной
матрицей (разностный оператор, определенный на множестве внутренних
узлов а>, не является самосопряженным). Ранее рассмотренная аппрок-
аппроксимация A8)-B0) таким недостатком не обладает.
Следует заметить, что используемые в вычислительной гидродинами-
гидродинамике граничные условия для вихря, отличные от условия Тома, также чаще
всего приводят к несамосопряженным сеточным операторам, подобно
аппроксимациям (82)-(84). >
9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, температура» 483
Задача 2. Оператор конвективного переноса в двумерных задачах
несжимаемой жидкости V(\)w = /C(^, w) с учетом граничных усло-
условий (8), (9) обладает следующими свойствами:
(K(i>, w), i>) = О, (Цф,w), ш) = 0, (85)
Аппроксимируйте V(v) так, чтобы были выполнены разностные анало-
аналоги (85).
Решение. Мы можем аппроксимировать центральными разностями
конвективные слагаемые следующими тремя возможными способами:
, w) =
Определим
KA>, w) = A - a - /?)ВД, w) + adbty, w) + /3JST3(^, w) (86)
и подберем параметры а и /3 так, чтобы были выполнены соотношения
(K(i>, w), 1>) = О, (КA>, w), w) = 0. (87)
Выбор ЛГг^)w) соответствует использованию C5), поэтому
(K2A>,w),1>)=0. (88)
Выбор G4) соответствует полусумме K\(^yw) и K^ip^w), и в силу G5)
имеем
((K{(^w)^K3(^w))^) =0. (89)
Подстановка (86) в первое равенство (87) при учете (88), (89) дает первое
соотношение на параметры
1 - a - /3 = /J. (90)
Нетрудно убедиться, что имеет место равенство
{K3(i>,w),u>)=0. (91)
Выбору конвективных слагаемых согласно D1), D2) соответствует полу-
полусумма К\{ф} w) и К2(ф) w) и поэтому (см. D3))
Из (86), (91), (92) следует, что второе равенство (87) будет иметь место
при выполнении
1 - а - /3 = а. (93)
Из (90) и (93) следует, что для выполнения (87) достаточно положить
(Аракава, 1966 г.)
K(i>, w)=l- (K^ w) Л- К2A>, w) + К3{ф, w)).
32*
484 Глава 9. Конвективный теплообмен
9.6. Задачи тепло- и массопереноса
с фазовыми превращениями
9.6.1. Задача Стефана с учетом движения расплава
Рассмотрим вопросы моделирования фазовых переходов твердое те-
тело — жидкость при учете конвективных движений жидкой фазы. Оста-
Остановимся на двухфазной задаче Стефана в прямоугольнике п. Свободную
границу (см. п. 7.2) будем обозначать S = S(t), в подобласти u+(t)
находится расплав, а в u~(t) ¦— твердая фаза. Тепловое поле описы-
описывается уравнением теплопроводности с учетом конвективного движения
в жидкой фазе.
Используя обобщенную формулировку задачи Стефана, уравнение
переноса тепла запишем в виде
х ? О, О <С t < Т.
Напомним, что коэффициенты теплоемкости и теплопроводности имеют
вид
IV, и>0 (хЕП+),
с(и) = < ,
|<Г, и<0 (жЕ1Г),
\fc~, u<0 (xGfi"),
т. е. фазовый переход происходит при и(х, t) = 0:
S(t) = {х\хеп, и(х, t) = 0, 0 < t < Т}.
Для скорости естественно положить (твердая фаза неподвижна)
Уравнение A) дополним условиями
u(X)t)=g(x,t), хедп, 0<t^T. D)
Движение в жидкой фазе обусловлено свободной конвекцией. В ка-
качестве равновесной температуры возьмем температуру фазового перехода,
тогда уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска будут иметь
(см. п. 9.4) вид
— + V(v)v + gradp - v 2^ ^ZT ~ Peu = °» E)
divv = 0, xeu+(t), 0<t^T. F)
9.6. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями 485
Будем считать, что граница области дп твердая и неподвижная, т. е.
на ней скорость отсутствует. Скорость будет равна нулю и на границе
расплав — твердое тело при условии, что при фазовом превращении
плотность не меняется. Поэтому можно принять следующие граничные
условия для скорости
v(x,*) = 0, xedu+(t), 0<t^T. G)
Кроме того, зададим некоторое начальное распределение скорости
v(a,O)=vo(a0, жЕП+@). (8)
Таким образом, задача описания тепло- и массопереноса с фазовыми
переходами сводится к решению уравнения теплопроводности A) с усло-
условиями C), D) во всей области п и определению распределения скорости
согласно B), E)-(8).
При исследовании двумерных задач, подобных сформулированной
выше, чаще всего ориентируются на использование переменных «функ-
«функция тока, вихрь скорости» для описания конвективного переноса. В этом
случае (см. п. 9.5) вместо E), F) рассматриваются уравнения
^^ . (9)
а=1 а 1
С учетом A), B) получим уравнение для функции тока:
2 л2 i
-?df = w;> *^+@> о<^т. (ю)
а=\ °Х<*
Вместо G), (8) используются условия
#М) = 0, xedU+(t), 0<t^T, A1)
^(х, о = о, хе 0П+(О, о < * < т, A2)
#М) = /(*), хеп+(о). A3)
Особенности решения задач типа Стефана (задачи A), C), D) при
заданной скорости т(ж, t)) рассматривались в главе 7. Поэтому мы остано-
остановимся на особенностях решения задачи конвекции E)-(8) (или (9)—A3))
в динамических областях u+(t).
9.6.2. Методы с выделением границы фазового перехода
Как и при решении классической задачи Стефана (см. главу 7) будем
выделять две группы методов. В методах с выделением границы фазового
перехода задача чаще всего решается в новых независимых переменных,
в которых расчетные области П±(^) отображаются в фиксированные ре-
регулярные области. Новые переменные вводятся по-разному (см. п. 7.1).
486 Глава 9. Конвективный теплообмен
Мы здесь лишь отметим переформулировку задачи конвекции в перемен-
переменных «функция тока, вихрь скорости, температура» при общем преобра-
преобразовании независимых переменных, которое рассматривалось ранее для
задачи теплопроводности.
Пусть
где (fi>6) — новые независимые переменные и
Ф, t) = Щ, О, V>(*, t) = ^, <), Ч*, 0 = fif& О-
Запишем в новых переменных уравнения A), (9), A0) для подобласти,
занятой жидкой фазой х ? u+(t).
Для произвольной функции
имеем (см. задачу 2 в п. 7.1)
С/С Cft Cft Cfq\ (ft Oq2
причем
дхх дх2
д?х __ 1 /дх2дхх
-ot-jy-af-db- - _, A5)
dt J \ dt Э?\ dt dl
Здесь для якобиана преобразования используется выражение
Для оператора Лапласа имеем
а=1
где
дхЛ1
gn =
dxidX] дх2дх2
9n =92\ = Т7"^Г + ^7~я7~'
V56
922 = I ТГ I +
V 56 /
9.6. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями 487
Осталось выразить в новых координатах конвективный перенос.
Уравнение неразрывности F) в новых переменных имеет вид
поэтому функцию тока мы можем ввести соотношением
Для конвективного слагаемого в дивергентной форме получим
2
Приведенные формулы A4)—B0) позволяют записать уравнения свобод-
свободной конвекции A), (9), A0) в новых независимых переменных. Например,
уравнение для вихря (9) примет вид
dw 1 /дх2 дхх дхх дх2\ dw 1 /дхх дх2 дх2 дхх \ dw
1 д . ч 1 д /g22 dw an dw
д /gxx dw gX2 dw\ 1 / 8и дх2 ди дх2\ _
Аналогично выписываются и другие уравнения.
На основе такой переформулировки строятся соответствующие раз-
разностные схемы на динамических подвижных сетках. Соответствующую
разностную задачу можно формулировать и на таких сетках без выписы-
выписывания задачи в новых переменных на основе интегро-интерполяционного
метода.
Недостатки методов с выделением границы мы уже обсуждали. В рас-
рассматриваемых задачах тепло- и массопереноса трудности использования
методов такого класса усугубляются большей сложности задачи конвек-
конвекции по сравнению с чисто тепловыми задачами.
9.6.3. Методы сквозного счета в естественных переменных
Значительно больший интерес для практического использования
представляют методы без выделения свободной границы. Для расчета
температуры используются подходы (см. п. 7.2) со сглаживанием коэф-
коэффициентов. Необходимо построить методы сквозного счета для решения
задач гидродинамики в нерегулярных, динамических расчетных областях.
488 Глава 9. Конвективный теплообмен
Такие алгоритмы могут базироваться на методе фиктивных областей,
общее обсуждение которого имеется в п. 4.8.
Будем рассматривать задачи конвекции в естественных перемен-
переменных B), E)-(8), считая, для простоты, поле температур заданным.
Вместо задачи в нерегулярной, динамической области П+(?) будем рас-
рассматривать задачу в фиксированной области, которая включает tt+(t).
В качестве такой вспомогательной области можно взять п. Прибли-
Приближенное решение, зависящее от малого параметра ?, будем обозначать
ve(x, t)yp?(xy t). Определим его из уравнения неразрывности
и уравнения движения в виде
ОЪ «=1 ° а \22)
Здесь (см. п. 4.8) разрывный коэффициент С?(и) определен с учетом B)
и E) следующим образом
С( >=1°' U>° (Ж€П+) /23ч
еК } \е~\ ^<0 (хеП-). К }
Аналогично задается и коэффициент /3?(и):
в?(и) = < U B4)
[О, и<0 (ж G О").
Тем самым, в расчетной области П+(?) выполняется исходное уравне-
уравнение, а выбор большого коэффициента позволяет приблизить условие B)
в твердой фазе и в частности — граничные условия G).
Уравнения B1), B2) дополняются граничными и начальными усло-
условиями, согласованными с G), (8):
Задача B1)—B6) соответствует использованию варианта метода фиктив-
фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам (см. п. 4.8).
Имеются соответствующие оценки близости приближенного у?(х) t) и
точного \(х'} t) решений задачи в некоторых упрощенных постановках.
В ряде прикладных работ такой подход получил название модель
пористой среды. Член С?(и) может интерпретироваться как сила со-
сопротивления движению жидкости в пористой среде (уравнение Дарси—
Буссинеска).
9.6. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями 489
Для приближенного решения задачи B), E)-(8) можно применять
метод фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам,
которых может интерпретироваться как модель с переменной вязкостью.
В этом случае вместо B2) используется уравнение движения в форме
^Г + V(v,K + grad Ve ~ v ^ ?; (C^) ?;) - A(«)e* = °>
где теперь
Ce(u) = \ \ \ h
Вариант B1), B4)-B8) соответствует рассмотрению твердой фазы как
сильно вязкой жидкости.
Для уравнений B2) естественными (которые получаются при инте-
интегрировании уравнения, и поэтому можно их не выписывать каждый раз)
являются следующие условия сопряжения на свободной границе S(t):
[у?] = о, хе s(t),
Л "I
иСе(и)^-р?п\ =0,
хе
первое из которых отражает непрерывность скоростей, а второе — не-
непрерывность нормальных к границе напряжений.
Реализация метода фиктивных областей может проводиться на осно-
основе разностных схем для задач гидродинамики в естественных переменных,
которые рассматривались в п. 9.4. Особенности задач B1)—B6) и B1),
B4)-B8) связаны с разрывным коэффициентом С?(и) и не носят прин-
принципиального характера.
9.6.4. Метод фиктивных областей в переменных
«функция тока, вихрь скорости»
Отметим возможности использования метода фиктивных областей
для построения вычислительных алгоритмов сквозного счета в задачах
тепло- и массопереноса, когда учитывается конвективное перемеши-
перемешивание жидкой фазы, в переменных «функция тока, вихрь скорости,
температура».
Будем рассматривать уравнения (9), A0) с дополнительными усло-
условиями A1)—A3) в области П+(?). Удобно записать (9), A0) в виде одного
уравнения четвертого порядка для функции тока. Пусть L — оператор
Лапласа, тогда
—Ц> + V{y)Li) + i/LV - Рр- = 0> * € П+@, 0 < * ^ Г, B9)
0ь ОХ\
причем
Ltl> = w, хе П+@, 0 < * ^ Т.
31 Зак 168
490 Глава 9. Конвективный теплообмен
Среди имеющихся вариантов метода фиктивных областей для урав-
уравнения B9) (уравнение четвертого порядка) можно в качестве основных
выделить три варианта метода фиктивных областей. Таковыми являются
вариант с продолжением по младшим коэффициентам, с продолжением
коэффициентов при вторых производных и с продолжением коэффици-
коэффициентов при старших (четвертых) производных.
В варианте с продолжением по младшим коэффициентам вместо
уравнения B9) в нерегулярной области u+(t) решается возмущенное
уравнение в фиксированной расширенной области, в качестве которой
мы взяли П:
д 2 ди
-jfi Ve+ (Уе) Ve + V We + У е(UI>? - P?(u) — - , ^
х е п@, о < t < г,
где коэффициент Се{и) определен согласно B3), а /3?(и) — B4).
Уравнение C0) дополняется граничными условиями
ф?(х, 0 = 0, х е дп, 0<t^T, C1)
' ? (~> 4\ Л ф С. ЯО П S i ^ Ф ^/)\
¦ Ц/. ?1 '¦¦-¦ V/% •*/ ^Z (/у V4 \3 ^ч v ^^ JL. • I •• ? I
dn
Начальное условие для уравнения C), с учетом A3) и B), задается
формулой
При е —> 0 решение задачи C0)—C3) дает приближенное решение исход-
исходной задачи A1), A3), B9), т.е.
&(*, 0 -> #*, 0> х е П+(«), 0 < t^ Г.
В качестве варианта метода фиктивных областей для уравнения B9)
можно рассмотреть вариант с продолжением по коэффициентам при
вторых производных. В этом случае приближенное решение определяется
из уравнения
C4)
и условий C1)—C3). В уравнении C4) коэффициент Се(и) снова опреде-
определяется согласно B3).
Вариант с продолжением по младшим коэффициентам (уравне-
(уравнение C0)) не имеет какого-либо физического содержания подобно от-
отмеченным выше вариантам метода фиктивных областей в естественных
9.6. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями 491
переменных (пористая среда, сильно вязкая жидкость). В то время как
вариант с продолжением коэффициентов при вторых производных C4)
отвечает отмеченной выше (см. уравнение B2)) модели пористой среды.
Для моделирования движения расплава в двухфазной зоне привле-
привлекаются те или иные соображения о ее структуре. Например, считая
двухфазную зону пористой (дендридная структура), можно моделировать
течение в двухфазной зоне на основе задания эффективного коэффици-
коэффициента фильтрации, зависящего, например, от температуры. Однородный
алгоритм можно строить на основе использования метода фиктивных
областей в вариантах B3) или C4). Второй вариант описания гидроди-
гидродинамики в двухфазной зоне связан с заданием эффективного коэффици-
коэффициента вязкости и использованием метода фиктивных областей в варианте
с продолжением по старшим коэффициентам (уравнение B2)). Возможно
использование и других макроскопических моделей двухфазной среды.
9.6.5. Вычислительная реализация
метода фиктивных областей
Отметим некоторые особенности реализации вычислительных алго-
алгоритмов сквозного счета для задач гидродинамики в переменных «функция
тока, вихрь скорости». С этой целью используются аддитивные разност-
разностные схемы, которые рассмотрены в п. 9.5.
Рассмотрим вначале вариант метода фиктивных областей с про-
продолжением по младшим коэффициентам. Используя обозначения п. 9.5,
после аппроксимации по пространству от уравнения C0) придем к диф-
дифференциально-разностному уравнению (см. C7) в п. 9.5)
^+%)л^+1/(лЧ+(сМ+р(х))^) - А(«К =о C5)
Особенность задачи проявляется в дополнительном к сеточной функ-
функции р(х) неотрицательном слагаемом Се(и). Сами же разностные схемы
строятся полностью аналогично.
Для аддитивных разностных схем имеем
-Аг/> + АХЩ + A2i> = &(*)**,> хеш, 0 < < < Т, C6)
где теперь
А] = V(y) + i/A, A2 = и(С?(и) + р(х))Е. C7)
Для C6), C7) могут быть рассмотрены схемы суммарной аппроксимации,
схемы переменных направлений (см. п. 9.5).
Отметим особенности реализации модели пористой среды. Диффе-
Дифференциально-разностная задача, которая соответствует уравнению C4),
31*
492 Глава 9. Конвективный теплообмен
будет иметь вид
d 2
dt Xl C8)
хеш, o<t^T,
где
a da, а = 1,2, вычисляются по коэффициенту продолжения С?(и).
Например, в простейшем случае
d\(xux2) = С?(и(х] - 0,5fth
\, х2) = Cf (ti(xi, x2 - 0,5/i2)).
Для построения аддитивных разностных схем для C8) используется
запись C6) с
Ах = V(y) -f i/A, Л2 = i/(Ae + />(*))#. C9)
Существенно то, что в C9) оператор А2 является самосопряженным
и неотрицательным, так как
Л, = Л* ^ 0.
Далее используются разностные схемы п. 9.5.
9.6.6. Задачи
I Задача 1. Сформулируйте вариант метода фиктивных областей с про-
продолжением по старшим производным на основе варианта B7).
Решение. В каждой отдельной подобласти будем иметь уравнение
с бигармоническим оператором. Но для формулировки естественных
условий сопряжения, которые соответствуют уравнению B7), необходимо
выписать оператор четвертого порядка с переменными коэффициентами.
Уравнение для функции тока будет иметь вид
д ди
—М? + V(y€)I4e + vCei>e - Pe{u)— = 0, X G П0), 0 < * ^ T,
ut OX \
где
{и)
При такой записи нет необходимости специально формулировать условия
сопряжения. >
9.7. Приближение пограничного слоя 493
Задача 2. Сформулируйте задачу для нахождения функции тока при
применении схемы стабилизирующей поправки для вариантов метода
фиктивных областей C6), C7) и C6), C9).
Решение. Второй этап схемы стабилизирующей поправки (чисто
неявной факторизованной схемы, схемы Дугласа—Рекфорда) для C6)
состоит в решении уравнения (индекс е опущен)
2(^п+1^п) , } n = 0,l,2.... D0)
т
В варианте с продолжением по младшим коэффициентам (расщепле-
(расщепление C7)) разностное уравнение D0) дает следующее уравнение для функ-
функции тока:
Мм-1 +Т1/(С?(и) + p(x))A>n+i ~ 1рп) = Wn+l/2,
D1)
х е о;, п = 0,1,2... .
При использовании модели пористой среды (расщепление B9)) анало-
аналогичное уравнение имеет вид
ж Go;, n = 0, 1,2... .
Таким образом, мы снова приходим к сеточной задаче Дирихле для элли-
эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.
Для приближенного решения задач D1), D2) используются итераци-
итерационные методы (см. п. 4.7). Отметим, что для задачи D1) скорость сходи-
сходимости слабо зависит от параметра продолжения е для основных итераци-
итерационных методов, чего нельзя, вообще говоря, сказать о задаче D2). >
9.7. Приближение пограничного слоя
9.7.1. Течение на начальном участке канала
Как отмечено в п. 2.4, для описания конвективных течений широ-
широко используются приближенные модели. Наиболее известным является
приближение пограничного слоя. Для краткого описания подходов к чи-
численному решению задач тепло- и массопереноса в рамках такого прибли-
приближения рассмотрим модельную двумерную задачу о стационарном течении
теплопроводящей жидкости на начальном участке плоского канала.
Рассматривается течение жидкости между двумя вертикальными пла-
пластинами, причем, для определенности, жидкость подается снизу. Наряду
с вынужденной будем рассматривать и свободную конвекцию в прибли-
приближении слабосжимаемой жидкости. В основе упрощенной модели лежит
предположение о малости скорости в поперечном направлении по срав-
сравнению со скоростью в продольном направлении, пренебрегаем также
494 Глава 9. Конвективный теплообмен
изменением скоростей в продольном направлении. Это дает нам уравне-
уравнения пограничного слоя.
Пусть ось х\ направлена вдоль пластины, a х2 — поперек. Уравне-
Уравнения Навье—Стокса в приближении пограничного слоя дают следующую
систему уравнений для описания стационарных течений. Задача рассма-
рассматривается в полуполосе
Q = {х | х — (хих2)) х\ > О, 0 < х2 < I].
Пусть v = (и, v) — скорость, а в — температура. Тогда уравнения
движения и неразрывности записываются в виде
ди ди др ал д2и
ди dv
— + — = 0, ж € П. C)
ОХ\ ОХ2
В A)-C) принято, что изменение плотности отсчитывается от плотности
вблизи границ канала, на которых температура равна нулю.
Уравнение теплопроводности в приближении теплового погранич-
пограничного слоя (объемные источники тепла отсутствуют) может быть записано
с следующем виде
дО дО д20
дх\ дх2 дх>±
Сформулируем необходимые граничные условия для системы уравне-
уравнений A)-D). Будем считать, что на входе в канал температура и продольная
скорость постоянны:
и@у х2) = и° = const, E)
0@, х2) = 0° = const. F)
Условия прилипания и непротекания дают на стенках канала граничные
условия
и(х) = 0, х2 = 0, /, G)
v(x) = 0, х2 = 0, I. (8)
Кроме того, для температуры стенок имеем
Уравнения A)-D) с условиями E)-(9) полностью определяют тече-
течение в вертикальном плоском канале. Заметим, что уравнения A), D) есть
9.7. Приближение пограничного слоя 495
параболические уравнения, в которых переменная х\ является эволюци-
эволюционной (выступает в качестве аналога времени). Если и(х) < 0, то задача
с условиями E), F) является некорректной. Поэтому рассматриваемая
модель пограничного слоя мало приспособлена для описания возвратных
течений, в которых продольная скорость меняет знак.
В силу уравнения B) имеем р = р{х\) и поэтому уравнение A) можно
переписать в виде
ди ди
т.е. при каждом фиксированном х\ уравнение движения содержит неиз-
неизвестный параметр
**,) = -?. (И)
Для его определения привлекаются граничные условия (8), которых два
в то время как для уравнения неразрывности C) (уравнения первого
порядка) достаточно одного условия.
Из условий (8) интегрированием по сечению канала получим
и(х) dx2-Q- const. A2)
Условие постоянства расхода A2) можно использовать вместо одного
из граничных условий (8). Интегральное условие A2) будем рассматривать
как дополнительное условие для нахождения функции д(х\) в A0), A1).
9.7.2. Разностная схема
Приведем в качестве примера простейшую линеаризованную схему
для моделирования течения в канале. В своем рассмотрении ограничимся
равномерной сеткой и с шагами h\ и h2 по переменным х\ и х2
соответственно:
x2 = ih2, t=l,2,...,JV-l, Nh2 = l}.
В соответствии с этим положим y(nhuih2) = yn(ih2) = y,n.
В качестве определяющих выступают уравнения движения A0), не-
неразрывности C) и теплопроводности D). Будем ориентироваться на ис-
использование чисто неявных схем, и поэтому для аппроксимации A0)
используется разностное уравнение (за разностными величинами со-
сохранены те же обозначения, что и для решения дифференциальной
задачи):
ип~^ 1+Mui2)n+\ =9n+\ +p0n+] +i/(tix2*2 W A3)
496 Глава 9. Конвективный теплообмен
Аналогично выписывается разностное уравнение для температуры:
Un Г Ь Vn\V?,)п+1 — К\0Х2Х2/П+\- A4)
Для разностных уравнений A3), A4) используются (см. E), F)) началь-
начальные условия
щ(х2) = и\ 0<х2<1, A5)
$о(х2) = 0°, 0 < х2 < I. A6)
Из G), (9) получим
ttn+i(tf) = 0, х2 = 0,1, A7)
Для неизвестного дп+] в уравнении A3) используем аппроксимацию
условия постоянства потока A2) следующего вида (квадратурная форму-
формула прямоугольников с учетом A7)):
N-]
= Q A9)
Из разностных уравнений A3), A4) и дополнительных условий
A5)—A9) определяются продольные скорости и температура на новом
временном слое (сеточные функции ип+\, 0n+i)- Для определения по-
поперечной скорости используем следующую аппроксимацию уравнения
неразрывности C):
V*1"*1 = ^(ц<+1'п+:"^+|'п+Чп+\ ""•'-)¦ B0)
h2 2 \ hx hx J
Это разностное уравнение дополняется одним из граничных условий (8),
например,
Vn+)\X2) — и> Х2 — К). \?1)
Поперечная скорость определяется из B0), B1) по явным формулам.
Особенностью разностной схемы A3)—B1) является нестандартная
сеточная задача для определения ип+\ из уравнения A3) с неизвестным
параметром дп+\ и граничных условий A7) и нелокального условия A9).
Для решения соответствующей задачи используется специальный алго-
алгоритм прогонки (задача 1).
Можно поступить следующим образом. Запишем линейное уравне-
уравнение A3) в виде
Лп^П + 1 = 9п + \ + ^(^П) &П+\)
и представим его решение с учетом однородных граничных условий в виде
=7*1 +
Здесь z\ и z2 есть решения двух задач:
Knzx = 1, Anz2 =
9.7. Приближение пограничного слоя 497
Принимая во внимание интегральное условие A9), для неизвестной
постоянной 7 получим
JV—1
Q - ? «2*2
7 =
1=1
Таким образом, задача свелась к решению двух трехточечных задач для
za, a = 1, 2, которые отличаются только правой частью.
9.7.3. Аналог переменных «функция тока, вихрь скорости»
Здесь мы отметим возможности приближенного решения задачи
о течении на начальном участке канала A)-(9) при использовании пере-
переменных «функция тока, вихрь скорости». Положим как обычно
,= »*, „ = _**, B2)
дх2 дх\
тогда уравнение неразрывности C) будет выполнено тождественно. Диф-
Дифференцируя A0) по переменной х2 с учетом C) и B2), придем к системе
уравнений
dw dw дв d2w
^ B3)
д2ф
= У>' Х€П' B4)
Эту систему уравнений можно рассматривать как приближение погра-
пограничного слоя для уравнений Навье—Стокса в переменных «функция
тока, вихрь скорости». В данном случае величина w лишь приближенно
равна вихрю скорости, поэтому мы говорим лишь об аналоге переменных
«функция тока, вихрь скорости».
Уравнения B3), B4) дополняются условиями F), (9) и
i>(*) = 0, х2 = 0,
#*) = <? * = I K }
) = 0, х2 = 0,1, B6)
1>(х) = у Q, хх = 0. B7)
Задача в новых переменных B3)-B7), F), (9) более удобна для
численного решения, чем A)-(9). Это связано, как и при рассмотрении
полных уравнений Навье—Стокса, с тем, что уравнение неразрывности
498 Глава 9. Конвективный теплообмен
выполняется автоматически, меньше неизвестных. В новых перемен-
переменных нет проблем с реализацией интегрального условия A2). Неудобства
порождены отсутствием явных граничных условий для функции w.
Приведем простейшую разностную схему для системы уравнений
B3), B4). Положим с учетом B2)
Un = W>|2)n, Vn =
и поставим в соответствие уравнению B3) разностное уравнение
)п+\. B8)
Аналогично для B4) имеем
-(^2.a)n+i=w»+i. B9)
Из B5) следуют граничные условия для функции тока:
( )
Граничные условия B6) аппроксимируются в соответствии с п. 9.5. Про-
Простейший вариант связан с использованием явных условий Тома:
4( Л) = О,
2 CD
,2 ГП\*>2 "Г />
l(x2) = 71 (Q ~ *Фп(Х2 " h2)), X2 = I
Разностная задача B8)—C1) на каждом новом слое по маршевой пере-
переменной х\ решается стандартным образом.
9.7.4. Переменные Мизеса
Среди других подходов к решению задачи A)-(9) (а равно и не-
некоторых других задач теории пограничного слоя) отметим возможность
использования в качестве независимых величин х\ и ф — переменные
Мизеса. _
Пусть /(a?i, xi) = f(x\}i()), тогда с учетом B2) имеем
8x\ "" dx{ dij)dx\ ~ 8x\ Vdip' dx2 "" dip ~U'
В силу этого уравнение движения A0) примет вид
) C2)
Замечательной особенностью уравнения C2) является то, что оно не со-
содержит поперечной компоненты скорости.
9.7. Приближение пограничного слоя 499
Аналогично выписывается и уравнение для температуры:
дх\ ~di/j\dif))
Нетрудно сформулировать и соответствующие граничные условия для
системы уравнений C2), C4). Следует заметить, что при использова-
использовании переменных Мизеса проблема определения д\{х) в уравнении C2)
остается. Здесь снова необходимо привлекать интегральное условие A2),
которое (и это усложняет задачу) необходимо записать в новых условиях.
После нахождения решения и(х\, ф) и 0(х\, ф) из соответствующих
краевых задач необходимо найти и функцию ^(вь^О* При постоян-
постоянных х\ это можно сделать, опираясь на равенство
_ дф
и = ,
простым интегрированием:
х2 = x2{xui>) = I g, , ds. C4)
i
При построении квадратурных формул для C4) необходимо иметь в виду
асимптотику продольной скорости вблизи стенок. Например, при х2 —¦ О
имеем с учетом B5), B6) ф(х) = О{х\). Для построения более удобных
для численного интегрирования формул чем C4) в качестве независимых
переменных используются х\ и ф]^2(х) (см. задачу 2).
В настоящее время получили развитие и многие другие подходы
к приближенному интегрированию уравнений тепло- и массопереноса
в приближении пограничного слоя. Мы фактически отметили только
отдельные возможные направления в таких исследованиях: использова-
использование естественных переменных, новые зависимые переменные (функция
тока, вихрь скорости) и новые независимые переменные (переменные
Мизеса).
9.7.5. Задачи
Задача 1. Постройте вариант прогонки для решения трехдиагональной
системы линейных уравнений
t = 1,2,... ,т- 1, C5)
500 Глава 9. Конвективный теплообмен
Решение. Будем искать решение системы уравнений C5) в виде
yi = Vi-}iWi, t = 0, l,...,m, C6)
где
Подстановка C6) в C5) позволяет выделить следующую задачу для w,-:
Cowo - BqW\ = 0,
-jiiWi-i + С,-!».- - J3,-ti;t-+i + 1=0, г = 1, 2,..., т - 1,
-4mwm_i + Cmt0TO = 0.
Для решения этой задачи используется обычная прогонка.
Для V{ соответствующая задача имеет вид
CqVq — BqV\ = jPo,
-AiVi-i 4- C,-^ - B{vM =Ft, t = 1, 2,..., m - 1,
—i4m_ivm_i + Cmvm = Fm.
Для этой задачи снова применяется обычный алгоритм прогонки. Причем
в обоих вспомогательных задачах имеется общий прогоночный множи-
множитель.
После того, как v, и ги, найдены, для определения параметра \i
из C6), C7) получим искомую формулу
1 + J2 DjWj
для параметра в представлении C6) решения задачи C5). На основании
этого можно сформулировать достаточные условия устойчивости про-
прогонки. Помимо обычных условий (см. п. 4.5) необходимо потребовать
Д; ^0, г = 0,1,...,т. >
I Задача 2. Запишите уравнения пограничного слоя C), A0) в новых
переменных (x\,ipl/2(x)).
Решение. Имеем f(x\,xi) = /(#i, 'Ф^2) и поэтому
дх2
9.8. Библиография и комментарий 501
Для уравнения A0) в новых переменных получим
- _ 1 д / 1 дп \
Снова приходим к одному уравнению для продольной скорости. Так же
как и в переменных (хи ф), необходимо отдельно рассматривать вопросы
определения функции д(х\).
Для определения х2(х\, i/>^2) при постоянных х\ используется соот-
соотношение
т дх2
интегрирование которого дает
J u(xus)
о
S ds. C8)
В отличие от C4), подынтегральная функция в C8) уже не имеет осо-
особенностей. Поэтому при вычислении C8) можно использовать обычные
квадратурные формулы. >
9.8. Библиография и комментарий
9.8.1. Общие замечания
9.1. Монотонные схемы для уравнения теплопроводности с недивергент-
недивергентным конвективным слагаемым рассматриваются во многих работах.
Данная проблематика затрагивается в общих руководствах по мето-
методам решения задач математической физики, см., например, [6,12].
Наиболее широко вопросы построения монотонных схем обсужда-
обсуждаются в работах по вычислительной гидродинамике и тепломассо-
тепломассообмену [2, 3, 8-10]. В данной работе монотонные схемы строятся
на основе общего принципа регуляризации разностных схем. Для
задач с дивергентными конвективными слагаемыми принцип мак-
максимума для трехдиагональной системы уравнений сформулирован
Н. В. Кареткиной A980 г.).
9.2. Итерационные методы решения задач с несамосопряженными опе-
операторами рассматриваются в общих руководствах [15,18]. Для задач
теплопроводности с конвекцией, которые характеризуются подчи-
подчиненностью кососимметричной части, итерационные методы строят-
строятся на основе простейшего итерационного метода простой итерации.
Здесь изложение ведется в соответствии с [11,15]. Метод перемен-
переменных направлений для несамосопряженных задач рассматривается
в соответствии с книгой [11].
502 Глава 9. Конвективный теплообмен
9.3. Теория разностных методов решения нестационарных задач с неса-
несамосопряженными операторами затрагивается в книгах [11,12], где
рассматриваются, например, схемы с весами. Наиболее полные ре-
результаты, которых здесь конкретизируются для рассматриваемых
задач конвективного тешюпереноса, имеются в книге [14].
9.4. Численные методы решения задач конвективного переноса изла-
излагаются в книгах [1, 8-10,17]. Общее исследование разностных схем
для уравнений Навье—Стокса в естественных переменных проведено
в работе [5]. Книга [16] посвящена тем же вопросам при использо-
использовании схем конечных элементов.
9.5. Моделирование задач свободной конвекции в переменных «функция
тока, вихрь скорости, температура» наиболее широко представле-
представлено в вычислительной практике. Отметим в этой связи книги [2,7].
Схемы коррекции по граничному условию предложены П. Н. Ваби-
щевичем A983 г.).
9.6. Обзору литературы по методам решения задач тепло- и массопереноса
с фазовыми переходами посвящена работа [13]. Методы сквозного
счета для задач гидродинамики строятся на основе метода фиктивных
областей в соответствии с [4].
9.7. Методы решения задач пограничного слоя [20] хорошо предста-
представлены в литературе по тепло- и массопереносу. Разностные схемы
в естественных переменных рассматриваются, например, в [1,8,17].
Переменные Мизеса наиболее полно представлены в книге [19].
9.8.2. Литература
1. Андерсон Д., Таннехим Дж., Шетчер Р. Вычислительная гидродинамика
и теплообмен. М.: Мир, 1990.
2. Берковский Б. М., Полевиков В. К. Вычислительный эксперимент в конвекции.
Минск: Университетское, 1988.
3. Булеев Н. И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука,
1989.
4. Вабищевич Я. Я. Метод фиктивных областей в задачах математической фи-
физики. М.: Изд-во МГУ, 1991.
5. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой
жидкости. М.: Наука, 1970.
6. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
7. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе
уравнений Навье—Стокса / В. И. Полежаев, А. В. Бунэ, Н. А. Веризуб и др.
М.: Наука, 1987.
8. Пасконов В. М, Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование
процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.
9. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкости. М.: Энегроатомиздат, 1984.
10. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.
11. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
9.8. Библиография и комментарий 503
12. Самарский А. Л. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
13. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Iliev О. Rt Churbanov A.G. Numerical
simulation of convection/diffusion phase change problems — a review // Int. J.
Heat Mass Transfer. 1993. V. 36, 17. 4095-4106.
14. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
15. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.:
Наука, 1978.
16. Темам Р. Уравнения Навье—Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир,
1981.
17. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991.
18. Хейгеман Л., ЯнгД. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.
19. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988.
20. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.
Глава 10
Задачи термоупругости
При изменении температуры происходит объемное расширение или
сжатие твердого тела. Неравномерный нагрев приводит к возникнове-
возникновению внутренних напряжений, к деформированию твердого тела. Задачи
такого класса имеют важное прикладное значение в технике. Здесь обсу-
обсуждаются простейшие постановки задач расчета термоупругих напряжений
и разностные методы их приближенного решения.
Рассматриваются двумерные задачи стационарной термоупругости,
когда для описания напряжений используется система уравнений Ламе
в смещениях. Исследуются свойства разностной задачи и особенности ее
решения. Итерационные методы строятся на основе принципа регуляри-
регуляризации с использованием оператора Лапласа.
Для динамических задач используется нестационарная система урав-
уравнений Ламе, которая является гиперболической. Отмечаются особенности
построения разностных схем для таких задач, исследование устойчивости
ведется на основе общей теории устойчивости трехслойных разностных
схем. Особенный интерес представляют проблемы построения экономич-
экономичных схем для таких задач.
Второй класс прикладных проблем термоупругости связан с пла-
пластинами и оболочками. Мы обсуждаем простейшие задачи для плоской
пластины прямоугольного сечения. Рассматриваются отдельно стацио-
стационарные и динамические задачи. Особый интерес представляют методы
решения соответствующих краевых задач для эллиптических уравнений
четвертого порядка, к которым сводятся стационарные задачи термо-
термоупругости для пластин. Рассмотрены аддитивные разностные схемы для
нестационарных задач.
Отдельного внимания заслуживают задачи термоупругости в дру-
других переменных. В частности, плоские задачи исследуются на основе
введения функции Эйри. Следует заметить, что мы приводим лишь неко-
некоторые простейшие базовые задачи термоупругости. Другие более сложные
модели можно найти в руководствах по теории упругости.
10.1. Равновесие нагретого упругого тела 505
10.1. Равновесие нагретого упругого тела
10.1.1. Плоская задача
Рассмотрим напряженное состояние твердого упругого изотропного
тела с прямоугольным сечением П. Деформации предполагаются плоски-
плоскими, и поэтому для перемещений v = {vu v2}9 va(x) = va(xu ж2), а = 1, 2
выполнены (см. п. 2.6) уравнения Ламе
/гАу 4- (А + ft) grad div v - 7 Srad ti + f = 0, x €Q, A)
где А и // — постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды,
у = (ЗА + 2fi)a, a — коэффициент линейного расширения, f — вектор
объемных сил. В уравнении A) Д — оператор Лапласа, т.е.
Стационарное тепловое поле однородного тела описывается уравнением
(внутренние источники тепла отсутствуют)
Аи = 0, ж € П. B)
Дополним систему уравнений A), B) простейшими граничными
условиями. Будем считать, что на границе поддерживается заданный
температурный режим и заданы перемещения, что позволяет граничные
условия сформулировать в виде
Ў(*) = q(z), х € »П, C)
и(х) = д(х), х G дп. D)
Уравнение A) для перемещений в отдельных направлениях записывается
в виде системы уравнений
же п.
Система уравнений E), F) характеризуется тем, что неизвестные va(x),
а = 1, 2 входят в оба уравнения.
Определим на множестве вектор-функций w, равных нулю на дп,
оператор
Lvt = -/г Aw - (А + fi) grad div w, x ей.
Пусть 7^2 = ИФИ, W = ^2(^M тогда непосредственными выкладками
убеждаемся, что
506 Глава 10. Задачи термоупругости
т. е. оператор L самосопряжен. Кроме того имеем
и поэтому L ^ 0 в силу того, что Л и fi положительны.
Покажем энергетическую эквивалентность оператора L и оператора
Лапласа А, т.е. справедливость оценки
с, (-Aw, w) ^ (Lw, w) ^ c2(-Aw, w). (8)
Учитывая, что
f\fdw\\f9w\']
/KL)
и имеет место равенство
п
из G) получим
2
(Lw,w) = "
/dttfi 5w2 / dw{ dw2
—— —— ax = —— --— ax.
dx2 dxx J дхх дх2
т.е. в (8) с, =/t.
Аналогично
10.1. Равновесие нагретого упругого тела 507
и поэтому с2 = Л + 2/х в неравенстве (8).
Для дискретных аналогов оценки типа (8) позволяют строить регу-
ляризованные итерационные методы на основе разностного оператора
Лапласа.
10.1.2. Разностная схема
При построении разностной схемы для задачи термоупругости A)-D)
будем исходить из системы уравнений E), F). В прямоугольнике П вво-
вводится обычная равномерная по каждому направлению разностная сетка ш.
Для аппроксимации смешанных производных в E), F) используются ап-
аппроксимации второго порядка, которые рассмотрены в п. 4.2.
Сохраним за разностными величинами те же обозначения, что
и за дифференциальными. Тогда системе уравнений E), F) ставится
в соответствие разностная система уравнений
*,*2)-7«i,+/i=0, (9)
((vib,*2 + (f i)*,*,) ~7«i2 + /2 = 0,
Для уравнения теплопроводности B) имеем
-***,*, - и>х2Х2 = 0, хеш. A1)
Аппроксимируем краевые условия C), D) простейшим образом:
va(x) = qa(x), хедш, а =1,2, A2)
и(х)=д(х), хедш. A3)
Неоднородные краевые условия обычным образом включаются в правую
часть. Поэтому вместо разностной задачи (9)—A3) будем рассматривать
задачу
Av + Gtt = F, x6w> A4)
Аи = (р, х^ш A5)
на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш. В соот-
соответствии с (9), A0) имеем
> A6)
а А — разностный оператор Лапласа.
508 Глава 10. Задачи термоупругости
10.1.3. Сходимость разностной схемы
Рассмотрим более подробно свойства разностного оператора задачи
упругости Л. Пусть #2 = Н 0Я, скалярное произведение в Н опреде-
определяется обычным образом:
С учетом (9), A0) имеем
^( ж2), A7)
- (AvJ = fi(v2)^Xl + (А + 2/г)(г;2Ь2Х2 + *±? ((„,)*,„ + (v,),A). A8)
На основании разностных формул интегрирования по частям
(см. п. 4.4) непосредственными выкладками убеждаемся в самосопря-
самосопряженности оператора Л:
(Av,w) = (v,Aw). A9)
Из A7), A8) нетрудно получить и следующую оценку энергетической
эквивалентности (задача 1)
/x(iv, v) < (Av, v) ^ (Л + 2/i)(iv, v). B0)
Тем самым, разностный оператор Л наследует основные свойства диф-
дифференциального оператора упругости L.
Будем рассматривать теперь систему A4), A5) как задачу для по-
погрешности, причем
2, <p = O(\h\2), \h\2 = hi + h22.
Домножим скалярно уравнение A4) на v, а уравнение A5) на и. Из урав-
уравнения A5) непосредственно получим
1Mb < IMI-i, B1)
где использованы обозначения
Из уравнения A4) с учетом A6) и B1) следует
+l|F||-i. B2)
Из оценок B1), B2) следует однозначная разрешимость разностной
задачи и сходимость разностной схемы со вторым порядком.
10.1. Равновесие нагретого упругого тела 509
10.1.4. Регуляризованные итерационные методы
Решение разностной задачи A4), A5) осуществляется в два этапа.
На первом можно найти температурные поля, т. е. решить задачу Ди-
Дирихле A1), A3). С этой целью используются прямые или итерационные
методы, подробно рассмотренные в главе 4. Второй этап расчета тер-
термоупругого состояния состоит в решении задачи для перемещений (9),
A0), A2). Отметим некоторые возможности построения итерационных
методов для таких задач.
Запишем двухслойный итерационный метод приближенного реше-
решения задачи A4) в виде
ВУк+]~Ук +Ayk = F-Guy к = 0,1,..., B3)
где с учетом A9)
А =Л.
Скорость сходимости итерационного процесса B3) с операторами
А =А\ В = В*
определяется постоянными 7«, <* = 1,2 в неравенстве
ЪВ ^ А < у2Ву 7i > 0. B4)
В соответствии с принципом регуляризации итерационных мето-
методов (п. 4.7) построение оператора В проводится на основе регуляризатора
R = R* > 0, энергетически эквивалентного оператору А. Положим
R = А, тогда на основе B0) будем иметь
cxR ^ A ^ с2Д, B5)
где
с,=/г, c2 = A + 2/z. B6)
Оператор В строится на основе регуляризатора R, т.е. выполнена
оценка
7> ^ R ^ 7°2#> 7i > 0. B7)
В силу B5)-B7) получим неравенство B4) с
7i=A*7i, 72 = (А + 2/iO°2, B8)
причем
<-щг<- <-|- B9>
При чебышевском наборе итерационных параметров или использова-
использовании трехслойных итерационных методов вариационного типа для числа
итераций B3), B4), B9) имеет место оценка
, ос)
)
510 Глава 10. Задачи термоупругости
где
Рассмотрим два характерных примера. Пусть в качестве оператора В
о
берется оператор Лапласа, т.е. В = R, и поэтому ? = 1. Для такого
итерационного метода скорость сходимости, как следует из B9)-C0),
не будет зависеть от параметров используемой сетки.
Второй пример связан с использованием попеременно-треугольного
итерационного метода. В этом случае
В = (Е + шАх)(Е + и>А2),
где
о ,.
А = А\ -\- Ai, A\ = А2>
При оптимальном значении параметра
где
4 . 2tt/ii 4 . 2тг/12
Л
имеем
Принимая во внимание B9)—C3), для числа итераций попеременно-
треугольного метода получим оценку
Оценка C4) показывает зависимость как от физических параметров (ко-
(коэффициентов Ламе), так и соответствующую зависимость от шагов сетки.
Аналогично рассматриваются и другие варианты регуляризованных
итерационных методов. Альтернативный подход связан с построением
итерационных методов решения задачи термоупругости A4), A5) непо-
непосредственно для сеточной задачи A4). В частности, на этом пути можно
строить итерационные методы переменных направлений.
10.1.5. Задачи
I Задача 1. Покажите справедливость двухстороннего неравенства B0)
I для оператора Л, определенного согласно A7), A8).
10.1. Равновесие нагретого упругого тела 511
Решение. Пусть
ш+ = {ха | ха = г*Ла, г = 1, 2,..., Na]
и определим
X) ]С u(x)v(x)hxh2,
Тогда для оператора Лапласа на множестве сеточных функций, обраща-
обращающихся в нуль на дш, имеем
(Ач,ч) = ((Щ1J,1)ы1 + ((щ2J,1)ы2
Для оператора Л из A7), A8) непосредственные выкладки дают
2
a=l
+ ((A + /Ote)*, (i,,),,, 1 )w, + ((A +
Принимая во внимание
(Ы*>1)*2, О,, = ((viMvih» 0„2 + (Ызг.(»1)г2,1),
получим искомую оценку B0). >
Задача 2. Аппроксимируйте граничные условия второго рода для урав-
уравнений E), F) (заданы напряжения) на части границы дП9 для которой
х2 = 0.
Решение. При заданных температурах граничные условия имеют
вид
(?^Н)' C5)
), C6)
512 Глава 10. Задачи термоупругости
На решениях уравнения E) имеем
0x2
В силу этого для аппроксимации граничного условия C5) можно исполь-
использовать следующее разностное соотношение:
) + у((А + 2А|)Ы,|,1 +
+ (Л + м)Ы«,«2 - 1Щ, + /i(*b 0)) = ?>i(*b 0). C7)
Очевидно, что C7) аппроксимирует C5) со вторым порядком.
Аналогично для аппроксимации C6) используется выражение
+ (Л + Ai)(t>i)*,,a - 7^2 + Л(»ь 0)) = Ы*ь 0). C8)
Для получения C8) привлекается уравнение F). >
10.2. Динамическая задача термоупругости
10.2.1. Нестационарная двумерная задача
Снова рассмотрим твердое упругое изотропное тело с прямоугольным
сечением П. Нестационарные термоупругие деформации описываются
уравнением
р— - fiAv - (Л + р) grad div v + 7 grad и = f, ^
x e fi, 0 < * ^ Г,
где p = const — плотность. Для моделирования температурного состоя-
состояния используется нестационарное уравнение теплопроводности, которое
запишем в виде
ди
— - кАи = 0, х G ft, 0< * ^ Т. B)
Для системы уравнений термоупругости A), B) граничные условия зада-
зададим в простейшем виде:
v(s, t) = q(z, *), ж G 9ft, 0 < t < T, C)
t*(<M)=sOM), xG^ft, 0<*<T. D)
10.2. Динамическая задача термоупругости 513
Начальное состояние определяется условиями
v(x,0) = w°(x), xefi, E)
^(x,0) = w'(x), x€fi, F)
м(х,0) = «°(х). x€fi. G)
Рассматриваются плоские перемещения, и поэтому уравнение A) можно
записать для отдельных компонент перемещения в следующем виде:
2 2 &у2 ди f
d2v2 d2v2 /Л ^ ,d2v2 /л ч д\ ди
^(А + 2^(А + ^+7
х е п, o<t^T.
Тем самым, вектор перемещений v = (v\,V2) при заданных тепловых
полях определяется из гиперболической системы уравнений.
10.2.2. Дифференциально-разностная задача
Ранее в п. 10.1 мы рассмотрели стационарную задачу термоупругости.
Это позволяет не останавливаться на деталях аппроксимации уравне-
уравнения A) по пространству, а сразу перейти к формулировке и исследова-
исследованию соответствующей дифференциально-разностной задачи. Используя
обозначения п. 10.1, поставим в соответствие уравнению A) с учетом
граничных условий C) следующую систему уравнений
tt7+Av + Gu = F, хеш (8)
at1
на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш. Для
уравнения теплопроводности B) и граничных условий D) имеем
— + к Аи = <р, хеш. (9)
Система уравнений G), (8) дополняется начальными условиями E)-G).
Разностные операторы Аи А являются самосопряженными и поло-
положительными. Кроме того,
(лА^А^(\ + 2ц)А. A0)
Приведем некоторые простейшие оценки устойчивости решения зада-
задачи E)-(9) по начальным данным и правой части, которые будут ориен-
ориентиром при получении оценок устойчивости разностного решения.
34 Зак 168
514 Глава 10. Задачи термоупругости
Пусть снова
\\и\\] = (Аи,и), Hulli.^tfV
тогда для оператора
имеем
IMl^T'lK.I^ + ^II^JI^yU^^-^INI?. (ii)
Для оценки решения уравнения теплопроводности (9) домножим его
о
скалярно на Аи. Это дает (к = const)
~(Ащ и) + *||iu||2 = (tp, Аи) ^ к\\Аи\\2 + i-|M|.
Отсюда следует оценка
1
\] + ^J \\ф r)\\2
Их, ОН! ^ IM*)llf + — / 1И*, т)\\2йт. A2)
о
Для получения оценки решения системы уравнений (8) домножим
его скалярно на du/dt. Пусть
ЧГ
тогда
1 d „ л
Принимая во внимание (И), имеем
^IMlJ<e|MlJ + -G2INIi+HFil2).
dt sp
На основании леммы Гронуолла (см. п. 5.1) приходим к неравенству
1
( e-erG2N*,T)||2 + ||F(»,T)||2)dT). A3)
о
Оценки A2), A3) обеспечивают устойчивость решения дифференциаль-
дифференциально-разностной задачи термоупругости по начальным данным и правой
части.
10.2. Динамическая задача термоупругости 515
10.2.3. Разностные схемы с весами
Для нестационарной задачи E)-(9) сложно использовать обычные
трехслойные схемы с весами. С учетом того, что температура может
рассчитываться независимо, мы будем ориентироваться на исследование
устойчивости разностной схемы для уравнений упругости. Рассматри-
Рассматривая температуру как известную величину, запишем для перемещений
следующую схему:
п+A(aiV+1 + (l-(T1-(r2)Yn + ^2Vn-l)=Fn + Gttn, _
n=i,2,....
Эта схема имеет канонический вид
В — WR —2 + Ау„ = Фп, n=l,2,... A5)
при
В = {<jx - <т2)тА, Д = pr~2E + ^-у^Л, А = Л. A6)
Условия устойчивости трехслойной разностной схемы с самосопряжен-
самосопряженными операторами ByR,A > 0 имеют (см. п. 5.4) вид
В ^ 0, R > -А. A7)
4
Принимая во внимание A0), получим
Л ^ (Л + 2ц)А ^ (Л + 2/г)Д0#, A8)
где теперь
4 4
Первое из неравенств A7) будет выполнено при
*\ ~ *2 > 0, A9)
а второе с учетом A6), A8) — при
B0)
Из A9), B0) следует абсолютная устойчивость разностной схемы A4) при
следующих ограничениях на веса:
<г,-сг2^О, бг,+<г2^-.
Мы не приводим соответствующие оценки устойчивости ввиду их гро-
громоздкости. Для симметричной схемы разностный аналог оценки A3)
дается в задаче 2.
34*
516 Глава 10. Задачи термоупругости
Реализация неявных схем A4) связана с решением следующей сеточ-
сеточной задачи
р
<Т\АУп+\ + -rVn+i = Qn, я е ш. B1)
Задача B1) соответствует решению связанной системы эллиптических
уравнений второго порядка. Это не совсем удобно, поэтому будем строить
класс регуляризованных разностных схем для уравнения (8), которые
более удобны для вычислительной практики.
10.2.4. Регуляризованные схемы
В соответствии с принципом регуляризации разностных схем ис-
используем в качестве исходной простейшую явную разностную схему
п=1,2,.... B2)
Схема B2) имеет канонический вид A5) при
В = О, R = рг~2Е, А = А.
В соответствии с условиями устойчивости A7) регуляризованную схему
построим на основе возмущения оператора R, т.е. рассмотрим схему
В = 0, R = pr-2E + an, A = A B3)
с регуляризатором Я.
о
Положим 11 = А и выпишем условие устойчивости
-0 о 1
рт zE + aA —Л > 0.
4
Принимая во внимание A0), это неравенство будет выполнено при всех
г > 0, если
ЦЙ B4)
При реализации безусловно устойчивой регуляризованной разностной
схемы A5), B3), B4) необходимо теперь обращать оператор рт~2Е + аА9
т. е. решаются отдельные не связанные друг с другом сеточные эллипти-
эллиптические задачи для различных компонент смещения.
10.2.5. Экономичные схемы
Принцип регуляризации может быть положен в основу построения
экономичных разностных схем для решения задач упругости, подобно
тому как это имеет место (см. главу 6) для задач теплопроводности.
Построим регуляризованную факторизованную разностную схему для
уравнения (8) на основе явной схемы B2). Определим одномерные
сеточные операторы
10.2. Динамическая задача термоупругости 517
на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш, и поэтому
о о о
А = А\ + 42.
Рассмотрим регуляризованную разностную схему в виде
B5)
В данном случае
R — рт Е + aA+ot—A\A2i
р
и поэтому в силу перестановочности и положительности операторов Ар,
р = 1,2 условие устойчивости A7) будет выполнено при ограничени-
ограничениях B4) на параметр регуляризации а.
Факторизованная схема A5), B4), B5) так же как и схема A5), B3),
B4) построена на основе оператора Лапласа. Вторая возможность связана
с выбором в качестве регуляризатора диагональной части оператора Л
и здесь не рассматривается.
10.2.6. Задачи
I Задача 1. Аппроксимируйте начальные условия E), F) со вторым
порядком по времени.
Решение. Аппроксимация E), F) должна давать приближенное ре-
решение на временных слоя п = 0,1. Из E) непосредственно положим
vo(s) = w°(x), x G ш.
Для следующего временного слоя имеем
Эу r^^v зч
На решения уравнения (8) это дает
v, = w° + rw1 - — (Aw° + Gu° - F(z, 0)).
2/9
Для нахождения решения на других временных слоях используется та или
иная трехслойная схема. >
Задача 2. Для симметричной разностной схемы
vn+1-2vn-fvn_1
р2+ 4A<V«+1+2у«+T-l) °> B6)
хеш, п = 1,2,...
получите разностный аналог оценки A3).
518 Глава 10. Задачи термоупругости
Решение. Для получения априорной оценки введем (см. также п. 5.7)
новые сеточные функции
Уп = -(vn+vn_,), wn = -(?„-?„_,). B7)
Тогда схема B6) примет вид
Р ™т + -A(yn+, + yn) = 0.
Домножим это уравнения скалярно на
2
"Я+1 ~Т~ "П — \Уп+1 Уп/У
Г
что дает
/ ^
Из B8) следует равенство
где \\y\\д = (Лу,у). Приведенное равенство есть искомая оценка, выра-
выражающая соответствующий закон сохранения. >
10.3. Термоупругие напряжения
в пластинах
10.3.1. Равновесие неравномерно нагретой пластины
Рассмотрим задачу расчета термоупругих напряжений для тонкой
пластины с прямоугольным сечением п. Будем считать пластину плоской,
а ее толщину — постоянной и равной h. Пусть w(x),x = (х\)х2) —
прогиб пластины, q(x) — нагрузка, D — цилиндрическая жесткость,
тогда равновесие описывается (см. п. 2.6) уравнением
DAAw = q- ДМТ, х G ft, A)
где Д — двумерный оператор Лапласа, а Мт — изгибающий момент,
обусловленный температурными воздействиями.
Пластина неравномерно нагрета, причем для описания стационар-
стационарного трехмерного температурного поля используется приближение, осно-
основанное (см. задачу 2 в п. 2.6) на пренебрежении тепловыми потоками
в продольном направлении, т. е. уравнение
д2и _ h h
10.3. Термоупругие напряжения в пластинах 519
Это уравнение дополняется соответствующими граничными условиями,
например, простейшими условиями первого рода:
и(х, -0,5/i) = д-(х), «(*, 0,5/i) = д+(х). C)
Задача B), C) в каждой точке сечения пластины х ? О интегрируется
(если это необходимо) и определяется температурное поле всей пластины.
Для Мт в уравнении A) имеем
Л/2
MT = 2/ryo / u(x1x3)x3dx3i D)
-Л/2
где, напомним, /х — коэффициент Ламе, а 7о — коэффициент линейного
расширения. В простейшем случае B), C) формула D) дает
MT = Wo\(9+(x)-9-(x))- E)
Таким образом, в нашей простейшей задаче A)-C) величина Мт легко
вычисляется. Как и в других задачах термоупругости, мы рассматриваем
отдельно задачу расчета температурного поля, а затем уже соответствую-
соответствующие напряжения. Поэтому наш основной интерес связан именно с той
частью общей задачи, которая связана с расчетом упругого состояния
твердого тела.
Уравнение равновесия (бигармоническое уравнение) как эллиптиче-
эллиптическое уравнение четвертого порядка требует формулирования двух гранич-
граничных условий. Будем считать, что пластина закреплена на границе, т. е.
она не может в точках границы прогибаться:
w(x) = 0, хе дп. F)
Через 7 обозначим часть границы расчетной области:
7 = {х | х е 9П, х2 = 12}
и пусть Г - дО, \ 7- Будем считать, что на Г имеет место шарнирное
закрепление, а на 7 — жесткое защепление. Это соответствует тому, что
на Г выполнены условия
d2w
^=0, х€Г, G)
Тем самым, приходим к краевой задаче для уравнения A) (правая часть A)
считается заданной) со смешанными граничными условиями F)-(8).
520 Глава 10. Задачи термоупругости
10.3.2. Разностная задача
Уравнение A) запишем в виде
AAw = /(ж), х е ft, (9)
где
Используем для приближенного решения задачи A), F)-(8) равномерную
разностную сетку с шагами h\ и h2.
Проблема аппроксимации граничных задач для бигармонического
уравнения затрагивалась нами в п. 9.5. Поэтому мы не будем остана-
останавливаться на этом подробно. Определим сеточный оператор Лапласа
на множестве сеточных функций Я, обращающихся в нуль на duj, обыч-
обычным образом:
2
Лу = ]Рлау, Ку = -Ухаха, а =1,2. A0)
а=1
Для разностного бигармонического оператора Л2 на расширенной сетке
имеем
Л2 У = УхХХХХХХХ + 2ух,*,г2Х2 + Ух2Х2Х2Х2У Х?Ш.
Уравнению (9) поставим в соответствие разностное уравнение
А2у + р(х2)у = /(я), хеш. A1)
Сеточная функция p{xi) обусловлена граничным условиями F), (8)
на 7 и определяется следующим образом:
{0, /i2 < х2 < h - /*2,
2 / , A2>
-р x2 = l2-h2.
п2
Разностная задача A1), A2) при явном задании граничных условий
соответствует следующему расщеплению на две задачи. Первая из них
имеет вид
2
а=1
где
ж G Г П 9ш,
¦^y(xux2-h2), хе-уПдш.
10.3. Термоупругие напряжения в пластинах 521
Вторая задача формулируется более просто:
2
у(х) = 0у хедш. A6)
Задачи A3), A4) и A5), A6) зацеплены граничным условием A4) и по-
поэтому не могут решаться независимо.
Для задачи A1) нетрудно получить простейшую априорную оценку.
Для этого домножим A1) скалярно в Я на у, что дает
I|A»||2 + (W, у) = (/,»). A7)
Принимая во внимание (см. A2)) неотрицательность р(х2) и оценивая
правую часть следующим образом
из A7) получим
ЦАу|| < ЦА-'/ll. A8)
Оценка A8) может быть положена в основу соответствующей оценки для
погрешности разностного решения.
10.3.3. Прямой метод решения сеточной задачи
Разностное уравнение A1) можно решить быстрыми прямыми мето-
методами, так как переменные разделяются. Поясним это на примере исполь-
использования быстрого преобразования Фурье (см. п. 4.5) по переменной х\.
Запишем A1) с учетом A0) в виде
к\у + 2кхк2У + ЛаУ + р(х2)у = /(ж), хеш. A9)
Определим
_ 4 . 2kirhx
A*~/ifSm ~2lT>
vk(xi) = (j^j sin ^p-, к = 1, 2,..., NX - 1.
собственные значения и собственные функции задачи
Xv = 0, h\ ^ х\ ^ l\ - h\,
Решение уравнения A9) ищется в виде разложения:
у(х) = ^ <b(x2)vk(x\), хеш. B0)
33 Зак. 168
522 Глава 10. Задачи термоупругости
Подстановка B0) в уравнение A9) приводит к системе уравнений
А22ск - 2ХкА2ск + \\ск + р(х2)ск = fk(x2),
h2^x2^l2-h2i fc=l,2,...,i\T,-l,
где fk(x2) — коэффициенты Фурье правой части:
B2)
к=\
Матрица разностной задачи B1) при каждом к = 1,2,..., N\ - 1 явля-
является пятидиагональной. Для ее решения используется метод прогонки
(задача 1).
При N\ = 25 для вычисления коэффициентов Д (х2) по формуле B2)
и нахождения решения по формуле B0) можно использовать алгоритмы
быстрого преобразования Фурье. Тем самым, двумерная задача A1) может
быть решена с затратой Q = O(N\N2 logiVj) арифметических действий.
10.3.4. Итерационное уточнение граничного условия
Отметим некоторые возможности решения задачи расчета равновесия
пластинки итерационными методами. Запишем уравнение A1) в виде
операторного уравнения первого рода:
Ау = /, B3)
где А = А* > 0, причем
А = А2+р(х2)Е. B4)
Используем для решения задачи B3), B4) чебышевский итерационный
метод (или трехслойные методы вариационного типа):
B5)
Пусть
В = В* > О,
тогда для числа итераций, необходимых для достижения необходимой
относительной точности ?, требуется
B6)
M/»i')
итераций, где
а 7«, а = 1,2 — постоянные энергетической эквивалентности операто-
операторов А и В:
72В, 7i > 0. B8)
10.3. Термоупругие напряжения в пластинах 523
Рассмотрим некоторые возможные способы выбора В. Естественно по-
положить
В = Л2, B9)
тогда обращение оператора В будет эквивалентно решению двух задач
Дирихле для уравнения Пуассона.
Из B4) и B9) непосредственно следует 7i = 1 • Для получения оценки
для 72 достаточно найти с в неравенстве
(рщи)^с(Вщи). C0)
Необходимо отметить, что оценку C0) необходимо получить для сеточных
функций и(х), таких что (см. A3)—A6))
2
- Y1 ^«*°= °> х е ">
2
а=1
и(х) = 0, xG ди.
Это соответствует тому, что в итерационном методе B3), B4), B9) уточ-
уточняются только граничные условия. Тем самым речь идет об итерационном
процессе в подпространстве (см. п. 4.7). В таких условиях можно показать,
что с = О(/&2]) в оценке C1).
Для числа итераций чебышевского итерационного метода из B6)-
B8) получим
так как
Итерационный метод B3), B4), B9) соответствует итерационному уточ-
уточнению граничного условия. Принимая во внимание A3), A6), B3), B4),
B9), итерационный процесс можно записать в виде
..=/(*)> *ео;, C1)
2
- ^2(ук+\)хаха = v*+i(s), х € о>, C2)
а=1
0*+i(x) = O, ЖЕ ft.;. C3)
Уточнение граничного условия для v(x) осуществляется по формуле
k +vk- Ф(ук(х)) =0, х е ди>. C4)
524 Глава 10. Задачи термоупругости
Естественно, что вместо явного итерационного процесса C4) на ре-
решениях C1)—C3) можно рассмотреть и более общие неявные итераци-
итерационные методы. В этом случае граничное условие уточняется следующим
образом:
BVk+l~Vk + vk - Ф (»(*)) =0, х е ди>, C5)
Тк\
а внутри области решаются уравнения C1), C2) с краевым условием C3).
За счет выбора В в C5) можно построить итерационные методы, для
которых число итераций не зависит от шагов сетки.
10.3.5. Регуляризованные итерационные методы
Отметим возможность итерационного решения задачи B3), B4)
на основе использования итерационных методов, построенных для се-
сеточных эллиптических уравнений второго порядка. Для построения со-
соответствующего регуляризатора привлечем оценки
А = Л2 -f р(х2)Е > <*оЛ + р(х2)Е, А ^ Д0А + р(х2)Е, C6)
где
^ C8)
На основании C6) регуляризатор R выберем в виде
д = Л + ф>Я, C9)
тогда
60R ^ А ^ A0R. D0)
Оператор В в итерационном процессе B5) строится на основе регу-
регуляризатора R, определяемого согласно C9). В соответствии с результа-
результатами п. 4.7 скорость основных итерационных методов не будет зависеть
от сеточной функции р{х2) ^ 0.
Это относится, в частности, к попеременно-треугольному итераци-
итерационному методу, для которого
l + uR2), D1)
где
R = R
Можно указать следующий простейший явный выбор 2>:
10.3. Термоупругие напряжения в пластинах 525
В этом случае постоянные энергетической эквивалентности операторов В
и R остаются такими же как для сеточного оператора Лапласа, т. е.
выполнены неравенства
6qD ^ R, RXV~XR2 ^ ^Л. D3)
Для операторов C9), D2) первое неравенство D3) выполняется с очевид-
очевидностью. Для второго имеем
I 2,-ip(x2) 2 Д
+ h2 ) —Z—y >*
Ao /
Положим
тогда
Это приводит нас к неравенству
(R\V~]R2yy у) ^ (h^2 -f- h22)
^(h;2 + h22)(Ry,y).
Тем самым, и второе неравенство D3) установлено.
Для числа итераций регуляризированного попеременно-треугольного
итерационного метода B5), D1), D2) получим оценку
Тем самым, для задачи B3), B4) (сеточное эллиптическое уравнение
четвертого порядка) зависимость числа итераций от сетки выражена
гораздо сильнее, чем для сеточных эллиптических уравнений второго
порядка.
526 Глава 10. Задачи термоупругости
10.3.6. Задачи
Задача 1. Приведите расчетные формулы метода прогонки для реше-
решения следующей пятидиагональной системы уравнений
Соуо - Doy{ + Е0у2 = *Ь, D4)
-Б,г/о + С\ух - Dxy2 + Ехуъ = Fu D5)
А{у{-2 - Ау*-1 + Qyi - Ayi+i + EiVi+г = Fi}
i = 2, 3,..., т - 2,
^m-l2/m-3 - Вт-\Ут-2 + Cm-l2/m-l ~ ^>m-l2/m = -Rn-b D7)
^m2/m-2 - ^m2/m-l + Cm2/m = Fm. D8)
Решение. Метод прогонки для системы уравнений D4)-D8) осно-
основан на представлении решения в виде
Ух = «i+ilfc+i - A+i»i+2 + 7f+b t = 0,1,..., m - 2, D9)
ym_, =amj/m+7m. E0)
Как и в обычной трехточечной прогонке (см. п. 4.5) сначала найдем про-
гоночные коэффициенты. Выразим, используя D9), yi-\ и у,-_2 через j/t
и yf-+i:
2/,_! = а,у, - Д-У.-+! + 7i, * = 1, 2,..., т - 1, E1)
t = 2,3,...,m- 1.
Подстановка E1), E2) в D6) дает
(С,- - AiPi-x + aMiCti-x - Bi))yi = (A- + AUia,-i - B,-))Wi+i "
- Eiyi+2 + F{- Aiji-x - 7.(Ла,-1 - Б,-)» t = 2, 3,..., m - 2.
С учетом представления D9) получим
af-+I = 5Г!(А + A'Ut^-i " В{)),
где
5,- = (Ct- - AiPi-x + «i(ititti-i - A)) i г = 2, 3,..., m - 2. E4)
Для того чтобы воспользоваться рекуррентными соотношениями E3),
E4), необходимо задать коэффициенты а,-, Д, 7* ПРИ t = 1,2. Из D4)
и D9) следует
а! = Со1 Do, Pi = Со]Ео, ъ = C^lF0. E5)
Подставляя E1) при г = 1 в D5), получим
(С,-
10.4. Колебания пластин 527
Поэтому можем положить
a2 = S;l(D]-Bl/3l), S}=Ci-Bxau
C2 = S;lEu 72 = 5r1(/i+B,7i). ( }
Для определения коэффициентов аго, )m в представлении E0) подста-
подставим E1), E2) при г = т - 1 в D7). Это дает те же формулы E3), E4) при
г = га-1. Тем самым, по рекуррентным формулам E3), E4) с учетом E5),
E6) находятся все прогоночные коэффициенты.
Для нахождения решения по D9), E0) нужно найти ут. Для этого
используется уравнение D8). Подставляя D9) при г — т - 2, получим
»m=7m+l, E7)
где 7m+i определяется согласно E3), E4) при г = га. Равенство E7)
позволяет по D9), E0) найти решение системы D4)-D8). >
Задача 2. Для задачи B3), B4) постройте регуляризатор R, который
не содержит смешанных производных, а постоянные энергетической
эквивалентности не зависят от сетки.
Решение. Для оператора А справедливо представление
А = А] + 2AiA2 + Лг + р(х2)Е.
В силу перестановочности и положительности операторов Ла, а = 1,2
имеем
и поэтому
А > А] + Л^ + р(х2)Е, А ^ 2(А? + А\) + />(ж2)#. E8)
Если мы выберем
E9)
то из E8) получим
Д < А ^ 2Я. F0)
Регуляризатор E9) представляет собой сумму одномерных сеточных опе-
операторов и в силу F0) удовлетворяет всем сформулированным условиям
задачи. >
10.4. Колебания пластин
10.4.1. Динамическая задача термоупругости
Рассмотрим проблемы численного решения нестационарных за-
задач для пластин на примере термоупругих деформаций прямоугольных
528 Глава 10. Задачи термоупругости
плоских пластин. Сохраняя обозначения п. 10.3, динамический прогиб
пластины будет описываться (см. п. 2.6) уравнением
d2w
ph—T + DAAw = q- ДМГ, x G П, 0 < * ^ T, A)
at1
где р — плотность пластины.
Пренебрегая продольными потоками тепла, уравнение теплопровод-
теплопроводности запишем в виде
ди д2и h h
— -к—;=<), ж Eft, ~2<Жз<2' 0<*<Т, B)
т. е. теплофизические характеристики пластины предполагаются посто-
постоянными.
Для правой части уравнения колебаний пластины A) справедливо
представление
Л/2
/
I
u(x,x3yt)x3dx3. C)
-Л/2
Дополним систему уравнений A)-C) граничными и начальными усло-
условиями.
Как и при рассмотрении стационарной задачи (см. п. 10.3), положим
ttfo-O,5M)=0~(M).
D)
и(х, 0,5Л, t) = g+(xy 0, х е П, 0 < * < Т.
Снова будем рассматривать разные типы закрепления пластины. Пусть
7 = {х | ж G 0Q, ж2 = Ь}
и Г = 90 \ 7- Положим
v(x)
дп?
~дп
= 0,
= 0,
= 0,
х€дП,
х€Г,
же 7,
0<t
0<*
0<t
E)
F)
G)
При < = 0 задано начальное распределение температуры, начальные
смещения пластины и скорость этого смещения:
и(х,хь0) = и°(х,х3), х€п, --<!<-, (8)
w(x,0) = q\x), x€U, - (9)
^(x,0) = q\x), хеП. A0)
10.4. Колебания пластин 529
Уравнения A)-C) с условиями D)—A0) описывают временную эволюцию
термоупругих напряжений в нагретой пластине прямоугольного сечения.
10.4.2. Дифференциально-разностная задача
Основываясь на результатах п. 10.3, проведем дискретизацию по про-
пространству в задаче A)—A0). Основное внимание уделим задаче расчета
напряжений, так как часть, связанная с расчетом температурных полей,
в данной части работы большого интереса не представляет. Поэтому
уравнение A) запишем в виде
^ + хдд™ = /(*,*), *еп, 0<«<т, (и)
где
Далее, не ограничивая общности, положим х = !• Уравнение A1) рас-
рассматривается при краевых и начальных условиях E)-G) и (9)—A0) соот-
соответственно.
Поставленная задача для уравнения A1) решается разностными ме-
методами на равномерной прямоугольной сетке в Г2. Пусть
2
Ау = ^2 Аау, Аау = -ухаХа<> а = 1,2 A2)
а=1
на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на дш.
Уравнению A1) с граничными условиями E)-G) поставим (см.
п. 10.3) в соответствие дифференциально-разностное уравнение
d2v
-± + Ay = f(x,t), хеш, 0<*<Т, A3)
где
А = Л? + 2Л!Л2 + Л^ + р(х2)Е. A4)
Сеточная функция р(х2) ^ 0 обусловлена граничным условиями и опре-
определена формулой A2) в п. 10.3.
Система уравнений A3) дополняется начальными условиями
y(x,0) = qQ(x), хеш, A5)
^(*,0) = g!(*), хеш. A6)
Для дифференциально-разностной задачи A3)—A6) легко получить
(задача 1) простейшую априорную оценку
1
||y(«, t)\\l < eet (||9l(x)||2 + (Ago, 4o) + -J e^HA*. r)||2 *¦). A7)
530 Глава 10. Задачи термоупругости
Из A7) следует устойчивость решения задачи A3)—A6) по начальным
данным и правой части.
10.4.3. Схемы с весами
Для приближенного решения дифференциально-разностной зада-
задачи A3)-A6) (для эволюционного уравнения второго порядка) можно
использовать схемы с весами, аналогичные приведенным в п. 10.2. Есте-
Естественно начать с обычных схем с весами.
Запишем для уравнения A3) следующую трехслойную разностную
схему:
A _ ^ _ ^^ + а2упх) = и
xGw, n = 1,2,... .
Схема A8) записывается в каноническом виде
Vn+1-Vn_i 2
2r>Vn+1 2vn+Vn_!
+ г R 72 + Ауп = Фп,
при
В = (<г, - а2)тА, R = т~2Е + *1 * А. B0)
Оператор А (см. A4)) самосопряжен, постоянен и положителен. С уче-
учетом B0) можно использовать общие условия (см. п. 5.4) устойчивости
трехслойных разностных схем
В ^ 0, R>\a. B1)
Принимая во внимание A4), имеем для оператора А оценку
А ^ А20Е -h max р(х2)Е = 9Е. B2)
х2
В силу (см. A2) в п. 10.3)
получим 0 = O(\h\~4).
Первое из неравенств B1) будет выполнено при
(г, - а2 > 0. B3)
Второе условие B1) с учетом B2) приводит к неравенству
°l+V2>l2-&- B4)
10.4. Колебания пластин 531
Из B3), B4) следует устойчивость явной разностной схемы A8) (сг\ =
(г2 = 0) при T^O(\h\2).
При обычных ограничениях
а, -<т2^0, <т\+<г2>-,
схема с весами A8) является абсолютно устойчивой.
10.4.4. Регуляризованные схемы
Реализация неявных схем с весами A8) связана с решением сеточной
эллиптической задачи четвертого порядка
(Т\Ауп+] + — vn+1 = Qn, x€ ш.
С этой целью используются прямые или итерационные методы, например,
отмеченные в п. 10.3. Более предпочтительными являются схемы, реали-
реализация которых связана с решением обычных эллиптических задач второго
порядка. Для их построения привлекается принцип регуляризации.
Рассмотрим в качестве исходной явную разностную схему
Уп+\ - 2уп + уп-\ , . . ^ Л -
+ Ay = f хеш п=12
Ж ' V ww W щщ 9 * * *
Она записывается в каноническом виде A9) при
В = О, R = т~2Е.
Регуляризованную схему построим на основе возмущения оператора R,
т. е. рассмотрим схему
В = О, R = т~2# + аП B5)
с регуляризатором R.
Положим
П = (А1J, B6)
где
Принимая во внимание
П = (А1J >А2 + 2ti24E > А2 + р(х2)Е,
условие устойчивости B1) регуляризованной схемы A9), B5), B6) будет
выполнено при любых шагах по времени т > 0, если а ^ 0, 25.
Реализация рассматриваемой регуляризованной схемы связана с ре-
решением двух краевых задач с постоянными коэффициентами для элли-
эллиптического уравнения второго порядка.
532 Глава 10. Задачи термоупругости
10.4.5. Экономичные схемы
Отметим возможности построения экономичных схем. Для зада-
задачи A3)—A6) можно строить различные аддитивные схемы. Например,
для оператора А, определяемого A4), можно использовать представ-
представление
А = Ах + А2 + А3 + А*,
где
А\=Аи А2 = 2А\А2,
А3 = Л*, Ал = р(х2)Е.
Каждый из этих операторов является неотрицательным, и поэтому можно
пытаться подобно эволюционным уравнениям первого порядка (см. п. 6.4)
строить соответствующие схемы суммарной аппроксимации. Можно
комбинировать операторы Ар, /3 = 1,2,3,4, например, использовать
расщепление
А = Ах + А2у
где
Ах = А] + Ai А2| А2 = А22 + Ai A2 + p{x2)E. B8)
Однако как в случае B7), так и в случае B8) эти аддитивные схемы не бу-
будут локально одномерными из-за оператора Л1Л2 (смешанные производ-
производные). Для построения локально одномерных схем можно использовать
различные подходы.
Принимая во внимание (см. задачу 2 в п. 10.3) следующее неравенство
B9)
построим регуляризованную факторизованную разностную схему A9) с
2
В = 0, R = т~2 Ц(Е + ат2Щ), C0)
р=\
где
7г,=А?, П2 = А22 + h24E. C1)
С учетом B9) и C1) из C0) непосредственно следует
R>T-2E + a[Ai + Ai + r-^E)>^A
и поэтому (см. B1)) регуляризованная схема A9), C0), C1) будет абсо-
абсолютно устойчива при а ^ 0, 5.
10.4. Колебания пластин
533
10.4.6. Задачи
I Задача 1. Докажите оценку A7) для решения задачи A3)—A6).
Решение. Для доказательства (см. также п. 10.2) домножим уравне-
уравнение A3) скалярно на du/dt и определим норму
.2
llvll* =
dy
dt
Из A3) получим
Отсюда приходим к оценке
+ (Ay, У)-
t
(x,t)\\Ue?t(\\y(x,O)\\l+l-Jl
T\\f(x, t)\\2
C2)
Принимая во внимание A5), A6), имеем
\\y(x,0)\\l = \\q\x)\\2 + (Aq°,q°). C3)
Подстановка C3) в C2) и приводит нас к доказываемой оценке A7). >
I Задача 2. Сформулируйте разностную задачу для определения изгиба-
изгибающего момента Мт, определяемого согласно C).
Решение. Для приближенного определения температуры восполь-
воспользуемся разностной схемой
Un+]~Un
+ Лз (™п+1 + A - а)ип) = 0,
C4)
где
на равномерной сетке
иъ = {х3 | ж3 = ~0,5/i + ih3, • = 1, 2,..., ЛГз, N3h3 = h}.
Разностная схема дополняется обычными начальными и граничными
условиями, вытекающими из D) и (8).
Для определения изгибающего момента по формуле C) на мо-
момент времени t = tn+] используется простейшая квадратурная формула
трапеций:
fi = (p(-0,5h + ih3).
где использованы обозначения
<р(х3) = ип+{(ху x3)xh
534 Глава 10. Задачи термоупругости
10.5. Библиография и комментарий
10.5.1. Общие замечания
10.1. Математические модели термоупругости рассматриваются как в об-
общих руководствах по теории упругости [4,5], так и в более специа-
специализированных изданиях [1,3]. При изложении разностных методов
для уравнений термоупругости мы следовали книгам [6,7], в кото-
которых имеется материал по численному решению системы уравнений
Ламе. Итерационные методы излагаются в соответствии с [9].
10.2. Разностные методы решения нестационарных задач термоупругости
исследуются на основе принципа регуляризации. Этот общий подход
в соответствии с [6] применяется для построения факторизованных
разностных схем.
10.3. Важнейшим классом задач упругости являются задачи расчета на-
напряженного состояния пластин и оболочек. Здесь рассмотрена про-
простейшая задача термоупругости для плоской прямоугольной пласти-
пластины. Разностные схемы.для приближенного расчета пластин наиболее
полно представлены в [7]. Описанные итерационные методы реше-
решения краевых задач для модельных задач для эллиптических уравне-
уравнений четвертого порядка базируются на общей теории итерационных
методов решения сеточных уравнений [2,9]. Прямые методы ре-
решения сеточных уравнений изложены в книге [9]. Это относится,
в частности, и к рассмотренному алгоритму пятиточечной прогонки.
10.4. Нестационарные задачи для уравнения колебания нагретых пластин
рассматриваются с общих позиций теории устойчивости разностных
схем [6,8] и принципа регуляризации разностных схем.
10.5.2. Литература
1. Боли !>., УэйнерДж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964.
2. Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей.
М.: Изд-во МГУ, 1987.
3. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев, Наукова думка, 1970.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
6. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
7. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических урав-
уравнений. М.: Наука, 1976.
8. Самарский А. А., ГулинА.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
9. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: На-
Наука, 1978.
Глава 11.
Задачи управления
тепловыми процессами
Важный класс прикладных проблем составляют задачи управления
тепловым состоянием исследуемого объекта. Требуется подобрать упра-
управляющие воздействия так, чтобы достичь некоторого эффекта. Мы имеем
дело с распределенными системами, так как состояние и описывается
уравнением с частными производными (уравнением теплопроводности).
Качество управления оценивается квадратичными функционалами
качества. В более сложных задачах критерии могут быть другими, их вооб-
вообще может быть несколько (многокритериальная оптимизация). Основное
внимание уделяется задачам без ограничений. Учет ограничений может
проводиться различными способами. В этой связи отметим, например,
классический метод штрафа.
При изложении основных подходов к приближенному решению задач
управления рассматриваются простейшие вариационные задачи, которые
приводят к обычным краевым задачам стационарной теплопроводности.
Для нахождения приближенного решения используется эквивалентное
уравнение Эйлера (условие оптимальности). В общих задачах управления
проблема сводится к нахождению градиента функционала на решениях
соответствующей краевой задачи. Решение уравнения Эйлера находится
на основе использования итерационных методов. Отмечаются особенно-
особенности использования таких градиентных методов при рассмотрении задач
управления с ограничениями.
Типичной проблемой управления в задачах теплообмена является
задача термостатирования. Требуется подобрать тепловые источники так,
чтобы температура была близка к некоторой заданной (постоянной).
Проводится вычисление градиента функционала в различных условиях,
формулируется соответствующая разностная задача. Условия оптималь-
оптимальности в задачах оптимального управления системами, описываемыми
уравнениями с частными производными, формулируются в виде систе-
системы уравнений для исходного и сопряженного состояния. Обсуждаются
итерационные методы решения задачи для этой системы уравнений.
На примере задачи термостатирования рассмотрены принципиаль-
принципиальные особенности приближенного решения задач управления системами,
536 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
описываемыми нестационарными уравнениями. При разностной дискре-
дискретизации требуется согласование разностных схем для каждого уравнения
системы оптимальности и функционала качества. В частности, это при-
приводит к нестандартным разностным схемам для сопряженного состояния.
В проблемах теплообмена большое значение имеют задачи управле-
управления граничными условиями. В некоторых случаях мы имеем возможность
управлять температурой (например, температурой окружающей среды)
иди тепловыми потоками на поверхности. В руководствах по опти-
оптимальному управлению распределенными системами в качестве наиболее
характерной рассматривается задача оптимального нагрева. Необходимо
за счет некоторых управляющих воздействий нагреть тело до некоторой
заданной температуры. Приводятся соответствующие условия оптималь-
оптимальности, рассматриваются особенности реализации градиентных методов.
11.1. Численные методы решения
вариационных задач
11.1.1. Вариационная формулировка краевых задач
Многие краевые задачи математической физики допускают вариаци-
вариационную формулировку. Вместо исходной краевой задачи можно рассма-
рассматривать эквивалентную задачу минимизации некоторого функционала.
Для пояснения этого утверждения остановимся на задаче стационарной
теплопроводности (глава 4).
Рассмотрим изотропную среду с коэффициентом теплопроводно-
теплопроводности к(х), когда уравнение теплопроводности имеет вид
Дополним уравнение A) граничными условиями первого рода
w(x) = g(x), x e дп, B)
или граничными условиями третьего рода
к-тг + a(x)w = #(*)> х е дп> C)
an
где <г(х) ^ 0. В частном случае <т(х) = 0 имеем граничные условия
Неймана.
Хорошо известно, что решение задачи Дирихле A), B) доставляет
минимум функционала
/ (|) dx ~ 2 / /(*)* dx W
a=1 n
11.1. Численные методы решения вариационных задач 537
в классе достаточно гладких функций из некоторого гильбертова про-
пространства И, удовлетворяющих краевому условию B), т.е. v ? V, где
V = {v | v G W, v(x) = g(x), x G дп}. E)
Таким образом,
J(i0) = inf J(v), F)
т.е. вместо краевой задачи A), B) можно рассматривать вариационную
задачу D)-F). Уравнение A) выражает необходимые условия минимума
функционала D), т.е. является уравнением Эйлера.
Вариационная задача D)-F) есть задана условной минимизации, так
как минимум функционала D) ищется на множестве функций, удовле-
удовлетворяющих ограничениям E). Задача A), C) формулируется как задача
минимизации без ограничений. В этом случае функционал имеет вид
-if f(x)v dx+ I <t(x)v2 dx-2 f g(x)v dx. G)
п дп дП
Решение краевой задачи A), C) эквивалентно вариационной задаче
F), G).
Тем самым, краевые задачи стационарной теплопроводности фор-
формулируются как задачи минимизации функционала J(v), определяемого
согласно D) или G). Приближенное решение задачи минимизации может
осуществляться на основе соответствующей аппроксимации функциона-
функционалов D) или G).
Остановимся на задаче условной минимизации D)-E). Будем счи-
считать, что рассматривается двумерная (т — 2) задача в прямоугольнике п.
Поставим в соответствие функционалу D) разностный функционал. Для
этого введем обычную равномерную сетку а7 = ш U дш с шагами h\,
/&2 и сохраним за сеточными величинами те же обозначения, что и для
непрерывной задачи.
Имеем
где
7 *>[(?)Ч?Лd-2 7 7 №
,,_| X2j-\
538 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Для аппроксимации последнего интеграла в (9) используем следующие
выражения (квадратурная формула трапеций)
Хи *2]
/f 1 ^2 / \
/ f(x)vdx&—-(fi-.]yj-]Vi-\j-\+fi-\jVi-ij + fij-\Vij-i + fijVij).
x\,i-lx2j-l
Для членов с производными используются формулы
х U Х2]
l,i-l x2j-\
х 1,1-1 x2j-\
где, например,
-у,
В простейшем случае однородных граничных условий (д(х) = 0 в B))
из аппроксимации (8) получим разностный функционал
х) = к(хи *2 - у V
t=i ;=i t=i i=i »=i ;=i
Здесь v(x) — произвольная сеточная функция, обращающаяся в нуль
на дш. Условие минимума функционала A0)
dJ
— = 0, z=l,2,...,i\r,-l, j = 1,2,... ,iV2 - 1
dVij
приводит нас к разностному уравнению
2
которое дополняется условиями
v(a;) = 0, х е дш. A2)
Уравнение A1) есть уравнение Эйлера для разностного функционала A0).
Само разностное уравнение A1) можно получить непосредственно из ап-
аппроксимации дифференциального уравнения Эйлера (уравнения A)),
но более последовательным является подход с предварительным форму-
формулированием конечномерной задачи минимизации функционала (8), (9).
Тем самым, мы пришли к обычному разностному уравнению, аппрок-
аппроксимирующему задачу Дирихле A), B). В таком контексте вариационная
11.1. Численные методы решения вариационных задач 539
формулировка D)-F) задачи A), B) привлекается нами для построе-
построения разностных схем — разностная схема A1), A2) получена на основе
аппроксимации (8), (9) функционала D).
В дальнейшем на этом простейшем примере вариационной задачи мы
будем иллюстрировать различные подходы к приближенному решению
задач минимизации. При этом мы имеем возможность сопоставления
с рассмотренными ранее методами решения задач типа A1), A2) —
решением уравнения Эйлера для минимизируемых функционалов.
11.1.2. Задачи управления
Наш основной интерес связан с задачами управления тепловыми
процессами. Дадим достаточно общую формулировку проблемы, которую
мы будем рассматривать как специальный класс вариационных задач
с ограничениями.
Тепловое состояние исследуемого объекта задается температурой
во всех точках и в различные моменты времени. Тепловое состояние из-
изменяется при варьировании различных величин. В качестве управляющих
величин (управления) могут выступать тепловые источники, граничные
тепловые режимы и т. д.
Тепловое состояние описывается уравнением с частными произ-
производными, и поэтому задачи управление тепловым состоянием относят-
относятся к задачам управления для распределенных систем. Управление будем
обозначать v и будем считать, что оно принадлежит некоторому мно-
множеству допустимых управлений V. Состояние системы (температура)
зависит от управления, поэтому будем писать u(v) (или более подробно
u(x;vIu(x1t;v)).
Качество управления состоянием системы естественно оценивать
на основе некоторого заданного функционала (функционала качества)
J(v), определенного на решениях соответствующего уравнения (уравне-
(уравнений). Требуется найти минимум этого функционала и управление w,
которое этот минимум реализует, т. е., например, решить вариационную
задачу F).
Отметим основные особенности рассматриваемых вариационных за-
задач. Прежде всего, мы всегда имеем дело с задачами условной миними-
минимизации — в задачах управления тепловыми процессами ищется минимум
на решениях уравнения теплопроводности. Кроме того, ограничения мо-
могут накладываться на управление. Типичной является ситуация, когда
ограничения имеют вид неравенств, например,
V = {v\veH, b^v^bh A3)
где ?а, а = 1,2 — некоторые заданные функции. Ограничения типа A3)
часто реализуются в прикладных проблемах. Примером может служить
ситуация, когда в качестве управления выступает мощность теплового ис-
источника (fi =0, выключенный источник, & — максимальная мощность
источника).
540 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Ограничения могут формулироваться и на состояние системы. При
рассмотрении процессов нагревания твердого тела естественным может
быть ограничение
u{x,t\v) ^и\
где и* — температура фазового перехода.
При рассмотрении задач управления приходится решать многие
проблемы. Прежде всего, необходимо исследовать вопросы существо-
существования оптимального управления, сформулировать необходимые (необхо-
(необходимые и достаточные) условия экстремума. Мы обратим особое внимание
на конструирование вычислительных алгоритмов для нахождения опти-
оптимального управления, на приближенное решение задачи.
11.1.3. Условия оптимальности
Управление w Е V, для которого
J(w) ^ J(v), veV
называется оптимальным. Естественно, что возможно существование
не одного оптимального управления.
Если для vGW приращение функционала J(v) представляется в виде
6J(v) = J(v + 6v) - J(v) = ( grad J(v), 6v) + 7@,6v), A4)
где (•, ¦) — скалярное произведение в 7t, a
\<y(vjv)\
11m —rr—:— = 0,
то grad J(v) называется градиентом функционала J(v) в точке vGH.
Пусть, например,
J(tO = (jit>,t;)-2(/,tO, ven. A5)
Для приращения этого функционала имеем
J(v + 6v) - J(v) = ((Av, 6v) + (v, A 6v)) - 2(/, 6v) + (A 6v, Sv) =
= ((A* + A)v - 2/, v) + (-4 <4 6v).
Поэтому на основе A4) функционал J(v) дифференцируем для всех v ?7i
и его градиент равен
gradJ(v) = (A* + A)t>-2/.
Для самосопряженного оператора А (А = А*) получим
gradJ(v) = 2Av-2f. A6)
Например, функционал D) в классе функций Н = W\ (я(х) = 0 в C))
представляется в виде A5) с
w.faik)' Ж€П>
11.1. Численные методы решения вариационных задач 541
а A6) дает
grad J(v) = -
дха\ dxaj
Пусть w ЕЙ доставляет минимум функционала J(v), т. е.
J(w) = inf J(v),
а функционал J(v) дифференцируем в точке w, тогда
gradJ(w) = 0. A7)
Необходимое условие минимума A7) обобщает хорошо известное усло-
условие минимума функции многих переменных (частные производные равны
нулю). Достаточные условия минимума связываются со второй произ-
производной функционала J(v). В частности, условие A7) является не только
необходимым, но и достаточным условием минимума для выпуклых
функционалов.
Множество V из Н называется выпуклым, если оно содержит вместе
с точками vo и v\ также и любой элемент
va = av\ -f A - a)vo, 0 < a < 1.
Функционал J(v), определенный на выпуклом множестве V, называется
выпуклым, если
J(va) ^ aJ(v\) + A - a)J(vo).
Покажем для примера выпуклость функционала A5), если оператор А
самосопряженный и неотрицательный, т. е.
А = А* > 0.
Имеем
J(avx 4- A - <x)v0) ^ a2(j4vh v\) -f 2a(l - a)(Avuv0) +
+ A - aJ(Av0, v0) - 2a(/, vx) - 2A - a)(/, v0).
Принимая во внимание неравенство
2(i4vi, v0) ^ (ilvi, vi) + (ilvo, v0),
получим
j(av\ +A -a)v0) < a(jlvi,vi) + (l - a)(i4v0, v0)-
- 2a(/, v,) - 2A - a)(/, v0) = aJ(vx) + A - a)
Функционал J(v) называется сильно выпуклым, если на выпуклом мно-
множестве V для некоторого ас > 0 имеет место неравенство
J(va) > <*J(v\) + A - <*)J(vo) - a(l - a)/c||v! - vo||2.
542 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Если в A5) оператор А — положительно определен (А ^ /zJ57, /x > 0)
и самосопряжен, то, как нетрудно убедиться, функционал A5) является
сильно выпуклым.
Необходимое условие экстремума функционала J(v) на выпуклом
множестве ограничений V имеет вид
(gradJ(w),v-w) 5*0, veV. A8)
Если V = Н (задача управления без ограничений), то неравенство A8)
эквивалентно приведенному выше условию A7). Если функционал J(v)
является выпуклым, то A8) (соответственно A7)) является не только
необходимым, но и достаточным условием минимума.
11.1.4. Численное решение задач без ограничений
Важнейший класс методов минимизации образуют градиентные ме-
методы. В этом случае в задачах без ограничений (V = Н) поиск реше-
решения вариационной задачи F) базируется на использовании необходимых
условий минимума A7).
Для решения задачи управления без ограничений рассматривается
задача
grad J(w) = 0, wen. A9)
Задачи управления здесь рассматриваются при выборе квадратичного
функционала качества J(v). В этом случае A9) есть линейное уравнение
для неизвестной функции w.
Для приближенного решения задачи A9) применяются итерацион-
итерационные методы. Мы начнем с простейшего явного метода
0, * = 0,l,... . B0)
Существуют различные способы выбора итерационных параметров в гра-
градиентом методе B0). Естественно ориентироваться на варианты, которые
близко примыкают к вариационным итерационным методам решения
задач линейной алгебры (см. п. 4.6). Поэтому более подробно рассмо-
рассмотрим вариационную задачу F), A5) с самосопряженным оператором А.
В этому случае решается уравнение
f, * = 0,l B1)
В методе скорейшего спуска итерационные параметры в B1) определя-
определяются (см. п. 4.6) следующим образом
1 (rk,rk)
r*+i = ,/, ч, B2)
2(Агк,гк)
где невязка имеет вид
гк = Awk - / = - grad J(wk).
11.1. Численные методы решения вариационных задан 543
В градиентном методе B0) метод скорейшего спуска соответствует вы-
выбору итерационного параметра тк+\ из условия минимума функционала
на следующем приближении, т. е.
J(wk+\) = <Pk(Tk+\) = min^(r),
B3)
(рк(т) = j(wk-T grad J(wk)).
Задача определения итерационного параметра из B3) есть задача мини-
минимизации функции одной переменной, которая может решаться классиче-
классическими методами вычислительной математики.
Для функционала A5) при самосопряженном и положительном опе-
операторе А имеем
j(wk-r grad J(wk)) = (Awki wk) - 2т( grad J(wk), Awk - f) +
+ T2(AgradJ(wk), grad J(wk)).
Отсюда следует формула для итерационных параметров
_ (gradJ(^)?rfe)
(A grad J(wk), grad J(wk)) '
которая совпадает с B2).
При практической минимизации вместо B3) часто используется
выбор итерационного параметра в B0) из условия монотонности:
J(ww) < J{wk). B4)
Начиная с некоторого заданного значения, итерационный параметр
уменьшают до тех пор пока не будет выполняться условие монотон-
монотонности B4).
Для ускорения сходимости итерационных методов в задачах линей-
линейной алгебры используются неявные и трехслойные итерационные методы.
Аналогичные процедуры можно применять и в задачах минимизации A9).
Например, вместо B0) использовать неявный итерационный метод
BkWM~Wk + grad J(wk) = 0, fc = 0,1,... . B5)
В методах B5) принципиальным моментом является выбор Вк. Ранее этот
круг вопросов обсуждался нами применительно к сеточным эллиптиче-
эллиптическим задачам (см. п. 4.7). Задачи управления представляют собой более
широкий класс задач, для них сложно провести исследование проблем
оптимизации выбора Вк.
Приведем формулы явного метода сопряженных градиентов для
решения задачи минимизации (трехслойный градиентный метод). В этом
случае (ср. с п. 4.6)
wk+x =wk- Хкрк} к = 0,1,... ,
Po = gradJ(wo), B6)
рк = grad J(wk) -f /i*ft-i, fc = 1, 2,... .
544 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Параметры А* как и в случае B0), B3) находятся из условия минимума
функции J(tVk - Ьрн), а для 1*>к используются формулы
HgradJK)»2
Применяются и другие способы задания итерационных параметров в B6).
11.1.5. Решение задач оптимизации с ограничениями
Отметим основные подходы к приближенному решению задач ми-
минимизации с ограничениями градиентными методами. Для этого пере-
переформулируем необходимое условие оптимальности A8).
Проекцией элемента v G Н на множество V С Н называется элемент
w e V такой, что
||t>-ii>KI|t>-0||, gev.
Обозначим через Vy оператор проектирования на множество V, тогда
w = Vv(v).
В качестве примера построений проекций рассмотрим случай, когда
ограничения задаются согласно A3). В этом случае
6, v > 6-
Необходимые условия A8) можно записать в виде
w = Vv (w - т grad J(w)), г > 0. B7)
Естественно строить приближенные методы решения задач минимизации
на основе итерационного решения уравнения B7) — метод проекции
градиента.
Вместо B0) используется следующий итерационный процесс
Wfc+i = Vv(wk ~ т*+, grad J(wk)). B8)
Итерационный процесс B8) можно записать в следующем двухшаговом
виде
IPfcl"IP* = 0> B9)
= 0,1,... • C0)
Первый шаг B9) осуществляется так, как и в случае задачи без ограниче-
ограничений (см. B0)). На втором шаге C0) осуществляется ввод в подпростран-
подпространство ограничений V.
Выбор итерационных параметров в итерационном методе B9), C0)
проводится по аналогии с итерационным методом B0). Возможно для
ускорения сходимости использование вместо B9) неявных итерационных
методов.
11.1. Численные методы решения вариационных задач 545
11.1.6. Метод штрафа
Для приближенного решения задач с ограничениями широкое рас-
распространение получили подходы с переходом к задаче без ограничений.
В методе штрафа вместо решения задачи минимизации F) рассматрива-
рассматривается задача
J,(t*e) = infJ,(t0, C1)
где е > О — параметр штрафа, а
Jt(v) = J(v) + Pt(v). C2)
Штрафная функция Pe(v) выбирается так, чтобы
О, «€V,
о, v€H\V.
На множестве ограничений A3) функцию штрафа можно взять в виде
Pe(v) = i(|| maxtf, -«,0}||2 + || тах{«-6,0}||2).
Аналогично строится функция штрафа и в случае более сложных ограни-
ограничений. Мы не будем останавливаться на этом вопросе более подробно.
Для выделения ограниченного управления, для выделения един-
единственного управления можно рассматривать вместо задачи F) задачу
минимизации типа C2). Если, например, положить
Pe(v) = 1|М|2, C3)
то, уменьшая параметр ?, мы сужаем класс управлений, допуская ре-
решения с меньшей нормой. Переход от задачи F) к задаче C2), C3)
широко используется при исследовании (теоретическом и численном)
задач оптимизации.
11.1.7. Задачи
Задача 1. Пусть А — линейный оператор в гильбертовом простран-
пространстве Н и
J(v) = \\Av - /||2. C4)
Найдите градиент этого функционала.
Решение. Имеем
J(v + 6v) - J(v) = (A(v + Sv) - /, A(v + 6v) - /) - (Av - f,Av- f) =
= 2(Av - /, A 6v) + (A 6v, A 6v) =
= (A*(Av - /), 6v) + (A*A 6vy 6v).
Следовательно, для функционала C4) выражение
gmdJ(v) = 2A*(Av-f). C5)
определяет искомый градиент функционала. >
36 Зак 168
546 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Задача 2. Для приближенного решения уравнения
Aw = f C6)
используйте итерационный метод спуска для минимизации функционала
невязки C4).
Решение. Задача минимизации функционала невязки C4) эквива-
эквивалентна решению уравнения A9), т.е. с учетом C5) уравнения
A* Aw = A*f,
которое соответствует симметризации (см. п. 9.2) исходного уравне-
уравнения C6).
Имеем
j(wk - т grad J(wk)) = {Awf., Awk) - 2т(А grad J(wk)} Awk - f) +
+ t2 (A grad J(wk), A grad J(wk))
и поэтому
(AgrbdJ(wk)rk)
l }
Принимая во внимание C5), получим
grad J(wk) = 2A*rk.
Из C7) следует выражение
= 1
Tk+X 2
для итерационных параметров. >
11.2. Управление источниками
в стационарных задачах
теплопроводности
11.2.1. Задачи термостатирования
В качестве одного из важнейших классов задач управления тепловы-
тепловыми процессами отметим задачи термостатирования. Необходимо за счет
тех или иных тепловых воздействий удерживать заданную температу-
температуру в некоторой части расчетной области. В качестве управления могут
выступать распределенные или точечные внутренние источники тепла,
например, нагреватели. В этом случае речь идет об управлении источни-
источниками в задаче теплопроводности. Такая задача и рассматривается ниже.
В качестве модельной рассмотрим задачу управления температурой
изотропного твердого тела, когда расчетная область п есть прямоугольник
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 547
Q = {х | х = (хих2), 0<ха<1а) а = 1, 2}.
Стационарное поле при управлении распределенными источниками
тепла определяется из уравнения
Lu = f(x) + v(x), ж eft, A)
где
Для простоты ограничимся краевыми условиями первого род.т
и(х) = д(х), х G дп. C)
Будем считать, что наблюдение ведется за температурой во всей рас-
расчетной области, и поэтому функционал качества естественно взять в виде
J(v) = J (u(x;v)-ip(x)Jdx, D)
п
где (р(х) — заданная функция (желательное распределение температуры).
Вместо D) рассматривается (см. п. 11.1) функционал
2(x)dx E)
при некотором заданном е. Ищется минимум функционала E), т.е.
Je(w) = inf Je(v), F)
ven
где Н = 2^2(П) (V = 7i — задача управления без ограничений). Нетрудно
убедиться в том, что функционал J€(v) является сильно выпуклым.
Приближенное решение задачи оптимального управления A)-F)
основывается на градиентных итерационных методах. Поэтому в таких
задачах прежде всего необходимо вычислить градиент минимизируемо-
минимизируемого функционала, сформулировать необходимые условия оптимальности.
Так как численно решается дискретная задача, то соответствующие усло-
условия оптимальности необходимо формулировать на основе вычисления
градиента дискретного функционала.
11.2.2. Градиент функционала
Условия оптимальности задачи A)-F) имеют вид
gradJe(w) = 0. G)
Для нахождения градиента функционала Je(v) рассмотрим разность
6J?(v) = J?(v + 6v) - Je(v).
36*
548 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Определим решение задачи A)-C) которое соответствует правой части
v + 6v через и + би. Имеем
L(u + би) = f(x) + v + 6v, х е П, (8)
и(х) + би(х) = д(х), х е дп. (9)
В силу линейности задач A), C) и (8), (9) для приращения температуры
би(х) получим задачу
L6u = 6v(x)) хеп, A0)
би(х) = 0, хедп. A1)
Для приращения функционала имеем
6J?(v) = 2 I би(и — (р(х)) dx н—j / Яу v(x) dx +
п п
+ ГFиJ dx + ^ f(SvJ dx. A2)
п п
Чтобы из A2) получить выражение для градиента, необходимо выразить
приращение температуры 6и через приращение управления. С этой целью
введем новую функцию р(х), которая определяет сопряженное состояние.
Домножим уравнение A0) скалярно в И = Хг(^) на р(х)9 что дает
равенство
(L6utp) = (Sv,p). A3)
Функция р(х) удовлетворяет сопряженному уравнению с однородными
граничными условия первого рода, и в силу формулы Грина (в нашем
случае L = L*)
)
Принимая во внимание вид первого слагаемого в правой части A2),
определим р(х) как решение следующей краевой задачи
Lp = и(х) - ф), хеп, A4)
р(х) = 0, х G дп. A5)
С учетом A3) имеем
/ 6и(и - <р(х)) dx = / 6vp(x)dx. A6)
п п
Принимая во внимание оценку
для задачи A0), A1), из A2) и A6) получим следующее выражение для
градиента функционала D), E)
grad Je(v) = 2 (р(х) + -^v(x)).
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 549
Тем самым, необходимое и достаточное условие G) минимума функцио-
функционала приводит нас к равенству
р(х) + -^Цж) = 0, хеп. A7)
Здесь сопряженное состояние определяется из уравнения A4) и гранич-
граничного условия A5). Кроме того, справедливо уравнение
Lu = f(x) + w(x), хепу A8)
дополненное граничным условием C).
Тем самым, оптимальное управление находится из решения систе-
системы уравнений A4), A8) (уравнения Эйлера для функционала D), E))
с условиями C), A5) на основе равенства A7). Исключая и(х) с по-
помощью уравнения A4) и принимая во внимание A7), из A8) получим
эллиптическое уравнение четвертого порядка для р(х):
L2p + е2р = f(x) -L(p, xe П. A9)
Это уравнение дополняется граничными условиями A5) и
Lp = g(x) - р(х), х G дп. B0)
На основе A7) аналогично A5), A9), B0) формулируется краевая задача
для управления:
L2w + e2w = e2(L(p - /(ж)), х G ft, B1)
Lw = e2 (<p(x) - g(x)), x G дп, B2)
w(x) = 0, x G dQ. B3)
На основе краевой задаче B1)—B3), содержащей параметр е, строится
вычислительный алгоритм решения задачи оптимального управления.
11.2.3. Разностная задача
Рассмотрим дискретный аналог задачи оптимального управления
A)-F). В прямоугольнике ft вводится обычная равномерная сетка
ш= {x\x = xij = (ihujh2I
1 = О,1,...,ЛГЬ ;=0,1,...,Л2, Naha = la, a =1,2},
причем ш — множество внутренних, а дш — множество граничных узлов.
Краевой задаче A)-C) ставится в соответствие разностная задача
Лм = f(x) + v(x)y x G ш, B4)
и(х) = g(x), x G дш, B5)
где с учетом B)
2
ащ Каи = -(ааща)Ха. B6)
а=1
550 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Для определенности будем считать, что для достаточно гладкого коэф-
коэффициента теплопроводности
ах(хих2) = к(х{ - 0,5hux2), а2(хих2) = к(хих2 - 0,5Л2).
Наблюдение ведется за температурой внутри области П, поэтому аппрок-
аппроксимируем функционал качества D), E) следующим образом
Je(v) = \\u(x;v)-<p(x)\\2 + ±\\v\\2, B7)
где теперь (•, ¦) и || • || — скалярное произведение и норма в сеточном
гильбертовом пространстве Н = Ь2(ш), причем
(я, w) = Y2 v(x)w(x)h{h2.
Оптимальное управление w(x), х Е Н определяется из условия
Je(w) = inf J€(v). B8)
Условия минимума в задаче B4)-B8) формулируются аналогично непре-
непрерывному случаю. Для градиента разностного функционала B7) имеем
grad J?(v) = 2 f p(x) + -^v(j
где р(ж) — определяется как решение сеточной задачи
Ар = |»(ж) - р(а), ж G w, B9)
р(х) = 0, жЕ аа;. C0)
Оптимальное управление и р(х) связаны соотношением
р(х) + ^ь>(х) = 0, хеш. C1)
Из B4)-B6) и B9)—C1) получим разностный аналог краевой задачи
A2w + e2w = е2 (А<р - f(x)), хеш, C2)
Лм = е2 (ф) - д(х)), х е дш, C3)
w(x) = 0, хе дш. C4)
Далее мы остановимся на вопросах решения сеточной задачи C2)—C4).
11.2.4. Решение сеточной задачи
Разностная задача C2)—C4) для оптимального управления решается
на основе использования тех или иных методов решения сеточных урав-
уравнений. Отметим возможность использования прямых методов разделения
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 551
переменных в задаче управления тепловым состоянием однородного тела.
В этом случае коэффициент теплопроводности постоянен, для удобства
положим к(х) = 1, х е п. В таком частном случае
2
Аои = Y^ Кщ Ки=-щаХа, а = 1,2 C5)
а=1
есть сеточный оператор Лапласа.
Разностную задачу C2)—C4) на множестве сеточных функций, обра-
обращающихся в нуль на дш, запишем в виде
AqW + e2w = (p(x), х е и. C6)
Для решения этой задачи используем, например, прямой метод с бы-
быстрым преобразованием Фурье по одной переменной (подобная задача
рассматривалась в п. 10.3).
Запишем C6) с учетом C5) в виде
A2xw + 2A\A2w + A2w + e2w = <р(х)у хеш. C7)
Сеточное преобразование Фурье проведем по переменной х\. Опреде-
Определим соответствующие собственные значения и собственные функции
разностного оператора Ai выражениями
4 .
1/2
Ьгя,
Решение разностной задачи C7) представляется в виде разложения:
Nx-\
w(x) = Y2 ck(x2)vk(x\), хеш. C8)
Для нахождения сд.(ж2) решаются (алгоритм пятиточечной прогонки,
см. п. 10.3) системы уравнений
А22ск - 2ХкА2ск + \\ск + е2ск = <рк{х2),
h2^x2^l2-hb fe=l,2,...,iNr,-
где (рк(х2) — коэффициенты Фурье правой части:
C9)
*=i
Быстрое преобразование Фурье используется для вычисления коэффи-
коэффициентов (рк(х2) и самого решения в соответствии с C8), C9). Вычисли-
Вычислительные затраты на решение задачи C5), C6) оцениваются величиной
в Q = O(N\N2 log iVi) арифметических действий.
552 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Для приближенного решения задачи C2)—C4) с переменным ко-
коэффициентом теплопроводности используются итерационные методы.
Запишем подобно C6) разностную задачу C2)—C4) в виде
Aw = ip(x), хеш, D0)
где, принимая во внимание B6),
А = А2 + е2Е. D1)
Используем для решения задачи D0), D1) с
А = А* > 0
двухслойный итерационный метод
= fc = o,l,... D2)
с самосопряженным положительно определенным оператором В. Ско-
Скорость сходимости итерационного метода D2) определяется постоянными
энергетической эквивалентности операторов А и В:
ЪВ^А^ъВ, 71 >0. D3)
Отметим прежде всего возможности выбора оператора В в виде
сеточного оператора четвертого порядка, который может обращаться
на основе метода разделения переменных (оператор В соответствует
решению задачи типа C5), C6)). Пусть для коэффициента теплопровод-
теплопроводности имеют место ограничения
к\ ^ к(х) ^ л2> *>\ > 0.
В силу этого для оператора Л, определяемого согласно B6), получим
К\А0 ^ Л ^ К2АО. D4)
Из D1) и D4) непосредственно следует операторное неравенство
к2хА20 + €2Е < Л2 + €2Е ^ к22А20 + е2Е. D5)
Выберем в качестве оператора В в итерационном процессе D2)
разностный оператор с разделяющимися переменными
А
В = А20 + -Е. D6)
к2
На основе D5) приходим к операторному неравенству D3) с
7i = *ь 72 = 4 D7)
На основе D3), D7) получим соответствующие оценки для скорости
сходимости итерационного метода D2), D6). Для обращения В могут
использоваться прямые методы.
Для решения сеточной эллиптической задачи четвертого порядка
можно использовать и другие итерационные методы. В частности, заслу-
заслуживают упоминания итерационные методы, рассматриваемые в п. 10.3.
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 553
11.2.5. Градиентный метод
Стандартный явный градиентный метод состоит в определении при-
приближенного решения (см. п. 11.1) из условий
Wk+x~Wk + grad J?(wk) = О, k = 0, 1,... . D8)
Принимая во внимание выражение для градиента, из D8) получим
0. * = 0,1 D9)
где в соответствии с B9), C0)
Арк = ик(х) - (р(х), хеш, E0)
рк(х) = 0} хедш. E1)
Исключая рк, из D9)—E1) получим
+ }_Ку)к _ Л = 0> fc = o,l,... . E2)
В свою очередь (см. B4), B5)) имеем
Аки = f(x) + wk(x), хеш, E3)
uk(x)=g(x), хедш. E4)
Применяя к левой и правой части уравнения E2) оператор Л и подста-
подставляя E3), E4), получим
е wk+x-wk +Awk = (fi fc = о, 1,..., E5)
2 T
где использованы ранее введенные обозначения (см. D0, D1)).
Следовательно, градиентный метод D8) соответствует использова-
использованию итерационного метода D2) для приближенного решения сеточной
задачи D0), D1) при (см. E5)) выборе
В = ?-А2. E6)
Пусть для оператора Л верна оценка снизу
Л ^ 60Е, б0 > 0,
где #о не зависит от сетки. Тогда для операторов D1) и E6) справедливо
операторное неравенство D3) с постоянными
•"¦?• ¦»=7>([+'i) <57)
В силу E7) скорость сходимости градиентного метода D9)—E1), E3), E4)
не зависит от параметров используемой разностной сетки, но зависит
от параметра е.
35 Зак 168
554 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
11.2.6. Задачи управления с ограничениями
Коротко остановимся на некоторых других, более приближенных
к практике, задачах оптимального управления, примыкающих к подробно
рассмотренной задаче A)-F). Отметим прежде всего задачи с ограниче-
ограничениями на управление.
Регулирование температурного поля осуществляется за счет распре-
распределенного источника тепла. Естественно считать, что управление v(x)
может быть только неотрицательным, и поэтому множество допустимых
управлений V есть
V = {v | v е Н, v(x) > 0}.
При условиях A)-E) ищется оптимальное управление w(x) такое, что
J?(w) = MJ?(v). E8)
vev
Для задачи A)-E), E8) условие оптимальности (см. п. 11.1) имеет вид
( grad Je(w), v - w) ^ 0, v e V.
Принимая во внимание выражение для градиента, получим
) (
Ы) + ^()) Ы) ())dx
п
Отсюда следует, что или w = 0, или р + s~2w = 0, или эти равенства вы-
выполнены одновременно. Последний вариант, соответствующий частному
случаю, когда и(х) = <р(х) (см. A4), A5)) и
Lcp = /(а), х ? П,
<р(х) = д(х), х е дп,
интереса не представляет.
Это дает нам возможность выделить две подобласти П' и И" такие,
что
Ц*) = 0, p(x)>0, xeti,
w(x)>0, p(x) + e~2w(x) = 0, xett".
Определим
z~ = min{0, z}y
тогда условия оптимальности E9) можно записать в виде равенства
w(x) = -e2p~(x). F0)
Принимая во внимание F0), получим систему уравнений A4)
и (см. A8))
Lu + e2p-(x) = f(x), хеп, F1)
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 555
дополненную граничными условиями C), A5). Исключая и(х), приходим
к уравнению
L2p + €2р~ = f(x) -Lip, xe П, F2)
которое в отличие от уравнения A9) для задачи без ограничений является
нелинейным. Уравнение F2) решается с краевыми условиями A5), B0).
Определим
Го, р<о (хеп"),
\\, Р>о (xert),
тогда уравнение F2) запишется в виде
L2p + е2с(р)р = f(x) -Lcp, xe П. F3)
Для приближенного решения нелинейной краевой задачи A5), B0),
F3) можно использовать итерационный метод, основанный на решении
на каждой итерации линейной краевой задачи для уравнения
L2pk+] + e2c(pk)pk+l = f(x) -Lip, xe ft. F4)
Краевая задача для уравнения F4) с переменными коэффициентами
решается итерационно. С этой целью привлекаются ранее отмеченные
итерационные методы решения сеточных эллиптических уравнений че-
четвертого порядка.
Отметим возможность использования градиентных методов. В ме-
методе проекции градиента (см. п. 11.1) приближенное решение на новом
итерационном шаге находится в два этапа. На первом определяется wk+]
из уравнения
Wk+l~Wk + grad J(wk) = 0. F5)
rk+\
Реализация F5) обсуждалась выше (см. уравнение D8)). Далее осуще-
осуществляется проектирование управления на множество ограничений:
Wk+\ =Pv(%i)) fc = 0, 1,... .
С учетом выбора V имеем
wk+{ = w^+l = max{0, wk+\}. F6)
Итерационный метод F5), F6) можно наряду с F4) рассматривать как
вариант итерационного решения нелинейной задачи для уравнения F3).
11.2.7. Задачи с геометрическими ограничениями
Отметим некоторые особенности решения задач управления темпе-
температурой в более общих, чем в задаче A)-F), условиях. Будем считать,
что управляется температура не во всей области П, а только в некоторой
ее части Ц,. Кроме того, управляемые источники тепла можно распо-
расположить только в некоторой части Qv области п. Сформулируем задачу
управления в условиях таких геометрических ограничений.
35*
556 Глава 11. Заданы управления тепловыми процессами
Температура в области п описывается уравнением
Lu = f(x) + x(nv)v(ar), х е п F7)
и граничными условиями C). В F7) использованы обозначения
О, xiUv,
Определим теперь V = И = ^(^v)» а функционал качества выражением
Je(v) = J (u(x; v) - ф)J dx + ±J v\x) dx, F8)
где 0,^ С О, Slv С П. Нетрудно сформулировать условия оптимально-
оптимальности G) для задачи оптимального управления C), F), F7), F8).
Для приращения функционала имеем (см. A2))
6Je(v) = 2 / 6и(и - (р(х)) dx + — / ?v v(x) dx +
Afft»J ^ + "T /(^J dx. F9)
-f
Сопряженное состояние определим из решения краевой задачи для урав-
уравнения
Ьр = х(П9)(и(х)-ф)I хеп G0)
с однородными условиями A5) на границе.
Из F9) получим следующее выражение для градиента функционала
(v) = 2
grad Je(v) = 2Ых) 4- ^
Условие G) приводит нас к равенству
р(х) + -^хШФ) = Ь х?^ G1)
которое обобщает A7). Тем самым, приходим к системе уравнений F7),
G0) и связью G1). При формулировании задачи типа A5), A9), B0) для
сопряженного состояния необходимо учитывать разрывность (см. G1))
функции р(х).
11.2.8. Точечное управление
В заключение остановимся на задаче оптимального управления то-
точечными источниками. В прикладных системах для управления темпе-
температурой объекта можно использовать источники малого сечения, рас-
расположенные в некоторых точках расчетной области. В частности, такая
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 557
ситуация имеет место при управлении тепловым состоянием с помощью
тонких проводников тока, а управление мощностью теплового источника
достигается за счет изменения величины протекающего электрического
тока. В таких задачах управление может достигаться и за счет выбора поло-
положения источников тепла, но мы здесь эту задачу рассматривать не будем.
Будем считать, что состояние системы определяется уравнением
теплопроводности
м
Lu = f(x) + ]Г) va6(x - za)% хеп, G2)
где za, a = 1,2, ...,М — заданные точки расположения источников
тепла, 6(х) — tf-функция. В данном случае управление v есть вектор
с компонентами va, а = 1,2,..., М.
Положим V = Н = h, так что
м
а=1
Функционал качества в задаче управления системой, описываемой B),
C), G2), возьмем в виде
Je(v) = J (u(x; v) - ф)J dx + ^|М|2. G3)
п
Необходимо определить минимум этого функционала. Эта задача явля-
является в отличие от задачи A)-F) задачей конечномерной оптимизации,
а не функциональной.
Необходимые условия в задаче B), C), F), G2), G3) формулируются
аналогично случаю задачи A)-F). Приведем лишь выражение для гра-
градиента функционала. Сопряженное состояние определяется из обычного
уравнения A4) и граничных условий A5). Для градиента функционала G3)
непосредственно получим
grad J?(v) = 2 lp(za) + ^jv<* ) •
Условие оптимальности дает М равенств
p(za) 4- j2va = 0, а = 1, 2,..., М. G4)
Вычислительная реализация градиентных методов в случае G4) ничем
принципиально не отличается от рассмотренного выше случая распреде-
распределенного управления. На каждой итерации решаются две краевые задачи:
для определения основного и сопряженного состояний.
558 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
В задачах точечного управления альтернативой может служить рас-
расчет М функций влияния каждого отдельного теплового источника. Пусть
щ(х) есть решение следующей краевой задачи
Ьщ = /(*), х е П, G5)
Щ(х)=д(х), хедП. G6)
Определим ра(х), а = 1, 2,..., М из уравнения
?ра = <5(я - Za), ж G П G7)
и граничных условий
ра(х) = О, хе дп. G8)
Очевидно, что функция ра(х) = <7(ж,жа), где G(x,s) — функция Грина
задачи Дирихле.
С учетом G5)—G8) решение задачи C), G2) представляется в виде
м
и(х) = щ(х) + ^2 vapa(x). G9)
Подстановка в G3) приводит к
| М
ЯМ \
щ(х) - (р(х) + ^2 vapa(x) J
Для градиента имеем
a=l
Je(v) = 2 / f г
grad Je(v) = 2 / f гго(х) - у>(ж) + ^ ^^(ж) JPa(^) & + —
n
Условие оптимальности G) приводит нас к линейной системе уравнений
для определения оптимального управления гу:
\ 1
- (р(х) + ^3 wPPp(x) )Р«(Х) dx + ~2^a = 0. (80)
Таким образом, решение задачи оптимального точечного управления B),
C), F), G2), G3) свелось к решению М+1 краевых задач G5)—G8)
и линейной системы уравнений (80). Необходимо сделать замечание
о том, что данный подход опирается на представление решения задачи
в виде G9), т.е. пригоден только для линейных задач оптимального
управления.
Для задачи точечного управления можно рассмотреть обобщения,
связанные с ограничениями на управление, другие функционалы качества
и т.д.
11.2. Управление источниками в задачах теплопроводности 559
11.2.9. Задачи
Задача 1. В задаче оптимального управления A)-E), E8) при огра-
ограничениях
V = {v | v G W, v(x) ^ 0}
используйте метод штрафа и выпишите соответствующие условия
оптимальности.
Решение. Рассмотрим вместо D), E) функционал качества
Jea{v) = j (u(x; v) - ф)J dx + ^|М|2 + Pe(v), (81)
где Pa(v) — штрафная функция. Положим (см. п. 11.1)
^
= ^\\v-\\2, (82)
^
где, напомним, гГ = min{0, v}. Непосредственные выкладки дают для
градиента функционала (81), (82)
grad Jea(v) = 2 (р(х) + — v(x) + ^'(x) ),
где сопряженное состояние определяется согласно A4), A5). Для опти-
оптимального управления получим равенство
р(х) + -tw{x) + -jw'ix) = 0, х G п,
которое обобщает A7). >
Задача 2. Получите условия оптимальности при управлении систе-
системой A)-C) с функционалом качества
Je(v) = J («(z; v) - <р(х)J dx + ±\\v\\2. (83)
п
при условии, что V = Н — W2(fy.
Решение. Норма в W^fi) (см. п. 4.1) определяется выражением
1х. (84)
560 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Для приращения функционала (83), (84) (см. A2)) получим
6J?(v) = 2 6и(и - <р(х)) dx -f -j 6v v(x) dx +
(85)
п а=1 Л
Определим функцию р'(х) из условий
Lp = и(х) - tp(x), х е О, (86)
р(х) = 0, хе дп, (87)
тогда (см. A6))
I 6u(u- (p(x)) dx= [ 6vp(x) dx. (88)
п п
Сопряженное состояние определим функцией р(х) такой, что
J 6vp'(x) dx = Jp(xNv dx
17 п
Для этого достаточно положить
|=*'<*)> *?Ъ (89)
р{х) = 0, жЕ 9^. (90)
Тем самым, сопряженное состояние находится как решение задачи (86),
(87), (89), (90) (две краевые задачи для эллиптического уравнения вто-
второго порядка). Подстановка (88) в (85) позволяет выписать градиент
функционала (83), (84) в обычном виде
grad J?(v) = 2 (р(х) + ^ Ф) J •
Отсюда следует искомое равенство A7) для оптимального управления. >
11.3. Управление источниками
в нестационарных задачах
11.3.1. Нестационарная задача термостатирования
Будем теперь считать, что рассматривается задача управления тем-
температурой тела в нестационарных условиях. Величина источников под-
подбирается таким образом, чтобы в течении всего временного промежутка
от t = 0 до t = Т удерживать температуры вблизи некоторой заданной.
11.3. Управление источниками в нестационарных задачах 561
В прямоугольнике п тепловое состояние описывается уравнением
ди
c(x)—+Lu = f(x,t) + v(x,t), хеП, О < t < Г, A)
at
где снова
± ?(?) B)
Для уравнения A), B) задаются простейшие начальные и граничные
условия
t«C,0=ffOM)» *€ дп, 0<*<Т, C)
fi(aj,O) = t*o(a:), ж 6 П. D)
Наблюдение за температурой и управление осуществляется в каждой точке
расчетной области и в каждый момент времени. Поэтому функционал
качества естественно взять в виде
Je(v) = J {u(Xi t; v) - ф, t)J dx dt + ^||t;||2, E)
Q
где
Q={(x,t)\xent 0<t^T}
Q
Будем рассматривать задачу управления без ограничений (V = Н), т.е.
будем искать w(x, t) такое, что
J?(w) = inf Je(v). F)
Аналогично A)~F) формулируются и другие задачи оптимального упра-
управления для уравнения A) (см. п. 11.2).
11.3.2. Условия оптимальности
Градиент функционала находится на основе рассмотрения прираще-
приращения функционала
6J€(v) = Je(v + 6v)-J€(v).
Подобно стационарному случаю (см. п. 11.2) имеем
6Je(v) = 2 1 6и(и - ф, t)) dxdt + — I 6vvdxdt +
Q Q
+ f(SuJ dxdt+^ f{6vf dx dt. G)
562 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Сопряженное состояние р(ж, t) определим так, чтобы выполнялось ра-
равенство
I би(и- tp(x} t)) dxdt= I 6vp(x, t) dx dt.
Q Q
Для этого достаточно, чтобы р(х, t) было решением уравнения теплопро-
теплопроводности с обратным временем
^г+?р и0М)-р0М), ж eft, o^t<T (8)
at
с граничными и начальными условиями следующего вида
p(x,t) = 0, хедп, (К*<Т, (9)
р(я?,г) = о, хеа (ю)
Градиент функционала определяется через сопряженное состояние
выражением
(x,t) + ^v(x,t)\ (ж,0 eQ. A1)
Условие оптимальности задачи A)-F)
grad J?(w) = 0
с учетом A1) примет вид
p(x,t) + ^w(x,t) = 0, (x,t)eQ. A2)
Задача нахождения оптимального управления свелась к решению
системы уравнений (8) и
ди
c(x)—+Lu = f(x,t)+w(x,t), хеП, 0<t^T A3)
at
с дополнительными условиями C), D) и (9), A0) а также связью A2).
Состояние системы описывается обычной параболической задачей C),
D), A3), а сопряженное — задачей с обратным временем для параболи-
параболического уравнения (8)—A0).
Для выяснения особенности полученной системы уравнений полу-
получим одно уравнение для р(х, t). С этой целью подставим и(х, t) из уравне-
уравнения (8) в уравнение A3), что даст с учетом A2) следующее эллиптическое
уравнение
-с2(*)^т + (Ф)? - Lc{x)) ^+L2p + e2p =
Эф
= !{x,t)+ <*?)¦?-Ьр, ж€П, (К<<Т. A4)
at
11.3. Управление источниками в нестационарных задачах 563
С учетом C), D) помимо (9), A0) выполнены условия
-c(x№+Lp = g(x9t), хедП, (К*<Г, A5)
at
dp
-ФО^Г + LP = М*)> Х?П. A6)
Принимая во внимание (9), A0), граничные условия A5), A6) можно
упростить:
Lp = g(x,t), хедП, 0<t^T. A7)
-с(х)^ = щ(х), хе П. A8)
Существенный момент связан с тем, что дифференциальный оператор
краевой задачи (9), A0), A4), A7), A8) самосопряжен только в случае
c(x)L - Lc(x) = 0, х G П. A9)
Перестановочность операторов L и с(х)Е имеет место, т. е. выпол-
выполняется A9), в случае (см. B)) постоянного коэффициента теплоемкости.
11.3.3. Разностная задача
При рассмотрении сеточных аналогов необходимых условий (9), A0),
A4), A7), A8) встает проблема согласования аппроксимаций по време-
времени для параболических задач, определяющих состояние системы и ему
сопряженное.
В п вводится равномерная прямоугольная сетка п с шагами h\ и hi
по переменным х\ и x-i соответственно. По переменной t используется
равномерная сетка
u>T = {t\t = nT, n = 0, l,...,iV, Nt = T}
с шагом т > 0. Для функции z(x, t) в момент времени t = tn используем
обозначение zn.
Для аппроксимации дифференциального оператора B) используется
разностный оператор
2
Аи = ]Г) КаЩ Ки = -{ааЩа)Ха B0)
при обычном задании сеточных функций аа{х),а = 1,2. При перехо-
переходе к разностной задаче оптимального управления применяются те же
обозначения, что и в исходной задаче A)-F).
Для аппроксимации A) будем использовать обычную разностную
схему с весами:
с(ж)-—^—- + А(аип+\ + A - а)ип) = /„+, + vn+u
564 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
где, например, /n+i = / (ж, O,5(?n-Mn+i)). Для разностного уравнения B1)
задаются (см. C), D)) граничные и начальные условия
Un(x)=gn(x)9 хеди, п = 0,1,...,ЛГ, B2)
щ(х) = и°(х), хеш. B3)
Определим сеточное гильбертово пространство Н со скалярным
произведением
N
(v, w) = ^2 ]С vn{x)wn{x)hxh2T.
п—\ ar€w
Функционалу E) поставим в соответствие функционал
Л(») = ||«-И|2 + ^1И2. B4)
Оптимальное управление находиться из условия минимума функциона-
функционала B4), т.е.
J?(w) = inf Je(v). B5)
t/бЯ
Далее мы получим условия оптимальности для задачи оптимального упра-
управления B0)-B5), которая получена на основе разностной аппроксимации
задачи A)-F).
Для приращения температуры из B1)—B3) имеем разностную задачу
11 + л(а 6и] 4- A - <гNип) = 6vn+u
п = 0, 1,...,JV- 1,
едшу n = 0, l,...,i\T, B7)
бщ(х) = 0, хеш. B8)
Для приращения функционала B4) получим
6J?(v) = 2Fщ и-if) + 2{6v, v) + O(\\6v\\2). B9)
Удобно записать уравнение B6) в виде
(с(х) - A - <т)Л) % + Аби = 6v. C0)
Домножим уравнение C0) скалярно в Я на некоторую пока не опреде-
определенную сеточную функцию рп(х), что дает
((с(х) - A - <г)А)бщ, р) + (Л 6ч,р) = Fv,p). C1)
Для преобразования C1) используется следующая формула разностного
суммирования по частям (см. п. 4.2):
N N
би р*т+6un Рп+*" 6и° р* •
п=1 п=1
11.3. Управление источниками в нестационарных задачах 565
Будем считать, что сеточная функция рпу п = 1,2,..., N -f 1 такая, что
pN+l(x) = 0, хеш, C3)
а также
рп+1(*) = 0, жЕ0и;, п = 0,1,...,ЛГ. C4)
С учетом B8) и C3) из C2) получим
N N
Принимая во внимание C4), C5), самосопряженность оператора Л,
однородные граничные условия B7), C3), для левой части C1) получим
((с(х) - A - а)А)бщ, р) + (Л би,р) =
= -((с(х) - A - a)A)ph би) + Fщ Ар). C6)
Из B9), C1) и C6) следует, что сопряженное состояние определяется
из разностного уравнения
-с(ж)—j;—2. + л(от>п + A - <г)Рп+\) =ип- (рпу
хеш, п=1,2,...,ЛГ
и условий C3), C4).
Градиент функционала B4) определяется выражением
п=1,2,...,ЛГ. C8)
Разностная схема C3), C4), C7) есть аппроксимация сопряжен-
сопряженной задачи (8)—A0). В частности, при использовании явной схемы для
определения состояния системы (<т = 0в B1)) явной (с учетом обрат-
обратного направления времени) будет и согласованная с B1) разностная
схема C7). Следует заметить, что разностная задача B1)—B3) рассма-
рассматривается при tn, п = 0,1,... ,N, разностная задача C3), C4), C7) —
при t = tn, n = 1, 2,..., N + 1, т. е. на разных сетках по времени. Эту
особенность разностной задачи трудно увидеть при непосредственной
аппроксимации дифференциальных задач.
11.3.4. Итерационный метод
Мы отметим лишь некоторые особенности использования гради-
градиентных итерационных методов решения задачи оптимизации B0)—B5).
Принимая во внимание выражение C8) для градиента функционала,
запишем градиентный (п. 11.1) итерационный метод в виде
+ -U/)=0, * = 0,1,..., C9)
где индекс к отвечает номеру итерации.
566 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Вычисление рк связано с решением двух параболических задач.
Сначала определяется состояние системы на fc-ой итерации из решения
задачи
c(x)Un+]~Un + Л(<л1*+1 + (I - <г)чкп) = /n+1 + wkn+u
ukn(x) = gn(x)y хедш, п = 0,1,...,ЛГ, D1)
ик0(х) = и°(х), хеш. D2)
Далее определяется сопряженное состояние:
+A _ а)р^) = ^ - ^Я| D3)
п=1,2,...,ЛГ,
w, D4)
pJS+i(«) = О,' a;Gfe, n = 0,1,..., N. D5)
Итерационные параметры задаются на основе рассмотренных выше
(см. п. 11.1) подходов.
Реализация C9)-D5) связана с решением параболических задач
D0)-D2) и D3)-D5). Естественно, что необходимо использовать устой-
устойчивые разностные схемы. Это накладывает (глава 5) соответствующие
ограничения на вес а и шаг по времени. При приближенном решении
многомерных задач (подобно двумерной задаче оптимизации A)-F)) ин-
интерес представляют экономичные разностные схемы (глава 6), которые
можно использовать вместо простейших схем с весами B1), C7).
11.3.5. Другие задачи управления
Как и в п. 11.2 можно отметить различные обобщения задачи управле-
управления A)-F). В большей части переход от стационарных задач управления
к нестационарным носит редакционный характер. Это позволяет нам
не останавливаться на более подробном описании.
Пусть управление v(x, t) e V, где
V = {v\ven, v{x,t)^0}.
Рассматривается задача минимизации функционала E), т.е.
Je(w) = inf J€(v). D6)
xev
Подобно стационарной задаче управления источниками (см. п. 11.2) усло-
условие оптимальности принимает вид
min{0, р} + — гф, t) = 0, (ж, *) G Q.
11.3. Управление источниками в нестационарных задачах 567
Реализация итерационного метода проекции градиента осуществляется
обычным образом.
Задачи с геометрическими ограничениями, задачи точечного упра-
управления, а также задачи с другими квадратичными функционалами рас-
рассматриваются аналогично. Кроме того, в прикладных исследованиях
представляют интерес задачи, когда сужения класса управляющих воз-
воздействий достигается другими способами. В частности, управление v
может зависеть только от части переменных и т.д. Некоторые другие
обобщения отмечены в задачах 1 и 2.
11.3.6. Задачи
Задача 1. Сформулируйте задачу для сопряженного состояния в задаче
оптимального управления A), B), D)-F), когда граничные условия
имеют вид
ди
к(х)— + сг(ж, t)u = g(x, t), хвдп, 0<t^ T.
on
Решение. Рассмотрение по общей схеме приводит нас к тому же
самому уравнению (8) для функции р(х, t) и однородному условию A0).
Вместо (9) теперь используется однородное граничное условие третьего
рода
др
к(х)-^-+(т(х,г)р = 0, хедп, 0<t^T.
on
Тем самым, задачи с граничными условиями более общего вида могут
рассматриваться полностью аналогично. >
Задача 2. Получите условия оптимальности в задаче оптимального
управления B)-F) для простейшего нелинейного уравнения теплопро-
теплопроводности
фM + Lu = f(u) + v(x> ')> х е П> 0 < * < Т. D7)
оъ
Решение. Особенности задач оптимального управления для нели-
нелинейных уравнений проявляются, начиная с формулировки линеаризован-
линеаризованной задачи для приращения температуры. Для уравнения D7) имеем
с(х)Р + L6u = ^-{и)ди Л- 6v + O(FvJ), х е П, 0 < < < Г.
ot аи
Сопряженное состояние будет определяться уравнением
-с(<х)% + Lp=?f-p + и(ху t) - ф, <). х € П, 0 < * < Г.
ot аи
Оно дополняется условиями (9), A0).
Градиент функционала E) вычисляется по обычной формуле A1),
а условие оптимальности имеет вид A2). >
568 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
11.4. Управление граничными режимами
11.4.1. Управление тепловым потоком на границе
Имеет смысл рассмотреть класс задач управления тепловыми про-
процессами, когда мы имеем возможность управлять граничными режимами
(тепловым потоком и температурой). Предположим, что наблюдение
ведется за тепловым состоянием всего тела (задачи термостатирования).
Стационарное тепловое состояние твердого тела с сечением
П = {х |ж = (я?1,ж2), 0<жа</а, а =1,2}
описывается обычным уравнением
Будем считать, что мы имеем возможность управлять тепловым потоком
на части границы области п. Пусть
7 = {х | х е дп, х2 = 12}
а Г = дп \ 7- На Г поддерживается заданный температурный режим, т. е.
и(х)=д(х), хеТ. B)
На оставшейся части границы имеем
ди
С учетом наших предположений управление v есть функция одной пе-
переменной х\. Определим гильбертово пространство Н = Ь2@11\) со ска-
скалярным произведением
(v,w) = I v(x\)w(xi)dxx.
о
При контроле температуры во всей области П функционал качества
естественно взять в виде
Jt(v) = f (u(x; v) - <p{x)f dx + 1||V||2. D)
При рассмотрении задачи оптимизации без ограничений (V = Н) ищется
w(x) такое, что
J?(w) = inf Je(v). E)
ven
Задача A)-E) есть характерный пример задачи граничного управления.
11.4. Управление граничными режимами 569
Для вычисления градиента функционала D) рассмотрим приращение
функционала
6Je(v) = J?(v + 6v)-J?(v).
Из D) имеем
SJe(v) = 2 J би(и - <р(х)) dx + ^Fv, v) + О(||^||2). F)
Для приращения температуры из A)-C) получим
0y aiGfi, G)
6и(х) = О, ж Е Г, (8)
Домножим уравнение G) на функцию р(х) и проинтегрируем по обла-
области Г2. С учетом граничных условий (8), (9) и формулы Грина
/Г ( др дби\
(L6up- 6и Lp) dx= к(х) f би— - р J dx
п дп
получим
Г f дби Г dp f
/ 6uLpdx= I рк--—dх - / 6uk—dx+ / p6vdx.
J J on J on J
п Г 7 7
Определим сопряженное состояние как решение задачи
Lp = tt(a?) - р(ж), х е П, A0)
р(х) = 0, жЕГ, A1)
При таком определении сопряженного состояния получим
6и(и - <р(х)) dx — (р, 6v).
Это дает возможность из F) получить следующее выражение для гради-
градиента
grad J?(v) = 2(р(х) + \v(x)J, x G у. A3)
Для оптимального управления получим
p(x) + -zw(x) = 0, xG7, A4)
570 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
где р(х) определяется согласно A0)—A2), причем состояние системы
описывается уравнением A), граничными условиями B) и
ди
k—=q(x)+w(x)y xej. A5)
Подобным образом рассматривается задача минимизации
Je(w) = inf J?(v) A6)
v€V
функционала D) на решениях A)-C) при
V = {v | v € U, v(x) ^ 0}.
Условия оптимальности будут иметь вид
j (р(х) + -pw(x) )(v-w)dx^01 О 0.
7
Это приводит нас к условиям
w(x) > 0, р(х) + -^w(x) ^ 0,
w(x) (р(х) + -^w(x) ) = 0, х е 7-
Эти условия рассматриваются совместно с A0)—A2) и A), B), A5).
11.4.2. Разностная задача
Коротко остановимся на получении разностного аналога условий
оптимальности A), B), A0)—A2), A4), A5) для задачи оптимального
управления граничным потоком A)-E).
В О, вводим прямоугольную сетку ш с шагами h\ и hi и пусть
множество граничных узлов дш = Гл U 7л> где х G 7л — узлы, лежащие
на 7-
7л = {ж \х = (хи12), хх =ihu i = 1,2, ...,N\ - 1}.
Уравнению A) во внутренних узлах поставим в соответствие разностное
уравнение
а=1
где в простейшем случае
al(xux2) = k(xx - 0,5/ii, ж2), а2(жь ж2) = фьж2 - 0,5/i2).
Граничные условия B) дают
ti(aO=fl(s), хбГЛ. A8)
11.4. Управление граничными режимами 571
При аппроксимации граничного условия C) на решениях уравнения A)
со вторым порядком получим
а>2(х)щ2 - у(ахщ,)Хх = у f(x) + q(x) + v(x), x G 7л- A9)
Пусть Я = L2(jh) так, что
Функционалу D) соответствует разностный функционал
Ш = ]Г (*(*; г;) - ф))\н2 + 1||г;||2, B0)
где, как обычно, о; — множество внутренних узлов. Рассматривается
задача нахождения w(x), x G 7л такой, что
J,H = inf Je(v). B1)
Для разностной задачи оптимизации A7)—-B1) подобно непрерыв-
непрерывному случаю формулируются условия оптимальности. С этой целью при-
привлекаются разностные формулы Грина (см. п. 4.4). Мы приведем лишь
окончательный результат.
Сопряженное состояние находится из решения разностной задачи
2
- ]?Ы*в)*. - Ф) - Ф), *?"> B2)
Ф) = о, х е гЛ, B3)
o>i(x)Px2 - -j-{a\Vxx)xx =0, х G 7л- B4)
Градиент функционала B0) выражается через решение разностной зада-
задачи B2)-B4) следующим образом
Je(v) = 2 U(x) + -^v(x) j, ж G jh.
grad Je(v) = 2 p(x) + -rt»(x)), x € yh. B5)
Из B5) следует и соответствующее выражение для оптимального упра-
управления w(x),x G 7л-
При использовании градиентных методов минимизации функциона-
функционала B0) на каждой итерации решается две краевые задачи типа A7)—A9)
и B2)-B4).
11.4.3. Управление температурой
Сформулируем задачу оптимального управления стационарным те-
тепловым состоянием тела с сечением П, если в качестве управления
выступает температура на части границы 7-
572 Diaea 11. Задачи управления тепловыми процессами
Состояние системы описывается уравнением A), граничными усло-
условиями B), а на оставшейся части границы температура управляема, т. е.
и(х) = v(x), xej. B6)
Критерий качества возьмем в виде D).
Выпишем градиент функционала для поставленной задачи оптималь-
оптимального управления A), B), D), E), B6). Для би получим задачу
L би = О, х е П, B7)
6и(х) = О, ЖЕГ, B8)
би = 6v, xe 7- B9)
Домножая B7) на р(х) и интегрируя по П с учетом граничных усло-
условий B8), B9), получим
Г Г дби Г др Г дби
I 6uLpdx= I pk--—dx- / 6vk—dx + / рк dx.
J F J F дп J 8n J F 6n
п Г 7 7
Определяя теперь сопряженное состояние как решение уравнения A0)
с однородными граничными условиями
р(х) = 0, хе дп,
получим
f
Поэтому для градиента функционала будем иметь
grad J?(v) = 2f -k{x)-^- + -^v(x) 1, x ? 7.
Равенство
ety 1
определяет оптимальное управление.
Аналогично ставится и рассматривается разностный аналог задачи
оптимального управления граничной температурой A), B), D), E), B6),
а также другие задачи оптимального управления (например, задачи с огра-
ограничениями на управление).
11.4.4. Граничный контроль
Отметим важный класс задач управления, когда контролируется те-
тепловое состояние (температура, тепловой поток) на части границы. Рас-
Рассмотрим в качестве характерного примера управление тепловым потоком
11.4. Управление граничными режимами 573
на части границы у, когда состояние описывается уравнением A) и гра-
граничными условиями B), C). Будем считать, что наблюдается тепловой
поток на другой части границы, т. е. функционал качества имеет вид
Je(v) = J(fc^(x) - v(x)) dx + 1|M|2. C0)
Г
При таком задании функционала
6Je(v) = 2 J к^- (к? - р(х)) dx + 2(Sv, v) + O(\\6v\\2). C1)
Г
Для состояния системы, описываемой уравнением A) и граничными
условиями B), C), имеем
Г Г дби Г Эр Г
/ 6uLpdx= / рк dx - / бик—dx+ I pdvdx.
п Г 7 7
С учетом C1) сопряженное состояние определим из решения задачи
Lp = 0, х е П, C2)
*?Г, C3)
*<*)§; = о, *€т. C4)
При выполнении C2)-C4) имеем
и поэтому для градиента имеем выражение A3), а условия оптимальности
приводят к равенству A4).
Подобным образом рассматриваются и другие задачи с граничным
наблюдением. В частности, можно вести наблюдение за потоком на части
границы Г при управлении температурой на у (см. задачу 1).
11.4.5. Нестационарные задачи
Отметим также задачи граничного управления нестационарными
тепловыми состояниями. Особенности решения нестационарных задач
управления отмечались в п. 11.3. Поэтому мы ограничимся лишь кон-
конспективным изложением.
В прямоугольнике п тепловое состояние описывается уравнением
с(х)^ +Lu = /(ж, t) + v(xy 0, хеп, 0<t^T C5)
at
574 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
и условиями
и(х,0)=и°(х), хеп, C6)
u(x)t)=g(x)t)) ЖЕГ, C7)
*-^=9(М) + Ф»<)> ^7, 0<<<Г. C8)
on
В гильбертовом пространстве ft скалярное произведение определим
следующим образом
(v1w)= / v(x\)t)w(x\yt) dx\dt.
О о
При контроле за температурой во всей области положим
J?(v) = У (|*(ж, <; v) - ^(ж, ОJ <*г А + ^|М|2, C9)
Q
где
Q = {(ж, 0 |жеП, 0<t<T}.
Ищется w(x, ^),жЕ7H<<<Гиз условия
J?(w) = inf Je(v). D0)
«eft
Прямое вычисление градиента функционала в задаче оптимального
управления C5)-D0) приводит нас к выражению
grad Je(v) = 2(р(х, t) + ^v(ar, t)\ x G 7, 0 < * < Г,
причем сопряженное состояние определяется решением следующей кра-
краевой задачи
~c(x)i!l +Lp = u(s, 0 - <р(х, 0> ж G П, 0 ^ * < Г,
ф)-^ = 0, ЖЕ 7, 0^^<Т.
an
Аналогично рассматриваются и другие задачи оптимального управления
для нестационарных задач с граничным управлением.
11.4. Управление граничными режимами 575
11.4.6. Задачи
Задача 1. Сформулируйте условия оптимальности при граничном упра-
управлении
и(х) = v(x), xej
для системы, описываемой A), B), при выборе критерия качества
в виде
J?(v) = I (k?(x) - ?(*)) dx + 1|М|2 D1)
Г
(контроль за тепловым потоком на другой части границы).
Решение. Для приращения температуры в случае A), B), имеем
задачу B7), B9). Пусть функция р(х) удовлетворяет уравнению C2),
тогда
f 96и , Г с др , Г дби ,
/ рк dx - 6v к— dx+ pk dx = 0.
J дп J дп J дп
Г 7 7
Дополняя уравнение C2) граничным условием C3)
р(х) = 0, х е 7,
получим
/ dp I \
grad Л(г;) = 2\-к(х)— + ^v(x) J, x G 7-
Поэтому
0U 1
-*(*)^ + ^ФО = 0, XG7.
для оптимального управления. >
Задача 2. Получите выражение для градиента функционала D), ес/ш
состояние описывается уравнением A), дополненным условиями B)
w нелинейными условиями
k-^L = q(u) + v1 xe 7- D2)
an
Условия типа D2) соответствуют, например, учету теплового излуче-
излучения (глава 8).
Решение. Особенность задачи проявляется в краевых условиях для
сопряженного состояния. Для приращений температуры имеем уравне-
уравнение G) с условиями (8) и
дби da
к = — 6и + 6v
дп аи
576 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Сопряженное состояние определяется из A), A1) и краевого условия
Для градиента функционала получим выражение A3). >
11.5. Задачи оптимального нагрева
11.5.1. Задача оптимизации конечного
температурного состояния
Наиболее широко известной задачей оптимизации тепловых состоя-
состояний является задача с наблюдением теплового состояния тела на конеч-
конечный момент времени t = Т. Управление выбирается так, чтобы темпера-
температура на этот момент была близка к заданной. Управление осуществляется,
например, внутренними распределенными тепловыми источниками, то-
точечными источниками, граничными режимами и т. д. В таких задачах
можно рассмотреть и задачу минимизации времени нагрева (задача бы-
быстродействия).
В качестве модельной рассматривается задача оптимального нагрева
изотропного твердого тела с прямоугольным сечением П. Тепловое состо-
состояние (см. п. 11.3) при управлении тепловыми источниками описывается
уравнением теплопроводности
c{x)-^-+Lu = f(x1t) + v(x,t), ж€П, 0<*^Т, A)
дополненным условиями
и(х, t) = g(z, 0, хедп, О < * ^ Т, B)
Пусть
Q = {(ж, t) | х е Г2, 0 < t < Т}
т.е.
(v, w) — I v(x, t)w(x, t) dx dt.
Q
Функционал качества возьмем в виде
J?{v) = J (u(x, T; v) - <р(х)J dx + ^|М|2 D)
и рассмотрим задачу
J?(w) = inf Je(v). E)
ven
11.5. Задачи оптимального нагрева 577
В прикладных исследованиях могут представлять интерес задачи
оптимизации нагрева постоянными источниками, когда v = v(x). Тогда
естественно рассматривать задачу оптимизации в Н = L2(u).
Для вычисления градиента функционала в задаче A)-E) рассмотрим
приращение функционала
6J?(v) — 2 / 6и(и - <р(х)) dx + ~2 / Gvvdx dt+
п Q
+ /(tft*J <fo + -^ /(ffi;J dx dt. F)
Выберем p(x, t) так, чтобы выполнялось равенство
/ 6и(и — <р(х)) dx—\ 6vp(x, t) dx dt.
п Q
Для этого определим сопряженное состояние из решения задачи
^ 0, sett, (К*<Т, G)
at
р(х, t) = 0, х?дП, 0 ^ t < Т, (8)
с(ф(ж, Г) = и(х, Т) - ф), хеп. (9)
Для градиента функционала получим
grad J?(v) = 2(р(х, t) + ^v(x, t)\, (ж, <) G Q. A0)
Равенство
р(х,*) + рЦ»,<) = 0, (»,<)€Q (И)
определяет оптимальное управление, для которого выполняется урав-
уравнение
с(ж)-^+2ж = /(ж,*) + м(ж,0, хбп, 0<t^T A2)
dt
и условия B), C).
Для системы уравнений B), C), A2) и G)-(9) с учетом связи A1)
можно получить одно эллиптическое уравнение для и(х, t) (см. уравне-
уравнение A4) в п. 11.3).
11.5.2. Разностная задача
Кратко остановимся на разностном аналоге задачи оптимального
управления A)-E), используя результаты п. 11.3. В П вводится обычная
равномерная прямоугольная сетка и с шагами h\ и /г2, а по времени —
сетка шт с шагом т > 0.
38 Зак 168
578 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Уравнению A) с условиями B), C) поставим в соответствие разност-
разностную схему с весами
с(ж)^- + А(аип+] + A - а)ип) = /n+1 + vn+b
ж Go;, n = 0, 1,...,ЛГ- 1,
1*п(я:)=дп(ж), жЕ^, п = 0,1,...,ЛГ, A4)
щ(х) - и°(ж), жео;. A5)
В сеточном гильбертовом пространстве Н скалярное произведение
зададим выражением
N
(я, w) = ^2 Y2 vn(x)wn(x)hxh2T.
От D) перейдем к разностному функционалу
- р(*)JМ2 + ^1М12. A6)
Определим оптимальное управление из условия
Je(w) = inf Je(v). A7)
Сформулируем условия оптимальности для разностной задачи опти-
оптимального управления A3)—A7).
Запишем (см. п. 11.3) задачу для приращения температуры в виде
(с(х)-(\-а)тА)бщ + Аб = 6у, х?и, п = 1, 2,... ,N, A8)
6un(x) = 0, х?ди, n = 0,1,...,JV, A9)
6щ(х) = 0, хеш. B0)
При формулировке задачи для сопряженного состояния используется
равенство
N N
^бщрт = -^T6uptT + 6uNpN+i -6щр\.
п=\ п=\
В силу этого для функционала A6) при определении сопряженного
состояния рп(х), п = 1, 2,..., N + 1 из уравнения
-ф)Рв+1т"Р" + А(аРп + A - фв+1) = 0,
ж?о;, п=1,2, ...,ЛГ
и граничных условий
рп+х(х) = 0, х?дш, n = 0,\,...,N B2)
11.5. Задачи оптимального нагрева 579
получим
(с(х) - A - cr)rA)pN+i(x) = uN(x) - (р(х), хеш. B3)
Аппроксимация B1)—B3) задачи G)-(9) согласована с выбором разност-
разностной схемы A3)—A5) для описания состояния системы и разностного
функционала A6). Градиент функционала A6) представляется в виде
grad J?(v) = 2 (рп(х) + -vn(x)), хеш, п = 1, 2,..., N. B4)
Условие оптимальности есть
рп(х) + — wn(x) = О, ж Go;, n= 1,2, ...,iV.
На основе B4) строятся обычным образом градиентные итерационные
методы решения задачи минимизации A3)—A7).
Следует особое внимание обратить на условие B3). Оно зависит
от веса разностной схемы а. Необходимость вычисления pN+\(x) по B3)
связана с обращением оператора с{х)Е - A - сг)тЛ, который будет поло-
положительным для любых сеточных параметров только при а = 1. Поэтому
можно попытаться исправить ситуацию за счет выбора других разностных
схем и другой аппроксимации функционала.
Пусть, например, вместо A3) используется разностное уравнение
с(ж) — 1 + A(aun+i + A - а)ип) = Д+i + vn,
г B5)
хеш, п = 0, 1,... ,N - 1,
причем сеточное гильбертово пространство Я задано выражением
N-]
(v, w) = ^2^2 ^n{x)wn(x)hxh2T.
п=0 х€и>
Для формулировки сопряженной задачи в задаче оптимального упра-
управления A4)—A7), B5) запишем разностное уравнение для приращения
температуры в виде
(с(х) +т(тАNщ + Аби = 6v, хеш, п = 0, 1,... ,N - 1. B6)
Домножим уравнение B6) скалярно в Н на р и получим
(бщ, (с(х) 4- тА)р) + (Л би, р) = Fv, p).
При формулировке сопряженной задачи воспользуемся разностным то-
тождеством
N-\ N-\
n=0 n=0
38*
580 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Поэтому определим рп, п = 0, 1,..., N - 1 из уравнения
+ A - ,)л+1) = 0,
хеш, n = o, i,...,jv- 1
и граничных условий
р„(ж) = 0, жЕ 9а;, n = 0,1,... ,N - 1. B8)
Вместо B3) имеем
(с(х) + г(тЛ)^_1(ж) = г^(ж) - <р(х), хеш. B9)
Теперь уже реализация условий для сопряженной задачи не приводит
к каким-либо ограничениям на параметры схемы. В случае B9) при
обычных ограничениях на вес а ^ 0 имеем с(х)Е + та А > 0. Приведен-
Приведенный пример демонстрирует необходимость внимательного рассмотрения
вопросов дискретизации при формулировке условий оптимальности.
11.5.3. Экономичные схемы
При приближенном решении краевых задач для нестационарных
задач широко используются (глава 6) экономичные разностные схемы:
переменных направлений, факторизованные схемы, схемы суммарной
аппроксимации и т.д. На примере задачи оптимального нагрева A)-E)
коротко коснемся вопросов использования экономичных разностных
схем при решении нестационарных задач.
Наиболее просто выписывается сопряженная задача при использо-
использовании факторизованной схемы. Принимая во внимание
2
Аи = ^2 Л«^> Л«^ = -(а<*иха)ха,
вместо B5) используем разностное уравнение
п = 0,1,..-,ЛГ-1, C0)
где
В= (с(х)Е + атА])с~1(х)(с(х)Е + атА2). C1)
Уравнение C0), C1) записывается в виде
В 6щ + Л 6и — 6v, хеш, п = 0,1,..., N,
полностью аналогичном B6). Домножая скалярно в Н на р9 получим
равенство
(бщ,В'р) + (А6и,р) = (бу,р),
где сопряженный к C1) оператор имеет вид
В* = (с(х) + сгтА2)с~1 (х)(с(х) + атА{).
11.5. Задачи оптимального нагрева 581
Поэтому для сопряженного состояния получим уравнение
-Б*^ + Лр = 0, хеш, n = 0, l,...,i\T- 1.
Переходя к индексным обозначениям, имеем
^ ^ G ^ n = 0,1,..., JV - 2.
Вместо B9) будет использоваться граничное условие
B*Ptf_i(z) = uN(x) - р(х), хеш.
Несколько более сложная ситуация имеет место с другими эконо-
экономичными схемами. Здесь уместен подход с исключением промежуточных
шагов, что фактически и реализовано в факторизованных схемах (см. так-
также задачу 2).
11.5.4. Граничное управление
Среди различных близких к (l)-E) постановок задач оптимального
нагрева отметим задачу с управлением тепловым режимом на части
границы области. Для примера рассмотрим случай управления тепловым
потоком.
Состояние системы описывается уравнением
ди
с(х)— +Lu = f(x, 0, х G П, 0< t < Т, C2)
которое дополним начальным условием C) и граничными условиями
и(х, t) = g(x, 0, хеГ, 0 < < < Т, C3)
ди
k— = q{x,t) + v{x,t), xe-y. C4)
Здесь, для определенности,
7 = {х | х е дпу х2 = l2h
При граничном управлении определим гильбертово пространство
со скалярным произведением
h т
(v)w)= / / v(x\,t)w(x\it)dx\ dt.
о о
Рассматривается задача оптимизации с функционалом качества в виде D).
Нетрудно сформулировать условия оптимальности для задачи C)-
E), C2)—C4). Для градиента функционала имеем
grad Je(v) = 2(р(х, t) + -v(x, t)\ x G 7, 0 < t < T,
582 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
где сопряженное состояние определяется решением задачи
-c(x)^+Lp = 0, хеп, 0<*<Т,
с(х)р(х, Т) = и(х, Т) - <р(х), хеп,
р(х) = о, хег,
др
k(x)-J-=0, хе 7, 0^t<T.
on
Для оптимального управления имеет место равенство
р(ж, t) + —w(x, *) = 0, х е 7, 0 < * < Т.
Аналогично рассматривается задача оптимального нагрева, когда упра-
управляется температура на границе (см. п. 11.4).
11.5.5. Упрощенная оптимизация
Отметим особенности решения задач оптимизации тепловых про-
процессов в условиях, когда управление принадлежит более узкому классу.
Пусть состоянием системы описывается вместо A) уравнением
д м
? va(tI>a(x), хеп, 0<КТ, C5)
где 1>а(х), а = 1,2, ...,М — заданные функции. Случай точечного
управления (см. п. 11.2) соответствует выбору *фа(х) = б(х - ха). В задаче
управления B)-E), C5) определим V = Н со скалярным произведением
и J
и J
^2
(v, w) = ^2 va(t)wa(t) dt.
о=1 {
Для приращения температуры из C5) получим уравнение
Я/) М
с(х) -Qf + L6u = Y, 6va{t)i>a(x), x € П, 0
Сопряженное состояние определяется задачей G)-(9), а для искомого
градиента получим
т
Г 2
grad J?(v) = 2 / р(х, t) dx + -va(t).
о
При приближенном решении задачи оптимального управления B)-E),
C5) можно использовать стандартные градиентные методы. Вторая воз-
возможность, которая уже отмечалась в п. 11.2, связана с решением отдель-
отдельных задач для каждой функции фа) а = 1, 2,..., М.
11.5. Задачи оптимального нагрева 583
11.5.6. Задачи
Задача 1. Сформулируйте условия оптимальности в задаче нагре-
нагрева A)-C), E) при выборе неквадратичного функционала качества
J?(v) = I \u(x, T; v) - <p(x)\q dx + ^ / \v(x, t)\q dx dt, C6)
n Q
где q> 1.
Решение. Для главного члена приращения функционала C6) будем
иметь
6Je(v) nq I 6u\u - <p(x)\q~2(u - tp(x)) dx+\ [ \v\q~2v 6v dx dt.
a Q
Выберем р(ж, t) так, чтобы выполнялось равенство
/ 6и\и-<р(х)\9 {u-(p{x))dx— I 6vp(x,t) dx dt.
п Q
С этой целью сопряженное состояние определим из решения задачи
др
c(x)?
с(х)р(х,Т) = \и- ф)\9'2(и(х,Т) - ф)), х е п.
Для градиента функционала будем теперь иметь
grad J?(v) = q(p(x, t) + ^\уГ2у(х, *)), («, t) G Q.
Для оптимального управления следует
р(х, t) + ^ \w\q-2w(*> 0 = 0, ^, О G Q.
Тем самым, мы приходим к нелинейной системе уравнений для опреде-
определения оптимального управления. >
Задача 2. Сформулируйте разностную задачу для сопряженного со-
состояния при использовании локально-одномерной разностной схемы
0, C7)
-ип+]/2 + ЛзИп+1 = ~
хеш, п = о, 1,...,лг- 1.
584 Глава 11. Задачи управления тепловыми процессами
Решение. Рассмотрение проведем на основе соответствующей двух-
двухслойной схемы. Из C7), C8) имеем
В\ип+]/2 = с(х)ипу В2ип+Х = с(х)ип+1/2 + т(/п+1 + vn),
где
Ва=(с(х)Е + тАа)у а =1,2.
Исключая промежуточный слой, получим уравнение
ип+\ - ип В2-с{х)В;1с(х) ~
В2 + ип = /n+i -f vn.
т т
В силу самосопряженности операторов Ва сопряженное состояние опре-
определяется из уравнения
п Рп+\ -Рп , В2 - с(х)В{с(х)
-В2 1 рп+\ — 0.
Тем самым, приходим к локально-одномерной схеме и для сопряженного
состояния:
Дополнительные условия для этой разностной схемы формулируются
аналогично ранее рассмотренной факторизованной схеме. В частности,
-<p(x), хеш. >
11.6. Библиография и комментарий
11.6.1. Общие замечания
11.1. Вариационные формулировки краевых задач математической физи-
физики широко используются для теоретического и численного исследо-
исследования краевых задач (см., например, [10]). В частности, на основе
аппроксимации соответствующего функционала осуществляется по-
построение разностных схем метода конечных элементов [9,12,13,17].
Задачи управления системами, описываемыми уравнениями матема-
математической физики, рассматриваются с различных позиций во многих
руководствах [1,2,5-8, И, 16]. Условия оптимальности в различных
постановках приведены в книгах [2,7]. Численные методы решения
задач управления излагаются во многих работах [2-4,18]. Система-
Систематическое изложение градиентных методов имеется в [2,3].
11.2. Задачи управления эллиптическими уравнениями в различных усло-
условиях рассматриваются в [7]. Изложение вопросов построения дис-
дискретных задач и их итерационного решения ведется в соответствии
с общей теорией разностных схем [12,13,15].
11.6. Библиография и комментарий 585
11.3. Условия оптимальности для параболических задач получены в [2,7].
Разностные схемы строятся на основе [12, И].
11.4. Задачи управления граничными режимами излагаются на основе
[7,12-15].
11.5. Условия оптимальности в задачи оптимального нагрева формули-
формулируются в соответствии с [7]. Построение разностных схем ведется
на основе общих результатов теории разностных схем [12,14]. Ис-
Использование экономичных разностных схем в задачах оптимального
управления не нашло до сих пор отражения в учебной и моногра-
монографической литературе.
11.6.2. Литература
1. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными пара-
параметрами. М.: Наука, 1975.
2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
3. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука,
1980.
4. Гловински Р., Лионе Ж. -Л., Тремольер Р. Численное исследование вариаци-
вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.
5. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными про-
процессами. М.: Наука, 1978.
6. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.
7. Лионе Ж. -Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравне-
уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
8. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики.
М.: Наука, 1975.
9. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы.
М.: Наука, 1981.
10. Михлин С. Г. Вариационные методы математической физики. М.: Наука,
1969.
11. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Матема-
Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.
12. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
13. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических урав-
уравнений. М.: Наука, 1976.
14. Самарский А. А., Тулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
15. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: На-
Наука, 1978.
16. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.
М.: Наука, 1977.
17. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Наука,
1980.
18. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления.
М.: Наука, 1978.
37 Зак 168
Глава 12
Обратные задачи теплообмена
Прикладное математическое моделирование часто связано с необхо-
необходимостью постановки и приближенного решения обратных задач. Какие-
либо необходимые для постановки обычной корректной краевой задачи
данные не могут быть получены, но зато есть некоторая дополнительная
информация. В этих условиях мы приходим к обратной задаче. Здесь
мы отмечаем основные классы обратных задач теплообмена и коротко
обсуждаем основные подходы к их приближенному решению.
При рассмотрении обратных задач теплообмена естественно выде-
выделить ретроспективную обратную задачу теплопроводности, граничные
обратные задачи и коэффициентные обратные задачи. Обратные задачи
обычно некорректны, их некорректность обусловлена неустойчивостью
решения по отношению к малым возмущениям входных (измеряемых)
данных. Это приводит к необходимости выделения решения, к разработ-
разработке специальных регуляризирующих алгоритмов приближенного решения
таких задач.
Основные подходы к приближенному решению обратных задач свя-
связаны с возмущением задачи. Переход к новой корректной задаче может
осуществляться различными способами. Часто обратные задачи матема-
математической физики рассматриваются как задачи оптимального управления,
для приближенного решения которых используются стандартные гради-
градиентные методы.
Для ретроспективной обратной задачи теплопроводности рассмотре-
рассмотрены методы с возмущением исходного уравнения (метод квазиобращения).
Вторая возможность связана с возмущением соответствующего сеточно-
сеточного уравнения на основе принципа регуляризации. Вариационный метод
приводит к задаче оптимального управления с возмущением начального
условия.
Аналогичные подходы применяются к граничным обратным задачам
теплообмена, которые связаны с идентификацией граничных режимов
по дополнительным измерениям внутри тела. Рассматриваются стацио-
стационарные и нестационарные граничные обратные задачи.
Выделен класс обратных задач по определению теплофизических
характеристик тела (коэффициентов теплопроводности и теплоемкости).
12.1. Решение обратных задач математической физики 587
Такие коэффициентные обратные задачи нелинейны, и для их прибли-
приближенного решения применяются вариационные методы.
При изложении материала мы обращаем внимание на корректность
возмущенной задачи и вычислительные аспекты нахождения приближен-
приближенного решения. Важнейшие вопросы сходимости приближенного решения
к точному (в частности, проблема выбора параметра регуляризации)
практически не затрагиваются.
12.1. Приближенное решение обратных
задач математической физики
12.1.1. Основные классы обратных задач
Мы начнем с того, что выделим некоторые важнейшие типы обрат-
обратных задач для уравнений с частными производными. Удобно провести
соответствующую классификацию на примере задачи нестационарной
теплопроводности.
Тепловое состояние твердого тела с сечением
П = {х\х = (хих2I 0<xa<la, a =1,2}
описывается уравнением
ди
c(x)—+Lu = f(x,t), хепу 0<^Т, A)
at
где
s
Будем считать, что на границе заданы смешанные граничные условия.
Пусть
7 = {я | х € дп, х2 = 12},
а Г = дп \ 7- На Г заданы условия первого, а на у — второго рода:
u{x,t) = g(x,t), х€Г, C)
*7Г = «(*,<), *€7, 0<t^T. D)
on
Дополним уравнение A) и начальным условием
и(х, 0) = я°(ж), х Е П. E)
Сформулированная задача A)-E) есть прямая задача теплообмена. Она
характеризуется заданием расчетной области П, уравнения A), B), гра-
граничных C), D) и начального E) условий. Эта задача корректна, т.е.
решение задачи в соответствующих классах существует, единственно
37*
588 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
и непрерывно зависит от входных данных, (начальных и граничных
условий, коэффициентов уравнения и т.д.).
Под обратными задачами теплообмена (по отношению к поставлен-
поставленной прямой задаче A)-E)) естественно отнести задачи, в которых не-
необходимые для прямой задачи входные данные не заданы, а вместо
них формулируются какие-либо дополнительные условия. В свете приве-
приведенных соображений можно сформулировать и соответствующие классы
обратных задач. Классификация этих задач связывается с недостающими
условиями.
Прежде всего выделим обратные задачи, когда не заданы начальные
условия E). Примером такой задачи служит ретроспективная обратная
задача теплообмена, когда вместо начального состояния известно состоя-
состояние на конечный момент времени. В этом случае решение определяется
из уравнения A), B), граничных условий C), D) и условия
и(х, Т) = ит(х), хеп. F)
Необходимо по измерениям температурного поля на момент времени
t = Т восстановить температурное поле в предшествующие моменты
времени.
Ретроспективная задача A)-D), F) с помощью замены 0 = Т - t
приводится к краевой задаче для уравнения теплопроводности с обратным
временем (и = м(х, 0)):
ди
-c(x)—+Lu = f(x,T-e), xett, О<0<Г. G)
Для уравнения G) формулируются соответствующие (см. C), D)) гранич-
граничные условия. Из F) получим начальное условие
и(х, 0) = ит(х), хеп. (8)
Вместо дополнительных условий F) (измерения температуры в конечный
момент времени) могут задаваться и другие условия, компенсирующие
в какой-то степени недостающие начальные условия E).
При отсутствии необходимых граничных условий мы имеем гранич-
граничные обратные задачи теплообмена. Такие обратные задачи имеют очень
большое значение в прикладных исследованиях. Например, примени-
применительно к прямой задаче A)-E) в качестве граничной обратной задачи
выступает задача, для которой граничные условия на части границы 7
не известны. Вместо этого проводятся дополнительные температурные
измерения внутри образца. Пусть, например,
7* = {х | х е an, х2 = х*21 о < х\ < /2},
и на 7* задано условие
ti(:M) = Л(М). * ?7*, 0<*<Г. (9)
12.1. Решение обратных задан математической физики 589
В обратной задаче A), B), D), E), (9) по дополнительным условиям
восстанавливается решение во всей области и, тем самым, и тепловой
поток на 7 (недостающее граничное условие C)). Граничные обратные
задачи могут формулироваться и в других постановках. Отметим, что в (9)
может иметь место х\ = 0, т. е. на части границы 7* С Г заданы как
температура, так и поток.
Мы привели примеры обратных задач, когда отсутствуют необхо-
необходимые начальные или (и) граничные условия, причем само уравне-
уравнение теплопроводности A), B) задано. Типичными обратными задачами
являются коэффициентные обратные задачи теплообмена, когда исходное
уравнение точно не задано — не заданы какие-либо его коэффициенты,
правая часть. Если раньше велась речь об идентификации граничных
и начальных условий, то теперь — об идентификации самой модели
процесса, самого уравнения. Применительно к A)-E) неизвестными мо-
могут быть коэффициенты теплоемкости (с(ж)), теплопроводности (к(х)),
источники (правая часть f(x,t)). Дополнительная информация может
состоять в измерениях температуры типа F), (9). Например, требуется
восстановить к(х) из условий A)-E) и F).
Приведенные классы обратных задач теплообмена (ретроспектив-
(ретроспективные, граничные, коэффициентные) не исчерпывают всего многообразия
обратных задач. Мы выделяем лишь основные, базовые обратные задачи
теплообмена.
12.1.2. Основные подходы к приближенному решению
некорректных задач
Обратные задачи математической физики, как правило, принадлежат
к классу некорректных в классическом смысле. Некорректность обусла-
обуславливается, в частности, неустойчивостью решения обратной задачи по от-
отношению к малым возмущениям входных данных. При определенном
сужении класса допустимых решений обратные задачи математической
физики становятся корректными (условно корректными, корректными
по А. Н. Тихонову).
В настоящее время теория некорректных задач получила большое
развитие. Отметим лишь некоторые общие направления развития теории
устойчивых методов решения некорректных задач.
Некорректные задачи обычно рассматриваются применительно к ли-
линейному операторному уравнению первого рода
Л« = /, (Ю)
например, в гильбертовом пространстве Н (для простоты, и G H, f Е W,
т.е. А: Н —* Н). Предположим, что правая часть уравнения A0) задана
с погрешностью:
НЛ-/К& О1)
590 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Ей соответствует некоторое приближенное решение, которое обозначим
иа, причем а = а (б). Некорректность задачи A0), A1) может иметь место,
например, когда оператор Л~х определен не на всем пространстве Н.
Для приближенного решения задачи A0), A1) широко использу-
используются вариационные методы. В соответствии с методом регуляризации
А. Н. Тихонова вводится сглаживающий функционал:
Ja(v) = \\Av-fs\\2 + a\\v\\2. A2)
Приближенное решение исходной задачи A0), A1) есть экстремаль этого
функционала, т. е.
Ja(v>a) = min Ja(v). A3)
ven
В A2) a > 0 — параметр регуляризации, величина которого согласуется
с погрешностью задания правой части 6.
Вместо экстремальной задачи A1), A2) можно решать соответству-
соответствующее уравнение Эйлера. В этом случае приближенное решение опреде-
определяется из решения следующего симметризованного уравнения
A*Aua + ctua = A*f6. A4)
Переход к корректной задаче A4) от некорректной A0) осуществляется
за счет перехода к задаче с самосопряженным оператором А*А, домно-
жая A0) слева на Л*, и его последующем возмущении оператором аЕ,
Е — тождественный оператор. При А* = А ^ 0 можно ограничиться
возмущением самого оператора:
AuQ + aua = f6. A5)
Задача A5) соответствует использованию алгоритма упрощенной регуля-
регуляризации. Таким образом, второй класс приближенных методов решения
неустойчивых задач характеризуется возмущением оператора исходной
или преобразованной задачи.
В последнее время активное внимание привлекают итерационные
методы решения некорректных задач. Двухслойный итерационный метод
для уравнения A0) записывается в виде:
BUk+l"Uk + Аик = /,, к = 0,1,..., п(в). A6)
Здесь В: Н —> Н и В~х существует — например, в простейшем слу-
случае В — Е, Эффект регуляризации в итерационных методах типа A6)
при приближенном решении задачи A0), A1) достигается за счет со-
согласования с погрешностью правой части 6 числа итераций п(б). Тем
самым, в качестве параметра регуляризации выступает число итераций
итерационного метода.
Итерационный метод может применяться и для симметризованной
задачи, т.е. вместо A6) для приближенного решения используется
BUk+]~Uk + ХАик = A*fs, * = 0,1 п(б). A7)
12.1. Решение обратных задач математической физики 591
В зависимости от контекста, итерационный метод A7) может интерпрети-
интерпретироваться (см. главу 11) и как итерационный метод решения вариационной
задачи минимизации функционала невязки
J(v) = \\A-f6\\2.
Прежде чем останавливаться на особенностях приближенного решения
некорректных задач для уравнений математической физики, отметим
в качестве важнейшей проблему выбора параметра регуляризации.
12.1.3. Выбор параметра регуляризации
В теории методов приближенного решения некорректных задач во-
вопросу выбора параметра регуляризации уделяется значительное внима-
внимание. Наибольшее распространение получили: выбор параметра регуля-
регуляризации по невязке, обобщенной невязке, квазиоптимальный выбор
и т. д.
Параметр регуляризации а согласовывается с погрешностью входных
данных и чем меньше погрешность, тем меньше берется параметр регуля-
регуляризации. Применительно к задаче A0), A1) а = а(б) при использовании
вариационного метода A2), A3) или при возмущении уравнения A4).
При выборе параметра регуляризации по невязке в качестве определя-
определяющего уравнения выступает равенство
||Л*в-ЛН = & A8)
Обоснование такого выбора параметра регуляризации, т. е. сходимость
приближенного решения иа с а = а(б) при б —» 0 к точному решению
уравнения A0), дано для многих классов задач. Мы отметим лишь
особенности вычислительной реализации такого способа определения
параметра регуляризации.
Неувязка зависит некоторым образом от параметра регуляризации а.
Обозначим
tp(a) = \\Лиа - М|,
тогда нахождение параметра регуляризации состоит в соответствии с
принципом невязки A8) в решении уравнения
<р(а) = б. A9)
В достаточно общих условиях функция (р(а) является неубывающей
и уравнение A9) имеет решение.
Для приближенного решения уравнения A9) используются различ-
различные вычислительные процедуры. Например, задается последовательность
<*н = «о?*, Я > 0, B0)
и вычисления проводятся начиная с к = 0 до некоторого к = К,
при котором равенство A9) с приемлемой точностью выполняется. При
592 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
таком определении параметра регуляризации требуется К +1 вычислений
невязки (решений вариационных задач типа A2), A3) или уравнений
Эйлера A4)).
Для приближенного решения уравнения A9) можно использовать
и более быстро сходящиеся итерационные методы. Установлено, что
функция (р(/3) — <р(\//3) является убывающей и выпуклой функцией.
Поэтому для решения уравнения
можно использовать итерационный метод Ньютона, когда
Этот метод будет сходиться при любом начальном приближении /30 > 0.
Для того, чтобы не вычислять производную функции <р(р), можно ис-
использовать итерационный метод секущих, когда
А+1 =Рк- -=А* Jf
Ч>\Рк) ~ <р(Рк-\)
Применение подобных итерационных процедур позволяет сократить об-
общие вычислительные затраты на определение параметра регуляризации а.
В силу того, что оценки погрешности задания входных данных
(типа A1)) часто не известны, плохо контролируемы, использование
хорошо апробированного и теоретически отработанного метода невязки
затруднительно. Поэтому в вычислительной практике широкое распро-
распространение получил второй способ определения параметра регуляриза-
регуляризации — квазиоптимальное значение параметра регуляризации. Такой выбор
напрямую не связан с уровнем погрешностей 6. Выбирается значение
а > 0, которое минимизирует
I/ \ II du<*\\
*()|||
Для нахождения квазиоптимального значения чаще всего используется
последовательность B0). Минимизация ^(а) на таких значениях пара-
параметра регуляризации соответствует поиску минимума
(р(ак+\) = \\Uak+l -t*eJ|.
Тем самым, необходимо проводить оценку лишь нормы разности при-
приближенных решений на двух соседних итерациях.
Имеются и другие способы выбора параметра регуляризации. От-
Отметим лишь тот общий момент, что выбор параметра регуляризации
приводит к существенному увеличению вычислительной работы и носит
в той или иной степени итерационный характер. При каждом значении
итерационного параметра решается задача A2), A3) или эквивалентное
12.1. Решение обратных задач математической физики 593
ей уравнение A4). Естественно, что при промежуточных значениях па-
параметра регуляризации нет большого смысла в очень точном решении
таких задач. Поэтому имеет смысл комбинировать нахождение решения
задачи A4) с выбором параметра регуляризации. Близкая идея фактиче-
фактически реализована в итерационных методах решения некорректных задач
(см. A7)) за счет объединения функций итерационного параметра и па-
параметра регуляризации.
12.1.4. Вариационные методы решения обратных задач
математической физики
Отметим особенности приближенного решения обратных задач для
уравнений с частными производными, к которым относятся и обратные
задачи теплообмена. Первый общий подход к решению таких задач связан
с использованием вариационных методов — аналог A2), A3) для решения
задачи A0), A1).
Функционал невязки естественно связать с дополнительными изме-
измерениями. Например, в ретроспективной обратной задаче теплопровод-
теплопроводности A)-D), F) дополнительными являются измерения температуры
на конечный момент времени (условие F)). Поэтому функционал невяз-
невязки определим выражением
\\ч(х,Т)-чТ(х)\\\
где || • || — норма в Н = Ь2(п). Искомым (недостающим) является
начальное распределение температуры, т. е.
и(х} 0) = v(x), xe П. B1)
Составим функционал А. Н.Тихонова (см. A2)) в виде
Ja(v) = ||it(z, Г; v) - uT(x)\f + а|М|2. B2)
Под решением обратной задачи будем понимать функцию w(x) (и ей
соответствующее решение и(х, t; w)) такую, что
Ja(w) = minJa(v). B3)
Вариационная постановка обратной ретроспективной задачи A)-D),
B1)—B3) может рассматриваться как задача оптимального управления
тепловым процессом (глава 11). Мы имеем задачу стартового управления
(условие B1)) и финального контроля (функционал B2)).
Параметр регуляризации а может определяться в соответствии с
принципом невязки из условия
где 6 — уровень погрешности задания температуры на конечный момент
времени.
594 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Для приближенного решения вариационной задачи A)-D), B1)—B3)
при заданном параметре регуляризации а используются численные ме-
методы, которые применяются в задачах управления. В частности, можно
ориентироваться на использование градиентных методов.
12.1.5. Возмущенные краевые задачи
Второй общий подход к приближенному решению обратных задач
связан с возмущением исходного уравнения и дополнительных условий.
Возмущенная задача типа A4) или A5) может и не связываться с той или
иной вариационной формулировкой исходной обратной задачи. Возму-
Возмущение проводится так, чтобы новая задача была корректна, в частности,
имела место непрерывная зависимость решения от входных данных.
В некорректных задачах для уравнений с частными производными
может возмущаться исходное уравнение, краевые и начальные условия.
Более того, параметров возмущения (параметров регуляризации) может
быть несколько. Поясним возможные подходы снова на примере ретро-
ретроспективной обратной задаче теплообмена A)-D), F).
В методе квазиобращения возмущается исходное уравнение. Обо-
Обозначим решение возмущенной задачи через иа(х> t) и определим его
из уравнения
с(х)Чг + Lu« ~ <*L2ua = /(ж, 0, х е Г2, 0 < * < Т B4)
at
с соответствующими граничными условиями и условием F). Уравне-
Уравнение B4) есть параболическое уравнение четвертого порядка, для которого
условия F) корректны. Можно использовать и другие варианты метода
квазиобращения.
Мы уже отмечали возможность перехода к корректной краевой задаче
для приближенного решения при возмущении не уравнения, а замыкаю-
замыкающих соотношений. Для ретроспективной задачи A)-D), F) некоррект-
некорректность обусловлена условиями F). Поэтому естественным представляется
подход с возмущением этого условия. Вместо F) используем нелокальное
условие
иа(х, Т) + аиа(х, 0) = ит(х), хеп,
тем самым, связываются значения на начальный и конечный моменты
времени.
При обосновании алгоритма приближенного решения обратной за-
задачи рассматриваются следующие вопросы. Прежде всего задача для
нахождения приближенного решения (возмущенная задача) должна быть
корректна, т. е. иметь единственное решение, непрерывно зависящее
от входных данных. Это же относится и к дискретной задаче. Вторая
проблема связана с установлением сходимости приближенного решения
к точному. В частности, это требует указания на способ выбора параметра
регуляризации.
12.1. Решение обратных задач математической физики 595
В своем исследовании мы ограничиваемся только приведением соот-
соответствующих оценок устойчивости для дифференциальной и разностной
задач и вопросами вычислительной реализации. При решении пробле-
проблемы выбора параметра регуляризации рекомендуется следовать общим
подходам.
12.1.6. Задачи
Задача 1. Приведите функционал, для которого уравнение
при А = А* является уравнением Эйлера.
Решение. Необходимо привести функционал, градиент которого
имеет вид
grad J(v) = Av + olv - f. B5)
Рассмотрим выражение
1
Имеем
J(v + 6v) - J(v) = - ((Лг; + avy 6v) + (v, A 6v + a 6v)) -
- (/, 6v) + - (A 6v + a 6v, 6v).
В силу самосопряженности получим искомое выражение B5).
В силу доказанного, уравнение A5) можно рассматривать как урав-
уравнение Эйлера для вариационной задачи A3) с
Задача 2. Получите нелинейное уравнение для отыскания приближен-
приближенного решения из возмущенного уравнения A5) при выборе параметра
по невязке.
Решение. При выборе параметра согласно
\\Аиа - М| = 6
из уравнения A5) получим
<*\\иа\\ = б.
Подстановка такого а в A5) приводит нас к уравнению
596 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Это нелинейное уравнение уже не содержит в явном виде параметр
регуляризации. Для его приближенного решения можно использовать
итерационные методы. >
12.2. Ретроспективная обратная
задача теплообмена
12.2.1. Условная корректность
Рассмотрим возможности различных подходов для приближенного
решения ретроспективной обратной задачи для уравнения теплопровод-
теплопроводности, пример постановки которой приведен выше (задача A)-D), F)
в п. 12.1). Для упрощения операторных формулировок будем, как обычно,
использовать однородные однотипные граничные условия.
Ретроспективную задачу мы формулируем как задачу с обратным
временем. Поэтому в прямоугольнике п тепловое состояние будет опи-
описываться уравнением
ди
с(х)— - Lu¦= О, х G О, 0 < * < Т, A)
ot
где (изотропная среда)
Для уравнения A), B) граничные условия возьмем в простейшем виде
u{x,t) = 0, хедп, 0<t^T. C)
Измерение температуры на конечный момент времени в ретроспективной
задаче соответствует заданию начального условия
и(х, 0) = и°(х), х е П D)
для уравнения с обратным временем A).
Ретроспективная обратная задача A)-D) характеризуется неустой-
неустойчивостью решения относительно малых изменений начальных данных
(функции и°(х) в D)). Однако при сужении класса решений уже име-
имеет место устойчивость (в частности, в классе ограниченных решений,
в классе неотрицательных решений).
Переформулируем задачу A)-D) введя новую неизвестную
v(x,t) = c]/2(x)u(x,t).
От уравнения A) перейдем к уравнению
dv
— -?t> = 0, хеп, 0<КГ, E)
at
где
С = efI/2(z)L<f1/2(z).
12.2. Ретроспективная обратная задана теплообмена 597
Оператор ?, как и исходный оператор L, является самосопряженным
и положительно определенным. Из C), D) имеем
v(x, t) = 0, х е #Q, 0 < * < Т, F)
v(ar, 0) = v°(x), x e О. G)
Получим оценку решения задачи E)-G) в L2(O). Обозначим
(8)
Непосредственное дифференцирование с учетом уравнения E) дает
?->(..?)-*.*->• <»
Принимая во внимание самосопряженность оператора ?, при повторном
дифференцировании получим
A0)
Из (8)—A0) и неравенства Коши—Буняковского следует
Неравенство A1) эквивалентно неравенству
^1пФ(*)^0, A2)
т.е. функция 1пФ(?) выпукла. Из A2) имеем
Отсюда получаем
С учетом (8) получим искомую оценку решения уравнения E) с услови-
условиями F):
Для исходной задачи A)-D) приведенная оценка принимает вид
|Мг, ОНо ^ ||«(*. П?1т\\ч(х, 0)\\l~t/T. A3)
Здесь норма || • \\с определена следующим образом
||u(«, t)\\2c = (си, и) = J c(x)u2(x, t) dx.
598 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Пусть теперь рассматривается решение ретроспективной задачи A)-D)
в классе ограниченных по норме || • ||с решений, т. е.
\\u(z,t)\\c<M. A4)
В классе априорных ограничений A4) из A3) получим оценку
IKx,Ollc^M</T||tt°(x)||^/r A5)
Это значит, что для задачи A)-D) имеет место непрерывная зависимость
от начальных данных при 0<КТв классе ограниченных решений.
Ограничения типа A4) в принципиальном плане в прикладных зада-
задачах возражений не вызывают, другое дело — величина постоянной М
в неравенстве A4).
12.2.2. Метод квазиобращения
В методе квазиобращения возмущается исходное уравнение. Обозна-
Обозначим приближенное решение иа(х, t) и определим его из параболического
уравнения четвертого порядка
c(x)^-Lua + aL2ua = Oy x G П, 0 < *< Т, A6)
at
где а > О — параметр регуляризации (возмущения). Это уравнение
дополняется граничными условиями
иа(х, 0 = 0, х е дп, 0 < * < Т, A7)
Lua(x,t) = 0y хедп, 0<t^T. A8)
Задано также начальное условие
иа(х,0) = и°(х), же IX A9)
Покажем устойчивость решения возмущенной задачи A6)-A9). Для
получения простейшей априорной оценки домножим уравнение A6)
на ма(ж, t) и проинтегрируем по области п. Это приводит к равенству
l-jt\\ua\\2c + a\\Lua\\2 = (Lua,ua). B0)
Для оценки правой части воспользуемся оценкой
Кроме того,
ll«allc > со1К1|2> со = min c(x).
a?€fi
Это позволяет получить из B0) оценку
^IMIc < ^-Ы1 B1)
at 2ac
12.2. Ретроспективная обратная задача теплообмена 599
На основе леммы Гронуолла (см. п. 5.1) из B1) получим оценку устойчи-
устойчивости решения задачи A6)—A9) по начальным данным:
IMM)lle < e'/^VOiOlU- B2)
Далее можно рассматривать вопросы сходимости решения возмущен-
возмущенной задачи uQ(x, t) к точному решению и{х) t) при согласованном выборе
параметра регуляризации с погрешностью входных данных (начального
условия в нашей задаче).
Второй рассматриваемый вариант метода квазиобращения связан
с переходом к псевдопараболическому уравнению. Для ретроспективной
обратной задачи A)-D) приближенное решение определим из уравнения
фА-^ + а?^=0, *ЕП, 0<<<Г B3)
at ot
и условий A7), A9). Получим соответствующую оценку устойчивости.
С учетом самосопряженности и положительной определенности L
определим норму || • ||* так, что
Домножим уравнение B3) на иа и проинтегрируем его по Г2. Это приводит
нас к равенству
\\ua\u?t\\ua\U = (Lua,ua). B4)
Для правой части B4) справедлива оценка
(Luaiua)^a-]\\ua\\l B5)
С учетом B5) от B4) придем к неравенству
Отсюда следует оценка
\\utt(x,t)\U^et/a\\u°(x)\U, B6)
которая обеспечивает устойчивость решения возмущенной задачи A7),
A9), B3) по начальным данным.
Сходимость приближенного решения иа{х, t), определяемого из при-
приведенных выше вариантов метода квазиобращения, к и(х, t) устанавли-
устанавливается в классе ограниченных решений.
12.2.3. Разностные схемы метода квазиобращения
Исследуем устойчивость соответствующих разностных схем для при-
приведенных вариантов метода квазиобращения. В силу оценок B2), B6)
речь должна идти о р -устойчивых разностных схемах, причем р > 1
600 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
(допускается рост нормы решения, параметр регуляризации а контроли-
контролирует этот рост).
Введем в прямоугольнике п равномерную прямоугольную сетку ш
с шагами h\ и h2 по переменным х\ и х2 соответственно. Через v(x, 2),
х € и определим приближенное решение возмущенного уравнения B2)
или B6) в момент времени t. Пусть
Ь(х) = с(ж), х € о;,
av, Aav = -(aa(x)vxa)Xa, a =1,2
с соответствующими коэффициентами аа(х), а= 1,2.
От A6)—A9) мы придем к следующей дифференциально-разностной
задаче
Ь(х)— - Лг; + аЛ2г; = О, ж Е о;, 0 < t< T, B7)
ас
v(x, 0 = 0, ж € аа;, 0 < t^ T, B8)
Лг; = 0, х€ди, 0<t^T, B9)
v(xH) = u°(x), хеи. C0)
Прежде чем строить и исследовать разностные схемы для задачи B7)—C0),
приведем общие необходимые и достаточные условия р -устойчивости
двухслойных схем (см. п. 5.4).
Разностная схема
ВУп+}~Уп+Ауп = 0, п = 0,1,... C1)
с постоянными (независящими от п) операторами
В = В\ А = А*
р -устойчива с произвольным р > 0 в На при А > 0 (в Я в при В > 0)
при выполнении условий
1^В < А < \±±в, C2)
Рассмотрим класс двухслойных схем с весами для задачи B7)—C0).
Уравнению B7) поставим в соответствие разностное уравнение
=0, п = 0,1,.... C3)
Разностная схема C3) записывается в каноническом виде C1) при
А = -Л + «Л2, В = Ь{х)Е - <т,тЛ + <т2таЛ2. C4)
12.2. Ретроспективная обратная задана теплообмена 601
Покажем, что разностная схема C1), C4) /^-устойчива в Нв при любых
т > 0 с
Р = 1 + ттт' Ь° = min Ь(ж)' C5)
4аО
если <j\ ^ 0, (т2 ^ 1/2. Величина /> полностью согласуется с оценкой B2)
для решения непрерывной задачи.
Доказательство основывается на проверке необходимых и доста-
достаточных условий р-устойчивости C2). Прежде всего убеждаемся, что при
сформулированных ограничениях на веса разностной схемы C3) оператор
В = В* > 0. Правая часть неравенства C2) с учетом C4) преобразуется
следующим образом:
О ^ ^-Z-B - А - А - аЛ2 Л -Ъ(х)Е - A + р)<Т\А + A + р)асг2А2 =
т т
= ]-^-Ъ{х)Е + A - A + р)а{)А + а(A + р)а2 - 1)Л2.
т
Это неравенство при указанных ранее ограничениях на веса будет выпол-
выполнено для всех р > 1.
Оценку для р получим из левого неравенства C2). При выборе
р — 1 + хт левое неравенство C2) приобретает вид
ХВ > -А. C6)
Подстановка C4) в C6) дает
х(Чх)Е - (Т\тА + <т2таЛ2) ^ Л - аЛ2 = - Bа/2Е - а1/2ЛJ + —Е.
4 7 v 7 4а
При t7i ^ 0, а2 ^ 1/2 для выполнения неравенства мы можем положить
X = l/ Da min b(x)). Это дает для р выражение C5).
Аналогично строятся разностные схемы и для второго варианта
метода квазиобращения A7), A9), B3). Уравнению B3) ставится в соот-
соответствие система уравнений
/ v dv . dv
b(x)—-Av + aA—=0, хеш, 0<t^T C7)
v ' dJt dt v ;
с условиями B8), C0).
Используем для приближенного решения задачи B8), C0), C7)
двухслойную разностную схему
а)уп)=0, п = 0,1,... . C8)
(() )
Схема C8) записывается в каноническом виде C1) при
А = -Л, В = Ь(х)Е + (а - <тт)Л. C9)
При G^0 условие Б = В* > 0 и правое неравенство C2) выполнено
с очевидностью. Левое неравенство C2) при C9) принимает вид
602 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
и поэтому можно положить х = 1/а» а для р = \ + хт будем иметь
р = 1 + -т. D0)
Эта величина р согласуется с оценкой B6) для решения дифференциаль-
дифференциальной задачи метода квазиобращения.
Отметим следующий любопытный факт. С точностью до обозначе-
обозначений разностная схема метода квазиобращения C8) совпадает с обычной
схемой с весами, которая выписывается непосредственно для неустойчи-
неустойчивой задачи A)-D). Для уравнения A) двухслойная схема с весами имеет
вид
Ъ(х)Уп+1~Уп - А(<т'уп+] + A - а')Уп) = 0, п = 0,1,.... D1)
Если положить в D1) а1 = а-а/т, то схема D1) будет совпадать со схемой
метода квазиобращения. Тем самым, эффект регуляризации достигается
за счет выбора веса <т', который несет смысловую нагрузку параметра
регуляризации. Существенно лишь то, что в схеме D1) необходимо брать
вес а1 отрицательным.
Для численного решения многомерных ретроспективных задач мож-
можно использовать экономичные разностные схемы, подобно тому как это
делается для прямых задач (глава 6). Приведем характерный результат
в этом направлении.
Для рассматриваемых обратных задач имеем
2
в, Ла = Л;>0, а=1,2. D2)
Для построения экономичных схем удобно использовать вариант метода
квазиобращения, когда приближенное решение обратной задачи A)-D)
находится из уравнения
f) 2 2
c(x)^-^Laua + aY2Llv>a = 0, хеп, 0<КТ D3)
а=\ а=1
с соответствующими граничными и начальными условиями.
При разностном решении задачи для уравнения D3) с учетом D2)
можно использовать локально-одномерную схему (см. п. 6.5):
,/ ч Уп+а/2 ~~ Уп+(а-\)/2 . / /, \ \
Ь(Х) ' —1 »- - Аа(сг]Уп+а/2 + A - <Г\)уп+(а-\)/2) +
+ аА2а(а2Уп+а/2 + A - (Г2)УпЦа-\)/2) =0, ( ^
а =1,2, п = 0,1,... .
Покажем для примера р-устойчивость локально-одномерной схемы D4)
в Н при (Т\ — 0, а2 = 1.
12.2. Ретроспективная обратная задача теплообмена 603
Для доказательства устойчивости при таких весах домножим D4)
скалярно на уп+а/2» что дает
(b(x)yn+a/2, Уп+а/2) + ar||Aayn+e/2||2 =
= {Ъ(х)Уп+(а-\)/2, Уп+а/2) + т(Лауп+(а_1)/2, Уп+а/2)- D5)
Для слагаемых в правой части D5) используются оценки
(АаУп+(а-\)/2, Уп+а/2) < а||Лауп+а/2||2 + — ||2/п+(а-1)/2||2.
Кроме того,
11Уп+(а-1)/2|| < 7-\\Уп+(а-\)/2\\ъ, b0 = mill Ь(х).
Подстановка в D5) приводит к неравенству
"НУп+а/2Нб < 0.
Пусть ? = \\уп+а/2\\ъ/\\Уп+(а-\)/2\\ь, тогда это неравенство будет выполнено
при
. . 1 1Л т \1/2 г _
Тем самым показано, что ||уп+а/2||б < р\\Уп+(а-\)/2\\ъ* Используя эту оценку
для а = 1, 2, получим ||2/n+ill& ^ р2||Уп11б- С учетом того, что р2 ^ ет/{2аЬо)
приходим к следующему выражению для р:
р = ет/2аЬ\
Для исследования /о-устойчивости для более общих весов привлекается
общая теория устойчивости разностных схем.
Аналогично строятся локально-одномерные схемы и для варианта
псевдопараболического возмущения.
12.2.4. Регуляризованные разностные схемы
При приближенном решении ретроспективной задачи A)-D) мы
сначала построили корректную возмущенную дифференциальную задачу,
а затем для возмущенной задачи строится соответствующая разностная
схема. Альтернативой может служить подход к построению разностных
схем для некорректных задач на основе принципа регуляризации. Для
исходной обратной задачи строится некоторая схема, возмущая которую,
мы получаем уже устойчивые разностные схемы. В этом случае этап
возмущенной дифференциальной задачи отсутствует.
Такой подход в сочетании с общими условиями устойчивости раз-
разностных схем дает возможность конструктивного построения разностных
604 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
схем для широкого класса некорректных задач. Применение принципа
регуляризации разностных схем для обратных задан и его связь с методом
квазиобращения проиллюстрируем на примере ретроспективной обрат-
обратной задачи A)-D).
Для дифференциально-разностного уравнения
dv
b(x)—-Av = 0) хеш, 0<t^T
at
с условиями B8), C0), соответствующего исходной задаче A)-D), запи-
запишем простейшую явную разностную схему
Ъ(х)Уп+]~Уп - Ауп = 0, п = 0,1,... . D6)
Разностная схема D6) записывается в каноническом виде C1) при
В = b(x)E, A = -Л,
т.е. А = А* <0.
Покажем, что явная схема D6) р-устойчива с
р=1 + Дт, D7)
где Д — постоянная из оценки
Л < АЬ(х)Е. D8)
Тем самым, наблюдается регуляризирующий эффект при использовании
обычных разностных схем для приближенного решения неустойчивых
задач. Это непосредственно связано с ограниченностью сеточного элли-
эллиптического оператора Л. С учетом Д = О(ЪГ2) можно заключить, что
шаг сетки по пространству ограничивает рост решения, т. е. выступает
в качестве параметра регуляризации.
Доказательство р -устойчивости основано на проверке выполнения
необходимых и достаточных условий C2) для схемы D6).
При Б>0,л4<0и/9> 1 правая часть двухстороннего операторного
неравенства C2) очевидно выполнена при всех г > 0. Левая часть C2)
принимает вид
Л,
г
которое с учетом D8) будет выполнено при выборе р согласно D7).
Регуляризованные схемы будем строить на основе возмущения опе-
оператора В. Используем схему C1) с
В = Ь(х)Е + а?г, А = -Л.
Рассмотрим два варианта выбора регуляризатора 11. Пусть вначале 11 = А.
Тогда нетрудно убедиться, что условия C2) будут выполнены при выборе р
12.2. Ретроспективная обратная задача теплообмена 605
согласно D0). В случае 71 = Л2 правое неравенство C2) выполнено всегда,
а левое преобразуется следующим образом:
Ь(х)Е + с*Л2 - -Цл = (а1/2Л - . Т л.сГх12\
р-\ \ 2(р - 1)
Это неравенство будет выполнено при выборе р в виде
Аналогично строятся и другие классы регуляризованных разностных схем.
В частности, на основе принципа регуляризации рассматриваются эко-
экономичные разностные схемы.
Предложенные выше разностные схемы, построенные на основе
принципа регуляризации для приближенного решения неустойчивой ре-
ретроспективной обратной задачи A)-D), могут быть проинтерпретирова-
проинтерпретированы с точки зрения метода квазиобращения. Для этого формулируется
дифференциальная задача, которой соответствует регуляризованная раз-
разностная схема. И эта задача для дифференциального уравнения может
рассматриваться как тот или иной вариант метода квазиобращения.
В частности, схема с И = Л соответствует использованию варианта
метода квазиобращения с возмущенным уравнением B3). При регуля-
ризаторе И = А2 соответствующее дифференциальное уравнение будет
иметь вид
с(х)—- - Lua -f aL =0, х G ft, 0 <t ^T. D9)
Ot dt
Тем самым, мы приходим к новому варианту метода квазиобращения.
12.2.5. Вариационные методы и нелокальное возмущение
начального условия
Рассмотрим возможности использования вариационных методов при
приближенном решении ретроспективной обратной задачи A)-D). В ка-
качестве управления v G И = Liity возьмем тепловое состояние (обозначим
температуру иа(х, t)) на момент времени t = Т, т. е.
иа(х, Т) = v(x), хеп. E0)
Состояние системы описывается уравнением
с(х)-^- -Lua = 0, х€п, 0<t^T E1)
at
и граничными условиями
иа(х, t) = 0, хедп, 0 < * ^ Т. E2)
606 Глава 12. Обратные заданы теплообмена
Наблюдается тепловое состояние при t — 0, и поэтому функционал
качества возьмем в виде
Ja(v) = \\иа(х, 0; v) - и°(х)\\2 + a(cv, v). E3)
Решением ретроспективной задачи в вариационной формулировке будут
функции w(x) и иа(х, t) = ua(x, t; w) такие, что
Ja(w) = min JQ(v). E4)
Получим условия оптимальности в задаче E0)—E4). Для приращения
функционала E3) имеем
6Ja(v) = 2 Г 6ua(ua(x,0)-u°(x))dx + 2a f'c6vvdx + O(\\6v\\2). E5)
п п
Для получения задачи для сопряженного состояния домножим уравне-
уравнение E1) на р(х11) и проинтегрируем его по
Функция р(ж, t) находится из уравнения
др
c(x)-?+Lp = 0, хеп, 0<<<Т, E6)
01
граничных и начальных условий
р(х} 0 = 0, х е П, 0 < ^ Т, E7)
с(х)р(х, 0) = иа(х, 0) - и°(х), х?п. E8)
Градиент функционала определяется через сопряженное состояние
выражением
grad Ja(v) = 2с(х)(р(ж, Т) + av(x)), x G П.
Условия оптимальности для задачи E0)—E4) с учетом этого примут вид
р(х, Т) + аЦж) = 0, ж G П. E9)
Это равенство имеет место при выполнении E6)—E8), когда иа{х, t)
определяется как решение уравнения E1) с условиями E2) и
иа(х, Т) = w(x), хеп. F0)
Покажем далее, что условия оптимальности E1), E2), E6)—F0)
можно интерпретировать как задачу для уравнения (I) на удвоенном
интервале по времени @ < t ^ 2T) с нелокальными условиями. С этой
целью продолжим решение задачи E1), E2), F) следующим образом.
Функция иа(х, t) при Г ^ t ^ 2Г определяется из уравнения
c(x)-^--Lua = 0, хеП, T<t^2T, F1)
at
12.2. Ретроспективная обратная задача теплообмена 607
граничных условий
uQ(x,t) = 0, хедП, T<t^2T F2)
и начального условия E9), F0).
Между решением задачи F0)—F2) и функцией р(ж, t) имеется тесная
связь. А именно, для любой постоянной 0 ^ в $С Т справедливо равенство
р(х, Т-в)+ аиа(х, Т + в) = 0, х € п. F3)
Для доказательства F3) положим g(x, t) = -аиа{х) 2Г - t) и пере-
перепишем E9), F0) в виде
р(х,Т)=д(х,Т), хеП. F4)
Функция д(х11) в силу F1) удовлетворяет уравнению
да
c(x)-?+Lg = 0, хеп, 0<*^Г,
at
т.е. тому же уравнению, что и функция р(х)t) (см. E6)). Принимая
во внимание F4), получим g(x,t) = p(x>t), т.е. приходим к равен-
равенству F3).
Полагая в F3) в = Т придем к равенству
р(ху 0) + аиа(х, 2Г) = 0, х G п.
С учетом начального условия E8) получим нелокальное условие
иа(х, 0) + ас{х)иа(х, 2Т) = и°(х), х е П. F5)
Это условие ставится для уравнения (см. E1), F1))
ди
Ф0-5Г-¦&««, = 0, х€П, 0<t^2T, F6)
ot
дополненного фаничными условиями (см. E2), F2))
иа(ж,0 = 0, хедП, 0<t^2T. F7)
Тем самым, вариационный подход к приближенному решению ре-
ретроспективной задачи A)-D) эквивалентен подходу с нелокальным воз-
возмущением начального условия. Существенно то, что нелокальная зада-
задача F5)—F7) рассматривается на большем временном промежутке. Такая
эквивалентность имеет место и на разностном уровне.
12.2.6. Задачи
I Задача 1. Для варианта метода квазиобращения D3) получите соот-
I ветствуюшую оценку устойчивости.
608 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Решение. Домножим уравнение D3) на иа(х, t) и проинтегрируем
по области п. Это приводит нас к следующему (см. B0)) равенству
Id 2 2
2 д iMic+
а=\ а=1
Для слагаемых в правой части имеем
(Laua, иа) ^ a\\Laua\\2 + -^-IKII2 ^ a||L
4a
Со = minc(x).
sen
Это приводит к неравенству
-?|Ы1с < —\K\\l
at aco
из которого следует искомая оценка
аналогичная B2). >
I Задача 2. Для варианта метода квазиобращения A7)—A9), D9) полу-
получите оценку устойчивости по начальным данным.
Решение. Домножим уравнение D9) скалярно в Н = L2(Ct) на
иа(х, ?), что дает
~((cua,uQ) + a\\Lua\\2) =(Lua,ua). F8)
Определим норму || • ||* выражением
и оценим правую часть F8) следующим образом
(Luaiua) ^ -(coay]/2(co\\ua\\2 + a(Lua,ua)) ^ -(
I Z
Подстановка в F8) приводит к неравенству
jt\\na\\l *
из которого следует оценка
Н<М)П* ^ехр
Эта оценка согласуется с полученной выше оценкой решения для регу-
ляризованной разностной схемы. >
12.3. Стационарная граничная обратная задана 609
12.3. Стационарная граничная
обратная задача
12.3.1. Модельная задача
Рассмотрим стационарное тепловое поле в однородном образце
с прямоугольным сечением
ft = {х | х = (жь х2)у 0 < ха < /а, а = 1, 2}.
Тепловое состояние описывается уравнением Лапласа
0 °. *еп. (о
Вьщелим участок границы
7 = {ж | х € вП, ж2 = 12},
на котором прямые измерения невозможны. Пусть дО, \ 7 = Г + 7*,
причем
Ъ = {х\хе дП, х2 = 0}.
Будем считать, что участки границы dCt\j теплоизолированы, т. е. заданы
однородные граничные условия второго рода:
^ = 0, хе Г 4- 7*- B)
Граничная обратная задача рассматривается в простейшей постановке,
когда дополнительные температурные измерения выполнены на 7* •
и(х)=д(х), хвъ- C)
В поставленной обратной задаче A)-C) на 7* заданы температу-
температура и поток. Поэтому мы можем рассматривать эту задачу как задачу
продолжения температурного поля с 7* во всю область п9 т. е. как эволю-
эволюционную задачу по пространственной переменной ж2. Чтобы подчеркнуть
это обстоятельство введем новые переменные. Эволюционную перемен-
переменную обозначим t (аналог времени) и пусть х = х\. Тогда уравнение A)
перепишется в виде
^¦?-?и = 0, 0 < * < Г, 0<х<1, D)
где 1 = 1и Т = /2,
40 Зак 168
*=-?¦ <5>
610 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Граничные условия B), C) примут вид
ди
—(*,«) = о, « = 0,1, F)
и(х10) = и°(х), 0<х<1, G)
ди
—(*,0) = 0, 0<я</. (8)
Тем самым, приходим к задаче Коши для уравнения Лапласа. Ее не-
некорректность (неустойчивость по начальным данным) хорошо известна.
Корректность имеет место в классе ограниченных решений. Исследо-
Исследование таких вопросов для задачи D)-(8) можно провести на основе
метода разделения переменных. Здесь мы отметим основные подходы
к приближенному решению задачи D)-(8).
12.3.2. Метод квазиобращения
Для приближенного решения задачи D)-(8) будем использовать ва-
вариант метода квазиобращения, аналогичный основному варианту метода
квазиобращения для ретроспективной обратной задачи (см. п. 12.2). При-
Приближенное решение uQ(x, t) определяется из уравнения
—f - Сиа + аС2иа = 0, 0 < * < Г, 0 < х < Z, (9)
дополненного условиями
^(х,<) = 0, 3 = 0,1, A0)
ОХ
?(') 0 (М
иа(х, 0) = в°(аг), 0<х<1, A2)
Эй
-^(х,0) = 0, 0<х<1. A3)
Методом разделения переменных для возмущенной задачи (9)—A3)
доказывается следующая оценка устойчивости по начальным данным
\\ua(x,t)\\<ch(Da)-]/2t)\\u0(x)\\. A4)
Вариант метода квазиобращения для уравнения D), аналогич-
аналогичный псевдопараболическому возмущению в ретроспективной задаче
(см. п. 12.2), состоит в определении приближенного решения из урав-
уравнения
^-Сиа + аС^ = 0, 0<<<Т, 0<*</, A5)
12.3. Стационарная граничная обратная задача 611
дополненного условиями A0), A2), A3). Для уравнения A5) соответству-
соответствующая оценка устойчивости имеет вид
||tta(«,<)ll<ch(a-I/2OI|ti°(«)l|. A6)
Эти обсуждаемые варианты метода квазиобращения для прибли-
приближенного решения задачи D)-(8) (для эволюционного уравнения второго
порядка) построены на основе вариантов метода квазиобращения для ре-
ретроспективной обратной задачи (для эволюционного уравнения первого
порядка) формальной заменой первой производной по времени на вто-
вторую. Логически более последовательно было бы рассмотреть варианты
метода квазиобращения, для которых регуляризация осуществляется для
системы уравнений первого порядка, которая эквивалентна исходному
уравнению D). Простейшее преобразование, связанное с обычным вве-
введением вектора неизвестных U = \и\,и2), и\ = и, и2 — du/dt приводит
к системе уравнений первого порядка с несамосопряженным оператором.
Такой подход используется ниже в п. 12.4.
Для задачи D)-(8) можно учесть самосопряженность и положитель-
положительность оператора С. Сделаем замену переменных
A7)
Тогда из D) следует, что новые неизвестные v(x)t) и w(x,t) удовлетво-
удовлетворяют уравнениям первого порядка:
% + Cl/2v = 0, A8)
ot
С учетом G), (8) и введенных обозначений A7) для уравнений A8), A9)
ставятся начальные условия
ф,0) = ^°, B0)
w(x,0) u.
Таким образом, от некорректной задачи D)-(8) мы приходим к кор-
корректной задаче A8), B0) (с соответствующими граничными условиями)
определения v(x,t) и некорректной задаче A9), B1) для w(x, t). По-
Поэтому регуляризирующие алгоритмы для задачи D)-(8) могут строиться
на основе регуляризации расщепленной системы уравнений A8), A9).
Здесь мы отметим лишь некоторые возможности в этом направлении.
40*
612 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
В плане практической реализации естественно ориентироваться на вари-
варианты возмущения, которые не связаны с вычислением квадратного корня
оператора С.
Определим вектор U = {щ, и2} и пространство Н2 как прямую сумму
пространств Н: Н2 — Н^Н. Сложение в Н2 проводится покоординатно,
а скалярное произведение определяется следующим образом:
Пусть щ —v, u2 = w, тогда система уравнений A8), A9) принимает вид:
TJT-Я^О, B2)
где
?=
Уравнение B2) дополняется начальным условием (см. B0), B1))
U(x,0) = U°, U°={\«°, \*°}- B4)
[-С1'2 О 1
[о И B3)
Задача B2), B4) близка к рассмотренной ранее ретроспективной
обратной задаче. Особенность задачи обусловлена тем, что оператор С
(см. B3)) незнакоопределен. Обсуждаемый в п. 12.2 основной вари-
вариант метода квазиобращения допускает использование таких операторов.
Поэтому приближенное решение Ua(x,t) задачи B2), B4) определим
из уравнения
—- - CUa + aC2Ua = О B5)
at
и начальных условий
Ua(x, 0) = U°(x). B6)
Как и в п. 12.2, для решения возмущенной задачи B5), B6) справедлива
априорная оценка
IIJ7 (х t)\\ < е^^\\и°(х)\\. B7)
Получим уравнение для определения приближенного решения иа(х, ?),
соответствующее системе уравнений B5). Принимая во внимание B3),
имеем
с2-\с °
с -[о с
С учетом B5) для va(x,t), wa(x,t) (Ua = {va,wa}) получим следующую
систему уравнений:
% + Ci/2va + aCva = 0, B8)
in
^Cwa + aCwa = 0. B9)
at
12.3. Стационарная граничная обратная задача 613
Приближенное решение иа(х, t) по аналогии с точным решением и{х, t)
(см. A7)) определим равенством
иа(х, t) = va{x, t) + wa(x, t). C0)
Из B8)-C0) непосредственно следует, что иа(х, t) удовлетворяет уравне-
уравнению
^ ^ + а2С2иа = 0. C1)
t
Принимая во внимание B7), для решения уравнения C1) с начальными
условиями G), (8) получим
1Ы2 < (\Ы\ + IKIIJ < 2(Ы|2 + \\wa\\2) = 2\\Ua\\2 ^
Конечно, эта же оценка может быть получена на основе соответствующих
оценок для va(x, t) и wa(x, t), определяемых из уравнений B8), B9).
Уравнение C1) возмущается за счет двух слагаемых. Регуляризация
за счет одного из них (а именно, за счет а2С2иа) нами уже рассматри-
рассматривалась (см. уравнение (9)). Представляет интерес рассмотреть в чистом
виде регуляризацию за счет второго слагаемого. Поэтому будем искать
приближенное решение из уравнения
дополненного начальными условиями G), (8). Аналогично оценкам A4)
и A6) можно показать, что
ll. C3)
Можно рассмотреть и другие варианты метода квазиобращения.
12.3.3. Разностные схемы метода квазиобращения
Приведем некоторые разностные схемы для обсуждавшихся выше
вариантов метода квазиобращения. Для приближенного решения зада-
задачи D)-(8) используются трехслойные разностные схемы. Поэтому напо-
напомним (см. п. 5.4) условия р-устойчивости таких схем.
При исследовании устойчивости по начальным данным трехслойные
схемы записываются в следующем каноническом виде:
0) п=12) C4)
2т т1
Для рассматриваемой задачи постоянные операторы
А = А\ В = В\ R = R*. C5)
614
Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Разностная схема C4), C5) р-устойчива (теорема 7 в п. 5.4) при
выполнении следующих неравенств
C6)
C7)
2т
2т
(p+lJR-pA>0,
C8)
Для приближенного решения обратной задачи D)-(8) введем по пере-
переменной х равномерную сетку с шагом Л, а по переменной t — сетку
с шагом т. Определим
Av=
х е о/,
C9)
Т1
h
и перейдем к соответствующим дифференциально-разностным задачам.
Рассмотрим сначала вариант метода квазиобращения A0), A2), A3), A5).
При аппроксимации по переменной х с учетом C9) получим следующую
дифференциально-разностную задачу
d2v d2v
— - Av + аЛ-^" = 0,
ас
0 < t ^ Г,
хеш.
D0)
D1)
D2)
Трехслойная разностная схема с весами для D0)-D2) записывается в виде:
Уп+\ ~ ^Уп~^Уп-\ А/ /1 \ \ /л
— А(а]уп+1+A-(гх-а2)уп + (Т2Уп-\)^0,
71=1,2,...
(Е + аА)
при заданных у\ и yQ (например, естественно положить у0 = у\ = гДж),
ж G о;).
Схема D3) записывается в каноническом виде C4) при
В = т(<г2 - <Г\)Л,
R = -j(B + а А) - -(а, + (Т2)Л, D4)
12.3. Стационарная граничная обратная задача 615
Покажем р-устойчивость схемы C4), D4) с
Р = е°~"\ D5)
если сг\ + а2 ^ 0 и С\ ^ а2. В частности, /9-устойчива и симметричная
разностная схема, для которой а\ = а2 = 0.
Доказательство основано на проверке условий р-устойчивости для
схемы C4), D4). Для трехслойной разностной схемы C4) эти условия
сформулированы выше в виде неравенств C6)—C8). При выбранных
ограничениях на веса схемы имеем Б^О, Л ^ 0, R > 0. В силу
этого при р > 1 неравенства C7), C8) при всех т > 0 с очевидностью
выполняются. Осталось проверить выполнение неравенства C6). При D4)
неравенство C6) преобразуется следующим образом:
2,
(p-lJR +
2т
> г~2((р - 1JаА - т2рА) = т'2((р - \Jа - т2р)А > 0. D6)
Докажем следующий вспомогательный результат.
Лемма. Неравенство
для положительных х, т и р > 1 выполнено при
Это неравенство будет выполнено при р^ р2, где
В силу
1/2
имеем
+ (
Тем самым, лемма доказана.
В нашем случае (см. D6)) имеем х = а, и поэтому для р получим
доказываемую оценку D5) для трехслойной разностной схемы с веса-
весами D3). Величина р согласуется с соответствующей оценкой A6) для
дифференциальной задачи метода квазиобращения.
616 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Рассмотрим теперь вариант метода квазиобращения G), (8), C2).
Используем разностную схему с весами:
Уп+\ - 2Уп +Уп-\
0> п=1,2,.... D7)
Она записывается в каноническом виде C4), если
В = т(<72 — <Г\)А + аЛ,
Я = ^ - ±(<г, + <т2)Л + " (<т - 0 Л, D8)
Покажем, что разностная схема C4), D8) /о-устойчива с
Р = еа"Т, D9)
если <т\ + <т2 ^ 0, а\ ^ <т2 и G ^ 1/2. Эта величина для рив данном
случае полностью согласуется с соответствующей оценкой (см. C3)) для
решения непрерывной задачи.
В случае D8) при сформулированных ограничениях на веса имеем
В>0, #>0и.<4<0,и поэтому неравенства C7), C8) выполняются.
Неравенство C6) преобразуется с учетом D8) следующим образом:
Р2 - 1 1 Р2 - 1
^ В ( 1JД А ^
1 Р 1
^ В + (р - 1JД + рА > ^— аЛ - рА ^ 0.
Последнее неравенство будет выполнено при р ^ р2, где
2
а \ а2) а 2 а2
Отсюда и следует выражение D9) для р разностной схемы D7).
Осталось рассмотреть разностные схемы с весами для основно-
основного варианта метода квазиобращения (9)—A3). Приближенное решение
определим из разностной схемы
Уп+\ ~ 2уп +Уп-\ А / /, v \ ,
A(aiyn+i +(\-<т\- <т2)уп + °гУп-\) +
+ аА2(<т3уп+] + A - <73 - а4)уп + a4yn-i) =0, п = 1, 2,... . E0)
Схема E0) имеет канонический вид C4) с
В = т(сг2 ~ (Т\)А + та((т3 - 0ч)Л2,
R=^E- -(а, + ^2)Л + -(Gз + G4)аЛ2, E1)
12.3. Стационарная граничная обратная задача 617
Имеем место р-устойчивость разностной схемы C4), E1) с
Р = еГ'в-"\ E2)
если сг\ + а2 ^ 0 и сг\ ^ <72, 0"з + 04 ^ 1/2 и сг3 ^ <т4. При отмеченных
ограничениях на веса из E1) получим ВH и й>0 и выполнение
неравенства C8) не вызывает сомнений. Покажем вначале, что выполнено
и неравенство C7). Имеем
~^Б + (р + 1JД - р^О ^^/ 2^2 2
Для неравенства C6) получим
В силу леммы последнее неравенство будет выполнено при р, которое
дается выражением E2).
Таким образом, показана безусловная р-устойчивость разностных
схем для трех рассмотренных выше вариантов метода квазиобращения.
Мы не приводим конкретных оценок в силу сложности норм, которые
зависят, в частности, и от р.
12.3.4. Регуляризованные схемы
При построении устойчивых разностных схем для приближенного
решения некорректной задачи D)-(8) будем исходить из принципа регу-
регуляризации разностных схем. Рассмотрим дифференциально-разностную
задачу для исходной некорректной задачи D)-(8), которую с учетом
введенных обозначений запишем в виде
d2v
—T-Av = 0, хеш, 0<t^T, E3)
v(x,0) = ti°(a:), хеш, E4)
^г(*,0) = 0, хеш. E5)
Рассмотрим вначале явную симметричную разностную схему для
E3)-E5):
Уп+\ ~2г/п + г/п-1 л п п л ч цел
Аг/п = 0, п=1,2,.... E6)
39 Зак 168
618 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Схема E6) записывается в каноническом виде C4) с
В = О, R = -zE, A = -Л. E7)
т1
Пусть А = O(h~2) — постоянная в неравенстве
Л ^ АЕ. E8)
Покажем, явная схема E6) р-устойчива с
Р = еА\ E9)
т. е. шаг сетки по пространству ограничивает рост нормы решения (вы-
(выступает в качестве параметра регуляризации).
При Б ^ О, 4^0, R> 0 и р > 1 неравенства C7), C8) при всех
г > 0 с очевидностью выполняются. Неравенство C6) при учете E7), E8)
преобразуется следующим образом:
(р - \JЕ - т2рА > ((р - lJA-] - т2р)А > 0.
Полагая х — А и применяя лемму, для р получим оценку E9).
Запишем регуляризованную схему в каноническом виде C4) с
Регуляризованная схема C4), F0) устойчива при 11 = А с
F0)
р=**"', F1)
а при 11 = А2 — с
р = е2"'2"-"^. F2)
Доказательство снова основано на проверке выполнения неравен-
неравенства C6), которое для F0) принимает вид
(р - lJ(E + all) - т2рА > 0. F3)
При 11 = А полагая х — а + А» получим для р выражение
Зафубляя это р9 мы и приходим к оценке F1).
При 11 = А2 неравенство C6) преобразуется следующим образом:
В +
12.3. Стационарная граничная обратная задача 619
Это неравенство будет выполнено при заданном р, если параметр регу-
регуляризации
Оценим теперь величину р при заданном а из неравенства F4). Это
неравенство перепишем в виде
(р - 1J2а1/2 - т2р > 0.
В силу леммы (х = 2а1/2) неравенство будет выполнено при р, опреде-
определяемом согласно F2).
Рассмотренные выше регуляризованные разностные схемы непо-
непосредственно связаны с методом квазиобращения. Не составляет труда
выписать для каждого варианта регуляризации неустойчивых схем со-
соответствующий вариант метода квазиобращения. И этом смысле регу-
регуляризованные разностные схемы могут рассматриваться как разностные
схемы метода квазиобращения.
12.3.5. Нелокальное возмущение начальных условий
Дадим краткую характеристику возможностей использования нело-
нелокального возмущения начальных условий для приближенного решения
задачи D)-(8). При ориентации на общие задачи возможно, вообще
говоря, возмущение двух начальных условий.
Приближенное решение иа(х, t) определим как решение уравнения
1 _ ?и =о, 0 < ? ^ 2\ 0 < ж < Z, F5)
дополненного условиями A0), A3). Вместо начального условия A2)
используем нелокальное условие
иа(х, 0) 4- аиа(х, Т) = и°(х), 0 < х < I. F6)
Нелокальная задача A0), A3), F5), F6) характеризуется тем, что возму-
возмущается только одно начальное условие, так же как и в ретроспективной
обратной задаче теплопроводности (см. п. 12.2).
Применяя метод разделения переменных, можно (задача 2) получить
следующую оценку устойчивости решения нелокальной задачи по на-
начальным данным в Н = 2/г@, /):
1М*,*I1<^11«°(*I1- F7)
Рассмотрим теперь вариационный подход к приближенному решению
задачи D)-(8). Пусть v(x) GW- определяет граничное условие первого
рода при t = Т:
ua(x,T) = v(x)} 0<x<L F8)
39*
620 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Состояние системы описывается уравнением F5) и условиями A0), A3).
В силу G) функционал качества возьмем в виде
Ja(v)= |K(M; v) -u°(x)\\2 + a\\v\\2. F9)
Под приближенным решением стационарной граничной обратной задачи
теплопроводности в вариационной формулировке понимаются функции
w(x) и иа(х, t) = ua(x, t\ w) такие, что
Ja(w) = minJa(v). G0)
n
Можно установить следующую связь между сформулированными нело-
нелокальной задачей и задачей оптимального управления A0), A3), F5),
F8)—G0). А именно, решение задачи оптимального управления A0),
A3), F5), F8)-G0) совпадает с решением нелокальной задачи для урав-
уравнения F5) на удвоенном интервале @, 2Т) с условиями A0), A3) и
иа(х, 0) 4- ~^—иа(х, 2Т) = и°(х)у 0 < ж < Z.
2 + a 2-fa
Подобная ситуация имеет место и для других задач (нелокальное возму-
возмущение двух начальных условий G), (8), задачи с несамосопряженными
операторами и т.д.). Однако мы не имеем возможности для более по-
подробного рассмотрения этих проблем.
12.3.6. Задачи
Задача 1. Рассмотрите устойчивость регуляризованной явной схемы
с И = Л2 для задачи E3)-E5).
Решение. Имеем для схемы G1)
В = 0, R = \е, А = -Л + аЛ2. G2)
С учетом G2) и условия Л ^ 0 неравенство C8) всегда выполняется,
а неравенство C7) преобразуется следующим образом:
о /(р + Р)
+ рк - раА2 > р(КР ^ }-Е -
где А определяется согласно E8). Отсюда вытекают ограничения на вре-
временной шаг
1/21 G3)
12.3. Стационарная граничная обратная задача 621
Оценку для р получим из неравенства C6). С учетом G2) имеем
т2 4а,
Это неравенство будет выполнено при
(р - 1J4а - т2р > 0.
Отсюда в силу леммы вытекает следующая оценка для р:
Тем самым, регуляризованная схема G1) /^-устойчива при ограничени-
ограничениях G3) на шаг по времени. >
I Задача 2. Получите оценку F7) для решения нелокальной задачи A0),
A3), F5), F6).
Решение. Обозначим через Wk(x) и А*, к — 0,1,..., собствен-
собственные функции и собственные значения оператора ?, определенного со-
согласно E) на множестве функций, удовлетворяющих граничному усло-
условию A0). Имеем
1/2
—J> Aft=^—J, fc = 0,l,...,
и поэтому 0 = Ао < Ai < ... .
Решение нелокальной задачи A0), A3), F5), F6) представляется
в виде
00
иа(Х) i) = у ^(u , Wk) ch (A^ ^)(l+ach(A^ T) jw^yx).
k=\
Отсюда следует
\K(x, Oil2 = Х)(^°> wkJ ch (Ai/2«)A + a ch (Xlk/2T)'1J ^
k=\
к=\
т.е. имеет место оценка F7).
622 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
12.4. Нестационарная граничная
обратная задача
12.4.1. Постановка задачи
Рассмотрим теперь граничную обратную задачу в нестационарной
постановке. Тепловое состояние однородного тела с прямоугольным се-
сечением Q будем описывать уравнением
ди J-y д2и
?0 €п 0<^г w
Для участков границы 6п = Г -f у + 7* используются обозначения, вве-
введенные в п. 12.3. Снова считаем, что участки границы 6п\у теплоизо-
теплоизолированы:
«о, яег + т*, о<кг, B)
an
an
а дополнительные температурные измерения заданы на 7* •
u(x,t)=g(x,t), xe 7*, 0<*<Т. C)
Кроме того, задано начальное распределение температуры:
и(х, 0) = и°(х), хеП. D)
В граничной обратной задаче A)-D) эволюционными переменными
выступает время t и пространственная переменная х2. Это позволя-
позволяет строить устойчивые вычислительные алгоритмы с двух различных
позиций.
12.4.2. Метод квазиобращения
Для того, чтобы использовать операторную запись граничной обрат-
обратной задачи A)-D), перейдем от неизвестной функции и(х, t) с неод-
неоднородными граничными условиями C) к новой неизвестной функции
гу(ж, t) с однородными граничными условиями на 7*- Пусть
и(х, t) = w(x, t) + g(x, t), хеп, 0 < t < Г, E)
где g(x, t) продолжена с 7* во всю область, причем
^ = о, яег + 7*, о<*<г. F)
on
В силу E), F) из A)-D) получим следующую задачу для неизвестной
w(x,t)\
^^ ^^ хеП> 0<*<Г, G)
12.4. Нестационарная граничная обратная задача 623
dw
— -О, жеГ + т*, 0<*<Т, (8)
|»(ж,О = О, жб 7*, 0<*<Г, (9)
Цж, 0) = м°(ж), жеа A0)
Определим для достаточно гладких функций w(x,t) оператор С
d2w , ч
—, ж GO, 0<t^T A1)
соотношением
на множестве функций, удовлетворяющих однородным граничным усло-
условиям (8), (9). Тогда переформулированная граничная обратная зада-
задача G)-A0) будет записываться в виде уравнения
dw
— + Cw = f(xyt), хепу 0<*<2\ A2)
дополненного начальным условием A0). Некорректность задачи A0)—A2)
обусловлена неустойчивостью решения относительно малых изменений
начального условия (функции w°(x) в A0)) и правой части (функции
/(ж, t) в уравнении A2)).
Для приближенного решения некорректной задачи естественно вос-
воспользоваться метод9м квазиобращения. Особенность рассматриваемой
обратной задачи заключается в том, что оператор С не самосопряжен
и не знакоопределен. Приближенное решение обозначим wa(x, t) и опре-
определим его из возмущенного уравнения
^ + aC*Cwa + Cwa = /(*, *), A3)
t
at
где а > 0 — параметр возмущения (параметр регуляризации). Для этого
уравнения используется начальное условие
ма(ж, 0) = <ш°(ж), ж GO. A4)
Сопряженный ъН — Li{Vt) к ? оператор ((Cwy v) = (w, C*v)) с учетом (8),
(9), A1) определяется выражением
A5)
П'.Г.Г.
а=1
причем
— = 0, жGГ + 7¦, 0 < *< Г, A6)
5 = 0, ф,«) = 0, xGT, 0<*<Г, A7)
624 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
где, напомним,
7 = {х | х е дП, х2 = /2}.
Метод квазиобращения A3), A4) соответствует определению прибли-
приближенного уравнения из параболического уравнения четвертого порядка.
Покажем устойчивость приближенного решения wa(x, t) по начальным
данным и правой части. Для этого (см. п. 12.2) домножим уравнение A3)
на wa(x, t) и проинтегрируем по области п. Это приводит к равенству
Ikall^lWI + <*\\Cwa\\2 = -(Cwa, Wa) + (/, Wa).
Для оценки слагаемых в правой части воспользуемся оценками
~(Cwa, Wa) < a\\Cwa\\2 + ^ЧКН2, (/, Wa) ^ \\f\\ • |К||.
Это дает неравенство
^IWU^IKII + 11/Ц. A8)
В силу леммы Гронуолла из A4), A8) получим оценку
t
\\w(x, ОН < е'Л4"» (||«°(*)|| + У \\f(x, т)|| dr). A9)
О
Тем самым, решение задачи A3), A4) устойчиво по начальным данным
и правой части.
Рассмотрим теперь вариант метода квазиобращения, который бо-
более полно учитывает специфику двумерной граничной обратной за-
задачи A)-D). Выделим в С дифференциальный оператор, связанный
с дифференцированием по переменной х2. Пусть
? = ?,+?2, cav = -^?, a =1,2. B0)
Оператор С\ определен на множестве функций, удовлетворяющих усло-
условиям
dv
— (М) = 0, *!=(>,/!,
ОХ\
а для оператора С2 —
v(<M) = 0, JL(Xit) = 0, х2 = 0.
ох2
В силу этого оператор С\ самосопряжен и неотрицателен.
Для устойчивого приближенного решения задачи A0), A2), B0)
естественно возмущать только оператор С2, так как оператор С\ обла-
обладает необходимыми свойствами. Определим приближенное решение из
уравнения
-^ + aC2C2wa + Cxwa + C2wa = f{x, t) B1)
at
12.4. Нестационарная граничная обратная задана 625
и начальных условий A4). Здесь
d2v
C i2
при ограничениях
Для варианта метода квазиобрашения A4), B1) подобно задаче A3),
A4) устанавливается априорная оценка A9).
12.4.3. Продолжение по пространственной переменной
Рассмотрим теперь граничную обратную задачу теплопроводно-
теплопроводности A)-D) при продолжении решения по пространственной перемен-
переменной, которая выступает в качестве временной переменной (см. п. 12.3).
Ниже будем считать для простоты что начальная температура нулевая
(однородное условие D)).
Сделаем в граничной обратной задаче A)-D) замену переменных: х2
заменяется на t, t — на ж2, Т на 12 и т.д., для неизвестного решения
используем обозначение w(x\,x2yt) = u(x\,t,x2). Уравнение теплопро-
теплопроводности A) примет вид
d2w dw d2w
+ ^f = 0' Ж€П- 0<^г- B2)
Граничные и однородное начальное условия B)-D) дают для преобразо-
преобразованного уравнения B2) следующие граничные
!^(<М) = 0, х}=0,1и B3)
ОХ\
w(x, 0 = 0, х2 = 0 B4)
и два начальных (см. B), C))
w(x, 0) = w°(x), хеп, B5)
условия.
Пусть
B6)
B7)
на множестве функций, удовлетворяющих условиям B3). Аналогично
определим оператор
C2w = pL B8)
ох2
с граничным условием B4).
626
Глава 12. Обратные задачи теплообмена
С учетом B7), B8) задача B2)—B6) записывается в виде уравнения
d2w
—r-Clw-C2w = 0,
B9)
Уравнение B9) дополняется начальными условиями B5), B6). Следу-
Следует отметить, что в этой задаче оператор ?, = ?| ) 0 в И = L2(u),
а оператор С2 — несамосопряжен.
Для устойчивого приближенного решения некорректной граничной
обратной задачи при ее формулировке как задачи продолжения E1), E2),
E5) будем использовать метод квазиобращения. Отметим некоторые
возможности в этом направлении.
Для приближенного решения задачи Коши для уравнения B9) ис-
используем вариант метода квазиобращения, построенный на основе ва-
варианта A3), A4). В соответствии с этим будем определять решение
из уравнения
d2wa 2
- C\wa- C2wa + aC\Wa + aC2C2wa = О, /ОЛЧ
C0;
C1)
C2)
dt2
x e n, о < t^ t.
Это уравнение дополняется начальными условиями
wa(x, 0) = w°(x), х е П,
dwa
dt
x G п.
Для решения возмущенной задачи C0)—C2) справедлива априорная
оценка
\dVJg
\~дГ
ОМ)
МI|2 + а||?2гММ)Ц2
1/2
C3)
Домножим скалярно в Н = L2(?l) уравнение C0) на dwa/dt и получим
1 d
2dt
дгуа
dt
Для слагаемых в правой части C4) имеем
/3=1,2. C5)
12.4. Нестационарная граничная обратная задача 627
Подстановка C5) в C4) с учетом начальных условий C1), C2) приводит
к оценке C3).
Второй вариант метода квазиобращения для приближенного решения
задачи B5), B6), B9) основан на использовании уравнения
- ClWa ' C2Wa
-W - ClWa ' C2Wa + aCl~df + аС2С2^Г = °' C6)
x e п, о < t^ т.
и начальных условий C1), C2).
Исследование устойчивости задачи C1), C2), C6) удобно провести,
переформулировав уравнение C6) в виде системы уравнений первого
порядка.
Определим вектор U — {w\,w2} и пространство Н2 как прямую
сумму пространств Н: Н2 = Н Ф 7i. Сложение в Н2 проводится покоор-
покоординатно, а скалярное произведение определяется следующим образом:
A7, V) = (wuvi) + (w2yV2). Определим w\ = wa, w2 = -т~ и за-
at
пишем уравнение C6) в виде системы уравнений первого порядка
(Ua = {wuw2}):
^ = 0, C7)
где
ГО -Е Л
\ ()
Уравнение C7) дополняется (см. C1), C2)) начальными условиями
Ua(x, 0) = U0 = {гу°, 0}. C9)
В силу введенных обозначений
и... „2 . ll^ll2
Для задачи C7)—C9) справедлива априорная оценка
Га(хH1|2 = е<1+1/в>'||^(а:H)||2. D0)
Принимая во внимание C8), имеем
VU={- u>2, -(?1 + C2)wx + а(С] + C2C\)w2}.
Домножая уравнение C7) скалярно на Ua, получим
— (Ikill2 + 1И112) + «ll-Ci^H2 + a||^«;2||2 =
u w2) + (C2wuw2) + (wuw2). D1)
628 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Для правой части используются оценки
(Cpwu w2) ^ аЩу>2\\2 + ^ЧКН2, Р = 1, 2,
Выбирая е — 1/2 и подставляя в D1), придем к оценке D0).
Из D0) следует оценка
\\wa(x,t)\\2+j^Wa(xyt)
устойчивости решения возмущенной задачи C1), C2), C6) по начальным
данным.
Возможности использования методов с нелокальным возмущением
граничных условий обсуждаются в п. 13.7.
12.4.4. Задачи
Задача 1. Для разностной схемы
Уп+\ - У
получите оценку оценку устойчивости
аЛЛ уп+] + Ауп = <рп D2)
D3)
согласованную с оценкой A9).
Решение. Домножим скалярно разностное уравнение D2) на уп+ь
\\уп+11|2 - (уп, уп+1) + ат||Лг/п+1||2 = -т(Лг/п, уп+1) + т(<рп, уп+\). D4)
Для оценки правой части D4) используются неравенства:
1
-(Лг/п,2/п+1) ^а||Л*2
(<Рп,Уп+\) ^ ЦУп+lll-ll^nll-
Подстановка D5) в D4) дает
Нг/п+|||2 - Нин-ill • IIk.II - ^1Ы12 -ты ¦ \\уп+х\\ < о, D6)
так как
12.4. Нестационарная граничная обратная задача 629
Из неравенства D6) следует
\(Ш\ + 1Ы|) ( 2 ^2)
Отсюда и следует доказываемая оценка D3).
Задача 2. Для разностной схемы
-2 Ауп + аАА —^ = 0,
D?)
метода квазиобращения с продолжением по пространственной перемен-
переменной для решения одномерной обратной задачи {см, C6)) получите оценку
устойчивости по начальным данным.
Решение. Для получения априорной оценки домножим скалярно
разностное уравнение D7) на
Уп+\ - Уп-\
yi = 2т
и, используя стандартные безындексные обозначения теории разностных
схем, придем к равенству
(^,2/г)-(Лг/,У?) + а||Л^||2 = О. D8)
Имеем
(№. Vi) = \(У1,У1)и (A», yt) < а||Л*у?||2 + ±\\у\\2. D9)
Подставляя D9) в D8), приходим к неравенству
(У1,ш)г^^\Ы\2- E0)
Добавим в правую и левую части неравенства E0) слагаемое
AЫ12)?=;(Ы12-112/п-.112) =
= (и. + Уп-и Уп"/""') = Чуп-ь ут) + т\\т\\2-
Дальнейшие преобразования основаны на оценках
IMI2 = lla-i
630 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Из E0) получим неравенство
-ill! + IIkII2), < (j-^- + 2/s)ton-ill1 +
справедливое при любых положительных е и /3.
Выберем е = т/2, /3 = 1/2 и получим
Z.OL LOL 4а Т
где
/9 = ехр|и + —Jrj. E2)
Аналогично,
С учетом этих неравенств из E1) следует оценка р-устойчивости
где величина р определяется согласно E2). >
12.5. Коэффициентные обратные
задачи теплообмена
12.5.1. Модельная задача
Важнейший класс обратных задач теплообмена составляют коэффи-
коэффициентные задачи. Типичной является проблема восстановления неизвест-
неизвестных коэффициентов теплоемкости и теплопроводности по дополнитель-
дополнительным температурным измерениям внутри образца. Такая задача иденти-
идентификации является нелинейной и требуется обсуждение проблемы един-
единственности решения. В частности, при тепловых измерениях необходима
специальная организация тепловых нагрузок. Не обсуждая сколь,-нибудь
подробно этот вопрос, выскажем лишь самые простые соображения.
При нахождении неизвестных зависимостей с(и) и к(и) естественно
планировать измерения так, чтобы внутри образца температура монотон-
монотонно росла (или падала) с некоторой постоянной начальной температуры.
В этом случае область значений функции и растет, и тем самым на каждый
последующий момент времени можно рассчитывать и на восстановление
неизвестных функциональных зависимостей с(и) и к(и).
12.5. Коэффициентные обратные задачи теплообмена 631
Поставим модельную коэффициентную обратную задачу следующим
образом. В прямоугольном сечении п тепловое состояние твердого тела
с тепловыми характеристиками, зависящими от температуры, описыва-
описывается уравнением
ди
c(u)—+L(k)u = 0, хеп, 0<t^T, A)
ot
где (изотропная среда)
L(k)v = ? L0(k)v, Lp(k)v = ~ (*(«)^) • B)
Для уравнения A), B) будем рассматривать граничные условия
второго рода:
ди
*(«)^- = «0М), х€дп> o<t^T, (з)
era
причем q(x, t) ^ 0. Начальное условие возьмем в виде
и(х, 0) = 0, хеп. D)
В силу сформулированных граничных и начальных условий температура
внутри тела будет монотонно подниматься.
Коэффициенты теплоемкости с(и) и теплопроводности к(и) в A)-C)
неизвестны. Для их определения привлекаются дополнительные изме-
измерения температуры внутри тела в некоторых выбранных точках хт,
т = 1,2,... ,М:
u(xm,t)=gm(t), m=l,2,...,Af. E)
Ставится задача восстановления функций {с(и), к(и), и(х, t)} из усло-
условий A)-E) (коэффициентная обратная задача теплообмена).
Особенность обратной задачи A)-E) заключается в том, что по функ-
функциям от времени gm(tIm = 1,2, ...,М (дополнительные измерения
температуры) необходимо восстановить функциональные зависимости
с(г*),?(гг). Кроме того, эта обратная задача, в отличие от рассмо-
рассмотренных выше ретроспективной и граничной обратных задач, является
нелинейной.
12.5.2. Параметрическая идентификация
Ввиду повышенной сложности рассматриваемой обратной задачи
основные подходы проиллюстрируем сначала на задаче, когда неизвест-
неизвестным является только коэффициент теплопроводности, т. е. в A)-E) будем
считать заданным коэффициент теплоемкости с(и). Переход к общей си-
ситуации с неизвестными с(и) и к(и) лишь технически сложнее.
Традиционный подход к приближенному решению коэффициентной
обратной задачи A)-E) состоит в параметрической идентификации.
632 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Выбирается конечномерный базис rfp(u), f3 = 1, 2,..., If и неизвестный
коэффициент теплопроводности ищется в виде
к
р=\
Поэтому задача сводится к нахождению коэффициентов разложения кр,
Поставим соответствующую задачу конечномерной оптимизации.
Будем рассматривать функционал
N Т К
JX ^ / / / тп i\ /j.\\^ j± I X Л 2 /*7\
гу — 7 I \1L\X .Г) — Qm\t) I dt •+• OL 7 К/ч. ( /)
u / v /^ «-/»'*\// ¦ / _j p \ /
m=\ q C=\
Ставится задача определения кр, /3 = 1, 2,..., К из условий минимума
функционала G) с учетом A)-D), F).
Коэффициенты разложения F) находятся из условия минимума
функции М переменных Ja = Ja(/cb /c2,..., кк):
Из G) имеем
м ^
-^¦ = 2^2/ И*"".«) -9m(t))-^r{xm, t) dt + 2кр. (9)
т=\ 0
Для вычисления этой производной сформулируем сначала задачу для
функции v(x, t) = ди/дкр. Принимая во внимание
дк
из уравнения A) непосредственно имеем
, ^ди dcdu . . fdk
х е п, о < t^ т,
причем производная dk/du вычисляется при заданных параметрах
/?=1,2,...,ЛГ.
Граничное условие C) дает
dv / dk \ ди
к{и)д^ + \fav + VC{ и)) ~ьЧ = 0> хедп' ° < ^ т'
а из начального условия D) следует
v(a?,0) = 0, xGl). A2)
12.5. Коэффициентные обратные задачи теплообмена 633
Для того, чтобы получить задачу для сопряженного состояния, как
обычно (см. главу 11), домножим уравнение A0) на некоторую функцию
p(x,t) и проинтегрируем по области п и временной переменной от 0
до Т. Пусть
р(з,Т) = 0, хеп, A3)
тогда при интегрировании получим
Т Т
Т Т
- I Гvc(u)-?-dxdt+ Г Гp\L(k)v + l(— v)u\ dxdt =
no no
T
= -JJpL(rif>(u))udxdt. A4)
П 0
Будем считать, что для р(х11) справедливы граничные условия
fc(u)^ = 0, xedtl, 0<t^T. A5)
era
Тогда из A4) с учетом B) и A1) получим
г т
- / / vc(u)— dxdt+ Г f vkL(l)p dx dt =
'toww4**' A6)
no no
где с учетом обозначений B)
0
есть оператор Лапласа.
Принимая во внимание (9), определим сопряженное состояние
из уравнения
дъ М
-c{u)f + Щ\)р + X) «(* " ^ш)(гг(х, *) - 5те(«)) - 0,
х е ft, о < t^ т,
где 6(х) — tf-функция. Тогда из A7) получим
гр гр
М Т о i
ди др
i 1*#1<т»'" f I п iriiiiim»"* п /тт — л i i n^i it \ -
J -.1
п о
V" / (u(xm,t)-gm(t))v(xm,t)dt =
634 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Из (9) имеем следующее представление для искомой производной
т
дЗа
7-1 п О
Тем самым, для вычисления производных по отдельным коэффициен-
коэффициентам кр, /3 = 1, 2,..., К сначала решается задача A)-D) для и(х, t), затем
находится сопряженное состояние pix^t) как решение задачи A3), A5),
A7), а затем отдельные производные рассчитываются согласно A8). Даль-
Дальнейшая организация итерационного процесса осуществляется обычным
образом (см. главу 11).
Рассмотрим теперь задачу параметрической идентификации коэф-
коэффициента теплоемкости, когда коэффициент теплопроводности задан.
Пусть теперь
к
c(u) = Ylwp(u)- 09)
/5=1
Естественно рассмотреть функционал
м ТЛ к
m=l
B0)
Для определения коэффициентов хр> Р — 1, 2,..., /Г используется урав-
уравнение
Из G) имеем
м т
^ = 2 Е
Принимая во внимание
дс
из уравнения A) для функции v(x, t) = ди/дхр получим
dv ди (dk
c(u)-+Vp(u)-+L(k)v + LiK-
хе п, o<t^T.
Из C) имеем
dv dk ди
*(|0^- + :гб-|' = 0' «е»п, о<*<г, B3)
on аи on
а начальное условие D) дает A2).
12.5. Коэффициентные обратные задачи теплообмена 635
При выполнении A3) и A5) из B2), B3) получим
т 2 т ' ->
Яд ^-л f f dp
v—(с(и)р) dx dt — у II vk(u)—r-1
dt f-* J J dx*
Г
ft I \QU A At i^A\
= — / / TjpyU)—p йх at. \^f
J J ut
UO 7-i о о
г
В соответствии с B4) определим р(х, t) из уравнения
-x^iuix^-g^t))^
д 2 d2v М
7=1 1 w=l
Тогда для производной получим представление
т
п о
Снова для вычисления производных достаточно определить сопряженное
состояние из решения уравнения B5) и условий A3), A5).
В общем случае параметрической идентификации обоих коэффици-
коэффициентов с(м),&(г*) на основе F), A9) требуется решать две сопряженные
задачи. При переходе к разностным задачам необходимо согласовывать
разностные схемы для основного и сопряженных состояний с выбором
аппроксимаций минимизируемого функционала.
12.5.3. Пошаговая идентификация
Выше кратко рассмотрен алгоритм идентификации коэффициента
теплоемкости и теплопроводности при использования всей дополнитель-
дополнительной информации на всем промежутке времени — глобальная идентифика-
идентификация. При идентификации нелинейных коэффициентов нестационарных
задач, зависящих от решения и, естественным представляется подход
с последовательным уточнением коэффициентов, когда дополнительная
информация с момента времени i! до момента t" учитывается для уточне-
уточнения коэффициентов на новом интервале изменения решений и1 и и". Та-
Такие алгоритмы естественно назвать последовательными. При реализации
используется дискретизация по времени, и поэтому вычислительная реа-
реализация таких подходов связана с идентификацией коэффициента при пе-
переходе от одного временного слоя на другой (пошаговая идентификация).
Остановимся более подробно на задаче восстановления коэффици-
коэффициента теплопроводности в постановке A)-E) (коэффициент теплоемкости
с(и) считается известным). Введем сетку по времени с постоянным
636 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
шагом т > 0 и сформулируем соответствующую A)-E) дифференци-
дифференциально-разностную задачу. Используем при аппроксимации уравнения A)
простейшую чисто неявную схему для нахождения приближенного реше-
решения уп(х):
с(уп+1)Уп+1~Уп+1(к(уп+1))уп+{ = О,
Т B6)
хеп, п = о, 1,... .
Это уравнение дополняется граничными и начальными условиями
q(x,t), х?дП, п = 0,1,..., B7)
уо(х) = 0, х е п. B8)
Пусть
0 < У\ < 2/2 < .. • < Уп-\ <Уп< Уп+\ < ... ,
где
уп = ()
()
х€п
т. е. предполагается монотонность максимального значения решения
на каждом временном слое. Соответствующие граничные условия для
дифференциальной задачи обсуждались выше.
Возможный пошаговый алгоритм отыскания неизвестного коэффи-
коэффициента теплопроводности к (и) (аналогично и коэффициента теплоемко-
теплоемкости с(и)) состоит в следующем. Будем считать, что при у <уп коэффи-
коэффициент к(у) уже определен и равен кп(у). В частности, в рассматриваемой
коэффициентной задаче A)-E) по меньшей мере к@) считается из-
известным. На новом интервале изменения решения уп ^ у ^ уп+\ (сама
величина уп+\ тоже неизвестна) коэффициент к(у) будем искать в виде
сплайна г-ого порядка. В силу сформулированных предположений имеем
fcn+i(y) = fcn+iC/n) + j~ К+\Ш(у-Уп) + --.+
В представлении B9) ап+\ — неизвестный параметр, а
jS jS
заданы при 0 ^ s ^ г - 1. В силу этого для начала расчетов необходимо
задать эти величины при п = 0. Для простоты, ограничимся случаем
кусочно-линейной идентификации (сплайн первого порядка), когда B9)
принимает вид
kn+l(y) = kn+l(yn) + an+,(y - уп), уп^У< 2/n+i- C0)
12.5. Коэффициентные обратные задачи теплообмена 637
При таком приближенном решении дополнительная информация
(условия E)) привлекается для определения только одного параметра
ап+\ на каждом временном слое п = 1, 2,... .С этой целью естественно
использовать функционал
и
Je(an+i) - ]Г (yn+l(xm) - gm(tn+])J + aa?+1. C1)
т=\
Экстремальная задача B6)—B8) с коэффициентом к(у) = кп+\(у)9 опре-
определяемым согласно B9), может решаться обычными градиентными мето-
методами. Обозначим
dyn+\
Vn+\ = -,
dan+\
и из C0) непосредственно получим
= 2 ? (уп+1(хт) - 9m(tn+l))vn^ + 2aan+1. C2)
Для vn+\ из B6) в простейшем случае кусочно-линейной аппроксима-
аппроксимации C0) получим уравнение
— (yn+\)-^-
i)yn+i =0, ж eft, n = 0, 1,.... C3)
Из B7) следует граничное условие
МУп+О-т^1 + (Уп+i ~ 2/n + a«+iv»+j)-^:1 = 0,
жеао, п = о, 1,... .
Для сопряженного состояния рп+\(х) из C3), C4) при учете C2) получим
задачу
Р+\ dc 2/n+i
^Wn+i)—Pn+i + kn+l(yn+])L(l)pn+i -
Af
^ S(x - жт)(г/п+1 (x) - <?m(*n+i)) =0, ж G ft, C5)
m=l
^0, xG^ft, n = 0,l,.... C6)
С учетом этого C2) принимает вид
= 2 2 у (yn+i - Уп)~^-^ dx + 2аап+х.
638 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
Тем самым, на каждом временном слое решаются эллиптические краевые
задачи B6), B7) и C5), C6). Для определения неизвестного параме-
параметра ап+\ используются градиентные процедуры.
Полностью аналогично рассматривается и более общая ситуация
с пошаговым восстановлением коэффициента теплоемкости и коэффи-
коэффициента теплопроводности. Дискретизация дифференциально-разностной
задачи B6)—B8) и по пространству не приводит к принципиальным
изменениям. Более интересной является возможность использования
вместо B6) экономичных схем.
12.5.4. Упрощенный итерационный метод
Отметим возможность построения более простых (неградиентных)
итерационных процедур восстановления коэффициента теплопроводно-
теплопроводности (параметра an+i). с учетом C0) положим
Ну) - My) + an+iM2/), 0^2/^ Уп+и C7)
где Ьр(у), р — 1, 2 —заданные функции, например,
{0, 0 ^ у ^ уП)
~ < <~
Итерационное приближение к параметру ап+\ на 5-й итерации обозна-
обозначим 0s, а соответствующую температуру Vs.
Будем определять 0s+l и vs+l из решения уравнения
с(уп+]/+1~Уп +L(b{(vs))vs+{+Os+]L(b2(vs))v8 = 0, Cg)
х е п, п = о, 1,...
и граничных условий
b)(vs) \-0s+lb2(vs) =q(x1t)) х?дп, n = 0,l,.... C9)
Использование C8), C9) соответствует простейшей линеаризации нели-
нелинейной краевой задачи B6), B7). Для определения 08+] используется
функционал
м
Ja(9 ) ~ / \У {х ) ~~ 9m{tn+\)) "f" Ск(^ ) • D0)
m=l
Решение задачи C8)-D0) удобно искать в виде
Пусть ws+l(x) удовлетворяет уравнению
п = 0,1,... D1)
12.5. Коэффициентные обратные задачи теплообмена 639
и граничным условиям
Для функции zs+](x) из C8), D1) получим уравнение
(»')У = о,
а: GO, n = 0,l,...,
которое (см. C9), D2)) дополняется условием
aV
^Г = °> ж G аП' * = 0,1,... . D4)
an
Для 0Ж из D0) получим
0s+l =
0s+l = -— л . D5)
Таким образом, итерационное решение задачи основано на решении двух
задач D2), D3) и D3), D4) и использовании формулы D5). Описанный
итерационный процесс имеет простую структуру и не связан с процедурой
выбора итерационных параметров.
12.5.5. Задачи
I Задача 1. Поставьте задачу определения коэффициента теплопровод-
теплопроводности по наблюдениям стационарного теплового поля.
Решение. Будем исходить из рассматриваемой нами коэффициент-
коэффициентной обратной задачи A)-E). В стационарном случае тепловое поле
описывается уравнением
L(fc(ti))tt = O, хеП D6)
и граничными условиями
k(u)^ = q(x), хедП. D7)
Для восстановления неизвестного коэффициента теплопроводно-
теплопроводности к(и) проводятся дополнительные измерения, например, на некоторой
кривой S С п (в качестве множества точек измерений может выступать
и часть или даже вся граница области дп), т. е.
u(x)=g(x), xeS. D8)
640 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
В задаче D6)-D8) по заданной g(x), x Е S необходимо восстановить
коэффициент к(и). Естественно, что речь может идти только об иденти-
идентификации к(и) в интервале
ming(x) ^ и ^ max (/(ж).
xes xes
На основании преобразования Кирхгофа (см. п. 3.3)
> dO D9)
v = Г к(в),
о
от D6), D7) придем к задаче Неймана для уравнения Лапласа:
L(\)v = 0, х е П,
dv
- = <?(*), *een.
После решения этой корректной краевой задачи для определения коэф-
коэффициента теплопроводности из D9) с учетом D8) имеем
fc(tt) = ^, xeS. E0)
аи
При приближенном решении обратной задачи D6)-D8) проблема сво-
сводится к численному дифференцированию (см. E0)). Задача устойчи-
устойчивого численного дифференцирования данных, заданных приближенно,
рассматривается во всех основных руководствах по методам решения
некорректных задач. >
Задача 2. Рассмотрите возможность использования разностной схемы
переменных направлений при пошаговой идентификации коэффициента
теплопроводности.
Решение, Вместо B6) можно использовать дифференциально-раз-
дифференциально-разностную схему стабилизирующей поправки (см. главу 6):
У1/^УУп+1/2 - 0, E1)
" Уп) = 0, E2)
хеп, п = о, 1... .
Эти уравнения дополняются соответствующими граничными условиями.
Реализация первого полушага E1) проводится стандартным образом,
а на втором полушаге E2) уже рассматривается задача с неизвестным
коэффициентом. >
12.6. Библиография и комментарий 641
12.6. Библиография и комментарий
12.6.1. Общие замечания
12.1. Обратные задачи математической физики рассматриваются с тех или
иных позиций в различных работах. Основное внимание [11, 14]
уделяется проблеме единственности решения, выделения классов
условной корректности этих задач. Наиболее полное свое развитие
обратные задачи для уравнений с частными производными полу-
получили применительно к обсуждаемым нами проблемам теплообме-
теплообмена [3,6,10]. Описанная классификация обратных задач теплообмена
предложена О. М. Алифановым [2]. Проблемы приближенного ре-
решения некорректных задач излагаются во многих работах, среди
которых выделим [9,17]. Итерационные методы решения некор-
некорректных задач для операторных уравнений первого рода иссле-
исследуются в работах [5,7]. Вопросы обоснования выбора параметра
регуляризации с наибольшей полнотой представлены в [13]. Ме-
Методу квазиобращения для приближенного решения некорректных
задач математической физики в различных вариантах посвящена
книга [12].
12.2. Стационарные граничные обратные задачи теплообмена приводят
к задаче Коши для эллиптических уравнений, некорректность кото-
которой хорошо [1] известна. Классический вариант метода квазиобра-
квазиобращения для ретроспективной обратной задачи теплообмена имеет-
имеется в [12]. Псевдопараболический вариант метода квазиобращения
предложен R. E. Showalter и R. Ewing A974, 1975 гг.). Регуляризация
некорректных задач для эволюционных уравнений с помощью нело-
нелокального возмущения начальных условий рассматривалась Л. Ш. Аб-
дулкеримовым A974 г.). Вопросы построения и исследования раз-
разностных схем, связь нелокальной задачи с задачами оптимального
управления рассматриваются в наших работах.
12.3. Материал базируется в своей основе на оригинальных работах ав-
авторов, еще не публиковавшихся в монографической литературе,
и общей теории разностных схем [15,16].
12.4. Излагаемый материал новый. При продолжении по пространствен-
пространственной переменной в одномерной нестационарной граничной задаче
основной вариант метода квазиобращения приводит к гипербо-
гиперболическому уравнению теплопроводности. Такая «гиперболическая»
регуляризация предложена в работах О. М. Алифанова A979 г.)
и C.F.Weber A981 г.).
12.5. Рассмотрены лишь простейшие подходы к приближенному решению
коэффициентных задач, примыкающие к конечномерным экстре-
экстремальным задачам [4,8].
42 Зак 168
642 Глава 12. Обратные задачи теплообмена
12.6.2. Литература
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа. М.: Наука, 1978.
2. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппара-
аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). М.: Машиностроение,
1979.
3. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.
4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев СВ. Экстремальные методы реше-
решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.
5. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итерационные методы решения некор-
некорректных задач. М.: Наука, 1988.
6. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некорректные обратные задачи
теплопроводности. М.: Мир, 1989.
7. Вайникко Г.М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некоррект-
некорректных задачах. М.: Наука, 1986.
8. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
9. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач
и ее приложения. М.: Наука, 1978.
10. Коздоба Л. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопере-
носа. Киев, Наукова думка, 1982.
11. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский СП. Некорректные задачи
математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
12. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир,
1970.
13. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ,
1987.
14. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.
15. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
16. Самарский А. А.у ГулинА.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
17. Тихонов А. Я., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,
1986.
Глава 13
Примеры численного моделирования
теплофизических процессов
В данной части работы рассмотренные ранее численные методы при-
применяются для приближенного решения основных классов задач теплопе-
теплопередачи. При выборе примеров мы придерживались следующих позиций.
Во-первых, примеры должны иллюстрировать возможности описанных
алгоритмов. При описании вычислительных алгоритмов мы ориентирова-
ориентировали читателя на решение достаточно сложных многомерных прикладных
задач. В силу этого здесь мы рассматриваем двумерные задачи тепло-
теплопередачи.
Во-вторых, примеры решенных задач должны отражать достигнутый
уровень численного моделирования. Поэтому предложенные примеры
выполнены на достаточно высоком научном уровне, уровне оригинальных
научных публикаций.
В-третьих, предложенный набор примеров в сочетании с достаточ-
достаточно подробным описанием вычислительных алгоритмов, структуры про-
программы и приведенный текст программы на ФОРТРАНе могут служить
основой самостоятельной работы по усвоению материала, основой вы-
вычислительного практикума. На это ориентированы и сформулированные
в конце каждого параграфа задачи. Мы предполагаем, что все это даст
возможность более активного усвоения материала.
Изложение начинается с постановки задачи, приведению ее к без-
безразмерному виду. Далее строится разностная схема и обсуждается ее
программная реализация. После этого приводятся характерные данные
расчетов, выполненные на персональном компьютере.
Необходимо сделать оговорку относительно представленных про-
программ на ФОРТРАНе. Уровень разработанного программного обеспече-
обеспечения определяется поставленными целями демонстрации возможностей
рассматриваемых методов. Поэтому основное внимание уделяется вопро-
вопросам наглядности программ в ущерб, быть может, их качеству.
При написании программ мы ориентировались на «читаемость» ал-
алгоритма по программе. В ряде случаев для достижения этой цели допуска-
допускаются повторные вычисления одних и тех же величин, не предпринимается
42*
644 Глава 13. Примеры численного моделирования
попытки оптимизации даже в тех местах, где это для опытного програм-
программиста было бы естественным.
Никаких специальных попыток оптимизации программ по быстро-
быстродействию, объему требуемой памяти не делается. Например, в программах
решения систем линейных уравнений не делается попытки оптимизации
с использованием того факта, что при решении нестационарных задач
изменяется лишь правая часть системы при неизменной матрице и т. д.
13.1. Стационарная теплопроводность
в кусочно-однородном теле
13.1.1. Постановка задачи
Рассматриваются процессы теплопередачи в твердом теле прямо-
прямоугольного сечения
п = {х | х = (хих2), 0<ха<1а, а = 1,2}.
Среда предполагается кусочно-однородной. В двух частях области п1 С ft
и Q" — п \ П' теплофизические характеристики материала отличаются
друг от друга. Пусть (рис. 13.1)
П' = {х\х = (х],х2), 0<xa<l'ay a =1,2}.
Процесс считается установившимся, и поэтому тепловое состояние опи-
описывается следующим стационарным уравнением теплопроводности:
В рассматриваемом случае коэффициент теплопроводности к(х) является
кусочно-постоянным:
{fco, х е ft",
Верхняя и нижняя границы предполагаются теплоизолированными,
т. е. выполнены однородные граничные условия второго рода:
fc^ = 0, 0<z,<Jb х2 = 0,12. (З)
ох2
Левая граница поддерживается при постоянной температуре дОу т. е.
u(O,x2)=0o, 0<s2<Z2. D)
На правой боковой границе осуществляется конвективный теплообмен
(коэффициент конвективного теплобмена а) со средой, которая имеет
температуру д\ = const:
ди
k— + <r(u-gl) = 0, xi=lu 0<x2<l2. E)
ОХ\
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 645
х2
На границе двух материалов S (S = дп' П дП") предполагается идеаль-
идеальный тепловой контакт, т. е. непрерывны температура и тепловой поток.
Такие условия естественны для урав-
уравнения A) с кусочно-постоянным ко-
коэффициентом теплопроводности B),
т. е. непосредственно следуют из урав-
уравнения теплопроводности. В силу этого
условия идеального сопряжения явно
не выписываются.
Уравнение A), B), дополненное
краевыми условиями C)-E) полно-
полностью определяет стационарное тем-
температурное поле в кусочно-однород-
кусочно-однородном теле прямоугольного сечения п 1
с включением Q'. Рис. 13.1
/¦
13.1.2. Задача в безразмерных переменных
Для численного исследования поставленной задачи A)-E) сфор-
сформулируем задачу в безразмерных переменных. Будем использовать для
безразмерных переменных те же обозначения, что и для размерных.
В качестве линейного размера возьмем величину 1\, коэффициента
теплопроводности — k0. Пусть дх > д0 (контакт с более нагретой
окружающей средой). Безразмерную температуру определим отношением
(и-до)/(д\ -до)- Задача помимо линейных размеров A\, ^, 1'г) будет харак-
характеризоваться величиной отношения коэффициентов теплопроводности к
и числом Био Bi:
-г- В1=т- <6>
Приведем формулировку задачи A)-E) в безразмерных переменных.
Задача рассматривается в прямоугольнике П с 1\ = 1. Уравнение тепло-
теплопроводности имеет вид A) при
*(*)
= Г 1, х € П",
I 1С Т Р О'
^ Л/, *С».
Граничные условия C) остаются, а D), E) принимают вид
ti@, х2) = 0, 0 < х2 < \ъ
Ь Bi(tt — 1) = 0, Х\ = 1, 0 < Х2 < h-
G)
(8)
(9)
Далее мы рассмотрим вопросы численного решения задачи A), C), G)-(9)
в безразмерных переменных, которая характеризуется двумя основными
параметрами F).
646 Глава 13. Примеры численного моделирования
13.1.3. Разностная задача
В Q введем прямоугольную сетку и с шагами h\ и h2. Уравнение A)
во внутренних узлах аппроксимируется разностным уравнением
2
а=\
Принимая во внимание разрывность коэффициентов теплопроводности,
для сеточных функций аауа = 1,2, будем использовать следующие
выражения
2) kx{x\ 0,5Льж2),
а2(хих2) = к2(хих2 - 0,5/i2),
где
кх(хих2) = - (к(хих2 - 0,5h2) + к(хих2 + 0,5Л2)),
\ A2)
к2(хих2) = -(к(хх -015hux2) + k(x] +0,5hux2)).
Аппроксимация граничного условия (8) на левой границе дает
»@,я?2) = 0, 0^х2^12. A3)
На нижней и верхней границах (см. C)) имеем
-—а2(х)уХ2 - -(aijfr,)*, =0, 0 < ж, < 1, х2 = 0,
п2 1 . ч
A4)
11
Г"а2(^)Ух2 - r(ailfc,)z, =0, 0 < я?1 < 1, ж2 = 12.
Л2 2
При аппроксимации граничного условия (9) получим
~(*2Ух2)х2 т; «1 1, 0<ж2</2. A5)
/ll /lj 2 tl\
Аналогично аппроксимируется уравнение в угловых точках расчетной
области П = Q U дп.
После умножения на произведение шагов сетки h\h2 разностная
задача A0)—A5) записывается на пятиточечном шаблоне в следующем
симметричном виде
,--ij»i-i j + AOijyij - AUjyMj - А2^у^+] = f{j,
A6)
i=l,2,...,ЛГЬ ; = 1,2,...,ЛГ2.
В такой записи предполагается, что любая сеточная функция вне сеточной
области обращается в ноль. Здесь предполагается, что нумерация узлов
по каждому направлению начинается с единицы.
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 647
Формирование разностной задачи (массивов в A6)) проводится
в подпрограмме FDS01. Назначение и структура этой подпрограммы
с учетом приведенного ниже текста в дополнительных комментариях
не нуждается.
SUBROUTINE FDS01 ( АО, Al, A2, F )
С
С FDS01 — Подпрограмма формирования системы линейных
С уравнений для разностной задачи на пятиточечном
С шаблоне.
С
IMPLICIT REAI/8 ( А-Н, O-Z )
REAL*8 Kl, K2, КАРРА
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), F(N1,N2)
COMMON / T01 / X1L, X1D, X1R,
* X2L, X2D, X2R,
* KAPPA, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
С Шаги сетки
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
Н2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
Н12 = HI / Н2
Н21 = Н2 / HI
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
Х2 = X2L + (J-1)*H2
DO 10 I = 2, N1-1
XI = XIL 4- (I-1)*H1
Al(I-U) = H21*Kl(Xl-0.5D0*Hl,X2)
= H21*K1(X1+O.5DO*H1,X2)
-1) = H12*K2(Xl,X2-0.5D0*H2)
A2(I,J) = H12*K2(Xl,X2+0.5D0*H2)
A0(I,J) = A1(I-1,J) + A1(I,J) + A2(I,J-1) + A2(I,J)
F(I,J) = 0.D0
JO CONTINUE
20 CONTINUE
648 Глава 13. Примеры численного моделирования
С
С Левая граница: краевое условие первого рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
A1A,J) = 0.D0
A2A,J) = 0.D0
AOA,J) = 1.D0
FA,J) = 0.D0
30 CONTINUE
С
С Нижняя и верхняя границы: краевое условие второго рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
XI = X1L + A-1)*Н1
A1(I-1,1) = O.5DO*H21*K1(X1-O.5DO*H1,X2L)
Al(IJ) = O.5DO*H21*K1(X1+O.5DO*H1,X2L)
F(I,1) = 0.D0
A1(I-1,N2) = O.5DO*H21*K1(X1-O.5DO*H1,X2R)
A1(I,N2) = 0.5D0*H21*Kl(Xl+0.5D0*Hl,X2R)
A2(I,N2) = 0.D0
A0(I,N2) = A1(I-1,N2) + A1(I,N2) + A2(I,N2-1)
F(I,N2) = 0.D0
40 CONTINUE
С
С Правая граница: краевое условие третьего рода
С
DO 50 J = 2, N2-1
Х2 = X2L + (J-1)*H2
A1(N1,J) = 0.D0
A2(N1,J-1) = 0.5D0*H12*K2(XlR,X2-0.5D0*H2)
A2(N1,J) = 0.5D0*H12*K2(XlR,X2+0.5D0*H2)
A0(Nl,J) = A1(N1-1,J) + A2(N1,J-1) + A2(N1,J)
* + H2*BI
F(N1,J) = H2*BI
50 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
А1A,1) = 0.D0
А2A,1) = 0.D0
А0A,1) = 1.D0
F(l,l) = 0.D0
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 649
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Левый верхний угол
A1A,N2)
A2A,N2)
A0(l,N2)
FA,N2)
Правый
A1(N1,1)
AO(N1,1)
F(N1,1)
Правый
= 0.D0
= 0.D0
= l.DO
= 0.D0
нижний угол
= 0.D0
= A1(N1-1,1) + A2(N1,1)
+ 0.5D0*H2*BI
= 0.5D0*H2*BI
верхний угол
A1(N1,N2) = 0.D0
A2(N1,N2) = 0.D0
AO(N1,N2) = A1(N1-1,N2) + A2(N1,N2-1)
¦ + 0.5D0*H2*BI
F(N1,N2) = 0.5D0*H2*BI
RETURN
END
13.1.4. Итерационное решение сеточной задачи
Для решения разностной задачи A0)—A5) (индексная запись A6))
используется попеременно-треугольный метод (см. п. 4.7). Запишем раз-
разностную задачу в виде
Ay = f, A7)
причем
A8)
где D — диагональная, aD- нижне-треугольная матрицы.
В попеременно-треугольном итерационном методе оператор перехо-
перехода с одного итерационного шага на другой выбирается в виде:
B = (G + i)G(G + ?*), A9)
где G — диагональная матрица с положительными элементами. Некото-
Некоторые способы выбора G отмечались выше в п. 4.7.
41 Зак 168
650 Глава 13. Примеры численного моделирования
При реализации попеременно-треугольного метода удобно преобра-
преобразовать исходную задачу A7), A8) к задаче, для которой оператор перехода
имеет наиболее простой вид. Домножим слева исходное уравнение A7)
на G~^2 и обозначим
y = G]/2y, f = G-l/2f. B0)
Тогда уравнение A7), A8) примет вид
Ау = 7, B1)
где теперь _
L = G-l/2LG-]/2} B2)
D = G-]/2DG~]/2.
Для преобразованной задачи B0)-B2) оператор перехода попеременно-
треугольного метода В — G~^2BG~]^2 записывается следующим образом:
В = U*U, U = E + L*. B3)
Вычислительные затраты на обращение этой матрицы В меньше, чем
для матрицы исходной задачи A7), A8) (см. A9)).
Для приближенного решения уравнения B1), B2) использовался
итерационный метод сопряженных градиентов. При реализации исполь-
используются (ср. с п. 4.6) расчетные формулы:
Ук+\ =Ук + <хкЯк, А; = 0,1,...,
Яо = wo, B4)
qk = wk+pkqk-\, fe= 1,2,...,
где теперь
rk = f-Ayk) wk = B~lrk. B5)
Итерационные параметры ак и /Зк определяются соотношениями
Г
* 0 1
к = 0,1,... .
При этом для вычисления гк используется рекуррентная формула
гк = г*-! - aft-ilft-i, к = 1, 2,... . B7)
Модификация попеременно-треугольного метода — сопряженных
градиентов позволяет исключить при реализации умножение матрицы А
на вектор и не вычислять wk в B5)—B7). Принимая во внимание B3),
из B5) получим
wk = и~\иТ1гк. B8)
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 651
С учетом B8) введем новые вектора
Ук = Uyk, rk = (U*ylrk = Uwk,
Як = Uqk, tk = (UTlAqky к = 0, 1,... .
Принимая во внимание B2) и B3), для tk имеем
= (UTl (U* + Ф- 2Е) + и)и~% =
= и~% + (U*yl(qk + (D- 2E)U-%). C0)
С учетом введенных обозначений из B4) умножением слева на U получим
Ш+\ =Ук+ <**?*> * = 0,1,...,
ft = r0, C1)
qk = rk+pkqk.u k= 1,2,... .
Аналогично, домножая B7) слева на (U*)~l, получим
rk = ?*-i - ак^Тк.и к = 1,2,... . C2)
Для вычисления вектора Тк из C0) имеем
b = irlqk + (iryl(qk + 0-2E)irln), * = 0,lf... . C3)
Для итерационных параметров /3* и а* из B6) получим
(П,гк)
j? х—т, Л =1,2...,
М"-1' C4)
Приведенные расчетные формулы C1)—C4) показывают, что переход
с одной итерации на другую осуществляется фактически на основе ре-
решения двух систем уравнений с матрицами U и U* (при вычислении Тк
согласно C3)) и вычисления двух скалярных произведений при расчете
итерационных параметров согласно C4).
В подпрограмме SOLVE1 реализован вариант попеременно-треуголь-
попеременно-треугольного итерационного метода — метод приближенной факторизации
(см. п. 4.7).
Алгоритм реализации попеременно-треугольного метода — сопря-
сопряженных градиентов в соответствии с C0)-C4) состоит в следующем.
1. Вычисление элементов диагональной матрицы G^2.
2. Переход от задачи A7), A8) к задаче B1), B2).
D := G~]/2DG~l/2 - 2#,
41*
652 Глава 13. Примеры численного моделирования
3. Начальное приближение.
*: = <У1/2У,
У : = Уо = Uy0.
4. Начальная невязка.
: = (fo,ro) = (/,/),
rr : = rrO,
rri: = 0,
пй: = 0.
5. Начало очередной итерации.
pk := rr * rri,
rri := 1/rr.
6. Решение системы уравнений с верхне-треуголъной матрицей.
q := gfe = / + /?* * q,
t:=U~]q.
7. Решение системы уравнений с нижне-треугольной матрицей.
8. Пересчет итерационного приближения к решению модифицированной
системы и невязки.
У := У + oik * g,
/ := г* = / - а* * t,
гг:= (г*,г4) = (/,/),
mY := пй + 1,
rt/?w необходимости продолжить итерации
go to 5.
9. Обратное масштабирование (искомое приближенное решение).
Ниже приведен текст программы SOLVE 1, реализующей описан-
описанный алгоритм итерационного попеременно-треугольного метода — со-
сопряженных градиентов в варианте приближенной факторизации. Выбор
матрицы G в A9) подчинен (см. п. 4.7) равенству строчных сумм
Be = 4e,
где вектор е = A,1,..., 1).
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 653
SUBROUTINE SOLVE1 ( N, L, A, Y, F, EPS )
С
С SOLVE 1 — Подпрограмма решения системы линейных уравнений
С пятиточечной разностной схемы для самосопряженного
С двумерного эллиптического уравнения второго
С порядка с переменными коэффициентами
С в прямоугольнике.
С Реализован попеременно-треугольный метод
С приближенной факторизации — сопряженных
С градиентов.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION A(l), Y(N), F(N)
С
С Параметры
С
С N — порядок системы (число узлов сеточного прямоугольника);
С L — полуширина ленты пятидиагональной матрицы системы
С (число узлов сеточного прямоугольника по первому
С направлению);
С А — массив, в котором задаются элементы симметричной
С пятидиагональной матрицы тремя диагоналями:
С главной, верхней соседней и верхней удаленной,
С что соответствует коэффициентам разностных уравнений,
С действующих на компоненты сеточных функций в
С центральном, соседнем справа и соседнем сверху узлах
С пятиточечного шаблона; вслед за коэффициентами в
С массиве а будут расположены векторы, изпользуемые
С на итерациях;
С Y — массив, содержащий на входе начальное приближение
С и на выходе — итоговое итерационное приближение к
С решению;
С F — массив, содержащий на входе правую часть системы;
С EPS — параметр, задающий относительную точность
С итогового итерационного приближения к решению.
С
С Описание фрагментов массива А:
С
С Элементы главной диагонали располагаются в компонентах
С с 1-й по N-ю.
С
I1R = N + 1
С
С Элементы соседней верхней диагонали располагаются
654 Глава 13. Примеры численного моделирования
С в компонентах с AШ+1)-й по (IlR+N-l)-io:
С
I2R = 2*N + L
С
С Элементы удаленной верхней диагонали располагаются
С в компонентах с (I2R+l)-u no (I2R+N-L)-k>:
С
IG = 3*N + L
IT = IG + N
ITL = IT + L
IQ = IT + N + L
С
С Указатели IG, IT, ITL, IQ используются для обращения
С к фрагментам массива А, расположенным вслед за
С коэффициентами системы.
С
С Реализация алгоритма SOLVE 1.
С
С 1. Вычисление элементов диагонального множителя
С матрицы приближенной факторизации;
С
DO 10 J = 1, N
G = A(J) - A(I1R+J-1)*A(IT+J-1)*(A(I1R+J-1))
+ A(I2R+J-1))
* - A(I2R+J-L)*A(IT+J-L)*(A(I1R+J-L))
+ A(I2R+J-L))
A(IT+J) = 1.D0 / G
A(IG+J) = DSQRT(A(IT+J))
10 CONTINUE
С
С 2. Масштабирование матрицы системы диагональной матрицей;
С
DO 20 J = 1, N
A(J).= A(IG+J)*A(J)*A(IG+J) - 2.D0
A(I1R+J) = A(IG+J)*A(I1R+J)*A(IG+J+1)
A(I2R-f J) = A(IG-f J)*A(I2R+J)*A(IG+J+L)
20 CONTINUE
С
С З. Масштабирование начального приближения
С верхне-треугольно'й матрицей;
С
DO 30 J = N, 1, -1
A(ITL+J) = Y(J) / A(IG+J)
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 655
Y(J) = A(ITL+J) - A(I1R+J)*A(ITL+J+1)
- A(I2R+J)*A(ITL+J+L)
30 CONTINUE
С
С 4. Вычисление начальной невязки на месте правой части;
С
RR0 = 0.D0
DO 40 J = 1,N
A0T+J) = F(J)*A(IG+J) - A(J)*A(ITL+J) - Y(J)
* + A(I1R+J-1)*A(IT+J-1) + A(I2R+J-L)*A(IT+J-L)
F(J) = A(IT+J) - A(ITL+J)
RRO = RRO + F(J)*F(J)
40 CONTINUE
С
NIT = 0
RR = RRO
RRI = 0.D0
С
С 5. Выполнение очередной итерации;
С
50 CONTINUE
С
ВК = RR*RRI
RRI = 1.D0 / RR
С
С 6. Решение системы с верхне-треугольной матрицей;
С
DO 60 J = N, 1, -1
A0Q+J) = F(J) + BK*A(IQ+J)
A(ITL+J) = A(IQ+J) + A(I1R+J)*A(ITL+J+1)
+ A(I2R+J)*A(ITL+J+L)
60 CONTINUE
С
С 7. Решение системы с нижне-треугольной матрицей;
С
TQ = 0.D0
DO 70 J = 1, N
G = A(ITL+J)
A0TL+J) = A0Q+J) + A(J)*G + A(I1R+J-1)*A(ITL+J-1)
* + A(I2R+J-L)*A(ITL+J-L)
A(IT+J) = G + A(ITL+J)
TQ = TQ + A(IT+J)*A(IQ+J)
70 CONTINUE
656 Глава 13. Примеры численного моделирования
АК = RR / TQ
С
С 8. Пересчет итерационного приближения к решению
С и невязке;
С
RR = 0.D0
DO 80 J = 1,N
Y(J) = Y(J) + AK*A(IQ+J)
F(J) = F(J) - AK*A(IT+J)
RR = RR + F(J)*F(J)
80 CONTINUE
С
С Выполнение очередной итерации завершено.
С
NIT = NIT + 1
EPSNIT = DSQRT( RR/RR0 )
С
WRITE ( 06, 100 ) NIT, EPSNIT
С
IF ( EPSNIT .GT. EPS ) GO TO 50
С
С 9. Обратное масштабирование решения
С верхне-треугольной матрицей;
С
DO 90 J = N, 1, -1
A(ITL+J) = Y(J) + A(I1R+J)*A(ITL+J+1)
+ A(I2R+J)*A(ITL+J+L)
Y(J) = A(IG+J)*A(ITL+J)
90 CONTINUE
С
100 FORMAT ( ' NIT = ', 13, ' EPSNIT = ', D12.3 )
С
RETURN
END
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 657
DOUBLE PRECISION FUNCTION К ( XI, Х2 )
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
REAL*8 KAPPA
С
COMMON / T01 / X1L, X1D, X1R,
* X2L, X2D, X2R,
* KAPPA, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
К = 1.D0
IF ( XI .LE. X1D .AND. X2 .LE. X2D ) К = KAPPA
С
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION Kl ( XI, X2 )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 K, KAPPA
С
COMMON / T01 / X1L, X1D, X1R,
* X2L, X2D, X2R,
* KAPPA, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
Kl = 0.5D0*( K(Xl,X2-0.5D0*H2) + K(Xl,X2+0.5D0*H2)
С
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION K2 ( XI, X2 )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 K, KAPPA
С
COMMON / T01 / X1L, X1D, X1R,
* X2L, X2D, X2R,
* KAPPA, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
K2 = 0.5D0*( K(X1-O.5DO*H1,X2) + K(X1+O.5DO*H1,X2)
С
RETURN
END
658 Глава 13. Примеры численного моделирования
13.1.5. Программа
Для решения задачи теплопроводности в кусочно-однородном теле
использовалась программа TEST01. Она основывается на использовании
подпрограммы FDS01 для формирования сеточной задачи и подпро-
подпрограммы SOLVE1 для итерационного решения сеточной задачи. Поэтому
ограничимся лишь приведением самого текста расчетной программы.
PROGRAM TEST01
С
С TEST01 — Стационарная теплопроводность в кусочно-
С однородном теле прямоугольного сечения.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAI/8 KAPPA
С
PARAMETER ( IDIM = 50000 )
С
DIMENSION A(IDIM)
С
С Длина массива А должна быть достаточной для размещения
С коэффициентов симметричной матрицы разностной задачи,
С заданной главной АО, соседней верхней А1 и удаленной
С верхней А2 диагоналями, векторов решения Y и правой части F,
С а также векторов, участвующих в итерационном алгоритме
С решения разностного уравнения (см. алгоритм SOLVE1).
С
С Способ размещения указанных фрагментов в массиве А,
С описываемый ниже, позволяет избежать в алгоритме
С SOLVE 1 специального рассмотрения компонент векторов
С и строк матриц, соответствующих граничным узлам
С сеточного прямоугольника.
С
С Если N — число компонент вектора неизвестных разностной
С задачи, то размещение фрагментов описывается списком
С эквивалентностей:
С
С EQUIVALENCE ( АA), АО ),
С * ( A(N+2), A1 ),
С * ( AB*N+N1+1), A2 ),
С * ( AG*N+1), Y ),
С * ( A(8*N+1), F )
С
COMMON / T01 / X1L, X1D, X1R,
* X2L, X2D, X2R,
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 659
* KAPPA, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
С Ввод данных задачи:
С
С X1L, X2L — координаты левого нижнего угла
С расчетной прямоугольной области;
С X1R, X2R — координаты правого верхнего угла;
С X1D, X2D — координаты правого верхнего угла
С подобласти;
С КАРРА — безразмерное отношение коэффициентов
С теплопроводности;
С BI — число Био;
С N1, N2 — число узлов сетки по соответствующим
С направлениям;
С EPS — требуемая относительная точность
С итерационного приближения к решению.
С
X1L = 0.D0
X1D = 0.5D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
X2D = 0.5D0
X2R = 1.D0
КАРРА = 100.D0
BI = 10.D0
N1 = 51
N2 = 51
EPS = 1.D-6
С
OPEN ( 06, FILE = 'R01.PTC )
С
DO 1 I = 1, IDIM
A(I) = 0.D0
1 CONTINUE
С
N = N1*N2
С
С В подпрограмме FDSO11 определяются центральный АО,
С правый А1 и верхний А2 коэффициенты разностной
С схемы на пятиточечном шаблоне и правая часть F.
С
CALL FDS01 ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1), A(8*N+1) )
660 Глава 13. Примеры численного моделирования
С В подпрограмме SOLVE 1 находится решение разностной
С задачи итерационным попеременно-треугольным методом
С приближенной факторизации — сопряженных градиентов.
С Начальное приближение передается в массиве А,
С начиная С G*N+l)-ii компоненты; на этом же месте
С на выходе содержится итерационное приближение С
С относительной точностью EPS.
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, A(l), AG*N+1), A(8*N+1), EPS )
С
OPEN ( 01, FILE = 'R01.DAT' )
WRITE ( 01,* ) (AG*N+I), 1=1,N)
CLOSE ( 01 )
С
CLOSE ( 06 )
С
STOP
END
Подпрограммы-функции К, Kl, K2 используются для вычисления
коэффициентов разностной задачи в соответствии с A1), A2).
13.1.6. Примеры расчетов
По приведенной программе выполнены методические расчеты, кото-
которые направлены на исследование как самих вычислительных алгоритмов,
так и зависимости самого решения от физических параметров.
На рис. 13.2 представлена зависимость погрешности приближенного
решения задачи A), C), F)-(9) в единичном квадрате от номера итерации.
Данные приведены для варианта ся=10иВ1=10на трех различных
сетках. Начальное приближение в расчетах уо(х) = 0, х ? п. Величина
относительной погрешности на итерации определяется отношением
На рис. 13.2 кривая 1 соответствует расчетам на сетке 26 х 26, кривая 2 —
на в два раза более подробной сетке E1 х 51), кривая 3 — 101 х 101.
Данные демонстрируют теоретическую зависимость числа итераций
попеременно-треугольного метода от числа узлов сетки (см. п. 4.7) —
при увеличении числа узлов по каждой переменной в четыре раза, число
итераций увеличивается примерно в два раза.
13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 661
Рис. 13.2
Рис. 13.3
и(х)
0.0
00
Рис. 13.4
Рис. 13.5
На других рисунках представлены изотермы и(х) = const с шагом
6и = 0,05 при различных значениях определяющих параметров задачи.
Расчеты выполнены на квадратной сетке 51 х 51. На рис. 13.3 представлено
поле температур в задаче ся=10иВ1=10.
Влияние изменения безразмерного числа к (теплопроводности в под-
подобласти п1) иллюстрируется рис. 13.4, когда к = 0,1 и Bi = 10. При к -* 0
реализуется граничное условие первого рода на внутренней границе
включения п1. Этот случай соответствует использованию метода фиктив-
фиктивных областей (см. п. 4.8) при решении задачи Дирихле в нерегулярной
области п". Аналогично при к —> 0 реализуются однородные условия
Неймана на внутренней границе включения. Изменение теплового режи-
режима на границе прослеживается на рис. 13.5, где ас = 10 и Bi = 0,5.
662
Глава 13. Примеры численного моделирования
13.1.7. Задачи
Задача 1. На основе приведенной программы проведите вычислитель-
вычислительные эксперименты по исследованию скорости сходимости итерацион-
итерационного попеременно-треугольного метода — сопряженных градиентов от:
(а) изменения безразмерного коэффициента теплопроводности к;
(б) изменения числа Био\
(в) изменения числа узлов по отдельным направлениям.
Задача 2. Проведите численное исследование теплового состояния
твердого тела с включением в широких пределах изменения:
(а) геометрии тела (I2) и его включения;
(б) теплофизических характеристик включения (ас);
(в) граничных режимов (Bi).
13.2. Затвердевание расплава
в полости прямоугольной формы
13.2.1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу затвердевания чистого материала, который запол-
заполняет полость прямоугольного сечения. Будем считать, что полость под-
поддерживается при постоянной темпе-
температуре окружающей среды, верхняя
поверхность расплава контактирует
с атмосферой (рис. 13.6).
Тепловое состояние затвердева-
затвердевающего расплава с учетом энталь-
энтальпии фазового перехода описывается
уравнением теплопроводности в ви-
виде (см. п. 2.3 и главу 7)
Рис. 13.6
?
= о,
(I)
где и* — температура, а Л-энтальпия фазового перехода. Для простоты
ограничимся случаем, когда коэффициенты теплоемкости и теплопровод-
теплопроводности постоянны в твердой и жидкой фазах и не меняются при фазовом
превращении.
В силу симметрии достаточно рассмотреть задачу в половине сечения
П= {х \х = (хих2)} 0<xa<la, a = 1,2}.
13.2. Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы 663
Поэтому на левой границе имеем
-1 = о, хх = 0, 0 < х2 < h. B)
ОХ\
Допуская неидеальный контакт с полостью, на правой и нижней границах
зададим граничное условие третьего рода:
Ь^ + *\(и-ис) = 0, xx=lu 0<я2</2, C)
ОХ\
-&-^- + ai(u-ue) = 0, z2 = 0, 0 < я?1 < li, D)
0X2
где ис = const < и* — температура окружающей среды. В C), D) а\ Ф оо
соответствует случаю неидеального контакта затвердевающего расплава
с границей полости. На верхней границе имеет место аналогичное гра-
граничное условие с коэффициентом конвективного теплообмена <т2 «С <Т\:
к-г^- + (Т2(и - ис) = 0, ж2 = /2, 0<a?i<Ji. E)
ОХ-1
Будем считать, что расплав заливается при некоторой температуре и0
(и0 = const > и*), т. е. начальное условие имеет вид
Ф,о) = и°, хеп. F)
В принятом приближении Стефана граница фазового перехода S = S(t)
в каждый момент времени определяется следующим образом:
5 = {х | х е ft, ф, 0 = и*}.
Уравнение A) с условиями B)-F) полностью описывает темпера-
температурное поле при затвердевании расплава. Сформулируем поставленную
задачу в безразмерных переменных. Как обычно, для безразмерных вели-
величин используются те же обозначения что и для размерных.
Обезразмеривание проведем на 1\, безразмерную температуру опреде-
определим отношением (и-и*)/(и*-ис). Задача характеризуется безразмерными
числами Стефана и Био:
Ste=-7- г, Вм = —-, Bi2 = .
с(и* -ис) к к
В безразмерных переменных уравнение A) принимает вид
A + Ste 6(и))^ - Y1 Й = °> xeU> t>0'
Граничное и начальное условия B), F) остаются, а C)-E) дают
^- + Bi,(t*+l) = O, ж, = 1, 0<ж2</2, (8)
дх\
664 Глава 13. Примеры численного моделирования
-^- + Bi1(u+l) = O, ж2 = 0, 0 < ж, < 1, (9)
ОХ2
ди
— + В12(гл-Ь 1) = О, х2 = 12, 0<х,<1. A0)
Поставленная задача характеризуется параметрами 12, и0, Ste, Bii, Bi2.
13.2.2. Разностная схема
Для численного решения задачи B), F), G)—A0) используем раз-
разностную схему сквозного счета со сглаживанием коэффициентов, рас-
рассмотренную в п. 7.2. Вместо G) используется уравнение
^|4 0, хеп, *>0, (И)
где 6(и, А) аппроксимирует ?-функцию. В приведенных ниже расчетах
использовалась
0, |и| > Д.
Для решения задачи F), G)-A2) на обычной равномерной разност-
разностной сетке в прямоугольнике п применялась линеаризованная разностная
схема с весами:
Ъ(уп)Уп+]~Уп + ЛИп+1 + A - а)уп) = <рП1
хеш, п = о, 1,... .
В A3)
), A4)
а разностный оператор Л во внутренних узлах сетки задается следующим
образом:
а=1
Для граничных узлов используются аппроксимации, аналогичные приве-
приведенным в п. 13.1. Правая часть A3) отлична от нуля только в граничных
узлах и обусловлена неоднородными граничными условиями (8)—A0).
Для определения решения на верхнем слое из A3) получим сеточное
эллиптическое уравнение
п = о, 1,... .
13.2. Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы 665
Эта задача записывается на пятиточечном шаблоне в симметричном виде
(см. A6) из п. 13.1). Формирование коэффициентов этой сеточной задачи
проводится в подпрограмме FDS02, по тексту которой легко прослежива-
прослеживаются используемые аппроксимации, в частности, на различных сторонах
границы и в угловых точках расчетной области. Сеточная задача A5)
на каждом шаге по времени решается итерационно. Ниже приведен текст
этой подпрограммы.
SUBROUTINE FDS02 ( АО, Al, A2, Y, F )
С
С FDSO2 — Подпрограмма формирования системы линейных
С уравнений для разностной задачи на каждом
С временном слое.
С B(Y) — Подпрограмма вычисления значений
С эффективной теплоемкости.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), Y(N1,N2),
F(N1,N2)
COMMON / T02FDS / N1, N2, HI, H2, BI1, BI2,
* SIGMA, S21, S12,
* SC, SC21, SC12
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
BIJ = B(Y(I,J))
A1(I-1,J) = S21
A1(I,J) = S21
A2(I,J-1) = S12
A2(I,J) = S12
A0(I,J) = A1(I-1,J) + A1(I,J) + A2(I,J-l) + A2(I,J)
* + BIJ
F(I,J) = SC21*( Y(I+l,J)+Y(I-l,J)-2.D0*Y(I,J) )
+ SC12*( Y(I,J+l)+Y(I,J-l)-2.D0*Y(I,J) )
* + BIJ*Y(I,J)
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Левая граница: краевое условие второго рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
BIJ = 0.5D0*B(Y(l,J))
1,J-1) = 0.5D0*S12
666 Глава 13. Примеры численного моделирования
A2A,J) = 0.5D0*S12
AOA,J) = A1A,J) + A2A,J-1) + A2A,J)
* + B1J
FA,J) = SC21*( YB,J)-YA,J) )
* + 0.5D0*SC12*( Y(l,J+l)+Y(l,J-l)-2.D0*Y(l,J) )
* + B1J*YA,J)
30 CONTINUE
С
С Нижняя граница: краевое условие третьего рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
ВП = 0.5D0*B(Y(I,l))
A,1) = 0.5D0*S21
) = 0.5D0*S2I
A0(I,l) = Al(I-l.l) + Al(I,l) + A2(I,1)
* + BI1 + H1*BI1*SIGMA
F(I,1) = 0.5D0*SC21*(
+ SC12*( () )
* + BI1*Y(I,1) - H1*BI1*( SC*Y(I,l)+l.D0 )
40 CONTINUE
С
С Верхняя граница: краевое условие третьего рода
С
DO 50 I = 2, N1-1
BIN2 = 0.5D0*B(Y(I,N2))
A1(I-1,N2) = 0.5D0*S21
A1(I,N2) = 0.5D0*S2l
A2(I,N2) = 0.D0
A0(I,N2) = A1(I-1,N2) + A1(I,N2) + A2(I,N2-1)
* + BIN2 + H1*BI2*SIGMA
F(I,N2) = 0.5D0*SC2l*( Y(I+l,N2)+Y(I-l,N2)-2.D0*Y(I,N2)
+ SC12*( Y(I,N2-1)-Y(I,N2) )
* + BIN2*Y(I,N2) - H1*BI2*( SC*Y(I,N2)+l.D0 )
50 CONTINUE
С
С Правая граница: краевое условие третьего рода
С
DO 60 J = 2, N2-1
BN1J = O.5DO*B(Y(N1,J))
A1(N1,J) = 0.D0
A2(N1,J-1) = 0.5D0*S12
A2(N1,J) = 0.5D0*S12
A0(Nl,J) = A1(N1-1,J) + A2(N1,J-1) + A2(N1,J)
* + BN1J + H2*BIl*SIGMA
13.2. Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы 667
F(N1,J) = SC21*( Y(N1-1,J)-Y(N1,J) )
+ 0.5D0*SC12*( Y(N1,J+1)+Y(N1,J-1)-2.DO*Y(N1,J) )
* + BN1J*Y(N1,J) - H2*BI1*( SC*Y(N1,J)+1.DO )
60 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
В11 = 0.25D0*B(Y(l,l))
() () ()
* + В11 + 0.5D0*Hl*BIl*SIGMA
F(l,l) = 0.5D0*SC21*( YB,l)-Y(l,l) )
* + 0.5D0*SC12*( Y(l,2)-Y(l,l) )
* 4- B11*YA,1) - 0.5D0*Hl*BIl*( SC*Y(l,l)+l.D0 )
С
С Левый верхний угол
С
B1N2 = 0.25D0*B(Y(l,N2))
A0(l,N2) = A1A,N2) + A2(i,N2-l)
* + B1N2 + O.5DO*H1*BI2*SIGMA
FA,N2) = 0.5D0*SC21*( YB,N2) -YA,N2) )
* + 0.5D0*SC12*( YA,N2-1)-YA,N2) )
* + B1N2*YA,N2) - O.5DO*H1*BI2*( SC*Y(l,N2)+l.D0 )
С
С Правый нижний угол
С
BN11 = 0.25D0*B(Y(Nl,l))
AO(N1,1) = A1(N1-1,1) + A2(N1,1)
* + BN11 + O.5DO*(H1+H2)*BI1*SIGMA
F(N1,1) = 0.5D0*SC21*( Y(N1-1,1)-Y(N1,1) )
* + 0.5D0*SC12*( Y(N1,2)-Y(N1,1) + BN11*Y(N1,1) )
* - O.5DO*(H1+H2)*BI1*( SC*Y(N1,1)+1.DO )
С
С Правый верхний угол
С
BN1N2 = 0.25D0*B(Y(Nl,N2))
AO(N1,N2) = Al(Nl-l,N2) -f A2(N1,N2-1)
* -1- BN1N2 + 0.5D0*( H1*BI2+H2*BI1 )*SIGMA
F(N1,N2) = 0.5D0*SC21*( Y(N1-1,N2)-Y(N1,N2) )
* + 0.5D0*SC12*( Y(N1,N2-1)-Y(N1,N2) )
* + BNIN2*Y(N1,N2) - 0.5D0*( H1*BI2+H2*BI1 )
*( SC*Y(N1,N2)+LDO )
RETURN
END
*
668 Глава 13. Примеры численного моделирования
13.2.3. Программа
Реализация линеаризованной схемы A3) для приближенного реше-
решения задачи Стефана B), F)—A0) осуществляется программой TEST02.
На каждом временном слое решается сеточная эллиптическая задача A4).
Для этого используется подпрограмма SOLVE1, реализующая поперемен-
попеременно-треугольный итерационный метод приближенной факторизации —
сопряженных градиентов. Подробное описание алгоритма и подпрограм-
подпрограммы SOLVE 1 дано в п. 13.1.
PROGRAM TEST02
С
С TEST02 — затвердевание расплава в полости
С прямоугольной формы.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
С
PARAMETER ( IDIM = 50000 )
С
DIMENSION A(IDIM)
С
С Длина массива А должна быть достаточной для размещения
С коэффициентов симметричной матрицы разностной задачи,
С заданной главной АО, соседней верхней А1 и удаленной
С верхней А2 диагоналями, векторов решения Y и правой части F,
С а также векторов, участвующих в итерационном алгоритме
С решения разностного уравнения (см. алгоритм SOLVE1).
С
С Способ размещения указанных фрагментов в массиве А,
С описываемый ниже, позволяет избежать в алгоритме
С SOLVE 1 специального рассмотрения компонент векторов
С и строк матриц, соответствующих граничным узлам
С сеточного прямоугольника.
С
С Если N — число компонент вектора неизвестных разностной
С задачи, то размещение фрагментов описывается списком
С эквивалентностей:
С
С EQUIVALENCE ( АA), АО),
С * ( A(N+2), A1 ),
С * ( AB*N+N1+1), A2 ),
С * ( AG*N+1), Y ),
С * ( A(8*N+1), F )
С
COMMON / T02FDS / N1, N2, HI, Н2, ВП, BI2,
13.2. Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы 669
* SIGMA, S21, S12,
* SC, SC21, SC12
COMMON / Т02В / DEL, HHT, SHHTE
С
С Ввод данных задачи:
С
С X1L, X2L — координаты левого нижнего угла
С расчетной прямоугольной области;
С X1R, X2R — координаты правого верхнего угла;
С ВП, BI2 — Числа БИО;
С STE — Число Стефана;
С DEL — полуширина сглаживания дельта-функции;
С SIGMA — весовой множитель в разностной схеме;
С N1, N2 — число узлов сетки по соответствующим
С направлениям;
С EPS — требуемая относительная точность
С итерационного приближения к решению;
С TAU — шаг по времени.
С
X1L = 0.D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
X2R = 1.D0
ВИ = 100.D0
BI2 = 0.5D0
STE = 0.25D0
DEL = 0.04D0
N1 = 51
N2 = 51
EPS = l.D-2
SIGMA = 1.D0
UO = 0.25D0
TAU = 0.001D0
M = 25
С
OPEN @1, FILE = 'R02.DAT' )
С
OPEN ( 06, FILE = 'R02.PTC )
С
DO 10 I = 1, IDIM
A(I) = 0.D0
10 CONTINUE
С
N = N1*N2
670 Глава 13. Примеры численного моделирования
DO 20 I = 1, N
AG*N+I) = U0
20 CONTINUE
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
H2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
S21 = SIGMA*H2/H1
SI 2 = SIGMA*H1/H2
SC = 1.D0 - SIGMA
SC21 = SCH2/H1
SC12 = SCH1/H2
HHT = H1*H2 / TAU
SHHTE = HHT*( l.D0+0.5D0*STE/DEL )
С
NTAU = 0
MTAU = 0
С
30 CONTINUE
С
С В подпрограмме FDS02 определяются центральный АО,
С правый А1 и верхний А2 коэффициенты разностной
С схемы на пятиточечном шаблоне и правая часть F.
С
CALL FDS02 ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1),
AG*N+1), A(8*N+1) )
С
С В подпрограмме SOLVE1 находится решение разностной
С задачи итерационным попеременно-треугольным методом
С приближенной факторизации — сопряженных градиентов.
С начальное приближение передается в массиве А,
С начиная с G*N+l)-u компоненты; на этом же месте
С на выходе содержится итерационное приближение с
С относительной точностью EPS.
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, A(l), AG*N+1), A(8*N+1), EPS )
С
NTAU = NTAU + 1
MTAU = MTAU + 1
С
С Запись решения в момент времени Т
С
IF ( MTAU .EQ. M ) THEN
Т = NTAU*TAU
13.2. Затвердевание расплава в полости прямоугольной формы 671
WRITE ( 01,* ) Т
WRITE ( 01,* ) (AG*N+I), 1=1,N)
MTAU = 0
END IF
С
DO 40 I = 1,N
IF ( AG*N+I) .GE. 0.D0 ) GO TO 30
40 CONTINUE
С
С Запись решения на момент полного затвердевания
С
Т = NTAU*TAU
WRITE ( 01,* ) Т
WRITE ( 01,* ) (AG*N+I), 1=1,N)
С
CLOSE ( 01 )
С
CLOSE ( 06 )
С
STOP
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION В ( U )
REAL*8 U, DEL, HHT, SHHTE
С
COMMON T02B DEL, HHT, SHHTE
С
В = HHT
IF ( DABS(U) .LE. DEL ) В = SHHTE
С
RETURN
END
Подпрограмма-функция В используется для вычисления эффектив-
эффективного коэффициента теплоемкости в соответствии с A4).
13.2.4. Примеры расчетов
Приведем некоторые данные характерных расчетов, для выполнения
которых использовалась описанная программа. В рассматриваемой задаче
Стефана интерес, прежде всего, представляет динамика границы фазового
перехода и, в частности, время полного затвердевания.
672
Глава 13. Примеры численного моделирования
u(xj)
Рис. 13.7
Рис. 13.8
u(x,t)
0.0
00
Рис. 13.9
Рис. 13.10
На рис. 13.7 представлены изотермы и(х, t) = const через 6и = 0,1
на момент времени t = 0,05 для задачи B), F)—A0) при В\\ = 100,
Bi2 = 0,5, Ste = 0,25. Начальная температура расплава и0 = 0,25. Расчеты
выполнены на сетке 51 х 51 для шага по времени г = 0,001, полуширине
сглаживания ^-функции Д = 0,04. Использовалась чисто неявная лине-
линеаризованная схема, т.е. в A3) а = 1. Для этого же варианта на рис. 13.8
представлена граница фазового перехода на различные моменты времени,
через 6t — 0,025. Время полного затвердевания расплава «0,18.
Влияние энтальпии фазового перехода (числа Стефана) иллюстри-
иллюстрируется рис. 13.9. Здесь, в отличие от рис. 13.8, Ste = 0,5. Изменение
энтальпии фазового перехода существенно влияет на процесс затвердева-
затвердевания, при увеличении Ste возрастает время затвердевания.
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 673
Представляет интерес исследование влияния условий охлаждения.
На рис. 13.10 представлены границы затвердевания для задачи, когда
в отличие от рис. 13.8 Bi2 = 0,25. Уменьшение интенсивности теплообме-
теплообмена с верхней границы замедляет образование затвердевшей корки на этом
участке границы.
Приведенная программа позволяет провести численное исследование
процесса кристаллизации или плавления в различных технологических
условиях.
13.2.5. Задачи
Задача 1. Проведите исследование времени затвердевания при изме-
изменении следующих вычислительных параметров:
(а) числа узлов по пространственным переменным;
(б) шага сетки по времени;
(в) веса а разностной схемы;
(г) полуширины сглаживания 6-функции А;
(д) относительной точности итерационного процесса е.
Задача 2. Исследуйте влияние на процесс затвердевания:
(а) высоты полости 12;
{б) начальной температуры расплава и0;
(в) энтальпии фазового перехода (Ste);
(г) условий охлаждения (Bib В1г).
13.3. Переизлучение в твердом теле
с невыпуклым сечением
13.3.1. Постановка задачи
Рассмотрим модельную (см. п. 8.3, 8.4) задачу теплообмена тепло-
теплопроводностью и излучением для твердого тела с невыпуклым L -образным
сечением П. Расчетная область п состоит (рис. 13.11) из двух прямоуголь-
прямоугольников:
П = П'иП", П' = {х \х = (хих2), 0<ха<1'ау а =1,2},
п" = {х\х = {хих2), 0<ха<С а =1,2}.
Невыпуклую часть границы обозначим
7 = 7'U7",
где
У = {х|хедп, хх = I',}, j" = {x\xeдп, х2 = i{)
44 Зак 168
674
Глава 13. Примеры численного моделирования
Будем исследовать установившуюся температуру твердого тела с се-
сечением п в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой
постоянной температуры ис, когда на-
нагрев тела обусловлен объемными ис-
источниками. Основной вопрос связан
с учетом переизлучения на невыпу-
невыпуклой части границы j.
Стационарное поле в изотропном
твердом теле описывается уравнением
х е
Рис. 13.11 где f(x) — плотность объемных ис-
источников тепла.
Потери тепла на границе обусловлены конвективным теплообменом
с окружающей средой и излучением. Пренебрегая излучением окружаю-
окружающей среды, получим
an
B)
где (Т\ — коэффициент конвективного теплообмена, a q(x) определяет
радиационный поток.
На выпуклой части границы имеем
q(x) = qo(x1uI ЖЕГ, C)
где
qo(xy и) = <т2и (ж), D)
а бг2 — излучательная способность тела.
На невыпуклой части границы 7 имеем
q(x) = д_(ж) - q+(x),
где q~(x) — поток испускаемого излучения, a q+(x) — поток падающего
излучения (q(x) — результирующий поток). При заданных температурах
q~(x) определяется из интегрального уравнения
~ X J
= qQ(x, и),
E)
где х — коэффициент отражения. Ядро этого интегрального уравнения
определяется (см. п. 2.5, 8.3) выражением
G(x, 0 = — г cos (n(a), r) cos (n((), г), F)
7ГГ^Ж, S)
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 675
где г (ж, 0 — расстояние между точками х и ?, a cos (п(ж), г) — косинус
угла между нормалью к 7 в точке х и отрезком, соединяющим х и f.
Для д+(ж) имеем выражение
х G 7-
Сформулируем задачу A)-F) в безразмерных переменных. Будем
считать, что твердое тело однородно (&(ж) = А; = const), а тепловые
источники распределены равномерно (f(x) = / = const). В качестве
характерного линейного размера возьмем I", безразмерную температу-
температуру определим как отношение и/ис. Тогда в безразмерных переменных
уравнение теплопроводности примет вид
а=1
где Os — число Остроградского:
о.-.
kuc
Интенсивность контактного теплообмена характеризуется числом Био:
Мерой отношения переноса тепла излучением к потоку тепла за счет
теплопроводности служит число Кирпичева
Ki =
к
Граничное условие B) в безразмерных переменных примет вид
-^ + В1(и - 1) + Ki q(x) = 0, хе дп, (8)
дп
где радиационный поток определяется согласно C) на Г и из интеграль-
интегрального уравнения E) на у, причем теперь
qo(x,u) = u\x). (9)
Поставленная задача C), E), G)-(9) является нелинейной и характе-
характеризуется следующими основными безразмерными параметрами: Os, Bi,
Ki, ас. Ее основная особенность заключается в нелокальности граничных
условий на 7-
44*
676
Глава 13. Примеры численного моделирования
13.3.2. Разностная задача
Для численного решения задачи введем равномерную сетку с ша-
шагами fti, h2 по пространственным переменным х\ и х2 соответственно.
Будем считать, что сетка согласова-
согласована с границей расчетной области, т. е.
узлы лежат на границе дп. Простей-
Простейший пример такой сетки приведен
на рис. 13.12. Приближенное реше-
решение для температуры обозначим у(х),
а радиационный поток — s(x).
Пусть ш — множество внутрен-
внутренних узлов сетки. Уравнение G) ап-
аппроксимируется на обычном пятито-
—*• чечном шаблоне с помощью разност-
w *i *i *i ного уравнения
Рис. 13.12 _ . v
-ifr,*i - Ух2х2 = Os, xe ш. (ю)
Сеточная задача в граничных узлах записывается с учетом граничных
условий третьего рода (8). Пусть 7л> 7л ~ множество узлов, лежащих
на У и 7" соответственно Gл = 7л и 7л) без узлов A\,1'2)9 A\,1г)-
На нижней части границы области П, аппроксимируя уравнение G)
и условие (8), получим
2
—(-а2(х)уХ2 + Biу) -
2 2
+ — Ki s(x) = — Bi + Os,
x2 = 0, 0 < xx < I".
A1)
Аналогичные аппроксимации используются на других участках границы
и, в частности, в угловых точках.
Разностное уравнение для температуры запишем в виде
Ay + F0(x)s = Fx(x), хеш, A2)
где Л — линейный сеточный оператор, определяемый в соответствии
с A0), A1) и аналогичными соотношениями в других граничных узлах
х G дш = ш \ш = Гд U 7л- Сеточная функция F$(x) отлична от нуля
только в граничных узлах.
Сформулируем теперь разностную задачу для радиационных потоков.
Из C), (9) имеем
a(x) = F2(y)9 xeThi A3)
где
F2(y) = y4(x). A4)
Аппроксимацию интегрального уравнения E) проведем на основе
интегро-интерполяционного метода (более подробно см. п. 8.3). Упоря-
Упорядочим граничные узлы ж,- G 7л, i = 1,2, ...,m и свяжем с каждым
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 677
таким узлом окрестность границы 7л*. К ж,- отнесем половины отрезков,
соединяющих соседние граничные узлы.
При интегрировании интегрального уравнения E) по отмеченным
окрестностям получим
s.(xi) - х X) <PiJs-(xj) = *2@(*i))> » = 1, 2,..., m. A5)
j=\
Для угловых коэффициентов в A5) используются расчетные формулы
следующего вида:
(Pij = / G(x,?)dZdx, mess 7/» = / dx. A6)
mess jhi J J J
Ihi Ihj Ihi
Для результирующего излучения имеем
m
з(х{) = s~(xi) - ^2 tpijs'ixj), i = 1,2,..., m.
Задачу A3)—A6) по вычислению радиационного потока запишем в сле-
следующем операторном виде
(Я-хДM_-ад = 0, хвдш,
5 = 5_, я?ГЛ, A7)
8 = (E-R)s., x6-yh.
Здесь оператор Д отличен от нуля только на множестве граничных
узлов 7л.
Для приближенного решения нелинейной разностной задачи бу-
будем использовать простейший итерационный метод последовательного
уточнения потерь на излучение. В задаче A2), A7) новое приближение
находится из решения задачи
Ayk+l+F0(x)sk=F](x), хеш,
(Е - хд)**+1 - F2(yk+l) = 0, х е дш, A8)
5Л+1 = (Е-ЛM*+1, х€7Л.
Возможности использования других итерационных методов обсуждаются
в п. 8.4.
Ниже приведен текст подпрограммы формирования коэффициентов
разностного уравнения при известном радиационном потоке на границе.
678 Глава 13. Примеры численного моделирования
SUBROUTINE FDS03 ( АО, Al, A2, F, S )
С
С Подпрограмма формирования матрицы (диагонали АО, Al, A2)
С и правой части f линейной системы, соответствующей
С разностному уравнению для температуры при известном
С потоке S.
С
IMPLICIT REAI/8 ( А-Н, O-Z )
REAL*8 KAPPA, KI
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), F(N1,N2)
DIMENSION SB*(NlPP+N2P-2))
С
COMMON / ТОЗ / NIP, N1PP, N2PP, N2P, N1, N2, HI, H2,
* OS, BI, KI,
* Ml, M2, KAPPA,
* NITS3
С
HH = HI * H2
H21 = H2 / HI
H12 = HI / H2
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
A1(I-1,J) = H21
A1(I,J) = H21
A2(I,J-1) = H12
A2(I,J) = H12
A0(I,J) = A1(I-1,J) + A1(I,J) + A2(I,J-1) + A2(I,J)
F(I,J) = HH*OS
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Фиктивные узлы, дополняющие расчетную область
С разностной задачи до сеточного прямоугольника
С
DO 40 J = N2PP+1, N2P
DO 30 I = NIP-fl, N1PP
A1(I,J) = 0.D0
A2(I,J) = 0.D0
A0(I,J) = 1.D0
F(I,J) = 0.D0
30 CONTINUE
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 679
40 CONTINUE
С
С Левый угол исходной невыпуклой области, примыкающий
С к невыпуклой части границы
С
A1(N1P-1,N2P) = 0.5D0*H21
A1(N1P,N2P) = 0.D0
A2(N1P,N2P-1) = 0.5D0*H12
A1(N1P,N2P) = 0.D0
AO(N1P,N2P) = A1(N1P-1,N2P) + A2(N1P,N2P-1)
* + 0.5D0*(Hl+H2)*BI
F(N1P,N2P) = 0.25D0*HH*OS
* + 0.5D0*(Hl+H2)*(BI-KI*S(l))
С
С Верхняя граница исходной невыпуклой области
С
DO 50 I = N1P-1, 2, -1
К = NIP + 1 - I
A1(I-1,N2P) = 0.5D0*H21
A2(I,N2P) = 0.D0
A0(I,N2P) = A1(I-1,N2P) + A1(I,N2P) + A2(I,N2P-1)
* + 0.5D0*Hl*BI
F(I,N2P) = 0.5D0*HH*OS
* + 0.5D0*Hl*(BI-KI*S(K))
50 CONTINUE
С
С Левый верхний угол
С
A2A,N2P-1) = 0.5D0*H12
A2A,N2P) = 0.D0
A0(l,N2P) = A1A,N2P) + A2A,N2P-1)
* + O.5DO*(H1+H2)*BI
FA,N2P) = 0.25D0*HH*OS
* + O.5DO*(H1+H2)*(BI-KI*S(N1P))
с
с
с
Левая граница
DO 60 J =
= N2P-1, 2, -1
К = NIP + N2P - J
A2A,J-1
A0(l,J) =
FA,J) =
*
) = 0.5D0*H12
= A1A,J) + A2A,J-1) -f A2
+ 0.5D0*H2*BI
= 0.5D0*HH*OS
-f 0.5D0*H2*(BI-KI*S(K))
680 Глава 13. Примеры численного моделирования
60 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
) = 0.5D0*H21
)
* + O.5DO*(H1+H2)*BI
F(l,l) = 0.25D0*HH*OS
* + O.5DO*(H1+H2)*(BI-KI*S(N1P+N2P-1))
С
С Нижняя граница
С
DO 70 I = 2, N1PP-1
К = NIP + N2P - 2 + I
) = 0.5D0*H21
* + 0.5D0*Hl*BI
F(I,1) = 0.5D0*HH*OS
* 4- 0.5D0*Hl*(BI-KI*S(K))
70 CONTINUE
С
С Правый нижний угол
С
A1(N1PP,1) = 0.D0
A2(N1PP,1) = 0.5D0*H12
AO(N1PP,1) = A1(N1PP-1,1) 4- A2(N1PP,1)
* + O.5DO*(H1+H2)*BI
F(N1PP,1) = 0.25D0*HH*OS
* + O.5DO*(H1+H2)*(BI-KI*S(N1P+N2P+N1PP~2))
С
С Правая граница
DO 80 J = 2, N2PP-1
К = NIP + N2P + N1PP - 3 + J
A1(N1PP,J) = 0.D0
A2(N1PP,J) = 0.5D0*H12
AO(N1PP,J) = A1(N1PP-1,J) + A2(N1PP,J-1) 4- A2(N1PP,J)
* 4- 0.5D0*H2*BI
F(N1PP,J) = 0.5D0*HH*OS
* + 0.5D0*H2*(BI-KI*S(K))
80 CONTINUE
С
С Правый угол, примыкающий к невыпуклой части границы
С
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 681
A1(N1PP,N2PP) = 0.D0
A1(N1PP-1,N2PP) = 0.5D0*H21
A2(N1PP,N2PP) = O.DO
AO(N1PP,N2PP) = A1(N1PP-1,N2PP) + A2(N1PP,N2PP-1)
* + 0.5D0*(Hl+H2)*BI
F(N1PP,N2PP) = 0.25D0*HH*OS
* + O.5DO*(H1+H2)*(BI-KI*S(N1P+N2P
+ N1PP+N2PP-3))
С
С Горизонтальная сторона невыпуклой части границы
С
DO 90 I = N1PP-1, N1P+1, -1
К = 2*N1PP + NIP + N2P + N2PP - 3 - I
A1(I-1,N2PP) = 0.5D0*H2i
A2(I,N2PP) = O.DO
A0(I,N2PP) = A1(I-1,N2PP) + A1(I,N2PP) + A2(I,N2PP-1)
* + O.5DO*H1*BI
F(I,N2PP) = 0.5D0*HH*OS
* + 0.5D0*Hl*(BI-KI*S(K))
90 CONTINUE
С
С Внутренний угол невыпуклой части границы
С
A2(N1P,N2PP) = 0.5D0*H12
AO(N1P,N2PP) = A1(N1P-1,N2PP) + A1(N1P,N2PP)
* + A2(N1P,N2PP-1) + A2(N1P,N2PP)
* + 0.5D0*(Hl+H2)*BI
F(N1P,N2PP) = 0.75D0*HH*OS
* + O.5DO*(H1+H2)*(BI-KI*SB*N1PP
+N2P+N2PP-3))
С
С Вертикальная сторона невыпуклой части границы
С
DO 100 J = N2PP+1, N2P-1
К = 2*N1PP + N2P - 3 + J
A1(N1P,J) = O.DO
A2(N1P,J) = 0.5D0*H12
AO(N1P,J) = A1(N1P-1,J) + A2(N1P,J-1) -f A2(N1P,J)
* + 0.5D0*H2*BI
F(N1P,J) = 0.5D0*HH*OS
* + 0.5D0*H2*(BI-KI*S(K))
100 CONTINUE
С
С
43 Зак 168
682 Глава 13. Примеры численного моделирования
RETURN
END
В подпрограмме SETS вычисляется радиационный поток Fi(y)
(см. A4)) во всех граничных узлах.
SUBROUTINE SETS ( Y, S, FG )
С
С Подпрограмма вычисления потока на границе исходной
С невыпуклой области без учета переизлучения на
С невыпуклой части границы, где эти значения будут
С использованы как правая часть для решения задачи
С относительно потока, возникающей при аппроксимации
С нелокального краевого условия.
С
С Параметры:
С
С Y — вектор значений температуры;
С S — массив, в который должны быть занесены значения
С потока по всей границе исходной области;
С FG — массив, в который должны быть занесены значения
С потока в узлах, для которых рассматривется
С нелокальное краевое условие.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 KAPPA, KI
С
DIMENSION Y(N1,N2)
DIMENSION SB*(NlPP+N2P-2))
DIMENSION FG(M1+M2)
С
COMMON / ТОЗ / NIP, N1PP, N2PP, N2P, N1, N2, HI, H2,
* OS, BI, KI,
* Ml, M2, KAPPA,
* N1TS3
С
С Левый угол, примыкающий к невыпуклой части границы
С
S(l) = Y(N1P,N2P)**4
С
С Верхняя граница исходной области
С
DO 50 I = N1P-1, 2, -1
К = NIP +1-I
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 683
S(K) = Y(I,N2P)**4
50 CONTINUE
С
С Левый верхний угол
С
S(N1P) = YA,N2P)**4
С
С Левая граница исходной области
С
DO 60 J = N2P-1, 2, -1
К = NIP + N2P - J
S(K) = YA,J)**4
60 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
S(N1P+N2P-1) = Y(l,l)**4
С
С Нижняя граница
С
DO 70 I = 2, N1PP-1
К = NIP + N2P - 2 + I
S(K) = Y(I,1)**4
70 CONTINUE
С
С Правый нижний угол
С
S(NlP+N2P+NlPP-2) = Y(N1PP,1)**4
С
С Правая граница исходной области
С
DO 80 J = 2, N2PP-1
К = NIP + N2P + N1PP - 3 + J
S(K) = Y(N1PP,J)**4
80 CONTINUE
С
С Правый угол, примыкающий к невыпуклой части границы
С
S(NlP+N2P+NlPP+N2PP-3) = Y(N1PP,N2PP)**4
С
С Горизонтальная сторона невыпуклой части границы
С
М = 1
DO 90 I = N1PP-1, N1P+1, -1
43*
684 Глава 13. Примеры численного моделирования
К = 2*N1PP + NIP + N2P + N2PP - 3 - I
S(K) = Y(I,N2PP)**4
FG(M) = S(K)
M = M + 1
90 CONTINUE
С
С Внутренний угол невыпуклой части границы
С
SB*NlPP+N2P+N2PP-3) = Y(N1P,N2PP)**4
С
С Вертикальная сторона невыпуклой части границы
С
DO 100 J = N2PP+1, N2P-1
К = 2*N1PP + N2P - 3 + J
S(K) = Y(N1P,J)**4
FG(M) = S(K)
M = M + 1
100 CONTINUE
С
с
RETURN
END
13.3.3. Численное решение интегрального уравнения
В подпрограмме STOREG проводится вычисление ядра интегрально-
интегрального уравнения в граничных узлах на невыпуклой части границы.
SUBROUTINE STOREG ( G )
С
С Подпрограмма вычисления элементов матрицы связей между
С значениями потока в узлах на невыпуклой части границы,
С возникающей при аппроксимации нелокального
С краевого условия.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 KAPPA, KI
С
DIMENSION G(M1,M2)
С
COMMON / T03 / NIP, NIPP, N2PP, N2P, N1, N2, HI, H2,
* OS, BI, KI,
* Ml, M2, KAPPA,
* NITS3
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 685
с
с
с
с
DO 2 J =
DO 1 I
XI =
X2 =
SQ =
R =
G(I,J)
: 1, M2
= 1, Ml
(M1+1-I)*H1
J *H2
X1*X1 + X2*X2
DSQRT(SQ)
i = ( X1*X2 ) / ( 3.14157D0*R*SQ
1 CONTINUE
2 CONTINUE
RETURN
END
Остановимся теперь на решении интегрального уравнения A5).
На выпуклой части границы в соответствии с A3), A9) имеем
Обозначим фрагменты векторов s*+1 и Fi{yk*x) для узлов на части не-
невыпуклой границы у' через $' и F^ Аналогичные обозначения (s" и F2')
используются для значений в узлах части границы *у". Уравнение A9)
в таких узлах записывается в виде системы уравнений
= F^
B0)
Здесь Rn — плотная матрица соответствующей размерности, a Rj2 —
транспонированная к ней.
Для приближенного решения системы уравнений B0) применяется
блочный метод Зейделя. В этом случае
(s')k+i - h2XRn(s")k = Ц,
Для сходимости такого итерационного метода достаточно небольшого
числа итераций. Поэтому более сложные итерационные методы решения
интегрального уравнения не использовались.
Ниже приведен текст подпрограммы SOLVE3, в которой реализован
описанный блочный итерационный метод.
686 Глава 13. Примеры численного моделирования
SUBROUTINE SOLVE3 ( G, SI, S2, FG1, FG2 )
С
С Подпрограмма решения системы уравнений для потока в узлах
С на невыпуклой части границы.
С
С В блочном представлении система может быть записана в виде:
С
С ( Е -G ) ( S1 ) ( FG1 )
С ( )*() = ( )
С ( Т ) ( ) ( )
С ( -G Е ) ( S2 ) ( FG2 )
С
С
С Параметры:
С
С G — матрица связей;
С SI, S2 — векторы компонент потока на горизонтальной и
С вертикальной сторонах невыпуклой части границы;
С FG1, FG2 — соответствующие компоненты вектора правых
С частей.
С
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 KAPPA, KI
С
DIMENSION G(M1,M2), S1(M1), S2(M2), FGl(Ml), FG2(M2)
С
COMMON / ТОЗ / NIP, N1PP, N2PP, N2P, N1, N2, HI, H2,
* OS, BI, KI,
* Ml, M2, KAPPA,
* NITS3
С
NITS3 = 0
С
1 CONTINUE
С
DIF = 0.D0
С
DO 10 I = 1, Ml
SUM1 = 0.D0
DO 9 J = 1, M2
SUM1 = SUM1 + G(I,J)*S2(J)
9 CONTINUE
S1I = FG1(I) + H2*KAPPA*SUM1
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 687
DIF = DMAX1( DIF, DABS(S1(I)-S1I) )
S1(I) = S1I
10 CONTINUE
С
DO 20 J = 1, M2
SUM2 = 0.D0
DO 19 I = 1, Ml
SUM2 = SUM2 + G(I,J)*S1(I)
19 CONTINUE
S2J = FG2(J) + H1*KAPPA*SUM2
DIF = DMAX1( DIF, DABS(S2(J)-S2J) )
S2(J) = S2J
20 CONTINUE
С
NITS3 = NITS3 + 1
С
IF ( DIF .GE. l.D-6 ) GO TO 1
С
DO 30 I = 1, Ml
SUM1 = 0.D0
DO 29 J = I, M2
SUM1 = SUM1 + G(I,J)*S2(J)
29 CONTINUE
FG1(I) = H2*SUM1
30 CONTINUE
39
40
С
С
50
DO 40 J =
SUM2 =
DO 39 I
SUM2
1, M2
0.D0
= 1, Ml
= SUM2 + G(I,J)*S1(I)
CONTINUE
FG2(J) =
CONTINUE
DO 50 I =
CONTINUE
HPSUM2
1, Ml
¦HO - FG1U)
DO 60 J = 1, M2
S2(J) = S2(J) - FG2(J)
60 CONTINUE
WRITE ( 06, * ) ' SOLVE3: NITS3 = ', NITS3
688 Глава 13. Примеры численного моделирования
С
RETURN
END
13.3.4. Программа и примеры расчетов
Для решения задачи стационарной теплопроводности с учетом пере-
переизлучения использовалась приведенная ниже программа TEST03.
PROGRAM TEST03
С
С TEST03 — задача переизлучения в твердом теле с
С невыпуклым сечением.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 KAPPA, KI
С
PARAMETER ( IDIM = 50000 )
PARAMETER ( IPER = 1000 )
С
DIMENSION A(IDIM), S(IPER), G((IPER*IPER)/4), FG(IPER/2)
DIMENSION SPREV(IPER)
С
С Длина массива А должна быть достаточной для
С размещения коэффициентов симметричной матрицы
С разностной задачи для температуры, заданной главной АО,
С соседней верхней А1 и удаленной верхней А2
С диагоналями, векторов решения Y и правой
С части F, а также векторов, участвующих в
С итерационном алгоритме решения разностного
С уравнения (см. алгоритм SOLVE 1).
С
С Способ размещения указанных фрагментов в массиве А,
С описываемый ниже, позволяет избежать в алгоритме
С SOLVE 1 специального рассмотрения компонент векторов
С и строк матриц, соответствующих граничным узлам
С сеточного прямоугольника.
С
С Если N — число компонент вектора неизвестных разностной
С задачи в объемлющем сеточном прямоугольнике, то размещение
С фрагментов описывается списком эквивалентностей:
С
С EQUIVALENCE ( АA), АО ),
С * ( A(N+2), A1 ),
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 689
С * ( AB*N+N1+1), A2 ),
С * ( AG*N+1), Y ),
С * ( A(8*N+1), F )
С
С
С В массиве S будет расположен вектор потока, определенный
С в узлах на границе исходной невыпуклой области,
С между значениями потока на невыпуклой части границы,
С возникающей при аппроксимации нелокального краевого
С условия, в массив FG будет заноситься правая часть уравнения
С для потока на невыпуклой части границы.
С Массив SPREV для предыдущего итерационного прближения
С к значению потока необходим в критерии окончания
С внешнего итерационного процесса.
С
COMMON / ТОЗ / NIP, N1PP, N2PP, N2P, N1, N2, HI, H2,
* OS, BI, KI,
* Ml, M2, KAPPA,
* NITS3
С
С Ввод данных задачи:
С
С X1L, X2L — координаты левого нижнего угла
С расчетной прямоугольной области;
С X1R, X2R — координаты правого верхнего угла объемлющего
С прямоугольника;
С OS — значение числа Остроградского;
С BI — значение числа Био;
С КАРРА — значение коэффициента отражения;
С KI — значение числа Кирпичева;
С NIP, N2PP — номера узлов по соответствующим направлениям
С внутреннего угла невыпуклой части границы;
С N1PP, N2P — число узлов в объемлющем сеточном
С прямоугольнике по соответствующим
С направлениям;
С EPS — требуемая относительная точность итерационного
С приближения к решению в задаче для температуры;
С EPSS — задаваемое значение максимум-нормы разности между
С потоками на двух соседних итерациях, участвующее
С в критерии окончания внешнего итерационного процесса.
С
X1L = 0.D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
690 Глава 13. Примеры численного моделирования
X2R = 1.D0
С
OS = 10.D0
BI = 1.D+0
KAPPA = 1.D0
KI = 0.D0
NIP = 26
N1PP = 51
N2PP = 26
N2P = 51
EPS = l.D-6
EPSS = l.D-2
С
OPEN ( 06, FILE = 'R03.PTC )
С
DO 1 I = 1, IDIM
A(I) = 0.D0
1 CONTINUE
С
DO 2 I = 1, IPER
S(I) = 1.D0
2 CONTINUE
С
Ml = N1PP - NIP - 1
M2 = N2P - N2PP - 1
С
N1 = N1PP
N2 = N2P
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
H2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
С
N = N1*N2
С
С В подпрограмме STOREG вычисляются коэффициенты матрицы
С связей, возникающей при аппроксимации нелокального краевого
С условия, в задаче для потока на невыпуклой части границы.
С
CALL STOREG ( G )
С
KOUTER = 0
С
10 CONTINUE
С
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением 691
DO 3 I = 1JPER
SPREV(I) = S(I)
3 CONTINUE
С
С В подрограмме FDS03 определяются центральный АО,
С правый А1 и верхний А2 коэффициенты разностной
С схемы на пятиточечном шаблоне и правая часть F
С для задачи относительно температуры в Объемлющем
С сеточном прямоугольнике.
С
CALL FDS03 ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1), A(8*N+1), S )
С
С В подпрограмме SOLVE 1 находится решение разностной
С задачи итерационным попеременно-треугольным методом
С приближенной факторизаци — сопряженных градиентов.
С Начальное приближение передается в массиве А,
С начиная с G;N+l)-u компоненты; на этом же месте
С на выходе содержится итерационное приближение
С относительной точности EPS.
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, A(l), AG*N+1), A(8*N+1), EPS )
С
С В подпрограмме SETS по значению температуры
С (фрагмент массива А) определяется значение потока по всей
С границе исходной области (массив S), которое на невыпуклой
С части границы будет выступатьв качестве правой части
С соответствующей системы (массив FG), аппроксимирующей
С нелокальное краевое условие.
С
CALL SETS ( AG*N+1), S, FG )
С
KS1 = NIP + N2P + N1PP + N2PP - 2
KS2 = KS1 + Ml + 1
KG1 = 1
KG2 = KG1 + Ml
С
С В подпрограмме SOLVE3 решается разностное уравнение
С для потока на невыпуклой части границы, полученное
С при аппроксимации нелокального краевого условия, с матрицей
С связей G. Искомый вектор потока S и правая часть системы FG
С представлены фрагментами, соответствующими горизонтальной
С и вертикальной сторонам невыпуклой части границы.
С
692 Глава 13. Примеры численного моделирования
CALL S0LVE3 ( G, S(KS1), S(KS2), FG(KGl), FG(KG2) )
С
KOUTER = KOUTER + 1
С
DIF = 0.D0
С
DO 4 I = 1,IPER
DIF = DMAX1 ( DIF, DABS(S(I)-SPREV(I)) )
4 CONTINUE
С
IF ( DIF .GT. EPSS ) GO TO 10
С
С
WRITE ( 06, * ) ' KOUTER = ', KOUTER
С
OPEN @1, FILE = 'R03.DAT' )
WRITE ( 01,* ) (AG*N+I),I=1,N)
CLOSE ( 01 )
С
CLOSE ( 06 )
STOP
END
Ниже представлены некоторые результаты расчетов, выполненных
по приведенной программе. На рис. 13.13 представлены изотермы и(х) =
const через ^гб = 0,1 для варианта с Os = 10, Bi = 1, Ki = 0 (без учета
излучения). Расчеты выполнены на сетке 51x51, другие вычислительные
параметры приведены в тексте программы TEST03. На этом и других
рисунках выделена изотерма и = 4,7.
Влияние излучения с поверхности иллюстрируется рис. 13.14 и
рис. 13.15. Здесь х — 1, т.е. переизлучение на невыпуклой части границы
расчетной области не учитывается. Увеличение числа Кирпичева с 0,0005
(рис. 13.14) до 0,001 (рис. 13.15) приводит к существенному охлаждению
тела. Влияние переизлучения проявляется на рис. 13.16, где представлены
результаты для варианта с х = 0, Ki = 0.001. Дополнительный радиацион-
радиационный поток на невыпуклой границе приводит к небольшому повышению
температуры тела.
13.3. Переизлучение в твердом теле с невыпуклым сечением
693
1.0-
0.5
00
V 4
"-^^ N '
1 ' У '>> "N 1
/ / \ \
/ / ,-** V
((
\>
\
I
-;
\
1
У
\V
0 0
0.5
Рис. 13.13
1.0
Рис. 13.14
Рис. 13.15
Рис. 13.16
13.3.5. Задачи
Задача 1. Исследуйте зависимость скорости сходимости итерацион-
итерационного метода решения интегрального уравнения от шагов сетки по про-
пространству и коэффициента отражения х-
Задача 2. Исследуйте влияние на тепловое состояние излучаемого тела
(а) геометрических параметров (l'ay /JJ, а = 1,2);
(б) условий охлаждения (Bi);
(в) интенсивности внутреннего тепловыделения (Os);
(г) интенсивности излучения (Ki);
(д) свойств излучающей среды (х).
694 Глава 13. Примеры численного моделирования
13.4. Конвекция в полости квадратного
сечения с боковым подогревом
13.4.1. Постановка задачи
Здесь рассматривается хорошо известная двумерная задача о кон-
конвекции в полости квадратного сечения, когда боковые стенки поддержи-
поддерживаются при заданных постоянных температурах, а верхняя и нижняя —
теплоизолированы. Такая задача является общепризнанным тестом для
вычислительных алгоритмов решения двумерных задач конвекции.
Задача рассматривается в нестационарной постановке. В квадрате
П A\ = 12 = I) исследуется течение теплопроводящей жидкости в при-
приближении Буссинеска. Для скорости v = {v\,v2) и нормализованного
на плотность давления р уравнение движения имеет вид
д\
— + vgrad v + gradp - v div grad v - /3eu = 0, /i4
dt (l)
x = (xux2) e Q, 0<*<T,
где и — отклонение температуры от равновесной, v — кинематичес-
кинематическая вязкость, /3 определяет объемное расширение, а вектор е = @,1)
задает направление выталкивающей силы. Уравнение A) дополняется
уравнением несжимаемости
divv = 0, ж Eft, 0<t^T. B)
Перенос тепла теплопроводностью и конвекцией описывается уравнени-
уравнением
ди
— + vgrad и - к div grad и = 0, х G П, 0 < ? ^ Т, C)
at
где ас — коэффициент температуропроводности.
Границы полости дп считаются твердыми и неподвижными, и поэто-
поэтому условия прилипания и непротекания приводят к граничным условиям
v(M) = 0, хедп, 0<t^T. D)
Нижняя и верхняя часть границы считаются теплоизолированными:
ди
— =0, x2 = 0J, 0<ж,</. E)
ох2
Левая и правая границы изотермичны, пусть
и@, ж2, t)=g = const, u(l, хь t) = 0. F)
В начальный момент жидкость покоится и имеет равновесную тем-
температуру. В силу этого формулируются следующие начальные условия
Ф,о) = о, хеп, G)
и(ху 0) = 0, х е П. (8)
Задача A)-(8) полностью описывает свободную конвекцию тепла в сече-
сечении п на любой момент времени t > 0.
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 695
13.4.2. Задача в переменных «функция тока,
вихрь скорости, температура»
Вычислительный алгоритм строится на основе использования пе-
переменных «функция тока, вихрь скорости» (см. п. 9.5). Компоненты
скорости выражаются через функцию тока ^(x,t) следующим образом
поэтому условие несжимаемости B) всегда выполнено. Для вихря скоро-
скорости имеем
w = —. A0)
дхх дх2
В п. 9.5 обсуждались различные способы записи конвективных слагаемых
в переменных {гр, w). Для унификации записи определим для произволь-
произвольного вектора q = (q\, q2) дифференциальный оператор V(q) следующим
образом:
A1)
С учетом (9)-A1) уравнение движения A) дает следующее уравнение для
вихря скорости в безразмерных переменных
g-Gr^ = 0) хеп, 0<^Г, A2)
где число Грасгофа для задачи A)-(8) определяется выражением
Для функции тока имеем уравнение Пуассона
2 д\
Уравнение для температуры принимает вид
S + V(v)«-l|;0=O, .«О. 0«<Г, A4)
где Рг = v/k — число Прандтля.
696 Глава 13. Примеры численного моделирования
Система уравнений A2)—A4) дополняется граничными и начальны-
начальными условиями, вытекающими из D)-(8). Условия прилипания и непро-
непротекания D) на границе единичного квадрата п записываются в виде
#г,*) = 0, хедп, 0<*^Г, A5)
^(х, 0 = 0, х е дп, 0< * < Г. A6)
era
Начальное распределение скорости (условие G)) дает
#с,0) = 0, хеп. A7)
В безразмерных переменных
u@,x2)t) = \y |*A,я?2,<) = 0, A8)
другие условия для температуры (см. E) и (8)) остаются прежними.
13.4.3. Разностная схема
Для численного решения задачи конвекции E), (8), A2)—A8) бу-
будем использовать безусловно устойчивую линеаризованную разностную
схему из п. 9.5. Для этого используется несколько необычная запись
конвективных слагаемых. Зададим вектор w = {w\,w2} компонентами
dw dw
и запишем A2) в виде
dw , ч ^d2w „ ди
eT-vC-W-Esg-a^-o. B0)
х е п, о < t^ т.
Введем в П прямоугольную равномерную сетку с шагами h\ и hi по пе-
переменным х\ п Х2 соответственно. На множестве сеточных функций Н,
обращающихся в нуль на границе сетки, определим сеточный оператор
Лапласа
2
Лз/ = ^Лау, Ку=-Ухаха, а =1,2.
аг=1
Для конвективных слагаемых используем аппроксимации второго поряд-
порядка на основе (И):
B1)
Va(qa)z = z
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 697
с определением qa, a = 1,2 на основе центральных аппроксимаций
соотношений (9) и A9).
Определим сеточную функцию р(х) (граничное условие Тома для
вихря скорости) соотношением
la — ha,
= ha, la ~~ ha, a = 1,2.
Для решения системы уравнений A3), A4), B0) с соответствующими
граничными и начальными условиями используется следующая линеари-
линеаризованная схема.
Сначала рассчитывается вихрь скорости wn+\/2 = A^n+i/2 из уравне-
уравнения
A ~L A ~L
)ir B2)
Тем самым, конвективный перенос, граничное условие для вихря берутся
с предыдущего временного слоя. С учетом введенных обозначений B2)
записывается в виде
Awn+]/2 + р(х)*я = GrK+Oj,- B3)
Второй этап состоит в коррекции по конвективному переносу и гранич-
граничному условию для вихря скорости:
+ {р{) {щШп+1 _ %) = о. B4)
Приходим к несамосопряженной сеточной эллиптической задаче для
определения функции тока B4).
Для определения температуры во внутренних узлах сетки использу-
используется линеаризованное разностное уравнение
Un+l~Un + 7(t,)Vi - 1 ((ic+i),,,, + (un+l)x2X2) = 0. B5)
С учетом граничных условий E), A8) аппроксимируется уравнение A4)
в граничных узлах сетки.
При построении разностной схемы аппроксимация конвективных
слагаемых в соответствии с B1) реализуется в подпрограмме V. При
расчете конвективного переноса температуры используется функция то-
тока гр (см. B5)), а для конвективного переноса массы (см. B3), B4))
используется вихрь скорости в соответствии с A9).
698 Глава 13. Примеры численного моделирования
SUBROUTINE V ( Q, AIL, AIR, A2L, A2R )
С
С В подпрограмме V вычисляются четыре диагонали:
С AIL, AIR, A2L, A2R матрицы разностного оператора
С конвективного переноса в уравнении для температуры
С (по заданным значениям функции тока Q = PSI)
С или в уравнении для функции тока
С (по заданным значениям вихря скорости Q = OMG).
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION Q(N1,N2),
* A1L(N1,N2), A1R(N1,N2), A2L(N1,N2), A2R(N1,N2)
С
COMMON / T04 / H1SI, H2SI, H14I2, H24I2, HH8I,
* TAUI, PRI, GR2H1, N1, N2
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
A1L(I,J) = - HH8I*(
+
A1R(I,J) = HH8I*(
+ Q(U+1) - Q(U-l) )
A2L(I,J) = - HH8I*( Q(I-1,J-1
+ Q(I-U) -
A2R(I,J) = HH8I*( Q(I-1,J+1)
+ Q(I-U) -
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
RETURN
END
Формирование сеточной несамосопряженной задачи для определе-
определения температуры (разностное уравнение B5) с соответствующими гранич-
граничными условиями) на новом временном слое проводится в подпрограмме
FDSU. Разностная задача записывается на обычном пятиточечном ша-
шаблоне в виде
= fij, B6)
В подпрограмме проводится вычисление коэффициентов разностного
уравнения.
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 699
SUBROUTINE FDSU ( А00, AIL, AIR, A2L, A2R, U, F )
С
С В подпрограмме FDSU вычисляются пять диагоналей:
С А00, AIL, AIR, A2L, A2R, несимметричной матрицы и
С правая часть F разностной схемы уравнения для
С температуры. В массиве U передается значение
С температуры на предыдущем слое по времени.
С на входе в массивах AIL, AIR, A2L, A2R передаются
С коэффициенты разностного оператора конвективного
С переноса при заданных значениях функции тока.
С
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
DIMENSION A00(Nl,N2), A1L(N1,N2), A1R(N1,N2),
* A2L(N1,N2), A2R(N1,N2),
* U(N1,N2), F(N1,N2)
С
COMMON / T04 / H1SI, H2SI, H14I2, H24I2, HH8I,
* TAUI, PRI, GR2H1,
* N1, N2
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 1 = 2, N1-1
A00(I,J) = TAUI + PRI*( H1SI + H1SI + H2SI + H2SI )
A1L(I,J) = PR1*H1SI - A1L(I,J)
A1R(I,J) = PRI*H1SI - A1R(I,J)
A2L(I,J) = PRI*H2SI - A2L(I,J)
A2R(I,J) = PRI*H2SI - A2R(I,J)
F(I,J) = TAUI*U(I,J)
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Нижняя граница, краевое условие второго рода
С
DO 30 I = 2, N1-1
А00A,1) = 0.5D0*TAUI + PRI*( H1SI + H2SI )
= O.5DO*PRI*H1SI
) = 0.5D0*PRI*HlSI
A2R(I,1) = PRI*H2SI
F(I,1) = 0.5D0*TAUI*U(I,l)
30 CONTINUE
700 Глава 13. Примеры численного моделирования
С Верхняя граница, краевое условие второго рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
A00(I,N2) = 0.5D0TAUI + PRI*( H1SI + H2SI )
A1L(I,N2) = 0.5D0*PRI*HlSI
A1R(I,N2) = O.5DO*PRI*H1SI
A2L(I,N2) = PRI*H2SI
F(I,N2) = 0.5D0*TAUI*U(I,N2)
40 CONTINUE
С
С Левая граница, краевое условие первого рода
С
DO 50 J = 1, N2
UA,J) = 1.D0
A00(l,J) = 1.D0
A1RA,J) = 0.D0
FB,J) = FB,J) + A1LB,J)
A1LB,J) = 0.D0
A2LA,J) = 0.D0
A2RA,J) = 0.D0
FA,J) = 1.D0
50 CONTINUE
С
С Правая граница, краевое условие первого рода
С
DO 60 J = 1, N2
U(N1,J) = 0.D0
A00(Nl,J) = 1.D0
A1L(N1,J) = 0.D0
A1R(N1-1,J) = 0.D0
A2L(N1,J) = 0.D0
A2R(N1,J) = 0.D0
F(N1,J) = 0.D0
60 CONTINUE
С
С
RETURN
END
Формирование разностной задачи для определения вихря скорости
на промежуточном слое по времени проводится в соответствии с B3)
в подпрограмме FDSOMG. Задаются коэффициенты сеточной задачи
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 701
с самосопряженным оператором на пятиточечном шаблоне (см. п. 13.1).
Предварительно рассчитывается конвективный перенос с помощью опи-
описанной ранее подпрограммы V. Текст подпрограммы снабжен достаточно
подробными комментариями и в дополнительных пояснениях не нуж-
нуждается.
SUBROUTINE FDSOMG ( АО, Al, A2, OMG, F,
* А00, AIL, AIR, A2L, A2R, PSI, U )
С
С В подпрограмме FDSOMG вычисляются три диагонали:
С АО, Al, A2, симметричной матрицы и правая часть F
С разностной схемы уравнения для вихря скорости.
С Массиву А00 присваиваются значения сеточной
С функции V(OMG)PSI, выступающей в качестве одного
С из слагаемых в правых частях уравнений для вихря
С скорости и функции тока. В массивах OMG, PSI и U
С передаются значения соответственно вихря скорости и
С функции тока с предыдущего слоя по времени и
С температуры с текущего слоя. В массивах AIL, AIR, A2L, A2R
С передаются коэффициенты разностного оператора
С конвективного переноса при заданных значениях вихря.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2),
* OMG(N1,N2), F(N1,N2),
A00(Nl,N2), A1L(N1,N2), A1R(N1,N2),
* A2L(N1,N2), A2R(N1,N2),
* PSI(N1,N2), U(N1,N2)
С
COMMON / T04 / H1SI, H2SI, H14I2, H24I2, HH8I,
* TAUI, PRI, GR2H1,
* N1, N2
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
A0(I,J) = TAUI + H1SI + H1SI + H2SI + H2SI
A1(I,J) = HI SI
A2(I,J) = H2SI
A00(I,J) = A1L(I,J)*PSI(I-1,J) + A1R(I,J)*PSI(I+1,J)
+ A2L(I,J)*PSI(I,J-1) + A2R(I,J)*PSI(I,J+1)
= A00(I,J) + TAUI*OMG(I,J)
+ GR2H1*( ) (
702 Глава 13. Примеры численного моделирования
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Левая граница, краевые условия Тома
С
DO 30 J = 2, N2-1
A0(l,J) = 1.D0
FB,J) = FB,J) + H1SI*OMGA,J)
A1A,J) = 0.D0
A2A,J) = 0.D0
FA,J) = OMGA,J)
30 CONTINUE
С
С Правая граница, краевые условия Тома
С
DO 40 J = 2, N2-1
A0(Nl,J) = 1.D0
F(N1-1,J) = F(N1-1,J) + H1SI*OMG(N1,J)
A1(N1-1,J) = 0.D0
A2(N1,J) = 0.D0
F(N1,J) = OMG(N1,J)
40 CONTINUE
С
С Нижняя граница, краевые условия Тома
С
DO 50 I = 2, N1-1
А0A,1) = 1.D0
A1(I,1) = 0.D0
F(I,2) = F(I,2) + H2SI*OMG(I,1)
A2(I,1) = 0.D0
F(I,1) = OMG(I,1)
50 CONTINUE
С
С Верхняя граница, краевые условия Тома
С
DO 60 I = 2, N1-1
A0(I,N2) = 1.D0
A1(I,N2) = 0.D0
F(I,N2-1) = F(I,N2-1) + H2SI*OMG(I,N2)
A2(I,N2-1) = 0.D0
F(I,N2) = OMG(I,N2)
60 CONTINUE
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 703
с
с
с
с
с
с
с
с
Левый нижний угол
А0A,1) =
А1A,1) =
А2A,1) =
F(l,l) =
1.D0
0.D0
0.D0
OMGA,1)
Правый нижний угол
AO(N1,1)
A2(N1,1)
F(N1,1) =
= l.DO
= 0.D0
= OMG(N1,1)
Левый верхний угол
A0(l,N2) = 1.D0
A1A,N2) = 0.D0
FA,N2) = OMGA,N2)
С
С Правый верхний угол
С
AO(N1,N2) = 1.D0
F(N1,N2) = OMG(N1,N2)
С
RETURN
END
Подпрограмма FDSPSI предназначена для формирования пятиди-
агональной сеточной задачи для определения функции тока на новом
временном слое и реализует полушаг коррекции B4). Сеточная задача
снова записывается в виде B6).
SUBROUTINE FDSPSI ( А00, AIL, AIR, A2L, A2R,
* PSI, F, OMG )
С
С В подпрограмме FDSPSI вычисляются пять диагоналей:
С А00, AIL, AIR, A2L, A2R, несимметричной матрицы и
С правая часть F разностной схемы уравнения для функции
С тока. В массивах PSI и OMG передаются значения
С соответственно функции тока и вихря скорости на
С предыдущем слое по времени, в массиве А00 передается
С величина V(OMG)PSI, вычисленная ранее в подпрограмме
С FDSOMG.
С
704 Глава 13. Примеры численного моделирования
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
DIMENSION A00(Nl,N2), A1L(N1,N2), A1R(N1,N2),
* A2L(N1,N2), A2R(N1,N2),
* PSI(N1,N2), F(N1,N2), OMG(N1,N2)
С
COMMON / T04 / H1SI, H2SI, H14I2, H24I2, HH8I,
* TAUI, PRI, GR2H1,
* N1, N2
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
F(I,J) = TAUI*OMG(I,J) - A00(I,J)
A00(I,J) = TAUI*( H1SI + H1SI + H2SI + H2SI )
A1L(I,J) = TAUI*H1SI + A1L(I,J)
A1R(I,J) = TAUI*H1SI + A1R(I,J)
A2L(I,J) = TAUI*H2SI + A2L(I,J)
A2R(I,J) = TAUI*H2SI + A2R(I,J)
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Левая граница, краевое условие первого рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
PSIA,J) = 0.D0
A00(l,J) = 1.D0
A1RA,J) = 0.D0
A2LA,J) = 0.D0
A2RA,J) = 0.D0
FA,J) = 0.D0
A00B,J) = A00B,J) + H14I2
A1LB,J) = 0.D0
FB,J) = FB,J) + H14I2*PSIB,J)
30 CONTINUE
С
С Правая граница, краевое условие первого рода
С
DO 40 J = 2, N2-1
PSI(N1,J) = 0.D0
A00(Nl,J) = 1.D0
A1L(N1,J) = 0.D0
A2L(N1,J) = 0.D0
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 705
A2R(N1,J) = 0.D0
F(N1,J) = 0.D0
AOO(N1-1,J) = AOO(N1-1,J) + H14I2
A1R(N1-1,J) = 0.D0
F(N1-1,J) = F(N1-1,J) + H14I2*PSI(N1-1,J)
40 CONTINUE
С
С Нижняя граница, краевое условие первого рода
С
DO 50 I = 2, N1-1
PSI(I,1) = 0.D0
A00(I,l) = 1.D0
A1L(I,1) = 0.D0
A1R(I,1) = 0.D0
A2R(I,1) = 0.D0
F(I,1) = 0.D0
A00(I,2) = A00(I,2) + H24I2
A2L(I,2) = 0.D0
F(I,2) = F(I,2) + H24I2*PSI(I,2)
50 CONTINUE
С
С Верхняя граница, краевое условие первого рода
С
DO 60 I = 2, N1-1
PSI(I,N2) = 0.D0
A00(I,N2) = 1.D0
A1L(I,N2) = 0.D0
A1R(I,N2) = 0.D0
A2L(I,N2) = 0.D0
F(I,N2) = 0.D0
A00(I,N2-l) = A00(I,N2-l) + H24I2
A2R(I,N2-1) = 0.D0
F(I,N2-1) = F(I,N2-1) + H24I2*PSI(I,N2-1)
60 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
PSIA,1) = 0.D0
А00A,1) = 1.D0
A1RA,1) = 0.D0
A2RA,1) = 0.D0
F(l,l) = 0.D0
С
46 Зак 168
706 Глава 13. Примеры численного моделирования
С Правый нижний угол
С
PSI(N1,1) = 0.D0
A00(Nl,l) = 1.D0
A1L(N1,1) = 0.D0
A2R(N1,1) = 0.D0
F(N1,1) = 0.D0
С
С Левый верхний угол
С
PSIA,N2) = 0.D0
A00(l,N2) = 1.D0
A1RA,N2) = 0.D0
A2LA,N2) = 0.D0
FA,N2) = 0.D0
С
С Правый верхний угол
С
PSI(N1,N2) = 0.D0
A00(Nl,N2) = 1.D0
A1L(N1,N2) = 0.D0
A2L(N1,N2) = 0.D0
F(N1,N2) = 0.D0
С
RETURN
END
По найденной функции тока численным дифференцированием на-
находится вихрь скорости. Для этого используется подпрограмма ONGPSI.
SUBROUTINE OMGPSI ( OMG, PSI )
С
С В подпрограмме OMGPSI расчитывается значение
С вихря OMG на текущем слое по значениям
С функции тока PSL
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION OMG(N1,N2), PSI(N1,N2)
С
COMMON / T04 / H1SI, H2SI, H14I2, H24I2, HH8I,
* TAUI, PRI, GR2H1,
* N1, N2
С
SUM = H1SI + H1SI + H2SI + H2SI
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 707
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
OMG(I,J) = SUM*PSI(I,J)
- H1SI*( PSI(I-1,J) + PSI(I+1,J) )
* - H2SI*( PSI(I,J-1) + PSI(I,J+1) )
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Нижняя и верхняя границы, краевые условия Тома
С
DO 30 I = 2, N1-1
OMG(I,1) = -2.D0*H2SI*PSI(I,2)
OMG(I,N2) = -2.D0*H2SI*PSI(I,N2-l)
30 CONTINUE
С
С Левая и правая границы, краевые условия Тома
С
DO 40 J = 2, N2-1
OMGA,J) = -2.DO*H1SI*PSIB,J)
OMG(NU) = -2.DO*H1SI*PSI(N1-1,J)
40 CONTINUE
С
С Углы расчетной области
С
OMGA,1) = 0.D0
OMG(N1,1) = 0.D0
OMGA,N2) = 0.D0
OMG(N1,N2) = 0.D0
С
С
RETURN
END
13.4.4. Решения сеточных эллиптических задач
Дадим описание используемого итерационного метода решения неса-
несамосопряженных эллиптических задач, который используется при расчете
температуры и функции тока (см. B4) и B5)). Для реализации эта-
этапа расчета вихря скорости (уравнение B3)) используется подпрограмма
SOLVE1, подробно описанная в п. 13.1.
46*
708 Глава 13. Примеры численного моделирования
Рассмотрим систему линейных уравнений с невырожденной матри-
матрицей
Ау = /, B7)
где
A = L + D + U, АфА* (ифЬ*). B8)
В попеременно-треугольном итерационном методе для приближенного
решения задачи B7), B8) выберем В по аналогии с самосопряженным
случаем (см. п. 13.1) в виде
где G — некоторая диагональная матрица с положительными элементами.
Итерационный метод запишем в виде:
гк = / - Аук,
wk = B']rki
fc = 0, C0)
- РкРк-\, к = 1,2,...,
Ук+\ =Ук + <*кРк-
Из последнего соотношения и определения невязки гк следует формула
= гк-акАрк, C1)
которая используется для пересчета невязки на новом итерационном
шаге.
Приведем расчетные формулы для определения итерационных па-
параметров. Пусть С — самосопряженный положительный оператор, за-
задающий энергетическое пространство Нс со скалярным произведением
(y,v)c = (Cy,v) и нормой \\y\\l = (у,у)с- В обобщенном итерацион-
итерационном методе минимальных невязок итерационный параметр ак в C0)
выбирается из условия минимизации ||г*+1||с, что дает
(гк,Арк)с
а = C2)
Итерационный параметр /Зк определим по аналогии с самосопряженным
случаем из условия ортогональности векторов Арк и Арк-\ в Нс:
= (AwkiAph-i)e C3)
(Apk-u Apk-\)e
В рассматриваемом несамосопряженном случае B8) подчиним вы-
выбор С требованию применимости алгоритма, родственного описанному
в п. 13.1, когда итерационный шаг фактически сводится к решению
двух систем уравнений с треугольными матрицами и вычислению трех
скалярных произведений. С этой целью положим
l L)-1. C4)
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 709
В соответствии с B9)—C3) итерационный шаг реализуется в рамках
следующих вычислений:
Pk = wk-f3kpk-u
= (G1/2(G + L)-lAwh, Gl'2(G + L)
Ук+\ =Ук
П+\ = rk - akApk,
= (GX'2(G + LUrh, GX'2(G + Д)
a* (G'/^G + ?)-ий, G1/2^ + L)-*APh)'
Дополним соотношения C5) формулой для пересчета вектора Арк:
Арк = Awk - ркАри-\. C6)
Умножим соотношения для wk, рк и ук+\ слева на G"X^2(G + ?7),
а соотношения для j4p* и гЛ+] слева на G1/2(G + L) и введем обозна-
обозначения:
f = G]/2(G 1 1/2
Вместо wk вычисляется Tk = GX^2(G + L)~xAwk. С учетом введенных
обозначений итерационный процесс C5), C6) реализуется следующим
образом:
Тк = Gl/2(G + L)~x A(G + U)-]Gx/2rk,
Pk = rk-/3kpk-]y
n Г Rn я (&>g*-i)
Як = tk - PkQk-ij Pk = 7^: ^—r,
Так же как и в 13.1 используется масштабирование с диагональными
матрицами G1/2 и G/2 и аналогичный прием (см. C0) в п. 13.1) для
вычисления Тк.
Ниже приведено описание алгоритма обобщенного метода мини-
минимальных невязок — приближенной факторизации.
710
Глава 13. Примеры численного моделирования
1. Вычисление элементов диагональной матрицы G ]'2.
В подпрограмме SOLVE4 реализован вариант попеременно-треуголь-
попеременно-треугольного итерационного метода — метод приближенной факторизации
(см. п. 4.7).
2. Переход от задачи A7), A8) к задаче B1), B2).
U := G-l/2UG~x/2.
3. Начальное приближение.
4. Начальная невязка.
У := Uy0.
- DyQ -у)-
/ := ?о = L-l(G
«"О :=(/,/),
гг := ггО,
адг := 0,
nit := 0.
5. Решение системы уравнений с верхне-треугольной матрицей.
t:=U~lf.
6. Решение системы уравнений с нижне-треугольной матрицей.
bk := ?g * qqi.
1. Пересчет итерационных векторов
rq
qqi
ak
= t - bk * g
= rg *
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 711
8. Пересчет итерационного приближения и невязки.
f:=f-ak*q,
rr := (г, г),
nit := nit+ 1,
при необходимости продолжить итерации
go to 5.
9. Обратное масштабирование (искомое приближенное решение).
у := G-^irV
Ниже приведен текст подпрограммы SOLVE4, реализующей опи-
описанный алгоритм итерационного попеременно-треугольного метода —
сопряженных градиентов в варианте приближенной факторизации для
решения несамосопряженных пятиточечных сеточных задач.
SUBROUTINE SOLVE4 ( N, L, A, Y, F, EPS )
С
С SOLVE4 — Подпрограмма решения системы линейных уравнений
С пятиточечной разностной схемы для
С несамосопряженного двумерного эллиптического
С уравнения второго порядка с переменными
С коэффициентами в прямоугольнике; реализован
С попеременно-треугольный метод приближенной
С факторизации — сопряженных градиентов.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION A(l), Y(N), F(N)
С
С ПАРАМЕТРЫ:
С
С N — порядок системы (число узлов сеточного прямоугольника);
С L — полуширина ленты пятидиагональной матрицы системы
С (число узлов сеточного прямоугольника по первому
С направлению);
С А — массив, в котором задаются элементы несимметричной
С пятидиагональной матрицы пятью диагоналями.
С Вслед за коэффициентами в массиве А будут
С расположены векторы, используемые на итерациях;
С Y — массив, содержащий на входе начальное приближение
С и на выходе — итоговое итерационное приближение к
С решению;
С F — массив, содержащий на входе правую часть системы;
712 Глава 13. Примеры численного моделирования
С EPS — параметр, задающий относительную точность
С итогового итерационного приближения к решению.
С
С Описание фрагментов массива А:
С
С Элементы главной диагонали располагаются в компонентах
С с 1-й по N-ю;
С
I1L = N
I1R = 2*N + 1
I2L = 3*N
I2R = 4*N + L
IG = 5*N + L
С
С Элементы соседней верхней диагонали располагаются в
С компонентах с (IlR+l)-ft по (IlR+N-l)-io;
С
С
С Элементы удаленной верхней диагонали располагаются в
С компонентах с (I2R+l)-u no (I2R+N-L)-k>;
С
IT = IG + N
ITL = IT + L
IQ = IT + N + L
IP = IQ + N
С
С Указатели IG, IT, ITL, IQ используются для обращения к
С фрагментам массива А, расположенным вслед за
С коэффициентами системы.
С
С Реализация алгоритма SOLVE4.
С
С 1. Вычисление элементов диагонального множителя
С матрицы приближенной факторизации:
С
DO 10 J = 1, N
G = A(J) - A(I1L+J)*A(IT+J-1)*( A(I1R+J-1)
+ A(I2R+J-1) )
- A(I2L+J)*A(IT+J-L)*( A(I1R+J-L)
+ A(I2R+J-L) )
A(IT-fJ) = 1.D0 / G
A(IG-hJ) = DSQRT(A(IT+J))
10 CONTINUE
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 713
С 2. Масштабирование матрицы системы диагональной матрицей:
С
DO 20 J = 1, N
A(J) = A(IG+J)*A(J)*A(IG+J) - 2.D0
A(I1L+J) = A(IG+J)*A(I1L+J)*A(IG+J-1)
A(I1R+J) = A(IG+J)*A(I1R+J)*A(IG+J+1)
A(I2L+J) = A(IG+J)*A(I2L+J)*A(IG+J-L)
A(I2R+J) = A(IG+J)*A(I2R+J)*A(IG+J+L)
20 CONTINUE
С
С З. Масштабирование начального приближения
С верхне-треугольной матрицей:
С
DO 30 J = N, 1, -1
A(ITL+J) = Y(J) / A(IG+J)
Y(J) = A(ITL-fJ) - A(I1R+J)*A(ITL+J+1)
- A(I2R+J)*A(ITL+J+L)
30 CONTINUE
С
С 4. Вычисление начальной невязки на месте правой части:
С
RR0 = 0.D0
DO 40 J = 1,N
A(IT+J) = F(J)*A(IG+J) - A(J)*A(ITL+J) - Y(J)
* + A(I1L+J)*A(IT+J-1) + A(I2L+J)*A(IT+J-L)
F(J) = A(IT+J) - A(ITL-hJ)
RR0 = RR0 + F(J)*F(J)
40 CONTINUE
С
NIT = 0
RR = RR0
QQI = 0.D0
С
С 5. Выполнение очередной итерации:
С
50 CONTINUE
С
С 6. Решение системы с верхне-треугольной матрицей:
С
DO 60 J = N, 1, -1
A(ITL+J) = F(J) + A(I1R+J)*A(ITL+J+1)
+ A(I2R+J)*A(ITL+J+L)
60 CONTINUE
45 Зак 168
714 Глава 13. Примеры численного моделирования
С 7. Решение системы с нижне-треугольной матрицей:
С
TQ = 0.D0
DO 70 J = 1, N
G = A(ITL+J)
A(ITL+J) = F(J) + A(J)*G + AA1L+J)*A(ITL+J-1)
* + A(I2L+J)*A(ITL+J-L)
AAT+J) = Q + A(ITL+J)
TQ = TQ + AAT+J)*A(IQ+J)
70 CONTINUE
С
BK = TQ*QQI
С
RQ = 0.D0
QQ = 0.D0
DO 80 J = 1, N
A(IQ-fJ) = A(IT+J) - BK*A(IQ+J)
A(IP+J) = F(J) - BK*A(IP+J)
RQ = RQ + F(J)*A(IQ+J)
QQ = QQ + A(IQ+J)*A(IQ+J)
80 CONTINUE
С
QQI = 1.D0 / QQ
AK = RQ*QQI
С
С 8. Пересчет итерационного приближения к решению
С и невязки:
С
RR = 0.D0
DO 90 J = 1,N
Y(J) = Y(J) + AK*A(IP+J)
F(J) = F(J) - AK*A(IQ+J)
RR = RR + F(J)*F(J)
90 CONTINUE
С
С Выполнение очередной итерации завершено.
С
NIT = NIT + 1
EPSNIT = DSQRT( RR/RR0 )
С
С
IF ( EPSNIT .GT. EPS ) GO TO 50
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 715
С 9. Обратное масштабирование решения
С верхне-треугольной матрицей:
С
DO 100 J = N, 1, -1
A(ITL+J) = Y(J) + A(I1R+J)*A(ITL+J+1)
+ A(I2R+J)*A(ITL+J+L)
Y(J) = A(IG+J)*A(ITL+J)
100 CONTINUE
С
С
RETURN
END
13.4.5. Программа
Для решения задачи о свободноконвективном движении жидкости
в полости с боковым подогревом в постановке A2)-A8) используется
программа, текст которой приводится.
С
С TEST04 — задача конвекции в полости квадратного
С сечения с боковым подогревом.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
С
PARAMETER ( IDIM = 50000 )
С
DIMENSION A(IDIM)
С
С Длина массива А должна быть достаточной для
С размещения элементов матриц и правых частей
С линейных систем, соответствующих линеаризованным
С разностным уравнениям, рабочих массивов подпрограмм -
С солверов для их решения и пересчитываемых приближений
С к искомым функциям. Разностные задачи для температуры
С U и функции тока PSI приводят к несимметричным системам
С с матрицами, задаваемыми пятью диагоналями А00, A1L,
С AIR, A2L, A2R. Симметричная матрица разностной задачи
С для вихря скорости OMG задается тремя диагоналями
С АО, Al, A2. Правые части линейных систем передаются
С в массиве F. Для проверки критерия установления
С используются массивы OMGPREV и PSIPREV значений
С соответственно OMG и PSI на предыдущем слое по времени.
С
45*
716 Глава 13. Примеры численного моделирования
С Если N — число компонент векторов неизвестных разностных
С задач, то размещение фрагментов описывается списком
С эквивалентностей:
С
С EQUIVALENCE ( A(l), A00, V(OMG)PSI ),
С * ( A(N+1), AIL ),
С * ( AB*N+2), AIR ),
С * ( AC*N+1), A2L ),
С * ( AD*N+N1+1), A2R ),
С * ( AF*N+1), АО ),
С * ( AG*N+2), Al ),
С * ( A(8*N+N1+1), A2 ),
С * ( AA3*N+1), F ),
С * ( AA4*N+1), U ),
С * ( AA5*N+1), OMG ),
С * ( AA6*N+1), PSI ),
С * ( AA7*N+1), OMGPREV ),
С * ( AA8*N+1), PSIPREV )
С
COMMON / T04 / HI SI, H2SI, H14I2, H24I2, HH8I,
* TAUI, PRI, GR2H1,
* N1, N2
С
С Ввод данных задачи:
С
С X1L, X2L — координаты левого нижнего угла
С расчетной прямоугольной области;
С X1R, X2R — координаты правого верхнего угла;
С N1, N2 — число узлов сетки по соответствующим
С направлениям;
С EPS — требуемая относительная точность итерационного
С приближения к решению;
С TAU — величина шага по времени;
С PR — число Прандтля;
С GR — число Грасгофа.
С
X1L = 0.D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
X2R = 1.D0
N1 = 51
N2 = 51
EPS = 2.5D-2
TAU = l.D-3
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 717
PR = 1.D0
GR = 1.D+3
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
Н2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
H1SI = 1.D0 / (Н1*Н1)
H2SI = 1.D0 / (Н2*Н2)
H14I2 = 2.DO*H1SI*H1SI
H24I2 = 2.D0*H2SI*H2SI
HH8I = 0.125D0 / (Н1*Н2)
TAUI = 1.D0 / TAU
PRI = 1.D0 / PR
GR2H1 = GR / (Hl+Hl)
С
DO 1 I = 1, IDIM
A(I) = 0.D0
1 CONTINUE
С
N = N1*N2
EPSSLV = l.D-2*EPS
С
IT = 0
T = 0.D0
С
OPEN ( 06, FILE = 'R04.PTC )
С
10 CONTINUE
С
С В подпрограмме V вычисляются четыре диагонали матрицы
С коэффициентов разностного оператора конвективного переноса
С в уравнении для температуры при заданных значениях
С функции тока.
С
CALL V ( AA6*N+1), A(N+1), AB*N+2), AC*N+1),
AD*N+N1+1) )
С
С В подпрограмме FDSU вычисляются пять диагоналей
С несимметричной матрицы и правая часть разностного уравнения
С для температуры.
С
CALL FDSU ( A(l), A(N+1), AB*N+2), AC*N+1),
AD*N+N1+1), AA4*N+1), AA3*N+1) )
718 Глава 13. Примеры численного моделирования
С В подпрограмме SOLVE4 решается линейная система
С с несимметричной матрицей относительно температуры
С на очередном временном слое
С
CALL SOLVE4 ( N, N1, A(l), AA4*N+1), AA3*N+1), EPSSLV )
С
С В подпрограмме V вычисляются четыре диагонали матрицы
С коэффициентов разностного оператора конвективного переноса
С при заданных значениях вихря скорости
С
CALL V ( AA5*N+1), A(N+1), AB*N+2),
AC*N+1), AD*N+N1+1) )
С
С В подпрограмме FDSOMG вычисляются три диагонали
С симметричной матрицы и правая часть разностной схемы
С уравнения для вихря
С
DO 2 I = 7*N+1, 9*N+N1
A(I) = 0.D0
2 CONTINUE
С
CALL FDSOMG ( A( 6*N+1), A( 7*N+2), A(8*N+N1+1),
* AA5*N+1), AA3*N+1),
* A(l), A(N+1), AB*N+2), AC*N+1),
* AD*N+N1+1), AA6*N+ 1), AA4*N+1) )
С
С В подпрограмме SOLVE 1 решается линейная система
С с симметричной матрицей относительно вихря скорости
С на промежуточном слое по времени
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, AF*N+1), AA5*N+1),
AA3*N+1), EPSSLV )
С
С В подпрограмме FDSPSI вычисляются пять диагоналей
С несимметричной матрицы и правая часть разностного
С уравнения для функции тока
С
CALL FDSPSI( A(l), A(N+1), AB*N+2), AC*N+1),
* AD*N+N1+1), AA6*N+1), AA3*N+1), AA5*N+ 1) )
С
С В подпрограмме SOLVE4 решается линейная система
С с несимметричной матрицей относительно функции тока
С на очередном временном слое
С
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения 719
CALL S0LVE4 ( N, N1, A(l), AA6*N+1), AA3*N+1), EPSSLV )
С
С В подпрограмме OMGPSI расчитываются значения вихря
С скорости на очередном слое по времени по значениям
С функции тока
С
CALL OMGPSI ( AA5*N+1), AA6*N+1) )
С
С Проверка критерия установления
С
IT = IT + 1
Т = Т + TAU
С
РО = 0.D0
DO 3 I = 1, N
РО = РО + ( AA6*N+I) - AA8*N+I) )**2*H1*H2
* + ( AA5*N+I) - AA7*N+I) )**2*Н1*Н2
AA8*N+I) = AA6*N+I)
AA7*N+I) = AA5*N+I)
3 CONTINUE
PONRM = DSQRT(PO) / TAU
С
WRITE ( 06, 20 ) IT, T, PONRM
С
IF ( PONRM .GT. EPS ) GO TO 10
С
20 FORMAT ( ' T04: IT = ', 14, ' T = ', D10.3,
9 PONRM = ', D10.3 )
С
OPEN @1, FILE = 'R4P.DAT' )
WRITE ( 01,* ) (AA6*N+1),I=1,N)
CLOSE ( 01 )
С
OPEN ( 02, FILE = 'R4U.DAT' )
WRITE ( 02,* ) (AA4*N+I),I=1,N)
CLOSE ( 02 )
С
CLOSE ( 06 )
С
STOP
END
720
Глава 13. Примеры численного моделирования
13.4.6. Примеры расчетов
Рассматриваемая задача свободной конвекции служит общепризнан-
общепризнанным тестом для вычислительных алгоритмов. Имеется обширный ма-
материал по ее решению, представленный многими авторами. При обра-
обработке численного решения большое внимание уделяется общей картине
конвективного течения, различным интегральным характеристикам. Мы
ограничимся лишь приведением изотерм для варианта с числом Прандтля
равным единице при различных числах Грасгофа. Приведенные резуль-
результаты получены на равномерной прямоугольной сетке 51x51.
На рис. 13.17 приведены линии тока и изотермы для варианта, рас-
рассчитанного по приведенной программе, т. е. для числа Грасгофа Gr = 103,
шага по времени г = 2,5 • 10~3 и т.д. При таких числах Грасгофа начи-
начинает сказываться влияние конвективного переноса (см. рис. 13.17Ь, где
представлены изотермы). Интенсивность конвективного переноса харак-
характеризуется величиной тах|^(ж)|, данные об этой величине приводятся
на рисунках. Кроме того, приведены значения функции тока в центре
квадратной полости.
Пх)
Увеличение числа Грасгофа приводит к более интенсивному пере-
перемешиванию. На рис. 13.18 представлены результаты расчетов по задаче
с Gr= 104, а на рис. 13.19 — Gr = 105. С увеличением интенсивно-
интенсивности конвективного переноса проявляется тенденция к стратификации
жидкости по высоте (см. рис. 13.19а). Можно также отметить сме-
смещение точки минимума функции тока из центра расчетной области
(рис. 13.19).
13.4. Конвекция в полости квадратного сечения
721
l.O
Г..-5Л337
1.0
00
0.0 0.5
Gr= 100000.0
^=-10.2076
Гтм1=-9.1305
Рис. 13.19
13.4.7. Задачи
Задача 1. Исследуйте влияние шага по времени на процесс устано-
установления стационарного решения в зависимости от шагов сетки по про-
пространству при безразмерных числах Прандтля и Грасгофа.
Задача 2. На основе численных расчетов изучите влияние на свободную
конвекцию в прямоугольной полости:
(а) геометрических параметров {отношение сторон прямоугольника)',
(б) характеристик среды (чисел Рг и Gr).
722
Глава 13. Примеры численного моделирования
13.5. Термоупругие напряжения в теле
прямоугольного сечения
13.5.1. Плоская задача
Рассматривается равновесие бесконечного цилиндра с прямоуголь-
прямоугольным сечением, который лежит на нагретой поверхности. Происходит
конвективный теплообмен с окружающей средой. Исследуются деформа-
деформации тела, обусловленные неравномерным нагревом цилиндра (рис. 13.20).
Задача рассматривается в половине сечения
п = {х\х = (хих2), 0<xa<la, a = 1,2}.
Плоские деформации описываются уравнениями Ламе (более подробно
см. п. 10.1)
d2v\
ди
Рис. 13.20
Аи = 0,
для перемещений v = {vj, V2},
va(x) = va(xu x2)y a = 1,2. В A)
Л и \i — постоянные Ламе, у =
(ЗА + 2/х)а, а — коэффициент ли-
линейного расширения.
Тело предполагается однород-
однородным, и поэтому стационарное тем-
температурное состояние описывается
уравнением
х е П, C)
где Д — двумерный оператор Лапласа.
Будем считать, что между телом и подложкой идеальный контакт,
а температура подложки постоянная, что дает граничное условие
Между телом и подложкой предполагается жесткое сцепление, и поэтому
у(жь0) = 0, 0<&1<*1. E)
Условие симметрии дает следующие краевые условия на левой границе:
F)
г, G)
(8)
ди
,х2)
dv2
= 0,
= 0,
= 0,
Х\
Х\
= 0,
= 0,
0
0
0
<
<
<
х2
х2
х2
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 723
Верхняя и боковая поверхности граничат с окружающей средой, темпе-
температура которой ис, поэтому принимаются краевые условия
к-^ + <г(и - ис) = О, хх=1и 0<х2<12, (9)
ах\
к-^ + <т(и-ис) = 0} х2 = 1ь 0<Ж1</ь A0)
ОХ2
где как обычно fc, a — коэффициенты теплопроводности и конвективного
теплообмена соответственно. Эти участки границы свободны, и при
отсутствии нагрузок имеем следующие краевые условия для смещений:
Р + ТH' *'=/ь 0<*2<*2, A2)
дХ2 ОХ\)
(«-«с) = 0, A3)
Эти условия соответствуют рассмотрению тепловых расширений относи-
относительно состояния тела при температуре окружающей среды.
Уравнения A)-C) с краевыми условиями D)—A4) полностью опре-
определяют равновесное состояние твердого неравномерно нагретого тела.
При их обезразмеривании возьмем за характерный линейный размер 1\,
безразмерную температуру определим отношением (и - ис)/(щ - ис),
считая что температура подложки выше температуры окружающей среды.
Величина
_ \i _ 1 - 2v
характеризует свойства материала, где v — коэффициент Пуассона
(v ^ 1/2). Нормируя смещения на 1\, для характеристики тепловых
деформаций получим безразмерный параметр
G = C + 2к)а(щ - ис).
В безразмерных переменных уравнения A), B) примут вид
Уравнение теплопроводности C) сохраняет свой вид.
724 Глава 13. Примеры численного моделирования
Граничное условие D) на подложке дает
и(хь0)= 1, (Kx^l, A7)
а для смещений имеем E). Сохраняют свой вид и условия симметрии
F)-(8).
Интенсивность теплообмена с окружающей средой характеризуется
числом Био, поэтому из (9), A0) следует
ди
—-+Biu = 0, x] = 1, 0<х2<1ь A8)
дх\
ди
—- + Biu = 0, x2 = l2, 0 < a?i < 1, A9)
ОХ2
где Bi = <jl\/k. Для смещений граничные условия A1)-A4) переписыва-
переписываются следующим образом:
^ ^Gu = 0, B0)
B2)
; ., ~z .„ О < хх < 1. B3)
Основными параметрами сформулированной задачи C), E)-(8),
A5)—B3) в безразмерных переменных являются к, G и Bi. Необходимо
только иметь в виду, что в данном случае смещения пропорциональны G,
и поэтому можно ограничиться расчетами при одном фиксированном G.
Другими словами, параметр G может быть исключен из списка па-
параметров, для чего необходимо несколько по другому обезразмерить
смещения.
13.5.2. Разностная схема
Решение задачи термоупругости в рассматриваемой постановке рас-
распадается на две подзадачи: автономную задачу расчета температурного
поля и задачу расчета напряжений для этого температурного состояния
тела.
Используется равномерная прямоугольная сетка и в прямоугольни-
прямоугольнике п. Дифференциальной задаче для стационарного уравнения тепло-
теплопроводности C) с граничными условиями F), A7)—A9) на отдельных
сторонах прямоугольника ставится в соответствие разностная задача.
Такие задачи рассматривались ранее нами неоднократно, поэтому мы
ограничимся тем, что приведем текст подпрограммы формирования соот-
соответствующей разностной задачи. Более подробно рассмотрим разностную
задачу расчета упругих напряжений.
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 725
SUBROUTINE FDSTF ( АО, Al, A2, F )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 KAPPA
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), F(N1,N2)
COMMON / T05 / X1L, X1R,
* X2L, X2R,
* KAPPA, BI, G,
* N1, N2, HI, H2
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
H2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
H12 = HI / H2
H21 = H2 / HI
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
A1(I-1,J) = H21
A1(I,J) = H21
A2(I,J-1) = H12
A2(I,J) = H12
A0(I,J) = A1(I-1,J) + A1(I,J) + A2(I,J-1) + A2(I,J)
F(I,J) = 0.D0
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Левая граница: краевое условие второго рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
A2A,J-1) = 0.5D0*H12
A2A,J) = 0.5D0*H12
AOA,J) = A2A,J-1) + A2A,J) + A1A,J)
FA,J) = 0.D0
30 CONTINUE
С
С Нижняя граница: краевое условие первого рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
F(I,1) = 1.D0
() ()
A1(I,1) = 0.D0
A2(I,1) = 0.D0
A0(I,l) = 1.D0
726 Глава 13. Примеры численного моделирования
40 CONTINUE
С
С Верхняя граница: краевое условие третьего рода
С
DO 50 I = 2, N1-1
A2(I,N2) = 0.D0
A1(I-1,N2) = 0.5D0*H21
A1(I,N2) = 0.5D0*H21
A0(I,N2) = A1(I-1,N2) + A1(I,N2) + A2(I,N2-1)
* + H1*BI
F(I,N2) = 0.D0
50 CONTINUE
С
С Правая граница: краевое условие третьего рода
С
DO 60 J = 2, N2-1
A1(N1,J) = 0.D0
A2(N1,J-1) = 0.5D0*H12
A2(N1,J) = 0.5D0*H12
AO(N1,J) = A1(N1-1,J) + A2(N1,J-1) + A2(N1,J)
* + H2*BI
F(N1,J) = 0.D0
60 CONTINUE
С
С
с
с
с
с
Левый нижний угол
F(l,l) =
F(l,2) =
Al(l,l) =
А2A,1) =
А0A,1) =
1.D0
F(l,2) + A2(l,:
0.D0
0.D0
1.D0
Левый верхний угол
A2A,N2)
A0(l,N2)
FA,N2)
= 0.D0
= A1A,N2) +
-I- O.5DO*H1
= 0.D0
1)*FA,1)
A2A,N2-1)
*BI
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 727
с
с
с
с
с
Правый нижний угол
F(N1,1) =
F(N1,2) =
A1(N1,1) =
A2(N1,1) =
AO(N1,1) =
1.D0
F(N1,2) + A2(N1,1)*F(N1,1)
: 0.D0
: 0.D0
: 1.D0
Правый верхний угол
A1(N1,N2)
A2(N1,N2)
AO(N1,N2)
*
F(N1,N2)
RETURN
END
= 0.D0
= 0.D0
= A1(N1-1,N2) + A2(N1,N2-1)
+ 0.5D0*Hl*BI + 0.5D0*H2*BI
= 0.D0
Во внутренних узлах сетки системе уравнений A5), A6) ставится
в соответствие (см. п. 10.1) разностные уравнения
t = 0, B4)
Граничные условия E) на подложке аппроксимируются просто. Крае-
Краевое условие G) используется как краевое условие для уравнения B4).
При аппроксимации условия (8), а тем более (9), A0) привлекаются
сами уравнения равновесия. Уравнение A6) аппроксимируется на линии
симметрии следующим образом:
2
]^КМч +(l+ 2K)(V2)x2x2 + A + K)(V\)Xlx2 ~ GU^ = 0,
х\ = 0, 0 < х2 < h-
Принимая во внимание уравнение A5), аппроксимируем краевое усло-
условие B0) разностным уравнением:
- — (A + 2*)(t>i)s, + (n)i2 - Gu) + k(v\)x2x2 +
2 - GuI{ =0, ж, = 1, 0 < х2 < h. B7)
728 Глава 13. Примеры численного моделирования
Граничное условие B1) на решениях уравнения A6) приводит к аппрок-
аппроксимации
2
ti - Guei =0, a?i = 1, 0 < x2 < l2. B8)
Полностью аналогично аппроксимируются граничные условия B2), B3)
на верхней границе тела.
Разностные задачи для компонент смещения формируются в приве-
приведенных подпрограммах FDSA1 и FDSA2 соответственно.
SUBROUTINE FDSA1 ( АО, Al, A2, F, VI, V2, U )
IMPLICIT REAI/8 ( А-Н, O-Z )
REAL*8 KAPPA
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), F(N1,N2),
* V1(N1,N2), V2(N1,N2), U(N1,N2)
COMMON / T05 / X1L, X1R,
* X2L, X2R,
* KAPPA, BI, G,
* N1, N2, HI, H2
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
H2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
H12 = HI / H2
H21 = H2 / HI
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
A1(I-1,J) = H21
" = H21
J-l) = H12
A2(I,J) = H12
A0(I,J) = A1(I-1,J) + A1(I,J) + A2(I,J-1) + A2(I,J)
= (l.D0+2.D0*KAPPA)*H21*(
KAPPA*H12*(
(V1(I,J)-V1(I,J-1)) )
0.5D0*(l.D0+KAPPA)*(
- 0.5D0*G*H2*(
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 729
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Левая граница: краевое условие первого рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
A1A,J) = 0.D0
A2A,J) = 0.D0
AOA,J) = 1.D0
FA,J) = 0.D0
30 CONTINUE
С
С Нижняя граница: краевое условие первого рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
A1(I,1) = 0.D0
A2(I,1) = 0.D0
А0A,1) = 1.D0
F(I,1) = 0.D0
40 CONTINUE
С
С Верхняя граница: краевое условие третьего рода
С
DO 50 I = 2, N1-1
A2(I,N2) = 0.D0
A10-1.N2) = 0.5D0*H21
A1(I,N2) = 0.5D0*H21
A0(I,N2) = A1(I-1,N2) + A1(I,N2) + A2(I,N2-1)
F(I,N2) = - KAPPA*( H12*(V1(I,N2)-V1(I,N2-1))
* +0.5D0*(V2(I+l,N2)-V2(I-l,N2)) )
* + 0.5D0*(l.D0+2.D0*KAPPA)
* *H21*( )
(()(
* + 0.5D0*(l.D0+KAPPA)*( (V2(I+1,N2)-V2(I,N2))
-(V2(I+1,N2-1)-V2(I,N2-1)) )
- 0.25D0*G*H2*(U(I+l,N2)-U(I-l,N2))
50 CONTINUE
С
С Правая граница: краевое условие третьего рода
С
DO 60 J = 2, N2-1
A1(N1,J) = 0.D0
A2(N1,J-1) = 0.5D0*H12
A2(N1,J) = 0.5D0*H12
730 Глава 13. Примеры численного моделирования
AO(N1,J) = A1(N1-1,J) + A2(N1,J-1) + A2(N1,J)
F(N1,J) = - ( (l.D0+2.D0*KAPPA)*H21*(Vl(Nl,J)
- V1(N1-1,J))+O.5DO*(V2(N1,J+1)-V2(N1,J-1))
- G*H2*U(N1,J) )
+ 0.5D0*KAPPA*H12*(
+ 0.5D0*(l.D0+KAPPA)*( ((
- (V2(N1,J)-V2(N1-1,J)) )
- O.5DO*G*H2*(U(N1,J)-U(N1-1,J))
60 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
А1A,1) = 0.D0
А2A,1) = 0.D0
А0A,1) = 1.D0
F(l,l) = 0.D0
С
С Левый верхний угол
С
A1A,N2) = 0.D0
A2A,N2) = 0.D0
A0(l,N2) = 1.D0
FA,N2) = 0.D0
С
С Правый нижний угол
С
A1(N1,1) = 0.D0
A2(N1,1) = 0.D0
AO(N1,1) = 1.D0
F(N1,1) = 0.D0
С
С Правый верхний угол
С
A1(N1,N2) = 0.D0
A2(N1,N2) = 0.D0
AO(N1,N2) = A1(N1-1,N2) + A2(N1,N2-1)
F(N1,N2) = - 0.5D0*( (LD0-h2.D0*KAPPA)*H21
* *(V1(N1,N2)-V1(N1-1,N2))
* + (V2(N1,N2)-V2(N1,N2-1))
* - G*H2*U(N1,N2)
* + KAPPA*( H12*(V1(N1,N2)-V1(N1,N2-1))
* + (V2(N1,N2)-V2(N1-1,N2)) ) )
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 731
RETURN
END
SUBROUTINE FDSA2 ( АО, Al, A2, F, VI, V2, U )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 KAPPA
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), F(N1,N2),
* V1(N1,N2), V2(N1,N2), U(N1,N2)
COMMON / T05 / XIL, X1R,
* X2L, X2R,
* KAPPA, BI, G,
* N1, N2, HI, H2
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
H2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
H12 = HI / H2
H21 = H2 / HI
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
DO 10 I = 2, N1-1
A1(I-1,J) = H21
A1(I,J) = H21
A2(I,J-1) = H12
A2(I,J) = H12
A0(I,J) = Al(I-l,J) + A1(I,J) + A2(I,J-1) + A2(I,J)
= (l.D0+2.D0*KAPPA)*H12*( (V2(I,J-fl)-V2(I,J))
KAPPA*H12*(
(V2(I,J)-V2(I
0.5D0*(l.D0+KAPPA)*(
(()()) )
* - O.5DO*G*H1*( U(I,J+1)-U(I,J-1) )
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
С Левая граница: краевое условие второго рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
) = 0.5D0*H21
732 Глава 13. Примеры численного моделирования
1,J-1) = 0.5D0*H12
A2A,J) = 0.5D0*H12
AOA,J) = A1A,J) + A2A,J-1) + A2A,J)
() = KAPPA*H21*(V2B,J)-V2A,J))
+ 0.5D0*(l.D0+2.D0*KAPPA)*H12
())
+ 0.5D0*(l.D0+KAPPA)*(
- (V1B,J-1)-V1A,J-1)) )
- O.25DO*G*H1*(UA,J+1)-UA,J-1))
30 CONTINUE
С
С Нижняя граница: краевое условие первого рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
A1(I,1) = 0.D0
A2(I,1) = 0.D0
A0(I,l) = 1.D0
F(I,1) = 0.D0
40 CONTINUE
С
С Верхняя граница: краевое условие третьего рода
С
DO 50 I = 2, N1-1
A2(I,N2) = 0.D0
A1(I-1,N2) = 0.5D0*H21
A1(I,N2) = 0.5D0*H21
A0(I,N2) = A1(I-1,N2) + A1(I,N2) + A2(I,N2-1)
F(N1,J) = - ( (l.D0+2.D0*KAPPA)*H12*(V2(I,N2)
- V2(I,N2-l))-hO.5DO*(Vl(I-fl,N2)-Vl(I-l,N2))
- G*H1*U(I,N2) )
+ 0.5D0*KAPPA*H21*( (V2(I+1,N2)-V2(I,N2))
- (V2(I,N2)-V2(I-1,N2)) )
+ 0.5D0*(l.D0+KAPPA)*(
((
- O.5DO*G*H1*(U(I,N2)-U(I,N2-1))
50 CONTINUE
С
С Правая граница: краевое условие третьего рода
С
DO 60 J = 2, N2-1
A1(N1,J) = 0.D0
A2(N1,J-1) = 0.5D0*H12
A2(N1,J) = 0.5D0*H12
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 733
AO(N1,J) = A1(N1-1,J) + A2(N1,J-1) + A2(N1,J)
F(I,N2) = - KAPPA*( H21*(V2(N1,J)-V2(N1-1,J))
+O.5DO*(V1(N1,J+1)-V1(N1,J-1))
+ 0.5D0*(l.D0+2.D0*KAPPA)
*H12*( (V2(N1,J+1)-V2(N1,J))
-(V2(N1,J) -
+ 0.5D0*(l.D0+KAPPA)*(
(()
* - O.25DO*G*H1*(U(N1,J+1)-U(N1,J-1))
60 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
А1A,1) = 0.D0
А2A,1) = 0.D0
А0A,1) = 1.D0
F(l,l) = 0.D0
С
С Левый верхний угол
С
A2A,N2) = 0.D0
A0(l,N2) = A1A,N2) + A2A,N2-1)
FA,N2) = 0.5D0*( KAPPA*H21*(V2B,N2)-V2A,N2))
* - ( (l.D0+2.D0*KAPPA)*H12*(V2(l,N2)-V2(l,N2-l))
+ (V1B,N2)-V1A,N2))
* - G*H1*UA,N2) ) )
* + 0.25D0*( (l.D0+KAPPA)*( (VlB,N2) -
* - (V1B,N2-1)-V1A,N2-1)) )
* - G*H1*(UA,N2)-UA,N2-1)) )
С
С Правый нижний угол
С
A1(N1,1) = 0.D0
A2(N1,1) = 0.D0
AO(N1,1) = 1.D0
F(N1,1) = 0.D0
С
С Правый верхний угол
С
A1(N1,N2) = 0.D0
A2(N1,N2) = 0.D0
AO(N1,N2) = A1(N1-1,N2) + A2(N1,N2-1)
F(N1,N2) = - 0.5D0*( (l.D0+2.D0*KAPPA)*H12
*(V2(N1,N2)-V2(N1,N2-1))
734 Глава 13. Примеры численного моделирования
* + (V1(N1,N2)-V1(N1-1,N2))
* - G*H1*U(N1,N2)
* + КАРРА*( H21*(V2(N1,N2)-V2(N1-1,N2))
* + (V1(N1,N2)-V1(N1,N2-1)) ) )
С
RETURN
END
13.5.3. Итерационный метод
Сеточная задача расчета упругих напряжений B4)-B8) решается
с использованием простейшего регуляризованного итерационного мето-
метода, который обсуждался в п. 10.1. Запишем разностную задачу в виде
векторного уравнения
Av = F, х е ш U дш, B9)
где А = {Аар} — операторная матрица 2x2. Для приближенного реше-
решения B9) используется метод простой итерации:
: F. C0)
В C0) В — диагональная операторная матрица: В = {Аа6ар}, 6ар —
символ Кронекера.
Принимая во внимание граничные условия, в качестве А\ берется
разностный оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле на ниж-
нижней (см. E)) и левой (см. G)) границах и условиями Неймана — на правой
и верхней (условия A1), A4). В тоже самое время Аг есть сеточный опе-
оператор Лапласа с условиями Дирихле на нижней (см. E)) и условиями
Неймана на других участках границы (условия (8), A2), A3). В этих
условиях скорость сходимости итерационного процесса не зависит от ис-
используемой разностной сетки и зависит только от параметра к.
Ниже приведен текст программы, реализующей описанный итера-
итерационный метод.
PROGRAM TEST05
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
REAL*8 KAPPA
С
PARAMETER ( IDIM = 40000 )
С
DIMENSION A(IDIM)
С
С Если N — число компонент вектора неизвестных разностной
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 735
С задачи, то размещение фрагментов в массиве А описывается
С списком эквивалентностей:
С
С EQUIVALENCE ( АA), АО),
С * ( A(N+2), A1 ),
С * ( AB*N+N1+1), A2 ),
С * ( AG*N+1), U ),
С * ( A(8*N+1), F ),
С * ( A(9*N+1), W1 ),
С * ( AA0*N+l), W2 ),
С * ( AA1*N+1), VI ),
С * ( AA2*N+1), V2 )
С
COMMON / T05 / X1L, X1R,
* X2L, X2R,
* KAPPA, BI, G,
* N1, N2, HI, H2
С
С Ввод данных задачи:
С
С X1L, X2L — координаты левого нижнего угла
С расчетной прямоугольной области;
С X1R, X2R — координаты правого верхнего угла;
С KAPPA, BI — значения соответствующих параметров
С в уравнениях и граничных условиях;
С G — безразмерный параметр, характеризующий
С тепловые деформации;
С N1, N2 — число узлов сетки по соответствующим
С направлениям;
С EPS — параметр, характеризующий точность итерационного
С приближения к решению.
С
X1L = 0.D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
X2R = 1.D0
KAPPA = 0.66D0
BI = 10.D0
G = 1.D0
N1 = 51
N2 = 51
EPS = 1.D-6
TAU = 1.D-1
736 Глава 13. Примеры численного моделирования
PRINT *, ' TAU = '
READ *, TAU
PRINT *, ' INCR = '
READ *, INCR
С
С OPEN ( 06, FILE = 'R05.PTC )
С
DO 1 I = 1, IDIM
A(I) = 0.D0
1 CONTINUE
С
N = N1*N2
С
С В подпрограмме FDSTF определяются центральный АО,
С правый А1 и верхний А2 коэффициенты разностной
С схемы на пятиточечном шаблоне и правая часть F
С уравнения для расчета поля температур.
С
CALL FDSTF ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1), A(8*N+1) )
С
С В подпрограмме SOLVE 1 находится решение разностной
С задачи итерационным попеременно-треугольным методом
С приближенной факторизации — сопряженных градиентов.
С Начальное приближение передается в массиве А,
С начиная с G;N+l)-ft компоненты; на этом же месте
С на выходе содержится итерационное приближение.
С
CALL S0LVE1 ( N, N1, A(l), AG*N+1), A(8*N+1), EPS )
С
OPEN @1, FILE = 'R05U.DAT' )
WRITE ( 01,* ) (AG*N+I),I=1,N)
CLOSE ( 01 )
С
KIT = 0
К = 0
С
10 CONTINUE
С
С Итерационный процесс для расчета VI и V2 включает
С решение систем относительно соответствующих
С поправок W1 и W2.
С В подпрограмме FDSA1 определяются коэффициенты матрицы и
С правая часть системы относительно W1:
С
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 1Ъ1
CALL FDSA1 ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1), A(8*N+1),
* AA1*N+1), AA2*N+1), AG*N+1) )
С
F2 = O.DO
DO 11 I = 1,N
F2 = F2 + A(8*N+I)**2
A(9*N+I) = O.DO
11 CONTINUE
С
С Подпрограмма SOLVE 1 решает систему относительно
С поправки W1:
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, A(l), A(9*N+1), A(8*N+1), EPS )
С
С В подпрограмме FDSA2 определяются коэффициенты матрицы и
С правая часть системы относительно W2:
С
CALL FDSA2 ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1), A(8*N+1),
* AA1*N+1), AA2*N+1), AG*N+1) )
С
DO 12 I = 1,N
F2 = F2 + A(8*N+I)**2
AA0*N+I) = O.DO
12 CONTINUE
F2 = DSQRT(F2)
IF ( F2 .LE. EPS ) GO TO 20
С
С Подпрограмма SOLVE 1 решает систему относительно
С поправки W2:
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, A(l), AA0*N+l), A(8*N+1), EPS )
С
DO 13 I = 1,N
AA1*N+I) = AA1*N+I) + TAU*A( 9*N+I)
AA2*N+I) = AA2*N+I) + TAU*AA0*N+I)
13 CONTINUE
KIT = KIT + 1
с
PRINT *, ' KIT = \ KIT, ' F2 - \ F2
К = К + 1
IF ( К .EQ. INCR ) THEN
К = 0
PRINT *, ' CONTINUE? A-YES, O-NO)'
READ *, 1CONT
48 Зак. 168
738 Ргава 13. Примеры чшшт моделирования
IF ( ICONT .EQ. О ) GO TO 20
END IF
С
GO TO 10
С
20 CONTINUE
С
OPEN ( 02, FILE = 'RO5V1.DAT' )
WRITE ( 02,* ) (AA1*N+I),I=1,N)
CLOSE ( 02 )
С
OPEN ( 03, FILE = 'R05V2.DAT' )
WRITE ( 03,* ) (AA2*N+I),I=1,N)
CLOSE ( 03 )
С
С CLOSE ( 06 )
С
STOP
END
Как и при расчете температуры, для обращения сеточных самосопря-
самосопряженных эллиптических операторов используется подпрограмма SOLVE1,
описанная в п. 13.1.
13.5.4. Примеры расчетов
Представленные ниже результаты носят в значительной мере иллю-
иллюстративный характер. При более углубленном исследовании проблемы
необходимо проводить более содержательную обработку результатов. Это
касается, в частности, анализа напряжений. Это предполагает вычисление
компонент тензора напряжений, которые (см. п. 2.6) имеют следующий
безразмерный вид
а также расчет по ним некоторых обобщенных характеристик (например,
интенсивности деформаций сдвигов).
13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения
739
Рис. 13.21
Исследовалась зависимость скорости сходимости итерационного
процесса от параметров задачи. Для основного варианта, текст про-
программы для которого приведен, большой интерес представляет оптималь-
оптимальный выбор итерационного параметра т. При г = 0,5 для достижения
искомой точности требуется 374 итерации, при т = 0,65 — 287, при
г = 0,7 — уже 266, а при т = 0,75 наш метод простой итерации не схо-
сходится.
На рис. 13.21 представлены результаты решения задачи на сет-
сетке 51 х 51 для основного варианта с Bi = 10, к = 0,66 и G = 1.
На рис. 13.21а изображены изотермы и(х, t) = const через равные ин-
интервалы 6и = const (minu = 1,2519 • 10). Здесь графически отображе-
отображены соответствующие смещения точек границы области за счет термо-
термоупругих деформаций. Изолинии смещений по отдельным координатам
48*
740
Глава 13. Примеры численного моделирования
и(х)
v{(x)
Рис. 13.22
Fv\ = const, maxvj = 7,5934- 10, 6v2 = const, maxv2 = 1,9296- 10)
имеются на рис. 13.21b и рис. 13.21с соответственно.
Влияние внешнего охлаждения иллюстрируется данными рис. 13.22
и рис. 13.23. Для рис. 13.22 Bi= l,minw = 2,9694-10~\ maxv= 1,8618- НГ1,
maxv2 = 1,6368- 10~\ а для рис. 13.23 Bi = l,minu = 1,5174- 10~4,
= 6,2832 • 10, maxv2 = 1,9767- 10.
13.5.5. Задачи
Задача 1. Проведите исследование термоупругих деформаций при из-
изменении следующих вычислительных параметров:
(а) числа узлов по пространственным переменным;
(б) относительной точности итерационного процесса е.
13.6. Расчет термостата
741
о.о н
Рис. 13.23
Задача 2. Исследуйте влияние на процесс деформации:
(а) высоты h',
(б) коэффициента Пуассона v (безразмерного параметра к);
(в) внешнего охлаждения (числа Био).
13.6. Расчет термостата
13.6.1. Постановка задачи
Рассматривается задача расчета величин точечных источников тепла
в стационарном режиме для поддержания заданной номинальной темпе-
температуры в объекте термостатирования. Это модельная задача управления
742
Глава 13. Примеры численного моделирования
Рис. 13.24
источниками в стационарных задачах теплопроводности, общему рассмо-
рассмотрению вычислительных алгоритмов решения которой посвящен п. 11.2.
Общая компоновочная схема тер-
термостата изображена на рис. 13.24, где
показана половина сечения термоста-
термостата. Объект термостатирования 2 поме-
помещен в камеру 3. В корпусе термостата
1 расположены источники тепла 4, сам
термостат находится в среде 5 с некото-
некоторой заданной температурой. Требуется
рассчитать мощность тепловых источ-
источников, которые обеспечивают с необхо-
необходимой точностью номинальную темпе-
температуру внутри объекта термостатирования. Для простоты считаем корпус
термостата, объект термостатирования однородными, а источники тепла
точечными.
Обозначим через п прямоугольник
П= {х\х = (х\1х2), 0<xa<la, a = 1,2}.
Через пр, /3 = 1, 2, 3 обозначим часть П, которая соответствует корпусу
термостата, объекту термостатирова^шя и части камеры термостата соот-
соответственно, так что Q = п\ U U2 U ^з- Теплофизические характеристики
в этих частях расчетной области предполагаются постоянными.
Обозначим через za, а = 1, 2,..., М заданные точки расположения
источников тепла, а через v — вектор управления с компонентами va,
а = 1,2, ...,М (локальные тепловые источники). Стационарное поле
термостата (состояние системы) определяется уравнением теплопровод-
теплопроводности
м
G П,
где 6(х) — двумерная ?-функция, а
B)
с кусочно постоянным коэффициентом теплопроводности к(х).
С учетом симметрии на левой границе расчетной области имеем
кр- = 0, *€Г, C)
дх\
где Г = {х | х е дП, х\ = 0}. С окружающей средой осуществляется
конвективный теплообмен, который моделируется граничным условием
третьего рода
^ -|*с) = о, хедп\т, D)
13.6, Расчет термостата 743
где щ = const — температура окружающей среды, п — внешняя нормаль,
а G — коэффициент конвективного теплообмена. Между термостатиру-
емым телом, камерой и корпусом предполагается идеальный контакт,
и поэтому соответствующие однородные условия сопряжения специаль-
специально не формулируются.
Наблюдение ведется за температурой в подобласти п29 где она
должна быть близка ? некоторой постоянной номинальной температуре
<р> ис. Функционал качества возьмем (более подробно см. п. 11.2) в виде
/
&
1 М
(u(x; v) - <рJ d
В E) е — фиксированный параметр штрафа, который позволяет, в част-
частности, ограничить величину управляющих источников тепла. Под реше-
решением задачи расчета термостата понимается вектор w, который доставляет
минимум функционалу E), т. е.
J?(w)=inf Je(v). F)
V
При необходимости накладываются необходимые дополнительные огра-
ограничения на допустимые управления типа va ^ 0, а = 1,2,..., М.
При обезразмеривании задачи A)-F) в качестве линейного размера
возьмем l\t теплофизические свойства будем соотносить со свойствами
корпуса термостата, а безразмерную температуру определим отношением
(и - ис)/((р - и€). Уравнение теплопроводности сохранит свой вид A),
B), где
к(х) = < «2, х G м2,
[kh хе Пз-
Граничное условие D) в безразмерных переменных принимает вид
G)
on
где Bi — число Био. Аналогично переписывается функционал качества:
Jf(n)= [D(x;v)-\Jdx + ±f2v2a. (8)
Тем самым, поставленная задача оптимизации A)~C), F)-(8) характери-
характеризуется размерами термостата, его камеры и объекта термостатирования,
а также теплофизическими безразмерными параметрами к2, &з и Bi.
744 Епава 13. Примеры численного моделирования
13.6.2. Разностная задача
В П вводится обычным образом прямоугольная равномерная сетка ш
с шагами h\ и h2 по переменным Х\ и х2 соответственно. Обозначим через
Za ближайший к точке za узел сетки, а = 1,2,..., М. Уравнению A), B)
с учетом однородных граничных условий C), G) ставится в соответствие
разностное уравнение
м
Ay = J2va6h(x-ZaI хеш, (9)
а=\
где, например, для внутренних узлов сетки
2
Через 6h(x - Za) обозначена сеточная ?-функция:
О, X ф Za.
Обозначим через ш2 множество узлов сетки ш, лежащих внутри
и определим разностный функционал качества в виде
l A0)
Приходим к задаче конечномерной оптимизации F), A0) на решениях
разностной задачи (9).
13.6.3. Алгоритм решения задачи
Для решения полученной задачи F), (9), A0) используем простейший
подход с представлением состояния системы как линейной суперпози-
суперпозиции функций влияния отдельных источников (см. п. 11.2). Представим
решение сеточной задачи F) в виде
м
У(Х) = Yl V<*P<*(X)> Х€пу A1)
а=\
а функции ра(х) определим из уравнений
Лр<* = h(x - xa), хеш, а=1,2,...,М. A2)
Ниже приведен текст подпрограммы FDS06, в которой формируются
коэффициенты разностных уравнений функций ра(х).
13.6. Расчет термостата 745
SUBROUTINE FDS06 ( АО, Al, A2, F )
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
REAL*8 Kl, K2
DIMENSION AO(N1,N2), A1(N1,N2), A2(N1,N2), F(N1,N2)
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
* C2, C3, BI,
* N1, N2, HI, H2
COMMON / SOURCE / X1S, X2S
С
HI = (X1R-X1L) / (N1-1)
H2 = (X2R-X2L) / (N2-1)
H12 = HI / H2
H21 = H2 / HI
С
С Внутренние узлы
С
DO 20 J = 2, N2-1
Х2 = X2L + (J-1)*H2
DO 10 I = 2, N1-1
XI = X1L + (I-1)*H1
,J) = H21*K1(X1-O.5DO*H1,X2)
= H21*K1(X1+O.5DO*H1,X2)
J-1) = H12*K2(Xl,X2-0.5D0*H2)
A2(I,J) = H12*K2(Xl,X2+0.5D0*H2)
A0(I,J) = A1(I-1,J) + A1(I,J) + A2(I,J-1) + A2(I,J)
F(I,J) = 0.D0
10 CONTINUE
20 CONTINUE
IS = 1 + INT ( (X1S-X1L)/H1 )
JS = 1 + INT ( (X2S-X2L)/H2 )
F(IS,JS) = 1.D0
С
С Левая граница: краевое условие второго рода
С
DO 30 J = 2, N2-1
Х2 = X2L + (J-1)*H2
A2A,J-1) = 0.5D0*H12*K2(XlL,X2-0.5D0*H2)
A2A,J) = 0.5D0*H12*K2(XlL,X2+0.5D0*H2)
AOA,J) ^ A1A,J) + A2A,J-1) + A2A,J)
FA,J) = 0.D0
30 CONTINUE
С
47 Зак 168
746 Глава 13. Примеры численного моделирования
С Нижняя и верхняя границы: краевое условие третьего рода
С
DO 40 I = 2, N1-1
XI = X1L + A-1)*Н1
Al(I-U) = O.5DO*H21*K1(X1-O.5DO*H1,X2L)
A1(I,1) = 0.5D0*H21*Kl(Xl+0.5D0*Hl,X2L)
A0(I,l) = Al(I-U) + Al(I,l) + A2(I,1)
¦ + H1*BI
F(I,1) = 0.D0
A1(I-1,N2) = 0.5D0*H21*Kl(Xl-0.5D0*Hl,X2R)
A1(I,N2) = O.5DO*H21*K1(X1+O.5DO*H1,X2R)
A2(I,N2) = 0.D0
A0(I,N2) = A1(I-1,N2) + A1(I,N2) + A2(I,N2-1)
¦ + H1*BI
F(I,N2) = 0.D0
40 CONTINUE
С
С Правая граница: краевое условие третьего рода
С
DO 50 J = 2, N2-1
Х2 = X2L + (J-1)*H2
A1(N1,J) = 0.D0
A2(N1,J-1) = 0.5D0*H12*K2(XlR,X2-0.5D0*H2)
A2(N1,J) = 0.5D0*H12*K2(XlR,X2+0.5D0*H2)
AO(N1,J) = A1(N1-1,J) + A2(N1,J-1) + A2(N1,J)
¦ + H2*BI
F(N1,J) = 0.D0
50 CONTINUE
С
С Левый нижний угол
С
* + 0.5D0*Hl*BI
F(l,l) = 0.D0
С
С Левый верхний угол
С
A2A,N2) = 0.D0
A0(l,N2) = A1A,N2) + A2A,N2-1)
* + 0.5D0*Hl*BI
FA,N2) = 0.D0
13.6. Расчет термостата 747
С Правый нижний угол
С
A1(N1,1) = 0.D0
AO(N1,1) = A1(N1-1,1) + A2(N1,1)
* + 0.5D0*(Hl+H2)*BI
F(N1,1) = 0.D0
С
С Правый верхний угол
С
A1(N1,N2) = 0.D0
A2(N1,N2) = 0.D0
AO(N1,N2) = A1(N1-1,N2) + A2(N1,N2-1)
* + 0.5D0*(Hl+H2)*BI
F(N1,N2) = 0.D0
С
RETURN
END
Подстановка A1) в A0) дает
0 i *
Условие F) для функционала A3) дает следующую линейную систему
уравнений для определения оптимального управления w:
+ —Wa =0, « = 1, 2, ... , М.
Для решения системы линейных уравнений A4) используется обычный
метод Гаусса.
SUBROUTINE GAUSS ( М, Р, W )
С
С Решение системы уравнений с плотной матрицей Р
С методом Гаусса без выбора ведущего элемента.
С решение помещается в массив правых частей W.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
DIMENSION P(M,M), W(M)
С
DO 30 К = 1, М-1
DO 20 I = К+1, М
R = РA,К) / Р(К,К)
47*
748 Глава 13. Примеры численного моделирования
DO 10 J = К+1, М
P(I,J) = P(I,J) - R*P(K,J)
10 CONTINUE
W(I) = W(I) - R*W(K)
20 CONTINUE
30 CONTINUE
С
DO 50 I = M, 1, -1
S = 0.D0
IF ( I XT. M ) THEN
DO 40 J = 1+1, M
S = S + P(I,J)*W(J)
40 CONTINUE
END IF
W(I) = (W(I)-S) / P(I,I)
50 CONTINUE
С
RETURN
END
Таким образом, реализация алгоритма для рассматриваемой задачи
основана на решении М разностных задач A2) и определении искомого
вектора управления из линейной системы уравнений A4). Алгоритм
реализован в виде следующей основной программы.
PROGRAM TEST06
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
С
PARAMETER ( IDIM = 40000, M = 7 )
С
DIMENSION A(IDIM), P(M,M), W(M), X2SDAT(M)
С
С Длина массива А должна быть достаточной для
С размещения коэффициентов симметричной матрицы
С разностной задачи, заданной главной АО,
С соседней верхней А1 и удаленной верхней А2
С диагоналями, векторов решения Y(I) для 1 = 1,2, ...,М
С и правой части F, а также векторов, участвующих в
С итерационном алгоритме решения разностного
С уравнения (см. алгоритм SOLVE 1).
С
С Если N — число компонент вектора неизвестных разностной
С задачи, то размещение фрагментов описывается списком
С эквивалентностей:
13.6. Расчет термостата 749
С EQUIVALENCE ( АA), АО ),
С * ( A(N+2), A1 ),
С * ( AB*N+N1+1), A2 ),
С * ( AG*N+1), Y ),
С * ( A(G+M)*N+1), F )
С
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
* С2, СЗ, BI,
* N1, N2, HI, H2
COMMON / SOURCE / X1S, X2S
С
С Ввод данных задачи:
С
С X1L, X2L — координаты левого нижнего угла
С корпуса термостата;
С X1R, X2R — координаты правого верхнего угла
С корпуса термостата;
С X1L, X22L — координаты левого нижнего угла
С объекта термостатирования;
С X12R, X22R — координаты правого верхнего угла
С объекта термостатирования;
С X13R, X23R — координаты правого верхнего угла
С камеры термостата;
С С2, СЗ, BI — значения безразмерных теплофизических
С параметров в уравнении и граничном условии;
С М — количество источников тепла в корпусе
С термостата;
С X1S — горизонтальная координата линии, на которой
С расположены источники тепла;
С X2SDAT — массив вертикальных координат источников тепла;
С N1, N2 — число узлов сетки по соответствующим
С направлениям;
С EPS — требуемая относительная точность итерационного
С приближения к решению;
С EPEN — параметр, определяющий множитель штрафа в
С функционале качества.
С
X1L = 0.D0
X12R = 0.3D0
X13R = 0.6D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
X22L = 0.2D0
750 Глава 13. Примеры численного моделирования
X22R = 0.7D0
X23R = 0.8D0
X2R = 1.D0
X1S = 0.7D0
X2SDATA) = 0.2D0
X2SDATB) = 0.3D0
X2SDATC) = 0.4D0
X2SDATD) = 0.5D0
X2SDATE) = 0.6D0
X2SDATF) = 0.7D0
X2SDATG) = 0.8D0
C2 = 10.D0
C3 = 0.1D0
BI = 10.D0
EPEN = l.D+3
N1 = 51
N2 = 51
EPS = l.D-6
PENALT = l.DO(EPEN*EPEN)
С
С OPEN ( 06, FILE - 'R06.PTC )
С
DO 1 I = 1, IDIM
A(I) = 0.D0
1 CONTINUE
С
N = N1*N2
С
С В следующем цикле определяются функции влияния отдельных
С источников (решения краевых задач для уравнения с правой
С частью в виде соответствующей дельта-функции).
С
DO 10 L = 1, М
С
X2S = X2SDAT(L)
С
С В подпрограмме FDS06 определяются центральный АО,
С правый А1 и верхний А2 коэффициенты разностной
С схемы на пятиточечном шаблоне и правая часть F.
С
CALL FDS06 ( A(l), A(N+2), AB*N+N1+1), A(G+M)*N+1) )
С
С В подпрограмме SOLVE1 находится решение разностной
С задачи итерационным попеременно-треугольным методом
13.6. Расчет термостата 751
С приближенной факторизации — сопряженных градиентов.
С Начальное приближение передается в массиве А,
С начиная с (F+L)*N+l)-fi компоненты; на этом же месте
С на выходе содержится итерационное приближение
С относительной точности EPS.
С
CALL SOLVE1 ( N, N1, A(l), A(F+L)*N+1),
A(G+M)*N+1), EPS )
С
10 CONTINUE
С
С В следующем цикле определяются коэффициенты и правая часть
С системы уравнений с симметричной положительно определенной
С матрицей относительно W(L), L = l, ...,M, выражающей необходимое
С условие минимума функционала качества:
С
DO 30 L = 1, М
P(L,L) = RIPUV ( A(F+L)*N+1), A(F+L)*N+1) )
-I- PENALT
W(L) = RIPU1 ( A(F+L)*N+1) )
IF ( L .GT. 1 ) THEN
DO 20 LL = 1, L-l
P(L,LL) = RIPUV ( A(F+L)*N+1), A(F+LL)*N+1) )
P(LL,L) = P(L,LL)
20 CONTINUE
END IF
30 CONTINUE
С
С В подпрограмме GAUSS методом Гаусса решается система
С уравнений относительно вектора оптимального управления W:
С
CALL GAUSS ( М, Р, W )
С
С Находится распределение температуры в случае использования
С вектора оптимального управления мощностью источников:
С
DO 50 I = 1, N
A(I) = 0.D0
DO 40 L = 1, М
A(I) = A(I) + W(L)*A(F+L)*N+I)
40 CONTINUE
50 CONTINUE
С
WSUM = 0.D0
752 Глава 13. Примеры численного моделирования
DO 60 L = 1, М
WSUM = WSUM + W(L)
60 CONTINUE
С
WRITE @6,11) (I,W(I),I=1,M)
WRITE @6,12) WSUM
11 FORMAT BX, 'W(',I1,') - ', D10.4)
12 FORMAT BX, 'WSUM = ', D10.4)
OPEN @1, FILE = 'R06.DAT' )
WRITE ( 01,* ) (A(I),I=1,N)
CLOSE ( 01 )
С
CLOSE ( 06 )
С
STOP
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION К ( XI, X2 )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
* C2, C3, BI,
N1, N2, HI, H2
К = 1.D0
IF ( XI .LE. X13R .AND.
* ( X22L .LE. X2 .AND. X2 .LE. X23R ) ) К = C3
IF ( XI .LE. XI2R .AND.
* ( X22L .LE. X2 .AND. X2 .LE. X22R ) ) К = C2
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION Kl ( XI, X2 )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 К
С
13.6. Расчет термостата 753
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
* C2, C3, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
Kl = 0.5D0*( K(Xl,X2-0.5D0*H2) + K(Xl,X2+0.5D0*H2)
С
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION K2 ( XI, X2 )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
REAL*8 К
С
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
C2, C3, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
K2 = 0.5D0*( K(X1-O.5DO*H1,X2) + K(X1+O.5DO*H1,X2)
С
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION RIPUV ( U, V )
С
С Вычисление скалярного произведения двух функций на
С множестве сеточных функций, заданных в области
С объекта термостатирования
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
С
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
* C2, C3, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
DIMENSION U(N1,N2), V(N1,N2)
С
IB = 2
IE = INT ( (X12R-X1L)H1 )
JB = 2 + INT ( (X22L-X2L)H2 )
754 Глава 13. Примеры численного моделирования
JE = INT ( (X22R-X2L)H2 )
С
S = 0.D0
DO 20 J = JB, JE
DO 10 I = IB, IE
S = S + U(I,J)*V(I,J)
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
RIPUV = S*H1*H2
С
RETURN
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION RIPU1 ( U )
С
С Вычисление скалярного произведения заданной функции
С и единицы на множестве сеточных функций, заданных в области
С объекта термостатирования.
С
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
С
COMMON / T06 / X1L, X12R, X13R, X1R,
* X2L, X22L, X22R, X23R, X2R,
* С2, СЗ, BI,
* N1, N2, HI, H2
С
DIMENSION U(N1,N2)
С
IB = 2
IE = INT ( (X12R-X1L)H1 )
JB = 2 + INT ( (X22L-X2L)H2 )
JE = INT ( (X22R-X2L)H2 )
С
S = 0.D0
DO 20 J = JB, JE
DO 10 I = IB, IE
S = S + U(I,J)
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
RIPU1 = S*H1*H2
С
13.6. Расчет термостата
755
RETURN
END
Здесь подпрограммы функции ИГ, К\ и К2 используются для вы-
вычисления коэффициентов разностного уравнения по разрывному коэф-
коэффициенту теплопроводности. Назначение других подпрограмм не требует
каких-либо дополнительных пояснений.
13.6.4. Примеры расчетов
При расчете режима термостата необходимо контролировать не толь-
только достигаемую степень близости температуры в объекте термостатиро-
вания к номинальной, но и за тем, какими величинами источников
тепла поставленные цели достигаются. В частности, практическая ре-
реализация оптимального режима термостатирования должна достигаться
только положительными источниками тепла. С этой целью проводится
варьирование параметра штрафа е.
Рассматривается вариант расчета, когда управление осуществляется
семью источниками, расположенными на линии х\ = 0,7, через равные
интервалы от х2 — 0,2 до х2 = 0,8. Толщина корпуса термостата снизу
и сверху 0,2, а сбоку 0,4. Горизонтальный размер термостата равен 2,
вертикальный равен 1, размеры термостатируемого объекта 0,6 и 0,5
соответственно. Принято, что в безразмерных переменных коэффициент
теплопроводности в термостатируемом теле равен 10 (fc2), в камере
термостата 0,1 (fc3). Расчеты выполнены на равномерной сетке 51 х 51.
Влияние параметра штрафа е иллюстрируется данными в следующей
таблице.
Таблица 13.1
Bi= 10
е=102
Bi= 10
е=103
Bi= 10
е=104.
Bi=102
?=103
Bi=l
?=103
щ
4,239
5,641
13,25
8,663
0,7207
4,230
5,163
7,547
9,099
0,6233
4,101
4,512
2,527
8,839
0,5319
Щ
3,849
3,810
-0,1872
8,022
0,4566
Щ
3,428
3,071
-0,6631
6,694
0,3965
2,864
2,340
0,3146
5,042
0,3496
2,257
1,681
1,703
3,356
0,3133
756
Глава 13. Примеры численного моделирования
1.0
1.0
Рис. 13.27
При увеличении е (уменьшении штрафа) (см. данные по задаче
с Bi = 10) наступает момент (е = 104), когда среди источников по-
появляются отрицательные. При этом, конечно, температура в образце все
более точно приближается к номинальной. В табл. 13.1 приведены также
рассчитанные величины источников для чисел Био 1 и 100. Этими рас-
расчетами иллюстрируется, в частности, влияние температуры окружающей
среды.
На рис. 13.25 представлено рассчитанное поле температур для ва-
варианта с Bi = 10 и параметра штрафа е = 103. Непрерывные кривые
соответствуют изотермам и(х) = к, к = 1,2,... . Пунктирные линии
представляют собой изотермы между г* = 0игг = 2с шагом 0,2. Видно,
что с хорошей точностью температура в термостатируемом образце близ-
близка к необходимой температуре, равной 1. Аналогичные выводы можно
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 757
сделать и относительно вариантов с Bi = 102 (рис. 13.26) и Bi = 1
(рис. 13.27). Здесь также параметр штрафа выбран равным 103. Величины
токов для этих вариантов приведены в табл. 13.1.
13.6.5. Задачи
Задача 1. Проведите исследование оптимальных температурных полей
в термостате при изменении следующих вычислительных параметров:
(а) числа узлов по пространственным переменным;
{б) параметра штрафа е.
Задача 2. Исследуйте влияние на оптимальное температурное поле
в термостате:
(а) геометрических параметров термостата, его камеры и термоста-
тируемого тела;
(б) коэффициентов теплопроводности в термостатируемом теле и ка-
камере термостата;
(в) внешнего охлаждения {числа Био);
(г) числа источников тепла;
(д) положения источников тепла.
13.7. Восстановление внешних
тепловых нагрузок
13.7.1. Постановка задачи
Рассмотрим проблему определения тепловых потоков на части грани-
границы, на которой прямые тепловые измерения невозможны. Сформулируем
соответствующую нестационарную граничную обратную задачу теплопро-
теплопроводности (см. п. 12.4). Выделим участок с прямоугольным сечением
п= {х\х = (хих2), 0<жа</а, а =1,2}
и часть границы (см. рис. 13.28)
7 = {х | х е дп, х2 = h},
на котором прямые измерения невозможны. Пусть дп \ j = Г + 7*,
причем
7* = {х | х е дп, х2 = о}.
Образец предполагается однородным. Поэтому в безразмерных пе-
переменных для описания нестационарного температурного поля исполь-
используется уравнение теплопроводности в виде
0 A)
758 Глава 13. Примеры численного моделирования
h
»»»»¦»»»»»»»¦¦»»»»»
Будем считать, что участки границы
дп \ 7 теплоизолированы, т. е. заданы
однородные граничные условия второго
рода:
_ дп B)
tuiiiiiiiiiiiifitiiiitiitiitifiiiiiii ^ ж G Г + 7*) 0 К. t ^ Т.
0 / 1
1 В начальный момент времени темпера-
Рис. 13.28 тура образца однородна, поэтому поло-
положим
и{х, 0) = 0, aiGfi. C)
Граничный режим на 7 неизвестен, но имеются дополнительные темпе-
температурные измерения на 7*» т. е.
В обратной задаче A)-D) необходимо по этим дополнительным измере-
измерениям восстановить неизвестные тепловые нагрузки на части границы 7-
13.7.2. Нелокальное возмущение граничных условий
Для приближенного решения задачи A)-D) можно использовать
метод квазиобращения, различные варианты которого рассматриваются
в п. 12.4. Здесь мы остановимся на возможностях применения методов
с нелокальным возмущением граничных условий. Используется только
простейший вариант такого подхода, обоснование которого для задач
с самосопряженными операторами для эволюционных уравнений имеется
в п. 12.2.
Приближенное решение задачи A)-D) обозначим иа(х) и будем
определять его из уравнения
2 2
—- ~ ^2 —г = °> х е fi> ° < * ^ т> E)
/3=1 ХР
дополненного условиями
—- = 0, х G Г + 7*, 0 < t ^ T, F)
Вместо D) задается простейшее нелокальное условие
ua(xu0} t) + аиа(хи 1ъ t) = g(xu t), 0<t^T. (8)
Можно на рассматриваемом модельном примере исследовать воз-
возможности использования и более общих нелокальных условий типа
ма(жь0,<) + aSua(x\yl2,t) =g(xut), 0 < t^ Г,
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 759
положив, например,
_ ди _ди
13.7.3. Локально одномерная разностная схема
В прямоугольнике Q вводится обычная равномерная по обоим на-
направлениям сетка ш с шагами h\ и h2. Для написания разностной схемы
определим разностный оператор по переменной х\ соотношением
2
h\
-Vxixn 0 < Х\ < lU
^ hx
так что Л* = А\ ^ОвЯ = 1ч(и).
Для приближенного решения нелокальной задачи E)-(8) будем ис-
использовать локально одномерную разностную схему. На первом полушаге
имеем с учетом введенных обозначений
На втором полушаге в соответствии с E), F), (8) решаются одномерные
нелокальные задачи по переменной х2:
Уп+1 - Уп+\/2
г
- (Уп+\)х2х2 =0, 0 < Х2
Уп+\ - Уп+1/2 2 (Ю)
т h2
S/n+ifci, 0) + ayn+i(x\, h) = g(xu tn+i).
Для решения одномерных разностных задач (9) используется обыч-
обычный алгоритм прогонки, реализованный в подпрограмме TRID.
SUBROUTINE TRID ( N, А, С, В, F, Y, ITASK )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
С
С IT ASK = 1: факторизация и решение;
С
С IT ASK = 2: только решение
С
DIMENSION A(N), C(N), B(N), F(N), Y(N)
760 Глава 13. Примеры численного моделирования
IF ( ITASK .EQ. 1 ) THEN
С
С
DO 10 I = 2, N
10 CONTINUE
С
ITASK = 2
С
END IF
С
С
DO 20 I = 2, N
20 CONTINUE
С
Y(N) = F(N)
С
DO 30 I = N-l, 1, -1
30 CONTINUE
С
RETURN
END
Решение нелокальных одномерных задач A0) основывается на пред-
представлении искомого решения у(х2) = уп+\/2 в виде
у(х2) = w(x2) + y(h)v(x2) A1)
с условиями
w(l2) = 0, v(l2) = 1.
Для функций w(x2) и v(x2) имеем обычные трехточечные разностные
задачи, решаемые обычным вариантом метода прогонки. Из представле-
представления A1) и соответствующего нелокального условия находится у(х2) при
#2 = h, а затем и при всех х2.
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 761
13.7.4. Сглаживание входных данных
При приближенном решении обратных задач большое внимание
уделяется первичной обработке входной информации. Вместо точных
значений температуры (см. граничное условие D)) мы имеем приближен-
приближенные данные в отдельных точках х' границы 7* на некоторые моменты
времени t':
и(х\ О »д6(х\ *'), *' е 7*, 0< *Ч Т. A2)
Здесь параметр 6 определяет уровень ошибок температурных измерений.
Простейшая предварительная обработка связана со сглаживанием
функции <to(z',O- С эт°й целью используются традиционные средства
вычислительной математики, например, сглаживающие сплайны. Сгла-
Сглаживание в нашей двумерной нестационарной граничной обратной задаче
может проводиться как по пространственным, так и по временной пе-
переменной. Особенно важным представляется сглаживание по простран-
пространственной переменной, так как решается обратная задача для уравне-
уравнения, главными членами которого являются именно частные производные
по пространственным переменным.
Будем рассматривать простейший случай, когда в каждом граничном
узле на 7* имеется измеренное значение температуры (задана функция
gs{x\ t') при х1 = хх е ш\). Сглаживание этой сеточной функции прове-
проведем, связывая сглаживающий функционал с оператором А\. Определим
гильбертово пространство L2(lJ\) со скалярным произведением
где hi(x\) = 0,5/м в граничных узлах и Hi(xi) = hx — во внутрен-
внутренних. Сглаженную сеточную функцию обозначим ]}(х'у t1) и определим ее
из минимума функционала
где а, — параметр сглаживания.
Для нахождения сглаженной сеточной функции при заданном а8
получим сеточное уравнение
<х,А]д + д = дб, х{€ш{. A3)
С учетом определения сеточного оператора Л] имеем пятиточечное раз-
разностное уравнение A3). Для получения разностного решения исполь-
используется алгоритм прогонки, реализованный в подпрограмме PENTAD.
Разностное уравнение A3) записывается в виде (см. п. 4.5):
-B2Y{ + C2Y2 - D2Y2 + E2Y4 = F2,
i - D{YM + E{Yi+2 = Fu 3 ^ i ^ m - 3,
Cm-\Ym-\ - Dm-\Ym = Fm-\,
-2 — BmYm-\ + CmYm = Fm.
762 Глава 13. Примеры численного моделирования
Решение ищется в виде
Y{ = aMYM - ft+i^+2 + 7»+i-
С учетом такого представления нетрудно получить конкретные расчетные
формулы дня прогоночных параметров а,, /?,• и 7» (задача 1 в п. 10.3).
Алгоритм реализован в подпрограмме PENTAD.
SUBROUTINE PENTAD ( N, А, В, С, D, E, F, Y, ITASK )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O^-Z )
С
С ITASK = 1: факторизация и решение;
С
С ITASK = 2: только решение
С
DIMENSION A(N), B(N), C(N), D(N), E(N), F(N), Y(N)
С
IF ( ITASK .EQ. 1 ) THEN
с
с
с
с
с
с
СB)
DB)
ЕB)
DO 1
СО
D(
= CB) -
= ( DB)
= EB) /
10 I = 3,
[) = C(I)
+ D(
10 CONTINUE
ITASK = 2
END
F(l)
IF
- F(l) /
DA)*BB)
- EA)*BB) )
CB)
N
- E(I-2)*A(l)
I-l)*( D(I-2)"
I) + E(I-1)*(
/C(I)
C(l)
/CB)
>A(I) -
FB) = ( FB) + FA)*BB) ) / CB)
С
DO 20 I = 3, N
F(I) = ( F(I) - F(I-2)*A(I)
- F(I-1)*( D(I-2)*A(I)
20 CONTINUE
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 1(>Ъ
С
Y(N) = F(N)
С
Y(N-1) = D(N-1)*Y(N) + F(N-l)
С
DO 30 I = N-2, 1, -1
Y(I) = D(I)*Y(I+1) - E(I)*Y(I+2)
30 CONTINUE
С
RETURN
END
13.7.5. Квазиреальный эксперимент
При отработке методов приближенного решения обратных задач
необходимо особенное внимание обратить на исследование точности
приближенного решения в условиях неточных входных данных. С этой
целью проводится так называемый квазиреальный эксперимент. В рас-
рассматриваемой граничной обратной задаче сначала решается прямая задача
при некоторых выбранных граничных условиях на недоступной для пря-
прямых измерений части границы j. Из решения прямой задачи находится
распределение температуры на 7*, которые некоторым образом возмуща-
возмущаются. Эти возмущенные температуры принимаются в качестве входных
данных при решении обратной задачи, при решении которой восстана-
восстанавливаются граничные условия на 7- Исследуется влияние возмущений
на точность решения обратной задачи, уровня вносимых погрешностей,
способа выбора параметров регуляризации и т. д.
Рассмотрим прямую задачу с заданным тепловым потоком на 7* • Ре-
Решение определяется из уравнения A), граничных условий B), начального
условия C), а также условия
ди
— = ?(»,«), xGT, 0<t^T. A4)
on
Для решения этой прямой задачи также будем использовать локально
одномерную схему. При заданных граничных условиях второго рода на 7
определим аналогично А\ сеточный оператор Л2:
-2/i242,
0<x2< h,
764 Глава 13. Примеры численного моделирования
Разностную схему запишем в виде
Уп+1/2 - Уп _
Т
Уп+\ ~~ Уп+\/2
Т
Правая часть в A5) обусловлена неоднородным краевым условием A4).
В разностное решение прямой задачи A)-C), A4) на 7* вносятся
возмущения. Для этого используется некоторый датчик случайных чисел:
9б(х'у *n+i) = уп+\ + 26(?(х', *„+,) - 0,5), A6)
где ?(х\ tn+\) — случайная величина, равномерно распределенная на от-
отрезке [0,1]. В A6) параметр 6 характеризует уровень погрешности.
Для полного воспроизводства численных результатов генерация псев-
псевдослучайных равномерно распределенных чисел осуществляется по про-
простейшей рекуррентной формуле
&+i = modD36k),
где mod а определяет дробную часть числа а (см. подпрограмму PERT).
13.7.6. Программа и примеры расчетов
На первом этапе решается прямая задача, затем найденные реше-
решения на границе возмущаются, сглаживаются. На втором этапе решается
решается обратная задача. Приведем текст программы.
PROGRAM TEST07
IMPLICIT REAL*8 ( А-Н, O-Z )
С
PARAMETER ( N1 = 51, N2 = 51 )
PARAMETER ( TAU = 5.D-3, M = 100 )
PARAMETER ( DELTA = 0.D0, ALPHA = l.D-4,
ALPHAS = 0.D0 )
С
DIMENSION A1(N1), B1(N1), C1(N1), D1(N1), E1(N1),
F1(N1), YN(N1)
DIMENSION A2(N2), C2(N2), B2(N2), F2(N2)
DIMENSION G(N1,M), QT(N1,M), V(N2), W(N2)
DIMENSION Y(N1,N2)
С
X1L = 0.D0
X1R = 1.D0
X2L = 0.D0
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 765
X2R = 0.5D0
С
HI = ( X1R - X1L ) / DFLOAT(Nl-l)
Н2 = ( X2R - X2L ) / DFLOAT(N2-1)
С
С Вычисление коэффициентов разностных операторов,
С действующих на первом этапе:
С
DO 110 I = 1, N1
A1(I) = 1.D0 / (Н1*Н1)
C1(I) = 2.D0 / (Н1*Н1) + 1.D0 / TAU
B1(I) = 1.D0 / (Н1*Н1)
ПО CONTINUE
В1A) = 2.D0 / (Н1*Н1)
A1(N1) = 2.D0 / (Н1*Н1)
С
ITASK1 = 1
С
DO 120 I = 1, N2
A2(I) = 1.D0 / (Н2*Н2)
C2(I) = 2.D0 / (Н2*Н2) + 1.D0 / TAU
B2(I) = 1.D0 / (Н2*Н2)
120 CONTINUE
В2A) = 2.D0 / (Н2*Н2)
A2(N2) = 2.D0 / (Н2*Н2)
С
ITASK2 = 1
С
С Выполнение первого этапа:
С
DO 131 J = 1, N2
DO 130 I = 1, N1
Y(I,J) = 0.D0
130 CONTINUE
131 CONTINUE
С
DO 200 К = 1, M
T = K*TAU
С
DO 160 I = 1, N1
XI = (I-1)*H1
С
DO 140 J = 1, N2
766 Глава 13. Примеры численного моделирования
F2(J) = (l.DO/TAU)*Y(I,J)
140 CONTINUE
F2(N2) = F2(N2) + B.DO/H2)*Q(X1,T)
С
CALL TRID ( N2, A2, C2, B2, F2, W, ITASK2 )
С
DO 150 J = 1, N2
Y(I,J) = W(J)
150 CONTINUE
С
160 CONTINUE
С
DO 180 J = 1, N2
С
DO 170 I = 1, N1
F1(I) = (l.D0/TAU)*Y(I,J)
170 CONTINUE
С
CALL TRID ( N1, Al, Cl, Bl, Fl, YA,J), ITASK1 )
С
180 CONTINUE
С
DO 190 I = 1, N1
190 CONTINUE
С
200 CONTINUE
С
OPEN @1, FILE = 'YDIR.DAT' )
WRITE ( 01,* ) ((Y(I,J),I=1,N1),J=1,N2)
CLOSE @1)
С
С Второй этап.
С Вычисление вспомогательной функции:
С
DO 210 I = 1, N2
A2(I) = 1.D0 / (Н2*Н2)
C2(I) = 2.D0 / (Н2*Н2) + 1.D0 / TAU
B2(I) = 1.D0 / (Н2*Н2)
F2(I) = 0.D0
210 CONTINUE
B2(l) = 2.D0 / (Н2*Н2)
A2(N2) = 0.D0
C2(N2) = 1.D0
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 767
F2(N2) = 1.D0
ITASK2 = 1
CALL TRID ( N2, А2, С2, В2, F2, V, ITASK2 )
С
б Выполнение второго этапа:
С
OPEN ( 04, FILE = 'YT.DAT' )
WRITE ( 04,* ) (G(I,M),I=1,N1)
CALL PERT ( N1, M, G, DELTA )
С
WRITE ( 04,* ) (O(I,M),I=1,N1)
с
С Сглаживание
С
DO 220 I = 1, N1
A1(I) = ALPHAS
B1(I) - ALPHAS
Ci(I) * ALPHAS
Dl(t) *= ALPHAS
11A) = ALPHAS
1.D0 / (Hl**4)
4.D0 / (Hl**4)
6.D0 / (Hl**4) + 1.D0
4.D0 / (Hl**4)
1.D0 / (Hl**4)
220 CONTINUE
Dl(l) = ALPHAS * 8.D0 / (Hl**4)
Ei(l) « ALPHAS * 2.D0 / (Hl**4)
€1B) • ALPHAS * 7.D0 / (Hl**4) + 1.D0
A1(N1) к ALPHAS * 2.D0 / (Hl**4)
B1(N1) = ALPHAS • 8.D0 / (Hl**4)
Cl(Nl-l) = ALPHAS * 7.D0 / (Hl**4) + 1.D0
ITASK1 = 1
DO 250 К = 1, M
DO 230 I = 1, N1
230 CONTINUE
С
CALL PENTAD ( N1, Al, Bl, Cl, Dl, El, Fl, YN, ITASK1 )
DO 240 I = 1, N1
G(I,K) = YN(I)
240 CONTINUE
250 CONTINUE
С
WRITE ( 04,* ) (G(I,M),I=1,N1)
CLOSE @4)
С
DO 261 J = 1, N2
768 Глава 13. Примеры численного моделирования
DO 260 I = 1, N1
Y(I,J) = 0.D0
260 CONTINUE
261 CONTINUE
DO 270 I = 1, N1
A1(I) = 1.D0 / (H1*H1)
C1(I) = 2.D0 / (H1*H1) + 1.D0 / TAU
B1(I) = 1.D0 / (H1*H1)
270 CONTINUE
Bl(l) = 2.D0 / (H1*H1)
A1(N1) = 2.D0 / (Hl*Hl)
С
ITASK1 = 1
С
DO 300 К = 1, M
T = K*TAU
С
DO 320 J = 1, N2
С
С Прогонка по переменной XI
С
DO 310 I = 1, N1
F1(I) = (l.D0/TAU)*Y(I,J)
310 CONTINUE
С
CALL TRID ( N1, Al, Cl, Bl, Fl, YA,J), ITASK1 )
С
320 CONTINUE
С
С Прогонка по переменной Х2
С
DO 350 I = 1, N1
С
DO 330 J = 1, N2-1
F2(J) = (l.D0/TAU)*Y(I,J)
330 CONTINUE
F2(N2) = 0.D0
С
CALL TRID ( N2, A2, C2, B2, F2, W, ITASK2 )
С
Y(I,N2) = (G(I,K) - W(l)) / (ALPHA + V(l))
DO 340 J = 1, N2
Y(I,J) = W(J) + Y(I,N2)*V(J)
340 CONTINUE
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 769
350 CONTINUE
DO 360 I = 1, N1
QT(I,K) = (Y(I,N2)-Y(I,N2-1)) / H2
360 CONTINUE
С
300 CONTINUE
С
OPEN ( 02, FILE = 'YINV.DAT' )
WRITE ( 02,* ) ((Y(I,J),I=1,N1),J=1,N2)
CLOSE @2)
OPEN ( 03, FILE = 'QT.DAT' )
WRITE ( 03,* ) (QT(I,M),I=1,N1)
CLOSE @3)
С
STOP
END
DOUBLE PRECISION FUNCTION Q(X1,T)
REAL*8 XI, T
С
Q = 2.D0*Xi*T
С
RETURN
END
SUBROUTINE PERT ( N1, M, G, DELTA )
IMPLICIT REAL*8 ( A-H, O-Z )
С
DIMENSION G(N1,M)
С
V = 0.4D0
DO 20 I = 1, N1
DO 10 К = 1, M
V = 43*V
V = DMOD(V,l.D0)
G(I,K) = G(I,K) + DELTA*(-l.D0 + 2.D0*V)
10 CONTINUE
20 CONTINUE
С
RETURN
END
49 Зак 168
770
Еиава 13. Примеры численного моделирования
0.00
0.0
Нижеприведенные расчеты выполнены на равномерной прямоуголь-
прямоугольной сетке 51 х 51 при 1Х = 1,/2 = 0,5. Шаг по времени брался равным
т = 0,005, общее число шагов равно 100, т.е. ?тах = 0,5. Прямая задача
решалась при задании теплового потока (граничное условие A4)) в виде
q(x, t) = 2x\t.
Сначала рассмотрим возможности используемого алгоритма при точ-
точных входных данных: б = 0, а8 = 0 — решение прямой задачи не возму-
возмущается и не сглаживается. На рис. 13.29 изображены изотермы у = 0,05fc
на момент времени t = tmaX9 которые получены из решения прямой
и обратной задач. Тем самым, температура восстанавливается очень точ-
точно — на графике два решения практически неразличимы.
Восстановление потока при использовании простейшей разностной
аппроксимации направленными разностями представлено на рис. 13.30.
Здесь точное решение отображено штриховой, а решение обратной за-
задачи — сплошной линией. Отличия объясняются рассогласованием ис-
используемых разностных аппроксимаций для потока на границе. Данный
расчет выполнен при достаточно малых значениях параметра нелокально-
нелокальности а (а = 0,0001), при которых его величина не сказывается на точности
расчетов.
Решение обратных задач в условиях неточно заданных входных
данных требует значительно большей осторожности. Рассмотрим ва-
вариант с возмущенными данными в случае, когда параметр возмущения
6 = 0,0025. Мы имеем два управляющих параметра (параметра регуляри-
регуляризации): параметр а в нелокальном условии и параметр сглаживания а8.
Важнейшей проблемой является их согласованный между собой и уровнем
погрешности 6 выбор. Не обсуждая сколь-нибудь серьезно эту проблему,
ограничимся лишь некоторыми иллюстративными примерами.
Рис. 13.31 отображает существенное влияние параметра сглаживания
на точность решения рассматриваемой обратной задачи. Расчеты выпол-
выполнены при близком к оптимальному значении параметра а = 0,05. Без
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок
771
0.15
сглаживания практически невозможно говорить о сколь-нибудь содержа-
содержательном решении задачи. На рис. 13.32 приведены изотермы, полученные
при решении обратной задачи при параметре сглаживания а8 = 0,0001.
Более детально эффект сглаживания прослеживается на рис. 13.33, где
приведены точное, возмущенное и сглаженное при различных а, значе-
значения температуры на границе 7*.
49*
772
Глава 13. Примеры численного моделирования
0.0
Рис. 13.34
Влияние параметра нелокально-
нелокальности а иллюстрируется рис. 13.34. Здесь
параметр сглаживания as = 0,0001.
При малых а (уже при а = 0,02)
за счет погрешности входных данных
решение обратной задачи ничего об-
общего не имеет с точным решением
задачи, а при больших а (например,
при а = 0,2) решение слишком силь-
сильно загрубляется.
Представленная программа дает
возможность проведения более глубо-
глубоких методических исследований про-
проблем приближенного решения обрат-
обратных задач математической физики.
13.7.7. Задачи
Задача 1. Проведите исследование точности восстановления темпе-
температурных потоков при изменении следующих вычислительных параме-
параметров:
(а) числа узлов по пространственным переменным;
(б) шага по времени;
(в) параметра сглаживания;
(г) параметра нелокального возмущения а.
Задача 2. Исследуйте влияние на точность решения обратной задачи:
(а) геометрических параметров области;
(б) уровня погрешности;
(в) вида тепловых нагрузок (функции д(ж, t)).
13.8. Библиография и комментарий
13.8.1. Общие замечания
13.1. При рассмотрении стационарной теплопроводности в кусочно-од-
кусочно-однородном теле подробно описывается специальная реализация ва-
варианта попеременно-треугольного итерационного метода — при-
приближенной факторизации — модификация [4].
13.2. Моделирование фазовых переходов для чистых материалов (задача
Стефана) проводится на основе обобщенной формулировки в тра-
традициях работы [1].
13.8. Библиография и комментарий ПЪ
13.3. Рассматриваемый алгоритм решения интегрального уравнения
(блочный, точечный метод Зейделя) переносится без принципи-
принципиальных усложнений на более общие задачи учета переизлучения.
13.4. На рассматриваемой задаче проводится тестирование алгоритмов ре-
решения задач свободной конвекции. Подробные данные содержатся,
например, в работах [2], [3].
13.5. В литературе содержится не очень много подходящих примеров,
поэтому пришлось ставить модельную задачу специально.
13.6. Здесь рассмотрен наиболее простой подход к интересному классу
задач расчета термостатов.
13.7. Подход с нелокальным возмущением граничных условий для при-
приближенного численного решения граничной обратной задаче рас-
рассматривается впервые.
13.8.2. Литература
1. Самарский А. А., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для
многомерной задачи Стефана // ЖВМ и МФ, 5, 285-288 A965).
2. Davis G. de Vahl and Jones I. P., Natural convection in a square cavity —
a comparison exercise // Int. J. Num. Methods Fluids, 3, 227-248 A983).
3. Davis G. de Vahl. Natural convection of air in a square cavity: a benchmark
numerical solution // Int. J. Num. Methods Fluids, 3, 249-264 A983).
4. Eisenstat S. С Efficient implementation of a class of preconditioned conjugate
gradient methods // SIAM J. Sci. Stat. Сотр. 2, 1-4 A981).
Приложение
Математический аппарат теории
разностных схем
Гильбертовы пространства
Мы рассматриваем вещественное линейное пространство Я, для эле-
элементов которого введены операции сложения и умножения на веще-
вещественное число, т.е. каждой паре у G Я, v G Я ставится в соответ-
соответствие элемент у + v G Я и для каждого у G Я и вещественного числа
А поставлен в соответствие элемент Ху G Я. При этом для элемен-
элементов у, v, z из Я и вещественных чисел Л и /г выполнены следующие
аксиомы:
A) у + v = v + у, у + (v + г) = (у + v) + 2;
B) Л(ру) = (A/i)y;
C) А(у + v) = A3/ + Av, (A + fi)y = Xy + №,
D) существует однозначно определенный элемент 0 такой, что для
любого у е Я имеет место у + 0 = у;
E) для каждого у G Я существует однозначно определенный элемент
(-у) G Я такой, что у + (~у) = 0;
F) 1-» = ».
Элементы yi, ife» • • • > Уп линейного пространства Я называются л^-
яеш/0 независимыми, если из равенства
+ А2У2 + • • + КУп = 0
следует, что Ai=A2 = ... = Ап = 0. В противном случае элементы
У\> Уъ • • • > Уп называются линейно зависимыми.
Непустое замкнутое множество Я* элементов линейного простран-
пространства Я называется подпространством, если вместе с элементами yi,
Уъ • • > 3/п множество Я* содержит любую линейную комбинацию
Ai3/i + А2У2 4-... + Anyn этих элементов.
Пространство Я называется п-мерным, если в Я существует п
линейно независимых элементов, а всякий (п + 1)-й элемент линейно
зависим.
Математический аппарат теории разностных схем 775
Линейное пространство Я называется нормированным, если для ка-
каждого элемента у Е Я определено вещественное число \\y\\, называемое
нормой, удовлетворяющее условиям:
(О 112/11 > 0; ЦуЦ = 0, если только у = 0;
B) ||лу|| = |л|.||у||;
C) \\у + v|| ^ \\y\\ + ||v|| (неравенство треугольника).
В одном и том же линейном пространстве норму можно вводить
различными способами. Пусть \\y\\\ и \\y\\2 некоторые две нормы в Я.
Если существуют постоянные 0 < т ^ М такие, что для любого у Е Я
верны неравенства
m\\y\U^\\y\\2<M\\y\\u
то эти нормы называются эквивалентными. В конечномерном простран-
пространстве любые две нормы эквивалентны.
Последовательность {уп} элементов линейного нормированного про-
пространства Я называется сходящейся к элементу у Е Я, если ||у - уп\\ —* 0
при п -* 0. Если \\уп - ут\\ —* 0 при n, m -» 0, то последовательность
{уп} называется фундаментальной.
Линейное нормированное пространство Н называется полным, если
всякая фундаментальная последовательность {уп} из этого пространства
сходится к элементу у из этого же пространства Н. Полное линейное
нормированное пространство Я называется банаховым. Всякое конечно-
конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым.
Для каждой пары элементов у, v вещественного линейного простран-
пространства Н определим скалярное произведение (уу v) такое, что
A) (у,*) = (*,»);
B) (y + v,
C) (Xyyv)
D) B/) У) ^ 0 и (Vi У) = 0 только для у = 0.
Линейное вещественное нормированное пространство Я с нормой
llj/ll = ((У)У))^2 называется унитарным. Полное унитарное простран-
пространство Я называется гильбертовым. Конечномерное унитарное простран-
пространство является полным.
Элементы у и v унитарного пространства называются ортогональ-
ортогональными, если (у, v) = 0. Система у\, у2,..., уп элементов из Я называется
ортогональной системой, если (yt, yj) = 6ij, г, j = 1, 2,..., п, где
символ Кронекера.
Для элементов у, г; унитарного пространства Я справедливо
венство Коши—Буняковского {Шварца)
776 Приложение
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда у и v линейно
зависимы.
Для элементов у и v из унитарного пространства Я справедливо
равенство параллелограмма
\\y + v\\2 + \\y-v\\2 = l(\\y\\2 + \\v\\2).
Имеет место также тождество
(y,v)=X-{\\y + v\\2-\\y-v\\2).
для любых элементов у и v унитарного пространства.
Линейные операторы в конечномерном
линейном пространстве
Всюду ниже предполагается, что Я — конечномерное линейное
нормированное пространство.
Оператор А представляет собой правило, по которому каждому
элементу у из некоторого множества V С Я ставится в соответствие
элемент v из множества 11 С Я. Множество V называется областью
определения оператора А (обозначается V{A)), а множество элементов
v = Ау С 1Z называется множеством значений оператора A (ЩА)).
Через 0 обозначается нулевой оператор, а Е — единичный. Будем
говорить, что оператор А действует в пространстве Я, если Т>(А) = Н
и ЩА) С Я.
Пусть оператор А отображает V(A) на ЩА) взаимно однозначно.
Тогда можно определить оператор А~{, действующий из ЩА) в V(A),
такой, что A~xv = г/, если Ay — v. В этих условиях оператор А называется
невырожденным, а оператор А~х — обратным оператору А,
Оператор А называется линейным, если для любых у, v G V(A)
и вещественных чисел Л, /г
А(Ху + fiv) = ХАу + pAv.
Линейный оператор А в конечномерном линейном пространстве Я
имеет обратный с областью определения V(A~]) = Я тогда и только
тогда, когда уравнение Ау = 0 имеет единственное решение у = 0.
Оператор А, действующий в Я, называется ограниченным, если
существует постоянная М > 0 такая, что
ЦА»|| < М\\у\\
для любых у G Я.
В конечномерном пространстве любой линейный оператор ограни-
ограничен.
Математический аппарат теории разностных схем 777
Наименьшая из таких постоянных М называется нормой оператора А
и обозначается \\A\\. Из определения нормы оператора следует
= sup
уфо 112/11 цу||=]
Норма оператора обладает следующими свойствами:
A)
B)
C)
Если (АВ)у — (ВА)у для всех у Е Я, то операторы А и В называ-
называются перестановочными (АВ = В А).
Ограниченный оператор А~{ существует тогда и только тогда, когда
найдется постоянная 6 > О такая, что
\\Ay\\ > 6\\у\\
для всех у ? Я, причем \\A~l\\ ^ \/б.
Операторы в конечномерном
гильбертовом пространстве
Оператор А* называется сопряженным оператору А в гильбертовом
пространстве Я, если для всех y,v G Я выполнено тождество
Для линейного ограниченного оператора А с областью определения
V(A) = Я существует единственный оператор Л* с областью определения
V(A*)=H.
Имеют место равенства
* А*
(А*)* = А, (А + В)* = А*+ В\ (АВУ = В* А*.
Оператор А* линеен и ограничен, причем \\А*\\ = ||Л||, кроме того,
МП = (\\А*А\\У/г.
Оператор А, действующий в Я, называется самосопряженным, если
А* = А.
Если Аи В — самосопряженные операторы, то АВ является самосо-
самосопряженным тогда и только тогда, когда операторы Аи В перестановочны.
Оператор А называется кососимметричным, если А* = —А.
Любой оператор А можно представить в виде суммы самосопряжен-
самосопряженного и кососимметричного операторов:
А = Aq -f Ai,
778 Приложение
где
Оператор А в конечномерном вещественном гильбертовом простран-
пространстве Я называется:
A) неотрицательным (А ^ 0), если (Ау, у) ^ 0 для всех у ? Я;
B) положительным (А > 0), если (Ау,у) > 0 для всех у ? Я, кроме
0 = 0;
C) положительно определенным (А ^ ##), если для ? > 0 и всех у ? Я
имеет место неравенство (j4j/, j/) ^ <ЯМ|2.
В силу определения неравенство А ^ В означает, что А - В ^ 0.
Если оператор А, действующий в конечномерном гильбертовом
пространстве Я, положителен, то существует оператор А~1. Для поло-
положительно определенного оператора Ц^]! ^ 1/6.
Произведение двух перестановочных неотрицательных самосопря-
самосопряженных операторов А и В есть также неотрицательный самосопряжен-
самосопряженный оператор.
Для любого линейного оператора А операторы А* А и А А* —
неотрицательны и положительны, если А — положительный оператор.
Оператор В называется квадратным корнем из оператора А, если
В1 — А (В = А^2). Существует единственный неотрицательный са-
самосопряженный корень из любого неотрицательного самосопряженного
оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестаночным
с А.
Для самосопряженного неотрицательного оператора А имеет место
обобщенное неравенство Коши—Буняковского {Шварца):
Пусть D — самосопряженный положительный (неотрицательный)
оператор, действующий в Я. Тогда можно ввести энергетическое про-
пространство HDi состоящее из элементов Я, со скалярным произведением
B/, v)D = (Dy, v)
и нормой (полунормой)
Имеет место неравенство
для А = А* > 0.
Для неотрицательного оператора А число (Ау, у) называется энергией
оператора.
Математический аппарат теории разностных схем 779
Если существуют постоянные 72 ^ 7i > О такие, что для линейных
операторов А и В верны неравенства
ЪВ ^ А ^ 72#,
то такие операторы называются энергетически эквивалентными.
Если
то число 6 и Д называются границами оператора А.
Предметный указатель
Автомодельное решение 89
аддитивная разностная схема 324
— с дробными шагами 326
аддитивно-усредненная разностная
схема 339
альтернирующий метод Шварца 211
аппроксимация краевого условия на
решениях 119
— уравнения на решениях 132
асимптотически устойчивая разност-
разностная схема 272
Безразмерный параметр 77
быстрое преобразование Фурье 171
Вторая разностная формула Грина
151
выбор параметра регуляризации по
невязке 591
выпуклое множество 541
выпуклый функционал 541
вычислительный эксперимент 27
Гиперболическое уравнение тепло-
теплопроводности 40
градиент функционала 540
градиентные методы 542
границы оператора 148, 779
граничная обратная задача теплооб-
теплообмена 588
граничные условия 42
второго рода 43
Дирихле 43
Неймана 43
первого рода 43
третьего рода 43
Двухслойная разностная схема 239
двухступенчатый итерационный ме-
метод 222
двухфазная задача Стефана 51
двухшаговый (трехслойный) итераци-
итерационный метод 173
диагностический вычислительный
эксперимент 32
Естественные переменные 456
Задача Стефана 51
— управления для распределенных
систем 539
— условной минимизации 537
закон вариационного типа 178
— матрицы емкости 209
— Стефана—Больцмана 65
— Якоби 184
Каноническая форма двухслойного
итерационного метода 174
двухслойной разностной схемы
239
разностного уравнения 135
трехслойного итерационного
метода 179
трехслойной разностной схемы
239
квазиоптимальное значение параме-
параметра регуляризации 592
квазистационарная задача Стефана
53
компактный разностный оператор
118
конвекция 35
консервативная разностная схема 123
корректно поставленная задача 47
коэффициент кинематической вязко-
вязкости 58
— линейного расширения 69
— Пуассона 71
— температурного расширения 60
— температуропроводности 37
— теплообмена 44
— теплопроводности 36
коэффициентная граничная обрат-
обратная задача теплообмена 589
краевые условия 42
Предметный указатель
781
Лемма Гронуолла 235
локально-одномерная разностная
схема 333
Мажорантная функция 140
марш-алгоритм 169
математическая модель 21
метод баланса 125
— верхней релаксации 188
— выпрямления фронта 347
— Гаусса 164
— декомпозиции 207
— Зейделя 188
— квазилинеаризации 221
— квазиобращения 594
— конечных элементов 113
— контрольного объема 125
— ловли фронта в узел сетки 346
— матричной прогонки 168
— минимальных поправок 178
— Ньютона 221
— обращения переменных 379
— приближенной факторизации 194
— прогонки 166
— проекции градиента 544
— простой итерации 175
— прямых 247
— разделения переменных 79
— регуляризации А. Н. Тихонова 590
— редукции 169
— Ричардсона 176
— симметризации 434
— симметричной верхней релаксации
190
— сквозного счета 356
— скорейшего спуска 178
— фиктивных областей 204
— Холецкого 165
— штрафа 368
модель пористой среды 488
монотонная разностная схема 417
Начальные условия 42
неидеальный контакт 46
некорректно поставленная задача 47
неравенство Коши—Буняковского
148, 775
— Пуанкаре 108
— Фридрихса 107
— Шварца 148
несжимаемая жидкость 57
неявная схема 240
Обратная задача 47, 588
однородная разностная схема 126
однофазная задача Стефана 51
одношаговый (двухслойный) итера-
итерационный метод 173
оператор Лапласа 37
— перехода 242
оптимальное управление 540
оптимизационный вычислительный
эксперимент 32
Первая разностная формула Грина
151
переменные Мизеса 498
плотность 36
погрешность аппроксимации гра-
граничного условия 114
уравнения 114
поисковый вычислительный экспери-
эксперимент 31
положительно определенный опера-
оператор 148
положительный оператор 148
попеременно-треугольные итераци-
итерационные методы 191
постоянные Ламе 69
преобразование Гудмэна 87
— Дюво 365
— Кирхгофа 87
приближение Буссинеска 60
принцип максимума для параболиче-
параболических уравнений 234
для эллиптических уравнений
второго порядка 105
— регуляризации итерационных ме-
методов 183
разностных схем 284
для обратных задач 604
проекционно-сеточные методы 113
проекционные методы 111
проекция 544
прямая задача 587
Равномерная устойчивость по на-
начальным данным 241
разностная задача 111
— лемма Гронуолла 242
— схема 114
Дугласа—Рэкфорда 314
Дюфорта и Франкела 272
Кранка—Николсона 248
переменных направлений 311
782
Предметный указатель
Писмена—Рэкфорда 311
предиктор-корректор 293
расщепления по физическим
процессам 452
Ричардсона 271
с весами 247
с опережением 248
стабилизирующей поправки 314
разреженная матрица 164
регуляризатор 183
регулярно возмущенная задача 94
регулярный режим теплообмена 93
ретроспективная обратная задача те-
теплообмена 588
Самосопряженный оператор 147
сетка 111
симметричная разностная схема 248
сингулярно возмущенная задача 94
смешанные граничные условия 47
собственная функция 80
собственное значение 80
согласованная сетка 201
сопряженный оператор 147
спектральная задача 80
стационарный итерационный метод
175
суммарная аппроксимация 327
Температура ликвидус 53
— солидус 53
теплопроводность 35
термодиффузионная задача Стефана
385
точная разностная схема 131
треугольный итерационный метод
188
трехслойная разностная схема 239
с весами 252
трехслойный градиентный метод 543
Удельная теплоемкость 36
уравнение Бюргерса 87
— непрерывности 56
— теплопроводности 36
уравнения Ламе 69
— Навье—Стокса 57
— пограничного слоя 62
условия сопряжения 44
устойчивость разностной схемы
114
по начальным данным
241
по правой части 241
Факторизованная разностная схема
316
функционал качества 539
функция Грина 82
Чебышевский итерационный метод
176
число Био 77
— Кирпичева 77
— Остроградского 77
— Пекле 78
— Стефана 79
чисто неявная разностная схема
248
Шаблон 115
Экономичная разностная схема 301
энергетически эквивалентные опера-
операторы 148
энергетическое пространство 148
энергия оператора 148
энтальпия фазового перехода 51
Явная схема 240
¦ _.. IJgf ."' •-¦
Издательство УРСС
специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том
числе монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии
наук, научно-исследовательских институтов и учебных заведений.
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с Российским
фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарным
научным фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических
условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания —
от набора, редактирования и верстки до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие.
Самарский А. А., Вабищевин П. И. Аддитивные схемы для задач математической
физики.
Самарский А. А., Вабищевин П. Н. Численные методы решения обратных задач мате-
математической физики.
Самарский А. А., Вабищевин Л. И. Численные методы решения задач конвекции-
диффузии.
Селезнев В. А/., Алешин В. В., Клишин Г. С. Методы и технологии численного модели-
моделирования газопроводных систем.
Бахтияров К. И. Логика с точки зрения информатики.
Ворожцов А. В. Путь в современную информатику.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Оре О. Графы и их применение.
Оре О. Приглашение в теорию чисел.
Понтрягин Л.С. Обобщения чисел.
Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы.
Тарасов В. Б. От многоагентных систем к интеллектуальным организациям: философия,
психология, информатика.
Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.
Уиштекер Э. Г., Ватсон Дж. И. Курс современного анализа.
Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1-3.
Агеев Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах.
Дуцов В. А., Агеев Е. П. Термодинамическая теория растворов.
Мюнстер А. Химическая термодинамика.
Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
Емельянов С. В., Коровин С. К, Бобылев Н.А. Методы нелинейного анализа в задачах
управления и оптимизации.
Галеев Э. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи.
Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения.
Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.
Вигнер Э. Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии.
Поппер К. Р. Объективное знание. Эволюционный подход.
1
V V*
i
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс @95) 135-44-23, тел. 135-42-46
или электронной почтой urss@urss.ru.
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: http://urss.ru
Издательство УРСС
Научная и учебная
литература
Издательство УРСС
Представляет Вам свои лучшие книги:
Пенроуз Р.
НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ.
О компьютерах, мышлении и законах физики.
Монография известного физика и математика Роджера
Пенроуза посвящена изучению проблемы искусственно-
искусственного интеллекта на основе всестороннего анализа дости-
достижений современных наук. Возможно ли моделирование
разума? Чтобы найти ответ на этот вопрос, Пенроуз
обсуждает широчайший круг явлений: алгоритмизацию
математического мышления, машины Тьюринга, тео-
теорию сложности, теорему Геделя, телепортацию материи,
парадоксы квантовой физики, энтропию, рождение Все-
Вселенной, черные дыры, строение мозга и многое другое.
Книга вызовет несомненный интерес как у специали-
специалистов гуманитарных и естественно-научных дисциплин, так и у широкого круга
читателей.
Тарасевич Ю. Ю.
Математическое и компьютерное моделирование.
Вводный курс.
В первой части автор на примерах из физики, хи-
мии, экологии показывает, как составляют и анализиру-
ют дифференциальные модели. Таким образом, первая
часть является введением в качественные методы иссле-
исследования дифференциальных уравнений. Вторая часть
посвящена задачам, когда качественный анализ затруд-
затруднен или невозможен и требуется прямое компьютерное
моделирование процесса. Здесь рассматриваются систе-
системы, проявляющие хаотическое поведение, клеточные
автоматы, задачи перколяции и кинетического роста
и некоторые другие. В приложении приводятся при-
примеры исследования динамической системы с помощью
различных инструментальных средств (Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad) и да-
даются начальные сведения об алгоритмах генерации случайных чисел.
Издательство
УРСС
@95) 135-42-46,
@95) 135-44-23,
urss@urss.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. @95) 925-2457)
«Московский дом книги» (м. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. @95) 203-8242)
«Москва» (и. Охотный ряд, ул. Тверская, 8. Тел. @95) 229-7355)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. @95) 238-5083, 238-1144)
«Дои деловой книги» (м. Пролетарская, ул. Марксистская, 9. Тел. @95) 270-5421)
«Старый Свет» (и. Пушкинская, Тверской б-р, 25. Тел. @95) 202-8608)
«Гнозис» (и. Университет, 1 гум. корпус МГУ, комн. 141. Тел. @95) 939-4713)
«У Кентавра» (РГГУ) (и.Новослободская, ул.Чаянова, 15. Тел. @95) 973-4301)
«СПб. дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 311-3954)