/
Author: Прохоров Ю.В. Демидов С.С. Володарский А.И. Зайцев Е.А. Соловьев А.Д.
Tags: математика естественные науки история естествознания отечественная история история математики
ISBN: 5-8037-0003-7
Year: 1997
Text
Российская Академия Наук
Институт истории естествознания и техники
им. С.И.Вавилова
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия, выпуск 2 (37), 1997
И нети
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
рии~естествознания и техники им. С.И.Вавилова
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Вторая серия
Выпуск 2 (37)
Основаны в 1948 году
Г.Ф.Рыбкиным и А.П.Юшкевичем
«Янус-К»
Москва
1997
УДК 51(091)
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
Проект №97-06-87096
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 2(37). М.:
«Янус-К», 1997. С.336.
ISBN 5-8037-0003-7
Редакционная коллегия:
Демидов С.С. (гл. редактор)
А.И.Володарский (зав. отд. информации), Е.А.Зайцсв, Ю.В.Прохоров,
А.Д.Соловьев, В.М.Тихомиров, Т.А.Токарсва (отв. секретарь), Ч.Форд (США)
Редакционный совет:
А.Г.Барабашсв (Россия), А.Н.Боголюбов (Украина), У.Боттацципи (Италия),
И.Г.Башмакова (Россия), А.Граттап-Гипсс (Великобритания), Дж.Даубсп (США),
Ж.Домбр (Франция), П.Дюгак (Франция), К.Жилэн (Франция), Э.Кноблох
(ФРГ). Р.Кук (США), Г.П.Матвисвская (Узбекистан), Л.Новы (Чехия), М.Орми-
гон (Испания), Ж.Пайффер (Франция), Л.Пенс (Италия), С.С.Пстрова (Россия),
Ж.-П.Пир (Люксембург), Б.А.Розенфельд (США), К.А.Рыбников (Россия),
К.Скриба (ФРГ). К.Фили (Греция), М.Фольксртс (ФРГ), Я.Хогсндайк (Нидерлан-
ды), О.Б.Шейнин (ФРГ)
Научное издание
Коллектив авторов
Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 2(37)
Сдано в набор 15.09.97. Подписано в печать 17.10.97.
Формат 60x84/16. Бумага офсетная N 1. Печать офсетная.
Уч.-изд л. 21. Физ.и.л. 21. Тираж 1000. Заказ 3525
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ
140010, Люберцы, Октябрьский пр-кт, 403. т. 554-21-86
«Япус-К».
Лицензия па издательскую деятельность N ЛР 064784 от 02.10.96.
1602010000- 03 ,
И Без объявл. © Коллектив авторов, 1997
zzHkUoJ — У/
ISBN 5-8037-0003-7
Содержание
От редакции.................................... .... 7
ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Соловьев А.Д. (Москва). П.А.Некрасов и центральная
предельная теорема теории вероятностей . ............9
Шейнин О.Б. (Берлин). А.А.Марков и страхование жизни 22
Форд Ч. (Сент-Луис). О влиянии П.А.Флоренского на
Н.Н.Лузина (перевод А.И.Володарского)................33
Ермолаева Н.С. (Санкт-Петербург). Н.Н.Лузин и
академическая среда............................. . . 43
Матвиевская Г.П. (Ташкент). О статье
В.И.Романовского «О некоторых задачах предполагаемого
университета в Ташкенте».............................66
В. И. Романовский. О некоторых задачах предполагаемого
университета в Ташкенте (публикация Г.П.Матвиевской) . 68
Постников М.М. (Москва). Страницы математической
автобиографии (1942 —1953).................... . 78
К 100-ЛЕТИЮ СОФЬИ АЛЕКСАНДРОВНЫ ЯНОВСКОЙ
Башмакова И.Г. (Москва). Софья Александровна
Яновская (1896—1966): воспоминания................. 105
Трахтенброт Б.А. (Тель-Авив). Памяти С.А.Яновской . 109
К 100-ЛЕТИЮ МАРКА ЯКОВЛЕВИЧА ВЫГОДСКОГО
Демидов С.С. (Москва). «Но эта Ваша идея...
универсального масштаба и ценности чрезвычайной!»
(к предыстории нестандартного анализа)..............128
Два письма Н.Н.Лузина М.Я.Выгодскому (публикация
и примечания В.А. Волкова и С. С.Демидова)..........133
К 80-ЛЕТИЮ ГЕОРГИЯ ЕВГЕНЬЕВИЧА ШИЛОВА
Тихомиров В.М. (Москва). Г.Е.Шилов и пути развития
математического образования........................ 153
Мышкис Л.Д.(Москва), Овчаренко И.Е. (Москва).
Г. Е. Шилов и преподавание математики . . . . .155
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИХ ВЕКОВ
Перминов В.Я. (Москва). О природе доказательного
мышления в догреческую эпоху развития математики . 180
1
4
Содержание
Янков В.А. (Москва). Становление доказательства в ранней
греческой математике (гипотетическая реконструкция) . 200
Зверкина Г.А. (Москва), Суфиярова И.И. (Уфа).
О методах приближения длины окружности периметрами
правильных многоугольников.............. . . . . 237
Зайцев Е.А. (Москва). Вычисление площадей
в землемерной практике........................ 262
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Демидов С.С. (Москва). О статье И.Б.Погребысского
«К истории качественных методов в теории
дифференциальных уравнений».................... 281
И.Б.Погребысский. К истории качественных методов
в теории дифференциальных уравнений (публикация
С. С.Демидова) ................ 283
Барабашев А.Г. (Москва). Треугольник Фреге и
существование математических объектов...........292
Платонова И.И. (Москва). Через физику к общему
анализу. Джованни Джорджи (1871 — 1950) . . . . 313
НАУЧНАЯ ХРОНИКА
Защита диссертаций по истории математики...... . 322
Новые книги по истории математики...............322
Научные конференции по истории математики.......323
Научные доклады на семинарах по истории математики . 324
Abstracts.................................... . 327
Именной указатель . . . .................. . 332
Contents
Editorial..............................................7
HISTORY MATHEMATICS IN RUSSIA
Solovyev A.D. (Moscow). P.A.Nekrasov and the central
limit theorem of probability theory....................9
Sheynin O.B. (Berlin). A.A.Markov and life insurance . . 22
Ford C.E. (Saint Louis). The influence of P.A.Florensky
on N.N.Luzin (translation by A.I. Volodarsky) ....... 33
Ermolaeva N.S. (Saint Petersburg). N.N.Luzin and the
environment of the Academy.......................... .43
Matvievskaya G.P. (Tashkent). On the article of
V.I.Romanovsky «On some tasks for establishment
of a university in Tashkent»........................ .66
V.l. Romanovsky. On some tasks for establishment of a
university in Tashkent (publication by G.P.Matvievskaya) . 68
Postnikov M.M. (Moscow). Pages from a mathematical
autobiography (1942 —1953).......................... .78
ON THE CENTENARY OF THE BIRTH OF SOFYA ALEXANDROVNA
YANOVSKAYA
Bashmakova I.G. (Moscow). Sofya Alexandrovna
Yanovskaya (1896—1966): reminiscences................105
Trakhtenbrot B.A. (Tel-Aviv). In memory of
S. A. Yanovskaya.....................................109
ON THE CENTENARY OF THE BIRTH OF MARK YAKOVLEVICH
VYGODSKY
Demidov S.S. (Moscow). «But this idea of yours has
universal significance and extraordinary value» (from the
prehistory of nonstandard analysis)..................128
Two letters of N.N.Luzin to M.Ya. Vygodsky (publication
and notes by V.A. Volkov and S.S.Demidov) . . . 133
ON THE 80TH ANNIVERSARY OF THE BIRTH OF GEORGY
EVGENYEVICH SHILOV
Tikhomirov V.M. (Moscow). G.E.Shilov and
the mathematical education...........................153
Myshkis A.D. (Moscow), Ovcharenko I.E. (Moscow).
G.E.Shilov and the teaching of mathematics . .155
6
Contents
MATHEMATICS IN ANTIQUITY AND THE MIDDLE AGES
Perminov V. Ya. (Moscow). On the nature of idea of proof
in the development of pre-Greek mathematics.............. 180
Yankov V.A. (Moscow) The formation of proof in early
Greek mathematics (hypotetical reconstruction) 200
Zverktna G.A. (Moscow), Sufiyarova 1.1. (Ufa)
On methods of approximating of circumference by
the perimeters of regular polygons........................237
Zaitsev E.A. (Moscow). The calculation of areas in
the practice of surveying....................- . . . 262
ARTICLES
Demidov S.S. (Moscow) On the article of I В Pogrebyssky
«On the history of qualitative methods in the theory of
differential equations».................................. 281
I.B. Pogrebyssky. On the history of qualitative methods
in the theory of differential equations (publication by
S.S.Demidov)..............................................283
Barabashev A.G. (Moscow). Frege's triangle and
the existence of mathematical objects.................... 292
Platonova N.I. (Moscow). From physics to general
analysis Giovanni Giorgi (1871 —1950) 313
CURRENT SCIENTIFIC NEWS
Defence of dissertations on the history of mathematics . . . 322
New books on the history of mathematics...................322
Scientific conferences on the history of mathematics .... 323
Papers presented at seminars on the history of mathematics . 324
Abstracts . . ... 327
Index of names........................................... 332
От редакции
Взрыв интереса к истории отечественной математики конца
XIX —первой половины XX вв. одна из примечательных черт исто-
рико-математических исследований последних пяти лет. Возмож-
ность свободного исследования этих вопросов и работы в закры-
тых прежде архивах (вплоть до архива КГБ СССР) открыла пе-
ред историками широкие возможности. Неудивительно, что и на-
стоящий выпуск в значительной мере посвящен вопросам истории
математики в России и СССР. В последние годы серьезной пере-
оценке было подвергнуто творчество П.А.Некрасова. Его исследо-
ваниям по центральной предельной теореме и анализу содержания
его полемики с А.А.Марковым посвящена статья А. Д.Соловьева,
которой открывается настоящий выпуск. Далее помещены исследо-
вания о работах А.А.Маркова по страховому делу, о влиянии
П.А.Флоренского на Н.Н.Лузина, о месте Н.Н.Лузина в академи-
ческой среде. Публикуется неизвестная заметка создателя Ташкент-
ской математической школы В.И. Романовского о проекте универси-
тета в Ташкенте, наконец воспоминания нашего известного алгебра-
иста М.М.Постникова о математической жизни 40-х —50-х годов.
В прошлом году отмечалось столетие одного из основателей
Советской школы историков математики — Софьи Александровны
Яновской. В настоящем номере мы продолжаем публикацию мате-
риалов посвященных этой дате. В настоящем году исполняется сто
лет другому основателю этой школы —Марку Яковлевичу Выгод-
скому. В этом выпуске мы публикуем два письма к нему нашего
выдающегося математика Н.Н.Лузина, проливающих неожидан-
ный свет на предысторию нестандартного анализа.
В этом же году было бы восемьдесят лет нашему известному
математику и педагогу Георгию Евгеньевичу Шилову. Ранняя
смерть оборвала его жизнь на самом взлете. По бумагам, храня-
щимся в его архиве, написана работа об идеях Георгия Евгеньеви-
ча о преподавании математики в высшей школе.
Затем следует раздел, посвященный математике античности и
средних веков — вопросу о природе доказательства в догреческую
эпоху развития математики, становлению математического доказате-
льства в ранней греческой математике, методам приближения
8 От редакции
длины окружности периметрами правильных многоугольников, со-
отношению геометрии и землемерной практики в античности и
средние века.
Сборник оканчивается разделом статей различного содержа-
ния. В нем публикуется работа известного русского историка нау-
ки И.Б.Погребысского о важном эпизоде предыстории качествен-
ной теории дифференциальных уравнений (вышедшая ранее в ма-
лораспространенном издании), статья о так называемом треуголь-
нике Фреге и проблеме существования математических объектов,
наконец последняя работы безвременно ушедшей от нас Наталии
Ивановны Платоновой (1960 -1996) об идеях итальянского мате-
матика Дж.Джорджи.
ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
П.А.НЕКРАСОВ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ
ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
А. Д. Соловьев
1. Введение
Известный российский математик П.А.Некрасов (1853 —
1924 гг.) с самого начала своей научной деятельности проявил себя
как очень сильный и эрудированный аналитик, прекрасно владею-
щий аппаратом теории аналитических функций. В своей кандидат-
ской диссертации [ 1 ] он подробно изучил решение трехчленного
алгебраического уравнения
хп -рхт— q = 0. (1)
Для различных соотношений между параметрами п, т, р и q
он разбил комплексную плоскость на области,ограниченные дуга-
ми концентрических окружностей и лучами,идущими из центра
так, чтобы в каждой такой области лежал ровно один корень урав-
нения (1). Более того, каждый корень он разложил в ряд типа ряда
Лагранжа, т.е. довел решение до эффективного уровня, позволяю-
щего найти все корни с любой степенью точности,
В докторской диссертации [2], защищенной в 1884 году для
нахождения области сходимости ряда Лагранжа он в самом общем
случае разработал метод, носящий в настоящее время название ме-
тода перевала или метода наибыстрейшего спуска. Этот метод по-
зволяет находить асимптотическую оценку при п —> оо интегралов
вида
10
Из истории отечественной математики
In U (2)
С
берущих по некоторому контуру С в комплексной плоскости (у
Некрасова этот контур —замкнутый, что для метода перевала не
очень существенно), w(z) и 9(2) —аналитические функции.
Заметим, что Некрасов не только нашел при самых общих
предположениях относительно функций w(z) и д(г) асимптотиче-
скую оценку 1п, но и путем весьма оригинальных геометрических
рассуждений показал, что всегда существует контур С, проходя-
щий через все главные точки перевала, в которых Rew(z) достига-
ет наибольшего значения.
Обычно создание метода перевала приписывают П.Дебаю, кото-
рый через 25 лет после Некрасова в 1909 году в статье [3] приме-
нил этот метод для асимптотической оценки функций Ганкеля в
случае, когда аргумент и параметр цилиндрического уравнения
стремятся к бесконечности. Правда, Дебай не только нашел асимп-
тотическую оценку, но и вывел разложение функций Ганкеля в
асимптотические ряды, чего не было у Некрасова. Заметим, однако,
что через несколько лет после выхода в свет своей докторской дис-
сертации (но во всяком случае гораздо раньше появления работы
Дебая) Некрасов в более совершенной форме изложил метод пере-
вала и также привел асимптотическое разложение интеграла [4].
Более подробно история метода перевала изложена в работе [5].
Параллельно научной деятельности успешно развивалась и ад-
министративная карьера Некрасова. В течение ряда лет он был
ректором Московского университета, позднее он даже занимал
пост товарища министра (по-нашему —зам.министра) Народного
просвещения. Безусловно, этой карьере Некрасова способствовало
то, что он был убежденным монархистом и глубоко религиозным
человеком (кстати говоря, он и закончил не гимназию, а духовную
семинарию). Более подробно с биографией Некрасова можно по-
знакомиться в [5].
В последнее десятилетие прошлого века Некрасов начал ин-
тенсивно заниматься вопросами теории вероятностей — математиче-
ской статистикой, методом наименьших квадратов и т.п. Об этой
стороне его деятельности подробно написано в статье австралий-
ского математика Е.Сенеты [6].
Цель настоящей работы более узкая —объективно оценить
вклад П.А.Некрасова в доказательство так называемой централь-
ной предельной теоремы теории вероятностей (ЦПТ). Напомним
читателю формулировку этой теоремы:
А.Д-Соловьев
11
Пусть £i, ^2...£п, ••—независимые случайные величины,
ап = —их средние, а = D\n —дисперсии, п = 1, 2, ...
Обозначим
Тогда при некоторых условиях на последовательность случай-
ных величин Е,„ справедливо соотношение
1 х t' ( 3)
lim Fn (х) = Ф(х) = -т== J е 2 dt.
п-»<*> <2л _ _
Первое серьезное доказательство ЦПТ дал в 1887 г. П.Л.Че-
бышев [7], который использовал для доказательства метод момен-
тов. Однако, в его работе были два серьезных дефекта. В форму-
лировке теоремы он предполагал, что
М£п = 0 и для всех k и п | < С,
где константа С не зависит от п и k. Отсюда, как нетрудно показать,
следует, что для всех п |£„| < 1, что, конечно, является чрезмерно си-
льным ограничением на величины (Правда, Б.В.Гнеденко пред-
полагает, что фраза Чебышева допускает другое толкование— кон-
станта С не зависит только от и). Другой дефект в работе более суще-
ственен—Чебышев не заметил, что предельный переход в его доказа-
тельстве не проходит, если дисперсии -> 0. Кстати говоря, эту
ошибку Чебышева первым заметил П.А.Некрасов. Позднее А.А.Мар-
ков, используя тот же метод моментов, дал новое доказательство
ЦПТ [8, 9], в котором устранил оба дефекта работы Чебышева.
В эти же годы А.М.Ляпунов, используя метод характеристиче-
ских функций, дал наиболее совершенное доказательство ЦПТ
(см. [10, с.125-176]), которое до сих пор входит в современные
курсы теории вероятностей — утверждение (3) справедливо, если
при некотором р, 2 < р < 3,
.. к - I
lim ----------------= 0.
п —» 00 Р
2
(4)
£
Л = 1
12
Из истории отечественной математики
Справедливости ради заметим, что доказательство ЦПТ мето-
дом моментов, значительно усовершенствованное со времен Марко-
ва, до сих пор используется в математической статистике и, вооб-
ще, в тех задачах теории вероятностей, где моменты случайных ве-
личин находятся намного проще, чем их распределения.
Статистика и, вообще, в тех задачах, примерно в те же годы,
когда вышли в свет указанные работы Маркова и Ляпунова, появи-
лись в свет обширные труды П.А.Некрасова, в которых он своими
методами попытался дать доказательство ЦПТ. В 1898 г. Некрасов
опубликовал сравнительно небольшую работу [11, в которой привел
без доказательства все основные результаты, относящиеся к ЦПТ, а
в последующие годы в обширной работе объемом в несколько сот
страниц [12] полностью и с доказательством изложил свою теорию.
2. Подход Некрасова к доказательству ЦПТ
Прежде всего отметим, и об этом говорит сам Некрасов, что
его работы по ЦПТ, несомненно были стимулированы многолетни-
ми занятиями Некрасова математической статистикой. Именно в
статистике различные характеристики случайных величин оценива-
ются по результатам наблюдений этих величин и соответствующие
оценки выражаются, как правило, некоторыми суммами. Для того,
чтобы найти погрешность таких оценок, мы должны достаточно
точно находить распределения этих сумм. Как раз это дает сфор-
мулированная выше ЦПТ. Однако, тут есть один существенный ас-
пект, о котором неоднократно говорил сам Некрасов,— распределе-
ние нормированной суммы случайных величин Fn(x) хорошо при-
ближается нормальным распределением Ф(х) для небольших значе-
ний х. Если же х велико, то приближение становится все хуже и
хуже. Во избежание недоразумений, что речь здесь идет об относи-
тельной погрешности, иными словами, приближение при большом
х>0 мы считаем хорошим, если
i-Fn<x) . FrS~x>> .
——ч = 1 и, соответственно, —г- = 1 (э;
1 - Ф(х) Ф(- х)
Это обстоятельство очень существенно в математической стати-
стике, где для достаточно достоверных выводов, использующих
ЦПТ, мы должны иметь хорошие приближения типа (5), т.е. ста
тистики обычно имеют дело с «хвостами» распределений. Именно
из этих соображений у Некрасова и возникла идея — используя
мощную асимптотическую технику, которой он прекрасно владел,
получить достаточно точную оценку распределения Fn (х) в воз
можно более широком диапазоне. При этом Некрасов ограничива-
ется случаем так называемых решетчатых случайных величин, ко-
торые имеют представление вида
А.Д.Соловьсв
13
=Tt 4-Лх!, £2=у2+Ах2, *>п = Уп +hxn’ - <6>
где у k и А —константы, a xk — целочисленные случайные величины.
Сам Некрасов называет величины приводимыми. Однако, на
самом деле у Некрасова понимание решетчатых величин гораздо
сложнее и путанее. Чтобы не быть голословным, приведем и про-
комментируем обширную цитату из работы [12, с. И —12].
«Если переменные , £2, > Ьп • СУТЬ непрерывные, то они
могут быть представлены под формой
=у, + х, da, £2 =Y 2 + х2 da, ... , £„ = у„ + da---
где xj, x2, ... , x„ суть целые числа. Эта форма одинакова с фор-
мой (6) при бесконечно малом A=da, отсюда видно, что в этом
случае переменные Д2, > можно считать приводимыми.
Докажем, что всегда случай неприводимых переменных , £2,
... , можно по способу пределов свести к случаю приводимых
переменных. Переменные , £2, ... , будут, очевидно, приводи-
мыми, если все их значения суть числа рациональные. Поэтому не-
приводимые переменные , £2, ... , возможны лишь в том слу-
чае, когда существуют иррациональные значения этих перемен-
ных. Но в таком случае мы можем иррациональные значения заме-
нить приближенными к ним рациональными значениями. Тогда по-
лучится случай приводимых переменных, причем вышеуказанное
количество п, входящее в равенство (6), будет весьма малым, стре-
мящимся к нулю в пределе, когда выше указанные рациональные
значения стремятся к соответствующим иррациональным. Отсюда
видно, что неприводимые переменные , £2, ... , можно считать
предельным случаем приводимых переменных, причем в этом пре-
дельном случае количество h нужно считать бесконечно малым,
как в случае непрерывных переменных».
Мы специально привели эту цитату, чтобы показать, насколь-
ко путаным было у Некрасова понимание случайных величин.
Так первая фраза цитаты свидетельствует о том, что он не по-
нимает природу центрального в анализе понятия бесконечно малой
величины. (Кстати говоря, в длительном споре Маркова с Некра-
совым последний несколько раз демонстрирует это непонимание,
см., например, [6]).
Далее, фраза «переменные^,, £2, ..., будут, очевидно, при-
водимыми (т.е. решетчатыми—Л.С.), если все значения их суть
числа рациональные» просто неверна. Даже одна случайная вели-
чина, принимающая рациональные значения, может не быть ре-
шетчатой. Например, если она с положительными вероятностями
принимает значения 12, %, ... у.....
14
Из истории отечественной математики
Но даже если величины ••• - Е>п решетчатые с рациона-
льным шагом h, то, очевидно, h зависит от п. И действительно, да-
лее в своей большой работе Некрасов неоднократно отмечает, что
шаг h с ростом п может стремиться к нулю, и даже накладывает
некоторые ограничения на убывание h. Наконец, последняя часть
цитаты со слов: «Но в таком случае мы можем...» свидетельствует
о том, что Некрасов, будучи знатоком теории аналитических функ-
ций, плохо ориентируется в действительном анализе, ибо здесь
возникает типичная для анализа проблема законности перестанов-
ки двух предельных переходов. Действительно, пусть все случай-
ные величины
решетчатые с одним и тем же шагом h, и для них доказана при не-
которых условиях ЦПТ, т.е. предел (3). С другой стороны, даже
для сдвигов у = 0 такими величинами при h -> 0 можно прибли-
зить произвольную случайную величину (в смысле слабой сходи-
мости). Но совершенно неочевидно (да и просто неверно), что эти
два предельных перехода можно менять местами.
При нефиксированном h мы всегда можем перейти к целочис-
-Yfe „ „
ленным величинам хк =-------, поскольку это не меняет линеинои
нормировки суммы под знаком вероятности в (3). Поэтому в даль-
нейшем, комментируя результаты Некрасова, мы ограничимся слу-
чаем целочисленных случайных величин xk и для них опишем ре-
зультаты Некрасова.
Итак, Некрасов вводит производящие функции
i?k(z) = Mzx", й = 1, 2, ...
и предполагает, что все функции ф^(г) аналитичны в некотором
кольце 1-е<|г|<1+£ и, следовательно, представляются в нём схо-
дящимися рядами Лорана. (Заметим, что для произвольных слу-
чайных величин подобное условие называют обычно условием
Крамера). Тогда
г. , 1 f Ф1(г).-<р„(г) ,
Рт=Р{х} +... + хп}^— J --------—-------dz =
= 1 z
1
2ni
f(z)
т
-Zn -
dz
z '
(7)
где f{z) = [ф, (z)....<p„(z)]n .
А.Д.Соловьев J2
К этому интегралу Некрасов применяет разработанный им метод
перевала. В данном случае использование этого метода осложняет-
Л2>
ся тем, что дробь зависит от гп и п и меняется' в предельном
переходе. При оценке точки перевала, он использует разложение в
ряд Лагранжа. Все эти оценки технически невероятно усложняют-
ся еще и тем, что Некрасов на самом деле не переходит к целочис-
ленным величинам, а рассматривает исходные решетчатые величи-
ны с шагом h, который меняется с ростом п. Немудрено поэтому,
что вся эта теория становится чрезвычайно громоздкой, обрастает
массой мелких предложений и по объему занимает несколько сот
страниц. Это типичный пример того, как неудачный подход, неу-
дачные методы могут усложнить и запутать решение проблемы.
Можно понять Маркова, которому претил такой подход и в споре
которого с Некрасовым явно просвечивало раздражение. Безуслов-
но, на отношения Маркова к Некрасову накладывались политиче-
ские и религиозные разногласия, но, оценивая их многолетний
спор, можно сказать, что в основном был прав Марков (хотя и не
всегда, как однажды заметил А.Н.Колмогоров). Подробнее о спо-
ре Маркова и Некрасова см. [6].
Однако, если быть объективным, неудачный подход, неудач-
ные методы не являются, конечно, основанием для перечеркивания
работы Некрасова. Ведь в истории математики неоднократно быва-
ло так, что какой-то математик первым решал важную проблему,
но решал громоздким и несовершенным путем, а спустя десятиле-
тия, другие математики находили совсем простое решение той же
проблемы. Тем не менее приоритет оставался всегда за первым ма-
тематиком. Поэтому мы постараемся объективно оценить результа-
ты Некрасова, подробно прокомментировав его первую, сравните-
льно небольшую работу [11], в которой сформулированы все его
основные результаты.
3. Анализ работы П.А.Некрасова «Общие свойства
массовых независимых явлений в связи с приближенным
вычислением функций весьма больших чисел»
В рассматриваемой работе Некрасова всего 12 страниц. В ней
сформулированы все основные результаты Некрасова, которые за-
тем спустя 2 — 3 года он начал публиковать с полными доказатель-
ствами в «Математическом сборнике». Эта работа в совокупности
занимает несколько сот страниц. В дальнейшем, говоря о ней, мы
будем называть ее для краткости большой работой. У нас есть
твердое убеждение, что эту большую работу никто из современных
16
Из истории отечественной математики
Некрасову математиков и никто из историков математики сколь-
ко-нибудь подробно не разбирал. Чтение этой работы чрезвычайно
затрудняют небрежности и недоговоренности в условиях и форму-
лировках утверждений, обилие мелких предложений, разветвлен-
ность структуры работы. Очень мешают чтению неудачно выбран-
ные обозначения. При доказательстве ЦПТ, где число слагаемых
п —> оо некоторые величины от п не зависят, а некоторые меняются
с ростом п, например, шаг h, производящая функция суммы и т.п.,
однако, Некрасов нигде не снабжает эти величины индексом п, что
также мешает пониманию. Поэтому, комментируя подробно утвер-
ждения малой работы, мы предполагаем, что доказательства этих
утверждений, приведенные в большой работе, верны, в чем, конеч-
но, у нас нет полной уверенности. Во всяком случае, Марков в
своем споре с Некрасовым указал на несколько его ошибок.
Как уже было сказано выше, чтобы не усложнять изложение,
мы будем предполагать, что случайные величины х1, х2, ,
хп —целочисленные. Работа Некрасова, кроме маленького введе-
ния состоит из двух частей в первой части при относительно сла-
бых условиях приведены грубые результаты, а во второй —при до-
полнительных условиях получены более тонкие оценки. Излагая
результаты Некрасова, мы изменим их формулировки и обозначе-
ния, ни на йоту не меняя их смысла.
Итак, Некрасов обозначает (г) = МгХк — производящие фун-
кции и вводит величину
Д-?) = [<₽,(?) ...ф„(г)]1/".
Пусть R(Q) = |Де10 )|. Он обозначает через = /?(0] ) -наибо-
льший из локальных максимумов, отличных от 1. Если же такого
максимума нет, то за Ry он обозначает наибольший из минимумов
R(&). (Здесь он пропускает слово «наибольший», но в большой ра-
боте это слово есть.)
Он предполагает, что
R? -> 0. (8)
Это условие часто фигурирует в его большой работе. Сразу от-
метим, что условие (8) совершенно неэффективно, т.к. неясно, как
находить или хотя бы оценивать сверху величину Ry. Конечно, для
самых простых целочисленных величин - биномиальной, геометриче-
ской, пуассоновской—его можно проверить. Для всех этих трех рас-
пределений угол 0| = л, а условие (8) означает, что дисперсия суммы
D(xy + х2 + ... х„) —> со.
А. Д-Соловьев
17
Однако, повторяем, для произвольных распределений условие
(8) совершенно не эффективно (в частности, потому, что локаль-
ные экстремумы <рЛ (0) для разных k могут достигаться в разных
точках 0, ). Заметим еще, что в начале работы Некрасова пропу-
щено одно существенное условие, о котором мы уже говорили
выше — все производящие функции аналитичны в некотором
кольце 1-e<|z|<1+e и, следовательно, раскладываются в этом
кольце в сходящиеся ряды Лорана. Без этого условия, вообще, не
применим основной метод, используемый Некрасовым —метод пе-
ревала. Правда, в большой работе [12] он с самого начала вводит
его.
Чтобы сформулировать утверждения, приведенные в первой
части работы, введем обозначения
uk = Mxk — средние значения величин,
2
сг£ = Dxfe — их дисперсии и
Рт =р{*1 +- + хп = т}.
Тогда справедливы следующие утверждения.
Теорема 1
При п —> оо для всех т, удовлетворяющих условию
пр, р<\ <9>
о
п
L ak
т —
и
k = \ к
справедлива асимптотическая оценка
( п V
\т - Е ab 1
1 I k=\
Рт ~ I ~ - exd ------------- .
2л 1. а? 2 Е
\ k=i k [ *=1
Теорема 2
Для всех т\ и m2, удовлетворяющих условию (9),
(10)
где
(И)
2-3525
18
Из истории отечественной математики
9i =
п
mj - Е аь
k = \ к
i = 1, 2.
Третья теорема есть частный случай теоремы 2 при m2 =
= -т\ = гп >0, и мы ее не приводим.
Сделаем теперь некоторые замечания по всем этим теоремам.
В современной терминологии первая теорема есть локальная ЦПТ,
причем она приведена сразу для случая, как говорят, «больших
2
k
п
т- Е
Л = 1
I п
I Е
k = 1
может расти, подчиняясь только условию |х|<пр, р < 1/6.
Сравним этот результат, а также результат теоремы 2 с тем, что
известно в современной теории больших уклонений [13], развитой
уже спустя 50 лет после работы Некрасова в послевоенные годы.
Пусть, как и выше
уклонений»— нормированная величина х =
ak
F„(x) = P{
5i + ~ а\ ~ -ап
х t2
Ф(х) = -)= J е 2 dT
/2л „
п
Е
k = ] *
На произвольные случайные величины , ^2- наложены
некоторые условия типа упоминавшихся уже выше условий Краме-
ра. Тогда при и—>ооих—> + оох + о
1 - F„ (х) Fn (- х)
---------> 1 —----_> 1
1 - Ф(х) ’ Ф(- х)
Если же х находится в более широком диапазоне, х = о
то справедливы оценки
1 - F„ (х) 6г (~
1-Ф(х) ~ ’ Ф(-х)
где Л„ (х) есть степенной ряд, коэффициенты которого выражают-
ся через моменты.
Аналогично формулируются результаты по локальным оцен-
кам для целочисленных случайных величин.
В диапазоне
(н’/6'
~ е
справедливы оценки
(12)
л
(13)
А. Д. Соловьев
п
т- Т, ak / 1 \
справедлива оценка (10). Если же х = о (п^2), то правую часть
оценки (10) нужно еще умножить на экспоненту из (13) Таким
образом, у Некрасова действительно есть локальная ЦПТ для бо-
льших уклонений в малом диапазоне х = о но вне этого диа-
пазона поведение вероятности рт, Некрасов не исследовал. Что
касается теоремы 2, то в формулировке Некрасова она почти ни-
чего не дает по сравнению с обычной формулировкой (3).
Действительно, если при фиксированных х' и х"
F„ (х" ) - F„(x') -» Ф(х” ) - Ф(х'),
ТО при х'' —> + 00 х' —> - оо
Fn (х" ) - Fn (х') ~ Ф(х' ’) - Ф(х')
так как левая и правая части стремятся к 1, т.е. оценка теоремы 2
верна в любом диапазоне. Правда, если х7 и х" —> + оо, мы получа-
ем оценку, формально уточняющую ЦПТ, однако, из нее не следу-
ет оценки «хвоста» 1 - Fn (х). В середине своей большой работы
Некрасов отмечает, что из асимптотической оценки при х —> + оо
F„ (х) ~ Ф(х)
не следует оценка
1 - (х) ~ 1 - Ф(х),
но ничего конкретного далее в работе не делает. Таким образом,
теорем типа (12), а тем более (13) у Некрасова нет.
Во второй части рассматриваемой нами работы на произво-
дящие функции ч>1, Ф2> Фи накладываются более сильные
условия и немного уточняются оценки, приведенные в первой час-
ти. Мы не будем приводить эти условия, они более громоздки и еще
менее эффективны. Приведем только два примера полученных здесь
результатов.
£
п , . 1ф1<г) ...Ф„(г)]и
Пусть ф(г) =-------—------- и z = r>0—точка, в которой х/(г) = 0.
гп
Теорема 4, уточняющая теорему 1, утверждает, что
2'
20
Из истории отечественной математики
£
[у(г)]”+ 2 , .
Рт~ г (
(14)
где 8 = О — .
\nj
Хотя вроде бы эта оценка немного уточняет (10), где
соответствующий остаток 8 = о(1), на самом деле пользоваться этим
приближением крайне неудобно, поскольку неясно, как вычислять
v|/(r) и \у" (г) в (14).
Для простейших распределений — биномиального, геометриче-
ского и пуассоновского —расчеты показывают, что оценка (14)
верна, но как пользоваться ею в общем случае, когда у случайных
величин xk известны, скажем, первые несколько моментов, совер-
шенно неочевидно.
Приведем еще результат теоремы 6 специально в несколько
огрубленных обозначениях, чтобы подчеркнуть бесполезность та-
ких теорем. В ней дается представление такого вида
Р = Р
п п
Г xk - Е ak
k=\ к k=i R
I n
J E
Vfc = i
и
.2
k
'2л:
“1
ехр
2J
2)
“2
( 2
“1 I "Z
dt 4- exp - — An 4- exp - — Bn 4- О
2
где Д, и — некоторые конкретные величины порядка —j=. Если щ
л1п
и U2 фиксированы, то отсюда, конечно, следует ЦПТ. Если же щ и и2
стремятся к бесконечности, то эта оценка по-существу ничего не дает.
Действительно, как известно, при и ->+оо
f И
ехр - — .
z х 1
1-Ф(ц)~
v2x и
Если мы хотим оценить двусторонний «хвост» распределения
(и1/6) 2 1>
\-Р = Ап' e-o(n^ +о(-1
\~Р, то ИЗ (12) МЫ получим при Wj ->-О0,
“2 = ° (и1/6 )
А. Д-Соловьев 21
где —некоторая величина степенного порядка относительно п.
Ясно, что в последнем равенстве второй член справа будет по по-
рядку гораздо больше первого и поэтому оценка (15) ничего не
дает.
Теперь мы можем дать общую оценку попыткам Некрасова до-
казать и уточнить для больших значений аргумента ЦПТ.
1. Мы не сомневаемся, что обычную ЦПТ Некрасов доказал,
однако, сделал это только для решетчатых случайных величин.
2. На них он наложил чрезмерно сильное условие — аналитич-
ность производящих функций в кольце 1-е <| z| < 1 + е, что гораздо
сильнее предположения о существовании всех моментов случайных
величин.
3. Кроме этого он накладывает другие условия, которые в об-
щем случае невозможно проверить. Поэтому оценками Некрасова
нельзя пользоваться, не говоря уже о том, что во всех оценках
присутствуют величины вида о() и О(-), что исключает возмож-
ность численных расчетов.
4. Конечно, надо отметить и положительные стороны деятель-
ности Некрасова в этой области —он первым заметил ошибку в до-
казательстве Чебышева, для решетчатых случайных величин он пер-
вым после Чебышева доказал ЦПТ, наконец, он доказал локальную
ЦПТ для больших уклонений в малом диапазоне о ), а этой те-
матикой начали серьезно заниматься только спустя полсотни лет.
Тем не менее, в целом работам Некрасова по. ЦПТ следует
дать негативную оценку — будучи очень сильным аналитиком, он
выбрал неудачный, чисто аналитический, а не вероятностный под-
ход к решению проблемы, что во многом предопределило его неу-
дачу. Несомненно, и это отмечают многие современники Некрасова
и историки математики, его неудача объясняется еще и тем, что на
грани XIX и XX века в творчестве Некрасова произошли измене-
ния — изложение его работ стало путаным, он стал писать их высо-
копарным мнимофилософским языком, смешивая в одно математи-
ку, философию и религию. Вероятно, на такое изменение характе-
ра творчества Некрасова кроме возраста повлияло еще и то, что,
занимая высокие посты, он был перегружен административной ра-
ботой и не мог уделять достаточно времени математике.
Кстати говоря, косвенным свидетельством неудачи Некрасова
при доказательстве ЦПТ является и то, что большой труд Некра-
сова, занимающий несколько сот страниц и опубликованный в
популярном журнале «Математический сборник», который ши-
роко распространялся по подписке и был не только в библиотеке
22
Из истории отечественной математики
Московского университета, но и во многих московских гимназиях,
так вот, этот труд в дальнейшем был забыт и не имел никакого
влияния на развитие теории вероятностей.
Список литературы
1. Некрасов П.А. Исследование уравнений видах” - рхт - q = 0 // Математиче-
ский сборник. М., 1884. Т.П. С.1 — 173.
2. Некрасов П.А Ряд Лагранжа и приближенные выражения функций весьма боль-
ших чисел // Математический сборник. М., 1886. Т.12. С.49 —189, 315 — 377,
481 —579, 643 — 725, также Math. Ann. Т.29.
3. Debye Р. Nahcrungsformcln f'Ur die Zylindcrfunktioncn filr grossc Wertc des Argu-
ments und unbeschrankt vcrandcrliche. Wertc des Index // Math. Ann. 1909.
Bd.67. S.535 —558; Miinch. Bcr. 1910. 40. №5.
4. Некрасов П.А. Исследование приближенных выражений функций весьма боль-
ших чисел // Математический сборник. М., 1901. Т.21. С.68 — 334.
5. Петрова С.С., Соловьев А.Д. Об истории создания метода перевала // Истори-
ко-математические исследования. СПб., 1994. Вып.35. С.148—164.
6. Seneta Е. The central limit problem and linear least squares in pre revolutionary Rus-
sia // The Background mathematical scientist. 1984. №9. P.37 — 77.
7. Чебышев П.Л. О двух теоремах относительно вероятностей // Избранные мате-
матические труды. 1946. С.156—169, также Acta Math. 1890—1891. Vol.14.
Р.305 — 315.
8. Марков А.А. Закон больших чисел и метод наименьших квадратов // Известия
физико-математического общества при Императорском Казанском университете.
1899. Т.8. С.ПО-128.
9. Марков А.А. Исчисление вероятностей. СПб., 1913. С.332.
10. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. М., 1954. Т.1.
11. Некрасов П.А. Общие свойства массовых независимых явлений в связи с прибли-
женным вычислением функций весьма больших чисел // Математический сбор-
ник. М., 1898. Т.20. С.431-442.
12. Некрасов П.А. Новые основания учения о вероятностях сумм и средних величин
// Математический сборник. М., 1900. Т.21. С.579 —763; Математический сбор-
ник. М., 1901. Т. 22. С.1 — 142, 323 — 498; Математический сборник. М., 1902.
Т.23. С.371—463.
13. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М_, 1972.
А.А.МАРКОВ И СТРАХОВАНИЕ ЖИЗНИ
О.Б.Шейнин
1. Введение
В 1906 г. А.А.Марков опубликовал в газете «Наша жизнь» две
полемические статьи о страховании детей. Впоследствии (см. п.4)
он сослался на соответствующие номера этой газеты, но не указал
на свое авторство, и указанные статьи не вошли в библиографию
его работ [1]. Об этих статьях не упомянул и С.Я.Гродзенский [2],
хотя именно от него мы впервые узнали об их существовании. Мы
О.Б-Шсйпии
23
комментируем их в п.4 данной заметки и перепечатываем их в п.5.
Наш п.2 посвящен истории страхования и в общем известен; час-
тично он основан на нашей предыдущей статье [3]. Серьезное ис-
следование истории страхования жизни принадлежит К. Коли и
Б.Л.Ван дер Вардену [4], а А.Хальд уделил этой теме большое вни-
мание в своей книге [5]. Напротив, описание деятельности Маркова
в страховых учреждениях (п.З) почти целиком оригинально.
Под страхованием жизни мы понимаем любой контракт, обес-
печивающий либо уплату определенной суммы наследникам за-
страхованного, если он умрет в течение обусловленного промежут-
ка времени, либо периодическое получение некоторых сумм самим
застрахованным (особо —выплату пожизненной ренты). В соответ-
ствии с современными представлениями, но не с практикой страхо-
вого дела XVII и XVIII вв., стоимость страхования должна опре-
деляться при помощи таблиц смертности в зависимости от возраста
и пола страхования.
Наше определение не покрывает всех существующих форм
страхования жизни (см. п.4), но оно достаточно для общего пони-
мания существа дела. Добавим также, что большое распростране-
ние имели и различные виды взаимного страхования нескольких
человек. Так, при страховании супругов пожизненная рента могла
выплачиваться в постоянном размере вплоть до смерти последнего
из них. В Англии общества взаимного страхования существовали
уже в XVII в., а на рубеже XVIII —XIX вв. их там насчитывалось
несколько тысяч. Они выплачивали страховые суммы своим чле-
нам в случаях их болезни или смерти их жен, и женам членов —в
случае смерти их мужей. Как можно понять [6], в большинстве об-
ществ эти суммы собирались добровольно, в остальных же случаях
платежи были обязательны, однако никакой связи между взносами
и возрастом членов данного общества не было.
Операцию, связанную с риском, принято называть безобид-
ной, если математическое ожидание выигрыша (^) равно при этом
нулю (£^ =0). Контракты страхования никогда не являлись безо-
бидными для страхования: поскольку страховые общества не мог-
ли существовать без прибыли, постольку для каждого клиента все-
гда имело место неравенство <0. И все же, если, например, в
случае преждевременной смерти застрахованного его семья получа-
ла крупную сумму денег, страхование для него оказывалось полез-
ным. Неудивительно, что такие ученые как П.С. Лаплас [7, с. 149]
горячо одобряли институт страхования жизни.
В 1898 г. количество застраховавших свою жизнь во всем мире
превышало 7 миллионов человек, в том числе в России их было
24
Из истории отечественной математики
0,1 млн. [8, с.747] и этот факт дает представление о масштабе деяте-
льности главных страховых обществ примерно в то время, которое
нас непосредственно интересует.
2. Из истории страхования жизни
Наиболее важной отраслью политической арифметики, кото-
рая возникла в середине XVII в., оказалась демографическая ста-
тистика. Главное же значение эта научная дисциплина, по крайней
мере до начала XIX в., получила ввиду развития страхового дела,
требовавшего надежных данных о смертности населения и изуче-
ния ее законов.
Статистические данные о смертности, поскольку они собира-
лись страховыми обществами, сохранялись в тайне, теоретические
же положения не скрывались. Их разработка в некоторой степени
способствовала развитию теории вероятностей. Собственно страхо-
вое дело также безусловно повлияло на теорию вероятностей и
прямо и косвенно (повышая интерес к ней).
В 1669 г. в переписке со своим братом Людовиком, посвящен-
ной проблемам смертности и опубликованной лишь в 1895 г.,
X.Гюйгенс [9] вычислил математические ожидания порядковых
статистик одного эмпирического распределения, ввел понятия о
средней и вероятной продолжительностях жизни и построил и ме-
тодически использовал график непрерывности функции
у = 1 - F(x), где символом F(x) мы обозначили интегральную функ-
цию распределения смертности. Именно в этой переписке теория
вероятностей вышла за рамки изучения азартных игр.
В 1709 г. Н.Бернулли [10] рассмотрел ряд задач, связанных
со страхованием жизни. В одной из них, на с.296— 297, см. также
И.Тодхантер [11, с. 195 -196], он определил математическое ожида-
ние наибольшего элемента выборки из непрерывного равномерного
распределения. Основываясь на статистических данных, опублико-
ванных Э.Галлеем в 1694 г., А.Муавр [12] предложил описывать
смертность взрослого населения (начиная с 12 лет) равномерным
распределением. В названном сочинении он ввел математическое
ожидание случайной величины с указанным распределением (задача 20
из части 1-й) и вычислил для этого распределения вероятности типа
Р(£, > х) = 1 - F(x) (гл.8 части 2-й, обозначения современные).
Лаплас [13] решил несколько задач, относящихся к страхова-
нию жизни, употребив для этого те же методы и понятия, что и
при исследовании математической обработки наблюдений. Впро-
чем, в гл.9-й он ввел при этом и так называемое пуассоново обоб-
щение схемы испытаний Бернулли. Страхование жизни не было
О.Б.Шейпин
25
чуждо К.Ф-Гауссу, который, в частности, решил ряд практических
задач по управлению пенсионной кассы Геттингенского универси-
тета [14, с.61 64].
В России, в 1843 г., Н.Е.Зернов опубликовал трактат по тео-
рии вероятностей [15], в котором уделил особое внимание страхо-
ванию жизни. В 1846 г. В.Я.Буняковский посвятил этой же теме
одну из глав своего знаменитого руководства.
3. Работа А.А.Маркова в эмеритальных кассах
Эмеритальные кассы, т.е. особого рода пенсионные учрежде-
ния, появились в России во второй половине XIX в. Члены эмери-
тальной кассы по выходе в отставку получали пожизненную пен-
сию (ренту) в зависимости от продолжительности службы и учас-
тия в кассе, а также от своего последнего или среднего оклада.
Смертность пенсионеров еще можно было устанавливать по табли-
цам смертности (хотя, строго говоря, статистические выводы, при-
годные для населения в целом, не годятся для его специальных
групп), но предсказывать количество лиц, ежегодно выходящих в
отставку и их оклады было исключительно трудно, а оценивать
возрастание числа пенсионеров, производимое по государственным
соображениям, см. ниже,—и вовсе невозможно. Если еще доба-
вить, что вдовы и дети умиравших членов кассы также обеспечива-
лись пожизненными или многолетними пенсиями (рентами), то
станет ясно, что любая эмеритальная касса могла обанкротиться,
особенно в первые годы своего существования, т.е. при отсутствии
опыта и необходимости основываться на ненадежных прикидках.
В первой русской эмеритальной кассе сотрудничал М.В.Ост-
роградский [16]. Через несколько десятилетий подобной деятель-
ностью начал заниматься Марков, который уже в 1884 г. опубли-
ковал подробные расчеты эмеритальной кассы Министерства юсти-
ции [17]. В 1890 г. Марков вошел в состав комиссии (мы бы ска-
зали: руководящего совета) этой кассы [ 18, т.2, с.36] и принял ак-
тивное участие в ее заседаниях, давая также рекомендации по кон-
кретным вопросам и проверяя бухгалтерские отчеты. В частности,
он составил записку [19, т.2, с.131 —132] о финансовых условиях,
необходимых для обеспечения выплаты пенсий. Она не упомянута в
библиографии его работ [1]. Том 1 указанного источника [18] содер-
жит многочисленные ссылки на Маркова, причем на с.90 и 100 гово-
рится о с. 10 и 6 какой-то его записки. Поскольку записка [19] содер-
жит всего две страницы, эти ссылки возможно относились к [17].
В 1893, 1894 и 1902 гг. Марков получил благодарственные пи-
сьма от Министерства юстиции [2, с.59]. Эмеритальная касса этого
26
Из истории отечественной математики
министерства, кстати сказать, считалась «наилучше поставленной»
из всех шести существовавших тогда касс «гражданского ведомст-
ва» и этот факт наивно приписывался «точным математическим ис-
числениям» Маркова [20]. Вернее было бы упомянуть осторож-
ность и предусмотрительность Маркова, быть может его интуицию
и способность подмечать самые незначительные обстоятельства.
Аналогичной работой Марков занимался и в эмеритальной
кассе Военного министерства [21]. В 1900 г. академик Н.Я.Со-
нин [22] по поручению физико-математического отделения Петер-
бургской академии наук ознакомился с работой этого учреждения.
По его мнению, «единственной причиной ныне переживаемого кас-
сой кризиса» являлось непредсказуемое увеличение числа ее участ-
ников, совершаемое по указаниям свыше. Он рекомендовал ликви-
дировать кассу, возложив ее обязательства на государство.
«По прочтению этой записки, —читаем мы в том же источни-
ке,—... А.А.Марков заявил, что он не согласен с ... Сониным ни
по одному пункту его мнения». Поскольку «задача, поставленная
[перед Академией наук] Военным министерством, имеет более
практический, чем чисто научный характер», отделение лишь сооб-
щило Министру, что «члены Академии всегда готовы оказать свое
содействие» министерству.
В том же 1900 г. Военное министерство образовало «Особое ма-
тематическое совещание» для определения финансового состояния
своей эмеритальной кассы [23, с. 10]. Членами Совещания были
Марков, Сонин и И.И.Янжул, другие видные ученые (И.И.Поме-
ранцев, Н.Я.Цингер) и специалисты страхового дела (Б.Ф.Мале-
шевский). К сожалению, мы ничего не знаем ни о работе этого орга-
на, ни об еще более активной деятельности Маркова в области стра-
хования жизни после его выхода в отставку в 1906 г. [24, с.604].
В 1900 г. Марков посвятил страхованию жизни краткую главу
своего учебника [25]. Здесь, не ставя целью получить новые резу-
льтаты, он ознакомил читателей с основными теоретико-вероятно-
стными задачами тогдашнего страхового дела.
Упомянем, наконец, что в Архиве РАН, в фонде Маркова
(фонд 173, опись №1) хранятся три письма, непосредственно от-
носящиеся к нашей теме.
1) Письмо Маркова Малешевскому без даты (д.60, №15). Мар-
ков неодобрительно отзывается о «только что появившейся» книге
С.Е.Савича [26] и отмечает, что она «заставила меня [его] сно-
ва [!] обратить внимание на теорию неспособности к труду». Он
также обсуждает смысл одной из формул Малешевского и выска-
зывает свои соображения о вероятности смертности инвалидов.
О.Б.Шейнин 27
2) Письмо Д.А.Граве Маркову 21.4.1916 (д.5, №5). Граве кос-
венно соглашается с Марковым по поводу нежелательности назна-
чения какого-то рода пенсий.
3) Письмо Граве Маркову 13.12.1916 (д.5, №7). Граве упоми-
нает об «удивительном разногласии» между вычислениями Марко-
ва и Малешевского. Очевидно, вычисления относились к работе
Черниговской пенсионной кассы.
4. Газетные публикации А.А.Маркова
Ниже, в п.5, мы перепечатываем две полемические газетные
статьи Маркова, посвященные страхованию детей. Можно предпо-
ложить, что этот вид страхования был более или менее распро-
странен в России по меньшей мере с середины XIX в. Так или
иначе, К.Д.Краевич [27] поместил соответствующий пример в
своем школьном задачнике 1864 г. (и в двух последующих издани-
ях этой книги, но не в последнем издании 1882 г.): при рождении
сына отец вносит 1000 руб. в страховое общество из расчета 5% го-
довых; если сын умрет, не достигнув 20 лет, взнос пропадает, в
противном же случае он через 20 лет получает от общества х руб-
лей. Требуется определить х по приложенной таблице смертности
(происхождение которой Краевич не указывает), если страхование
математически безобидно.
И эта простейшая схема, и схема, которую критиковал Мар-
ков, см. ниже, и, как позволительно думать, любая иная схема
страхования детей страдает одним существенным пороком: по не-
обходимости оставаясь математически невыгодной для страховате-
ля (см. п.1; безобидным страхование является лишь в задачни-
ках), они и не «страхуют» его. Вот выдержка из сочинения
1895 г., автор которого, ссылаясь, в частности, на страхование де-
тей от смерти, утверждает [28, с. 243]:
«Все те случаи, в которых под видом страхования жизни скры-
ваются сделки не о восстановлении действительной потери, а о вы-
даче той или иной суммы по наступлению известного события, не на-
носящего [материального] ущерба страхователю, не следует относить к
страхованию; они являются злоупотреблением идеей страхования».
Критика Маркова была обоснованной, но можно пожалеть,
что он не воспользовался случаем и не разъяснил читателям, что
существуют другие формы страхования жизни (и страхование иму-
щества), в принципе выгодные страхователям. Впрочем, в своем
учебнике [25] (только в издании 1908 г. на с.97) Марков, ссыла-
ясь на свои письма и на разъяснение [29], противопоставил раз-
личные формы, страхования друг другу:
28
Из истории отечественной математики
«Следует заметить, что существуют и [!] такие страховые опе-
рации, которые ни от какого риска не предохраняют, а во всех
случаях приносят страхующимся больший или меньший ущерб.
Для оправдания подобных операций ... можно привести только до-
вольно сомнительное соображение, что они вынуждают людей де-
лать сбережения».
Добавим, однако, что при страховании детей у их родителей
возникает непосредственная денежная заинтересованность в про-
должении жизни своего застрахованного потомства.
5. Письма А.А. Маркова и примечания к ним
Письмо №1. Газ. «Наша жизнь», 7 аир. 1906 г., с.1.
«Выгоды» страхования через сберегательные кассы
Чтобы уяснить себе выгоды страхования доходов и капиталов
через посредство государственных сберегательных касс [утвержде-
ны советом по делам страхования доходов и капиталов 24-го янва-
ря 1906 года] приходится обратиться к тарифам. Если судить по
числу тарифов (V —X), то страхование малолетних должно играть
видную роль в новой деятельности сберегательных касс. Кому же
будет выгодно это страхование кроме лиц, «привлеченных к заня-
тиям по сей операции» [2]1.
Для ответа на поставленный мной вопрос необходимо остановить-
ся на тарифах страхования, из которых мы извлечем два ярких при-
мера.
По тарифу VI для застрахования капитала в 2000 рублей, вы-
даваемого ребенку 6-летнего возраста по достижении им 20 лет^,
следует единовременно внести 1200 руб., причем в случае прежде-
временной смерти ребенка возвращается 1200 - 60 = 1140 р. (5%
удерживается на расходы по ведению дела).
С другой стороны, если те же 1200 р. будут пущены в рост по
4% в год (такой процент положен в основание тарифов) на каж-
дую полную сотню 3, то последовательно получится: 1200 + 4% =
= 1248 р. ко времени достижения ребенком 7 лет; 1248 + 48 = 1296 р.
-8 л.; 1296 + 48 = 1344 р.- 9 л.; ...; 1892 +72 = 1964 р.- 19 л.;
1964 + 76 = 2040 р. ко времени достижения ребенком 20 лет4.
Из приведенной таблицы видно, что во всех случаях это стра-
хование невыгодно для страхующей семьи. Если ребенок доживает
до 20 лет, то убыток семьи выражается небольшой суммой в
40 рублей, если же ребенок не доживает до 20 лет, то убыток се-
мьи может выражаться сотнями рублей, так как она теряет процен-
ты на затраченный капитал.
О.Б Шейнин 29
По тарифу VIII для застрахования 5-летней стипендии в
600 рублей, выдаваемой ребенку 6 лет по достижении им 18 лет3,
следует внести 1789 рублей, причем в случае смерти ребенка до
достижения 18 лет возвращается 1789-89=1700 р.
1789 + 68 = 1857-7 л.; 1857 + 72 = 1929-8 л.; ... ;
2729 + 108 = 2837-18 л.
Как видно, к моменту первой выдачи составится 2837 рублей.
Выдавая из этих денег стипендию по 600 руб. в течение 5 лет,
последовательно получим: 2837-600 = 2237; 2237+88-600 = 1725;
1725 + 68 - 600 = 1193; 1193 + 44- 600 = 637; 637 + 24 - 600 = 61 р.
И эта операция, как видно, приносит страхующей семье толь-
ко убыток, причем в благоприятном случае этот убыток выражает-
ся небольшой суммой 61 руб. В неблагоприятных же для семьи
случаях он может достигать тысячи рублей.
Мной выбраны, как было уже замечено, яркие примеры; но
аналогичные результаты получатся и в других случаях с той толь-
ко разницей, что небольшой убыток в наиболее благоприятных
случаях может превратиться в небольшую прибыль. Возможность
же больших убытков для семьи в случае преждевременной смерти
ребенка остается без изменения.
Академик А.Марков
Письмо №2. Газ. «Наша жизнь», 2 мая 1906 г., с.1.
«Выгоды»- страхования через сберегательные кассы
Разъяснения управления сберегательными кассами («Наша
жизнь», №422) [29] ничего не разъясняют, а напротив затемняют
сущность поднятого мной вопроса6. Эти разъяснения составлены
так, как будто все дело состоит только в дороговизне страхования
через сберегательные кассы, которая в приведенном мной примере
выражается небольшой суммой 40 р. на 2000 р. Останавливаясь
исключительно на указанном небольшом убытке, управление сбе-
регательными кассами утверждает, будто бы он теряет значение
ввиду особой операции и покрывается участием в прибыли; допус-
кая рост капитала в 5 проц, вместо 4 проц., управление обещает
выдать застрахованному вместо 2000 р. от 2180 р. до 2280 р.
Таким образом, управление сберегательными кассами совер-
шенно закрывает глаза на те случаи, когда застрахованный ребе-
нок умирает раньше времени, и убыток, причиняемый семье стра-
хованием, выражается уже не десятками, а сотнями рублей. Толь-
ко забыв об этих случаях, можно решиться говорить об обеспечен-
ности сбережения при рассматриваемом страховании
30
Из истории отечественной математики
Между тем, в моей заметке на эти случаи обращено внимание,
и для определения убытка, привносимого семье страхованием, в
этих случаях кроме числа 2040, на котором остановило свое вни-
мание управление, приведен ряд чисел. Как видно, управление
сберегательными кассами остановилось только на наиболее благо-
приятном случае; и напрасно оно старается доказать, что в этом
случае убыток семьи может превратиться в некоторую прибыль;
ибо о возможности прибыли в благоприятном случае упомянуто и
в моей заметке: нужно только изменить возраст застрахованного и
продолжительность страхования так, чтобы увеличилась вероят-
ность неполучения страховой суммы7.
Что касается приема, посредством которого управление пыта-
ется превратить убыток в прибыль, то его нельзя признать прави-
льным не только потому, что вместо подробного расчета голослов-
но указано неопределенное число от 2180 до 2280, но и главным
образом потому, что по признанию управления расчет основан на
изменении процента годового роста. Управление, как видно, забы-
ло, что при годовом росте в 5 проц, капитал 1200 руб. при про-
стом сбережении, без содействия страховой операции, превращает-
ся через 14 лет не в 2040 руб., а в 1200х 1,05 = 2374 руб.8 [14].
Конечно, я вполне готов согласиться с управлением сберегате-
льными кассами, что в моем расчете принят слишком малый раз-
мер годового роста, если судить, например, по последнему блестя-
щему займу9.
Но, как видно, от увеличения размера годового роста убыток,
привносимый семье страховой операцией, увеличивается; и, следо-
вательно, заявление управления о каком-то преувеличении в моем
расчете совершенно неверно. Итак, мое указание на существование
в числе страхований через посредство сберегательных касс таких,
которые во всех случаях приносят только убыток, остается непоколе-
бимым и не может быть поколеблено пока останется без изменения
таблица смертности, положенная в основаниях тарифов страхования и
не будет уменьшен расход (5 проц.) на ведение страховой операции.
Указывая на участие в прибыли, управление сберегательными
кассами говорит, что по прошествии пяти лет по открытии страхо-
вых операций прибыль распределяется между страхователями; но
забывает упомянуть, что значительная часть прибыли (до 25 проц.)
распределяется между лицами, привлеченными к занятиям по стра-
ховой операции.
Защищая свои предстоящие операции по страхованию мало-
летних, управление ссылается на пример [частных] страховых об-
ществ, где подобные операции производятся по более высоким
Q.Б.Шейнин 31
тарифам, но, к сожалению, не подкрепляет своих слов сравнитель-
ными выдержками из тарифов.
Несомненно, что мои замечания относятся и к страхованию
малолетних в страховых обществах, но несомненно также, что
страховые общества стремятся к собственному обогащению, и эта
ясная цель может служить предостережением для страхующегося.
С другой стороны, то обстоятельство, что известные операции про-
изводятся, не служит доказательством, что их и следует произво-
дить. В Монако, например, стекается масса народа для игры в ру-
летку; не устроить ли на этом основании игру в рулетку или
что-нибудь подобное при сберегательных кассах [?] Для всякого,
кто читал мою заметку в №413 «Н.Ж.», должно быть ясным, что
все заключения, в ней содержащиеся, специально относятся к стра-
хованию малолетних. Следует, однако, помнить, что в тарифах
страхования через сберегательные кассы приведен не один, как
можно заключить из слов управления, а несколько видов страхова-
ния малолетних, так что по числу тарифов это страхование занима-
ет довольно видное место среди новых операций сберегательных
касс; и мной были приведены примеры из двух различных тарифов.
Других видов страхования я не касался и, следовательно,
управление сберегательными кассами, по-видимому, напрасно за-
щищает их; и тем более напрасно, что эта защита сводится к заяв-
лению о возможности при известных условиях за 70 р. получить
1000 р. Неужели управление настолько наивно, что придает свое-
му заявлению серьезное значение: играя в рулетку, можно за
70 руб. получить и более 1000 р.
Итак, я говорил только о некоторых видах страхования, а
управление само подняло вопрос о дороговизне или дешевизне
всех видов своего страхования и не привело никаких доказа-
тельств дешевизны: оно не привело даже сравнительных извлече-
ний из своих тарифов и из тарифов страховых обществ.
Со своей стороны замечу, что если бы сверх ожидания страхо-
вание через сберегательные кассы оказалось дешевым для застра-
хованных, то оно будет дорогим для государства, при широком,
конечно, развитии дела; так как не дешево будут стоить расходы
по ведению операций10
А. Марков
Примечания
1 Марков имеет в виду работников сберегательных касс. См письмо №2.
2 Иначе: для того, чтобы ребенок, достигнув 20 лет, получил 2000 руб.
* Процент выплачивался с суммы, округленной до ста рублей в меньшую сторону.
32
Из истории отечественной математики
Можно примерно сравнить полученную Марковым величину с числом
1200x 1,04= 2078 (14].
5 Иначе: для того, чтобы ребенок, достигнув 18 лет, получал стипендию пять лет подряд.
6 Марков ссылается на письмо №1. Вот суть «разъяснений»' страхование малолет-
них—маловыгодная операция, которая «приближается... к простому сбережению»;
частные страховые общества предлагают еще худшие условия; для застрахованных
важна психологическая сторона операции, а именно сознание обеспеченности от
случайностей; если у сберегательной кассы через некоторое время окажется при-
быль свыше 4%, то излишек прибыли будет отдан застрахованным.
7 Видимо, следует читать: .. вероятность получения и т.д.
8 Правильнее 2376 руб. Разумеется, для сберегательной кассы отпадает требование
учитывать лишь полные сотни рублей капитала, ср. письмо №1.
9 Марков, возможно, имел в виду 5.5-процсптныс «краткосрочные обязательства го-
сударственного казначейства», выпущенные 9 декабря 1905 г. [30, с.67].
1(1 Мы понимаем это рассуждение так: если для каждого клиента страхование матема-
тически безобидно, то сберегательная касса понесет убыток, примерно равный сум-
ме расходов по ведению операции.
Список литературы
1. Алексеева В.П. Библиография работ А.А. Маркова// Марков А.А. Избранные
труды. Л., 1951. С.679 — 714.
2. Гродзенский С.Я. А.А.Марков. М., 1987.
3. Sheynin О.В. Early history of theory of probability // Archive for history of exact
sciences. 1977. Vol.17. №3. P.201-259.
4. Kohli K., van der Waerden B.L. Bewertung von Leibrenten // Bernoulli J. Wcrkc.
Basel, 1975. Bd.3. S.515-539.
5. Hald A. A history of probability and statistics and their applications before 1750 New
York, 1990.
6. Wells A.F. Friendly society // Enc. Brit., 1965. V.9. P.935 938.
7. Лаплас П.С. Опыт философии теории вероятностей (1814). М., 1908.
8. Пресс А. Страхование // Энц. словарь Брокгауза и Ефрона. СПб., 1901. Т.62.
С.736 782.
9. Huygens Ch. Corrcspondancc (1669) // Oeuvres completes. La Haye, 1895. T.6.
P.483, 526-538.
10. Bernoulli N. Dissertatio inauguralis mathcmatico-juridica de usu artis conjectandi in
jure (1709) // Bernoulli J. Wcrkc. Basel, 1975. Bd.3. S.287 —326.
11. Todhunterl. History of the mathematical theory of probability (1865). New York, 1965.
12. De Moivre A. A treatise on annuities on lives (1725) // De Moivre A. Doctrine of
chances. London, 1756. P.261—328.
13. Laplace P.S. Theoric analytiquc des probabilites (1812) // Oeuvres completes. Pa-
ris, 1886. T.7.
14. Sheynin O.B. Gauss and the theory of errors / / Archive for history of exact sciences.
1979. V.20. №1. P.21-72.
15. Зернов H. Теория вероятностей с приложением преимущественно к смертности и
страхованию. М.. 1843.
16. Остроградский М.В. Записка об эмеритальной кассе (1858) // Полное собрание
трудов. Киев, 1961. Т.З. С.297 — 300.
Чарльз Форд 33
17. Марков А.А. Записка о расчете вероятных оборотов эмеритальной кассы судебно-
го ведомства. СПб., 1884. 13 с.
18. Труды но обзору действий эмеритальной кассы ведомства Министерства юстиции
за первое пятилетие. СПб., 1890 1891. Т.1 — 2.
19. Марков А.А. Записка о вычислении капиталов, обеспечивающих операции кассы
// Труды по обзору действий эмеритальной кассы ведомства Министерства юс-
тиции за первое пятилетие. СПб., 1890—1891. Т.1 — 2.
20. ЛыкогиинА.С. Эмеритальные кассы // Энц. словарь Брокгауза и Ефрона. СПб.,
1904. Т.40а. С.726-729.
21. Марков А.А. Записка по вопросам, рассмотренным IV поверочной комиссией [эме-
ритальной кассы военно-сухопутного ведомства] [1899].
22. Протоколы Ими. Академии наук. Физ.-мат.отд. Протокол №1, 19япв. 1900 г. Пе-
чатано как рукопись.
23. [Военное министерство ] Отчет о денежных оборотах эмеритальной кассы воен-
но-сухопутного ведомства за 1899 г. СПб., 1900.
24. Марков А.А. (младший). Биография А.А.Маркова // Марков А.А. Избранные
труды. М., 1951.
25. Марков А.А. Исчисление вероятностей СПб., 1900, 1908, 1913; М., 1924. Немец-
кий перевод: Лейпциг-Берлин, 1912.
26. Савич С.Е. Элементарная теория страхования. СПб., 1900.
27. Краевич К.Д. Собрание алгебраических задач СПб., 1864, 1867, 1874, 1882.
28. Никольский П.А. Основные вопросы страхования. Казань, 1895.
29. К вопросу о страховании через сберегательные кассы [разъяснение Управления
сберегательными кассами]. Газета «Наша жизнь» 18 апреля 1906 г., с.2.
30. Ежегодник Министерства финансов. СПб., 1907. Вып.36 за 1906/1907 гг.
О ВЛИЯНИИ П.А.ФЛОРЕНСКОГО НА Н.Н.ЛУЗИНА0
Чарльз Форд
1. Введение
Николай Николаевич Лузин —один из ведущих деятелей мате-
матики XX века [1].' Исключительна его роль как одного из созда-
телей Московской школы теории функций [1, с.277; 2, с.35]. Ран-
няя история Московской школы по-новому раскрылась в свете не-
давних публикаций, показавших тесную связь и успешное взаимо-
действие Лузина с философом, богословом и ученым Павлом
Александровичем Флоренским (1882 — 1937) [3; 4].
Цель настоящей статьи —на материале их переписки [5] выя-
вить влияние Флоренского на молодого Лузина в период его му-
чительных исканий. Подобно многим интеллектуалам начала
XX века юный Лузин был приверженцем материалистического миро-
воззршия, от которого отошел приблизительно к 1905 году, в
1) Перевод с английского А.И.Володарского (выполнен при финансовой
поддержке Российского гуманитарного научного фонда; коды проектов: №N°96-03-
04410, 96-03-04414)
3-3525
34
Из истории отечественной математики
период завершения обучения в Московском университете. Последо-
вавший за этим кризис растянулся на четыре года и был, в конечном
счете, разрешен лишь тогда, когда Лузин вплотную соприкоснулся с ре-
лигиозной философией Флоренского. И лишь после этого оказалось воз-
можным для Лузина успешное продолжение его математических занятий.
Флоренский поступил в Московский университет в 1900 году,
Лузин —в 1901. Оба стали студентами физико-математического фа-
культета. В 1904 году по окончании университета Флоренский по-
ступил в Московскую духовную академию. В 1908 году, завершив
обучение в Академии, он был оставлен на кафедре истории филосо-
фии. Весной 1908 года он написал трактат—«О Духовной Истине»;
его расширенный вариант в 1914 году Флоренский защитил в качест-
ве магистерской диссертации. Она была опубликована в том же,
1914 году, под названием «Столп и утверждение Истины» [6] и ста-
ла одним из самых значительных богословских сочинений XX века.
2. Переписка
Тому счастливому обстоятельству, что переписка дошла до
нас, мы обязаны семье Флоренского, в первую очередь, его жене
Анне Михайловне, женщине очень смелой. После ареста мужа она
сумела сберечь его архив, в котором хранились неопубликованные
рукописи, заметки студенческих лет, переписка, в том числе пись-
ма, полученные от Лузина.
В конце жизни Лузин сжег свои дневники. После его смерти в
1950 году его жена уничтожила часть оставшихся бумаг. К счастью,
письма Флоренского она сохранила и передала Анне Михайловне.
Публикация этой переписки С.С.Демидовым, А.Н.Паршиным,
С.М.Половинкиным и П.В.Флоренским [5] стала важным событи-
ем в исследованиях последних лет по истории математики в Рос-
сии. Переписка снабжена вступительной статьей [7] и чрезвычайно
интересными примечаниями. В статье [8], также основанной на
этой переписке, рассматриваются общие вопросы философского и
математического характера, связанные с ранней историей Москов-
ской школы теории функций.
Большая часть переписки относится к периоду, начинающемуся
в 1904 году, когда П.А.Флоренский, оставив Москву, поступил в
Московскую духовную академию, расположенную в Сергиевом Поса-
де, и заканчивающемуся в январе 1921 года —временем его возвраще-
ния в Москву. Лузин часто наезжал в Сергиев Посад (в советское
время —Загорск), иногда проводил там лето. Он любил этот городок
и ценил возможность общаться там с Флоренским. Следы их бесед
мы находим в переписке. Знакомясь с ней, мы можем попытаться
оценить глубину того влияния, которое Флоренский оказывал на
Чарльз Форд 35
Лузина, вызывая у последнего интерес к «общим проблемам» бо-
гословия, философии и науки.
В переписке корреспонденты обращаются друг к другу на
«Вы». Поначалу это несколько удивляет: оба корреспонден-
та—студенты, поддерживавшие дружеские отношения. Подписи
под письмами наряду с именами включают и фамилии. После по-
священия в духовный сан Флоренский всегда подписывался — «свя-
щенник Павел Флоренский». Вероятно, обращение на «Вы» отра-
жает некоторое неравенство в отношениях между ними, знак поч-
тительного отношения Лузина к духовно более зрелому Флорен-
скому. Эта почтительность наиболее отчетливо проявляется при
обсуждении духовных вопросов, с которыми Лузин неоднократно
обращался к Флоренскому. Во всяком случае, обращение на «Вы»
не явилось преградой их тесным отношениям и даже придавало им
порой (особенно, при обсуждении религиозных вопросов) более
яркий и даже пылкий характер.
3. Духовный кризис
Осенью 1905 года Лузин был командирован за границу. Вес-
ной 1906 года, живя в Париже, он получил письмо от Флоренско-
го. Его ответное письмо от 1 мая 1906 года [5, с. 135—138] проли-
вает свет на испытываемый им в тот период глубокий духовный
кризис. Этот кризис продолжался вплоть до 1909 года, и только
выйдя из него, он сделал свой окончательный выбор — профессиона-
льно заняться математикой. Письмо подтверждает распространенное
в литературе (см., например, [1, с.283]) утверждение о том, что Лу-
зин намеревался изучать медицину и посещал лекции по филосо-
фии прежде чем принял окончательное решение—посвятить себя
математике. Этот кризис отразился и на его отношениях с Флорен-
ским [4, с.28].
В письме Лузин обращается к Флоренскому как к Петру Афана-
сьевичу. Причина этого не вполне ясна. Судя по всему, она имеет не-
который философско-религиозный подтекст, связанный с именами
Святых Петра (может быть апостола Петра) и Афанасия (может
быть Афанасия Великого). В примечании 1 к письму [5, с.138—139]
отмечается, что именно в это время Флоренский работал над трудом
«Священное переименование». Проблема имени его крайне интересо-
вала. Письмо было адресовано «Его Высокоблагородию П.А.Фло-
ренскому» в Духовную Академию в Сергиев Посад и поэтому нет ни
малейших сомнений в том, кому оно предназначалось:
«Я получил уже три недели тому назад Ваше письмо, и толь-
ко сейчас (быть может) могу ответить... Мне слишком тяжело
жить, иногда мучительно тяжело У меня нет ничего, нет прочного
36
Из истории отечественной математики
миросозерцания; я не могу найти решения к “проблеме жизни”. Са-
мосознание у меня так часто меняется, что жизнь становится прямо
мучительной. Поэтому я и не мог Вам ответить сразу. Вы не повери-
те, как мне дорого ваше письмо, Ваше обращение к моей внутренней
жизни. Это ужас, ужас, бесконечный ужас видеть окрест себя эго-
изм, один только эгоизм, без просвета... Ни личность, ни даже про-
стая жизнь так не уважается, что спрашиваешь себя: “полно, есть
ли, на самом деле, эти вещи в мире? Могут ли они существовать?
Не мечта ли это “идеалистов”, их выдумка? ...” И если бы я был
уверен, что действительно, нет и не может быть в мире абсолютное
уважение души другого, я немедленно убил бы себя. Мне немысли-
мо жить без этой надежды. Почему? Не знаю...
Вы поймете теперь,.как мне дорого, на фоне глухой ночи, да-
вящей душу, сердце, мозг до сумасшествия — как мне дорого Ваше
обращение к моей внутренней жизни.
Очутился я за границей, в Париже не знаю как, по-видимому,
случайно.
Вы застали меня в университете ребенком, не знающим много-
го. Не знаю, как это случилось —но я не могу удовлетворяться бо-
лее теперь аналитическими функциями и рядом Тейлора... Имен-
но, назад тому год это случилось... Видеть горе людей, видеть
муку жизни, ворочаться домой из математического заседания, во-
рочаться через Александровский сад, где дрожа от холода, стоят не-
сколько женщин, тщетно ожидая ужина, купленного ужасом —это
зрелище невыносимо. Невыносимо спокойно заниматься (в сущно-
сти, наслаждаться) наукой, видя это. Тогда я не мог заниматься
только одной математикой и хотел переходить на медицинский фа-
культет. Не знаю, что меня удержало. Только не соображения ка-
рьерного...свойства. По-видимому, мысль: “будет ли это решение
верным?” Затем наступили ужасные дни у всех нас. У меня, в ча-
стности... Я плохо помню, что со мной было. Работать в науке я
не мог и, кажется, начал сходить с ума от невозможности спокой-
но жить и понять, где же, где же истина. Дмитрий Федорович
(профессор Егоров), видя меня в таком состоянии, выслал меня
отсюда, в Париж. Вот каким образом я здесь... Хотя я здесь около
5-ти месяцев, но заниматься начал недавно. Самосознание отсутст-
вовало» [5, с. 135—136].
Далее в письме Лузин обсуждает эти проблемы, подчеркивая, что
его прежнее (материалистическое) мировоззрение потерпело крах.
«Мне мучительно тяжело жить, Петр Афанасьевич! Те миро-
созерцания, которые я до сих пор знал (материалистические ми-
росозерцания) меня абсолютно не удовлетворяют. Может быть, я
Чарльз Форд 37
ошибаюсь, но, мне думается, во всех них какой-то чудовищный по-
рочный круг, какое-то фатальное нежелание понять условность ма-
терии, какое-то абсолютно непонятное для меня нежелание разобрать-
ся в основах, в принципах. Это я недавно понял, но прежде верил ма-
териализму, но жить по нему не мог, и мучился, мучился без конца.
Да, теперь мне понятно, что “наука”, в сущности, метафизич-
на и не обоснована ни на чем. Мне абсолютно непонятно искание в
науке “дифференциальных резольвент для уравнений шестой сте-
пени”... В настоящий момент меня интересуют в науке исключите-
льно принципы, символическая логика и теория множеств. Но
одной наукой жить не могу... У меня ничего нет, ни миросозерца-
ния, ни образования. Я абсолютно не знаком с филологическими
науками, историей, философией... Мне до боли ясно, что удовлет-
воряться “естественным” образованием, немыслимо. Видеть кругом
фатальное неуважение души другого, попирание ее, видеть все это
и не знать, как же правильно относиться к людям, не уметь засту-
питься за них, чувствовать безумную нелепицу отношений и не
иметь, не знать правды —Господи, что это за мука...
Дорогой Петр Афанасьевич! Простите, Бога ради, за такое лич-
ное письмо, но мне так тяжело, я ниоткуда не вижу помощи...
Профессор Егоров посоветовал читать Канта. Но положения Канта
мне кажутся ультра-шаткими. О жалкой философии Пуанкаре я
уже не говорю... Я готов отказаться от личной жизни, чтобы толь-
ко знать, где искать истину. Ибо знать, что истина, и не идти
туда —это немыслимо и невозможно... Мне тяжело жить, быть мо-
жет, потому, что я не понимаю, что мне надо. То, что я сейчас ду-
маю делать, это по приезде в Москву слушать лекции на истори-
ко-филологическом факультете. Я абсолютно не знаком с этими на-
уками, а с одними математическими и естественными жить не могу.
Быть может этот факультет даст мне разобраться в человеческих
отношениях... Параллельно, думаю работать по математике, но по
общим вопросам. Если же я не найду пути, где искать истину...тог-
да я не буду жить» [5, с. 136—137].
4. Снова вместе
Вновь Лузин обратился к Флоренскому за советом в письме от
14’марта 1908 года: «А мне бы так хотелось повидаться с Вами и
именно с Вами... Чем больше живу—тем больше чувствую, что
надо иначе жить...» [5, с.142]. Свои научные занятия Лузин опи-
сывает так: «Математикой занимаюсь...мало. Не хочется. Больше
пробегаю историко-филологические журналы и новости по теории
38
Из истории отечественной математики
электронов» [5, с. 142]. И в постскриптуме добавляет: «Специалистом
я все-таки не могу сделаться: отравлен Вами. Спасибо за это» [5,
с.143].
Месяц спустя, И апреля 1908 года, Лузин пишет восторжен-
ное письмо, начинающееся пасхальным приветствием: «Христос
Воскрес! Дорогой Павел Александрович! Очень жаль, что не могу
Вас приветствовать святыми словами о Воскресении самой Жизни
лично» [5, с. 144].
Теперь Лузин все время отдавал изучению теории чисел: «Эта
таинственная область захватывает меня больше и больше» [5,
с.145]. Он сообщает об изменениях в своей личной жизни: «...я же-
нился, и теперь не одинок» [5, с. 145]. Как всегда, он стремится к
личной встрече с Флоренским, к встрече с его словом, особенно
сейчас, ибо «...жена тоже очень интересуется и сочувствует иска-
ниям истинной жизни, глубокой» [5, с. 145].
Лето 1908 года Лузин провел со своими родителями в Черни-
говском ските —монастыре близ Сергиевого Посада. В письме
жене [5, с.149—151, прим.2] Лузин описал свой визит к Флорен-
скому. Визит этот пришелся на радостный для Флоренского
день —было решено не оставлять его при Духовной академии для
подготовления к профессорскому званию, а сразу дать кафедру.
Ему было предложено читать курс истории философии. В письме
Лузин дает оценку математическому творчеству Флоренского: «Но
как только он показал свои работы по математике — опять старое
зашевелилось во мне мнение: все его работы не имеют цены в об-
ласти математики. Намеки, красивые сравнения — что-то упивающее
и обещающее, дразнящее, манящее и безрезультатное» [5, с. 150].
Это утверждение несколько неожиданно, ведь Лузин знал, что
Флоренский не предполагал излагать результаты, интересные ма-
тематикам; он лишь использовал математику в своих философских
и религиозных сочинениях. Действительно, несколько ранее в этом
же письме Лузин детально описывает как он обсуждал с Флорен-
ским «...вопрос о “числе три”...почему Бог троичен в лицах, а не
двоичен, четверичен...» [5, с. 149]. Этот вопрос был подвергнут
Флоренским и Лузиным всестороннему обсуждению; привлекались
чертежи и даже была предпринята попытка дать математическое
обоснование, окончившееся, впрочем, неудачей: «Нам это не уда-
лось после долгих дум» [5, с. 150].
Однако, переживаемый Лузиным кризис продолжался. Судя
по всему, именно в 1908 году он достиг своего пика.
Чарльз Форд 39
5. «Столп и утверждение Истины»
10 июня 1908 года Флоренский защитил свое кандидатское со-
чинение «О Духовной Истине». Он очень хотел пригласить на за-
щиту Лузина, но так и не смог с ним связаться В том же месяце
это сочинение было опубликовано под названием «Столп и утвер-
ждение Истины». Расширенный вариант этой работы был опубли-
кован в 1914 году [6].
Это сочинение оказало на Лузина глубокое воздействие. В пи-
сьме к жене от 29 июня 1908 г. он написал: «Сегодня мне хотелось
бы многое написать из внутренне пережитого — не знаю, удастся
ли. Пережить мне многое пришлось вследствие работы Флоренско-
го: “Столп и утверждение Истины...” Я ее прочел всего один раз в
один день —многое пропускал, но впечатление подавляющее. Ког-
да я ее читал, я был ОГЛУШАЕМ все время ударами твердого та-
рана в твердыне...» [5, с. 146].
Лузин пишет, что Флоренский взломал фундамент современ-
ной интеллектуальной жизни, которая отринула религию во имя
разума, логически превосходно защитив религиозные концепции,
которые были объектом насмешек или вообще игнорировались со-
временной интеллигенцией. Лузин писал: «...в этом мировая траге-
дия жизни и разума» [5, с. 146].
«Я не боюсь употреблять этих слов —они всегда уместнее
здесь. Да именно мировая драма. И этими твердынями живет, дви-
жется и “суть” наша интеллигенция. Этими твердынями она дума-
ет, живет. Да, не одна наша —повторяю, здесь дело идет о челове-
ческом разуме —его жизни и драме...
Наша жизнь, т.е. жизнь XIX, XX столетий — полна смятений,
полна взаимно исключающих Элементов — чего не было прежде,
чего не было у греков (откуда их сила —дитя единства, цельности).
Стоит только посмотреть на наших интеллигентов, каких хочешь,
чем выше, тем виднее. Чего нельзя у них найти: элементов языче-
ства, отрицание постов ради духа, признание их ради гигиены про-
филактики, отрицание Бога и наряду пропитанность христианством,
или признание Бога и языческие дела — сострадание, подбор, фи-
зика, спиритизм, сердцеведение, марксизм, романтизм, теория Рус-
со, Ницше, Кантианство... —я бы мог не одно письмо написать та-
кими словами, с окончанием “изм”, словами, выражающими сущ-
ности, добытые цельными народами...у нас воплощаемыми как пло-
хо связанные камушки мозаичной картины кривой и неокончен-
ной... И вот вся культура висит, “колеблясь над бездной”. Какою?
Где выход? Куда идти? Вопросы, ответы носятся в воздухе, оши-
баются—а вырождение делает тихо свое дело.
40
Из истории отечественной математики
Культура наша такова, ты сама столько раз говорила, думая
вслух, что так дальше продолжаться не может, без вреда для носи-
телей ее.
Работа Флоренского — это одно из разрешений ее невозможно-
го положения» [5, с. 146—147].
Лузин отмечал, что «разрешение» Флоренского ему «...чуждо
по под-логической почве и, значит, чуждо по разуму» [5, с. 147].
Оно может быть понято в апокалипсических категориях, «...в пре-
ображении плоти и твари всей под духом суда Божия» [5, с. 147].
«Да и как отвечать на это? —спрашивает Лузин — Чувством или ра-
зумом? Полноправен ли разум в такого рода делах?» [5, с. 147].
Лузин усматривал в «разрешении» Флоренского скандал в универ-
ситетской философии.
«Ибо тут к познанию через чувство (“Физика”, “Естествозна-
ние”) и к познанию умом (“Математика”, “Логика”) прибавляется
на равных правах еще один род познания, о котором в университе-
те не слышали, именно “познание интуитивно-мистическое” (индус-
ское). Это огромный скандал» [5, с. 147].
Флоренский провел «философские изыскания», дающие «пре-
восходный психологический анализ Ума». Лузин сожалеет, что
«...тут много рабочего, научного материала, а то эта глава специа-
льно была бы понята всем и всех бы покрыла бледностью» [5, с. 147].
Флоренский описывает «искания мучимого в философском аду ума,
искания в религии» и продолжает «...описание психического и со-
матического переворота при вступлении на путь христианства и
преуспевание в нем. Дальше догматическая защита некоторых, ве-
роятно осаждаемых, пунктов религии: учения о Духр Святом, за-
щита от противоречий религии уму. Дальше превосходная защита
учения об аде и его муках, защита логическая, прямо блестя-
щая... Здесь очень хорошее описание искушения любовью — кото-
рое пережил сам Флоренский, очевидно...» [5, с. 147].
В заключение Лузин пишет: «Я ценю эту работу потому, что
она трактует о самых фундаментальных вопросах жизни, не при-
нимая ничего на веру, а наоборот, показывая пределы ума и идя
далее за-логично, интуитивно, но опираясь на разум. Ни в какой
работе по религиозным вопросам я не встречал так мало фантазии
и так много логики, в недостатке которой упрек сделался обычным
явлением для религиозников... Величайшее открытие именуется
таковым, когда между несвязанными областями пионер пролагает
мост и переходит по нему... Если работа закончится, будет цель-
ность, все» [5, с. 147 —148].
Чарльз Форд 41
Это сильнейшее переживание случилось у Лузина именно тог-
да, когда он помышлял о самоубийстве. Сам он так объяснил это в
письме от 15 июля 1908 г.: «Но еще с большей благодарностью, с
благодарностью, на какую я только способен, я всегда буду по-
мнить те беседы, которые Вы дали мне в это лето... Два раза я
был очень близок к самоубийству —я тогда приезжал сюда в Трои-
цу, ища беседы с Вами и оба раза я чувствовал, что опираюсь как
на “столб”, и с этим чувством опоры я возвращался. Простите за
откровенность, и не истолкуйте ее отрицательно как-либо: я Вам
обязан интересом к жизни...» [5, с. 148]. В следующем году посте-
пенно вновь ожил интерес Лузина к математике.
6. После революции
В 1917 году незадолго перед революцией Лузин стал профес-
сором физико-математического факультета Московского универси-
тета. Флоренский продолжал жить в Сергиевом Посаде вплоть до
1921 года.
В последнем из дошедших до нас писем, датированном 5 мая
1919 года, Лузин снова обратился к отцу Павлу за духовным на-
ставничеством. Обратился поскольку к этому «понуждает глубокая
внутренняя потребность». Лузин не скрывает, что «...в последнее
время меня очень гнетет чувство пустоты и отрешенности от источ-
ника жизни духа» [5, с. 187]. Казалось бы в жизни Лузина-профес-
сора ничего не переменилось, но внутри «...все-таки что-то измени-
лось, что-то переломилось; мне трудно только сказать, что именно.
Приходится сознаться: очевидно, были допущены некоторые
ошибки, требующие исправления. Немного страшно за будущее, так
как сейчас для меня оно неопределимо.
Трудно сказать, почему только потребность остановиться и
внутренне осмотреться у меня непреодолимо связывается с потреб-
ностью ближе познакомиться с путем, пройденным и проходимом
Вами... Вот отчего я и обращаюсь к Вам, дорогой Павел Александ-
рович, помочь мне... я желал бы иметь по возможности все Ваши
работы, вышедшие в печати. Многое уже есть у меня, но у меня
нет Ваших больших вещей, последних лекций по философии... и,
главное, я не имею Вашей Thdse: “Столп и утверждение Исти-
ны”» [5, с. 187-188].
Это сочинение, как уже говорилось выше, произвело на Лузина
сильное воздействие, когда в июне 1908 года он познакомился с его
первым вариантом, и об итоговой версии которого, вышедшей в
1914 г., он отозвался достаточно критически. Теперь же он глубоко
сожалел о том, что в свое время не побеспокоился о сохранении эк-
земпляра этой «основной и фундаментальной работы». Так как
42
Из истории отечественной математики
приобрести эту книгу стало крайне затруднительно, Лузин обра-
тился к Флоренскому за помощью. Он пишет: «...я не хочу ее то-
лько прочесть: мне необходимо ее читать» [5, с. 188]. Извиняясь
за причиняемое беспокойство, Лузин объясняет почему он позволя-
ет себе обращаться к Флоренскому с такой просьбой: «...это неп-
реодолимый запрос души...мне это надо “сейчас", а не “потом"» [5,
с.188].
Переписка завершается тем, с чего началась: Лузин вновь ис-
пытывает огромную потребность следовать Флоренскому в делах
«внутренней жизни». К авторитету Флоренского прибегала и су-
пруга Лузина — Надежда Михайловна. В публикацию [5] включе-
ны два ее письма, написанные ею от имени мужа. В примечаниях
говорится также о двух ее письмах отцу Павлу от 1914 года, когда
она и Лузин временно разошлись. В ответном письме Флоренский
дал такую характеристику Лузину: «Николай Николаевич очень
милый и хороший человек; но в жизненном отношении, в особен-
ности в интуитивном улавливании подземных течений жизни он
совсем еще не взрослый. Вам, как женщине и в силу этого одного
более способной ощущать нутро жизни —Вам должно было бы
взять Ваши взаимные отношения в руки и создать семейный тон,
простоту. Между тем, насколько я воспринимаю (простите, может
быть, ошибаюсь!), Вы сами устанавливали тон не семейности, а
знакомства» [5, с.175, прим. 1].
7. Заключение
Именно влияние П.А.Флоренского оказалось решающим в об-
ращении Н.Н.Лузина к религиозной философии. Вероятно, имен-
но его дружба с Флоренским стала причиной крушения исповедуе-
мого юным Лузиным материалистического мировоззрения. Важную
роль в этом сыграл факт отказа’ Флоренского от открывавшейся
перед ним университетской карьеры и его обращение к изучению
богословия.
Список литературы
1. Phillips Е. Nicolai Nicolacvich Luzin and the Moscow school of the theory of functi-
ons // Historia Mathcmatica 1978. №5. P.275 — 305
2. Demidov S.S. The Moscow school of the theory of functions / ' Zdravkovska S., Du-
ren P.L. (Eds.) Golden years of Moscow mathematics. Providence RI: American Mat-
hematical Society. 1993. P.35 —53.
3. Demidov S.S. On an early history of the Moscow school of the theory of functions //
Philosophia Mathcmatica. 1988. №3. P.29—35.
4. Ford Ch. Dmitrii Egorov: Mathematics and religion in Moscow // The Mathemati-
cal Intelligencer. 1991. V.13. M»2. P.24 —30.
НС. Ермолаева
43
5. Переписка Н.Н.Лузииас П.А.Флорсиским (публикация и примечания С.С.Деми-
дова, А.Н.Паршина, С. М. Половинкина, П.В.Флоренского) // Историко-мате-
матические исследования. М.: Наука. 1989. Вып.31. С.125—191.
6. Флоренский П.А. Столп и утверждение Истины. М.: Путь. 1914. Факсимильное
издание: Crcgg International, Westmead, Farnborough, England, 1970.
7. Демидов С.С., Паршин А.Н., Половинкин С.М. О переписке Н.Н.Лузина с
П.А.Флорсиским // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1989.
Вып.31. С.116-125.
8. Ford Ch. N.N.Luzin as seen through his correspondence with P.A.Florensky . Mo-
dern Logic. 1997. Vol .7. №3
Н.Н.ЛУЗИН И АКАДЕМИЧЕСКАЯ СРЕДА0
H. С. Ермолаева
Выдающийся математик Н.Н.Лузин был избран академиком АН
СССР 12 января 1929 г. Членом-корреспондентом он стал в 1927 г.,
но в то время (до сентября 1930 г.) он был в зарубежной команди-
ровке и не имел личных контактов с академиками, а потому его
вхождение в академическую среду началось после его возвраще-
ния. Сотрудничество с академиками-математиками в рамках Акаде-
мии вполне очевидно. Что касается личных взаимоотношений, то
ему были наиболее близки С.А.Чаплыгин, которого он знал с мо-
лодости, А.Н.Крылов и Н.М.Крылов. Ниже предлагается обсудить
другой аспект контактов Лузина —с академиками других специаль-
ностей, основываясь на переписке Лузина с некоторыми из них.
Не столько общение ученых во время сессий, сколько совместная
их работа в различных академических комиссиях и пребывание в
академических домах отдыха способствовали возникновению лич-
ной дружбы, обмену мыслями по тем или иным научным вопро-
сам. В некоторых случаях это было проявление интереса к другим
наукам, в других — взаимопомощь и консультации.
Из академиков старшего возраста у Лузина установились почтите-
льно-дружеские отношения с И.П.Павловым, В.И.Вернадским,
А.Н.Северцевым, Н.А.Морозовым, Д.М.Петрушевским. Из более мо-
лодых назовем тех, с кем он в разное время поддерживал личные кон-
такты вне Академии или обменивался письмами. Это —В.М.Алексеев,
Б.А.Введенский, В.К.Аркадьев, Н.Д.Папалекси, В.И.Коваленков,
В.Г.Фесенков, В.С.Кулебакин, В.П.Никитин и некоторые другие.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного
научною фонда (код проекта: №96-03-04414)
44
Из истории отечественной математики
Теплые отношения установились у Н.Н.Лузина с В.И.Вернад-
ским, с которым его связывала многолетняя дружба. Это подтверж-
дает сохранившаяся часть переписки этих ученых, опубликованная
в [1]. Так, в 1934 г. Вернадский пишет Лузину (здесь и далее цит.
по [1])-
«Мне давно хотелось написать Вам в “Узкое”, сказать Вам,
как мне было дорого общение с Вами. В мои годы редко, говорят,
создаются и закрепляются новые дружеские связи —самое боль-
шое, что есть, раз оно основывается на духовной почве».
Через несколько лет, в 1940 г., Лузин снова напишет ему ана-
логичные слова [1, с.79]:
«У меня ведь так теперь немного моих учителей и старших кол-
лег, с именами которых связаны лучшие движения ума и сердца
моей молодости; кроме Вас: лишь А.Н.Крылов, С.А.Чаплыгин и
Д. М. Петрушевский».
Лузин делился с Вернадским своими мыслями о науке и ее со-
временном развитии, об академической жизни и просто о бытовых
обстоятельствах. Из письма 1939 г. мы узнаем, что Лузин углубил-
ся в теорию чисел, которая занимала его в связи с размышлениями
о натуральном ряде:
«Пока же читаю работы по теории чисел. Удивительная об-
ласть, где метод не соответствует предмету!»
И в январе 1940 г. он снова пишет [1, с.70]:
«Между нами, я сейчас работаю в теории чисел, оставив гео-
метрию, на которую совершил набег. Душа жаждет новых идей.
Серьезность времени заставляет желать этого. Но, конечно, печа-
таться пока надо в старом классическом стиле. Это я прекрасно
понимаю»-
По совету Вернадского Лузин в 1929 г. прочитал работу П.Кюри
о симметрии, а позже, в 1934 г., написал Вернадскому свои размыш-
ления по проблеме «правизны-левизны», т.е. как из геометриче-
ских аксиом установить отличие правого от левого. Не будучи гео-
метром, Лузин привлек к проблеме С.П.Финикова, которого он
считал первоклассным специалистом в этой области, и даже снаб-
дил его книгой П.Кюри. Когда в конце 30-х годов была создана
академическая комиссия по изучению этой проблемы, Лузин вмес-
те с Финиковым приняли участие в ее работе [2]. Как показывает
переписка ученых, Лузина к этой работе привлек Вернадский, а
Лузин —Финикова. В 1940 г., прочитав труд Вернадского «О пра-
визне и левизне», Лузин спешит сообщить автору свои соображе-
ния о том, какие выводы можно было бы сделать из предлагаемой
Н.СЕрмолаева
45
Вернадским проверки правой и левой закрученности спиральных
туманностей [1, с.71—75] (тогда говорили — «туманных спирально-
стей»).
Лузин ответил согласием на предложение Вернадского при-
нять участие в изучении фотографий этих туманностей, но этим
планам не суждено было осуществиться. Заметим, что Лузин инте-
ресовался и астрономией, и у него было достаточно знаний, чтобы
оценить достоинства или недостатки литературы по общей астроно-
мии. Так, в письме Н.Н.Воронихину у него есть такое замечание:
«Я своими глазами видел книжку по астрономии с грубо-неверны-
ми фактами» [3]. Эта и другая его корреспонденция позволяет
увидеть Лузина как ученого, принимающего близко к сердцу нау-
ку о мироздании.
Одновременно с Н.Н.Лузиным в 1929 г. было избрано еще
38 академиков. Дружеские отношения сложились у Лузина с вос-
токоведом и китаеведом В.М.Алексеевым, а также с Б.Я.Влади-
мирцевым, также востоковедом, но монголоведом. Оба они были
почти ровесниками Лузина и все трое были избраны по одному и
тому же Гуманитарному отделению. Напомним, что Лузин был из-
бран по кафедре философии, а на Отделение физико-математиче-
ских наук он был переведен 31 января 1931 г. [4, с.198—199]. Об
этой дружбе мы узнаем из письма Лузина [5] В.И.Алексееву, на-
писанному по печальному поводу:
«25 августа 1931 г.
Глубокоуважаемый Василий Михайлович,
с бесконечной скорбью, проезжая Москву, узнал о внезапной кон-
чине дорогого незабвенного Бориса Яковлевича [Владимирцо-
ва— Н.Е. ]. Еще недавно, в чрезвычайную московскую сессию Ака-
демии наук, я видел его полным энергии и сил.
Кратковременным суждено было оказаться моему знакомству с
Борисом Яковлевичем, к которому меня так влекло. Это Вы, со-
вместно с ним, столь радушно встретили меня, только что вернув-
шегося из-за границы, в Академии наук, и ввели в Ваши дела. И
это вам обоим я обязан моими первыми академическими знакомст-
вами, что не может быть изглажено никогда из памяти».
Письмо было написано 25 августа 1931 г., Б.Я.Владимирцов
скончался 17 августа.
Дружба с В.И.Алексеевым, на год пережившим Лузина, про-
должалась. Об отношении Лузина говорят такие строки из его
46
Из истории отечественной математики
более поздней, но недатированной записки с приглашением Алек-
сеева с супругой в гости (там же):
«Как я действительно соскучился и хотел бы Вас видеть, хоть
на У2 часа! Вы с собою носите особую атмосферу такой душевности,
прямоты, энергии и всего того, что лучшая часть человечества вы-
рабатывала тысячелетиями, что хотелось бы соприкоснуться с
Вами и почувствовать, что есть еще люди».
Приведем теперь фрагмент из ответного письма Лузина от
18 апреля 1932 г. Алексееву, в котором Лузин обсуждал проблемы
изучения истории китайской математики:
«Теперь прежде всего о деловых моментах Вашего письма.
Ваш план иметь аспиранта-математика, обученного китайскому
языку (и математике), дабы в дальнейшем он смог творчески раз-
бираться в истории и теории китайской математики — очень заман-
чив, прежде всего для меня. Ведь я когда-то совместно с египтоло-
гом Тураевым работал даже в музее над фактической расшифров-
кой математического манускрипта, оказавшегося задачником по
арифметике, написанным на папирусе для начального обучения в
египетских школах. Тураев переводил, я понимал, объяснял, он
излагал. Таким образом, я знаю немного на деле об этого рода
работе.
Я думаю, что этот проект должен быть сообщенным москов-
ским историкам математики, например, тов. Марку Яковлевичу
Выгодскому. Но к историкам обращаться, думается, бесполезно и
вот почему: если бы современная китайская математика стояла
чрезвычайно высоко и если бы, вместе с тем, китайские математи-
ки писали бы на своем собственном языке —тогда этот проект был
бы важен и для математиков, работающих в современной науке, и
для техников и т.д. Но ведь этого нет: что на деле происходит в
математическом Китае, никто не знает. Как организовано там пре-
подавание математики низшей и высшей (если имеется таковое)
неизвестно. Если имеется нечто аналогичное тому, что есть в Япо-
нии, то это тогда должно сводиться к следующему: организация по
типу Европы, лекции на своем языке об европейской математике,
комментарии к ней и, далее, более или менее робкие попытки пи-
сать в том же стиле и печатать непременно на английском языке:
“Пусть, де, знают, что и мы...”. Так происходит в Японии и Ин-
дии.
Ясно, что Ваш план относится к знанию подлинной, историче-
ски неизвестной, китайской математики. Здесь он высоко интере-
сен и я его сообщу М.Я.Выгодскому. Вы правы, характеризуя
Н.С. Ермолаева
47
знакомые Вам круги как “болото”. Но и в Москве теперь затруд-
нения аналогичного характера, приводящие к свертыванию некото-
рых линий преподавания и чрезвычайному затруднению новых
планов. Это я говорю не в качестве заранее предусмотренной мною
оговорки к Вашему плану, потому что я не знаю, как к нему здесь
отнесутся. Бесконечно жаль, что Вас нет здесь: с Вашей энергией
Вам здесь было бы несравненно легче проводить Ваш план.
Таким образом, прежде всего отнесусь к М.Я.Выгодскому и
сообщу Вам о дальнейшем. Я повторяю, что перспективы в этом
направлении подлинных открытий в истории китайской математи-
ки—несомненны. Ведь здесь — непочатое поле работы. О путях ки-
тайской математики почти ничего не известно. Не известно об ее
связи с египетской, индусской, критской...»
Здесь интересен факт, неизвестный ранее, о работе Лузина с
академиком Борисом Александровичем Тураевым (1868—1920). В
письме речь идет о знаменитом папирусе, который был приобретен
в конце XIX века и хранится в московском Музее изобразитель-
ных искусств им.А.С.Пушкина. Расшифровка этого папируса была
сделана Б.А.Тураевым, который перевел его на иероглифическую
запись, тогда как сам текст был написан демотическим письмом,
т.е. в сильно упрощенной форме древнеегипетского письма. Позд-
нее, после смерти Тураева, работу над папирусом продолжил его
ученик, будущий академик В.В.Струве (1889—1965) и издал его в
1930 г. в Берлине на немецком языке.
Исследования по истории китайской математики проводились
и ранее, но весьма мало и фрагментарно; фактически были извест-
ны узкому кругу специалистов только работы начала XIX века
Л.Ван Хэ на французском языке. В нашей стране серьезные иссле-
дования истории китайской математики начались, пожалуй, в 50-х
годах XX столетия. Проект Лузина с рекомендацией математика
И.Я.Выгодского (1898—1965) не состоялся. Выгодский в то время
был главным редактором издательства (Гостехтеоретиздата) и по
совместительству работал в МГУ. В то время в Ленинграде уже
был открыт Институт истории науки и техники, с которым Выгод-
ский сотрудничал. Как историк математики, Выгодский преимуще-
ственно занимался математикой Египта, Вавилона и Древней Гре-
ции. Он знал много иностранных языков, в том числе и древних,
но китайского среди них не было.
Лузин придавал большое значение истории науки, что видно и
из его переписки с В.И.Вернадским, который еще в 1921 г. создал
и возглавил при Академии наук Комиссию по истории науки,
48
Из истории отечественной математики
философии и техники. В 1929 г. Лузин писал Вернадскому из Па-
рижа [1, с.31]:
«Завтра я перешлю на имя бюро Комиссии по истории знаний
небольшую имеющуюся у меня работу, имеющую отношение к ис-
тории одного вопроса, стоящего на грани философии и математи-
ки. Но работ, прямо относящихся к истории науки, у меня не име-
ется, так как, несмотря на глубочайший интерес к эволюции зна-
ния, я еще не отважился выступать, не имея пока набранной для
этого силы».
Интерес Н.Н.Лузина к истории математики известен (см. [6],
где рассмотрены работы Лузина по истории математики). Однако
некоторую дополнительную информацию дает корреспонденция Лу-
зина. Так, 22 февраля 1931 г. он пишет ответ на запрос Комиссии по
истории знаний Института истории науки и техники АН СССР, вы-
сказывая свое мнение о необходимости издания на русском языке
четырехтомного труда по истории математики И.Кантора или книги
Ф.Кэджори, последнюю —как временную меру [7]. К сожалению, пред-
ложение Лузина по изданию книги Кантора не осуществилось.
Значительно позже, в 1946 г., мнение Лузина об изданной в
1945 г. книге С.Я.Лурье об Архимеде хотел знать Н.И.Идельсон,
который входил в состав академической Комиссии по истории фи-
зико-математических наук (это была уже другая комиссия при
вновь созданном институте —Ленинградском филиале Института ис-
тории естествознания). Идельсон просил Лузина просмотреть книгу
Лурье и дать свой отзыв о ней, который и был им написан [8].
30 декабря 1938 г. Лузин пишет Алексееву о некоторых своих
академических обязанностях [5]:
«...Выборы в Академию отозвались тяжело на мне, так как
коллеги, более старшие, чем я, возложили на меня 5 отзывов. И
мне пришлось по очереди превращаться из аналиста в геометра, из
геометра в механика. А это, вероятно, почти то же самое, как из
терапевта делаться анатомом, или из китаеведа специалистом Ти-
бетских наречий.
Отказаться мне было невозможно из-за оснований морального
порядка: им трудно, в самом деле, по летам и общей жизненной
усталости. Но труд, сознаюсь, адский: это хуже в десять раз,- чем
экзамены магистерские не по своей специальности. И вот, утом-
ленный до изнеможения в течение двух с половиной месяцев, я и
не был в силах собраться с теми сложнейшими движениями, кото-
рые возбудило Ваше письмо, и немедленно ответить Вам, как сле-
довало бы.
Н.с. Ермолаева
49
Сегодня окончание моей каторги: проверка экземпляров на
машинке и отнесение их поручившим мне лицам. Завтра буду
просто отдыхать и послезавтра соберусь с мыслями и чувствами
для ответа.
Мне кажется, что это опоздание в отношении идей не столь
тяжко, ибо письмо Ваше содержит вечные идеи и вековечные во-
просы, внезапно, иногда, встающие перед нами и своею внезапно-
стью ошеломляющие нас. Но, я замечаю, что уже принялся отве-
чать Вам, и поэтому умолкаю».
Выборы в Академию, о которых пишет Лузин, состоялись 28
и 29 января 1939 г. Из математиков тогда были избраны в акаде-
мики А.Н.Колмогоров и С.Л.Соболев, а Н.Е.Кочин и Н.И.Мус-
хелишвили —по Отделению технических наук. Членами-коррес-
пондентами стали математики А.О.Гельфонд, И.И.Привалов.
Л.С.Понтрягин, А.Н.Тихонов (по специальности геофизика) и
А.Я.Хинчин. Последнюю кандидатуру Лузин отклонил при выбо-
рах 1932 г. Кроме того, по Отделению технических наук были из-
браны членами-корреспондентами И.И.Артоболевский и С.А.Хри-
стианович.
Не беремся судить, кому именно писал отзывы Лузин и кто
из тех не был избран: эти материалы, наверное, сохранились в
Архиве Академии. Здесь же напомним только, что Лузин мог пи-
сать отзывы не только математикам, так как в это время его
основная деятельность протекала в Отделении технических наук,
куда он фактически перешел после печально известного «дела
Лузина» в 1936 г. В частности, в 1936—1937 гг. он вел на этом
Отделении семинар по теории дифференциальных уравнений в
частных производных.
Одновременно -с Лузиным был избран академиком по Отделе-
нию гуманитарных наук историк-медиевист Д.М.Петрушевский,
который был на 20 лет старше Лузина. Их знакомство, видимо, от-
носится к более раннему времени, судя по приведенной выше ци-
тате из письма Лузина Вернадскому. Укреплению дружеских отно-
шений между двумя учеными способствовал и совместный отдых в
академическом доме отдыха в Болшево. «Вспоминаются живо
наши незабвенные летние прогулки, полные глубоких слов и столь
же глубокого молчания», - писал ему Лузин в 1937 г. [9].
Однако отпуска, видимо, совпадал редко, и в следующем,
1938 г., Лузин пишет ему подробное письмо с описанием академиче-
ского дома отдыха «Поречье» в Звенигороде, его истории и окружа-
ющей природы. На этот раз отпуск Лузина пришелся на сентябрь,
и в «Поречье» он, как обычно, совмещал отдых с научной работой:
4-3525
50
Из истории отечественной математики
«Я работаю много и вполне подготовил атаку на одну пробле-
му в геометрии. Когда проведу исследование, то о его значении
Вам скажет С.П.Фиников, ибо это относится к предмету его ра-
боты. Я был бы очень доволен, если бы его удовлетворил до кон-
ца».
Из другого письма Лузина Петрушевскому, написанного снова в
«Поречье» 26 августа 1939 г., мы узнаем о подробностях работы Лу-
зина над учебником «Теория функций действительного переменного»,
который вышел в свет в 1940 г., а также о волнующей его пробле-
ме натурального ряда чисел:
«Десять дней посвятил на учебник, который Учпедгиз все же
хочет выпустить и к которому я не только равнодушен, но кото-
рый вызывает у меня неприязненное чувство. Многое, очень мно-
гое, касающееся философского обоснования пространства, числа,
величины, времени, количества, бесконечности, категории “конеч-
ного”, движения, изменения, счета и т.д. просто выкинули или
сделали такие примечания, которые мне и в голову-то никогда бы
ни пришли. В результате получилось нечто до такой степени дале-
кое от того, что лежит в глубине сознания, что я просто рассмат-
риваю как “не мое”. Поэтому я глубоко равнодушен к дальнейшим
судьбам книжки, хотя ей и предсказывают некоторое педагогиче-
ское значение. Сейчас у меня нет под рукой греческого словаря.
Но неужели “педагог” означает “плохой раб”?
Остальное время употребляю на ознакомление с чуждою мне
областью математики —теорией чисел, которая еще и ранее привле-
кала меня всегда своими глубокими и таинственными соотношени-
ями. Когда имеешь дело с пространством, временем, вообще с соп-
tinuum’oM (непрерывностью), тогда знаешь всегда, как поступать,
ибо имеешь дело с объективным. Но когда рассматриваешь натура-
льные числа
1, 2, 3, 4...п......
то это —создание не одной только природы, но, главным образом,
и человеческого ума (процесс “счета”). Отсюда полное отсутствие
простоты явления и чрезвычайная сложность и запутанность соот-
ношений, которые сначала приходится просто угадывать и только
потом уже доказывать.
Физика уперлась в структуру атома, по крайней мере, совре-
менная физика. И я просто себе не представляю, какой вид будет
иметь физика будущего, когда атом будет “изучен”. Ибо все теперь
физики сводят к атому. Прежде говорили про эфир, флогистон,
etc. Сейчас все эти вещи объявлены “фантазиями незрелого ума” и
и.С-Ермолаева
51
все вещи в физике уперли в атом. И вместе с этим, как Вы изво-
лили заметить, прекратились всякие разговоры про “силы приро-
ды”'. их просто нет сейчас —все свелось к атому.
Аналогично, в математике все более и более стараются свести
к натуральному ряду чисел. И когда вся математика будет упертой
в натуральный ряд чисел, положение в математике будет аналогич-
ным положению в физике.
Интересно, существует ли такая же тенденция в гуманитарных
науках, в истории, например? Думаю, что у Вас в Ваших науках
более терпимости и творческого многообразия. По-видимому, вооб-
ще всякая наука есть дело жизненного мирового творчества, а не
наоборот, как, по-видимому, сейчас склонны думать. О, если бы в
самом деле наука вытекала из жизни, являясь ее созданием! Тогда
жизнь, как вечное творчество, сообщала бы науке свою красоч-
ность и исчезло бы давящее однообразие серой краски фанатиче-
ской дедукции всего из одного принципа!
Но простите меня, глубокоуважаемый Димитрий Моисеевич, я
отдался болтовне».
Последнее письмо Лузина Петрушевскому, которым мы рас-
полагаем, написано уже в военное время —29 декабря 1941 г.
Лузин, которого болезни преследовали часто, был тогда тяжело
болен: инфаркт миокарда, стенокардия, астма. Об этом он писал
из больницы, делясь своими опасениями стать инвалидом и по-
терять работоспособность. Из-за болезни Лузин не мог быть эва-
куирован, он даже написал В.М.Молотову письмо с просьбой
оказать содействие по переезду в Казань, когда он будет «в со-
стоянии быть перевезенным». Лузина посетила секретарь Моло-
това, которая заверила его, что после окончания лечения пере-
езд в Казань и размещение там ему будут организованы. Кроме
того, пишет Лузин,
«...мимоходом она заметила, что сейчас положение является
совершенно изменившимся и что возможно возвращение некото-
рых лиц как из Куйбышева, так и из Казани, Свердловска и
Уфы».
Как известно, 2 октября 1941 г. началось наступление немец-
ких войск на Московском направлении. Лузин заболел в середине
октября, а с 20 октября Москва находилась на осадном положе-
нии. Тяжелая ситуация на фронте оказывала на Лузина тягостное
нравственное давление. Перелом в битве за Москву начался 6 де-
кабря, когда наши войска перешли в контрнаступление, и 31 янва-
ря 1942 г., разгромив неприятельские войска, отстояли столицу.
Но тогда Лузин об этом не знал, и лишь весть о переломе в
4*
52 Из истории отечественной математики
московской битве, полученная через секретаря Молотова, вселила
надежду, которой Лузин и решил поделиться с Петрушевским:
«То, что я сообщил о себе Вам, я не рассматриваю как секрет.
Но у меня нет возможности об этом официально сообщить Прези-
диуму Академии».
Возможно, это письмо, действительно, было последним в пере-
писке Лузина и Петрушевского: почти через год, 12 декабря
1942 г., Д.М.Петрушевский скончался.
Из старшего поколения академиков Н.Н.Лузин был хорошо
знаком с зоологом А.Н.Северцовым, которого он знал по Москов-
скому университету, где тот работал с 1911 г., и с его семьей. Об-
щение с А.Н.Северцовым стало более частым после избрания Лу-
зина академиком и не только во время академических сессий, но и
в академическом пансионате в «Узком» (под Москвой), куда они
оба ездили. Сын А.Н.Северцова —также зоолог, пожалуй, первым
в нашей стране применил математические методы изучения биологи-
ческих сообществ, предложенные итальянским математиком Вито
Вольтерра.
14 марта 1933 г. Лузин написал письмо [10], в котором он
представляет вице-президенту Академии наук, ботанику Владими-
ру Леонтьевичу Комарову (1869—1945) статью С.А.Северцова
(1891 — 1947) и рекомендует ее к печати как представляющую ин-
терес и для математиков. Рассказав о том, как он слышал интерес-
ную лекцию Вольтерра в Париже по математической теории борь-
бы за существование, Лузин отметил, что, тем не менее, С.А.Се-
верное считает предложенную Вольтерра схему слишком упрощен-
ной, что и показывает в своем исследовании Заканчивая свое
представление, он пишет:
«Следовательно, если мы, математики, хотим сделать наш Ма-
тематический Анализ более гибким и проникающим вглубь биоло-
гических явлений, если мы хотим оценивать игру действительно
реальных биологических факторов, а не схематически-отвлечен-
ных,—тогда мы должны с самого начала ввести в предпосылки
Vito Volterra новые моменты, которые сделают совсем другим его
анализ и, может быть, и конечные выводы.
Таким образом, для нас, математиков, глубокоуважаемый
Владимир Леонтьевич, опубликование работы Сергея Александ-
ровича Северцова представило бы несомненную ценность и боль-
шой интерес. Вот почему я и решаюсь привлечь на нее Ваше вни-
мание».
За этими словами кроется еще один неизвестный факт научной
биографии Лузина. Дело в том, что этому письму предшествовали
Н.С.Ермолаева
53
консультации Лузина Северцову по его работе. Они продолжались
и после письма вплоть до окончания Северцовым его статьи, опуб-
ликованной в «Известиях АН СССР» [И] в том же 1933 г. по От-
делению физико-математических наук, правда, она была представ-
лена другим академиком — геологом и палеонтологом А.А.Борися-
ком (1872—1944). Возможно, это было сделано по указанию
В. Л. Комарова.
Из писем С. А.Северцова [12] мы узнаем, что Лузин не просто
консультировал его по математике, но и помогал построить мате-
матическую модель рассматриваемого биологического явления.
Как это происходило, можно видеть из письма Северцова от 12
мая 1933 г. в академический «Узкое», где тогда находился Лузин.
Само письмо—это 12 машинописных листов, поэтому ограничимся
только его началом.
«Дорогой Николай Николаевич!
Последняя беседа с Вами помогла мне разобраться в биоло-
гическом смысле некоторых переменных, входящих в уравне-
ния, которые мы с Вами обсуждали и которые я пытался исклю-
чить. Оказалось, что этого не только не следует делать, но что
их наличие придает, если я только правильно рассуждаю, чрез-
вычайно большой и новый смысл всей работе. Я попытаюсь пи-
сьменно изложить ход моей мысли с самого начала и в конце по-
ставить некоторые математические проблемы, с которыми я оче-
видно справиться не могу. Написать все это не так легко, но все
же по писаному Вам легче будет разобраться, чем при устном
изложении».
А вот еще один фрагмент из другого, недатированного, письма
Северцова:
«Ужасно трудно пробиваться к истине. Целый ряд гипотез,
казавшимися твердыми, внезапно отпадает; опять надо продумы-
вать самую постановку проблемы. Кроме того, вчерашняя беседа с
Вами показала мне, что я не совсем сумел формулировать пробле-
му. В беседе, очевидно, трудно изложить все достаточно система-
тично и, главное, в терминах, удобных для полагания в уравнение.
Вчерашняя беседа, однако, мне много дала. Особенно важно Ваше
указание на недостаточность элементов, входящих в уравнение. Я
понял это и сам, как вы, вероятно, увидели из последнего письма.
Первая часть его, очевидно, отпадает, но вторая, где я пишу о по-
становке проблемы у Вольтерра, сохраняется в силе. Теперь я
54
Из истории отечественной математики
попытаюсь сформулировать проблему, как она мне рисуется в на-
стоящий момент...
Таким образом, то, что я Вам писал в последний раз о поста-
новке проблемы Вольтерра о хищнике и добыче, для нашей проб-
лемы сохраняет силу, но в новой постановке задачи, которую я из-
ложил сейчас».
На некотором этапе взаимных обсуждений Лузин решил озна-
комиться сам с работами В.Вольтерра и 2 июня того же года Се-
верное пишет Лузину, что посылает ему одну работу Вольтерра на
итальянском языке, которую ему удалось достать.
Думаю, что здесь важно не только само участие Лузина в
биологических исследованиях, но и то, что он старался привлечь
внимание математиков к задачам биологии, о чем свидетельству-
ют цитированные выше строки из его письма В.Л.Комарову.
Ведь статьи в академическом издании по Отделению физико-ма-
тематических наук математики читали или просматривали, и Лу-
зин понимал, что вряд ли кто-нибудь из его коллег следил за
публикациями в «Зоологическом журнале» или в других подоб-
ных изданиях.
И вот через некоторое время, в 1936 г. в итальянском науч-
ном журнале появилась статья бывшего ученика Лузина—А.Н.Кол-
могорова (академика с 1939 г., а тогда—директора Института мате-
матики и механики Московского университета), посвященная мате-
матической биологии. Через много лет, когда в нашей стране ста-
ли более интенсивно разрабатываться проблемы кибернетики и
математической биологии, Колмогоров вернулся к вопросам, за-
тронутым в его статье 1936 г. и написал другую статью [13]. Ана-
лизируя состояние математический биологии, он отмечал, что она
все еще остается «на уровне знаменитого первого опыта Вольтер-
ра» [13, с. 101], тогда как требуется получать качественные резу-
льтаты из качественных предпосылок, о чем он и писал в 1936 г.
Однако сама эта идея, пишет Колмогоров, осталась не использо-
ванной.
О своей статье 1936 г. Колмогоров сообщил, что она была на-
писана «как отклик на одну публикацию Volterra» [13]. Оставляя
в стороне конкретные возражения Колмогорова против недостаточ-
ности модели Вольтерра для описания динамики популяций, отме-
тим, что он упоминает биологические наблюдения С.А.Северцова.
Так что не исключено, что работа Северцова [ 11 ] попала в поле
зрения А.Н.Колмогорова. Но не исключено также, что Лузин ког-
да-нибудь в разговоре с Колмогоровым рассказывал ему о работах
Вольтерра и Северцове.
Н.С.Ермолаева 55
Ранее упоминалось о том, что семья Северцовых была весьма
близка Лузину. Добавим к этому, что в этой семье и особенно у
А.Н.Северцова Лузин нашел душевную поддержку, когда он летом
1936 г. был истерзан душевно и физически после пресловутого
«дела Лузина». Почти сразу после заседаний академических ко-
миссий, где и проходило это судилище [14], он написал жене Се-
верцова очень эмоциональное письмо [14]:
<22. VI 1.36
Глубокоуважаемая и дорогая Людмила Борисовна,
прошу Вашего разрешения написать Вам несколько строк.
Прошу Вас, как будет такая возможность, передайте дорогому бес-
конечно чтимому мною Алексею Николаевичу слова глубочайшего
моего почитания его и моей глубокой любви к нему.
Скажите ему, что я чту его всем сердцем как лучшего из лю-
дей и чту всем своим умом, как глубочайшего и тончайшего мыс-
лителя, имя которого было и будет всегда великим.
Передайте ему, что я горжусь тем вниманием, которое он уде-
лял мне и что я и сейчас целую его дорогие руки, как это я сделал
в тяжелую минуту моей жизни.
Всем сердцем с Вами, дорогая и глубокоуважаемая Людмила
Борисовна!
Николай Лузин»
Далее шла приписка жены Лузина с выражением сочувствия
ввиду болезни А.Н.Северцова.
Еще одно имеющееся письмо Лузина Л.Б.Северцовой датиро-
вано 18 декабря 1936 г. Лузин писал его перед отъездом в Болше-
во, не зная, что на следующий день А.Н.Северцова не станет. В
этом письме есть такие строки:
«Я все еще разбросан и растерян, и не умею организовать ни
мое время, ни мою деятельность, ни мою жизнь. Только одно хо-
рошо: наконец-то работа, творческая жизнь, сдвинулись с места, и
я снова могу создавать».
До сих пор считалось, что Лузин два года не мог творчески
работать после тяжелого для него лета 1936 г. Это мнение основа-
но на датах публикаций Лузина. Но Лузин занялся новой для него
областью математики — дифференциальной геометрией, и ему нуж-
но было время, чтобы войти в нее.
56
Из истории отечественной математики
Другим близким Лузину знакомым, правда, не академиком, но
сотрудником академического Ботанического института, был какой-то
период его тезка—Николай Николаевич Воронихин (1882—1956).
Судя по всему, они познакомились в Болшево уже после войны,
во всяком случае имеющиеся письма [3] относятся к 1947 —
1948 гг. Н.Н.Воронихин —ботаник-миколог, докторскую степень
получил в 1934 г., а в 1949 г. стал заслуженным деятелем науки
РСФСР. Оба ученых обменивались книгами, мыслями и просто
различными соображениями, которыми можно было поделиться с
близкими по духу людьми. В первом письме от 16 ноября 1947 г.
Лузин благодарит Воронихина за подарок —его монографию
«Растительный мир океана» (1945 г.) и указывает, что именно
привлекло к себе его внимание. Попутно он высказывает свои
соображения о развитии науки, о которых в другом письме на-
писал, что его впечатления —это впечатления не специалиста и
что «в письме было много глупенького и наивного». Тем не
менее приведем довольно большой пассаж из письма Лузина,
сохраняя характерные для него подчеркивания слов или выра-
жений:
«Здесь, собственно, следует остановиться и усилием воли пре-
кратить дальнейшие размышления [о саргассах (виде водорослей)
и некоторых глобальных проблемах — Н.Е.}. Но наше время —со-
всем особенное и можно будет сказать еще несколько слов. На
Сессии, во время речи С.И.Вавилова “Люминисценция” я сидел
между маститыми академиками. Докладчик — наш Президент—го-
ворил о “перевозбужденных частицах”, “перезаряженных части-
цах”, “резонансе”, “пороге возбуждения” и прочих вещах. И все
это было без формул и держалось сцеплением образов, понятий,
определений и жестов. Мои соседи сидели тихо-тихо и только
один из них обронил фразу: “Мы вступаем в эру Новой Науки”.
Я обратился к моему соседу справа, механику, с вопросом: “При-
шло ли царство Ньютона к концу?”. Он ответил: “Да. Механика
Ньютона превращается в педагогику и в дисциплину для шофе-
ров”. Настроение было торжественное и крайне серьезное.
Механика перестает существовать и переходит г физику! И
вот мне вспомнилась серия упорно делаемых попыток вторжения
мысли в макрокосмос, в виде гипотезы Nova, появляющихся раз 9
в год в пределах Млечного пути и сближаемых теперь с. воспламе-
нением атмосферы вследствие соответствующих проведенных там
мероприятий. И теперь снята всякая узда с мысли, утрачена чо-
порная сдержанность 19-го века и его осторожность. Мы в самом
деле вступили в эру Новой Науки. Я не думаю, что этот процесс
Н. С. Ермолаева
57
симптом болезни мысли, ибо радиоактивное разложение мате-
рии — все же совершившийся факт, и именно, есть результат деяте-
льности ума и вопреки механике Ньютона».
Сессия Академии наук, о которой говорит Лузин, проходила в
марте 1936 г. В те времена сессии проводились с большим разма-
хом: на них приглашались не только академики, но и ученые из
академических и неакадемических учреждений. Так, газета «Изве-
стия» сообщала, что в зале собралось около 700 человек. Сами
сессии носили тематический характер, а мартовская была посвяще-
на физике. С.И.Вавилов делал доклад 15 марта, в котором расска-
зал о результатах, полученных Оптическим институтом, и об изу-
чении природы света.
Среди докладчиков был и Э.Кольман, который в 1931 г. неод-
нократно выступал в печати с критикой Н.Н.Лузина и его теорети-
ко-множественного направления в математике, поскольку, по Ко-
льману, это направление является средоточием реакционной бур-
жуазной философии [15]. На этот раз, выступив на сессии 17 мар-
та и похвалив Оптический институт (иначе бы его не поняли), тут
же предостерег ученых «против истолкования основных физиче-
ских закономерностей с идеалистических позиций» [16]. Кольман,
как известно, был главным идеологом советской науки Есть
основания полагать, что именно он был непосредственным орга-
низатором «дела Лузина», которое началось через три с полови-
ной месяца. Думаю, что это был не единственный визит Кольма-
на в Академию, в том числе и во время сессии, когда можно было
легко уловить умонастроения ученых и учесть личные отношения
между ними.
Вернемся теперь к письму Лузина, в котором он снова обра-
щается к тематике книги Воронихина [3]:
«Это все следствия горделивого жеста конца XIX-го века, ког-
да было заявлено: “Нужно не изучать природу, а изменять ее”. Но
уже чистым изучением природы звучат Ваши слова, слова натура-
листа...
Я лично сам из Сибири родом. Моя мама из Иркутска. Она
боялась легочных заболеваний и часто прибегала к варке Chondrus
crispus и употребляла этот студень, как лекарство. Только сибир-
ские аптеки (в Иркутске и в Томске) называли Chondrus crispus
“Исландский мох”, а не “Ирландский мох” (стр.41), и простодуш-
но верили, что он растет в Исландии в лесу».
Книгу Воронихина Лузин давал прочитать и своим друзьям;
Воронихину же он послал книгу Э.Шредингера, которую сам про-
читал с большим воодушевлением, и другим своим знакомым
58
Из истории отечественной математики
также рекомендовал прочесть ее. Несколько позднее, 3 января
1948 г., Лузин писал своему корреспонденту:
«Книжкой Шредингера увлекаюсь. Для математиков намечает-
ся ряд далеко идущих исследований и неожиданных точек зрения:
например, о перенесении идей Лобачевского в Арифметику. Это
было бы чудовищно».
Здесь идет речь о небольшой по объему книге известного авст-
рийского физика-теоретика Э.Шредингера «Что такое жизнь? С
точки зрения физики», перевод которой был издан в Москве в
1947 г. Шредингер был избран в 1934 г. иностранным членом АН
СССР, русские переводы его трудов печатались и ранее, однако по
имеющимся устным сведениям, эта книга, трактующая и вопросы
генетики, вскоре была признана «вредной» и ее пытались изъять
из библиотек. Не помогла даже спасительная фраза переводчика
А.А.Малиновского, который в послесловии писал: «Советская ин-
теллигенция, воспитанная на трудах классиков научного комму-
низма, идеологически достаточно созрела для того, чтобы критиче-
ски отнестись к подобному смешению точной науки и идеалистиче-
ской философии.» В 1972 г. вышло второе издание этой книги бо-
льшим, в отличие от первого, тиражом, но эпилог автора «О де-
терминизме и свободе воли» не был напечатан, как не представля-
ющий научной ценности.
В том же новогоднем послании Воронихину, которое мы уже
цитировали, Лузин поделился с ним своими взглядами на плани-
рование науки.
«У нас, математиков, конечно нет колб, заткнутых пробками и
содержащих “иксовый” материал, но у нас есть все же аналогич-
ное: план работы на 1948 г. Следовательно, необходимо формули-
ровать те теоремы, которые будут доказаны в 1948 году. А если
вдруг сорвется доказательство, что тогда? Невыполнение плана? А
если намеченная теорема неверна, хотя и казалась такой вероят-
ной? Кто тогда виноват: намечавшее лицо или устройство головного
мозга, или просто природа?
Поэтому, наиболее благоразумные из математиков заранее,
вперед за год, делают свои работы, доказывают свои теоремы, ко-
торые потом выдают как ПЛАН работы на 1948 год, хотя работа
фактически была уже сделана в 1947 году вся целиком, окончате-
льно, переписана на машинке и только не вручена Редакции соот-
ветствующего журнала. Самое же вручение совершается в конце
1948 года. Понятно, что такая работа всегда выйдет без осечки
Но и здесь эта формальная безукоризненность положения до-
стигается поистине страшной ценой: измельчанием исследования.
н. С. Ермолаева
59
Ученый —всегда художник: идет туда, куда и не думал раньше
идти. Как тут пропланируешь? Акад. А.Н.Крылов показывал нам
письмо великого Gauss’a (Гаусса) к Шумахеру. Я запомнил наи-
зусть его начало: “В течение одиннадцати лет, размышляя по часу,
по два ежедневно, я тщетно переворачивал на все лады известные
мне законы теории чисел. И все, все оказалось бесплодным. И то-
лько сегодня утром, по неизреченному Милосердию..., мне нако-
нец удалось доказать “закон взаимности”, которого я столько вре-
мени домогался.
Вот тут и планируй!
Но, видите ли, здесь может быть, гораздо, гораздо глубже:
одна из страшных, но неисключенных гипотез та, что наука преж-
него стиля, т.е. в смысле XIX-го века, —есть дело конченное на
всей поверхности нашей планеты. О причинах этого можно только
гадать, они непонятны нам в этот момент. И если это так, то надо
просто исполнять свой долг, планировать, печатать и т.д. А кусо-
чек дня оставить абсолютно пустым от “дел” и занятым лишь теми
размышлениями, которые нам приходили на ум, когда мы были
детьми. Кажется, это наиболее правильно, но трудно осуществимо.
Впрочем, раскрепощение отечественной науки от внешних влия-
ний, конечно, будет содействовать этому».
Не правда ли, в последней фразе эзопов язык Лузина для на-
шего «железного занавеса» весьма оригинален?
После событий июля-начала августа 1936 г. Лузин перешел в
Отделение технических наук. Однако еще за несколько месяцев до
«дела» он писал А.Н.Крылову о неблагоприятной для него обста-
новке, сложившейся в Математической группе Академии. Напом-
ним для дальнейшего, что ранее Отделение математических и есте-
ственных наук делилось на группы, к работе в которых привлека-
лись не только академики и члены-корреспонденты, но и ученые
из неакадемических учреждений. Структура Академии была изме-
нена, и вскоре Группа технических наук была преобразована в От-
деление. Вот выдержка из письма Лузина А.Н.Крылову от 12 фев-
раля 1936 г. (цит. по [17, с.246.]):
«Лично я с огромной охотой ушел бы из председателей Мате-
матической группы, но упустил момент. Сейчас...мне бросить все и
уйти представляется затруднительным. Но помимо моей печальной
деятельности “философа от математики”, у меня ведь есть и техни-
ческие работы (движение поезда, периодограммы etc.), и я с
огромным бы удовольствием ушел просто в члены Технической
группы, чем быть в центре столкновения математиков, имеющего
случайный и чисто личный характер. Но проблема ухода очень
60
Из истории отечественной математики
трудна, и я не знаю, как ее решить, кроме разве уйдя вообще из
числа членов академии».
Прошел год, и Лузин, уязвленный выступлениями против
него ряда математиков, довольно холодно отвечает на просьбу
А.Н.Колмогорова подтвердить согласие участвовать в работе Фи-
зико-математического отделения. Колмогоров считал, что было
бы «более правильным, если бы Вы в основном работали в на-
шем Отделении, а Вашу деятельность в области механики счита-
ли дополнительной нагрузкой» [18]. Приведем ответ Лузина
полностью [19]:
«/9 марта 1937 г.
Глубокоуважаемый Андрей Николаевич,
вопрос о моем участии в работах Физико-математического от-
деления был весь проведен в форме устных переговоров, на основе
которых Александр Евгеньевич Ферсман счел возможным сделать
свое сообщение в Общем собрании Академии о составе Физико-ма-
тематического отделения. Я ничего не имею добавить к его словам.
По вопросу об основном Отделении моей работы ни состояние
моего здоровья, ни мои лета не позволяют мне в равной степени
отдавать мои силы и время нескольким Отделениям Академии. В
Отделении технических наук я работаю более двух лет и, невиди-
мому, вошел в жизнь и интересы этого Отделения. Таким образом,
основным для себя я считаю это Отделение, возможно, что само
Отделение также смотрит на мою в нем работу.
Но это не означает отклонения мною возможности принести
посильную пользу Физико-математическому отделению. Так, в ве-
дущемся мною на Отделении технических наук семинарии по сис-
темам дифференциальных уравнений с частными производными,
предпринятым мною с целью сдвинуть с места ряд проблем диф-
ференциальной геометрии, принимают участие деятели Физико-ма-
тематического отделения.
Примите уверение в моем глубоком уважении
Н. Лузина
Итак, перейдя в Отделение технических наук, Лузин сотруд-
ничал с Сейсмологическим институтом, а потом стал работать в со-
зданном в 1938 г. Институте автоматики и телемеханики. В этот
период жизни среди его корреспондентов мы встречаем имена уче-
ных технических специальностей.
Н-С Ермолаева
61
Ко времени работы Лузина в Институте автоматики и телеме-
ханики относится его недатированное письмо академику В. К.Арка-
дьеву, физику, которого он просит проконсультировать П.И.Куз-
нецова, ученика И.И.Привалова (а сам П.И.Кузнецов к числу сво-
их учителей относил и Лузина), по проблеме распространения
электрических колебаний в проводах. П.И.Кузнецов стал впослед-
ствии известным в своей области ученым. В этом письме есть такие
строки [20]:
«Но мы боимся вот какой альтернативы: работа закончена и
натуралисты (физики, механики) скажут: “Нам это ни к чему,
разве вот для математиков это интересно?!”. А математики скажут:
“Нам это ни к чему, так как мы решали проблемы существования
и для более общих уравнений; разве вот это интересно для физи-
ков в их практических применениях?”»
Эти слова говорят о том, что Лузин встретился здесь с пробле-
мой стыковки наук, которая часто так и не находит полного пони-
мания у узких специалистов.
Еще одно замечание по поводу разногласий между математи-
ками и физиками имеется в письме Лузина Колмогорову от 5 июня
1941 г.: «... Физики никогда не договаривают до конца всех своих
условий» [19]. Кстати, в этом письме, написанном по поводу ста-
тьи М.В.Мачинского, кажется, звучат отголоски одного из обвине-
ний, брошенного Лузину во время его травли в 1936 г., что он ре-
комендует все работы, в том числе и не представляющие научной
ценности. Цитируем:
«Должен Вам сказать, что, прежде чем какая-либо статья по-
лучает мою подпись представления в ДАН, она проходит ряд ис-
пытаний и проверок со стороны нескольких лиц, если ее предмет
не входит прямо в круг моих личных занятий. И в этом отноше-
нии не мало статей постоянно отклоняется мною».
В 1949 г. Лузин пишет члену-корреспонденту М.А.Шателену,
специалисту по электротехнике, о том, что он с академиком
В.Ф.Миткевичем, также электротехником, обсудили работы
П.И.Кузнецова, представленные им на соискание премии имени
П.Н.Яблочкова, и пришли к выводу, что Кузнецову «удалось ре-
шить основную задачу электротехники до конца, задачу, постав-
ленную Кирхгофом около ста лет тому назад» [21 ]. От имени
В.Ф.Миткевича и от своего Лузин просил Шателена поддержать
эту работу.
Приведем всего одну фразу из письма Лузина специалисту в
области проводной связи, автоматики и телемеханики В.И.Ковален-
кову, написанного, судя по тексту, до 1939 г., года избрания
62
Из истории отечественной математики
последнего членом-корреспондентом Академии. С этим пись-
мом [22], видимо, был послан отзыв Лузина на книгу его коррес-
пондента:
«Никогда отклик на научную книгу для меня не был столь
трудным, как на Вашу: ведь я же совсем не знаю электричества».
Этот отзыв на книгу В.И.Коваленкова «Устанавливающиеся
электромагнитные процессы вдоль проводных линий» Лузин напи-
сал вместе с В.Л.Лосиевским и П.Г.Тагером [23].
Еще одну статью, на этот раз математическую, Лузин предста-
вил академику по Отделению технических наук В.П.Никитину,
специалисту по электромеханике, курировавшему журнал Отделе-
ния. Статья была написана математиком, профессором В.С.Федо-
ровым, которого Лузин в других письмах называл «своим близким
учеником», и была предназначена для техников, использующих
операционное исчисление. Об этой работе Лузин писал, что «и чи-
стый математик не только с интересом ознакомится с ее содержа-
нием, но получит высокое наслаждение» [24]:
«Дело в том, что хотя излагателей операционных методов и
много, но математически образованных людей среди них мало. По-
этому изложение их отталкивает дисциплинированные умы мате-
матиков, привыкших к точным образам, идеям, языку. Здесь же
автором является сам выдающийся математик, представленный ря-
дом академиков к званию члена-корреспондента АН СССР, и его
изложение предельно прозрачное и безупречное в отношении стро-
гости и сговоренности, притом выполненное педагогически, безу-
словно понравится всем, кто даст себе труд углубиться во внимате-
льное чтение».
В.С.Федоров не был избран в Академию, а работы, о которой
шла речь, нет в списке его трудов. К возможному объяснению это-
го надо отметить, что письмо Лузина было написано 9 марта
1941 г., незадолго до начала войны, и хотя в последующие тяже-
лые годы научные работы печатались, правда, с ограничениями;
война помешала многим планам и начинаниям.
Несколько раньше, 2 сентября 1940 г., В.П.Никитин обратил-
ся к Лузину с просьбой ознакомиться с его работой «О динамиче-
ском равновесии систем с непрерывно меняющейся нагрузкой» и
высказать критические замечания, а также проконсультировать его
коллегу профессора Н.П.Куницкого и не отказывать в помощи со-
ветами и в дальнейшем [25].
Академику Л.Д.Шевякову, специалисту по горному делу, Лу-
зин в конце 1946 г. пишет обстоятельный разбор его статьи «Но-
вый метод решения некоторых задач горного дела» («Известия АН
НС.Ермолаева
63
СССР», ОТН, 1946, №7). Замечания Лузина относятся к матема-
тическим тонкостям интерполяционных приемов, о которых он
очень тактично сообщает автору [26]:
«Вы правы, обращая мое внимание преимущественно на §1 и
§3, ибо остальное, с математической точки зрения, является лишь
применением выработанного Вами математического приема.
Но он превосходен, этот Ваш прием, и мы, математики, ниче-
го не можем возразить против него и должны просто подчиниться
его непреложной логичности. И та придирчивость, которою мы, в
силу характера нашей дисциплины, пропитаны насквозь, может
быть обращена не на самое существо Вашего приема, но лишь на
его чисто внешнюю редакцию».
Лузин, в свою очередь, также обращался за помощью, когда
речь шла о междисциплинарных исследованиях. В том же 1946 г.
Лузин пишет письмо Н.Д. Папа леке и, физику и специалисту по ра-
диотехнике и радиофизике, в котором просит просмотреть отзыв,
написанный им о научных трудах В.Ф.Бончковского, «ибо он
[Бончковский — Н.Е.] является гораздо более физиком, чем абст-
рактным математиком в своей научной деятельности» [27].
Существует незаконченный черновик без даты письма Лузина
академику, химику-органику В.М.Родионову, с которым он не
был лично знаком. Лузин просит его дать ответ на ряд возник-
ших у него вопросов в связи с диссертацией по химии некоего
Алексея Алексеевича. Отметим, что и тут, разумеется, Лузин рас-
сматривает логику мысли этой работы по исследованию билиру-
бина (пигмента желчи) как математик. Приведем для иллюстра-
ции отрывок [28]:
«Сущность работы Алексея Алексеевича для меня, как будто
бы, ясна: реакция Hymans van den Bergh’a протекает по-разному в
различных жидких средах человеческого организма. Естественно
это различие протеканий реакции приписать различию билируби-
нов, содержащихся в этих средах. Термины “прямой билирубин”,
“непрямой билирубин” и “замедленно прямой”, введенные самим
Hymans’oM van den Bergh’oM и которых, насколько я понимаю,
склонен придерживаться Алексей Алексеевич, имеют в моих гла-
зах лишь символический (номиналистический) характер. К такому
приему часто прибегает и чистый математик: не будучи в состоя-
нии найти корень какого-либо уравнения, он сначала постулирует
его существование, потом дает ему определенное обозначение и да-
лее старается найти важнейшие свойства этого гипотетического
корня в надежде, что какое-нибудь из них поможет впоследствии
отыскать истинную величину этого корня, существование которого
64
Из истории отечественной математики
и будет тем самым доказано, ибо далеко не всякое математическое
уравнение имеет корень.
Точно также и здесь Алексей Алексеевич применяет “метод
постулата”: не обладая в действительности веществом “прямого би-
лирубина”, “непрямого билирубина” и “замедленно прямого”, он
постулирует их существование и рядом целесообразных приемов
ищет определить их свойства, взаимоотношения их между собою и
так далее.
Метод этот вполне законный и, если я не ошибаюсь, вполне
часто применяется в естествознании, например, в работах Пасте-
ра или Кюри (Пьера). Но законность этого метода есть условная
и имеет силу лишь до тех пор, пока не найдено средство непо-
средственного определения искомого предмета. Едва таковой по-
является, в лучах его гаснут все косвенные приемы определения
предмета».
Не в силах разгадать фамилию диссертанта, равно как и моти-
вы письма, сделаем предположение о возможном связующем звене:
это семья Наметкиных, с которыми дружили Лузины. Академик
С.С.Наметкин, как и будущий член-корреспондент Н.С.Наметкин,
оба были химиками-органиками.
Институту автоматики и телемеханики Лузин отдавал не толь-
ко свое время, но и моральные силы. Так, в письме [1, с.68] Bep-f
надскому, он пишет 8 июля 1940 г. из дома отдыха «Поречье»
(Звенигород) о том, что в июне там у него был:
«...ряд заседаний “шмидтовской комиссии” по делу Института
автоматики и телемеханики (куда я, к несчастью, приписан), с це-
лым рядом приездов в “Поречье”, совещаний на террасе, перепис-
ка-дело кляузное, и защита Института, как-то так вышло, легла
на мои плечи, в творческом отношении по поводу дела о теории
“регуляторов”. Я написал мемуар на 85 страниц —все это создало
непрерывное деловое общение с Москвою, и “Поречье” преврати-
лось в какое-то зало заседаний ОТЕН’а».
Заботы об этом Институте не покидали Лузина и в военное
время. В 1942 г. он обращается с письмом к президенту АН СССР
В.Л.Комарову [10]:
«23. IV. 1942
Глубокоуважаемый и дорогой Владимир Леонтьевич,
сообщив в предыдущем письме о состоянии моего здоровья, я
позволю себе здесь выразить Вам мое глубочайшее удовлетворение
р{. С.Ермолаева
65
по поводу присуждения Вам Сталинской премии за Ваши столь
выдающиеся работы и по поводу возглавления Вами новой актив-
ности Академии.
Эта последняя невольно внушает мне надежды, ослабевшие в
прошлом, на более правильное, как мне кажется, функционирова-
ние Института автоматики и телемеханики. Можно предполагать,
что в настоящее время этот Институт, сейчас находящийся в Улья-
новске, все более и более превращается в подсобное учреждение
завода, хотя и ценное, но однако утрачивающее былое в Институте
многостороннее освещение разнообразных проблем, играющих
важную роль в оборонной тематике.
Может быть, возможно будет в Свердловске создать какой-то
принципиальный орган по вопросам автоматики и телемеханики?
К этому я прибавлю, что критика деятельности прошлого руковод-
ства, мне кажется, была чересчур суровой и что последние экспе-
риментальные данные академика В.С.Кулебакина находятся в со-
гласии с прежде указанными общими соображениями.
Что касается до меня, то я всецело предоставляю себя в Ваше
распоряжение, как в отношении местопребывания, так и в отно-
шении оборонной тематики.
Глубоко уважающий Вас
академик Н. Лузин»
Здесь можно только с сожалением сказать, что сведений о дея-
тельности Лузина в Институте автоматики и телемеханики факти-
чески нет.
Переписка Лузина, конечно, не может дать полной картины
его научных связей, однако явно свидетельствует, что неформаль-
ное общение с учеными других специальностей способствовало
внесению в «нематематические» и в технические науки математиче-
ских методов и математического способа мышления. Кроме того,
эта корреспонденция дает возможность увидеть в новом ракурсе
ныне сложившийся портрет Лузина-математика.
Список литературы
1. Вернадский В.И.. Переписка с математиками // Сост. И.И.Кратко. М., 1996.
2. Мочалов И.И. Владимир Иванович Вернадский. М., 1982.
3. Филиал Архива РАН в С.-Петербурге (далее —ФАРАН). Ф.884. Он.З. №108.
4. Ермолаева И. С. Новые материалы к биографии Н.Н.Лузина // Историко-мате-
матические исследования. 1989. Вын.31. С.191 —203.
5. ФАРАН. Ф. 820. Он.З. №498.
5-3525
66 Из истории отечественной математики
6. Юшкевич А.П. История математики в трудах Н.Н.Лузина // Вопросы истории
естествознания и техники. 1984. №1. С.98— 106.
7. ФАРАН. Ф.154. Оп.1. №42.
8. Архив РАН, Москва (далее —АРАН). Ф.606. Он.2. №123.
9. АРАН. Ф.277. Оп.4. №917.
10. АРАН. Ф.403. Оп.З. №129.
11. Северцов С.А. К вопросу о динамике стада у позвоночных // Изв. АН СССР.
Отд. физ.-мат. наук. 1933. №7. С.1105 —1041’.
12. Архив РАН. Ф.606. Оп.2. №189.
13. Колмогоров А.И. Качественное изучение математических моделей динамики попу-
ляций // Проблемы кибернетики. 1972. Вып.25. С.101 —106.
14. АРАН. Ф.467. Оп.7. №49.
15. Ермолаева Н.С. О так называемом «Ленинградском математическом фронте» //
Вопросы истории естествознания и техники. 1995. №4. С.66 — 74.
16. Газета «Известия» (Москва) от 18 марта 1936 г.
17. Переписка Н.Н.Лузипас А.Н.Крыловым (публикация, предисловие и коммента-
рии Н.С.Ермолаевой) // Историко-математические исследования. 1989.
Вып.31. С.203-272.
18. АРАН. Ф.606. Оп.2. №131.
19. АРАН. Ф.606. Оп.2. №60.
20. АРАН. Ф.641. Оп.4. №210.
21. ФАРАН. Ф.869. Оп.4. №490.
22. АРАН. Ф.663. Он.1. №67.
23. АРАН. Ф.663. Оп.1. №72.
24. АРАН. Ф.606. Он.2. №65.
25. АРАН, ф.606. Оп.2. №169.
26. АРАН. Ф.1501. Оп.З. №116.
27. ФАРАН Ф.600. Он.4. №37.
28. АРАН. Ф.606. Оп.З. №98.
О СТАТЬЕ В.И.РОМАНОВСКОГО
«О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ПРЕДПОЛАГАЕМОГО
УНИВЕРСИТЕТА В ТАШКЕНТЕ»
Г. П. Матвиевская
Всеволод Иванович Романовский (1876—1954), один из круп-
нейших отечественных специалистов по теории вероятностей и ма-
тематической статистике, всю жизнь был связан со Средней Азией.
Родился он в г.Верном (Алма-Ата), детство провел в Ташкенте, где
окончил реальное училище. Математическое образование В.И.Ро-
мановский получил в Петербургском университете и в своих тру-
дах продолжал традиции Петербургской математической школы.
Г.П.Матвиевская
67
После окончания университета и сдачи магистерских экзаме-
нов В.И.Романовский некоторое время преподавал в Ташкентском
училище, а в 1911 г. стал доцентом, позднее — профессором Вар-
шавского университета. В начале Первой мировой войны он вместе
с университетом эвакуировался в Ростов-на-Дону.
Все эти годы В.И.Романовский проводил каникулярное время
в Ташкенте и непосредственно участвовал в его культурной жизни.
В кругу местной интеллигенции уже давно обсуждался вопрос о
необходимости открытия в Средней Азии высшего учебного заведе-
ния, на первых порах — народного университета, по типу учрежде-
ний, хорошо зарекомендовавших себя в различных городах Рос-
сии. В.И.Романовский активно участвовал в разработке его проек-
та, а затем —в силу сложившихся обстоятельств — стал одним из
его организаторов: в сложной обстановке гражданской войны поез-
дки из Ростова-на-Дону, куда был эвакуирован Варшавский уни-
верситет, в Ташкент и обратно были делом нелегким; в 1918 г.
В.И.Романовский оказался отрезанным линией фронта от Ростова
и больше туда не вернулся.
Ниже приводится забытая статья В.И.Романовского о принци-
пах устройства Ташкентского университета. Она была опубликова-
на в 1918 г. в местном журнале «Народный учитель», вскоре пре-
кратившем существование.
Статья интересна, прежде всего, как документ, отражающий
положение с народным образованием в предреволюционной Рос-
сии. С другой стороны, она свидетельствует об искренней заинте-
ресованности В.И.Романовского в развитии просвещения и науки
в Средней Азии. Эту заинтересованность он сохранял до конца
своих дней, полностью отдаваясь преподавательской и научной ра-
боте. Созданная В.И. Романовским Ташкентская школа теории ве-
роятностей и математической статистики внесла немалый вклад в
развитие отечественной математики.
5*
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ предполагаемого
УНИВЕРСИТЕТА В ТАШКЕНТЕ
В. И. Романовский
Публикация Г.П.Матвиевской
Туркестан — страна древних высоких культур, страна богатая и
своеобразная, полная широчайших и прекрасных возможностей.
Он видел богатство и великолепие в эпоху Тамерлана, владычест-
вовавшего из Самарканда над Персией, победоносно прошедшего
Индию от севера до юга и успешно воевавшего с Китаем. Эти бо-
гатство и великолепие покоились на случайности — на военной
мощи и государственном уме великого завоевателя и скоро исчезли
после его кончины. Но на место их прийдет новый расцвет, кото-
рый погибнет только с гибелью человеческого разума, ибо он будет
основан на нем, им будет вызван и им будем поддерживаться и
развиваться. Разум в союзе с природой —вот величайший и благо-
детельнейший для человечества союз, и в нем —все будущее Турке-
стана, как и будущее всей земли и ее народов. И первый шаг к
этому союзу на благо Туркестану готовится в виде предполагаемо-
го открытия Туркестанского университета в Ташкенте. Следующие
строки я посвящаю некоторым соображениям о задачах этого буду-
щего университета, связанным с материальным развитием Туркеста-
на, как ближайшей и насущнейшей целью, к которой должен стре-
миться всякий туркестанец.
Война, в гибельный круг которой теперь вовлечена уже почти
вся земля, с жесткой и убедительной ясностью обнаружила огром-
ное значение в жизни народов и положительных наук. В ней неме-
ньшую, чем само военное искусство, и чрезвычайно важную роль
играют техника и индустрия, порожденные механикой, физикой,
химией и биологическими науками. Усовершенствованные мага-
зинные винтовки, пулеметы, минометы, скорострельные орудия
легкой полевой артиллерии и 42 сантиметровые мортиры, дири-
жабли, аэропланы и подводные лодки, удушливые газы и бесчис-
ленные страшной силы взрывчатые вещества —все эти орудия раз-
рушения современной войны, как и бесконечное множество меди-
каментов, средств и приборов, употребляемых в бесчисленных ла-
заретах и госпиталях, служащих все той же войне, порождены от-
крытиями чистой науки, поставленными на техническую и про-
мышленную почву. Они были бы невозможны без того совершен-
ства, которого достигла математика и точные и опытные науки.
Мы видим и жестоко чувствуем все, каким могучим и опасным
противником является Германия, более полустолетия тщательно
В. И. Романовский
69
культивировавшая и научные изыскания в связи с промышленно-
стью и техникой, та Германия, где жизненное значение широко по-
ставленных и правильно организованных научных исследований
для благосостояния и сохранения нации было признано и воплоще-
но в жизнь и правящими кругами, и лидерами индустрии и торгов-
ли, не говоря уже о представителях чистой науки. В момент, когда
разразилась война, Германия превосходила вооружением любую из
наций земли, промышленность ее была впереди промышленности
любой из стран; в бесчисленных отношениях и часто весьма сущест-
венных и роковых в промышленной и технической зависимости от
нее были даже самые передовые и культурные государства зем-
ли,—все благодаря указанной организации научных исследований,
указанному признанию и пониманию государственного и националь-
ного значения науки. Война выявила значение науки в роковой и
устрашающей форме для всех стран согласия. Смертельные опас-
ности обнаружились не только для России, но и для Франции и
Англии, порожденные их промышленной отсталостью сравнитель-
но с Германией, отсталостью, почти целиком основанной на недо-
статочной оценке важности науки для современного человечества и
на неумелом использовании ресурсов ее. Чтобы видеть, в каком
промышленном и экономическом рабстве от Германии Россия и
чем ей это рабство грозило, достаточно вспомнить статистические
таблицы и диаграммы, опубликованные «Русским словом» в самом
начале войны. И если бы наши союзники не освободились быстро
от германского промышленного засилия и не помогли России, мы
давно уже были бы выведены из строя и покорены. Отсюда воз-
никло во Франции и особенно в Англии, уже с начала 1915 года,
широкое реформаторское движение, начатое и поддерживаемое всеми
их выдающимися учеными и общественными деятелями, ставящее це-
лью правильную организацию научных исследований и научного об-
разования, такую их организацию, которая была бы вровень с зада-
чами и требованиями современности. Результаты его, например, в
Англии обнаружились в создании Национальной физической лабора-
тории, имперского Колледжа науки и технологии, Британской гиль-
дий наук, Совета для развития научных и индустриальных исследо-
ваний и т.п. учреждений, кроме многочисленных обществ и сове-
тов, ставящих себе целью выработку дальнейших мер к планомер-
ному развитию научных и индустриальных исследований, отвечаю-
щему современным государственным и национальным задачам.
Наука играет основную роль и в мировой жизни народов и
даже большую, чем во времена военных столкновений, так как в
мирной жизни поле применений ее бесконечно шире, и сами
70
Из истории отечественной математики
применения бесконечно разнообразнее. Мы вступили в такую эпо-
ху мирового развития, когда преуспевания народов в науке и про-
мышленности будут определять судьбы их. В наше время научные
открытия, поставленные на промышленную почву и должном обра-
зом использованные, могут создавать и уничтожать целые области
индустрии и с ними —вести к благосостоянию и прогрессу или к
разложению, нищете и вырождению обширные общественные
группы. Как на пример такого рода переворота можно указать на
синтетическое изготовление индиго, добывавшегося до этого изго-
товления как растительная краска. Оно было открыто немецким
химиком Байером в 1880 году и 20 лет спустя, после многочислен-
ных опытов и значительных денежных затрат (более 10 миллионов
рублей), Баденская анилиновая и содовая фабрика стала изготов-
лять индиго фабричным путем в неограниченном количестве, и тем
уничтожила индиговую промышленность в Англии. Аналогичным
образом синтетическое получение ализариновых красок при помо-
щи каменноугольной смолы на той же фабрике уничтожило маре-
новую промышленность во Франции, дававшую последней до
100 миллионов франков ежегодного дохода.
Из этих соображений следует, что правильная организация на-
учного образования и научных исследований —вопрос жизни и
смерти для всякого народа. Это давно поняла Германия и за ней
лучше, чем кто-либо, Америка, тратящая многие миллионы на
основание и поддержку всевозможных научных институтов и лабо-
раторий, на организацию постоянного и рационального взаимодей-
ствия между наукой и жизнью в самом широком смысле сло-
ва—вплоть до домашнего хозяйства и кухни, как это видно из
ряда мероприятий американского Бюро мер, предпринятых для
всесторонней рационализации домашнего хозяйства. Достаточно
вспомнить, чтобы оценить деятельность Америки в этом направле-
нии, Институт Карнеги в Вашингтоне с его отделениями исследо-
ваний по экспериментальной эволюции, ботанике, эмбриологии,
биологии морских животных, земному магнетизму, геофизике, эко-
номике и социологии и т.д., с его многомиллионным бюджетом и
многочисленные —до 50 —лаборатории для научных исследований,
основанные различными промышленными ассоциациями и имею-
щие бюджеты от 200 тысяч до миллиона рублей каждая. Приведу
еще следующий факт: только за январь и февраль месяцы текуще-
го 1917 года одних крупных пожертвований (от 30000 долларов до
1630220 долларов) на университеты и научные учреждения Амери-
ки было сделано около 5,5 миллионов долларов. И разве большая
доля трагизма тех событий, которые переживает теперь наша тем-
ная и бедная Россия, не должна быть приписана влиянию нашей
В. И. Романовский
71
непросвещенности, нашей промышленной отсталости, которые вы-
текают из нашего прошлого вольного и невольного пренебрежения
к науке. Все согласны в том, что экономическое возрождение Рос-
сии и дальнейшее существование ее невозможны без усиленного
промышленного развития ее. Но они в свою очередь невозможны
без развития науки в России, без правильной постановки в ней на-
учного образования и научных исследований. Можно смело ска-
зать, что будущее России —в ее университетах и политехникумах.
Нужен, конечно, еще правильный и прочный правовой порядок го-
сударственной и общественной жизни. Но это условие, необходи-
мое вообще для существования всякого государства, отнюдь недо-
статочно для его преуспевания. Во всех моих рассуждениях оно
предполагается выполненным.
И будущее Туркестана — также теснейшим образом будет свя-
зано с его высшей школой, а с ним —и часть будущего России. За-
бота о Туркестане для туркестанцев — и их личная, местная, и их
государственная задача: вдвойне нужно возможно тщательнее и
лучше решить вопрос об организации и задачах высшей школы в
Ташкенте. Я изложу далее относящиеся к этому вопросу свои поси-
льные соображения и притом только те, которые, как было уже за-
мечено выше, находятся в связи с материальным развитием края.
В будущем, без всякого сомнения, еще более чем теперь, бла-
госостояние и мощь народов и стран будут определяться их про-
мышленным развитием и потому для достижения благосостояния
Туркестана нужно позаботиться прежде всего о его промышленном
и экономическом развитии. Для последнего же нужны обширные и
разнообразные технические силы и всестороннее изучение природ-
ных богатств Туркестана, которые техника и промышленность мог-
ли бы разрабатывать. Нужны, следовательно, агрономы, инжене-
ры-строители, инженеры горные и механики, гидротехники, элект-
ротехники и т.д. Для создания же их нужны учителя, т.е. профес-
сора и ассистенты профессоров на соответственных технических
отделениях высшей школы. Эти учителя распадаются на два типа:
представителей общих дисциплин —математики, теоретической ме-
ханики, физики, химии, минералогии, геологии, ботаники, зооло-
гии и т.п.—и представителей специальных дисциплин —различных
технических наук, изучаемых на том или другом отделении. Со-
здание учителей того или другого типа представляет одну из важ-
нейших задач университета и политехникума или различных спе-
циальных высших школ. И чтобы поставить на твердую реальную
почву развитие Туркестана в промышленном отношении, необ-
ходимо будет будущей высшей школе в Туркестане эту задачу
особенно иметь в виду, чтобы иметь своих учителей, вошедших в
72
Из истории отечественной математики
курс проблем края, научно воспитанных в том крае, где будет про-
текать их деятельность. Это замечание особенно важно иметь в виду
при создании преподавателей специальных, технических наук. В
Туркестане предполагается открыть университет, но университет
особого, нового типа —с техническими отделениями. Такой универ-
ситет задачу о создании учителей обоих типов сможет, конечно,
расширить при обеспечении ему на то благоприятных условий.
Для университета и политехникума нужны, однако, не одни
преподаватели, нужны еще и исследователи, развивающие далее
свои дисциплины, делающие открытия. Преподаватель и исследо-
ватель не всегда соединяются в одном лице. Гаусс был первоклас-
сным, гениальным математиком, но он не любил преподавания и
избегал его. Ньютон читал лекции лишь около двух недель в году
и посвящал их главным образом изложению своих открытий. Обо-
им им наука обязана великими открытиями, но ни у того, ни у
другого не было учеников в прямом смысле слова, они не оставили
после себя того, что называется школой ученого. И обратно, пре-
восходный преподаватель может быть мало продуктивным в ориги-
нальном научном творчестве. И вот, изменяя обычный в России
порядок непременного соединения преподавательской и исследова-
тельской деятельности в одном лице университетского профессора,
нужно дать возможность лицам, не склонным к преподаванию и
обнаружившим талант исследователя, свободно отдаться одной
творческой деятельности. Для этого нужно основание исследовате-
льских кафедр, которые давали бы возможность подобным лицам
принадлежать к университету и заниматься исследованиями без
обязательств читать лекции. Правда, и в России есть такие иссле-
довательские кафедры, но они сосредоточены в одном централь-
ном учреждении, оторванном от университетов, — в Академии наук
в Петрограде. Как известно, академики не обязаны читать лекций
или заниматься каким бы то ни было преподаванием и поставлены
в условия, обеспечивающие свободные научные изыскания их. Но
одного такого учреждения на всю огромную Россию недостаточно,
нужны еще подобные ему, хотя и меньшего масштаба. Подобные
учреждения с успехом могут быть воплощены в виде исследовате-
льских кафедр в университетах. Подобные мелкие аналоги Акаде-
мии наук будут иметь и некоторые преимущества: они будут ближе
к местным нуждам и не будут оторваны от университетов. Такие
кафедры, заметим кстати, предполагается открыть в настоящее
время в английских университетах. Их учреждение, хотя бы и не
немедленное, лишь в будущем, но сейчас принципиально принятое,
В. И.Романовский
73
дало бы еще одну черту благодетельной новизны Туркестанскому
университету.
С задачей создания учителей и привлечения исследователей в
тесной связи находится другая задача — изучение края и чисто на-
учное, и индустриальное. Ясно, что это изучение необходимо для
края, для твердого и правильного преуспевания его. Кроме того, в
лабораториях, музеях, экспедициях, на опытных полях и планта-
циях, на заводах и предприятиях, где это изучение будет вестись,
будут проходить подготовительный стаж молодые люди, приготов-
ляющиеся к преподаванию и научной деятельности в университете,
и он будет для них и для их будущей работы на благо Туркестану
крайне важен и полезен. Никогда не следует порывать связей с
действительностью, и наиболее плодотворной научной подготовкой
всегда будет та, которая, удовлетворяя необходимым специальным
условиям соответственной дисциплины, ведется по возможности на
конкретных жизненных задачах. Истинная наука никогда не была
и не может быть оторванной от насущных задач времени и места.
Поэтому, повторяю еще раз, и Туркестанский университет должен
одной из главнейших своих задач считать теоретическое и при-
кладное изучение Туркестана.
Счастлива идея в Туркестанском университете к чисто науч-
ным обычным университетским факультетам присоединить и тех-
нические отделения или факультеты по примеру английских или
американских университетов. Если к физико-математическому фа-
культету с его математическим и естественным отделениями присо-
единить технический факультет с инженерно-строительным, меха-
ническим, гидротехническим, горным и агрономическим отделени-
ями, то мы получим центр сил, влияние которого на материальное
и духовное развитие Туркестана не поддается даже приблизитель-
ному учету. Чистые и прикладные науки при таком устройстве
университета будут развиваться в непосредственной близости друг
от друга и эта близость будет необычайно ценна и для тех и для
других. Она естественно приведет к тому, что технические науки
будут постоянно около того источника, из которого вытекает все
их бытие, все их открытия и применения, ибо прогресс промышлен-
ности и индустрии невозможен без прогресса чистых наук, ибо тех-
ника основана на отвлеченной работе ученых теоретиков, на их от-
крытиях, часто, по-видимому, никак не связанных с реальной
жизнью, как, например, вся современная гигантски развивающаяся
электротехника покоится на законах индустрии и электролиза, от-
крытых Фарадеем, или беспроволочная телеграфия — на чисто теорети-
ческих исследованиях Максвелла об электромагнитных волнах.
74
Из истории отечественной математики
С другой стороны, абстрактные и чистые науки будут постоянно в
курсе потребностей и стремлений техники и промышленности и эта
близость будет освежать и оживлять их задачи. Наука, оторванная от
жизни, легко может впасть в схоластический схематизм, приближен-
ная же к действительности она всегда черпает из нее новые и новые
проблемы, открывает новые плодотворные области исследования.
Я отметил три задачи будущего Туркестанского университета:
подготовку учителей, подготовку исследователей и изучение края.
Это обычные задачи современных университетов и политехникумов.
Я указал еще на одно условие, которое в высшей степени выгодно
при разрешении их, —на новый тип предполагаемого университета,
заключающийся в соединении в одной высшей школе собственного
университета и политехникума. Теперь я перейду к более широкой
и глубокой задаче, которую современность открывает перед наукой
и техникой в их государственной деятельности и которую новый тип
высшей школы наиболее в состоянии решить,—она была бы не по си-
лам ни университету, ни политехникуму, отдельно взятым.
До сих пор и ученые, и промышленные, и технические иссле-
дования велись даже в самых передовых странах, как Германия,
Америка, Англия, разрозненными единицами, по планам отдель-
ных лиц, с большой долей случайности в поставленных задачах и
вопросах. Это вело к несогласованности действий, часто к напрас-
ной затрате сил на исследования или бесполезные, маловажные
или уже выполненные ранее другими исследованиями. Это вело
также к тому, что прогресс науки и техники покоился на некоор-
динированных усилиях единиц.
Все усложняющееся развитие жизни и вместе с тем прогресси-
рующая и углубляющаяся связность различных сторон ее не допу-
скают разрозненности и случайности в проявлении различных
жизненных сил. Для дальнейшего успешного развития жизни нуж-
на все большая координация и кооперация ее сил. Такая же соор-
ганизованность должна быть в деятельности ученых с одной сторо-
ны, и промышленников, техников и коммерсантов с другой. Есте-
ственно, выработку и осуществление кооперации чистой и при-
кладной науки, организацию научных исследований в планомер-
ной связи с промышленной жизнью Туркестана принять на себя
Туркестанскому университету. В этом будет заключаться его новая
и великая задача, кроме упомянутых выше задач, обычно выпол-
няемых университетами. Он должен не только дать чистых ученых
и практических деятелей, но и соорганизовать работу тех и дру-
гих, вырабатывая план их в известной мере соподчиненной деяте-
льности и намечая ближайшие и важнейшие задачи для последней.
в. И. Романовский
75
Как достигнуть такой организации, в чем она должна заключа-
ться,—вот вопросы капитальной, государственной важности. Не
место и не время здесь их решать, но, чтобы дать представление о
тех путях, идя которыми, можно искать их решения, я изложу
кратко меры, которые предлагает Национальный Изыскательный
Совет Соединенных Штатов (The United States National Research
Council) для достижения равного кооперирующего развития науки
и индустрии в Соединенных Штатах. Эти меры изложены в отчете
профессора Хейла (Hale), председателя организационного комите-
та названного выше Совета, напечатанном в газете «New York Ti-
mes» за 1916 год и перепечатанном в английском журнале «Natu-
re» за 1916 же год (в номере от 28 сентября нового стиля).
Цель Национального Изыскательного Совета заключается, по
этому докладу, в признании к совместной деятельности существую-
щих правительственных образовательных и просветительских, ин-
дустриальных и иных организаций с целью споспешествовать ис-
следованию явлений природы увеличить применения научных ис-
следований для развития американской индустрии, усилить средст-
ва национальной защиты при помощи научных методов и вообще
развить подобные отмеченным применения науки, обеспечивающие
национальные благосостояние и безопасность. В Совет входят вы-
дающиеся американские исследователи и инженеры, являющиеся
представителями армии, флота, Смитсонова Института (находится
в Вашингтоне и имеет целью содействие научным работам по этно-
графии, астрономии и земному магнетизму), различных научных
обществ государства, образовательных и изыскательных учрежде-
ний и изыскательных лабораторий индустриальных и технических
предприятий. Советам проектируется два класса изыскательных
комитетов: центральные комитеты, ведающие различными отделе-
ниями науки и местные комитеты в университетах, колледжах и
других кооперирующих учреждениях, занятых научными исследо-
ваниями. Из плана действий, намеченного Национальным Изыска-
тельным Советом и одобренного Советом Национальной Академии
Соединенных Штатов я приведу некоторые пункты. Совет нахо-
дит, что необходимо установление ценза пригодности для исследо-
вателей, поддерживаемых Советом, и плана исследований, кото-
рый должен выполняться в кооперирующих государственных обра-
зовательных и изыскательных учреждениях и в промышленных
изыскательных учреждениях. Отмечу еще относительно этого пун-
кта, что упомянутые ценз и планы должны быть установлены в со-
гласии с тем общим планом, который будет выработан проекти-
руемым (и теперь наверно уже созданным, так как излагаемое
76
Из истории отечественной математики
мною относится к 1916 году) Государственным Советом Националь-
ной защиты. Далее намечается необходимость отчетов различных
специальных комитетов, которые указывали бы важные проблемы
и благоприятные возможности для исследований в различных от-
делах науки; намечается необходимость кооперации с образовате-
льными учреждениями путем поддержки их усилий обеспечить бо-
льшие суммы и более благоприятные условия для тренировки сту-
дентов в методах и духе исследований, а также необходимость ко-
операции с изыскательными учреждениями и другими обществами,
желающими обеспечить более продуктивное использование
средств, предназначенных на исследования; намечается, наконец,
необходимость поддержки лабораторий, предназначенных для уси-
ления средств национальной защиты и имеющих целью сделать
Соединенные Штаты независимыми от иностранных источников
снабжения, которые могут оказаться уничтоженными войной.
Вот краткий перечень задач Национального Изыскательного
Совета Соединенных Штатов. Кроме проекта этого Совета есть и
другие проекты различных ученых и промышленных деятелей
Америки, ставящие себе аналогичные указанным цели. Можно
было бы привести целый ряд подобных же проектов из английской
литературы и французской. Многое в них, как и в изложенном
выше перечне, должно быть изменено в применении к Туркестану
как только краю, а не обширному государству, как Соединенные
Штаты Северной Америки или Британская империя. Но сущность
мероприятий, предлагаемых ими, заключающаяся в создании цент-
рального органа, объединяющего и направляющего научные и ин-
дустриальные исследования для блага страны, целиком остается
применимой и к Туркестану. И ясно, что такой орган для Туркеста-
на не может быть создан помимо Туркестанского университета. Вер-
нее всего, что, хотя бы идея о создании его и исходила из централь-
ных учреждений России, он будет создан под главным руководст-
вом университета и при помощи его сил. Ясно также, что без созда-
ния его нельзя обойтись, хотя и трудно надеяться, что он может быть
осуществлен в близком будущем. И такой орган усилит и углубит
значение университета в крае в степени, во много раз превосходящей
обычную степень влияния университета на окружающую жизнь.
Я перечислил важнейшие задачи будущего Туркестанского
университета, связанные с материальным и экономическим разви-
тием Края и находящиеся в ведении точных и естественных наук и
основанных на них технических. Эти задачи велики и прекрасны,
преследование и разрешение их обещает славное будущее и для
университета и для Края. Правильно поставленные и планомерно
В-И. Романовским
77
преследуемые они могут быть успешно решены. Нужно только все-
гда связывать их с конкретными жизненными задачами Края, не
отрывать их от действительной жизни и сообразовать с налично-
стью сил и средств,—тогда развитие университета и Края —для по-
следнего в указанном направлении— будут обеспечены. «Научные
исследования в любой области, чистые или прикладные представ-
ляют основную форму общественного служения, которую нужно
поддерживать всеми средствами», говорит профессор Хэйл в до-
кладе, упомянутом выше, и потому они никогда не потеряют цен-
ности, не впадут в застой и не придут в упадок как и учреждения,
связанные с ними, если будут корениться в реальной жизни места
и времени.
Указанными задачами далеко не исчерпывается деятельность
физико-математического факультета и находящегося с ним в тес-
нейшей, можно сказать кровной, связи технического факультета.
Они имеют и другие задачи, которые были мной опущены только
потому, что я ограничился кругом университетских вопросов, свя-
занных с материальной стороной жизни. Например, чтобы указать
на некоторые оставленные в стороне вопросы, физико-математиче-
ский факультет должен заниматься развитием чистой науки и ради
ее самой и принять ряд мер, обеспечивающих такое развитие: он
должен заниматься подготовкой и преподавателей средней школы,
что представляет весьма важную задачу университета и притом,
нужно в этом сознаться, русскими университетами решаемую весь-
ма неудовлетворительно; наконец, он должен заботиться о подня-
тии общего уровня научного образования в обществе и с этой це-
лью заняться популяризацией науки.
Кроме того, я оставил в стороне другие возможные факульте-
ты университета—историко-филологический, восточных .языков,
юридический и медицинский. Нет сомнения, что их и общее и спе-
циальное значение для Туркестана будет велико, нет сомнения, что
они найдут широчайшее и прекрасное поле исследований в Турке-
стане, что они сделают в нем великие и благодетельные открытия.
Филолог, историк и юрист найдут в нем почти неистощимую об-
ласть исследования в тех различных культурах, которые еще
живы или существовали в нем в былые времена. Какие перспекти-
вы открываются, например, для восточников в этом крае, которого
едва коснулись научные исследования, посвященные ориентали-
стике. Почти субтропический климат Туркестана, все переходы от
низко лежащих пустынь до высоких горных областей, обилие есте-
ственных лечебных ресурсов в крае обещает медику бесконечный
ряд своеобразных задач и теоретических и практических. «Ни в ка-
ком другом крае человек не может совершить культурной работы в
78
Из истории отечественной математики
более обширных размерах, чем в Туркестане», писал недавно изве-
стный наш ученый Воейков в одной статье, посвященной Туркеста-
ну (в «Вестнике Европы», кажется за 1914 год).
Но о задачах других факультетов я, математик, не берусь су-
дить и позволю себе сделать только одно следующее замечание.
Трагические и тяжкие условия переживаемого Россией времени
выдвигают и для нее и для Туркестана, как части ее, не оставшей-
ся без тяжелой печати расстройства и упадка на первый план необ-
ходимость материального и экономического возрождения. Оно
должно быть первой очередной задачей после упорядочения поли-
тической и правовой жизни в России. Нужно думать уже теперь о
ближайших и насущнейших за этим упорядочением потребно-
стях,—нужно позаботиться прежде всего о материальном благосос-
тоянии и развитии края. В этом направлении нужно принятие необ-
ходимых немедленных мер чисто практического свойства и затем
мер, рассчитанных на отдаленнейшее будущее края. Из последних
основной и ближайшей мерой я думаю, должно быть основание
Туркестанского университета с физико-математическим и техниче-
ским факультетами, так как цикл именно их наук является в наше
время фундаментом, на котором воздвигается благосостояние наро-
дов и стран. И только тогда, когда наладится материальная жизнь в
крае и появятся средства и достаток, возможно будет открыть и
другие факультеты Туркестанского университета. Но до того време-
ни, если на них нет средств и если они могут быть основаны в
ущерб физико-математическому и техническому факультетам, от-
крытие их будет носить отпечаток утопичности и непрактичности,
недопустимых при создании учреждений государственной важности.
СТРАНИЦЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ АВТОБИОГРАФИИ
(1942-1953 годы)
М. М. Постников
Я поступил на 1-й курс физмата Пермского (тогда Молотов-
ского) университета в 1942 г. в возрасте 15 лет (без двух месяцев)
после окончания 8-го класса средней школы. Я был, что называет-
ся, «глотатель книг» и уже несколько лет фактически занимался
самообразованием, далеко выйдя во многих отношениях за рамки
школьного курса. Хотя по правилам в университет принимали ре-
бят с 10-ти классным образованием, но в 1942 г. из-за войны уда-
лось набрать на физмат меньше четверти плана и только трех пар-
ней. Поэтому администрация университета закрыла глаза на отсутствие
ММ. Постников 79
у меня школьного аттестата и паспорта и разрешила сдавать всту-
пительные экзамены. Эта сдача не обошлась без приключений, но
как то бы ни было осенью 1942 г. я сделался полноправным сту-
дентом и начал посещать лекции.
Вначале пребывание в университете меня вполне удовлетворя-
ло, способствуя систематизации моих отрывочных знаний по мате-
матике, но очень скоро, сравнив лекции с учебниками, я испытал
жестокое разочарование, поняв, что лекторы Пермского универси-
тета лишь пересказывают учебники, не внося от себя ничего ново-
го. Единственным светлым пятном на общем темном фоне была
С.А.Яновская. Старая большевичка, участница гражданской войны
и подполья в Одессе, она занималась философскими вопросами
математики, была профессором Московского университета и волей
судьбы оказалась в эвакуации в Перми. Не являясь сама творче-
ским математиком, она долгое время вращалась среди наиболее
выдающихся представителей довоенной Московской математиче-
ской школы, что не могло не отразиться на ее общематемс. гической
культуре. Вместе с ней на роли полувоспитанника —впрочем, по-
дробности их взаимоотношений мне тогда не были ни ясны, ни ин-
тересны, и я их до сих пор не знаю — находился студент 3-го курса
мехмата МГУ Е.Б.Дынкин, ныне известный американский матема-
тик. После общения с Яновской и Дынкиным я понял, что полно-
ценное математическое образование можно получить толы о в МГУ.
Весной 1943 г. Яновская с Дынкиным вернулись в Москву, и
передо мной встала задача —как за ними последовать? Тому были
три главных препятствия:
1) шла война, Москва была на осадном положении, и без спе-
циального пропуска выехать в Москву было нельзя;
2) для получения пропуска нужен был вызов из авторитетной
московской организации;
3) нужен был и паспорт, которого по малолетству у меня все
еще не было. (
Здесь не место рассказывать, как я преодолел эти препятст-
вия—и целый набор других более мелких, как например, практи-
ческую невозможность для частного лица купить в то время желез-
нодорожный билет до Москвы.
Достаточно сказать, что здесь мне сопутствовал успех, и в один
прекрасный вечер в начале ноября 1943 г. я вышел из здания Кур-
ского вокзала в Москве и направился на поиски Яновской — единст-
венно живой души, которая была мне в Москве известна. Сравни-
тельно быстро —хотя и не сразу —я нашел ее дом и поздним вече-
ром около 11-ти часов позвонил у ее двери. Удивленная Я, вская
80
Из истории отечественной математики
меня не выгнала, позволила переночевать на диване, напоила ут-
ром чаем, отвела в университет и представила тогдашнему декану
мехмата И.Г.Петровскому. Опять здесь не место рассказывать, как
я провел следующий месяц в военной Москве, без жилья, факти-
чески без документов и на весьма сомнительных правах. В середи-
не декабря Петровский подписал приказ о моем зачислении на вто-
рой курс мехмата, я получил место в общежитии, и мое пребыва-
ние в Москве было, наконец, узаконено.
Следующие два года я интенсивно занимался математикой.
Жил я в общежитии на окраине Москвы около Тимирязевской
академии. Вставал в 7 часов. Выпивал кружку чая с куском хлеба
и отправлялся в университет. Дорога занимала часа полтора. С
9-ти до 13-ти я слушал лекции и затем шел обедать. Обед состоял
из трех блюд —тарелка жидкого супа, порции картофельного пюре
или макарон с миниатюрным кусочком мяса или рыбы и стакана
полусладкого отвара из сухих фруктов. К обеду полагалось пол-
фунта хлеба. Естественно, что такой обед лишь временно смягчал
чувство голода. Чтобы заглушить его, я шел или в библиотеку
(т.н.«Математический кабинет») или снова на лекции.
Дело в том, что основное аудиторное здание МГУ было в ок-
тябре 1941 г. уничтожено немецкой бомбой и из-за вызванной этим
нехватки аудиторий после обеда читались спецкурсы и лекции 3-го
курса. Часов в девять вечера лекции кончались, я возвращался до-
мой, ужинал чаем с куском хлеба и ложился спать.
Таким образом, не столько по желанию, сколько с целью от-
влечься от сосущего чувства голода я в 1943—1944 учебном году
кроме лекций 2-го курса прослушал также лекции 3-го курса и це-
лый ряд спецкурсов самого разнообразного содержания (функции
Бесселя, группы гомологий, вариационные методы, риманова гео-
метрия, цепи Маркова и т,д. и т.п.). Прослушав лекции, естест-
венно было и сдать экзамены, а сдав экзамены, перевестись на сле-
дующий курс. Поэтому осень 1944 г. я встретил студентом четвер-
того курса, а весну 1945 г.—пятого. К лету 1945 г. я окончил уни-
верситет, получив диплом с отличием (у меня было только две чет-
верки—по политэкономии и истории партии).
Кроме обязательных курсов я сдал экзамены по 17-ти спец-
курсам (при норме —3), что было своего рода рекордом. Как гово-
рится, я был замечен профессурой, что впоследствии сказывалось
очень долго в моем математическом житье-бытье.
К весне 1945 г., когда я был переведен на 5-ый курс, ко мне
обратился зам.декана по учебной работе:
ММ. Постников
81
— Постников, Вам нужно иметь научного руководителя для
написания диплома. Кого Вы хотите? Лазаря Ароновича (Люстер-
ника) или Павла Сергеевича (Александрова)?
Он знал, что я активно участвовал в семинаре Люстерника по
топологическим методам вариационного исчисления. Почему он на-
звал Александрова, я сейчас не помню.
Конечно, ответ на этот вопрос решительным образом опреде-
лял все мое будущее. И тут случилась очень странная вещь. Ни се-
кунды не думая, я выпалил:
— Я хочу Льва Семеновича Понтрягина!
Странность здесь в том, что я Понтрягина совершенно не знал
и лишь прослушал его очень скучный и формальный курс по тео-
рии гомологий. (Впоследствии Понтрягин издал этот курс в виде
книги [1]). Сейчас я не помню, говорил я с Понтрягиным до этого
хоть раз (хотя, если я прослушал его курс, то, конечно, его сда-
вал, но эта сдача не оставила никаких воспоминаний). Мой же
спонтанный выбор оказался необыкновенно удачным, и если бы не
он, трудно сказать кем бы я сейчас был.
В жизни мне неоднократно приходилось вот так спонтанно
принимать определявшие все будущее решения, фактически без
размышления и без какой-либо осознанной информации. Как пра-
вило, эти решения оказывались правильными. (Единственным—да и
то спорным — исключением был мой отказ в 1956 г. баллотироваться
в члены-корреспонденты АН СССР, но это уже другая история).
На следующий день после разговора с зам.декана, я встретил
в коридоре Понтрягина и сказал ему:
— Лев Семенович! Моя фамилия Постников, я студент 5-го
курса, и я сказал в-деканате, что Вы мой научный руководитель!
Понтрягин изумился, но ответил:
Хорошо. Приходите ко мне завтра на дом. Поговорим.
Так я сделался учеником Понтрягина.
В 1945 г. еще не было известно, является ли любое трехмер-
ное многообразие краем четырехмерного, но было известно, что
любое многообразие, являющееся краем, можно получить из сфе-
ры хирургиями Дена. Понтрягин предложил мне проследить, как
меняется кольцо пересечений трехмерного многообразия над полем
2/2 при хирургиях Дена и на этой основе охарактеризовать все
кольца, могущие быть кольцами пересечений трехмерных многооб-
разий, являющихся краями. Я выяснил, что кроме очевидных ал-
гебраических условий, вытекающих из двойственности Пуанкаре, в
каждом таком кольце для любых двух элементов х, у е Н-± выпол-
няется тождество
6-3525
82
Из истории отечественной математики
х^у + ху! = хуи, (1)
где и — так называемый «разрезающий класс гомологий» многооб-
разия (равный нулю тогда и только тогда, когда многообразие
ориентируемо). Это возбудило большие надежды —казалось, что
найдено инвариантное свойств, отличающее края от остальных
многообразий, но — увы! — очень скоро я доказал, что условие (1)
выполнено в любом трехмерном многообразии. (Теперь мы знаем,
что иначе быть и не могло, но в то время это оказалось—по край-
ней мере для меня — большим разочарованием. Понтрягин же ниче-
го другого, по-видимому, не ожидал.)
Все это составило предмет моей дипломной работы, которую я
защитил весной 1945 г.
В это время в Москве в школе П.С.Александрова были очень
популярны так называемые «законы двойственности», связываю-
щие группы гомологий того или иного подмножества X с§" его
дополнения У = S” \ X. Для случая, когда X замкнуто, эту связь
установил классический закон двойственности Понтрягина и зада-
ча состояла в том, чтобы перенести эту двойственность на более
общие X. У меня возникли некоторые — довольно неопределен-
ные—идеи, как такой перенос мог быть осуществлен посредством
аппроксимации X изнутри замкнутыми множествами, а У извне от-
крытыми, и поспешил поделиться ими с П.С.Александровым и
Л.С.Понтрягиным. Их реакция была совершенно различна и ха-
рактерна для их обоих.
Александров принял меня для разговора рано утром 9 мая 1945 г.
в день Победы. Он подробно обсудил мои идеи разговор продолжал-
ся больше часа—и в общем-целом—благословил на дальнейшую рабо-
ту, хотя никаких новых конструктивных идей и не предложил.
Понтрягин же потратил на разговор со мной всего несколько
минут, указав, во-первых, что вся эта тематика большого интереса
не представляет, во-вторых, что я нахожусь на ложном пути, по-
скольку вводимые мною группы гомологий не инвариантны и зави-
сят от вложения У в и, в-третьих, что через несколько месяцев
защищает докторскую диссертацию Г.С.Чогошвили, в одной из
глав которой Чогошвили —значительно глубже! — развивает сход-
ные идеи и если станет известно, что я претендую на что-то подоб-
ное, то это может безосновательно помешать защите. Поэтому он
настоятельно советует мне бросить эту тему и во всяком случае ни
с кем ее в ближайшем будущем не обсуждать. Я, конечно, после-
довал этому совету, но какая-то информация все же просочи-
лась—по-видимому, через Александрова — и история на этом не за-
вершилась.
М.М. Постников
83
Лет через шесть-семь, когда Чогошвили уже работал в Тбили-
си, он пригласил меня на несколько месяцев в Грузию для чтения
лекций по топологии. Идея Чогошвили — блестяще им в конце-кон-
цов осуществленная — состояла в том, чтобы создать в Тбилиси на-
учную школу по топологии, привлекая для этого математиков Мо-
сквы и других грузинским гостеприимством и грузинской приро-
дой. Прошло уже более тридцати лет, но я до сих пор сохранил
особо теплое чувство к Грузии и к ее населению и много раз при-
езжал в Тбилиси как в свой родной город.
Однако, мое прямое участие в становлении Тбилисской топо-
логической школы оказалось минимальным. Чогошвили поручил
моим заботам своего аспиранта Тамаза Лазришвили и почти целое
лето я усердно обучал его основам теории гомотопий. Уезжая в
Москву, я дал Тамазу в качестве нетрудного домашнего задания
задачу построить теорию препятствий к существованию сечений
расслоенных пространств без каких-либо предположений односвяз-
ности базы и слоя. Тамаз должен был построить эту теорию, при-
нимая за образец уже известную теорию препятствий для одно-
связных базы и слоя и теорию препятствий для отображений неод-
носвязных пространств (где в отличие от классической теории пре-
пятствий Эйленберга использовались когомологии с локальными
коэффициентами). Однако, через некоторое время Чогошвили, не-
сколько смущенно, предложил, чтобы эта задача стала темой кан-
дидатской диссертации Лазришвили. Я- не возражал, поскольку за-
дача вполне тянула на диссертацию, но понял, что ожидать здесь
чего-нибудь далеко идущего нельзя. И, действительно, в свое
время Тамаз благополучно защитился и много лет преподавал ма-
тематику в техническом вузе. Топологией он больше не занимался.
Он вполне доволен своей судьбой, и я приезжая в Тбилиси, всегда
с удовольствием с ним встречаюсь.
Но вернемся к законам двойственности. После завершения
моей работы с Лазришвили перед отъездом в Москву Чогошвили
пригласил меня на несколько дней отдохнуть на своей даче в Цаг-
вери в горах между Боржоми и Бакуриани. Гуляя в лесу, он как
бы мимоходом заметил:
— А ведь мы довольно далеко зашли в лес, на несколько кило-
метров здесь нет ни души. Кричи, не докричишься...
Затем, помолчав, неожиданно спросил:
— А это правда, что Вы утверждаете, что в 1945 г. Вы приду-
мали всю мою докторскую диссертацию?
84
Из истории отечественной математики
— Да что Вы, Георгий Северьянович! — ответил я.—Я никогда
не претендовал ни только на всю Вашу диссертацию, но и ни на
одну теорему из нее!
Инцидент был исчерпан, и мы повернули к дому.
После окончания университета в 1945 г. я был принят в аспи-
рантуру мехмата под руководством Понтрягина. В то время аспи-
ранты университета должны были сдавать четыре экзамена по ма-
тематике. Я решил воспользоваться этим и систематически подыто-
жить мои знания, составив по теме каждого экзамена подробный
конспект. Первый экзамен назывался «Ассоциативные алгебры».
Мой конспект на эту тему охватывал материал от основ до теории
центральных простых алгебр (скрещенных произведений). Лет де-
сять после этого аспиранты мехмата пользовались этим конспектом
при сдаче кандидатского минимума.
Второй экзамен «Теория чисел» охватывал книгу Гекке, обзор
Гильберта и теорию полей классов по Шевалле. Третий экзамен
«Теория групп Ли» доставил мне больше всего хлопот, посколь-
ку деятельность Дынкина в этом направлении еще только начи-
налась, и достигнутые им упрощения (явный вид формулы Кемп-
белла—Хаусдорфа, теория простых корней и т.п.) мне не были из-
вестны.
Четвертый экзамен «Алгебраическая геометрия» мне сдавать
не пришлось, что и объясняет, почему в этой науке я до сих пор
понимаю меньше, чем, скажем, в теории групп Ли.
Параллельно экзаменам я изучал литературу по топологии и
каждую неделю беседовал на топологические темы с Понтрягиным.
Надо сказать, что Понтрягин был очень внимательным и доб-
росовестным руководителем, не жалевшим ни труда, ни времени
на своих учеников. Однако, эта забота была, пожалуй, чрезмер-
ной, потому что Понтрягин всегда давал своим аспирантам лишь
задачи, решения которых он знал. Это ему давало следующие
преимущества:
1) Аспирант наверняка кончал аспирантуру с диссертацией,
что в глазах администрации было большим плюсом Понтрягина
как руководителя.
2) Диссертация обладала достаточным количеством и в верно-
сти всех ее утверждений руководитель мог быть вполне уверен.
Недостаток этого подхода заключался в том, что у аспиранта
не развивались творческие способности и настойчивость в преодо-
лении трудностей.
Короче говоря, Понтрягин выигрывал в тактике, но терял в
стратегии.
М М Постников
85
Конечно, я все это понял не сразу. Что-то я почувствовал уже
во время написания диплома, но полностью осознал ситуацию
где-то на втором году аспирантуры.
Во всяком случае, уже в 1945 году я отказался подготовить на
базе дипломной работы статью для публикации, аргументируя, что
мой личный вклад в нее был слишком мал. Однако, в 1948 г., ког-
да аспирантура приблизилась к концу, Понтрягин формально при-
казал мне написать такую статью, так как кончать аспирантуру без
публикаций неприлично Я что-то написал без особого вдохнове-
ния. Понтрягин текстом остался недоволен и распорядился, чтобы
В.А. Рохлин, который тогда работал его секретарем, этот текст от-
редактировал. Но Рохлин нашел, что ему проще написать весь
текст заново. Так появилась «моя» первая научная работа [2].
Идея этой работы и большая часть исполнения принадлежит Пон-
трягину, а весь текст написан Рохлиным.
Зимой 1945— 1946 гг. Понтрягин дал мне тему (которую я уже
не помню). Я с энтузиазмом взялся за работу, но во время одной
из консультаций вдруг с ясностью понял —из-за неосторожных за-
мечаний Понтрягина,— что он все решение знает и лишь подсказы-
вает мне путь к нему. Я был очень шокирован и решил заниматься
чем-нибудь совсем другим.
В это время я читал статью Уайтхеда [3], в которой изучался
вопрос о том, что происходит с гомотопическими группами пг при
приклеивании n-мерной клетки. Уайтхед рассмотрел случай
г<п + 2 и я решил заняться случаем г = п + 3. Метод Уайтхеда —в
то время более или менее стандартный — состоял в рассмотрении
прообразов точек и сводил задачу к некоторой классификационной
задаче для отображений (г - и)-мерного полиэдра в данное про-
странство. В качестве первой аппроксимации к моей задаче —далее
которой я в этом направлении так и не сдвинулся —я рассмотрел
общую задачу классификации произвольного трехмерного полиэд-
ра X в произвольное односвязное пространство V.
Пусть X и У—топологические пространства. В проблеме гомото-
пической классификации отображений X —> Y требуется для любых
двух непрерывных отображений f, д .X Y указать необходимые и
достаточные условия их гомотопности и на этой базе описать множе-
ство [X, У] гомотопических классов всех непрерывных отображений
X —> У. Естественно при этом предполагать пространства X и У связ-
ными. В 1945 г. пространство X предполагалось, кроме того, симплици-
альным полиэдром (допускающим разбиение на симплексы). Несколько
позже Уайтхед, завершая долгую цепь попыток, наконец-то дал (под име-
нем CW-комплексов) удовлетворительное определение клеточного
86
Из истории отечественной математики
пространства и после этого требование «Х-симплициальный поли-
эдр» было заменено —в вопросах гомотопической классифика-
ции—требованием «Х-клеточное пространство». Эта замена не тре-
бует никаких новых идей или построений и делается совершенно
автоматически. Поэтому в дальнейшем рассказе я буду предполагать
X клеточным, хотя, конечно, здесь это определенный анахронизм.
Первый результат по проблеме гомотопической классификации
был получен Хопфом [4] в 1932 г., изучавшим отображения «-мер-
ного клеточного (на самом деле, конечно, — симплициального) про-
странства X в «-мерную сферу . Хопф пользовался группами го-
мологий, но, когда в 1935 г. появились группы когомологий, почти
сразу же было замечено (Уитни, [5]), что адекватный аппарат для
проблемы классификации доставляют не гомологии, а когомологии.
Ясно, что любое отображение X —> гомотопно отображению,
переводящему (« - 1)-мерный остов X” -1 пространства X в некото-
рую (раз навсегда фиксированную) точку сферы (такое отобра-
жение X —»Уитни называет нормальным). Поэтому проблема
классификации сводится к установлению условий гомотопности
нормальных отображений.
Пусть f: X —— произвольное нормальное отображение.
Тогда для любой «-мерной ориентированной клетки еп е X огра-
ничение /1 еп будет иметь вполне определенную степень (сферу
мы считаем ориентированной) и функция df \еп ьэ deg (/|ёя) бу-
дет «-мерным коциклом пространства X (с коэффициентами в
группе целых чисел 2). Этот коцикл называется характеристиче-
ским коциклом нормального отображения f, а его класс когомоло-
гии dr —характеристическим классом.
Теорема Хопфа (в формулировке Уитни) утверждает, что при
dim X = « нормальные отображения f : X —» тогда и только тог-
да гомотопны, когда их характеристические коциклы когомологичнъг.
df ~ dg.
Поскольку, как легко видеть, любой «-мерный коцикл являет-
ся характеристическим коциклом некоторого нормального отобра-
жения, это означает, что формула
[fl df
устанавливает биективное соответствие
[X, §”]<=> Я” (X; 2), dim X = « (2)
между множеством гомотопических классов [X, У] и группой кого-
мологий Нп (X; 2).
Р4.М-Постников
87
Уитни заметил также, что этот результат (вместе с доказатель-
ством) немедленно переносится на случай любого (п - 1)-связного
пространства У (т.е. такого, чтолгУ = 0при г<«-1). При этом df
оказывается коциклом с коэффициентами в группе л „У, а биектив-
ное соответствие (2) приобретает вид
[X, У]<=> Н”(Х; ляУ). (2)
Доказательство теоремы Хопфа-Уитни использует редукцию
задачи о гомотопности отображений f, д .X -» У к задаче распро-
странения отображения (х, 0) н-> f(x), (х, 1) н-> д(х) в пространство
У, заданного на подпространстве XxOUXxlcXx), на все про-
странство X х 1. В общем виде задача распространения ставится
для пары (X, А) и произвольного (нормального) отображения
f: А -» У. В ней требуется найти условия, обеспечивающие воз-
можность распространения отображения f на всех X. Для теоремы
Хопфа-Уитни эту задачу надо решить в предположении, что
А - Хп и dim X = п + 1. Конечно, для существования распростране-
ния отображения f необходимо, чтобы коцепь df (являющаяся ко-
циклом в Л) была частью коцикла в X. Теорема распространения
Уитни (непосредственным следствием которой является теорема
классификации Хопфа-Уитни) утверждает, что при dim X - п + 1
это условие также и достаточно.
Следующим шагом в проблеме классификации должно было
бы быть изучение случая dim Х = и + 1иУ = §”. Этот шаг был сде-
лан при и =2 в 1938 г. Л.С.Понтрягиным [6, 7].
Общие принципы решения задач классификации и распростра-
нения были разработаны (под названием теории препятствий и
различающих) в 1940 г. Эйленбергом [8]. Понтрягин в 1938 г.
полностью владел этой техникой, но он не позаботился выделить
ее из потока доказательства и явно сформулировать. Здесь ярко
проявилось различие в двух типах математического мышле-
ния - математик первого типа, решая задачу, не интересуется (и не
умеет) в общем виде сформулировать свои находки, а математик
второго типа постоянно об этом беспокоится.
Пусть f : Хп -> У— непрерывное отображение n-мерного остова
Хп клеточного пространства X в пространство У (предполагаемое
односвязным). Ограничение отображения f на границу каждой
(п + 1)-мерной ориентированной клетки en + 1 е X определяет некото-
рый элемент су (е” +1) е л „У. Возникающая (и + 1)-мерная коцепь
Cf : еп +1 I—> Cf(en +1) пространства X над группой ля У оказывается
коциклом. Она равна нулю тогда и только тогда, когда отображение
88
Из истории отечественной математики
f распространяется на Xn + 1 и на этом основании называется пре-
пятствием к распространению отображения f. Если ср =0 и, зна-
чит, существует распространение f : Хп +1 —» У отображения f, то
препятствие Ср, к распространению отображения f (являющееся
(п + 2)-мерным коциклом над группой лп+1У) называется вторым
препятствием к распространению отображения f и обозначается
СИМВОЛОМ Zp.
Пусть отображения f,g:XR -» У совпадают на X”-1 и пусть
еп g X. Считая сферу склеенной из двух экземпляров клетки
еп , определим отображение S” -» У, предполагая его на одном эк-
земпляре этой клетки совпадающим с f, а на другом —с д. Пусть
tfys(<?”) е л „У-гомотопический класс этого отображения и пусть
df д —коцепь еп нэ ард(еп). Эта коцепь называется различающей
для отображений fug. Она равна нулю тогда и только тогда, когда
отображения f и д гомотопны относительно Хп ~1. Кроме того
9 ^9 ' (3)
Если пространство У (п - 1)-связно и отображение f : хп -> У
нормально, то dp = dx р, где х— постоянное отображение, а значит,
согласно формуле (3), ср = Ъ<1р. Это равенство называется форму-
лой для первого препятствия. Теорема распространения Уитни
является непосредственным ее следствием.
Таким образом, доказательство теоремы Хопфа-Уитни идет по
схеме
формула для препятствия
и
теорема распространения
и
(4)
теорема классификации.
Применив формулу (3) к двум распространениям данного ото-
бражения f \xn -» У на Xn + 1 (и соответственно этому заменив п
на п +1), мы немедленно найдем, что для любого отображения
f : Хп —> У, распространимого на Хп +1, класс когомологий гр его
второго препятствия гр однозначно определен отображением f (не
зависит от выбора распространения). При этом гр =0 тогда и то-
лько тогда, когда f распространимо на Хп + 2.
При и = 2 и У = §2 группы ппУ=Л2§2 илп + 1У=лз§ изомор-
фны группе 2 и потому для любого нормального отображения
f : X2 —>§2 распространимого на X3, классы когомологий dp и
М-М-Постников 89
zy (соответственно размерностей 2 и 4) можно рассматривать как
классы с коэффициентами в группе 2. В частности, можно гово-
рить о произведении df [J dr класса df на себя.
Формула Понтрягина для второго препятствия утверждает,
что при У = § 2 имеет место равенство
Zf = 2df U df. (5)
Следовательно {теорема распространения Понтрягина), ото-
бражение f : X2 -» §2 тогда и только тогда распространимо на X4,
когда &dr = 0 и Idf U df =0. Соответствующая теорема классифи-
кации Понтрягина утверждает, что два нормальных отображения
f,g.X^ ->§2 совпадающие на X2 (в силу теоремы Хопфа-Уитни
только этот случай и интересен), тогда и только тогда гомотопны,
когда существует такой класс когомологий е g № (X; 2), что
dfg=2d\Je, где d=df=dg. (6)
Это дает следующее описание множества [X, § 2 ] при dim X = 3:
а) множество [X, S2] распадается в объединение непересекаю-
щихся подмножеств О(а), являющихся прообразом классов кого-
мологий d g#2(X; 2) при отображении
[X, S2] -> Н2(Х; 2), {f}^df,
б) каждое множество O{d) находится в биективном соответст-
вии с коядром гомоморфизма
Я’(Х;2)-» Н3(Х;2), е н» 2d U е.
Лучшего описания желать невозможно. При и >2 группы
и
являются группами второго порядка, что из-за двойки в
формуле (5) создало у Понтрягина ложное впечатление (см. [6]),
что при п > 2 второе препятствие г f всегда равно нулю. На самом
же деле, как показал в 1946 г. Стинрод (см. [10]), при п>2 имеет
место следующая формула Стинрода для второго препятствия'.
Zf= Sq2df, (D
вместе с соответствующими теоремами распространения и класси-
фикации (получающимися по той же общей схеме (4)). Здесь
Sq2 —знаменитый квадрат Стинрода, определенный для классов
когомологий над 2 и являющийся классом когомологий над 2 /2.
Приход в Москву журнала со статьей Стинрода был большим
ударом для Понтрягина и не только потому, что была вскрыта его
ошибка. Еще в 1942 г. Понтрягин (см. [11]), решая задачу о вы-
числении группы Л3, фактически ввел операции Стинрода, но
90
Из истории отечественной математики
также как и в случае теории препятствий он не стал развивать их
общей теории и прошел мимо нее (хотя основную формулу Стин-
рода для 5(м U/ и) написал (при i = 1)).
Естественно, что Понтрягин немедленно проштудировал рабо-
ту Стинрода и очень быстро принял квадраты Стинрода на воору-
жение (см. [12, 13]), развив до конца идеи своей работы [И]. Я,
как ученик Понтрягина, также досконально изучил теорию Стин-
рода. Знал я и работу Понтрягина [7] о классификации отображе-
ний X —> § при dim X = 3. Поэтому вопрос о переносе результата
Понтрягина на случай отображений X —> У, где dim X = 3, а У про-
извольно (но односвязно), возник у меня, можно сказать, вполне
естественно. (Самому Понтрягину он был чужд из-за той же об-
щей направленности на конкретные ситуации).
Главная —и по-существу единственная!—трудность состояла в
объяснении двойки в формуле Понтрягина (6). Ответ ко мне при-
шел, когда в процессе изучения умножения Уайтхеда (введенного,
стоит сказать, в той же работе [3]) я узнал, что произведение
Уайтхеда образующей группы л2§2 на себя как раз равно удвоен-
ной образующей группы л3§ Поэтому если мы определим U как ум-
ножение в группе №(Х;л 2У) со значением в группе Н4(Х;л3У)
на основе умножения Уайтхеда л2У®л2У—>л3У, то формула
Понтрягина (5) приобретет вид
zf=df\Jdf, (8)
в котором «таинственная» двойка исчезла и который имеет смысл
для любого односвязного У.
После этого осталось формулу (8) лишь доказать (вывод из
нее теоремы классификации рутинен). Это я сделал, соответствую-
щим образом видоизменив рассуждения Стинрода. При этом ока-
залось, что формула (8) верна только тогда, когда группа п 2 У не
имеет 2-кручения. В общем же случае операцию d d U d необхо-
димо модифицировать и получить некоторую новую операцию
КЬ2. Эта модификация была при тг2У = 2/2—для других це-
лей—ранее предложена Понтрягиным в уже упоминавшейся рабо-
те [11]. На этом основании операцию КЬ2 я назвал квадратом
Понтрягина. Таким образом, правильная формула (8) имеет вид
г/-=КЬ2с/у. (9)
2
В соответствующей теореме классификации вместо операции КЬ
должна участвовать т.н. надстройка над КЬ2. Вычисление этой
надстройки сводится к довольно длинной выкладке с операциями
Стинрода U/- В одном месте этой выкладки я первоначально
f4 M Постников 91
потерял знак, и у меня получился нуль. Ошибка была замечена
Рохлиным, и мне пришлось переделывать уже переплетенную ру-
копись. В окончательной формуле появилась новая операция КЬ1,
обладающая тем свойством, что 2Kb1 d = Q для любого d. Позже
Уайтхед [14] назвал ее квадратом Постникова.
Эти результаты я опубликовал без доказательства в краткой
заметке [9], имея в виду дать полное изложение позже. Однако, я
так и не собрался это сделать. Вообще, труд математика состоит из
трех этапов. На первом —самом приятном — придумывается теорема
и идея ее доказательства. На втором —менее приятном, но все же
оставляющем определенное удовлетворение —доказательство при-
водится в порядок, заполняются лакуны, проверяются и упроща-
ются вычисления, доказываются необходимые технические леммы.
Третий этап —самый противный, но увы! требующий 90% време-
ни—состоит в изложении доказательства на бумаге в понятном
виде. Неудивительно, что на последнем этапе многие халтурят,
из-за чего их труды превращаются в головоломки и зачастую легче
самому придумать доказательство, чем разбираться в авторском
тексте. Понтрягин же был очень требователен к форме изложения.
Он меня в этом отношении выдрессировал, и я ему благодарен, но
все же в таких обстоятельствах я предпочитал — когда это было
возможно — вообще писанием статей не заниматься и отделываться
краткими заметками или препринтами.
Несмотря на мое уклонение от полного изложения - а быть мо-
жет и благодаря этому—мои результаты не прошли незамеченными.
В частности, Уайтхед [14] передоказал их (в том числе и при п>2;
см. ниже) на основе своей теории вторичного граничного оператора.
Одновременно со мной классификацию отображений X3 —> У
осуществил также Уитни [16], но его методы были настолько свое-
образны, что я их так до конца и не освоил.
В это же время —летом 1947 г.—в моем общественном положе-
нии произошло изменение. В общежитии МГУ, где я тогда жил,
произошел конфликт, в котором был обвинен я. Здесь не место об-
суждать, насколько это было справедливо, но дело получило огла-
ску, и реакция администрации была решительна —в одночасье я
был из общежития выселен и из аспирантуры исключен. Меня
спас Понтрягин, немедленно принявший меня в аспирантуру
МИАН. В то время это не было чем-то исключительным —аспиран-
тура МИАН была очень малочисленная и в ней состояло лишь
два-три человека, по тем или иным причинам неприемлемых для
регулярной аспирантуры МГУ.
92
Из истории отечественной математики
Мое перемещение в аспирантуру МИАН оказалось для меня
очень удачным —как говорят, «не было счастья, да несчастье помог-
ло» мне не пришлось искать после аспирантуры работу, почти авто-
матически-конечно, по инициативе Понтрягина —я был оставлен в
МИАН.
Это явилось проявлением моей общей удачливости. В России
есть полу шуточное суеверие —считается, что 2н-значное число, пер-
вые п цифр которого совпадают с последними п цифрами, прино-
сит счастье и удачу. Я родился 27 октября 1927 г., т.е. дата моего
рождения 27.10.1927 г.—почти счастливое число. По мнению экс-
пертов — аритмологов поэтому мне в жизни, как правило, везло, но
из-за неполной симметрии даты (0^9) баловнем судьбы я все же
не стал, и мои «удачи» всегда содержали в себе ложку дегтя.
Примером, иллюстрирующим это общее положение, явилась
моя защита кандидатской диссертации в феврале 1949 г. По прави-
лам каждую диссертацию рецензируют два официальных оппонен-
та, но они не всегда достаточно внимательно изучают диссертацию.
Моя диссертация, хотя и была внимательно выслушана Понтряги-
ным, но все же, естественно, прочитана им не была. Поэтому Пон-
трягин настоял — первый и, по-видимому, последний раз в истории
защит кандидатских диссертаций — чтобы у меня был третий «чита-
ющий» оппонент, которому он бы полностью доверял. Им стал
В.А.Рохлин (а «регулярными» оппонентами были П.С.Александ-
ров и М.Ф.Бокштейн). На защите Рохлин с присущим ему едким
красноречием минут двадцать издевался над текстом диссертации,
демонстрируя разного рода—наличествующие и воображае-
мые—языковые ляпсусы и отклонения от грамматических норм.
(Кстати сказать, после критики Рохлина я стал писать очень мед-
ленно, тщательно выбирая слова и много раз переписывая текст).
Выслушав Рохлина, присутствовавший на защите Петровский
предложил столь сырую и плохо написанную диссертацию отло-
жить, пока диссертант ее не переделает. Рохлин вскочил и еще
двадцать минут объяснял, что делать этого не следует, что диссер-
тация очень хороша, является крупным научным достижением и
т.д. и т.п. Хотя его похвалы были еще менее обоснованы, чем его
критика, они свое дело сделали, Петровский взял назад свое пред-
ложение и защита благополучно закончилась.
Как я уже говорил, сразу же после защиты я стал работать в
отделе Понтрягина. Следующие два года были заполнены интен-
сивной деятельностью — я с энтузиазмом разрабатывал открывшую-
ся мне область исследований.
J4.M. Постников
93
В первую очередь результаты диссертации были мною перене-
сены на случай п>2 (см. [15]), т.е. на случай отображений
(и + 1)-мерного клеточного пространства X в (и - 1)-связное про-
странство У. Этот случай оказался менее интересным, главным об-
разом, из-за того, что вместо умножения Уайтхеда появилось ма-
лоинтересное умножение л„У ® л„У-> лп + 1У. Несколько по-
зже—и с ссылкой на меня —этот результат был передоказан Сима-
дой и Уехарой ([17]), которые были вынуждены это сделать, не
дождавшись от меня полной публикации. Затем я занялся случа-
ем, когда dimX = n и лгУ = 0 при 1 < г < п. Здесь, в первую оче-
редь, надо было перенести на случай отображений в неодносвяз-
ные пространства общую теорию препятствий Эйленберга. Хотя
это делается тривиальным образом, —надо лишь обычные когомо-
логии заменить когомологиями с локальными коэффициентами
(придуманные Стинродом через несколько лет после работы
Эйленберга),—но мне все пришлось посвятить этому специальную
заметку (см. [18]), чтобы было куда делать ссылки1. При и = 2 за-
дача классификации отображений Хп —> У была решена в 1942 г.
Роббинсом [19]. Анализируя это доказательство, я понял, что нуж-
но делать в случае любого п. Результат (см. [20]), хотя и простой
по идее, формулируется довольно сложно . Ключевую роль в нем
играет некоторый класс когомологий kn +1 (У) е Нп + (л j У, л „ ),
который был в это время введен — для совершенно других целей
(см. ниже) — Эйленбергом и Маклейном (а при п = 2 еще фактиче-
ски Роббинсом).
В упоении открывшимися передо мной перспективами я не
всегда заботился об опубликовании результатов даже в форме
кратких заметок (о препринтах тогда еще и помину не было—по
крайней мере в Москве) и довольно много из них остались погре-
бенными в моем письменном столе. Вот типичный пример.
Где-то в году 1951 П.С.Александров поручил своему ученику
О.Локуциевскому рассказать на топологическом кружке, который
в то время еще функционировал, работу Хопфа и Паннвитц [21]
от 1933 г. В этой работе для размерностнооднородных н-мерных
симплициальных полиэдров К ставилась задача об условиях, при
которых не существует отображения К К на собственное под-
множество 1с К (фактически на подмножество вида К \ ст" ,
где ст"- некоторый n-мерный симплекс) гомотопного тождественно-
му отображению id : К —> К. Хопф и Паннвитц доказали, что
а) для этого достаточно, чтобы для любого и-мерного симплек-
са ст" из К существовало число тп > 0 и негомологичный нулю цикл
г по модулю т, в который симплекс ст" входит с отличным от нуля
коэффициентом;
94 Из истории отечественной математики
Ь) если полиэдр К односвязен, то это условие и необходимо;
с) в общем случае это условие не необходимо.
В вводной речи к реферату Локуциевского Александров отме-
тил геометрическую красоту и изящество этих теорем и выразил
сожаление, что работа [21] оказалась по-существу забытой —быть
может, из-за окончательности ее результатов. Локуциевский вы-
ступил дважды —на первом заседании он изложил результаты, а
на втором —через неделю —доказательства. Слушая Локуциевско-
го, я первым делом переформулировал условие Хопфа-Паннвитц
на когомологический язык и немедленно понял, что для того, что-
бы превратить его в необходимое и достаточное условие нужно
лишь ввести в рассмотрение когомологии с локальными коэффици-
ентами. В конце первого доклада Локуциевского я так и объявил.
Александров был шокирован и, по-видимому, серьезно оскорб-
лен—какой-то мальчишка объявляет, что он прямо на заседании
смог решить проблему, которая поставила в тупик самого Хопфа!
Очевидно, что он врет и должен быть наказан.
— Хорошо, Михаил Михайлович!—с ядовитой любезностью
сказал он. Быть может, Вы не откажетесь рассказать Ваше «реше-
ние» здесь на кружке на следующем заседании?
— С удовольствием, Павел Сергеевич!—Ответил я.
И так было решено.
Продумывая доклад, я понял, что на самом деле я могу ре-
шить существенно более общую задачу.
Пусть X— произвольный n-мерный полиэдр (клеточное про-
странство) и пусть (У, В)—такая пара, что лг(У, В) = 0 для любого
г<п-\. Назовем отображение f \X—*Y нормальным, если
f(Xn "1) с В. Ясно, что любое отображение гомотопно нормальному.
С другой стороны, каждое нормальное отображение f : X —> У опре-
деляет n-мерный коцикл с/у пространства X под локальной системой
групп л „(У, В, Де0)), е° е X, значение которого на клетке еп е X с
выбранной вершиной е° равно гомотопическому классу отображения
fox :(В", §”-’,50)-> (У, в, Де0)),
где у —характеристическое отображение клетки еп. При B = pt —
это в точности характеристический коцикл df из теоремы Хопфа.
Оказывается, что аналог теоремы Хопфа имеет место и в этой бо-
лее общей ситуации и, в частности, отображение f тогда и толь-
ко тогда гомотопно отображению в В, когда с/у ~ 0 (в группе ко-
гомологий с локальными коэффициентами). Обобщенная теорема
Хопфа-Паннвитц является непосредственным следствием этого
М.М-Постиикоп 95
утверждения. Другим ее следствием является теорема Понтряги-
на из его работы [22], утверждающая, что отображение f : Хп —> У
«-мерного клеточного пространства X в (односвязное) клеточное
пространство У тогда и только тогда гомотопно отображению в
(и - 1)-мерный остов У” ~1 пространства У, когда для любой груп-
пы коэффициентов оно индуцирует нулевой гомоморфизм «-мер-
ных групп гомотопий.
Я все это рассказал на следующем заседании. Ситуацию в мос-
ковской топологии того времени ярко характеризует тот факт, что
выслушав мой доклад и приняв его без каких-либо возражений,
аудитория продолжала с неменьшим интересом слушать окончание
доклада Локуциевского.
Тем не менее, после окончания семинара П.С.Александров по-
дошел ко мне и сказал:
— Все, что Вы рассказывали, очень интересно. Пожалуйста,
напишите подробное изложение и дайте его мне. Я его прочту, и
мы его опубликуем.
Я написал просимый текст и отдал его Александрову. Так он у
него и остался, и больше я его не видел. Напомнить же Александ-
рову я счел в то время неудобным, да и по правде сказать, я про-
сто про него забыл, занявшись совсем другим предметом.
Когда Уайтхед был в Москве (см. ниже) я сделал в его при-
сутствии доклад об этом. Уайтхед никак не прореагировал. Тогда
я думал, что это из-за тривиальности и задачи, и решения. Позд-
нее я узнал, что как раз в то время он сдал в печать совместную со
Спейньером статью [23], в которой было дано совершенно другое —
в определенном смысле двойственное — решение этой задачи. (Для
более широкой области размерностей, но только в односвязном слу-
чае). Почему он об этом в Москве не сказал, я не знаю. По-видимо-
му, Он просто не слушал достаточно внимательно мой доклад.
Позже вопрос о публикации отпал, поскольку И. Берштейн со-
вершенно независимо повторил результат (см. [24]).
Еще Пуанкаре знал, что абелианизация фундаментальной груп-
пы к\Х изоморфна группе гомологий 1Ц(Х; 2). В 1942 г. Хопф по-
казал, что в случае, когда л -^Х =0, группа п^Х определяет также и
группу Н2(Х; 2), а к 1945 г. обобщил этот результат на любые ас-
феричные пространства (см. [25]). Результаты Хопфа были суще-
ственно упрощены и обобщены в серии работ Эйленберга и Мак-
лейна (см., например, обзор Эйлецберга [26]). Успех Эйленберга
и Маклейна объяснялся прежде всего тем, что они перешли от го-
мологий к когомологиям. Их работы заложили основы общей тео-
рии когомологий групп и легли в основу гомологической алгебры.
96
Из истории отечественной математики
В несколько модернизированном виде их основные результаты, по-
лученные к 1950 г., могут быть описаны следующим образом.
Пусть (Х, *0) пунктированное топологическое пространство.
Симплициальное подмножество М - М(,Х) сингулярного симплициа-
льного множества 5(Х) называется минимальным, если S({xq}) с М
и если для любого сингулярного симплекса ст G 5(Х), все грани кото-
рого лежат в М, существует в М единственный симплекс, гомотопный
(относительно границы) симплексу ст. Легко видеть, что минимальные
подмножества существуют и любые два минимальных подмножества
изоморфны. Кроме того, вложение М cz S(X) индуцирует изомор-
физм групп (ко)гомологий (представляет собой цепную эквивалент-
ность). В случае, когда пространство X является пространством
К(л, п), (т.е. лгХ =0 при г*п нл„Х = л), подмножество М изомор-
фно симплициальному множеству Н(л, п), симплексами размерности г
которого являются n-мерные коциклы r-мерного стандартного симп-
лекса Дг и операторы граней которого индуцированы вложениями
Дг-1 в Дг в качестве граней, а операторы вырождения —проекциями
Дг +1 —> Дг. Для построения этого изоморфизма определим на М
n-мерную коцепь dn (являющуюся, как легко видеть, коциклом), зна-
чение dn (ст) которой на n-мерном симплексе ст равно элементу группы
л = л„Х, определяемому этим симплексом (являющимся, очевидно,
отображением (д” , Д”) —> (X, Хр)). Тогда изоморфизм
<р : М —> Н(л, п)
будет задаваться формулой
<р(ст)=Ха«Л
гдё ст : Дг —> X—произвольный симплекс из М, а ха :5(Д" ) -> М —
его характеристическое отображение.
Более того, коцикл dn , а, значит, и отображение <р, определены
для любого (и - 1)-связного пространства X, причем если л r X = 0
при п < г < т, то отображение <р будет изоморфизмом в размерностях
< т (и, значит, будет индуцировать в этих размерностях изоморфизм
групп гомологий). При п= 1 это дает результаты Хопфа.
В размерности т отображение <р будет обладать лишь сечением
(т.е. обратным справа отображением гр). Пусть такое сечение вы-
брано. Тогда для любого (т + 1)-мерного симплекса ст е Н(лпХ, п)
симплексы крс/’), 0 < i < т + 1 будут образовывать в М симплициа-
льную мерную сферу и, значит, будут определять некоторый
элемент £’” + ,(ст) группы лтХ. Получающаяся функция
km + ^ :cti—+ 1 (ст) является коциклом, класс когомологий которого
М. И. Постников
97
не зависит от выбора сечения у. Эйленберг и Маклейн называют
этот коцикл k-инвариантом пространства X (обладающим тем
свойством, что пгХ =0 при г < т и г ф п). При п = 1 —это в точности
указанный выше коцикл km + ] (при т=п).
Пусть G—группа и Z(fera + 1, G) —группа всех пар вида (р, с),
где р - такой гомоморфизм nmX—>G, что pkm + t ~ 0, а с—такая
m-мерная коцепь из Ст(Н(п„Х, п); G), что 8с = pfera + 1. Пусть, да-
лее, E(km +1, G)—фактор-группа группы Z(km + i,G) по подгруппе
всех пар вида (0,8а), где а е Ст~1 (Н(ппХ, п); G). Заключитель-
ная теорема Эйленберга и Маклейна утверждает, что группа
E(km + ^, G) изоморфна группе Нт(.Х; G) (см. [26]).
Познакомившись с этой теоремой, я довольно быстро понял, что:
а) введенная Эйленбергом и Маклейном группа E(km+t,G)
является на самом деле тп-мерной группой когомологий некоторого
симплициального множества, строящегося по Н(ппХ, п) и km + i;
б) построение этого множества можно итерировать, что приве-
дет к алгебраическому описанию минимального множества М лю-
бого связного топологического пространства X.
Сначала я итерировал конструкцию совершенно прямолиней-
ным образом применительно к пространствам X, гомотопические
группы которых отличны от нуля лишь в размерностях
п < т\ <
но когда я рассказал ее Понтрягину, он немедленно заметил, что в
этом предположении нет нужды, и надо считать, что п = 1, =2,
г«3 =3, ... и т.д., т.е. что X является совершенно произвольным
(линейно связным) пространством. Я до сих пор помню ощуще-
ние, какое я испытал от этих слов —как с глаз упала пелена.
Я быстро написал соответствующую заметку [27] и сдал ее в
печать.
В этой заметке роль симплициальных множеств играл некий
их эрзац, который я специально придумал для этой цели. Но по-
сле того как в Москву пришла статья [28], в которой впервые
были введены симплициальные множества (под названием полу-
симплициальных комплексов), мне стало ясно, что именно они
дают правильное концептуальное основание всей теории.
Шаг итеративного описания множества М может быть описан
следующим образом (в предположении, что X односвязно; общий
случай требует локальных коэффициентов).
7-3525
98
Из истории отечественной математики
Пусть К— произвольное симплициальное множество, л—абеле-
ва группа и km +1 — коцикл в К над л. Для любого симплекса о е К
определено его характеристическое отображение : Дг —> К,
г = dim ст, и, значит, коцикл + 1 е Zm + 1 (Дг; л). Рассмотрим
множество К' всех пар (ст, с), где ст G К, а с—такая коцепь из
Ст(Дг;л), г = dim ст, что 8c = xCTfem + 1 - Относительно естественных
операторов граней и вырождения К’ является симплициальным
множеством, а каноническая проекция у :К' К, (ст, с) I—> ст—сим-
плициальным отображением. При этом в размерностях < т проек-
ция у является изоморфизмом, а в размерности т обладает сечени-
ем ст 1-> (ст, 0).
Теперь каждому односвязному пространству X мы можем от-
нести последовательность (башню) симплициальных множеств
К2 <—^3 Кп <—^п+1 <— (10)
обладающую следующими свойствами:
а) К2 =Н(к2Х,2);
б) для любого п > 2 существует такое симплициальное отобра-
жение а„ : М(Х) —> Кп, являющееся в размерностях < п изомор-
физмом, что ап =у п °ап + 1;
в) для любого п > 2 симплициальное множество Кп + является
множеством К', построенным для симплициального множества К = Кп,
группы л = л п + j X и некоторого коцикла kn g Zn+ '^ (Кп ; л п + j X)
(при п = 2 являющемуся fe-инвариантом Эйленберга и Маклейна, а при
п > 2 аналогичным образом строящемуся с помощью изоморфизма а„
по сечению предыдущего отображения У ,г _ i )
Естественным образом определяется «предел» башни (10),
изоморфный (в силу условия б)) минимальному множеству М(Х)
и, значит, обладающий тем свойством, что для любой группы G
h*(k№-,g) = h4x\ GY
Результаты Эйленберга и Маклейна получаются отсюда при огра-
ничении в башне (10) лишь первыми двумя нетривиальными этажами.
В это время в Москве не было ни одного человека, который
интересовался бы такого рода проблематикой. Трудно было даже
найти человека, который согласился меня просто выслушать. Пон-
трягин это сделал более или менее по служебной обязанности и без
особого интереса. Поэтому я обратился к заведующему кафедрой
алгебры МГУ проф.А.Г.Курошу, аргументируя, что конструкция
чисто алгебраическая. Курош относился ко мне с большим уваже-
нием и согласился меня выслушать.
М.М. Постников 99
Конечно, все это было ему внове, и он понял конструкцию
лишь на формальном уровне. Однако, будучи опытным математи-
ком, он, прослушав мой рассказ, спросил:
— А нельзя ли по башне (10) вычислить и другие инварианты
пространства X, отличные от групп когомологий?
Я вытаращил глаза и вскричал:
— Но, конечно! Все можно вычислить! Эта башня определяет
гомотопический тип!
На следующий день была написана заметка [29] и сдана в пе-
чать.
Теперь уже забыт путь, которым я шел, и никто не восприни-
мает башню (10) как способ описания групп когомологий.
Конечно, переход к гомотопическому типу не был вполне авто-
матичен. Здесь нужно было понятие геометрической реализации,
которое в то время носилось в воздухе и одновременно было пред-
ложено Дживье3 [30]. (Теперь используется более экономная гео-
метрическая реализация, несколько позже введенная Милнором;
см. [31]). Однако, после того как это понятие введено, доказатель-
ство никаких реальных трудностей не представляет.
Так как башня (10) определяет гомотопический тип простран-
ства X, то на основе уже известных идей для любого клеточного
пространства К гомотопическая классификация отображений
К —> X без труда осуществляется по этой башне в терминах групп
когомологий (см. [32]). В частности, теоремы классификации из
моей кандидатской диссертации являются с этой точки зрения не
чем иным как вычислением первых двух этажей башни (10).
Подобного рода построения резко противоречили жизненной
философии Понтрягина. По его убеждению основным в математи-
ке является решение четко поставленных конкретных проблем, а
возникающие в процессе их решения общие конструкции и прин-
ципы являются своего рода отходом, часто полезным, но отнюдь
не главным. Поскольку Понтрягин был в то время в Москве един-
ственным авторитетом в алгебраической топологии, это определило
общее отрицательное отношение к моим результатам. Помню, как
на Всесоюзной топологической конференции (кажется, в 1952 г.)
после моего доклада Понтрягин обрушился на меня с вопросами
типа: «А зачем это нужно?», «Что это дает?», «Какие новые зада-
чи Вы можете решить?». Растерявшись, я не нашел удовлетвори-
тельных ответов и вынужден был под всеобщий издевательский
смех сесть на место.
Однако, надо отдать Понтрягину справедливость — он не делал
никаких оргвыводов и, более того, честно пытался разобраться
7'
100
Из истории отечественной математики
по-существу. Для этого он, во-первых, приказал мне написать под-
робное и всем понятное —начинающееся с самых основ — изложение
(см. [39, 40]) и, во-вторых, несколько раз ставил мой доклад на то-
пологическом кружке. После второго или третьего раза он заявил:
— Быть может, тут что-то и есть, но Вы сами не можете доне-
сти это до слушателей. Расскажите все это Болтянскому, и пусть
он нам доложит.
В.Г.Болтянский, в то время аспирант Понтрягина, по образо-
ванию и склонностям был тем, что сейчас называется геометриче-
ским топологом. Он прославился построением двумерного компак-
та, квадрат которого трехмерен. Гомотопической топологии он со-
вершенно не знал. В течение нескольких месяцев четыре-пять раз
в неделю я рассказывал ему все, что я знал и что придумал. Рас-
сказ начинался в Институте и продолжался по дороге к дому Бол-
тянского, где, соединяя приятное с полезным, мы садились за пре-
феранс. Болтянский не только во всем разобрался, но и сам начал
научную работу по алгебраической топологии. Мое научное одино-
чество кончилось.
Каждое непрерывное отображение f ; X —> У может быть отож-
дествлено с сечением
X —> X х У, х (х, f(x))
тривиального расслоения X х У —> X. Это ставит задачу о переносе
результатов о непрерывных отображениях на случай сечений лю-
бых (локально тривиальных) расслоений. Перенос определений и
общих свойств препятствий и различающих на этот общий случай,
так же как и доказательство аналога формулы для первого препят-
ствия, затруднений не вызывает (см. [33]; заметим, что знамени-
тые характеристические классы Штифеля —Уитни, Чженя и Пон-
трягина естественнее всего интерпретируются именно как некие
первые препятствия). Формула же для второго препятствия, тре-
бующая новых идей, была доказана Болтянским, сначала для слу-
чая векторных полей [34], а потом и в общем случае [35].
В своем сочинении [36] монографического характера наряду
со своими результатами Болтянский подробно изложил также ре-
зультаты моей кандидатской диссертации, окончательно сняв с
меня задачу их письменного оформления.
Результаты Болтянского были оформлены им в виде кандидат-
ской и докторской диссертаций. Помню первую фразу его выступ-
ления на докторской защите:
-Доказанная формула для второго препятствия состоит из
трех членов: первый член Стинрода, второй Постникова и тре-
тий—самый важный- мой член!
ММ. Постников
101
По-русски эта фраза содержит двусмысленность, и зал поэто-
му захихикал. Я до сих пор не знаю, нарочно ли сделал это Бол-
тянский.
После доклада Болтянского на топологическом кружке весной
1953 г. о моей работе Понтрягин сказал:
— Ну, хорошо! Можете защищаться!
Были назначены оппоненты (Курош, Александров и Бокш-
тейн), и в декабре 1953 г. состоялась защита. Мне запомнился
фрагмент выступления Александрова:
— Чтение работ Хопфа является нелегкой задачей. Его можно
сравнить с прорубанием тропы в тропическом лесу сквозь лианы,
бурелом и болота. Но когда работа прочитана, обнаруживаешь себя
на опушке, перед тобой открывается прекрасный ландшафт новой
страны, и ты понимаешь, что весь труд был оправдан. Чтение же
сочинения М.М.Постникова не менее трудно, но, прочитав его, ты
оказываешься не на опушке, а остаешься в глубине леса, полууто-
нувший в болоте и перед твоим взором не новый ландшафт, а стены
все того же перевитого лианами леса, за которым ничего не видно!
Этот пассаж ярко характеризует научную атмосферу, окру-
жавшую тогда меня в Москве.
Недели через две после защиты я совершенно случайно позна-
комился с биографией Н.И.Лобачевского, написанной В.Ф.Кага-
ном [37]. И в этой биографии я с удивлением обнаружил дословно
ту же характеристику, но она была на 80 лет ранее высказана Бах-
маном в адрес Лобачевского! Хорошо, что я не знал того во время
защиты. Наверняка, я бы не удержался от ответа Александрову с
непредсказующими для исхода защиты результатами. А так, я про-
молчал, и защита прошла без каких либо инцидентов.
Еще за несколько месяцев до этого в Москву впервые после
войны приехала представительная английская научная делегация,
возглавляемая Берналом. В состав делегации входил незабвенный
Г.К.Уайтхед. Я был, что называется, «приставлен» к нему и всю-
ду его сопровождал, хотя, боюсь, помощи от меня было мало, так
как в то время я почти не говорил по-английски.
Конечно, Уайтхед был приглашен сделать научный доклад.
Он его начал с извинения, что «приезжает в Ньюкасл со своим уг-
лем» и посвятил изложению своей работы [38], в которой башня
(10) была заново построена на языке клеточных пространств. (Не-
сколько позже она была,-по-видимому, Серром,—переформули-
рована на языке расслоений; вариант ныне общепринятый). Счита-
ется, что именно после этого моя работа получила в Москве призна-
ние и была поставлена на защиту. Я хочу подчеркнуть, что это
102
Из истории отечественной математики
неверно — решение о защите был принято Понтрягиным и Алексан-
дровым за несколько месяцев до того.
После доклада Уайтхеда бывший на нем специалист по теории
приближений проф.С.М.Никольский (ныне академик) спросил
меня: «А хороший ли ученый Уайтхед?» - и после моего востор-
женного «Да!» продолжил: «Ну, да! Он хвалит Вас, а Вы хвалите
его!» А ведь Никольский относился ко мне хорошо. Что уж тут го-
ворить о всеобщем признании.
Нужно сказать, что из-за моего тогдашнего плохого знания
языка я не очень понял Уайтхеда, и по-существу на его доклад не
отреагировал. Уайтхед был разочарован, но хорошего ко мне отно-
шения не изменил.
Это была моя первая встреча с иностранцами, и некоторые
эпизоды мне помнятся до сих пор.
Во время доклада Александрова, происходившего в старом по-
мещении Института кристаллографии на Ордынке, Уайтхед вдруг
вскочил и стремительно выбежал из комнаты. Докладчик остался с
открытым ртом, а мы все не знали, что сказать или сделать. Через
несколько минут дверь приоткрылась, и появилось несколько сму-
щенное лицо Уайтхеда с вопросом:
— Где бы найти бумагу?
Оказалось, что у него внезапно схватил живот, а в туалете ин-
ститута туалетной бумаги не оказалось. Да, что говорить о туалет-
ной бумаге! Когда я позднее зашел в туалет, я пришел в ужас.
Стены, выкрашенные темной облупившейся краской, были в поте-
ках грязи, а цементный пол на дюйм покрыт жидкой субстанцией,
состав которой лучше не обсуждать. Конечно, post hoc not propter
hoc, но через несколько месяцев после этого эпизода туалеты во
всех учреждениях Академии были капитально отремонтированы и
приведены в относительный порядок.
При отъезде Уайтхед принял довольно много «живительной
влаги» и в аэропорту громко кричал «Гт old communist!», на что
другой член делегации —историк заметил «АП mathematicians аге
mad!» Вылет осуществлялся из аэропорта Внуково в совершенно
непринужденной обстановке. Все провожающие — и я в том чис-
ле-были допущены в самолет. Ни таможенников, ни погранични-
ков заметно не было. Уайтхед получил довольно много сувениров,
но не позаботился их упаковать. Он шел на посадку в сопровожде-
нии трех носильщиков, обвешанных более чем дюжиной неболь-
ших пакетов и свертков, перевязанных шпагатом. В самоле-
те—типа американского D2 —нам понадобилось с четверть часа
разместить все эти свертки в хвосте самолета.
ММ. Постников
103
Теперь такая патриархальность представляется чем-то сказоч-
ным! Но так действительно было.
Писание диссертации и борьба за ее признание прервали поток
моих размышлений, и я уже больше никогда не смог работать с та-
кой интенсивностью и результативностью и не только из-за пере-
рыва, но и из-за занятости другими делами. Защита диссертации
подвела, таким образом, черту над целым периодом моей жизни и
здесь, поэтому, разумно поставить точку.
Примечания
1 Позднее из реферата в MR я узнал, что это было сделано—в иной форме—также
А.Комату (Jap. J. Math. 1941. №17. Р.201—228).
2 Снова из MR я узнал, что эта задача классификации была решена также.
3 А также Ху (Pacific J.Math. 1,583 — 602 (1951)); эта статья прошла мною незамечен-
ной.
Список литературы
1. Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. М, 1947.
2. Постников М.М. ДАН. 61, 795 — 797 (1948).
3. Whitehead J.H.C. Ann. of Math. (2)42, 409 — 428.
4. Hopf H. Comm. Math. Hclvetici. 5 (1932).
5. Whitney H. Duke Math. J. 3, 51 -55 (1937).
6. Понтрягин Л.С. ДАН. 19, 361—364 (1938).
7. Pontrjagin L.S. Матсм. сб. 9(51), 331—363 (1941)
8. Eilenberg S. Ann. of Math. (2)41, 231—251 (1940).
9. Постников M.M. ДАН. 64, 462 — 462 (1949).
10. Steenrod N. Ann. of Math. (2)48, 290 — 320 (1947).
И. Понтрягин Л.С. ДАН. 34, 39 — 41 (1942).
12. Понтрягин Л.С. ДАН. 65, 797 — 800 (1949).
13. Понтрягин Л.С. ИАН. Сер. мат. 14, 7 — 44 (1950).
14. Whitehead J.H.C. Ann. of Math. (2)54, 68-84 (1951).
15. Постников M.M. ДАН. 71, 1027-1028 (1950).
16. H. Whitney M.M. Ann. of Math. (2)50, 270-284 (1949)
17. Shimada N., Uehara H. Nagoya Math. J.3, 67 — 72 (1951)
18. Постников M.M. ДАН. 66. 161 — 164 (1949).
19. Robbins H, Trans. Amer. Math. Soc.49. 308 — 324 (1941).
20. Постников M.M. ДАН. 67, 427-430 (1949).
21. Hopf H., Pannwitz E. Math. Ann. 108, 433 — 465 (1933).
22. Понтрягин Л.С. ДАН. Сер. мат. 13, 193 — 200 (1949).
23. Spanier E., Whitehead J .H .C. Quart. J. of Math. Oxford. Ser (2)6, 91 —100 (1955).
24. Berstein J. Comm. Math. Hclvetici. 33, 70 — 80 (1959).
25. Hopf H. Comm. Math. Hclvetici. 17, 39 — 79 (1944/1945).
26. Eilenberg S. BAMS. 55, 3 37 (1949).
27. Постников M.M. ДАН. 76, 359 — 362 (1951).
104 Из истории отечественной математики
28. Eilenberg S., Zilber J.A. Ann. of Math. (2)51, 499 — 513 (1950)
29. Постников M.M. ДАН. 76, 789 - 791 (1951).
30. Giever J.B. Ann. of Math. (2)51, 178—191 (1950).
31 Milnor J. Ann. of Math. (2)65, 357-362 (1957).
32. Постников M.M.. ДАН. 79, 573 - 576 (1951).
33. Steenrod N. The topology of fiber bundles. P., 1951.
34. Болтянский В.Г. ДАН. 80, 305 - 307, (1951).
35. Болтянский В.Г. ДАН. 85, 17 — 20 (1952).
36. Болтянский В.Г. Труды МИАН. 47, 1—200 (1955).
37. Каган В.Ф. Лобачевский. М.-Л., 1948.
38. Whitehead J.H.C. Proc. London Math. Soc. (3)3, 385 — 416 (1953).
39. Постников M.M. Труды МИАН. 46, 1 —156 (1955).
40. Постников M.M. Матем. сб. 40(82), 415 — 452 (1956).
К 100-ЛЕТИЮ СОФЬИ АЛЕКСАНДРОВНЫ
ЯНОВСКОЙ
СОФЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА ЯНОВСКАЯ
(1896-1966): ВОСПОМИНАНИЯ
И. Г. Башмакова
Эта замечательная женщина была самой талантливой, самой
умной из всех, кого мне довелось встретить за всю свою долгую
жизнь. Время бежит быстро. Еще одно-два десятилетия, и не оста-
нется ни одного человека, который знал Софью Александровну.
Поэтому я и решила поделиться своими воспоминаниями.
Творчество ученого или писателя подобно айсбергу, большая
часть которого остается скрытой от взоров окружающих. Этот образ
особенно ярко встает передо мной, когда я вспоминаю о Софье Алек-
сандровне. Ее прекрасные работы, такие как «Из истории аксиомати-
ки», «О роли математической строгости в творческом развитии мате-
матики» и специально в «Геометрии Декарта» или серия статей о па-
радоксах Зенона едва ли составляют десятую часть сделанного ею.
Только мы, ученики С.А., хорошо знаем это, хотя, конечно, и мы не
могли до конца проникнуть в глубины ее творческого духа.
Софья Александровна щедро делилась с нами своими мысля-
ми и идеями. Часто мы даже не знали, что она говорит нам совер-
шенно новые в истории науки вещи, мы полагали, что она знако-
мит нас с давно известными, устоявшимися положениями. Впо-
следствии я была очень удивлена, когда тщетно искала изложение
их в научной литературе. Многие из этих положений (кстати, до
сих пор нигде не опубликованных) вошли в плоть и кровь русской
школы истории науки, но некоторые погибли безвозвратно. Я хочу
106
К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
начать с некоторых общих традиций, которые С.А. положила в
основу нашей школы. С.А. внушала нам, что история науки —это
не обзор, не изложение открытий прошлых лет на современном
языке. Тем более она не сводится к установлению того, что ученый
А открыл некоторый закон или доказал теорему на 25 лет, или на
25 дней раньше ученого В. Все это только канва, с помощью кото-
рой историк математики должен вести свои исследования.
С.А. особенно ценила в историко-математических изысканиях
глубину проникновения в сущность проблемы, умение реконструи-
ровать методы изучаемого автора, понять, почему он заинтересо-
вался тем или иным вопросом, какова связь его трудов с его фило-
софскими воззрениями, а также с параллельным развитием других
ветвей математики и физики. Думаю, что эта традиция до сих пор
сохранилась в нашей школе, которую она основала.
Остановимся теперь на некоторых исследованиях Софьи Алек-
сандровны, которые не были опубликованы.
1) Занимаясь античной наукой, она одна из первых обратила
внимание на Гиппократовы луночки, перевела на русский язык все
сохранившиеся фрагменты из Симпликия и Александра Афроди-
зийского и предложила очень правдоподобную реконструкцию ме-
тода, которым сам Гиппократ находил квадрируемые луночки.
2) Далее, С.А. проанализировала «метод исчерпывания» древ-
них, заменявший им метод пределов, а также провела его сопо-
ставление с механическим методом Архимеда, который великий
математик изложил в «Эфоде». Напомню, что после того как
«Эфод» был найден в начале нынешнего века, среди историков на-
уки распространилось мнение, что это и был основной метод Архи-
меда, что именно с его помощью были найдены все определенные
им площади, объемы и центры тяжести. При этом считалось, что
сам «метод исчерпывания» лишен эвристической силы, что он при-
годен только для доказательства известных результатов. С.А. по-
казала, что это не так, что сила механического метода заключалась
в том, что к аксиомам геометрии Архимед присоединил принцип
рычага —очень сильную новую аксиому. Это-то и дало ему воз-
можность получать новые результаты быстро и эффективно. Одна-
ко, он считал необходимым доказать эти результаты с помощью
классического «метода исчерпывания». Что было бы, говорила
она, если бы Архимед основывал теоремы геометрии на принципах
механики, а механику —на аксиомах геометрии? Эти ее соображе-
ния получили дальнейшее развитие в работах нашей школы.
3) Наконец, С.А. многие годы читала курс истории проблемы
обоснования анализа, в котором излагала свои мысли об эволюции
И.Г.Башмакова
107
математической строгости и о соотношении алгоритмических и не-
алгоритмических методов, применявшихся при построении матема-
тического анализа. Некоторые ее мысли по этому поводу можно
найти в статьях и комментариях, посвященных математическим ру-
кописям Маркса, однако, к сожалению, последовательного изло-
жения истории анализа с точки зрения эволюции его основ она не
оставила.
Почему же С.А. так мало писала? Мало не в абсолютном
смысле слова, а по сравнению с той массой материала, который
остался неизданным? Дело в том, что все свои силы, все свое вре-
мя она отдавала ученикам. Чтобы лучше понять, почему и как зто
происходило, обратимся к краткому знакомству с ее жизнью.
Я близко знала Софью Александровну с 1943 года, когда она
вернулась из эвакуации в Москву. Она руководила моей дипломной
работой, а в 1944 год я поступила к ней в аспирантуру. С.А. была
небольшого роста с маленькими, почти детскими руками и ногами.
Когда она горячилась во время научных споров, то била своим мале-
ньким кулачком по столу. Этот жест хорошо помнят все участники
Методологического семинара, которым она руководила долгие годы.
С.А. не была счастлива в личной жизни. Молоденькой девуш-
кой она вышла замуж за Исаака Яновского, революционера, как и
она, но происходившего из рабочей семьи. Это особенно нравилось
С. А. Она считала, что этот брак вольет новую жизнь в ее интелли-
гентский род. Увы! Муж оказался тяжелым шизофреником. Забо-
лел этой страшной болезнью и ее единственный сын Имма (Эмма-
нуил). Она рассказывала мне, что в 14 лет она отправила его в
летний лагерь. И вот ей приснился сон, будто Имма стоит с почер-
невшим лицом и говорит какую-то бессмыслицу. Наутро ей позво-
нили и попросили забрать сына из лагеря. С.А. поместила его в
больницу и настояла, чтобы ему провели активное лечение. Насту-
пила ремиссия. Но приступы болезни повторялись вновь и вновь.
Когда я с ним познакомилась (а он был моим ровесником), он уже
не мог учиться, был инвалидом. Помню, как я с С.А. поехала на-
вестить его в больницу на Матросской Тишине. Имма узнал нас,
но мы его не интересовали: он руководил революцией на Марсе и
не мог отвлекаться на всякие пустяки. Впрочем он съел все, что
мы принесли, а затем начал есть и вовсе несъедобные предметы,
находившиеся на столе. Я долго не могла прийти в себя после это-
го визита. А как же он должен был подействовать на мать!
Быт С.А. был тяжелым. В 1944—1954 годах она жила вместе
со своей сестрой, профессором биохимии, в квартире на Ленинг-
радском проспекте. Она занимала одну комнату, где вместе с нею
108
К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
жили Имма, Евгений Борисович Дынкин, которого она привезла с
собой из Перми и перед талантами которого она преклонялась, и
мать Дынкина. Кроме Е.Б.Дынкина она привезла из эвакуации
О.А.Олейник и М.М.Постникова. Все трое стали известными ма-
тематиками. Трудно даже представить, как она могла работать в
такой обстановке! Из убранства комнаты мне запомнились только
несколько кроватей, книжные полки и большой письменный стол,
на котором в идеальном порядке лежали книги и бумаги, а в ва-
зочке стояли хорошо отточенные карандаши, обычные и цветные.
Последние служили для подчеркивания понравившихся ей мест в
книгах. При этом и цвет и способ подчеркивания несли определен-
ную смысловую нагрузку. Только после переезда университета в
новое здание она получила квартиру в Доме преподавателей на
Ленинских горах.
Не надо забывать также, что С.А. многие годы страдала са-
харным диабетом. Она сама делала себе уколы инсулина и шприц
с ампулами всегда находился в тяжелом портфеле, который она
неизменно носила с собой.
Однако, С.А. вовсе не чувствовали себя несчастной. Она ни-
когда не жаловалась, никогда не сосредоточивала свое внимание
на житейских невзгодах и трудностях. Всю свою большую энер-
гию, всю свою неистраченную любовь она отдавала своим учени-
кам и коллегам. Она не только проводила целые дни с аспиранта-
ми, стараясь разобрать и осмыслить трудные тексты, не только де-
лилась с ними своими идеями, но и входила во все их дела, опека-
ла их с истинно материнской заботой: ездила с ними по докторам,
добивалась справедливого разрешения их трудностей. Она всегда
была окружена молодежью, вокруг нее кипела жизнь, ее спецкур-
сы и спецсеминары привлекали талантливых математиков.
Я хорошо помню, как на своем юбилее (вероятно, последнем,
т.е. в 1966 году) она говорила, что очень счастлива, потому что
всю свою жизнь проработала на механико-математическом факуль-
тете, где имела возможность общаться с умными, талантливыми
людьми. Напомню, что друзьями С.А. были А.А.Марков, П.С.Но-
виков, И.Г.Петровский. Она пользовалась любовью и уважением
всех лучших ученых-математиков. Именно здесь, на механико-ма-
тематическом факультете протекала истинная жизнь Софьи Алек-
сандровны.
ПАМЯТИ С.А.ЯНОВСКОЙ
Б.А.Трахтенброт
В настоящее время уже имеются статьи с описанием и анали-
зом наследия Софьи Александровны Яновской, ее вклада в исто-
рию и философию математики, а также в развитие и защиту мате-
матической логики в СССР (см., например, [1—3]). Вместе с тем
столетие со дня ее рождения —это подходящая оказия для воспо-
минаний, которые могут добавить некоторые дополнительные
штрихи к образу замечательного ученого и прекрасного человека.
Ниже я публикую и комментирую некоторые документы и сре-
ди них —письма Софьи Александровны, адресованные мне. Что ка-
сается ценя лично, то эти документы, датированные 1951-ым го-
дом, рассказывают историю о том, как я был обвинен в «буржуаз-
ном идеализме» и как, благодаря помощи моих наставников и, в
особенности, С.А., мне удалось преодолеть опасности, которые
могли проистечь из этих обвинений в эпоху преследования «идеа-
листов», «космополитов» и т.п. Вместе с тем, как мне представля-
ется, эти документы проливают дополнительный свет на общую ат-
мосферу, сложившуюся в ту пору в СССР вокруг математической
логики, а также на борьбу Софьи Александровны в ее защиту.
1. Семинар
Мое первое знакомство с Софьей Александровной состоялось
в 1947-ом году на семинаре, которым она руководила совместно с
Петром Сергеевичем Новиковым. После окончания Черновицкого
университета я начинал тогда свои аспирантские занятия в Киеве в
Институте математики Академии наук Украины. Тогдашний дирек-
тор Института Михаил Алексеевич Лаврентьев поддержал мою
просьбу специализироваться по математической логике под руко-
водством П.С.Новикова, работавшего в Москве в Математическом
институте им.В.А.Стеклова АН СССР. Было также решено, что
мне будут предоставлены долгосрочные командировки в Москву
для работы с моим научным руководителем. В то время в совет-
ских вузах и научно-исследовательских институтах кафедр или от-
делов математической логики еще не существовало и научно-иссле-
довательский семинар «Математическая логика и философские
проблемы математики» Яновской — Новикова в Московском уни-
верситете был единственным местом, в котором протекали исследо-
вания и сопутствующая деятельность в данной области. Семинар
был центром, вокруг которого группировались математические ло-
гики первого послевоенного поколения (в основном ученики
110
К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
А.Н.Колмогорова, П.С.Новикова и С.А.Яновской). Там они до-
кладывали свои результаты, там происходила первоначальная ап-
робация диссертаций; так случилось и с моей. В годы моей аспи-
рантуры (1947 — 1950) я участвовал активно (хотя и не вполне ре-
гулярно) в заседаниях семинара. Там же были обсуждены резуль-
таты, вошедшие в мою диссертацию «Проблема разрешимости на
конечных классах и определения конечного множества». С.А.Янов-
ская предложила официальную поддержку кафедры истории мате-
матических наук МГУ им. М.В.Ломоносова на предстоящей моей
защите в Институте математики Академии наук Украины; оппонен-
тами должны были выступить А.Н.Колмогоров, А.А.Ляпунов и
Б. В. Гнеденко.
На заседаниях семинара господствовала демократическая, не-
формальная атмосфера. Все, в том числе и студенты, чувствовали
себя и вели себя непринужденно, без особых строгих правил и
формального чинопочитания. Для меня, выпускника провинциаль-
ного университета, это выглядело непривычно; но я был рад усво-
ить эту манеру поведения, а позднее поощрял ее на моих собствен-
ных семинарах.
Начиная с тех лет, я всегда пользовался вниманием Софьи
Александровны, можно даже сказать —ее материнской заботой
(она ведь и была в возрасте моих родителей). Беседы с С.А. каса-
лись в равной мере общего положения в математическом и в фило-
софском сообществах, конкретных исследовательских тем и даже
обычных житейских обстоятельств. В частности, именно у нее я
научился следующей житейской мудрости: «Будь осторожным,
когда приходится писать две формулы по соседству: ведь их мож-
но ошибочно истолковать как единую длинную формулу. Поэтому
разделяй их каким-нибудь подходящим текстом». С тех пор я вну-
шал этот «принцип Яновской» и моим студентам, требуя, чтобы
они писали «читабельно».
Семинар был продолжением первого в СССР математико-логи-
ческого семинара, основанного Иваном Ивановичем Жегалкиным
(1869—1947). После его смерти семинар был переведен на кафедру
истории математических наук МГУ им.М.В.Ломоносова, созданную
и руководимую Софьей Александровной. Выдающаяся роль этого
семинара в развитии математической логики в СССР —тема, важная
сама по себе, и я коснусь ее лишь весьма кратко.
Обыкновенно на семинаре обсуждался широкий спектр вопро-
сов математической логики и ее приложений, а также оснований и
философии математики. Так, например, из письма Софьи Алексан-
дровны от 4 декабря 1951 г. можно узнать, что в повестке дня сто-
яли следующие вопросы:
Б.А.Трахтспброт 111
(I) Обсуждение статей «Интуиционизм» и «Конвенциона-
лизм», представленных в Большую Советскую Энциклопедию.
(II) Новые результаты в теории релейно-контактных схем.
(III) Критический обзор статьи Лоренцена «Непротиворечивость
классического анализа», доложенный самой Софьей Александровной.
Те ранние годы были периодом острой борьбы за легитимность
и выживание математической логики в СССР. Софья Александ-
ровна была в самом эпицентре сражения. Поэтому широта обсуж-
даемой на семинаре тематики была благотворной не только для ак-
тивизации научного общения представителей разных направлений.
В обстановке непрекращавшихся идеологических атак это помога-
ло С.А.Яновской выстраивать эффективную линию обороны, избе-
гать изоляции и бороться с дискредитацией математической логи-
ки. Для нас, младших участников семинара, это было также спе-
цифической школой, когда мы присматривались к тактике наших
наставников —и, в частности, Софьи Александровны, учась ухо-
дить от идеологических атак или их выдерживать. Разворачивав-
шаяся на семинаре полемика не была свободна от обильных цитат
из официальных источников, от контролируемой самокритики и от
яростных атак на реальных и мнимых оппонентов.
Было неловко тогда (и мучительно теперь) читать печально
известные предисловия Софьи Александровны к переводам
1947 — 1948 гг. книг «Основы теоретической логики» Гильберта и
Аккермана и «Введение в логику и методологию дедуктивных
наук» Тарского. Но таковы были правила игры и Софья Алексан-
дровна не была единственной среди вынужденных принимать в
ней участие. Помнится неприязненная критика Колмогоровым (ка-
жется, на Московском математическом обществе) книги А.Тарско-
го: «Перевести Тарского было ошибочным решением, но перевести
Гильберта —правильное решение». То была попытка дать некото-
рую сатисфакцию нападающим философам для того, чтобы, по
крайней мере, спасти перевод книги Гильберта—Аккермана. Сле-
дует также отметить, что Софья Александровна была уязвима и по
другой причине: она была еврейского происхождения — обстоятель-
ство мне неизвестное в течение длительного времени Я узнал об
этом лишь летом 1949 г. во время визита П.С.Новикова в Киев Он
с возмущением рассказывал мне тогда об официальном давлении на
него, чтобы он отмежевался от Софьи Александровны и от других
«космополитов».
Но как бы ни была сложна тогдашняя ситуация, мы аспиран-
ты и студенты, не были прямо вовлечены в сражение, которое ви-
делось нам тогда этакой конфронтацией титанов.
112
К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
5 декабря 1950 г. (дата легко запоминаемая, поскольку это го-
довщина Сталинской конституции) после защиты кандидатской
диссертации я переехал в Пензу для работы в Педагогическом ин-
ституте им.В.Г.Белинского. Поскольку поездки в Москву стали за-
труднительными, казалось, что прежние тесные связи серьезно по-
страдают. Однако, весьма скоро сложилась угрожающая ситуация,
которая потребовала даже более интенсивных контактов, в особен-
ности, с Софьей Александровной. Оглядываясь назад, я сознаю,
что только благодаря этим контактам я сумел выжить тогда, ина-
че, вряд ли бы я писал теперь эти воспоминания.
2. Пензенское дело
Это дело началось с поношения меня как «идеалиста типа
Карнапа» в дискуссии по моему докладу о математической логике,
с которым я выступил перед коллегами-математиками. Мои про-
тивники извлекли этот «точный диагноз из текущих философских
публикаций» (по иронии судьбы, вполне возможно даже из ка-
кой-нибудь статьи С.А.Яновской). В пору сталинской параной та-
кие обвинения были крайне опасны не только для служебной карь-
еры. С целью оправдать себя, объяснить мою точку зрения и рас-
сеять возможные недоразумения, я втянулся еще и в другие докла-
ды и дискуссии на математической кафедре. Но напрасно! Раз на-
чатые споры и пререкания клокотали весь 1951-й год с угрожаю-
щей перспективой дальнейшего обострения и даже выхода за пре-
делы кафедры математики. Дело в том, что незадолго до этого по-
явилась работа И.В.Сталина «Марксизм и вопросы языкознания»,
и в массы был брошен лозунг изучать и применять великие ста-
линские указания, заниматься критикой и самокритикой и, соот-
ветственно,- перестраивать работу. С этой целью планировались
также специальные конференции в учебных и научных учреждени-
ях. Текущая подготовка к конференции Пензенского пединститута
не предвещала ничего хорошего и я ожидал новых нападений и «раз-
облачений» на этом более влиятельном чем заседание кафедры фору-
ме. Ввиду этого я обратился к моим московским наставникам; я по-
слал копии материалов о кафедральных диспутах, прося дать квали-
фицированную их экспертизу, а также советы к предстоящей схватке.
На разных стадиях дальнейшего развития событий в мою за-
щиту были вовлечены П.С.Новиков и А.А.Ляпунов (Математиче-
ский институт им.В.А.Стеклова) и, в некоторой степени, А.Н.Кол-
могоров и А.Г.Курош (Московское математическое общество). Од-
нако, основную нагрузку взяла на себя Софья Александровна, об-
суждая обстоятельства дела в переписке со мною и включив мое
Б.А Трахтспброт ИЗ
«дело» в повестку дня семинара. Ниже приведены некоторые небо-
льшие выдержки из моих докладов и из кафедральных дискуссий.
Полные же тексты писем и протоколов, которые я получил из Мо-
сквы, помещены в следующем разделе. Эти послания прибыли во
время, и мне удалось воспользоваться ими на заседаниях конфе-
ренции, а также на специальном заседании кафедры марксизма-ле-
нинизма. Надеюсь, что вместе с моими сопроводительными ком-
ментариями этого материала достаточно для восстановления общей
картины.
Обратимся теперь к некоторым подробностям, касающимся са-
мого начала этой истории. Целью моего первого доклада, озаглав-
ленного «Метод символических исчислений в математике» было
объяснить необходимость точных определений интуитивных поня-
тий «алгоритм» и «дедуктивная система», а также разъяснить спо-
соб использования этих определений. Вполне естественно, что я
иллюстрировал изложение классическими «отрицательными» резу-
льтатами, а именно:
1) теоремой Черча: логика предикатов первого порядка нераз-
решима;
2) теоремой Гёделя о неполноте.
Уже давно такие доклады превратились в рутинное дело, но
тогда, 45 лет тому назад, это выглядело очень непривычно. Я имел
также ввиду отметить два результата моей кандидатской диссерта-
ции, которые созвучны названным классическим теоремам. Именно:
1) не существует алгоритма, выясняющего для любой форму-
лы логики предикатов первого порядка, имеет ли она или не имеет
конечную интерпретацию;
2) в- каждой «элементарно аксиоматизируемой» теории мно-
жеств имеются два определения конечного множества, эквивалент-
ность которых не может быть ни доказана, ни опровергнута в этой
теории.
Наконец, размышляя о некоторых философских аспектах,
упомянутых отрицательных результатов, я отметил, что «доложен-
ные результаты ярко иллюстрируют непримиримость науки и иде-
ализма в следующих двух принципиальных вопросах:
а) теоремы об алгоритмической неразрешимости опровергают
идеалистическую гипотезу Лейбница о существовании всеобщего
разрешающего алгоритма для всей математики в целом (универса-
льная математическая машина);
6) теоремы неполноты прямо направлены против установки
Гильберта, подменивающей содержательную истинность формаль-
ной доказанностью».
8-3525
114
К 100-летию Софьи Александровны Яновской
Большинство деталей моих докладов не существенны для по-
нимания возникшей дискуссии, поскольку критика была сосредо-
точена на одном вопросе: что такое логический формализм? На са-
мом деле во избежание созвучия с однозначным тогда термином
«формализм» вместо термина «логический формализм» я употреб-
лял термин «символическое исчисление». Мои оппоненты усматри-
вали идеализм в следующих определениях и комментариях:
«Символическое исчисление определяется заданием:
а) конечного числа символов и
б) правил образования формул из этих символов (формулы
исчисления),
в) конечного числа базисных формул (аксиом) и
г) правил доступных преобразований.
Наименьший класс формул, содержащий базисные формулы и
замкнутый относительно допустимых преобразований, называется
классом хороших (или регулярных) формул исчисления.
При этом, принципиальный интерес, который представляют
символические исчисления, заключается в том, что процесс полу-
чения хороших (регулярных) формул из базисных формул, при
помощи допустимых преобразований, может быть автоматизиро-
ван Это значит, что из задания исчисления можно извлечь конст-
рукцию машины, “производящей” одну за другой все хорошие (ре-
гулярные) формулы, без пропуска, но, вообще говоря, с повторе-
ниями... Однако, понятие исчисления, не предполагает связи с ка-
кой-либо определенной, конкретной реализацией».
Последующие цитаты характеризуют до некоторой степени
развернувшуюся дискуссию. Здесь и далее из чувств приличия мы
опускаем полное написание некоторых имен.
Из выступления Г.О. 26.6.1951:
«Докладчик же обходит вопросы философии. Не подверг кри-
тике буржуазных идеалистов, паразитирующих на математической
логике (Рассел, Тарский и др.). Докладчик продолжает занимать
упорно нейтральную позицию в споре между материализмом и
идеализмом в математической логике, сознательно обходя затраги-
ваемые вопросы в докладах...
Сам термин (“хорошая формула” — Б.Т.) не подходит; форму-
ла, хорошая для капиталиста, плохая для нас. Я Вас неоднократно
спрашивал, и Вы мне все время отвечали, что выбираете базисные
формулы и произвольные в них преобразования, что никаких огра-
ничений не накладываете, что заставляет Вас держаться за эту свобо-
ду, держась за нее, Вы • показываете себя как идеалист, т.к. свобода
содержит в себе идеализм. Вы почитайте “Вопросы философии”,
Б .А .Трахтенброт 115
там тоже об океане открытых возможностей. Вы тоже, как и дру-
гие идеалисты, ухватились за этот океан открытых возможно-
стей... У Вас идеалистическая путаница и Вам мешает гордость в
ней признаться, хотя это (признаться в наличии путаницы.—Б.Г.)
могла сделать Яновская».
Из ответа Б.Трахтенброта на выступление Г. О.
•«Таким образом, утверждение о том, что я обхожу вопросы
философии — неверно. Напротив, фактами, добытыми наукой, до-
казываю несостоятельность определенных установок Лейбница и
Гильберта. Непонятно, почему я должен был как раз в прочитан-
ных докладах подвергнуть критике Тарского и Рассела? (Упрек
Г.О.). Критика Тарского и Рассела, равно как и другие методоло-
гические вопросы, представляют большой интерес; однако для та-
кой критики теоремы, собранные мною, не могут служить доста-
точной базой, в то время как эти же теоремы прямо подрывают
упомянутые установки Лейбница и Гильберта».
Из всего сказанного Г.О. делает категорический вывод: мои
доклады свидетельствуют о том, что я идеалист, а также —идеа-
лист мой учитель проф.Петр Сергеевич Новиков.
На мой взгляд, выступление Г.О. свидетельствуют о большой
путанице в вопросе о сущности математического определения (это
конечно не «идеалистическая» путаница, а просто путаница), а
также указывает на определенное упрощенчество и вульгаризацию
в вопросах методологии.
Что же касается крикливого шельмования Г.О. его оппонентов
как идеалистов, то оно мне представляется аналогичным тому, о
котором говорит тов.Сталин:
«Н.Я.Марр и его “ученики” обвиняют в “формализме” всех
языковедов, не разделяющих “Новое учение” Н.Я.Марра. Это, ко-
нечно, несерьезно, и неумно...Я думаю, что “формализм” выдуман
авторами “Нового учения” для облегчения борьбы со своими про-
тивниками...».
Проект резолюции кафедры математики.
Заслушав и обсудив доклады (три) тов.Трахтенброта о симво-
лических исчислениях, кафедра отмечает:
Тов.Трахтенброт в своих докладах недостаточно осветил реа-
льные потребности, вызвавшие возникновение метода символиче-
ских исчислений в математике. Мало освещена и область его при-
менения.
В основных посылках докладчик допускает полную свободу в
выборе базисных формул (аксиом), правил вывода из них новых
8'
116
К 100-летию Софьи Александровны Яновской
формул, становясь таким образом на позиции идеалистов типа
Карнапа, неслучайно поэтому, что он не подверг критике идеали-
стические установки буржуазных специалистов в области матема-
тической логики (Рассел, Карнап, Гильберт, Тарский и др.).
В связи с этим кафедра считает необходимым поручить Трах-
тенброту Б.А. доклад о сущности, задачах и методах математиче-
ской логики с освещением философских вопросов в математической
логике и критикой идеалистических извращений в этой области.
По поручению зав.кафедрой...
Г.О.
н.с.
Особое мнение Б.Трахтенброта.
1. Обсуждение моих докладов на кафедре, конференции и в
комиссии показало, что некоторые товарищи усматривают идеали-
стическую путаницу в использованном мною определении понятия
«символическое исчисление», что нашло свое отражение в пункте
резолюции, гласящем: «В основных посылках докладчик допуска-
ет полную свободу в выборе базисных формул и правил вывода из
этих новых формул, становясь таким образом на идеалистические
позиции».
Мною неоднократно было указано на ошибочность упомянуто-
го мнения товарищей, а следовательно, и на необоснованность со-
ответствующего пункта резолюции.
Здесь имеется полная аналогия с понятиями грамматики, на-
пример, с понятием «предложение». «Предложение —совокупность
слов, выражающих законченную мысль». В этом определении, не
предрешается вопрос о конкретной природе тех мыслей, которые
выражаются в виде предложений. С точки зрения грамматики та-
кие совокупности слов: «Студент Иванов живет в общежитии» и
«Архангел Михаил живет в раю» являются предложениями, при-
чем одной и той же грамматической структуры. Грамматически
правильно могут быть оформлены как ценные, глубокие мысли,
так и самые вздорные высказывания. Точно также, могут быть
оформлены и автоматизированы в виде исчислений, как ценные
математические теории, так и самая вздорная «теория» идеалисти-
ческого мракобеса. От этого нисколько не теряют свое значение и
не становятся идеалистическими правила грамматики, сформули-
рованные для произвольных предложений с произвольными подле-
жащими и сказуемыми, так и теоремы о произвольных символиче-
ских исчислениях с произвольными базисными формулами и допу-
стимыми преобразованиями.
Б.А.Трахтспброт 117
То обстоятельство, что я пользуюсь терминами «базисные фор-
мулы», «правила допустимых преобразований», никак не оправды-
вают смешение товарищами соответствующих понятий с понятиями
«исходная посылка в науке», «правила логического вывода». Это
смешение и привело товарищей к заключениям неправомерным.
2. Пункты резолюции, утверждающие, что в докладах мало
освещены реальные потребности, вызвавшие возникновение метода
символических исчислений и область их применений, что недоста-
точно дается критика идеалистических установок буржуазных спе-
циалистов, вовсе не учитывают задачи, ставившейся перед собой
докладчиком. Конечно, в этих докладах и не могло быть дано ис-
черпывающее освещение всех вопросов; докладчик ограничился
рассмотрением тех вопросов, которые ближе всего примыкают к
его научной тематике.
Здесь уместнее было бы указать в резолюции, какие именно
вопросы еще желательно рассмотреть, с тем, чтобы докладчик мог
ориентироваться на конкретную заявку. Мне совершенно непонят-
на причина, по которой было отказано в таком уточнении.
Из выступления В.Ш. (кафедра марксизма-ленинизма):
«В определении понятия “символическое исчисление” символы
рассматриваются вне связи с реальной действительностью как со-
вершенно произвольные знаки и иероглифы.
Произвольный выбор базисных формул, допустимых правил
преобразований понимается как произвольный выбор, не отражаю-
щий реальной действительности, выражающийся в том, что форму-
лам не приписывается никакого содержания и смысла; поэтому фор-
мулы можно понимать и истолковывать как угодно (“Бог вечен”)».
3. Послания из Москвы
I.
С. А.Яновская—Б.А.Трахтенброту
Дорогой, глубокоуважаемый Борис Абрамович,
Я живу теперь на даче, довольно далеко от Москвы, и письма
Ваши попали поэтому ко мне с большим запозданием. Чтение Ва-
шего доклада, особенно второй его части, доставило мне большое
удовольствие, чего отнюдь нельзя сказать о других присланных
Вами материалах. Доклад Ваш мне представляется необходимым,
несколько развернув его, опубликовать в «Успехах» с небольшим
предисловием Петра Сергеевича или нашего семинара. Вся его
структура свидетельствует о том, что Ваша точка зрения в корне
118
К 100-летию Софьи Александровны Яновской
противоположна идеалистическим взглядам формалистов и Карна-
па. Ведь Карнап отождествляет логико-математические исчисле-
ния с логикой, а Вы отличаете их настолько, что вводите даже
специальный термин —«регулярная» (а не «выводимая») формула
и ставите своей задачей выяснить, что несводимо в математике к
чисто автоматическому решению средствами «машинной математи-
ки» и что, наоборот, может быть использовано в технике для по-
строения счетно-решающих механизмов и приборов. Ваши же про-
тивники,—хотя безусловно не по злой воле,—усвоили отчасти точ-
ку зрения Карнапа, поскольку они согласны с ним в том, что логи-
ко-математические исчисления как таковые есть не вспомогатель-
ный аппарат для математики, а каждое из них, взятое само по
себе, есть самостоятельная математическая теория, имеющая собст-
венные содержательные аксиомы и понятия и призванная подме-
нить математику. Единственное, в чем мне все-таки хотелось бы
упрекнуть Вас, это некоторая чрезмерная абстрактность изложе-
ния, делающая доклад недоступным для широкой аудитории, а
также напрасное присоединение слова «хорошая» к термину «регу-
лярная» (формула). На собственном опыте мне неоднократно при-
ходилось убеждаться в том, что присоединение таких слов, уже
нагруженных собственным содержанием, чаще всего не поясняет, а
затуманивает вопрос для слушателя и является поэтому плохим
методическим приемом. Я нахожусь случайно в городе и должна
через 2 часа уехать, почему и не могу написать сейчас же подроб-
ного отзыва. Если таковой Вам все же нужен еще, напишите мне
по дачному адресу:
ст.«Турист», Савеловской жел. дор., Деденовское п/о,
дер.Парамоново, Яновской.
С сердечным приветом,
Ваша С. Я невская
4 VI11-51
II.
С.А.Яновская—Б.А.Трахтенброту
4 декабря 1951 г.
Дорогой, глубокоуважаемый Борис Абрамович,
Я себя чувствую очень виноватой перед Вами. Не столько
даже потому, что до сих пор не написала Вам ничего, сколько по-
тому, что мне нечего написать Вам. Я действительно предлагала
П.С. обсудить Вашу статью на заседании семинара, переслав ее к
нам на отзыв из Стекловского института. Но в Стекловке ему ска-
зали, что этого нельзя делать, так как Институт достаточно
Б.А.Трахтенброт
119
авторитетная научная инстанция, чтобы иметь собственное мнение.
На это я ответила, что имею экземпляр Ваших тезисов непосредст-
венно от Вас, считаю статью на затронутую Вами тему давно необ-
ходимой для «Успехов математических наук», а Ваши тезисы сви-
детельствующими о том, что Вы глубоко владеете материалом,
умеете тонко и ясно изложить его и стоите на правильных—диа-
лектико-математических—позициях, которые однако в статье сле-
дует изложить в более развернутом виде. И Петр Сергеевич и
Алексей Андреевич выразили полное согласие с этой точкой зре-
ния на Вашу работу, и мы решили, что я доложу содержание Ва-
шей статьи на семинаре с тем, чтобы подвергнуть ее широкому об-
суждению. С тех пор однако уже прошло несколько недель. Я
каждую субботу приношу Ваши тезисы на семинар, но очередные
доклады —а Вы знаете, что каждый доклад у нас затягивается на
ряд суббот — занимают все время, и участники расходятся. Между
тем у нас остаются — и переносятся каждый раз на следующий
раз —нерассмотренными не только Ваши тезисы. «Успехи» ждут
нашего отзыва на статью Гокиели, которую он прислал для опуб-
ликования, БСЭ —на статьи «Интуиционизм» и «Конвенциона-
лизм». Меня все время торопят с этими отзывами, я каждый раз
приношу материалы на семинар, но поскольку обсуждение их яв-
ляется вторым пунктом повестки дня, а по основным докладам у
нас теперь идут очень оживленные прения, дело так и не доходит
до второго пункта. В прошлую же субботу, под впечатлением Ва-
шего письма, я хотела сократить первую часть заранее. Но, к со-
жалению, заболела и не могла быть на семинаре.
В связи с предстоящим Вам докладом на конференции очень со-
ветую Вам прочесть замечательную статью Ю.Жданова в последнем
номере «Большевика» по вопросу о критике и самокритике в науке.
На семинаре мы обсуждали доклады В.И.Шестакова об авто-
колебательных релейно-контактных схемах, А.В.Кузнецова о мос-
тиковых соединениях (речь шла о необходимом и достаточном
условии для того, чтобы релейно-контактные схемы некоторого
класса, представляемые функцией от п независимых контактов,
были представимы в виде суперпозиции функций от меньшего чис-
ла аргументов; в частности, об установлении точного критерия для
решения вопроса о том, является ли в данной схеме (рассмотрен-
ного класса) «мостик» устранимым или нет (Саша предложил
очень простое и остроумное решение), наконец, мой доклад —кри-
тическое обсуждение работы немецкого математика Лоренцена под
громким названием «Непротиворечивость классического анализа»,
за которым на самом деле скрывается лишь некоторое обобщение
старой работы Вейля (1918 г.) о континууме.
120 К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
На прошлом заседании Математического общества А.Н.Колмо-
горов сделал большой обзорный доклад о релейно-контактных схе-
мах, в основе которого лежали работы Лунца о матричном пред-
ставлении таких схем.
Боюсь, что я и так уже чересчур «расписалась». В ближай-
шую субботу, надеюсь, мы обсудим, наконец, Ваши тезисы. С сер-
дечным приветом и самыми лучшими пожеланиями. С.Яновская.
III.
Выписка из протокола научно-исследовательского семинара
по математической логике и философским вопросам математики
при кафедре истории математических наук Московского
государственного университета им.М.В.Ломоносова
Протокол заседания от 22 декабря 1951 года
Слушали:
Сообщение зав.кафедрой проф.С.А.Яновской о письме Б.А.Трах-
тенброта с просьбой обсудить на семинаре взгляды, изложенные в
приложенном к письму тексте особого мнения Б.А.Трахтенброта
по поводу резолюции, принятой на конференции Пензенского пе-
дагогического института им.В.Г.Белинского.
На семинаре были высказаны следующие мнения, поддержан-
ные всеми его участниками:
(а) . Символическое исчисление, рассматриваемое как аппарат,
используемый при решении задач или доказательстве теорем, само
по себе еще не является научной теорией, претендующей на описа-
ние каких-нибудь объектов материальной действительности. Сме-
шение исходных (базисных) формул любого символического ис-
числения с аксиомами научной теории, а правил допустимых пре-
образований формул (правил чисто символического и формального
вывода из одних формул других) с правилами научного доказате-
льства, характерное для логических позитивистов типа Карнапа,
есть идеалистическое извращение математики и логики. С помощью
счетных машин (в том числе обыкновенных русских счетов) мож-
но решать множество различных математических задач; но сама по
себе счетная машина есть только аппарат, используемый для вы-
полнения тех или иных математических операций, а не научная ма-
тематическая теория. Также обстоит дело и с символическим исчис-
лением, позволяющим лишь из некоторого легко обозримого класса
комбинаций символов (класс всех формул данного исчисления)
выделять последовательно элементы его определенного подкласса,
в общем случае более трудно обозримого. Элементы последнего
Б.А Трахтенброт 121
могут называться, условно, «хорошими» или «регулярными» фор-
мулами, или еще как-нибудь иначе,—например, формулами, «вы-
водимыми в данном исчислении». При всех условиях недопустимо
однако смешивать понятие «символическое исчисление» (связывае-
мое в настоящее время с понятием алгоритма) с понятием математи-
ческой теории. Б.А.Трахтенброт совершенно прав, возражая против
такого смешения.
(6) . Математическая теория, как и всякая вообще научная тео-
рия, не может строиться на произвольных допущениях и произво-
льных правилах логического вывода. Но при решении вопроса о
том, какие символические исчисления (напр., буквенный аппарат
той или иной алгебры) могут быть применены в данной научной
теории и каких недостаточно для ее целей, необходимо, наоборот,
умение обозреть с общей точки зрения все вообще возможные ис-
числения. Особенно же это важно для решения вопроса о том, су-
ществует ли такое исчисление, которого достаточно для решения
всех (в определенном смысле) задач данной теории, или же, нао-
борот, такого исчисления не существует (невозможность полного
исчисления), так как для доказательства несуществования (невоз-
можности) и даже для самой постановки вопроса об этом требует-
ся как-то обозреть, определить совокупность всех возможных ис-
числений. А для того, чтобы такое обозрение и доказательство
можно было провести математическими методами, необходимо от-
влечься от всякого вообще конкретного истолкования (интерпрета-
ции) знаков и формул исчисления, подобно тому, как, например,
при решении уравнений мы отвлекаемся от того, что именно обо-
значают входящие в них буквы а, Ь, с...; х, у, г..., и обозреваем
всю вообще совокупность возможных уравнений и их систем (в
том числе и несовместных) независимо от тех задач, к которым
они затем будут или могут быть приложены. Б.А.Трахтенброт прав
поэтому, считая, что в общей теории символических исчислений мы
должны рассматривать и обозревать любые возможные исходные
формулы и правила преобразований формул, подобно тому, как мы
рассматриваем в грамматике любые предложения, независимо от их
конкретного подлежащего и конкретного сказуемого. Этому учат нас
гениальные труды И.В.Сталина по вопросам языкознания.
(в) . В то же время Б.А.Трахтенброт явно не прав, когда он го-
ворит, что в его задачу не входили освещение реальных потребно-
стей, вызвавших возникновение метода символических исчисле-
ний, и области их применений, а также развернутая критика идеа-
листических установок буржуазных специалистов. Нельзя делать
доклад на более специальную тему, если значение этой темы пред-
варительно не выяснено, если не разъяснены те реальные потреб-
ности и задачи, которые требуют, именно данного метода, и
122
К 100 летию Софьи Александровны Яновской
соответствующих понятий, и именно данной степени абстрагирова-
ния; если не выяснены исходные методологические установки, в
свете которых только и можно претендовать на настоящую науч-
ность тех теорий, которые в докладе излагаются, и на законность
тех абстракций, которые в этих теориях употребляются. Само со-
бою разумеется, что всегда необходима развернутая критика вся-
ких имеющихся в данной области идеалистических извращений.
Семинар постановил:
1. Вопрос о сущности символических исчислений и алгоритмов
и их теория давно нуждаются в освещении в нашей математиче-
ской литературе. Поскольку Б.А.Трахтенброт является квалифи-
цированным специалистом в этой теории, семинар считает весьма
желательным, чтобы Б.А.Трахтенброт написал для «Успехов мате-
матических наук» обзорную статью на эту тему. Статья должна со-
держать, конечно, освещение важнейших результатов в этой облас-
ти, ее основных понятий и методов с позиций марксизма-ленинизма.
2. Просить дирекцию Пензенского педагогического института
им. В. Г.Белинского дать Б.А.Трахтенброту научную командировку
в Москву для доклада и обсуждения на семинаре выполненной
Б.А.Трахтенбротом работы.
Руководители семинара:
зав.кафедрой истории
математических наук проф.(С.А.Яновская)
проф. (П. С. Новиков)
Секретарь семинара (А. В. Кузнецов)
27/ХИ 1951 г.
IV.
Б.А.Трахтенброту
АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА СОВЕТСКИХ
СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА
Москва, Б.Калужская, 19. 27 декабря 1951 г. №54 — 61
Тел. В 2-33-83
Гор. Пенза, ул.Чкалова, 56
Б.Трахтенброт.
Математический институт им. В.А.Стеклова АН СССР направ-
ляет Вам отзыв о Ваших «тезисах», составленный специалистами
нашего Института.
Б.А.Трахтенброт 123
Директор Математического
института АН СССР, академик (И.М.Виноградов)
Врио Ученого секретаря (К.В.Бороздин)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПО ТЕЗИСАМ ДОКЛАДА Б.А.ТРАХТЕНБРОТА,
ПРОЧИТАННЫМ НА КАФЕДРЕ МАТЕМАТИКИ
ПЕНЗЕНСКОГО ПЕДИНСТИТУТА, ПО ОСНОВНЫМ
ВОПРОСАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Тезисы докладов тов.Трахтенброта представляют собой прави-
льное, весьма содержательное и интересное изложение основ со-
временной математической логики и теории алгоритмов, а также
собственных результатов тов.Трахтенброта в этих областях. Речь
идет о новых направлениях математики, которые привлекают к
себе в настоящее время большой интерес. К сожалению, литерату-
ры по этим вопросам очень мало, кроме того основные идеи этих
направлений и основные результаты, полученные с помощью их
методов, недостаточно широко известны. Поэтому было бы очень
желательно опубликовать доклады т.Трахтенброта в Успехах Ма-
тематических Наук.
При этом целесообразно несколько расширить вводную часть
доклада, уделив достаточное внимание критике философских кон-
цепций, имеющих хождение среди некоторых зарубежных уче-
ных-идеалистов, извращающих основы математической логики.
При этом должно подчеркнуть то обстоятельство, что никакое сим-
волическое исчисление не способно заменить мышление человека.
Следует также отметить прогрессивную роль работ наших оте-
чественных ученых.
Дать заключение по материалам, относящимся к развернув-
шейся дискуссии, не представляется возможным ввиду того, что
они носят чересчур обрывочный характер.
Копия верна
Врио Ученого секретаря Математического
института Академии Наук СССР (К.В.Бороздин)
Математический институт
им.В.А.Стеклова АН СССР
(Печать)
27/XII 1951
124
К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
V.
А.А.Ляпунов Б.А.Трахтенброту
Дорогой Борис Абрамович!
Простите, что с таким опозданием исполняю Вашу просьбу.
Все время болен. На днях видел П.К.Рашевского и рассказал ему
о Ваших делах. Он говорит, что на него Егоров производит все бо-
лее и более странное впечатление. Думаю, что это связано с его
линией поведения в Пензе.
Колмогорова я не видел, но Александров, с которым я гово-
рил по телефону, обещал его информировать.
Ваши рукописи от Бабенко возьмет Яблонский.
Если от Вас потребуют каких-то объяснений в связи с заявле-
нием Егорова, настаивайте на обращении за экспертизой на
мех.-мат. Московского университета. Непременно укажите факуль-
тет, чтобы не посылали философам.
Как Ваше здоровье? Сердечный привет
А.А.Ляпунов
20.ХПЛ4
Эпилог
Пензенское дело достигло апогея на конференции «Марксизм
и лингвистика», после которой основная опасность миновала. Тем
не менее более слабые рецидивы случались и позднее (см. письмо
А.А.Ляпунова от 20 декабря 1954 г.). На самом деле конференция
не выдвинула никаких новых идей; как и можно было ожидать,
она следовала обычному ритуалу нападения на «идеалистов» и ци-
тирования официальных источников. В частности, мне пришлось
базировать мой доклад «Против идеализма в аксиоматическом обо-
сновании математики» на Сталинском учении об абстрактном
мышлении в грамматике и в геометрии. Этот доклад содержал вну-
шительный список идеалистов: Канта, Кантора, Пуанкаре, Гиль-
берта... (и кого только нет!). В то же время (и опять-таки базиру-
ясь на Сталинских указаниях) я «беспощадно разоблачал» вульга-
ризаторов марксизма вообще, и в особенности — моих противников.
Во втором докладе «Против вульгаризации в методологии наук»,
прочитанном на кафедре марксизма-ленинизма, я строил свое на-
ступление на базе статьи Ю.А.Жданова, как это мне рекомендова-
ла Софья Александровна (письмо от 4 декабря 1951 г.). Позднее
один из моих противников признался мне, что он дрогнул перед
моим воинственным наступательным поведением, которое он при-
писывал скрытой поддержке со стороны мощных «официальных
органов». Как бы то ни было, я как-^удто впрямь усвоил новый
Б.А.Трахтенброт
125
полемический жанр, и это было бы вполне забавно, если бы не об-
щая мрачная ситуация. Мое здоровье было подорвано постоянным
напряжением, тревогой и изнуряющей педагогической работой (ча-
сто более двадцати часов еженедельно). Само собой разумеется,
что в течение около двух лет я был не в состоянии заниматься ис-
следовательской работой.В этих обстоятельствах только самоотвер-
женная забота и неограниченная поддержка моей жены Берты
спасли меня от крушения. Должен также отметить благотворное,
успокаивающее воздействие очаровательного средне-русского ланд-
шафта вокруг нашего жилища.
Летом 1992-го года (через сорок лет) после этих событий я на-
вестил вместе с Бертой эти места. Посещение Пензы было в осо-
бенности ностальгическим. Большинство участников рассказанной
истории уже ушли в мир иной. Остались воспоминания и, конечно
же, прекрасный ландшафт.
Но вернемся к московским документам; все они подчеркивали
отсутствие ясного изложения основ символических исчислений и
алгоритмов, доступного широкому кругу математиков. Соответст-
венно они настаивали на подготовке обзорной статьи на эту тему
для «Успехов математических наук». При этом рекомендовалось,
чтобы эта статья «базировалась на позициях марксизма-ленинизма
и содержала критику зарубежных ученых-идеалистов». Наконец,
имелось также обращение ко мне, чтобы я взялся за эту работу
(что и демонстрировало бы и мою философскую, идеологическую
лояльность). Несомненно, для исследователя в начале его карьеры
это было соблазнительным предложением, поэтому следует объяс-
нить мою реакцию на него.
1) Во-первых, я не чувствовал себя компетентным браться за
работу, которая посвящена математической теме и одновременно
отвечает официально-философским требованиям. Эти требования
постоянно росли и менялись; они могли сбить с толку и людей,
значительно более опытных, чем я. Поэтому казалось разумным
отложить проект до того времени, когда более благоприятные об-
стоятельства позволили ли бы «отделить логику от философии ло-
гики и от философии математики, а также отнестись к математиче-
ской логике скорее как к науке, нежели как к методологии идеали-
стической философии математики» [1]. Такое изменение в отноше-
нии к математической логике в СССР происходило постепенно.
Этому изменению значительно способствовала Софья Александ-
ровна, искусно используя критику, которой Сталин в работе
«Марксизм и вопросы языкознания» подверг сторонников Марра.
2) На каких читателей должна была быть рассчитана задуман-
ная обзорная статья (или книга)? Софья Александровна не была
126
К 100-лстию Софьи Александровны Яновской
одинока во мнении, что «Успехи» были подходящим журналом
для такой публикации. Но ведь «Успехи», будучи весьма престиж-
ным журналом, все же рассчитаны в основном на математиков-ис-
следователей! К тому времени у меня уже сложилось впечатление,
что популяризация данной темы целесообразна и для более широ-
кого круга читателей, охватывающего и школьных учителей мате-
матики. Можно было надеяться, что таким образом идеи логики и
вычислимости дойдут, в конечном счете, и до учеников старших
классов. В этом отношении весьма обнадеживающим представлял-
ся опыт ставшей знаменитой серии «Популярные лекции по мате-
матике», начатой брошюрой А.И.Маркушевича «Возвратные по-
следовательности ».
3) В моих пензенских докладах я сосредоточивался на симво-
лических исчислениях и на их роли в формализации дедуктивных
теорий. Вершину моего изложения составляли теоремы неполноты.
Аналогичную историю можно рассказать об алгоритмах и теоремах
неразрешимости. При всей тесной взаимосвязи этих двух подходов
второй казался более доступным (впрочем и более фундаменталь-
ным). Окончательное решение подсказывалось также фактом все
растущей осведомленности о вычислительных машинах и волную-
щими перспективами их применения.
В 1956-ом году журнал «Математика в школе» опубликовал
мою популярную статью «Алгоритмы и машинное решение задач».
Дальнейшие ее пересмотры и расширения вышли и отдельными
книгами. Мне лестно отметить, что они были тепло приняты широ-
ким кругом читателей как в СССР, так и за рубежом. Явный на-
мек (хотя и довольно умеренный) на предшествовавшее пензен-
ское дело появился лишь в предисловии к изданию 1974 года.
Начальным стимулом к популяризации теории алгоритмов в
печати явились для автора трудности и огорчения, которые он ис-
пытывал при первых попытках устной ее популяризации. Это слу-
чилось более 20 лет назад, когда автор выступил на эту тему перед
своими коллегами — математиками Пензенского педагогического ин-
ститута. Такие идеи и результаты теории алгоритмов, как форма-
лизация вычислительного процесса, существование неразрешимых
алгоритмических проблем выглядели тогда не только непривычны-
ми, но и отпугивающими.
Написание популярной статьи или небольшой книги, в кото-
рой читатель кратчайшим путем мог бы дойти до теорем об алго-
ритмической неразрешимости, представлялось тогда автору неот-
ложным делом.
Б.А.Трахтенброт 127
В результате этого появилась статья «Алгоритмы и машинное
решение задач» («Математика в школе», 1956, №4 — 5); ее расши-
ренные варианты были изданы дважды (Гостехиздат, 1957 г.;
Физматгиз, 1960 г.) в виде одноименной книги, переведенной и на
ряд иностранных языков.
Значит, беспокойное пензенское дело не было совсем напрас-
ным. Как говорится: нет худа без добра.
Список литературы
1. Anellis I.Y. The heritage of S.A.Janowskaya // History and philosophy of logic
1987. №8. P.45-46.
2. Башмакова И.Г., Демидов С.С., Успенский В.А. Жажда ясности // Вопросы ис-
тории естествознания и техники. 1996. №4. С.108—119.
3. Кушнер Б. А. Несколько воспоминаний о Софье Александровне Яновской // Во-
просы истории естествознания и техники. 1996. №4. С.119—123.
4. Яновская С.А. Письмо к редактору // Вопросы философии4. 1950 №3.
С.339 —342.
5. Trakhtenbrot В.A. Algorithms and automatic computing machines (Translation from
the second Russian edition (I960)). Boston: O.Hcath & Co, 1963. 102 p.
К 100-ЛЕТИЮ МАРКА ЯКОВЛЕВИЧА
ВЫГОДСКОГО
«НО ЭТА ВАША ИДЕЯ...УНИВЕРСАЛЬНОГО
МАСШТАБА И ЦЕННОСТИ ЧРЕЗВЫЧАЙНОЙ!»
(К ПРЕДЫСТОРИИ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА) °
С.С.Демидов
Публикуемые два письма Николая Николаевича Лузина
(1883—1950) Марку Яковлевичу Выгодскому (1898 -1965) хранятся
в Центральном муниципальном архиве г.Москвы (фонд 2894,
опись 1, дело 237, лл.1— 28). Они написаны от руки, чернилами.
Первое—на больших восьми листах в клеточку, второе на листах бе-
лой бумаги стандартного формата, сложенных пополам. Первое пись-
мо имеется также в машинописном варианте —вероятно, его перепеча-
тал сам Выгодский. И на рукописном, и на машинописном вариантах
первого письма имеется надпись сделанная, судя по всему, рукой
Выгодского: «[1930—1931] От акад.Н.Н.Лузина». Это письмо
представляет собой ответ на присланный Выгодским только что
вышедший из печати его курс математического анализа [1] На
обложке указан год выпуска—1931. Предисловие к нему подписа-
но 14 мая 1931. Следовательно, указанную Выгодским дату мож-
но уточнить — письмо писалось скорее всего в конце 1931 года (а
может быть и в начале 1932). На это указывают и начало письма
Лузина («Я давно слышал о его появлении и слышал о страстных
спорах, возбуждаемых им... Много времени прошло с момента ее
появления, и большинство успело так или иначе высказаться...»)-
Второе письмо датировано самим Н.Н.Лузиным 20.XII. 1933. До
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного
научного фонда (коды проектов: №№96-03-04410, 96-03-04414)
С. С. Демидов
129
нас—В.А.Волкова и меня —с этими письмами в архиве ознакоми-
лась Н.С. Ермолаева.
В основу книги М.Я.Выгодского, о которой идет речь в первом
из публикуемых ниже писем Лузина, «Основания исчисления
бесконечно малых» [1], выпущенной тремя изданиями в 1931, 1932
и 1933 годах (во 2-м и 3-м изданиях она именовалась «Основы...»),
лег курс лекций, читанных им в Московском химико-
технологическом институте. Лекции эти представляют собой
совершенно нетрадиционное изложение дифференциального и
интегрального исчисления. Сам Выгодский объяснял суть своего
подхода так: «Эта книга написана потому, что по глубокому моему
убеждению ни в одном из существующих руководств коренные идеи
бесконечно малых не выступают перед начинающим с необходимой
четкостью и ясностью. Происходит это потому, что несмотря на ряд
отличий в деталях, все руководства исходят из одной принципиаль-
ной установки, которую я считаю ошибочной и вредной. Именно,
основные понятия анализа раскрываются формально логически.
Как бы ни старались отдельные авторы стремиться к упрощению
доказательств, к отказу от формальной строгости, к введению
наглядных образов и конкретных задач — всегда они стремятся
прежде всего к разъяснению формальной схемы современного
анализа. Основные понятия анализа выступают поэтому не в их
развитии, а в их застывшем бытии.
В этом и лежит причина того печального факта, что аппарат
анализа часто остается в руках учащегося мертвым аппаратом. Ус-
ваиваемые рассуждения и доказательства кажутся неопровер-
жимыми, но...неубедительными...» [1, с.4]. И далее: «...ведь
понятие дифференциала не родилось в том виде, в каком оно рас-
крывается в учебнике. В учебнике мы находим продукт
позднейшего развития этого понятия. Это развитие было вызвано
потребностью логического “очищения”, возникшего из практики
понятия бесконечно малого изменения величины. Здесь мы имеем
дело с процессом “формализации” математического понятия,
который является исторически необходимым этапом развития. Но
по-настоящему осмыслить и оценить необходимость этой
формализации может лишь тот, кто знаком с понятием
дифференциала в его первичной стадии развития...» [1, с.4 —5].
«Точка зрения, положенная в основу настоящего руководства,
состоит в том, что учащийся должен быть введен в изучение анализа
через ознакомление с его основными понятиями в той их стадии, в
которой они непосредственно возникают из потребностей
практики. Логическое уточнение и очищение этих понятий должно
9-3525
130
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
быть последующим моментом, на первых порах моментом второ-
степенным.
Иными словами, я делаю здесь попытку заменить схему фор-
мально-логическую схемой исторической или, если угодно, истори-
ко-логической .
Это, разумеется, вовсе не значит, что я собираюсь вести чита-
теля через все зигзаги исторического развития и воспроизводить
хронологический порядок развития идей анализа. Ознакомить с
ними должна книга по истории анализа. Вот почему исторический
материал служит здесь не предметом изложения, а той базой, на
которой изложение построено...» [1, с.5]. Поэтому анализ в этом
руководстве излагается таким образом, что основные его понятия
выступают в их развитии. «Это значит, что на первом этапе изуче-
ния я ввожу основные понятия анализа в их грубой форме, в кото-
рой они заимствуются из изучения простейших фактов естество-
знания и техники, — пишет он в предисловии ко второму изда-
нию.—Таким образом я отказываюсь от традиции основывать из-
ложение на теории пределов. Теории пределов должно быть уделе-
но должное место там, где она действительно необходима не толь-
ко как формализующий аппарат, но и как база для развития но-
вых, более сильных методов... Я отказываюсь от резкого разграни-
чения анализа на дифференциальное и интегральное исчисление.
Обе операции анализа рассматриваются сначала как самостоятель-
ные проблемы, затем устанавливается связь между ними, и в даль-
нейшем изучаются обе эти операции слитно.
Отправной точкой является не задача дифференцирования, а
задача интегрирования, так как при этом рассматривается сразу
гораздо более широкое поле исследования конкретных вопросов.
Именно поэтому задача интегрирования и исторически возникла
прежде задачи дифференцирования» [1, с.9 —10]. Дифференциал
первоначально вводился Выгодским так, как это и было в эпоху
зарождения анализа —как актуально бесконечно малая! Лишь по-
том он «наведет порядок», объяснив студенту как рассказанное ра-
нее можно изложить строго, используя понятие предела.
И хотя свой подход Выгодский предлагает как прием прежде
всего педагогический, в то же время он полагает его естественным,
оправданным психологически (так учащийся лучше поймет основы
анализа) и исторически (так эти основы формировались). То есть
современная форма изложения — необходимая дань требованиям
математики сегодняшнего дня, однако по сути своей понятия ана-
лиза (дифференциал, интеграл) есть то, что дается нам в интуи-
ции и раскрывается в истории. Подход Выгодского не встретил
С.С.Демидов
131
поддержки у ведущих педагогов того времени. В посвящении к ру-
ководству Выгодский говорит о резких возражениях, «...которые
этот метод встретил со стороны авторитетных педагогов и уче-
ных». Единственный из известных математиков, кто горячо его
поддержал был Н.Н.Лузин.
Для Лузина естественным представлялось интуитивное пости-
жение математических сущностей. Аксиоматическая форма изло-
жения—дело уже последующей (для Лузина —рутинной) деятель-
ности. Так он подходил и к понятиям анализа. Как мы узнаем из
первого публикуемого нами письма, еще в студенческую пору в пе-
риод изучения анализа он испытал немалые психологические труд-
ности. Принятый в математике XX века «логический» способ изло-
жения анализа, основывающийся на понятии предела, представ-
лялся ему не идеальной формой для знакомства с основными его
понятиями. Помня о собственных трудностях и пытаясь облегчить
задачу изучения анализа начинающими, Лузин из океана имею-
щейся литературы выбрал показавшийся ему удачным учебник
американского автора В.Э.Гренвиля [2], существенно переработан-
ный перевод которого стал широко известен в нашей стране под
именами Гренвиля и Лузина [3]. Из этого руководства впоследст-
вии вырос собственный учебник Н.Н.Лузина [4; 5], выдержавший
несколько изданий.
Первое из публикуемых нами писем представляется нам доку-
ментом поразительным. С одной стороны, в нем фиксируются пе-
реживания самого Лузина, сходные, это можно сказать с уверенно-
стью, с переживаниями' многих математиков, размышлявших над
проблемами оснований дифференциального исчисления на протя-
жении более чем 300-летней его истории. Переживания эти сегод-
ня, с позиции математики конца XX века, можно квалифицировать
как предчувствие открытого в 60-е годы нашего столетия нестан-
дартного математического анализа. С другой стороны, письмо это
приоткрывает завесу, скрывающую от нас мучительный поиск мо-
лодым Лузиным (правда, в передаче уже Лузина зрелого) темати-
ки его будущих исследований. Оказывается, размышления Лузи-
на-студента над природой бесконечно малых стали для него врата-
ми в царство теории функций действительного переменного. Сам
он пишет об этом так: «Большая пережитая драма с кривой Weier-
strass’a заставила меня сосредоточить все внимание на теории фун-
кций и, вообще, на микро-математике, как я называл изучение бес-
конечно малых структур функций и множеств». Это письмо вместе
с публикуемыми в последнее время, к сожалению, немногочислен-
ными его замечаниями о природе математики, математических объ-
ектов и характере математического творчества (вроде письма
9'
132
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
О.Ю.Шмидту [6] или отзыва на работы Н.А.Васильева [7]) про-
ливают свет на его взгляды на основания математики. Выявление
сути этих взглядов и их эволюции представляется нам, принимая
во внимание роль Лузина в Московском математическом сообщест-
ве 20 —40-х годов, задачей чрезвычайной важности. Ибо ее реше-
ние позволит проникнуть в спрятанный от постороннего взгляда
(по разным причинам, не в последнюю очередь из-за опасений
идеологического характера) мир размышлений московских матема-
тиков той поры над проблемами оснований их науки, во многом
определявших видимое нам движение математической мысли.
К ее решению историки только приступают. Пионером здесь
выступил Ф.А.Медведев с работой «Н.Н.Лузин о неархимедовом
времени» [8], вышедшей в 1993 году (из последних работ, касаю-
щихся взглядов Н.Н.Лузина на основания математики отметим
статью М.И.Панова [9]). Работа Ф.А.Медведева основана на
опубликованных работах Лузина, в частности, на его энциклопеди-
ческой статье «Дифференциальное исчисление» [10]. Медведев по-
казывает как Лузин, размышляя над формальной возможностью
построения понятия постоянного бесконечно малого, обсуждает во-
прос об открывающейся тогда перспективе развития идеи неархи-
медова времени. Следует заметить, что энциклопедические статьи
Лузина, серьезное изучение которых только начинается, вызвали в
тогдашнем Московском математическом сообществе неоднозначную
реакцию. Отголосок этих «энциклопедических баталий» мы угады-
ваем в заключении второго из публикуемых нами писем, датируе-
мого 20 декабря 1933 г. По содержанию это письмо примыкает к
первому и содержит развитие некоторых его положений.
Во втором письме мы находим также взволнованный рассказ
Лузина о реакции математиков конца прошлого —начала нынешне-
го столетия на вейерштрассовский подход к основаниям математи-
ческого анализа. Скрытая от нас завесой времени оппозиция идео-
логии Вейерштрасса (Э.Борель, А.Данжуа и др.) раскрывает
смысл некоторых важных эпизодов истории математического ана-
лиза (теории расходящихся рядов, теории функций комплексного
переменного) и позволяет по-новому взглянуть на его йовейшую
историю.
ДВА ПИСЬМА Н.Н.ЛУЗИНА М.Я.ВЫГОДСКОМУ
Публикация и примечания
В. А. Волкова и С.С. Демидова
I
Н.Н. Лузин—М.Я.Выгодскому
Глубокоуважаемый Марк Яковлевич,
позвольте искренне поблагодарить Вас за Ваш чудесный и ценный
подарок: за присылку мне Вашего Курса Анализа1. Я давно слы-
шал о его появлении и слышал о страстных спорах, возбуждаемых
им. Повидимому, совсем нет, или есть очень мало, лиц, спокойно
к нему относящихся. Всякий, знакомящийся с ним, становится или
горячим его поклонником, или столь же страстным его противни-
ком. И это меня не удивляет ничуть, так как Вы мужественно кос-
нулись самой болезненной точки Анализа вообще, современного —в
особенности, метнув камень в «осиное гнездо».
Чтение же Вашей книги меня окончательно убедило, что иначе
и быть не могло и что, действительно, все категории лиц, знакомых
с основами Анализа, должны чувствительно реагировать на нее.
Много времени прошло с момента ее появления, и большинст-
во успело так или иначе высказаться, и Вы, вероятно, знаете суж-
дения о ней. Для Вас не ново, что, в то время, как педагогические
круги в своем большинстве чрезвычайно благоприятно встретили
ее появление, отношение теоретических кругов, опять в их боль-
шинстве, было сдержанным. В Москве я слышал разговоры о во-
зобновлении в науке теории флогистона или упреки в декаденстве.
В Ленинграде, воспитанном более однообразно, говорили о том,
что Дарвин начертил путь эволюции человека, описав его путь раз-
вития от ходьбы на четвереньках до вертикального положения, и
что стремиться обратить этот процесс в математике... Короче, поч-
ти все теоретики высказываются за неизбежное базирование Анали-
за на теории пределов и лишь, снисходя к «человеческой слабости»,
допускают, в виде возможности, краткий этап знакомства с Анали-
зом без теории пределов, лишь для самых начинающих, с тем не-
пременным условием, чтобы «уж потом все было как следует...»
Мне кажется, что то, что я написал более или менее верно в
отношении отзывов теоретических кругов. Ваше изложение встре-
чает в них или чисто отрицательное отношение или снисходитель-
но допускается в виде педагогического приема. Попыток иного от-
ношения я не встречал.
134
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
После изучения большей половины Вашей книги, мне также
захотелось высказаться. С этой целью я избираю форму письма к
Вам. Я более люблю это: в письме можно остановиться и поду-
мать, что затруднительно в живой речи. И потом, это более соот-
ветствует моему темпераменту. Извините меня, если письмо вый-
дет длинным. В такого рода вещах лучше быть длинным, но зато
понятным до конца. Вероятно, это письмо я буду писать много
дней, с перерывами, и под влиянием разных состояний ума.
Конечно, я мог бы избавить Вас от чтения моего письма, просто
присоединившись к той или иной группировке высказывающихся
лиц. Но для меня затруднительно это, так как ни одна из них не
отвечает моим мыслям. В противоположность моим коллегам, я ду-
маю, что попытка пересмотра идей бесконечно-малого как перемен-
ного конечного количества есть совершенно научная попытка, и что
предложение заменить переменные бесконечно-малые стационарны-
ми вовсе не имеет лишь одно чисто-педагогическое значение, но
имеет за собою нечто неизмеримо более глубокое, и что для нее в
современном Анализе растут корни. Короче, если бы была нужна
краткая формула, я бы ее формулировал в виде положения: «Со-
временная наука не имеет возражений против этого рода идей».
Вот об этом то я и хотел бы более пространно написать Вам.
Сначала лишь замечу, что идея актуально-малого имеет какие-то
бесконечно-глубокие корни в уме. Когда ум начинает свое знаком-
ство с анализом, словом, когда для него весна, он начинает всегда
именно с актуально-малых, которые можно называть «элемента-
ми» количеств. Но постепенно, шаг за шагом, по мере накопления
у него знаний, теорий, пресыщения к абстракциям, усталости, ум
начинает забывать свои первоначальные стремления, улыбаться их
«ребячеству». Короче, когда приходит осень ума, он дает себя убедить
в единственности правильного обоснования при помощи пределов.
Вашу книгу иногда обвиняют в излишней страстности, едко-
сти, желчности. Для меня это так понятно, что, по моему, иначе, в
первых поисках, и быть не может. То, что считают желчностью,
это есть просто отголосок сильного интеллектуального страдания
и боли, и чем страдание сильнее, тем лучше, потому что оно есть
источник творчества.
Для того чтобы Вы не думали, что я стараюсь быть приятным
для Вас, я расскажу Вам кое-что из своих личных воспоминаний:
Вы увидите, что я кое-что понимаю в этих вещах, раз до сих пор
сохранил столь живые воспоминания, навсегда врезавшиеся мне в
память. Обычно такого рода страдания всегда тщательно скрывают
и очень неохотно говорят другому о них, и то лишь в виде намеков.
В А.Волков, С.С.Демидов
135
Не знаю, почему это так, но действительно приходится делать над
собою усилие. Однако, его нужно сделать.
Я вспоминаю себя студентом 2-го курса. Обстановка была та-
кая: в стороне стоял Л. К. Лахтин7 с его диктованием основ анализа.
На его диктанты я не ходил: зачем, раз можно купить или занять
для прочтения его литографированные записки? Тон был задан Бо-
леславом Корнелиевичем Млодзеевским3, пылким и властным гео-
метром, европейского масштаба, и точным строгим Д.Ф.Егоровым4,
лишь начавшим свое вхождение в жизнь Университета. Л.К.Лахтин
держался от них в стороне, Б.К.Млодзеевский властвовал, но счи-
тался с точно и строго работающим умом Д.Ф.Егорова.
Я начинал свое знакомство с анализом по беспорядочно и жадно
читаемому разнообразию книг. Все зависело от случая: есть или нет
такой то книги в библиотеке, и как она внешне выглядит, солидно
или так себе. В голове была каша, хаос, обрывки нитей, срастаю-
щихся случайно. Руководства не было, контакта с профессурой ника-
кого. Просто попал в воду и барахтался, должно быть, как умел,
чтобы не утонуть. И кто знает, не лишило ли бы систематическое ру-
ководство того богатства и многоцветности, которые как-то сознаю в
себе, и не придало-ли бы оно, если бы было в действительности, од-
нотонный колорит и скуку деятельности ума? Но не в этом дело.
Главное в том, что я не знал ни Goursat^, ни Jordan’а^', а вос-
питывался на старинных курсах Анализа: Lacroix7 и других. Са-
мым новым для меня был 7-ми томный курс Laurent'a («Traite
d’Analyse»)®. В нем автор гордился, что он —ученик Cauchy. Тео-
рия множеств и теория функций действительного переменного при-
шли ко мне лишь в момент окончания Университета, вернее, при
стадии оставления, при Университете9. Такое старинное воспитание
было обусловлено чистою случайностью, так как когда я был в
Университете (1901 — 1908), курс Goursat был уже в полном ходу
за-границею и у нас в кругах, близких к профессорским; я же его
не знал, и читал все автодидактом.
Такое «старинное» воспитание, вернее: самовоспитание, кото-
рое я получил и обусловливает мое своеобразие и свободу в отно-
шении математических взглядов. Во всяком случае, когда я прохо-
дил Университет, у меня не было дисциплинирующих курсов
Д.Ф.Егорова, ни Goursat, ни логически-непреклонного Vallee-Ро-
ussin’a10; был же хаос, может быть, и творческого характера. Тео-
рия пределов вошла в меня механически, грубо, "не утонченно, а
скорее полицейски-принудительно, по формуле: «замолчи, я тебе
говорю!» Вообще, я люблю старинные курсы, где есть все, что от-
носится к делу, и где, еше больше, есть то, что прямо не относится к
136
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
делу, но что важно для проникновения наукой. Современные же
курсы напоминают мне французские канцелярии, где могут и на-
кричать, если позабыл снять шляпу, и отправить с формальной от-
пиской. И в моих стараниях по Грэнвиллю11 я невольно брал па-
литру с красками и раскрашивал Теорию пределов, живо помня, как
угнетающе действовала на меня начавшая входить Теория пределов,
нерасцвеченная ничем.
Я живо помню состояние моих идей по Анализу бесконеч-
но-малых. Я был на втором курсе. На заявления профессоров о
Ау
том, что — есть предел отношения, я думал: «Какая скука! Чудно
и непонятно. Нет! Не надуют: просто отношение бесконечно-ма-
лых, и только». Живо помню, как с величайшей болью я воспри-
нял кривую Weierstrass’a без касательной^, не верил, пытался
опровергнуть и десятки раз перечитывал доказательство Duha-
гпеГя13 о том, что всякая непрерывная функция дифференцируе-
ма. Эта боль, действительно почти нестерпимая, при мысли о кри-
вой Weierstrass’a понятна: ведь если у(х) есть функция Weierst-
rass’a, то она непрерывна и раз существует dx, то должен сущест-
Ау
вовать и Ау. И однако нет —! Почему? Короче, глубоко естествен-
ная идея актуально-малых у меня начала подтачиваться кривой Wei-
erstrass’a и теория пределов в меня вошла как патология функций.
Борьба с кривой Weierstrass’a была для меня родом кошмара.
Я ею грезил во снах. Теперь я понимаю, что она была для меня
чудовищем, с которым я нелепо боролся. И не будучи в состоянии
победить, я предпринял обходное движение: я вознамерился пока-
зать, что кривая Weierstrass’a не диво и что с помощью элементар-
ных построений можно сделать то же самое и притом СОХРАНЯЯ
ИДЕЮ СТАЦИОНАРНОГО БЕСКОНЕЧНО-МАЛОГО.
Собравшись с духом (я не любил соприкасаться с профессора-
ми: будучи робким- просто боялся их. Не боялся лишь И.И.Же-
галкина'4), я после лекции у нас по Геометрии Б.К.Млодзеевско-
го, робко подошел к нему и попросил позволения побеседовать с
ним относительно кривых без касательных.
Первая ошибка уже была сделана: я был слушателем, профес-
сор казался высшим существом; я не думал, что он может чувство-
вать усталость. А между тем, я, молодой, сидел целый час и начал
разговаривать с ним, когда он изнемогал от усталости. Поэтому,
голос Б.К.Млодзеевского, повысившийся до окрика, я принял на
свой счет, а не за счет его усталости. Такие вещи нужно было об-
суждать лишь с отдохнувшим человеком.
В.А.Волков, С.С.Демидов
137
Итак, я начал: «Болеслав Корнелиевич, мне кажется, кривую
без касательной можно “построить” совсем элементарно и я хотел
бы знать Ваше мнение». Он: «Ммм..., ну давайте -у Вас есть чер-
теж?» Я: «Да, Болеслав Корнелиевич, вот он:
разделим диагональ квадрат на п частей, равных между собой и на
каждом делении, как на основании, построим равнобедренный
прямоугольный треугольник. Получаем нечто вроде ажурной пи-
лочки. Теперь, делаю и=оо. Пилочка делается непрерывной кри-
вой, бесконечно мало отличающейся от самой диагонали. Значит, у
ней касательной должна служить сама диагональ. И, однако совер-
шенно ясно, что у ней касательная то параллельна оси ОХ, то па-
раллельна оси ОУ. Я думаю, что то же самое происходит и с пре-
словутой кривой Weierstrass’a.» Он: «Ну, знаете-ли, если Вы это
серьезно...такой круг идей... Но ведь это же нелепость, то, что Вы
говорите. Поймите, актуальной бесконечности нет. И оо не число.
Стороны Ваших треугольников не I/00- И треугольников нет. И
вообще ничего нет... Есть только Ваше непонимание. Поймите, что
п есть конечное число. И для всякого п своя ажурная пилка, как
выражаетесь Вы. И когда п безгранично возрастает, то у Вас на
плоскости, как на экране кинематографа,- мелькание: пилка сме-
няет пилку с все возрастающей быстротой. Вот и все. Единой пил-
ки нет. Есть серия пилок. Ну-с, о касательной к какой пилке Вы
теперь говорите?!» Я: «О той, которая получится в пределе» Он
(видимо, теряя терпение): «Кажется, сказка о белом бычке... Пой-
мите, ос не есть число. Серия пилок безгранично приближается к
диагонали. Пределом же явится сама диагональ. Разумеется, каса-
тельная к диагонали есть: она сама для себя служит своей собст-
венной касательной». Я сказал наивно: «Но ведь я же вижу что
касательные к сторонам треугольников параллельны оси ОХ и оси
ОУ, и никогда не параллельны диагонали». Он, мгновенно смяг-
чившись и ласково...: «Аааа... Вот что...запомните: касательная к
пределу не есть предел касательной. Ведь сама касательная есть
предел. Ну так вот: у Вас перестановка двух переходов к пределу,
то, чего делать просто нельзя. Поймите (он взял мел):
138
К 100-лстшо Марка Яковлевича Выгодского
lim lim ---------------= 1
п= СО 777 = 00 ТП + Т1
и lim lim -------=0
m- оо и = оо tyiп
ну и, значит,
lim lim
п = оо m = оо
-----* lim lim -------
m + n m=00 n=oo m + n
Это—история старая: длина предела не равна пределу длины.
Ведь если Вы измерите длину Вашей ажурной пилки, то она равна
2. А ведь длина диагонали V2. Переворачивать пределы нельзя.
Подумайте над этим. Это сразу Вам не дастся. До свидания». И
он ушел, оставив меня в недоумении на то, что я не был понят,
как мне казалось тогда.
Не надо забывать, что я был студентом 2-го курса. Через неделю
случаю было угодно, чтобы один товарищ 4-го курса затащил меня
на лекцию по действительному переменному того же самого Болесла-
ва Корнелиевича для студентов 4-го курса. И я выслушал его, блес-
тящую по обыкновению, лекцию о понятии мощности и счетной мощ-
ности. Это было для меня почти откровением. Боясь пошевелиться, я
слушал его вдохновенную речь про мощность, про Кд, а сам думал:
«Да ведь это сплошные противоречия: в Анализе говорят, что всякое
число конечно и скромно умалчивают о бесконечно-удаленных точ-
ках прямых. В Геометрии, наоборот, твердят о бесконечно-удален-
ных точках и выводят чудесные вещи. Неделю тому назад, Болеслав
Корнелиевич меня оборвал, вскрикнув, что “актуальной бесконечно-
сти нет”. А теперь, сам то что он делает! Нет, чего то я не понимаю.
Должно быть напрасно я здесь: сделаться бы мне физиком!» Обду-
мав слова, я после лекции твердо подошел к нему и сказал: «Бо-
леслав Корнелиевич, я к Вам с вопросом относительно непрерыв-
ных кривых без касательных...» Он болезненно сморщился и ска-
зал удрученно: «Вы все о том же... Вы находите дело неясным... в
чем же дело?» Я: «Видите-ли, Болеслав Корнелиевич, неделю
тому назад я строил Вам треугольники и, должно быть, неудачно.
Теперь я желал бы пересмотреть вопрос. Пусть на диагонали квад-
рата лежит конечное множество (тут он вздрогнул, при слове
“множество”) точек. Нужные мне треугольники я
Рис.2
В.А.Волков, С.С.Демидов
139
раньше строил постепенно на каждом отрезке в отдельности. И в
этом была моя ошибка. Теперь я это могу сделать сразу. Возьмем
совокупность всех параллелей осям ОХ и ОУ, проходящих через
наши точки. И затем я обрезываю сразу все “лишние” части пря-
мых и получаю сразу пилку...»
Он оборвал меня и сказал: «Не понимаю, к чему Вы все это.
Ну, ясно, что это так. Ну, а дальше?» Я: «Так вот, Болеслав Кор-
нелиевич, вместо конечного множества я беру счетное множество,
например, все точки диагонали, отстоящие от начала диагонали на
соизмеримое расстояние. И дальше повторяю все то, что только
что Вам сказал: беру все параллели, проходящие через точки этого
множества и параллельные осям ОХ и ОУ, и наконец,
уничтожаю “лишние” части прямых. Что я должен получить, те-
перь уже без всякого перехода к пределу! То же, что и раньше:
т.е. пилку, но с актуально-малыми зубцами!
Значит, имеется индивидуальная неподвижная “кривая”, бес-
конечно-мало отличающаяся от диагонали. В прошлый раз, когда
140
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
я пришел с ней, Вы, Болеслав Корнелиевич, сказали, что мое по-
строение основано на ошибке, так как “нет актуальной бесконечно-
сти”. И Вы запретили мне употреблять оо как число. Но теперь, на
лекции, Вы же сами говорили об актуальной бесконечности, о
счетной мощности. И вот я изменил построение, в согласии с Ва-
шим изложением, не употребляю оо как числа, а отправляюсь лишь
от счетного множества и получаю то же самое: пилку с актуаль-
но-малыми зубцами т.е. неподвижную индивидуальную кривую,
бесконечно-мало отличающуюся от диагонали». Болеслав Корнели-
евич внезапно затих, потом чрезвычайно деликатно с оттенком не-
которой почтительности заговорил: «Не понимаю, как Вы попали
на мою лекцию... Послушайте: не ходите больше; Вам это вредно,
пока Вы не окрепнете. Что же касается до Вашей кривой, то она
логическая, не настоящая, не подлежащая интуиции (“хорошо!
хорошо!”—прервал он сам себя). Она существует в логике, но не
геометрически. Она словесная, а не реальная. О ней говорить
можно, но она не настоящая». Я мгновенно понял, что Болеслав
Корнелиевич попался (не учитывая, что человек просто устал по-
сле лекции в чужой области и не мог ориентироваться в моих воз-
ражениях) и безжалостно насел на него: «Болеслав Корнелиевич,
а кривая Weierstrass’a настоящая, или логическая? Она словесная,
или существует в действительности? Она реальная, как синусоида
или только мыслимая? Если последнее, то обрывая тригонометриче-
ский ряд на каком-нибудь члене мы, значит, имеем реальную кри-
вую, а беря его весь мы, уже имеем лишь словесное образование».
Но я имел дело со страшным противником, который устал, растерял-
ся от натиска, но который мгновенно оправился, просто выгадывая
время своими словами о словесных кривых и который, воспрянув,
нанес мне страшный удар: «Послушайте,—сказал он с загоревшимся
внезапно гневом, что за галиматью Вы мне несете! Возьмите-ка го-
мофокальный эллипс с фокусами в концах Вашей диагонали
Отвечайте мне прямо, без увиливания: “Ваша пилка будет ведь
внутри этого эллипса? Да?” Я: “Конечно, Болеслав Корнелиевич!”
Он: "Но малая ось эллипса, обозначим ее через е, может быть
В.А.Волков, С.С.Демидов
141
мала как угодно. Да?” Я: “Да, Б.К.!” Он: “Значит, Вы согласны,
что Ваша кривая находится внутри всех эллипсов с фокусами в
концах диагонали?” Я: “Разумеется, Б.К.”. Он: “Но ведь предел
такого гомофокального эллипса, когда е стремится к нулю, есть
лишь сама диагональ, а не Ваша пилка. Значит, ее нет, этой Ва-
шей пилки и все Ваше подновленное рассуждение не стоит боль-
шего, чем то, что Вы показывали мне неделей раньше!” Я замол-
чал, справляясь с нанесенной мне раной. Но теперь роли переме-
нились, и он безжалостно добивал. Он: “Поймите, ведь если ка-
кая-либо точка, М например, не лежит на диагонали,
то ведь, при достаточно малом е, она окажется снаружи гомофока-
льного эллипса. Значит, пределом гомофокального эллипса будет
только диагональ, в лице всех ее точек, и никакая другая чужая
точка М, не лежащая на диагонали. Ясно?” Но я уже оправился и
сказал: “Все это так, пока е конечное. Но если е есть актуаль-
но-малое...” Но меня прервала буря негодования: “Semper idem!”15
воскликнул он —ведь я же толкую Вам полчаса о пределах, а не об
Ваших актуально-малых, которых нет в действительности. Ведь
это же я доказываю в своем курсе. Походите на него, чего, впро-
чем, я Вам пока не советую, и Вы убедитесь в этом... Вы что-то
еще хотите мне сообщить?» Я, действительно, был сильно задет и
начал говорить, насколько я вспоминаю теперь, так. Я: «Болеслав
Корнелиевич, я думаю, что возможно отправляться не только от
чисто-математических рассуждений, но и от общенаучных тенден-
ций. В химии, например, в действительности нет химически чистой
воды, ибо всегда, в реальной воде, будут иметься группы молекул,
не входящие в состав воды. И, однако, химия-наука имеет Н2О и
говорит нам о химически чистой воде Н2О. Что это такое? Аб-
стракция? Нет, это идеализированная вода, идеализация! Про-
цесс идеализации, видимо, неизбежен для всякой стадии науки.
Пусть химически чистой воды нет в действительности, но Н2О
есть в науке и говорить об Н2О есть дело науки. Возьмем теперь
гипс и процесс образования формы. Вы, например, имеете полый
конус, математически точный:
142
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
Но Вы наливаете туда раствор в воде жидкого гипса, чтобы
- сцять форму конуса. Что-же такое этот процесс? Гипс застывает и Вы
вынимаете из пустого конуса его копию, кажущуюся Вам точной.
Но на деле это не так. Процесс застывания гипса есть процесс
КРИСТАЛЛИЗАЦИИ и то, что Вы вынимаете из конуса, это не бу-
дет конус или его точная копия, это в действительности будет крис-
таллическое тело, лишь приближенное к конусу, почти по принципу
Cavalieri16. Если мы теперь идеализируем этот процесс и застыва-
ние идеального гипса будем понимать, как процесс идеальной крис-
таллизации, с актуально-малыми кристалликами, то вынув форму,
мы убедимся, что мы имеем не конус, а тело, актуально-мало...»
Но он плохо кончился, этот разговор. Мне стыдно сказать, но Б.К.
просто' ушел, посоветовав мне принести к следующему разу баночку
такого гипса... Больше я уже с Б.К. не разговаривал никогда на эту
тему, но через 2 года натолкнулся на взволновавшую меня картину.
Прежде чем о ней передать Вам, расскажу Вам еще одну черточ-
ку, характеризующую состояние тогда моего ума. Я помню себя сту-
дентом 3-го курса, сидящим на первой лавке на лекции механики
В.А.Волков, С.С.Демидов 143
Николая Егоровича Жуковского17. Точнее: это была лекция по
гидродинамике. Аудитория была огромная, профессор был человек
крупный, массивный и очень умный. Как сейчас помню, он стоял
перед огромной во всю стену чистой черной доской и с мелом в
руке говорил нам о силах, действующих на жидкость. «Возьмем,
говорил он, элементик жидкости...»
PHC.il
и с этими словами он, приняв во внимание размеры огромной
аудитории, битком набитой студентами (3-го + 4-го курса: соеди-
няли курсы ради экономии), нарисовал большой куб, величиной с
метр. «Пусть,— продолжал он, р и р + др суть давления на проти-
воположные стенки этого элементика...» И он принялся делать
сложное геометрическое построение внутри нарисованного им куба.
Меня точно кто подтолкнул: «Вот так элементик!» —пронес-
лось у меня в голове: «Да сюда можно свободно поместить живого
гуся! А ведь построение-то стационарное. Вот они актуально-ма-
лые, в которые из приличия никто не хочет верить, но которые то
и дело употребляют, когда не думают о приличиях!» Но тут я со-
средоточился на лекции и забыл о скандальной мысли.
Возвращусь теперь к Болеславу Корнелиевичу. Это было год
спустя, когда я был на 4-ом курсе, значит, 2 года спустя после по-
следнего разговора с Болеславом Корнелиевичем о пилках. По-
мню: нас двоих, Бюшгенса18 и меня, пригласили на заседание ма-
тематического общества. Тогда студенты не допускались туда со-
всем и нужно было специальное приглашение профессуры. На за-
седании было немного членов, человек, должно быть, 12. Все они
сидели за длинным столом, покрытым зеленым сукном, и пили чай
с сухариками (мне казалось удивительным совмещение прозаиче-
ского чая с наукой). Доклад делал, не помню, кто, именно об
уравнениях Pfaff’а^. Я сидел на стуле во втором ряду, позади
Болеслава Корнелиевича и Д.Ф.Егорова, сидевшего за столом ря-
дом с Млодзеевским. А тем временем докладчик покрывал доску
уравнениями Pfaff’a в полных дифференциалах-.
= \ Amk ^n6xk -dxk6xn),
n,k
144
К 100-лстию Марка Яковлевича Выгодского
(l)(2m-6)d^d^=0j
а> i' = K,(dxr + ]бхг + 2 -dxr + 2^xr + j ) (mod (Oj, ...,cor ).
Формула струилась за формулой, значки полных дифференци-
алов d, б текли изобильной струей, один за другим, складывались,
вычитались, умножались, подставлялись один в другой, выража-
лись линейно чрез аналогичные значки d, б полных дифференциа-
лов. Я внимательно глядел на доску, сначала старался ухватить
смысл, но не зная (как понимаю теперь) теории проблемы Pfaff’a,
заблудился мыслью и поймал себя на том, что просто любовался
внешностью потока формул. И вдруг меня осенила мысль: Ну вот,
я не понимаю почему-то: но по крайней мере я знаю, что такое d, б.
А если бы кто другой сейчас пришел сюда, хорошо знающий алгеб-
ру, но незнакомый совсем с Дифференциальным Исчислением. Что
бы он подумал? Подумал бы, что речь идет об алгебраических пре-
образованиях, о каких то неизвестных количествах dx, &f и т.д. и
он начал бы также точно выражать одни чрез другие и решать их.
Ведь это же, в самом деле, настоящая алгебра количеств d, б.»
Только что я подумал про себя это, как слышу оживленный
голос Болеслава Корнелиевича, говорящий сидящему рядом
Д.Ф.Егорову: «Я всегда думал, что символы полных дифференци-
алов являются особенными символами. Посмотрите, как он опери-
рует с ними! Ведь они в его руках просто постоянные числа: он
их складывает, вычитает, множит, подставляет, преобразует. Ведь
можно совсем забыть об их истинном происхождении и опериро-
вать с ними, как с постоянными бесконечно малыми. И Вы знаете,
Димитрий Федорович, что вовсе не безнадежна попытка, в духе
Hilbert’a, аксиоматически...» Тут докладчик, которому мешал этот
оживленный голос, с упреком взглянул на Болеслава Корнелиеви-
ча, и тот, прервав себя, сказал ему: «Я слушаю, слушаю!», а сам,
поглядев на Д.Ф., спросил более тихо; «Что Вы об этом, Д.Ф.,
думаете?» Но Д.Ф.Егоров тихо покачал головою, как бы говоря:
«Так то оно так, Болеслав Корнелиевич, а все таки...»
У меня внутри поднялась настоящая буря: «Ах, вот оно
что!пронеслось у меня: нас, маленьких, учат одному, а сами то
взрослые, что между собою говорят. Значит, взаправду, дело не так
уже стоит тут твердо, раз у них самих такие разговоры». Я впился
глазами в них и чувствовал, как они у меня горели. Не знаю, что
произошло: может быть подо мною скрипнул стул, или это была
одна из тех таинственных случайностей, когда люди как будто чув-
ствуют пронизывающий их сзади взгляд. Только Болеслав Корне-
лиевич внезапно оглянулся и, заметив мой горящий взгляд, накло-
нился и что-то тихо сказал Д.Ф-чу. Тот ему ответил что-то столь
же тихо, и далее они не разговаривали более друг с другом.
В.А.Волков, С.С.Демидов 145
Я это так подробно описываю Вам, просто желая дать психо-
логический документ о состоянии ума в его ранней ступени разви-
тия. Может быть Вам это и будет интересным. Вероятно, я смог
бы, терпеливо побродив в сумраке воспоминаний, вынести из него
на свет еще что-нибудь, может быть даже и ценное (в отношении
математического воспитания). Но, говоря откровенно, я боюсь
уходить в этот сумрак. А страшусь вынести из него, на дневной
свет, какие-нибудь вещи, глубоко связанные с первыми движения-
ми математического ума или математического сознания, которые
сильно захватят сейчас меня и лишат меня возможности проследо-
вать намеченным в науке путем. То же, что я рассказал Вам —это
всегда со мною, так как сильно врезалось в память.
Дальше же со мною было следующим образом. Воспитанный
на старинных трактатах Анализа, я прямо перешел к теории мно-
жеств и теории функций, минуя теорию пределов. Это произош-
ло по окончании Университета, когда я, получив от Д.Ф.Егорова
предложение остаться при Университете, его отклонил и ушел на
1/2 года сначала на медицинский факультет (из моральных сооб-
ражений), а затем на 1 / 2 года на бывший историко-филологиче-
ский факультет, так как я не мог видеть трупов и хорошего меди-
ка из меня бы не вышло. Лишь после этих 1/2 года на истори-
ко-филологическом факультете, где я слушал всех известных тогда
философов и не вынес, почему-то, страсти к их рассуждениям, я
возвратился к математике и, приняв предложение Д.Ф.Егорова,
принялся за пополнение математического образования, не спраши-
вая советов и руководствуясь, как раньше, случаем.
Большая пережитая душевная драма с кривой Weierstrass’a за-
ставила меня сосредоточить все внимание на теории функций и,
вообще, на микро-математике, как я называл изучение бесконеч-
но-малых структур функций или множеств.
Примечания
1 Речь идет о первом издании (1931 г.) книги М.Я.Выгодского «Основания исчисле-
ния бесконечно малых» [1]
2 Лахтин Леонид Кузьмич (1858 — 1927) — профессор Московского университета [11,
с.540].
3 Млодзеевский Болеслав Корнелисвич (1858—1923) —известный геометр, про-
фесссор Московского университета [11, с.515 —517].
4 Егоров Дмитрий Федорович (1869—1931) —выдающийся русский математик, учи-
тель Н.Н.Лузина. Основатель и глава (вместе с Лузиным) знаменитой Московской
школы теории функций [11, с.517 —519; 12].
5 Речь идет о знаменитом «Курсе математического анализа» Э.Гурса, выдержавшего
много изданий во Франции (см., например, [13]), а также по-русски (см., напри-
мер, [14; 15]).
10-3525
146
К 100-лстию Марка Яковлевича Выгодского
6 Имеется в виду известный курс К.Жордана [16].
7 Скорее всего речь идет об одном из изданий «Трактата по дифференциальному и ин-
тегральному исчислению» С.Ф.Лакруа (например, [17]).
8 См. [18].
9 Где-то в 1905-1908 гг. (см. [И. с.566]).
10 Выдержавший несколько изданий курс Ш.Ла Валле-Пуссена [19], переводился па
русский язык [20; 21].
11 Об учебнике В.Э.Гренвиля см. Статью С.С.Демидова, публикуемую выше.
12 Речь идет о знаменитом примере Вейерштрасса непрерывной функции, нс имеющей
конечной производной ни в одной точке (см. [22, с.212]).
13 См. [22, с.80. 208]
н Жегалкин Иван Иванович (1869—1947) —профессор Московского университе-
та [11. с.563-564].
15 semper idem (лат.) —всегда то же.
16 Принцип Кавальери можно сформулировать так: объемы двух тел равны, если рав-
ны между собой площади всех соответствующих их сечений, проведенных паралле-
льно некоторой данной плоскости.
17 Жуковский Николай Егорович (1847—1921) —великий русский механик и матема-
тик, профессор Московского университета.
18 Бюш гене Сергей Сергеевич (1882— 1963) —однокашник Н.Н.Лузина но универси-
тету, впоследствии известный геометр, профессор Московского университета.
19 О каком докладе идет речь установить не удалось. II
II
Н. Н .Лузин—М. Я. Выгодскому
20, XII, 33 Арбат, д.25, кв.8
Москва (2)
Глубокоуважаемый Марк Яковлевич,
очень рад был получить Ваше письмо. Прежде всего бесконечно
благодарю Вас за внимание и за в высшей степени интересный и
ценный подарок—Цейтен1 — который Вы пожелали мне сделать.
Правду сказать, я, услышав о выходе этой книги, очень желал ее
иметь,— но меня постигла неудача: куда я [только не]2 обращал-
ся—везде было уже распродано. А между тем нужда и интерес к
ней у меня все возрастали —и я было предпринял длинный обход-
ной путь: получить эту книгу из провинции. Судите же теперь
сами, как велико было мое удовольствие и радость, когда я непо-
средственно даже на дом ее получаю, и притом от Вас: чтобы Вы
не заподозрили здесь простую любезность в этой прибавке, я по-
зволю себе несколько остановиться на этом.
Вы не просто только редактор этой книги Цейтен , но автор
крайне ценных добавлений мелким шрифтом и чрезвычайно глубо-
ких примечаний. Примечания эти я видел, когда держал в руках
В.А.Волков, С.С.Демидов 147
непринадлежащий мне экземпляр Цейтен и расстраивался не буду-
чи в состоянии взять ее на дом. Глубину этих добавлений и приме-
чаний я еще тогда очень оценил и желал лишь их обдумать на сво-
боде.
Ваши дополнения к Цейтен, кроме того, весьма содержатель-
ны и, познакомившись еще раньше с Началами Ньютона4, я впол-
не разделяю очень ясные5 Ваши соображения. В частности, там
где Вы усматриваете у Цейтен предвзятость, односторонность, за-
ранее выработанный взгляд и где Вы с ним полемизируете — я все-
цело на Вашей стороне.
Вот почему мне была особенно дорога присылка Цейтен имен-
но от Вас.
Я Вам уже раз написал длинное письмо, касающееся Ваших и
моих взглядов на бесконечно-малые6. Когда будут силы я еще раз,
и может быть неоднократно даже, вернусь к этому вопросу. То,
что я могу сейчас лишь сказать, это —всего только несколько слов.
Ваши взгляды для меня вполне приемлемы. Это я уже засви-
детельствовал как-то раз публично, и готов всегда это сделать, при
случае и при надобности. Меня нисколько не пугают ни новизна,
ни смелость этих’ взглядов. И в этом отношении я не похож на
многих людей, сильных и глубоко мною уважаемых и любимых,
которые замечательно хорошо к Вашей деятельности относятся и
из которых некоторые Ваши почти друзья или даже совсем друзья
и которые, однако, чувствуют робость пред смелостью Ваших кон-
цепций. Я не раз чувствовал, что когда я совершенно определите-
льно одобрял Ваши идеи и попытки, на меня смотрели как-то не-
ловко: как будто я делаю какой то или рискованный или неискрен-
ний шаг, который в их обществе просто не нужен: таковы силы
традиций, сила привычки, вера в непоколебимость концепций пре-
дела! Я прекрасно это замечал, но не обижался: всегда надо пони-
мать силу вышедших взглядов. А между тем, казалось бы моло-
дость должна была бы быть очень разносторонней и свободной.
Это и удивительно, но, вероятно, просто свойство человеческой
природы; и это —очень жаль, так как чувство свободы в научных
концепциях слишком драгоценно, чтобы отдавать его в жертву уста-
новившемуся течению.
К счастью, сейчас совсем другие времена и прежние идолы
плохо стоят на ногах. Подумайте, что было, если бы в Физике фи-
зики стали держаться прежних взглядов на атом: т.е. если бы они
воображали маленькую сферку, шарик материи, покрытый скор-
лупкою, по которой может разгуливать благополучнейшим обра-
зом один из демонов физиков. А ведь принцип перенесения тех
10'
148
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
привычек, которые созданы в связи с конечными размерами наше-
го организма, на мир интраатомных дальностей — ведь это тоже ве-
сьма установившаяся традиция, весьма почтенное мнение, устояв-
шееся, начиная от Демокрита до начала XX века! Но с ним ничего
не сделаешь и современный квантист говорит: «перенесение наших
привычек, навыков себя ощущать, в мир интраатомных структур,
принципиально невозможно. Такие существительные, каковые:
"притяжение”, “давление”, “отталкивание”, “удар”, “отскок”, та-
кие глаголы, каковы: “движется”, “волнуется” —туда переносить
запрещается: там —мир не этих грубо человеческих конечных по-
нятий. Туда надо идти с совсем иным языком и проще всего разго-
варивать про то, что там происходит на языке математических
символов, изменяя их по нужде, чтобы происходящее там отвеча-
ло этому языку». Подумать только, что при верности традициям
мы не имели бы современных квант!
Так и в самой математике', без печали, без злобы, без раздра-
жения—очень спокойно я смотрю на столь жгучий вопрос об осно-
ваниях Анализа бесконечно-малых. То, что было сделано Вейершт-
рассом — Кантором — это все было очень хорошо, и так и надо было
делать; но совсем иной вопрос, отвечает-ли это тому, что имеется в
глубине нашего сознания. Я не могу не видеть вопиющего противо-
речия между интуитивно ясными основными формулами Интегра-
льного Исчисления, и между несоответственно искусственной и
сложной работой их «обоснования» и их «доказательства». Нужно
быть очень глупым, чтобы не видеть этого в первый же раз, и
нужно быть совсем беспечным, чтобы увидевши это, привыкнуть к
искусственной, логической атмосфере и позабыть в дальнейшем
об этом вопиющем противоречии.
Лично мне думается, что там, где большинство видит полней-
шее благополучие (по модулю: «все идет прекрасно в этом наилуч-
шем», etc.), там именно и содержатся глубоко скрытые таинствен-
ные факты, еще не освещенные сознанием и наукой.
Нужно ли говорить, что, рассматривая так вещи, я с истин-
ным удовольствием слежу за проявлениями подлинной свободы
Вашей мысли и считаю ее движения истинной наукой, гораздо
стоящей большего, чем до иголочки новенькие, очень приличные,
безупречно сшитые («как все это делают») работы и хотя бы по
Теории Функций, чтобы не говорить об ином.
В этих истинно свободных движениях мысли я только и вижу
подлинный залог достоинства ученого. Если хотите примеров —вот
первый попавшийся: Вейерштрасс не только тяготеет над действи-
тельным переменным, но его тяжелая властная рука надолго
В.А.Волков, С.С.Демидов
149
сковала и теорию функций мнимого переменного. Кто не приходил
в восторг, в молодости, от его аналитического продолжения, от его
концепции аналитической функции, от чисто формальной концеп-
ции особых точек! Кто не восхищался идеей особой линии, через
которую функция не продолжаема. И не сразу математики стали
чувствовать, что в этой непродолжаемости есть принудительное ис-
кусственное ограничение. И Borel1 первый стал задыхаться в уз-
ких границах Вейерштрассовой теории функций комплексного пе-
ременного и стал искать трещин в формально-прекрасной теории
Вейерштрасса. Его попытки, его дерзновение, его страстный язык
и стремление прорваться за «естественные» границы —вызвали
удивление, ужас, насмешки. Его прежде всего стали «отчитывать»:
сам Borel рассказывает в старости с юмором, как Mittag-Leffler уса-
дил его, достал из сундука рукопись лекций Вейерштрасса и принял-
ся его «отчитывать», указывая на то, что сам Вейерштрасс рассмат-
ривает, «что то, что непродолжаемо —есть в действительности непро-
должаемое». «Magister dixet»9—замечает Borel. А затем две попытки
Borel’я «продолжить непродолжаемые функции» были разбиты, пер-
вая Poincare10, вторая Painleve11. Идея выбраться из заколдованного
круга идей Вейерштрасса, формально-несокрушимая и по существу
очень печальная — всю жизнь мучила Воге1я’я. И разве напрасно?
Разве мы не имеем теперь fonctions quasi-analytiques^'? Тайна Вей-
ерштрассовой единственности еще до конца не разгадана, но ясно,
что нет надобности в его продолжениях (кроме как, пока, в учебни-
ках) и, что важнее всего, найден конец запутанного клубка.
А расходящиеся ряды Воге1’я13? Какой ужас был, когда он, по-
сле Абеля, осмелился заговорить о том, что расходящиеся ряды не
следует a priopi браковать и выбрасывать за борт Анализа. Какой
был крик об оскорблении авторитета Cauchy14 и колебании основ!
Но Borel упрямо шел к цели, ссылаясь, где нужно, на контр-авто-
ритет Эйлера. А теперь? Разве не говорит акад.А.Н.Крылов:
«Сходящиеся ряды, кроме прогрессии, есть пустая абстракция ма-
тематиков формалистов. Ряды, с которыми оперируют астроном,
физик, механик, инженер —все всегда расходящиеся, и искусство
математика состоит в том, чтобы по 2 — 3 первым его членам полу-
чить численную сущность явления».
Каждому человеку действительной науки дано в жизни иметь
только одну идею, воплощением которой служит его жизнь. У Во-
геГя была борьба с тупым арифметическим ограничением, нало-
женным на функции комплексного переменного Вейерштрассом.
Вся его жизнь, его страстный язык, его экскурс в реальное пере-
менное—все это поиски инструментов для борьбы с формализмом
150 К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
Вейерштрасса. Насколько я угадываю Вас, Ваш страстный язык
есть язык борьбы против формализма—того же самого зловещего
гения — Вейерштрасса (Denjoy15 громко говорит: «Вейерштрасс —ге-
ний зла в математике, но вовсе не математический гений»). Я вовсе
не понимаю Ваших выступлений, как только педагогической борь-
бы: конечно, Вы правы, и в педагогике есть много зла и смешного
преклонения перед формализмом и Вы боретесь с ними. Но не это
только важно, а важнее всего Ваше читаемое между строк утверж-
дение: «Современная теория бесконечно-малых не есть единствен-
но-возможная теория». Педагогические полемики, по необходимо-
сти, очень скромны. Но эта Ваша идея, она универсального масш-
таба и ценности чрезвычайной! Здесь многое можно было бы ска-
зать.
И в этом отношении есть много общего между Вами и мною.
Подобно Вам, я думаю, что современная теория Вейерштрас-
са—Дедекинда иррационального числа не есть единственно воз-
можная теория. И, вероятно, эта идея также является кардиналь-
ной идеей моей жизни. Поиски найти новое привели меня в свое
время к анализу работ Lebesgue’a, к теории аналитических мно-
жеств. Но они очень трудны, эти поиски!
Остается ответить Вам на чисто личный мой вопрос об Энцик-
лопедии. Кажется, attitude17 Сергея Натановича18 создала боль-
шую трудность. Лично я с научной точки зрения настаиваю на со-
временной независимости изысканий о функциях и множествах в
Евклидовых пространствах. Но вопрос лично для меня утратил
остроту и я почти решил выйти из редколлегии и не принимать
участия в Энциклопедии19. Мне приходится экономить силы и я
уже в летах. Поэтому, мой выход и отсутствие моих строчек в
Энциклопедии будет большим для меня выигрышем'.
Сейчас Вы позвонили и сообщили, что приедете. Поэтому,
кончаю письмо.
Глубоко уважающий Вас и искренне
преданный Вам
Николай Лузин
Примечания
1 Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках / Перевод с немецкого П.Но-
викова. Обработка, примечания и предисловие М.Выгодского. М.-Л.:ГТТИ, 1933.
2 Неразборчиво. Предлагается возможный вариант.
3 Так в тексте.
4 Н.Н.Лузин живо интересовался творчеством Ньютона и был хорошо знаком с его
«Началами» в переводе А.Н.Крылова (Известия Николаевской морской академии.
СПб, 1916).
В.А.Волков, С.С.Демидов 151
5 Слово написано неразборчиво. Вероятно, не понял его и Выгодский — на полях по-
ставлен знак вопроса. Мы предлагаем возможный вариант.
6 Речь идет о первом из публикуемых здесь писем.
7 Борель Э. (1871 — 1956) —знаменитый французский математик. О нем и о его вкла-
де в теорию функций комплексного переменного см. [23].
8Миттаг-Леффлер М.Г. (1846—1927) — выдающийся шведский математик, предан-
ный ученик К.Всйерштрасса.
9 Magister dixet (лат.) —учитель сказал.
"’Пуанкаре А. (1854—1912) —французский математик, один из величайших матема-
тиков XIX —XX вв.
11 Пенлсвс П. (1863 —1933) —известный французский математик.
12 Квази-аналитические функции.Об исследованиях Борсля по теории аналитических
функций см. (23, с.69 —88].
13 Расходящиеся ряды Борсля — см (23, с.58 — 69]
14 Коши О: (1789 —1857) —великий французский математик.
15 Дапжуа А. (1884—1974) —известный французский математик.
16 Лебег А. (1875 —1941) —известный французский математик.
17 attitude (франц.) —позиция.
18 Сергей Натанович Бернштейн (1880—1968) —выдающийся русский математик.
19 Статьи Н.Н.Лузина в Большой Советской Энциклопедии («Функция», «Диффе-
ренциальное исчисление» и др.) отмечены глубоко философским духом, отличаю-
щим их от большинства других математических статей этого издания. Философские
искания Лузина, во многом идущего путями близкими к намеченным старой москов-
ской философско-математической школой, в чем-то перекликающегося с П.А.Фло-
ренским, склонного искать основания важнейших понятий математики в глубинах
интуиции, оказались совершенно чуждыми математикам определявшим политику
энциклопедии. В частности, математикам близким ленинградской (петербургской)
школе. Даже симпатизировавшему Лузину С.Н.Бернштейну.
Список литературы
1. Выгодский М.Я. Основания исчисления бесконечно малых. М.-Л., 1931. (2-е
изд. —1932; 3-е изд. —1933).
2. Гренвиль В.Э. Элементы дифференциального и интегрального исчислений. Для
технических учебных заведений и самообразования. Изд. 4-е исправленное
Н.П.Тарасовым / Под рсд. и с предисловием ироф.Н.Н.Лузина. М.-Л., 1926.
3. Гренвилъ В.Э., Лузин Н.Н. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ний. 4.1 —2. Изд.б-с. М.-Л., 1938.
4. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. Изд. 5-е. М., 1955.
5. Лузин Н.Н. Интегральное исчисление. Изд. 5-е. М., 1955.
6. Письмо Н.Н.Лузина к О.Ю.Шмидту / Публикация, введение и примечания
С.С.Демидова // Историко-математические исследования. М., 1985. Вып.28.
С.278-287.
7. ЛузинН.Н Отзыв о работах Н.А. Васильева по математической логике / / Бажа-
нов В.А. Николай Александрович Васильев. М., 1988. С.137 — 139.
8. Медведев Ф.А. Н.Н.Лузин о псархимсдовом времени // Историко-математиче-
ские исследования. М., 1993. Вып.34. С.103—128.
9 Панов М.И. Л.Э.Я.Брауэр и советская математика // Закономерности развития
современной математики / Под рсд. М.И.Панова. М., 1989. С.250 —278.
152
К 100-летию Марка Яковлевича Выгодского
10. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление // Большая Советская Энциклопе-
дия. 1-е изд. Т.22. М., 1934. С.622 — 642.
11. Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года. М., 1968.
12. Кузнецов П.И. Дмитрий Федорович Егоров (к 100-лстию со дня рождения //
Успехи математических наук. 1971. Т.26. Вып.5. С. 169 —206.
13. Goursat Е. Cours d’Analyse math^matique. 4-mc £d Paris: Gauthier-Villars,
1923-24. V.l-3.
14. Гурса Э. Курс математического анализа. М., 1911 — 1923. Т.1 — 2.
15. Гурса Э. Курс математического анализа. М., 1923—1924. Т.1—3.
16. Jordan С. Cours d’Analyse de 1’Ecole Polytcchnique. Paris, 1882. V.l—3.
17. Lacroix S.F. Traitd du calcul differentiel et du calcul integral. Paris, 1797 — 1798.
T.l —2.
18. Laurent M.P.H. Traiti d’Analyse. Paris, 1885—1891. T.l—7.
19. La Vallee-Poussin Ch. Cours d’Analysis infinit&imalc. 5-me6d. Paris, 1925. T.l —2.
20. Ла Валле-Пуссен ILL Курс анализа бесконечно-малых / Перевод и примеч.
Я.Д.Тамаркина и Г.М.Фихтенгольца под общей рсд. В.А.Стеклова. Петроград,
1922. Вып.1-2.
21. Валле-Пуссен III. Курс анализа бесконечно-малых. М.-Л., 1933. Т.1—2.
22. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного.
М., 1975.
23. Полищук Е.М. Эмиль Борель. Л., 1980.
К 80-ЛЕТИЮ ГЕОРГИЯ ЕВГЕНЬЕВИЧА
ШИЛОВА
Г.Е.ШИЛОВ И ПУТИ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
В. М. Т ихомиров
В этом году исполнилось 80 лет со дня рождения выдающегося
математика и замечательного человека—Георгия Евгеньевича
Шилова.
Наш жестокий век был немилосерден к Георгию Евгеньевичу.
И тридцатые годы террора, и страшные годы Войны, и застойный
период брежневщины — все они наносили тяжелые раны его серд-
цу. И оно в конце концов не выдержало этих испытаний. Безвре-
менно, в расцвете своего таланта, он ушел от нас более 20 лет
назад... Но и в самые тяжелые минуты у Георгия Евгеньевича бы-
ла защита от горестей —его любовь к своей профессии и к челове-
ческой культуре, а также любовь и уважение к нему со стороны
его учеников, учителей и многочисленных друзей. И потому в
жизни Георгия Евгеньевича было много светлого и прекрасного.
Его научное творчество началось в студенческие годы на мех-мате
МГУ, под руководством Андрея Николаевича Колмогорова. Затем
на долгие годы оно было связано с теорией банаховых алгебр,
основания которой были заложены Израилем Моисеевичем
Гельфандом. В области банаховых алгебр Г.Е.Шилову принадлежат
выдающиеся результаты. После Войны Г.Е.Шилов некоторое время
преподает в Киевском университете, а в 1954 году по приглашению
Ивана Георгиевича Петровского, очень высоко ценившего Г.Е., он
переезжает в Москву, и здесь в полной мере раскрывается его
154
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
талант математика и просветителя. К этому периоду относятся его
выдающиеся результаты в области теории обобщенных функций,
дифференциальных уравнений и бесконечно-мерного анализа,
достигает расцвета его школа (среди его аспирантов тех лет
В.М.Борок, Е.А.Горин, В.В.Грушин, Я.И.Житомирский,
А.Г.Костюченко, Б.С.Митягин, В.П.Паламодов, Г.И.Эскин,
А.Я.Хелемский и многие другие), он совместно с Гельфандом пишет
три тома всемирно известной монографии по теории обобщенных
функций; в эти годы выходят из печати его выдающиеся учебники по
математике. Тогда же он выступает с многочисленными статьями и
лекциями —о музыке, о поэзии, о философии, о преподавании
математики...
После смерти Георгия Евгеньевича у его вдовы С.В.Шиловой
остался очень большой архив. Значительное место в нем
составляют разного рода материалы, посвященные проблемам
преподавания математики. Некоторую (ив силу обстоятельств
весьма малую) часть их мы предоставляем вниманию читателя.
В связи с этим необходимо сказать несколько слов. Проблема
модернизации университетского математического образования
остро дискутировалась в начале шестидесятых годов. В декабре
1963 года была создана комиссия АН СССР по математическому
образованию под руководством А.Н.Колмогброва. Состав ее был
замечательным: в нее входили (помимо А.Н.Колмогорова и
Г.Е.Шилова) А.Д.Александров, Векуа, Гельфанд, Делоне,
Кириллов, Мальцев, Маркушевич, П.С.Новиков, Петровский,
Погорелов, Сарымсаков, Д.К.Фаддеев, И.М.Яглом и другие. Очень
активно в этой комиссии работал Г.Е.Шилов. Многие замыслы тех
лет не нашли впоследствии своего воплощения, хотя не следует
забывать и того, что было осуществлено. Здесь следует упомянуть,
конечно, модернизацию курса геометрии, осуществленную
С.П.Новиковым с коллегами, книги В.И.Арнольда по обыкновенным
дифференциальным уравнениям и классической механике, которые
повлияли на преподавание этих дисциплин в университетах и,
разумеется, книги самого Георгия Евгеньевича по линейной алгебре,
математическому и функциональному анализу.
Нам представляется, что читателю «Историко-математических
исследований» будет интересно узнать об общем замысле математического
образования, которым руководствовался Георгий Евгеньевич в
своем творчестве и педагогической деятельности. Мы отобрали три
фрагмента.
Первый фрагмент: «Университетский математический анализ
(состояние и перспективы)» представляет собой текст доклада
В.М.Тихомиров 155
Г.Е.Шилова на заседании упомянутой комиссии в октябре 1965 года.
Хотелось бы обратить внимание читателя на замысел Г.Е. создания
синтетического курса анализа, включающего в себя и комплексный
анализ, и элементы теории дифференциальных уравнений, (обык-
новенных и с частными производными), и интеграл Лебега, и
элементы топологии и дифференциальной геометрии, и функциональ-
ный анализ, и теорию представлений.
Конечно, реализовать подобную программу очень трудно (в
частности, из-за несколько феодальной структуры наших универ-
ситетов). Но пусть мысли Георгия Евгеньевича будут услышаны в
тот момент, когда снова дойдут руки до модернизации универси-
тетского образования.
Второй фрагмент связан с преподаванием общих курсов алгеб-
раического и геометрического циклов на математических специаль-
ностях университетов. Здесь интересны мысли Г.Е. о единстве ана-
лиза, алгебры и геометрии в университетском образовании.
Математическое образование многогранно. Надо учить будущих
математиков, физиков, механиков, инженеров, экономистов... И всю-
ду надо отыскивать какие-то свои пути. Третий фрагмент касается
проблем математического образования, ориентированного на будущих
преподавателей гуманитарных профессий, в частности, философов.
Мы привели лишь очень малую часть из богатого наследия
Георгия Евгеньевича в надежде на то, что его архив заинтересует
историков математики, и они подготовят его к опубликованию.
Г.Е.ШИЛОВ И ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ
А.Д.Мышкис, И.Е. Овчаренко
Он весь—дитя добра и света,
Он весь—свободы торжество!
А. Блок
Имеющий существеннейшее значение для общества процесс
формирования математического образования обычно скрыт теку-
щими событиями. И почти вне поля внимания остаются творцы
этого процесса.
Вопросы преподавания математики занимали большое место в
творческой деятельности профессора МГУ Г.Е.Шилова (1917 —
1975). Его мысли и деятельность были постоянно обращены к ис-
токам преподавания математики в самых разнообразных, но всегда
ключевых аспектах.
Широко известны переведенные на многие языки книги
Г.Е.Шилова учебного характера. Многочисленные курсы лекций,
156
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
несомненно, существенно повлияли на перестройку преподавания.
К тем же целям были обращены многие устные и письменные вы-
ступления Г.Е.Шилова.
После безвременной кончины Г.Е.Шилова в январе 1975 г.
остались материалы, относящиеся к вопросам преподавания мате-
матики и связанным с ними более общим проблемам. Здесь мы
приводим некоторые из них полностью, в выдержках или же в
виде обзора (в этом случае мы берем на себя ответственность за
правильную передачу мыслей автора). Мы сгруппировали матери-
ал по трем разделам, но в остальном старались избегать внесения
каких-либо собственных оттенков.
Необходимо иметь в виду, что мы имеем дело с рукописями.
Возможно, что при подготовке их к публикации автор придал бы
отдельным формулировкам более законченный характер. Некото
рые оценки и рекомендации сейчас представляются спорными, от-
дельные рекомендации уже реализованы (отчасти при активном
воздействии Г.Е.). Но нам кажется, что основные мысли Г.Е.Ши-
лова не потеряли актуальности, несмотря на давность их высказы-
вания; к тому же они дают возможность более ясно представить
пути становления преподаваемых математических курсов и разви-
тия математического образования.
Мы надеемся, что эта публикация расширит круг общения
Г.Е., который и сам был сторонником свободного обмена мнения-
ми,—щедро делившегося богатством своего духа.
Мы выражаем глубокую благодарность С.В.Шиловой, которая
предоставила нам возможность ознакомиться с упомянутыми мате-
риалами.
1. О преподавании математического анализа
1. О построении курса математического анализа на 1 семестре (15 с.)
Текст доклада Г.Е.Шилова на заседании научно-методического
семинара механико-математического факультета Киевского государ-
ственного университета 19 февраля 1952 г. Автор с самого начала под-
черкивает роль дидактических соображений. В частности, он пишет:
«Каноническое» изложение математического анализа в Универ-
ситете начинается с теории вещественного числа. Всем известно, что
эта теория с ее совершенно новыми требованиями и навыками фор-
мального мышления учащихся очень трудна для бывших школьни-
ков, уровень их математического развития недостаточен для отчет-
ливого понимания ее необходимости. Мы предпочитаем поэтому не-
сколько оттянуть —приблизительно на полтора месяца — изложение
теории вещественных чисел, с тем, чтобы разумно использовать
время на повышение математического уровня слушателей.
А.Д.Мышкис, И.Е.Овчаренко
157
После общего вводного рассказа об истории математического
анализа, о его месте и значении в науке и практике, мы начинаем
курс с систематического изучения графиков элементарных (степен-
ных, рациональных и дробно-рациональных) функций.
Почему выбраны нами для начала именно графики? Во-пер-
вых, это материал конкретный, который частично затрагивался в
школе и более естественно заинтересовывает слушателей, чем вся-
кий другой, более абстрактный. Во-вторых, построения сложных
графиков не по точкам, а путем комбинирования элементарных
графиков, построения путем рассуждений в очень большой мере
помогают выработке логического мышления учащихся, повышают
их общий математический уровень и подготавливают их к восприя-
тию более сложных понятий. В-третьих, работа с графиками в
максимальной мере требует активного участия слушателей; на соб-
ственных достижениях они приобретают главное — уверенность в
своих силах и в своей способности постигнуть науку. Иногда быва-
ет так, что напуганные «каноническим» строгим изложением курса
и не зная, к чему его можно было бы применить, учащиеся впада-
ют в пессимизм и теряют уверенность в своих силах, что является
весьма существенным психологическим фактором.
Наконец, на геометрическом материале графиков естественно
вводится такое основное понятие, как «производная». На таком
пути студенты подводятся к потребности в точных аналитических
определениях понятий предела и производной.
И в дальнейшем автор постоянно подчеркивает роль цельности
курса, естественности появления новых понятий и методов.
Отметим интересное замечание по поводу общих правил по-
строения графиков.
«Они отличаются в нашем изложении от общепринятых; в то
время как обычно полагается прежде находить первую и вторую
производные, определять экстремумы и точки перегиба, а затем
уже по этим данным строить графики, у нас сначала строится гра-
фик—а затем уже —и только по мере надобности, для уточнения
построенного графика —применяются производные».
Важную роль в курсе играет формула Тейлора как база для
получения приближенных формул и вычисления пределов. В свя-
зи с последним отметим отрицательное суждение Г.Е.Шилова о ре-
комендуемых порой искусственных (и в дальнейшем оказываю-
щихся бесполезными) методах вычисления пределов.
«Поэтому в начале нашего курса мы полностью отказались от
каких бы то ни было задач на пределы, относя их к концу —к фор-
муле Тейлора и ее применениям».
158
К 80-лсткю Георгия Евгеньевича Шилова
Из дальнейшего материала отметим применение метода Нью-
тона при построении графиков общих алгебраических кривых.
2. Заключительная лекция (6 с.)
В заключительной лекции двухлетнего курса математического
анализа, который Г.Е.Шилов читал в МГУ в начале 50-х гг., он го-
ворит об исторической обусловленности возникновения математиче-
ского анализа и об основных этапах его развития и обоснования.
3. Университетский математический анализ (состояние и
перспективы) (14 с.)
По-видимому, это—текст доклада Г.Е.Шилова за заседании
университетской секции Комиссии АН СССР по математическому
образованию (октябрь 1965 г., Киев). Автор обращает внимание на
то, что традиционный курс анализа морально устарел.
«Дело не в том, что с тех пор увеличилось количество облас-
тей математики, которые естественно относить к анализу, а в
прежних областях значительно увеличилось фактическое содержа-
ние. Гораздо более важно, что изменились точки зрения на струк-
туру анализа и методы работы математика-аналитика широкого
профиля. Если раньше, образно говоря, анализ был “плоским”,
т.е. все его области находились на одной и той же ступени абст-
ракции, общей для всей математики XIX и начала XX века, то те-
перь анализ скорее нужно считать “многоэтажным”. Надстройки
разных ступеней абстракции позволили “высветить” многие проб-
лемы, классические и новые, позволили выявить в них существен-
ные логические элементы и благодаря этому указать более прямые
и более общие пути к решению...
Вот несколько примеров абстрактных построений в современ-
ном анализе.
1. Метрические, топологические, нормированные (в частности,
гильбертовы) пространства стали в большей мере повседневным
материалом аналитика. Дело не только в том, что вместо f(x) ста-
ли писать f (хотя и это само по себе существенно), сколько в том,
что появилась возможность использовать геометрическую интуи-
цию и при том иметь на вооружении ряд глубоких теорем (Бана-
ха, Рисса и др.).
2. Общая теория меры и интеграла (на произвольном множе-
стве) стала необходимой в связи с развитием теории вероятностей,
динамических систем, а также теоретической физики.
3. Метод “неподвижной точки” в значительной мере унифици-
ровал подходы к теориям существования (и единственности) реше-
ний дифференциальных и интегральных уравнений.
А.Д Мышккс, И.Е,Овчаренко 159
4. Уже кажется анахронизмом рассматривать вариационное ис-
числение как изолированную главу анализа, а не как естественное
обобщение теории дифференцируемых функций нескольких пере-
менных.
5. Анализ системы нескольких функций нескольких перемен-
ных есть анализ непрерывного отображения одного многообразия в
другое и ныне требует привлечения методов современной тополо-
гии многообразий. Так, вопрос о вычислении индекса эллиптиче-
ской системы —конкретный аналитический вопрос — получил реше-
ние (М.Ф.Атья, И.М.Зингер) в терминах инвариантов групп кого-
мологий. Другой конкретный аналитический вопрос, относящийся
к структуре колец матричных функций, потребовал для своего ре-
шения методов теории расслоенных пространств (Фелл). Сущест-
вование неподвижных точек частично зависит от инвариантов век-
торных полей на многообразиях иногда даже бесконечной размер-
ности (М. А. Красносельский).
6. В теории дифференциальных и интегральных операторов
естественна абстракция до гильбертова (или банахова) пространст-
ва с привлечением спектральных и полугрупповых методов.
7. Теория обобщенных функций во многом прояснила и завер-
шила теорию уравнений с частными производными и оказалась по-
лезной и в других областях анализа и вообще математики. Дело не
только в том, что дельта-функция получила права гражданства, но
и в возможности, при определенных условиях, значительно сво-
боднее пользоваться классическим аппаратом анализа.
8. В области специальных функций еще не так давно богатство
конкретного материала не охватывалось никакими общими идеями.
Разные классы специальных функций занимали изолированное по-
ложение и требовали каждый своих методов. Теперь обнаружи-
лось, что основные свойства классов специальных функций объяс-
няются свойствами симметрий пространства и получаются из об-
щих свойств матричных представлений соответствующих групп
преобразований.
9. Кибернетика и связанные с ней области математики также
отразились на состоянии математического анализа, хотя здесь на-
блюдаются иные формы воздействия. Вместо доведения решения
задачи “до числа” становится естественнее говорить о его доведе-
нии “до алгорифма”. Появляются новые проблемы о сравнитель-
ной алгорифмической сложности решений. В связи с этим возни-
кают вопросы о “массивности” функциональных пространств, об
их е —энтропии (А.Н.Коломогоров). Общие идеи теории информа-
ции позволяют использовать эти проблемы для нужд анализа.
160
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
В университетском преподавании за рубежом, как можно су-
дить по учебникам, в связи с вышеуказанным, производится боль
шая перестройка. Например, курсы Дьедонне и Шоке, предназна-
ченные, правда, для студентов, усвоивших подготовительный курс
математики (включающий производные и интеграл), резко отлича-
ются от Гурса. Оба курса, я бы сказал, чересчур “бурбакизованы”.
Изложение полностью и с самого начала аксиоматическое и в
самых общих условиях: если рассматриваются, например, диффе-
ренцируемые функции, то сразу со значениями в линейном тополо-
гическом пространстве, аналитические функции —сразу от несколь-
ких переменных и т.д. С другой стороны, математика у Дьедонне
и Шоке, как у всех “бурбакистов”, полностью изолирована от всех
других областей человеческой деятельности...
... Нужно учитывать, что слишком далекая абстракция, не
опирающаяся на конкретный аналитический материал, вряд ли бу-
дет воспринята слушателями с должной глубиной. Тем не менее,
представляется несомненным, что, используя абстракцию тактич-
но, можно на младших и средних курсах представить сущность
анализа значительно компактнее, идейнее, но вместе с тем и содер-
жательнее, чем это делается в настоящее время...
... Было бы желательно, чтобы курс анализа был непрерыв-
ным четырехлетним курсом. Он должен быть единым не в том
смысле, что он читается одним лектором (это вряд ли возможно,
но и вообще для студентов полезнее знакомство со многими твор-
ческими математическими индивидуальностями), а в смысле нали-
чия немногих объединяющих и цементирующих весь курс идей...
... Вместе с тем —в противоположность Бурбаки —в курсе дол-
жны быть подчеркнуты связи с другими областями математики,
механики, физики, должно быть показано, как формируются акси-
омы в процессе анализа конкретных явлений. Сами аксиоматиче-
ские построения должны вводиться с большим тактом, на основе
уже имеющегося конкретного материала».
Далее Г.Е.Шилов приводит развернутый (но, как он пишет,
сугубо предварительный) проект построения курса анализа. При-
ведем этот проект полностью:
«1. Координаты на плоскости. Построение графиков элементар-
ных функций (многочленов и дробно-рациональных). Действия с
графиками. Возрастание, убывание, выпуклость и вогнутость. Акси-
оматическое поведение. Простейшие неопределенности.
(По нашему мнению, графики являются наиболее естественным
мостом из школьной математики в математический анализ. На графи-
ках приобретаются навыки в аккуратном обращении с объектами
А.Д Мышкис, И.Е.Овчаренко
161
анализа, в логике рассуждений; на графиках возникают новые проб-
лемы, возбуждающие интерес к дальнейшему).
2. Вещественные числа. Аксиомы порядка, интервалы и отрезки.
Аксиома о существовании верхней грани ограниченного множества.
Аксиомы арифметических операций. Связь с рациональными числа-
ми. (Обращение к теории вещественных чисел диктуется на данном
этапе необходимостью точного определения элементарных трансцен-
дентных функций. С другой стороны, любая теория вещественных
чисел (Дедекинда, Кантора, ...) лишь сводит обоснование вещест-
венного числа к обоснованию рациональных или целых чисел, кото-
рые почему-то считаются свободными от противоречий. Поэтому нам
кажется достаточным лишь сформулировать —геометрически доста-
точно ясные —аксиомы, оставив в стороне вопрос об из совместности).
3. Общее понятие о множествах. Счетные и несчетные множест-
ва. Счетность множеств рациональных чисел и несчетность контину-
ума. Действия с множествами.
4. Определение функции действительного переменного. Триго-
нометрические функции, экспонента и логарифмы.
5. Теория пределов (на оси), е — N — техника. Принцип сходи-
мости Коши и полнота числовой оси. Последовательности и ряды. При-
знаки сходимости. Оценки сумм рядов. Бесконечные произведения.
6. Предел функции в точке (и на бесконечности), е 5 — техни-
ка. Непрерывность. Типы точек разрыва. Теорема: у неубывающей
функции имеется самое большее счетное множество точек разрыва.
7. Определение производной. Теорема о существовании произ-
водной у выпуклой функции. Дифференциал.
8. Геометрические и физические приложения производной. Эк-
стремумы. Высшие производные и дифференциалы.
9. Формула Тейлора и ее приложения. Линейная, квадратичная
и т.д. аппроксимации функции. Уточнение поведения графиков.
10. Ряд Тейлора. Ряды Тейлора для важнейших функций. Воз-
можность распространения анализа на комплексную область.
11 Определение (действительной или комплексной) функции
на произвольном множестве. Операции над функциями. Ограничен-
ные функции. Сходимость функциональных последовательностей, то-
чечная и равномерная. Теорема: предел равномерно сходящейся после-
довательности ограниченных функций есть ограниченная функция.
12. Топологическое пространство (окрестности, открытые и зам-
кнутые множества, замыкание, всюду плотные множества, предель-
ные точки). Задание топологии метрикой. Полнота, п-мерное евкли-
дово пространство R„ , его топология и метрика; различные метрики.
11-3525
162
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
13. Компактные (бикомпактные) пространства. Свойства метри-
ческого компакта. Компактность ограниченных множеств в .
14. Непрерывность числовой функции на топологическом про-
странстве. Пространство непрерывных ограниченных функций, его
полнота.
15. Непрерывные функции на компакте. Равномерная непрерыв-
ность. Теоремы Дини, Арцела, Вейерштрасса — Стона.
16. Определенный интеграл (Римана) на отрезке. Его существо-
вание для непрерывной функции.
17. Интегрирование и дифференцирование как взаимно обрат-
ные операции. Применение дифференциального исчисления.
18. Геометрические и физические приложения интеграла. Дуги,
площади, объемы, моменты. Кривизна.
19. Несобственные интегралы. Связь с рядами.
20. Простейшие случаи интегрирования и дифференцирования
последовательности функций. Собственные и несобственные интег-
ралы с параметром и действия с ними.
21. Простейшие дифференциальные уравнения; геометрические
и физические примеры.
22. Теорема о неподвижной точке. Теорема существования и
единственности решения уравнения первого порядка при условии
Липшица.
23. Векторные (конечно-мерные) функции действительного пе-
ременного. Кривые в n-мерном пространстве. Длина дуги, первая
кривизна и высшие кривизны. Сопровождающий репер.
24. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Гео-
метрическая интерпретация. Теорема существования и единственно-
сти. Линейные системы, системы с постоянными коэффициентами.
Структура пространства решений. Применение матричного исчисле-
ния. Вопросы устойчивости и неустойчивости при t —> оо. Уравнение
высшего порядка и его сведение к системе. Система уравнений дина-
мики.
25. Интегрирование по линии в области комплексного перемен-
ного. Аналитические функции. Интеграл Коши и его следствия. Тео-
рема единственности для аналитических функций. Конформные ото-
бражения. Особые точки и вычеты. Вычисление интегралов. Метод
перевала. Формула Кристофеля—Шварца.
26. Многозначные функции и римановы поверхности. Строение
алгебраической особой точки Разложение Пюизо
27. Автоморфные и модулярные функции и группы преобразова-
ний. Использование геометрии Лобачевского.
А.Д-Мыыкис, И.Е.Овчаренко 163
28. Целые аналитические функции: теория роста, произведение
Вейерштрасса, теоремы типа Фрагмена — Линделефа.
29. Линейные нормированные пространства. Полнота простран-
ства непрерывных (и, конечно, дифференцируемых) функций, не-
полнота пространства функций с интегральной метрикой. Необходи-
мость расширения определения интеграла.
30. Интегрирование на произвольном множестве, исходя из за-
данной совокупности элементарных функций с имеющимся элемен-
тарным интегралом (схема Даниэля). Теоремы о предельном перехо-
де под знаком интеграла. Полнота пространства интегрируемых фун-
кций относительно интегральной метрики.
(По нашему мнению, схема Даниэля предпочтительнее, чем схе-
ма Лебега, поскольку она не требует предварительного построения
теории меры. И вообще, схема Даниэля эквивалентна схеме Лебега,
лишь если в качестве элементарных функций берут конечно-знач-
ные; но схема Даниэля действует и в иных случаях).
31. Интеграл Лебега на оси и в . Соотношение с собственным и
несобственным интегралами Римана.
32. Теорема Фубини, общая и в R„. Вычисление кратных интег-
ралов.
33. Интеграл Стилтьеса на оси и в 7^. Квази-объемы. Разложе-
ние Жордана. Функции с ограниченными изменениями.
34. Теоремы Хелли и их приложение.
35. Действительные функции векторного (конечно-мерного) пе-
ременного. Поверхности в .
36. Дифференцируемые функции п переменных. Частные произ-
водные и производные по направлению. Градиент. Необходимые
условия экстремума.
37. Высшие производные и дифференциалы функции нескольких
переменных. Формула Тейлора. Достаточные условия экстремума.
38. Площадь поверхности в n-мерном пространстве. Интеграл по
поверхности.
39. Ряды Тейлора и аналитические функции нескольких комп-
лексных переменных. Интегральные представления. Остовы и прин-
цип максимума. Целые функции.
40. Простейшие типы уравнений в частных производных. Связь
Уравнения первого порядка с системой обыкновенных уравнений.
41. Оператор Лапласа. Решения в форме многочленов и сфери-
чески симметричных функций. Функции Бесселя.
42. Формула Грина и интегральное представление решений урав-
нения Лапласа. Гармонические функции. Задача Дирихле для шара.
11*
164
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
43. Волновое уравнение. Решения в форме плоских и сфериче-
ских волн. Характеристики. Формула Даламбера. Разделение пере-
менных в смешанной задаче. Колебания струны и мембраны.
44. Распространение теории дифференциальных функций на слу-
чай бесконечно-мерного пространства. Вариационное исчисление.
45. Алгорифмическая разрешимость математических проблем.
Сложность алгорифма. Сложность функциональных классов, е-энт-
ропия.
46. Теоремы вложения функциональных классов.
47. Векторная функция векторного переменного (система число-
вых функций нескольких переменных). Отображения. Гомеомор-
физм и топологические инварианты. Границы, циклы, группы гомо-
логий и когомологий. Расслоение пространства.
48. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби, якобиан.
Ранг матрицы Якоби и независимость функций. Неявные функции,
разрешимость систем уравнений. Условный экстремум. Преобразо-
вание переменных под знаком кратного интеграла.
49. Ориентированное интегрирование, дифференциальные фор-
мы и общая теорема Стокса.
50. Операции векторного анализа: градиент, дивергенция,
вихрь.
51. Геометрический и физический смысл. Поле тяготения рас-
пределенной массы (безвихревое) и магнитное поле тока (бездивер-
гентное); дивергенция первого и вихрь второго. Построение вектор-
ного поля по дивергенции и вихрю. Гармоническое поле.
52. Геометрия на поверхности. Гауссова и средняя кривизна. По-
верхности постоянной кривизны. Внутренняя геометрия; геодезиче-
ские линии. Теорема Гаусса—Бонне.
53. Тензорный анализ. Риманово пространство. Тензор Рима-
на—Кристофеля. Тензоры в механике и в физике.
54. Теория меры (выведенная из интеграла).
55. Пространство Lp, его полнота.
56. Гильбертово пространство (пример —Г^)- Ортогональные
дополнения. Ортогональные разложения.
57. Примеры: ряды Фурье, полиномы Лежандра. Теорема Фейера.
58. Интеграл Фурье. Теорема единственности. Связь убывания
прообраза и гладкости образа.
59. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши мето-
дом преобразования Фурье.
60 Преобразование Лапласа и его применения.
61. Линейные операторы. Полная непрерывность Теорема: в ги-
льбертовом пространстве вполне непрерывные операторы и только
А.Д.Мышкис, И.Е.Овчаренко
165
они являются пределами конечно-мерных по операторной норме. Ин-
тегральный оператор с квадратично интегрируемым ядром как пример
вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве Т2
62. Теорема о существовании базиса из собственных векторов
для симметричного вполне непрерывного оператора (на основе ап-
проксимации конечно-мерными операторами). Интегральные урав-
нения с симметричными ядрами.
63. Краевая задача для уравнения второго порядка и ее сведение
к задаче обращения интегрального оператора. Свойства собственных
функций краевой задачи. Применение в теории колебаний.
64. Альтернатива Фредгольма. Краевые задачи математической
физики.
65. Интегральный оператор с параметром. Распределение собст-
венных значений. Резольвента. Уравнение Вольтерра. Определите-
ли Фредгольма.
66. Элементы теории сингулярных интегральных уравнений.
Уравнение Винера—Хопфа.
(После этого пункта написано от руки: “Теорема вложения”.
Возможно, что имеется в виду перенос п.46 сюда.)
67. Спектральный анализ симметричных и эрмитовых операто-
ров в гильбертовом пространстве.
68. Полугрупповые методы в теории операторов, применения к
дифференциальным уравнениям.
69. Континуальные интегралы. Мера Винера и представление
фундаментальных решений уравнения диффузии.
70. Обобщенные функции. Дифференцирование, свертка, пре-
образование Фурье. Общие свойства решений уравнений с частными
производными в обобщенных функциях. Интегральные представле-
ния решений, фундаментальные функции.
71. Элементы нелинейного функционального анализа. Метод
возмущений для проблем, близких к линейным. Топологические ме-
тоды.
72. Счетно-аддитивные функции множеств. Теорема Радо-
на—Никодима. Дифференцирование функций множеств. Приложе-
ние к лебеговой теории дифференцирования абсолютно непрерыв-
ных функций.
73. Изометрическое преобразование множества с мерой. Эрго-
дичность. Теорема Пуанкаре—Каратеодори о возвращении. Приме-
нения в механике. Интегральные инварианты.
74. Классические группы линейных преобразований. Компакт-
ные и некомпактные группы. Группы и алгебры Ли.
75. Существование инвариантной меры на компактной группе.
166
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
76. Представления классических групп и специальные функции.
77. Использование теории представлений для построения реше-
ний, инвариантных относительно заданной группы преобразований
Уравнения Максвелла и Дирака.
Разумеется, этот проект имеет сугубо предварительный харак-
тер. Можно заметить, что он включает в себя порядочную порцию
из имеющихся сейчас независимых курсов обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, комплексного переменного и уравнений с
частными производными. По нашему мнению, концентрация этого
материала в курсе анализа создаст большую связь анализа с други-
ми областями и одновременно предоставит большую свободу лек-
торам соответствующих специальных курсов...
... Вероятно, предлагаемый объем курса многим покажется
слишком большим. Действительно, некоторые разделы, возможно,
целесообразно отнести в соответствующие специальные курсы. Но,
с другой стороны, нужно представить себе и требования, которые
будут предъявляться к математикам-аналитикам через несколько
лет. Квалифицированный математик-аналитик, анализируя ту или
иную проблему, должен уметь увидеть тот этаж абстракции, на ко-
торый надлежит ее поднять, и должен достаточно владеть средст-
вами этого этажа, чтобы ее там с успехом разрешить. А математик
крупного масштаба может увидеть в конкретной проблеме ключе-
вое зерно для формирования нового этажа (новой области анали-
за), в котором будут найдены прямые пути к решению данной и
целого ряда новых задач».
Г.Е.Шилов отмечает, что предлагаемый курс требует повыше-
ния уровня контингента студентов (на что он выражает надежду)
и преподавателей. Для последнего он предлагает, в частности,
«практиковать систематические командировки в периферийные
университеты групп квалифицированных преподавателей из цент-
ра для проведения разнообразных семинаров по повышению ква-
лификации (с обязательными экзаменами и соответствующими орг-
выводами)».
4. Программа спецкурса «Введение в современный анализ» (2с.)
Сохранилось два варианта этой программы; приведем один из
них, датированный 1974/75 учебным годом:
1-ое полугодие
1. Определение и основные свойства производной отображения
одного Банахова пространства в другое.
2. Теорема о среднем и ее приложения.
А.Д Мышкис, И.Е.Овчаренко 167
3. Частные производные, производные по линии и по подпрост-
ранству.
4. Условие Липшица и производная. Сжимающие отображения.
5. Теорема о неявной функции. Дифференцируемость неявной
функции.
6. Теорема о ранге. Канонизация отображения в условиях теоре-
мы о ранге.
7. Теория условного экстремума.
8. Метод Ньютона в применении к абстрактным уравнениям с
дифференцируемой левой частью.
9. Дифференцируемость неподвижной точки сжимающего ото-
бражения по параметру.
10. Применения к обыкновенным дифференциальным уравнени-
ям с параметром.
И. Определение и основные свойства высших производных.
12. Высшие дифференциалы и формула Тейлора.
13. Обращение теоремы Тейлора.
14. Теорема Фробениуса.
15. Системы уравнений с частными производными в связи с тео-
ремой Фробениуса.
16. Геометрические приложения теоремы Фробениуса.
2-е полугодие
1. Алгебраическая теория тензоров.
2. Метрический тензор, тензоры типа Риччи.
3. Элементарное дифференцируемое многообразие.
4. Касательное пространство. Векторные поля. Производная Ли.
5. Подмногообразия, распределения касательных подпрост-
ранств. Основные задачи интегрирования распределений, их форму-
лировка в терминах систем Пфаффа и векторных полей.
6. Вполне интегрируемые распределения.
7. Одно уравнение Пфаффа, полное описание решений.
8. Системы уравнений Пфаффа, интегрируемые без предполо-
жений аналитичности.
9. Риманово пространство. Геодезические линии.
10. Пространство с аффинной связностью. Геодезические линии.
11. Абсолютное дифференцирование.
12. Расслоения: формулировка основных задач в терминах рас-
слоения.
Литература: Г.Е.Шилов. Математический анализ. Функции
нескольких переменных. 4.1—3. М.: Наука, 1972 и 1973.
168
К 80-лстию Гсор ия Евгеньевича Шилова
5. Теория функций вещественного переменного (некоторые
соображения о построении курса) (6 с.)
Хотя в настоящее время ТФВП входит как раздел в курс ма-
тематического анализа, соображения о нацеленности этого курса
сохраняют свою актуальность.
«Автор всякого учебника или лектор при подготовке к чтению
курса всегда старается найти в нем наиболее существенные момен-
ты, определить “вершину” или “кульминацию”, в которой скон-
центрируется целевая направленность курса. Наличие такой направ-
ленности позволит уяснить взаимоотношение частей курса, наметить
“генеральную линию”, отодвинуть на второй план все второстепен-
ное—словом, наиболее целесообразно “организовать” свой курс.
Сама целевая установка в конечном счете должна определять-
ся возможностями познания реальной действительности, открыва-
ющимися на материале курса, возможностями практического испо-
льзования идейного и фактического богатства этого материала.
Когда с такими установками мы подходим к курсу теории
функций вещественного переменного (ТФВП), мы встречаемся со
специфическими трудностями. Всем известно, что ТФВП весьма
своеобразная область математики, стоящая на более высокой сту-
пени абстракции, чем предшествующий ей по плану математиче-
ский анализ. В курсе ТФВП строится теория меры весьма слож-
ных множеств и теория интегрирования весьма изысканных функ-
ций, с бесчисленным множеством точек разрыва. Спрашивается,
зачем это нужно? На практике не приходится “измерять” множест-
ва прихотливой природы или интегрировать изысканные функ-
ции—по большей части интегрируют непрерывные функции, или
во всяком случае с небольшим числом точек разрыва. Какой же
реальный смысл имеют построения ТФВП —точнее говоря, какое
отношение они имеют к познанию реальной действительности и к
ее использованию в интересах человека?
Но аналогичные вопросы должны возникать и ранее.»
Г.Е. говорит о теории вещественных чисел (ТВЧ), которая не
является непосредственным отображением свойств действительного
мира; в частности, поэтому «она не включается —и совершенно
правильно —в программы физических и других естественно-науч-
ных факультетов, кроме только математических». Однако, значе-
ние этой теории в том, что она служит фундаментом математиче-
ского анализа, т.е. она связана с действительностью «сложным пу-
тем через все здание анализа, которое на ТВЧ построено».
«Решение вопроса о действительном значении ТФВП мы дол-
жны искать на том же пути. ТФВП так же как и ТВЧ не
А.Д-Мышкис, И.Е.Овчаренко 169
непосредственно связана с действительным миром, она не пред-
ставляет собою буквального его воспроизведения, а связана с ним
путями, далеко идущими и далеко не сразу очевидными.
Мы рассмотрим здесь одну из таких связей, которую мы счи-
таем в конечном счете решающей.
С начала этого века в анализе стали большую роль играть
функциональные пространства. Например, если для двух непре-
рывных функций f(x) и д(х), определенных на отрезке а < х < Ь,
ввести “скалярное произведение” (f, д) по формуле
Ь
{f, р) = f 9^ dx,
а
а далее, имея скалярные произведения, определить “длину” векто-
ра-функции и “угол” между двумя векторами-функциями по фор-
муле
1/1 =± л/<Л О- cos(/',5?)=^^, (2)
то совокупность всех непрерывных функций на отрезке а < х < b
превратится в систему, связанную геометрическими соотношения-
ми, аналогичными геометрическим соотношениям в привычном нам
трехмерном пространстве — за исключением размерности. Так, раз-
ложение функции в ряд Фурье примет геометрический смысл раз-
ложения данного вектора по ортогональному базису, образованно-
му тригонометрическими функциями.
При дальнейшем развитии этих идей оказалось, что есть одно
обстоятельство, не позволяющее полностью использовать геометри-
ческие методы. Именно в трехмерном пространстве, как легко по-
лучается из основных теорем ТВЧ, справедлив критерий Коши:
последовательность векторов г(, ...гп всегда сходится, если
гп ~гт ~*0 ПРИ п и т, стремящихся к бесконечности. А в про-
странстве непрерывньгх функций с метрикой, определяемой фор-
мулами (1) и (2), критерий Коши уже не выполняется.
Заметим, что аналогичное положение наблюдается и в области
рациональных чисел. И в ней не выполняется критерий Коши;
именно для того, чтобы получить выполнение этого критерия,
нужно расширить область рациональных чисел, присоединяя к ней
все иррациональные числа—в чем и состоит один из важнейших
результатов ТВЧ. Таким образом, непрерывные функции с рас-
сматриваемой точки зрения аналогичны рациональным числам.
Для выполнения критерия Коши в пространстве функций недоста-
точно присоединить только некоторые разрывные функции —так
170
К 80-лстию Георгия Евгеньевича Шилова
же, как и для выполнения критерия Коши для чисел недостаточно
присоединить к рациональным числам некоторые иррациональные.
Необходимо присоединить “все” разрывные функции — настолько
“все” —чтобы не оставалось “пустых мест”. А для этого и нужно
строить меру и интеграл Лебега, поскольку обычные методы интег-
рирования оказываются недостаточными.
Встает вопрос о результатах. Если на теории вещественных
чисел покоится здание математического анализа, то что “покоится”
на пространстве функций, дополненном новыми “иррациональны-
ми” элементами? Оказывается, что изучение этого пространства
дает ключ ко многим высшим ветвям анализа, имеющим непосред-
ственные практические приложения: ортогональные разложения,
интегральные уравнения, математическая схема квантовой механи-
ки и др. Например, как мы уже говорили, разложение функции в
ряд Фурье с геометрической точки зрения есть разложение векто-
ра по ортогональной системе тригонометрических функций. Разло-
жение функций по системам Штурма —Лиувилля —один из самых
существенных методов математической физики —есть разложение
соответствующего вектора по другому ортогональному базису. Но,
чтобы фактически построить эту теорию, нужно использовать сре-
ди свойств функционального пространства, в частности, и крите-
рий Коши, а, следовательно, иметь дело с мерой и интегралом Ле-
бега. То же нужно сказать и о применениях функциональных про-
странств в интегральных уравнениях, в теоретической физике и в
других областях.
Из всего сказанного вытекают следующие соображения отно-
сительно рационального построения курса ТФВП.
Цель курса —обоснование аппарата и развитие с его помощью
высших областей анализа —следует с самого начала объявить слуша-
телям; это обеспечит лучшее понимание ими “генеральной линии”
курса, уяснение взаимосвязи различных его частей, возбудит интерес
к его результатам, пробудит собственную инициативу —словом, обес-
печит максимальный творческий контакт лектора со слушателями».
Далее Г.Е. описывает план построения курса ТФВП, состоя-
щий из соответствующих разделов приведенного в п.З общего кур-
са математического анализа.
2. О преподавании других математических дисциплин
1. К вопросу о преподавании общих курсов алгебраического и
геометрического циклов на математических специальностях уни-
верситетов (7 с.).
Текст доклада Г.Е.Шилова на Комиссии АН СССР по матема-
тическому образованию.
д.Д.Мышкис, И.E.Овчаренко 171
«...Профессиональная подготовка математика состоит из двух
частей. Во-первых, каждый математик должен знать определенный
комплекс классических фактов математики и овладеть основными
идеями современной математики на простейших моделях с тем,
чтобы выучиться в процессе дальнейшей профессиональной рабо-
ты. Эта часть должна быть общей для всех математиков, независи-
мо от их будущей узкой специальности. Вторая часть —узкая спе-
циализация, осуществляемая при помощи специальных курсов и
специальных семинаров. Естественно, что эта часть не может и не
должна быть строго регламентирована и унифицирована.
Существующие учебные планы и программы в части общих
курсов в основном сложились в двадцатые годы. В свое время они
были очень прогрессивны и вполне отвечали тем целям, которые
стояли перед математическим образованием. Последующие измене-
ния обычно состояли в добавлении новых разделов и дисциплин,
необходимость изучения которых была поставлена жизнью (напри-
мер, линейная алгебра, функциональный анализ, новые главы
уравнений в частных производных и др.).
Получающаяся перегрузка уменьшалась за счет полной или
частичной ликвидации предметов, по большей части алгебраиче-
ского или геометрического циклов. Так исчезали или почти исче-
зали из учебных планов теории чисел, алгебра П (группы и коль-
ца), основания геометрии, проективная геометрия и др. Этот про-
цесс усиления роли аналитических дисциплин за счет предметов
алгебраического и геометрического циклов в конце концов начал
приводить к разрыву между теми требованиями к алгебраическо-
му и геометрическому развитию студентов, которые должны
предъявляться для современного изложения дисциплин аналити-
ческого цикла, и возможностями, которые предоставляются учеб-
ными планами.
По-видимому, сейчас пришло время внимательно просмотреть
содержание и стиль построения общих математических дисциплин
с тем, чтобы, не допуская никаких излишеств, привести их в соот-
ветствие с современным состоянием математики.
Здесь делается попытка дать примерный объем общих кур-
сов алгебраического и геометрического циклов. При выборе
материала я руководствовался соображениями важности сооб-
щаемых фактов как для построения математического аппара-
та, так и для формирования обобщающих понятий современ-
ной математики».
Далее следует перечисление пунктов с их расшифровкой. Мы
приведем здесь лишь частичную расшифровку.
172
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
I. Алгебра.
1. Элементы теории чисел (включая кольцо и поле классов
вычетов). 2. Комплексные числа. 3. Многочлены от одной пере-
менной (включая «основную теорему», принцип аргумента, резу-
льтант). 4. Многочлены от нескольких переменных (включая тео-
рию делимости). 5. Аппарат линейной алгебры. 6. Элементы тео-
рии групп (включая теорему о строении абелевой группы с конеч-
ным числом образующих). 7. Линейная алгебра. 8. Кольца и ал-
гебры (включая модули над кольцом и понятие внешней алгебры).
9. Представления. (Характеры конечных абелевых групп. Конеч-
номерная трансформация Фурье. Представления конечных групп.
Тензорное умножение пространств. Представления полной линей-
ной группы и тензоры). 10. Геометрическая теория линейных не-
равенств (включая понятие сопряженного конуса).
«Предлагаемая программа может быть осуществлена на протя-
жении двух курсов университета, при двух часах лекций и двух
часах упражнений в неделю. На первом семестре первого курса
лучше иметь три лекционных часа.
При изложении должен использоваться язык элементарной те-
ории множеств и математической логики (так же как при изложе-
нии других математических дисциплин). Введение соответствую-
щих понятий и обозначений может осуществляться постепенно по
мере надобности или в виде краткого введения в курс.
Теоретико-числовые понятия должны использоваться для по-
строения интересных примеров во многих разделах алгебры».
II. Геометрический цикл.
1 . Метод координат. 2. Векторы. 3. Кривые (включая диффе-
ренциальную геометрию кривых). 4. Теория поля. 5. Теория по-
верхностей. 6. Топология (включая гомологии и когомологии,
классификацию поверхностей, фундаментальную группу, накрыва-
ющее пространство). 7. Многообразия. (Понятие многообразия,
дифференцируемого многообразия, аналитического многообразия.
Внешние дифференциальные формы и их интегрирование. Общая
формула Стокса. Риманово пространство. Параллельное перенесе-
ние. Ковариантное дифференцирование. Объемы. Теория кривиз-
ны. Геометрия пространств постоянной кривизны.)
«Геометрический цикл должен излагаться на протяжении пер-
вых трех курсов при двух лекционных часах в неделю, начиная со
второго семестра первого курса. Первая тема (метод координат) не
требует чтения лекций».
2 Математический минимум. Раздел 1. Алгебра и геометрия (2 с.).
А.Д-Мышкис, И.Е.Овчаренко 173
Одним из направлений работы Комиссии по математическому
образованию была формулировка минимума требований к знаниям
студентов-математиков, которые могли бы безусловно предъявля-
ться после прохождения соответствующих дисциплин, в том числе
и ГЭК. Г.Е.Шилов написал раздел 1 этого минимума.
0.1. Системы координат на плоскости и в пространстве.
0.2. Прямая линия на плоскости и связанные с ней задачи.
0.3. Кривые 2-го порядка (общее и каноническое уравнения).
0.4. Векторная алгебра на плоскости и в пространстве.
0.5. Определители любого порядка. Ранг матрицы.
0.6. Исследование и решение систем линейных алгебраических
уравнений. (Совместность, определенность, формула общего реше-
ния, геометрическая интерпретация).
0.7. Линейное вещественное пространство. Линейная зависи-
мость, базисы, координаты, размерность, теорема об изоморфизме.
0.8. Линейные формы и линейные операторы. Связь матриц и
операторов. Действия с операторами и матрицами.
0.9. Тензоры, их использование при преобразовании координат.
0.10. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадра-
тичной формы к каноническому виду линейным преобразованием.
0.11. Геометрия евклидова конечномерного пространства. Теоре-
ма об изоморфизме евклидовых пространств.
0.12. Ортогональные матрицы и изометрические операторы.
0.13. Ортогонализация. Определитель Грама. Неравенство Ада-
мара. Геометрическая интерпретация.
0.14. Комплексные числа. Действия (включая извлечение корня).
0.15. Многочлены с комплексными коэффициентами. Формулы
Виета. Разложение на множители. Приближенное вычисление корней.
0.16. Комплексное линейное пространство. Линейные операто-
ры. Приведение к жордановой форме. Элементарные делители.
0.17. Собственные векторы симметричного (эрмитова) операто-
ра. Приведение квадратичной формы в вещественном пространстве к
каноническому виду ортогональным преобразованием.
0.18. Приведение к каноническому виду единым линейным пре-
образованием пары квадратичных форм. Геометрические и физиче-
ские примеры.
0.19. Классификация поверхностей второго порядка в
0.20. Определение и элементарные свойства групп, колец и по-
лей. Примеры. Фактор-системы.
0.21. Группы и кольца линейных преобразований вещественных
и комплексных пространств. Преобразования Лоренца и кинематиче-
ские эффекты специальной теории относительности.
174
К 80-летию Георгия Евгеньевича Шилова
III. О программе спецкурса «Из истории функционального
анализа» (2с.)
Г.Е.Шилов отмечает, что известные аналогии, открытые в
XIX в., относятся не к истории, а к предыстории функционально-
го анализа, так как нужно было еще осмыслить эти аналогии и
найти пути к творческому синтезу соответствующих закономерно-
стей. Первым большим событием в истории функционального ана-
лиза было построение Гильбертом теории интегральных уравнений
(1906—1912 гг.) на основе рассмотрения интегрального оператора
как бесконечномерной квадратичной формы.
IV. Выступление (3 с.)
Выступление Г.Е.Шилова на обсуждении доклада А.В.Доро-
феевой и К А. Рыбникова по проблемам истории функционального
анализа в XX веке. Г.Е.Шилов указывает на основные источники
функционального анализа: классическую математику, вычислите-
льную математику, новую физику и кибернетику.
V. О курсе высшей математики для философов (2 с.)1
«Мне представляется, что курс высшей математики для фило-
софов должен строиться совсем не так, как он строится для инже-
неров, техников, исследователей в различных естественных облас-
тях и педагогов. Для всех указанных специалистов важно уметь
пользоваться математическими методами в повседневной работе.
Философы же находятся в особом положении —им математика
нужна, как составная часть идеологического оружия, поэтому для
них важны не детали математических приемов, а основные прин-
ципы, точки зрения, точная философская позиция в спорных во-
просах. Это определяет выбор конкретного материала из различ-
ных областей математики, который следовало бы включать в курс.
Поэтому мне казалось бы правильным строить курс математики
для философов (как и курс философии) не на индуктивной или
дедуктивной основе —как в учебниках —а на исторической; при
этом главную роль должны играть не имена, не приоритетные во-
просы, а развитие идей.
1. Математика древнего мира. Числа и фигуры сами по себе, в
отвлечении от конкретного содержания, в отличие от других естест-
венных наук. Почему математические утверждения нужно доказы-
вать логически (а не экспериментально)? Первая постановка вопро-
са об отношении математики и действительного мира. Математика
имеет дело с моделями действительного мира. Первые парадоксы
дискретного и непрерывного. Какой реальный смысл теоремы об
иррациональности V2? Или о бесконечности простых чисел?
А.Д.Мышкис, И.Е.Овчаренко
175
2. Эпоха великих открытий. Декарт, воссоединивший арифме-
тику с геометрией. Алгебра и роль знаков. Производная; представ-
ление, что каждая функция на самом деле “линейна в малом”. Не-
возможность строгого обоснования дифференциального исчисле-
ния. Критика со стороны философов. Интегрирование, решение
дифференциальных уравнений. Краткое описание математики
XVIII века. Спор Даламбера и Эйлера о звучащей струне или о
том, что такое функция. “Механический детерминизм” Лапласа.
3. XIX век. Завершение Лобачевским основного вопроса гео-
метрии—о справедливости постулата о параллельных. Перестрой-
ка взгляда на предмет геометрии. Модели неевклидовой геомет-
рии. Книга Гильберта ‘Основания геометрии”.
Алгебра уравнений, представление о теории Галуа. Группы
преобразований. Эрлангенская программа Клейна.
Анализ. Открытие Коши: линейность в малом есть не собст-
венное, а аппроксимативное свойство функций. Теория пределов.
Завершение спора об определении функции, связь с открытием
Фурье. Теоремы существования для производной и интеграла на
основе точных определений. Функции без производной и без ин-
теграла. Функции комплексного переменного. Развитие математи-
ческой физики. Векторный анализ. Многомерные пространства.
Обоснование анализа с помощью теории континуума. Начальная
пора теории множеств и топологии.
4. XX в. Проблема непротиворечивости математики (вторая
проблема Гильберта). Финитистская программа Гильберта. Ее кру-
шение (теорема Геделя). Антиномии теории множеств. Переход те-
ории множеств на аксиоматическую основу. Решение проблемы
континуума (Гедель и Коэн). Общая теория интеграла и меры.
Обоснование теории вероятностей. Формирование функционально-
го анализа (Вольтерра, Адамар, Гильберт, Рисе, Банах). Физиче-
ские открытия (теория относительности, квантовая физика) и ма-
тематика. Обобщенные функции. Аксиоматическая перестройка
классической математики. Сочинение Бурбаки.
Кибернетика и теория информации. Вычислительные машины,
их использование и возможности. Конструктивная математика, те-
ория алгоритмов, доказательства неразрешимости.
Математизация науки. Еще раз о математике и действительно-
сти. Почему математика применима? Маркс, Энгельс и математи-
ка. Ленин и математика».
3. Об организации учебного процесса
1. {Без названия) (1с.)
176
К 80-лстию Георгия Евгеньевича Шилова
Составленное и подписанное Г.Е.Шиловым извещение (январь
1966 г.) о предстоящем обсуждении на заседании университетской
секции Комиссии по математическому образованию трех вопросов,
из которых отметим:
«1. Оптимальные сроки обучения математиков для нужд на-
родного хозяйства.
Имеется в виду обсуждение возможности сокращения общего
срока обучения части математиков до 3 1 / 2—4-х лет, что позво-
лит при тех же затратах соответственно увеличить наборы».
2. (Без названия) (3 с.)
Статья, подготовленная Г.Е.Шиловым для многотиражки
МГУ. Г.Е.Шилов останавливается на трех вопросах. Говоря об от-
ношениях между Минвузом и МГУ, он пишет, что идеалом была
бы полная самостоятельность университета в рамках заданного
плана выпуска специалистов. Далее автор останавливается на не-
которых вопросах процесса обучения, в основном в связи с проб-
лемой свободного расписания, положительное решение которой
могло бы способствовать повышению качества подготовки специа-
листов. Но такое решение невозможно, пока исключение неуспева-
ющего студента, срывающее план выпуска, крайне затруднено.
Г.Е.Шилов предлагает ввести определенный контингент «вольнос-
лушателей» из числа не прошедших по конкурсу, которыми можно
заменить студентов, обнаруживших неспособность или нежелание
учиться. Наконец, останавливаясь на дисциплине в общежитиях,
Г.Е.Шилов пишет, что вопрос о нарушениях внутреннего распо-
рядка (вплоть до их выселения) должен решаться собранием про-
живающих.
3. Некоторые предложения по улучшению организации науч-
ной работы и учебного процесса в университетах (5 с.). Имеется
дата: 10 октября 1960 г.
Г.Е.обосновывает следующие предложения:
1. Отменить представление диссертации как самостоятельного
сочинения, а при присуждении ученой степени исходить только из
научных трудов, опубликованных соискателями.
2. Передать права присуждения ученых степеней специализи-
рованным межведомственным экспертным комиссиям.
3. Заменить в университетах защиту дипломных работ на госэк-
замен по узкой специальности; при наличии опубликованных или
принятых к опубликованию научных работ присуждать диплом с
отличием независимо от процента отличных и хороших отметок.
4. Отменить представление курсовых работ студентами, оста-
вив отметку по спецсеминару. В соответствии с установившейся
д. Д.Мышкис, И.Е.Овчаренко 177
практикой поручить прием семестровых экзаменов лицам, назначен-
ным кафедрой, под контролем лектора или заведующего кафедрой.
5. В редакцию газеты «Комсомольская правда». Предложения
в связи с тезисами ЦК КПСС и Совета Министров СССР «Об
укреплении школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы
народного образования в стране» (3 с.)
Говоря о необходимости широкой организации специальных
школ для молодежи, имеющей особые склонности и способности к
математике, физике и т.д., Г.Е.Шилов подчеркивает, что количест-
во таких школ должно определяться Госпланом, исходя из госу-
дарственных интересов. Далее он пишет о необходимости четкого
разделения функций между университетами (подготовка специали-
стов для промышленности и научно-исследовательских учрежде-
ний) и пединститутами (подготовка учителей для средней школы)
и подчинении учебных планов этим функциям.
6. В Министерство высшего и среднего специального образова-
ния СССР (1с.)
Дата: 18 сентября 1972 г. Отвечая на вопрос о целесообразно-
сти продолжения работы над начатым телекинокурсом по высшей
математике, Г.Е.Шилов предлагает для существенного упрощения
процедуры заснять лекции, читаемые на ЦТ, а на их основе, с по-
мощью необходимых добавлений, создать единый кинокурс.
7. Некоторые замечания по телевизионному курсу высшей ма-
тематики2 (3 с.)
«Цель настоящих заметок —дать некоторые советы тем, кто за-
нимается созданием передач по математике. Рекомендации основа-
ны на нашем опыте чтения курса “Функции многих переменных
(дифференциальное и интегральное исчисление)” на Центральном
телевидении.
Разница телевизионного изложения в сравнении с обычным
существенна. Известно, что чтение лекций по телевидению создает
большие возможности изобразительного подхода к изложению оди-
наково по всем дисциплинам. Что касается математики, важно,
чтобы за тем или иным изобразительным решением не пропала
логика математических рассуждений. Математические рассуж-
дения должны лишь подкрепляться зрительным рядом. Формулы,
выписываемые во время чтения лекций, являются частью зритель-
ного ряда. Логика математических рассуждений закрепляется зри-
тельно формулами, которые так или иначе фигурируют во время
изложения. Существенным обстоятельством является выбор наибо-
лее важных формул, их размещение на зрительном поле. В. обыч-
ной лекционной аудитории слушатель видит сразу всю доску с
12-3525
178
К 80-лстию Георгия Евгеньевича Шилова
формулами, а телекамера выделяет лишь небольшой участок, поэ-
тому важна согласованность между лектором и режиссером, веду-
щим передачу, о выборе формул для показа их более длительно
крупным планом».
Примечания
1 Этот вопрос обсуждался с профессором философии ЛГУ Л.О.Резниковым
(1905-1970 гг.)
2 В 1966— 1974 гг. Г.Е.Шилов читал лекции по математике на телевидении.
Список учебников Г.Е.Шилова и работ по математическому образованию
1. Математика для инженеров. М.: Советское Радио, 1950. Вып.1—4. 440 с.
2. Математика для инженеров. М.: Советское Радио, 1950. Вып.5 — 6. 284 с.
3. Введение в теорию линейных пространств. М.-Л.: Гостсхиздат. 1952. 384 с.
4. Лекции по векторному анализу. М.: Гостсхиздат, 1954. 140 с.
5. О некоторых основных понятиях векторного анализа // Ученые записки Киев-
ского ун-та, 1954.
6. К истории развития функционального анализа па Украине // Историко-матема-
тические исследования. М.: Наука, 1956. Вып.9. С.427 — 476.
7. Введение в теорию линейных пространств. Изд. 2-е, переработанное. М.: Госте-
хиздат, 1956. 303 с. (перевод на английский язык —1961).
8. Как строить графики. М.: Физматгиз, 1959. 23 с. (перевод па болгарский
яз. —1964, на испанский —1983).
9. Математический анализ. Спецкурс. М., 1959. 388 с.
10. Математический анализ. Спецкурс, изд. 2-е дополненное, переработанное. М.:
Физматгиз, 1961- 436 с. (перевод на английский яз. — 1965).
11. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. М., 1963. 19 с. (перевод на
французский яз. —1975, на испанский и па арабский —1978, изд.2-е—1980).
12. Что такое функция? // Математика в школе. 1964. №1.
13. Интеграл, мера и производная. М.: Наука, 1964.211с. (совм. с Б.Л.Гуревичем).
14. Дополнения и редакция книги: М.Гарднер. Математические чудеса и тайпы. М.:
Наука, 1964.
15. Математический анализ. Второй спецкурс. М.: Изд-во МГУ, 1965. 327 с. Изд. 2-е,
переработанное, 1984.
16. Математический анализ. Конспекты лекций. II сем.—лекции 1 — 14, 15 — 23;
III сем,—лекции 1 — 16, 17 — 24; IV сем,—лекции 1 — 18 (Векторный анализ),
9—16 (Аппроксимация в функциональном пространстве и ряды Фурье),
17 — 24 (Дифференциальная геометрия), М.: Изд-во МГУ, 1966.
17. Интеграл, мера и производная. Общая часть, изд.2-с, персраб., М.; Наука, 1967.
219 с.(совм. с Б.Л.Гуревичем).
18. Математический анализ. Функции одного переменного. 4.1 —2. Учебное пособие
для студентов мех.-матсм. фак. ун-тов. М.. 1969. 528 с. (перевод па французский
яз. — 1973, перевод па итальянский яз, —1978)
19. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. Учебное посо-
бие для студентов ун-тов. М.: Изд-во МГУ, 1969. 432 с.
д Д.Мышкис, И.Е.Овчаренко 179
20. Математический анализ в области рациональных функций. М : Наука, 1970. 48 с.
(перевод на французский яз. —1974, на испанский—1975, на английский—1977,
на арабский —1977, еще раз на английский —1981, еще раз на испанский — 1983).
21. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.З. М., 1970. 352 с. (пе-
ревод на французский —1973, на итальянский —1978).
22. Linear algebra. Paintice-Hall, Inc. Englwood Cliffs. N-Y. 1970.
23. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных.
4.1 —2. Учебное пособие для студентов мех.-матем. фак. ун-тов. М., 1972. 622 с.
(перевод на французский яз. —1975, на итальянский —1979, переиздано на фран-
цузском яз. —1978 — 1979).
24. Высшая математика. Функции многих переменных. М.: ВЗПИ. 1972. 264 с. (совм.
с Л.Г.Востоковой).
25. Elementary real and complex analysis. London; MIT Press Cambridge Massachusetts.
516 p.
26. Математика и действительность // Историко-математические исследования. М.:
Наука, 1975. Вып.20. С.И —27 (Подписана: Георгий Кацивели).
27. Основы современного анализа. 4.1—3. М.: Изд-во МГУ, 1975.
28. Над «балдой» стоит подумать // Наука и жизнь, 1976. №3 (совм. с В.С.Берма-
ном).
29. Дифференцирование функций в линейных пространствах. Основы современного
анализа. Ярославль, 1978. 120 с.
30. Дифференцирование функций; приложения к анализу. Основы современного ана-
лиза. Ярославль, 1979. 87 с.
31. Дифференцирование функций; высшие производные и вариационное исчисление.
Основы современного анализа. Ярославль, 1980. 84 с.
12'
МАТЕМАТИКА АНТИЧНОСТИ
И СРЕДНИХ ВЕКОВ
О ПРИРОДЕ ДОКАЗАТЕЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ
В ДОГРЕЧЕСКУЮ ЭПОХУ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
В. Я. Перминов
Один из основных тезисов эмпирического истолкования мате-
матики состоит в том, что математика как наука имеет опытное
происхождение, что строгой и доказательной математике предше-
ствовала математика эмпирическая, все утверждения которой име-
ли только индуктивное обоснование. На этом положении в пошлом
веке настаивали Дж.Ст.Милль, Г.Гельмгольц и М.Паш. В наше
время он был возрожден в методологических работах И.Лакатоса,
Л.Кальмара, М. Клайна и ряда других авторов.
Этот тезис, как кажется, подтверждается историей математи-
ки. Многие историки разделяют мнение, что собственно теоретиче-
ская(доказательная) математика возникла в VI —V вв. до н.э. в
Древней Греции, а до этого времени она как наука представляла
собой совокупность утверждений, тесно связанную с опытом и обо-
снованную только в контексте этого опыта.
В предлагаемой статье намечено другое понимание догрече-
ской математики, основанное на априористском истолковании ис-
ходных математических идеализаций. Я исхожу здесь из того по-
ложения, что философия математики, создаваемая на основе ее ис-
тории, в свою очередь может внести некоторую дополнительную
ясность в понимание фактов этой истории.
в. я. Перминов
181
1. Проблема доказательства в догреческой математике
Можно утверждать, что современная математика является нау-
кой точной, доказательной и свободной в своем развитии Под точ-
ностью математики мы понимаем здесь устойчивость ее утвержде-
ний, способность их входить без изменений и корректировок в бо-
лее развитые и обоснованные системы. Требование доказательно-
сти достаточно ясно. Утверждение, для которого не найдено дока-
зательства, не может быть принято в современной математике в ка-
честве истинного, какие бы сильные доводы индуктивного порядка
не приводились в его пользу. Точность математического утвержде-
ния, очевидно, не тождественна его доказательности. Элементар-
ные математические суждения типа 2 + 2 = 4 мы воспринимаем в ка-
честве точных вне зависимости от того, могут быть они доказаны
или нет. Свобода математики может быть понята в двух аспектах, а
именно, как свобода от эмпирических представлений в определении
своих внутренних понятий и как возможность внутреннего развития
безотносительно к каким-либо внешним запросам. Современная мате-
матика, по общему мнению, является свободной в обеих этих отно-
шениях.
Что касается древней (догреческой) математики, то она, соглас-
но распространенному представлению, обладает прямо противопо-
ложными качествами: она неточна, недоказательна и предопределе-
на в своих понятиях некоторыми практическими запросами. Есть
основания думать, что это расхожее представление о древней мате-
матике является несостоятельным и нуждается в пересмотре.
Вавилонские математики, как показывают материалы, относящиеся
к XVIII— III вв. до н.э., решали задачи на арифметическую и геометри-
ческую прогрессии, на квадратные и биквадратные уравнения. Все изве-
стные решения точны, т.е. полностью соответствуют условиям поставлен-
ных задач. Они знали формулы (давали словесные описания) для сум-
мы натуральных чисел до произвольного N, а также и для суммы квад-
ратов чисел. Они решали неопределенные уравнения первой и второй
степени, в частности, уравнения вида X2 + Y2 =Z2 и X2 +Y2 = 2Z2.
Данные ими таблицы пифагорейских и вавилонских троек правильны за
исключением отдельных случаев, которые можно отнести к ошибкам пе-
реписчика. В геометрических задачах вавилонские математики использо-
вали теорему Пифагора, знали точные формулы для вычисления объе-
мов всех основных геометрических тел, в том числе для объема шара и
усеченной пирамиды. Мы видим почти ту же самую картину и в
наиболее древних, дошедших до нас математических текстах —в
египетских папирусах, относящихся к XXI —XVIII вв. до н.э.
182
Математика античности и средних веков
Рассмотрение фактического корпуса задач никак не подтверж-
дает и той идеи, что древняя математика была полностью детерми-
нирована практическими потребностями и как бы проистекала из
них. В действительности, основная часть этих задач совершенно
умозрительна и не содержит в себе никакого намека на происхож-
дение из практических запросов. Какие практические запросы мог-
ли лежать за задачей суммирования квадратов натуральных чисел
или за вычислением удаленных членов геометрической прогрес-
сии? Большая часть дошедших до нас задач вавилонской матема-
тики имеет характер именно такого рода чистых проблем, теорети-
ческих головоломок, но отнюдь не характер практически ориенти-
рованных рецептов. Несомненно, что некоторые математические
сведения, связанные с методами вычисления площадей, объемов, с
вычислением процентов и т.п. использовались на практике и прак-
тика, таким образом, стимулировала развитие и уточнение опреде-
ленного класса математических понятий. Этот стимул, однако, ни-
как не способен объяснить развитие древней математики в целом.
Даже древнеегипетская математика, дошедшая до нас, по мнению
некоторых историков, в самой элементарной ее части, не выглядит
сугубо прикладной. Когда египетский математик решает задачу на
деление нескольких мер зерна между группой лиц так, чтобы раз-
ница долей оставалась постоянной, то ясно, что его волнует не
проблема предстоящего деления урожая, а математический закон
арифметической прогрессии как таковой. Зерно здесь рассматрива-
ется только для иллюстрации, точно также как в наших школьных
задачах на переливание воды из одного бассейна в другой. Вряд ли
имели для египетского математика какой-либо прикладной смысл и
задачи «на кучу», сводящиеся к решению неопределенного уравне-
ния вида: Ах + Вх +... + Lx = М, при А, В, .., L рациональных, а
тем более задачи на суммирование степеней чисел. Все это говорит
о том, что и для древних математиков математика была прежде все-
го сферой чистого изобретательства, чистых интеллектуальных уси-
лий. но не средством решения задач, возникающих в практике.
Аналогичным образом обстоит дело и с тезисом об отсутствии
доказательства в догреческой математике. Мы придерживаемся
здесь ходячего предрассудка, который поставлен под сомнение са-
мой историей математики и, как я попытаюсь показать, противоре-
чит природе математических идеализаций. Однако, положение яв-
ляется здесь более сложным, чем в рассмотренных случаях, и тре-
бует более обстоятельного анализа.
Прежде чем подходить к проблеме с точки зрения гносеологи-
ческих понятий, мы должны посмотреть на известные нам факты.
R g.Перминов
183
Доводы эмпириков опираются главным образом на то обстоятель-
ство, что в текстах догреческой математики отсутствуют доказате-
льства в принятом для нас смысле. Древний математик предлагает
лишь рецепт, процедуру, в соответствии с которой мы, отправля-
ясь от исходных данных, можем получить ответ, требуемый зада-
чей. Такая методика одинаково характерна для всех этапов и реги-
онов догреческой математической мысли. Не обнаруживая записей
и рассуждений, которые мы обычно называем доказательством, эм-
пирически ориентированный историк заключает, что все эти рецеп-
ты имеют практическую и индуктивную основу и что за ними не
следует предполагать наличия собственно доказательных доводов,
обычных для более поздних этапов развития математики.
Но если мы полагаем, что дедуктивный метод не играл суще-
ственной роли в развитии догреческой математики, то мы должны
объяснить достигнутые в ее рамках результаты как основанные
либо на непосредственной очевидности, либо на некоторого рода
индуктивном наведении. Уже на уровне простых фактов мы встре-
чаемся здесь с непреодолимыми затруднениями.
Существует класс результатов, к которым мы можем прило-
жить понятие индуктивного наведения. Так мы можем предполо-
жить, что складывая последовательно числа натурального ряда и
получая частичные суммы вида: 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 и т.д.
древний математик мог уловить, наконец, общий закон и прове-
ривши его на ряде значений мог сформулировать его как надеж-
ную и точную истину. Такой подход к общим истинам от наблюде-
ния имеет место в современном математическом исследовании и,
несомненно, имел место и на первых этапах развития математики.
Однако он явно недостаточен для объяснения всех результатов до-
греческой математики.
Рассмотрим следующую задачу, относящуюся к Среднему пе-
риоду вавилонской математики [1, с. ПО].
Дан прямоугольный треугольник АВС
(рис.1) с линией DE, проведенной пер-
пендикулярно катету ВС, такой, что
CE = hx=20, EB = h2=30, S(ABC)=320.
Требуется найти АС = х\ и DE = x2.
Предложенный вавилонским математиком
путь к ответу состоит (при переводе чисел
в десятичную систему) из следующих
Шести арифметических действий: л
320:20=16; 30-2 = 60; 60 + 20 = 80;
320:80 = 4; 16 + 4 = 20 = ^; 16-4 = 12 = х2.
184
Математика античности и средних веков
Мы имеем здесь только рецепт, выраженный в числах. Но мо-
жем ли мы сказать, что искомые величины и сам способ их вычис-
ления найден посредством догадки или посредством некоторого
рода индуктивного наведения? Небольшое размышление убеждает
нас в том, что оба эти варианта в данном случае совершенно иск-
лючены. Геометрическая интуиция, даже при очень хорошем чер-
теже, не позволяет усмотреть здесь точного ответа. Подход к отве-
ту посредством какого-либо экспериментирования с треугольником
или посредством прямого измерения также исключен, ибо была бы
тем самым поставлена под сомнение его точность. Это последнее
предположение абсурдно также и потому, что в этом случае древ-
нему математику не было бы никакой необходимости предлагать
далеко не очевидный рецепт вычисления искомых величин через
исходные. Самое главное, однако, состоит в том, что предложен-
ный рецепт оказывается совершенно обоснованным с точки зрения
современной геометрической теории и универсальным в том смыс-
ле, что он не зависит от числовых величин, взятых автором задачи
в данном конкретном случае.
Замечательный факт состоит в том, что подавляющее боль-
шинство дошедших до нас задач древней математики поддается те-
оретической реконструкции такого рода, т.е. допускает оправдание
решений в смысле их точности и общности. «Несмотря на четыре
тысячелетия, отделяющие нас от древних вавилонян,—пишет
А.Е.Раик,—и отсутствие каких-либо указаний на то, как они опе-
рировали с неизвестными, сохранившаяся в текстах последователь-
ность операций над данными задачи, позволяет нам уверенно ре-
конструировать весь ход решения, даже в тех случаях, когда это
сразу не удается сделать» [2, с.107]. Точность и общность число-
вых алгоритмов, факт реконструируемости их, однозначно показы-
вают, что мы имеем дело здесь не с интуитивными догадками и не
с индуктивным наведением, но с доказательными рассуждениями,
опирающимися на знание точных соотношений, относящихся к
числам и геометрическим фигурам.
Знаменитый исследователь вавилонской математики О.Нейге-
бауэр так высказывается по этому поводу: «Одним из наиболее ко-
ренных различий между догреческой и греческой математикой при-
нято считать появление в Греции понятия математического доказате-
льства. Но положение дел существенно изменилось с тех пор, как
мы узнали о высокоразвитой вавилонской алгебре. Кто ставит такие
вопросы как вопрос о появлении доказательства в античной матема-
тике, тот обязан прежде всего точно определить смысл слова “дока-
зательство”. По-моему, в исторических исследованиях слово “
В я Перминов
185
доказать” может иметь только тот смысл, что из тех или иных ма-
тематических данных и зависимостей при помощи цепи логических
умозаключений выводятся новые зависимости, причем эти новые
зависимости не должны в каком бы то ни было смысле быть по-
следними звеньями умозаключений и самый процесс умозаключе-
ний вовсе не должен быть точно фиксирован и осознан как тако-
вой. Существование доказательства в этом смысле в вавилонской
математике ни в коем случае нельзя оспаривать. В самом деле,
трудно представить себе, чтобы такие сложные системы формул,
как те, о которых мы говорили в предшествующих разделах, мог-
ли быть получены непосредственно или эмпирическим путем.
Трудно допустить что-либо другое, кроме следующего: вавилоняне
приводили путем последовательных умозаключений более сложные
случаи к более простым. А такой способ вывода означает лишь то,
что сложное утверждение доказывается на основе более простых,
рассматриваемых как данные» [3, с. 150]. Аналогичное мнение от-
носительно недавно было высказано А.П.Юшкевичем. «...Сколь-
ко-нибудь внимательный анализ ряда рецептов и примеров в папи-
русах и клинописях,— пишет он,—показывают, что решения могли
быть найдены только с помощью выводов, опирающихся на некото-
рые логические и и математические принципы, хотя и не сформули-
рованных в виде каких-либо определений, либо аксиом» [4, с.172].
Итак, исходя из изложенных фактов, мы должны сделать сле-
дующее общее заключение. Современный историк математики не
может утверждать факт наличия доказательств в догреческой мате-
матике по той простой причине, что он не может представить тек-
стов, которые можно было бы определенно считать доказательства-
ми в приемлемом смысле этого слова. С другой стороны имеются
предельно убедительные доводы за то, что догреческая математика
уже в известном ее составе не могла появится без использования
строго доказательных рассуждений. Мы можем, таким образом,
сказать, что при отсутствии собственно исторического (документа-
льного) обоснования существования доказательства в догреческой
математике, мы имеем эпистемологическое обоснование этого фак-
та, проистекающее из необходимости его как элемента всякой воз-
можной реконструкции указанного периода развития математики.
Такого рода обоснование вполне согласуются с сущностью научно-
го метода. Мы не можем наблюдать атомов, но мы уверенно утвер-
ждаем их существование по той причине, что мы не видим како-
го-либо другого пути для объяснения наблюдаемых фактов. Если
следовать этой общей научной логике, которая представляется со-
вершенно законной и в методологии науки, то мы должны принять
186
Математика античности и средних веков
утверждение Нейгебауэра как безусловно доказанное и направить
свои усилия на исследование уже более конкретных вопросов. Д
именно, мы должны были бы теперь выяснить, в чем состоит при-
чина того, что эти доказательные редукции не нашли отражения в
сохранившихся математических текстах и как может существовать
надежное доказательное мышление вне его выражения в языке.
Между тем подавляющее большинство философов и историков
математики как бы не замечает эпистемологического аргумента и про-
должает повторять версию, восходящую к Проклу и Диогену Лаэр-
цию, т.е. продолжает утверждать, что математика стала доказательной
наукой только после того, как Фалес перевез ее из Египта в Грецию.
Сверхосторожность историков, по-видимому, является оправ-
данной с точки зрения специфики исторического метода: историк
должен ориентироваться на точно установленный факт и подобно
математику-конструктивисту не может утверждать существования
без его предъявления. Другой и, может быть, главной причиной
указанной консервативности историков и философов является не-
достаточная ясность самого понятия доказательства. Современный
математик привык понимать доказательство как рассуждение в
определенном языке и в определенной системе посылок и чистое
допущение доказательной редукции, не имеющей поддержки в точ-
ных понятиях и рефлексии, представляется ему сомнительным и
даже противоречивым. Но это значит, что теоретический подход к
обоснованию доказательности догреческой математики нуждается в
углублении: мы должны не только указать на математические фак-
ты, которые невозможно объяснить без допущения доказательных
редукций, но и согласовать возможность таких редукций с приро-
дой исходных математических идеализаций, в частности, обосно-
вать возможность доказательного мышления вне его выражения в
языке. Здесь мы должны войти в сферу философского анализа,
который, не претендуя на решение вопроса в собственно историче-
ском плане, должен привести нас к более глубокому пониманию
тех форм, в которых доказательное мышление может существовать
на ранних стадиях развития математики.
Отрицание доказательства в догреческой математике всегда
было освящено эмпирической философией математики, согласно ко-
торой математика как и все науки имеет опытное происхождение и,
следовательно, должна иметь стадию развития, основанную на при-
ближенных и индуктивных выводах. Я думаю, что адекватное об-
суждение проблемы доказательства на ранних стадиях развития ма-
тематики требует полного отказа от эмпирической установки, преоб-
ладающей до сих пор в философии математики, и возвращения к
априористскому истолкованию исходных представлений математики.
В Я-Пермииов
187
2. Идея математики как априорного знания
Согласно Канту, существуют две чистые (доопытные) формы
чувственного восприятия, а именно, пространство и время. Геомет-
рия представляет собой понятийное выражение чистой интуиции
пространства, арифметика находится в таком же отношении к по-
нятию времени. Математика, таким образом, радикально отличается
от любой опытной науки: ее исходные представления не абстрагиро-
ваны из опыта, а являются результатом некоторого рода интроспек-
ции, видения разумом своих собственных механизмов действия.
Эмпирически ориентированное сознание отвергает такую идею
как пережиток схоластики. Допущение представлений, независи-
мых от опыта, представляется ему совершенно абсурдным, опро-
вергаемым самим фактом развития и приложения знания. Однако,
действительная ситуация является здесь более сложной. Несмотря
на недостатки кантовского априоризма и его теории познания в це-
лом, идея фундаментальных очевидностей, лежащих в основании
математического мышления не может быть отвергнута как ложная.
Каждый человек, когда-либо доказывавший теоремы, знает, что в
конечном итоге все доказательство редуцируется к некоторому
множеству совершенно очевидных переходов, в правильности ко-
торых мы не можем сомневаться. Другое не менее важное наблю-
дение состоит в том, что эти очевидности являются в высшей сте-
пени устойчивыми: очевидное для Евклида является очевидным и
для нас. Последнее совершенно невозможно объяснить, если исхо-
дить из допущения, что все математические представления являют-
ся результатом индукции, основанной на опыте.
Общий вывод из такого рода наблюдений состоит в том, что мы
в какой-то мере должны признать правоту априористской позиции и
разделить эмпирическое и математическое знание в самой их приро-
де. Я изложу здесь некоторые доводы на этот счет, опирающиеся на
деятельностную трактовку познавательной активности сознания.
В марксистской теории познания обычно подчеркивается, что
практика является стимулом познания, основой познания (в смыс-
ле наличного материала и средств) и, наконец, окончательным
критерием истинности теорий и идей. Однако упускается из виду
еще один и, может быть, наиболее важный момент практической
Детерминации знания, а именно то обстоятельство, что практика
является нормативной основой знания. Суть этого положения со-
стоит в том, что всякое знание, сориентированное на практику,
подчинено универсальным нормам, проистекающим исключительно
из самой этой цели (из практического назначения знания) и неза-
висимым как от предмета, так и от субъекта познания. Это значит,
188
Математика античности и средних веков
что наряду с ограничительными принципами, проистекающими из
предмета исследования (которые, очевидно, различны для различ-
ных сфер опыта), существуют универсальные ограничения, про-
истекающие из общих целей знания и единые для всех его видов.
Универсальная праксеологическая нормативность проявляется
прежде всего в категориальных принципах. Всякое опытное знание
строится как знание о чем-то материальном, что в конечном итоге
может быть зафиксировано в опыте, как основанное на причин-
но-следственных связях, на различении объектов в пространстве и
времени и т.п Нетрудно понять, что мы имеем здесь дело с общи-
ми требованиями к структуре представлений, проистекающими из
их практической функции. Если бы некто построил теорию, кото-
рая не основывалась бы на различении объектов по пространствен-
но-временным характеристикам, не подчинялась бы общим свойст-
вам причинно-следственных связей, не отделяла бы материального
от идеального, случайного от необходимого и т.д., то такая теория
не могла бы быть квалифицирована как знание, ибо она заведомо
не могла бы быть использована для координации действий в ка-
кой-либо сфере опыта. Знание должно быть соединено с практи-
кой и оно принимается в качестве знания только в том случае,
если оно оформлено в категориях практики. Абстрактные принци-
пы типа «мир материален», «причина раньше следствия», «время
необратимо» и т.п. должны быть поняты в этом плане как наибо-
лее общие ограничения на структуру представлений, проистекаю-
щие из их практической значимости.
Другой универсальной нормативной структурой сознания, про-
истекающей из деятельности, является система логических норм,
которой подчинено всякое понятийное мышление. Если категории
ограничивают содержание представлений, являются системой инту-
иций, лежащих в основе определения предмета мышления вообще,
то логические нормы —это ограничения на структуру понятий (зна-
чений) и возможные их связи. Знание, построенное вне логики, не
является знанием, поскольку оно не может служить основой прак-
тической ориентации и выбора.
Здесь важно отметить, что категориальные и логические пред-
ставления не являются эмпирическими в собственном смысле сло-
ва, т.е. они не являются результатом какой-либо индукции из со-
держания мышления, но отражают исключительно форму мышле-
ния, проистекающую из его практической ориентации. Таким обра-
зом, в практике научного мышления мы имеем дело с общими
принципами двух типов: одни из них проистекают из предмета
рассмотрения и устанавливаются посредством индукции (законы
В Я-Перминов
189
сохранения в физике, например), другие же идут от субъекта как
абсолютные ограничения формы знания, проистекающие из его на-
значения. Великая заслуга Канта состоит в четком разделении
этих двух уровней, —содержания и формы мышления —и в уста-
новлении несводимости их друг к другу.
Категориальные и логические принципы априорны в том смыс-
ле, что они не зависят в своей структуре от какого-либо опыта и от
эмпирических подразделений вообще. Они безусловно универсаль-
ны, поскольку не зависят от содержания и типа знания. Они экви-
финальны в том смысле, что в генезисе индивидуального сознания
любой опыт приводит в конечном итоге к одной и той же системе
этих принципов. В отличие от эмпирических (индуктивных) сужде-
ний категориальные принципы и логические нормы даны нам с бе-
зусловной (аподиктической) очевидностью, которая строго интер-
субъективна. Индивид не обладающий общей логикой и системой
категорий в качестве самоочевидных оснований мышления, не мо-
жет быть включен в социальную коммуникацию и социальное пове-
дение. Наиболее важное свойство указанных принципов состоит в
том, что они внеисторичны: они не могут корректироваться на осно-
вании какого-либо нового содержания знания, ибо они выражают
собой не разделения предметного мира, но лишь форму знания,
обусловленную целевой установкой мышления. Историческая смена
объектов изучения, научных эпох и мировоззрений оставляет неиз-
менными логику и категории как универсальные формы мышления.
Математический априоризм может быть оправдан посредством
того предположения, что система самоочевидностей, лежащих в
основе исходных математических понятий, является частью катего-
риальных и логических очевидностей или в определенном смысле
производна от них. Другими словами, мы можем считать систему
исходных математических идеализаций априорной в своей основе,
если будет установлено, что эти идеализации относятся не к содер-
жанию, но к универсальной форме мышления. Такова была собст-
венно идея Канта, определяющая его воззрения на природу мате-
матики. В настоящее время мы должны принять эту идею в ее
главных моментах.
Исследования по основаниям математики, проведенные в течение
последнего столетия, среди прочего установили органическую взаи-
мосвязь между арифметическими и логическими понятиями. Хотя
сторонникам логицизма и не удалось редуцировать арифметику к ло-
гике, является важным тот факт, что значительный и в определенном
смысле центральный фрагмент арифметики оказался определимым в
логике, сводимым к ее общезначимымутверждениям. Этот факт
190
Математика античности и средних веков
заслуживает внимания, ибо он указывает на глубинное и, по-види-
мому, еще не вполне осмысленное родство этих двух понятийных
структур.
Это родство нашло также подтверждение и в рамках психоло-
гических исследований. Одно из открытий Ж.Пиаже, исследовав-
шего становление когнитивных структур сознания, состоит в уста-
новлении того факта, что категории, логика, а также элементарные
арифметические и геометрические представления формируются у
ребенка одновременно и во взаимной связи, причем это формиро-
вание начинается задолго до появления у него сколько-нибудь зна-
чительных запасов позитивного знания [5, с.78 —80]. Этот факт
говорит о том, что исходные арифметические и геометрические
представления органически связаны с базовыми нормативными
структурами знания, т.е. с категориями и с логикой.
Собственно философский довод за принадлежность исходных
истин арифметики и геометрии к сфере априорного знания заклю-
чается в самоочевидности и интерсубъективности этих истин. Дея-
тельностная трактовка априорного знания позволяет нам утверж-
дать, что важнейшей характеристикой априорного знания является
его самоочевидность и интерсубъективность. Если априорное зна-
ние это знание нормативное, то для выполнения своей функции
универсальной нормы оно должно быть дано сознанию с особой
степенью очевидности, которая преобладает над всякими очевидно-
стями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру,
общепринятые нормы логического следования. Но в таком случае
сама аподиктическая очевидность, которая в полной мере присуща
исходным утверждениям элементарной математики, может рассмат-
риваться в качестве аргумента за априорность этих утверждений.
Истоки исходных математических представлений и их связь с
категориальными представлениями о мире будут более ясными,
если мы поймем то обстоятельство, что они относятся как к своей
онтологической основе к специфическому аспекту деятельностных
представлений о мире, который можно назвать представлениями
идеальной предметности. Практическая деятельность порождает в
качестве универсальных и интерсубъективных представлений пред-
ставления о бытии и небытии, пространстве, времени, причине и
следствии, необходимости и возможности и т.п. Эти категории в
своей сущности отражают не что иное как общие принципы субъ-
ектно-объектного отношения, онтологические условия деятельно-
сти, или точнее, необходимые онтологические предпосылки акта
деятельности. Одновременно с этим процесс деятельности форми-
рует и другой аспект универсальных онтологических представле-
ний, а именно идеализированные представления о предмете
g я.Перминов
191
деятельности. Действуя, мы необходимо предписываем реальности,
некоторые общие требования к предмету, оправданные с точки зре-
ния принципиальной возможности действия: мы представляем реа-
льность как состоящую из совокупности предметов, разделенных в
пространстве и времени, независимых друг от друга в смысле воз-
можной манипуляции, идеально стабильных и т.п. Вся реальность
рассматривается при этом как неограниченная или способная к не-
ограниченному увеличению совокупность такого рода предметов.
Эти представления, порождаемые деятельностью наряду с общими
субъектно-объектными категориями мы можем назвать универсаль-
ными предметными представлениями или предметной онтоло-
гией. Исходные очевидности элементарной математики могут быть
поняты как представления, являющиеся отражением различных ас-
пектов предметной онтологии.
Идея Канта об априорности истин математики, представляет-
ся, таким образом, достаточно хорошо обоснованной. В этом плане
становится предельно ясным принципиальное различие математи-
ческих и эмпирических идеализаций и различие между двумя соот-
ветствующими типами наук. Интуитивной основой математики яв-
ляются не представления опыта, а предметная онтология как опре-
деленный аспект универсальной праксеологической онтологии.
Собственно кантовская философия математики далеко не со-
вершенна. Кант утверждал априорность всех представлений мате-
матики, что, очевидно, неверно. Он пытался вывести представле-
ния математики исключительно из представлений о пространстве и
времени, что также в настоящее время представляется ошибочным.
Анализ показывает, что представление времени является излиш-
ним, а представление пространства само по себе явно недостаточ-
но: мы нуждаемся здесь в представлениях, связанных с идеальной
предметностью. Кант был далек от деятельностного понимания
форм мышления и логики. Список такого рода дефектов кантов-
ской системы можно продолжить. Однако, Кант был прав в глав-
ном, а именно, в том положении, что математика не является опыт-
ной наукой и что истинная ее природа раскрывается лишь при соот-
несении ее понятий с универсальными формами мышления.
Обычный довод против априористского истолкования истин
математики исходит из факта их очевидной содержательности,
приложимости к описанию счета и измерения в мире реальных
предметов и свойств. Наша уверенность в истинности простых ис-
тин арифметики и геометрии покоится не на доказательстве, а, как
представляется, прежде всего на опыте фактического комбинирова-
ния и пересчета реальных предметов и на опыте построения и
192
Математика античности и средних веков
измерения реальных пространственных фигур. Но может ли счита-
ться в качестве априорного знание, столь органически связанное с
повседневным опытом?
Это соображение, однако, не может быть принято. Вниматель-
ный анализ процедуры счета и измерения показывает, что эти про-
цедуры уже опираются на представление идеального дискретного
множества, допускающего увеличение, т.е. на представление нату-
рального ряда. Как уже было сказано, реальная предметная прак-
тика наряду с представлениями о пространстве, времени и причин-
ности, порождает предметную онтологию, т.е. представление о со-
вокупности идеальных предметов, допускающей неограниченное
увеличение. Любая практика, независимо от того, включат ли она
в себя счет и измерение, неизбежно производит и содержит в себе
представления о предметных множествах и величинах, т.е. онтоло-
гию, лежащую в основе элементарной математики. Идея числа и
натурального ряда, таким образом, не порождаются процедурой
счета, она порождается всей предметной деятельностью как часть
нормативной основы мышления и лишь прилагаться затем к конк-
ретным ситуациям в процессе счета и измерения. Ошибка сторон-
ников эмпирического подхода к истолкованию числа и величины
состоит в том, что они рассматривают счет и измерение как пер-
вичный опыт порождающий эти понятия, превращая, таким обра-
зом, область приложения понятия в его генетическую основу. Это,
однако, глубокое заблуждение. В действительности, мы не могЛи
бы считать, измерять и определять меру в конкретных случаях без
представлений о количестве и величине, об аддитивности множеств
и т.п., которые априорны и имеет свои истоки в структуре практи-
ки и в деятельностной установке человеческого мышления вообще.
Человеческое познание с самого начала развивается из двух
источников: из опыта и из глубинных очевидностей разума, имею-
щих деятельностную основу, образуя два принципиально различ-
ных типа наук. С этой точки зрения математика и опытные науки
различаются не степенью абстрактности, а прежде всего своей ин-
туитивной основой, будучи ориентированными соответственно на
содержание и форму знания. Не вся математика может быть ис-
толкована как априорная и непосредственно связанная с универса-
льной онтологией, но это, вне всякого сомнения, относится к ее ис-
ходным представлениям, составляющим содержательное ядро и ло-
гическое основание математической науки в целом.
Первым следствием такого подхода, имеющим значение для
истории математики, является понимание того обстоятельства, что
математика никогда не была эмпирической наукой и не имела
В Я.Перминов
193
стадии развития, на которой ее утверждения устанавливались то-
лько посредством опыта.
Современная философия математики демонстрирует три основ-
ных подхода к истолкованию математических понятий: она рас-
сматривает их либо как эмпирические понятия, хотя и обладающие
определенной спецификой (обобщение операционального опыта и
т.п.), либо как элементы формальной системы, определенные
внутренними законами системы, либо как идеализации, связанные
с категориальным видением мира. Первый подход, наиболее ясно
выраженный в настоящее время в работах Пиаже и Китчера, пред-
ставляется малоперспективным, не учитывающим принципиальной
разницы между физическими и математическими идеализациями.
Второй подход, связанный с формалистским пониманием матема-
тики, полезен в ограниченной сфере, а именно как подход, позво-
ляющий понять структуру математических теорий и сформулиро-
вать проблему ее обоснования. Оба этих подхода мало применимы
к анализу истории математики. Фундаментальная основа для пони-
мания природы математики появляется лишь при подходе, кото-
рый раскрывает априорное основание математического мышления
и органическую связь исходных математических представлений с
категориальным видением реальности.
Именно априористская философия математики представляется
наиболее пригодной и для понимания особенностей ее истории.
Проблемы, относящиеся к точности математики, к ее доказательно-
сти и к древности ее происхождения получают при таком подходе
новое и более определенное решение.
3. О точности и доказательности древней математики
Априористская гипотеза позволяет нам прежде всего понять
истоки математической точности. Высказывая элементарные мате-
матические суждения типа «5 + 7 = 12» или «две прямые пересека-
ются в одной точке» математик как и обычный человек не думает о
всей системе истин такого рода, о логической связи их друг с дру-
гом; он воспринимает каждую из них в отдельности как констата-
цию некоторого безусловного факта, не подлежащего уточнению
или корректировке. Эмпирическая теория познания совершенно бес-
сильна объяснить это явление. В конечном итоге она находит при-
бежище в конвенционализме, полагая, что истины математики не
более, чем некоторые соглашения, более или менее точно модели-
рующие определенные предметные ситуации. Но это предположе-
ние порождает лишь новые проблемы. Конвенционализм не может
объяснить, почему народы, изолированные друг от друга, резко
13-3525
194
Математика античности и средних веков
различающиеся в своем образе жизни, законах и обычаях, прини-
мают всегда одни и те же арифметические и геометрические исти-
ны в качестве абсолютных. Необходимо допустить, что каждый че-
ловек, к какой бы культуре он не относился, имеет перед глазами
некоторую неизменную реальность, определяющую эти истины.
Априористская теория познания совершенно определенно ука-
зывает на характер этой реальности. Эта реальность не что иное
как представления идеальной предметности, вырабатываемые
практической ориентацией познающего субъекта. Эти представле-
ния столь же универсальны и необходимы, как и категориальное
видение мира, порожденное деятельностью. Исходные элементар-
ные факты и суждения математики—лишь констатации различных
аспектов этой идеальной реальности, данной человеческому созна-
нию с аподиктической очевидностью. Утверждая простые арифме-
тические и геометрические истины древний математик опирался на
ту же систему очевидностей, на которую опираемся и мы и он
имел не больше шансов допустить здесь ошибку, чем современный
математик. Это значит, что математика была обречена быть точной
наукой с самого своего возникновения, несмотря на отсутствие идеи
доказательства и способов логического упорядочения этих истин.
Точность математики в своих исходных утверждениях, таким
образом полностью объясняется ее априорностью, т.е. особым ста-
тусом ее интуитивной основы. Проблема возникает здесь только
при ложной эмпирической установке, при которой мы стараемся
понять эти утверждения как результат некоторой абстракции, про-
дукт обобщения опыта и т.п. В действительности, исходные пред-
ставления математики не опытные и не гипотетические: математика
выросла не из отражения каких либо фактов или обобщений опы-
та, а из фиксации отношений, связанных с системой нормативных
очевидностей сознания.
Априористская концепция математики позволяет нам объяс-
нить также и древность математической науки. Философы и исто-
рики математики мало обращают внимания на тот факт, что мате-
матика—древнейшая теоретическая наука, опередившая, по край-
ней мере, на две тысячи лет теоретические построения, относящие-
ся к реальности —факт, который сам по себе опровергает все гипо-
тезы о ее происхождении из опыта. Этот факт может быть объяс-
нен также только на основе понимания априорного характера ис-
ходных математических идеализаций В отличие от опытного зна-
ния, где достижение относительно устойчивых истин и теоретиче-
ских обобщений требует длительной работы систематизации и аб-
стракции, математика в своем генезисе опирается на простейшую и
В.Я.Перминов 195
готовую систему очевидностей, выработанных коммуникативной
деятельностью и составляющих необходимую нормативную основу
сознания. Можно сказать, что предмет математики в виде элемен-
тарных представлений о порядке, количестве, протяженности и
т.п. всегда был в сознании человека, точнее, он сформировался в
сознании людей сразу же, как только оно созрело для языковой
коммуникации и первоначальной систематизации опыта. Вследст-
вие этого математика не должна была ждать прогресса опытных
наук, она развивалась в направлении систематизации и мысленно-
го конструирования объектов, обладающих аподиктической оче-
видностью и установления различных связей между ними. Мы мо-
жем определенно утверждать, что теоретическое познание началось
не с познания реальности, данной в опыте, а с экспликации струк-
тур самого сознания, с исследования форм мышления в первонача-
льных интуициях математики.
Этой особенностью исходного материала математической нау-
ки объясняется также и ее внутренняя свобода и преимущественно
непрактический характер, который, как мы видели, в достаточной
степени проявляется уже в египетской математике. В отличие от
опытной науки, где система объектов задана самой природой и не
может быть дополнена по произволу, небольшое число объектов и
операций в математике позволяет конструировать огромное коли-
чество производных объектов (числовых множеств, рядов, фигур и
т.п.), которые, с одной стороны, являются не менее бесспорными в
своем существовании, чем исходные, а с другой стороны, по само-
му способу своего задания—доступными для логического анализа.
Математика с самого начала открылась человечеству как сфера
свободного интеллектуального конструирования и в течение тыся-
челетий, вплоть до Галилея и Ньютона, развивалась исключитель-
но в плане свободной игры понятий без каких-либо существенных
запросов и стимулов извне.
В этом плане должно быть отвергнуто ложное, навязанное эм-
пиризмом, истолкование истории математики, согласно которому ее
возникновение и первоначальное развитие было обусловлено неко-
торой практикой (подсчетом урожая, измерением полей и т.п.). Из
категориальной природы математических идеализаций ясно, что ис-
ходная система математических представлений возникает в контек-
сте любой деятельности и совершенно не предполагает в качестве
необходимого условия своего возникновения каких-либо специфиче-
ских сфер деятельности или запросов. Разливы Нила вряд ли игра-
ли столь существенную роль в зарождении египетской геометрии,
которую им обычно приписывают эмпирически ориентированные
13*
196 Математика античности и средних веков
философы и историки науки. Математические теории появились
скорее как следствие вызревания социального интеллекта вообще,
чем как реакция на какие-то определенные практические запросы.
Платоновский анемнезис значительно больше соответствует дейст-
вительной логике зарождения математики, чем концепции, объяс-
няющие этот факт на основе опыта и потребностей практики.
Априорность исходных математических идеализаций позволя-
ет, наконец, понять природу доказательности в догреческой мате-
матике. Как факт она устанавливается методологическим анали-
зом, в частности, реконструкцией возможной логики рассуждений
в алгебраических задачах вавилонян. Идея априорности, однако,
позволяет понять не только принципиальную возможность доказа-
тельного мышления, но и в некотором смысле обосновать его необ-
ходимость для любого этапа развития математики, его неразрыв-
ную сочлененность с природой математических понятий.
Наличие доказательства в математике, как уже говорилось, мо-
жет быть понято в двух планах: как наличие фактической редукции
сложного к простому и как наличие наряду с редукцией также
разъяснения ее этапов, предпосылок и правил. Доказательство во
втором смысле отличается от доказательства в первом наличием по-
нятийно выраженной рефлексии: математик говорит здесь не только
об объектах, но и об элементах рассуждения и связях между ними,
т.е. он делает здесь объектом рассуждения также и само доказатель-
ство. Рефлексия в принципе может быть как угодно высокой. Греки
стали разделять аксиомы от теорем, но их рефлексия не была столь
глубокой, чтобы установить всю необходимую аксиоматику геомет-
рии или арифметики. В XIX веке это было сделано, но многие по-
нятия относящиеся к структуре математической теории оставались
неизвестными: они были привнесены только теорией доказательст-
ва, появившейся позднее. Ясно, что совершенствование рефлексии
в принципе бесконечно.
Но отсюда следует, что мы не можем связывать факт наличия
или отсутствия доказательства со степенью его рефлексивности или
с наличием доказательного рассуждения в какой-либо его форме.
Мы должны считать доказательством всякий процесс мышления, в
котором фактически осуществляется надежная редукция одних
представлений к другим, вне зависимости от степени осознания и
выражения ее в языке. Мышление является доказательным, если
оно заключает об истинности некоторого суждения (факта) не по
индукции, не по аналогии и не из какого-либо опыта, но из мыслен-
ного сведения нового суждения к суждениям уже принятым. Исхо-
дя из понимания априорной природы исходных математических
В.Я-Перминов
197
идеализаций мы имеем основание утверждать, что математика на
любом этапе своего развития имела достаточную базу для такого
рода мысленных редукций, заключающуюся в аподиктической оче-
видности ее объектов.
Дело в том, что аподиктическая очевидность позволяет делать
нетривиальные и совершенно надежные умозаключения без обра-
щения к .тому, что мы называем строгим
доказательным рассуждением. Рассмотрим
простой пример. Пусть мы решили дока-
зать десятилетнему школьнику утвержде-
ние, что площадь параллелограмма равна
площади прямоугольника с тем же основа- А К D Е
нием и с той же высотой. Для этого в па- рИс.2
раллелограмме ABCD (рис.2) опустим вы-
соты ВК и СЕ и треугольник АВК мысленно поместим на место
треугольника DCE.
Площадь параллелограмма ABCD, очевидно, равна площади
прямоугольника КВСЕ, который имеет то же основание и ту же
высоту. Строго ли это доказательство? В теоретическом плане оно,
конечно, не строго, ибо при систематическом изложении геометрии
мы должны были бы сначала установить признаки равенства треу-
гольников и на этой основе доказать, что треугольник АВК равен
треугольнику DCE и т.п. Но будучи нестрогим на уровне логики и
рефлексивного анализа это рассуждение является безусловно пра-
вильным, предельно надежным в том смысле, что оно не может
быть опровергнуто каким-либо контрпримером или более строгим
рассуждением. Дело в том, что аподиктические очевидности не
корректируются логикой, они представляют собой факты, с кото-
рыми логика необходимо должна считаться. Если бы некто изоб-
рел изощренное рассуждение, отвергающее приведенное доказате-
льство, то мы отказались бы не от нашего геометрического вывода,
а отвергли бы рассуждение, входящее в противоречие с аподикти-
чески очевидной истиной математики. Фундаментальный факт ме-
тодологии математического мышления состоит в том, что логика
как система норм никогда не отвергает математических очевидно-
стей аподиктического порядка, она согласуется с ними как с факта-
ми, имеющими абсолютное значение. Отсюда ясно, что мысленные
редукции, проведенные в пределах аподиктической очевидности, яв-
ляются абсолютно надежными, т.е неуязвимыми для последующего
рефлективного анализа и логической систематизации. Иначе говоря,
надежное доказательство вполне совместимо с нулевой рефлексией.
В историческом плане это значит, что абсолютно надежная редук-
ция математических истин достижима и на том уровне развития
198
Математика античности и средних веков
математических понятий, на котором отсутствует сколь-нибудь раз-
витая рефлексия и систематическая теория как таковая.
Теория аподиктической очевидности подкрепляет тезис Нейге-
бауэра о существовании нерефлективных доказательств в том
смысле, что она показывает возможность полной надежности тако-
го рода доказательств. Мы видим, что доказательное мышление не
связано ни с наличием доказательной'рефлексии, ни с его представ-
лением в языке. Аподиктическая очевидность, лежащая в основании
математики, обеспечивает эту надежность без обычных атрибутов
доказательства, появляющихся на уровне систематической теории.
В этой связи можно вспомнить об идеях Брауэра, идущих в
том же направлении. Брауэр был безусловно прав, настаивая на
возможности строгого математического мышления вне языка, иск-
лючительно на уровне некоторой первичной очевидности. Он прав
и в том, что истинная математическая строгость обеспечивается не де-
тальным лингвистическим оформлением доказательства, а именно си-
стемой интуитивных переходов, лежащих в его основе. Понимание ре-
зультатов догреческой математики лежит, несомненно, в этом направ-
лении, а именно, в уяснении природы аподиктической очевидности.
Древние египтяне пришли к точному правилу для вычисления
объема усеченной пирамиды конечно не на основе непосредствен-
ной очевидности и не на основе опыта, т.е. каких-то практических
замеров. Путь движения к истине состоял здесь скорее всего в
мысленном разложении этой фигуры на более простые части
[6, с.123-125]. Несомненно, что доказательное мышление древ-
них основывалось также и на использовании чертежей. Давно за-
мечено, что слово «смотри», которое математики древней Индии
иногда писали под чертежами, означает не непосредственную оче-
видность истины, а только возможность убедится в ней на основе
анализа чертежа. Чертеж выступает в этом случае как некоторого
рода свернутое доказательство. Древние математики были далеки
от унифицированного языка относящегося к логике рассуждения,
на котором можно было бы разъяснить путь к результату и обо-
сновывать его необходимость и общность. Они мыслили на уровне
непосредственного соединения предметных очевидностей, но не на
уровне сопоставления логических этапов и средств рассуждения.
Доказательства как осознанного приема, как особого объекта ана-
лиза и оценки здесь еще нет, но доказательное мышление безу-
словно уже присутствует и обеспечивает приращение строгой мате-
матической истины. Уяснение априорности исходных математиче-
ских идеализации важно для понимания начального периода мате-
матики прежде всего в том отношении, что оно позволяет понять,
В.я.Перминов
199
что такого рода нерефлективное движение мысли является в прин-
ципе абсолютно доказательным, т.е. может обладать точностью и
полной надежностью.
Здесь нужно указать еще на одно обстоятельство, позволяю-
щее понять доказательный характер древней математики. Матема-
тические идеализации с самого начала могут появляться только в
виде системы, т.е. как логически связанные друг с другом. Мы не
можем понять, что такое «два», не имея представления об едини-
це, а, следовательно, в некотором смысле и о натуральном ряде
чисел в целом; мы не имеем представления о плоскости, если не
имеем представлений о прямой, точке и т.д. Ясно, что эти связи
понятий не созданы посредством определений, но существуют на
уровне первичных идеализаций и, следовательно, имеют объектив-
ный характер, заданы в предметной онтологии. Можно сказать,
что исходные системы математических идеализаций с самого нача-
ла формируются как определяющие друг друга, т.е. в интенции на
логическое взаимоопределение и на дедукцию. Но это значит, что
становление системы математических понятий с самого начала яв-
ляется становлением дедуктивной системы. Это соображение также
показывает, что является ошибочным относить появление доказате-
льного мышления к какому-либо этапу развития математики: мате-
матика, в действительности, всегда есть осознанное или неосознан-
ное доказательство, доказательность принадлежит математике по
ее сущности, она заложена в априорной природе математических
идеализаций и в их органической системности. Это не означает,
что все результаты догреческой математики следует рассматривать
как точные и полученные в результате надежной редукции. Изве-
стно, что наряду с точными существовало немало приближенных и
ошибочных утверждений, а среди точных, конечно, далеко не все
обосновывались доказательной редукцией. Гносеологическое рас-
смотрение позволяет,однако, утверждать, что в математике, в силу
особой природы ее идеализаций, всегда были условия для доказате-
льного движения мысли и что эта линия совершенствования матема-
тики была преобладающей и в догреческий период ее развития.
Греки не изобрели доказательство и не внесли его в математи-
ку, но лишь зафиксировали его как основополагающий элемент ма-
тематического мышления и сделали его предметом анализа. Иными
словами, они подняли уровень рефлексии математического мышле-
ния в целом со многими следствиями этого факта для систематиза-
ции и результативности математических рассуждений. Греки при-
внесли в математику теоретичность, рационально осмысленную па-
радигму построения математической теории. Однако доказательство
200
Математика античности и средних веков
как строгое сведение истинности одних суждений к истинности
других несомненно существовало и на предшествующих этапах
развития математики, не обладающих теоретичностью и развитой
рефлексивностью.
Изложенные соображения заставляют нас отбросить как безу-
словно ложную идею эмпирической стадии в развитии математики,
на которой ее утверждения обосновывались непосредственно опы-
том. Математика никогда не была опытной наукой: ее исходные
суждения всегда базировались на априорной (аподиктической)
очевидности, которая обеспечивала точность и доказательность ее
утверждений. Из сказанного следует также необходимость фило-
софского анализа в истории науки: ни древняя, ни новая история
математики не могут быть адекватно поняты, если мы будем прене-
брегать ее спецификой как науки и подходить к ней с методологи-
ческими установками опытных наук.
Список литературы
1. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. М., 1960.
2. Раик А.Е. Очерки по истории древней математики. Саранск, 1977.
3. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических паук. М., 1937.
4. Юшкевич А. П. О математике Древнего Востока и Древней Греции // Методологи-
ческие проблемы развития и применения математики. М.. 1985.
5. Пиаже Ж. Развитие представлений числа у ребенка / / Ж.Пиаже. Избранные пси-
хологические труды. М., 1969.
6. Виленкин Н.Я. О вычислении объема усеченной пирамиды в Древнем Египте /./
Историко-математические исследования. М , 1985. Вып. 28
СТАНОВЛЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
В РАННЕЙ ГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКЕ
(ГИПОТЕТИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ)
В.А.Янков
1. Европейскую цивилизацию от всех других отличает, в част-
ности, математика, владеющая строгим и точным методом доказа-
тельства, хотя само понятие «строгости и точности» на протяже-
нии веков развивалось, да и сейчас еще, может быть, не закончило
еще этого развития. Только математика ислама, знакомая с грече-
скими текстами, также владела подобными методами. В Индии и
Китае математики развивали изощренные приемы вычисления, но
доказательства оставались неизвестными. Впрочем, усложнение и
неочевидность накопленного материала все же требовала каких-то
новых подходов. Может быть, они даже появлялись на уровне не-
посредственного обучения, и не только в поздних восточных циви-
лизациях, но и в древнем Египте и в Месопотамии. Нидэм
В.А.Янков 201
цитирует в этой связи следующую характерную жалобу математика
сунского времени: «Люди древности меняли названия своих методов
от одной задачи к другой, так что, поскольку не давалось специаль-
ных разъяснений, то невозможно рассказать их теоретическое про-
исхождение и основу»1.
Переход от математики как искусства счета к математике стро-
гого доказательства является, говоря образно, «фазовым», и по-
нять, как он стал возможен, одна из важных задач не только исто-
рии математики, но и истории культуры. В древних греческих тек-
стах никакого связного рассказа об этом не сохранилась. Ниже
предлагается некая гипотетическая реконструкция. Она естественно
опирается на сохранившиеся свидетельства, но их недостаточно для
ее оправдания. Общая концепция получается как результат переос-
мысления и дополнения имеющихся данных, подобно тому, как
древняя фреска восстанавливается по найденным в беспорядке ма-
лочисленным фрагментам. При этом речь пойдет не только об ос-
мыслении математики, но и философии, этой математике современ-
ной, поскольку в те времена (VI—V века до н.э.) математика, соб-
ственно, и не отделилась от философии, а продолжала зависеть от
нее в своих основах.
2. Первый математический текст, который можно назвать стро-
гим, это пересказанные Евдемом и сохраненные нам Симпликие^!
выдержки из доказательств о «луночках» Гиппократа Хиосского2.
Современные исследователи довольно единодушно предполагают,
что все же эти доказательства нестроги, поскольку Гиппократу было
неизвестно точное понятие отношения для «величин» (так называ-
лись геометрические тела, фигуры, линии и углы) . Однако, ни Ев-
дем, ни Симпликий не делают по этому поводу никаких замечаний.
Вопрос этот не имеет первостепенного значения для обсуждаемой
сейчас темы, но все же я выскажу свое мнение —и постараюсь обо-
сновать его при случае—, что математика еще до Гиппократа владе-
ла точным понятием пропорциональности для отрезков и неким
предварительным понятием пропорциональности для тел и фигур,
так что строгости у Гиппократа больше, чем предполагают обычно.
Доказательствам Гиппократа предшествовали два дошедших
до нас пифагорейских доказательства. Одно из них—теорема о
сумме углов треугольника — содержится в известных комментариях
Прокла к первой книге «Начал»4; очень вероятно, что ему предше-
ствовали доказательства теоремы для «трёх случаев», о чём сооб-
щает Аристотель: «Если поэтому кто-либо доказывал бы о каждом
[виде] треугольника в отдельности посредством одного или разно-
го рода доказательства, что каждый треугольник имеет [в совокуп-
ности] два прямых угла, и если бы это было доказано им в отдель-
ности относительно равностороннего, а также разностороннего и
202
Математика античности и средних веков
равнобедренного треугольника, то он еще не знал бы, что треуго-
льник имеет углы, равные [в совокупности] двум прямым, разве
только софистическим способом; и не знал бы, что [это есть свой-
ство] треугольника вообще, даже если бы не было другого [вида]
треугольника помимо [указанных], ибо в таком случае он не знал
бы, что треугольник, как таковой, [имеет это свойство]...»'’.
С.Н.Бычков при обсуждении моего доклада на тему данной
статьи указал мне на то, что проблема «трех доказательств» осве-
щена в книге Г.Ганкеля «К истории математики древности и сред-
невековья»*’.
Ганкель привлекает также следующее место из Геминуса, со-
храненное в комментариях Евтокия к «Коническим сечениям
Аполлония»: «...древние для каждого вида треугольников доказы-
вали предложение равенства двум прямым углам суммы углов в
треугольнике; сначала они доказывали его для равностороннего, за-
тем для равнобедренного, наконец для разностороннего. Впоследст-
вии уже, с течением времени доказана была общая теорема: сумма
трех внутренних углов треугольника равна двум прямым углам»'.
Сообщение Геминуса утверждает существование трех доказа-
тельств не предположительно, как у Аристотеля, а как историче-
ский факт. Собственно реконструкцию Ганкеля я разберу ниже.
Другое доказательство, а именно доказательство бесконечной
делимости величин, сохранено в схолии к «Началам»8. Здесь я не
решаюсь утверждать, что нам переданы точные тексты пифагорей-
ских доказательств, хотя сами чертежи подлинные и сохранена
основная мысль. Учитывая лапидарность математических тестов
пифагорейцев именно в доказывающих местах (примерами их яв-
ляются «Введение в арифметику» Никомаха или известное «архи-
тово» доказательство отсутствия среднего геометрического для
эпиморного отношения9; кавычки здесь использованы мною, пото-
му что я не уверен, что доказательство принадлежит самому Архи-
ту), можно предположить, что пифагорейцы снабжали чертежи
краткими замечаниями, которые позднее другими авторами были
развернуты в строгие и подробные доказательства. Во всяком слу-
чае понятие о строгости у пифагорейских математиков уже было, и
происхождение этой строгости нужно искать в пифагорействе или
до него.
3. У Прокла (т.е. под самый конец античного мира) мы нахо-
дим следующую, принадлежащую Порфирию, классификацию до-
казательств10:
I) доказательство из начал, которое имеет имя синтеза и де-
лится на
1а) доказательство непосредственно из начал
В.А.Янков
203
И
lb) доказательство из уже доказанного;
II) доказательство, имеющее в виду начала, делящееся на
Па) доказательство, исходящее от предположенного и прихо-
дящее к началам, называемое анализом,
и
ПЬ) доказательство методом от противного.
Под началами здесь подразумеваются исходные принципы до-
казательства—такие, как, например, постулаты и «общие понятия»
Евклида (или аксиомы у Аристотеля).
Анализ является, собственно говоря, методом исследования.
Он может привести к результату, если все шаги его обратимы. По-
скольку он предполагает доказательство от возможного, а не от
действительного, то анализ должен иметь сравнительно позднее
происхождение. И действительно анализ связывался с Платоном,
и сообщалось, что Платон передал этот метод Лаодаманту, кото-
рый, применив его, получил многие результаты. Анализ поэтому
будет стоять вне сферы наших рассмотрений.
Метод приведения к нелепости по своей логической структуре
является близнецом анализа. В самом деле, оба из некоторого А
выводят некоторое В. Только в случае анализа А является чем-то
предположенным как возможное, а В—началом, а в случае приве-
дения к нелепости А является предположенным ложным, В же
есть известная уже ложь.
Может показаться, что метод приведения к нелепости стоит
еще дальше от наивного мышления, чем анализ —ведь в нем нужно
предположить не возможное, но пока еще неизвестное, а то, что
как раз окажется невозможным и ложным. Однако, это все же не
так. Хотя некоторые исследователи (см. например Сабо11) утверж-
дают, что метод приведения к нелепости впервые был применен
Парменидом, а именно в философском рассуждении, на самом
деле, он существовал и ранее. Его можно усмотреть в анаксиманд-
ровом доказательстве неподвижности Земли в середине «Небес»,
а, кроме того, он является обычным методом житейского рассуж-
дения типа («Нет, Жан сегодня не заходил, иначе он оставил бы
записку»). Причина этого в том, что никакое отрицательное утвер-
ждение (т.е. утверждение, в стандартной формальной записи начи-
нающееся со связки отрицания) и не может быть доказано никаким
другим методом, кроме метода приведения к нелепости — это содер-
жится в самом смысле отрицания. Что же касается анализа, то
здесь выведение следствий из предположения не является столь же
естественным.
204
Математика античности и средних веков
Разумеется, приведение к нелепости не может существовать
без какой-то техники синтеза, т.е. положительного содержательно-
го доказательства. Поэтому нельзя предполагать первичность воз-
никновения этого метода в процессе становления доказательства.
Но, коль скоро сама идея доказательства уже возникла и начала
техники уже существуют, ничто больше не мешает появлению пер-
вых доказательств методом приведения к нелепости, а именно в
случае отрицательных утверждений.
В конце статьи я вернусь еще к этому вопросу.
4. Обратимся теперь к порфирьевскому «синтезу». Его разбие-
ние на два вида предполагает сложившуюся дисциплину доказате-
льства: метод ссылок на уже доказанные факты и выделение како-
го-то числа положений как принципов (сср/сн), т.е. аксиом и по-
стулатов. Разумно предположить, что еще до того, как были сфор-
мулированы правила этой дисциплины—а первую их формулиров-
ку мы встречаем в аристотелевских «Аналитиках» —уже существо-
вала так сказать «недисциплинированная» практика доказательств
различных положений, где все нужные аргументы явно присутст-
вовали в доказательстве. Впрочем, первая часть этой дисциплины,
а именно ссылки на уже установленное, вероятно, появилась ско-
ро, когда математики заметили, что им в различных доказательст-
вах приходится повторять одно и то же.
5. Можно также предположить, что первые «протосинтетиче-
ские» в вышеописанном смысле доказательства имели большую
степень наглядности, т.е. были связаны с чертежами. Этот вопрос
обсуждается Нор ром в его книге12. Норр устанавливает, что слово
«ypatpEiv», в частности, в «Театете» в геометрическом контексте
само по себе означало «нарисовать чертеж и провести связанные с
ним доказательства». Цитируется также следующее место из Пла-
тона (Евтидем, 290с): «Геометры и астрономы и логистики [теоре-
тики чисел] —все они не занимаются созданием чертежей; они на-
ходят то, что истинно». Из отрывка можно видеть, что доказатель-
ство по чертежу свойственно было не только геометрии, но и
арифметике, что мы запомним. Платон, разумеется, хочет сказать,
что подлинное дело математиков — установление истины, и ни в
коем случае не отвергает чертежи как вспомогательное средство. В
доплатоновское время связь доказательства и чертежа мыслилась
еще более тесной, поскольку предметами математики считались не-
кие реальные вещи (мы увидим, какие), а не нечто абстрактное.
Все это еще не означает, однако, что в математике на ее ран-
них стадиях развития не могли возникнуть абстрактные объекты и
связанные с ними абстрактные доказательства. В перечне Платона
В.А.Янков 205
(«геометры, астрономы, логистики») примечательным образом от-
сутствуют теоретики музыки, четвертой пифагорейской математи-
ческой дисциплины). В дальнейшем мы увидим, что именно в му-
зыкальной теории могли возникнуть первые не наглядные понятия
и связанные с ними не наглядные доказательства. Однако, нагляд-
ность должна была им предшествовать.
Итак, в качестве основного типа доказательства, свойственного
первоначальной математике, следует предположить некий «чертеж-
ный протосинтез» (npcoxoouvSEoio SiaypappiKoo).
Мне терминологически удобно различать «абстрактные» или
«отвлеченные» математические объекты от объектов «идеальных»,
но все же до какой-то степени наглядных. Примером понятия пер-
вого рода будет служить отношение (двух чисел или двух отрез-
ков). Идеальными же являются безмерная точка или линия без
толщины.
6. Геометрия Фалеса известна по восходящим к Евдему сведе-
ниям из проклова комментария к первой книге «Начал» и из цити-
руемого Диогеном Лаэртием13 сообщения Памфилы о доказатель-
стве Фалесом теоремы: «Треугольник, вписанный в полукруг, явля-
ется прямоугольным». Эти сведения были проанализированы рядом
исследователей, особенно Беккером14. Было отмечено следующее:
1) геометрия Фалеса мыслила свои объекты вполне реаль-
но-как прямые и окружности, проведенные на чертеже, циркулем
(у Аристофана, как известно, циркуль выступает как атрибут фо-
льклорного образа Фалеса) и линейкой; т.е. Фалес не имел дела с
идеальными точками, прямыми, окружностями. Это положение
подтверждается самим названием геометрии, которое переводится
как «землемерие»;
2) методы Фалеса основаны на зеркальной и круговой симмет-
рии и его «доказательства», скорее всего, были наглядным пока-
зом с помощью вращений (теорема о том, что диаметр делит круг
пополам) или перегибаний (теорема о равенстве углов в равнобед-
ренном треугольнике).
К этому я добавлю еще следующие соображения.
Евдем, анализируя фалесовский способ определения расстоя-
ния до удаленного предмета (речь идет о корабле, наблюдаемом с
суши), делает вывод, что Фалесу был известен второй признак ра-
венства треугольников (по стороне и прилежащим углам). Отсюда
мы можем сделать вывод, что Евдем не знал точно, был ли изве-
стен Фалесу этот признак равенства. На самом деле в этой гипоте-
зе нет никакой необходимости, поскольку нужное для определения
206
Математика античности и средних веков
расстояния равенство АВ = А' В1 (см. черт.1) не-
посредственно усматривается на чертеже после
вращения треугольника ОАВ до положения
ОА' В1. Данный чертеж является естественной
реконструкцией метода Фалеса и заимствован
мною из книги Ван дер Вардена. Мы увидим да-
лее, что открытие второго признака равенства
следует приписать более поздней математике.
С учетом этого соображения становится
правдоподобным, что геометрия Фалеса была по сути дела геомет-
рией чертежного стола, т.е. ее предметы должны были всегда на-
ходиться вблизи друг от друга и составляться в единый чертеж.
Мысль о возможности одновременного рассмотрения объектов,
удаленных друг от друга, как например, во втором признаке ра-
венства, еще не возникла.
Далее, Евдем упоминает о том, что равные углы Фалес назы-
вал «одинаковыми» (opoioi). Это слово обычно переводят как «по-
добные», но я думаю, что в этой ситуации такой перевод неправо-
мерен. В позднейшее время слово «оцоюсг» применялось к подобным
фигурам, но во времена Фалеса теории подобия еще не существовала,
хотя сам Фалес, рисуя в малом чертеж для определения расстояния,
разумеется, интуитивно понимал, что в малом то же, что и в большом.
Более позднее слово для равенства углов—«юос», «равный»,
было введено, когда углы были осознаны как величины. Повиди-
мому, у Фалеса не было такого понимания.
Кроме того, Евдем сообщает нам, что Фалес не доказывал по-
ложения о равенстве вертикальных углов при пересечении двух
прямых. Это подкрепляет наше последнее предположение, поско-
льку при понимании углов как аддитивных величин доказательст-
во равенства вертикальных углов проходит автоматически. Впро-
чем, его несложно получить и перегибанием чертежа, так что Фа-
лес скорее всего и не считал нужным давать здесь показ.
Из умолчания Евдема, по-видимому можно заключить, что для
равных сторон треугольника, все-таки, Фалесом использовалось
слово «toot». Но значит ли это, что основное греческое понимание
геометрических объектов как величин, понимание, нашедшее свое
классическое выражение у Евклида, но присутствующее уже у Гип-
пократа, уже осознавалось Фалесом? Разумеется, и в дофалесовы
времена существовали приемы измерения площадей и объемов, да и
сам Фалес должен был этим заниматься, в соответствии с первона-
чальным смыслом геометрии. Однако, в сообщениях о нем ничего
не говорится о какой-нибудь теории в этой связи. В комментариях
В.А-Янков
207
Прокла к «теории величин» I-ой книги «Начал» (теоремы 34—47)
имя Фалеса не упоминается. Кроме того, если бы геометрические
объекты понимались Фалесом как величины, которые можно скла-
дывать, вычитать, приравнивать, делить пополам, то это понима-
ние должно было распространиться и на углы. По всему этому я
полагаю, что «геометрия величин»— более позднее открытие.
В общем слова Евдема (или Прокла)15 о Фалесе справедливы:
«Одно он доказывал, другое показывал более чувственным образом».
7. Между геометрией Фалеса и математикой Пифагора «Ката-
лог геометров» ” называет геометрию Мамерка. Он был сицилий-
цем, братом великого Стезихора. Следующее сообщение Диогена
Лаэртия17: «...Мойрос первый нашел начала (архсп) ее [геомет-
рии] элементов (otoxekov)...», видимо, тоже имеет в виду Мамер-
ка. Можно ли как-то восстановить характер этой геометрии?
Оба упомянутые раннепи-
фагорейские геометрические Я
доказательства предполагают sx
знание параллельных прямых, / \ у/ /\ Д
в том числе и содержательное / \ / ^/\
знание V-ro постулата (см. /А / / \
черт.2—3). Правда, как было j
упомянуто выше, «общему» до-
казательству предшествовали Черт.2 Чсрт.З
доказательства для трех случа-
ев равностороннего, равнобедренного и разностороннего треуголь-
ника. Я разберу сейчас их реконструкцию, принадлежащую Ганке-
лю (см. черт.4).
Чсрт.4
Случай равностороннего треугольника Ганкель связывает с со-
общением Прокла, из которого следует, что пифагорейцы умели
заполнять плоскость вокруг точки углами шести равносторонних
треугольников18. Однако, и для этого случая и для двух оставших-
ся используется разбиение треугольника на прямоугольные треуго-
льники и дополнение последних до прямоугольников. «Нет никако-
го сомнения, что существование фигур с четырьмя прямыми
208
Математика античности и средних веков
Черт. 4а
углами —о чем свидетельствовал каждый камень стен —принима-
лось древними геометрами без доказательства как непосредственно
достоверный факт, а равным образом и утверждение, что прямо-
угольник разделяется своей диагональю на две конгруэнтные поло-
вины»*’.
Эта реконструкция вызывает некоторые вопросы в связи с
процитированным выше местом из Аристотеля. Это место позволя-
ет предположить, что в первоначальное время равенство суммы уг-
лов треугольника двум прямым доказывалось для трех видов треу-
гольника «доказательствами разного рода», а позднее нашлись
«доказательства одного рода»,
Ганкель не цитирует «Вторую аналитику» и, может быть, со-
общение Аристотеля осталось ему неизвестно. Между тем реконст-
рукция Ганке ля дают нам как раз доказательства «одного рода».
Разница между первым и вторым случаем —с од-
ной стороны — и третьим случаем с другой — все
же есть, поскольку первые два случая использу-
ют симметрию треугольника, что невозможно в
третьем случае. Но по моему это еще не дает д
нам права говорить о «доказательствах разного
рода». Не исключено поэтому, что пифагорейцы
имели для случая равностороннего треугольни-
ка—а именно он и должен был быть первым ис-
следованным—доказательство, которое приво-
дится ниже (см. чертеж 4а).
Чертеж получается делением круга на шесть равных частей.
Легко понять, что все треугольники одинаковые и равнобедрен-
ные. Из соображений симметрии следует, что хорда ВС паралле-
льна диаметру — иначе она должна была бы пересекаться с его про-
должением два раза. Теперь углы АОВ и ОВС равны как накрест
лежащие при пересечении параллельных, и далее легко доказыва-
ются равноугольность и равносторонность всех треугольников и
наконец утверждение о сумме углов.
Эта реконструкция немного подкрепляет предположение, что
Пятый постулат, хотя бы в форме: «при пересечении двух парал-
лельных возникают равные накрест лежащие углы», был известен
пифагорейцам или же интуитивно ими применялся. Но даже если
это не так для теоремы о сумме углов треугольника, то доказатель-
ство «бесконечной делимости» на нем основывается, а оно, как я
собираясь доказывать в другой работе, принадлежит математикам
круга Гиппаса, причем относится к самому началу их реформы в
геометрии.
В А-Янков 209
Хотя Фалес мог владеть самим понятием параллелей, более
того, оно наверняка принадлежало здравому смыслу того време-
ни—параллельные означает «рядом идущие» — геометрии чертежно-
го стола было бы несвойственно мыслить о параллелях при их не-
определенном продолжении. Такое мышление предполагает некото-
рый скачок, устремление мысли в бесконечность. Мы увидим скоро
откуда это устремление могло взяться во времена Мамерка, а пока за-
фиксируем, что такое понимание параллелей по времени должно было
иметь место как раз в промежутке между Фалесом и Пифагором
Тогда-то и мог быть осознан V-ый постулат, хотя бы в выше-
приведенной форме. Он-то и мог быть одним из тех «начал», о ко-
торых говорит Диоген. Все же я не уверен в этом в силу соображе-
ний о доказательствах теоремы о сумме углов треугольника.
Гораздо более достоверным кажется фигурирование в числе
«начал» Мамерка трех первых постулатов Евклида.
Напомню их.
«Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки [можно] провести пря-
мую линию.
2. И что ограниченную прямую [можно] непрерывно продол-
жать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором [может быть]
описан круг» (Евклид, «Начала», Книга I).
Все три постулата имеют подоплёкой преодоление расстояния
между удалёнными в пространстве объектами; все требуют выхода
за пределы чертёжного стола. Именно они определяют геометрию
не как науку о том, что начерчено непосредственно перед нами, а о
пространственности без всяких ограничений —об отрезках и фигу-
рах, где бы они ни были.
Наконец, к этому же времени следует отнести появление ново-
го способа доказательства —показа, а именно, метода перенесения
и наложения. Он чужд как финитизму чертежной доски Фалеса,
так и новому финитизму «Начал». Между тем даже Евклид не
был в состоянии от него избавиться и доказывал с его помощью
первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и
углу между ними), а также предложение 24 из Ш-ей книги («На
равных прямых подобные сегменты кругов равны между собой»).
Авторы первого доказательства наверняка умели доказывать также
и второй признак равенства. Фалес, как мы видели, его еще не
знал. Оба признака равенства используются как в заключающей
первую книгу «Начал» «теории величин», так и в «геометрической
алгебре» второй книги. Эта вторая книга хотя бы частично имеет
14-3525
210
Математика античности и средних веков
пифагорейское происхождение, о чем свидетельствует коммента-
рий Прокла к Евклиду19. То же можно с уверенностью сказать и о
«теорий величин», включая теорему Пифагора (1.47). Так что при-
знаки равенства и их доказательства должны были предшествовать
пифагорейской геометрии, тем более что метод переноса последней
был чужд. Впрочем, эти мои рассуждения имеют вероятный характер.
Вместе с тем «мамеркова» (или «мойридова») геометрия дол-
жна была еще сохранять характер «геометрии вещей». Косвенным
образом это будет подтверждено при анализе оценки Пифагором
предшествующей ему геометрии (см. п.14). И все же в ней появля-
ется «идеальный» момент —направление в бесконечность, сыграв-
ший далее важную роль.
8. Я перехожу к необходимому философскому обзору. При
этом я опираюсь на свою собственную интерпретацию философии
Анаксимандра и пифагорейства и не имею возможности давать
здесь обоснование этой интерпретации — оно будет включено в под-
готавливаемую мною книгу по ранней греческой философии.
В центре философской системы Анаксимандра стоит понятие
«беспредельного» (anetpov). Аристотель истолковал его в духе
своей «материи» (vX.v), т.е. материала, из которого в конечном
счете состоят вещи. Я думаю, что он ошибался —из апейрона все
вещи возникают и в него они разрешаются, но ниоткуда не следу-
ет, что вещи состоят из апейрона. Апейрон, безусловно, понимал-
ся вещественно, но при этом он был истоком вещественного мира,
его концом и — посредством имманентного ему времени — распоря-
дителем сроков. К тому же он был беспределен, и эту беспредель-
ность нужно понимать не только статистически, но в первую оче-
редь динамически: апейрон —это полное энергии устремление в
бесконечность. Может быть, само его имя первоначально понима-
лось как «неудержимое», «не могущее быть ограниченным».
Такая философия является естественным коррелятом геомет-
рии неограниченного продолжения и преодоления расстояния. Обе
они могут быть поняты в одном и том же культурно-типологиче-
ском контексте, куда естественно попадают и другие современные
явления: картография Анаксимена и Гекатея, проза логографов,
описывающая дальние страны и дальние времена, видение на рас-
стоянии, встречающееся в стихах лесбосцев. Да сама анаксиманд-
рова конструкция нашего «космоса» (само слово принадлежит не
Анаксимандру, а Пифагору) тоже является примером совместного
видения небес и поднебесного.
9. Философия Пифагора строится в сознательном противопо-
ложении к милетской философии вообще, и в особенности к
В. АЯнков 211
философии Анаксимандра. К анаксимандрову апейрону добавляет-
ся новое ограничивающее и останавливающее начало — «переест»
(предел). Синтез апейрона и пераса дает «Одно» (ev), монаду. Я в
дальнейшем буду использовать именно последний термин в виду
его грамматических преимуществ. Монады мыслятся материально,
можно было бы сказать, атомарно, но у самого Пифагора, видимо,
вопрос о делимости или неделимости монад еще не возникал, хотя
он неминуемо возник в более позднее время, когда пифагорейцы,
как уже упоминалось, открыли бесконечную делимость величин.
Конфигурации монад и являются знаменитыми пифагорейски-
ми «числами». Именно это понимание числа содержится в «Введе-
нии в арифметику» Никомаха, на что обратил недавно внимание
Я.Вандулакис в своем докладе на семинаре по философии матема-
тики (май 1995 г., философский факультет МГУ). Известный тезис
о том, что «все есть число» означал, что каждая вещь, включая сам
космос, представляют собой монадные конфигурации. Космос мыс-
лился шарообразным, окруженным океаном апейрона. Он был тем
уголком стабильности, который перасу удалось отвоевать от апейрона.
В центре космоса размещался «Очаг Зевеса» или первомона-
да, с образования которой начался процесс космогенезиса (пояс-
няю, что так называемую «систему Филолая», которую, впрочем,
Аристотель описывает, не упоминая имени Филолая, я склонен
приписать в основных чертах самому Пифагору). Этот космогене-
зис происходит как распространение пераса из космического цент-
ра, что мыслится наглядным образом как распространение света
(огня) и энергии —у пераса есть и световой атрибут.
10. О.Беккером20 давно уже было предположено, что теоре-
мы 21—29 IX-ой книги «Начал» представляют собою переработку
древней пифагорейской теории «чета и нечета». То, что мы имеем
дело именно с переработкой, а не с теорией в ее исходном виде
следует из того, что Евклид исходит не из пифагорейского понима-
ния числа, как оно выражено у Никомаха, а из определения
VII.2—«Число есть собрание (стисттццех) единиц». Это понимание
(Вандулакис разбирал и его в своем упомянутом уже докладе)
приписывается Ямвлихом Фалесу21. У нас нет этому никаких под-
тверждений, но все же можно обнаружить следы этого понимания
в тех определениях квадратного и прямоугольного числа, которые
дает Театет в диалоге Платона, названном его именем . Пифаго-
рейские «доказательства» должны были исходить из «конфигура-
ционного» понимания чисел.
Отнесение теории «чета и нечета» к пифагорейцам подтверж-
дается разными соображениями. Платоном сама арифметика
14'
212
Математика античности и средних веков
23
определяется часто как «наука о четном и нечетном» , и если
арифметика называется именем своей части —а во времена Платона
и даже во времена, в которые происходило действие его диалогов,
уже существовали такие части арифметики, как теория делимости
и теория плоских и пространственных чисел —то эта часть должна
быть самой древней по времени. Далее, в известной пифагорей-
ской «таблице противоположностей» чет и нечет фигурируют в тех
же столбцах как апейрон и перас соответственно. До создания таб-
лицы они вообще наверное мыслились как атрибуты беспредельно-
го и предела. Сохранились и аргументация такого отождествления:
нечетное число имеет середину, а четное состоит из двух равных
частей. Поэтому нечетное число склонно к устойчивости, а чет-
ное—к распаду . Другой аргумент связан с «гномональными» тео-
ремами о квадратных и «разнодлинных» числах, и мы вскоре его
разберем в этой связи.
Наконец, сохранился фрагмент комедии Эпихарма (младшего
современника Пифагора, знакомого с пифагорейством на правах
вольнослушателя), в котором обыгрывается арифметика четного и
нечетного25.
Понимание четного и нечетного, только что изложенное, мо-
жет иметь дальние связи с симметриями Фалеса: четное число сим-
метрично, а нечетное становится таковым после удаления середи-
ны. Однако, половины четного числа не обязаны быть одинаковы-
ми, как в случае геометрической симметрии; им достаточно быть
равными, и это уже удаляет от симметрий и дает дополнительные
возможности.
Из упомянутых теорем IX-ой книги я хотел бы выделить три
первые:
«21. Если складывается сколько угодно четных чисел, то це-
лое будет четным.
22. Если складывается сколько угодно нечетных чисел, коли-
чество же их будет четным, то и целое будет четным.
23. Если складывается сколько угодно нечетных чисел, коли-
чество же их будет нечетным, то и целое будет нечетным».
Заметим, что для их формулировки не хватает строго пифаго-
рейского понимания чисел как конфигураций. Слова «сколько
угодно» скрывают за собою неформальное понимание, связанное
просто с практикой счета, —оно сохраняется и у Никомаха и у Ев-
клида. Историки математики часто называют числа в таком упо-
треблении «числами кратности»26.
Приняв это во внимание, мы легко получаем «конфигурацион-
ный» смысл этих теорем. К примеру— теорема 21: если составить
В.А.Янков 213
сколько угодно четных монадных конфигураций, то получится
тоже четная конфигурация.
Что же можно сказать об их доказательствах?
Беккер высказал предположение, что они велись с помощью
«псефовских чертежей», т.е. выстраиванием камушков-«псефов».
Упоминание «псефов» встречается у Эпихарма, подтверждая бек-
керовскую интерпретацию2 . В случае предложений 21—23 само
доказательство следует мыслить как некую неопределенно продол-
жающуюся конструкцию. Такой конструкцией для теоремы 21 мог-
ла быть, например, следующая (см. черт.5). Здесь, прибавляя но-
вое четное число к сумме, мы каждую его половину присоединяем
к накопленным половинам предыдущих слагаемых, так что в резу-
льтате новая сумма снова состоит из равных половин. Между раз-
личными историками математики существуют разногласия по пово-
ду того, как конкретно «представлялись» числа и какой механизм
суммирования при этом использовался. Реконструкция Бекке-
ра28для теоремы 22 имеет следующий вид: (см. черт.6). Норр29
однако предпочитает другую форму «представления» чисел и их
суммирования: (см. черт.7).
О О ОО 0 0 0-00* •'ООООО оооо•••• 0-0 0-0 0-0 О 0-0
о о о;о о о о;о о • • •ооооо ООО>••• О-О-О-О О-О-О-О Четные 0—0—О О 0-0-0 Нечетные
ооооо: •••••
Чсрт.5 Черт 6 Черт.7
Мне между тем кажется, что сам разговор о «представлении»
чисел у пифагорейцев основан на недоразумении. Эти числа сами
были конфигурациями монад, и их незачем было «представлять».
О представлении может идти речь, когда числа мыслятся более аб-
страктно, например, так, как это выражено у Евклида. Поэтому
избранный «псефовский» чертеж сам по себе представительствовал
любые числовые конфигурации. Он не обязан был быть единствен-
ным, и могли существовать разные его варианты, в том числе ва-
рианты Беккера и Норра.
В любом случае перед нами доказательство-показ фалесовско-
го, даже скорее «мамеркова» типа. Слова могли при этом и не
произноситься, а, если и произносились, то самые необходимые.
Когда я говорю о «мамерковости» такого показа, то имею в виду
следующее: в доказательстве-показе подразумевалась возможность
неограниченного продолжения чертежа, что, разумеется, контра-
стирует с финитностью фалесовских чертежей.
214
Математика античности и средних веков
Все же прибавляется и нечто новое. Когда мы доказываем пер-
вый признак равенства треугольников, мы переносим треугольник
на неопределенное расстояние, и в этом движении сохраняется сам
переносимый треугольник. Когда же мы образуем последователь-
ные суммы, как на чертеже 5, то мы тоже имеем дело с некоторым
неограниченным движением. Но в данном случае сохраняется не
определенный объект, а некое «обстояние» или «положение дел»,
в данном случае то обстоятельство, что образуемая сумма четна.
Так что внимание переключается здесь на удержание в памяти не-
которого утверждения.
11. Данным доказательствам близки доказательства «гномона-
льных» теорем^. Я приведу две наиболее известных. Рассмотрим
«квадратные» числа (см. черт.8). Числа вида (см. черт.9) называ-
ООООО ООО о с
о о о О 0 000 о о
ООО О О О О 0 000 ООО ооооо оо|о ооо ооооо о|о|о ООО о о о
Черт.8 Черт.9
ются «гномонами», в данном
случае «квадратными гномона-
ми», потому что квадратные
числа образуются из монады
посредством последовательного
приставления этих гномонов.
«Квадратные» гномоны, оче-
Поэтому
видно, образуют ряд последовательных нечетных чисел,
чертеж 9 выражает собой известную формулу:
1 + 3 + ... + (2п - 1) = квадрату п.
Второй ряд гномонов связан с так называемыми «разнодлин-
ными» (ETEpopvKiicr) числами, т.е. числовыми прямоугольниками;
одна сторона которых на единицу больше другой (см. черт. 10).
Ряду этих «разнодлинных» чисел соответствует ряд соответствую-
о о о с
ООО о о о о
ОО ООО оооо
Черт. 10
оооо
о olo о
Черт. 11
щих, так сказать, «развод л ин-
ных» гномонов (см. черт.И).
Впрочем, стоит заметить, что
сочетания «квадратный гно-
мон», «разнодлинный гномон»
придуманы мною, и пифаго-
рейцами не употреблялись. По-
о о о о о
о о о о о
о
о
скольку последовательные разнодлинные гномоны равны последо-
вательным четным числам, то чертеж 11 доказывает утверждение:
2 + 4 + ... 2п = п(п + 1).
«Доказательства» в этих случаях аналогичны доказательствам
процитированных теорем чета/нечета, т.е. они представляют со-
бой «псефовский» чертеж с его мыслимым неограниченным про-
должением. Смотрите и убеждайтесь! Получающаяся на каждом
шаге фигура будет новым квадратным или разнодлинным числом.
В.АЯнков
215
31
Обе эти теоремы и представляли собой уже упоминавшие-
ся доказательства устойчивости нечетного и неустойчивости чет-
ного. Чертеж 9 показывает, что добавление новых нечетных чи-
сел сохраняет форму (квадрата), а чертеж И показывает, что
такое же прибавление четных чисел все время меняет форму по-
лучающейся фигуры (т.е. получающиеся разнодлинные числа
неподобны).
В развитой пифагорейской арифметике используются гномоны,
связанные с «треугольными», «пятиугольными» числами и т.д.,
однако, описанные нами два вида представляются самыми древни-
ми. Фигурные числа вообще появляются уже у Филолая, т.е. во
второй половине V-ro века32. Ряд аргументов позволяет предполо-
жить гораздо более раннее их существование.
Во-первых, уже отмечено, что первые гномональные теоремы
использовались для онтологической характеристики четного и не-
четного, а спекуляции о чете/нечете принадлежат раннему пифа-
горейству, и наверняка самому Пифагору. Напомню в этой связи
об упоминании чета/нечета Эпихармом.
Во-вторых, в известной пифагорейской «таблице противопо-
ложностей» в качестве одной из противоположностей выступает
пара «квадратное/разнодлинное» ( «TETpaycovov Kai етероуцкцст»).
Неверно переводить второй член этой пары как «прямоугольное».
Пифагорейцы различали два вида «прямоугольных» чисел —уже
упомянутые «разнодлинные» числа и так называемые «продолго-
ватые» («лрорт]кт]ст») числа, у которых одна сторона больше дру-
гой более чем на единицу (позднее же вообще прямоугольники, не
являющиеся ни квадратами, ни «разнодлинными» в позднем смыс-
ле). В нашем случае имеются в виду именно числа первого рода,
что подтверждается также содержанием нашего первого аргумента.
«Таблица противоположностей» восходит во всяком случае к пер-
вой половине V-ro века, а ее компоненты и их осмысление должны
быть еще более ранними. Описанная связь таблицы с «гномональ-
ными» теоремами отмечена также Норром33.
Наконец, само использование слова «гномон» ведет нас в
VI-ой век, когда астрономический гномон получил употребление у
ионийцев (Анаксимандру приписывают его введение в Спарте),
надо полагать, для общественных потребностей типа определения
дня солнцестояния. В похожем смысле слово использовалось и в
геометрии (см. опр. в Евклиде34), но здесь его употребление явля-
ется производным от арифметического.
Поэтому я считаю, что как теоремы о чете/нечете, так и пер-
вые гномональные теоремы принадлежат к самим началам
216 Математика античности и средних веков
пифагорейской арифметики и скорее всего восходят к самому Пи-
фагору. Их методика еще близка к геометрической, а именно к
«мамерковой» методике.
12. Буркерт весьма низко оценивал арифметику пифагорей-
цев35, считая, что, получив какой-нибудь результат, они были за-
интересованы не столько в строгости этого результата, сколько в
том, чтобы еще раз прославить богов, связанных с какими-нибудь
конкретными числами или классами чисел.
«Следуя Буркерту», я дам сейчас мистическую интерпретацию
разобранных только что теорем, однако, в отличие от Буркерта я
постараюсь показать, что именно мистическое понимание и ведет
здесь к осознанию строгости.
Во всех этих теоремах основное «доказательное» движение яв-
ляется движением разрастания вокруг некоего центра или скорее
разрастающегося конструирования вокруг центра, где центром мо-
жет быть монада («квадратные гномоны»), двойка («разнодлин-
ные гномоны») либо произвольное четное или нечетное число (тео-
ремы о чете/нечете). Легко усмотреть схожесть этого процесса с
описанным выше космогоническим пифагорейским процессом.
Представляется, что авторы этих теорем (мне думается, что авто-
ром был сам Пифагор) вполне осознавали это подобие, и что сам
процесс доказательства был для них формой мистического соуча-
стия в космогенезисе. Тогда и сами результаты представлялись
священной наградой за такое соучастие, и доказательства отмеча-
лись («маркировались») особым качеством, что отличало их от
предшествующих геометрических доказательств.
Это маркирование и породило то ощущение строгости, кото-
рое, начиная с этого момента, входит в математику. Ибо спра-
ведливость требует отметить, что эти доказательства действите-
льно были строгими, а именно первыми строгими в истории че-
ловечества.
Суть дела в том, что объектами доказательства здесь являют-
ся идеальные, мыслимые, изображаемые, но все же незримые мо-
нады. Камешки-псефосы являются, разумеется, вполне реальны-
ми телесными вещами, но они только представляют монады, и не
они, а монады являются подлинными объектами арифметики.
Между тем в предшествовавшей геометрии конкретный чертеж
мог представлять некоторое неопределенное многообразие, но это
многообразие само состояло из «чертежных» линий, точек и уг-
лов, и ничто идеальное в рассуждение не входило —ни прямо, ни
косвенно.
В.А-Янков
217
Строгость в рассуждении об идеальных объектах происходит
от того, что они как-то полагаются, «конструируются» нашей
мыслью, и когда эта мысль к ним возвращается, то они сохраняют
то, что в них вложено, а не меняют по ходу дела свои свойства,
как, например, крокетные шары-ежи в «Алисе». Момент построе-
ния, конструкции, существенен и для космогонического порождения
чисел. В этом отношении можно сказать, что Пифагор заменил пол-
ное спонтанности порождение мира анаксимандровым «апейроном»
на конструктивное порождение мира путем последовательного про-
изведения монад и составления из них числовых конфигураций.
Сказанное позволяет понять, почему особое мистическое пере-
живание, связанное с космогоническими конструкциями, способно
перейти в чисто логическое понятие строгости. Космогоническая
конструктивность порождает конструктивность арифметическую.
13. Наряду с разобранными теоремами и связанными с ними
«доказывающими» чертежами у пифагорецев возникают и другие
задачи. Оказалось возможным проводить уравнение фигурных чи-
сел, построенных различными способами . Рассмотрим, напри-
мер, следующий чертеж 12.
Его рассмотрение показывает, что «разнодлинное» число п (п + 1)
равно сумме двух «треугольных» чисел, каждое из которых постро-
ено за и шагов (мы выразили бы содержание теоремы с помощью
(п (п + О'!
равенства п (п + 0 = 21----I. Моменты, существенные при дока-
зательстве рассмотренных до сих пор теорем здесь уже не имеют того
значения, зато большое значение приобретают новые моменты.
В самом деле, и «разнодлинные» и «треугольные» числа по-
рождаются с помощью своих специфических гномонов, но рассуж-
дение в этом случае идет не в
направлении этого порожде-
ния, а, так сказать, «перпен-
дикулярно» к нему — мы срав-
ниваем числа, порожденные
двумя процессами на одном и
том же шаге, а иногда и на
ООО 0,0
о о о/о о
о о/о о о
О7© 000
Черт. 12
о о о, о
о 0/0 о
о/о о о
о о о о
Черт. 13
разных шагах, как в следую-
щем доказательстве (см. черт. 13), где устанавливается, что «квад-
ратное» число равно сумме двух «треугольных», порожденных на
этом же шаге и на предыдущем (т.е. устанавливается равенство
(п (и + 1)^ ((п - О и)
ПП = I 2 J Ч 2 )
218
Математика античности и средних веков
Движение порождения здесь отступает на второй план. Перед
нами не становящиеся, но ставшие объекты. Теперь сама мысль
должна прийти в движение, совершая обег чертежа, производя
сравнения и фиксируя свои промежуточные результаты в виде
утверждений, так что в конечном счете происходит движение мыс-
ли от одного фиксированного утверждения к другому при перио-
дическом обращении к наглядности чертежа.
Видимо, у пифагорейцев было много разных теорем, сравнива-
ющих различные фигурные числа друг с другом. В более широком
смысле в этот класс могут быть включены и утверждения типа сле-
дующих теорем четного/нечетного из IV-ой книги «Начал»:
«24. Если от четного числа отнимается четное, то остаток бу-
дет четным.
25. Если от четного числа отнимается нечетное, то остаток бу-
дет нечетным.
26. Если от нечетного числа отнимается нечетное, то остаток
будет четным.
27. Если от нечетного числа отнимается четное, то остаток бу-
дет нечетным».
Естественно в этих рассуждениях большую роль должно было
играть равенство, и —осознанно или неосознанно—использовались
его свойства, позднее зафиксированные в «общих понятиях» 1-ой
книги «Начал».
14. Как же, однако, обстояли дела с геометрией при Пифагоре
и ранних пифагорейцах?
У Ямвлиха'5' мы находим несколько загадочное место, глася-
щее, что Пифагор называл геометрию «историей» (icrropia). Ямв-
лих, вообще говоря, автор не очень надежный по некритичности и
путанности, однако, как мы увидим, приведенное высказывание
имеет настолько естественную интерпретацию, что его можно счи-
тать подлинным высказыванием Пифагора.
«/стторю» — это универсальный ионийский термин, означающий
в первую очередь сведения, полученные путем расспроса, далее про-
сто сведения, и, наконец, науку в ионийском понимании. Свои науки
Пифагор называл «цаЭтщата», т.е. «учение», считая, что их методы
другие, чем расспросы ионийской науки. Мы можем выразить это на
современном языке так: ионийские «истории» эмпиричны, подлинная
же наука имеет более достоверные основания. Поэтому приведенное
Ямвлихом высказывание означает, что допифагорейская геомет-
рия—это эмпирический набор сведений, стоящий ниже подлинной
науки. Тогда высказывание действительно должно принадлежать Пи-
фагору, и смысл его прекрасно согласуется с нашими представлени-
ями о геометрии Фалеса и о «мамерковой» геометрии.
В.А-Янков 219
И Ямвлих и Прокл утверждают, что Пифагор дал геометрии
новые «поэтические» основания. Оценка эта обычно считается ни-
как не обоснованной. Я буду здесь защищать следующую точку
зрения: Пифагор действительно стремился сделать геометрию точ-
ной наукой, однако, полностью это удалось провести только позд-
нейшим пифагорейцам, так что в оценке Ямвлиха-Прокла сведены
вместе намерения Пифагора и более поздние достижения, припи-
санные Пифагору его школой.
В известной характеристике Прокла39 содержится также утвер-
ждение, что Пифагор «дал геометрии форму свободного образо-
вания». Хотя при этом не используется пифагорейское слово
«раЭтщата», но в сопоставлении с приведенной оценкой Пифаго-
ром прежней геометрии, смысл прокловской характеристики прояс-'
няется: намерением Пифагора, реализованным поздними пифаго-
рейцами, было перевести геометрию из класса эмпирических наук в
класс наук точных.
15. По какому пути, однако, могла идти мысль Пифагора?
Геометрия ионийцев связывалась ими с вещами. Но вещи не со-
ставляют подлинной реальности. Подлинную реальность составля-
ют монады, наряду с которыми, может быть, между ними сущест-
вует еще апейрон, но он не поддается строгому изучению. Поэтому
подлинным изучением пространства для Пифагора должна была
быть именно фигурная пространственная арифметика, а старая геомет-
рия допускалась только как нечто неточное и предварительное, пока
новая «монадная» геометрия не будет окончательно разработана.
Кроме приведенных соображений, доказательством этому служит
сама теория фигурных чисел, сохраненная в позднепифагорейских
арифметических руководствах. Я приведу еще один аргумент,
основанный на истолковании так называемых «круглых» чисел.
В известном комментарии Симпликия, посвященном гиппокра-
товым «луночкам», сохранились следующие сведения о «пифаго-
рейском» решении квадратуры круга .
Комментатор Аристотеля Александр Афродизийский в цитиру-
емом Симпликием комментарии на ту же тему, сообщает, что по
мнению некоего пифагорейца квадратура круга осуществима, по-
скольку пятое «круглое» число является также и квадратным.
Александр недоумевает по этому поводу, так как ему известно на-
именование «круглых» чисел только как другое наименование для
треугольных чисел. Сам Симпликий тоже выражает недоумение.
Хотя он знаком и с другим определением «круглых» чисел, оно
столь же мало подходит к проблеме, как известное Александру.
Определение Симпликия мы встречаем также у Никомаха41 (не
220
Математика античности и средних веков
исключено, что Симпликий оттуда его и взял). Согласно нему, чис-
ло, лежащее в пределах от одного до десяти, называется круглым,
если его квадрат оканчивается на такое же число (примеры 5 или 6).
Оба варианта «круглости» чисел действительно не имеют ника-
кого отношения к квадратуре круга. Я думаю, что неизвестный нам
пифагореец все же не говорил явного вздора, а имел в виду под
«круглыми» числами числа, получаемые следующим определением.
Фигурное число называется круглым, когда оно составлено из
всех точек с целочисленными координатами, заключенных в круге
целого радиуса с центром в начале координат; точки, лежащие на
окружности тоже считаются (см. черт. 14).
/о о о\ Разумеется, определение пифагорейца не мог-
/о о о о о\ ло звучать столь современно, но само понятие
ь о о о о о | было вполне ему по силам.
\ о о о о о / Зная теорему Пифагора, легко подсчитать
\о о о tf «круглые» числа, начиная с простейшего «круга»,
о—— состоящего из единственной монады (это число
Черт.14 было, верно, первым «круглым»), до какого-то
фиксированного—общей формулы тут не получает-
ся. На пятом месте (а равно и на шестом) действительно оказыва-
ются полные квадраты—49 и 64.
Теперь утверждение пифагорейца приобретает смысл: посколь-
ку подлинные круги —это именно круглые числа, составленные из
монад, их величина же не что иное, как количество этих монад, то
некоторые из круглых чисел оказываются квадратными и для них
квадратура круга разрешима.
Этот аргумент, с одной стороны, предполагает знание теоремы
Пифагора во всяком случае для целочисленных прямоугольников с
«монадными» сторонами. С другой стороны, он основывается на
монадном идеале геометрии, в котором подлинно геометрическими
фигурами считались фигурные числа. Поэтому он, во-первых, яв-
ляется независимым подтверждением существования этого монад-
ного идеала, во-вторых, должен принадлежать времени, когда этот
идеал еще исповедовался хотя бы некоторыми пифагорейцами, тог-
да как теорема Пифагора в ее монадной форме была уже открыта.
Одним словом, речь идет о времени, когда геометрическая теория
величин первой и второй книги «Начал» уже развивалась и проб-
лема квадратуры круга была уже поставлена как проблема этой те-
ории и в то же время старая пифагорейская монадная геометрия не
была еще предана забвению.
Это все датирует аргумент последней четвертью V-ro столетия,
временем интенсивного обсуждения квадратуры круга.
В.А-Янков 221
Я продолжу обсуждение доказательств существования «монад-
ной» геометрии Пифагора в другой работе, где речь прежде всего
будет идти о пифагорейском доказательстве делимости величин.
16. Мы вскоре поговорим о том, почему наряду с этой «идеа-
льной» монадной геометрией Пифагор был вынужден пока сохра-
нить и старую «эмпирическую» геометрию. Сейчас же займемся
вопросом о том, что стало происходить с этой геометрией, когда
она попала в контекст пифагорейской арифметики.
Геометрические линии, отрезки, фигуры стали теперь мысли-
ться состоящими из неизвестного нам, очень большого числа мо-
над. Поэтому в отношении геометрических объ-
ектов стали осмысленными те операции, которые п о о о о о
до этоГо с успехом применялись к фигурным и о о о о
телесным числам, т.е. применение равенств и не- о о\о о о
равенств, образование сумм и разностей и деле- ° ° ° Ч. ° о
ние пополам Конечно, при этом должны были о о о °
возникать определенные трудности. Равен ли В ° ° ° ° “’С
прямоугольник сумме двух треугольников, из Черт. 15
которых он состоит (см. черт. 15)? В самом деле,
если складывать величины АВС и ADC, включая в каждую из них
диагональ Л С, то она должна считаться дважды, что дает излишек
по сравнению с величиной прямоугольника.
Хотя углам трудно приписать какую-то «монадность», но
успехи в арифметике геометрических величин должны были при-
вести к идее арифметики углов, не знакомой ни Фалесу, ни Ма-
мерку. Здесь пифагорейцев ждали замечательные успехи, в первую
очередь, доказательство теоремы о сумме углов треугольника, а да-
лее-после открытия в музыкальном эксперименте понятия отноше-
ния — различные теоремы вроде так называемой «теоремы Фалеса».
Не менее существенную роль сыграло просто перенесение вы-
работанных в арифметике стандартов доказательства (см.
пункт 13) на геометрию. Доказательство и здесь превратилось в
мысленное движение по чертежу с фиксированными стадиями-по-
ложениями. Это позволило осуществить продвижение в теории
круга и правильных многоугольников, столь желанное пифагорей-
цам по мистическим основаниям.
17. Между тем замысел «монадной» геометрии, строго говоря,
был невыполним. Такая геометрия не могла дать важных аффин-
ных и метрических понятий, в первую очередь таких, как понятия
параллельных прямых и прямого угла. Поэтому, когда пифагорей-
цы хотели развивать, скажем, теорию «квадратных» чисел доста-
точно глубоко, с учетом прямых углов квадрата, им приходилось
222
Математика античности и средних веков
обращаться к «эмпирической» геометрии. Без этой геометрии было
бы невозможным и доказательство уже упоминавшейся «монад-
ной» теоремы Пифагора. Речь идет о прямоугольных (!) треуголь-
никах, стороны которых составлены из равномерно расположен-
ных монад, причем монады не занимают угловых позиций. Для та-
ких треугольников теорема Пифагора действительно может быть
доказана по чертежу теоремы VI.31 «Начал», что было в свое
время предположено Хизом42, но это доказательство основывается
на достаточно развитой теорию арифметических пропорций и испо-
льзовании параллельных прямых.
Так что действительно пифагорейцы не могли обходиться без
старой геометрии Фалеса и Мамерка. На самом деле они развива-
ли ее, может быть, все же надеясь в конечном счете от нее избави-
ться, но в этом развитии они натолкнулись на такие факты, осоз-
нание которых вызвало настоящую революцию.
18. Речь идет об уже упоминавшемся открытии бесконечной
делимости величин.
Это открытие засвидетельствовано в схолии к евклидовским
«Началам»4 . Само открытие представляется там как некоторая те-
орема (см. черт.З). В доказательстве используется теория паралле-
льных прямых. Проводя достаточно много таких прямых согласно
идее чертежа, можно сделать отсекаемый отрезок меньше любого
заданного наперед. (Более подробный анализ, как я уже упоми-
нал, будет содержаться в моей следующей работе).
В каком-то смысле это означало крах монадной теории, кото-
рая и могла существовать наивным образом только, пока бесконеч-
ная делимость не была осознана.
Нас в первую очередь интересуют математические, а не фило-
софские последствия.
Поскольку монады оказывались величинами или же вообще
уходили со сцены, первым объектом геометрии становилась безраз-
мерная точка. Линии теряли ширину и толщину; поверхно-
сти—толщину. Хотя теперь нельзя было мыслить линии, фигуры и
тела состоящими из неопределенно большого, но конечного числа
точек, от операций над ними как над величинами все же не отказа-
лись. Более того, новая метафизика геометрии позволила оправ-
дать то, что не клеилось в геометрии монадной. Геометрические ве-
личины распались на разные роды —линии, фигуры, тела, куда те-
перь с чистой совестью можно было добавить и углы. Сложению
или сравнению подлежали теперь величины одного и того же рода;
величины из разных родов не складывались и не сравнивались.
Параллелограмм теперь действительно становился суммой двух
В.А.Янков
223
составляющих его треугольников —о «числе диагонали» можно
было забыть.
В геометрии произошел переворот. На месте допифагорейской
эмпирической геометрии или несостоявшейся монадной геометрии
возникла геометрия величин, блестяще развитая пифагорейцами
первой половины V-ro века. Позднее это стало содержанием 1-ой
(вторая половина) и П-ой книг «Начал», хотя, надо думать, пифа-
горейская форма изложения сильно отличалась от евклидовой и
была тем «чертежным протосинтезом», который отличал пифаго-
рейское изложение арифметики. К этому стилю близко изложение
арифметики у Никомаха, что же касается пифагорейских геомет-
рических текстов, то они не сохранились, не выдержав конкурен-
ции с Евклидом и вообще с новыми методами изложения.
Становление геометрии величин означало, в частности, что ве-
щественные объекты были и здесь, наконец, заменены на объекты
идеальные. Таким образом вероятное намерение Пифагора было,
наконец, реализовано, но совсем не таким способом, как это мог
мыслить себе сам Пифагор.
Упоминавшееся уже приписывание (Ямвлихом и Проклом)
Пифагору превращения геометрии в строгую («ноэтическую») нау-
ку скорее всего совмещает намерения Пифагора и действительное
преобразование геометрии, проведенное позднее, но, может быть,
тут же отнесенное к Пифагору по известной традиции школы. Что
же касается подлинных создателей «геометрии величин», то можно
только с большой степенью вероятности утверждать, что централь-
ной фигурой был здесь знаменитый Гиппас. Соответствующие ар-
гументы я постараюсь привести в другой работе.
19. Метафизика новой геометрии была, однако, взрывоопас-
ной. Пространство становилось скоплением бесконечного количест-
ва точек, каждая из которых не имела величины, т.е. была ничем.
Именно это обстоятельство было использовано Зеноном в его
44
«опровержении множественности» . Речь идет о первых двух до-
казательствах, которые вероятно образовывали одну цельную
пару. Оба доказательства исходили из процесса бесконечного деле-
ния сущего. Первое доказательство апеллирует к образующейся
бесконечности, второе—к исчезновению сущего в результате деле-
ния. Точки в тексте не упоминаются, однако, исследователи часто
интерпретируют мысль Зенона так, что она оказывается опровер-
жением неких оппонентов, утверждающих точечную структуру
мира. Мне это представляется очень правдоподобным, но даже,
если никто и не защищал точечную структуру, она осознавалась
как опасная возможность. В непосредственно примыкающее время
224
Математика античности и средних веков
Анаксагор, как можно предположить, строил континуум из своих
актуально бесконечно-малых «семян», и это уже было «овеществ-
ленным» вариантом точечной геометрии.
Кем же могли быть оппоненты Зенона, кроме пифагорейцев,
которые, собственно, и открыли бесконечную делимость величин?
С.Я.Лурье, разбиравший этот вопрос в своем «Античном ато-
мизме», категорически возражает против этого толкования на том
основании, что, де, Зенон был идеалистом, а пифагорейцы тоже
были идеалистами и не может быть, чтобы идеалисты, единым
фронтом боровшиеся против материализма (ионийского), стали бы
еще критиковать друг друга45.
Я между прочим думаю, что ни ионийцы не были материали-
стами, хотя некий материализм был у Анаксимена и Анаксагора, и
ни элеаты, ни тем более пифагорейцы не были идеалистами. Про-
тивоположность между ионийцами и италийцами в философии, ра-
зумеется, существовала, но, во-первых, она описывается совсем на
другом языке, а во-вторых, предполагать какую-то партийную со-
лидарность италийцев против ионийцев просто нелепо. Напомню
все же, что и первоначальная солидарность внутри какого-то тече-
ния при его расколе часто замешалась ожесточенной и пристраст-
ной полемикой.
Аргумент Лурье на мой взгляд не имеет никакой силы и дока-
зывает только, что партийность (речь идет о специфической «мате-
риалистической» партийности Лурье) может даже очень большого
ученого довести до абсурдных утверждений.
Можно еще добавить, что известное заявление Зенона: «Ска-
жите мне, что такое одно, и я скажу вам, что такое мно-
гое»46—тоже имеет отношение и к монадному и к точечному пифа-
горейству.
20. Хуже того. Новое точечное пространство в известном
смысле восстанавливало то, что Пифагор считал уже преодолен-
ным — ионийский апейрон.
Это преодоление, как мы видели, сводилось к тому, что дви-
жущаяся и распространяющаяся бесконечность апейрона была за-
менена конструктивно порождаемой потенциальной бесконечно-
стью чисел. Когда мир становится точечным, то, даже отвлекаясь
от проблемы движения (которая всплыла потом в апориях Зенона)
и считая мир неподвижным, мы все равно не можем мыслить кон-
тинуум точек конструктивно. Сейчас мы знаем математическую
основу этой невозможности — континуум несчетен. Математикам
первой половины V-ro столетия это, разумеется, не могло быть из-
вестным, но любые попытки «породить» все возможные точки
В.А.Янков 225
должны были оказываться бессильными. В континууме нет того
естественного порядка, который свойствен пифагорейским числам,
безразлично, линейным ли фигурным или же телесным. Объекты
(точки, отрезки, кривые линии, фигуры) нужно считать данными,
а не порожденными, хотя, возможно, так сказать, вторичное по-
рождение из уже данного —скажем, проведение отрезка между
двумя данными точками. Изначальная данность чего-то так не пре-
одолевается; на ней приходится основываться.
Понимание пространства как апейрона дошло до нас в текстах
Платона.
Впервые «апейрон» как важное понятие появляется у Платона
в «Филебе» . Здесь еще фигурирует старая пифагорейская пара:
апейрон/перас, но применяется она не к вопросам физики или
геометрии, а к вопросам этическим, точнее к вопросу об иерархии
ценности наслаждений, чему и посвящен «Филеб». Но в «Ти-
мее»4^ речь уже идет о «восприемнице», неопределенной в себе,
которая прямо именуется «пространством» (%<вра). Аристотель,
обсуждая это понятие, считает его платоновской материей49. Дей-
ствительно, в «Тимее» она представляет собой тот материал, из ко-
торого состоят «атомы» четырех элементов. Поскольку эти атомы
являются правильными многогранниками, причем полыми внутри,
тогда как действительностью являются их грани, сами состоящие
из треугольников, то платоновское пространство должно мыслить-
ся геометрически. Оно, правда, не состоит из точек. Первичными
физическими, а, вероятно, и геометрическими объектами являются
неделимые треугольники. Но оно все же неопределенно, оно вос-
приемница высшего принципа (в «неписанном учении» он называ-
ется монадой — «£v»)_ В чем же тогда эта неопределенность? Ари-
стотелев конспект «неписанного учения» в «Метафизике»3 позво-
ляет дать на это ответ. В нем восприемница называется еще «неоп-
ределенной двоицей большого и малого (реусскаг рлкроу)». За
этим, по-видимому стоят бесконечная увеличиваемость величин в
пространстве и их бесконечная делимость. Первое, согласно нашей
концепции, было открыто еще во времена Анаксимандра и Мамер-
ка; второе является уже обсуждавшимся пифагорейским открытием.
Таким образом в понимании Платона пространство и является
основным алейроном. Мы далеки от первоначального вещественно-
го и динамического апейрона Анаксимандра и Пифагора. В резу-
льтате развития геометрии как апейрон стало осознаваться само
пространство.
Платон не считает пространство состоящим из точек, но само
его учение о «неделимых треугольниках», равно как и более позднее
15-3525
226
Математика античности и средних веков
учение его ученика Ксенократа о «неделимых линиях» является
полемикой против точечной геометрии и косвенно свидетельствует
о ее существовании (хотя бы в анаксагоровой форме). И в это пла-
тоновское время, как во времена ранних пифагорейцев, геометрию
все еще стараются понять физически. Насколько же недопустимо
апейроничным должно было представляться актуальное физическое
пространство из точек, как его приходилось рассматривать геомет-
рам!
21. Итак, хотя и пифагорейская арифметика и новая геомет-
рия достигли уровня идеальности своих объектов, дух этих наук
был противоположен друг другу. Числа, линейные или фигурные,
мыслились порождаемыми и потенциально бесконечными, т.е.
арифметика по сути дела была изначально конструктивной. Что
же касается геометрии, то она имела перед собою неохватимый
океан апейрона, актуально бесконечный и в принципе неподдаю-
щийся конструктивизации. Это позволяет выдвинуть некоторые
догадки о ходе аксиоматизации в греческой математике, когда эта
аксиоматизация начала проводиться.
Нужно сказать, что арифметика по своей конструктивной при-
роде не была подходящей для выдвижения принципов-начал
(«ар/оп»). Говоря несколько упрощенно, то, что мы вкладываем в
строимые нами объекты, то в них и остается заложенным, так что
непонятно, о каких новых принципах вообще тут может идти речь.
Античная математика никогда не дошла до осознания аксиомы ма-
тематической индукции, несмотря на то, что у Евклида, а, может
быть, еще ранее у Театета (как он представлен в известном диало-
ге Платона) было уже другое, менее конструктивное понятие чис-
ла. У Евклида можно, правда, встретить особые принципы, так на-
зываемые «общие понятия», относящиеся и к арифметике. О них
мы позднее поговорим. Что же касается арифметики пифагорей-
ской, то форма ее изложения у Никомаха и Теона Смирнского во-
обще не использует никаких «начал». И это естественно. О «нача-
лах» речь могла в эту эпоху идти только в случае, когда объекты
математической мысли даны заранее, а не создаются нами, и мы
должны угадывать какие-то соотношения между ними для того,
чтобы рассуждать далее на основе этих соотношений.
В геометрии между тем первоначальные объекты —точки, ли-
нии, поверхности должны были восприниматься именно как дан-
ность, да еще как некая идеальная данность. Задача их изучения
состояла не только в рассуждении, опирающемся на вложенное
при построении, хотя и последнее имело место, потому что конст-
рукция на основе уже данного широко применялась. Но важно
В А.Янков 227
было усматривать и принципы самой данности, оценивая ее с уче-
том ее идеальности.
Поэтому мне не представляется странным появление слова
«аксиома» (оценка) как название для одного рода «начал». На
мой взгляд аксиомы первоначально относились к одной геометрии,
хотя потом это понятие было распространено и на другие дисцип-
лины. Думаю, что Сабо51, производя слово «аксиома» из редкого
значения «требовать» для глагола «а^юсо» и отождествляя таким
образом аксиомы с постулатами, ошибается.
Впрочем, еще более вероятна другая возможность объяснения
слова «аксиома», а именно просто как некое «высоко ценимое» на-
чало («архл»).
Аристотель во «Второй Аналитике» , разбирая виды начал,
четко различает аксиомы и постулаты-айтемы. И те и другие дол-
жны быть приняты при построении науки, но разница между ними
та, что аксиомы принимаются и принимающий их им доверяет,
тогда как айтемы принимаются только как основание для доказа-
тельств и считать их истинными не обязательно.
Аксиомы по Аристотелю выступают таким образом как некото-
рые «естественные» начала для доказательств. Аристотель не объ-
ясняет, как открывается истинность аксиом, но, принимая во вни-
мание его общую теорию познания, можно понять, что аналогично
определениям аксиомы устанавливаются с помощью аристотелев-
ской «индукции» (Елаусоут]). Эта индукция основана на знании бо-
льшого числа случаев и заключается в открытии эйдоса-формы,
которым эти и родственные случаи обнимаются. Так открывается и
сам вид, под который подпадают индивидуумы, и первопринципы
доказательства для этого вида, а это и есть аксиомы.
Аристотель упоминает и математические аксиомы, но имеет в
виду не только их. Из того, что Евклид говорит не об аксиомах, а
о постулатах или об «общих понятиях», можно сделать вывод, что
сам термин «аксиома» еще в Ш-м веке отнюдь не был общеприня-
тым в математике (хотя, между прочим, использовался в логике
стоиков в смысле «утверждение»). Скорее он принадлежал самому
Аристотелю или еще Академии, и тогда его значение этимологизи-
руется по второму варианту.
В «Началах» Евклида тоже присутствуют два класса принци-
пов: постулаты-айтемы и уже упоминавшиеся «общие понятия»,
которые позднее Прокл отождествил с аксиомами.
«Общие понятия» (koivoh svvoai)—это классическое понятие
стоиков, в общем аналогичное аристотелевым аксиомам, так что про-
клово отождествление имеет свой резон. Правда, бросается в глаза,
15*
228
Математика античности и средних веков
что из девяти «общих понятий» у Евклида восемь образуют дово-
льно компактную по смыслу группу аксиом «теории величин», а
девятое («между двумя прямыми не может заключаться простран-
ство») принадлежит чистой геометрии.
Первая группа в дальнейшем применяется не только к геомет-
рическим величинам, но и к числам, что наводит на альтернатив-
ное объяснение термина: «понятия, общие для величин всех родов
и для чисел» по аналогии с известным классом «общих теорем» об
отношениях между величинами и между числами. Я думаю, что
правилен все же первый вариант объяснения («стоический»). Во
всяком случае Евклид или кто-то позже, как предполагают некото-
рые, имел в виду именно его, когда включил в число «общих по-
нятий» девятое.
Именно эта группа аксиом имеет отношение к арифметике, но,
очевидно, что первоначально она была осознана именно на величи-
нах геометрии, иначе было бы непонятна аксиома 7 («совмещаю-
щиеся равны друг другу»). Это подтверждает защищаемый здесь
тезис первенства геометрии при аксиоматизации.
Постулаты Евклида можно разделить на две группы: постула-
ты 1—3, как бы неограниченно расширяющие человеческие возмож-
ности построения («через любые две точки можно провести пря-
мую», «любую прямую можно неограниченно продолжить в любом
направлении», «вокруг любой точки любым радиусом можно описать
круг») и постулаты 4, 5, имеющие характер чистых утверждений
(«любые два прямых угла равны» и знаменитый пятый постулат).
Разнородность этих групп вызывала подозрение, что 4-ый и
5-ый постулаты являются поздними добавками. Однако, я пола-
гаю, что это неверно.
Мы уже упоминали, что Аристотель говорит о постулатах
(«айтемах», «требованиях»), отличая их от аксиом. Евклид при-
нимает термин «постулат», но не принимает термина «аксиома».
Это наводит на мысль, что термин «постулат» во всяком случае не
принадлежит Аристотелю, и Евклид почерпнул его из более древ-
ней традиции. В этой традиции ни термина «аксиома», ни термина
«общее понятие» еще не было, а значит постулат был единствен-
ным название для первопринципов. Поэтому постулатами были и
требования к возможностям построения и чистые утверждения, ко-
торые потом получили название аксиом или «общих понятий». Ев-
клид взял свои постулаты из более древних геометрических «На-
чал», чем то руководство, которому он обязан своими «общими по-
нятиями», и в первом существовали только айтемы. Что же касает-
ся «общего понятия» 9, то оно имеет более позднее происхождение,
В.А.Янков 229
чем древние «Начала», и было осознано уже в те времена, когда
«общие понятия» были в ходу.
Евклидовские постулаты, разумеется, Имеют отношение только
к геометрии и, как мы выяснили, древнее «общих понятий». Это
еще раз подтверждает наш тезис о геометрическом происхождении
идеи аксиомы. Похоже на то, что первые аксиомы были по своему
существу требованиями к изучающим геометрию: объекты здесь
неосязаемы или в силу неопределенной дальности расстояния (та-
кие соображения могли существовать еще в предпифагоровские
времена) или в силу их точечности или исчезновения некоторых
измерений, но, если вы хотите получать результаты и следить за
рассуждением, то примите то-то и то-то. Форма требования может
здесь выражать собою методический отказ принять точечное про-
странство.
Прощаясь с темой противоположности арифметики и геомет-
рии внутри греческой математики, хочу отметить еще тот интерес-
ный факт, что в основаниях современной математики до сего дня
сохраняется аналогичная противоположность. Я имею в виду два
подхода к положенной в основу классической математики теории
множеств. Эта-то теория множеств и позволила в свое время
«арифметизировать» классическую геометрию после теорети-
ко-множественного построения вещественной прямой. Однако, из-
вестные парадоксы первоначальной (канторовой) теории множеств
привели к необходимости ограничения первоначальных принци-
пов. Таких основных ограничения существуют два. Первое предло-
жено Цермело; его усиление Френкелем называется системой Цер-
мело-Френкеля (ZF). Второе предложено Куайном (система NF).
За ними стоят различающиеся друг от друга интуиции.
Система ZF по своему духу близка арифметике, конструктивна,
правда, в очень общем смысле этого слова, поскольку предполагает-
ся, например, такая операция, как получение множества всех под-
множеств уже построенного множества. Все же каждый объект этой
системы занимает место среди иерархии как элемент одного из мно-
жеств некоторой возрастающей трансфинитной последовательности.
В системе Куайна, наоборот, ни о каком последовательном построении
всех множеств не приходится и думать. Все, что можно построить, по-
лучается посредством некоторой «вырезки» из «апейронически» неоп-
ределенного космоса множеств (универсума), используя при этом так
называемые стратифицированные аксиомы свертывания.
У греков противоположность двух бесконечностей, конструк-
тивной и апейронической, лежала на поверхности. В наши дни она
известна только специалистам по основаниям математики. Но ее
230
Математика античности и средних веков
упорное существование, как представляется, лежит в самой приро-
де вещей.
22. Мы закончили разбор становления «чертежного протосин-
теза». Что теперь можно сказать о доказательствах приведением к
абсурду?
Они должны были неминуемо появиться, коль скоро укорени-
лась практика положительных доказательств и возникли пробле-
мы, решение которых отрицательно. Очень вероятно, что первой
такой проблемой была арифметическая: по данному прямоугольно-
му («продолговатому») числу, одна сторона которого содержит
вдвое больше монад, чем другая, построить равное ему квадратное
число. Необходимые предпосылки решения содержатся в пифаго-
рейских теорема о чете/нечете (уже упоминавшиеся теоре-
мы 21—29 IX-ой книги «Начал»).
В самом деле (см. черт. 16) пусть числа п и 2п задают стороны
«продолговатого» числа АВ, и пусть квадратное число CD со сто-
роной m ему равно. Число АВ является четным, поскольку являет-
ся произведением четного числа на нечетное (IX,28). Поскольку
АВ равно CD, то CD тоже четно. Но квадрат нечетного числа нече-
тен (IX,29). Значит, т является четным
о о оВ
о о о
о ° ° р о о о D
о ° ° '' ООО
о ° ° 1_'оооо
о ° ° со ооо
Черт. 16
(здесь микроприменение приема «от про-
тивного»), Разделив теперь АВ на два
равных квадратных числа АЕ и FB, а так-
же разделив CD на два равных продолго-
ватых числа СН и GD, мы видим, что СН
равно АЕ (половины равных) и одна сто-
рона СН вдвое больше другой. Т.е. мы
оказываемся в изначальной ситуации, но с
меньшими числами — последнее можно сде-
лать еще нагляднее, повторив всю процедуру: тогда у новых пар
стороны будут ровно вдвое меньше первоначальных пар. Посколь-
ку эту двойную процедуру можно повторять сколь угодно много
раз, то дойдем до такого продолговатого прямоугольника, у кото-
рого меньшая сторона нечетна. Но процесс может быть продол-
жен! Следующее применение двойной процедуры показывает чет-
ность этой стороны, и «четное оказывается нечетным» (слова Ари-
стотеля, напоминающие читателю или слушателю об известном ему
доказательстве несоизмеримости стороны и диагонали квадрата53)
Такое доказательство вполне могло быть открыто ранними пи-
фагорейцами, а, может быть, и самим Пифагором. После открытия
бесконечной делимости величин и перехода к геометрии величин
несоизмеримость стороны и диагонали квадрата получалась сразу с
В.А.Янков 231
учетом известного построения «Менона» (см.
черт.17)54 и обсужденной теоремы. Связь между / N.
двумя теоремами и могла быть основанием для при- /_________
писывания Пифагору самого открытия иррациональ- X, /
НОСТИ. 'к /
Другой проблемой, требовавшей доказательства -----
приведением к абсурду и известной пифагорейцам, Черт. 17
могла быть музыкальная проблема деления октавы
пополам. Хотя она на самом деле эквивалентна рассмотренной
арифметической задаче, но эта эквивалентность была осознана да-
леко не сразу. Во всяком случае успела развиться самостоятельная
музыкально-арифметическая техника, как показывает упоминавше-
еся уже «архитово» доказательство неделимости пополам эпимор-
ного интервала (т.е. интервала вида n: (n + I))55.
Я вернусь к этой теме в следующем параграфе.
23. Можно с уверенностью утверждать, что первое абстракт-
ное математическое понятие было введено пифагорейцами и что
зто было понятие отношения между числами. Я думаю, что в об-
щих чертах история его возникновения и развития правильно рас-
познана Сабо5®. Это понятие возникло в музыкальной теории в ре-
зультате экспериментов на монохорде и соответствующих измере-
ний. Нет никаких оснований сомневаться в том, что инициатором
был здесь сам Пифагор. Фундаментальным открытием была оцен-
ка музыкальных «интервалов» (6iaotr]pa, «интервал» и является
переводом этого слова на латинский), а именно октавы, квинты и
кварты. Выяснилось, что эти созвучия соответствуют отношениям
длин струн, их производящих, причем октаве соответствовало от-
ношение 2:1, квинте —3:2 и кварте—4:3. Поскольку струны в свя-
зи с обшей концепцией мыслились «монадно», то отношения-диа-
стемы, позднее отношения-логосы мыслились как отношения меж-
ду числами монад, что включало новые идеи в арифметический
контекст.
Понятие отношения таким образом родилось вне собственно
математики и имеет экспериментальное, физическое происхожде-
ние. Тем не менее его удалось присоединить к уже существовав-
шим теориям, что в свою очередь повлияло на содержание этих те-
орий, в первую очередь арифметики.
Для оперативного обращения с логосами-отношениями требова
лась четкая фиксация правил, по которым мы можем определить,
находятся ли две пары чисел в одном и том же отношении (видимо,
позднее появляется и представление о большем или меньшем отно-
шении). В греческой традиции мы находим два определения
232
Математика античности и средних веков
отношения между числами, одно —у Евклида, другое у Никомаха.
Сравнение их поучительно.
Немного упрощая, можно сказать, что отношение по Евкли-
ду'’7 выражает собой способ получения меньшего из двух сравни-
ваемых чисел из большего, а именно меньшее число можно полу-
чить как часть (1 / п) или части (и? / п, где 1 < т < п) большего
числа. Определение Никомаха58, напротив, понимает отношение
как способ построения большего числа из меньшего (меньшее плюс
его часть, меньшее плюс его части, кратное меньшему, кратное ме-
ньшему плюс его часть, кратное меньшему плюс его части). Опре-
деление Никомаха соответствует пифагорейскому понятию числа,
где большее получается из меньшего с помощью наращивания, тог-
да как определение Евклида соответствует евклидовскому (или
еще более раннему) статическому пониманию числа как системы
единиц —в этом случае большее и меньшее равноправны, и естест-
венно строить определение наиболее экономичным способом.
Громоздкость определения Никомаха и его связь с пифагорей-
ской концепцией числа доказывают его древность. Видимо, оно и
было первоначальным пифагорейским определением. Когда оно
могло возникнуть?
Как на время ante quo можно указать на время Гиппаса. Гиппа-
су или его школе принадлежат многие результаты о «средних» ,
которые невозможно получить, не владея точным понятием пропор-
циональности. В частности, Гиппас изучал гармоническое среднее, и
едва ли не он его и ввел. Первоначально оно называлось «обрат-
ным» (vTtEvavTioo) средним60. Это название объясняется тем, что
если интервал а .Ь разделяется средним арифметическим на интер-
валы 2a : (a + Ь) и (a + Ь) : 2b, то гармоническое среднее разделяет
его на те же интервалы, но расположенные в обратном (или «пере-
вернутом») порядке—сначала (a+b):2h, а потом 2a :(a+fe). Такое
понимание невозможно без точного знания, что такое пропорция.
Во времена Гиппаса теория была уже вполне развита. Само
название геометрического среднего указывает на знание следующе-
го факта (см. черт. 18): если квадрат
АВ и прямоугольник CD равны, то сто-
£) р рона квадрата есть средняя геометриче-
ская сторон прямоугольника, т.е. имеет
____________________________________ место пропорция CF : АВ = АВ : DF. Во
АВ С времена Гиппаса можно предполагать
знание этого утверждения как теоремы
теории величин. Но этому должно было
Черт. 18 предшествовать знание его как теоремы
В.А.Янков
233
фигурных чисел. Само понятие геометрического среднего естест-
венно для чистой теории музыки, еще не обратившейся к арифме-
тике: среднее геометрическое а и b понимается просто как такое с,
что интервалы а : с и с : Ь одинаковы; никакая геометрия здесь еще
не участвует.
Хотя имеются разные оценки для времени жизни Гиппаса, я
думаю, что он еще застал в живых Пифагора, а его основная дея-
тельность пришлась на время не позже 460-го года —так остается
время для «разглашения геометрии» и геометрического творчества
Анаксагора. Тогда время точной формулировки понятия логоса-от-
ношения и нахождение его выражения в арифметике фигурных
чисел может приходиться на конец VI-го—начало V-ro веков, т.е.
возможно на старческие годы Пифагора.
В этой связи возникает вопрос о двух теоремах: уже упомяну-
той теоремы о неделимости пополам октавы и о теореме Пифагора.
Если понятие арифметического отношения определено, как у
Никомаха, то отсутствие среднего геометрического в интервале
а ,2а (понятно, что а —целое и ставится вопрос о целом геометри-
ческом среднем) может быть доказано, основываясь на теоремах
чета/нечета, хотя это доказательство довольно громоздко: прихо-
дится проводить анализ нескольких случаев и дополнительная труд-
ность возникает из-за понимания «частей» ш/п не обязательно как
представленных несократимой дробью. То, что в теории музыки до-
казательства без обращения к фигурной арифметике все же прово-
дились, свидетельствует как раз «архитово» доказательство о неде-
лимости пополам эпиморного интервала. Сведение же задачи к гео-
метрии фигурных чисел сразу же показывает ее эквивалентность за-
даче о «квадратуре» продолговатого числа, разобранной ранее. На-
верное оба решения были найдены ко временам деятельности Гип-
паса, так что решение теоретико-музыкальной проблемы могло быть
еще одним примером доказательства приведением к абсурду.
Что касается теоремы Пифагора (честно говоря, это уже от-
влечение от темы статьи), то интересно обсудить
вопрос, могла ли она все же иметь отношение к
самому Пифагору. Ее формулировка у Евклида
и оба ее доказательства (1.47 и VI.31) выходят за
рамки пифагоровой геометрии и предполагают
развитую теорию величин, а второе доказатель-
ство—даже теорию подобия, т.е. теорию геомет-
рических отношений. Как уже упоминалось, Хиз
предположил, что чертеж теоремы VI.31 (см.
черт. 19) все же был чертежом доказательства
234 Математика античности и средних веков
Пифагора в случае целочисленных сторон. Но мы должны гово-
рить о «монадных» сторонах в соответствии с замыслом «точной»
геометрии Пифагора, хотя, разумеется, доказательство не могло
обойтись без обращения к «эмпирической» неточной геометрии.
Если предположить использование теории параллельных прямых
(похожее на использование их в доказательстве бесконечной дели-
мости величин), предположить далее знание арифметической тео-
рии пропорций, рассматривать прямоугольные треугольники с
«монадными» сторонами и применить некоторые технические при-
емы (монады должны быть равномерно рассеяны по сторонам, но
не занимать углы, кроме того, целесообразно рассматривать, на-
пример, не треугольник со сторонами 3, 4, 5, а со сторонами 15,
20, 25), то такое доказательство действительно можно построить, и
оно вполне могло приходиться на позднее время Пифагора, хотя ско-
рее всего могло быть открытым не им, а кем-нибудь из учеников.
24. На этом наша попытка реконструкции закончена.
В заключении дадим обзор тех различных движений мысли,
которые в совокупности привели к уникальному достижению Гре-
ции: к переходу от искусных вычислений к строгому доказательст-
ву. Нужно сказать, что набор этих движений сам по себе является
уникальным.
В него входят: экстатическое устремление к бесконечности,
свойственное анаксимандрову времени, стремление упорядочить
это движение, т.е. переход к конструктивному порождению объек-
тов, являющийся достижением Пифагора, а равно и стремление
остановить бесконечность, перейти к рассмотрению ставшего. На-
конец, в него входит обращение с помощью уже разработанной ма-
тематики к изучению физического явления (звука). Хотя элемен-
ты, здесь перечисленные, в разное время проявляли себя в разных
цивилизациях, но только в Греции VI —V веков они сошлись вмес-
те. Специфически европейским был именно пифагоров вклад, так
что его слава как основателя точной науки имеет свой резон. Пи-
фагор реагировал на неопределенность, шаткость апейрона, но он
не бежал от него, как это делали индийские религиозные деятели,
хотя и не мирился с ним, как это происходило в Китае, а пытался
им овладеть, вернее, заменить его конструкцией и конструировани-
ем, что и составило впоследствии одну их основных характеристик
европейского понимания мира.
Примечания
В примечаниях ссылки па античных авторов делаются в основном но их стандар-
тным изданиям. Если текст представлен в книге Лебедева А.В. Фрагменты ранних
I.A-Янков
235
греческих философов, ч.1, М., 1989. это указывается (Леб. и т.д.). Обычно тексту Ле-
бедева соответствует текст известного издания Диля-Кранца.
1 Needham J. Science and civilisation in ancient China. V.III, NY/Cambridge, 1959.
P.104. Речь идет о геометре Jang Hui (его цитируемое произведение вышло около
1285-го года). В тексте я следую пересказу Нидхема. Более буквален следующий
перевод: «Древние меняли имена сообразно предмету; если же нельзя объяснить
имена, то отсутствуют истоки их знаний».
2 Симпликий, комментарий к «Физике» Аристотеля (1, 185а, 14 — 17), с.54 —69, Di-
els. Текст полностью приведен в книге Rudio F. Das Bericht des Simplicius ueber die
Quadraturen des Antiphontos und des Hippokrates. Leipzig, 1907.
3 «...до строгого употребления иррациональных отношений Гиппократ еще нс до-
шел». Ван де Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959. С.185.
4 Прокл, комментарий к первой книге «Начал» Евклида, с.379, 2, Friedlein (Леб. 58В
21).
5 Аристотель. Вторая аналитика, гл.5, 74а, 25 — 32 // Сочинения. Т.2. М., 1978.
С.267.
6 Hankel Н. Zur Geschichte der Mathematik des Altertums und Mittelalters. Leipzig,
1874. S.95 —97. (Цитата, приводимая далее в тексте, взята со страницы 96).
7 Apollonii Pergaei Conicum libri IV priores cum Pappi Alexandrini lemmatisct Eutocii
Ascolonitae Commentariis, pag.9. Oxoniae, 1710.
8 Евклид. Начала. X, t.V. P.415. Heiberg (в русском переводе эта схолия отсутству-
ет).
9 Боэций. «О музыке». III,11 (Леб.47А 19).
10 Прокл, op.cit., комм, к предложению VI (теорема III).
11 Szabo A. The beginnings of Greek mathematics. Dortrecht, 1978. P.216 —220.
12 Knorr W.R. The evolution of the Eucledean Elements. Dortrecht-Boston, 1975.
P.59 — 74.
13 Прокл, op.cit., c. 157,1 —11; c.250,20; c.251,2; c.299,1 —4; c.352,14 —18. Диоген Ла-
эртий. Жизнеописания философов. 1,24 — 25 (Леб. ИА 20 и ИА 1(24)).
14 Becker О. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Muenchen,
1954. S.24-25.
15 Прокл, op.cit., c.65,3 —11 (Леб. ИА И).
16 Прокл, op.cit., с.65,11 —14.
17 Диоген Лаэртий, op.cit., VII, 11.
18 Прокл, op. cit., с.104,11 (Леб. 58В*24а).
19 Прокл, op.cit., с.419,15 (Леб. 58В 20).
2 0Becker О., op.cit. с.37 —42; Becker О. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden // Qu-
ellen u. Studien Gesch. Math. 134,3 — 8, S.533 —553.
21 Ямвлих. Введение в «Арифметику» Никомаха. 10,8, Pistelli (Леб. 14*21а).
22 «Теэтет» 147,е5— 148,а5.
23 «Теэтет» 198 а.
24 Симпликий, комм, к «Физике» (Г4.203 al), с.455,20 (Леб. 58В 28).
25 Диоген Лаэртий, op.cit.,III,11 (Леб. 23В фр.2).
26 Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида// Историко-математи-
ческие исследования. М., 1948. Вып.1.
27 Диоген Лаэртий, там же
28 O.Becker, там же.
236 Математика античности и средних веков
29 Knorr, op.cit., сс. 147 — 148. Hopp цитирует также старую реконструкцию «представ-
ления» чисел, принадлежащую Хейделю. Реконструкция в тексте следует представ-
лению Хейделя.
30 Никомах. Введение в арифметику, кн.П, гл.Х —XI.
31 Аристотель. Физика, Г4.202 Ь36 и комментарий к этому месту Александра Афроди-
зийского в комментарии Симпликия к «Физике», с.57,12 (Леб. 58В 28).
32 Knorr, op.cit., с.144. Цитируется [Ямвлих]. Theologumena Arithmeticae, 122, с.82,
V.de Falio (Леб. 44А 13).
33 Knorr, op.cit., с.144.
34 Евклид, «Начала», книга II, опр.2.
35 Burkert W. Weisheit und Wissenschaft. Nuernberg, 1963. S.409.
36 Никомах, op.cit., кн.П, гл.XII.
37 Ямвлих. О пифагорейской жизни, 89 (Леб.14,*27).
38 Прокл, op.cit., 65,11 (Леб.14 6а).
39 Прокл, там же.
40 Rudio, op.cit., с.38,40.
41 Никомах, op.cit., кн.П, гл.ХУП.
42 Heath Т. A history of Greek Mathematics, p.I. Oxford, 1921. P.144—149.
43 «Начала» X, t.V, c.415,7.
44 Симпликий, комм, к «Физике» 139,14 и Филипон Комм, к «Физике» (Леб. 29А
20а-Ь-с).
45 «...так как основатель элеатской школы был убежденным приверженцем пифаго-
рейского учения, то следует полагать, что острие элейской полемики было направ-
лено не против их италийских друзей, а против ионийских физиков» / / Лурье
С.Я. Теория бесконечно-малых у древних атомистов. М-Л..1935. С.42.
46 Симпликий, комм, к «Физике» 97, И (Леб. 29А 21).
47 «Филеб» 16d-e.
48 «Тимей» 50d — 51b;52b.
49 Аристотель. Метафизика А6.
50 Там же.
51 Szabo, op.cit. с.282-287.
52 Аристотель. Вторая аналитика, кн.2. гл. 10.
53 Аристотель. Первая аналитика, кн.1, гл.23 (41а).
54 «Менон» 84d.
55 Боэций. О музыке, III, И.
56 Szabo, op.cit., с.137 —170.
57 «Начала» книга VII, опр.21.
58 Никомах, op.cit., кн.1, гл.ХУП.
59 Ямвлих. Введение в «Арифметику» Никомаха, 100,19 (Леб. 18 15).
60 Там же.
О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ
ПЕРИМЕТРАМИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Г. А. Зверкина, И. И. Суфиярова
Цель настоящей работы — проследить и исследовать методы,
исторически применявшиеся для вычисления отношения длины
окружности к ее диаметру (числа л) с помощью вычисления отно-
шения периметров вписанных в окружность и описанных вокруг
нее правильных многоугольников к диаметру этой окружности. В
работе описаны, исследованы и сравнены методы, применявшиеся
Архимедом и ал-Каши. Будет показано их отличие, а также то, что
применявшийся Архимедом метод, изложенный в его работе «Из-
мерение круга», может дать более точную оценку для л, чем полу-
ченная в этом трактате. Кроме того, будет показано, что индийские
математики вряд ли могли самостоятельно получить такими мето-
62832
дами известную оценку л ® onnnn. приведенную в «Ариабхатии», и
что оценка эта, по-видимому, принадлежит Аполлонию Пергскому.
I. Исторический обзор
Первая известная оценка числа л с помощью вписанного в
окружность многоугольника была сделана в древнем Вавилоне:
там' было известно, что в круг можно вписать правильный шести-
^6 о
угольник со стороной, равной радиусу; отсюда оценка: л ® — = 3.
Кроме того, в древнем Вавилоне были известны достаточно точные
значения отношения площади правильных 5-, 6- и 7-угольника к квад-
рату стороны; им было также известно отношение периметра правиль-
ного 6-угольника к длине описанной окружности, выраженное в шес-
тидесятиричной записи: 0;57,36, откуда л ® 3; 7,30 = 3- [1, 2]. (На-
8
помним, что выражение вида a; b; с; d, е, f в 60-ричной записи представ-
ляет собой а 602 + b 601 + с 60° + d 60“1 + е • 60' 2 + f • 60 3).
Известно также о попытках вавилонян произвести квадратуру сег-
ментов окружности и луночек [1, 2] Таким образом, вавилоняне
Умели вписывать в окружность правильные многоугольники, одна-
ко метод подсчета приближения л ® 3 ~ нам неизвестен. В древнем
8
256
Египте было известно более точное значение л » уу = 3,1604 ... , од-
нако мы не знаем, как оно было получено. Существуют различные
238
Математика античности и средних веков
реконструкции метода египтян, однако ни один из них не является
достоверным [3, 4]. (Везде в дальнейшем будем называть отноше-
ние длины окружности к ее диаметру числом л несмотря на то, что
в описываемые времена его так не называли).
Также в Библии упоминается отношение длины окружности к
диаметру 3 :1, которое, вероятно, было получено экспериментально
(3-я книга Царств, гл.7, стих 23).
Плутарх утверждал, что что Анаксагор (ок. 500 — 428 гг. до
н.э.), последователь Фалеса, сидя в тюрьме «начертал квадратуру
круга».
Позднее современник Сократа (469 — 399 гг. до н.э.) Антифон,
возможно, впервые предложил метод исчерпывания для построе-
ния квадрата, равновеликого данному кругу: он предлагал вписать
в круг правильный многоугольник и затем многократно удваивать
число его сторон (неизвестно однако, какой многоугольник пред-
полагалось взять в качестве исходного —треугольник, квадрат или
шестиугольник). Антифон предполагает, что в конце концов мож-
но получить многоугольник, равновеликий данному кругу; постро-
ить равновеликий многоугольнику квадрат можно циркулем и ли-
нейкой (следует отметить, что, будучи атомистом, Антифон отри-
цал возможность бесконечного деления и поэтому он не различает
понятия «равен» и «почти равен» [5]). Современник Антифона
Бризон предлагал оценивать также площадь круга и сверху, с по-
мощью описанных многоугольников; возможно, что при этом он
полагал площадь круга равной среднему площадей вписанного и
описанного многоугольников [3, 4, 6].
Архимед (2877 — 212 гг. до н.э.) показал, что площадь круга
равна половине произведения длины окружности на радиус и по-
лучил точную оценку для л сверху и снизу, оценив отношение пе-
риметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру
10 1
окружности: 3~ <л<3~, это дает два правильных десятичных
знака в оценке л [7]. Герои Александрийский (I в.) сообщил в
«Метрике», что Архимед получал и более точную оценку для л [8,
с.66].
Евтокий (I в.) сообщил, что Аполлоний Пергский (ок. 260 —
200 гг. до н.э.) нашел лучшее приближение л [9]. Считают, что в
л 62832
«Окитокионе» он нашел приближение л « 20000’ однако этот тРак'
тат не сохранился и неизвестен способ, который применял Аполло-
ний [10].
р Д.Зверкина, И.И.Суфиярова
239
377
Птолемею (ок. 150 г.) была известна оценка л ® ® 3,14167
(= 3; 8, 30 в 60-ричной системе).
Живший в V —VI вв. н.э. индийский математик Ариабхата I в
своей работе «Ариабхатия» использует то же самое приближение,
62832
что приписывают Аполлонию: л ® °Днако он не указывает
\J\J\JXJ
происхождения этого приближения (кроме этого приближения,
Ариабхата использовал приближения л « 3, л ® V10). Позднее, в
XII в. индийский ученый Бхаскара II предположил, что Ариабха-
62832
та I получил приближение л ® 20000 пУтем приближенного вычис-
ления длины окружности радиусом 10000 единиц, а в XV веке Га-
неша предложил реконструкцию такого метода [И]. Отметим, что
П.Таннери указывает на возможное греческое происхождение этой
оценки [17].
В Китае Лю Синь в I веке давал приближение л ® 3,1547,
Чжан Хэн во II веке—л ® -УТо. Лю Хуэй, оценив периметры прави-
льных 96- и 192-угольников, нашел приближение л ® 3,14. Некото-
рые авторы утверждают, что он находил периметр 3072-угольника
и нашел приближение л ~ 3,14159. Цзу Чунчжи (430 — 501), по
ч 22
утверждению Вей Ши (643 г.), давал приближения для л: — и
355
~ кроме того, утверждают, что в утерянной работе он получил
оценку 3,1415926 < л < 3,1415927. Чжао Цяуцзянь в VI веке давал
27
приближение л ® 3 или л ® — [4, 12, 31].
О
Ученые арабского Востока Абу-л-Вафа ал-Бузджани (940 —
998) и Абу-р-Райхан ал-Бируни (973—1048) находили приближе-
ния для л с помощью периметров правильных вписанных много-
угольников, однако они не смогли улучшить известное им от ин-
62832
дииских ученых приближение л ® 20000'
В XV веке самаркандский ученый Гийас ад-Дин Джемшид
ал-Каши, следуя путем ал-Бузджани и ал-Бируни, вычислил 16 пра-
вильных десятичных знаков числа л [13]. Видимо, на этом разви-
тие метода вычисления приближений числа л с помощью оценки
Периметров вписанных (описанных) в окружность правильных
Многоугольников завершилось, а все дальнейшие улучшения оце-
нок л основывались лишь на усложнении вычислений.
240
Математика античности и средних веков
Результат ал-Каши был независимо повторен Адрианом Ро-
манским: в 1597 г. путем вычисления периметра правильного
230-угольника он получил 17 правильных знаков числа л [31].
В XVI веке Франсуа Виет (1540—1603), пройдя дальше по
пути Архимеда, как говорил он сам, определил, что л заключено в
пределах от 3,1415926535 и 3,1415926537. Возможно, он находил
периметры правильных 2”-угольников [14]. Кроме этой оценки, он
нашел представление л в виде бесконечного произведения [3].
В XVII веке Адриан Меций (1591 — 1653) нашел приближение
355
л » — » ^>141592,• некоторые исследователи предполагают, что он
355 377 - 22
получил эту оценку из оценок Архимеда и Птолемея:
1 10 1 £\J ~~ /
Лудольф ван Цейлен (1539—1610) вычислил 127 десятичных зна-
ков л, а Вильям Шанкс в 1874 году вычислил 708 цифр числа л.
После того, как Гюйгенс (1629—1695) предложил новый более
эффективный способ вычисления приближений л, основанный на
оценке разности площади круга и площади вписанного многоуголь-
ника, оценка числа л с использованием периметров правильных
многоугольников потеряла смысл.
II. Оценка числа л Архимедом.
10 1
Архимед получил свою оценку 3 — <л с 3 рассмотрев отно-
шение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диа-
метру окружности. В Древней Греции не существовало теории
приближенных вычислений в современном смысле, т.е. не исполь-
зовались понятия приближенного равенства и погрешности вычис-
лений; древнегреческие математики признавали только строгие до-
казательства тех или иных соотношений, поэтому Архимед ставит
перед собой цель получить две строгие оценки, а не одно прибли-
женное значение.
Поскольку с ростом числа сторон многоугольника отношение
длины стороны к диаметру окружности убывает достаточно быстро
(примерно в два раза при каждом удвоении сторон), чрезвычайно
трудно получить маленькую относительную ошибку при вычисле-
нии, например, периметра вписанного в окружность правильного
6 • 2” -угольника по наиболее естественным формулам:
°6 = &'•
f.A-Зверкина, И.И.Суфиярова
241
I I ~[
а2п =Л2-Я2-2-R- , К2 -H7-I . (1)
V V к 2 )
(Эту формулу легко получить, используя теорему Пифаго-
ра [И]).
Однако Архимед вычислял обратные отношения, а именно —
ап
D
и , где ап~я. Ап— стороны вписанного и описанного п-угольника,
Аг
а п =6 • 2k. Используя свойства биссектрис треугольников, он фак-
тически применял следующие соотношения:
°6
Иначе соотношение (2) можно записать так [15]:
2 Ф / 2
ctg — = ctg ф + cosec ф = ctg ф + д/1 + ctg ф.
Следуя формулам (2) —(3), и приближенно вычисляя корни,
можно получить ряд оценок для — и , и =6, 12, 24, 48, 96, ...:
откуда
п Рп Рп п
Кп< D<n< D< Кп -П”’
гДе Рп и — периметры описанного и вписанного многоугольни-
ков соответственно. Ясно, что итерации следует продолжать лишь
тогда, когда
л2„ >пп иП2„ <П„, (4)
16-3525
242
Математика античности и средних веков
т.е. оценки не ухудшаются. Чем точнее вычисляются корни, тем боль-
ше можно провести итераций и тем точнее получить оценку для л.
В Древней Греции не существовало позиционной системы за-
писи чисел, но, несмотря на это, ученые умели производить доста-
точно сложные арифметические действия (умножение и деление
больших чисел) [9]. Однако общего правила извлечения квадрат-
ных корней с точностью менее 1, (подобного изобретенному позд-
нее в Индии, где применялась позиционная система и десятичные
дроби), применявшегося Архимедом, нам неизвестно. При вычис-
лениях по формулам (2) —(3) приходится оценивать выражения
вида Ja2 ±1. Для того, чтобы с высокой точностью вычислить та-
кой корень, Архимед представляет число а в виде рациональной
дроби с достаточно большим знаменателем, тогда
N2
М2
! ±м2
м
ски Архимед находит корни вида
1
вычисляя стоящий в числителе корень с точностью до —, фактиче-
8
± 1 с точностью до т—. В
8М
настоящей работе мы не будем останавливаться на вопросе о том,
какими методами мог получать столь точные оценки квадратных
корней Архимед.
Отправляясь от неравенства
265 г- 1351
153<^3< 780’
(5)
о происхождении которого Архимед ничего не сообщает, он для
D D
получения оценок —— и — находит корни из выражений вида
А ап
N М D D
---Y и----т.е. точность вычисления корней для —— и — состав-
1532 7802 А А
ляет соответственно - « 0,0008 и - — = » 0,00016.
о 1 ээ 1ZZ4 о /ои oz4v
Если проводить все вычисления с такой точностью (не упро-
щая дробей, как это фактически сделал Архимед), то в итоге полу-
чается следующий ряд оценок:
265 D D
=2, (О
153 Ag а6
Г.А.Зверкина, И.И.Суфиярова
243
571 D £> 3013 4
153 < Л12 < д12 < 780 ’
Cii)
1
1162 8, D D 5976 (iii)
153 " Л24 < а 24 780’
1 3
2334 - 4 D : < D 11926- о (iv)
153 " Л 48 ° 48 780 ’
4673 ~ D D 9 23839 5 о (v)
153 " Л96 а96 780 ’
1 1
9349- D D 47673 - (vi)
153 " А\92 fl192 ' 780 ’
18700 J 4 D D 95340 (vii)
153 Л384 ° 384 [ " 780 ’
9 37399 - о D D 190684 ± о (viii)
153 Л786 й786 " 780 ’
что дает такие оценки для л:
3 <n < 3,464150944, (0
3,105765243 <7t « с 3,215411560, (ii)
3,132530120 <л « с 3,159728946, (iii)
3,139260672 <л « с 3,146192568, (iv)
3,140956066 <л < с 3,142826576, (v)
3,141336784 <л « ; 3,141986203, (vi)
3,141582014 <л « с 3,141776178, (vii)
3,141530529 <л « с 3,141828684. (viii)
Мы видим, что, в соответствии с условием (4), можно провес-
7 итераций, получив оценку 3,141582014< л <3,141776178, а в
8-й итерации оценки и сверху и снизу ухудшаются.
16'
244
Математика античности и средних веков
Сам же Архимед провел 4 удвоения сторон многоугольников и
в переводе на современный язык оценил следующие выражения:
D
^96
Итак, Архимед провел 4 итерации. Зададимся вопросом: слу-
чайно ли Архимед остановился на 4-й итерации? И было ли воз-
можно с помощью его метода получать все более точные границы
для числа л?
Заметим, что в третьем, четвертом и пятом неравенствах Архи-
мед заменяет получающиеся выражения в оценке —, (и = 24,48,96)
ап
на близкие к ним дроби с меньшим знаменателем.
Вот оценки, приведенные Архимедом:
265 D D
153 Ag а6
(i)
Г.А.Зверкина, И.И.Суфиярова
245
571 D D 3013- 4
153 а12 й12 " 780 ’
1 9
1162 8 D D 1838 и
153 А 24 а24 " 240
1 2334- 4 D D 1109 * о
153 А48 ° 48 " 66 ’
4673 | D D 2017 4 4
153 А9в ° 96 " 66 ’
(ii)
(iii’)
(iv’)
(v’)
что дает такие оценки для л:
3
3,105765243
3,132446730
2,856198347
3,140909654
< л
< л
< л
< л
< л
3,464150944,
<3,215411560,
< 3,159728946,
<3,146192568,
< 3,142826576.
(i)
(ii)
(iii’)
(iv’)
(v’)
Мы видим, что оценка (iv') снизу хуже оценок (iii') и (v'), при
этом оценки для л, получающаяся в 3-й и 5-й итерациях, практиче-
ски совпадают с оценками, полученными без упрощения дробей, в
то время, как в 4-й итерации этого не происходит. То есть, с одной
стороны, после третьей итерации оказывается невыполненным
условие (4), и итерации следовало бы прекратить. С другой сторо-
ны, окончательный результат после четвертой итерации близок к
выражению, получающемуся при вычислениях без упрощения зна-
менателя дробей. Это указывает на то, что первоначально Архимед
провел вычисления не меняя знаменателя (не исключено, что Архи-
мед первоначально мог проводить вычисления с еще большей точно-
стью, чем в неравенствах (i—vii)), а затем упростил их для удобст-
ва восприятия и упрощения проверки расчетов. Практическое сов-
падение же оценки в пятой итерации у Архимеда с оценкой, полу-
ченной без упрощения дробей, указывает на то, что Архимед знал,
какую оценку он хочет получить и «подгонял» к ней вычисления с
упрощенными дробями. Более того, Евтокий утверждает, что
246
Математика античности и средних векоп
Архимед и не ставил своей целью получение очень точных оценок-
он хотел лишь продемонстрировать метод получения такого рода
оценок и дать строгое обоснование оценки, достаточной для прак-
тического применения [9].
Из оценки
1 1
4673-^ D D 2017 д
153 Л96 Ogg 66
имеем:
96-153 96-66
1 >7t > 1’
4673- 2017 7
2 4
откуда, по предположению П.Таннери [16], Архимед получил:
' 1 т 1
IH5 Ю + -—г
2 3- —
37
поэтому
1 „ 1
3->Я >3-----р
7+10
Евтокий (ок. 550 г.) в своих комментариях [9] отмечает, что
Аполлоний Пергский в утраченной ныне работе «Окитокион» про-
демонстрировал тот же самый метод, что и Архимед, получив при
этом более точные оценки для л. Евтокий считает, что Архимед не
ставил своей целью получение очень точных оценок; по его мне-
нию, цель Архимеда состояла в демонстрации способа получения
оценок и получении оценки, годной для практического примене-
ния. Евтокий также сообщает, что Спор из Никеи упрекал Архи-
меда в том, что тот не получил точного значения л, подобного
тому, что получил учитель Спора Филон (из Годара). Это говорит
о том, что Спор (I в.) (и, вероятно, его современники) не считали
л иррациональным числом. Кроме того, из сообщения Евтокия сле-
дует, что многие ученые занимались вычислением оценок для л по-
сле (и на основе) работы Архимеда.
Герои Александрийский в своей «Метрике» сообщил, что Ар-
химед в недошедшей до нас работе «О призме и цилиндре» нашел
Г д.Зверкина, И.И.Суфиярова
247
более точное приближение для л:
197888 211875
62351 >П> 67441
Эта оценка
не является улучшением результатов «Измерения круга»: верхняя
оценка выше —, а нижняя больше л. Однако, как показал П.Тан-
нери, это может объясняться ошибками переписчика, и заменой
трех знаков в числах оценки на близкие к ним по написанию нера-
венства можно привести к виду
195882 211872
или 3,1416016 >л > 3,1415904 ( 6)
62351 67441
(подробнее см. [8, 17, 18]).
Косвенным подтверждением того, что это приближение могло
быть получено методом, предложенным в «Измерении круга» Ар-
химедом, служит и то, что в оценке (6) оба числителя делятся
на 6; это может свидетельствовать о том, что л оценивалось в виде
6-2” fi 6-2” • А_п _
Z • о z • о
Достаточно простая оценка по методу, предложенному ал-Ка-
ши (см. ниже формулу (И)), показывает, что для достижения та-
кой точности, как в оценке (6), достаточно вычислить периметры
правильных вписанного и описанного 1180-угольников; так как
6 -28 =1536 >1180, можно предположить, что Архимед выполнил
для этой оценки не менее 8 удвоений числа сторон многоугольни-
ков, начиная с 6-угольников. Однако здесь следует отметить, что
для получения лучших, чем (vii), оценок, необходимо было иметь
более точные оценки для г/З и уметь более точно, чем в «Измере-
нии круга», вычислять корни из больших чисел. Есть все основа-
ния полагать, что в Древней Греции были известны способы доста-
точно точного вычисления корней, однако здесь мы не будем на этом
останавливаться.
Обратимся теперь к вопросу, каким образом мог бы получить
Аполлоний Пергский (или другой древнегреческий ученый) при-
писываемую ему оценку л »
Во-первых, из оценки (6) имеем такое приближение:
195882 211872
----62351 . 67441 з 141596oo3..,
п ~
248
Математика античности и средних веков
что при вычислении длины окружности радиусом 1 мириада
(104) единиц даст приближенно 62832, т.е. получаем приписывае-
мое Аполлонию приближение. Еще проще это приближение полу-
чить, взяв только верхнюю или нижнюю оценку из неравенст-
ва (6).
62832
Во-вторых, оценка л « ОППП~А могла быть получена Аполлонием
С-»\J\J\J
Пергским также и с использованием вычислений Архимеда, приве-
денных в «Измерении круга». Действительно, Антифон предлагал
оценивать площадь круга с помощью вписанных (а не описанных)
многоугольников, по этому же пути мог пойти и Аполлоний. Вы-
бор вписанных (а не описанных) многоугольников мог быть обу-
D
словлен и тем, что точность вычисления корней для в работе
D .
Архимеда существенно ниже, чем для — (причины такого отли-
ли
чия точности оценок корней будут обсуждены в V разделе настоящей
работы). Аполлоний мог, используя оценки Архимеда и не упро-
щая дробей, продолжить итерации до того момента, когда оценки
начинают ухудшаться, т.е. до восьмой итерации. Можно предполо-
780 • 384
жить, что с помощью нижнеи оценки л >------он оценил длину
95340
окружности с радиусом 10000 единиц, тогда получается:
780-384 11980800000 „„ 122089
L > 20000 очо/п 1 = 190681 = 62831 190681 ’
95340 -
62832
что можно округлить вверх: L ® 62832 и л » 2qqqq-
III. Оценка л в «Ариабхатии»
Известно, что Ариабхата I (V —VI вв.) знал число л с точно-
стью до 4 знаков после нуля; представлялось это число в виде дро-
62832
би 5ПППП- В тексте «Ариабхатии» это число определяется следую-
\J \J \J \J
щим образом:
«Прибавьте 4 к 100, умножьте на 8, прибавьте еще 62000, это
будет для диаметра равного двум мириадам приближенная величи-
на окружности».
Г.А-Зверкина, И. И .Суфиярова
249
Мы покажем, что маловероятно индийское происхождение
этого приближения: скорее всего, оно было получено индийскими
учеными из греческих источников.
Поскольку сам Ариабхата не указал способа, которым было
получено это приближение, его последователи пытались реконст-
руировать вычисления. Так, Бхаскара II (XII в.) предлагал рас-
сматривать приближение числа л как отношение периметра впи-
санного в окружность правильного многоугольника с достаточно
большим количеством сторон к диаметру этой окружности. Одна-
ко он не указывал способ вычисления длины этого периметра.
Позднейшие исследователи предлагали вычислять длину перимет-
ра вписанного многоугольника аналитически, используя последо-
вательное удвоение сторон правильного 6-угольника (Ганеша в
комментариях к «Лилавати» и Нилаканта в комментариях к
«Ариабхатии»).
То есть число л предлагалось вычислять как предел последо-
вательности л п, члены которой вычисляются по следующим фор-
мулам:
где ап вычисляются рекуррентно (см. формулу (1)):
а6=Я, (8)
а2п = ^2 R2 -R-^-R2 (9)
Здесь ag — длина стороны правильного 6-угольника, вписанно-
го в окружность радиуса R, а ап — длина стороны правильного
« угольника, формула (9) выводится с помощью теоремы Пифаго-
ра (см., например, [11]). Мы видим, что этот метод близок к мето-
ду Архимеда, отличие же его состоит в том, что Архимед рассмат-
ривал не только вписанные, но и описанные многоугольники и це-
лью его было не получение приближенного значения л, а нахожде-
ние точной верхней и нижней границы для него; кроме того, он
оценивал не убывающие величины ап при фиксированном D, а
D D
возрастающие — и ——, используя более сложные геометрические
ап Дг
факты, неизвестные в древней Индии.
Из (7) —(9) легко получить, что вычисление приближения
числа л с помощью удвоения сторон правильных многоугольников
сводится к отысканию значений членов последовательности л п,
сходящейся к л, причем
250
Математика античности и средних веков
всего n+ 1 радикал
Из формулы (10) следует, что, если таким образом произво-
дить вычисления приближенных значений л, то на каждом шаге
вычислений будет возникать ошибка, связанная с необходимостью
вычисления квадратных корней. Эта ошибка будет накапливаться
(и умножаться на 2”), и начиная с некоторого момента прибли-
женно вычисляемые значения пп начнут отклоняться от истинного
значения л. Например, начиная с 6-й итерации вычисления при-
ближений л с использованием окружности радиуса 20000 единиц
(проведенные нами с правильным округлением корней до целых
значений) значения л„ начинают убывать, но этот метод не дает
указаний на то, что вычисления следует прекратить именно на 5-й
итерации, а не на 6-й итерации (см. табл.1 Приложения).
При этом заметим, что нет никаких сведений о том, что Ари-
абхате были известны правила действий с приближенными величи-
нами. Так, в «Ариабхатии» приводятся правила извлечения квад-
ратных корней только из полных квадратов. Неизвестно, какими
правилами пользовался Ариабхата для вычисления корней из дру-
гих чисел [19, 20].
Таким образом, предположения о возможности аналитического
вычисления Ариабхатой приближения числа л с точностью до
5 знаков представляются сомнительными. Не имея развитой тео-
рии приближенных вычислений невозможно определить, на каком
шаге вычислений достигнута интересующая нас точность и не пре-
вышает ли погрешность вычислений этой самой точности.
Более того, при проведении вычислений на окружности радиу-
са 1250 единиц, как предлагал Нилаканта [11] (с правильным
округлением корней до целых значений), указанная Ариабхатой I
точность вообще не достигается (см. табл.2 Приложения).
Однако Ганеша в комментариях к «Лилавати» в 1545 г. пред-
лагает вычислять оценку для л по формулам (7) —(9), оценивая
периметры многоугольников, вписанных в окружность диамет-
ра 100:
Об =50;_____________________
«12 = ^252 +(50-д/502 -252У « Тб73.
(см. [12]).
ГА Зверкина, И.И.Суфиярова
251
Л ~
На самом же деле а12 ~ -7^69,87 Может быть, неточное значение
с, 2, приведенное Ганешей, есть результат округления вычислений?
Но д/эо2 -252 « 43,301 и если положить JsO2 -252 » 43,3, то
а\2 ~ -7669,89 « -7670, а если положить -J.502 - 252 « 43, то
«12 ~ 7674. Значение же «]2 « 7673 можно получить лишь положив
-J.502 -252 « 43,071 Маловероятно, что Ганеша, обладая высокой
арифметической техникой, мог случайно допустить такую ошибку.
Проверка последующих вычислений показывает, что описанным
Ганешей способом невозможно получить указанную им оценку
384 • а384 » -798683, из которой и получается приближение
3927 62832
?с. = Кроме того, можно показать, что для того, чтобы
1 ZUUvV
достичь точности 1(Г 4 в оценке л, необходимо оценить (с соответст-
вующей точностью) периметр правильного n-угольника, п > 520. Из
этого можно заключить, что Ганеша «подгонял» (и довольно грубо)
результаты вычислений по формулам (7 — 9) к известному ему зара
нее значению. То есть предложенный им метод нельзя считать удач-
ной реконструкцией метода Ариабхаты, так как он в действительно-
сти не может дать приведенного в «Ариабхатии» приближения в
случае применения той техники арифметический вычислений, кото-
рая была доступна Ариабхате. (При этом, вероятно, Ганеше отку-
да-то было известно, что это приближение достаточно точное )
Таким образом, можно сделать заключение, что способом, пред-
62832
ложенным Бхаскарой, приближение л « Ариабхатой получено
быть не могло. Этим способом могло быть получено лишь чисто ин-
дийское приближение л » -710: оценивая длину окружности диамет-
ром 10 по формулам (7 — 9), можно получить последовательность
чисел -7964, -7981, -7983, -7991 .... пределом которой можно считать
VTOOO = 10 • -710, и л можно положить равным -710 (в некоторых ис-
точниках даются другие, близкие к приведенным числа, что, впро-
чем, не влияет на окончательный вывод)—см., например, (И].
Учитывая же то, что уже Герону было известно приближение
62832
П * 20000’ и то’ что Древняя Индия активно торговала с Римом и
Африкой (21, 22], ученые древней Индии контактировали с древнегрече-
скими и римскими
, б;
приближение л ~ „
20000
учеными (23, 24], можно предположить, что
не выводилось самостоятельно в Индии, а
252
Математика античности и средних веков
было получено из греческих источников. В пользу этого говорит и
отрывок из астрономического трактата Варахамихиры (VI в.) о
том, что греки сообщили индусам многие научные факты. Ал-Би-
руни в своем трактате об Индии также указывает на греческие
корни индийской математики и астрономии [25]. Астрономия гре-
ков была хорошо известна в Древней Индии: например, индусы
использовали греческие1 названия планет. Кроме того, попытки Бхас-
кары II и Ганеши реконструировать метод Ариабхаты должны рас-
сматриваться в связи с тем фактом, что ал-Бузджани и ал-Бируни
намного раньше предложили этот же метод получения оценок для л;
возможно, Ганеша лишь упростил вывод формулы (1).
Здесь следует также отметить, что задолго до Ганеши и Бхас-
кары II среднеазиатский ученый Абу Наср ал-Фараби (870- 950)
написал «Книгу приложений к Альмагесту» [26], фактически
учебное пособие к переведенному в начале IX века на арабский
язык «Альмагесту» Клавдия Птолемея (II в.н.э.) [27]. Книга
ал-Фараби имела широкую известность на арабском Востоке и со-
держала вывод формулы (1), опиравшийся не только на теорему
Пифагора, но и на свойства подобных треугольников и вписанных
в окружность углов. Вывод формулы (1), предложенный Ганешей
и опиравшийся лишь на теорему Пифагора [И], представляется
нам более примитивным.
Многими исследователями отмечался компилятивный характер
«Ариабхатии»: Ариабхата был собирателем и толкователем найден-
ного другими. Очень сложно также установить именно индийское
происхождение того или иного факта или трактата. Ал-Бируни
(973—1048), посетивший Индию и переведший многие греческие и
арабски^ трактаты на санскрит, в том числе и «Альмагест» [27], со-
общал, что переведенный им индусам текст был переписан теми в
стихотворной форме так, что ал-Бируни с трудом узнал его [25].
В пользу предположения о невозможности получить прибли-
62832
жение л » 2Q00Q Ариабхатой самостоятельно говорят и следующие
соображения:
Геометрия в Индии V —VI вв. находилась на достаточно низ-
ком уровне развития. В «Ариабхатии» приводятся лишь те сведе-
ния из математики, которые могли потребоваться в практических
применениях. Какие-либо попытки теоретического обоснования
приводимых фактов отсутствуют; все сведения подаются в форме
правил вычисления. Более того, в «Ариабхатии» приводятся неко-
торые просто неверные факты, которые могли, тем не менее, при-
меняться в приближенных расчетах [25, 28].
Г.А.Зверкина, И.И.Суфиярова
253
Сам Ариабхата не сообщает, откуда взялось приближение
62832
л » 20000’ кРоме этого приближения в вычислениях он применяет
приближения л » 3, л » V10; это может указывать на то, что Ари-
абхата не видел большой разницы в этих приближениях и пользо-
вался тем, которое в этот момент было удобнее. Кроме того, уче-
ник Ариабхаты Варахамихира также применяет оценки л » 3,
л ~ -J10, что опять же говорит в пользу того, что происхождение
62832
оценки л » „„„„„ ему было неизвестно и он, возможно, не был уве-
20000 J J
рен в его точности 119, 29]. Повторно отметим здесь замечание
П.Таннери о возможно греческом происхождении этой оценки [18,
19]. Кроме того, как уже указывалось, арабские ученые X —XI ве-
ков ал-Бузджани и ал-Бируни пытались получить оценки для л са-
мостоятельно, опираясь лишь на греческие источники, так как им
62832
не было известно происхождение оценки л « 20000
Против этих соображений мог бы говорить тот факт, что ара-
62832
бы называли приближение л » 20000 «инд1™ским»: так> Мухаммад
62832
ибн Муса ал-Хорезми в начале IX века называл VI0 и «ин-
J 20000
дусскими значениями» [28]. Но здесь следует отметить,что арабы
начали знакомство с греческой наукой лишь после 768 года, когда
столица калифов была перенесена в Багдад, и ранее этого времени
могло быть ими получено лишь че-
греческое приближение 2qqqq
рез Индию, с которой арабы издавна поддерживали торговые от-
ношения и которая оказала
наук в арабском мире [22, 23, 28].
Таким образом, мы установили, что приближение л »
ли могло быть получено индийскими учеными самостоятельно, кроме
того, было показано, что это приближение действительно могло быть
получено в Греции, имевшей давние связи с Индией. А идеи реконст-
62832
рукции вывода Ариабхатой приближения л » 20000’ ^Р051™0’ навея~
ны переведенными ал-Бируни на санскрит трактатами.
Правильность же приближения, полученного от греков, могла
быть проверена чисто практическими, экспериментальными спосо-
бами, и именно из-за уверенности в правильности такого
существенное влияние на развитие
62832
20000 ВрЯД
254
Математика античности и средних веков
приближения Бхаскара и Ганеша пытались восстановить способ,
которым можно было бы его получить.
IV. Приближение л ал-Каши
В начале XV века Гийас ад-Дин Джемшид ал-Каши (7—1429)
вычислил л с 17 точными десятичными знаками [13]. Он сообща-
ет, что Абу-л-Вафа ал-Бузджани (940 — 998) в недошедшей до нас
работе при вычислении л допустил ошибку в одном знаке. Кроме
того, ал-Бируни (973-1048) в 5-й главе «Канона Мас’уда», вычис-
лив периметр правильного 180-угольника (найдя предварительно
хорду дуги 2°), получил оценку л» 3,14174628. Как отмечает
ал-Каши, он допустил ошибку в третьем знаке после нуля в шести-
десятиричной записи при оценке длины хорды дуги, равной ——
360
длины окружности. П^эи^том, что ал-Бузджани и ал-Бируни была
известна оценка л = jpooQ’ эти Ученые> воспитанные на трудах
древнегреческих математиков, хотели самостоятельно получить
оценку для л с максимально возможной точностью. Их работы
были известны ал-Каши; не являясь автором применяемого метода,
он, вероятно, впервые в дошедших до нас работах обоснованно ис-
пользует приближенные методы вычислений. Решив превзойти вы-
числения ал-Бузджани и ал-Бируни, ал-Каши заранее задает точ-
ность, с которой он намерен вычислить л: для окружности диамет-
ра 600000 диаметров Земли вычислить длину с ошибкой меньше
волоса (® 0,06 11). Затем он определяет, периметр какого многоуго-
льника ему надо вычислить для того, чтобы получить заданную
точность. Он оценивает отношение периметров вписанного и опи-
санного п-угольников:
р" _ = (И)
р”
затем оценивает разность этих периметров, учитывая уже известные
грубые оценки для л. Это позволяет ему оценить необходимое число
итераций (удвоений сторон) для вычисления л с объявленной ранее
точностью и получается, что необходимо провести 27 удвоений, в
итоге вычислив периметр правильного 228 • 3 = 805 306 368-угольни-
ка. Для вычисления периметров ал-Каши применяет модификацию
формулы (1), вывод которой есть в «Альмагесте» ;он приводит
другое, более сложное доказательство, фактически в ходе его вы-
ведя формулу
Г.А.Зверкина, И.И.Суфиярова 255
ф Г1 + COS ф.
COS 2 = V 2
(см. [30]) вместо известной из «Альмагеста» формулы
Ф 1 - cos ф 11 - ^/1-5т2ф
Sin 2 = V 2 = V 2 ’
при вычислении синусов по которой приходилось бы дважды вы-
числять квадратные корни, что может привести к увеличению по-
грешности вычислений.
Вместо вычислений по формулам (7) —(9), которые дают ре-
куррентные соотношения для длин сторон:
а2п = ^2 R2 -R ^4 -R2 -а% ,
ал-Каши использует формулы, дающие меньшую погрешность:
Ь1п = <12>
«3>
(Здесь Ьп —хорда описанной вокруг многоугольника окружности, кото-
рая вместе с ап и диаметром составляет прямоугольный треугольник).
Вычисления ал-Каши проводит по формуле (12) и лишь в по-
следнем действии применяет формулу (13).
Вычисления ал-Каши проводит в 60-ричной системе, имея це-
лью получить значение л с 13-ю дробными разрядами. Учитывая
то, что при вычислении периметра (умножении длины стороны на
число сторон) точность понизится на 5 разрядов (228 -3 = 1; в
60-ричной системе), ал-Каши производит все действия в 18 дроб-
ных'разрядах. Для облегчения работы он составил таблицы ариф-
метических действий в 60-ричной системе и разработал собствен-
ные приемы извлечения квадратных корней в своем «Ключе к
арифметике» (1427 г.), своде основных арифметических знаний
того времени [31]. Все вычисления для большей уверенности он
проводит 2 — 3 раза с проверкой обратным действием. Для удобст-
ва практического использования окончательный результат перево-
дится и в десятичную запись.
В своих вычислениях ал-Каши, вероятно, впервые в дошедших
До нас работах использует понятие погрешности или ошибки вычис-
лений; он уже имеет представление о возрастании погрешности с
ростом числа операций, однако оценивать погрешность еще не уме-
ет. Округления в последнем знаке вычисляемых величин он делает
в зависимости от того, в какую сторону (вверх или вниз)
256
Математика античности и средних веков
производилось предыдущее округление и на какую величину, хотя
из текста трактата ал-Каши неясно, имел ли он какие-либо теоре-
тические соображения о принципах округления. Возможно, ал-Ка-
ши предварительно производил вычисления с еще большей точно-
стью, понижая ее при каждой итерации на разряд и затем, ориен-
тируясь на полученные так значения, производил округления в своей
работе.
Таким образом, ал-Каши впервые обоснованно вычислил при-
ближение л с заранее заданной точностью, дав метод оценки числа
необходимых итераций и указав на необходимость оценки погреш-
ности в каждой итерации.
Последующие улучшения приближения л, основанные на уд-
воении сторон, получались лишь за счет увеличения количества
итераций и технического усложнения вычислений.
Неизвестно, каким путем пошел Ф.Виет, опубликовавший в
1593 г. свою двустороннюю оценку для л. Некоторые исследовате-
ли утверждают, что Виет провел 16 удвоений, вероятно, учитывая,
что полученную им точность можно получить, сравнив периметры
правильных многоугольников с числом сторон не менее 278417
(см. формулу (11)). Действительно, 6-216 = 393216>278417, одна-
ко в трактате Виета не указано, с какого правильного многоуголь-
ника он начинал удвоения и сколько удвоений он произвел; Виет
лишь сообщает, что он прошел в удвоениях дальше, чем Архимед,
с помощью аналитического деления углов [14]. Из сообщения Вие-
та о том, что он использовал аналитическое деление углов, можно
заключить, что вряд ли он применял метод вычислений Архимеда
в чистом виде (формулы (2 — 3)). Вероятнее, что он использовал
метод, подобный методу ал-Каши (формулы (7 — 9) и (11)). Оста-
ется открытым вопрос об учете Виетом погрешностей вычисления.
Учитывая же то, что в своем трактате Виет рассматривает вопросы
деления угла на две и три части и, кроме того, вычисляет стороны
и диагонали правильного 16-угольника, можно предположить, что
Виет вычислял периметры правильных 2”-угольников и, следова-
тельно, начиная с квадрата, ему пришлось провести не менее
17 удвоений (4 -217 =524288 >278417). Возможность удвоения сто-
рон вписанных и описанных правильных четырехугольников
(квадратов) использовал еще Папп Александрийский в своей «Ма-
тематической коллекции» в методе исчерпывания.
V. Сравнение методов Архимеда н ал-Кашн
Отметим здесь основные отличия методов, применявшихся Ар-
химедом и ал-Каши.
Г д.Зверкина, И.И.Суфиярова
257
1. Архимед ставил своей целью найти точные границы, в кото-
рых заключено число л, в то время как ал-Каши хотел найти при-
ближенное значение л с заранее заданной точностью.
2. Метод Архимеда позволял проводить вычисления до тех
пор, пока не нарушено условие (4), и пока оно соблюдалось, оцен-
ки не ухудшались, то есть в этом методе имелся естественный
ограничитель числа итераций. Более того, так как каждый раз все
оценки были строгими, то и нарушение этого условия не приводи-
ло к неправильному результату; оценка могла лишь ухудшиться,
но не стать неверной. К сожалению, здесь нельзя было заранее
сказать, какая точность будет достигнута в оценке л, если прово-
дить вычисления с определенной точностью.
Метод же ал-Каши дает возможность вычисления приближен-
ного значения л с заранее заданной точностью; он предполагает
предварительное определение числа итераций, которые необходимо
произвести, а также необходимо определять заранее точность, с
которой будут производиться вычисления. Нарушение этих зара-
нее определенных условий приводит к неправильному результату.
Сравним теперь скорость сходимости процессов итерации в
этих методах.
Для оценки л снизу Архимед применял следующие вычисления:
подсчитано с точностью S, то погрешность оценки
f D У D 8 С гЛ
---- будет'составлять примерно 23+2 — • - + е = 8 2 + — + е, где
<а2п) а„ 2 V 3J
е—точность вычисления корня, а полная погрешность вычисления
D
2
I 2" б)
составит примерно е • {((...(4 + 1) 6 + 1) 10 + 1)...) (2й + 2) + 1} Погреш-
ность
D
Л"-6,
составит примерно
е {((...(4+1)6+1) 10+1) ...)(2” +2) + !}
(2” -6)2
17-3525
258
Математика античности и средних веков
а погрешность нижней оценки для л примерно равна
е -{((-(4 + 1)6 + 1)10+1)-) (2” + 2) + !}
22" -12-6
е {((...(4 + 1) 6 + 1) 10 + 1) ...) (2”" 2 + 2) + 1}
12 6
(п-2)(.п-\) п2
= е • 2 2 ~ С е • 2 2 ,
т.е. растет она существенно быстрее экспоненты.
Аналогично оценим погрешность верхней оценки для л.
Для оценки —— Архимед применял следующую формулу:
D
А
I —
I
D
2 D
+ 1 + Л ’
(2)
D
Если подсчитано с точностью S, то погрешность оценки —
будет составлять примерно 28+в, где е —точность вычисления кор-
полная погрешность вычисления —----------- составит примерно
А2П 6
ня, а
3” • Е.
D
Погрешность —----- составит
Р2" 6
и погреш-
ность
т.е. растет
верхней оценки для л npi
она как показательная функция.
Отметим, что эти оценки проводились в предположении, что
-УЗ вычисляется с той же погрешностью, что и все остальные кор-
ни. Если же точность вычисления -/З существенно выше, чем оста-
льные вычисления (как это было в работе Архимеда), то показате-
ли степени в оценках погрешности можно уменьшить на 1 (у Ар-
химеда ошибка в оценке -УЗ составляла: для верхней границы —ме-
нее 2,5 - 10“ 5, а для нижней границы — менее 5 10-7, в то время
как точность вычисления корней составляла для них соответствен-
но 8- IO" 4 и 1,6-IO-4).
Далее, мы видим, что погрешность для верхней оценки растет
существенно медленнее, чем для нижней. Следовательно, если мы
j- д.Зверкина, И.И.Суфиярова
259
хотим получить примерно одинаковую точность верхней и нижней
оценок, нам придется для нижней оценки проводить вычисления
намного точнее, чем для верхней (при одинаковой точности вычис-
лений процесс итераций для нижней оценки начнет расходиться
раньше, чем для верхней). Возможно, Архимед заметил это свой-
ство своих оценок; он проводит вычисления для нижних оценок с
точностью в 5 раз большей, чем для верхних, а точность исходного
приближения 43 для нижней оценки превосходит точность при-
ближения для верхней оценки в 50 раз (!). Использование Ар-
химедом вычислений с различной точностью при получении оце-
нок периметров сверху и снизу показывает также на то, что он
проводил неоднократный пересчет оценок для того, чтобы полу-
чить примерно одинаковую точность оценки л сверху и снизу за
равное число итераций.
Тем не менее в любом случае погрешность оценок для л растет
достаточно быстро.
Ал-Каши для получения оценки л выражал &2п через R и Ьп:
Ь2п = ^2 R2 + R • Ьп , (12)
причем при последнем удвоении сторон он вычислял Ь2п без извле-
чения корня:
Ь%п = 2 R2 + R Ь„,
а„ = д/4Л2-Ь2.
Таким образом, произведя 27 удвоений, ал-Каши пришлось
вычислить квадратный корень 28 раз (учитывая то, что
= R • -УЗ). Если Ьп вычислено с точностью 6, то погрешность вы-
5
числения Ь2п не будет превосходить е + -, где е —точность
2
ния корня; погрешность же вычисления а^п 6 составит
вычисле-
не более
E
J<2e, а погрешность
вычисле-
ния а^п 6 будет менее е. Таким образом, погрешность вычисления
периметра р2„ 6 не превосходит 2” -6-е. Из этой оценки погреш-
ности видно, что при вычислении оценки л ал-Каши мог бы про-
должать еще некоторое время свои итерации, тем самым еще более
Улучшив свою оценку л. Однако современная оценка погрешности,
основанная на формуле Тейлора, не была возможна во времена
Дл-Каши, а при проведении итераций получающиеся значения не
17'
260 Математика античности и средних веков
могут, как в методе Архимеда, указать на момент, когда оценки
начинают ухудшаться.
(Отметим здесь, что современная оценка погрешности верхней
оценки для л в методе Архимеда растет медленнее, чем оценка по-
грешности нижней оценки л в методе ал-Каши (!).)
Окончательно, если ставится задача вычисления л с заранее за-
данной точностью, то метод ал-Каши при достаточно высокой куль-
туре вычислений и учете погрешностей более эффективен, чем ме-
тод Архимеда. С другой стороны, метод Архимеда позволяет оце-
z ч D D
нивать снизу (и сверху) постоянно растущие отношения — и ——.
ап \
Таким образом, если целью является получение строгих оценок
для л при отсутствии теории приближенных вычислений и спосо-
бов вычисления корней с высокой точностью, то, если поставить
задачу проводить вычисления до тех пор, пока оценки для л не
начнут ухудшаться, метод Архимеда дает хороший результат. При-
менение его могло позволить греческим ученым приближение
62832 ,
л ® ппппй 'и даже улучшить его). Кроме того, метод Архимеда
дает строгую, а не приблизительную оценку, что более соответст-
вует принципам древнегреческих математиков.
Авторы выражают глубокую благодарность профессору
И.Г.Башмаковой, без помощи и ценных советов которой представ-
ленная работа не была бы выполнена.
Приложение
Таблица!
№ п/п Число сторон Длина стороны Длина периметра Приближение л
1 6 20000 120000 3,00
Ь 12 10353 124236 3,105900
1 3 24 5221 125304 3,132600
4 48 2616 125568 3,139200
5 96 1309 125664 3,141600
6 192 655 125760 3,144000
7 384 327 125568 3,139200
8 786 163 125184 3,129600
9 1536 81 124416 3,110400
р д Зверкина, И.И.Суфиярова
261
Таблица 2
n/n Число сторон Длина стороны Длина периметра Приближение я
1 6 1250 7500 3,00
1 2 12 647 7764 3,105600
L3 24 326 7824 3,129600
4 48 163 7824 3,129600
5 96 81 7776 3,110400
192 40 7680 3,07200
' 7 384 20 7680 3,07200
8 768 10 7680 3,07200
1 9 1536 5 7680 3,07200
1 io 3072 2 6144 2,45760
Список литературы
1. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
2. Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. Т.1. Догрече-
ская математика. М.-Л., 1937.
г Рубио Ф. Квадратура круга. М.-Л., 1934.
4. Histoire gdn£tale des sciences, v. 1 / Taton R. (ed.) La science antique et mddidvale
Paris, 1957.
5. Веселовский H.H. Комментарии к работе Архимеда «Измерение круга» // Архи-
мед. Сочинения. М., 1962. С.528 —553.
6. Вт дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959.
7. Архимед. Сочинения. М., 1962.
8. Heronis Alexandrini. Opera quae supersunt omnia. Lipsiae, 1976. V.III.
9. Les oeuvres completes d’Archimfcde suivies des commcntaires d’Eutocius d’Ascalon.
Litge, 1960.
10. Колъман Э.Я. История математики в древности. М., 1961
11. Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. М., 1977.
12. Рыбников К.А. История математики. М., 1974.
13. ал-Каши Дж. Г. Трактат об окружности // Историко-математические исследова-
ния. М., 1954. Вып.7. С.327 — 379.
14. Vietae Francisci. Variorum de rebus mathematicis responsorum, cuius praecipua capi-
ta sunt de duplicatione cubi, et quadratione circuli. Turonis. 1593.
15. Чвалина А. Архимед. М.-Л., 1943.
16. Tannery P. Sur la mesure du ccrcle d’Archimide / / Mimoires scientifiques. Pa-
ris-Toulouse, 1912. V.l P.226-253.
17. Tannery P. Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia (vol.VIII) // M6moi-
res scientifiques. Paris-Toulouse, 1915. V.3. P.131 —157.
18. Tannery P. Notes critiques sur les «Metrica» de Нбгоп / / M£moires scientifiques.
Paris-Toulouse, 1915. V.3. P.196 — 207.
19. Clark W.E. The Aryabhatiya of Aryabhata. An ancient Indian work on mathematics
and astronomy. Transl. with notes Chicago, 1930.
262 Математика античности и средних веков
20. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире, М., 1967.
21. Древняя Индия. Историко-культурные связи. М., 1982.
22. Бонгард-Левин Г.М., Ильин Г.Ф. Индия в древности. М., 1985.
23. Культура древней Индии. М., 1975.
24. Бобынин В. В. Древне-индусская математика и отношение к ней в Древней Греции
// Известия физ.-мат. общества при Казанском университете. Вторая серия. Ка-
зань, 1917. Т.ХХП. №2. С.128-157.
25. Alberuni’s India. Delhi, 1964.
26. ал-Фараби Абу Наср. Математические трактаты. Алма-Ата, 1972.
27. Бронштэн В.А. Клавдий Птолемей. М., 1985.
28. Ващенко-Захарченко М.Е. Исторический очерк развития геометрии. Киев, 1883. Т.1.
29. The Panca-siddhanta of Varahamihira / O.Neugebauerand D.Pingree. Copenhagen,
1971.
30. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М., 1961.
31. ал-Каши Дж. Г. Ключ к арифметике // Историко-математические исследования.
М., 1954. Вып.7.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
В ЗЕМЛЕМЕРНОЙ ПРАКТИКЕ0
Е. А. Зайцев
I
Землемерная практика, включая ее математические аспекты, и
теоретическая геометрия исторически формировались как две раз-
личные и, по существу, независимые сферы математической куль-
туры. Несмотря на то, что слово «геометрия» по своей этимологии
восходит к землеизмерению, а устойчивая традиция связывает воз-
никновение геометрии с решением землемерных проблем, возни-
кавших в Египте при разливе Нила, античные авторы обычно не
только строго различали две дисциплины, но и иерархически упо-
рядочивали их, возводя геометрию в ранг высокой науки, а земле-
мерию отводя роль ремесла. В средневековье, хотя землемерие и
выступает в обличье геометрических понятий, различие дисциплин
сохраняется, что находит отражение в разделении на практиче-
скую (к которой относится и землемерие) и теоретическую геомет-
рию. Однако, начиная с эпохи Возрождения, землемерие, как са-
мостоятельная дисциплина, постепенно теряет свое значение из-за
активного проникновения в него прикладных методов плоской гео-
метрии. Отныне вычисления площадей полей производятся путем
предварительного разбиения на прямолинейные фигуры с подсчетом
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного
научного фонда (код проекта: №97-03-04204).
Е А.Зайцев 263
—
поверхностей и последующим суммированием результатов, т.е., в
точном соответствии с теоретическими императивами «Начал» Евк-
лида. Тогда же в аграрную топографию на смену примитивным ме-
тодам визирования межевых камней приходит триангуляция, осно-
ванная на точной фиксации значений углов с последующим перено-
сом построенной на местности треугольной сетки на карту. Это озна-
чает, что на смену просуществовавшим не одно тысячелетие прибли-
зительным методам землемеров приходит точный математический
расчет.
Причины превращения землемерия в раздел прикладной гео-
метрии связаны с особенностями культуры эпохи Возрождения, а
последующая канонизация геометрических методов со становлением
буржуазного частного права в сфере землевладения. Ибо именно в
сфере буржуазного частного землевладения рождается настоящий
земельный кадастр, основанный на трех принципах: незыблемости
границ землевладений, точном вычислении площадей, как основы
земельного налога, и создании выполненных в масштабе карт земле-
устройства. Вплоть до Нового времени развитых форм земельного
кадастра просто не существовало. Границы землевладений (прави-
льнее, землепользований) были подвижны, площади поверхностей
подсчитывались приблизительно, а масштабных карт практически
не было. Даже в римскую эпоху, когда государственное регулирова-
ние земельных отношений привело к созданию аграрной картогра-
фии, на планах полей вычерчивались границы лишь так называе-
мых «промежуточных структур» (см. ниже), но не самих земель-
ных участков, для которых фиксировалась лишь величина площади
и размер налога. Поэтому-то в античности и после появления теоре-
тической геометрии в практическом землемерии долго оставались в
употреблении архаичные приблизительные методы.
Несмотря на исторически сложившееся различие сфер земле-
мерия и геометрии, начиная с позднего эллинизма и до наших
дней предпринимались многочисленные попытки «переписать» ар-
хаичные землемерные процедуры на язык плоской геометрии. Их
характерная черта состояла в том, что они практически никогда не
приводили к полному успеху: в тот самый момент, когда казалось,
что некоторую землемерную задачу или группу задач удается пере-
формулировать на языке геометрии, в рамках уже построенной
геометрической модели проявлялись противоречия, для устранения
которых приходилось «подправлять» текст землемерной задачи.
Приведем несколько примеров.
В византийской геометрической рукописи XI —XII вв. (Codex
Constantinopolitanus, Palatii Veteris №1), составленной из текстов,
264
Математика античности и средних веков
приписываемых Герону Александрийскому, есть глава с условным
названием «Введение Герона в геометрически измеримые (величи-
ны)». В этой главе под номером 4 (fol. 7г) приведена следующая
задача [1, vol.l, р.9; vol.2, р.7; vol.3, р.7]:
«Пусть задан четырехугольник, стороны которого параллель-
ны, а углы не являются прямыми, и большая длина которого рав-
на 32 футам, а другая (меньшая длина равна) 30 футам. Вместе
(длины) составят 62 фута, половина от этого (составит) 31 фут. И
ширина (четырехугольника равна) 18 футам, и другая (ширина
равна) 16 футам; вместе (они составят) 34 (фута), половина от
этой величины (составит) 17 (футов). Умножь эти величины (т.е.,
17 на 31), в результате (получишь) 527 футов. Столько футов со-
ставляют площадь: 527 футов».
Сопоставление текста задачи с рисунком, на котором изоб-
ражен четырехугольник неправильной формы со сторонами 32, 18,
30 и 16, позволяет однозначно восстановить смысл вычислитель-
ной процедуры. В рассматриваемой задаче площадь четырехуголь-
ника вычисляется по «формуле агрименсоров» или «формуле лож-
ной площади», повсеместно использовавшейся в землемерной тра-
диции древности, правда, для вычисления поверхностей полей с
четырьмя сторонами, а не площадей плоских четырехугольников.
Согласно этой формуле (дающей заведомо неверный с математиче-
ской точки зрения результат) площадь поля с четырьмя заданны-
ми сторонами находится как произведение средне арифметических
его противолежащих сторон.
Такая интерпретация не вызывала бы возражений, если бы не
присутствие в условии задачи требования параллельности сторон.
Если все стороны фигуры параллельны, то четырехугольник пре-
вращается в параллелограмм, что невозможно. Предложенную ин-
терпретацию можно попытаться спасти несколькими способами.
Можно, например, предположить, что автор задачи имел ввиду па-
раллельность лишь двух сторон фигуры, т.е., считал ее трапецией.
Но и в этом случае условие задачи содержит противоречие. Легко
показать, что существование трапеции со сторонами 32, 18, 30 и 16
влечет за собой существование треугольника со сторонами 2, 16,
18 или 2, 30, 32, что невозможно. Остается одно из двух: либо
считать условие параллельности ошибочным (и тогда мы получаем
аналог чисто землемерной задачи), либо сделать вывод об ошибоч-
ном задании некоторых из числовых параметров.
Сложность интерпретации этой задачи усугубляется действия-
ми схолиаста, комментировавшего рукопись в XV в. Его добавле-
ния на полях, целью которых является замена формулы ложной
f А Зайцев
265
площади на правильную формулу геометрии, вносят еще большую
смуту. Поддающаяся прочтению часть комментария звучит так:
«... перпендикуляр —тот, что 16 (футов). Половину от 62 (ум-
ножь) на него: получишь 496 (футов). Такова площадь». На ри-
сунке внутри четырехугольника схолиастом добавлены слова «Она
(т.е. площадь) составляет 496 (футов)».
Из комментария следует, что схолиаст не только соглашается
с условием параллельности двух сторон четырехугольника, но и
дополняет его более сильным предположением, что рассматривае-
мая в задаче трапеция является прямоугольной (т.е., что одна из
ее боковых сторон —та, что имеет длину 16 футов —совпадает с ее
высотой). Очевидно, что такая интерпретация, хотя и дает матема-
тически верный результат (при заданных условиях площадь пря-
моугольной трапеции действительно равна 496 футам), избежать
трудностей, связанных с принятием условия параллельности, сно-
ва не удается. Если рассматриваемый в задаче четырехугольник
действительно является прямоугольной трапецией, то приходится
признать существование прямоугольного треугольника со сторона-
ми 2, 16, 18, что снова невозможно. Впрочем, и в этом случае, вы-
ход может быть как будто найден—достаточно снова признать за-
дание одной из сторон в 18 футов ошибкой, тем более, что в вы-
числениях схолиаста эта величина вообще не участвует [1, vol.3,
р.7]. Таким образом, возникают еще один, третий вариант геомет-
рической интерпретации исходной задачи. Причем, какую бы из
этих интерпретаций мы не приняли, в тексте задачи всегда остается
«остаток», не укладывающийся в предлагаемую модель: либо при-
ходится признать приблизительность формул для площади, одно-
временно отказавшись от параллельности и перпендикулярности
сторон, либо допустить наличие ошибки в задании величин.
Указанные проблемы носят объективный характер. О том, что
они не являются следствием наивности античного и средневекового
интерпретаторов, говорит тот факт, что аналогичные трудности
фиксируются и современными исследователями, в частности, по
отношению к архаичным текстам шумеро-вавилонской математики.
Речь идет о квалификации некоторых типов вавилонских че-
тырехугольников как «ложных трапеций» [2, р.44; 3, с.202]. Ло-
гика вычислений подсказывает, что рассматриваемые фигуры дол-
жны быть трапециями. Однако, как и в задаче (псевдо) Герона,
такому предположению противоречат заданные величины сторон.
Причем в вавилонских задачах нельзя сослаться на ошибку в зада-
нии параметров, ибо параметры подобраны специально с целью по-
лучить на некотором этапе вычислений так называемые вавилонские
266 Математика античности и средних вскон
тройки. О том, что не ошибки в задании параметров ответственны
за возникающие противоречия, говорит другой пример из вавилон-
ской математики, в котором конкретика заданных величин вообще
не играет никакой роли. Это задача из клинописной таблички
YBC 8633 [2, р.52 —55]. В задаче требуется найти площадь поля
треугольной формы (так обычно переводят шумерское слово, обо-
значающее клин), которое разбито на три треугольных участка
двумя прямыми, проведенными из его вершины. К задаче прилага-
ется чертеж треугольника, разбитого на три части в точном соот-
ветствии с условием. Все линейные размеры, включая длины ли-
ний внутри большого поля, заданы. Задача решается так: площадь
поля находится как сумма площадей трех составляющих его ма-
лых полей. Трудность при этом состоит в том, что вавилонский
землемер, вычисляя площади малых полей, поступает так, как
будто они все являются прямоугольными треугольниками, что в
плоской геометрии просто невозможно.
В чем же причина противоречий, возникающих при интерпре-
тации землемерных задач? С нашей точки зрения, она состоит в
злоупотреблении геометрической терминологией и навеянными
этой терминологией представлениями. Речь идет, прежде всего, об
использовании таких фундаментальных понятий плоской геомет-
рии, как прямолинейность, а также параллельность и перпендику-
лярность сторон, эквиваленты которых отсутствуют в землемерных
текстах. Ни в названиях форм полей (типичные—клин, бычий
лоб), ни в описаниях их границ нет ни слова о параллельности,
перпендикулярности или о прямизне.
II
Мысль о квалификации землемерных вычислительных алго-
ритмов для площадей полей как формул для площадей прямоли-
нейных фигур возникает из-за структурного тождества землемер-
ных алгоритмов с алгоритмами плоской геометрии. Эта идея обыч-
но находит дополнительную поддержку в чертежах задач, на кото-
рых формы полей изображаются в виде прямолинейных фигур-
Поскольку, как правило, нашей единственной информацией о фор-
ме поля является чертеж, то нам при реконструкции приходится по-
лагаться исключительно на форму изображенной на чертеже фигу-
ры. Скажем, если на чертеже изображен треугольник, а в тексте го-
ворится о вычислении по формуле S = ~ab, нам естественно пред-
ставляется, что речь идет о вычислении площади треугольника (точ-
нее, поля в форме треугольника). Или, если на чертеже изображена
фигура, которая сходна с трапецией и площадь вычисляется по
Е.А.Зайцев
267
формуле 5 = ~ {а + с)Ь, мы склонны считать, что вычислительная про-
цедура является формулой для площади поля в форме трапеции.
Рассмотрим вопрос о том, насколько надежно вообще исполь-
зование чертежей для получения информации о формах полей. Ис-
следователи давно заметили, что некоторые из фигур вавилонской
геометрии, которые на чертежах выглядят как трапеции, на самом
деле трапециями не являются. Таковы, например, поля из табличек
YBC 4675, Эрм. 15073 и АО 17264, которые называют «ложными
трапециями», ибо в плоской геометрии трапеций с такими парамет-
рами существовать не может [3, с.202 —206]. А.А.Вайман указал
на причину искажения информации о форме поля на чертеже. Она
состоит в том, что поле, в отличие от поверхности клинописной
таблички, не всегда является плоским —оно может быть располо-
жено на возвышенности или в низине. В таких случаях изображе-
ние на чертеже не передает точно его формы. О том, что неров-
ность поверхности поля ответственна за искажение его формы в
чертеже, говорит, например, терминология задачи АО 17264, в ко-
торой поле квалифицируется как «низменность», а о его боковых
сторонах написано, что они «спускающиеся» [3, с.205 —206].
К сожалению, недостаточная осведомленность относительно
исторических форм аграрного ландшафта Месопотамии III —II ты-
сячелетий до н.э., а также скудность информации о возможных ре-
альных формах полей в текстах математического содержания не
позволяют нам развить сколько-нибудь содержательную теорию о
связях, существовавших в шумеро-вавилонском землемерии между
формой поля, фигурой на чертеже и вычислительным алгоритмом.
Однако, некоторые соображения общего характера по этому во-
просу можно сформулировать, используя другой источник — рим-
ский землемерный корпус, в ряде задач которого есть информация
одновременно о реальных формах полей и об их фигурах на черте-
жах. Речь идет о задачах двух латинских трактатов —«Книги
Эпафродита и Витрувия Руфа» [4, р.516 —551; 5, р.51—54] и «Об
измерениях в югерах» [6, S.354 —356; 5, р.42 — 49]. В «Книге
Эпафродита и Витрувия Руфа» приведены три задачи на вычисле-
ние площадей полей, расположенных на склонах холмов. Холмы
при этом условно считаются усеченными конусами. Для вычисле-
ния площади поля берут полусумму периметров при основаниях
конуса и умножают ее на боковую сторону конуса —склон холма
(или на полусумму боковых сторон, в случае когда склоны раз-
личны). Таким образом, площадь вычисляется в соответствии со
стандартной формулой землемеров для полей с четырьмя сторона-
ми. Важным обстоятельством является то, что поля, расположенные
268
Математика античности и средних веков
на склонах холмов, на самом деле, не прямолинейны, а криволи-
нейны (развертка усеченного конуса). Несмотря на это, на черте-
жах, сопровождающих задачи, поля изображены в виде прямоли-
нейных трапеций. Это означает, что вычислительный алгоритм в
этих задачах не связан жестко с определенной метрикой —он под-
ходит как к криволинейной (поле на холме), так и к прямолиней-
ной фигуре (трапеция).
Другой поучительный пример из трактата «Об измерениях в
югерах». В задаче 6 этого трактата определяется площадь поля,
имеющего форму полумесяца (ager lunatus). На чертеже, сопро-
вождающем задачу, также изображен полумесяц. Особенность за-
дачи состоит в том, что для вычисления площади используется
формула, совпадающая с архаичной формулой для нахождения
1 ч 1
площади треугольного поля S = ~(а + с) ~Ь. В самом трактате эта
же формула используется и для подсчета площадей полей в форме
правильного треугольника и ромба (составленного из двух прави-
льных треугольников). Таким образом ее использование не зави-
сит от метрики— она, также как и рассмотренная выше формула,
применима и к прямолинейной и криволинейной фигурам.
По-видимому, тот же вывод следует сделать и по отношению к
вавилонским полям, имеющим неровную поверхность. Причина но-
сит общий характер. Дело в том, что чертеж поля в древности, в
отличие от современного аграрного плана, совсем не обязан был
точно воспроизводить форму участка. Масштабных земельных
планов, как мы уже сказали, ни древность, ни средневековье не
знали. Чертеж являлся лишь символом, знаком формы поля, кото-
рый можно было использовать для обоснования выбора вычисли-
тельного алгоритма для подсчета площади. Но если нет точной ин-
формации о форме поля, то вычислительный алгоритм должен
учитывать лишь число сторон и быть инвариантным по отношению
к метрике, т.е., одинаково пригодным для прямолинейных и кри-
волинейных форм поверхности.
III
Рассмотрим формальную структуру землемерных вычислите-
льных процедур для нахождения площади. Решение задачи о на-
хождении площади поля по его линейным размерам состоит в ум-
ножении двух числовых выражений, линейно зависящих от задан-
ных (линейных) параметров. Такая вычислительная процедура фор-
мально совпадает с нахождением площади плоской фигуры в геомет-
рии: и в том, и другом случае речь идет о нахождении площади не-
которого прямоугольника. Рассмотрим типологию вычислительных
процедур, принятых в землемерной геометрии, ограничившись
Е.А.Зайцев
269
наиболее важными случаями, относящимися к вычислению ллоща-
дей полей с тремя и четырьмя сторонами.
Для вычисления площади поля с тремя сторонами в землемер-
ной геометрии использовались различные формулы в зависимости
от числа заданных линейных параметров. Так, если задано два па-
раметра, носящих обычно названия «длина» и «ширина», то пло-
щадь поля определялась как произведение половины «длины» а на
«ширину» Ь:
1
S = 2ab
(1)
Если заданы три параметра а, b и с, то площадь поля вычисля-
лась по формуле:
S = ^(a + c)±b (2)
Различные формулы использовались в землемерии и для вычис-
ления площадей полей с четырьмя сторонами в зависимости от числа
заданных параметров. Если заданы два линейных размера —«длина» а
и «ширина» Ь, то площадь поля вычислялась по формуле:
S = ab (3)
Если заданы три линейных параметра a, b, d, то площадь поля
определялась по формуле:
с 1 <4>
5 = - (b + d)a
Здесь b и d—две «ширины», а а — «длина».
И наконец, если заданы четыре линейных размера a, b, с, d, то
площадь в поле с четырьмя сторонами вычислялась по классиче-
ской формуле агрименсоров:
с 1 , ч 1 ,, (5)
5 = - {а + с) • - (b + d),
где пары а, с и b, d—длины противоположных стороны.
Исследователи по разному интерпретировали смысл линейных
параметров землемерных задач. Одни считали некоторые из вели-
чин «высотами» прямолинейных фигур (критические замечания по
этой точке зрения см. в приложении 1), другие полагали, что за-
данные величины параллельны или ортогональны. Наконец, тре-
тьи, считали эти величины длинами сторон. Возможны и смешан-
ные варианты интерпретаций. Общей чертой всех этих подходов
является уверенность в том, что формы полей представляют пря-
молинейные фигуры.
270
Математика античности и средних веков
Поскольку от условия прямолинейности мы вынуждены были
отказаться, в предлагаемой ниже интерпретации мы не делаем ника-
ких предположений о формах полей, одинаково допуская как их
прямолинейность, так и криволинейность. При этом, поскольку до-
пустимы криволинейные формы, единственно возможным является
понимание линейных параметров как длин сторон. Принятие такой
точки зрения позволяет отвлечься от соображений, навеянных евк-
лидовой метрикой (прямолинейность, параллельность, перпендику-
лярность), и сосредоточиться на сути вычислительных алгоритмов.
Их анализ показывает, что различные на первый взгляд вы-
числительные процедуры связаны единой логикой —в их основе
лежит формула ложной площади для поля с четырьмя сторона-
ми (5). Действительно, когда одна из сторон равняется нулю, фор-
мула (5) превращается в формулу для площади поля с тремя сто-
ронами и тремя заданными параметрами (2). Далее, когда величи-
ны b и d равны, формула (5) превращается в формулу (4) для
поля с четырьмя сторонами и тремя заданными параметрами, кото-
рая, в свою очередь при а = с превращается в формулу (3) для
поля с четырьмя сторонами и двумя параметрами. Таким образом
формула ложной площади (5) действительно лежит в основе всех
возможных рассмотренных выше вариантов задач. Кроме того,
формула (5) лежит в основе архаичной формулы для площади
поля- в форме круга, согласно которой площадь равна площади
квадрата, построенного на стороне, равной четверти длины окруж-
ности. Что же касается тех случаев, когда задано меньше парамет-
ров, чем число сторон, то можно предположить, что размеры неко-
торых сторон по каким-то причинам остались неспецифицированны-
ми (возможно, что они просто недоступны измерению на плоскости
реального аграрного ландшафта, либо таковое нецелесообразно). В
процессе решения задач значения этих параметров «приравнивают-
ся» величинам противоположных сторон.
В основе формулы (5) заложены две фундаментальные идеи.
Первая, весьма нетривиальная идея состоит в том, что величина
поверхности может быть подсчитана как произведение длины на
ширину. Вторая идея состоит в том, что если эти длины или шири-
ны неравны между собой, их перед умножением следует усред-
нить. Наша задача состоит в том, чтобы показать, откуда могли
возникнуть эти две идеи, не прибегая к соображениям, заимство-
ванным из плоской геометрии, а оставаясь в рамках аграрных реа-
лий. (Заметим, что в плоской геометрии идея площади как произ-
ведения сторон может быть выведена из евклидовости метрики.
Формула ложной площади, напротив, не может быть обоснована в
Е А.Зайцев
271
геометрии, так как, если рассматриваемая фигура не является пря-
моугольником, она дает значение, больше истинного).
IV
Начнем с вопроса о происхождении идеи площади поверхно-
сти как произведении длины на ширину. Для земледельца, в отли-
чие от геометра, площадь поверхности поля не являлась выраже-
нием абстрактного количества. В своей основе величина аграрной
поверхности отражала затраты труда на ее обработку. Подтверж-
дением этого является тот факт, что в разных аграрных цивилиза-
циях существовали стандартные единицы площади, выражавшие ту
величину поверхности, которая в результате длительного трудового
опыта ассоциировалась с работой, выполняемой за день. Прежде
всего это —римский югер (слово jugerum, этимологически восходит
к jugum — пара волов) —поверхность, вспахиваемая упряжкой из
пары волов за день. Далее, югер представляет из себя прямоуголь-
ник, состоящий из двух квадратных актов. Квадратный акт, в свою
очередь, это квадратная поверхность со стороной в один линейный
акт. Линейный акт {actus—дословно «понукание», «понуждение»)
также обязан своим происхождением трудовым затратам на вспаш-
ке: линейный акт —это длина борозды, проходимой упряжкой из
двух волов до остановки на отдых или до поворота.
Об аграрной поверхности, понимаемой как мера трудовых за-
трат на вспашке, говорят названия многих земельных мер площади
средневековой Европы, по своему смыслу восходящих к римскому
югеру. Такие исторические меры, как французские journal и jour,
немецкие morgen, tagwerk и joch выражают ни что иное, как днев-
ную норму вспашки на волах. В Европе были в ходу и другие
меры площади, связанные с трудовыми затратами, но отличные от
югера. Так, например, в Ирландии вплоть до высокого средневеко-
вья площадь участка выражалась просто числом борозд (при этом
длина борозды считалась величиной постоянной). Близкая по
смыслу идея была реализована в средневековой Англии. Там дли-
на участка, совпадающая с длиной борозды {furlong), считалась
постоянной, и для нахождения площади достаточно было простого
измерения его ширины (английская мера длины furlong этимологи-
чески связана с furrow — борозда). Известны и другие более грубые
меры площади, основанные на времени, затраченном на вспашку
поля волами. Они ориентированы уже не на дневную, а на годовую
норму вспашки. Так, в средневековой Скандинавии площадь сред-
него крестьянского владения оценивалась в 2 httingar’a, что эквива-
лентно поверхности, которую можно обработать парой волов за год.
Аналогичная идея нашла отражение в средневековых норманских
272
Математика античности и средних веков
мерах bovate и carrucate, имевших хождение в Англии. Первая по
своей этимологии восходит к латинскому bos (вол) и означает по-
верхность, обрабатываемую за год одним волом. Вторая является
производной от carruca (тяжелый колесный плуг) и описывает по-
верхность, обрабатываемую за год восьмеркой волов. Численное
соотношение между этими мерами составляло 1:8 [7, р.52 —53; 8,
р.56 —58; 9]. Аналогичные по смыслу земельные меры были и у
англо-саксов: охдапд и ploughland, между которыми было тоже со-
отношение 1:8. На связь поверхности поля с затратами труда по
его вспашке указывает также древнегреческая мера площади arura\
изначально это слово служило для обозначения пахотного поля. В
древнерусской сохе, как основе земельного налога, также сохрани-
лась идея о том, что плошадь связана с трудовыми затратами на
вспашке.
Многие шумеро-вавилонские меры площади, как и другие тех-
нические термины шумерского происхождения, потеряли свое из-
начальное значение (вавилоняне воспринимали их только как тех-
нические термины, как мы сейчас зачастую воспринимаем таковы-
ми термины, заимствованные из латинского или древнегреческого
языка). Тем не менее, одна из основных мер площади SAR сохра-
нила и свое обычное значение —«грядка», «гряда» [10, S.20].
Можно предположить, что исходное значение слова SAR не огра-
ничивалось грядкой и что оно могло иметь также значение бороз-
ды, оставляемой плугом на поле. Тогда, например, выражение
5 SAR могло означать 5 борозд. (Возможно также, что характер-
ное для таблиц умножения шумерское слово а-га, которое восхо-
дит к понятиям «ходьба», «ходить» («три хода» в смысле «три
раза») [11, с.36,71,83], также имеет отдаленную семантическую
связь с многократным проведением борозды (о связи умножения с
площадью поля см. ниже). Отметим, что в римских землемерных
текстах один и тот же глагол ducere (вести, проводить) использо-
вался и в словосочетании «провести борозду» и как математический
термин для перемножения сторон поля).
В Древнем Египте не удается прямо связать меры площади с
трудовыми затратами по вспашке, возможно, потому, что эта рабо-
та была относительно легкой (вспашка иногда вообще не практи-
ковалась—в Египте посевное зерно просто затаптывалось в почву
скотом, специально для этой цели выпускавшимся на поле). Отме-
тим однако два обстоятельства. Первое, что одна из основных еги-
петских мер площади «(земляной) локоть» представляла из себя
полосу длиной в 100 и шириной в один локоть, то есть, была чис-
ленно равна линейному пути в 100 локтей [12]. Второе, что в
g д Зайцев 273
Египте площадь могла оцениваться не столько в терминах работы
00 вспашке (из-за относительной легкости последней), сколько в
объеме необходимых ирригационных работ. По мнению И.А.Слу-
чевского, один из текстов эпохи Рамессидов, в котором встречает-
ся норма принудительной обработки земли в 10 арур, следует по-
нимать не как норму вспашки или посева, а «скорее как осуществ-
ление каких-то предшествующих мероприятий, например, проведе-
ние каналов, укрепление дамб и т.п.» [13, с.214] (о значении этих
двух обстоятельств мы скажем ниже).
Покажем теперь как идея поверхности, понимаемая как мера
трудовых затрат, могла привести к представлению о площади как
о произведении длины и ширины и к идее предварительного
усреднения. Если поверхность — это затраты труда на вспашке, то
количественно она может быть выражена как совокупная длина
борозд на поле. Если «длины» поля одинаковы, то его «длина»
совпадает с длиной борозды. Предположим, что «ширины» поля
также одинаковы. В геометрии аналогом такого поля был бы па-
раллелограмм. Тогда площадь поверхности (т.е., совокупную дли-
ну борозд на поле) можно найти как произведение длины борозды
(= длине поля, выраженной в линейных мерах —шагах, футах и
т.п.) на число борозд на поле. Если бы вспашка велась не сохой, а
плугом с отвалом, на поле образовывалась бы достаточно консер-
вативная система гряд, число которых можно было бы легко под-
считать. С подобной ситуацией мы встречаемся в средневековой
Европе, где площадь иногда выражалась в числе борозд. Но при
вспашке сохой гряды не образуются. К тому же, поскольку проме-
жутки между бороздами (лат. scamnum) остаются непропаханны-
ми, возникает потребность в перекрестном вспашке. При этом
подсчет числа борозд становится вообще невозможным. Это обсто-
ятельство и приводит к необходимости поиска линейного эквива-
лента числу борозд на поле. Таким эквивалентом и является шири-
на поля, поскольку число борозд на поле прямо пропорционально
его ширине. Таким образом, место второго члена в произведении
(длины борозды на число борозд) занимает ширина поля, и появ-
ляется соответствующая вычислительная процедура: площадь по-
верхности равна произведению длины на ширину. При этом необ-
ходимость в перекрестной вспашке ускоряет усвоение идеи равно-
правного статуса двух величин —длины и ширины поля. Ибо при
перекрестном вспашке попеременно то ширина, то длина по.чя стано-
вятся величинами, выражающими число борозд. Заметим, что при
такой интерпретации метрика поверхности (то есть прямолиней-
ность или криволинейность фигуры) не имеет никакого значения.
18-3525
274
Математика античности и средних веков
Исходя из представления о поверхности как произведении
длины борозды на число борозд, может быть понят и смысл фор-
мул ложной площади. Достаточно сделать это для формулы (5).
Действительно, если поле имеет четыре границы —две неравные
«длины» и две неравные «ширины» —, то для нахождения его по-
верхности надо умножить среднюю длину борозды на число бо-
розд. Средняя длина борозды на поле может быть найдена как по-
лусумма длин крайних борозд, т.е., «длин» поля. Число борозд на
поле является средним числа борозд, выходящих на большую и
меньшую «ширину». Поскольку число борозд, выходящих на «ши-
рину» пропорционально ей, то число борозд на поле может быть
выражено как среднее значение двух «ширин». Окончательно по-
верхность поля оказывается выраженной в виде произведения
усредненной «длины» на усредненную «ширину». Аналогичное
рассуждение можно провести по отношению к остальным форму-
лам ложной площади. Заметим, что поскольку данное рассуждение
не выходит за рамки архаичных представлений о поверхности и
элементарной идеи усреднения, оно вполне могло быть проведено
земледельцами древних цивилизаций. Что касается идеи усредне-
ния, то она не требует развитых навыков абстрактного мышления.
Подтверждением тому является естественная для мифологического
сознания идея центрирования пространства и нахождения «середи-
ны мира» (в том числе и в терминах количества).
Отступление о Египте. В приведенном выше рассуждении мы
воспользовались идеей представления поверхности как совокупно-
сти борозд. Такого представления в Египте мы не находим. Тем не
менее, аналог предыдущего рассуждения проходит и для египет-
ского поля, если вместо борозды рассмотреть полосу египетского
земельного локтя (см. выше). Поверхность поля при этом понима-
ется как совокупность таких полос. А поскольку полосы египетско-
го земельного локтя, также как и борозды от сохи, не получают
точной фиксации на поверхности поля, приходится число полос
оценивать в терминах ширины поля с вытекающим отсюда следст-
вием-представлением поверхности в виде произведения длины на
ширину, или, в усредненном варианте, в виде формулы ложной
площади. Возможен и иной вариант. Поверхность в Египте могла
оцениваться как мера трудовых затрат по проведению на ней кана-
лов и дамб. Тогда она могла осознаваться как совокупная длина
этих каналов, или произведение средней длины канала на их чис-
ло. И такое представление об аграрной поверхности могло привести
к понятию площади как произведения средней длины поверхности
Е.А.Зайцев 275
на его среднюю ширину (в данном случае речь идет не о поле, как
единице землепользования, а о совокупности полей).
Логическая реконструкция формул ложной площади, разумеется,
не может заменить исследования конкретных исторических предпо-
сылок их появления. Центральным в исторической реконструкции
должен стать вопрос о том, зачем люди вообще начали измерять пло-
щади. На этот счет мы можем высказать следующую гипотезу.
В ряде архаичных легенд рассказывается о типологически
сходном явлении аграрной жизни древних цивилизаций. Оно со-
стояло в том, что на определенном этапе развития общее поле
было поделено на равные участки, переданные в пользование чле-
нам сообщества. Такую легенду передает Геродот, когда говорит о
возникновении египетской геометрии. Согласно этой легенде фара-
он Сесострис разделил египетское поле на равные квадратные уча-
стки, которые распределил (поровну) между крестьянами. Сход-
ную легенду римляне рассказывали о Ромуле, по распоряжению
которого римское поле было поделено на участки по два югера.
Аналогия усиливается тем, что как и в Египте, так и в Риме поле
вначале было поделено на «промежуточные структуры». В Египте
это были клетки, границами которых служили дамбы и каналы
(прорытые по приказу того же Сесостриса), а в Риме — квадратная
сеть центурий (размеченных во времена Ромула). Участки земле-
пользования были размежеваны внутри промежуточных струк-
тур [14]. На этапе начального разбиения на равные участки (ско-
рее всего участки в два югера были квадратными) идея о том, что
поверхность является произведением длины на ширину, по-види-
мому, не возникала. На поле просто размечалась промежуточная
структура, в которую укладывалось целое число квадратов полей
(римская центурия состояла из 200 югер).
Со временем картина всеобщего равенства, наглядно реализо-
ванного в форме равенства землевладений для членов сообщества,
подверглась изменению. Например, в Риме, в условиях отсутствия
частного землевладения, границы участков внутри центурий были
подвижны (границы самих центурий, будучи объектом куль-
та-римский праздник терминалии — были фиксированы). То же
самое можно сказать о Египте. В процессе наследственных разде-
лов, выведения из землепользования неплодородных земель (появ-
лявшихся в результате смыва плодородного слоя из-за разлива
Нила и т.д.) форма и поверхность участков изменялись. К увели-
чению и соответственно уменьшению поверхностей полей вела и
возрастающая социальная дифференциация. Эти изменения, как
Природного, так и социального характера входили в противоречие
18*
276
Математика античности и средних веков
с теми идеальными представлениями о социальной справедливо-
сти, которые были живы в обществе, как некогда реализованные
легендарными правителями. В сущности лейтмотивом всей рим-
ской аграрной истории и было разрешение противоречия между
изменением размеров земельных владений с одной стороны и идея-
ми социальной справедливости с другой. Здесь истоки постоянных
попыток законодательного перекроя земельной собственности, ко-
торыми так богата римская история. Но для того, чтобы сама по-
пытка перераспределения земли была осмысленной, прежде всего,
необходимо было найти методы оценки площадей. Так как земель-
ные участки из-за подвижности границ давно перестали следовать
начальному квадратному модулю, то их поверхности не могли быть
оценены как число квадратов. В этих условиях, нахождению фор-
мулы ложной площади и могло способствовать представление о по-
верхности как мере трудовых затрат. О логике перехода от числа бо-
розд к произведению длины на ширину мы говорили выше.
Приложение 1
Даже если считать поля прямолинейными фигурами, в трак-
товке параметров поля как высот есть принципиальная трудность.
Она связана с тем, что в условиях аграрной реальности измерить
высоту фигуры, если только она не является одновременно ее гра-
ницей, довольно сложно.
Логически возможны два варианта измерительной процедуры.
Во-первых, высота фигуры может быть проведена непосредственно
на плоскости земельного участка и измерена. В принципе, нет ни-
чего невозможного в том, что с помощью различного рода визиров
(типа римской «громы») землемеры могли находить точку пересе-
чения высоты с основанием фигуры. Однако реально измерить эту
высоту веревкой или землемерным шестом можно было не всегда.
Трудность состояла в том, что, например в Египте, измерения уча-
стка производились только после того, как посаженное зерно дава-
ло всходы, чтобы исключить из налогообложения неплодородные
земли. О такой практике, существовавшей в эпоху фараонов, рас-
сказывает Геродот, указывая на то, что из основы налога исключа-
лись земли, на которых после разлива Нила произошло вымыва-
ние плодородного слоя (История, 11,109 [15, с.112]). Даже если
поставить под сомнение свидетельство Геродота о фискальной цели
измерения участков (скорее всего Геродот перенес современную
ему практику налогообложения на времена фараонов), сам факт
того, что поля в Древнем Египте измерялись, когда зерновые уже
взошли, подтверждается многочисленными фресками, на которых
Е.Л-Зайцев 277
египетские гарпедонапты изображены натягивающими измеритель-
ную веревку на фоне уже колосящегося поля [16, Plate 3, между
с.96 и 97]. В Египте эпохи Птолемеев и времен Римской империи
земельные участки в районе Фаюма также измерялись каждый год
после засева и всхода зерна, чтобы исключить из налога засолен-
ные земли [17]. Чтобы измерить «высоту» поля, когда зерно уже
взошло, необходимо было протоптать дорожку, что привело бы к
потере части урожая. Поэтому, следует признать такой способ
определения «высоты» участка маловероятным или, по крайней
мере, имевшим ограниченное применение.
«Высоту» земельного участка можно также найти косвенно,
путем измерения ее проекции на одну из условных прямоугольных
осей [18]. При этом, системой координат могла бы служить прямо-
угольная (или квази-прямоугольная) сеть, состоящая из дамб и ка-
налов, или дорог, то есть, соответствующая границам промежуточ-
ной структуры. Однако, нахождение проекций сторон участка на
оси требует каждый раз не просто визирования, а визирования под
прямым углом к оси проекции. Такое визирование требует исполь-
зования инструмента типа римской громы и является довольно
сложным, чтобы производится ежегодно. Римские землемеры ис-
пользовали грому, по-видимому, только для нанесения на поверх-
ность границ квадратной сетки центурий, не изменявшейся в тече-
нии десятилетий. Разумеется, возможность такого способа измере-
ния величин полностью исключить нельзя. Но, строго говоря, нет
никаких основания предпочесть его более простому способу, сво-
дящемуся только к измерению сторон.
Приложение 2
(Исторический обзор источников)
Ниже представлен исторический обзор формул ложной площа-
ди в различных культурных ареалах. По соображениям краткости
из обзора исключены примеры из китайской, индийской и араб-
ской землемерно-математической литературы.
Шумеро-вавилонская культура
Обилие клинописных табличек, относящихся к старо-вавилон-
скому периоду (XIX —XVI вв. до н.э.) и содержащих вычисления
по формуле ложной площади для произвольного четырехугольни-
ка (5), свидетельствует о стандартном характере данной вычисли-
тельной процедуры для вавилонского землемерия. Неправильные че-
тырехугольники носили названия «бычья морда (лоб быка)» или
«длина ест длину». Линейные параметры назывались соответственно
278
Математика античности и средних веков
большой и малой «длиной» и «шириной (основанием)». «Длина»
всегда была больше «ширины».
Обзор задач, решаемых с помощью этой формулы, смотри у
Фриберга с указанием источников [19, р.556]. Подробное обсуж-
дение математической таблички YBC 4675 с формулой ложной
площади [2, р.44 —48], Эрм. 15073 и АО 17264 [3, с.202 —206,
232 — 240). Наиболее ранним свидетельством использования «фор-
мулы ложной площади» является источник, относящийся ко вре-
мени III династии Ур (XXII —XX вв. до н.э.) [19, р.542]. По-ви-
димому, еще два более ранних текста можно интерпретировать как
применение этой формулы. Они относятся, соответственно, к про-
то-шумерскому (нач. III тыс. до н.э.) и саргонскому периодам
(2316 — 2261 гг. до н.э.) [19, р.540 —541]. Использование формулы
ложной площади для четырехугольного поля зафиксировано в но-
вовавилонских хозяйственных текстах, относящихся к VII —VI вв.
до н.э. [20], а также в математических текстах эпохи Селевкидов
АО 6484 [21, р.298-302].
Если в четырехугольнике заданы три стороны, то его площадь
в Вавилоне вычислялась по формуле (4), где b и d— бблыпая и ме-
ньшая «ширина» (то есть, величины оснований), а а —«длина».
Обзор см. у Фриберга [19, р.556]. Обсуждение задач с тремя па-
раметрами YBC 7290 и YBC 1126 см. [2, р.44].
В задачах на вычисление площадей полей треугольной формы
формула ложной площади, учитывающая размеры всех трех сто-
рон (2), в шумеро-вавилонской математике не встречается. Обыч-
но площадь треугольника вычисляется по формуле (1), использу-
ющей размеры лишь двух сторон, где Ь— «ширина» (основание)
треугольника, а а —его «длина» [19, р.554 —555].
Египетская культура
В немногочисленных источниках по древнеегипетской матема-
тике, что сохранились до наших дней — Московском папирусе (ок.
1850 г. до н.э.) и папирусе Райнда (Rhind) (ок. 1650 г. до
н.э.) —приведены вычислительные процедуры, соответствующие фор-
мулам для четырехугольников и треугольников с неполным набо-
ром параметров. Это —папирус Райнда, задачи 51, 52, и Москов-
ский папирус, задачи 4, 7, 17 (текст, перевод и обсуждение
см. [22, р.36-37, 92-93; 23, р.91-95; 24]).
В египетской культуре эпохи царствования Птолемеев и Рим-
ской империи зафиксировано использование формул ложной пло-
щади для четырехугольника (5) и треугольника (2). Это — папирус
Tebtynis 87 (конец И —начало I в. до н.э), инскрипции на стене
Е.А.Зайцев
279
храма Аполлона в Эдфу (82 г. до н.э) и папирус London 267 (II в.
н.э.). (Подробное обсуждение папируса Tebtynis 87 см. [17,
р.95 —99], там же смотри литературу о других источниках). О по-
пулярности формулы ложной площади говорит тот факт, что ее
использование зафиксировано не только в текстах экономического
содержания, но и в математических папирусах, где с ее помощью
вычисляются даже площади прямоугольников: в формулу ложной
площади автоматически подставляются попарно равные значения
противолежащих сторон. С математической точки зрения вычисли-
тельный процесс усложняется —для получения значения площади
проще было бы просто перемножить стороны прямоугольника. [12,
РгоЫ. 64 — 65]. О формуле ложной площади у (псевдо)Герона, то есть
в эллинистической (или византийской) среде мы говорили выше.
Римские и византийские землемеры
В римском землемерном корпусе (Corpus agrimensorum roma-
norum) формула ложной площади (5) и вариант формулы (2) для
равностороннего треугольника и ромба (который, по мнению авто-
ра трактата, составлен из двух равносторонних треугольников и
носит название «бычья голова») встречаются в тексте «Об измере-
нии в югерах» («De jugeribus metiendis», задачи 5, 3, 4) [6,
S.355,1 —7, 354,16—19, 354,20 — 24]. В этом же тексте формула
ложной площади для треугольника (2) используется для вычисле-
ния площади поля в форме криволинейного клина (задача 6) [6,
S.355,8 -13]. См. обсуждение в [25, S.324—325, 330 — 334]. Не-
смотря на то, что наиболее старая рукопись, содержащая этот
текст, относится к началу IX в., сами задачи, несомненно, восхо-
дят к римскому периоду. Далее, вычисления по формуле ложной
площади входят в число «Задач для изощрения юношества», при-
писываемых Алкуину, но также восходящих к источнику римского
времени (задачи 22 — 24) [26, S.57 —59]. Задачи, полностью анало-
гичные проблемам Алкуина и заимствованные из того же римского
источника, приведены также в «Геометрии неизвестного автора»
X в. (Geometria incerti auctoris, кн.4, задачи 31—33) [4,
р.352 —354]. В Византии аналог формулы ложной площади (5) по-
является в рукописи XI в. в задаче нахождения числа виноград-
ных кустов, посаженных по три на единицу длины на четырехуго-
льном участке. Соответствующая модификация формулы (5) в со-
временной записи выглядит так:
Количество кустов = [(а + с) + - (а + с)] [(Ь + d) + — (b + с0]
(6)
[27, с.320-331].
280
Математика античности и средних веков
Список литературы
1. Codex Constantinopolitanus, Palatii Veteris №1 / Ed. Bruins E.M. Leiden: E J
Brill, 1964. Vol.1-3.
2. Neugebauer O., Sachs A. Mathematical Cuneiform Texts. New-Haven: American Ori-
ental Society, 1945.
3. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика III —I тысячелетия до н.э. М.:
Изд-во восточной литературы, 1961.
4. Bubnov N. Gerberti opera mathematica. Berlin, 1899.
5. Mortet V., Tannery P. Un nouveau text des traitds d’arpentage et de gdometrie d'E-
paphroditus et Vitruvius Rufus public d’apres le Ms. latin 13084 de la bibliothdque
royale de Munich // Tannery P. Mdmoires scientifiques. Paris: Gauthier-Villars
1922. Vol.5. P.42 79.
6. Blume F., Lachmann K., Rudorff A. Die Schriften der roemischen Feldmesser. Berlin, 1848.
Bd.l.
7. White L. Medieval Technology and Social Change. Oxford: Clarendon Press, 1962.
8. Favory F. Propositions pour une moddlisation des cadastres ruraux antiques // Ca-
dastres et dspace rural / Ed. Clavel-Leveque M.. Paris, 1983. P.51 —135.
9. Jones A. Land Measurement in England, 1150—1350 // Agricultural History Re-
view. Vol.27. Part 1. 1979. P.10 —18.
10. Vogel K. Vorgriechische Mathematik II. Die Mathematik der Babyloner. Hannover:
Schroedel, 1959.
11. НейгебауэрО. Лекции по истории античных математических наук. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
12. Parker R. Demotic Mathematic Papyri. Providence: Brown University Press & Lon-
don: Lund Humphries, 1972.
13. Случевский И. А. Земледельцы государственного хозяйства древнего Египта эпохи
Рамессидов. М., 1974.
14. Dilke O.A.W. The Roman Land Surveyors: An Introduction to the Agrimensores.
Newton Abbot, 1971.
15. Геродот. История в девяти книгах / Пер. Стратановского Г.А. Л.: Наука, 1972.
16. Dilke O.A.W. Greek and Roman Maps. London: Thames & Hudson, 1985.
17. Deleage A. Les cadastres antiques jusqu'A Diocldtien // Etudes de papyrologie.
Vol.2. 1932. P.73-228.
18. Лурье С.Я. К вопросу о египетском влиянии на греческую геометрию // Архив
истории науки и техники. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. Вып. 1. С.45 — 70.
19. Friberg J. Mesopotamian Mathematics: A Survey / Ref: Reallexikon der Assyrologie und
Vorderasiatischen Archaeologie // Chapter «Mathematik». Preprint №1991-06/ISSN
0347-2809. The University of Goeteborg. Department of Mathematics. 1991.
20. Nemet-Nejat K.R. Late Babylon Field Plans in the British Museum. Rome, 1982.
21. Brians E.M. Interpretation of Cuneiform Mathematics//Physis.Vol.4. Fasc.4.1962. P.277 —341.
22. The Rhind Mathematical Papyrus / Trans, and Comment, by Chace A.B. Oberlin:
Mathematical Association of America, 1927. Vol.l.
23. The Rhind Mathematical Papyrus / Ed., Transl. and Comment, by Peet T.E. London:
Hodder & Stoughton, 1923.
24. Struve W.W. Mathematische Papyrus des staatlichen Museums der schoenen Kuenste in
Moskau//Quellen und Studien zur Gcschichtc der Mathematik. Berlin. (Quel-
len).1930.Bd.1.
25. Folkerts M. Mathematische Probleme im Corpus Agrimensorum / Die roemische Fed-
messkunst (Hrsg. von Behrends O. und Capogrossi Colognesi L.) // Abhandlungen
der Akademie der Wissenschaften in Goettingen. Philol.-Hist. KI. №193. Goettin-
gen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1992. S.311—334.
26. Folkerts M. Die aelteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache:
Die Alcuin zugeschriebenen PROPOSITIONES AD ACUENDOS JUVENES
Oesterreichische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissen-
schaftliche KI. Denkschriften. Bd.116. Abh.6. Wien, 1978. S.15 —79.
27. Успенский Ф.И. Византийские землемеры Наблюдения по истории сельского хозяйства /ТруДЬ*
VI Археологического съезда в Одессе (1884). Одесса, 1888. Т.2 С272—341.
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
О СТАТЬЕ И.Б.ПОГРЕБЫССКОГО
«К ИСТОРИИ КАЧЕСТВЕННЫХ МЕТОДОВ
В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»
С.С.Демидов
В прошлом году исполнилось девяносто лет со дня рождения
выдающегося российского историка науки Иосифа Бенедиктовича
Погребысского (1906—1971). Вниманию читателей предлагается
его работа, посвященная предыстории качественной теории диффе-
ренциальных уравнений, опубликованная в малодоступном издании:
сборнике «Вопросы теории и истории дифференциальных уравне-
ний» (Киев: Наукова думка, 1968. С.39 —49).
Начало этой теории принято связывать с мемуаром А. Пуанкаре
«О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями»,
опубликованного по частям в 1881 —1886 гг. в Comptes Rendus Академии
наук Франции (1]. Конечно, качественные методы исследования
появлялись в теории уравнений и раньше (например, в работах
Штурма по теории, известной сегодня как теория Штурма-Лиувилля
(см. [2, с.132—139]), но лишь к восьмидесятым годам XIX в.
сложились все предпосылки для зарождения целого направ-
ления — качественной теории дифференциальных уравнений. Этому
способствовало, с одной стороны, развитие самой теории диффе-
ренциальных уравнений, с другой, внешние запросы, в первую очередь,
нужды механики. Господствовавший до этого в теории уравнений
аналитический подход к исследованию их решений с неизбежностью
приводил к их изучению в комплексной области и носил
преимущественно локальный характер, то есть поведение решений
282
Статьи различного содержания
изучалось в окрестности отдельной точки. В то же время задачи
теории сплошь и рядом приводили к необходимости изучения
поведения решений во всей действительной области. Для самого
Пуанкаре исходным импульсом создания качественной теории
послужила небесная механика [2, с. 162—171]. За пять лет до этого,
в 1876 г., в своей магистерской диссертации [3], изучая задачи
гидромеханики, Н.Е.Жуковский пришел к задаче о поведении
интегральных кривых уравнений
&У
dr
ах + Ьу
сх + dy
(ad -bc*0)
в окрестности начала координат. Он дал классификацию особых
точек (он называл их критическими) таких уравнений, аналогич-
ную известной классификации Пуанкаре, и исследовал поведение
интегральных кривых в их окрестности [3, с. 164]. В 1888 г. начал
публиковать свои классические исследования по теории устойчивости
движения А.М.Ляпунов.
В предлагаемой работе И.Б.Погребысского исследуется еще один
источник качественной теории дифференциальных уравнений,
обыкновенно не учитываемый в литературе—теория автоматического
регулирования. В поле его внимания попала работа французского
механика А.Леоте, опубликованная в 1885 г. в журнале Политехни-
ческой школы. Эта работа служит еще одним аргументом в пользу
тезиса, что к восьмидесятым годам, действительно, созрели предпосылки
для зарождения качественной теории дифференциальных уравнений.
Список литературы
1. Poincare Н. Sur les courbes ddfinies par une Equation differentials // C.r. Acad. sci.
Paris, 1880. V.90. P.673-675; 1881. V.93. P.287-289 / русск. nep.: Пуанкаре A.
О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М -Л :
Гостехиздат, 1947.
2. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление.
Теория конечных разностей / Под редакцией А.Н.Колмогорова и
А.П.Юшкевича. М.: Наука, 1987.
3. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела // Математический сборник. 1876.
Т.8. С. 1-79.
К ИСТОРИИ КАЧЕСТВЕННЫХ МЕТОДОВ В ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И. Б. Погреб ысский
Возникновение качественной теории дифференциальных
уравнений представляет собой в истории науки мучительный, на наш
взгляд, пример взаимодействия факторов двух родов: одни связаны с
так называемой внутренней логикой развития математики, другие —с
«внешними» запросами, в данном случае —со стороны теоретической
механики и техники1^.
Когда в школе Лейбница было начато систематическое постро-
ение нового исчисления, ее основатель в одном из писем выразил
уверенность в том, что с «анализом кривых» (что означает, в част-
ности, интегрирование функций) все будет закончено до начала
нового (т.е. восемнадцатого) столетия. Поучительная ошибка! В
середине восемнадцатого столетия уже не встретить таких заявле-
ний — складывается новый подход к проблеме интегрирования как
к изучению нового объекта, заданного операцией интегрирования
над известным объектом. Примером является исследование Эйле-
ром интегралов, названных его именем. По-видимому, Лаплас был
первым, высказавшим в определенной форме утверждение о невоз-
можности выразить некоторые интегралы через известные функ-
ции, иначе говоря, —«в конечном виде» (доказательство, если Лап-
лас им и располагал, не было опубликовано). Первые обоснован-
ные результаты в проблеме о неинтегрируемости функций в конеч-
ном виде были получены только в XIX в.
То, что относится к интегрированию функций, само собою рас-
пространяется и на интегрирование дифференциальных уравнений.
Поэтому в теории дифференциальных уравнений приобрели особое
значение методы численного интегрирования. Но в процессе при-
ближенного вычисления интегралов целесообразно предпослать вы-
бору и применению собственно вычислительного алгорифма «каче-
ственное» исследование поведения интеграла. Вполне естественно,
что и в теории дифференциальных уравнений встала проблема ка-
чественного исследования решений хотя бы как этапа, предшеству-
ющего обычно весьма трудоемкому приближенному вычислению
этих решений и облегчающего такие вычисления. Во второй поло-
вине XIX в. такие соображения, можно сказать, напрашивались.
1) Надо оговорить условность такого разделения: «внутренняя логика» развития
в значительной мере определяется внешними факторами, но в опосредствованном
виде; «внешние запросы» можно считать внутренними по отношению к развитию
научного познания в целом
284 Статьи различного содержания
Вместе с тем проблема качественного исследования решений
дифференциальных уравнений становилась актуальной и в механи-
ке. Пуанкаре в самом начале «Мемуара о кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями» (1881 г.), которым открывается
серия его основополагающих исследований по качественной теории
дифференциальных уравнений, выделяет это обстоятельство с пол-
ной определенностью. Указав, что качественное исследование, ина-
че говоря — построение кривых, определенных дифференциальны-
ми уравнениями, очень полезно для вычисления искомой функции,
он продолжает:
«С другой стороны, это качественное исследование и само по
себе представляет первостепенный интерес. К нему могут быть све-
дены различные, исключительно важные вопросы анализа и меха-
ники. Возьмем в качестве примера задачу трех тел. Разве нельзя
поставить вопрос, будет ли одно из тел всегда оставаться в некото-
ром участке неба или оно сможет удалиться в бесконечность? Или
вопрос о том, будет ли расстояние между двумя из этих тел неогра-
ниченно убывать, или, напротив, это расстояние будет всегда за-
ключено в определенных пределах? Разве нельзя поставить тысячу
вопросов такого рода, и все эти вопросы будут разрешены, как то-
лько мы сумеем качественно построить траектории этих трех тел» .
Уже в этом мемуаре введена вошедшая теперь в учебники
классификация особых точек обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка (узел, фокус, центр), дано определе-
ние предельного цикла и т.д.
Вскоре (в 1882, 1885, 1886 гг.) появляются второй, третий и
четвертый мемуары по качественной теории дифференциальных
уравнений. Сам Пуанкаре продолжал развивать качественную тео-
рию в своих исследованиях по небесной механике. Ряд важных во-
просов этой теории был рассмотрен (в аналитической форме)
А.И.Ляпуновым в его знаменитой «Теории устойчивости». В нача-
ле XX в. значительные и принципиальные обобщения результатов
Пуанкаре были даны Бендиксоном, затем Брауэром, Дж.Биркго-
фом. Однако качественные методы вне небесной механики были
применены намного позже—в 20 — 30-е годы нашего века в связи с
развитием теории нелинейных колебаний в радиотехнике. Это, в
основном, является заслугой отечественных ученых. Затем через
теорию нелинейных колебаний качественные методы исследования
дифференциальных уравнений проникли в теорию автоматическо-
го регулирования.
1) Анри Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.
Перевод с франц. М. Л , 1947, с 13.
И. Б. Погребысски и
285
Академик А.А.Андронов, изучая, как развивалась качествен-
ная теория дифференциальных уравнений, обнаружил работу, в
которой ряд представлений и даже результатов Пуанкаре были не-
зависимо от него найдены для частного случая, при исследовании
технического вопроса. Андронов только указал на это обстоятель-
ство. Можно думать, что такое скрещение двух линий развития до-
статочно интересное событие, чтобы рассказать о нем более по-
дробно. Это является целью настоящей статьи.
В 1885 г. во французском журнале, не менее известном и авто-
ритетном, чем тот, в котором напечатаны упомянутые выше мемуа-
ры Пуанкаре, появилось обширное исследование А.Леоте
(1847- 1916), учившегося в той же Политехнической школе, кото-
рую окончил и Пуанкаре. (Впоследствии Леоте стал коллегой Пу-
анкаре и в Парижской академии наук, куда он был избран в 1895
г ) Название работы Леоте длинное: «Мемуар о колебаниях с бо-
льшими периодами в машинах, приводимых в действие гидравли-
ческими моторами, и о средствах предупреждения таких колеба-
ний»1^. Тут же указано, что мемуар был одобрен Парижской ака-
демией наук и принят к опубликованию в ее изданиях.
Леоте был механиком (хотя у него есть и чисто математические
работы) и занимался, главным образом, кинематикой механизмов и
динамикой машин. К последней относится и рассматриваемая нами
работа — теория автоматического регулирования в восьмидесятые
годы только начала развиваться и в особую дисциплину еще не вы-
делилась. По постановке вопроса работа Леоте относилась к теории
гидравлических машин. Таким специальным назначением этой рабо-
ты можно объяснить то, что она не привлекла внимания широкого
круга ученых. Более удивительно, что Леоте, если судить по его из-
ложению, совершенно не знал работ Пуанкаре по качественной тео-
рии, хотя одна из них появилась на четыре года раньше, дру-
гая—на три. При самом внимательном чтении мемуара Леоте нельзя
заметить никаких следов влияния Пуанкаре, и нет сомнения, что Ле-
оте самостоятельно нашел свой метод и пришел к своим результатам.
Теперь необходимо вкратце пояснить, какова рассматриваемая
в мемуаре Леоте техническая проблема.
Считая машину «системой с полными связями», т.е. системой
с одной степенью свободы, положение которой определяется обоб-
щенной координатой 6 (типа угла), Леоте записывает живую силу
1) Mdmoirc sur les oscillations й longues pdriodcs dans les machines actionndcs par
des motcurs hydrauliques et sur les moyens de prdvenir ecs oscillations; par M.H.Ldautd
// —Journal de 1’Ecole Polytcchnique, L.V Cahier, 1885, p.1 — 126 + 3 pl. Далее
Цитируется: Леоте.
286
Статьи различного содержания
машины в виде /со2 /2, где со = dQ / dt — угловая скорость, а
/—«обобщенный момент инерции» — периодическая функция от 6.
Работу сил сопротивления на элементарном перемещении dQ он вы-
ражает в форме Т dQ, где Т определяется только положением час-
тей машины, т.е. представляет собой функцию от 6, которую также
можно считать периодической . Машина связана с регулятором,
действие которого сводится к увеличению или уменьшению величи-
ны а, определяющей размеры отверстия, через которое пропускает-
ся вода, своей энергией приводящая машину в действие. При про-
чих равных условиях получаемая машиной энергия пропорциональ-
на количеству поступающей в нее воды, которая, в свою очередь,
пропорциональна величине а. Таким образом, по Леоте, элементар-
ную работу двигателя можно записать в виде Ma dt, где М зависит
от к.п.д. машины, изменяющегося с изменением ее режима, следо-
вательно, М— функция (периодическая) от 6, т.е. М = М(6).
В итоге уравнение движения машины записывается так:
/(/и2 / 2) = м(е)™л - т(е)г/е,
или
/coda + Т(6) dQ = M(Q)dQ, (1)
dQ = adt (2)
Леоте линеаризует уравнение (1), полагая, что 6 изменяется в
достаточно близких пределах. Он принимает
(о 2 =fi2(l-2z),
где П—постоянная, а г —малая величина, степенями которой выше
первой пренебрегаем. Поэтому приближенно со =ГХ1 - г), (1 / со) =
= (1 + г) / О, и система (1), (2) переходит в систему
- /О2dz + Т(е)/е = M(ff)dQ, (3)
dQ=£&\-z)dt.
(4)
После исключения dt эта система дает линейное уравнение пер-
вого порядка для г:
dz =
Т(6)
. /О2
М(6)а
/П3
М(е>
dQ ----5" zdQ.
JCF
(5)
Здесь а можно считать функцией от 6: если регулятор не вклю-
чен, а постоянно, а если регулятор включен, а зависит от того,
1) Леоте замечает, чтоЧ' может зависеть и от о, по так как <о меняется практически
в достаточно узких пределах, то оправдана замена переменной угловой скорости ее
средним значением; таким образом Ф = ЧЧб)
и. Б. Погребысский
287
насколько изменилась обобщенная координата 6 с момента включе-
ния. При таких предположениях можно записать общий интеграл
уравнения (5):
М(е)аМ
JQ3
т(е) М(6)а
. jn2 /П3
Г M(6W6
е № de.
(6)
г = с
Относительно формулы (6) Леоте пишет: «Этот интеграл дает
движение машины во всей его общности. В силу этого он содержит
некоторые неравенства движения (Леоте пользуется терминологией
небесной механики. —И. 17.), соответствующие действительным
возмущениям при тех явлениях, исследование которых является
нашей целью (влияние включения и отключения регулятора на
устойчивость рабочего режима машины. —И.П.), однако рассмат-
ривать эти неравенства нам не нужно. Эти неравенства суть перио-
дические вариации, обусловленные инерцией частей машины и
взаимодействием движущих сил сопротивления; они остаются вне
воздействия регулятора и их корректировка производится с помо-
щью маховика и только маховика. Представлены же они периоди-
ческими (точнее было бы сказать: периодически изменяющими-
ся. — И.П.') частями функций Miff), Т(6) и Jiff). Поэтому, чтобы их
исключить, нам надо отбросить эти периодические части и заме-
нить наши функции их средними значениями , что и бу-
дет сделано в нижеследующих расчетах»
Такое усреднение позволяет Леоте получить достаточные для
его цели расчетные данные. Однако основой его методики являет-
ся качественное исследование взаимодействия регулятора и маши-
ны, которое составляет наиболее ценную для нас часть его мемуа-
ра. Это качественное исследование у Леоте предпослано вычисли-
тельной части мемуара и дает возможность получить некоторые
важные для практики выводы.
Теперь уточним постановку технической проблемы Леоте. До-
пустим, что машина работает на некоторой угловой скорости со при
величине а просвета отверстия, через которое поступает вода. Это
сочетание значений со и а соответствует допустимому рабочему ре-
жиму, поэтому регулятор отключен. Пусть произошло изменение
нагрузки (например, на части движимых машиной станков прекра-
тили работу и отсоединили их). Уменьшение преодолеваемых ма-
шиною сопротивлений вызовет увеличение со до предела fij, когда
включается регулятор, начинающий работать на уменьшение а
(рис.1). С уменьшением а уменьшается со, снижаясь до значения
1) Леоте, с.27 —28.
288
Статьи различного содержания
to j i
П1-
П2 '
“Г
to2-
а
Рис.1
когда регулятор отключается. Если
можно пренебречь сопротивлениями при
включении и отключении регулятора,
то скорости fij и £^2 равны, но реаль-
но, в силу инерции частей системы ма-
шина-регулятор, >^2-
Если бы нарушение режима прои-
зошло в сторону уменьшения со, регуля-
тор был бы включен на скорости со 2,
при которой он начинает увеличивать а,
и работал бы до достижения скорости
со 1, и опять-таки to j > со 2, причем знак
равенства соответствует отсутствию упо-
мянутых выше сопротивлений.
Наконец, в идеализированной схеме, когда П} =^2 (=^о) и
(Di = со2 (= (оо), если регулятор сам безынерционен и мгновенно отзы-
вается на изменение со, будем иметь По =соо (изохронный регулятор).
Рассмотрим теперь машину без регулятора. Тут целесообразно
ввес в рассмотрение фазовую плоскость (а, со) (см. рис.1). Со-
стояние изучаемой системы изображается точкой на этой плоско-
сти (например, точкой А). Если при той же нагрузке и, вообще,
при всех прочих равных условиях увеличим а(Да > 0), то возрастет
и со (движение ускоряется), пока не будет достигнуто новое значе-
ние со + Дсо, соответствующее а + Да. Линия С АВ изображает изме-
нение со с изменением а при прочих неизменных условиях (Леоте
называет ее линией режима). При продолжении за точку С она
должна пройти через начало координат, так как при а = 0 должно
быть со = 0. Пусть, как мы предполагали выше, произошло сниже-
ние нагрузки, т.е. уменьшение сопротивлений. При том же а будет
больше со, вместо точки А получим точку А', лежащую на новой
линии режима, соответствующей изменившимся условиям работы
(.С А'В'). Однозначная (по предположению) зависимость со от а
для данных условий означает, что линии режима не пересекаются
и заполняют положительный квадрант фазовой плоскости (а, со),
«впадая » при продолжении в точку 0.
Представим себе теперь, что на фазовой плоскости (а, со) мы
располагаем системой линий режима, т.е., как сказал бы Пуанка-
ре, что эта площадь испещрена такими линиями. В сущности это
означает, что мы считаем проинтегрированным динамическое урав-
нение. Решением будет представленный в геометрической форме об-
щий интеграл, т.е. совокупность частных интегралов, каждый из ко-
торых соответствует определенным начальным условиям. Проблема
И.Б.Погрсбысский 289
состоит в исследовании устойчивости системы машина—регулятор
по отношению к возмущениям, заставляющим перейти с одной линии
режима на другую. Возникающий при этом колебательный процесс
может быть затухающим, стационарным, нарастающим, и определе-
ние его характера составляет сущность технической проблемы, ис-
следуемой Леоте. Именно на этой стадии Леоте пришел к результа-
там, сходным с некоторыми результатами Пуанкаре
Для анализа системы машина — регулятор используется та же
фазовая плоскость (а,со) (рис.2). На оси со отмечены те четыре,
связанные с регулятором скорости , fi2> toi, м2> смысл которых
пояснен выше. Пусть
состояние системы в
данный момент време- °'
ни изображается точкой
Да, со), находящейся П2
между горизонталями 1
со =^2 и co=Q( и ле- 2
жащей на линии режи-
ма CD. Предположим,
что произошло «возму-
щение» режима, вызы-
вающее увеличение со, и
пусть ему соответствует q
линия режима CD. Ре- Рис 2
гулятор не включен, т.е.
а остается неизменным. Изображающая точка перемещается по
вертикали до положения 1. Если бы при этом произошло пересече-
ние с С D (до достижения точки 1), процесс закончился бы в точ-
ке пересечения — ей соответствовало бы, так сказать, равновесное
состояние системы. Предположим противное, т.е. будем считать
возмущение достаточно большим, чтобы ни одна точка отрезка А1
не могла быть равновесной. Тогда по достижении точки 1 регулятор
будет включен в действие. Отныне скорость продолжает возрастать
в силу действия возмущения, но при уменьшающемся а, так что
изображающаяся точка будет двигаться справа налево и снизу
вверх до достижения точки 2 (дуга 1—2). В точке 2 касательная к
дуге должна быть горизонтальна, аналитически: малые изменения
а оставляют to неизменной с точностью до малых высших поряд-
ков, т.е. точка 2 соответствует равновесному состоянию системы,
иначе говоря —в ней мы достигли новой линии режима CD. Но
регулятор продолжает действовать и а уменьшается,—этому эта-
пу соответствует дуга 2 — 3. С достижением точки 3 регулятор
19-3525
290
Статьи различного содержания
отключен, но скорость продолжает уменьшаться, так как мы не на
линии режима, соответствующего возмущенному условию. Мы
идем на этом этапе по отрезку 3 — 4, пока не достигнем и =а>2, что
включает регулятор на увеличение а.
Теперь понятен и смысл этапов, изображаемых дугами 4 —5 (в
5 касательная к дуге горизонтальна), 5 — 6, 6—7. В точке 7 мы на-
ходимся в условиях, сходных с точкою 1, и отсюда можем продол-
жать наш путь так же, как из точки 1.
Назовем поэтому линии 1 — 2 —3 — 4 —5 —6 —7 циклом. Леоте
вводит в связи с этим понятие эффекта, полезного или вредного.
Вернемся к точке Л. То возмущение, которое изменило условие ра-
боты системы так, что линией режима вместо CD стала С D, дало
бы, так сказать, статический, а не динамический эффект, если бы
система могла мгновенно приспособиться к новым условиям. Для
того нужно было бы при той же скорости © изменить а так, чтобы
попасть на С D, т.е. сместиться из А в Н. АН (число поло-
жительное) можно принять в качестве меры возмущения и ее надо
по возможности уменьшать. Разность таких длин двух изображаю-
щих точек начала и конца некоторой дуги определяет эффект этой
дуги. Это число может быть положительным (эффект полезен),
или отрицательным (эффект вреден), или нулевым. Нетрудно ви-
деть, что эффект вертикального отрезка Л1 полезен (в 1 мы по го-
ризонтали ближе к CD, чем в Л), но a priori ничего нельзя ска-
зать о том, полезен или вреден эффект дуги 1—2 — 3. Эффект цик-
ла равен, очевидно, алгебраической сумме эффектов его частей и,
в зависимости от знака эффекта, будем говорить о полезных и
вредных циклах. Однако возможен и третий случай —когда по-
следняя точка цикла совпадает с первой —это замкнутый цикл.
С помощью введенных представлений и понятий можно разо-
браться в изучаемом динамическом процессе. Это процесс колеба-
тельного характера. Возмущение режима машины вызывает вклю-
чение регулятора с последующим его отключением, новым включе-
нием и новым отключением. Если первоначальное возмущение
приводило к включению регулятора на уменьшение а, то следую-
щее включение регулятора давало увеличение а, и наоборот, и та-
кого рода включения и отключения чередуются. Если получился
замкнутый цикл, колебательный процесс будет поддерживаться все
время на том же уровне, если же первый цикл был вреден, то сле-
дующий цикл даст еще худший результат — спиралевидная линия
будет раскручиваться. Ясно также, что если первый цикл был по-
лезен, то следующий тоже будет полезен и т.д., т.е. процесс ста-
новится затухающим: регулятор будет включаться на все более
И Б Погребысский 291
короткие промежутки времени, система будет приближаться к пре-
дельному режиму, соответствующему новым условиям, созданным
первоначальным возмущением.
С помощью приведенных выше уравнений, упрощенных путем
замены некоторых величин постоянными (их «средними» значени-
ями), Леоте удалось получить в аналитическом виде условия по-
лезности или вредности цикла и проследить влияние отдельных
параметров, что дало ему возможность сформулировать ряд пра-
вил для конструкторов машин. Нет смысла останавливаться здесь
на этой части работы. Изложенное выше показывает, что Леоте
провел качественное исследование процесса, описываемого обык-
новенным дифференциальным уравнением, и пришел при этом к
системам интегральных кривых, соответствующим наличию фокуса
или предельного цикла. Замечательно также, что Леоте доказывал
ряд общих теорем относительно интегральных кривых, опираясь
собственно только на то, что эти кривые должны существовать и
что данным начальным условиям должна соответствовать только
одна интегральная кривая. Мы выделяем это обстоятельство, так
как систематическое построение качественной теории на основе те-,
орем существования и единственности для решений дифференциа-
льных уравнений, отвлекаясь по возможности от природы входя-
щих в уравнение функций, было предпринято Бендиксоном (работа
1901 г.), а сам Пуанкаре в мемуарах восьмидесятых годов широко
использует допущение, что в исследуемом уравнении dy / dx =
= Y / X функции Y и X полиномы. Вот некоторые из теорем Лео-
те.
«Различные циклы, принадлежащие одной и той же изображаю-
щей линии, обвертывают друг друга, не встречаясь, вследствие чего
можно высказать следующую теорему, дающую важные следствия:
Теорема 2. Различные циклы одной и той же изображающей
линии всегда или расширяются, или сужаются»'\ Отсюда следует
специальная теорема.
«Теорема III. Амплитуды колебаний затвора машины и ее ско-
рости либо постоянно уменьшаются, либо постоянно возрастают,
либо, наконец, остаются неизменными, что соответствует замкнуто-
му циклу... Они никогда не могут уменьшаться в один момент и
возрастать в другой, или наоборот» .
Весьма общий характер носит и доказательство справедливой
в условиях анализа Леоте теоремы: «Каково бы ни бьию начальное
состояние, может быть только один замкнутый цикл» ’ Добавим,
1) Леотпе, с.72.
2) Леоте, с.73.
3) Леоте, с.75, теорема V.
19'
292 Статьи различного содержания
что Леоте смог аналитически вывести для своей задачи условия наличия
(или отсутствие) замкнутого цикла. Именно этот результат позволил
сделать важные для конструкторов выводы, о которых упоминалось
выше. Независимо от ценности исследования Леоте для современной
ему технической практики, нельзя не признать, что мемуар Леоте мог
дать серьезный импульс для развития качественных методов в теории
дифференциальных уравнений, если бы еще раньше не появились
работы Пуанкаре. В теории автоматического регулирования Леоте
также был новатором, но, видимо, его методы не были оценены по
заслугам его современниками.
ТРЕУГОЛЬНИК ФРЕГЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ1
А. Г. Барабашев
1. Центральным пунктом теории смысла Готтлоба Фреге
(8.11.184826.7.1925), созданной им в контексте разработки так на-
зываемой «квантификационно-теоретической» традиции в логике
(которую также можно назвать «логикой отношений», «функцио-
нальным подходом», «функционально-теоретическим подходом» в
логике)2 и формалистской философии математики (понимания ма-
тематики как совокупности систем знаков), является разделение
знака, смысла и значения. Г.Фреге использовал для выражения
этого разделения понятия концепта, смысла и референта.
Согласно Фреге, концепты являются знаково выраженными
понятиями, в которых фиксируется мышление субъекта. Смысл
есть то, что приписывается концепту, ставя в соответствие ему не-
который референт. Смыслы автономны по отношению и к концеп-
там, и к референтам. Область референции (состоящая из референ-
тов) представляет собой объекты, которые субъект мыслит и кото-
рым сопоставляет концепты.
Автономное рассмотрение концептов («знаково выраженных
понятий») приводит к теории формальных языков, подходы к ко-
торой были намечены Г.Фреге в работе «Исчисление понятий».
Неясно, насколько сам Фреге осознавал возможность построения
таких формальных языков, а также следующую возможность отка-
заться от рассмотрения смысла вообще. Автономное рассмотрение
смыслов (собственно теория смысла) приводит к принятию анти-
психологической установки, исследованию мира образов, эмоций,
устремлений самих по себе, в отвлечении от субъекта. Наконец,
остается открытым вопрос о том, насколько последовательно
А. Г. Барабашей
293
Фреге соотносил область референции и мир реальных вещей (раз-
личные точки зрения по этому вопросу высказывают М. Dammit,
Е.Kluge, W.Quine, H.Sluga, Б.В.Бирюков).
Для пояснения разделения концепта, референта и смысла в
работе «О смысле и значении» (1892), Г.Фреге впервые ввел гра-
фическую схему (графический образ), в которой референт (иногда
также называемый значением, денотатом, обозначаемым, и т.д.),
смысл и концепт (в более поздних подходах предпочитают исполь-
зовать названия «знак», «символ») противопоставлены друг другу.
Данная схема представляла собой треугольник, в вершинах кото-
рого расположены эти три вида сущностей. Этот треугольник впо-
следствии получил название «треугольника Фреге».
Смысл
Концепт Референт
Рис.1. «Треугольник Фреге»
Использование треугольника как графической схемы было
призвано максимально прояснить идею о независимости смысла от
референта и от концепта. Конечно, возможно было обойтись и без
введения этой схемы (соответствующая часть текста Фреге в прин-
ципе понятна и без иллюстрации), однако именно ее присутствие
придает содержанию работы ту отчетливую ясность, без которой
«антипсихологическая» теория смысла Фреге навряд ли бы приоб-
рела столь большое влияние на поколения логиков и философов.
2. Как правило, применение графической схемы для иллюст-
рации идей, выражаемых в «вербальном» (т.е. состоящем только
из слов) тексте, имеет и оборотную сторону. Именно, любая гра-
фическая схема (и «треугольник Фреге», в том числе) не только
проясняет выраженные в тексте соображения, но и привносит свое
собственное содержание, вытекающее из самой сути рисунка. Пе-
редаваемый рисунком графический образ самостоятелен: он наве-
вает дополнительные соображения, а также инициирует иное про-
чтение самого текста. Происходит обратное влияние рисунка на
текст. Это влияние заключается в генерации новых текстов, по-
рожденных рассмотрением рисунка.
Графическая схема —[Вербальный текс!
294
Статьи различного содержания
Так, в случае использования графической схемы «треугольни-
ка Фреге», помимо основного «антипсихологического» тезиса о не-
зависимости смысла возникают и дополнительные соображения: о
независимости концепта (это стало исходной посылкой течения
формализма), об автономности области референции (что явилось,
в числе прочего, сильнейшим ударом по традиционному анализу
словоупотребления, в котором суть объекта связывалась и даже
выводилась из его имени). Но, более того, и само исходное сооб-
ражение о независимости смысла от концепта и от референта ис-
пытывает корректирующее влияние со стороны рисунка. Возника-
ют, например, такие вопросы, как: атомарен ли смысл (соображе-
ние, навеянное тем, что смысл изображается точкой — вершиной
треугольника)? Каков тип связи, соединяющей смысл с концептом
и референтом (стороны треугольника)? Каково место субъекта по
отношению к этому треугольнику (возможна ли, например, пози-
ция «нейтрального» наблюдателя, смотрящего на треугольник со
стороны и независимого от использования каких бы то ни было
вербальных средств, «схватывающего» мир «разом», без помощи
слов, вне смыслов, и помимо выделения отдельных объектов)? Та-
кие и подобные им вопросы несут в своей основе зрительные гра-
фические образы, которые как бы «навязывают» направление раз-
мышлений относительно того, что такое смысл, в чем заключается
его объективность, и т.д.
Рис.2. Примеры вопросов,возникающих вследствие рассмотрения графической
схемы «треугольника Фреге»
3. Графическая схема «треугольника Фреге» не только оказала
влияние на содержание теории смысла в том виде, в котором она
была создана Фреге, но и использовалась при дальнейшей разра-
ботке этой теории. Обе последующие версии теории смысла, поя-
вившиеся в лингвистической и в «логицистской» ветвях аналитиче-
ской философии, в качестве существенного элемента включали в
себя эту схему.
А. Г. Барабашев
295
Существенность использования графической схемы треуголь-
ника Фреге в обеих версиях теории смысла состояла в том, чтобы
с помощью этой схемы определить основные проблемы и результа-
ты теории. Так, в лингвистической ветви аналитической филосо-
фии графический образ треугольника Фреге использовался в пер-
вую очередь как средство для формулировки проблемы психоло-
гизма (смысл графически может быть отделен от концепта, а пото-
му имеется проблема соотношения смысла и концепта), и, во вто-
рую очередь, как способ выражения основного тезиса антипсихо-
логизма (смысл независим и от индивидуального мышления, и от
референтов, что наглядно выражено самой конструкцией треуголь-
ника). Таково, например, понимание М.Даммитом теории смысла
Фреге3. В логицизме, другой ветви аналитической философии, на-
оборот, апелляция к образу треугольника явилась вкладом не в те-
орию естественного языка, а в математическую логику, а именно, в
развитие исчислений (идея работы с символами как с логическими
понятиями). Таким образом, использование треугольника Фреге в
теории смысла происходит при различных модификациях этой тео-
рии, модификациях, в которых собственно графическая конструк-
ция «треугольника Фреге» играет заметную роль.
4. Каждая из позднейших версий теории смысла использовала
«свой собственный» треугольник Фреге. Так, принятые в лингви-
стической философии обозначения вершин (смысл, предмет, кон-
цепт) отличаются от тех обозначений, которые первоначально при-
менял Фреге. В случае логицизма, вершины треугольника Фреге
также обозначаются по-своему — как «символ», «смысл», «рефе-
рент». Конечно, использование разных по обозначениям модифи-
каций треугольника Фреге не ограничилось рамками теории смыс-
ла в ее аналитических версиях. В логической семантике, напри-
мер, такое использование призвано прояснить «трехплоскостной»
характер этой семантической теории и оно прослеживается вплоть
до учебников и учебных пособий4. При этом, меняются понятия,
соотносимые с вершинами треугольника. Здесь это понятия
«знак», «смысл», «обозначение», а сам треугольник называется
«семиотическим треугольником»3. В психологии использование
треугольника Фреге в основном производится в рамках когнитив-
ной психологии. Отмечу, что и этот случай применения «вовне теории
смысла и ее аналитических версий» характеризуется уже отмечен-
ными ранее двумя особенностями: во-первых, изменяются понятия,
обозначающие вершины треугольника. Во-вторых, использование
графической схемы «треугольника Фреге» приводит к трансфор-
мации самой «исходной» теории смысла. Версия теории смысла,
296
Статьи различного сочсржания
Рис.З. Семейство треугольников Фреге,используемых в различных теориях
принимаемая когнитивными психологами, на место антипсихологи-
ческой установки о независимости смысла ставит тезис о генерации
смысла коллективным субъектом. Конечно, это не отрицает неза-
висимого существования смысла от знака и от обозначаемого (в
терминологии логической семантики), но, тем не менее, происхо-
дит существенное смещение акцента на изучение соотношения
«смысл —коллективный субъект, порождающий этот смысл».
5. Рассмотренные случаи применения и интерпретации треуго-
льника Фреге позволяют заключить, что эти применения и интерп-
ретации обладают следующими чертами:
— введение в оборот различных способов наименования (обо-
значения) вершин треугольника;
— влияние самой графической схемы «треугольник Фреге» на
понимание вербальной части предлагаемой теории смысла;
— постановка новых вербально выражаемых проблем, следую-
щих из использования треугольника Фреге;
— использование графической схемы за пределами собственно
теории смысла, в смежных областях.
Эти черты можно суммировать в тезисе о «вербальном» испо-
льзовании треугольника Фреге. Треугольник Фреге является гра-
фической схемой (выражаясь иначе, графическим образом, кото-
рый является разновидностью зрительного образа). Графическая
схема не только включена в вербальную теорию смысла, но и спо-
собна углубить и скорректировать в том или ином направлении эту
и близкие к ней теории. Эта графическая схема регулирует верба-
льно выраженную часть теории смысла и влияет на характер ее
применений, она как бы ведет за собой использование понятий, на-
правляет общее понимание теории. Используя выражение В.А.Ша-
пошникова о способе применения математических образов в фило-
софском мышлении6 треугольник Фреге выступает в качестве «па-
радигмальной схемы», то есть математического графического обра-
за, который в существенных моментах определяет содержание под-
падающей под его воздействие вербальной теории.
А.Г.Барабашев 297
6. Одной из пограничных теоретических областей для теории
смысла является философия математики. Это обстоятельство неод-
нократно отмечалось как в литературе по философии математики,
так и в литературе по истории логики. Более того, многие исследо-
ватели творчества Фреге придерживаются точки зрения, что само
создание Фреге теории смысла и построение «треугольника Фре-
ге» было обусловлено его стремлением формализации логики, что,
в конечном итоге, наряду с Булевой (алгебраической) традицией
(или в русле традиции формализации логики, как пишет И.Анел-
лис), привело к созданию оснований математики и современной
математической логики, а, следовательно, и к философии матема-
тики как автономной дисциплине7. Долгий «фундаменталистский»
первоначальный период автономного существования философии
математики, во время которого этой дисциплине была свойственна
ориентация на основания математики и на математическую логику,
позволяет заявить, что через «пуповину» оснований и математиче-
ской логики, так сказать, по своему происхождению, такая (фун-
даменталистская) философия математики была соединена с фрегев-
ской теорией смысла. Связь фундаменталистской философии мате-
матики и фрегевской теории смысла сохраняется до сих пор, о чем
свидетельствует большое количество современных (в первую оче-
редь, англо-американских) работ в области фундаменталистской
философии математики, посвященных изучению духовного насле-
дия Г. Фреге.
Для решения двух центральных и давних проблем фундамен-
талистской философии математики, проблемы сущности математи-
ческого доказательства и проблемы природы математических объ-
ектов, возможно использование графической схемы «треугольника
Фреге». В особенности, естественным и как бы «напрашивающим-
ся» было бы использование треугольника Фреге для рассмотрения
проблемы природы математических объектов. Возможность такого
применения связана с тем, что математические объекты традицион-
но соотносятся с неким миром вечных и неизменных сущностей, с
выражающими эти объекты знаками (символами), а также со смыс-
лами, которые соединяют мир вечных сущностей и мир знаков.
Графическая схема «треугольника Фреге» способна, во-первых,
помочь создать классификацию общепринятых и распространенных
в современной литературе кратких обобщенных описаний основных
концепций относительно природы математических объектов —таких
позиций, как реализм и математический платонизм, интуиционизм
(включая его различные версии), формализм и логицизм, социоку-
льтурная позиция, априоризм, физикализм, фальсификационизм (в
298
Статьи различного содержания
том числе, такая его разновидность, как квазиэмпиризм), и неко-
торых других позиций. Конечно, одни из этих концепций «вписы-
ваются» в сложившиеся нормативные описания, а следовательно и
в предлагаемую классификацию более удачно, нежели другие. Од-
нако, даже просто «ранжировка» известных позиций с помощью од-
ной графической схемы способна изменить наше представление о
соотношении этих позиций. Во-вторых, выяснятся «отсутствующие»
позиции, которые также перспективны для дальнейшей разработ-
ки. В-третьих, но не в последних по значимости, более отчетливо
проявится проблема того, что вообще понимать под существовани-
ем, смыслом и знаком применительно к математическим объектам.
7. Дадим исходное определение того, какие обозначения вер-
шин треугольника Фреге будут использоваться при исследовании
проблемы существования математических объектов. Это определе-
ние далее будет эксплицироваться в зависимости от того, какая кон-
цепция природы математических объектов будет анализироваться.
Будем исходить из той системы обозначений вершин треуголь-
ника Фреге, которая принята в логической семантике (знак, значе-
ние, смысл). Эта система обозначений хорошо подчеркивает то об-
стоятельство, что в философии математики с давних времен прои-
зошло размежевание между концепциями природы математических
объектов именно в соответствии с критерием их существования.
Под знаками мы будем далее понимать используемые математиче-
ские специальные обозначения —символы и псевдографические конст-
рукции (например, тензор вместе с его индексами). Спецификой сим-
волов выступает «забывание» их графической сущности: предполага-
ется, что достаточно произносить (читать) символы, а не писать (рисо-
вать) их. То есть, символы являются вербальным «истолкованием»
псевдографики. Но тогда должны быть введены и вербальные правила
перестановки символов. Если же обратиться к псевдографике, отделяя
ее от символов, то особенностью псевдографики выступает линейное
расположение любых ее компонентов и наличие возможности произво-
льной (линейной) перестановки этих компонентов.
Под смыслом будет пониматься свойство истинности, которой
наделяются знаки и их комбинации. Это свойство, согласно неко-
торым концепциям смысла, может существовать безотносительно
формы задания (рисования) самих знаков. Проблема смысла, та-
ким образом, есть проблема «математической интуиции», до-знако-
вого видения истинности или ложности утверждений (знаков и их
комбинаций). В такой постановке проблема смысла имеет богатую
историю обсуждения в философии математики. Здесь возникают
вопросы о соотношении интуитивного «схватывания» результата и
А-Г. Барабашей 299
его доказательства, о «механизмах» подсознательной работы, об
индивидуальной уверенности в истинности и принятии или оттор-
жении этой уверенности математическим сообществом... Работы
А.Пуанкаре, Ж.Адамара, Г.Биркгоффа, Д.Кнута являются класси-
ческими примерами исследования математической интуиции.
Наконец, область значения в математике обладает той специфи-
кой, что эта область, если признавать ее автономное существование,
выходит за пределы мира физических предметов. Совокупность
представлений о той области, в которой расположены референты
знаков, то есть «математические объекты» (если они где-либо рас-
положены вообще), называется «математической онтологией».
Математическая онтология претендует на то, чтобы задать
определение смысла. Следует отметить, что в концепциях матема-
тического существования (которые имеют дело уже с областью ре-
ференции), как правило, математическая интуиция понимается
иначе, не как процесс внедоказательного, непосредственного
усмотрения истинности того или иного утверждения, а как резуль-
тат этого процесса («интуитивный», не доказанный результат).
Соответственно, понимание математической интуиции как резуль-
тата «озарения» является прямым следствием принимаемых концеп-
ций математического существования. Другими словами, представле-
ния о смысле оказываются обусловленными представлениями о
значении . Каждая из математических онтологий претендует дать
окончательный ответ на вопрос о том, что изучает математика.
Смысл
Знак ------------° Значение
Рис.4. Исходные обозначения вершин треугольника Фреге
в философии математики
8. Основные исследования Фреге, оказавшие прямое влияние на
возникновение формализма и логицизма, были посвящены знаковым
системам, поэтому естественно начать рассмотрение связи графиче-
ской схемы треугольника Фреге и нормативных описаний основных
концепций существования математических объектов с «вершины зна-
ка». Первые два варианта решения проблемы существования матема-
тических объектов обусловлены отдельным рассмотрением той вер-
шины треугольника Фреге, которая обозначает знак.
Если знак интерпретировать как символ, мы получим обоб-
Щенно-широкую позицию формализма. Существовать, согласно
300
Статьи различного содержания
«стандартному» описанию этой позиции, значит быть представлен-
ным в виде символов. Никаким смыслом символы не обладают.
Нет и области референции символов. Интересно, что именно эта
предельно обобщенная, широкая позиция иногда неправомерно
приписывается Гильберту.
Исходные основания формализма в широком понимании этого
слова порождают ряд вопросов, которые приводят к уточнению
формализма и возникновению разновидностей его нормативного
описания.
Главным вопросом в этом ряду является вопрос о том, как
комбинировать символы, если не считать символы псевдографиче-
скими конструкциями. (Если это комбинирование невозможно, то
не могут возникнуть последовательности символов, выполняющие
роль математических высказываний). Осмысленно, то есть, руко-
водствуясь некоторыми не воплощенными в символах «содержате-
льными» соображениями, создавать новые комбинации запрещено.
Значит, должны быть заявленные в виде символов правила комби-
нирования символов, превращающие это комбинирование в меха-
нический процесс. Возможно ли сформулировать такие правила?
Есть ли правила порождения этих правил? Могут ли быть найде-
ны универсальные критерии отличия неверно построенных комби-
наций от комбинаций, построенных верно? —Эти и подобные им
вопросы о комбинировании символов вынуждают нормативное
описание формализма эволюционировать в двух направлениях.
Во-первых, это включение в описание формализма принципа стра-
тификации символов и, во-вторых, предписание, требующее огра-
ничить перечень используемых символов. Сильное ограничение
(оставление только так называемых «логических понятий») в соче-
тании с введением типов высказываний приводит к стандартному
нормативному описанию логицизма. В принципе возможны и дру-
гие ограничения, не реализованные в истории оснований математи-
ки. Стратификация символов и выделение уровня метаязыка с до-
полнительным ограничением —допустимостью только финитных
высказываний,— приводит к нормативному описанию формализма,
обычно соотносимому с взглядами Гильберта. Возможно и сочета-
ние логицистской и формалистской стратегий. Устранение пара-
доксов, как предполагалось, автоматически достигается и в том, и
в другом направлении. Однако, возникает проблема «выполнения
правила»: можно ли, не привлекая смысловых соображений, руко-
водствоваться зафиксированными правилами при построении новых
истинных комбинаций символов. Рассмотрение этой проблемы как
бы «выталкивает» за пределы стандартных нормативных описании
Л-Г. Барабашев
301
концепций логицизма и формализма и уничтожает их связь с вер-
шиной знака треугольника Фреге, поскольку возникают соображе-
ния об образцах поведения, о неписанных нормах и т.п. (хотелось
бы в этой связи указать на двух авторов, концепции которых наи-
более глубоко затрагивают данную проблематику: Л.Витгенштейн
и М.А.Розов).
Формализм
Логоцизм
Символ
Логическое
понятие
Рис.5. Вершина знака. Логицизм и формализм
Наряду с позициями логицизма и формализма, возможна и
другая позиция, следующая из более общего наименования «знако-
вой» вершины треугольника Фреге. Эта позиция осталась в сфере
возможного, но не реализованного хода развития оснований мате-
матики и фундаменталистской философии математики. Назовем
знаками в математике примитивные псевдографические конструк-
ции, то есть расположенные в плоскости текста примитивные гра-
фические компоненты. Сочетание и взаиморасположение этих при-
митивных компонентов определяет сложные псевдографические
конструкции. Оперирование со сложными псевдографическими
конструкциями характеризуется добавлением новых примитивов и
разрешением любых плоскостных (линейных) переносов одних
примитивов относительно других (относительно рисунков в це-
лом). Отсутствие смысла комбинаций знаков при таком понимании
компенсируется комбинаторным образно-геометрическим мышлени-
ем. Это построение приводит к своеобразному «геометрическому
(графическому) формализму», который, повторяю, никогда не был
реализован.
«Графический Псевдо-
формализм» графика
Рис.6. Вершина знака. Графический формализм
302________________________________________Статьи различного содержан,м
9 Автономное рассмотрение второй вершины треугольника
Фреге—«вершины смысла» — приводит к иному типу концепций
существования математических объектов. Именно, это концепции
интуиционистского, конструктивистского и социокультурного на-
правлений. Все указанные концепции утверждают, что существова-
ние математических объектов зависит от субъекта. Другими слова-
ми, индивидуальный исследователь (в других концепциях — мате-
матическое сообщество, «коллективный исследователь», или же
человечество как таковое, в силу наличия некоторых универсаль-
ных характеристик человеческого восприятия и мышления) наде-
ляет математические объекты существованием.
Первое из названных направлений, интуиционизм, предпола-
гает, что имеется единая интуиция математических объектов, кото-
рая основывается на возможности их построения («существо-
вать—значит быть построенным»). Тем самым, основой интуицио-
низма является общий принцип конструктивности. Как пишет
М.И Панов, весьма распространен предрассудок, «что для интуи-
ционизма, якобы, основным понятием является интуиция, а тер-
мин “конструктивность”— прерогатива конструктивного направле-
ния. На самом же деле конструктивность играет в интуиционист-
ской концепции не менее значительную роль, чем в конструктив-
ной математике. Более того, именно интуиционизму принадлежит
заслуга в возрождении (после, практически, повсеместно распро-
странившегося подхода к истолкованию существования в математи-
ке как свободы от противоречий) в математике XX в. конструктив-
ного подхода в понимании математических объектов» Эта отли-
чительная «родовая черта» интуиционизма восходит к Л.Э Брауэ-
ру, который усматривал причину единства интуиции в одинаковом
для всех индивидуумов конструктивном понимании натуральных
чисел, в становящемся ряде натуральных чисел10
Следует отметить, что позиция Брауэра близка к позиции Кан-
та11, который полагал причиной единства индивидуальных понима-
ний математических объектов то обстоятельство, что конструирова-
ние математических понятий происходит посредством сопоставления
этим понятиям двух форм априорного синтетического созерцания:
пространства (форма внешнего созерцания) и времени (форма внут-
реннего созерцания). Другими словами, одинаковое для разных лю-
дей представление геометрических фигур и натуральных чисел есть
следствие одинаковости синтетического созерцания, выступающего в
формах пространства и времени И, все-таки, два момента отлича-
ют позицию Канта от позиции Брауэра. Первым моментом являет-
ся кантовский априоризм, который утверждает единство
A f Барабашев
303
априорного синтетического созерцания в формах пространства и
времени. У Брауэра, в отличие от Канта, остается только констру-
ирование натурального ряда, да и оно не связывается напрямую с
априорным созерцанием времени. Второе обстоятельство делает
позицию Брауэра «предрасположенной» к использованию треуго-
льника Фреге. Именно, Брауэр в отличие как от Канта, так и от
своих последователей — Рейтинга и других,—был сосредоточен то-
лько на смысле, на содержании построений. Формальное представ-
ление построений Брауэром отвергается. Однако, далее интуицио-
низм развивался в направлении все большего использования фор-
мализации конструктивной процедуры, применения тщательно
контролируемых и формально описанных логических средств, т.е.
«дрейфовал» в сторону формализма.
В отличие от интуиционизма, все течения конструктивизма
накладывают ограничения на принцип конструктивности. Разли-
чия между течениями конструктивной математики заключаются в
той или иной степени сужения исходного общего понятия конст-
руктивного построения и конструктивного объекта как результата
этого построения. Если интуиционизм исходит из общей посылки о
конструктивной процедуре как основе существования, то «конст-
руктивизм в узком смысле» вводит те или иные ограничения на
конструктивные процедуры. Например, основой математики может
полагаться конструктивная деятельность, выраженная в виде алго-
рифмических процедур (такова была позиция А.А.Маркова13). Мо-
жет происходить отказ от использования свободно становящихся
последовательностей, принятие тезиса Черча, или принципов конст-
руктивного подбора и нормализации алгорифма А.А.Маркова14.
Алгоритмическая процедура Интуиционизм
^^^^^Алгорифмичсская процедура Конструктивизм
Рис.7. Вершина смысла. Интуиционизм и конструктивизм
Отличие наименований вершины смысла в случаях интуицио-
низма и конструктивизма состоит в более (для интуиционизма)
Или менее (для конструктивизма) узком понимании генерации
смысла субъектом (то есть, в том, на основании чего субъект обре-
тает математическую интуицию, или же, как именно субъект наде-
ляет существованием математические объекты). В интуиционизме смысл
есть конструктивная процедура в столь широком истолковании, что
304
Статьи различного содержал^
отвергаются только экзистенциальные суждения. В конструктивна
ме конструктивная процедура ограничивается жесткими рамками
(понятием алгорифма, тезисом Черча, принципом конструктивного
подбора, и т.п.). Условно можно назвать такую конструктивную
процедуру «алгорифмической процедурой».
Возможно и более широкое понимание того, что такое смысл
математических утверждений (или же, что такое математическая
интуиция истинности утверждений, как не зависящая от формы их
знакового выражения). Это понимание выходит за пределы интуи-
ционистского и конструктивистского направлений и как бы объем-
лет эти направления. Смысл, согласно данному широкому понима-
нию, не сводится к деятельности как конструктивной процедуре.
Смысл —это математическая практика, принятая математическим
сообществом, отдельными группами исследователей в некоторый
исторический период времени. Данный период характеризуется
фиксированными целями познания. Можно сказать, что математи-
ческая практика является совокупностью компонентов сложившей-
ся на данном историческом этапе математической деятельности.
Подходы к понятию математической практики и критика априо
ризма представлены в книге Ф.Китчера15 Собственно понятие ма-
тематической практики сформулировано в статье16 Попытка пере-
нести понятие математической практики в область естествознания
и сформулировать в^уелом принципы эволюции научной практики
реализована в книге
Понимание смысла, отличающееся от данного Ф Китчером,
разрабатывается и в других концепциях социокультурной филосо
фии математики. Так, Р.Уайлдер18 вводит понятие культуры как
совокупности обычаев, ритуалов, верований, орудий, нравов, и
т.д. (автор называет их «культурными элементами»). Этой сово-
купностью должна обладать группа как-либо связанных людей. Ни
один из членов группы не обладает всей культурой группы, но ку-
льтура группы состоит из всего множества индивидуальных элемен-
тов19. Культура основывается на коммуникации членов группы, т.е.
на их совместной деятельности. Математическая культура генети-
чески выводится из исходной культуры оперирования с материаль-
ными объектами, их сравнения. В каждый период времени математи-
ческому сообществу присуща культурно обусловленная интуиция,
которая воплощает основные принятые мнения относительно мате-
матических концепций (теорий). Иные варианты понимания мате-
матической практики предлагаются в книге20. Так, С.Рестиво в своей
статье «The Social Life of Mathematics» утверждает, что математи-
ческие объекты не трансцендентальны, а представляют собой
л Г.Барабашев
305
«максимально безопасные социальные основания математического
сообщества» (р.266). Математические объекты обладают, согласно
С.Рестиво, социальным существованием.
В соответствии с социокультурными представлениями, матема-
тика существует в качестве принятых образцов исследовательского
поведения, которые только частично, заведомо не полностью, за-
фиксированы письменно. Согласно этой позиции, смысл и связан-
ная с ним интуиция истинности математических рассуждений, а
следовательно и существование математических объектов, опреде-
ляются математическим сообществом в целом: сообщество выпол-
няет роль «фильтра», отсеивающего не укладывающиеся в приня-
тые (традиционные) каноны исследовательского поведения инди-
видуальные смыслы и интуиции истинности (существования).
Единство исследовательского поведения обеспечивается механизма-
ми принятия и отторжения изобретаемых рассуждений, причем
само это изобретение обеспечено традиционными способами пове-
дения. Таким образом, математическая интуиция (смысл) реализу-
ется на двух уровнях, каждый из которых задан традициями, сло-
жившимися в математическом сообществе, Первый уровень —уро-
вень индивидуальной интуиции, индивидуальных представлений о
существовании объектов. На этом уровне отдельные исследователи
работают со сложившимися, традиционно имеющимися смыслами
и получают новые смыслы. На втором уровне, уровне «коллектив-
ной интуиции», вступают в действие механизмы селекции получен-
ных смыслов. Эти механизмы также опираются на традицию, од-
нако не на традицию порождения новых смыслов, а на традицию
критического отношения к такому порождению. Здесь из «индиви-
дуальных существований» складывается социальное существование
математических объектов, или же математическая практика, мате-
матическая культура, и т.п.
Для социокультурной философии математики носителем смысла
является коллективный субъект, а знаковая фиксация смыслов непол-
на и необязательна, будучи замененной исписанными традициями.
Математическая Социокультурная
деятельность
философия
математики
Рис.8. Вершина смысла. Социокультурная философия математики
10. Третья вершина треугольника Фреге, вершина значения,
ассоциируется с теми сущностями, которые являются значениями
20-3525
306 Статьи различного содержания
— — —
математических знаков. Исторически изучение этих сущностей на-
чалось еще с пифагорейцев, а сама концепция существования мате-
матических объектов как предшествующих миру эйдосов и связан-
ных с эйдосами обрела сложившийся вид в учении Платона.
В основе всех концепций философии математики, относящих-
ся к вершине значения, находится утверждение о существовании
мира некоторых умопостигаемых, нематериальных предметов. Этот
мир независим от субъекта. Однако, в зависимости от того, что по-
нимается под «существованием предметов» и под «независимостью
от субъекта», возникают различные концепции значения математи-
ческих знаков, которые обычно называются концепциями матема-
тического существования. Значения математических знаков, в свою
очередь, принято называть математическими объектами.
Есть три версии нормативного описания существования мате-
матических объектов: это утверждения о существовании мира авто-
номных математических объектов; о существовании мира реалий,
частью которых являются математические объекты; наконец, утвер-
ждения о таком существовании «обычного», т.е. наблюдаемого нами
мира, при котором в него включены математические предметы. Со-
ответственно, в последнем случае логическое построение математи-
ческих объектов является разновидностью восприятия с помощью
ощущений. Указанные версии отождествляются с математическим
платонизмом, реализмом и физикализмом. Принципиальное разли-
чие физикализма, реализма и математического платонизма усматри-
вается в том, насколько математические объекты автономны от мира
реалий, а мир реалий —от мира физических объектов.
Математическому платонизму приписывается требование при-
знания «математической онтологии»21, то есть существования мира
математических объектов, независимого от исследователей-матема-
тиков. (Иногда математический платонизм называют «узким» пла-
тонизмом). «Независимость от субъекта» понимается как открытие
«одного и того же» независимыми исследователями. Необходимые
критерии существования математических объектов заключаются
либо в наличии ясной интуиции этих объектов, либо в представимо-
сти этих объектов через геометрические фигуры и натуральные чис-
ла. Указанные критерии могут совмещаться. С данным описанием
математического платонизма обычно соотносят взгляды Г. Кантора
(математико-платонистская позиция Кантора наиболее проявилась в
его определении множества), К.Геделя (геометрический вариант
математического платонизма), а из современных авторов можно отме-
тить П.Мэдди. Основной проблемой математического платонизма при
д.Г.Барабашев
307
таком нормативном описании называется нахождение достаточных
критериев существования математических объектов.
Во-вторых, математические объекты можно включать в качест-
ве составной части в мир эйдосов (например, зачастую так огруб-
ленно описывают взгляды Платона, хотя в действительности мате-
матические объекты, согласно Платону, предшествуют миру эйдо-
сов, включающему эйдосы математических объектов). Если же рас-
сматривать реалии, существующие автономно в качестве «имен ве-
щей», то математическим объектам (имена—«треугольник», «два»,
etc.) предписывается быть составной частью мира реалий. Главным
затруднением для рких общих нормативных описаний платонизма
и реализма является нахождение разграничительных признаков, от-
деляющих математические объекты от других эйдосов (либо от
других реалий). Резюмируя, в случае нормативных описаний реа-
лизма и платонизма вершина значения треугольника Фреге соотно-
сится не только с математической областью референции, но со все-
ми реалиями или эйдосами.
Наконец, последней и самой крайней концепцией существова-
ния математических объектов выступает физикализм. Согласно
стандартному описанию физикализма, математические объекты су-
ществуют так же, как и вещи физического мира22. В силу ущерб-
ности наших органов чувств, мы не воспринимаем математические
объекты напрямую, заменяя восприятие логическим рассуждением.
Если бы мы обладали чувством видения математической реально-
сти, аналогичным зрению, то доказательство стало бы не нужным.
Концепцию физикализма можно назвать также панреализмом, по-
скольку в ней область реалий расширена: имена вещей входят на-
ряду с самими вещами в воспринимаемый мир. Но тогда вещи так-
же можно рассматривать как имена.
Объекты физического мира
Физикализм
Реалии/эйдосы
Математические объекты
Реализм /платонизм
Математический
платонизм
Рис.9. Вершина значения. Физикализм (панреализм),
реализм и математический платонизм
11. Итак, можно подвести краткий итог предпринятому в
пп.8—10 рассмотрению связи вершин треугольника Фреге и
20'
308
Статьи различного содержания
нормативных описаний основных концепций природы математиче-
ских объектов. Графическая схема треугольника Фреге позволяет
упорядочить в соответствии с вершинами треугольника три основ-
ных типа концепций существования математических объектов, при-
чем каждый тип разделяется на три случая (перечисление будет
дано в соответствии с увеличением общности истолкования наиме-
нований вершин треугольника).
Вершина знака соответствует логицизму (символьное истолко-
вание знаков и оставление только «логических понятий»), форма-
лизму (символьное истолкование знаков и стратификация симво-
лов), и псевдографическому формализму (псевдографическое ис-
толкование знаков).
Вершина смысла соответствует конструктивизму (смысл как
процедура построения, опирающаяся на жестко принятую конвен-
цию допустимой процедуры, на понятие алгорифма), интуициониз-
му (смысл как процедура построения, основывающегося на широ-
ко истолковываемом понятии алгоритмической процедуры. Отсюда
возникает интуиция становящегося ряда натуральных чисел) и со-
циокультурному направлению (смысл как результат взаимоотно-
шений членов математического сообщества).
Вершина значения соответствует математическому платонизму
(значение как существующий автономно математический объект),
реализму и платонизму (которые могут быть представлены как
версии одной и той же концепции, предполагающей значение
эйдейтическим объектом или реалией) и физикализму (значение
как объект объединенного мира, включающего в себя действитель-
ные и ментальные сущности).
Графический
формализм
Формализм
Логицизм
Знак
Реализм/платонизм
Математический
платонизм
Социокультурная
философия математики
И нтуиционизм_______
Конструктивизм
Рис. 10. Треугольник Фреге. Основные концепции
А.Г.Барабашев 309
Представим эти основные концепции с помощью одной графи-
ческой схемы:
Порядок перечисления нормативных описаний концепций при-
водится в соответствии с увеличением общности истолкования (на-
правление снизу вверх для каждой из таблиц).
12. Использование графической схемы треугольника Фреге
позволяет высказать гипотезу о классификации нормативных опи-
саний других известных концепций математического существова-
ния: фальсификационизма и такой его разновидности, как матема-
тический квазиэмпиризм; математического номинализма; априоризма;
математического структурализма (математический структурализм
наиболее полно представлен в^), а также предположить существова-
ние нормативных описаний других, доселе неизвестных концепций.
Местонахождение этих концепций относительно вершин треу-
гольника Фреге, скорее всего, таково:
1) нормативное описание математического номинализма (осно-
воположником которого можно назвать Д.Беркли в ранний период
его творчества24 относится к вершине значения. Значения знаков в
математике, согласно стандартному истолкованию этой концепции,
относятся к физическому миру. Все знаки, не обладающие такими
значениями, должны быть исключены из математики;
2) нормативное описание априоризма может быть отнесено к
вершине смысла. Смысл —это синтетическое априорное созерца-
ние, реализуемое в формах пространства и времени. Математиче-
ские объекты суть смыслы. Синтетическое априорное созерцание
реализуется как построение;
3) фальсификационизм и математический квазиэмпиризм рас-
полагаются на стороне треугольника, соединяющей вершины смыс-
ла и значения. Доказательства представляют собой мысленные экс-
перименты. Потенциальными фальсификаторами являются дока-
занные теоремы. Смысл теоремы может быть установлен с помо-
щью процедуры фальсификации: окончательное установление ис-
тинности теоремы не достижимо, но ложность выявить можно;
4) математический структурализм расположен на стороне, сое-
диняющей знак и значение (поскольку структуры, то есть комби-
нации символов, обладают существованием);
5) инструментализм расположен на стороне треугольника, сое-
диняющей знак и значение (некоторые знаки обладают значением).
Видно, что в целом происходит движение от простых «угло-
вых» позиций к смешанным, расположенным «на сторонах». С
этой точки зрения, упущением выглядит видимое отсутствие в со-
временной философии математики нормативных описаний
310
Статьи различного содержания
концепций природы математических объектов, расположенных на
стороне, соединяющей знак и смысл.
Есть ли концепции, равно соединяющие вершины знака, смыс-
ла и значения (лежащие «на пересечении медиан»)?
Наконец, могут ли быть созданы концепции, описывающие си-
туацию как бы «со стороны», в целом?
Схема треугольника Фреге подсказывает, что иных, кроме
уже известных (основных), а также гипотетически сформулиро-
ванных в настоящем пункте концепций природы математических
объектов, нет. Конечно, если поставить на место треугольника
Фреге другую схему (например, четырехугольник Морриса), то
результат изменится. Однако, как уже указывалось, треугольник
Фреге естественным образом связан с основными концепциями
природы математических объектов (см. примечание 1 и пункт 6).
Во-вторых, мне кажется, что перечень возможных вариантов при
введении схемы четырехугольника Морриса не сильно изменится.
Однако, задача рассмотрения таких изменений и соотнесения клас-
сификаций концепций природы математических объектов, связан-
ных с треугольником Фреге и четырехугольником Морриса, выхо-
дит за пределы настоящей работы.
Осталось представить вербальную классификацию разнообразия
концепций существования в математике в виде результирующей гра-
фической схемы (картинки). Неизвестные позиции обозначены вопро-
Графический
формализм
Формализм
Логицизм
Рис.11: Сводная схема возможных концепций математического существования
сами. Вербальные формулировки относительно этих позиций могут
быть различными, они вторичны по отношению к самой картинке.
А.Г.Барабашев 311
Примечания
1 Замысел настоящей статьи возник в результате моих неоднократных попыток построить
сколь-нибудь удовлетворительную классификацию концепций философии математики,
затрагивающих проблему существования (природы) математических объектов Во мно-
гих книгах или в статьях перечисляются некоторые из этих концепций безо всякого объ-
яснения — полон перечень или нет, что выпущено? Не приводятся и основания выделе-
ния тех или иных концепций, не говорится о принципах соотношения расхожего, посто-
янно встречающегося в литературе описания концепций природы математических объек-
тов, и самих этих концепций. Данная ситуация не может быть признана нормальной
В статье рассматриваются обобщенные (нормативные, следуя терминологии
М. А. Розова) описания основных концепций природы математических объектов, и в
первую очередь, формализма, логицизма, интуиционизма, математического плато-
низма. Конечно, обобщенные описания концепций природы математических объек=
тов отличаются от реально существующих н оставляют в стороне те тонкие внутрен-
ние проблемы, исследование которых составляет наиболее ценное содержание са-
мих концепций. С позиций дескриптивного подхода нормативный подход выглядит
как неправомерное огрубление изучаемых явлений, как непонимание или забвение их
внутренней диалектики, как карикатура. Однако, нормативный подход преследует
другие цели: он стремится выявить сложившиеся (-«стандартные») представления, в
данном случае, расхожие определения основных концепций природы математических
объектов, и их соотношение. В статье сделана попытка субординировать нормативные
описания основных концепций природы математических объектов с помощью графиче-
ского образа (графической схемы) треугольника Фреге. Использование этого графиче-
ского образа, во-первых, отражает сложившееся в конце XIX — начале XX вв. (во мно-
гом, под влиянием взглядов Г.Фреге) общепринятое представление о принципах раз-
межевания формализма, интуиционизма и математического платонизма. Во-вторых, к
данному графическому образу могут быть привязаны другие известные концепции
природы математических объектов» говоря более точно, их общепринятые описания
В-третьих, будут выявлены новые нормативные описания иных концепций природы
математических объектов. В принципе, обнаружение «пустых клеточек» в классифика-
ции открывает путь дескриптивным исследованиям, то есть, в данном случае, построе-
нию «упущенных», пока ие созданных концепций природы математических объектов.
Однако, эта задача выходит за рамки настоящей статьи, хотя автор, естественно, наде-
ется привлечь внимание сообщества к открывающимся перспективам.
Я благодарен всем участникам Национального семинара по философии математи-
ки, высказавшим замечания и сформулировавшим новые идеи при обсуждении мое-
го доклада» сделанного по рабочему экземпляру рукописи настоящей статьи в ок-
тябре 1996 года. Кроме того, я признателен Г.В.Сориион за предоставление допол-
нительных сведений о литературе, относящейся к истории становления понятия
«треугольника Фреге», к так называемому «четырехугольнику Ч Морриса», и за
корректировку моих представлений об исторической эволюции обозначения вершин
треугольника Фреге Необычайно важными для меня были многие замечания
В.А. Шапошникова, которые повлияли на подготовку заключительного текста статьи.
2 «Historians of mathematical logic frequently tell us that there are two traditions, the al-
gebraic tradition of Boole, Schrdder, and Peirce, arising from the algebraization of ana-
lysis, and so-called “quantification-theoretical”, or more accurately, in the view of the
work especially of Frege and Russell, function-theoretic (or logistic) tradition of Pea-
no, Frege, and Russell, arising from the development of the theory’ of functions . The
concern of most historians had been to contrast the algebraic and quantification-theore-
tic traditions and to show that the algebraic tradition had been the inferior of the two,
that it reached a dead-end and was absorbed, along with set theory’, into the quantifica-
tion-theoretic tradition in the Principia.» (.Anellis I. Peirce Rustled. Russell Pierced:
How Charles Peirce and Bertrand Russell viewed each other’s work in logic, and an
312 Статьи различного содержания
assessment of Russell’s accuracy and role in the historiography of logic // Modern Lo-
gic, Vol.5, №3, 1995, p.271 —272). В настоящей статье И.Анеллис достаточно убеди-
тельно, используя большой объем архивных материалов, показал, что такое разде-
ление алгебраической и квантификационно-теоретической традиций явилось резу-
льтатом целенаправленных усилий Б.Рассела по преуменьшению вклада Ч.С.Пир-
са в развитие логики и по возвеличиванию собственных достижений. Ранее, в работе
Anellis I.H. & Houser N.R.: Ninetheenth century roots of algebraic logic and universal
algebra // H.Andreka, J. D. Monk & I.Nemeti (editors), Algebraic Logic (Procee-
dings of the Conference in Budapest, 1988), Colloq. Math. Soc. J. Bolyai vol.54 (Ams-
terdam-New York, North-Holland, 1991), p.1 —36 было показано, что разделение ал-
гебраической и квантификационно-теоретической традиций искусственно, и что ал-
гебраическая логика XIX столетия являлась математической логикой того времени. В
статье «Peirce Rustled, Russell Pierced...», 1995 И.Анеллис идет дальше и уже утвер-
ждает, что Б.Рассел сознательно фальсифицировал историю логики.
С логико-технической точки зрения, различие подходов в алгебраической и кванти-
фикационно-теоретической традициях проанализировано в статье: В.S.Hawkins,
Jr., Peirce and Russell: the history of a neglected ‘controversy’ (with an appendix «On
Falsigrafs in Bertrand Russell's Principles of Mathematics) // N.Houser, D.D.Ro-
berts & J. Van Evra (editors) Studies in Pierce’s contributions to logic. Bloomington,
Indiana university Press, 1996.
3 Dammit M. The interpretation of Frege’s philosophy. London, 1981. P.430.
4 См. например: Брюшинкин B.H. Практический курс логики для гуманитариев. М.:
Интерпракс, 1994. С.43 —44.
5 Указ, соч., с.44.
6 Шапошников В.А. Математические понятия и образы в философском мышлении.
Диссертация на соиск. ученой степени канд. филос. наук. М., 1996. С 67
7 Baker P.G., Hacker P.M.S. Frege: Logical excavation. New York, Oxford, 1984.
8 Подробнее см : Барабашев А.Г. Математика и творчество // Гуманитарные науки
и новые информационные технологии. М., 1994. Вып.2. С.149—164.
9 Панов М.И. Методологические проблему интуиционистской математики. М.: Нау-
ка, 1984. С.161.
10 Описание соотношения содержательного и аксиоматических представлений о нату-
ральном ряде дано в пунктах 2 — 4 статьи: Успенский В.А. Семь размышлений на
темы философии математики // Закономерности развития современной математи-
ки. М., Наука. С.111 —155. В.А.Успенский вводит неопределяемое, интуитивно яс-
ное понятие Натурального Ряда N и понятие его аксиоматической модели —натура-
льного ряда со строчной буквы. «Какие ни выбрать определенные на N операции и
отношения, не может быть такой системы аксиом, все модели которой изоморфны N
относительно этих операций и отношений» (с. 125).
” Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики.
С.97-110, 120-136.
12 Существуют различные классификации течений конструктивной математики. Две
из этих классификаций (А.Г.Драгалипа и А.С.Трулстры) описаны М.И.Пановым в
книге «Методологические проблемы интуиционистской математики». С.167 —168.
13 См.: Марков А.А. Теория алгорифмов / ' Труды Математического ин-та им.
В.А.Стеклова. М., 1951. Т.38; Марков А.А. О конструктивной математике //
Проблемы конструктивного направления в математике, выпуск 2. Труды Математи-
ческого ин-та им.В.А.Стеклова. М.-Л., 1962. Т.67.
14 См.: М.И.Панов, указ. соч. С.170—171.
15 Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. New York-Oxford: Oxford Univ.
Press, 1983.
Н.И.Платонова 313
16 Китчер Ф. Математический натурализм // Методологический анализ оснований
математики. М., Наука, 1988.
17 Kitcher Ph. The Advancement of Science. Science without Legend, Objectivity without
Illusions. New York-Oxford: Oxford Univ. Press, 1993.
18 Wilder R. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.
19 Указ соч. P.6.
20 Math Worlds. Philosophical and Social Studies of Mathematics and Mathematics Edu-
cation / Ed. by S.Restivo. SUNY at Albany Univ. Press, 1993.
21 См.: Душкин Ю.И. О возможности «нейтральной позиции» в философии математи-
ки и о месте бесконечности в математике / / Бесконечность в математике: философ-
ские и исторические аспекты. М., 1997. С.229 —241.
22 См. сборник: Physicalism in Mathematics / Ed. by A.D.Irvine. Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1990.
23 Philosophia mathematica. Second Issue / Ed. by Stewart Shapiro. Vol.IV. Ser.Ill,
1996.
24 Cm.: Jesseph D. Berkeley’s Philosophy of Mathematics. Univ, of Chicago Press, 1993.
ЧЕРЕЗ ФИЗИКУ К ОБЩЕМУ АНАЛИЗУ
ДЖОВАННИ ДЖОРДЖИ (1871—1950)
Н. И. Платонова
Итальянский инженер, математик и физик Джованни Леоне
Тито Карло Джорджи мало известен историкам науки и почти не-
известен современным математикам. Несколько статей итальянских
авторов [1—3]; [4, с.341—342] дают нам возможность познакоми-
ться с ученым, которого соотечественники называли великим ита-
льянцем [2, с.214].
Джованни родился 27 ноября 1871 года в итальянском городе
Лукка в семье известного юриста Джорджио Джорджи. Из поко-
ления в поколение передавалась в этой семье приверженность к
юриспруденции и административной работе; никто из членов семьи
не проявлял интереса к наукам физическим, математическим или
естественным, никто не занимался техникой. Джованни же в ран-
нем возрасте задумал стать инженером. Учебу мальчик начал в на-
чальной школе в Неаполе, затем поступил в гимназию в Палермо.
Дальнейшее обучение было решено продолжить в Риме, где в ли-
цее Джорджи особое внимание уделял физическим дисциплинам.
Прилежание, уважение к наукам и аскетический образ жизни
Джованни унаследовал от отца. В семнадцать лет Джоржи посту-
пает в Римский университет. Прослушав полный курс, он успешно
выполнил дипломную работу об электрификации железных дорог
и в 22 года получил диплом гражданского инженера.
314
Статьи различного содержания
Трудно сказать, в каком из направлений деятельности Джорд-
жи преуспел больше —в научной, административной или препода-
вательской? За период с 1894 по 1949 гг. ученый опубликовал око-
ло 30 работ, среди которых статьи в итальянских, французских и
английских журналах, 14 отдельных изданий объемом от 100 до
600 страниц, 15 —объемом до 100 стр., 10 учебных пособий, среди
которых курсы лекций по теоретической механике и математиче-
ской физике для университетов.
Научные интересы Джорджи чрезвычайно разнообразны. Ши-
рокую известность получили его труды по инженерно-техническим
вопросам и физике, особенно выделяются оригинальные работы по
теории электричества и магнетизма, электротехнике, динамике, но-
вой системе мер. Много внимания уделял ученый естественнонаучным
дисциплинам, математической физике и функциональному анали-
зу, основаниям геометрии, теории относительности (в физическом
и философском аспектах), математической теории живописи.
Первая публикация Дж. Джорджи появилась в 1894 году в
журнале «L’Elettricista» и была посвящена основным положениям
теории магнитных контуров. В следующем году в том же журнале
вышла его статья «Общий обзор теории магнитных контуров и ее
историческое развитие». На протяжении всей последующей деяте-
льности Джорджи сохранит интерес к вопросам истории науки.
Это найдет отражение как в сугубо специальных работах, так и в
популярных сочинениях, в статьях для итальянской энциклопе-
дии. По свидетельству современников Джорджи был известен как
историк математики не только в Италии, но и за рубежом [2, 3].
К сожалению, его «Краткая история математики», изданная в
Турине в 1948 году «Compendio di Storia delle Matematiche». Vol. di
Ediz. S.E.E, Torino, febbr, 1948. 140 p. осталась нам недоступной.
Итальянскими авторами описаны достижения Джорджи в ин-
женерно-технических областях. Упомянем лишь электровоз Джор-
джи-Колло-Ферреро (Giorgi-Collo-Ferrero), система генерирования
электрической энергии которого была запатентована. В 1910 г. эта
система рассматривалась Высшим Советом железных дорог России
и Государственной Думой. Решено было начать внедрение новше-
ства на дороге Москва—Петербург —Одесса. В том же 1910 г. в
русском журнале Министерства путей сообщения была помещена
статья Джорджи «Электровоз Джорджи-Коло». Работы, начатые с
участием автора, прервала война.
Административную деятельность в качестве директора обще-
ства «Giorgi-Arabia е Со» (1897—1906) и главы технологического
отдела муниципалитета Рима (1906—1921) Джорджи успешно
Н.И.Платонова
315
сочетал с преподавательской работой. В 1910—1926 гг. он читал
курс лекций по анализу в Римском университете и преподавал в
авиационной и инженерной школах. С 1926 по 1929 гг. возглавлял
отделение теоретической механики в университете Кальяри, в 1929 —
1934 гг. занимал такой же пост в университете Палермо. С 1934 г.—
адъюнкт-профессор Института высшей математики.
Оригинальные работы Дж.Джорджи были высоко оценены: в
1903 г. ему присудили премию Итальянской электротехнической
ассоциации, в 1904 и 1937 гг. —премию Крамера Ломбардского
Института наук и искусств, в 1935 он был награжден золотой ме-
далью по электротехнике и премией итальянского электротехниче-
ского общества. В 1902 г. Джорджи был избран членом Лондон-
ского института электротехники, в 1926 г.—действительным чле-
ном Академии деи Линчеи (рысьеглазых), в 1939 г. — академиком
Италии и членом-корреспондентом Академии наук Перу.
Перечисление многочисленных комиссий в различных городах
Италии и за рубежом, которые либо возглавлял, либо консульти-
ровал Джорджи, заняло бы слишком много места, об этом можно
прочитать в [1, 2, 4]. Скончался Джорджи в 1950 г. В апреле
1951 г. Итальянская Электротехническая ассоциация совместно с
муниципалитетом Рима и Национальным советом по исследовани-
ям провели заседание, посвященное памяти Джованни Джорджи.
Речь Базилио Фокаччьо, напечатанная в журнале «L'Elettrotecni-
са» [2], содержит наиболее полный обзор работ Джорджи в раз-
личных областях науки и техники. В этой и в нескольких других
статьях, посвященных вопросам развития функционального анали-
за [2, 5, 6] упоминается имя ученого в связи с развитием функцио-
нального операторного исчисления1.
Тот факт, что действиям над операторами можно дать естест-
венную физическую интерпретацию, был замечен давно. Оливер
Хевисайд использовал операторы в задачах электромагнетизма.
Изучая составленные из индуктивностей, емкостей и сопротивлений
d d ,
цепи, он действовал с операторами — и — как с обычными чис-
ел ах
ленными величинами, подчиняющимися алгебраическим законам.
Не обращая внимания на вопросы математической строгости, Хе-
висайд использовал этот метод при решении дифференциальных
уравнений, в том числе и с частными производными. (О результа-
тах Хевисайда см. [7, 8]).
Стремление к единообразному описанию таких различных яв-
лений как механические колебания, распределении токов в цепях,
теплопроводность, электродинамические процессы и т.д. и к
316
Статьи различного содержания
обоснованию алгоритмов решения задач на связанные с ними ве-
личины привело в начале двадцатого века, с одной стороны, к
хронооператорам Зильберштейна2, а с другой,—к более общим
операторам «функциональной зависимости» Джорджи, разрабаты-
вавшимися почти одновременно. Л.Зильберштейн утверждал в
1901 г., что «научное изучение явлений природы пойдет по пути
детального исследования свойств этих операторов» и последую-
щее развитие физики оказалось убедительным тому подтверждени-
ем. На пути синтеза идей символического исчисления и общей ал-
гебры Джорджи в своих исследованиях удалось соединить прагма-
тические приемы Хевисайда и его последователей инженеров-прак-
тиков с чисто математическим подходом. В октябре 1903 года
Джорджи выступил на конгрессе по электротехнике в Неаполе.
Его сообщение «Символический метод в изучении переменных то-
ков», напечатанное в трудах Итальянской электротехнической ас-
социации за 1904 год, стало отправным пунктом глубоких исследо-
ваний ученого в области функционального анализа4. Используя
некоторые типы операторов /(А), подчиняющиеся обиходным пра-
вилам алгебры, Джорджи показал, что задачи на произвольные
токи можно свести к задачам на постоянные токи. Дальнейшее
развитие этот метод получил в его работе «Функциональное реше-
ние задач электродинамики», изданной в трудах Итальянской
электротехнической ассоциации за 1905 год; напечатано также в
1940 г. в бюллетене Военного института связи. В этой статье пред-
ложено также обоснование результатов Хевисайда и предпринята
попытка объяснить, почему разложение операторов в ряды иногда
дает верные результаты, а иногда —нет.
Напечатанные на итальянском языке в относительно мало из-
вестных математикам журналах, эти работы не получили широкой
известности. Разработкой применения методов функционального
анализа ученый занимался многие годы. Им написано около
30 оригинальных работ, посвященных решению физических задач
операторными методами, исследованию функций матриц, исполь-
зованию импульсных функций в операционном исчислении. Неко-
торые из этих работ издавались дважды. Среди них особенно вы-
деляется доклад Дж. Джорджи на международном конгрессе мате-
матиков в Торонто (Канада) в 1924 г. Ученый был приглашен на
конгресс рассказать о новом, разработанном им методе решения
физических задач с помощью функционального операторного ис-
числения, позволяющего работать в рамках достаточно строгой те-
ории. В выступлении, озаглавленном «О функциональной зависи-
мости физических переменных», ученый подошел к рассматривае-
мой проблеме с более общих позиций. Указав на результаты О.
Н. И. Платонова
317
Хевисайда и Л .Зильберштейна, Джорджи утверждает, что «... пра-
вила для получения корректных результатов и теория таких опера-
торных методов никогда не были разработаны» [10, с.32]. Слиш-
ком широкое понимание этой фразы может ввести в заблуждение.
Вряд ли ученый мог претендовать на то, что он первым начал изу-
чать структуру аналитических функций от операторов. Указанные
объекты были предметом исследования многих ученых [11, 12] и
можно указать, что, например, работы С.Пинкерле, Т.Леви-Чиви-
ты и других, чьи труды не остались неизвестными для Джорджи.
Но именно ему удалось дать конкретные реализации построенной
абстрактной структуры и показать полезность для физики нового
аналитического аппарата. Цель исследований докладчик сформу-
лировал так: построить алгебраическую структуру объектов f(ff)
(0—оператор, приемлемый для описания физических явлений,
/"—аналитическое выражение) так, чтобы при решении физических
задач действия над этими операторами происходили по правилам
алгебры^.
Для описания физической переменной V(O класс аналитиче-
ских функций узок, а определение функции по Дирихле слишком
широко. Джорджи использует функции, равные производной от
их интеграла, абсолютно интегрируемые на конечном интервале, с
ограниченным полным изменением на интервале непрерывности.
Мера множества точек, в которых непрерывность V(O, t е[-ос;
+ оо] нарушается, достаточно мала; и функции, совпадающие в точ-
ках непрерывности, считаются равными.
6 6
Оператор 0 Джорджи определяет так : V —>IVZ, где поведение
lVz(t) зависит от всех значений V(O- Джорджи рассматривает толь-
ко линейные операторы. Линейность существенно используется в
механизме действия оператора на физическую переменную: V(t)
можно представить набором более простых функций и описать
действия оператора на каждую из них через порождающую функ-
цию G. Тогда
X = + 00
0V(0= J G(t,x)V(O,
т = — СО
«где f может быть суммой (ряда, — Н.П,) или интеграла, или
предела интеграла» [10, с.34].
Объединяя дискретные и непрерывные явления, Джорджи
рассматривает порождающую функцию как результат действия
оператора на унитарную импульсивную7 функцию Fu(t)— аналог
J —функции Дирака:
318
Статьи различного содержания
+ 00
0V(t) = f V(t) 6Fu(t — т) d-г.
— oo
Представив действие оператора через собственные функции
0Vi=PiVi- (3)
Джорджи определяет значение функции от оператора через
действие f на собственные значения
Дб) гр,- =f(pi) Vi- (4)
Разложив произвольную (т.е. не являющуюся собственной)
функцию y{t) ПО совокупности Vs
y(t) = Е Xj Vi (5)
по аддитивности Джорджи определяет действие Д0):
Д0)у(О = Е A,/(pi) Vi- (6)
Чтобы вылазить Д0) через функцию от А, где А —оператор
дифференцирования, Джорджи использует ряд Фурье:
V(£)= Е А„ eint (7)
— оо
тогда
ДЛ)У(О = An f(in) eint (8)
— оо
(так как экспонента —собственная функция оператора дифферен-
цирования).
В общем случае используется интеграл Фурье:
+ ioo + Т
1 г ( ____
V(t) = — J dco J —— V(r)dT
2кг - eax
-JOO - T G
(здесь V(...) Джорджи представляет в виде предела
функций:
V(t) t е [- Т, Т]
О, tel-T,T],
тогда V(0= lim
Т= ОО
Окончательно
1 + Г + f° eat
V(.t) = —. lim J dco J Q(a, co)------V(r)dT,
2ni r=oo
— ZOO — oo v
a= 0
V(t) =
(9)
финитных
(10)
Н. И. Платонова 319
где Q—множитель, обеспечивающий сходимость. Тогда действие
Да) Джорджи описывает как
/(A)V(O = — lim J dco J Q(a, co) fito) —— V(t) dr (11)
2n2r=oo_ioo _ro e™
a= 0
или, в иной форме, через импульсивные функции
+ оо
f(A)V(O = J G(£-т) V(t) dx. (12)
— 00
Сравнивая формулы (1) и (12), Джорджи отмечает различие
в их физической интерпретации: в (12) G является функцией од-
ной переменной, что означает неизменность свойств системы во
времени. Такие системы и операторы Джорджи называет нормаль-
ными8. Используя символическую запись ряда Тейлора
ейд V(t) = V(t +h). <13>
Джорджи представляет действие оператора на физическую пе-
ременную через функцию от А:
+ оо
0VU)= |g(0) е-ед V(i) d0 (14)
— оо
или в символической форме
+ оо
0= f G(0)e-6Ad0 (15)
— со
Итак, мы обрисовали в общих чертах построение ученым абст-
рактной структуры операторов. С символами ДА) можно обраща-
ться как с обычными численными величинами. Джорджи показы-
вает, что для решения практических задач необязательно задейст-
вовать все громоздкие формулы.
Вместо вычисления порождающей функции Джорджи предла-
гает определять ее свойствам, изучая действие9 оператора на физи-
ческую переменную. Он приводит ряд теорем, в которых форму-
лируются соотношения между символами, и показывает, как ре-
шать практически задачи, в том числе получить результаты Хеви-
сайда, Буля и др.
Так, символическое исчисление, различные аспекты и периоды
истории которого освещены в [8]; [14] —[19, с.413 —419]; [20,
с. 116—120], в трудах Джорджи достигают интересного этапа
320
Статьи различного содержания
развития. Это уже не «экспериментальная математика», как его
называл Хевисайд, а достаточно строгая теория.
М.Борн, Н. Винер и Э.Шредингер, работая над обобщением
матричной механики, высоко оценили труды Джорджи. Особенно
примечательно мнение последнего: «...удивительно обнаружить в
работе 1924 года вполне развитый аппарат для изучения естествен-
ных явлений. Поэтому мне лично труды Джорджи кажутся под-
линным откровением» [2, с.216].
Примечания
1 Этим термином итальянские авторы обозначали операторное исчисление, известное
под наименованием «исчисление Хевисайда»; итальянцы нередко называли его «ис-
числением Джорджи — Хевисайда». Сложился этот термин в период несколько обо-
собленного развития «общего анализа» в смысле Э.Г.Мураи «исчисления функцио-
налов».
2 О них см. [9, с.224-225].
3 Цитируется по книге М.Джеммера [9, с.225].
4 Эта и названная далее работы Джорджи тоже оказались пока недоступными автору.
Их содержание описывается на основании публикаций [2] и [5] и указываемого да-
лее доклада [10]
5 В этой алгебре умножение было необязательно коммутативным и допускались дели-
тели нуля.
6 Аналогичное определение оператора использовал также В. Вольтерра.
7 Правомерность использования импульсивных функций Джорджи установил в упо-
минавшихся работах 1904— 1905 гг. Этот вопрос обсуждался им с Дж.Пеано, кото-
рый также пользовался подобными функциями [10. с.35], их применяли и многие
другие математики и физики [13].
8 Условия «нормальности» встречается (под другим названием) и у Вольтерра.
9 Действие /(Д ) на V(t) ученый представляет в виде суммы двух членов (он называет
их функциональной и свободной вариациями) аналогично случаю с оператором
Д~ 1:
+ оо
Д—1I'(t) = Jv(t)dt + C
— СО
где второе слагаемое в правой части, представляющее свободную вариацию, равно
действию рассматриваемого оператора на нуль.
Список литературы
1. Loria М. Giorgi Giovanni // Dictionary of the scientific biography / Ed. by
Ch.Gillispie. New York. 1972. Vol.V. P.407-408.
2. FocacciaB. Giovanni Giorgi /, L’Elettrotecnica. 1951. Vol.38. №5. P.214 —218.
3. Abetti P.A. Giovanni Giorgi // Electrical Engineering. 1951. Vol.70. №7
P.587-588.
4. Giorgi G. Verso L’Elettrotecnica moderna. Milano, 1949.
5. Aprile J. L’cvolutionc del calcolo opcratorio funzionalc // Scicntia (4), anno
XXXV, 1941. P.1-8.
НИ. Платонова
321
6. Медведев Ф.А. Первая монография по функциональному анализу // Истори-
ко-математические исследования. М.: Наука, 1973. Вып.18. С.71—93.
7. Lutzen J. Heaviside’s operational calculus and the attemps to rigorise it // Arch.
Hist. Ex. Sci. 1979. Vol.21. №2. P.161-200.
8. Петрова С. С. Хевисайд и развитие символического исчисления / / Историко-ма-
тематические исследования. М.. Наука, 1985. Вын.28. С.98—122.
9 Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985.
10. Giorgi G. The functional dependence of physical variabiles // Proceidings of the In-
ternational Math. Congr. Toronto, August 11 — 16. 1924. Toronto: The University of
the Toronto Press, 1928. Vol.2. P.31—56.
11. Koppelman E. The calculus of operations and the rise of abstract algebra // Arch.
Hist. Ex. Sci, 1971. Vol.8. №3. P.155-242.
12. Pincherle S. Equationset operations fonctionnellcs // Encycl. dessci. math, pureset
appl. 1912. Vol.2. №5. P.1-82.
13. Liitzen J. The prehistory of the theory of distributions. New York-Heidelberg-Berlin:
Springer, 1982.
14. Киселев А. А., Ожигова Е.П. О ранней истории операционного исчисления / / Во-
просы истории физико-математических наук. М.: Высшая школа, 1963.
С.133-139.
15. Люстерник Л.А., Петрова С.С. Из истории символического исчисления '/ Ис-
торико-математические исследования. М.: Наука, 1977. Вын.22. С.85—101.
16. Ожигова Е.П. Об истоках символических и комбинаторных методов в конце
XVIII —начале XIX в. // Историко-математические исследования. М.: Наука,
1979. Вып.24. С. 121-157.
17. Петрова С. С. Зарождение теории линейных операторов в работах Сервуа и Мор-
фи // История и методология естественных наук. М.: Изд-во МГУ, 1978.
Вып.20. С.122-128.
18. Петрова С.С. Дж.Буль и развитие символических методов в теории дифференци-
альных уравнений // Историко-математические исследования. М.. Наука. 1985
Вып.29. С.88-102.
19. Bell Е. Т. The development of mathematics. New York-London: Мс-Grow Hill, 1945.
20. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновен-
ные дифференциальные уравнения Вариационное исчисление. Теория конечных
разностей / Под рсд. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича. М.: Наука, 1987.
21-3525
НАУЧНАЯ ХРОНИКА1*
ЗАЩИТА ДИССЕРТАЦИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
Институт истории естествознания и техники
им. С.И.Вавилова Российской академии наук
24 сентября 1992 г.
ДОБРОВОЛЬСКАЯ Элла Михайловна (Киев) —Развитие теории
цепных дробей в XVII—XVIII вв. Руководитель: А.Н.Боголюбов.
Оппоненты: С. С.Демидов, А. С.Барашков.
Ташкентский государственный университет
27 марта 1997 г.
АБДУ КАБИРОВ Азамжон (Ташкент)— История изучения теории
конических сечений иа средневековом Востоке. Руководитель:
А.Абдурахманов. Оппоненты: Г.П.Матвиевская, Р.Юнусметов.
НОВЫЕ КНИГИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В.ПУРКЕРТ, Х.УЛЬГАУДС. Георг Кантор / Пер. с немецкого. Харьков: Основа.
1991. 128 с.
В.А.ДОБРОВОЛЬСКИЙ. У истоков аналитической геометрии. Киев: Виша школа,
1992. 96 с.
Михаил Филиппович Кравчук / Отв. редактор Д.С.Парасюк. Киев: Наукова думка,
1992. 37 с. (на украинском языке).
Математическое естествознание: фрагменты истории. Сборник научных трудов. Киев:
Наукова думка, 1992. 320 с.
Вехи развития математического естествознания. Сборник научных работ. Киев:
Институт математики Национальной академии наук Украины, 1994. 132 с. (на
украинском языке).
1) Раздел подготовили А.И.Володарский и Т.А.Токарева
323
Труды международной математической конференции, посвященной памяти Ганса
Гана. Черновцы: Рута, 1995. 368 с. (на украинском языке).
Годичная научная конференция Института истории естествознания и техники
им.С.И.Вавилова—1995 / Отв. редактор В.М.Орел. М.: Янус, 1996. 194 с.
А.П.ЮШКЕВИЧ. Математика в ее истории / Отв. редактор С.С. Демидов. М.:Янус.
1996. 413 с.
И.Б.ПОГРЕБЫССКИЙ. От Лагранжа к Эй нштейну / Отв. редактор
А Н.Боголюбов. М.: Янус, 1996. 400 с.
К.А.РЫБНИКОВ. Комбинаторный анализ. Очерки истории. М.: Изд-во механико-
математического факультета Московского университета, 1996. 124 с.
Историко-математические исследования / Главный редактор С.С.Демидов. М.:Янус,
1996. Вторая серия. Вып.1(36) №2. 272 с.
В.И.ИГОШИН. Михаил Яковлевич Суслин. М., 1996. 176 с.
А.Н.БОГОЛЮБОВ. Н.Н.Боголюбов. Жизнь. Творчество. Дубна, 1996. 182 с.
К.А.РЫБНИКОВ. Математическое образование и наука в Соединенных Штатах
Америки. М.: Изд-во механико-математического факультета Московского
университета, 1997. 56 с.
Годичная научная конференция Института истории естествознания и техники
им.С.И.Вавилова—1996 / Отв редактор В.М.Орел. М.: Янус-К. 1997. 320 с.
Неопубликованные материалы Л.Эйлера по теории чисел / Отв. редактор
Н И.Невская. Составители: Г.П.Матвиевская, Е.П.Ожигова, Н.И.Невская,
Ю.Х.Копслевич. СПб: Наука, 1997. 255 с.
Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / Под редакцией
А.Г.Барабашева. М.: Янус-К, 1997. 399 с.
А.П.ЮШКЕВИЧ, К.ФОГЕЛЬ. История математики без границ. М.: Янус-К, 1997.310 с.
Mathematikgeschichte ohne Grcnzen. Die Korrespondenz zwischen K.Vogel und
A.P.Juschkewitsch / herausgegeben von M.Folkerts, M.M.Rozanskaja, I.Luther.
Milnchen: Institute fiir Geschichte dec Naturwissenschaften, 1997. 276 S.
НАУЧНЫЕ КОНФЕРЕНЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
6—10 сентября 1996 г., Лыткино, Московская область. 7-ая Всерос-
сийская конференция «Закономерности и современные тенденции
развития математики». Стержневая тема: «Бесконечность в логике,
философии и истории математики». Организаторы: Московский го-
сударственный университет им.М.В.Ломоносова, Институт истории
естествознания и техники им.С.И.Вавилова РАН, Российский госу-
дарственный гуманитарный университет, Фонд философской иници-
ативы «Апейрон».
30 сентября—1 октября 1996 г., Москва. Всероссийская конферен-
ция «Границы интерпретации в гуманитарном и естественно-научном
знании». Организатор: Российский государственный гуманитарный
университет.
21*
НАУЧНЫЕ ДОКЛАДЫ НА СЕМИНАРАХ
ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Объединенный Московский семинар по истории
и методологии математики и механики
(руководители: К.А.РЫБНИКОВ, И.Г.БАШМАКОВА,
И.А.ТЮЛИНА, С.С.ДЕМИДОВ. Проходит в помещении
механико-математического факультета Московского
государственного университета им.М.В.Ломоносова)
23 сентября 1996 г.
ЗВЕРКИНА Г. А. (МГУ). О приближениях числа л у Архимеда.
7 октября 1996 г.
КУЗИЧЕВА З.А. (МГУ), КУЗИЧЕВ А.С. (МГУ). О конференции
по проблемам бесконечности (6—10 сентября 1996 г., Лыткино).
ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ). О школе-семинаре «История организа-
ции науки: американские модели» (16—18 июля 1996 г., Санкт-Пе-
тербург).
14 октября 1996 г.
ЧЕНДОВ Б.С. (Болгария). О периодизации истории математики.
21 октября 1996 г.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ). К истории центральной предельной теоре-
мы (еще раз о споре А.А.Маркова и П.А.Некрасова).
28 октября 1996 г.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ). Раннесредневековая геометрия на латин-
ском Западе.
4 ноября 1996 г.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ). Раннесредневековая геометрия на латин-
ском Западе (окончание).
11 ноября 1996 г.
КУЗИЧЕВ А.С. (МГУ). Роль С.А.Яновской в развитии отечествен-
ной математической логики.
18 ноября 1996 г.
Памяти С. А.Яновской посвящается.
25 ноября 1996 г.
ТЮЛИНА И.А. (МГУ). О конференции по истории математики в
Перми (октябрь 1996 г.).
ПЕТРОВА С.С. (МГУ). О конференции по истории математики в
Иене (сентябрь 1996 г.).
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ). О конференции по истории математики в
Обервольфахе (октябрь — ноябрь 1996 г.).
2 декабря / 996
ТЮЛИНА И.А. (МГУ). К юбилею Н.Е.Жуковского: 150 лет со дня
рождения.
9 декабря 1996 г.
ГУШЕЛЬ Р.З. (Ярославль). О преподавании курса истории матема-
тики в Ярославском государственном педагогическом университете.
325
/6 декабря 1996 г.
НАУМОВ С. А. (МИКХиС). О «кинематике механизмов» Н.И.Мер-
цадова.
24 февраля 1997 г.
ЩЕЛКАЧЕВ В.Н. (Москва). Воспоминания о Московском универ-
ситете в 20-е годы XX столетия.
3 марта 1997 г.
БАЖЕНОВ Ю.И. (Иркутск). О механических приемах Архимеда.
10 марта 1997 г.
БАРАБАШЕВ А.Г. (МГУ). Треугольник Фреге и существование ма-
тематических объектов.
17 марта 1997 г.
КИРСАНОВ В.С. (ИИЕТ). Переписка Ньютона и Гука.
24 марта 1997 г.
ВИЗГИН В.П. (ИИЕТ). Математические традиции и новая физика.
31 марта 1997 г.
ГЛЕЙЗЕР Г.Д. (Москва). Число л в Библии.
КУЗИЧЕВА З.А. (МГУ). О ранней истории теории множеств и тра-
диционной логике.
7 апреля 1997 г.
КИМ А.А. (МГУ). Материалы к научной биографии Б.В.Булгакова.
КОВТУН Л.В. (МГУ). Практическая механика в Московском уни-
верситете во второй половине XIX века.
14 апреля 1997 г.
СПИРИХИНА О.Н. (МГУ). О работе Н.И.Лобачевского «Пониже-
ние степени в двухчленном уравнении, когда показатель без единицы
делится на 8».
21 апреля 1997 г.
ДЕМИДОВ С.С. (ИИЕТ), ПЕТРОВА С.С. (МГУ). О математике в
Москве в первой трети XX в.
28 апреля 1997 г.
КУЗИЧЕВ А.С. (МГУ). О представлении канторовской теории мно-
жеств в общих дискретно-комбинаторных теориях.
ЧИНЕНОВА В.Н. (МГУ). О некоторых механических задачах у
П.Вариньона.
Семинар сектора истории математики
Института истории естествознания и техники
им. С.И.Вавилова РАН
(руководитель: С.С.ДЕМИДОВ, секретарь: Т.А.ТОКАРЕВА)
28 июня 1996 г.
ШАПОШНИКОВ В.А. (МГУ). Математика в творчестве П.А.Фло-
ренского.
54-й пленум Национального комитета РАН по
истории и философии науки и техники (проходит в
помещении Института истории естествознания и
техники им. С. И. Вавилова РАН)
326
Секция истории математики
10 декабря 1996 г.
ПЕТРОВА С.С. (МГУ), СОЛОВЬЕВ А.Д. (МГУ). О работах
П.А.Некрасова по теории вероятностей.
БЫЧКОВ С.Н. (РГГУ). Генезис теоретической геометрии.
ПРОЯЕВА И.В. (Оренбург). Построения правильного семиугольника.
ГОРЛОВА В.Д. (Оренбург). Ранние результаты теории дзета-функ-
ции в записных книжках Эйлера (1736—1740).
Семинар «Наука как открытая система*
(руководители: Н.И.КУЗНЕЦОВА, С. С. ДЕМИДОВ.
Проходит в помещении Института истории
естествознания и техники им. С.И.Вавилова РАН)
26 декабря 1996 г.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ). Проблема пространства в раннесредневеко-
вой науке и философии.
Годичная научная конференция Института
истории естествознания и техники
им. С. И. Вавилова РАН
Пленарное заседание
22 апреля 1997 г.
ГЛЕЙЗЕР Г.Д. (Москва). Число л в Ветхом Завете.
ЗАЙЦЕВ Е.А. (ИИЕТ). Математика в культуре Каролингского Воз
рождения.
55-й пленум Национального комитета РАН по
истории и философии науки и техники (проходит в
помещении Института истории естествознания и
техники им. С. И. Вавилова РАН) •
Пленарное заседание
20 мая 1997 г.
ВОЛОДАРСКИЙ А.И. (ИИЕТ). О работах по истории математики,
проводимых во Франции.
Секция истории математики
22 мая 1997 г.
МАТВИЕВСКАЯ Г.П. (Ташкент). Исследования по истории матема-
тики в Южно-Уральском отделении Национального комитета РАН
по истории и философии науки и техники.
ДЕМИДОВ С.С. (МГУ). О преподавании истории математики в
Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова.
ГОРЛОВА В.Д. (Оренбург). Функциональное уравнение для дзе-
та-функции в записных книжках Эйлера.
ПРОЯЕВА И.В. (Оренбург). Задача деления окружности на п рав-
ных частей и ее роль в истории математики,
Abstracts
Solovyev A.D. A.P.Nekrasov and the central limit theorem of prob-
ability theory.
The eminent Russian mathematician P.A.Nekrasov, from the beginning of
his scientific career displayed great ability as an analyst, with particular ability
to apply the apparatus of the theory of analytical functions. In his doctoral dis-
sertation he worked out the method of saddle-point and in the general case the
method of steepest descent. The goal of present article is to give an objective
evalution of Nekrasov’s contribution to the proof of the central limit theorem of
probability theory. This analysis gives a generaly negative evalution of these
works. The theorem was proved only for lattice random variables, and only un-
der very strict conditions some of which are difficult to verify. At the same time
Nekrasov gave the first proof of the local central limit theorem for large devia-
tions.
Sheynin O.B. A.A.Markov and life insurance.
Two newspaper articles published by Markov in 1906 and arguing against a
proposed scheme for insuring children are reprinted and commented upon. His
work in several retirement funds and his related correspondence with two col-
leagues are described.
Ford C.E. The influence of P.A.Florensky on N.N.Luzin.
Study of the early history of the Moscow school of the theory of functions
has been greatly enhanced by the discovery of correspondence between one of its
founders, N.N.Luzin and the priest, theologian, philosopher, and scientist
P.A.Florensky. The correspondence reveals that Luzin experienced a profound
spiritual crisis in 1905 when his materialist world-view collapsed. This crisis
continued for four years and was finally resolved when Luzin had a decisive en-
counter with the religious philosophy of Florensky. After this, Luzin’s interest
in mathematics gradually revived until he was able, by 1909, to commit himself
to a career in mathematics.
Ermolaeva N.S. N.N.Luzin and the environment of the Academy.
The author gives the detailed survey of scientific contacts between
N.N.Luzin and other members of Academy of sciences. Among them are not only
mathematicians S.A.Chaplygin, A.N Krylov, N.M.Krylov, but also such emi-
nent academicians as V.I.Vernadsky, A.N.Severtsov, N.A.Morozov, D.M.Pe-
trushevsky, V.M.Alekseyev, B.A.Vvedensky, V.K.Arkadyev, V.I.Kovalenkov,
V.G.Fesenkov, V.S.Kulebyakin, V.P.Nikitin and some other
328
Matvievskaya G.P. On the article of V.I.Romanovsky <On some
tasks for the establishment of a university in Tashkent*.
Vsevolod Ivanovich Romanovsky (1876— 1954) is one of the most eminent
Russian specialists on the theory of probability and statistics. He is a graduate of
Saint-Petersburg university and his research continues the tradition of the Pe-
tersburg mathematical school. After graduation he taught for some time in Tash-
kent and then became professor at Warsaw university. In 1918 Romanovsky
returned to Tashkent, where he took active part in organizing the university
there.
Romanovsky V.I. On some tasks for the establishment of a univer-
sity in Tashkent (publication by G.P.Matvievskaya).
This article examines the principles of organizing of university. It was pub-
lished in 1918 in magazine «People’s teacher* (Tashkent). This article is of in-
terest, first of all, as document which reflects the situation of education in
prerevolutionary Russia. It also gives evidence of the strong interest of Roma-
novsky in the development of education and science in Central Asia.
Postnikov M.M. Pages from a mathematical autobiography
(1942-1953).
The author entered the mathematics department of Perm university when
he was only 15 year old. At that time S. A Yanovskaya was professor at Perm uni-
versity and it is she who helped him moved to Moscow and enter Moscow univer-
sity. From 1945 he continued his education as a post-graduate student at
Moscow university and from 1947 as a post-graduate student at Mathematics in-
stitute of USSR Academy of sciences. In 1949 he defended his candidate disser-
tation and in 1953 he defended his doctoral dissertation.
Bashmakova I.G. Sofya Alexandrovna Yanovskaya (1896—1966):
reminiscences.
Here are the reminiscences on the eminent Russian historian and philosopher
of mathematics, one of the best specialist in mathematical logic in our country.
Trakhtenbrot B.A. In memory of S.A. Yanovskaya.
There are currently comprehensive papers which document and analyze the
legacy of S. A.Yanovskaya, and her contribution to history and philosophy of
mathematics as well as to the formation and defense of mathematical logic in the
USSR. The centenary of her birth is an appropriate opportunity to offer recollec-
tions which may add some traits to the picture of this eminent scholar and superb
human being. We publish and comment on some documents, among them letters
addressed to me by Yanovskaya. From a personal perspective these documents,
dated 1951, tell the story of how I was accused of «bourgeois idealism», and how
due to the guidance and support of my mentors and especially Yanovskaya I
managed to overcome the danger of these accusations in an era of persecution of
«idealists», «cosmopolites», and others. Beyond my personal affairs the docu-
ments present additional evidence at the general atmosphere surrounding mathe-
matical logic at that time and to the struggle of Yanovskaya for its legitimacy
and consolidation.
329
Demidov S.S. «But this of yours idea has universal significance and
extraordinary value* (from the prehistory of nonstandard analysis).
This article contains a survay of letters which were written by N.N.Luzin in
the early 1930s. In 1931 M.Ya.Vygodsky published «Foundations of infinitesi-
mal calculus», a copy of which he sent to Nikolai Nikolayevich. This course of
mathematical analysis represents an absolutely nontraditional presentation of
differential and integral calculus. Luzin was the only one among the prominent
mathematicians who supported Vygodsky’s approach.
Two letters of N.N.Luzin to M. Ya Vygodsky (publication and
notes by V.A. Volkov and S.S.Demidov).
We publish here two letters to M.Ya.Vygodsky which were written by
N.N. Luzin in 1931 and 1933. The first letter is especially interesting. It illus-
trates Luzin’s natural, intuitive grasp of mathematics. It shows that he antici-
pated the discovery of nonstandard analysis of the 1960s. On the other hand, it
reveals the painful experience of the young Luzin in his difficult search for the
subject of his future research. It reveals that during his student years, Luzin’s re-
flections on the nature of infinitesimals served as a bridge to the theory of func-
tions of a real variable.
Tikhomirov V.M. G.E.Shilov and the mathematical education.
Shilov’s scientific career started during his student years at the mathemat-
ics department of Moscow university under the guidance of A.N.Kolmogorov.
His early research was connected with the theory of Banach algebras founded by
I. M. Gel land. After working several years as a proffesor at Kiev university, Shi-
lov in 1954 was invited by LG. Petrovsky to join Moscow university It is here
that Shilov obtained outstanding results in the theory of generalized function,
differential equations, infinite-dimensional analysis Together with Gelfand
Shilov wrote three well known volumes on the theory of generalized functions
At the same time he published textbooks on mathematics. He also wrote many
articles on music, poetry, philosophy, and the teaching of mathematics.
Myshkis A.D., Ovcharenko I.E. G.E.Shilov and the teaching of
mathematics.
We publish here some excerpts of Shilov pedagogical activity. The first is
«Mathematical analysis in the university: current and future». This is the text of
the paper submeetted by Shilov on October 1965 at the meeting of the USSR
Academy of sciences Commission on mathematical education (headed by
A.N.Kolmogorov). The second is connected with the teaching of the common al-
gebraic and geometrical courses in a mathematics department. The third concer-
nes the problem of mathematical education in philosophical and other
humanities departments of universities.
Perminov V. Ya. On the nature of idea of proof in the development of
pre-Greek mathematics.
A primary assertion of the empirical interpretation of mathematics is that
mathematics as a science has experimental origins and that before the advent of
rigor and proof there was an emperical mathematics with only inductive
330
verification. It seems that this thesis is confirmed by the history of mathematics.
Many historians of science shore the view that formal concepts of mathematical
proof were developed in the VI —V centuries B.C., in Ancient Greece. Before
this, mathematics as a science consisted of results derived directly from every
day experience. This article outlines another understanding of pre-Greek mathe-
matics which is based on an a priori interpretation of the initial mathematical
idealizations,
Yankov V. A. The formation of proof in early Greek mathematics (hy-
potetical reconstruction).
European civilization differs from others by its development of a mathe-
matics with strict methods of proof. The notions of rigor and precision developed
only over the centuries and even now remains incomplete. Only Arabic mathe-
matics, developed with a knowledge of the Greek tradition, developed some
methods of proof. In India and China refined methods of calculation were devel-
oped, but the concept of proof was unknown to them. However, the complexity
and subtelty of the accumulated material finally demanded some sembalance of
proof. These developed at the level of verbal transmission to students, not only
in late Oriental civilizations but also in ancient Egypt and Mesopotamia.
Zverkina G.A., Sufiyarova 1.1. On methods of approximating of
circumference by the perimeters of regular polygons.
We give a historical review of the methods of approximation of length of
circumference by the perimeters of regular polygons. Archimedes and al-Kashi’s
methods are compared. An estimation of the rapidity of convergence is given for
both methods. It is shown that the approximation of n due to Apollonius may be
obtained by the method of Archimedes.
Zaitsev E.A. The calculation of areas in the practice of surveying.
Land measurement, including its mathematical aspects, and theoretical ge-
ometry were historically formed as two different and independent domains of
mathematical culture. In spite of the fact that the word «geometry» is derived
from the «measurement of land» and long tradition connects its origins with the
problem of surveying arrising in Ancient Egypt after the flooding of the Nile, an-
cient authors strictly distinguished the two notions. They considered geometry
as a science and land measurement as a handicraft. However, in the history of
mathematics rough formulae of ancient surveying are usually viewed from the
standpoint of geometry only. Such an approch leads to contradictions in inter-
pretations and does not bring much for the understanding of the origins of these
formulae. In this paper an attempt is made to provide an interpretation of the old
surveyors’ formulae (including the so called «false-area formula») from the
standpoint of the agrarian practice of the time. The key point of the argumenta-
tion is the idea that the notion of area has to be understood not in the terms of
mathematics but rather in those of work necessary for the cultivation of a field
(either by ploughing or canal construction).
331
Demidov S.S. On the article of I.B.Pogrebyssky «On the history
of qualitative methods in the theory of differential equations»
1996 marked the 90th anniversary of the eminent historian of science
I.B.Pogrebyssky (1906—1971). We publish here his work devoted to the his-
tory of the qualitative theory of differential equations.
I.B.Pogrebyssky. On the history of qualitative methods in the the-
ory of differential equations (publication by S.S.Demidov).
The origin of qualitative theory of differential equations presents a good
example of the interaction of two types influence: the first connected with the
internal logic of the development of mathematics: the second reflect the external
needs of theoretical mechanics and technology.
Barabashev A. G. Frege’s triangle and the existence of mathematical
objects.
This article is the result of repeated attempts by the author to build a satis-
factory conception of a philosophy of mathematics that touches upon the prob-
lem of the existance of mathematical objects. Some of these concepts have
appeared in various books and articles, but without explanation. This paper dis-
cusses a generalized description of the main concepts of the nature of mathemati-
cal objects, including formalism, logicism, intuitionism and mathematical
Platonism. An attempt is made to give a system of priority to the main concepts
of the nature of mathematical objects, with the help of a graphical scheme based
on Frege’s triangle.
Platonova N.I. From physics to general analysis. Giovanni Giorgi
(1871—1950).
The Italian engineer, mathematician and physicist Giorgi is little known to
the historians of science and almost unknown to the contemporary mathemati-
cians, even though compatriots called him the «great Italian». His scientific in-
terests were varied. Giorgi's works on engineering and physics, on electricity
and magnetism, on mathematical physics and functional analysis, foundations of
geometry and theory of probability are reviewed here.
Именной указатель1)
Абу-л-Вафа Мухаммад ибн
Мухаммад ал-Бузджани 239, 252 — 254
Адамар Ж. (Hadamard J.) 173, 175, 299
Адриан Меций (Metius, Adriaen
Antonicz) 240
Адриан Романский (Adriaen van
Roomen, Adrianus Romanus) 240
Аккерман Ф. (Ackermann F.W.) 111
Александр Афродизийский 106, 219
Александров А.Д. 154
Александров П.С. 81, 82,
92 — 95, 101, 102
Алексеев В.М. 43, 45, 46, 48
Алкуин 279
Анаксагор 224, 233, 238
Анаксимандр 2Ю, 211, 215, 225
Анаксимен 210. 224
Андронов А.А. 285
Анеллис И. (Anellis 1.) 297, 311, 312
Антифон 238, 248
Аполлоний Пергский 202, 237 — 239,
246-248
Ариабхата I 239, 248—253
Аристотель 201—203, 208, 210, 211,
219, 225, 227, 228, 230, 235
Аристофан 205
Аркадьев В.К. 43, 61
Арнольд В.И. 154
Артоболевский И И. 49
Архимед 48, 106, 237, 238,
240-242, 244-249, 256-260
Архит 202
Ариела Ч. (Arzela С.) 162
Атья М.Ф. (Atiyah M.F.) 159
Байер А. (Ваеуег А.) 70
Банах С. (Banach S.) 158, 166, 175
Барабашев А.Г. 312
Бахман П. (Bachmann Р.) 101
Башмакова И.Г. 260
Беккер О. (Becker О.) 205, 211, 213
Бендиксон И. (Bendixson I.O.) 284. 291
Беркли Д. (Berkeley D.) 309
Бернал Дж. (Bernal J.) 101
Бернулли Н. (Bernoulli D.) 24
Бернштейн И. (Bernstein J.) 95
Бернштейн С.Н. 150, 151
Бессель Ф. (Bessel F.W.) 80, 163
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 299 Биркгоф Дж. (Birkhoff G.D.) 284 ал-Бируни Абу-р-Райхан Мухаммад ибн Ахмад 239, 252 — 254 Бирюков Б.В. 293 Бокштейн М.Ф. 92, 101 Болтянский В.Г. 100, 101 Бонне О. (Bonnet О.) 164 Бончковский В.Ф 63 Борисяк А.А. 53 Борель Э. (Borel Е.) 132, 149, 151 Бороздин К.В. 123 Борок В.М. 154 Борн М (Born М.) 318 Брауэр Л.Э. (Brouwer L.E.) 198, 284, 302, 303 Бризон 238 Брюшинкин В.Н. 312 Буль Дж. (Boole G.) 297, 319 Буняковский В.Я. 25 Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 160, 175 Буркерт В. (Burkert W.) 216 Бхаскара II 239, 249, 251, 252 Бычков С.Н. 202 Бюшгенс С.С. 143, 146
Вавилов С И. 56, 57 Вайман А.А. 267 Валле-Пуссен де ла Ш. (de la Vallee-Poussin Ch.) 135, 146 вап дер Варден Б.Л. (van der Waerdcn B.L.) 23, 206 Вандулакис Я. 211 Ван Хэ Л. 47 ван Цейлон Л. (van Ceulen L.) 240 Васильев Н.А. 132 Варахамихира 252, 253 Введенский Б.А. 43 Вей Ши 239 Вейерштрасс К. (Weierstrass К.) 131, 132, 136, 140, 145, 146, 148-151, 162, 163 Вейль Г. (Weyl Н.) 120 Вскуа И.Н. 154 Вернадский В.И. 43 — 45, 47, 49, 64 Виет Ф. (Vieta F.) 173, 240, 256
1) Составители А.И.Володарский и Т.А.Токарева
Винер Н. (Wiener N.) 165, 321
Виноградов И.М. 123
Витгенштейн Л. (Wittgenstein L.) 301
Витрувий Руф (Vitruvius Rufus) 267
Владимирцев Б.Я. 45
Воейков А.И. 78
Волков В А. 129
Вольтерра В. (Volterra V.) 52, 54, 165,
175, 320
Воронихин Н.Н 45,55-58
Выгодский М.Я. 7, 46, 47, 128—131,
133, 145, 146, 150
Галилей Г. (Galilei G.) 195
Галлей Э. (Halley Е.) 24
Галуа Э. (Galois Е.) 175
Ганеша 239, 249—252
Ганкель Г. (Hankel Н.) 10, 202, 207, 208
Гаусс К.Ф. (Gauss C.F ) 25, 59, 72, 164
Гедель К. (Godel К.) ИЗ, 175, 306
Гейтинг A. (Heyting А.) 303
Гекатей 210
Гекке Э. (Hecke Е.) 84
Гельмгольц Г. (Helmholtz H.L.) 180
Гельфанд И.М. 153, 154
Гельфонд А.О. 49
Геминус 202
Геродот 275, 276
Герои Александрийский 238, 247, 251,
263-265, 279
Гильберт Д. (Hilbert D.) 84, 111, 113,
115, 116, 124, 144,
164, 174, 175, 299
Гиппас 208, 223, 232, 233
Гиппократ Хиосский 106, 201, 206, 235
Гнеденко Б.В И, 110
Гокиели Л.П. 119
Горин Е.А 154
Граве Д А 27
Грам И (Gram J.) 173
Гренвиль В. (Grenwill W.) 131, 136, 146
Грин Дж. (Green J.) 163
Гродзенский С.Я. 22
Грушин В В 154
Гурса Э. (Goursat Е.) 135, 145, 160
Гюйгенс X. (Huygens Ch.) 24, 240
Даламбер Ж. (D’Alambert J.) 164, 175
Даммит М. (Dammit М.) 293, 295
Даниэль П. (Daniell P.J.) 163
Данжуа A. (Danjoy А.) 132, 150, 151
Дарвин Ч. (Darwin Ch.) 133
Дебай П (Debye Р.) 10
Дедекинд Р (Dedekind R ) 150, 161
Декарт Р (Descartes R.) 105, 175
Делоне Б Н 154
Демидов С.С. 34, 146
Демокрит 148
Ден М. (Dchn М ) 81
Джеммер М. (Jammer М.) 320
Дживье Дж (Giever J В.) 99
Джорджи Дж. (Giorgi G.) 313-320
Дини У (Dini U.) 162
Диоген Лаэртский 186 205, 207, 209
Дирак П. (Dirac Р.) 166, 317
Дирихле П. (Dirichlet Р.) 163, 317
Дорофеева А В 174
Драгалин А. Г 312
Душкин Ю.И 313
Дынкин Е.Б. 79, 84, 108
Дьедонне Ж. (Dieudonne J.) 160
Дюамель Ж. (Duhamel J.) 136
Евдем
Евклид
201, 205-207
150, 187, 202, 209 - 213, 215,
223, 226-228, 232, 233, 263
202, 238, 246
36, 37, 135, 143—145
129
Евтокий
Егоров Д.ф.
Ермолаева Н.С.
Жегалкин И.И.
Житомирский Я И
Жордан К. (Jordan С.)
Жуковский Н Е.
Зенон
Зернов Н.Е.
Зильберштейн Л.
(Silberstein L.)
Зингер И.М.
Идельсон Н И
Кавальери Б. (Cavalieri
ПО, 136, 146
154
135, 146, 163
143, 146, 282
105, 223, 224
25
315, 316
159
48
В.) 142, 146
Каган В.ф 101
Кальмар Л. (Kalmar L.) 180
Кант И. (Kant I.) 37, 124, 187, 189,
191, 302, 303
Кантор Г. (Cantor G ) 124, 148, 161, 306
Кантор М. (Cantor М.) 48
Каратеодори К. Caratheodory С.) 165
Карнап Р (Carnap R.) 112, 116, 118
ал-Каши Гийас ад-Дин Джемшид 237,
239, 240, 247,
254-257, 259, 260
Кемпбелл Дж. (Campbell J.E.) 84
Кириллов А.А. 154
334
Кирхгоф Г.Р. (Kirchhof G.R.) 61
Китчер Ф. (Kitcher Ph.) 193, 304
Клайн М. (Kline М.) 180
Клейн Ф. (Klein F.) 175
Клуге Э. (Kluge Е.) 293
Кнут Д. (Knuth D.) 301
Коваленков В.И. 43, 62
Коли К. (Kohli К.) 23
Колмогоров А.Н. 15, 49, 54, 60, 61,
109-112, 120, 153, 154, 159
Кольман Э.Я. 57
Комаров В.Л 52 — 54, 64
Костюченко А. Г. 154
Кочин Н.Е. 49
Коши О. (Cauchy А.) 135, 149, 151,
161, 162, 164,
169, 170, 175
Коэн П. (Cohen Р.) 175
Краевич К.Д. 27
Крамер Г (Cramer G.) 14, 18
Красносельский М.А. 159
Кристофель Э. (Christoftel Т.) 162, 164
Крылов А.Н. 43, 44, 59, 149, 150
Крылов Н.М. 43
Куайн В. (Quine W.) 229, 293
Кузнецов А.В. 119, 122
Кузнецов П.И. 61
Кулебакин В.С 43, 65
Купицкий Н.П. 62
Курош А.Г. 98, 101, 112
Кэджори Ф. (Cajori F.) 48
Кюри П. (Curie Р.) 44, 64
Лаврентьев М.А. 109
Лагранж Ж. (Lagrange J.L.) 9, 15
Лакатос И. (Lakatos 1.) 180
Лакруа С.Ф. (Lacroix S.F.) 135, 146
Лаодамант 203
Лаплас П. (Laplace P.S.) 23, 24, 163,
164, 175, 283
Лахтин Л.К. 135, 145
Лебег A. (Lebesque H.L.) 150, 151, 155,
163, 170
Леви-Чивита Т. (Levi-Civita Т.) 317
Лежандр A. (Legendre А.) 164
Лейбниц Г.В. (Leibniz G.W.) ИЗ,
115, 283
Леоте A. (L£aut£ Н.) 284, 285 — 289,
291, 292
Ли С. (Lie S.) 84, 165, 167
Липделеф Э. (Lindeloff Е.) 163
Липшиц Р. (Lipschitz R.) 162, 167
Лиувилль Ж. (liouville J.) 170,281
Лобачевский Н.И. 58, 101, 162, 175
Локуциевский О.В. 93 — 95
Лоран П.А. (Laurent Р.А.) 14, 17, 135
Лоренц Г. (Lorentz Н.А.) 173
Лосиевский В.Л. 62
Лузин Н.Н. 7, 33-35, 37-66, 128,
129, 131-133, 145, 146, 150, 151
Лузина Н.М. 42
Лурье С.Я. 48, 224
Лю Синь 239
Люстерпик Л.А. 81
Лю Хуэй 239
Ляпунов А.А. 110,112,124
Ляпунов А.М. И, 12, 282, 283
Маклейн С. (Maclane S.) 93, 95, 97, 98
Максвелл Дж. (Maxwell J.) 73, 166
Малешевский Б.Ф. 26, 27
Малиновский А.А. 58
Мальцев А. И. 154
Мамерк 207,209,221,222,225
Марков А.А. 7, 11-13, 15, 16, 22,
23, 25-32, 80, 108, 301, 312
Маркушевич А.И. 126, 154
Мачинский М.В. 61
Медведев Ф.А. 132
Милль Дж.Ст. (Mill J.S.) 180
Милнор Дж. (Milnor J.) 99
Миткевич В.Ф. 61
Миттаг-Леффлер М.Г.
(Mittag-Lefflcr M.G.) 149, 151
Митягин Б.С. 154
Млодзсевский Б.К. 135 — 145
Мойрос 207
Молотов В.М. 51
Морозов Н.А. 43
Моррис Ч. (Morris Ch.) 310, 311
Муавр A. (De Moivre А ) 24
Мур Э.Г. (Moore Е.Н.) 320
Мусхелишвили Н.И. 49
Мэдди П. (Maddy Р.) 306
Наметкин Н С. 64
Наметкин С.С. 64
Нейгебауэр О.
(Neugebauer О.) 184, 185, 198
Некрасов П.А. 7, 9 — 21
Никитин В.П. 43, 62
Никодим О. (Nicodym О.) 165
Никольский С.М. 102
Никомах 202,211,212,219,
223, 226, 232, 233
Нилакаита 249. 250
335
Новиков П.С. 108—112,115,
117, 118, 122, 154
Новиков СП. 154
Норр У. (Knorr W R ) 204, 213, 215
Ньютон И (Newton I.) 56, 72, 147,
158 167, 195
Олейник О.А. 108
Остроградский М.В 25
Павлов И.П. 43
Паламодов В П 154
Паннвитц Э (Pannwitz Е.) 93, 94
Панов М И 132, 302. 312
Пап Александрийский 256
Папалекси Н.Д. 43, 63
Парменид 203
Паршин А.Н. 34
Пастер Л. (Pasteur L.) 64
Паш М. (Pasch М.) 180
Пеано Дж (Peano G.) 311,320
Пенлеве П (Painlcvd Р.) 149, 151
Петровский ИГ. 80, 92, 108, 153, 154
Петрушевский Д М. 43, 44, 49 — 52
Пиаже Ж. (Piaget J.) 190. 193
Пинкерле С (Pincherle S.) 317
Пирс Ч. (Peirce Ch.) 311, 312
Пифагор 181, 207, 209-212,
215-225, 230 231, 233,
234, 241, 249, 252
Платон 203,204,211,212,
225, 226, 306
Платонова Н И 8
Плутарх 238
Погорелов АВ 154
Погрсбысскнй И Б. 8. 281, 282
Половинкин СМ 34
Померанцев И И. 26
Понтрягин Л.С. 49, 81, 82, 84, 85, 87,
89-92, 95, 97-102
Постников М М. 7, 81, 91, 100, 101, 108
Привалов И И. 49, 61
Прокл 186,201,202,207,
210, 219, 223, 227
Птолемей 239, 240, 252
Пуанкаре A. (Poincare Н.) 37, 81, 95,
124, 149, 151, 165,
281-285, 288-292, 299
Пфафф И (Ptaff J.F.) 143, 144, 167
Пюизо В (PuiseuxV A.) 162
Радон И (Radon J.) 165
Раик А.Е. 184
Рассел Б. (Russell В ) 114— 116, 311, 312
Рашевский П К.
Резников Л .О.
Рсстиво С (Restivo S )
Риман Б. (Riemann В.)
Рисе Ф (Ricsz F.)
Риччи М. (Ricci М )
Роббинс X (Robbins Н )
Родионов В.М.
Розов М .А.
Романовский В.И
Рохлин В А.
Рыбников К.А.
124
178
304, 305
162 164, 167
158, 175
167
93
63
301, 311
7, 66, 67
85,91 92
174
Сабо A (Szabo А.) 203, 227, 231
Савич С.Е. 26
Сарымсаков Т А. 154
Ссвсрцов А Н. 43. 52, 55
Севсрцов С.А. 52 — 54
Северцова Л.Б. 55
Сенста Е (Sencta Е ) 10
СеррЖ. (Serre J .P.) 101
Симала Н. (Shimada N.) 93
Симпликий 106, 201, 219, 220, 235
Слуга Г. (Sluga Н ) 293
Случевский И.А. 273
Соболев С.Л. 49
Сократ 238
Соловьев А Д. 7
Сонин Н.Я 26
Сорина Г.В. 311
Снсйньер 3 (Spanier Е.) 95
Спор 246
Стсзихор 207
Стилтьсс Т. (Stieltjes Т ) 22?
Стинрод Н. (Stecnrod N ) 89, 90, 93 100
Стокс Дж. (Stoks G.) 164, 172
Струве В. В 47
Тагер П.Г 62
Таннери П (Tannery Р.) 239, 246,
247, 253
Тарский A. (Tarski А ) 111, 114—116
Тсатст 211 226
Тейлор Б (Taylor В.) 157, 161, 163,
167, 259, 319
Теон Смирнский 226
Тихонов А Н 49
Тодхантср И. (Todhuntcr I ) 24
Трахтспброт Б.А 115 — 118,120 — 124
Трулстра A (Troelstra А ) 312
Тураев Б А 46, 47
Уайлдер Р. (Wilder R.) 304
336
Уайтхед Г.К. (Whitehead J.H.C.) 85,
90, 91, 93, 95, 101, 102
Уехара X. (Uehara Н.) 93
Уитни X. (Whitney Н.) 86 — 89, 92, 100
Успенский В.А. 312
Фаддеев Д.К. 154
Фалес 186,205-207,209,211,
212, 218, 221, 222, 238
ал-Фараби Абу Наср
Мухаммад ибн Мухаммад 252
Фарадей М. (Faraday М.) 73
Федоров В.С. 62
Фсйер Л. (Fejer L.) 164
Ферсман А.Е. 60
Фесенков В.Г. 43
Филолай 211,215
Фиников С.П. 44, 49
Флоренская А.М. 34
Флоренский П.А. 7, 33 — 42, 151
Флоренский П.В. 34
Фокаччьо Б. (Focaccia В.) 315
Фреге Г. (Frege G.) 292 299,
301-303, 305, 309-311
Фредгольм Э. (Fredholm Е.) 165
Френкель A. (Fraenkel А.) 229
Фриберг И. (Fribcrg J.) 278
Фробениус Ф. (Frobenius F.) 167
Фубини Г. (Fubini G.) 163
Фурье Ж. (Fourier J.) 164, 165, 169,
170, 172, 175, 318
Хальд A. (Hald А.) 23
Хаусдорф Ф. (Hausdorf F.) 84
Хевисайд О (Heaviside О ) 315, 316,
319, 320
Хейл Дж. (Hale J.) 75,77
Хелсмский А.Я. 154
Хелли Э. (Helly Е.) 163
Хиз Т. (Heath Т.) 222, 233
Хинчин А.Я. 49
Хонф Э. (Hopf Н.) 86 - 89,
93 — 96, 101, 165
ал-Хорезми Абу Абдалла
Мухаммад ибн Муса ал-Маджуси 253
Христианович С.А. 49
Цейтен Г.Г. (Zeuthen H.G.) Цсрмело Э. (Zermelo Е.) Цзу Чупчжи Ципгср Н.Я. ' 146, 147 229 239 26
Чаплыгин С.А. Чебышев П.Л. Черч A. (Church А.) Чжан Хэн Чжао Цяуцзянь Чжснь С.С. (Chern S.S.) Чогошвили Г. С 43, 44 И, 21 ИЗ. 303 239 239 100 82, 83
Шанкс В (Shanks W.) 240 Шапошников В.А. 296,311,312 Шатслсн М.А. 61 Шварн К. (Schwarz К.) 162 Шевалле К. (Shevallcy С.) 84 Шевяков Л.Д. 63 Шестаков В.И. 119 Шилов Г.Е. 7, 153-158, 160, 166, 167, 170, 173, 174, 176, 177, 178 Шилова С.В. 154, 156 Шмидт О.Ю. 132 Шредер Э. (Schroder Е.) 311 Шредингер Э. (Schrodinger Е.) 57, 58. 319 Штифсль Э. (Stifcl E.L.) 100 Штурм Ж. (Sturm J.) 170, 281 Шумахер Г.Х. (Schumacher H.Ch.) 59
Эйлснбсрг С. (Eilenberg SJ Эйлер Л. (Euler L.) Эпафродит (Epaphroditus) Эпихарм Эскин Г.И. • 83, 87, 93, 95, 97, 98 149. 175, 283 267 212, 213, 215 154
Юшкевич А.П. 185
Яглом И.М. Якоби К. (Jacobi К.) Ямвлих 211, Янжул И И. Яновская С.А. 7, 154 164 218, 219, 223 26 79, 105 127
Большая часть материалов настоящего номера
посвящена истории отечественной
математики —результатам П.А.Некрасова
(1853—1924) по центральной предельной теореме и
его известной полемике с А.А.Марковым, работам
последнего по страхованию жизни, творчеству
одного из основателей Московской школы теории
функций Н.Н.Лузина. Публикуются два его письма к
М.Я.Выгодскому, представляющих особый интерес
для предыстории нестандартного анализа, заметка
выдающегося советского математика—основателя
знаменитой Ташкентской математической школы
В.И.Романовского (1879—1954) о проекте
Ташкентского университета, воспоминания
известного алгебраиста М.М.Постникова, материалы
посвященные 100-летию одного из основателей
советской школы историков математики
С.А.Яновской, 80-летию замечательного математика
и педагога Г.Е.Шилова. В ряде статей
рассматриваются вопросы формирования
математики как науки в Древней Греции,
соотношения геометрии и землемерной практики
в средние века, истории математического анализа
конца XIX- начала XX вв., исторические аспекты
проблем философии математики.
Сборник адресован лицам, интересующимся
математикой, путями ее развития, а также
историей отечественной культуры.
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ I 2 (37)