ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 10 (45)
Российская Академия Наук Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова
ИСТОРИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия, выпуск 10 (45), 2005
Изабелла Григорьевна Башмакова
(1921-2005)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия
Выпуск 10(45)
Основаны в 1948 году Г.Ф.Рыбкиным и А.П.Юшкевичем
«Янус-К» Москва
КОВА
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований Проект №05-06-87086
УДК 51(091)
ББК 22.1г
И 902
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 10(45). М.: «Янус-К», 2005. С.392.
ISBN 5-8037-0291-9
Редакционная коллегия:
С.С.Демидов (гл. редактор), А.И.Володарский (зав. отд. информации), Е.А.Зайцев, И.О.Лютер, Ю.В.Прохоров, В.М.Тихомиров, Т.А.Токарева (отв. секретарь), Ч.Форд (США)
Редакционный совет:
А.Г.Барабашев (Россия), У.Боттаццини (Италия), А.Граттан-Гинес (Великобритания), Дж.Даубеи (США), Ж.Домбр (Франция), К.Жилэи (Франция), Э.Кноблох (ФРГ), Р.Кук (США), Г.П.Матвиевская (Россия), Л.Новы (Чехия), Ж.Пайффер (Франция), Л.Пепе (Италия), С.С.Петрова (Россия), Ж.-П.Пир (Люксембург), Р.Рашед (Франция), Б.А.Розенфельд (США), К.Скриба (ФРГ), К.Фили (Греция), М.Фолькертс (ФРГ), Я.Хогендайк (Нидерланды)
ISBN 5-8037-0291-9
© Коллектив авторов, 2005
Научное издание
Коллектив авторов
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 10(45)
Сдано в набор 5.07.2005. Подписано в печать 20.09.2005.
Формат 60x88/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Уч.-изд л. 25. Физ.п.л. 24,5. Тираж 500. Заказ N 682
«Янус-К».
Лицензия на издательскую деятельность ИД №05875 от 21.09.2001.
109316, Москва, ул. Стройковская, д.12, корп.2.	isbn 5-8037-0291-9
Отпечатано в ООО «БИЗНЕСГАРАНТ»
107031, Москва, ул. Рождественка, д.6/9/20, стр.1
Содержание
От редакции.............................................7
К 250 ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Волков В.А. (Москва). Д.Ф.Егоров: новые архивные документы (к истории Московской математической школы) . 13 Тихомиров В.М. (Москва). Лев Генрихович Шнирельман . . 20 Брусенцов Н.П. (Москва). Из истории создания троичных цифровых машин в МГУ...................................28
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Ермолаева Н.С. (Санкт-Петербург). «Он жил, чтобы работать, и работал, чтобы жить, и его биография почти вся укладывается в его библиографию» (библиографические комментарии к «Списку публикаций В.Я.Буняковского») . . 54 Список публикаций В.Я.Буняковского (составители
Н.С.Ермолаева и Т.Н.Сытая', общая редакция и примечания Н.С.Ермолаевои)...........................68
Гузевич Д.Ю., Гузевич И.Д. (Париж). Кто создал
Школу Остроградского или европейский котел на российском топливе..................................93
Гушель Р.З. (Ярославль). Становление отечественной
системы математического образования в начале XIX века . . 120 Королюк В.С. (Киев), Гнеденко Д.Б., Демидов С.С.
(Москва). Страница жизни Бориса Владимировича Гнеденко -историографа математики (постскриптум к выходу второго издания книги «Очерки по истории математики в России») . 126 Демидов С.С., Токарева Т.А. (Москва). Формирование
Советской математической школы........................142
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Щетников А.И. (Новосибирск). Пифагорейский алгоритм для вычисления сторонних и диагональных чисел и понятие семенного логоса........................•.............160
Лютер И. О. (Москва). Арабские традиции «Данных»
Евклида..............................................174
Симонов Р.А. (Москва). Новые материалы по математике Древней Руси..........................................205
Баюк Д.А. (Москва), Форд Ч. (США). Данте-Галилей— Флоренский: к апологии замкнутого космоса.............244
4
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Александрова Н.В. (Москва). Теория рядов в действительной области в трудах Коши...............260
Перминов В.Я. (Москва). Идея абсолютного обоснования математики с точки зрения теории познания............280
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Богачев В.И., Колесников А.В. (Москва). К истокам теории Л-множеств: замечания в связи с переводом работы Хаусдорфа.....................................300
Ф.Хаусдорф. Мощность борелевских множеств
(перевод с немецкого В.И. Богачева и А. В.Колесникова) . . 308
Троицкий В.П. (Москва). Новое слово об античном атомизме 315
А. Ф.Лосев. Атом Демокрита и его инфинитезимальный смысл (публикация А.А. Тахо-Годи\ подготовка рукописи к публикации и примечания В.П.Троицкого).............318
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Конференции..........................................374
Доклады на конференциях и семинарах по истории математики................................375
ABSTRACTS...............................................379
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ.......................................383
Contents
Editorial....................................................7
ON THE 250th ANNIVERSARY OF THE MOSCOW STATE UNIVERSITY
Volkov V.A. (Moscow). D.F.Egorov: New archive documents (to the history of Moscow mathematical school)..............13
Tikhomirov V.M. (Moscow). Lev G.Schnirelman.................20
Brusentsov N.P. (Moscow). From the history of ternary computers created at the Moscow State University............28
MATHEMATICS IN RUSSIA AND THE USSR
Ermolaeva N.S. (Saint-Petersburg). «He lived to work, and worked to live, and his biography almost completely fits into his bibliography» (bibliographic comments to the «List of V.Ia.Buniakovskii's publications»)..........................54
List of V.Ia.Buniakovskii's publications (composed by N.S.Ermolaeva and G.N.Sytaia\ general edition and notes by N.S. Ermolaeva)..........................................68
Gouzevitch D.Iu., Gouzevitch I.D. (Paris). Who had created Ostrogradskii's school or European boiler on Russian fuel ... 93 Gushel R.Z. (laroslavl). Formation of Russian system of mathematical education at the beginning of XIXth century . . 120 Koroliuk V.S. (Kiev), Gnedenko D.B., Demidov S.S. (Moscow). A chapter of the life of Boris V.Gnedenko, a historiographer of mathematics (postscript to the forthcoming second edition of his book «Sketches on history of mathematics in Russia»)........................... .	. 126
Demidov S.S., Tokareva T.A. (Moscow). Formation of the Soviet mathematical school..........................142
MATHEMATICS IN ANTIQUITY AND MIDDLE AGES
Shchetnikov A.I. (Novosibirsk). A Pythagorean algorithm for the calculation of side-and-diagonal numbers and the notion of seminal logos................................160
Luther I.О. (Moscow). Arabic traditions of Euclid's «Data» . 174 Simonov R.A. (Moscow). New materials on ancient Russian mathematics................................................205
Bayuk D.A. (Moscow), Ford Ch. (USA). Dante—Galileo— Florenskii: to the apology of closed cosmos................244
6
ARTICLES
Alexandrova N.V. (Moscow). Theory of series in the real domain in the works by A. Cauchy..............260
Perminov V.Ia. (Moscow). The idea of absolute foundation of mathematics from the point of view of theory of knowledge. 280
OUR PUBLICATIONS
Bogachev V.I., Kolesnikov A. V. (Moscow). Towards the sources of the theory of А-sets: remarks in connection with a Russian translation of Hausdorff's work............300
F.Hausdorff. The cardinality of Borel sets (Russian translation from German by V. I. Bogachev and A. V. Kolesnikov).......308
Troitskii V.P. (Moscow). A new word about antique atomism 315 A. F. Losev. Democrit's atom and its infinitesimal sense (publication by A.A.Takho-Gody, preparation and
notes by V.P.Troitskii).................... .... . 318
CURRENT SCIENTIFIC NEWS
Conferences...............................................374
Papers presented at conferences and seminars on the history of mathematics.............................375
ABSTRACTS.....................................................379
INDEX OF NAMES	....	  383
От редакции
Десятый выпуск «Историко-математических исследований открывается разделом, посвященным знаменательной дате в истории отечественной науки, торжественно отмечаемой в нашей стране, - 250-летию Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Он составлен из материалов, касающихся славного для университетской истории математики XX века: статьи о жизни и творчестве выдающегося математика, одного из основателей Московской школы теории функций, Дмитрия Федоровича Егорова (1869-1931); работы нашего известного математика, члена редколлегии сборника В.М.Тихомирова о рано ушедшем из жизни замечательном представителе этой школы Льве Генриховиче Шнирельмане (1905-1938) и очерка по истории электронно-вычислительной машины «Сетунь», написанного одним из ее создателей Н.П.Брусенцовым.
К первому разделу естественно примыкает рубрика «Математика в России и СССР», включающая: наиболее полный на сегодняшний день список публикаций В.Я.Буняковского (1804-1889); статью о научной школе М.В.Остроградского (1801-1862); заметку о становлении отечественной системы математического образования в начале XIX в.; материалы о предпринятой в конце 1952 — начале 1953 гт. идеологической атаке на выдающегося отечественного математика Б.В.Гнеденко (1912—1995) в связи с предполагавшимся тогда вторым изданием его известных «Очерков по истории математики в России» (в подготовке этих материалов принял участие его ученик — известный украинский математик В.С.Королюк). Завершает раздел исследование С.С.Демидова и Т.А.Токаревой, в котором авторы анализируют когнитивные и социальные предпосылки формирования Советской математической школы - одной из наиболее влиятельных школ XX века.
Традиционный для нашего издания раздел «Математика античности и средних веков» содержит: оригинальную трактовку пифагорейского алгоритма для вычисления сторонних и диагональных чисел; анализ арабских традиций «Данных» Евклида; работу о математических знаниях в Древней Руси; а также исследование о геометрии космоса у Данте и ее интерпретации П. А. Флоренским.
Под рубрикой «Статьи различного содержания» публикуются работы: о Рядах в действительной области у О.Коши; об основаниях математики известного философа В.Я.Перминова.
«Наши публикации» представлены первым комментированным переводом на русский язык работы Ф.Хаусдорфа об A-множествах (столь значимой Для истории Московской школы теории функций действительного переменного) и ранее не публиковавшейся статьи выдающегося русского философа А-Ф.Лосева об инфинитезимальном смысле атомизма Демокрита.
Завершает сборник «Научная хроника».
8
Сборник выходит в год 100-летия выдающегося русского математика, академика Сергея Михайловича Никольского. Редколлегия шлет ему свои поздравления и пожелания крепкого здоровья и дальнейших творческих успехов.
♦ ♦ *
ИЗАБЕЛЛА ГРИГОРЬЕВНА БАШМАКОВА (3 января 1921-17 июля 2005)
17 июля 2005 г. скончалась Изабелла Григорьевна Башмакова, выдающийся российский историк математики. Случилось это на даче в Звенигороде и стало результатом продолжительного тяжелого недуга, в основе которого лежала мучившая ее в последние годы болезнь Паркинсона.
Изабелла Григорьевна родилась 3 января 1921 г. в Ростове-на-Дону в высокообразованной армянской семье. Ее отец, Григорий Георгиевич Башмаков, был известным адвокатом, учеником знаменитого юриста П.И.Новгородцева, главы московской школы философии права. Мать, Анна Ивановна, урожденная Аладжалова, была женщиной европейской культуры и редкого обаяния.
В 1932 г. семья переехала в Москву. Дети (а у Изабеллы Григорьевны была еще младшая сестра Татьяна Григорьевна) росли в доме наполненном книгами (старшие ученики и коллеги Изабеллы Григорьевны помнят их замечательную библиотеку на Воронцовской - старые шкафы, набитые вековой давности изданиями, энциклопедиями, подшивками дореволюционных журналов, таких как «Вопросы философии и психологии»), в атмосфере духовности. Среди друзей дома - знаменитые ученые, такие как физиолог, академик М.Х.Чайлохян; выдающиеся деятели искусства — поэты Б.Л.Пастернак и С.Я. Маршак. Девочки очень любили поэзию. Изабелла Григорьевна была ее глубоким знатоком, любила Пушкина и Тютчева, сама писала стихи и одно время мечтала посвятить себя поэзии. С юности она увлекалась также математикой, и именно это увлечение предопределило ее дальнейшую судьбу. В 1938 г. она поступила на механико-математический факультет Московского университета, с которым оказалась связанной вся ее жизнь.
Во время войны с факультетом она очутилась в эвакуации в Средней Азии. Работала в Самарканде медицинской сестрой в военном госпитале. В 1943 г. вернулась в Москву, в Университет. Здесь она познакомилась с известным специалистом в области истории и философии математики С.А.Яновской и стала ее любимой ученицей - так история математики превратилась в предмет ее дальнейших занятий. В те же годы она повстречалась с Андреем Ивановичем Лапиным (1922—1996) превосходным математиком, ставшим ее супругом. Оригинальный и глубокий мыслитель, он оказал на нее огромное влияние. С ним она обсуждала идеи своих работ, темы будущих исследований. Андрей Иванович привил Изабелле Григорьевне интерес к античной культуре, и именно античная математика стала центральной темой ее творчества, наряду с историей алгебры и теории чисел. Большую роль в ее творческой жизни играли дружеские отношения с научным руководителем и другом Андрея Ивановича знаменитым российским математиком И. Р.Шафаревичем.
9
Древнегреческая математика и история теории алгебраических чисел составили предмет ее кандидатской диссертации «Из истории теории делимости», которая была защищена на механико-математическом факультете Московского университета в 1948 г. Официальными оппонентами выступили А.О.Гельфонд и А.П.Юшкевич. В этой работе был проведен анализ арифметических книг «Начал» Евклида и показано, что общепринятое тогда мнение Г.Цейтена, что эти книги уступают прочим в отношении строгости изложения и, более того, что евклидово доказательство основной теоремы теории делимости целых чисел содержит порочный круг, не имеет под собой оснований [1]. В части диссертационного исследования, посвященной дальнейшему развитию теории делимости, большое внимание уделялось так называемым локальным методам Е.И.Золотарева, зачастую недооценивавшимся в западной литературе [2].
Уже в первых исследованиях Изабеллы Григорьевны проявились характерные черты ее стиля. Это - привычка к четкости и строгости историко-математических утверждений, стремление исследовать математические тексты прошлого с позиций науки сегодняшнего дня, удивительная ясность мысли и простота ее языкового выражения. Немалое влияние оказал на нее наш крупнейший историк математики А.П.Юшкевич, с которым она поддерживала неизменные дружеские отношения и тесно сотрудничала.
С 1948 г. Изабелла Григорьевна стала сотрудником, а с 1949 - доцентом механико-математического факультета Московского университета. Тогда же она начала чтение общего курса по истории математики, который с неизменным успехом продолжала до начала 1990-х, когда состояние здоровья вынудило ее прекратить активную деятельность. Части этого курса, посвященные истории алгебры, вошли в написанную совместно с Г.С.Смирновой главу «Возникновение и развитие алгебры» в книге «Очерки по истории математики» (1997) [3]. В 2000 г. эта глава была переведена на английский и вышла в виде самостоятельного издания в США [4].
На протяжении своей более чем полувековой университетской карьеры она прочитала множество специальных курсов по различным вопросам истории математики - истории математики в Древней Греции (ранняя версия этого курса была издана в 1958 г. в XI выпуске «Историко-математических исследований» [5]); истории диофантова анализа, коммутативной алгебры, алгебры и теории чисел. Замечательный педагог, Изабелла Григорьевна умела просто и доходчиво и в то же время чрезвычайно увлекательно излагать сложный в техническом отношении материал. Читая лекции не очень громко, она умела безо всякого видимого усилия добиваться от слушателей абсолютного внимания - стояла мертвая тишина, и было отчетливо различимо каждое ее слово. На лице у нее всегда бродила улыбка, и взгляд был направлен поверх голов слушателей, куда-то в бесконечность. Лекции эти стали замечательной историко-математической школой для нескольких поколений студентов и аспирантов Московского университета. Последние свои курсы она читала в начале нынешнего столетия у себя дома — добираться до Университета Из-за болезни стало сложно.
На основании исследований по математике Древней Греции, осуществленных во второй половине 1940-х-1950-е гт., Изабелла Григорьевна в 1961 г. защитила докторскую диссертацию. Защита прошла на ее родном
10
факультете. Оппонентами выступили В.П.Зубов, А.И.Маркушевич, Б.А.Розенфельд и А. П. Юшкевич. В 1968 г. ей было присвоено звание профессора. К своим обязанностям профессора Московского университета она относилась с большой ответственностью и звание заслуженного профессора Московского университета, которым была удостоена в 1999 г., ценила особо.
Основное внимание Изабеллы Григорьевны в 1960-1980-е гт. было сосредоточено на истории диофантова анализа. Вместе с И.Н. Веселовским в 1974 г. она осуществила комментированное издание русского перевода •♦Арифметики» Диофанта [6]. Используя инструментарий современной математики, она показала, что зто сочинение является не простым собранием задач, решенных в каждом отдельном случае особым искусным и в то же время искусственным приемом, как думали ранее, но представляет собой изложение общих методов решения неопределенных уравнений, продемонстрированных, за неимением подходящей символики, на специально подобранных примерах. Открылось ускользнувшее от предшествующих исследователей тесное родство методов Диофанта с методами, развитыми П.Ферма, Л.Эйлером, К.-Г.Якоби, наконец, А.Пуанкаре и Л.Морделлом. Основные результаты Изабеллы Григорьевны были изложены в получившей широкую известность небольшой по объему, но идейно насыщенной книге « Диофант и диофантовы уравнения», появившейся в 1972 г. [7] и переведенной в 1974 г. на немецкий [8], а в 1999 на английский [9] языки. Влияние этой книги на современную историю математики трудно переоценить. Вместе с вышедшей в 1984 г. книгой «История диофантова анализа от Диофанта до Ферма» [10], написанной в соавторстве с Е.И.Славутиным, эти работы полностью изменили наше представление о творчестве Диофанта и внесли существенные коррективы в понимание математики в эпоху эллинизма и последующее развитие математического знания.
Эти исследования, а также работы о дифференциальных методах Архимеда и их влиянии на европейскую математику XVI-XVII вв. [11], об «Исчислении треугольников» Ф.Виета (совместно с Е.И.Славутиным) [12], выдвинули ее в число крупнейших современных историков математики. Многие ее работы вышли в греческом, французском, английском и немецком переводах. В 1966 г. она была избрана членом-корреспондентом, а в 1971 г. - действительным членом Международной академии истории науки. В 2001 г. за исследования по истории теории чисел она была удостоена наиболее престижной среди историков науки премии — медали Александра Койре Международной академии истории науки.
Замечательный педагог, человек удивительной доброты и отзывчивости, Изабелла Григорьевна была притягательным центром для молодежи. Многих своих учеников она вовлекла в работу простым человеческим расположением и участием. Для работающих под ее руководством студентов и аспирантов она была не просто научным руководителем, но близким человеком, готовым придти на помощь в сложных жизненных обстоятельствах. Изабеллой Григорьевной была создана научная школа, представители которой работают в различных областях истории математики. Затруднительно назвать точное число учеников Башмаковой. Назовем имена некоторых наиболее известных из них: Н.В.Александрова, А.А.Антропов, Г.О.Байгожина, Э.И.Березкина, Иоаннис Вандулакис (Греция), С.С.Глушков, Джамаль ад-Даббах (Ирак),
11
А.П.Каучикас, Т.А.Лавриненко, В.Г.Моров, Лейла аль-Сайед Мохамед (Египет), Е.И.Славутин, Г.С.Смирнова, Яо Фан (Китай).
Можно сказать, что в той или иной мере большинство работающих ныне российских историков математики являются учениками Изабеллы Григорьевны Башмаковой. Многим довелось слушать ее блестящие лекции, значительно число тех, кто участвовал в заседаниях научно-исследовательского семинара по истории математики МГУ, одним из руководителей которого (вместе с К.А.Рыбниковым, А.П.Юшкевичем и С.А.Яновской) она была на протяжении более половины столетия. Точные замечания и комментарии к докладам, сделанные Изабеллой Григорьевной, были настоящей школой, как для начинающих исследователей, так и для умудренных опытом коллег. На ее книгах и статьях воспитывались поколения математиков и историков математики.
Тем же, кому посчастливилось бывать в ее доме, а число таких людей было достаточно велико - это и ее ученики и коллеги, многочисленные друзья, математики и историки науки (назовем здесь М.И.Зеликина, А.Н.Паршина) — никогда не забудут удивительной атмосферы этого дома, ставшего одним из интеллектуальных центров Москвы второй половины XX в.
Для «Историко-математических исследований» смерть Изабеллы Григорьевны Башмаковой особая потеря. Уже долгие годы она была членом редколлегии нашего издания. У нас в 1948 г. вышла в свет ее первая печатная работа — «Арифметические книги “Начал" Евклида» [1]; у нас впервые публиковались все ее главные результаты. Она была последним оставшимся в живых автором первого выпуска «Историко-математических».
С уходом Изабеллы Григорьевны завершилась целая эпоха в жизни нашего историко-математического сообщества, эпоха, которую открывали славные имена М.Я.Выгодского, С.А.Яновской, А.П.Юшкевича, которая была отмечена блестящими результатами целой плеяды выдающихся ученых, составлявших в своей совокупности одну из ведущих историко-математических школ XX столетия - Советскую историко-математическую школу. В жизни этого сообщества Изабелла Григорьевна Башмакова играла особую роль. Женщина удивительной красоты, которую она сохраняла даже в последние годы, будучи немолодым и тяжело больным человеком, поразительных душевных качеств, она была одной из главных его интеллектуальных и моральных опор, живой связью с великой русской культурой прошлого.
Статьи об И.Г.Башмаковой
1-	Александров П.С., Гнеденко Б.В., Демидов С.С., Колмогоров А.Н., Паршин А.П., Петрова С.С., Юшкевич А.П. Изабелла Григорьевна Башмакова (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. 1981. Т.36. Вып.5(221). С.211-214.
2.	Демидов С.С., Паршин А.Н., Петрова С.С., Рыбников К.А., Смирнова Г.С., Тихомиров В.М., Шафаревич И.Р. Изабелла Григорьевна Башмакова (к восьмидесятилетию со Дня рождения) // Успехи математических наук. 2001. Т.56. Вып.4(340). С. 169-172.
3.	Demidov S.S., Parshin A.N., Shafarevich I.R., Petrova S.S., Smirnova G.S., Tikhomirov V.M. Isabella Grigoryevna Bashmakova on the Eightieth Anniversary of Her Birth // Historia Mathematica. 2002. Vol.29. P.370—382.
12
Цитированная литература
1.	Башмакова И.Г. Арифметические книги «Начал» Евклида // Историко-математические исследования. М.-Л., 1948. Вып.1. С.296-328.
2.	Башмакова И.Г. Основания теории делимости в трудах Е.И.Золотарева // Историко-математические исследования. М.-Л., 1949. Вып.2. С.233-351.
3.	Башмакова И.Г., Смирнова Г.С. Возникновение и развитие алгебры // Очерки по истории математики / Под ред. Б.В.Гнеденко. М., 1997. С.94-246.
4.	Bashmakova I.G., Smirnova G.S. The Beginnings and Evolution of Algebra // The Dolciani Mathematical Expositions. №23. The Mathematical Association of America. Washington, DC, 2000. 179 p.
5.	Башмакова И.Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. М., 1958. Вып.Х!. С.225-438.
6.	Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах / Перевод с древнегреческого И.Н.Веселовского под редакцией и с комментариями И.Г.Башма-ковой. М., 1974. 328 с.
7.	Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. М., 1972. 68 с.
8.	Bashmakova I.G. Diophant und diophantische Gleichungen. Basel-Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1974. 84 S.
9.	Bashmakova I.G. Diophantus and Diophantine Equations // The Dolciani Mathematical Expositions. №20. The Mathematical Association of America. Washington, DC, 1999. 104 p.
10.	Башмакова И.Г., СлавутинЕ.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М., 1984. 256 с.
И. Башмакова И.Г. Дифференциальные методы в работах Архимеда // Историко-математические исследования. М., 1953. Вып-VI. С.609-658.
12. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. Исчисление треугольников Ф.Виета и исследование диофантовых уравнений // Историко-математические исследования. М., 1976. Вып.ХХ!. С.78-101.
I
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Д.Ф.ЕГОРОВ: НОВЫЕ АРХИВНЫЕ ДОКУМЕНТЫ (К ИСТОРИИ МОСКОВСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ)1)
В.А.Волков
О жизни и деятельности выдающегося математика Дмитрия Федоровича Егорова (1869—1931), основателя и главы (вместе со своим учеником Н.Н.Лузиным) знаменитой Московской школы теории функций действительного переменного, имеется ряд публикаций.1 Между тем сохранившиеся до настоящего времени многочисленные архивные документы опубликованы лишь частично и до сих пор во многом остаются неизвестны исследователям.
В Центральном историческом архиве Москвы (ЦИАМ) в фонде Московского университета (Ф.418) сохранился ряд документов о студенческих годах Егорова и его преподавательской деятельности в Дореволюционный период. В их числе студенческое дело (Ф.418. Оп.301. Д.241), включающее подлинник аттестата зрелости (1887) золотого медалиста 6-й московской гимназии Дмитрия Егорова, метрическое свидетельство, формулярный список отца, учителя 2-й московской военной гимназии, студенческая фотография, отпуск диплома 1-й степени об окончании университета (1891). Сохранились студенческие конспекты Егорова лекций по высшей математике (Оп.513. Д.2744) и по теории чисел (Оп.513. Д.2745). В деле испытательной комиссии (Оп.79. Д.205) сохранились в хорошем состоянии письменные ответы Егорова на вопросы билетов по математике и механике, а также записка в комиссию профессора В.Я.Цингера от 7(19) марта 1891 г. о том, что у него находится на просмотре дипломное
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (Проект №05-03-003121а).
14
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
сочинение Егорова «О конфокальных поверхностях 2-го порядка в пространствах постоянной кривизны». Наконец, в деле «Об оставлении при Московском университете Д.Ф.Егорова» (Оп.бО. Д.437) представлено ходатайство (1891) профессоров В.Я.Цингера и П.А.Некрасова об оставлении молодого специалиста на два года при Университете для приготовления к профессорскому званию.2 В ЦИАМ сохранились также документы обо всех этапах прохождения Егорова по служебной лестнице: с 1893 — приват-доцент (Оп.62. Д.526), с 1903 — экстраординарный, с 1909 — ординарный профессор (Оп.87. Д.58). В 1899 г. Егоров защитил магистерскую («Уравнения с частными производными второго порядка» — Оп.68. Д.372), а в 1901 г. — докторскую («Об одном классе ортогональных систем» — Оп.70. Д.198) диссертации по чистой математике.
Интересные подробности из личной жизни Егорова содержит его формулярный список (Оп.487. Д.123). В частности, из него мы узнаем, что 5(18) октября 1908 г. он вступил в брак с австрийской подданной Анной Ивановной Гржимали (родилась 1 июня 1877 г.), римско-католического вероисповедания, дочерью известного скрипача и педагога, профессора Московской консерватории.3
Из послужного списка известно также, что с августа 1894 г. по апрель 1900 г. Егоров совмещал работу в Университете с преподаванием математики в Московском николаевском сиротском институте.
Многие документы свидетельствуют о редкой способности Егорова отличать и привлекать к научной работе способных студентов, заботиться о них и защищать от произвола властей. Сохранилось письмо Егорова от 10(23) августа 1907 г. ректору университета А.А.Мануйлову с просьбой об облегчении участи арестованного студента 2-го курса В.А.Костицына: «Владимир Александрович Костицын арестован в Петербурге (с месяц), числится за губернским жандармским управлением. Человек болезненный; долгое заключение может повлиять вредно. Отец хлопочет, чтобы отпустили. Я лично знаю Костицына как выдающегося студента, весьма талантливого и преданного науке. Нельзя ли что-нибудь сделать для облегчения его участи» (Оп.316. Д.441. Л.17). Обращение Егорова не возымело действия.4 Костицын был освобожден из заключения в конце 1908 г. и вскоре, опасаясь нового ареста, уехал за границу, поступил в Парижский университет, но не прерывал контактов со своим учителем. Со временем Костицын стал выдающимся ученым, причем его труды охватывали широкий круг научных проблем — математику, астрофизику и теоретическую экологию.5
Ближайший ученик Егорова — Н.Н.Лузин в своей автобиографии (1910) писал: «В 1906 г. подал зачетное сочинение на тему “О одном методе интегрирования дифференциальных уравнений”. В том же году кончил Университет с дипломом 1-й степени и был оставлен на
В. А. Волков
15
кафедре чистой математики профессором Дмитрием Федоровичем Егоровым...».6 Сохранились многочисленные ходатайства Егорова о командировании Лузина для научного усовершенствования за границу, о выделении ему необходимых денежных средств на время командировки.7
В числе учеников Егорова был и Петр Александрович Вальтер, впоследствии выдающийся специалист в области прикладной механики, член-корреспондент АН СССР (1933). В своей научной автобиографии (1937) Вальтер с гордостью писал: «Университет окончил в 1910 г. по математическому отделению. Работу писал у проф. Д.Ф. Егорова по вопросу о продолжении аналитической функции, имеющей кольцевую область особенностей, за эту область».8
В ЦИАМ сохранилось личное дело и другого ученика Егорова — Бориса Михайловича Асафова, выпускника Университета 1912 г., выполнившего под руководством Егорова дипломное сочинение «Определенный интеграл по Riemann и Lebesgue», к этому сочинению приложена записка Егорова в физико-математический факультет: «Честь имею покорнейше просить физико-математический факультет ходатайствовать о разрешении оставить при Университете для приготовления к профессорскому званию Бориса Михайловича Асафова. Г-н Асафов за время университетского курса выделялся успешными занятиями, преданностью науке, начитанностью в математической литературе. Он принимал деятельное участие в работах математического студенческого кружка и в занятиях математического семинария. Сочинение, представленное им, свидетельствует о большой начитанности в математической литературе и о несомненном даровании. Могу засвидетельствовать, что г. Асафов свободно владеет французским и немецким языками и в достаточной степени английским и итальянским...». Здесь же к записке приложена инструкция для занятий Асафова, составленная Егоровым (автограф).9 К сожалению, не удалось обнаружить сведений о дальнейшей судьбе Асафова. Известно лишь, что он родился 3(15) декабря 1888 г. в Москве. Его отцом был потомственный почетный гражданин Михаил Гаврилович Асафов, матерью — дочь австрийского подданного Надежда Иосифовна, урожденная Пальк. Отец умер в 1904 г. Среднее образование Асафов получил в 6-й московской гимназии, которую окончил с серебряной медалью в 1907 г.
Заслуживает интереса и автограф Егорова на студенческой дипломной работе, выполненной под его руководством будущим выдающимся математиком И.Г.Петровским: «Работу признаю вполне удовлетворяющей требованиям, предъявляемым к дипломным работам, Тема ее весьма интересна, исполнение удачное. Полагаю возможным Допустить к защите».10
16
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сохранилось письмо Егорова ректору Московского университета М.К.Любавскому от 26 января (8 февраля) 1917 г., в котором Егоров выражал желание продолжать службу в Университете в занимаемой должности ординарного профессора; это письмо было написано в связи с 25-летием научно-педагогической деятельности: такой стаж давал право на отставку.11 Егоров был не только оставлен в прежней должности, но и 20 мая (2 июня) 1917 г. был избран на 4 года помощником ректора.12 В этой должности он развил активную деятельность (особенно в трудном 1918 г.) по части своевременной выдачи денежных средств лицам, оставленным при Университете для усовершенствования, о чем свидетельствуют его многочисленные письма в Отдел высших учебных заведений Комиссариата по просвещению.13 Вообще, следует заметить, что в советский период исключительно активизировалась деятельность Егорова по защите прав и обеспечению сносных условий для жизни и работы его сотрудников. Он затрачивал много усилий на бесконечную переписку с совучреждениями по поводу обеспечения сотрудников продовольственными пайками, улучшения их жилищных условий, добивался возможности получать заграничную научную литературу.
На протяжении ряда лет Егоров обращался в Комиссию содействия ученым (КСУ) с просьбой об улучшении условий жизни Н.К.Бари.14 13 января 1922 г. он писал: «Нина Карловна Бари окончила математическое отделение физико-математического факультета Московского университета в 1921 году и была отставлена при Университете научным сотрудником при кафедре чистой математики. В течение университетского курса Нина Карловна работала в математическом семинарии и принимала деятельное участие в организации студенческого математического кружка.
В настоящее время Нина Карловна интенсивно работает, изучая математическую литературу, и самостоятельно исследует вопрос о единственности тригонометрического разложения функций.
В этом направлении ею получены интересные результаты, изложенные в работе, которая при первой возможности будет напечатана.
Параллельно со своими собственными научными занятиями Нина Карловна ведет упражнения по высшей математике в нескольких ВУЗах...».15
31 августа 1926 г. Егоров вновь обращается в Комиссию содействия ученым: «Нина Карловна Бари закончила аспирантский стаж, — писал он,— защитила с выдающимся успехом представленную в Совет Научно-исследовательского института математики и механики работу “О единственности разложения в тригонометрических рядах”. Работа эта по представлению коллегии Института была премирована Главнаукой. У Нины Карловны имеется ряд работ, напечатанных в повременных изданиях или принятых к напечатанию, преимущественно в
В.А.Волков
области теории тригонометрических рядов (вопрос о единственности разложения, в области которого Нина Карловна специально работала и получила ценные результаты), отчасти других вопросов теории функций действительного переменного (интеграл Лебега—Стилтьеса, абсолютно непрерывные функции от абсолютно непрерывной). Ею прочитан ряд докладов в Московском математическом обществе, членом которого она состоит.
В лице Нины Карловны мы имеем талантливого математика, вполне себя зарекомендовавшего и продуктивно работающего в области избранной специальности. Ввиду этого не может быть сомнения в том, что она может быть рекомендована по основной категории (Б). Профессор 1-го МГУ, директор Научно-исследовательского института математики и механики	Д.Егоров».16
Чтобы помочь своим сотрудникам, Егорову иногда приходилось прибегать даже к авторитету видных иностранных ученых. Так, в письме в КСУ от 20 февраля 1926 г. с отзывом о научной работе аспиранта Льва Абрамовича Тумаркина17 Егоров писал: «Л.А.Тумаркин является ближайшим учеником покойного П.С.Урысона и П.С.Алек-сандрова, который в настоящее время находится в научной командировке в Голландии. Его специальность — топология, и в этой области он, несмотря на свою молодость, успел получить несколько весьма ценных результатов, обративших на него внимание такого первоклассного специалиста, как члена Амстердамской академии наук, профессора L.E.J.Brouwer18, отзыв которого, в копии, при сем прилагаю.
Я сам высоко ценю талант и познания Л.А.Тумаркина, зная его по работе в Университете и в Институте и по его докладам в Московском математическом обществе, и полагаю, что он, как имеющий научные труды, принятые уже к напечатанию в “Математическом сборнике”, в “Fundamenta Mathematicae” и в “Proceedings” Амстердамской академии, мог бы быть зачислен в I категорию, по крайней мере. Профессор МГУ,
Директор Научно-исследовательского
института математики и механики	Д.Егоров».19
К письму Егорова приложена машинописная копия отзыва
Л.Э.Я.Брауэра (на немецком языке): «Amsterdam, 4 Dezember 1925
Der Unterzeichnete, Prof. Dr. L.E.J.Brouwer, Mitglied der Akademien der Wissenschaften zu Amsterdam, Halle und ^ft^CWflt^ erklart hier mit seine Meinung, dass die von Herrnck
Moskau in den Proceedings der Amsterdamer Akaderafe'. erg^fenisi	\
Wissenschaftlichen Abhandlungen:	1I &
1\ ^pkobaB'1' Z
18
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1. Zur allgemeinen Dimensionstheorie,
2. Uber stetige Zerlegungen kompakter Raume, emen entscheideden Fortschritt der allgemeinen Topologie bedeuten und Herrn Tumarkin aufs unzweideutigste als selbstandigen Forscher und als scharfsinnigen Gelehrten qualifizieren».
( «Амстердам,
4 декабря 1925 г.
Я, нижеподписавшийся профессор, доктор Л.Э.Я.Брауэр, член научных академий Амстердама, Галле и Геттингена, высказываю настоящим свое мнение, что опубликованные в “Трудах” Амстердамской академии наук работы г-на Л.Тумаркина из Москвы:
1. К общей теории размерности,
2. О непрерывных разложениях компактных пространств, представляют собой решающий прогресс в общей топологии и самым несомненным образом характеризуют г-на Тумаркина как самостоятельного исследователя и как проницательного ученого».)
К отзыву Брауэра П.С.Александров 6 января 1926 г. сделал приписку:
«Считая излишним что-либо присоединять к вышеизложенному суждению проф. Brouwer'а, считаю нужным лишь заметить, что более подробная характеристика научных работ Л.А.Тумаркина представлена мною в Коллегию Научно-исследовательского института математики и механики и может быть мною, в случае надобности, вторично сообщена надлежащим учреждениям или лицам.
П.Александров 6.1.1926 г.»20
Егоров открыто придерживался религиозных убеждений и отказывался признавать диалектический материализм. В декабре 1929 г. на собрании молодых научных кадров МГУ он подвергся острой критике и был освобожден от должности директора НИИ математики и механики. В октябре 1930 г. Егоров был арестован сотрудниками ОГПУ, затем выслан на 5 лет в административном порядке в Казань, где и скончался.
Примечания
* См., например: Кузнецов П.И. Дмитрий Федорович Егоров (к 100-летию со дня рождения) // Успехи математических наук. 1971. Т.26. Вып.5. С. 169-206; Письма Ф.Д.Егорова к Н.Н.Лузину / Предисловие П.С.Александрова. Публикация и примечания Ф.А.Медведева при участии А. П. Юшкевича // Историко-математические исследования. М., 1980. Вып.25. С.335-361; Ford Ch. Dmitrii Egorov: Mathematics and religion in Moscow // The Mathematical Intelligencer. 1991. Vol.13. №2. P.24-30; Шесть неизвестных автографов Д.Ф.Егорова / Публикация, примечания и комментарии В.А.Волкова // Историко-математические исследования. СПб., 1994. Вып.35. С.324-336; Демидов С.С. Профессор Московского университета Д.Ф.Егоров н имес-лавие в России в первой трети XX века // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1999. Вып.4(39). С.123-155.
В. А. Волков 19
пространствах постоянной кривизны» и «Некоторые формулы и соотношения из теории интегралов по делителям», рекомендацию В.Я.Цингера, справки о знании Егоровым французского, немецкого, английского и итальянского языков, инструкцию для занятий в университете и др.), представленный попечителем Московского учебного округа в октябре 1891 г. в Министерство народного просвещения, хранится в Российском государственном историческом архиве в Петербурге (РГИА. Ф.733. Оп.150. Д.728. Л.180-188).
3	Гржимали Иван Войцехович (1844-1915), скрипач и педагог. По национальности чех. Родился в Пльзене. Учился в Пражской консерватории в 1855-1861 гг. Выступал на концертах еще 8-летним мальчиком. Концертировал по Германии и Нидерландам, а с 1869 г. жил в России: в 1869 г. Н.Г.Рубинштейн пригласил его в Московскую консерваторию (с 1875 г. профессор). Играл на скрипке работы Страдивари, возглавлял струнный квартет Московского отделения Русского музыкального общества. Умер в Москве.
4	В Государственном архиве Российской Федерации (ГАРФ) мною обнаружены тюремные фотографии В.А.Костицына, «задержанного 2(15) июня 1907 г. при ликвидации боевой дружины и СД» (ГАРФ. Ф.1742. Оп.1. Д.17674).
5	Подробнее о жизни и деятельности В.А. Костицына (1883-1963) см. в биографическом очерке, написанном Н.С.Ермоловой, вкн.: «Русское зарубежье. Золотая книга эмиграции. Первая треть XX века. Биографический словарь». М., 1997. С.310-311; Моисеев И.И. Предисловие редактора // В. А. Костицын. Эволюция атмосферы, биосферы и климата. М., 1984.
6	Российский государственный исторический архив (РГИА). Ф.733. Оп.154. Д.613. Л.117.
7	РГИА. Ф.733. On.155. Д.31. Л.292-292об.
8	ГАРФ. Ф.Р-4737. Оп.2. Д.830. Л.2-3. Дипломная работа П.А.Вальтера «Идеи относительно обобщенного аналитического продолжения функции» хранится в ЦИАМ (Ф.418. Оп.513. Д.1212). Подробнее о жизни и деятельности П.А.Вальтера см.: Волков В.А. Архивные материалы: Автобиография П.А.Вальтера / / Исследования по истории физики и механики. 1998-1999. М., 2000. С.196-200.
9	ЦИАМ. Ф.418. Оп.90. Д.426. Л.13-15.
10	ЦИАМ. Ф.418. Оп.331. Д.2279. Л.23.
" ЦИАМ. Ф.418. Оп.95. Д.821. Л.4.
12	ЦИАМ. Ф.418. Оп.95. Д.855. Л.4-6.
13	Центральный муниципальный архив Москвы (ЦМАМ). Ф.1609. Оп.1. Д.40. Л.55-79об.
14	Бари Нина Карловна (1901—1961), математик. Окончила МГУ (1921). В 1921—1961 гг. работала в Московском лесотехническом институте, с 1926 г. одновременно преподавала в МГУ (с 1934 г. профессор). Исследования относятся к теории функций действительного переменного.
15	ГАРФ. ф.Р-4737. Оп.2. Д.727. Л.13-13об.
16	Там же. Л.Иоб.
Тумаркин Лев Абрамович (1904-1974), математик, профессор (1931), доктор физико-математических наук (1936). Окончил МГУ (1925). Работал в МВТУ (1931-1938). С1929 г. — в МГУ, в 1936-1940 гг,—декан мехмата МГУ. Основные труды в области общей топологии.
Брауэр Лейтзен Эгберт Ян (1881-1966), голландский математик, член Нидерландской АН (с 1912 г.). В 1912-1951 гг.- профессор Амстердамского университета. Труды по конструктивной логике, основаниям математики, топологии.
” ГАРФ. ф.р-4737. Оп.2. Д.2133. Л.9.
Там же. Л.10. Александров Павел Сергеевич (1896-1982), математик, основатель научной школы по топологии, академик АН СССР (1953).
20
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЛЕВ ГЕНРИХОВИЧ ШНИРЕЛЬМАН
В. М. Тихомиров
В январе 2005 г. исполнилось сто лет со дня рождения Л.Г.Шни-рельмана — одного из самых замечательных московских математиков тридцатых годов.
Еще не до конца осмыслено чудо двадцатого века: феномен лу-зинской математической школы. В 1914 г. в Москве работал лишь один математик, имевший международный авторитет (причем в достаточно узкой области дифференциальной геометрии). Это был — Дмитрий Федорович Егоров. А во Франции творили такие гиганты, как А.Пуанкаре, Э.Пикар, Ж.Адамар, А.Лебег, Э.Борель, в Германии - Ф.Клейн, Д.Гильберт, Г.Вейль — великие математики, широчайшего диапазона. Они принадлежали двум крупнейшим математическим школам, формировавшимся несколько столетий! И вот прошло всего двадцать лет - ничтожный исторический срок, причем семь лет из них шли войны, опустошившие нашу страну и оборвавшие какие бы то ни было научные контакты. Но когда в середине тридцатых годов известного американского тополога Соломона Лефшеца спросили, кто, по его мнению, является самым замечательным молодым математиком во все мире, он назвал четверых: А.О.Гельфонда, решившего одну из проблем Гильберта; А.Н.Колмогорова, внесшего выдающийся вклад в теорию тригонометрических рядов, в теорию вероятностей, в топологию и многие другие области математики; Л.С.Понтрягина, открывшего новые области в топологии и анализе, и Л.Г.Шнирельмана, получившего поразительные результаты в теории чисел, топологии и вариационном исчислении. Трое из них — ученики Н.Н.Лузина.
А еще надо вспомнить ярчайшую фигуру П.С.Урысона, погибшего в 26 лет, имена П.С.Александрова, Н.К.Бари, П.С.Новикова, М.А.Лаврентьева, Л.А.Люстерника, А.Я.Хинчина, переживавших в тридцатые -«золотой век» своего творчества; в те же годы делал свои первые шаги в науке И.М.Гельфанд... Таким соцветием талантов в те годы не располагала ни одна математическая школа в мире! И при этом все они были либо учениками самого Н.Н.Лузина, либо кого-то из его учеников.
Но и в этом коллективе выдающихся математиков творчество Л.Г.Шнирельмана отличалось какой-то неповторимой яркостью.
Л.Г.Шнирельман родился 2 января 1905 г. в Гомеле. Там он прожил до 16 лет. Отец его был учителем русского языка.
Лев Генрихович очень рано обнаружил выдающиеся способности. Он рисовал, писал стихи, в 12 лет самостоятельно прошел курс элементарной математики. В течение нескольких месяцев мальчик посещал физико-математические курсы для окончивших среднюю школу.
В.М. Тихомиров
21
Там на Шнирельмана обратил внимание преподаватель, который добился того, чтобы мальчика направили в Москву для продолжения образования.
В 15 лет он испробовал свои силы в самостоятельной работе. Согласно одной из легенд (которые всегда сопровождают жизненный путь выдающегося человека), юноша приехал в Москву в шестнадцатилетнем возрасте поступать в Московский университет. Он привез с собой записанную в школьной тетради (на ужасной бумаге - другой в ту трудную пору не было) теорему о разбиении сферы (мы обсудим ее чуть дальше), теорему, которая сыграла основополагающую роль в будущем создании теории Люстерника-Шнирельмана.
Окончив Университет за два с половиной года, Шнирельман поступил в аспирантуру Института математики и механики 1-го МГУ к Николаю Николаевичу Лузину. Он, как и все остальные названные мною математики (за исключением Л.С.Понтрягина — ученика П.С.Александрова и И.Г.Петровского — ученика Д.Ф.Егорова), был учеником Н.Н.Лузина. Лазарь Аронович Люстерник вспоминал, что Лузину (по-видимому, склонному в некоторой мере к мистическому восприятию мира) как-то приснился сон, что к нему придет юноша («с теми же анкетными данными», что и Лев Генрихович, как писал Люстерник) и решит проблему континуума. И когда к нему явился юный Шнирельман, он воспринял его, как посланца небес. Надежды Лузина не оправдались, проблему континуума Шнирельману решить не удалось (решения этой проблемы пришлось ждать чуть больше шестидесяти лет, когда ее осилил Пол Коэн). Но уже в самые молодые свои годы Шнирельман обогатил математику очень крупными достижениями.
Три своих самых замечательных результата Шнирельман опубликовал в течение двух лет — 1929 и 1930 гг. Вот формулировки этих его результатов.
Теорема 1. Существует натуральное N такое, что любое натуральное число есть сумма не более, чем N простых чисел.
«Всякое ли натуральное число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел?» Такой вопрос поставил перед Леонардом Эйлером Христиан Гольдбах — немецкий математик, полжизни проживший в России и умерший в Москве. Он задал этот вопрос в письме от 7.6.1742. В ответном письме (от 30.6.1742) Эйлер указывал, что для решения этой проблемы Достаточно доказать, что любое четное число > 4 есть сумма двух простых.
Первым сдвигом в исследовании этих проблем (до конца не решенных по сей день) был результат Шнирельмана. (Впрочем, к тому времени были опубликованы исследования Г. Харди и Дж.Литлвуда,
22
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
в которых гипотеза Гольдбаха доказывалась (для достаточно больших натуральных чисел) в предположении, что верны некоторые другие (не доказанные и по сей день) гипотезы. В 1937 г. И. М.Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха для достаточно больших натуральных чисел. Но особое значение имел не сам факт представимости любого числа ограниченым числом простых (тем более, что у самого Шнирельмана число слагаемых оценивалось в несколько сотен тысяч), а своеобразный и очень оригинальный метод, с помощью которого удалось сдвинуть эту и множество других проблем. О нем мы скажем в конце несколько слов.
Теорема 2. На любой гладкой поверхности типа сферы имеется три замкнутых геодезических.
Найдите на берегу моря (или мысленно) какой-нибудь гладкий камешек. И тонкую аптечную резиночку. Попробуйте надеть резиночку на камешек, чтобы она «не сползала». Если вам это удастся, вы нашли замкнутую геодезическую. На шарообразном мячике замкнутые геодезические — большие круги: если вы чуть-чуть собьетесь с большого круга, резиночка соскочит. А на эллипсоиде имеются три замкнутых геодезических — сечения этого эллипсоида плоскостями, проходящими через его оси. Долгое время многим казалось, что на эллипсоиде ровно три замкнутых непересекающихся геодезических. Так, в частности, полагал и сам Гильберт. Но это оказалось не так. Ныне доказано, что на любой выпуклой гладкой поверхности имеется бесконечное число замкнутых геодезических.
Гипотеза Пуанкаре состояла в том, что «на любом гладеньком камешке» имеется не меньше трех различных замкнутых геодезических. В 1929 г. Люстерник и Шнирельман доказали гипотезу Пуанкаре, и это стало всемирной сенсацией.
Теорема 3. В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.
Возьмем нить, свяжем ее концы и бросим нить на стол. Получилась «замкнутая кривая». Так вот, как бы мы эту кривую ни бросали, на ней найдутся четыре точки, которые являются вершинами квадрата.
Эти результаты произвели большое впечатление на современников. А.С.Бубнов, народный комиссар просвещения РСФСР, выступая 28.01.1934 на XVII съезде ВКП(б), упомянул о том, что «наши университеты не только обеспечили в своих стенах работу целой плеяды академиков... но уже имеют выросшую после Октября научную молодежь. Вот профессора МГУ Шнерейман и Гейфанд уже широко известны своими математическими работами...» [1, с.114]. Несомненно, что имелись ввиду Александр Осипович Гельфонд и Лев Генрихович Шнирельман; Александр Сергеевич Бубнов называет половину списка Соломона Лефшеца, с которого мы начинали.
В.М.Тихомиров__________________________________________________
В 1931 г. Шнирельман был командирован за границу на три месяца и там имел большой успех. Он работал некоторое время в Геттингене - Мекке математики того времени, где жил и творил в ту пору великий Давид Гильберт. (Шнирельман запомнился многим тогда не только своими выдающимися результатами, но и тем, что «walked barefoot through the streets of Gottingen» - прогуливался босиком по улицам Геттингена,- как писала Констанс Рид в книге о Куранте.) Ему было предложено написать монографию для наиболее престижного немецкого издательства, но этому не дано было осуществиться: в Германию пришли фашисты.
В 1933 г. Шнирельман, как и Гельфонд, избираются членами-корреспондентами Академии наук СССР.
В 1934 г. правление Московскго математического общества приняло решение о проведении первой Московской школьной олимпиады по математике. В оргкомитет по проведению олимпиады вошел Л.Г.Шнирельман. Он был одним из инициаторов Школьного математического кружка при МГУ (наряду с Л.А.Люстерником и И.М.Гельфандом). Тогда же профессора и преподаватели два раза в месяц, по воскресеньям, читали лекции в Университете для школьников. И Шнирельман был одним из организаторов этих лекций. Он прочитал, в частности, лекции по многомерной геометрии, по теории групп.
Одним из первых Шнирельман стал культивировать в Москве выпуклую геометрию. Он написал замечательную работу по приложению выпуклой геометрии к теории наилучшего приближения (опубликованную посмертно), подойдя к классической теме о приближении непрерывных функций полиномами с совершенно неожиданной стороны и сразу завершив исследования, которые начинал П.Л.Чебышев и продолжали С.Н.Бернштейн, Ш.Валле Пуссен и многие другие. Но истинная суть дела (так называемая «теорема об очистке») открылась совсем с другой стороны, через знаменитую теорему Хелли о пересечении выпуклых множеств.
Еще об одной работе Шнирельмана надо сказать — о его статье, написанной совместно с Л.С.Понтрягиным о «метрическом определении размерности». Эта работа оказала влияние на разработку концепции Е-энтропии Колмогорова.
Лев Генрихович очень дружил с Л.А.Люстерником, А.О.Гель-фондом, И.М.Гельфандом. Многие вспоминали о нем, как о личности большого масштаба, человеке мягком и деликатном, имевшем самые многогранные интеллектуальные запросы, человеке остроумном, наблюдательном, одухотворенном и очень обаятельном.
Жизнь его оборвалась трагически: 24 сентября 1938 г. он покончил с собой. Те люди старшего поколения, с кем мне доводилось говорить на эту тему, связывали этот шаг Льва Генриховича с кровавым безумием того времени: они говорили, что Лев Генрихович
24 К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
попал в поле зрения НКВД, и устрашившись возможности стать доносчиком, решил покончить с жизнью. Так это или не так, достоверно это (по моим сведениям) неизвестно. Быть может, загадка вскро-ется, когда кто-то из людей, пожелающих узнать истину, доберется! до архивов КГБ.
А теперь пришло время рассказать чуть подробнее о поразитель-1 ных теоремах Шнирельмана. Начнем с результата, полученного юным Шнирельманом, о котором мы упомянули в самом начале.
Теорема о раскраске сферы. Пусть сфера окрашена в три цвета. Тогда найдется пара антиподов (т.е. диаметрально противоположных точек), раскрашенных в один цвет.
Эта формулировка нуждается в уточнении. Раскрасить сферу S в три цвета — это значит указать три множества F\, F2, F3, объединение которых равно S'. При этом не требуется, чтобы эти три множества не пересекались; иными словами, каждая точка может быть одновременно окрашена в несколько цветов.
Если ничего не предполагать о множествах Fit то приведенное выше утверждение, очевидно, неверно: сферу можно разбить на две непересекающиеся части Fi, F^ так, что для любой пары антиподов х, у одна из точек х, у принадлежит F[, а другая F2  Однако при любом таком разбиении множества Ej и F2 оказываются незамкнутыми: одно из них обязательно содержит непустую часть границы другого. Множество F, расположенное, скажем, на плоскости или в пространстве, называется замкнутым, если оно содержит свою границу; это равносильно тому, что всякая точка, не принадлежащая множеству, удалена от него на положительное расстояние, а не примыкает вплотную.
Теперь мы можем дать правильную формулировку теоремы о раскраске сферы.
Теорема 4. Пусть сфера покрыта тремя замкнутыми множествами. Тогда одно из них содержит пару антиподов.
Под сферой мы понимали до сих пор обычную двумерную сферу S'2, которая расположена в трехмерном пространстве R3 и задается уравнением х2 + х? + х$ =1. Аналогично определяется «-мерная сфера Sn для любого натурального п: она расположена в (п + D-мерном пространстве R”+1, состоящем из наборов чисел (xt, ..., хп+1), и п+1
является множеством решений уравнения ^х2 =1. Если (xj, ..., х„) i=l
— точка «-мерной сферы, то ее антипод — точка (—х\, ..., —xn+-j). Шнирельман доказал свою теорему для сфер произвольной размерности: если п-мерная сфера раскрашена в п + 1 цветов (т. е. покрыта замкнутыми множествами Ej, ..., Fn+\), то найдется пара одноцветных антиподов.
25
в М. Тихомиров
Теорема Шнирельмана эквивалентна другой теореме, которую доказали в тридцатые годы польские математики К. Борсук и С У лам: всякое отображение f сферы Sn в евклидово пространство
R” склеивает некоторую пару антиподов. Иными словами найдется такое х 6 Sn, что f(x) = f(-xY (Все отображения здесь и далее предполагаются непрерывными.)
Познакомимся теперь еще с одним замечательным применением топологических методов, принадлежащим Шнирельману. Имеется в виду «Теорема о вписанном квадрате». Мы уже формулировали эту теорему: в любую замкнутую кривую можно вписать квадрат. Попробуем объяснить идею доказательства.
Во множестве всех четырехугольников на плоскости (это множество задается восемью числами, оно, как говорят, восъмимерно), рассмотрим два «четырехмерных» (т.е. задаваемых четырьмя параметрами) подмножества А и В: А состоит из всех квадратов, а В — из
всех четырехугольников, вершины которых расположены на заданной кривой. Теорема утверждает, что эти два множества пересекаются. Предположим сперва, что кривая является эллипсом. В этом случае легко доказать, что существует ровно один вписанный квадрат. Таким образом, множество В, определенное для эллипса, пересекается со множеством А. В общем случае кривую можно перевести непрерывной деформацией в эллипс. Множество В будет при этом также непрерывно деформироваться. Можно доказать, что в случае эллипса множества А и В пересекаются «существенно»: их пересечение не может быть устранено никакой деформацией. Здесь можно провести аналогию с пересечением параллели и меридиана на торе. Следовательно, А и В пересекаются и для произвольной кривой.
При реализации этой идеи возникают некоторые трудности. Чтобы пользоваться результатами соответствующей теории, необходимо предполагать, что в множества А и В включены и «вырожденные» квадраты, у которых совпадают все четыре вершины. Как избежать того, чтобы найденная точка в пересечении Л Г) В не оказалась таким вырожденным квадратом? Шнирельман предполагает для этого, что кривая достаточно гладкая (задается дважды дифференцируемой Функцией). Часто, когда цитируется теорема Шнирельмана, она формулируется для произвольной непрерывной кривой. Автору неизвестно, опубликовано ли где-нибудь полное доказательство для этого случая.
Наконец, перейдем к первой теме.
Метод Шнирельмана в аддитивной теории чисел. Пусть Ли В -Два множества натуральных чисел (натуральный ряд N будем считать начинающимся с единицы). Суммой А и В обычно называется множество А + В чисел вида а + Ь, где a G А, bEB. Нам будет
26 К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТ^
удобнее называть суммой А и В множество A®B=(A+B)UAU/) полученное добавлением к А + В элементов множеств А и В. Скажем что множество А является базисом натурального ряда, если А-кратнад сумма -4®...®А при некотором натуральном k совпадает с натураль! ным рядом. Например, если А — множество всех квадратов, то А -базис, поскольку ЛфЛфAфA = ^пo теореме Лагранжа. Пусть р — множество, состоящее из всех простых чисел и единицы. Являет! ся ли F* базисом? Положительный ответ на этот вопрос был впервые получен Шнирельманом: Р является базисом. Легко видеть, что это утверждение эквивалентно приведенной выше теореме 1 (единица] включенная нами в Р, приводит к минимальному затруднению, кото-1 рое легко преодолевается). Расскажем об основной идее доказательства.
Сперва введем, следуя Шнирельману, понятие плотности множества -А натуральных чисел. Для каждого n 6N пусть А(п) - число элементов множества А на отрезке [1,и]. Назовем плотностью d(A) множества А нижнюю грань чисел вида А(п) / п по всем п G N. Таким образом, плотность — это наибольшее а, такое, что А(п) > ап при всех п. Шнирельман доказывает следующий результат.
Теорема 5. Всякое множество натуральных, чисел положительной плотности является базисом.
Эту теорему нельзя непосредственно применить ко множеству Р простых чисел с добавленной единицей, поскольку оно имеет нулевую плотность (Чебышев доказал, что число л(п) простых чисел, не превосходящих п, не превосходит числа Сп / logn при некотором С (это пожалуй, самая известная теорема в российской математике XIX века).
Однако Шнирельман установил, что Р ф Р имеет положительную плотность, откуда вытекает, что Р является базисом. Напомним, что вопрос Эйлера о том, содержит ли Р ф Р все четные числа, остается открытым.
Докажем теорему 5. Она вытекает из следующих двух лемм. Лемма 1. Если А, В С N и d(A) + d(B) >1, то А ф В = N. Доказательство. Зафиксируем п G N. Если п G В, то п 6 А Ф В. Если п <£В, то рассмотрим два подмножества отрезка {а G А ' а — ”} и {п ~ б ' b G В, Ь<п}. Они обязаны пересекаться, поскольку в первом из них не меньше п • d(A) элементов, во втором не меньше п  d(B) элементов и п • «/(А) + п • d(B) > п. Следовательно, п G А Ф В.
Лемма 2. Для любых А, В С W имеет место неравенство Шни-рельмана:
dCA е В) > d(A) + d(B) - d(A)  d(B).
27
R М.Тихомиров________------------------------------------------
Доказательство. Положим С = А ф В, а = d(A), fi = d(B). Зафиксируем n eN. Нам надо оценить снизу число С(и). Пусть ах < . . < а - все элементы множества А из отрезка [1, п], где г = А(и). Отрезок [1, п] разбивается числами at.аТ на г + 1 отрезков (некото-
рые из них могут быть пустыми) длины lx =ах - 1, /2 = а2 “ Й1 ~
_ п _ Ог , при этом Л-й отрезок содержит > filk чисел из С: при k> 1 это числа вида ak_x +Ь, raebGB, b<lk, а при k = 1 - это числа из В, которые < 1\. Отсюда получается оценка
С(п) > г + fi •	= г + fitn - г) = (\- fi)r + Дп > (1 - fi)an + fin,
означающая, что d(C) > (1 - fi)a + fi = а + fi — afi.
Выведем теорему 5 из лемм 1 и 2. Неравенство леммы 2 можно переписать в виде 1 - d(A ©£?)<(!- </(Л)) (1 - </(£?)). В таком виде оно распространяется (по индукции) на любое число слагаемых: п
1 - d(Al ф.-.фАп) £ fj(l — </(Л,)). Пусть теперь А - множество поло-i=l
жительной плотности и Ak = Лф...фЛ — сумма k слагаемых, равных А. Предыдущее неравенство показывает, что d(A/) стремится к единице при возрастании k. Пусть k таково, что d(Ak ) >1/2. Из леммы 1 вытекает, что А^ = N. Таким образом, А является базисом. Теорема 5 доказана.
При всяком ли и GN множество W„ = {1”, 2”, ...} всех и-тых степеней является базисом? Это - так называемая проблема Баринга. Она была положительно решена Гильбертом в начале века. Решение оказалось весьма сложным. Теорема 5 позволяет получить другое решение: достаточно установить, что fe-кратная сумма Wn©...©VV^ при больших k имеет положительную плотность. Элементарное (хотя очень непростое) решение проблемы Варинга, основанное на методе Шнирельмана, можно найти в книжке Хинчина [2]. В заключение сделаем несколько замечаний.
1. Известный геометр Борис Николаевич Делоне, комментируя теорему Шнирельмана о квадрате, заметил, что для выпуклой кривой н*У теорему можно доказать элементарными методами. Это неслож-. и можно посоветовать читателю восстановить это доказательство.
«О связи с леммой 2 процитируем (с сокращениями) книгу: паСенЬ1° 1931 г. Л.Г.Шнирельман, рассказывая о своих беседах с Ресн а“ ж ^еттингене> сообщил, что они установили следующий инте-Равенст ФаКТ' для всех примеров, какие им удавалось придумать, не-можноЛ ® В) “	+	" Md(jB)
«но было заменить более сильным и более простым неравенством:
28
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
d(A ® В) > d(A) + d(B)
(при условии, что d(A) + d(B) < 1). Но доказательство этой гипотезы при первых попытках не удавалось. Проблема стала модной. Ученые общества предлагали ее на премию. Добрая половина английских математиков, отложив все дела, занялась решением этой задачи. Но она оказалась очень упорной, и целый ряд лет не поддавалась усилиям самых искусных исследователей. Только в 1942 г., наконец, с нею справился молодой американский математик Манн» [2]. Доказательство гипотезы Ландау—Шнирельмана можно найти у Хинчина [2]. Мы очень советуем читателю познакомиться с этой замечательной книгой. Не менее достойна вашего внимания книга самого Шнирельмана [3]. Из нее вы узнаете и доказательство теоремы Лагранжа о сумме четырех квадратов, и решение великой проблемы Ферма для показателей Зи 4, и о многом другом.
Список литературы
1.	XVII съезд ВКП(б). Стенографический отчет. М., 1934.
2.	Хинчин А.Я. Три жемчужины теории чисел. М., 1979.
3.	Шнирельман Л.Г. Простые числа. М.-Л., 1940.
ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ ТРОИЧНЫХ ЦИФРОВЫХ МАШИН В МГУ
Н. П. Брусенцов
История вычислительной машины «Сетунь», как и сама эта машина, необычна — все совершалось вопреки общепринятым подходам и методам. Можно подумать, что действовали по принципу «Делай не так, как все». Но принцип был иной — «Чем естественней и проще, тем лучше». (Наша преподавательница математики в Московском энергетическом институте (МЭИ) С.Л.Рискина выражала это короче: «Не мудрствуйте лукаво!».)
Разработка машины, которую впоследствии М.Р.Шура-Бура предложил назвать «Сетунь», была предпринята по инициативе и осуществлялась при активном участии виднейшего советского математика Сергея Львовича Соболева (1908-1989), без которого сама идея инженерного конструирования машины в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова едва ли могла быть жизнеспособной, а уж о неординарности ее реализации не могло быть и речи. Ведь и после того, как результат работы получил высокую оценку авторитетной комиссии и оказался весьма эффективным на практике, приходилось нередко слышать от принимающих решения: «От двоичных и десятичных спасу нет, а вы еще с троичной лезете».
К Сергею Львовичу судьба привела меня в силу следующих обстоятельств. По окончании в 1952 г. радиотехнического факультета
Н п.Брусенцов
29
(РТФ) МЭИ «по распределению» мне довелось работать в специальном конструкторском бюро (СКБ) МГУ, призванном обеспечивать техническое оснащение учебного процесса и научных исследований в Университете. В действительности пришлось заниматься разработкой испытательной аппаратуры по заказу Института машиноведения АН СССР. Но как-то осенью 1954 г. М.А.Карцев, с которым мы учились на первом курсе радиофака (после первого курса он оказался не на втором, а на третьем), показал мне электронную вычислительную машину М-2, разработанную возглавляемой им группой молодых инженеров, преимущественно выпускников нашего РТФ МЭИ, в лаборатории И.С.Брука. Предполагалось, что создаваемый образец машины по договоренности с заведующим кафедрой вычислительной математики механико-математического факультета МГУ академиком С.Л.Соболевым будет передан в Университет. Сергей Львович придавал этому исключительную важность — для размещения машины отдана была занимаемая кафедрой комната №1313 в главном здании Университета на Ленинских горах. Было ясно, что это то дело, в котором нельзя не принять участия, и я пришел к Сергею Львовичу в комнату №1313.
По его просьбе меня и двух других инженеров СКБ МГУ — В.П.Кузнецову и Ю.Н.Мельника — откомандировали на мехмат с заданием участвовать в отладке и последующем перебазировании машины М-2. Для нас это было вхождением в новую, тогда только нарождавшуюся, область техники — цифровую электронику. Но оказавшись в дружном коллективе «однокашников», уже освоивших принципы дискретного управления и двоичную арифметику, причем в хорошо упорядоченной «бруково-карцевской трактовке», и получив неограниченную возможность практического освоения предмета, мы вскоре из новичков превратились во вполне квалифицированных по тем временам цифровиков. Машина, устойчиво функционировавшая в круглосуточном режиме, интенсивно использовалась, в частности, СотРУДНиками мехмата МГУ, для отладки программ и решения разнообразных задач.
Однако осенью 1955 г. выяснилось, что М-2 Университету передана не будет, и мы, к тому времени уже сотрудники формируемого на мехмате Вычислительного центра (ВЦ), оказались как бы не у Дел. «Может, оно и к лучшему, — с неизменным оптимизмом сказал Сергей Львович, — создадим свою малую машину для университетов и исследовательских лабораторий, недорогую, надежную, простую в °своении и использовании». Заведующий Вычислительным центром Иван Семенович Березин предусмотрел в структуре своего учрежде-Ния нацеленное на решение этой задачи подразделение — отдел электроники. Мне же было поручено рассмотреть технические
30
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
возможности осуществления указанной идеи и представить конкретные предложения по выбору целесообразного направления работы.
Было ясно, что задуманная машина не может быть электронноламповой, но полупроводниковых элементов — не то чтобы транзисторов, даже диодов - тогда еще практически не было; использование в М-2 трофейных купроксных диодов справедливо расценивалось как существенный технический прогресс. Реальную альтернативу представляли собой популярные в то время электромагнитные (ферритодиодные) элементы. В руководимой Л.И.Гутенмахером лаборатории электромоделирования на элементах этого типа разрабатывалась вычислительная машина ЛЭМ-1, и Сергей Львович договорился о предоставлении мне возможности в качестве стажера ознакомиться с имеющимся опытом и результатами проводимой там работы.
Машина ЛЭМ-1 была реализована на феррито-диодных элементах с трехтактной (трехфазной) системой импульсов питания. Простейший элемент — одноразрядная ячейка сдвигающего регистра (так называемая «триада») - состоял из трех пар кольцеобразных, диаметром 4 мм, ферритовых с прямоугольной петлей гистерезиса сердечников и трех диодов — миниатюрных селеновых шайб. Трехтакт-ностью предотвращали возможность «возврата информации» в сдвигающем регистре, а второй («компенсирующий помеху») сердечник в каждой паре применялся с целью улучшить качество первого («рабочего») путем встречного включения их выходных обмоток. Подобные элементы, ввиду отсутствия в них электронных ламп и даже транзисторов, могли бы обладать необыкновенно высокой надежностью, впрочем, при условии замены селеновых шайб более современными диодами.
Обстоятельный анализ феррито-диодной схемы как нелинейного магнитного усилителя с питанием импульсами тока [1] выявил возможность ее существенного усовершенствования введением в цепь связи рабочих сердечников постоянного напряжения, запирающего диод. О «возврате информации» в такой схеме не могло быть и речи, поэтому трехтактности не требовалось — схема минимизировалась в двухтактную устранением третьей пары сердечников и связанного с ней диода. Но существенней то, что элемент обретал важное качество, оказываясь генератором импульсов тока весьма стабильной, практически не зависящей от сопротивления нагрузки, амплитуды. Для «компенсации помех» теперь не требовалось встречное включение выходных обмоток «рабочего» и «компенсационного» сердечников — «компенсационный» становился вторым «рабочим», а компенсация помех обеспечивалась встречным включением входных обмоток этих сердечников, т.е. компенсировались создаваемые обмотками ампервитки.
pj .П. Брусенцов
31
В модернизированной таким образом ячейке сдвигающего регистра добавлением в каждую пару сердечников второго диода и применением второй пары встречно включенных входных обмоток осуществляется возможность параллельной передачи двух серий не совпадающих по времени импульсов, т.е. передачи троичного кода.
То, что трехзначный сигнал передавался в виде пары двухзначных его компонент не по одному, а по двум проводам, в устройствах последовательного действия не являлось существенным. Естественность троичного симметричного кода, т.е. позиционной системы счисления с цифрами 1, 0 и —1, оправдала бы и более серьезные издержки. Впоследствии в машине «Сетунь 70» была осуществлена и однопроводная передача импульсами положительной и отрицательной полярности.
На первом же заседании организованного, по предложению Сергея Львовича, семинара для обсуждения связанных с созданием машины принципиальных и технических вопросов 7 января 1956 г. состоялся мой доклад о феррито-диодных цифровых элементах лаборатории электромоделирования и о возможности разработать на основе их элементы, позволяющие построить троичную вычислительную машину. Семинар с интересом воспринял это экстравагантное предложение, и в результате всестороннего обсуждения было решено создавать машину на магнитных элементах, причем в качестве альтернативы предпринять разработку троичного варианта.
Замечательным явлением был этот наш «сетуньский» семинар. Постоянными участниками его были: С.Л.Соболев, К.А.Семендяев, М.Р.Шура-Бура, И.С.Березин, Н.П.Жидков, Е.А.Жоголев, Н.П.Трифонов, сотрудники отдела электроники, занятого непосредственно созданием новой машины, программисты, разрабатывающие ее программное оснащение, а кроме того, на заседания обычно приходили сотрудники других математических и инженерных подразделений Вычислительного центра. Наш семинар не походил ни на авторитетные научные семинары, одобряющие представляемые к защите на получение ученой степени диссертации, хотя авторитет его стар-щих участников был более чем достаточным, ни на высокоинтеллектуальные собрания ученых мужей, соревнующихся в умении абстрактно рассуждать о нечетко определенных проблемах. У нас была конкретная реальная цель — определить, как теперь говорят, архитектуру задуманной машины и изыскать оптимальные возможности ее технической реализации в наличных условиях.
Трудно поверить, но у семинара не было научного руководителя. Сергей Львович, по инициативе которого семинар возник, участвовал в его работе наравне со всеми, никогда не выказывая своего превосходства либо привилегированного положения. Должно быть, это служило примером для всех — никто не претендовал на роль главного.
32
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Всякое мнение, предложение, возражение требовалось обосновывать, доказывать. В результате приходили к оптимальным решениям. Это была нормальная творческая работа, без надуманных планов и мозговых штурмов - проблемы возникали и разрешались по ходу дела, по мере продвижения к поставленной цели.
Сохранилась тетрадь регистрации присутствовавших на заседаниях семинара. По каждому из 39 состоявшихся в 1956-1958 гг. заседаний — страница с датой проведения, названием доклада (докладов), фамилией докладчика (докладчиков) и списком росписей присутствовавших, обычно 15-20, но иногда и более 30. Доклады посвящались, с одной стороны, инженерным вопросам технической реализации машины, а с другой, - разработке и оптимизации ее архитектуры, анализу и обобщению имеющегося в этом деле опыта. Так, М.Р.Шура-Бура на четырех семинарах в апреле-мае 1956 г. анализировал преимущества и недостатки отечественных машин «Стрела», БЭСМ, «Урал», М-20, сотрудники Сергея Львовича по «курчатовскому институту» Г.А.Михайлов и Б.И.Шитиков рассказали о созданных ими машинах ЦМ-1 и ЦМ-2, аспирант Томского университета А.Д.Зак-ревский выступил с докладом «Применение алгебры логики к синтезу схем вычислительной машины».
Вопросы инженерной реализации цифровых устройств на полупроводниковых и магнитных элементах рассматривались в докладах сотрудников нашего отдела электроники. Разработкой же функциональной схемы и системы команд машины довелось заниматься мне с Е. А.Жоголевым, и результаты, по мере продвижения, неоднократно представлялись семинару в наших, иногда совместных, докладах: 17.9-1956 - «Эскизная схема машины», 15.10.1956 - «Операции в троичной системе счисления», 11.2.1957 — «Система команд для одноадресной троичной машины», 8.4.1957 — «Блок-схема троичной машины», 24.2.1958 — «Блок-схема и система команд машины «Сетунь».
Отдел электроники в январе 1956 г. состоял из заведующего и четырех техников (В.Я.Бедрединов, В.В.Буцких, Л.М.Маклыгина, Т.Мостинская) из числа специально подготовленных по цифровой электронике в вечернем техникуме при МГУ. Под наш отдел в Вычислительном центре была выделена комната площадью 60 кв.м., в которой удобно разместились 6 больших двухсторонних столов, именовавшихся библиотечными, но после дооборудования электророзет-камй превращенных в рабочие места для монтажа и экспериментального исследования элементов и блоков создаваемой цифровой машины. Вдоль стен разместилось еще несколько обычных конторских столов и шкафы. В благоустроенной таким образом лаборатории могли работать одновременно до 20 человек.
Но не было никакого лабораторного оборудования. Сергей Львович радикально и просто решил эту трудную проблему,
Н П.Брусенцов
33
договорившись о передаче нам одним из оборонных предприятий списанных импульсных осциллографов и лабораторных источников питания. С электроизмерительными тестерами и паяльниками проблем не было, а все прочее - стенды для испытания и сортировки ферритовых сердечников и диодов, для отладки и проверки элементов и функциональных узлов, генераторы импульсов тока питания -надо было создавать применительно к реализуемым в машине техническим решениям.
В течение первого квартала 1956 г. лаборатория приобрела надлежащую рабочую форму. Вместе с тем была изучена динамика перемагничивания имевшихся марок ферритовых сердечников и отобран, как наиболее удовлетворяющий условиям работы в пороговых логических элементах избранного типа кольцевой сердечник с внешним диаметром 3 мм из феррита К-132. На основании проведенных исследований был разработан стенд для сортировки этих сердечников по времени перемагничивания импульсом тока заданной амплитуды, прямоугольности петли гистерезиса и перепаду магнитного потока, по величине которого сердечник относится к одной из четырех групп: 0,25, 0,27, 0,30, 0,33 микровольт-секунд.
Аналогичный стенд для сортировки диодов типа Д-1 обеспечивал рассортировку их соответственно на четыре группы, использованием которых в сочетании с сопоставленными им группами сердечников гарантировалась стандартность параметров феррито-диодного элемента в целом. Как показал впоследствии опыт Астраханского завода электронной аппаратуры (ЭА) и электронных приборов (ЭП), таким образом достигалось практически безотходное и бездефектное промышленное производство этих элементов в условиях значительного разброса параметров комплектующих компонент (сердечников и диодов).
В марте 1956 г. отдел пополнили два выпускника электровакуумного факультета (ЭВПФ) МЭИ — В.М.Березин, Б.Я.Фельдман и техник С.П.Федорищев, в апреле — выпускники физического факультета МГУ В.В.Веригин и С.П.Маслов, в сентябре - студенты-дипломники ЭВПФ МЭИ Ю.Н.Колотов и А.М.Тишулина.
Усилия по-прежнему были сосредоточены на создании простого, эффективного и надежного логического элемента, но теперь работа с Уровня исследования компонент перешла на уровень схемотехники: исследовались возможности реализации на элементах различных типов основных функциональных узлов цифровой машины — регистров, счетчиков, сумматоров, дешифраторов. Построен был даже макет двоичного арифметического устройства на двухтактных элементах (Б.Я.Фельдман). Однако преимущество троичной схемотехники, по мере создания трехзначных логических элементов и троичных Функциональных схем, становилось все более очевидным.
34
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Оказалось, что усложненность (пусть даже вдвое) трита по сравнению с битом более чем возмещается простотой и естественностью «верхних этажей», гармоничностью троичной архитектуры в целом. К тому же троичные магнитные элементы с взаимокомпенсацией входных ампер-витков были значительно устойчивей элементов с встречным включением выходных обмоток. Наглядным доказательством всего этого явилась разработка в качестве дипломного проекта А.М.Тишулиной устройства быстрого умножения по методу М.Р.Шуры-Буры.
К концу 1956 г. была уже однозначная определенность, как относительно того, что машина будет троичной, так и относительно ее схемных элементов, названных магнитными усилителями с питанием импульсами тока. Физические параметры элементов (марка феррита и размеры сердечника, числа витков в обмотках, частота, амплитуда и форма импульсов тока питания, величина напряжения, запирающего диод) были «навечно» зафиксированы и остались неизменными во всех разработанных затем устройствах и в выпущенных заводами «феррито-диодных ячейках» и машинах. Разработчикам функциональных устройств машины знать эти параметры не требовалось: для них сердечник представлялся квадратиком, положительно включенные входные обмотки — стрелками, упирающимися в его переднюю (левую) стенку, отрицательно включенные, «запрещающие» обмотки — линиями, перечеркивающими квадратик. Другими словами, квадратик представлял собой пороговый логический элемент (нейрон), а пары квадратиков («биквадратики»), с накрест включенными входными обмотками, были трехзначными нейронами, идеальными элементами троичных цифровых схем.
Теперь разработка функционального узла машины сводилась к составлению, путем надлежащего соединения друг с другом, нескольких разновидностей нейронов-биквадратиков логической схемы, реализующей заданную функцию. Электрофизические параметры биквадратиков предполагаются одинаковыми (в пределах установленных допусков). Впрочем, по нагрузочной способности различаются «простые» квадратики (биквадратики), рассчитанные на перемагничивание одного сердечника, и «мощные», способные перемагничивать одновременно два сердечника. Кроме того, имеются биквадратики с ужесточенным допуском («точные»), употребляемые в случаях взаи-мокомпенсации сигналов.
Конструктивно все эти элементы были осуществлены в форме единообразной платки («ячейки») размером 40 X 60 мм из гетинакса толщиной 1 мм, прошитой медным луженым проводом так, что обеспечивалось до 10 контактов ввода-вывода сигналов, до 6 контактов питания и возможность монтажа до 4 взаимосвязанных ферритовых сердечников с их выходными диодами. Заводской аналог этой платки
Л П.Брусенц°в
35
прессовался из пластмассы. В логическом отношении ячейка представляла собой обычно либо пару биквадратиков, либо один биквадратик с выводами обоих концов его входных обмоток, т.е. с возможностью их прямого и обратного включения, а также последовательного соединения с входными обмотками других платок.
Обмотки выполнялись проводом ПЭВ-2 диаметром 0,1 мм, входные - по 12 витков, выходная — 52 (для «мощных» ячеек — 64), обмотка питания - провод диаметром 0,5 мм, 5 витков (для «мощных» - 6). Намотка производилась вручную - сердечник прошивался нужное число раз при помощи обычной иголки. Первой наматывалась самая трудоемкая выходная обмотка. Каждый рабочий день в отделе начинался с «зарядки» — все без исключения сотрудники получали по 5 сердечников и наматывали на них по 52 витка. Намотку входных обмоток и обмотки питания производили затем специалисты — техники женского пола. Они же производили распайку получающегося в результате «паука» из двух или четырех сердечников на платку.
Изготовление ячейки завершалось припайкой диодов и тестированием на стенде проверки ячеек соответствия логической схеме представляемого ею биквадратика (биквадратиков) и соблюденности допусков на электрические и временные параметры. Стенд позволял подачей стандартных сигналов на входы ячейки и регистрацией при помощи осциллографа импульсов напряжения на входах и выходах осуществить исчерпывающую проверку всех ее параметров, но обычно контролировалась только правильность предписанных ячейке логических функций и кондиционность выходных импульсов, косвенно свидетельствующая о соблюденности положенных количеств витков в обмотках и о соответствии группы диодов группе сердечников. Кондиционность же самих сердечников и диодов гарантировалась тестированием их при распределении по группам.
Признанная полноценной на стенде проверки ячейка представляла собой стандартный логический элемент указанного на ее платке типа независимо от группы использованных в ней сердечников и диодов. Другими словами, теперь это был биквадратик или пара биквад-ратиков, характеризуемые их логическими функциями безотносительно к физическим параметрам. Дальнейшая работа по созданию функциональных узлов и устройств машины состояла в составлении, путем связывания биквадратиков друг с другом, логических схем, реализующих более сложные, составные функции и процедуры. Затем составлялись соответствующие монтажные схемы, на которых пост Роенные в колонки платки-ячейки соединены друг с другом проводами, связывающими выходы одних биквадратиков с входами других.
Каждая такая колонка (не более 15 ячеек), осуществляющая, например, функцию сумматора, сдвигающего регистра, дешифратора троичного кода, конструктивно оформлена в виде «блочка»
36 К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕР ИТЕТд
(субблока), устанавливаемого затем на его рабочее место в тот или иной блок машины посредством 30-контактного разъема, на контакты которого выведены связываемые с «внешним миром» входы и выходы этого блочка. Проверка блочков производилась на стенде, позволяющем задавать последовательности входных импульсов, и сводилась к тестированию предписанных испытуемому блочку логических функций.
В течение 1956 г. были окончательно определены методы отбраковки с разбиением на группы сердечников и диодов и созданы обеспечивающие надежность и достаточную производительность этих операций стенды. Установлены технические параметры единого элемента логических ячеек: количества витков в обмотках сердечника, тактовая частота f = 200 кГц, амплитуда импульсов тока питания I = 0,6 А, напряжение, запирающее диод, Е = — 3,5 В. Разработаны и опробованы путем изготовления и испытания типичных функциональных узлов (троичного сумматора и 8-тритного сдвигающего регистра) конструкции логической ячейки-платки и блочка.
Параллельно совместно с Е.А.Жоголевым разрабатывалась «эскизная схема» (архитектура) машины. В сентябре и октябре эта часть работы докладывалась и критически рассматривалась на семинаре. Пришли к согласию в том, что машина будет последовательного действия с устройством быстрого умножения, одноадресной с регистром модификации адреса (индекс-регистром), манипулирующей числами с фиксированным положением запятой, но при наличии операции нормализации, позволяющей вычислять в режиме плавающих масштабов.
Память машины решено было сделать двухступенной: магнитный барабан и быстродействующее устройство на ферритовых сердечниках небольшой емкости, связанное с барабаном групповым обменом. Разработка устройства памяти на магнитном барабане была поручена отделу, руководимому Л.С.Легезо. Работу по созданию оперативного запоминающего устройства на ферритовых сердечниках начала в январе 1957 г. зачисленная в наш отдел Н.С.Карцева, а в дальнейшем к ней подключились С.П.Маслов и В.В.Веригин, составившие ведущее звено по разработке запоминающих устройств.
К началу 1957 г. в отделе было 13 сотрудников - 7 инженеров и 6 техников, к концу года инженеров стало 8 (в отдел пришел В.П.Розин, работавший по окончании физического факультета МГУ в практикуме мехмата), число техников увеличилось до 9 (Е.И.Жу-равлева, М.А.Некрасова, А.В.Ленский). Работа приняла производственный характер. Первым блоком, который надо было построить и всесторонне испытать, чтобы практически убедиться в реальности принятых схемотехнических и технологических решений, явилось устройство быстрого умножения А.М.Тишулиной. Для
Н П-Брусенцов
37
укомплектования его требовалось лишь два вида блочков: 9 трехвходных сумматоров и 9 двухтритных секций регистра множителя со схемами, выполняющими последовательное умножение на принятые в регистр значения тритов. Оба вида блочков прошли макетирование, для них имелись надежно выверенные принципиальные и монтажные схемы.
Платки для логических ячеек и корпуса блочков в необходимых количествах, а также корпус самого блока были изготовлены по нашим эскизам в мастерской Вычислительного центра, как всегда своевременно и с отменным качеством, благодаря пунктуальности ее руководителя, все умевшего К.В.Вейса. Осуществляющий входной контроль параметров ферритовых сердечников для укомплектования логических ячеек В.П.Розин надежно обеспечивал кондиционность их в пределах установленных групп, что было первейшим условием бездефектности производимых ячеек. Наконец, Лиза Журавлева оказалась безукоризненным контролером параметров ячейки в целом. Проверку готовых блочков, межразъемных соединений на блоке и выполняемых блоком функций производила сама Тишулина.
Правильность принятых решений полностью подтвердилось — устройство не потребовало никакой корректировки и было впоследствии включено в состав машины без каких-либо изменений. Вместе с тем была экспериментально доказана эффективность и надежность разработанной технологии троичных цифровых устройств, пригодность ее для осуществления создаваемой вычислительной машины.
Впрочем, разработка арифметического устройства (АУ) и центрального устройства управления машины (УУ) велась уже параллельно с созданием устройства умножения (МУ), причем четко определившиеся узлы этих устройств (сумматоры, дешифраторы, секции регистров) изготавливались в виде соответствующих блочков. Продвигалась также работа по созданию оперативного запоминающего устройства (ОЗУ), а в отделе Л.С.Легезо разрабатывали устройство памяти на магнитном барабане.
К концу 1957 г. структура машины и объемы оборудования (количества блочков) в устройствах определились в такой степени, что стало возможным спроектировать ее конструкцию в целом и заказать в мастерских физического факультета МГУ изготовление каркаса стойки для размещения блочков. Корпуса самих блоков и блочков в необходимых количествах были изготовлены в порядке технической помощи дружественным Вычислительному центру вертолетным СКВ Л.Миля. В течение 1958 г. внутренние устройства машины - УУ, АУ, МУ, ОЗУ и блок управления вводом/выводом (УВВ), а также пульт управления (ПУ) были полностью укомплектованы блочками и проверены в автономных режимах. После установки блоков в стой-КУ с уже встроенным в нее генератором импульсов питания на
38
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
радиолампах типа ГУ-50 в щадящем режиме, а также распайки и прозвонки межблочных жгутов составленная таким образом машина оказалась способной выполнять написанные для нее простейшие программы (пока без памяти на магнитном барабане). Единственной потребовавшей исправления была операция нормализации, реализованная неверно. Устранение ошибки обошлось переделкой одного блочка.
С декабря 1958 г. машина работала в режиме опытной эксплуатации, будучи предоставленной программистам для отладки разрабатываемых ими программ. С доукомплектованием устройством памяти на магнитном барабане и рулонным телетайпом в качестве алфавитно-цифрового устройства вывода на печать и на бумажную перфоленту наша машина, теперь уже получившая имя «Сетунь», стала использоваться для решения практических задач. Несмотря на необычность, она легко осваивалась пользователями и оказалась весьма эффективной в широком спектре применений.
С первым сообщением о машине «Сетунь» мне довелось выступить на конференции «Новые разработки в области вычислительной математики и вычислительной техники», состоявшейся в Киеве 1-3 декабря 1958 г. Как раз в эти дни только что смонтированная машина выполнила первые тест-программы. И.С.Березин, с которым мы прибыли на конференцию, упомянул об этом в разговоре с В.М.Глушковым, и тот, живо заинтересовавшись неизвестной ему машиной, потребовал, чтобы о ней было рассказано на конференции: «Вот Вам бумага. Нарисуйте схему. Завтра же будет Ваш доклад.»
В этом докладе, опубликованном затем в «Материалах конференции» [2], охарактеризована машина по состоянию на декабрь 1958 г. Она отличается от серийной «Сетуни» тем, что управляющий условными переходами трехзначный триггер при операциях умножения и сдвига устанавливается не соответственно знаку результата, а в зависимости от того, находится ли значение результата в интервале нормализованных, и если не находится, то правее или левее оно этого интервала. Опыт практических применений машины вскоре показал, что подобное обособление указанных операций неоправданно, и значением во всех без исключения случаях стал знак результата операции, что отвечало стремлению к естественности и простоте.
Разумеется, важнейшая предпосылка естественности заключалась в использовании симметричного кода чисел, в условиях которого натуральным оказывается число со знаком. Простота же состояла в том, что троичный симметричный код — самый простой из симметричных кодов. И хотя он, конечно, сложнее двоичного, а трехзначная логика существенно сложнее двухзначной, троичные вычисления и рассуждения, если «не мудрствовать лукаво», могут быть проще,
jq П.Брусенцов
39
экономней и надежней двоичных. Пример «Сетуни» свидетельствует, что это действительно так.
В наборе команд машины с двухступенной памятью, автоматической индексацией адреса и возможностью вычислений с фиксированной и плавающей запятой («с плавающим масштабом») имелось всего лишь 24 команды [3; 4], причем, зарезервированные на случай пополнения набора 3 кода операций так и остались невостребованными, т.е. набор оказался достаточным. Компактность набора команд, помимо легкости освоения и применения машины, способствует экономности представления программ — код операции составляет всего лишь 3 трита. Адресная часть команды, включающая, помимо собственно адреса и трита индексации (прибавить/не индексировать/вы-честь), а также указание длины операнда (9 или 18 тритов), составляет 6 тритов, обеспечивая адресацию трехстраничной памяти общей емкостью 162 9-тритных слова, т.е. 81 18-тритное слово. Эта небольшая быстродействующая оперативная память связана с основной памятью на магнитном барабане постраничным обменом. Таким образом достигается необыкновенно экономное кодирование программ и не менее значительное увеличение производительности по сравнению с использованием магнитного барабана в качестве оперативной памяти. В частности, быстродействие «Сетуни», укомплектованной барабаном, с которым машина «Урал» выполняла 100 операций в секунду, составляло в среднем 3—4 тыс. оп./сек.
Архитектура «Сетуни» типична для одноадресных вычислительных машин. Для программиста это 6 регистров: 9-тритный регистр К — выполняемой команды; 5-тритные регистры: С — адреса выполняемой команды и F — индекс-регистр; 18-тритные: 5 - сумматора (аккумулятор) ий - множителя, а также однотритный регистр знака результата операции — со.
Регистры С, F, К и со управляют ходом выполнения программы. Засылка кода в регистр С осуществляется командами условного и безусловного перехода, а также кнопкой «Начальный пуск» на пульте Управления, засылающей в С нули. Имеется команда, копирующая текущее значение С в указываемую в ней ячейку оперативной памяти- Для индекс-регистра F предусмотрены команды засылки значения из оперативной памяти, а также суммы этого значения с текущим значением F либо С и копирования F в память. Адресная часть команд, предписывающих индексацию, автоматически модифицируется при выполнении их прибавлением либо вычитанием текущего значения F.
Регистры S и R выполняют функции арифметического устройства машины. Засылаемые в них из оперативной памяти значения операндов могут быть как 18-тритные, так и 9-тритные, интерпретируемые как 18-тритные с нулями в девяти младших тритах.
40
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Соответственно при копировании значения S' в короткую ячейку памяти происходит запись в нее 9 старших тритов. Возможность непосредственно копировать значение R отсутствует, поскольку, в отличие от 5, в R преобразования его значений не производятся. Предназна- I чением регистра R является реализация быстрого умножения, благо- I даря которой арифметическая производительность машины последо- 1 вательного действия достигает уровня машин с параллельной обра- I боткой. При этом наличие регистра множителя позволило ввести в ' одноадресной машине трехоперандные команды умножения, в част- I ности, команду прибавления произведения к S', существенно упрогца- I ющую вычисление полиномов.
Над регистром сумматора S определены все необходимые ариф- I метические операции, а также операция сдвига содержимого S' на и тритов при п > 0 влево, при п < 0 вправо, и операция потритного ум- I ножения, позволяющая обнулять и инвертировать значения тех или I иных тритов содержащегося в S' значения, в частности, изменять его I знак и выделять заданную его часть.
В течение 1959 г. машина работала с электронно-ламповым уст- I ройством памяти на магнитном барабане и с рулонным телетайпом в качестве устройства ввода-вывода. Параллельно велась разработка I блока управления магнитным барабаном, реализуемого на магнитных 1 и транзисторных элементах, причем с использованием серийного ба- I рабана машины «Урал». Блок управления вводом-выводом модифи- I цировался применительно к использованию, наряду с телетайпом фо- I тоэлектрических считывателей с перфоленты, ленточного перфорато- I ра и электроуправляемой печатающей машинки (ЭУПМ), создававшейся при нашем участии Московским заводом пишущих машин.
Кроме того, в связи с представлением машины на ВДНХ СССР I были спроектированы и изготовлены два действующих демонстрационных стенда по три «сетуньских» блочка в каждом: шестиразрядный троичный сумматор с набором чисел при помощи трехпозиционных ключей и световой индикацией парами лампочек, как на пульте управления машин и двадцатиразрядный счетчик импульсов. Был издан выставочный листок с фотографией опытного образца машины j «Сетунь», обстоятельной характеристикой ее возможностей и технических параметров. Мероприятие посвящалось научно-техническим I достижениям ВУЗов и проходило поначалу в павильоне «Трудовые | резервы», а затем в одном из коровников, где на нем побывал I Н.С.Хрущев. Ни в первом, ни во втором месте «Сетунь» не привлекла к себе никакого внимания.
Хуже того, осенью 1959 г. на коллегии Государственного комите- I та по радиоэлектроники СССР (ГКРЭ), наводившей порядок в деле I создания ЭВМ, «Сетунь» оказалась в черном списке разработок, I подлежащих прекращению ради нераспыления средств. Это при том, I
Н П.БрУсенцов__________________________________________________11
что никаких средств на нее ГКРЭ никогда не выделял. А на вопрос Сергея Львовича: «Что вы знаете об этой “Сетуни” и видели ли хотя бы ее?» директор СКБ-245 В.В.Александров (которому, кстати, при посещении им ВЦ МГУ демонстрировали уже действующий опытный образец «Сетуни») ответил: «Нам видеть ее и знать о ней не надо — должны быть бумаги с авторитетными подписями и печатями».
По окончании заседания Сергей Львович пошел на Старую площадь в ЦК КПСС, и к концу дня на «Сетуни» побывал сотрудник оборонного отдела Ф.К.Кочетов в сопровождении начальника 8-го главного управления ГКРЭ М.К.Сулима. После этого визита «де-юре» положение изменилось — вскоре было принято решение о проведении межведомственных испытаний опытного образца машины, но, по существу, недоброжелательное, мягко говоря, отношение ГКРЭ к «гадкому утенку» оставалось и в последующем.
Казалось бы, необычное решение, возможно, открывающее новые перспективы развития цифровой техники, следовало поддержать, оказав Университету помощь в создании промышленного образца машины, в укомплектовании ее надлежащим периферийным оборудованием, в налаживании производства, как выяснилось непритязательных и весьма надежных ее пороговых логических элементов, наконец, ввиду наличия заявок на поставку машины в зарубежье, позаботиться и об этой немаловажной стороне дела. Ничего подобного не произошло — «Сетунь» по-прежнему не хотели «ни знать, ни видеть», и наши усилия по ее внедрению постоянно наталкивались на неявное, но систематическое противодействие.
Вместе с тем, правительству Чехословакии, обратившемуся с просьбой о передаче документации для производства «Сетуни» на заводе Яна Швермы в Брно, отказали, уверив А.Н.Косыгина в том, что «это золото мы должны взять сами», тогда как в действительности Делать этого не собирались. Чехи же выделили свой лучший завод, подготовили добротные периферийные устройства («Консул», FS-1500), соответствующий магнитный барабан и намеревались выпускать сотни машин в год. Если бы это произошло, то, естественно, пришлось бы ответить, почему же мы сами не взяли «свое золото». Однако все обошлось без трудных вопросов. Более того, когда потребовалось разрешение на публикацию подготовленной в издательстве МГУ книги «Малая цифровая вычислительная машина “Сетунь”» 15], М.К.Сулим отказал, сославшись на якобы отсутствие технического описания машины (которое в то время уже было издано Министерством внешней торговли СССР на русском и английском языках).
Межведомственная комиссия по испытаниям опытного образца Машины «Сетунь», назначенная Распоряжением ГКРЭ от 14 марта I960 г. собралась на свое первое заседание 7 апреля 1960 г. в ВЦ МГУ под председательством главного инженера 8-го управления
42 К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Д. А. Жучкова в составе 14 членов, представлявших важнейшие в области создания и использования ЭВМ организации: Научно-исследовательский институт счетных машин, Научно-исследовательский институт электронных машин, Научно-исследовательский институт математических машин, Отделение прикладной математики АН СССР, ВЦ АН СССР, ВЦ АН УССР, п/я 24 (Минск).
Испытания начались 11 апреля в 9 час. и проводились 7 дней в односменном режиме, с 9 утра до 18 час., а также в круглосуточном режиме с 16 по 18 апреля и с 20 по 22 апреля. Машина испытывалась путем решения пяти задач с временем счета от 10 минут до 5 часов. На включение и «разогрев» машины отводилось ежедневно 10 мин., которые в зачетное время не включались. В режиме решения задач машина проработала 138 часов (77 — в круглосуточном, 61 — в односменном). Полезное время составило 90,1% от зачетного. За время испытаний зафиксировано 16 сбоев, из них 9 — на устройствах ввода-вывода и 2 - на магнитном барабане, обусловленные растяжением приводного ремня. За время испытаний в машине не было произведено замены каких-либо деталей.
Проведенные 25-27 апреля технические испытания подтвердили полное соответствие характеристик машины техническим условиям (ТУ): потребляемая мощность — 2,6 кВт, допустимые пределы колебаний напряжения электросети —1-8%, —12%, температурный диапазон установить не было возможности, но в предписанном ТУ диапазоне + 15-+-25°С машина работала устойчиво. Однотипные блочки и ячейки взаимозаменяемы в номинальном и профилактических режимах.
В Акте межведомственной комиссии от 29 апреля 1960 г., утвержденном заместителем председателя ГКРЭ С.В.Владимирским 7 июня 1960 г., «Сетунь» признана «первым действующим образцом универсальной вычислительной машины на без ламповых элементах», создание которой является определенным достижением в вычислительной технике.
«Высокая производительность, достаточная надежность, малые габариты и простота технического обслуживания позволяют эффективно использовать эту машину в конструкторских бюро, вычислительных лабораториях, в высших учебных заведениях для научных и инженерных расчетов.
Комиссия считает целесообразным организовать серийное производство машины “Сетунь”. Опытный образец может быть использован в качестве базы для разработки промышленного образца машины.»
Положительное заключение Межведомственной комиссии привело к постановлению Совмина СССР о серийном производстве машины «Сетунь», но не изменило отрицательного отношения к ней ГКРЭ. Для производства машины был определен Казанский завод
43
Н п.Брусенцов
математических машин (КЗММ), а о создании промышленного образца никакого решения не последовало, хотя было ясно, что самому МГУ эту проблему не решить, и КЗММ, еще только осваивающий выпуск своей первой машины М-20 (кстати, создание промышленного образца которой заняло 4 года), не располагает необходимым опытом. В нашем отделе электроники в числе 9 инженеров и 11 техников была одна копировщица принципиальных и монтажных схем и одна машинистка, осуществлявшая перепечатку текстовой техдокументации. Опытный образец машины был изготовлен по эскизам, которые могли послужить только началом для конструирования промышленного образца в конструкторском бюро соответствующего профиля.
Выручил В.М.Глушков, предложивший услуги своего СКБ ВЦ АН УССР за символическую плату. В сентябре 1960 г. мы детально обсудили с киевскими конструкторами компоновку и оформление заводского образца машины, передав им имеющиеся схемы, эскизы и текстовую документацию. В декабре готовый комплект конструкторской документации на машину был передан в СКБ КЗММ для проверки и доработки. Сотрудники этого СКБ стажировались в нашем отделе, осваивая технологию изготовления и контроля параметров схемных элементов, блочков и блоков машины.
В дальнейшем, к сожалению, продуктивного взаимодействия с СКБ КЗММ у нас не получилось. Проигнорировав мое предостережение о необходимости тщательно проверить киевские чертежи, руководство предприняло срочное изготовление по ним большой партии корпусов блоков и блочков машины. По прибытии в СКБ мне в качестве наглядного свидетельства проделанной работы предъявили Г°РУ добротно выполненных изделий, достаточную для укомплектования двух, а то и трех машин. Однако попытка вставить блочок в предназначенное для него гнездо на панели блока не увенчалась успехом - размер блочка был больше размера гнезда. Результаты трудоемкой, старательной работы превратились в металлолом. Поразительно, что не только не проверили чертежи, но и в процессе изготовления никто не поинтересовался, то ли делается, не попытался вставить блочки в гнезда на блоке. Проведение в таком «стиле» разработки промышленного образца не оставляло надежды на успех Дела. К тому же оказалось, что СКБ стремится создавать свой обра-эец машины независимо от завода.
Выход из тупика был найден в том, чтобы реализовать «Сетунь» На конструктивах осваиваемой заводом машины М-20. К счастью, в корпусе блочка М-20 свободно размещалось содержимое сетуньского Дочка и даже использовался тот же разъем. Вместе с заводским конструктором В.И.Рогожиным, обладавшим практическим опытом ра-оты с конструктивами М-20, мы за пару дней спроектировали обра-3еЦ «Сетуни» в виде сварного из уголков каркаса стойки, на который
44
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
стандартным образом навешивались панели блоков от М-20 с гнездами для установки блочков. Конструкция пульта управления, камерJ магнитного барабана и источника питания заимствовалась из киевского проекта. Изготовление машины в таком варианте сводилось, грубЛ говоря, к сварке каркаса, установке на нем заимствованных от М-20 панелей блоков, изготовлению пульта, камеры магнитного барабана (МБ) и источника питания, а затем электромонтажу блочков, блоков и межблочных соединений по нашим монтажным схемам.
Наиболее ответственную часть работы — изготовление логических элементов (феррито-диодных ячеек) взял на себя Астраханский завод ЭА и ЭП, которому, увы, не было поручено производство машины в целом, о чем его директор В.А.Рожков и главный инженер Ф.П.Калантаев искренне сожалели. С производством наших элементов на этом заводе не возникло никаких проблем. Ф.П.Калантаев был на редкость обстоятельным и толковым инженером: наши предписания по входному контролю параметров ферритовых сердечников^ и диодов, а также на промежуточных и заключительных операциях^ неукоснительно соблюдались. Производство было поистине бездефектным и безотходным, причем, высокорентабельным при отпускной цене всего лишь 3 руб. 50 коп. за ячейку (комплект ячеек для машины «Сетунь» обходился в 5,3 тыс. руб.).
К лету 1961 г. Астраханский завод полностью освоил производство всех типов логических ячеек «Сетуни» и мог выпускать их в любых количествах, поскольку ферритовые сердечники производились на самом заводе, а используемые теперь в ячейках диоды Д9В поставлялись без ограничений. При этом наличие проекта машины, реализуемой на конструктивах М-20, позволяло безотлагательно построить ее заводской образец, но этого почему-то не делали. Стимул появился неожиданно: директор завода К. Е. Минеев получил указание представить машину «Сетунь» на ВДНХ СССР к предстоящему партийному съезду. (Вероятно, об этом позаботился Ф.К.Кочетов, пожалуй, единственный в «верхах» человек, постоянно интересовавшийся тем, как продвигается наше дело и способствовавший преодолению препятствий.)
Константин Елизарович Минеев, не придававший до того проблемам «Сетуни» особого значения, пригласил меня в свой кабинет и, уверившись в выполнимости указания, принял меры к активизации работы по созданию заводского образца машины, который теперь стал «выставочным». Более того, он конкретно ознакомился с положением дел и, будучи человеком многоопытным, обратил мое внимание на недопустимость предусмотренной проектом покраски машины! бежевой молотковой эмалью — выставочный образец должен быть1 привлекательным. Затем «привлекательный» цвет был избран
45
Н П-Брусенцов
голосованием едва ли не всех работников завода. Снабженцы раздобыли на предприятиях Казани эмали всевозможных цветов, и окрашенные ими пластины были пронумерованы и разложены на стеллажах для оценки избирателями. Демократическое большинство получила нарядная сине-сиреневая эмаль, которой и окрасили выставочный образец. Серийные же машины выпускались традиционно серыми.
20 июня 1961 г. ударный отряд умельцев нашего отдела прибыл в Казань для участия в монтаже и отладке машины. Астраханцы поставили необходимый комплект ячеек. В сентябре выставочный образец был готов для отправки в Москву и вскоре был доставлен на ВДНХ в павильон «Радиоэлектроника», но буквально в плачевном состоянии. Кто-то умудрился перед перевозкой изъять из машины блочки и как попало сложить их в фанерный ящик, в результате чего у многих блочков ячейки вывалились из корпуса. Пришлось их повторно монтировать и все заново проверять. Все-таки к сроку машина была восстановлена, безупречно выполняла тесты и решала отобранные для демонстрации задачи. Но оказалось, что старались напрасно — делегаты съезда в павильоне так и не появились, поглощенные иным неотложным делом (перезахоранивали Сталина).
Посетителей выставки было немного, а проявлявших интерес к машине практически не было. Но как-то в ноябре пришли С.Л.Соболев и А.И.Берг. Было холодно, павильон не отапливался, экспонаты стояли неработоспособными. Мы включили «Сетунь», прогнали тесты, запустили демонстрационную задачу — телетайп напечатал результаты. Аксель Иванович едва не аплодировал. В глазах Сергея Львовича светилось удовлетворение. На то, что внедрение машины в серийное производство не находит поддержки в ведомствах, ответственных за вычислительную технику, Аксель Иванович возмущенно воскликнул: «Круговая порука!»
Планом на 1962 г. Казанскому заводу предписывалось выпустить Десять машин «Сетунь». Успешный опыт создания выставочного образца, налаженная поставка логических элементов Астраханским заводом и магнитных барабанов Пензенским заводом счетно-аналитических машин (САМ), наличие стендов для контроля блочков и методически упорядоченного комплекта функциональных тестов для контроля блоков и машины в целом с обстоятельными инструкциями по использованию всех этих средств позволяли надеяться, что с выполнением плана не должно быть проблем. И действительно, на протяжении первого полугодия никаких вопросов не возникало. Однако 8 сентябре появилась информация, что машина «Сетунь» не поддается наладке и потому не пригодна для серийного производства. О том, что год назад на заводе был изготовлен, легко налажен и отлично показал себя на ВДНХ «голубой» образец этой машины, почему-то все
46
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
забыли, будто бы его и не было вовсе. (Кстати, неизвестно, куда он исчез весной 1962 г. — в числе машин, сведения об эксплуатации которых в дальнейшем поступали в ВЦ МГУ, его не было. Если бы не Диплом 1-й степени, которого удостоен на ВДНХ Московский университет за создание «Сетуни», можно бы и впрямь сомневаться, существовал ли выставочный образец.)
Пришлось заведующему ВЦ МГУ И. С.Березину еще раз командировать в Казань нашу бригаду для выяснения сложившихся обстоятельств и оказания заводу необходимой помощи.
Обстановка на заводе явно свидетельствовала о нежелании руководства наладить серийный выпуск машины. Шел уже октябрь, а из предписанных годовым планом десяти образцов был смонтирован только один, да еще для двух—трех изготовлены каркасы стоек, хотя все необходимое для планомерного производства имелось в наличии уже год тому назад, когда построили выставочный образец.
«Неотлаживаемость» машины возникла в результате несоблюдения наших предписаний систематического поэтапного контроля параметров каждой поступающей на сборку компоненты — логических блочков, формирователей импульсов тока питания, усилителей сигналов для оперативного запоминающего устройства и т.п., а также вследствие неоправданной «рационализации» некоторых конструктивных узлов. Например, вентилятор, отсасывающий воздух из камеры магнитного барабана, переместили в интересах простоты крепления из-под ее потолка на пол, на уровень забора воздуха, так что внешне казалось, что все работает и даже выглядит складнее, а на самом деле воздух прокачивался по полу, тогда как в верхних слоях температура превышала допустимую более чем в два раза, и никакой отладкой добиться устойчивой работы памяти на магнитном барабане было невозможно.
В других случаях даже весьма искушенные умельцы-наладчики едва ли могли добиться успеха, поскольку пытались выявлять неисправности в машине в целом, не произведя надлежащего тестирования функциональной кондиционности всех ее компонент по-отдельности. Оказалось, что наша документация, формулирующая технические требования к компонентам и методику проверки соблюденности их, почему-то не была предоставлена наладчикам и вообще находилась в архиве. Похоже, что это был «традиционный порядок», и именно в силу такой традиции нормальное производство осуществимо только при наличии военпредов, добивающихся выполнения необходимых требований на всех без исключения этапах, начиная с входного контроля первичных комплектующих.
Привести к норме «неотлаживающийся» образец оказалось далеко не простым делом: для выявления и устранения всех произведенных умельцами «рационализаций» следовало подвергнуть
Н П.Брусенцов
47
тестированию на соответствие техническим требованиям каждую функциональную компоненту, начиная с элементарных феррито-диодных ячеек, поскольку и они не избежали «рационализации». Проще было смонтировать машину заново, использовав кондиционные ячейки Астраханского завода, но принятие такого решения едва ли отвечало целям тех, кому принадлежало право принимать его.
Оставалось заняться систематической перепроверкой всех блочков и составлением перечня привнесенных в конструкцию машины новшеств с тем, чтобы потребовать восстановления ее в первоначальном виде. Эта работа, проходившая в нервозной обстановке разного рода комиссий, расследовавших причины случившегося, была завершена к октябрьским праздникам, на которые нас отпустили в Москву, пообещав, что к нашему возвращению выявленные огрехи будут устранены. Однако на практике процесс затянулся — вместо соблюдения наших требований пытались доказывать, что «ведь можно и так». Наконец, уже в двадцатых числах ноября машина обрела присущий ей изначально характер: тесты теперь выполнялись в нормальном и профилактическом режимах, безошибочно решались контрольные задачи. Тем не менее состояние машины нельзя было признать удовлетворительным - странная неустойчивость наблюдалась в работе магнитного барабана. Нормально функционирующий в течение дня после установки оптимальных зазоров между магнитным покрытием и головками записи-чтения, на следующий день «отдохнувший за ночь» барабан оказывался совершенно неработоспособным, требующим регулировки заново всех зазоров. Будто бы кто-то ночью расстраивал злополучное устройство, беспорядочно смещая головки. В Действительности причина загадочного явления заключалась в уже упоминавшемся «усовершенствовании» вентиляционной системы в камере магнитного барабана. Оно стало последним несоответствием, требующим корректировки. Барабану, а вместе с ним и машине в целом была возвращена устойчивость.
Проведенные 28—29 ноября заводские испытания этого первого серийного образца машины показали, что он полностью и со значительным запасом удовлетворяет техническим условиям. Образец работал без сбоев. Единственный отказ — пробой диода в составе рулонного телетайпа — произошел не в самой машине, а в периферийном устройстве, которым она укомплектована. Полезное время составило 95% от зачетного. Акт о проведенных испытаниях безоговорочно подтверждал пригодность машины для серийного производства, предотвращая возможность уклониться от выпуска предусмотренных планом истекающего года десяти машин. В течение декабря было выпущено 7 машин, и получено разрешение Госплана СССР перенести 3 машины на 1963 г.
48
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Таким образом, решение о серийном производстве «Сетуни» осталось в силе, удавить «гадкого утенка» чиновники не смогли. Впрочем, на 1963 г. запланировали выпустить опять только 10 машин, несмотря на большое число заявок, в том числе зарубежных, и отсутствие каких-либо трудностей с комплектующими либо недостатка производственной мощности — ведь в декабре 1962 г. за один месяц собрали и выпустили 7 машин, причем, наладка уже не составляла проблемы. В 1964 г. завод поставил 21 машину и проявил желание заняться совершенствованием конструктивного оформления, а также технологии производства с целью увеличить выпуск ввиду того, что машина оказалась практичной, спрос на нее нарастал. К тому же Министерство внешней торговли СССР, подготовив необходимую документацию, запрашивало машины для экспорта. Однако в ведомствах уже было принято иное решение (на сей раз без обсуждений и без испытаний) — производство машины «Сетунь» прекратить. Мы узнали об этом от подавших заявки на поставку ее в 1964—1965 гг.: им было отказано, поскольку все машины, выпускаемые в 1964 г., уже распределены, а в 1965 г. машина снимается с производства (5 машин поставили еще и в 1965 г.).
Невозможно объяснить такое «решение» ни научно-техническими, ни экономико-хозяйственными причинами. Машина, благодаря простоте и естественности ее архитектуры, оказалась легко осваиваемой и эффективной в широком спектре практических применений в НИИ, на заводах, в ВУЗах и техникумах, причем даже при полном отсутствии сервиса и запчастей, как правило, надежно функционировала во всех климатических поясах от Ашхабада до Якутска, показывая у рачительных пользователей рекордные значения коэффициента полезного времени — 95-97%.
В феврале 1962 г. мне с Е.А.Жоголевым и С.П.Масловым по приглашению правительства ЧССР довелось побывать на заводе Яна Швермы в Брно, где предполагалось запустить в серийное производство нашу «Сетунь». Инициаторами этого проекта были чешские инженеры И.Крыже и И.Бранд, ознакомившиеся с машиной при посещении Вычислительного центра МГУ в 1960 г. и, по-видимому, реально оценившие ее коммерческие достоинства. Планировался выпуск в первый же год трехсот машин, и завод был вполне готов реализовать это. В отчете о командировке, направленном в Государственный комитет по науке и технике СССР, мы предложили рассмотреть возможность сотрудничества с заводом Яна Швермы Астраханского завода ЭА и ЭП, уже освоившего производство логических элементов «Сетуни». Но вскоре стало известно, что передача документации для производства машины в ЧССР возможна лишь после освоения крупносерийного выпуска ее в нашей стране, а затем выпуск был и вовсе прекращен.
Н П- Брусенцов
49
Всего, с учетом опытных и выставочных образцов, было построено 50 машин, из которых 46 обладали заводскими номерами и функционировали в организациях - членах Ассоциации вычислительных машин «Сетунь», образованной по инициативе Вычислительного центра МГУ. ВЦ выступал в роли ее организатора и штаба, систематически собирая данные о технической эксплуатации и об использовании машин, предоставляя консультации по вопросам инженерного и математического обеспечения, разрабатывая и издавая соответствующие инструктивные материалы (в серии «Математическое обслуживание машины “Сетунь” под редакцией Е.А.Жоголева вышло 30 выпусков с разработанными сотрудниками ВЦ интерпретирующими системами и программами решения типовых математических задач и обработки экспериментальных данных), а также организуя обмен опытом практического использования машины [6]. Плодотворными научными конференциями явились семинары пользователей «Сетуни», проведенные в 1965 г. на ВДНХ в Москве, в 1968 г. - на Людиновском тепловозостроительном заводе (Калужская область), в 1969 г. — в Иркутском политехническом институте. Несмотря на скромность ее ресурсов, «Сетунь» оказалась необыкновенно благоприятной для создания автоматизированных систем различного назначения: в Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е.Жуковского на ней уже в 1965 г. работала система программированного обучения и автоматизированная система испытания авиационных двигателей; в Гидрометцентре - система краткосрочного прогнозирования погоды; в Московском химико-технологическом институте (МХТИ) и на химфаке МГУ - интенсивно используемые программы в области химии; в Московском институте инженеров транспорта (МИИТ) - задачи строительной механики; в Иркутском политехническом институте — система оптимального планирования деятельности приборостроительного предприятия; в Сибирском научно-исследовательском институте энергетики (Новосибирск) - интерпретирующая система (ИПН), позволяющая на «Сетуни» отлаживать программы для М-20; на Людиновском тепловозостроительном и на Владимирском тракторном заводах - комплексы программ конструкторско-технологического назначения; в НИИ «Пищепромавтоматика» (Одесса) - системы оптимизации сельскохозяйственного назначения; в Институте космофизических исследований и аэрономии (Якутск) - «глобальная съемка» космических лучей по материалам мировой сети станций.
Вопреки административному подавлению, практика явно свидетельствовала о верности реализованных в «Сетуни» принципов и Решений. Очередным этапом явилась разработка на основе опыта ее применений усовершенствованной малой цифровой машины, названной впоследствии «Сетунь 70». Заведующий ВЦ МГУ И.С.Березин Утвердил 3 июня 1967 г. подготовленное мной совместно с
50 К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТ^
Е.А. Жоголевым техническое задание по теме «Разработка эффек| тивных логических структур и технических решений для малых циф. ровых машин», предусматривающее создание образца дешевой цифровой машины, усовершенствованной путем оптимизации ее структуры (архитектуры) в комплексе с системой математического обслуживания. Предполагалось, что программно осуществляемая на «Сету-, ни» стековая реализация алгоритмов в польской инверсной записи в новой машине станет аппаратурной, так что процессор будет выполнять послогово кодируемые бесскобочные выражения, не требуя их трансляции. Машина обретала язык высокого уровня, оставаясь простой и эффективной. Кроме того, требовалось оснастить новый процессор системой прерываний, увеличить объем оперативной памяти, добавив программируемые пользователем страницы постоянным запоминающим устройством (ПЗУ), увеличить емкость магнитного барабана, уменьшить потребляемую мощность, заменить ламповый источник питания транзисторным, уменьшить размеры машины и т.п.
Архитектура «Сетуни 70» была исчерпывающе описана [7] на модифицированном Алголе-60, что позволяло программно эмулировать новый процессор и разрабатывать его матобеспечение, не дожидаясь реализации машины «в металле». Было негласное обязательство завершить работу к апрелю 1970 г., и «машина в металле» к этому сроку появилась, выполняла все положенные тесты. Но та система матобслуживания, под которую эта машина была создана, не была готова к условленному сроку и нет ее до сих пор.
Наступил очередной этап гонений. Иван Семенович Березин уже не возглавлял Вычислительный центр, а Сергей Львович Соболев еще в начале 60-х гг. уехал в Новосибирск, и теперь оказалось, что неуместно в Университете, а тем более в Вычислительном центре заниматься разработкой вычислительных машин. Нашу образованную в составе ВЦ МГУ по Постановлению ЦК КПСС и СМ СССР №1121-541 от 6 октября 1958 г. проблемную научно-исследовательскую лабораторию ЭВМ вскоре выдворили на чердак студенческого общежития. «Сетунь 70» мы взяли с собой, а наша первая «Сетунь», все еще использовавшаяся факультетами для вычислений и обработки экспериментальных данных, была варварски уничтожена (сохранился только пульт управления, переданный впоследствии в Политехнический музей).
Приемлемой темой научно-исследовательских работ оказалась «Разработка автоматизированной системы обучения на базе малой цифровой машины», к которой мы и приступили в 1972 г. Ознакомление с наследием Яна Амоса Коменского привело к заключению, что вопреки безуспешности попыток эффективно компьютеризовать обучение, существует возможность удовлетворительного решения этой проблемы весьма скромными техническими средствами, если
51
Н.П-Брусенцов
иметь в виду не «электронное перелистывание страниц» и не развлекательную занимательность, а достоверное понимание и надежное усвоение учащимися того, чему их учат. Компьютеру надлежит оптимально управлять обучением в соответствии с принципами «Великой дидактики» Коменского. Для достижения этого не надо ложной интеллектуальности, уподобления машины человеку. Она, кстати, выгодно отличается от человека неспособностью извращать положения рациональной дидактики и беспредельным терпением. Чем примитивней протокол общения с системой, тем меньше учащийся отвлекается от осваиваемого предмета и тем проще разработка учебного материа
ла.
Реализованная на машине «Сетунь 70» с 27-ю терминалами учащихся автоматизированная система обучения «Наставник» первое практическое применение получила весной 1974 г. — был проведен подготовленный Н.С.Бахваловым коллоквиум по его курсу численного анализа на потоке численностью 150 студентов. Несмотря на чердачные условия, при которых и дневного света не было, не говоря
уж о воздухе, тестироваться в системе всем понравилось, а установленные машиной оценки полностью подтвердились на экзамене в конце учебного года. Этот эксперимент убедительно подтвердил достаточность терминала с дюжиной клавиш и цифровым индикатором для обеспечения необходимого диалога учащегося с системой. Учебный материал работающим в «Наставнике» предоставляется в печат-
ном виде — принцип «книга + компьютер».
Ведущий разработчик программного обеспечения «Сетуни 70» Хосе Рамиль Альварес параллельно с созданием многотерминального экзаменатора, использованного для автоматизированного коллоквиума, интенсивно работал над реализацией подсистемы «Обучение» — главной дидактической компоненты «Наставника», которая «обкатывалась» на фрагментах учебного материала «Язык Фортран», создаваемого группой добровольцев (А.Л.Александров, В.Ш.Кауфман, В.Б.Лебедева и др.). К 1977 г. подсистема «Обучение» вполне устоялась, курс «Язык Фортран» был готов и вскоре издан в виде 4-х брошюрок по 40—60 страниц. Оказалось, что студенты 2-го курса факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМиК) доско-вально овладевают Фортраном за 10-15 часов обучения в «Наставни-Ке» (экономистам требовалось 20—30 часов, но результат был гарантирован — все прошедшие курс легко справлялись с заданиями практикума). В последующие годы по нашим четырем книжечкам Фортран в «Наставнике» освоили более 5 тыс. человек. Наша лаборатория с «Сетунью 70» и «Наставником» переехала в новое помещение факультета ВМиК во 2-м учебном корпусе МГУ. «Наставник» стали Использовать для проведения коллоквиумов по математическому анализу, дифф еренциальным уравнениям, для тестирования
52
К 250-ЛЕТИЮ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
первокурсников по английскому языку. Все это продолжается и по ныне. Однако ни одного курса в системе «Обучения», подобного «Языку Фортран», на факультете не появилось. Их пытались создавать в иных, «интеллектуальных» системах компьютеризации обуче ния, но о достигнутой дидактической эффективности данных нет поскольку практического применения результатов не было.
В начале 1980-х гг. мы реализовали «Наставник» на микрокомпьютерах отечественного производства, в частности, на ДВК-2М. Это открыло возможность распространения системы - она появилась на факультете психологии МГУ, в московской школе №710, на алюминиевом комбинате в г.Турсун-заде, на заводе им. И.А.Лихачева, в Московском авиационном институте, в Военно-инженерной академии йм. В.В.Куйбышева, где для нее создали более десяти курсов по различным предметам. В 1985 г. в связи с программой компьютеризации; школ возникло предложение о серийном выпуске «Наставника» и создании для него комплекта курсов по основным школьным предметам, но предпочтение было отдано «более современным» комплексам компьютеров УКНЦ, на которых в отдельных школах пытались запустить «Наставник», но безуспешно вследствие недостаточной надежности.
Свидетельством актуальности практичной системы компьютерного обучения служит издание в 1990 г. нашей книги «Микрокомпьютерная система обучения “Наставник”» [8] тиражом 86 тыс. экз. Неизвестно, была ли эта книга в действительности выпущена таким тиражом, но в последующие годы ее потенциальным читателям, видимо, было не до «Наставника». А ведь проблема обучения остается нерешенной и ситуация усугубляется.
Другим направлением, начало которому положила «Сетунь 70», стало создание Диалоговой системы структурированного программирования (ДССП) [9]. Провозглашенное Э.Дейкстрой структурированное программирование (кстати, представляющее собой алгоритмическую разновидность «упорядочения» Яна Коменского) оказалось «созвучным» необычной стековой архитектуре «Сетуни 70», ее процедурному характеру. Потребовалось видоизменить лишь четыре команды и ввести второй стек (стек процедур, или адресов возврата), чтобы превратить «Сетунь 70», в машину структурированного программирования, а вернее сказать, структурирующего, потому что неструктурированно программировать на ее языке нельзя. В дальнейшем эта двухстековая архитектура с постфиксным бесскобочным языком, названная ДССП, эмулировалась на двоичных компьютера [10; 11].
Предвиденные Э.Дейкстрой, но так и не реализованные в ходе «структурной революции» достоинства его метода воплощены в ДССП, по-видимому, с исчерпывающей полнотой: трудоемкость разработки программ существенно сокращается, обеспечивается легкость
53
И ГЪБрусенпов
понимания, версификации и модификации программы. Вместо отладки путем тестирования применяется «контрольная сборка» — nociy-пенная восходящая проверка программы, гарантирующая с высокой вероятностью ее безошибочность.
С середины 1990-х гг. ДССП обрела новое направление развития благодаря введению наряду с постфиксными также префиксных процедур и так называемых «конструктов» — определяемых пользователями высокоуровневых типов данных. В частности, посредством двоичных и троичных конструктов типа «булево выражение» осуществлена компьютеризация алгебры логики, включая преобразование алгебраических выражений к требуемому виду, решение булевых уравнений, выявление отношений, которыми взаимосвязаны данные выражения и т.п. [12; 13].
Список литературы
1.	Брусенцов Н.П. Опыт разработки троичной вычислительной машины // Вестник Московского университета. Серия 1. 1965. №2. С.39-48.
2.	Брусенцов Н.П. Вычислительная машина «Сетунь» Московского государственного университета // Новые разработки в области вычислительной математики и вычислительной техники. Материалы научно-технической конференции. Киев, 1960. С.226-234.
3.	Жоголев Е.А. Система команд и интерпретирующая система для машины «Сетунь» // Журнал вычислительной математики и математической физики АН СССР. 1961. Т.1. №3. С.499-512.
4.	Брусенцов Н.П., Жоголев Е.А., Веригин В.В., Маслов С.П., Тишулина А.М. Малая автоматическая цифровая машина «Сетунь» // Вестник Московского университета. Серия 1. 1962. №4. С.3-12.
5-	Брусенцов Н.П., Маслов С.П., РозинВ.П., Тишулина А.М. Малая цифровая вычислительная машина «Сетунь». М., 1965.
6.	Аннотированный указатель программ для вычислительной машины «Сетунь» / Сост. Н.П.Брусенцов, В.А.Морозов. М., 1968. Вып.1; М., 1971. Вып.2.
7.	Брусенцов Н.П., Жоголев Е.А. Структура и алгоритм функционирования малой вычислительной машины // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Л., 1971. Вып.8. С.34-51.
8.	Брусенцов Н.П., Маслов С.П., Рамиль Альварес X. Микрокомпьютерная система обучения «Наставник». М., 1990.
9.	Брусенцов Н.П. Заметки о троичной цифровой технике (6-е продолжение) // Архитектура и программное оснащение цифровых систем. М., 1984. С.114-123.
1®'	Диалоговая система структурированного программирования ДССП // Н.П.Брусенцов. Микрокомпьютеры. М., 1985. С.141—170.
И- Брусенцов Н.П., Захаров В.Б., Руднев И.А., Сидоров С.А. Диалоговая система отруктурированного программирования ДССП-80 // Диалоговые микрокомпьютерные системы. М., 1986. С.3-27.
Интегрированная система обучения, конструирования программ и разработки дидактических материалов (Учебно-методическое пособие.) / Под ред. Н.П.Брусенцова. М., 1996.
13.	Брусенцов н.п., Жоголев Е.А., Маслов С.П., Рамиль Альварес X. Опыт создания троичных цифровых машин // Компьютеры в Европе. Прошлое, настоящее и будущее. Киев, 1998. С.67-71.
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР |
«ОН ЖИЛ, ЧТОБЫ РАБОТАТЬ, И РАБОТАЛ, I
ЧТОБЫ ЖИТЬ, И ЕГО БИОГРАФИЯ ПОЧТИ ВСЯ 1 УКЛАДЫВАЕТСЯ В ЕГО БИБЛИОГРАФИЮ» (БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ 1 К «СПИСКУ ПУБЛИКАЦИЙ» В.Я.БУНЯКОВСКОГО)1)
Н. С. Ермолаева
До настоящего времени существовало 4 списка научных работ! В.Я.Буняковского: два из них были составлены при его жизни, а два I других уже в XX в.
Первый список работ Буняковского, опубликованный в 1876 г., I состоял из 115 наименований и напечатан на с.5567 в книге: «Описа-1 ние празднования докторского юбилея вице-президента Императорской Академии наук академика, тайного советника В.Я.Буняковского I 19 мая 1875 г.» (Санктпетербург: тип. Императорской Академии! наук, 1876. 67 с.). Составитель не указан, но по раду признаков вид-1 но, что его составил сам Буняковский. (Например, кто, кроме авто-! ра, мог написать, что опубликованная статья есть только часть рабо-1 ты, которая, не будучи законченной, не была напечатана.)
Этот список разбит на два раздела: работы, изданные Академией I наук (по тематическому принципу), и работы, опубликованные в других изданиях.
Правда, следует отметить еще одно более раннее издание: «Описание празднества1, данного в честь академика Виктора Яковлевича I Буняковского 30 декабря 1864 г. / Сост. П[авел] Алексеевич] 1
1) Настоящая работа была подготовлена к Международной конференции памяти Виктора Яковлевича Буняковского (1804-1889) (Киев, 16-21 августа 2004 г.), и предварительный вариант ее опубликован в сборнике «BiKTop Якович Буняковський (до 200-р1ччя з дня народжения)» (Киев, 2004. С.45-60).
55
pj (^Ермолаева
К пгуев» (Кронштадт: тип. «Кронштадтский вестник», 1865. 69 с.). Как слеДУет из названия, это издание не претендовало на составление полного списка вышедших к этому времени работ Буняковского, а потому в «Слове» о его жизни и творчестве перечислены только 9 его книг или, как тогда говорили, «сочинений, изданных отдельно».
Второй, ставший широко известным, список В.Я.Буняковский составил на французском языке, включая и названия своих работ на русском языке. Полное название и выходные данные списка таковы: «Liste des travaux mathematiques de Victor Bouniakowsky, Membre effectif de I'Academie Imperiale des Sciences a St.-Petersbourg» (St-Petersbourg: Imprimerie de I'Academie Imperiale des Sciences, 1883. Manuscrit 16 p.). Список состоит из следующих разделов: арифметика, теория чисел, алгебра, геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория вероятностей и антропобиология, рациональная (теоретическая) и прикладная механика и смесь. В начале списка помещены две работы, составившие его докторскую диссертацию. Здесь почти такие же рубрики, как и в списке 1875 г.; выделен дополнительно только раздел «арифметика». Указаны и даты представления работ на заседаниях Академии наук.
Теперь скажем об обстоятельствах появления списка 1883 г. В своей книге о В.Я.Буняковском2 В.Е.Прудников, написал (с.12): «В 1883 г. по распоряжению Академии наук был напечатан список математических сочинений Буняковского, им самим составленный и содержащий 108 названий». Позднее эта фраза тиражировалась с вариациями в различных работах. Однако возникают вопросы: 1) по какому поводу Академия дала такое распоряжение и почему только Бу-няковскому? 2) кто именно дал распоряжение вице-президенту Академии В.Я.Буняковскому?
Ответ дают протоколы заседания Академии от 29 марта 1883 г.: «Вице-президент Академии В.Я.Буняковский представил, для библиотеки Академии, экземпляр напечатанного им в виде рукописи, списка своих ученых работ, составленного для литературно-биографического лексикона д-ра Федерсена».3
Действительно, первоначально список, возможно несколько в ином виде, был предназначен для известного биобиблиографического словаря Поггендорфа.4 Можно предположить, что Буняковский хо-Тел передать полный список своих научных работ также и библиоте-Ке Академии: ведь близилось его восьмидесятилетие, и он хотел оста-вить список в том виде, в каком считал нужным.
Что касается «распоряжения Академии», то на последней страни-Це списка внизу есть надпись: «Напечатано по распоряжению Императорской Академии наук. С.Петербург. 11 марта 1883 г. Непременен секретарь, академик К.Веселовский». Такое распоряжение имела
56
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И CCc.pl
любая печатная продукция Академии, и адресовано оно было типографии, которая, будучи академической, имела и другие заказы.
Третий список из 126 наименований, составленный по тематическому принципу на основе первых двух, был опубликован в 1905 г. Петром Ивановичем Трипольским (1880-1910). Книга имеет надзаголовок: «Полтавский кружок любителей физико-математических наук». Далее на титуле следует: Трипольский П. Виктор Яковлевич! Буняковский. С портретом, факсимиле и указателем списка его сочинений. (По поводу столетнего юбилея со дня рождения.) Полтава: электрич. типо-лит. торг. д. «Л.Фридберг», 1905. 34 с.
Этот список (с.25-34) также организован по тематическому принципу, почти такому, как и предыдущий. Так как к этому времени уже все работы Буняковского были написаны (но не все включены в библиографию), приведем количество работ внутри каждой рубрики:! арифметика — 4; теория чисел — 38; алгебра — 6; геометрия - 14; дифференциальное и интегральное исчисление — 14; теория вероятностей и антропобиология - 24; механика — 14; физика — 1; смесь -11.
В этом списке указаны даты представления работ, но почти нет дат издания работ и не указаны страницы, как и в прежних списках.5
Четвертый список из 128 наименований был составлен Н.Я.Со-1 ниным, академиком, получившим в 1889 г. премию имени В.Я.Буня-1 ковского: Сонин Н.Я. Виктор Яковлевич Буняковский. (Материальп для биографического словаря действительных членов Императорской] Академии наук.) Петроград, 1915. Т.1. С.73-78. Этот список предваряла краткая биографическая справка.6 Это был уже хронологический и весьма обстоятельный список. Здесь указаны даты изданий, но| лишь изредка указаны страницы, тома часто указаны без номеров выпусков, есть неточности в названиях.
Во всех списках были незначительные опечатки, от которых ник-] то не застрахован, неточности, что встречается и при ссылках на работы Буняковского у различных исследователей. Даже у самого Буняковского в его списке 1883 г. указаны не все работы, есть весьма вольный перевод названия одной статьи, а о ряде своих работ он только упоминает, но без названия и выходных данных.
На Общем собрании, оповещая Академию о смерти Буняковского, К.С.Веселовский сказал: «...он жил, чтобы работать, и работал, чтобы жить, и его биография почти вся укладывается в его библиографию».7
Соглашаясь с этим, было решено включить в список работ Буняковского, помещенный в данном сборнике, не только его научные труды, но и публикации другого рода. К сожалению, изданные в различных изданиях и газетах, они не поддаются поискам, а потому’ включено далеко не все, хотя нам и удалось несколько дополнить
57
и С. Ермолаева
Тем не менее, и эта совокупность публикаций дает более пол-список. а ный портрет ученого.	„
В предлагаемом нами U.H.Сытой и мной) «Списке» мы придер-
живались хронологического порядка, выделив, в отличие от предыдущих составителей, годы публикаций. Приведем далее особенности нашего списка, в котором также могут быть погрешности или упущения:
— Год публикации работы это год ее выхода в свет. При наличии перепечатки или краткого изложения работ, последние, как правило, отнесены к году их выхода. Это касается и коротких заметок-резюме. В этой связи пришлось повторять название работы, если у нее раз
ные выходные данные.
- В квадратных скобках дается указание на год выхода всего тома, а не его части. Без скобок указан год выхода данной части тома. Надо признать, что более компактные предыдущие списки смотреть проще, но они дают меньше информации.
— Все даты приведены по старому стилю. Иногда указаны обе даты (по юлианскому и григорианскому календарям) в виде дроби:
так писали в академических журналах на иностранных языках; в газетах же для этого использовались круглые скобки.
— Указаны даты представления работы на заседаниях Академии наук («Читано» или «Lu» — для работ на французском языке), как это было в прежних списках. В рубрике каждого года эти даты указаны в хронологическом порядке.
— Названия приведены по возможности так, как они были написаны, но при этом в новой орфографии, в том числе без исчезнувших букв алфавита8, однако пунктуация сохранена. Сохранены также заглавные буквы для названий (правила их использования неоднократно менялись, как и правила написания ряда слов). Для примера укажем, что одно время город «Санкт-Петербург» писали слитно, без черточки, прилагательное «официальное» писали с двумя «ф», а слово «комиссия» то с двумя «м», то с одним.
- Добавлены статьи В.Я.Буняковского из словарей, если они были им подписаны, но иногда сделаны исключения для неподписанных статей. Внесены и некоторые работы Буняковского, не упомянутые в более ранних списках. Добавлены также другие статьи, ранее не включавшиеся в список или не имевшие полного библиографического описания.
~ Указаны страницы статей. Заметим, что разночтение при указании последней страницы статьи вызваны следующим: если конец статьи приходился на лицевую сторону листа, то оборотную сторону часто оставляли пустой (для удобства издания отдельно). Бывало так, что в оглавлении можно было увидеть идущие подряд две работы. причем первая заканчивается, к примеру, на странице 50, а вторая начинается со страницы 52.
58
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
— В списке П.И.Трипольского в числе статей Буняковского были указаны некоторые места из протоколов заседаний Отделения академии, где говорилось в третьем лице о содержании работы, хотя естественно предположить, что каждый автор сам писал такое резюме. Сообщений из протоколов мы не включали в список, сделав исклю
чение лишь для некоторых, которые цитировались в кавычках.
-	В квадратных скобках добавлены инициалы тех ученых, о работах которых Буняковский давал отзыв.
-	Добавлена пометка «[Также отд. изд.]» в случае, если работа была издана отдельно, но в журнале она тоже имелась. Однако эти отдельные издания не все сохранились в библиотеках, поэтому мы пользовались каталогом книг Академии, составленном в 1912 г. для
продажи имевшихся экземпляров, а также каталогом русских книг в Российской национальной библиотеке. Возможно, что мы указали не все такие издания, но это не столь существенно, т.к. поиск нужной работы ведется, как правило, в журналах.
В цитированной выше книге2 В.Е.Прудникова на с.71 написано: «Для нужд военно-учебных заведений Буняковский перевел «Курс начертательной геометрии» Леруа». Там же он в сноске сообщает, что Charles-Francois Leroy (1780—1854) был французским математиком, профессором геометрии Политехнической школы, однако никаких выходных данных на этот перевод Прудников не указал. Эту же информацию Прудников кратко повторил в своей книге «Русские педагоги-математики XVIII-XX веков» (Москва, 1956, с.306).
Прибавлю к этому, что Леруа преподавал также на Факультете наук в Париже, заменяя одного из профессоров, именно тогда, когда там учился Буняковский.
Поиски этого перевода оказались тщетными: в крупных библиотеках такой книги нет. Возможно, это было литографированное небольшим тиражом издание. Однако, если бы перевод был издан, то он обязательно бы фигурировал в списках трудов Буняковского, тем более прижизненных. Кроме того, в некоторых статьях того времени, практика обмена полезными рукописными трудами была в порядке вещей.9
Академические издания
Основной трибуной академика были различные академические издания. Они имели далеко не прозрачную структуру для постороннего глаза, а потому прокомментируем те издания, в которых печатались труды Буняковского.10
В XIX в. количество различных академических изданий росло, менялись и языки научных публикаций: от преобладающих латинского и немецкого языков в XVIII в. до доминирующего французского в первой трети — середине XIX в., а русского и французского —
И С. Ермолаева
59
начиная с 1862 г. Мы будем говорить только о тех изданиях, в которых печатались математические работы.
Первым по времени периодическим изданием, в котором печатался Буняковский, была шестая серия уже выходивших ранее «Мемуаров», а именно «Memories de Г Academic Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg. Sixieme serie. Sciences Mathematiques, Physiques et Naturelles».
Эта серия просуществовала всего три года (1831-1833), после чего разделилась на две части11, из которых нас интересует первая: «Memories de 1'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg. Sixieme serie. Premiere partie. Sciences Mathematiques et Physiques». Всего вышло 7 томов за 1838-1859 гг. Вторая часть предназначалась для работ по естественным наукам.12
Этот журнал был продолжением предыдущего, и чтобы это показать, решили указывать два номера, например, т.2(4) номер в скобках давал нумерацию от 1831 г.
Особенность этих изданий заключалась в том, что там печатались в основном довольно обширные труды, причем выходили они отдельными выпусками или, как говорили тогда, книжками (livraisons), в каждой из которых, кроме трудов академиков, имелся раздел «Bulletin scientifique» для оповещения международных научных кругов о деятельности Академии.
Предложенная процедура издания позволяла не только быстрее печатать работы, но и обеспечить продажу литературы: легче было продавать мелкие выпуски, а читателю удобнее покупать то, что его интересует.13 Кроме того, объем будущих работ был неизвестен заранее, а подписная цена тома должна была рассчитываться до начала подписки.
С 1859 г. по 1897 г. издавалась седьмая серия «Memories»: «Memoires de Г Academic Imperiale des Sciences de Saint-Petersbourg. VIIе serie». Здесь не было деления по наукам и выпускам, но тома Делились на номера, каждый из которых предназначался для работы одного автора. Они также продавались в розницу, но том был единый, количество же номеров зависело от общего листажа.
В 1862 г. появилось еще одна серия «Мемуаров», но называлась она уже по-русски: «Записки Императорской Академии наук». Однако еще ранее, в 1854-1856 гт. вышло три тома журнала под названием «Ученые записки Императорской Академии наук по первому и третьему отделениям».14
Параллельно с «Мемуарами» печатались и серии академических •«Бюллетеней», но на томах серии не указывались (это сделано позднее библиографами). «Бюллетени» были предназначены для более быстрого оповещения о деятельности Академии наук, там же
60
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
печатались отчеты о присуждении Демидовских премий, а также короткие научные статьи или «извлечения из статей», как тогда говорили.
Первой серией был «Bulletin scientifique, public par I'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg et redige par son secretaire perpetuel». Он выходил в 1837—1842 гг. не вполне регулярно. Всего вышло 10 томов. Далее он разделился на две части, подобно «Мемуарам», открыв вторую серию. Нас интересует «Bulletin de la Classe physico-mathematique de I'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg». 3a 1843-1859 гг. вышло 17 томов, почти все - с приложениями.
Третья серия «Бюллетеней» называлась короче: «Bulletin de I'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg». 32 тома этого «Бюллетеня» вышли в 1860—1888 гг. Теперь тома стали делиться на отдельные номера (от 4 до 9 номеров в томе); имелись также приложения к каждому тому. «Бюллетени» печатались в две колонки (colonne), поэтому мы так и указываем (col.), хотя в оглавлении этих «Бюллетеней» стали писать «страница» (page).
Минуя четвертую серию, сообщим только, что пятая серия имела заголовок не только на французском, но и на русском языке: «Известия Императорской Академии наук».
«N-ое присуждение учрежденных П.Н.Демидовым наград». (Номер присуждения указывался словами.)15 Академия издавала эти сборники с разбором представленных работ16, начиная с шестого присуждения. До этого в журналах печатался только общий отчет Непременного секретаря Академии о результатах конкурса. Рецензии печатались на русском, французском или немецком языках, но титульный лист каждого отзыва был на русском языке. Сборник начинался с общего отчета Непременного секретаря, причем резюме отзывов иногда были довольно подробными. Отчет всегда был написан на русском языке.
«Месяцеслов на... год». Календари (слово, введенное в оборот Петром I) или «Месяцесловы» издавались Академией с 1728 г.17
«Месяцесловы» XIX в. — это книги не только с календарем, в котором указывались все важные даты и праздники, обязательно с указанием именин и прочих дат царской семьи, но и с различными полезными сведениями. Монополию на это издание Академия потеряла в 1868 г.18
Газета «Санкт-Петербургские ведомости». Это еще одно академическое издание. Газету учредил Петр I еще в 1703 г., но издание не было регулярным. С 1728 г. Академия стала издавать «Санкт-Петербургские ведомости» на русском языке сначала два раза в неделю, затем ежедневно и с различными приложениями к ним. 19
И. С. Ермолаева
61
Печатались в этой газете и сведения о заседаниях Академии. Оба издания — газета и календари - быстро расходились и приносили Академии средства на нужды, не предусмотренные в смете расходов (например, на печатание трудов и на ремонт зданий). С течением времени ситуация менялась. Академия стала сдавать газету в аренду, а с 1875 г. утратила свою привилегию, данную ей Петром I. Газета была передана Министерству народного образования и также сдавалась в аренду, а в 1886 г. вышло ее второе издание - «Русская газета», которая была уже частной.
В список работ мы включили еще одно издание, в подготовке которого Буняковский принял активное участие. Это был четырехтомный «Словарь церковно-славянского и русского языка, составленный вторым отделением Императорской Академии наук» (СПб., 1847). В предисловии к первому тому ученые второго отделения, пригласившие участвовать в составлении словаря специалистов по различным областям науки, выразили Буняковскому и другим благодарность за помощь. Словарь был толковым, но надо было дать все пояснения в двух—трех строках при печати в две колонки. Это касалось и математических терминов. Вот два примера: «Логарифм — ряд чисел, состоящих в арифметической прогрессии и соответствующий другому ряду чисел геометрической прогрессии»; «Интеграл — конечная величина в отношении к бесконечно малой части оной, называемой дифференциалом» .
Другие издания
«Энциклопедический лексикон» (СПб.: тип. А.Плюшара. 1841—1844. 17 томов (буквы от А до Дят)). Часто именуется по фамилии издателя и владельца типографии Адольфа Александровича Плюшара. (Сначала редактором «Лексикона» был Н.И.Греч, потом А.И.Шенин и О.И.Сенковский. 20) В составлении, кроме В.Я.Буняковского, к этому времени уже издавшему свой «Лексикон чистой и прикладной математики», принимали участие многие известные литераторы и ученые, так как потребность в таком словаре была очевидна.
Однако выяснилось, что многие важные статьи были или слишком лаконичны, или растянуты. Многое было трудным для основной массы подписчиков. Кроме того, оказалось, что общий объем словаря непредсказуем. И если в семнадцати томах не закончена даже буква Д. то на сколько лет растянется издание? Сюда надо добавить враж-ДУ между редакторами (Гречем и Сенковским), отрицательные мнения в печати и, наконец, запутанные финансовые дела издателя. Кончилось тем, что Плюшар обанкротился.
«Энциклопедический словарь, составленный русскими учеными и литераторами» (СПб, 1861-1863. Буква А (пять томов) и буква
62
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Е—Близ (один том)). Этот словарь был известен в XIX в. как «словарь Гершельмана» по фамилии его издателя.21
Как только появилось заявление об издании этого «Словаря», сразу появились в прессе статьи с диаметрально противоположными мнениями. Одни приветствовали издание, другие считали, что общество еще не дозрело до энциклопедии. Тем не менее, редакция (14 человек, включая В.Я.Буняковского, возглавившего математический отдел) и около 200 сотрудников выпустили первые пять томов.22
Сначала общим редактором «Словаря» был А.А.Краевский, затем (с тома 3) — П.Л.Лавров, причем он был и автором ряда статей.23 Статьи математического отдела были высокого уровня, с учетом развития науки за прошедшее время. Что касается физико-математических наук, то, кроме Буняковского, в «Энциклопедическом словаре» принимали участие Н.Д.Брашман, М.В.Остроградский, О.И.Сомов, П.Л.Чебышев и другие известные ученые.24
У редакции начались трудности опять из-за большого объема «Словаря» и ряда других причин: был арестован один из его сотрудников, и как следствие — прекратилась правительственная субсидия. Идея же выпустить сначала том с буквой Е (как второе отделение) заключалась в привлечении подписчиков, имеющих «Лексикон», остановленный на букве Д. Вскоре (25 апреля 1866 г.) был арестован Лавров, новая редакция подготовила следующий том (конец буквы Е и начало буквы Ж), но он не появился, и издание прекратилось.
«Маяк. Журнал современного просвещения и образованности. Труды ученых и литераторов русских и иностранных» (ежемесячный журнал). В 1840—1841 гт. его редакторами были литератор Павел Александрович Корсаков (1790—1844) и Степан Онисимович Бура-чек25 (1800-1876). После смерти Корсакова Бурачек один редактировал журнал (с 17-ой части), который изначально делился на части, а каждая часть — на тематические главы. Вскоре название журнала было несколько изменено, по сути же осталось тем же изданием: «Маяк. Журнал современного просвещения, искусства и образованности в духе народности русской». Теперь журнал формировался по томам, но выходил книжками, внутри книжек было деление на главы.26
Буняковский, поддерживая на первых порах новый журнал, не только сам публиковался в нем, но и предоставил архивные материалы об избрании Петра I членом-корреспондентом Парижской академии наук для статьи А.Зражевской (1840, ч.1, с. 1—6) и материалы из Парижской академии наук для заметки «Об открытии Ферматовых рукописей» (1840, ч.2, с. 12).
Однако журнал продержался недолго (1842-1845). По финансовым причинам Бурачеку пришлось его закрыть и потом почти всю жизнь выплачивать долги.
и С.Ермолаева
63
«Журнал Министерства народного просвещения». В 1802 г. в России было создано Министерство народного просвещения (наряду с другими министерствами), а в 1803 г. вышел первый номер его журнала. За тридцать следующих лет журнал три раза менял название и структуру, пока в 1834 г. не появился «Журнал Министерства народного просвещения», который регулярно выходил до 1917 г.
Этот журнал тоже имел довольно сложную внутреннюю структуру. Он делился на «Часть официальную» и «Часть неофициальную». В первой — печатались различные распоряжения, циркуляры, сведения о назначениях, перемещениях и увольнениях учителей и преподавателей и т.д. Во второй части помещались статьи, отчеты стажеров, сообщения о состоянии гимназий и университетов как в России, так и за рубежом, сведения о новой литературе, критические статьи и прочее. Неудобство для читателя — это самостоятельная пагинация каждого раздела внутри каждой части тома, тем более, что он выходил ежеквартально, а том собирался за год.
«Летопись факультетов на 1835 год, изданная в двух книгах А.Галичем и В.Плаксиным» (СПб.: тип. И.И.Глазунова, 1835). Издатели — университетские профессора Василий Тимофеевич Плаксин (1795-1869) и Александр Галич (псевдоним Александра Ивановича Говорова, 1793—1848), оба гуманитарии. Они задумали издавать статьи небольшие по объему, не подходящие для солидных изданий, но которые имели бы своего читателя.
В книгах были разделы: словесность, естественная история, математика, философия, химия и физика, врачебная наука, богословие. На этих двух книгах издание закончилось, так что название «летопись» — не оправдало себя.
«Годичный торжественный акт в Императорском Санкт-Петербургском университете, бывший 8 февраля 18... года» (СПб.: тип. Императорской Академии наук). Эти сборники издавались с 1838 г. по 1900 г., причем первые годы Торжественные акты проводились 25 марта, в день принятия нового университетского устава, а с 1846 г. они были посвящены дню открытия в 1819 г. Санкт-Петербургского университета (на базе имевшегося Учительского института). В сборниках давалась следующая информация: кто из начальства присутствовал на Акте, который начинался молебном; приводился отчет о деятельности Университета за прошедший год; после чего шло сообщение о награждении медалями студентов за лучшие конкурсные работы. Затем кто-либо из профессоров Университета делал доклад с темой, понятной присутствующим. Часто доклады, не носившие популярного характера, не зачитывались по причине «недостатка време-ни», но они печатались в этих сборниках.
64
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
«Современник». Один из самых известных литературных журна-1 лов, основанный в 1836 г. А.С.Пушкиным. В 1847 г. его редакторами I стали Н.А.Некрасов и И.И.Панаев.
«Русский вестник. Журнал литературный и политический». Издавался в 1856—1906 гг. то в Петербурге, то в Москве. В 1868 г., ког- * да в томе 73 была напечатана статья В.Я.Буняковского, редакция во I главе с М.Н.Катковым находилась в Москве.27 В своем списке 1883 г. Буняковский назвал «Русский вестник» «Московским вестни-| ком», видимо потому, что помнил место редакции журнала.
«Морской сборник, издаваемый морским ученым комитетом». I Известный своим постоянством ежемесячный журнал, основанный в 1848 г. и издающийся до настоящего времени.
В библиографии 1883 г. Буняковский написал, что его труды по эмеритальной кассе (пять статей) напечатаны в сборнике «Учреждение Эмеритальной кассы для министерства военно-морского флота» и присоединены к «Морскому сборнику» №6 за 1858 г. Это означает I следующее. В журнале печатались приложения, как раздел номера. I В указанном №6 эта книга нигде не упомянута. Однако в №7 (июль) тома 36 за 1858 г. было помещено сообщение: «Сверх сего, при сем нумере рассылается подписчикам Морского сборника книга: “Об уч- I реждении в Морском ведомстве Эмеритальной пенсионной кассы”». |
«Эмеритальная касса Морского ведомства». Процитируем снача- I ла один пункт из списка трудов Буняковского 1876 г. (с.67):
«Со времени учреждения в Морском ведомстве Эмеритальной I кассы, назначаемы были в 1864 и 1870 годах поверочные комиссии I для обсуждения ее действий за истекшие годы. В трудах этих комиссий постоянно участвовал В.Я.Буняковский, и мысли его по предмету их занятий напечатаны в изданиях: “Труды Комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за 1 первое семилетие ее существования”, 1864 и “Труды Подготовительной комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за второе семилетие ее существования”, 1870.
Он также принимал более или менее близкое участие в теорети-1 ческих работах по учреждению или по поверке действий некоторых 1 других эмеритальных касс, как то: военно-сухопутного ведомства, I учебных заведений Министерства народного просвещения, таможенного ведомства, Московского епархиального духовенства и пр. За- I писки его, относящиеся к этим предметам, отчасти напечатаны, боль- , шею же частью остаются в рукописи».
В списке 1883 г. Буняковский написал, что главная его работа в этой области относится к Морскому ведомству. Там же добавлен еще I один труд «поверочной комиссии» за 1877 г.28 Комиссии создавались I несколько раз. Сначала была Подготовительная комиссия, которая I готовила учреждение Эмеритальной кассы. В ее состав входили, I
н С. Ермолаева
65
помимо военных, В.Я.Буняковский, М.В.Остроградский и К.С.Веселовский, но основную теоретическую и вычислительную работу выполнил Буняковский.
После нескольких лет работы Кассы назначались комиссии по проверке ее работы с целью коррекции ее действий. Первая такая Комиссия работала в 1863-1864 гг., вторая - в 1869-1870 гг., третья - с конца 1877 г. и в 1878 г., четвертая - в 1882-1884 гг.
В третьей Комиссии Буняковский только руководил работой и проверкой вычислений, выполненных его учеником И.П. де-Колон-гом (полная фамилия — Клапье-де-Колонг), тогда капитан-лейтенантом. По рекомендации Буняковского, одобрившего его работу, де-Ко-лонг много лет посвятил Эмеритальной кассе и продолжал эту деятельность уже став генерал-майором. В четвертой Комиссии уже все работы выполнял де-Колонг; Буняковский, видимо, был только консультантом. Отметим еще одну деталь: в четвертой Комиссии, где председателем был С.И.Зеленый, у де-Колонга появился новый сотрудник — мичман Алексей Николаевич Крылов (1863—1945), будущий академик и генерал, математик и кораблестроитель.
Пятая Комиссия уже была лишена возможности консультироваться у Буняковского.
Благодаря деятельности Буняковского в Морском ведомстве, в 1870 г. удалось повысить пенсии на 90% по отношению к 1859 г. Но были и трудные периоды, когда в связи с реорганизацией на флоте быстро увеличилось число вышедших на пенсию. Здесь снова требовалась квалифицированная помощь Буняковского.
Благодаря указаниям Буняковского, в составленном им списке трудов, найдены его работы, относящиеся к этим комиссиям (в «Списке публикаций» это №№96—100, 131—133, 168, 184, 185).
В работе по учреждению эмеритальных касс Министерства народного просвещения Буняковский принимал участие вместе с экономистом и статистиком Константином Степановичем Веселовским (1819-1901), непременным секретарем Академии наук в 1857—1890 гг. Свои «Предварительные соображения...» по поводу этой Кассы Буняковский включил в список 1883 г. (№121).
Те проекты касс для военно-сухопутного ведомства, с которыми Удалось ознакомиться, не содержали никаких указаний на работы Буняковского и были предназначены для массового читателя. О кассах таможенного ведомства никакой информации получить не удалось.
Что касается Московского епархиального духовенства, то в журнале «Московские епархиальные ведомости» за 1875 г., в оглавлении, в разделе «Приложения» числились две статьи, первая из которых называлась «О проекте устава Эмеритальной кассы духовенства
66
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Московской епархии». Вторая статья, не имеющая отношения к нашей теме, в журнале была, но нужная первая — отсутствовала. Однако в журнале «Православное обозрение» за 1875 г. (т.З, сентябрь—декабрь) оказалась статья о проекте такой Кассы, где сообщалось, что академик Буняковский проверил расчеты председателя комитета протоиерея Н.А.Сергиевского и признал их верными. Видимо, Буняковский не опубликовал результатов этой проверки.
Кроме комиссий по эмеритальным кассам, носивших корпоративный характер, в 1869 г. была создана Комиссия для пересмотра правил пенсионного устава с целью учреждения особой Пенсионной кассы, которая должна была увеличить размеры пенсий служащих и при этом уменьшить расходы государства на пенсии. Эту Комиссию Буняковский, активно в ней работавший, забыл упомянуть. Однако он опубликовал 5 статей («записок») (№№ 157—161), одна из них — совместно с Веселовским. Все они печатались «по распоряжению Министерства финансов» в типографии Майкова, в доме Министерства финансов на Дворцовой площади.
Конечно, вся деятельность Буняковского в этом направлении не отражена в изданных трудах разных комиссий. К ней относится и его статья по пенсионному вопросу (№155), напечатанная в академических «Записках», а также многие его исследования по статистике и по демографии.
Примечания
1	Празднество было организовано соратниками Буняковского по Морскому корпусу, где он проработал 37 лет и вынужден был оставить свою работу в нем в связи с новыми обязанностями вице-президента Академии наук. Ученики и коллеги хотели выразить Бу-няковскому свою признательность за его многолетний труд.
2	Прудников В.Е. В.Я.Буняковский, ученый и педагог. М., 1954.
3	Записки Императорской Академии наук. 1883. Т.46. С. 18.
4	J.C.Poggendorffs biographish-literarische Handworterbuch zur Geschichte der exacten Wissenschaften. Leipzig. Словарь (или справочник) был основан немецким физиком И.Х.Поггендорфом (1796-1877) в 1863 г.; издание существует до сих пор. Одним из составителей третьего тома, охватывающего научную литературу за 1856-1883 гг., был доктор философии, физик Б.В.Федерсен (Berend Wilhelm Feddersen). В этом томе краткие сведения и список работ Буняковского напечатаны на с. 171; также представлены работы и других русских ученых.
Отличие от списка 1883 г. в том, что все русские названия работ, которые Буняковский для понимания дал на французском языке, переведены на немецкий язык, а французские названия сохранены. Кроме того, в немецком словаре список разбит по изданиям, а внутри издания по годам. Самая ранняя работа Буняковского в томе 3 датирована 1831 г.
Отметим также, что непосредственно перед перечнем своих работ, Буняковский дал краткую справку о себе почти в той же форме, какая была принята в словаре Погген-дорфа, даже написал в конце «Ог.», означавшее, что сведения присланы автором.
Добавим, что в предыдущем томе 2, изданном в 1859 г. на с.258-259 указаны работы Буняковского до 1855 г. Не указывались только диссертации. В томе 4(1904 г.) появилась только статья Буняковского 1884 г. и сообщение о его смерти
Н.С.Ермолаева
67
5	Тогда были другие требования и считалось, что указания тома достаточно, чтобы найти нужную работу,
б На титуле указан 1915 г., однако том вышел в свет только в 1917 г. в связи с тем, что «исключительные обстоятельства военного времени и государственный переворот 1917 года естественно задержали выход давно готовых томов настоящего издания», как сообщалось в предисловии.
7	Записки Императорской Академии наук. 1890. Т.63. С.23.
8	Впрочем, пришлось оставить букву© (фита), раз она имелась в заголовке тома 3 «Энциклопедического лексикона».
9	Мы так подробно говорим об этом, потому что, даже, например, в книге: «История отечественной математики. В четырех томах. Киев, 1967. Т.2», на с.85, читаем, что Буняковский «издал (курсив мой - Н.Е.) для слушателей военно-учебных заведений в своем переводе «Курс начертательной геометрии» Леруа.
10	Заметим, что первое академическое издание появилось в 1727 г., через два года после основания Академии наук.
11	Причиной разделения было то, что раньше в Академии было только два ученых-естест-венника, но потом штат был укомплектован и число работ выросло.
12	Была еще одна серия «Memoires», предназначенная для публикации работ авторов, не состоящих в Академии. Она продолжала издаваться с 1831 г.
13	Кстати, многие из тех, кто собирал интересующие их выпуски, переплетали их в один конволют по своему вкусу.
14	Поясним, что с 1841 г. Академия наук имела три отделения: 1) физико-математических наук; 2) русского языка и словесности (сюда вошла упраздненная Российская академия) и 3) исторических наук и филологии.
15	Премию основал Павел Николаевич Демидов (1798—1840), из известной династии горнопромышленников Демидовых. Премия в размере 20000 рублей вручалась 17 апреля ежегодно, начиная с 1831 г., «за лучшие по разным частям сочинения в России», в том числе за учебники и изобретения. Кроме того, Демидов добавлял еще 5000 рублей на издание академических трудов. В своем завещании П.Н.Демидов поручил своим наследникам выплачивать премию в течение 25 лет после его смерти. Последним присуждением премии стал 1865 г.
16	Заметим, что название рецензии не всегда совпадало с ее названием в оглавлении: там стремились дать краткий вариант.
17	До 1770 г. чаще встречалось название «Календарь». Например, были такие: «Месяцесловы исторические и географические», «Дорожный календарь», «Экономический календарь».
18	Появившиеся затем «Календари» частных издателей также представляли собой книги, часто довольно объемные.
В XIX в. формат бумаги постепенно увеличивался. Например, в 1865 г. размеры листа были 51x65 см., т.е. «большой лист». В газете было четыре страницы с печатью в 6 колонок. Поэтому, когда мы видим указание на одну страницу, то это не значит, что статья небольшая. Были годы, когда пагинация страниц велась от начала года, а потому появлялись страницы с номерами 560 и 1002.
Отметим, что филолог-славист Греч и востоковед-арабист Сенковский оба были члена-ми-корреспондентами Академии наук; первый - с 1827 г., а второй - с 1828 г.
После «Лексикона» Плюшарав 1847-1855 гг. издавался «Справочный знциклопедиче-ский словарь», который также оказался неоконченным.
Некоторые статьи из «Лексикона» Буняковского были перепечатаны в этом «Энцикло-педическом словаре».
Петр Лаврович Лавров (1823-1900), ученик М.В.Остроградского, был профессором математики в Артиллерийской академии, занимался также историей математики, фи-лософией, но в дальнейшем стал известен как публицист и теоретик народничества. См.: Прудников В.Е. О статьях П.Л.Чебышева, М.В.Остроградского, В.Я.Буняковского и И.И.Сомова в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими учеными
68
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
и литераторами» // Историко-математические исследования. М., 1953. Вып-VI. С.223-237.
25	Позднее имя Онисим стали писать с буквой А — Анисим, так что в современной литературе инициалы Бурачека - С.А.
Бурачек известен тем, что, был сослуживцем Буняковского и Остроградского по Морскому пажескому корпусу; издал вместе с С.И.Зеленым записи «Лекций алгебраического и трансцендентного анализа» (1837) Остроградского. В журнале «Маяк» он напечатал курс «Аналитической механики» Остроградского.
26	Например, в одном томе 5 мы видим книжки 16 и 17, что довольно неудобно для поисков, учитывая самостоятельную пагинацию внутри глав, наличие в одном томе двух книжек и оглавления без указания страниц для заметок.
22	Заметим, что в этом же томе Ф.М.Достоевский начал печатать свой роман «Идиот». 28 Кроме комиссий создавались и комитеты, например, для составления проекта «Положения» об Эмеритальных кассах.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ В.Я.БУНЯКОВСКОГО
Н. С. Ермолаева, Г. Н. Сытая; общая редакция и примечания Н.С.Ермолаевой
1825
№1. Sur le mouvement de rotation, dans un milieu resistent, d'un systeme de plans d'une epaisseur constante et d'un contour determine, autour d'un axe incline, par rapport a I'horizon; suivi de la determination du rayon vecteur dans le mouvement elliptique des planetes. - These presentee et soutenue devant la Faculte des Sciences de Г Academic de Paris. Paris: A.Egron, imprimeur de MOT LE DAUFIN, 1825. 17 p.
[To же:]1
О вращательном движении в сопротивляющейся среде системы пластин постоянной толщины и определенного контура вокруг оси, наклоненной относительно горизонта / Пер. с франц. В. С. Кирсанова // Историко-математические исследования (ИМИ). М., 1985. Вып.28. С.247-256.
Определение радиуса-вектора в эллиптическом движении планет // Там же. С.256—260.
№2. Sur la propagation de la chaleur dans I'interieur des corps solides. — These presentee et soutenue devant la Faculte des Sciences de 1'Academie de Paris. Paris: A.6gron, imprimeur de Mor LE DAUFIN, 1825. 14 p.
[To же:]
О распространении теплоты в твердых телах / Пер. с франц. Н.С.Ермолаевой // ИМИ. М., 1985. Вып.29. С.255-264.
1828
№3. 1. Solution par Mr. Victor Bouniakowsky de St. Petersbourg, docteur es sciences mathematiques de Г academic royale de Paris // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1828. Bd.3. H.4. S.347-351.2
И С.Ермолаева, Г.Н.Сытая
69
1830
№4. Recherches numeriques (Lu le 1 Avril 1829) // Memoires de I'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg. Sixieme serie. Science Mathematique, Physique et Naturelle (Memoires de 1'Acad. St-P.) Ser.6. [1831]3 1830. T.l. Livr.2. P. 139—152. [Также отд. изд.]
1831
№5. Sur les maxima et les minima des fonctions a deux variables (Lu le 11 novembre 1829) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. [1831] 1831. T.l. Livr.5. P.463-468. [Также отд. изд.]
№6. Sur les congruences du second degre (Lu le 24 novembre 1830) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. [1831] 1831. T.l. Livr.5. P.563-581. [Также отд. изд.]
№7. [Пер.:] Коши О. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, преподаваемых в Королевской политехнической школе / Пер. с франц, и с прим, переводчика В.Я.Буняковского. СПб.: тип. Императорской Академии наук (ИАН), 1831. IV+VIII+243 с.+П.4
1832
№8. Du mouvement dans la machine d'Atwood, en ayant egard a 1 elasticity du fil (1 pl.) (Lu le 25 novembre 1831) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. [1833] 1832. T.2. Livr.2. P.179-185. [Также отд. изд.]
1833
№9. Об остаточных сравнениях третьей степени (Читано 12 сентября 1832 г.) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. [1833] 1833. T.2. Livr.4. P.373-392. [Также отд. изд.]
1835
№10. Прибавление к рассуждению об остаточных сравнениях третьей степени (Читано 31 мая 1833 г.) // Memoires de I'Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg. Serie 6. Science Mathematique, Physique et Naturelle. Premiere partie. Science Mathematique et Physique (Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l). [1838] 1835. Т.ЦЗ). Livr.l. P.1320. [Также отд. изд.]
№11. Об алгебраических интегралах в разностях рациональных Дробей (Читано 19 июня 1835 г.) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1838] 1835. T.l(3). Livr.2. P.205-223. [Также отд. изд.]
№12. Краткий исторический обзор успехов теории чисел // Летопись факультетов на 1835 год, изданная в двух книгах А. Галичем и Б.Плаксиным. СПб.: тип. И.И.Глазунова, 1835. Кн.2. С.103—116.
№13. Статьи в <Энциклопедическом лексиконе*. СПб.: тип. А.Плюшара, 1835.
70
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Том 1. А-АЛМ:
Абсцисса или Отсеченная — С.28;
Алгорифм или Знакоположение — С.438—442.
Том 2. АЛМ-АРА:
Аналогии дифференциальные — С. 198;
Антипараллельные линии — С.336;
Аполлониевы парабола и гипербола — С.407;
Апотома - С.419.
Том 3. АРА-А0О: Асимметрия5 - С.302.
1836
№14. Определение вероятности, что уравнение второй степени с целыми коэффициентами, взятое наудачу, имеет корни вещественные (Читано 2 октября 1835 г.) // Memoires de Г Acad. St-P. Ser.6. Part. 1. [1838] 1836. T.l(3). Livr.4. C.341—351. [Также отд. изд.]
№15. Статьи в «Энциклопедическом лексиконе». СПб.: тип. А.Плюшара, 1836.
Том 5. БАР—БИН:
Вернул лиевы числа - С.416.
Том 6. БИН-БРА:
Близкопредельные интегралы — С. 109.
Том 7. БРА-БЯЛ:
Брахистохроническая кривая или кратчайшевременная — С.30-31.
1837
№16. Статья в «Энциклопедическом лексиконе». СПб.: тип. А.Плюшара, 1837.
Том 8. В-ВАВ:
Вариационное исчисление6 — С.292—294.
№17. О приложении анализа вероятностей к определению приближенных величин трансцендентных чисел, с. a d.7 Sur la determination des nombres transcendants an moyen de 1'analyse des probabilites. Рассуждение I (ler memoire) (Читано 9 декабря 1836 г.) (Lu le 9 decern bre 1836) / / Bulletin scientifique publie par Г Academic Imperi-ale des Sciences de St.-Petersbourg et redige par son secr6taire perpetuel (Bull, scient. St-P.) 1837. T.l. №23. Col.177. [Также отд. изд.] [См.: №18.]
№18. О приложении анализа вероятностей к определению приближенных величин трансцендентных чисел. Рассуждение I (Читано 9 декабря 1836 г.) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1838] 1837. T.l(3). Livr.5. P.457-465. [1 л. черт.] [Также отд. изд.] [См.: №17]
Н.С.Ермолаева, Г.Н.Сытая;
71
№19. О приложении анализа вероятностей к определению приближенных величин трансцендентных чисел. Рассуждение II (Читано 30 июня 1837 г.) // Bull, scient. St-P. 1837. Т.2. №22. Col.337. [См.: №20.]
№20. О приложении анализа вероятностей к определению приближенных величин трансцендентных чисел. Рассуждение II (Читано 30 июня 1837 г.) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.1. [1838] 1837. T.l(3). Livr.5. P.517-526. [1л. черт.] [Также отд. изд.] [См.: №19.]
1838
№21. Note sur une propriete des nombres premiers (Lu le 9 mars 1838) // Bull, scient. St-P. 1838. T.4. №5. P.65-69.
1839
№22. Лексикон чистой и прикладной математики, составленный Императорской Академии наук экстраординарным академиком и доктором наук Парижской академии В.Я.Буняковским. T.I. А-Д. СПб.: тип. ИАН. 1839. Х+462 с.+8 л. с иллюстр.
№23. Sur les polygones reguliers inscrits et circonscrits au cercle. (Lu le 16 novembre 1838) // Bull, scient. St-P. 1839. T.5. №8. Col.113-114. [Cm.: №31.]
1840
№24. Об открытии Ферматовых рукописей8 / / Маяк. Журнал современного просвещения и образованности (Маяк). 1840. 4.2. Гл.5: Неорама, смесь, разные известия. С. 12.
№25. Мысли о неосновательности некоторых понятий, относящихся к общежитию и, преимущественно, к играм и лотереям // Маяк. 1840. Ч.З. Гл.1: Науки. С.80-94.
№26. Из Чайлд Гарольда. К морю.9 Стихотворение [Пер.] // Маяк. 1840. 4.12. Гл.2: Словесность. С. 19—20. [Подпись: В.Б-ский.]
№27. Nouveaux theoremes relatifs a la distinction des nombres premiers et a la decomposition des entiers en facteurs (Lu le 14 juin 1839) // Bull, scient. St-P. 1840. T.6. №7, 8. Col.97-98. [Cm.: №28.]
1841
№28. Nouveaux theoremes relatifs a la distinction des nombres premiers et a la decomposition des entiers en facteurs (Lu le 14 juin 1839) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1841] 1841. T-2(4). Livr.5 et 6. P.447—469. [Также отд. изд.] [См.: №27.]
№29. Memoire sur I'irreductibilite de certaines formules irrationelles tant litterales que numeriques (Lu le 9 octobre 1840) / / Bull, scient. St-P. 1841. T.6. №1, 2. Col.1-2. [Cm.: №30.]
№30. Memoire sur I'irreductibilite de certaines formules urationelles tant litterales que numeriques (Lu le 9 octobre 1840) / /
72
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1841] 1841. T.2(4). Livr.5 et 6. P.471-492- [Также отд. изд.] [См.: №29.]
№31. О правильных многоугольниках, вписанных в круг и описанных около круга (Читано 16 ноября 1838 г.) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1841] 1841. T.2(4). Livr.5 et 6. P.423-435. [Также отд. изд.] [См.: №23.]
1842
№32. Solution d'un probleme de 1'analyse de Diophante (Lu le 21 mai 1841) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1844] 1842. T.3(5). Livr.l. P.l—16. [Также отд. изд.]
№33. Sur la publication, en Russe, d'une Theorie analytique des probabilites (Lu le 10 decembre 1841) // Bull, scient. St-P. 1842. T.10. Col.95-96.
1843
№34. Note sur 1'emploi du binome factoriel pour la resolution des congruences du premier degre (Lu le 4 mars 1842) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1844] 1843. T.3 (5). Livr.2 et 3. P.287—295. [Также отд. изд.]
№35. Solution d'un probleme relatif a un genre particulier de combi-naisons (Lu le 23 septembre 1842) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Pait.l. [1844] 1843. T.3(5). Livr.2 et 3. P.297-326. [Также отд. изд.]
№36. Разбор сочинения г. [П.]Татаринова, под заглавием: «Начальные основания геометрии», составленный гг. академиками Буня-ковским и Фусом10 (1842 г.) // Двенадцатое присуждение учрежденных П.Н.Демидовым наград (XII прис. Демид, нагр.). СПб.: тип. ИАН, 1843. С.105-127.
№37. Замечания на мнимонайденные г. [И.Д.]Соколовым: 1) новую теорему из вариационного исчисления и 2) ошибку академика Остроградского // Маяк. Журнал современного просвещения, искусства и образованности в духе народности русской (Маяк). 1843. Т.8. Кн.15. Гл.4: Критика. Новые книги. С.37-42.
№38. Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIII siecle (Переписка нескольких геометров XVIII века о математических и физических предметах. С.-Петербург, 1843 г. в 2 томах in 8°), изданная Непременным секретарем Императорской С.-Петербургской Академии наук П.Н.Фусом // Маяк. 1843. Т.9. Кн.17. Гл.4: Критика. С.33-44.
1844
№39. Арифметика. Руководство, допущенное Департаментом Народного Просвещения к употреблению в гимназиях11. СПб.: тип. ИАН, 1844. 195 с.
№40. Considerations sur les demonstrations principales de la theorie des paralleles (Lu le 27 octobre 1843) // Memoires de 1'Acad.
Н С.Ермолаева, Г.Н.Сытая 73
St-P. Ser.6. Part.l. [1850] 1844. Т.4(6). Livr.l. Р.87-107. (1 pi.) [Также отд. изд.]
1845
№41. Мнение гг. академиков Фуса и Буняковского об арифметической машине, изобретенной г. 3.[Я.]Слонимским (1844 г.) // XIV прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1845. С.77-86.
№42. Разбор сочинения капитан-лейтенанта А.[И.]Зеленого, под заглавием: «Краткое руководство начертательной геометрии», составленный гг. академиками Остроградским и Буняковским (1843 г.) // XIV прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1845. С.87-96.
№43. Solution d'un ргоЫёше sur 1'analyse de combinaisons concernant la theorie des equations simultanees (Lu le 23 aout 1844) // Memories de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1850] 1845. T.4(6). Livr.2. P.109-127. [Также отд. изд.]
№44. Sur 1'ouvrage intitule: «Основания математической теории вероятностей»; rapport fait a la Classe par 1'auteur (Lu le 23 mai 1845) // Bulletin de la Classe physico-mathematique de Г Academic Imp6riale des Sciences de St.-Petersbourg (Bull, de la Cl. phys.-math. St-P). 1845. T.4. №15, 16. Col.254-256.
1846
№45. Основания Математической теории вероятностей. СПб.: тип. ИАН, 1846. [4]+XVII+[3]+479 с.+1 л. черт.
№46. Разбор сочинения г. профессора Г.[К.]Бруна, под заглавием: «Руководство к политической Арифметике», составленный гг. академиками Фусом и Буняковским (Читано 14 апреля 1846 г.) // XV прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1846. С.121-128.12
1847
№47. Nouvelle theorie des paralleles (Lu le 12 decembre 1845) / / Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1847. T.5. №6. Col.81-85. [Cm.: №60]
№48. Sur une application curieuse de 1'analyse des probabilites a la determination approximative des limites de la perte reelle en hommes qu eprouve un corps d'armee pendant un combat (Lu le 20 fevrier 1846) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1847. T.5. №12. Col.177-182. [Cm.: №61.]
№49. О возможности введения определительных мер доверия к Результатам некоторых наук наблюдательных, и преимущественно статистики // Современник. 1847. Т.З. Отдел 2: Науки и Художества. С.36-49.
№50. [Проверка, пополнение и объяснение математических терминов] Словарь церковно-славянского и русского языка, составленный вторым отделением Императорской Академии наук. Т. 1-4. сПб.: тип. ИАН, 1847.
Ц МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССр'
1848
№51. Разбор сочинения Г-на [А.Ю.]Давидова, под заглавием:1 «Теория равновесия тел, погруженных в жидкость»; составленный гг. академиками: Остроградским и Буняковским // XVII прис. Демид. нагр. СПб.: тип. ИАН., 1848. С.107-114. [На франц, яз.]
№52. Несколько слов о холеробоязни // Газета «Санкт-Петербургские ведомости». 24 июня 1848 г. №140. С.560. [Также отд. изд.]
№53. Notes sur quelques points de 1'analyse indeterminee (Lu le 5 mars 1847) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1848. T.6. №13. P. 196-208.
1849
№54. Арифметика для Военно-учебных заведений. Составлена на основании Наставления для образования воспитанников сих заведений и Высочайше утверждена 24 декабря 1848 г. Математика. 4.1. СПб.: тип. воен.-учеб. завед., 1849. 199 с.
№55. Программа и конспект Арифметики, для руководства в Военно-учебных заведениях. (Учебные руководства для воен.-учеб. завед. Математика.) СПб.: тип. воен.-учеб. завед., 1849. [4]+112 с.
№56. Разбор сочинения г-на [П.Л.]Чебышева, адъюнкта С.-Петербургского университета, под заглавием: «Теория сравнений», составленный гг. академиками Фусом и Буняковским (7 апреля 1849 г.) // XVIII прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1849. С.47-56.
[То же:] Поли. собр. соч. П.Л.Чебышева. Т.5. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1951. С.231-233.
№57. Index systematique et raisonne des Memoires arithmetiques de Leonard Euler contenu dans les deux volumes de cette collection, par MM. V.Bouniakowsky et P.Tchebychew // Leonhardi Euleri Commentationes arithmeticae collectae. T.l. Petropoli, 1849. P.LI-LXXX.
№58. Recherches sur differentes lois nouvelles relatives a la somme des diviseurs des nombres (Lu le 11 fevrier 1848) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1849. T.7. №11. P.170. [Cm.: №62.]
№59. Краткое известие о жизни и трудах Якова Александровича Севастьянова // Газета «Санкт-Петербургские ведомости». 6 ноября 1849 г. №249. С.1002.
1850
№60. Nouvelle theorie des paralleles (Lu le 12 decembre 1845) Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1850] 1850. T.4(6). Livr.3 et 4. P.207—232. [Также отд. изд.] [См.: №47.]
№61. Sur une application curieuse de 1'analyse des probabilites a la determination approximative des limites de la perte reelle en homines qu eprouve un corps d'armee pendant un combat (Lu le 20 fevrier 1846)
Н С. Ермолаева,
Г.Н. Сытая
75
// Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1850] 1850. T.4(6). Livr.3 et 4. P.233-257. [Также отд. изд.] [См.: №48.]
№62. Recherches sur differentes lois nouvelles relatives a la somme des diviseurs des nombres (Lu le 11 fevrier 1848) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1850] 1850. T.4 (6). Livr.3 et 4. p.259-295. [Также отд. изд.] [См.: №58.]
№63. Nouvelle methode dans les recherches relatives aux formes quadratiques des nombres (Lu le 7 decembre 1849) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. [1853] 1850. T.5(7). Livr.4. P.303-322. [Также отд. изд.]
№64. Мысли о движении народонаселения вообще / / Годичный торжественный акт в Императорском Санктпетербургском университете, бывший 8 февраля 1850 года. СПб.: тип. ИАН, 1850. С.37-48.
1851
№65. Разбор сочинения г-на профессора [И.И.13]Сомова, под заглавием: <Основания теории эллиптических функций», составленный академиками В.Я.Буняковским и М.В.Остроградским // XX прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1851. С. 151—158.
№66. Программа и конспект Начальной геометрии, для руководства в Военно-учебных заведениях. СПб.: тип. воен.-учеб, завед., 1851. [4]+154с.+2л. черт.
№67. Note sur la theorie des paralleles et sur d'autres points fondamentaux de la geometric elementaire (Lu le 16 aout 1850) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1851. T.9. №4. Col.49-59. (1 л. схема) [См.: №68.]
№68. Note sur la theorie des paralleles et sur d'autres points fondamentaux de la geometric elementaire (Lu le 16 aoiit 1850) / / Melanges Mathematiques et Astronomiques tires du Bulletin physico-mathematique (Melanges math, et astr. St-P.) [1853] 1851. T.l. Livr.2. P.158-171. [Cm.: №67.]
1852
№69. Арифметика для Военно-учебных заведений. Составлена на основании Наставления для образования воспитанников сих заведений и Высочайше утверждена 24 декабря 1848 г. Математика. 4.1. Изд. 2-е с изменениями. СПб.: тип. Штаба воен.-учеб, завед., 1852. 181 с.+табл.*4
№70. Note sur le maximum du nombre des positions d'equilibre d'un prisme triangulaire homogene plonge dans un fluide (Lu le 3 octobre 1851) // Bull, de la CL phys.-math. St-P. 1852. T.10. №4. Col.49-58. [Cm.: №71.]
№71. Note sur le maximum du nombre des positions d'equilibre d'un prisme triangulaire homogene plonge dans un fluide (Lu le 3
76
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
octobre 1851) // Melanges math, et astr. St-P. [1853] 1852. T.l. Livr.4. P.347-358. [Cm.: №70.]
1853
№72. Параллельные линии. СПб.: тип. ИАН, 1853. [4]+75 с.+З л. черт. [См.: №77.]
№73. Note sur 1'emploi des procedes elementaires du calcul integral dans des questions relatives a 1'analyse de Diophante (Lu le 16 octobre 1852) // Bull, de la Cl. phys.-math. St P. 1853. Т.Н. №5. Col.65-74. [Cm.: №74.]
№74. Note sur 1'emploi des procedes elementaires du calcul integral dans des questions relalives a 1'analyse de Diophante (Lu le 16 octobre 1852) // Melanges math, et astr. St-P. [1853] 1853. T.l. Livr.5. P.489-501. [Cm.: №73.]
№75. Изложение элементарнаго способа для суммования конечных рядов, рассматриваемых в начальной алгебре, с приложением его к некоторым бесконечным строкам (Читано в заседании I Отделения Академии 5 ноября 1852 г.) // Ученые записки Императорской Академии наук по первому и третьему отделениям (Учен. Зап. ИАН по I и III отд.). 1853. Т.1. Кн.З. С.328-335.
1854
№76. Мнение академиков Буняковского, Якоби, Струве и Чебышева об инструментах, относящихся до межевания, изобретенных П.[А.]Зарубиным. (Описание оных и способ их употребления. Рукопись) // XXIII прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1854. С. 137-147.
№77. Параллельные линии (Сообщено I Отделению 9 сентября 1853 г.) // Учен. Зап. ИАН по I и III отд. 1854. Т.2. Кн.З. С.337-411. [См.: №72.]
№78. Note sur les maxima et les minima d'une fonction symetrique entiere des plusieurs variables (Lu le 3 fevrier 1854) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1854. T.12. №23. Col.353-361. [Cm.: №79.]
№79. Note sur les maxima et les minima d'une fonction symetrique entiere des plusieurs variables (Lu le 3 fevrier 1854) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1854. T.2. Livr.l. P.49-59. [Cm.: №78.]
1855
№80. Sur les diviseurs numeriques invariables des fonctions rationelles entieres (Lu le 4 aout 1854) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1855. T.13. №10. Col. 149. [Cm.: №87.]
№81. Note sur un nouveau Planimetre (Lu le — aout 1855) (1 pl.)
// Melanges math, et astr. St-P. [1859]15 1855. T.2. Livr.4. P.388-396. [Cm.: №82.]
н С.Ермолаева, Г.Н.Сытая;
77
1856
№82. Note sur un nouveau Planimetre (Lu le — aoiit 1855 (1 pl.) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1856. T.14. №10. Col.152-158. (1 схема). [См.: №81.]
№83. Мнение академиков Буняковского, Якоби и Чебышева о двух изобретенных г. [П.А.]Зарубиным инструментах: Планиметр-Самокат и Трансформатор (представленных с приложением описания сих снарядов)16 // XXV прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1856. С. 243-249.
1857
№84. Описание подвижной таблицы для определения месяца и числа Св. Пасхи без всякого вычисления, и простейшее решение главных вопросов, относящихся к Календарю Греко-Российской церкви // Морской сборник. 1857. №12. С.286-316. (1 л. пасхальной таблицы.)
№85. Rapport sur un ouvrage: «Essai sur la Methodologie appliquee a la theorie des nombres de M. Bouniakowsky»17 (Lu le 13 juin 1856) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1857. T.15. Col.14-16. [Cm.: №86.]
№86. Rapport sur un ouvrage: «Essai sur la Methodologie appliquee a la theorie des nombres de M. Bouniakowsky» (Lu le 13 juin 1856) // Melanges math, et astr. St-P. 1857. T.2. №5-6. P.407-408. [Cm.: №85.]
№87. Sur les diviseurs numeriques invariables des fonctions rationelles entieres (Lu le 4 aout 1854) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. 1857. T.6(8). P.305-329. [Также отд. изд.] [См.: №80.]
№88. Sur une extension du theoreme de Wilson (Lu le 28 novembre 1856) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1857. T.15. №12-13. Col.202-205. [Cm.: №89.]
№89. Sur une extension du theoreme de Wilson (Lu le 28 novembre 1856) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1857. T.2. Livr.5. P.409-414. [Cm.: №88.]
№90. Quelques remarques a 1'occasion dune note sous le titre: «Sur les sommes des diviseurs des nombres», publiee par M. J.Lionville dans son Journal de Mathematiques (Deuxieme serie. Tome ler Septembre 1856) (Lu le 30 janvier 1857) // Bull, de la CL Phys.-math. St-P. 1857. T.15. №17. CoL267-269. [Cm.: №91.]
№91. Quelques remarques a 1'occasion dune note sous le titre: «Sur les sommes des diviseurs des nombres», publiee par M. J.Lionville dans son Journal de Mathematiques (Deuxieme serie. — Tome ler — Septembre 1856) (Lu le 30 janvier 1857) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1857. T.2. Livr.5. P.415-417. [Cm.: №90.]
78
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
№92. Developpements analytiques pour servir a completer la theorie des maxima et minima des fonctions a plusieurs variables independantes (Lu le 13 fevrier 1857) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1857. T.15. №22, 23. Col.383-384. [Cm.: №№93, 101.]
№93. Developpements analytiques pour servir a completer la theorie des maxima et minima des fonctions a plusieurs variables independantes (Lu le 13 fevrier 1857) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1857. T.2. Livr.5. P.472-473. [Cm.: №№92, 101.]
№94. Sur un probleme de position, relatif a la theorie des nombres (Lu le 1 mai 1857) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1857. T.2. Livr.5. P.499-513. [См.: №95.]
1858
№95. Sur un probleme de position, relatif a la theorie des nombres (Lu le 1 mai 1857) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1858. T. 16. №5. Col.67-78. [Cm.: №94.]
№96. Объяснительная записка о системе пенсионных выдач из Эмеритальной кассы Морского ведомства // Об учреждении в Морском ведомстве Эмеритальной пенсионной кассы. СПб.: тип. Морск. ведом., 1858. С.21—36.
№97. Расчетная таблица оборотов Эмеритальной кассы // Об учреждении в Морском ведомстве Эмеритальной пенсионной кассы. СПб.: тип. Морск. ведом., 1858. С.37.
№98. Теоретическая записка, объясняющая расчеты по проекту пенсионных выдач из Эмеритальной кассы / / Об учреждении в Морском ведомстве Эмеритальной пенсионной кассы. СПб.: тип. Морск. ведом., 1858. С.39-55.
№99. Записка о величине основного капитала Кассы, необходимого для производства пенсий в разных размерах с 1859 года // Об учреждении в Морском ведомстве Эмеритальной пенсионной кассы. СПб.: тип. Морск. ведом., 1858. С.57-59.
№100. Линии, изображающие ход постепенного возрастания расходов на эмеритальные пенсии по Морскому ведомству18 / / Об учреждении в Морском ведомстве Эмеритальной пенсионной кассы. СПб.: тип. Морск. ведом., 1858. С.60.
1859
№101. Developpements analytiques pour servir a completer la theorie des maxima et minima des fonctions a plusieurs variables independantes (Lu le 13 fevrier 1857) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.6. Part.l. 1859. T.7(9). 24 p. [Также отд. изд.] [См.: №№92, 93]
№102. Sur la transformation des modules dans les congruences du premier degre (Lu le 30 avril 1858) // Bull, de la Cl. phys.-math. St-P. 1859. T.17. №9. Col.129-135. [Cm.: №103.]
С.Ермолаева, Г.Н.Сытая
79
№103. Sur la transformation des modules dans les congruences du premier degre (Lu le 30 avril 1858) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1859. T.2. Livr.6. P.571-578. [Cm.: №102.]
№104. Sur un instrument destine a faciliter ['application numerique de la methode des moindres carres et a controler les resultats obtenus par cette methode (Lu le 8 octobre 1858) // Bull, de la CL phys.-math. St-P. 1859. T.17. №19. Col.289-298. [Cm.: №105.]
№105. Sur un instrument destine a faciliter 1‘application numerique de la methode des moindres carres et a controler les resultats obtenus par cette methode (Lu le 8 octobre 1858) // Melanges math, et astr. St-P- [1859] 1859. T.2. Livr.6. P.602-614. [Cm.: №104.]
№106. Considerations sur un cas special qui se presente dans la transformation des integrates multiples (Lu le 10 decembre 1858) // Bull, de la CL phys.-math. St-P. 1859. T.17. №28. Col.433-439. [Notes] [Cm.: №107.]
№107. Considerations sur un cas special qui se presente dans la transformation des integrates multiples (Lu le 10 decembre 1858) // Melanges math, et astr. St-P. [1859] 1859. T.2. Livr.6. P.650-658. [Cm.: №106.]
№108. Разбор сочинения профессора С.-Петербургского университета доктора А.[Н.]Савича, под заглавием: .«Приложение теории вероятностей к вычислению наблюдений и геодезических измерений», С.-Петербург, 1857 г., составленный академиками В.[Я.]Буня-ковским и О.[В.]Струве. (25 марта 1859 г.) // XXVIII прис. Демид. нагр. СПб.: тип. ИАН, 1859. С.79-94.
№109. Sur quelques inegalites consernant les integrales ordinaires et les integrales aux differences finies (Lu le 29 avril 1859) // Bull, de la CL phys.-math. St-P. 1859. T.17. № 34. CoL535-538. [Cm.: №№110, 111.]
№110. Sur quelques inegalites consernant les integrales ordinaires et les integrales aux differences finies (Lu le 29 avril 1859) // Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1859. T.3. Livr.l. P.31-34. [Cm.: №№109, 111 ]
№111. Sur quelques inegalites consernant les integrales ordinaires et les integrales aux differences finies (Lu le 29 avril 1859) // Memoires de I’Academie Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg. Serie 7. Science Mathematique, Physique et Naturelle (Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.7.). 1859. T.l. №9. 18 p. [Также отд. изд.] [См.: №№109, 110]
1860
№112. Note sur une certaine transformation des integrales (Lu le 16 mars 1860) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1860. T.2. №1. P.136-142. [Cm. №114]
80
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
№113. Sur les planimetres libres (Lu le 2 novembre 1860) // Bulletin de Г Academic Imperiale des Sciences de St.-Petersbourg (Bull, de 1'Acad. St-P.) 1860. T.2. №4. CoL567-573. (1 pl.) [Cm.: №115.]
1861
№114. Note sur une certaine transformation des integrates (Lu le 16 mars 1860) / Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1861. T.3. Livr.3. P.248-256. [Cm.: №112.]
№115. Sur les planimetres libres (Lu le 2 novembre 1860) // Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1861. T.3. Livr.3. P.308-311. [Cm.: №113.]
№116. Таблицы для исчисления денежных повинностей, определяемых Высочайше утвержденным 19 февраля 1861 года Положением о крестьянах, вышедших из крепостной зависимости. СПб.: тип. ИАН, 1861. 31 с.
№117. Разбор сочинения профессора [И.Д.]Соколова: .«Динамика», составленный академиками М.В.Остроградским и В.Я.Буняков-ским // XXX прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1861. С. 143-160.
№118. Статьи в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими учеными и литераторами». Т.1-3. СПб.: тип. И.И.Глазунова и комп., 1861.
Т.1. А-АДБ:
Абак - С. 15-16;
Абако (Паоло далл') - С. 17;
Абсолютное, абсолютный, Absolu - С. 114;
Абсурдум - С. 115;
Абсцисса — С. 115;
Агард Джон - С.426;
Агель (Agelen) - С.451;
Агрегат совокупительный (Agregat combinatoire) - С.447;
Агрометр — С.522—523.
Т.2. АДВ-АКШ:
Адемар Альфонс-Жозеф (Ademar) - С.29;
Азардные19 игры (Jeux de hasard) — С.119—121;
Азельфаг (Azelphage) - С. 128.
Т.З. АЛА-АЛЯ:
Алгебрические20 — С.56;
Алгоризм — С.56;
Алгорифм - С.56;
Алгорифмия — С. 56;
Алеф (функция) — С.264;
Аллизо Матье-Александр — С.339;
Алтарь21 — С.387—389;
И С. Ермолаева, Г.Н.Сытая 81
Алтиметрия - С.390;
Алтиметр, Высотомер — С.390—391.
1862
№119. Recherches sur quelques fonctions numeriques (Lu le 18 octobre 1861) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.7. 1862. T.4. №2. 35 p. [Также отд. изд.]
№120. Новые соображения о теории параллельный линий (Читано 1 августа 1862 г.) // Записки Императорской Академии наук (Зап. ИАН.22) 1862. Т.2. Кн.1. С.19-28. (1 л. черт.) [См.: №№124, 125.]
№121. Предварительные соображения о предполагаемом учреждении пенсионной кассы для ведомства Министерства народного просвещения / / Журнал Министерства народного просвещения. СПб.: тип. Иосафата Огризко, 1862. 4.114. №2. Часть официальная. IV. Министерские распоряжения. С.22—23.
№122. Статьи в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими учеными и литераторами». Т.45. СПб.: тип. И.И.Глазунова и комп., 1862.
Т.4. АМА-АНТО:
Амплитуда23 — С. 115;
Амслер Якоб — С. 171;
Аналемматический (или азимутальный) квадран - С.222;
Анализ математический - С.226-228;
Аналитический, свойственный анализу - С.237;
Аналогии дифференциальные - С. 237;
Аналогии непировы — С. 237;
Андерсон Александр — С.332;
Ацджелис (или Ангелис) Стефано — С.334-335;
Аничков Дмитрий Сергеевич - С.404-405;
Анконтр (Daniel Encontre) - С.412;
Анкудович Викентий Александрович — С.413;
Аноним — С.491;
Антилогарифм, мезалогарифм - С.519;
Антипараллельные линии - С.526.
Т.5. AHTPA-A0
Апланетические кривые - С. 117;
Аполлоний пергский — С. 139—141;
Апомекометрия — С. 144;
Апоризм — С. 153;
Апотома - С. 157;
Аранеа - С.240;
Арбелон (секирка) - С.252-253;
Арбогаст — С.253-254;
82
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Аргирус, Аргир (Исаак) - С.262;
Аргумент24 — С.263;
Аренарий, или псаммит — С.275;
Аристей Кротонский - С.318;
Аристотелево колесо - С.340-341;
Арифметика - С.342-356;
Арифмограф полихроматический — С.358;
Арифмография - С.358;
Арифмология — С.358;
Арнет Артур - С.422;
Арси граф Патрик д' - С.472—473;
Архит Тарентский - С.562;
Аршеневский Василий Кондратьевич — С.562;
Афанасьев Пафнутий Алексеевич25 — С.745.
1863
№123. О некоторых частных случаях интегрируемости в конечном виде дифференциала:
х + Cj	dx
х + ^2 д/х4 + Ах3 + Вх2 +Сх + D
и других выражений подобного вида (Читано 30 января 1863 г.) // Зап. ИАН. [1863] 1863. Прил.26№2 к Т.З. 32 с. [Также отд. изд.]
№124. Nouvelles considerations sur la theorie des paralleles (Lu le 22 aout 1862) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1863. T.5. №4. Col.387-393. [Cm.: №№120, 125.]
№125. Nouvelles considerations sur la theorie des paralleles (Lu le 22 aout 1862) // Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1863. T.3. Livr.4. P.422-430. [Cm.: №№ 120, 124.]
№126. Considerations geometriques sur la disposition la plus avantageuse des paratonnerres (Lu le 2 octobre 1863) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1863. T.6. №4. Col.485-489. [Cm.: №№127, 135.]
№127. Геометрические соображения о наивыгоднейшем размещении громоотводов (Читано 2 октября 1863 г.) // Зап. ИАН. [1863] 1863. Прил. №3 к Т.4. [2]+31 с.+ 2 л. черт. [Также отд. изд.] [См.: №№ 126, 135 ]
№128. Note sur 1'origine des logarithmes d'addition et de soustraction dits de Gauss ou de Zech (Lu le 31 octobre 1862) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1863. T.5. №4. CoL471-475. [Cm.: №143.]
№129. Разбор сочинения г. [H.H.]Алексеева: «Начала интегрального исчисления». (Москва, 1861. Книга I и II), составленный академиками В.Я.Буняковским и И.И.Сомовым // XXXII прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1863. С.44-48.
Ц С.Ермолаева, Г.Н.Сытая	83
№130. Статьи в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими учеными и литераторами» / Под общей ред. П.Л.Лаврова. СПб.: тип. И.И.Глазунова и комп., 1863.
Отделение II. Т.1. Е-ЕЛИЗ:
Евдоксий - С.33-39;
Евтохий Аскалонский — С. 188-189;
Единица — С.256.
1864
№131. Записка академика В.Я.Буняковского от 4 мая 1863 г. / / Труды комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за первое семилетие ее существования и предложения той же комиссии для будущих операций Кассы. СПб.: тип. Морск. мин-ва, 1864. С.294-302.
№132. Записка академика В.Я.Буняковского от 13 января 1864 г. // Труды комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за первое семилетие ее существования и предложения той же комиссии для будущих операций Кассы. СПб.: тип. Морск. мин-ва, 1864. С.303—324.
№133. Теоретические примечания по 2-й записке академика В.Я.Буняковского [от 4 января 1864 г.] // Труды комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за первое семилетие ее существования и предложения той же комиссии для будущих операций Кассы. СПб.: тип. Морск. мин-ва, 1864. [Приложения.] С.439—443.
№134. Краткое обозрение сочинения [К.А.]Яниша: «Traite des applications de 1'analyse mathematique an jeu des echecs»27 (Представлено в заседании Физ.-мат. отд. 19 июня 1863 г.) // Зап. ИАН. 1864. Т.5. Кн.1. С. 13-16.
№135. Considerations geometriques sur la disposition la plus avantageuse des paratonnerres (Lu le 2 octobre 1863) // Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1864. T.3. Livr.5. P.493-498. [Cm.: №№126, 127.]
№136. О двух любопытных вопросах из Диофантова анализа, предложенных в «Zeitschrift fiir Mathematik und Physik» (Читано 20 октября 1864 г.) // Зап. ИАН. 1864. Т.6. Кн.1. С. 142-163. [См.: №№137, 142.]
1865
№137. Sur deux questions d'analyse indeterminee proposees dans le Journal «Zeitschrift fiir Mathematik und Physik» (Lu le 20 octobre 1864) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1865. T.8. Col.163-170. [Cm.: №№136, 142.]
№138. О законах смертности и народонаселения в России (Читано 7-го мая 1865 г. в Общем собрании Императорской Академии
84
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
наук) // Газета «Санкт-Петербургские ведомости». 1865. №117.
12 (24) мая. С.З. [Также отд. изд. СПб.: тип. ИАН, 1865. 19 с.]
№139. Опыт о законах смертности в России и о распределении православного народонаселения по возрастам (с 3 л. черт.) (Читано 21 сентября 1865 г.) // Зап. ИАН. [1866] 1865. Прил. №6 к Т.8. VIII+195 с.
№140. Разбор сочинения г. [Н.В.]Бугаева: «Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду», составленный академиками В.Я.Буняковским и И.И.Сомовым // XXXIII прис. Демид, нагр. СПб.: тип. ИАН, 1865. С. 187-192.
№141. [Ответная речь В.Я.Буняковского.] // Описание празднества, данного в честь академика, действительного статского советника Виктора Яковлевича Буняковского 30 декабря 1864 г. / Составитель П .[А.]Коргуев. Кронштадт: тип. «Кронштадтского вестника», 1865. С.41-47.
1866
№142. Sur deux questions d'analyse indeterminee proposees dans le Journal «Zeitschrift fur Mathematik und Physik» (Lu le 20 octobre 1864) // Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1866. T.3. Livr.6. P.644-654. [Cm.: №№136, 137.]
№143. Note sur 1'origine des logarithmes d'addition et de soustraction dits de Gauss ou de Zech (Lu le 31 octobre 1862) // Melanges math, et astr. St-P. [1866] 1866. T.3. Livr.6. P.451—458. [Cm.: №128.]
№144. Таблицы смертности и народонаселения, вычисленные для России, и их употребление // Месяцеслов на 1867 год. Издание Императорской Академии наук. СПб., 1867. Приложение к Месяцеслову на 1867 год. С.З—53. [Также отд. изд.]
№145. Исследования о возрастном составе женского православного населения России (Читано 22 марта 1866 г.) // Зап. ИАН. 1866. Прил. №4 к Т.9. 152 с. [Также отд. изд.]
1867
№146. [Записка об изобретенном В.Я.Буняковским снаряде, названном самосчетами.]28 (Читана 14 февраля 1867) // Газета «Санкт-Петербургские ведомости». 8 (20) марта 1867. №66. С.З.
№147. О суммовании численных таблиц по приближению (Читано 3 октября 1867 г.) // Зап. ИАН. [1868] 1867. Прил. №4 к Т. 12. [2]. 41 с.+1 л. черт. [Также отд. изд.]
№148. Quelques considerations sur la bipartition repetee des grandeurs (Lu le 29 novembre 1866) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1867. T.ll. №2. Col.163-170. [Cm.: №149.]
Н С. Ермолаева, Г. Н. Сытая
85
№149. Quelques considerations sur la bipartition repetee des grandeurs (Lu le 29 novembre 1866) // Melanges math, et astr. St-P. [1872] 1867. T.4. Livr.l. P.71-118. [Cm.: №148.]
№150. Употребление таблиц смертности и народонаселения // Месяцеслов на 1868 (високосный) год. Издание Императорской Академии наук. СПб.: тип. ИАН, 1867. С. 118-129. [Также отд. изд. СПб.: тип. ИАН, 1867. 14 с.]
1868
№151. О секторе-планометре29 художника М. Карницкого. Донесение (Читано 28 ноября 1867 г.) // Зап. ИАН. 1868. Т.12. Кн.2. С. 166-170.
№152. Несколько замечаний о законах движения народонаселения в России // Русский вестник. Т.73. Январь. 1868. С.5-20.
№153. Sur quelques formules qui resultent de la combinaison des residus quadratiques et non-quadratiques des nombres premiers (Lu le 19 mars 1868) // Melanges math, et astr. St-P. [1872] 1868. T.4. Livr.2. P.263-273. [Cm.: №154.]
1869
№154. Sur quelques formules qui resultent de la combinaison des residus quadratiques et non-quadratiques des nombres premiers (Lu le 19 mars 1868) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1869. T.13. №1. Col.25-32. [Cm.: №153.]
№155. Заметка по поводу одного вопроса о пожизненных пенсиях (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 10 декабря 1868 г.) // Зап. ИАН. 1869. Т.15. Кн.1. С.61-70.
№156. Об одном эмпирическом выражении закона смертности (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 8 апреля 1869 г.) // Зап. ИАН. [1869] 1869. Прил. №4 к Т.15. Кн.1. 20 с. [Также отд. изд.]
№157. Некоторые замечания о пенсионном вопросе. [16 января 1869 г.] СПб.: тип. Майкова, 1869. 8 с.
№158. Записка 2-я о пенсионном вопросе. [18 февраля 1869 г.] СПб.: тип. Майкова, 1869. 9 с.
№159. Записка 3-я о пенсионном вопросе. [21 марта 1869 г.] СПб.: тип. Майкова, 1869. 15 с.
№160. Записка 4-я по поводу вопроса о постепенном возрастании числа пенсионеров. [3 апреля 1869 г.] СПб.: тип. Майкова, 1869, 6 с.
№161. Мнения академиков В.Я.Буняковского и К.С.Веселовского по вопросу о пересмотре Пенсионного устава.30 СПб.: тип. Майкова, 1869. 19 с.
86
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
1870
№162. Sur les congruences binomes exponentielles a base 3 et sur plusieurs nouveaux theoremes relatifs aux residus et racines primitives (Lu le 4 novembre 1869) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1870. T.14. №4. Col.356-381. [Cm.: №163.]
№163. Sur les congruences binomes exponentielles a base 3 et sur plusieurs nouveaux theoremes relatifs aux residus et racines primitives (Lu le 4 novembre 1869) // Melanges math, et astr. St-P. [1872] 1870. T.4. Livr.4. P.489-526. [Cm.: №162.]
№164. Sur un theoreme relatif a la theorie des residus et de son application a la demonstration de la loi de reciprocite de deux nombres premiers (Lu le 2 decembre 1869) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1870. T.14. №4. Col.432-447. [Cm.: №165.]
№165. Sur un theoreme relatif a la theorie des residus et de son
application a la demonstration de la loi de reciprocity de deux nombres premiers (Lu le 2 decembre 1869) // Melanges math, et astr. St-P.
[1872] 1870. T.4. Livr.5. P.527-548. [Cm.: №164.]
№166. Sur le symbole de Legendre 1—1 (Lu le 13 janvier 1870) \P)
// Bull, de 1'Acad. St-P. 1870. T.14. №5 №167. Sur le symbole de Legendre
. Col.497-512. [Cm.: №167 ]
I °
(Lu le 13 janvier 1870)
// Melanges math, et astr. St-P. [1872] 1870. T.4. Livr.5. P.549-570. [Cm.: №166.]
№168. Общий взгляд на труды 1-го (ученого) отделения комиссии по обзору операционной работы Эмеритальной кассы Морского ведомства за второе семилетие ее существования. Записка академика В.Я.Буняковского // Труды подготовительной комиссии по обзору операционной работы Эмеритальной кассы Морского ведомства за
второе семилетие ее существования и пересмотру самого положения о Кассе. СПб.: тип. Морск. мин-ва, 1870. С.305-322.
№169. Об одной формуле, выражающей зависимость между суммами делителей всех слагаемых данного числа и совокупностию разложений этого самого числа на целые слагаемые (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 15 сентября 1870 г.) // Зап. ИАН. 1870. Т.18. Кн.1. С. 20-24.
1871
№170. О соединениях особенного рода, встречающихся в вопросе о дефектах31 (Читано 21 сентября 1871 г.) // Зап. ИАН. [1871] 1871. Прил. №2 к Т.20. Кн.1. [2]+71 с.
Н С. Ермолаева, Г. Н. Сытая
87
1872
№171. Considerations sur quelques singularites qui se presentent dans les constructions de la Geometric non-Euclidienne (Lu le 4 avril 1872) // Memoires de 1'Acad. St-P. Ser.7. 1872. T.18. №7. 16 p. 1 pl. [Также отд. изд.]
№172. Об одном вопросе из теории соединений (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 24 октября 1872 г.) // Зап. ИАН. 1872. Т.21. Кн.2. С.261-284. [Также отд. изд. СПб.: тип. ИАН, 1872. [2]+24 с.]
№173. Заметка по вопросу о параллельных линиях // Математический сборник. 1872. Т.6. Вып.1. С.77—82.
1874
№174. Антропобиологические исследования и их приложение к мужскому населению России (с двумя листами чертежей) (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 18 декабря 1873 г. и представлено 12 марта 1874 г.) // Зап. ИАН. [1874] 1874. Прил. №5 к Т.23. Кн.2. Х+152 с.+2 л. черт. [Также отд. изд.]
№175. Об одном вопросе, относящемся к разложению чисел на части (Partitio Numerorum) (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 29 октября 1874 г.) // Зап. ИАН. [1875] 1874. Прил. №1 к Т.25. Кн.1. 29 с. [Также отд. изд.]
1875
№176. О вероятной числительности контингентов русской армии в 1883, 1884 и 1885 годах (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 18 марта 1875 г.) // Зап. ИАН. [1875] 1875. Прил. №7 к Т.25 18 с. [Также отд. изд.]
№177. Возрастная группировка мужского православного населения России в 1872 г. (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 4 ноября 1875 г.) // Отд. отт.: Зап. ИАН. [1876] 1875. Прил. №2 к Т.26. Кн.2. VI + 51 с.+[10 табл.] [См.: №178.]
1876
№178. Возрастная группировка мужского православного населения России в 1872 г. (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 4 ноября 1875 г.) // Зап. ИАН. [1876] 1875. Прил. №2 к Т.26. Кн.2. VI+51 с.+[10 табл.] [См.: №177.]
№179. О самосчетах и о новом их применении (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 20 апреля 1876 г.) // Зап. ИАН. [1876] 1876. Прил. №4 к Т.27. Кн.2. 28 с.+1 л. черт. [Также отд. изд.]
1877
№180. Sur quelques propositions nouvelles relatives au symbole de Legendre I—I (Lu le 21 septembre 1876) // Bull, de 1'Acad. St-P.
\PJ
1877. T.22. CoL358-377. [Cm.: №181.]
88
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
№181. Sur quelques propositions nouvelles relatives au symbole de Legendre I—I (Lu le 21 septembre 1876) // Melanges math, et astr \P)
St-P. [1881] 1877. T.5. Livr.3 et 4. P.351-379. [Cm.: №180.]
№182. Note sur le calcul approximatif des rentes viageres (Lu le 8 novembre 1877) // Melanges math, et astr. St-P. [1881] 1877. T.5. Livr.3 et 4. P.475-489. [Cm.: №183.]
1878
№183. Note sur le calcul approximatif des rentes viageres (Lu le 8 novembre 1877) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1878. T.24. №3. CoL437-446. [Cm.: №182.]
№184. Мнение о трудах комиссии по обзору операционной деятельности Эмеритальной кассы Морского ведомства за третье семилетие после ее существования // Труды комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за третье семилетие ее существования. 1877. СПб.: тип. Морск. ведом., 1878. С. 789-831.
№185. Примечания академика В.Я.Буняковского // Труды комиссии по обзору операционных действий Эмеритальной кассы Морского ведомства за третье семилетие ее существования. 1877. СПб.: тип. Морск. ведом., 1878. С.833-844.
№186. Nouveau cas de divisibilite des nombres de la forme 22 + 1, trouve par le reverend pere I. Pervouchine (Lu le 17 janvier 1878) // Bull, de Г Acad. St-P. 1878. T.24. №4. Col.559. [Cm.: №188.]
№187. О новом случае делимости чисел 22 +1, сообщенном Академии От[цом] Первушиным (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 4 апреля 1878 г.) // Зап. ИАН. 1878. Т.31. Кн.1. С.223-224. [См.: №№189, 190.]
1879
№188. Nouveau cas de divisibilite des nombres de la forme 22 +1,
17
trouve par le reverend pere I. Pervouchine (Lu le — Janvier 1878) //
Melanges math, et astr. St-P. [1881] 1879. T.5. Livr.5. P.505-506-[Cm.: №186 ]
№189. Encore un nouveau cas de divisibility des nombres de la forme 22 +1 (Lu le Avril 1878) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1879.
16
T.25. Col.63-64. [Cm.: №№187, 190.]
№190. Encore un nouveau cas de divisibilite des nombres de la forme 22 +1 (Lu le 4 avril 1878) // Melanges math, et astr. St-P. [1881] 1879. T.5. Livr.5. P.519-520. [Cm.: №№187, 189.]
И С.Ермолаева, Г.Н.Сытая
89
№191- О наибольших величинах в вопросах, относящихся к нравственному ожиданию (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 20 ноября 1879 г.) // Зап. ИАН. [1880] 1879. Прил. №1 к Т.36. 22 с. [Также отд. изд.]
1880
№192. Remarques a 1'occasion du Memoire de M. Hermite portant pour titre: «Sur une formule d'Euler» (Journal de Mathematiques pures et appliquees. Troisieme serie. T.VI. Janvier 1880. [P.5-18]) (Lu le — mai 1880) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1880. T.26. №2. P. 188-190. [Cm.: №194.]
№193. Заметка об относительной числительности равновозрастных составов мужского и женского населения России (3 табл.) (Читано 30 сентября 1880 г.) // Зап. ИАН. 1880. Т. 37. Кн.1. С.77-85. [Также отд. изд. СПб.: тип. ИАН, 1880. 10 с.]
1881
№194. Remarques a 1'occasion du Memoire de M. Hermite portant pour titre: «Sur une formule d'Euler» (Journal de Mathematiques pures
13 et appliquees. Troisieme serie. T.VI. Janvier 1880. [P.5-18]) (Lu le — mai 1880) // Melanges math, et astr. St-P. [1881] 1881. T.5. Livr.6. P.637-640. [Cm.: №192.]
№195. Quelques remarques sur les proprietes d'une classe particuliere des fractions decimales periodiques (Lu le 28 avril 1881) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1881. T.27. №3. Col.362-369. [Cm.: №196.]
№196. Quelques remarques sur les proprietes d'une classe particuliere des fractions decimales periodiques (Lu le April jgg^
10 Mai
// Melanges math, et astr. St-P. [1881] 1881. T.5. Livr.6. P.723-733. [Cm.: №195.]
1882
№197. О одном видоизменении способа, известного под названием Эратосфенова решета (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 13 апреля 1882 г.) // Зап. ИАН. [1882] 1882. Прил. №3 к Т.41. Кн.2. 32 с. [Также отд. изд.]
№198. Demonstration d'un theoreme relatif a la fonction E(x) (Note de M. Bouniakowsky presentee par M. Hermite.) // Comptes rendus hebdomadaires des seances de Г Academic des sciences (Paris). 1882. T.94. №22. (Le 29 Mai) P. 1459-1461.
90
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
1883
№199. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article ler (Lu le — septembre 1882) // 28
Bull, de 1'Acad. St-P. 1883. T.28. №3. Col.257-267. [Cm.: №201.]
№200. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article 2d (Lu le 10 mai 1883) // Bull, de Г Acad. St-P. 1883. T.28. №4. Col.411-425. [Cm.: №202.]
№201. Demonstration de quelques propositions relatives a fonction numerique E(x). Article ler (Lu le — septembre 1882) // 28
la
Melanges math, et astr. St-P. [1888] 1883. T.6. Livr.l. P.87—101. [Cm.: №199.]
№202. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article 2d (Lu le 10 mai 1883) // Melanges math, etastr. St-P. [1888] 1883. T.6. Livr.l. P.113-134. [Cm.: №200.]
1884
№203. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article 34me (Lu le 1 novembre 1883) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1884. T.29. №2. Col.250-272. [Cm.: №204.]
№204. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article 34me (Lu le 1 novembre 1883) // Melanges math, et astr. St-P. [1888] 1884. T.6. Livr.2. P. 169-201. [Cm.: №203.]
№205. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article 44me (Lu le 23 octobre 1884) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1884. T.29. №4. Col.503-519. [Cm.: №206.]
1885
№206. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique E(x). Article 4ёте (Lu le 23 octobre 1884) // Melanges math, et astr. St-P. [1888] 1885. T.6. Livr.3. P.317—340. [Cm.: №205.]
1886
№207. Об одном видоизменении функции E(f(x)) и о приложении измененного приема к исследованию некоторых свойств квадратичных и неквадратичных вычетов простых чисел вида 4k + 1 (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 10 декабря 1885 г.) // Зап. ИАН. 1886. Т.52. Кн.2. С.124—141. [1 табл, в тексте.]
1887
№208. Заметка об одной формуле, относящейся к теории чисел (Читано в заседании Физ.-мат. отд. 2 декабря 1886 г.) // Зап. ИАН. 1887. Прил. №5 к Т.55. [1887]. 16 с. [Также отд. изд.]
Л с.Ермолаева, Г.Н.Сытая
91
№209. Sur un nouveau nombre premier, annonce par le pere pervouchine. Extrait d'un rapport, fait a Г Academic par MM. Imchenetzki et Bouniakowsky (Lu le 27 Janvier 1887) // Bull, de 1'Acad. St-P. 1887. T.31. Col.532-533.
№210. Sur un nouveau nombre premier, annonce par le pere Pervouchine. Extrait d'un rapport, fait" a Г Academic par MM. Imchenetzki et Bouniakowsky // Melanges math, et astr. St-P. [1888] 1888. T.6. Livr.5. P.553-554.
Примечания
1	Здесь и далее в квадратных скобках даются редакционные добавления. Цифры в квадратных скобках означают год издания тома, который часто не совпадал с годом выхода той или иной его части. Для различных версий (краткое изложение, перепечатка или перевод) одной и той же работы даны перекрестные ссылки. (Подробнее см. в «Библиографических комментариях...», помещенных в этом сборнике (с.54-68) и предваряющих публикацию данного «Списка».)
2	Эта заметка была напечатана в журнале А.Л.Крелле в разделе со следующим заголовком: «Aufgaben aus dem Cardanischen Ausdrucke der Wurzeln der Gleichungen vom drit-ten Grade, oder demjenigen durch trigonometrische Linien, die Wurzeln der Gleichung OqX3 +	+ e2x + аз = 0 fiir den Fall herzuleiten, wenn во = 0 ist.». Далее напечата-
ны присланные решения этой задачи: под номером 1 - В.Я.Буняковского, а под номером 2 - другого автора. Буняковский в списке своих трудов свой заголовок дал на французском языке: «Deduire de 1 'expression g6n£rale de Cardan des racines de liquation de 3-me degre agx3 + щх2 + a?x + e3 = 0 la formule relative aux racines de 1'Equation du 2-d degre opr2 + e2x + e3 = 0, que 1'on obtien en faisant eg = 0».
3	Тома «M6moires> выходили отдельными выпусками (livrasions), а затем выходил уже весь том. Поэтому год издания тома часто не совпадал с годом выхода той или иной его части (выпуска), при этом статья была по сути опубликована дважды. Чтобы это указать, мы приводим год выхода статьи дважды: год в квадратных скобках означает год выхода тома. Например, в №8 речь идет о Т.2 (выпущенном в 1833 г.), тогда как вып.2, в котором помещена статья, уже был опубликован в 1832 г. С 1836 г. тома имели еще и двойную нумерацию. Подробнее об этом см. в «Библиографических комментариях...» (с.54-68).
4	Здесь и далее римские цифры означают пронумерованные страницы с текстом автора, или с рисунками и чертежами, и даже могут быть без таковых (например, с посвящением или даже пустые).
5	Подпись под этой статьей «В.Р.Б.» вместо «В.Я.Б.». Так как таких инициалов в списке авторов нет, то полагаем наличие опечатки.
6	Статья не подписана, но надо согласиться с мнением В.Е.Прудникова о ее принадлежности перу В.Я.Буняковского. Это подтверждается как стилистическими особенностями текста, так и ссылкой на труды М.В.Остроградского.
7	с. 4 d. — c'est-4-dire (франц.), что соответствует русскому «то есть».
8	То есть рукописей Ферма. Это маленькая заметка без подписи. В ней редактор С.О.Бу-рачек сообщает, что В.Я.Буняковский по своей инициативе дал для этого сообщения материал из Парижской академии наук. Далее этот материал цитируется в кавычках. Позднее, в указателе статей (т.11). Бурачек поместил эту заметку среди других, написанных Буняковским для «Маяка».
9	Полное название поэмы Джорджа Байрона: «Паломничество Чайльд Гарольда» (1812-1818 гг.).
10	Имеется в виду П.Н.Фусс (P.H.Fuss); эту фамилию теперь принято писать с двумя «с». " Вскоре было опубликовано «Собрание арифметических задач, расположенных по Арифметике г-на Буняковского. Составил ст[арший] учитель Вологодской гимназии
92 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Александр [Иванович] Иваницкий». (СПб.: тип. Я.Трея, 1850. 115 с.). Этот задачнцк выдержал три издания.
12	Текст - на французском языке, заголовок - по-русски.
13	Имя Сомова, члена-корреспондента Академии с 1852 г. и академика с 1862 г. писали по-разному при его жизни: сначала Иосиф Иванович, позднее Осип Иванович.
14	Это последний учебник В.Я.Буняковского по арифметике, но он продолжал интересоваться вопросами ее преподавания. Свидетельством служит опубликованное письмо по этому поводу Л.Н.Толстому: Письмо В.Я.Буняковского об арифметическом отделе «Азбуки» Л.Н.Толстого. [1872 г.] / Публикация В.А.Добровольского и В.Л.Минковского // ИМИ. Вып.12. М., 1959. С.505-551.
15
16
Здесь и далее двойная нумерация годов в
«Melanges»
означает.
что работа
вначале была
опубликована в 1855 г в 4-ом выпуске тома 2, а затем вошла и в полную публикацию второго тома, который вышел в 1859 г.
Отметим, что почти половину этой статьи занимает приведенное авторами мнение Н.Д.Брашмана, которого они, как члена-корреспондента Академии с 3 декабря 1855 г.,
пригласили для экспертизы.
В.Я.Буняковский в списке своих трудов написал в третьем лице: «Rapport sur son ouv-
rage», то есть «Отчет о его работе»
тогда
как здесь написано «Отчет о работе».
После
18
выходных данных Буняковский приписал: «Cet ouvrage, non termine, n'a pas dtd publid» (He будучи законченной, эта работа не была напечатана.)
В оглавлении к книге дано другое название, а именно: «Таблица, изображающая графически ход постепенного возрастания расходов на эмеритальные пенсии». На самом деле это не таблица, а график на сложенном листе большого формата, название которо-
го здесь указано.
19	Теперь пишут азартные, а в те времена написание этого слова соответствовало его французскому правописанию, хотя буква d в слове hasard не произносится. Эта статья написана совместно с И.Е.Андриевским и Г.И.Канановым.
20	Так писали в XIX в. прилагательное алгебраические: калька с франц, algdbriquc.
21	Буняковский написал вторую часть статьи; первую - П.Н.Петров.
22	Каждый том «Записок» состоял из двух книг, причем, оглавление всего тома печаталось во второй книге. Вторая книга иногда издавалась на следующий год после выхода первой. Однако были и исключения, например, в 1875 вышел Т.25 в одной книге, хотя на титульном листе было слово «Книжка» без указания ее номера.
Здесь и далее для «Записок» мы указываем год выхода той книги, где статья Буняковского была напечатана, а не всего тома. Это издание имело приложения, нумерация страниц в приложениях была своя.
23	Статья написана совместно с А.Н.Савичем.
24 Написано совместно с А.Н.Савичем.
25	Эта статья не подписана. В.Е.Прудников считает авторство В.Я.Буняковского предположительным. П.А.Афанасьев - магистр математики, преподаватель Московского университета, автор руководств по арифметике (1814, 1816). Автором статьи можно считать как Буняковского, вероятно учившегося по учебникам Афанасьева или даже бывшего его учеником, так и профессора Петербургского университета астронома А.Н.Са-вича, выпускника 1829 г. Московского университета, который также был сотрудником этой Энциклопедии. В пользу авторства Буняковского говорит и то, что он писал и о других московских математиках.
26	Приложения выходили отдельным изданием и, как правило, раньше, чем весь том, год выпуска приложения не всегда совпадал с годом выпуска тома, где оно было опубликовано. Отсюда двойная нумерация года: в квадратных скобках - год выхода тома «Записок », где статья была напечатана, а без скобок - год выхода в свет отдельного издания.
27	Эта статья без подписи, но в Протоколах Академии ранее было указано, что сочинение Яниша рассматривают В.Я.Буняковский и Б.С.Якоби.
28	Название статьи в газете такое: «Заседание Императорской Академии наук. Физико-математическое отделение. Заседание 14-го февраля 1867 г.». В ней рассказывается о вопросах, рассмотренных на этом заседании, но особое внимание уделено
и р.гузевич, И.Д-Гузевич
93
Буняковскому. После слов: «Так как изобретение г. Буняковского относится к предмету общеполезному и общедоступному, то сообщаем здесь читанную им об этом запис-ку-» - далее после двоеточия идет текст Буняковского из Протокола Академии.
29 Обращаем внимание, что речь идет о планометре, а не о планиметре.
зо В предыдущих «Записках» указана дата представления работы. Данная же работа такой даты не имеет, однако по ее содержанию видно, что она написана после предыдущих.
31 В списке своих трудов 1883 г. Буняковский вольно перевел название этой работы на французский язык, при этом он фактически сформулировал задачу, которую он рассматривал: «Sur un genre particulier de combinaisons qui servent 4 resoudre des questions relatives 4 differents arrangements qu’on peut faire subir 4 un assemblage donn£ d'exempla-ires depareillds». Приведенный для сравнения заголовок находится под номером 83 второго списка работ Буняковского (о котором говорилось выше в статье Н.С.Ермолаевой (с.54-68), публикуемой в настоящем сборнике).
КТО СОЗДАЛ ШКОЛУ ОСТРОГРАДСКОГО ИЛИ ЕВРОПЕЙСКИЙ КОТЕЛ НА РОССИЙСКОМ ТОПЛИВЕ1
Д.Ю.Гузевич, И.Д.Гузевич
Лирическая преамбула
М.В.Остроградский - кто не знает этого имени со школьной скамьи? Если считать по числу публикаций, то он — третий по популярности герой советской и постсоветской историографии науки после другого Михаила Васильевича - Ломоносова, а также Н.И.Лоба-чевского, которому он оппонировал.2
Недавний очередной юбилей, конференции, публикации, — все справедливо, все заслуженно. Перед нами один из крупнейших представителей российской науки XIX века. Но есть одно явление, которое вызывает определенные сомнения, — т.н. «Школа Остроградского», обладающая удивительной особенностью медленно, но неуклонно расти в численности, причем не делается различий между учениками научной школы и слушателями Остроградского как лектора во множестве высших (в первую очередь, технических) учебных заведений (см. Приложение I). Мы отнюдь не ставим под сомнение факт историчности этого явления. Более того, глубоко убеждены, что оно не только существовало, но и сыграло уникальную роль в развитии и российской, и европейской науки в целом.
Вопросы в другом: насколько название, закрепившееся в историографии, отражает исторические реалии? К какой области деятельности относилась эта Школа? (см. Приложение II). Где она конкретно возникла, учитывая, что Остроградский преподавал в пяти высших учебных заведениях?3 Они с неизбежностью появляются при детальном изучении самого явления, а также при рассмотрении вопросов более частного характера, которые в рамках сложившихся
94
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
представлений не получают исчерпывающих ответов. Вот некоторые из них:
— Почему ученик О.Коши, сам блестящий и самостоятельный математик, прекрасный педагог, Остроградский не воспитал ни одного сколько-нибудь крупного математика? И, наоборот, выпустил в жизнь целую плеяду инженеров с блестящим математическим образованием, механиков, исследователей в области технических наук?
— Каким образом в Школу Остроградского вошли исследователи, сложившиеся в качестве самостоятельных ученых еще до приезда Остроградского в Петербург?
А вот еще вопрос, на первый взгляд, совсем из другой области: почему ведущим французским механикам, математикам, физикам, инженерам оказалось не под силу понять знаменитый мемуар Сади Карно «Размышление о движущей силе огня...» (1824), хотя среди тех, кто с ним ознакомился, были К.Л.Навье, Д.Араго, Г.Прони, П.С.Лаплас, Ж.Фурье, А.М.Ампер, С.Д.Пуассон, А.М.Лежандр, О.Ж.Френель, а понял его, как только увидел, молодой Э.К.Клапейрон, только что приехавший из России?
Чтобы попытаться ответить на эти вопросы, начнем издалека.4
Исходная точка
В 1786 г. во Францию была направлена группа испанских стажеров ~ обучаться и собирать новейшие материалы по строительству и механике. Во главе группы стоял молодой человек по имени Августин Бетанкур.5 Испанские стипендиаты были приняты в парижской Школе мостов и дорог у Перроне. Процесс обучения во многом заключался в изготовлении моделей машин и сооружений, т.е. они работали как классические мастера-механики XVIII в. Особенно отличился на этом поприще сам Бетанкур: в значительной степени именно его руками как мастера и был создан знаменитый кабинет машин, открытый в Мадриде в 1791 г. [7-8]. В этом смысле практические познания молодого испанца вполне сопоставимы как с познаниями британских (скорее, шотландских, чем английских в своей массе) механиков типа Дж.Уатта, У.Мердока или Г.Модсли, так и с познаниями авторов классических «Teatrum machinarum» типа А.К.Нартова или Я.Лейпольда, хотя опыта, конечно, было поменьше.
Между Бетанкуром и этими чистыми эмпириками имелось, впрочем, одно существенное различие. Именно оно и дает ключ к разгадке знаменитого конфликта между Бетанкуром и Уаттом, связанного с введением во Франции строго секретной паровой машины двойного действия. В 1789 г., в Англии, Бетанкур тайно видел эту машину, плотно упакованную в чехол от нескромных глаз. Однако испанцу оказалось достаточно увидеть необычную форму упаковки, чтобы
П Ю-Гузевич, И.Д.Гузевич
95
домыслить остальное на листе бумаги. А для этого надо владеть теоретическим знанием и пространственным мышлением.6
Генезис этих познаний Бетанкура еще не совсем ясен. Можно говорить о Франции. Заметим, что именно здесь он написал работу по упругости паров (т.е. по экспериментальной физике). Бетанкур — последователь Г. Монжа, и трактат по машинам, который они создали вместе с Х.М.Ланцем, рассматривался в первое время в качестве приложения начертательной геометрии. Однако это будет почти на два десятилетия позже. В период же, о котором идет речь, его знания, подобно другим ученикам Перроне, ограничивались прекрасной архитектурной графикой да теорией разрезки камней. Впрочем, для пространственного мышления этого уже вполне достаточно.
Но стоит ли сбрасывать со счетов испанское образование? Академия изящных искусств и Королевское учебное заведение св. Исидора: в сумме довольно много математики и рисунков. Возможно, была схоластика, — это, среди прочего, обучение форме, логике, умению пользоваться абстрактными категориями. Ничего подобного британские механики-эмпирики не знали.
Впрочем, между ними есть еще одно отличие, которое едва ли не важнее всех остальных: побуждаемый по роду своей деятельности изготовлять, совершенствовать и изобретать различные машины и механизмы, Бетанкур был свободен от давившей на изобретателей-предпринимателей необходимости их немедленного внедрения, получения прибыли и защиты секретов: он был на государственной службе, и финансовая база его существования определялась совсем иными факторами. Другими словами, он был значительно более свободен в поиске, и его реноме, как инженера, предполагало публикацию или любое иное обнародование изобретений и работ и такое же публичное раскрытие секретов.
С авторами «Театров машин» его сближала коллекционно-классификационная деятельность, неизбежная в ходе подбора экспонатов Для Кабинета машин.
«Essay sur la composition des machines» [10-14], написанное совместно с Ланцем, - пожалуй, научная вершина Бетанкура. Овладение начертательной геометрией и фундаментальными знаниями в теоретической механике в сочетании с познаниями и умением механика--эмпирика — вот та база, на которой вырос этот труд, и которая позволила Бетанкуру пойти в этом вопросе дальше своих учителей, дав ему возможность осмыслить свой личный практический опыт механика-эмпирика с высоты нового теоретического знания, в новых категориях и понятиях. Так рождается новая техническая наука.
Под стать Бетанкуру был его соавтор и товарищ Х.М.Ланц, более сильный математик, но менее опытный механик-практик. В
96
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
целом коллеги дополняли друг друга. И мы не беремся судить, кто в этом тандеме был ведущим.
Синтетический характер «Essay...» усиливает публикация под этой же обложкой таблицы механизмов Ашетта - человека, который в дальнейшем скажет свое веское слово в развитии науки о машинах. Если для Бетанкура «Essay...» оказалось итогом работы и завершением видимого пути в теоретической части науки о машинах (переиздания осуществлялись, скорее всего, уже без участия Бетанкура, усилиями Ланца и др.), то для Ашетта это было начало.
А вот теперь — о невидимой части пути и о судьбе того творческого опыта, детищем которого и стало «Essay...».
Рождение интеллектуального «котла»
Дальнейшие события разворачивались уже на другом конце Европы, в России, куда Бетанкур перебрался в 1808 г. и где занялся деятельностью инженерно-практической (устройство паровых землечерпалок и паровых машин, оборудование заводов, гидротехнические и строительные работы), инженерно-педагогической и инженерно-организационной. Никаких научных трудов Бетанкур за российский период не оставил. А вот его инженерно- (и научно-) организационная деятельность в сочетании с двумя другими, представляет для нашего исследования глубокий интерес.
В России испано-французская ориентация Бетанкура выразилась, прежде всего, в подборе сотрудников. Две ведущих группы включали в себя, соответственно, французских и испанских инженеров. Основную массу первых составляли парижские политехники, а среди вторых было, по-видимому, много его учеников из Escuela de Caminos у Canales, созданной в Мадриде в 1802 г. Причем испанцы достаточно явно использовались для практических работ, и никаких теоретических трудов за время своего пребывания в России не оставили. К преподаванию они тоже не привлекались.
А вот французов, которые также широко использовались на практических работах, все время тянуло в научную и преподавательскую деятельность. Более того, в области механики их интерес со временем перешел в новое качество, позволившее им выйти далеко за пределы того испано-французского синтеза, вершину которого представляли труды Бетанкура и Ланца.
Как нам кажется, это стало возможным благодаря тому, что среди сотрудников Бетанкура в России оказалось еще одно важнейшее действующее лицо, имя которому — К.Н.Берд. Ученик Гаскойна, приехавший вместе с ним в Россию, этот инженер воплотил в себе лучшие черты шотландской школы механиков. И со временем по мастерству и познаниям он, без сомнения, сравнялся со своим учителем. Берд основал крупнейший в то время в России частный
Д.Ю.Гузевич, И.Д.Гузевич	97
механический и металлический завод. Не хотелось бы умалять значение и способности других шотландских инженеров из этой же группы, верно и с честью служивших России, - А.В.Армстронга, А.Я.Вильсона, М.Е.Кларка и др. Берд, однако, выделялся из общего ряда глубиной понимания необходимости теоретического технического знания - понимания, в целом британцам той эпохи, шедшим от практики, не свойственного. И объяснить это свойство Берда можно лишь одним словом — талант.
А потому нам кажется отнюдь не случайным, что в Петербурге Берд и Бетанкур (женатый, заметим, на англичанке) очень быстро нашли друг друга. У Бетанкура был выбор. Но именно Берд стал его постоянным партнером, и, значит, во многом - соавтором. А затем, в том же качестве — и французских инженеров из круга Бетанкура (в первую очередь, П.Д.Базена).
А вот эмпирик до мозга костей Кларк станет со временем постоянным партнером таких же эмпириков и гениальных архитекторов — К. И. Росси и В. П. Стасова. Вряд ли также можно считать совпадением, что в будущих инженерных баталиях и конфликтах конца 1820— 1830-х гг. окажутся две стороны: на одной — Базен и Берд, на другой - Кларк, Росси, Стасов плюс... остальные.
В контакте с Бердом как нельзя ярче проявился эмпирико-теоретический дуализм Бетанкура. Именно тот дуализм, который позволил ему основать в Испании школу для инженеров-практиков (Escuela de Caminos у Canales, 1802), а в России, всего через 7 лет, — формировать систему, по уровню теоретической подготовки воспитанников не уступавшую Политехнической школе (Институт Корпуса инженеров путей сообщения, 1809).7 Подобное творит себе подобное. И дуализм Бетанкура с неизбежностью вылился в дуализм его окружения.
Наши построения отнюдь не умозрительны, ибо благодаря Берду испано-французская группа механиков получила в свое распоряжение блестящую производственно-механическую... шотландскую лабораторию. Финансировало же проведение опытов в этой лаборатории российское государство через Главное управление путей сообщения, благо Бетанкур в 1819—1822 гг. занимал пост главного директора путей сообщения России. До него на этом посту был голландец, инженер-генерал Франц Деволант, прекрасно понимавший важность синтеза теории и производства и оказывавший Бетанкуру всяческую поддержку, а после его падения, до середины 1830-х гг., один из ключевых постов в ведомстве продолжал занимать ученик и последователь Бетанкура - Базен. Финансирование — момент принципиаль ный, ибо в отличие от молодого Бетанкура Берд, как и другие шотландские мастера, зарабатывал себе на жизнь именно производством машин и других изделий, а не их теоретическим изучением.
98
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
В поддержку этого утверждения можно привести множество примеров. Вот два наиболее ярких из них.
В 1815—1817 гг. Берд строит на своем заводе первые в России пароходы. Параллельно и одновременно Базен по инициативе Бетанкура работает над первой теоретической монографией о движении этих пароходов - «Memoire sur la theorie du mouvement des barques a vapeur et sur leur application a la navigation des canaux, des fleuves et des rivieres» [16]. Практический опыт для работы над монографией был получен на заводе Берда. Далее Берд по совместным проектам Бетанкура и Базена строит опытные образцы паровых судов (колесные пароходы и паровые кабестаны с различным положением воротов) и проводит своим коштом^ их испытания на Волге в 1821—1822 гг.
Для строительства висячих мостов Бетанкур проектирует (1823) мощный сидерометр — аппарат, позволивший испытывать звенья железных мостовых цепей. В том же году Берд воплощает этот прибор в металле, устанавливает на своем заводе, и путейские инженеры из круга Бетанкура - немцы, французы, русские (В.К.Треттер, А.В.Ганри, В.А.Христианович и др.) начинают испытания на сидеро-метре российского железа. Их результаты публикуются как в «Журнале путей сообщения», так и в отдельных изданиях. Лабораторией служит завод Берда. Эти работы, в той или иной форме проводившиеся много лет и положившие начало другим аналогичным исследованиям материалов и изделий, стали образцовыми и составили целую эпоху в российском металловедении и испытании материалов. Они же породили богатую литературу [18—31].
Такое многолетнее и воистину международное сотрудничество в области практической механики, строительных конструкций, испытания материалов, возникшее и активно развивавшееся на российской почве можно уподобить бурно кипящему котлу. Необходимо также отметить, что национальное происхождение участников этих коллективных работ означало нечто большее, чем просто информацию об их этнических корнях. Дело в том, что для России все они были иностранцами в первом поколении, обучавшимися и получавшими свой первый профессиональный опыт в различных странах, в рамках различных национальных школ. И само их перемещение в Россию также означало перенос этих знаний в Россию. Таким образом, под руководством Бетанкура в Петербурге возник удивительный центр по переносу, перемешиванию, отбору, модификации и адаптации имеющегося и производству нового технического знания.
Некоторые соображения относительно возникшего сообщества
Характеризуя самого Бетанкура как механика, мы отмечали его «эмпирико-теоретический дуализм». Пожалуй, к представителям круга Бетанкура это определение не подходит, ибо в творчестве своих
99
д р.Гузевич, И.Д.Гузевич учеников учителю удалось преодолеть раздвоенность, свойственную его собственному творчеству. Приведем два примера, иллюстрирующих это утверждение.
Первый из них был в свое время знаменит и даже стал поводом для публичных дискуссий о приоритете.9 В 1821 г. Базеном при содействии Бетанкура была создана т.н. «теория шлюзов со сберегательными бассейнами» [32—38]. А затем один из ее частных случаев — «парные шлюзы» — был воплощен на практике: на этой теории основан проект знаменитых Шлиссельбургских шлюзов [39—40]. Перед нами одна из самых ранних технических теорий в мире, исключая, быть может, область приборостроения: была предложена и рассчитана идеальная модель технического объекта; затем на ее основе создан проект реального сооружения, которое и было построено.
Основным генератором идей в данном случае был Базен, но не будем забывать и об опыте Бетанкура с его знаменитым шлюзом [41-47], проект которого открыл испанскому инженеру дверь в Институт Франции. Что касается Базена, то его теория шлюзов со сберегательными бассейнами принесла автору членство в трех академиях, да еще послужила основой для награждения орденами трех государств. Любопытно отметить, что на частный случай парных шлюзов Базен наткнулся в одном английском издании начала XIX в.: британцы эмпирическим путем нашли одно из множества решений, которые Базен получил теоретически.
Прежде чем перейти ко второму примеру, вглядимся еще раз в состав инженерного сообщества, возникшего вокруг Бетанкура. Не забывая об испанском, южно-германском (из этих мест - Треттер) и, естественно, российском элементах этого котла, мы бы выделили особо элементы британский (шотландский) и французский. Напомним, что каждая из этих стран дала крупнейших представителей в области механики. В Англии символом стал - Дж.Уатт, во Франции - Сади Карно. Два гения, два несоединимых антипода. Один завершил создание паровой машины как универсального двигателя, другой же разработал ее теорию [48]. Однако понадобился третий, чтобы понять «Размышление о движущей силе огня...» и дать ему второе дыхание, без которого этот труд еще долго оставался бы умозрительной теорией, бесконечно далекой от практики.
Как показала история ни в рамках французской инженерной школы, ни, тем более, в рамках британской, такого третьего человека не нашлось. Он должен был прежде пройти другую школу, объединившую и французскую теорию, и британский эмпиризм, и многое Другое.
И таким человеком оказался Э.К.Клапейрон, французский политехник, прошедший «бетанкуровский котел» в Петербурге. Он проработал в России И лет (1820-1831). Его учителями были и
100 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Бетанкур, и Берд, и Базен. Его коллегами — Г.Ф.Ламе, В.К.Треттер М.С.Волков, М.В.Остроградский. Его учениками - П.П.Мельников Н. О. Крафт и др.
История повторяется, и ничто не проходит бесследно. Когда-то создатель этой Школы, Бетанкур, вступил в творческий спор с Уаттом по поводу секрета машины двойного действия - и выиграл его.10 Работы по упругости паров и «Essay sur la composition des machines», написанное совместно с Ланцем, — вот то, что лежит в основе этой Школы. Затем будут пароходы, паровые кабестаны, паровые землечерпалки и просто заводские паровые машины вначале Бетанкура, Базена и Берда, а затем и самого Клапейрона; будут труды по аналитической механике и по все тем же паровым машинам Дест-рема и Базена; будут испытания цепей висячих мостов и паровые насосы на Ладожском канале; будет множество инженерных работ и первый в России курс практической механики.11 И будет общение. А потом этот человек вернется во Францию, случайно увидит небольшую брошюру, опубликованную за 8 лет до его возвращения, и, в отличие от всех своих учителей и соучеников по Политехнической школе, составлявших славу французской науки, но не прошедших через котел, созданный Бетанкуром, он поймет, что за сокровище держит в руках, продолжит исследование, придав ему математическую форму [51], и тем самым сделает второй шаг на пути рождения термодинамики. 12
В этом контексте уместно также вспомнить о работах Клапейрона и Ламе в области железных дорог. Только что приехав из России, они оказались в числе инициаторов железнодорожного строительства во Франции. Вряд ли это тоже случайное совпадение, учитывая устроенную Базеном командировку Ламе в 1830 г. на открытие Ливерпуль-Манчестерской железной дороги, и проекты, которые они с Клапейроном разрабатывали в России еще до отъезда.13
Время перемен
Однако вернемся к самой Школе. Бетанкур скончался в июле 1824 г. Ему по праву наследовал Базен. Конец 20-х гг. XIX в. — эпоха расцвета в Петербурге Механико-математической инженерной школы. У нее есть глава — Базен. Есть профессиональная организация и учебное заведение, на базе которых она сформировалась ~ Корпус инженеров путей сообщения и Институт этого корпуса. Есть ученики, многие из которых за свои научные заслуги либо уже стали членами различных академий в разных странах, либо станут в ближайшие годы. Их работы публикуют около десятка научных изданий мира, выходят их монографии и учебники. У Школы есть свои исследовательские программы и методологические подходы. Из последних можно назвать сознательное увязывание теоретических
и Ю-Гузсвич, И.Д.Гузевич
101
исследований с практической деятельностью (чтобы не быть голословными, напоминаем: параллельное и взаимосвязанное создание па-повых судов и теоретических исследований по их движению; создание теории шлюзов со сберегательными бассейнами и ее воплощение на практике), непосредственное введение результатов исследований в педагогический процесс, а в самих исследованиях — синтез их теоретических и экспериментальных составляющих. Исследовательские программы относились к строительной механике (статике сооружений, устойчивости сводов), сопротивлению и испытанию материалов
(в первую очередь, речь идет о металле — железе, чугуне и о вяжущих веществах) и элементов конструкций, механике нити, гидравлике, аналитической механике (в частности, о разработке и внедрении принципа виртуальных скоростей), о теории паровых машин (созда-
ние машин для водного транспорта, исследование упругости паров,
поиски средств предохранения паровых котлов от взрывов, усовершенствование паровых машин, и др.), об инженерной геодезии, инженерной геологии и внедрении математических методов в инженерные изыскания.14 В области педагогики - это курс на математизацию инженерного образования, в том числе, на создание учебников по математике специально для высшей технической школы, начиная с учебников дифференциального и интегрального исчисления Базена (последний — совместно с Ламе) [66—69]. В отдельную ветвь, и довольно рано, выделилась начертательная геометрия, которая, впрочем, еще долго развивалась в тесной связи с другими ветвями той же Школы (вспомним синкретизм подходов родоначальника Школы Бетанкура, в деятельности которого начертательная геометрия теснейшим образом переплелась с наукой о машинах и строительным искусством). У Школы есть свои испытательные лаборатории15 и даже свой печатный орган - Журнал путей сообщения (Journal des voies de communication), журнал выходил на двух языках. Созданный по инициативе Бетанкура, он возглавлялся Базеном как председателем Комитета о издании ученого журнала. Комитет опирался на созданный и взлелеянный Бетанкуром Институт корпуса инженеров путей сообщения (ИКИПС), директором которого в эти годы был все тот же Базен, и профессора которого — Г.Ф.Ламе и Я.А.Севастьянов — представители второго поколения этой же научной Школы16, отвечали за французскую и русскую редакции соответственно. Перед нами все признаки сложившейся научной школы в период ее расцвета.
Но на рубеже 1820-1830-х гг. резко меняются внешние обстоятельства, до того благоприятствовавшие развитию Школы. Напуганное революциями в Европе и восстаниями в собственной стране, российское правительство переходит к охранительной и аутоизоляционистской политике. Прием французов на русскую службу был резко осложнен, а в 1834 г. — просто закрыт. Но острой ситуация
102
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
становится уже в 1830 г., после Июльской революции во Франции. Не случайно именно в этом году Базен просит отставки с поста директора ИКИПС, но, по счастью, ее не получает. Однако становится ясно, что время службы французов сочтено, новых не пригласить, а значит, острую нехватку профессоров в ИКИПС необходимо восполнять другими путями.
И вот, в 1830/1831 учебном году на должности профессоров приглашаются трое молодых людей (возраст — от 26 до 31 года), трое российских подданных, обучавшихся в Париже и не так давно оттуда вернувшихся: математики М. В. Остроградский (впрочем, с лета 1830 по май 1831 гг. он опять был во Франции и к преподаванию приступил лишь в 1831 г.), В.Я.Буняковский и физик А.Я.Купфер -все трое уже члены Петербургской академии наук [70].
Через год Россию покидают Ламе и Клапейрон. Курсы, оставшиеся после двух французов в 1831 г. окончательно распределяются следующим образом: физику читает Купфер, умозрительную механику — Остроградский, математику — Буняковский. Впрочем, бывало, что и Буняковский читал механику (статику), а Остроградский - математику. Профессорами курсов практической механики и построений, которые Клапейрон читал в 1830/1831 гг., стали, соответственно, П.П.Мельников и М.С.Волков — его бывшие ученики.
М.В.Остроградский
Ни Буняковский, ни Купфер научных школ в ИКИПС не создали. Они были хорошими профессорами, прекрасными учеными. Но и только. А «Школа Остроградского» известна в истории. Да вот незадача: сам-то он — математик, ученик Коши. Его основные работы относятся к математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, математической физике; а если разговор идет о механике, то на начальном этапе это области сугубо теоретические — небесная механика или гидромеханика (теория волн на поверхности тяжелой идеальной жидкости). А вот Школу-то он возглавлял... инженерномеханическую, не случайно ее определения «плавают» от одного автора к другому (см. Приложение II). Как будто собственное творчество и научно-воспитательная деятельность шли разными путями. Как мы уже говорили после Остроградского — одного из крупнейших математиков России своего времени — не осталось ни одного ученика — сколько-нибудь заметного математика, но — множество инженеров, артиллеристов, моряков с прекрасным математическим образованием, а также механиков.
Да, конечно, Остроградский был не только знаменитым математиком, но и знаменитым механиком. Так, ему принадлежат блестящие работы в области развития принципа возможных перемещений (распространение его на неголономные связи); не обошел он
ДjQ. Гузевич, И.Д.Гузевич
103
вниманием и механику нити.17 Но ведь первое из этих направлений -не что иное, как прямое продолжение исследовательской программы Даме-Базена! Более того, сменив Ламе на посту профессора аналитической механики, Остроградский получил в наследство и курс, основанный на принципе виртуальных скоростей.18 А рецензируя в 1831 г. работу Базена по этому вопросу [86-87], он пишет и свой первый труд по виртуальным скоростям (совместно с В.Я.Буняковским и Э.Д Коллинсом; зачитан в Академии наук в мае 1832), который проходит мимо внимания его биографов. Эти события служат толчком для создания его знаменитых «Общих соображений относительно моментов сил» (1834), где рассматривается равновесие систем с неудерживающими связями, - первой в целой серии работ по этой теме. Таким образом, здесь Остроградский — лишь верный наследник Ламе и Базена. А основной его ученик в этой же области — К.А.Яниш19, не только закончил ИКИПС в эпоху Базена (в 1833 г.), но даже еще и Ламе с Клапейроном застал. Так что чей он конкретно ученик (хотя он сам и признает Остроградского «центром тяготения всей математической деятельности в России») — сказать сложно. Скорее всего, этой научной Школы как единого организма, во главе которой на тот момент уже стоял Остроградский. Что касается работ по механике нити (веревочный многоугольник и гибкая нерастяжимая нить) — то и здесь цепочка совершенно очевидная: Дестрем+Базен (1820 г.)20 -* Ламе+Клапейрон (сер. 1820-х) -* Остроградский (1834, 1836, 1839 гг.).21 Если же мы учтем, что работы Остроградского в этой области те же самые, в которых он занимается принципом возможных перемещений (виртуальных скоростей) — тот же доклад «Общие соображения относительно моментов сил» (7.11.1834), тесно связанный с ним другой доклад «О равновесии веревочного многоугольника и гибкой нерастяжимой нити» (18.1.1839) и курс лекций, читанных в ИКИПС (1836), а также, что все перечисленные выше авторы увязывали свои работы с рассчетами висячих мостов, к сооружению которых имели самое непосредственное отношение (кроме Остроградского), то поймем, что последний не только развивает программы Школы, «запущенные» задолго до него, но и во многих случаях остается в рамках того научного поля, которое этими программами охватывается.
Причисление к ученикам Остроградского П.Л.Чебышева (см. Приложение I) заставляет задуматься над самим фактом неслучайности появления тех, либо иных научных программ в рамках деятельности одной школы, ибо тот научный организм, о котором идет речь, дважды возрождал программу аналитических исследований параллелограмма Уатта и синтеза механизмов. Мы не можем не увязывать это явление с тем фактом, что основоположник Школы, Бетанкур, был одним из создателей науки о машинах. Впервые
104
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
исследованием параллелограмма Уатта занялся Базен в 1829 г. [84]. В результате он создал «на кончике пера» принципиально новый рычажно-кулачковый механизм, теоретически обеспечивающий абсолютно точную передачу прямолинейного движения. П.П.Мельников его описал в 1838 г. в своем курсе практической механики [95], но ныне он полностью забыт и отсутствует даже у И. И. Артоболевского [96]. И далее — прерыв наследования, ибо Остроградский синтезом механизмов не занимался. Но к этой проблеме пришел уже его ученик, Чебышев, создавший математическую теорию их синтеза.
Еще пример. Цитируем: «в Институте Корпуса инженеров путей сообщения... основное внимание он [Остроградский] направил на сознательное сочетание теоретических исследований с практикой. Сравнение его курсов аналитической механики, литографированных в 1836 и в 1857 гг., показывает, что из своего курса он постепенно исключал параграфы, не имеющие практических приложений, и, наоборот, рассматривал вопросы, важные для прикладной и строительной механики. Таким образом Остроградский сумел создать курс аналитической механики применительно к запросам высшей технической школы».22 Стоп, но здесь же изложены методологические принципы и педагогическая программа, которые были разработаны и воплощались Школой Бетанкура—Берда—Базена на базе того же института еще до приезда Остроградского в Петербург! А значит, он просто придерживался принципов и развивал программы этой Школы в течение последующих двух десятилетий (ср. даты курсов) после ухода Базена (1834), а вслед за ним и Потье (1836). Другой вопрос, что эти принципы, по-видимому, оказались созвучными его собственным воззрениям, которые в отношении инженерной деятельности на 1830 г., когда он был приглашен в ИКИПС, еще по сути не могли сложиться (просто негде было — инженерного образования Остроградский не имел23), а в том учебном заведении, куда он поступил профессором, они уже были сформированы и давно претворялись в жизнь (не здесь ли одна из причин органичности «имплантации» Остроградского в указанную Школу? — см. ниже).
Другой парадокс, упомянутый в предисловии: к Школе Осгро-градского в качестве его учеников причисляются лица, уже бывшие профессорами, преподавателями, инженерами, когда он еще был только студентом Харьковского университета, и затем учился во Франции, а иногда и те, кто вообще не имел отношения к его научным трудам: Севастьянов — профессор начертательной геометрии, ученик К.И.Потье24; Волков — вечный сотрудник всех французских профессоров по курсу построения - А.Рокура де Шарлевиля, В.П.Феррандина-Газана, А.В.Ганри, Э.К.Клапейрона; или П.П.Мельников, ставший профессором в 1831 г. и находившийся в одном ранге с Остроградским (заметим, что роль Мельникова в
д Ю.Гузевич, И.Д.Гузевич
105
формировании воззрений Остроградского на инженерную деятельность, особенно учитывая их тесные личные контакты, о чем писал сам Мельников [3, с. 109; 73, с. 182; 99; 100, с.27], должна была быть значительной).
Они не были учениками Остроградского, и не могли ими быть. Но... действительно, входили в ту самую Школу, которую он возглавил с середины 1830-х гг.
По-видимому, чувствуя эту неувязку, А. Н. Боголюбов пишет об ИКИПС: «Влияние научного творчества Остроградского распространялось не только на его непосредственных учеников, но и на преподавателей» [73, с. 171]. Но эта декларативная фраза проблемы отнюдь не разрешает.
Так может. Остроградский просто в какой-то момент возглавил Школу, созданную не им, а до него, и учеником которой он сам не являлся? Но чьи научные программы развивал сам, и чьих программ придерживались его ученики и псевдо-ученики, в действительности получившие научную подготовку в этой Школе еще до его появления?
Но тогда приходится признать, что имплантация, которую произвел Базен, готовя собственный уход, прошла чрезвычайно успешно. Более того: со временем произошла аберрация памяти. И в действительности крупное имя Остроградского, которого в советской историографии превратили едва ли не в национального героя, гипертрофировалось до таких размеров, что заслонило от исследовательских глаз удивительный феномен — Инженерную механико-математическую школу Бетанкура—Берда—Базена — уникальный продукт инженерной и научной коммуникации, своеобразную квинтэссенцию европейского опыта.
Остроградский не просто ее развил, но и значительно расширил, ибо среди его учеников как главы этой Школы мы находим специалистов, принадлежащих уже к другим инженерным корпусам, а не только к ИКИПС, а также не инженеров. Преподавание Остроградского в большинстве высших технических учебных заведений Петербурга, с одной стороны, вызвало его работы в соответствующих областях25, а с другой, привлекло в его Школу артиллеристов, военных инженеров и других специалистов. Оказавшись в поле влияния Остроградского, они не только обогащались знаниями сами, но и обогащали тот организм, который известен ныне под именем Школы Остроградского, ибо в каждом из этих учебных заведений были и Другие прекрасные профессора, чей совокупный опыт и знания таким образом включались в единый багаж этой Школы.
Но ведь и здесь Остро градский продолжает политику, начало которой положили еще Бетанкур с Базеном: влияние ИКИПС на создание и развитие Главного инженерного училища и Артиллерийского училища, а так же на реформу Института корпуса горных инженеров
106
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
известны давно и в дополнительных подтверждениях не нуждаются.26 Более того, ИКИПС для многих из этих учебных заведений поставлял профессоров (как в области начертательной геометрии, так и для преподавания механики и технических наук механического цикла) не только до появления Остроградского в этих учебных заведениях, но и одновременно с ним.27 А, значит, вовлечение исследователей в единую Школу Остроградского шло отнюдь не только через него.
Определение
Как все-таки наиболее точно оценить область, к которой принадлежала эта научная школа, учитывая полный разнобой в литературе (см. Приложение II)? Более того, есть случаи, когда один и тот же автор дает до трех-четырех определений одной и той же школы. Такая ситуация не случайна. Складывается впечатление, что авторы просто не знают, как точно определить явление, с которым они столкнулись. Причем мы не можем сказать, что эти определения абсолютно неверны: в каждом из них есть доля истины, и они отражают определенные реалии.
Наиболее корректен и последователен, пожалуй, А. Н. Боголюбов, в одном из своих текстов утверждавший (к сожалению, эта мысль и у него не получила развития): «От Остроградского ведут свое начало три важных школы отечественной науки. Первая — Школа аналитической механики, которая через О.И.Сомова, Д.К.Бобылева, Н.Е.Жуковского, Г.К.Суслова оказала существенное влияние на исследовательскую работу в данном направлении. Вторая — Школа математической физики, эстафету которой приняли такие ученые, как В.А.Стеклов и Н.М.Крылов... Третья, самая большая из научных школ Остроградского, Школа прикладной механики» [73, с. 172]. Как минимум, две из них, - первая и третья, — напрямую восходят к Школе Бетанкура-Берда—Базена, которая сложилась в ИКИПС еще до появления там Остроградского; а говоря о второй, мы не можем не учитывать связей работ Остроградского и Ламе (представителя той же Школы) конца 1820 - начала 1830-х гг. Если даже просто посмотреть на списки учеников, относимых к Школе Остроградского, то можно убедиться, что прикладной механикой дело отнюдь не исчерпывается. В стороне остаются различные области строительной механики и механики грунтов, которые отнюдь не входили в рамки той синкретичной дисциплины, которую называют «прикладной механикой», и даже говорилось о них в рамках другого курса - курса построений. Последний к тому же охватывал строительное искусство и большие разделы испытания материалов. А также инженерные изыскания (где происходило формирование инженерной геодезии и инженерной геологии как технических наук), а
д Ю.Гузевич, И.Д.Гузевич
107
также методическая ветвь, в рамках которой разрабатывались методы преподавания и велась подготовка учебников по математике и механике для высших технических учебных заведений. Мы уже не говорим о влиянии этой Школы на те исследования, которые велись в среде военных инженеров и артиллеристов, а также о Школе по начертательной геометрии, которая существовала параллельно и в тесной связи с той, которую мы именуем Школой Остроградского, и восходила к одному с ней корню. Как нам кажется, учитывая все это, характеристика феномена, о котором идет речь, как Инженерной механико-математической школы является наиболее корректной и точной. С одной стороны, она охватывает все те области, в рамках которых вела свои исследования Школа Бетанкура-Берда-Базена, а с другой - позволяет говорить о специализированных ветвях, выросших из этого корня. В этой ситуации указанные Боголюбовым -«аналитическая механика» и «прикладная механика», где деятельность, действительно, возглавил Остроградский, - суть лишь две из, как минимум, шести областей, в которых рассматриваемая Школа дала свои ветви. Напомним еще раз о других. Это начертательная геометрия, различные области строительной механики и строительного искусства, инженерные изыскания, методическая ветвь.
Заключение
Подведем итоги. Начало зарождения Инженерной механико-математической школы, о которой идет речь, положил переезд Бетанкура в Петербург и его активная организационно-инженерная и организационно-научная деятельность в России. Это произошло в самом конце 1800-х гг. Сама Школа Бетанкура—Берда—Базена возникла во второй половине 1810-х гг., уже после завершения войн и возвращения из Сибири Фабра, Базена, Потье и Дестрема. К концу 1820-х гг. она достигла своего расцвета.
Смена внешних условий вызвала достаточно сознательную замену лидера этого научного организма (что лишний раз говорит о его зрелости). Акция была проведена Базеном, находившимся тогда во главе Школы, чрезвычайно успешно, и кандидат — М.В.Остроградский — был выбран удачно. Он не только сумел возглавить и развить три из шести дочерних школ, на которые в 1830-е гг. начал разделяться некогда достаточно единый организм, — в областях аналитической механики, практической механики и методологии преподавания математики и механики в инженерных школах, но и оказал определенное влияние на четвертую — в области строительной механики. Еще к двум — в области начертательной геометрии и инженерных изысканий — как к научным школам, Остроградский отношения не имел, хотя лица, действовавшие в их рамках, получали у него, как у лектора, хорошую математическую подготовку.
108
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Сложность разделения дочерних школ в том, что они выросли из одного корня, долгое время развивались в тесном взаимодействии друг с другом и на базе одного учебного заведения, в связи с чем многие инженеры в эту эпоху принадлежали сразу к нескольким из них.
Что касается самого Остроградского, то, сделав очень много для развития и расширения Школы28, которую возглавлял и которая получила его имя, он, по сути, не имел никакого отношения ни к ее созданию, ни к ее функционированию в первые 15—20 лет ее становления и развития, ибо по своему -«научному возрасту» соотносился лишь с ее третьим поколением.
Приложение 1
Лица, которых причисляют к ученикам М.В.Остроградского
Попробуем свести вместе лиц, которые назывались в качестве его учеников исследователями, специально изучавшими это явление: А.Н.Боголюбовым, М.М.Ворониной, Б.В.Гнеденко, И.А.Мароном, И.Б.Погребысским, Л. В. Пугиной. Причем разобьем учеников на две группы, составив первую из тех, кто обучался и/или преподавал в Институте путей сообщения: М.С.Волков, В.С.Глухов, И.П.Глушин-ский, А.И.Дельвиг, А.Г.Добронравов, Л.А.Ераков, А.С.Ершов, Д.И.Журавский, Э.М.Зубов, С.В.Кербедз (авторы 1850-1860-х гг., не связанные с историей транспорта, его упорно и без каких-либо оснований именуют «Кербедзь»), Н.И.Липин, П.П.Мельников, Н.И.Миклуха, И.А.Панаев, В.А.Панаев, Ф.Ф.Перрот, В.В.Салов, Я.А.Севастьянов, П.И.Собко, Н.М.Соколов, О(И.).И.Сомов, Ф.И.Сулима, Ф.И.Энрольд, К.А.Яниш, И.С.Янушевский, Н.Ф.Ястржембский (26 чел.). Вторая группа (все остальные): В.И.Беренс, Н.Н.Божерянов, Н.С.Будаев, И.А.Вышнеградский, Д.М.Деларю (есть исследователи, которые возражают: он не ученик, а «научный внук» Остроградского — ученик его ученика, Е.И.Бейера), К.Краевич, Н.Ф.Кузьмин, Ц.А.Кюи, П.Л.Лавров, Н.В.Маиев-ский, Д.И.Менделеев, Н.П.Петров, Г.Е.Паукер, П.Е.Рощин, Е.Ф.Сабинин, Ф.И.Симашко, И.Д.Соколов, М.Спасский, А.Н.Тихо-мандрицкий, Н.Н.Фирсов, Ф.В.Чижов, В.Н.Шкляревич (23 чел.), а также: Д.К.Бобылев, Н.Д.Брашман, А.Ю.Давидов, И.П.Долбня, Н.Е.Жуковский, Л.В.Кирпичев, А.Н.Крылов, А.М.Ляпунов, И.В.Мещерский, Ф.Е.Орлов, И.И.Рахманинов, Ф.А.Слудский, В.А.Стеклов, Г.К.Суслов, Г.А.Тиме, А.Ходнев, С.А.Чаплыгин, П.Л.Чебышев (17 чел.) [3, с.7, 100; 71, с. 101, 109, 112, 262-264; 72, с.169, 171; 73, с.172; 80, с.271, 273, 289; 84, с.314-338; 88, с.444-454; 89; 90; 101, с.178; 103; 104, с.126-132; 105-107].
П.Ю-Гузевич, И.Д.Гузевич
109
Как видим, путейцы (как выпускники ИКИПС, так и преподаватели) составляют 39% общего списка (26 чел. из 66-ти) — и это не случайно — их больше, чем представителей любого другого инженерного и технического корпуса, а также больше суммарного числа не инженеров.
Некоторые исследователи настаивают на существовании двух ветвей Школы Остроградского: московской и петербургской [71, с.262; 73, с. 172; 88, с.454].
Еще двух любопытных персонажей никто из исследователей не решается включить в число учеников Остроградского исключительно по идеологическим мотивам, хотя их роль и в развитии математических познаний кораблестроителей и навигаторов и в математизации соответствующих инженерно-технических дисциплин чрезвычайно велика: генерал-лейтенант Корпуса корабельных инженеров Степан Анисимович Бурачек (Бурачок; 1800-1876) и адмирал, член-корреспондент Академии наук, Семен Ильич Зеленый (1810-1892). Последний, кстати, читал лекции и в Петербургском университете. Они не только слушали Остроградского в Морском кадетском корпусе, но в 1837 г. по своим запискам издали его лекции, читанные в 1836/1837 учебном году. Хотя они и читались в Морском кадетском корпусе, но носили открытый, публичный характер. Само же издание было не без греха по вине издателей (в первую очередь, из-за спешки), однако современниками эта публикация была оценена достаточно высоко: «...наиболее принесли услугу нашей литературе гг. Бурачек и Зеленый - изданием “Лекций алгебраического и трансцендентного анализа”, читанных в прошлом году академиком Остроградским» — писал в 1838 г. человек, которого причисляют к ученикам Остроградского, Сомов (цит. по [72, с.195; 84, с.238]). А в 1838 г. их труд был удостоен Демидовской премии.
Эти два имени не обходит ни одна сколько-нибудь подробная биография Остроградского [71, с.293-296; 72, с. 194-198; 80, с.271-272; 84, с.238-239]. Но... к ученикам не причисляют. И вот почему: «Бурачек... известен был также как реакционный критик и писатель, близкий к Булгарину29; в сороковых годах издавал обскурантистский журнал “Маяк”» [71, с.93; 72, с. 194; 84, с.238]. И далее иногда дополняется: «С.А.Бурачек и С.И.Зеленый были, по-видимо-му, авторами известного пасквиля на Лобачевского, помещенного в “Сыне Отечества”» ([84, с.238], см. также [72, с. 194]). Но если мы учтем, что именно Остроградский занимал враждебную и непримиримую позицию по отношению к Н.И.Лобачевскому, дважды — в 1832 и 1842 гг. давая резко отрицательные отзывы на его работы (причем «воображаемой геометрии», которую Остроградский так и не понял, из них касалась только первая, а вторая называлась «О сходимости бесконечных рядов»), то есть определенные основания считать, что
ПО МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
«пасквиль» написан лицами именно его круга (этической стороны проблемы мы не касаемся). Этот вопрос далеко выходит за границы настоящего исследования, но было бы любопытно сравнить текст приписываемый Бурачеку и Зеленому, с текстами отзывов Остроградского. В любом случае, даже перечисленные примеры дают больше оснований причислить этих двоих к «Школе Остроградского», чем многих из тех, кто присутствует в списках его учеников и последователей.
И еще одна загадка: после фраз об этих нелюбимых советской историографией учениках великого геометра обычно публикуются выдержки из восторженного письма неизвестного почитателя Остроградского, слушателя его лекций, написанного своему московскому другу, журналисту Е.Ф.Коршу30, и, судя по ссылкам, опубликованного в журнале «Сын отечества» за декабрь 1836 (№48) и затем в виде отдельного оттиска «Математические лекции г. Академика Остроградского» (СПб., 1837) [71, с.95-96; 72, с.196-198; 80, с.271-272; 84, с.239-240]. Некоторые выдержки: «Вот уже двенадцатый раз имели мы удовольствие слушать лекции Русского геометра... На лекцию собираются: инженеров Путей Сообщения 15, морских офицеров 22, корабельных офицеров 12, генерального штаба 1, полевых инженеров 3, разных гг. ученых 8, всего 61. Я вместе с Вами без ума от восторга: 53 слушателя, все в эполетах, 61 всех слушателей математики!.. Гениальный талант, признанный всеми, бесконечная начитанность, удивительная память...». Кто же автор этих строк? Обратим внимание на восторги перед числом эполет (они в письме продолжаются и далее) — очень похоже, что автор входит не в «число разных гг. ученых», среди которых он же называет академиков В.Я.Буняковского, Э.Х.Ленца и М.В.Тарханова, а в число офицеров, и сам с эполетами. Это был как раз тот самый курс публичных лекций, что читались в 1836/1837 учебном году и были изданы их слушателями Бурачеком и Зеленым ([71, с.94; 72, с.194; 84, с.240—241]). Вот подпись: «Письмо С... Б. к Е.Корш от 4.XII.1836 г.» ([84, с.240]; вариант — в [72, с. 196]; в [71, с.96] указано: «С.Б. от 4 января»). Так не реакционер ли Степан Бурачек, не чуждый литературы и журналистских контактов, активный пропагандист малороссийской культуры, слушавший эти лекции и проявивший такую энергию при их издании, писал сие письмо? Окончательно на этот вопрос можно будет ответить, если найти списки присутствовавших лиц и посмотреть, кто там был, помимо Бурачека, с инициалами С.Б.? Впрочем, стоит поискать и архив самого Бурачека (а также Зеленого), начав с РГА ВМФ: не найдутся ли там следы искомого письма, как и «пасквиля» на Лобачевского?31
ддО.Гузевич, И.Д.Гузевич
111
Приложение II
Определения Школы М.В.Остроградского
Вот лишь некоторые определения, встречаемые у исследователей (мы сознательно не фиксируем внимания на противоречиях логического и науковедческого характера в приводимых ниже пассажах: главное, понять, к какой области авторы относят данную Школу. Наши соображения по общей теории школ, как форм деятельности, и их систематизации см. в [108]).
Л.В.Кирпичев: «Наш знаменитый геометр образовал целую школу русских математиков» (цит. по [88, с.448]). А.Ю.Ишлинский: создатель «научной школы математики и прикладной механики» [109, с.92]. Н.Д.Моисеев: «Школа Остроградского была... Школой в области механики» [97, с.16]. И.А.Марон: «...Остроградский... являлся одним из создателей Петербургской математической школы» [84, с.338].
Б.В.Гнеденко и И.А.Марон: «...прогрессивную роль Остроградского в деле создания русской методической школы в области преподавания математики», на следующей странице: «...ядро его научно-технической Школы», через несколько страниц: «основатель русской школы механиков и обширной инженерной школы», и, наконец, удивительный гибрид: «знаменитые русские инженеры, вышедшие из математической Школы Остроградского» [88, с.443—444, 452, 454].
Б.В.Гнеденко и И.Б.Погребысский: основатель «научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики» [71, с.260]. А.Н.Боголюбов: «Создал русскую Школу прикладной механики» [73, с.6, 169; 103]. М.И.Воронин: «с именем М.В.Остроградского в Институт пришла знаменитая Петербургская математическая школа» и, ранее: «один из основоположников Петербургской математической школы» [100, с.19; 110].
А.Т.Григорьян: «Остроградский... явился основателем большой русской школы аналитико-механиков» [77, с.251].
М.М.Воронина в 1979: «Роль М.В.Остроградского в создании школы прикладной механики» [89]. Она же в 1980: «Остроградский... создал математическую школу анализа технических вопросов в области прикладной механики и строительного искусства»; «им и его учениками была создана русская школа механики, охватывающая и ее различные приложения»; «Анализ работ учеников Остроградского по технической школе в области аналитической механики...» [3, с.7, 64; 106, с. 18]. Она же с М.И.Ворониным в 1982: «Основоположник отечественной школы прикладной механики» [111]. В 1999 г. М.М.Воронина расширяет свою точку зрения и говорит о «всей созданной им [Остроградским] русской инженерной школе» и далее:
112
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
«от Остроградского ведут свое начало Школа аналитической механики в России, а также Школа прикладной механики» [102 с. 175-177].
Л.В.Пугина: «Остроградский воспитал большую группу петербургских математиков, хотя ее невозможно назвать научной школой. Ему принадлежит роль основателя первой русской Школы аналитической механики, поскольку и сам он и большинство его учеников, в основном, занимались проблемами аналитической и прикладной механики» [104, с. 126]. Б.Ф.Тарасов: «один из основоположников Петербургской математической школы» [98, с.51].
Так все-таки, какая это была школа? Математическая? Механическая? Инженерная? Научно-техническая? Техническая в области аналитической механики (кстати, как это?)? Если математическая, то какая? Методическая в области преподавания математики? В области прикладной математики? Математическая школа анализа технических вопросов в области строительного искусства? Если механическая, то в области какой механики? Аналитической? Прикладной? Строительной (если судить по деятельности его учеников — Кербед-за, Журавского, Собко и др.)?
Примечания
1	В сокращенной форме соображения, изложенные в настоящей статье, были нами опубликованы на испанском языке в работе, посвященной Бетанкуру [1].
2	Подробнее цифровой материал см. в статье одного из авторов настоящей работы [2].
3	М.М.Воронина утверждает, что в Институте инженеров путей сообщения [3, с.7, 64], и мы с ней в этом полностью согласны.
4	Излагая результаты почти 15-летних исследований, мы сознательно не приводим здесь полный список источников, насчитывающий более трехсот наименований, а упоминаем лишь те, которые используются в случаях прямого цитирования либо для указания референтных трудов и работ, в которых приведена большая библиография. Дополнительная библиография представлена во французском варианте статьи, которая должна быть опубликована в конце 2005 г., а также к соответствующей главе книги о Бетанкуре, которая в настоящее время готовится для одного из парижских издательств.
5	О жизни и трудах Бетанкура см. обширную библиографию в приложении к каталогу выставки [4, с.353-364]. На русском см. [5; 6].
6	Разбор этой ситуации с библиографией по вопросу представлен в нашей работе [9].
7	Сравнение их учебных программ см. в нашей работе [15].
8	Почему своим коштом - история особая, и подробно разобрана нами в [ 17]. Здесь лишь отметим, что отнюдь не по причине альтруизма, однако факт есть факт: испытания оплачивало не государство, а лично Берд.
9	Подробнее об этих спорах и конфликтах, движущей силой которых были амбиции Н.И.Богданова, а также об истории Шлиссельбургских шлюзов и о теории Базена с библиографией к этим вопросам см. [17].
10	Это отнюдь не единственная аналогия. В 1828 г. Базен побывал во Франции, где в Бресте наблюдал паровые машины инженера Фримо. Последний ознакомил своего старшего сотоварища по Политехнической школе со многими усовершенствованиями, которые он внес в свои машины, однако не стал раскрывать главного секрета — конструкции специального пароприемника, обеспечивавшего равномерность работы машины вне зависимости от изменения температуры в котле. А Базен тактично не стал настаивать, ибо Фримо действовал как частный предприниматель Однако никто не мешал Базену
д.Ю-Гузевич, И.Д.Гузевич	ИЗ
самому изобрести пароприемник с аналогичными свойствами (как в свое время Бетанкуру ~ свой вариант машины двойного действия), что он и сделал на бумаге и опубликовал в мемуаре, а также добился закупки машины Фримо для проведения испытаний в ИКИПС [17, с.77; 49, с.265]. Такие события, повторенные трижды в рамках трех поколений одной группы вряд ли являются случайными (к тому же учтем мировую значимость одного из них, межнациональную - другого). Перед нами явно наследуемое знание (подходы, воззрения, методология) и деятельность в рамках одной исследовательской программы, в какой бы терминологии она ни формулировалась. А, значит, эта группа, включавшая на конец 1820-х уже несколько поколений, функционировала как школа.
11	[50]. Экземпляр этого литографированного курса, некогда принадлежавшего В.П.Со-болевскому, сохранился в библиотеке Института путей сообщения (шифр - 9196), а его копия, которой мы пользовались, находится в библиотеке Центра Койре (EHESS, CRHST «Centre Коуте», biblioth6que) в Париже.
12	О роли, которую сыграл Клапейрон, и о его работе существует богатая литература. Большой список ее опубликовал R.Locqueneux; см. также сборник, посвященный Сади Карно, и ряд статей последнего десятилетия; на русском - работы Б.М.Бродянского, О.В.Дубровского, В.В.Кошманова [52-57].
13	Ламе как минимум дважды публиковал описания своих работ, в том числе и тех, которые они выполняли вместе с Клапейроном, а одно аналогичное издание известно у Клапейрона (они готовились учеными в связи с их выборами в Институт Франции) [58-60]. См. также [61-63].
14	Это был один из центров, в рамках которого как раз и происходило становление данных инженерных дисциплин. Подробнее см. в [64-65]. Там же имеется обширная библиография.
15	Помимо завода Берда это были также мастерские I (Петербургского) округа путей сообщения, в которых, в частности, А.Рокур де Шарлевиль, Г.Ф.Ламе и Э.К.Клапейрон в свое время производили испытания вяжущих.
16	Точнее, мы бы это поколение назвали «2,5», если Бетанкура с Бердом считать за первое, а Базена, Дестрема и Потье - за второе.
17	[71, с.159-160; 72, с.109; 73, с.164-167; 74-76; 77, с.251-252; 78-79; 80, с.265]. Укажем на одну прижизненную публикацию работы Остроградского в этой области, которая, насколько мы можем судить, прошла мимо внимания его биографов. Речь идет о французской версии (а, скорее всего, об оригинале) известной статьи «О равновесии веревочного многоугольника и гибкой нерастяжимой нити», опубликованной в «Журнале путей сообщения» в 1839 г. и в 1961 г. переизданной во втором томе «Полного собрания трудов» Остроградского [71, с.159; 72, с.296; ИЗ]. Это, как сказано в заголовке, «сочинение г. академика Остроградского, читанное в Императорской Академии наук 18 января 1839 г.», о котором мы еще будем говорить и в котором Остроградский напрямую дважды [ 113, с. 115, 129] ссылается на курс Дестрема, увязывая свою работу с учебником «знаменитого автора». «Журнал путей сообщения» до 1836 г. выходил в Двух почти идентичных версиях - русской и французской («Journal des voies de communication»), а в 1837-1842 гг. французская часть издания превратилась в ежегодник под названием «Annuaire des vois de communication». Последний состоял из наиболее интересных статей, опубликованных в журнале в течении года. Так вот, в третьем томе, вышедшем в 1842 г. и содержащем статьи журнала за 1839 г., была опубликована анонимная статья под названием «Sur 1’dquilibre du polygone funiculaire et du fil flexible» [114], которая представляет собой ни что иное, как французскую версию описанной выше работы Остроградского о веревочном многоугольнике. Исследователей, безусловно, сбивало с толку, что статья в «Annuaire» не была подписана, однако сам факт наличия подобного ежегодника в ведомстве путей сообщения должен был обратить внимание любого исследователя, которого интересовали авторы «Журнала путей сообщения». Насколько нелюбопытна иногда оказывается профессиональная среда, говорит тот факт, что автор этих строк в конце 1980-х годов в Публичной библиотеке в Ленинграде был вынужден разрезать листы всех номеров «Journal des voies de communication», ибо оказался их первым читателем.
114 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
18	[3, с-41-42]. Вообще, до своего отъезда из Петербурга, Ламе с Остроградским общались достаточно часто (Ламе навещал его «по пятницам»; Остроградский участвовал в избрании Ламе членом-корреспондентом Петербургской академии наук в декабре 1829 г.) [81-83; 84, с.244-245]. Впрочем, они могли встречаться и в Париже в 1830 г., где оба оказались одновременно. А.П.Юшкевич пришел к выводу, что ряд их работ этого периода (о распространении тепла и о методе разделения переменных) имеет довольно тесные связи, причем инициирующая роль принадлежит в этой ситуации скорее Остроградскому (см. об этом [81-83], а также [80, с.263-264]). Однако, как подметили Ю.М.Гайдук и И.А.Наумов, опираясь на замечание самого Ламе [60, с. 12], хотя Остроградский и ознакомил его со своими результатами в области аналитической теории теплоты. Ламе, поглощенный разработкой проблем теории упругости, «свои математические исследования по теплопроводности ... рассматривал лишь как предварительную ступеньку к решению более сложных проблем этой теории» ([85, с.87]; см. также [60, с.354-356]). Т.е. то, что для Остроградского являлось целью, для Ламе играло служебную роль и стало лишь этапом при решении других проблем. Это разграничение достаточно важно, ибо, с одной стороны, уберегает от соблазна сделать Остроградского еще и учителем Ламе, а с другой, подтверждает наши мысли об органичности его имплантации на место главы Школы, одним из наиболее ярких представителей которой как раз и являлся Ламе (см. ниже). С другой стороны, рекомендация последнего могла сыграть свою роль при приглашении Остроградского в ИКИПС, хотя они с Базеном, директором ИКИПС, должны были хорошо знать друг друга лично по Академии наук.
19	Благодаря его работе «О началах равновесия и движения» (1838); см. [73, с. 182—183; 84, с.323-324; 88, с.448; 89-91]. Позднее в этой области Остроградскому будет наследовать другой его ученик, военный инженер Г.Е.Паукер, автор сочинения «Начала возможных перемещений», в будущем министр путей сообщения [80, с.265; 88. с.448].
20	Речь идет об учебнике Дестрема [92]. Известно, что материал для учебника готовил также и Базен, который свои тексты просто подарил Дестрему [17, с.31-32].
21	[3, с.30-31, 37-40; 18; 73, с.7, 23; 84, с.247-248; 93, с.38-41; 94, с.341, 346-347].
22	М.М.Воронина [3, с.100]. Близкая формулировка у А.Н.Боголюбова [73, с.170-171]. Значительно эмоциональнее формулировки Н.Д.Моисеева: «Школа Остроградского была единственной в мировой науке научной школой в области механики, которая, продолжая свою деятельность более столетия, нашла единственный методологически здоровый путь между Сциллой “чистой теории”, оторванной от практики, и Харибдой “прикладной механики”, оторванной от строгой теории. В этом заключается великая историческая роль Школы Остроградского». И сноска: «Из зарубежных научных школ по эффективности работы со Школой Остроградского могла быть сопоставлена лишь деятельность Парижской Политехнической школы» [97, с. 16]. Не можем не заметить, что все первое и часть второго поколений учеников той школы, которую ныне именуют Школой Остроградского, состояло из парижских политехников: П.П.Базен, М.Г.Дестрем, К.И.Потье, А.Я.Фабр, Г.Ф.Ламе, Э. К. Клапейрон, А.Рокур де Шарле-виль, А.В.Ганри, не считая связей с Политехнической школой самого Бетанкура.
23	К описанию его познаний в технических науках надо относиться с определенной долей осторожности, что доказывает провал курса баллистики, который Остроградский читал в 1856-1858 гг. в Михайловской артиллерийской академии, причем не только с практической, но и с теоретической точки зрения [71, с.108, 112; 72, с.217-218; 80, с.276].
24	Остроградский, как известно, трудов по начертательной геометрии не оставил. Как писали его биографы, рассказывая о знаменитом конфузе с оценкой работы Лобачевского: «Остроградский в своих научных интересах стоял далеко от геометрии» (впрочем, далее они сами указывают на дошедшую до нас небольшую статью Остроградского по дифференциальной геометрии, а также на некоторые второстепенные иесохранившие-ся работы и школьные курсы) [71, с.106, 215-216, 232]. И вдругу Б.В.Гнеденко встречаем: «Педагогическая его деятельность началась 1 октября 1828 г. в офицерских классах Морского кадетского корпуса, в которых он преподавал курс математики и, долгое время, начертательную геометрию» [72, с.68]. Если это не артефакт, то чрезвычайно интересная информация. Когда он начал преподавать курс начертательной геометрии? Где получил знания об этом предмете? Мог, конечно, во Франции в первую
Д.Ю-Гузевич, И.Д.Гузевич	115
(1822-1828) или вторую (середина 1830 - май 1831 гг.) поездки. Судя по контексту, читал он этот курс много лет и, скорее всего, начал уже после второго путешествия (в 1830/1831 учебном году он нигде не преподавал, а в целом в Морском кадетском корпусе заведывал кафедрой математики с 1828 по 1861 гг.). Если же это произошло в середине 1830-х гг. или позже, т.е. тогда, когда он уже много лет проработал в ИКИПС, где «начерталка» являлась одним из основных предметов, то возникает резонный вопрос: кто в паре Остроградский-Севастьянов был учителем, а кто учеником? Заметим, что Севастьянова с достаточным основанием рассматривают как создателя первой отечественной Школы по начертательной геометрии. Его биограф так и пишет, хотя обтекаемо, не решаясь, видимо, напрямую указать, что это Остроградский принадлежал к Школе Севастьянова, а не наоборот: «Объединив вокруг себя многих выдающихся ученых, среди которых были академики М.В.Остроградский, В.Я.Буняковский, Д.С.Чижов, А.Я.Купфер, Г.И.Гесс и другие, Севастьянов сумел создать в путейском институте... такую систему образования, которая была принята за образец многими высшими учебными заведениями Петербурга» [98, с.8].
25	Впрочем, бывало и наоборот: выполнив по прямому указанию Николая 1(1839) ряд исследований по внешней баллистике (а, позднее, и по внутренней), Остроградский с августа 1841 г. оказался в числе преподавателей Артиллерийского училища [71, с.106-108, 175-182; 72, с.115-119, 212-218; 73, с.167-168, 171; 80, с.268-270; 84, с.327-330].
26	Библиографию по данному вопросу и схемы связей между учебными заведениями см. в нашей работе [101].
27	Так, П.П.Мельников читал курс прикладной механики в Институте корпуса горных инженеров (ИКГИ) с 1834 г. и в Артиллерийском училище - в 1833-1839 гг.; Н.Ф.Ястр-жембский, помимо того, что в 1837 г. был приглашен в Московский университет, читал курс в том же ИКГИ и в Технологическом институте (с 1834); в последнем вели также занятия Ф.И.Сулима, П.И.Собко, Ф.И.Энрольд; С.В.Кербедз читал прикладную механику в ИКГИ, в Главном инженерном училище, а также в 1839 г. в Петербургском университете; А. Г.Добронравов преподавал прикладную механику в Училище гражданских инженеров, и т.п. [3, с.103, 132, 137; 99; 102, с.178].
28	Пользуемся им как интегральным понятием, исключительно для удобства. В действительности, как мы видели, речь идет о нескольких родственных школах.
29	Добавим, что Бурачек был также еще и другом Т. Г. Шевченко.
30	У И.А.Марона [84, с.239] инициалы Е.Ф.Корша ошибочно указаны как «Е.Н.».
31	Когда статья уже была полностью завершена и готова к отправке в редакцию, мы обнаружили книгу [112]. Один из очерков посвящен Бурачеку (с.5-40). Он описан как «представитель передовой школы отечественных кораблестроителей», который «понимал, что настоящий инженер должен быть прежде всего математиком», а потому слушал курс Остроградского. О записках курса: «Этот математический труд сразу же привлек внимание ученых всего мира» (с. 18). О письме Коршу, как и о литературной деятельности героя или о «пасквиле» на Лобачевского в очерке — ни слова. Но вот на с.208 в списке трудов и статей С.Бурачека читаем: «Математические лекции академика Остроградского, письмо к Коршу Е.Ф., СПб., 1836». Т.е. у биографа Бурачека нет сомнений в том, кто писал это письмо, а биографы Остроградского сей вопрос обходят стыдливым молчанием.
Список литературы
1.	Gouzevitch I., Gouzevitch D. Augustin de Betancourt: el modelo de la comunicacion profesional de los ingenieros a finales del siglo XVIII у principios del XIX / Trad, del ingles рог C.M.Collantes // Ciencia у romanticismo: 2002: [Symposium, 12; 13 у 14 Septiembe 2002, Maspalomas, Gran Canaria]. La Orotava: Fundacion Canaria Orotava de Historia de la Ciencia, 2003. P.303-327.
2.	Gouzevitch I. La commemoration scientifique dans un dtat totalitaire ou «la Russie est la patrie des elephants» // La mise en memoire de la science: Pour une ethnographic historique des comm6moratifs / Resp. scient. P.G.Abir-Am. Amsterdam: Ed. des archives comtemporaines, 1998. P.143-158.
116 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
3.	Воронина М.М. Становление прикладной механики в России: первая половина XIX в.: Дисс... канд. физ.-мат. наук / Науч. рук. А.Н.Боголюбов. М., 1980.
4.	Betancourt A. Los inicios de la ingenieria modema en Europa / CEHOPU. Madrid: Ministerio de Obras Publicas, Transportes у Medio Ambiente, 1996.
5.	Боголюбов A.H. Августин Августинович Бетанкур: 1758-1824. M., 1969.
6.	Боголюбов А.Н., Павлов В.Е., Филатов Н.Ф. Августин Бетанкур: 1758-1824: Ученый, инженер, архитектор, градостроитель. Нижний Новгород, 2002.
7.	Armas R. de. Ciencia у technologia en la Espana ilustrada: La Escuela de caminos у canales. Madrid: Ed. Turner, 1980.
8.	Armas R. de. El real gabinete de miquinas del buen retiro: Origen, fundacion у vicisitudes una empersa t£cnica de Agustin de Betancourt. Madrid: Castalia, 1990.
9.	Gouzevitch I., Gouzevitch D. Le «grand tour» des ingdnieurs et 1'aventure internationale de la machine & vapeur de Watt: un essai de comparaison hispano-russe // Maquinismo ibdrico. Madrid, 2003.
10.	Lanz J.M.. Betancourt A. Essai sur la composition des machines. Paris, 1808.
11.	LanzJ.M., Betancourt A. Essai sur la composition des machines. 2e dd. Paris: Bachelier, 1819.
12.	Lanz J.M.. Betancourt A. Analitical essay on the Construction Machines. London: R.Ackermann, [18172].
13.	Lanz J.M., Betancourt A. Versuch Ober die Zusammensetzung der Maschinen. Berlin: Rocker, 1829.
14.	LanzJ.M.. Betancourt A. Ensayo sobre la composicidn de las miquinas. Madrid: Castalia, 1990.
15.	Gouzevitch I. La circulation des modules d’enseignemen : de Escuela de caminos у canales de Madrid A 1'Institut du Corps des ingdnieurs des voies de communication de Saint-Pdtersbourg au debut du XIXе sidcle //La Formation des ingdnieurs en perspective: Transfert institutionnel des modules et rdseaux de mediation: 19е et 20е siAcles / Ed. avec A.Grelonet A.Karvar. Rennes: Presses universitaires de Rennes, 2003.
16.	Bazaine P.D. Memoire sur la thtorie du mouvement des barques A vapeur et sur leur application A la navigation des canaux, des fleuves et des rividres. SPb., 1817.
17.	Гузевич Д.Ю., Гузевич И.Д. Петр Петрович Базен: 1786—1838. СПб., 1995.
18.	Lame G. M6moire sur les ponts suspendus // Journal du GAnie civil, des sciences et des arts. Paris, 1828. T.l. P.245-260.
19.	Lame G. M6moire sur les ponts suspendus // Journal des voies de communication. SPb., 1826. №3. P.49-71.
20.	Lame G., Clapeyron E. Mdmoire sur la construction des polygones funiculaires // Journal des voies de communication. SPb., 1826. №3. P.496-504.
21.	Lame G., Clapeyron E. Mdmoire sur la construction des polygones funiculaires // Journal des voies de communication. SPb., 1826. №6. P.35-47; 1827. №1(7). P.43—55.
22.	Ламе Г. О висячих мостах // Журнал путей сообщения. 1826. Кн.З. С.55-81.
23.	Traitteur G. Plans, profils, vues perspectives et details des ponts en chaines ExAcutAs A Saint-PAtersbourg, sous la direction de Son Altesse Royale le Due Alexandre de Wurtemberg, en 1824. SPb., 1825.
24.	ГанриА.В. Об употреблении железа при сооружении висячих мостов // Журнал путей сообщения. 1826. Кн.5. С.22-45; Кн.9. С.33—64.
25.	Henry A. G. MAmoire sur I'emploi du fer dans les ponts suspendus // Journal des voies de communication. SPb., 1826. №5. P.19-43; 1827. №9. P.29-55.
26.	Henry A.G. MAmoire sur I'emploi du fer dans les ponts suspendus // Journal du G^nie civil, des sciences et des arts. Paris, 1828. T.l. P.219-236.
27.	РГИА. Ф.208. Оп.1. Д.138: Журнал Комиссии проектов и смет, 1839. Л.373.
28.	Николаи Л. Краткие исторические данные о развитии мостового дела в России. СПб., 1898. С.51-52.
29.	Ракчеев Е.Н. Дмитрий Иванович Журавский: 1821-1891. М., 1984.
д Ю-Гузевич, И.Д-Гузевич 117
30	Fedorov S. Der Badische Ingenieur Willhelm von Traitteur als Architekt russischer Eisenkonstruktionen. Karlsruhe: Inst, fiir Baugeschichte, 1992. S.34-43,
31.	Fedorov S. Wilhelm von Traitteur: Ein badischer Baumeister als Neuerer in der russischen Architektur 1814-1832. Berlin, 2000. S.132-133.
32.	Bazaine P.D. Mdmoire sur I’dtablissement des bassins d’dpargne dans les canaux de navigation, et sur les moyens d’Aconomiser une grande partie de 1'eau qui se depense annuellement au canal de Ladoga // Mdmoires de 1'Acad... de science de SPb., 1824. T.9. P.222-262.
33.	Bazaine P.D. Mdmoire sur I'dtablissement des bassins d'dpargne dans les canaux de navigation, et sur les moyens d'Aconomiser une grande partie de 1'eau qui se ddpcnse annuellement au canal de Ladoga // Journal des voies de communication. SPb., 1826. T.l. P.8-28; T.4. P.1-36.
34.	Bazaine P.D. Mdmoire sur 1'etablissement des bassins d'dpargne dans les canaux de navigation, et sur les moyens d’economiser une grande partie de 1'eau qui se ddpense annuellement au canal de Ladoga // Journal du Genie civil, des sciences et des arts. Paris, 1828. T.l. P.371-408.
35.	Базен П.Д. О построении водохранилищ для судоходных каналов и о способе сберегать воду, ежегодно издерживаемую в Ладожском канале // Журнал путей сообщения. 1826. Кн.1. С.9-30; Кн.4. С.1-38.
36.	Базен П.Д. О новом искусственном способе уменьшать расход воды в каналах и о новой системе малого судоходства // Журнал путей сообщения. 1826. Кн.6. С. 16-37.
37.	Bazaine P.D. Sur les canaux de petite navigation // Journal des voies de communication. SPb., 1826. №6. P.15-34.
38.	BazaineP.D. Noticesur un nouvel artificepropre A diminuer la ddpense d'eau des canaux en general, et sur un nouveau systdme de petit navigation // Journal du Genie civil, des sciences et des arts. Paris, 1828. T.l. P.479-492.
39.	Гузевич Д.Ю. Гранитные шлюзы Шлиссельбурга // Памятники науки и техники: 1989. М„ 1990. С.71-82.
40.	Гузевич Д.Ю., ГузевичИ.Д. Материалы к исторической справке: «Гидротехнический комплекс Шлиссельбургских шлюзов». Л., 1988.
41.	Betancourt Л. Memoire sur un nouveau systdme de navigation interieure, presente A [’Institute Nationale de France. Paris, 1807.
42.	Monge G., Bossut Ch., Prony G. Rapport fait A la premiere classe de 1'Institut... sur un projet d’Acluse A flotteur, presente par M. de Betancourt // Le Moniteur universel. 1807, 9.10. №282. P.1090-1092.
43.	Betancourt A. Memoire sur un nouveau systdme de navigation interieure / / Deuxieme recueil de divers memoires: Extraits de la BibliothAque imperiale des ponts et chauss£es A 1'usage de mm: les ingdnieurs / PubL par P.C.Lesage. Paris: L'lmpr. d'Hacquart, 1808. P.107-138.
44.	Bossut Ch., Monge G., Prony G.. [Rapport, 14.9.1807] // Deuxieme recueil de divers m£moires: Extraits de la Bibliothdque imperiale des ponts et chaussees A 1’usage de mm: les ingenieurs / PubL par P. C. Lesage. Paris: L’lmpr. d’Hacquart, 1808. P.139-150.
45.	Prony G. Sur une nouvel le Ecluse, inventee par M. de Betancourt // Noveau bulletin des sciences, par la S-u philomatique de Paris. 1807. T.l. P.38-43.
46.	Prony G. Sur une nouvelle Ecluse, inventee par M. de Betancourt // Bulletin de la S-u d'encouragement pour 1’industrie nat. An 7. №43. P.6-12.
47.	Prony G. Notice sur la nouvelle Ecluse de M. de Betancourt // Journal de 1'Ecole Polytechnique. 1809. T.8. P.146-161.
48.	Carnot S. Reflexions sur la puissance motrice du feu / Ed. critique avec introd, et comment, par R.Fox. Paris: Librarie philosoph. J. Vrin, 1978.
49.	Bazaine P.D. Memoire sur les machines A vapeur // Memoires presentes A 1'Acad. Imp. des sc. de SPb. par divers savans et lus dans ses Assemblees. 1835. T.2. P.213-268. (Ecrit en mars 1829).
50.	Clapeyron B. [Cours de m6canique appliquAe]. SPb., 1828. (Литографические издание.)
118_________________________________________МАТЕМАТИКА В РОССИИ И ССср
51.	Clapeyron Е. Mdmoire sur la puissance motrice de la chaleur // Journal de 1'Ecol royale polytechnique (Paris). 1834. T.XIV. P.153-190.
52.	Locqueneux R. Prehistoire et histoire de la thermodynamique classique: Une histoire rf. la chaleur. Paris: SFHST, 1996.
53.	Locqueneux R. Sadi Carnot et I'essor de la thermodynamique: Actes de la table ronde du SNRS: Ecole Polytechnique, 11-13 juin 1974. Paris: Ed. CNRS, 1976.
54.	Dayantis J. Carnot, Clapeyron, et la thdorie du calorique au dix-neuvidme sidcle // Revue des questions scientifiques. 1993- T.164. №2. P.105-130.
55.	Бродянский Б.М. Сади Карно: 1796-1832. M., 1993.
56.	Дубровский О.В. Клапейрон и его работа «О движущей силе теплоты» // Труды Ленинградского кораблестроительного института. 1953. Вып. И. С.121-131.
57.	Кошманов В.В. Карно, Клапейрон, Клаузиус. М., 1985.
58.	Lame G. Notice autobiographique. [Paris, ca. 1839-1840].
59.	Clapeyron E. Notice sur les travaux. Paris: Impr. de Mallet-Bachelier, 1858.
60.	Lame G. Analyse des travaux. [Paris: Impr. de Bachelier, ca. 1840-1841].
61.	Bradley M. Franco-Russian engineering links: The careers of Lamd and Clapeyron 1820-1830 // Annals of Science. 1981. VoL38. P.291-312.
62.	Bertrand J. Eloge de Gabriel Lamd. Paris: Firmin-Didot, 1878.
63.	Френк А.М. О деятельности Клапейрона в России // Ученые записки Тираспольского государственного педагогического института. 1958. Вып.8. С.125-145.
64.	Гузевич Д.Ю. Формирование и развитие технических наук в 20-е - 70-е годы XIX века // Очерки истории технических наук. СПб., 2000. 4.4.
65.	Gouzevitch D. Mise en place et developpement des sciences techniques dans les anndes 1820-1870. Paris, 2001.
66.	Bazaine P.D. Traitd dldmentaire de calcul diffdrentiel i 1'usage desdldves de 1’Institut des voies de communication. SPb., 1817.
67.	Базен П.Д. Начальные основания дифференциального исчисления / Пер. кап. [В.}Галямина. СПб., 1819.
68.	Bazaine P.D., Lame G. Traitd dldmentaire de calcul intdgral 4 I'usage des dldves de I'lnstitut des voies de communication. SPb., 1825.
69.	Базен П.Д. Начальные основания интегрального исчисления / Пер. В.Галямина. СПб., 1827.
70.	ЦГИА СПб. Ф.381. On.13. Д.388: Об определении в ИКИПС профессорами адъюнктов Имп. АН Остроградского и Буняковского. 1830-1833.
71.	Гнеденко Б.В., Погребысский И.Б. Михаил Васильевич Остроградский. 1801-1862. Жизнь и работа. Научное и педагогическое наследие. М., 1963.
72.	Гнеденко Б.В. Михаил Васильевич Остроградский: Очерки жизни, научного творчества и педагогической деятельности. М., 1952.
73.	История механики в России / Ред. А.Н.Боголюбов, И.А.Тюлина, М.М.Воронина и др. Киев, 1987.
74.	История механики с конца XVIII века до середины XX века / Под общ. ред. А. Т.Григорьяна, И.Б.Погребысского. М., 1972.
75.	ОстроградскийМ.В. Общие соображения относительно моментов сил // М.В.Остп-роградский. Полное собрание трудов. Киев, 1961. Т.П.
76.	Остроградский М.В. О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции // М.В. Остроградский. Полное собрание трудов. Киев, 1961. Т.Х.
77.	Григорьян А.Т. Роль М.В.Остроградского в развитии механики в России // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1959. Т.28. С.250-258.
78.	Григорьян А.Т. Эволюция механики в России. М., 1967. С.46-47.
79.	Погребысский И. Б. О механике систем с идеальными неудерживающими связями / / Труды Института истории естествознания и техники. М., 1960. Т.34. С.226-240.
80.	Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. М., 1956.
д ^Гузевич, И.Д.Гузевич
119
Юшкевич А.П. О неопубликованных ранних работах М.В.Остроградского // Исто-рИКО-математические исследования. М., 1965. Вып.16. С.43-47.
Ппидников В.Е. Четыре письма к М.В.Остроградскому // Историко-математичес-° кие исследования. М., 1954. Вып.7. С.716-719.
83 Воронина М.М. Габриэль Ламе: 1795-1870. Л., 1987.
84 Марон И.А. Академик М.В.Остроградский как организатор преподавания математи-ческих наук в военно-учебных заведениях России // Историко-математические исследования. М„ 1950. Вып.З. С.197-340.
85 Гайдук Ю.М., Наумов И.А. Габриэль Ламе в России // Природа. 1970. №8. ' С.85-87.
86 Bazaine P.D. D6monstration du principe des vitesses virtuelies. 1831, 27.04 (СПФ AAH. Ф-1- On.2. 1831. §208).
87.	Bazaine P.D. Consider^ comme base fondamentale de la mecanique. SPb., 1832.
88.	Гнеденко Б.В., Марон И.А. Очерк жизни, научного творчества и педагогической деятельности М.В.Остроградского // М.В.Остроградский. Избранные труды / Ред. В.И.Смирнов. М., 1958. С.380-457.
89.	Воронина М.М. Роль М.В.Остроградского в создании школы прикладной механики // Наука и техника: Вопросы истории и теории. 1979. Вып.10. С.60-62.
90.	Манида (Воронина)М.М. Прикладная механика в трудах учеников М.В.Остроградского // Вопросы истории естествознания и техники. 1976. Вып.3-4 (56-57). С.35-37.
91.	Космодемьянский А.А. Очерки по истории механики. М., 1982. С.65-66.
92.	Destrem М. Traitd de mecanique a 1’usage des eldves de 1'Institut des ingenieurs des voies de communication. SPb., 1820.
93.	Лишевский В.П. Андрей Петрович Минаков: 1893-1954. М., 1983.
94.	Гайдук Ю.М., Наумов И.А. Русские страницы биографии Г.Ламе // Историко-математические исследования. М., 1965. Вып.16. С.337-372.
95.	Мельников П.П. Записки практической механики. [СПб., 1838]. Л.96-101, 108-110, 152-155. (Литографическое издание).
96.	Артоболевский И.И. Механизмы современной техники. М., 1970-1976. Т.1-5.
97.	Моисеев Н.Д. Общий очерк развития механики в России и в СССР // Механика в СССР за тридцать лет: 1917—1947: Сб. статей. М.-Л., 1950. С.11-57.
98.	Тарасов Б.Ф. Яков Александрович Севастьянов: 1796-1849. М., 1995.
99.	Воронина М.М. Становление курса прикладной механики в высших технических учебных заведениях Петербурга // Вопросы истории естествознания и техники. 1976. Вып.3(52). С.63-65.
100.	Ленинградский ордена Ленина Институт инженеров железнодорожного транспорта имени академика В.Н.Образцова: 1809-1959 / Отв. ред. М.И.Воронин и др. М., 1960.
101.	Gouzevitch D., Gouzevitch I. Les contacts franco-russes dans le monde de 1'enseignement supirieur technique et de 1’art de I'ingenieur // Cahiers du Monde russe et sovietique. 1993. Vol.34. №3. P.345-368.
102.	Воронина М.М. История развития прикладной механики в России в XIX столетии: Применительно к проблемам транспорта: Дисс... докт. тех. наук. СПб., 1999.
ЮЗ. Боголюбов А.Н. Математики, механики: Биографический справочник. Киев, 1983. С.360-361.
104.	Пугина Л.В. Становление Петербургской математической школы: Дисс... канд. физ.-мат. наук / Науч. рук. А.Н.Боголюбов. М., 1992.
105.	Гайдук Ю.М., Наумов И.А. К научной биографии М.В.Остроградского: Некоторые коррективы и дополнения // Наука и техника: Вопросы истории и теории. 1979. Вып.10. С.62-64.
106.	Воронина М.М. Становление прикладной механики в России: первая половина XIX века: Автореф. дисс... канд. физ.-мат. наук. М., 1980.
107.	Цыганова Н.Я. О работах профессора И.Д.Соколова по аналитической механике // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1959. Т.22. С.202-213.
120_________________________________МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
108.	Гузевич Д.Ю. Научная школа как форма деятельности // Вопросы истории естествознания и техники. 2003. №1. С.64-93.
109.	150 лет со дня рождения М.В.Остроградского: Юбилейные сессии и заседания в Москве и на Украине // Вестник АН СССР. 1951. №12. С.88-92.
110.	Воронин М.И. Исследование становления и развития транспортной науки и техники в области изысканий и проектирования железных дорог от их возникновения до начала социалистической индустриализации в СССР: Дисс... докт. тех. наук. Л., 1973.
111.	Воронин М.И., Воронина М.М. Станислав Валерианович Кербедз: 1810-1899 Л 1982.
112.	Быховский И.А. Корабельных дел мастера. Л., 1961.
ИЗ. Остроградский М.В. О равновесии веревочного многоугольника и гибкой нерастяжимой иити // Журнал путей сообщения. 1839. Т.2. Кн.2. С.105-129.
114.	[Остроградский М.В.]. Sur 1'equilibre du polygone funiculaire et du fil flexible // Annuaire des vois de communication. SPb., 1842. T.3. P.89-103.
СТАНОВЛЕНИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В НАЧАЛЕ XIX ВЕКА
Р.З.Гушель
Отечественная система образования, в том числе и математического, начала выстраиваться 200 лет назад, в начале XIX в. В 1802 г. Александр I подписал Манифест об учреждении министерств. Среди первых восьми министерств было и Министерство народного просвещения. Его возглавил Петр Васильевич Завадовский (1739—1812), бывший еще при Екатерине II председателем созданной ею Комиссии об учреждении училищ [1; 2].
24 января 1803 г. были утверждены «Предварительные правила народного просвещения», на основании которых руководство создаваемой системы учебных заведений возлагалось на министра и Главное правление училищ при нем. Вся Империя была разделена на шесть учебных округов, каждый из которых предполагал наличие университета. В каждом 1убернском городе предполагалось открыть, по крайней мере, одну гимназию; в каждом уездном — уездное училище; а при каждом приходе — приходское училище. При этом гимназии подчинялись университету, уездные училища — гимназиям, приходские училища - уездным.
Среди членов Главного правления училищ, сформированного в 1803 г., были товарищ министра народного просвещения, попечитель Московского учебного округа Михаил Никитич Муравьев (1757-1807) и академики-математики Степан Яковлевич Румовский (1734—1812) и Николай Иванович Фусс (1755-1826). Именно Н.И.Фусс предложил такой перечень университетских городов и такую структуру системы учебных заведений в России, которые были реализованы на практике [3, с.58—59].
К началу 1804 г. в Империи существовало три университета: Московский, Дерптский и Виленский (закрыт в 1832 г.). 5(17)
Р.З.Гушель
121
ноября 1804 г. были утверждены уставы Харьковского и Казанского университетов, а также новый устав Московского университета. Шестым должен был стать университет в Санкт-Петербурге, но там, в 1804 г. был создан Педагогический институт, возглавивший систему учебных заведений округа. Университет же на базе этого Института был открыт спустя 15 лет - в 1819 г.
В том же 1804 г. был принят «Устав учебных заведений, подведомых университетам». С 1805 г. и в столицах, и в губернских городах начали открываться гимназии. Именно с этого времени в России начала выстраиваться система школьного образования — от начального до высшего [4].
Университеты, на основании устава, открывались в составе четырех отделений или факультетов: отделения нравственных и политических наук, отделения физических и математических наук, отделения врачебных или медицинских наук и отделения словесных наук [3, с.61].
«Права университета заключались в признании его высшей инстанцией по делам учебным и судебным, в дозволении иметь собственную цензуру, в неограниченном праве профессоров пользоваться
всеми рукописями и печатными книгами, не стесняясь цензурными запрещениями, и в свободе преподавания» [3, с. 62].
Совет университета был его высшей инстанцией. Он избирал профессоров и адъюнктов университета, а также определял учителей гимназий и уездных училищ.
Срок обучения в университете был трехлетним. По окончании курса студенты, желавшие продолжить занятия наукой, оставлялись при факультете для работы под руководством профессоров. О деятельности последних в университетском уставе 1804 г. сказано следующее:
«...§28. Главная должность профессоров состоит в том, чтоб:
1)	. Преподавать курсы лучшим и понятнейшим образом и соединять теорию с практикою во всех науках, в которых сие нужно;
2)	. Преподавая наставления, пополнять курсы новыми открытиями, учиненными в других странах;
3)	. Присутствовать в заседаниях и при испытаниях;
4)	. Руководствуя адъюнктов, подавать им способ достигать высшей степени совершенства.
29. Каждый профессор для чтения лекций избирает книгу своего сочинения или другого известного ученого мужа; и в том, и в другом случае избранное сочинение должно быть представлено на рассмотрение Совета...» [2, с.316].
Как же обстояло дело на практике?
122
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Московский университет ко времени появления нового устава имел уже полувековую историю. Но в XVIII в. здесь преподавалась только элементарная математика. Кафедры чистой математики поначалу не было вовсе. В 1758 г. появилась кафедра прикладной математики. В 1804 г., одновременно с созданием физико-математического факультета, была открыта и кафедра чистой математики. Ее первым профессором стал Василий Кондратьевич Аршеневский (1758—1807). Еще в 1800 г. он включил в свой курс раздел «О свойствах кривых линий, в особенности конических». С 1804 г. он уже читал дифференциальное и интегральное исчисление и высшую геометрию. Ближайшими помощниками Аршеневского были И.Иде (1775—1806) и В.А.Загорский (1770—1840), читавший лекции по руководствам С.Лакруа и Э.Безу и выполнивший хороший перевод «Курса математики» Безу (1798-1803) [5, с. 141-158].
В 1810 г. при Московском университете возникло Общество математиков. Инициатором его создания был студент Михаил Муравьев (1796—1866), впоследствии — министр государственных имуществ, генерал-губернатор Северо-Западного края. Возглавил Общество его отец, Николай Николаевич Муравьев (1768-1840), подполковник в отставке, получивший математическое образование в Страсбургском университете. Общество математиков, как записано в его уставе, утвержденном в 1811 г. министром народного просвещения, ставило своей целью «всемерно стараться о распространении познания математических наук между своими соотечественниками...» [6, с.619]. В феврале 1815 г. на базе Общества математиков возникло Московское учебное заведение для колонновожатых [7; 8].
Ведущим преподавателем математики в Харьковском университете в начале XIX в. был замечательный математик и педагог Тимофей Федорович Осиповский (1765-1832). Один из инициаторов открытия университета в Харькове В.Н.Каразин (1773—1842) в конце 1802 г. предложил от имени попечителя округа занять кафедру математики в университете Т.Ф.Осиповскому [9]. В 1803 г. Осиповский приехал в Харьков и начал работать в университете с первых дней его существования, став в 1813—1820 гг. его ректором.
Перу Т.Ф.Осиповского принадлежит трехтомный «Курс математики» [10] (в 1801 г. Комиссией об учреждении училищ был опубликован второй том «Курса», в 1802 г. — первый, третий - появился в 1820 г.), содержащий элементарную математику и разделы, посвященные математическому анализу, включая дифференциальные уравнения. Эта книга на многие годы стала главным руководством по математике в Харьковском университете. Активно использовали учебник Осиповского и в гимназиях. Выдающийся отечественный математик, академик М.В.Остроградский (1801-1862) был учеником Т.Ф.Осиповского [И].
I
123
рЗ.Гушель
Первым преподавателем математики в Казанском университете был выпускник Московского университета Григорий Иванович Кар-ташевский (1779-1840). В 1808 г. в Казань приехал Мартин Федорович Бартельс (1769-1836) - выпускник Геттингенского университета, друг К. Гаусса. Одновременно с ним начали работать в Казанском университете астроном И.А.Литтров и физик К.Ф.Броннер. Именно эти три профессора подняли на высокий уровень преподавание физико-математических наук. У них учился замечательный отечественный математик, будущий ректор Казанского университета, Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) [12].
В гимназиях по уставу 1804 г. курс обучения был четырехлетним. Сюда после открытых испытаний принимали мальчиков всех сословий кроме крепостных, окончивших уездное училище (или сдавших экзамен за его курс). Срок обучения в приходском и уездном училищах был одно- и двухгодичным соответственно.
Среди предметов обучения в гимназии были: психология, политическая экономия, эстетика, статистика и логика. Гимназисты изучали латинский и два новых языка — французский и немецкий. Математика и физика преподавались в рамках единого учебного предмета, на который отводилось по 6 часов (астрономических. — Р.Г.) в неделю в течение трех лет [1, с.240].
Четко обозначенных программ учебных курсов в уставе не было. На практике содержание преподавания определялось теми руководствами, которыми пользовался учитель. Во многих гимназиях, в соответствии с содержанием учебников, изучались элементы высшей математики.
В 1803 г. был опубликован список учебных руководств, одобренных для гимназий [13, с. 128-129]. По математике был указан учебник А.Г.Кестнера «Начальные основания математики» в переводе П.Б.Иноходцева [14]. Однако в гимназиях использовали также произведения Э.Безу, Т.Ф.Осиповского и других авторов. «Курс математики» Т.Ф.Осиповского вошел в список рекомендуемых Министерством в 1805 г.
С 1814 г. основным руководством для гимназий стали «Начальные основания чистой математики» Н.И.Фусса [15] — первый стабильный учебник по математике на русском языке. В те годы вышло еще несколько учебных пособий для гимназий, но широкого распространения они не получили.
Остановимся на содержании руководства Н.И.Фусса подробнее. Оно состоит из трех частей. Первая часть — алгебра. Здесь рассмотрены следующие вопросы: решение алгебраических уравнений первой-четвертой степеней; извлечение квадратных и кубических корней; приближенное решение уравнений; прогрессии; логарифмы. Вторая часть — геометрия — содержит довольно полные курсы
124
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
планиметрии и стереометрии. Третья часть книги Н.И.Фусса состоит из четырех разделов: 1) приложение алгебры к геометрии; 2) плоская тригонометрия; 3) конические сечения; 4) основания дифференциального и интегрального исчисления. Первый раздел посвящен решению геометрических задач с помощью уравнений первой-четвертой степеней. Во втором разделе, содержащем тригонометрию, вначале рассматривается четверть круга и линии синуса, косинуса и др. Затем автор переходит к целому кругу. При решении треугольников широко используются логарифмы. Понятие функции отсутствует. Конические сечения изучаются только синтетическими методами.
Наконец, последний раздел начинается с введения понятия конечной величины, а также величин бесконечно больших и бесконечно малых. Далее определяются величины постоянные и переменные, выражения алгебраические и трансцендентные. После этого дается определение функции: «Функциею переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами, и оное называется алгебраическою или трансцендентною функциею, когда выражение есть то или другое» [15, с.253]. Затем вводится понятие дифференциала и рассматривается исчисление дифференциалов с его приложениями к изучению свойств кривых. Заканчивается учебник вопросами, посвященными интегральному исчислению и его применению к нахождению длины кривой, а также к квадратурам и кубатурам.
Произведение Н.И.Фусса довольно долго было основным руководством для гимназий. Оно выдержало несколько изданий. Вопрос о новом учебнике возник лишь при подготовке гимназического устава 1828 г.
До 1819 г. в гимназиях, по крайней мере в некоторых, изучались элементы анализа бесконечно малых. Что касается аналитической геометрии, включающей в себя и учение о конических сечениях, то эти разделы, как правило, входили в курс обучения.
В 1819 г. Главным правлением училищ были изданы дополнительные правила для гимназий, на основании которых ряд учебных предметов, в том числе эстетика, статистика и некоторые другие дисциплины, исключались из учебного плана. На курс математики выделялось 20 часов (без физики). Конические сечения были обозначены в программе третьего класса, элементы анализа бесконечно малых отсутствовали. Кривые второго порядка изучались в гимназии вплоть до 1845 г. [13, с.59, 130].
Арифметика, так же как и русский язык, в гимназии не изучались — предполагалось, что эти предметы заканчиваются еще в уездном училище.
Первые гимназии открывались, как правило, на базе главных народных училищ, существовавших еще с екатерининских времен; на базе малых народных училищ открывались училища уездные.
р д рущель	125
Вначале число учащихся резко упало. Учебные планы народных училищ больше соответствовали запросам городского населения. В них нередко обучали и девочек. Курс же гимназии был слишком энциклопедичен, и это отпугивало родителей. Кроме того, семилетний срок обучения для многих семей был слишком велик — овладев основами грамоты, многие дети должны были идти работать, чтобы помогать семье. Что же касается представителей дворянства, то они в то время тоже неохотно отдавали своих детей в гимназию. Во-первых, родители не хотели, чтобы их дети общались с ровесниками-недворя-нами. Во-вторых, учитывая срок обучения, им было проще нанять домашних учителей, которые за более короткое время могли приготовить детей к поступлению на службу. К тому же, если семья жила не в губернском городе, то учащийся должен был жить либо в пансионе при гимназии (а они тогда были редки), либо на квартире.
Правительство пыталось принудить дворянство отдавать своих детей в гимназии. В 1809 г. были утверждены «Правила производства в чины по гражданской службе», в которых, в частности, сказано: «Никто не будет произведен в чин коллежского асессора... если сверх отличных одобрений своего начальства, не предъявит свидетельство от одного из состоящих в Империи университетов...» [16, с.510]. А еще раньше, в 1803 г., в Предварительных правилах отмечалось: «Ни в какой губернии спустя пять лет по устроении в округе, к которому она принадлежит, на основании сих правил, училищной части, никто не будет определен к гражданской должности, требующей юридических и других познаний, не окончив учения в общественном или частном училище» [2, с.200]. Но эти законодательные акты помогли мало — дворянство предпочитало домашних учителей.
Ситуация изменилась после принятия в 1828 г. нового Гимназического устава. Гимназии превращались в учебные заведения, предназначенные преимущественно для дворян. Уездные и приходские училища стали школами для низших слоев населения.
В 1808 г. в Российской Империи было 42 гимназии, в которых обучалось менее 4000 человек. К 1825 г. число средних учебных заведений почти не изменилось, а число учащихся приблизилось к 6000.
Таковы были первые шаги на пути становления отечественной системы образования.
Список литературы
1.	Полякова Т.С. История математического образования в России. М., 2002.
2.	Хотеенков В. Ф., Чернета В.Г. Первый министр народного просвещения Российской Империи Петр Васильевич Завадовский. М., 1998.
3.	Сухомлинов М.И. Материалы для истории образования в России в царствование императора Александра! // Журнал Министерства народного просвещения. 1865. Октябрь. С.9-172.
126 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
4.	Гобза Г. Столетие Московской первой гимназии. 1804-1904. Краткий исторический очерк. М., 1903.
5.	Лихолетов И.И., Яновская С.А. Из истории преподавания математики в Московском университете (1804-1860 гг.) // Историко-математические исследования. М., 1955 Bbin.VIII. С. 127-480.
6.	Устав Общества математиков // Сборник постановлений по Министерству народного просвещения. Царствование Императора Александра I. 1802-1825. СПб., 1864 Т.1. С.619-628.
7.	Токарева Т.А. Филоматический пролог Московского математического общества // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2002. Вып.7(42) С.39-62.
8.	Гушелъ Р.З. Из истории распространения математических наук в России в начале XIX века // История и методология науки. Пермь, 2003. Вып.10. С.93-98.
9.	Багалей Д.И. Статьи по истории просвещения // Д.И.Багалей. Очерки из русской истории. Харьков, 1911. Т.1. С.338-345.
10.	Осиповский Т.Ф. Курс математики. СПб., 1801-1920. Т.1-3.
И. Богомолов Н. Очерк девятый. «Курс математики» Т.Ф.Осиповского // Я.Богомолов. Очерки по истории создания русских учебников по математике. Математика. 2001. №47. С.9-10.
12.	Лаптев Б.Л. Математика в Казанском университете за 175 лет (1804-1979) // Известия высших учебных заведений. Математика. Казань, 1979. №10. С 3-13.
13.	Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. В 2-х частях. М., 2001. 4.1.
14.	Кестнер А.Г. Начальные основания математики / Пер. П.Б.Иноходцева. СПб, 1792-1794.
15.	ФуссН.И. Начальные основания чистой математики. В 3-х частях. СПб., 1823. Ч.Ш.
16.	Сборник постановлений по Министерству народного просвещения. Царствование Императора Александра I. 1802-1825. СПб., 1864. Т.1.
СТРАНИЦА ЖИЗНИ БОРИСА ВЛАДИМИРОВИЧА ГНЕДЕНКО - ИСТОРИОГРАФА МАТЕМАТИКИ (ПОСТСКРИПТУМ К ВЫХОДУ ВТОРОГО ИЗДАНИЯ КНИГИ «ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ»)
В.С.Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995) - выдающийся ученый в области теории вероятностей, математической статистики и их приложений. Работая долгое время на Украине (1945—1960), Б.В. Гнеденко создал всемирно известную школу по теории вероятностей. Среди его учеников 12 членов Национальной Академии наук Украины.
Им написано много книг и монографий, самой знаменитой из которых, стал, пожалуй, его «Курс теории вероятностей». Этот учебник издается с 1949 г., и уже появилось 8-е его издание (2005 г.). И это при том, что за это же время опубликованы десятки разнообразных книг по теории вероятностей, имеющих учебный характер. Долголетие учебника Бориса Владимировича (в дальнейшем Б.В.) объясняется, прежде всего, редким талантом автора, умевшего рассказать с предельной ясностью об основных понятиях и закономерностях
В С.Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
127
стохастических экспериментов. Кроме того, Б.В. прекрасно ориентировался в истории развития основных теоретико-вероятностных понятий. Свидетельство этому - замечательный очерк истории теории вероятностей, помещенный в учебнике.
Этот очерк — проявление еще одной грани его таланта: дара историка. Историко-математическое наследие Б.В. велико и разнообразно. Прежде всего, это работы по истории теории вероятностей и математической статистики: о достижениях в этой области выдающихся ученых прошлого — К.Ф.Гаусса, Н.И.Лобачевского, М.В.Остроградского, П.Л.Чебышева, А.М.Ляпунова; о развитии этих наук в России и на Украине; об их истории в XIX в. Но интерес Б.В. не ограничивался исключительно историей тех разделов математики, в которых трудился как математик он сам. Его интересовали общие проблемы истории математики (см., например, написанную совместно с К.А.Рыбниковым и Н.И.Симоновым его статью [1]), развитие математических исследований в Московском университете (см. его совместную с П.С.Александровым и В.В.Степановым статью [2]), творчество крупнейших отечественных математиков (так М.В.Остроградскому он посвятил две книги — первую он выпустил в 1952 г. [3], вторую, в соавторстве с И.Б.Погребысским, — в 1963 г. [4]). Как легко видеть, любимой темой его историко-математических исследований всегда оставалась история отечественной математики. Актуальным проблемам в этой области посвящена написанная им совместно с И.Б.Погребысским, И.З.Штокало и А.П.Юшкевичем статья [5]. Эти проблемы и их решение — сюжет многих работ Б.В., из которых выделяется небольшая по объему (248 с.) книга «Очерки по истории математики в России», опубликованная в 1946 г.
Эта книга выросла из реферата по истории и философии математики, который Борис Владимирович подготовил в 1934—1937 гг. будучи аспирантом механико-математического факультета МГУ. Рукопись находилась у руководителя аспирантским философским семинаром, профессора С.А.Яновской, в начале войны уехавшей в эвакуацию в Пермь. Софья Александровна, забрала рукопись с собой, сохранила ее и по возвращении в Москву вернула Борису Владимировичу. Из этой рукописи и родилась книга, которая увидела свет уже по окончании войны. «Очерки» сыграли выдающуюся роль в развертывании в нашей стране исследований по истории отечественной математики, а также в качестве учебного пособия по курсу истории математики в университетах и педагогических институтах. До сегодняшнего дня она сохраняется в списке литературы, рекомендованной по этому курсу для студентов механико-математического факультета МГУ.
Заметим, что к моменту выхода книги в свет ее автору было всего 34 года. Обычно же к историческим исследованиям ученого влечет на «склоне» лет, когда творческий потенциал уже успешно
128 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР использован. Б.В. был уверен в необходимости исторического анализа достижений отечественных математиков, понимая неразрывную связь развития математики в России в прошлом и настоящем независимо от социальных обстоятельств. А, по-видимому, реалии Великой Отечественной войны и ее завершение стали дополнительным стимулом к анализу социальных общественных проблем.
В это же время всевозможные «дискуссии» по разнообразным проблемам развития науки и культуры под эгидой партии и правительства создали благоприятные условия для объединения «преданных идеям марксизма-ленинизма» «сознательных» членов общества против творческой интеллигенции.
Творческая личность свободна, а потому трудно поддается управлению, а тем более раболепному бездумному подчинению главенствующей идеологии. «Очерки по истории математики в России», написанные Борисом Владимировичем, были живительной струей объективного исторического анализа, опирающегося на достоверные факты, демонстрирующего величие научных открытий, их вневременной характер. К тому же автор книги — молодой энергичный профессор университета, пользовавшийся заслуженным авторитетом и любовью у студентов.
Современный читатель вряд ли обратит внимание на отсутствие в этой книге принятых в то время славословий в адрес великого вождя, советской власти, коммунистической партии и советского правительства. Нет их в предисловии (а такие славословия в предисловии были в то время нормой), да и в самом тексте «идеологический элемент» сведен к минимуму. Лишь в начале третьей главы, посвященной развитию математики в XX в., говорится о благотворном влиянии Великой Октябрьской революции на развитие науки в нашей стране, что в части, касающейся физико-математических наук, было, в значительной мере, правдой. Разумеется, о репрессиях, об идеологическом давлении на науку (например, о «деле Д.Ф.Егорова», «деле Н.Н.Лузина», «деле М.Ф.Кравчука») в книге не упомянуто -для литературы того времени не допускался даже намек на подобные обстоятельства.
Такая позиция автора могла быть истолкована как «политическая индифферентность» и не ускользнула от недремлющего ока присяжных идеологов. «Слишком много свободомыслия» — так решила партийная организация механико-математического факультета Киевского университета в 1952 г.: «...назрела необходимость быстрейшего и наиболее полного осуществления указаний И.В.Сталина и решений XIX Съезда КПСС о всемерном развертывания критики и самокритики в научной работе...» (см. Приложение 2). Недоброжелателям Б.В. (а за их спиною, конечно, стояли влиятельные люди, не
g С.Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
129
делавшие усиления авторитета молодого талантливого профессора) повезло: он сам предложил провести дискуссию в связи с подготовкой второго издания «Очерков» (с таким предложением в 1948 г. к нему обратилось Государственное издательство технико-теоретической литературы, так как пятидесятитысячный тираж книги к тому времени уже разошелся) и предполагаемым (по инициативе издательства «Радянська школа») переводом их на украинский язык. За дело взялись «активисты» партийной организации факультета Ф.И.Гуди-менко и Ф.С.Лось. Рецензировать «Очерки» было поручено ф. С.Лосю. Руководил дискуссией, которая началась на заседании Ученого совета 5 октября 1952 г., декан, секретарь партийной организации факультета, профессор Г.Н.Положий.
Конечно, можно оставить прошедшую более 50-ти лет тому назад дискуссию в историческом забытьи. Однако «методологические принципы» проведенной дискуссии сохраняют свою живучесть и в наше политически нестабильное время. А поэтому исторические уроки не следует предавать забвению, а время от времени оживлять напоминанием о них современную общественную жизнь.
Итак, каковы основные «методологические принципы» дискуссии, направленной на дискредитацию талантливого и полезного исторического исследования, а заодно и уничижение автора, занимающего лидирующую позицию на факультете не по назначению парторганизации, а по призванию?
Прежде всего, выбирается рецензент, убежденный в своей объективности, основанной на очевидной ограниченности, замешанной на инстинктивной враждебности к талантам. Таким был Ф.С.Лось — доцент университета, по-видимому, по недоразумению. Он был уверен в том, что, опираясь на «руководящие документы партии», можно обосновать любые аргументы, противоречащие даже элементарной логике. Основным «методологическим принципом» «воспитательной дискуссии» является как раз уверенное цитирование «директивных документов» и приписывание при этом (обсуждаемому человеку или произведению) любых грехов, доступных воображению.
Наконец, важным условием успешной дискуссии является организация аудитории, единодушно поддерживающей главных ораторов. В те времена (конец 1940 — начало 1950-х гг.) проблем с организацией аудитории, как правило, не было. Большинство было готово поддержать «воспитательные усилия», правда, молчаливо. В преподавательской среде в основном все же сохранялось чувство самоуважения.
Вернемся теперь к дискуссии по книге «Очерки по истории математики в России» (о ее ходе мы можем судить по текстам выступления Г.Е.Шилова (см. Приложение 1) и резолюции заседаний Ученого совета механико-математического факультета Киевского университета (см. Приложение 2), публикуемым ниже, а также по записям
130
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Б.В., хранящимся в его архиве). На втором заседании Ученого совета, состоявшемся 20 октября 1952 г., выступил профессор Г.Е.Шилов с анализом критических замечаний Ф.С.Лося. Оказалось, что, опираясь на «директивные документы партии», можно, как раз, аргументировано опровергнуть инсинуации Ф.С.Лося в адрес «Очерков» и их автора. Аплодисменты в адрес Г. Е. Шилова свидетельствовали о том, что значительная часть аудитории (рискнем предположить, что подавляющая) в душе была на стороне Бориса Владимировича.
Однако Г.Н.Положий, председательствующий на заседании Ученого совета, охарактеризовал выступление Г.Е.Шилова и аплодисменты в его адрес как «желание сорвать дискуссию» (?). Более того, руководители дискуссии стали запугивать участников заседания, которые осмелятся не согласиться с мнением Ф.С.Лося, Ф.И.Гудимен-ко и Г.Н.Положего. Этот феномен также надо отнести к основополагающим «методологическим принципам» «воспитательных дискуссий»: итоговое заключение по дискуссии готовится заранее и принимается как результат дискуссии независимо от реальных прений.
Критика Ф.С.Лося (Ф.С.) была «всесторонней», начиная с вопроса «кому эта книга может принести пользу?» Затем Ф.С. счел неуместным упоминание «женщин советской эпохи» (в главе о Софье Ковалевской). Далее Ф.С. заявил, что обсуждению личных качеств ученых не место в историческом анализе математических исследований. Наконец, Ф.С.Лось усмотрел «пренебрежение к русскому языку» и «раболепие перед заграницей» в связи с мнением Б.В. о журнале «Математический сборник», который был малоизвестен до 1924 г. пока статьи в нем печатались только на русском языке. Здесь вновь всплыло обвинение, предъявленное в 1936 г. Н.Н.Лузину. Кстати Ф.С.Лось употребил и сам термин «лузинщина».
Но ведь это исторический факт: после того, как «Математический сборник» стал печатать статьи на иностранных языках, он стал ведущим международным математическим журналом. Г.Е.Шилов справедливо напомнил, что у одного из крупнейших математиков (кстати, научного руководителя Ф.С.Лося) - Н.Н.Боголюбова - из 45-ти работ, перечисленных в книге «Математика в СССР за тридцать лет», только 16 напечатано на русском и украинском языках (см. Приложение 1). Не забыл Ф.С.Лось бросить Б.В. обвинение в еще одном страшном по тем временам грехе — «космополитизме».
По поводу «упоминания женщин советской эпохи» Г.Е.Шилов задал вопрос: «С каких это пор стало считаться “неуместным” в исторических книгах упоминание о нашей советской действительности и сравнение наших достижений с порядками дореволюционного прошлого? Партия и правительство прямо требуют от историков проведения таких сравнений в своих исторических трудах» (см. Приложение 1).
д с Королюк, Д-Б-Гнеденко, С.С.Демидов
131
Что касается «личных качеств ученых», то Ф.С.Лось, очевидно, хотел, чтобы в истории математики в России был наведен «хрестоматийный глянец», чтобы ее герои были не живыми людьми, а «мумиями». Но ведь такое отношение к истории характерно для «вульгарной исторической школы», что было осуждено партией и правительством задолго до этой дискуссии (см. Приложение 1).
Наконец, уже сама постановка вопроса о пользе «Очерков» настораживает. И если автор вопроса не находит на него ответа, то это может означать только то, что Ф.С.Лось заведомо считает книгу Б.В. «ненаучной и бесполезной» (см. Приложение 1).
А ведь на самом деле «Очерки» обладают несомненными достоинствами, которые можно долго перечислять. В частности, в выступлении Г.Е.Шилова приведены соответствующие аргументы. Многие из этих мыслей современны и актуальны.
Необходимо отметить гражданское мужество Г.Е.Шилова, рискнувшего выступить в защиту Бориса Владимировича. Такое выступление, в случае неудачного поворота событий, могло иметь для него печальные последствия. В Киеве еще помнили о развернувшейся до войны травле академика М.Ф.Кравчука, закончившейся его арестом и гибелью в 1942 г. в сталинском ГУЛАГе.
В своих воспоминаниях о Борисе Владимировиче Михаил Иосифович Ядренко писал: «Во время дискуссии Б.В. поддерживали Г.Е.Шилов, И.И.Гихман, И.Г.Ильин, В.П.Белоусова, Л.Н.Грациан-ская. Оппозиционная группа использовала дискуссию для того, чтобы предъявить Б.В. большое количество идеологических претензий. Нам, студентам, присутствующим на дискуссии, было странно слушать обвинения Б.В. в троцкизме на том основании, что в книге (в очерке о Ляпунове) были такие слова: “Молодежь обладает исключительным чутьем и способна за несовершенной формой увидеть глубокое содержание”. Оппозиционеры обратились в партийные органы с предложением сделать серьезные "организационные” выводы о деятельности Бориса Владимировича, однако просчитались и пришлось публично каяться в “неправильном отношении к академику Б.В.Гнеденко", поскольку в высших инстанциях поддержали Б.В.» [6, с.35].
В итоге, попытка организовать «воспитательную дискуссию» по книге «Очерки по истории математики в России» с целью дискредитации Б.В.Гнеденко провалилась. Заготовленный проект резолюции Ученого совета механико-математического факультета Киевского университета (а такого рода документ, как мы уже говорили, готовился заранее, сам же последующий ход «дискуссии» мог внести в него лишь незначительные коррективы) пришлось выбросить в урну. На подготовку нового - ушло пять месяцев, на протяжении которых произошли судьбоносные исторические перемены — скончался И.В.Сталин. Итоговая резолюция заседаний Ученого совета
132 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
механико-математического факультета была принята 23 марта 1953 г. (см. Приложение 2). Этот документ, который мы приводим без комментариев, свидетельствовал о победе Бориса Владимировича и здравого смысла.
Сам же Б.В. сделал из дискуссии свои выводы: от намерения переиздать «Очерки» он отказался. Ход «обсуждения» показал ему -как в случае развертывания против него кампании (а перед его глазами прошла не одна показательная травля) материалы «Очерков» могли быть использованы для подкрепления самых нелепых обвинений. А куда повернет вектор истории, в то время предвидеть еще никто не мог.
Публикуемые ниже материалы из домашнего архива Бориса Владимировича Гнеденко приобретают особый интерес в связи с только что выпущенным издательством УРСС вторым изданием «Очерков по истории математики в России».
Список литературы
1.	Гнеденко Б.В., Рыбников К.А., Симонов Н.П. Проблемы истории математики Нового времени // Историко-математические исследования. М., 1963. Вып-XV. С.73-96.
2.	Александров П. С., Гнеденко Б.В., Степанов В. В. Математика в Московском университете в XX веке (до 1940 г.) // Историко-математические исследования. М.-Л., 1948. Вып.1. С.9-42.
3.	Гнеденко Б.В. Михаил Васильевич Остроградский. М., 1952.
4.	Гнеденко Б.В., Погребысский И.Б. Михаил Васильевич Остроградский. 1801-1862. Жизнь и работа. Научное и педагогическое наследие. М-, 1963.
5.	Гнеденко Б.В., Погребысский И.Б., Юшкевич А.П. О проблемах истории математики в России и в СССР и о работах в этой области за 1956-1961 гг. // Историко-математические исследования. М., 1963. Вып-XV. С. 11-36.
6.	Ядренко М.И. Борис Володимирович Гнеденко - фундатор кафедри теорп ймовгр-ностей в Кшвському университет! / / Теория ймов!рностей та математична статистика. 1997. Вып.56. С.32-39. (Английская версия журнала была опубликована в 1998 г.)
Приложение 1 Г. Е. Шилов ВЫСТУПЛЕНИЕ НА ДИСКУССИИ ПО КНИГЕ АКАД[ЕМИКА] Б.В.ГНЕДЕНКО «ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ» на заседании Ученого совета мех[анико]-мат[ематического] факультета Киевского государственного университета 20 октября 1952 года
Книга Б.В.Гнеденко [Б.В.] очень интересна по замыслу и выполнению. Конечно, как и все на свете, она далека от совершенства, и я, готовясь к выступлению на нашей дискуссии, собирался указать на те недостатки, которые я в ней вижу — во многом, в частности, я согласен с критическими замечаниями, высказанными здесь т. [В.В.]
В.С.Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
133
Котеком — чтобы помочь автору, насколько это в моих силах, улучшить книгу во втором издании. Но после того, как я прослушал доклад Ф.С.Лося [Ф.С.], содержащий, на мой взгляд, много явно неправильных утверждений и оценок, я отказался от своего первоначального намерения. Считаю, что в создавшемся положении сейчас более существенно рассмотреть утверждения докладчика по существу, а потом уже на более деловой основе, заняться разбором действительных недостатков книги.
При деловом разборе книги необходимо обращать внимание не только на недостатки, но и на достоинства, с тем, чтобы выяснить, что в данной книге более существенно, что является определяющим, решающим ее качеством достоинства или недостатка. Ф.С. увидел только недостатки — во всяком случае о достоинствах он не сказал ни слова. А я считаю, что в этой книге больше достоинств, чем недостатков, и о достоинствах я хочу сказать в первую очередь.
Ф.С. поставил вопрос: кому эта книга может принести пользу, кому вред? Но книга существует с 1946 года, и вопрос разумно ставить в иной плоскости: кому она уже принесла пользу, и кому вред? И на первую половину этого вопроса — кому она уже принесла пользу — я могу дать ответ.
Во-первых, она принесла пользу массе студентов, изучающих историю математики. Известно, что эта книга входит в список обязательной литературы в Программе по истории математики, утвержденной Министерством.
Далее, в Москве в 1947 или 1948 году мне пришлось присутствовать на встрече студентов 1-го курса мехмата с профессорами и преподавателями факультета. Там была беседа о том, почему студенты выбрали в жизни именно эту дорогу — математическую, и многие студенты указывали именно на эту книгу Б.В., как на окончательную причину, побудившую их к выбору для себя математической специальности.
Наконец, последний пример. В 1951 году, в Полтаве, на родине М.В.Остроградского, проходила выездная сессия Академии наук УССР. Академики по дороге в усадьбу Остроградского разговорились с группой мальчиков, детей колхозников. «Знаешь ли ты, кто такой Остроградский?» — спросили у мальчика 11 лет. «Конечно, знаю — ответил он — это великий русский математик.» «А откуда ты знаешь? «А я читал книгу Гнеденко!» Эту сцену могут подтвердить многие товарищи, находящиеся в Киеве.
Таким образом, сама жизнь показывает, что книга Б.В. приносит пользу, и абстрактно спорить о том, способна она приносить пользу или нет — бесполезно. Кстати, Ф.С. не привел ни одного примера, когда эта книга принесла кому-нибудь вред.
К числу основных достоинств книги Б.В. я отношу следующее:
134________________________________МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
1)	. Богатство фактов, составляющих содержание книги;
2)	. Настоящий интерес к предмету, энтузиазм, с которым Б.В. относится к русской науке и к славе ее представителей, который он умеет передать своим читателям;
3)	. Гордость за советскую науку, тот настоящий советский патриотизм, которым проникнута третья, заключительная глава книги -как раз та, которую Ф.С. вообще отказался здесь комментировать;
4)	. Обилие свежих и интересных мыслей о характере науки, о качествах научных работников, о постановке университетского преподавания науки, почерпнутых частью из высказываний великих деятелей науки прошлого, частью принадлежащих самому автору. Многие из этих мыслей настолько современны и актуальны, что представляют несомненный интерес и для нас, сотрудников Киевского университета.
Вот несколько примеров.
Выдержка из сочинений Н.И.Лобачевского, прекрасный образец его отношения к науке как к синтезу всего лучшего, созданного человечеством:
«...но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжелый налог другим, вы, которых ум отупел и чувство заглохло, вы не наслаждаетесь жизнью. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков. Я утешаюсь мыслью, что из нашего Университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если, к несчастью, родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство человеческого и внутреннего достоинства» (стр.97).
С этими мыслями Лобачевского перекликаются слова С.В.Ковалевской, для которой математика — наиболее «поэтическая» из всех наук, наука, требующая наибольшей фантазии:
«Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел одно и то же. Мне кажется, что поэт должен только видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других» (стр. 153).
Вот характеристика Лобачевского как лектора:
«Лобачевский... стремился возбудить у своих слушателей и интерес к предмету, и творческую мысль, и стремление к сознательному усвоению предмета. Как лектор, он был, по-видимому, превосходен;
g С.Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
135
в своих воспоминаниях ученики говорили: “...он мог быть по мере надобности глубоким и увлекательным, но всегда оставался точным и строгим”. Он знал дорогу к студенческим сердцам, и, несмотря на его неумолимую строгость, он пользовался горячей любовью студенчества и имел непререкаемый авторитет» (стр.97).
Невольно напрашивается вопрос: а мы, знаем ли мы «дорогу к студенческим сердцам», имеем ли мы непререкаемый авторитет у студенчества?
Вот характеристика М.В.Остроградского как педагога:
«...полезно отметить, что способных студентов он поощрял к занятиям, но для слабых и бездарных он был грозой, и на экзаменах эти последние прятались, под предлогом болезни ложились в лазарет и откладывали экзамены до более подходящего случая» (стр. 112).
Опять вопрос: а мы, как мы поощряем способных студентов к занятиям?
Вот описание постановки преподавания математики раньше и теперь:
«Если раньше, в прошлом веке и в самом начале нашего века, преподавание по существу сводилось к чтению обязательных курсов, то теперь, центр тяжести научной подготовки перешел на специальные и факультативные курсы, а также специальные семинары, в которых участники знакомятся с наукой нашего дня, а нередко и сами участвуют в ее продвижении. Руководитель такого семинара или лектор, ведущий специальный курс, считает своим долгом знакомить слушателей с тем, какие проблемы стоят в порядке дня в разрабатываемой им области. Интерес к самостоятельному исследованию у начинающей молодежи постоянно поддерживается и развивается хорошо продуманными мероприятиями» (стр. 160).
И опять встает вопрос: а мы, как мы заставляем студентов любить свою науку, делать науку центром своей жизни? Как мы поддерживаем и развиваем интерес к самостоятельному исследованию у начинающей молодежи?
Разумеется, сейчас здесь не время и не место заниматься самими этими вопросами. Но нет сомнения, что книга Б.В. ценна и полезна именно тем, в частности, что она наталкивает нас на постановку и решение этих вопросов. А ведь книга эта написана человеком, который сам является примером подлинного энтузиаста науки, заражающего своих учеников и последователей своим неустанным научным горением.
Теперь обратимся к критическим замечаниям Ф.С.Лося.
1.	Ф.С. считает неуместными высказывания Б.В. в конце главы о [С.В.]Ковалевской о женщинах советской эпохи (стр. 153) будто бы эти высказывания не содержат ничего нового, и всем все и так известно.
136 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Действительно, если взять эту цитату саму по себе, вырвать из контекста, то она может показаться несколько тривиальной. Но ведь в контексте эти слова «нашим девушкам не нужно преодолевать теперь тех нелепых рогаток, которые стояли на пути Ковалевской, перед ними широко открыты двери в искусство, промышленность, науку» и т.д., следуют после волнующего описания всей жизни и деятельности Ковалевской, после описания того, как тяжело и трудно ей было в условиях царской России учиться, работать и создавать свои замечательные открытия, каким гонениям она подвергалась. И вполне естественным является после этого живого и страстного рассказа сравнение с нашим временем, с советской эпохой, описание успехов наших женщин, перед которыми широко открыты все дороги в науку. Поэтому я считаю это заключение главы вполне уместным и удачно завершающим главу.
Да и вообще, с каких это пор стало считаться «неуместным» в исторических книгах упоминание о нашей советской действительности и сравнение наших достижений с порядками дореволюционного прошлого? Партия и правительство прямо требуют — и правильно требуют — от историков проведения таких сравнений в своих исторических трудах.
Еще одно замечание по этому поводу.
В этом месте, как мы видели, Ф.С. критиковал автора за «тривиальность». В следующем месте, к которому мы сейчас переходим, Ф.С. критикует Б.В. за прямо противоположное: за высказывание своих собственных мыслей. Нужно сознаться, что Ф.С. весьма требовательный критик и ему угодить очень нелегко. И так плохо, и по иному — тоже плохо. Совсем, как в известной басне «Мельник, мальчик и осел» — и когда мельник едет на осле, а мальчик идет пешком — плохо, и когда мальчик на осле, а мельник пешком - тоже плохо.
2.	О молодежи. Речь идет о следующем месте из книги Б.В. (стр.141):
«Молодежь всегда обладает исключительной чуткостью и за несовершенной формой сразу способна угадать исключительное содержание, если, конечно, оно существует. На первых порах преподавательской деятельности Ляпунов не производил эффектного впечатления... Однако с первой же лекции студенты разгадали в нем большого ученого, преданного своему делу... и он занял в жизни студентов совершенно исключительное место».
Ф.С. спрашивает по поводу первой фразы приведенной цитаты: откуда Б.В. взял это утверждение? Какому великому психологу оно принадлежит? Почему нет ссылки?
Это утверждение, Ф.С., принадлежит самому Борису Владимировичу. Это его собственная мысль, сформировавшаяся на его личном опыте и глубоком изучении им истории науки. И книга Б.В. —
р С Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
137
очень интересная и богата именно тем, что автор не боится часто высказывать по ряду вопросов собственные мысли. Только тогда и можно писать книгу, подобную данной, когда имеешь собственные свежие и оригинальные мысли. И поэтому — именно поэтому, я считаю, что Ф-С. был совершенно прав, когда говорил здесь, что он сам такой книги никогда бы не написал.
Теперь поговорим о существе самой мысли автора. Значит, Ф.С. отказывает молодежи - поскольку он выразил несогласие с этой мыслью - в ее чуткости и способности разобраться в том, что представляет собою лектор? Выходит, что Ф.С. считает нашу молодежь неспособной разбираться в людях? Знаете, я считаю, что по отношению к нашей молодежи, из рядов которой вышли Павел Корчагин и Олег Кошевой, которая совершила беспримерные подвиги на поле боя, в труде и в науке — это утверждение Ф.С. звучит, как клеветническое, как проявление чуждой нам идеологии, и кажется даже странным, как мы могли услышать его здесь, в стенах советского университета.
А я лично согласен с мнением Б.В., относительно способности молодежи разбираться в людях. Думаю, что и на нашем факультете студенты прекрасно смогут разобраться в существе своего лектора: действительно ли он знающий человек, настоящий ученый, или же невежда и халтурщик.
Может быть, у Ф.С. имеются свои причины быть недовольным нашей молодежью? Это сделало бы понятной его позицию. Но это вовсе не означает, что мы обязаны были бы к ней присоединиться.
3.	Ф.С.Лось считает, что некоторые упоминания о личных качествах ученых, приведенные в книге — например, о рассеянности [А.М.] Ляпунова — неуместны. Он сказал, что хотя это и способствует «занимательности», но «не педагогично», может дать повод к дурным примерам. В этом же плане говорил и Г.Н.Положий, о чем мы скажем несколько далее.
Дело не в «занимательности», Ф.С., тем более, что в Ваших устах и это слово звучит скорее как осуждение, чем как похвала.
Дело в том, что в истории действуют живые люди, а не манекены. И очень правильно, что Б.В. описывает их такими, какими они были на самом деле, а не такими, какими их хотели бы видеть пури-танствующие резонеры. Помните, что говорил Маяковский — Пушкину:
«Я люблю Вас — но живого, а не мумию.
Навели хрестоматийный глянец.
Вы — по-моему — при жизни, думаю
Тоже бушевали. Африканец!»
А Ф.С. хочет, очевидно, чтобы на историю математики в России у Б.В. был «наведен хрестоматийный глянец», чтобы его герои были бы не живыми людьми, а «мумиями» на которые должно только
138_______________________________МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
молиться. Нельзя, видите ли, упоминать, что Эйлер занимался богословием, Ковалевская спекуляциями, что Ляпунов был рассеянным и т.д.
Видеть в истории только объекты для менторского преподнесения детям младшего возраста - это отношение к истории, характерное для вульгарной исторической школы, было давно осуждено партией и правительством в известных постановлениях по поводу школы [М.Н.]Покровского. Именно Покровский утверждал в своих писаниях, что история есть не наука, а «политика, опрокинутая в прошлое». И вот, такие взгляды снова протаскиваются здесь, через двадцать лет после их осуждения нашей партией. Конечно, при отборе материала нужно отделять существенное от несущественного, имея чувство меры. И у Б.В. чувство меры очень хорошо соблюдено. Так, в главе о Ляпунове Б.В. подчеркивает, что «вся сознательная жизнь этого ученого прошла в бескорыстном служении науке: вне науки для него не было жизни. И это служение, сопряженное с годами упорного, настойчивого труда, полными самоотречения и бессонных ночей, насыщенными горестью неудач и радостью успехов, принесло плоды непреходящего научного значения» (стр. 133). А о рассеянности Ляпунова говорится несколько слов в конце главы.
Теперь как раз уместно обратиться к выступлению на эту тему Г.Н.Положего. Ему не понравилось следующее место в характеристике Ляпунова:
«Нередко, находясь в обществе, он душой был у себя в кабинете и не замечал своего собеседника. Такого рода рассеянность свойственна в той или иной степени многим людям науки; не станем их упрекать за нее, так как часто ум, направленный на разрешение той или иной проблемы, находит недостающие звенья доказательства совсем не в те часы, которые отведены для размышлений... Для настоящего творца нет строго очерченного времени работы, он не выносит духа канцелярии. Недаром известно много случаев, когда работа мысли продолжается и ночью» [стр.142].
Итак, дело, видите ли в том, что вот вдруг наши студенты будут брать пример с Ляпунова и также будут заниматься математическими размышлениями в неположенные часы. Так примерно высказывался Г.Н.Положий. Я прошу меня извинить, но, по-моему, такое суждение было бы естественно слышать разве только из уст классного надзирателя — дядьки в дореволюционной гимназии, а не декана факультета в советском университете. Задача советского университета именно в том и состоит, чтобы воспитывать творцов науки - людей, для которых наука была бы главным делом в жизни, настоящих ученых, способных поднять и высоко нести знамя передовой советской науки, и выполнить те большие и ответственные задания, которые возложены на науку нашей партией и правительством. Очень будет полезным,
в г Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демидов
139
когда мы напомним нашему студенту, что говорил академик [И П-]Павлов в своем послании молодежи, о том, что наука требует оТ ученого всей жизни без остатка. Поэтому я не считаю, что нашим студентам следует рекомендовать заниматься математикой только в часы лекций и упражнений, наоборот, было бы очень хорошо, чтобы наши студенты больше отдавали времени для своих научных размышлений, чтобы в них пробуждался тот неугасимый пламень, который горит в груди каждого настоящего научного работника и заставляет его отдавать науке лучшие свои минуты.
4.	В своей книге Б.В. говорит о том, что в первые годы своего существования журнал «Математический сборник» был мало известен, что объясняется тем, что статьи в нем печатались только на русском языке (до 1924 года) и для заграничных ученых были недоступны. Ф.С.Лось усматривает здесь пренебрежение к русскому языку, раболепие перед заграницей (у Б.В.) и на этом основании обвиняет Б.В. в «лузинщине».
Обвинение в «лузинщине» весьма серьезно и надо разобраться, насколько в данном случае оно обосновано.
Что такое «лузинщина»? В своих редакционных статьях о «традициях раболепия» в 1936 году «Правда» вскрыла крупные недостатки в постановке научной работы, особенно ярко выразившиеся в деятельности академика Лузина, но имевшиеся и у некоторых других научных работников. Эти недостатки состояли в следующем: в двурушничестве, сочетавшем тайную враждебность ко всему советскому с неискренним восхищением перед всяким явлением советской жизни; в замазывании недостатков — Н.Н.Лузин давал явно недобросовестные хвалебные отзывы на слабые работы; в жалком угодничестве перед иностранцами — Н.Н.Лузин находил для себя «приличным» печататься только в заграничных журналах, даже в журналах, издававшихся в фашистской Германии. Вот что такое «лузинщина».
Теперь спрашивается, какое отношение имеет к «лузинщине» печатание статей в «Математическом сборнике» на иностранных языках? Ведь это исторический факт, что до того, как «Математический] сборник» стал печатать статьи на иностранных языках - он имел малое распространение, а после этого — стал ведущим математическим журналом. Именно для того, чтобы ученые других стран узнали о высоком уровне советской науки, уже при Советской власти было принято решение о печатании статей в научных журналах на международных языках. Это было совершенно правильным решением для того времени. Крупнейшие наши ученые — И.М.Виноградов, И.Г.Петровс-кий, С.Л.Соболев — стали печатать свои статьи в «Математическом] сборнике» на иностранных языках, чем и способствовали его возвышению. Нисколько не было «зазорным» для ученого печатать свою статью на иностранном языке в советском журнале — это никак и
140 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
никогда не квалифицировалось, как пренебрежение к русскому языку или преклонение перед заграницей. Возьмем, например, одного из крупнейших наших математиков, долгое время работавшего на нашем факультете, и Вашего научного руководителя, Ф.С., — Н.Н.Боголюбова. Посмотрим, сколько у него статей напечатано на иностранных языках. В библиографическом отделе «Математики в СССР за XXX лет» перечислено 45 работ Н.Н.Боголюбова — очевидно самых важнейших. Из них только 16 работ напечатано на русском или украинском языке, остальные на иностранных языках; при этом он печатался на иностранных языках не только в «Математическом] сборнике», но и в «Докладах Академии наук СССР», и в «Известиях Академии наук СССР», и даже в украинских журналах. Когда Б.В. писал свою книгу, в 1946 году, «Математический] сборник» и другие журналы печатали научные статьи на иностранных языках — много после дела Лузина. Именно теперь, в последние годы, когда наша наука завоевала мировое признание и в ряде областей перегнала зарубежную науку отпала необходимость печатать научные статьи на иностранных языках, именно теперь иностранные ученые сами изучают русский язык, чтобы читать наши работы в оригинале. То, что было правильным для одного времени, перестает быть таковым для другого времени. Общественная жизнь имеет свою диалектику, и следовало бы лучше понимать ее законы.
Вернемся к обвинению книги Б.В. в «лузинщине». Я думаю, что сказанного мною достаточно, чтобы убедиться в том, что в данном случае это обвинение абсолютно беспочвенное и необоснованное. Но в связи с этим возникает следующий вопрос: можно ли себе представить, что Ф.С.Лось не знал, читая свой доклад, что такое «лузинщи-на»? Я думаю, что Ф.С. не маленький мальчик, не студент, а взрослый человек, и его слова о «лузинщине» не обмолвка, а сознательное введение аудитории в заблуждение, сознательное наведение, как говорится, тени на плетень, сознательное привешивание Б.В. ярлыка в политической неблагонадежности. В этом и вся цель, весь смысл его доклада. Мне остается только добавить, что и Г.Н.Положий, едва услышал слова Ф.С. о «лузинщине», немедленно присоединился к этому обвинению, продемонстрировав тем самым свою готовность поддержать любое сколь угодно нелепое утверждение, лишь бы оно могло как-нибудь повредить доброй славе и доброму имени Б.В.
В целом я считаю, что доклад Ф.С.Лося по своей направленности не может служить основой для делового обсуждения книги Б.В. Поэтому я, считая несвоевременным сейчас говорить о недостатках книги Б.В., оставляю за собой право высказаться об этих вопросах в дальнейшем.
[ГЕ.] Шилов
g С.Королюк, Д.Б.Гнеденко, С.С.Демцдов
141
Приложение 2 РЕЗОЛЮЦИЯ заседаний Ученого совета механико-математического факультета [Киевского университета], посвященных дискуссии по книге Б.В.Гнеденко «Очерки по истории математики в России» (11ГИ, 1946 г.) [23 марта 1953 года]
Дискуссия, организованная по инициативе профессора Б.В.Гнеденко в связи с предложениями ГГГИ подготовить 2-ое издание книги и издательства «Радянська школа» осуществить украинское издание, весьма своевременна и вызвала значительный интерес не только математической общественности факультета, но привлекла также работников других ВУЗов города. Это обстоятельство подчеркивает, насколько назрела необходимость быстрейшего и наиболее полного осуществления указаний И.В.Сталина и решений XIX Съезда КПСС о всемерном развертывании критики и самокритики в научной работе и организации дискуссий по принципиальным вопросам науки.
Участники дискуссии отмечают, что
1)	первое издание книги профессора] Б.В.Гнеденко сыграло положительную роль, дав в руки широким кругам советских читателей первое сводное изложение развития отечественной математики. Эта книга широко используется преподавателями средних школ и ВУЗов в их педагогической работе, воспитывает гордость за отечественную науку и веру в творческие силы молодежи;
2)	при подготовке второго издания, как это было отмечено автором книги и другими участниками обсуждения, требуется переработка на основе решений партии и правительства по идеологическим вопросам, принятым после 1946 года;
3)	необходима быстрейшая подготовка второго издания книги, крайне нужной для преподавателей средних школ, ВУЗов, студентов и школьников. При этом желательно сохранить живое и популярное изложение, а также стиль кратких очерков;
4)	желательно, чтобы при подготовке второго издания были возможно полнее учтены пожелания, высказанные в процессе дискуссии;
5)	целесообразно подвергнуть широкому обсуждению рукопись второго издания до сдачи ее в производство.
Наряду с несомненными положительными результатами дискуссии, Ученый совет и участники дискуссии отмечают некоторые досадные недостатки ее организации:
1)	автор книги на первых двух заседаниях был лишен вступительного слова. В результате участники обсуждения были лишены возможности познакомиться с намерениями автора, с планом нового издания и намечаемым характером переработки;
142
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
2)	дискуссия была растянута почти на полгода (первое заседание -5 октября, второе - 20 октября и заключительное — 23 марта 1953 г.)-
3)	математическая общественность города не была оповещена об организации дискуссии, выходящей за рамки факультета и имевшей широкий интерес.
ФОРМИРОВАНИЕ СОВЕТСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ1)
С. С.Демидов, Т.А. Токарева
Под математической школой будем понимать: «Исторически сложившееся сообщество математиков, отмеченное признаками живого организма, ориентированное на открытие нового математического знания и, одновременно, профессиональную подготовку молодых ученых, приобщая их к разработке вопросов, исследуемых в сообществе» [1, с.9]. В истории математики можно выделить научные школы различных типов и уровней, составляющих определенную иерархию [там же].
Советская математическая школа (равно как, скажем, французская или американская) — одна из ведущих школ XX в. Это достаточно сложное образование, в свою очередь состоящее из различных школ и направлений, выросших из единого корня и объединенных общей историей. Возникшая в ходе единого процесса развития общность проявляется в ряде специфических черт, позволяющих говорить о ней как об историческом феномене. Советская математическая школа появилась на свет в 30-е гг. и громко заявила о себе во второй половине XX в. [2—4].
Как возникла эта школа? Какую роль в этом процессе сыграли когнитивные факторы, в частности, сама логика развития науки? В какой мере, и каким образом воздействовали на этот процесс (или даже, может быть, определяли его) факторы социальной истории? Попробуем, если и не ответить на эти вопросы, то, по крайней мере, наметить пути, по которым такие ответы могут быть получены.
Математика в России до Первой мировой войны. К началу Первой мировой войны математическая жизнь в стране была на большом подъеме. В Петрограде (так с началом военных действий стал именоваться Санкт-Петербург) действовала одна из лучших математических школ того времени — школа, основанная П.Л.Чебышевым. Ее результаты по теории вероятностей (А.А.Марков, А.М.Ляпунов), теории устойчивости (А.М.Ляпунов), конструктивной теории
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №05-06-80279а) и Российского гуманитарного научного фонда (проект №05-03-03375а).
c С. Демидов, Т.А.Токарева
143
функций (А.А.Марков), теории чисел (И.И.Иванов, Я.В.Успенский), математической физике (В.А.Стеклов, Н.М.Гюнтер), теории специальных функций и функций комплексного переменного (Н.Я.Сонин, Ю.В.Сохоцкий) относятся к числу наиболее важных достижений эпохи. Подрастало молодое поколение математиков (Н.М.Крылов, В.И.Смирнов, Я.Д.Тамаркин, А.А.Фридман, А.С.Бе-зикович, И.М.Виноградов), которым предстояло блестящее будущее.
Москва уже громко заявила о себе первоклассными работами по теории функций действительного переменного (Д.Ф.Егоров, Н.Н.Лу-зин и первое поколение их учеников - Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин, П.С.Алексавдров). Одновременно продолжали успешно развиваться направления, традиционные для первопрестольной, — прикладная математика (Н.Е.Жуковский, С.А.Чаплыгин) и дифференциальная геометрия (Б.К.Млодзеевский, Д.Ф.Егоров).
Чрезвычайно оживленной была математическая жизнь в провинции. В Харькове работала основанная В.А.Стекловым школа математической физики, расцветал талант С.Н.Бернштейна. В Киеве делала первые шаги алгебраическая школа Д.А.Граве (Б.Н.Делоне, О.Ю.Шмидт, А.М.Островский, Н.Г.Чеботарев). Успешно развивались в Казани заложенные еще Н.И.Лобачевским геометрические традиции (А.П.Котельников, Д.Н.Зейлигер). Заметные в Европе математические центры действовали в Варшаве1 (Д.Д.Мордухай-Бол-товской, В.И.Романовский) и Дерпте (Г.В.Колосов, В.Г.Алексеев, Л.С.Лейбензон). Активно разрабатывались новые математические направления в Одессе (С.О.Шатуновский, В.Ф.Каган). Началось завоевание математиками Сибири: математический центр возник в далеком Томске2 (Ф.Э.Молин, В.Л.Некрасов).
Разумеется, такое оживление научной жизни требовало и новых форм ее организации. К основанному еще в 1864 г. Московскому математическому обществу [5; 6], добавились Харьковское (1879) [7], Казанское (1880)3, Киевское физико-математическое (1889) и Петербургское (1890)4. Общества эти, создаваемые для «содействия развитию математических наук в России», регулярно проводили заседания, вели издательскую деятельность (например, Московское математическое общество с 1866 г. выпускало старейший русский математический журнал «Математический сборник» [8; 9]; широкую известность приобрели «Сообщения и протоколы Харьковского математического общества», издаваемые с 1879 г.; а также начавшие выходить в 1891 г. «Известия Физико-математического общества при Казанском университете»).
Большую роль в становлении российского математического сообщества сыграли съезды русских естествоиспытателей и врачей, созывавшиеся физико-математическими факультетами университетов, первый из которых проходил с 28 декабря 1867 г. по 4 января 1868 г. в
144
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Петербурге. Всего их состоялось 13: в обеих столицах, Киеве, Казани, Варшаве, Одессе. Последний, тринадцатый, проводился в июне 1913 г. в Тифлисе.5 На каждом из этих съездов работала математическая секция [10], собиравшая от 50-ти (на первых) до 450-ти (на последних) участников. За 45-летнюю историю съездов на секции математики с подсекциями механики и астрономии было сделано 238 математических докладов и сообщений. Примечательно, что активное участие в работе съездов принимали не только крупнейшие ученые, академики и профессора университетов (П.Л.Чебышев, В.Г.Имше-нецкий, А.А.Марков, С.В.Ковалевская, А.Ю.Давидов, Н.В.Бугаев, Н.Е.Жуковский, В.А.Стеклов, А.В.Васильев), но и учителя гимназий. Наряду с научными докладами на секции велись жаркие дискуссии о преподавании математики в средней школе.
Вопросы средней школы всегда живо интересовали российское математическое сообщество, включая его элиту. Особенно остро они встали в начале XX в. Возникла потребность в организации специальных съездов преподавателей математики. Первый такой съезд состоялся в Петербурге на стыке 1911 и 1912 гг., второй — в Москве в конце 1913 — начале 1914 гг. Съезды эти были многочисленны: в первом участвовало 1217, во втором — 1200 человек. Среди участников были и ведущие ученые (К.А.Поссе, В.В.Бобынин, А.В.Васильев, Б.К.Млодзеевский, П.А.Некрасов, С.О.Шатуновский, Д.М.Синцов, В.Ф.Каган, Н.Н.Салтыков, Д.Д.Мордухай-Болтовской, С.Н.Бернштейн) и известные педагоги (А.П.Киселев, С.И.Шохор-Троцкий).
Одним из основных вопросов, рассматриваемых на этих съездах, стала реформа среднего математического образования, бурно обсуждавшаяся тогда в математическом мире. Для разработки ее принципов в 1908 г. на Международном математическом конгрессе в Риме была создана Международная ассоциация преподавателей математики. Российские ученые приняли деятельное участие в ее работе.
Вообще российские математики активно включились в развернувшееся на рубеже двух веков строительство международного математического сообщества. На международных математических конгрессах мы видим представительные российские делегации: на I (Цюрих, 1897 г.) российская делегация состояла из 12-ти человек; на II (Париж, 1900 г.) — из 12-ти; на III (Гейдельберг, 1904 г.) - из 30-ти; на IV (Рим, 1908 г.) — из 19-ти; на V (Кембридж, 1912 г.) — из 30-ти. Среди вице-президентов первого Конгресса математиков — президент Московского математического общества Н.В.Бугаев, выступивший с пленарным докладом «Математика и научно-философское миросозерцание». Русские ученые были вовлечены во все крупные международные проекты того времени. В частности, когда Международный конгресс по библиографии математических наук (Париж, 1889 г.) обратился к математикам разных стран с просьбой объединить усилия в
Демидов, Т.А.Токарева
145
работе по составлению математической библиографии XIX в., математическая общественность России с энтузиазмом откликнулось на эту инициативу [И, с.228-232],
Противостояние двух ведущих математических школ. Основные направления деятельности отечественного математического сообщества определялись двумя лидирующими математическими центрами страны, двумя столицами - Санкт-Петербургом, с его Императорской Академией наук, и Москвой, с ее Математическим обществом. Другие математические центры исторически возникли как их ответвления6 (исключение составляла разве только Казань) и находились под их большим влиянием. Петербургские же и московские математики пребывали в состоянии устойчивой конфронтации, особенно обострившейся после смерти П.Л.Чебышева. Разница в идеологических настроениях, царивших в обоих сообществах (приверженность православию и монархии, склонность к идеалистической философии и философствованию вообще, приведшие в итоге к образованию Московской философско-математической школы, с одной стороны; антирелигиозность, позитивизм, антимонархизм и прозападная ориентация петербуржцев, с другой), связанные с ней различия во взглядах на математику и на приоритеты в ней, привели к значительному отчуждению представителей обеих школ, зачастую перераставшему в открытые столкновения.
Так, в марте 1892 г., вновь избранный (за месяц до этого, 18 февраля) член Московского математического общества, академик Андрей Андреевич Марков письменно высказал критические замечания по поводу мемуара С.В.Ковалевской «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки» (1888), а также работ Н.В.Бугаева и В.Г.Имшенецкого по интегрированию дифференциальных уравнений в рациональной форме, с настоятельной просьбой публикации его соображений в «Математическом сборнике». С этого началась острая полемика между петербуржцами (А.А.Марковым, А.Н.Коркиным, Д.К.Бобылевым, К.А.Поссе) и москвичами (П.А.Некрасовым, Г.Г.Аппельротом, Б.К.Млодзеевским), продолжавшаяся с 1892 по 1895 гг., о чем свидетельствуют протоколы заседаний Общества, публиковавшиеся в «Математическом сборнике». В результате, на одном из заседаний Общества, в ответ на очередное резкое письмо Маркова, которое содержало такие слова: «...я не имею ни времени, ни желания вступать в дальнейшие объяснения, представляя каждому члену Московского математического общества подумать самому над сделанным мною заявлением» [12, с.844]. Общество постановило: «...так как голословные заявления, каковы заявления проф. А.А.Маркова относительно трудов С.В.Ковалевской, В.Г.Имшенецкого, Н.В.Бугаева и Г.Г.Аппельрота, бесполезны для науки, и
146
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
суждения о таковых заявлениях лишь бесплодно отвлекают Общество от его занятий, то впредь не принимать к обсуждению в Обществе никаких голословных и резких заявлений» [там же, с.845].7 Противостояние между математиками двух столиц породило напряжение, которое во многом определяло климат в российском математическом сообществе.
Российская математика накануне революции. К 1917 г. российская математика была готова к решительному рывку вперед. Рывок этот предопределялся значительными достижениями в области теории вероятностей (А.А.Марков, А.М.Ляпунов, С.Н.Бернштейн), математической физики (В.А.Стеклов, Н.М.Гюнтер), теории дифференциальных уравнений — обыкновенных (А.М.Ляпунов) и с частными производными (Н.М.Гюнтер, С.Н.Бернштейн), конструктивной теории функций (А.А.Марков, С.Н.Бернштейн), теории чисел (А.А.Марков, Я.В.Успенский), наконец, теории функций действительного переменного (Д.Ф.Егоров, Н.Н.Лузин, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин, П.С.Александров).
Вернемся к началу XX в. Б.К.Млодзеевский и Д.Ф.Егоров стали читать в Московском университете курсы лекций, посвященные новым областям математики, а старые излагать в соответствии с современным состоянием их развития.8 Более того, они впервые ввели в университетское преподавание научные семинары, ставшие основной формой научного воспитания студентов и молодых математиков [13, с.47-48].
Датой рождения Московской школы теории функций действительного переменного считается начало 1911 г., когда Д.Ф.Егоров опубликовал в «Докладах Парижской академии наук» (Comptes Rendus) заметку «О последовательности измеримых функций», в которой доказал одну из основных теорем теории функций (ныне носящую его имя), и поставил в связи с ней ряд существенных проблем перед своим учеником Н.Н.Лузиным. Через год в том же журнале появилась статья Н.Н.Лузина «К основной теореме интегрального исчисления», где сообщалась знаменитая теорема о так называемом «С-свойстве». Дальнейшие результаты Лузина в этом направлении нашли свое отражение в монографии «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915), принесшей автору в 1916 г. степень доктора (минуя степень магистра), а последующим математикам богатейший источник новых задач. «Работы Лузина сразу завоевали московской школе теории функций одно из первых мест в мировой науке» [14, с.49].
Однако представители классической школы Чебышева относились к подобным исследованиям скептически. Рассказывают, что о монографии «Интеграл и тригонометрический ряд» В.А.Стеклов говорил так: «Вы посмотрите, здесь же нет формул. Разве это математика?» (цит. по: [15, с.147]). Другой петербуржец, Я.В.Успенский, в
С. С.Демидов, Т.А.Токарева
147
письме к А.Н.Крылову (даже в 1926 г.!) выказывал свое отношение к «московскому направлению» таким образом: «Относительно Лузина я знаю, что он хороший специалист в своей области (теория множеств и связанная с нею канторовско-лебеговская дребедень), блестящий профессор, создавший в Москве школу своих учеников и своим влиянием упразднивший настоящую математику в Москве... Лично я Лузина почти не знаю и потому, если я позволяю себе высказываться неодобрительно о его направлении, то только потому, что чувствую к этому направлению глубокое омерзение и твердо уверен, что мода на это скоро пройдет...» (цит. по: [16, с. 193]). Противостояние между петроградскими и московскими математиками продолжалось.
В весеннем семестре 1914 г. Егоровым был объявлен семинар по теории функций. По воспоминаниям Дмитрия Евгеньевича Меньшова тогда «только что появился... интеграл Лебега и так называемая метрическая теория функций» [17, с. 188]. Специализировавшийся в этой области во Франции и Германии Н.Н.Лузин должен был вернуться из зарубежной командировки и приступить к чтению лекций в Университете, и Д.Ф.Егоров, «чтобы подготовить для Лузина аудиторию, вел семинар по теории функций» [там же, с. 189]. С осени 1914 г. Лузин начинает читать факультативный курс по теории функций действительного переменного и вести специальный исследовательский семинар. «Именно этот читаемый из года в год специальный курс и сопровождающий его семинар... явились центром, из которого выросла московская школа теории функций — замечательный памятник славной научной деятельности Н.Н.Лузина» [18, с.475]. Вокруг Д.Ф.Егорова и Н.Н.Лузина образовалась быстро развивавшаяся школа — легендарная «Лузитания» [19].
Итак, к 1917 г. в России уже существовали замечательные научные школы и талантливая молодежь. Особенная творческая атмосфера сложилась в Москве. Отечественная математическая наука заявила о себе и на мировом уровне. Но, вмешалась история — в стране началась революция, переросшая в Гражданскую войну. Эти события перевернули жизнь общества и нарушили нормальный ход научных исследований.
Математика в годы революции и Гражданской войны. Прекращение нормального функционирования институтов власти в годы революции и Гражданской войны, бедственная ситуация с продовольствием и топливом поставили университетскую профессуру на грань выживания. Старые и больные быстро сошли в могилу. В 1918 г. покончил жизнь самоубийством А.М.Ляпунов. В 1921 г. не стало Н.Е.Жуковского. Для более молодых и энергичных наступило время поиска хлеба насущного. Особенно тяжелая ситуация сложилась в обеих столицах. Н.Н.Лузин с учениками (Д.Е.Меньшовым,
148 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
М.Я.Суслиным, А.Я.Хинчиным) перебрались в Иваново-Вознесенск, где в 1918 г. был организован Политехнический институт; петроградцы (Я.Д.Тамаркин, А.А.Фридман, А.С.Безикович, И.М.Виноградов) спасались в Перми, там в октябре 1916 г. было открыто отделение Петроградского университета, реорганизованное в мае 1917 г, в самостоятельный Пермский университет. Сложная ситуация сложилась на Украине.
Однако и в эти тяжелые годы математическая жизнь не останавливалась. В Москве оставался Д.Ф.Егоров, не прекращал работу в Университете и Н.Н.Лузин, приезжая читать лекции из Иваново-Вознесенска. Собиралось на свои заседания Московское математическое общество.9 «Всякий раз весть о приезде Лузина в Москву с чрезвычайной быстротой распространялась среди его московских учеников, и по-прежнему бурлила жизнь в “Лузитании”, работал семинар...» [18, с.478]. Стараниями москвичей с марта 1919 г. стали издаваться «Известия Иваново-Вознесенского политехнического института» (что было особенно важно, так как в 1919—1921 гг. «Математический сборник» не выходил, и «Известия» являлись единственным печатным органом, где публиковались математические работы), а осенью 1920 г. в Иваново-Вознесенске возникло Математическое общество, с целью «содействия развитию математических наук, математическому образованию и популяризации математических знаний» [13, с.75], которое возглавил Н.Н.Лузин.10 Несмотря на все трудности, научная работа продолжалась — столь силен был импульс, данный математическим исследованиям в стране предшествующим ходом их развития.
Характеризуя этот период истории отечественной математики, А.Я.Хинчин в 1927 г. писал: «Может быть, в эти первые тяжелые годы революции математика, по чисто внешним причинам, оказалась поставленной в несколько особые условия, позволившие ей развиваться интенсивнее других точных наук: математику не нужно ни лабораторий, ни реактивов; бумага, карандаш и творческие силы — вот предпосылки его научной работы; а если к этому присоединить возможность пользоваться более или менее солидной библиотекой и некоторую долю научного энтузиазма (а это есть почти у каждого математика), то никакая разруха не может остановить его творческой работы. Недостаток текущей литературы в известной степени возмещался неустанным научным общением, которое в эти годы удалось организовать и поддерживать» [21, с.41].
Восстановление математической жизни в Москве. После окончания Гражданской войны начала постепенно налаживаться научная жизнь. В 1922 г. в Москву вернулся Н.Н.Лузин, и возобновились регулярные заседания его семинара, в которых вместе с
q ^.Демидов, Т.А.Токарева
149
преподавателями (В.В.Степановым, П.С.Александровым и П.С.Уры-соном) принимали участие студенты (Н.К.Бари, В.И.Гливенко, д.Г.Шнирельман, затем - А.Н.Колмогоров, чуть позднее - М.А.Лав-рентьев, Л.В.Келдыш, Е.А.Леонтович, П.С.Новиков и Г.А.Селиверс-тов). Вернулись в Москву и включились в работу «старики» -И.И.Привалов, Д.Е.Меньшов и А.Я.Хинчин.
В 1914—1920 гг. были получены самые значительные результаты в области теории функций школой Егорова-Лузина. С начала же 1920-х гг. в ней отчетливо проявилась тенденция к расширению тематики исследований. Здесь уместно привести слова старейшего участника семинаров и собраний на квартире Н.Н.Лузина — В.В.Степанова: «Всякой научной школе со специализированной тематикой в процессе ее развития угрожает опасность эпигонства... после того как основные проблемы разрешены и исчерпаны трудами ряда талантливых ученых, эти же ученые и их ученики добирают оставшиеся крохи. Московская школа в целом преодолела эту опасность расширением области исследования и применением методов теории функций и тео рии множеств к другим отраслям математики» [14, с.51].
Отправной точкой для работы в новых направлениях стали собственные разработки Школы в области метрической теории функций, которая оказывала определяющее влияние и на используемые в новых областях методы.
Еще в годы революции сам Н.Н.Лузин и его ученики (И.И.Привалов, В.В.Голубев, Д.Е.Меньшов, А.Я.Хинчин) начали исследования в области теории функций комплексного переменного, в 1925 г. к ним присоединился М.А.Лаврентьев, в свою очередь воспитавший такого ученика как М.В.Келдыш.
С работ П.С.Урысона и П.С.Александрова 1921-1924 гг. начала формироваться советская топологическая школа. В 1925 г. под руководством П.С.Александрова стал работать топологический семинар, из которого вышли такие знаменитые впоследствии математики как А.Н.Тихонов и Л.С.Понтрягин.
В 1923 г. А.Я.Хинчин получил первые важные результаты по теории вероятностей. В конце 1920 - начале 1930-х гг. этими вопросами стал заниматься крупнейший русский математик XX в. А.Н.Колмогоров, в 1933 г. предложивший свою знаменитую аксиоматику теории — так начиналась знаменитая Московская школа теории вероятностей.
В 1922-1923 гг. А.Я.Хинчин приступил к исследованиям в области теории чисел. А в 1925/26 учебном году он организовал семинар по теории чисел, в котором участвовали молодые тогда А.О.Гель-фонд и Л.Г.Шнирельман.
В конце 1920 — начале 1930-х гг. Л.А.Люстерник, Л.Г.Шнирель-ман, эмигрировавший из Германии А.И.Плеснер и А.Н.Колмогоров заложили основы советской школы функционального анализа, из
150
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
которой вышел один из крупнейших современных математиков И.М.Гельфанд. В.В.Степанов работал в области теории дифференциальных уравнений. В конце 1920-х вместе с ним в этом направлении стали работать И.Г.Петровский и В.В.Немыцкий. Д.Ф.Егоров и В.А.Костицын проводили исследования в области теории интегральных уравнений, заинтересовавшие И.Г.Петровского. И.И.Жегалкин, А.Н.Колмогоров и впоследствии П.С.Новиков занимались проблемами математической логики.
Если к этому добавить такие традиционные для Москвы области исследований как дифференциальная геометрия (Д.Ф.Егоров, С.П.Фиников), обогащенная трудами приехавшего из Одессы в 1923 г. В.Ф.Кагана; прикладная математика (С.А.Чаплыгин) и завезенная из Киева в 1920-е гг. учеником Д.А.Граве О.Ю.Шмидтом новая алгебра, к занятиям которой позднее подключились А.Г.Курош и А.И.Мальцев; а также исследования начавшего работать в Москве с 1926 г. известного киевского специалиста в области теории вероятностей и математической статистики Е.Е.Слуцкого; и, кроме того, учесть значимость полученных москвичами в этих направлениях результатов, то можно сказать, что Москва к началу 1930-х гг. превратилась в один из ведущих математических центров мира.
Идеи Московской математической школы начали проникать и в Петроград, где привлекли внимание В.И.Смирнова и Г.М.Фихтенгольца, и за рубеж, в частности в Польшу, благодаря В.Серпинско-му, пребывавшему в Москве в годы Первой мировой войны и находившемуся под сильным научным влиянием Н.Н.Лузина.
На математиков Москвы, которая с 1918 г. стала столицей советского государства, легла ответственность за возрождение полнокровного математического сообщества во всей стране. Центрами математической деятельности в Москве выступали тогда Московский университет, с образованным при нем в 1922 г. Научно-исследовательским институтом математики и механики (задачами которого, по словам его директора Д.Ф.Егорова, являлись «с одной стороны, научная работа отдельных сотрудников и школ, с другой стороны — связь между представителями различных школ и, наконец, подготовка научных работников и преподавателей высших учебных заведений Союза ССР» [22, с.301]), и Московское математическое общество.11 Для москвичей это не было чем-то абсолютно новым: роль организатора российского математического сообщества Москва взяла отчасти на себя еще в дореволюционное время, став своего рода противовесом сановному Санкт-Петербургу с его Императорской Академией наук. Москвичи, возглавляемые Д.Ф.Егоровым12, приступили к исполнению этой роли. В 1922 г. они возобновили издание * Математического сборника» теперь уже как общесоюзного (и даже международного13) математического журнала, начали работу по подготовке издания
С. С.Демидов, Т.А.Токарева
151
Полного собрания сочинений Н.И.Лобачевского.14 Наконец, ими был инициирован и с 27 апреля по 4 мая 1927 г. проведен Всероссийский математический съезд (подробнее см.: [24, с.217-219]).15
Московский съезд прошел чрезвычайно успешно и ознаменовал возрождение регулярной деятельности математического сообщества в масштабах всей страны — на нем было принято решение о проведении в 1930 г. Первого Всесоюзного съезда математиков в Харькове.16
Восстановление математической деятельности в Ленинграде и в других научных центрах. Понемногу стабилизировалась ситуация и в Петрограде—Ленинграде, хотя поначалу она оказалась значительно более сложной, чем в Москве. Перенос столицы в Москву резко изменил статус местного математического сообщества. Положение же Академии наук в государстве некоторое время было неопределенным (высказывались даже предложения о ее закрытии, как учреждения, связанного со свергнутой монархией). Ряд математиков (Я.В.Успенский, Я.Д.Тамаркин, Я.А.Шохат, А.С.Безикович) эмигрировали на Запад. Однако к середине 1920-х гг. положение Академии и ситуация в ленинградском математическом сообществе начали меняться к лучшему. Существенную роль начал играть созданный в рамках Академии в 1921 г., под руководством ее вице-президента В.А.Стеклова, Физико-математический институт, из которого позднее выделился Математический институт им. В.А.Стеклова. Этот Институт и университет стали учреждениями, вокруг которых формировалось ленинградское математическое сообщество.
Наиболее важными направлениями исследований ленинградских математиков стали: математическая физика (В.А.Стеклов, Н.М.Гюн-тер, В.И.Смирнов); теория дифференциальных уравнений - обыкновенных (А.Н.Крылов, В.И.Смирнов, И.А.Лаппо-Данилевский) и с частными производными (В.А.Стеклов, Н.М.Гюнтер); теория чисел (И.И.Иванов, Б.Н.Делоне, И.М.Виноградов, P.O.Кузьмин, Б.А.Венков).
Подъем математических исследований в 1920-е гг. наблюдался и на Украине - в Киеве, Харькове и Одессе. Существенную роль здесь играла созданная в 1919 г. Всеукраинская Академия наук в Киеве. Выдающиеся работы по теории дифференциальных уравнений, конструктивной теории функций и теории вероятностей продолжал публиковать С.Н.Бернштейн. Успешно работали ученики Д.А.Граве (М.Ф.Кравчук, Н.И.Ахиезер, М.Г.Крейн). Делала свои первые шаги Школа по нелинейным колебаниям Н.М.Крылова—Н.Н.Боголюбова. Продолжал свои геометрические исследования Д.М.Синцов.
Из других математических центров страны назовем Казань, где успешно развивались исследования по геометрии, и куда в 1928 г. переехал из Одессы выдающийся алгебраист Н. Г.Чеботарев. Новым
152
МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
пунктом на математической карте страны стал Тифлис (Г.Н.Нико-ладзе, А.М.Размадзе, Н.И.Мусхелишвили), где в январе 1918 г. был открыт университет. Значительные результаты в области теории вероятностей и математической статистики были получены одним из основателей Ташкентского университета (1918 г.)17 В.И.Романовским.
Анализируя развитие математических наук в первое советское десятилетие, Дмитрий Федорович Егоров говорил, что «несмотря на все... неблагоприятные обстоятельства, математическая мысль не умерла, и математики Москвы и Ленинграда и других математических центров продолжали самоотверженно работать, хотя результаты их работы оставались неизвестными... Понемногу положение улучшалось. Наибольшее значение имело восстановление утраченных было научных связей с Западной Европой и Америкой, получение иностранной литературы и возобновление печатания научных журналов в СССР» [26, с.223]. Заключая обзор математических достижений, Егоров задавался вопросом: «...какое же место занимает работа в области математики в СССР за истекшие 10 лет в развитии нашей науки во всемирном масштабе?» [там же, с.231]. Учитывая то обстоятельство, что «Математика, быть может, в большей степени, чем все прочие науки есть наука международная... Без общения между учеными различных стран ее развитие не может идти нормально. Почти каждый математический вопрос разрешается совокупными усилиями математиков всего мира...» [там же, с.232], Дмитрий Федорович дает такой ответ: «...работы математиков СССР занимают достойное место среди работ европейских ученых и вносят свою долю участия в развитие и совершенствование различных математических дисциплин» [там же, с.231—232].
Общий подъем математических исследований в СССР стал следствием целого ряда факторов как внутринаучных (важнейший из которых — высокий уровень развития математики, достигнутый в стране в начале XX в.), так и социальных. Новая власть, идеологией которой стал марксизм, высоко ставила науку и образование. При этом и наука, и образование должны были быть перестроены на марксистском фундаменте. К тому же новое государство, оказавшееся во враждебном окружении, должно было заботиться о своей обороне. Следовательно, большое значение приобретали научные разработки, обеспечивавшие технический прогресс, в их числе разработки математические. Поэтому после первых лет, потраченных на ведение Гражданской войны и борьбу с интервенцией, советская власть начала выстраивать свою политику в области науки и образования.
Снятие сословных и национальных барьеров привело к притоку в высшую школу, а затем и в науку, молодежи, которой при старом режиме доступ туда был максимально затруднен. Вот что в этой связи говорил П.С.Александров на Общем собрании Академии наук
q С Демидов, Т.А.Токарева
153
СССР, посвященном истории отечественной науки (январь 1949 г.): «Дореволюционная РУсская наука развивалась под гнетом великодержавного шовинизма. В условиях подавления царским режимом всяких попыток развития национальных культур не могло быть и речи о привлечении к культурному строительству многочисленных нерусских национальностей... Вспомним, что такие крупные математики как [Г.]Кантор и [Г.]Минковский, родившись в России, лишь потому не вошли в летопись русской науки, что должны были, из-за того, что принадлежали к еврейской национальности, покинуть пределы Российской империи, где возможность получения образования была для них исключена. Вспомним, наконец, что С.Н.Бернштейн, уже давно достигнув мировой известности, не мог в условиях царской России получить профессорское звание и так и оставался до 1917 г. приват-доцентом Харьковского университета» [2, с.72—73].
Однако это было одной стороной медали. Другой - стала новая советская практика, основывающаяся на классовом подходе, как в оценке текущих событий, так и в выстраивании политики в области народного образования и науки. В высшую школу не должны были допускаться выходцы из эксплуататорских классов. От ученых и преподавателей вузов требовалось перестройка всей деятельности на базе марксистского учения. Отсюда практика чисток в вузах и оголтелые кампании против ученых и педагогов, объявленных буржуазными или монархическими. Примерами таких кампаний в математике могут служить: борьба на «Ленинградском математическом фронте» [27], преследование «егоровщины» [28], «дело академика Н.Н.Лузина» [29].
Встреча двух ведущих математических школ. Поводом для первой в советский период встречи двух ведущих математических школ послужил юбилей Пафнутия Львовича Чебышева. В июне 1921 г. в Петрограде состоялась расширенная сессия Физико-математического отделения Академии наук, посвященная 100-летию со дня его рождения. Организатором проведения юбилея выступил один из учеников П.Л.Чебышева и «политических лидеров» Петербургской-Петроградской школы, академик А.А.Марков. Московский университет и Московское математическое общество получили приглашение принять участие в работе сессии. Московскую делегацию возглавлял Н.Н.Лузин, в нее входили: С.П.Фиников, В.А.Костицин, В.В.Степанов, В.Н.Вениаминов, П.С.Урысон; аспиранты и студенты старших курсов Московского университета: С.Д.Российский, В.С.Богомолова, А.Ю.Зеленская, С.С.Ковнер, Н.К.Бари, Ю.А.Рожанская, Т.Ю.Ай-хенвальд, Д.И.Перепелкин, Н.Д.Нюберг, Л.А.Люстерник; а также приехавшие из Иванова-Вознесенска А.И.Некрасов, Д.Е.Меньшов, А.Я.Хинчин, А.К.Власов [24, с.217].
154______________________________МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
Оценивая значение этой встречи, один из ее участников, тогда студент, а в будущем член-корреспондент АН СССР, Л. А.Люстерник писал: «Состоялась первая после революции встреча двух основных математических школ... она показала, что, несмотря на все трудности и потери, математическая наука в нашей стране жива. Более того она пускает молодые ростки. И мы... оказались у истоков большой реки советской математической науки» [30, с.28].
Рождение Советской математической школы. Процесс дальнейшего развития математических исследований в стране мог пойти далее разными путями. Тот путь, которым ему суждено было последовать, был определен внешними обстоятельствами — сталинскими планами строительства Советской науки. Согласно этим планам, головной ее организацией («штабом Советской науки») должна была стать Академия наук СССР. Это положение закреплялось новым уставом Академии, принятым в 1927 г. Основной задачей Академии провозглашалась — тесная связь с социалистическим строительством. В состав реформируемой Академии включался ряд членов партии. Одному из них, избранному в 1929 г. ее действительным членом и даже вице-президентом, «старому большевику» Г.М.Кржижановскому, вменялось в обязанности контролировать работу Академии. Кроме того, в начале 1930-х гг. Г.М.Кржижановский был назначен председателем Комитета высшей технической школы и стал также руководить всем техническим образованием в стране. Отношение Кржижановского к математике и математиков к Кржижановскому было продемонстрировано на Втором Всесоюзном математическом съезде. Предоставляя ему слово, председательствующий П.С.Александров сказал: «Я надеюсь, что присутствие Глеба Максимилиановича в нашей среде на этом Съезде является знаменем и символом той поддержки, которую мы все, работники математических наук, окажем Глебу Максимилиановичу в его трудной и ответственной задаче по поднятию технического образования нашей страны на должную высоту. Я думаю, что выражу общую мысль нашего собрания, если предложу приветствовать Глеба Максимилиановича» [31, с.27]. После отзвучавших аплодисментов Г.М.Кржижановский обратился к собравшимся: «Товарищи, я не являюсь математиком, но я надеюсь, что мы слишком хорошо знаем друг друга, математическая среда хорошо знает отношение Академии наук и академиков к себе. Я уверен, что никто не сомневается, что Кржижановский не только в качестве председателя Комитета высшей технической школы, но и в качестве академика, будет всегда деятельным помощником в ваших огромных трудах и одним из тех пропагандистов, которые глубоко убеждены, что именно здесь, в области специального знания, именно здесь, при создании мощного
q С Демидов, Т.А.Токарева
155
нового фундамента, при подготовке наших кадров... вы будете по-п-режнему нашей гордостью, нашей мощной опорой» [там же].
Разумеется, «штаб Советской науки» должен был находиться у
вождя «под рукой». Поэтому в 1934 г. Президиум и ряд ведущих институтов были переведены в Москву. В их числе — Математический институт им. В.А.Стеклова.
Еще до переезда Математического института в Москву, в июне
1934 г. в Ленинграде, был созван Второй Всесоюзный математический съезд (подробнее см.:[24, с.223—230]). В одном из первых приветствий Съезду (от Московского университета), с которым высту
пил директор Института математики и механики МГУ А.Н.Колмогоров, говорилось, что «Московский университет, старейший из наших университетов, конечно, как и всякий другой, чрезвычайно заинтере-
сован в стремлении к единению научных сил различных городов, в частности к тесному единению Ленинградской математической школы и Московской математической школы, которые до сего времени были несколько более разъединены между собою, чем это было бы желательно. Я думаю, что за последние годы намечается стремление к тесному единению, и мы надеемся, что это единение еще более укрепится при переезде Академии наук в Москву, что повлечет, несомненно, переезд известной части ленинградцев к нам, а следовательно, приведет к укреплению научной атмосферы в Московском университете» [31, с. 24-25]. При подведении итогов работы Ленинградского съезда, президент Московского математического общества П.С.Александров заключил: «...действительно... можно с громадным удовлетворением констатировать начало деятельности Общесоветской математической школы, и я думаю, что объединение всех различных школ в нашем Союзе... совершенно необходимо. Разумеется, значение каждой отдельной школы не должно умаляться, уважение к каждому отдельному направлению, к каждой отдельной школе должно быть налицо. Но наряду с этим должно существовать взаимное проникновение, взаимная поддержка отдельных существующих направлений, так как,
конечно, все эти направления только тогда и приведут к расцвету математики в нашей стране, еще большему, чем тот, который мы наблюдаем сейчас... В этом смысле чрезвычайно отрадным фактом является большое сближение, происходившее и происходящее между Москвой и Ленинградом» [там же, с.68-69].
Итак, две ведущие национальные школы — Московская и Петербургская—Ленинградская — оказались в одном городе. В Москву переехали И.М.Виноградов, Н.Е.Кочин, С.Л.Соболев, Б.Н.Делоне, позднее — С.Н.Бернштейн. Вот что говорил об этом почти сорок лет спустя, в интервью 14 декабря 1973 г., один из наиболее видных участников событий Б.Н.Делоне: «...между школой Эйлера—Чебышева петербургской и школой Лузина московской — собственно
156 МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
французской, парижской18 — все время был такой антагонизм, что те этих не понимали, эти - этих, пока Академию не перевели в Москву. Когда в тридцать четвертом или тридцать пятом, в начале, перевели Академию в Москву, мы начали сближаться, и вот из этого сближения обеих школ и получилось, ну, вот то, что мы сейчас называем “советская математика”» [32, с.129].
Итог такого «общежития» оказался чрезвычайно плодотворным. Произошло слияние двух, хотя и имевших общие источники, но в то же время идеологически различных школ. Произошел синтез традиции петербургской школы математической физики (С.Л.Соболев) и московской, восходящей к К.М.Петерсону, традиции исследований в области теории дифференциальных уравнений с частными производными (И.Г.Петровский); московского (А.Н.Колмогоров, А.И.Плес-нер) и ленинградского (С.Л.Соболев) направлений в функциональном анализе; чебышевской линии развития теории вероятностей, наследником которой выступал С.Н.Бернштейн, с московской, выросшей в недрах метрической теории функций (А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров); встретились две линии развития теории чисел — чебышевская (И.М.Виноградов) и новая московская (А.Я.Хинчин, А.О.Гель-фонд, Л.Г.Шнирельман); две линии развития алгебраических исследований, восходящих к киевской школе Д.А.Граве — московская (О.Ю.Шмидт, А.Г.Курош) и ленинградская (Б.Н.Делоне). Возник мощнейший исследовательский потенциал, объединенный вокруг Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, механико-математического факультета и Научно-исследовательского института математики и механики МГУ и Московского математического общества.
Так в середине 1930-х гг. родилась Советская математическая школа — одна из наиболее влиятельных в XX в.
Заключение. Советской математической школе предстояла еще долгая и непростая жизнь. С конца 1930-х гг. и на протяжении многих последующих лет ее развитие проходило в относительной изоляции от зарубежных математических центров. Но ее внутренний потенциал оказался настолько велик, что она и в этой ситуации продолжала успешно развиваться. Из тяжелых лет войны, принесших стране, а, следовательно, и ее науке, неисчислимые потери, она вышла, чрезвычайно расширив географию — новые математические центры появились на востоке европейской части страны, в Сибири, Средней Азии и в Закавказье. Подлинным ее триумфом стал Международный конгресс математиков 1966 г., прошедший в Москве и ставший самым представительным за весь XX век. На этом конгрессе Советская математическая школа продемонстрировала как широту тематического охвата поля математических исследований, так и силу, и глубину своих результатов.
C С. Демидов, Т.А.Токарева
157
Примечания
1	Основанный в 1869 г. Варшавский университет с приближением к Варшаве театра военных действий Первой мировой войны был эвакуирован сначала в Москву (в 1915 г.), а затем в Ростов-на-Дону, где и остался. В 1917 г. Университет был переименован в Донской, в 1925 - в Северо-Кавказский, а с 1931 г. - именуется Ростовским государственным.
2	Математические исследования проводились в Томском технологическом институте (основан в 1896 г.) и Томском государственном университете (основан в 1888 г.) - первом сибирском университете, в котором в 1917 г. был организован физико-математический факультет.
з Общество было организовано вначале как физико-математическая секция Казанского общества естествоиспытателей. В 1890 г. секция преобразовалась в самостоятельное физико-математическое общество, председателем которого стал А.В.Васильев.
4	Общество работало до 1905 г., первым его председателем был В.Г.Имшенецкий. В 1920-е гт. в Петрограде А.В.Васильевым была предпринята попытка организации физико-математического общества, которое просуществовало несколько лет. Полноценное математическое общество возродилось в Ленинграде лишь в 1959 г.
5	На Съезде было принято решение о проведении следующего, четырнадцатого, в 1916 г. в Харькове, но история распорядилась иначе.
6	Дерпт (до 1893, с 1893 по 1919 - Юрьев, с 1919 - Тарту), например, после известных правительственных действий по русификации края, потерял свою пронемецкую ориентацию и в математическом отношении стал продолжением Москвы и Петербурга.
7	Заметим, что в приводимом в «Математическом сборнике» списочном составе членов Московского математического общества в XVII томе (1893, c.III-IV) фамилия Маркова есть, а в XVIII (1896, c.III-IV) - нет. Возможно, это результат полемики.
8	Так, первый курс теории функций действительного переменного, нового тогда направления в математике, был прочитан Б.К.Млодзеевским в Московском университете в 1901 г.
9	В 1918-1920 гг. состоялось 26 заседаний Общества, в которых принимали участие и докладывали свои результаты уехавшие в Иваново москвичи: Н.Н.Лузин выступил за это время 5 раз, Д.Е.Меньшов - 3, А.Я.Хинчин - 2.
10	В 1920-1921 гг. иа заседаниях Общества было сделано 8 докладов, в том числе 3 — Н.Н.Лузиным и по одному Д.Е.Меньшовым и А.Я.Хинчиным [20].
11	В 1922 г. Общество насчитывало 83 члена, в том числе 72 - из 19 городов России (включая 35 москвичей) и И иностранных ученых (5 - из Германии, 4 - из Франции, по одному - из Мексики, Австрии, Швеции) [23].
12	Д.Ф.Егоров с 1923 г. был директором Научно-исследовательского института математики и механики МГУ и президентом Московского математического общества.
13	В возобновленном «Математическом сборнике» можно было публиковать статьи не только по-русски, но также на французском, немецком, итальянском и английском языках. В журнале стали активно печататься зарубежные авторы, среди которых мы видим Э.Картана, М.Фреше, Б.Гамбье, Ж.Адамара, Х.Хопфа, С.Лефшеца, Р.Мизеса, Э.Нетер, В.Серпинского, Л.Тоннелли (подробнее см.: [9]).
14	В 1926 г. математическая общественность собиралась отмечать 100-летие открытия неевклидовой геометрии; в связи с этим в 1923 г. была образована Комиссия по изданию полного собрания сочинений Н.И.Лобачевского, в которую вошли В.А.Стеклов, Д.Ф.Егоров, Н.А.Глаголев, А.П.Котельников А.В.Васильев и др. Комиссия привлекла к работе известных ученых различных стран, образовавших особый международный комитет по изданию трудов Н.И.Лобачевского. Первым председателем Комиссии был Егоров.
15	Заметим, что вопрос о необходимости проведения математических съездов в России ставился Московским математическим обществом еще в 1911 г., о чем свидетельствует протокол заседания Общества от 25 января 1911 г. [25, с.596].
16	24-29 июня 1930 г. в Харькове состоялся I Всесоюзный съезд математиков, в работе которого приняли участие 14 зарубежных математиков. Работа съезда началась с программного выступления О.Ю.Шмидта «Роль математики в строительстве
158_______________________________________МАТЕМАТИКА В РОССИИ И СССР
социализма». Итоговая резолюция Съезда констатировала наличие значительных успехов математической мысли в СССР, обеспечивающих советской математике почетное место в мировой науке. А также с удовлетворением отмечала присутствие и активное участие в его работе крупнейших западноевропейских математиков. Участниками Съезда были поддержаны положения, прозвучавшие в докладе О.Ю.Шмидта, а также одобрена деятельность Всесоюзной математической ассоциации, созданной на Всероссийском математическом съезде, в члены которой были приняты 13 существующих в стране общественных математических организаций, и было высказано пожелание созвать следующий съезд в 1933 г. в Ленинграде или Тифлисе. Второй Всесоюзный математический съезд, о котором речь пойдет ниже, состоялся в Ленинграде, но в 1934 г [24, с.219-223].
17	Основанный в 1918 г. Ташкентский народный университет с 1920 г. стал называться Туркестанским, с 1923 - Среднеазиатским, а с 1960 - Ташкентским государственным университетом.
18	Характеристика Московской школы как Школы «собственно французской, парижской» является, с нашей точки зрения, однобокой, не учитывающей ее укорененности в почве Московской философско-математической школы. Не надо забывать, что одним из ее основателей был Д.Ф.Егоров, прививший Школе широту диапазона исследований. Безусловно, воспринятая ею основная направленность (теория функций действительного переменного и теория множеств) была парижской. Однако тематика исследований не является исчерпывающей характеристикой Школы.
Можно, однако, думать, что, называя Московскую школу парижской, Б.Н.Делоне имел в виду лишь одну ее характерную особенность - ее устремленность не на конкретные задачи (как это мы видим у представителей Петербургской школы), а на разработку некоторых «совсем общих» теорий. С таким пониманием слов Делоне согласуется оценка наших ведущих школ, данная известным немецким математиком И.Шуром и донесенная до нас все тем же Б.Н.Делоне, который в своем выступлении на Втором Всесоюзном математическом съезде вспоминал: « В 1928 г. я сблизился с весьма талантливым математиком Исаем Шуром, и он мне сказал... одну парадоксальную вещь, что самая математическая математика находится в Ленинграде, в так называемой Петербургской школе, ибо эта Школа занимается конкретными задачами, что на Западе мы имеем менее конкретную школу - в Берлине, и, наконец, совсем общую - в Париже, и Московская школа превзошла парижскую, но, во всяком случае, она, скорее всего, направления парижской школы» [31, с.57].
Список литературы
1.	Demidov S.S. L’histoire des mathematiques en Russie et en URSS en tant qu’histoire des fcoles // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1997. Специальный выпуск. С.9-21.
2.	Александров П. С. Советская математическая школа // Вопросы истории отечественной науки. Общее собрание Академии наук СССР, посвященное истории отечественной науки. 5-11 января 1949 г. / Отв. ред. С.И.Вавилов. М.-Л., 1949. С.63-85.
3.	Боголюбов Н.Н. Успехи советской математической школы // Вестник Академии наук СССР. 1966. №7. С.37-42.
4.	Боголюбов Н.Н., Мергелян С.Н. Советская математическая школа. М., 1967.
5.	Демидов С. С., Токарева Т.А. Московское математическое общество: фрагменты истории // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2003. Вып.8(43). С.27-49.
6.	Демидов С.С., Токарева Т.А. Роль Московского математического общества в развитии отечественной математики // Вестник Российского гуманитарного научного фонда. 2004. №1(34). С.124-132.
7.	Марчевский М. Н. Харьковское математическое общество за первые 75 лет его существования (1879-1954) // Историко математические исследования. М., 1956. Вып.1Х. С.613-666.
8.	Люстерник Л.А. Математический сборник // Успехи математических наук. 1946. T.I. Вып.1. С.242-247.
с с Демидов, Т.А.Токарева
159
о Демидов С. С. «Математический сборник» в 1866-1935 гг. // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1996. Вып.1(36). №2. С.127-145.
10	Кир0 С.Н. Математика на съездах русских естествоиспытателей и врачей // Истори-ко-математические исследования. М., 1958. Вып.Х1. С.133-158.
11	Токарева Т.А. История математики в России: рождение дисциплины // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2005. Вып.9(44). С.209-237.
12	Извлечения из протоколов заседаний Математического общества // Математичес-' кий сборник. 1891-1893. T.XVI. Вып.4. С.827-848.
13	ЛапкоА.Ф., Люстерник Л.А. Из истории советской математики // Успехи математических наук. 1967. Т.ХХП. Вып.6. С.13-140.
14	Степанов В.В. Московская школа теории функций // Ученые записки МГУ. 1947. ’ Вып.91. Т.1. Кн.1. С.47-52.
15	Демидов С.С. Москва математическая // Москва научная / Отв. ред. В.М.Орел. М., 1997. С. 136-160.
16.	Ермолаева Н.С. Новые материалы к биографии Н.Н.Лузина // Историко-математические исследования. М., 1989. Вып.ХХХ!. С.191-203.
17.	Дмитрий Евгеньевич Меньшов. Вторая беседа (2 мая 1975 года) // Математики рассказывают. Из собрания фонодокументов имени В.Д.Дувакина. М., 2005. С. 180-195.
18.	БариН.К., Голубев В.В. Биография Н.Н.Лузина //Н.Н. Лузин. Собр. соч. вЗ-хтт. М., 1959. Т.Ш. С.468-483.
19.	Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // Успехи математических наук. 1965. Т.ХХ. Вып.1. С.137-161; Вып.2. С.199-239; Вып.4. С.147-185; 1970. T.XXV. Вып.4. С.189-196.
20.	Хинчин А.Я. Отчет о деятельности Математического общества при ИВПИ // Известия Политехнического института. 1921. №4. С.180.
21.	[Хинчин А.Я.] Математика // Десять лет советской науки. Сборник статей / Под общ. ред. Ф.Н.Петрова. М.-Л., 1927. С.39-51.
22.	Егоров Д. Ф. Работа научно-исследовательского института математики и механики за пятилетие с 1923 по 1928 гг. // Известия ассоциации научно-исследовательских институтов при физико-математическом факультете МГУ. 1928. Т.П. Вып.34. С.301-303.
23.	Состав Московского математического общества // Математический сборник. 1922. T.XXXI. Вып.1. С.1-3.
24.	Токарева Т.А. Первые съезды отечественных математиков: предыстория и формирование Советской математической школы // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2001. Выл.6(41). С.213-231.
25.	Извлечение из протоколов заседания Московского математического общества // Математический сборник. 1909-1911. T.XXVII. Вып.4. С.580-602.
26.	Егоров Д.Ф. Математика в СССР // Наука и техника СССР. 1917-1927 / Под ред. акад. А.Ф.Иоффе, Г.М.Кржижановского, М.Я.Лапирова-Скобло, акад. А.Е.Ферс-мана. М., 1927. С.223-232.
27.	Ермолаева Н.С. О так называемом «Ленинградском математическом фронте» // Труды Санкт-Петербургского математического общества. 1998. Т.5. С.380-394.
28.	Демидов С.С. Профессор Московского университета Д.Ф.Егоров и имеславие в России в первой трети XX века // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1999. Вып.4(39). С.123-155.
29.	Дело академика Николая Николаевича Лузина / Отв. ред. С.С.Демидов, Б.В.Лев-шин. СПб., 1999.
30.	Люстерник Л.А. Выступление на юбилейном заседании Московского математического общества // Успехи математических наук. 1965. Т.ХХ. Вып.З. С.21-30.
31.	Труды Второго Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 24-30 июня 1934 / Отв. ред. В.И.Смирнов. Л.-М., 1935. Т.1.
32.	Борис Николаевич Делоне. Беседа 14 декабря 1973 года // Математики рассказывают. Собрание фонодокументов имени В.Д.Дувакина. М., 2005. С.115-150.
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
ПИФАГОРЕЙСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТОРОННИХ И ДИАГОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ПОНЯТИЕ СЕМЕННОГО ЛОГОСА
А.И.Щетников
Описание алгоритма Теона
Платон (427-347 гг. до н.э.) в VIII книге «Государства» (546с) употребляет выражение «рациональная диагональ пятерки» {дтцЕтро^ рг]то^ ЛЕ(1лй8о£), не приводя к нему никаких дополнительных пояснений. Неопифагореец Теон Смирнский (начало II в. н.э.) в своей книге «Изложение математических принципов, полезных при чтении Платона» (42ю—44^) дает к этому выражению следующий комментарий:
«Подобно тому как числа потенциально имеют отношения треугольные, четырехугольные, пятиугольные и соответствующие прочим фигурам, так мы могли бы найти сторонние и диагональные отношения (nAcupiKoi Kcti SiapetpiKOi Aoyoi), обнаруживающиеся у чисел в соответствии с семенными отношениями (aneppcrriKoi Aoyoi), ибо по ним упорядочиваются фигуры. А так как над всеми фигурами согласно наивысшему и семенному отношению начальствует единица, то и отношение диагонали к стороне отыскивается в единице. Возьмем две единицы; положим, что одна из них есть диагональ, другая же — сторона, ибо единица, будучи началом всех вещей, потенциально должна быть и стороной и диагональю. И пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали две стороны, ибо сколько дважды дает в квадрате сторона, столько один раз диагональ. Теперь большее становится диагональю, а меньшее стороной. При первой стороне и диагонали квадрат единицы-диагонали на одну единицу меньше, чем
а И.Щрпигс06
161
дважды взятый квадрат единицы-стороны; ведь единицы находятся в равенстве, и единое на одну единицу меньше, чем двойное. Прибавим к стороне диагональ, то есть к единице единицу; итак, сторона будет 2 единицы; к диагонали же прибавим две стороны, то есть к единице две единицы; диагональ будет 3 единицы. Квадрат стороны будет 4, а квадрат диагонали будет 9; и 9 на единицу больше, чем дважды взятое 4. Снова прибавляем к стороне 2 диагональ 3; сторона будет 5; а к диагонали 3 две стороны, то есть два раза по 2; диагональ будет 7. Квадрат стороны будет 25, а квадрат диагонали будет 49; и 49 на единицу меньше, чем двукратно взятое 25. Снова к стороне прибавь диагональ 7; будет 12; к диагонали 7 прибавь дважды взятую сторону 5; будет 17. И квадрат 17 на единицу полнее, чем двукратно взятый квадрат от 12. И от дальнейшего прибавления, происходящего таким образом, будет происходить подобная же смена: двукратно взятый квадрат стороны то на единицу меньше, то на единицу больше, чем квадрат диагонали; при этом стороны и диагонали рациональны».1
Эту же схему для вычисления последовательности «сторонних и диагональных чисел» описывают Ямвлих (ок. 242—327 н.э.) во «Введении в “Никомахову Арифметику”» (91з~93б) и Прокл (410-485 н.э.) во II книге «Комментария к “Государству” Платона» (24)6—2513, 27)—294). Мы будем называть ее для краткости «алгоритмом Теона», хотя сам Теон (трактат которого представляет собой компиляцию из нескольких источников), безусловно, не является ее автором. Прокл в указанном сочинении приписывает открытие этого алгоритма пифагорейцам:
«Поскольку у рациональной стороны не может быть рациональной диагонали (ибо не существует двух квадратных чисел, одно из которых в два раза больше другого, и ясно, что эти величины несоизмеримы, и что Эпикур ложно ввел неделимую меру для всех тел, и Ксенократ — неделимую линию для линий), пифагорейцы и Платон стали говорить о рациональной диагонали и рациональной стороне не прямо, но по производимым квадратам, где диагональ имеет двойное отношение [к стороне], то меньшее на единицу, то большее на единицу: большее как 9 к 4, меньшее как 49 к 25. Пифагорейцы предложили элегантную теорему о диагоналях и сторонах, согласно которой диагональ с присоединением стороны, для которой она является диагональю, становится стороной, а сторона, сложенная сама с собой, с присоединением диагонали становится диагональю. И это доказано на чертеже во второй книге “Начал”. Если прямая линия рассечена пополам и к ней по прямой приставлена какая-нибудь другая прямая, то квадрат на всей прямой с приставленной и квадрат на приставленной вдвое больше квадрата на половине и квадрата, надстроенного на половине и приставленной как на одной прямой».2
162
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKOR
Обозначив диагональное и стороннее число n-го шага через sn, представим алгоритм Теона на языке векторов и матриц:
с?п+1 _ 1 2 dn
л+d и dh.'
dn и
(1)
Этот алгоритм порождает последовательность числовых пар
Т] ГЗ 1} Ы’
171 [411 [99
12J’ [29J [70
(2)
для которых, как указывает Теон, выполняется соотношение d2 -2sI = (—!)”.
(3)
Заметим, что в силу (3) последовательность отношений d^:s^ сходится к 2; тем самым последовательность отношений dn'.sn сходится к V2. Геометрически V2 является отношением сторон двух квадратов, один из которых в два раза больше другого; или, что то
же самое, отношением диагонали и стороны одного и того же квадрата. Этим объясняется, почему числа dn и sn носят названия «диагональных» и «сторонних».
Доказательство соотношения (3)
Прокл в приведенном выше отрывке ссылается на формулировку предложения 11.10 «Начал» Евклида. Чертеж, на котором это предложение доказывается в «Началах», изображен на рис.1. Катеты прямоугольного треугольника EDB равны а и (а + 26); катеты прямо-
угольного треугольника EFB равны (а + Ь)^2 и Ь^2. Выразив общую гипотенузу этих треугольников ЕВ через катеты, получим доказываемое в 11.10 тождество
а2 + (а + 2Ь)2 = 2(а + 6) 2 + 2fe2.
Рис.1
Упомянутая Проклом «элегантная теорема о диагоналях и сторонах» получается из этого соотношения переносом отдельных его членов из одной части в другую:
(а + 26) 2 - 2(а + 6)2 = 262 - а2.
(4)
Пусть длины отрезков а и b выражены диагональным и сторонним числами п-ого шага. Тогда длины отрезков (а + 26) и (а + 6) будут выражаться диагональным и сторонним числами (п + 1)-ого шага. И поскольку разность удвоенного квадрата стороннего числа и
д И.Щетников
163
квадрата диагонального числа равна единице в первой числовой паре [1,1]» она будет равна ±1 и во всех последующих числовых парах.
Рассмотренное доказательство дает строгое обоснование соотношению (3). Но оно ничего не говорит о том, как были найдены формулы (1). Поэтому возникает вопрос о том, как античные математики могли прийти к самим этим формулам. Наиболее вероятным здесь представляется ход рассуждения, связанный с попытками найти общую меру стороны и диагонали квадрата.
Связь между алгоритмами Теона и Евклида
Описанный Евклидом алгоритм для поиска наибольшей общей меры двух величин состоит в следующем. Возьмем две величины А > В и вычтем В из А; теперь мы будем иметь две величины В и С = А — В. Если они равны друг другу, то тогда С будет наибольшей общей мерой Л и В. В противном случае возьмем В и С и вычтем меньшую величину из большей; мы будем иметь новую пару величин, и т.д. Если это последовательное взаимное вычитание (avOvtp&ipEait,)
завершится на каком-нибудь шаге равенством получившихся величин, последний остаток будет служить наибольшей общей мерой начальной пары А, В. Но «если при последовательном взаимном отнятии меньшей величины от большей остаток никогда не измеряет предыдущей величины, эти величины являются несоизмеримыми» (Евклид, «Начала» Х,2).
Первая реконструкция связи между алгоритмами Теона и Евк-
лида основана на прямом геометрическом вычитании стороны квадрата из его диагонали.3
Вычитая из диагонали D сто-
рону 5, получим отрезок У < 5. Вычитая затем У из 5, получим новую пару отрезков У и D' (рис.2). Нетрудно видеть, что отрезки У и D' являются стороной и диагональю некоторого квадрата. Их дальнейшее последовательное взаимное вычитание воспроизведет исходную ситуацию, и поэтому оно никогда не завершится. Тем самым следует заключить, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Пара больших отрезков [£), 5] получается из пары меньших отрезков [Е)',У] в соответствии с соотношением
164
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
£>1_Г1 21 [£Х л] ~ L1 U 1у.
<5)
Мы видим, что (5) представляет собой ту же самую форму, что и (1). И если принять сторону и диагональ некоторого квадрата приближенно равными 1, то формулы (5) будут давать рациональные приближения (2) для «сторонних и диагональных чисел» в пос
ледовательности неограниченно увеличивающихся квадратов.
Вторая реконструкция4 антифайресиса сторон единичного и двойного квадратов (ниже мы будем называть эти квадраты «однофутовым» и «двухфутовым») отличается от первой тем, что она опирается на приемы так называемой «геометрической алгебры»5, — а именно, на предложение II.6 «Начал» Евклида: «Если прямая линия рассечена пополам и к ней по прямой приложена какая-либо другая
прямая, то прямоугольник, заключенный между всей прямой с приложенной и самой приложенной, вместе с квадратом на половине ра-
вен квадрату на прямой, составленной из половины и приложенной».
Однофутовый квадрат на стороне 5 совмещен «угол в угол» с двухфутовым квадратом на стороне D (рис.З); их разность, имеющая
форму гномона ширины S', равна одному квадратному футу. Превращая гномон в прямоугольник перекладыванием частей, получим соотношение
(D + 5)xy = C2 -S2 =52, которое преобразуется сначала в непрерывную геометрическую пропорцию
(Е> + 5):5 =5:У,
а затем, вычитанием знаменателя
Рис.З
из числителя, в пропорцию D:S = (S -S')-.S'.
Поскольку отношение исходных величин D:S равно отношению (S — S') .S', возникающему на очередном этапе последовательного вза
имного вычитания, можно заключить, что этот процесс никогда не завершится, а поэтому отрезки D и S несоизмеримы.
Третья реконструкция (новая). Предлагаемая ниже реконструкция связывает доказательство соотношения (3) с антифайретическим доказательством несоизмеримости сторон двухфутового и однофутового квадратов так, что обе теоремы доказываются не порознь (как это делалось и в первой, и во второй реконструкции), но на одном и том же чертеже. Подобно второй реконструкции, она опирается на
А И.ШетниКОВ
165
методы «геометрической алгебры», -но не на предложение 11,6, а непосредственно на упомянутое Прок-лом предложение 11.10.
Прежде всего заметим, что рассмотренное выше Евклидово доказательство предложения 11.10, скорее всего, является вторичным по отношению к несохранившемуся исходному доказательству, основанному на разрезании квадрата на части (рис.4) и перегруппировке частей.6 А именно,
а2 + (а + 26)2 = а2 + (а2 + 46 2 -2Ь2 + 2(а + Ь)2 = 26 2 + 2(а2 + 62 откуда следует требуемое тождество
а2 + (а + 26)2 = 262 + 2(а + 6)2.
Рис.4
4а6) = 2а2 + 462 + 4а6, (П.8) + 2а6) = 2а2 + 462 + 4а6, (II.4)
Чтобы доказать на этом же чертеже несоизмеримость сторон двухфутового и однофутового квадратов, возьмем отрезки а и b такими, чтобы квадрат на стороне D = а + 26 был двухфутовым, а квадрат на стороне 5 = а + Ь был однофутовым. В процессе последовательного взаимного вычитания сторон D и S будет D — S =Ь, S —Ь = а. Однофутовый квадрат на 5 равен однофутовому гномону, образованному разностью двухфутового квадрата на D и однофутового квадрата 5. Тем самым
а2 + 62 + 2аЬ = 362 + 2аЬ,
откуда следует, что
а2 = 2Ь2.
Но Ь и а — это первый и второй остатки, возникшие при последовательном взаимном вычитании сторон D и 5. Воспроизвелось начальное отношение квадратов, поэтому процедура антифайресиса не может быть завершена. Отсюда следует заключить, что стороны D и 5 несоизмеримы между собой.
Вариации на тему третьей реконструкции. Первая вариация (рис.5) связана с формулировкой предложения И.9 «Начал» Евклида: «Если прямая линия рассечена на равные и неравные части, то квадраты на неравных отрезках всей прямой вдвое больше квадрата на половине вместе с квадратом на отрезке между сечениями».
Здесь двухфутовая прямая линия рассечена на равные однофутовые части 5; и она же рассечена на неравные части так, чтобы большая часть D была стороной двухфутового квадрата. В процессе
166
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Рис.6
антифайресиса сторон DhS будет D — S = b, S — b = а. Квадрат на D равен прямоугольнику со сторонами 5 и 2S. Вычитая из этих фигур их общую прямоугольную часть, закрашенную на рис.5 серым, получим равенство незакрашенных прямоугольников bD = aS, приводящее к соотношению
а 2 + ab = 2Ь2 + ab,
откуда следует, что
а = 1b .
Вторая вариация (рис. 6). Два однофутовых квадрата на 5 равны двухфутовому квадрату на £); поэтому их перекрытие а2 равно двум непокрытым квадратам Ь2.
Формальные обобщения алгоритма Теона
Теоретическое обоснование своего алгоритма Теон формулирует в следующих словах: «пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали две стороны, ибо, сколько дважды дает в квадрате сторона, столько один раз диагональ». Ссылка на это обоснование была бы осмысленной только в том случае, если бы оно носило универсальный характер. Но тогда при вычислении рациональных приближений -JN аналогичное обоснование будет формулироваться так: «пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали N раз взятая сторона, ибо сколько N раз дает в квадрате сторона, столько один раз диагональ».
Соответствующий алгоритм первым в 1881 г. рассмотрел Хейлер-ман7; различные его аспекты исследовались в ряде работ.8 Ниже дается обзор формальных результатов, полученных в этих работах.
Первое обобщение. Исходя из непрерывной пропорции
N
Vn ’ 1 '
А И.Щетников
167
перейдем к составной пропорции
у[к Jn + n
---=------г=~.	\о?
1	1 +Vn
Положим -Ул/ в правой части (6) равным старому рациональному приближению dfc Sk, а в левой части — новому рациональному приближению <4+1Л+Г Тем самым мы получим формулу, выражающую новые рациональные приближения через старые:
<4+1
Л+1
'I Nj dk .1 1.1л.
(7)
Назовем формулу (7) с начальным условием [dj, Sj ] = [!,!] первым обобщением алгоритма Теона (ТАр.
Преобразовав (6) к виду
подстановкой этой формулы «в себя» получим обобщенную непрерывную дробь
В случае W = 2 и N = 3 эта непрерывная дробь является простой (т.е. такой, все числители которой являются единицами), и последовательности отношений dk :sl совпадают с последовательностями подходящих дробей для л/2 и л/З. Однако для N > 4 ТА) уже не дает такого совпадения.
Геометрическая интерпретация TAj, обобщающая рис.4, представлена на рис.7.В 9 Аналогом предложения 11.10 для этого чертежа служит соотношение
D'2 +(N - 1)П2 = Ny2+(N - 1)NS2,
из которого перестановкой отдельных членов выводится аналог соотношения (4)
D2 -NS"2 = (N — 1)[N52 - D2 ].
Второе обобщение. Пусть п является наибольшим натуральным числом, квадрат которого не превосходит N. Исходя из составной
пропорции
_ пл/N + N
1 ~ n + jN ’
(8)
168
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОв
перейдем к рекурсивной формуле
^4+1 _Г« Nl dk
Л+lJ L1
(9)
Назовем формулу (9) с начальным условием [dj ] = [т,1] вторым обобщением алгоритма Теона (ТА2).
Преобразовав (8) к виду
подстановкой этой формулы «в себя» получим обобщенную непрерывную дробь
2п +
2п +
N - и2
N-n2_______
N - п2
„ N-п2
2п -I-------~
а N-n2
2п + —---
2п+...
N = п +
Если 2п делится на N — п2, эта непрерывная дробь является простой, одночленной (для случая N — п =1) или двучленной; и последовательность отношений dk'.sk совпадает с последовательностью подходящих дробей для -Jn. В противном случае такого совпадения уже не будет.
169
л ИДПетников__________________________________________________
Дополнение. Комбинирование ТАг с другими вспомогательными приемами может оказаться весьма эффективным средством для приближенного вычисления квадратных корней. К примеру, рассмотрим вычисление рациональных приближений для -ЛЗ. Подберем такое число k, чтобы N = 13А2 удовлетворяло условию делимости, описанному в предыдущем абзаце. А именно, при k =5 будет 13 - 52 = 182 + 1, и поэтому
ЛЗ = 1V182 + 1 = | [18 +
5	5\	36+ 36+—/
Первые подходящие дроби для этого разложения равны
18 649 23382
5 ’ 180 ’ 6485’ ’ ’
третья из них дает для V13 девять верных десятичных цифр.
Таким же образом10, исходя из соотношения 3-3 =5 +2, вычисляются рациональные приближения для 4%:
Первые подходящие дроби для этого разложения равны
5 26 265 1351
3 * 15*153* 780..
Третья и четвертая подходящие дроби в этой последовательности — это знаменитые приближения, использованные Архимедом в «Измерении круга». Вторая подходящая дробь тоже связывается с именем Архимеда; в сохранившемся отрывке из сочинения Диофанта «Об измерении поверхностей» сказано: «Архимед показал, что 30 равносторонних треугольников равны 13 квадратам».11
«Метафизическая» реконструкция алгоритма Теона
Хотя лежащую в основании алгоритма Теона и его обобщений геометрическую схему можно считать реконструированной с достаточной степенью достоверности, некоторые особенности текста Теона все еЩе остались необъясненными:
~ Почему Теон говорит, что «единица, будучи началом всего, потенциально должна быть и стороной и диагональю», словно равенст-в° между стороной и диагональю в начальной паре является не приближенным, но точным?
~ Что представляет собой то «семенное отношение (олЕрцатгкб<; оуос;)», в согласии с которым «над всеми фигурами начальствует единица»?
Эти особенности зачастую игнорировались историками античной математики как «метафизические». Вот что пишет, к примеру,
170
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKor
М.Я. Выгодский:
«отбросив мистическую шелуху и метафизичес
кие
обоснования, оставив в стороне таинственные семенные отношения и
начальственную роль единицы, мы получим довольно точно описанный и поясненный примерами рекуррентный процесс».12
Однако мы сочли нужным обратить на указанные особенности текста Теона пристальное внимание. В поисках ответа на поставленные вопросы было рассмотрено следующее построение.13 В равнобедренный прямоугольный треугольник вписываются три одинаковых треугольника такой же формы (рис.8), а затем это построение посто-
янно воспроизводится шаг за шагом для всех треугольников, построенных на предыдущем шаге.
Согласно нашей гипотезе14, открывшие зту цепочку построений пифагорейцы мыслили ее завершающейся в бесконечности разбиением исходного треугольника на бесконечно малые неделимые первот-реугольники. Эта формулировка может показаться весьма неожиданной: как может закончиться бесконечная последовательность действий? Однако если мы будем настаивать на том, что бесконечные процессы не могут иметь завершения, то в таком случае мы вынуждены будем признать, что Ахиллес из знаменитой апории Зенона никогда не догонит черепаху. А поскольку Ахиллес все-таки догоняет ее, то зто означает, что и другие потенциально бесконечные процессы могут быть рассмотрены с точки зрения их актуальной завершенности.
Бесконечно малый неделимый первотреугольник нельзя представить себе зрительно, — но можно только помыслить. Стороны этих первотреугольников являются неделимыми линиями, не имеющими частей. Они не могут быть подведены под отношение «больше-меньше», — поэтому все они оказываются «потенциально равными». По выражению С.Я.Лурье15, «здесь мы имеем дело с третьим родом величин, между протяженными и не имеющими протяжения, которые, будучи арифметически равными, в то же время сохраняют между собой определенные геометрические отношения».
Свидетельство о пифагорейско-платоновском учении о неделимых линиях приводит Аристотель в «Метафизике»: «Платон...

171
дИ,Щетников
началом линии часто называл неделимые линии (аторо* ураддаО» (992а20). Я полагаю, что это свидетельство ученика Платона более близко к исторической правде, нежели приведенный выше фрагмент комментария Прокла, в котором Эпикур и Ксенократ (о которых говорится, что они «ложно ввели неделимые тела и линии») противопоставляются пифагорейцам и Платону (в отношении которых подразумевается, что они таких «ошибок» не делали).
Возвращаясь к описанному выше построению, рассмотрим обратный процесс, в котором первотреугольники складываются в агломерации большей величины. Три первотреугольника складываются в агломерацию первого порядка; три агломерации первого порядка — в агломерацию второго порядка, и т.д. (рис.9). Длины катетов-сторон и гипотенуз-диагоналей в возникающих агломерациях вычисляются по формулам Теона (1). Чтобы составить конечный треугольник из бесконечно малых элементов, нужно совершить бесконечное число шагов «вверх». В результате «иррациональное отношение» стороны и диагонали оказывается представленным парой актуально бесконечных чисел.
Рис. 9
Стоическая концепция «семенного логоса» и алгоритм Теона
Теперь поразмышляем о том, как следует понимать не очень понятные слова Теона о семенном отношении-логосе (ожрдатосбс Абуо£), согласно которому «над всеми фигурами начальствует единица».
Само слово «Абуо£» является чрезвычайно многозначным. Лбуо£ — это человеческий и божественный разум, проявляющийся в способности приводить доводы, указывать основания и отчитываться в содеянном; Абуо£ — это разумная речь и составляющие ее слова, это рассуждение, понятие, описание, предписание, приказание, отчет; а в математике словом «Абуо£» называют отношение чисел и величин.
Понятие «семенного логоса» (олерраикос; Абуо£) было введено в оборот античной философской мысли ранними стоиками, и, прежде всего — Хрисиппом (280—209 гг. до н.э.). Философы стоической школы называли семенным логосом воплощенное в живых существах разумное активное начало, благодаря которому эти существа могут
172 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
воспроизводить себя в подобном себе потомстве. Эту способность можно мыслить как своего рода «генетическую программу», по которой всякое живое существо разворачивается из семени и вновь отделяет от себя такие же семена.16
(SVF II 744) «Как говорят стоики, “семя” (илёрра) называется так от “скручивания” (.oxeipaoi^) большого объема в малый, а “природа” (уя5от£) получила свое название от “выдыхания” или “расточения" (д«х/иси£) тех логосов, или чисел, которые она отпускает и освобождает».
(SVF II 499) «После того, как семя высажено в землю, оно разворачивает собственные логосы, привлекая необходимую материю и преобразуя те логосы, которые оно содержит в себе».
(SVF II 451) «Стоики говорят, что в телах происходят тонические движения, одновременно идущие внутрь и наружу, так что движение наружу создает величину и свойства, а движение внутрь -единство и сущности. (SVF II 453) Логос движется не путем перемещения, то есть не так, что он одно место занимает, а другое оставляет, — но посредством тонического движения».
(SVF II 413) «Об элементе (оголеют) можно сказать, что он представляет собой нечто самодвижущееся, начало (ар’/у\), семенной логос и вечную потенцию, имеющую такую природу, что она движется вниз к повороту, а от поворота вверх по всему кругу, уничтожая все в самое себя и из себя самой вновь восстанавливая все упорядоченно и надлежащим образом».
Диоген Лаэрций, VII книга: «Начала бестелесны и бесформенны, элементы имеют форму» (13410). «Элемент есть то, из чего первоначально возникает все возникающее и во что оно в конце концов разрешается» (137j). «Природа — это структура (с£*С), выходящая из себя самой в согласии с семенными логосами, выполняющая и воспроизводящая их в назначенные сроки» (148?). «Семенем они называют то, что порождает подобное из подобного» (158у).
Сопоставим нашу реконструкцию алгоритма Теона с деталями приведенных выше фрагментов. Бесконечно малые первотреугольни-ки обнаруживают несомненное сходство с «элементами» и «семенами», ибо в «движении наружу» из них возникают подобные им треугольники, а в «движении внутрь» эти же подобные треугольники в них в конце концов разрешаются.17 Замечание Теона об «упорядочивании фигур по семенному логосу» приобретает в этой схеме ясный физический и математический смысл. В физическом плане понятие «семенного логоса» соотносится с генетическим кодом, согласно которому три треугольных агломерации предыдущего шага упорядоченно складываются в одну треугольную агломерацию следующего шага. В
А и.Щетников
173
математическом плане это же понятие характеризует связь между «выразимым» отношением n-ого стороннего числа к диагональному и «невыразимым» отношением стороны квадрата к диагонали, задаваемую алгоритмом Теона.
Примечания
1	Theonis Smymaei philosophi Platonici expositio rerum mathematicum ad legendum Plato-nem utilium / Ed. E.Hiller. Leipzig: Teubner, 1878. 42)0-44)7.
2procli Diadochi in Platonis Rem Publicam commentarii / Ed. W.Kroll. Leipzig: Teubner, 1901. KZ. 27)-22-
з Вандер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона иГреции.М., 1959; Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М., 1967; Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л., 1938; Heath T.L. A history of Greek mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1921; Knorr W.R. The evolution of the Euclidean Elements. Dodrecht: Reidel, 1975.
4	Ван дер Варден Б.Л. См. прим.З; Fowler D.H. Book II of Euclid's Elements and a pre-Eudoxan theory of ratio // Archive for History of Exact Sciences. 1980. Vol.22. P.5-36; 1982; Vol.26. P.193-209; Zeuthen H.G. Sur la constitution des livres arithmttiqu-es des Ekments d'Euclide et leur rapport i la question d'irrationalitg // Oversigt over det k. Danske Videnskabemes Selskabs Forhandlinger. 1910. P.395-435.
5	Щетников А.И. Вторая книга «Начал» Евклида: ее математическое содержание и структура // Вторая книга «Начал» Евклида: текст и интерпретации. Новосибирск, 2000. С.19-40; Fowler D.H. См. прим.4.
6	См. литературу в прим.5.
7	Heilermann Н. Bemerkungen zu den Archimedischen Naherungswerthen der irrationalen Quadratwurzeln // Zeit schrift ftir Mathematik und Physik. 1881. Bd.26, Historischlite-rarische Abtheilung. S.121-126.
в	3веркина Г.А. Метод простой итерации: от Вавилона до Ньютона // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1999. Вып.3(38), С.270-315; Паев М. Е. Решение двух античных проблем. Киев, 1987; Щетников А.Й. Атомы Платона, алгоритм Теона и понятие «семенного логоса» // Математическое образование. 1999. №1(8). С.84-94; Fowler D.H. См. прим.4; Vedova G.C. Notes onTheon of Smyrna // American Mathematical Monthly. 1951. VoL58. P.675-683; Wangh F.V., Maxfield M.V. Side-and-diagonal numbers // Mathematics Magazine. 1967. VoL40. P.74-83.
9	Другие геометрические интерпретации ТА) приведены в работах: Паев М.Е.; Щетников А. И. См. прим.8; Fowler D.H. См. прим.4.
10	Heilermann Н. См. прим.7; ШяяуЛ F.V., Maxfield M.V. См. прим.8.
11	Diophanti Alexandrini opera omnia / Ed. et latine int. P.Tannery. Leipzig: Teubner, 1893. II, 2216.
12	Выгодский М.Я. См. прим.З. С.318.
13	Это построение впервые предложено в работе Bergh Р. Seiten- und Diametralzahlen bei den Griechen // Zeitschrift filr Mathematik und Physik. 1886. Bd.31. Historischliteraris-che Abtheilung. S.135.
14	Щетников А.И. См. прим.8.
15	Лурье С.Я. Предшественники Ньютона в философии бесконечно-малых // Исаак Ньютон, 1643-1727. М., 1943. С.94.
16	Цитаты приводятся по изданиям: Фрагменты ранних стоиков / Пер. и комм. А.А. Столярова. М., 1998 (Т.1), 1999 (Т.2.1), 2002 (Т.2.2); Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / Пер. М.Л.Гаспарова. М., 1986. Переводы сверены с оригиналом и несколько изменены.
17	Аналогичная реконструкция стоического учения о полном смешении жидкостей обсуждается в работе: Щетников А И. Проблема смешения в античном контииуализме: к реконструкции учения Хрисиппа о слиянии / / Историко-философский ежегодник 2002. М., 2003. С.102-111.
174
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKOR
АРАБСКИЕ ТРАДИЦИИ «ДАННЫХ» ЕВКЛИДА1) И. О.Лютер
Поводом для написания настоящей статьи послужила опубликованная в 2002 г. в «Историко-математических исследованиях» статья Е.А.Ильиной «О “Данных” Евклида»,1 в которой положено начало исследованию этого сочинения Евклида, незаслуженно долго остававшегося без внимания отечественных историков науки. Мы, в свою очередь, попытаемся дополнить эту работу историей «Данных» Евклида на средневековом мусульманском Востоке (при этом заранее оговоримся, что некоторые факты, относящиеся к самому началу истории «Данных» и отмеченные в указанной статье, будут в несколько иной форме представлены вновь, но это уже особенности жанра историко-научного исследования).
Так, необходимо напомнить, что «Данные» Евклида представляют собой фактически дополнение к его «Началам», но содержат предложения, переработанные в форму более приемлемую для анализа проблем, сокращающую и облегчающую анализ: в каждом из предложений доказывается, что указанный элемент будет дан (по доказательству) при допущении, что некоторые другие элементы даны (по условию). Содержание «Данных» частично совпадает с «Началами»: также рассматриваются отношения и конфигурации линий и плоских фигур как прямолинейных, так и круговых. Доказательства в «Данных» следуют в дедуктивной последовательности, что позволяет использовать уже доказанные теоремы. В некоторых случаях используются и результаты, доказанные в «Началах».
Существуют различные взгляды на научную значимость этого сочинения Евклида: и подобные точке зрения И.Гейберга, который, оценивая аналитические методы «Данных», относит их к высшей геометрии, и подобные утверждению М.Кантора, что это лишь сборник упражнений для «освежения» «Начал».2 Мы в этом случае полностью разделяем точку зрения известного американского историка греческой математики У.Норра, согласно которой введение терминологии «данных» не было формальным. Это было обусловлено необходимостью различения двух множеств элементов, имеющих различный логический статус: одни из элементов известны только условно, из предположения анализа, что построение (или результат) достигнуто; другие же элементы известны из определения построения, которое должно быть осуществлено. Последние и есть собственно «данные». Когда эти две последовательности элементов достигают общего элемента, можно считать, что анализ осуществлен. Без терминологической уловки, подобной введению терминологии «данных», логический
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного науч-
ного фонда (проект №03-03-00534а).
ц.О.Лютер
175
статус этих последовательностей был бы вскоре безнадежно запутан. Таким образом, «Данные» Евклида, не только не излишни, но и, напротив, представляют собой образец продвинутой стадии аналитического исследования того времени. Более того, сам факт, что Евклид посвятил отдельное сочинение предложениям такого вида, свидетельствует о том, что подобная форма была важна в рамках геометрических исследований того времени, в частности для тех, кто овладев «Началами», брался за новые проблемы.3
С момента составления «Данных» Евклидом, это сочинение подвергалось многочисленным дополнениям, изменениям и внутренним перестановкам. Можно выделить три основные текстовые традиции в исторической судьбе «Данных»: греко-эллинистическую, арабскую и латинскую. Особое место занимают и последующие издания и переводы.
Греко-эллинистический период истории «Данных», охватывающий более восьми веков, открывает Аполлоний Пергский (III до н.э.), добавивший, как сообщается в одной из античных схолий к «Данным», три последних определения к списку определений Евклида.4 Аполлонию также приписывают несколько дополнений к доказательствам, из тех, что были сделаны греческими учеными в его время.5 Далее следует Папп Александрийский (III-IV вв.) и VII книга его «Математического собрания», в которой «Данные» упоминаются среди важнейших, по мнению Паппа, работ по анализу, составляющих так называемую «Сокровищницу анализа». Папп дает краткое, но достаточно исчерпывающее описание содержания «Данных», доступных ему в версии из 90 предложений.6 Продолжает традицию не менее знаменитый, прежде всего своей обработкой «Начал» Евклида, современник Паппа Теон Александрийский. Его обработка «Данных» — это попытка с помощью собственных объяснений, свободных сокращений и многих других изменений, внесенных непосредственно в текст, сделать его более доступным для понимания. Однако в результате такой обработки была утрачена первоначальная форма текста и греческий текст Теона — в своем роде трансформация оригинала. Тем не менее, именно тексты редакции Теона получили широкое распространение и послужили основой для последующих изданий греческого текста вплоть до 1808 г. — «переломной» даты в истории «Данных», когда Ф.Пейрар обнаружил более древнюю и более оригинальную рукопись, чем те, которые содержали текст Теона. Марин Неаполитанский (V в.), ученик и последователь Прокла, также как и Теон, попытался сделать содержание «Данных» более понятным, но в отличие от Теона, он составил отдельный комментарий, не нарушая текст источника. Комментарий Марина — скорее введение к «Данным», в котором он рассматривает все существующие в его время точки зрения на значение термина «данный».7 Сведениями о
176 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQR
комментарии Марина и исчерпываются наши знания об этом периоде истории «Данных».
Арабский период, впрочем, как и греко-эллинистический, также не изобилует именами. Он начинается во второй половине IX в. (совпадающей со вторым этапом переводческой деятельности на арабском Востоке, характеризующимся более качественными, и с научной, и с филологической точек зрения, переводами на арабский язык греческого естественно-научного наследия) и продолжается до конца XIII в. В течение этих пяти веков «Данные» не только переводились и обрабатывались, но и послужили отправной точкой для некоторых собственно арабских геометрических традиций.
Итак, в конце IX в. Исхак ибн Хунейн (830-910), известный (прежде всего своими переводами «Альмагеста» Птолемея и «Начал» Евклида) представитель династии высокопрофессиональных переводчиков и одновременно ученых8, перевел «Данные» на арабский язык под названием «Китаб ал-му‘тайат» («Книга “Данные”»). Этот перевод, как и некоторые другие его переводы естественно-научных сочинений греческих авторов, в том числе «Начал» Евклида и сочинений Архимеда, был вскоре пересмотрен прославленным ученым-энциклопедистом Сабитом ибн Коррой (836-901). Перевод самого Ибн Ху-нейна не сохранился, «Данные» в версии Исхака-Сабита известны в двух рукописях.9
Мы уже упоминали, что большая часть предложений «Данных» -по существу «переформатирование» в термины «данные» предложений «Начал», а доказательства «Данных» часто непосредственно следуют из предложений «Начал». По-видимому, этим отчасти объясняется тот небольшой интерес, который это сочинение вызывало у средневековых мусульманских ученых, а именно, отсутствие каких-либо сведений о существовании арабских комментариев к «Данным» Евклида. Тем не менее, одним из известных геометров второй половины X в. Абу Сахлом ал-Кухи были составлены «Дополнения к книге о данных Евклида» («Зийадат ли-китаб Уклидис фи’л-му‘тайат»), состоящие из 35 предложений (это сочинение, сохранившееся в двух стамбульских рукописях, до сих пор еще не изучено).10 А тремя веками спустя, во второй половине XIII в., крупнейший астроном, математик и философ позднего мусульманского средневековья Насир ад-Дин ат-Туси (1201—1274) предпринял обработку перевода Исхака-Сабита, текст которой сохранился в более чем 25 рукописях и известен под названием «Обработка книги “Данных”» («Тахрир китаб ал-му‘тайат» ).11
Средневековые арабоязычные ученые, впрочем, как и их древнегреческие предшественники, хорошо осознавали значение и необходимость для математической практики аналитического метода Евклида, представленного в «Данных», свидетельством чему может
цр.Лютер
177
служить, в частности, следующий хорошо известный факт. В позднеэллинистическую эпоху «Данные» Евклида были включены в собрание сочинений предшественников Птолемея (Евклида, Архимеда, Гипсикла, Аристарха, Автолика, Феодосия и Менелая) под названием «Малая астрономия», изучение которого считалось необходимым условием астрономического образования. Впоследствии это собрание было переведено на арабский язык, неоднократно комментировалось и обрабатывалось (в случае «Данных», это, вероятно, первоначально был перевод Исхака, затем версия Исхака—Сабита, и, наконец, обработка ат-Туси версии Исхака—Сабита, о которых мы уже говорили). Арабская версия получила название «Средние книги» («Кутуб мута-васситат»; мутпавасситат — араб, промежуточные), поскольку их следовало изучать после «Начал» Евклида для облегчения последующего понимания «Алмагеста» Птолемея, и получила широкое распространение на арабском Ближнем и Среднем Востоке. Ат-Туси, кстати, принадлежит и собственная полная версия «Средних книг».
Термин «данные» (араб, му'тан, мн.ч. му‘тайат\ от глагола ‘ата’ — давать, соглашаться) присутствует только в заглавиях арабских версий «Данных» Евклида, тогда как везде в тексте совершен переход от терминологии «данных» к терминологии «известных» (ма‘лум, мн.ч. ма'лумат). Это относится и к трактату Ибн Корры «Китаб ал-мафрудат» («Книга предположений» или «Книга о данных величинах»; мафруд, мн.ч. мафрудат — определенный, предписанный; от глагола фарада — устанавливать что-либо как правило, предполагать) и его редакции ат-Туси, и к сочинениям Ибн Синана и Ибн ал-Хайсама, к которым мы обратимся далее. Такой семантический переход, по предположению французского историка науки Э.Беллосты, возможно, объясняется желанием различить «данный по условию» {мафруд или му'тан) и «известный по доказательству» (ма‘лум).12 Но в таком случае в тексте бы присутствовали оба термина, а это не так (см. далее фрагменты обработки «Данных» ат-Туси). Достоверно лишь то, что терминология «известных» — результат перевода Исхака ибн Хунейна.
Эта терминология, впрочем, не оригинальна. Она была известна и обсуждалась в позднеэллинистическую эпоху. Марин Неаполитанский в своем комментарии к «Данным», излагая все известные ему толкования «данных», сообщает, что с «известными» их отождествлял Диодор Александрийский. Диодор, современник Цезаря и Цицерона, был известен как изготовитель солнечных часов и составитель «Аналеммы», не дошедшей до нас, но упоминаемой Паппом и, как следует из «Исчерпывающего трактата о тенях» («Ифрад ал-макал фи амр ал-зилал») ал-Бируни (973—1048), переведенной на арабский язык.13 По приведенному Марином определению, известное — «это то, что ведомо нам как очевидное и постигнуто разумом; неизвестное —
178
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
это то, что ни ведомо, ни постигнуто нами. Например, о длине дороги говорится “известна”, когда знают, сколько она содержит стадий; аналогично, когда сумма внешних углов треугольника равна двум прямым (предложение 1.32 “Начал”) и когда биномиаль иррациональна (предложение Х.36 “Начал")».14 Тем не менее, терминология «известных» не встречается ни в известных латинских, ни в последующих европейских переводах и изданиях. Не встречается она и в геометрических сочинениях европейских математиков XV—XVII вв. Виет, Паскаль, Ферма, например, в своих анализах применяли терминологию «данных».
Обработка «Данных» ат-Туси. Наше исследование основывается на санкт-петербургской рукописи «Данных» Евклида в обработке Насир ад-Дина ат-Туси (Российская Национальная Библиотека, фонд Ханыкова №144/7, лл.211—220 об.)15, которая, как уже говорилось, представляет собой пересмотр перевода «Данных» Исхака-Сабита, а также на французском переводе греческого текста «Данных» Ф.Пейрара16 и английском переводе латинского текста «Данных» Ш.Ито17 (об этих переводах см. подробнее далее).
Рассматриваемая рукопись содержит полный текст обработки «Данных» ат-Туси из 91 предложения. Как следует из таблицы соответствия (см. табл.1) между предложениями всех трех сравниваемых нами версий «Данных», в рассматриваемой версии ат-Туси отсутствуют предложения 21, 36, 63 и 79, имеющиеся в изданиях Пейрара и Ито. Однако версия ат-Туси, как и перевод Пейрара, содержит предложение 83 (87 по Пейрару), которое отсутствует у Ито (как результат, латинские «Данные», переведенные Ито, содержат 94 предложения, а не 95, как в переводе Пейрара). Наличие этого предложения в версии ат-Туси и тот факт, что оно содержится в Ватиканской рукописи дотеоновых «Данных» (код. Ват. 190), взятой Пейраром за основу своего перевода, но отсутствует, как установил Пейрар, в редакциях Теона, могут служить веским аргументом в пользу того, что арабский перевод был сделан с использованием нетеоновых текстов «Данных».
Рукопись начинается словами «начало книги», после которых сразу же следуют 15 определений (л.211) «данности» геометрических объектов по величине, по положению, по виду, в отношении, по величине и положению (л.211):
1.	Те площади (сутух, буквально поверхности, плоскости), линии и углы известны по величине (ал-ма‘лумат ал-кадр), для которых можно найти равные.
2.	Известное отношение (ал-ма‘лумат ал-нисба) — то, для которого можно найти некоторое [отношение, находящееся] с ним в пропорции ('ала нисба, также: в соответствии, в соотношении, соизмеримое).
И.О-Лютер
179
Таблица 1
обработка ат-Туси	перевод Пейрара	перевод Ито
Предложения 1-9 совпадают по нумерации		
10	12	12
И	10	10
12	И	И
Предложения 13 - 20 совпадают по нумерации		
Отсутствует	21	21
21	22	22
и так далее до предложения 34 по ат-Туси включительно:		
34	35	35
Отсутствует	36	36
35	37	37
и так далее до предложения 60 по ат-Туси включительно:		
60	62	62
Отсутствует	63	63
61	65	65
62	64	64
63		66	66
и так далее до предложения 75 по ат-Туси включительно:		
75	78	78
Отсутствует	79	79
76	80	80
и так далее до предложения 82 по ат-Туси включительно:		
82	86	86
83	87	Отсутствует
и так до конца:		
91	95	94
3.	Те точки, линии, площади и углы известны по положению (вад‘), которые необходимо всегда находятся в одном месте (вад‘) и можно найти их место.
4.	Те прямолинейные фигуры (ал-ашкал ал-мустакимат ал-хутут) известны по виду (сура), у которых углы известны и отношения сторон друг к другу известны.
5.	Тот круг известен по величине, у которого полудиаметр известен [по величине].
6.	Тот [круг] известен по величине и положению, у которого Центр известен по положению и полудиаметр известен [по величине].
7.	Те сегменты кругов известны по величине, у которых и углы и основания известны [по величине].
8.	Те [сегменты кругов] известны по положению и величине, у которых, кроме того, основания известны по положению.
180
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQr
9.	Та величина (ал-микдар) больше (ал-а‘зам) другой на известную величину (кадр), которая такова, что если вычесть (накаса) из нее эту [известную] величину, останется то, что равно меньшей.
10.	И меньше (ал-асгар) другой на известную величину та, которая такова, что если к ней прибавить (зада) эту [известную] величину, получится то, что равно большей (ал-акбар).
И. Величина больше на известную величину, чем другая, в известном отношении (буквально «известного ее отношения») к третьей (салис) та, которая такова, что если вычесть из нее эту [известную] величину, останется то, что в известном отношении к третьей (в этом и следующем определениях курсив наш. — И.Л.).
12.	И меньше на известную величину, чем другая, в известном отношении к третьей та, которая такова, что если прибавить к ней эту [известную] величину, получится то, что в известном отношении к третьей.
13.	Опущенная (мунхадир) линия — это прямая, которая проводится из известной точки к прямой [известно] положенной (мауду*, буквально помещенный, рассматриваемый) и вместе с ней образует известный угол.
14.	Восставленная (са'ид, буквально восходящая, поднимающаяся) [прямая] — та, которая поднимается из известной точки на прямой [известной по положению] и вместе с ней образует известный угол.
15.	Прямая, примыкающая (муджавир) к [прямой] линии [известной по положению] — та, которая выходит из известной точки параллельно линии [известно] положенной.18
Обратим внимание на некоторые различия (существенные и не очень) между определениями в формулировке ат-Туси и в переводах Пейрара и Ито.19 Что касается незначительного, то у ат-Туси изменился порядок двух определений: определениям 3 и 4 в его версии соответствуют определения 4 и 3 по Пейрару и Ито. Более существенны некоторые аспекты определений 2, И и 12 арабской версии.
Начнем с определения 2. Для сравнения возьмем переводы этого определения соответственно Пейрара и Ито: «Об отношении говорится данное, когда мы можем найти для него то, которое будет ему тождественным*20; «Об отношении говорится данное, когда мы можем найти равное ему»21 (курсив наш. — И.Л.). Все три версии определения 2, как легко заметить, расходятся в описании отношения, с помощью которого определяется известное или данное отношение: «в пропорции» в арабской версии, «равное» в переводе латинской версии и «тождественное» в переводе собственно греческого текста. Это расхождение, весьма вероятно, свидетельствует о различном понимании сущности этих трех терминов соответственно в античности и в средневековье, арабском и латинском. Заметим, что в своих
И.О.Лютер_____________________________________________________181
комментариях к пятой книге «Начал» Евклида Мордухай-Болтовс-кий также обратил внимание на не всегда корректную взаимозаменяемость терминов «равны» и «тождественны». Он пишет, что некоторые ученые «...отношение 12/10 не решались считать совершенно тождественным отношению 6/5. Отношение АВ/CD казалось тождественным Bi /Ci Di, если AB = Aj Bj, CD = Q D[, но не тождественным 2AB/2CD, а только равным».22 Лишь с помощью предложений «Данных», в которых используется это определение (к примеру, см. далее предложение 11), можно утверждать, что в переводе определения 2 Пейрара речь идет о «тождественности» в смысле «равенства», о котором говорит Мордухай-Болтовский. Что касается арабской версии, в которой известное отношение определяется возможностью составить пропорцию, а не тождественностью или равенством другому отношению, то именно такая формулировка критикуется в комментариях Прокла (410-485) к первой книге «Начал» Евклида. Так, говоря о том, что неотъемлемым составным элементом и проблемы и теоремы является формулировка, в которой, как правило, утверждается и то, что дано, и то, что из этого должно быть определено или построено, Прокл поясняет, что все, что дано, дается четырьмя способами: по положению, по отношению, по величине и по виду. Данность по отношению он объясняет следующим образом: «Когда мы говорим, что, если четыре величины находятся в пропорции, то они также будут в пропорции переставленной, тогда тем, что дано, будет тождество отношений из этих четырех количеств» (здесь также под «тождеством» очевидным образом подразумевается вышеуказанное «равенство»).23
Особый интерес на протяжении, по-видимому, всей истории «Данных» вызывали определения 11 и 12. Для сравнения возьмем эти определения в соответствии с французским переводом Пейрара с греческого: «Величина больше относительно другой величины на данную [величину], как в отношении, когда [после того как] эта Данная величина вычтена [из нее], остаток имеет с другой данное отношение^', «Величина меньше относительно другой на данную [величину] > как в отношении, когда [после того как] данная величина будет добавлена [к ней], их сумма имеет с другой данное отношение*24 (повсюду курсив наш. — И.Л.). Английский перевод Ито с латыни отличается несущественно (вместо «относительно» у Ито — «чем», а в конце определений вместо «к другой» — «к той же»). При толковании этих определений наибольшие трудности возникали в связи с выделенным нами курсивом выражением «как в отношении». Так, например, Р. Симеон даже опустил их в своем английском переводе 1756 г., объясняя это тем, что переведенные на английский язык эти определения вообще теряют смысл (об английском переводе Симеона см. далее).25 Намного раньше Симеона с аналогичной проблемой, по
182
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
всей вероятности, столкнулся и автор данной арабской версии, решивший ее по-своему: он не просто исключает «как» из выражения «как в отношении», но и заменяет это выражение на собственно его уточнение из конца определения, т.е. «в известном отношении к третьей» или, буквально, «известного ее отношения к третьей» (см. определения И и 12 ат-Туси выше). Напомним, что ат-Туси делал свою обработку «Данных», исходя из усовершенствованного Сабитом ибн Коррой перевода Исхака ибн Хунейна, две сохранившиеся рукописи которого, к сожалению, нам не доступны, по этой причине мы не можем точно сказать, кто из этих трех ученых — автор арабского перевода рассматриваемого выражения. В данной арабской формулировке, вероятно, смущает и выражение «к третьей» — аналог «к другой» в «Данных» Пейрара и Ито. Возможно, это — результат того, что определяемая величина рассматривалась как «первая», известная величина — как «вторая», а «третья» — та, с которой в отношении больше или меньше находится «первая». При этом в предложениях версии «Данных» ат-Туси, в которых затем используются эти определения, выражение «к третьей» заменяется и на «к другой», и «ко второй», и т.п. в зависимости от условий. Например, формулировка предложения 12 ат-Туси (И по Пейрару и Ито): «Если первая величина больше на известную величину, чем величина, в известном отношении ко второй величине, то первая больше на известную величину, чем величина, в известном отношении к сумме первой и второй» (л.212). Для сравнения соответствующая формулировка по Пейрару: «Если величина больше относительно другой величины на данную величину, как в отношении, первая будет больше относительно их суммы на данную величину, как в отношении».26
Установленная историками науки тождественность выражения Евклида «величина А больше, чем другая величина В, как в отношении» выражению «избыток А над данной (известной) величиной имеет данное отношение к В» (т.е. (Л — а)/В — c/d, где а - данная (известная) величина, a c/d — данное (известное) отношение)27 не вызывает сомнения и подтверждается не только доказательствами предложений «Данных», в которых используются эти определения, но и античной схолией к определению 11, опубликованной в издании Менге сочинений Евклида.28
Проиллюстрируем использование определения 11 на примере предложения 11 ат-Туси (предложения 10 по Пейрару и Ито), в котором доказывается, что (1) если отношение (х — а)/у дано (известно) и а<х — данная (известная) величина, то отношение [(х + у) — а]/ у дано (известно); и обратное (2) если [(х + у) — а\/у дано (известно) и а — данная (известная) величина, то при а < х дано (известно) отношение (х — а)/у, а при а > х, дано (известно) (а - х)/у.
ц.О-Лютер______________________________________________________________183
Предложение 11 «Данных» в обработке ат-Туси (л.211 об.)	Предложение 10 «Данных» в переводе Пейрара (с.523-524)	Предложение 10 «Данных» в переводе Ито (с.68-71)
[Если] первая величина больше на известную величину, чем [вторая] величина, в известном отношении ко второй величине, то сумма первой и второй в совокупности также больше на известную величину, [чем вторая] величина, в известном отношении ко второй величине; так как сумма первой и второй [величин] также больше на известную величину, чем [вторая] величина, в известном отношении ко второй величине, то [первая величина]29 меньше, чем известная величина, на величину, отношение которой ко второй величине известно.	Если величина больше, чем другая величина, на данную [величину], как в отношении, то их сумма больше, чем последняя, на данную [величину], как в отношении; и если их сумма больше, чем последняя, на данную [величину], как в отношении, остаток будет больше, чем последняя, на данную [величину], как в отношении, или сумма остатка и величины последующей, с которой вторая величина имеет данное отношение, дана.	Если величина больше, чем другая величина, на данную величину, как в отношении, то величина, составленная из обеих [первой и второй величин] также больше, чем та же [вторая] величина, на данную величину, как в отношении; и если величина, составленная из обеих, больше, чем та же величина, на данную величину, как в отношении, то или остающаяся [первая величина] больше, чем та же [вторая], на данную [величину], как в отношении, или остающаяся дана вместе с последующей величиной, с которой вторая величина имеет данное отношение.
Пусть первая величина — АВ, вторая - BG, величина известная на... первой [величине] - AD [рис.1].30 Тогда отношение DB к BG будет известно и [полученное] присоединением (би'т-таркиб) отношение DG к BG известно. Следовательно, сумма AG больше на известную величину, т.е. AD, чем величина, а именно DG, отношение которой к величине BG известно.3* Известная величина может быть меньше первой величины, как AD, а может быть больше ее, как АЕ. [Когда известная величина находится] на первой величине, тогда отношение DG к BG будет известно и .полученное] выделением (би’т-тафсил) отношение DB к BG будет известно. Следовательно, АВ больше на известную величину, т.е. AD, чем величина, а именно DB, отношение которой к BG известно. [Когда известная величина находится] на второй величине, тогда отношение EG к BG известно и [полученное] перевертыванием	Пусть величина АВ будет больше, чем величина BG, на данную [величину], как в отношении; я говорю, что их сумма AG больше, чем GB, на данную [величину], как в отношении. Так как АВ больше, чем BG, на данную [величину], как в отношении, отделим AD; отношение остатка DG к BG будет дано; тогда [полученное] присоединением отношение DG к GB дано. Но AD дана; следовательно, величина AG больше, чем GB, на данную [величину], как в отношении. Более того, если AG будет больше, чем BG, на данную [величину], как в отношении; я говорю, что остаток АВ будет больше, чем BG, на данную [величину], как в отношении, или что сумма АВ и последующей [величины], с которой BG имеет данное отношение, дана. Так AG больше, чем GB, на данную [величину], как в отношении, отделим данную величину. Данная величина будет или меньше или больше, чем АВ. Пусть она сначала будет меньше, и пусть это	Пусть величина АВ будет больше, чем другая величина BG, на данную величину, как в отношении. Я говорю, что составленная величина AG больше, чем та же величина GB, на данную величину, как в отношении. Так как АВ больше, чем BG, на данную величину, как в отношении, отбросим данную величину AD. Тогда отношение остатка DG к BG дано. И [полученное] присоединением отношение DG к GB также дано. Но величина AD дана. Следовательно, GA больше, чем GB, на данную величину, как в отношении. Теперь далее, пусть величина AG будет больше, чем величина GB, на данную величину, как в отношении. Я говорю, что или остаток АВ будет больше, чем та же величина BG, на данную величину, как в отношении, или АВ дана с величиной, которая следует [за ней и] к которой BG имеет данное отношение. Пусть оиа сначала будет меньше, чем АВ, и пусть это АО. Тогда отношение остатка DG к GB дано. Следова-
184
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
(хилаф), затем переворачиванием (калб) и еще раз перевертыванием отношение BE к BG известно. Следовательно, АВ меньше, чем АЕ, которая известна, на величину BE, отношение которой к BG известно. Это то, что мы хотели доказать.
будет AD; отношение остатка DG к GB будет дано; тогда [полученное] выделением отношение DB к BG дано.
Но AD дана; тогда АВ больше, чем BG, на данную величину, как в отношении. Наконец, пусть данная величина будет больше, чем АВ, и предположим, что ей равна АЕ; отношение остатка EG к GB будет дано; тогда [полученное] перевертыванием отношение BG к EG дано; тогда, переворачиванием, отношение GB к BE дано. Но сумма ЕВ и ВА дана, так как вся величина АЕ дана; сумма АВ и последующей [величины], с которой BG имеет данное отношение, следовательно, дана._____________________
тельно, [полученное]выде-лением отношение DB к BG дано. Но АО дана. Поэтому величина АВ больше, чем величина BG, на данную величину, как в отношении.
Но пусть данная величина будет больше, чем величина АВ, и пусть величина, равная ей, - АЕ. Тогда отношение остатка EG к GB дано. Следовательно, [полученное] перевертыванием отношение BG к EG дано и [полученное] переворачиванием отношение BG к BE также дано. Но сумма ЕВ и ВА дана, так как вся величина АЕ дана. Поэтому ВА дана вместе с той, что следует [за ней, т.е. BE], к которой BG имеет данное отношение.
A D BEG
Рис.1
Итак, необходимо доказать (будем следовать ат-Туси), что если (АВ — AD)/BG — известное отношение и AD - известная величина (рис. 1), то [(АВ + BG) — AD]/BG известное отношение. Доказательство: так как (АВ — AD)/BG = DB/BG, то DB/BG известно; следовательно, «присоединенное» отношение (определение V.14 «Начал») (DB + BG)/BG = DG/BG известно (по предложению 6 «Данных»: если х/у известно, то известны (х + у)/у и (х + у)/х); но DG = AG — AD = (АВ + BG) — AD, следовательно, отношение [(АВ + BG) — ADJ/BG известно.
Далее рассматривается обратное предложение для двух случаев: первый - известная величина (т.е. AD) меньше АВ, второй — известная величина (АЕ на рис.1) больше АВ.
Первый случай: если отношение [ (АВ + BG) — AD]/BG известно, то отношение (АВ — AD)/BG также известно. Доказательство: так как [(ЛВ + BG) — ADJ/BG известно, то DG/BG также известно; тогда «выделенное» (определение V.15 «Начал») из него отношение DG/BG известно; но DB = АВ — AD, следовательно, (АВ — AD)/ BG известно.
Во втором случае данная величина — АЕ и необходимо доказать, что если отношение [(ЛВ + BG) — AE]/BG известно, то будет известно и отношение (АЕ — AB)/BG. Доказательство: так как \(АВ + BG) — АЕ]/BG известно, то EG/BG также известно;
И.О-Лютер
185
следовательно, «перевернутое» отношение (определение V.13 «Начал») дО/EG также известно и полученное из него «переворачиванием» (определение V.16 «Начал») BG/BE известно (по предложению 5 «Данных»: если известно (х + у)/у, то известно и (х + у)/х), следовательно, и «перевернутое» BE/BG, т.е. (АЕ — AB)/BG, известно.
Новым отправлением (или, точнее, очередным отступлением от «правил») в «Данных» Евклида, в частности в предложениях 27—29 по ат-Туси (28-30 по Пейрару и Ито) о параллельных прямых, оказывается применение перемещения прямых в доказательствах. Хорошо известно, что это противоречит точке зрения самого Евклида о недопустимости движения в геометрии. В связи с таким расхождением У.Норр высказал предположение о том, что некоторые из предложений «Данных», возможно, были составлены еще до Евклида, который впоследствии при написании «Данных» просто добавил их к своим собственным предложениям, основанным уже на статичных «Началах».32
Рассмотрим в качестве примера предложение 27 по ат-Туси (28 по Пейрару и Ито) «Данных».
Предложение 27 «Данных» в обработке ат-Туси (л.213об.)	Предложение 28 «Данных» в переводе Пейрара (с.537)	Предложение 28 «Данных» в переводе Ито (с.98-99)
[Если] линия проходит через известную точку, параллельно линии, известной по положению, то она известна по положению.	Если через данную точку проведена прямая линия, параллельно прямой, данной по положению, проведенная прямая дана по положению.	Если через данную точку проведена прямая линия, параллельно прямой линии, данной по положению, прямая линия, так проведенная, будет также дана по положению
Пусть [известная] точка будет А и линия, известная по положению, будет BG, [тогда линия,,] проходящая через эту точку параллельно BG, будет линия DAE [рис.2]. И это так, поскольку если бы линия была подвижной (мутанаккил) при неподвижной (сабит) точке А, и при этом линией, параллельной [линии] BG, [т.е.] которая была бы как линия RAH, то две пересекающиеся линии DE и RH были бы параллельны, что нелепо. Следовательно, [верно] суждение, [что прямая линия ОАЕ] неподвижна. Что и требовалось [доказать].	Через данную точку А проведем прямую линию DAE, параллельно прямой BG, данной по положению; и говорю, что прямая DAE дана по положению. Если это не так: оставляя неподвижной точку А, положение прямой DAE будет изменяться. Пусть ее положение изменится, оставляя прямую BG параллельной ей, и пусть ее положение будет ZAH; прямая GB будет параллельной ZAH. Но BG параллельна DAE; тогда, DAE параллельна HAZ; но это нелепо, так как прямые пересекаются; следовательно, положение DAE не изменяется; прямая DAE, следовательно, дана по положению.	Пусть через данную точку А будет проведена прямая линия DAE, параллельно прямой линии BG, данной по положению. Я говорю, что DAE дана по положению. Если это не так, то оставляя точку А на своем месте, положение прямой линии DAE будет изменяться. При этом, всегда оставаясь параллельной BG, пусть она изменится и будет ZAI. Тогда прямая линия GB параллельна прямой линии ZAJ. Но прямая линия BG параллельна прямой линии DAE. Следовательно, прямая линия DAE также параллельна прямой линии ZAJ. Но они должны пересекаться друг с другом, что нелепо. Поэтому положение прямой линии DAE не изменяется. Поэтому DAE дана по положению.
186
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Косая черта отделяет буквенные обозначения по ат-Туси от обозначений по Пейрару, в круглых скобках даются обозначения по Ито
В этом предложении доказывается, что прямая, проходящая через данную (известную) точку, параллельно прямой, данной (известной) по положению, дана (известна) по положению, т.е. что эта прямая, в соответствии с определением 3 (4 по Пейрару и Ито) «Данных», всегда находится в одном и том же месте, т.е. сохраняет свое местоположение. На основании этого определения доказательство строится «от противного» на предположении, что прямая изменяет свое местоположение, т.е. перемещается, в данном случае вращается вокруг фиксированной на ней точки. В результате получается, что две пересекающиеся прямые параллельны одной и той же прямой, что противоречит предложению 1.30 «Начал» (в котором утверждается, что прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой). Любопытно, что в версиях Пейрара и Ито говорится об изменении положения прямой, тогда как в арабской версии употребляется собственно кинематический термин «мутанаккил», означающий «перемещающийся», «подвижный», и речь идет о перемещающейся или подвижной линии.
Весьма вероятно, что именно позиция Евклида о неправомерности применения движения в геометрии, а следовательно, и терминологии, связанной с движением, привела его к такой формулировке определения данности по положению геометрических объектов (речь идет о выражении «всегда находиться в одном месте», в котором исключено движение и которое равносильно невозможному в рамках геометрии Евклида выражению «всегда быть неподвижными»). При этом отсутствие терминологии, связанной с движением, в этом собственно евклидовом определении и, наоборот, применение движения в предложениях, основанных на этом определении, но не принадлежащих, по предположению Норра, Евклиду, могут служить аргументом в пользу последнего.
Некоторые из предложений «Данных» фактически представляют собой предложения геометрической алгебры, в частности, предложения 55, 56, 57 и 59 по ат-Туси (соответственно 57, 58, 59, 61 по Пейрару и Ито), в которых рассматривается приложение площадей как с недостатком, так и с избытком. Рассмотрим, например, предложение 56 по ат-Туси (58 по Пейрару и Ито).
ц. О. Лютер
187
Предложение 56 «Данных» в обработке ат-Туси
(л.216об.)_______
[Если] площадь, известная по виду, приложена к из-р£стнои прямой, и недост а-ток до ее завершения есть площадь, известная по виду, [т.е.] параллелограмм, [то] недостающая площадь известна [своими сторонами].
Пусть [известная] площадь будет ABGD, [известная] линия будет BE и недостающая (накис) площадь, известная по виду, будет площадь ED [рис.З]. Я говорю33, что стороны EG и GD известны.
Разделим BE пополам точкой Н, опишем (расама, буквально рисовать, чертить, описывать) на ЕН площадь КН, подобную площади ED, которая будет известна по виду, как и площадь ED.
ЕН известна, следовательно, [площадь] НК известна [по величине] (по предложению 52 «Данных»: если на прямой, данной по величине, описана фигура, данная по виду, описанная фигура дана по величине).
_ Площади НК. ED на одной диагонали (кутр, буквально диаметр) EDF.
Продлим GD до L, тогда [площадь] KD равна [площади] DH (по предложению 1-43 «Начал»: во всяком параллелограмме «дополнения» расположенных по диаметру параллелограммов равны между собой).
[Площадь] DE — общая, тогда KG равна RE, т.е. RB.
[Площадь] RG общая, тогда гномон MNS равен AG, известной по величине, следовательно, гномон известен по величине. Следовательно, остается [площадь] FD известная по величине. Но она известна по виду, так как подобна ED-, тогда величина, т.е. GH, известна; ЕН известна, следовательно, GE известна; ее отношение к GD известно, следовательно, GD также известна. Что и требовалось [доказать].________
Пусть данная площадь GA будет приложена к данной линии AD, и пусть эта площадь будет недостаточной на фигуру GD, данную по виду; я говорю, что каждая из прямых GB и BD дана.
Разделим AD на две равные части в точке Е; прямая ED будет дана по величине. На ED опишем прямолинейную фигуру EZ, подобную и подобно расположенную фигуре GD, построим эту фигуру; фигура EZ будет дана по виду. Так как на данной прямой ED описали фигуру EZ, данную по виду, фигура EZ будет дана по величине. Но эта фигура равна сумме фигур AG, КТ; сумма фигур AG и КТ, следовательно, будет дана по величине. Но AG дана по величине по предположению; оставшаяся КТ, следовательно, дана по величине.
Но она дана по виду, ибо она подобна GD', стороны фигуры ТК, следовательно, даны; прямая KG, следовательно, дана. Но она равна ЕВ\ прямая ЕВ, следовательно, дана. Но ED дана; оставшаяся прямая DB, следовательно, дана. Но отношение BD к BG дано; следовательно, BG дана.
Предложение 58 «Данных» в переводе Пейрара _______(с.564-565)______
Если данная площадь приложена к данной прямой и если эта площадь недостаточна на фигуру, данную по виду, длины недостатка даны.
Предложение 58 «Данных» в переводе Ито ________(с.150-153)______
Если данная [площадь приложена к данной прямой линии и оиа недостаточна на фигуру, данную по виду, то стороны недостающей площади даны.
Пусть данная [площадь АВ приложена к данной линии AD, будучи недостаточной на фигуру DG, данную по виду. Я говорю, что каждая из BG и BD дана.
Пусть AD будет разделена на две [равные части] в точке Е. Следовательно ED дана. И на ED пусть будет описана прямолинейная фигура EZ, подобная и подобно расположенная фигуре GD, и пусть она будет описана, соответственно фигуре EZ. Следовательно, EZ дана по виду. И так как фигура EZ описана на данной прямой линии ED, то EZ дана по величине.^ равна сумме AG и КТ. Поэтому сумма AG и КТ дана по величине. И AG дана по величине, поскольку так было положено. Поэтому остающаяся фигура КТ также дана по величине.
Но она [КТ] дана также по виду, ибо она подобна GD. Поэтому стороны КТ даны. Поэтому GK дана. И GK равна ЕВ. Поэтому ЕВ также дана. Тогда ED также дана. Поэтому остаток BD дан. И отношение BD к BG дано. Поэтому BG также дана.
t88 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКрц
Чтобы показать соответствие геометрического решения Евклида этого предложения алгебраическому методу, перейдем от параллелограммов к прямоугольникам (во избежание использования синусов) а также к современной алгебраической символике.
Итак, необходимо доказать (следуем версии ат-Туси), что, если площадь S= cd и длина ЕВ = а — известны (рис.З), прямоугольник ED известен по виду (т.е. в соответствии с определением 4 «Данных» по ат-Туси (определением 3 по Пейрару и Ито), его стороны EG = х и GD = у находятся в известном отношении у/х = Е), то х и у известны по величине.
По построению, ЕН = НВ = а/2, прямоугольник КН подобен прямоугольнику ED, прямоугольник FD подобен прямоугольнику ED. Следовательно, FR/DR = k и FR = kDR, FH/EH = k = FH/(a/2) и FH = ka/2. В таком случае, площади прямоугольников FD и КН соответственно: Spu = kDR2 nSpE = ka2/4.
Из доказанного в предложении 56/58 следует, что площадь прямоугольника ABGD равна сумме площадей трех прямоугольников, т.е. cd = SABpp) —Spp) + Spp) +Srg- Следовательно, Spp> =Spp — cd, т.е. kDR? =ka2/4- cd.
Ho EG = x = EH — GH = a / 2 — DR. Следовательно, (a / 2 — x)2 = = (Ac2/4 — cd)/k, т.е. ax — x2 = cd/k, где cd < ka2 /4. И далее GD = у находится из условия у/х = k.
Рис.З
Косая черта отделяет буквенные обозначения по ат-Туси от обозначений по Пейрару,в круглых скобках даются обозначения по Ито.
И-О.Лютер 189
Таким образом, предложение 56/58 «Данных» представляет собой геометрическое решение квадратного уравнения ах — х2 = В при д<д2/4.
Предложение 56/58 по существу совпадает с предложением VI.28 «Начал» («К данной прямой приложить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм, имеющий недостаток в виде параллелограмма, подобного данному; необходимо же, чтобы данная прямолинейная фигура, равную которой надо приложить была не больше фигуры, построенной на половине, подобной недостатку от фигуры на половине и подобную которой надо взять в недостатке»)34, доказательство которого Евклид проводит методом синтеза и, естественно, без использования терминологии «Данных». Любопытно, что на чертеже к предложению 56/58 «Данных» в обработке ат-Туси, как и на чертеже к предложению VI.28 «Начал», судя по большинству изданий «Начал», проведены неполные окружности, указывающие рассматриваемый в доказательстве гномон, тогда как в чертежах к этому предложению в цитируемых нами переводах Пейрара и Ито, таких «окружностей» нет (в издании Пейрара «Начал» их, впрочем, тоже нет). Этот факт можно рассматривать как свидетельство того, что ат-Туси, которому, напомним, принадлежит и собственное изложение «Начал» Евклида, использовал их при обработке «Данных» и ему было хорошо известно совпадение этих предложений.
Заметим, что в данном геометрическом контексте «гномон», как и в арифметических и алгебраических сочинениях арабоязычных ученых, переводится термином «‘алам», означающим «знак; отмеченное как», тогда как в арабских астрономических текстах для обозначения гномона — шеста солнечных часов, тень которого, образованная Солнцем, указывала время, - использовался другой термин «микйас», который буквально и означает «меру», «измерительный прибор».35
Приведенное нами предложение 56/58 «Данных» используется Далее для доказательства предложения 81 по ат-Туси (85 по Пейрару и Ито), которое, с одной стороны, представляет собой геометрический аналог решения системы уравнений х + у = аиху=Ь^, ас другой, можно рассматривать, как частный случай предложения 56/58, когда, как зто следует из построения в его доказательстве, недостающая фигура — ромб или квадрат, т.е. сводится к решению уравнения ах — х2 =Ь2, где Ь2 соответствует cd/k из нашей интерпретации предложения 56/58.
Обратим внимание, что в обработке ат-Туси в конце доказательства опущены несколько импликаций (см. переводы Пейрара или Ито), основанные на предложении 4 «Данных», в котором утверждается, что «если данную величину отнять от данной величины, то остаток также дан».
190
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQR
G	В	D
	
А	[Е]/Е
Рис.4
Косая черта отделяет буквенные обозначения по ат-Туси от обозначений по Пейрару
Предложение 81 «Данных» в обработке ат-Туси ________(л.119 об.)______
[Если] две [прямые] линии, сумма которых известна, охватывают известную площадь при известном угле, то каждая из них известна.
Пусть две [прямые] линии АВ и BG охватывают известную площадь AG при известном угле ABG [рис.4]. Продлим BG и сделаем BD, равной АВ; завершим площадь AD.
Так как АВ равна BD и угол ABD известный, то площадь AD известна по виду.
АВ и BG в совокупности известны, т.е. DG известна (по предложению 3 «Данных» : если любые известные величины объединены, то величина, составленная из них, также известна. -И.Л.); так как известная площадь AG была приложена к ней [т.е. к линии BG] и недостаток (накс) до ее [AG] завершения (тимам) - площадь AD, известная по виду, то каждая из двух линий АВ и Blfi6 известна (по предложению 56 «Данных» по ат-Туси. - И.Л.). Следовательно, BG и АВ известны, что и требовалось [доказать].
Предложение 85 «Данных» в переводе Пейрара _________(с.592)_________
Если две прямые содержат данную площадь в данном угле и если их сумма дана, каждая их них будет дана.
Пусть две прямые АВ, BG содержат данную площадь AG в данном угле ABG и пусть сумма прямых АВ, BG дана; я говорю, что каждая из прямых АВ, BG дана.
Продлим GB к D, сделаем BD равной АВ, через точку D проведем DE параллельно ВА и завершим параллелограмм AD.
Поскольку DB равна ВА и угол ABD дан, так как дан смежный с ним угол, то параллелограмм ЕВ будет дан по виду.
Но сумма прямых АВ, BG дана и АВ равна BD, следовательно, прямая DG дана.
И так как данная площадь AG приложена к данной прямой DG, будучи недостаточной на фигуру ЕВ, данную по виду, то стороны недостатка даны; следовательно, прямые АВ, BD даны. Но сумма прямых АВ, BG дана; следовательно, прямая BG дана; следовательно, каждая из прямых АВ, BG дана.
Предложение 85 (энных» в переводе Ито __________(с.207)________
Если две прямые линии содержат данную площадь в данном угле и сумма этих линий дана, каждая их этих ли-ний будет также дана_____
Пусть две прямые линии АВ, BG содержат данную площадь AG в данном угле ABG и пусть сумма этих линий АВ и BG дана; я говорю, что каждая из АВ и BG также дана.
Пусть GB будет продолжена до D, и пусть BD будет равна АВ, далее через точку D пусть DE будет проведена параллельно ВА и пусть [параллелограмм] AD будет завершен.
Поскольку DB равна ВА и угол ABD также дан, ибо дан смежный с ним угол, то ЕВ будет дан по виду.
И так как сумма АВ и BG дана и АВ равна BD, то DG дана.
Так как данная фигура AG приложена к DG, будучи недостаточной на фигуру DA, данную по виду, то размеры этой недостающей площади даны. Поэтому АВ и BD даны. Но сумма АВ и BG также дана. Следовательно, каждая из прямых АВ, BG дана.
и. о. Лютер
191
Сравнительный анализ рассмотренных предложений версии ат-Туси «Данных» Евклида с переводами Пейрара греческого текста и Ито латинского текста позволяет заключить, что версия ат-Туси — не комментарий, как иногда ссылаются на это сочинение, а собственно обработка перевода Исхака-Сабита, осуществленного по тексту «Данных», отличному от редакций Теона. Она сохраняет и форму и стиль сочинения Евклида, но отличается лаконичностью (предложения снабжены лишь одним из представленных Евклидом вариантов доказательств), в отдельных случаях чрезмерной (некоторые совершенно необходимые импликации как в формулировках, так и в доказательствах, отсутствуют).
Арабские традиции «Данных» Евклида. В этой связи, хронологически прежде всего, интерес представляют вышеупомянутые «Книга предположений» Ибн Корры и ее обработка ат-Туси. Оба трактата были переведены на русский язык Б.А.Розенфельдом и Дж.ад-Даб-бахом и изданы в 1984 г. с комментариями Б.А.Розенфельда.37
Эти сочинения отличаются лишь порядком предложений и тем, что доказательства в обработке ат-Туси в некоторых случаях более подробны, а в других представляют собой сокращение соответственных доказательств Ибн Корры, поэтому мы будем говорить собственно о трактате Ибн Корры. Трактат содержит 36 предложений, в том числе, предложения на построение (например: разделить линию на три части в заданном отношении этих частей; или провести из точки круга хорду так, чтобы диаметр разделил ее в заданном отношении) и 22 предложения в терминологии «известных». Последние включают и предложения, представляющие собой геометрическое решение квадратных уравнений или систем линейных уравнений (например: если линия разделена на две части, произведение и отношение которых известны, то каждая из этих частей известна; или если к любой известной линии прибавлен отрезок и произведение линии вместе с отрезком на отрезок известно, то линия вместе с отрезком известна), и предложения, в которых рассматриваются метрические соотношения между элементами треугольников, четырехугольников и кругов, т.е. требуется доказать, что если величины некоторых отрезков, углов одной фигуры известны, то известны и величины других отрезков (например: если в любом равнобедренном треугольнике известны каждая из его боковых сторон и его площадь, то его основание известно; или если две хорды в круге параллельны, но неизвестны, и две пересекающиеся хорды, соединяющие их концы, равны и известны, то диаметр круга и параллельные хорды также известны). Подобные предложения были характерны, главным образом, для исчисления астрономов. Сабит ибн Корра снабжает некоторые из них, несмотря на то, что они суть прямые следствия из теорем «Данных» Евклида, такими доказательствами, которые позволяют астроному фактически
192
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
определять (т.е. вычислять) различные искомые величины, не довольствуясь утверждением, которое немедленно следует из «Данных», что эти величины известны или даны (т.е. построены). Таким образом, Ибн Корра в этом трактате, возможно, под воздействием алгебраических исследований или в связи с новыми потребностями астрономии и формирующейся тригонометрии, фактически осуществляет переход от «известных», которые можно построить (известных Евклида), к известным, которые вычисляются, и, таким образом, разрабатывает такой метод анализа, который бы позволил фактически определять (в смысле вычислять) величину неизвестных элементов фигуры, а не осуществлять их построение.
Такой вывод подтверждает и исследование этого трактата Ибн Корры в обработке ат-Туси, осуществленное Э.Беллостой.38 В нем обосновывается, что сочинение Ибн Корры представляет собой слияние двух традиций, которые противопоставляются и различаются статусом величины: чисто геометрической традиции «Данных» Евклида и той, что относится к практической математике и представлена «Метрикой» Терона Александрийского или главами о вычислении площадей из алгебраического трактата ал-Хорезми. Как известно, для Евклида и его последователей геометрическая величина (вследствие существования иррациональностей) не ассоциировалась с числом (целым или рациональным) что порождало множество проблем, скорее философских, чем математических: отвергая возможности алгебры и не связывая величины и отношения с числами, геометры, следующие Евклиду, испытывали трудности при фактическом определении стороны квадрата, площадь которого была известна; для них было невозможно рассмотреть отношение неоднородных площади и длины (т.е. подменить применение соответственных предложений «Данных» фактическим определением величин) и невозможно было умножить длину или площадь на отношение. Подобного рода проблемы почти отсутствуют у математиков-практиков (в астрономии, арифметике, алгебре), однажды допустивших возможность измерять или приближать величину рациональным числом, или, что — то же, манипулировать всей величиной как числом, и которые рассматривают только числа, а величины - лишь постольку, поскольку они измеряемы, т.е. могут быть приближены рациональным числом. В таком случае, по утверждению Э.Беллосты, наличие терминологии «известных» (при ее отсутствии в алгебре и астрономии) — всего лишь временное изобретение геометра, избегающего констатации факта, что эти непрерывные величины, о которых говорилось, что они известны, не могут быть определены фактически (измерены или вычислены), но только построены. Терминология «известных» исчерпает себя в подобных проблемах, как только величины и отношения будут окончательно ассимилированы с числами (рациональными или иррациональными)
И О.Дютер___________________________________________________122
и будет отменено условие однородности при составлении уравнений или равенств, и идея размерности достигнет уровня абстракции, и будет возможным определение (вычисление) неизвестных величин по Декарту.
Систематическое обращение к предложениям «Данных» и их применение, а также дальнейшее развитие некоторых ключевых идей этого аналитического сочинения Евклида наиболее характерно для X-XI вв. Это не удивительно, поскольку именно в этот период проблема анализа и синтеза становится объектом многочисленных дискуссий и споров среди наиболее выдающихся арабоязычных математиков (Ибн Синана, ас-Сиджизи, ал-Кухи, Ибн ал-Хайсама и др.) и философов (прежде всего, ал-Фараби), главным образом, представителей научной среды Багдада.39 Такое особое внимание к этой теме, возможно, объясняется изменениями в самой математике: формированием и развитием новых дисциплин, в частности, алгебры, новыми исследованиями в геометрии, а именно, в области проективной геометрии и геометрических преобразований. И новые исследования, и новые дисциплины нуждались в этом универсальном и незаменимом логико-философском методе математической практики, который, будучи хорошо известным и широко используемым, все-таки нуждался в отдельном серьезном и расширенном исследовании, дальнейшей проработке.40
Первым наиболее существенным шагом в этом направлении оказывается «Книга о методе анализа и синтеза и других действиях в геометрических задачах» (Макала фи тарик ат-тахлил ва-т-таркиб ва сайр ал-‘амал фи-л-масаил ал-хандасиййа) талантливого математика и астронома Ибрахима ибн Синана (908-946), внука Ибн Корры.41 Этот трактат — и первое значительное сочинение в области философской логики математики, в котором автор затрагивает фундаментальную проблему единства геометрии и этого логико-философского раздела анализа и синтеза. Ибн Синан фактически рассматривает фундаментальные логические проблемы, такие как обратимость импликаций, связь вспомогательных построений в геометрии с обратимостью анализа и синтеза, которые, впрочем, уже были у Паппа, а также совершенно новые и относящиеся к теории доказательства: классификацию математических предложений по двойному критерию (по числу условий и их совместимости, по числу решений), выявление особенностей доказательства (т.е. анализа и синтеза), соответствующего каждому классу проблем. Подобная, оперирующая только логическими критериями классификация, очевидным образом отличающаяся от классификации геометрических проблем, известной еще греко-эллинистическим геометрам и основанной на критериях возможности построения и размерности, в равной мере применима и к проблемам алгебры и диофантова анализа.
194
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQr
Ибн Синан излагает свою теорию традиционного классического анализа и, в случае этого трактата, анализа плоских проблем (или другими словами проблем, решаемых с помощью уравнений второй степени), применяя терминологию «известных», определяя известное как то, для чего может существовать равное (тогда как у Евклида, это то, для чего можно найти равное, см. выше определение 1 «Данных»). Для него решить проблему собственно и означает доказать существование некоторого объекта, удовлетворяющего одному или нескольким свойствам, т.е. доказать экзистенциальное предложение. Методом доказательства таких предложений оказывается именно классический анализ, для которого предложения «Данных» или аналогичные им незаменимы, поскольку, во-первых, нет необходимости в фактическом построении или вычислении, а, во-вторых, предложения «Данных» только лишь и позволяют утверждать, что определенные объекты известны при тех или иных данных проблемы.
Рассматривая в этом трактате проблему обратимости анализа и синтеза, Ибн Синан, в частности, обращает внимание на то, что построения и доказательства в той части синтеза, в которой строится искомый объект, «известный» в результате анализа, отсутствуют в последнем. Он утверждает, что все построения, представленные в начале синтеза, на самом деле подразумеваются и в анализе, но систематическое применение в ходе анализа предложений «Данных» и им аналогичных позволяют сократить (или опустить) эти построения и определения, поскольку для геометров, сокращающих анализ, этот метод не является методом доказательства, но методом исследования искомого объекта.
В X в. на средневековом мусульманском Востоке появился новый жанр математических сочинений — сборники проблем, решаемых методом анализа и синтеза (или одним из них), предназначенные для исследования. Первым в этом жанре оказывается сборник, также принадлежащий Ибн Синану, - «Антология проблем» или «Избранные проблемы» («Маса’ил ал-мухтара»), составленный им для закрепления понятий и упражнения в методах, изложенных в его сочинении «Об анализе и синтезе». Некоторые из свойств, доказанные или применяемые здесь Ибн Синаном, представляют собой дополнение к «Данным» Евклида. Они относятся к преобразованиям равенств и к исключению неизвестной величины в двух равенствах. Ибн Синан, по сути, расширяет область приложения определений 11, 12 «Данных» и предложений 10—11, 13—21, в которых они используются Евклидом, применение которых в греко-эллинистический период было ограничено (здесь и далее нумерация предложений «Данных» по переводу Пейрара).
цО. Лютер 195
Так, Ибн Синан при решении проблемы 31 (в которой требуется через точку, известную по положению, провести прямую, пересекающую две другие прямые, известные по положению, так, чтобы получившийся треугольник был равен известной площади) применяет без доказательства следующую импликацию: если (х —у)2/ху известно, то х/у известно.42 При этом он ссылается на «Данные», но не уточняет, что это — фактически частный случай следствия из предложения 80 «Данных» (в котором утверждается: если даны один из углов треугольника и прямоугольник на прямых, содержащих данный угол, и если отношение этого прямоугольник к квадрату оставшейся стороны дано, то треугольник дан по виду), когда данный угол прямой, выраженный в метрической форме.
Или другая импликация, доказанная и используемая Ибн Сина-ном в проблеме 36 (в которой требуется определить две стороны треугольника, сумма которых известна, а также известны третья сторона и расстояния некоторой точки на этой стороне от всех вершин треугольника): если t — у и t/х известны, то можно найти такую прямую z, что х — z и г/у будут известны, или, следуя терминологии Ибн Синана, если t — у = а и t/x = (у + а)/х известны, то х — z = Ь и г/ у = (х — Ь)/у известны.43 Таким образом, если следовать определениям И и 12 «Данных» (см. выше), Ибн Синан доказал, что «если у меньше на данную величину, чем х, как в отношении, то х больше на данную величину, чем у, как в отношении», т.е. то, что Евклид формулировал в терминах отношений Ибн Синан формулирует в терминах равенств.
И последний пример. При решении проблемы 16 (даны три прямые АЕ, ЕС, С А, образующие треугольник, и точка Н внутри этого треугольника, провести, через Н прямую HIJK, пересекающую АС, СЕ и АЕ в точках I, J и К так, чтобы отношение JK/KI было равно данному отношению) Ибн Синан использует импликацию: если х + s и х2 + z2 известны, s/y2 известно, то или у2/г2 известно (если х2 + s = х2 + z2), или можно найти такую площадь s, что 2 ~s (или s — г2) будет известна и s/y2 известно.44 Это свойство позволяет исключить неизвестную величину в двух равенствах: если х + ky2 = а и х2 + Ez2 =Ь, хо у — (k'/k)z = с, где а и Ь — известные площади, k и k' известные отношения и c=k~^{a— Ь) (если а = Ь, c — $w.y2/z2 =k'/kY Это аналог предложения 18 «Данных» Евклида (если из трех величин одна больше на данную величину, чем каждая из двух других, как в отношении, то две другие будут в данном отношении, или одна будет больше на данную величину, чем другая, как в отношении), которое в интерпретации Ибн Синана позволяет следующее исключение: если х — ky = а и х — k' z = Ь, то у — k"z = с.
196__________________МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Но самые оригинальные, более того, по-настоящему знаковые в списке сочинений средневековых арабоязычных ученых, посвященных анализу и синтезу, — два сочинения, принадлежащие выдающемуся ученому Х~Х1 вв. Ибн ал-Хайсаму: « Книга об анализе и синтезе» и трактат «Об известных» («Фи’л-ма‘лумат»), составленный немного поздней. В этих работах Ибн ал-Хайсам не просто излагает свой метод анализа и синтеза, главным образом, применительно к геометрии (в «Книге об анализе и синтезе» — к каждой из наук квадри-виума: геометрии, арифметике, астрономии и музыке), но и разрабатывает основания новой дисциплины — «искусства анализа» (сина'ат ат-тахлилУ «Что касается законов этого искусства и его оснований, с помощью которых достигается открытие свойств и постигаются предпосылки [доказательных силлогизмов], и которые суть основания математики... это - понятия, называемые “известными”. Известные делятся на пять частей, а именно: известное по числу, известное по величине, известное по отношению, известное по положению, известное по виду. Книга Евклида, переведенная как “Данные”, включает многочисленные понятия этих известных, которые относятся к инструментам искусства анализа', большая часть искусства анализа основывается на этих понятиях (курсив наш. — И.Л.У, кроме этого, есть и другие понятия известных, без которых невозможно обойтись в искусстве анализа, которые не содержатся в этой книге, и которые мы не найдем ни в одной из книг».45
Оценивая значение «Данных» Евклида для этой новой дисциплины, Ибн ал-Хайсам, тем не менее, дает совершенно иную по сути и вообщем-то философскую (соединяющую в себе элементы философий и Платона и Аристотеля) трактовку «известных»: «Мы говорим: известное, вообще говоря, есть то, что не изменяется (здесь и далее в цитате курсив наш. - И.Л.), поскольку любая вещь, которая изменяется и которая имеет в своей природе изменение, не имеет ни определенной реальности, ни определяема. Если она не имеет определенной реальности и неопределяема, что является ее сущностью, то не верно, что она известна, поскольку, возможно, все то, что о ней знают, отлично от того, чем она была; вещь будет известной, если только она зафиксирована в одном единственном состоянии, которое есть ее сущность».46 И еще: «Если знание есть убежденность, если убежденность не может иметь место без того, кто убежден и понятия, в котором убеждены, т.е. известного, и если знание делится на две части, знание в действительности и знание в возможности, тогда известное также делится на две части: известное в действительности и известное в возможности. Известное в действительности становится известным через того, кто это знает; известное в возможности есть то, что может стать известным через того, кто это знает. Но мы показали, что известное есть понятие, которое не допускает
и. О-Лютер____________________________________________________197
———
изменения; понятия, которые не допускают изменения делятся, таким образом, на две части: одни суть убеждения для того, кто убеждается’ другие могу7 стать убеждениями для того, кто убеждается. Эти две части могут быть известными только, если само понятие не допускает изменения... известное есть, по правде говоря, любое понятие, которое не допускает изменения, будет ли оно или нет убеждением того, кто убеждается. Все известные понятия подразделяются на две части: одни касаются количества, другие не касаются количества... Количество подразделяется на две части: одна - это дискретное количество и другая — количество непрерывное. Количество дискретное подразделяется на две следующие части: буквы слов и число. Количество непрерывное подразделяется на пять следующих частей: линия, поверхность, тело, вес и время».47
Таким образом, «известные» Ибн ал-Хайсама — это такие понятия, которые не допускают изменения. Они обозначают неизменяю-щиеся (инвариантные) свойства математического объекта, независимые от нашего знания о них и остающиеся без изменений, даже когда другие элементы математического объекта изменяются. Цель того, кто осуществляет анализ, состоит, по Ибн ал-Хайсаму, в том, чтобы свести проблему к этим инвариантным свойствам или элементам -«известным».
Напомним, что Ибн ал-Хайсам был одним из тех немногих арабоязычных геометров, которые оспаривали невозможность применения движения в геометрии и не только вводили и применяли геометрические движения и преобразования (среди его предшественников в этой связи можно назвать Ибн Корру и Ибн Синана)48, но и исследовали отношения между фигурами в пространстве (тогда как геометрия Евклида изучает только свойства плоских неподвижных и неиз-меняющихся фигур). Одновременно с такими «нововведениями» (параллельным переносом, подобием, гомотетией и даже рациональными отображениями второго порядка), фактически еще до Ибн ал-Хайса-ма, в геометрии возникла необходимость определения тех свойств и элементов геометрических фигур и мест, которые остаются инвариантными по отношению к применяемым геометрическим движениям и преобразованиям, а вместе с этим и необходимость введения нового понятия «известного», которое бы позволило говорить о таких инвариантах. Но ни Ибн ал-Хайсам, ни в дальнейшем, в течение восьми веков, его последователи, не смогли предоставить математическое решение этой математической проблемы и предварили его решением философским, примером которого и служит учение Ибн ал-Хайсама об известных.
198
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
О том, что конкретно отличает его известные от известных Евклида, Ибн ал-Хайсам пишет: «...все известные, упоминаемые Евклидом в его книге о “Данных”, вместе составляют части, которые мы упоминали; но в том, что мы упоминали, есть кое-что, что Евклид не упоминал: это подвижные вещи, известные по положению (курсив наш. - П.Л.)».49 Мы уже обращали внимание на определение Евклида данности по положению, в котором подразумевается только абсолютно определяемое положение: геометрическая фигура, известная по положению, — та, которая всегда находится в одном и том же месте, которое можно определить. У Ибн ал-Хайсама положение — понятие более объемлющее. Так, прежде чем определить геометрические объекты, известные по положению, он уточняет, что положение -это расположение (насба) геометрического объекта по отношению к какой-либо фиксированной или движущейся вещи, тем самым вводя в явном виде движение, что не допускал Евклид, хотя и не до конца последовательно (см. выше наш анализ предложения 27/28 «Данных»).
В качестве примера приведем определение Ибн ал-Хайсама точки, известной по положению, определяемой движением, порядком и отношением: «Известное, относящееся к концу линии, который суть точка, состоит из двух понятий: одно относится к ее сущности, т.е. ее неделимости, другое — к ее положению, т.е. к ее расстоянию от другой точки или точек, существующих в воображении, если это расстояние или расстояния не изменяются. Это понятие подразделяется на три части: одна, когда эта точка, сама известная по положению, фиксирована, и также фиксированы точка или точки, существующие в воображении, и ни одна из них не движется ни одним из движений; другая часть, когда точка, существующая в воображении, фиксирована, а точка, известная по положению, двигается вокруг этой фиксированной точки круговым движением, и расстояние между ними не изменяется; и третья часть, когда точка, известная по положению, находится от точки, существующей в воображении, на расстоянии, которое не изменяется, или находится на расстояниях, которые не изменяются, от точек, существующих в воображении, таких, что две точки или все точки двигаются все вместе одним движением, а расстояния, которые между точкой, известной по положению, и этими точками не изменяются. Эти два понятия суть известные и относятся к точке, которая есть конец линии».50
В заключение завершим нашу периодизацию истории текстовых традиций «Данных» Евклида.
Латинский период. Во второй половине XII века Герард Кремонский (1114—1187) перевел редакцию Исхака—Сабита на латынь, но в настоящее время этот перевод считается утерянным. Из
И.О-Лютер 199
латинских переводов эпохи Возрождения наиболее известны частичный перевод Дж.Валла и полный перевод Б.Замберти, в основе которых были версии Теона.51 Перевод Валла был опубликован в 1501 г. в Венеции в объемном энциклопедическом собрании других его латинских переводов греческих сочинений по различным областям науки и искусства. Перевод Замберти был опубликован вместе с его латинской версией «Начал» также в Венеции, но в 1505 г. И.Гейберг, изучавший перевод Валла, охарактеризовал его как «невероятно скверный», во многих местах представляющий собой просто замену слов, без внимания к их значению.52 Перевод Замберти считается более достоверным, хотя в нем и использован перевод Валла. Сравнительно недавно стало известно о существовании и более раннего латинского перевода «Данных» Евклида, критический текст (по четырем сохранившимся рукописям: оксфордской (F.5.28), парижской (Lat. №16648), берлинской (Q510) и дрезденской (Db86)) и английский перевод которого был издан Ш.Ито в 1980 г. Текстологическое исследование этих рукописей позволило Ито установить, что данный латинский перевод был осуществлен анонимным автором до 1160 г. в Сицилии и, главным образом, с греческого текста дотеоновой традиции (хотя в редких случаях наблюдается сходство и с редакцией Теона).53
Печатные издания «Данных» Евклида. Первое печатное издание греческого текста «Данных» было осуществлено в 1625 г. К.Харди в Париже.54 Затем последовало оксфордское издание 1703 г. Д.Грегори, собравшего в одном томе все сочинения Евклида.55 Однако в основе этих изданий были рукописи версии Теона, к тому же далеко не лучшего качества, и оба издания вряд ли можно рассматривать как критические.
В 1808 г. Ф.Пейрар обнаружил среди ценнейших рукописей, отобранных из итальянских библиотек для Наполеона и отосланных в Париж, замечательную рукопись сочинений Евклида (код. Ват. 190), содержавшую I—XIII книги «Начал» и «Данные» с комментарием Марина и античной схолией к ним. Впоследствии ему удалось установить, что это редакция не Теона, а более древняя и оригинальная. Взяв за основу текст этой рукописи, но учитывая и другие редакции, Пейрар опубликовал первый критический текст «Данных» в третьем томе своего издания сочинений Евклида на греческом, латинском и французском языках 1814-1818 гг.56 Хотя Пейрар и указал путь для достижения лучшего текста, он продолжал использовать ошибочную процедуру Грегори простого исправления текста с помощью вновь обнаруженной рукописи, вместо того, чтобы полностью отказаться от того текста и начать заново.
200
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
Новое издание текстов Евклида предприняли И.Гейберг и Г,Менге, полностью отвергнув оксфордское издание Грегори и исходя из всех доступных им рукописей. Их монументальное издание сочинений Евклида, состоящее из 8 томов и девятого дополнительного было опубликовано между 1883 и 1916 гг. «Данные» в редакции Менге вошли в шестой том этого собрания (см. прим.4). Менге исходил из 6 рукописей, приняв за основу ватиканскую рукопись, обнаруженную Пейраром (код. Ват. 190). Поэтому его критический текст фактически соответствует традиции нетеоновых «Данных», противопоставляемой традиции рукописей Теона, хотя при этом Менге отмечал, что текст «Данных» в нетеоновых рукописях, представленный ватиканской рукописью, расходится не так уж часто с теоновыми рукописями, как это имеет место в случае «Начал».
Среди переводов «Данных» на современные языки перевод Пейрара на французский язык по-прежнему считается лучшим. Первый же французский перевод, хотя и не совсем удачный, был опубликован, по сообщению самого Пейрара, еще в 1615 г. Анрионом.57
Хорошо известен и часто упоминается английский перевод Р. Симеона 1756 г.58 Однако это скорее не перевод, а свободное изложение: Симеон не только пропускает многие определения и предложения, кажущиеся ему излишними, но и радикально изменяет их порядок; он не смущается соединять предложения и вставлять новые. Намереваясь восстановить текст Евклида, исправляя «испорченное» Теоном, он лишь еще больше отходит в своей версии «Данных» от оригинального текста Евклида. Менее упоминаемый, но немного более ранний — английский перевод И.Барроу, исправленный Т.Хазел-деном.59 Несмотря на архаичность английского, этот перевод более близок к тексту «Данных» Евклида, чем перевод Симеона. Упомянутый выше английский перевод Ито 1980 г., основанный на латинском оригинале, хорошо согласующимся с греческим текстом Менге, также достаточно близок к греческому оригиналу.
Что касается немецких версий, первая — это немецкий перевод И.Шваба 1780 г., по сути, переложение версии Симеона на немецкий.60 Второй прямой немецкий перевод принадлежит Г.Вурму 1825 г.61 К.Таэр в 1962 г. опубликовал немецкий перевод изданного Менге греческого текста.62 М.Кантор отмечает еще и издание 1866 г. 24 предложений на основании мюнхенских рукописей в переводе Ф.Бухбиндера.63
Автор выражает искреннюю признательность Н.С.Ермолаевой, оказавшей существенное содействие при получении копии санкт-петербургской рукописи обработки «Данных» ат-Туси, столь необходимой для настоящей работ.
И.О.-Лютер
201
Примечания
। Ильина Е.А. О «Данных» Евклида // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2002. Вып.7(42). С.201-208. О «Данных» см. также: ШальМ. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. М., 1883. С.221-226; Heath Th. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Reprint: Dover (New York, 1981). Vol. I. From Thales to Euclid. P.421-425.
2	Heiberg J. L. Litterargeschichtliche Studien liber Euklid. Leipzig, 1882. S.39. Cantor M.B. Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik. Bd.I. Leipzig, 1880. S.245.
3	Knorr W.R. The Ancient Tradition of Geometric Problems. New York: Dover, 1993. P.108-111, 142. Терминология «данных», как пишет Hopp, не была нововведением Евклида. Так, уже в «Метеорологике» Аристотеля (III, 5, 376а5-6) применяются последовательные «данные». Хотя, возможно, что «Данные» Евклида и представляют собой первую и достаточно удачную попытку организации материала элементарной геометрии в форму «данных». Установить происхождение последовательного использования «данных» непросто, поскольку примеры такого использования в доевклидовой геометрии отсутствуют. Хотя имеется свидетельство о простейшем понятии «данного» в геометрии начала IV в. во фрагменте «Менона» Платона, где требуется приложить некоторую площадь «вдоль данной линии этого круга...» (86е-87Ь).
4	Euclidis Data cum Marini commentaria et scholiis antiquis / Hrsg. von H.Menge // Euc-lidis Opera Omnia. Bd.VI. Leipzig, 1896. S.264.
5	Эти доказательства включены в издание Менге (прим.4) в виде приложения. См. Appendix // Euclidis Opera Omnia. Bd.VI. S.323 seqq.
6	Pappus d’Alexandrie. La collection mathematique / Trad, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke. 2 vols. Vol.II. Paris, 1933. P.479-480.
7	Французский перевод Ж.Итара комментария Марина опубликован во введении к изданию работ Евклида в переводе Ф.Пейрара: Les Oevres d’Euclide / Trad, par F.Peyrard, introduction par J.Itard. Paris, 1966. P.XVII-XXIII.
8	Gutas D. Greek Thought, Arabic Culture. The Graeco-Arabic translation movement in Baghdad and early 'Abbasid society (2Dd-4U1/8 tb-lO01 centuries). London-New York: Routledge, 1998.
9	Стамбульская рукопись (Сараи, Ахмет III, 3464/1, 1-19об., 625 х.) и рукопись из частной коллекции H.P.Kraus’a в Нью Йорке. См. Sezgin F. Geschichte des arabischen Schrifttums. Bd.V: Mathematik bis ca. 430 H. S.101, 102, 116.
10	Дополнение ал-Кухи сохранилось в двух стамбульских рукописях библиотеки мечети Айа София: №4830 (173об.-180об.) и №4832/26 (140об.-144об.). См. Sezgin, с.319 (прим. 9).
11	См. Steinschneider М. Die arabischen Obersetzungen aus Griechischen. Graz, 1960. S.171; Carmody F.J. The Astronomical Works of Thabit B.Qurra. Berkley, 1956. P.221; Thaer C. Euklids Data in Arabischer Fassung // Hermes. 1942. Vol.77. P.197-205.
12	Bellosta H. Un complement arabe aux Donnies d’Euclide: le Kitab al-Mafrudat de Tabit Ibn Qurra // Proceedings of the XXth International Congress for the History of Science (Liige, July 1997). Vol.XXI. T.64: Science and Technology in the Islamic World. Turnhout: Brepols&Publishers, 2002. P.71-82 (p.73).
13	О Диодоре см.: Heath Th. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Reprint: Dover (New York, 1981). Vol. II. From Aristarchus to Diophantus. P.287, 359; Pappus d’Alexandrie (прим.6). Vol.I. Paris, 1933. P.187 (кн. IV, предл. XXVII); Abu al-Rayhan al-Biruni. The Exhaustive Treatise on Shadows / TransL and comment, by E.S.Kennedy. 2 vols. Aleppo, 1976. Vol.I. P.162; Vol.II. P.93.
14	См. прим.7, c.XVII-XVIII.
,s Краткое описание рукописи см. в Рожанская М.М., Матвиевская Т.П., Лютер И.О. Насир ад-Дин ат-Туси и его труды по математике и астрономии в библиотеках Санкт-Петербурга, Казани, Ташкента и Душанбе. М.: «Восточная литература» РАН, 1999. С.67-69.
16	Euclide. Les Donnies // Les Oevres d’Euclide / Trad, par F.Peyrard, introduction par J.Itard. Paris, 1966. P.517—603.
202 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
17	Ito Sh. The Medieval Latin Translation of the Data of Euclid. Boston, Basel, Stuttgart: Birkhauser; [Tokyo]: University of Tokyo Press, 1980.
18	В рукописи определение 15 несколько длиннее: «Прямая примыкающая к [прямой] линии [известной по положению] - та, которая выходит из известной точки параллельно линии [известно] положенной или проходит через известную точку и достигает линию [известную] по положению и образует с ней известный угол». Выделенная нами курсивом часть этого определения - описка переписчика, по сути фрагмент определения 13.
19	Русский перевод всех определений «Данных* Евклида дан Ильиной Е.А., см. прим.1 с.202-203.
20	См. прим. 16, с.517.
21	См. прим. 17, с.55.
22	- Евклид. Начала / Пер.и комм. Д.Д.Мордухай-Болтовского при редакционном участии М.Я.Выгодского и И.Н.Веселовского. 3 т. М.-Л.: Гостехтеорлит, 1948-1950. Т.1. Книги I-VI . М.-Л., 1950. С.384.
23	Proclus. A Commentary on the First book of Euclid’s Elements / Translated with introduction and notes by Glenn R.Morrow, with a new foreword by Ian Mueller. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1992. P.160-161. Приведем полностью фрагменте «данных* из комментария Прокла: «Ктому же, все, что дано, дано одним из следующих способов: по положению, по величине или по виду. Точка дана по положению и только; но линия и другие фигуры могут быть даны всеми этими способами. Когда мы, [чтобы разделить пополам] данный угол, говорим, что он прямолинейный, мы объявляем его вид, т.е. показываем, какого рода угол дан, а именно, прямолинейный, для того, чтобы нам не пришлось аналогичным методом делить пополам криволинейный угол. Когда при наличии двух данных неравных прямых линий от нас требуется отсечь от большей длину, равную меньшей, то наши данные представлены по величине, ибо больше или меньше, конечный или неограниченный являются предикатами, свойственными величине. Когда мы говорим, что, если четыре величины находятся в пропорции, то они также будут в пропорции переставленной, тогда тем, что дано, будет тождество отношений из этих четырех количеств. Всякий раз, когда нас просят поместить в данную точку прямую линию, равную данной прямой линии, точка дана по положению; а так как положение может быть разное, построение допускает различные возможности. Данная точка может лежать вне прямой линии, или на ней и в любом из ее концов, или на части между ее краями* (там же).
24	См. прим.16, с.517.
25	The Elements of Euclid, viz. the first six Books together with the eleventh and twelfth. In this Edition the Errors, by which Theon or others have long ago vitiated these Books, are corrected, and some of Euclid's Demonstrations are restored. Also The Book of Euclid’s Data in same manner corrected by Robert Simson. Glasgow, 1756. C.464.
26	См. прим. 16, c.524
27	По поводу интерпретации см. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилонаи Греции / Пер. И.Н.Веселовского. М., 1959. С.271; а также прим.1, с.205.
28	См. прим.4, с.263.
29	В рукописи в этом месте, по-вцдимому, ошибка переписчика: вместо «аввал*, т.е. «первой», написано «ла», т.е. «не».
30	Последующее слово написано неразборчиво.
31	Далее идет отчасти неразборчивое, а по сути излишнее предложение: « И не на... второй».
32	См. прим.З, с.142 (сноска 38).
33	В рукописи написано «фа каул», что означает «тогда утверждение», но с учетом отсутствия огласовок и возможности описки переписчика, упустившего алиф, можно прочитать это выражение как «фа акулу», что означает «я говорю», что соответствует текстам Пейрара и Ито.
И.О.Дюгер
203
К Й
34	см. прим.22, т.1 (1950), с.209-211; а также: Euclid The thirteen books of the Elements / Translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Sir Thomas L.Heath. 3 vols. Reprint: Dover (New York, 1956). Vol.2. P.260-262.
35	Греческое слово «гномон», буквально означающее вещь, делающую что-либо известным, замеченным, подтвержденным, а также знак или маркёр, впервые было использовано в значении, которое имел в виду Геродот, говоря, что греки узнали о гномоне и 12 частях дня от вавилонян. В этом случае слово «гномон» означало расположение шеста солнечных часов, перпендикулярно горизонту. Затем этот термин означал механический инструмент для черчения прямых углов. Впоследствии, гномон, благодаря свой форме, стал геометрической фигурой, которая оставалась от квадрата, когда из одного его угла вырезали меньший квадрат, или такой фигурой, которая, по словам Аристотеля, будучи добавленной к квадрату увеличивает его размер, но не изменяет формы. В этом же смысле применяли этот термин и пифагорейцы, которые впоследствии применяли его по аналогии и к множеству нечетных чисел, обладающих свойством фигуры Аристотеля по отношению к квадратным числам. Евклид распространил понятие гномона на параллелограм. Герои Александрийский еще более расширил определение гномона: это фигура, которая будучи добавлена к любой фигуре, делает всю фигуру подобной той, к которой она была добавлена. Подробную историю значения и применения термина «гномон» см.: Euclid... by Sir Thomas L.Heath.Vol.l. P.351, 370-372 (прим.34).
В рукописи ошибочно написано «BG» вместо «BD».
См.: Сабит ибн Корра. Книга предположений / Пер. Б.А.Розенфелъда и Дж.ад-Дабба-ха, комм. Б.А.Розенфельда // Научное наследство. Сабит ибн Корра. Математические трактаты. М., 1983. Т.8. С.33-44,329-330; Изложение [ат-Туси] книги предположений Сабита ибн Корры / Пер. Б.А.Розенфельда и Дж.ад-Даббаха, комм. Б.А.Розенфелъда, там же, с.45-54, 330-331. Перевод сочинения Ибн Корры осуществлен по единственной сохранившейся рукописи этого трактата (библиотека мечети Айа София №4832/4 (Стамбул)), перевод обработки ат-Туси - по двум из более чем 15 сохранившихся рукописей (рукописи фонда Ханыкова№ 144/16 (Рос. Нац. библ.) и изданию Османийского университета рукописи №2467/4 библиотеки Раза (Рампур, Индия)): Ат-Туси Насир ад-Дин. Маджму ар-расаил. Т.2. Хайдарабад, 1359 Х./1940. №9.
38	См. прим.12. Исследование осуществлено по трем рукописям: парижской (№2467), берлинской (Qu 1867) и лейденской (Or 14).
39	Livre sur la synthase des problimes analysis par Abu Sa'd al-'Ala ibn Sahl // R.Rashed Geomitrie et dioptrique au Xе siicle. Ibn Sahl, al-Quhi et Ibn al-Haytham. Paris, 1993; Al-Sijzi’s Treatise on Geometrical Problem Solving (Kitab fi Tashil al-Subul li-Istikhraj al-Ashkal al-Handasiya) / Transl. and annotated by J.P.Hogendijk, with Arabic text and a Persian translation by M.Bagheri. Tehran, 1996; Аль-Фараби. Силлогизм / Пер. и прим. Б.Я.Ошерович и Е.Д.Харенко // Аль-Фараби. Логические трактаты. Алма-Ата, 1975. С.243-360, 565-579 (с.319, 320, 573, 574). См. также: Ал-Фараби. Ихса ал-‘улум [Классификация наук] / Под ред. У. Амина. Каир, 1968. С.99-100 (на арабском языке); Китаб ал-мусика ал-кабир [О музыке] / Под ред. Г. А. ал-Малака Хаша-ба, рец. иввед. М.А. ал-Хинфи. Каир (в печати). С.185-187,205 (наарабском языке).
40	Термины «анализ» и «синтез» широко использовались и Архимедом, и Аполлонием, и Диофантом и др., но никто из них не считал необходимым их пояснять. О самом методе анализа и синтеза до рассматриваемого периода лишь кратко говорилось в «Математическом собрании» Паппа (прим.6, с.477-478), еще меньше в «Комментарии к первой книге “Начал” Евклида» Прокла (прим.23, с.189) и в нескольких строках из Галена (см.: Rashed R. La philosophic mathematique d’lbn al-Haytham. II: Les Connus. Appendice: Un fragment de 1’Ars medica de Galien sur 1’analyse et la synthise // Melanges de 1’Institut Dominican d’Etudes Orientales du Caire (MIDEO). 1993. №21. P.87—275 (p.272-275)). Отметим, что нам не известно ни о существовании арабских переводов этих фрагментов Паппа и Прокла, ни о каком-либо косвенном греческом источнике, содержавшем эти фрагменты и доступном арабоязычным ученым, но им достоверно был известен текст Галена, в котором воспроизводится определение анализа и синтеза.
41	Rashed R., Bellosta Н. Ibrahim ibn Sinan: Logique et giometrie au XIе siicle. Leiden: Brill, 2000. P.21-228 («Об анализе и синетезе» - Крит, текст, фр. пер., комм);
204 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
Р.435-760 («Антология проблем» - крит. араб, текст, фр. пер., комм.). Розенфельд Б.А., Рожанская М.М. Геометрические преобразования и переменные величины у Ибрахима ибн Синана // История и методология естественных наук. 1970. Вып.Э С. 178-181. См. также: Лютер И.О.'. Геометрические преобразования на средневеко^ вом Ближнем и Среднем Востоке // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1995. Вып.1(36). №1. С.40-60; К истории задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных окружностей // Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 1996. Вып.1(36). №2. С.82-94.
42	См. прим.41 (.Hashed R., Bellosta Н. Ibrahim ibn Sinan), с.549-550, 714-717.
43	Там же, с.557-558, 726-731.
44	Там же, с.498-499, 656-657.
45	Ibn al-Haytham. Sur 1’analyse et la synthase // R.Hashed. Ibn al-Haytham, Methodes geometriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathematiques: Les mathematiques infinitesimales du IXе au XIе sidcle. London: Al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 1422/2002. Vol.IV. P. 177-391 (p.248—249: крит. араб, текст, фр. пер., комм.). Как видно из приведенной в нашем тексте цитаты, Ибн ал-Хайсам добавляет к списку известных Евклида известное по числу, которое он определяет, как «то, число чего не изменяется, а число есть единица или сумма, составленная из единиц; известное по числу есть то, единицы которого не изменяются, т.е. не прибавляются и не уменьшаются» (там же, с.250-251).
46	Там же.
47	Ibn al-Haytham. Sur les Connus // Там же (см. прим.45). Р.393-583 (р.446-447): крит. араб, текст, фр. пер., комм. См. также: Sedillot L.A. Du Traite des Connus geometriques de Hassan ben Haithem // Journal asiatique. 1834. N°13. P.435-458.
48	См., например: Лютер И. О. Геометрические преобразования на средневековом Ближнем и Среднем Востоке (прим.41); Проблема несоизмеримости окружности и диаметра круга в контексте учения Аристотеля: сочинения ат-Туси и аш-Ширази / / Историко-математические исследования. Вторая серия. М., 2002. Выл.7(42). С.243-261.
49	См.прим.45, с.256-257.
50	См. прим.47 (Ibn al-Haytham. Sur les Connus.), c.456-457.
51	Valla G. De expetendis et fugiendis rebus opus. Venice, 1501. Дж.Валла поместил свой частичный перевод «Данных» в 20 главу книги XI. Zamberti В. Elementa Euclidis mega-rensis philosophi platonicj mathematicarum disciplinarum Janitoris. Venice, 1505.
52	Heiberg J.L. Philologische Studien zu griechischen Mathematikem III. Die Handschriften George Valias von greichischen Mathematikem // Jahrbuch filr classische Philologie. 1881. SuppL Bd.XII. S.337-402 (S.378).
53	См. прим 17, c.55.
54	Об этом пишет Менге в своем предисловии к VI тому собрания сочинений Евклида (см. прим.4, предисловие, c.V).
35	Euclidis quae supersunt omnia. Ex recensione Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Profes-soris Saviliani et R.S.S. Oxoniae, e Theatre Sheldoniano. An.Dom. MDCCIII.
56	Peyrard F. Euclidis quae supersunt. Les Oeuvres d’Euclide, en Grec, en Latin eten Franca-is d ’aprds un manuscript trds ancien, qui etait reste inconnu jusqu ’4 nos jours. 3 vols. Paris, 1814-1818.
57	См. прим.56, vol.I, p.XXVII.
58	См. прим.25 (The Elements of Euclid... by Robert Simson).
59	- Euclid’s Elements. The whole Fifteen Books compendiously demonstrated with Archimedes’ Theorem of the Sphere and Cylinder investigated by the Method of Indivisibles by Лаос Barrow D.D. To which is annexed Euclid’s Data and a brief Treatise of Regular Solids-The whole revised with great care and some hundreds of errors of the former impression corrected by Thomas Haselden. London, 1732.
60	Schwab J.C. Euklidis Data, verbessert und vermehrt von Robert Simson. Stuttgart, 1780.
61	См. прим. 17, c.20.
62	Thaer C. Die Data von Euklid. Berlin-Goettingen-Heidelberg, 1962.
^	Buchbinder F. Euklids Porismen und Daten. Nilrnberg, 1825; Cantor M. Vorlesungen Ober die Geschichte der Mathermatik. S.243, note 1 (прим.2).
НОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДРЕВНЕЙ РУСИ
Р. А. Симонов
Счетные бирки1
Бирки - деревянные бруски или круглые в сечении палочки с зарубками. Эти предметы известны у многих народов. Зарубки на них выражают количество предметов или денежные суммы. Бирки являются носителями знаний о счете и записи чисел, то есть относятся к источникам по истории математики. Их значение может возрастать по мере хронологического углубления в Древность.
Известен прообраз бирки на кости волчьей ноги с параллельными аккуратными зарубками от времени палеолита. Кость была найдена археологами в 1937 г. на территории современной Чехии (деревня Вестонице, Моравия). Пещерный человек сознательно ставил зарубки в процессе счета. Об этом свидетельствует группировка зарубок
по пяти и разделение всего их массива длинными насечками на две части из 25 и 30 зарубок. Это — древнейший математический документ типа счетной бирки, относящийся к древнекаменному веку [2, с.23-24].2
Перефразируя слова Э.Кольмана и А.П.Юшкевича, можно заключить, что историко-математическая ценность рассматриваемой находки обусловлена возможностью с далекой перспективой более полно обозреть развитие приближенных методов вычислительной математики, начиная с глубокой древности [4, с.8]. По указанной причине заслуживают внимательного изучения деревянные счетные бирки,
которые находят археологи при раскопках древнерусских территорий. В одном только Новгороде найдено к настоящему времени около 570 экз. средневековых бирок [5, с.36].
Часть бирок содержит вырезанные надписи, которые были изучены академиком В.Л.Яниным [6]. Он обосновал, что определенного типа бирки имели официальную силу расписок, служили своего рода квитанциями. В древнерусском летописании эти бирки назывались «досками». Наиболее ранее упоминание «досок» в качестве ссудного Документа в «Новгородской первой летописи» относится к 1207 (1209) г. [7, с.51, 248; 8, с.117, 118].
В работах 2002-2004 гг. Р.К.Ковалев (США, университет Миннесоты) исследовал следующие типы древнерусских бирок по их Функциональному назначению: счетные бирки, бирки-этикетки, долговые бирки [9]. В составе счетных и долговых бирок он выделил оирки-сорочки, число зарубок на которых было кратно сорока. Их Появление он связал с традицией упаковки меховых шкурок по 40 1ЦтУк. Причем древнейшая, найденная в Новгороде бирка-сорочок датировалась второй половиной X в. [10] (рис.1). Указанный памятник Услуживает отдельного рассмотрения.
206
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
Рис.1. Счетная бирка второй половины X в. с эмблемой князя Ярополка Святославича и знаком типа «бантика» (сдвоенная греческая дельта), выражающим 8 десятков (Новгород,Троицкий раскоп)
Эта деревянная бирка была обнаружена в 1998 г. во время археологических раскопок в Новгороде (руководитель В.Л.Янин) в культурном слое, датируемом временем не позже 950-990 гг. Она содержит княжескую эмблему Ярополка Святославича, чьи чиновники распоряжались в городе в 977—980 гг., поэтому время появления памятника может быть сужено до указанных годов. Бирка является древнейшим русским математическим документом. О счетном назначении свидетельствуют сделанные на ней 80 зарубок: 45 на одной стороне (с разметкой на группы по 10+10+5+10+10 зарубок) и 35 — на другой (без разделения на группы).
На бирке также имеется своеобразный знак в виде двух треугольников, соединенных вершинами, наподобие «бантика». Р.К.Ковалевым было выдвинуто предположение, что знак мог получиться в результате сближения (до соприкосновения) двух греческих «дельт»,
р ДЕСИМОНОВ
207
каждая из которых обозначала четверку, а вместе - восьмерку (4+4=8), передававшую 8 десятков. Он об этом пишет так: «Знак представляет собой два треугольника, соединенных перпендикулярно друг к другу (? ~ Р.С.) в одном из трех углов каждого. Весьма вероятно, что эти треугольники являются двумя соединенными греческими буквами А (то есть “дельта”)» [5, с.37].
В случае правильности такого отождествления, следует учитывать, что представленная на бирке древнерусская традиция использования греческой «буквенной цифры» 4 в виде «дельты» должна быть очень старой, чтобы превратиться в специфический, своего рода орнаментальный знак в виде «бантика», цифровое происхождение которого лишь угадывается. Доказательством предшествующего, достаточно отдаленного счета у славян удвоенными сороками могут служить воспроизводимые Р. К. Ковалевым слова Константина Багрянородного, сказанные в X в., но относящиеся к событиям середины IX в.: «В благодарность за эту услугу Михаил Борис (болгарский князь. - Р. С.) дал им (сербам. — Р. С.) большие дары, и они взамен дали ему в качестве подарка двух рабов, двух соколов, двух собак и 80 шкур меха...» [И, с. 143].
Р. К. Ковалев справедливо видит в этих словах отражение парного счета у славян за век-полтора до счетной бирки с тамгой кн. Ярополка Святославича. По указанному поводу он пишет: «Так как все подарки, присланные Михаилом Борисом сербам, были парными, становится очевидным, что указанные при перечислении даров восемьдесят шкурок представляли собой ни что иное, как два сорочка. Это свидетельство о меховых шкурках, общее количество которых кратно сорока, почти на двести лет предваряет древнерусские литературные источники, в которых непосредственно упоминается сорочок» [5, с.44].
Впервые слово «сорочок» появляется в берестяной грамоте №910 рубежа XI-XII вв. [12, с.58-59]. Сорочок мог функционировать в качестве денежного эквивалента и служить формой капитала в кредитных операциях. Такая сфера применения сорочка подтверждается текстом берестяных грамот и находками нескольких кредитных би-рок-сорочков, датирующихся второй четвертью XI — второй четвертью XII вв. [10]. Кредитные бирки-сорочки, условно говоря, были своеобразными деревянными деньгами. Внешне они напоминали небольшие жезлы с зарубками, первоначально круглые в сечении, но затем расколотые вдоль на две части по зарубкам (одна часть находилась у кредитора, а другая — у должника). В отличие от кредитных бирок-сорочков, назначение счетных бирок-сорочков, которые не Раскалывались вдоль на две части (к их числу принадлежит древнерусская счетная бирка второй половины X в. с «бантиком» и тамгой кн. Ярополка Святославича), не является ясным.
208 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Кроме зарубок, выражающих единицы (штучное количество шкурок), на некоторых бирках встречаются деления, передающие числа следующего разряда — десятков. Так, на кредитной бирке-сорочке второй половины XII в. с отломанным концом, найденной на Троицком раскопе Новгорода в 1992 г., содержится 30 зарубок. На противоположной ее стороне указаны еще 4 зарубки. По мнению Р.К.Ковалева, можно с уверенностью предполагать, что они «были вырезаны для того, чтобы указать количество десятков, обозначенных на бирке» [10, с.32]. Значит, первоначально эта бирка могла содержать 40 делений, что удостоверялось на противоположной стороне четырьмя отдельными насечками.
Итак, вероятно, здесь было записано зарубками-единицами число 40 (впоследствии часть бирки с последним десятком была утрачена); на обороте сохранилась продублированная запись того же числа 40 четырьмя зарубками-десятками. Указанная реконструкция подтверждается аналогичной (сохранившейся полностью) числовой записью на счетной бирке первой половины XI в. из Ростова Великого. Здесь на одной стороне насчитывается четыре десятка зарубок-единиц (точнее 39), а на противоположной стороне указаны еще четыре, выражающие 4 десятка [10, с.31].
Обсуждаемая традиция дублирования чисел, очевидно, восходит к счетной бирке второй половины X в. Первоначально она (традиция) была несколько иной: число 40 дублировалось не зарубками-десятками, а выражалось греческой «буквенной цифрой» 4 («дельта»). Поскольку на рассматриваемой бирке записано зарубками-единицами число 80, то есть дважды 40, то оно было продублировано двумя «дельтами». По мнению Р.К.Ковалева, «на этой бирке, очевидно, обозначены две связки по сорок меховых шкурок (или восемь десятков шкурок), мы можем полагать, что эти два треугольника были нанесены на бирку для того, чтобы зафиксировать общее количество десятков шкурок, подсчитанных на бирке. Иными словами, когда насчитывался полный сорочок, на бирке вырезали треугольник или дельту, чтобы обозначить, что эта бирка содержит такой полный сорочок (данная бирка содержала, соответственно, два сорочка)» [5, с.38].
Такое объяснение, очевидно верное по существу, не раскрывает одного важного обстоятельства: зачем сделавшему числовую запись (зарубками) человеку дублировать ее. Вопрос несколько проясняется, если допустить, что первоначальная запись на счетной бирке дублировалась другим человеком. Тогда становится понятной «разности-левость» числовых записей: первоначальной и дублетной. Первоначальные числа бесхитростны и ясны. Для их нанесения достаточно каждую шкурку сорочка отметить путем зарубки на деревянной
р д.Симонов
209
палочке. Дублетные числа соответствуют другому, более «продвинутому» уровню математической подготовки.
Этот уровень предполагает умение обобщать числовую информацию, сводящееся к ее выражению более компактным образом. Древнерусские деревянные бирки демонстрируют несколько способов обобщения числовой информации:
- путем использования греческой «буквенной цифры» «дельта» (4) для обозначения 4 десятков;
— посредством «укрупнения» зарубок-единиц до значения десятков.
Из этого следует, что авторам первоначальных записей на бирках зарубками-единицами и составителям числовых записей-дублетов могли быть свойственны разные функции, иной статус (общественное положение) и образовательный уровень. Вероятнее всего, числа зарубками-единицами записывали добытчики мехов, простые необразованные люди (условно говоря, «охотники»). Дублетные числовые записи могли оставить люди с положением по средневековым меркам (условно - «биричи»).
Проведенный анализ, возможно, поможет выйти на решение сложной задачи о назначении счетных бирок-сорочков. Можно высказать в качестве предварительной следующую гипотезу. На счетных бирках-сорочках оставляли дублетные записи «биричи» в качестве отметки о приеме пошлины или товара на продажу от «охотников». Этим, кстати, может объясняться несовпадение на бирке из Ростова Великого чисел «охотника» (39) и «бирича» 4 десятка. Указанное расхождение в числах могло быть обусловлено тем, что «бирич» считал шкурки, а не зарубки. Приняв от охотника 40 шкурок, он сделал об этом отметку на бирке, которую отдал охотнику. Для последнего она служила удостоверением об уплате пошлины или свидетельством сдачи меха торговцу для продажи. По логике такого толкования, счетных бирок должно быть две: вторая оставалась у «бирича», удостоверяя факт поступления шкурок от «охотника».
Наличие двух бирок косвенно подтверждается существованием на Западе термина zimmer/timber, выражавшего «узаконенное количество мехов в сорок меховых шкурок, упакованных между двумя Деревянными досками» [13; 5, с.51].
Вслед за В.Л.Яниным, Р.К.Ковалев полагает, что «досками» на Руси с Киевского периода до начала XVI в. обычно называли бирки [9, с.38]. По его мнению, способ упаковки меховых шкурок сорочками могли увидеть в Новгороде варяжские дружинники, через которых он (способ) распространился на Запад, достигнув к 1150 г. Шотландии [12, с.61]. Как думает Р.К.Ковалев, «иноземные купцы могли спрашивать у русских про “доску” того или иного меха, называя их между собой "timber” и имея при этом в виду именно сорочок
210	МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
мехов - иными словами меховой сорочок стал для них понятием, синонимичным русской деревянной счетной бирке, использовавшейся для подсчета сорока меховых шкурок, и таким образом слово “timber”, означавшее “дерево”, приобрело дополнительный смысл и стало обозначать также деревянные бирки, с помощью которых насчитывались сорочки» [5, с.55].
Относительно слов об упаковке мехов между двумя досками он замечает: «Хотя в новое время меха упаковывались, скорее всего именно таким образом — между двумя деревянными досками, - мы не располагаем свидетельствами о том, что так было и в более ранние времена. Кроме того, что ни в одном источнике не сообщается о том, что в средние века доски служили для упаковки мехов, представляется совершенно невероятным, чтобы купцы транспортировали меха в такой тяжелой и громоздкой упаковке — особенно на ранних стадиях развития торговли мехами в Восточной Европе, то есть в то время, когда меха начали считать по сорок штук, и именно на той территории, где зта единица стала стандартной для счета пушнины» [5, с.51].
Анализ Р.К.Ковалева о том, что западноевропейское Zimmer/ timber - «дерево» — означает деревянную бирку, дает возможность слова о двух «досках» при транспортировке мехов толковать в смысле двух бирок (по-древнерусски «досок»), прилагавшихся к упаковке шкурок в сорочки. На основе предложенного толкования, можно дополнить и уточнить процесс сдачи-приема пушнины. Сдавая пушнину, «охотник» предъявлял две деревянные бирки (две «доски»), на которых зарубками указывалось одинаковое количество шкурок. «Бирич» на них делал отметку о числе принятых шкурок. Одна бирка оставалась у «бирича», а вторая передавалась «охотнику». Каждая из бирок («досок») играла роль своеобразной квитанции.
Такое объяснение делает более «документированным» сбор пошлин в Новгороде, который обрел реальный облик благодаря обнаружению деревянных цилиндров X—XII вв., истолкованных В.Л.Яниным в качестве специфических «замков», которыми «запирались» или «пломбировались» мешки с ценностями, преимущественно пушниной, собираемой в виде пошлины [14; 15].
Как известно, берестяные грамоты являются выдающимся открытием отечественной исторической науки. К настоящему времени их найдено свыше тысячи, причем они известны не только в Новгороде, но и в десятке других древнерусских городов, включая Москву (одна грамота XV в.). Менее известно открытие новгородской археологической экспедицией указанных деревянных цилиндров. Деревянный цилиндр-замок с тамгой кн. Ярополка Святославича и счетная бирка второй половины X в. с эмблемой того же князя (рис.1) были найдены в относительной для средневекового Новгорода близости друг от друга, на расстоянии около 24-х метров [12, с.60].
р ДЕСИМОНОВ_________________________________________________
Можно предположить, что при сборе пошлин княжеские чиновники документировали процесс своей работы, используя деревянные замки и бирки. Стоимость ценностей в мешке, можно было быстро проверить, не считая каждую шкурку, а суммируя обобщенные данные о количестве шкурок на бирках, находившихся в том же мешке. Тогда становится понятно, почему деревянные замок и бирка одного и того же князя находились в досягаемой близости.
Рассмотренная гипотеза позволяет несколько продвинуться в вопросе о происхождении символа типа «бантика» на древнерусской счетной бирке второй половины X в. как удвоенного греческого цифрового знака «дельта». Подобные «буквенные цифры» греческого облика до сих пор не были известны в письменной практике Руси. Традиция числовых отметок с «дельтой» (4) могла быть связана с оформлением поступления русских мехов, условно говоря, «биричем»-греком. О наличии на территории самой Руси (или к ней примыкающей) практики ведения торгово-хозяйственной документации на основе греческих «буквенных цифр», сопутствуемых знаками, напоминающими тамги, говорят сохранившиеся от X в. так называемые «бухгалтерские записи» по разграфленной сетке на глиняных сосудах из Тмутаракани [16, с.601-604] (рис.2) и Саркела-Белой Вежи [17, с.57] (рис.З). Этническая принадлежность составителей указанных «бухгалтерских» текстов не установлена.
Традиция «дельты» на счетных бирках могла возникнуть не обязательно на территории Руси. Это значит, что она (практика «дельты») могла быть связана и с греческо-культурными зарубежными контактами. Например, в процессе торговли мехами (с Византией, Крымом, Хазарией, на Балканах и пр.) русских людей, выплат Русью пошлин (дани) или военных контрибуций соседям, имевшим письменную греческую культуру.
Счетная бирка второй половины X в. с тамгой князя Ярополка Святославича является уникальным математическим документом, отражающим путь проникновения греко-византийских «буквенных Цифр» ид Русь. Априори представлялось, что этот путь был связан с торговыми или политическими контактами Руси с греческим миром, включая страны, испытавшие греческое культурное влияние [18].
Теперь наука располагает источником, показывающим реальное осуществление такой связи. Причем, традиция соответствующих контактов может уходить в дописьменный период истории Руси, то есть До кирилло-мефодиевского этапа славянской письменности. Сама возможность использования цифр до распространения фонетической письменности, приспособленной к языку данного народа, не отрицается в науке [19, с.74]. Более того, косвенные данные приводили к иеоднократным попыткам такого утверждения относительно
212
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQr
Рис.2. «Бухгалтерские записи» на стенке сосуда X в. из Тмутаракани
культуры Древней Руси [20, с.31—36; 21, с.58]. Однако только сейчас появилось необходимое источниковое основание для такого суждения.
Следует учесть, что деревянная основа письма на Руси предшествовала и сопутствовала книгам на пергамене (особым образом выделанной коже) и бумаге. Так, древнейшей датированной пергаменной
р А-Симонов
213
Рис.З. «Бухгалтерские записи» на черепках сосуда X в. из Саркела - Белой Вежи.
книгой является Остромирово евангелие 1056-1057 гг. Однако задолго до Остромирова евангелия кириллицей писали на деревянных цилиндрах-пломбах. Самый древний из них относится к 70-м гг. X в. Чиновники, которые собирали с населения пошлины, могли вырезать на деревянных пломбах записи о стоимости ценностей, находившихся в мешках, и другие сведения. Кроме того, на деревянных цилиндрах-пломбах иногда указывалась эмблема князя, которому предназначалась дань (рис.4). По княжеским знакам можно датировать цилиндры по времени правления князей.
Недавно в Новгороде (раскопки 2000 г.) была найдена самая Древняя русская книга, датируемая первой четвертью XI в. Она представляет собой 4-страничную церу-вощечку, на восковой поверхности которой был записан текст из Псалтыри (псалмы 67, 75 и 76) [22-24] (рис.5). Однако больший по объему текст был нанесен острым предметом на деревянных частях церы — под воском и на бортиках. Буквально недавно, посредством специального оборудования в зарубежной лаборатории удалось прочитать эти, в значительной степени скрытые записи. Среди них содержались неоднократно повторяемые кириллические азбуки, по-видимому, учебного назначения; и что совершенно неожиданно — также «числовые ряды» [25, с.31], являющиеся древнейшими славянскими «цифровыми алфавитами».
214
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
Рис.4. Деревянные замоки-пломбы с надписями XI-XII вв. (Новгород)
215
Р ^Симонов
Рис.5. Деревянная церас фрагментами воскового письма Новгородской псалтыри первой четверти XI в.
216
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Историко-математическая сенсационность этого открытия состоит в том, что аналогичные «цифровые алфавиты» в пергаменных книгах и на берестяных грамотах на Руси встречаются не ранее рубежа XIII—XIV вв. «Цифровые алфавиты» на цере первой четверти XI в. свидетельствуют о том, что наряду с чтением и письмом на Руси стали систематически обучать основам письменного счета, по-видимому, в рамках введенного св. Владимиром «учения книжного» (как свидетельствует летопись) в связи с принятием им христианства в 988 г. в качестве государственной религии.
Древнерусская письменность деревянных бирок и цилиндров-замков второй половины X в., находящаяся в одном ряду с деревянновосковой Новгородской псалтырью первой четверти XI в. и ранними берестяными грамотами, предшествовала и сопутствовала развитой книжности Руси на пергамене, а затем бумаге (с XV в.) [26].
Выходные записи
«Выходными» называются записи, завершающие средневековые книги (или отдельные сочинения). В них авторы или писцы сообщали отдельные сведения о себе и некоторые исторические данные. Ки-рик Новгородец кроме того в конце своего «Учения» (1136 г.) привел много чисто календарной информации [27, с. 188-191]. Обилие хронологии в выходной записи Кирика является уникальным случаем. Даже простое указание писцом даты завершения произведения встречается нечасто. Большинство древнерусских книг не содержат датировочной записи. Тем не менее, в древнерусской книжности очень редко встречаются и книги с выходными записями календарно-пасхального содержания, имеющими историко-математический интерес. В настоящей работе анализируются соответствующие данные Псковского апостола 1307 г. и Сийского евангелия 1339/1340 г.
Псковский апостол 1307 года3
Апостол 1307 г. известен тем, в частности, что в нем выходная запись писца Домида содержит фразу, имеющую сходство с текстом «Слова о полку Игореве» [29—32]. В 1998 г. Л.В.Столярова опубликовала выходную запись наборной кириллицей с примечаниями и комментариями. Она отметила: «Очень странной выглядит дата записи №2 на знаменитом Псковском апостоле 1307 г. Она состоит из набора малопонятных (результат фальсификации?) и вполне традиционных для выходных записей XIV в. элементов. Так, совершенно неясными, не встречающимися нигде больше в подлинных записях XI—XIV вв., выглядят обороты: “а индик(та) лет(о) 5”, “а пса(л) законьно, и лет(о) 21 лунному круг(у)”, “а 18 въ четвьртомь червьчи”, “а с(о)лнцю 4-го перъста лет(о) 6-е”, “а пса(л) бяше крьс(т) въ 26 м(а)рта”, “а н(е)б(ес)нои лун(ы) лет(а) 19”, “в 22 д(е)нь лун(ы)”. При этом только обороты ‘‘...в лето 6815...” и “...месяца августа в 21 день на память святыя Васы(ли)сы” соответствуют по форме
р А-Симонов
217
аналогичным элементам даты подлинных выходных записей» [33, сЛЮ, 321-322].
В 2000 г. Л. В. Столярова повторно воспроизвела запись Домида с более подробным комментарием хронологических показателей: «В jrkmo 6815, а индикта л'Ъ.то 5, а псал законьнои лкто 21 лунному кругу> а 18 въ четвьртомь червьчи, а солнцю 4-го перъста jrkmo 6-е, а псал бяше кр^ст въ 26 марта, а небесной луны л'кта 19... - указанному в записи 6815 г. действительно соответствует 5 индикт. Однако другие элементы даты либо не согласуются между собой, либо неясны (результат фальсификации?). Так, круг луны 6815 г. - 13, а не 21, как указано в записи Домида. Что означает выражение “а 18 въ четвьртомь червьчи” не понятно. Согласно Срезневскому, “червьчи” могло означать название месяца июля (см.: Срезневский. VIII. Т.З. 4.2. Стб.1558)4. Июль — четвертый после апреля, мая и июня месяц от начала древнерусского года (1 марта), но каким хронологическим вычислениям соответствует число 18 перед оборотом “въ четвьртомь червьчи” — остается загадкой. Туманным, и не имеющим аналогов в других древнерусских выходных записях следует признать выражение “а солнцю 4-го перъста л'Ьто 6-е... а небесной луны л*&та 19”. Неясно, что за крест “псал бяше...в 26 марта” писец. В записи сообщается, что Домид “псал законьно”, т.е. согласно с законом, но остается непонятным, на какой закон ссылается автор записи. Учитывая склонность Домида к тайнописи... можно предположить, что дата записи совмещена с какими-то криптографированны-ми компонентами, дешифровка которых остается предметом будущих исследований» [34, с. 181-182].
А.А.Романова критически отнеслась к толкованию Л.В.Столяровой хронологической части Апостола 1307 г.: «Раскрытие титл и разделение на слова не везде произведено верно: в частности, вместо слова Пас(ха) везде проставлено слово пса(л), кроме того, запись следует датировать не 22 августа, а 21, как это вытекает из самого текста записи и из указания на память св. Вассы. Неправильная расшифровка календарных указаний записи, равно как и отсутствие аналогичных записей в сохранившихся рукописях заставили Л.В.Столярову сделать вывод о том, что запись “состоит из набора малопонятных (результат фальсификации?) и вполне традиционных для выходных записей XIV в. элементов...". Однако говорить о фальсификации записи оснований, на мой взгляд, нет, хотя спора о том, сделана ли была рассматриваемая запись одновременно с написанием самой книги или позднее это утверждение не разрешает» [35, с.65].
В отличие от Л.В.Столяровой А.А.Романова дала вполне адекватную календарную трактовку тексту, идущему • после даты года Апостола 6815/1307 г.: «...индикта лето 5, а пас(хи) законьнои лето 21 лунному кругу, а 18 в четвьртомь червьчи, а солнцю 4-го перъста
218	МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
лето S-e, а пас(ха) бяше крьс(тианская) в 26 марта, а небесной луны лета 19, месяца августа в 21 день на память святыя Вассы, в 22 день луны...». Помимо указания на индикт в данной записи были помещены сведения о «законной» («еврейской» пасхе, т.е. о дате весеннего полнолуния), указано, в каком месте таблицы весенних полнолуний («Рука Моисея законодавца») — «18 в четвьртом червьчи» и таблицы вруцелет («Рука Иоанна Богослова») находится поясняемый год вруцелето (S), дата христианской Пасхи, а также данные о годе, вычисленные с помощью «небесного», т.е. лунного, календаря, в отличие от «книжного» [35, с.65-66].
Поскольку хронологические данные Апостола 1307 г. оригинальны, причем их трактовки Л.В.Столяровой и А.А.Романовой резко расходятся, а предмет их спора — древнерусские календарные расчеты — заслуживает серьезного внимания, то необходимо более подробно остановиться на этом вопросе.
В недавно вышедшем первом выпуске «Сводного каталога славяно-русских книг XIV в.» дается следующая интерпретация соответствующей части записи Домида: «Въ jrkm zwei [6815/1307 г.] а индик л’Ьти .е. [5] а пас законьнои. jrkm ка. [21] лунному круг, a .Hi. [18] въ четверьтомь червьчи. а слнцю .д. го [4] перъста. jrkm . г. ie [6] а пас. вАше крьс. въ .ks. [26] мрта. а нбснои лун. jrkm . •0ч. [19] мсца авгус. въ ка. [21] днь на памАти стьйа Вас[ы]сы. въ .кв. [22] днь. лун...» [36, с. 125]. Основное отличие состоит в том, что слово «псал» в чтении Л.В.Столяровой уточняется как «пас» (с выносным с), что позволяет его понимать как «пас(ха)», то есть в соответствии с толкованием А.А.Романовой. Это приводит к осознанию хронологической записи Домида, как содержащей пасхальную информацию.
Начинается хронология Домида после указания 6815 г. словами: «о индикт л'кт .е. [5]».
Величина индикта дана верно: при делении 6815 на 15 в остатке получается 5, что соответствует индикту 6815 г. Далее у Домида говорится:
«о пас законьнои. л’кт .ка. [21] лунному круг»-.
Это можно понять как «а пас(хи) законной лет(о) 21 (по) лунному круг(у)». Законной («еврейской») Пасхой в Византии, Древней Руси и других христианских странах назывался перечень из 19 дат: 2а, 22м, 10а, 30м, 18а, 7а, 27м, 15а, 4а, 24м, 12а, 1а, 21м, 9а, 29м, 17а, 5а, 25м, 13а (где м - март, а - апрель) [37, с.201-202]. Чтобы найти законную Пасху данного года, надо установить «лунный круг» этого года и отсчитать соответствующий номер в указанном перечне. Как правильно указала Л.В.Столярова, лунный круг 6815/1307 г. равен 13. Действительно, деление 5815 на 19 дает в остатке 13, что соответствует величине лунного круга 6815 г. На 13
р Даймонов__________________________________________________£1»
шесте в перечне дат законной Пасхи находится дата 21 марта. Значит в рассматриваемой части записи Домида содержится верное число (21) законной Пасхи в 6815/1307 г. — 21 марта, на что обратила внимание А. А. Романова.
В выходной записи Апостола 1307 г. идут далее слова: .яг. [18] въ четверьтомь червьчи*.
Л.В.Столярова, ссылаясь на И.И.Срезневского, считает, что слово «червьчи» могло означать название месяца июля. При этом она утверждает: «Июль - четвертый после апреля, мая и июня месяц от начала древнерусского года (1 марта)» [34, с. 182]. Позволю себе не согласиться с таким счетом. В мартовском годе, о котором пишет Л.В.Столярова, первым месяцем является март, вторым — апрель, третьим — май, четвертым — июнь, а пятым - июль. Поэтому, если слова «четверьтомь червьчи» рассматривать в контексте мартовского года, то июль, будучи пятым месяцем, не отвечает слову «четверьтомь». Из этого можно сделать вывод, что в источнике 1307 г. месячный счет велся не по мартовскому календарному стилю.
Известен псковский календарь XIV в., сохранившийся в списках XV-XVI вв. В нем принят январский стиль, а месяц июль назван аналогично «червен»: «м(’Ь)с(я)ць июль р(е)ком(ыи) червен» [38, с.177]. Здесь июль («червен») расположен седьмым. И.А.Климишин сообщает, что соответствующее название сохранилось в современных украинском («червень») и белорусском («чэрвень») языках для июня и отвечает наиболее распространенному старославянскому «червень» (также для июня). Объясняет ученый это наименование следующим образом: «Название месяца “червень” (червец) происходит от слова “червь”; в это время люди собирали в садах и огородах вредных гусениц. На севере июнь назывался “изок” — порой стрекотанья кузнечиков» [39, с.347—348]. Действительно, в псковском календаре XIV в. июнь имеет наименование «1зок». Итак, название «червень» (червец) в славянском календаре не было жестко закреплено за определенным месяцем. В январском году этим словом мог называться как шестой месяц июнь, так и седьмой — июль, а судя по выходной записи Апостола 1307 г. — и четвертый.
То, что в последнем случае имеется в виду январский месячный счет, косвенно свидетельствует содержание записи: «Л'Ьтп ка. [21] лунному крг. a .Hi. [18] въ четверьтомь червьчи». В ней речь идет о лунном круге и двух, связанных с ним числах 21 и 18. «Лунным кругом» называется календарный цикл в 19 лет, отсчитывающийся от I января: «а.[1] днь мсца генварА, настаеть лунный .О.» [27, с.180—181]. Тогда, отсчитывая от января, четвертым будет апрель: его, по-видимому, имел в виду Домид, указывая четвертым месяц, который именовал «четверьтомь червьчи».
220
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQr
Как было выяснено, число 21 соответствует дате законной Пасхи 21 марта 6815/1307 г. О числе 18 из записи известно, что оно принадлежит к четвертому месяцу, по-видимому, отсчитываемому от января, т.к. число это связано с лунным кругом. Следовательно, оно может обозначать 18 апреля. Как связаны между собой даты 21 марта и 18 апреля? Они обе входят в состав дат законной Пасхи, причем первая (21 марта) является наиболее ранней датой, а вторая (18 апреля) наиболее поздней. Вероятно, заметив, что дата законной Пасхи 21 марта 6815/1307 г. является самой ранней, Домид проявил календарную эрудицию, указав, что самая поздняя дата законной Пасхи с числом 18 находится в апреле («въ четверьтемь червьчи»).
Возможно, причина указания Домидом 18 апреля имеет под собой более тонкие основания, связанные с пониманием погрешности метонова цикла. На этот вопрос в связи с пасхальными расчетами в Новгороде XII в. обратил внимание немецкий ученый Г.Зименс (математик по образованию).
Сравнивая «Учение» Кирика 1136 г. с хронологией статьи 1136 г. «Новгородской первой летописи», он заметил в них противоречие, состоящее в трехдневном расхождении лунных фаз. Ученый это объяснил тем, что когда примерно в III в. разрабатывались христианские пасхальные таблицы, в том числе законной («еврейской») Пасхи, то не было учтено, что каждые 310 лет таблицы дадут ошибку «в один день, которая с III по XII в. успевает вырасти до трех дней». Поскольку «при вычислении пасхальной даты Кирик использовал не собственные астрономические наблюдения, но данные таблиц», то взятая им из них дата законной Пасхи отличалась от истинной на три дня. Если бы церковь (и Кирик) руководствовались не устаревшими значениями пасхальных таблиц, а реальными астрономическими наблюдениями за фазами Луны, то Пасха наступила бы пятью неделями позже: «Поскольку в 6644 году от сотворения мира весеннее полнолуние приходилось не на 21 марта (как это было бы по таблицам) и не тремя днями раньше (именно на этот день выпадает полнолуние, но по юлианскому календарю еще не наступала весна); но на 19 апреля» [40, с. 123].
Г.Зименс сообщает, что астрономическое полнолуние в 1136 г. происходило за три дня до устаревшего табличного 21 марта, основанного на метоновском цикле, то есть 18 марта, а следующее полнолуние было 19 апреля. Ко времени Домида разница между астрономическим и метоновским полнолунием увеличивалась до 4 дней. Поэтому астрономическое полнолуние к 1307 г. могло отличаться от устаревшего табличного 21 марта на 4 дня, то есть было 17 марта, а следующее полнолуние приходилось на 18 апреля. Это и мог иметь в виду Домид, сообщая: «А пасха законная (была) 21 (марта по), лунному кругу, а (также) 18 апреля».
Р Л.Симонов
221
Далее в хронологической записи Апостола 1307 г. следуют слова: слнцю .д. го [4] перъста. лЪт .г. ie [6]».
Чтобы их понять, необходимо учесть древнерусский пасхальный инструментарий, на который указала А.А.Романова, — «Руку Иоанна Богослова». На пальцах («перъстах») этой схематической «руки» записывались в строгом порядке календарные показатели, называемые «солнечными эпактами». На их основе определяли день недели даты законной («еврейской») Пасхи, отсчитывая от которого воскресенье, получали искомую дату христианской Пасхи в данном году.
Древнейший фрагмент «Богословлей руки» обнаружен при раскопках Борисоглебской церкви (в Старой Рязани), которая была разрушена во время взятия города Батыем в 1237 г. «Следовательно, -замечает А.А.Медынцева, - и этот рисунок “пасхальной” руки не мог быть датирован позднее первых десятилетий XIII в. Тем самым он доказывает, что система пасхальных расчетов, известная по более поздним источникам, использовалась уже в домонгольское время» [41, с.254]. Таким образом, календарные «руки» применялись на Руси уже за столетие до Апостола 1307 г., а, может быть, еще раньше: есть косвенные свидетельства об их известности здесь в XI-XII вв. [42; 43]. Во всяком случае нет ничего необычного в том, что Домид мог говорить о «перъстах», имея в виду «пальцы» календарной «руки». Проверить это можно, рассмотрев отраженную в записи хронологическую ситуацию применительно к реальной древнерусской календарной «руке» XIV в. [44, л.394] (рис.6).
Поскольку в записи упомянуто слово «слнцю», то следует обратиться к таблице солнечных эпакт — «Богословлей руке». Слова «.д. го [4] перъста. Л'Ьт .г. ie» указывают на четвертый палец соответствующей «руки» (принимая за первый большой палец), где имеется среди семи эпакт единственный знак г. Причем он расположен на одиннадцатом месте, считая эпакты снизу и слева направо. Так как солнечные эпакты рассчитывались по номеру солнечного круга данного года, то найдем его для 6815/1307 г. Разделив 6815 на 28, в остатке получим 11, что дает величину солнечного круга 1307 г. Если рассматриваемые слова уточнить так: «а (И круг) солнца 4-го пальца (дает) лето г», то их смысл станет таким: по кругу солнца 6815/1307 г., равному И. Путем отсчета И знаков по «Богословлей Руке» была найдена солнечная эпакта г, которая оказалась на ее четвертом пальце (рис.6).
Значение этой части хронологической записи Домида состоит в том, что она может удостоверять использование «Богословлей руки» в 1307 г. в Пскове, что в таком случае будет древнейшим текстовым свидетельством практического применения календарных «рук», сохранившихся на Руси в эпиграфике с XIII в. и рукописях с XIV в.
222
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКсщ
Рис.6. «Богословля рука» (Российская национальная библиотека.Е.п.!, №73. Служебник второй половины XIV в.)
р а.Симонов
223
Заключительная фраза в хронологической записи Домида 1307 г.
«д пас. б Аше. кръс(тианская) въ .ks. [26]мрта. а нбснои лун.
jrkm. М- [19]»
становится понятной,если в ней слово «крьс» понимать в предложенном А. А. Романовой смысле «крьс(тианская)». Тогда начало фрагмента будет выражать тот факт, что христианская Пасха в 6815/1307 г. приходилась на 26 марта, что соответствует действительности. Окончание фразы говорит о том, что возраст Луны на день Пасхи 26 марта равнялся 19 суткам. Это согласуется с указанным ранее в той же записи о числе (21) даты законной («еврейской») Пасхи,которая была в 6815/1307 г. 21 марта. Законная Пасха астрономически приходится на полнолуние, т.е. возраст Луны в день законной Пасхи равен 14 (или 15) суткам. Между законной и христианской Пасхами в указанном году было расстояние в 5 дней (26марта - 21 марта = 5),поэтому разница между возрастом Луны в эти дни также должна равняться 5, что и наблюдается: 19 — 14 = 5. Следовательно, возраст Луны («а нбснои лун. irkm. 4>ч. [19]») в записи Домида на день христианской Пасхи 26 марта 1307 г. установлен из условия, что законная Пасха 21 марта 1307 г. соответствует полнолунию.
В результате проведенного анализа хронологическую запись Домида следует понимать в двух вариантах, отличающихся по подчеркнутым словам:
Первый вариант: В 6815/1307 г. индикт (был равен) 5, а законная Пасха (приходилась на) 21 (марта по) лунному кругу (она самая ранняя), а 18 (самая поздняя) - в апреле, а (отсчет 11-го круга) солнца (в) 4-м пальце (Богословлей руки дает эпакту) г (6), а Пасха была христианская 26 марта, а небесная Луна (тогда имела возраст) 19 (суток).
Второй вариант: В 6815/1307 г. индикт (был равен) 5, а законная Пасха (приходилась на) 21 (марта по) лунному кругу, а (также) 18 - в апреле, а (отсчет 11-го круга) солнца (в) 4-м пальце (Богословлей руки дает эпакту) г (6), а Пасха была христианская 26 марта, а небесная Луна (тогда имела возраст) 19 (суток).
В настоящем толковании сохранены неизменными все числа хронологии выходной записи и порядок слов, в скобках сделаны необходимые дополнения, проясняющие ее семантику. Из общих понятий применявшегося на Руси юлианского календаря Домид, характеризуя хронологически 6815/1307 г., использует индикт (5), а также сообщает число (21) марта законной Пасхи (табличного полнолуния), Дату 1) астрономического полнолуния или 2) самой поздней законной Пасхи (18 апреля), солнечную эпакту (г), ее номер пальца (4) «Богословлей руки», дату христианской Пасхи (26 марта), суточный возраст Луны на это число (19).
224
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKOr
Такое разнообразное обилие календарных показателей года в древнерусских памятниках встречается редко. Их можно сравнить с теми, которые указывает Кирик Новгородец для года написания «Учения» (1136 г.). Характеризуя хронологически 6644/1136 год Кирик указал количество лет (356), остающихся до исполнения 7000 года, величины индикта (14), солнечного (8) и лунного (13) «кругов», отметил високосность года, сообщил дату законной «еврейской» (21 марта) и христианской (22 марта) Пасхи. Он указал время праздников Благовещения (в среду на пасхальной неделе) и Петрова дня (в понедельник), длительность поста (6 недель); отметил, что Пасха 22 марта самая ранняя и сообщил, через сколько лет эта ранняя Пасха повторится (248) [27, с. 188-191].
У Кирика больше хронологических показателей, чем у Домида. Их универсальность и «арифметичность» объясняется научностью трактата Кирика в средневековом смысле. Вместе с тем, в обеих записях есть общие черты. Так, центральным хронологическим элементом в них является дата христианской Пасхи, при этом оба указывают число связанной с ней законной («еврейской») Пасхи, сообщают данные о солнечном и лунном «кругах». Также имеется определенная общность в «околопасхальных» интересах. Так, Кирик специально отмечает, что Пасха 22 марта 1136 г. является наиболее ранней, и даже рассчитывает, через сколько лет она повторится. Этот факт обусловлен тем, что «еврейская» Пасха в 6644/1136 г. была самой ранней — 21 марта. В 6815/1307 г. законная («еврейская») Пасха приходилась на то же число, то есть также была самой ранней. До-мид это, очевидно, знал, что косвенно подтверждается тем, что он рядом с числом (21) даты самой ранней законной Пасхи указал дату самой поздней законной Пасхи — 18 апреля (вариант трактовки).
В хронологических записях Кирика и Домида есть еще одна общая черта, состоящая в наличии у них следов практики пасхальных вычислений. «Учение» Кирика - теоретический трактат по юлианскому календарю и расчетной пасхалистике. В нем отсутствуют сведения о конкретном календарно-пасхальном инструментарии. Однако в виде оговорки у Кирика встречается информация, которая дает некоторое представление о нем. Так, он называет конкретную дату христианской Пасхи 22 марта 6644/1136 г. «Кругом» («а кроуг. марта кв»), тогда как в остальных случаях в «Учении» употребляется слово «Пасха». Возможно, указанное необычное для названия Пасхи слово является невольным цитированием начала надписи «Круг. jrkm», содержащейся на «Богословлей руке» (как на рис.6), которую Кирик мог использовать при подсчете даты Пасхи в 1136 г. [27, с.190-191; 44, л.394; 45].
р Д.СиМОНОВ
225
в выходной записи Апостола 1307 г. еще более определенно представлена «Богословля рука». На указанном в записи 4-м пальце имеется только одна воспроизведенная Домидом солнечная эпакта г. Причем она отстоит от начала «Богословлей руки» на число величины (И) солнечного круга 6815/1307 г. Такое совпадение не может быть случайным. Оно свидетельствует о том, что Домид использовал в качестве инструмента в пасхальных расчетах «Богословлю руку».
Отличительной чертой хронологических характеристик Домида от данных «Учения» Кирика является указание псковичем возраста Луны (19 суток) на дату христианской Пасхи 26 марта 6815/1307 г. и на день составления выходной записи 21 августа (22 суток). Кирик в своем трактате касался особенностей лунно-солнечного календаря, однако он здесь не использует возраст Луны в качестве календарнохронологического показателя. У Домида в дате выходной записи 21 авхуста указанный возраст Луны в 22 суток отличается от табличнопасхального на 3—4 дня. Это говорит о том, что он мог, зная о разнице в 3—4 дня между устаревшими табличными и реальными фазами Луны, указать астрономическое полнолуние 18 апреля, наряду с датой 21 марта табличного полнолуния (законной Пасхи по лунному кругу).
Факт двойного счета лунного возраста в Древней Руси отметил немецкий ученый Г.Зименс в указанной выше работе [40]. Известно, что в летописной статье 1136 г. среди хронологических примет указывается, что 19 июля 1136 г. возраст Луны равнялся тому же числу — 19 (в сутках). Г.Зименс определил, что этот факт на Руси был установлен правильно, очевидно, в результате наблюдений, а не по устаревшим пасхальным таблицам, дававшим ошибку в три дня. Интрига усиливалась тем, что начиная с А.А.Шахматова, летописная статья 1136 г. приписывалась Кирику [46, с. 184, 185; 47, с.216]. В таком случае у него выявлялся как бы двойной календарный стандарт. Зная, что реальные лунные фазы отличаются на три дня от данных, заложенных в пасхальных таблицах, он, тем не менее, при расчете Пасхи руководствовался устаревшими таблицами, а не астрономической реальностью. Однако полной уверенности в столь оригинальном Понимании Кириком календаря не было, так как вопрос об атрибуции ему летописной статьи 1136 г. до конца не решен.
Запись Домида вносит определенную ясность в этот вопрос. Судя по ней, в Древней Руси действительно двояко трактовали лунный возраст. Для пасхальных дат он рассчитывался, исходя из той небесной ситуации, которая существовала на момент работы христианских компутистов в III в. Возраст Луны в этой пасхально-христианской традиции и позже устанавливался на основе традиционных Дат полнолуний (дат законной Пасхи III в.), ко времени их использования в XII-XIV вв. разнящихся с истинными на 3-4 дня. Это
226
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ г»-
-------------------:--.-------
Домид, по-видимому, осознавал при указании неверного (условн возраста Луны на день Пасхи 26 марта 6815/1307 г., так как °* дня составления выходной записи 21 августа сообщил реальный условно-пасхальный) возраст Луны на этот день.	Не
О том, что в XII в. «всем новгородцам отлично было известно» как по диску Луны определять ее возраст, писал Н.В.Степанов А д’ Шахматову в апреле 1908 г. [48, с.317]. Очевидно, указанное наблюдательное умение было свойственно и Домиду. Соответствующий навык в Древней Руси специально формировался у людей, профессионально связанных со счетом времени (календарем). Об этом свидетельствует древнерусская справочно-учебная схема под названием «Лунникъ» с подвижным устройством, показывающим возраст Луны в сутках по форме ее диска. В комплект со схемой входило также справочное «пособие» «Кроугь часовой оуказнои Московского пере-водоу», содержащий сведения о днях перевода башенных часов с дневного режима работы на ночной, в зависимости от месяца [49, л.101об.].
Предполагаемая расшифровка хронологической части выходной записи Апостола 1307 г. ставит ее в один ряд с очень редкими для периода XII — начала XIV вв. расчетно-пасхальными текстами, имеющими важное значение для изучения истории вычислительной пасха-листики на Руси.5 По существу, запись Домида 1307 г. является вторым по времени таким источником после «Учения» Кирика 1136 г.
Возвращаясь к полемике по поводу хронологической части записи Домида, надо отметить правоту А.А. Романовой, которая продемонстрировала значительную глубину знаний в области древнерусского календаря. Однако и Л.В.Столярова в рамках неудачной трактовки сложного текста (с сомнительным «псал» на месте правильного «пас[ха]») сделала почти все возможное. При этом ей «поддался» только индикт, не имеющий, кстати, прямого отношения к пасхалис-тике; остальные числа не получили календарного истолкования. Поскольку отрицательный результат в науке бывает не менее важен чем положительный, то попытка Л.В.Столяровой разобраться в хронологии Домида заслуживает внимания.6
Сийское евангелие 1339/1340 г.
Выходная запись Сийского евангелия 1339/1340 г., написанная писцами Мелентием и Прокошей, привлекала к себе внимание исследователей, в частности, тем, что здесь якобы отражено знакомство с еврейским календарным счетом [52-53]. Недавно хронология этой записи была вновь изучена С. М. Каштановым и Л.В.Столяровой: «В Л’Ьтпо 6000-е 800-е 47-е индикта 12 миротворенаго и солнечьного круга въ 4-е л'кто висикостное, жидовьсего урук въ 7 л'кт( о), епакта 18 лкто, въ 5-ти каландъ, месяца марта жидовъскы нисана... —
227
рдСим^---------------------------------------------------
записи состоит из ряда противоречащих друг другу десяти эле-Дата . р число года по византийской эре от С.М. - 6847; 2) индикт >ie^°3) номер года в “миротвореном круге” - [4?]; 4) номер года в вечном круге — 4; 5) указание на високост; 6) указание типа года С° “еврейской эре” - “ирук”; 7) номер года в еврейском “малом цик-п°„ _ 7- 8) эпакта — 18; 9) число дня и месяца по римскому календа-ле _ “5-ти каландъ месяца марта”; 10) еврейское название месяца -“жидовьскы нисана”. Номер года в “миротвореном круге" автор записи не указывает, как бы отождествляя его с номером года в солнечном круге. Вместе с тем это разные понятия. Номер года “в великом миротворном круге” есть остаток от деления числа года по византийской эре на 532. Для 6847 г. он равен 463» [34, с.239].7
Воспроизведенный текст в другой книге Л.В.Столяровой дополнен словами: «При установлении даты кодекса большинство исследователей не принимали в расчет иных хронологических показателей, кроме года, индикта, месяца и числа (об этом см.: Каштанов С.М., Столярова Л.В. Еще раз о дате т[ак] Называемого] “Сийского” евангелия. С.9-10)8» [33, с.334].9 Далее в книгах Л.В.Столяровой следует аргументация датировки выходной записи Сийского евангелия 1339 годом по номеру года в еврейском «малом цикле» [33, с.334-336; 34, с.239-244].
В первом выпуске «Сводного каталога славяно-русских рукописных книг XIV в.» дается иная транскрипция хронологической части выходной записи Сийского евангелия: «Въ л’кт г ie. w ie М3 ie индикта .BI. миротворенаго и слнчьного кроуга. въ .Д. ie л’Ът. висикостноге жидовьсегои (!) рук. въ .3. ie л&т ienaKma ,И1. л-Ьт. въ Е. и каландъ. мсца. марта, жидовьскы нисана» [36, с.238]. Отличие трактовки «Сводного каталога» заключается в прочтении слов «жидовьсего ирук» как «жидовьсегои рук». В первом случае хронология выходной записи рассматривалась бы в еврейской эре, во втором - с учетом использования древнерусского пасхального табличного инструментария, так называемой «жидовьскои руки».
Аналогичным образом поставила вопрос А.А.Романова: «Слова жидовь сего и рук” могут пониматься не только как неточная транскрипция “сено аруко” (еврейского “длинного года”, что для 6847 г. неточно), но и как “жидовь сего [года] и рук(а)”, т.е. указание на таблицу “рука жидовская" или “пасха жидовская", в которой содержатся сведения о 19-летнем лунном цикле и о первом весеннем полнолунии; как уже отмечалось, с истинным еврейским календарем эта таблица не имеет ничего общего» [35, с.57].
Л.В.Мошкова и А.А.Турилов усомнились в правильности трактовки, данной в книге Л.В.Столяровой: «Запись в Сийском евангелии, так же как и запись в Псковском апостоле (см. выше), прочтена и откомментирована не совсем правильно. Слова “жидовь сего и рук”
228__________________МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BFKOt)
прочтены как “жидовьсего урук" [Свод 2000; 237].10 А.А.Романова придерживающаяся традиционной датировки памятника 1340-м го' дом, предлагает свою трактовку» [51, с.61-62].
Проанализируем последовательно все компоненты календарной записи Сийского евангелия, идущие за указанием 6847 г. выходной записи книги.
«Индикта .BI. [12] миротворенаго»
Эти слова можно понять как «индикта 12 миротворного (круга)». Обычно показатель 12 комментаторы отделяют от следующего далее слова «миротворенаго» и относят к предыдущему слову «индикт», понимаемому в качестве 15-летнего календарного цикла. Так как номер в таком значении «индикта» 6847 г. равен 7, а не 12, исследователи видели в этом ошибку переписчиков рукописи или указание на индикт года протооригинала Сийского евангелия. Последней точки зрения придерживалась Е.М.Сморгунова: «Год индикта, в записи .BI. (12), не совпадает с действительным: 6847 г. — это седьмой год индикта... Попытки определить рукопись, с которой было списано евангелие, не увенчались успехом. На основании записи устанавливаются четыре разных года, в которые могли быть написаны рукописи, отвечающие условиям записи, - год их должен быть 12-м годом индикта и 4-м годом високосным - это гг. 1104, 1164, 1224, 1284 (раньше и позже быть не может). Но, как показывает сравнение, известные в литературе Добрилово евангелие 1164 г. и Евангелие собрания А.Ф.Гильфердинга 1284 г. не были оригиналами Сийского евангелия. Других рукописей, датированных указанными годами, не обнаружено» [54, с.136-137].
В большинстве случаев ученые ограничивались констатацией несоответствия числа 12 индикту 6847 г. Так, С. М. Каштанов и Л.В.Столярова заключили: «Сравнивая числа года — 6847 — с другими элементами даты в записи, легко установить, что большая часть этих элементов не согласуется с числом года. Таковы индикт 12 (в 6847 г. — 7)...» [33, с.334; 34, с.239, 241]. Аналогично отметила А.А.Романова: «...индикт (12 вместо 7)» [35, с.57].
Чтобы понять фразу «индикта .BI. миротворенаго», как не содержащей календарно-вычислителной ошибки, достаточно ее истолковать в смысле «индикта 12 миротворного (круга)». Известно, что «миротворным кругом» или «великим индиктионом» в системе юлианского календаря называется цикл в 532 года. Кирик Новгородец «миротворный круг» называл в 6644/1136 г. «великим кругом»: «Великыи же пакы есть кроугъ иже дръжитп. jrkm .Ф.Л.В. да rrrkx круговъ миноуло от адама .BI. а треттанадесяте ищло лЪт .С. g» («Великий же тот есть круг, который содержит 532 года, да тех кругов минуло от Адама 12, а 13-го прошло 260» [27, с. 184-185].)
229
рдСимонов
л «ствительно, разделив число 6644 на 532, получим в частном 12, а в остатке - 260.
Вычисляя подобным образом, для 6847 г. получим в частном 12, в остатке 463. Следовательно, фраза «индикта .BI. миротворенаго» в смысле «индикта 12 миротворного (круга)» будет указывать не на номер «индикта» («индиктиона»), а на номер «великого индиктио-ла» («миротворного круга» или «великого круга») 6847 г. В древнерусской хронологии нет терминологической ясности в вопросе, касающемся «миротворного круга» («великого индиктиона» или «великого круга»). Речь может идти о том, как правильно называть три календарных показателя:
1)	цикл в 532 г. (нет устойчивого наименования);
2)	число циклов в 532 г., прошедших от С.М. (название не было известно);
3)	число лет текущего цикла в 532 г. (наименование не известно).
Значение проанализированного календарного фрагмента выходной записи Сийского евангелия состоит в том, что она содержит название календарного показателя «индикт миротворного (круга)», выражающего число циклов в 532 г., прошедших от С.М. до переписки Сийского евангелия, - 12.
«77 слнчъного кроуга. въ .Д. ie л'кт. висикостноге*
Указанная фраза содержит слово «високосное», которое в современном русском языке связывается с типом года: «Високосный год -каждый четвертый год, имеющий 366, а не 365 дней» [55, с. 178]. В «Учении» Кирика 6644/1136 г. содержится понятие «висекостъ», которое характеризуется так: «А висекостъ бываешь на .Д.тое л'кто. да есть nrkx лктп висекостнъх от адама .А.Х. g . и одинъ висекостъ. иже се есть тек* («А високос бывает на 4-й год, да есть тех лет високосных от Адама 1660 и один високос, который имеется ныне») [27, с.184—185]. Действительно, разделив 6644 на 4, получим в частном 1661, что есть 1660+1 високос. С.М.Каштанов и Л.М.Столярова справедливо отметили в выходной записи Сийского евангелия не согласующееся с числом года «указание на високост (6847 г. не был високосным)» [34, с.241].
Слово «висикостнйе» могло быть связано (в традиции юлианского календаря) с солнечным кругом и символом «.Дле», а не с 6847-м годом выходной записи.11 Чтобы разобраться в этом, необходимо обратиться к используемому на Руси в XIII-XIV вв. календарному инструментарию в виде «Богословлей руки» (рис.6). Как известно, она представляет собой изображение левой руки. Сомкнутые четыре пальца (не считая большого) содержат 28 знаков из числа повторяющихся семи букв-цифр (с пропуском одного через 4 знака), обозначающих дни недели: а(1) - воскресенье, в(2) - понедельник,
230
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКСЖ
г(3) - вторник, д(4) - среда, е(5) - четверг, г(6) - пятница, з(7) -суббота. Все 28 знаков (называемых солнечными эпактами) идут в такой последовательности:
авгдгзавдегзвгдезавгегзагдег.
После каждого четвертого знака (он подчеркнут) наступает скачок в днях недели: вслед за д(4) - средой (на 4-м месте) следует г(6) — пятница, после в(2) - понедельника (на 8-м месте) следует среда д(4) и так далее. Так как в юлианском календаре принимается, что в году 365,25 суток, то в практике календарного счета три года по 365 суток чередуются на четвертый с годом в 366 суток.
Дополнительные сутки составляются из четвертей суток: из четырех четвертей складываются целые сутки. Так образуются високосные сутки, которые прибавляются к году в 365 суток на каждый четвертый год.
Если бы земной год содержал 364 суток, то в каждом следующем году даты приходились на те же дни недели, что и в предыдущие годы. Это происходило бы потому, что число 364 кратно семи (364:7 =52). Если бы земной год состоял из 365 суток, то в каждом следующем году день недели передвинулся на единицу по сравнению с предыдущим годом. Так, если в текущем году некая дата была в воскресенье, то в следующем году она будет понедельником. Так как дней недели 7, то цикл сменяемости дней недели в 365-суточном году равен 7. Это значит, что дата, которая была воскресеньем, вновь будет воскресеньем через 7 лет. В юлианском 365,25-суточном году цикл сменяемости дней недели равен 28 годам. Это обусловлено тем, что семилетняя цикличность нарушается каждые четыре года високосом (7x4 =28), указанная структура наглядно представлена «Богос-ловлей рукой» (рис.6).
«Солнечным кругом» называется 28-летний цикл смены дней недели в юлианском календаре. «Солнечным кругом» года называется остаток от деления на 28 числа данного года в эре от С.М. Так, «солнечным кругом» 6847 г. будет 15. Надо учесть, что по «руке» счет букв-цифр велся двояко: солнечными эпактами — со знака А, стоящего в левом нижнем углу, и конкуррентами (по-древнерусски «вруце-летами») — со знака А, расположенного на среднем пальце в третьем ряду сверху (или на 18 месте в ряду солнечных эпакт) [56]. Знак Д, о котором идет речь в Сийском евангелии, в эпактном счете находится на 4-м месте, а в конкуррентном («вруцелетном») - на 15:
12 3 4
АвгДгзавдегзвгдезАвгегзагдег
12 13 14 15	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И
р д. Симонов
231
Таким образом, в Сийском евангелии указано «вруцелето» д, соответствующее «солнечному кругу» (15) 6847 г. Кажется, первой к такому пониманию записи пришла А.А.Романова, которая верно отметила: «Указывается круг солнца (под которым подразумевается вруцелето — д, что правильно, и не является ошибкой, как иногда считается в литературе)» [35, с.57].
Указание на високосность «вруцелета» года не есть исключение, встречающееся лишь в записи Сийского евангелия. Аналогичный случай был отмечен Е.Г.Водолазкиным в «Краткой хронографической палее». Здесь12 в тексте о рождении Мелелеила «в лето XII индикта е солнечного г» рядом с последним знаком стоит сокращение BI (взятое в квадратик), которое, согласно Е.Г.Водолазкину, обозначает «високосный» [57, с.84].
«Солнечный круг» 680 г. рождения Мелелеила равен 8. На восьмом месте конкуррентного («вруцелетного») счета действительно расположен знак г, который на «Богословлей руке» дается на указательном пальце. Интересно, что для лет рождения других праотцов в аналогичных случаях указываются (верно) названия пальцев, на которых находятся соответствующие вруцелета на «Богословлей руке».
Праотцы Год рожд.
Енох	435
Каинан	510
Мелелеил	680
Ареф	845
Вруцелето	Палец «Богословлей руки»
д	«мезинного перста»
з	«безыменнаго пръста»
г	BI в квадратике
г	«среднего пръста»
Из данных, сведенных в таблицу, следует, что в «Краткой хронографической палее» для года рождения библейских праотцов указывается не только вруцелето, но и палец «Богословлей руки», на котором оно находится. Однако вместо названия пальца «Богословлей руки» (указательного) для вруцелета года рождения Мелелеила приводится обозначение високосности BI (в квадратике). Если учесть, что вруцелето года рождения Мелелеила г находится на четвертом месте в конкуррентном («вруцелетном») ряду, то можно предположить: все четвертые вруцелета, фактически расположенные на указательном пальце «Богословлей руки» назывались «високосными» (эти знаки подчеркнуты):
авгегзагдегавгдгзавдегзвгдез.
Следовательно, расположение «вруцелета» на четвертом месте в конкуррентном ряду (что соответствовало указательному пальцу «Богословлей руки») воспринималось в древнерусской календарно-вычислительной практике как «високосное», что в «Краткой хронографической палее» зафиксировано в виде особого обозначения в виде сокращения «В1 в квадратике».
232
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКрр
На «Богословлей руке» солнечные эпакты расположены прямоугольником, причем четвертые буквы-цифры занимают мизинец -крайний правый палец: Д, В, 3, Е, Г, A, S (снизу вверх). Каждая обозначающая день недели буква-цифра встречается в таблице солнечных эпакт четыре раза. Так, Д(4) - среда имеется на указательном, среднем, безымянном пальцах и мизинце, где находится в нижнем правом углу таблицы «Богослов л ей руки». Не о ней ли идет речь в выходной записи Сийского евангелия: «И солнечного круга в 4-е лет(о) високосное»?
Возможно, каждая четвертая эпакта (что соответствовало мизинцу «Богослов л ей руки») также называлась «високосной». Тогда будет понятно, почему четвертая солнечная эпакта, расположенная в основании мизинца «Богословлей руки» называлась «високосной». Именно такое объяснение можно дать именованию знака д(4) «високосным» в выходной записи Сийского евангелия.
Такое толкование как будто бы противоречит тому, что 6847 г., о котором идет речь в записи Сийского евангелия, не является високосным в системе юлианского календаря (не делится на 4). Однако указанное несоответствие содержит в себе возможность глубже проникнуть в историю древнерусского календаря. Речь идет о понятии «вру-целето», история которого недостаточно изучена. Из историографии известно, что оно появилось «около XV в.» [58, с. 155]. Это подтверждается древнейшим памятником, в котором «Богословля рука» приспособлена для конкуррентного («вруцелетнего») счета путем обведения кружком знака А, находящегося на среднем пальце третьего ряда сверху, т.е. на 18 месте в эпактном ряду [59, л.185об.].
Вопрос о времени перехода на конкуррентный («вруцелетний») счет связан с установлением позднейшего случая использования эпак-тного счета. Таковым (на данный момент) можно считать применение солнечных эпакт в календарной записи Псковского Апостола 1307 г. Здесь слова «а (круга) солнца 4-го перста лет(о) 6-е» [36, с. 125], очевидно означают, что солнечный круг 6815/1307 г. (равный И), соответствующий солнечной эпакте «зело» (6), указывает на четвертый палец «Богословлей руки» (принимая большой палец за первый). Это происходит, если счет по «Богословлей руке» вести с первого знака а в нижнем левом углу (рис.6).
Поскольку в 1307 г. на Руси календарный счет по «Богословлей руке» велся солнечными эпактами, а ок. 1399 г. конкуррентами ~ «вруцелетами», то переход на них произошел между указанными датами, в промежутке которых составлялась и выходная запись Сийского евангелия. В ней могли отразиться «издержки» смены указанных календарных представлений. А именно: переход на конкурренты («вруцелета») практически произошел, но их «високосность» устанавливалась не по указательному пальцу «Богословлей руки» (что
р. А- Симонов
233
произошло позже — в «Краткой хронографической палее»), а по мизинцу “ в соответствии со старым правилом «високосности» для солнечных эпакт. Таким образом, в календарной записи Сийского евангелия речь идет не о високосном годе, а «(псевдо)високосном» вруце-лете Д 6847 г.
Значение рассмотренного фрагмента календарной записи Сийского евангелия состоит в углублении древнерусского понимания високосности. В отличии от современного толкования этого понятия, как кратности четырем числа года, в Древней Руси високосность также связывалась с каждым четвертым календарным знаком в ряду как солнечных эпакт (расположенных на мизинце «Богословлей руки»), так и конкуррент («вруцелет») (представленных на указательном пальце «Богословлей руки»). Недавно был установлен случай такого средневекового понимания високосности вруцелет по «Краткой хронографической палее» (заслуга в этом принадлежит Е.Г.Водолазки-ну). Теперь можно аргументированно заключить, что соответствующая трактовка високосности существовала на Руси еще при использовании солнечных эпакт, то есть не позже начала XIV в., что вруце-летняя високосность является развитием эпактной.
«Жидовъсегои рук. въ .3. л'кт {епакта ,И1. л'кт. въ Е.*
Календарные «руки» использовались парами: «Богословлю руку» дополняла «Жидовская рука» (рис.7). Поэтому нет ничего странного в том, что в указанном фрагменте речь идет о ней. Кажется, первой на такую возможность указала А.А.Романова, о чем говорилось выше. «Лунный круг» 6847 г. равен 7, число которого получается как остаток от деления 6847 на 19. Поэтому слова записи «жи-довьскои рук(и) в 7 лет(о)» могут указывать на определяемое по «Жидовской руке» седьмое «пасхальное полнолуние», соответствующее седьмому номеру «лунного круга» 6847 г.
На пятом месте в «Жидовской руке» стоит дата самого позднего «пасхального полнолуния» 18 апреля. Значит, в словах «эпакта 18, лет(о) в 5» может идти речь о дате полнолуния, находящуюся на 5-м месте в «Жидовской руке». Соединяя воедино календарные сведения записи, можно заключить, что она выражает тот смысл, что два года назад (в 6845 г.) было самое позднее «пасхальное полнолуние». Одним из вариантов толкования фрагмента выходной записи Псковского апостола 1307 г. «а пас(хи) законьнои лет(о) 21 лунному круг(у), а 18 в четверьтом червьчи» [36, с. 125] может быть сообщение о дате «пасхального полнолуния» 21 марта 6815/1307 г. и дне наиболее поэ-Днего «пасхального полнолуния» 18 апреля (подробнее см. выше).
В историографии упоминается, что эпактой называют и «дату пасхального полнолуния, выраженную в числах александрийского календаря» [35, с.29]. В календарной записи Сийского евангелия
234 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОр
«пасхальное полнолуние» 18 апреля называется таким же словом Это может быть фактом влияния александрийского календаря или свидетельством того, что в юлианской календарной традиции на Руси пасхальное полнолуние также называлось «эпактой».
«И каландъ. мсца. марта, жидовъскы нисана»
Обычно комментаторы календарной записи Сийского евангелия число 5, принадлежащее окончанию предыдущего фрагмента, присоединяют к настоящему отрывку, получая дату «5-и каландъ». Но такая трансформация текста не оправдана палеографически. В Сийс-ком евангелии числа передаются с окончанием -ie: 6000-ie, 800-ie 47-ie, 4-ie, 7-ie или без окончания: 12, 18, 5 и никогда с окончанием «и». Кроме того, с союза «и» начинается второй из рассмотренных смысловых фрагментов записи. С него же может начинаться и последний отрывок.
«Каландами» в древнерусской календарной практике называются календы римского календаря с обратным счетом дней. Например: «месяца иоулия в 24 день, преже 9 каландъ а(в)туста», «месяца июля в 19, преже 14 каланд августа» [39, с.350]. Римляне «календами» (calendae) называли «первый день месяца» [там же, с.279]. Подобно же, но не буквально, по-видимому, считали и на Руси, что находит отражение в псковском календаре XIV в., сохранившимся в списках XV-XVI вв. Здесь последнее число почти каждого месяца сопровождается ремаркой «преже 2 каланд», а первое следующего месяца — «преже 1 каланд» (за отдельными исключениями) [38, с. 171—182]. Это может значить, что «каландами» на Руси считалось второе число месяца.
Структура дат с «каландами» включает слово «преже». По логике, дата, от которой отсчитывались «каланды», не должна сопровождаться словом «преже». «Преже» отсутствует в календарной записи Сийского евангелия. Значит, в ней слова «каланд месяца марта» могли значить 2 марта. Месяц «нисан» еврейского календаря начинался со 2 марта в 1329 г. [60, с.568—569]. Объединение в одной фразе названий двух календарных традиций - римской и еврейской («и каландъ месяца марта, жидовьскы нисана») — можно объяснить общей датой 2 марта 1329 г.
Предложенное толкование заключительной части календарной записи Сийского евангелия подтверждает концепцию С.М.Каштанова и Л.В.Столяровой о существовании краткой записи 1329 г. в этом кодексе или его протографе. Возможно, она содержала проанализированный фрагмент о 2 марта 1329 г. в римской и еврейской календарной традиции. Однако неясно, можно ли в таком случае число 2 марта класть в основу датировки окончательной выходной записи Сийского евангелия 6847 г.
р ^Симонов
235
Как будто бы нельзя исключать возможность того, что в гипотетическом первоначальном тексте записи 1329 г. находились лишь слова о «нисане», а информация о «каландах» появилась на заключительной стадии оформления записи. В таком случае 2 марта 6S47 г- будет датой выходой записи Сийского евангелия, для перевода которой в эру от Р.Х. надо из числа года вычесть 5508, получится 1339 г., независимо от мартовского или сентябрьского новогодия [61, с 69]. Остальные календарные данные выходной записи недостаточно определенны для подтверждения этой или установления другой датировки.
Хронологические сведения выходной записи Сийского евангелия не будут содержать противоречий, если учесть, что они записаны Мелен-тием и Прокошей на основе употреблявшегося в XIV в. на Руси календарного инструментария в виде «рук» («Богословлей» и «Жидовской»). Такой вывод подтверждает заключение А. А. Романовой о возможном прямом указании в выходной записи на «Жидовскую руку». Мнение А.А. Романовой усиливается тем, что хронологические показатели Мелентия и Прокоши реконструируются на основе обеих «рук».
На основе проведенного анализа устанавливается следующая интерпретация хронологии текста выходной записи Сийского евангелия:
Текст записи	Интерпретация
♦Индикта 12 миротворного»	12-й миротворный [круг 6847 г.1
«И солнечного круга в д(4)-е лето високосное»	Солнечному кругу [6847 г. (равному 15) на 15 месте «Богословлей руки» отвечает вру-целето! д. високосное [по эпактному счету!
♦Жидовская рука в 7 лето, эпакта 18, лето в 5»	По «Жидовской руке» в 7-м (т.е. 6847) году [еврейская Пасха будет 27 марта, а была] 18 [апреля! в году 5-м (т.е. 6845)
♦И каланд месяца марта, .жидовски нисана»	Календы [6837/1329 г. отвечают 2 числу] месяца марта, еврейского ннсана
Писцы, составившие (или только переписавшие) выходную запись Сийского евангелия, называют себя «многогрешнии дьяци». Как отмечают в комментариях С.М.Каштанов и Л.В.Столярова, «словом Дьяки” (“дьяци”) в записях на книгах определяли себя обычно дьяконы и причетники, к числу которых, очевидно, следует отнести и писцов Сийского евангелия» [34, с. 257—258]. В таком случае можно приблизительно установить уровень хронологических знаний людей того же общественного положения, которое занимал двести лет до них замечательный новгородский математик и компутист Кирик, написавший свой выдающийся календарно-арифметический трактат, также будучи дьяконом.
Отраженный Мелентием и Прокошей календарный факт о номере текущего двенадцатого великого индиктиона был известен в
236 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКпр
течение нескольких сотен лет. Например, среди многих рассчитанных Кириком календарно-числовых показателей, связанных с 1136 г создания «Учения», только двенадцатый номер «великого круга», сохранял свое значение и в середине XIV в. Чтобы подсчитать величину (7) индикта 6847 г. писцы должны были понимать его календарный смысл и уметь делить четырехзначное число указанного года на двузначное число 15 индиктного цикла. Возможно, отсутствие индикта в выходной записи обусловлено элементатным неумением Ме-лентия и Прокоши делить соответствующие числа с получением остатка.
Указанное в выходной записи «вруцелето» 6847 г. — д — спутано с «солнечным кругом». А.А.Романова, как бы в защиту Мелентия и Прокоши, отметила, что «путаница в именовании вруцелета кругом солнца характерна для записей в древнерусских рукописях» [35, с.57]. Будет невероятным предположение, что Кирик Новгородец мог допустить такую путаницу. Ее наличие свидетельствует о слабой календарно-математической подготовке авторов выходной записи Сийского евангелия. Это согласуется с высказанным выше мнением об их недостаточном умении производить календарные вычисления. Каким же образом Мелентию и Прокоше удалось правильно найти «вруцелето» 6847 г. (хотя ошибочно и названное «високосным»)?
Если исходить из аргументов о применении ими календарных «рук», то можно смоделировать работу переписчиков с «Богословлей рукой», исходя из имеющихся в этнографии данных об особенностях использования в древнерусском быту календарей. Народный деревянный календарь в виде многогранного бруса или жезла имел особые пазы («трещины»), «в которые вставлялась заостренная палочка для отметки прошедших дней». Употреблявшийся на севере деревянный календарь в виде дощечки содержал дырочки по числу дней года, отмечаемых «двумя штырьками, которые вставляли в дырочки, ~ дневным и недельным» [62, с. 34].
Поступая аналогично, Мелентий и Прокоша могли отмечать точкой или крестиком на своем рабочем рисунке «Богословлей руки» наступившие годовые «вруцелета», тем самым устанавливая, что «вруцелетом» данного года будет последнее отмеченное условным значком «вруцелето». На условные отметки в славяно-русских календарных материалах обратила внимание А.А.Романова. В рукописи «Миротворного круга»13 ею обнаружены пометы в таблице «великого индиктиона»: в виде киноварной точки в клетке с «ключевой буквой» П (соответствующей 1588 г.) и чернильного крестика в клетке с «ключевой буквой» М (соответствующей 1675 г.). По мнению исследовательницы, пометы указывали «на практическое использование содержащейся в рукописи таблицы» [63, с. 198].
р л Симонов 237
Отмечая точкой или крестиком «вруцелето» каждого наступившего года по «Богословлей руке», Мелентий и Прокоша, не выполняя вычислений, могли правильно определить, что «вруцелето» 6847 г. имеет значение д, о чем и сообщили в выходной записи Сийского евангелия. Их упоминание при этом о «солнечном круге» может говорить не о понимании вычислительной связи между указанными календарными понятиями, а о том, что они пользовались вариантом «Богословлей руки», где имелась соответствующая надпись.
Так, в древнерусском «Скалигеровом Каноннике» 1331—1332 гг., хранящемся в Библиотеке Лейденского университета (Нидерланды), над «Богословлей рукой» имеется надпись «Л си рука кругъ слнчныи просчитаютъ* («А эта рука просчитывает солнечный круг») (рис.7). Под влиянием подобной надписи переписчики Сийского евангелия могли написать: «И солнечного круга въ .д.», не зная, какой была действительная величина (номер) «солнечного круга» в 6847 году. Слова о «високосности» «вруцелета» д также могли обус-ловитъся информацией, почерпнутой из «Богословлей руки». Так, Е.Г.Водолазкин считает, что указанием високосности могли служить проставляемые рядом с ней значки, «которые исследователи порой принимали за тысячи» [57, с.84].
То, что переписчики Сийского евангелия брали информацию из календарных «рук», не прибегая к вычислениям, свидетельствует следующий за рассмотренным фрагмент выходной записи: «(по) жи-довьской рук(е) в 7 лет(о), эпакта 18-го (апреля), лет(а) в 5». Если согласиться с тем, что Мелентий и Прокоша последовательно отмечали значками «вруцелета» (для каждого очередного года) по «Богословлей руке», то аналогично они должны были поступать и в отношении «Жидовской руки». Отметив в ней очередное, седьмое по счету «пасхальное полнолуние», писцы сделали об этом запись. Заодно они отметили, что самое позднее «пасхальное полнолуние» 18 апреля произошло двумя годами раньше, то есть было пятым по счету. Следовательно, и для этой, сообщаемой в записи информации им не требовалось производить вычислений. Складывается впечатление, что Мелентий и Прокоша вообще не производили календарных расчетов (с делением), а источниками хронологических сведений для них были в основном календарные «руки».
В указанной связи заключительный фрагмент: «И каландъ месяца марта, жидовьскы нисана», понимаемый как указание на дату 2 марта 6837/1329 г., скорее всего, их знаниям не соответствовал, а был включен в выходную запись Сийского евангелия в 6847 г. из источника десятилетней давности. Об этом С.М.Каштанов и Л.В.Столярова писали следующее: «Какая-то запись появилась в 1329 г. либо в протографе этого кодекса, либо в нем самом... Похвала, в
238 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Рис.7. Календарные «руки» Скалигерова Канонника 1331-1332 гг. (Библиотека Лейденского университета, Нидерланды)
р а.Симонов 239
которой как бы подводятся итоги княжения Калиты, не могла быть написана в 1329 г. Она — продукт более позднего дополнения и обработки краткой записи 1329 г. Окончательная, дошедшая до нас редакция записи, возникла в 6847 г.» [34, с.243].
Если заключительный фрагмент выходной записи Сийского евангелия не принадлежит к хронологическому творчеству Мелентия и Прокоши, а усвоен ими из текста 1329 г., то 2 марта нельзя класть в основу датировки выходной записи 1339 г.
Заключение
Счетная бирка второй половины X в. с эмблемой кн. Ярополка Святославича является древнейшим русским математическим документом, характеризующим развитие знаний о числе на Руси. Помимо княжеской эмблемы на рассматриваемом древнейшем русском памятнике представлен не совсем понятный символ в виде «бантика». Наиболее архаичным на Руси было выражение чисел зарубками-единицами: сколько зарубок - столько единиц содержало число. В условиях военно-политических и товарно-денежных отношений, по-видимому, на Руси познакомились с греко-византийской нумерацией, что может отражать рассматриваемый знак типа «бантика». Он мог возникнуть как результат использования сдвоенной цифры 4 в форме дельты для обозначения числа 80. Это знакомство с греческим числовым обозначением, получившим на Руси символическое выражение, могло произойти еще до создания в середине IX в. славянской письменности Кириллом и Мефодием.
Выходные записи Псковского апостола 1307 г. и Сийского евангелия 1339/1340 г. содержат ценный материал по практическому владению календарной арифметикой древнерусскими писцами первой половины XIV в. «Учение» Кирика Новгородца 1136 г. содержит в себе материал по юлианскому календарю и расчетной пасхалистике, но в нем отсутствуют сведения о том, как и с помощью какого инструментария осуществлялись пасхальные вычисления Кириком. Материал выходных записей свидетельствует, что таким инструментарием были календарные «руки», древнерусские подлинники которых известны с XIII-XIV вв. Однако есть основания считать, что они были известны на Руси уже в XI—XII вв. В «Учении» имеются косвенные данные, свидетельствующие о том, что Кирик мог рассчитывать Пасху с помощью «рук». Материал выходных записей первой половины XIV в. служит еще одним косвенным свидетельством этого.
Значение рассмотренных выходных записей также состоит в том, нго они как бы отражают обратную связь «ядра» древнерусской математической культуры, представленного такими сохранившимися источниками, как задачник для обучения счету на абаке «Русской Правды» рубежа XI-XII вв., «Учение» Кирика 1136 г., статьи «Первой новгородской летописи» 1136 и 1137 гг., текст о «поновлениях»
240	МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
—-
1138 г. и некоторые другие. Указанное «ядро» (особенно «Учение» Кирика) характеризует высший уровень арифметических и календар-но- пасхальных знаний домонгольской Руси. Проанализированные выходные записи первой половины XIV в. показывают, что эти знания в основном сохранились у грамотной части населения, каковой являются переписчики книг, несмотря на ордынское порабощение Руси в середине XIII в.
Выходные записи Псковского апостола 1307 г. и Сийского евангелия 1339/1340 г. обнаруживают обстоятельства, которые уточняют представления о древнерусской математической культуре. В «Учении» Кирика отсутствуют данные о возрасте Луны как календарном показателе. Они представлены в летописной статье 1136 г., вопрос о принадлежности которой Кирику окончательно не решен. В выходной записи Псковского апостола 1307 г. возраст Луны имеет четкую календарную функцию и указывается вместе с юлианскими датами. В «Учении» Кирика также отсутствует информация о римском счете «календами», но он есть в летописной статье 1136 г. Выходная запись Сийского евангелия счет «календами» использует наряду с показателями юлианского календаря. Все это говорит о том, что календарно-математические знания после Кирика формировались на Руси не строго в соответствии с содержанием «Учения», а под влиянием более широких представлений. «Учение», являющееся ярким и наиболее «продвинутым» календарно-математическим произведением, соответствовало только части древнерусской календарно-математической культуры.
Выходные записи позволяют несколько по-новому представить древнерусское математическое знание, «вооруженность» которого наглядными вспомогательными средствами в календарной практике имело большее значение, чем казалось раньше исследователям по «Учению» Кирика и другим сочинениям. Так, выходная запись Сийского евангелия 1339/1340 г. показывает, что календарные «руки» могли заменить вычислительный процесс. Кирик для определения солнечного и лунного «кругов» делил дату года соответственно на 28 и 19 и получал искомый остаток. Однако, не умея делить, но располагая календарными «руками» и зная, каким были солнечный и лунный «круги» в прошлом году, можно было найти значения «кругов» настоящего года, прибавив к предыдущим по единице. Затем следовало отсчитать по «рукам» найденные после сложения величины и получить готовые значения солнечных эпакт (или вруцелет) и даты пасхальных (табличных) полнолуний искомого года. Таким путем (без трудоемких вычислений) можно было разыскать числовые данные, необходимые для расчета Пасхи. По-видимому, аналогичным образом поступали Мелентий и Прокоша, писцы Сийского евангелия-
р д. Симонов 241
Следует иметь в виду, что выходные записи не имели целью демонстрацию вычислительной техники (что делал Кирик). Они были крайне лапидарны, содержа исключительно хронологические показатели не на показ, а как бы для себя, часто без необходимых пояснении. Поэтому они представляют большие сложности для понимания современными исследователями. Эта особенность затемняет их календарный смысл, не говоря о математическом, о чем свидетельствуют существующие неудачные попытки расшифровки хронологии этих источников. Несмотря на указанную специфичность, выходные записи первой половины XIV в. представляют несомненный историко-математический интерес, дополняя картину древнерусской математической культуры, воссоздаваемую на основе ее «ядра», в котором центральное место занимает «Учение» Кирика Новгородца 1136 г.
Примечания
1	Материал раздела был доложен на Вторых Колмогоровских чтениях (Ярославль, 17-20 мая 2004 г.) и Семинаре по геральдике Историко-архивного института Российского государственного гуманитарного университета (Москва, 16 июня 2004 г.), см.: Ш-
2	В Сибири открыты жезлы из оленьего рога с числовыми засечками палеолитического человека. Предполагается, что эти источники имели календарно-астрономическое назначение, см.: [3].
3	Материал раздела получил предварительную апробацию в журнале по славяно-русской медиевистике [28]. По сравнению с журнальным вариантом в него внесены некоторые изменил и дополнения, в том числе историко-математического характера.
4	Срезневский И. И. Словарь древнерусского языка. Репринтное издание. М., 1998.Т.З. 4.2. Стб. 1558.
5	Так, А.А.Романова отметила малое количество древнерусских календарных материалов и для более позднего времени: «К сожалению, в связи с малым количеством сохранившихся календарно-хронологических источников ХШ-конца XV в. наши знания об этом периоде отрывочны» [50, с.146].
6	Л.В.Мошкова и А.А.Турилов оценивают этот опыт Л.В.Столяровой более сурово: «Комментарий к записи в Псковском апостоле просто кишит ошибками, возникшими в результате неправильного прочтения текста и незнания календарной терминологии... Выход в свет Свода записей (книги Л.В.Столяровой [34].- Р.С.) являет тревожный симптом состояния отечественной исторической науки: что-то в ней решительно не в порядке (как в собственно научном, так и в моральном плане), если подобные работы получают «всенародную поддержку и одобрение» [51, с.57, 77]. По-видимому, авторами также имеется в виду то, что после выхода «Свода записей» Л .В.Столярова защитила диссертацию на ученую степень доктора исторических наук и получила Государственную премию России (по номинации молодых ученых). Справедливости ради следует отметить, что правильное истолкование хронологической записи Псковского апостола 1307 г. действительно является крайне сложной научной задачей, и предложенную в настоящей работе ее трактовку следует рассматривать лишь в качестве одного из возможных вариантов решения.
7	На этой же с. 239 в подстрочном примечании указано: «Комментарии написаны совместно с С.М.Каштановым».
° Здесь говорится о работе [53, с.9-10].
9	На этой же с. 334 в подстрочном примечании указано: «Комментарии написаны совместно с С.М.Каштановым».
“ Здесь говорится о работе [34, с.237].
242 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKQR
11	В традиции александрийского (коптского) календаря 6847 г. будет високосным, так как «високосным в этом календаре является год, порядковый номер которого при делении на 4 дает в остатке 3» [39, с.225].
12	По списку БАН, 24.5.8. Л. 11-12.
13	Российская национальная библиотека, F.I.866, кон. XVI в. Л.З.
Список литературы
1.	Симонов Р.А. Таинственный символ на счетной бирке второй половины X в. с эмблемой Ярополка Святославича / / Семинар по геральдике и вспомогательным историческим дисциплинам. Бюллетень РГГУ. М., 2004. №6. С.4-8.
2.	Кольман Э. История математики в Древности // Отв. ред. Б.А. Розенфельд. М 1961.
3.	Ларичев В.Е. Скрижали знаков течения Времени, возникновения Мироздания и его устроения (прочтение знаковых записей на жезлах из погребения детей в Сунгирн) // Гуманитарные науки в Сибири. 2004. №3. С.3-11.
4.	Кольман Э., Юшкевич А.П. Предисловие // Э. Кольман. История математики в Древности. М., 1961.
5.	Ковалев Р.К. Бирки-сорочки: упаковка меховых шкурок в средневековом Новгороде // Новгородский исторический сборник. СПб., 2003. С6.9 (19). С.36-56.
6.	Янин В.Л. Надписи на деревянных «счетных» бирках // Новгородские грамоты на бересте. (Из раскопок 1977-1983 гг.) М., 1986. С.81-86.
7.	Новгородская первая летопись. М.-Л., 1950.
8.	Янин В.Л. Новгородские посадники. М., 1962.
9.	Ковалев Р.К. Новгородские деревянные бирки: общие наблюдения // Российская археология. 2002. №1. С.38-49.
10.	Ковалев Р.К. Деревянные долговые бирки-сорочки XI-XII вв. из новгородской коллекции // Новгородский исторический сборник. СПб., 2003. Сб.9 (19). С.28-35.
И. Константин Багрянородный. Об управлении империей. М., 1991.
12.	Ковалев Р.К. К вопросу о происхождении сорочка: по материалам берестяных грамот // Берестяные грамоты: 50 лет открытия и изучения. М., 2003. С.57-72.
13.	Zimmer // Deutsches Worterbuch. 1956. Bd.15. S.1308.
14.	Янин В.Л. Археологический комментарий к Русской Правде // Новгородский сборник. 50 лет раскопок Новгорода. Новгород, 1982. С.138-155.
15.	Янин В.Л. У истоков новгородской государственности. Великий Новгород, 2001.
16.	Майстров Л. Е. О математических знаках и терминах, встречающихся в археологических памятниках древней Руси // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. 10. С.595-616.
17.	Рыбаков Б.А. Русская эпиграфика X-XIV вв. (Состояние, возможности, задачи.) // История, фольклор, искусство славянских народов. Доклады советской делегации. V Международный съезд славистов (София, сентябрь 1963). М., 1963. С.34-72.
18.	Симонов Р.А. О греко-византийской основе «буквенных цифр» кириллицы // Древняя Русь. Вопросы медиевистики. 2002. №4 (10). С.48-56; 2003. №1 (И). С.24-29.
19.	Верная Д. Наука в истории общества. М., 1956.
20.	Симонов Р.А. О некоторых особенностях нумерации, употреблявшейся в кириллице // Источниковедение и история русского языка. М., 1964. С.14-36.
21.	Жолобов О.Ф. Было ли в Древней Руси девятичное счисление? // Древняя Русь. Вопросы медиевистики. 2002. №3(9). С.54-60.
22.	Янин В.Л. Открытие древнейшей славянской книги в Новгороде // Румянцевские чтения: Материалы научно-практической конференции (23-25 апреля 2001 г.) «Память России в книжной культуре». М., 2001. С.23-29.
23.	Зализняк А.А., Янин В.Л. Новгородская псалтырь начала XI в. - древнейшая книга Руси // Вестник Российского гуманитарного научного фонда. 2001. №1. С. 128-159-
р А Симонов 243
24.	Зализняк А.А. Проблемы изучения Новгородского кодекса XI века, найденного в 2000 году / / Вестник Российского гуманитарного научного фонда. 2004. №3. С. 160-178.
25	Зализняк А.А. Древнейшая кириллическая азбука // Вопросы языкознания. 2003. №2. С.3-1.
26	Симонов Р.А., Самарин А.Ю., Хромов О.Р. Древнерусская книжность: Учебное по-' собие. М., 1999.
27.	Кирик Новгородец. Учение им же ведати человеку числа всех лет // Историко-математические исследования. М., 1953. Вып.6. С.174-91.
28.	Симонов Р.А. О пасхальном значении выходной записи Апостола 1307 г. // Древняя Русь. Вопросы медиевистики. 2004. №1(15). С.52-9.
29.	Адрианова-Перетц В.П. Было ли известно «Слово о полку Игоревен в начале XIV в. // Русская литература. 1965. №2. С.149-53.
30.	Зимин А.А. Приписка к псковскому Апостолу 1307 г. и «Слово о полку Игоревен // Русская литература. 1966. №2. С.60-4.
31.	Прийма Ф.Я. О гипотезе А.А.Зимина // Русская литература. 1966. №2. С.75-9.
32.	ЦмитриевЛ.А. Домид // Словарь книжников и книжности Древней Руси. Л., 1987. Вып.1. С. 117-19.
33.	Столярова Л.В. Древнерусские надписи XI-XIV веков в пергаменных кодексах. М., 1998.
34.	Столярова Л. В. Свод записей писцов, художников и переплетчиков древнерусских пергаменных кодексов XI-XIV веков. М., 2000.
35.	Романова А.А. Древнерусские календарно-хронологические источники XV-VII вв. СПб., 2002.
36.	Сводный каталог славяно-русских рукописных книг, хранящихся в России, странах СНГ и Балтии // Отв. ред. А.А.Турилов. М., 2002. Вып.1
37.	Симонов Р.А. «Рука законодавца Моисея» - христианская версия еврейской пасхи в славяно-русской традиции // От Бытия к Исходу. М., 1998. С.193-207.
38.	Щапов Я.Н. Календарь в псковских рукописях XV-XVII вв. // Труды Отдела древнерусской литературы (ТОДРЛ). Л., 1983. Т.37. С. 157-183.
39.	Климигиин И.А. Календарь и хронология. 3-е изд. М., 1990.
40.	Зименс Г. Вычисление Пасхи в Новгороде в XII веке // Новгородский исторический сборник. СПб., 1997. Вып.6 (16). С.121-127.
41.	Медынцева А. А. Эпиграфические находки из Старой Рязани / / Древности славян и Руси. М., 1988. С.247-256.
42.	Симонов Р.А. «Учение» Кирика Новгородца и календарно-пасхальные граффити // Труды VI Международного конгресса славянской археологии. М., 1999. С.142-153.
43.	Симонов Р.А. 2000-летие христианства в свете древнейшей русской календарной символики // Гербовед. 2000. №1(39). С. 18-31.
44.	Российская национальная библиотека (РНБ). F.n.I., №73. Служебник второй половины XIV в.
45.	Симонов Р.А. Новое в изучении творчества Кирика Новгородца (XII в.) // Восьмая научная конференция по проблемам книговедения: Тезисы докладов. М., 1996. С.203-205.
46.	ШахматовА.А. Разыскания о древнейших русских летописных сводах. СПб., 1908.
47.	Пиотровская Е. К. Кирик Новгородец ' / Словарь книжников и книжности Древней Руси. Л., 1987. Вып.1. С.215-217.
48.	Пашков А.М., Симонов Р.А. Кирик Новгородец в письмах Н.В.Степанова к А.А.Шахматову // Историко-астрономические исследования. М_, 1987. Вып. 19. С.311-324.
49.	Российская государственная библиотека. Фонд 173.1. №103. Круг миротворный конца XVI в.
244 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
50.	Романова А. А. Роль Новгорода в распространении календарно-хронологических знаний в России (деятельность архиепископов Геннадия и Макария) // Лихудовские чтения-1998. Великий Новгород, 2001. С.146-151.
51.	Мешкова Л .В., Турилов А.А. Плоды ливанского кедра. [М.], 2003.
52.	Мещерский Н. А. К изучению ранней московской письменности // Изучение русского языка и источниковедение. М., 1969. С.93-103.
53.	Каштанов С.М., Столярова Л. В. Еще раз о дате так называемого «Сийского» евангелия // Сообщения Ростовского музея. Ярославль, 1995. Вып.8. С.3-48.
54.	Сморгунова Е.М. Древнейший московский рукописный памятник (Палеографическое описание и вопрос об оригинале рукописи 1339 г. БАН, №338) // Источниковедение и история русского языка. М., 1964. С.119-141.
55.	Словарь русского языка. В 4-х тт. М., 1981. Т.1.
56.	Симонов Р.А. Солнечные эпакты и конкурренты // Историческая антропология: место в системе социальных наук, источники и методы интерпретации: Тезисы докладов и сообщений научной конференции. М., 1998. С.204-206.
57.	Водолазкин Е.Г. Хронология русской хронографии. Часть 3 // ТОДРЛ. СПб., 2001. Т.52. С.79-97.
58.	Селешников С.И. История календаря и хронология. М., 1970.
59.	Российская государственная библиотека. Ф. 304.III. №6. Евангелие тетр ок. 1399 г. 60. Mahler Е. Handbuch der judischen Chronologie. Leipzig, 1906.
61.	Каменцева Е.И. Хронология. 2-е изд. М., 2003.
62.	Буткевич А.В., Зеликсон М.С. Вечные календари. М., 1969.
63.	Романова А.А. К проблеме уточнения датировки рукописей XIV-XVI вв. по таблицам и текстам пасхалии // Опыты по источниковедению. Древнерусская книжность: археография, палеография, кодикология. СПб., 1999. С. 186-199.
ДАНТЕ—ГАЛИЛЕЙ—ФЛОРЕНСКИЙ: К АПОЛОГИИ ЗАМКНУТОГО КОСМОСА1)
Д.А.Баюк, Ч.Е.Форд
Павел Флоренский против теории Коперника. В 1922 г. частное московское издательство «Поморье» выпустило книгу священника русской православной церкви Павла Александровича Флоренского (1882-1937), озаглавленную «Мнимости в геометрии» [1]. Этой небольшой брошюре предстояло сыграть важную роль не только в жизни самого Флоренского, но и оказывать известное воздействие на всю интеллектуальную жизнь в России на протяжении довольно длительного времени. В ней было всего 53 страницы; большая их часть посвящалась своеобразной геометрической интерпретации алгебры комплексных чисел, но в последнем девятистраничном параграфе Флоренский попытался приложить свою общую теорию для реконструкции основных черт космоса, в котором было бы возможно путешествие по трем загробным мирам, подобное описанному Данте Алигьери в его «Божественной комедии».
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №05-06-80226).
и AjaiOK, Ч.Е.Форд_________________________________________245
Во вступительном абзаце этого параграфа Флоренский привлекает внимание читателя к отпразднованному «на пороге нового духового синтеза», 14 сентября 1921 г., шестисотлетию со дня смерти Данте и говорит в связи с ним: «Думается, что предложенное здесь [то есть в предыдущих параграфах книги] истолкование мнимостей, в связи со специальным и общим принципами относительности, по новому освещает и обосновывает то Аристотеле-Птолемее-Дантово миропредставление, которое наиболее законченно выкристаллизовано в “Божественной комедии"» [1, с.45] (здесь и далее в цитатах сохранены авторские орфография и шрифтовые выделения).
Тремя страницами позже Флоренский поясняет, о чем, собственно, речь: «Вопрос идет о реабилитации Птолемее—Дантовой системы мира. Принцип относительности “доказывается” неудачею опыта Майкельсона и Морли. Не сомневаясь в общем принципе относительности и лишь несколько недоумевая, что значит в специальном принципе «прямолинейное равномерное движение», коль скоро нет неподвижных координатных осей, я хотел бы, однако, задать простой вопрос о причине неудачи вышеупомянутого опыта. В основу опыта положена гипотеза о движении Земли, и когда последствий этого движения не обнаружилось, тогда стал придумываться ряд чрезвычайных гипотез, которыми хотели подпереть первую гипотезу о движении Земли. Но гипотеза, признанная наиболее основательной, — специальный принцип относительности, — будучи приемлемой сама по себе, однако в корень уничтожает самую предпосылку Майкельсона, ибо утверждает, что никоим физическим опытом убедиться в предполагаемом движении Земли невозможно. Иначе говоря, Эйнштейн объявляет систему Коперника чистой метафизикой, в самом порицательном смысле слова ]...] Земля покоится в пространстве — таково прямое следствие опыта Майкельсона. Косвенное следствие — это надстройка, именно утверждение, что понятие о движении — прямолинейном и равномерном - лишено какого-либо уловимого смысл» И, с.48-49].
Флоренский здесь берет слово «доказывается» в кавычки, так как не верил, что наука способна действительно что-то доказывать, а следовательно и объяснять реальность. Максимум, на который можно рассчитывать, — это ее «символическое описание» [2, с.109]. Нет ничего удивительного в том, что наука не в состоянии обнаружить абсолютное движение, — в особенности после того, как ею было отвергнуто понятие абсолюта, — она могла только давать описание относительного. А изгнание абсолюта из сферы познаваемого, даже более того - из сферы рационального, - сделало, по убеждению Флоренского, «Галилееву науку» враждебной средневековому мировоззрению. В двух новых теориях, появившихся в начале века, Флоренский сразу увидел способность радикально изменить отношение
246 МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОп
человека к миру не только на физическом, но и на метафизическом уровне. Воздействие Коперниканско—Галилеево—Ньютоновской революции коснулось не только науки, но и философии, и даже теологии. Новые теории создали ситуацию, в которой птолемеевская космология оказывается столь же допустимой, как и коперниканская. При том, что эксперимент подтверждает первую, а не вторую, «...в Птолемеевой системе мира, с ея хрустальным небом, “твердью небесною", все явления должны происходить так же, как и в системе Коперника, но с преимуществом здравого смысла и верности земле, земному, подлинно достоверному опыту» [1, с.49-50].
В процитированных фрагментах Флоренский не только указывает на предпочтительность Птолемеевой космологии перед Коперниковой в том, что касается здравого смысла, - она возвращает нас и к дискуссиям об абсолюте. Хотя теория относительности Эйнштейна служила в первую очередь для пропаганды различных форм релятивизма, что представляется вполне логичным, Флоренский парадоксально разворачивает ее против себя самой — на восстановление в правах не только идеи о центральном положении Земли в космосе, но и об ограниченности самого космоса: его конечности и существовании в нем абсолютного покоя.
Такая постановка вопроса возвращает нас к аргументам, впервые выдвинутым и последовательно развитым в ряде работ первой трети XVII в. Галилео Галилеем, прежде всего в его знаменитом «Диалоге о двух главнейших системах мира», где среди прочих выдвигался и этот аргумент, хотя смысл его использования был прямо противоположным: на основании идентичности явлений как на движущейся, так и на неподвижной Земле Галилей представлял систему Коперника более предпочтительной с логической точки зрения.
«Диалог» Галилея был написан уже после запрещения теории Коперника в 1616 г. и поэтому не содержит прямых утверждений о ее истинности. Тем не менее построен он таким образом, что все аргументы, когда-либо выдвигавшиеся в защиту конкурирующей теории Птолемея, кажутся несостоятельными, а иногда даже просто смешными. Субъективная уверенность автора в правоте Коперника не вызывает у читателя сомнений с первых же страниц. Однако главный и единственный по-настоящему сильный довод в ее пользу Галилей приберег под конец, это его знаменитое механическое объяснение приливов и отливов. По его утверждению все дело в совокупном эффекте от движения Земли по орбите и вокруг своей оси. На ночной стороне линейные скорости складываются, а на дневной — вычитаются. Поверхность воды, перемещаясь из тени на освещенную сторону и обратно, то замедляется, то ускоряется, из-за чего вода раскачивается, выплескиваясь на берега.
дд.Баюк, Ч.Е.Форд 247
При всей своей эффектности и кажущейся неоспоримости объяснение, данное Галилеем, было ошибочным, и поэтому не могло служить подтверждением теории. Но чтобы убедиться в этом необходима численная оценка эффекта, которая стала возможна лишь значительно позже. В действительности приливы возникают из-за гравитационного воздействия на поверхность Земли со стороны Луны и Солнца. Эксперимент, который, кажется, убедил бы и последних скептиков в том, что Земля действительно пребывает в движении, — это знаменитый опыт Фуко, поставленный в XIX в. Однако к этому времени почти никто уже в справедливости теории Коперника не сомневался. И по причинам, скорее, теоретического характера, нежели вследствие прямой экспериментальной проверки.
Механика Ньютона появилась всего на полстолетия позже «Диалога» Галилея. Первое издание «Математических начал натуральной философии» увидело свет в 1687 г. Среди прочего в нем давалось полное и последовательное объяснение движений небесных тел, входящих в состав Солнечной системы, на основании закона всемирного тяготения и трех законов ньютоновской механики. Если сила, действующая на Землю со стороны Солнца, равна силе, действующей на Солнце со стороны Земли, а ускорение, вызываемое силой, обратно пропорционально массе тела, то отношение ускорений Земли и Солнца, вследствие их взаимодействия, равно обратному отношению их масс. Таким образом механика Ньютона не только описывала, как движутся планеты, но и почему их движение (и вообще присутствие) практически не отражается на движении Солнца. Дезавуируя галилеевскую аргументацию, Флоренский метил в противника значительно более могущественного - механику Ньютона.
Впрочем, не будет новостью утверждение о наличии пробелов в ньютоновской картине мира. Также хорошо известно о неудовлетворенности самого Ньютона тем, что впоследствии получило название ♦дальнодействия». Природа гравитации была ему неизвестна, из-за чего вся логически стройная система объяснений повисала в воздухе и Делалась заложницей таких теоретических фантомов, как абсолютное пространство. В своей (общей) теории относительности Эйнштейн попытался избавиться от подобных фантомов и представить кавитацию проявлением геометрических свойств пространства. Сами эти геометрические свойства пространства изменяются в зависимости от 1) изменения массы, положения, формы и т.п. находящихся в нем Тел и 2) местоположения и движения наблюдателя. Абсолютное пространство Ньютона, с этой точки зрения, отвечало такому местоположению и движению наблюдателя, при котором пространство кажется евклидовым, если в нем нет никаких тел. С точки зрения Флоренского абсолютным следует считать то пространство, в котором покоится <’емля. А то что оно при этом оказывается неевклидовым, —
248__________________МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОй
совершенно неважно; «Нет и принципиально не может быть доказательств вращению Земли, и в частности ничего не доказывает Пресловутый маятник Фуко: при неподвижной Земле и вращающемся вокруг нея, как одно твердое тело, небосводе, маятник так же менял бы относительно Земли плоскость своих вращений, как и при обычном, Коперниковском предположении о Земном вращении и неподвижности Неба» [1, с.49].
Неевклидовский космос. Какую же форму должна иметь Вселенная, чтобы Земля покоилась в ее центре и все явления «были спасены»? На такой вопрос хочет найти ответ Флоренский в своей книге «Мнимости в геометрии». Для этого он пользуется двумя основными источниками; специальной теорией относительности Эйнштейна и описанием путешествия Данте, якобы проделанного в страстную неделю 1300 года, через все три части загробного мира — ад, чистилище и рай. Данте дал свое описание в «Божественной комедии», шедевре итальянской литературы, породившем многовековые споры о том, как может быть понято ее содержание в свете законов геометрии, механики, астрономии, географии и прочих разделов естествознания. Было бы странно ожидать, что столь разнородные источники могут дать какую-то согласованную картину. И тем не менее, как утверждает Флоренский; «Современная научная мысль совершенно неожиданно подводит нас к Данте-Аристотелевской науке о началах сущего» [1, с.50].
Представление о том, каким образом это происходит, можно получить из такого рассуждения. Все окружающие Землю тела описывают вокруг нее полный оборот с большей или меньшей точностью в течение суток. Сейчас мы считаем, что такое их движение объясняется тем, что на самом деле движутся не они, а сама Земля, совершающая полный оборот вокруг своей оси за 24 часа. Если она покоится, то для подобной согласованности понадобятся другие основания. Например, мы можем считать, что весь космос заполнен каким-то прозрачным твердым телом, обеспечивающим синхронность различных движений. Вращения этого тела будут сопряжены со все большими линейными скоростями по мере удаления от центра, то есть Земли. Наконец, где-то они сравняются со скоростью света. Допустим, что множество точек, линейная скорость которых, формально говоря, равна скорости света, образует сферу (в дальнейшем будем называть ее световой сферой}.
«Обращаясь к Птолемеевской системе, мы видимо, что внутренняя ея область, с экваториальным радиусом
=	.300000 клм,
I 2лг	J
249
д д.Баюк, Ч.Е.Форд где 23ч 56м 4,с1 есть продолжительность звездного дня по среднему солнечному времени, ограничивает собой все земное бытие. Это есть область земных движений и земных явлений и за ним начинается мИр качественно новый, область небесных движений и небесных явлений,- по просту Небо. Этот демаркационный экватор, раздел Неба и Земли, не особенно далек от нас, и мир земного — достаточно уютен. А именно, в астрономических единицах радиус его R равен 27,522 средних расстояний Солнца от Земли. Итак, область небесных движений в 26,5 раз далее от Земли, чем Солнце; иначе говоря, граница ея - между орбитами Урана и Нептуна. Результат поразительный, потому что им Птолемее—Дантовское представление о мире подтверждается даже количественно, а граница мира приводится как раз там,где её и признавали с глубочайшей древности» [1, с.51].
Разумеется, в трехмерном пространстве невозможно такое движение двухмерной сферы, чтобы все ее точки имели одну и ту же линейную скорость. Однако одномерная сфера (1-сфера, то есть окружность) может так двигаться в объемлющем ее двухмерном пространстве, чтобы все ее точки имели одну и ту же линейную скорость. Поэтому мы можем для простоты считать, что Флоренский рассматривал какое-то из плоских сечений Вселенной или даже временно полагал Вселенную двухмерной (один из излюбленных в теории относительности приемов), для того лишь, чтобы стал ясен сам принцип.
Внутри этой сферы происходит лоренцевское сокращение длин. Сокращение будет наблюдаться лишь для тех отрезков, которые параллельны вектору линейной скорости в соответствие с известной формулой / = -/1—(г/с)2. Иначе говоря, если представить себе множество концентрических сфер (хотя бы 1-сфер), таких что все точки на поверхности каждой из них имеют одну и ту же линейную скорость, то при увеличении радиуса (сам радиус, естественно, лорен-Цевского сокращения не испытывает) линейные размеры самой сферы уменьшаются. Наконец, при v = с так что 1 — (г/с)2 =0, поверхность сферы обращается в ноль, а при еще большем увеличении радиуса линейная скорость превышает скорость света, а фактор 1 — (г/с)2 становится отрицательным, следовательно все длины — мнимыми. По поводу перехода от внутренней области (г < с) к внешней (г > с) Флоренский замечает: «Переход между областями этого качественного различия мыслим только прерывный* [1, с.51]. Но какова природа этого различия? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо небольшое отступление.
3-сфера. В общем случае под (единичной) и-сферой обычно понимается гиперповерхность в п + 1-мерном нормированном пространстве (7?"+1, || • ||), заданная условием	, ||х||= 1. Внутренность
250
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
сферы, то есть множество точек, удовлетворяющих условию ||x||si называют п + 1-шаром. В полутривиальной случае п =0 1-шар представляет собой просто отрезок, а 0-сфера — это его границы, то есть две точки. Переход от 1-шара к 1-сфере может быть осуществлен без (или, точнее, до) рассмотрения двухмерного пространства, склеиванием точек границы. Иначе говоря, все точки 0-сферы объявляются эквивалентными. Внутренние точки 1-сферы, или окружности образуют 2-шар, или диск. Отождествлением, или, как говорят, «склеиванием» всех точек окружности диск превращается в 2-сферу, или просто сферу. Ее внутренность — это 3-шар, или просто шар. Отправившись путешествовать на запад, имея целью очутиться на востоке, Христофор Колумб демонстрировал искреннюю веру в то, что поверхность Земли является не евклидовым пространством и не диском, а 2-сферой. Фернандо Магеллан, совершив кругосветное путешествие, доказал, что это действительно так.
Точно так же можно рассуждать о шарах и сферах большей размерности, хотя воображению они уже недоступны. Склеивая все точки 2-сферы, ограничивающей 3-шар, мы превращаем последний в 3-сферу. Важно заметить, что до того, как мы начинаем говорить о 4-шаре, нет нужды думать о четырехмерном пространстве. 3-сфера имеет право на вполне самостоятельное существование в том смысле, что все ее геометрические свойства могут быть полностью определены без привлечения высших размерностей.
Следует, однако, иметь в виду, что такая процедура, как склеивание точек, когда их больше двух, может оказаться неоднозначной. В самом деле, по-разному склеивая точки 1-сферы, ограничивающей 2-шар, можно получить как 2-сферу, так и проективную плоскость. Чтобы пояснить это различие, мы не будем склеивать все точки границы, а возьмем просто два диска (два 2-шара) и склеим попарно точки на границах, двигаясь, например, по часовой стрелке. Разумеется, при этом снова получится 2-сфера. Однако нам ничто не помешает взять диск и лист Мебиуса. Каждый из них также имеет границу, причем эта граница в обоих случаях представляет собой 1-сферу-(В этом можно убедиться, например, следующим образом. Приготовим лист Мебиуса из диска. Для этого окружность, ограничивающую диск, разобьем на четыре равных дуги и перенумеруем их: 1, 2, 3 и 4. 2-ю и 4-ю дуги склеим, попарно отождествляя диаметрально противоположные точки. Границей будут служить дуги 1 и 3, причем их крайние точки, совпадающие соответственно с крайними точками ДУГ 2 и 4, окажутся склеенными, и вся граница будет представлять собой одну 1-сферу.) Склеивая теперь диск (2-шар) и лист Мебиуса мы получим не 2-сферу, а проективную плоскость. Поскольку проективная плоскость является односторонней, то она не делит объемлющее ее пространство на два несвязных множества.
Д д.Баюк, Ч.Е.Форд 251
Обращение в ноль всех длин на световой сфере можно с некоторой натяжкой трактовать как склеивание всех ее точек. В результате как внутренний (земной), так и внешний (небесный) миры должны превратиться из 3-шаров в 3-сферы. Но здесь задействованы оба обсуждавшихся выше механизма: а) все точки сферы оказываются эквивалентны друг другу и б) точки одной сферы (границы земного мира) попарно эквивалентны точкам другой сферы (границы небесного мира). Естественно представить их задействованными не одновременно, а последовательно, причем сперва второй, а потом первый. Для того, чтобы наглядно себе это представить, рассмотрим двухмерный аналог космоса. Небесный и земной миры будут двумя 2-шарами, ограниченными 1-сферами. Склеивая друг с другом 1-сферы, отождествляя попарно их точки, мы получим 2-сферу, а исходные 1-сферы станут ее экваториальной большой окружностью. Дальше, при стремлении ее длины к нулю, 2-сфера станет все больше напоминать гантель и в конце концов превратится в две сферы, соприкасающиеся в одной точке. Заметим, однако, что это лишь одна из возможностей: изначально, при стягивании экватора в точку, одна полусфера может находится внутри другой, так что и в конце две касающиеся друг друга сферы могут напоминать, скорее, не гантель, а китайский шар в шаре, поскольку одна из сфер будет полностью находится внутри другой.
Вообще говоря, Флоренский нигде не дает никаких указаний на то, какая именно из имеющихся возможностей им выбирается. Но косвенные намеки есть. Они содержатся в его описании движения Данте через загробный мир. Не случайно же для Флоренского конструируемый им космос связан не столько с именем Аристотеля, сколько с именем Данте. Тут же заметим, что, если сферичность земного мира более или менее очевидна (хотя, напомним, она следует из весьма неочевидного предположения, что все точки ограничивающего его множества, то есть точки, движущиеся со скоростью света, лежат на одной сфере), то это совсем не так в отношении мира небесного. Как предположение о его сферичности, так и предположение о его Конечности кажутся довольно произвольными. В этой части своих Рассуждений Флоренский в большей степени опирается на текст Дан-Те> чем на теорию относительности. Поэтому, чтобы ответить на подавленные вопросы, и нам придется последовать за ним.
Путешествие Данте. Вот как оно описано Флоренским: «Итак, Припомним путь Данте с Вергилием. Он начинается в Италии. Оба п°эта спускаются по кругам воронкообразного Ада. Воронка завершается последним, наиболее узким кругом Владыки преисподней. и₽и этом, обоими поэтами сохраняется во все время нисхождения ВеРтикальность — головою к месту спуска, т.е. к Италии, и ногами —
252
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
к центру Земли. Но, когда поэты достигают приблизительно поясницы Люцифера, оба они внезапно переворачиваются, обращаясь ногами к поверхности Земли, откуда они вошли в подземное царство а головою в обратную сторону. [...] Миновав эту грань (которой и до сих пор эвклидовская “чернь не зрит”), т.е. окончив путь и миновав центр мира, поэты оказываются под гемисферою противоположной той, “где был распят Христос”; они поднимаются по жерлообразному ходу. [...] После этой грани поэт восходит на гору Чистилища и возносится через небесные сферы. — Теперь — вопрос: по какому направлению?» [1, с.45—46].
Мы прервем здесь цитирование, для того чтобы сделать ряд замечаний. Во-первых, мы умышленно выбросили из цитат отсылки к тексту «Божественной комедии». Из них наиболее существенна первая, где идет речь о прохождении центра мира. Наличие центра в системе мира является одной из отличительных черт всех мифологических космологий, и до позднего европейского средневековья вопрос о космосе, лишенном центра, не поднимался. Надо заметить, что даже у Галилея этот вопрос еще не решен окончательно. Во всяком случае Кеплер в нескольких местах высказывал свою уверенность в том, что космос у Галилея конечен и имеет центр. Но только в отличие от космологических систем Аристотеля, Птолемея, Тихо Браге, в центре находится не Земля, а Солнце. Совершенно естественно, что и у Данте космос имеет центр, и в этом центре находится Земля (точнее, центр Земли). Прохождение этого центра Данте описывает словами: «Е s'io devenni allora travagliato, / La gente grossa il pensi, che non vede / qual ё quel punto ch'io avea passato » [3, с.431]. (Флоренский цитирует эту фразу в доступном ему переводе Д.И.Мина: «Как изумился я тогда в тревоге, пусть судит чернь, которая не зрит, какую грань я миновал в дороге» [1, с.46]; в более позднем переводе М.Л.Лозинского эта фраза звучит так: «И что за трепет на меня нахлынул, пусть судят те, кто, слыша мой рассказ, не угадал, какой рубеж я минул» [4, с. 182]. Политкорректный Лозинский решил не переводить слова «1а gente grossa», ограничившись местоимением «те».) Что же неожиданного могло случится с Данте в этом столь ожидаемом месте? К этому вопросу мы вернемся ниже, здесь ограничившись замечанием, что сам Флоренский на него не отвечает.
Во-вторых, довольно странно выглядит и упоминание «эвклидов-ской черни» у самого Флоренского. Само по себе наличие центра никак не должно отразиться на геометрических свойствах пространства-Никоим образом Евклид не упоминается и в тексте поэмы.
В-третьих, едва ли переворот в центре Земли мог быть своего рода неожиданностью для Данте. Правда, в тексте поэмы есть путаница относительно того, куда направлена сила тяжести: к центру по радиусу или сверху вниз. Но дантевский мир не лишен верха и
п д.Баюк, Ч.Е.Форд
253
низа, хотя не совсем ясно: самая верхняя точка Земли - это Иерусалим или гора Чистилище? Однако намек Флоренского на иную неожиданность: с Данте в центре Земли произошло что-то другое, чего он ждать никак не мог и, более того, был убежден, что непосвященному читателю это так и останется неизвестным.
Наконец, в-четвертых, сам Данте описывает центр Земли словом «punto», точка. В дальнейшем он воспользуется этим словом еще один раз, когда уже в Раю - и в сопровождении не Вергилия, а Беатриче — он будет приближаться к Эмпирею. Удивительно здесь не только то, что сам Данте использует в отношении внешней и последней сферы космоса то же слово, что и для центра Земли, - точка, — но и то, что такое словоупотребление было безболезненно воспринято современными ему комментаторами.
Вот что Флоренский пишет об Эмпирее: «Данте все время движется по прямой и на небе стоит — обращенный ногами к месту своего спуска; взглянув же оттуда, из Эмпирея, на Славу Божию, в итоге оказывается он, без особого возвращения назад, во Флоренции. [...] Итак, двигаясь все время вперед по прямой, поэт приходит на прежнее место в том же положении, в каком он уходил с него. [...] В 1871 г. Ф.Клейн указал, что сферическая плоскость обладает характером поверхности двусторонней, а эллиптическая — односторонней. Дантово пространство весьма похоже именно на пространство эллиптическое. Этим бросается неожиданный пучок света на средневековое представление о конечности мира» [1, с.47-48].
На наш взгляд в этих фрагментах выражена непоследовательность Флоренского и даже, может быть, определенная непродуман-ность его реконструкции средневекового космоса. Тем не менее некоторые суждения в отношении него артикулированы здесь вполне отчетливо. Попытаемся разобраться, как же Данте двигался к Эмпирею и обратно, надеясь в итоге восстановить и ту гипотетическую геометрию, о которой говорит Флоренский и которая, на его взгляд, была непостижима для «эвклидовой черни».
Самый факт, что книга «Мнимости в геометрии» была посвящена Флоренским истолкованию мнимостей исключительно для случая поверхностей, говорит о том, что у него не было адекватного обобщения его теории на трехмерный случай, не говоря уж о пространствах произвольной размерности. При этом не вызывает никакого сомнения и то, что все 53 страницы книги написаны главным образом ради заключительного экскурса в средневековую космологию. Флоренскому было бы намного проще описать средневековый космос, будь он Двухмерным. Попробуем это сделать за него.
Выше мы уже договорились до того, что земная сфера в двухмерном представлении — это диск, в центре которого находится Земля, а ограничивающая его окружность движется со световой
254	МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
скоростью. Из-за этого она вырождается в точку, превращая диск в 2-сферу, и затягивая внутрь себя все то, что относится к небу. Тем самым небу, во-первых, приписывается конечность. А во-вторых -определенная идентичность с миром земным: в плоскостной интерпретации мнимостей Флоренский считает плоскость двусторонней При этом точка на одной стороне (ее можно также считать половиной точки или аспектом точки при взгляде на нее с одной стороны плоскости) будет действительной, а на другой стороне (можно даже считать, что точка, видимая с одной стороны, будет не видима с другой) — мнимой. Склеивая края двух дисков друг с другом, мы можем с равным успехом склеить их целиком. А поскольку Флоренским выше уже говорилось о том, что один из дисков имеет действительные координаты, а другой - мнимые, то мы и имеем сферическое обобщение плоской конструкции Флоренского. Космос был бы сфе-ричен, причем в нем было бы несколько точек, которые можно было бы назвать центром: центр Земли, Эмпирей — тот же центр Земли, только взятый на мнимой поверхности, и сужающаяся до точки горловина, через которую только можно пробраться с одной поверхности на другую.
Подобного рода реконструкции известны. Кратко они описываются Робертом Оссерманом [5] даже в обобщении на трехмерный случай. У Оссермана космос — это два 3-шара склеенные своими границами, соответственно каждый из них имеет свой центр. По сравнению с ним у Флоренского должно добавиться только последующее стягивание границ в точку и отождествление двух шаров с действительной и мнимой сторонами одной поверхности. Однако такой трактовке мешает рассуждение Флоренского о перевороте Данте в центре мира и «мгновенном» возвращении его во Флоренцию из Эмпирея.
Склеить два диска так, чтобы получилась односторонняя поверхность можно, только склеивая границу диска с границей листа Мебиуса, как это было описано выше. Еще раз напомним, что «исходным материалом» вполне Moiyr служить и два диска, но граница второго диска должна приклеиваться к границе первого не вся подряд, а кусочками, чередуя приклеивание кусочков границы к границе первого диска со склеиванием других кусочков между собой. Получившуюся в итоге проективную плоскость нельзя изобразить в трехмерном пространстве без самопересечений. Весьма проблематично выглядит и перспектива склеивания внешней, вещественной стороны, с внутренней, мнимой. Одна из них должна быть диском, а другая — листом Мебиуса. Тем не менее именно на таком пути нам видится возможным реализация предложенной Флоренским программы.
При ее обобщении на трехмерный случай получающийся геометрический объект должен быть еще более странным. С одной стороны, он должен быть проективным пространством, с другой стороны он
д А-Баюк, Ч.Е.Форд_____________________________255
д0Лжен быть поделен на две части - действительную и мнимую, -меЖДУ которыми установлено взаимооднозначное соответствие. При всей расплывчатости такого описания у него есть одно важное следствие. Переворот, который испытывают Данте и Вергилий, когда проходят центр Земли, - это не переворот вверх ногами, а выворачивание наизнанку. Герои превращаются в свои зеркальные отражения, и только в таковом качестве могут путешествовать через небеса.
Horror discontinuitatis. Световая сфера (мы опять отвлечемся на некоторое время от того, какая именно размерность пространства имеется в виду) оказывается в известном смысле важнейшим отличием средневекового космоса в изображении Флоренского от того, как он мыслился, например, Оссерманом. Обе стороны — и действительная (земная), и мнимая (небесная) — достаточно регулярны, какова бы ни была их геометрия. Однако переход с одной на другую возможен только с нарушением непрерывности. «...Имея в виду предлагаемое здесь истолкование мнимостей, мы наглядно представляем себе, как, стянувшись до нуля, тело проваливается сквозь поверхность — носительницу соответствующей координаты, и выворачивается чрез самого себя, — почему приобретает мнимые характеристики. Выражаясь образно, а при конкретном понимании пространства — и не образно, можно сказать, что пространство ломается при скоростях больших скорости света, подобно тому, как воздух ломается при движении со скоростями большими скорости звука; и тогда наступают качественно новые условия существования пространства, характеризуемые мнимыми параметрами» [1, с. 52—53].
Каким именно образом может быть организован этот разрыв, достаточно ясно говорилось выше. Исходя из базовой метафоры Флоренского — две стороны одной плоскости, - природу этого разрыва можно пояснить еще так. Переход с одной стороны плоскости на другую осуществим только одним из двух способов: либо «прокалыванием» ее, либо путешествием к ее краю. И в том, и в другом случае должна бьпъ почувствована, так сказать, «толщина» плоскости.
Как уже неоднократно отмечалось, предложенный Флоренским способ получения этого разрыва не мог быть реализован «хорошо» в трехмерном пространстве, просто потому, что 2-сфера в нем не может Двигаться вокруг неподвижного центра так, что все ее точки движутся с равными по модулю линейными скоростями. Хотя подобное возможно в любом пространстве четного количества измерений, напри-МеР> в двухмерном или четырехмерном. Однако Флоренский вовсе не собирается настаивать на абсолютности такого способа организации Разрыва. Он настаивает лишь на его существовании: «Область мнимостей реальная, постижима, а на языке Данта называется Эмпиреем», — говорит он. И продолжает: «Все пространство мы можем
256
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ BEKqr
представить себе двойным, составленным из действительных и совпадающих с ними мнимых гауссовых координатных поверхностей, и переход от поверхности действительно к поверхности мнимой возможен только через разлом пространства и выворачивание тела чрез самого себя. Пока, мы представляем себе средством к этому процессу только увеличение скоростей, может быть скоростей каких-то частиц тела, за предельную скорость с; но у нас нет доказательств невозможности каких-либо иных средств» [1, с.53].
Этот разрыв, равно как и тождественность разделенных им сторон делают зримым и физически реальным тождественность феномена и ноумена, — очень важной для Флоренского идеи.
Номинальное и феноменальное. Итак, мы описали двухмерную версию Вселенной Флоренского и дали некоторые соображения по поводу того, как может выглядеть ее трехмерный вариант. Характеристической чертой этой Вселенной должен быть разрыв, отделяющий друг от друга две части космоса, которые при более внимательном всматривании оказываются в каком-то смысле тождественными. Возможно, что одна ее часть состоит из точек, движущихся со скоростью меньшей скорости света, а другая - из точек, имеющих скорость большую скорости света и потому имеющих мнимые координаты. Обе части организованы как поверхности, или даже одна поверхность, но являющаяся в том или ином обличии в зависимости от наблюдателя, от его аспекта. Наличие двух сторон одной поверхности, или двух ее аспектов — это центральная идея всей космологии Флоренского.
Тем самым она вплотную приближается к центральной идее другого идеалистического философа, Иммануила Канта, которого Флоренский всегда рассматривал как своего идейного противника. По Канту мир также дуален - отчасти он состоит из наших ощущений, это мир явлений, а отчасти — из сущностей, недоступных нашим чувствам. Кант утверждал трансцендентность мира сущностей по отношению к миру ощущений. Именно эту позицию Флоренский отвергал наиболее последовательно. Хотя мир идей (ноуменов) и не доступен нашим чувствам, он тесным образом связан с миром ощущений (феноменов). Геометрическое толкование мнимостей ставило перед собой в первую очередь доказательство этого утверждения в самом прямом математическом смысле. Ему-то и посвящена книга.
В ней Флоренский показал, что такое истолкование связи номинального и феноменального наиболее естественно в геоцентрической Вселенной, воспетой Данте в его «Божественной комедии». Наличие именно такой задачи объясняет, почему Флоренский решил воспользоваться поэтическим текстом Данте, а не философскими сочинениями Аристотеля или математическим трактатом Птолемея. Только у
д.А.Баюк, Ч.Е.Форд 257
Данте сверхчувственный мир, — где в равной мере обитают и души умерших, и ангелы, и божественная слава, - в явном виде погружен в физический мир небесных явлений. Только у Данте мы находим симметрию земного и небесного, проявленную даже в концентрических структурах и наличии независимых и неподвижных центров того и другого миров. Даже несмотря на то, что нашему зрению открыт только мир явлений, мир идей тут, совсем рядом и самым тесным образом с ним связан.
Иллюстрируя свою мысль о наличии двух сторон с действительными и мнимыми координатами у одной поверхности, Флоренский использует inter alia такой пример. Пусть электрический ток течет по замкнутому проводнику вдоль четырех сторон произвольного квадрата. Напряженность магнитного поля, создаваемого этим током, пропорциональна площади квадрата и перпендикулярна плоскости, в которой он лежит. Можно сказать, что сторона квадрата пропорциональна квадратному корню величины напряженности магнитного поля.
Если теперь посмотреть на тот же самый проводник с другой стороны плоскости, то вектор поля будет иметь ту же абсолютную величину, но иметь противоположное направление: если в первом случае он был обращен в сторону плоскости, то теперь он будет обращен прочь от нее, и наоборот. Иначе говоря он изменит знак, что можно трактовать как превращение стороны квадрата в мнимую величину. Флоренский замечает по этому поводу: «Новая интерпретация мнимостей заключается в открытии оборотной стороны плоскости и приурочении этой стороне — области мнимых чисел [...] Для нас теперь, повторяем, плоскость стала прозрачной, и мы видим обе системы зараз» [1, с.25].
Из этой цитаты и других подобных ей следует, что Флоренский рассматривал эту трактовку как открытие, возможно не менее важное, чем его модель конечной геоцентрической Вселенной. Он планировал сделать эту идею одной из главных в книге «У водоразделов мысли», оставшейся не завершенной. В ней планировалось создать <конкретную метафизику», объединив поту- и посюстороннее, так как одна плоскость объединяет действительную и мнимую часть, а одна Вселенная идеи и явления.
Космология и теология. Среди тех, кому приходилось уже комментировать это сочинение Флоренского, мы хотим особенно выделить весьма содержательную статью Дэвида Бетеа [6], в которой Предлагается интересный анализ, как проявилась православно-богословское мировоззрение Флоренского в трактовке такого явно католического сюжета, как путешествие Данте. Бетеа выводит отсюда Несколько заключений относительно личности Флоренского. Первым Мы рассмотрим наименее, на наш взгляд, правдоподобное из них.
258
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Бетеа пишет, что Флоренский делает особый акцент именно на том, что происходит, когда Данте карабкается по боку Люцифера, потому что «Люцифер был ближе ему, чем Христос» [6, с. 119]. Выше мы уже говорили о том, что Флоренский уделил особое внимание этому эпизоду, так как от него зависела вся геометрия его реконструкции. Что же касается притягательности сатанизма, то Флоренский прекрасно осознавал зту опасность и боролся с нею. В частности, в статье [7] он прямо связывал сатанизм с революционными настроениями.
Более содержательно замечание Бетеа о том, что «промежуточные остановки» составляют суть дантевского путешествия, но, кажется, совершенно не интересуют Флоренского, который концентрирует все свое внимание исключительно на самом движении от исходной точки к конечной [6, с. 121-122]. Мы показали, в чем отличие реконструкции Флоренского от того, что предлагали другие комментаторы поэмы Данте. Если у них все три части загробного мира имеют примерно одну и ту же геометрию, и разница различных элементов путешествия только во встречающихся персонажах, то в модели Флоренского путешествие в небесной полусфере должно быть принципиально мгновенным. Отчасти в этом можно увидеть проявление теологических установок Флоренского, но в не меньшей степени это дань аристотелевской традиции считать небесное движение чем-то принципиально отличным от земного. Мировоззрение Флоренского формировалось под сильным влиянием его старших современников Владимира Соловьева и Сергея Булгакова. Оба они в свою очередь находились под сильным влиянием католических идей. Внутренне сопротивляясь им, Флоренский прослеживал их до аристотелевских корней.
Не менее интересно и замечание Бетеа относительно «промежуточного пространства». Данте, будучи католиком, находит различия в подобном, тогда как Флоренский, будучи православным, находит подобное в различном. Именно поэтому он отвергает кантовское предельное разнесение мира идей и мира явлений. Флоренский стремится их сблизить до полной идентичности. В описанной нами модели земное и небесное оказываются чем-то вроде двух сторон одной поверхности. Тем самым очищение от грехов в чистилище вместе со всем этим изобретением католической теологии оказывается избыточным.
«Для Флоренского, - пишет Бетеа, — понятие божественного и священного всегда ассоциировано с чем-то подобным иконе, - ясной, плоской, так сказать “геометрической” поверхностью» [6, с.123]. В самом деле, Флоренский неоднократно давал определение иконе как окну в другой мир. В плоскости иконописного образа два мира соприкасаются друг с другом. В контексте этого уподобления кажется неслучайным написание в том же году, что и «Мнимости в геометрии» другой книги Флоренского, озаглавленной «Иконостас».
д Д.Баюк, Ч.Е.Форд 259
Свою статью Бетеа завершает таким предложением: «Ум [Флоренского] кажется был более приспособлен для мышления в двух измерениях или даже в четырех, но не в трех». Мы уже видели, что его модель дантевского космоса гораздо лучше интерпретируется именно в двух измерениях, при том, что обобщение ее на трехмерный случай по меньшей мере не очевидно.
Различные метафизические и теологические коннотации, актуализированные Бетеа в его статье, подтверждают наш общий вывод, что главной интенцией Флоренского в его поисках геометрической интерпретации поэмы Данте, шли далеко за пределы чистой геометрии и космологии. Основным его стремлением было найти подходящую геометрическую конструкцию, которая была бы пригодна для выражения его богословских и социологических убеждений. Построить такую структуру ему, однако, не удалось, и он ограничился лишь самым поверхностным ее описание. Мы надеемся, что нам удалось восполнить этот пробел, показав, что структура, отвечавшая его стремлениям, действительно возможна.
Список литературы
1.	Флоренский П.А. Мнимости в геометрии. М., 1922.
2.	Флоренский П.А. У водоразделов мысли. М., 1990.
3.	Dante. Commedia. Inferno / Acura di E.Pasquini, A.Quaglio. Roma: Garzaniti, 1982.
i. Данте Алигьери. Божественная комедия / Пер. М.Л.Лозинского. М., 1982.
5.	Osserman R. Curved Space and Poetry of the Universe. The Book of the Cosmos: Imagining the Universe from Heraclitus to Hawking / Ed. by D.R.Danielson. Cambridge MA: Perseus Publishing, 2000. P.350-355.
6.	Bethea, D.M. Florensky and Dante // Russian Religious Thought / Ed. by J.D.Komb-latt, R.F. Gustafson. Madison WI: University of Wisconsin Press, 1996. P.112-131.
7.	Флоренский П.А. Спиритизм как антихристианство // П.А. Флоренский. Собр. соч. в 4-х тт. М., 1994. Т.1. С.129-145.
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
ТЕОРИЯ РЯДОВ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ В ТРУДАХ КОШИ
Н. В. Александрова
В 1997 г. вышла книга «Огюстен Коши» [1]; русский перевод книги Б.Белоста [2] выполнен Ю.А.Дробышевым. Книга, несомненно, привлечет внимание любого математика — преподавателя, студента или научного сотрудника. Во-первых, имя Коши входит во многие математические термины, которые произносятся как «одно слово» -«формула Коши», «интеграл Коши», «критерий Коши» и т.д. Во-вторых, историко-математическая литература удручающе бедна сведениями о Коши.
С тем большим интересом и вниманием читатель углубится в книгу Белоста. И получит удовольствие от того, что абстрактное математическое нечто превратится в живо воображаемого человека, знавшего Наполеона, французских королей и Стендаля, с детских лет видевшего Лагранжа и Лапласа, дружившего с Бине, соперничавшего с Фурье и Пуассоном... Если назвать покровителей (в науке), друзей, соперников Коши, то это будет буквально именной указатель к «Истории науки XIX века». Но и эти «академические» имена обретают характеры и индивидуальные лица, когда мы видим, как соперничество в науке подхлестывается или укрощается религиозными и политическими пристрастиями. Наконец, интересно просто увидеть почерк Коши, четкий и аккуратный.
Так как в век Коши зарождались многие математические методы, теории, то и в трудах этого ученого разбросаны блестки различных идей. Иногда случайное замечание не находило развития. Но чаше он снова и снова возвращался к мысли, находил новое обоснование,
р! в ^Александрова
261
Новые связи со смежными дисциплинами. Поэтому перед автором книги о Коши стояло множество проблем; поистине грандиозные задачи разрешены с большей или меньшей степенью подробности.
Трудно надеяться найти ответы на все возможные вопросы, касающиеся творчества разностороннего и увлекающегося ученого, в монографии, посвященной всей его жизни. Однако часто из книги можно узнать первоначальные мотивы его исследований (а затем и эволюцию их). Настоящая статья посвящена одному единственному эпизоду богатой математической жизни.
Начало пути. Великий математик родился 12 августа 1789 г. в Париже, еще кипевшим после 14 июля. Отец Коши приветствовал приход к власти Консула Наполеона; в 1800 он стал Секретарем Сената, ответственным за ведение судебных дел, архивариусом и хранителем печати Высшей Ассамблеи; семья поселилась в квартире в Люксембургском дворце, где с 1807 г. жил и Лаплас. Книга дает некоторое представление о семье Коши, о влиянии, которое его отец оказал на сына, на его религиозность; благодаря отцу Огюстен Луи имел случаи видеть Лагранжа, Лапласа, приобрести, таким образом, покровителей в мире науки.
В 1805 г. он был зачислен в Политехническую школу. Именно с этого года были введены новые правила: ученики образовали военный корпус и начали жить в казарме. Здесь Коши оказался под присмотром и под командованием (!) сына Лапласа.
Большую часть программы составляли математические науки, их преподавали выдающиеся ученые и замечательные педагоги: Ашетт (близкий Монжу его ученик), Лакруа (репетитором при нем был Ампер), Прони (преподавал механику). На второй курс Коши перешел тринадцатым из 25 учеников, но окончил он третьим в общем списке выпускников. Окончив Политехническую школу (1807), он начал посещать курсы лекций в Институте путей сообщения (1'Ecole des Ponts et Chaussees).
Уже во время обучения Коши опубликовал первые научные заметки с усовершенствованием доказательств уже известных теорем (1806, 1808). По завершении обучения в течение трех лет, начиная с 1810 г., Коши работал инженером в Шербуре. Эта работа сформировала его убеждение: «Арифметика, геометрия, алгебра, трансцендентная математика — это науки, которые можно рассматривать как законченные и которые остается сделать более полезными для приложений» [1, с.35]. И через 10 лет в предисловии к «Алгебраическому анализу» высказаны аналогичные соображения, и более того — именно в прикладных целях возникло исследование сходимости рядов: *•-.намеки могут дать безграничный простор алгебраическим формулам; между тем как в действительности большая часть этих формул
262
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
справедлива только при известных условиях и то для некоторых количеств, в них заключающихся... Прежде отыскания суммы какого-нибудь ряда, я должен рассмотреть, в каких случаях ряды могут суммироваться, т.е. в чем заключаются условия их сходимости, и относительно этого я нашел общие правила, которые, по моему мнению, заслуживают некоторое внимание» [3, с.VI, VIII].
Итак, мы видим, что именно Коши считал своей заслугой, издавая «Алгебраический анализ», и можем оценить роль теории рядов для исследований Коши в начале его научной и преподавательской деятельности.
Известно, что в трудах творцов современной математики теория рядов была основой основ и что учение приняло «современный» вид только в XIX в., называемом «веком строгости», в трудах Коши и Вейерштрасса. У Бурбаки читаем такое «анти-историческое» объяснение: «...математики начала XIX века, устав от необоснованного и необузданного формализма, вернули анализ на путь строгости. После того как понятие сходящегося ряда было уточнено, возникла необходимость в простых критериях, которые давали бы возможность доказать сходимость интегралов и рядов... Коши дает несколько таких критериев в “Алгебраическом анализе”» [4, с.211].
Что же сделал Коши? Ответ Белоста на этот вопрос дает страница [1], которую здесь и перепечатываем полностью, без изменений и пропусков:
«Коши использовал понятие предела также при изучении сходимости рядов, которым он посвятил большую часть своего “Алгебраического анализа”. Он начинает с определения формулы общего члена ряда: это бесконечная последовательность действительных или мнимых величин uq, Wj , «2 и т. д., “которые последовательно получаются одна из другой по определенному закону”. Ряд сходится, если его частичные суммы Sn = и0 + щ + W2+...+wn_i стремятся к конечному пределу при возрастании п. В противном случае ряд расходится-Коши дал многочисленные критерии сходимости, ставшие сегодня классическими, в частности, для рядов с положительными членами и степенных рядов. Критерий наиболее важный и наиболее глубокий, который он дал без доказательства, назван сегодня в честь его «критерием Коши«: ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого положительного е можно указать номер N такой, что неравенство lfln+l + fln + 2+--+fln+pl<£ будет справедливо при любых значениях п > N и р > 1. Это систематическое изучение сходимости рядов был0 тогда абсолютно новым в образовании, и его очень критиковали дрУ' гие преподаватели Политехнической школы. Более того, единственное доказательство сходимости, опубликованное до «Алгебраического анализа*, было дано Гауссом в 1813 г. для гипергеометрического
Н.В. Александрова 263
ряда и Больцано в 1816 г. для биномиального ряда. Французские математики, в частности Лаплас, которого Коши критиковал, не называя имени, во введении к своему курсу, пренебрегали полностью этим стилем обучения.
Коши приложил свои методы к биномиальному ряду с общим членом
д(д - 1)(д - 2)...(д - n + 1) „
nl
(где д — некоторое действительное число),сходящемуся для |х|< 1 к сумме Он показал, что у>(д) — такая непрерывная функция от ц, что #>(д) • ^о(д') = #>(д + ц'). Из этого отношения следует, что р(д) — ^>(1)^- Полагая ^o(l) = 1 + х,он получает равенство* 1 II
Д д(д - 1) о д(д - 1)(д -2)...(д - п + 1) „
1 + ~ х +	---xz+...+^J~-------------------------х"+.
II 21	nl
= (1 + хГ
для |rr|< 1. Из биномиального ряда Коши вывел разложение ех для любых х и lg(l + х) для |xj< 1» [1, с.88-89].
Надо признать, сказанного мало, чтобы оценить вклад Коши в теорию рядов и понять его подлинные заслуги.
В 1816 г. Коши начал свою преподавательскую деятельность в качестве профессора Политехнической школы. Трудно удержаться и не упомянуть об извечной борьбе просветителей и администраторов. Директор Политехнической школы негодовал: «Преподавание чистой математики... слишком проникло в Школу. Это роскошь — преподавать дисциплину, не имеющую приложений на практике в ущерб другим отраслям» [1, с.65]. Совет усовершенствования также предписывал меньше углубляться в строгость и больше уделять внимания упражнениям. Чего стоит одна только фраза — «для экономии времени и оберегания от отвращения учащихся» [1, с.65]. Преодолевая сопротивление, Коши подготовил свой первый учебный курс «Алгебраический анализ».
«Как велики заслуги Коши в изложении этих большей частью известных ранее вещей, можно оценить, лишь сравнивая его с его предшественниками и современниками. Его книга с принципиальной стороны так же резко отличается от господствовавших раньше неопределенных и интуитивных попыток обоснования анализа, как и от совершенно формальной точки зрения Лагранжа, развитой им в его Theorie des fonctions analytiques и в Lemons sur le calcul des fonctions» [6, c.117].
Курсы анализа Эйлера и Лагранжа. Что было известно Коши, когда он начал готовить свои первые лекции? Естественно, только сравнив выкладки при получении конкретных разложений, можно
264_____________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
понять, как много Коши перенес из трудов Эйлера, и насколько изменилась теория в его изложении. Бросим беглый взгляд на основные курсы математического анализа — Эйлера, Лагранжа... Начнем, естественно, с «Введения в анализ бесконечных» Эйлера (1748). Приводимые ниже выдержки демонстрируют и уверенность в универсальности метода, и уровень строгости изложения.
Возможность разложения функции f(x) по степеням приращения аргумента казалась математикам XVIII в. совершенно несомненной. «Как природа целой функции видна лучше всего, если эта функция разложена по различным степеням г, т.е. если она приведена к фор-ме А + Bz + Cz2 + Dz3 + и т.д., так эта же форма кажется наиболее удобной для восприятия разумом природных свойств всех остальных функций, если даже число членов окажется в действительности бесконечным. Если же кто-либо сомневается, что можно выразить функцию посредством бесконечного ряда членов подобного рода, то это сомнение устраняется самим разложением той или иной функции.» [7, с.77]. Ряды Эйлер получает алгебраически — непосредственным делением, из формулы бинома. «Путем непрерывного деления можно , а , разложить дробь-----— в бесконечный ряд
а + pz
a afiz afl2z2 aft3 z3 aft4z4
-------I-----z-----------1-----— - и т.д.» [там же,с.78].
« а2 а3 а4 а4
Делением же Эйлер получает на следующих страницах разложения и более сложных дробно-рациональных функций. Эйлер приводит формулу бинома, обозначения которой -нечто промежуточное между ньютоновыми и современными; впечатление, что он получил бином из рук Ньютона укрепляется, когда Эйлер формулирует правило: «любой член может быть образован из предыдущего...» (что было у Ньютона). Из биномиального разложения следуют ряды в главе «О выражении показательных и логарифмических количеств при помощи рядов» [там же, с. 115—135]. Его вывод характерен для «алгебраических методов» в теории рядов, что повторяет и Коши.
Рассуждения Эйлера таковы: так как а0 = 1 (а > 1), то с ростом показателя функция растет, поэтому можно положить аю = l+ka>, 4...а™ = (1 + ка>У, какое бы значение ни подставить вместо г. Итак, будет
, i L ,	2 , »(i-l)(i-2)t3 3i
a = 1 + -kw -I-------k w -I-------------k ш +...
1	1-2	1-2-3
r-	2
Если положить i = —, где z обозначает какое-либо конечное чис-ш
ло, то, так как ш — число бесконечно малое, число г будет бесконечно
И.В.Александрова
265
большим; но а = —, так что ш будет дробью с бесконечно большим г
знаменателем, следовательно бесконечно малой, какой она и принята.
Итак, подставим — вместо ш\ тогда будет
az = (1 + У * = 1 + -kz + ^-^-kzzz + l(t 1)(\.—k3z3 + \ i /	1	1 • 2г	1 • 2i • 3i
1(г — 1)(г — 2)(г — 3) 4 4
+-----7 n- o'~T------k 2 +
1 • 2г • 3г • 4г
где е означает основание гиперболических логарифмов» [там же,с.116].
В .«Истории бесконечных рядов» [8] автор пишет: Эйлер дал «элегантный вывод рядов для функций ех, logr, sinx, cosx из бинома Ньютона, основы которого (вывода) были уже у Галлея... У Эйлера -высшая степень формального совершенства» [8, с. 158].
У Эйлера нет никаких замечаний относительно области сходимости степенного ряда, а в его «Дифференциальном исчислении» (1755) приведены такие фантастические строки: «Для большей ясности рассмотрим разложение дроби-----, содержащее сперва толь-
1 — х
ко конечное число членов. Итак, будем иметь:
---= 1 +---
1-х	1-х
1
1-х
1	2 3х
----= 1 + х + х +хлЧ---и т.д.
1—х	1-х
Если кто-нибудь пожелал бы сказать, что сумма конечного ряда .	о о	1
1 + х + х +х есть-, то он отклонился бы от истины на коли-
1-х
чество ------, а кто захотел бы утверждать, что сумма ряда
1 - х
1 + х + х2 + х3+...+х,00° равна ----, тот ошибся бы на количество
1 — х
д-1001
; эта ошибка, если х есть число, большее единицы, была бы
1 — х
очень велика.» [9, с.99].
266
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Или другой «само собой разумеющийся» результат: 0 = 1—3 + 5 — 7+... который Эйлер получил таким рассуждением:
X	3	5	7
----~ = х - xJ + хэ -х =...
1 + х2
Дифференцирование правой и левой частей приводит к равенству d
= 1 — Зх2 + 5х4 - 7х6+.... 2\2
«М1 + х2
При х = 1 и получается доказываемое утверждение.
В статье 1734 г. Эйлер рассмотрел ряд с с с
a +b a + 2b а + ЗЬ
и доказал, что сумма его неограниченно растет, оценив (в современных обозначениях) Sn +т — Sn. Только спустя полтора века появились замечания,что Эйлер знал «критерий Коши».
Основная идея его младшего современника Лагранжа — на основании теории рядов освободить теорию аналитических функций «от какого-либо рассмотрения бесконечно малых, исчезающих, пределов и флюксий» (все это из названия его «Теории аналитических функций»); идея родилась в 1772—1774 гг. и развита в его лекциях в Политехнической школе, в «Theorie des fonctions» (1797). Здесь уверенность в очевидной возможности представления каждой функции степенным рядом f(x + г) = f(x) + гр + i2q + i3r+... высказана «мимоходом»: «Вообще независимо от того, будет ли первообразная функция алгебраической или нет, она всегда может быть разложена или предположена разложенной таким же образом...» [10, с.24]. А нуждается в доказательстве предположение, что в таком разложении фигурируют только целые степени аргумента; при этом Лагранж не видит никакой необходимости обсуждать сходимость рядов, единственность разложения. Почти излишне напоминать, что производные функции определены как коэффициенты ряда Тейлора, что такой же вывод этих коэффициентов, как у Лагранжа, дал Кондорсе, и что уже современники Лагранжа отказались от попыток исключить бесконечно малые из анализа.
Отметим два момента. Первый - вывод остаточного члена ряда.
Пусть f(x + г) = f(x) + рг + qi2 + гг3+... или f(x + г) = f(x) + Pi, f(x + г) - f(x) откуда Р =	------
i
И.В-Александрова
267
Так как Pi =pi + qi2 + гг3+... и P= p + qi + ri2+..., то при i = 0 P-p
будет P= p- Аналогично P — p — iQ Q = —и т.д.
По мнению Лагранжа, главное преимущество таких рассуждений состоит в доказательстве того, «что остатки (les restes) iP, iQ, iR, ... сучъ величины, которые должны обращаться в нуль при i = 0. Отсюда - важное следствие, что в ряде, получающемся при разложении fix + г) = fix) + pi + qi2 + ri3 +... можно всегда взять i настолько малым,чтобы любой член разложения был более суммы всех следую
щих за ним членов, и что это должно иметь место также для всех меньших значений г» [там же, с.28]. Формула остаточного члена описывается, так сказать, индукцией: в разложении fix + i) выписаны последовательно: один член + остаток ifix + w); сумма двух членов + остаток ~f"ix + и); сумма трех слагаемых + остаток ..., так что ста-
новится очевидной формула R„ = —----f^ix + u), где «и - некото
f[ix + о) + г] и сравнивает коэффициенты при о, го,
рая неизвестная величина между 0 и i» [там же, с.84].
Лагранж был далек от мысли применить остаточный член к исследованию вопроса о разложимости функции в степенной ряд. У него есть прямое утверждение, что если функция fix) и все ее производные при х = а обращаются в нуль, то функция тождественно равна нулю.
Второй вопрос: как же Лагранж приходит к «правилу Тейлора»? Он рассматривает два разложения одной и той же функции /]х + Ц + о)] = i о, i3o и т.д. Именно:
f[x + Ц + о)] = fix) + pii + о) + qii + о)2 + rfi + о)3+...=
= fix) + pi + ро + qi2 + 2qio + qo2 + ri3 + 3ri2o + ...
Лагранж полагает, что все коэффициенты разложения функции fix + i) изменятся и станут (по теореме Лагранжа) fix)+fix)o; Р + рГо; q+tfo... Тогда
flix + о) + г] = fix) + fix)o + pi + р' io + qi2 + </ i2o + ri3 + Иг3о+.._
Поскольку должно выполняться тождество, то появившиеся но-вые слагаемые в разложениях равны: ро = f ix)o, а следовательно D'-р,/ х э .	Р' Г'(х)	2	,.2	<7 fix)
P~f (х); 2qto =p'ionq = —= —-—; Згг o = (ft о и г = —= — 3" и т.д. «... подставляя эти значения в разложение функции Кх + г)...», Лагранж получает ряд Тейлора [там же, с.32].
268_____________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Новации «Алгебраического анализа». В этом первом учебнике Коши выводит разложения функций в ряды, следуя Эйлеру. Он упоминает, что «Есть легкий метод разложения...» (подразумевается, конечно, «современный» способ вычисления коэффициентов ряда), но этот метод появится в его следующем курсе «Лекции по дифференциальному исчислению» (1829). А в первом варианте анализа производная появляется только как иллюстрация формул (когда рассмотрены примеры — «первый замечательный предел», а также когда Дм
отыскивает предел lim— = 2х при Дг -* 0).
Дг
В «Предварительных сведениях» [И, «Preliminaires», с. 1-18] введены понятия «число», «переменная величина, постоянная...», «числовое значение» (une valeur numerique, т.е. |х|2Ъ, «бесконечно малая», «предел» и некоторые обозначения — привычные нам (как lim, 0 — оо, оо — оо и др.) или не сохранившиеся (как для ±л/~). Первые пять глав учебника — это знакомство с основными понятиями и языком анализа. Здесь речь идет о функциях (целых, дробных, линейных и т.д.), о бесконечно малых разных порядков, об их сравнении, о непрерывности функции (на отрезке!). Коши вводит термины «особые значения», «неопределенность» и обозначения а + оо = оо, а а
а X оо = оо, — =0, — = °°. Теоремы этих глав кажутся «заготовками»
для теории рядов. Например: «Теорема 3. Если последовательность величин Aj, А2, A3,..., А,,,... такова, что разность двух последовательных членов, скажем, Ад-н ~ Ап стремится при росте п к некоторому фиксированному пределу А, то одновременно и отношение стремится к тому же пределу» [там же, с.59].
Наконец, глава VI имеет заголовок «О сходящихся и расходящихся рядах. Правила сходимости рядов. Суммирование некоторых сходящихся рядов».
Коши дает такое определение (оно повторено и во всех его дальнейших трудах — в рядах с комплексными членами, в рядах Лорана): «Рядом (serie) называют бесконечную последовательность (suite) величин
w0,iq,M2.M3>->
которые выведены одни из других по определенному закону. Эти величины являются различными членами рассматриваемого ряда. Пусть
sn = «о + М1 + М2+.--+ип-1 ~ сумма первых п членов...
Если для все возрастающих величин п сумма sn неограниченно приближается к определенному пределу 5, ряд называется сходящимся, а указанный предел — суммой ряда» [там же, с. 123].
Л g.Александрова
269
В этом определении слова «ряд» и «последовательность» явля-кугся переводом терминов serie и suite, которые и во французском языке, и у Коши не столь уж отличаются друг от друга. В приведенных примерах из сочинений Эйлера и Лагранжа ряд - это сумма (иногда даже и конечная сумма). Коши называет рядом последова-тельность.
На примере заведомо сходящейся геометрической прогрессии Коши устанавливает (а на самом деле иллюстрирует) «критерий Коши», а затем провозглашает: «И наоборот, когда эти условия выполняются, сходимость ряда обеспечена (est assuree)» [там же, с. 126].
,111
«Возьмем в качестве второго примера числовой ряд 1, — • — > — •
11 .. 1
.... — > —-j—^> ... . Общий член этого ряда —— > бесконечно убывает по величине, и тем не менее ряд не сходится...» [там же, с. 127]. Расходимость гармонического ряда он доказывает «критерием Коши». Формулировка и «доказательство» критерия таковы: «...для сходимости ряда uq, щ, U2, -••, ип, un+i, ... необходимо и достаточно, чтобы для возрастающих значений п сумма
5П = Uq + Uj + U2+...+Un_ j неограниченно приближалась к фиксированному пределу 5, другими словами, необходимо и достаточно, чтобы для бесконечно больших значений п суммы sn ,s„+i ,sn + 2,  отличались от пределах и следовательно друг от друга на бесконечно малую величину» [там же, с. 124-125].
Вероятнее всего, Коши обязан знакомством с этим критерием чешскому математику Больцано, статью которого он знал. В 1817 г. Больцано обозначает частичные суммы ряда через F^ix), F2(x), ..., Fn+r(x) и формулирует теорему: «Если ряд величин F^(x), .... Fn+r(x) имеет такое свойство, что разность между его n-ым членом Fn(x) и всяким дальнейшим Fn+r (х), как бы тот ни был удален от Первого, остается меньшей, чем любая заданная величина, если мы взяли п достаточно большим, то имеется всегда определенная постоянная величина, причем только одна, к которой все больше приближаются члены этого ряда и к которой они могут подойти сколь угодно близко, если мы продолжим ряд достаточно далеко» [12, с.21].
Несмотря на четкую формулировку «критерия Коши», у Больца-Но нет терминов «сходится» (ни здесь, ни в дальнейшем), «сумма Ряда» (у него выражение «значение ряда»), он не вводит понятие ♦сходимость». Эти определения и термины принадлежат Коши. Тем Не менее Больцано пытается доказать необходимость и достаточность Критерия: он оценивает разность между суммой ряда X и частичной
270
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
суммой Fn (х): X - Fn (х) = X - Fn+r (х) + Fn+r (х) - F” (х) в Пред-положении, что п и г достаточно велики, чтобы разности «были сделаны столь малыми, как только угодно...» [там же, с.21]. Видимо здесь появляется впервые что-то аналогичное £ и 6 (как известно Больцано не дал и не мог дать строгого доказательства). И все-таки изложение Коши не выдерживает сравнения с рассуждениями Больцано. У самого Коши нет зачатков метода е — ДА; в его «вольно описательной» формулировке нет разности Sn+p — Sn', поэтому вместо Е-оценки — «бесконечно малые количества», а вместо N(e) - «бесконечно большие числа п».
Так как теория действительных чисел еще не была создана, то «доказательство» Больцано было порочным кругом и не могло быть ничем иным. И все-таки отзыв Бурбаки о Больцано кажется слишком снисходительным отзыв Бурбаки о Больцано: «Ясно сформулировав (до Коши) “критерий Коши”, он старается его обосновать рассуждениями... Но если принять этот пункт, вся его работа совершенно корректна» [4, с.154].
В 1871 г. Ганкель заявил о приоритете Больцано. В течение XIX в. никто не связывал критерий с именем Коши. Насколько удалось проследить, Нильсен впервые ввел название в немецкой математической энциклопедии (1904). Судя по биографии Коши, он и свои-то открытия забывал, и в лекциях «открывал Америки», всем известные (об этом - впечатления Менабреа, [1, с. 106]). Несомненно, что приоритет по справедливости принадлежит Больцано, однако понятия и методы стали известными и вошли в математический оби-
ход, благодаря курсам Коши.
Заканчивается глава VI «Алгебраического анализа» Коши, пос-
вященная рядам, теоремой: «Если различные члены ряда... являются функциями одной и той же переменной х, непрерывными по этой пе-
ременной в окрестности некоторого частного значения, при котором ряд сходится, то сумма х этого ряда есть также непрерывная функция в окрестности этого частного значения х» [11, с. 132]. Как извест-
но, эта теорема, вскоре вызвала возражения Абеля. Он привел
контрпример в статье «Исследование о ряде
т т(п — 1) э
Т*+ 1-2 Х
т(тп — 1)(т — 2) 1~2“3
х3+... (1826).
+
А именно: ряд непрерывных функций
sin2x sin3x
sinx--------1------...
2	3
сходится к периодической функции у = х / 2, которая имеет разрывы в точках х = (2k + 1)л [12, с.9].
Н В. Александрова
271
Коши ответил только в 1853 г. в статье «Заметка о сходящихся рядах» членами которых являются функции действительной или мнимой переменной, непрерывные в заданных пределах» [13]. Он хочет «в немногих словах» исправить доказательство. «Усовершенствование» состоит в оценке разности
Sn - $т = (п0 + ы2 +•••+ “п-1 ) ~ (“о + “1 + •••+ “ш-1) = = “ш *" “ш+1 +-•+ “п—1 
Если эта величина «станет бесконечно малой, то функция 5(х) = lim5„(x) является непрерывной функцией» [13, с.31]. Это все. Затем Коши переходит к монодромным и моногенным функциям комплексной переменной. Остается неясным, доказывает ли Коши прежнюю теорему или вводит в анализ новое понятие (явного определения равномерной сходимости нет, как нет и анализа характера сходимости). Нужно еще добавить, что в первых строках мемуара Коши ссылается не на Абеля, а на своих последователей — Врио и Буке, обративших его внимание на приведенный ряд.
Чтобы не возвращаться в дальнейшем к вопросу о равномерной сходимости ряда, поговорим о стандартной фразе многих и многих работ: «понятие появилось в статьях Зейделя и Стокса — независимо и одновременно — в 1848 г.»
Филипп Зейд ель — ученик Дирихле — опубликовал в 1848 г. статью [14] о рядах, имеющих разрывную сумму (до того, как Вей-ерштрасс начал читать лекции в Берлине). Основная цель статьи -рассмотреть поведение суммы ряда вблизи точки разрыва. Он утверждает, что «в непосредственной окрестности точки, где функция имеет скачек, можно задать такие значения х, для которых ряд сходится произвольно медленно* [там же, с.34]. В качестве примера (неудачного) Зейдель приводит ряд для ех. Но доказывая непрерывность суммы ряда, Зейдель проводит рассуждения, повторяемые в современных учебниках (где добавлен только знак модуля). Именно, он оценивает разность AF = A5n + jR„ (х + е) +(х) и приходит к выводу, что она мала при Д5„ < т, R„ (х) < р, R^x + е) < р", где т, р, р" - произвольно малые величины. Итак, объяснение, что ряд может сходиться произвольно медленно (его вывод — для показательной функции при больших п нужно взять «биллион» членов, чтобы сумма ряда приблизилась к значению функции), изучение поведения ряда в точке (поэтому нет требования «для всех х, одновременно...»), отсутствие определения понятия и четкой формулировки того, что существует особый вид сходимости ряда, заставляют задуматься: введена равномерная сходимость или нет.
Вторая классическая статья на эту тему — «О критических значениях сумм периодических рядов» [15]. Эта статья Стокса доложена в
272_____________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
1847 г. и опубликована в 1849 г. К понятию равномерной сходимости Стокс пришел от частной задачи. Он рассматривает два ряда:
Uq + ui+...un+...= U;
VQ(Л) + ц (h)+...+v„ (h)+.,.= V(h),
где с(Л) такие функции, что при h = 0 они обращаются в члены первого рядаг>„(0) = ип. Будет ли V(0) = U? Стокс объясняет, что равенство означало бы
lim[ lim = Пт [Пт f(n,h)].
h-»0n-»oo	п^оо Л-0
Но это справедливо не всегда. Условие, при котором это равенство имеет место, Стокс формулирует, используя остаточный член (т.е. «все члены ряда, которыми пренебрегли») [там же, с.281]. Отметим, что предварительно Стокс провел четкое различие абсолютной и условной сходимости (он называет их соответственно essentially и accidentally), привел замечания о почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов в случае равномерной (stringly) сходимости ряда.
Как известно, Вейерштрассу принадлежит главная заслуга введения этого понятия в математику.
Коши рассматривает «Ряды с положительными членами» [И, с.133-141] и «Ряды, которые содержат то положительные, то отрицательные члены» [там же, с. 142—150]. Для первых Коши приводит и доказывает различные признаки сходимости рядов, среди которых и называемые сегодня «признаком Д'Аламбера»3, радикальным признаком Коши и менее известные (логарифмические, например), или вовсе неожиданные, как следующий: «Теорема. Если каждый член ряда
(1) ы0, щ, и2,	...
меньше, чем предыдущий,то этот ряд и ряд
(2) uq, 2wj, 4«3, 81/7, 16145, ...
сходятся или расходятся одновременно» [там же,с. 136].
Доказательство (для случая сходимости, например) следует немедленно, если заметить, что члены ряда (2) можно представить так:
“О = “о
2щ = 2щ
4из < 2и2 + 2«з
81/7 < 2ыд + 2«5 + 2ug + 2и2,
а поэтому 5„ <2Sn — uq,где sn,Sn — частичные суммы рядов (2) и (1).
Интересно Следствие. Если принять ряд
^ Александрова
273
1	1	1
1 ч----1---+ ~—к..
2Д	3я	4Р
зарЯД (О, то для него рядом (2) является следующий ряд
1 + 21-д + 41-д + 81-д+...
Так как этот ряд - геометрическая прогрессия, сходящаяся при ц > 1 и расходящаяся в противных случаях, то и ряд, принятый за ряд (О, будет сходиться, если д больше единицы. Например, из трех рядов (в обозначениях Коши)
i-L -L ±
22 ’ З2 ’ 42 ””
22	32	42
первый сходится, а два других — расходятся [там же, с. 137].
То, что любое рассуждение начинается с исследования сходимости ряда, было существенно новой чертой, так как Лагранж считал это не особенно важны, а Эйлер пользовался и расходящимися рядами. Для степенных рядов Коши находит интервалы сходимости! По-видимому, с этого курса и начинается традиция — указывать, для каких значений аргумента справедливо разложение.
Коши переходит к рядам, члены которых то положительны, то отрицательны
«0, Щ, и2, .... ип, ... ;
он вводит некий аналог абсолютной сходимости:
«... и пусть pq, pi, ..., рп, ... — численные величины этих членов, так что
«О =±Ро- “1 = ±Р1- “2 =±Р2> > ип =±Рп. -
Численная величина суммы
«0 + Щ + М2+ --+ып-1 никогда не может превзойти
РО +Р1+—+рл-1-
Отсюда следует, что из сходимости второго-ряда всегда следует Сходимость первого» [там же, с. 142].
Видимо, из-за этого утверждения Коши, постоянно повторяется Фраза «Коши доказал признак абсолютной сходимости...». Однако в Дальнейшем эти понятия не развиты (не работают). Коши доказал *признак Лейбница» (доказательство повторяется буквально в современных учебниках). Отметим, кроме того, что оборот Коши «tantot P°sitif, tantot negatif» означает правильное чередование знаков
274
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
членов ряда, тогда как запись и,- = ±р, не предполагает этого (а в доказательстве существенно используется чередование знаков).
Как известно, только Дирихле и Риман объяснили особенности условной и абсолютной сходимости рядов, поэтому Коши .«беззаботно» складывает два, три знакочередующихся ряда, хотя уже Гольдбах в письмах к Эйлеру от 1742 и 1752 гг. [16, с.123, 350] делился наблюдением, что перестановкой и группировкой членов в знакочередующемся гармоническом ряде можно получить наперед заданную сумму.
Интегральный признак Коши привел позднее. В заметке «О сходимости рядов» [17] (1827) он поставил задачу — найти правило, которое может «заменить» радикальный признак в случае, когда в пределе получается единица, и радикальный признак не дает ответа. Коши формулирует теорему: «Пусть функция остается постоянно положительной для положительных значений переменной х, и пусть она такова, что значения этой функции fix') убывают вместе с 1 / х. Ряд
ДО), Д1), Д2), ДЗ),... будет сходиться, п+т
если f fix)dx убывает для бесконечных значений п и каких угодно п
т; и будет расходиться в противном случае» [там же, с.273]. Здесь приведены признаки сходимости и ряда, и несобственного интеграла, без строгой оценки («для бесконечных значений п»), но интегральный признак налицо. Однако в 1742 г. Колин Маклорен опубликовал интегральный признак сходимости ряда вместе с наглядным доказательством [18,с.58],которое в основном и повторяется в современных курсах. Эйлер полагал, что открытие становится общеизвестным через 50 лет после публикации [7, с.327]. Но этот признак сходимости пришлось переоткрывать,вероятно,потому,что еще в течение века для теории рядов характерны только отдельные замечания о сходимости рядов (иногда даже случайные), а не систематическое внимание к этой стороне теории.
Когда Коши переходит к «Рядам, расположенным по возрастающим целым степеням переменной» oq, а^х, а2Х2, ...,
он сразу же обращает внимание на тот факт, что «ряд сходится меж-1 1 . ..
ду пределами х =----, х = —, где А = пт---и расходится для всех
А А	ап
значений х, лежащих вне этих пределов» [11, с. 152].
В первом курсе совершенно отсутствуют какие-либо указания на способ разложения «произвольной» функции в ряд. Коши широко использует биномиальное разложение, только из бинома он получает
Н.В.Александрова 275
разложения в степенные ряды функций ех и 1п(1 + х) и для каждого из этих рядов он указывает область сходимости! А именно:
х х2 х3
*ех =14----1-----1-------F... {х = — оо х = +°°}.»
1 1-2 1-2-3
Биномиальный ряд расходится при х > 1.
Для функции 1п(1 + х) приведен интервал сходимости {х = — 1, х = 1}, а затем отмечено, что при х = 1 функция имеет значение In 2, а при х = — 1 «напротив — ряд становится расходящимся и больше не будет иметь суммы» [там же, с.153].
Коши доказал теорему о единственности степенного ряда для данной функции; что казалось или очевидным, или ненужным всем математикам до него. Идея доказательства: допустим, имеют место два разложения
f(x) = а0 + а^х + а2Х2+...= bQ + tjx + b2X2+.—
Подставив в обе части х=0, получим oq =bQ. Тогда а^х + а2Х2+...= b[X +Ь2Х2+... Сократив на х, положив х=0, имеем fl] =bj и т.д [И, с.164]. Метод был известен — такое рассуждение применял Лагранж, но постановка проблемы о единственности разложения была совершенно новой.
Теорема имела основополагающую важность — вместе с нею в математику входила и теорема о единственности решения дифференциального уравнения. Проблема занимала ученого в течение долгого времени. В 1822 г. Коши привел классический пример: функция у = е х2 (доопределенная по непрерывности в точке х = 0) имеет производные любых порядков, поэтому можно составить ряд Макло-рена; ряд сходится, но сходится не к функции, из которой он получен4. В 1824 г. Коши опубликовал теорему о существовании и единственности решения «задачи Коши». Можно предположить, что эта проблема, так занимавшая Коши, оказала влияние и на построение его теории рядов. Коши считал неудовлетворительными «классические» изложения из-за того, что предполагалось заведомо существующим разложение функции в степенной ряд без формулировки необходимых и достаточных условий для этого: «...в частности доказательства формулы Лагранжа, которое дал г-н Лаплас и которое привел Лагранж в “Theorie des fonctions analytiques”... должны рассматриваться как недостаточные» [17, с.270].
Дальнейшее развитие. Следующий учебник Коши «Лекции по Дифференциальному исчислению» (1829 г.) представляет теорию рядов как учение с совершенно другой основой: «...этот принцип доставляет очень простой способ раскладывать действительные функции
276
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
одной переменной х по возрастающим целым степеням этой переменной, что сейчас и будет показано в немногих словах...» [19, с.51]. Принцип заключается в применении леммы:
«Предположим, что функции
Дх), f(x\ f(x)....fM(x)
непрерывны от х =0 до х = h и отношение убывает до нуля (s'evanoisse) вместе с переменной х. Тогда если приписать [переменной] х значение h или некоторое значение между пределами 0, h, можно найти число 0, меньшее 1, такое что оно обеспечивает справедливость формулы
Дх) = ~ -Х” fM(0x)
1-2- З...п
Следствие. Если принять и = 1, то это уравнение сведется к
f(x) = xf(0x)> [там же, с.51]. п
Формула Дх) = - —------fM(0x)
1-2- З...П
не доказана, а утверждает она
больше, чем лемма, которая означает только, что функция Дх) — бесконечно малая более высокого порядка, чем х”-1.
А далее: вследствие непрерывности f(0x) = f(ff) + Р, и разность Дх) — ДО) можно записать в виде Дх) — ДО) = xf(G) + хР\ затем составляется функция Дх) — ДО) — xf (0) = хР и т.д. Коши без всяких рассуждений применяет эту процедуру автоматически, шаг за шагом.
Коши получает
х2
Дх) - ДО) - xf (0) = ~ Г (0х);
аналогично при п = 3 для функции х2
Дх) - ДО) - xf (0) “ ^2 Г (0)
получает требуемое
2	3
Дх) - ДО) - xf (0) - yyf 40) = уу-у f "(Ox).
«Продолжая таким же образом, устанавливаем уравнение х х2
Дх) = ДО) + у f (0) + — f (0)+...
п—1	п
-+ —;-------------гД*"1 (0) + -	fM(0x).
1-2- З...(п - 1)	1-2 - З...п
fj В.Александрова	277
и
Из этой формулы следует, что действительная функция f(x) может рассматриваться как составленная из целой функции переменной х” ( )
х._ и остатка, именно ~ —	---f ”ч0х)»5 [там же, с.70-71].
Однако основные положения так и остались недоказанными.
Естественно, Коши отмечает, что вследствие стремления к нулю остаточного члена, получается «теорема Маклорена», а при введении переменной х = а + z - ряд Тейлора, т.е. всем известные результаты. Однако он полагает, что нашел обоснование теории и метод, благодаря которому он «оптом» выводит разложения соответствующих функций. А именно, после формулировки всех оговорок об области определения функций, их непрерывности «...примем за /Хх) последовательно действительные функции
ех, cosx, sinx, (1 + х)^, 1п(1 + х).
Найдем значения производных /^(х) этих функций
ех, cos(x + пл/2), sin(x + пл/2),
д(д - 1)(д - 2)...(д - п + 1)<1 + хУ~п, (-1)”-1 1'2"(я~1)
(1 + х)"
и соответствующие значения /‘^”\о)...» [там же,с.71] и т. д. Разложения получаются автоматически, затем Коши составляет остаточный член ряда и доказывает сходимость ряда к функции!
Вывод остаточного члена в форме Коши явно не удовлетворял автора: Коши привел разные доказательства в 1827, 1829 и в 1840 гг. Искусно манипулируя уравнениями, Коши получает формулу, доказательство ее содержит такие натяжки, которые не позволяют признать вывод «естественным», начиная с того, что остаточный член <р(а) ряда по степеням (х — а) зависит только от а, и кончая приемом: «в равенстве...заменим букву f на букву у» [19, с.77]. Ближе всего к выводу Коши — изложение А.Я.Хинчина [20, с. 158—160].
Подведем итоги. Настоящая статья, собственно, дополняет весьма краткий очерк теории рядов у Коши [1 с.88], процитированный выше. Перечислим хотя бы некоторые черты, которые приобрела теория, благодаря работам Коши. Назовем конкретные положения, кроме общепризнанного факта, что Коши перестал приписывать всеобщность теоремам анализа и вводил в их формулировки столь привычные нам ограничительные условия и что Коши указал пути, по которым шла в Течение долгого времени работа по новому обоснованию анализа.
Коши сделал первые шаги на пути перехода от существовавших ранее вычислительных методов теории рядов к современной математической теории.
278_____________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
До Коши математики ставили задачу о суммировании рядов Коши впервые сформулировал признаки сходимости не при решений частной задачи, а задавая, так сказать, стандарт общего подхода -получив степенной ряд, он немедленно устанавливал область сходимости ряда. После него появились признаки Абеля, Раабе, Куммера, Дирихле и другие.
До Коши математики проявляли интуитивную «чувствительность» в операциях с рядами. Так Ньютон использовал разложения
——у = 1 — х2 + х4 - х6+... и
1 + х2
1 111
соответственно для малых значений х и для значений |х|>1. После Коши «область сходимости», «теорема Абеля» стали фундаментальными понятиями теории.
До Коши математики считали естественным, что функция может быть представлена степенным рядом. Коши, в отличие от своих предшественников, построил классический пример, который раз навсегда сделал необходимым доказывать это. А в доказательствах Коши существенно использовал соображения единственности.
До Коши остаточный член использовали только в приближенных вычислениях. После Коши остаточный член - инструмент доказательства сходимости ряда к исходной функции.
До Коши мажорирующие ряды появлялись эпизодически. Коши ввел использование мажорирующих рядов (с 1831 г.) почти одновременно с Вейерштрассом. В работах 1833—1835 гг. он строил решения дифференциальных уравнений в частных производных методом мажорант.
Коши оказал влияние на развитие теории не только непосредственно - своими курсами, статьями, лекциями. Известно, например, что Дирихле в 20-х г. XIX в. ознакомился с трудами французских математиков, благодаря этому в его статьях по математической физике появилось знаменитое исследование сходимости рядов Фурье (1829, 1837 гг.); Дирихле написал об этом статью-предисловие к третьему изданию «Аналитической механики» (1853).
Во всех своих работах Коши безо всяких оговорок переходит к рядам, члены которых - комплексные числа или степени комплексной переменной. Таким образом теория получила базу и аппарат исследования (особенно, если добавить ряд Лорана и исчисление вычетов!) — роль Коши неоспорима. Белост, естественно, уделяет особое внимание этой стороне творчества Коши, однако эта тема выходит за рамки настоящей статьи.
JJ В Александрова	279
——*
Примечания
I у Коши соответствующая строка выглядит так:
^)=И1)Г = (1 + х)^
В предыдущей главе «Алгебраического анализа» Коши рассмотрел (среди других уравнений) уравнение у>(ху) = <р(х) • <р(у) и вывел для него соотношение (р(«а)= [у>(«)]т. Здесь все аргументы - показатели степени, так что [^КОУ4] означает (1 + х)1 • (1 + х)1... (1 + х)1 = (1 + хУ4. Абель, решая задачу: установить, для каких значений х и т сходится ряд функций (1 + х)т = ^>(zn), напишет: «Уравнение <р{т)  <f>W) = <р(.т + п) выражает основное свойство функции у>(т)» [5, с. 14].
2	В течение почти всего XIX в. математикам не хватало обозначения) х) Коши ввел более или менее удобную запись: val.numer.[z — а].
3	«Признак Д’Аламбера» при исследовании частного ряда встречался у Д'Аламбера (1768) и у Баринга (1776) в виде оценки: и„ / un+l > 1 при достаточно больших п. Лейбниц сообщил свое решение Иоганну Бернулли в 1714 г.
4	Соответствующий абзац книги Белоста переведен так: «Лагранж... показал только, что в формуле (2)
Дх + i)= fix) + if(x) +	'(x)+...+ ^y/n)(x) + Rn(x,i)
остаток R„(x, i) бесконечно мал по сравнению с последним членом разложения, когда i стремится к 0; кроме того, недооценивая различия между формальной точкой зрения и численной, он не старался определить интервал сходимости ряда Тейлора в точке. Коши делал сознательно эти промахи; более того, он представил в статье 1822 г. при-
мер функции е , доопределив в точке 0 по непрерывности.» [1, с.89].
Здесь — что ни строка, то нелепость. Оставим уж «последний член разложения», бесконечно малые у Лагранжа, «интервал сходимости в точке», «численную точку зрения»... но вот «Коши делал сознательно промахи» написано вместо «Коши сознавал эти недостатки», из-за чего текст вообще теряет всякий смысл.
И еще один пример, демонстрирующий качество перевода, который раздражает и мешает: фраза «...функция-антье F(z) имеет п нулей Zj, Z2, ... z„» — должна означать «...целая функция F(z) имеет п нулей» [1, с.149].
5	В «А History of Mathematical Notations» Кэджори специально обращает внимание на такую деталь: «Коши обозначил через 0 величину между 0 и 1, чтобы х + Oh представляло бы все значения между х и х + А» [21, II, с.255]. Однако Больцано раньше ввел такое обозначение: «значения Дх + пДх) лежат между Дх) и fix + Ах), если 0 < п < 1» [12, с.8]. Коши оценил обозначение и ввел в математический обиход.
Список литературы
1.	Белхост Б. Огюстен Коши / Пер. с франц. Ю.А.Дробышева. М., 1997.
2.	Belhoste В. Augusten Luis Cauchy. Paris, 1988.
3.	Коши О.Л. Алгебраический анализ / Пер. с франц. Ф.Эеальда, В.Григорьева, А.Ильина. Лейпциг, 1864.
4.	Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. с франц. И.Г.Башмаковой, под ред. К.А.Рыбникова. М., 1963.
5.	Abel N.H. Untersuchungen Ober die Reihe
,m mim-l) 2 m (m-l)-(m-2)	3
1 + —x +-----------x +----------—---------x°+... // Ostwalds Klassiker der
1	1*2	1*2*3
exakten Wissenschaften. Leipzig, 1895. N»71.
6.	Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии (подготовлено к печати Р.Курантом и О.Нейгебауэром) / Пер. с немец. Б. Лившица, А.Лотиица, Ю.Раби-новича, Л.Тумермана. М.-Л., 1937.
280__________________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
7.	Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных / Т.1. Пер. ЕЛ.Пацановского, статья А.Шпайзера, ред. И.Б.Погребысского. Т.2. Пер. В.С.Гохмана, ред., статья и при-меч. И.Б.Погребысского. М., 1961.
8.	Reiff R. Geschichte der unendlichen Reihen. TObingen, 1889.
9.	Эйлер Л. Дифференциальное исчисление / Пер., статья и примеч. М. Я. Выгодского М.-Л., 1949.
10.	Lagrange J.L. Theorie des fonctions analytiques. Paris, 1813 // Oeuvres de Lagrange 1881. T.9.
11.	Cauchy A.L. Cours d’analyse algdbnque. Paris, 1821.
12.	Bolzano B. Rein analytischer Beweis der Lehrsatzes, das zwischen je zwei Werthen, die ein entgegensatzes Resultat gewahren, weinigsten eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1905. №153.
13.	Cauchy A.L. Note sur les series convergentes dont les divers termes sont des fonctions continues d’une variable rtellee ou imaginaire entre des limites donndes // Oeuvres completes, I sdrie. Paris, 1900. T.12. P.30-36.
14.	Seidel Ph. Note Ober eine Eigenschaft der Reihen welche discontinuirliche Functionen darstellen. Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1900. №116.
15.	Stokes G.G. On the critical values of sums of periodical series // Scientific Work. Cambridge, 1880. Vol.l. P.236-314.
16.	Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel 1729-1764 / Hsg. und eingeleitet von A.P.Juskevic und E. Winter. Berlin, 1965.
17.	Cauchy A.L. Sur la convergence des sdries // Oeuvres completes. lie sdrie. Paris, 1889. T.7. P.267-279.
18.	Коренцова М.М. Колин Маклорен. М., 1998.
19.	Cauchy A.L. Lemons sur le calcul diffdrentiel. Paris, 1829.
20.	Хинчин А.Я. Краткий курс математического анализа. М., 1957.
21.	Cajori F. A history of mathematical notations. Chicago, 1930. Vol.I-II.
ИДЕЯ АБСОЛЮТНОГО ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЗНАНИЯ
В.Я. Перминов
В списке математических проблем, сформулированных Д.Гильбертом в начале XX в., на втором месте стоит проблема обоснования непротиворечивости арифметики. Предлагается доказать, что в рамках арифметических аксиом с помощью конечного числа логических умозаключений нельзя получить результаты, противоречащие друг другу.1 В течение столетия достигнуто существенное приближение к решению задачи, однако, все еще остается некоторая неопределенность, не позволяющая сделать заключения о ее полном решении.
Ниже будут приведены доводы в защиту того положения, что эта неопределенность имеет не столько логические, сколько гносеологические корни и что она существенно обусловлена отсутствием ясности относительно происхождения и надежности исходных математических истин. Эта неясность порождает скептицизм, который не может быть устранен в рамках чистой логики.
Гносеологический аспект проблемы обоснования. Знаменитая теорема Геделя о непротиворечивости (1931) утверждает, что
281
В Я.Перминов непротиворечивость формальной арифметики и всех теорий, включающих в себя арифметику, не может быть доказана на основе средств, формализованных в арифметике и, следовательно, не может быть доказана вообще в рамках строгого математического метода. Какие-либо нестрогие доводы здесь, очевидно, неприемлемы. Широко распространенное мнение состоит в том, что эта теорема накладывает абсолютный запрет на позитивное решение проблемы Гильберта, т.е. решает эту проблему в отрицательном смысле. Однако другая теорема Геделя, показывающая возможность интерпретации классической арифметики в рамках арифметики интуиционистской (1933), по мнению многих, решает эту проблему положительно. Никто не возражает против того, что интуиционистское построение арифметики обеспечивает ее непротиворечивость, откуда следует непротиворечивость и классической арифметики. Это противоречие в рассуждениях о второй проблеме Гильберта остается неустраненным и в настоящее время.2
Речь идет здесь, конечно, не о формальной несовместимости теорем, а о несогласованности их методологических трактовок. Мы имеем здесь дело с некоторыми неявными установками, оказывающими влияние на окончательное суждение. Подавляющее большинство математиков и философов склоняются к тезису об отрицательном решении второй проблемы Гильберта, т.е принимают в качестве основного математического факта, относящегося к проблеме, теорему Геделя о непротиворечивости. Гносеологические соображения показывают, однако, что и другая позиция является не менее обоснованной.
Использование гносеологических аргументов при решении обос-новательных задач требует пояснения. Обычная математическая проблема решается, конечно, только специальными методами. Философские доводы здесь неприемлемы. Обосновательные рассуждения имеют, однако, существенные особенности. Доказывая теоремы внутри теории, мы не задаем вопроса о логике доказательства и о статусе аксиом: нам достаточно того, что эти элементы рассуждения приняты математическим сообществом. В процессе обосновательного рассуждения мы вынуждены ставить такого рода вопросы. Нас интересует, Все ли логические нормы являются в одинаковой степени надежными. можно ли опираться на принцип трансфинитной индукции при обосновании арифметики, может ли геометрическая очевидность рас-ематриваться как столь же надежная, как и арифметическая и т.п. ^невидно, что такого рода вопросы не решаются в рамках математики. Мы должны обратиться здесь к теории познания. Обоснователь-н°е рассуждение, таким образом, имеет не логический, а л°гико-гносеологический характер в том смысле, что мы приходим к с°гласию в понимании его силы через согласие в понимании надеж-Иости его логики и посылок.
282___________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Это значит, что имеет смысл посмотреть на решение второй проблемы Гильберта со стороны гносеологических предпосылок, вовлеченных в структуру обосновательных рассуждений. Слабость традиционных программ обоснования математики состояла в том, что они не анализировали в достаточной мере гносеологический аспект своих рассуждений: логицисты не разработали убедительного учения о статусе логики, интуиционисты не прояснили сущности праинтуи-ции, Гильберт не дал должного обоснования тезису о тождестве априорной и финитной математики, на который он существенно опирался. Если современная философия математики может устранить этот недостаток, то она может бросить новый взгляд на перспективы обоснования математических теорий.
Природа априорного знания. Недостаточность традиционного априоризма состоит в том, что он скорее претендует на объяснение математического мышления, чем реально делает это. Ниже будет изложена новая концепция математического априоризма, основанная на праксеологическом истолковании универсальных форм мышления.
Понятие практики было введено в теорию познания в середине XIX в. В марксистской философии подчеркивается, что практика является стимулом познания, основой познания (в смысле наличного материала и средств), а также высшим критерием истинности теорий и идей. Основным для нас здесь будет то положение, что практика является также нормативной основой познания, т.е. источником универсальных норм, которым подчинено мышление. Это положение важно в том отношении, что оно дает нам возможность понять априорное знание без каких-либо мистических гипотез, исходя только из естественных задач мышления.
Если некоторая развивающаяся и функционирующая система является частью другой более широкой системы, то в своих функциях она неизбежно подчинена целям этой последней системы, и общие ре-гулятивы ее развития могут быть поняты только при рассмотрении этого функционального соподчинения. Этот абстрактный системный принцип должен быть руководящим и при нашем подходе к проблемам теории познания. Познавательная деятельность человека — это функциональная часть его практической деятельности, а это значит, что высшие нормы, регулирующие ее, имеют деятельностную природу и должны быть выведены в конечном итоге из положения о практической функции знания.
Высшие нормы мышления зафиксированы прежде всего в категориальных принципах. Всякое знание мы строим как относящееся к объектам, которые находятся в пространстве и времени, обладают определенной структурой, подчинены требованию причинной связи и т.п. Нетрудно понять, что мы имеем здесь дело с общими
g ЯТТерминов
283
требованиями к структуре представлений, проистекающими из их практической значимости. Теория, которая не основывалась бы на различении объектов по пространственным и временным характеристикам, не подчинялась бы общим свойствам причинно-следственных связей, не отделяла бы материального от идеального, случайного от необходимого и т.п., не могла бы быть квалифицирована как знание, ибо она заведомо не могла бы быть использована для координации действий в какой-либо сфере опыта. Знание развивается в интенции на практическое использование, оно должно быть соединено с практикой, и вследствие этого оно принимается в качестве знания только в том случае, если оно выражено в категориях практики. Универсальные онтологические категории и принципы, связанные с ними, должны быть поняты в этом плане как ограничения на структуру представлений, проистекающие из их практической значимости, из практической ориентации мышления вообще.
Другой нормативной структурой сознания, проистекающей непосредственно из практики, является система логических норм, которой подчинено всякое понятийное мышление. Если категории ограничивают содержание представлений, являются системой очевидностей, лежащих в основе определения предмета мышления вообще, то логические нормы — это ограничения на структуру понятий (значений) и возможные их связи. Между категориальной и логической нормативностью существует параллелизм, состоящий в том, что система логических норм определена системой категориального видения мира и задана ею однозначно. Констатация этого параллелизма лежит в основе кантовского учения о категориях рассудка.
Категориальные и логические представления не являются эмпирическими в собственном смысле слова. Они отличаются от эмпирических представлений прежде всего по объекту отражения: в них фиксируются не какие-либо частные или общие свойства объектов, но сама структура деятельности, ее необходимые онтологические основания. Деятельность всегда связана с объектом, который противостоит субъекту, и этот универсальный момент деятельности мы выражаем в категории материи. Мы можем действовать только опираясь на органическую связь явлений, при которой появление одних из них с необходимостью влечет появление других, и это необходимо ведет нас к пониманию мира явлений как универсально причинно обусловленного. Деятельность навязывает нам объектную, причинную и временную структуру знания, поскольку знание, не определенное в этих категориях, безразлично для практики и, таким образом, не является знанием вообще. Категориальные представления внеэмпиричны, ибо они обусловлены только универсальными целями знания и, по этой причине, безразличны к конкретному содержанию опыта. И.Кант безусловно прав в том, что в категориях не содержится ничего
284 СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ эмпирического: система представлений, определяющая синтез понятий вообще, не может зависеть от подразделений, продиктованных содержанием опыта. Категориальные представления эквифинальны в том смысле, что любой индивидуальный опыт приводит нас, в конечном итоге, к одной и той же, неизменной и единой для всего человечества, системе категориальных представлений. Глубинные представления о пространстве, времени, причинности одинаковы у всех людей и у всех народов, независимо от эпохи и географического положения. Существенно различаясь по составу конкретных представлений о мире, люди едины в категориальных очевидностях, ибо эти очевидности продиктованы не составом опыта, а самой структурой деятельности. Категориальные представления самоочевидны. Мы имеем здесь дело не с эмпирической очевидностью, ограниченной рамками частного опыта, но с аподиктической очевидностью, которая обусловлена универсальным и нормативным характером этих принципов. Аподиктическая очевидность категориальных и логических представлений проистекает не из опыта и привычки, как это имеет место в случае эмпирических представлений, но из необходимой ориентации мышления на деятельность.
Система категориальных представлений, наконец, внеисторична в том смысле, что она не изменяется с расширением сферы опыта и области исследуемых объектов. Эти представления - не индуктивные обобщения на основе опыта и не выводы теоретической науки, а фундаментальные представления о реальности, навязанные практической ориентацией мышления. Они обладают высшей достоверностью для сознания и являются его последней и наиболее твердой основой.
Мы, таким образом, должны признать наличие в структуре знания двух принципиально отличных друг от друга систем представлений — эмпирических и априорных (категориальных). Разница здесь не количественная: категории не просто более общие или более абстрактные понятия, чем эмпирические, они не просто более универсальны и не просто более очевидны. Система представлений, связанная с категориями и с логикой, лежит принципиально в другом измерении и качественно отличается от системы эмпирических представлений как по генезису, так и по функции. В категориях мы раскрываем особую реальность, невыразимую в частных понятиях, поскольку все частные представления строятся на основе категорий. Категории в этом смысле образуют первичную и абсолютно автономную сферу представлений. Мы будем называть эту сферу представлений априорной или категориальной онтологией.
Априорность исходных представлений математики. Косвенное соображение в пользу положения об априорности истин элементарной математики проистекает из самоочевидности этих истин.
Kg. Перминов
285
Априорные истины даны сознанию в особой степени очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, нормы логического умозаключения. Но в таком случае сама аподиктическая очевидность может быть использована в качестве критерия априорного знания. Если мы посмотрим на исходные истины арифметики и геометрии, то должны будем признать, что они являются аподиктически очевидными, либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных мысленных операций. Элементарные арифметические и геометрические истины даны человеческому сознанию с непреложностью, и этот факт заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, радикально отличными от представлений опытных наук.
Теоретическое обоснование априорности исходных математических идеализаций требует рассмотрения структуры универсальной онтологии. В абстрактной онтологии можно выделить две существенно различные части, а именно, причинную и предметную онтологию. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей. Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т.п., является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельность, а точнее акт деятельности в его необходимых онтологических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной или динамической, т.к. в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.
Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы вне-эмпирических представлений о мире. Для того, чтобы действовать мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о причинности, но и в идеальных представлениях о предметах, на которые направлено наше действие. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и их внутренних связей, т.е. на идеальные представления о предметах, как удовлетворяющих общим условиям деятельности. Деятельность вырабатывает у нас не только идеальные представления о необходимых связях, она вырабатывает и представления о мире как совокупности идеальных предметов, которые конечны в пространстве и времени, стабильны в своих Формах, отделены друг от друга (дискретны), аддитивны и т.д. Это значит, что наряду с каузальной онтологией, которая выражает собой идеальные условия акта действия, мы имеем также предметную онтологию как систему идеализаций, относящуюся к предметам действия, проистекающую из общих условий деятельности.
286____________________________СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Адекватное понимание математики как априорного знания достигается при осознании того факта, что в основе исходных математических идеализаций лежат универсальные представления предметной онтологии, выработанные деятельностью. Генетически первичные математические теории, а именно, арифметика и евклидова геометрия исходят из общезначимых представлений предметной онтологии, выражая собой формальный или формализуемый аспект этой онтологии. Представления, лежащие в основе математических понятий, - не абстракции и не теоретические идеализации, а интуиции, продиктованные деятельностной ориентацией познающего субъекта. Исходные представления математики, с этой точки зрения, - формальная онтология мира, схватывающая качества его предметной структуры, значимые для деятельности. Математика априорна в том смысле, что ее исходные интуиции имеют онтологическую природу и не содержат в себе каких-либо эмпирических констатаций.
Наиболее распространенный довод против априористского истолкования исходных истин арифметики исходит из факта их содержательности, приложимости к счету и измерению реальных вещей. Естественно думать, что люди усваивают арифметические истины в процессе счета. Анализ процедур счета показывает, однако, что они существенно определены представлениями идеальной предметности и имеют смысл только в рамках ограничений предметной онтологии. Мы не пытаемся определить точное число волн на поверхности воды или число переживаний в нашей душе за определенное время суток, ибо подразумеваемые здесь физические сущности, не удовлетворяют характеристикам онтологических единиц. Наша деятельность счета ограничена ситуациями, соответствующим требованиям идеальной предметности, и никакая сфера реальных объектов не может изменить этих требований. Арифметика представляет в своей сущности не что иное как точное описание этих требований, продиктованных универсальной онтологией мышления. Но это означает, что законы арифметики не порождены процедурами счета, и их общезначимость и убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из безусловной самоочевидности предметной онтологии-Ошибка философов-эмпириков состоит в том, что они пытаются вывести понятие числа из операции счета, истолковывая сферу приложения арифметики в качестве источника ее истин. Они, как говорил Г. Фреге, смешивают применение арифметики с самой арифметикой-То же самое относится и к процедуре измерения. Эта процедура была бы невозможной без онтологии меры, без предварительных представлений о количестве и величине, которые априорны и имеют свои истоки исключительно в структуре практики.
Другой аргумент против априорности математики основывается на том факте, что у первобытных народов очевидным образом
В Я.Перминов
287
отсутствует общее понятие числа и натурального ряда. Этот аргумент, однако, проистекает из смешения априорного знания со знанием врожденным. Априорность представлений не означает их врожденности, а означает лишь их интерсубъективность и эквифинваль-ность, т.е. их появление в качестве необходимой формы мышления в любом мыслящем сознании. Исходные математические представления несомненно априорны в этом смысле. Мы имеем все основания говорить об априорности арифметики и элементарной геометрии как теорий, основанных на априорных представлениях. Необходимо признать, что математика имеет не эмпирическую, а онтологическую основу, что ее исходные положения являются априорными и онтологически истинными.
Этот вывод имеет прямое отношение к решению проблемы обоснования математики. Теории, опирающиеся на универсальную онтологию, имеют другую степень надежности, чем теории, опирающиеся на опыт и индукцию. Априорные (онтологически истинные) принципы общезначимы и предельно надежны по своему статусу. Это значит, что подлинное обоснование математического знания может состоять только в его редукции к теориям, имеющим априорную основу.
Гильбертовский финитизм и теорема Геделя. Гильбертовская программа обоснования математики возникла как компромисс между программами Б.Рассела и Л.Брауэра. Гильберт не принимал логици-стское обоснование математики, так как не допускал, что простые истины логики способны произвести из себя все содержание математики. Вместе с тем, он соглашался с Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута только через уточнение ее языка и прояснение логической структуры теории. Он отвергал интуиционистский подход Брауэра, считая его разрушительным для математики, соглашаясь, вместе с тем, с брауэровской критикой закона исключенного третьего. Как и Брауэр, он считал, что классическая логика не может быть применена в полном объеме к высказываниям о бесконечных множествах.
Основная идея Гильберта, как известно, состояла в том, чтобы обосновать непротиворечивость математической теории на основе рас-суждений в другой математической теории (метатеории), которая является непротиворечивой по самому составу своих принципов. Он Формулирует ряд требований к метатеории, которые известны как Принципы гильбертовского финитизма.
1.	Метатеория является синтаксической теорией: она должна иметь дело с формализмом теории, т.е. только с ее знаковой структурой и с операциями в этой структуре. Строгое метатеоретическое обоснование непротиворечивости теории не должно использовать каких-либо допущений о содержании ее понятий.
288
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖдц^
1 ~~
2.	Метатеория является содержательной в том смысле, что относится к формализму теории как к своему единственному предм^ ту и в своих предпосылках не выходит за пределы непосредственного описания его свойств.
3.	Метатеория является финитной в том смысле, что она не ис пользует принципов, связанных с понятием актуальной бесконечности.
4.	Метатеория является конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках подтверждается процедурой его построения.
Несмотря на некоторую неоднозначность этих требований в математическом плане, их методологический смысл совершенно ясен. Он состоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое рассуждение таким образом, чтобы оно гарантировало его абсолютную достоверность. Метатеория должна быть способной доказывать непротиворечивость формализованных теорий, а следовательно и непротиворечивость соответствующих им содержательных теорий, независимо от их содержания. В основе финитизма Гильберта лежит его вера в безупречную надежность математических рассуждений, не связанных с понятием актуальной бесконечности. Актуально бесконечное может существовать в математике, но оно должно быть обосновано в своей надежности на основе конечного.4
Идея абсолютного обоснования у Гильберта существенно связана с понятием априорного знания. Гильберт соглашался с Кантом в том положении, что в основе математики лежит система априорных истин, которые не могут быть опровергнуты или устранены из сферы математического мышления. Он считал, однако, что Кант излишне расширил сферу априорной математики, включив в нее представления, связанные с бесконечностью.5 Область априорной математики, таким образом, отождествляется со сферой финитной математики. Здесь Гильберт реализует свой принцип отделения математики от философии в сфере обосновательного рассуждения. Философские посылки, по его мнению, могут быть использованы в метатерии только в том случае, если они могут получить определение в математических понятиях. Философское понятие априорности он заменяет понятием финитности, которое имеет математический смысл.
Принято считать, что причины неудачи гильбертовской программы полностью раскрываются теоремой Геделя о непротиворечивости, которая утверждает, что если исчисление непротиворечиво и является достаточным для выражения аксиом арифметики, то его непротиворечивость не может быть доказана в метатеории, допускаюшеИ арифметизацию. Если мы принимаем в качестве безусловной истины то положение, что любая надежная метатеория арифметизируема, то ни арифметика, ни анализ, ни теория множеств, вопреки намерениям
g (^Перминов
289
Гильберта, не могут рассчитывать на строгое обоснование непротиво-ечивосги. Это означает, конечно, полную несостоятельность программы Гильберта.
F Здесь, однако, возникают некоторые сомнения логического по-
рядка. Общее заключение теоремы Геделя о непротиворечивости основано на формуле: Consis Т -»G, где Consis Т - утверждение о непротиворечивости арифметики, a G - формула заведомо невыводимая в арифметике. Так как формула Consis T->G выводима в арифметике, то доказательство в метатеории непротиворечивости арифметики вело бы к признанию выводимости формулы G, невыводимость которой доказана. С.Феферман (1960) показал, что возможно построение более слабых формул, соответствующих содержательному смыслу
Consis Т, для которых недоказуема импликация Consis Т -*G и выведение которых в метатеории, таким образом, не входило бы в противоречие с фактом невыводимости формулы G. С этой точки зрения, радикальное истолкование теоремы Геделя не вполне корректно, поскольку оно исходит из допущения, что теорема Геделя истинна не только для формы Consis Т, используемой в доказательстве Геделя, но для всех возможных формул, которые могут быть содержательно поняты как утверждения о непротиворечивости арифметики.6
Существуют также гносеологические соображения, указывающие на некорректность радикального истолкования теоремы Геделя. Очевидно, что это истолкование основано на отождествлении финитной метатеории Гильберта с арифметизированной метатеорией Геделя. Однако у нас нет оснований категорически утверждать правомерность такого отождествления. Мы имеем здесь дело с некоторого
рода экспликацией и можно предположить, что она имеет только приближенный характер. Можно допустить существование финитной метатеории, не допускающей арифметизации и, следовательно, воз-
можность негеделевских доказательств непротиворечивости, удовлетворяющих требованиям финитности. В качестве примера, который может обсуждаться в этом плане, можно указать на доказательство непротиворечивости арифметики Н.М.Нагорного, которое финитно в смысле Гильберта, но предполагает неарифметизируемое по Геделю понятие восполнимой формулы.7
Геделевская экспликация финитизма принципиально важна, ибо она определяет метатеорию как объект, поддающийся строгому анализу. Но мы должны иметь в виду, что такого рода экспликация может быть не вполне адекватной смыслу исходного понятия. В насто-Щее время представляется все более очевидным, что содержательное определение финитизма Гильберта более либерально и более точно очерчивает тип строгих обосновательных рассуждений, чем метатеория в понимании Геделя. Но это означает, что опровержение программы Гильберта на основе теоремы Геделя имеет только
290
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЕ
относительное значение. Оно законно только при определенных мето дологических допущениях, истинность которых не очевидна.
Интуиционистское обоснование арифметики. Предположение о возможности строгого и, в определенном смысле, абсолютного доказательства непротиворечивости арифметики находит дальнейшее подтверждение при рассмотрению интуиционистской программы обоснования математики, намеченной Л.Брауэром. В основе математики, по Брауэру, лежит интуиция натурального ряда, которая определяет логику его построения. Обоснование арифметики достигается, по Брауэру, тем, что все ее утверждения редуцируются к априорной интуиции единицы как начального элемента ряда и к интуиции перехода к следующему числу через прибавление единицы. Проблемы обоснования актуальной бесконечности здесь не существует: она снимается самим способом порождения новых объектов.
Мы должны прежде всего уяснить здесь то обстоятельство, что интуиционистская арифметика является предельно надежной в логическом отношении. Хотя Брауэр постоянно настаивал на этом положении, он не привел достаточных аргументов для его обоснования. Он апеллирует к праинтуиции, к необходимости перехода от мысленного акта к его раздвоению и к возможности повторения этого процесса до бесконечности, т.е. к некоторого рода психическим актам, лежащим в основе мышления. Ясно, однако, что обращение к психической основе становления арифметических понятий недостаточно для оправдания единственности и надежности законов арифметики.
С праксеологической точки зрения фундаментальность представления о натуральном ряде обусловлена наличием идеально-предметных представлений как необходимой части универсальной онтологии мышления. Всякое действование в мире связано с представлением об идеальном предмете, обладающем конечностью, стабильностью, изолированностью и другими качествами, определяющими возможность деятельности. С этой точки зрения, натуральный ряд чисел - это общезначимая мысленная конструкция, обусловленная системой представлений об идеальной предметности, т.е. мысленная конструкция, однозначно определенная на онтологическом уровне. Представление о натуральном ряде внедрено в универсальную онтологию мышления, и в этом смысле он является единственным и не подлежащим какой-либо корректировке.8 Фиксируя этот момент мы освобождаемся от всякого психологизма и приходим к пониманию непреложности первичных интуиций арифметики.
Отсюда мы можем заключить, что программа интуиционизма в доступной ей сфере действия находится вне критики, ибо самоочевидные конструкции разума, на основе аподиктически самоочевидных предметов, какими являются конечные числа натурального ряда,
g ^.Перминов
291
являются его предельно надежными конструкциями и не могут включать в себя противоречивых допущений. Конструктивное рассуждение не выходит за сферу абсолютной надежности, поскольку оно не выходит за сферу априорных предпосылок математического мышления. Теория онтологической истинности, таким образом, оправдывает интуиционистское обоснование математических теорий в качестве абсолютного.
Это значит, что мы имеем абсолютное доказательство непротиворечивости классической арифметики через обоснование представимости всех ее утверждений и доказательств в рамках интуиционистской арифметики. С этой точки зрения, вторая проблема Гильберта должна считаться разрешенной положительно, и в наших заключениях по этому вопросу решающее значение должна иметь не теорема Геделя о непротиворечивости, а теорема Геделя о представимости классической арифметики в рамках арифметики интуиционистской.
Ясно, что возможность категорического вывода появляется здесь лишь при условии нашего доверия к доводам, относящимся к обоснованию априорности и надежности исходных представлений арифметики, лежащим в основе интуиционистского доказательства. Интуиционистское обоснование арифметики, таким образом, также является логико-гносеологическим. Существуют приемлемые чисто логические доказательства непротиворечивости интуиционистской арифметики, которые более предпочтительны в плане логических программ обоснования математики. Нетрудно однако понять, что и в этом случае мы неизбежно сталкиваемся с проблемой выбора и оправдания обосновательного слоя, которая не может быть решена вне гносеологического рассмотрения.
Онтологическое понимание метатеории. Идея соединения логики и гносеологии может быть применена и к анализу формалистской программы. Основная слабость гильбертовского подхода состоит в очевидной непроясненности его методологической основы. Устанавливая общие задачи своей программы он пишет: «Надо повсюду установить такую же надежность логических средств, как и та, что имеет-ся в обыкновенной элементарной арифметике, где никто не испытывает ни малейших сомнений и где противоречия и парадоксы возникают лишь в результате нашей невнимательности».9 Но чем объяснить, что в элементарной арифметике существует такой уровень надежности? Не имея ясного ответа на этот вопрос, мы имеем мало Шансов указать границы надежной метатеории.
Праксеологическая теория математических идеализаций дает нам определенную основу для решения этого вопроса. Мы выяснили, что в основе математического мышления лежит система категориальных очевидностей, которая является абсолютной формой нашего
292
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖдц,^
мышления и что надежная основа математики определяется, в действительности, одной характеристикой, а именно, понятием априорное ти или онтологической истинности.
Последовательная реализация этого положения вносит радикальные изменения в структуру метатеории, а именно, она указывает путь расширения метатеории за счет принципов, априорность которых может быть обоснована. Если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы должны отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений, которое является существенным для метатеории Гильберта. Мы должны спросить себя, имеем ли мы основание верить, что закон исключенного третьего может быть причиной противоречий? Ни практика математики, ни теория логики не оправдывают сегодня положительного ответа на этот вопрос. Но это значит, что наше метатеоретическое рассуждение может опираться на этот закон без каких-либо ограничений, удовлетворяя при этом всем требованиям строгости и надежности. Есть все основания думать, что обосновательные рассуждения, проведенные в классической логике, являются ничуть не менее надежными, чем рассуждения в интуиционистской логике.10 Из аподиктической очевидности семантических рассуждений следует, что они относятся к сфере онтологической истинной математике и также должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательной метатеории, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатеорию в ее гильбертовском понимании. Априористская философия математики обосновывает полную надежность семантических средств, по крайней мере тех из них, которые не выходят за пределы аподиктической очевидности. Все доказательства непротиворечивости, опирающиеся на такого рода качественную семантику должны быть признаны законными, обладающими абсолютной достоверностью. Разделение аргументов на семантические и синтаксические, несущественное для обычной математической практики, должно быть признано несущественным и для сферы обос-новательных рассуждений.
Если мы понимаем истинное основание надежной метатеории как относящееся к сфере онтологически истинной математики, то мы должны отказаться почти от всех ее признаков, выдвинутых Гильбертом в качестве существенных. Гносеологически обоснованная метатеория, в действительности, не обязана быть ни финитной, ни конструктивной, ни нацеленной в обязательном порядке на формальную структу* ру теории. С праксеологической точки зрения все эти требования должны быть заменены одним требованием, а именно, требованием априорности или онтологической истинности. В конкретных случаях, разумеется, мы можем прибегать к понятиям финитности, конструК' тивности, обозримости и к другим понятиям, характеризующим
я {^Терминов
293
^основательный слой, понимая при этом их вторичность и относительную значимость по отношению к понятию онтологической истинности.
Онтологическое понимание метатеории требует также отказа от принципа отделения оснований от философии, под которым Гильберт понимал возможность формулировки метатеоретических требований исключительно в рамках математических понятий. В действительности мы не можем определить сферу надежной метатеории, опираясь только на математические критерии, ибо мы должны прибегать здесь к гносеологическим характеристикам, которые заведомо не допускают точного математического представления. Определение метатеории не может уклониться от внематематического обоснования априорности ее принципов.
Общий вывод, вытекающий из сказанного, состоит в том, что мы должны снять неоправданные ограничения на метатеоретическое рассуждение, имеющие место в программе Гильберта. Мы должны отказаться от требования его финитности, от ограничений на логику и, наконец, от требования строго математического определения метатеории. Адекватная метатеория должна непосредственно определяться понятием онтологической истинности, которое не может быть заменено какой-либо системой собственно математических критериев. Основная проблема, которая здесь возникает - это, конечно, проблема определения сферы априорной математики. Праксеологическая теория познания указывает на определенные пути решения этой задачи.
О возможности обоснования теории множеств. Создатели первых программ обоснования математики были несомненно правы в том, что всякое такое обоснование может быть осуществлено только через выделение некоторой сферы математики, которая не нуждается в обосновании, т.е. через выделение обосновательного слоя, надежность которого не подлежит сомнению. Все известные программы сходятся в этой установке, отличаясь, однако, друг от друга выбором такого слоя. Слабость этих программ состояла в их догматичности, в том обстоятельстве, что ни в одной из них не было предпринято попыток теоретического оправдания обосновательного слоя. Почему ло-тические исчисления мы должны считать абсолютно надежными, откуда берется непогрешимая интуиция числа и натурального ряда, почему финитное рассуждение является заведомо надежным — эти важнейшие вопросы были оставлены без ответа. Предлагалось принять на веру, что жестко ограниченная и самоочевидная система принципов не может быть противоречивой.
Ценность праксеологической трактовки математических очевидностей состоит в том, что она открывает нам возможность рациональной критики обосновательного слоя. На этом пути мы не только
294
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
обосновываем надежность существующих программ в сфере их действия, но и получаем возможность их расширения без отказа от критерия абсолютной надежности. Если изложенные выше соображения верны, то новая программа обоснования математики должна иметь принципиально иной вид. Она не должна накладывать ограничений на законы классической логики, не должна ставить под сомнение самоочевидные принципы арифметики, не должна отвергать опору на геометрическую очевидность (с праксеологической точки зрения геометрическая очевидность, как и очевидность арифметическая, имеет не эмпирический, а онтологический характер), она не должна, наконец, отбрасывать трансфинитные принципы без анализа их связи с категориальной основой мышления.
Устраняя расхождения в определении обосновательного слоя, мы устраняем и проистекающую отсюда множественность программ обоснования. Новая программа приобретает, вследствие этого, более простую и общую формулировку: она сводится к вопросу о возможности обоснования существующей математики на основе ее априорной части. Если мы принимаем положение об априорности арифметики, то эта программа сводится к задаче обоснования непротиворечивости теории множеств при условии непротиворечивости арифметики и классической логики.
Чисто логический анализ вопроса показывает, что непротиворечивость арифметики позволяет обосновать непротиворечивость обширных фрагментов математического анализа и теории множеств.11 Определенные перспективы для обоснования математического анализа открывает связь его формального представления с геометрией прямой линии, аксиомы которой могут быть поняты в качестве априорных и, следовательно, абсолютно непротиворечивых.12
Другой и, по-видимому, также перспективный путь в обосновании теории множеств состоит в анализе ее аксиом с точки зрения их онтологической истинности. Есть основания думать, что к онтологически истинным аксиомам могут быть отнесены такие аксиомы как аксиома бесконечности и аксиома выбора.13 Логицистский анализ аксиом теории множеств, проведенный Н.Уайтхедом и Б.Расселом в начале прошлого века, показал, что аксиомами, затрудняющими сведение их к общезначимым суждениям логики являются именно эти две аксиомы. Мы оставим здесь вопрос о том, насколько корректно это заключение авторов Principia Mathematica с современной точки зрения. Не вызывает, однако, сомнения, что обоснование онтологической истинности этих аксиом позволило бы обосновать теорию множеств в ее наиболее значимых посылках.
Мы исходим здесь из того положения, что система онтологически истинных утверждений обладает абсолютной непротиворечивостью-Мы допускаем, в частности, что общезначимые принципы логики не
р Адерминов
295
могут войти в противоречие с априорными принципами математики. Теория априорного знания оправдывает эти допущения.
Представляется возможной также разработка стратегии обоснования, проистекающей из системной организации математической теории. Суть системного подхода состоит в обосновании непротиворечивости математической теории из логики ее становления. Можно провести аналогию между развитием математической теории и ростом кристалла. Если имеются исходные элементы кристалла, определяющие его матрицу, то молекулы из окружающей среды заполняют строго определенные места в предопределенной структуре, соответствующей данному веществу. В структуре формирующегося слоя могут оказаться неправильности: пустые места, совмещенные молекулы, молекулы другого вещества и т.п. Замечательная особенность процесса роста кристаллов состоит в том, что следующий уровень не может сформироваться до тех пор, пока не будут устранены дефекты на предыдущем. Центральная часть кристалла, таким образом, неизбежно приобретает законченные очертания и полную устойчивость под давлением расширяющегося процесса на периферии. В становящемся кристалле существует зона, в которой уже достигнута полная упорядоченность молекул и которая уже не возмущается никакими процессами на поверхности. Математическая теория может быть понята как кристаллическое образование в мире понятийных систем. Развитие математической теории имеет своим неизбежным результатом образование центрального ядра теории, которое является законченным и неразрушимым. Зрелая математическая теория родственна кристаллу по внутренней жесткости своих связей. Парменид утверждал, что мир неподвижен по той причине, что все места в нем заняты. Существует идеальное состояние математической структуры, которое будучи достигнуто остается окончательным и неизменным. Зрелая математическая теория, как и сформировавшийся кристалл, не может изменять своих внутренних связей: в отношении своих основных понятий °на абсолютно правильна и абсолютно закончена и может изменяться в дальнейшем лишь в плане языка и логического обобщения.
Этим обстоятельством объясняется, в частности, тот замечательный факт, что все парадоксы в математике имеют только периферийное значение и никогда не затрагивают утверждений существенно ассимилированных теорией. Математические теории переживают стадию установления основ, но в отличие от теорий эмпирических они не переживают революций, отвергающих эти основы. Отсюда проистекает, по-видимому, и известное равнодушие математиков к проблемам обоснования. Математическое сообщество с некоторых пор усвоило для себя ту простую истину, что математика обосновывает сама себя в процессе своего развития и что это обоснование в конечном Итоге обладает характером абсолютности.
296	СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Недостаток философии математики XX в. состоял в том, что при рассмотрении проблемы обоснования она не вышла за рамки логических представлений и чисто логические ограничения возвела в окончательное решение проблемы. Вместо того, чтобы понять естественную недостаточность логического анализа и посмотреть на те обстоятельства, которые остаются за его пределами, математики и философы в своем большинстве занялись методологической интерпретацией логических теорем, превратив их в некоторую релятивистскую метафизику, отрицающую достоверность и надежность математического мышления. Между тем, сам тот факт, что все противоречия, до сих пор появившиеся в математике, были чисто внешними и никогда не разрушали признанных теорий, говорит о наличии внутренних механизмов гармонизации математического мышления, не описываемых в рамках логики. Ясно, что проблема обоснования математики не может быть решена без учета этих механизмов.
Эти соображения указывают на то, что неизбежен новый этап исследований по основаниям математики, который будет отличаться от начального этапа более высоким уровнем философской и методологической рефлексии.
О надежности обоснования. Необходимо также внести определенную ясность в понятие абсолютного обоснования, использованное выше для характеристики современных и будущих обосновательных программ. Абсолютность гильбертовской программы имеет математический смысл: она называется абсолютной по той причине, что указывает путь доказательства непротиворечивости теории без допущений о непротиворечивости какой-либо другой теории. Но в гносеологическом плане она, конечно, также относительна, так как основана на метатеории, надежность которой должна быть принята на веру. Возникает вопрос, насколько обоснована эта вера.
Есть основания думать, что в математике мы в принципе можем достичь абсолютности и в этом последнем (гносеологическом) смысле. При обсуждении надежности интуиционистского обоснования мы уже приводили аргументы, показывающие, что система априорных очевидностей не может быть относительной, и доказательство, аподиктически очевидное во всех своих шагах, не может быть фальсифицировано: такая фальсификация потребовала бы отказа от онтологически истинных допущений, т.е. от самих норм мышления. Мы можем принять здесь также и то положение, что система онтологически истинных утверждений обладает абсолютной непротиворечивостью. Это значит, в частности, что общезначимые принципы логики не могут войти в противоречие с априорными принципами математики. Логическое положение: «Из истинности системы аксиом следует ее непротиворечивость» относится непосредственно к семантическому
В.Я-Перминов 297
определению истины. Мы допускаем, что это положение может быть распространено и на онтологическую истинность. С этой точки зрения, формалистское обоснование является абсолютным также и в том смысле, что оно опирается на некорректируемую и непротиворечивую метатеорию.
Этот момент принципиально важен, ибо основное возражение скептиков против абсолютного обоснования математики исходит из того положения, что здесь неизбежен регресс в бесконечность. Всякое обоснование, считают скептики, требует обоснования своих принципов и т.д. до бесконечности. В действительности, в сфере математики такой регресс обрывается на уровне априорных принципов, которые абсолютны по своей сути, по статусу априорного знания.
Общая посылка скептицизма, состоящая в том, что становящееся человеческое знание несовместимо с идеей некорректируемого обоснования, в принципе, является верной. Здесь, однако, упускается из виду статус априорного знания как знания предельно надежного. В «Основаниях психологии» Г.Спенсер высказывал мнение, что логические законы, в принципе, могут оказаться неточными. Но, прибавлял он, даже если дело обстоит таким образом, мы должны считать их абсолютно надежными, ибо ничего более надежного у нас нет. Здесь намечено важное разделение принципов абсолютных и принципов предельно надежных. Можно допустить, что абсолютно надежных оснований знания вообще не существует, что сама онтологическая истинность, обусловленная логикой субъектно-объектного отношения, претерпевает изменения от эпохи к эпохе, но и в этом случае мы должны будем признать, что исходные (онтологически истинные) принципы математики являются предельно надежными и, следовательно, не может существовать никакого обоснования математики, более надежного чем то, которое достигается через редукцию к такого рода принципам. Понятие абсолютного обоснования математики имеет. таким образом, вполне определенный гносеологический смысл: °но сводится к требованию априорности принципов, определяющих обосновательное рассуждение.
Выдающиеся математики, наметившие программы обоснования, Шли, несомненно, правильным путем, пытаясь выявить некоторый кРУг абсолютно надежных истин. Теория математического априоризма показывает, что такие сферы действительно существуют и что они Могут быть оправданы, как обладающие предельной надежностью. Это относится к законам классической логики, к исходным представлениям арифметики и к сфере финитной математики. Философия математики выявляет сущностную основу всех этих сфер через понятие априорности и онтологической истинности. Хотя сфера априорной Математики не может быть адекватно определена в математических Понятиях, мы имеем возможность рационального обоснования
29b
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
принадлежности к этой сфере тех или иных принципов и это обстоятельство обеспечивает абсолютное (предельно надежное) обоснование значительной части современной математики.
Слабость традиционных программ обоснования состояла прежде всего в их догматичности, в отсутствии теоретического определения границ обосновательного слоя и степени его надежности. Авторы этих программ ставили своей задачей обосновать математику в рамках самой математики, без существенного выхода в теорию познания рассматривая такой выход как противоречащий требованию строгости обосновательного рассуждения. Современная теория познания должна устранить этот предрассудок. Философский анализ важен в том отношении, что он позволяет обосновать онтологическую истинность аксиом арифметики и принципов классической логики, выявляя тем самым подлинный фундамент математического мышления и обосновательного рассуждения.
Распространенное мнение о невозможности строгого обоснования математики не выдерживает критики. Имеющиеся факты позволяют нам говорить лишь о неудаче известных программ, выдвинутых в начале XX в. Развитие философии математики указывает на необоснованную радикальность этих программ, открывая тем самым путь к поиску новых, более эффективных, подходов. Анализ природы исходных истин математики приводит к выводу, что возможна более широкая программа обоснования математики, не ограничивающая принципов классической логики и не исключающая гносеологических критериев из состава метатеории. Необходима философия математики, устраняющая ложный скептицизм и неоправданные ограничения.
Скептики правы и в том утверждении, что противоречия неустранимы из содержательных математических теорий и что не существует никакого набора предосторожностей, гарантирующих непротиворечивость обычных математических рассуждений. Анализ системных характеристик математической теории, однако, позволяет нам настаивать на непротиворечивости всякой достаточно зрелой математической теории и на абсолютной непротиворечивости системы выводов, охватываемых стабильными аксиоматиками. Это последнее обстоятельство позволяет считать, что идея абсолютного обоснования математической теории сохраняет смысл и в тех случаях, где исключена возможность логического (интуиционистского или метатеоретическо-го) обоснования ее непротиворечивости. Возможность абсолютного обоснования зрелых математических теорий представляется, таким образом, вполне реальной. Продвижение к решению этой задачи затрудняется в настоящее время главным образом отсутствием развитой философии математики, которая могла бы дать ясные критерии для определения обосновательного слоя.
R Я.ПсрМИНОВ
299
Примечания
1	Гильберт Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта / Под общ. ред. д. С. Александрова. М., 1969. С.11-64 (цит. с.25-27).
2	см.: Есенин-Вольпин А.С. Ко второй проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П.С.Александрова. М., 1969. С.83-91.
з	фреге Г. Основоположения арифметики. Томск, 2000. С.45.
4	Гильберт Д. О бесконечном // Гильберт Д. Избранные труды. В 2-х т. / Под общ. ред. А.Н.Паршина. М., 1998. Т.1. С.431-448.
5	Там же. С.461-463.
6	Обсуждение этого момента см.: Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. О новом подходе к методологии математики // Закономерности развития современной математики / Отв. ред. М.И.Панов. М., 1987. С.85-105 (цит. с.92-97).
7	См.: Нагорный Н.М. К вопросу о непротиворечивости классической формальной арифметики. М., 1995.
8	Конечно, не исключается возможность определения натурального ряда, отличного по своим свойствам от обычной последовательности целых положительных чисел. Но здесь мы должны хорошо уяснить тот факт, что всякое нестандартное определение натурального ряда лишает его статуса реальности (онтологической истинности). Натуральный ряд как общезначимый образ, связанный с универсальной онтологией мышления, является, несомненно, единственным.
9	Гильберт Д. Избранные труды. М., 1998. T.l. С.439.
’° На это обстоятельство указывает уже упомянутая выше теорема Геделя об интуиционистской интерпретации классической арифметики. В более широком плане эта идея была развита А.Н.Колмогоровым в статье «О принципе tertium non datur» // Колмогоров А.Н. Избранные труды. В 2-х т. М., 1985. Т.1. С.45-69.
*' См.: Крайзель Г. Обзор теории доказательств // Г.Крайзель. Исследования по теории доказательств / Пер. с англ. Ю.А.Гастева и Г.Е.Минца. М., 2001. С.9-113 (цит. с.86-96).
12 См.: Гастев Ю.А. О выразительных и дедуктивных возможностях логико-арифметических исчислений на базе теории типов // Исследование логических систем. М., 1970. С.78-95.
13 Некоторые соображения на этот счет приведены в моей книге: Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001. С.170-179.
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
К ИСТОКАМ ТЕОРИИ Л-МНОЖЕСТВ: ЗАМЕЧАНИЯ В СВЯЗИ С ПЕРЕВОДОМ
РАБОТЫ ХАУСДОРФА
В.И.Богачев, А.В.Колесников
Наша заметка появилась в процессе подготовки приводимого ниже перевода известной работы выдающегося немецкого тополога Феликса Хаусдорфа о мощности борелевских множеств. Переведя эту работу по предложению В.М.Тихомирова и проанализировав ряд недавних публикаций по истории тесно связанных с ней проблем и событий, мы решили поделиться с читателями своими наблюдениями и кратко изложить ряд интересных фактов и суждений. Именно под таким углом зрения и надо рассматривать наши замечания, не являющиеся всесторонним изложением истории предмета.
Публикуемая здесь в русском переводе работа Хаусдорфа принадлежит к классике дескриптивной теории множеств и общей топологии. В ней для важнейшего в приложениях класса множеств установлена справедливость гипотезы континуума. Этот же результат одновременно и независимо (причем с близким по идее доказательством) был получен П.С.Александровым [1], в то время студентом Н.Н.Лузина. Мы будем обсуждать обе работы параллельно, поскольку помимо того, что в них одновременно близким способом был доказан выдающийся результат теории множеств, сами построения содержали зерно будущей теории аналитических множеств, называемых также суслинскими или A-множествами. В [2] отмечено: «Ключевую роль в этих доказательствах сыграла возможность получить всякое борелевское множество вещественной прямой тем способом, который несколько позже и в переработанном виде получил название: А-опе-рация». В явном виде Хаусдорф и Александров A-операцию не
p g Богачев, А.В.Колесников
301
вводили. Это обстоятельство явилось источником последующих драматических коллизий вокруг истории открытия суслинских множеств [3"5]- В последние годы данная тема стала обсуждаться в историкоматематической литературе. Видимо, отчасти это объясняется эффектом публикации так называемого «дела Лузина» [4], в стенограммах которого нашли отражения споры приоритетного характера. Здесь мы не будем входить в технические детали, что удачно сделано в [3; 5] и что, разумеется, совершенно необходимо для всестороннего анализа вопроса, а коснемся лишь некоторых концептуальных моментов. Основные сведения о суслинских множествах в современном изложении можно найти (хотя это и не требуется для дальнейшего), например, в книгах [6, §1.10 и гл.6; 7]. Впрочем, все наиболее важные факты были открыты еще в довоенное время (либо при непосредственном участии Лузина, либо его учениками). Такие множества оказались чрезвычайно полезными во многих приложениях, так что их значение неизмеримо превзошло важность того специального вопроса, ради которого и были придуманы табличные представления.
Суть проблемы кратко сформулирована в заглавии статьи [5]: «Кто открыл аналитические множества?». Согласно определению, которое вскоре после выхода работ Александрова и Хаусдорфа дал М.А.Суслин [8] (также студент Н.Н.Лузина, см.: [9]), А-множества (по собственной терминологии Суслина) на прямой (или в п-мерном евклидовом пространстве) — это множества, представимые в виде
^ипл,..........пк,	<1)
(л,)Л=1	1	*
где АЯ) - открытые (или замкнутые) множества (у Суслина в определении фигурируют замкнутые интервалы), а объединение берется по всем последовательностям натуральных чисел (щ,П2, ). Суслин, давший словесное описание формулы (1), установил, что все борелевские множества представимы в виде (1), причем существуют неборелевские множества вида (1). С другой стороны, А-множества обладают многими хорошими свойствами борелевских множеств, например, как показал Лузин, они измеримы по Лебегу. В выключ-ньгх формулах статьи Хаусдорфа можно увидеть некоторые элемен-ты (1). С натяжкой что-то такое можно усмотреть в ветвящихся многоиндексных множествах А* " или во второй и третьей от конца вык-лючных формулах, если перейти к дополнениям (правда, хорошо бы еШе вместо убывания Vafiy потребовать возрастание, чтобы убываю-Щими стали дополнения). Стоит заметить,что с дополнениями тоже Не все так просто, ибо дополнение борелевского множества является борелевским, а вот дополнение неборелевского суслинского множества Уже не может быть суслинским. Аналогично обстоит дело и с
302
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ работой [1],про которую нередко писали (в том числе ее автор), чТо в ней открыта A-операция. Например, в комментарии к русскому переводу [1] (где, кстати, опущено имеющееся во французском оригинале упоминание о принадлежности Лузину части рассуждений) утверждается, что «таблица (е) есть не что иное, как A-система множества £ Чтобы в этом убедиться,достаточно переписать...», и далее объясняется, как нужно перестраивать эту таблицу, чтобы получить представление Суслина. Из этого объяснения видно, что усмотреть Л-систему в (е) можно лишь post factum, уже зная построение самого Суслина. Собственно, в свое время это признал и П.С.Александров, в ответ на слова Лузина: «В этом пункте, в этой второй таблице произошло переплетение нас трех, и отсюда возникает то, что я с полным правом могу сказать на своих лекциях, что Павлу Сергеевичу оставалось сделать один маленький шаг, и это открытие принадлежало бы Вам. Но ни Вы, ни я этого шага не сделали» ответивший: «Этого я не отрицаю» [4, с.161]. Правда, следует указать, что в работе Александрова дается точное табличное разложение всего рассматриваемого множества (см.: свойства 1) и 2) таблицы (е) в [1]) в отличие от работы Хаусдорфа, где происходит переход к подмножеству. Отметим также, что в 1924 г. П.С.Александров [10] показал топологическую инвариантность класса дополнений к A-множествам с помощью дуального табличного представления.
Важным достижением Суслина было не использующее трансфинитных чисел представление (1) борелевских множеств. Первая теорема заметки [8] («фундаментальная теорема») гласит: «Всякое множество, измеримое В, есть A-множество». Приведенная теорема свидетельствует о том, что М.Я.Суслин не считал сформулированное утверждение уже установленным в хорошо известной ему заметке [1] (иначе, надо полагать, он должен был бы просто дать соответствующую ссылку, хотя странно, что у него вообще нет ссылки на [1])-Отметим, что после того, как дано определение A-множества, из работы Александрова нетрудно усмотреть, что борелевские множества получаются из замкнутых с помощью операции Суслина, откуда не так далеко до представления через интервалы, как требовалось в первоначальном определении. Суслин далее пишет: «Мы получаем, следовательно, точный и единообразный способ определения всех точечных множеств, измеримых В, без использования трансфинитной индукции». Это может объяснять заглавие [8], не отражающее остальное содержание заметки, оказавшееся наиболее важным. По крайней мере, нельзя согласиться с высказывавшимся (см., например: [ПР утверждением о неуместности названия [8]. В рассуждениях Александрова и Хаусдорфа трансфинитная индукция существенно используется в описании борелевских множеств. Свободное от трансфинит-ной индукции доказательство того, что борелевские множества
д И Богачев, А.В.Колесников	303
являются A-множествами, вытекает из наблюдения Суслина, что класс A-множеств замкнут относительно счетных пересечений и объединений.
Таким образом, Суслин открыл не только A-множества, но и саму Л-операцию (последнего термина он не использовал): именно после его работы стало понятно, что Александров и Хаусдорф «фактически» использовали Л-операцию (в отечественной литературе долгие годы бытовала такая компромиссная трактовка: Л-операцию открыл Александров, а Л-множества — Суслин; в [5] затрагивается вопрос, сколь близко Александров и Хаусдорф подошли к явному введению Л-операции). Это «фактически» нередко используется в комментариях, чтобы воздать должное двум классикам, но оно было бы лишним, если бы и в самом деле представление (1) присутствовало в их работах.
Однако здесь вмешивается еще одно обстоятельство, чрезвычайно усложняющее всю картину: Александров и Суслин были студентами Лузина, который поставил им задачи, обсуждал решения, исправлял ошибки, что-то предлагал... Кроме того, Суслин и с Александровым вел обсуждения. Возможно, субъективная оценка П.С.Александровым своего вклада в открытие A-операции была связана не только с самим текстом его заметки (скажем, он не говорил, что давший близкую конструкцию Хаусдорф ввел A-операцию), а именно вот с такими недокументированными обсуждениями, ведь обычно автор понимает больше, чем написано в его работе (но тогда тем более уместно говорить и о роли Лузина). Такое влияние Александрова на открытие Суслина представляется несомненным (и в этом можно как-то различать роль работ Александрова и Хаусдорфа). В своей автобиографии [И] П.С.Александров отметил, что термин «А-множество» был выбран Суслиным в его честь (что не раз говорил он и своим Ученикам). Правда, в протоколах [4, с.90, 159] он утверждал, что Суслин «никогда не говорил, что назвал их так в мою честь. Однако Н.Н.Лузиным эта вещь была сформулирована в лекции, читанной в Московском университе.» Теперь уже не у кого спросить. В.Серпинс-кий, который не только был очевидцем первых открытий теории аналитических множеств, но и одним из ее создателей, писал [12]: «Я также читал рукопись Суслина1 непосредственно после Лузина и Знаю, как Лузин помогал своему ученику и направлял его работу. Некоторые авторы называют аналитические множества суслинскими; Правильнее было бы называть их множествами Суслина-Лузина».
Остановимся на одном замечании Лоренца [5, с.31]: «Роль Хаус-Д°рфа в открытии аналитических множеств никогда должным обра-3°М не освещалась в советской литературе». Здесь можно согласиться с Тем, что переведенная ниже работа Хаусдорфа действительно редко Оптировалась в отечественной литературе при упоминании результата
304
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
о мощности борелевских множеств со ссылкой на работу Александре ва: можно привести примеры многих статей, обзоров и книг, включая книги самого П.С.Александрова. Есть, конечно, и другие примеры-скажем, в [2; 14] дан объективный комментарий. Однако вряд Ли есть основания предполагать, что данная работа Хаусдорфа оказала влияние на открытие Суслина (что не отрицает присутствия в ней элементов операции Суслина). Здесь мы имеем в виду именно содержательную сторону по аналогии со сказанным выше о работе Александрова, а не только то обстоятельство, что в условиях военного времени ученые были лишены контактов, и неясно, когда именно московская группа ознакомилась с работой Хаусдорфа. Кстати, в трудах Лузина нам удалось найти лишь одну ссылку на данную работу [15, с.36]: «Это свойство впервые было открыто Хаусдорфом и Александровым», в подстрочном примечании цитируются обе работы; однако в сокращенном переводе [16] этого текста, как и ссылок, нет. Сам результат упоминается Лузиным в работе [17] 1921 г. (в подстрочном примечании редакции указано, что она содержит результаты Лузина, полученные в 1917 г.), а также в работах [15, с.326, 364; 18~20]. «Это свойство было впервые открыто Александровым и Хаусдорфом» [19], причем даже вводится термин «свойство Александ-рова-Хаусдорфа». Однако это может объясняться тем, что Лузин избегал цитирования при упоминании о теореме Александрова—Хаусдорфа, видимо, из-за нежелания цитировать П.С.Александрова, с которым у него со временем сложились весьма напряженные отношения, вместо этого он предпочитал формулировать теорему сразу для аналитических множеств. Например, в [15, с.129] дана такая формулировка: «Всякое несчетное аналитическое множество необходимо содержит совершенное множество и, следовательно, имеет мощность континуума». В подстрочном примечании указано: «Теорема Суслина. См.: Comptes Rendus, 8 января 1918 г.»; в заметке Суслина (речь идет о заметке [8] от 8 января 1917 г.) ничего подобного нет, но в конце непосредственно следующей за ней заметки самого Лузина от того же числа это же утверждение упоминается как доказанное Суслиным (см.: [15, с.272]).
Другое дело, что общее идейное влияние безусловно имела вышедшая в 1914 г. и быстро ставшая классической книга Хаусдорфа [21], а на все дальнейшее развитие теории суслинских множеств несомненно повлияла его книга [22] (которая обозначена как второе издание [21], но фактически это другая книга даже с несколько измененным названием; следует отметить, что и русский перевод содержит много изменений по сравнению с оригиналом). Эта книга и сейчас остается одним из наиболее цитируемых источников по теории суслинских множеств. Наконец, следует подчеркнуть и то обстоятельство, что именно Хаусдорф ввел в [22] термины «суслинское множество ► и
g g Богачев, A.B.Колесников
305
«операция Суслина», ставшие общепринятыми. В воспоминаниях [11] указывается, что это сделано по предложению П.С.Александрова, однако не исключено, что это частичное объяснение: ведь Хаус-дорф назвал суслинскими не только множества, но и саму операцию, которую П.С.Александров считал своим изобретением. В [5, с.30] ошибочно утверждается, что терминология Хаусдорфа при переводе его книги была изменена П.С.Александровым на А-терминологию. Как ни странно, это же однажды утверждал и сам П.С.Александров; в [4, с. 155] читаем его слова о терминологии Хаусдорфа: «По поводу этого я имел 7-го января этого года беседу с Н.Н.[Лузиным] в Академии наук, здесь в коридорах, когда Н.Н. мне сказал, что он в ультимативной форме требует, если я желаю поддерживать с ним какие-либо отношения, в ультимативной форме требует от меня, как переводчика книжки Хаусдорфа, отказа от этой терминологии. Тогда я сказал Н.Н., что эта терминология сохранена не будет, и она не была сохранена. Можно доказать, что она изменилась не вследствие этого разговора, потому что перевод давно уже был в издательстве. ...В этой книжке не сохранена терминология Хаусдорфа, а названо Л-множества, как их назвал Суслин». Возможное объяснение состоит в том, что после описываемых в [4] событий июля 1936 г. терминология была изменена еще раз. В выходных данных русского перевода [22] значится: сдано в производство 1/Х 1936 г., подписано к печати 8/V 1937 г., а предисловие подписано 7 августа 1936 г. В [4, с. 155] указано, что Лузин отрицал сказанное Александровым, но имеются и другие свидетельства, что он был против терминологии Хаусдорфа (хотя до конца своих дней хранил фотографию Суслина на рабочем столе). Это ясно и из его книги [16], в которой сам характер цитирования Суслина едва ли можно признать адекватным: хотя в подстрочных примечаниях к отдельным теоремам и говорится об авторстве Суслина, из текста невозможно догадаться о том, что именно Суслин открыл аналитические множества. Само определение аналитического множества дано в форме, предложенной Лузиным, со ссылкой на сообщение Лузина в Comptes Rendus (датированное 8 января 1917 г., как и сообщение Суслина), но без упоминания о Суслине. Затем идет Длинное подстрочное примечание (целая страница петита в [15, с. 117]) с лузинской трактовкой происхождения названия «аналитическое множество», где заметка Суслина цитируется наряду с заметкой самого Лузина как «наши заметки», но лишь в терминологическом аспекте и без указания его приоритета. В сокращенном переводе 1953 г., подготовленном еще при участии самого Лузина, нет и этого подстрочного примечания. Все это резко контрастирует с обычной манерой Лузина весьма развернуто и точно комментировать используемые им идеи и методы других авторов. Конечно, о случайности или забывчивости здесь не может быть и речи. Возможно, какое-то объяснение дает фраза Лузина, сказанная много лет спустя в ответ
306__________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
на обвинения со стороны П.С.Александрова (см. [4, с. 161]): «>{0 когда я почувствовал, Павел Сергеевич, что наше переплетение -Суслина, Ваше и мое — очень тонкое, то я считал нужным вернуть терминологию на тот путь, из которого она возникла, именно Лебега о функциях множества». Переход к новой терминологии2 мог быть реакцией Лузина на полное непонимание учениками его вклада в работы Александрова и Суслина, которое так и бьет из стенограмм выступлений П.С. Александрова и ряда других лузинских учеников в [4] (как заметил Лузин [4, с. 161]: «Но здесь тоже надо мужество — сказать что я занимался не только как переписчик Вашей ноты и не только тем, чтобы сокращать и вдавливать коленом этот материал, но мною было сделано очень много, и эта таблица была сделана мною одним».). Несомненно, это почувствовал цитировавшийся выше Серпин-ский, когда вместо одного термина, введенного Суслиным возможно в честь Александрова, возник другой, предложенный в честь Суслина с участием Александрова. Теперь все три термина употребляются как синонимы, а лузинскими пространствами, по предложению Бурбаки, называются непрерывные инъективные образы полных сепарабельных метрических пространств. Такое разнообразие терминов оказалось полезным при переходе к общим топологическим пространствам. Здесь суслинскими называют непрерывные образы полных сепарабельных метрических пространств, а множества, полученные из замкнутых с помощью A-операции, называют F-аналитическими.
На основе анализа текстов переведенной работы Хаусдорфа и работы П.С.Александрова [1] нам представляются правомерными сделанные в [2; 3; 5; 14] выводы, что обе работы содержат в себе основную идею или зерно операции Суслина и дают блестящее ее применение, но все же не содержат эту операцию в полном объеме, так что нельзя утверждать, что эта операция открыта в этих работах (даже безотносительно вопроса о том, получаются ли с ее помощью неборелев-ские множества). Выдающееся же значение обеих работ и содержащегося в них результата состоит в том, что благодаря им очерчен в определенном смысле максимальный класс множеств, для которых справедлива гипотеза континуума. Даже для дополнений суслинских множеств справедливость гипотезы континуума зависит от привлечения дополнительных теоретико-множественных аксиом (см.: [14; 27]). Наконец, из собранных выше наблюдений и высказываний напрашивается вывод, что разрешение упомянутых в начале нашей заметки коллизий не стоит искать в том, чтобы точно отмерить вклад каждого из создателей теории аналитических множеств и как-то линейно упорядочить их. Общим итогом их совместного творчества и взаимодействия стало рождение одной из красивейших общематематических теории XX века, которая удивительным образом сочетает близость к самым основаниям математики и широкое прикладное значение.
g p[.Богачев, A.B.Колесников	307
-—---------------------------------------
Примечания
1 рукописи М. А. Суслина не сохранились. Его дипломная работа, как отмечено в архиве Московского университета, была ему выдана. Доказательства всех теорем из краткого сообщения Суслина были даны в работах Лузина и Лузина и Серпинского. Эти доказательства, видимо, отличались от оригинальных, во всяком случае, как указано в [13, с.248], в архиве Лузина имеется подробное неопубликованное доказательство Лузина теоремы Суслина с замечанием, что доказательство самого Суслина требует утомительных выкладок и «легко запутаться в символике. Нужна большая уверенность, когда кончаешь читать его, что твой взор достаточно острый, чтобы заметить какой-нибудь обман автора теоремы: так доказательство искусно».
2 Начиная со статьи [23] 1925 г.; еще в совместной статье с Серпинским [24] 1923 г. употребляется термин A-множество и говорится [15, с.286]: «Только глубокий анализ теории A-множеств, созданной Суслиным, позволил нам получить результаты, изложенные в этом мему аре»; в последующие годы Лузин пытается создать миф о появлении первого примера неборелевского аналитического множества еще у Лебега и всячески привязать возникновение теории аналитических множеств к работе Лебега [25], чему сам Лебег был весьма удивлен (см.: [26], а также комментарии в [15]). Конечно, влияние работы Лебега [25] несомненно. Она цитируется и Хаусдорфом, и Александровым, и Суслиным, причем известно, что последние двое по указанию Лузина в течение длительного времени тщательно разбирали эту работу.
Список литературы
1.	Alexandroff Р. Sur la puissance des ensembles mesurables В // Comptes Rendus de l'Acad6mie des Sciences de Paris. 1916. Т.162. P.323-325 (рус. пер.: Александров П.С. О мощности множеств, измеримых по Борелю // И. С. Александров. Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств. М., 1978. С.35-39).
2.	Успенский В.Л., Кановей В.Г. Вклад М.Я.Суслина в теоретико-множественную математику // Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. 1988. №5. С.22-30.
3.	Тихомиров В.М. Открытие А-множеств // Историко-математические исследования. М., 1993. Вып.34. С.129-139.
4.	Дело академика Николая Николаевича Лузина / Отв. ред. С.С.Демидов, Б.В.Лев-шин. СПб., 1999.
5.	Lorentz G.G. Who discovered analytic sets? // Mathematical Intelligencer. 2001. Vol.23. №4. P.28-32.
6.	Богачев В.И. Основы теории меры. Регулярная и хаотическая динамика. М.-Ижевск, 2003. Т.1, 2.
7.	Kechris A.S. Classical descriptive set theory. Berlin-New York, 1995.
8.	Souslin M. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres transfinis // Comptes Rendus de I'Acaddmie des Sciences de Paris. 1917. T.164. P.89-91 (pyc. nep.: М.Я.Суслин. Об определении множеств, измеримых В, без помощи трансфинитных чисел. [9. Приложение]).
9.	Игошин В.И. Михаил Яковлевич Суслин: 1894-1919. М., 1996.
Ю. Alexandroff Р. Sur les ensembles complementaires aux ensembles (A) // Fundamenta Mathematicae. 1924. Vol.5. P.160-165 (рус. пер.: Александров IT.C. О множествах, дополнительных А-множествам //IT. С.Александров. Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств. М., 1978. С.40-45).
11.	Александров ГТ. С. Страницы автобиографии // Успехи математических наук. 1979. Т.34. Вып.6. С.219-249.
12.	Серпинский В. О теории множеств. М., 1966.
13.	Кук Р.Л. Архив Лузина // Историко-математические исследования. М., 1993. Вып.34. С.246-255.
308
НАШИ публикапнд
14.	Успенский В.А. Вклад Н.Н.Лузина в дескриптивную теорию множеств и функ понятия, проблемы, предсказания // Успехи математических наук 1985 тИ®: Вып.З. С.85-116.	1'40
15.	Лузин Н.Н. Собрание сочинений. М., 1958. Т.2.
16.	Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. И 10« (сокр. и испр. пер. с фр.: N. Lusin. Lejons sur les ensembles analytiques et leu applications. Paris, 1930; существенно расширенный перевод дан в [15. Т.2]) R
17.	Lusin N. Sur 1'existence d’un ensemble non-ddnombrable qui est de premiere cateeor dans tout ensemble parfait // Fundamenta Mathematicae. 1921. Vol.2 P 155-1 ^7 (pyc. nep.: [15. T.2. C.692-694]).	°'
18.	Lusin N. Mdmoire sur les ensembles analytiques et projectifs // Математический сбоп-ник. 1926. Т.ЗЗ. Вып.З. С.237-290 (рус. пер.: [15. Т.2. С.317-379]).
19.	Lusin Н. Sur les ensembles analytiques // Fundamenta Mathematicae. 1927 Vol Ю P.1-95 (pyc. nep.: [15. T.2. C.380-459]).
20.	Lusin N. Sur les ensembles toujours de premidre categoric // Fundamenta Mathematicae. 1933. Vol.21. P.114-126 (pyc. nep.: [15. T.2. C.699-708]).
21.	Hausdorff F. Grundzflge der Mengenhlehre. Leipzig, 1914.
22.	Hausdorff F. Mengenlehre. Berlin-Leipzig, 1927 (рус. пер. с изменениями и доп.: Ф.Хаусдорф. Теория множеств. М.-Л., 1937).
23.	Lusin N. Sur un probleme de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques / / Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris. 1925. T.180. P.1318-1320 (pyc. nep.: [15. T.2. C.301-303]).
24.	Lusin N., Sierpinski Ж. Sur un ensemble non-mesurable В // Journal des mathdmatiques pures et appliquies. Ser.9. 1923. Vol.2. P.53-72 (pyc. nep.: [15. T.2. C.285—300]).
25.	Lebesgue H. Sur les fonctions reprtsentables analytiquement // Journal des mathdmatiques pures et appliqudes. Sdr.6. 1905. Vol.l. P.139-216-
26.	Лебег А. Предисловие к книге Н.Н.Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» // Успехи математических наук. 1985. Т.40. Вып.З. С.9-14 (пер. предисловия из французского оригинала [16] с комментариями В.А.Успенского).
27.	Кановей В. Г. Развитие дескриптивной теории множеств под влиянием трудов Н-Н.Лузина // Успехи математических наук. 1985. Т.40. Вып.З. С.117-155.
МОЩНОСТЬ БОРЕЛЕВСКИХ МНОЖЕСТВ1 Ф.Хаусдорф
Перевод с немецкого В.И.Богачева и А.В.Колесникова
Систему множеств, в которую входит также сумма
Мо =6(.Mi,M2,M3,...)
счетного числа множеств системы, назовем ст-системой; систему, в которую входит также пересечение
М6 =S(M1,M2,M3,...)
счетного числа множеств системы, назовем 5-системой; систему, обладающую обоими свойствами, назовем (ст<5)-системой. Построим наименьшую (ст<5)-систему, содержащую все области2 и назовем множества этой системы борелевскими. Мы считаем для простоты, что речь идет о точечных множествах некоторого евклидового пространства произвольного числа измерений (другие пространства, для которых
ф ХаусдорФ 309
остаются в силе наши рассмотрения, будут указаны в соответствующих местах); поскольку можно исходить также из кубов, а не из областей, то борелевские множества, по крайнем мере, ограниченные, а также некоторые неограниченные, обладают лебеговской мерой3 и называются как известно «измеримыми в смысле Бореля» (mesurables
К борелевским множествам относятся последовательно
(1)	области G,
(2)	пересечения счетного числа областей (суммы Ga счетного числа и даже суммы произвольного числа областей сами опять являются областями),
(3)	суммы G$a счетного числа множеств из G# (пересечения G^ таковых снова есть множества G^),
(4)	пересечения Сдаад счетного числа множеств из G^a и так далее для конечных индексов, а затем
(со) пересечения счетного числа множеств классов (1)(2)(3)...,
(со + 1) суммы счетного числа множеств класса (со) и так далее для трансфинитных индексов второго числового класса Кантора. С целью уточнения закона этого построения определим по индукции для всякого ординального числа а (1 = а < Q) класс множеств (а) следующим образом:
К классу (1) отнесем области.
Для нечетных а = 2/3 + 1 > 1 отнесем к классу (а) суммы счетного числа множеств из низших классов (4), £ < «.
Для четных а = 2/3 отнесем к классу (а) пересечения счетного числа множеств из низших классов (£), %<а.
Множества всех классов (а) и только они суть борелевские множества. Каждое борелевское множество входит в один из низших классов, а тогда и во все следующие, так как можно написать
М = 6(М, Af, М,...) = 2)(М, М, М,...).
Вследствие этого очевидным образом можно строить каждый нечетный класс (а) = (2/3 + 1) при а > 1 из сумм, а каждый четный класс (а) = (2/3 + 2), индекс которого не является предельным, из пересечений счетного числа множеств из непосредственно предшествующего класса (а — 1), как мы делали при представлении первых классов; Можно также, как мы это будем делать дальше, строить каждый нечетный класс (а) из сумм счетного числа множеств из четных классов ($) и каждый четный класс (а) из пересечений счетного числа множеств нечетных классов (£), где £ < а.
Для представления борелевских множеств можно также исходить из замкнутых множеств вместо открытых. Построим классы [а] дополнений множеств из (а), так что здесь возникают следующие классы:
[1]	замкнутые множества F,
310_________________________________________НАШИ ПУБЛИКА^
[2]	суммы Fa счетного числа замкнутых множеств,
[3]	пересечения Fa$ счетного числа множеств из Fa,
[4]	суммы Райа счетного числа множеств из Fa^
и так далее; следует лишь чередовать обе операции суммы и пересечения в каждом предшествующем классе. Эти дополнения борелевс-ких множеств, однако, также являются борелевскими множествами лишь несколько иных классов; в самом деле, всякое F есть Сй и вся-' кое G есть Fa (это верно во всяком метрическом пространстве-G.d.M., с.306), поэтому класс [а] входит в класс (а+1), а класс (а) входит в класс [а + 1].
Сумма и пересечение двух (или конечного числа) множеств класса (а) также входит в этот класс. Если таким свойством обладает некоторая система множеств М, то тогда его имеют и совокупности Ма и М$; оно переносится таким образом с областей на все последующие классы. В этом случае можно представить Мо в виде сумм возрастающих последовательностей множеств, т.е. положить
Ма = 6(Mx,M2,M-it...), Мх ^М2^М3
заменяя в противном случае Мп на сумму &{М^,М2,М^,...,Мп),которая снова лежит в М; также представляется как пересечения убывающих последовательностей множеств. Разность двух множеств класса (а) есть пересечение множества класса (а) с множеством класса [а], значит, пересечение двух специальных множеств класса (а + О.тем самым, само класса (а + 1), впрочем, точно так же класса [а + 1]. Все это верно также для класса [а] дополнений.
Можно задаться вопросом, всегда ли повторное образование сумм и пересечений ведет к новым классам; действительно, могло бы случиться, что некоторый класс (а) уже есть (об)-система, таким образом все борелевские множества принадлежали бы в действительности этому или более низкому классу. Конечно, это зависит от пространства, которому принадлежат наши множества; в пространстве со счетным числом точек каждое точечное множество было бы самое большее счетным, т.е. из класса Fa. Однако в евклидовом пространстве существуют борелевские множества произвольно высокого класса, которые не сводятся ни к каким низшим классам: это вытекает из связи4 борелевских множеств с функциями Бэра и из теоремы Лебега (доказанной в указанной работе), согласно которой существуют бэ-ровские функции сколь угодно высокого класса, не сводящиеся ни к какому низшему классу.
Укажем пару примеров (линейных) борелевских множеств: множество рациональных чисел есть Fa, но не G^, ибо его дополнение было бы тоже Fa и оба имели бы первую категорию. Функция /Хх), которая равна 1 для рациональных х и равна 0 для иррациональных, является бэровской функцией второго класса, но никакого низшего,
грХаусдорФ,
311
поскольку она есть двойной предел (предел пределов) непрерывных функций, но не одинарный. Множество иррациональных чисел, в которых члены разложения в цепную дробь расходятся к оо, есть Fo$, но не G&r; функция, которая равна 1 на этом множестве и 0 вне его, является бэровской функцией третьего, но не низшего, класса.5
Перейдем теперь к цели этого сообщения, а именно к показатель-ству теоремы:
Всякое борелевское множество либо конечно, либо счетно, либо имеет мощность континуума.
Ранее это было установлено Г. Кантором для замкнутых множеств F, У.Г.Юнгом для множеств типа G6; мной это было доказано (G.d.M., с.465) уже для множеств G^, после чего для множеств G^o утверждение тривиально. В целом это показывает справедливость теоремы для множеств
G, G$, Gga, G^oq , Gfoto и F, Fa, Fo$, Fg$g
вплоть до классов (5) и [4],например, для разностей двух множеств из классов вплоть до (4) и [4]. Теорема выше, верная для борелевских множеств всех классов с конечным и бесконечным индексом, является таким образом весьма далеко идущим обобщением ранее известных теорем о мощности.
Мы используем представление борелевских множеств через области и обозначаем класс (£) просто через вспомним далее, что множества четных классов можно представить как пересечения множеств нечетных классов, которые в свою очередь могут быть представлены как суммы множеств четных классов, причем суммы мы можем построить из возрастающих последовательностей слагаемых. Достаточно доказать теорему о мощности для множеств четных классов. Множество из четного класса £ представляется следующим образом:
А =®(Л1,Л2.-)
где Aj из нечетного класса £г- <£. При = 1 множество Л/ есть область и разложение оканчивается; при >1 имеем
А{ =<5(A\,Al,...) = <SpAPi,
где Д? входит в четный класс	Далее
Ар = V(Ap,AP2,...)=VkAp,
где APk входят в нечетный класс $Pk <$Р - При ^Pk > 1 тогда имеем
л’=е(А'’,л’2,...)=б,л«,
затем снова
312__________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
дРЯ — гг\( дРЯ дРЯ \ — 'Г) дРЯ
и т.д. Но если теперь выбрать последовательность натуральных чисел ikl...,pqr...,4O в последовательности нечетных убывающих ординальных чисел
А. >fiP >0*1 > $ik *ikl ~
за некоторое конечное число шагов должно возникнуть число 1, а в соответствующей последовательности множеств некоторая область (впрочем, можно, конечно, множество четного класса также свести к множеству низшего класса,в частности,к области). Мы считали,что с появлением области разложение заканчивается, но сейчас принимаем договоренность, что разложение продолжается по формуле
G = 6(G,G,G,...) = D(G,G,G,...);
если, например, =G,to должно быть также
АР =АРЧ =АРЧ =АРГ =..=G. tk ik iki tki
Таким образом, определены все множества, как с одинаковым количеством верхних (суммы) и нижних (пересечения) индексов, так и те, у которых количество нижних индексов на единицу больше, и в последовательности множеств
А?,А^,А^,... г ’ ik ’ ikl ’
должна в конце концов возникнуть область.
Предположим, что А несчетно. Ввиду того, что A£ At = 6рА^, имеем А = 6рТ)(Л, А^ ); среди счетного числа слагаемых безусловно находится одно несчетное, например, GpD(A,A^). Пусть , Х2 " точки накопления6 этого множества, ему принадлежащие; представим их как центры замкнутых шаров Vt, V2, У которых нет общих точек, и, в случае, если А^ есть область, принадлежат этой области, т.е.
(G) ц + v2 с ;
знак (G) здесь и в дальнейшем означает, что указанное включение' выполняется тогда и только тогда, когда множество в правой части есть область. В этом случае может быть наложено указанное выше условие,ибо ,х2 являются точками А^х. Если Ut, U2 ~ принадлежащие Ц, V2 шаровые области с такими же центрами и радиусами, то
Dtt7a,A^p')
^Хаусдорф 313
яесчетно для а = 1, 2 (в дальнейшем a, ft, у,. . . обозначают числа 1, 2)-
Это множество £ Л2 = АР2 > откуда мы заключаем, как и выше, что одно из множеств 5)(Ua, А, А^', АР2) несчетно для соответствующего р; поскольку мы можем считать, что АР возрастают с индексом р, то при некотором достаточно большом р получаем оба случая а = 1, 2; таким образом,
Ыиа,А,А^,А%}
несчетно. Но это множество в свою очередь £ А^ — <5дА^ и мы снова заключаем,что для достаточно большого q = q\\
V(Ua,A,Ap\AP2,A™")
несчетно для обоих значений а. Пусть ,хЯ2 - две точки накопления этого множества, ему принадлежащие; представим их как центры замкнутых шаров Va ,Va2 без общих точек,лежащих в иа,атак как множества А?2 ,А^^' являются областями, также и в этих областях, т. е.
Vai +Va2 £Ua;
(G) Val+Va2£A^,Val + Va2^A™“;
каждое из обоих последних условий считается выполненным тогда и только тогда, когда множество справа есть область. Если Uap — шаровая область с таким же центром и радиусом,как и Va^,xo
SXU^.A.A? ,АР2 ,АРз ,А™" )
несчетно для всех четырех возможных наборов значений а,/?.
Наметим следующий шаг построения. Последнее указанное множество есть подмножество
Л3 =6рАр, А* = &дА™, А% = &дА™, А™" =&ГА™*, И, повторяя вывод о несчетности одного из счетного числа слагаемых с несчетной суммой, получаем, что
, A, А?1, АР2, АРз, Л™", Л/™2, Л™"""1)
Для достаточно больших значений Л'3’<712.<721>г111 несчетно для всех Четырех наборов значений a, ft. Для двух точек накопления, принадлежащих этому множеству, строятся замкнутые шары, не имеющие обилия точек,таким образом, что
Vaft\. + Vafi2 ^Ua0’>
314_____________________________________________НАШИ ПУБЛИКАии^
(п\ JZ J. TZ <-	ир,<?12 дР2<721 ЛР1<Й1гН1
<G> Vafr + Vafi2 С лз • Аг • Л21 • All
где последнее включение считается выполненным тогда и только тогда, когда множества в правой части есть области. Последнее из указанных выше пересечений множеств остается несчетным, если Uap заменить на соответствующую Vapy шаровую область иа^. На следующем шаге появляются множества с суммой нижних индексов 4 (А4 Дз,..., Дш с достаточно большим последним верхним индексом) и Т.д.
Итак, получаем «диадическое» множество
имеющее мощность континуума.8 По построению оно является подмножеством множества
D =	(Ар , Ар, Ар ,..., А™", Ар’12, Ар92',..., А™Лп,...)
причем пересечение берется по тем и только тем множествам в скобках, которые являются областями; несмотря на это, здесь появляются множества
A Pi Д Pi^ik д Piflitfikl
Ai ’ Aik ’ Aikl
при всех значениях i,k,l и надлежащих значениях Pi.Qtk^ikr
Это множество есть подмножество нашего исходного множества А. Мы покажем, что не принадлежащая А точка х не принадлежит также и D. Если точка х не принадлежит А, тогда она не принадлежит по крайней мере одному из множеств А, (для некоторого г). Тогда она не принадлежит никакому из множеств А? (для р = 1, 2, 3 ...), в частности множеству Ар. Значит, она не принадлежит по крайней мере одному множеству Ар (для соответствующего k), следовательно, не принадлежит множеству Ар^‘*, множеству Арр* (для соответствующего /), множеству	и т.д. В ряду этих множеств
в конце концов появляется область G, которому х не принадлежит, в то время как G используется в построении пересечения D, поэтому в DcG. Итак, х не может принадлежать D, следовательно доказано, что А С D С А имеет мощность континуума.
Таким образом, выяснен вопрос о мощности множеств весьма обширной категории; однако, разумеется, это едва ли может считаться шагом к решению проблемы континуума, ибо борелевские множества составляют очень специальную и малую часть (мощности К континуума) в системе всех множеств (которая имеет мощность 2х > К).
g П/Гроицкий 315
«*«
Заметим, что как и оба основных пункта доказательства (существование точек накопления в несчетном множестве и общих точек убывающей последовательности замкнутых множеств), теорема о мощности справедлива во всяком полном пространстве со счетным всюду плотным подмножеством, например, в гильбертовом пространстве и некоторых функциональных пространствах (G.d.M., с.317).
Примечания
1	Hausdorff F. Die Machtigkeit der Borelschen Mengen // Math. Ann. 1916. Bd.77. №3. S.430-437. При переводе мы старались сохранить основные черты стиля и оформления оригинала. (Прим, перев.)
2	Как в моей книге «Grundziige der Mengenlehre» (Leipzig, 1914), которую я сокращенно цитирую как G.d.M., под областью понимается множество, имеющее лишь внутренние точки (но, против обычного словоупотребления, не обязательно связное), т.е. дополнение замкнутого множества.
3	Согласно теории меры К.Каратеодори: Uber das lineare Mass von Punktmengen // Gott. Nachr. (1914), допускающей также меру oo, все борелевские множества измеримы.
4	Lebesgue Н. Sur les fonctions representables analytiquement // Joum. de Math. 1905. Vol.6. №1; Young W.H. On functions and their associated sets of points // Proc. London Math. Soc. 1912. Vol.2. №12.
5	Baire R. Sur la representation des fonctions discontinues // Acta Math. 1906. Vol.30.
6	x называется точкой накопления X, если в любой окрестности х лежит несчетное количество точек из М. В евклидовом пространстве (более общим образом, в метрическом постранстве со счетным всюду плотным подмножеством) любое несчетное множество имеет точки накопления, и все они, за исключением не более чем счетного числа, принадлежат ему. «Замкнутый шар» V с центром х и радиусом р есть множество точек, удаленных от хна расстояние S р, «шаровая область» 17 есть множество точек, удаленных от х на расстояние < р.
7	В оригинале: Ungleichung, т.е. неравенство; для обозначения включения в оригинале используется немного закругленный символ (Прим, перев.)
8	Ограниченные, замкнутые, убывающие множества Va, V^,	имеют (по меньшей
мере) одну общую точку для каждой состоящей из 1, 2 цифровой последовательности afty.... Это верно во всяком «полном» пространстве, если наложить еще легко реализуемое условие, что радиусы этих шаров стремятся к 0 (G.d.M., с.318). Кстати, множество А совершенно.
НОВОЕ СЛОВО ОБ АНТИЧНОМ АТОМИЗМЕ1)
В. П. Троицкий
Ранее не публиковавшаяся работа А.Ф.Лосева (1893—1988), посвященная античному атомизму в связи с генезисом некоторых логико-математических представлений, относится к первой половине 1960-х гг. Данный период в творчестве философа знаменателен: именно тогда начала выходить в свет многотомная «История античной эстетики» (1963-1994), то фундаментальное исследование, которое было призвано, по замыслу автора, охватить все сколько-нибудь
1) Настоящая вступительная заметка и публикация работы А.Ф.Лосева подготовлены при финансовой поддержке РГНФ (проект №04-03-00165а).
316
значимые явления античной мысли в их специфическом облика ..
।	И В 33
имозависимости вместе с указанием основных рефлексов этой мы на последующем развитии европейской культуры. Главные зада «Истории» очевидным образом явлены и в статье об атоме Демоко та.
Говоря о специфике античного атомизма, А. Ф.Лосев пользуется привычной для советской науки марксистской методикой и даже вполне сочувственно напоминает об известной связи (делая, впрочем упор только на «логическом соответствии») атомизма с «торгово-денежной демократией», а платонизма — с «торгово-денежной аристократией» периода греческой классики. Однако собственная позиция исследователя во многом нова и специфична. Прежде всего, ему явно чужды прямолинейно-прогрессистские оценки атомизма, обычно следовавшие из идеологических установок. Поэтому древнегреческий атомизм, по А.Ф.Лосеву, столь же «приземлен» на рабовладении, органично связан с этим главным принципом античной экономики (атом как своеобразное обобщение самочувствия рабовладельца), сколь и платонизм соответствует тому же общему истоку (напомним знакомое нам по другим трудам А.Ф.Лосева «выведение» отношений идеи и материи из отношений рабовладельца и раба). Более того, речь идет не только о едином социокультурном истоке, но о принципиальной близости этих двух основных направлений античной мысли. Фактически А.Ф.Лосев оспаривает общепринятое разделение античности на «линию Демокрита» и «линию Платона». С этой целью в его работах с определенным методологическим нажимом рисуется некоторого рода встречное движение: у Платона выявляются существенные материалистические черты или, к примеру, прямым текстологическим анализом показывается крайне редкое употребление термина «идея» (это для главного-то идеалиста!), а в случае Демокрита, напротив, выявляется заметная абстрактность атомистического учения и, в своеобразной асимметрии терминологических склонностей, подчеркивается систематическое употребление все той же «идеи». Иными словами, после лосевского анализа Платон несколько демок-ритизируется, а Демокрит — явственно платонизируется.
Здесь представляется уместным сопоставить работу А.Ф.Лосева о Демокрите с одним примечательным современным ей исследованием на близкую тему. Оно, сочтем важным, создавалось также в начале 1960-х гг. и тоже, как и рассматриваемая статья, содержало еретические для советской науки суждения о фактическом соотношении «материалистического» атомизма и «идеалистического» платонизма и потому не было в свое время опубликовано. Мы имеем в виду книгу А.А.Любищева «Линии Демокрита и Платона в истории культуры» [1]. Принимая существование «линий» как данность (и пребывая тем самым в плену закоренелой догмы, как справедливо отметил
317
ЕПЯР°ИЦКИЙ-
jq А.Шрейдер [2, с. 15] в своем предисловии к книге), А.А.Любищев затратил много усилий для доказательства утверждения о том, что «линия Демокрита» всегда была идейно бедна, что решающее значение для истории науки и культуры имела только «линия Платона», причем в особенности велика - во все времена начиная с античности, -роль платонизма именно в математике [1, с.61-110].
Да, А.Ф.Лосев и А.А.Любищев - платоники, их пристрастия более чем очевидны. Такая констатация не исключает оговорок, ибо платонизм Любищева имеет заметно либеральный оттенок, а Лосев справедливо характеризуется прежде всего как христианский мыслитель [2, с.22], да и сам он формулировал свою философскую позицию как православно понятый неоплатонизм. Однако крайне отрицательное отношение к атомизму выражено именно у А.А.Любищева, точка зрения А. Ф.Лосева куда более взвешенная. Причем сугубо негативна лосевская оценка не атомизма Демокрита и Левкиппа как такового, но лишь вульгарной, только чисто механистической интерпретации его. В последней, как бы ни была она традиционна, А.Ф.Лосев находит целую систему нелепостей, и раздел на эту тему составляет самую яркую и, пожалуй, самую полемичную часть статьи автора. Подлинные же завоевания античного атомизма А.Ф.Лосев включает в длинный ряд истории математического анализа (тут у него есть предшественники, в том числе С.Я.Лурье с его работой [3]) и истории представлений о математических структурах (на это обстоятельство А.Ф.Лосев указывает, похоже, вообще первым). Чуть позже, наращивая свою аргументацию в этом вопросе на страницах «Истории античной эстетики», А.Ф.Лосев подчеркивает, что античные атомисты описывали свои атомы не столь механистически и даже не только геометрически, но давали им «скорее вообще структурночисловую» характеристику, тем самым интуитивно схватывая «момент количества и момент определенной качественной упорядоченности этого количества» [4, с.432]. Как не трудно видеть, невещественная структура — это чисто платоническое представление, и здесь еЩе один аргумент в пользу того утверждения, что наследие Демокрита, по А.Ф.Лосеву, существенно смыкается с «линией Платона».
Как представляется, ясно выраженный историко-типологический Подход исследования А. Ф.Лосева создает предпосылки для плодотворного рассмотрения других проблем интерпретации античного атомизма, лишь намеченных или даже вовсе не затронутых в данной работе. Сюда можно отнести сложный и запутанный вопрос об истории взаимодействия атомистического метода неделимых и метода исчерпывания Евдокса и Архимеда. Структурно-числовой подход позволяет по-новому взглянуть на важное сопоставление атомов и амеров, Которое обычно (после работ С.Я.Лурье) рассматривается как чисто геометрическое различие. Чрезвычайно интересно вскользь
318
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
брошенное у А.Ф.Лосева указание на возможность античного представления об атомах как актуально бесконечно малых, — недавно появились разработки физиков-теоретиков, в которых данная гипотеза является вполне эффективным принципом. Словом, публикуемая работа А.Ф.Лосева несет для историка науки заряд новых и свежих идей.
Список литературы
1.	Любищев А.А. Линии Демокрита и Платона в истории культуры. СПб., 2000.
2.	Шрейдер Ю.А. Предисловие // А.А.Любищев. Линии Демокрита и Платона в истории культуры. СПб., 2000. С.7-23.
3.	Лурье С.Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.-Л., 1935.
4.	Лосев А.Ф. История античной эстетики (ранняя классика). М., 1963.
АТОМ ДЕМОКРИТА И ЕГО ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ СМЫСЛ
А.Ф.Лосев
Публикация А.А.Тахо-Годи; подготовка рукописи к публикации и примечания В.П. Троицкого
§1. Трудность вопроса
Прогрессивная роль древнегреческой атомистики может считаться доказанной в советской науке о древнем мире. Общеизвестно высказывание Ленина, защищающее Демокрита от пренебрежительного отношения к нему Гегеля, и о том, что линия Демокрита еще в XX веке продолжает беспокоить многих идеалистов.!1] В советской науке имеется ряд крупных специалистов по Демокриту, как, напр[имер], С.Я.Лурье, присоединивший к традиционному собранию фрагментов Демокрита ряд новых и весьма важных источников, а также пытавшийся понять атомистику в свете современной математики и механики, или А.О.Маковельский, не раз дававший объективную характеристику философского и научного наследия Демокрита и полностью переведший фрагменты Левкиппа и Демокрита на русский язык, или М.А.Дынник, тоже давший ряд изложений Демокрита. Атомисты занимают видное место в наших философских хрестоматиях и энциклопедиях. В специальной диссертации В.Е.Тимошенко (Москва, 1953 г.) критикует многочисленные буржуазные извращения философии античного атомизма. Тому же автору принадлежит изложение общей философии Демокрита в книге под названием [Тимошенко В.Е.] Материализм Демокрита. М., 1959. Блестящее изложение философии Демокрита в самое последнее время дает В.Ф.Асмус в своей книге [Асмус В. Ф.] Демокрит. М., 1960. И вообще для понимания и для
д.ф.Лосев	319
— - -
анализа Демокрита сделано в советской науке весьма много, гораздо больше, чем это делалось в дореволюционное время.
Тем не менее остается неразрешенным еще целый ряд глубоких проблем по Демокриту; и, вероятно, разрешение это будет получено еще не скоро. Объясняется это тем, что античный материализм, как и вся античность, есть явление чрезвычайно оригинальное и специфическое, которое с большим трудом формулируется в современных и близко понятных нам терминах. Мы, напр[имер], резко противополагаем механицизм и диалектический материализм. Но Демокрита, если внимательно изучать первоисточники, весьма трудно отнести и к чистому механицизму и к диалектическому материализму, как мы его теперь понимаем. Гениальные догадки и научно-философские формулы невероятным образом переплетаются у Левкиппа и Демокрита со всякого рода наивными и примитивными представлениями, что и понятно, если иметь в виду расстояние их от нас не меньше, чем в 2500 лет. Современные сторонники Демокрита обязательно хотят освободить его от этих наивностей и нелепостей, свойственных вообще начальному периоду философии. А его противники требуют от него такой точности мысли и таких четких формул, которые не всегда можно найти даже и в новой или в новейшей науке и философии. Современному исследователю ничего не стоит и оторвать атомистику от всей греческой философии, как что-то невообразимо прогрессивное и даже революционное, но ничего не стоит также и присоединить ее к софистике или сделать преддверием платонизма. И тех и других работ имеется достаточное количество, и мы не будем здесь их перечислять.
Нам кажется, что атомистика Демокрита совершенно не нуждается ни в какой фальсификации. Надо иметь мужество точно формулировать как ее прогрессивное значение, так и ее многие наивности и нелепости, которых не избегнул ни один из ранних греческих философов, не исключая Платона и Аристотеля. Поэтому некоторые проблемы античной атомистики, глубоко рассматривавшиеся в нашей истории философии, но еще пока не нашедшие окончательного разрешения, мы бы считали необходимым поставить еще раз и попробовать привлечь к их разрешению некоторые материалы на основе современного развития науки, философии и, в частности, марксистско-ленинской теории.
Прежде всего нам не представляется окончательно ясным вопрос ° социально-историческом происхождении и значении древнегреческой атомистики. Здесь обычно фигурирует в основе своей правильный, но слишком общий тезис о том, что атомистика является рабовладельческой идеологией. Никак нельзя сказать, чтобы этот правильный тезис всеми понимался одинаково надлежащим образом. Если мы зададим себе вопрос, что рабовладельческого в атоме Демокрита,
320
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
то, пожалуй, не все сумеют ответить на него ясно и отчетливо. Тут нужна еще большая доработка. И если поставить вопрос о том, какое значение могли бы иметь для нас все эти крючковатые, впалые или вогнутые атомы Левкиппа и Демокрита, то ответить на этот вопрос тоже было бы трудно, и легко было бы только отбросить его как наивную глупость, чего, однако, очевидно, делать никак нельзя. Все эти вопросы требуют существенной доработки.
§2	. Торгово-денежная аристократия периода греческой классики
Чтобы приблизиться к ясному ответу на вопрос о социально-историческом происхождении атомизма, мы начнем с утверждения, которое вряд ли кто-нибудь будет оспаривать. А именно: атомистика означает окончательный разрыв с мифологией как с принципом объяснения природы и общества. Но это простейшее и очевиднейшее утверждение чревато весьма большими последствиями.
Ведь мифология есть идеология общинно-родовой формации. Первобытный коллективизм родственных связей больше всего и ближе всего понимает эти кровнородственные связи и при их помощи объясняет все закономерности природы и общества. Понимая природу и мир как универсальную родовую общину, первобытный человек и получает мифологию в качестве единственной картины природы и мира, картины, наиболее для него понятной и не требующей никаких других объяснений.
На смену этого общинно-родового строя появляется рабовладельческая формация, которая уже отводит на последний план родственные связи, а понимает человека вовсе не как живое существо, взятое в целом виде, но исключительно со стороны организационной и производственной, когда одни являются собственниками, организаторами и управителями, а другие только производителями, только организуемыми и управляемыми, только живыми существами, но без собственной личности, разума и воли. Из всех бесконечных возможностей человека рабовладельческая формация наделяет производителя только одним свойством — это быть живым существом, производящим работу в меру своих физических возможностей, т.е. быть домашним животным, превращая таким образом человека в instrumentum vocalel2! и, значит, в товар, в раба. Однако и рабовладельцы высту-пают в этой формации отнюдь не как цельные личности, но тоже гораздо более отвлеченно, а именно в виде только собственников и владельцев, только в виде организаторов производства или только в виде купцов.
Если окинуть умственным взором философские системы начального периода, то в наиболее яркой форме такая противоположность активного двигателя и инертной движимой массы, конечно, сразу же
дф Лосев
321
бросается в глаза и у Анаксагора с его учением об Уме как об организаторе недвижной материи, и у Эмпедокла с его учением о Любви и Вражде, и у Аристотеля с его учением о перводвигателе. Едва ли, однако, эти философские системы являются последним словом рабовладельческой идеологии классического периода, хотя им и нельзя отказать в чрезвычайно большой яркости и социально-исторической прозрачности. Гораздо труднее поддается формулировке другая линия рабовладельческой идеологии, куда как раз и относится Демокрит, и где его великими предшественниками были милетцы и Гераклит.
Однако, чтобы это социально-историческое значение атомистики стало совершенно ясно, необходимо сказать еще несколько слов об указанной линии Анаксагор—Эмпедокл—Аристотель. Традиционная квалификация этих мыслителей как представителей рабовладельческой идеологии слишком обща и требует уточнения. Тогда выяснится и специфика Демокрита.
Что такое эти перводвигатели периода классики? Они мыслятся, прежде всего, исконными и вечными; и об их происхождении, об их составленности из каких-нибудь низших элементов не ставится и вопроса. Затем по своим качественным особенностям они не сравнимы ни с какой инертной материей; а если они и сравнимы, то отличие между ними все же бесконечно велико. Наконец, действуют они без всякого напряжения и изнурения и скорее даже не действуют, а только мыслят о действии, то есть, собственно говоря, скорее только приказывают.
Если обозреть состав греческого общества VI—IV вв. до н.э., то где же мы найдем такую общественную прослойку, которая бы обладала всеми своими преимуществами без всякого усилия, только по одной своей природе и которая имела бы перед собою инертную людскую массу, которая тоже по самой своей природе мыслилась бы подчиненной и действующей в силу только одного приказания извне? Ясно, что здесь перед нами, с одной стороны, греческая аристократия, а, с другой стороны, подчиненная ей рабская масса. Другими словами, здесь перед нами рабовладельческая аристократия.
Однако и эта характеристика отнюдь не является точной. Ведь у Гомера тоже имеются аристократы и тоже имеются рабы. Но линия А аксагор—Эмпедокл—Аристотель оставляет далеко позади себя наивную гомеровскую общественность. В чем же дело? Дело в том, что эти мыслители действуют уже в период классового общества, когда произошло новое резкое разделение труда, а именно разделение труда умственного и физического. Освобождение умственного работника °т всякого непосредственного физического усилия сразу же переводит его мыслительную деятельность на очень абстрактные рельсы. Он теперь мыслит уже не живыми мифическими фигурами, но
322 НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
абстрактными понятиями; и объясняет он закономерности природы и общества уже не коллективизмом родственных связей, но при помощи абстрактно устанавливаемых законов. Другими словами, восходящее рабовладение принесло с собой критику если не всей мифологии целиком, то, во всяком случае, критику антропоморфизма. Следовательно, рабовладельческая аристократия VI-IV вв. до н.э. мыслит научно или наукообразно, но уже никак не мифологично.
С другой стороны, если родовая община работала сама на себя и ограничивалась хозяйством, основанным на потребительской стоимости, то теперь ввиду того, что родовые отношения перестали играть ведущую экономическую роль, а на первый план были выдвинуты производственные отношения людей, чуждых друг другу по крови, то создаваемый в результате этих отношений продукт уже переставал цениться только с точки зрения потребительской стоимости. Появилась новая и притом огромная экономическая сила — это производство для сбыта, для рынка, где первая роль принадлежала уже не потребительской, но меновой стоимости. Маркс учил о том, что с точки зрения меновой стоимости качество товара отходит уже на второй план. За три рубля можно купить кило белого хлеба, по л кило крупы, литр молока и т.д. Эти три рубля совершенно нивелируют качество тех продуктов, которые можно на них приобрести. А в эпоху, когда меновая стоимость появляется только впервые и когда она поражает умы и сердца, естественно, что количественный или, вообще говоря, абстрактно-понятийный подход к действительности обладает всеми прелестями новизны, манит человека в еще неизведанные дали и поражает его мысль своей небывалой оригинальностью и силой. Деньги как эквивалент разнокачественных товаров ослепляют умы и заставляют подходить количественно к тем предметам, которые раньше могли восприниматься только качественно и только в своей непосредственной потребительской значимости. Поэтому в упомянутые века классической культуры та рабовладельческая аристократия, которая играла большую роль, была также и аристократией торгово-промышленной или, что то же, торгово-денежной. Итак, линия элеа-ты—Эмпедокл—платонизм—аристотелизм и в идеологическом отношении отражает собою интересы торгово-денежной аристократии. Это, конечно, не значит, что все представители данных направлений философии обязательно были аристократами, обязательно были промышленниками, обязательно гонялись за накоплением денег и были торговцами. Не обязательно даже, чтобы они были рабовладельцами. 131 Этот вульгаризм уже давно у нас преодолен, и речь может здесь идти только о логических соответствиях и только о смысловом единстве исторического процесса. Точно так же мы не можем здесь входить и в более подробные рассмотрения хронологических моментов анализируемой нами общественности.
А ф.Лосев	323
§3	. Торгово-денежная демократия периода греческой классики
Рабовладельческое общество, отстранившее коллективизм родовой общины на задний план, неминуемо приходило к антагонизму двух классов, собственников-организаторов и бесправных производителей. Но долго собственники-организаторы не могли удержаться на той ступени, которая была указана выше. Слишком скоро стало выясняться, что для организатора производства не очень выгодно оставаться в изоляции от самого производства и гораздо рентабельнее развивать это последнее путем своих собственных усилий, своими собственными руками, проявляя в этом деле свои личные способности, дремавшие до тех пор под густым слоем социальных предрассудков. Организатору производства было выгоднее, кроме рабского труда, использовать также и свой собственный труд, выступать в качестве такого же материального тела, в качестве какового трактовался и раб, но, конечно, оставляя при этом за собой все функции собственника, управителя, организатора и эксплуататора. Такие свойства организатора теперь уже не мыслились данными ему от природы, но возникали в результате его собственного труда, в результате осуществления лично им созданных планов, с более или менее точным расчетом на получение товара определенного качества и количества. Этот индивидуализм вначале мог быть только весьма строгим и далеким от всякой анархии. Такие собственники составляли крепкий и монолитный коллектив, в котором каждый стоял за всех и все стояли за каждого.
Вначале такая социальная первооснова не могла быть особенно Дифференцированной, и все сводилось здесь пока только на происхождение всего прочего из этой первоосновы и на ее основную роль во всех судьбах социальной действительности.
Перенесение такого рода социальных отношений в область мышления заставляло искать в окружавшей действительности какой-нибудь первоэлемент или первооснову, но такую же материальную, какой была и сама действительность, а так как рабовладение эпохи классики характеризуется как прямое и непосредственное (когда рабовладелец является еще мелким и знает в лицо каждого своего Раба), то абстрагирующее мышление не могло идти здесь дальше обобщения все тех же наглядно данных, видимых, слышимых и осязаемых стихий, т.е. в виде земли, воды, воздуха и огня. Это и было философией милетцев Фалеса, Анаксимандра, Анаксимена и эфесца Гераклита. То, что в основе здесь лежали те или иные материальные стихии, качественно тождественные с возникшей из них действительностью, это, безусловно, говорило о демократизме их мышления. А то, что эти мыслители оперировали не с мифологическими образами, Но с абстрактными категориями, это, безусловно, говорило о
324_________________________________________НАШИ ПУБЛИКАТиД
лежащем здесь в основе разделении умственного и физического труда, т.е. о меновой стоимости как о главном экономическом факторе Другими словами, здесь перед нами то, что можно было бы назвать рабовладельческой демократией, в противоположность сформулированной у нас выше рабовладельческой аристократии.
Атомисты, конечно, относятся сюда же. Но квалификация их идеологии как рабовладельческой и даже как демократически рабовладельческой все еще отличается очень большой общностью и требует уточнения.
Что такое атом Левкиппа и Демокрита? Прежде всего это есть нечто неделимое, неразрушимое, не поддающееся никаким внешним воздействиям, т.е. обладающее бесконечно большой плотностью. Перед нами здесь крепкий и неразрушимый индивидуум рабовладельческого общества, который, с одной стороны, не зависит ни от чего другого (поскольку обладает своим собственным и не зависимым ни от чего прочего движением). А, с другой стороны, он входит в коллектив таких же крепких и неразрушимых индивидуумов, образуя вместе с ними весь естественный миропорядок, не зависимый ни от чего другого и возникающий только в результате объединения этих свободных, неразрушимых и прямолинейно движущихся индивидуумов. Следовательно, это — крепкая и нерушимая демократия периода расцвета, уже основанная на индивидуализме своих сочленов, но еще не вкусившая всех сладостей анархического и субъективистического самочувствия.
Далее, классический атом является телом определенной формы и вида со всеми теми элементами пластики и скульптуры, которые свойственны вообще периоду греческой классики.
Наряду с этим стоящая у власти демократия не только опирается на рабовладельцев, но опирается даже гораздо больше, чем аристократия. Здесь нужно отдать себе полный отчет в оценке классической демократии V в. до н.э. в Греции. Эта восходящая, а потом и находящаяся у власти демократия создавала новую цивилизацию, была оплотом того искусства, которое в дальнейшем получило мировое значение и не отошло в прошлое даже еще до настоящего времени, создавала большие гуманистические идеи и опиралась (по крайней мере, принципиально) на развитие науки и человечности. Это обстоятельство обычно ослепляет восторженных поклонников периода классики и мешает видеть опору этой демократии на растущем рабовладении. Не отсталая и реакционная аристократия, сконцентрированная в Спарте, опиралась на растущее рабовладение, но именно передовая афинская демократия. И в то время, как аристократия тяготела к старым, патриархальным формам, именно передовая афинская демократия раздувала рабовладение, вела захватнические войны, неизменно богатела от этих войн и стремилась подчинить себе весь
А ф.Лосев	325
тОгдашний греческий мир. А это вело за собой уже настолько большое развитие отдельного индивидуума, что он начинал склоняться к субъективизму и психологизму, к изоляции и анархическому индивидуализму. Именно Афины были ареной этого анархического индивидуализма, образцы которого достаточно известны всем по деятельности софистов, Еврипида и их критиков Аристофана и Платона. К этой-то гипертрофированной демократии и принадлежал Демокрит.
То, что атомисты отличались демократической идеологией, это несомненно. То, что атомизм был антиподом аристократического и реставрационного платонизма, об этом не может быть никаких споров. То, что они выдвигали на первый план естественное объяснение природы и мира и самостоятельное движение материи, спорить против этого могут только невежды. И, наконец, то, что научное объяснение мира, вместо мифологической поэзии и бесплотных перводви-гателей, и разыскания законов природы с огромной силой было выдвинуто атомистами, это звучит почти в каждом дошедшем до нас от атомистов фрагменте. Но то, что это есть философия индивидуализма и продукт растущего разложения греческой классической культуры, это уже учитывается у нас гораздо меньше, и это почти не подвергается у нас никакому анализу. Тем не менее бескачественный, бездушный, бесконечно плотный, неделимый и неразрушимый атом Демокрита в обобщенной форме отражал собою такого же бездушного и бесчеловечного рабовладельца, непреклонного и не поддающегося никаким воздействиям, беспощадно и вполне детерминировано определявшего собою всякую индивидуальную психику, холодного и жестокого, бесконечно далекого от реальных потребностей обыкновенного человека. Занявши место перводвигателей, классические атомы не менее деспотически расправлялись с индивидуальным человеком, так что даже элементы субъективного идеализма оказывались чем-то передовым, свидетельствуя о правах обыкновенного, но живого человека. Права эти выступали здесь в достаточно болезненном виде, как это всегда бывает при деспотии, хотя бы даже демократической. То, что все чувственные качества, которые даются зрением, слухом, обонянием, вкусом и осязанием, Демокрит объявляет результатом субъективной деятельности человека и не находит для них никакой опоры в объективных качествах самих атомов, уже одно это свидетельствует о болезненной перезрелости того индивидуализма, защитником которого он является. Конечно, до субъективного идеализма здесь еще далеко, поскольку первичные качества атомов толкуются пока еще в виде объективной действительности и поскольку научные знания понимаются здесь как основанные на эмпирических наблюдениях. И тем не менее бесконечно плотный атом Демокрита, противостоящий субъективной чувственности человека, замечательным образом отражает собою то противоречие, которое историки
326 НАШИ ПУБЛИКАПм/
находят в греческом обществе последних десятилетий V в. до н э Передовая афинская демократия, полная когда-то патриотических и гуманистических идей, ставши у власти, постепенно переходила к деспотизму и начинала вести захватническую политику, открывая тем самым простор не только для наживы одних и разорения других но и вообще для развития анархизма в мировоззрении отдельных граждан. Нерушимость и непреклонность демократического образа мышления и безусловное вхождение развитого человеческого индивидуума в крепкий монолит демократизма смешивались здесь с растущим субъективизмом отдельных личностей, уже начинавших познавать неклассическую сладость анархических переживаний и погони за бесплатными рабами и роскошью жизни. И поэтому ровно нет ничего удивительного в том, что возникла такая же система философии, ярко отражающая собою все эти противоречия начинавшей разлагаться классики.
Но мы не хотели бы оставаться только с этими общими впечатлениями от социально-исторической направленности атомизма. Дело в том, что несомненный прогрессивный характер греческой атомистики почти всегда заслонял всю ту наивность и нелепость, которая в ней фактически была и как результат слишком раннего философствования, и как продукт специального учения об атомах. То, что греческая атомистика прогрессивна и демократична, это очень хорошо, и это все достаточно знают, кроме крайне реакционных историков философии. Но то, что эта демократия находилась здесь в состоянии разложения, это — плохо. И то, что эта демократия опиралась на растущее рабовладение, это тоже не вызывает у нас никаких восторгов. Но может ли быть в стороне от этого основная конструкция Левкиппа и Демокрита, именно самый атом? Не отразилось ли это демократическое разложение, да и вообще все это рабовладение, на самой теории атома? И могут ли вообще философские построения не быть затронутыми той социально-исторической средой, которая их породила? Не придется ли тогда отбросить и вообще философию как определенного рода надстройку над социально-экономическим базисом?
Нам думается, что при всех существенных различиях философской надстройки от социально-экономического базиса, всякая надстройка - пусть и не по содержанию, а пусть только по типу своего развертывания — необходимым образом должна находиться в существенном единстве с породившей ее социальной историей, если мы только всерьез хотим проводить марксистско-ленинские методы в истории философии.
Но атом является механико-математической конструкцией; и потому указанные изъяны в истории греческого общества V в. до н.э., равно как и все его прогрессивные тенденции, должны быть исследованы в атоме Левкиппа и Демокрита тоже с точки зрения математики
д ф.Лосев	327
л механики. Это исключение непосредственного переноса социальных отношений на атом и это изучение данных социальных отношений в атоме исключительно методами математики и механики является полной гарантией против всякого вульгаризма и является твердой опорой учения о принципиальном единстве социально-исторического процесса, начиная от его экономики и кончая тончайшими построениями максимально абстрактной мысли.
§4	. Что такое античный атом?
Термин «атом» имеет тысячелетнюю историю. Конечно, можно находить некоторый смысл в сохранении этого термина для тех явлений, которые почти ничего не имеют общего между собою, т[ак] к[ак] все многочисленные атомы, о которых учит история атома, во всяком случае всегда трактовались как некоторого типа элементы материи, а понятие элемента, простейшего или не простейшего, конечно, всегда будет иметь право на существование. Все же античный атом, кроме того, что он является элементом материи, кажется, не имеет ничего общего с теперешним атомом. В чем его сущность? Здесь необходимо сказать, что мировой механицизм сделал свое злое дело также и в отношении понимания античного атома. В античном атоме почти всегда выдвигали на первый план механистические элементы, в то время как они там не только не на первом плане, но, возможно, и совсем отсутствуют.
1.	Качество. Прежде всего, античный атом характеризуется как некоторого рода физическое качество. То, что можно сказать об его массе, весе, объеме и плотности, является не столько сущностью самого атома, сколько его проявлением. По существу же это и не масса, и не плотность, и не электрический заряд, а просто некоего рода качество.
2.	Бесконечная качественность атомов. Что же это за качества? Древние поступали в этом отношении очень просто. По причинам, которые мы здесь не будем анализировать (главная причина — это базирование мысли на непосредственно чувственном и целостном восприятии), атомам приписывались вообще все те качества, которые каждый может воспринимать своим зрением. Недаром Демокрит называл свои атомы «идеями» (А 57, В 141, 167)14, причем слово «идея» по-гречески означает «то, что видно». Существует, напр[имер], дерево; следовательно, должны существовать деревянные атомы. Существуют вода, воздух, металлы; следовательно, имеются водяные, воздушные и металлические атомы. Так как под душой понимали теплое дыхание, то признавались и огненно-живые атомы души. И т.д., и т.д.
3.	Геометрическая структура. Но тут мы сталкиваемся с другой особенностью античного мышления. Она заключается в том, что
328_________________________________________НАШИ ПУБЛИКА!!^
древние во всем находили четкие и отточенные формы, все представ ляли в виде организованного и оформленного тела и в таких представлениях находили наибольшую точность, наибольшую логичность и наибольший реализм. Поэтому и атомы представлялись у древних в виде четко оформленных телец, бесконечно причудливой, но всегда непосредственно обозримой, пусть хотя бы представимой только в уме, форме. Атомы были загнутые, крючковатые, с впадинами или с выпуклостями. Количество и разнообразие подобных четких геометрических форм представлялось у Демокрита бесконечным и необозримым.
4.	Физико-геометрическая природа. Это, однако, не значит, что античные атомы мы должны понимать как только геометрические тела, т.е. как геометрические тела в нашем смысле слова. Конечно, геометризм здесь был на первом плане: четкость и абсолютная отчеканенность формы, неразрушимость и неразделимость атома, его только умственная представимость, его неподверженность никаким физическим воздействиям (т.е. как бы бесконечная плотность и твердость), его физическая бескачественность и недоступность ни малейшей чувственной текучести или восприимчивости, его вечное постоянство и неизменность решительно во всех отношениях. Это обстоятельство часто создавало соблазн для исследователей находить в античных атомах только объективные геометрические тела, лишенные всего физического. Однако, как раз именно спецификой античного атома является то, что древние вместе с геометрией одновременно находили в нем и самую настоящую физическую материю. Древние вообще с большим трудом различали материальное и идеальное; и если идеалисты иной раз и доходили до чисто идеальных представлений, они все же наделяли это идеальное такими качествами, которые во многих отношениях приближались к материальным. Тем не менее, атом огня трактовался как самый настоящий огонь, т.е. как материя или вещество, как определенное состояние вещества.
Тем, кто привык разделять непроходимой бездной геометрию и физику, такое учение об атоме, конечно, представляется абсурдным. Но исследователь античных текстов ничего тут не может поделать. Геометрия и физика настолько объединены здесь в единое целое, а, вернее, настолько отождествлены, что не может быть никакого и разговора о противопоставлении в атоме его физических качеств и его геометрической структуры. Это можно сколько угодно понимать или не понимать, принимать или отвергать, но это точнейший факт истории науки, от которого никак нельзя отделаться.
5.	Предел. В современной нам науке имеется одно понятие, которое, кажется, может до некоторой степени облегчить понимание этого физико-геометрического тождества в античном атоме. Это — понятие предела. Ведь предел никогда не достижим для переменной
д ф.Лосев 329
монотонно изменяющейся величины, хотя расстояние между тем и другим может стать меньше любой заданной величины. Так как античные атомисты вместе со всеми античными философами трактовали материю как нечто вечно подвижное и так как в глубине этой вечноподвижной материи они находили такие элементы, которые сами по себе уже никогда не менялись, то, очевидно, неизменный атом данного типа вечно изменчивого вещества и был ни чем иным, как просто пределом изменения данного вещества.
Тут нельзя говорить, что для изменчивого вещества вовсе не является обязательным неизменный атом. Конечно, можно взять правильный многоугольник и рассматривать его то с большим, то с меньшим числом сторон. Но как бы мы не суетились с этими многоугольниками, логически ясно, что если треугольник можно превратить в шестиугольник, а шестиугольник в двенадцатиугольник и т.д., и т.д., то ничто не мешает нам представлять и бесконечноугольник. А это и будет кругом. Круг есть, таким образом, предел вписанных в него или описанных около него правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон этих многоугольников. Само собою разумеется, вовсе не обязательно думать о круге, оперируя с увеличением сторон многоугольников. Но если мы хотим логически додумать до конца это увеличение числа сторон многоугольников, то понятие о круге не может не появиться в нашем сознании. Такова логика этих фигур.
Античные атомисты как раз и принадлежали к тем мыслителям, которые хотели додумать до конца все те изменения, которые происходили с данной вещью или с данным веществом. И если тут они приходили к понятию атома, то за это можно их только похвалить. В наивной, но вовсе не глупой форме атомисты учили об истечении из атомов бесконечного числа их образов, которые и нужно считать не чем иным, как бесконечно разнообразным приближением соответствующего физического явления к лежащему в его основе атому. Во всяком случае здесь действовала живейшая потребность додумать понятие изменения до конца. Да и мы в нашей диалектике можем мыслить наши изменения только тогда, когда есть нечто неизменное, и можем мыслить движение только тогда, когда тут же примышляется и нечто неподвижное, и можем мыслить случайное только тогда, когда тут же примышляется и необходимость этого случайного. Итак, историко-философский анализ обнаруживает, что физико-геометрическое тождество у атомистов есть только необходимость логического Продумывания до конца той разнокачественной материальной действительности, которая находится у них в вечном движении.
Отсюда становится ясным и то, насколько сложно у античных атомистов понятие малости. Атом является здесь малым не потому, что это есть какое-то наименьшее количество вещества (ведь все
330__________________________________________НАШИ ПУБЛИКАШ4Т1
наименьшее может стать еще меньше). Но атом не есть здесь и како е-то очень маленькое, но постоянное количество вещества в процессе изменения этого последнего. Если воспользоваться арифметической аналогией, то V2 не есть ни какая-нибудь дробь с тем или иным количеством десятичных знаков, ни какое-нибудь постоянное количество, взятое в каком-то неподвижном, изолированном и абсолютном смысле. V2 есть предел для бесконечной и притом, совершенно определенной переменной величины (1; 1,4; 1,41; 1,414...). Античный атом поэтому скорее не величина (он может быть любой величины) но закон получения или становления величин. Скрыто, таким образом, античный атом при всем своем постоянстве и вечной неизменности не так уж неизменен и неподвижен. В нем всегда кроется бесконечное количество приближенных величин, для возникновения которых он является принципом.
6.	Движение атома. То, что атомы находятся в постоянном движении, это не может никого удивлять, потому что и вся греческая натурфилософия учит о непрерывном движении материи. А т[ак] к[ак] атом не только геометричен, но и физичен, то движение его можно считать только естественным. Но в том движении, о котором говорили атомисты, было нечто новое. Дело в том, что они и здесь, являясь завершением греческой классической натурфилософии, тоже старались продумывать натурфилософские идеи до конца и тем самым доходить до предельных обобщений.
Обыватель представляет себе движение либо как движение живого существа, либо как результат механического толчка одного материального тела в направлении другого материального тела. Но представлять атомы как живые существа — это значит впадать в мифологию, которую не только Левкипп и Демокрит не считали за науку, но которая критиковалась и всеми другими греческими натурфилософами. Выводить же движение одного тела из толчка, произведенного на него другим телом, это значило бы впадать в дурную бесконечность, потому что, если причиной движения одного тела был толчок со стороны другого тела, то надо было бы объяснить толчок этого другого тела толчком еще третьего тела, а толчок этого последнего — толчком еще четвертого тела и т.д., и т.д. В таком рассуждении либо нужно было бы отказаться совсем от всякого объяснения движения данного тела, либо нужно было бы признать, что, перебравши все тела, мы пришли к такому телу, которое движет уже само себя без всякого толчка извне ввиду отсутствия какого-нибудь еще другого тела. Атомисты и решили, что тела движутся сами по себе, не будучи живыми существами и не испытывая обязательно толчки от других тел. Дру* гими словами, они признали такую материю, которая совершенно неотделима ни от какого движения, и такое движение, которое
А ф.Лосев
331
совершенно неотделимо ни от какой материи. Поэтому движение здесь не просто один из признаков тела, но оно входит в определение самой его сущности. Материя движется самопроизвольно — вот тот вывод, который напрашивался сам собою почти у всех греческих натурфилософов, но который с полной отчетливостью был осознан только атомистами. Раз где-то имеется тело, движущее само себя, следовательно, и всякое тело так или иначе движет само себя, если только оно есть материальное тело.
Но отсюда вытекал и другой колоссальной важности вывод. Ведь если тело движет само себя, то, очевидно, и детали этого движения тоже принадлежат ему самому. Другими словами, если атому движение принадлежит по самой природе атома, то и произвольное отклонение атома от однажды намеченного пути тоже принадлежит ему же. Следовательно, атомы движутся не просто в силу взаимных толчков и не в силу взаимного тяготения (которого атомисты не знали), а в силу их собственной природы. Не масса или вес, не объем или плотность определяют движение атомов, но только их собственная природа, от которой они неотделимы. Что в этом самопроизвольном отклонении атомов нет ничего удивительного, показал акад. С.И.Вавилов, весьма остроумно сопоставивший его с квантово-механическим «соотношением неопределенности».5 Впрочем, один тип взаимного тяготения атомисты, как и многие их сотоварищи по натурфилософии, признавали. Это — взаимное тяготение веществ, одинаковых по своей природе: теплое — к холодному и т.д. Но такое взаимное тяготение только подчеркивает свое полное несходство с тем всемирным тяготением и с теми основными законами движения, о которых учит ньютоновская механика. Наконец, метод пределов сказался у атомистов и здесь. Ведь если все тела подвижны сами по себе, и материя Движется сама по себе, то должно же быть в этом всеобщем движении нечто такое же всеобще-неподвижное, которое было бы пределом Для всех движений, т.е. законом движения всех этих частичных пределов. Такое всеобщее атомисты признавали и называли его космосом. По своей структуре этот космос, конечно, отличался от космосов У других греческих натурфилософов. Но дело сейчас не в этой структуре; а дело в том, что все существующие атомы охватывались у атомистов одним бесконечным вместилищем, входили в одно бесконечное целое, имели одну бесконечную историю и потому были подчинены общим космическим законам. Это хорошо выразили те античные излагатели атомистов, которые понимали атом как мельчайший элемент, возникший из расчленения единого, непрерывного и бескачест-венного, лишенного всех различий, того, что элеаты называли Единым, или бытием. Каждый атом, по этой концепции, оказывался связанным по самой своей природе со всей бесконечностью атомов, вообще существующих в космосе или в космосах. А потому каждый атом,
332
НАШИ ПУБЛИКдпдц
несмотря на самопроизвольное движение всех атомов, оказывался функционально связанным решительно со всеми атомами вообще и каждым атомом в отдельности.
Итак, непрерывность движения атомов, вытекающая из неотделимости материи от движения и, следовательно, свойственная атому по его природе, а также функциональная взаимозависимость атомов -вот те две коренные особенности движения античных атомов, которые, по мысли атомистов, не только не противоречат самопроизвольному движению атомов, но, наоборот, совпадают с ним в одно целое.
7.	Сумма атомов и вообще всякое их взаимоотношение не есть их механический результат, но всегда является новым качеством, не имеющим ничего общего с теми атомами, которые образуют данную связь. Изучая характерные свойства движения атомов у античных атомистов, мы наталкиваемся на ряд диковинных свойств, которые, ввиду их своеобразия и неожиданности, обычно мало учитываются исследователями. Первое такое свойство атомного движения заключается в полном противоречии со всяким механицизмом, для которого никакое целое не представляет ничего нового в сравнении с частями, его составляющими. Обычно механицист мечтает живую природу получить из неживой путем простой комбинации элементов этой последней. Из живого получить сознание, из индивидуального сознания получить общество и свести общественные законы на законы индивидуальной психики и т.д., и т.д. В этой отвлеченной метафизике совершенно не повинны античные атомисты. Их основной тезис гласит, что всякое целое получается из атомов так же, как трагедия и комедия получается из написанных букв (Левкипп А 9). Это есть опровержение всякого механицизма, хотя это же впервые только делает возможным научное и вообще осмысленное понимание всякого целого, составленного из частей. Если все образуется из атомов, так же, как трагедия из букв, то против этого ничего не может возразить не только какой-нибудь материалист, но даже и никакой идеалист. С этим будут не согласны только механицисты. Но им придется проповедовать ту явную нелепость, что в «Скованном Прометее» Эсхила нет ровно никакого смысла и нет ровно никакого значения, кроме произвольного и случайного набора определенных букв, из которых ни каждая в отдельности не гласит о какой-нибудь трагедии, ни, значит, также сумма этих букв ровно ни о чем не говорит, кроме как только о самих буквах. Если не признавать творческого характера простого механического суммирования, то Демокрита придется признавать субъективным идеалистом, потому что, по его мнению, цветовые качества существуют только в сознании людей, а объективно существуют только атомы и пустота. На самом же деле цветовое качество является у атомистов только тем творческим результатом, к которому приходит движение атомов и истекающих из них
д ф.Лосев	333
образов. Отрицание творческого характера этих объективных процессе действительно заставит нас считать подлинным создателем цвет-лого качества только один человеческий субъект. Но такого рода механицизм сам освобождает нас от его критики ввиду своей нелепости, д в отношении античных атомистов все еще приходится бороться с этой нелепостью, которую они и во сне никогда не видели.
8.	Двоякое понимание атома. Из всего предыдущего вытекает, что об античном атоме можно мыслить двояко. С одной стороны, это -атом, взятый сам по себе, в изолированном виде, неподвижно, только с точки зрения своего размера или структуры. Это, однако, очень отвлеченная сторона атома, а вовсе не весь тот атом, который является для атомистов реальным элементом действительности. Важен не атом сам по себе или, вернее, не только атом сам по себе. В самое определение атома у античных атомистов входит идея порядка, т.е. как упорядоченность его собственной структуры, так и определенность его в его соотношении с другими атомами. Этот момент введен в определение атома у античных атомистов именно потому, что каждый атом они рассматривали именно как только букву какой-то универсальной рукописи. Конечно, А есть А и Б есть Б. Но АБ уже не есть ни БА, ни просто сумма отдельно взятых А и Б. Это — первое из тех удивительных свойств, которыми обладает движение атомов, приводящее их к тому или иному их соотношению или объединению. Это свойство можно назвать статической спецификой атомного движения у древних атомистов. Другое свойство можно назвать динамической спецификой этого движения.
9.	Инфинитезимальные процессы. Мы уже видели выше, что античные атомы находятся в непрерывном движении и функционально связаны между собой. Что это за непрерывность и что это за функциональность, говорить об этом не будем, т.к. сами античные атомисты находятся еще на такой наивной ступени мышления, когда такого рода вопросы, хотя и ставятся очень упорно, но ставятся они здесь пока еще, главным образом, интуитивно, и в те времена было еще рано входить в подробный анализ такого рода проблем и создавать Для них точный логический аппарат. Однако совместное существование таких глубочайших факторов, как непрерывность и функциональность, тут же вело за собой, — конечно, пока тоже еще в интуитивной и слишком мало расчлененной форме, - выводы огромной теоретической важности. Ведь если У есть функция от X, то при условии непрерывности функции У от X и в условиях образования все новой и новой качественности в каждый момент их изменения, т.е. в Условиях возможности трактовать каждый момент изменения как предел всех предыдущих моментов их изменения, то ясно, что здесь Мы находимся уже в области инфинитезимальных представлений, т е. каждый атом мы обязаны рассматривать как дифференциал того
334 НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
— или другого качества, получаемый в результате его непрерывного движения в зависимости от какого-нибудь другого или многих Других атомов; а сложное тело мы тем самым должны рассматривать как тот или иной интеграл, возникающий в результате непрерывного становления образующих его элементов; либо нужно расстаться с представлением античных атомистов о нераздельности материи и движения и с их представлением о закономерности этих движений, либо мы должны сейчас же заключить, что античные атомисты в интуитивной и плохо расчлененной форме уже оперировали с понятиями дифференциала, интеграла и производной. Интегральные процессы, возникающие с античными атомами в результате их непрерывного и взаимно функционального движения, и данные в интуитивной, почти, можно сказать, зрительной форме, есть наилучшее резюме, наиболее точная и в то же время наиболее краткая формула вообще всего античного учения об атомах и их движении.
10.	Критика неправильных интерпретаций. Из предложенной характеристики античного атома вытекает необходимость самого бдительного отношения как к тому, что говорили сами античные атомисты, так и к тому, что о них говорили впоследствии.
Античные мыслители являются стихийными материалистами, а ввиду их постоянной опоры на чувственные и, в частности, зрительные восприятия, также и художественными материалистами. Ввиду этого не только атомисты, но и вообще все античные философы очень любят всякого рода образы, художественные представления, иллюстрации, при этом — даже там, где мы ожидали бы чисто отвлеченную мысль или точную научную формулу. Ввиду этого также греческие атомисты ради художественной иллюстрации своих научных рассуждений часто употребляли наглядные образы, в той или иной мере помогавшие понять их философию. Говорили, напр[имер], что атомы плавают в воздухе наподобие пылинок в световом луче. Особенно такого рода образы любил Лукреций и не только любил, но был также и их большим мастером. Конечно, вовсе нельзя сказать, что эти художественные иллюстрации имели для атомистов только какое-то наивное и детское значение и что мы их должны целиком отбросить. Это было бы совершенно антиисторично. Тем не менее было бы совсем не научно, если бы мы в своем анализе античного атомизма ограничились бы только этими наглядными картинами вроде первоначального вихря атомов, их столкновения и взаимного отталкивания, их плавания по какому-то воздуху и т.д., и т.д. Такие образы и картины, как они ни ценны, являются недостаточными даже и для Анаксимандра, для Гераклита, для Анаксагора и для всех прочих греческих натурфилософов, которые предшествовали атомистам и в многих отношениях были наивнее их. Сквозь эту иллюстративную картинность надо видеть великие философские идеи, пусть
дф. Лосев
335
де в очень развитой форме, но все же в такого рода форме, которая резко отличала этих философов и от мифологии, и от религии, и от поэзии, и вообще от всякого рода фантазии. Не видеть этих философских идей или хотя бы зародыша этих философских идей — это значит искажать все историко-философское значение и мыслителей, действовавших до атомистов, и самих атомистов.
Далее, все предыдущее определенно доказывает нелепость механистического подхода к античным атомистам. Этот подход приводит к неимоверному искажению античного атомизма и должен быть тщательно исключаем в наших исследованиях античной философии.
Далее, стихийный, т.е. не вполне осознанный материализм, яркие художественные тенденции античного мышления, очень частая наивность и нерасчлененность теоретического рассуждения, постоянное предпочтение целостности всяким рассудочным и чересчур расчлененным подходам, все это может иметь для нас значение в истории философии только при том единственном условии, если мы за всей этой наглядностью и непосредственностью мышления не будем пропускать тех великих философских идей, которые, по известному суждению Энгельса, предвосхитили собою в нерасчлененной форме все то, что последующие культуры давали уже в расчлененном виде. Поэтому не нужно бояться того, что даже у ранних греческих философов мы находим и зачатки теории эволюции, и зачатки математического учения о множествах, и вполне определенное предчувствие идей математического анализа, и учение о неевклидовости пространства, и учение о всеобщей связи явлений, и акустику с правильным соотношением тонов, и диалектику с правильным учением об единстве противоположностей и т.д., и т.д. Поэтому нет ничего удивительного и в том, что атомисты предчувствовали наше дифференцирование и интегрирование. Без всего этого древние греки не были бы Древними греками.
Далее, на ступени греческой натурфилософии очень трудно отделять учение о числах от учения о вещах, философию от астрономии, геометрию от физики или математический анализ от летания пылинок по воздуху, механику от органики. Поэтому прямо приписывать греческим атомистам учение о бесконечно малых совершенно нецелесообразно, хотя интуитивных предчувствий этой науки у них можно находить сколько угодно. Бесплодно спорить о том, физичен ли античный атом или геометричен. Физика и геометрия вовсе не различались тут настолько резко, чтобы можно было ставить всерьез такого Рода вопросы.
Далее, необходимо бдительно следить за тем, как мы сопоставляем Демокрита и Платона. Если мы скажем, что у Демокрита мир составляется из атомов, а у Платона не составляется, это будет совершенно неправильно. Разница в этом отношении между обоими
336________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
—— мыслителями заключается только в том, что Демокрит составляет мир из телесных атомов, а Платон — из атомов плоскостных (а был еще Ксенократ, который составлял мир из линий). При этом, как показывает филологическое исследование, Платон свои идеальные сущ. ности вовсе не называл идеями, а Демокрит, как мы знаем, свои атомы называл идеями (конечно, чисто материальными). Поэтому сторонником учения об идеях был вовсе не Платон, а Демокрит. Платон же свои идеальные сущности именовал другими терминами. Нет никакого различия между Платоном и Демокритом также и в отношении признания бытия богов. У атомистов боги существуют в виде предельных обобщений материальных стихий, проводя блаженную жизнь вне всяких треволнений и вне всякого воздействия на мир в межмировых пространствах. Лукреций даже утверждает, что было бы неблагочестиво признавать, будто боги беспокоят себя своим воздействием на мир. Поэтому атомисты удивительным образом настроены против религии, но не против богов, которые у них тоже состоят из атомов. Они — не атеисты, а деисты. Точно так же не очень отчетливы различия между Демокритом и Платоном в представлениях о непрерывности движения, о функциональных отношениях, о пределе, об инфинитезимальных процессах. Все это и подобное более или менее присутствует у обоих мыслителей, и не на это надо напирать в анализе расхождения обоих философов. Единственное глубокое различие между ними заключается в том, что Демокрит как представитель натурфилософии принципиально не отличает дух и материю. Дух для него — это та же самая материя, только иначе организованная и другого типа. Совсем другое у Платона, который резко разграничил обе эти области и самым резким способом поставил дух над материей, понимая под ней только какую-то темницу для духа, иной раз может быть, и прекрасную, а, вообще говоря, если ее брать в чистом виде, то совершенно бессмысленную. Вот в чем подлинное различие двух великих философов. Учение об атомах было и у того и у другого философа; и о различном его построении можно судить только с точки зрения той принципиальной несовместимости обеих философских теорий, на которые мы сейчас указали.
Наконец, очень важным нужно считать и тот методологический прием изложения атомистики, который мы применили выше. А именно, и всякую философскую систему, и всякое творчество вообще можно оценить только тогда, если не ограничиваться буквальным его переложением, а продумывать его до его логического конца, независимо от того, содержится ли эта завершенная логика в изучаемом научном, художественном или философском творчестве или не содержится. Гете, напр[имер], не считал себя филистером; но Энгельс, продумав творчество Гете до конца, пришел к выводу, что оно есть соединение гениальности и филистерства. Лев Толстой, напр[имер]>
дф. Лосев 337
не думал, что он изображает русское крестьянство или русское общество кануна революции. А Ленин, продумав творчество Льва Толстого до конца, пришел к выводу, что этот граф изобразил именно канун русской революции. Это продумывание мыслителей или художников до их логического конца только и может обеспечить правильную критическую оценку их творчества, впервые позволяя установить, в чем они успели и в чем не успели, и, если успели, то до какой степени. Историк философии во всяком случае должен быть выше и глубже тех философов, которых он анализирует. Левкипп и Демокрит не думали, что они оперируют такими понятиями, как предел, постоянная и переменная величина, дифференциал или интеграл, первообразная или производная функция и т.д., и т.д. Однако логическое продумывание всех их принципов до конца устанавливает, что все эти категории математического анализа только и помогли им создать их атомистическую систему, причем научно-критическое употребление этих понятий у них почти целиком отсутствовало, а интуитивно они пользовались ими почти в каждом ответственном моменте своего философствования. То же необходимо сказать и о таких понятиях у всех греческих натурфилософов, как математическое множество, структура, бесконечное и конечное, континуум и пр[очее]. Буквальное же изложение оставшихся натурфилософских фрагментов является совершенно неточным изложением и далеким от всякой научности. Да оно и невозможно, потому что их разбросанность и хаотичность, их неясность и противоречивость всегда заставляют их буквального излагателя незаметно становиться на ту или иную точку зрения, бессознательно производить ту или иную оценку. При таких условиях пусть уж лучше наша оценка будет сознательной и пусть будет наша критика беспощадной и доведенной до ее вполне продуманного и логического конца.
§5. Механико-математические и физические нелепости традиционного понимания греческой атомистики
Атомизм Левкиппа и Демокрита настолько стал привычной картиной, что никто не замечает тех нелепостей, из которых она состоит. В изложениях греческого атомизма невиннейшим образом повторяются любые несообразности, характерные для древнегреческого атома и несовместимые с простейшими представлениями современной математики, механики и физики. Тут уж забываются даже школьные учебники, и у восхвалителей механицизма здесь начинает слабеть память. Вместе с тем почти никак не учитывается то подлинное прогрессивное содержание греческой атомистики, которое выходит за рамки традиционного механицизма и требует более глубокого анализа, чем обычное некритическое восхваление непосредственно высказанных у Левкиппа и Демокрита нелепостей.
338________________________________________НАШИ ПУБЛИКАПии
Самым важным обстоятельством, ведущим к большой путанице является буквальное понимание атома как чего-то «полного» в отличие от окружающей его пустоты (Левк[ипп] А 10-12)6. Это «полное» называли еще «твердым» (А 1), а «пустое» — «редким» (А 6). Но едва ли здесь речь шла просто о твердых предметах. Это «полное» и «твердое» трактуется еще как «бытие», а «пустое» как «небытие» (тот же фрагм., Демокр[ит] 48, 51, 56). Аристотель (Левк[ипп] А 7) совершенно определенно понимает атомы Левкиппа как множественно-данное Парменидовское Единое, а поэтому атомам свойственны все особенности этого Единого и, прежде всего, то, что он называет «абсолютно полным» (pampleres), т.е. не допускающим внутри себя никаких пор, никакой пустоты. Это значит, что в атом Левкиппа уже ничего нельзя прибавить другого и что он абсолютно плотен, а, с другой стороны, что от него ничего нельзя отнять, т.е., что он неделим и неразрушим. Симплиций тоже связывает Левкиппа и Демокрита с Парменидом и тоже приписывает им учение о «плотной и наполненной сущности» (oysian). По Эпикуру атомы неделимы тоже ввиду своей непроницаемости (А 13). Об этой apatheia (собственно, «недоступности никакому воздействию») атомов говорится не раз (А 14, Демокр[ит] 45, 46, 59). О неделимости атомов ввиду их плотности читаем у Демокрита (54). Сюда необходимо присоединить также и то, что атомы совершенно бескачественны (Демокр[ит] 45) и обладают бесконечной твердостью (Демокр[ит] 54).
Все эти и подобные тексты Левкиппа и Демокрита свидетельствуют о том, что такие свойства атома, как наполненность, твердость, плотность, неподверженность внешнему воздействию нужно понимать в абсолютном смысле и без всякого исключения. Атом есть само бытие, даже лишенное всяких качеств. Переводя все такие суждения на язык современной физики, необходимо, следовательно, сказать, что каждый атом обладает бесконечно большой плотностью. Левкипп и Демокрит настолько приписывают своим атомам чисто геометрические свойства, что у исследователей не раз возникала мысль о полном геометризме этих атомов по самой их природе. Но к геометрическому телу не применимо понятие плотности. Тем не менее, это — не геометрия, а физика, или, вернее, полное отождествление физики и геометрии. Но что же, в таком случае, означает отсутствие плотности в материальном атоме? Полное отсутствие плотности в буквальном смысле слова означало бы только то, что атом вообще не является материальным телом. Это, однако, исключается. Значит, атомам свойственна бесконечно большая плотность, ибо только таким способом можно себе представить отождествление атома с геометрическим телом.
Кроме того, как сказано выше, в древности ходило не лишенное истины мнение, что атомы Левкиппа и Демокрита являются не чем иным, как элеатовским Единым, но представленным в виде
д.ф.Лосев
339
бесконечного числа частей. Этим атомам свойственны все те особенности Единого, которые свойственны этому последнему у элеатов и, прежде всего, однородность, неделимость и абсолютная плотность. Следовательно, говорить о разной степени сгущенности материи в разных атомах так же нелепо, как и признавать, вопреки общеизвестным текстам, неоднородность элеатского Единого.
Наконец, если гнаться за полной точностью, то, конечно, понятие плотности у атомистов еще пока слабо отличается и от твердости, и от крепости, и [от] нерушимости, и от непроницаемости, полноты или заполненности (ср. Демокр[ит] 57). Для нас важно только то, что момент плотности необходимым образом связан с представлением об атоме у атомистов. И все предыдущие рассуждения относятся именно к этому моменту плотности, четкого же разграничения этих понятий у атомистов не имеется. Но это для нас, в данном случае, и не важно.
Первая механико-математическая нелепость традиционного изложения и понимания греческого атомизма как раз и заключается в некритическом отношении к теории бесконечно плотного атома. Из элементарной физики известна формула:
d = т / v,
где d есть плотность тела, т — его масса иг— его объем. Демокрит представлял себе d бесконечно большим. Оно равно бесконечности потому, что Демокриту хочется сделать свой атом неделимым, и неразрушимым, и абсолютно твердым, не подверженным ровно никакому воздействию извне. Но так как величину своих атомов v Демокрит представляет конечной, то из приведенной формулы вытекает^7!.-
т = со • V.
Другими словами, при бесконечной плотности и конечном объеме атома его масса тоже должна равняться бесконечности, либо, если здесь допустить конечную массу, то объем атома должен быть равен нулю.
Но как же может двигаться атом, обладающий бесконечно большой массой?
Из механики мы знаем, что ускорение движущегося тела тем больше, чем меньше его масса, при данной силе. Другими словами, масса как бы сопротивляется движению, и чем она больше, тем медленнее движется данное тело, тем меньше его ускорение. Следовательно, если масса тела доведена до бесконечности, но ускорение его равно нулю, то скорость либо тоже равна нулю (т.е. данное тело покоится), либо тело движется прямолинейно и равномерно. Другими словами, атомы Левкиппа и Демокрита либо совсем никуда не движутся, и весь мир пребывает у них в мертвенном покое, либо все их атомы движутся равномерно и прямолинейно. Первая возможность
340 НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
является нелепостью, несовместимой с учением о первичном движении атомов. Вторая же возможность тоже противоречит основной картине мироздания, из которой исходит греческая атомистика. Картина эта рисует нам свободное движение атомов в пространстве в разных направлениях наподобие пылинок в световом луче, т.е. наподобие легких предметов в воздухе. Одно из обычных представлений у атомистов — это даже «трясение» атомов (Демокр[ит] 78, 79). Никакого воздуха, однако, в этих теориях атома не может быть в пространстве, или воздух трактуется здесь как явление вторичное - само возникшее из атомов; а бытие состоит у атомистов из атомов и пустоты, не оказывающей никакого сопротивления. Какое же может быть здесь трясение?
Таким образом, мир у атомистов либо представляет собой мертвую неподвижность, либо совсем не представляет собою суммы движения свободно движущихся атомов.
К этому присоединяется еще то затруднение, что свои атомы Демокрит мыслит лишенными всякой упругости. При таком условии, которое уже одно превращает атомы в какое-то сверхчувственное бытие, атомы при встрече не могут отскочить друг от друга. Остановиться эти атомы тоже не могут в силу основного атомистического учения о неразделимости материи и движения. Остается только при взаимных встречах атомов продолжать им дальнейший путь уже совместно, в нераздельном виде. Но это совместное движение должно иметь для себя свою причину, выходящую за пределы каких бы то ни было свойств соединившихся атомов, поскольку эти последние, ввиду указанных черт абсолютной твердости, абсолютной плотности и нулевой упругости, вообще лишены возможности как-нибудь воздействовать друг на друга.
Далее, движение всякого тела представляет собою результат его тяготения к другим телам. Так, по крайней мере, представляет себе это дело традиционная физика, если отвлечься от трудных и тонких проблем нашей современной теории атома. Но атом Демокрита не притягивается ни к какому другому телу, а обладает своим собственным движением, которое свойственно ему навечно и по необходимости. То, что материя и движение нераздельны, это вполне понятно, и спорить против этого было бы неразумно, но это не значит, что каждый атом в своем движении не зависит ни от каких других атомов и что ему от природы присуще какое-то специфическое, только ему одному свойственное движение. В таком случае атом Демокрита ничем не отличается от мифических живых существ, которые движутся и действуют тоже в результате свойств, наличных у них извечно и в связи с их собственным существованием.
Допустим, однако, что они движутся под влиянием собственной тяжести подобно атомам Эпикура, которые как раз движутся сверху
А.Ф.Лосев
341
вниз именно под влиянием своей тяжести. Но в таком случае необходимо допустить внизу какое-то огромное тело, вроде земли, которое притягивает все атомы к себе, ибо иначе где же будет здесь верх и где будет низ и чем же, собственно говоря, падение вниз будет отличаться от взлета вверх? Однако, допустивши какой-то абсолютный низ, ясно, что мы допускаем и какую-то среду, в которой происходит падение атомов, поскольку вся эта картина заимствована из наблюдения обычного падения тел в воздухе с известной высоты на поверхность земли. Но падение в такой среде зависит от массы тела, его тяжести или веса и от сопротивления проходимой им среды. Если масса абсолютно велика, и вес падающего тела бесконечно велик, то для тела не существует ровно никакого сопротивления. Это значит, что атом падает на землю с бесконечно большой скоростью, т.е. мгновенно. И, следовательно, опять получается картина мертвенно-неподвижного мира.
Нужно сказать, что в случае бесконечной скорости движения атомов, отпадает и та традиционная картина их движения, когда они плавают как бы в воздухе, то соединяясь в сложные тела, то разъединяясь. Ведь при бесконечной скорости любые расстояния должны быть проходимы в одно мгновение; и поэтому все атомы должны в одно мгновение пройти весь свой путь, т.е. мыслиться неподвижными. Реального движения, таким образом, вовсе здесь не получается.
Заметим, что бесконечное движение атома вовсе не обязательно вытекает из общей картины атомистики у Левкиппа и Демокрита. Ввиду противоречивости этой картины возможен вывод и о конечной и о нулевой скорости каждого атома. Если, однако, масса атома бесконечна и если атомы движутся не в абсолютной пустоте (где их скорость была бы всегда одинакова), но в какой-то более или менее плотной среде (ибо иначе они не летали бы, не плавали бы и не «тряслись» бы), то тело с бесконечной массой мгновенно преодолевает среду любой конечной плотности и все равно летит или падает с бесконечной скоростью. Но куда должны лететь атомы и на основании каких законов (если нет законов всемирного тяготения) — неизвестно. А если бы они куда-нибудь и летели бы с бесконечной скоростью, то все равно они достигли бы своей цели в одно мгновение, и все равно мир оказывается неподвижным.
Но допустим, что атомы падают сверху вниз в абсолютной пустоте. В таком случае скорость их движения совершенно одинакова и не зависима от их веса. Другими словами, соотношение атомов в пространстве остается всегда одним и тем же, т.е. рисунок их падения абсолютно неподвижен. Получается так, как если бы двигалась какая-то картина или статуя в целом, но ее вид и соотношение ее частей оставалось бы мертвенно неподвижным. Вот почему Эпикуру и Лукрецию пришлось ввести понятие самопроизвольного отклонения атомов.
342
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Но это понятие заслуживает отдельного рассмотрения, которое мы здесь не производим, потому что у Демокрита оно целиком отсутствует.
Итак, является ли скорость движения атомов нулевой или бесконечной, все равно никакого движения мира не получается. При конечных же скоростях движения атомов нельзя объяснить ни происхождения их движения, ни тех изменений их скорости, которые мыслятся в основной картине атомистического мироздания, ни тех результатов, которые, согласно этой картине, получаются в итоге объединения атомов, ни самого факта этого объединения.
Как мы видели выше, бесконечная плотность, кроме бесконечной массы и конечного объема, допускает еще другую возможность - конечную массу атома с его нулевым объемом. Однако нулевой объем атома представлял бы собою настоящий скандал для всей этой теории. Ведь согласно основному учению атомистов движение и распределение атомов объясняется их взаимными ударами (Демокр[ит] 77). Какие же могут быть удары атомов, не имеющих никакого объема? И как вообще можно говорить о движении тел, не имеющих никакого объема? Затем, если объем атома равен нулю, то и объем тела, возникший из этих нулевых объемов, тоже равен нулю. Но если даже существует целая бесконечность атомов, то произведение нуля на бесконечность есть вполне неопределенная величина, т.е. об объемах нигде и ни в отношении чего вообще конкретно нельзя говорить.
Весьма неладно обстоит дело у Левкиппа и Демокрита с весом или тяжестью их атомов. У Эпикура атомы определенно обладают весом. Что же касается Левкиппа и Демокрита, то источники дают на эту тему весьма сбивчивый материал. По одним, атом Демокрита весом (и даже этот вес зависит от размеров атома, Демокр[ит] 80 сл., 191 сл.), по другим, невесом (множество источников вообще, как известно, отказывает атомам Левкиппа и Демокрита решительно во всех свойствах и качествах, кроме формы, размеров и положения в пространстве). Однако и то и другое нелепо. Нелепость весомых атомов предполагает их взаимное тяготение, которого у атомистов нет. В случае же невесомости атома, приведенная выше формула порождает новую нелепость. А именно, получается, что бесконечная плотность равняется массе атома, деленной на его объем. В этом случае либо масса должна равняться бесконечности (тогда объем будет конечным), либо объем должен равняться нулю (тогда масса атома окажется неопределенной величиной). Бесконечность массы, как мы доказали, невозможна. Следовательно, остается, чтобы при конечной массе объем атома равнялся нулю.
Однако нелепости нулевых объемов мы уже видели выше, и сейчас не стоит этого повторять. Заметим только, что, ввиду нелепости и противоречивости буквального понимания атомистики, необходимо
дф. Лосев	343
я» “ '
оказываются противоречивыми и те источники, откуда мы почерпаем знание о Левкиппе и Демокрите. То атом имеет вес (Демокр[ит] 81), то он его не имеет (Демокр[ит] 77), то атомы движутся, и это как будто бы является основным учением атомистов, а то вдруг оказывается, что атом неподвижен (тот же фрагмент), то объемы атомов конечны, потому что основная картина здесь — это движение атомов во все стороны наподобие легких тел, плавающих в воздухе, то объем атома равен нулю, как это мы только что вывели из теории бесконечной плотности атома; а то вдруг объем атома может быть любым по величине (Демокр[ит] 54) и даже бесконечным. Последнее тоже достаточно нелепо, хотя, впрочем, какие-то мысли о бесконечном объеме атома у атомистов, несомненно, бродили. Во всяком случае, один фрагмент из атомистов прямо гласит, что «возможно, чтобы атом по величине равнялся миру» (Демокр[ит] 77, ср.54). И вообще наивно догматическое и метафизическое оперирование с нулевыми и бесконечными величинами, которые мы находим у традиционных излага-телей греческого атомизма, на каждом шагу ведет к разного рода недоразумениям и нелепостям, и едва ли оно было свойственно в такой мере самим атомистам. Скорее нужно ожидать, что здесь грешат историки философии, чем сами атомисты. Из множества разных нелепостей укажем, напр[имер], на то, что тяжесть атома находится в зависимости от его объема: чем больше объем, тем больше и тяжесть (Демокр[ит] 80, 121). Ясно, что речь может здесь идти только о конечных величинах, ибо, если, например, масса равна бесконечности, то она остается такой при любом объеме атома. Или, если существует только «полное» и «пустое», т.е. «абсолютно тяжелое» и «абсолютно легкое», то Аристотель (Демокр[ит] 80) совершенно прав, что в таком случае невозможно найти ничего среднего между тем и другим и даже нельзя сравнивать между собою эти конечные тяжести. Да и вообще, как правильно рассуждает Плутарх (Демокр[ит] 136): «Не будет никакого основания считать одну величину ни больше ни меньше Другой, если у них обеих деление на части может продолжаться до бесконечности». Во всех таких случаях, очевидно, надо применять Для понимания атомизма какие-то другие механико-математические методы, но не методы обывательской и догматической метафизики, пусть хотя бы даже материалистической.
Особенно интересным является то преобразование, которое испытывает характеристика движения в условиях бесконечной скорости, поскольку эта последняя тоже возможна для атомистики, по крайней мере, как один из весьма странных и туманных выводов. При значительном увеличении скоростей в современной механике установлено сокращение длины тела в направлении движения. Это сокращение определяется по простой формуле
344__________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
/ = /0-Jl ~1/2 /с2,
где I - длина тела в направлении движения, v — скорость движущейся системы,с которой мы наблюдаем размер / и с~ скорость света. Если v бесконечно растет, то дробь v2 / с2 неограниченно возрастает; и в правой части приведенного выражения мы получаем квадратный корень из отрицательной величины, т.е. то, что в математике называется мнимой величиной. Как бы ни понимать мнимой величины, она, во всяком случае, не занимает никакого пространства, и тело, движущееся с бесконечной скоростью, получает мнимую длину в направлении своего движения. А это значит, что и весь объем тела тоже превращается в мнимую величину. Другими словами, если из бесконечной плотности атомов вытекала нелепость их бесконечной скорости, то из бесконечной скорости их движения вытекает еще новая нелепость — это мнимость их объема. Атомистический мир,таким образом, не только мертвенно неподвижен, но еще и не занимает никакого пространства.№
Наконец, ряд нелепостей вытекает также и по вопросу об отношении атомов с указанными механико-математическими свойствами к возникшей из них действительности.
Атомы объявлены совершенно бескачественными. Они характеризуются только пространственной формой и величиной. Они совершенно лишены всяких качеств. Спрашивается: как же из этих беска-чественных атомов может получиться качественная материя? Какое бы количество атомов мы ни объединили в одно и единое физическое тело, это последнее все равно не будет обладать никакими качествами. Откуда же этим качествам взяться? Остается признать: либо и вся материя, вся материальная действительность бескачественна (это нелепо), либо уже самые атомы содержат в себе хотя бы какую-нибудь потенцию качественности (а это противоречит основному тезису греческого атомизма).
Атомы объявлены невесомыми и лишенными тяжести. Спрашивается: как же из невесомых атомов возникает весомая материя и физические тела с определенной тяжестью? Правда, некоторые источники говорят, что первые атомисты тоже признавали весомость своих атомов на манер Эпикура. Но весомые атомы в условиях отсутствия всякого притяжения между ними представляют собою термин, не имеющий никакого смысла. А самостоятельное движение каждого атома со скоростью и направлением, данным ему от природы, есть мифология.
В качестве основного тезиса греческий атомизм выдвигает не только независимое движение каждого атома, но и сплетение их между собою в результате их взаимного подобия. Спрашивается: почему же подобные атомы должны обязательно стремиться один к другому? Ведь если в атомах нет ровно никаких свойств, кроме формы и
дф. Лосев	345
—-	— — -
размеров, то, значит, в них нет и никаких таких свойств, которые заставляли бы их стремиться друг к другу, как нет в них и вообще никаких других свойств. Следовательно, либо атомам свойственно нечто иное, кроме пространственной формы и размеров, либо их взаимное сближение и разъединение есть только результат голой случайности. Однако без диалектического материализма, умеющего синтезировать случайное и необходимое, нет никакой возможности в такой мере превозносить случай. Если случай есть единственный регулятор соединения и разъединения атомов, то подобное учение является полным иррационализмом, что тоже противоречит исходной позиции атомистов, стремившихся понимать природу как совокупность научно формулированных закономерностей.
Указанные механико-математические нелепости раннего атомизма отнюдь не ограничиваются только механикой и математикой. Эти нелепости вызваны к жизни нелепостью той социально-исторической почвы, на которой вырастала подобного рода нелепая механика и математика.
Именно нетрудно заметить, что все эти нелепости проистекают из одной основной идеи атомизма, из идеи бесконечно большой плотности и неделимости атома при общей бескачественности всех атомов вообще. Это есть результат того абсолютного индивидуализма, который и заставил в конце V в. до н.э. в Греции выдвинуть понятие атома, т.е. несгибаемого и внутренне насыщенного индивидуума, бездушного и безличного, как и сам этот индивидуализм.
С точки зрения такого индивидуума мир представляется чем-то таким же понятным, лишенным всяких загадок и чем-то однокачественным или даже бескачественным, каковым является и сам индивидуум. Этот индивидуум, или этот атом, во всех отношениях характеризуется чертами абсолютности, он совершенно бездушен, и весь мир превращен для него в мертвенную неподвижность. Демократичен он только в том отношении, что состоит он не из какого-нибудь духа или души, но из той же самой материи, из которой состоит и вся действительность. Но эта демократия рабовладельческая и притом в период своего классического расцвета. Поэтому бездушие и безличие такого атома-индивидуума объединяется с его непреклонностью, абсолютным самодовлением и независимостью от той реальной действительности, в основе которой он лежит и которую он хочет всецело определить собою.
Поэтому указанные выше механико-математические нелепости классического атомизма являются не больше, как отражением таких же нелепостей рабовладельческой демократии, которая, несмотря на всю свою демократичность, все же была рабовладением, т.е. понимала реального производителя не как человеческую личность, но как вещь, как домашнее животное, как товар. Не удивительно, что такая
346 НАШИ ПУБЛИКА!^
—"— нечеловеческая идеология привела к таким же нелепостям и противо-речиям также и в области механики атома и в области его математического осознания.
Можно только удивляться тому, с какой легкостью обычно объединяют атомистику Левкиппа и Демокрита с прогрессивными и почти даже революционными тенденциями ее эпохи или даже с прогрессивным характером всякой доброкачественной философии. Изображение древнего рабства обычно полно всяких ужасов и невероятных зверств, в условиях которых протекала жизнь рабов. Раб — даже не человек, а скот. Он не имеет обычного человеческого имени, а только какую-нибудь кличку. Он эксплуатируется до полного изнеможения сил, его продают и покупают, даже убивают, он совершенно бесправен и вполне вне закона. И вот оказывается, что самая передовая и самая развитая идеология цветущего рабовладения есть не что иное, как атомистика Левкиппа и Демокрита. Спрашивается: неужели самое ужасное рабовладение обладало самой передовой идеологией? Неужели никакие ужасы рабовладения никак не отразились на его философской теории? И неужели атомы Демокрита не имеют ровно никакого отношения к тогдашним рабам как производителям материальных ценностей?
Нам кажется, что если всерьез говорить об ужасах рабского труда, то эти ужасы должны были бы найти свое отражение также и в соответствующих рабовладельческих теориях. И поскольку здесь невозможны никакие непосредственные переносы с базиса на надстройку, мы эти ужасы рабского труда можем находить только в физических, механических и математических свойствах самих же атомов, а именно в их бездушии, в их самоудовлетворенности, в случайности, а лучше сказать, в невозможности самого их движения и столкновения, в нелепости всей подобной космологии, в которой нулевые, конечные, бесконечные свойства атомов смешаны в полной неразберихе при помощи, однако, ничем не смягченного механи[ци]зма. При всякой другой трактовке атома Демокрита получается антимарксистский разрыв философии и греческого атомизма и породивших его социально-исторических сил.
§6	. Прогрессивный характер греческой атомистики
Однако, отдавши себе полный отчет в рабовладельческом происхождении греческого классического атомизма, мы все же не можем расстаться с тем демократическим развитием, которое здесь имело место. Трудно и антиисторично отделять здесь одно от другого. Но трудность эта возникает только в глазах историка, пожелавшего во что бы то ни стало дать реальную и непредвзятую картину данного времени, несмотря на все изъяны и пороки тогдашней жизни. Позволительно, однако, анализировать любую эпоху не только с
дф.Лосев 347
описательной точки зрения, но и с точки зрения общечеловеческих ценностей, как мы их теперь понимаем, т.е. с точки зрения того положительного наследия, которое остается часто даже от самых темных периодов человеческой истории.
Забудем о рабовладении, забудем о товарном понимании человека, забудем весь механицизм греческого атомизма и все бездушие заключенных в нем принципов. Другими словами, попробуем найти в нем то подлинно прогрессивное, что было не только с точки зрения тогдашнего рабовладения, но и с нашей теперешней точки зрения. Нам придется отбросить все эти глупости и наивности, о которых мы говорили выше, и сосредоточиться на том, что и для нас имеет большое значение. А это есть учение о вечном движении материи и всей действительности, но движение, выраженное уже не в рассмотренных нами выше заскорузлых формах атомистического индивидуализма. Правда, при таком подходе к Левкиппу и Демокриту у них можно обнаружить только некоторого рода намеки на истинные формулы движения, только некоторого рода догадки о возможности правильной механико-математической обработки вечного становления действительности. Но так оно и должно быть, ибо невозможно требовать наших методов мысли и результатов нашей точной науки от мыслителей, живших несколько тысячелетий до нас. И все же эти намеки и догадки, часто весьма смутные, гораздо ближе и дороже для нас, чем вся эта яркая и богато разрисованная картина греческого атомизма, слишком нагруженная указанными у нас выше особенностями тогдашней социально-исторической эпохи.
Короче говоря, мы сейчас рассмотрим греческую атомистику с точки зрения современного математического анализа, далеко выходящего за пределы наивного и нелепого механицизма и лежащего в основе современных нам точных наук. Но этому должно предшествовать несколько основных тезисов.
Первый тезис гласит о том, что древнегреческая атомистика является учением об объективном бытии, находящемся вне и независимо от человеческого сознания. Можно по-разному понимать бытие как вообще, так и у атомистов; и можно как угодно понимать сознание, Но при любом понимании того и другого прогрессивной будет только та теория, которая считает бытие первичным, а сознание вторичным, потому что только такое взаимоотношение бытия и сознания отвечает здоровому и общечеловеческому чувству жизни. Атомисты занимают здесь позицию, ни у кого не вызывающую ровно никакого сомнения.
Второй тезис говорит нам о познаваемости объективного мира у атомистов. Здесь опять-таки мы не будем входить ни в какие детали, Потому что детали эти как раз вызывают много разных мнений.
348
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
важен самый принцип. И принцип этот тоже является общечелове ческим и не требует никаких доказательств.
Третий тезис стремится найти в основе материи некоторые простейшие элементы, которые являются либо просто неразложимыми и неразрушимыми, либо их разложение нисколько не разрушает объективности мира, а, наоборот, его обосновывает и уточняет. Элементы эти — материальные, хотя детали этой материальности мы здесь опять-таки не подвергаем никакому рассмотрению. Ленин учил о том что философский принцип материи надо отличать от многочисленных и скоропреходящих физических теорий материи. Поэтому, формулируя прогрессивный характер атомизма, мы должны выдвигать на первый план не характеристику самих атомов, которая у атомистов часто ведет к нелепостям, но самый принцип материальности бытия, а уж он у них никогда не подвергался никакому сомнению.
Наконец, четвертый тезис — и тут мы уже вплотную подходим к математическому анализу, — трактует о том, что материальные элементы находятся в вечном и непрерывном движении, хотя этому и мешали разного рода нелепости тогдашней примитивной философии. Отбросим эти нелепости. Ведь мы сейчас не рисуем подлинную историческую картину греческого атомизма, а намеренно и сознательно выделяем из него только те элементы, которые, с нашей точки зрения, можно считать прогрессивными. Вечность и непрерывность движения, неотделимая от самой объективной материи, — вот тот великий принцип, беэ которого нет прогрессивной философии и который с замечательной энергией проповедовался античными атомистами, как бы этому ни мешали другие, более отсталые элементы их философской системы.
Эти четыре основные тезиса греческого атомизма вполне обеспечивают его несомненное прогрессивное значение, и без них всякое изложение греческого атомизма является уродливой и реакционной попыткой исказить одну из самых замечательных эпох истории философии.
Однако здесь-то мы и хотели предложить ряд идей из современного математического анализа, которые, на наш взгляд, гораздо более совершенным способом оформляют положительное наследие греческого атомизма, чем проповедуемые им «трясущиеся» и летающие по воздуху атомы, которые, как мы видели выше, не могут ни трястись, ни летать ввиду своей бесконечной плотности, бесконечно большой массы и бесконечно большой скорости.
§7	. Попытки применения математического анализа в греческой атомистике
Вопрос о математическом анализе у греческих атомистов много раз подвергался рассмотрению в работах по истории математики.
д ф.Лосев	349
и*"
Однако историки философии упорно стоят на обывательской точке зрения в отношении атомов Левкиппа и Демокрита и постоянно рисуют ту буквальную картину движения атомов, которая содержится в дошедших до нас материалах и которые, как мы доказали выше, отнюдь не являются большим достижением атомистики. Историки философии часто думают, что этот предмет не имеет к ним отношения и что философию атомизма вообще можно и нужно излагать вне всяких механико-математических категорий.
Тем не менее само разделение физики и геометрии едва ли свойственно атомистам, как оно едва ли свойственно также и вообще всей досократовской философии. Атом Левкиппа и Демокрита, несомненно, физичен: он, несомненно, материален. Атомы имеют определенную физическую форму, определенный вид. Атомы - «одни шероховатые, другие круглые, третьи угловатые и крючковатые, четвертые закривленные и как бы внутрь изогнутые» (Левк[ипп] А 11). «Одни из них кривые, другие — крючковидные, третьи — впалые, четвертые - выпуклые, прочие имеют другие бесчисленные различия» (Демократ] 47). С другой стороны, однако, атомы эти не только не подвержены никакому разрушению, но они и вообще неизменяемы, обладают бесконечно большой прочностью, твердостью и плотностью, так что в этом смысле ровно ничем не отличаются от геометрического тела. Физика и стереометрия для атомистов неразделимы. Поэтому и нельзя говорить об атомах только с физической точки зрения. И мы уже видели, к каким нелепостям приводит обывательски-физическое представление об атоме. Греческий атом обязательно нужно рассматривать и математически. И нужно считать порочным такое изложение греческой атомистики, которое отбрасывает здесь всякую математику на том основании, что оно хочет быть философским. Философия и математика здесь, как и вообще, неразделимы.
Начатки математического анализа в греческой атомистике, как мы сказали, констатируются уже издавна. Можно указать работу Simon М. Geschichte der Mathematik im Altertum. Berl., 1909. Здесь доказывается, что атом Демокрита есть дифференциал массы, что объем тела у него есть «интеграл, сумма бесконечно малых призм», что Демокрит, во всяком случае, занимался проблемой непрерывности (на это указывает название не дошедшего до нас сочинения «Об иррациональных отрезках прямой и континууме, naston»), что метод Демокрита напоминает Кавальери и что Демокрит пока еще не смог «доказать» правильности и необходимости применения инфинитезимального метода, но что он его уже «указал» (стр. 181 сл.), что Демокрит «соединил» учение пифагорейцев о пустоте, Эмпедокла о порах и Анаксагора о бесконечно малых в общее учение о дифференциале массы, пространства и движения (стр.386). Гейберг И.Л. (Естествознание и математика в классической древности / Пер. С.П.Кондратьева. М.-Л.,
350___________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
1936. С.75) тоже пишет о Демокрите: «...многое заставляет предполагать в нем предшественника Архимеда в области исчисления бесконечно малых». Необходимо указать также на работу Philippson R Democritea // Hermes. 1929. Bd.64. С. 175-183, где тоже устанавливается наличие у Демокрита учения о бесконечно малых. Новейшей работой в этой области является работа Маи J. Zum Problem des Infinitesimalen bei den antiken Atomisten. Berl., 1957 [2. Auf.], где в убедительной форме доказывается наличие идеи бесконечно малых у греческих атомистов и обсуждается полемика этих последних с элеата-ми при помощи этой идеи. Дело не обошлось также и без возражений. В специальной статье Hoppe Е. Die Entwicklung des Infinitesimalbegriffs // Philologus. 1920. Bd.76. С.355-359 доказывает, на основании известного текста Плутарха, что Демокрит, разделяя конус на параллельные пластинки, не смог получить образующей конуса в виде прямой и что, следовательно, понятия дифференциала и интеграла были ему чужды. А открытие бесконечно малых Е.Hoppe приписывает Платону, используя учение последнего о беспредельном в «Филебе» (17 А, 18 А, 24 А, 25 В, 27 D). Возражателем против идеи бесконечно малых у атомистов был и Е.Frank в работе: [Frank Е.] Plato und die sogenannten Pythagoreer. Halle, 1923.
В советской науке С.Я.Лурье с большим успехом и притом в своих многочисленных работах рассматривал учение греческих атомистов с точки зрения математического анализа, подвергая обстоятельной критике дошедшие до нас источники по этому вопросу. Здесь мы укажем основной труд С.Я.Лурье из этой области: [Лурье С.Я.] Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.—Л., 19359. Вопроса о бесконечно малых у атомистов кратко касается и А. О. Маковельский в: [Маковельский А.О.] Древнегреческие атомисты. Баку, 1946. С.85, И.Г.Башмакова в своих «Лекциях по истории математики в древней Греции» / / Историко-математические исследования / Под ред. Г.Ф.Рыбкина и А.П.Юшкевича. М., 1958. Вып.ХЕ С.331, учитывая те трудности, которые возникали у Демокрита в его учении о конечной делимости на путях математического анализа, совершенно правильно пишет: «И все же в концепции Демокрита содержалась чрезвычайно плодотворная мысль, которая впервые по-настоящему была оценена только Архимедом. Мы говорим о выдвинутом им принципе составления тел из большого числа маленьких частиц, размеры которых известны. В этом можно видеть зародышевую формулу интеграционных методов».
В нашем последующем изложении мы пользуемся всеми этими работами, но даем несколько иную интерпретацию атомистического учения о бесконечно малых. Интерпретация эта основана на учете еще неразвитого, слишком раннего и малодифференцированного характера математических идей атомизма, на невозможности находить
д.ф.Лосев	351
в них только одну, и притом строго разработанную, логическую систему, и, наконец, на необходимости принимать во внимание не какую-нибудь одну, но разные стороны математического анализа, чтобы разобраться в атомистах.
Прежде всего нужно понять, что греческие атомисты различали, по крайней мере, два вида неделимых, которые в традиционных изложениях никак не различаются.
Именно надо различать физический атомизм и атомизм математический. Физический атом неделим либо ввиду своей плотности, либо ввиду своей непроницаемости, либо ввиду отсутствия в нем пустых промежутков и т.д. Совсем другое — математическая неделимость атома. Она так же необходима, как и бесконечная делимость отрезка прямой в геометрии. Ведь как бы атом ни был мал, его всегда можно разделить пополам, разделить на три, на четыре и вообще на сколько угодно частей. Атом делим до бесконечности, и это прекрасно понимали все греческие математики. И такого рода бесконечную делимость едва ли отвергали греческие атомисты. Они отвергали другое. Они отвергали то, что бесконечная делимость есть единственный принцип, и указывали, что при бесконечной делимости тела оно превращается в какой-то иррациональный туман, в котором уже нельзя узнать ни самого тела, ни его частей. Необходимо, чтобы в каждый момент деления сохранялось то самое, что подвергается делению, ибо если исчезает оно, то исчезает и самая возможность деления. Поэтому в античном атоме, на наш взгляд, самое главное не то, что его дальнейшее деление невозможно, а то, что как бы далеко ни продолжать это деление, в каждый момент деления будет оставаться то, что можно подвергать еще дальнейшему делению. Оно-то и есть «неделимое», атом. Кроме физической неделимости, атомисты выдвигали неделимость в смысле «малости атомов», т.е. неделимость в смысле самого принципа делимости, которая вовсе не исключает бесконечной делимости, а только требует признания наличия той или иной определенной величины в каждый отдельный момент деления. Вероятно, именно атомистов имеет в виду Плутарх (Демокр(ит] 132), когда говорит, что «есть нечто среднее между конечным и бесконечным». Вот почему источники по ранним греческим атомистам производят странное, запутанное и противоречивое впечатление на тех, кто старается понять Левкиппа и Демокрита в свете формалистической метафизики, неспособной объединить делимость и неделимость в одно целое. С одной стороны, бесконечная делимость вполне очевидна, и для школы Демокрита она засвидетельствована вполне надежным источником. Именно, античный комментатор к одной теореме Евклида пишет (Демокр[ит] 122): «что не существует наименьшей величины, как утверждают демокритовцы, видно и из той теоремы,
352
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
согласно которой [всегда] можно получить величину меньшую всякой данной». Однако, с другой стороны, совершенно очевидно также и то, что нельзя признавать только одну бесконечную делимость, потому что при ней все тела распались бы в непознаваемое и нерасчленимое ничто. Стоит только прочитать о Демокрите у Aristot. De gen. et corr. I 2, 316 a 13 сл. (Демокр[ит] 123). Ясно, что в атоме есть нечто делимое и нечто неделимое, как это мы указали выше. Но вопрос о делимости и неделимости отрезка был у греческих мыслителей той эпохи связан с вопросом о природе движения, как показывают известные парадоксы Зенона.
В любых суждениях о греческих атомистах мы должны помнить то, что выставлено у нас выше в виде четвертого тезиса, а именно, что атомы Левкиппа и Демокрита находятся в вечном и непрерывном движении, и что движение это неразрывно связано с самой материей. Античный атом совершенно немыслим без движения. Об этом движении говорит множество материалов. Левкипп (А 8.18) говорит о «непрерывном возникновении и изменении» и о «всегда движущихся» атомах; он же (А 10.17) — о «всегда движущихся элементах», а также (А 24) — о «непрерывном и бесцельном движении». По Демокриту (51) «атомы всегда движутся в пустоте». Это движение — свободное (78), вечное (76) и первичное (79). И хотя кое-где промелькивает движение вследствие внешних толчков (Левк[ипп] А 16.22), все же «необходимость и само собой происходящее движение может все произвести» (Демокр[ит] 63), так что «все в возможности, но не в действительности» (Демокр[ит] 59). Таким образом, атом характеризуется не только формой и величиной, но ему свойственна еще и третья особенность — положение в пространстве; и поэтому он есть всегда еще и некоторого рода сдвиг, т.е. некоторое, хотя бы бесконечно малое, движение. «Пустое», противоположное «плотному», также нельзя понимать у атомистов грубо метафизически. Ведь это «пустое» трактуется у них как причина движения (Демокр[ит] 77-79), как возможность, т.е. как нечто реально участвующее в движении самих атомов, так что каждый атом уже по самой своей природе является не просто неподвижной структурой, но дан вместе со своим положением в этом «пустом», т.е. отличается хотя бы бесконечно малым движением. Кроме того, основное определение «пустого» есть теоп, а не оусоп, т.е. несуществующее - не в смысле абсолютного отсутствия существования, но в смысле непрерывного становления, каждая находящаяся в нем вещь становится в каждое мгновение все новой и новой, переставая существовать в качестве старой. Наконец, общеизвестное учение атомистов о вихре тоже говорит о вечности и непрерывности движения материи.
Если применить этот тезис к указанному у нас учению о математической неделимости, то эта неделимость будет обозначать не что
А.Ф.Лосев
353
иное, как наличие в каждом пункте движения такого момента, который и является определенной для каждого пункта величиной в результате деления, и в то же время принципом, обеспечивающим дальнейшее непрерывное движение и деление.
Атом у ранних атомистов есть, следовательно, не просто какое-нибудь конечное и стабильное тело, но он как бы заряжен энергией дальнейшего своего изменения. У Демокрита было целое сочинение под названием «Об иррациональных отрезках прямой и континууме». (101 Здесь, между прочим, «Демокрит рассматривает возражения против атомизма, основанные на существовании иррациональности»; «однако, если мера, измеряющая некоторую точно определенную [по длине] линию, делима до бесконечности, то она [эта линия] не будет ни рациональной, ни иррациональной» (Демокр[ит] 136). Но как это возможно? Ведь если деление понимать чисто механически, то сколько бы мы ни делили две несоизмеримые линии, мы никогда не найдем в них той общей меры, которая делала бы их соизмеримыми. Очевидно, тот атом, который получается в результате деления двух несоизмеримых отрезков, содержит в себе как нечто устойчивое и определенное, так и нечто неустойчивое и подвижное, что только и делает впервые возможным получение общей меры для двух несоизмеримых отрезков. Эти непрерывно становящиеся точки в дальнейшем будет признавать внутри атома Эпикур. Но уже и у Демокрита атом есть не просто тело той или иной формы, но обязательно тело с тем или другим сдвигом. Ввиду непрерывности движения материи и всех ее элементов каждый атом необходимо является переменной величиной, что при функциональной взаимозависимости элементов и заставляет предполагать у ранних атомистов предчувствие категорий математического анализа.
Если неразрывность материи с движением заставляет рассматривать реальный атом как переменную величину, то точно так же мы должны говорить и о функциональной зависимости всех атомов. И это — не только на основании факта законов природы, без которого немыслим атомизм, но и того общеизвестного и для историков философии и для самих атомистов факта, что атомы у Левкиппа и Демокрита, учеников элейской школы, получились в результате дифференциации того Единого, которое было у элейцев однородным и неподвижным и сплошно, непрерывно охватывало весь мир. Атомисты стали проповедовать мельчайшие атомы как результат дробления этого элейского Единого, но они оставались у них однородными и связанными в одно целое. Они двигались у них не в результате взаимного тяготения, которое у элейцев целиком отсутствует, но только в результате взаимного подобия или сходства, т.е. двигались они по самой своей природе. А это значит, что все они охвачены нерушимой
354
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
функциональной зависимостью, без которой они немыслимы так же, как и без движения.
Эти два фундаментальных факта атомизма — непрерывное движение атомов и их функциональная взаимозависимость — и заставляют вспоминать при изучении атомизма о математическом анализе, пренебрегая теми наивностями, которые не могли не оставаться в атомизме в силу слишком интуитивных приемов этой ранней греческой философии.
Дифференциал и интеграл являются настолько глубокими и широкими понятиями, что их значение далеко выходит за пределы математического анализа и всех связанных с ними областей науки. С точки зрения логики и вообще философии, здесь залегают весьма важные принципы мышления, которые у философов часто излагаются весьма обывательски и неточно, в то время как в математике они излагаются научно и точно, и философам не худо было бы поучиться в этом отношении у математиков. Для этого нужно уметь переводить математические категории на язык философии, что, конечно, представляет собою большие трудности.
Всякая вещь есть нечто — и по своему теоретическому понятию и в своем фактическом состоянии. Ботаник знает анатомию данного цветка и воспринимает фактически выросший цветок. Зоолог знает теоретическую структуру данного живого существа и воспринимает фактически встретившуюся ему собаку, кошку, лошадь и т.д. Так и во всех областях действительности. Встретив какого-нибудь человека, мы не только воспринимаем слепо и безотчетно его внешний вид в данную минуту; но при более внимательном всматривании мы начинаем догадываться и об его возрасте и о том, что происходило с ним раньше и физически, и, возможно, даже психологически. Везде тут перед нами имеется: 1) какая-то общая и теоретически мыслимая структура, 2) более или менее точно представленные законы или хотя бы просто пути ее фактического развития и [3)] фактическое состояние этой структуры в данный момент времени. Едва ли кто-нибудь станет возражать против такого рода бытовых и просто даже обывательских установок. Тем не менее эту обывательскую и вполне расплывчатую картину всякой фактически существующей и фактически воспринимаемой вещи можно выразить гораздо точнее; и если у нас было не обывательское, а вполне точное представление о всякой данной фактической вещи, то мы бы и пользовались для ее понимания точными понятиями; и мы узнали бы, что как раз именно математический анализ и пользуется этими точными понятиями.
Строение, или структура, или анатомия данной вещи, мыслимая теоретически, необходимым образом содержит в себе тот или иной принцип. Принцип жилища состоит в том, что оно является для человека защитой от разного рода трудно переносимых или совсем не
А.Ф.Лосев
355
переносимых явлений атмосферы. Принцип стула есть то, что он является приспособлением для сидения. Но принцип еще не есть осуществление принципа. Чтобы иметь осуществление принципа, нужно проделать с принципом целый ряд специальных операций, или, что то же, с каким-нибудь материалом, на котором должен осуществиться данный принцип. Другими словами, если принцип структуры данной вещи или принцип ее осуществления мы назовем буквой X, то для получения структуры вещи мы проделаем известную операцию с этим Х\ и если структуру вещи мы назовем У, то, выражаясь математически, этот У будет равняться известному ряду операций, производимых над X. Так, например, У может у нас равняться X2 или Х^ или X2 + 1 и т.д., и т.д. Математический анализ называет такой X независимым переменным, или аргументом, а такой У — зависимым переменным, или функцией этого X.
Однако до сих пор мы говорили о строении данной вещи только теоретически, не обращая внимания на то, как это строение возникает, развивается, деградирует и гибнет в фактической действительности. То, что мы назвали функцией, есть нечто неподвижное. А ведь действительность вся находится в непрерывном становлении, в непрерывном и сплошном движении, изменении и развитии. Мало знать анатомию цветка теоретически. То, что мы встретили в саду, фактически представляет собой то или иное осуществление теоретически известной нам анатомии цветка, т.к. цветок может еще не распуститься, или уже распуститься и быть в своей кульминации, или увядать и быть близким к своей гибели. Тут мы воспринимаем не только структуру данного растения, но и тот путь, который оно проделало; а этот путь будет нам известен в точности только тогда, когда будут нам известны законы развития данного растения в зависимости от разного рода обстоятельств. Теоретически вычитанная нами из учебника ботаники анатомия цветка обязательно деформируется, как только мы перейдем от рисунков и схем учебника к растению, фактически произрастающему в нашем саду. Этот закон деформации теоретически мыслимой вещи, или, что то же, закон ее фактического развития, уже не будет просто той функцией какого-то аргумента, с которой мы имели дело теоретически. Соотношение между аргументом и функцией обязательно здесь изменится, поскольку деформируется сама структура вещи и притом деформируется непрерывно, покамест она фактически существует в действительности. Это новое соотношение между аргументом и функцией, которое возникает в условиях непрерывного развития как самого аргумента, так и зависящей от него функции, математики называют производной функцией, понимая первую функцию как первообразную. Короче, просто говорят о производной.
356________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
Здесь-то и возникают понятия дифференциала и интеграла. Выражаясь не математически, но обыкновенным языком, мы должны сказать, что дифференциал данной вещи есть не что иное, как ее картина в данный мельчайший момент времени, которая в ней образуется из ее теоретически мыслимой структуры в результате непрерывного развития этой последней, согласно определенному закону этого развития. Следовательно, чтобы получить дифференциал, мы идем от первообразной функции к ее производной. Но мы можем идти и обратно. Исходя из состояния вещи в данный момент и зная законы ее развития, мы можем перейти и к общему представлению о вещи, мыслимой до ее фактического развития. Интеграл есть то общее представление о вещи, которое мы получаем из ее фактического состояния в данный момент, и зная, на основе закона ее фактического развития, что именно с нею произошло и какой она является теоретически, до всякого действительного развития.
Согласно философскому образу мышления, становление возможно только там, где есть то, что становится. И то, что становится, должно быть одним и тем же во все моменты своего становления, так, чтобы мы могли ее узнать; а иначе рассыплется и само становление. Но узнать данную вещь в какой-нибудь из моментов ее непрерывного становления, это значит, образно говоря, ее продифференцировать. А представить себе вещь в свете ее непрерывного становления, это значит, образно говоря, ее интегрировать. Таким образом, в своей обыденной и практической жизни мы только и знаем, что дифференцируем и интегрируем.
Историко-философское значение ранних греческих атомистов заключается в том, что они пытались представить себе вещи как дифференциалы и интегралы или, попросту говоря, что они пытались представить себе вещи в их непрерывном становлении и в то же время в разносторонней взаимозависимости этих становлений. Что значит у ранних греческих атомистов п[р]оявление1"1 вещей по движению атомов? Это значит, что каждую вещь они пытались мыслить в ее непрерывном внутреннем и внешнем становлении. Выхватив из этого бесконечного и непрерывного становления данной вещи какой-нибудь отдельный ее момент, какое-нибудь отдельное ее мгновение, они и получали свой атом, который, конечно, есть не что иное, как картина всей данной вещи, отражение в одном из бесконечных моментов ее непрерывного становления. Это значит, что атом вещи есть как бы дифференциал вещи. Но пусть мы захотели охватить всю вещь, — однако, не слепо, не туманно, не расплывчато, но как предел суммы всех ее бесконечно малых моментов, образовавших данную вещь в силу определенного принципа или закона, управляющего ее становлением. Это значит, что атомисты взяли данную вещь как интеграл. Отдельный момент непрерывного становления вещи, взятой в
д.Ф. Лосев
357
свете закона этого становления, есть как бы дифференциал; а вся вещь, взятая в свете закона становления всех ее мельчайших моментов, есть как бы ее интеграл. Вот в чем заключается огромное историко-философское значение классического атомизма.
Как бы ни были здесь слабо разработаны привлеченные у нас математические понятия и какой бы шаткой ни была здесь математическая терминология, Левкипп и Демокрит разделяют все преимущества и все недостатки всякой ранней юности, в данном случае юности математического анализа. Недостатки эти нам ясны. Но преимущества эти учитываются мало и плохо. И мы хотели бы их подчеркнуть.
То, что данная вещь не есть расплывчатое и туманное, непознаваемое пятно, это, кажется, знают все; и то, что всякая вещь находится в постоянном и непрерывном движении, изменении и, вообще говоря, становлении, это тоже как будто не вызывает у обывателя никаких сомнений. Но то, что вещь обладает определенного рода структурой, построенной из каких-нибудь элементов по какому-нибудь определенному принципу, и то, что эта структура тоже находится в непрерывном становлении, это, с обывательской точки зрения, уже представляется чем-то менее понятным. А между тем наука и научная философия могут думать только так. Если каждая вещь действительно обладает какой-нибудь определенной структурой, построенной по определенному принципу; если эта структура действительно находится в непрерывном становлении и известен закон изменений исходной структуры в процессе ее становления, то каждый отдельный момент этого становления, взятый не изолированно, но в связи с законом изменения самой структуры в процессе ее становления, и всякий такой отдельный момент становления структуры вещи и есть как бы ее дифференциал.
Кто всерьез признает непрерывное движение вещей и связь всех моментов этого непрерывного движения с самой вещью, тот уже мыслит дифференциально и интегрально. Если мы сделали хотя бы один шаг по комнате, то мы, тем самым, уже произвели и дифференцирование, поскольку шагнувшая нога должна была отдалиться от другой ноги и пройти бесконечное количество моментов времени перед своей остановкой, и известное интегрирование, поскольку все эти бесконечные моменты времени достигли своего предела и наша шагнувшая нога неподвижно уперлась в определенной точке нашего шагания. Если мы будем думать, что дифференциал и интеграл существуют только в математике, но что их нет в жизни и в самом бытии, это будет означать, что мы отрываем мышление от бытия и впадаем в самый дурной тип идеализма.
Неделимость атомов Левкиппа и Демокрита часто понималась весьма грубо и метафизически неподвижно, и охотников такого
358
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
представления античного атомизма было достаточно и в древности и в Новое время. Но уже в материалах, собранных у Дильса (Левк[ипп] А 7), видно, что понятие прикосновения Левкипп понимал вовсе не в том ординарном смысле, что одно тело абсолютно смыкается с другим, но в том, что между соприкасающимися телами находится некоторого рода весьма малый промежуток. «Левкипп и его последователи употребляли слово “соприкосновение” не в собственном смысле». «Слово “соприкосновение” Демокрит употреблял не в собственном смысле, когда он говорил, что атомы соприкасаются друг с другом. Но атомы лишь находятся вблизи друг от друга и незначительно отстоят Друг от друга, и вот это называется соприкосновением. Ибо он учит, что пустотою атомы разделяются совершенно». Если пустота обязательно отделяет один атом от другого, то спрашивается, почему же при достаточно малом расстоянии одного атома от другого, атомисты вдруг начинали говорить об их Соприкосновении? Не то же ли самое говорим и мы, когда утверждаем, что при известных условиях расстояние это может стать сколь угодно малым и стремиться к нулю. Здесь мы уже, несомненно, имеем интуицию предельного перехода, как он понимается в современной математике.
О том, что такое понимание неделимости привлекалось атомистами именно для конструирования математической непрерывности, Аристотель говорит словами, не допускающими никакого сомнения (Демокр[ит] 73): «Принимающие бесчисленные элементы, как Анаксагор и Демокрит... говорят, что бесконечное есть непрерывное, образуемое соприкосновением частей».
Анаксагор здесь упоминается недаром. Идею бесконечно малого Анаксагор формулировал так, что его формулировка очень близка к формулировке нашей традиционной математики. «Ив малом ведь нет наименьшего, но всегда есть меньшее. Ибо бытие не может разрешиться в небытие». «В началах нет ни наименьшего, ни наибольшего» (В 3). Атомисты в этом отношении нисколько Не отставали от Анаксагора, а, наоборот, выставляли понятие бесконечно малого еще более принципиально и четко (Демокр[ит] 122, см. выше). Но из Аристотеля (Демокр[ит] 123, 127) мы уже знаем, насколько необходима была для атомистов также и неделимость атомов.
Кроме того, Аристотель специально подчеркивает математический характер всего учения об атомах (Демокр[ит] 121): «Ведь некоторым образом и они [Левкипп и Демокрит] все сущее считают числами и [производят] из чисел». Об этом же говорят и тексты, которые содержат возражения против атомистической неделимости в защиту математики, предполагающей бесконечную ДедИМость (напр., Демокр[ит] 124, 128, 129). Сюда же надо отнести и тексты, объединяющие атомистов и пифагорейцев в одну группу (Демокр[ит] 125), а также тексты, отличающие Демокрита, Платона и Ксенократа
А.Ф.Лосев
359
только тем одним, что у первого в основе материи лежат неделимые тела, у второго — неделимые треугольники, а у третьего — неделимые линии (Демокр[ит] 126). Наконец, обычно не вполне серьезно понимается учение атомистов об абсолютной бескачественности и однородности атомов. Они различаются друг от друга только по форме, величине и положению в пространстве, откуда если и делается какой-нибудь вывод, то только вывод о полном и безоговорочном механицизме Левкиппа и Демокрита. На самом же деле здесь не больше механицизма, чем в нашем теперешнем оперировании с переменными величинами, в которых тоже исключается всякая количественность, но не потому, что ее здесь не может быть, а, наоборот, потому, что наши переменные величины относятся к любой качественности. Поэтому только инфинитезимальное понимание древних атомов и способно ослабить тот безоговорочный механицизм, который обычно приписывается древним атомистам. Точно так же традиционное изложение Левкиппа и Демокрита может находить у них только фатализм и детерминизм, т.е. учение об абсолютной мировой причинности и судьбе при буквальном понимании таких фрагментов, как В 2 Diels или Демокр[ит] 65. На самом же деле атомисты учили только о той научно установленной зависимости между отдельными атомами, или о зависимости между сложными телами, т.е. о том, что мы теперь называем просто функциональной зависимостью. Если наше математическое учение о функциях не является фатализмом, то и учение древних атомистов о взаимозависимости атомов тоже не является фатализмом. Здесь только устанавливается всеобщая связь явлений, но вовсе нет атомистического абсолютизма и фатализма, как это обычно приписывает греческим атомистам обывательская метафизика их из-лагателей. Наоборот, известное учение атомистов о том, что разнородные и прекрасные тела появляются из атомов на манер того, как трагедия и комедия появляются из отдельных букв, свидетельствует о наличии у атомистов такого мировоззрения, которое совершенно противоположно всякому абсолютизированию атомов и несовместимо с их абсолютным детерминизмом (А 9). Само собой разумеется, что понятие функции так же мало отчленяется здесь от общей физической взаимосвязи тел, как и вообще в те времена математика мало отчленялась от физики и механики (ср. Демокр[ит] 120).
Имеется и конкретное рассуждение Плутарха, приписывающее Демокриту нечто вроде нашего интегрирования. Именно он приводит (Демокр[ит] 132) возражения стоиков Демокриту: если разделять конус горизонтальными плоскостями, то либо эти вписанные в конус и параллельные его основанию круги будут неравны, - тогда боковая поверхность конуса превратится в ступенчатую, — либо эти круги будут равны, тогда в результате мы получим не конус, но цилиндр. Подобного рода соображение могло возникнуть у стоика Хрисиппа
360
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
только в том случае, если Демокрит составлял конус из мельчайших по своей толщине пластинок, т.е. опять прибегал к методу бесконечно малых, но не имел точного представления о пределе и потому не мог превратить ступенчатость в прямую линию.
Однако полного отсутствия понятия о пределах не могло быть у атомистов, потому что тот же Плутарх и в том же трактате (Демократ] 133; то же у Аристотеля и Симплиция 134) в аналогичном случае, когда пирамида делится на треугольники, утверждает: «У пирамиды, составленной из треугольников, стороны [этих] треугольников, прилегающие друг к другу, не равны между собой и [вместе с тем] не выдаются на том месте, где [одни треугольники] больше [других]». Точно так же и шар представлялся с одной стороны угловатым, поскольку имелось в виду вписанное в него многогранное тело с достаточно большим количеством сторон; а с другой стороны, поверхность его совершенно ровно изогнутая (Демокр[ит] 135). Следовательно, какой-то переход к пределу мыслится и здесь. Аналогичные рассуждения о переходе многогранника в шар Плутарх (Quaest. Plat. V 2, 4) находит и у Платона.
Наконец, мы бы привели очень важный текст из эпикуровских материалов, который, на наш взгляд, тоже имеет решающее значение для признания бесконечно малых в греческом атомизме (Письмо к Геродоту, 58 Собол.). Здесь мы не будем излагать специального учения Эпикура о бесконечном. Для нас важно только то, что Эпикур и самый атом мыслит состоящим из точек, которые не просто отделены одна от другой и не просто входят одна в другую, но рассматриваются как то, что образует собою величину данного атома, т.е. в их становлении. Упомянутый текст Эпикура таков: «И мы смотрим на эти точки по порядку, начиная с первой, не в пределах одной и той же точки и не в соприкосновении их частями частей, но посредством их собственных характерных свойств измеряя величину тел. Надо думать, что и наименьшая часть в атоме имеет то же самое отношение к целому». С.Я.Лурье12 приводит еще такой важный текст из Эпикура: «Утверждая, что и величина, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они [эпикурейцы] утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении величины, состоящей из неделимых частиц, а на каждой из входящих в нее неделимых частиц движения нет, а есть только результат движения*. Сюда же можно было бы привести и поэтический пересказ идеи о бесконечно малом становлении у Лукреция (IV 768-776 Петровск.):
Не мудрено, наконец, что двигаться призраки могут. Мерно руками махать да и прочие делать движенья, Как это часто во сне, нам кажется, делает образ.
Что же? Лишь первый исчез, как сейчас же в ином положеньи Новый родится за ним, а нам кажется, — двинулся первый.
А.Ф.Лосев
361
Скорость, с которой идет эта смена, конечно, огромна: Столь велика быстрота и столько есть образов всяких, Столь необъятен запас частичек в любое мгновенье, Что ощутимо для нас, и хватить его полностью может. БЗ]
Возможно, что уже Демокриту принадлежит рассуждение, находимое нами у Филопона о том, что чем тупее углы у правильного вписанного многоугольника, чем больше у него сторон, тем большую площадь имеет он при том же периметре14. Следовательно, здесь уже мыслится нечто вроде предела.
Более подробное исследование учения Эпикура о бесконечно малом обнаруживает его очевидную недостаточность и ряд весьма заметных дефектов. Но ясно, что самая идея бесконечно малого в некотором виде имелась также и в мировоззрении эпикурейцев, которые, как известно, были продолжателями как раз философии Демокрита.
В.П.Зубов в своей статье: [Зубов В.П.] К вопросу о математическом атомизме Демокрита // Вест[ник] древн[ей] ист[ории]. 1951. №4. С.204—208 решительно опровергает приписывание у С.Я.Лурье дискретности времени и движения древним атомистам. Однако никакого приписывания абсолютной дискретности атомистам у С.Я.Лурье вовсе не имеется. Непрерывность и прерывность, несомненно, объединялись у Левкиппа и Демокрита, хотя, не зная методов диалектического материализма, они еще не могли вскрыть той глубокой диалектики, из которой они здесь интуитивно исходили, и приписывали непрерывность — общему движению атомов, а прерывность — самим атомам. Элементы формалистической метафизики, конечно, здесь налицо; но элементов интуитивной диалектики здесь ни в коем случае нельзя отрицать. С.Я.Лурье, несомненно, хочет совместить прерывность и непрерывность у атомистов. И если он иной раз подчеркивает в них прерывность, то это только потому, что она у них действительно была наряду с непрерывностью. А что действительно является метафизической односторонностью, это приписывание им только одной непрерывности.
Точно так же и само бесконечно малое приращение греческие атомисты еще не могли дать в его непосредственном и диалектически цельном виде. Каждое новое приращение они представляли себе в виде нового атома, т[ак] ч[то] на первый взгляд как будто бы и здесь дело кончается абсолютной дискретностью. На самом же деле только игнорирование основного материалистического учения о всеобщем движении и неотделимости его от самой материи может привести к тому, чтобы отрицать наличие бесконечно малого в современном смысле слова в любом пункте атомистического мироздания и в любом атоме.
После всех этих рассуждений должно стать ясным, что греческие атомисты, несомненно, уже предчувствовали понятие дифференциала
362
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
и интеграла и что именно подобного рода установки как раз и помогли им сделать такой огромный шаг в математическом осознании бесконечного и непрерывного движения, в котором извечно находится вся действительность. То, что они называют атомом, весьма близко к понятию дифференциала. А т[ак] к[ак] сложное тело является у них той или иной функцией движения атомов, то оно, несомненно, рассматривалось у атомистов как интеграл (с вышеприведенными оговорками относительно недостаточно четкого понятия у них предельного перехода).
В заключение всех этих рассуждений отметим в краткой форме те преимущества, которыми отличается инфинитезимальное понимание атомизма в сравнении с традиционным.
Демокрита обычно понимают так, что из однородных и бескачест-венных атомов у него складывается вся красочная действительность и при этом справедливо некоторые критикуют Демокрита за механицизм и вульгаризм. На самом же деле действительность складывается у Демокрита из атомов только в том смысле, что атомы представляют собою количественную сторону действительности; и если математические и количественные отношения, царящие в действительности, еще нисколько не означают для нас необходимости признавать механицизм, то не обязательно признавать этот последний и у Демокрита.
Поскольку движение атомов у Демокрита происходит по нерушимым законам судьбы, то традиционное изложение Демокрита, сознательно или бессознательно для его излагателей, увенчивается фатализмом. На самом же деле, если и имеются у атомистов некоторые черты фатализма, то основное внимание их устремлено на научно устанавливаемую взаимозависимость атомов. Это значит, что атомистам было не чуждо понятие функциональной зависимости, хотя они плоховато отличали ее от обычных причинных отношений.
Античное учение об атоме обычно излагается в форме странных и чудовищных рассуждений о выпуклых, впалых, крючковатых и т.д. атомах; и тут у всякого возникает представление о слишком уж глупой и наивной философии атомистов. На самом же деле, будучи физико-геометрическими телами, атомы мыслились как бы пространственным выражением какой-нибудь функции или уравнения. Если атомы у Эпикура образуются в результате движения внутриатомных точек, то это мало чем отличается от получения той или иной кривой или того или иного тела методами нашей аналитической геометрии, потому что атомы однородны и бескачественны, что они представляют собою по преимуществу математические конструкции, хотя, правда, математика и физика различались здесь слабо.
Анализ античного атомизма обычно начинается и кончается картиной атомов, летающих по воздуху наподобие букашек или наподобие пылинок в световом луче. Однако это есть наивная и популярная
Д.Ф.Лосев
363
сторона атомизма, выдвигавшаяся у атомистов по преимуществу ради иллюстрации или в художественных целях. Особенно в этом отношении преуспел Лукреций. Считать, однако, эти иллюстрации и метафоры за существо дела никак нельзя. Это есть только наглядная иллюстрация непрерывного движения атомов и их функциональной взаимозависимости при образовании из них сложных тел. Инфинитезимальное понимание атомизма впервые дает возможность расшифровать эти иллюстрации и метафоры, которые при другом подходе оказываются слишком уж глупыми и наивными, не соответствующими огромному прогрессивному значению античного атомизма. В частности, атомы у Демокрита движутся друг к другу, когда они подобны, и движутся в разные стороны, когда они не подобны. А когда они сцепляются вместе, то держатся друг за друга благодаря своей крюч-коватости, впадинам и прочим особенностям своей физической формы. Такое представление о движении атомов, конечно, чересчур наивно и плохо иллюстрирует ту огромную идею, которая здесь имеется в виду. А имеется здесь в виду, несомненно, функциональная связь, которую атомисты выражают пока еще без строгого математического аппарата. Точно так же взаимный удар атомов, о котором много говорят атомисты, совершенно немыслим в условиях отсутствия упругости у атомов. Но что же тогда такое этот взаимный удар, это столкновение или это взаимосвязанное движение? Конечно, здесь имеются в виду те действия, которые происходят при сложении или вычитании переменных величин. Если это не шокирует нас в математическом анализе, то нет ничего шокирующего и во взаимных соединениях или разделениях атомов Левкиппа и Демокрита. Отбросив всякие намеки на математический анализ, мы будем принуждены трактовать здесь атомизм как исключительную глупость и детскую фантазию, не только не имеющую никакого прогрессивного смысла, но заметно отстающую даже от наивностей вообще древнегреческой натурфилософии. Наконец, атомы движутся у Левкиппа и Демокрита не потому, что они живые существа (иначе это была бы мифология) и не потому, что они взаимно притягивают друг друга (о законах тяготения здесь нет ни слуху ни духу). В таком случае, почему же они движутся? В сущности говоря, вопрос этот почти не разрабатывается в атомизме, и не разрабатывается потому, что для атомистов важно здесь только само движение, т.е. непрерывное становление материи, неразрывно связанное с самой материей, и важна функциональная зависимость элементов материи, являющихся переменными величинами. Мифология это или не мифология, одушевление вселенной или его отсутствие и вообще, как нужно мыслить здесь причину движения, это, с точки зрения атомистов, является предметом специальных наук. А то, что весь мир состоит из переменных величин и притом связанных функционально, это, действительно, является
364
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
предметом философии, и это есть то, о чем атомисты говорят в первую очередь. Если мы их критикуем за глупости и наивности в более специальных представлениях о движении, то они вправе сказать, что эта критика имеет для них третьестепенное значение.
Большую путаницу находим мы также и в традиционных изложениях вопроса о прерывности или непрерывности пространства, времени и движения атомов. Можно привести сколько угодно текстов как в защиту абсолютной прерывности бытия у атомистов, так и его непрерывности. На самом же деле атом есть не что иное, как тот или иной элемент сложного тела, понимаемый как непрерывно меняющийся. Это дает возможность как составлять непрерывность из прерывных атомов, так и правильно понимать вопрос о величине атомов. Главное заключается в том, что имеют значение вовсе не абсолютные размеры атомов, а их становление, т.е. их непрерывное движение. Поэтому каждый атом есть как бы дифференциал какой-нибудь функции от того или иного независимого переменного состава сложного тела, а вовсе не абсолютные размеры данного элемента сложного тела, взятого в полной неподвижности.
Взятый в буквальном виде атомизм Левкиппа и Демокрита представляет собой соединение умопостигаемых бескачественных невесомых атомов и субъективного идеализма в понимании чувственных качеств, т.е. некоторого рода принципиальный и непреодолимый дуализм. На самом же деле атомы являются только пределами для тех или иных чувственных ощущений, поскольку эти последние возникают благодаря воздействию на человеческую чувственность тех или иных образов, «видиков», исходящих как раз именно от самих атомов и от возникающих из них тел. Поэтому атомы умопостигаемы не более того, как умопостигаемы и все наши самые обыкновенные математические числа и величины, и Демокрит не устает говорить о чувственном опыте как об источнике истины (Демокр[ит] 99, 101). Понять истинность чувственного опыта только и можно на путях трактовки этого последнего как функции от тех независимых переменных, которые здесь называются атомами.
Наконец, инфинитезимальное представление впервые дает возможность понимать греческий атомизм как явление прогрессивное. Будучи продуктом разложения античного классического полиса и, в частности, продуктом того индивидуализма, которым отличалась литература конца V — начала IV в. до н.э. (в художественной литературе представителем этого был Еврипид), он меньше всего имел бы право считаться передовым явлением и скорее указывал бы на жестокое бездушие растущего рабовладения, переживавшего в те времена, впрочем, глубокий кризис. Однако история философии постоянно учит нас находить самое причудливое диалектическое переплетение прогрессивных и реакционных элементов в том или другом
А.Ф.Лосев
365
мировоззрении. И если бы мы поставили вопрос о подлинно прогрессивном значении древнегреческого атомизма, то мы уже не говорили бы об однородных бескачественных и бездушных атомах, лежащих в основе всей жизни и всего мира, и о том субъективном идеализме, который открыто проповедуется у Демокрита. Мы должны были бы говорить об объективной материальной основе мира, об ее вечной подвижности и о связанности ее элементов, о законах природы, возможных благодаря пониманию элементов как переменных величин, и о человеческой жизни, возникающей из такой подвижной функционально связанной и объективной основы, не нуждающейся ни в каких других основах. А это и есть то, что находит свое окончательное научное завершение в математическом анализе и что у атомистов отдаленно и приблизительно, а часто и весьма четко предчувствовалось.
Можно было бы пересмотреть и все прочие проблемы античного атомизма с точки зрения инфинитезимальных категорий, и мы везде могли бы убедиться в преимуществах именно такого подхода к атомизму. Но делать этого не следует уже по одному тому, что не во всех областях бытия, жизни и познания этот инфинитезимальный подход проводился атомистами одинаково четко, а также и потому, что там, где он проводился, он проводился скорее интуитивно, чем осознанно и рационально. Можно даже и вообще не говорить ни о каких дифференциалах или интегралах в отношении атомизма. Достаточно будет признать только то, что атомисты проповедовали непрерывность движения материи и всеобщую связь явлений. Взяв каких-нибудь два функционально взаимосвязанных элемента материальной действительности и учитывая непрерывность их движения, мы уже получаем здесь в зародыше все элементарные категории математического анализа. Правда, для этого необходимо понимать, что все наивности и все примитивные картины движения атомов (часто встречающиеся в текстах только как иллюстрация и как метафора) нередко являются намеком на гораздо более глубокие и прогрессивные идеи. Тот, кто отрицает наличие инфинитезимальных интуиций в греческой атомистике, сразу отвергает четыре ее фундаментальных учения: 1) неотделимость движения от материи, т.е. непрерывность движения материи; 2) всеобщую связь явлений, а, следовательно, и функциональную взаимозависимость элементов материи между собою; 3) получение из простых атомов сложных тел, т.е. нового качества, управляющего отдельными атомами и на них не сводящегося; 4) существование точных законов природы. Исключение хотя бы одного из этих четырех элементов греческой атомистики целиком разрушает эту атомистику.
Могут возражать, что указанные у нас четыре учения характерны вообще для всей греческой натурфилософии и что поэтому вся
366
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
греческая натурфилософия тоже есть учение о бесконечно малых. Но, прежде всего, вопрос об отношении греческой натурфилософии к исчислению бесконечно малых не очень изучен и может действительно оказаться, что инфинитезимальные интуиции на самом деле свойственны всей греческой натурфилософии. Этого, однако, мы в настоящий момент не утверждаем. Но что совершенно неправильно, это приписывание указанных четырех учений решительно всем греческим натурфилософам. Учение о непрерывном движении действительно было везде и, прежде всего, у Гераклита. Понятием функциональной зависимости тоже пользовались почти все и, прежде всего, Анаксагор и Эмпедокл. Законы природы тоже намечались. Но чего ни у кого не было, — это учения об атомах, т.е. о неделимости элементов материи в процессе их непрерывного деления или движения. А это-то как раз и дает возможность рассматривать здесь любой мельчайший момент зависимости! 151 переменного от переменного аргумента, т.е. незаметно для самого себя пользоваться понятиями дифференциала и интеграла.
Наконец, могут возразить еще и так, что инфинитезимальные представления совершенно отсутствуют у атомистов и являются только нашим собственным выводом из их философии. Это неверно. Но даже если бы это и было верно, то это означало бы, что мы поступаем здесь так, как поступает каждый критически мыслящий историк философии. Ведь каждого философа только тогда и можно понять, когда мы его сами продумаем до конца и сами установим, что в нем последовательно и что непоследовательно. Гераклит нигде не говорит о диалектическом материализме; а продумавший до конца философию Гераклита Ленин утверждает, что у него «очень хорошее изложение начал диалектического материализма» {Ленин В.И., Сочинения. Т.38. С.347). Мах нигде не называет свое учение идеализмом, а продумавший до конца зто учение Ленин называет махизм «разновидностью путаного идеализма» (Там же. Т.14. С.34). Таким образом, доведение основных мыслей философа до конца есть задача каждого критически мыслящего историка философии. Это не его преступление, но обязанность.
В заключение необходимо сказать несколько слов об отличии нашей концепции бесконечно малых у Демокрита от концепции С.Я.Лурье, которому принадлежит наиболее разработанная теория бесконечно малых у древних атомистов.
С.Я.Лурье, безусловно, доказал, что Демокрит занимает среднюю позицию между двумя аксиомами античной математики, которая, как мы заметим от себя, имеет там повсеместное значение благодаря стихийному материализму древних. Первая аксиома гласила: сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно
А.Ф-Лосев 367
большой. Вторая аксиома гласила: сумма любого, хотя бы и бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю и никогда не может стать равной некоторой, заранее заданной, протяженной величине. С.Я.Лурье не задается вопросом о том, почему эти аксиомы возымели в античности такое большое значение. Однако ясно, что эти аксиомы возымели такое большое значение благодаря слишком грубому и вещественному представлению о числах и величинах. Считали, что если элементов бесконечное количество, то и сумма их бесконечно велика; а если величина бесконечно мала, то она обязательно равна неподвижному нулю. То самое, что создавало для искусства пластику и художественную телесность, в математике приводило именно к этим, грубо-вещественным представлениям о величинах. Но это, конечно, не так важно, как важно то, что атомисты именно вышли за пределы такого грубо-вещественного представления. Атом бесконечно мал, но величина его отнюдь не равна нулю; он является некоторого рода величиной, но он не подлежит дальнейшему делению. Так же точно сумма такого рода величин, хотя бы и бесконечно большая, отнюдь еще не является бесконечно большой в абсолютном смысле слова. Но здесь важно другое рассуждение С.Я.Лурье.
Именно, в результате исследования С.Я.Лурье, можно считать доказанным, что атомисты различали физическую и математическую неделимость. Если физически атом мог быть неделимым ввиду своей абсолютной твердости или плотности, то в математическом смысле он неделим по самой своей природе, как неделимы и все геометрические тела. Мы бы сказали, что лучше говорить о различии структурной и метрической неделимости. Атомисты натолкнулись на различие числа и вещи, на различие чисто числовой и метрической величины. Вот почему бесконечное метрическое деление еще не давало у них нуля, а бесконечная сумма самых малых непротяженных величин еще не давала физической или метрической бесконечности. Это тоже можно считать доказанным после работ С.Я.Лурье.
В дальнейшем, однако, мы идем другим путем, чем шел С.Я.Лурье. Нам кажется, что в дальнейшем необходимо выдвигать на первый план понятие движения, т.е. атомы в качестве переменных величин, что мы базируем на материалистической неразрывности материи и движения. Понятие движения мы проводим в двух смыслах.
Во-первых, речь может идти о движении внутри атома. Здесь мы находимся пока в пределах [идей] работы С.Я.Лурье. Мы только подчеркнули бы, что зто внутриатомное движение заимствуется главным образом у Эпикура и Демокриту может быть приписано только с большей или меньшей вероятностью. С.Я.Лурье, вслед за известным исследованием фон Арнима, говорит о движении точек внутри атома, что и приводит его к толкованию атома как тройного интеграла,
368_________________________________________НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
возникающего вследствие телесной трехмерности атома! 161, т.е. вследствие положения точки внутри атома по отношению к трем осям координат. Если рассуждать так, то мы привели бы интересное суждение Прокла из его комментария на Евклида (In Euclid, comm, р.88 2—5 Friedl.): «Итак, точка там совершенно лишена частей, хотя она и является пределом. Она содержит в себе бесконечную потенцию, соответственно которой она и порождает всякие расстояния». При таком подходе к понятию точки она обязательно мыслится как непрерывно нарастающая величина, т.е. с бесконечно малыми приращениями в каждый момент своего существования. Если это применить к Демокриту, то полученное нами для него понятие интеграла становится еще более надежным.
Однако наше исследование уже совсем выходит за пределы работы С.Я.Лурье, когда мы говорим не о внутриатомном движении, но о движении атома как такового. Здесь, на основании обще-материалистического учения атомистов, мы постулируем полную неразрывность материи и движения, так что непрерывность движения функционально связанных между собою атомов и создает у нас то среднее значение наименьшей величины, когда она и не является нулем (так что сумма таких атомов тоже никогда не может явиться нулем) и в то же самое время не является далее делимой величиной (ввиду математической природы самого атома, отнюдь, конечно, не мешающей быть ему и величиной физической). В отношении исследования С.Я.Лурье такое понимание непрерывно движущегося атома есть нечто новое и существенно дополняет работу С.Я.Лурье, к тому же прочно связываясь с основным материалистическим учением атомистов. Но, конечно, без наличия смелой инфинитезимальной концепции С.Я.Лурье не была бы возможна и наша работа о непрерывно движущихся и функционально связанных между собою атомах Демокрита.
§8	. Принцип структуры
Обращая главное внимание на непосредственную картину атомистического мироздания и гоняясь за сведением одушевленного и органического на неодушевленное и неорганическое, забывали то, что является самым главным в атоме Левкиппа и Демокрита, а именно его структуру. Обычно с невинным видом излагается учение о том, что атомы отличаются между собою размерами, формами и рисунком их объединения. Если понимать такой атомизм механистически, он приводит ко многим нелепостям и, прежде всего, к той основной нелепости, что из бескачественных атомов получаются тела определенного качества и, следовательно, вся материя. Однако отбросим весь этот механицизм и сосредоточимся только на атоме как на принципе структуры. Мы и здесь получим огромное прогрессивное значение греческого атомизма, поскольку атомисты оказались в этом
А.Ф. Лосев
369
отношении предшественниками современного научного учения о структуре. Для нас нет возможности и нет необходимости рассматривать соответствующие факты современной науки. Но учение о структуре настолько глубоко вошло в наше современное научное сознание, что достаточно только указать хотя бы немногое.
Прежде всего, в самой уже математике понятие структуры играет весьма большую роль. Конечно, здесь мы находим точные формулы и разъяснения отдельных типов структур, а у греческих атомистов — только интуитивное представление о таком бескачественном предмете, в котором на первый план выдвигается строение и взаимоотношение частей. Тем не менее принципиальная связь того и другого совершенно ясна. О том, как понимается структура в современной математике, читатели могут получить сведения из работ: Курош А. Г. Теория групп. 2-е изд. М., 1953 (гл.И) и Биркгоф Г. Теория структур. М., 1952. Идея упорядоченности, имеющая огромное значение в теории множеств, также есть принцип структуры.
Особенно большую роль принцип структуры играет в органической химии. Здесь существует понятие изомера: изомеры есть такие химические соединения, которые имеют совершенно одинаковый состав и молекулярный вес, но отличаются между собою исключительно только химическим строением, т.е. исключительно только порядком объединения атомов в молекуле. Два совершенно разных физико-химических вещества, оказывается, [различны] между собою только внутренней структурой. В этом отношении огромную работу проделал известный русский химик Бутлеров, создавший специальную теорию химического строения {Бутлеров М.А. Избранные работы по органической химии. М.-Л., 1951).
В настоящее время разрабатывается изомерия атомных ядер. Оказывается, атомные ядра с одинаковыми атомными номерами и равными массовыми числами имеют совершенно разные физические свойства. Протонов и нейтронов в таких ядрах имеется одинаковое число. Однако уже только одно их квантово-механическое различие определяет собою их совершенно разные физические качества.
Существует учение о структурах почв, руд, металлов, горных пород, кристаллов и т.д., и т.д. Последние десятилетия огромное развитие получила, напр[имер], структурная лингвистика. Повторяем еще раз, все подобного рода структуры, взятые сами по себе, не имеют никакого отношения к античному атому. И тем не менее античные атомы и современные структуры имеют один неоспоримый пункт соприкосновения - это идею порядка, т.е. идею зависимости того или иного реального субстрата от его порядкового, или структурного строения. Отдаленными предшественниками всех современных теорий структуры в разных науках является поэтому не кто иной, как именно Левкипп и Демокрит.
370
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
§9	. Общий вывод
Общий вывод нашего исследования сводится к следующему.
1.	Наивная непосредственность. Буквальное понимание дошедших до нас материалов по атомистике Левкиппа и Демокрита свидетельствует об их наивности и слишком большой непосредственности. В таком понимании она также еще поражает своей полной бессодержательностью и недоказуемостью (миниатюрные и различные по форме атомы, господство случая, механистический принцип в теориях бытия и познания и т.д.). В той мере, в какой эта наивность и бессодержательность имели фактическое место в мировоззрении самих атомистов и их бесчисленных излагателей в прошлом и в настоящем, в этой мере и весь греческий атомизм приходится считать давно преодоленной и малозначащей философской позицией.
2.	Механико-математическая и физическая нелепость. Однако буквальное понимание атомистической картины не только ведет к наивности и бессодержательности, но дает повод находить в ней и сплошную механико-математическую нелепость. При малейшем прикосновении к греческим атомам, с точки зрения современной математики, механики и физики, эта атомистика начинает свидетельствовать о полной беспомощности греческих атомистов при операциях с такими математическими понятиями, как нуль и бесконечность, и с такими понятиями механики и физики, как масса, плотность, объем или скорость. То атом превращается в нуль, то он обращается в бесконечность, то он делается мнимой величиной, то он делим до бесконечности, то он неделим, то он весбм, то он невесбм и т.д., и т.д. Эта путаница и неразбериха в буквальном и обывательском понимании атома отразилась и на тех древних источниках, из которых мы почерпаем наши сведения о греческих атомистах. Их нельзя ни в чем обвинять, когда они исходят из этого обывательского представления. А между тем свести даваемую ими картину древней атомистики в одно целое нет никакой возможности.
3.	Недостаточность и причина обывательского понимания. Совершенно ясно, что в конце V в. до н.э. в Греции не могло проповедоваться тех глупостей и нелепостей, которые вытекают из наивного и обывательского понимания атомистики. Можно говорить только о некоторых элементах подобного понимания атомистики в это время, но совершенно невозможно сводить на это понимание решительно всю атомистику целиком. Подлинной причиной этого бездушного механицизма была идеология греческой рабовладельческой демократии, приведшей в конце V века к изолированному и чрезвычайно упорному индивидуализму, с точки зрения которого весь мир, действительно, мог состоять только из механического и бездушного движения товаров. Историк с большим удовлетворением проанализирует эту
А.Ф.Лосев
371
рабовладельческую и в то же время демократическую природу греческой атомистики; и все эти нелепости греческого атомизма он принужден будет объяснять такими же нелепостями тогдашней рабовладельческой демократии на определенном этапе ее развития.
4.	Прогрессивное значение. Отдавши дань конкретной исторической атомистике в Греции и ее социально-историческому базису, исследователь греческой философии получает право понимать эту атомистику и более глубоко: когда он отвлекается от ее буквальной картины и старается проникнуть в ее внутреннюю мотивировку, часто даже не выраженную в источниках или выраженную недостаточно ясно. Отвлечение от этой буквальности и от этого обывательского понимания греческого атома приводит историка философии к установлению великого прогрессивного значения греческой атомистики, а именно ее твердой опоры на объективно существующий и материальный мир и на его вечное движение и развитие.
5.	Математический анализ. Однако эта прогрессивная картина вечно подвижного и материального мира не могла оставаться у атомистов решительно без всякого обоснования, решительно без всякого логического аппарата. Это заставляет современного исследователя искать в греческом атомизме не только буквально выраженных мыслей, но и таких, которые указывали бы на другие методы мышления, пусть хотя бы и выраженные только в интуитивной или в логической, но непоследовательно логической форме. Тут-то и оказывается, что греческие атомисты являются отдаленными предшественниками современного математического анализа, поскольку у них можно найти, правда, в несовершенной форме, такие понятия, как понятия непрерывности, бесконечно малого, предела, дифференциала, интеграла.
6.	Принцип структуры. Такую же выдающуюся роль играет в древнем атомизме и понятие структуры, поскольку атомы только и отличаются между собою своей величиной и своей структурой. Здесь греческие атомисты оказываются предшественниками многих и огромных областей современной нам науки.
7.	Преодоление нелепостей. С точки зрения математического анализа и при помощи строго разработанных в нем категорий, а также только при помощи современных нам учений о структуре единственно только и можно понять атомистику без тех ее нелепостей, которые неизбежно возникают при ее буквальном и обывательском понимании. Так, напр[имер], с обывательской точки зрения, совершенно непонятно превращение бескачественных атомов в сложные тела определенного качества или получение определенно чувственных восприятий от атомов, которые объявлены недоступными для ощущения и только умопостигаемыми. Если мы поймем атом, напр[имер], как предел, а чувственные восприятия как постоянное движение к этому пределу, то уже возникает полная осмысленность атомистического
372
НАШИ ПУБЛИКАЦИИ
представления и даже его математическая точность. То же самое получается, если мы, напр[имер], поймем атом как независимое переменное, а отлетающие от него образы, из которых складываются наши знания, зависимым переменным или функцией. Есть данные понимать атом и как бесконечно малое, и как актуальное бесконечное малое. Нелепость механицизма снимается также учением греческих атомистов о структуре. Если атомы определяются только структурно, то это очень хорошо, и здесь вовсе нет никакого механицизма; иначе пришлось [бы] считать механистической и всю современную нам науку. Но здесь нет также и никакого идеализма, поскольку лежащие в основе всей действительности атомы со своими структурами являются вполне материальными. И т.д., и т.д. Таким образом, здесь возможно самое разнообразное использование математического анализа. И то, что мы предложили выше, является только рядом примеров такого использования и не может претендовать на исчерпывающую проработку всего дошедшего до нас материала первоисточников.
8.	Математика и диалектика. Наконец, с помощью математического анализа и учения о структурах можно определить также и большое значение греческой атомистики в истории диалектики. Энгельс (.Энгельс Ф. Анти-Дюринг. М., 1948. С.115) пишет: «Сама математика, занимаясь переменными величинами, вступает в диалектическую область... Как математика переменных относится к математике постоянных величин, так вообще диалектическое мышление относится к метафизическому». Однако исследование математического анализа с точки зрения диалектики!*7! и такое же исследование греческой атомистики - это особая область исследования, которой в данной работе мы специально не занимаемся.
Примечания
Публикуется впервые по материалам из архива А.Ф.Лосева. Сохранились машинописные копии первоначального варианта работы (49 с.) и развернутого текста (72 с.), который положен в основу настоящей публикации, а также соответствующие записи литературных секретарей А.Ф.Лосева (далее - «рукопись»). В ряде случаев текст рукописи использовался нами для исправления ошибок, вкравшихся в итоговую машинопись.
Статья об атомизме Демокрита предназначалась для журнала «Вестник истории мировой культуры», выпускавшегося под эгидой АН СССР по 6 номеров в год в 1957-1961 гг. Рукопись и машинописные тексты не датированы, однако, судя по архивным материалам, работа над статьей в основном была завершена в первой половине 1960 г., о чем свидетельствуют два отзыва на статью: категорически-отрицательный Е.А.Курсанова (от 13.06.1960 г.) и осторожно-положительный А.Г.Спиркина (от 25.05.1960 г.). В итоге статья была включена в портфель редакции, однако вскоре журнал прекратил свою деятельность, о чем автор был извещен (письмо к А.Ф.Лосеву от и.о. зав. редакцией В.М.Бахта от 20.10.1961 г.).
В дальнейшем А.Ф.Лосев не предлагал свою работу к публикации, однако некоторые ее положения нашли отражение в последующих исследованиях автора, см.: Лосев А.Ф. История античной эстетики (ранняя классика). М., 1963. С.430-462, где с некоторыми редакционными изменениями использованы материалы §4 и §7 данной статьи.
Примечания, приведенные в квадратных скобках, составлены В.П.Троицким. Прочие — принадлежат А.Ф.Лосеву.
А.Ф.Лосев	373
11J На полях машинописи имеется карандашная ссылка на: Ленин В. И. Полное собрание сочинений. Т.38. С.262, 277; T.14. С. 117, 338-340.
121 говорящий инструмент (лат.).
131 Исправляем по рукописи, в машинописи: торговцами.
I4! Здесь и далее используются ссылки на фрагменты досократиков в нумерации А.О.Маковельского, см. авторское примечание в начале параграфа 5.
5 Вавилов С.И. Физика Лукреция // Лукреций. О природе вещей. [II.] М.-Л., 1947. С.26-35.
6 Переводы и нумерация фрагментов даются по: Маковелъский А. О. Древнегреческие атомисты. Баку, 1946.
171 Данное уравнение приводится по рукописи статьи.
181В машинописи весь раздел текста, посвященный мнимости, зачеркнут карандашом. На полях имеется ремарка неустановленного лица (видимо, одного из рецензентов): «Мнимости в геометрии» П.Флоренского достаточно скомпрометировали подобные истолкования. Выкинуть!
9 Краткое резюме своих работ об атомистической математике у Демокрита С.Я.Лурье делает в работе: Лурье С.Я. Очерки по истории античной науки. М.-Л., 1947. С.165-182.
1,01 В литературе название данного трактата Демокрита переводится весьма разнообразно: «О несоизмеримых [не пропорциональных?] линиях и атомах» (С.Я.Лурье), <06 иррациональных линиях и телах» (А.О.Маковельский, М.Л.Гаспаров), <О не стоящих ни в каком отношении линиях и атомах» (H.Vogt). В свою очередь, А.Ф.Лосев предпочел вариант перевода, следуя примеру упомянутой выше работы M.Simon.
I11) Исправляем по рукописи, в машинописи: название. Возможно, на слух искаженно записывалось несколько иное слово: проявление.
12 Лурье С.Я. Очерки по ист[ории] античн[ой] н[ауки]. М.-Л., 1947. С.181.
1,31 См.: Тит Лукреций Кар. О природе вещей / Ред. и пер. Ф. А. Петровского. М., 1945. Т.1.
14 Лурье С.Я. Очерки по ист[ории] античн[ой] н[ауки]. М.-Л., 1947. С.175.
[151 Исправляем по рукописи, в машинописи: зависимого.
1,61 См. раздел <Аналогии к математическому атомизму в нынешней математике (тройной интеграл)» в кн.: Лурье С.Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.-Л., 1935. С.126-129.
1,71 Указанной теме посвящена работа автора первой половины 1940-х гг. <Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечномалых», см.: Лосев А.Ф. Хаос и структура. М., 1997. С.731-792.
НАУЧНАЯ ХРОНИКА1)
КОНФЕРЕНЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
24-26 сентября 2004 г., Звенигород. 14-я Всероссийская конференция «Закономерности н современные тенденции развития математики». Организаторы: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН, Российский государственный гуманитарный университет.
19-21 апреля 2005 г.,Москва. Годичная научная конференция Института истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН. Круглый стол: «Математика античности и средневековья» (руководители: С.С.Демидов, М.М.Рожанская). Круглый стол: «Организация математических исследований в России и СССР» (руководитель: С.С.Демидов).
17-20 мая 2005 г.,Ярославль. Третьи Колмогоровские чтения. Секция: «История и философия математики и математического образования» (руководители С.С.Демидов, Н.Х.Розов). Организаторы: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН, Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д.Ушинского.
1) Раздел подготовили А.И.Володарский и Т.А.Токарева
375
ДОКЛАДЫ НА КОНФЕРЕНЦИЯХ И СЕМИНАРАХ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ Семинар сектора истории математики Института истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН (руководитель: С.С.ДЕМИДОВ)
22 марта 2005 г. ФИРСТОВ В.Е. (Саратовский государственный университет). Штрихи к новой истории теоремы Пифагора.
Объединенный Московский семинар по истории и методологии математики и механики
(руководители: И.Г.БАШМАКОВА, И.А.ТЮЛИНА, С.С.ДЕМИДОВ; проходит в помещении механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова)
27 сентября 2004 г. Памяти Константина Алексеевича РЫБНИКОВА (18 августа 1913 г. -20 августа 2004 г.).
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ—МГУ). Историко-математическое лето 2004 г.
14 октпября 2004 z.
КУДРЯШОВА Л.В., ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ). О III Всероссийском совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики вузов Российской Федерации.
// [wmanno УОНА. 9 ТЮЛИНА И.А. (МГУ). Памяти А.Ю.Ишлинского.
18 октября 2004 г. ТИХОМИРОВ В.М. (МГУ), ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ-МГУ). Математика в средней школе в исторической перспективе. (К итогам Международного конгресса по математическому образованию, 2004 г., Копенгаген?)
25 октября 2004 г. ЕВТУШИК Л.Е.(МГУ). Сергей Павлович Фиников и его школа.
(К 120-летию С.П.Финикова.)
15 ноября 2004 г. ПЕТРОВА С.С. (МГУ). О преподавании математики в Московском университете во второй половине XIX - начале XX вв.
22 ноября 2004 г. РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ). Западное направление в истории арабской математики.
29 ноября 2004 г. ИГНТЕМ Н.В. (МГУ). О теореме Коши о количестве значений принимаемых функцией нескольких переменных в зависимости от их перестановок.
16 декабря 2004 г. ДЕМИДОВ С.С.(ИИЕТ-МГУ). О современных исследованиях по социальной истории математики.
20 декабря 2004 г. МАГДАНОВА И.В. (Пермский государственный педагогический университет). История аналитической геометрии: периоды развития, генезис и формирование основных понятий.
21 февраля 2005 г. Заседание, посвященное 70-летию В.М.Тихомирова.
376_________________________________________НАУЧНАЯ ХРОНИК».
„	.	.	28 февраля 2005 г
САВИЦКАИТЕ В.С. (МГУ). Научно-исследовательский институт математики и механики Московского университета (первая половина XX в.)
14 марта 2005 г РОЖАНСКАЯ М.М., АЛЬ-ХАМЗА М. (ИИЕТ). От Хорезми в Евро' пу: становление алгебраической традиции.
21 марта 2005 г. РОЩИНА Е.Н. (МГУ). О некоторых работах Л.Н.Сретенского. ТЮЛИНА А.К. (МГУ). О предполагаемом авторе одной рукописи.
28 марта 2005 г. ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ). Геометрическая алгебра и алгебраическая геометрия в математике древности.
14 апреля 2005 г. ТИХОМИРОВ В.М., МОРОЗОВА Е.А., ЯРЦЕВА А.Д., ДЕМИДОВ С. С. К истории механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
11 апреля 2005 г. ТЮЛИНА И. А. (МГУ). О педагогической деятельности А. С.Ершова. ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ). О научно-педагогической деятельности Ф.Е.Орлова.
18 апреля 2005 г. ПЕТРОВА С.С. (МГУ). Н.В.Бугаев и его проект реформы преподавания математики в Московском университете.
КУЗИЧЕВ А.С. (МГУ). Пути Фреге и Колмогорова в основаниях математики.
25 апреля 2005 г. ПАНЬКИНА Н.М. (МГУ). О педагогической науке первых отечественных академиков (С.К.Котельников, С.Е.Гурьев).
Семинар *Доклассическая наука*
(бюро семинара: Д.А.БАЮК, А.И.ВОЛОДАРСКИЙ, С.С.ДЕМИ-ДОВ, М.М.РОЖАНСКАЯ; проходит в помещении Института истории естествознания и техники РАН)
23 октября 2004 г. Круглый стол на тему «Возрождение платонизма».
Докладчики: БАЮК Д.А. (ИИЕТ), ВИЗГИН В.П. (ИФ РАН), ПАРШИН А.Н. (МИ РАН), Francesco FURLAN (Франция), Frank La BRASCA (Франция).
14 декабря 2004 г. ВИНОГРАДОВ А.Ю. (ИВИ РАН). «Земля как пемза»: от Епифания Монаха к Диогену из Аполлонии.
23 апреля 2005 г. ПАРШИН А.Н. (МИ РАН). Герменевтика античных философских текстов (взгляд математика).
377
Третьи Колмогоровские чтения. Секция *История и философия математики и математического образования* (17-20 мая 2005 г., Ярославль)
АБРАМОВ А.М. (Москва). О педагогическом наследии А.Н.Колмогорова.
БОГУН В.В. (Ярославль). Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы.
БЫЧКОВ С.Н. (Москва). Индукция и дедукция в преподавании элементов комбинаторики и теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей.
ГУШЕЛЬ Р.З. (Ярославль). Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX — начале XX века. ДЕМИДОВ С.С. (Москва). Рождение Советской математической школы.
ЖОХОВ А.Л. (Тольятти). Факторы развития математических знаний. Обобщенная модель и механизмы математического познания.
ЗВЕРКИНА Г.А. (Москва). Арифметическая техника и развитие математики.
ЗУБОВА И.К. (Оренбург). О курсе истории математики, читающемся на младших курсах физико-математического факультета Оренбургского университета.
ИГНАТУШИНА И.В. (Оренбург). О некоторых результатах Леонарда Эйлера по дифференциальной геометрии.
КУЧУГУРОВАН.Д. (Ставрополь). Формирование исследовательских умений будущего учителя в процессе изучения истории математики. ЛОКОТЬ Н.В. (Мурманск). Годы и судьбы: Русский институт в Белграде.
НИКИТИНА Г.Н. (Нижний Новгород). О профессиональной направленности курса * История математики».
ПАВЛИДИС В.Д. (Оренбург). Математическое образование в реальных училищах Оренбургского учебного округа (конец XIX — начало XX вв.).
РОЖАНСКАЯ М.М. (Москва). Из истории западно-арабской математики.
СИМОНОВ Р.А. (Москва). Загадки древнерусской системы больших чисел.
СИНКЕВИЧ Г.И. (Санкт-Петербург). История некоторых задач двойственности.
ЩЕТНИКОВ А.И. (Новосибирск). Реконструкция приближенного метода решения кубических уравнений у ал-Бируни и Леонардо Пизанского.
378_________________________________________НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Годичная научная конференция Института истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН (19-21 апреля 2005 г., Москва)
19 апреля 2005 г.
Пленарное заседание
ЗАЙЦЕВ Е.А. Логические основания пифагорейской арифметики. Связь современности и античности.
19 апреля 2005 г. Круглый стол: Математика античности и средневековья. АЛЬ-ХАМЗА М. (ИИЕТ). Ибн ал-Фаси ал-Микнаси и трактат «Цель изучающих в разъяснении желания вычислителей».
ЗВЕРКИНА Г.А. (МИИТ). Геометрическая алгебра и алгебраическая геометрия в математике древности.
ЛЮТЕР И.О. (ИИЕТ). Некоторые аспекты проблемы угасания исламской научной традиции.
РОЖАНСКАЯ М.М. (ИИЕТ). Гидростатика и теория корабля в математике и механике средневекового Востока.
20 апреля 2005 г. Круглый стол: Организация математических исследований в России и СССР.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. (ИИЕТ). Организация математических исследований в России до XVIII в.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. (ИИЕТ). Взаимодействие культурных традиций.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). Становление российского математического сообщества в XIX — начале XX столетия.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). Москва математическая в период с 1932 по 1966 гг.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ). О преподавании математики в Московском университете в 1863—1884 гг.
САВЙЦКАЙТЕ В.С. (МГУ). О создании Научно-исследовательского института математики и механики при физико-математическом факультете 1 МГУ.
ТОКАРЕВА Т.А. (ИИЕТ). Московское математическое общество и организация математических исследований в России конца XIX в.
ТОКАРЕВА Т.А. (ИИЕТ). История и методология математики на первых съездах советских математиков.
Abstracts
Volkov V.A. D.F.Egorov: New archive documents (to the history of Moscow mathematical school).
Professor D.F.Egorov was one of the founders of the famous Moscow school of the theory of function of real variable. The materials from the Central historical archive of Moscow which are published here represents the early period of Egorov’s teaching activity.
Tikhomirov V.M. Lev G.Schnirelman.
Lev G.Schnirelman (1905-1938) was one of the most eminent mathematicians of the Lusin scientific school. He was an author of several remarkable results: theorem for three closed geodesic lines on spherical surface, theorem for inscribed square, theorem for representation of numbers by the sum of the prime numbers.
Brusentsov N.P. From the history of ternary computers created at the Moscow State University.
The article presents the memoirs about creating the original ternary computers «Setun» and «Setun 70» by several young engineers at the Moscow State University computing center in 1957-1970. Primary ideas and realization of ternary devices are briefly described. Experimental machine development, difficult penetration it into the serial production and very successful practical application are characterized. As an extension of that work the computer instruction system «Nastavnik» and dialog system of structured programming DSSP are mentioned.
Ermolaeva N.S. «He lived to work, and worked to live, and his biography almost completely fits into his bibliography» (bibliographic comments to the «List of V.Ia.Buniakovskii’s publications»).
It is actually a foreword to the latest list of the academician V.Ia.Buniakovskii’s works composed by the author in collaboration with G.N.Sytaia. It contains a comparative analysis of this revised and expanded list with the four others compiled formerly (in 1876, 1883, 1905 and 1915) with explanations of the peculiarities of the new one. Besides the author presents a brief historical information about the periodicals in which Buniakovskii published his works. A special attention is paid to the history of founding the so-called Emeritus pension cash departments and the series of works by Buniakovskii on mathematical calculations related to their organization.
List of V.Ia.Buniakovskii’s publications (composed by N.S.Ermolaeva and G.N.Sytaia-, general edition and notes by N.S.Ermolaeva).
The «List» was composed to the 200th birthday of the academician V.Ia.Buniakovskii. The distinguishing features of the new one in comparison with the four previously known lists of his works lie in the following:
1)	it contains not only the scientific and pedagogical works of Buniakovskii, but also his other publications, including his papers in various encyclopedias. All publications have the complete imprints and have been located chronologically;
380
2)	it is supplemented with several works, which had not been mentioned in the previous lists or without accurate imprints;
3)	it consists of 210 items, in addition since one and the same work had come off the press several times (in different years) and sometimes even in different versions, then every such a work has got a separate number and as a consequence there are cross references;
4)	and it has been supplied with notes.
Gouzevitch D.Iu., Gouzevitch I.D. Who had created Ostrogradskii’s school or European boiler on Russian fuel.
The authors give their analysis of such a historical-mathematical phenomenon as the School of Ostrogradskii.
Not putting under doubt the fact of its historic significance and its unique role in the development of both Russian and European science, the authors have tried to answer the following questions: how much does the name of this school which become established in historiography reflect the historical realities, what was the domain of this school activity and where did it actually arise?
Gushel R.Z. Formation of Russian system of mathematical education at the beginning of XIXth century.
In 2004 the Russian educational system celebrated it’s 200th anniversary. This article is devoted to the first steps in the development of this system: promulgation of statutes, opening the universities and gymnasiums, foundation of school courses of mathematics in our country at the beginning of XIXth century.
Koroliuk V.S., Gnedenko D.B., Demidov S.S. A chapter of the life of Boris V.Gnedenko, a historiographer of mathematics (postscript to the forthcoming second edition of his book «Sketches on history of mathematics in Russia*).
This article deals with the events occurred during the terrible period of the last years of Stalin’s epoch, which had forced Boris V.Gnedenko, a classic of the theory of probability, to give up the idea of the second edition of his remarkable book «Sketches on history of mathematics in Russia*. It is only just now, in 53 years after the described events, when the second edition of this book is being come of press finally.
Demidov S.S., Tokareva T.A. Formation of the Soviet mathematical school.
In this work are examined cognitive and social preconditions of formation of the Soviet mathematical school, one of the leading mathematical schools in the XXth century. The special attention pays to the analysis of confrontation between two main domestic schools founded in Petersburg and Moscow, and the overcoming this opposition in a process of the building in the USSR in the middle of 1930s the whole national mathematical school.
Shchetnikov A. I. A Pythagorean algorithm for the calculation of side-and-diagonal numbers and the notion of seminal logos.
The so-called Theon’s (or Pythagorean) algorithm for the calculation of rational approximations of square roots and some of its generalizations are considered. A new geometrical reconstruction of its origins resolves the contradiction between the supposed anthyphairetical nature of the algorithm and its formal description, which (in accordance with Proclus’ evidence) is based on propositions 11.9,10 of Euclid’s «Elements*. A hypothesis is suggested that the author of the
381
algorithm followed a specific conception of mathematical atomism, which agrees with the existence of incommensurable magnitudes. Later on, this doctrine has been altered in accordance with the Stoic concept of seminal logos, which is the principle of generation of things from indivisible infinitesimal seeds.
Luther I.O. Arabic traditions of Euclid's «Data».
The author investigates textual and technical peculiarities of Nasir al-Din al-Tusi’s (XHIth c.) treatment of Euclid’s main analytical work «Data» according to its Saint-Petersburg manuscript (RNL, Khanykoff fund №144/7). The article includes also a brief survey of the history of Euclid’s «Data» in the medieval Arabic East and further development of its traditions in the works of Thabit ibn Qurra, Ibrahim ibn Sinan, Ibn al-Haytham and others.
Simonov R.A. New materials on ancient Russian mathematics.
The author presents a quite novel material about numerical symbols on the ancient Russian birkas (that is, small wooden counting tablets) dating from the Xth to the XHIth century and on the Easter timing according to the entries made at the end of the XIVth century ancient Russian manuscript books and containing historical and calendar information.
Bayuk D.A., Ford Ch. Dante—Galileo—Florenskii: to the apology of closed cosmos.
Pavel A.Florenskii (1882—1937) was one of the most important theologians and religious philosophers in Russian history of XXth century. At the same time he was a talented student of mathematics who influenced its direction in Moscow through a mathematical student society a member of which was also his friend N.N. Luzin. Mathematics played an extremely important role in his theology and philosophy.
In 1921 he published a book entitled «Imaginary values in the geometry». In this book he offered a specific kind of geometrically interpretation of spaces with complex coordinates. He applied it in relation to Einstein's theory of general relativity. At the same time he analyzed the universe of Dante's space voyage from his «Divine Comedy». This two spaces turned out to be the same in his classification. Thus, he concluded, the Aristotelian physics, and the central position and the immobility of the earth as a part of it, laying in the ground of Dante's poem is consistent with the general relativity principle if complex values of space coordinates are permitted. This conclusion provided important philosophical, sociological and theological consequences.
Alexandrova N. V. Theory of series in the real domain in the works by A. Cauchy.
Numerous mathematical methods and theories originated and were developed just in the days of Cauchy. His works also were full of different new ideas and suppositions. Some of them had not got further elaboration. But to most of them he had returned again and again discovering and noticing new substantiation and new links with adjacent disciplines. Like this it was with the theory of series in the real domain.
Perminov V.Ia. The idea of absolute foundation of mathematics from the point of view of theory of knowledge.
The article analyzes the problem of foundation of mathematics in the light of aprioristic theory of knowledge. This thesis affirms that a more profound understanding of mathematical apriorism reveals some new ways to resolving this problem.
382
Bogachev V.I., Kolesnikov A. V. Towards the sources of the theory of А-sets: remarks in connection with a Russian translation of Hausdorff s work.
It is a discussion about the sources of the theory of analytic sets, which was stipulated by the author’s Russian translation of the classical work of Hausdorff on cardinality of Borel sets. The authors comment on the contributions made by P.S.Alexandrov, F.Hausdorff, M.Suslin and N.Lusin and consider several recent publications on the subject.
F.Hausdorff. The cardinality of Borel sets (Russian translation from German by V.I.Bogachev and A.V.Kolesnikov).
It is the first Russian translation of the classical F. Hausdorff's work «Die Machtigkeit der Borelschen Mengen» on cardinality of Borel sets.
Troitskii V.P. A new word about antique atomism.
The connections of A.F.Losev’s work «Democrit’s atom and its infinitesimal sense» published in the present edition with the main aims of his chief work «The history of antique aesthetic» are pointed out in the preamble. It has been shown that the logic-mathematical intuitions, according to Losev, are a part of the so-called «Plato’s line» in the history of culture.
A.F.Losev. Democrit’s atom and its infinitesimal sense (publication by A.A.Takho-Gody; preparation and notes by V.P.Troitskii).
It is the first edition of the works from the archives of Russian philosopher A.F.Losev (1893-1988). It contains a reconstruction of some mathematical ideas of the antique atomism and gives its socio-cultural characteristic. The work shows some contradiction in the traditional mechanistic interpretation of the atomistics. The very beginning of the main mathematical ideas which are being elaborated and developed now in mathematical analysis and mathematical structures theory is considered here too.
Именной указатель1)
Абель Н.Г. (Abel N.H.)	270, 271,	Бартельс М.Ф.	123
	278, 279	Бахвалов Н.С.	51
Автолик	177	Бахт В.И.	372
Адамар Ж. (Hadamard J.)	20, 157	Башмаков Г. Г.	8
Айхенвальд Т.Ю.	153	Башмакова И.Г.	8-12, 350
Аладжалова А.И.	8	Башмакова Т.Г.	8
Александр I	120	Бедрединов В.Я.	32
Александров А.Л.	51	Безикович А.С.	143, 148, 151
Александров В.В.	41	Безу Э. (Bezout Е.)	122, 123
Александров П.С. 17-21, 127, 143, 146,		Бейер Е.И.	108
149, 152, 154, 155, 300-307		Беллоста Э. (Bellosta Н.)	177, 193,
Александрова Н.В.	10		202, 204
Алексеев В.Г.	143	Белост Б. (Belhost В.) 260, 262, 278, 279	
Ампер А.И. (Ашрёге А.И.)	94, 261	Белоусова В.П.	131
Анаксагор	321, 334, 349, 358, 366		Берг А.И.	45
Анаксимандр	323, 334	Берд К.Н. (Baird Ch.)	96-98, 100,
Анаксимен	323	104-	-107, 112, ИЗ
Андриевский И.Е.	92	Березин В.М.	33
Анрион	201	Березин И.С.	29, 31, 38, 46, 49, 50	
Антропов А.А.	10	Березкина Э.И.	10
Аппельрот Г. Г.	145	Беренс В.И.	108
Аполлоний Пергский	175, 204	Бернулли И. (Bernoulli J.)	279
Араго Д.Ф.Ж. (Arago D.F.J.)	94	Бернштейн С.Н.	23, 143, 144,
Ареф	231	146, 151, 155, 156	
Аристарх	177	Бетанкур А.А. (Betancourt	
Аристотель	170, 197, 201, 203, 205,		у Molina А.)	94-	-107, 112-114
245, 248, 251, 252, 256,		Бетеа Д. (Bethea D.M.)	257-259
319, 321, 338, 343, 352, 358, 360		Бине Ж. (Binet J.)	260
Аристофан	325	Биркгоф Г. (Birkhof G.)	369
Армстронг А.В. (Armstrong А.)	97	ал-Бируни Абу-р-Райхан	177, 202
Арним Г. фон (Arnim G. von)	367	Бобылев Д.К.	106, 108, 145
Артоболевский И. И.	104	Бобынин В.В.	144
Архимед 10, 169, 176, 177, 204, 317, 350		Богданов Н.И.	112
Аршеневский В.К.	122	Боголюбов А.Н.	105-	108, 111, 114
Асафов Б.М.	15	Боголюбов Н.Н.	130, 140, 151
Асафов М.Г.	15	Богомолова В.С.	153
Асафова (Пальк) Н.И.	15	Божерянов Н.Н.	108
Асмус В.Ф.	318	Больцано Б. (Bolzano В.)	263, 269,
Афанасьев П.А.	92		270, 279
Ахиезер Н.И.	151	Борель Э. (Borel Е.)	20, 308-311, 314	
Ашетт Ж.Н.П. (Hachette J.N.P.)	96, 261	Борсук К. (Borsuk К.)	25
Базен П.П. (Bazaine P.D.)	97-107,	Браге Тихо (Brahe Tycho)	252
	112-114	Бранд И. (Brand I.)	48
Байгожина Г.О.	10	Брауэр Л. (Brouwer L.) 17	-19, 287, 290
Байрон Дж. (Byron G.)	97	Брашман Н.Д.	62, 92, 108
Бари Н.К.	16, 17, 19, 20, 149, 153		Брио Ш. (Briot Ch.)	271
Барроу И. (Barrow I.)	201, 205	Бродянский Б.М.	ИЗ
1) Составители: Л.И.Володарский и Т.А. Токарева
384
Броннер К.Ф.	123
Брук И.С.	29
Брусенцов Н.П.	7, 48
Бубнов А.С.	22
Бугаев Н.В.	144, 145
Будаев Н.С.	108
Буке Ж. (Bouquet J.)	271
Булгаков С.Н.	258
Булгарин Ф.В.	109
Буняковский В.Я.	7, 54-93, 102,
	103, 110, 115
Бурачек (Бурачок) С.А. (О)	62, 68, 91,	
	109, 110, 115
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 262, 270, 306	
Бутлеров М.А.	369
Бухбиндер Ф. (Buchbinder F.) 201, 205	
Буцких В.В.	32
Быховский И.А.	115
Вавилов С. И.	331, 373
Валла Дж. (Valla G.)	199, 205
Валле Пуссен Ш.Ж.	
(Vallde Poussin Ch.J.)	(	23
Вальтер П.А.	15, 19
ван дер Варден Б.Л.	
(van der Waerden B.L.)	173, 203	
Вандулакис И. (Vandoulakis I.)	10	
Баринг Э. (Waring Е.)	27, 279
Васильев А.В.	144, 157
Вейерштрасс К.	
(Weierstrass К.)	262, 271, 272, 278
Вейль Г. (Weil Н.)	20
Вейс К. В.	37
Вениаминов В.Н.	153
Венков Б.А.	151
Вергилий	251, 253, 255
Веригин В.В.	33, 36
вер Экке П. (ver Eecke	Р.)	202
Веселовский И.Н.	10
Веселовский К. С.	55, 56, 65, 66
Виет Ф. (Vifete F.)	10, 178
Вильсон А.Я. (Wilson А.)	97	
Виноградов И.М.	22, 139, 143,
	148, 151, 155, 156
Владимирский С.В.	42
Власов А. К.	153
Водолазкин Е.Г.	231, 237
Волков В.А.	18, 19
Волков М.С.	100, 102, 104, 108
Воронин М.И.	111
Воронина М.М.	108, 111, 112, 114
Вурм Г. (Wurm G.)	201
Выгодский М.Я. Вышнеградский И.А.
Гайдук Ю.М.
Галилей Г. (Galilei G.) Гален
Галич А. (Говоров А.И.) Галлей Э. (Halley Е.) Гамбье Б. (Gambier В.) Ганкель Г. (Hankel Н.) Ганри А.В. (Henry A.G.)	!
Гаскойн К.К. (Gascoigne Ch.) Гаспаров М.Л.
Гастев Ю.А.
Гаусс К.Ф. (Gauss C.F.) Гегель Г.В.Ф. (Hegel G.W.F.) Гедель К. (G6del К.)
11, 170, 173
108
114
244-246
204
63
265
157
270
98, 104, 114
•	96
373
299
123, 127, 262
318
280, 281, 287-289, 291
Гейберг И. (Heiberg J.L.) 174, 199-201,
205, 349
20, 23, 150
9, 20, 22, 23, 149
321, 323, 334, 366
199
203, 360
193, 203
115
336
Гельфанд И.М. Гельфоцд А. О. Гераклит Герард Кремонский Геродот Герои Александрийский Гесс Г. И.
Гете И.В. (Goethe J.W.)
Гильберт Д. (Hilbert D.) 20, 22, 23, 27, 280-282, 287-289, 291-293, 299 228 177 131 157 149 108 108 38, 43 10 7, 108, 111, 114, 126-142 149 21, 22, 274 321 143, 150, 151, 156 131 200, 205 61, 67 14 19 111 129, 130 202
Гильфердинг А.Ф. Гипсикл Гихман И.И. Глаголев Н.А. Гливенко В.И. Глухов В.С. Глушинский И.П. Глушков В.М. Глушков С.С. Гнеденко Б.В. Голубев В.В.
Гольдбах X. (Goldbach Ch.) Гомер Граве Д.А.
Грацианская Л.Н.
Грегори Д. (Gregory D.) Греч Н.И.
Гржимали А.И. Гржимали И.В. Григорьян А.Т. Гудименко Ф.И. Гутас Д. (Gutas D.)
385
Гутенмахер Л.И.	30
Гюнтер Н.М.	143, 146, 151
ад-Даббах Дж.	10,	192
Давидов А.Ю.	108,	144
Д’Аламбер Ж. (d'Alembert J.)	272,	279
Данте Алигьери (Dante Alighieri) 7, 244, 245, 248, 249, 251-258
Деволант Ф.П. (de Wollant F.)	97
Дейкстра Э. (Dijkstra Е.)	52
Декарт Р. (Descartes R.)	193
Деларю Д.М.	108
Делоне Б.Н. 27, 143, 151, 155, 156, 158
Дельвиг А.И	108
Демидов П.Н.	60, 67
Демидов С.С.	7
Демокрит 7, 316-321, 324-328, 330, 332, 335-343, 346, 347, 349-353, 357-370, 373
Дестрем М.Г. (Destrem J.A.M.) 100, 103, 107, ИЗ, 114
Дильс Г. (Diels Н.)	358
Диоген Лаэрций	172, 173
Диодор Александрийский 177, 202, 204
Диофант Александрийский 10, 169, 173
Дирихле П. (Dirichlet P.G. Lejeune-)
271, 274, 278
Добронравов А.Г.	108, 115
Долбня И.П.	108
Домид	216—221,223—226
Достоевский Ф.М.	68
Дробышев Ю.А.	260
Дубровский О.В.	ИЗ
Дынник М.А.	318
Евдокс	317
Евклид	7, 9, И, 162-165, 172,
174-205, 252, 351, 368
Еврипид	325, 364
Егоров Д.Ф.	7, 13-21, 128, 143,
146-150, 152, 157, 158
Екатерина II	120
Енох	231
Ераков Л.А.	108
Ермолаева Н.С.	57, 93, 201
Ершов А.С.	108
Ершов Ю.Л.	299
Есенин-Вольпин А.С.	299
Жегалкин И.И.	150
Жидков Н.П.	31
Жоголев Е.А.	31, 32, 36, 48, 49
Жуковский Н.Е. 106, 108, 143, 144, 147
Журавлева Е.И.	36, 37
Журавский Д.И.	108, 112
Жучков Д.А.	42
Завадовский П.В.	120
Загорский В.А.	122
Закревский А.Д.	32
Замберти Б. (Zamberti В.)	199, 205
Зейдель Ф. (Seidel Ph.)	271
Зейлигер Д.Н.	143
Зеленская А.Ю.	153
Зеленый С.И.	65, 68, 109, 110
Зеликин М.И.	И
Зенон Элейский	170, 352
Зименс Г. (Siemens Н.)	220, 221, 225
Золотарев Е.И.	9
Зражевская А.	62
Зубов В.П.	10, 361
Зубов Э.М.	108
Ибн Корра Сабит ас-Саби ал-Харрани
176-178, 182, 191-194, 198, 199, 203, 204
Ибн Синан Ибрахим 177, 193-196, 198
Ибн ал-Хайсам Абу Али ал-Хасан 177, 193, 196-199, 204, 205
Ибн Хунейн Исхак	176-178, 182,
191, 199
Иван I Калита	238
Иваницкий А.И.	92
Иванов И.И.	143, 151
Иде И. (Ide I.)	122
Ильин И.Г.	131
Ильина Е.А.	174, 201, 202
Имшенецкий В.Г.	144, 145, 157
Иноходцев П.Б.	123
Иоанн Богослов	218, 221
Итар Ж. (Itard G.)	202
Ито Ш. (Ito Sh.) 178-191, 200, 202, 203
Ишлинский А.Ю.	111
Каган В.Ф.	143, 144, 150
Кавальери Б. (Cavalieri В.)	349
Каинан	231
Калантаев Ф.П.	44
Каналов Г. И.	92
Кант И. (Kant I.)	256, 283, 288
Кантор Г. (Cantor G.)	153, 309, 311
Кантор М. (Cantor М.В.)	174, 201
Каразин В.Н.	122
Каратеодори К. (Carathdodory С.)	315
Кармоди Ф. (Carmody F.J.)	202
Карно С. (Carnot N.L.S.)	94, 99, ИЗ
Картан Э. (Cartan Е.)	157
386
Карташевский Г.И.	123
Карцев И.А.	29
Карцева Н.С.	36
Катков М.Н.	64
Кауфман В.Ш.	51
Каучикас А.П.	11
Каштанов С. И. 226, 228, 229, 235, 236, 239, 241
Келдыш Л.В.	149
Келдыш М.В.	149
Кеплер И. (Kepler G.)	252
КербедзС.В.	108,112,115
Кестнер А.Г. (Kastner A.G.)	123
Кирик Новгородец 215, 217, 220, 221, 224-226, 228, 230, 236, 239-241
Кирилл	239
КирпичевЛ.В.	108, 111
Киселев А.П.	144
Клапейрон Э.К. (Clapeyron В.Р.Е.) 94, 99, 100, 102-104, ИЗ, 114
Клапье-де-Колонг (Коллонг) И.П. 65
Кларк М.Е. (Clark М.)	97
Клейн Ф. (Klein F.)	20, 253
Климишин И.А.	219
Ковалев Р.К.	206, 208-210
Ковалевская С.В. 130, 134-136, 138, 144, 145
Ковнер С.С.	153
Койре А. (Коугё А.)	10, ИЗ
Коллинс Э.Д.	103
Колмогоров А.Н.	20,	23, 149,
150, 155,	156, 299
Колосов Г.В.	143
Колотов Ю.Н.	33
Колумб К. (Columbus С.)	250
Кольман Э.Я.	206
Коменский Я.А.	51, 52
Кондорсе Ж. (Condorcet G.)	266
Кондратьев С.П.	350
Константин Багрянородный	208
Коперник Н. (Copernicus N.)	244, 246
Коргуев П.А.	54
Коркин А.Н.	145
Королюк В.С.	7
Корсаков П.А.	62
Корш Е.Ф.	110,115
Костицын В.А.	14, 19, 150, 153
Косыгин А.Н.	41
Котек В.В.	133
Котельников А.П.	143, 157
Кочетов Ф.К.	41, 44
Кочин Н.Е.	155
Коши О.Л. (Cauchy A.L.)	7, 94, 102
	260-280
Кошманов В.В.	ИЗ
Коэн П. (Cohen Р.)	21
Кравчук М.Ф.	128, 131, 151
Краевич К.Д.	108
Краевский А.А.	62
Крайзель T.(Kreisel G.)	299
Крафт Н.О.	100
Крейн М.Г.	151
Крелле А.Л. (Crelle A.L.)	91
Кржижановский Г.М.	154
Крыже И. (Kryze I.)	48
Крылов А.Н.	65, 108, 147, 151	
Крылов Н.М.	106, 143, 151
Ксенократ	161, 171, 336, 358	
Кузнецов П.И.	18
Кузнецова В.П.	29
Кузьмин Н.Ф.	108
Кузьмин P.O.	151
Куммер Э. (Kummer Е.)	278
Купфер А.Я.	102, 115
Курант Р. (Courant R.)	23
Курош А. Г.	150, 156, 369
Курсанов Е.А.	372
ал-Кухи Абу Сахл	176, 193, 202
Кэджори Ф. (Cajori F.)	279
Кюи Ц.А.	108
Лаврентьев М.А.	20, 149
Лавриненко Т.А.	И
Лавров П.Л.	62, 67, 108
Лагранж Ж.Л. (Lagrange J.L.)	26,	
260-264, 266-269, 273, 275, 279	
Лакруа С. (Lacroix S.F.)	122, 261
Ламе Г.Ф. (Lam6 G.)	100-103, 106,
	ИЗ, 114
Ландау Э. (Landau Е.)	27
Ланц Х.М. (Lanz J.M.)	95, 96, 100
Лапин А.И.	8
Лаплас П.С. (Laplace P.S.)	94, 260, 261,
	263, 275
Лаппо-Данилевский И.А.	151
Лебег A. (Lebesgue Н.)	20, 301, 306,
	307, 310
Лебедева Н.Б.	51
Левкипп	317, 318-320,	324, 326, 330,
332, 337-339,	341-343, 346,
347, 349, 351-	353, 357-359,
361, 363, 364, 368-370	
Легезо Л.С.	36, 37
387
Лежандр А.М. (Legendre А.М.)	94
Лейбензон Л.С.	143
Лейбниц Г. (Leibniz G.W.)	273, 279
Лейпольд Я. (Leupold J.)	94
Ленин (Ульянов) В.И.	318, 337, 348,
366, 373
Ленский А. В.	36
Ленц Э.Х.	110
Леонтович Е.А.	149
Леруа Ш.-Ф. (Leroy Ch.-F.)	58, 67
Лефшец С. (Lefschetz S.)	20, 157
Липин Н.И.	108
Литлвуд Дж. (Littlewood J.)	22
Литгров И.А.	123
Лобачевский Н.И. 93, 109, 110, 114, 115, 123, 127, 134, 143, 151, 157
Лозинский М.Л.	252
Локнё Р. (Locqueneux R.)	ИЗ
Ломоносов М.В.	93
Лоран П. (Laurent Р.А.)	268, 278
Лоренц Г. (Lorentz G.G.)	303
Лосев А.Ф.	7, 315-318, 372, 373
Лось Ф.С. 129-131, 133-137, 139, 140 Лузин Н.Н. 13-15, 20, 21, 128, 130, 139, 140, 143, 146-150, 153, 155, 157, 300-307
Лукреций 334, 336, 341, 360, 363, 373 Лурье С.Я. 170, 173, 317, 318, 350, 360, 361, 366-368, 373
Любавский М.К.	16
Любищев А.А.	316-318
Люстерник Л.А.	20-23, 149, 153, 154
Лютер И.О.	202, 204, 205
Ляпунов А.М.	108, 127, 136-138,
142, 146, 147
Магеллан Ф. (Magellan F.)	250
Маиевский Н.В.	108
Майкельсон A. (Michelson А.)	245
Маклорен К. (Maclaurin С.)	274, 275,
277
Маклыгина Л.М.	32
Маковельский А.О. 318, 350, 373
Мальцев А.И.	150
Мануйлов А.А.	14
Марин Неаполитанский	175-177,
200-202
Марков А.А.	142-146, 153, 157
Маркс К. (Marx К.)	322
Маркушевич А.И.	10
Марон И.А.	108,111,115
Маршак С.Я.	8
Маслов С.П.	33, 36, 48
Матвиевская Г.П.	202
Мау И. (Mau G.)	360
Мах Э. (Mach Е.)	366
Маяковский В.В.	137
Мебиус A. (Mobius А.)	250, 254, 255
Медынцева А.А.	221
Мелелеил	231
Мелентий	226, 235-239, 240
Мельник Ю.Н.	29
Мельников П.П.	100, 102, 104,
105, 108, 115
Менабреа Л. (Menabrea L.)	270
Менге Г. (Menge Н.)	182, 200-202, 205
Менделеев Д.И.	108
Менелай	177
Меньшов Д.Е.	143, 146, 147,
149, 153, 157
Мердок У. (Murdock	W.)	94
Мефодий	239
Мещерский И.В.	108
Мизес Р. (Mises R.)	157
Миклуха Н.И.	108
Миль М.Л.	37
Мин Д.И.	252
Минеев К.Е.	44
Минковский Г. (Minkowski Н.)	153
Мифодий	239
Михаил Борис	208
Михайлов Г.А.	32
Млодзеевский Б.К.	143-146,	157
Модели Г. (Maudslay	Н.)	94
Моисеев Н.Н.	19
Моисеев Н.Д.	111,	114
Молин Ф.Э.	143
Монж Г. (Monge G.)	95,	261
Морделл Л. (Mordell L.)	10
Мордухай-Болтовской Д.Д. 143, 144, 181
Морли Э. (Morley Е.)	245
Моров В.Г.	11
Морроу Г. (Morrow G.R.)	202
Мостинская Т.	32
Мошкова Л.В.	228. 241
Муравьев М. Никитич	120
Муравьев М. Николаевич	122
Муравьев Н.Н.	122
Мусхелишвили Н.И.	152
Мюллер Я. (Mueller I.)	202
Навье К.Л. (Navier C.L.M.H.)	94
Нагорный Н.М.	289, 299
388
Наполеон I (Napol&jn)	260, 261
Нартов А. К.	94
Наумов И.А.	114
Некрасов А.И.	153
Некрасов В.Л.	143
Некрасов Н.А.	64
Некрасов П.А.	14, 144, 145
Некрасова М.А.	36
Немыцкий В.В.	150
Нетер Э. (Noether А.Е.)	157
Николадзе Г.Н.	152
Никольский С.М.	8
Николай I	115
Нильсен Н. (Nielsen N.)	270
Новгородцев П.И.	8
Новиков П.С.	20, 149, 150
Норр У. (Knorr W.R.)	173, 174, 185, 187, 201
Ньютон И. (Newton I.)	246-248, 264, 265, 278
Нюберг Н.Д.	153
Орлов Ф.Е.	108
Осиповский Т.Ф.	122, 123
Оссерман Р. (Osserman R.)	254, 255
Островский А.М.	93, 94, 100, 102-115, 143
Остроградский М.В. 7,	62, 65, 67, 68,
91, 122, 127, 133, 135	
Павлов И.П.	139
Панаев В.А.	108
Панаев И.А.	108
Панаев И.И.	64
Папп Александрийский	175, 177, 194, 202, 204
Парменид	295, 338
Паршин А.Н.	И
Паскаль Б. (Pascal В.)	178
Пастернак Б.Л.	8
Паукер Г.Е.	108, 114
Пейрар Ф. (Peyrard F.)	175, 178-191,
195,	200-203, 205
Перепелкин Д.И.	153
Перминов В.Я. 7,	299
Перроне Ж.Р. (Perronet J.R.)	94, 95	
Перрот Ф.Ф.	108
Петерсон К.М.	156
Петр I	61, 62
Петров Н.П.	92
Петров П.Н.	108
Петровский И.Г. 15, 21,	139, 150, 156
Пикар Э. (Picard Е.)	20
Плаксин В.Т.	63
Платон	160, 161, 170, 171, 197
201, 316-318, 319, 325’ 335, 336, 350, 358, 360
Плеснер А.И.	149, 156
Плутарх	343, 350, 351, 359, 360
Плюшар А.А.	61, 67
Поггендорф И. (Poggendorff G.)	67
Погребысский И.Б. 108, 111, 127
Покровский М.Н.	138
Положи# Г.Н. 120, 130, 137, 138, 140
Понтрягин Л. С.	20, 21, 23, 149
Поссе К.А.	144, 145
Потье К.И. (Potier Ch.M.) 104, 107, 113, 114
Привалов И.И.	149
Прокл Диадох 161, 162, 171, 173, 175, 181, 202, 204, 368
Прокоша	226, 235-240
Прони Г.М.Р. (Prony G.C.F.M.R.)	94,
261
Прудников В.Е.	55, 58, 66, 91, 92
Птолемей	176, 177, 245-247,
249, 252, 256
Пуанкаре A. (Poincart Н.)	10, 20, 22
Пуассон С.Д. (Poisson S.D.)	94,	260
Пугина Л.В.	108,	112
Пушкин А.С.	8, 64, 137
Раабе Ж. (Raabe G.)	278
Размадзе А.М.	152
Рамиль Альварес X.	51
Рассел Б. (Russell В.)	287,	294
Рахманинов И.И.	108
Рашед Р. (Rashed R.)	204
Рид К. (Reid С.)	23
Риман Б. (Riemann В.)	274
Рискина С.Л.	28
Рогожин В.И.	43
Рожанская М.М.	202,	204
Рожанская Ю.А.	153
Рожков В.А.	44
Розенфельд Б.А.	10, 192, 204
Розин В.П.	36, 37
Рокур де Шарлевиль А.
(RaucourtA.)	104,113,114
Романова А.А. 217, 218, 221, 223, 226, 227, 229, 231, 233, 235-237, 241
Романовский В.И.	143, 152
Росси К. И.	97
Российский С.Д.	153
Рощин П.Е.	108
389
Рубинштейн Н.Г. Румовский С.Я, Рыбкин Г.Ф. Рыбников К.А. Сабинин Е.Ф. Савич А.Н. аль-Сайед Л. Салов В.В. Салтыков Н.Н. Самохвалов К.Ф. Севастьянов Я.А. Сезгин Ф. (Sezgin F.) Селиверстов Г.А. Семендяев К.А. Сенковский О.И. Сергиевский Н.А.
Серпинский В. (Sierpinski W.) 150, 157, 303, 306, 307 ас-Сиджизи Абу Са'ид Ахмад ибн Мухаммад Симашко Ф.И. Симон М. (Simon М.) Симонов Н.И. Симонов Р.А. Симплиций
Симеон Р. (Simson R.) 181, 201, 203, 205 Синцов Д-М. Славутин Е.И. Слудский Ф.А. Слуцкий Е.Е. Смирнов В.И. Смирнова Г.С. Сморгунова Е.М. Собко П.И. Соболев С.Л.
19 120 350 И, 127 108
92 И
108 144 299
101, 104, 108, 115 202 149
31
61, 67 66
193
108
349, 373
127
241
338, 360
144, 151 10, И 108 150
143, 150, 151 9, И 228
108, 112, 115 28-32, 40, 41. 45, 50, 139, 155, 156 ИЗ 108 108 258
Соболевский В.П.
Соколов И.Д.
Соколов Н.М. Соловьев В. С.
Сомов И.(О.)И. 62, 67, 92, 106, 108, 109
Сонин Н.Я.
Сохоцкий Ю.В.
Спасский М.
Спенсер Г. (Spenser G.)
Спиркин А. Г.
Срезневский И.И.
Сталин (Джугашвили) И.В. 45, 131, 141
Стасов В.П.	97
Стеклов В.А. 106, 108, 143, 144, 146,
151, 155-157
56, 143
143
108
297
372
217, 219, 241
Стендаль A. (Stendal Н.)	260	
Степанов В.В.	149, 150, 153
Степанов Н.В.	127, 226
Стокс Дж. (Stokes G.)	271, 272
Столярова Л.В. 216-	218, 226-229, 235,
	236, 239, 241
Сулим М.К.	41
Сулима Ф.И.	108, 115
Суслин М.Я.	146, 148, 301-307
Суслов Г. К.	106, 108
Сытая Г.Н.	57
Тамаркин Я.Д.	143, 148, 151
Таннери П. (Tannery Р.)	173	
Тарасов Б.Ф.	112
Тарханов М.В.	110
Таэр К. (Thaer С.)	201, 202, 205
Тейлор Б. (Taylor В.)	266, 267, 269, 277
Теон Александрийский	175, 191, 199-201
Теон Смирнский	160-163, 166-173
Тиме Г.А.	108
Тимошенко В.Е.	318
Тихомандрицкий А.Н.	108
Тихомиров В.М.	7, 300
Тихонов А.Н.	149
Тишулина А.М.	33, 34, 36, 37
Токарева Т.А.	7
Толстой Л.Н.	92, 336, 337
Тоннелли Л. (Tonnelli L.)	157	
Третгер В. К. (Traitteur	W.)	98-100
Трипольский П.И.	56, 57
Трифонов Н.П.	31
Троицкий В.П.	372
Тумаркин Л.А.	11-49
Турилов А.А.	228, 241
ат-Туси Насир ад-Дин	176-192, 203, 205
Тютчев Ф.И.	8
Уайтхед Н. (Whitehead	N.)	294
Уатт Дж. (Watt G.) 94, 99, 100, 103, 104	
Улам С. (Ulam S.)	25
Урысон П.С.	17, 20, 149
Успенский Я. В.	143, 146, 151
Фабр А.Я. (Fabre J.A.)	107, 114
Фалес	323
ал-Фараби Абу Наср	194, 204
Федерсен Б. (Feddersen	B.W.)	55, 66
Федорищев С.П.	33
Фельдман Б.Я.	33
Феодосий	177
Ферма П. (Fermat Р.)	10, 28, 178
Феррандин-Газан В.П.
(Ferrandin-Gazan J.G.)	104
390
Феферман С. (Feferman S.)	289
Филипсон Р. (Philippson R )	350	
Филопон	361
Фиников С.П.	150, 153
Фирсов Н.Н.	108
Фихтенгольц Г.М.	150
Флоренский П.А.	7, 244-259, 373	
Форд Ч. (Ford Ch.)	18
Фохт Г. (Vogt Н.)	373
Франк Э. (Frank Е.)	350
Фреге Г. (Frege G.)	286, 299
Френель О.Ж. (Fresnel A J	)	94
Фреше М. (Frechet М.)	157
Фридман А.А.	143, 148
Фримо Ж.Ж. (Frimot J.J.)	112, 113
Фуко Ж. (Foucault J.)	247, 248
Фурье Ж. (Fourier J В J.)	94, 260, 278
Фусс Н.И. (Fuss N.I.)	120, 123, 124
Фусс П.Н. (Fuss PH)	91
Хазелден Т. (Haselden Th.)	201, 205
Ханыков Н.В.	178
Харди Г. (Hardy G.H.)	21
Харди К. (Hardy С.)	200
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F )	7, 300-307
Хейлерман Г. (Heilermann Н.)	173	
Хиз Т. (Heath Th.)	173, 201-203
Хинчин А.Я. 20, 27, 28, 143, 146, 148,	
149, 153, 156, 157, 277	
Ходнев А.И.	108
Хоппе Э. (Hoppe Е.)	350
Хопф X. (Hopf Н.) ал Хорезми Мухаммад	157
ибн Ахмад ибн Мухаммад	193
Хрисипп	171, 359
Христианович В.А.	98
Хрущев Н.С.	40
Цезарь	177
Цейтен Г. (Zeuthen H.G.)	9
Цингер В.Я.	13, 14, 19
Цицерон	177
Чайлохян М.Х.	8
Чаплыгин С.А.	108, 143, 150
Чеботарев Н.Г.	143, 151
Чебышев П.Л. 23, 26, 62, 67, 103, 104,	
108, 127, 142, 144-	146, 153, 155
Чижов Ф.В.	108
Чижов Д.С.	115
Шатуновский С.О	143, 144
Шафаревич И Р.	8
Шахматов А А	225
Шваб И. (Schwab J.C.)	201, 205	
Шевченко Т.Г.	115
Шенин А.И.	61
Шилов Г.Е.	129-140
Шитиков Б . И	32
Шкляревич В.Н.	108
Шмидт О.Ю.	143, 150, 156-158
Шнирельман Л. Г.	7, 20-28, 149, 156
Шохат Я.А.	151
Шохор-Троцкий С.И.	144
Шрейдер Ю.А. Штайншнайдер М.	317, 318
(Steinschneider М )	202
Штокало И З.	127
Шур И. (Schur I.)	158
Шура-Бура М.Р.	28, 31, 32, 34
Эйлер Л. (Euler L.)	10, 21, 26, 138, 155, 264-269, 273, 274
Эйнштейн A. (Einstein А.) 245, 246, 248
Эмпедокл	321, 322, 349, 366
Энгельс Ф. (Engels F.)	335, 336, 372
Энрольд ФИ.	108, 115
Эпикур	161, 338, 340-343,
353, 360, 361, 367
Эсхил	332
Юнг У.Г. (Young W.H.)	311
Юшкевич А.П. 9-11, 114, 127, 206, 350
Ядренко И. И	131
Якоби Б.С.	92
Якоби К.-Г. (Jacobi K.-G.)	10
Ямвлих	161
Янин В.Л.	206,207,210,211
Яниш К.А.	92, 103, 108
Яновская С А.	8, И, 127
Янушевский ИС.	108
Яо Фан	И
Ярополк Святославич 206-209, 211, 239
Ястржембский Н.Ф.	108, 115
Сборник, открывающийся разделом, посвященным 250-летию Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, содержит разнообразные материалы, касающиеся истории математики в России и СССР: о математических знаниях в Древней Руси; о творчестве В.Я.Буняковского, М.В.Остроградского, Д.Ф.Егорова и Л.Г.Шнирельмана; о предпринятой в конце 1952 -начале 1953 гг. идеологической атаке на нашего выдающегося математика Б.В.Гнеденко в связи с предполагавшимся тогда вторым изданием его известных «Очерков по истории математики в России»; а также о формировании Советской математической школы - одной из ведущих школ XX века.
В книгу включены также статьи об истории математики в античности и средние века: о пифагорейском алгоритме для вычисления сторонних и диагональных чисел; об арабских традициях «Данных» Евклида; о геометрии космоса у Данте и ее интерпретации П.А.Флоренским.
Впервые публикуется комментированный перевод работы Ф.Хаусдорфа об A-множествах и статья выдающегося русского философа А.Ф.Лосева об инфинитезимальном смысле атомизма Демокрита.
Сборник адресован лицам, интересующимся математикой, путями ее развития и местом в науке и культуре.
ю
о
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ