/
Author: Пухначев Ю.В. Попов Ю.П.
Tags: математика издательство столетие точные науки
ISBN: 5-7459-0026-1
Year: 1995
Text
Оглавление Вместо введения — диалог авторов............. В Теоремы, аксиомы, определения................ 7 Множества............... . . _...............23 Отображения..................................53 Отношения .................................. 84 Последовательности, ряды....................113 Функции..................................... 137 Свойства функций .......................... 176 Дифференциальное и интегральное исчисление . . 205 Функции многих переменных...................237 Функциональные ряды.........................251 Линейное пространство . . ..................270 Метрическое пространство....................314 Аффинные преобразования.....................356 Труппы преобразований . ....................384 Исчисление высказываний.....................421 Исчисление предикатов.......................464 Вместо заключения — диалог авторов..........502
ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ - ДИАЛОГ АВТОРОВ — Математика без формул? Не перехватили ли мы? Ведь это что-то вроде географии без карт или оперы без музыки! — Что ж, опера без музыки в самом деле ничто.'А что касается карт.,.. Разве в них соль географии? Когда ты смотришь видовой фильм, слушаешь бывалого путеше- ственника или путешествуешь сам — разве ты не попол- няешь свои географические познания? К тому же все это гораздо глубже воспринимается и гораздо интереснее, чем карты. Хотя, конечно, те подают информацию в предельно отчетливом, концентрированном виде. Так же и формулы. При всей их четкости и емкости — не в них душа математики. — Ну-ка, ну-ка, в чем же она, эта загадочная душа математики? — Не знаю, убедят ли тебя мои собственные слова — как говорится, нет пророка в отечестве своем. Поэтому позволь спрятаться за авторитеты. «В математических работах... главное — содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык — это формулы». Заметь: первично — содержание, идеи, понятия, а форма, формулы — вторично. — Кто это сказал? — Софья Ковалевская. — Ну, хорошо. Формулы — не душа математики. Но все-таки язык! Родной язык! Тебе приходилось когда- нибудь читать японские стихи? — В переводе. — Вот-вот! В переводе, где короткие слова оригинала приходится заменять многосложными. И — улетучилось своеобразное очарование японской поэзии! Ощутить его можно, лишь изучив японский язык и читая стихи в подлиннике. — Да, но все мы живем в условиях постоянного цейт- нота. Прежде чем начинать какое-то дело, нужно знать
ради чего оно предпринимается, видеть конечную цель. Я возьмусь за изучение японского языка лишь после того, как мне расскажут о неповторимых прелестях японской поэзии на моем родном языке. Но если вместо этого мне дадут свиток с иероглифами..’. Математичес- кие формулы для непосвященного — те же иероглифы. Да и доказательства для него не понятнее иероглифов. . Этот жаргон, эти бесконечные «если... то... для любого.. существует... вообще говоря... по крайней мере...» — Ну, уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть хороший анекдот на эту тему — не возражаешь9 — Давай. — Рихард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким стариком, через много лет после того, как написал свои классические труды А о классиках принято думать, что жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря, где-то в начале нашего века Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочел там: «Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый колле- га!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год». Так и чувствуется рука математика! А в этом самом «по край- ней мере» заключено все остроумие ответа. Так что строгость и занимательность — вещи вполне совмести- мые, можешь меня не разубеждать! — Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские счи- талки, картины великих художников и отрывки из клас- сических произведений, факты истории и нашей повсе- - дневной жизни — вот где нужно искать иллюстрации к математическим понятиям! И они не могут не найтись. Разве древо математики поднялось бы до таких высот, если бы не уходило корнями в глубины общечеловечес- кой практики? — Ив таком духе ты намереваешься изложить всю математику, и притом совершенно строго? — Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша книга не должна быть учебником. Важны основные идеи и понятия. И если читатель войдет во вкус, — он потом возьмется и за учебники, за формулы и строгие доказа- тельства. «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел, 4
поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет, разумеется, никого, кто, хоть краем губ постигнув сла- дость математических доказательств (какая бы масса величайших трудностей, ни отталкивала его, точно час- тыми уколами жал), не стремился бы всеми силами освоить их вполне, до. полного насыщения». Это сказал Бонавентура Кавальери в своем трактате «Геометрия». — Ну и что же за книга у нас получится? Если не учебник — то что? Что-то вроде «Кабаре математики» Графа? «Математической смеси» Литтлвуда? Развлека- тельное чтиво? — Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на другом раскинулись райские сады математики. Книги о математике — словно камни в потоке, по которым можно переправиться на ту сторону. К берегу незнания примы- кает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся глыбы учебников. А в промежутке — не так уж много для уверенной переправы. Трехтомник «Математика, ее со- держание, методы и значение» А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева и других. «Что такое математика?» Р. Куранта и Г. Роббинса. «Что такое математика?» Л. Геффтера. «Прелюдия к математике» и «Путь в современную математику» У. У. Сойера... Где-то здесь мы и должны положить свой камешек. — Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял. Этакий гибрид теоремы и побасенки. А форма книги? — Есть стиль, на мой взгляд, отлично соответствую- щий ее содержанию. Фрагменты, связанные друг с дру- гом не словесными переходами, но одною лишь логикой предмета. — Догадываюсь: «Опыты» Монтеня, «Записки у изго- ловья» Сэй-Сенагон... — Высокие примеры! В вольном разбеге пера одна за другой появляются зарисовки лаконичные и в то же время детальные, поэтичные и в то же время глубоко- мысленные, часто проникнутые усмешкой... Вот бы и нам показать в таких картинах важнейшие области ма- тематики! 5
— Итак, нечто вроде путеводителя по матема- тике? — А почему бы и нет? Когда ты едешь в незнакомый тебе город и предвкушаешь его красоты, ты берешься не за фолианты по его архитектуре. В таких томах ты рискуешь споткнуться о фразы типа: «Рустованный пе- риптер фланкируется лучковыми сандриками». От тако- го чтения первое свидание с городом наверняка будет испорчено. А интересный путеводитель, хороший гид расскажут тебе то же самое понятным тебе языком, да еще приведут старинную легенду или отрывок из поэмы, навеянной образом этого города. И если все услышан- ное тобою заронит в твою душу чувство любви к заме- чательному городу, это заставит тебя взяться потом и за серьезные книги о нем, перечитать все те скучные фолианты, которые иначе только отвратили бы тебя от него. — Решено. Так в путь же — и пригласим с собою читателя!
ТЕОРЕМЫ, АКСИОМЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ Что такое математика? - Задайте этот вопрос своим приятелям, спросите у знакомых, и в ответ вы скорее всего услышите что-ни- будь вроде: «Это наука о числах и фигурах». В самом деле, возьмем наугад любой раздел матема- тики. Арифметика занимается числами. Они же подра- зумеваются под буквами в формулах алгебры. В геомет- рии речь идет о плоских фигурах и пространственных телах. Между тем существуют такие отрасли математики, где ни числа, ни фигуры никакой видной роли не играют Вот книга по математической логике. Заглянем в нее. Формулы, которые встретятся нам тут, напоминают ал- гебраические. Однако буквы в них обозначают не числа, а фразы, чаще всего математического содержания. Их в логике именуют высказываниями. Фигуры же появля- ются здесь исключительно для иллюстрации. А вот книга по теории групп. В ее формулах буквы истолковываются как математические операции. После таких примеров трудно утверждать, будто в числах и фигурах заключено нечто самое существенное для ма- тематики. Так что же такое математика? Что в ней самое глав- ное? Что прежде всего характерно для любого из ее разделов, любой ее теории? Если вообразить математику в виде огромного дома, то ученых, чьими трудами возведен этот дом, естествен- но сравнить с каменщиками. И такое сравнение небез- основательно. Когда каменщик возводит стену, то каж- дый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно так же в рассуж- дении математика каждое утверждение опирается на уже доказанные. Оно сцементировано с ними законами логики. 7
Каждый такой «кирпич» в математической «кладке», каждое утверждение математической теории, получен- ное из ранее доказанных на основании правил логичес- кого вывода, именуется теоремой. Конечно, математики в своих рассуждениях далеко не каждое умозаключение отмечают званием теоремы — есть у них и другие назва- ния. Говорят, например, про признаки делимости чисел, про правила разложения полиноме в на множители. Но если быть строгим в терминологии, каждое такое пра- вило, каждый признак — одним словом, каждое матема- тическое утверждение, получаемое путем логического доказательства, есть теорема. Любая теорема или несколько теорем, в свою оче- редь, могут послужить обоснованием для какой-то новой теоремы. И подобно тому как здание складывает- ся из кирпичей, любая математическая теория пред- ставляет собой совокупность теорем. Логически последовательная стройность утвержде- ний — вот самое существенное и характерное свойство математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших ее разделах — арифметике и геометрии. В числах и фигу- рах впервые воплотилось это отличительное свойство точной науки. Со временем появились в математике и формулы, этот особый язык для записи выкла- а док и те°Рем- язык удобный, < точный и емкий. Скажем, не- безызвестную теорему Пифа- ь гора можно высказать словами: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Но математик предпочтет этой длинной фразе короткое равенство а2 + Ь2 = с2. - В любом здании, спускаясь с верхних этажей все ниже и ниже, мы в конце концов добираемся до фундамента. Так можно перебирать и теоремы. Занявшись этим, мы рано или поздно доберемся до утверждений, истин- 8
ность которых принимается без доказательства. Это аксиомы или постулаты. Раскроем знаменитые «Начала» Эвклида. В течение многих веков эта книга служила для школьников учеб- ником геометрии, для ученых — образцом математичес- кой строгости. Уже на первых страницах своего трактата Эвклид перечисляет постулаты, на которые опирается в даль- нейшем, выводя геометрические теоремы: «1. От всякой точки можно провести прямую линию. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и пр одну сторону углы, то эти две прямые, продолжен- ные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» (то есть в сумме составляют меньше 180 градусов). Посмотрим, как на таком фундаменте возводится зда- ние Эвклидовой геометрии. С помощью своего, пятого постулата Эвклид доказыва- ет, например, теорему о ра- венстве накрест лежащих углов при параллельных пря- мых *— р и р1, а также 5 и 5’ на нашем чертеже. В самом деле сложим параллели так, как показано на рисунке нижр. Если бы накрест лежа- щие углы были не равны друг другу, то какие-то два угла, лежащих по одну сторону от АВ, тогда оказались бы в сумме меньше двух прямых и параллели встретились бы. Но это невозможно. Парал- лели на то и параллели, что не пересекаются нигде. Зна- 9
чит, накрест лежащие углы 0 и 0', а также 8 и 8' равны. Следующий чертеж подсказывает нам, что углы а, 0' и у' в сумме равны двум прямым. Если заменить в этой сумме 0’ и у’ равными им углами треугольника АВС, то есть углами 0 и у, то тем самым будет доказана извест- ная теорема О том, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, то есть 180 градусам. Так и получается одна теорема за другой- Перед вами — малярная кисть, плакатное перо, фло- мастер и тонко очиненный карандаш. Каким из этих инструментов вы бы воспользовались, чтобы нарисо- вать прямую линию на бумаге? По-видимому, вы сразу потянетесь за карандашом. И это понятно: малярная кисть рисует широкую полосу с неровными краями, с кляксами по сторонам, с торчащи- ми в разные стороны усами, то есть с теми деталями, которые не имеют никакого отношения к,прямой линии. Не свободны от подобных недостатков и плакатное перо, и фломастер. А у следа, оставленного на бумаге тонко очиненным карандашом, таких «довесков» нет. По крайней мере они не заметны невооруженным глазомл Но посмотрите на след карандаша через увеличитель- ное стекло. Он ничем не лучше следа, оставленного малярной кистью! Та же непостоянная ширина, те же неровные края. Карандаш нужно заменить инструментом более со- вершенным. Но где же тот инструмент, который позво-. лит свести на нет все -несущественные подробности? Хорошенько поразмыслив, мы наверняка придем к вы- воду: такого инструмента не найдешь ни в одной гото- вальне. Может быть, мы сплоховали из-за еврей неопытнос- ти? Не посоветоваться ли нам в этом щекотливом во- просе с признанными авторитетами? Как, например, определял прямую линию отец геометрии Эвклид? Раскроем вновь его «Начала»: 10
«Точка есть то, что не имеет частей. Линия же—длина без ширины. Концы же линии — точки. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней...» Ну как — все ясно? Нет, пожалуй. Недоуменные вопро- сы напрашиваются и после этих слов. Разве только про прямую линию можно сказать, что она равно располо- жена по отношению к своим точкам? Ведь таким же свойством обладает и окружность. И потом — что такое длина? Что такое ширина? Не нуждаются ли эти понятия, в свою очередь, в строгом определении? Подобные вопросы могут показаться кощунством: придираться к самому Эвклиду! Что же, мы далеко не первые, кто упрекает его в не рогости. Особенно учас- тились такие придирки на рубеже XIX и XX векову когда математики стали задумываться: а такое ли уж стройное здание геометрии? Начали они, естественно, с фунда- мента. Вот тут-то и были замечены некоторые погреш- ности, допущенные отцом геометрии. Началась кропот- ливар работа по их устранению. Как же выглядят начала геометрии в современном изложении? Возьмем книгу немецкого математика Да- вида Гильберта «Основания геометрии»: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками, вещи второй системы мы называем прямыми, вещи третьей системы мы называем плоскостями. Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и,обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: лежать, между, конгруэнтный (то есть совмещаемый наложени- ем. — Авт.), параллельный, непрерывный». Как видно, Гильберт и не собирается определять основные объекты геометрии — точку, прямую, плос- кость. «Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе», — говорил немецкий математик Карл Вейерштрасс. 11
Если геометрия упорно отказывается выдавать истоки своих понятий и представлений/ если нам никак не удается определить их в строгих математических терми- нах, то, может быть, нам в наших затруднениях помогут поэтические образы. «Звезды на небе — как искорки». «Луч света — как тетива лука». «Равнина — как гладь озера». Поэтический дар, которым человек наделен от приро- ды, побуждал его подмечать сходство в различном. Многократно отмечая то или иное свойство у различных предметов, человек осознавал это свойство и давал ему имя. / Тетива лука и луч света прямы. В этом обобщающем суждении уже явно выражено понятие прямой. Напоми- ная о тетиве 'лука и о луче света, оно в то же время уже отделено от них, существует само по себе в Иашем сознании. В нашем сознании... Вот почему мы так и не нашли подходящего инструмента для проведения прямой на бумаге. Штрих карандаша, мазок кисти — все это были реальные образы. Они не способны точно выразить идеальный образ прямой. Так появлялись абстрактные геометрические понятия. И чем настойчивее искал человек простые, но харак- терные, немногиё, но существенные свойства предме- тов, чем смелее отбрасывал при обобщении черты вто- ростепенные и случайные, чем шире был круг предме- тов, тем более содержательным и вместе с тем более отчетливым становилось соответствующее абстрактно? понятие, будь то плоскость или прямая, точка или окруж- ность. Так складывался набор элементарных геометрически^ образов. Но человек — не только созерцатель и роэт. Чело- век — прежде всего труженик. В своей практической деятельности, постигая свойст- ва реальных предметов и их взаимосвязи, человек уста- навливал свойства созданных им геометрических обра- зов и отношения между ними. Старинная легенда рассказывает, как зародилась наука геометрия. Было это в Древнем Египте. Огромная река течет через всю эту местность — Нил. Разливаясь . 12
с каждой весной, Нил затоплял поля и уничтожал межи, разделявшие земельные участки. Межи приходилось восстанавливать каждый раз заново. Из года в год, из века в век совершенствовались приемы землемерия. Если произнести это слово на древнегреческом языке, мы узнаем в нем название науки, о которой рассуждаем: геометрия. Натягивая межевую веревку между двумя колышками, древние землемеры не раз имели возможность убедить- ся, что эта несложная операция всегда приводит к одно- му и тому же результату. Многократно повторенный опыт внушал вывод: ^через две точки можно провести прямую, и притом только одну. Так рождались аксиомы общие для всех, кто трудится на земле. И чем настойчивее вскрывал человек устойчивые и закономерные связи между предметами реального мира, чем глубже осмыслял их логику, чем чаще узнавал при самцх различных обстоятельствах то или иное со- отношение, чем успешнее использовал его в своих рас- суждениях и действиях, тем надежнее подтверждала свое звание соответствующая аксиома: через любые две точки можно провести прямую; существуют три точки, не лежащие на одной прямой, и так далее. Аксиом-становилось все больше. Они складывались в единую систему. Математики заботились о том, чтобы такая система.была полной, то есть чтобы из нее можно было вывести любую из известных геометрических тео- рем. И еще о том, чтобы она была непротиворечивой, то есть чтобы из нее нельзя было вывести взаимоисклю- чающие утверждения. Взятые вместе, эти аксиомы описывают все свойства основных геометрических объектов, все соотношения между ними, используемые при выводе геометрических теорем. Потому и не нуждаются в определении основ- ные геометрические понятия — точка, прямая, плос- кость. Их определения содержатся в аксиомах геомет- рии. 13
Если вы знаете азбуку Морзе, то вам не составит труда прочесть написанное здесь ее знаками слово «математика». Но если вы даже совсем не понимаете языка радис- тов, для вас, видимо, не секрет, что из этих точек и тире складываются буквы, из букв —слова, из слов — фразы, из фраз — тексты, посылаемые в эфир. Так же и в геометрии: из основных геометрических объектов, таких, как точка и прямая, конструируются объекты все более сложные. Что есть квадрат? Определение гласит: это прямо- угольник, у которого все стороны равны между собой. Понятие квадрата, как видим, выводится из более об- щего понятия прямоугольника. А что такое прямоуголь- ник? Это параллелограмм, у которого-все углы прямые. Еще один шаг к понятию более элементарному. А парал- лелограмм9 Это четырехугольник, у которого противо- положные стороны параллельны. Понятие четырех- угольника, в свою очередь, основывается на понятии отрезка, а тот определяется как часть прямой, заклю- ченной между двумя лежащими на ней точками, включая их самих. Так по ходу своего анализа мы добрались до первич- ных геометрических понятий, о которых идет речь в аксиомах геометрии; «точка» и «прямая», «лежать» и «между». Такой способ построения математических понятий изложил еще Аристотель. Великий древнегреческий фи- лософ назвал его так: определение через род и видовое отличие. Скажем, прямоугольник относится к роду параллело- граммов, а его видовое отличие состоит в том, что все его углы прямые. Параллелограмм относится к роду четырехугольников, а видовое отличйе заключается здесь в параллельности противоположных сторон. 14
Когда математик вводит в свое рассуждение новый объект и называет его видовое отличие, то он тем самым формулирует некоторое утверждение, используемое при выводе новых теорем. На- пример, построив некоторый па- в________________С раллелограмм ABCD, он получает / 7 для дальнейших умозаключений / / сразу два утверждения: «АВ па- / / раллельно CD» и «ВС параллель- / / но AD» — два новых «кирпичика» [____________/ для математической «кладки». А с A D точки зрения умелого каменщи- ка, это не так уж мало! Судите сами: начиная изучать геометрию на плоскос- ти и познакомившись с фигурирующими в ее аксиомах основными понятиями — точкой и прямой, школьник добавляет к ним совсем немного новых — угол, тре- угольник, параллелограмм, окружность... Но какое бога- ‘ тое сооружение вырастает на этой основе на протяже- нии школьного курса математики! Блез Паскаль, французский математик и философ, получил не школьное, а домашнее образование. Его учителем был отец, Этьен Паскаль, один из просвещен- нейших людрй своего времени. Согласно учебному плану Паскаля-старшего матема- тику предполагалось проходить с пятнадцати-шестнад- цати лет. Но ребенок поломал все планы всего учителя. Услышав от отца про геометрию, узнав от него несколь- ко аксиом из «Начал» Эвклида, Блез стал интересовать- ся дальнейшим. Отец, считая, что время для этого еще не настало, от разговоров О геометрии уклонялся. Каково же было его удивление, когда однажды, зайдя в детскую, он застал двенадцатилетнего сына за доказательством теоремы о сумме углов треугольника. Удивительно рано проявилась математическая ода- ренность будущего прославленного ученого. Однако в этой истории не менее удивительно другое^ 15
Дело в том, что свои геометрические построения Блез проводил с помощью «палочек» и «колечек» — так он называл прямые и окружности. По всей вероятности, он представлял их себе имеющими вполне ощутимую тол- щину. Точками ему, вероятно, служили этакие бусинки, шарики Определенного и постоянного радиуса. То, что столь необычные средства не помешали Пас- калю прийти к успеху в его геометрических доказатель- ствах, объяснимо лишь одним: для бусинок и палочек справедливы все те аксиомы, что и для точек без частей и прямых без ширины, как их определял Эвклид. Через две точки можно провести прямую, и притом только одну, говорим мы. Две бусинки можно соединить палочкой, и притом только одной — так, вероятно, это утверждение представлял себе маленький Блез. Он представлял это так потому, что так ему было удобнее, понятнее. Он, как сказали бы ученые, модели- ровал своими палочками абстрактное понятие прямой. Точно так же моделируем его мы, проводя карандашом на бумаге ровные тонкие линии. Так же моделировал его древний землемер, натягивая веревку между колышка- ми, так же моделирует его сегодня геодезист лучом лазера. Подобных моделей может быть сколько угодно. И если в них воплощены одни и те же геометрические аксиомы, все они подчиняются следствиям из аксиом. Нечто похожее мы наблюдаем во всех точных науках. Одно и то же уравнение описывает распространение тепла, просачивание нефти через земные слои, проник- новение электромагнитного поля в плазму. Одно и то же уравнение' описывает течение жидкости, прогиб мем- браны, напряжения в брусе, подвергнутом кручению. Само уравнение служит, как говорят, математической моделью явления или процесса. Одна и та же модель бывает пригодна для нескольких процессов и явлений, совсем непохожих друг на друга внешне, но подчиняю- щихся одним и тем же математическим закономернос- тям. Если общее-для них уравнение оказывается слиш-* ком сложным и пока не поддается решению, можно, следя за одним процессом, безошибочно судить о его математическом двойнике. 16
Не заглянешь в толщу стального бруса, не увидишь картину напряжений внутри него. И тогда эксперимен- татор натягивает гибкую мембрану на жесткий контур, повторяющий своей формой профиль бруса. Под рав- номерной нагрузкой мембрана вспучивается. Ее изгибы точь-втточь соответствуют распределению напряжений по сечению бруса. Почему это так? Потому что матема- тическая задача формулируется одинаково и там и тут. Мембрану и брус породнила математика. В каждом таком примере выразительно проявляется мощь математики. Она умеет разбираться в разнооб- разнейших вопросах, исходя из немногих взаимосвязан- ных основных понятий и утверждений. Наблюдая различные процессы и явления, ученый старается разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие их закономерности. Часто они оказыва- ются общими для широчайшего круга наблюдаемых со- бытий. Общей оказывается и математическая модель, • построенная на основе этих закономерностей. . Впрочем, когда мы хвалим математику, мы должны соблюдать осторожность. Математические понятия — понятия отвлеченные, аб- страктные. Это лишь слепок с реального мира, лишь его бледный силуэт. И поэтому та же приближенность свой- ственна результатам любой математической теории, ка- кими бы строгими и логичными путями они ни были получены: выводы не могут быть точнее предпосылок. Выделяя абстрактные понятия в чистом виде, отсекая второстепенные детали, математик всегда обедняет жизнь. В математических рассуждениях, логичных и пос- ледовательных,. нет места ни шутке, ни неожиданному сравнению. Математическая мысль не исчерпывает всех проявлений человеческого разума 17
Прекрасная вещь —спелый арбуз..Но как убедиться в его спелости? Одни стучат по арбузу костяшками согну- тых пальцев другие сжимают его с боков, прислушива- ясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают хвостик. Однако самый надежный способ — вырезать уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните, какую форму он имеет? а2+Ь2*с2 Конечно, арбуз появился на этой странице не как лакомство. К вырезанному кусочку, напоминающему пи- рамиду, мы хотим привлечь ваше внимание совсем не с той стороны, которая интересна при выборе арбуза, — не к красной вершине этой пирамиды, а к зеленому треугольнику в ее основании. Вероятно, вам никогда не приходило в голову изме- рять его углы. А зря. Ведь если бы вы измерили их и сложили, то пришли бы к любопытному результату: сумма углов этого треугольника превышает 180 граду- сов! Еще более любопытный результат получился бы, если бы пробный кусочек увеличился до восьмушки арбуза. У треугольного основания этой пирамиды каждый из углов составляет по 90 градусов, а значит, их сумма в полтора раза больше нормы, которую предписывают законы школьной геометрии. 18
Непорядок у арбузных треугольников не только с уг- лами. Возьмем последний из треугольников, рассмот- ренных нами, — тот, у которого все углы прямые. Попро- буем применить к нему теорему Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Но наш треугольник, как нетрудно заметить, еще и равносторонний. Гипотенуза и оба катета у него равны друг другу. Стало быть, их нельзя подставить в пифагорово равенство, не нарушив его: сумма не может равняться каждому из двух слага- емых! Разумеется, мы несколько преувеличиваем, когда го- ворим про свое изумление. Противоречия с эвклидовой геометрией, которые обнаружились при выборе арбуза, понятны. Ведь поверхность, на которой нарисованы странные треугольники, искривлена. А 180-градусная норма установлена для суммы углов плоских треуголь- ников, которые только и изучаются в школьном курсе геометрии. Для них же выведена и теорема Пифагора. Однако,, на дело можно взглянуть и по-иному. Можно изучить геометрические закономерности, лежащие в основе удивительных фактов, с которыми мы только что столкнулись. Затем можно свести эти закономерности в систему аксиом. Исходя из этих аксиом, можно строить некую новую геометрию, отличную от эвклидовой. Русский математик Николай Иванович Лобачевский, известен как создатель первой неэвклидовой геомет- рии. Не менее известен немецкий математик Бернгард Риман. Его именем называют другую неэвклидову гео- метрию, которой подчиняются прямые на сфере — будь то поверхность арбуза или Земли. Прямыми здесь счи- таются дуги больших окружностей. Так называются ок- ружности, центры которых совпадают с центром сферы. Это, например, экватор или меридианы на глобусе. И в геометрии Лобачевского, и в геометрии Римана многие утверждения противоречат представлениям эвк- лидовой геометрии, которую излагают школьные учеб- ники. Например, в геометрии Эвклида через каждую точку, не принадлежащую некоторой данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом толь- ко одну. Геометрия Римана не знает параллельных, в 19
ней любые две прямые имеют общую точку. В самом деле: на глобусе любые два меридиана пересекаются в полюсах. А вот в геометрии Лобачевского через данную точку можно провести сколько угодно прямых, парал- лельных данной прямой. В геометрии Эвклида сумма углов всякого треуголь- ника равна 180 градусам, отношение длины окружности к радиусу всегда равно двум «пи» (2л - 6,2831852...). В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180 градусов. Отношение длины окружности к радиусу здесь всегда больше, чем два «пи». В геометрии ^имана — все наоборот. В этом можно убедиться с помощью все той же сферы. О сумме углов любого треугольника на ней мы уже говорили. Она всегда больше 180 градусов. По поводу окружностей можно привести не менее ошеломляющий пример. Самая большая окружность на сферической поверхнос- ти земного шара, экватор, только а+Р+у<180° лишь в четыре раза длиннее своего радиуса, половины меридиана. Однако, не надо думать, что у Лобачевского и Римана все не так, как у Эвклида. Например, в каждой из трех геометрий справедливы не- равенства треугольника, сумма любых двух сторон больше третьей, а разность — меньше. Для геометрии Римана мы могли бы доказать это, проведя соответ- ствующие построения на сфере. Есть наглядное пособие и для гео- метрии Лобачевского. Оно показа- но на рисунке рядом. Эта диковин- ная поверхность, состоящая как бы из двух воронок, сомкнутых растру- бами, называется псевдосферой. I 20
Мы подозреваем, что у читателя уже зародился вог прос: какая из геометрий самая правильная? Геометрия Эвклида? Лобачевского? Римана? Чьи аксиомы самые точные? Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так может лишь тот, кто считает, что аксиомы — это истины очевидные, незыблемые, единственно мыслимые, уста'- навливаемые раз и навсегда и т.п. Это неверно. Напо1- мним: аксиомы — это положения, без доказательств принимаемые в качестве исходных при рассуждениях. Дело здесь исключительно в том, какая система акси- ом (разумеется, непротиворечивая!), какая геометрия более соответствует результатам опыта, более удобна для практических нужд. Смешон был бы тот, кто планировал бы садовый участок или теннисный корт по геометрии Римана на том лишь основании, что земная поверхность есть сфера. В садово-теннисных масштабах отклонения земной сферы от плоскости невелики — не более десятой доли миллиметра. Здесь вполне приемлемы простые и при- вычные нормы эвкли/фвой планиметрии. Нет смысла отказываться от старых испытанных акси- ом, если они согласуются с опытом в пределах допус- тимых погрешностей. Но если выводы, диктуемые какой-либо из этих аксиом, противоречат данным опыта, от нее следует отказаться, даже если она кажется со- вершенно очевидной, единственно мыслимой. Лобачевский, усомнившись в эвклидовой аксиоме о параллельных, доказал, что без нее сумма углов тре- угольника уже не равна 180 градусам. И тогда он обра- тился к результатам астрономических измерений. С достигнутой к тому времени точностью (порядка милли- онных долей угловой секунды) выяснилось, что тре- угольники, своими размерами достигающие масштабов Солнечной системы, придерживаются 180-градусной нормы. Результаты проверки говорили за то, что эвкли- довой геометрией можно пользоваться даже на столь широких просторах космоса. 21
Но мысль человека преодолевает любые пределы, устремляется к далеким галактикам. Какой геометрии будут подчиняться результаты наших измерений в про- странствах столь колоссальных масштабов? Наука ведет человека по шкале расстояний и к другой крайности, в микромир. Где гарантия, что эвклидовы аксиомы не будут противоречить измерениям простран- ства столь малых масштабов? Эти умозаключения принадлежат не нам. Мы всего лишь повторяем предположение самого Лобачевского о том, что отклонения от эвклидовой геометрии могут встретиться «либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений». Реальный мир бесконечно разнообразен. Все расши- ряются наши знания о нем. Мы должны быть готовы к неожиданностям, когда будет необходимо заменить те или иные аксиомы традиционной эвклидовой геомет- рии, вполне приемлемой в прежних узких масштабах практической деятельности. И мысль гёометров загодя испытывает возможные замены: какие логические следствия повлекут они? Так создаются различные неэвклидовы геометрии. Мысли- мые неожиданности будут встречены во всеоружии. Рассказывая про то, откуда в математике берутся аксиомы, теоремы, определения, мы ради наглядности обращались за примерами к геометрии. Наш рассказ нетрудно перефразировать На любую математическую теорию. В ее основе — некоторый свод аксиом. Они содержат определения основных объектов теории. Новые объекты определяются через род и видовое от- личие. Из аксиом по правилам логического вывода по- лучаются теоремы. Из них складывается математичес- кая теория.
МНОЖЕСТВА — Буренка! Зорька! Пеструшка! — покрикивает пастух, выгоняя коров из леса на опушку. Неровен час потеря- ются. Особенно эта Зорька: чуть зазеваешься — ищи- свищи! Пеструшка — та ничего: пока кнутом не хлоп- нешь, с места не сдвинется. С Буренкой — своя беда: уж больно бодлива, не подцепила бы кого на рога... Для пастуха каждая корова — на особицу: у каждой свой характер, свои привычки. Это вон для дачника все коровы на опушке — просто стадо и только. Вот ведь что значит точка зрения! Для одного — непо- вторимые индивидуальности. Для другого — совокуп- ность, мыслимая как единое целое. Вообще человеческому мышлению свойственно трак- товать то или иное собрание предметов, родственных по какому-либо признаку, как самостоятельный объект. Первая скрипка, вторая скрипка, альт, виолончель, контрабас, флейта, гобой, фагот, валторна, труба, ли- тавры. Про все, взятое вместе, мы говорим: оркестр. Кофейник, молочник, сахарница, несколько чашек, столько же блюдец. А все вместе — сервиз. А, Б, В, Г, Д... Все вместе же — алфавит. 1, 2, 3, 4, 5... А вместе —так называемый натуральный ряд чисел. Не случайно каждую из этих совокупностей мы назы- ваем существительным в единственном числе: оркестр, сервиз, алфавит, ряд — идея объединения проглядыва- ет даже в такой мелочи. Подобное объединение необходимо, когда приходит- ся сравнивать какие-либо совокупности между собой. Представьте: вы — новосел. Вы приходите в мебель- ный магазин, чтобы выбрать мебель для своей новой квартиры — и убеждаетесь, что сделать это не так-то просто. Какому гарнитуру отдать предпочтение? То ли этому — светлому, неполированному? Или тому, что под карельскую березу? А может быть, вон тому — с плюше- вой обивкой в полосочку? 23
Каждый гарнитур, оставаясь набором отдельных предметов, в вашем воображении фигурирует как еди- ное целое. Так оно происходит и на выставке филателистических коллекций, и на конкурсе эстрадных ансамблей... Всякая процедура сравнения тех или иных совокупностей за- ставляет осмысливать их как одно целое. Так дело обстояло и тогда, когда в семидесятые годы прошлого века немецкий математик Георг Кантор, ис- следуя тригонометрические ряды и числовые последо- вательности, встал перед необходимостью сравнивать между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших при этом проблем Кантор и выдвинул понятие множества, суть которого вполне передается словами «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и т. д. Это понятие, введенное в довольно узкой области математики для довольно специальных целей, вскоре 'стало с успехом применяться в других ее областях. Посвященные ему исследования приобрели самостоя- тельный интерес и выделились в особый раздел мате- матики ^теорию множеств. В современной математике понятие множества счи- тается одним из основных. Так или иначе с него начи- нается изложение традиционных математических дис- циплин и построение новых математических теорий, возникающих по мере того, как расширяется сфера применений математики. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все: марки, числа, люди, точки, звезды, векто- ры, коровы, функции... Даже сами множества могут объединяться во множества: например, математики го- ворят про множество фигур на плоскости, про множест- во тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек. Плодотворность теоретике-множественной концеп- ции в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов. Оттого теория множеств и служит прочным фундамен- том математизации разнообразнейших наук: экономи- ки, биологии, лингвистики... 24 *
Предметы, составляющие некоторое множество, на- зываются его элементами. Про них говорят, что они принадлежат этому множеству. Помните, как Пушкин в романе «Евгений Онегин» писал о своем герое, который, разочаровавшись в суетной жизни света, попробовал было писать? .. Ничего Не вышло из пера его, И не попал он я цех задорный Людей, о коих не сужу Затэм, что к ним принадлежу «Цех задорный» — это множество поэтов. Пушкин при- надлежит этому множеству, является его элементом. Онегин — не принадлежит, то есть элементом этого множества не является. Что же такое множество? Что это за термин, в кото- ром, как в ящике фокусника, скрываются и марки, и числа, и звезды? Как в математике определяется это понятие? Если честно — то никак. Здесь мы не можем употре- бить столь привычный для математиков способ опреде- ления через род и видовое отличие. Согласно такому способу всякое новое понятие вводится как разновид- ность некоторого более общего, определенного ранее понятия (скажем, параллелограмм есть разновидность четырехугольника, прямоугольник есть разновидность параллелограмма и т. п ). Но для понятия «множество» не известно ничего более общего по отношению к нему. Его удел такой же, как у всех основополагающих понятий математики, которые выступают в аксиомах, не огово- ренные никакими предварительными определениями. Когда мы говорили, что слово «множество» имеет тот же смысл, что слова «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль», мы лишь сопоставляли с ним его 25
синонимы, которые, быть может, помогали сделать новый термин более ясным, но отнюдь не составляли его строгого определения. Нам кажется, что после сказанного у читателя появи- лось некоторое недоумение: как же так — множество определить нельзя,.но выше мы говорили и про множе- ство натуральных чисел, и про множество букв русского алфавита, и про множество фигур на плоскости... Неувязка? Никак нет. Как абстрактное математическое понятие множество действительно неопределимо. Но опреде- лить какое-либо конкретное множество'— задача не из трудных. Например, можно с полной определенностью говорить о множестве архитектурных памятников Санкт- Петербурга: чтобы его задать, достаточно пройти по улицам города и указать дома, на_ которых висят чугун- ные доски с надписью: «Охраняется государством». Так и со всяким множеством. Определить его — зна- чит относительно любого предмета уметь ответить на вопрос: принадлежит он данному множеству или не принадлежит? Поэтому и говорят, что всякое множество однозначно и полностью определяется его элементами. Так что пусть читатель не сетует, что термин «множе- ство» остался неопределенным. В свете сказанного ос- новное понятие теории множеств видится не за этим термином, а скорее за словом «принадлежать». Для него введен особый символ, приведенный на рисунке выше. Там показано, как в символической за- писи обозначается, что некоторый элемент а принадле- жит некоторому множеству А. , 26
Говорят, что над входом в сад «Академия», где Платон любил беседовать со своими учениками, было написа- но: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии»'. Беседуя со своими читателями о математике, мы не гонимся-за академизмом и не требуем от-них особых предварительных познаний. Тем не менее нам хочется верить, что нашему читателю известны простейшие гео- метрические фигуры — треугольник и окружность, па- раллелограмм и прямоугольник, квадрат и ромб, а воз- можно, и некоторые свойства этих фигур (например, пропорциональность соответственных сторон у подоб- ных треугольников). Все это пригодится нам в дальней- ших разговорах. Мы также предполагаем в читателе некоторые началь- ные познания из арифметики, надеемся, в частности, что он имеет понятие о десятичных дробях, знает о существовании бесконечных десятичных дробей — на- пример, представляет, что если попытаться выразить дробь 3/22 в десятичной записи, деля уголком 3 на 22, то в результате получится 0,1363636... а дальше будет периодически повторяться без конца одна и та же группа цифр (36). Числа, которые выражаются конечными или бесконеч- ными десятичными дробями, называются вещественны- ми (также действительными). К их множеству мы не раз будем обращаться за примерами. Не удивительно: ведь среди них содержатся все натуральные (то есть целые положительные) числа, все целые числа вообще (и по- ложительные, и отрицательные, а также и нуль; любое из них можно трактовать как конечную десятичную дробь, не имеющую ни одного знака после запятой). Во множестве вещественных чисел заключаются также все рациональные числа, или, другими словами, дроби, от- ношения целых чисел — оказывается, всякое такое от- ношение можно представить конечной или бесконечной периодической десятичной дробью (как мы только что сделали это с отношением 3/22). Если же бесконечная десятичная дробь непериодична, то такое вещественное число называется иррациональным. 27
Математика знает также мнимые чисда, комплексные числа, но мы в нашей книге касаться их не будем. Русское слово «множество» способно ввести в за- блуждение: оно неявно подразумевает некоторое изо- билие. Тем более что наши примеры множеств давали тому повод. Однако математический термин «множест- во» этого оттенка совсем не имеет. Множество может состоять всего из двух элементов (таково, например, множество естественных спутников Марса — Фобос и Деймос). Может состоять из одного (тогда его называют единичным множеством; пример — множество естественных спутников Земли, котором единственный элемент — Луна). Наконец, математики говорят про так называемое пустое множество, не со- держащее ни одного элемента. Это, например, множе- ство естественных спутников Венеры или, если угодно что-нибудь повеселее, множество владельцев действу- ющих вечных двигателей, множество квадратных колес, множество острых шаров, множество кривых прямых... Понятие пустого множества в математике не расце- нивается как нечто маловажное. Для него даже приду- ман специальный символ: 0. Это может показаться мнительностью, но мы, право, не без основания опасаемся, что некоторые типичные примеры множеств могут подтолкнуть читателя к невер- ному толкованию этого понятия. Мы говорим, например, о множестве букв русского алфавита (А, Б, В, Г...), о множестве натуральных чисел (1,2, 3, 4...). Элементы того и другого принято распола- гать в определенном порядке. Но никакого определяю- щего значения тот или ной порядок не имеет ни для этих двух, ни для какого угодно множества. Как ни тасуй колоду, ~это будет одно и то же множество карт. И точно так же алфавит можно привести в любом порядке —
например, в том, который принят для клавиатуры пишу- щих машинок. А натуральный ряд можно записать, ска- жем, так, как показано на этой странице (в дальнейшем нам еще пригодится такая его запись). Здесь стоит отметить (позже мы поговорим об этом подроб- нее), что существуют бесконеч- ные множества, элементы кото- рых принципиально невозмож- но расположить в виде какой- либо последовательности, как числа натурального ряда. Тако- во, например, множество всех вещественных хчисел между нулём и единицей (включитель- но). Напоследок еще одно замечание по поводу тех мно- жеств, которые поддаются перечислению. Если, скажем, перечисляя русский алфавит, мы повторим какую-то букву два раза, множество останется тем же самым — русским алфавитом. Чтобы в таких случаях исключить возможные недоразумения, говорят, что ни один эле- мент множества не может содержаться в нем несколько раз. 1--2 6—77 15-- 3' ,5 .8 ,14 i / Z У 4 .9 ЛЗ 10 z12 11 Адам и Ева. Таково, согласно библейской легенде, множество первых людей на Земле. Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Это множество планет Солнечной системы. И то и другое множество л . щ 1 конечно, так что каждое 4 Q.0,0,0,^,^,0,0, С } можно определить, указав 1 * все его элементы. И если желательно подчеркнуть, что указанные элементы рас- сматриваются в совокупности как некоторое множество, их перечисляют через запятую и ограждают эту строчку с обеих сторон фигурными скобками. 29
Андрей Болконский, Пьер Безухов, Наташа Ростова, Николай Ростов, Анатоль Курагин и так далее — множе- ство персонажей романа Толстого «Война и мир». Один, два, три, четыре, {> пять, шесть и так далее — , , 1 Уже знакомый нам нату- J ральный ряд, множество положительных целых чисел. Способы задания множеств в последних двух приме- рах уже другие, нежели в первых. Что касается множества персонажей романа «Война и мир», то его в принципе можно было бы определить и прежним приемом — перечислением. Для этого, правда, потребовалось бы несколько страниц нашей книги. А вот для натуральных чисел такой прием не годится даже в принципе, поскольку их множество бесконечно. Как быть? В некоторых подобных случаях из затруд- нительного положения удается выйти, назвав лишь не- сколько элементов множества. Троеточие или оборот «и так далее», которыми принято обрывать такой список, подчеркивают, что названное не исчерпывает всего множества. Однако если из этого незавершенного пере- чня становится понятно, как далее его продолжать, какие предметы можно поставить в один ряд с назван- ными, — это значит, что есть критерий проверки, при- надлежит тот или иной предмет данному множеству или не принадлежит. Мы уже знаем: если такой критерий есть, то множество задано совершенно определенно. Впрочем, на способы задания множеств можно взгля- нуть с другой стороны, с которой становится незамет- - ным различие между конечными и бесконечными сово- купностями. Присмотримся к описаниям упомянутых множеств: «первые люди на Земле», «планеты Солнечной систе- мы», «натуральные числа», «персонажи романа «Война и мир». Такого описания вполне достаточно для того, чтобы определить каждое из этих множеств. В подобных слу- чаях говорят, что множество задано с помощью харак- теристического (или определяющего) свойства, такого, что им обладает каждый элемент этого множества и не эо
обладает ни один предмет, который этому множеству не принадлежит. Принадлежность предмета данному мно- жеству тогда можно выразить, сказав, что он обладает данным свойством. Поистине незаменим этот способ, когда элементы множества просто невозможно перечислить каким-либо списком, даже оборванным словами «и так далее». Взять хотя бы уже упоминавшееся по этому поводу множество всех вещественных чисел между нулем и единицей (включительно). Написав эту фразу, мы, соб- ственно, и указали характеристическое свойство эле- ментов этого числового множества: каждое принадле- жащее ему число неотрицательно и в то же время не превосходит единицы. Можно было бы заменить сло- весное описание формульным (0 < х < 1), но суть дела осталась бы прежней. Другой пример — окружность. Про нее говорят так: множество точек, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу..И в этом выражается определяющее свойство элементов этого точечного множества. Делу время — потехе час. Дел у нас с вами, читатель, еще много, а вот для развлечений может не выкроиться ни минутку. Поэтому отведем забавам хотя бы эту страничку. Давайте сыграем в слова. Правила игры предельно просты: берется какое-то слово, и из его букв образу- ются новые слова. Не будем лазить за исходным словом в карман: нам вполне подойдет заголовок этой главы. МНОЖЕСТВА нож нос . сон стон жена манеж жетон монета 31
жеманство А теперь, читатель, забавы в сторону — займемся делом. Каждое из выписанных в столбик слов будем рассмат- ривать как множество букв. По правилам игры буквы каждого новообразованного слова в этом столбике чер- пались из исходного слова. Иначе говоря, любой эле- мент каждого нового множества букв принадлежит ис- ходному буквенному множеству. Говорят, что некоторое множество включается в дру- гое, если каждый элемент первого множества является также элементом другого. При этом первое множество называется подмножеством (или частью) второго. Согласно сказанному, множество букв слова «жетон» является подмножеством (или частью) множества букв слова «множества», множество букв слова «нож» вклю- чается во множество букв слова «жетон» и т. п. {Н. О Ж) G {М, Н О, Ж. Е, С, Т, В, А) / символ включения {Ж, Е, Т, О. Н) с {М. Н, О. Ж, Е, С, Т, В, А) {Н, О, Ж) С {Ж. Е, Т, О. Н) Нетрудно подобрать и математические примеры включения множеств. Совсем недавно мы говорили, что всякое натуральное число есть число вещественное, принадлежит их множеству. А это и означает, что мно- жество натуральных чисел включено во множество ве- щественных. С другой стороны, множество натуральных чисел включает в себя множество нечетных чисел, а оно включает в себя множество простых (если не считать двойку; напомним, что натуральное число называется простым, если делится лишь на себя и на единицу, иными словами, не разложимо на множители). Множе- ство прямоугольников включается во множество парал- лелограммов, а оно, в. свою очередь, является частью множества четырехугольников. То,- что одно какое-то множество является частью другого, иногда совершенно очевидно. Так, например, дело обстоит в случае с прямоугольниками и паралле- лограммами. Определяющее свойство параллелограм- 32
ма — параллельность противоположных сторон. Всякий прямоугольник обладает таким свойством и, стало быть, принадлежит множеству параллелограммов. Но иногда включение одного множества в другое приходится доказывать. Не всякому, быть может, оче- видно,что любое простое число (кроме двойки) нечетно. А между тем обосновать это просто. Ведь если бы оно было четным, то оно делилось бы на два, то есть на число, не равное ни ему самому, ни единице, и, стало быть, не было бы простым. Просмотрим теперь еще раз список слов, извлечен- ных нами из слова «множества». Наша самая большая удача — это, несомненно, слово «жеманство». Будучи образовано по всем правилам нашей игры, оно как множество букв включается в исходное слово «множе- ства». Гордимся же мы им потому, что оно также и включает в себя исходное слово. Действительно, каждая буква слова «множества» принадлежит множеству букв слова «жеманство». (Ж, е' М, А. Н, С, Т, В, О) G (М, Н, О, Ж, Е. С, Т, В, А) (М, Н, О, Ж, Е, С, Т, В, А) с {Ж, Е, М, А, Н, С, Т, В, О) {Ж, Е, М, А, Н, С, Т, В, О) = {М, Н, О, Ж, Е, С, 1\ В, А) Иными словами, каждое из этих двух множеств явля- ется подмножеством другого. Причина такой взаимнос- ти понятна, оба буквенных множества состоят из одних и тех же элементов Про такие множества говорят, что они равны друг другу. А выражаясь строго, два множе- ства называются равными, если одно включается в дру- гое, и наоборот, то есть если оба состоят из одних и тех же элементов Попробуем и на этот счет подобрать пример из мате- матики. Давайте рассмотрим два множества геометри- ческих фигур: множество равносторонних треугольни- ков и множество равноугольных треугольников. Есть такая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, каждый равносто- е-4во зз
ронний треугольник является равноугольным, то есть наше первое множество фигур (равносторонние тре- угольники) включается во второе (равноугольные тре- угольники). Но есть и такая теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следова- тельно, каждый равноугольный треугольник—равносто- ронний, то есть и второе множество фигур включается в первое. Итак, оба множества равны друг другу. Общеизвестно: всякая селедка — рыба, но не всякая рыба — селедка. Ясно, что в этой поговорке речь идет о двух множест- вах — множестве рыб вообще и множестве селедок в частности. Поскольку всякая селедка — рыба, множество селе- док включено во множество рыб. Символ строгого включения Но не всякая рыба — селедка. Иными словами, во множестве рыб существует хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству селедок, ну, скажем, лещ или щука. В подобных случаях говорят не просто о включении, а о строгом включении. Точно так же множество пешек строго включено во множество шахматных фигур, множество простых чисел — во множество натуральных чисел, множество квадратов — во множество прямоугольников. Некоторое множество, строго включенное в другое, называется его истинным, или собственным, подмноже- ством (а не просто подмножеством, как говорили мы в случае нестрогого включения). Итак, множество селедок есть истинное подмножест- во множества рыб, множество простых чисел — истин- ное подмножество натурального ряда и т. д. 34
Помните загадку-шутку: два отца И два сына, а всего трое — как такое может быть? По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец и его дед. Но даже если это известно, остается пораз- мышлять вот над чем: в чем, собственно, парадоксаль- ность загадки? Да в том, что речь тут идет совсем не о числах (иначе загадка не имела бы решения: два плюс два никак не равно трем). Суть дела относится к теории множеств. Два множества фигури- руют здесь: множество отцов (отец и дед мальчи- ка) и множество сыновей (мальчик и его отец, дово- дящийся сыном деду). Ре- шить загадку — значит со- ставить из них третье мно- жество, которое насчиты- вало бы три элемента. Определяющий признак этого третьего’множества в том, что состоит оно из всех тех и только тех эле- ментов, которые принад- лежат либо первому, либо второму множеству, то есть хотя бы одному из них — множеству отцов или множе- ству сыновей. Когда новое множество строится из исходных по та- кому правилу, то оно называется объединением исход- ных множеств. Итак, множество, состоящее из мальчика, его отца и его деда, есть объединение множества отцов и множе- ства сыновей. Отец мальчика принадлежит обоим. Но в их объеди- нение он входит только один раз, иначе это противоре- чило бы понятию «множества»: ни один элемент не может содержаться в нем несколько раз. Так и объясня- ется парадокс, которым озадачивает Шутка про двух отцов и двух сыновей. 2* 35
Чтобы получше рассмотреть смысл нового понятия — объединения множеств, — возьмем бинокль. Поглядите в левый окуляр и запомните все, что видно в него. Потом в правый окуляр А теперь глядите в оба — что видите вы на этот раз? Все то, что попадает в поле зрения либо левого, либо правого окуляра. Применяя уже знакомый нам термин, можно сказать, что множество точек характерной фигуры, напоминаю- щей поваленную на бок восьмерку, есть объединение двух точечных множеств — двух накладывающихся друг на друга кругов. Идею объединения множеств можно усмотреть во многих математических формулировках. Новый пример будет связан с понятием абсолютной величины дейст- вительного числа. Как она определяется? Если число неотрицательное, то его абсолютная величина совпада- ет с ним самим. Скажем, абсолютная величина десяти равна десяти. Абсолютная величина нуля равна нулю. А чтобы получить абсолютную величину отрицательного числа, надо взять его с обратным знаком. Скажем, абсолютная величина минус семи равна семи. (Заметим попутно, что абсолютная величина любого числа в силу данного определения не может быть отрицательной). Знай это, разберемся теперь, что означает выраже- ние: «Множество чисел, по абсолютной величине боль- ших единицы». Очевидно, все элементы этого числового множества — это либо положительные числа, большие единицы, либо отрицательные числа, меньшие минус единицы. Налицо объединение двух числовых множеств. Поглядите еще раз в наш бинокль, читатель, да по- внимательней. Замечаете ли вы, что отнюдь не все предметы, кото- рые видны в него, выглядят выпуклыми, объемными? Дело в том, что объемность появляется у них линя тогда, когда человек глядит на них обоими глазами Недаром физиологи называют объемное зрение бино- кулярным (так сказать, «зрением в два глаза») 36
A Au В Au В читается: объединение множества А и множества В
В поле зрения бинокля попробуем очертить тот учас- ток, где предметы смотрятся выпуклыми. Очевидно, это будет та луночка, по которой перекрываются круговые поля зрения левого и правого окуляра. Аг-В АгхВ читается: пересечение множества А и множества В Придадим нашему выводу теоретике-множествен ное звучание. Мы взяли два множества (поля зрения двух окуляров) и образовали из них третье. Определяющий признак этого третьего множества в том, что состоит оно из всех тех и только тех элементов (в данном случае точек), которые принадлежат и первому и второму мно- жеству. Когда новое множество строится из исходных по та- кому правилу, то оно называется пересечением исход- ных множеств. После этого интересно вновь рассмотреть поставлен- ную в предыдущем разделе проблему отцов и детей. Мы уже отмечали, что отец мальчика принадлежит и множе- ству отцов, и множеству сыновей. Теперь мы можем выразиться более научно: единичное множество «отец ребенка» есть пересечение множества отцов и множе- ства сыновей. О множестве вещественных чисел, больших нуля и меньших единицы, можно сказать, что это пересечение множества вещественных чисел, больших нуля, и мно- жества вещественных чисел, меньших единицы. О мно- жестве квадратов — что это пересечение множества прямоугольников и множества ромбов (если читателю 38
это не кажется очевидным, пусть он попытается дока- зать это строго). Рассерженный малыш, адресуясь к коллегам по пе- сочнице, делает гневное заявление: «Отдайте мне мои игрушки — яс вами больше не играю». Нет сомнения: через несколько минут дети помирятся и будут по-прежнему лепить куличики. И если мы при- влекаем внимание читателя к мимолетному конфликту, то лишь для того, чтобы назвать вещи своими теорети- ко-множественными именами. Речь здесь идет о двух множествах: множестве всех игрушек в песочнице и множестве игрушек,' которые принадлежат обидевшемуся малышу. Очевидно, • он вынес на улицу не все свое игрушечное хозяйство — часть осталась дома. Говоря «мои игрушки», он подра- зумевает пересечение первого множества (все игрушки в песочнице) и второго (его игрушки в целом). Есть свое имя и для множества всех остальных игру- шек в песочнице. Это разность первого и второго мно- жеств. А\В А\В читается: разность множества А и множества В Если же говорить более общо, имея в виду два про- извольных множества, то определение их разности та- 39
ново: она состоит из всех тех и только тех элементов первого множества, которое не принадлежит второму. Сейчас чрезвычайно популярны тесты — от серьез- ных, научно обоснованных, с помощью которых опреде- ляют пригодность к той или иной профессии, до про- стеньких, шуточных, наполняющих развлекательные от- делы популярных журналов. Не отстанем от века и мы Дано: Требуется дополнить каждую картинку непрерывной линией так, чтобы получились изображения хорошо из- вестных предметов. Отгадки, которые мы имели в виду, выглядят так: гриб, гаечный ключ, кость домино «один — пусто». Если вновь обратиться к теории множеств (для разъ- яснения ее понятий и подбираем мы иллюстрации), то Дополняющая Полный каждую линию следует трак- товать как множество точек. Возьмем какой-нибудь из рисунков-отгадок (скажем, гриб) и сопоставим его с со- ответствующим рисунком- загадкой. По условию наше- го теста все, что было в за- гадочном наброске, сохра- 40
нилось и в завершенном контуре предмета. Иными сло- вами, множества точек линии-отгадки и линии-загадки пересекаются. Дополняющая линия, очевидна, является их разностью, поскольку все ее точки принадлежат пер- вому множеству (полному контуру предмета) и ни одна не принадлежит второму (фигуре-загадке). Кстати, глагол «дополнить», который мы употребили по адресу этой линии, тоже имеет вполне научный смысл. Дело в том, что множество точек линии-загадки не просто пересекается со множеством точек линии-от- гадки, но и целиком содержится в нем, является его подмножеством. Во всех тех случаях, когда множество- уменьшаемое включает в себя множество-вычитаемое, их разность называется дополнением второго множест- ва до первого. Так заплаты на штанах Чиполлино — это дополнение прорванных штанов до штанов, которые имеют прилич- ный вид. Так множество неравнобедренных треугольников до- полняет множество равнобедренных до множества всех треугольников вообще. А А читается .дополнение множества А до универсального множества или просто' дополнение множества А Читатель, вероятно, уже догадался, что термин «до- полнение» самостоятельного смысла не имеет: говоря о дополнении некоторого множества, всегда необходи- мо указывать, до чего же именно оно дополняется. Например, множество равнобедренных треугольников 41
можно дополнить не только до множества всех треуголь- ников, но и до множества всех многоугольников или до множества»всех фигур на плоскости. Бывают, однако, случаи, Когда уточняющих справок не требуется. Мы говорим, например, о множестве нечет- ных чисел. Очевидно, оно служит дополнением для мно- жества четных чисел. Но дополнением до чего? Ясно: до множества целых положительных чисел, до натурально- го ряда. И если мы говорим, что множество простых чисел дополняется множеством составных (то есть раз-, ложимых на множители), то и в этом случае понятно, что речь идет о дополнении до натурального ряда. Как видим, множество натуральных чисел здесь (да и во всей теории чисел, кстати сказать) играет особую роль: все упомянутые нами числовые множества явля- ются его подмножествами. Если в каком-либо рассуждении, подразумевается по- добное «всеобъемлющее» множество, его называют универсальным (для данного рассуждения, теории и т.п.). И если в таких случаях говорят о дополнении какого-то множества, не указывая, до чего же именно оно дополняется, следует понимать, что дополняется оно до универсального множества. Разумеется, в каждом конкретном рассуждении уни- версальное множество — свое. Когда, например, мы говорим о какой-либо линии или фигуре на плоскости как о множестве точек, в роли универсального выступает множество всех точек плос- кости. Руководитель школьного хора составляет расписание репетиций. «Так... Четвертые классы... Их три: А, Б, В. Из четвер- того А восемь человек. Не густо, но зато два солиста. Четвертый Б. Ну, эти все певуны — всем классом запи- сались. Четвертый В. Ни одного человека! Чем они там занимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только из них он и состоит». 42
Руководителю хора еще предстоит согласовывать и увязывать сроки спевок и репетиций, а для наших целей наговоренного им вполне достаточно Он описал все возможные отношения, какие могут существовать между двумя множествами. На помещенном здесь рисунке прямоугольник символически обозначает множество всех учеников школы. Заштрихованный овал в центре, помечен- ный буквой X, — это мно- жество учеников, поющих в хоре. Ну а теперь схема- тически изобразим здесь же четвертые классы. Будем отмечать соответствующие овалы теми же буква- ми, которыми эти классы обозначены в школьном рас- писании, — А, Б, В. Кстати и во вполне строгих матема- тических рассуждениях множества тоже обозначаются прописными буквами, правда, латинскими. Итак, четвертый А. Восемь его учеников поют в хоре. У множества А и X есть общие элементы, эти множества пересекаются, что и показано на рисунке. Четвертый Б. Это множество тоже пересекается со множеством X. Но ситуация здесь иная, нежели с пере- сечением множеств А и X. Там множество А содержало элементы, не входящие в X (всего лишь восемь учени- ков — хористы). Там можно было говорить только о пересечении. А здесь наблюдается нечто большее: каж- дый элемент множества Б есть элемент множества Х.х Иными словами, множество Б включено во множество X. Это включение строгое: ведь в хоре поют не только ученики четвертого Б. Четвертый В. Хористов тут нет. Множества В и X. . непересекающиеся. (Говорят еще так: их пересечение пусто). А еще известно, что множество В и множество К (кукольный театр) состоят из одних и тех же элементов. Иначе говоря, множества В и К равны. Вот мы и перебрали все отношения, какие могут существовать между двумя множествами. Два множест- ва могут не пересекаться (как множества В и X из нашего 43
примера), а могут и пересекаться (как А и X, Б и X, В и К) В последнем случае возможны три варианта. Мно- жества могут быть равны (как В и К). Могут строго включаться одно в другое (как Б включается в X; о включении можно говорить и в случае двух равных множеств: любое из них включено в другое, но тут уж речь идет о нестрогом включении). Наконец, два мно- жества могут пересекаться так, что каждое имеет эле- менты, не принадлежащие другому (как А и X). Тогда говорят, что два множества находятся в общем положе- нии. Круги и овалы, которые мы начали рисовать, экспери- ментируя с биноклем, сослужили нам неплохую службу. С их помощью потом оказалось возможным проиллю- стрировать все отношения между множествами и опе- рации над ними. Подобные незамысловатые картинки называют диа-, граммами Венна, хотя еще раньше их применял швей- царский математик Леонард Эйлер в своих знаменитых «Письмах к немецкой принцессе». Мы еще раз убедимся в пользе этих диаграмм, знако- мясь с закономерностями, которым подчиняются опера- ции над множествами Вот два примера — и совсем не рядовых: они носят громкое название законов де Моргана (по имени иссле- довавшего их шотландского математика) Первый: дополнение объединения двух множеств равно пересечению дополнений этих множеств. Второй: дополнение пересечения двух множеств равно объединению дополнений этих множеств Звучит сложновато, как трудно произносимая скоро- говорка, — в переменчивых сочетаниях повторяющихся терминов путается язык А теперь то же самое на диаграммах Венна. Двумя перекрывающимися кругами обозначим на них два пересекающихся множества. Внешность каждого круга представит собой дополнение соответствующего мно- 44
жества до универсального, обозначенного традицион- ным прямоугольником. aUB’= AnS Аг-В = Auff Верхняя картинка: внешность этой лежащей на боку восьмерки из двух кругов можно было бы получить, образуя пересечение внешностей того и другого круга. Это первый закон де Моргана в наглядном представле- нии. Нижняя картинка: внешность луночки, по которой перекрываются круги, можно представить как результат объединения внешностей того и другого круга. Таков в наглядном представлении второй закон де Моргана. 45
Читатель, подробно разбиравший нарисованные на предыдущих страницах диаграммы Венна, конечно, об- ратил внимание на строчки символов, которыми сопро- вождался каждый рисунок. Большие латинские буквы повторяют в этих строчках обозначения множеств, изображенных на картинках, а значки, соединяющие буквы, обозначают операции над множествами, проиллюстрированные картинками. Эти цепочки символов навевают воспоминания о фор- мулах школьной алгебры, где маленькие латинские буквы, обозначавшие вещественные числа, соединя- лись знаками арифметических операций. Такая аналогия совершенно справедлива. Ведь что собой представляют законы алгебры? Вы- сказывания типа: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (переместительный закон); умножить сумму на число — это все равно, что умножить на число каждое слагаемое в отдельности и результаты сложить (распре- делительный закон умножения относительно сложения). а. + b = b + а а (Ь + с) = ab + ас Здесь нет никаких оговорок относительно чисел, к которым можно применять эти высказывания. Следова- тельно, выражаемые ими равенства выполняются всег- да, какие конкретные числа в них ни подставишь. (За- метим, что равенство двух алгебраических выражений, выполняющееся при подстановке в него любых элемен- тов некоторого числового множества, называется тож- деством, определенным на этом множестве.) Освоив свод таких законов, можно с успехом зани- маться тем, что называется алгебраическими преобра- зованиями: упрощать громоздкие выражения, прида- вать им вид, удобный для тех или иных вычислений, и т.д. Подобный свод законов — алгебра множеств — суще- ствует и для операций, при помощи которых из одних множеств образуются другие,—для объединения, пере- сечения, дополнения. 46
Таблица 1 Коммутатив- ность объеди- нения АиВ=ВиА а + b = Ь + а Коммутатив- ность сложения* Коммутатив- ность пересе- чения А гт В = В гт А a b = b а Коммутатив- ность умножения Ассоциатив- ность объеди- нения Аи(ВиС) = = (Аи В) и С а + (Ь + с) = = (а + Ь) + с Ассоциатив- ность сложения Ассоциатив- ность пересе- чения А гт (В гт С) — = (А гт В) гт С а(Ь с) = = (а • б)с Ассоциатив- ность умножения Дистрибутив- ность пересе- чения отн. объ- единения А гт (В и С) = = (А гт В) и (А гт С) а (Ь + с) = -а Ь + а с Дистрибутив- ность умноже- ния отн. сложе- ния Дистрибутив- ность объеди- нения отн. пересечения А и (В гт С) = = (А и В) л (А и С) А и (А гт В) = А А л (А и В) = А АиА=А А гт А = А Свойства пус- того множест- ва Аи0=А А гт 0 = 0 й> й> + Qo И II о aj Свойства нуля Свойства уни- версального множества AnU = A AuU = U Законы де Моргана А гт В = А и В А о В = А гт В 2<S II II < О 2 << II II II 3 CKDIQ * Вместо «коммутативность» иногда говорят «переместительный^ закон», или «переместительное свойство», вместо «ассоциатив- ность» — «сочетательный закон», «сочетательное свойство», вмес- то «дистрибутивность» — «распределительный закон», «распреде- лительное свойство». В чем-то оба этих свода законов, эти две алгебры (чисел и множеств) похожи. Иными словами, все'эти 47
формулы носят характер тождеств. Подобно формулам школьной алгебры, они используются для того, чтобы преобразовывать выражения, содержащие символичес- кие обозначения множеств, — упрощать их, придавать им определенный вид и т.д. Взгляните на левый рисунок на этой странице. Такая позиция сложилась на 26-ходу в 21-й партии титанического матча между Капабланкой и Алехиным, состоявшегося осенью 1927 года. Далее последовало: 26........... 27. Лс1 — е1 27. а4 : Ь5 29. h2 — h3 30. Ле1 — Ь1 31. Kf3 — d4 32. ЛЬ1 — d1 Белые сдались. Cf6 — Ь2! Лс8 — d8 аб : Ь5 еб — е5 е5 — е4 СЬ2 : d4 Кс4 : еЗ! Мы надеемся, что любитель шахмат получил некото- рое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой пар- тии. Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели пример, понятный лишь шахматистам. Есть в нем нечто, 48
что имеет непосредственное отношение к теме нашего разговора о теории множеств. Присмотритесь к записи, не вникая в ее смысл. Всюду в ней встречаются характерные пары, образованные из строчной латинской буквы и натурального чйсла: f6, Ь2, с1... На прописные латинские буквы обращать внимание не будем — это сокращенные обозначения фигур. Чтобы они не составили нам помехи, уберем фигуры с доски. Что останется на ней тогда? Только лишь разметочные знаки. Внизу — горизонтальный ряд букв, от а др h. Слева — вертикальный столбик чисел, от 1 до 8. каждая буквенно-числовая пара, о которой говори- лось выше, образуется так: сначала берется элемент из первого, буквенного множества и за ним ставится эле- мент, выбранный из второго, числового множества. Кстати, само слово «пара» — термин теории мно- жеств. Так называются два элемента, расположенных в определенном порядке (поэтому часто говорят не «пара», а «упорядоченная пара»). Не довольствуясь несколькими вышеприведенными примерами, образуем всевозможные пары описанного вида. Их множество мы назовем декартовым произве- дением двух исходных множеств — буквенного и число- вого (читатель, вероятно, уже заметил про себя, что новообразованное множество насчитывает 64 элемен- та, ровно по числу клеток шахматной доски — ведь каждой клетке соответствует своя пара, и, наоборот, каждая пара кодирует свою клетку). Понятие, с которым мы только что познакомились, настолько важно, что мы приведем особо его строгое определение: декартовым (или прямым) произведени- ем одного множества на другое называется множество всевозможных пар, первые элементы которых принад- лежат одному множеству, а вторые — другому. I 49
Теперь давайте разберем еще одну партию. 1. 2е — 4е 7е — бе 2. 2d — 4d 7d — 5d 3. 4е — 5е 7с — 5с 4/ 4d : 5с К8Ь — 6с Читатель, даже не очень сведущий в шахматах, веро- ятно, сразу заметил: здесь что-то не так. Действительно, мы сделали некоторую перестановку: в наших буквенно- числовых парах (2е, 4d, 7с) на сей раз сначала идут цифры, а потом уже буквы.. А ведь в данном выше определении пары подчеркивалось, что порядок эле- ментов в ней существен. И потому мы не можем назвать равными, скажем, две такие пары: е2 и 2е. Стало быть, множество буквенно-числовых пар, о которых говори- лось в предыдущем разделе (f6, е2, d, d4 и т.п.), не равно множеству пар, появившихся в нашем, рассказе Сейчас (2е, 6f, 4d, 1с и т.п.), — ведь эти множества состоят не из одних и тех же элементов. Вывод? Он очевиден: произведение двух различных множеств меняется от перемены мест сомножителей — в противоположность произведению чисел, для которо- го справедлив переместительный закон. Для множеств такого закона нет. Перестановка сомножителей ничего не изменит лишь в том случае, когда перемножаемые множества равны. Впрочем, и здесь все не так просто. Возьмем только что применявшееся нами множество целых чисел от 1 до 8. Умножим его на себя. В произ- ведении получится множество всевозможных пар вида: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4)... Не кажется ли вам повторением наличие в этой строч- ке пар (1,2) и (2,1)? Мы сочтем свой рассказ не напрасным, если вы'отве- тите: нет, эти пары не равны, хотя и образованы одина- ковыми элементами, потому что расположены эти эле- менты в разном порядке. 50
Совокупность упорядоченных пар, на первом месте в которых стоит элемент одного множества, а на втором — элемент другого, мы назвали декартовым произведени- ем первого множества на второе. Можно говорить не только о парах, но и, скажем, о тройках — разумеется, тоже упорядоченных. Например, все обеды из трех блюд — это .тройки, первый элемент которых принадлежит множеству первых блюд, вто- рой — множеству вторых, третий — множеству третьих. (Упорядоченность таких троек подчеркивается назва- ниями блюд: первое, второе, третье.) Такие обеды, составленные во всевозможных сочетаниях по естест- венному порядку блюд, очевидно, образуют декартово произведение трех множеств, где. первый сомножи- тель— это множество первых блюд, второй и третий — множества вторых и третьих блюд соответственно. Три блюда, конечно, не предел для тренированного едока. Помните те обеды, которыми турецкий султан угощал достославного барона Мюнхаузена? Согласно уверениям барона, о честности которого ходят легенды, число блюд в этих обедах было умопомрачительно боль- шим, так что для математического описания тех знаме- нитых трапез потребовалось бы понятие упорядоченной л-ки. (Читатель, вероятно, знает, что в математике буква п Применяется для обозначения натуральных чисел и пре- имущественно в тех случаях, когда под нею можно подразумевать произвольное натуральное число.) Таким понятием располагает теория множеств. Упо- рядоченной л-кой называется набор из л элементов, где на первом месте стоит элемент первого множества, на втором — второго и так далее — до л-ного. Всевозмож- ные такие л-ки образуют декартово произведение тех л множеств, из которых берутся элементы для образова- ния упорядоченных л-ок. ' Сомножители в произведениях множеств могут быть и одинаковыми. Попробуйте-ка представить, например, что получится, если множество букв русского алфавита трижды умножить на себя. Очевидно, в результате по- 51
лучится множество упорядоченных троек букв, иными словами, множество всех трехбуквенных слов русского языка, осмысленных и не имеющих смысла: бал, лоб, мул, дыр, бул, щыл... Заметим, что упорядоченные n-ки из элементов неко- торого множества называют еще n-мерными векторами, определенными на этом множестве. (Наряду с термином «вектор» иногда в таких случаях употребляется равно- значный ему термин «кортеж».) Элементы, составляющие ту или иную л-ку, называ- ются ее компонентами, или координатами, и различают- ся по порядку: первая компонента, вторая и так далее.
ОТОБРАЖЕНИЯ Без знания языка в чужой стране трудно. Представьте: в каком-то чужедальнем аэропорту вы спустились с трапа самолета, прошли таможенный до- смотр и решили, скажем, известить домашних о благо- получном прибытии. Надо бы спросить у кого-то, где здесь можно телеграммку отбить, а вы по-ихнему, как говорится, ни бум-бум. Как быть? Вот для таких безъязыких и придуманы средства ви- зуальной информации: красный крест — медпункт, нож- ницы и расческа — парикмахерская, чемодан — камера хранения, конверт — о! это как раз то, что вам нужно, — почта. Основное достоинство этих легко узнаваемых карти- нок в том, что каждая строго соответствует определен- ному виду услуг. Итак, с одной стороны, множество разновидностей сервиса с другой — множест- во транспарантов. Соответст- вие между элементами этих двух множеств помогает ори- ентироваться в незнакомой обстановке. Вот еще один пример соот- ветствия. «Если плотву ловить собираешься — бери мотыля, а на язя бери кузнечика. Для окуня выползок хорош или ру- чейник; кстати, на ручейника и плотва неплохо идет. Ну, а для леща ничего лучше пшен- ной каши не придумаешь. Стерлядь, говоришь9 Нет, она на все наши наживки — нуль внимания, ее только неводом и возьмешь. С щукой — та же история: ее либо неводом 53
брать надо, либо блеснить». Так поучает опытный рыбак начинающего, объясняя отточенное многолетним опы- том соответствие между множеством рыб и множеством наживок, для этих рыб рекомендуемых. В холле гостиницы за спиной портье рядами висят ключи. Каждый из них открывает дверь того номера, которому он соответствует. Идет экзамен, и каждому экзаменующемуся ставится соответствующая оценка — элемент множества {двой- ка, тройка, четверка, пятерка}. Заселяется новый дом. Опять соответствие: между жильцами и номерами квартир. Если в каждой из описанных ситуаций отвлечься от конкретных деталей, то сухой остаток будет таков: есть некоторое множество А, и каждому его элементу ставит- ся в соответствие определенный элемент некоторого множества В: трафарету — услуга, гостиничному номе- ру — ключ, сдающему экзамен — оценка, жильцу — номер квартиры. Причем с каждым элементом первого множества сопоставляется в точности один элемент второго. Всякое такое соответствие в теории множеств назы- вается отображением множества А во множество В или функцией с областью определения А, принимающей значения из В. В каждой паре из элемента множества А и соответст- вующего ему в данном отображении элемента множест- ва В первый называется прообразом (или значением аргумента), второй — образом (или значением функ- ции). Все элементы множества В, выступающие в данном отображении в роли образов, в совокупности называют- ся образом множества А в этом отображении. (Ясно, что при этом образ множества А включен во множество В, читатель легко докажет это.) — Алло! Это справочная вокзала? Скажите, сколько стоит билет до Амвросиевки? — Докуда? До Аросевки? 54
— До Амвросиевки! — До Абросимовки? Вас очень плохо слышно. Пожа- луйста, по буквам. — Анна, Михаил, Владимир, Родион, Ольга... Итак, еще одно отображение. Множество букв русско- го алфавита отображается во множество русских имен. И прежде невнятное сообщение становится отчетливым и понятным. Отображения и в науке часто применяются благодаря именно этому своему достоинству: они позволяют заме- нить предмет исследования некоторым его образом, по которому изучать предмет становится проще. Возьмите схему любого прибора — хотя бы того же телефона. Не правда ли, гораздо удобнее изучать не реальный прибор, а его схему, где каждой детали по- ставлен в соответствие определенный значок? Впрочем, понятие «отображение» важно не только этим. Возьмите любую деталь какого-либо прибора и заду- • майтесь над принципом ее действия. Как, например, работает катушка индуктивности, изображенная на схеме телефона в виде двух почти соприкасающихся спиралей? По закону самоиндукции: если текущий по ней ток непостоянен, то в ней возникает электродвижу- щая сила, пропорциональная скорости изменения тока. Опять отображение! Каждому значению скорости из- менения тока ставится в соответствие значение электродвижущей силы. Возьмите другие законы естествознания, владение которыми дало человеку столь уверенную власть над 55
природой’. Очень многие из них носят характер отобра- жения, функции. Каждому значению силы, действующей на тело, ставится в соответствие значение ускорения, приобретаемого телом (второй закон Ньютона). Каждо- му значению давления в газе при постоянной темпера- туре ставится в соответствие значение плотности газа (закон Бойля — Мариотта). Каждому-значению расстоя- ния между двумя электрическими зарядами ставится в соответствие значение силы взаимодействия зарядов (закон Кулона) и так далее. Мы надеемся, что после сказаннбго читателю стала ясна важность этого понятия — отображение, функция. Если читатель проглядит еще раз примеры, через которые мы подводили его к понятию отображения-, то он, конечно, заметит что-то неладное в примере с ры- баком. Во-первых, для некоторых рыб рекомендуется сразу несколько наживок (окуню ставится в соответствие вы- ползок и ручейник, плотве — ручейник и мотыль). А определение отображения требует, чтобы каждому эле- менту множества прообразов соответствовал точно один образ. Во-вторых, некоторым рыбам (стерлядь, щука) не со- ответствует никакая наживка. А определение отображе- ния требует, чтобы образ был у каждого элемента мно- жества прообразов. Стало быть, сопоставление наживок с рыбами, изло- женное устами старого рыбака, — не отображение. Призванный к бдительности примером с рыбаком читатель, вероятно, повнимательнее приглядится к дру- гим примерам и остановит критический взор на описа- нии экзамена, трактуемого как отображение множества экзаменующихся во множество оценок (двойка, тройка, четверка, пятерка). В этом числовом множестве — всего четыре элемента. И если экзаменующихся больше, то просто невозможно, чтобы у всех были различные оцен- ки. 56
Допустимо ли, может спросить читатель, чтобы при каком-то отображении нескольким прообразом соответ- ствовал один и тот же образ? Да, допустимо, поскольку в определении отображе- ния нет никаких оговорок на этот счет. А как смотреть на то, возможно, не оставит своих сомнений читатель, если на экзамене никто не получит пятерку? Или на такой счастливый случай, когда никто не получил двойку? Допустимо ли, чтобы при каком-то отображении какой-то элемент множества, из которого берутся образы, не был сопоставлен ни с одним эле- ментом из множества прообразов? Да, допустимо, следует ответить и на сей раз, потому что и на это мы не накладывали никаких запретов, когда определяли отображение множества А во множество В. Выделенный нами предлог н словно подчеркивает, что некоторые элементы множестве В вправе уклониться от участия в отображении. Если же роль образа падает на каждый элемент этого множества, то про такой поголовный охват говорят, что Множество А отображается на множество В. Знаете ли вы, откуда в нашей речи взялось присловье «жив курилка»? Оно пошло от старинной народной игры. Ее участники становятся в круг, а по нему пускается
зажженная лучинка. Каждый играющий передает ее со- седу со словами: «Жив, жив курилка!» У кого в руках лучинка погаснет, тот должен исполнить какое-то жела- ние играющих. Передача лучинки от одного участника игры к соседу ставит в соответствие каждому элементу множества играющих элемент, принадлежащий тому же множеству. Про такое соответствие говорят, что оно отображает множество в себя. В каждом из наших прежних примеров, иллюстриро- вавших понятие отображения, прообразы и образы при- надлежали различным множествам. Однако определе- ние отображения на таком различии вовсе не настаива- ет. Стало быть, допустимы случаи, аналогичные игре с лучинкой, — отображения множеств в себя. Нетрудно придумать и чисто математический пример подобного отображения. Пусть каждому вещественному числу х ставится в соответствие его квадрат: х2. И прообразы и образы принадлежат здесь одному и тому же множеству вещественных чисел. Оно отображается в себя описанным соответствием. Вот еще один математический пример такого рода, на сей раз не алгебраического, а геометрического толка. Каждой точке плоскости ставится в соответствие другая точка той же плоскости, причем так, что направленные отрезки, проводимые из какой-либо точки-прообраза в соответствующую ей точку-образ, одинаковы по длине и направлению. Описанным соответствием множество всех точек плоскости отображается в себя. Наши последние примеры — с числами, с точками плоскости — вновь отличаются особенностью, которой 58
не было у прежних примеров. До сих пор участниками каждого отображения были конечные множества. Но ведь этого вовсе не требует определение отображения. В нем вообще нет никаких ограничений на природу множеств, которые могут участвовать в отображениях. Стало быть, эти множества могут быть и бесконечными. Разберем еще один пример такого сорта. Это отобра- жение замечательно тем, что в нем математика черпает - львиную долю средств для наглядного изображения своих понятий. Начертим прямую, одну из ее точек отметим числом О, другую, лежащую правее, — числом 1. Отрезок между этими точками назовем единичным, а всю прямую — числовой осью. Будем теперь последовательно откла- 1 2 2.7 I I -I----------1-‘--1----1---। I ---►---- -3-2-1 0 1 2 3 _ 4 дывать на ней единичный отрезок вправо от точки 1 и обозначать получающиеся засечки числами 2, 3, 4 и так далее. Откладывая единичный отрезок влево от точки О, будем отмечать новые последовательные засечки чис- лами — 1, — 2, — 3 и так далее. На числовой оси можно изображать и нецелые числа. Например, число ’/2 пред- ставится на ней серединой отрезка между точками 0 и 1, а чтобы изобразить на числовой оси, скажем, число 2,7, нужно отложить семь раз вправо от точки 2 десятую долю единичного отрезка. Подобным образом на число- вой оси отмечается любое вещественное число, иными словами, так строится отображение множества вещест- венных чисел на множество точек числовой оси. А теперь скрестим на плоскости две числовые оси. Возьмем какую-нибудь пару чисел, например (2,4). Пер- вое число пары отложим на горизонтальной оси, вто- рое — на вертикальной. Через полученные засечки про- ведем прямые, параллельные осям. Их пересечение обозначит некоторую точку плоскости. Так каждой паре вещественных чисел можно поставить в соответствие определенную точку. Сведущий читатель, конечно, распознал в этом по- строении идею декартовых координат. Рассказ о ней нам остается лишь дополнить терминологическими по- 59
яснениями: скрещенные числовые оси называются осями координат, обозначаются они латинскими буква- ми х (горизонтальная) и у (вертикальная), точка их пере- сечения называется началом координат и обозначается буквой О (от латинского «origo» — «начало»), а пара чисел, определяющая положение той или иной точки, называется координатами этой точки: первое число, откладываемое по горизонтальной оси, — абсциссой, второе, откладываемое по вертикальной, — ординатой. Ради примера на нашем рисунке в декартовой систе- ме координат отмечены точки плоскости, соответствую- щие парам (1; 1), (— 2; 4), (3; 9); (0,5; 0,25), (— 1,5; 2,25). Поскольку декартова система координат на плоскости задается пересечением лишь двух числовых осей и положение точки в ней отмечается лишь двумя числами, ее называют двумерной. Помещенный здесь же рисунок трехмерной системы координат позволяет понять, как множество всевозможных троек вещественных чисел отображается на множество точек пространства. Необ- ходимая для этого дополнительная ось отмечается бук- вой z, а откладываемая по ней координата точки про- странства называется аппликатой. 60
Есть города, основатели которых словно отдавали дань точным наукам. Математическая строгость с само- го начала вносилась в планы таких городов. Вот карта одного из старейших районов Петербурга — Васильевского острова. Его линии и проспекты, пересе- каясь под прямым углом, образуют геометрически пра- вильную сетку. По такому же принципу застроен остров Манхеттен — центральная часть Нью-Йорка. Математическая стро- гость застройки подчеркнута тем, что улицам Манхетте- на — продольным авеню и поперечным стрит — при- 61
своены не названия, а номера. В такой сетке улиц не запутаешься: два числа — номер стрит и номер авеню — однозначно указывают положение каждого перекрестка, а добравшись до него, уже нетрудно отыскать нужный дом. Впрочем, прямоугольная сетка стрит и авеню, если внимательней приглядеться к карте Манхеттена, не столь уж математически безукоризненна. По самому краю острова, почти вплотную к берегу, проходит первая авеню. Но капризная природа сотворила берег не иде- ально ровным на всем его протяжении. В одном месте, уклоняясь от направления первой авеню, он выдается значительным мысом. Мыс застроен, причем градостро- ители выдержали строгий принцип планировки: авеню 62
здесь проложены параллельно остальным. Однако гра- достроители не выдержали принцип в обозначении улиц: вместо цифр в ход пошли буквы — авеню А, авеню В, авеню С и D. А если сохранить верность номерным обозначениям? Приближаясь к мысу и перебирая номера авеню — тре- тья, вторая, первая, какой номер естественно увидеть на следующей авеню? Очевидно, нулевой. А дальше, разумеется, должны идти минус первая, минус вторая... Теперь переведите взгляд в район четвертой и пятой авеню. Между ними пролегает Мэдисон-авеню — не нумерованная, как все, а именованная. Что если и ее переименовать на числовой манер? Какой номер полу- чила бы она тогда? Четыре с половиной, не так ли? Если проводить такой подход последовательно, то любую точку карты можно определить как перекресток двух «улиц» — двух прямых, идущих в направлении стрит и авеню. Номер каждой «улицы» определяется тем, какой отрезок отсекает она на нулевой стрит или на нулевой авеню. В ходе рассуждений план города с прямоугольной сеткой улиц превратился в прямоуголь- ную декартову систему координат. У 4 < 3- м —f X S X * . . rf т 2 С io 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 : 3 4 -1 X, 1бс ОЧИ дис< и-h/ :а X -2 -3 Не сразу Москва строилась и — в отличие от Петер- бурга — не по единому плану. Вначале, как гласит ле- генда, князь Юрий Долгорукий «повеле соделати град мал, древян» в месте слияния Москвы-реки и речки Неглинной. Вокруг деревянной крепости кольцом рас- положился посад. Лучами из крепости, как из центра, на все стороны расходились торговые пути: во Владимир и Суздаль, Новгород и Смоленск. Росло население, и новостройки все новыми кольцами опоясывали цент- ральную часть города. 63
Так складывалась радиально-кольцевая структура нашей древней столицы. Конечно, прихотливое течение Москвы-реки, пересе- ченный рельеф местности нарушали строгость структу- ры. Лучи шли отнюдь не по линейке, кольца"— не по циркулю. Если же употребить эти геометрические ин- струменты, то схематической карте города нетрудно придать геометрическую стройность. Для этого нужно спрямить радиальные'улицы и превратить в четкие ок- ружности кольцевые. И тогда, как на плане Петербурга или Нью-Йорка, положение любой точки на плане Москвы будет опреде- ляться как пересечение двух «улиц» — радиальной и кольцевой. Номер кольцевой улицы будет равен радиусу соответ- ствующей окружности, измеренному в принятых едини- цах масштаба, иными словами, расстоянию точки до центра, до начала координат. С номерами радиальных'улиц дело сложнее. Прежде всего — откуда их отсчитывать? Какое-то направление нужно принять за основу, уже привычным нам приемом 64 1
присвоить ему нулевой номер, и каждую радиальную улицу определять углом, который она составляет с ну- левой. Поправка за поправкой план Москвы с его радиально- кольцевой структурой превращается в этакую симпатич- ную координатную систему. Ее называют полярной сис- темой координат. Как и в декартовой систе- ме здесь есть начало коор- динат, обозначаемое бук- вой О. Из этой точки исхо- дит полярная ось, которую мы в нашем предыдущем рассказе называли улицей номер нуль. Как в и декар- товой системе здесь у каж- дой точки две координаты. Первая из них — длийа от- резка, проведенного в точку из начала. Его называют ра- диус-вектором, а его длину обозначают греческой буквой р. Вторая координата — угол, образованный этим отрезком с полярной осью. Он считается положительным, если отсчитывается от по- лярной оси к радиус-вектору против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчитывается по часовой стрел- ке. Его называют полярным углом, а его величину обо- значают греческой буквой <р. Примеры двумерных координатных систем мы подыс- кивали, изучая планировку Петербурга, Нью-Йорка, Москвы. За примерами трехмерных координатных систем, по- жалуй, нужно отправиться в пространство, подняться над землей. Но почему подняться? В третье измерение можно выйти и в противоположном направлении. Человек сде- лал это задолго до эры авиации и космонавтики — копая шахты, добираясь до угольных пластов и рудных жил. 3—480 65
Взгляните на чертеж, изображающий горную выра- ботку. Ч¥обы добраться до своего рабочего места, шах- тер должен спуститься до нужного квершлага, затем проехать до нужного штрека, а затем до нужного участ- ка. Номер квершлага, номер штрека, номер участка — вот три числа, которые записаны в наряде у шахтера, когда он отправ- ляется под землю, три числа, определяющих пункт его назначения в под- земном пространстве. В строгой структуре гор- ной выработки четко про- сматривается образ трех- мерной декартовой систе- мы координат. Отображение и функция. В своих рассуждениях мы употребляли эти слова вперемежку, и читатель мог посчитать их синони- мами. Это не совсем так. Чтобы показать тонкую разницу между ними, обратимся к нашим испытанным приме- рам отображений. Пример с гостиницей. Каждому номеру ставится в соответствие ключ. В роли прообразов здесь выступают числа (номера). Всякое такое отображение называется функцией числового аргумента. Примеры с экзаменом и с новосельем. Здесь числа выступают в роли образов (каждому экзаменующемуся ставится в соответствии оценка, каждому новоселу — - 66
номер его квартиры). Всякое такое отображение назы- вается числовой функцией. А теперь представьте, что в новом доме, куда недавно вселились жильцы, устанавливают телефоны. Номеру каждой квартиры ставится в соответствие номер теле- фона. Как назвать такое отображение? Числовая функ- ция числового аргумента, не правда ли? Наш недавний пример, где каждому вещественному числу ставился в соответствие его квадрат, — тоже чис- ловая функция числового аргумента. На подобные примеры, когда и образы и прообразы — числа, стоит обратить особое внимание. Именно в таких случаях обычно говорят не «отображение», а «функция», не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ», а «область определения функции» (ее составляют веще- ственные числа, как правило, из некоторого ограничен- ного или неограниченного промежутка). Часто в таких случаях употребляют термин '«область значений функ- ции» — это тот самый образ множества прообразов, о котором говорилось в конце раздела, где определялось понятие отображения. Свои особенные наименования есть у многих отобра- жений специального вида. Отображая какое-либо пространство на себя, говорят о преобразовании этого пространства. (Скажем, когда недавно каждой точке плоскости мы ставили в соответ- ствие другую точку, отнесенную от первой на отрезок определенной длины и направления, это было так назы- ваемое преобразование параллельного переноса.) Ото- бражения, сопоставляющие числовые функции числово- го аргумента друг с другом, именуются операторами, функции с числами — функционалами. Взгляните на такое выражение: 1+3=4. Примером чего оно служит? Математик сказал бы, что оно иллю- стрирует операцию сложения. А про выражение 2 - 5 = 10 он сказал бы, что здесь произведена операция умножения. Но ведь про первый пример можно сказать и так: двум числам, 1 и 3, поставлено в соответствие число 4, называемое их суммой. А про второе так: двум числам, 2 и 5, поставлено в соответствие число 10, называемое их произведением. з* 67
И там и тут парам чисел ставятся в соответствие числа. Стало быть, мы опять имеем дело с отображени- ем (или, как можно еще сказать, с числовой функцией двух числовых переменных). Можно вообразить наиболее общий случай такого рода, когда упорядоченным парам, составленным из элементов некоторых двух множеств, ставится в соот- ветствие элемент третьего множества. Всякое такое отображение в математике принято именовать бинар- ной, или двуместной, операцией («binarus» по-латыни «двойной»), определенной на произведении первого множества на второе (напомним, что совокупность упо- рядоченных пар из элементов двух множеств называет- ся произведением этих множеств) со значениями из третьего множества. Значит, и сложение и умножение чисел — это дейст- вительно отображения, но того специфического вида, которые именуются бинарными операциями. Определе- ны обе эти операции на произведении множества веще- ственных чисел на себя, и значения принимают опять- таки из множества вещественных чисел. Можно говорить вообще об n-местных операциях, когда n-кам элементов ставятся в соответствие элемен- ты еще какого-то множества. (Правда, в таких случаях обычно говорят о функциях л переменных.) «Обыкновен- ные» отображения, когда с элементами одного множе- ства сопоставляются элементы другого (или того же самого), тоже иногда трактуются как операции — их называют унарными, или одноместными («unarius» по- латыни «единичный»). Когда, например, положительным числам ставятся в соответствие их квадратные корни, говорят об операции извлечения квадратного корня. Как все-таки многолико это понятие «отображение»! Как широко оно применяется! Недаром во многих курсах математики о нем говорится как об одном из основных понятий этой науки, не менее фундаментальном, чем понятие множества. 68
р ь М Я с d Когда мы знакомились с пересечением и объедине- нием множеств, с включением одного множества в дру- гое, на память о каждой операции над множествами или отношении между ними нам оставалась выразительная символическая картинка — диаграмма Венна. Вероятно, читателю хочется получить подобный суве- нир, который давал бы наглядное представление о по- нятии отображения. Характерная картинка, приводимая для этой цели во многих учебных пособиях по теории множеств, воспро- изведена на этой странице. Овалы — это множества, точки — их элементы, стрелки — соответствия. Из каж- дой точки левого овала, символизирующего мно- жество прообразов, исхо- дит одна и только одна стрелка. В некоторые точки правого овала (он изобра- жает множество, элементы которого в данном отобра- жении играют роль образов) упирается несколько стре- лок, в некоторые — ни одной. Все вполне соответствует определению отображения. Но выразительные возмож- ности таких картинок явно не настолько широки, чтобы показать существенные черты того или иного конкрет- ного отображения. Более богатые изобразительные средства стоят за термином «график отображения», который встречается в работах по теории множеств. Поинтересуемся, что он означает. Оказывается, так именуется множество пар, построенных из элементов двух множеств, участвующих в отображении, причем первые элементы всех таких пар в совокупности представляют собой все множество про- образов, а второй элемент каждой пары является обра- зом первого в данном отображении. Скажем, если рассматривать экзамен как отображе- ние, то его графиком будет экзаменационная ведо- мость, полный перечень пар «фамилия — оценка» 69
Опять не очень живописно. И не очень понятно: поче- му это называется графиком? Это слово, обычно ассо- циируется с кривой, вычерченной в координатных осях. Дело в том, что такие кривые тоже представляют собой графики отображений, но весьма частного вида. Это графики числовых функций числового аргумента. Ведь в таких отображениях каждая пара «прообраз — образ» — это пара чисел. (Напомним, что в подобных случаях принято говорить не «прообраз», а «значение аргумента» не «образ», а «значение функции».) Всякую пару чисел можно изобразить точкой на коор- динатной плоскости. Перебрав все значения аргумента из области определения функции и изобразив каждую такую пару точкой плоскости, мы и получим график функции. Когда, знакомясь с декартовой системой координат, мы отметили на координатной плоскости несколько точек (см. стр. 60), соответствующих приведенным в тексте числовым парам, внимательный читатель навер- няка подметил характерное свойство этих пар: второй элемент каждой из них есть квадрат первого. Иными словами, эта россыпь точек не что иное, как фрагмент графика отображения, которое каждому вещественному числу ставит в соответствие его квадрат. Изобразим на координатной плоскости все пары та- кого рода. Они сольются в привычную параболу. Рядом — график другого отображения, которое каж- дому вещественному числу х ставит в соответствие число х2 + х + 1. Глядя на формулу, не так-то легко 70
ответить на вопрос: какова область значений этой функ- ции, создаваемый ею образ множества всех веществен- ных чисел? Но когда перед нами ее график, ответ почти очевиден: это множество тех вещественных чисел, ко- торые больше или равны 3/4. Как видим, графикам числовых функций числового аргумента присуща та наглядность, которая помогает быстро и несложно исследовать свойства этих функций. «Занимайте места согласно купленным билетам» — это неписанное правило коротко и ясно определяет отображение множества зрителей на множество кресел. Зрители — прообразы, кресла — образы. Быть может, этот пример вызывает у нас неприятные воспоминания. Вероятно, с вами случались такие казу- сы, когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали,' что ваше место уже занято: растяпа-кассир продал на него два билета. Вам ничего не остается, как искать свобод- ное кресло, билет на которое остался непроданным. ние, чтобы исключить подобные вещи — и накладки, и пропуски? Этих требований два, и они совершенно оче- видны. Во-первых, разным прообразам должны соответство- вать разные образы (тогда не будет накладок: каждый зритель получит свое кресло). Во-вторых, каждый элемент множества, которому принадлежат образы, должен иметь прообраз (тогда не 71
будет пропусков: каждое кресло получит своего зрите- ля). Всякое такое отображение называется взаимно одно- значным соответствием. Смысл этого термина станет совершенно понятным, если два требования, которым должно удовлетворять любое отображение без накладок и пропусков, мы по- пытаемся сформулировать одной фразой. Тогда опре- деляющее свойство такого отображения выразится так: каждый элемент множества, которому принадлежат об- разы, имеет прообраз, и притом только один. «Постойте! —вероятно, уже напрягает память чита- тель. — Где-то раньше мне уже встречалась очень похо- жая фраза!» Спешим с подсказкой — давая определения понятию отображения, мы подчеркивали: каждый элемент мно- жества прообразов имеет образ, и притом только один. (Если не выполнено хотя бы одно из этих двух условий, соответствие не получит звание отображения — вспом- ните пример с рыбаком!) Сравним теперь две фразы, обращающие на себя внимание своим сходством: каждый элемент множества, которому принадлежат образы, имеет прообраз, и притом только один; каждый элемент множества прообразов имеет образ, и притом только один. Эти фразы взаимозаменяемы, не правда ли? Стоит лишь поменять местами слова «прообраз» и «образ». Отсюда и термин «взаимно однозначное соответствие». Такое переименование можно произвести с любой парой «прообраз — образ». И тогда множество образов взаимно отобразится на множество прообразов. В нашем кинопримере для этого достаточно каждому креслу поставить в соответствие сидящего в нем зрите- ля. Это отображение называется обратным по отноше- нию к тому, которое каждому зрителю ставило в соот- ветствие его кресло. 72
Два множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквива- лентными. Множество месяцев в году, например, эквивалентного множеству зодиакальных созвездий. Оттого-то древний астролог, составляя гороскоп для очередного клиента, не указывал, в каком месяце тот родился, -а витиевато писал: «Появился на свет под таким-то знаком зодиака» Водолеи Рыбы Овен Январь Февраль Март Телец Близнецы РЪк Лее Алрел> Май Июнь Июль Д ева Весы Снсргмон Стрелец Козерог ПК ? ъ Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Множество цветов в спектре эквивалентно множеству нот в гамме. (Недаром иные незатейливые проекты цветомузыки предполагают, что на экране вспыхивают цвета, соответствующие нотам мелодии.) I $ -J- J- J J J тошный оранжевый желтый эелегый голубой они фиолетовый Если, прочтя наши примеры, вы начали подыскивать свой собственный, а дело не клеится, не отчаивайтесь. У вас всегда в запасе предельно простой вариант: возь- мите любое множество и с каждым его элементом со- поставьте тот же самый элемент. Такое отображение множества не себя называется тождественным. Не смущайтесь незатейливостью этого примера. У него есть свои Достоинства. Он иллюстрирует одно из трех свойств, которыми обладает эквивалентность мно- жеств. Именуется это свойство рефлексивностью, и заключается оно в том, что любое множество эквива- лентно самому себе. А остальные свойства? Довольно очевидно, что если мы подыскали для неко- торого множества другое, ему эквивалентное, то второе множество будет эквивалентно первому. В этом выра- 73
жается второе свойство эквивалентности множеств, именуемое симметричностью. Доказать его просто. Ведь эквивалентность множеств заключается в том, что между ними можно установить некоторое взаимно однозначное соответствие. А оно, как мы видели в предыдущем разделе, работает в обе стороны, С его помощью можно отобразить первое множество, на второе, но также можно, взяв обратное к этому отображению, отобразить второе множество на первое. Еще пример, где множество месяцев в году отобра- жается на множество знаков зодиака. Вспомним цифер- блат больших часов Казанского вокзала в Москве: знаки зодиака сопоставлены там с цифрами, обозначающими часы дня. Опустив промеж- уточные звенья, можно со- поставить напрямую месяцы и часы. В самом деле, если январь соответствует Водо- лею, а Водолей на часовом циферблате ставится рядом с цифрой 1, то это означает, что январь соответствует первому часу дня. Аналогич- ным образом февралю можно поставить в соответ- ствие второй час, марту — третий и так далее до декаб- ря, который окажется сопоставленным с двенадцатым часом. Отображение множества месяцев на множество часов возникает при этом как результат определенной комби- нации трех отображений, первое из которых сопостав- ляет месяцы со знаками зодиака, второе — знаки зодиа- ка с цифрами от 1 до 12, третье — цифры с часами дня. Такая комбинация называется произведением, или су- перпозицией, отображений. Итак, мы видим: если в цепочке множеств любые два соседа эквивалентны друг другу, то эквивалентны и множества, стоящие по краям цепочки. В этом выража- ется третье свойство эквивалентности множеств, име- нуемое транзитивностью. 74
У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка» есть такие строки: «До явно белое, пустое, до — всего, ре — голубое ми — желтое (может быть — midi?), фа — коричневое (мбжет быть, фаевое выходное платье матери, а ре — голубое — река?)». Можно удивляться продемонстрированному здесь бо- гатству поэтической фантазии. Можно не соглашаться с этими цветомузыкальными соответствиями (написав- шая процитированные строки и сама говорит далее, что у каждого свои резоны на звуки и краски). Но бесспорно одно: есть нечто общее между семью нотами гаммы и семью цветами радуги. Это «нечто» роднит оба назван- ных множества и с семью днями недели, и с семью струнами гитары, и с семью чудесами света, и с семью холмами, на которых стоит Рим, и с семью гномами из сказки о Белоснежке... Это нечто общее выражается словом «семь». Все перечисленные множества попарно эквивалентны, и в каждом из них — по семь элементов. Обратите внимание: именно так в математике и воз- никает понятие натурального числа. Натуральное число — это обддее свойство попарно эквивалентных конечных множеств. Так, число пять — это выражение той общности, кото- рая связывает попарно эквивалентные множества пяти олимпийских колец, пяти материков, пяти лучей морской звезды, пяти пальцев на руке. У читателя, прочитавшего предыдущий отрывок, могло создаться впечатление: чтобы установить эквива- лентность двух множеств, сначала надо пересчитать одно, потом другое и затем, сравнив их численности, убедиться, одинаково ли количество элементов в них. Но ведь, говоря так, мы оказываемся в порочном кругу. В самом деле, понятие натурального числа мы 75
строили на основе понятия эквивалентности множеств, а теперь пытаемся устанавливать эту эквивалентность, основываясь на понятии натурального числа. Порочного круга избежать можно. Эквивалентность множеств можно устанавливать без всякого пересчета. В партии перчаток, поступивших в магазин, множест- ' во левых перчаток эквивалентно множеству правых — утверждать это можно, не заглядывая в накладную. «На каждый прилив — по отливу», — сказал поэт, про- возгласив тем самым, что множество приливов эквива- лентно множеству отливов, хотя их никто не считал и вообще не может пересчитать: приливные волны набе- гали на берега материков, когда на них и не пахло жизнью. И будут набегать еще века и века... Этот образ навевает мысль о бесконечности. В нашем рассказе об эквивалентности множеств она не пред- ставляется чужеродной. Примеры с перчатками и при- ливами явно подсказывают, что можно установить экви- валентность не только конечных, но и бесконечных мно- жеств. Но стоп! Бесконечность — вещь непростая, и-прежде чем рассуждать об эквивалентности бесконечных мно- жеств, разберем несколько наводящих примеров. «Мест нет». Туристам и командированным, вероятно, хорошо зна- комо это традиционное «приветствие», которым их встречала не одна гостиница. А вот немецкий математик Давид Гильберт спроекти- ровал такую гостиницу, в которой не возникает никаких проблем с размещением гостей. Администратор такой гостиницы спокоен даже тогда, когда все номера заполнены. Даже в такой ситуации он никогда не откажет вновь прибывшему. — Вы желаете одноместный номер? Милости просим. Только придется немного подождать. Сейчас мы пере- селим жильца из первого номера во второй, жильца из второго — в третий, жильца из третьего — в четвертый 76
и так далее. И пожалуйста — номер первый к вашим услугам. Разумеется, то, что проделал администратор гостини- цы Гильберта, невыполнимо ни в одной реальной гости- нице. Будь в ней даже миллион номеров, жилец послед- него номера в результате вышеописанного переселения окажется выселенным. Такого не случится лишь в гос- тинице, где за каждым номером, к какому ни подойди, есть дверь следующего. Очевидно, количество номеров в этой гостинице бес- конечно. Мы произносим это слово уже вполне созна- тельно и без всякой опаски, ибо рассказ о гостинице Гильберта позволяет строго определить понятие беско- нечного множества. Но прежде чем формулировать это определение, по- говорим еще о достоинствах замечательной гостиницы Оказывается, она способа принять даже такую турист- скую группу, число участников которой бесконечно. Что в таком случае делает администратор? Например, пере- селяет жильцов из первогр номера во второй, из второ- го — в четвертый, из третьего — в шестой... Короче говоря, у каждого жильца в ордере на поселение преж- ний номер заменяется номером вдвое большим. Таким образом, заселяются лишь четные номера, а первый, третий, пятый и все остальные нечетные оказываются свободными. В них и поселяют одного за другим турис- тов из бесконечно большой группы. Обратимся к схемам переселения, которое провел администратор гостиницы Гильберта в первый и во второй раз. Первая строка каждой таблицы показывает размещение жильцов до переселения, вторая — после Жирные црфры обозначают занятые номера, светлые — свободные. Стрелки указывают порядок переселения Одновременно они позволяют установить взаимно однозначное соответствие между множествами номе- ров, занятых до и после переселения. 77
Но ведь до переселения (и первого, и второго) были заняты . все номера гостиницы, все их множество, а после—лишь часть этого множества, лишь его истинное подмножество (то есть включенное во множество, но не равное ему, вспомните поговорку: «Всякая селедка рыба, но не всякая рыба — селедка»). Итак, оба раза мы установили взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его истинным подмножеством. Часть множества эквивалентна целому. Ну не дико- винка ли? Для конечных множеств — диковинка. Для бесконеч- ных — естественное явление, фундаментальное свойст- во, которое можно принять за их определение. Бесконечным называется множество, из которого можно выделить эквивалентное ему истинное подмно- жество. Диковинный мир, в котором Гильберт построил свою гостиницу, — это, конечно, математическая фантазия. Сейчас мы продемонстрируем еще одно явление того же рода, вполне реальное, но еще более удивительное 78
Займемся геометрическими построениями. Начертим на листе бумаги отрезок, а над ним параллельно ему проведем другой, вдвое меньший по длине. Серией EL 1Ж. параллельных прямых соединим точки малого отрезка с точками одной из половинок большого. Так между мно- жествами точек малого отрезка и половины большого устанавливается взаимно однозначное соответствие Иными словами, два эти множества эквивалентны. А теперь возьмем те же самые отрезки, но построения сделаем несколько иначе. Лучи, проведенные на этот раз, устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками малого и большого отрезков. Стало быть, оба множества точек эквивалентны. Сопоставим два полученных нами вывода. Множество точек половины большого отрезка эквивалентно множе- ству точек малого, а оно, в свою очередь, эквивалентно множеству точек всего большого отрезка. Но ведь по свойству транзитивности, которым обладает эквива- лентность множеств (это свойство было объяснено тремя разделами прежде), сказанное означает, что мно- жество точек половины большого отрезка эквивалентно множеству точек всего отрезка в целом. Разумеется, так оно получилось потому, что множест- во точек нашего (да и любого) отрезка бесконечно. Этим примером мы еще раз продемонстрировали теоретико-множественную истину: из бесконечного множества можно выделить эквивалентное ему истин- ное подмножество. 79
Если читателю понравился фокус с отрезками, то мы готовы предложить ему нечто еще более диковинное. В чем заключается новый трюк, поясняет рисунок. Ну не поразительно ли — множество точек отрезка эквивалентно множеству точек полупрямой! Грубо гово- ря, в отрезке столько же т/эчек, сколько их в луче. Числовая разметка рисунка показывает, что оба эти точечные множества эквивалентны множеству всех ве- щественных чисел между нулем и единицей включитель- но. У последнего множества есть особое название, кото- рое стоит запомнить на дальнейшее: континуум. Всякое эквивалентное ему множество называется континуаль- ным (а иногда и точно так же — континуум). Тот же рисунок показывает, что множество всех поло- жительных вещественных чисел континуально. Неболь- шим усложнением схемы нетрудно обосновать, что та- ково же и множество всех вещественных чисел вообще Можно доказать, что континуальным является и множе- ство всех точек квадрата, и множество всех окружностей на плоскости... Кстати, свое название есть и у множеств, подобных множеству номеров в гостинице Гильберта. Отличитель- ное их свойство о том, что их элементы можно пронуме- ровать, поставить во взаимно однозначное соответст- 80
вие с числами натурального ряда. Всякое такое множе- ство называется счетным. Нетрудно показать, что счетным является, например, множество всех дробей. Для этого их достаточно рас- положить в таблицу так, чтобы числитель каждой дроби совпадал с номером ряда, в котором она находится, а знаменатель — с номером столбца. А потом остается пронумеровать все дроби по схеме, приведенной на стр. 29. Континуум (множество всех вещественных чисел между нулем и единицей включительно) и натуральный ряд (множество всех положительных целых чисел) в подобных сопоставлениях играют роль эталонов. У дотошного читателя может возникнуть вопрос, а как эти два эталона соотносятся между собой? Оказывается, хотя оба множества и бесконечны, но бесконечности эти разные. Множества эти неэквива- лентны. На числовой оси нетрудно показать, как из множества положительных вещественных чисел, не превосходящих единицы, можно выделить подмножество, эквивалент- ное натуральному ряду; пусть единице соответствует единица, двойке — одна вторая, тройке — одна третья и так далее. 81
Но перенумеровать все точки единичного отрезка невозможно. 1111 1 6 5 4 3 г' |-----J..I 1-.I-------1--------------------| О 1 Соотношение между этими бесконечными множества- ми — натуральным рядом и континуумом — примерно такое же, как между двумя конечными множествами, например с пятью и десятью элементами. Из десятка всегда можно выделить пяток, из пятка десяток — никог- да. Когда некоторому конечному множеству можно поста- вить во взаимно однозначное соответствие часть друго- го конечного множества (или, выражаясь строго, истин- ное подмножество другого конечного множества), гово- рят, что численность первого множества меньше чис- ленности второго. Скажем, если в первом пять, а во втором десять элементов, то на языке чисел сказанное выразится так: 5<10 (пять меньше десяти). Когда же два конечных множества эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однознач- ное соответствие, говорят, что они равночисленны. Ска- жем, если в каждом по пять элементов, то факт их равночисленности выражается равенством: 5 = 5 (пять равно пяти). В мире бесконечных множеств при подобных сравне- ниях применяется иная терминология. Здесь не говорят численность, а говорят мощность. Если два бесконечных множества эквивалентны, то есть между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то их называют равномощ- ными, или имеющими одинаковую мощность. Если же одно бесконечное множество эквивалентно истинному подмножеству другого, а в обратную сторону такой эк- вивалентности установить уже нельзя, говорят, что мощ- ность первого множества меньше мощности второго. Таким образом,понятие мощности бесконечного мно- жества представляет собой обобщение понятия числен- ности, применимого лишь к конечным множествам. 82
Используя новое понятие, мы можем теперь придать строгую форму сказанному прежде о натуральных чис- лах и вещественных числах между нулем и единицей: мощность счетного множества меньше мощности кон- тинуального.
ОТНОШЕНИЯ Брат моей жены — кто он мне? Деверь? Шурин? А кто такая золовка? А свояченица? Непросто разобраться в тонкостях родственных отно- шений. Хорошо бы подвергнуть их математическому анализу, но таких исследований, насколько нам извест- но, еще никто не предпринимал. Поэтому мы изложим здесь самые простые соображения на этот счет. Большую семью, представленную замысловатой схе- мой, будем рассматривать как некоторое множество. Исследуем для начала какое-то одно отношение, спо- собное связать лишь два элемента нашего множества (такое отношение называется бинарным). Например, такое: «х есть брат у». Прослеживая горизонтальные линии схемы, отберем все те пары представителей исследуемой нами семьи, для которых употребимо слово «брат». Например, Иван Петрович есть брат Петра Петровича, Владимир Васи- льевич — брат Зинаиды Васильевны, Миша — брат Маши. Очевидно, подобные высказывания могут утратить смысл от перестановки имен. Миша — брат "Маши, но неверно, что Маша — брат Миши. Итак, речь идет о парах упорядоченных. Разговор о таких парах у нас заходит уже не в первый раз. Множество всевозможных упорядоченных пар, со- ставленных из элементов некоторого множества, мы привыкли называть произведением этого множества на себя. В данном случае на себя умножается множество родственников. Отбирая среди всех возможных пар лишь те, для которых употребимо слово «брат», мы тем самым выде- лили из произведения множества родственников на себя некоторое его подмножество. Перечень отобран- ных пар составил исчерпывающий рассказ об отноше- нии «х есть брат у» среди членов исследуемой нами семьи. 84
Дядя
Оказывается, таким образом можно полностью оха- рактеризовать любое бинарное отношение, определен- ное на любом множестве: надо лишь перечислить все такие пары элементов множества, в каждой из которых первый элемент находится в данном отношении ко вто- рому. Поэтому и говорят: всякое бинарное отношение, определенное на том или ином множестве, есть некото- рое подмножество произведения этого множества на себя. Среди всевозможных отношений, которыми можно связать элементы того или иного множества, могут быть и такие, которые охватывают не два, а больше элемен- тов. Скажем, три — их называют тернарными. Это, на- пример, отношение между родителями и ребенком. В большой семье, представленной нашей схемой, это отношение связывает Ивана Петровича, Ольгу Никола- евну и Машу, Мишу, Люсю и Андрейку. Чтобы описать отношение между свояками, мы уже должны упоминать сразу по четыре элемента множества родственников (сами свояки и их жены, доводящиеся друг другу сестра- ми). Ясно, что бинарные отношения проще тернарных и прочих. Ими и занимаются больше. Их, как правило, и имеют в виду, используя термин «отношение». Для не- которых наиболее употребительных в математике би- нарных отношений введены специальные обозначения: х < у (х меньше у), х - у (х равно у), х s у (х меньше или равно у), х^у (х эквивалентно у) и т.д. Любой, даже малосведущий в медицине читатель знает: кровь каждого человека относится к одной из четырех групп. Это существенно осложняет переливание крови от одного человека другому: надо быть уверенным, что кровь первого подойдет второму. Отношения совместимости между группами крови не- просты. Кровь первой группы можно переливать любо- му. Люди с кровью второй группы могут быть донорами лишь для обладателей такой же крови и для людей с 86
кровью четвертой группы. То же можно сказать и про кровь третьей группы: она совместима лишь с собой и с кровью четвертой группы. Наконец, обладатели крови четвертой группы могут давать свою кровь лишь таким же, как они. Перед нами — еще один пример бинарного отноше- ния. Оно определено на множестве, элементы которо- го — группы крови. Если сказанное словами перевести на язык чисел, то получится, что число 1 находится в описанном отноше- нии к числам 1, 2, 3, 4; число 2 — к числам 2 и 4; число 3—к числам 3 и 4; число 4—лишь к самому себе. Можно выразиться еще короче: описанное отношение полнос- тью характеризуется числовыми парами (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4). Но, пожалуй, наиболее лаконичное выражение ска- занному выше дает приведенная рядом картинка, где в числовой сетке жирными точками отмечены все только что перечисленные пары чисел. (Первое число каждой пары откладывается по нижнему горизонтальному обре- зу сетки, второе — по левому вертикальному). Кстати, перечень всех пар элементов множества, на- ходящихся между собой в некотором отношении, назы- вается графиком этого отношения. Мы намеренно при- берегли этот термин до разговора об отношениях между числами, поскольку именно в этом случае графики от- ношений выражаются сообразными этому слову нагляд- ными картинками. 87
В той сетке, на которой мы изобразили отношение совместимости между группами крови, нетрудно раз- глядеть фрагмент двумерной системы координат. Возь- мем ее целиком. Пары чисел, находящихся в каком-либо отношении, будем изображать точками плоскости. Пер- вое число пары будем откладывать по оси х (обозначая той же буквой), второе — по оси у (обозначая соответ- ственно). Для примера рассмотрим на множестве веществен- ных чисел бинарное отношение «х равно у». Его гра- фик — прямая линия, биссектриса угла между коорди- натными осями. Теперь рассмотрим на множестве всех вещественных чисел бинарное отношение «х меньше у». Г рафиком для него служит часть координатной плоскости, лежащая кверху от только что построенной биссектрисы. Собственно говоря, на координатной плоскости таким способом можно изобразить любое бинарное отноше- ние между числами. Возникший при этом график будет представлять собой некоторую фигуру, бблее или менее замысловатую. И наоборот, всякую фигуру на коорди- натной плоскости можно трактовать как график некото- рого бинарного отношения между числами. Если точка плоскости принадлежит этой фигуре, то первый элемент пары чисел, выражающей координаты точки, находится в данном отношении ко второму элементу. Так перекидывается своеобразный мост между алгеб- рой и геометрией: числовые отношения становятся гео- метрическими фигурами, фигуры же можно описывать на языке чисел. Желающих поупражняться в этом мы 88
отсылаем к рисункам, где графиками числовых отноше- ний выступают круг и квадрат. Сходство между словосочетаниями «график отноше- ния» и «график функции» довольно глубокое, как выяс- нилось в предыдущем разделе. Но есть между ними и различия. Иллюстрируя понятие функции, обычно рисуют кри- вую в координатных осях. Причем такую, что любая пересекающая ее вертикаль имеет с ней лишь одну общую точку. Графиком отношения между числами может быть любая фигура на плоскости. Различие понять нетрудно. Вспомним определение функции: каждому значению аргумента ставится в соот- ветствие только одно ее зна- чение. Поэтому среди пар «значение аргумента — зна- чение функции» (полный набор которых и есть график функции) нет таких, у которых одинаковы первые элементы и различны вторые. Для графиков отношений таких ограничений нет. Потому и говорят: функция есть частный случай бинарно- го отношения. 89
Вспоминая понятия отображения, операции и т.п., родственные понятию функции, можно сказать, что и они включаются как частности в понятие отношения. Взять хотя бы операцию сложения. На уроках ариф- метики нам давали такое ее определение: сложить два числа х и у означает поставить им в соответствие третье число z, называемое их суммой. Исходя из этого определения, бинарную операцию сложения нетрудно представить как тернарное отноше- ние: «х, будучи сложено с у, дает в сумме z»._ Среди математических символов, кажется, нет более понятного и бесхитростного, чем знак равенства. Одна- ко эта простота обманчива. У бинарного отношения равенства есть свои свойства, и о них стоит поговорить. С отношением равенства мы чаще всего сталкиваемся в мире чисел. Возьмем число 6. Вряд ли кому придет в голову отрицать, что 6 = 6. Да и вообще каждое число равно самому себе. Какой бы банальностью ни казалось это свойство равенства, мы все-таки отметим его спе- циальным термином: рефлексивность. Другие свойства равенства нам будет легче объяс- нить, напомнив, что одно и то же число можно предста- вить по разному. Например, 6 — это и 3 + 3, и 4 + 2, и 5+1. Так вот, если 3 + 3 = 4 +2, то 4 + 2 = 3 +3. Подобную перестановку допускает равенство любых двух чисел. Называется это свойство равенства симмет- ричностью. Если 3 + 3 = 4 +2, а4 + 2 = 5 + 1,то, очевидно, 3 + + 3 = 5 + 1. И какую бы тройку чисел ни взять, если крайние порознь равны среднему, то они равны и между собой. В этом выражается еще одно свойство равенст- ва — транзитивность. Итак, рефлексивность, симметричность, транзитив- ность. Три эти свойства составляют самую суть равен- ства. Но, оказывается, они присущи не одному ему. Вспомним: эти же три сакраментальных слова мы произносили, говоря про эквивалентность множеств. Бинарное отношение эквивалентности между множест- 90
вами -г- ближайший родственник отношения равенства между числами. (У этого родства глубокие корни: ведь понятие натурального числа основано как раз на экви- валентности множеств.) Возьмем отношение по- добия фигур на плоскости. Очевидно, каждая фигура / подобна самой себе. Если / у. / одна фигура подобна дру- гой, то вторая подобна пер- вой. Если же одна фигура подобна второй, а вторая — третьей, то первая и третья также связаны отношением подобия. Этими очевидными утверждениями мы выра- зили тот факт, что отношение подобия фигур отличается свойствами рефлексивности, симметричности, транзи- тивности. Но отвлечемся от сугубо математических объектов — чисел, фигур. Закроем книгу по математике и раскроем, например, книгу телефонную. Сколько здесь фамилий — множество! В прямом и математическом смысле слова. Есть здесь и уникальные экземпляры: Амемошкин, Балухатый, Винтайкин, Голо- хвостиков... А есть и такие фамилии, которые встреча- ются часто: Кузнецов, Петров, Смирнов. Отношение «быть однофамильцем» мы и рассмотрим на множестве, перечень которого дан в телефонном справочнике. Нетрудно проверить, что и это отношение подчинено триумвирату все тех же трех свойств: рефлексивности,- симметричности, транзитивности. Количество примеров можно было бы приумножить — в этом нам помогла бы и живая жизнь, и абстрактная математика: отношение «быть на одному курсе» среди студентов вуза, отношение «иметь одинаковый остаток при делении на три» (или любое другое целое число) среди натуральных чисел, отношение параллельности среди прямых линий на плоскости... Несмотря на глубокое несходство этих бинарных от- ношений, каждому из них присущи все те(же три свой- ства: рефлексивность, симметричность, транзитив- ность. 91
Всякое обладающее этими трема свойствами бинар- ное отношение принято называть отношением эквива- лентности. Говоря о важности этих отношений, достаточно ска- зать: на том или ином из них основана любая классифи- кация, любая систематика, любой каталог. В театре — паника. До начала спектакля —два часа, а исполнитель главной партии, любимец публики тенор Самоцветов, откушавши чего-то прохладительного, вне- запно потерял голос. Надо заменить его, но кем?! Проблема, неожиданно вставшая перед администра- цией театра, поддается математическому толкованию. Относится она к теории множеств. Ведь вся оперная труппа — это множество людей. Возможность замены одного исполнителя другим — это отношение между элементами рассматриваемого множества, причем би- нарное. Любитель математической четкости без труда придаст ему строгую форму: «х может заменить у.» Свойства этого отношения легко выяснить, прислушав- шись к разговору в дирекции театра, где лихорадочно подыскивается выход из создавшегося катастрофичес- кого положения. «Отоларинголога вызывали? Нет? Так вызывайте не- медленно! Чем черт не шутит: укол, массаж — и Само- цветов, возможно, заменит сам себя. (В этой шутке есть доля истины: отношение заменяемости рефлексивно.) Потом надо срочно выяснить,кого в последнее время заменял Самоцветов. Аркадина? Прекрасно! Значит, Ар- кадин сможет заменить Самоцветова! (Заметим по по- воду только что сказанного: отношение заменяемости симметрично.) Что?! Аркадин в гастрольной поездке? Тогда скорее наведите справки, кто когда-нибудь заме- нял Аркадина. Не Петров ли?..» (Логика подавшего эту мысль ясна: если Самоцветова может заменить Арка- дин, а Аркадина — Петров, то Петров может заменить и Самоцветова. Иными словами, отношение заменяемос- ти транзитивно.) 92
Итак, рефлексивность, симметричность, транзитив- ность. Бинарное отношение заменяемости певцов пред- ставляет собой отношение эквивалентности. Следя за дальнейшим разговором в дирекции, мы бы познакомились со всеми тенорами труппы. В других случаях, если бы речь шла о замене баса или сопрано, перед нами предстали бы все обладатели этих голосов. Так через отношение заменяемости мы пришли к существующему в любой оперной труппе разбиению певцов по диапазонам голосов. Случаен ли такой подход? Нет, глубоко закономерен. Оказывается, всякое отношение эквивалентности, опре- деленное на любом множестве, задает некоторое раз- биение этого множества на подмножества. Причем эти подмножества попарно не пересекаются. Иными слова- ми, ни один элемент множества не принадлежит сразу двум подмножествам. В то же время каждый элемент принадлежит хотя бы одному подмножеству. Эти два положения и составляют суть термина «разбиение», просторечивыми синонимами которого служат слова «классификация», «каталог» и т.д. Появившееся в нашем рассказе понятие разбиения нетрудно пояснить новыми примерами. Отношение «иметь одинаковый остаток при делении на три» разбивает все множество натуральных чисел на три подмножества: 3, 6, 9, 12... (они делятся на три без остатка); 1, 4, 7, 10... (при делении на три они дают в остатке единицу); 2, 5, 8, 11... (эти при делении на три дают в остатке двойку). Отношение параллельности раз- биваем все множество прямых на плоскости на беско- нечное число подмножеств, каждому из которых принад- лежит совокупность всех попарно параллельных пря- мых. Для подмножеств, на которые некоторое множество разбивается тем или иным отношением эквивалентнос- ти, есть особое название: классы эквивалентности. Зву- чит оно, быть может, мудрено, но для его пояснения нетрудно подыскать и более наглядные слова. 93
Что такое, например, та или иная форма геометричес- ких фигур? Один из классов эквивалентности, на кото- рые множество фигур на плоскости разбивается отно- шением подобия, не правда ли? Другой пример: направ- ление. Это, если разо- браться, — один из классов эквивалентности, на кото- рые множество прямых на плоскости разбивается от- ношением параллельнос- ти. В этом рассуждении перед нами предстает еще одно практическое досто- инство отношений эквива- лентности. Рассматривая различные классы, на кото- рые какое-то множество разбито отношением эквивалентности, можно задаться вопросом: а чем же именно эквивалентны друг другу предметы одного класса? Путь обобщения, начатый с такого вопроса, в итоге приводит к абстрактному поня- тию свойства, общего для всех предметов класса. В подобных случаях говорят, что понятию дано определе- ние через абстракцию. Именно таким образом возника- ют понятия направления, формы и т.д. Эквивалентность — весьма обобщенная форма ра- венства. Когда говорят об эквивалентности предметов, подразумевают их сходство лишь в каком-то одном отношении (именно в том, которое дало повод сопостав- лять предметы между собой). А поскольку сопоставле- ние предметов некоторого множества можно провести по различным признакам, то различным получится в результате и разбиение множества на классы эквива- лентности. Ярый болельщик «Спартака» делит все человечество на приверженцев своей любимой команды и на тех, кто не разделяет его симпатий. 94
Регулировщик уличного движения подразделяет всех людей на тех, кто соблюдает, и на тех, кто нарушает. И разумеется, каждое из этих разбиений человечест- ва не совпадает с другими, поскольку предметы, све- денные в классы эквивалентности по какому-то одному признаку, отнюдь не должны совпадать всеми другими свойствами. (Полное совпадение всех свойств — это' весьма частное отношение эквивалентности. Оно назы- вается тождеством и задает предельно мелкое разбие- ние всякого множества: каждый класс эквивалентности при этом состоит из одного-единственного элемента.) Однако, коль скоро предметы какого-то множества в каком-то отношении объединены в один класс эквива- лентности, с точки зрения этого отношения они нераз- личимы, и каждый из них может быть заменен другим там, где речь идет об этом отношении, выступая пол- ноправным представителем своего класса эквивалент- ности. Когда в вычислениях нам встречаются дроби вида 3/е или 4/i2 мы, не задумываясь, сокращаем их — заменяем 3/Е на ’л, 4/i2 на I* и т.п. На каком же основании мы делаем это? На том, что результат любого арифметического вычисления не изменится, если всякую входящую в него дробь заменить пропорциональной (умножив или раз- делив ее числитель и знаменатель на одно и то же число). Нетрудно показать, что отношение пропорцио- нальности среди дробей — это отношение эквивалент- ности. А поскольку, как только что говорилось, такая эквивалентность равнозначна заменяемости в арифме- тических вычислениях, то это и позволяет упрощать их, беря вместо любой сократимой дроби наиболее просто- го и удобного представителя того класса дробей, к которому она принадлежит: вместо 3/6, %, 5/ю брать ’л, вместо 4/i2, 7Лп 40Агя брать Ьь и так далее. Но повторим, подобное отождествление возможно лишь с точки зрения арифметических действий. Не прав будет тот, кто вместо адреса «Новослободская 4/|2» за- пишет «Новослободская V$». На множестве адресных дробей нет других отношений эквивалентности, кроме тождества. 95
Мы так долго говорили об отношениях эквивалентнос- ти, что читатель, вероятно, станет искать их свойства в любом бинарном отношении. Разумеется, такой поиск не всегда будет удачен. Возьмем, к примеру, отношение перпендикулярных прямых. Ему несвойственна рефлексивность: ни одна прямая не перпендикулярна самой себе. Правда, с сим- метричностью здесь все в порядке: если одна прямая перпендикулярна другой, то и вторая перпендикулярна первой. А вот с транзитивностью опять нелады: две прямые, порознь перпендикулярные третьей, между собой не перпендикулярны, а параллельны. Еще пример: отношение делимости между числами. Оно рефлексивно (всякое число делится на себя), но не симметрично (поделив без остатка большее число на меньшее, мы не сможем сделать это поменяв их места- ми). Подобные примеры подтверждают очевидное сужде- ние: отнюдь не всякое бинарное отношение — эквива- лентность. Однако проницательному читателю два последних примера подскажут нечто большее. Несимметричность рассмотренного там и тут отношения весьма строга: если один элемент находится в данном отношении к другому, не одинаковому с ним элементу, то отсюда следует, что второй к первому в данном отношении отнюдь не находится. Подобное свойство называется антисимметричнос- тью. л Звучание у термина замысловатое, а смысл простой- этим свойством обладает всякое отношение, с помощью которого в том или ином множестве устанавливается некоторый порядок. Младенец, впервые увидевший матрешек, быстро по- нимает: если одну из них можно вложить в другую, то 96
вторая в первую никак не войдет. Так выясняется тот порядок, в котором составляются матрешки. Ребенок, даже еще не обученный правилам вежливос- ти, но внимательный к происходящему вокруг, подмеча- ет: вот из этих двух человек один при встрече с другим всегда здоровается первым; точно так же поступают и эти двое, и вот эти тоже... (Правда, замечает вниматель- ный ребенок, есть люди, которые здороваются то так, то сяк, не обращая внимания, кто должен делать это первым.) Школьник, изучающий правила вычитания на счетных палочках, видит: если из одного их копичества можно вычесть другое, не получая в остатке пустое место, то наоборот вычитание уже не произведешь. Так постига- ется порядок, в котором целые положительные числа выстраиваются в так называемый натуральный ряд: один, два, три, четыре, пять... Итак, все перечисленные отношения, каждое из кото- рых наводит порядок в своем множестве, обладают антисимметричностью: и отношение «х входит в у» между матрешками, и отношение <<х здоровается пер- вым с у» между людьми, и отношение «х меньше у» (х < у) между числами. Но продолжим их рассмотрение далее. Если в одну матрешку входит другая, а в эту другую — третья, то третья войдет и в первую. Если одно число меньше другого, а это другое уступает по величине третьему,то первое также меньше третьего. То же самое можно сказать про любое отношение старшинства, которое устанавливается между людьми. Во всем этом мы узнаем хорошо знакомое нам Свой- ство транзитивности. Оно также весьма закономерно связывается с представлением о каком бы то ни было порядке, старшинстве, подчинении, иерархии. Что полу- чится, если при установлении порядка забыть про тран- зитивность, легко вообразить, вспомнив принцип сре- дневековых феодалов: «Вассал моего вассала — не мой вассал». Эта нетранзитивная формула так и отдает бес- порядками и распрями, которыми знамениты средние века. 4-430 97
После сказанного естественно поинтересоваться: ну а рефлексивность? Обладают ли ею анализируемые нами отношения? Взяв две одинаковые матрешки, мы не сможем вло- жить одну в другую. Ни про одно число нельзя сказать, что оно меньше самого себя. Стало быть, ни отношение «х входит в у» между матрешками, ни отношение «х меньше у» между числами рефлексивностью не облада- ют. А вот в отношениях между людьми бывает и по-иному. Глазами вышеописанного ребенка мы уже подметили: есть люди, которые при встрече не следят за тем, кто должен здороваться первым: порой тот опережает этого, порой наоборот. Причина подобного безразличия понятна: такие люди в каком-то смысле равны — по возрасту, по должности и т.п. Значит, отношение «х первым здоровается с у» рефлексивно. Кстати, в мире чисел тоже есть подобное отношение. Выражается оно словами «меньше или равно». Это от- ношение рефлексивно. Например, шесть меньше или равно шести (в формульной записи: 6 < 6). И так можно сказать про всякое число. Мы приходим к выводу, что отношения, при помощи которых устанавливается порядок в том или ином мно- жестве, бывают двух видов. Если бинарное отношение нерефлексивно, антисим- метрично, транзитивно, то оно называется отношением строгого порядка. Его типичный пример — отношение «х < у». Если бинарное отношение рефлексивно, антисиммет- рично, транзитивно, то оно называется отношением нестрогого порядка. Его типичный пример — отношение «х < у». И вот какую еще деталь хотелось бы отметить: в каждом из двух отношений порядка, строгого и нестро- гого, свойства антисимметричности проявляются по- своему. При строгом порядке так: если один элемент находит- ся в упорядочивающем отношении к другому, то отсюда вытекает, что второй к первому в этом отношении не находится. Скажем, если пять меньше семи, то отсюда следует, что семь не меньше пяти. 98
При нестрогом же порядке могут найтись два элемен- та, каждый из которых находится в упорядочивающем отношении к другому. Но отсюда уже следует, что эти два элемента эквивалентны (в частности, равны) друг другу. Так было, как мы уже видели, с отношение «х первым здоровается с у» между людьми: равенство по возрасту или по должности, как легко доказать, представляет собой отношение эквивалентности. Еще отчетливее проявляется это в мире веществен- ных чисел, если рассмотреть в нем отношение «х мень- ше или равно у». Всегда можно подыскать два таких числа, что х < у и у < х. Вдумчивый читатель, конечно, догадывается, что такие два числа обязательно равны друг другу. «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидят Фазаны». Эту фразу, вероятно, помнит всякий, кто когда-нибудь имел дело с красками и цветными карандашами. Она позволяет запомнить последовательность цветов в спектре. Их названия зашифрованы первыми буквами слов мнемонической фразы: К — красный, О — оранже- вый, Ж — желтый и так далее. 0,4 0,5 0,6 0,7 мкм Н'— ' I ------- t — <----- фиолетовый - синий - голубой - зеленый - желтый - оранжевый - красн>м За словом «последовательность» нетрудно разглядеть отношение строгого порядка. Действительно, отноше- ние предшествования цветов в их спектральной после- довательности нерефлексивно (ни один цвет не пред- шествует самому себе), антисимметрично (если один цвет предшествует другому, то второй не предшествует первому), транзитивно (если один цвет предшествует другому, а тот — третьему, то первый предшествует третьему). Читатель, знакомый с оптикой, понимает, что в основе упорядоченности цветов лежит глубокая физическая за- кономерность. Дело в том, что природа света волновая. 4* 99
Свет каждого цвета имеет определенную длину волны: красный — наиболее длинную для всех спектральных цветов, фиолетовый — наиболее короткую. Длину световой волны можно выразить числом. Так от оптики, от отношения «х предшествует у» на множестве спектральных цветов можно перейти к математике, к отношению «х меньше у» на множестве вещественных чисел, выражающих длины световых волн. Разговор о цветах и числах мы завели отнюдь не затем, чтобы пояснить понятие порядка новыми иллю- страциями. Есть у этих примеров особенность, которую встретишь не каждый раз, когда на каком-то множестве устанавливается отношение порядка, строгого или не- строгого. Какие бы два различных спектральных цвета мы ни взяли, относительно них мы всегда можем сказать, что один предшествует другому. Какие бы два различных числа нам ни встретились, относительно них мы всегда можем утверждать, что одно обязательно меньше дру- гого. Говорят, что некоторое множество упорядочено неко- торым отношением порядка, если любые два различных элемента этого множества обязательно находятся в дан- ном отношении друг к другу: либо первый ко второму, либо второй к первому. Итак, множество спектральных цветов упорядочено отношением «х предшествует у». Множество веществен- ных чисел упорядочено отношением «х меньше у»; это же отношение упорядочивает и множество рациональ- ных, и множество целых, и множество натуральных чисел. Начиная разговор про упорядоченность множеств, мы отмечали, что ее встретишь не каждый раз, когда на том или ином множестве устанавливается отношение поряд- ка. Читателю могло показаться, что это зависит от при- роды множеств: какому-то из них никак не придашь упорядоченности, а иному она свойственна в силу само- го его характера; например, «упорядоченным от приро- ды» в представлении многих выглядит множество чисел. Подобное мнение неверно. Когда какое-то множество упорядочено, то дело тут прежде всего в характере отношения порядка, которое на нем устанавливается. На 100
одном и том же множестве можно ввести и такой поря- док, которым оно будет упорядочено, и такой, который его не упорядочивает. Возьмем хотя бы множество натуральных чисел. Как уже говорилось, его упорядочивает отношение «х мень- ше у». Рассмотрим теперь на нем другое знакомое нам отношение порядка: «х делит у», или, что то же самое, «у делится на х». Результат рассмотрения может пока- заться странным: новым отношением порядка множест- во натуральных чисел отнюдь не упорядочено — нетруд- но найти в нем такие два числа, что ни одно из них не делится на другое (5 и 7, 9 и 13 и т.д.). Может быть, такая странность наблюдается только в мире чисел? Что ж, обратимся к миру фигур. Рассмотрим на нем отношение вложения (такого, что контур вложенной фи- гуры нигде не касается контура объемлющей). Это от- ношение нерефлексивно (ни одну фигуру не вложишь в себя), антисимметрично (если одна фигура вкладывает- ся в другую, то обратное невозможно — ситуация такая же, как с матрешками), транзитивно (здесь дело обстоит опять-таки как с матрешками). Как видим, все свойства строгого порядка присущи отношению вложения. Но оно не упорядочивает множе- ство фигур на плоскости: две различные фигуры, как показано на правом рисунке, могут оказаться такими, что первая не входит во вторую, а вторая не входит в первую. А теперь станем сравнивать фигуры по площади. Мы обнаружим, что этим отношением их множество упоря- дочено: про любые две фигуры, не равные по площади, можно сказать, что площадь одной из них больше пло- щади другой. В частности, из двух фигур на нашем рисунке, которые мы никак не смогли связать отноше- 101
нием вложения, правая явно уступает по площади левой (это можно и доказать: из всех ромбов с одинаковыми сторонами наибольшая площадь у квадрата). Итак, есди на каком-то множестве введено некоторое отношение порядка, это еще не гарантирует, что мно- жество упорядочено этим отношением. Если подобное наблюдается в строгой математике, то тем более это вероятно в тех жизненных ситуациях, когда речь заходит о каком-либо отношении типа поряд- ка. Например, говоря о картинах и спектаклях, литера- турных и музыкальных произведениях, употребляют слова «лучше», «талантливее» и т.п. Если даже отноше- ниям, выраженным этими словами, свойственны все признаки отношения порядка, остается открытым во- прос: упорядочивают ли они упомянутые множества про- изведений искусства? Всегда ли о любых двух постанов- ках и книгах можно сказать, что одна лучше или талан- тливее другой — подобно тому, как о двух цветах на картине мы с уверенностью можем утверждать, что один предшествует другому в спектре? Бинарные отношения, которым мы посвятили немало примеров, — это всего лишь частная разновидность отношений, которые могут связывать элементы некото- рого множества. Мы уже говорили, что существуют также отношения, охватывающие сразу три, четыре, пять и вообще л элементов (л-арные отношения, как говорят математи- ки). Мы остановимся здесь на’тернарных. Поясняя их, мы приводили в качестве примера отношение между роди- телями и ребенком. Нетрудно подыскать пример тер- нарного отношения и в элементарной математике. Рассмотрим множество всех отрезков. .Возьмем какие-либо три из них и спросим: можно ли составить из них треугольник? Определяющее правило на этот счет формулируется так: сумма любых двух отрезков из всякой троицы должна превосходить третий. Все тройки 102
отрезков, находящихся в таком тернарном отношении, пригодны для того, чтобы строить из них треугольники. Когда исследуется какое-либо бинарное отношение, заданное на множестве вещественных чисел, то при этом очень помогает его график — фигура на плоскости. Очевидно, чтобы описать графиком некоторое тер- нарное отношение между вещественными числами, нам потребуется уже трехмерное пространство с системой координат в нем: каждую точку этого пространства можно трактовать как тройку вещественных чисел. Пусть элементы всякой такой тройки выражают собой длины трех отрезков, из которых мы хотим составить треугольник. Как мы уже установили, для желаемого построения годится не всякая тройка, а лишь такая, элементы которой находят- ся в вышеописанном тер- нарном отношении. Отберем все подходя- щие тройки и посмотрим: что за точки соответствуют им в трехмерном простран- стве? В какую область про- странства сложатся эти точки? У нас получится пирами- да, упершаяся вершиной в начало координат, касаю- щаяся ребрами координат- ных плоскостей и не имею- щая основания, — она простирается неограниченно. Это и будет график того тернарного отношения, о котором мы завели разговор. Он был титулярный советник. Она — генеральская дочь. Он робко в любви ей признался — Она прогнала его прочь. 103
По всей вероятности, причиной трагедии послужило какое-то несоответствие чинов и званий. Сейчас нам трудно это понятб, но когда-то табель о рангах многое значила во взаимоотношениях людей (Табл. 2). Таблица 2 ___________________Табель о рангах_______________ Классы Чины армейские Чины гражданские 1 Генерал-фельдмаршал Канцлер 2 Генерал от инфантерии, генерал от кавалерии, генерал от артиллерии Действительный тайный советник 3 Генерал-лейтенант Тайный советник 4 Генерал-майор Действительный статский советник 5 (Бригадир*) Статский советник 6 Полковник Коллежский советник 7 Подполковник Надворный советник 8 Майор Коллежский асессор 9 Капитан (ротмистр**) Титулярный советник 10 Штабс-капитан (штабс-ротмистр**) Коллежский секретарь 11 Поручик Корабельный секретарь 12 Подпоручик Губернский секретарь 13 Прапорщик (корнет**) Провинциальный секретарь 14 (Фендрик*) Коллежский регистратор * Чин существовал а XVIII аеке, потом был упразднен. ** Кавалерийский чин. Здесь приведены армейская и гражданская колонки табели о рангах — в том ее варианте, который относится ко времени создания процитированного романса. Со- ставленная Петром Первым, она впоследствии претер- пела некоторые изменения. Прослеживая взаимно однозначное соответствие между множествами гражданских и военных чинов, мы видим: титулярный советник действительно не ровня генералу, поскольку в пересчете на военные чины соот- ветствует всего лишь капитану. Не улыбается бедняге и сравнение по гражданской шкале: здесь даже самому незнатному из генералов, генерал-майору, соответству- ет действительный статский советник, что опять-таки гораздо выше титулярного советника. 104
Итак, несчастный уступает своему несостоявшемуся тестю и по военной, и по гражданской линии. Потому что взаимно однозначное соответствие, связывающее военную и гражданскую колонки табели о рангах, сохра- няет отношение старшинства, которое установлено в том и другом множестве чинов. Подобные случаи взаимно однозначного соответст- вия, когда элементам одного множества, находящимся в некотором отношении, соответствуют элементы дру- гого множества, находящиеся в том же отношении, на- зываются изоморфизмом. Изоморфизмом было, например, взаимно однознач- ное соответствие между множеством спектральных цве- тов и множеством слов фразы: «Каждый охотник желает знать, где сидят фазаны». Это соответствие сохраняло отношение предшествования, которое можно ввести в обоих множествах. Следует сразу же отметить, что наши примеры со сватовством титулярного советника и с фразой про охотника и фазанов дают еще не совсем полное, а сказать вернее — предельно узкое представление об изоморфизме. Когда он устанавливается между двумя множествами, то не обязательно, чтобы элементы того и другого подчинялись одному и тому же отношению, как было в наших примерах. Об изоморфизме говорят и тогда, когда в каждом из эквивалентных множеств действует свое отношение Важно лишь вот что: если несколько элементов из одно- го множества связаны некоторым действующим там отношением, то соответствующие им элементы другого множества связаны господствующим там отношением. В таких случаях говорят, что изоморфизм, установлен- ный между этими множествами, переводит одно отно- шение в другое. Из этого примечания, которое подчеркивает широту понятия изоморфизма, нетрудно понять, что им можно связывать не только упорядоченные множества — в них могут рассматриваться отношения весьма разнообраз- ные, как станет ясно из дальнейших примеров. Ради эффекта возьмем для начала такой, где изомор- физм устанавливается между множествами чисел и точек, причем отношение, существующее в одном, на 105
первый взгляд не имеет ничего общего с отношением, действующим в другом множестве. 30 Множество чисел здесь составлено из всех делите- лей числа тридцать: 1,2,3, 5, 6, 10, 15, 30. Множество точек — это вершины куба, 3 расположенного так, как показано на рисунке. Введем в нашем число- вом множестве бинарное отношение кратности: «х 6 делит у» (Мы уже рассмат- ривали его когда-то на множестве всех натураль- ных чисел и отметили, что оно этого множества не упорядочивает. Несложно . проверить, что не упорядо- чивает оно и наше числовое множество: в нем без труда можно подыскать такие пары чисел, что ни одно из двух не делится на другое — 2 и 3, 5 и 6, 10 и 15.) Во множестве вершин куба введем бинарное отноше- ние следования: две вершины считаются связанными этим отношением, если из одной в другую можно пройти по ребрам куба снизу вверх. Взаимно однозначное соответствие между обоими множествами установлено самым простым образом: каждой вершине приписан один из делителей тридцатки (см. рисунок). Легко видеть, что это изоморфизм: если в нашем множестве чисел какое-то одно делится на другое, то соответствующие им вершины куба связаны восходящим путем по ребрам куба. Например, путь из точки 30 через точку 10 в точку 5 — это путь наверх. Остальные пути читатель может проследить самостоя- тельно. В примерах изоморфизма, подобранных нами, про- стоты ради фигурировали такие множества, в которых вводилось лишь одно-единственное отношение. Можно рассмотреть случаи, когда в том и другом множестве, между которыми устанавливается взаимно однозначное соответствие, введено несколько отношений и каждое 106
из них, действующее в одном множестве, переводится в свое, действующее в другом множестве. Таково наи- более общее понятие изоморфизма. Перед вами фрагмент таблицы десятичных логариф- мов. Слева — положительные числа, справа от каждого из них в той же строчке.поставлен его логарифм. Так -установлено взаимно однозначное соответствие между множествами чисел левой и правой колонки. Возьмем в левой колонке три числа, связанных тем отношением, что произве- дение первых двух равно третьему. (Напомним, что это отношение тернарное, поскольку связывает три числа.) Возьмем теперь в пра- вой колонке числа, соот- ветствующие тем трем, что выбраны нами в левой ко- лонке, иными словами, возьмем логарифмы чисел левой колонки. Сложим два первых логарифма — у нас получится третий. И так будет всегда, какую бы тройку вещественных чисел мы ни взяли, лишь бы первые два в произведе- нии давали третье. V IgN 1 1 8'1 • S 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.0000 0.0414 0,0792 0.1139 0.1461 0.1761 1 J 1761 *0,2553 1.2 х 1, 1.5 1.7 1.6 1.9 2.0 0.2041 0.2304 0.2S53 0.2788 0.3010 0.0792 * 0, Итак, множество чисел правой колонки с тернарным отношением «сумма» между ними связадо изоморфиз- мом со множеством чисел левой колонки, где действует тернарное отношение «произведение». Операция сложения гораздо проще и выполняется легче, чем операция умножения. Таблица логарифмов для того и существует, чтобы заменять умножение сло- жением, а деление — вычитанием. Чтобы перемножить 107
два числа, следует отыскать в таблице их логарифмы, затем сложить оба логарифма и таким образом получить в результате логарифм произведения, а напоследок по нему найти се в той же таблице само искомое произ- ведение. Деля одно число на другое, из логарифма первого следует вычесть логарифм второго, а затем по полученной разности найти в таблице искомое частное. Особенно эффективна эта процедура, когда требует- ся перемножать и делить многозначные числа. С такими числами, например, приходится иметь дело в астроно- мии — оттого'их и называют астрономическими. Недаром французский естествоиспытатель Пьер Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь астрономов. Тот, кто бывал в Москве, конечно, провел немало времени в московском метро и видел схемы его линий, вывешенные в каждом вагоне подземных поездов. Когда-то эти схемы выполнялись в реалистической ма- нере, извилистые линии были тесно привязаны к плану города. Но впоследствии географическая точность была принесена в жертву геометрической четкости: радиаль- ные линии стали прямыми, кольцевая превратилась в строгую окружность. При всей своей географической недостоверности второй план не менее удобен, чем первый. Оба изо- морфны друг другу. Взаимно однозначное соответствие между точками-станциями на них очевидно: и там и тут они отмечены одинаковыми названиями. Это соответст- вие сохраняет отношение следования: и там и тут путь от «Курской-радиальной» ведет нас через «Бауманскую» к «Электрозаводской», а пройдя от «Красносельской» к «Сокольникам», мы оказываемся далее на «Преобра- женской площади». И там и тут путь от «Беляева» до «Новых Черемушек» проходит через «Калужскую», а чтобы проехать от «Юго-Западной» до «Университета», согласно тому и другому плану, надо проследовать через «Проспект Вернадского». 108
Если же судить с точки зрения ориентации, то второй план даже предпочтительнее первого: он проще, на- гляднее. Эта незатейливая иллюстрация вновь напоминает нам о достоинствах изоморфизма. Он позволяет спрямлять пути науки, заменяя один объект исследования другим, более простым, но сохранившим (быть может, в преоб- разованном виде) все связи между своими элементами, существенные для исследования, свою структуру (кста- ти, в дословном переводе слово «изоморфизм» и озна- чает «одинаковая структура»). Примеров тому немало: от моделирования физичес- ких процессов до наблюдавшихся порой попыток пере- фразировать целые науки, перевести одну на язык дру- гой. Раскройте вторую книгу «Начал» Эвклида и прочтите первое предложение: «Если одна из двух линий разделена на произвольное число частей, то прямоугольник между этими двумя линиями равен вместе взятым прямоугольникам, содер- жащимся между неразделенной линией и отдельными частями другой». а b с d a (b+c+d)=ab+ac+ad Разобравшись в черте- же, вы, конечно, догада- етесь, что Эвклид изла- гает на геометрическом языке распределитель- ный закон умножения от- носительно сложения. И возможно, вас удивит эта нарочитая наглядность: не проще ли было напи- сать алгебраическую формулу? Все дело в том, что древнегреческие математики не владели понятием вещественного числа в той мере, в какой оно известно нам. Греки пользовались целыми и рациональными числами, но не знали иррациональных. В этом смысле и нужно понимать, например, их вывод о том, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной: отношение этих двух отрезков выражается числом >12, числом иррациональным, неизвестным 110
древним грекам и, стало быть, несуществующим для _ них. Не имея, с их точки зрения, общей меры, эти два отрезка тем не менее существовали для греков как геометрические объекты. И это подсказывало выход из затруднительного положения: заменить исследование чисел сследованием фигур. Основой такой замены, как догадывается читатель, послужил изоморфизм между множеством положитель- ных вещественных чисел и множеством отрезков. Отно- шение равенства чисел он переводит в отношение кон- груэнтности отрезков (это мудреное слово означает попросту совпадение при наложении), числовое отно- шение «меньше» — в линейное отношение «короче», операция сложения чисел заменяется при этом состав- лением отрезков, операция умножения — построением прямоугольников и т.д. Так и возникла «геометрическая алгебра», излагаемая во второй книге «Начал». Чтобы придать ей общеприня- тый вид, требуется лишь перевести ее предложения с геометрического языка на буквенный. (Кстати, многие термины «геометрической» алгебры внедрились в «бук- венную» в непереведенном виде: мы говорим о квадрате числа, о среднем геометрическом двух чисел.) Вспомните, читатель, как на одной из предыдущих страниц мы показали вам схему телефона. Мы иллю- стрировали ею важность понятия отображения. Мы го- ворили, что реальный прибор удобно изучать по его схеме, где каждой детали поставлен в соответствие определенный значок. Но ведь телефон — это не просто скопление деталей: трубка, диск, звонок... Лишь соединенные системой проводов они образуют телефон. Так и схема телефона немыслима без соединительных линий, показывающих, как связаны между собой отдель- ные детали этого устройства. Так и отображение одного какого-либо множества в другое особенно ценно тогда, когда оно так или иначе 111
передает отношения, существующие между элементами отображаемого множества, переводит их в отношения, установленные между элементами множества-образа. Всякое такое отображение называется изоморфиз- мом. Надеемся, что после сказанного читатель убедился в огромной важности и проистекающей отсюда широкой применимости этого понятия.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, РЯДЫ Мы в тире. С огневого рубежа стрелки посылают пулю за пулей каждый в свою мишень. Следя за тем, как мишени покрываются пробоинами, нетрудно отличить меткого стрелка от неопытного. Мас- тера заметишь сразу, даже если ему досталась непри- стрелянная винтовка. Пусть несколько первых выстре- лов будут неудачными. Начиная с некоторой, пробоины уже не выйдут за границы белого круга мишени. Следите дальше, и вы дождетесь выстрела, после которого про- боины не выйдут и за границы яблочка. Вот уже все без исключения они ложатся внутрь шестерки... внутрь се- мерки... восьмерки... девятки... (рис. слева). А как успехи у соседнего стрелка? Там все наоборот. Сколько ни наблюдай, он то и дело посылает пули в молоко (рис. справа). Ясно —оружие в неопытных руках. Если бы соревнования по стрельбе комментировал математик, то он, пожалуй, нашел бы здесь удачные образы для разговора о последовательностях, преде- лах, сходимости. Каждую пробоину он, разумеется, мыслил бы не как рваное пятно, а как точку. Сужающиеся круги мишени в его представлении не закончились бы на десятке: изучая 113
ход соревнований, он располагал бы внутри нее еще меньшие, неограниченно сужающиеся круги. Математик повел бы строгий счет выстрелам, и каждую пробоину отмечал бы своим номером. Перенумерованные эле-, менты множества пробоин математик назвал бы члена- ми последовательности. Впрочем, этот термин матема- тик употребил бы лишь после того, как убедился, что соревнования будут продолжаться неограниченно долго. Последовательностью, подчеркнул бы матема- тик, называется бесконечное множество перенумеро- ванных элементов. Последовательность считается за- данной, если известен закон ее образования, то есть правило, согласно которому по любому названному но- меру можно указать член последовательности с таким номером. Удовлетворив таким образом профессиональную тягу к строгости, математик приступил бы к наблюдения^ за ходом соревнований. Наблюдая за опытным стрелком, математик отметил бы: какой малый круг ни возьми, начиная с некоторого выстрела, все последующие пробоины ложатся внутрь этого круга. Это значит, сказал бы математик, что пос- ледовательность пробоин стремится, или сходится, к центру мишени, что центр мишени есть предел после- довательности пробоин. Наблюдая за неопытным стрелком, математик очер- тил бы вокруг центра мишени круг некоторого радиуса, такой, что какой номер ни загадай, найдется пробоина с большим номером, лежащая за пределами этого ро- кового круга. Это значит, сказал бы математик, что последовательность пробоин не стремится, не сходится к центру круга. Снова тир. Мишени сняты со щитов и положены на стол. Но положены обратной стороною вверх. Каждая пробоина аккуратно отмечена своим номером. Можно ли теперь отличить мишень опытного стрелка от мишени неопыт- ного? Можно ли определить, сходится ли последова- 114
тельность пробоин к некоторому пределу или, напротив, не сходится ни к какому^ иначе говоря, расходится? Существует ли безошибочный критерий сходимости? Да, существует. Он называется критерием Коши, по имени математика, указавшего его впервые. И это дей- ствительно безошибочный критерий. Он выполняется, если последовательность сходится. Он не выполняется, если последовательность расходится. Критерий Коши прост. Загадайте любое расстояние. Теперь постарайтесь подыскать такой номер, чтобы рас- стояние между любыми двумя пробоинами с большими номерами было бы меньше загаданного. Если вам это будет удаваться всегда, какое малое расстояние вы ни загадаете, это и означает, что последовательность удов- летворяет критерию Коши. А раз удовлетворяет, то, стало быть, сходится к некоторому пределу. Но каков же он, этот предел? Спрашивать так—значит требовать от критерия Коши больше, чем он может дать. Он безошибочно подтверждает существование преде- ла — и только. Что это за предел, надо еще поискать. Однако уверенность, что искомое существует, часто облегчает поиск. Заметим, что последовательность, удовлетворяющая критерию Коши, называется фундаментальной. А можно ли с помощью замечахельного критерия опознать расходящуюся последовательность? Да, можно. Внимательный читатель наверняка уже заметил сход- ство между формулировкой критерия Коши и определе- 115
нием предела. По сходству, по аналогии с отрицанием сходимости можно построить предписание, которое по- зволило бы безошибочно уличить в расходимости рас- ходящуюся последовательность. Здесь тоже нужно подыскать некоторое контрольное расстояние, такое, что какой номер ни загадывай, всег- да найдутся две пробоины с большими номерами, уда- ленные друг от друга на расстояние больше контроль- ного. Такая последовательность не фундаментальна, стало быть, она не сходится ни к какому пределу, иначе говоря, расходится. Заряд электрона, постоянная Планка, число Авогад- ро... Есть несколько физических величин, за которыми наука закрепила звание мировых констант. Это коэффи- циенты, входящие в формулы важнейших физических законов. Постоянная Планка, например, служит коэффициен- том пропорциональности между энергией кванта излу- чения и частотой соответствующей ему волны. Число Авогадро необходимо, чтобы количественно выразить связь между температурой, давлением и объемом иде- ального газа. Чтобы пользоваться физическими законами, чтобы рассчитывать описываемые ими явления, нужно поточ- нее знать мировые константы. А определить их можно только из опыта, путем измерения. / Ио^_^______ Юпитер Одна из таких мировых констант — скорость света. Впервые ее попытался из- мерить в 1675 году датский астроном Оле Ремер. На- блюдая затмения самого яркого из спутников Юпите- ра, Ио, он заметил, что когда Земля и Юпитер нахо- дятся по разные стороны от Солнца, затмение наступа- ет позже по сравнению с 116
тем случаем, когда Земля и Юпитер находятся по одну сторону от светила. Опоздание, решил Ремер, обуслов- лено большим расстоянием, которое в первом случае свет проходит от Юпитера до Земли. Несложный расчет дал первую в истории науки оценку для скорости света: 226 000 км/с. Последующие исследователи уточняли оценку. В 1849 году Физо, пропуская луч между зубцами быстро вра- щающейся шестерни, получил цифру 313 274,304 км/с. Спустя четверть века Корню, используя тот же метод, дал новую цифру: 298 400 ± 1000 км/с. Напрашивается недоуменный вопрос: метод тот же, а результат грубее — стоит ли упоминать о нем? В результате Корню внимания заслуживают не цифры, а знак «плюс-минус». Он напоминает, что каждый изме- рительный мётод имеет свою погрешность. (Физо явно не учитывал этого, выписывая один знак своего резуль- тата за другим.) Истинное значение измеряемой вели- чины лежит в пределах этой погрешности. Истинное значение скорости света отличается от результата Корню не более чем на 1000 км/с. А сказать'вернее — результат Корню отклоняется от истины не более чем на 1000 км/с. 299796 ♦ Мак-Ниш. 1962 299792.6*0 25 к Симкин. 1967 299792.5^0.1 Корню. 1873: 298400 + 1000 км/сек Последующие исследователи старались гарантиро- вать все меньшее отклонение. Добавка «плюс-минус» сократилась до сотен, десятков, до нескольких километ- ров в секунду, а там счет пошел уже на метры в секунду... 117
Попутно выяснилось, что Корню, правильно поставив вопрос об ошибках измерений, переоценил возможнос- ти использованного им метода и в своем результате указал погрешность, примерно в 1,5 раза меньшую ис- тиной.’ Перефразируя эту физическую историю на математи- ческий лад, можно сказать, что для любой малой по- грешности находился исследователь, начиная с которо- го все последующие результаты отклонялись от истин- ного значения скорости света не более чем на эту погрешность. Исследования продолжаются, растет точность изме- рений. Последовательность результатов стремится, сходится к истинной величине скорости света. Как по-честному разделить конфету между приятеля- ми-мальчишками? Конечно, как в песне: тебе полови- на — и мне половина. И обладатель конфеты делит ее ровно на две части, чтобы поделиться с товарищем. Полученную долю тот тоже делит ровно пополам, чтобы поделиться со своим приятелем. Тот — со своим. Тот — со своим... Все по- честному: тебе половина — и мне половина. Без кропотливых измерений и расчетов таким спосо- бом можно разделить конфету на сколько угодно частей. Нехорошо только, что доли получаются неравные. Вели- чина очередной порции при таком делении неуклонно уменьшается до нуля: полконфеты, четверть конфеты, восьмая часть, шестнадцатая... И какую величину ни загадай, начиная с некоторой порции, все последующие будут меньше загаданной величины. Одна восьмая, одна шестнадцатая, одна тридцать вторая, одна шестьдесят четвертая... От долей конфеты мы незаметно перешли к числам. Это нам на руку. Последовательное деление конфеты пополам неизбеж- но поставило бы нас когда-нибудь (и очень даже скоро, где-то на сороковом шагу) перед проблемой расщепле- ния атомного ядра. А число можно делить без конца, благо принцип известен: начиная с первого числа, рав- 118
ного половине, каждое последующее получается из предыдущего делением на два. Сказанное -дает нам право назвать образующуюся при этом цепочку чисел последовательностью. Ценитель наглядности, вероятно, посетует, что с переходом от конфет к абстрактным числам наши по- строения перестали быть осязаемыми. Что ж, их легко сделать зримыми. Для этого надо взять числовую пря- мую и отложить на ней члены нашей последовательнос- ти: одну вторую, одну четвертую и так далее. -1 i О i 1 I' ' I 'Н1! I 1 а3ага, И тогда воочию станет ясно, что, подобно своему кондитерскому прообразу, наша последовательность сходится к нулю, имеет нуль своим пределом. Любитель строгости, пожалуй, потребует выразить этот факт в математической формулировке. Мы сделаем это, не порывая с графическим образом нашей после- довательности. Ее стремление к нулю означает (следите за числовой прямой!), что для любой сколь угодно узкой окрестности нуля (ее полуширина обозначена традиционной в таких случаях греческой буквой е — «эпсилон») найдется такой номер, что все члены последовательности с большими номерами будут находиться в этой окрестности. Нетрудно сообразить, что там всегда будет оказы- ваться бесконечное множество членов последователь- ности, как бы ни была узка окрестность. Аналогично определяется стремление всякой сходя- щейся последовательности к своему пределу. Лишь бы в любой его окрестности всегда лежало бесконечное множество членов последовательности, а вне окрест- ности — конечное или вовсе нисколько. В каком порядке располагаются члены, очутившиеся внутри окрестности, существенной роли не играет. Все они могут лежать по одну сторону от предельной точки (в нашем примере >— от нуля), могут не совпадать с нею (как в нашем приме- 119
ре). Могут и совпадать. Могут лежать и справа и слева от предельной точки. Иногда какой-то член последова- тельности может оказаться дальше от предельной точки, нежели предыдущий. Определение сходимости остав- ляет без внимания эти детали. Ни одна из них сама по себе не угрожает сходимости и недостаточна для того, чтобы обвинять последовательность в расходимости. По подозрению в том, что последовательность не сходится к какой-то точке, лучше всего обращаться к строгой формулировке этого факта. Вот она: последо- вательность не сходится к данной точке, если сущест- вует некоторая ее окрестность, такая, что для любого нрмера найдется член последовательности с большим номером, находящийся вне этой окрестности. Существует ли предел спортивных возможностей че- ловека? Оспаривать их ограниченность не станет никто. Но вместе с тем мы знаем, что вечных рекордов не бывает. Еще недавно мечтой спринтеров было пробежать сто метров за десять секунд — и вот заветный рубеж уже преодолен. И в то же время нельзя всерьез утверждать, что какой-нибудь будущий рекордсмен пробежит сто- метровку за время, меньшее двух или одной секунды... Разобраться в этом запутанном вопросе на первый взгляд нелегко. А между тем, ставя его, мы употребили несколько слов, которые помогут нам внести в каверз- ную проблему поистине математическую ясность. Это прежде всего слово «предел». Надежным основа- нием наших дальнейших рассуждений послужит теория последовательностей. Мы будем рассматривать ре- кордные результаты в беге на сто метров как члены некоторой последовательности. Это, во-вторых, слово «меньше». Члены нашей после- довательности — числа, их можно сравнивать по вели- чине. Это, в-третьих, слово «ограниченность». Утверждая, что никто не сможет пробежать стометровку быстрее, чем, скажем, за две секунды, мы заявили, что члены 120
нашей числовой последовательности ограничены снизу что существует число, меньшее любого члена нашей последовательности. Это, в-четвертых, слово «рекорд». Рекорд считается таковым лишь в том случае, когда он превосходит предыдущее достижение. Очередной рекордный ре- зультат в беге на сто метров должен быть меньше прежнего. В этом выражается существенная особен- ность нашей последовательности: математик назвал бы ее монотонно убывающей, имея под этим в виду, что каждый последующий ее член меньше предыдущего. Вот теперь все готово для решающего утверждения. В теории последовательностей есть теорема: всякая монотонно убывающая и ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. Это значит, что на шкале результатов в беге на сто метров есть отметка, к которой стремится последова- тельность рекордных достижений. Какую малую окрест- ность этой отметки ни взять, все члены последователь- ности, начиная с некоторого, будут лежать в этой ок- рестности. Заметим, что это вовсе не противоречит утверждению о том, что вечных рекордов не бывает Ведь последовательность рекордов может стремиться к своему пределу, не достигая его, наподобие «конфет- ной» последовательности из предыдущего раздела. Если нынешний рекорд отличается от предела на деся- тую долю секунды, то следующий может отличаться на пять сотых, следующий за ним — на одну сотую, следую- щий —.на пять тысячных... и каждый очередной резуль- тат будет рекордом, поскольку он меньше предыдущего. Нужно только замерять время с точностью до все более мелких долей секунды. В заключение напомним, что в своих рассуждениях мы основывались на теореме о существовании предела для всякой монотонно убывающей и ограниченной снизу числовой последовательности. Есть также теорема о том, что предел имеет всякая монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность. Эту теоре- му мы применили бы, если бы подвергли математичес- кому разбору, например, рекорды штангистов. 121
Когда расшифровывались древневавилонские текс- ты, ученые отметили любопытный факт: терминология и обозначения тогдашних математиков изобиловали сло- вами шумерского языка, к тому времени давно уже умершего. Подобное наблюдается и сегодня. Раскройте любой труд по математике и вы увидите, как насыщен современный математический лексикон заимствова- ниями из мертвых языков — латинского, древнегречес- кого. Такие термины хороши тем, что содержат лишь заложенное в них определениями и не вызывают неже- лательных ассоциаций, чего можно было бы опасаться, будь они взяты из разговорной речи. Символ предела Член последовательности л -»о° / / ^Предел Индекс последовательности (номер члена последовательности) Произнося слово «постоянная», математик напишет «const», да и прочтет это сокращение, возможно, тоже по латыни: «константа», что значит в переводе «постоянная». Показательную функцию (скоро мы будем говорить о ней) он назовет экспонентой й в ряде случаев обозначит ехр — начальными буквами латинского слова «ехролеге», то есть «выставлять напоказ», а обозначая предел, сократит до трех букв его латинское название «limes». «Теперь сходитесь». Хладнокровно, Еще не целя, двв врага Походкой твердой, тихо, ровно Четыре перешли шага, Четыре смертные ступени. Свой пистолет тогда Евгений, Не преставая наступать, Стал первый тихо подымать. Вот пять шагов еще ступили. 122
И Ленский, жмуря левый глаз. Стал тоже целить... Не пугайтесь, ради бога, не пугайтесь, читатель! Ро- ковой выстрел, сразивший Ленского, не прозвучит на этой странице. Эти пушкинские строки, этот отрывок из «Евгения Онегина» мы привели исключительно как повод для разговора о том, какое важное значение для мате- матики имеет понятие предела. Перед вами несколько окружностей. Как граненый ствол старинного дуэльного пистолета охватывает чер- ный кружок дула, так каждую из этих окружностей охва- тывает описанный правильный многоугольник. Внутри каждой окружности — правильный вписанный много- угольник с тем же числом сторон. Прослеживая этот ряд слева направо, вы видите, что число Сторон у многоугольников растет: три, четыре, пять, шесть... Посмотрим, что происходит при этом с периметрами вписанных и описанных фигур. Если отложить их на числовой прямой, засечки будут сходиться, как дуэлян- ты. рз ' ₽в₽в °6 °* . °з । «----•— • । •-----* 1 *--------1 • • 5Я 6Я 7 Я 8Я 9Я 10Я Р" -периметр вписанного л угольника Ofl — периметр описанного п угольника Но можно ли понимать эту сходимость в том же строгом смысле, в каком мы говорим о сходимости последовательностей? Существует ли предел, к которо- му стремится последовательность периметров, скажем, вписанных многоугольников? А описанных? 123
Оказывается, и тот и другой предел существует. Возь- мем периметры описанных фигур. Их Последователь- ность монотонно убывает. К тому же она ограничена снизу — например, периметром любого из вписанных многоугольников, хотя бы квадрата. Значит, эта после- довательность имеет предел. Сходится и последова- тельность вписанных фигур: ведь она монотонно воз- растает и ограничена сверху — хотя бы периметром описанного квадрата. Но что это? Последовательности, разговор о которых мы начали с описания дуэли на пистолетах, сходятся, словно противники, решившие схватиться врукопаш- ную. Похоже, что они сходятся к одному пределу. ре р р г8 Ю * — — 1 °12 °10 °_в °6 6Я • 1 7Я Мельчась в изломах своих сторон, описанные много- угольники все плотнее облегают окружность, все теснее прижимаются к ней вписанные. Периметры тех и других можно рассматривать как все более точные приближе- ния длины окружности, а общий предел периметров — как точное значение этой длины. Замечательно, что с помощью той же процедуры оп- ределяется длина других кривых: с этой целью исследу- ется, как ведут себя длины ломаных, вписанных в кри- вую, звенья которых укорачиваются неограниченно, стремятся к нулю. Уже этот пример показывает, какое важное значение для математики имеет понятие предела. Когда требуется определить некоторую величину, сначала можно оценить ее приближенно, затем рас- смотреть еще ряд приближений все более точных, а потом, исследуя уже сам процесс приближения, найти искомую величину как предел последовательности ее приближенных, все более уточняющихся оценок. Определить искомую величину другим из известных способов часто оказывается делом значительно более трудным или попросту невозможным. Например, не из- 124
вестей другой способ определить длину кривой линии, кроме только что изложенного. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения сына отец подводит ребенка к дверному косяку и торжественно отмечает на нем рост именинни- ка. Ребенок растет, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Отец и сын с любопытством рассматривают ее. «В этом году я вырос всего на два сантиметра», — вздыхает сын. «Мало каши ел! Ну, ничего, зато в прошлом году — на пять, — утешает его отец. — Да и в позапрошлом ничего — целых три прибавил». Три, пять, два... Такова последовательность прирос- тов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно ее члены аккуратно выписываются рядом с засечками. Это — последовательность значений роста. Две последовательности связаны друг с другом. Вто- рая получается из первой сложением. Рост — это сумма приростов за все предыдущие годы. Чтобы отличить вторую последовательность от пер- вой, необходимо ввести новые термины. Когда члены последовательности предполагается суммировать, их называют членами ряда. Сумма нескольких первых чле- нов ряда называется его частичной суммой. Кстати, все 125
члены нашего ряда — числа (три, пять, два...). Такие ряды называются числовыми. С годами мальчик становится юношей, юноша — муж- чиной. Отметки на дверном косяке сближаются, и с некоторого времени их перестают ставить. Не потому, что обычай забыт, а потому, что пропадает интерес: отметки сливаются, ложась во все более тесную окрест- ность предельного роста. Математик сказал бы, что последовательность значе- ний роста, отмеченных, на дверном косяке, имеет пре- дел. Или сказал бы так: ряд сходится. А поскольку значения роста представляют собой частичные суммы ряда, математик мог бы попутно высказать такое опре- деление: ряд называется сходящимся, если последова- тельность его частичных1 сумм имеет предел; этот пре- дел и называется суммой ряда. Если же у последова- тельности частичных сумм нет предела, то ряд называ- ется расходящимся. Итак, последовательность значений роста сходится. А что можно сказать про последовательность приростов от года к году? Понятно, что члены этой последовательности убыва- ют, стремясь к нулю. Будь иначе, человек рос бы неог- раниченно. Убывание членов ряда необходимо для его сходимости. Необходимо, но недостаточно. Как вы думаете, что было бы, если бы ребенок за первый год вырос на дециметр, за второй — на полде- циметра, за третий — на треть, за четвертый — на чет- верть и так далее? До какого роста вырос бы сын? - Опираясь на утверждения соответствующего раздела математики, мы со всей ответственностью заявляем, что такой ребенок, живи он вечно, со временем перерос бы любую наперед заданную гору. Убывания слагаемых еще недостаточно для сходи- мости ряда. Они должны убывать достаточно быстро Насколько быстро — об этом говорят признаки сходи- мости рядов. 126
Свои незаурядные математические способности не- мецкий математик и физик Карл Фридрих Гаусс обнару- жил в раннем детстве. Ученикам класса, в котором он учился, учитель однаж- ды задал вопрос: «Сколько будет, если сложить все целые числа от одного до двадцати?» Не прошло и несколько минут, как Гаусс крикнул: «Нашел — двести десять!» «Как тебе это удалось?» — спросил изумленный учи- тель. И Гаусс рассказал о своей догадке: если сложить первый член заданного ряда чисел с последним, полу- чится столько же, если сложить второй с предпоследним или третий с третьим от конца... Иными словами, члены . ряда, равноотстоящие от его концов, в сумме всегда ' дают одно и то же число — двадцать один. Всего таких сумм — десять. Ответ на поставленную задачу теперь ' получается перемножением двух этих чисел. Мы поведали эту историю исключительно для того, чтобы сказать, что ни о чем подобном мы больше гово- рить не будем. В школьной математике изучаются арифметические прогрессии (то есть такие последовательности чисел, в которых разность двух соседних равна постоянному ' числу) и прогрессии геометрические (то есть такие последовательности чисел, в которых отношение двух соседних равно постоянному числу). Даются формулы, позволяющие вычислить сумму конечного числа членов той и другой прогрессии. Ничем подобным мы заниматься не будем. В нашем рассказе не встретятся больше слова «последний член», «конец ряда». Нас будут интересовать бесконечные ряды. Нельзя сказать, что наш рассказ при этом целиком будет лежать за пределами школьной математики. Ведь в ней тоже однажды встречается бесконечный ряд. Мы имеем в виду бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. 127
О ней-то мы и поговорим сейчас. Как повелось, объ- ясняться мы будем не на языке формул, а на языке рисунков. В равнобедренный треугольник вписан круг. В про- странство над ним — второй круг, касающийся первого и боковых сторон треугольника. В пространство над вторым кругом — третий. Так весь угол при вершине треугольника заполняется последовательностью круж- ков все меньшего радиуса. Их число не ограничено. Если провести горизонталь А Д между первыми двумя круга- ми' она отсечет от треуголь- /__А IX ника ему подобный. Законы АД подобия подсказывают: диа- метР второго кружка так от- L______X / X носится к диаметру первого, / к /' J\ как диаметр третьего к диа- ' . \ I \ метру второго ‘и так далее. Это постоянное отношение меньше единицы. Диаметры кружков образуют беско- нечно убывающую геометрическую прогрессию. А теперь вопрос: что будет, если последовательно складывать диаметры кругов? Чему равна сумма такого бесконечного ряда? Если вы забыли школьную формулу для суммы беско- нечно убывающей геометрической прогрессии, не огор- чайтесь. В этом примере можно обойтись без формул. Нужно лишь повернуть все круги так, чтобы их диаметры стали вертикальными. Бесконечная сумма оказывается равной вполне конечной величине — высоте треуголь- ника. И вы снова убедитесь в том, что бесконечная сумма членов некоторой последовательности может состав- лять вполне конечную величину. Нам показалось необходимым подчеркнуть это после разговора о предельном росте человека. Тогда у чита- теля, чего доброго, могло сложиться впечатление, будто предел роста существует лишь потому, что с некоторого возраста рост прекращается, приросты становятся рав- ными нулю. Теперь в истории со вписанными кругами ни один из суммируемых диаметров не равен нулю, и тем не менее частичные суммы их ряда стремятся к 128
пределу. Все дело в том, что члены ряда стремятся к нулю достаточно быстро. .Ряды, рассматриваемые в математике, — это не про- сто наборы наудачу взятых чисел. Члены ряда строятся по определенному закону. Вот так называемый гармонический ряд, описанный нами на словах в истории с мальчиком-великаном. 1+l+i+l+-+n+- Мы уже знаем, что суммирование этого ряда не ведет к конечному результату. Гармонический ряд расходится, его частичные суммы нарастают безгранично. А вот другой ряд, уже сходящийся. Его суммирование дает знаменитое число е, столь же популярное в мате- матике, как и число п: 1 . 1 1 1 1 1 1 + 1 + 2! + 3! + 4! + " + п! + В той и другой строчке чисел обратите внимание на слагаемое, огражденное отточиями. Это так называе- мый общий член ряда. Он-то и служит выражением закономерности, по которой строится ряд. Подставив вместо п конкретное число, мы получим величину сла- гаемого с таким номером. В первом случае для этого нужно разделить единицу на номер слагаемого, во вто- ром единица делится на произведение всех целых чисел от единицы до п (такое произведение и обозначается символом л!). Закономерность, по которой строится ряд, — залог лаконичной его записи. Вместо длинной цепочки чисел математик пишет выражение для общего члена ряда и перед ним ставит заглавную греческую букву «сигма», обозначающую суммирование. Если сверху и снизу к этой красивой букве приписаны числа, это значит, что речь идет о частичной сумме ряда. Приписки — это номера первого и последнего слагае- 5 — 480 129
мого частичной суммы, так называемые пределы сум- мирования — нижний и верхний. Но если над знаком суммирования вы увидите зна- чок оо, не принимайте его за поваленную набок восьмер- ку. Бесконечность — вот как читается этот условный знак. Это не цифра, а сим- вол, подразумевающий предельный переход. За- меняя им верхний предел суммирования, обознача- ют предел частичных сумм, к которому они стремятся при неограниченном воз- растании числа слагаемых. Этот предел частичных сумм, как мы уже знаем, и называют суммой ряда. Наблюдательный читатель, конечно, припоминает, что знак бесконечности уже встречался ему на предыдущих страницах — в обозначении предела последовательнос- ти. Там этот знак выражал неограниченное возрастание индекса. Это воспоминание дает нам повод еще раз подчерк- нуть: бесконечность — не число, ее знак — не цифра, а символ, подразумевающий предельный переход. Об этом следует помнить ввиду многочисленных злоупот- реблений словечком «бесконечность», чем нередко гре- шат люди, знакомые с математикой лишь понаслышке. Символ суммирования Член ряда \ \ \л Sn«=a,+aa+...+a„=T а \ к=1 f Индекс суммирования n-ная частичная сумма ряда Z а* = HmS, к=1 п->а> Сумма бесконечного ряда . Видали ли вы, как молодой неопытный продавец взве- шивает — ну, например, полкилограмма сахарного песку? Два взмаха совком — и пакет с песком на весах. Перебор. Стрелка ушла за семьсот граммов. Приходит- ся отсыпать. Совок вычерпывает из пакета добрую по- ловину содержимого, и пакет вновь на весах. На сей раз меньше, чем нужно. Еще одно движение совком. Изли- 130
шек всего пятьдесят граммов. Снова песок сыплется из пакета в ящик... Порции песка, которые продавец досыпает и отсыпа- ет перед очередным взвешиванием, образуют последо- вательность. Члены этой последовательности как поло- жительны (когда продавец добавляет песок), так и отри- цательны (когда отсылает). Своими действиями прода- вец суммирует члены этой последовательности, и пото- му они заслуживают звания членов ряда. А поскольку постоянством знака они не отличаются, ряд называется знакопеременным. Частичные суммы этого ряда нахо- дятся в пакете. Мало-помалу они стремятся к пределу, названному покупателем.. Всегда ли существует такой предел? Ясно, что нет. Смотрите, как продавец, свесив лесок, принялся от- вешивать пряники. Стрелка весов зашла за нужную отметку. Один пряник долой. Стрелка весов останови- лась, не доходя до нужной отметки. Пряник добавлен. Снова перебор. Пряник снова снят. Опять недобор... Взвешивание зашло в тупик. Пряник добавить, пряник убавить... Поскольку члены ряда одинаковы по абсолют- ной величине, частичные суммы колеблются от одного постоянного значения к другому и ни к какому пределу не стремятся. Ряд не сойдется никогда, если не принять специаль- ных мер — не начать уменьшать его члены, не ломать пряники на части. Можно ломать, например, так: добавить половину пряника, убавить одну треть, прибавить четверть, отнять одну пятую... Вы думаете, что произойдет та же история, что с мальчиком-великаном? Нет, такой ряд будет сходиться. На этот счет есть даже особая теорема. Но прежде чем ее формулировать, отметим две важные особенности нашего ряда. Во-первых, обратите внимание, как меняются знаки его членов: плюс — минус — плюс — минус... Такие ряды называются знакочередующимися. Во-вторых, заметьте, что по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают: половина, треть, чет- верть... 5* 131
После сказанного можно сформулировать теорему, подходящую к случаю: знакочередующийся ряд, члены которого монотонно убывают по абсолютной величине, всегда сходится. Конечно, не всякий знакопеременный ряд обладает теми особенностями, которыми отличается описанное нами взвешивание пряников. Сходимость знакопере- менных рядов — вопрос посложнее, нежели сходимость знакопостоянных. ' Один на три делится? Первоклассник ответит на этот вопрос растерянным «нет». Десятиклассник с важностью заявит, что делится и частное представляет бесконечную десятичную дробь — ноль целых и три в периоде. Если же с этим вопросом вы обратитесь к человеку, который привык смотреть на числа не с теоретической, а с практической стороны, то он, пожалуй, поинтересуется: с какой точ- ностью нужен ответ? Если достаточно двух знаков после запятой, ответом будет 0,33. Если нужны три знака — 0,333. Четыре — 0,3333. И так далее. Видно, что с увеличением точности на один знак к ответу приписывается очередная тройка. Эти приписки в сущности представляют собой слагаемые ряда: 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... Кстати, какую бесконечную периодическую десятич- ную дробь ни взять — любая из них будет представлять- ся отношением двух целых чисел, числом рациональ- ным, как называют такие отношения математики. Сходится ли ряд? Приглядитесь к его членам, и вы признаете в них бесконечно убывающую геометричес- кую прогрессию. А она принадлежит к категории сходя- щихся числовых рядов. Но даже и без этого замечания поставленные вопросы имеют чисто риторический (а точнее, учебно-методи- ческий) характер. Ибо хорошо известно, что результат деления единицы на три есть одна треть: ’/3. 132
К рациональным числам относятся и конечные деся- тичные дроби. Назовите любую из них, и вы тем самым уже представите ее в виде отношения целых чисел: три десятых — это 3/10, двадцать пять сотых — это 25/юо- Ну а как быть с бесконечными непериодическими десятичными дробями? Такой дробью выражается, на- пример, отношение диагонали квадрата к его стороне. Еще Пифагору было известно, что выразить его рацио- нальным числом, отношением двух целых чисел невоз- можно. Это открытие, сильно огорчившее Пифагора, дало первый в истории математики пример иррационального числа, то есть числа; не выразимого отношением двух целых. О том, что всякое иррациональное число можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, Пифагор не знал. Впрочем, тому же Пифагору было известно, что гипо- тенуза прямоугольного треугольника равна корню квад- ратному из суммы квадратов его катетов. На два равно- бедренных прямоугольных треугольника разрезается квадрат своей диагональю, и для каждого она служит гипотенузой. И если принять сторону квадрата за еди- ницу, длина гипотенузы выразится квадратным корнем из двойки. Извлечь его можно с точностью до любого знака после запятой — соответствующий метод несло- жен и излагается даже в школьном курсе алгебры. Каждый новый знак после запятой, который возникает при все более точном извлечении корня, можно рас- сматривать как очередной член ряда, а все удлиняющие- ся десятичные дроби — как частичные суммы этого ряда. Несложными рассуждениями можно доказать, что вся- кий такой ряд, образованный добавлением все новых знаков после запятой, сходится, что последователь- ность его частичных сумм всегда имеет предел (во-пер- вых, эта последовательность возрастает, во-вторых, она ограничена сверху — например, числом, которое полу- чается, если заменить хотя бы первую из уже выписан- ных цифр большей). Но коль скоро предел существует, почему бы не на- звать его искомым корнем квадратным из двух, тем числом, которое выражает отношение диагонали квад- рата к его стороне? Пусть мы не можем выразить его 133
отношением двух целых чисел. Зато мы можем назвать его с любой требуемой точностью. Почему бы подобный процесс последовательных приближений не счесть оп- ределением любого иррационального числа? Математики так и поступили. Считается, что ирраци- ональное число определено, если его с любой точнос- тью можно приблизить последовательностью конечных десятичных дробей. Трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга — вот три каверзные задачи, выдвинутые античными ма- тематиками и впоследствии ставшие синонимом нераз- решимости. Но так ли уж они неразрешимы? Вот, скажем, квадра- тура круга: мы выполним ее сейчас с помощью довольно несложного приема. Итак, пусть дан круг радиуса R. Требуется, пользуясь лишь циркулем и линейкой, построить равновеликий ему квадрат или прямоугольник. Площадь круга радиуса R дается выражением л/?2. Если бы нам удалось построить прямоугольник со сто- ронами R и nR, квадратура круга была бы выполнена. Но вот загвоздка — как построить отрезок длиной nR? Как увеличить в п раз данный нам условиями задачи радиус круга? Если бы число п было рациональным, если бы выра- жалось отношением двух целых чисел, то все было бы просто. Радиус круга мы увеличили бы во столько раз, каков числитель, а затем уменьшили бы результат во 134
столько раз, каков знаменатель, — и получили бы иско- мое. Школьная геометрия знает, как увеличить или уменьшить отрезок в любое число раз. Увы! Число л иррационально... И тут на помощь приходит числовой ряд, похожий на тот, с которым мы познакомились за взвешиванием пряников. л . 1 1 1 1 1 4 “ 1 3 + 5 7 + 9 11 Воспримем эту стррчку чисел как руководство к дей- ствию. Из отрезка, равного радиусу нашего круга, вы- чтем его третью часть, к результату прибавим пятую, из полученного вычтем седьмую и так далее. Работы много, но рано или поздно мы с любой заранее выбранной точностью построим отрезок длиной !/4лЯ. Увеличим его в 4 раза, затем построим на нем как на основании прямоугольник с высотой R—его площадь и будет равна площади нашего круга. Квадратура круга выполнена! Так что же, проблема, о которой так долго говорили математики, все-таки разрешима, и притом так просто? Сознаемся, мы допустили небольшой подлог. Класси- ческая формулировка задачи о квадратуре круга подра- зумевает, что задача должна быть решена с помощью циркуля и линейки за конечное число операций, и при- том точно. Наш же способ приближенный. Но он позво- ляет приблизиться к поставленной цели с любой зара- 135
нее установленной точностью путем несложных дейст- вий. В этом и заключается основное достоинство рядов. Недаром их теория занимает столь важное место в математике. Недаром обозначение ряда — заглавная греческая буква «сигма» — как символ математики имеет столь же широкое хождение, что и интеграл. «Московское время четыреста девяносто пять минут». Если бы с некоторых пор время по радио стали объ- являть таким образом, то радиослушатели вскоре, ве- роятно, разучились бы ориентироваться во времени. То ли дело: «Московское время восемь часов пятнадцать минут». В тех случаях, когда требуются более точные данные о времени, после минут указываются секунды. Можно указать и доли секунды: десятые, сотые, тысячные, сколь угодно малые — какие требуются заранее выбран- ной точностью. В этом проявляется все та же особенность человечес- кого сознания, которая лежит и в основе приближений с помощью последовательностей и рядов: всякое изме- рение начинается с грубой оценки, а затем продолжа-- ется все более мелкими уточнениями.
ФУНКЦИИ Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Не правда ли, любопытными вопросами задавались персонажи знаменитого трактата Галилео Галилея «Бе- седы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки». Ответ, к которому пришли собеседники, таков: стань слон в три раза больше, объем и вес его тогда увеличи- лись бь'1 в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность—только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы вы- держать непомерно увели- чившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собст- венной тяжестью. Рассуждение вполне четкое и ясное. Что же при- дало ему такую нагляд- ность и убедительность? То, что в основу вывода по- ложены две строгие мате- матические зависимости. Первая устанавливает со- ответствие между разме- рами подобных тел и их объемами: объем изменя- ется, как куб размера (ска- жем, если ребро куба удлинилось вдвое, то его объем — проверьте! — увеличился в восемь раз: 23 = 8). Вторая связывает размеры подобных фигур и их площади: пло- щадь изменяется, как квадрат размера (если вдвое увеличивается сторона квадрата, площадь его возрас- тает вчетверо: 22 = 4). 137
Не знай этого собеседники, сколько пришлось бы доискиваться до истины? Этим выразительным примером мы хотим начать обе- щанный в одной из предьщущих глав обстоятельный разговор о числовых функциях числового аргумента. Функции, о которых шла речь до сих пор, как правило, описывались словами. Словесное описание — один из способов задания функции, и притом не лучший. Можно задавать функцию табличным способом. Вы- писать в ряд или в столбик несколько значений аргумен- та, а ниже или рядом поместить соответствующие зна- чения функции. Так составляют таблицы логарифмов и синусов. Шкалы логарифмической линейки, располо- женные одна под другой, тоже представляют собой разновидность таблицы. Логарифмами и синусами мы еще успеем заняться. За первым примером табличного задания функции об- ратимся к «Энциклопедии домашнего хозяйства». От- кроем ее на той странице, где указаны максимальные, длительно допустимые токи для проводов в зависимос- ти от сечения. Сечение жилы, мм2 0,75 1 1.5 2.5 Максимально допус- тимый ток, ампер 13 15 20 27 По этим данным можно построить график. Пусть Зна- чения аргумента, приведенные в верхней строчке, по- служат абсциссами, а значение функции, приведенные в нижней, — ординатами тех точек, которые мы станем наносить на координатную плоскость. Точки соединим непрерывной плавной кривой. Гра- фический способ делает информацию о функции зри- мой и наглядной. Выразительная картинка вмиг расска- жет о характерных особенностях и поведении функции. 138
здесь в том, что провода Если ваша цель — смонтировать проводку в своей квартире, то вам достаточно для работы этого графика или даже одной таблицы. Ведь провода, поступающие в продажу, согласно ГОСТу имеют лишь определенные стандартные сечения. Но если вы интересуе- тесь существом дела, при- чинами тех ограничений для тока, которые обуслов- лены сечением применяе- мых проводов, то вы на- верняка захотите понять: каковы физические зако- ны, которые определяют функциональную зависи- мость, выраженную табли- цей и отраженную графи- ком? Существо дела состоит разогреваются, когда по ним течет ток. Нагрев прямо пропорционален квадрату тока и обратно пропорциона- лен сечению провода. Предельно допустимый нагрев и определяет критическое отношение квадрата тока к се- чению провода. Увеличив ток в цепи, скажем, в два раза, мы должны в четыре раза увеличить сечение проводов во избежа- ние их перегрева. Увеличив ток в три раза — в девять раз увеличить сечение проводов. Так мы приходим к формульному заданию интересую- щей нас функции — ток изменяется как корень квадрат- ный из сечения проводов: / = kVs. Коэффициент пропорциональ- ности к в этой формуле равен 16,3, если ток / измеряется в ам- перах, а сечение жилы s — в квадратных миллиметрах. Вместо таблицы в «Энцикло- педии домашнего хозяйства» можно было бы поместить лишь эту короткую формулу: она, как легко убедиться, неплохо соот- ветствует табличным данным, а Корень квадратный 139
незначительные расхождения можно устранить ценой некоторого ее усложнения. Мы понимаем, что домашний мастер вряд ли принял бы такую замену. Таблица дает готовые рекомендации на все случаи житейской практики, а формула еще требует вычислений. Да к тому же в ней нет той нагляд- ности, которая присуща графику. А особая точность цифр домашнему мастеру не нужна. Но математик в поисках сути явлений для своей рабо- ты предпочтет, конечно, формулы. В формульном пред- ставлении функции легче поддаются исследованию ма- тематическими методами: формулу можно подвергнуть различным математическим преобразованиям, чего не сделаешь ни с таблицей, ни с графиком. Разумеется, если формула чересчур сложна или по- просту не существует (скажем, когда функциональная зависимость получена из опыта), математик прибегает к таблице. А за наглядным представлением о функции обращается скорее к графику, чем к формуле. Стоит заметить, что отнюдь не всякую функциональ- ную зависимость, полученную из опыта, удается выра- зить краткой формулой. Попробуйте сделать это, вооб- разив графиком некоторой функции профиль ключа от вашей квартиры или абрис горной цепи на журнальной фотографии, — и вы убедитесь в невыполнимости заду- манного. В этом месте нам хотелось бы на краткое время прервать Плавный ход изложения и поразмыслить над только что построенным графиком. Почему мы так непринужденно и решительно соеди- нили непрерывной линией точки, нанесенные на коор- динатную плоскость по данным таблицы? Почему не оставили их редкой россыпью? 140
В этом, как нам кажется, проявилось представление, давно и глубоко укоренившееся в нашем миропонима- нии. По созвучию с крылатым «природа не терпит пус- тоты» его можно выразить так: «природа не терпит разрывов». Нельзя всерьез говорить о том, что- поезд, идущий, скажем, из Москвы во Владивосток, после остановки в Омске незамедлительно очутился в Новосибирске, не побывав при этом ни на одной промежуточной станции. Непрерывность времени и пространства — один из кра- еугольных тезисов механики. Непрерывным представ- ляется нам чуть ли не всякое изменение, происходящее в природе: все значения высоты от начального до конеч- ного принимает уровень воды в наполняемой ванне, все значения размера — длина горящей свечи и ширина ножа, стирающегося от частой заточки. В рамках меха- нических моделей непрерывными считается не только пространство, но и любая среда: металл, жидкость, даже газ — недаром и аэродинамика, и гидродинамика, и теория упругости объединяются названием «механика сплошных сред». А ведь согласно современным представлениям мате- рия состоит из отдельных частиц — атомов, молекул, между которыми пустота, и все физические величины изменяются порциями — квантами. Но квантовая приро- да материи проявляется в масштабах столь малых, столь труднодоступных непосредственному восприятию, что мы пренебрегаем ею, отнюдь не считая это изменой общепризнанной Демокритовой концепции .о зернис- тости всего существа. Строя график в координатах «сечение провода—ток», проводя непрерывную линию над всеми без исключения точками некоторого промежутка оси абсцисс, мы заяв- ляем тем самым, что сечение провода может равняться любой величине из этого промежутка. Что же говорить о тех временах, когда квантовая теория еще не была создана, а концепция Демокрита не была признана основой научных представлений о мате- рии? Непрерывность математических образов была ес- тественным и непременным требованием употреби- тельных систем мира — от Аристотеля («В отношении сущего при отвлечении математик сохраняет только 141
количественную определенность и непрерывность») до Ньютона («Я рассматриваю... математические количест- ва не как состоящие из очень малых постоянных частей, а как производимые непрерывным движением»). Отвечая этому требованию, математика разработала систему вещественных чисел (под таким названием объ- единяются числа целые, дробные и иррациональные). Вещественные числа — совокупность непрерывная, и потому оказалось возможным изображать их точками прямой линии. С легкой руки Декарта функциональные зависимости стали изображать графиками на коорди- натной плоскости. Так математика привыкла дополнять понятие функции неявным предположением о непре- рывности аргумента. А между тем математическое определение функции вовсе не требует этого. И потому оно общезначимо для всей математики, потому им пользуются и в дискретной математике, бурно развивающейся в последнее время, находящей все больший спросу экономистов, биологов, лингвистов. Собственно говоря, в определении функциональной зависимости не требуется и того, что ею должны связы- ваться только количества. Но традиция сильна и тут: если соответствие устанавливается не между числами, математик предпочитает слову «функция» слово «ото- бражение». У этой традиции тоже есть свои корни. Математика исстари обслуживает науки, которые выражают свои результаты в числах: механику, физику, химию. «Изме- рить все измеримое и сделать измеримым все, что пока не поддается измерению», — эти слова Галилея сделало своим девизом все точное естествознание. Не удивительно, что учение о функциях развивалось по преимуществу как учение о функциях непрерывной числовой переменной. Именно на этом пути оно пришло к одному из наиболее значительных своих достиже- ний — дифференциальному и интегральному исчисле- нию. Не удивительно и то, что все наши дальнейшие при- меры будут приводить лишь к функциям подобного рода и на них будут поясняться существенные особенности понятия функциональной зависимости. 142
График, построенный по данным «Энциклопедии до- машнего хозяйства», побуждает нас обратиться к чита- телю еще с одним призывом к бдительности. В разго-- воре о проводах и протекающих по ним токам отчетливо ощущается то, что философы зовут причинно-следст- венной связью. Ток, величина которого рассматрива- лась нами как аргумент, есть причина нагрева проводов, степень которого рассматривалась как функция. Подоб- ное характерно для большинства расхожих примеров функциональной зависимости: функция является выра- жением некоторого следствия, причину которого выра- жает аргумент. И тем не менее не следовало бы возво- дить такое представление в абсолют. Такая трактовка сужает понятие функции. Функциональная зависи- мость — не обязательно зависимость причинно-следст- венная. В большом многоквартирном доме номеру каждой квартиры можно поставить в соответствие число людей, в ней проживающих. И это будет функциональная зави- симость, вполне отвечающая ее каноническому опреде- лению, хотя ни о каких причинах и следствиях здесь говорить не приходится. Номер квартиры никоим обра- зом не определяет численность проживающей в ней семьи. Карл-Филипп-Теодор, курфюрст Пфальцский, был не чужд математики. Однажды, вспоминая прожитое, он сказал: «Мне было X лет в году X2». Жозеф-Луи Лагранж, французский математик, однаж- ды беседовал с Симоном Пуассоном, только начинав- шим свой путь в науке, и, между прочим, сказал: «Я стар; во время бессонных ночей я развлекаюсь числовыми сравнениями. Гюйгенс был тринадцатью годами старше Ньютона, я тринадцатью годами старше Лапласа. А Лаплас тридцатью годами старше вас». 143
В какой из этих исторических зарисовок больше ма- тематического колорита? По-видимому, ответ не вызывает сомнений: в первой. Хотя курфюрст и не задал вопроса, его высказывание воспринимается как формулировка задачи. Учтя, что родился он в 1722 году, можно составить квадратное уравнение для X и определить из него неизвестное: речь идет о 1764 годе, когда курфюрсту было 42. В самом деле, 422 = 1764. Ну, а второе высказывание? Хотя это и слова матема- тика, никакого математического содержания в них не видится. Действительно, что из того, что Гюйгенс тринадцатью годами старше Ньютона? Возраст человека — величина переменная. Если второе высказывание рассматривать на манер первого, как уравнение, то у этого уравнения будет не одно решение, а много: 33 и 20, 34 и 21, 40 и 27, 55 и 42... И все-таки на слова Лагранжа можно взглянуть с такой точки зрения, с которой они покажутся гораздо выиг- рышнее. Свяжем функциональной зависимостью возраст Нью- тона и возраст Гюйгенса, обозначив их соответственно через X и У, и запишем эту связь в привычном для математиков виде: У = X + 13. И тогда задавшись произвольным числом X из множе- ства лет, прожитых Ньютоном в одно время с Гюйген- сом, мы тотчас сможем выяснить, как велико соответст- вующее У, то есть сколько лет в тот,момент было Г юйгенсу. Уже этот нехитрый пример демонстрирует важн; з достоинство понятия функциональной зависимости: на языке функций можно формулировать утверждения, ох- ватывающие собой целые множества, а не только отно- сящиеся к отдельным элементам этих множеств. Математики в своих построениях пользуются функ- циями весьма многочисленными и разнообразными. В этой книге мы упомянем, естественно, лишь немногие из них, наиболее употребительные. 144
С функцией «корень квадратный» мы познакомились благодаря электротехнике. Но свести знакомство с нею мы могли бы, например, в часовом ателье, приглядыва- ясь к тому, как мастер выверяет ход маятниковых часов. Оказывается, их ходом управляет все та же функция «корень квадратный»: именно такова зависимость пе- риода колебаний маятника от его длины. »Не откладывая на дальнейшее, поясним графиками те функциональные зависимости, которые в своих рассуж- дениях о размерах животных использовал Галилей, — квадратичную и кубичную. График, соответствующий первой из них, называется параболой второй степени, или просто параболой. Со- ответствующий другой — параболой третьей степени. Указание степени считается обязательным, если она не равна двум, — так о линиях, приведенных на следующих графиках, говорят, что это параболы четвертой и пятой степени. Заметим, что функции такого рода называются сте- пенными: каждому числу из области определения функ- ции ставится в соответствие некоторая его степень — вторая, третья, четвертая и т.д. 145
Когда в Москве Кремлевские куранты отбивают шесть часов утра, в Якутске уже полдень. Расположенный по долготе восточнее столицы, город раньше встречает солнце. Приезжие мос- квичи в Якутске пере- ставляют свои часы на шесть часов вперед. Перенесемся теперь на три века вспять. Па- русник в открытом море. Как определить долготу места, в котором он на- ходится? Очень просто, х если на корабле есть часы, поставленные в порту отправления. Нужно измерить местное время по солнцу и срав- нить с показаниями часов. Расхождение про- порционально разнице по долготе между тем пунктом, где находится корабль, и тем, в котором были поставлены часы. Точный закон этой пропорциональности позволяет вывести простое соотношение: тремстам шестидесяти градусам земной окруж- ности соответствуют двад- цать четыре часа, за кото- рые Земля совершает пол- ный оборот вокруг своей оси. Поэтому если часы от- стают по сравнению с местным временем ца шесть часов, корабль нахо- дится на 90' восточнее того места, где были поставле- ны часы. Спешат на четыре часа — на 60* западнее. 146
Разумеется, для подобного определения долготы нужны очень точные часы. А как можно требовать точ- ности от маятниковых часов, которыми снабжен парус- ник? Их ход зависит от длины маятника, а она то и дело меняется: теплый день сменяется прохладной ночью, и во время плавания парусник приближается то к голубым полярным льдам, то к пальмам тропиков. Тепло удлиняет маятник, холод укорачивает. Такова неумолимая реаль- ность. И все-таки нашелся спо- соб избежать неизбежного зла. Чудо совершил в 1726 году английский часовой мастер Джон Гаррисон. Это удалось ему потому, что он знал функциональ- ную зависимость длины металлического стержня от температуры, до которой стержень нагрет. Эту функцию (см. гра- фик) описывает прямая линия. Такая зависимость называется линейной. Суть ее в том, что одинаковым приращениям аргумента всегда соответствует одно и то же приращение функции. Иначе говоря, функция изме- няется равномерно при равномерном росте аргумента. В нашем примере равномерному на- растанию температуры соответствует равномерное удлинение стержня. Пол- ное его удлинение пропорционально на- чальной длине. Но что особенно важно — стержни из разных металлов удлиняются по-разному от одного и того же прироста температуры. Скажем, цинк расширяется примерно в три раза сильнее, чем сталь. Этим и воспользовался Гаррисон: он со- брал маятник из цинковых и стальных стержней так, как показано на рисунке. Общая длина стальных стержней в три раза превышала длину цинковых. Расши- 147
ряясь при нагревании и сокращаясь при охлаждении, стержни взаимно компенсировали изменения своей длины, и груз маятника оставался на одном и том же расстоянии от точки подвеса. Так что же, собственно, изобрел Гаррисон? Какова математическая формула его изобретения? Как об этом сказать в двух математических словах? Читатель, видимо, заметил, что левый график внизу отличается от предыдущего дополнительной линией. Она показывает, как ведет себя при нагревании изобре- тенный Гаррисоном маятник с компенсацией. Его длина не зависит от температуры. Рассматриваемая как функ- ция температуры, она постоянна при всех значениях аргумента. Такая функция называется постоянной, или константой (вот откуда на графике появилось латинское сокращенное const). Она тоже относится к классу линей- ных — изображается все той же прямой линией. Подоб- ная независимость от значения аргумента — простей- ший случай линейной зависимости. Здесь значение функции можно назвать, не спрашивая об аргументе. -Из непостоянных линейных функций простейшая, по- жалуй, та, значение которой всегда равно значению аргумента. График этой функции — биссектриса прямо- го угла, стороны которого — оси координат. Любая другая прямая, исходящая из начала коорди- нат, иллюстрирует случай, когда функция прямо пропор- циональна аргументу. Чтобы вычислить значение такой функции, аргумент умножают на коэффициент пропор- 148
циональности. Эту величину называют еще константой пропорциональности, или угловым коэффициентом: он может служить мерой наклона соответствующей прямой на графике. Чем больше угловой коэффициент, тем круче нарастает функция по мере роста аргумента. А если угловой коэффициент меньше нуля —функция спа- дает. Линейной функцией такого вида пользуются, когда определяют стоимость товара по весу или путь, прой- денный в равномерном движении, по времени: коэффи- циентом пропорциональности в первом случае служит цена, во втором — скорость. На одной из предыдущих страниц, отметив, что не всякую функциональную зависимость удается выразить краткой формулой, мы не случайно в качестве примера представили вам, читатель, ключ от дверного замка: сейчас он в буквальном смысле послужит ключом к 149
небольшой математической проблеме, к которой нас подводит беседа о функциях. Знаете ли вы, как таким ключом открывается дверной замок? Что происходит внутри этого слесарно-механи- ческого устройства, когда вы вставляете ключ в замоч- ную скважину и делаете положенное число оборотов? Чтобы замок открылся, нужно провернуть барабан, в котором сделана скважина. Но этому препятствует штифты, стоящие тесным строем внутри скважины, скользящие вверх-вниз. Каждый из штифтов нужно под- нять на такую высоту, чтобы их верхние торцы оказались вровень с поверхностью барабана. Если они выступят за нее, то войдут в прорезь обоймы, расположенную точно над замочной скважиной; если не достигнут поверхнос- ти барабана, то из прорези обоймы находящиеся там штифты вдвинутся в замочную скважину. И в том и в другом случае вращение барабана будет застопорено. Штифты в замочной скважине поднимает ключ, вдви- гаемый в нее. При этом высота каждого штифта, будучи сложена с высотой профиля ключа в соответствующей точке, должна дать в сумме диаметр барабана. Только тогда он провернется. Ну а причем здесь функции? Да притом, что, с точки зрения математика, вся эта механика есть не что иное, как операция сложения двух функций. Одна из них — это профиль ключа. Другая—линия, очерчивающая верхние торцы штифтов, когда замок заперт. Операция сложе- ния функций состоит в том, что в каждой точке из общей области их определения к значению одной функции прибавляется значение другой. Тем самым определяет- ся, какое значение в данной точке имеет функция, на- зываемая суммой двух исходных. Секрет дверного замка в том, что в результате сложе- ния двух функций, выраженных профилем ключа и стро- ем штифтов, получается функция-константа, постоянное значение которой равно диаметру барабана. Функции можно не только складывать, но и вычитать. При этом' в каждой точке области их определения из значения одной функции вычитается значение другой. Таким же образом происходит и перемножение функ- ций: в каждой точке значение одной умножается на значение другой. Заметим: если одна из перемножае- 150
мых функций представляет собой постоянную, то про другую в таком случае говорят, что ее умножили на постоянный коэффициент. Например, про функцию, вы- ражающую прямую пропорциональность, можно ска- зать, что она получается в результате перемножения двух простейших линейных функций — той, которая равна своему аргументу, и постоянной, равной коэффи- циенту пропорциональности. Наконец, подобным образом можно определить част- ное двух функций. Заметим: функция-делитель не долж- на обращаться в нуль ни при одном значении аргумента из ее области определения. Итак, мы умеем теперь применять к функциям все четыре арифметических действия. В этом и состояла проблема, решить которую нам было необходимо для продолжения разговора о функциях. 151
Пора опробовать в деле только что освоенные нами действия над функциями. Возьмем линейную функцию, выражающую прямую пропорциональность, и прибавим к ней функцию-константу. В итоге получится линейная функция самого общего вида, примеры которой нам дали измерения длины нагреваемого металлического стержня и определение долготы по часам. Постоянной прибавкой в первом случае служила длина стержня при начальной температуре, во втором — долгота того места, в котором были поставлены часы. Если линейную функцию самого общего вида умно- жить на постоянную, она сохранит свой линейный вид. Если сложить две произвольные линейные функции, х получится опять-таки линейная функция. А если к произвольной линейной функции прибавить параболу второй степени, умноженную на некоторый произвольный коэффициент? В итоге возникнет опять- таки парабола второй степени; правда, ее вершина при этом сместится, если первое из слагаемых, линейная функция, не константа. Формулой для такой «смещен- Если складывгть постоянную и линейную функции, параболы второй и более высоких степеней, то будут получаться функции, называемые полиномами. В разговоре о конкретном полиноме принято указы- вать его степень. Она равна наивысшей из степеней парабол, которые были слагаемыми при образовании данного полинома. Поэтому, например, о квадратном трехчлене говорят как о полиноме второй степени, о 152
линейной функции — как о полиноме первой, о постоян- ной — как о полиноме нулевой степени. Такая терминология не случайна. На предыдущих при- мерах мы могли убедиться, что график полинома своей формой обязан параболе наивысшей степени, участво- вавшей в его образовании. Так наклон графика линей- ной функции, полинома первой степени сохраняется, если к ней прибавить постоянную, полином нулевой степени. А если к ней прибавить полином второй степе- ни, график станет параболой. Вся богатейшая семья механизмов, окружающих со- временного человека, начиналась когда-то с семи про- стых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти не- хитрые по теперешним представлениям устройства ум- ножали силу человека. Но... во сколько раз выиграешь в силе — во столько же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое правило механики, заключающее в себе теорию семи простых машин. График, приведенный на этой странице, есть нагляд- ное выражение знаменитого правила. По горизонталь- ной оси отложена сила, с которой, например, нужно давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на заданную высоту, по вертикальной — расстояние, которое пройдет при этом точка приложения силы. Хотите обойтись силой, например, вдвое меньшей, чем вес груза, — будьте готовы к тому, что эта точка опустится на вдвое большее расстояние, чем высота подъема груза. Троекратный выигрыш в силе влечет за собой троекратный проигрыш в расстоянии и так далее. 153
Линия, выражающая такую функциональную зависи- мость, называется гиперболой. Если отвлечься от механической сущности графика, то в чистом виде останется выражение обратной про- порциональности. Именно в соответствии с ней хозяйка делит пирог между гостями. Чем больше гостей — тем меньше порции. Закон обратной пропорциональности глядит на нас и со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки, и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда чисел — метры и мегагерцы, длина волн и их частота. Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь: при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась длина волны, во столько же раз упала частота. График гиперболы можно увидеть в школьном каби- нете физики, на лабораторном столе, где демонстриру- ются явления капиллярности. В штативе несколько тон- ких стеклянных трубочек, расположенных в порядке воз- растания диаметров. Известно, что в тонком канале смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась выше всего, в другом, диаметр которого в два раза больше, в два раза ниже, в третьем, что толще первого в три раза, — в три раза ниже и так далее. А теперь опустим в эту же жидкость этакий клин, образованный двумя стеклянными пластинками, со- мкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между стеклами жидкость устремится, как в капил- ляр. Высота ее подъема определится шири- ной зазора. А он увеличивается равномерно по мере удаления от острия клина. Поэтому свободная поверхность жидкости четко вы- рисовывает гиперболу — график обратной пропорциональности. Так как же все-таки возникла гипербола в стеклянном клине? 154
В учебнике физики можно отыскать формулу Н = k/d: высота поднятия жидкости Н получается делением не- которого коэффициента к на ширину капиллярного за- зора d. Зазор в стеклянном клине пропорционален рас- стоянию от острия клина, иными словами, выражается линейной функцией от этого расстояния, а коэффициент определяется свойствами жидкости (поверхностным на- тяжением, удельным весом) и с расстоянием от острия клина не изменяется, остается постоянным. Итак, наша гипербола получилась в результате деления простей- шей линейной функции, константы, на чуть более слож- ную линейную функцию, выражающую прямую пропор- циональную зависимость. Обе эти функции, как мы знаем, простираются и в область отрицательных значений аргумента. Учтя это, достроим график гиперболы до полного вида. На нуль, правда, делить нельзя, так что в нуле гипербола не определена, в ее область определения эта точка не входит. величины в произведении дают постоянную. Вспомним примеры из предыдущего раздела — ска- жем, пример с тортом. Когда число гостей росло, вес порции уменьшался; произведение же этих двух вели- чин оставалось равным постоянному весу торта. А при- мер с радиоприемником? Произведение длины радио- волны на ее частоту всегда равно скорости света. Заметим: объединяя в произведении зависимую и независимую переменные, мы получаем примеры так называемого неявного задания функции. Этот термин употребляют во всех тех случаях, когда зависимая пере- менная не выражена через независимую, а вперемешку 155
с ней, в различных сочетаниях входит в некоторое ма- тематическое выражение, приравненное постоянной, а чаще — нулю. Подставив в такое равенство значение независимой переменной, соответствующее значение зависимой подыскивают так, чтобы равенство удовле- творилось. В этом и состоит закон соответствия, кото- рый определяет функцию, заданную неявным образом. Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет. Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции. Примем объем информации в некоторый год за еди- ницу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом коор- динат, в которых будет строиться график, по вертикаль- ной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над еди- ничной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет. Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой «два», соответ- ствующей второму десятку, еще вдвое больший — над точкой «три»... Декада за декадой — избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифме- тической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое, — по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать... (Нетрудно заметить, что эти числа представляют собой последовательные сте- пени двойки — первую, вторую, третью, четвертую и так далее.) А что если посмотреть, как нарастал поток информа- ции до того года, который принят за начальный? Столь же равномерно, откладывая единицу за единицей, прой- демся по оси абсцисс влево от начала координат и над отложенными значениями аргумента будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — вдвое с каждым шагом. 156
Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией — ведь количество информации нарас- тает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачка- ми. Перед нами график так называемой показательной функции. Как же определяется эта функциональная зависимость, обрисованная покуда лишь лег- ким росчерком пера? По пути к строгой ее форму- лировке мы предлагаем вам, чи- татель, поразмышлять над во- просом: во сколько раз нараста- ет объем информации за пят- надцать лет, если за декаду он увеличивается вдвое? Пятнад- цать лет — это полторы декады. Стало быть, ответ на поставлен- ный вопрос дает высота постро- функция енной нами кривой в точке с абсциссой «полтора»: примерно в 2,83 раза. А теперь, обратите внимание: абсциссе «один» на графике соот- ветствует первая степень двойки, абсциссе «два» — вто- рая степень, абсциссе «три» — третья... Логично заклю- чить отсюда, что число 2,83 есть двойка в степени полтора. Точно таким же образом график укажет нам любую другую степень двойки — целую или дробную, положи- тельную или отрицательную. Для этого стоит лишь от- ложить показатель степени на оси абсцисс и измерить в этой точке высоту кривой. Итак, каждое значение нашей функции есть двойка в степени, равной соответствующему значению аргумен- та. Так и определяется показательная функция, описан- ная нами. Число, возводимое в степень (в нашем при- мере им служила двойка), называется ее основанием. И еще один термин: график показательной функции именуется показательной кривой. Иногда эту линию называют экспонентой (от латинского «ехропеге»—«вы- ставлять напоказ»). Многим этот термин знаком по рас- хожему словосочетанию «экспоненциальный рост», вы- 157
ражающему наиболее броскую черту показательной кривой, — ее безудержно крутой взлет. Примеры подобного роста подыскать нетрудно. Пока- зательная функция непременно встречается при мате- матическом описаний таких процессов, в которых ско- рость изменения некоторого количества в каждый мо- мент пропорциональна самому количеству. По такому правилу размножается все живое: приплод пропорционален достигнутой численности. По закону все более крутого, экспоненциального роста увеличива- ется колония микробов в чашке Петри. По такому же закону плодились кролики, за короткий срок заполнив- шие Австралию. Природа знает и примеры экспоненциального спада, когда скорость убывания некоторого количества в каж- дый момент пропорциональна остатку (а стало быть, уменьшается вместе с ним; в этом — характерная черта экспоненциального спада). Скорость химической реакции сохраняет пропорцио- нальность количеству реагирующих веществ по мере того, как они расходуются с течением времени. (В этой пропорциональности заключается один из важнейших законов химии — так называемый закон действующих масс.) Скорость радиоактивного распада точно так же соразмерна с количеством еще нераспавшихся атомов., И термин «период полураспа- да» прекрасно отражает экс- поненциальный характер про- цесса: по прошествии этого периода число нераспавших- ся атомов сокращается вдвое, еще период спустя — вчетверо и так далее. Если процесс изобразить графиком, то ординаты любых двух точек кривой всегда будут отличаться poBHCi в два раза, если их абсциссы разнятся на величину периода полу- распада. Иными словами, когда аргумент изменяется по закону арифметической прогрессии, функция изменяет- ся по закону геометрической прогрессии (на сей раз убывающей). А в этом — определяющая особенность показательной функции. 158
Проницательный читатель отметил некоторую непол- ноту, узость нашего описания показательной функции. Строя ее график за разговором об информационном буме или радиоактивном распаде, мы каждый раз раз- бивали горизонтальную ось координат на отрезки рав- ной длины и над засечками расставляли точки так, чтобы каждая последующая располагалась вдвое выше или вдвое ниже предыдущей. Ну а если бы количество информации возрастало с каждым десятилетием не в два, а, скажем, в два с половиной раза? И соответственно по такому же закону изменялась бы высота точек, наносимых на координат- ную плоскость. Что, в результате получился бы график уже не показательной функции? Показательной. Но только с другим основанием, рав- ным двум с половиной. Новый график, в общих чертах напоминая прежний, устремлялся бы ввысь уже с не- сколько большей скоростью. Всмотритесь в него: высота кривой над делениями горизонтальной оси равна последовательным степеням числа два с половиной: минус первая его степень равна четырем десятым, нулевая—единице, первая — двум с половиной, вторая — шести с четвертью и т.д. Беря в качестве основания все новые положительные числа, мы получали бы все новые показательные функ- ции. Не стоило бы только назначать на роль основания 159
единицу — ведь она остается собой при возведении в любую степень, так что показательная кривая выроди- лась бы в горизонтальную прямую. Но есть среди всех чисел такое, которое чаще всех прочих служит основа- нием показательной функции. О нем как-то раз у нас уже заходила речь: это — число е, равное 2,71828... Выбор пал на него в силу важных его достоинств, распростра- няться о которых мы пока не имеем возможности. Так что если в разговоре о показательной функции ее основание не указывается, знайте, что им служит число е. Сколько звезд на небе? Одним из первых, кто попытался точно ответить, на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие иссле- дователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие — второй, еще столь же менее яркие—третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска — до звезд, едва видимых невооруженным глазом, кото- рым была присвоена шестая величина. Когда ученые получили в свое распоряжение чувстви- тельные приборы для световых измерений, стало воз- можным точно определять блеск звезд. Стало возмож- ным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по ви- димому блеску, произведенное на глаз. Оценки того и другого рода сведем на одном графике От каждой из шести групп, на которые звезды распре- делил Гиппарх, возьмем по одному типичному предста- вителю. По вертикальной оси, будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную вели- чину, по горизонтальной — показания приборов. За мас- 160
штабную единицу горизонтальной оси примем блеск звезды «8 Тельца*», стоящей посредине в ряду предста- Сразу же бросается в глаза: отметки на горизонталь- ной оси располагаются неравномерно. Объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу. С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает ис- точники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколь- ко раз?», а не вопросом «на сколько?». Мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномер- но, в действительности мы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поис- тине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз различаются по блеску источники света, самый слабый и самый мощный, воспринимаемые человеческим гла- зом. По тому же закону мудрая природа проградуировала и наш слуховой аппарат. И оттого диапазон звуков, внятных человеческому уху — от шелеста листвы до раскатов грома над головой, — почти столь же широк. Кстати сказать, именно в силу описанной физиологи- ческой особенности звезды, ярко горящие на ночном небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца’, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет 6-480 161
весьма незначительную долю от солнечного блеска (менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого и гаснут звезды в лучах утренней зари. Оттого же и голос солиста, когда его пение подхваты- вает хор, тонет в многоголосом звучании. Суть функциональной зависимости, описанной нами на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует одно и то же приращение функции. Когда аргумент меняется по закону геометрической прогрессий, функ- ция меняется по закону арифметической. Как же называется функция, с которой мы познакоми- лись по звездному график^ Прежде чем отвечать на этот вопрос, мы предложим вам, читатель, несколько других. Вы без труда ответите на них, обратившись к первому из графиков, приведен- ^-ных на стр. 159. В какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить шесть с четвертью? Во вторую, отвечает упомянутый график. А в какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить четыре десятых? В минус первую. А чтобы получить два с половиной? В первую. А единицу? В нулевую. Число, которое нужно употребить показателем степе- ни при указанном основании для того, чтобы получить заданное число, называется логарифмом заданного числа по указанному основанию. Минус один, нуль, один, два — это логарифмы по основанию 2,5 для чисел 0,4; 1; 2,5; 6,25. А теперь, не выпуская из памяти всю эту информацию, вернемся к нашему звездному графику. Вот точКа с пометкой «v Дракона А»: абсцисса — около четырех десятых, ордината — примерно минус один. Вот точка «8 Тельца»: абсцисса — один, ордината — нуль. Точка Персея»: абсцисса — два с половиной, ордината — один. Точка «Кастор»: абсцисса — шесть с четвертью, ордината — два. 162
Итак, ординаты выделенных точек графика являются логарифмами абсцисс, взятыми по основанию два с половиной. Выраженная графиком функциональная за- висимость заключается в том, что положительным чис- лам ставятся в соответствие их логарифмы. Такую функ- цию естественно назвать логарифмической. А ее график именуют логарифмикой. В роли основания логарифмов встречаются различ- ные положительные числа. На практике весьма употре- бительны десятичные логарифмы, основание которых равно десяти. В теоретических исследованиях популяр- нее так называемые натуральные логарифмы, основа- нием которых служит уже знакомое нам число е. Теперь становится понятным общепринятое и, быть может, уже слышанное вами название этого числа: «ос- нование натуральных логарифмов». Кривая натурального логарифма, так называемая на- туральная логарифмика, приведена на стр. 159 рядом со звездным графиком. Почему летом теплее, чем зимой? Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом. Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли — это почти круг, в центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила меняется слиш- ком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было причиной смены времен года. Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты. Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных в* 163
лучей она по-разному распределяется по земной по- верхности. Больше всего ее приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок. Попытаемся определить точно: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного тре- угольника на приведенных рисунках (средний из них ВС стал равным BD и слился с АВ брать во внимание пока не будем). Гипотенуза АВ, на которую падают солнечные лучи, всюду одна и та же. А 164
вот катет ВС, через который в треугольник входят осве- щающие гипотенузу лучи, составляет лишь часть отрез- ка BD, обозначающего на всех рисунках ширину свето- вого потока. Доля потока, приходящегося на гипотенузу, очевидно, равна отношению BC/BD. Вот теперь настало время обратиться к среднему рисунку. Судя по нему, ширина светового потока BD равна длине гипотенузы АВ. Стало быть, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению вышеука- занного катета к гипотенузе: ВС/АВ. Это отношение равно 0.5, когда угол падения лучей составляет 30*, приблизительно равно 0.7, когда этот угол увеличивается до 45*. а при угле 90*. то есть при отвесном падении лучей, оно, как и следовало ожидать, в точности равно 1 — в этом случае катет ВС сливается с гипотенузой АВ. Как меняется это отношение в зависимости от угла падения, удобнее судить, если все жирно очерченные прямоугольные треугольники собрать в одну связку, где их катеты расположены параллельно друг другу, а гипо- тенуза стала радиусом некоторой окружности. И если задан угол, под которым солнечные лучи встречаются с освещаемой поверхностью, нужно отложить его на этой круговой диаграмме, из точки пересечения его наклон- ной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр, и взять отношение этого пер- пендикуляра к радиусу окружности. Иными словами, в 16&
прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определенное таким образом И1 поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. Выше приведен график описанной функциональной зависимости. Читатель, конечно, узнает не раз виденную синусоиду. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной. Продолжим синусоиду, переведя разговор о ней на темы электротехники. Почему трамвай работает на постоянном токе? Сту- денческий фольклор отвечает на этот вопрос так: если бы он работал на переменном, рельсы пришлось бы укладывать по синусоиде. Шутка напоминает о том, что переменный ток изме- няется во времени по зако- ну синуса. Откуда же здесь берется синусоида? Обратимся к упрощенной схеме дина- момашины — источника переменного тока. Ток воз- никает в рамке, которая равномерно вращается в одно- родном магнитном поле. Величина тока определяется скоростью изменения магнитного потока, пронизываю- щего рамку. Следующие рисунки показывают последовательные стадии этого изменения. Величина магнитного потока, пронизывающего рамку, обозначена фигурной скобкой. Эта величина максимальна, когда рамка перпендикуляр- на потоку (третий рисунок). Когда рамка наклоняется, доля пронизывающего ее потока уменьшается и обра- щается в нуль, когда рамка располагается вдоль потока (шестой рисунок). Как же в точности определить зави- симость этой доли от угла поворота рамки? 166
Чтобы облегчить решение поставленной задачи, мы достроили последний рисунок так, что рамка стала ги- потенузой прямоугольного треугольника АВС и фигур- ная скобка отметила длину его катета ВС. Теперь уже, надеемся, ясно, что интересующая нас доля магнитного потока равна отношению катета ВС к гипотенузе АВ, то есть синусу угла поворота рамки (этот угол помечен дужкой на последнем рисунке). За подтверждением та- кого вывода можно обратиться к рисункам на стр. 165 и сравнить любой из нарисованных там треугольников АВС с нарисованным здесь. Поскольку рамка вращается равномерно, угол её по- ворота может служить мерой времени. Все сказанное позволяет заключить: магнитный поток, пронизываю- щий рамку, меняется во времени по закону синуса. По мере вращения рамки магнитный поток пронизы- вает ее то с одной, то с другой стороны, и это выража- ется в сменах его знака — в полном соответствии с течением синусоиды. Оборот за оборотом — нарастания и спады потока в точности повторяются снова и снова. Так вдоль оси абсцисс одна за другой выстраиваются волны синусоиды, похожие друг на друга, как две капли воды. Но это лишь график магнитного потока. Теперь нужно оценить, какова каждый момент времени скорость его изменения — она-то и определяет ток в рамке. О том, как это делается, мы поговорим позже, когда речь пойдет о дифференциальном исчислении. А пока приведем без пояснений соответствующий график. Он имеет вид синусоиды, сдвинутой на четверть волны влево. Точное название этой кривой — косину- 167
соида. Однако очень часто из-за сходства с синусоидой ее ошибочно называют так же. В этом нет ошибки лишь в том случае, если начало отсчета аргумента не указано. Стоит отметить, что косинусоида, если рассматривать ее как функцию угла, имеет столь же тесное отношение к прямоугольным треугольникам, что и синусоида. Если построить прямоугольный треугольник с заданным углом и измерить отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе, то получится величина, назы- ваемая косинусом. Ее зависимость от угла и описывает 168
Наконец, для каждого значения угла, при котором строится прямоугольный треугольник, можно измерить отношение катетов — скажем, противолежащего к при- лежащему. Эту величину называют тангенсом. Люби- тель математических выкладок без труда убедится в том, что тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу. Определенные формулы связывают описанные функ- ции и попарно: синус с косинусом, синус с тангенсом тангенс с косинусом. Эти связи проистекают из того, что все три функции породнены прямоугольным треуголь- ником, через который они определяются. От греческого имени треугольника — «тригонон» — произошло собира- тельное название «тригонометрические функции». К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получае- мые из перечисленных по правилу обратной пропорци- ональности. В коллекции математических шуток есть такой вопрос: каким по величине покажется угол в пять градусов, если его разглядывать в лупу с десятикратным увеличением? Угол, конечно же, не изменится. Ответ как будто очевиден. И все-таки давайте обсудим этот оптико-гео- метрический феномен пообстоятельнее. На рисунках — одна и та же фигура, но выполненная в разных масштабах, словно рассматриваемая через лупы со все большим увеличением. Все сильнее удли- няются стороны треугольников, радиус окружности. Но присмотритесь: они увеличиваются всегда в одно и то же число раз. Отношения их длйн не изменяются. Эта неизменность естественным образом связана с постоянством углов на наших разномасштабных рисун- ках: ведь рисунки подобны друг другу. Такая связь не- когда и подсказала математикам мысль: мерить углы не традиционными градусами, а числами — отношениями линейных элементов тех фигур, которым принадлежат углы. 169
Элементы, которые наиболее удобно использовать для этой цели, мы вычертили пожирнее. Они образуют сектор. Можно разделить длину дуги сектора на его радиус и частное назвать величиной секториального угла (на рисунках он Отмечен дужкой). Хороша ли такая мера? Однозначна ли? Не приведет ли к недоразумениям? Давайте разберемся. Представьте, что на каждом рисунке исчезло все, кроме сторон угла, о котором идет речь. Проведем дугу с центром в вершине этого угла, от одной его стороны до другой. Каким бы ни был радиус дуги, огромным ли, крохотным ли, возникший сектор будет подобен тем секторам, что выделены на прежних рисунках. Точно таким же будет отношение длины дуги, стягивающей угол, к ее радиусу. А это значит, что предложенный метод определяет величину угла совершенно однознач- но. Описанный способ измерять углы называется радиан- ной мерой. Освоить ее нетрудно. Известно, что длина окружности радиуса R равна 2nR. Следовательно, полный угол, ко- торый она охватывает, будет равен 2л, если его изме- рять только что описанным способом. Прямой угол, вчетверо меньший полного, тогда выразится числом л/2, угол в 45* — числом л/4, в 30* — числом л/6 и так далее. 170
Если радианную меру вам захочется обратить в гра- дусную и наоборот, учтите, что они пропорциональны друг другу, и закон пропорциональности таков: угол в Г выражается в радианной мере числом 0,017453... а угол, равный единице в радианной мере, в градусной составляет 57*17’44,8"... (дуга окружности, стягивающая такой угол, по длине равна своему радиусу). И пусть вас не удивляет, если в дальнейшем мы будем говорить «синус двойки», «тангенс половины». Зная, как соразмерены градусная и радианная меры, вы можете прикинуть в уме: двойка — это примерно сто четырнад- цать градусов, половина — чуть меньше двадцати девя- ти. Такой пересчет удобен на первых порах знакомства с радианной мерой. Надеемся, что впоследствии вы убе- дитесь, что она гораздо удобнее градусной. Вы увидите, например, что тригонометрические функ- ции встречаются не только в задачах, связанных с угла- ми, поворотами, вращением. Если аккуратно снять шкурку с пластика колбасы, порезанной наискосок, то эта гибкая полоска, расправленная на столе, лревратит- ся в волну синусоиды. А вот пример посерьезнее. По синусоиде изгибается линейка, сжатая с концов, упругая балка под непомерной нагрузкой. Как поточнее перенести форму прогнувшейся линей- ки на график? Какие единицы откладывать по доризон- 171
тальной его оси? Аргумент синуса мы привыкли выра- жать в градусах. Но как измерить в них расстояние между концами прогнувшейся линейки? Вот тут и обнаруживает свои преимущества радиан- ная мера. Выберем единицу измерения так, чтобы рас- стояние между концами линейки выражалось числом п. Отрезок такой длины отложим на оси абсцисс и постро- им на нем график синуса. Несколько характерных точек можно нанести на гра- фик сразу. Синус прямого угла, как известно, равен единице, а радианная мера прямого угла — л/2. Это число соответствует середине отрезка, отложенного на оси абсцисс, — значит над ней следует поставить точку с ординатой, равной единице. Синус 30° равен полови- не, а радианная мера этого угла — л/6. На графике появляется еще одна точка с координатами л/6 и 1/2. Так, точка за точкой на координатной плоскости воз- никает аккуратная синусоида. « ...А за окном то вверх взлетали, то вниз ныряли провода», — вот непременный штрих картины, которую видит из вагонного окошка пассажир поезда дальнего следования. Впрочем, чтобы увидеть эти красивые взлеты и спады, не нужно отправляться в дальнюю дорогу. Ведь точно по такому же закону провисает и цепочка ходиков, и верев- ка, на которую хозяйка собирается вешать белье. Оказывается, этот изящный прогиб математически описывается полусуммой двух экспонент — одна с плю- сом, другая с минусом перед аргументом. Называется такая функция цепной линией. Есть у нее и другое название — гиперболический косинус. Оно связано с чисто математическими свойст- вами функции и, казалось бы, затеняет- ее связи с физической реальностью. Это не так: абстрактность второго названия при желании можно понять как указа- ние на то. что цепная линия пригодна не только для математического описания провисающих проводов и веревок. 172
Эта красивая функция задает, например, форму мыль- ной пленки, натянутой между двумя проволочными коль- цами: если посмотреть на эту прозрачную трубку сбоку, ее абрис будет представлять собой цепную линию. Коль скоро речь пошла о гиперболическом косинусе, нельзя не упомянуть о гиперболическом синусе — полу- разности экспонент, одна с плюсом, другая с минусом перед аргументом. Существует в математике и гиперболический тангенс, который, как и в тригонометрии, конструируется в виде отношения синуса и косинуса, разумеется, гиперболи- ческих. Определение тангенса — не единственная аналогия между функциями гиперболическими и тригонометри- ческими. Формулы, связывающие между собой гипер- болические функции, весьма похожи на формулы для тригонометрических функций. Функции, о которых мы рассказывали до сих пор, называют элементарными. То же звание носят их все- возможные комбинации с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня. Употребляя понятия, речь о которых еще впереди, ска- жем ради полноты, что обратные и сложные функции 173
полученные из перечисленных, также называются эле- ментарными. Не нужно думать, что в математике есть принцип отбора, по которому функции зачисляются в разряд элементарных. Так распорядилась история. Функции, названные элементарными, раньше, чем прочие, появи- лись в математике и сыграли важную роль в ее развитии и ее приложениях. Опыт их использования богат, их символы привычны. О I 2 к Функция Хмислйда Если быть строгим, то надо признать, что функций, изображенная на рисунке (ее называют «абсолютная величина X», или «модуль X»), столь же элементарна, как и линейная функция. А функция Хевисайда, изображение которой приведе- но следующим? Состоящая из двух горизонталей, она- то уж совсем элементарна. Но появившаяся в матема- тике на рубеже прошлого и на- шего веков, она уже не получи- ла звание элементарной. ...«Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуе- мые, иначе такое бросание будет пустою забавою». После- дуем совету мудрого Козьмы Пруткова и понаблюдаем за кругами на воде.- Вот что мы увидим, если остановим мгно- вение и рассечем пополам вод- ную толщу. - Просматривая атлас функций — не найдется ли там чего похожего? — мы бы крикнули «эврика!» на страни- це, где изображены так называемые функции Бесселя. 174
Функции Бесселя рождены для тога, чтобы описывать процессы в цилиндрических структурах. Колебания жид- кости в топливном баке взлетающей ракеты, поведение плазменного шнура в магнитном поле, распространение тепла вокруг тепловыделяющего стержня в ядерном реакторе >— в любом из этих случаев найдется примене- ние функциям Бесселя. Для этих функций введен особый символ, для них, как для синусов и логарифмов, составляются таблицы, од- нако в разряд элементарных они не занесены.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно так же облик каждой функции можно предста- вить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. Функции — это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы про- иллюстрировать характерные свойства функций, нам показалось естественным обратиться к пословицам. Ведь пословицы — это тоже отражение устойчивых зако- номерностей, выверенное многовековым опытом наро- да. «Чем дальше в лес, тем больше дров», — гласит по- словица. Изобразим графи- ком, как нарастает количест- во дров по мере продвиже- ния в глубь леса — от опушек, где все давным-давно собра- но, до чащоб, куда еще не ступала нога заготовителя. Горизонтальная ось графи- ка — это лесная дорога. По вертикали будем отклады- 176
вать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги. График представит количество дров как функцию пути. Согласно пословице эта функция неизменно возрас- тает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес...) значение функции будет больше (... тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием. Сходное свойство иллюстрирует и пословица «Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассмат- ривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и на прежнем уровне. Подобного рода функции называ- ются монотонно неубывающими. Чувствуете ли вы, читатель, разницу между дровами и кашей? То бишь между монотонным возрастанием и монотонным неубыванием? Возрастание — это только вверх. Неубывание — это либо вверх, либо ни вверх, ни вниз. Возрастание — частный случай неубывания. Например, всюду постоян- ная функция (константа) принадлежит к числу неубыва- ющих, хотя она ни на одном участке своей области определения не возрастает. «Дальше кумы — меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от rtl. кумы, монотонно убывающая. «Выше меры конь не ска- чет». Если изобразить траек- торию скачущего коня, то вы- сота скачков в полном соот- ветствии с пословицей будет 177
ограничена сверху некоторой «мерой». Вот знакомый график синуса. И здесь есть своя мера, выше которой не вздымаются волны синусоиды. Такой мерой, такой непреступаемой верхней гранью может послужить и десятка, и семерка, и тройка, и единица. Единица среди всех перечисленных величин на особом положении: это точная верхняя грань для значений синуса. В каком же смысле она точна? В том, оче- видно, что понизить ее уже нельзя. Для любого уровня, что ниже точной верхней грани, найдутся значения функции, его превос- ходящие. В этом одно из двух отличительных свойств точной верхней грани. А другое и совсем очевидно: ее не превосходит ни одно значение функции. Обратите внимание на это выражение: «не превосхо- дит». Это значит «меньше или равно». Синус и в самом деле кое-где равен единице — в точках,, соответствую- щих макушкам волн. Во всех остальных он меньше единицы. Есть у значений синуса и точная нижняя грань—минус единица. Есть точная нижняя грань и у значений показательной функции — нуль. Правда, в отличие от синуса, который в некоторых точках равен по величине своей точной нижней грани, у показательной функции нет ни одной точки, где она обратилась бы в нуль. Как говорят, пока- зательная функция своей точной нижней грани не до- стигает. Это, разумеется, не мешает нулю служить точной нижней гранью для показательной функции. Во-первых, для любого уровня, даже чуть-чуть выше нуля, найдутся точки кривой, лежащие под этим уровнем. Во-вторых, ни одна точка кривой не лежит ниже нуля. Нуль облада- ет, таким образом, обоими отличительными свойствами точной нижней грани. Сверху же никаких ограничений для показательной функции не существует. Назначьте любой уровень — как 178
бы ни был он высок, найдется значение функции еще большее. (Отметьте про себя эту фразу: в ней — опре- деление функции, неограниченной сверху.) Однако показательная функция способна и на боль- шее: превзойти любой назначенный уровень не только в одной, но сразу во всех лежащих правее, более дале- ких от нуля, точках. А это уже не простая неограничен- ность. Про такую функцию говорят, что она стремится к бесконечности при бесконечном возрастании аргумен- та. Чувствуете ли вы, читатель, тонкую разницу между неограниченностью и стремлением к бесконечности? Если нет, то специально для вас мы выведем на эту страницу, как на цирковую арену, своего математичес- кого коня, который способен скакать выше любой меры. Мы заставим его допрыгивать до все больших значений показательной функции. Если представить траекторию коня как график неко- торой функции, то это будет функция неограниченная: любую высоту наш конь возьмет в каком-то из прыжков. Но выше превзойденного уровня он не останется на- всегда. Такую функцию, хотя она и неограниченная, нельзя назвать стремящейся к бесконечности. Просматривая графики функций, о которых говори- лось раньше, мы не раз найдем приложения только что сформулированным понятиям. Вот, например, логарифм. Он неограничен снизу: какой уровень ни назначь — каждый раз, как бы ни был низок этот уровень, найдется значение логарифма еще ниже. 179
Нельзя не заметить: рекорды глубины логарифм бьет один за другим при значениях аргумента, все более близких к нулю. Говорят, что логарифм неограничен снизу в окрестности нуля. Про логарифм можно сказать и больше: его кривая способна опуститься ниже любого назначенного уровня не только в одной какой-то точке, близкой к нулю, но сразу во всех точках некоторой окрестностй нуля (ши- рина окрестности, разумеется, зависит от того, какова назначенная глубина). Это означает, что логарифм стре- мится к минус бесконечности при стремлении аргумента к нулю. «При стремлении аргумента к нулю справа», — уточнит нас, пожалуй, дотошный читатель. И тем самым даст нам повод к рассказу о том, как и зачем математики иногда не обращают внимания на знаки чисел. Плюс десять и минус десять — это, конечно, числа разные. Но математик скажет, что они одинаковы по абсолютной величине. Этот обобщающий термин по- зволяет математику говорить, что гипербола стремится к бесконечности при стремлении аргумента к нулю, что парабола и линейная функция бесконечно возрастают при бесконечном возрастании аргумента. Без упомина- ния знаков плюс и минус бесконечное возрастание по- нимается как возрастание по абсолютной величине. А когда говорят о стремлении аргумента к какой-то точке, не упоминая о знаках «плюс» и «минус», о левой и правой ее окрестностях, считается, что он может стремиться к ней с любой стороны. «Пересев хуже недосева», — издавна говорили земле- дельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной гус- тоте ростки начинают глушить друг друга. 180
V f(a)- Максимум Точка максимума '______ х Плотность посева а Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Макси- мум — это наибольшее зна- « чение функции по сравне- о нию с ее значениями во всех :£ соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни. В примере с урожаем дело обстоит точно так же, как в той застольной ситуа- ции, которую описывает по- словицу «Недосол на столе — пересол на спине». Каче- ство пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли. — невкусно, много — тоже в рот не возьмешь. А где-то в промежутке, в золотой середи- не, когда соли в самый раз, кушанье становится особен- но лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейшей щепотью соли больше или мень- ше — и дегустатор с утонченным вкусом скажет, что качество пищи снизилось. Есть у максимума антипод — минимум. Минимум — это как бы дно впадины, из которой, куда ни шагни, все дороги ведут только вверх. Правда, если шагать все дальше, 'возраста- ние где-то может сме- ниться и спадом. Про минимум говорят тогда, что он локальный. Зва- ние абсолютного мини- мум получает лишь тогда, когда это на- именьшее значение функции для всей об- ласти определения. Если ,на всем ее протя- жении локальных минимумов несколько, то абсолютный нужно еще поискать. Может, кстати, оказаться, что функ- 181
ция принимает наименьшее значение в граничной точке области определения. (Все сказанное легко перефрази- руется по отношению к наибольшему значению, абсо- лютному и локальным максимумам.) В семье элементарных функций, которая поставляла примеры для наших предыдущих рассуждений, боль- шинство составляют функции,, либо всюду возрастаю- щие, либо всюду убывающие. Такое преобладание от- нюдь не характерно для всего огромного мира функци- ональных зависимостей. На практике гораздо чаще при- ходится иметь дело с такими представителями этого мира, которые наделены обоими качествами: местами они возрастают, местами убывают. Участки убывания и возрастания стыкуются в точках максимумов и миниму- мов. Подобное можно увидеть у параболы или синусои- ды. Проследите эти графики слева направо, от меньших аргументов к большим: в точке минимума спад сменя- ется ростом, в точке максимума — наоборот. Общая стыкующая роль максимумов и минимумов подчеркива- ется их обобщающим названием «экстремум». Как под словом «ребенок» подразумевается либо мальчик, либо девочка, так понятие «экстремум» распадается на «мак- симум» и «минимум». «Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица за- служивает того, чтобы быть включенной в правила науч- ной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение. Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространен- ной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл». Обе функции, представленные на графиках зависящи- ми от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному. Наклон одной кривой постоянно увеличивается; Рост функции усиливается с ростом аргумента. Такое свой- ство функции называется вогнутостью. 182
Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью. Если вам хочется получше уяснить различие между вы- пуклостью и вогнутостью, £ f сравните график роста чело- J века с графиком роста насе- £t / ления Земли. Здесь опять- / таки и та и другая функция J возрастающие. Но рост чело- У века со временем замедляет- ся: достигнув зрелого возрас- та, человек уже не растет. На- селение земного шара, на- против, с течением времени Время растет все быстрее и бы- стрее. В первом случае мы говорим о выпуклости, во вто- £ J1 ром — о вогнутости. Нетрудно найти иллюстра- а. ции этим понятиям и среди элементарных функций. По- казательная функция — во- гнутая. Логарифм, корень г квадратный — выпуклые. Вы- / пуклую параболу выписывает / и снаряд, выпущенный из I пушки под углом к горизонту. *-----------------► Но присмотритесь подольше Время к его полету: достигнув мак- симальной высоты, он начинает падать; однако искрив- ление его траектории сохраняет прежний характер, и это подсказывает, как распространить понятие вогну- тости и выпуклости на случай убывающих функций. Все усиливающийся спад — это выпуклость, все замедляю- щийся — вогнутость. Парабола вершиной вниз представляет собой вогну- тую функцию: сначала она спадает все замедляющими- ся темпами, потом нарастает все ускоряющимися. Во- гнутой функцией является и гипербола, построенная для 183
положительных значений аргумента. Другая ветвь ги- перболы выпуклая. Напоследок стоит отметить, что одна и та же функция может иметь , как участки выпуклости, так и участки вогнутости — поглядите на ту же синусоиду. Точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наобо- рот, называются точками перегиба. «Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-то дело безнадежно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату. Поговорку знают все, но не каждый знает, как расска- зывается сказка. Важная деталь рассказа — реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог: — Рассказать тебе сказку про белого бычка? — Расскажи. — Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка? — Так давай же! — Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка? — Ну хватит! — Ты ну хватит... и так далее. Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «У попа была собака». Ради полноты приведем и ее. «У попа была собака. Он ее любил. Она съела кусок мяса. Он ее убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он ее любил...» и так далее. Белый бычок и поповская собака нужны нам для раз- говора о периодических функциях, для уяснения мате- матического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью. Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни 184
возьми, она обязательно повторится через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь. В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать нт сколь угодно долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с ее круглосуточны- ми наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п. Все они могут быть спокойны за свое будущее. Мак- симумы и минимумы солнечной активности сменяют друг друга через неодинаковые промежутки времени и не совпадают по величинё. Можно говорить об их чере- довании, о периодичности же в строгом смысле не может быть и речи. Большей строгостью проникнуто выражение «перио- дическая, печать». Газеты выходят день за днем, а если понедельник и пропускается, то можно говорить о не- дельном периоде. Журналы печатаются из месяца в месяц или из декады в декаду, из недели в неделю. Однако абсолютной строгости понятие периода не до- стигает и тут. Она была бы здесь, если бы время выхода соблюдалось с абсолютной точностью, а тексты полнос- тью совпадали. По-видимому, безупречные примеры периодичности способна дать только математика. Здесь периодической называется всякая такая функция, любое значение ко- торой в точности повторяется каждый раз, когда аргу- мент увеличивается на определенную величину, назы- ваемую периодом. 185
(Стоит заметить, что для периодической функции нет меньшей по сравнению с периодом величины того же свойства. Большие могут быть: значение функции будут повторяться и через два периода, и через три, и так далее. Вот почему иногда говорят о наименьшем перио- де периодической функции.) Прекрасные примеры периодических функций дает тригонометрия: синус, косинус, тангенс... Вспомните наш рассказ про динамомашину, вспомните, как вра- щающаяся рамка размеренно и точно раз за разом занимала каждое из своих положений, вспомните пояс- нявшие рассказ чертежи: цикличность процесса естест- венным образом обусловливает периодичность описы- вающих его функций в их зависимости от угла и време- ни. Для синуса и косинуса период составляет 360’, для тангенса — 180’. Психологи советуют: если вам нужно запомнить боль- шой объем информации (скажем, большой текст), вооб- разите себя прогуливающимся по хорошо знакомой улице и мысленно привязывайте отдельные куски текста к подъездам домов, афишным тумбам, киоскам... Когда потребуется воспроизвести заложенное в память, нужно вновь мысленно отправиться на прогулку по той же улице и считывать фразу за фразой с подъездов, забо- ров, киосков... Немало информации о свойствах функции было пред- ложено вашему вниманию на предыдущих страницах. Чтобы понадежнее уложить в память эту информацию, давайте воспользуемся советом психологов. Отправимся в путь на автомобиле по шоссе из пункта , А в пункт Б. Будем внимательно приглядываться к ре- льефу дороги, связывая с его особенностями математи- ческие термины. Мысленно представим высоту в каждой точке пути над некоторым воображаемым горизонталь- ным уровнем как функцию расстояния, пройденного вдоль этой горизонтали. Промежуток от А до Б — об- ласть определения описанной функции. 186
Ровный участок дороги, естественно, ассоциируется с термином «константа». Дорога идёт под уклон — это монотонное убывание. Кончился спуск — и водитель включает газ, отмечая тем самым точку минимума. До- Перегиб Перегиб Перегиб Перегиб рожный знак указывает подъем, а у математика наготове свой термин — монотонное-возрастание. Перевалили за гребень холма — пройдена точка максимума. И снова началось монотонное убывание, то есть спуск. На хол- мах дорога выпукла, в ложбинах вогнута. Не отмеченные дорожными знаками стыки таких участков математик отметит про себя как точки перегиба. Математические категории, о которых шла речь в этом описании, естественным образом делятся на две груп- пы. Одни описывают поведение функции в окрестности некоторых характерных точек (максимум; минимум, перегиб), другие — в некоторых промежутках (выпук- лость, вогнутость, убывание, возрастание). Чтобы в общих чертах воспроизвести профиль доро- ги, на графике достаточно наметить его сначала в ок- рестностях характерных точек, а затем, воспроизводя его поведение в промежутках, заполнить пробелы. По таким правилам можно восстановить облик любой функции. Так удобнее рисовать даже те функции, кото- рые выражены формулами — как говорят, заданы ана- литически. Но как по формуле функции определить ее характер- ные точки? Об этом мы еще поговорим, когда речь пойдет о дифференциальном исчислении. 187
Обкатанные в 'автомобильных прогулках, отточенные на оселке народной мудрости, наши навыки обращения с функциями мы применим сейчас во вполне серьезном деле. < Физикам важно знать, как ведут себя газы при раз- личных температурах и давлениях. Поведение газа оп- ределяется взаимодействием между его молекулами. Предположим для простоты, как это часто делается в физике, что молекулы — это маленькие упругие шарики. Рассмотрим две такие молекулы и будем изучать, како- му закону подчиняется сила их взаимодействия. Известно, что на больших расстояниях молекулы вза- имно притягиваются, причем с ростом расстояния сила притяжения убывает, стремясь к нулю. При сближении молекул она, напротив, возрастает. Когда шарики сбли- жаются до соприкосновения, в игру вступает еще одна, противоположно направленная сила — сила упругого отталкивания. Она тем больше, чем сильнее прижаты шарики друг к другу, чем меньше расстояние мехеду их центрами. Гипотетически можно представить центры молекул сближающимися на сколь угодно малое рассто- яние, отчего сила их взаимного отталкивания возраста- ла бы неограниченно. Располагая такой не слишком обширной информа- цией, можно приступать к графику. График должен изо- бразить силу взаимодействия между молекулами как функцию расстояния между их центрами. Расстояние между центрами не может выражаться отрицательным числом, не может и обратиться в нуль. Г рафик рисуется над положительной полуосью абсцисс. Это — область определения исследуемой функции. Над дальним концом положительной полуоси абсцисс проведем прилегающий к ней вогнутый штришок. Своей близостью к горизонтальной оси он покажет, что с удалением молекул друг от друга сила их взаимодейст- вия убывает до нуля, а вогнутой формой — что при сближении молекул сила их взаимного притяжения воз- растает все круче. В точке с абсциссой, равной удвоен- ному радиусу молекулы, на условной высоте отметим 1вв
точку перегиба; в этой точке силы упругого отталкива- ния, вступив в игру, заставляют кривую графика сменить свое прежнее, все более крутое возрастание на возрас- тание все более замедляющееся. В точке с абсциссой, еще меньшей, на чуть большей высоте проведем дужку выпуклостью кверху. Она означает, что сила взаимодей- ствия достигла максимума: с дальнейшим уменьшением аргумента силы упругого отталкивания преобладают над силами притяжения, кривая устремляется вниз. Выпук- лый отвесный штрих проведем у нижнего конца оси ординат, чуть правее от него. Эта деталь показывает, что сила отталкивания между молекулами неограничен- но возрастает, когда их центры неограниченно сближа- ются. Поскольку сила взаимодействия между молекулами определена для любого расстояния между их центрами, график должен быть непрерывной линией. Соединим намеченные штрихи гладкой кривой. Такую картину часто можно увидеть в книгах по физи- ке, правда, в перевернутом виде; у физиков сложилась традиция трактовать силы притяжения как отрицатель- ные величины, силы отталкивания — как положитель- ные. Кривые такого сорта позволяют объяснить много важ- ных деталей в поведении жидких и газообразных- ве- ществ. Оси координат играют для ветвей нашего графика особую роль. Бесконечно удаляясь от начала координат, ветви графика как бы притягиваются к этим своеобраз- ным прямолинейным направляющим, неограниченно сближаются с ними. Такие прямые называются асимп- тотами. Так случилось, что в нашем примере асимптотами служат горизонтальная и вертикальные прямые. Более 189
характерно употребление этого термина по отношению к наклонным прямым, когда к ним неограниченно при- ближаются ветви графика, уходящие в бесконечность. Что нынче в моде? Этот вопрос встает перед каждым, кто задумал шить костюм или хотя бы брюки. Что зака- зывать — клеш или дудочки? Какую ширину предписы- вают брюкам модные журналы в этом сезоне? Ревностный поклонник моды тем и отличается, что он всегда знает ответ на такой вопрос. Ему известна зави- симость ширины брюк от сезона. Известна мода как функция времени, будь то ширина брюк, высота каблу- ков или длина юбок. Ну а если клиент — невежда в вопросах моды? Что ответить закройщику на его роковой вопрос: «Брючки понизу сколько сантиметров делаем?» Клиент в замешательстве. И не дай ему бог ляпнуть наугад первую пришедшую на ум цифру. В ответ он рискует услышать презрительное: «Э, батенька! Такое носили лет пять назад, да перед самой войной, да еще при царе Горохе...» Оставим на этом вконец сконфуженного заказчика. Проанализируем слова закройщика, ибо в них нам ви- дится подлинно математическое содержание. Что же он сказал? По ширине брюк он указал годы, когда носили такие брюки. По значению функции моды он установил значение аргумента. То есть значение функции закройщик рассматривает как аргумент, а прежний аргумент стал при этом функцией. 190
Ясно, чго тем самым закройщик сконструировал некую функциональную зависимость, тесно связанную с первой. Говорят, -что по отношению к первой такая зависимость является обратной. Из ателье перенесемся в поликлинику. Врач велит пациенту измерить температуру. В стеклянной трубочке, которую пациент сует под мышку, заключен столбик ртути. Он удлиняется от тепла человеческого тела. Вспо- минается часовая мастерская Гаррисона и опыты, в которых мастер определял длину металлических стерж- ней как функцию их температуры. Здесь врач проделы- вает нечто обратное: по длине жидкого ртутного «стер- женька» он определяет температуру пациента. Он стро- ит обратную функцию по отношению к той, которую изучал Гаррисон. Разумеется, к вопросу можно подойти с другой сто- роны и назвать прямой функцию, с которой имеет дело врач, и обратной ту, знание которой прославило Гарри- сона. А если быть справедливым до конца, то обе функции нужно назвать взаимно обратными. Противо- поставлять их имеет не больше смысла,'чем решать, кто из двух близнецов старше. Правда, порой одна из двух взаимно обратных функ- ций более употребительна, более привычна, ее символ примелькался больше, и подобная неравноценность иг- рает свою роль при распределении званий «прямая» и «обратная». Арксинус, арктангенс называют обратными тригонометрическими функциями, молчаливо отдавая звание прямых синусу и тангенсу. Из поликлиники — на космодром. Ракета, летящая в космическом пространстве, наращивает скорость по за- кону логарифма: именно эта функция позволяет по массе израсходованного топлива указать скорость ра- кеты. Скорость — функция, масса топлива — аргумент. Но часто возникает обратная задача, когда исходным пунктом расчета является скорость ракеты. Чтобы вы- вести спутник на орбиту, ракета должна развить первую космическую скорость. Какое количество топлива по- требуется ракете, чтобы достичь назначенной скорости? Масса топлива в этом вопросе уже мыслится как функ- ция, скорость — как аргумент. Задачу решает функция, обратная к логарифмической, — показательная. 191
Функция логарифмическая и функция показательная. Сведем их на одном графике. Бросается в глаза: они расположены симметрично относительно биссектрисы угла, стороны которого — оси координат. Это не уди- вительно — ведь переход от прямой функции к об- ратной заключается в переименовании: функция становится аргументом, аргумент — функцией. Заметим, что функция, обратная линейной, — это опять-таки линейная функ- ция. Простейшая из линей- ных функций — та, что равна аргументу, — обрат- на по отношению к самой себе, что, впрочем, очевидно: ее график совпадает с биссектрисой угла между координатными осями. Корень квадратный и парабола тоже являются взаим- но обратными функциями, и графики их тоже симмет- ричны относительно той же биссектрисы. А теперь — снова в ателье. Анализируя слова закрой- щика с математической точки зрения, мы поначалу не обратили внимания на то, что он назвал сразу несколько значений функций, обратной к функции моды («...пять лет назад, да перед самой войной, да еще при царе Горохе»). Задумаемся над этим сейчас. 192
однозначные функции, каждому значению аргу- ставится в соответствие одно значение функции. Мода повторяется, и это делает неоднозначной функ- цию, значения которой называет закройщик. Та же при- чина делает неоднозначной и арксинус — функцию, об- ратную синусу (присмотритесь к ее графику). В математике, как мы уже от- мечали, принято рассматривать лишь когда мента лишь Именно поэтому математик, от- разив относительно биссектри- сы координатного угла график синуса, оставляет от него лишь небольшой участок и называет его главной ветвью арксинуса (см. график). Резонно полюбопытствовать: какие же свойства функции га- рантируют то, что обратная к ней окажется однозначной? Эти свойства — непрерывность и мо- нотонность. О первом из двух понятий речь впереди, а второе нам уже зна- комо. Беря в качестве примера вза- имно обратных функций парабо- лу и корень квадратный, мы не случайно взяли от параболы лишь одну половину. Если пара- болу не урезать до монотонного вида, то в результате ее отраже- ния относительно биссектрисы координатного угла получится такой график, с которого значения корня квадратного можно брать и со знаком плюс, и со знаком минус. А это тот самый случай, по поводу которого Mtj говорили когда-то о нежелательности многозначных функций в математике. 7- 4В0 193
Не было геоздя — Подкова пропала. Не было подковы — Лошадь захромала Ограничимся пока этим, ибо дальше в стихотворении идут совсем уж страшные вещи — гибель командира, разгром армии и так далее, и тому подобное. Итак, лошадь. С чего начались ее неприятности? С того, что непрочно державшаяся подкова отвалилась. А отчего подкова держалась непрочно? Оттого, что кузни- ца не обеспечила штатного количества гвоздей. Боевое состояние лошади зависит от прочности креп- ления подковы. Состояние лошади — функция, проч- ность крепления ~ аргумент. Но эта прочность, в свою очередь, обусловлена количеством гвоздей. Проч- ность — функция, количество гвоздей — аргумент. Так что же получается? Прочность крепления подко- вы — это одновременно и функция и аргумент Нет ли здесь противоречия? Не ведет ли это к путанице? Напротив! Описанная конструкция из функциональных зависимостей ведет к прояснению многих важных во- просов. Бывает, что изучить зависимость какого-то явления от первопричины оказывается делом сложным. Чувствует- ся, что взаимообусловленность между ними есть, но перекинуть прочный мост четкой функциональной зави- _ симости от одной к другой не удается. Дело облегчает- ся, если между чрезмерно далекими берегами посчас- тливится отыскать остров — некоторый фактор, который является следствием первопричины и причиной оконча- тельного, исследуемого следствия. Иными словами, когда удается построить некоторую промежуточную функцию, для которой независимая переменная служит аргументом, в то время как сама промежуточная функ- ция служит аргументом для исследуемой функции. И безнадежно разобщенные прежде берега оказываются связанными этаким двухарочным мостом. 194
И неясная прежде связь между комплектностью куз- нечного оборудования и боеспособностью конницы про- ясняется введением промежуточного звена — прочнос- тью крепления подков на копытах лошадей. Подобная конструкция из двух функций называется их суперпозицией, или сложной функцией. В ходе пристального анализа цепочка функциональ- ных зависимостей может удлиняться: былая первопри- чина обнаруживает обусловленность более глубокими факторами, а от явления, на котором прежде останав- ливался взгляд исследователя, тянется вереница далеко идущих следствий. Двухарочный мост становится по- добным акведуку. Взять хотя бы наше стихотворение: • Лошадь захромала — Командир убит Конница разбита — Армия бежит Враг вступает в город, Пленных не щадя Оттого, что в кузнице Не было гвоздя Поэт видит корень зла в гвозде и умалчивает о при- чинах нехватки. Расследование можно продолжить. Может быть, администрация кузницы халатно относится к своим обязанностям? А может быть, ее подвели снаб- женцы? А может быть, завод-изготовитель не выполнил своих обязательств? Или подкачали смежники? Шутки шутками, а между тем подобные цепочки функ- циональных зависимостей возникают при анализе мно- гих серьезнейших проблем нашего времени и среди них такой — «Человек и окружающая среда». Ученые утверждают, что в наше время ледники тают быстрее, чем, скажем, векадва назад. И одну из причин этого явления усматривают в развитии промышленнос- ти. В чем дело? Может быть, в том, что топки заводов и фабрик греют атмосферу и это вызывает таяние льдов? Нет, на столь непосредственное воздействие вряд ли хватит тепловой энергии, выделяемой заводами и фаб- риками. Дело здесь в другом. > 7' 195
Замечали ли вы, как быстро тает весной грязный снег при дорогах и как долго лежит он чистый на полях? Пыль, копоть и прочие им подобные плоды цивилиза- ции загрязняют атмосферу, переносятся ветрами на огромные расстояния, оседают на ледниках, и загряз- ненный лед интенсивнее поглощает солнечные лучи, тает быстрее. Налицо сложная функция, или суперпозиция. Количе- ству топлива, потребляемому заводами и фабриками планеты, соответствует определенное количество пыли и копоти, выбрасываемое в атмосферу, а этому количе- ству соответствует определенное количество солнечной энергии, поглощенное ледниками Зная эту сложную функцию, можно приступать к ана- лизу загадочного прежде таяния ледников. Эта кривая, напоминающая головной убор времен Наполеона, — своеобразный фирменный знак теории вероятностей. Там она называется кривой нормального закона распределения ошибок, или кривой Гаусса. Казалось бы, этой функции, как и функции Бесселя, можно посочувствовать: такая известная, такая распро- страненная, а звания элементарной не удостоена , Не надо спешить с собо- 1 лезнованиями. Ведь эле- ментарными функциями, как .мы уже говорили, счи- таются не только полиномы и корни, логарифмическая и показательная, тригоно- метрические и гиперболи- ческие функции, не только все те, что получаются из них с помощью сложения и вычитания, умножения и деления, но также обрат- ные к ним (например, арк- синус или арктангенс) и их суперпозиции. 196
Функция нормального распределения ошибок как раз и представляет собой суперпозицию двух элементарных функций, показательной и параболы, взятой со знаком минус перед ней, а потому по праву принадлежит к числу элементарных. Беря различные функции, можно создавать разнооб- разнейшие их суперпозиции. Но будьте осторожны! По- мните определение суперпозиции двух функций: одна служит аргументом для другой. Значит, область значе- ний первой функции должна попадать в область опре- деления второй. Забвение этой важной детали может привести к курьезам. За примерами ходить недалеко. Мы только что говорили про суперпозицию показа- тельной функции и параболы со знаком минус перед ней. Замените в этом сочетании показательную функ- цию функцией «корень квадратный», и вы увидите, что получившаяся при этом сложная функция имеет смысл лишь при нулевом значении независимой переменной. Ведь корень квадратный нельзя извлекать из отрица- тельных чисел! Смешная картинка, не правда ли? А почему она смеш- на? Потому что в ней есть подвох. Ваш взгляд скользит по ногам человечка, затем, как вы думаете, вдоль туло- вища, скрытого газетой, затем подходит к краю газеты, ожидая встретить там голову... ан нет! Голова оказыва- 197
ется совсем в другом месте. Фигура нарисованного человечка оказывается разорванной. Сравните теперь эти графики — какая из двух функций более похожа на человека с газетой? Конечно, вторая! Прослеживая взглядом ход линии, при подходе к значению аргумента а мы обнаруживаем, что значение функции в этой точке, указанное жирным кружком, совсем не там, что ожидалось, — как на при- веденном рисунке. Первая из функций, представленных графиками, на- зывается непрерывной в точке а, вторая — разрывной в этой точке. Непрерывность и разрывность — одни из важнейших понятий, применяемых для анализа функций. Судя по элементарным функциям, непрерывность — явление весьма распространенное в мире функциональ- ных зависимостей, разрывность же, напротив, экзоти- ческое, так что наглядные примеры разрывных функций подберешь не вдруг. Но мы все-таки попробуем их поискать. Замечали ли вы, читатель, как гасят свет в кинотеат- рах перед началом сеанса? Осветитель медленно пере- двигает рычажок реостата, и свет едва заметно и непре- рывно гаснет, превращаясь в тьму. 198
Попробуйте воспроизвести это медленное и непре- рывное угасание дома, попытайтесь так же загасить люстру, поворачивая рычажок тумблера. У вас ничего не получится, даже если вы крепко будете держать рыча- жок, не давая ему срываться. По мере его поворота свет до поры до времени ничуть не убудет в яркости — и вдруг мгновенно погаснет, так что тьма останется неиз- менной при дальнейшем движении рычажка. Подобный переход от света к тьме описывается разрывной функ- цией. Конечно, не следует придавать чрезмерного значения тому, что тумблеры чаще служат выключателями, чем реостаты. И все-таки приведенный пример позволяет утверждать, что разрывные функции необходимы для списания совсем не таких уж редкостных явлений и устройств. Как же определить понятия непрерывности и разры- ва? Не мудрствуя лукаво, можно сказать, что непрерывная функция — это такая, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от.бумаги. А разрывная — такая, которую так не нарисуешь. К сожалению, математиков такое определение не удовлетворит, ибо фигурирующие в нем карандаш и бумага — понятия не математические. В строгом мате- матическом определении должны содержаться лишь ло- гические и количественные понятия. , Однако, поставив вне закона карандаш и бумагу, мы вовсе не отказываемся от наглядности. Определение непрерывности мы дадим с помощью картинки — той самой, с которой начинался этот отрывок, а точнее, с помощью газеты, которую держит в руках человек. Возьмем у человечка его газету и наложим ее на первый из вышеприведенных графиков, причем так, чтобы ее центр совпал с той точкой на линий графика, где функция исследуется на непрерывность. (Собствен- но, от слова «газета» уже можно отказаться и говорить о прямоугольнике с центром в интересующей нас точке.) ' . Мы можем так обрезать газету с краев, что график функции на всей ширине газеты не вылезет за ее верх- ний и нижний края. Суть определения непрерывности заключается в том, что такое можно сделать с“газетой 199
любого размера, с тетрадным листом, с почтовой от- крыткой, с трамвайным билетом, с прямоугольником любой высоты: задавшись этой высотой, прямоугольник можно затем так сузить с боков, что в столь узком промежутке отклонения функции от ее значения в ис- следуемой точке будут меньше, чем высота прямоуголь- ника. Такая функция и называется непрерывной в дан- ной точке. Функция называется разрывной в данной точке, если описанная процедура оказывается невыполнимой. Го- воря точнее, если найдется прямоугольник такой высо- ты, что, как ни сужай его с боков, на любом зауженном промежутке найдется точка, по крайней мере одна, в которой значение функции будет выступать либо за верхний, либо за нижний край прямоугольника. Если предыдущий раздел начинался со смешной кар- тинки, то этот начнется с загадочной. Часть графика функции, располо- женная правее некоторой точки а, за- крыта. Не видно также, какое значение функция принимает в самой точке а. Чтобы подчеркнуть это обстоятельст- во, видимая часть графика закончена стрелочкой в той точке, в которой об- рывается кривая. 200
Попробуйте угадать — каков дальнейший ход графи- ка? Как ведет себя та его ветвь, что скрыта от глаз? Возможны варианты. Читатель, конечно, догадывается, что стрелка справа несет ту же смысловую нагрузку, что и стрелка слева. Как и раньше, значение функции в исследуемой точке отмечено жирным кружком. Функция может оказаться и не определенной в точке а, тогда жирного кружка на графике нет. Если стрелка упирается в жирный кружок, то она становится излишней, и ее можно убрать. Если посту- пить так с первым графиком, то после исправления мы узнаем в нем обычную непрерывную функцию Функцию представленную вторым графиком, естественно назвать непрерывной справа, представленную третьим — не- прерывной слева. Но непрерывной в точке а — повторя- ем! — можно назвать лишь функцию, изображенную на первом графике. Все остальные, как принято говорить испытывают разрыв в точке а. Теперь приглядимся внимательнее к неисправленным вариантам и подумаем; что у них общего, несмотря на все их различия? Нет, не только левая ветвь, но и ордината точки, в которую указывает стрелка левой ветви (на графике она отмечена буквой А). Это число именуют особым названием — левым пределов функ- ции (или пределом слева) в точке а. По симметрии число В называют правым пределом функции (или пределом справа) в течке а. Функцию естественно назвать непрерывной в точке а если у нее в этой точке предел слева совпадает с пределом справа и оба предела совпадают со значени- ем функции в этой точке. 201
Как же определить понятие предела функции? В строгом определении, очевидно, не годятся описа- ния типа: «Ордината точки, к которой подходит взгляд, следя за ходом графика». «Следить взглядом» — поня- тие не математическое. Однако из него нетрудно из- влечь вполне математическую идею: ведь в нем слышит- ся отзвук уже знакомого нам термина «последователь- ность». Что будет, если к значению а устремить слева неко- торую последовательность аргументов, не совпадаю- щих с а? (Говорим «не совпадающих», потому что функ- ция может быть и не определена в точке а). К какой величине устремится последовательность значений функции? К значению А—подсказывает график. Так вот, если такое будет происходить при любом выборе пос- ледовательности аргументов, сходящейся к а слева, то число А называется левым пределом функции (или пре- делом слева) в точке а. Точно так же определяется и предел справа. Годится для определения и «метод газеты». Размес- тим'«газету» так, чтобы ее центр очутился в точке-гра- фика, соответствующей предполагаемому пределу — скажем, пределу слева. Если при любой высоте «газеты» ее левую половину удается обрезать сбоку настолько, что левая ветвь графика на урезанном промежутке не выступает ни за верхний, ни за нижний край газеты, то предполагаемый предел действительно является левым пределом функции в точке а. (Напомним, что значение функции в самой точке а в рассуждениях о пределе не принимается во внимание). Точно так же по «методу газеты» определяется и предел справа. В обоих определениях можно рассматривать сразу обе половинки окрестности точки а?Так, в первом опре- делении можно строить такие сходящиеся к а последо- вательности, члены которых могут быть как меньше, так и больше а (но не совпадать с а). И если полученные при этом последовательности значений функции всегда будут сходиться к некоторому пределу, то он будет называться просто пределом функции в точке а. Во 202
втором определении можно рассматривать значения функции на всем протяжении «газеты» как вправо, так и влево ют точки а. И если знакомая нам процедура уре- зания кажд >1й раз позволяет заключать линию графика в рамки «газеты», то ее центр будет называться преде- лом функции в точке а. Напоследок — одно замечание. На картинке, с кото- рой начался предыдущий раздел, можно было закрыть не правую, а левую половину. Домысли ание графика, согласно уже перечисленным вариантам, не даст нам ничего принципиально нового разве что в последнем случае. Здесь в результате дополнения может получить- ся нечто вот такое: Оба графика соответст- вуют разрывным функци- ям: ведь ни та, ни другая не имеют конечного предела в точке а. Иногда в таких слу- чаях говорят, что функция в этой точке стремится к бесконечному пределу, обраща ется в бесконечность, имеет бесконечный разрыв и т.п Линейная и показательная функции, парабола и ко- рень квадратный — каждая из них непрерывна в любой точке своей области существования. Непрерывна всюду, как говорят в таких случаях. Прекрасные примеры всюду непрерывных функций дают процессы движения. Причина в том, что простран- ство и время непрерывны. Недаром мы так охотно прибегали к образам движе- ния, начиная рассказ о непрерывности. Но заметим: когда дело дошло до строгих определений, мы перешли к статическим изображениям прямоугольников, обреза- емых то с боков, то сверху и снизу. Если угодно, в этом переходе отразился знаменатель- ный перелом в развитии математики. Создавая учение о функциях,, математики поначалу охотно доверялись наглядным кинематическим аналоги- ям, памятью о которых в математической терминологии 203
до сих пор остались слова «стремится», «возрастает» и т.п. Аналогии часто были весьма плодотворными, но нередко заводили в тупики парадоксов. Решение пара- доксов стало возможным лишь после того, как француз- ский-математик Огюстен Коши выбросил из уже создан- ного учения о функциях ненужные остатки динамических образов и заменил их статическими. Так возник тот «язык эпсилон-дельта», на котором ныне трактуются понятия непрерывности и разрывов, предела и производной (название языку дали применяе- мые в нем обозначения для разброса функции и аргу- мента — греческие буквы ей 5 соответственно; читатель наверняка обратил на них внимание, разглядывая кар- тинки на предыдущих страницах). И любопытно: нарочито статичный язык позволил объ- яснить многие запутанные феномены движения вроде пресловутых парадоксов Зенона, позволил подвести ло- гическую базу под те представления о движении, на почве которых развивались первые идеи учения о функ- циях. Что ж, это нередкое явление в развитии науки: ученый охотно доверяется подсказывающей силе наглядных об- разов, но затем логическим анализом проверяет под- сказки и все достигнутое благодаря им.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Знаете ли вы, что такое ралли? Это автомобильные гонки, успех в которых определя- ется соблюдением программы соревнований. Скажем соблюдением сроков, отведенных на отдельные этапы маршрута: штрафные очки назначаются и за опоздание, и за опережение. . Двое сидящих за столом завтра займут свои места в автомобиле. Водитель и штурман, сегодня они обсуж- дают тактику движения на предстоящем этапе ралли. Лучший вариант, казалось бы, прост- по известному расстоянию до пункта назначения и отведенному вре- мени рассчитать среднюю скорость движения и старать- ся придерживаться ее на всем •пути На графике зависи- мости пройденного пути от времени такой идеальный режим изобразится прямой с угловым коэффициентом, равным скорости. Длина предстоящего этапа — 300 км, отпущенное на него время — 3 ч. Средняя скорость движения получа- ется отсюда простым делением: 100 км/ч 205
Однако постоянная скорость — идеал едва ли дости- жимый. Выдерживать ее во все время пути затрудни- тельно. Да и неразумно: трудные участки лучше просле- довать помедленнее, а на ровных и прямых, напротив, поднажать. Вот и рекомендуемый график движения, розданный участникам ралли, заметно уклоняется от идеальной прямой: судя по графику, стартовать предла- гается не спеша и наверстать упущенное к концу этапа. Но как определить поточнее режим скорости, вер- ность которому обеспечит рекомендуемую зависимость пути от времени? Иными словами, как, зная зависимость пути от времени, вычислить скорость в каждый момент, мгновенную скорость? Чему, судя по приведенному гра- фику, она равна, например, через час с момента старта? Средняя скорость на всем этапе в целом способна дать лишь грубый оценочный ответ на такие вопросы: отклонения от нее за все время пути могли быть весьма велики. А если ограничиться отрезком времени покороче? Не станет ли от этого средняя скорость более точной оцен- кой скорости мгновенной? Измерим среднюю скорость автомобиля за час, начи- ная с интересующего нас момента. Как свидетельствует график, на этом отрезке времени она составляет 95 км/ч. Повторим измерения на получасовом интервале от выбранного мгновения. Средняя скорость упала до 86 км/ч. w Можно надеяться, что эта цифра уже точнее оценива- ет мгновенную скорость в интересующий нас момент 206
дуга графика, которой мы ограничились на сей раз, едва заметно отклоняется от отрезка прямой, стягивающего i ее концы. Это побуждает брать для измерений средней скорое- ти все меньшие промежутки времени: пятнадцать минут десять, пять, три, две, одну, половину, четверть... Вот результаты этих последовательных замеров: 83; 82; 81; 80,6; 80,2; 80,1; 80,05 км/ч... Полученная последовательность явно обнаруживает стремление к пределу. Избранный нами путь ведет к какой-то цели. Сделаем решающий шаг к ней: устремим к нулю продолжительность интервала, на котором измеряется средняя скорость. Измерения при этом будут становиться все труднее В самом деле, как вести их на протяжении десяти- или стотысячных долей секунды, за которые автомобиль проходит лишь доли миллиметра? На пути к пределу мы где-то перейдем грань между автомобильным спортом и чистой математикой. Но это не должно нас пугать, к этому мы и стремились и автомобилем воспользовались лишь для того, чтобы удобнее и быстрее добраться до цели. Предел, к которому стремится средняя скорость на уменьшающихся до нуля, стягивающихся к данному мо- менту отрезках времени (если этот предел существует!), и называется мгновенной скоростью в данный момент. Посмотрим еще раз на построенные графики. Мы видим на них последовательность секущих. Каждая про- ходит через две точки кривой. Одна из этих точек — общая для всех секущих и неподвижна. Другая стремит- ся к ней, так что расстояние между ними последователь- но уменьшается до нуля, до слияния обеих точек в одну. Предельное положение секущих есть касательная — таково определение этой прямой. Итак, исследуя вопрос о мгновенной скорости, мы нашли способ построения касательной. Мы видим, что она проходит через заданную точку графика пути'с 207
угловым коэффициентом, равным мгновенной скорости ( в соответствующий момент времени. Так камень, сорвавшийся с пращи, свободно летит по касательной к прежней траектории, указывая на- правление своей скорости в момент отрыва. Касательная к графику пути меняет наклон от точки к точке. Каждому моменту времени соответствует свое значение мгновенной скорости. И для каждого момента рассчитать ее можно с помощью такой же процедуры, с которой мы только что познакомились. Вот итог таких расчетов. Точно придерживаясь такого графика скорости, наши автомобилисты в своем движе- нии в точности воспроизведут рекомендуемый график пути. У водителя и штурмана, которые на предыдущих стра- ницах так тщательно готовились к ралли, неприятности. Расчеты мгновенной скорости, точный ее график — все насмарку. Стало известно, что сильные дожди размыли дорогу на последних километрах предстоящего этапа. Финишировать придется на пониженной скорости, а 208
грозящее отставание компенсировать прибавкой темпа на среднем участке. Во всяком случае график скорости придется перестроить — например, вот так. « Но вот вопрос: удастся | ли уложиться в заданный Д.---------------------- срок, двигаясь в соответст- вии с новым графиком ско- ° . ___ рости? Не сулит ли он в ““ итоге штрафных очков за 8 опоздание или опереже- " S \. ние? Как рассчитать прой- 2 - денный путь по графику скорости, которая столь ° ; ? резко изменяется за время движения? Если бы скорость была неизменна, расчет не пред- ставлял бы трудностей: пройденный путь был бы равен произведению скорости на время. Та же формула по- зволила бы довольно точно оценить пройденный путь, если бы скорость за время движения менялась не слиш- ком сильно. Время в пути следовало бы умножить на некоторое среднее значение скорости, лежащее где-то между максимальным и минимальным, — подобно тому, как на прежнем графике скорости тонкая горизонталь- ная прямая лежала между наивысшей и наинизшей точ- ками жирной кривой. С новым графиком скорости, казалось бы, так уже не поступишь. Слишком резко колеблется кривая. Лишь на среднем участке ее можно без большой ошибки заме- нить горизонтальной прямой, то есть счесть движение равномерным, скорость — постоянной и путь, пройден- ный за это время, рассчитать по той самой формуле: «скорость на время». Г рафик движения на этом промеж- утке времени изобразится прямолинейным отрезком. На крайних участках скорость меняется сильнее, и если применить такой же прием, погрешность будет побольше. Но все-таки это лучше, чем ничего. Так получается первый приближенный вариант графи- ка движения — трехзвенная ломаная. Наклон каждого звена равен прикинутой нами средней скорости движе- ния на каждом из интервалов разбиения-. 209
Кажется, этап будет пройден не в срок, а с опереже- нием в добрую четверть часа. Но с уверенностью это утверждать еще нельзя — больно уж неточен расчет. Большие сомнения вызывает выбор средней скорости, в особенности на крайних интервалах разбиения. Гра- фик скорости там слишком сильно отклоняется от идеа- лизированного среднего. Будь интервалы поуже, эти отклонения были бы на- верняка поменьше, а результаты расчета — поточнее. И действительно, разделив интервалы пополам и по- вторив на каждом из шести новых интервалов ту же процедуру, мы вычертим ломаную менее угловатую. Еще раз измельчим интервалы. Новый график отлича- ется от предыдущего уже слабее. Проведем такие построения еще и еще раз, разбивая отрезок времени на все более мелкие части. Можно заметить, что новые графики все меньше отличаются друг от друга. Сам собой напрашивается предельный переход: устремить к нулю длину интервалов разбиения. Ломаная превратится в гладкую кривую. Это и будет график движения, для которого задана зависимость пути от времени. График оказался удачным: придерживаясь намечен- ного режима скорости, наши автомобилисты пройдут предстоящий этап в назначенный срок. 210
Посмотрим еще раз на графики скорости, по которым готовились к ралли знакомые нам водитель и штурман. Расчет показал, что пути, пройденные в согласии с тем и другим графиком, одинаковы Можно ли было заранее по какому-то внешнему при- знаку предсказать столь.замечательное совпадение? Такой признак на рисунках отмечен штриховкой. Это . площадь под той и другой кривой, точнее, площадь той и другой заштрихованной фигуры, называемой криволи- нейной трапецией. Чтобы убедиться в справедливости признака, посмот- рим еще раз, как мы строили график пути по графику скорости. Возьмем один из первых приближенных вари- антов графика — ломаную. Каждое из ее звеньев мыслилось нами как график некоторого равномерного движения. Путь, пройденный в таком движении — подъем звена, — равен произведе- нию времени на скорость. От маленького звенышка на графике пути перейдем взглядом к соответствующему интервалу времени на графике скорости. Только что вычисленное произведе- ние приобретает здесь смысл площади — площади пря- моугольного столбика, имеющего этот интервал време- ни основанием, а отмеченную горизонтальной ступень- кой среднюю скорость — высотой. Звено за звеном — столбик к столбику. Последова- тельное их сложение дает величину, с одной стороны, почти равную пройденному пути, с другой — почти рав- ную площади под кривой скорости. Говорим «почти», 211
потому что замена графика скорости лесенкой горизон- тальных ступенек чревата погрешностями. В результате предель- ного перехода это «почти» пропадает, и ос- тается точный вывод: площадь под кривой скорости на некотором отрезке времени чис- ленно равна пути, прой- денному за это время в таком режиме скорости Заметим: если ско- рость отрицательна, от- рицателен и путь, по- скольку он пройден вспять. Иными словами, если кривая скорости проходит под осью абс- цисс, очерченная ею площадь получается от- рицательной. По этому поводу говорят, что опи- санным способом пло- щадь определяется в ал- гебраическом смысле. И вот что еще стоило бы заметить напоследок. Поня- тие площади кажется весьма простым и не нуждающим- ся в комментариях. А между тем если разобраться, мы умеем определять площадь лишь для прямоугольников (как произведение сторон) да для тех простых фигур, которые удается перекроить в прямоугольник, например для треугольников. / Читатель, вероятно, захочет добавить сюда и круг, площадь которого выражается общеизвестной форму- лой пЯ2. Но мы воздержимся от добавки: ведь эта формула получается отнюдь не перекройкой круга в прямоугольник (иначе квадратура круга не была бы проблемой), а с помощью процедуры, весьма похожей на описанную выше: сначала круг разрезается на секто- ра, затем сектора заменяются треугольниками, тре- угольники неограниченно утоньшаются...-Суть приема та 212
же: криволинейная фигура заменяется мозаикой из ку- сочков с прямыми краями, площади которых определя- ются по классической формуле, затем в процессе пре- дельного перехода мозаика дробится так, чтобы пло- щадь отдельного кусочка стремилась к нулю. Так через предельный переход классическая формула прямоугольника обобщается на криволинейные фигуры. Настало время назвать своими именами вещи, о ко- торых только что шла речь. Тем более что имена эти громкие, широко распространенные, пользующиеся за- служенным уважением и почетом. Процедура, позволяющая находить мгновенную ско- рость движения, используя зависимость пути от време- ни, называется дифференцированием, а число, которое получается в результате дифференцирования, — произ- водной. Итак, мгновенная скорость тела в данный мо- мент есть производная пути по времени в данный мо- мент. Каждому моменту времени соответствует свое значе- ние производной. Определенная таким образом функ- ция называется производной по отношению к исходной, описывающей зависимость пути от времени. Обратная процедур^, позволяющая определять прой- денный путь, используя зависимость скорости от вре- мени, называется интегрированием, а число, которое получается в результате интегрирования, — определен- ным интегралом. Итак, путь пройденный телом от одного заданного момента времени до другого, есть опреде- ленный интеграл от скорости по времени, взятый от начального момента (он именуется нижним пределом интегрирования) до конечного (верхнего предела интег- рирования). За верхний предел интегрирования можно принимать различные моменты времени, и каждому будет соответ- ствовать свое значение пройденного пути, свое значе- ние определенного интеграла. Заданная таким образом функция называется первообразной по отношению к 213
исходной, описывающей зависимость скорости от вор- мени. ...«Вы знаете, Зося, — убеждал Остап Бендер Зоею Синицкую, — на каждого человека, даже партийного, давит атмосферный столб весом 214 кило». Остап с его незнанием точных наук слишком занизил цифру — примерно в Четыре раза. Названная им вели- чина была бы справедлива для весьма большой высоты над уровнем моря. Ведь атмосферное давление спадает с подъемом вверх, притом со все убывающей скорос- тью. Любопытно, что этот спад связан с другим харак- терным признаком больших высот, разреженностью воздуха, и связан самым непосредственным образом: скорость, с которой на той или иной высоте атмосфер- ное давление убывает по мере подъема, в точности равна удельному весу воздуха на этбй высоте. И если бы вам захотелось определить удельный вес атмосфер- ного воздуха, зная зависимость давления от высоты, к вашим услугам операция дифференцирования. К дифференцированию прибегают всякий раз, когда встает вопрос о скорости изменения какой-либо функ- ции по мере изменения аргумента, когда эта скорость оказывается непостоянной, а определять ее требуется точно для любого значения аргумента. Заряд батареи, питающий электрическую цепь, убы- вает со временем. Скорость убывания есть ток. Он может оказаться различным в разные моменты и потому должен определяться как производная заряда по вре- мени. Тепло, содержащееся в нагреваемом теле, нарастает с ростом температуры. Интенсивность нарастания есть теплоемкость — своя для каждой температуры. И здесь не обойдешься без дифференцирования — теплоем- кость есть производная количества тепла по температу- ре. Не забудем, что дифференцирование служит еще и средством для проведения касательных к кривой. Угло- вой коэффициент касательной — это производная функ- 214
ции, графиком которой служит кривая; производная берется при том значении аргумента, который соответ- ствует точке касания. Подобно тому как дифференцирование оказывается полезным не только при определении мгновенной ско- рости движения, так и интегрирование применяется не только тогда, когда требуется рассчитывать пройденный путь по времени и скорости. Операция, обратная дифференцированию, интегри- рование, позволяет определять, как зависит от времени заряд, если в каждый момент известно значение тока, как растет с температурой количество тепла в теле, если для каждой температуры известна его теплоемкость. Короче говоря, интегрирование позволяет рассчиты- вать суммарный итог непостоянного изменения. Не забудем, что интегрирование служит еще и сред- ством для вычисления площадей. Площадь под кри- вой — это определенный интеграл от функции, графи- ком которой служит кривая, взятый в пределах, между которыми задана функция. Несколькими страницами ранее, когда мы развеши- вали ярлычки в витрине математических операций и называли представленные в ней вещи своими именами, мы сделали вынужденный перерыв. И по-видимому, кое-кто из читателей это почувствовал. В самом деле, зачем говорить «определенный интег- рал», если не существовал бы термин «неопределенный интеграл?» Если такой вопрос возник у читателя, наш ответ не заста зит себя ждать. Возьмем два графика, на одном из которых как функ- ция времени изображена скорость движения некоторого тела, а на другом — путь, пройденный телом. 215
Мы уже знаем, как во всеоружии терминологии опи- сать родственные отношения между обеими функциями По отношению к скорости путь есть первообразная по времени По отношению к пути скорость есть производ- ная по времени. Угловой коэффициент касательной, построенной в любой точке графика пути, равен высоте кривой скорости над той же точкой оси абсцисс. А теперь возьмем график пути и аккуратно, строго по вертикали, без искажений сдвинем нарисованную на нем кривую вверх или вниз. В любой точке кривой угло- вой коэффициент касатель- ной при этом останется прежним. «Сдвинутая» функция по-прежнему оста- нется первообразной по от- ношению к скорости. Сдвинуть функцию вверх или вниз — это значит при- бавить к ней или отнять от нее функцию-константу. Итак, первообразная плюс любая константа есть снова первообразная. Первообразных для одной и той же функции оказывается бесконечно много. Все их семейство называется неопределен- ным интегралом. Это кажущееся излишество — не роскошь, а отраже- ние природы вещей Когда вы отправляетесь в дальний путь на автомоби- ле, на счетчике километров может стоять любая строчка цифр. От этого, разумеется, не зависит пройденный путь. Чтобы определить его, нужно из показаний счет- чика в момент финиша вычесть* то, что показывал он в момент старта. Когда вы направляетесь в магазин за сметаной, вы можете взять банку любого веса. От этого не зависит 216
стоимость покупки. Вес отпущенной вам сметаны про- давец определяет как разность весов банки наполнен- ной и банки порожней. . В физике подобные примеры встречаются на каждом шагу. Взять хотя бы выражение «разность потенциалов». Ток в электрической цепи определяется именно ею, но отнюдь не абсолютным значением потенциала на том или другом конце цепи. Сходную особенность можно подметить, когда речь идет об энергии или энтропии. Говорят, например, что в термодинамически замкнутой системе энтропия при любом реальном процессе либо возрастает, либо (если процесс обратимый) остается неизменной. Здесь опять-таки нет речи об абсолютном значении энтропии, а говорится лишь о ее приращениях. Попытавшись разобраться в причинах таких особен- ностей, вы обнаружите, что все упомянутые физические величины определяются с помощью интегрирования. Начало отсчета каждой из них можно «сдвигать» по произволу. Все будет происходить при этом точно так же, как при расчетах пути по скорости. Путь — первообразная для скорости. Его можно отсчитывать от любой начальной точки. Но приращение пути от одного момента времени к другому при этом всегда будет оставаться равным одному и тому же числу — определенному интегралу от скорости, взятому от одного из указанных моментов времени до другого. И это общий принцип: определенный интеграл, взя- тый от некоторой функции в указанных пределах, есть разность между значениями первообразной в указанных предельных точках, на какой высоте над осью абсцисс ни пролегал бы график первообразной. Последнее замечание содержит в себе важный ре- цепт для вычисления определенных интегралов. Он носит название формулы Ньютона — Лейбница. Формула Ньютона — Лейбница.. Люди, чьи имена пишутся через черточку в названии открытия, невольно кажутся сотрудниками. Однако с Ньютоном и Лейбницем 217
дело обстоит как раз наоборот. В свое время между ними шли яростные споры о приоритете в создании дифференциального и интегрального исчисления. Сейчас их конфликту we придают большого значения: считается, что к своим открытиям они пришли незави- симо друг от друга и честь первооткрывателей делят поровну. Оттого и пишутся через примирительную чер- точку их фамилии в названии знаменитой формулы. dfM dx или f'(x) Производная ^подынтегральная функция f (л) ф — произвольная постоянная переменная вол интегрирования b —----- верхний предел интегрирования ГЮЛ '— нижний предал интеграла Неопреда ленный ин та трал интегрирования Определенный интеграл Впрочем* в чем Лейбницу повезло больше, так это в Цистеме обозначений. Здесь время решительно встало на его сторону. Кто помнит сейчас о прямоугольной рамке вокруг символа функции, с помощью которой Ньютон предлагал обозначать интеграл? А точка над 218
символом функции, у Ньютона обозначавшая производ- ную, ныне применяется лишь в механике — видимо, из уважения ij: тому, кто впервые сформулировал ее зако- ны. Обозначения Лейбница между тем завоевали всеоб- щее признание. Вот они на рисунке выше Общих слов о дифференцировании и интегрировании было сказано довольно. Настало время примеров. Что будет, если продифференцировать логарифм? Что станет с косинусом после интегрирования? На эти вопросы отвечают графики. Их оси не разме- чены масштабными засечками — это не так уж важно. Важно лишь отметить, что аргумент тригонометрических функций (синуса и косинуса) в приведенных соотноше- ниях выражается в радианной мере. Тому, кто желает поглубже вникнуть в закономерности приведенных соотношений, мы предлагаем повнима- тельнее разобрать какую-либо строчку этих таблиц — скажем, последнюю. Производная синуса есть косинус, гласит пара графи- ков, соединенных равенством. Выражаясь графическим языком, высота косинусоиды в каждой точке равна уг- ловому коэффициенту касательной к синусоиде в той же точке. По мере отхода от начала координат косинусоида идет на убыль, и в соответствии с этим угловой коэф- фициент касательной, построенной к синусоиде, стано- вится все меньше. В той точке, где косинус обратился в нуль, касательная к синусоиде горизонтальна, ее угло- вой коэффициент тоже нуль. В дальнейших точках ее угловой коэффициент отрицателен, и в соответствии с этим косинусоида ушла под ось абсцисс. Поскольку косинус по отношению к синусу есть про- изводная, синус по отношению к косинусу служит пер- вообразной. Геометрический образ первообразной — это площадь. По последней строчке второго столбика равенств проследим за тем, как изменяется площадь под графиком косинуса, если ее вычислять интегриро- 219
ванием от начала координат до некоторого подвижного верхнего предела. Эти изменения сравним с поворота- ми синусоиды. Покуда косинусоида проходит над осью абсцисс, пло- щадь под ней положительна и нарастает, и в соответст- вии с этим синусоида, выйдя из начала координат, идет вверх. Высота косинусоиды уменьшается, все меньшие добавки* к площади дает увеличение верхнего предела интегрирования, и рост синусоиды замедляется. Коси- нусоида ушла под ось абсцисс, добавки к площади стали отрицательными, и синусоида пошла на спад. И вот в некоторой точке она обратилась в нуль. При- смотритесь теперь к графику косинусоиды: вертикаль, соответствующая верхнему пределу интегрирования, ограничивает справа фигуру, распадающуюся на две части: они равны друг другу, но лежат по разные сторо- ны от оси абсцисс, так что их площади имеют разные знаки, поэтому суммарная площадь этой двухлепестко- вой фигуры в алгебраическом смысле равна нулю. Читателю, которой чувствует себя вполне освоив- шимся с приведенными таблицами, мы хотели бы пред- ложить несложную задачу: из функции, встречающихся в первой таблице, выбрать такие три, чтобы первая была производной от вто- рой, а вторая — производ- ной от третьей. Готово? Убедитесь в пра- вильности своего выбора. А теперь смотрите вни- мательнее: мы превратим эту тройку в пару. Понятен ли вам смысл этой записи? Не правда ли, ее расшифровка очевидна: операция дифференциро- вания, дважды применен- 221
ная к параболе, дает в результате константу. В подобной очевидности — огромное достоинство символического языка, который Лейбниц разработал для дифференциального и интегрального исчисления. Итог этого небольшого раздела подведем определе- нием: результат двукратного дифференцирования функ- ции называется второй производной. Сходным образом определяются третья производная, четвертая и т.д. Воспользуемся еще раз автомобилем, на котором мы так стремительно ворвались в область дифференциаль- ного и интегрального исчисления. По графику зависи- мости пройденного пути от времени мы построили тогда другой график, который показывал, как зависит от вре- мени мгновенная скорость движения. Он получался из первого дифференцированием — скорость есть произ- Взяв этот график, произ- ведем над ним те же опера- ции: определим скорость изменения скорости, най- дем производную от произ- водной, вторую производ- ную пути по времени. Коро- че говоря, найдем ускоре- ние. Вот он — результат дифференцирования ско- рости. Ускорение... Честь вве- дения этого понятия в меха- нику принадлежит Галилею. Великому физику посчас- 0 12 3, тливилось — он шел к своим выводам от изучения движений, которые ускоряются простейшим образом. Он исследовал падение тел и нашел, что все они под воздействием силы тяжести падают на Землю с одним и тем же ускорением, неизменным по ходу падения. водная пути по времени. 222
Факт замечательный! Располагая им, мы сможем почти автоматически повторить открытия Галилея —ус- тановить законы падения тел, то есть определить, по какому графику нарастает со временем путь, пройден- ный падающим телом, — пусть это будет, к примеру, камень. Сконструируем формулировку задачи из уже приме- нявшихся картинок и символов Искомый график заме- ним картинкой со знаком вопроса, приписав к нему слева знак второй производной. Отметим, что речь идет об ускорении: поставив справа знак равенства и график функции-константы, покажем, что это ускорение извест- но нам — оно постоянно, не зависит от времени (рис. ниже). Такая комбинация уже попадалась нам на одной из предыдущих страниц. Там она не содержала неяснос- тей: на месте вопроса была вычерчена парабола. Стало быть, путь, пройденный падающим временем по закону параболы. камнем, растет со Касательная, проведенная к нашей параболе в начале координат, горизонтальна, ее угловой коэффициент равен .нулю. Это значит, что камень начинает падать с нулевой начальной скоростью, без толчка. Именно тако- му случаю соответствует найденное нами решение. Найденному решению можно подыскать наглядное подтверждение. Падающий камень нужно толкнуть вбок. Приданное ему горизонтальное движение сохранится — смещение камня по горизонтали будет нарастать про- порционально времени. А вертикальное, как мы уже знаем, пропорционально квадрату времени. Траектория камня будет параболой. 223
Особенность только что решенного нами уравнения заключалась в том, что неизвестная функция стояла под знаком производной. Уравнения подобного сорта назы- ваются дифференциальными. Порядок наивысшей про- изводной, входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком. Например, уравнение, ре- шенное нами, — второго порядка. Найти неизвестную функцию из дифференциального уравнения — значит, как принято говорить, проинтегри- ровать его. Если искомая функция найдена, ее называют решением дифференциального уравнения, а ее гра- фик — интегральной кривой. Наконец, еще один термин. Для его пояснения вер- немся вновь к задаче Галилея. Она решена нами не полностью. Пока что мы умеем рассчитывать лишь такое падение камня, когда оно начинается без начальной скорости, говоря попросту, когда камень выпущен из рук. А если его подбросить вверх или толкнуть вниз? В поисках ответа вспомним, как когда-то, найдя пер- вообразную для заданной функции, мы сдвигали по- строенную кривую вверх и вниз. От таких сдвигов пер- вообразная не переставала быть первообразной все для той же исходной функции. И еще подумаем о том, что мыслимы также сдвиги первообразной вправо и влево — это все рабно, что изменить начало отсчета аргумента (в нашей задаче — времени падения). После этого возьмем интегральную кривую, постро- енную нами для падения камня без начальной скорости, возьмем эту параболу и, не поворачивая, передвинем ее по координатной плоскости так, чтобы она проходила 224 " ' /
через начальную точку с должным угловым коэффици- ентом, равным начальной скорости, которая придана камню толчком вниз или броском вверх. Оказывается, это и будет решением поставленной задачи. Сохраняя свою форму, парабола свидетельствует, что законы движения остаются прежними: это все то же равноускоренное падение. Сдвигаясь по координатной плоскости, парабола указывает, что начальные условия движения были иными. Такое можно сказать про любой процесс: не изменяя ни на миг законам своего течения, он будет все же течь каждый раз по-особому в зависимости от того, каково состояние в начальный момент. Стало быть, решая дифференциальное уравнение, описывающее процесс, необходимо учитывать началь- ные условия. Изменение начальных условий, как правило, приводит к перестройке интегральной кривой. В задаче Галилея все обошлось простым сдвигом параболы, но это скорее редкое исключение, объясняемое простотой дифферен- циального уравнения. Если вы думаете, что дифференциальные уравне- ния — это вещи, встреча с которыми в обыденной жизни исключена, то отложите на время эту книгу в сторону, возьмите свой транзистор, включите его и настройтесь на волну, разносящую по эфиру звуки легкой музыки А пока вы вращаете рычажок настройки, разрешите коротко, в двух словах, прокомментировать ваши дейст- вия на языке радиотехники и математики. Если бы вы заглянули во внутренности своего радио- ящика, то обнаружили бы, что рычажок настройки со- единен с конденсатором, а тот в свою очередь связан в замкнутую цепь с катушкой и другими деталями, важны- ми сейчас для нас лишь тем сопротивлением, которое они оказывают электрическому току. Конденсатор, катушка, сопротивление — вот радио- техническая троица, образующая сердце каждого при- емника, колебательный контур. Частоту биений этого в - 480 г 225
сердца, частоту пульсаций заряда на конденсаторе ре- гулирует настроечный рычажок; когда она совпадает с частотой передающей станции, приемник по законам резонанса воспроизводит звуки, рассылаемые по эфиру антеннами передатчика. Как же рассчитать частоту пульсаций заряда? Всякая замкнутая электрическая цепь живет и рабо- тает по закону Кирхгофа: если в цепи нет источников тока, сумма падений напряжения на всех ее участках равна нулю. В нашем контуре таких участков три — конденсатор, сопротивление, катушка. Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, на сопротивле- нии — току, производной заряда по времени, на катуш- ке — производной тока по времени, то есть второй производной заряда. Коэффициентами пропорциональ- ности между членами перечисленных пар служат соот- ветственно емкость конденсатора, величина сопротив- ления, индуктивность катушки. Определив падение напряжения на каждом из участ- • ков цепи, просуммируем их и приравняем к нулю — и вот оно, уравнение, определяющее пульсации заряда! Заряд входит в него под знаком первой и второй производной. Уравнение получилось дифференциаль- ное 226
Вот так нежданно-негаданно на волнах легкой музыки выплыло нечто, что в обыденной жизни, казалось бы встречаться не может — дифференциальное уравнение Мы не хотим утомлять вас перечнем других приборов и явлений. Можете поверить нам на слово, там, где требуется рассчитывать не только некоторые состояния, но и изменения состояний, процессы, движения в самом широком смысле слова, — там всюду математик прихо- дит к дифференциальным уравнениям «Лишь дифференциальное исчисление дает естество- знанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение», — писал Энгельс. • Картина мира, которую нарисовала классическая фи- зика, выполнена в технике дифференциальных уравне- ний Завоевывая для математики все более широкие сферы приложения, дифференциальное и интегральное исчисление одновременно наводило порядок и в тылах этой древней науки. Оно давало универсальные и эф- фективные методы для решения многих задач, которые по своей статической сути принадлежат к прежней, элементарной математике, но с которыми та не могла совладать. Элементарная математика знает формулы для объема пирамиды, конуса, шара. Каждая из этих формул далась первооткрывателям приемом оригинальным и неповто- римым. Это скорее драгоценные камни, нежели стро- ительный материал, из которого можно «смонтировать» общую формулу для объема любого тела. Как, например, вычислить объем лимона? Задача ка- жется неразрешимой. А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее решению, готовя лимон к употреблению, нарезая его на дольки. С того же начал бы и знаток интегрального исчисления, готовясь вычислить объем этого эллипсои- да вращения из рода цитрусовых. Объем лимона равен сумме объемов долек; для каждого из них он прибли- 8* 227
женно выражается произведением высоты на площадь основания — либо верхнего, либо нижнего, а можно взять и любую промежуточную величину. В этом нетрудно усмотреть ту же схему интегрирова- ния, по которой мы вычисляли площади криволинейных фигур. Под таким углом зрения теперь видна вся дорога до поставленной цели: сначала определить функцию, по которой площадь сечения лимона меняется вдоль его оси, для этой функции найти первообразную и наконец воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница. Так, в чисто статические на первый взгляд задачи входят движение, переменные величины, а вместе с ними — методы дифференциального и интегрального исчисления. И задачи, не разрешимые в рамках элемен- тарной математики, элементарно решаются благодаря новому подходу, суть которого составляют переменные величины. Недаром вся созданная на их основе математика, обеспечившая становление и развитие классической физики, называется высшей в отличие от прежней, эле- ментарной. В популярной книге английского математика Джона Литлвуда «Математическая смесь» есть страничка, где приведена забавная классификация углов из' старого справочника по альпинизму. перпендикулярно — 60’; абсолютно перпендикулярно — 65*, нависающе — 70". 228
Смешно? Смешно. Но этот пример мы привели не только ради смеха. Тут есть над чем поразмышлять со всей серьезностью. 65”, 70”... Градусами измеряются углы. А углы образу- ются двумя прямыми. Но скажите, читатель: видели ли вы когда-нибудь горы с прямыми склонами, словно у египетских пирамид? Нет? Так что же тогда имеют в виду, когда говорят о наклоне непрямой поверхности или линии? Оставим пока поверхности в стороне, ограничимся для начала линиями. На какой-нибудь гладкой линии отметим точку и спросим: каков в этой точке наклон линии? Даже если вы не альпинист, ответ у вас, надеемся, готов. Его подсказывает интуиция и содержание предыдущих страниц. В отмеченной точке нужно по- строить касательную к кривой. И вот они — две прямые: касательная и горизонталь. Теперь уже можно говорить про угол. А к углу можно приложить транспортир. Но лучше в качестве меры угла использовать угловой . коэффициент касательной, то есть производную. И го- ворить: наклон кривой в точке А равен плюс двум, наклон в точке В — минус половине. Мы описали этими словами изображенное на графи- ке. Заметим попутно, что для опытного математика ссылка на график после таких слов становится излиш- ней. Он и без картинок представляет, что минус поло- вина — это пологий спуск, а плюс два — крутой подъем кривой, если прослеживать ее слева направо. В таких случаях математик часто обращает внимание не столько на величину чисел, сколько на их знаки. Знак без числа — это, конечно, потеря точности. Но зато 229
прибыль в общности. Ведь если наклон меняется плав- но, то рост остается ростом на некотором промежутке, а не только в той его точке, где положительная произ- водная зарегистрировала рост. Положительный знак производной в промежутке — свидетельство возраста- ния функции в этом промежутке, отрицательный — сви- детельство спада. Производная сменила знак в некото- рой точке — значит в этой точке соседствуют участки роста и спада. Значит, это точка экстремума — макси- мума или минимума Спад сменился ростом — минимум. Рост сменился спадом — Максимум. (Заметим: если производная существует в точке экстремума, то там она обязательно равна нулю. Это облегчает поиск экстрему- мов). Но расти и снижаться можно по-разному. Рост может становиться все быстрее, а может, наоборот, замед- ляться и даже смениться спадом. Спад тоже может либо усиливаться, либо тормозиться и даже перейти в рост. Особенности такого рода мы характеризовали словами «выпуклость» и «вогнутость». Выпуклость — это замедляющийся рост и нарастаю- щий спад. Проследите взглядом ход нашей выпуклой кривой слева направо, в направлении, указанном стрел- кой оси абсцисс: наклон кривой уменьшается, уменьша- ется производная. А теперь немножко поиграем словами. Выпуклость — это уменьшение производной. Уменьшение — это отри- цательная производная. Уменьшение производной — это отрицательная производная производной. Это отри- цательная вторая производная. Итак, выпуклость — это отрицательная вторая производная. Вдумчивый читатель, конечно, разглядит точный смысл за этой, словес ной игрой и согласится с ее ре- зультатом: отрицательный знак второй производной — свидетельство выпуклости. Точно так же положительный знак второй производной — свидетельство вогнутости. Естественно предположить далее, что абсолютная ве- личина второй производной может служить мерой кри- визны—той скорости, с которой вращается касательная по мере роста аргумента. Предположение верное, од- нако точная формула кривизны содержит, кроме второй, 230
еще и первую производную и слишком сложна, чтобы выводить ее здесь. Точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью х или наоборот, — это точки перегиба. В них вторая про- изводная меняет знак, обращается в нуль. Касательная в таких точках пересекает кривую Наконец, еще об одной роли второй производной. Она позволяет рассортировать экстремумы на максимумы и минимумы. Ведь когда их ищут по нулям первой произ- водной, они становятся неразличимы — первая произ- водная обращается в нуль и там и тут. Вторая производ- ная все ставит на свои места. Вот, скажем, максимум. Это макушка выпуклой кривой, а выпуклость — это от- рицательный знак второй производной. Стало быть, нуль первой производной в сочетании с отрицательным значением второй — безошибочное свидетельство мак- симума. Точно так же нуль первой производной в соче- тании с положительным значением второй — свидетель- ство минимума. И снова в путь! В путь по той дороге, которую мы освоили незадолго до знакомства с производными. Мы ехали по ней из пункта А в пункт Б и отмечали: рост... максимум... спад... минимум... опять рост... вы- пуклость... перегиб... вогнутость... После разговора о дифференцировании мы можем разметить знакомый путь дорожными знаками. Ими послужат первая и вторая производные. И тогда рассказ о рельефе дороги сократится до компактной таблицы из четырех строк чисел и символов 231
X 0 4 7 11 14 17 20 23 27 У 3 3 2 1 1.5 2 3 4 3 У' 0 0 0 — -0,5 — 0 + 0.4 + 0 + 0,4 + 0 — -0.5 у" 0 0 0 — 0 + + + 0 — 0 + + 4- + + + Вас озадачивает эта шифровка? Мы поможем вам прочесть ее и восстановить по ней картину рельефа. Числа первых двух строк таблицы — это координаты характерных точек — экстремумов и перегибов, отме- ченных нулями в третьей и четвертой строке соответст- венно. Их определяют, отыскивая нули первой и второй производных. Нанесем эти точки на график. В точках перегиба отметим наклон, указанный в соответствующих клетках третьей строки, в точках экстремумов расставим дужки — выпуклые в точках максимума и вогнутые в точках минимума; отличать их друг от друга можно по данным все той же таблицы — либо по знаку второй производной, либо по тому, с какого на какой меняет в этих точках свой знак первая производная. Теперь остается соединить все эти элементы плавной кривой — и схематический набросок рельефа дороги готов. Стоит присмотреться к той точке, где нуль первой производной совпал с нулем второй. Это не экстремум, а горизонтальная точка перегиба. В точках экстремума 232
нуль первой производной сочетается с ненулевым зна- чением второй Всякий раз, когда мы вели разговор о дифференци- ровании какой-либо функции, на ее графике неизменно присутствовала касательная — наглядный образ произ- водной. Прослеживая график функции на подходе к точке касания, мы видим, что он все теснее сближается с ка- сательной, а на некотором промежутке совсем не от- личим от нее, хотя общая точка у обеих линий лишь одна: точка касания. И мы понимаем, что дело здесь не просто в грубости наших чертежных инстру- ментов. Вёдь стоит провес- ти через ту же точку другую прямую, с другим угловым коэффициентом — и ощу- щение слитности пропадает, хотя и на этот раз расхож- дение между кривой и прямой в окрестности их общей точки уменьшается, стремясь к нулю, когда к нулю стре- мится ширина окрестности. В чем же здесь дело? Как выразить его суть строгим математическим определением? Чем выделяется каса- тельная среди всех прямых, проходящих через одну и ту же точку кривой? Тем, что расхождение между ней и кривой в окрест- ности точки касания стремится к нулю быстрее, чем ширина окрестности, когда та сужается. С другой пря- мой— иначе: расхождение между ней и кривой стремит- ся к нулю почти пропорционально ширине окрестности Подойдем к делу с другой стороны. Возьмем график какой-нибудь функции, выберем на нем какую-нибудь точку, оградим ее некоторой окрестностью и попытаем- 233
ся провести через эту точку такую прямую, чтобы рас- хождение между ней и графиком функции по мере сужения окрестности стремилось к нулю быстрее, чем ширина окрестности. Если это удается сделать, функция называется дифференцируемой в данной точке. При этом прямая наилучшего приближения неизбежно ока- зывается касательной: ее угловой коэффициент равен производной от функции в выбранной точке. К сожалению, нет правил без исключений. За любую наугад взятую функцию нельзя пору- читься в том, что она будет . дифференцируемой во всякой точке из своей области опре- деления. Вот несколько экспонатов из музея исключений. , - Как ни прикладывай прямую к уголку, изображенному на первом графике, расхождение между ней и линией графика в окрестности острия не будет вести себя так, как это требует определение дифференцируе- мости. Стало быть, изображен- ная здесь функция не диффе- ренцируема в точке излома. Неудача обязательно постиг- нет нас и в той точке, где функ- ция терпит разрыв (второй гра- фик). Обратите внимание на этот пример: чтобы быть диф- ференцируемой в некоторой точке, функции необходимо быть непрерывной в этой точке. Необходимо, но недостаточ- но — об этом свидетельствует третий график. К счастью, элементарные функции, которые служили нам примерами ранее, не доставят 234
нам подобных разочарований. Каждая из них дифферен- цируема в каждой точке своей области определения. Стоит отметить, что производная любой элементар- ной функции есть функция элементарная: производная логарифма — это гипербола, производная синуса — ко- синус и так далее. После разговора о дифференцируемости естествен- но поговорить об интегрируемости. С интегрированием мы познакомились при расчете пройденного пути по переменной скорости. Мы остави- ли тогда неосвещенной одну неясность. Разделив на несколько промежутков отрезок времени, на котором был задан график мгновенной скорости, мы затем за- менили кривую лесенкой горизонтальных ступенек. Каж- дая ступенька.располагалась где-то между максималь- ным и минимальным для своего промежутка значением мгновенной скорости. Но где именно? Как выбирать ее высоту? Этот вопрос решается так: если независимо от выбо- ра (как высоты ступенек, так и точек, которыми интервал делится на промежутки) описанная процедура интегри- рования всегда приводит к результату и притом к одному и тому же, то такая функция называется интегрируемой. Интегрирование — операция, гораздо менее прихот- ливая, нежели дифференцирование. Она применима ко всем непрерывным функциям и даже к тем разрывным, которые испытывают конечный разрыв в конечном числе точек. Однако если дифференцирование элементарных функций всегда приводит опять-таки к элементарным, то для операции, обратной к дифференцированию, го есть для отыскания первообразной функции — такой результат редкость. Можно составить из элементарных функций совсем нехитрое произведение, частное или суперпозицию, первообразную для которых не выразишь через элемен- тарные функции, как ни бейся. 235
Здесь можно привести аналогию из алгебры, возводя в квадрат целое число, мы всегда получаем целое однако про обратную операцию — извлечение квадрат- ного корня — такое скажешь не всегда
ФУНКЦИИ многих ПЕРЕМЕННЫХ Есть такой студенческий анекдот — об экзаменах, о профессоре и студенте. Профессор спрашивает: как измерить высоту небоскреба с помощью барометра? Правильный ответ предполагает, что давление воздуха уменьшается по мере подъема и потому может служить мерой высоты. Но студент есть студент. Он не знает правильного ответа и пускается в импровизации: «Можно столкнуть барометр с крыши и одновременно включить секундо- мер; выключить его нужно, услышав удар барометра об асфальт. Искомая высота Н будет определяться по вре- мени падения t из формулы Н = где д — ускорение силы тяжести. Можно привязать барометр к концу бе- чевки и заставить его колебаться, как маятник. Периоды колебаний будут разные на земле и на крыше небоскре- ба, потому что ускорение силы тяжести убывает с подъ- емом над землей, так что высоту небоскреба можно оценить по разности значений д. Можно привязать ба- рометр к длинной веревке и опустить его с крыши, а потом измерить длину веревки. Но самый лучший спо- соб — взять барометр и зайти с ним к коменданту здания со словами: «Господин комендант, посмотрите, какой у меня прекрасный барометр. Если вы назовете мне вы- соту небоскреба, я подарю вам эту красивую вещь». Не будем гадать, как отреагирует профессор на этот каскад изобретений. Подумаем о другом: если каждый из методов — как профессорский, так и студенческий — в принципе решает поставленную задачу, то какой из них предпочтительнее? Начнем с первого из методов, предложенных студен- том. Известно, что путь, пройденный падающим телом, пропорционален квадрату времени падения. Итак, опре- деляемая высота есть функция, время падения — аргу- i 237
мент, константа пропорциональности — половина уско- рения силы тяжести. Кстати, чему оно равно? Раскроем справочник... и увидим, что точного ответа на вопрос не существует! Ускорение силы тяжести различно в различ- ных точках земной поверхности. (Свою роль здесь игра- ет и сплюснутость земного шара с полюсов, и неравно- мерное распределение его массы, но выяснять это не входит в наши планы.) Более того, оно меняется с высотой — на этом основан второй способ студента. Итак, что же получается? С совершенно одинаковых, построенных по типовому проекту небоскребов баро- метры падают по-разному. И все оттого, что ускорение силы тяжести оказывается величиной переменной. Ока- зывается, что рядом с переменным временем падения в формуле высоты стоит не константа, не постоянный множитель, а тоже переменная величина. Измеряемая высота оказывается функцией двух переменных. Но двух ли? Ведь барометр падает не в безвоздушном пространстве, а воздух подтормаживает падение. Так формула пополняется новыми величинами — плотнос- тью воздуха, аэродинамическими характеристиками ба- рометра... Пополняется новыми аргументами, ибо каж- дая из названных величин — величина переменная. Может быть, к таким сложностям не приводит метод профессора? Здесь расчеты ведутся по так называемой барометрической формуле, которая связывает давле- ние атмосферного воздуха с высотой точки наблюдения, температурой воздуха, ускорением силы тяжести.. Стоп, стоп! Здесь, как видим, та же история. Трудности, с которыми мы столкнулись, раздумывая над ответом студента, возникают при исследовании любой проблемы естествознания. Любое явление, если стремиться ко все более полному, все более точному его познанию, оказывается зависящим от множества факторов, а функции, которые возникают при попытке описать явление математически, оказываются функция- ми многих переменных 238
К счастью, влияние того или иного из этого множества факторов, как правило, бывает неравноценным. Без ущерба для выбранной точности расчета многими из них можно пренебречь, некоторые из оставшихся изменя- ются столь незначительно, что в рамках той же точности их можно положить постоянными Так от множества факторов остается ограниченное число главных, опре- деляющих, и не все они оказываются переменными Взять хотя бы задачу о небоскребе и падающем с него барометре. Чем меньше высота небоскреба, тем слабее за время падения успеет сказаться подтормаживающее действие воздуха, так что его сопротивлением, возмож- но, удастся и вовсе пренебречь после надежной оценки. Возможно, что избранная точность расчетов меньше тех долей процента, в пределах которых ускорение силы тяжести меняется от точки к точке земной поверхности или при подъеме-на крыши небоскребов, так что его все-таки можно рассматривать как постоянный множи- тель, а высоту небоскреба — как функцию одного лишь времени падения. Искусство исследователя, когда он схематизирует яв- ление и строит его математическую модель, в том и состоит, чтобы сократить до разумного минимума число существенных черт’ явления, учитываемых в модели, сократить число переменных в возникающих при этом функциях — лучше всего до одной-единственной. Тогда математический аппарат исследования исчерпывается функциями одной переменной. Однако такое бывает не всегда, и возникает потреб- ность в понятии функции многих переменных. Сформу- лируем же его; Если каждой заданной совокупности значений не- скольких независимых переменных величин, называе- мых аргументами, ставится соответствие определен- ное значение некоторой другой переменной величины, то она называется функцией вышеуказанных аргумен- тов. Заметим, что независимость аргументов свойственна и их взаимоотношениям: значение одного не обуслов- ливает однозначно значения других. 239
С увеличением числа аргументов понятие функции сильно усложняется Функции многих переменных — вещи непростые. И в этом можно убедиться на самом простом примере этих непростых функций, когда аргу- ментов всего лишь два. Обратимся еще раз к знакомой нам задаче о небос- кребе и барометре, к той простой формуле, с которой начал студент. Посмотрим, как меняется результат из- мерения высоты в зависимости от времени падения и ускорения силы тяжести. Слово «посмотрим», естественно вышедшее из-под пера, сразу ставит перед нами проблему: как сделать наглядной функциональную зависимость от двух аргу- ментов? Когда функция зависела только от одной переменной, все было просто. На листе бумаги — две координатные оси. Каждая пара чисел «аргумент — функция» опреде- ляет точку на плоскости. Эти точки сливаются в линию — график функции одной переменной. Когда функция зависит от двух переменных, то плос- кость требуется уже для того, чтобы изображать воз- можные сочетания двух аргументов. Добавив к каждой такой паре чисел третье — значение функции, — полу- чаем точку трехмерного пространства. Эти точки слива- ются, образуя уже не линию, а поверхность Как изобразить ее на листе бумаги? Попытаемся сде- лать это. Но прежде проанализируем, каковы возмож- ные сочетания аргументов. Когда функция зависела от одного аргумента, его допустимые значения, как правило, располагались в некотором интервале — конечном или безграничном с одной или обеих сторон Когда функция зависит от двух переменных, сочетания которых представляются точка- ми координатной плоскости, допустимые пары аргумен- тов образуют на ней область определения функции. В задаче о небоскребе и барометре обе перемен- ные — и время и ускорение — могут быть лишь положи- тельными. Область определения функции — высоты не- боскреба — лежит между положительными полуосями 240
плоскости аргументов. Над этим сектором и будет про- стираться поверхность, к построению которой мы при- ступаем. Ее удобно строить так же, как строят корабль. Со- ставляя теоретический чертеж корабля, конструк- тор представляет поверх- ность корпуса натянутой на линии трех семейств — шпангоуты, батоксы, ва- терлинии. Первые распо- лагаются равномерным строем вдоль корпуса, вто- рые — вправо и влево от продольной плоскости симметрии, третьи — по высоте. Устанавливая «шпангоуты» для нашей поверхности, вообразим на время постоянной одну из независимых переменных — скажем, ускорение силы тяжести. Наша функция обратится тогда в функцию одной переменной, времени, и представится привычной параболой, описы- вающей равноускоренное движение. Теперь положим ускорение силы тяжести равным дру- гой постоянной величине, скажем, большей. Парабола получится покруче и расположится подальше от начала координат. Так построим еще несколько «шпангоутов» последовательно, придавая ускорению силы тяжести одно и то же приращение (рис. слева на стр. 242). Для установки «батоксов» положим постоянным дру- гой аргумент нашей функции — время падения. Тогда она вновь станет функцией одной переменной и притом весьма простой: ведь путь, пройденный падающим телом за фиксированное время, прямо пропорционален ускорению. Фиксируя время падения равномерно при- растающими значениями, будем получать все более крутые графики прямой пропорциональности. Соответ- ствующие прямые будут располагаться все дальше от начала координат. Для проведения «ватерлиний» положим постоянным уже значение функции и обусловленную этим взаимо- 241
связь двух аргументов станем рассматривать как неяв- ную .функциональную зависимость одного от другого. Соответствующую линию поместим на высоте, равной выбранному постоянному значению функции. Придавая функции все новые равномерно прирастающие значе- ния, построим еще несколько «ватерлиний». На столь частый скелет уже нетрудно натянуть поверх- ность. После того, как это сделано, становится особенно заметным, что наши «шпангоуты», «батоксы» и «ватер- линии» — это линии, по которым поверхность функции рассекают равностоящие плоскости, параллельные ко- ординатным плоскостям. (Собственно говоря, именно так тезки наших линий определяются и в судостроении, когда речь идет о поверхности корпуса конструируемого корабля.) По таким сечениям можно изучать функцию, даже и не строя ее поверхность. Если кому-то подобное построение покажется гро- моздким, то можно ограничиться его заключительной стадией. Да и ту взять в упрощенном варианте, который особенно понятен на языке картографов, а не корабе- лов. Проекции линий, которые мы именовали «ватерлиния- ми», на плоскость аргументов в математике называются линиями уровня. Они вполне родственны по смыслу тем линиям уровня, которые в географических координатах проводит картограф: точки земного рельефа, располо- женные над этими линиями, лежат на одинаковой вьюо- 242
те над уровнем моря. Точки математических поверхнос- тей, расположенные над и под линиями уровня, лежат на одном и том же расстоянии от плоскости аргументов (либо выше, если соответствующее значение функции положительно, либо ниже, если отрицательно. Попутно заметим еще раз, что соседние уровни, по которым рассекают исследуемые поверхности и картограф, и математик, отстоят друг от друга на одну и ту же вели- чину). Картограф раскрашивает промежутки между линиями уровня в разные цвета. Зеленый означает низменности, желтый — возвышенности, коричневый — горы. Немного воображения — и переливы расцветки предстают перед глазами изгибами рельефа. Однако опытный математик способен представить их себе и без подобной декора- тивности. О характере поверхности он умеет судить лишь по рисунку линий уровня. Скажем, там, где они гуще, поверхность более крута. Как выглядит в таком изображении исследованная нами поверхность, показывает правый рисунок на стр. 242. Сравните его с левым, и вы убедитесь, что сгущения и разрежения линий уровня хорошо передают крутизну и пологость математических «рельефов». По заснеженному склону горы взбирается лыжник. По следу, который оставляет он, шагая лесенкой все выше и выше, сразу узнается опытный спортсмен Каждый раз лыжа ставится строго горизонтально, и каждый шаг направлен перпендикулярно к исходному положению лыжи Разумность такой тактики можно подкрепить матема- тикой. Поставить лыжу строго горизонтально, исключая риск покатиться вниз, — это значит построить касательную к линии уровня. Шагнуть перпендикулярно к исходному положению лыжи — это значит обеспечить наибольшее продвижение вверх по склону. Почему? Если отвлечься от спорта и рассматривать склон горы как поверхность некоторой функции двух переменных 243
(достаточно «гладкую» поверхность; разъяснение этого эпитета увело бы' нас далеко), то можно доказать, что функция в каждой точке своей области определения / растет наиболее быстро в направлении, перпендикуляр- ном линии уровня, то есть в направлении, перпендику- лярном касательной к линии уровня в данной точке. Вектор, указывающий направление наибольшего роста функции в данной точке, называется градиентом функции в данной точке. Длина этого вектора выражает скорость возрастания функции в том направлении, ко- торое он указывает. К завтраку вы решили сварить себе яйцо. Сколько времени вам потребуется на это? 244
Каждый ответит на этот вопрос по-разному. Один бросит яйцо в кипящую воду надолго, чтобы сварить его вкрутую. Другой с часами в руках аккуратно отмерит пять или шесть минут, чтобы получить яйцо в мешочек. Тре- тий спешит вынуть яйцо, едва погрузив его в кипяток, — он любитель яиц всмятку. Говорят, о вкусах не спорят. Но тут и без спора ясно, что степень готовности яйца есть функция времени. Примерный вид этой зависимости каждый постиг на опыте. Но этот опыт может подвести вас, если вы задумаете сварить яйцо в альпинистком походе, высоко в горах. В горах, где атмосферное давление меньше, вода закипа- ет при пониженной температуре, там кипяток холоднее, и яйца в нем будут вариться дольше. В соответствии с этим изменится график. Ёсли бы вы задумали воспользоваться скороваркой, то все сроки сократились бы: ведь в скороварке поддер- живается повышенное давление, а вода в таких условиях 245
кипит при более высокой температуре. График опять изменит свой вид. Итак, степень готовности яйца оказывается функцией двух переменных — времени и давления. И чтобы не загромождать возникающую у нас картину сетью все новых и новых линий, лучше представить график нашей функции поверхностью над Плоскостью обоих ее аргу- ментов. И все-таки не будем спешить с заменой серии функ- ций одной переменной на функцию двух переменных. Вдумаемся и согласимся, что роль обоих аргументов различна. В продолжении каждого опыта один из них — давление — остается неизменным, так что в математи- ческом описании процесса его можно считать постоян- ным коэффициентом, хотя от опыта к опыту он может меняться. Переменные величины такого рода называются пара- метрами. В теории функций одной переменной важную роль играет понятие дифференцируемости. Существует ли что-нибудь подобное в мире функций многих переменных?,Скажем, двухВ 9 Когда речь шла только об одной переменной, диффе- ренцируемость функций в некоторой точке, при некото- ром значении аргумента означала возможность заме- нить криволинейный участок графика простейшей из линий — прямой, совпадающей в данной точке с графи- ком функции. И заменить не просто, а с выполнением некоторого требования к расхождению между графиком и приближающей прямой в окрестных точках: с умень- шением ширины окрестности до нуля это расхождение должно стремиться к нулю быстрее, чем ширина окрест- ности. Такой приближающей прямой служит касательная — прямая, угловой коэффициент которой равен производ- ной от функции в данной точке. Дифференцируемость и существование производной — одно и то же, если речь идет о функции одной переменной. 246
Функция двух переменных — это уже не линия, а поверхность. Простейшая из поверхностей —плоскость. Рассуждая по аналогии, мы должны назвать дифферен- цируемостью функций двух переменных в некоторой точке возможность приблизить искривленную поверх- ность плоскостью, в данной точке совпадающей с по- верхностью. Приблизить с тем же, что и в случае одной переменной, требованием к расхождению между по- верхностью и плоскостью в окрестных точках: с умень- шением размера окрестности это расхождение умень- шается и стремится к нулю быстрее, чем размер окрест- ности. Если такая возможность существует, то функция называется дифференцируемой в данной точке, а при- ближающая плоскость называется касательной плоскос- тью. Если функция дифференцируема в данной точке, то можно дать простой рецепт построения касательной плоскости. Рассечем поверхность двумя вертикальными плоскостями, проходящими через данную точку и парал- лельными осям аргументов — У и у. В сечении получает- ся две линии, две функции одной переменной: в одной плоскости — функция переменной х (переменная у при этом фиксирована, играет роль параметра), в другой — функция переменной у (роль параметра теперь игра- ет х). К линиям мы умеем проводить касательные. Про- ведем их в исследуемой точке поверхности. Получим две пересекающиеся прямые. Через две такие прямые мы умеем проводить плоскость. Проведем ее. Это и будет касательная плоскость (рис. на стр. 248 слева). Угловые коэффициенты касательных, на которые мы словно натянули плоскость, — это производные соот- ветствующих функций одной переменной: либо х, либо у. По отношению к функции двух переменных эти производные называются частными: частная производ- ная функции по х и частная производная по у. Алгоритм построения касательной плоскости весьма четок и неприменим, казалось бы, лишь к немногим, скажем, к разрывным функциям — то есть к таким, по- верхности которых состоят из разрозненных нестыкую- щихся кусков. Это не так. Касательную плоскость иногда не удается построить даже к таким поверхностям, в сечениях которых вертикальными плоскостями вознйка- 247
ют гладкие, дифференцируемые функции, иными сло- вами, у которых существуют обе частные производные. По-видимому, не случайно их называют частными. Они несут весьма частную информацию о функции, расска- зывая лишь о ее поведении в вертикальных секущих плоскостях. Между тем в секторах между секущими плоскостями функция может оказаться капризной. Там расхождения между нею и плоскостью, построенной по вышеописанному алгоритму, могут но удовлетворять тем условиям, которые позволяют назвать построенную плоскость касательной. И это ничуть не удивительно. Ведь за построенную нами плоскость по самой сути ее построения можно поручиться лишь в том, что она тесно прилегает к кри- вым в сечениях поверхности двумя вертикальными плос- костями. А это отнюдь не может гарантировать тесного прилегания построенной плоскости к данной поверхнос- ти в секторах между секущими плоскостями. Дифференцируемость и существование частных про- изводных — отнюдь не одно и то же, если речь идет о функциях многих переменных. Функция многих переменных, дифференцируемая в некоторой точке, имеет там все частные производные. К ее поверхности можно провести касательную плос- кость, применяя вышеописанную процедуру. Обратное, вообще говоря, неверно. Функция многих переменных, имеющая в некоторой точке все частные 248
производные, может оказаться недифференцируемой в этой точке (рис. на стр. 248 справа). На рисунке — проект нового кафе с четырьмя залами. Посетители кафе вряд ли догадываются, что эти своды представляют собой поверхность функции, не диффе- ренцируемой в центральной точке. Но это так. Если направить оси аргументов по гребням сводов, как пока- зано на рисунке, и попытаться построить касательную плоскость к поверхности в начале координат, то извест- ный нам алгоритм даст горизонтальную плоскость. Именно она наиболее тесно прилегает к поверхности в направлении осей аргументов. Но в промежуточных сек- торах о прилегании не может быть и речи: направляясь внутри них к центральной точке (скажем, от опор), мы видим, что расхождение между поверхностью и плос- костью стремится к нулю пропорционально расстоянию до центра, а отнюдь не быстрее. Снимок с метеоспутника. Как непрост узор облаков! Как сложны процессы, формирующие погоду на земле! Атмосфера неоднородна: в каждой точке — свое давле- ние, своя температура, свое направление ветра. И все это ежечасно меняется. Синоптики имеют дело с функ- циями многих переменных: время, широта, долгота, высота — вот аргументы тех функциональных зависи- мостей, которые определяют состояние атмосферы. Процессы в ней описываются дифференциальными уравнениями, содержащими производные по всем аргу- ментам — частные производные. Это так называемые дифференциальные уравнения i частных производных. Их решение — дело трудное и не всегда осуществимое в полной мере даже на современных ЭВМ. Вот отчего точный долговременный прогноз погоды все еще оста- ется серьезной проблемой. Это лишь один пример, показывающий, сколь важную отрасль математики образуют дифференциальные уравнения в частных производных. (В отличие от них дифференциальные уравнения для функций одной переменной называют обыкновенными.) 249
Мы хотели бы рассказать о функциях трех, четырех и большего числа переменных, но наглядное представле- ние таких функций — дело весьма сложное. Пришлось ограничиться рассказом о функциях двух переменных. Заметим, однако, что опыт, нажитый в работе с этими функциями, дает известную уверенность при обраще- нии с функциями большего числа переменных.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Встречи с математикой порой бывают неожиданными Как-то раз нам довелась листать старинный ботани- ческий атлас, где рядом с контурами листьев разнооб- разнейших растений были аккуратно выписаны тригоно- метрические формулы. р = 1+9/16cosy>+1 /4cos3y> +1 /6cos5y>+1 /48cos7^ Эти примечания озадачивали. Что общего, например, между кувшинкой и косинусом, точнее, между формой листка кувшинки и этой функцией, содержащей коси- нус? = 1 + cos <р. 251
Греческие буквы р и <р, вероятно, напомнили вам о полярных координатах, о которых мы говорили в самом начале книги (см. стр. 63 — 65). Тогда мы ограничились лишь их определением. Теперь уместно сказать кое-что об их употреблении. Например, задав зависимость ра- диус-вектора р от полярного угла ф, можно построить график этой зависимости в полярных координатах. Если вы воспользуетесь таким приемом и нарисуете график приведенной тригонометрической функции из странно- го ботанического атласа, то ответ на поставленный вопрос станет очевидным. Построенная кривая обрису- ет лист кувшинки. Вот еще два примера из того же атласа: кислица и настурция. Удивившись такому сходству, вы, наверное, расцени- те его не более как случайное совпадение. По-видимо- му, форма этих листьев слишком проста, и к ним нетруд- но подобрать простые функции. А если что-нибудь по- сложнее? Можно и посложнее — вот, скажем, стрелолист. Усложнилась форма листа — усложнилась и функция. В ней стало больше слагаемых, и, глядя на нее, уже можно понять тот принцип, по которому удлиняются формулы для листьев все более причудливых очерта- ний: новые слагаемое — это так называемые косинусы кратных дуг. Термин говорит о том, что независимая переменная <р под знаком косинуса умножается на двой- ку, тройку и дальнейшие целые числа. Возможно, вы скажете, что и на сей раз все объясня- ется удачным совпадением, и попытаетесь подыскать лист подиковеннее — такой, описать форму которого не под силу никакой тригонометрической функции. Но лучше не трудитесь. Математика позволяет утверждать; форму любого достаточно гладкого листа всегда можно достаточно точно описать функцией, составленной на- подобие вышеприведенных из синусов и косинусов кратных дуг. Достаточно гладкого — это значит,, что на оси листа можно найти такую точку, что любой проведенный из нее луч пересечет контур листа только один раз. Достаточно точно — это значит, что в любом месте график функции 252
, отойдет от контура листа в направлении луча не более чем на заранее заданную величину. Конечно, если вам захочется, чтобы подобные суммы синусов и косинусов воспроизводили природу со сколь угодно высокой точностью, вы должны быть готовы к тому, что число слагаемых придется увеличивать неог- раниченно. Как же назвать такие безгранично удлиняющиеся суммы? Когда подобным образом мы суммировали числа, мы говорили о числовых рядах. На сей раз сла- гаемыми являются функции. Бесконечные суммы такого рода называются функциональными рядами. Когда по радио разучивают песню, ее мелодию повто- ряют несколько раз — сначала в исполнении певца, потом проигрывают ее на различных музыкальных ин- струментах — скажем, на рояле, скрипке Или флейте. Один из тех графиков, которые мы прежде строили в полярных координатах, приближая формы листьев, мы перерисуем сейчас в декартовых. Значения функции ста- нем откладывать, как обыч- но, по вертикальной оси, значения аргумента — по горизонтальной, причем выражать его будем в ради- анной мере. На это указы- вает буква л, с помощью ко- торой размечена горизонтальная ось. О радианной мере углов мы рассказывали на стр. 170. Надо сказать, что в математике она гораздо популярнее градусной. В полярных координатах аргументом служил угол, значения которого можно исчерпать за один оборот — от О’ до 360" в градусной мере или от 0 до 2л в радиан- ной. С дальнейшими оборотами график будет проходить раз за разом все по той же кривой. А это значит, что в декартовых координатах, когда аргумент превысит 2л (то есть 360"), график функции повтори-fry же линию, что вычертил на промежутке от 0 до 2л. Иными словами 253
функция, описывающая в полярных координатах некото- рый замкнутый контур, — периодическая. Убедитесь в этом, взглянув на график. Что напоминает вам эти кривая? Осциллограмму че- ловеческого голоса9 Звука скрипки или флейты? Кривую нервного импульса или сигнала, бегущего по электри- ческой цепи? Кардиограмму или энцефалограмму? В подобные кривые всматриваются врач и физик, биолог и химик, стараясь постигнуть загадки человечес- кого мозга и законы турбулентных течений, таинствен- ную власть музыки и коварную силу землетрясений. Так на довольно случайном стыке ботаники и матема- тики перед нами предстал широкий круг важных про- блем. Здесь же нам встретился и тот прием, который способствует их решению. Этот прием — разложение исследуемых функций в функциональные ряды, в беско- нечные суммы функций более простых, нежели иссле- дуемые, но замечательных не столько своей простотой, сколько тем, что выстраиваются в некую стройную сис- тему. Математика знает немало таких систем. Скажем, если функция разлагается по синусам и косинусам кратных дуг, то возникающий бесконечный ряд называется гар- моническим, или рядом Фурье, а его слагаемые — гар- мониками. Ряды Фурье — эффективный инструмент для исследования периодических функций. Каждое слагаемое, каждый представитель той систе- мы функций, по которым разлагается данная входит в образующийся ряд с определенным коэффициентом. Найти эти коэффициенты, собственно, и означает раз- ложить данную функцию в ряд по функциям некоторой заранее выбранной системы. Теория функциональных рядов предполагает их со- держащими сколь угодно большое число слагаемых. Недаром в символическом обозначении ряда над за- главной греческой буквой «сигма» пишется значок бес- конечности (снизу указывается номер того члена, с которого начинается суммирование). На практике же всегда используются лишь частичные суммы функционального ряда — суммы нескольких пер- вых его слагаемых. Каждая из них представляет собой 254
слагаемое функционального ряда оо^ п £uk(x)-lim X Ц<(х) сумма бесконечного частичная сумма функционального ряда функционального ряда функцию, более или менее отличающуюся от той, при разложении которой возник функциональный ряд. Как будет изменяться это отличие, если пополнять частичные суммы все новыми слагаемыми? Если оно будет стремиться к нулю при любом значении аргу- мента из некоторого интер- вала, то говорят, что функ- циональный ряд на этом интервале сходится к дан- ной функции. В теории функциональных рядов известно несколько критериев, с помощью которых по тем или иным осо- бенностям слагаемых ряда можно решать вопрос о его сходимости. «Мазок — по форме», — наставлял своих учеников Репин’. Поговорка мастера раскрывает секрет того ис- кусства, с которым сам он умел лепить объемы на холсте несколькими ударами кисти. Когда целое составляется из деталей, то каждая из них, а стало быть, и весь их ассортимент должны соот- ветствовать целому. Об этом думает и математик, когда намеревается разлагать функцию в ряд, в бесконечную сумму функций более простых. В математике, как мы уже говорили, для подобных целей используется несколько традиционных ассортиментов — синусы и косинусы кратных дуг (про этот набор мы уже рассказывали), функции Бесселя и Матье, полиномы Эрмита и Лаггера... И для каждого из перечисленных наборов хорошо известно, в задачах какого рода он наиболее удобен. Перед вами две цепочки рисунков' Одна начинается изображением аквариума, другая — мыльного пузыря. Следующие рисунки в той и другой цепи: профиль волны, искривившей поверхность воды в аквариуме и силуэт колеблющегося мыльного пузыря. Следующие рисунки: очертание волны, как бы снятое на кальку, и контур пузыря, перерисованный из поляр- 255
ной системы координат в декартову (такой переход из одной системы в другую мы освоили анализируя форму листьев). Сравните эти два рисунка. Сходство полное — не правда ли? На обоих графиках изображена одна и та же функция. Начатые здесь цепочки рисунков продолжаются на стр. 257. Там представленная графиками функция раз- ложена в функциональные ряды. Для этого взяты два различных семейства функций. В одних мы узнаем уже хорошо знакомые нам косинусы кратных дуг. Другие именуются полиномами Лежандра. Представители обоих семейств тоже обнаруживают определенное сходство. И это не удивительно: полино- мы Лежандра образуются из степеней косинуса — взгляните на формулы под графиками. Удивляет другое: по какому признаку к волнам на воде отнесены косинусы, а к мыльному пузырю — полиномы Лежандра? Чем продиктован выбор того или иного се- мейства функций? На этот вопрос не ответить, глядя на статичные сним- ки. Надо оживить движением о_бе картинки. Надо опи- сать эти движения дифференциальными уравнениями. Надо попытаться решить эти уравнения. И тогда окажет - 256
9 — 480
ся, что решения одного из них (описывающего волны в аквариуме) выражаются через косинусы, решения дру- гого (описывающего осесимметричные колебания пузы- ря)—через полиномы Лежандра. (Заметим, что диффе- ренциальные уравнения для того и другого случая ока- зываются довольно сходными — потому похожи друг на друга и функции, через которые выражаются их реше- ния.) Итак, выбор подходящего ассортимента функций и там и тут диктуется сущностью задачи — точно так же, как сама натура диктует художнику движения кисти. Фотография схватывает лишь отдельный миг в разви- тии процесса. Чтобы проследить его течение, нужно обратиться к киносъемке. Вот несколько последе вательных кинокадров, снятых через прозрачную стенку лотка с водой (левая колонка рисунков). На поверхности воды гуляют волны. На пер- вый взгляд их игра не подчинена никаким правилам. Но это только кажется. Разложим в ряд каждую из функций, описывающих форму водной поверхности в последовательные момен- ты времени. Как мы уже знаем, слагаемые этого ряда — косинусы кратных дуг. 'Один за другим выстраиваются они, строчка за строчкой. А теперь проследим сверху вниз за коэффициентом при каком-либо слагаемом ряда — скажем, за самым первым — оц. Посмотрим, какие значения принимает он в последовательные моменты времени, и по этим дан- ным построим график его зависимости от времени. Смотрите — образуется синусоида! Проследим за коэффициентом при втором слагаемом eta, представим и его функцией времени — та же исто- рия! Только гребни у синусоиды в два раза чаще. Третье слагаемое — опять синусоида и опять с еще большей частотой, на этот раз в три раза. В этом уже нетрудно усмотреть закономерность: номер гармоники показывает, во сколько раз ее колеба- ния чаще по сравнению с первой гармоникой. 258
После этого мы можем предсказать значение коэф- фициента при каждом косинусе для любого момента времени и, суммируя ряд из косинусов с такими коэф- фициентами, определить, какую форму будет иметь в этот момент поверхность воды в лотке А это значит что 9'
по нескольким начальным кадрам мы определили закон ее колебаний. Итак, к чему же привел- нас путь, начавшийся со сравнения кувшинки с косинусоидой? К методу, кото- рым решаются разнообразные физические задачи — о течениях жидкости и волнах на ее поверхности, об электромагнитных волнах и колебаниях упругих тел, о диффузии и распространении тепла. Закон развития каждого из перечисленных процессов выражается некоторым дифференциальным уравнени- ем в частных производных, а конкретная форма проте- кания — начальным состоянием и режимом на границе области, где Протекает процесс. Дифференциальное уравнение в частных производных, начальные условия, граничные условия — все вместе это называется крае- вой задачей. Метод исследования краевых задач, к которому мы пришли, заключается в том, что решение задачи ищут в виде бесконечного ряда. Каждое слагаемое ряда пред- ставляет собою произведение функции, зависящей только от времени, на функцию, зависяющую только от пространственных координат. Эти самые функции, за- висящие лишь от точки пространства, называются соб- ственными функциями данной краевой задачи. Их под- бор заранее определяется требованием: они должны удовлетворять заданным граничным условиям. Всмотритесь еще раз в кинокадры, снятые через бо- ковую прозрачную стенку лотка. Поверхность колеблю- щейся жидкости всегда образует прямой угол со стен- ками, ограничивающими лоток с торцов. Косинусы, ря- дами которых мы представляли форму водной поверх- ности, как раз и отличаются такой особенностью.‘Это, стало быть, и есть собственные функции задачи о коле- баниях воды в лотке. Собственными функциями для задачи об осесиммет- ричных колебаниях мыльного пузыря оказываются поли- номы Лежандра, для задачи о волнах на воде от бро- шенного в нее камня — функции Бесселя... И каждый раз система собственных функций позволяет представить сложный процесс в виде обозримой суммы простых деталей, из которых можно воссоздать цельный облик сложного явления с любой желаемой точностью. 260
Метод, о котором мы рассказали, был предложен Леонардом Эйлером, а подробно его разработал фран- цузский математик и физик Жан Батист Фурье, чьим именем и принято сейчас называть замечательный метод. Читатель, вероятно, припоминает, что речь о прибли- жении функций уже шла на страницах этой книги — именно в том месте, где говорилось о производной. Не встретив ничего похожего сейчас, читатель, пожалуй, испытывает недоумение. Объяснимся. Дело в том, что существует несколько подходов к вопросу о приближении функций. Поэтому не удивительно, что прежде, за разговором о производ- ной, мы подошли к нему по одному из возможных путей, а здесь пошли по другому. Попытаемся теперь пояснить, в чем различие двух уже знакомых нам подходов. ' Как очутились рядом графики столь разнородных функций? На первом — константа. На втором — синусоида. На третьем — синусоида, так сказать, перекроенная: ее отрицательные полуволны заменены симметричными им относительно оси абсцисс и, стало быть, положи- тельными. Иными словами, значения функции синуса на третьем графике даны по абсолютной величине. ' Чтобы понять родство этих функций, обратите внима- ние, какими буквами отмечена вертикальная ось каждо- го из трех графиков. Прописная латинская буква / — традиционное для электротехники обозначение тока. Две основные его разновидности и представлены на пцрвых двух графиках — ток постоянный и ток перемен- ный. 261
Знак тока, как известно, соответствует его направле- нию. Перекройка синусоиды, понятная из сравнения второго и третьего графиков, на языке электротехники называется выпрямлением тока. Прежде переменный, он приобретает от этого постоянное направление. Те- перь им можно питать электроприборы, работающие на постоянном токе. Еще неясно, правда, какому постоянному току он будет равносилен, каким синусоидальным биениям рав- ноценны его периодические изменения. Казалось бы, на эти вопросы ответить нетрудно, рас- смотрев кривую выпрямленного тока на протяжении одного лишь периода, взяв лишь одну дужку перекроен- , j ной синусоиды. Надо про- вести горизонталь, пло- щадь под которой равна площади под дужкой, — ее высота и укажет величину постоянного тока, которо- му равносилен выпрямлен- ный. Ведь заряд, перенесенный током, на языке графи- ков выражается площадью под кривой зависимости тока от времени. А чтобы оценить величину биений относи- тельно среднего значения, вызванных непостоянством выпрямленного тока, следует построить на проведенной горизонтали, как на оси абсцисс, такую косинусоиду, которая как можно теснее прилегала бы к нашей кривой и имела бы тот же период. Такой подход к делу верен. И все-таки не будем спешить с окончательными выводами. Ведь комбина- цией горизонтали и косинусоиды наша кривая прибли- жена еще весьма неточно. Чем же нужно дополнить эту комбинацию, чтобы уменьшить оставшуюся невязку? И, кстати, какова она, эта невязка? Чтобы получить ее в чистом виде, вычтем из нашей кривой уже построенные горизонталь и коси- нусоиду. Не любопытно ли? В результате получилась двугорбая кривая. Исчерпать такое расхождение, очевидно, помо- жет косинусоида с периодом, вдвое меньшим по срав- нению с периодом выпрямленного тока. 262
Теперь поглядите, что получится дальше, когда мы вычтем и эту косинусоиду, — на протяжении периода выпрямленного тока кривая оставшейся невязки имеет уже три волны и требует для своего исчерпывания косинусоиду с периодом, втрое меньшим по сравнению с периодом выпрямленного тока. Подобные уточнения можно проводить еще и и еще пока невязка не окажется меньше желательной точнос- ти, то есть столь малой, что ею уже можно будет прене- бречь. И тогда исходная кривая выпрямленного тока представится суммой всех вычтенных косинусоид. Вот оно искомое разложение, частичная сумма ряда Фурье для выпрямленного тока. Мы привели фрагмент этого разложения с точными значениями коэффициен- тов, какими их позволяет вычислить теория рядов Фурье. Формулам, их выражающим, конечно, не место в нашем беглом рассказе. Скажем лишь, что вычисля- 263
ются эти коэффициенты посредством интегрирования. Иными словами, для их определения важно знать пове- дение функции на всем отрезке, на котором мы ее поиближаем частичными суммами функционального ряда Кстати сказать, эта определяющая особенность про- являлась и в наших построениях: мы добивались, чУобы исходная и приближающая кривая были бы близки на всем периоде выпрямленного тока, а не в какой-либо избранной точке. Точно так же поступали мы, когда описывали функциональными рядами формы листьев, профили волн в лотке, очертания мыльных пузырей. Приближение функции на отрезке — вот суть описан- ного подхода Видели ль вы безмен, одно из стариннейших приспо- соблений для взвешивания? Если видели, то обращали ли внимание на то, как выглядит его шкала? Бросается в глаза, что ее деления располагаются неравномерно — не то, что на пружинных или на рычаж- ных весах. Если приложить безмен к горизонтальной оси прямо- угольной системы координат так, чтобы груз совпал с началом, а середина стержня — с единичной отметкой, если затем над каждым делением шкалы безмена отло- жить по вертикальной оси соответствующее значение 264 5
веса и провести через полученные точки плавную кри- вую, получится график гиперболической функции, стре- мящейся к бесконечности, когда аргумент стремится к правому краю ее области определения. Впрочем, если приглядеться к шкале безмена внима- тельнее, то выяснится, что неравномерность делений проявляется у нее лишь где-то посредине, а в начале она почти равномерна. В соответствии с этим и постро- енный нами график выходит из начала координат почти прямолинейно. Стало быть, в окрестности начала коор- динат его можно приблизить прямой. Как мы уже знаем, прямая наилучшего приближения наиболее тесно прилегающая к кривой, — это касатель- ная, проведенная к кривой в той точке, в окрестности которой и строится приближение С отходом от точки касания расхождение между кри- вой и приближающей прямой становится все заметнее. Как уточнить приближение? Какой простой формулой можно описать невязку? И, кстати, какова она? Чтобы получить ее в чистом виде, вычтем из нашей кривой касательную. Получилось нечто похожее на параболу. Параболой с надлежащим коэффициентом мы и попытаемся исчер- пать невязку. Она, конечно, исчерпается не полностью. Для дальнейших уточнений используем параболы тре- тьей, четвертой, более высоких степеней...
Сложная гиперболическая функция оказывается раз- ложенной в ряд, слагаемые которого — последователь- ные целые степени аргумента с некоторыми коэффици- ентами. Такой ряд называют степенным; другое его название — ряд Тейлора. Найти эти коэффициенты, собственно, и означает разложить функцию в степенной ряд. Выражаются они через последовательные производные приближаемой функции, вычисленные в той точке, в окрестности кото- рой строится приближение, — первую, вторую, третью и дальнейшие. Приближение функции в окрестности некоторой точки — вот суть описанного подхода. Сколь же широка такая окрестность? Прежде чем отвечать на этот вопрос, подставим в наш степенной ряд какое-либо конкретное значение аргумента. Ряд станет числовым, и мы исследуем его на сходимость. Все значения аргумента, при которых сходится сте- пенной ряд, образуют так называемый интервал сходи- мости. 266
Чему равен синус тридцатй градусов? Половине — так учили нас на уроках тригонометрии. А синус, скажем, тридцати двух градусов? Столкнувшись с таким вопросом, вы наверняка вос- пользуетесь таблицами. Пробежав глазами колонку чисел, вы остановитесь на нужном: 0,5299. Ну, а если бы таблиц не оказалось под руками? Смог- ли бы вы сами вычислить эту величину? И притом с той же точностью — до четвертого знака после запятой? Задача не составит для вас труда, если вы умеете разлагать функции в ряды Тейлора. Ведь что такое разложить функцию в ряд Тейлора? Это значит заменить ее суммой целых степеней аргумента — каждая со своим коэффициентом. А возведение в целую степень, умно- жение на соответствующий коэффициент, сложение и вычитание — действия простые, выполнимые с помо- щью одной лишь авторучки. «Но ряды Тейлора бесконечны, — может заметить читатель. — Не будут ли бесконечно долгими вычисле- ния по ним?» Отнюдь нет! Ряды, предлагаемые математикой для практических расчетов, таковы, что все более далекие их слагаемые служат для все более тонких уточнений. Если точность расчетов задана, ряд Тейлора можно оборвать на некотором слагаемом. От этого он превра- тится в полином (его называют полиномом Тейлора). Чтобы вычислить значение полинома для заданного зна- чения аргумента, нужно произвести конечное число ум- ножений, сложений, вычитаний. Ряд Тейлора для синуса, каким он приводится в спра- вочниках по математике, несложен для запоминания. Закономерность, по которой образуются слагаемые ряда, проста. Первое слагаемое — это линейная функ- ция, равная своему аргументу. Дальнейшие слагае- мые — это последовательные Нечетные степени аргу- мента. Каждая делится на произведение всех целых чисел от единицы до равного показателю степени. Знаки слагаемых чередуются, меняясь с плюса на минус и с минуса на плюс. 267
Что же дает добавление к ряду каждого очередного слагаемого? Об этом мы расскажем, обратившись к графику. Сначала изобразим на нем синусоиду. Затем возьмем ряд Тейлора для синуса и оставим в нем пока лишь первое слагаемое — линейную функцию, равную своему аргументу. На графике она изобразится биссектрисой угла между осями. Обе линии — синусоида и прямая — касаются в начале координат. Вспомнив то, что когда-то говорилось о касательных, мы можем заключить: в некоторой окрестности начала координат синус можно заменить линейной функцией, равной своему аргументу. Точность этой замены будет тем выше, чем уже окрестность. Более того, при суже- нии окрестности погрешность, вызванная заменой, будет стремиться к нулю быстрее, чем ширина окрест- ности. Это и имеют в виду, когда говорят, что синус эквива- лентен своему аргументу в окрестности нуля. Но что нам проку от этой эквивалентности? Аргумент, для которого мы должны вычислить значение синуса, — тридцать два градуса. Попадает ли эта точка в ту узкую окрестность нуля, где замена синуса линейной функ- цией гарантирует сохранение- четвертого знака после запятой, как того требует точность вычислений, за кото- рые мы взялись? Судя по графику, вряд ли. 268
Что ж, припишем к первому члену разложения еще один. На график ляжет изогнутая кривая. По сравнению с прежней прямой она прилегает к синусоиде на боль- шем протяжении, отходя от нее лишь под самым сводом первой полуволны. Еще один член разложения. Еще дальше сопровожда- . ет синусоиду новая кривая на графике. Возникает уверенность, что какой аргумент ни укажи и какую точность ни назначь — тейлоровский полином достаточно высокой степени будет в указанной точке отличаться от синуса на величину, меньшую назначен- ной. Мы ограничимся полиномом из трех слагаемых. Ос- тается подставить в него значение аргумента — и иско- мое число найдено. Разумеется, чтобы получить искомое число, в поли- ном нужно подставить также число. Иными словами, величину угла, для которого мы вычисляем синус, нужно выразить числом, то есть в радианной мере. Переведем в нее наши тридцать два градуса. С точностью до четы- рех знаков после запятой это будет 0,5585. Подставив это число в заготовленный полином, мы получим ту же величину, что и в таблице: 0,5299. Все получилось быстро и просто — не правда ли? В этих удобствах — лишь малая толика тех выгод, которые сулит возможность разлагать функции в ряды Тейлора.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО Наш век — век математизации Она охватывает все новые области знания поднимая их на все более высо- кие ступени развития Однако многие сферы повседневной практической деятельности почему-то все еще остаются обойденны- ми математикой Например, кулинария Попробуем хотя бы отчасти заполнить этот досадный пробел Множество чашек кофе готовится по утрам к завтраку Эти чашки разного размера, и содержимое их весьма различно Есть любители черного кофе Другие предпо- читают основательно разбавить кофе молоком Объектом математизации мы выберем это множество чашек кофе. Как принято писать в математических статьях, введем над элементами нашего множества — сиречь над чаш- ками кофе — операции сложения и умножения на число Если к приготовленной порции кофе вы прильете, скажем, еще две точно такие же, отчего содержимое сосуда увеличится втрое, то будем говорить, что мы умножили порцию кофе на три Если к чашке прилито полчашечки — на полтора. Если от порции осталось полпорции — на половину И так далее А теперь возьмем две разные чашечки кофе, приго- товленные по разным рецептам, и сольем их вместе — да простят нам кофеманы этот конщунственный акт! Будем говорить, что мы произвели сложение двух эле- ментов нашего множества. И что характерно: в результате сложения двух порций кофе мы получим снова кофе, а не кисель и не компот То есть элемент того же множества. Заметим также, что в предыдущих примерах результатом умножения порций кофе на число были опять-таки некоторые порции кофе. Итог наших рассуждений представим диаграммой Построена она в уже знакомой нам декартовой системе координат. Каждая точка диаграммы изображает неко- 270
торую порцию кофе: абсцисса показывает, сколько в порции молока, ордината — сколько чистого черного кофе. Точки вертикальной оси на нашей диаграмме — это порции черного кофе без всякой примеси молока. Точки горизонтальной — порции молока без примеси кофе. Точки лучей, исходящих из начала координат, — это порции кофе одного и того же состава, хотя и различ- ного объема. Получаются они одна из другой пропорци- ональным увеличением молочной и кофейной компо- ненты. В таком увеличении нетрудно углядеть одну из двух операций, которые мы ввели на множестве порций кофе, — операцию умножения на число. А как отразить на диаграмме операцию сложения порций кофе? Соответствующий метод,'' называемый правилом параллелограмма, несложен и понятен из чертежа. Из начала координат проводятся стрелки до тех точек диаграммы, которые соответствуют той и дру- гой из складываемых порций. Этот уголок достраивает- ся до параллелограмма. Возникшая при этой недоста- вавшая вершина параллелограмма представит собой результат слияния двух складываемых порций в одну. Читатель, знакомый с наукой механикой, наверняка подметил в описании наших действий сходство с при- емом, который применяется для сложения сил и скорос- тей. В чем причина столь неожиданного сходства между кулинарией и механикой? Этих причин две, и они до- вольно просты. Во-первых, подобно тому, как мы могли увеличивать и уменьшать объем порций кофе, не меняя его состава, 271
мы можем увеличивать силы и скорости, не меняя их направления. Во-вторых, подобно тому, как мы могли сливать две порции кофе в одну, мы можем складывать силы и скорости. Иными словами, когда на тело действуют две независимые силы, мы можем заменить их одной, рав- нодействующей. Когда тело участвует в двух независи- мых движениях, мы можем рассчитывать его суммарную скорость. Применение подобных приемов, как мы увидим вско- ре, не ограничивается механикой и кулинарией. Их можно применять к элементам любого множества, для которых определены операции сложения и умножения на число Обе операции можно определить каким угодно обра- зом — вычерчивая ли диаграммы на бумаге, сливая ли растворы.. Важно лишь, чтобы в результате той и дру- гой операции получались элементы того же множества. Важно еще и то, чтобы выполнение этих операций подчинялось определенным аксиомам, о которых речь пойдет ниже Такое множество называется линейным пространст- вом. Элементы этого множества могут иметь какую угодно природу. Термин «линейное пространство» своим гео- метрическим звучанием обязан не их форме или распо- ложению, но лишь характерным особенностям их отно- шений и действий, над ними совершаемых, а также возможности иллюстрировать эти отношения и дейст- вия с помощью наглядных образов. Уже наша кофейная диаграмма была убедительным тому примером. Состав порций кофе мы указывали точками в декар- товой системе координат. Поясняя их сложение, прово- дили стрелки из начала координат в соответствующие точки Такими же стрелками, такими же направленными отрезками в физике изображаются силы, скорости и другие величины, именуемые векторами. По аналогии элементы любого линейного пространства тоже называ- ют векторами (реже точками), а вместо термина «линей- ное пространство» употребляют также термин «вектор- ное пространство». Буквы латинского алфавита, которы- 272
ми обозначаются элементы линейного пространства часто отмечают стрелочками или черточками над ними Вглядитесь еще раз в чертеж, которым мы пояснили правило параллелограмма А теперь поглядите на сле- дующий рисунок. Вариация на ту же тему, однако здесь несколько больше деталей Теперь ясно видно, что в суммарной порции столько же черного кофе и молока, сколько их было в складываемых порциях А еще из нового чертежа видно, что правило парал- лелограмма можно переиначить Проведя первый век- тор-слагаемое из начала координат, второй можно про- вести из конца первого; замкнув начало первого вектора и конец второго, мы получим искомую сумму. Этот метод предпочтительней, когда приходится складывать много векторов Их удобно выстраивать це- почкой, стыкуя конец каждого из суммируемых векторов с началом следующего, а затем замкнуть начало первого* и конец последнего вектора Рисунок, подсказавший нам удобную замену для пра- вила параллелограмма, демонстрирует еще и нагляд- ный геометрический способ вычитания векторов чтобы получить разность векторов, нужно провести направлен- ный отрезок из конца вектора-вычитаемого в конец вектора-уменьшаемого Систематизируя опыт механики и других областей физики, применяющих понятие вектора, математика вы- 273
работала так называемые аксиомы линейного простран- ства. Вот одна из них: векторы можно складывать в любом порядке — результат будет один и тот же. Например, сливая две порции кофе, можно прилить вторую к пер- вой, а можно и первую ко второй. Это так называемый переместительный закон сложения. U’+U=U+O’ M+U)+D=u?+(U+D) Вот другая аксиома: при сложении векторы можно объединять в любые группы. Например, сливая три порции кофе, можно сначала слить первую со второй и затем влить туда третью, а можно сначала слить вторую с третьей и затем влить туда первую. Результат опять- таки будет одинаковый. Это — так называемый сочета- тельный закон сложения. Не нужно думать, что тот и другой закон сами собой разумеются для элементов всякого множества, в кото- ром определена операция сложения. Переместимся из кухни в химическую лабораторию и заменим кофе и молоко на воду и концентрированную серную кислоту. Казалось бы, чтобы получить разбав- ленный раствор кислоты, можно прилить ее к вЬде, а можно поступить и наоборот — прилить к ней воду. Однако техника безопасности предписывает именно первый способ и категорически запрещает второй. Дело в том, что при смешивании концентрированной серной кислоты и воды выделяется много тепла, кислота; вски- пает, когда к ней приливают воду, разбрызгивается и грозит обжечь того, кто наивно полагает, что перемес- тительный закон выполняется при всяком сложении. НгО + H2SO4 = раствор серной кислоты . H2SO4 + НгО = опасно !!! 274
Итак в химической лаборатории при смешивании реактивов не всегда выполняется первая из названных нами аксиом сложения Не всегда выполняется здесь и вторая аксиома Хи- мики знают как готовить водный раствор кристалличес- кого йода йод сначала нужно растворить в спирте, а затем полученный раствор разбавить водой. Изменив п< рядок сложения, мы не придем к тому же результату с водой йод образует взвесь, которая уже не превратится в раствор от добавки спирта (Н2О + Jz) + С2Н5ОН = взвесь НгО + (J2 + С2Н5ОН) = раствор Мы видим, что аксиомам линейного пространства подчиняется не все, что складывается и умножается на числа — например химические реактивы Аксиом линейного пространства всего восемь. Две из них мы уже назвали. Третья требует, чтобы среди векторов был нулевой, то есть такой, от прибавления которого к любому дру- гому вектору тот оставался бы неизменным В нашем примере линейного пространства, во множестве чашек кофе нулевой вектор указать нетрудно — это пустая чашка. Нетрудно указать его и на кофейной диаграм- ме— это начало координат. (Кстати, из третьей, четвер- той и пятой аксиом линейного пространства можно вывести — попробуйте! — что умножение любого векто- ра на нуль дает нулевой вектор. Этот вывод пригодится нам в дальнейшем.) Четвертая аксиома: от умножения вектора на единицу он не изменяется. Пятая: умножить вектор на сумму чисел — это все равно, что умножить вектор порознь на каждое из этих чисел, а результаты сложить. Шестая умножить число на сумму векторов — это все равно, что умножить его на каждый вектор по отдельности, азатем сложить результаты. Седьмая: последовательное умно- жение вектора на два числа можно заменить однократ- 275
ным умножением на произведение этих чисел. Вось- мая... Впрочем, прервем на минутку этот монотонный пере- чень. Рассказывают, что английскому физику Полю Дираку однажды предложили шуточную задачу на смекалку. Вот она, эта задача. Три рыбака ловили рыбу. Ловля закончилась затемно, и рыбаки-решили разделить до- бычу утром при свете дня. Один рыбак проснулся рань- ше других и решил, не будя остальных, взять причитаю- щуюся ему треть и уйти. Число рыб на три не делилось, и чтобы это сделать, пришлось выбросить одну. Рыбак ушел, взяв свою долю. А потом проснулся другой и, ничего не подозревая, б теми же намерениями, что и первый, принялся вновь делить добычу на три части. Для этого ему, как и первому, снова пришлось выбросить одну рыбу. Забрав свою треть, ушел и он. Последний поступил так же, как и предыдущий. Спрашивается, сколько рыб поймали рыбаки? Из всех возможных отве- тов указать наименьший. Ответ задачи — двадцать пять рыб. Можете прове- рить. Однако ответ Дирака был другим и, как ни странно, правильным. Дирак ответил: рыбаки поймали минус две рыбы. Нет, нет, не торопитесь с возражениями. С точки зрения математики Дирак прав, во-первых, в том, что указал меньшее число (минус два действительно мень- ше чем двадцать пять), а во-вторых, его ответ действи- тельно удовлетворяет условию задачи. Первый рыбак из общего числа рыб, указанного Дираком, выбросил, то есть вычел, одну и их стало минус три. Рыбак забрал свою минус одну рыбу и осталось минус две. Второй и третий повторили эту операцию. Конечно, ответ Дирака, как говорится, не имеет фи- зического смысла. Но нам, с нашими разговорами о линейных пространствах, ценнее тот факт, что Дирак в своих рассуждениях не делает принципиального разли- чия между положительными и отрицательными числами. 276
Не делают между ними различия все те, кто имеет дело с линейными пространствами. Говоря об умноже- нии вектора на число, под числом подразумевают любое из положительных и отрицательных. Умножить вектор на отрицательное число... Напри- мер, умножить чашку кофе на минус единицу .. Что это такое? Сразу не сообразишь. Но мы не зря сформулировали аксиомы линейного пространства Возьмем ту, которая идет у нас пятой по счету: «умножить вектор на сумму чисел — это все равно, что умножить вектор порознь на каждое из этих чисел, а результаты сложить» Умножим чашку кофе на сумму единицы и минус единицы. Умножение можно произвести порознь и получить сумму чашечки, умноженной на единицу (при этом она останется собой) и чашечки, умно- женной на минус единицу (что это такое, мы сейчас и попытаемся понять). А те- перь, следуя названной ак- сиоме, просуммируем числа до умножения. Еди- ница, сложенная с минус единицей, дает нуль. Нуль, умноженный на любую чашечку кофе, дает пустую ча- шечку, нулевой элемент нашего множества. Итак мы приходим к выводу, что если к любой чашечке кофе прибавить точно такую же, умноженную на минус единицу, то в результате получится нулевая, пустая' - чашечка. Для кулинара это, быть может, удивительный факт, для механика — само собой разумеющийся, наблюдае- мый, скажем, при сложении сил. Умножение любой силы на минус единицу в механике трактуется как смена направления силы на противоположное. Две взаимно противоположные силы при сложении дают нулевую: приложенные к телу, они действуют на него так, будто никакая сила к нему не приложена. Для всякой силы можно подобрать ей противоположную. 277
Придавая подобным фактам строгое математическое оформление, скажем так: для любого элемента линей- ного пространства должен существовать противополож- ный элемент, такой, что оба элемента в сумме дают нулевой. В этом и состоит восьмая аксиома линейного про- странства. Подчиняясь ей, давайте и мы наряду с обыкновенны- ми «положительными» чашечками кофе рассматривать и «отрицательные». Сложение чашечки кофе с противо- положной будет давать в результате нулевую, пустую чашечку. Умножение чашечки кофе на минус единицу будет давать противоположную чашечку, минус одну чашечку кофе. Кофе по-дираковски — так мы будем его называть. После утомительного разбирательства с умножением чашечек кофе на отрицательные числа позвольте, чита- тель, развлечь вас небольшим фокусом. Задумайте три различных рецепта кофе. Приготовьте по ним три порции кофе любого объема. Готово? А теперь — внимание! Мы отливаем от порции, приготов- ленной вами по первому рецепту, некоторую часть в отдельную чашечку, в следующую чашечку отливаем немного от второй порции, еще в одну — чуть-чуть от третьей. Затем сливаем в первую чашечку содержимое второй и начинаем медленно подливать туда же кофе из третьей. Смотрите внимательнее! Свет на арену, бара- баны — дробь! Струя кофе льется в чашку, но чашка пустеет! Вот упала последняя капля, и в чашке обнажи- лось дно! Чашка пуста! Вы изумлены? А между тем фокус несложен. Мы откроем вам секрет, и тогда вы сможете с неизменным успехом демонстрировать его знакомым и родственни- кам. Правда, для большей наглядности нам придется об- ратиться к геометрической интерпретации, к той кофей- ной диаграмме, которую мы строили уже не раз. 278
Три порции кофе, приготовленные вами по задуман- ным рецептам, отложим на диаграмме в виде векторов. Эти порции, как видно, совершенно различны по объему и составу, о чем свидетельствуют разная длина и разный наклон векторов. Нужные нам для фокуса доли каж- дой порции на следующем рисунке показаны жирны- ми стрелками. Пусть вас не удивляет, что одна из предложенных вами порций кофе превра- тилась в кофе по-дираков- ски. Она составлена в той же пропорции. Соответствую- щая ей точка лежит на том же луче, проходящем через начало координат, точнее, на его продолжении за нача- ло координат. Теперь начнем складывать эти стрелки-векторы. Будем делать это последовательно, как сливали чашки кофе, — приставляя к концу первой стрелки начало вто- рой, а к ее концу — начало третьей. Смотрите: конец третьей стрелки совместился с на- чалом первой! Мы действительно получаем в сумме нулевой вектор, пустую чашку. Вы разочарованы? Слишком просто? Что ж любой фокус теряет свою загадочность после объяснения. Однако наш фокус, утратив после объяснения долю таинственности, приобрел математическую содержа- тельность. Мы сложили три вектора, предварительно изменив их длину, то есть умножив каждый на. некоторый коэффи- 279
циент. Сумма такого вида называется линейной комби- нацией векторов. Один из коэффициентов, употребленных нами, был числом отрицательным, но это не должно нас смущать — ведь мы отменили знаковую дискриминацию чисел, на которые умножаем векторы Нам удалось составить такую линейную комбинацию наших векторов, которая оказалась равной нулю. Векто- ры, из которых можно составить нулевую линейную комбинацию, именуют линейно зависимыми. В против- ном случае, если сделать это удается лишь тривиальным образом, лишь взяв в качестве коэффициентов одни нули, векторы называются линейно независимыми. Своим фокусом мы доказали, что любые три вектора нашего абстрактного кофейного пространства являются линейно зависимыми. В то же время в нашем кофейном пространстве всегда можно найти два линейно независимых вектора. Возь- мем порцию кофе по-варшавски, обильно сдобренного молоком, и порцию кофе по-турецки без всякой приме- си молока. В каких количествах ни подливай второй кофе к первому, положительных или отрицательных, чашка не будет пустой: молочная составляющая оста- нется неизменной по величине и в нуль не обратится, так что на диаграмме вектор, изображающий сумму отдельных порций, не упрется в начало координат; сде- лать это можно, лишь взяв оба кофе в нулевых количе- ствах. Если в линейном пространстве существует N линейно независимых векторов, а любые (/V+1) зависимы, гово- рят, что пространство N — мерно. Итак, наше кофейное линейное пространство двумер- но. Как говорят его размерность равна двум. Сейчас мы дадим еще одно истолкование фокусу, проделанному в предыдущем разделе. Согласитесь: он доказывает, что из трех различных порций кофе две всегда можно слить в таких количест- вах, что сумма будет тождественна третьей порцйи 280
Несложная перестройка предыдущих чертежей дает на- глядную геометрическую интерпретацию этого вывода Напрашивается вопрос, можно ли раз и навсегда взять две стандартные порции кофе, чтобы, сливая их в нужных количествах, получать любую задуманную? Тогда, любой рецепт кофе можно будет записывать в предельно простом виде — парой чисел, указывающих эти самые количества. «Помилуйте! — изумится любой кофеман. — А разве не так составляются рецепты кофе? Возьмем любой из них — ну, скажем, такой: для приготовления кофе по- варшавски берется четверть стакана черного кофе и три четверти стакана молока. За стандартную основу, как видно, приняты стакан черного кофе и стакан молока. Первый умножается на три четверти, второй — на одну четверть и результаты умножения складываются, то бишь сливаются». «А разве не так записывается любой кулинарный ре- цепт? — подхватит разговор хозяйка. — Вот рецепт ом- лета, который в русской кухне называется драченой: три яйца, три столовые ложки молока, одна столовая ложка муки. Тут можно обойтись одними числами: 3,3,1. Надо только условиться, что первое число — это количество яиц, второе — столовые ложки молока, третье — столо- вые ложки муки. Классический омлет готовится без муки, а ради густоты берут поменьше молока — всего одну ложку. Стало быть, здесь тройка чисел уже другая: 3,1,0. Впрочем, некоторые считают, что омлет такого состава жестковат, и предпочитают брать молока по- больше, ложки две. Тройка чисел для такого «нежного» омлета будет выглядеть так. 3,2,0. Надо только не забы- 281
вать, чему какие числа соответствуют. Ведь если нуль отнести за счет яиц, это будет уже не омлет». «Забавно, забавно! — оценит эти кулинарные рассуж- дения физик. — Но если говорить всерьез, то с силами в механике поступают точно так же, когда представляют их разложенными по осям координат. И записывают тоже строчками чисел, например: (5,3,2). Конечно, при этом должно быть условлено, в каких единицах это выражено — скажем в килограммах. А порядок осей — традиционный: X, Y, Z. Так что, если пишется (5,3,2), то подразумевается, что речь идет о силе, которая склады- вается по законам векторного сложения из пятикило- граммовой, направленной по оси X, трехкилограммовой, направленной по оси Y, и двухкилограммовой, направ- ленной по оси Z. Разложенными по осям координат представляются в механике и скорости, и ускорения». Как видим, подобный подход применим в любом линей- ном пространстве. Его следовало бы описать построже. Если в линейном пространстве существует та,кой набор линейно независимых векторов, что в виде их линейной комбинации может быть представлен любой вектор пространства, то такой набор называется бази- сом. Коэффициенты линейной комбинации, с помощью которого некоторый вектор выражается через базис- . ные, называются компонентами данного вектора в дан- ном базисе. В таком случае еще говорят о разложении данного вектора по данному базису. Коль скоро базис выбран и порядок базисных векто- ров указан, то любой вектор пространства однозначно представляется набором своих компонент. Вот почему часто говорят: вектор есть упорядоченный набор чисел. Такие наборы принято записывать в строчку или стол- бик. Действия над векторами тогда становятся выклад- ками со строчками или столбиками их компонент. Скла- дывая два вектора, складывают по отдельности соответ- ственные компоненты — полученный набор чисел пред- ставит собой компоненты суммы векторов. Вычитая из одного вектора другой, вычитают их соответственные компоненты. Умножая вектор на число, умножают на зто число все его компоненты по отдельности — в резуль- тате получатся компоненты вектора, умноженного на число. 282
Количество базисных векторов равно размерности пространства. Разложение любого вектора пространст- ва по данному базису единственно. Что удобнее — метровая линейка или складной метр? Судя по тому, что предпочитают столяры и плотники, — второе. А еще удобнее рулетка — линейка, каждый раз выдвигаемая на нужную длину. Сходное понимание удобства заставляет и математи- ков, рисуя векторные диаграммы, не разграфлять лист бумаги, осями координат, а лишь вычерчивать с краю набор базисных векторов. Согласовать новый графический прием со старым несложно. Если применяются оба, базисные векторы должны упираться своими концами в единичные отметки на координатных осях. Компоненты вектора х в базисе (е, «у х=х1ё1'+хг^г Варианты записи: на приведенном чертеже' х,-3,75 Хг=2,5 4 х Возьмем теперь какой-нибудь вектор линейного про- странства, заданный набором своих координат. Эти компоненты нужно умножить на соответствующие ба- зисные векторы и результаты умножения сложить. В этом и выразится представление вектора в виде линей- ной комбинации базисных векторов. После такого умножения каждый базисный вектор, прежде упиравшийся концом в единичную отметку своей оси, дотянется до отметки, равной соответствую- щей компоненте вектора. И если результат последую- щего сложения отобразить стрелкой, исходящей из на- 283
чала координат, ее конец окажется в точке с координа- тами, равными компонентам вектора Художник смешивает краски на палитре. Театральный осветитель скрещивает цветные лучи прожек!оров на персонаже сценического действия. Ребенок раскручи- вает ярко раскрашенную юлу, и пестрый рисунок слива- ется в одно цветное пятно. И тот, и другой, и третий, с точки зрения математика, выполняют одну и ту же операцию — операцию сложе- ния цветов. Цвета можно не только складывать, но и умножать на числа. Глядя на картину старого мастера и видя, как она потускнела, можно сказать, что время умножило перво- начальные цвета картины йа числа, меньшие единицы. Похоже, что набор всевозможных цветов можно рас- сматривать как линейное пространство. Просмотр акси- ом линейного пространства показывает, что они выпол- няются при сложении цветов и их умножении на.число. В ложе осветителя — десяток цветных прожекторов. Под рукой у художника — с полсотни различных красок. Но каким минимальным числом можно обойтись, чтобы- составить все возможные цвета? Где те базисные крас- ки, линейной комбинацией которых можно предбтавить любую, а их друг через друга представить уже невоз- можно? Какова размерность линейного пространства цветов? Как построить его базис? Закономерности цветовых сочетаний изучали такие умы, как Ньютон, Грасман, Гельмгольц, Максвелл, Шре- дингер. Характерно, что все они — физики и математи- ки. Например, ГерманТрасман, немецкий математик, — один из основоположников векторного исчисления. Он же установил первые законы сложения цветов. Вот один из открытых им законов: существуют тройки линейно независимы^ цветов, и в то же время любая четверка цветов линейно зависима. Что это значит? Прежде всего то, что можно подо- брать три таких цвета, что ни один из них нельзя будет представить смесью двух других. В самом деле, возь- 28П
мем красный, фиолетовый и зеленый цвета. Смесь пер- вых двух дает пурпурные цвета различных оттенков, и ни один из них, конечно, не тождествен зеленому. Точно так же смесью красного и зеленого никак не удается создать фиолетовый цвет, смесью фиолетового и зеле- ного — красный. Доказывая линейную зависимость любой четверки цветов, Грасман выбрал тройку базисных оттенков, ли- нейной комбинацией которых можно представить почти любой из предложенных цветов. Слово «почти» употреб- лено здесь с умыслом. В силу физиологических особен- ностей человеческого глаза, некоторые цвета требуют более сложного представления. Их приходится смеши- вать с одним из базисных, Добиваясь того, чтобы сумма равнялась некоторой линейной комбинации двух других базисных цветов. Возникает цветовое уравнение, из которого цвет выражается опять-таки линейной комби- нацией базисных, однако среди коэффициентов комби- нации на сей раз ectb и отрицательные числа. Все эти исследования и привели Грасмана в выводу: линейное пространство цветов трехмерно. Каковы же те три цвета, которые способны послужить базисом этого пространства? Однозначен ли их выбор? Конечно, нет, отвечает богатый опыт работы с цветом, накопленный к сегодняшнему дню. В полиграфии для цветной печати используют желтую, красную и синюю краски. Цветное телевидение избрало в качестве базис- ных зеленый, красный и синий цвета. Как видим наборы базисных цветов различны, но их число и тут и там равно трем — размерности цветового пространства. Всмотритесь в его схематическое изображение, в «цветовой фунтик», как шутливо называл эту простран- ственную диаграмму Шредингер. Известно, что-цвета спектра в сумме дают белый. Прямая линия, проходящая по оси фунтика, как раз соответствует бело-серым цве- там. Чем ближе к этой линии, тем меньше насыщенность цвета. Насыщенности — это тот признак, которым отли- чаются друг от друга бордовый и малиновый, или алый и розовый цвета: они одинаковы по тону, но различны по насыщенности. Кстати, о малиновом и прочих пур- пурных цветах: их нет в солнечном спектре, и получают их, смешивая два крайних спектральных цвета — крас- 285
ный и фиолетовый. Вот почему пурпурные цвета на нашей диаграмме образуют плоскость, двумерное под- пространство трехмерного пространства цветов. Начало координат — это чернота, полное отсутствие цвета. Близ этой точки находятся коричневые тона, которые, как доказано, отличаются от красного, оранжевого и желтого цветов лишь интенсивностью. Заметим, что точки нашего «фунтика», соответствующие цветам оди- наковой интенсивности, образуют плоскости, рассекаю- 286
щие «фунтик» поперек. (По одной из них цветовой фун- тик и срезан на нашем рисунке.) . .«Взгляните на солнце — оно трезвучие!» — воскли- цает герой новеллы Гофмана «Кавалер Глюк». Не руча- ясь за верность цветомузыкальной аналогии, содержа- щейся в этой фразе, мы еще раз со всей решительнос- тью подтвердим иносказательно выраженную здесь ма- тематическую суть: абстрактное линейное пространство всех цветов, заключенных в солнечном спектре, — трех- мерно, его размерность равна трем. «2, 1, 1», — перечисляет телеоператор компоненты некоторого цвета. «2, 2, 1,» — говорит про тот же самый цвет полиграфист. И оба правы. Потому что первый называет те количества, в которых он станет смешивать красный, синий и зеленый цвета, добиваясь нужного оттенка, а второй будет подбирать тот же оттенок, сме- шивая красную, синюю и желтую краски. Если же базис- ные краски не указаны, называть составляющие того или иного цвета бессмысленно. Так дело обстоит в любом линейном пространстве, а не только в пространстве цветов. Говорить о компонен- тах вектора и не указать базис, в котором представлен этот вектор, — все равно, что назвать температуру и не отметить по какой шкале она измерена — шкале Цель- сия или Кельвина, Фаренгейта или Реомюра. Компонен- ты одного и того же вектора различны в различных базисах. А если базис не назван — говорить о компонен- тах вектора бессмысленно. Как и многое другое, связанное с линейными про- странствами, это положение лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.' Разберем по этому поводу небольш )й шахматно-гео- метрический этюд. На шахматной доске,всего две фи- гуры: белый ферзь и черный король. От первой фигуры ко второй проведена стрелка. Спрашивается: чему равны компонеты этого вектора? Вы затрудняетесь с ответом? Что ж, тогда мы зададим вопрос в другой, равнозначной формулировке: чему 267
У Компоненты вектора х Компоненты вектора к в -старом- базисе (ё,о,) в -новом- базисе (е/е/) Матрица перехода x=x1e,+x?e2=x,,eI'+x/e: Компоненты первого -нового- базисного вектора of в -с та ром- базисе (ё^) ё,-=С) Первая _ компонента вектора х е старом- базисе (ё,ёд е/=(-1) • е,+1 -е2 Компоненты второго -нового- базисного вектора ё2 в -ствром- баэисе (6,62) ё,’=С,1) Элементы первой строки матрицы перехода 1 = 1 4 + (-1) -з Компоненты вектора_х в -новом- базисе (ё,ё/1 Компоненты первого -нового® базисного вектора в -старом- базисе Компоненты второго -нового- базисного вектора в -старом - базисе 1-4 +1-3 Элементы второй компонента вехтора_х в старом- базисе (е(ё,} строки матрицы перехода
равны координаты черного короля в системе, за начало которой принят белый ферзь? «Но где же эта система? — удивленно переспросите вы—Указать ее начало мало, надо еще показать направ- ления осей и на каждой из них задать единицу масшта- ба». Претензия справедливая, и нам остается лишь ее удовлетворить. Поскольку ферзь может ходить и по горизонталям,'и по вертикалям, в таких направлениях мы и проведем оси системы координат. А за единицу масштаба естественным образом примем кратчайший ход ферзя по этим направлениям. Координаты черного короля в построенной системе +1 и +7: именно за два таких хода в положительных направлениях осей X и У до него может добраться белый ферзь. Но ведь ферзь может ходить и по диагоналям! Строя систему координат, мы могли бы провести оси и в этих направлениях и соответственно выбрать новые единицы масштаба. В такой системе координаты черного короля +4 и +3: именно такие ходы должен сделать ферзь вдоль осей X' и Y' новой системы, чтобы вступить на королев- ское поле. Точка одна и та же, а координаты у нее там и тут разные. Ибо различны системы координат, в которых указывается положение точки. Эта точка — конец вектора, давшего повод к нашей’ шахматной беседе. Координаты точки — компоненты вектора в базису, .векторы которого изображены еди- ничными отрезками координатных осей. Итог всего ска- занного можно подвести уже знакомым нам утвержде- нием: компоненты одного и того же вектора различны в различных базисах. Иногда бывает нужно заменить один базис другим. Тогда приходится выяснять, как компоненты того или иного вектора в старом базисе связаны с компонентами вектора в новом базисе. Все, очевидно, зависит от того, как новые базисные векторы сориентированы по отно- шению к старому базису — точнее, каковы их компонен- ты в старом базисе. Эти компонеты вписывают в столб- цы, а из столбцов составляют таблицу, называемую матрицей перехода. Так вот, оказывается, что «старые» компоненты любого вектора (первая, вторая и т.д.) >0-480 289
представляют собой линейные комбинации «новых» компонент и коэффициентами таких комбинаций служат числа строчек матрицы перехода (первой строчки, вто- рой и т.д.). Есть в языке слова, которые с течением времени наполняются все более богатым содержанием. Пример тому — слово «машина». В каких только соче- таниях не встречается оно сегодня! Автомашина и пи- шущая машинка, швейная машина и машина времени, паровая машина и машинка парикмахера... Термины математики, этого универсального языка ес- тествознания, тоже подвержены подобному обобще- нию. По мере ре развития они приобретают все более широкий смысл. Пример тому — термин «пространство». Даже житейский смысл этого слова богат оттенками. Какие только ассоциации не вызывает это слово! Инте- рьер большого зала. Простор полей. Глубины космоса. Все это, впрочем, одно и то же реальное физическое пространство, лишь взятое в разных масштабах. Именно в этом пространстве, именно ради описания его свойств, пространственных форм реальных предметов, пространственных отношений между нами и была со- здана наука геометрия. Но оказалось, что понятие этой науки способны во- брать в себя более глубокое содержание. Цвета спектра и состояния вещества, комплексные числа и решения алгебраических систем — некоторые отношения между ними напоминают пространственные отношения между предметами реального мира. Когда принимают во вни- мания лишь эти отношения и отвлекаются от всех прочих качественных особенностей, тогда становится умест- ным термин «пространство», становятся применимыми геометрические методы исследования. Круг подобных исследований ширится, термин «про- странство» становится все употребительнее. Какими только прилагательными не оснащают еганыне матема- 290
тики! Гильбертово, многомерное, риманово, фазовое, конфигурационное, финслерово пространство... Геометрические аналоги делают предмет исследова- ния нагляднее, на помощь приходит геометрическая интуиция, пространственное воображение. Заметим, однако: геометрические аналогии, зачастую весьма полезные, иногда могут вводить в заблужде- ние — именно в тех случаях, когда решающими оказы- ваются те качественные особенности, отвлечение от которых делает возможным геометрический подход. Поэтому все, что такой подход позволяет достичь в абстрактных пространствах современной математики, должно затем подкрепляться строгими доказательства- ми. «Пифагоровы штаны на все стороны равны» Помните это шутливое присловье? Речь в нем идет о картинке, которой обычно иллюстрируется доказатель- ство знаменитой теоремы Пифагора: квадрат гипотену- зы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Картинку, похожую на штаны, придумали древнегре- ческие математики. Рисуется она просто: на гипотенузе и на катетах прямоугольного треугольника АВС строятся квадраты. (Длины их сторон мы обозначим через а, b и с.) А затем «штаны» разре- заются так, что в каком-то смысле оказываются «рав- ными на обе стороны». Из вершины прямого угла на гипотенузу опускается пер- пендикуляр и продолжается далее так, что делит на два прямоугольника квадрат, построенный на гипотенузе Из подобия треугольни- ков АВС и ADC выводится пропорция AD: АС = АС. АВ, ю' 291
а из нее определяется длина отрезка AD — она выража- ется дробью = Теперь нетрудно вычислить пло- щадь прямоугольника AEFD Она равна произведению его сторон AD АЕ = & с = Ь2. Площадь прямоугольника AEFD совпала, как видим, с площадью квадрата, построенного на катете АС. Точно так же площадь прямоугольника DFGB оказывается рав- ной площади квадрата, построенного на катете СВ, то есть величине а2. Но оба прямоугольника в сумме составляют квадрат, построенный на гипотенузе АВ. Аналогичное равенство связывает площади прямоугольников С площадью этого квадрата: а2 + Ь2 = с2. Что и требовалось доказать. Причем заметьте: мы достигли цели средствами одной лищь геометрии — через подобие треугольников, определение площади прямоугольника... Вторая картинка пришла к нам из древней Индии Тема ее та же: доказатель- ство теоремы Пифагора (индийские математики от- крыли ее независимо от греческих). Четыре одина- ковых прямоугольных тре- угольника складываются в квадрат. Это оказывается возможным благодаря удачному свойству всякого прямоугольного треуголь- ника: сумма двух его острых углов равна третьему, пря- мому — ведь все вместе они должны равняться двум прямым, как это справедливо для всякого треугольника вообще. Вот почему возникают прямые углы в вершинах нашей конструкции из четырех прямоугольных треуголь- ников. Четыре равные стороны, четыре прямых угла при вершинах — определяющие признаки квадрата. Именно такую фигуру, стало быть, представляет собой наша конструкция. 292
Отметив это, поведем дальнейшее рассуждение на языке формул. И хотя заголовком своей книги мы отвер- гли их с самого начала, здесь мы просто не можем отказать себе в удовольствии привести две строчки изящных алгебраических выкладок. Площадь большого квадрата складывается из площа- дей четырех треугольников и площади маленького квад- рата в середине. Его сторона равна разности катетов: а — Ь. Площадь прямоугольного треугольника проще всего выразить половиной произведения катетов: Взяв эту величйну четыре раза (по числу треугольников) и добавив площадь маленького квадрата, подсчитываем площадь большого квадрата: 4^ + (а — b)2 = 2аЬ + а2 — — 2аЬ + Ь2 = а2 + Ь2. Но с другой стороны площадь большого квадрата равна квадрату его стороны, то есть квадрату гипотенузы любого из четырех треугольников: с2. Итак, а2 + Ь2 = с2. Такое доказательство больше придется по душе лю- бителю алгебры. Все здесь покоится на ее законах, на правилах алгебраических преобразований. Впрочем, выпячивая в одном случае геометричность, а в другом алгебраичность доказательства, мы несколь- ко грешим против истины. Если быть точным, в каждом из двух рассуждений переплетались элементы алгебры и геометрии. Одна ветвь математики помогала другой. Пусть это уточнение послужит нам присказкой к даль- нейшему рассказу. Быть может, первый, кто отчетливо понял плодотвор- ность взаимодействия алгебры и геометрии, был фран- цузский математик и философ Рене Декарт, опублико- вавший в 1637 году свой трактат «Рассуждение о мето- де». Изложенный там подход дал начало новой науке — аналитической геометрии. Под методом же, о котором рассуждал Декарт, имелся в виду метод координат. У нас уже были поводы убедиться, что его применение может существенно облегчить нашу работу. До упоми- нания о нем, в самом начале книги, в главе «Теоремы, 293
аксиомы, определения» мы мучились с определением прямой линии. Мы усомнились в словах Эвклида «линия есть длина без ширины» — ведь понятия длины и шири- ны сами нуждаются в определении. А несколькими стра- ницами позже, в главе «Отношения» построение прямой линии никаких мучений нам не доставило. Мы нарисо- вали декартову систему координат и стали наносить точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х — у. Подходящих значений хи у оказалось бесконечно много. (Подобные уравнения, содержащие более одно- го неизвестного и потому имеющие, как правило, бес- конечно много решений, называются неопределенны- ми.) Точки с такими координатами сливались в прямую линию. Еще позже, в главе «Функции», встретившись с более сложными неопределенными уравнениями у = 2х, у = = х + 6, у = Ьх + с, мы уже вполне уверенно изображали их прямыми линиями, соответственно сдвинутыми и наклоненными по отношению к осям координат. В любом неопределенном уравнении Декарт видел линию на координатной плоскости. И не только прямую. Сумма квадратов абсциссы и ординаты, приравненная положительной постоянной, давала окружность с цент- ром в начале координат. Произведение абсциссы на ординату, соединенное знаком равенства с постоян- ной, — гиперболу. Равенство ординаты и квадрата абс- циссы — параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси ординат. Заменяя в этом равенстве квадрат абсциссы тем или иным квад- ратным трехчленом, можно передвигать параболу по координатной плоскости... Декарт увидел, что его метод дает замечательные результаты, будучи применен и в обратном направле- нии. Любая из тех кривых, которыми занимались тог- дашние математики, под взглядом Декарта превраща- лась в уравнение. Например, эллипс, геометрическое место точек, у которых сумма расстояний до двух задан- ных точек постоянна. Или гипербола, определявшаяся на подобный манер как геометрическое место точек, у которых постоянна разность расстояний до двух задан- ных. Ерсли расположить заданные точки на оси абсцисс, симметрично по обе стороны от начала, то уравнением 294
эллипса будет приравненная единице сумма квадратов координат, взятых с определенными (неравными) коэф- фициентами. Уравнением гиперболы — приравненная единице разность квадратов координат, тоже взятых с некоторыми коэффициентами. О том, как выразить уравнениями окружность и параболу, мы уже говорили. Задачи на построение заменялись теперь вычисле- ниями, геометрические теоремы доказывались средст- вами алгебры. А поскольку алгебра в ту пору достигла немалого совершенства, то становится вполне объясни- мой уверенность, с которой изобретатель метода коор- динат заявлял: «Я решил все задачи». * Каждая из обеих ветвей математики — и алгебра, и геометрия — выиграла от завязавшихся тогда связей. Геометрия получила возможность заменять свои ис- следования выкладками. Сведенные в систему, эти при- емы образовали новую науку — аналитическую геомет- рию. Зачастую преобразования формул вели к цели более простым и коротким путем, нежели построения. Алгебру в свою очередь обогатила геометрическая наглядность. Появились графики, и нередко то, что было непонятным в аналитической формулировке, станови- лось очевидным в геометрическом представлении. Из пункта А в пункт В ходят поезда, останавливаясь на каждой промежуточной станции. Навстречу им из пункта В в пункт А поезда тоже ходят и тоже с останов- ками на всех промежуточных станциях. Нужно составить расписание их движения. Трудность заключается в том, что дорога, соединяющая пункты А и В, — одноколейная, и разойтись поезда могут только на станциях. На первый взгляд, эта задача — крепкий математичес- кий орешек. Особенно, если расстояние между А и В велико, промежуточных станций много и одновременно на линии находится много поездов. И действительно, задачу такого рода рискованно было бы помещать в задачнике по алгебре. Но средствами геометрии она решается без особого труда. 296
Если взять декартову прямоугольную систему коорди- нат и на одной оси, скажем, вертикальной, указывать положение поезда между пунктами А и В, а на другой, горизонтальной — время, то на координатной плоскости 'возникнет непрерывная линия. Эта линия оказывается ломаной: ее наклонные звенья соответствуют движе- нию, горизонтальные — остановкам на станциях. Ломаная линия другого наклона изобразит движение встречного поезда. Очевидно, провести ее нужно так, чтобы с уже построенной ломаной они пересекались по одному из своих горизонтальных участков. А потом — одна ломаная за другой. И вот построение закончено. Остается превратить сетку линий на координатной плоскости в сетку распи- сания — в столбик цифр, указывающих отправление и прибытие. Вот что значит геометрическая наглядность! На стене тикают ходики. Как работает это несложное механическое устройство? 297
При всей его несложности не так-то просто ответить на поставленный вопрос. Но геометрия поможет нам и тут. Давайте присмотримся к движению маятника. Отклоненный в крайнее положение, он устремляется к точке равновесия, но, разогнавшись, пролетает даль- ше и замирает на миг в другом крайнем положении. Сходным образом маятник возвращается в начальную точку своего пути, затем все повторяется снова и снова. Нетрудно изобразить, как с течением времени меня- ется отклонение маятника от положения равновесия и его скорость. Получатся две синусоидальные кривые: одна сдвинута вдоль оси времени на полпериода по сравнению с другой. Читателю придется поверить нам на слово, что движение маятника описывается тригоно- метрическими функциями. Строгое доказательство этого факта относится к физике и потому не совсем «Все верно, но чуточку громоздко», — сказал бы ме- ханик, взглянув на эти два графика. Механик умеет совмещать их в один. Как это делается? Следите за нашими построениями. Снова нарисуем на листе бумаги две координатные оси. Только теперь разметим их по-другому. По верти- кальной будем откладывать отклонение маятника от положения равновесия, по горизонтальной — его ско- рость в. тот же момент. 298
Такую систему координат механики называют фазо- вой плоскостью. Если удачно выбрать масштаб осей, то движение маятника изобразится на ней окружностью. Можете убе- диться в этом, прослеживая ход кривой и сверяя ее с предыдущими синусоидальными графиками. Макушка окружности соответствует исходному откло- нению маятника. Сдвинувшись по криЕ ой в левый конец ее горизонтального диаметра, мы воспроизводим нача- ло движения, когда маятник приходит в точку равнове- сия, достигая при этом максимума скорости. Сдвиг в наинизшую точку окружности — это приход маятника в другое крайнее положение... и так далее. Справедливости ради надо сказать, что наш график несколько идеализирован. Окружность — кривая зам- кнутая. Отправившись в путь по такой кривой из любой точки, мы вновь вернемся туда же, и путь повторится еще и еще раз в том же неизменном порядке. А это значит, что неизменный циклический порядок присущ и движению, портретом которого служит замкнутая кри- вая на фазовой плоскости: размах колебаний ничуть не уменьшается со временем, не замедляется скорость В действительности дело обстоит совсем иначе. Ко- лебания маятника, представленного самому себе, зату- 299
хают со временем из-за трения, и он замирает в поло-, жении равновесия. Исправим наш график с учетом реальности. Окруж- ность превратится в спираль, навитую на начало коор- динат, на ту точку, которая соответствует равновесию маятника — нулевому отклонению и нулевой скорости. Часы с таким маятником не ходили бы. Их приходи- лось бы подталкивать, чтобы они не остановились после нескольких качаний. Но если уж подталкивать, то в какие моменты? В какой точке спирали удобнее перебрасывать маятник с внут- реннего витка на внешний? Разумное предложение на этот счет мы выразим опять-таки языком графи- *’**>. ка. Зубчик на кривой — это легкий -Х удар, которым анкерный механизм хо- У । диков, приводимый в движение тяжес- :Л ' 0 / / « тью гири, придает маятнику мгновен- ный скачок скорости в том момент, ---" когда маятник минует точку равнове- сия. И все возвращается на круги своя. График становится замкнутой линией, колебания — незатухающими, и стрелки ходиков исправно описывают круг за кругом. Метод фазовой плоскости, который мы продемон- стрировали на примере ходиков, весьма популярен в механике, позволяя представить в наглядных геометри- ческих образах течение процессов, свойства уравнений. Если вам хочется научиться рисованию на фазовой плоскости, попробуйте изобразить на ней движение мячика, который падает на пол с некоторой высоты и начинает подпрыгивать. Готово? Сверьте свою картину с нашей. В полном соответствии с реальностью линия и тут имеет вид стягивающейся спирали: прыжки мячика становятся все более невысокими, и, наконец, мячик замирает на полу. Рядом — график, дополненный деталью, которую вно- сит в это затухающее движение баскетболист во время дриблинга, когда он ведет мяч. Подгоняя мяч рукой, когда тот устремляется вниз, баскетболист заставляет его наращивать скорость быстрее, чем в свободном падении. Получается так же, как с маятником ходиков, зоо
подгоняемым толчками анкерного механизма: закоро- ченные витки спирали, замкнутая кривая, незатухающие колебания. Вновь все наглядно, просто, понятно. Недаром Платон говорил, «Геометрия приближает разум к истине». Где-то на предыдущих страницах мы поставили жа- риться омлет. Теперь он уже готов, и мы приглашаем вас его отведать. Что, недосолили? Естественно: пространство, в кото- ром мы готовили омлет, было трехмерным — яйца, мо- локо, мука. Для соли не хватило измерений. Похоже, что высококачественные омлеты можно гото- вить только по четырехмерным рецептам. До сих пор наши абстрактные пространства не отли- чались большим числом измерений. Кофейная диаграм- ма была двумерной, цветовой фунтик — трехмерным Мы подбирали столь простые примеры исключительно ради наглядности. Реальная жизнь сложна, И не всегда ее удается втис- нуть в рамки двух или трех измерений, не теряя соль исследуемых проблем. Кулинарные рецепты в абстрактных пространствах — это, конечно, шутка. Но вот, например состав сплава, 301
оптимальное сочетание его компонент — это уже про- блема серьезная. Решая ее, металловеды обращаются к многомерным пространствам. - На фотографии — шлифы трех сплавов. Образованы они одними и теми же металлами — свинцом и сурьмой. Но процентное соотношение компонент — различно. АВС Это и обусловило заметные различия в структуре спла- вов. Различия в структуре определяют существенные различия в свойствах, будь то твердость, электропро- водность или что-либо иное. Зависимость этих свойств от состава сплавов помо- гают проследить так называемые диаграммы состояния. Если компонент сплава всего две, то всю информацию о его составе можно разместить на одной оси коорди- нат — скажем, оси абсцисс. На ней нужно откладывать процентное содержание одной из компонент. Дополне- ние до 100 процентов укажет содержание другой. Структуру сплавов различного процентного состава диаграмма описывает, рассказывая о том, что происхо- дит при затвердевании жидкого сплава. Именно поэтому по ее вертикальной оси откладывается температура. Вот диаграм- ма состояния для сплава свин- ца и сурьмы Одна из линий диаграммы го- ризонтальная, другая раскину- ла над ней свои ветви подобно крыльям дико- Содержание сурьмы % Солидус — ТЭК называется пер- вая линия. Ликвидус — вторая. Их общая точка — точка эвтектики. На нее-то мы и обратим внимание в первую 302
очередь. Заметим ее координаты: температуру и про- цент сурьмы в сплаве.' Если начать охлаждать жидкий сплав такого состава, то при достижении отмеченной температуры начнут одновременно образовываться кристаллы сурьмы и свинца. В результате возникает та мелкокристалличес- кая структура, которая видна на среднем снимке, — ее называют эвтектикой. Иное дело, если процент сурьмы окажется большим. Тогда затвердевание сплава будет изображаться на диаграмме нисходящей вертикалью, лежащей справа от точки эвтектики и пересекающей сверху вниз обе линии — ликвидус и солидус. Достигнута первая — на- чали выпадать кристаллы сурьмы. Опустились до вто- рой — между кристаллами сурьмы стали одновременно образовываться кристаллы обоих металлов. В итоге возникает структура, показанная на правом снимке. Нечто подобное (но, как говорится, с точностью до наоборот) будет происходить, если большим по сравне- нию с эвтектическим окажется процент свинца. Тогда в начале станут выпадать его кристаллы, а затем одновре- менно — кристаллы сурьмы й свинца. Возникает струк- тура, представленная левым снимком. Даже беглый рассказ обо все этом занял немало места. А ведь мы обратились к предельно простому, если угодно, хрестоматийному примеру, который при- водится обычно в пособиях по металловедению. Спла- вам, применяемым в технике, свойственны более слож- ные диаграммы состояния. Однако сложность не скра- дывает их основного достоинства: специалисту доста- точно лишь взгляда, чтобы по хитроумному рисунку линий на диаграмме узнать о структуре и свойствах сплава того или иного состава. Небольшая картинка делает ненужными многие страницы словесных поясне- ний. Говоря о рисунке линий, мы разумеется, по-прежнему имеем в виду двумерные диаграммы состояния, пригод- ные для описания лишь двухкомпонентных сплавов. Но ведь сплавы, которые используются в современной тех- нике, насчитывают и три, и четыре, и больше компонент. Их свойства тоже желательно представлять наглядными графическими образами. В случае трехкомпонентных ЭОЗ
сплавов еще помогают трехмерные графики, по- добные приведенному на этой странице с их слож- ными поверхностями А если компонент больше? Диаграммы неизбежно оказываются четырехмер- ными, пятимерными и т.д. К подобным многомер- ным построениям подхо- дит и химик, и биолог, и представители других наук, когда им приходится изучать многокомпонент- ные системы. Нет, не математический снобизм, не жажда изыс- канной игры ума, а запро- сы самой жизни, наука и практика сегодняшнего дня заставляют осваивать целину многомерных про- странств — пространств N измерений. Высь, ширь глубь Лишь три координаты Мимо них где путь? Засов закрыт С Пифагором слушай сфер сонаты Атомам дли счет, как Демокрит Путь по числам? — Приведет нас в Рим он (Все пути ума ведут туда!) То же в новом — Лобачевский, Риман, Та же в зубы узкая узда' Но живут, живут в N измереньях Вихри воль, циклоны мыслей, те, > Кем смешны мы с нашим детским зреньем, С нашим шагом по одной черте!. ~~ В Брюсов, «Мир N измерений»
Вам никогда не приходилось бывать в Л/-мерном про- странстве? Не спешите отвечать «нет» Ведь если N равно трем, загадочное /V-мерное пространство приобретает вполне привычные очертания. В таком трехмерном пространст- ве мы живем и работаем. Двумерное пространство тоже хорошо знакомо нам — это чертеж, картина, диаграмма Одномерное пространство — это луч солнца, натянутая нить, прямая на листе бумаги. Мы уже говорили об этом рассказывая про различные системы координат. Здесь же добавим, что в математике употребителен также термин «нульмерное пространство»: так говорят про точку, «не имеющую частей», как ее определял Эвклид. Ну, а если N больше трех? Что можно сказать о свойствах такого пространства? Какую форму имеют многомерные тела? Можно ли их изобразить, измерить? Оказывается, можно. Каким бы числом измерений ни обладало пространство, есть в нем что-то такое, что роднит его с другими пространствами, в частности — с хорошо известными нам одномерным, двумерным, трех- мерным. Если знать эти общие свойства, эти аналогии, можно многое порассказать о пространстве любого числа измерений. Ради краткости рассуждений и наглядности выводов будем рассматривать в каждом из них самые простые фигуры и тела. Начнем с одномерного пространства, с прямой. Сколько ни думай, фигуры проще, чем отрезок, здесь не придумаешь. На двумерной плоскости простейшая фи- гура, сложенная из одномерных отрезков, — это тре- угольник. В трехмерном пространстве простейшее тело, составленное из треугольников (простейших фигур дву- мерного пространства), — это тетраэдр, треугольная пирамида. Тут уж можно сказать и о первой аналогии. И отрезок, и треугольник, и тетраэдр можно получить, в сущности, одним и тем же 'способом: в пространстве вводится декартова система координат, и начало ее отсекается. 305
Возьмем за начало координат некоторую точку на плоскости, проведем из нее луч, и отступив от нее на некоторое расстояние, отделим ее булавкой — у нас получится отрезок. Если перед нами плоскость, от одно- го из ее секторов, ограниченного осями координат, острием ножа отрежем кусочек, содержащий начало, — получится треугольник. Если теперь у нас часть трехмер- ного пространства, лежащая между осями X, Y, Z — Читатель уже заметил, вероятно, что размерность наших инструментов; а значит, и наших сечений, на единицу меньше размерности пространства. Кончик бу- лавки — нульмерная точка, острие ножа — одномерная прямая, полотно ножовки — двумерная плоскость. Так что, собираясь в путешествие по Л/-мерному простран- ству, не забудьте захватить с собой (N —1 )-мерную «ножовку». И если на глаза вам попадется кусочек N- мерного пространства, заключенный между N осями координат, не упустите случая обзавестись сувениром, отпилите начало координат. В руках у вас окажется простейшее из тел-Л/-мерного пространства, Л/-мерный симплекс, как говорят математики. Его сходство с меньшими братьями, треугольником и тетраэдром, чувствуется сразу: он тоже ограничен, со- стоит из одного куска, у него тоже есть угловые точки. Кстати, сколько их? Давайте займемся подсчетами. Пользуясь методом аналогии, пересчитаем вершины, ребра и грани Л/-мерного симплекса. Как повелось, сначала изучим отрезок. У него две «вершины» и одна сторона. У треугольника три вершины, три стороны и одна грань — ограниченная сторонами часть плоскости. У тетраэдра таких граней четыре, а ребер и вершин — соответственно шесть и четыре, к тому же у него есть и трехмерный элемент — объем. 306
Ряды чисел, упомянутых нами для каждой фигуры, выпишем построчно. К каждой строке добавим по еди- нице слева 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Как видим, добавка единицы была умышленной: наша ' табличка приобрела вид так называемого треугольника Паскаля. Конструкция этого треугольника весьма про- ста: выписываем в строчку 1 2 1, под каждой парой чисел записываем их сумму и с боков приписываем по единичке, затем точно также составляем следующую строку и т.д. Именно по этому правилу в нашей табличке и возникла четвертая строка. Она, как нетрудно дога- даться, описывает четырехмерный симплекс. Пропуская добавленную единицу, читаем: у него пять вершин, де- сять ребер, десять двумерных граней (треугольников), пять трехмерных граней (тетраэдров) и один четырех- мерный элемент (его объем). Быть может, вас озадачивает, что гранями четырех- мерного симплекса служат тетраэдры? Это можно по- нять, развивая аналогию: сторонами двумерного сим- плекса, треугольника, служат простейшие одномерные фигуры, отрезки, гранями трехмерного симплекса, тет- раэдра — треугольники... Так что ничего неправдопо- добного в нашем сообщении о трехмерных гранях четы- рехмерного симплекса нет. . Выписывая одну за другой строки треугольника Пас- каля, можно добраться до любой Л/-ной, числа которой’ расскажут про форму интересующего нас симплекса. Метод аналогийчпозволит вычислить и его объем. Вспомним, как вычисляется площадь треугольника, объем тетраэдра По очень простой формуле: «основа- ние на высоту, деленное на ...» На что же именно? У двумерного треугольника — на два, у трехмерного тет- . раэда — на три... Так и хочется сказать: у четырехмер- ного симплекса — на четыре. А почему бы и нет? Анало- гия подсказывает недвусмысленно: чтобы вычислить 307
четырехмерный объем четырехмерного симплекса, надо умножить его высоту на объем тетраэдра, лежаще- го в основании, и результат разделить на четыре. Отсю- да уже недалеко-до формулы, по которой отыскивается объем любого Л/-мерного симплокса:«основание на вы- соту, деленное на /V». Конечно, аналогия не принадлежит к числу строгих методов исследования. Это, скорее, один из творческих приемов, которые наряду с логикой составляют неотъ- емлемую черту математической деятельности. Слепо доверяться аналогиям нельзя. Например, они вряд ли дадут верные указания в вопросе о числе пра- вильных фигур и тел в пространстве той или иной размерности. На двумерной плоскости их бесконечно много — равносторонний треугольник, квадрат, пра- вильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д. В техмерном пространстве — всего-навсего пять: тетра- эдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В четырехмер- ном — уже шесть. А во всех пространствах с большим числом измерений — по три штуки в каждом. Законо- мерности в этом не видно никакой. Заметим, однако, что все приведенные до этого ре,- зультаты верны: их можно подкрепить безупречными доказательствами. — Послушайте, сосед! Вы не могли бы мне помочь? — Пожалуйста. А в чем дело? Так начался разговор двух садоводов-любителей. — Я тут принялся удобрять сад и запутался в расче- тах — сколько какого удобрения взять для смеси. А вы, я знаю, математик. Так не помогли бы вы мне? — Попробую. Но в чем, собственно, задача? — В справочнике написано, что на сотку нужно вно- сить калия, азота и фосфора по 600 граммов, не меньше. А у меня — аммофос и нитрофоска. Как бы их скомби- нировать поудобней? — Такие задачи мне знакомы. Но скажите — сколько в каждом удобрении калия, азота и фосфора? — Вот вам табличка — все в процентах: 308
аммофос нитрофоска калий О 17 азот 12 12 фосфор 50 10 — Прекрасно! Это будут наши исходные данные. Теперь если вы не возражаете, давайте немного пори- суем. Вот оси координат. Любая Точка с координатами хи у в этом уголке соответствует смеси изх килограм- мов нитрофоски и у килограммов аммофоса. Теперь взгляните-на первый столбец таблички: в аммофосе нет калия. — Значит все 600 граммов калия придется набирать за счет нитрофоски. — Но в ней всего 17 процентов калия. Значит, нитро- фоски нужно взять по крайне мере... ноль шесть разде- лить на ноль семнадцать... Это будет примерно три с половиной килограмма. В них при семнадцати процент- ном содержании калия его будет примерно 600 граммов. Я привожу на графике вертикальную прямую через точку горизонтальной оси х = 3,5. Все, что левее этой пря- мой, — это недостаток калия. Нас будет интересовать лишь область правее прямой. Я заштрихую ее. 309
— А как быть с азотом? Его в каждом удобрении поровну, по 12 процентов. Значить, можно брать либо то, либо это? — Верно. Либо пять килограммов аммофоса, либо столько же нитрофоски. При двенадцатипроцентном со- держании азота и там и тут его будет ровно по 600 граммов. — А, может быть, взять поровну? По два с половиной кило? — Пожалуйста. И если какого-то удобрения вы захо- тите взять долей меньше, для восполнения азота нужно будет добавить в смесь такую же долю другого удобре- ния. Согласны? — Еще бы! — Тогда поглядите на чертеж. В результате таких вариаций на нем возникнет прямая. Точки на ней и выше — это смесь с нужным и избыточным количеством азота. Я заштрихую эту область. Честно говоря, мне было бы проще выразить , эту прямую уравнением: 0,12х + 0,12у = 0,6. Понять это совсем нетрудно: 12 процентов азота, которые содержатся в х килограммах нитрофоски, плюс 12 процентов азота, которые содер- жатся в у килограммах аммофоса, должны составлять вместе необходимые нам 600 граммов, то есть шесть десятых килограмма. Обратите внимание: всякий раз, когда координаты х и у умножаются на постоянные коэффициенты, складываются и приравниваются посто- янному числу, получившееся уравнение соответствует прямой на координатной плоскости. — Ерли я вас правильно понял, то из третьего столбца таблицы тоже получается прямая? — Вы ловите мою мысль на лету. -- И снова нас будет интересовать область над пря- мой? — Верно. А теперь совместим все три рисунка. Очер- тим область, в которой все три штриховки перекрыва- ются. Ее называют областью допустимых значений. Какую точку на этой области вы ни возьмете, в смеси такого состава можно гарантировать не менее чем по 600 граммов калия, азота и фосфора. Вот вам мой ответ. 310
— Большое вам спасибо. Но не помогли бы вы мне выбрать из всех ответов самый дешевый? Я чувствую, что они все стоят по-разному. — Что же, вы практичный человек. Выражаясь научно, вы хотите минимизировать целевую функцию, то бишь цену допустимой смеси. Но тогда скажите, почем вы покупали свои удобрения? — Что-то копеек пятьдесят за кило аммофоса и копе- ек двадцать пять за кило нитрофоски. — Стало быть, на рубль идет два килограмма аммо- фоса — смотрите, я отмечаю эту точку на вертикальной оси! — или четыре килограмма нитрофоски — точка на горизонтальной оси! — или смесь, соответствующая любой точке прямой, которая соединяет две отмеченные точки. — Но эта прямая не пересекает очерченную область! — Да, за такие деньги нужной смеси не составишь. — Не удвоить ли ставку? — Давайте. У новой прямой будет'уже не одна общая точка с областью допустимых значений. — То есть можно обойтись и меньшими затратами? —Да, если опустить прямую параллельно самой себе. Лучше всего так, чтобы она имела одну-единственную общую точку с областью допустимых значений. Эта точка — одна из вершин ломанной, которой очерчена область. В смеси такого состава азота и фосфора столь- ко, сколько нужно, а калия даже чуть больше. Но дешев- ле уже ничего не придумаешь. Ну вот, позвольте вручить вам оптимальное решение: 250 граммов аммофоса и 4 килограмма 750 граммов нитрофоски. И все — за один рубль тридцать две копейки. — Лихо! Видать, такие смеси вам составлять не впе- рвой. — Нет, что вы — по части удобрений это мой первый опыт. Просто я долго занимался линейным программи- рованием... ...Еще через несколько фраз разговор соседей вновь вернулся к аммофосу и нитрофоске, яблоням и сливам, окулировке и приживлению. Нам же хотелось бы про- должить фразу, на которой мы оборвали речь матема- тика. 311
Составлением смесей не исчерпывается круг задач линейного программирования. В него-входят и транс- портные задачи, когда перевозки необходимо вести с наименьшими затратами, и задачи об оптимальном рас- ходовании ресурсов, планирования производства, со- ставлении диеты... Переменных, для которых нужно отыскать оптималь- ные значения, в таких задачах бывают не две, как у нас, а много больше. Вместо чертежа на плоскости тогда возникает область в многомерном пространстве. Но если условия задачи выражаются уравнениями, в кото- рых переменные лишь умножаются на постоянные коэф- фициенты и складываются, на границе области допус- тимых значений есть угловые точки, совсем как в знако- мой нам задаче о смешивании удобрений. Аналогия подсказывает, что одна из таких точек и соответствует искомому оптимальному решению. Это действительно так. А уж перебрать такие точки обычно не составляет труда. Кому не приходилось приводить подобные члены, решая задачки по алгебре? ...На бумаге длинной цепочкой, соединенные плюса- ми и минусами, стоят иксы в разных степенях, с разными коэффициентами. Такие цепочки называются полинома- ми. Приводить подобные члены приходится тогда, когда полиномы, например, складываются. Одна и та же сте- пень икса в образовавшейся сумме может встречаться несколько раз. Коэффициенты всех таких слагаемых в этих случаях складываются — особо для каждой степе- ни. Это и называется приведением подобных членов. Попробуем взглянуть на описанное с высоты своих знаний о линейных пространствах. Не напоминает ли приведение подобных членов сложение векторов? Ко- нечно, напоминает: коэффициенты при одинаковых сте- пенях икса складываются так же по отдельности, как соответствующие компоненты векторов при их сложе- .нии. 312
(2х2 - 5х + 3) + (4х2 + Зх - 1) = (2 + 4)х2 + (-5 + 3)х + + (3 - 1) = 6х2 - 2х + 2 А умножение полинома на число? Оно, как известно, сводится к умножению на число коэффициента при каждой степени по отдельности — стало быть, делается по тем же правилам, по которым на число умножается вектор. 3(2х2 + 4х + 5) = (3 2)х2 + (3 4)х + (3 5) = = 6х2 + 12х+15 Итак, линейное пространство полиномов? Да. . Размерность? В каждом конкретном случае она, оче- видно равна максимально возможному числу слагаемых в полиномах, о которых идет речь. Например, все ли- нейные функции (включая функцию-константу) образу- ют двумерное пространство, а если добавить к ним квадратные трехчлены, получится трехмерное про- странство, а если добавить к ним еще и кубические полиномы — четырехмерное... Приплюсовали к полино- му новую, на единицу более высокую степень — размер- ность пространства увеличилась на единицу, добавили еще одну степень — размерность опять повысилась... Но ведь так ее можно увеличивать неограниченно! Какова же размерность пространства всех мыслимых полиномов? Так мы приходим к представлению о бесконечномер- ном пространстве, играющем важную роль в математи- ческой физике, квантовой механике и других дисципли- нах
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — Невдалеке от города Боголюбове, среди заливных лугов, стоит всемирно прославленный храм Покрова на Нерли — шедевр древнерусского зодчества. — Картины Пикассо «голубого периода» близки друг другу своим колоритом. — Мясо морского гребешка по вкусу отдаленно напо- минает крабы. «Близкий», «далекий» — эти понятия носят отчетливый пространственный характер. Между тем только первая из приведенных фраз имеет прямой геометрический смысл. Правда, построенные нами раньше кофейная диаграмма и цветовой фунтик напоминают, что про- странственные представления уместны и в учении о цветах, и в кулинарной рецептуре. Но знают ли об этом те, кто произносят фразы, приведенные нами в начале отрывка, столь естественные по своему звучанию? Вряд ли. Это наводит на мысль, что понятие расстояния можно вводить в таких множествах, о которых неизвестно, представляют ли они собой линейные пространства. Дальний родственник. Близкий друг, Близкое по зву- чанию. Близок по форме, но далек по содержанию. Такие выражения встречаются в нашей речи сплошь да рядом. Как понимать близость в этих случаях? Как измеряют расстояние между друзьями, родственниками, звуча- ниями, формами? Кто ближе — деверь или племянник? Какую меру близости здесь можно предложить? А вот фразы, за которыми стоят вещи посерьезней. — Химический реактор работает в режиме, близком к оптимальному. — Спутник выведен на орбиту, близкую к круговой. Здесь успех дела решает расчет и потому здесь на- стоятельно необходимы четкие количественные крите- 314
рии близости. Но близость в этих случаях не измеришь штангенциркулем. Похожа ли эта фигура на окружность? Можете ли вы представить в виде такой линии орбиту спутника’, близкую к круговой? Конечно нет! Отклонения от окруж- ности достигают здесь почти половины радиуса. А с дру- гой стороны, разрежьте по- полам яблоко, и вы увидите на срезе как раз ту фигуру которая здесь изображена. Но ведь яблоко — это почти шар, а следовательно, каждое его сечение — почти круг. Итак, далеко от окружности, но близко к кругу. Пара- докс? Отнюдь нет. Просто две разные меры близости. Если мерить близость этих двух линий их максимальным расхождением, то они действительно весьма несходны. Если же сравнивать площади, ими ограниченные, то они весьма близки друг другу. Вот уже поистине «далекое — близкое»! — Да это недалеко — десять минут ходу. — Совсем близко — полторы остановки на трамвае. — Почти рядом — пятьдесят копеек на такси. Всюду здесь речь идет о расстоянии в самом прямом смысле слова. Как видим, мы часто измеряем его не только километрами. Способов измерения расстояния много — вплоть до «холодно — теплее — горячо» в дет- ской игре, где нужно найти спрятанный предмет. Как же смотрит математика на такое разнообразие? Наука предельно строгая, неужели она соглашается с тем, что каждый волен придумывать свою меру рассто- яния? Да, пожалуйста. Рассматривая некоторое множе- ство элементов, можно (и даже нужно1) так определить расстояние между элементами, чтобы это наиболее со- ответствовало существу дела. 315
Множество, для каждой пары элементов которого определено число, называемое расстоянием, именуется метрическим пространством. Элементы метрического пространства называют его точками. Определение рас- стояния — метрикой. Как только что говорилось, оно может быть каким угодно. Однако полную свободу в выборе меры близости и дальности математика все же ограничивает с трех сто- рон. Существуют три аксиомы расстояния, три метри- ческие аксиомы, как их еще называют. Расстояние между любыми несовпадающими точками метрического пространства есть число положительное, а между совпадающими — равно нулю. Для любой пары точек метрического пространства расстояние от одной до второй равно расстоянию от второй до первой. ДляЧцюбой тройки точек метрического пространства расстояние от первой до второй плюс расстояние от второй до третьей всегда больше или равно расстоянию от первой до третьей. Это — так называемое неравен- ство треугольника. Оно становится особенно нагляд- ным, если мыслить точки метрического пространства точками плоскости: сумма двух сторон треугольника больше третьей. Правда, если треугольник сжать в от- резок так, чтобы одна из его вершин легла на противо- положную сторону, то сумма двух сторон будет в точ- ности равна третьей. Но ведь мы не зря употребили выражение «больше или равно», объединяющее все мыслимые случаи! Ничего надуманного в этих трех аксиомах нет. Они естественным образом возникли из повседневной прак- тики измерения расстояний. Первая аксиома означает, что, переходя от точки к точке, вы всегда удлиняете свой путь. А пока вы еще не тронулись с места, пройденный путь остается прежним. Вторая устанавливает равенство путей туда и обрат- # но. Шел ли Счастливцев из Вологды в Керчь, пришел ли Несчастливцев из Керчи в Вологду, расстояние они преодолели одинаковое. А последняя значит, что окольный путь всегда длиннее прямого. 316 /
Введем попутно важный термин. Совокупность точек метрического пространства, расстояние которых от дан- ной меньше некоторого указанного числа, называется окрестностью данной точки, а указанное число — разме- ром окрестности. В рамках таких представлений фраза «химический реактор работает в режиме, близком к оптимальному» приобретает вполне точный смысл, если определена мера близости режимов, расстояние между ними. Мно- жество режимов работы реактора тогда становится мет- рическим пространством. Точка этого пространства, со- ответствующая установившемуся режиму, лежит в неко- торой окрестности точки, соответствующей оптималь- ному, — вот что означает закавыченная фраза. Если телеграмма, которая сообщает вам о чьем-то прилете, начинается со слова «выметаю» или «выле- заю», то вы лишь посмеетесь опечатке или слегка руг- нете телеграфистов за небрежность, но в тупик отнюдь не встанете. Ошибка в одной букве легко исправима по смыслу фразы: «вылетаю». Но ведь опечатка могла вкрасться и в дату вылета и в номер рейса! Ошибка в одной лишь цифре способна сделать смысл сообщения невосстановимым. Ну, а если подобный сбой произошел при передаче сигналов, управляющих сложным станком, эксперимен- тальной установкой, космическим кораблем? Можно ли придумать такой способ кодирования ин- формации, чтобы не слишком частые ошибки не иска- жали ее смысл, не приводили к неразрешимым зада- чам? Казалось бы, вряд ли. А между тем специалисты по кибернетике не только ставят такую проблему, но и предлагают пути ее решения. Один из таких путей мы проследим, конструируя ус- тойчивый к ошибкам код для передачи обыкновенных буквенных текстов — скажем, тех же телеграфных сооб- щений. 317
В кибернетике при передаче информации широко используются своеобразная морзянка, состоящая из нулей и единиц Представьте, что буквы русского алфа- вита шифруются нулями и единицами, объединяемыми в комбинации определенной длины. Представьте далее, что при передаче каждой такой «буквы» один из нулей может превратиться в единицу или наоборот Что нужно предпринять, чтобы при этом каждая буква оставалась узнаваемой? Пусть каждая буква передается комбинацией из трех знаков Разбор столь простого случая позволит нам наметить удачное решение поставленной проблемы, хотя алфавит пока получается небогатый — всего из 1 110 111 А теперь строчку, состав- ленную формальным перебо- ром возможностей, изобра- зим в виде пространственной фигуры. Возьмем трехмерную систему координат (по числу знаков в «букве») и отметим в ней восемь точек, абсциссы которых совпадают с первы- ми значениями наших «букв», ординаты — со вторыми, апп- ликаты — с третьими. Эти точки расположатся по вер- шинам куба. позволяет наглядно предста- вить те ошибки, которые могут случиться при передаче каждой «буквы». Вот, скажем, «буква» ООО, образом которой у нас служит начало координат. Замена любого нуля единицей — это сдвиг в одну из трех соседних вершин. Очевидно, от употребления букв, расположен- ных в этих вершинах, следует отказаться: ведь их можно принять за искаженные облики «буквы» ООО. Поищем теперь такую «букву», искаженные образы которой не совпадали бы с разновидностями «буквы» ООО. Очевидно, это 111 и никакие варианты тут невоз- можны 31В
Все возможности исчерпаны. Алфавит из восьми трехзначных «букв» с учетом разового сбоя при переда- че каждой сокращается всего до двух: ООО и 111. Но в русском алфавите не две, а тридцать две буквы! И если мы хотим применить тот же прием кодирования, гарантирующий от однократной ошибки, мы должны изображать буквы в виде более длинных комбинаций нулей и единиц. Искать среди них такие, спутать которые не заставил бы разовый сбой, будет сложнее, чем среди трехзнач- ных. И все-таки нельзя сказать, что поиск придется вести совершенно вслепую. Как и при разборе трехзнач- ного алфавита, мы будем представлять все мыслимые комбинации нулей и единиц вершинами многомерного куба. А для. них критерий отбора уже сложился по ходу предыдущих рассуждений: пригодные для дела верши- ны многомерного куба должны располагаться друг от друга достаточно далеко. Если определять расстояние между ними числом ребер, образующих кратчайшую дорогу от одной вер- шины до другой, то это расстояние, очевидно, должно составлять по меньшей мере три. Так оно, кстати, и было для трехзначных «букв» ООО и 111 — посмотрите еще раз на рисунок, убедитесь. Нетрудно проверить, что такое определение расстоя- ния согласуется с метрическими аксиомами — и первой, и второй... Что же касается третьей, аксиомы треуголь- ника, то удовлетворяется и она. Действительно, распо- ложим вершины треугольника по каким угодно верши- нам нашего многомерного куба. Сумма двух сторон треугольника — это длина дороги от одной вершины до другой с заходом в третью. А такая дорога не может быть короче третьей стороны треугольника, поскольку та со- гласно определению представляет собой самый корот- кий путь от одной ершины до другой по ребрам много- мерного куба. Принятое нами определение расстояния оказывается удачным. Оно позволяет достаточно быстро осматри- вать кубы все большего числа измерений и, наконец, остановиться на десятимерном. Теория утверждает: пользуясь десятизначными комбинациями нулей и еди- 319
ниц, можно передавать алфавит русских букв, ‘не боясь однократных опечаток в каждой. Таня дружит с Петей и Ваней еще со школьной скамьи. И Петя и Ваня неравнодушны к Тане и связывают с ней свои мечты о семейном счастье. Поэтому отношения между Петей и Ваней более чем прохладные. Любопытно, что этот вариант классического треуголь- ника парадоксален с точки зрения геометрических ка- нонов. Действительно, в плане дружеских отношений Петя и Таня достаточно близки; столь же близки Таня и Ваня. Иными словами, две названные стороны треуголь- ника невелики. Третья же сторона, учитывая антагонизм интересов Пети и Вани, огромна и заведомо превышает сумму двух других сторон. Итак, в классическом треугольнике не выполнена одна из метрических аксиом — аксиома треугольника. Вот и получается, что в плане человеческих взаимо- отношений расстояния между Таней, Петей и Ваней не удается определить, не нарушая при этом аксиомы рас- стояния. А поскольку они должны соблюдаться для любых элементов метрического пространства, разо- бранное нами пространство не является метрическим. Этот пример носит предостерегающий характер. Выше Mt?i уже'говорили, что расстояние в одном и том же абстрактном пространстве можно определять раз- личными способами. Сама возможность определить расстояние при этом не подвергалась никакому сомне- нию. И вот мы столкнулись со случаем, когда способ измерения близости и дальности вступил в противоре- чие с одной из метрических аксиом — неравенством треугольника. Возможны и другие конфликты с метрическими акси- омами: например, по улицам с односторонним движе- нием дорога «туда» может оказаться неодинаковой по длине с дорогой «обратно». Все это учит нас, определяя расстояние в абстракт- ном пространстве, тщательно проверять, насколько 320
принятое определение согласуется с метрическими ак- сиомами. Пространство метрическое. Здесь введено понятие расстояния. Пространство линейное. Здесь определено сложение элементов и их умножение на число. Пространство линейное метрическое. Возможно и такое — оно соединяет q себе качества обоих про- странств, по имени которых названо. Коль скоро оно линейное, в нем можно ввести базис и координаты. Для наглядного представления этого про^— странства удобно использовать прямоугольную декар- тову систему координат. Скажем, если пространство двумерное, начертить оси этой системы на листе бума- ги. И уж тут-то определить расстояние между точками — не проблема. Для этого можно воспользоваться обыч- ной линейкой. С такой точки зрения фраза «химический реактор работает в режиме, близком к оптимальному» приобре- тает весьма наглядный смысл. Режим работы реактора определяется температурой и давлением внутри него Отведем этим параметрам оси прямоугольной декарто- вой системы координат. Близость установившегося в реакторе режима к оптимальному тогда выразится в том, что расстояние между соответствующими точками координатной плоскости достаточно мало, что одна по- - падает в достаточно малую круговую окрестность дру- гой. Заметим, что подобные графики, построенные в ко- ординатах «температура—давление» называются фазо- выми диаграммами. Ради примера представлена фазо- вая диаграмма воды — рисованный свод общеизвест- ных сведений о таянии льда и кипении чайника, о пере- гретом паре в котлах высокого давления и холодном кипении воды в горах, где атмосферное давление по- нижено, об инее и высыхающем на морозе обледенев- шем белье. 11-480 , 321
Расстояние, согласно определению, — это число. Ко- ординаты точек линейного пространства — это тоже числа. Разумно попытаться выразить расстояние через координаты. Это позволяет сделать самая известная теорема ма- тематики — теорема Пифагора: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Отложите в сторону линейку, которую вы только что прикладывали к точкам диаграммы, чтобы измерить расстояние между ними. Соедините обе точки отрезком прямой. Вероятнее всего, этот отрезок наклонен к осям системы координат, в которой вычерчена диаграмма. Теперь соедините точки двухзвенной ломаной линией, состоящей из вертикального и горизонтального отрез- ка. Получится прямоугольный треугольник. Его гипоте- нуза — искомое расстояние (на чертеже оно обозначено греческой буквой р). Длина его горизонтального кате- та — разность абсцисс обеих точек, вертикального — разность ординат. Квадрат гипотенузы равен сумме 322
квадратов катетов. Вычислим эту сумму квадратов, из- влечем из нее квадратный корень — вот вам и искомое расстояние^ В трехмерном пространстве Расстояние между точками А и В p(AB)=\'(xb-xJ<4-(yh-yaf+(zb-zJ2 координаты точек А и Казалось бы, пифагоров рецепт годится только для плоскости. А ведь мы живем в трехмерном мире. И нам приходится не только чертить графики на бумаге, но и например, входить в кабину лифта с длинными лыжами И тут приходится решать задачу: войдут ли лыжи в лифт? Не придется ли взбираться по лестнице пешком? Наибольшее расстояние в кабине лифта — из нижнего угла в противоположный верхний угол. Чему же оно равно? Оказывается, рецепт для определения этого расстояния аналогичен тому, что Пифагор рекомендует для плоскости. Нужно измерить ширину, длину и высоту лифта, возвести все три числа в квадрат, сложить и извлечь из суммы квадратный корень. Это и будет длина диагонали лифта. Так обобщается теорема Пифагора на случай трех- мерной прямоугольной декартовой системы координат Чтобы измерить расстояние между двумя точками в ней, нужно определить разности между соответственными координатами обеих точек — абсциссами, ординатами, аппликатами — а затем поступить с ними точно так же, как с шириной, длиной и высотой лифта. По-видимому, теперь вы не растеряетесь, входя с лыжами в Л/-мерный лифт. В Л/-мерном мире естествен- но определить расстояние между двумя точками как корень квадратный из суммы квадратов разностей между всеми соответствующими координатами обеих точек. it 323
Элементы линейного пространства мы называем век- торами. Элемент метрического — точками. Как же нам назвать элементы линейного метрического пространст- ва? Оно объединяет в себе свойства обоих пространств, именами которых названо, так что здесь пригоден любой термин — и «вектор», и «точка»... Но какой пред- почтительнее? В прямоугольной декартовой системе координат, ко- торую мы приспособили для наглядного изображения линейного метрического пространства, представим оба термина привычными зрительными образами. Крохот- ная точка — и стрелка, проведенная в нее из начала координат. Что выразитель- нее? Конечно, второе! Итак, решено: заимствуем от ли- нейного пространства его *а В трехмерном х пространстве Длина вектора а I а I = ^x2a+y2a+z2 \ / Xх компоненты вектора а термин — «вектор». Ну а метрическое про- странство? Чем обогатит наш лексикон оно? В нем можно определять расстояния между элемента- ми, Используем эту возмож- ность. Определим расстоя- ние между элементом, кото- рый соответствует заострен- ному концу стрелки, и нуле- вым элементом — началом координат. Полученное число назовем длиной вектора. Обозначая его, обычно заключают в прямые скобки обозначение вектора. Новый термин позволяет ввести порядок среди век- торов линейного метрического пространства. Теперь их можно сравнивать между собою по длине. Нам могут поставить в упрек, что к мысли сравнивать векторы по длине мы могли бы придти и раньше, еще беседуя о линейном пространстве, где определено ум- ножение векторов на число. Число, умножением на ко- торое один какой-то вектор получается из другого, оче- 324
видно и соразмеряет их длины. Но такому сравнению, как нетрудно сообразить, поддаются лишь векторы, ко- торые можно получить один из другого умножением на число, то есть векторы одного направления, лежащие на одной прямой, коллинеарные, как их еще называют. Сравнивать по длине неколлинеарные векторы линей- ного пространства можно лишь тогда, когда определено понятие длины вектора. Как же вычислить длину вектора? Скажем, двухмерно- го — обратимся для начала к чему-то простому Воспользуемся привычным Пифагоровым рецептом. Ответом будет: длина вектора эвклидова пространства есть корень квадратный из суммы квадратов его компо- нент. Нетрудно проверить, что точно так же длину век- тора можно вычислить в пространстве любого числа измерений. После сказанного мы можем по-новому взглянуть на форму- лу расстояния, принятую в эвк- лидовом пространстве. Под знаком квадратного корня в ней стоят возведенные в квад- рат разности координат тех точек, между которыми изме- ряется расстояние. Вспомним теперь, что компоненты раз- ности двух векторов определя- ются как разности их соответ- ственных компонент. Отсюда недалеко до вывода: расстоя- ние между двумя точками эвклидова пространства есть длина разности векторов, соответствующих этим точ- кам. Стрелки, в зримом образе которых перед нами пред- стают векторы линейного метрического пространства, подсказывают: длина — не единственный критерий, по которому можно сравнивать два вектора. Можно еще 325
судить о том, насколько два вектора разнятся по направ- лению, говорить об угле между ними. Спектр возможных вариантов здесь широк: от полной слиянности, когда оба вектора глядят в одну и ту же сторону, вдоль одной прямой, — до полной противопо- ложности, когда векторы отвернулись друг от друга, располагаясь опять-таки вдоль одной прямой. Между двумя этими крайностями находится случай полного, так сказать, безразличия векторов друг к другу, когда они взаимно перпендикулярны. Критерием близости в сравнении векторов по направ- лению математикам служит некоторое число. Оно вы- числяется по несложному правилу: берутся длины век- торов, берется косинус угла между ними, и все это перемножается. Если в разговоре о векторах появляется число, его называют скаляром. Скаляром является, например, длина вектора, поскольку она выражается числом. То же Скалярное произведение векторов а и Б ( а, Б ). = I ,а 11 Б I cos <р длины векторов \ угол между ними самое можно сказать и о произведении,ко- торое появилось в нашем разговоре как мера близости двух векторов по направ- лению. Потому эта ве- личина и называется скалярным произведением векторов. (Обозначая .его, обычно пишут через запятую обозначения обоих векто- ров и по бокам ставят круглые скобки.) Когда угол меняется от нуля до 180 градусов, косинус угла принимает все значения от плюс единицы до минус единицы, обращаясь в нуль для прямого угла. Это отра- жается на скалярном произведении вёкторов. Если два вектора глядят в одну и ту же сторону вдоль одной прямой, их скалярное произведение равно произведе- нию длин векторов (ведь косинус угла между ними в этом случае равен единице). Чуть раздвинув векторы, мы уменьшим скалярное произведение (поскольку коси- нус ненулевого угла меньше единицы), но оно еще останется положительным. Когда векторы, расходясь все сильнее, станут взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение обратится в нуль. Для векто- 326
ров, разошедшихся еще сильнее, оно будет отрицатель- ным. Наконец, когда векторы развернутся до угла 180 градусов и будут глядеть в противоположные стороны, их скалярное произведение снова будет равно произве- дению их длин, но уже со знаком минус. Ф—0 cos<p— 1 ( а. Б ) = I a 11 b I cos <р = I a 11 Б I О < <р < 90' _ cos ч> > 0 ( а, b ) = I a 11 Ы cos ф >0 90‘ <_<р < 180‘ cos <р < 0 ( а, b ) = I a 11 Ы cos ф< О Ф = 90* cqs<p=O ( а, b ) = I a 11 b I cos <(i = 0 Ф = 180" _cos<p=-1 ( а, b ) = I a 11 b I cos ф = -1 a 11 Ь а Б Но остановимся на минуту. Не показалось ли читате» лю, что наше повествование содержит элементарную логическую ошибку, называемую порочным кругом? Скалярное произведение предложено нами как мера угла между векторами — определяется же и вычисляет- ся оно через косинус того же самого угла, как будто он уже известен. На самом деле порочного круга тут нет. Скалярное произведение двух векторов действительно определя- ется через косинус угла межу нами, но вычисляется-оно обычно по другому правилу. Дело в том, что векторы, как уже успел заметить читатель, задаются не стрелками на чертеже (чертеж — всего лишь иллюстрация), а ряда- 327
ми чисел, набором своих компонент. Как тут измеришь угол между ними? В таких случаях в дело идет другая формула, по которой скалярное произведение двух век- торов выражается через их компоненты. Особенно она проста в пространстве, где длина век- торов вычисляется по Пифагорову рецепту. Нужно по- парно перемножить соответственные компоненты обоих векторов и все эти произведения сложить. Чуть позже мы выясним причину такой простоты. Скалярноепроизведение векторов а и b / компоненты вектора a b компоненты вектора co$ ч> = Каким получилось ска- лярное произведение? По- ложительным? Значит, угол между векторами меньше прямого, они смотрят при- мерно в одну сторону. От- рицательным? Тогда в раз- ные. Скалярное произведе- ние равно нулю? Значит, векторы взаимно перпенди- кулярны. Если же надо знать точно, какой угол образуют два вектора, следует поделить их скалярное произведение на длины обоих. Частное есть косинус угла между век- торами. Сам угол можно определить, заглянув в триго- нометрические таблицы. И что замечательно: формула, выражающая скаляр- ное произведение двух векторов через их компоненты, годится для пространства с любым числом измерений. Бери у вектора одну компоненту за другой, умножай на соответствующую компоненту второго вектора и скла- дывай одно произведение за другим, покуда не перебе- решь все компоненты. Поистине, скалярное произведение — это универ- сальный транспортир для измерения углов, в каком бы пространстве их ни приходилось измерять. Если бы скалярное произведение годилось только для того, чтобы сравнивать векторы по направлению, цена ему была бы невелика. 328
..На движущееся тело действует сила. Как подсчитать мощность, развиваемую силой? Учебники физики реко- мендуют на сей счет правило перемножить абсолютные величины силы и-скорости друг на друга, а потом — на косинус угла между ними. Только что освоенная нами терминология позволяет выразить сказанное в более строгой математической форме: мощность есть скалярное произведение вектора силы на вектор скорости. В физике часто встречаются векторные величины Поэтому в ней весьма употребительно и понятие скаляр- ного произведения векторов. В определении скалярного произведения (длина одного вектора на длину другого и на косинус угла между ними) можно усмотреть идею любопытного экс- перимента: что получится, если вектор скалярно умно- жить на себя? Поскольку сомножители в этом случае одинаковы, угол между ними равен нулю, а косинус угла — единице. Искомое произведение представится квадратом длины вектора. Выразим то же самое иначе: длина вектора есть корень квадратный из его скалярного произведения на себя. Это маленькое открытие позволит нам понять новый подход к измерению расстояний в линейных метричес- ких пространствах. Он несколько длиннее, но зато и плодотворее, нежели известный нам, когда формула расстояния между точками пространства вводится с самого начала, Если о пространстве уже известно, что оно линейное, в нем прежде вводят скалярное произведение. При этом говорят так: пусть любым двум векторам линейного пространства по определенному закону поставлено в соответствие число, называемое их скалярным произ- (ведением. А дальше формулируется закон этого соот- ветствия. Он может быть каким угодно, лишь бы выпол- нялись четыре аксиомы скалярного умножения. Боль- 329
шинство из них напоминают правила, по которым нас еще в школе учили обращаться с произведениями чисел — переставлять сомножители, раскрывать скоб- ки... Короче, эти аксиомы таковы: От перемены мест сомножителей скалярное произве- дение не меняется. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, то во столько же раз увеличится и скалярное про- изведение. Скалярно умножая какой-то вектор на сумму двух других, мы можем умножить его на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить. Четвертая аксиома не имеет аналогий с произведе- ниями чисел. Состоит она в том, что скалярное произ- ведение любого вектора на себя всегда положительно или равно нулю, причем последнее бывает в том и только в том случае, если вектор нулевой. Зачем нужна четвертая аксиома, понять нетрудно. Из положительного числа можно извлекать квадратный ко- рень. Это позволит, пользуясь скалярным произведени- ем. определить и длину любого вектора — как корень квадратный из его скалярного произведения на себя. Умея определять длины векторов, можно ввести и мет- рику в пространстве, то есть определять расстояния между его точками — как длину разности векторов с концами в этих точках. Смысл сказанного можно подытожить фразой: было бы скалярное произведение, а уж метрика будет! Линейное пространство, в котором определено ска- лярное произведение векторов, называют эвклидовым. Таков наиболее общий смысл этого термина — «эвкли- дово пространство». В более узком смысле его применяют для обозначе- ния пространства, где длины векторов и расстояния 330
между точками вычисляются по Пифагорову рецепту, а скалярное произведение векторов выражается суммой попарных произведений их соответственных компонент; Раздел математики, в котором исследуются свойства такого пространства, называется эвклидовой геомет- рией. Именно ее изучают в школе Это самая простая разновидность эвклидова про- странства. Наиболее существенная его особенность, из .которой проистекают другие характерные свойства, за- ключается в том, что каждая пара его различных базис- ных векторов в скалярном произведении дает нуль: если же скалярно умножить любой базисный вектор на себя, получится единица. Такой базис называется ортонормированным. Как в Нем возникает знакомая нам простая формула скаляр- ного произведения векторов (сумма попарных произве- дений соответственных компонент), без труда докажет любитель математических выкладок. Нужно лишь пред- ставить каждый из обоих векторов его разложением по базису, а затем почленно перемножить слагаемые обоих разложений. Таким же путем,- скалярно умножая какой- либо вектор на себя, можно вывести Пифагорову фор- мулу для ‘его длины, а затем и для расстояния между точками эвклидова пространства. Но это, повторяем, простейший случай. Если же гово- рить вообще, линейное пространство по-разному можно превратить в эвклидово — смотря, как определить ска- лярное произведение. Нечто поддбное мы наблюдали, едва начав разговор о метрическом пространстве. Так мы называли пространство, где в соответствии с метри- ческими аксиомами определено расстояние между точ- ками. Мы сразу отметили тогда, что способы определять расстояние могут быть различными. 331
Бравый солдат Швейк на своем замысловатом жиз- ненном пути не избежал и сумасшедшего дома. Там от одного из своих новых знакомцев он услышал, что «внут- ри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного». Несуразно? Смешно? Ну, а если бы тот мыслитель из дома скорби заявил, что через куб можно протащить куб большего размера? Как отреагировали бы вы на это, читатель? Смеялись бы? Или увидели бы te полусума- сшедшем утверждении формулировку математической задачи? Желая внести ясность в непростое дело, воспользу- емся понятием скалярного произведения векторов. Пользоваться им особенно удобно, если вектора заданы в ортонометрированном базисе. В нашей ситуации он напрашивается сам: за базисные вектора можно при- нять ребра куба, исходящие из одной вершины, — на- пример, ОМ, ON и ОР. Направим вдоль них оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно. (ABBC>=1O+±j-£- 1=о (ABf=1+1l-+1L = 2. IABI^=t061. (Bcf=o+-$r+-^=^; ibci Отметим попутно, что своим выбором базисных век- торов мы приняли за единицу масштаба длину ребер куба. На ребрах куба пометим четыре точки А, В, С и D, отстоящие от вершин на расстоянии 1/4, как показано на 332
рисунке. От точки к точке последовательно проведем четыре вектора АВ, ВС, CD и DA. На рисунке они изо- бражены стрелками. Чтобы нарисованная нами фигура ABCD приняла окончательную математическую отчетливость, остается определить компоненты слагающих ее векторов. Нач- нем с АВ. Заметим cpahy: он протянулся вдоль ребра, по которому пролегает ось абсцисс, во всю его длину, Значит, первая компонента вектора равна единице: Хав = 1. Но вектор АВ не параллелен оси абсцисс. Его конец несколько смещен вдоль оси ординат в положи- тельном направлении и вдоль оси аппликат — в отрица- тельном. Величина смещения и тут и там одинако- ва: 1/4. Короче говоря, улв = zab = - Так выясняется полный набор компонентов вектора AS: 1, 1/4, - 1/4. Нал^думается, что набор компонент следующего век- тора ВС читатель составит уже сам: 0, 3/4, - 3/4- Теперь все готово для подсчета скалярного произве- дения векторов АВ и ВС. Поскольку они заданы в орто- нормированием базисе, искомый результат выражается суммой попарных произведений соответственных ком- понент. Она выписана рядом с рисунком. В итоге суммирования у нас получился нуль. А это однозначный признак того, что вектора AS и ВС взаимно перпендикулярны. Так же можно проверить взаимную перпендикулярность векторов ВС и CD, CD и DA, DA и АВ. Выходит, что фигура ABCD — прямоугольник. Определим длины его сторон. На нас опять работает скалярное произведение. Мы знаем: если скалярно по- множить вектор на себя, получается квадрат его длины. Взгляните еще раз на выкладки рядом с рисунком и убедитесь, что длины векторов АВ и ВС одинаковы. Продолжив вычисления, приходим к выводу: у прямо- угольника ABCD все стороны равны другу другу. Это квадрат. Но равенство сторон — не самый главный сюрприз наших вычислений. Самое удивительное, что эти сторо- ны по длине превышают единицу. Роль единичного от- резка у нас играет ребро куба. Следовательно, стороны квадрата ABCD длиннее ребер куба! Всего на несколько сотых,, но длиннее. 333
Вы уже чувствуете, что сулит такое превышение? Пилите по этому квадратному контуру туннель и таскай- те по нему через свой куб туда-сюда куб большего размеоа Невероятно, но факт! И убедить вас в этом на протя- жении всего лишь полутора страниц помогло скалярное произведение. Нелегкий путь прошли мы с вами, читатель, по разно- образным пространствам. За красивой спиралью, кото- 334
рую мы нарисовали в фазовом пространстве, возникал стремительный баскетболист, ведущий мяч. В линейном пространстве, развернув цветовой фунтик, мы обнару- - жили все краски солнечного спектра. В метрическом пространстве мы научились правильно понимать теле- грамму, переданную с ошибками. И вот теперь — пространство линейное метрическое С первых шагов по нему мы чувствуем себя, как странник, вернувшийся в родные края. Сквозь туман новых понятий проглядывают знакомые образы, слы- шатся знакомые слова — расстояние, длина, угол... Все это привычно нам еще со времен школьной, гео- метрии. В таком сходстве нет случайных совпадений. Эвкли- дово пространство школьной геометрии — это линейное метрическое пространство двух или трех измерений, смотря по тому, идет речь о планиметрии или стерео- метрии. Так что предмет нашего рассказа, по существу, тот же, что и в школе. Только теперь у нас к нему другой подход: вместо треугольников и окружностей — иные образы, вместо циркуля и линейки — другие инструмен- ты. И тому и другому на смену приходят числа. С этих новых позиций содержание древней науки геометрии впервые было пересказано в книгах немец- кого математика Германа Вейля «Пространство, время, материя» (1918 г.) и американского математика Джона фон Неймана «Математические основы квантовой меха- ники» (1927 г.). Как свидетельствуют хотя бы названия обеих книг, их авторы отнюдь не ставили своей целью объяснить старое по-новому. Нет, они стремились со- здать новые математические методы для решения на- сущных проблем естествознания. Но то, что их подход позволил с новых позиций систематизировать старое богатство геометрии, свидетельствует, что новое зна- ние не порывает с прошлым, а стоит на прочном фунда- менте его завоеваний. 335
1 Рассказ об эвклидовом пространстве влечет за собой естественный вопрос: а что такое неэвклидово про- странство? И почему его называют искривленным? Прежде чем отвечать на такие вопросы, порассужда- ем о том, какая бывает миллиметровка. Канал Москва — Волга строился в сложных гидрогео- логических условиях: его трасса пересекает высокую Клинско-Дмитровскую гряду. На диаграмме — рельеф канала. Выемки, насыпи, водохранилища, шлюзы... Однако с географическо-ма- тематической точки зрения это прежде всего фигура на координатной плоскости. В рисунке линий, которыми расчерчена диаграмма, нетрудно опознать координат- ную сетку, в цифрах, расставленных по краям разграф- ленного прямоугольника, — масштабную разметку коор- динатных осей. Используя эту разметку, простым вычитанием можно определить, насколько каждый шлюз удален от сосед- него, какой перепад высот приходится преодолевать, перекачивая воду с одного уровня на другой. А как быть, если потребуется измерить расстояние между точками, не лежащими на одной горизонтали или одной вертикали? Измеряя расстояние между точками на координатной плоскости, мы до сих пор использовали два стандартных 336
приема — либо прикладывали к этим точкам мерную линейку,, либо применяли теорему Пифагора, предвари- тельно определив, насколько разнятся абсциссы и ор- динаты обеих точек. Искомое расстояние получалось как корень квадратный из суммы квадратов этих разностей Первый прием на сей раз, очевидно, неприменим Ведь единицы, отложенные по осям графика, различны по горизонтали — километры, по вертикали — метры. А вот второй прием использовать можно. Нужно только слегка усовершенствовать пифагорову формулу. Преж- де чем возводить в квадрат и складывать разности абсцисс и ординат, их нужно выразить в единой мере Скажем, в метрах. Для этого разность абсцисс следует умножить на тысячу. А в пифагоровом выражении, где она возводится во вторую степень, перед ней следует поставить множителем миллион, вторую степень тыся- чи. 4 Подобные множители, стоящие перед однотипными слагаемыми какой-либо суммы, называются весовыми коэффициентами. Итак, усложнив пифагорову формулу весовыми коэф- фициентами, мы сможем принять ее для измерения расстояний на разграфленной бумаге с какими угодно пусть даже неравными масштабами по осям. Впрочем, разграфленная бумага бывает и более сложных фасонов. Вот образец так называемой лога- рифмической миллиметровки. Здесь оси проградуиро- ваны неравномерно. Одному и тому.же сдвигу в различ- ных участках сетки соответствуют различные прираще- ния координат (Обозначенные на чертеже через dx и dy) Это придает еще большую сложность пифагоровой фор- муле, выражающей расстояние между точками через их координаты: весовые коэффициенты зависят от того места на координатной плоскости, где определяется расстояние. А ниже образец разграфленной бумаги для приборов- самописцев со стрелкой на оси. В силу самой конструк- ции прибора линии сетки искривлены. Соединив две какие-либо точки на бумаге сначала напрямую, а потом по линиям сетки, мы получим уже не прямоугольный треугольник, как в прежних случаях, а косоугольной. Здесь уже не воспользуешься теоремой Пифагора- 337
здесь квадрат расстояния между точками не равен сумме квадратов смещений по линиям сетки. .. —7-------- Но оказывается, что Пи- /X. а=\ь +с -2bc cosa фагорову формулу можно /\а теорема усовершенствовать и для у косинусов такого случая ценой еще / одного усложнения: следу- /а\__________ет лишь приплюсовать под знаком корня к квадратам смещений их произведение с некоторым коэффициентом. Он равен удвоенному косинусу угла между направлениями смещений, взятому с противоположным знаком (вот почему описанное со- отношение, обобщающее теорему Пифагора на случай косоугольных треугольников, называется теоремой ко- синусов). Поскольку в разных участках сетки ее линии пересекаются под разными углами, весовой коэффици- ент при новом слагаемом также будет зависеть от того места на координатной плоскости, где определяется расстояние. Следует подчеркнуть, что переменность весовых ко- эффициентов усложненной пифагоровой формулы весьма ограничивает ее применимость: с ее помощью можно мерить расстояния лишь между достаточно близ- кими точками. Иначе не избавиться от логического изъя- на, который заметен во фразе «весовые коэффициенты зависят от места, где определяется расстояние». Место на координатной плоскости мы привыкли указывать парой координат. От какой же из двух точек, между которыми измеряется расстояние, позаимствовать эту пару? Возьмем от одной — получим один результат, возьмем от второй — получим другой. Разница между обоими результатами будет пренебрежительно малой лишь в том случае, если точки будут достаточно близки. Ну, а если потребуется определить расстояние между двумя не такими уж близкими точками? Путь от одной до другой придется тогда промерить достаточно малы- ми шажками, величина которых определяется допусти- мой погрешностью измерений. Если же требуется точ- ный результат, то шажки нужно выбирать все мельче и мельче и за искомое расстояние взять предел, к кото- рому стремятся получаемые раз за разом величины. 338
(Сведущий читатель, конечно, узнает в этом процессе процедуру интегрирования). Тут, правда, есть один нюанс: расстояние, определяе- мое таким способом, зависит от пути, вдоль которого оно измеряется. Какой же из всех возможных результа- тов принять за искомое расстояние между точками? Наименьший — так принято считать. А кратчайший путь между точками принято'называть геодезической ли- нией. Стоит заметить, что по линиям координатной сетки она может пройти отнюдь не прямолинейно. . Расстояние между близкими точками называют эле- ментом расстояния и обозначают ds. Здесь s — тради- ционное обозначение пути, ad — традиционный символ малости, — напоминает, что идти по этому пути следует мелкими шажками. Опыт работы с разграфленной бумагой поможет нам углубить наши знания о метрических пространствах. Обратимся еще раз к фазовой диаграмме, точками которой мы изображали режимы работы химического реактора. Мы говорили: близость одного режима к дру- гому соответствет тому, что одна точка на диаграмме попадает в достаточно малую круговую окрестность дру- гой. Не насторожило ли тогда вас, читатель, слово «круго- вая»? Образ круга естествен, когда говорят о точках, которые по любому направлению удалены от централь- ной на расстояние, не превышающего заданного. Но такое представление естественно лишь в тех случаях, когда все направления в пространстве равноправны. Справедливо ли это для нашей фазовой диаграммы? Разве прирост температуры в реакторе на один градус равнозначен приросту давления в нем на одну атмосфе- ру? Скорее всего, нет. Допустимое отклонение от опти- мальной точки диаграммы по горизонтальной оси может оказаться иным, чем по вертикальной. И тогда допусти- мая окрестность оптимальной точки, которая прежде представлялась нам круговой, теперь примет вид эллип- са. Если же мы захотим определить расстояние между 340
точками фазовой диаграммы через их координаты, нам, очевидно, придется воспользоваться не простой пифа- горовой формулой, а усложненной — с весовыми коэф- фициентами, которые, сообразуясь с сутью происходя- щего в реакторе, соразмеряли бы приросты температу- ры и давления. Казалось бы, такого усложнения можно избежать, выбрав новые, соразмерные единицы температуры и давления. Другими словами, разметив ось диаграммы новыми масштабными единицами, мы вновь превратили бы в круг допустимую окрестность оптимальной точки. Граничные точки этой окрестности стали бы тогда рав- ноудаленными от ее центра не только по существу дела, но и по форме изображения. Да не всегда все бывает так просто. Один и тот же прирост температуры в реакторе может означать далеко не одинаковые изменения режима, если в одном случае начальная температура низкак а в другом высока. То же самое можно сказать и о давлении. Весовые коэффици- енты в пифагоровой формуле расстояния для нашей диаграммы в силу этого могут оказаться переменными. Равновеликие по физическому смыслу окрестности раз- личных точек диаграммы станут тогда изображаться неодинаковыми кругами. Чтобы уравнять их и тем самым привести в соответствие со смыслом отображаемых явлений, можно растянуть координатную сетку в тех местах диаграммы, где круги получились малыми. Не очевидно ли, что.сетка при этом станет искривлен- ной? Пифагорова формула получит тогда еще одно усложнение: под знаком корня в ней наряду с квадрата- ми смещений по координатным направлениям появится произведение смещений с некоторым коэффициентом, вообще говоря, переменным. Расстояние между двумя близкими точками риманова пространства ds=A?A(x,y)(dx)2+2B(x,y)dxdy+C(x,y)(dy)2 Весовые коэффициенты S' Разность абсцисс ..обеих точек Разность ординат обеих точек
Метрическое пространство, где расстояние между точками определяется столь усложненной пифагоровой формулой — с произведениями смещений по коорди- натным направлениям, с переменными весовыми коэф- фициентами, — называется римановым пространством. Желая подчеркнуть отличие применяемой в нем мет- рики от простой и наиболее часто употребляемой Пи- фагоровой формулы расстояния (корень квадратный из суммы квадратов смещений по координатным направ- лениям), о таком пространстве говорят как о неэвкли- довом. Изучением его метрических свойств занимается неэвклидова геометрия, для каждого неэвклидова про- странства своя — судя по тому, какова у него метрика. Желая, отметить переменность весовых коэффициен- тов, о пространстве говорят как о неоднородном. (Впро- чем, весовые коэффициенты могут оказаться постоян- ными — тогда пространство называется однородным.) Желая обратить внимание на произведения смеще- ний по координатным направлениям, входящие в фор- мулу расстояния, о пространстве говорят как об искрив- ленном. Вспомним: в наших рассуждениях о разграфленной бумаге необходимость в таком произведении появилась именно тогда, когда мы перешли от прямолинейных сеток к искривленным. Можно, конечно пользоваться и равномерными прямоугольными сетками и свыкнуться с некруглыми окружностями, с непрямыми кратчайшими путями и прочим. Но все-таки естественнее ценою ис- кривления сетки изображать окружностью множество точек, равноудаленных от данной, и прямолинейным отрезком — кратчайший путь между двумя точками, • Именно по этой причине не очень популярны геогра- фические карты с равномерной прямоугольной сеткой меридианов и параллелей: города, равноудаленные на сферической поверхности земли, на плоской карте с такой сеткой могут оказаться на различных расстояниях. Уменьшить степень такого несовершенства помогают различные картографические проекции с нарочито ис- кривленными линиями меридианов и параллелей. 342
Здесь самое время вспомнить, как когда-то мы выби- рали арбуз и обнаружили при этом, что углы треуголь- ников на сферической поверхности арбуза .в сумме не дают привычные 180 градусов. Вскоре после этого нас ждал еще один сюрприз: на сфере отказывает теорема Пифагора — испытанное средство для измерения рас- стояний. Иными словами, здесь неприменима эвклидо- ва метрика, выражаемая простой пифагоровой форму- лой. Но, быть может, положение удастся спасти, усложнив пифагорову формулу произведениями смещений по ко- ординатным линиям и весовыми коэффициентами? Действительно, так оно и есть. Мы приходим к выводу: двумерное пространство, которое представляет собой поверхность арбуза, — это не эвклидово, а риманово пространство. Как вспоминает читатель, арбуз послужил нам гарни- . ром к рассказу о геометриях Лобачевского и Римана и о том, в чем они расходятся с геометрией Эвклида. Мы понимаем теперь, что эти расхождения имеют метри- ческую природу: на поверхности арбуза непригодна простая Пифагорова формула. Однако если усложнить ее на описанный выше манер, то мы придем как раз к тем положениям, которые составляют либо геометрию Лобачевского, либо геометрию Римана — в зависимости от выбора весовых коэффициентов. Попутно предостережем читателя от возможной пута- ницы. Риманово пространство и неэвклидово простран- ство Римана (то есть такое, которое описывается гео- метрией Римана) — вещи разные, хотя и взаимосвязан- ные. Первый термин употребляют, когда хотят сказать, что в пространстве принята описанная выше усложнен- ная формула расстояния. Второй — когда хотят отме- тить, что в пространстве нет парралельных линий, сумма углов треугольника превышает 180 градусов, отношение длины окружности к ее радиусу меньше двух «пи» и т.д. 343
Римановы пространства, о которых мы говорили до сих пор — будь то сферическая поверхность арбуза или плоскость фазовой диаграммы, — были двумерными. Нетрудно сообразить, что такое риманово пространство трех измерений, по какой формуле определяются рас- стояния в нем. Это все тот же корень квадратный, под ним — возведенные в квадрат смещения по координат- ным осям и их попарные произведения, просуммирован- ные с весовыми коэффициентами. Аналогично выглядят формулы расстояния для римановых пространств любо- го числа измерений. Слово «искривленное пространство» часто встречает- ся в рассказах о теории тяготения, созданной Альбертом Эйнштейном, — так называемой общей теории относи- тельности. Эти слова служат собирательным обозначе- нием для тех парадоксальных геометрических выводов, которые следуют из теории Эйнштейна. Вот один из таких выводов: если измерить длину окружности, проведенной вблизи тела большой массы, то отношение ее длины к радиусу окажется заметно отличающимся от двух «пи». Как видно, эвклидова мет- рика здесь не годится. Обстоятельный рассказ о теории относительности неч входит в наши планы. Ведь помимо* математических аспектов, которые и составляют содержание нашего разговора, здесь потребовалось бы основательное зна- комство с физическим существом дела, чего мы не в праве требовать от читателя. Поэтому, если читателю хочется поговорить об ис- кривленных пространствах и неэвклидовой метрике, мы 344
обратимся за новым примером, к абстрактному про- странству цветов. Проведем в цветовом фунтике плоскость, соответст- вующую цветам одинаковой яркости. На этой плоскости проведем линию, соответствующую цветам какой-то оп- ределенной насыщенности. Казалось бы, все ее точки должны одинаково отстоять от точки нулевой насыщен- ности — точки белого цвета, а потому образовывать окружность с центром в точке белизны. Так нет же! Проведенная нами линия вовсе не окруж- ность, и чем больше ее размер, тем больше она похожа на криволинейный треугольник. Возникает, подозрение: привычные нормы эвкли- Цвета дова пространства не СО- \ насыщенности блюдаются в пространст- ве цветов. /( ' Но пойдем дальше. На нашей неудавшейся «ок- 1 РУЖНОСТИ» Выберем не- Белый сколько точек так, чтобы зрительное ощущение сходства было одинаковым для каждой пары цветов, соответствующих соседним точ- кам. Новая неожиданность: дужки, на которые делят нашу «окружность» намеченные точки, оказываются не- равными по длине. Подозрение переходит в уверенность: пространство цветов — неэвклидово. Это — урок для каждого, кто, построив абстрактное линейное пространство^ пытается ввести в нем метрику. Здесь может оказаться непригодным привычный и про- стой эвклидов рецепт (расстояние есть корень квадрат- ный из суммы квадратов смещений по координатным направлениям), и, возможно, потребуются те же услож- нения, с которыми мы связываем понятие риманова пространства. Впрочем, и риманов рецепт не исчерпывает все воз- можные’ способы измерения расстояний. И если форму- ла расстояния построена по какому-либо иному прави- лу, пространство называют финслеровым. 345
Как называется эта фигура с центром в начале коор-] динат? «Конечно, квадрат», - слышим мы ответ читате- ля. А хотите пари? Мы до- кажем, что это... окруж- ность. Будем рассуждать со- вершенно строго. Что есть окружность? Геомет- рическое место точек, удаленных на одинаковое расстояние от точки, на- зываемой центром. Тако- во определение. А что такое расстоя- ние? Некоторое число, двум точкам пространст- поставленное в соответствие двум точкам пространст- ва. Закон соответствия может быть каким угодно, лишь бы выполнялись три метрические аксиомы (см с. 316). Мы воспользуемся этой свободой, чтобы сконструи- ровать такую формулу расстояния, которая позволит нам выиграть пари. Пусть расстояние от какой-либо точки на координат- ной плоскости до начала координат будет равно наи- большей из координат точки, взятых по абсолютной величине. Для любителей математической строгости отметим, что все метрические аксиомы удовлетворяют- ся при таком способе измерения расстояний. Посмотрите теперь на правую сторону нашего квад- рата: абсцисса любой точки этого отрезка равна едини- це, а абсолютная величина ординаты выражается чис- лом, меньшим единицы. Согласно нашей формуле рас- стояния все точки правой стороны квадрата удалены от начала координат на одинаковое расстояние, равное единице. Посмотрите теперь на верхнюю сторону квад- рата; в сравнении по абсолютной величине здесь выиг- рывает ордината, равная единице для всех точек этой стороны. Стало быть, согласно нашей формуле рассто- 346
яния и у этого отрезка все точки удалены от начала координат на одинаковое расстояние, равное опять- таки единице. Левая и нижняя сторона квадрата подска- зывают тот же вывод. Получилось, что все точки сторон квадрата равноуда- лены от начала координат. Ваш квадрат, читатель, по- нашему оказался окружностью. Осознать этот факт помогут шахматы. Поставьте на шахмат- ную доску короля и рассмотрите все поля, на которые он может переместиться за один ход. Эти поля, равноудаленные (с точки зрения шахматиста) от началь- ного положения короля, образу- ют квадрат. Вот ведь какие диковйнки таят в себе формулы расстояния, по- строенные не на риманов манер! Как мы уже знаем, метрические пространства, где приняты такие формулы расстояния, называются фин- слеровыми. Их пример и представляет собой простран- ство шахматного короля, где окружности имеют вид квадратов. Чрезмерная подозрительность не является достоин- ством даже в такой предельно строгой науке, как мате- матика. Подметив кривизну у линий координатной сетки, вве- денной в пространстве, не нужно поспешно навешивать на пространство ярлык «кривого». Кривизна пространства —1 это свойство самого про- странства. Она проявляется, например, в том, что в таком пространстве отношение длины окружности к ее радиусу не равно двум «пи», сумма углов треугольника отличается от 180 градусов. Все подобные отклонения можно обнаружить, не прибегая ни к какой координат- ной системе Они органически связаны с самим про- странством и не зависят от того, какую координатную 347
сетку мы на него набросили. Когда же мы строим такую сетку, она представляет собой продукт нашего творче- ства и может быть какой угодно. Ее искривленность еще не позволяет утверждать, что пространство, в котором она введена, искривлено. Даже в нашем реальном земном пространстве, где применимость эвклидовой метрики в свое время с вы- сокой точностью гарантировал сам Лобачевский, часто оказывается удобным пользоваться криволинейными системами координат. С одной из двумерных систем такого рода мы уже знакомы: «исправляя» план Моск 1ы, мы пришли к поня- тию полярных координат. Идею еще одной любопытной системы координат подсказывает план Парижа. Ни к прямоугольному, ни к полярному типу его не отнесешь. Здесь, похоже, не один полюс, как в Москве. Структура, близкая к радиально- кольцевой, складывается, например, вокруг площади Нации и вокруг площади Де Голля. Улицы, по которым лежит кратчайший путь от одной из названных площадей до другой, идут почти по прямой. Устраним это «почти» — протянем прямую между площадями. А все окольные улицы, идущие от одной площади к другой, заменим окружностями, проходящими через оба полю- са. Кольцевые улицы, охватывающие ту и другую пло- щадь, также заменим окружностями, причем такими, что пересекались бы с окружностями первого семейства под прямым углом. Исправленная и дополненная сетка улиц Парижа при- обретает математически завершенный вид. Такая сис- тема координат называется биполярной, двухполюсной С точки зрения ориентировки на местности она ничем не хуже декартовой и полярной. Окружности обоих се- мейств удается перенумеровать, и положение точки на плоскости, как и в упомянутых системах, определяется опять-таки числами — «номерами» улиц разных се- мейств, пересекающихся в этой точке. 348
Чтобы познакомиться с каким-либо примером трех- мерной системы криволинейных координат, нужно лишь немного внимания, когда случится заказывать лекарство в аптеке. Если лекарство готово, оно находится во вра- щающейся стойке. Положение приготовленного снадо- бья здесь задается тремя числами — номером полки, номером сектора и глубиной, на которую аптекарь дол- жен засунуть руку внутрь, к оси стойки. Вращающаяся стойка поможет нам представить ци- линдрическую систему координат, строгое изображение которой приведено рядом. Аппликата z, полярный угол <р и радиус-вектор р — вот три числа, определяющие положение точки в такой системе координат. Последние две величины — это полярные координаты проекции точки на горизонтальную плоскость. В ней проведены оси хи у, так что рисунок помогает понять связь цилинд- рических координат с декартовыми. Фотография военных лет дает повод поговорить еще об одной пространственной системе координат — сфе- рической. 350
Наводя свое орудие на вражеский самолет, зенитчики поворачивают его на определенный угол вокруг верти- кальной оси и под определенным углом к ней устанав- ливают ствол. Теперь для того, чтобы точно задать положение самолета в пространстве, нужно еще указать расстояние до него. Эти величины, задающие положение точки в сфери- ческой системе координат, отмечены на графике буква- ми <р (долгота), е (полярное расстояние) и г (радиус- вектор). Направление, от которого отсчитывается дол- гота, отмечено буквой х, вертикальная ось — буквой z; наконец, введя ось у, мы сделали наглядной связь между сферическими и декартовыми координатами. На предыдущих страницах мы демонстрировали раз- нообразные системы координат. Человек рационального склада спросит: зачем все это разнообразие? кому нужны все эти математические диковинки, кроме их создателей — жрецов чистой науки? Что ж, пройдем из храма чистой науки в картинную галерею. И да простят нас искусствоведы — мы будем приглядываться не только к тому, что изображено на холсте, но и к его форме 351
Форма неплохо соответствует содержанию. Вот кар- тина Георгия Нисского «Перед Москвой. Февраль». Вер- тикальные края холста параллельны стволам елей и стенам домика, видного меж елями. Горизонтальные- нижним обводам облаков и полоске дальнего леса... А вот потолок собора св. Иоанна (Парма, Италия), расписанный Антонио Корреджо. Округлая форма по- толка .определила композицию росписи: фигуры людей располагаются по кругу. Рассматриваемые снизу, их тела закономерно оказываются направленными к центру круга. Их радиальную ориентацию диктует и содержание картины: стоящие по кругу устремлены к центральному персонажу. Мысленно можно прослеживать радиусы и в противоположных направлениях, по которым свидетели чудес разойдутся во все концы земли с вестью о виден- ном. Форма и содержание должны соответствовать друг другу — творцам прекрасного это понятно давно. Осмысленно и целенаправленно этот принцип прово- дится и в точных науках. Форма (то есть способ описа- ния изучаемого явления), выбор системы координат должна соответствовать характеру явления. Пронести полные ведра воды, не облившись, — для этого нужна сноровка. Нужно так соразмерять свои шаги, чтобы от толчков вода не плескала через край. Сценка у деревенского колодца, с точки зрения физи- ка, повторяется при взлете ракеты. По существу, топ- ливный бак ракеты, заполненный горючим, — это огром- ное ведро. И если не соразмерять вибрации, возникаю- щие при работе двигателя, с колебаниями жидкости в баке, может произойти несчастье, гораздо более серь- езное по сравнению с мокрой одеждой. Прежде чем запускать ракету, нужно рассчитать час- тоты колебаний жидкости. А прежде чем их рассчиты- вать, нужно выбраЧь удобную систему координат. Разум- но прибегнуть к цилиндрической системе: ее структура соответствует и форме топливного бака, и характеру протекающих в нем процессов. 352
Астрофизики изучают процессы, происходящие на поверхности Солнца и в его глубине. Понимание этих процессов немаловажно, ведь с деятельностью нашего дневного светила связано многое из того, что происхо- дит за Земле, — от магнитных бурь до инфарктов. Но Солнце — это лишь одна из мириадов звезд, рас- се-.'нных по просторам Вселенной. И характер его дея- - тельности яснее всего может быть понят как проявление глубоких законов, управляющих рождением,, жизнью и гибелью звезд. Ясное понимание требует точных расчетов. А точный расчет требует удобной системы координат. Какой же системой координат разумнее всего пользоваться при исследованиях звезд? Ответ подсказывает их сфери- ческая поверхность: сферической. «В год 6453. В этот год сказала дружина Игорю: «Отроки Свенельда изоделись оружием и одеждой, а мы наги. Пойдем, князь, с нами за данью, да и ты добудешь и мы". И послушал их Игорь — пошел к древлянам за данью и прибавил к прежней дани.новую...” В приведенном отрывке повествуется о делах давно минувших дней, а дата события явно сдвинута в далекое будущее. Но это вряд ли выглядит загадочным: в ту пору, - когда писалась «Повесть временных лет» (отрывок из нее мы и процитировали), годы отсчитывались «от со- творения мира». Петр Первый, великий реформатор России, сдвинул точку отсчета: на Руси, как и в Европе, годы стали отсчитываться «от рождества Христова», по церковной легенде произошедшего через 5508 лет после «сотво- рения мира». Эту цифру и следует вычитать из дат древних летописей при переводе их в современное летосчисление. " Дата события, о котором нам рассказала «Повесть временных лет», — 945 год. Две системы летосчисления с точки зрения матема- тики — это две одномерные системы координат, позво- ляющих ориентироваться во времени. Пересчет дат — 12-480 353
это переход из одной системы в другую. В вычитании числа 5508 заключается формула такого перехода. <p=arctg у/х 3 4 Переходы из одной системы ко- ординат в другую часто приходится совершать и физи- ку, когда он ищет форму описания явлений,наиболее соответствующую содержанию. Иногда случается переходить из ци- линдрической в 354
сферическую систему, иногда — из полярной в декарто- ву... Всмотритесь в план Москвы: поверх рисунка улиц — тонкая прямоугольная сетка. Радиусы и кольца улиц — это полярная система координат, горизонтали и верти- кали дополнительной разметки — декартова. Координа- ты любой точки на плане можно указать как в одной, так и в другой системе. Но можно указывать координаты точки лишь в какой-то одной системе и по формулам перехода выводить координаты в другой. Правда, формулы перехода для двумерных и трехмер- ных систем координат гораздо сложнее, чем для одно- мерных.
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Эти рисунки взяты из руко- водства для начинающего фо- тографа. Как, право, не выразителен исходный снимок — и сколько экспрессии в окончательном варианте! Сдвинули да повер- нули изображение в кадре —и снимок буквально преобра- зился. Слово «преобразился» здесь поставлено не случай- но. Эти рисунки мы выбрали для того, чтобы начать с них обстоятельный разговор о геометрических преобразова- ниях. На взгляд непосвященного, не совсем правомерно назы- вать преобразованием то, что мы сделали с рисунком. Все фигуры на нем сохранили свою форму. Но все-таки они изменили свое расположение. И потому мы заносим, в перечень гео- метрических преобразований обе операции, которые мы со- вершили над рисунком, и при- сваиваем им строгие математические обозначения: первую операцию назовем параллельным переносом, вторую — поворотом. 356
Про ходжу Насреддина рас- сказывают, как однажды он водил по Бухаре некоего лю- бознательного чужестранца и как тот, остановись перед зна- менитым бухарским минаре- том Каляном, изумленно вос- кликнул: — Как вы строите такие вы- сокие минареты? — Очень просто, — отвечал ходжа. — Сначала выкапываем глубокий колодец, а потом вы- ворачиваем его наизнанку. Преобразование колодца в минарет, показанное на этой странице, математик назвал бы зеркальным отражением или осевой симметрией. Суть тер- мина хорошо поясняется кар- тинкой: верх и низ на ней поме- нялись местами, зеркально от- разились относительно гори- зонтальной прямой, отделяю- щей небо от земли. Назовем своим именем и эту прямую: ось симметрии. Рисунок убеждает нас в том; что зеркальная симмет- рия полностью сохраняет формы фигур, подобно парал- лельному переносу и повороту. Есть, однако, один нюанс, который отличает от них отражение. Представьте себе, что минареты строятся именно так, как описал ходжа, — выворачиванием колодцев. Пред- ставьте теперь, что строители хотят украсить стены сооружаемого минарета надписями. Как наносить их на стенки колодца? Конечно, вниз головой, — наверняка ответите вы. И только? А в остальном — как обычно? Тогда, вывернувшись наизнанку вместе с колодцем, надписи окажутся написанными наоборот. 357
Суть такого сюрприза легче всего понять, рассмотрев, что делает преобразование отражения с какой-нибудь простой' геометрической фигурой, например, с тре- угольником, которым на нашем рисунке очерчена вер- хушка минарета. Обратимся сначала к нижней половине рисунка и обойдем вершины треугольника, скажем, по часовой стрелке. В той же последовательности обойдем теперь соответствующие вершины отраженного треугольника на верхней половине рисунка. Мы обнаружим, что на сей раз идти приходится против часовой стрелки. Говорят, что зеркальное отражение меняет ориентацию фигур. В противоположность ему параллельный перенос и пово- рот ориентацию фигур не меняют. Выигрыш приятен в любой игре, даже в самой неза- тейливой. Секрет же победы может оказаться порой совсем простым. Играют двое. Каждый по очереди выкладывает на стол круглые фишки — один черные, другой белые. Фишки постепенно покрывают поверхность стола (для опреде- ленности будем считать ее прямоугольной). Выигрывает тот, кто положит фишку последним — так что противнику не останется места, куда положить свою. Ключом к победе в этой игре владеет тот, кто начина- ет. И если ваш ход первый, не мешкая, ставьте свою фишку в центр стола. Теперь, куда бы ни поставил свою фишку противник, выставляйте.свою симметрично ей относительно центра стола — на таком же расстоянии от центральной фишки, но в противоположном направ- лении от нее. Ход за ходом на столе возникает узор из черных и белых фишек. Причем скопление черных центрально- симметрично скоплению белых. Центром симметрии для фишек служит центр стола. Центр симметрии — ваш надежный союзник в этой игре. Если противник нашел место на столе для своей фишки, у вас всегда в распоряжении место центрально- 358
симметричное. Так что последний ход, а вместе с ним и победа, наверняка за вами. Конечно, читатель, вы думаете, что игра в фишки, с которой мы вас познакомили, — это типичный завлека- тельный приемчик, повод для того, чтобы поговорить о центральной симметрии. И ошибаетесь. Ради одной лишь центральной симмет- рии мы не стали бы играть с вами в эти игры. Наша цель — глубже. Мы хотим поговорить о некото- рых фундаментальных представлениях, которые лежат в основе и центральной, и прочих видов симметрии, и вообще всех геометрических преобразований — уже представленных нами или составляющих тему нашего дальнейшего рассказа'. Приглядимся повни- мательнее к процессу игры в фишки, как она только что была описана. Вот на поверхности стола появилась очеред- ная черная фишка, и от- ветным ходом по опре- деленному закону ста- вится белая. А теперь — чуточку математической абстракции. Заменим слово «фишка» словом «точка». Каждой черной точке ставится в соответствие белая. Впрочем, какой цвет у точки? Она ведь не имеет размеров, ее не покрасишь. Просто есть закон, согласно которому одной точке плос- кости ставится в соответствие другая точка той же плоскости. А поскольку правила игры позволяют ставить фишки куда угодно, закон такого соответствия должен охватывать все точки плоскости. При этом точка, для которой подбирается соответст- вующая, называется прообразом, а точка, которая ста- • вится в соответствие точке-прообразу, — ее Образом. 359
(Может случиться, что образ какой-то точки совпадет со своим прообразом. Так при центральной симметрии центральной точке ставится в соответствие она же Именно на этом, кстати сказать, и основана беспроиг- рышная стратегия описанной выше игры в фишки.) Правило, по которому совершается всякое такое дей- ствие, будь то параллельный перенос или поворот, осе- вая или центральная симметрия, называется геометри- ческим преобразованием плоскости. Представление о соответствии точек лежит в основе понятия геометрического преобразования. Иногда, слыша этот термин, думают о замысловатых деформа- циях каких-нибудь фигур. Не спорим, эффектными де- формациями хорошо иллюстрировать рассказ о геомет- рических преобразованиях, когда он только начинается. Очень скоро выясняется, однако, что основные черты того или иного преобразования не зависят от того, какие фигуры ему подвергаются. Тогда становится естествен- ным говорить о «деформации», то бишь о преобразова- нии всей плоскости в целом, и преобразуемые фигуры представлять как бы нанесенными на этот деформируе- мый фон.' Чтобы уследить за изменениями любой мельчайшей детали преобразуемых фигур, нужно, очевидно, знать, как в ходе преобразования плоскости перемещается каждая ее точка. Процесс перемещения здесь, конечно, вряд ли представляет интерес — важно знать лишь на- чальное и конечное положение каждой точки. Так естественным и логичным путем мы приходим к представлению о геометрическом преобразовании плоскости как о законе соответствия ее точек. Дефор- мации же и перемещения фигур — это нечто вторичное, это результаты преобразования. Ведь любая фигура состоит из точек, и каждой из них ставится в соответст7 вие новая точка. Из этих новых точек образуется какая- то новая фигура. Говорят, что она получается из исход- ной в результате проведенного преобразования. (При этом исходную фигуру естественно назвать про- образом, а полученную — образом.) 360
Здесь может возникнуть закономерный вопрос: при всяком ли преобразовании точки-образы соберутся в столь же цельную фигуру, что и исходная? При каком условии преобразованная фигура не распадется на части, не рассыпется на точки? Математики отвечают на этот вопрос так: если преоб- разование непрерывно. Какой смысл вкладывается в этот термин? В поисках ответа на вопрос давайте немножко поэкспериментиру- ем. В качестве исходного пункта выберем из точек-про- образов какую-то одну, А затем по соседству с ней будем брать все новые точки, неограниченно к ней приближающиеся. Что будет происходить с образами этих точек? Если их последовательность стремится к образу исходной точки, то о преобразовании говорят, что оно в этой точке непрерывно. Если же оно непрерывно в любой точке плоскости, то о нем говорят еще короче: непрерывное преобразование. Если несколько поступиться строгостью, которая весьма утяжелила приведенное определение, можно сказать, что непрерывное преобразование — это такое, которое близкие точки переводит в близкие. Таковы, например, все преобразования, с которыми мы уже познакомились. Взять хотя бы центральную симметрию. Ее непрерывность вы можете проверить на деле — за знакомой вам игрой в фишки, ведя ее по предложенной нами стратегии. Если противник станет сгущать свои фишки вокруг какой-то одной, то и ваши ответные фишки, очевидно, будут ложиться все ближе к образу точки сгущения, выбранной противником, где бы он ее ни выбрал. А это и означает, что центральная симметрия — преобразование, непрерывное. Напоследок перечтем еще раз формулировку, которая ложится в основу всех наших дальнейших рассуждений: «Геометрическое преобразование плоскости есть закон, согласно которому каждой точке плоскости ста- вится в соответствие определенная точка той же плос- кости». 361
После всего сказанного каждое слово этого опреде- ления выявило для нас свой смысл, кроме, пожалуй, слов «той же». Почему, взяв какую-то точку плоскости, мы должны брать соответствующую ей обязательно на той же плоскости? Разве нельзя рассматривать соответ- ствия точек двух разных плоскостей? Луч кинопроектора ставит в соответствие каждой точке кинокадра определенную точку экрана. Как это описать на математическом языке? «Отображение»'— вот то слово, которое употребил бы здесь математик вместо слова «преобразование». Ма- тематик сказал бы, что луч проектора отображает плос- кость кадра на плоскость экрана. Умудренные знанием того, что всякое геометрическое преобразование есть закон соответствия точек, бросим ретроспективный взгляд на фотографию с трактором и картинку с минаретом, которыми мы поясняли преобра- зования параллельного переноса, поворота и зеркаль- ной симметрии. Разберемся, исходя из «точечной» концепции, какие соответствия устанавливаются при каждом из этих пре- образований между точками-прообразами и точками- образами. Итак, параллельный перенос. Какую бы точку плоскос- ти мы ни соединили с ее образом, мы всегда будем получать отрезок одной и той же длины и направления (заметим, что он считается направленным от точки-про- образа к точке-образу). Вектор параллельного перено- са — вот как называется этот направленный отрезок. Теперь поворот. Точка, вокруг которой он совершает- ся, называется центром поворота. При этом отрезки, соединяющие с центром поворота любую точку-прооб- раз и соответствующую ей точку-образ, равны друг другу по длине н образуют один и тот же по величине и направлению угол, называемый углом поворота (заме- тим, что он отсчитывается от направления на точку-про- образ до направления на точку-образ; он считается 362
положительным,, если отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным — если наоборот). Паралельный перенос на вектор г Зеркальное отражение или осевая симметрия А’С=СА, B'D=DB А'А 1 MN, В’В 1 MN • ‘ N Поворот Центральная симметрия относительно центра О А'О=ОА В О=ОВ ZA,OA=ZB'OB=180' Зеркальная симметрия. Отрезок, соединяющий любую точку-прообраз с соответствующей ей точкой- образом, перпендикулярен оси симметрии и делится этой осью пополам. Наконец, центральная симметрия. Отрезок, соеди- няющий любую точку-прообраз с соответствующей ей точкой-образом, проходит через центр симметрии и делится им пополам. Не утомились ли вы, читатель, от всех этих преобра- зований и отображений, переносов и поворотов? Не 363
передохнуть ли нам? Не уделить ли пару минут физкуль- туре? ... На зеленом ковре стадиона — спортсмены в ярких костюмах, участники массового представления. Вот они собрались в круг в самом центре поля, вот круг превра- тился в звезду, вот звезда распалась на буквы, протя- нувшиеся по зеленому фону словами лозунга... Наш наметанный глаз сразу усматривает в подобных перестроениях зримые образы теории геометрических преобразований. Каждый спортсмен, замерев на месте точкой некоторой фигуры, знает, в какую точку зеленой плоскости поля он должен переместиться, чтобы обра- зовалась новая фигура. А правило соответствия точек — это и есть геометрическое преобразование. Но вот, окончив выступление и построившись в колон- ну, спортсмены уходят.«Четкий прямоугольник плывет по полю. Как теперь описать происходящее математичес- ким языком? Как выразить самую существенную геомет- рическую черту этого прямоугольника — его неизмен- ность? Спортсмены держат равнение. Интервалы между ше- ренгами, промежутки между спортсменами в каждой шеренге остаются постоянными. Сохраняется расстоя- ние между любыми двумя спортсменами, шагают ли они бок о бок или находятся в разных концах прямоугольни- ка. Вспомним, как в самом начале разговора о геометри- I ческих преобразованиях; передвигая и поворачивая фо- тографию с трактором, мы отметили, что изображение трактора не изменяло ни размеров, ни формы, остава- лось равным самому себе. Теперь мы понимаем, в чем тут дело: параллельные переносы и повороты плоскости оставляют неизменными расстояния между ее точками. Так «точечная» концепция привела нас к простому и исчерпывающему Определению равенства фигур: две 1 фигуры равны друг другу, если одну из них можно перевести в другую некоторым преобразованием, со- I храняющим расстояние между точками. Такие преобразования называются ортогональными К ним принадлежит параллельный перенос и поворот, осевая и центральная симметрия. Никаких других орто- гональных преобразований плоскости не существует 364 Л
Между пунктами А и В прокладывается дорога. Есте- ственно желание сделать ее покороче. Однако по пря- .мой, соединяющей А и В, дорогу прокладывать нельзя: на пути — широкая река. Через реку придется переки- дывать мост — разумеется, перпендикулярно ее бере- гам. Где же построить мост, чтобы дорога получилась кратчайшей из возможных? • Мы не зря привели эту задачку вслед за разговором о геометрических преобразованиях, ибо ее изящное решение опирается на преобразование переноса. Решение ясно из чертежа. Если вы любитель геомет- рических головоломок, раз- беритесь в нем, и вы пойме- те, что путь АСС’В короче любого другого пути ,из А в В — скажем, ADD'B. Сравне- ние становится особенна убедительным, если участки АС и AD заменить равными им участками А’С’ viA’D', ко- торые получаются из предыдущих переносом на вектор, равный ширине реки • и перпендикулярно направленный к ней от точки А. Тогда остается доказать, что прямолинейный отрезок, соеди- няющий точки Д’ и В, короче ломаной A’D’B, а это уже очевидно. Не правда ли, как упростилась задача благодаря про- стому преобразованию переноса! А преобразование симметрии? Оно тоже нередко служит ключом к реше- нию трудных геометрических задач. Мы надеемся, что читатель уже готов согласиться с нами: геометрические преобразования — важный ин- струмент математических исследований. 365
Традиционные русские матрешки. Традиционный во- прос на сообразительность, которым сопровождаются наборы схожих картинок в развлекательных отделах популярных журналов. Какие различия вы видите здесь? Чем отличаются друг от друга эти матрешки в верхнем ряду? Выражения лиц — одинаковые. Узоры на платках — одинаковые. Кроме роста, как-будто бы различий нет. Ошибаетесь, читатель. Если бы дело было только в росте, ряд матрешек был бы другим (см. ниже). V Дело здесь не только в росте, но и в ширине. Если не в меру раздавшихся матрешек из второго ряда сжать с боков, получится тот привычный их набор, который при- веден в первом ряду. Теперь давайте разберемся пообстоятельнее, какие генетические связи существуют между всеми матреш- ками. Как, например, совершается переход слева на- право в том и другом ряду? И там и тут сосредоточим свое внимание на матрешках, различающихся по росту в два раза (см. стр. 368). 366
Уже привычный нам «точечный» подход к делу позво- лит и сейчас внести полную ясность в поставленную проблему. Возьмем произвольную точку на левом изо- бражении в нижнем ряду~и опустим ее перпендикулярно линии пола так, чтобы ее расстояние до этой линии сократилось ровно в два раза. То же самое проделаем со всеми другими точками плоскости. И тогда изображение станет таким, как по- казывает прерывистая линия. Вот так описывается преобразование сжатия в терми- нах соответствия точек. Линия пола, к-которой в нашем примере придвигались точки плоскости, называется осью сжатия. И еще один термин: коэффициент сжатия. Это число, указывающее, в каком отношении находятся новое и старое расстояния точки до оси сжатия. В нашем при- мере коэффициент сжатия равен половине, но мог бы равняться любому другому ненулевому числу. Напри- мер, трети. Тогда матрешка уменьшила бы свой рост в три раза. В качестве коэффициента сжатия можно взять и число большее единицы. Тогда это будет уже не сжатие, а растяжение. Генетические связи между четырьмя матрешками на нашем рисунке начинают понемногу проясняться. Чтобы совершить переход слева направо в нижнем ряду, нужно сначала совершить сжатие к горизонтальной оси, а затем параллельным переносом поставить сжатую мат- решку на свое место. Чтобы превратить ее в стоящую над нею в верхнем ряду, нужно сжать ее к вертикальной оси и совершить еще один параллельный перенос —- снизу вверх. « Ну, а как совершается переход слева направо в верх- нем ряду? Задумавшись над этим вопросом, мы поймем, как опрометчиво называть матрешек из верхнего ряда различающимися лишь ростом. У них различаются все размеры и притом в одно и то же число раз. Чтобы выразить эту мысль предельно четко (на «точечном» языке, как догадывается читатель), будем мыслить пра- вую матрешку в верхнем ряду полученной из левой в результате некоторого геометрического преобразова- ния.. Определяющее свойство этого преобразования в том, что расстояние между любыми двумя точками оно 367
изменяет в одно й то же число раз. Такое преобразова- ние называется подобием, а присущая ему мера изме- нения расстояний — коэффициентом подобия. Гомотетия с центром О и коэффициентом к=1/2 ОА"=1/2 ОА ОВ”=1/2 ОВ - Подобие с коэффициентом к=1/2 О”А"=1/2 ОА О"В'=1/2 ОВ А"В"= 1/2 АВ Сжатие к оси * * с коэффициентом к= 1/2 А’С=1/2 АС Сжатие к оси ★ ★ с коэффициентом к=1/2 A”D=1/2 A'D
Стоит отметить, что, изменяя расстояния, длины от- резков, подобие сохраняет углы между отрезками и, стало быть, формы фигур. Какова жб, так сказать, техника преобразования по- добия? В чем состоит закон соответствия точек, задаю- щий подобие? Эти вопросы подводят нас еще к одному геометри- ческому преобразованию. Называется оно гомотетией, или сжатием к точке, или центрально-подобным преоб- разованием. Первый из этих трех терминов звучит муд- рено, но он вполне разъясняется картинками, помещен- ными на предыдущей странице. Точка, к которой сжимается плоскость, называется центром гомотетии. (Его роль на картинке играет сере- дина основания матрешки.) Эта точка остается непо- движной, совпадает со своим образом. Образ любой другой точки берется на луче, соединяющем ее с цент- ром гомотетии, с таким расчетом, чтобы отношение расстояний от центра до точки-образа и точки-прообра- за равнялось определенному числу, называемому коэф- фициентом гомотетии. (В нашем примере он равен половине.) Сжатая к точке, наша матрешка превратится в свой центрально-подобный образ, очерченный прерывистым контуром. Теперь, передвигая по плоскости и поворачи- вая центрально-подобный образ матрешки, мы всегда будем получать ее подобный образ, например, тот.'что находится справа в верхнем ряду. Заметим, что центром гомотетии может служить любая точка плоскости, даже не принадлежащая преоб- разуемой фигуре. Например, если бы им была точка, отмеченная на нашем рисунке крестиком, мы получили бы правую матрешку верхнего ряда из левой в один прием, не прибегая к дальнейшим перемещениям, лишь совершив гомотетию с тем же коэффициентом. Вглядимся еще раз в квартет матрешек, служивший нам иллюстрацией в предыдущем разделе. Матрешка в правом верхнем углу дважды была итогом последова- 369
тельных преобразований, но эти преобразования были различными. Сначала их последовательность была такой: сжатие к горизонтальной оси — параллельный перенос — сжатие к вертикальной оси — параллельный перенос. Потом такой: гомотетия — параллельный перенос. При решении геометрических задач нередко прихо- дится совершать несколько следующих друг за другом преобразований. И если их результат можно получить путем одного преобразования, то оно называется про- изведением тех нескольких, которые в совокупности дают тот же результат. Введя в оборот новый термин, мы можем сказать, что превращение левой нижней матрешки в правую верх- нюю есть произведение: (сжатие к горизонтальной оси) х (параллельный пере- нос) х (сжатие к вертикальной оси) х (параллельный перенос). А превращение левой верхней матрешки в правую верхнюю есть произведение такого вида: (гомотетия) х (параллельный перенос). А что, если в обоих-произведениях опустить парал- • лельные переносы? И логика, и чертеж подсказывают очевидный ответ: произведение двух сжатий ко взаимно перпендикулярным прямым есть гомотетия. Двух сжатий с одинаковыми коэффициентами. Ну, а если два сжатия ко взаимно перпендикулярным прямым выполнить с разными коэффициентами? При- мер такого произведения можно наблюдать в картинах Эль Греко. Изображая натуру на холсте, художник, оче- видно, сжимал ее по горизонтали гораздо сильнее, чем по вертикали, добиваясь тем самым большей вырази- тельности. А вот другой пример — из древнерусской живописи. Известна икона, на которой изображен Кирилл Белозер- ский, основатель древнего монастыря, названного его именем. Икона написана знаменитым Дионисием в те времена, когда Кирилл уже был причислен клику святых. Желая придать его облику возвышенные черты, живопи- сец прибегает к тому же приему, что Эль Греко. Особен- но явно этот прием обнаруживается при сравнении 370
иконы с прижизненным изображением Кирилла, напи санным в весьма реалистической манере. Эль Греко и Дионисий, матрешки и минареты... Рас- сказ о них познакомил нас с преобразованиями парал- лельного переноса и поворота, зеркального отражения и сжатия Все это — представители обширного семейства так называемых аффинных преобразований. Принадлеж- ность к этому семейству определяется простым услови- ем: аффинное преобразование любую прямую превра- щает в прямую. Эту определяющую черту аффинных преобразований наглядно и убедительно демонстрирует каждый из че- тырех представителей замечательного семейства, упо- мянутых в начале этого раздела. Про параллельный перенос, поворот и зеркальное отражение мы уже знаем, что они сохраняют формы фигур, стало быть, они сохранят и прямолинейность любой прямой линии. Что же касается сжатия, то и при нем, как несложно пока- зать, любая прямая перемещается с сохранением своей прямолинейности, образуя с осью сжатия подобие нож- ниц (если пересекает эту ось) или тисков (если парал- лельна ей). Очевидно, что прямая останется прямой и после не- скольких преобразований, если каждое из них не нару- шит ее прямолинейности. Именно это и имеют в виду математики, когда говорят, что любое произведение аффинных преобразований есть аффинное'преобразо- вание. Это означает, например, что прямая сохранит свой стройный вид при гомотетии — ведь ее можно выполнить за счет двух сжатий, и при подобии — ведь оно представимо произведением гомотетии, парал- лельного переноса и поворота. Итак, и гомотетия, и подобие —это аффинные преоб- разования. Почему же их не было среди ^ех примеров, которыми начиналась эта глава? Почему мы назвали тогда лишь параллельный перенос и поворот, зеркаль- ное отражение и сжатие? 371
Потому, что в мире аффинных преобразований эта четверка играет основную, фундаментальную роль, по- рождая собой весь этот мир — подобно тому, как всю нашу Вселенную античные мудрецы представляли по- рождением четырех стихий (земли, воды, воздуха и огня). А говоря точнее, любое аффинное преобразова- ние можно представить произведением таких «сомно- жителей»: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение, два сжатия ко взаимно перпендикулярным осям. Предвидим недоумение читатёля: как может эта чет- верка порождать собой все аффинные преобразования, разнообразие которых неисчислимо? Попытаемся разъ- яснить суть дела аналогией. ... Затихли зрители, зазвучала музыка, и очередная пара конькобежцев-фигуристов начала свою обязатель- ную программу. Всего лишь шесть канонических фигур должны исполнить спортсмены: парное вращение, па- раллельное вращение, параллельный прыжок, тодес, поддержка, дорожка шагов. Но как не похожи друг на друга выступления различных пар! Это вполне объясни- мо: каждая из обязательных фигур допускает широкие вариации в пластике движений, которая определяется замыслом' всего выступления, сопровождающей его му- зыкой. , Примерно так же дело обстоит и с аффинными пре- образованиями. Их неисчислимое разнообразие своди- мо к четверке основных, потому что каждое иа этих четырех преобразований допускает широкие вариации своих черт. По-разному можно выбирать оси сжатия и отражения, различными могут быть коэффициенты сжа- тия, поворот можно совершать вокруг любого центра и на любой угол, перенос — на любой вектор. Быть может, только что сказанное не убедило кое-кого из наших читателей. Быть может, кто-то упорно подыс- кивает пример аффинного преобразования, которое не- 372
возможно представить произведением четырех основ- ных. Вот, скажем, сдвиг. На- глядное выражение этого преобразования — квадрат, превращающийся в парал- лелограмм с тем же основа- нием и той же высотой. Или, если нужны образы по- материальнее, кусочек сти- рательной резинки, сдвину- тый легким нажатием паль- ца. Какую прямую ни про- вести на резинке, она останется прямой, лишь слегка изменит свой наклон. А это и означает, что данное преобразование — аффинное. Но представимо ли оно произведением четырех ос- новных? Да, представимо. Это становится особенно ясным, если в квадрат, подвергаемый сдвигу, вписать окруж- ность. Эксперимент с резинкой подтвердит: при сдвиге эта окружность превращается в эллипс, причем взаимно перпендикулярные диаметры эллипса получаются из взаимно перпендикулярных диаметров окружности. Отметим эти диаметры на исходном круге, сожмем его к этим осям до эллипса нужной формы, а затем параллельным переносом и поворотом совместим этот эллипс с тем, что получится из окружности при сдвиге. Вот мы и представили преобразование сдвига произве- дением трех из четырех основных аффинных преобра- зований. Как видим, в представлении того или иного аффинно- го преобразования отнюдь не должны участвовать все четыре основных. Кстати, преобразуя друг в друга мат- решек, мы тоже обходились лишь сжатиями и перено- сами, без отражений и поворотов. Наконец, «чистое» отражение или сжатие представляется произведением, состоящим из одного-единственного «сомножителя». 373
Эксперименты с резинкой могли бы познакомить нас еще с одной интересной особенностью аффинных пре- образований Сеткой параллельных линий рассечем резинку на па- раллелограммы. Сжимая резинку так, чтобы прямые на ней сохраняли свою прямолинейность и только изменя- ли бы свой наклон, мы увидим, что любые две парал- лельные прямые поворачиваются на один и тот же угол и, стала бьць, остаются параллельными. Поэтому все параллелограммы сетки будут оставаться параллело- граммами и после сжатия. Правда, их стороны будут пересекаться уже под другими углами. Итак, любой параллелограмм остается параллело- граммом при сжатии. Переправив точку в конце этой фразы на запятую, мы могли бы продолжить: «а также при параллельном переносе, повороте и зеркальном отражении» — ведь все три эти операции не деформи- руют фигуры. Распространив свае утверждение на.все четыре ос- новных аффинных преобразования, заключаем: любой параллелограмм останется параллелограммом при вся- ком аффинном преобразовании. Эту характерную особенность можно расценивать как надежный опознавательный признак аффинных преоб- разований. У читателя мог возникнуть вопрос: почему в рассказе об аффинных прёобразованиях мы обходим молчанием центральную симметрию? Она превращает прямые линии опять-таки в прямые и, стало быть, принадлежит к аффинному семейству. Почему же мы забываем о ней? Упрек в забывчивости не обоснован. Центральная симметрия упомянута в перечне основных аффинных преобразований. Ведь она представляет собой поворот на 180 градусов вокруг центра симметрии, убедитесь в этом. 374
Впрочем, ее можно истолковать как гомотетию, если в качестве коэффициентов гомотетии признавать также и отрицательные числа. Нужно только учесть, что при гомотетии с отрицательным коэффициентом точка- образ и точка-прообраз берутся по разные стороны от центра гомотетии, разумеется, на одной с ним прямой. И когда отношение их расстояний до центра приравни- вается коэффициенту гомотетии, одно из этих расстоя- ний берется со знаком «минус». Учтя это, легко понять: центральная симметрия есть гомотетия с коэффициен- том минус единица. Даже не прислушиваясь к словам, ро одной лишь интонации говорящего можно понять, 4to его речь бли- зится к концу. Проницательный читатель, вероятно, уже догадался, что наш рассказ об аффинных преобразованиях закан- чивается. Да так оно и есть по существу: окинув беглым взглядом все семейство этих преобразований, мы на- учились представлять каждое из них произведением четверки основных. Чего же боле? Но чудится нам, будто именно эти завершающие нотки будят в проницательном читателе ощущение не- завершенности. Все аффинные преобразования, о которых говори- лось до сих пор, совершались на плоскости. В трехмер- ном пространстве, вероятно, тоже можно рассматривать аффинные преобразования, определив их как превра- щающие любую прямую опять-таки в прямую. С практи- ческой же точки зрения ознакомиться с ними было бы намного полезнее — ведь мы живем в трехмерном мире, а не на плоскости. Полезнее — с этим нельзя не Согласиться. Но все существенные черты аффинных преобразований про- странства присущи и аффинным преобразованиям плоскости. Вести же объяснения на плоскости гораздо проще И если объяснения понятны — выводы легко перенести на пространственные объекты. 375
Поняв, как плоские фигуры сжимаются к прямой (по- мните картинки с матрешками?), легко сообразить, как пространственные тела сжимаются к плоскости (пред- ставьте матрешек объемными!). Разобравшись, как двумерные фигуры поворачивают- ся вокруг точки (помните фотографии с трактором?), легко уяснить, как трехмерные тела вращаются вокруг прямой (вообразите реальный трактор, с которого сде- ланы снимки!). Но нам знакомы пространства и большего числа из- мерений. Аффинные преобразования пригодились бы и там при решении-задач, допускающих геометрическую трактовку. Как перенести туда опыт, накопленный нами при аффинных преобразованиях двумерной плоскости? Вспомним: об /V-мерном пространстве мы заговори- ли, уже владея методом координат. Этот метод поможет нам и сейчас. Возьмем любое из преобразований плоскости, уже освоенных нами. Но теперь дополним плоскость прямо- угольной системой координат. Что есть преобразование плоскости? Закон, по кото- рому каждой ее точке, называемой прообразом, ставит- ся в соответствие точка, называемая образом. С позиции метода координат каждая точка плоскос- ти — это пара чисел, пара ее координат. Перефразируя предыдущий абзац в согласии с только что сказанным, будем говорить, что преобразование плоскости по определенному закону ставит в соответст- вие некоторой паре чисел (абсциссе и ординате точки- прообраза) опять-таки пару чисел (абсциссу и ординату точки-образа.) Соответствия чисел мы привыкли называть функция- ми. Итак, каждая из координат точки-образа есть функ- ция двух переменных, каковыми являются координаты точки-прообраза. Это важный вывод, его следует запомнить. И хорошо бы ради этого разобрать какой-либо пример. Ну, скажем, функциями какого вида описываются аф- финные преобразования? Возьмем для начала самое простое из них — парал- лельный перенос. Несложный чертеж подсказывает, как, зная вектор переноса, описать в координатной форме ‘ 376
соответствие между точкой-прообразом и точкой-обра- зом: к абсциссе точки-прообраза следует прибавить абсциссу вектора переноса, то же самое сделать с ординатами, и получатся координаты точки-образа. Возьмем сжатие. Прямую, к которой сжимается плос- кость, примем за ось абсцисс. Тогда ордината любой точки при сжатии изменится во столько раз, каков ко- эффициент сжатия. Иначе говоря, она умножится на этот коэффициент. Абсцисса же любой точки останется не- изменной. (Это можно истолковать как умножение на единицу — вскоре мы увидим, что такое толкование не случайно.) Теперь рассмотрим сдвиг. Ось абсцисс сориентируем по направлению сдвига. И тогда мы заметим, что орди- ната любой точки остается неизменной при сдвиге (ум- ножается на единицу). А вот с абсциссой дело обстоит сложнее. Чтобы вычислить ее для некоторой точки-образа, нужно взять абсциссу соответствующей точки-прообра- за и прибавить к ней ординату точки-прообраза, умно- женную на некоторый коэффициент (если быть точ- ным — на тангенс угла, на который при сдвиге повора- чиваются вертикальные прямые). Напрашивается вывод: при всяком аффинном преоб- разовании плоскости каждая координата любой точки- образа выражается через координаты соответствующей точки-прообраза с помощью умножения их на некото- рые постоянные коэффициенты и последующего сложе- ния. Так оно и есть на самом деле. Набор коэффициентов, на которые умножаются коор- динаты точки-прообраза, — свой для каждого преобра- зования. Этот набор невелик — всего четыре числа. В самом деле, два числа умножаются на абсциссу и орди- нату точки-прообраза при вычислении абсциссы точки- образа (выпишем в строчку эту пару чисел), два — при вычислении ординаты точки-образа (эту пару чисел при- пишем снизу к выписанным прежде). Квадратная табличка из четырех чисел, которая обра- зовалась у нас, называется матрицей преобразования. Читатель, понаторевший в математической термино- логии, так перефразирует сказанное на случай любого 377
числа измерений: каждая координата любой точки-об- раза (первая, вторая и т.д.) выражается линейной ком- бинацией координат соответствующей точки-прообра^- за, причем коэффициентами этих линейных комбинаций служат числа из строчек матрицы преобразования (из первой, второй и т.д.). В том случае, когда в ходе аффинного преобразова- ния совершается еще и параллельный перенос, к каж- дой такой линейной комбинации прибавляется соответ- ственная компонента вектора переноса. Эти дополни- тельные слагаемые не представляют большого интере- са — ведь стоящий за ними перенос не деформирует фигур и даже не наклоняет их. Всеми подобными де- формациями правят числа в строчках матрицы преобра- зования. Вот почему эта компактная числовая табличка служит одной из важнейших характеристик аффинного преоб- разования. Аффинное преобразование, представленное этими рисунками, выполнил немецкий художник Альбрехт Дюрер в своем трактате «Наставление изменять все меры». (Наряду с рисунком мастера здесь приведена его нарочито «уточненная» копия.) kXVJKVWS’ \4\UW\ Что жё произошло с физиономией (рисунок слева) в результате преобразования (рисунок справа)? Лоб из нависающего сделался скошенным, подбородок выдал- ся вперед, а затылок — назад... Чем детальнее мы станем описывать результаты про- исшедшего, тем яснее будем ощущать, как помогает такому описанию разметочная сетка. В сущности, все - списание можно свести к показу того, что произошло с 379
сеткой: ведь все детали изображения остались в своих клетках. Подобным приемом пользуются не слишком опытные рисовальщики, когда делают копии иного масштаба, нежели оригинал. Прибегая к уже освоенной термино- логии, можно сказать, что копиист совершает при этом преобразование подобия. Рисунок Дюрера позволяет обобщить этот прием на произвольное аффинное пре- образование. Итак, вместо рассказа о том, что произошло с изобра- жением, проще рассказать о том,. что произошло с сеткой. Но сетка состоит из совершенно одинаковых параллелограммов, и каждый из них преобразился со- вершенно одинаковым манером: Так что проще всёго рассказать только о том, что произошло с одним каким- то параллелограммом, например, с левым нижним. Но пойдем еще дальше по пути упрощений. Всякий параллелограмм образован четырьмя попарно равными и параллельными сторонами. Поэтому весь рассказ о преобразовании можно ограничить справкой о том, что произошло с какими-либо двумя смежными сторонами краеугольного параллелограмма, — например, какими стали его нижнее основание и левая боковая сторона. Вычертим их в преобразованном виде. Достроим этот уголок до параллелограмма. ,Пристраивая к нему другие, вычертим всю преобразованную сетку. Остается расста- вить по ее клеточкам детали преображенного рисунка, благо канву можно сделать сколь угодной густой. Все получилось легко и просто А в чем секрет про- стоты? На этот вопрос мы дадим два ответа. Прежде всего заметим, что уголок, на кодором мы выстроили всю преобразованную сетку, можно задать лишь тремя точками — вершиной уголка и концами его сторон. Существенно, что эти точки не лежат на одной прямой, иначе уголок не был бы уголком и никакую сетку на нем мы построить не смогли бы. Перефразируя говорившееся ранее, можно сказать: все происшедшее с изображением полностью определяется тем, что про- изошло с тремя точками сетки. Но ведь сетка могла быть какой угодно. Это значит, что все происшедшее с изображением полностью опре-” 380 , I
деляется тем, что произошло с какими-то тремя точками плоскости, не лежащими на одной прямой. Потому ма- тематики и говорят, что любое аффинное преобразова- ние плоскости полностью задается попарным соответ- Образ первого базисного вектора \ Компоненты образа первого базисного _ вектора в базисе { е2 е2) = 16! +1/3 е2 Базисные векторы е2~* А = (-1) е1 + 1‘ е2 Пример: данное преобразование точки М с координатами (3.2) ставит в соответствие точку М' с координатами (12,4) Числа первой Координаты строки матрицы точки-образа М' преобразования Образ второго базисного вектора Компоненты образа второго базисного _ вектора в базисе( е2 е2) Матрица преобразования 12=1-3+(-1)-2+11 Координаты \ точки-прообраза И! 4=1/3-3+1'2+1, \3 Компоненты образа первого базисного вектора вбазисе ( ei.e2) Компоненты образа второго базисного- вектора вбазисе { ej.eJ Числа второй строки матрицы преобразования Компоненты вектора переноса а - координаты точки О', образа начала координат ствием между двумя тройками точек, если каждые три — и точки-прообразы и точки-образы — неколлинеарны (то есть не лежат на одной прямой). - Теперь подойдем к делу с другой стороны. Разметочная сетка, накинутая на исходное, л^вое изо- бражение, — это система координат. Левый нижний уголок сетки — это пара базисных векторов. Информа- 1Й нижний Информа- 381
ции о том, что произошло с базисными векторами, вполне хватило для того, чтобы описать результаты всего преобразования в целом. А эту информацию можно передать всего четырьмя числами, четырьмя компонентами преобразованных базисных векторов в исходном базисе — по две компоненты от каждого век- тора. Компоненты преобразованных базисных векторов вы- пишем в столбцы, столбцы составим в таблицу. Оказы- вается, у нас получится не что иное, как матрица преоб- разования. Подчеркнем: компоненты преобразованных базисных векторов указываются все в том же исходном базисе. Но базис пространства можно выбрать по-разному. Это значит, что в разных базисах матрица преобразования будет иметь не один и тот же вид, будет состоять из различных чисел. Теперь становится понятным, как в матричном виде описать любое аффинное преобразование и в трехмер- ном, и в четырехмерном пространстве, и в пространстве любого числа измерений. Введем в пространстве неко- торый базис и к каждому базисному вектору подойдем с вопросом: в какой вектор он превращается в резуль- тате преобразования? Координаты преобразованных базисных векторов в исходном базисе выстроим в столбцы, из столбцов образуем квадратную таблицу. Это и будет матрица данного преобразования, описы- вающая его действие в данном базисе. Строки матрицы дадут коэффициенты линейных комбинаций, которыми при данном преобразовании координаты любой точки- образа в данном базисе выражаются через координаты соответствующей точки-прообраза. Если в ходе аффинного преобразования совершается параллельный перенос, к каждой из этих линейных ком- бинаций нужно будет приписать дополнительное сла- гаемое — соответственную компоненту вектора перено- са Как же найти эти слагаемые? Проще всего посмот- реть, какая точка в ходе преобразования ставится в соответствие началу координат. Очевидно, координаты этой точки и будут представлять собой компоненты вектора переноса, искомые слагаемые. Их не потребу- 382
ется (точнее, они будут равны нулю), если при данном преобразовании начало координат остается на месте. К сожалению, в матричном виде, простой таблицей чисел представимо не всякое геометрической преобра- зование. Матрица преобразования —это; так сказать, протокол о происшествии с базисными векторами. Базис же можно ввести лишь в линейном пространстве. Судя по рисунку Дюрера, в происшествии с базисны- ми векторами лишь тогда полностью отразится произо- шедшее со всей плоскостью, если преобразование пре- вращает параллелограммы в параллелограммы, прямые в прямые. -Это свойственно лишь аффинным преобра- зованиям. Итак, матричное представление возможно лишь для аффинных преобразований линейных пространств.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Чем кончится это столкновение? Миром? Жестокой схваткой? Или чьим-то позорным бегством? «Позвольте, о каком столкновении вы говорите? — мог бы сказать математик, поглядев на эту картинку. — Ведь здесь два раза изображена одна и та же рыба. Одна рыба равна другой с точностью до преобразования». Заметившему это не откажешь в прайоте. Стоило бы только сделать ее более явной, разъяснив замыслова- тое выражение «с точностью до преобразования». Как в цирке при исполнении рискованного номера над манежем натягивают предохранительную сетку, так и мы ради надежности выводов прибегнем к сетке — разме- точной. Нанесем ее на изображения наших рыб. Теперь начнем преобразовывать правую рыбу (см. рис.). Сжатие по вертикали и го- ризонтали. Поворот. Парал- лельный перенос. Отраже- ние. Действительно, две рыбы совместились в одну. Итог проделанных дейст- вий и выражается словами: изображения равны с точ- ностью до преобразования. «До аффинного преобра- зования», — вставил бы уточняющих реплику мате- матик. Определяющий при- знак аффинных преобразований (прямые переходят в прямые) наглядно проявился в той стройности, которую сохранил узор рыбьих чешуек. Оно и понятно — все, чему подвергалось изображение рыбы, представляло собой аффинные преобразования. Потому и параллелограмм, ff который было заключено изображение правой рыбы, превратился опять-таки в 384
параллелограмм, правда, весьма специального вида — в прямоугольник. В этой пря- моугольное™, конечно, нет ничего фатального — мы на- рочно вели преобразование так, чтобы параллелограмм принял ту же форму, что и рамка левого изображения. Будь эта рамка другой, мы выбрали бы другие оси и ко- эффициенты сжатия, другой угол поворота и вектор пере- носа, но в конце концов обя- зательно привели бы исход- ный параллелограмм к нуж- ной конфигурации. В уже знакомых нам терминах эта уверенность выражается так: все параллелограммы равны с точностью до аффинного преобразования. Эту уверенность нетрудно обосновать. Ведь каждый из двух параллелограммов, ко- торые мы хотели бы «при- равнять» друг другу аффин- ным преобразованием, можно задать тремя верши- нами. Две эти тройки точек своим попарным соответст- вием и определят нужное нам аффинное преобразова- ние. Если забыть о параллело- граммах и представить обе эти тройки точек вершинами треугольников, наш вывод примет такой вид: с точнос- тью до аффинного преобра- зования равны все треуголь- ники. -------- Сжатие -------- Поворот ------------- -----Параллельный перенос----- Отражение — Изображения совместились — 13-480 385
С точностью до аффинного преобразования равны все окружности и эллипсы, поскольку вторые можно получить из первых сжатием. И подобно тому, как пря- моугольник есть разновидность параллелограмма, так окружность есть разновидность эллипса — эллипс с рав- ными осями Равны с точностью до преобразования Это магическое словосочетание — девиз одного из важнейших математических методов Восхищения и уважения заслуживает тот исследова- тель, который создает новые методы для решения новых задач Но не меньшего заслуживает тот, кто в хаосе неизведанного сумел разглядеть черты изученного. Уви- дел, что новую задачу можно свести к старой, уже решенной. Заметил, что к новой задаче применимы старые испытанные методы. Сумел найти такое преоб- разование, после которого сложная задача становится элементарной. «Интеллект есть способность находить разницу в сходном и сходство в различном», — говорил француз- ский философ Шарль Монтескье. Суметь увидеть сходство в различном, обнаружить, что два предмета равны с точностью до некоторого преобразования, найти это преобразование — великое умение исследователя Если вы попытаетесь нарисовать профиль птичьего крыла, то у вас, вероятно, получится нечто этакое: Когда воздух обтекает. крыло парящей птицы, то по верхней по- верхности крыла он совершает более длинный путь, чем по ниж- ней, а стало быть, поверху дви- жется быстрее, чем понизу. Из- вестный закон гидроаэромехани- 386
ки гласит: чем выше скорость потока, тем ниже давление в нем. Вот почему давление обтекающего воздуха на нижнюю поверхность крыла превышает давление на верхнюю. Так создается подъемная сила, которая под- держивает парящую птицу. X +у 13*
Закономерности этого явления скрыты в картине об- текания, в рисунке так называемых линий тока, по кото- рым движутся частицы воздуха, обтекающего крыло. Как вычертить этот рисунок? Конечно, для этого можно со- ставить необходимые уравнения и приступить к их ре- шению. Однако нужные результаты можно получить и по-другому, идя в обход многих трудностей геометри- ческим путем, сначала преобразовав картину реального явления. На профиль птичьего крыла ложится координатная сетка. Каждая точка плоскости теперь представляется парой, чисел. От этой пары переменных берутся две функции. Их значения полагаются парой координат той же плоскости Так каждой точке ставится в соответствие новая, совершается некоторое преобразование плос- кости. В результате точки, из которых состоял профиль птичьего крыла, образуют. другую фигуру. Какую же именно? Смотрите: причудливый профиль птичьего крыла пре- вратился в круг, в профиль цилиндра, простого геомет- рического тела! Две эти картинки весьма не похожи друг на друга. Но есть у них нечто общее. Оказывается, образы точек, из которых состоит любая линия тока на первой картинке, образуют на второй опять-таки некоторую линию тока. Это вытекает из математических свойств тех функций, с помощью которых проводится описанное преобразо- вание. Математики говорят, что оно сохраняет линии тока. Сказанное нам хотелось бы немедля отметить точным математическим термином. Свойство геометрических объектов, которое сохраняется после того или иного преобразования, называется инвариантом этого преоб- разования. Свойство «быть линией тока» — инвариант рассмотренного нами преобразования «крыло — ци- линдр». По рисунку линий тока, огибающих цилиндр, теперь можно построить картину обтекания крыла. По данным несложно решаемой задачи об обтекании цилиндра можно определить и подъемную силу крыла. Что же это за преобразование, которое позволило так удачно заменить исследование птичьего крыла задачей 388
об обтекании'цилиндра? Его называют преобразовани- ем Жуковского. В свое время эта замечательная находка русского ученого сыграла важную роль в математичес- ком обосновании созданного им учения о подъемной силе. «Зимой и летом — одним цветом», — говорят про елку Используя эффектное словечко «инвариант», с которым мы только что познакомились, мы могли бы сказать, что зеленый цвет елки инвариантен относительно смены времен года. Однако наша цель не в том, чтобы уснащать свою речь новыми эффектными выражениями, а в том, чтобы на конкретных примерах выяснять точный смысл понятий, появляющихся в нашем рассказе. Жаждущий точности читатель ждет от нас новых иллюстраций, которые разъ- ясняли бы понятие инвариантности. Мы готовы предложить читателю такие иллюстрации, только не на следующих, а на предыдущих страницах нашей книги. Загляните туда, и вы увидите, что мы уже хорошо знакомы с понятием инвариантности, хотя по имени узнали его совсем недавно. Помните про переносы и повороты трактора? Про выворачивание колодца наизнанку? Назвав подобные действия ортогональными преобразованиями, мы под- черкнули, что они сохраняют расстояние между точками. Итак, расстояние между любыми двумя точками — инва- риант ортогональных преобразований. Когда мы искали, где соединить мостом берега реки, разделяющей пунк- ты А и В, нам помогло то, что длина любого отрезка прямой инвариантна относительно параллельных пере- носов. - Определяя аффинные преобразования самого обще- го вида, мы говорили, что они переводят прямые линии в прямые. Итак, свойство линии быть прямой — инвари- ант аффинных преобразований. Взявшись за это основное звено, усилием строгих доказательств можно вытянуть' целую цепочку других инвариантов. Любое аффинное преобразование пре- 389
вращает параллельные прямые в параллельные, а пере- секающиеся — в пересекающиеся, причем точка пере- сечения преобразованных прямых есть образ точки пересечения прямых исходных. Любое аффинное пре- образование переводит отрезок прямой опять-таки в отрезок, и если какая-то точка делит исходный отрезок в некотором отношении, то ее образ будет делить в том же самом отношении преобразованный отрезок. Нако- нец, любое аффинное преобразование сохраняет отно- шение между площадями преобразуемых фигур. Ска- жем, если до преобразования одна из них вдвое превы- шала другую по площади, то так оно останется и после преобразования. Располагая столь небольшим запасом инвариантов, можно решить немало трудных задач, доказать немало важных теорем. Любителям доказательств мы предложили бы строго обосновать вывод, полученный нами когда-то экспери- ментальным путем в опытах со стирательной резин- кой, — что любой параллелограмм остается параллело- граммом при всяком аффинном преобразовании. А вот проблема для любителей геометрических по- строений: в данный параллелограмм вписать эллипс наибольшей площади. Задача перестает быть задачей и становится пустяком, если надлежащим аффиннум преобразованием превратить данный параллелограмм в квадрат. (Это возможно — ведь любые два параллело- грамма равны с точностью до аффинного преобразова- ния, а квадрат — разновидность параллелограмма.) Среди всех эллипсов, которые можно вписать в квадрат, наибольшую площадь очерчивает, очевидно, окруж- 390
ность — эллипс с равными осями. У этой окружности есть замечательная особенность: сторон квадрата она касается в их серединах. Квадрат со вписанной в него окружностью превратим теперь соответствующим аффинным преобразованием в данный параллелограмм. Что станет при этом с окруж- ностью? Она превратится в эллипс, и этот эллипс будет наибольшим по площади среди всех, которые можно вписать в данный параллелограмм, — ведь отношения площадей сохраняются при аффинных преобразовани- ях Точки, в которых он касается сторон параллелограм- ма, будут серединами сторон — ведь отношение, в ко- тором точка делит отрезок, тоже сохраняется при аф- финных преобразованиях. Вот вам и решение постав- ленной задачи: если требуется вписать в параллело- грамм эллипс наибольшей площади, впишите его так, чтобы он коснулся каждой стороны параллелограмма точно в ее середине. Напоследок — короткое примечание. Бывает, что образ некоторой фигуры, возникший в результате преобразования, совпадает со своим прооб- разом. Такую фигуру называют инвариантной относи- тельно данного преобразования или говорят, что она переходит в себя. Например, при осевой симметрии в себя переходит ось симметрии и все прямые, ей пер- пендикулярные. (Правда, у оси симметрии в себя пере- ходит каждая точка, й оттого эту прямую называют точечно-инвариантной относительно осевой симмет- рии, а про прямые, перпендикулярные оси, такого не скажешь — их называют инвариантными в целом.) Про фигуры, переходящие в себя при некотором преобразо- вании, говорят также, что они неподвижны относительно этого преобразования Возникновение науки геометрии древние греки свя- зывали с именем полулегендарного мудреца Фалеса Милетского. Он первый стал доказывать геометричес- кие выводы строгим логическим путем 391
Приемы его доказательств не отличались сложнос- тью. Например, равенство фигур Фалес устанавливал наложением. Что же это за операция — наложение? Какой матема- тический смысл у этого действия, к которому из-за его наглядности до сих пор прибегают на уроках геометрии? Постарайтесь воскресить в свой памяти воспомина- ния школьной лоры, и вы согласитесь с нами: когда одну фигуру мысленно накладывают на другую, то представ- ляют, что она перемещается как одно жесткое целое. Жесткость, интуитивно приписываемая перемещаемой фигуре, имеет четкое математическое истолкование: это значит, что расстояние между любыми двумя точка- ми фигуры остается неизменным в ходе перемещения. Такая неизменность расстояний — определяющее свойство ортогонального преобразования. Итак, нало- жение — это ортогональное преобразование. Точнее, целая совокупность ортогональных преобразований: взаимное расположение фигур, одна из которых накла- дывается на другую, может быть различным; сколько вариантов расположения, столько и ортогональных пре- образований, переводящих одну фигуру в другую, ей равную. Раз уж мы зашли в своих воспоминаниях в школьный класс, задержимся здесь еще на некоторое время и прислушаемся к тому, что говори!" учитель. Он собирается доказывать теорему: «Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с высотой , опущенной на ту же сторону». Учитель рисует на доске чертеж и просит учеников поточнее перерисовать его в свои тетради. Поточнее? Значит ли это, что треугольники в тетрадях учеников должны быть равны нарисованному на доске в том смысле, что их можно совместить наложением? Но ведь это невозможно, тетрадь — не доска! Впрочем, судя по тому спокойствию, с которым уче- ники выполняют просьбу учителя, никто из них не нахо- дит ее невозможной. Значит, они как-то по-иному пони- мают слово «поточнее», руководствуются каким-то осо- бым критерием равенства. Если мы заглянем в чью-нибудь тетрадь, мы увидим там уменьшенную копию чертежа на доске. Выражаясь 392
математически, рисунок учителя и рисунок в тетради подобны друг другу. • Подобие — вот тот критерий равенства, которым ру- ководствуются ученики. И это понятно. Ведь какие гео- метрические свойства фигурируют в доказываемой тео- реме и должны быть переданы при перерисовке с доски? Только те, что определяют форму фигур: отно- шения длин отрезков (равенство сторон треугольника и тех частей, на которые они делятся медианами) и вели- чины углов (высоты пересекаются со сторонами под прямым углом). Но отношения длин отрезков и величины углов — это инварианты преобразований подобия. Абсолютные ве- личины отрезков не принадлежат к этим инвариантам — но ведь о них и речи нет в теореме! Поэтому треуголь- ники учеников и учителя не должны совпадать при нало- жении, и тем не менее они равны — с точностью до преобразования подобия. А теперь-пройдем по рядам и заглянем во все тетради. Мы увидим треугольники одной и той же формы, но весьма различных размеров. Ученики, не сговариваясь, совершили целую совокупности преобразований подо- бия. И все нарисованные треугольники — на доске, в тетрадях — одинаковы, если иметь в виду равенство с точностью до преобразования подобия. Между тем учитель взялся за доказательство новой теоремы: «Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 1:2». И снова ученики перерисовывают с доски поясняющий чертеж учителя. Если теперь мы соберем тетради, нас поразит еще большая свобода в копировании чертежа с доски, со- всем не стесненная верностью форме треугольника, каким его изобразил учитель. Поразит, но не удивит. Ведь какие геометрические свойства фигурируют на сей раз в условии задачи? Только соотношения частей отрезков (медианы определяются тем, что делят сторо- ны треугольника пополам, то есть в отношении 1:1, а доказать нужно, что сами они, пересекаясь, делятся в отношении 1:2). Соотношение частей отрезка сохраняется при любом аффинном преобразовании, это инвариант всей сово- 393
купности аффинных преобразований. А поскольку любые два треугольника можно «приравнять» друг другу надлежащим аффинным преобразованием, то каждый ученик волен рисовать в своей тетради какой угодно треугольник, лишь бы его медианы были медианами, то есть упирались в середины сторон треугольника. Но если для доказательства теоремы пригоден любой треугольник, то и вывод ее справедлив для любого треугольника: медианы всегда пересекаются в одной точке и всегда делятся при этом в отношении 1:2. Действительно, это так, какой треугольник ни возьми. Но всякой ли совокупности преобразований можно доверить установление равенства между фигурами? Вопрос не из простых, и к ответу мы пойдем путем извилистым. Прослушайте для начала три небольших отступления Человек преобразует природу. Он орошает засушли- вые земли и сажает сады в пустынях, осушает болота и создает моря. Но вырубленные леса? Обмелевшие реки? Загрязнен- ная атмосфера? Это тоже вольный или невольный ре- зультат преобразовательной деятельности человека. Защита окружающей среды — вот одна из острейших проблем века. Ее решение требует громадных средств и титанических усилий. Если угодно, сохранение цен- нейших уголков природы — это тоже некоторое преоб- разование, сущность которого — оставить все как было. Тождественное преобразование — так назвал бы его математик. Команда «смирно», на взгляд армейского старшины, ничем не хуже команды «кругом» или «шагом марш», хотя и не понуждает ни к каким перемещениям. «Покой есть частный случай движения», — говорят физики. Ум- ножение на единицу — это тоже умножение, считают 394
математики, хотя умножаемое на единицу число и оста- ется после этого собою, ничуть не умножившимся. Этими рассуждениями мы хотим подвести читателя к выводу: говоря о геометрических преобразованиях, нельзя не упомянуть о самом простом из них, тождест- венном, которое оставляет неподвижной любую фигуру, сохраняет неизменной всякое ее свойство. Нетрудно понять, какой ценой это достигается. Тож- дественное преобразование как бы говорит «замри!» > каждой точке и ставит ей в соответствие ее же. Кругом! Шагом марш) Смирно1 Тождественное поворот параллельный перенос преобразование Тождественное преобразование называют также еди- ничным. Это говорится по явной аналогии с арифмети- кой. Если в произведении чисел участвует сомножите- лем единица, ее можно опустить без боязни, что произ- ведение окажется иным. Если в цепи последовательных преобразований встречается тождественное, его можно и не выполнять—без опаски, что окончательный резуль- тат получится другим. Именно эти забавные фигурки привели в ужас герои- ню рассказа Конан Дойля «Пляшущие человечки». Похо- жие на невинную детскую шалость, они содержали уг- розу. «Илей, готовься к смерти». Х*4ХХХХХХХ<П4*АХ¥Х
Разумеется, Илей осталась жива. Знаменитый Шер- лок Холмс расшифровал надпись и, как всегда, обезвре- дил злоумышленника. Конан Дойль увлекательно рассказывает, как Холмс и в этом деле блеснул находчивостью. Он разгадал код всего лишь по нескольким фразам! Но математик вправе упрекнуть писателя в том, что в рассказе не подчеркнута самая важная особенность шифра, которая позволила Холмсу разгадать тайну. В самом деле, почему в группе из четырех человечков, с которой начиналось несколько записок преступника, Холмс опознал имя «Илей», состоящее также из четырех букв? Знаменитый сыщик определенно был уверен в том, что ни один пляшущий человечек не нарисован просто так, что за каждым значком шифра стоит буква и притом единственная, то есть, что каждый образ в этом изображении имеет прообраз и притом только один (последнее можно выразить еще так: что разным прообразам соответствуют разные образы). Такие отображения называются взаимно-однознач- ными. Только для такого отображения имеет смысл искать обратное. В самом деле, что было бы, если бы преступник шифровал каждую букву одним и тем же значком? Его надписи превратились бы в бессодержательный орна- мент. Столь экономный шифр расшифровке не подда- ется. Если отображение не является взаимно-однознач- ным, обратного' для него не существует. Если же оно взаимно-однозначное, то обратить его можно и притом единственным путем, не допускающим кривотолков. Больного готовят к операции. Предстоит удалить ос- колок, застрявший где-то в груди. Но где именно? Перед врачом — рентгеновский снимок. Белое пятнышко на нем — осколок. Но по снимку его местонахождение установить невозможно — и вот почему. Снимок — это образ. Грудная клетка с осколком в ней — прообраз. Отображение — съемка в рентгенов- ских лучах. Она дает проекцию объемного объекта на плоскость снимка. И при этом все точки, лежащие вдоль рентгеновского луча, проецируются на снимок в одну. Одной точке-образу соответствует не одна точка-прооб- раз, а бесчисленное множество точек, которые нанизал 396
на себя проецирующий луч. Взаимной однозначности точек нет. Обратное отображение не выполнимо Хирур- гу необходим еще один снимок, сделанный в ином ракурсе. Но довольно вводных слов. Читатель и так уж, веро- ятно, упрекает нас в том, что мы отступаем от своей привычки — объяснять новое, опираясь на уже извест- ное. Зачем этот мудреный пример с шифрами, когда наша тема — геометрические преобразования? Неуже- ли те из них, что мы уже знаем, не имеют обратных? Имеют — и притом все без исключения. Но именно отсутствие исключений мешает понять правило, и пото- му мы обратились сначала к криминалистике и медици- не, чтобы пояснить столь важный для поиска обратных преобразований принцип взаимной однозначности. Все известные нам аффинные преобразования обла- дают ею — и параллельный перенос, и поворот, и зер- кальное отражение, и центральная симметрия, и сжатие и гомотетия, и подобие. Раскройте соответствующие страницы нашей книги, перечитайте их, и вы убедитесь в этом. Так что для каждого из них обратное преобра- зование существует. Скажем, вы произвели параллельный перенос на за- данный вектор. Совершите теперь перенос на противо? положный вектор, и все точки плоскости займут перво- начальные места. Или вы проделали поворот вокруг некоторого центра на некоторый угол. Теперь поверните плоскость вокруг того же центра на тот же по величине, но на противопо- ложный по направлению угол — и все вернется в исход- ное положение. Интересны с этой точки зрения обе известные нам разновидности симметрии — зеркальная и центральная Каждое из двух этих преобразований является обрат- ным по отношению к самому себе. Именно поэтому человек, желающий узнать, каким ею видят другие, смотрится в два зеркала, составленные углом: облик, отраженный дважды, обретает прежний вид. Заключительные слова трех последних абзацев — о первоначальных местах, об исходном положении, о прежнем виде — подсказывают нам довольно очевидное суждение: произведение любого преобразования на об- 397
ратное к нему (если оно существует) есть тождествен- ное преобразование (причем сомножители такого про- изведения можно брать в любом порядке). Проницательный читатель, вероятно, догадался об этом и раньше, когда мы знакомили его с понятием тождественного преобразования. Мы говорили тогда, что сохранение природы требует больших усилий. Эти усилия направлены на компенсацию вреда, который наносится природе. Произведение вредного воздейст- вия на обратное, компенсирующее и дает в итоге тож- дественное преобразование. ... Дрожащей рукой вы нащупали кнопку выключателя, и свет погас. Вы взволнованы. Еще бы — ведь это впервые в жизни. В первый раз вы выносите на суд аудитории — пусть маленькой, доброжелательной, се- мейной — свои слайды, свои первые опыты в этом непростом жанре фотоискусства. Но что за смешки среди зрителей? Люди на экране стоят вниз головой. Сконфуженный, вы выдергиваете слайд и суете его в проектор другим боком. Опять не то — буквы надписей идут справа налево... Знакомая картина, не правда ли? Чтобы избежать подобного конфуза, нужно знать немногое. Луч проек- тора в соответствии с законами оптики меняет в изо- бражении верх и низ, левое и правое. И потому, -взяв слайд так, как вы хотели бы видеть его на экране, вы должны, прежде чем вставлять его в проектор, повер- нуть его на 180 градусов вокруг горизонтальной оси, а потом — на те же 180 градусов вокруг вертикальной. Иными словами, вы должны подвергнуть слайд преоб- разованиям, обратным по отношению к тем, которые совершает луч.. Эти два вращения можно заменить одним: достаточно (можете проверить!) повернуть слайд на 180 градусов вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, и он ока- жется в нужном для просмотра положении. Итак, поворот'слайда на 180 градусов вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, есть произведение 396
двух поворотов на тот же угол вокруг горизонтальной и вертикальной его осей. К этим трем поворотам присоединим тождественное преобразование. И тогда обнаружится замечательный факт: какие бы два из четырех этих преобразований мы ни «перемножили», произведением будет одно из пре- образований той же четверки.
И еще одна замечательная деталь: «сомножители» любого такого произведения можно переставлять — оно от этого не изменится. Вам это кажется естественным и не заслуживающим того, чтобы над этим задуматься? Что ж, причину такого безразличия понять нетрудно. Говоря о произведениях преобразований, мы не можем отрешиться от ассоциа- ций с перемножением чисел. А для них всегда справед- лив закон, называемый переместительным или комму- тативным: от перемены мест сомножителей произведе- ние не меняется. И еще: произведение любых двух чисел всегда представляет собой некоторое число. Арифметика не знает равенств типа «дважды два = стеариновая свечка». В мире преобразований эти строгие законы, к сожа- лению, не имеют абсолютного могущества и иногда нарушаются. 400
Чтобы убедиться в этом, приступим к новой серии поворотов — теперь уже не на 180 градусов, а на 90, как показано на рисунках. Поставив слайд в исходное положение, повернем его на 90 градусов сначала вокруг вертикальной, а затем — вокруг горизонтальной оси. Слайд встал ребром. Повторим повороты в другой последовательности — сначала вокруг горизонтальной, потом вокруг верти- кальной оси. Слайд лег плашмя. Произведение преобразований оказалось зависящим от порядка сомножителей! И обратите внимание: ни то, ни другое окончательное положение слайда не достичь из исходного ни одним из трех описанных поворотов. Произведение двух преобразований из нашей сово- купности не представимо ни одним преобразованием из той же совокупности! Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный тремя разделами выше: какой должна быть совокуп- ность преобразований, чтобы с их помощью можно было устанавливать равенство фигур, понимая его в обоб- щенном смысле — с точностью до преобразования? Очевидно, это своеобразное равенство в главных своих чертах должно походить на равенство в привыч- ном смысле слова. А оно связано в нашем сознании с тремя незыблемыми аксиомами. Во-первых, каждая фигура всегда равна самой себе. Это можно выразить простым и неоспоримым образом: А=А. Во-вторых, если одна фигура равна другой, то и вто- рая не отличается от первой. Иными словами, если А = В, то и В = А. В-третьих, если одна фигура равна другой, а та — третьей, то первая равна третьей (если А = В и В = С, то А = С). Каждую из трех аксиом легко перефразировать для равенств с точностью до преобразования. 401
Если какая-то фигура равна самой себе с точностью до некоторого преобразования, то ясно, о каком преоб- разовании идет здесь речь — о тождественном. Вывод: тождественное преобразование должно принадлежать той совокупности преобразований, с помощью которой мы надеемся ввести равенство нового типа. Если некоторым преобразованием мы приравняли одну фигуру другой, то приравнять вторую первой можно лишь обратным преобразованием. Вывод: для каждого преобразования из нашей совокупности в ней должно быть и обратное. Если, употребив равенство с точностью до преобра- зования, мы превратили одну фигуру в другую, а ее в третью, то дважды преобразованная фигура должна получаться из исходной и в один прием. Вывод: произ- ведение любых двух преобразований из нашей совокуп- ности должно принадлежать той же совокупности. Итак, три условия. Если всем трем удовлетворяет некоторая совокупность преобразований, то ее называ- ют группой преобразований или говорят, что она обла- дает групповыми свойствами. Преобразования, образующие группу, как бы отмече- ны «знаком качества»: их с уверенностью можно приме- нять при доказательстве теорем и решении задач, — проводимым рассуждениям будет свойственна логичес- кая стройность и теоретическая законность. Когда мы говорили, что большинство теорем школь- ной геометрии можно доказывать на чертеже любого масштаба, мы ссылались на то, что в этих теоремах говорится лишь о соотношениях длин и углах, то есть о величинах, инвариантных относительно преобразова- ний подобия. Теперь мы видим, что этой ссылки мало. Для полной уверенности нужно еще знать, что преобра- зования подобия образуют группу. Это, к счастью, действительно так. В этом нетрудно убедиться, перебрав три условия, которым должна удов- летворять всякая группа преобразований. Нам будет удобно перебирать их в обратном порядке. 402
Если из всех подобий выбрать какие-то два, то про- изведение двух этих преобразований, очевидно, будет опять-таки подобием, и его коэффициент будет равен произведению коэффициентов тех двух подобий. (Итак, третье условие выполняется.) Взяв любое подобие, можно подобрать затем такое, чтобы их коэффициенты в произведении дали единицу. Примененные последовательно к любой фигуре, два таких подобия в итоге вернут ее в исходное состояние. Значит, два таких подобия — взаимно обратные. Стало быть, для любого подобия можно подобрать обратное ему. (Итак, выполняется и второе условие). Наконец, среди преобразований подобия есть тожде- ственное — его коэффициент равен единице. (Итак, первое условие удовлетворяется тоже.) Столь же быстро и легко проверку групповых свойств проходят и все аффинные преобразования в целом, и простейшие из них, ортогональные... Эта легкость вызывает подозрение: а можно ли при- думать такую совокупность преобразований, которая не была бы группой? Да, можно. Взгляните на свою обувь, сравните правый и левый ботинки и подумайте о преобразованиях зер- кального отражения. Посмотрим: как у них с групповыми свойствами? Например, с третьим? Всегда ли два пос- ледовательных зеркальных отражения можно заменить одним? Зеркальное отражение превращает левый боГинок в правый, а тот — снова в левый. - Итак, левый ботинок получается из левого же за два зеркальных отражения. Но можно ли превратить левый ботинок снова в левый одним-единственным отражени- ем? Нет, никогда. Итак, о третьем групповом свойстве не может быть и речи. Поистине, мы договорились до абсурда: ботинок не • равен самому себе! Это, как легко заметить, равносиль- но заключению: среди зеркальных отражений нет тож- дественного преобразования. Стало быть, нечего гово- рить и о первом групповом свойстве. Окончательно: совокупность зеркальных отражений не является группой. 403
Восток славится легендами... Рассказывают, что в давние-давние времена жили в неком городе два зна- менитых резчика по ганчу (так на Востоке называют еще не застывший алебастр). И было их умение столь вели- ко, а их орнаменты столь восхитительны, что люди никак не могли решить, кто же из них искуснее. И вот задумали устро- ить им состязание. Ком- нату только что выстро- енного дома, которую предстояло отделать резьбой, перегородили пополам занавесом, и мастера начали работать каждый в своей полови- не. Когда же работа была закончена и занавес уб- рали, изумлению зрите- лей не было предела: узоры в обеих половинах комнаты совпадали до мельчайшего завитка! Лишь приглядевшись, люди обнаружили, что один мастер добросо- вестно выполнил свое дело, а второй решил взять смекалкой: он до зеркального блеска от- шлифовал стены своей половины, так что они от- разили узор на стенах другой. Легенда гласит, что по- беду присудили второму мастеру. И мы, как мате- матики, без сомнений 404
присоединились бы к такому решению. Ведь превратив стены в зеркало, он проявил не только мастерство (о котором все знали и раньше), но и глубокое понимание самой сути орнамента, которая заключается именно в повторяемости элементов узора. Такая повторяемость хорошо заметная на орнаментах простейшего вида — бордюрах. Взгляните на рисунки, где представлено несколько типов бордюров.-Повторя- ющийся элемент везде обведен прямоугольной рамкой Его называют раппортом. Выделив раппорт какого-либо бордюра, мы сможем неограниченно продолжать узорчатую ленту. Простей- ший способ таков: изготовить трафарет с рисунком раппорта и переносить его шаг за шагом вдоль прямой, по которой вытянулся бордюр Но почему только переносить? Внимательно вглядев- шись в приведенные рисунки, мы обнаружим, что на некоторых из них трафарет перед переносом поворачи- вается вокруг горизонтальной оси; на некоторых других ничего не изменилось бы, если бы перед переносом мы стали бы поворачивать его вокруг центра, то есть под- вергать его таким преобразованиям, при которых пря- моугольная рамка раппорта совмещалась бы с собою. Таких преобразований немного, всего четыре — три перечисленных да еще тождественное, когда трафарет переносится без всяких поворотов. Однако их, по-види- мому, можно сочетать в различных последовательностях да к тому же включать в такие сочетания обратные повороты... Подвергая трафарет перед каждым перено- сом той или иной комбинации преобразований, мы могли бы, кажется, получить бесконечное разнообразие узорчатых лент. Но это только кажется. Легко убедиться, что любые два из четырех преобразований, которым мы собираем- ся подвергать трафарет, в произведении дают одно из четверки. Два последовательных поворота вокруг одной какой-либо оси раппорта, вер/икальной или горизон- тальной, возвращают его в исходное положение, то есть, равносильны тождественному преобразованию. Два поворота вокруг обеих этих осей равносильны по- вороту вокруг центра на 180 градусов... (закончить про- верку читатель может и без нашей помощи). Итак, к 405
каждому переносу мы можем подготовить трафарет лишь четырьмя различными способами. В рассуждении, приведшем нас к такому выводу, читатель, вероятно, отметил слова «обратно», «тождест- венное», «произведение». Они напоминают о групповых свойствах. Все эти свойства, как легко проверить, есть у совокупности преобразований, которыми мы собира- емся готовить трафарет к переносу. Иными словами, эти преобразования образуют группу. Именно это, как по- нимает вдумчивый читатель, и позволило исчислить все приемы рисования бордюров. Попробуем теперь исчислить все варианты раппор- тов. Судя по приведенному иллюстративному материа- лу, среди них возможны вовсе не симметричные; быва- ют симметричные относительно вертикальной или гори- зонтальной осей или относительно центра; наконец, встречаются такие, которые обладают всеми тремя перечисленными видами симметрии. Итого пять вари- антов. Кстати, сказанное позволяет дать строгое математи- ческое определение понятию симметрии: симметрич- ной кажется нам фигура, которая переводится в себя одним или несколькими преобразованиями. Чем больше таких преобразований найдется, тем более симметрич- ной выглядит фигура. .Весьма симметрична, например, буква Ж: ее можно совместить с собою отражением Несимметричен Симметричен относительно вертикальной оси Симметричен относительно горизонтальной оси Центрально- симметричен Обладает всеми тремя. ранее названными видами симметрии относительно вертикальной или горизонтальной оси или поворотом вокруг центра на 180 градусов. Менее сим- метричны буквы А, С, И — каждую можно превратить в себя лишь одним из трех только что названных преоб- 406
разеваний. Совсем не симметрична буква Ы: ее остав- ляет собою лишь тождественное преобразование. Итак,- пять раппортов и четыре способа их перенесе- ния. Все 20 возможностей нарисовать бордюр схемати- чески представлены таблицей (см. первую колонку ри- сунков на этой странице). Впрочем, эти возможности ^ффффф'! г^ффффф^ ИаВаЕа! MaMaMaI !<<<<<< IZZZZZZ И\И\И\1 ZNZNZN 0ZZ0ZZ И?И7Ш МаМаМа! !'<<<<<< 0ZZZ0Z txxxxxx часто приводят к одинаковым узорам, каждый из кото- рых в нашей таблице мы оставим в одном экземпляре 407
(вторая колонка). Теперь приглядимся к сдвоенным рап- портам, обведенным прерывистой рамкой: каждый из них по типу симметрии не отличается от какого-то одно- го из тех пяти раппортов,' с которых начинались наши построения. Стало быть, сложенные из них бордюры можно отождествить с другими, что и показано обоюдо- острыми стрелками. Это позволяет произвести еще одно сокращение таблицы (третья колонка). Подсчитав оставшиеся рисунки, заключаем: все разнообразие бор- дюров охватывается семью типами их симметрии. Бордюр — орнамент одномерный, вытянутый вдоль прямой. А каким богатством возможностей располагают мастера, покрывающие орнаментами двумерные стены? Сходный расчет приводит к числу 17. Надежное под- тверждение вывода дает дворец Альгамбра в Испании — великое произведение .мавританских зодчих. Здесь можно обнаружить орнаменты любого из семнадцати возможных типов симметрии. Ну а если перейти к трехмерным орнаментам? Не спешите возражать, что таких Никто не делает. Их со- здает самый искусный умелец — природа. Мы имеем в виду кристаллы, точнее, их пространственные структу- ры, так называемые кристаллические решетки. Разно- образие этих трехмерных орнаментов громадно, и- вряд ли оно поддалось бы надежному пересчету, если бы не теория групп. Именно она составляет основу работ рус- ского ученого Евграфа Степановича Федорова, которые позволили установить, что существует всего 230 типов кристаллических решеток. Для всех, кто исследует стро- ение кристаллов, свод этих трехмерных орнаментов значит то же, что для химика таблица Менделеева. В университетах Германии долгое время существовал такой порядок: претендент на профессорскую долж- ность выступал перед ученым советом с лекцией на свободную тему. Прослушав лекцию, совет решал, до- стоин ли соискатель кафедры. В 1872 году в Эрлангенском университете с подобной лекцией выступил немецкий математик Феликс Клейн. 408
Ставшее известным под названием «Эрлангенская про- грамма», это выступление надолго определило многие пути развития.геометрии. Вводную часть знаменитой лекции мы изложим сей- час в кратком и довольно свободном пересказе. Что такое геометрия? Наука о геометрических свой- ствах фигур. Какие же свойства следует называть гео- метрическими? Те, что не зависят от положения, зани- маемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных размеров и, наконец, от ориентации (под этим понима- ется то свойство расположения, которое является ис- точником различия между данной фигурой и ее зеркаль- ным изображением). Отсюда вытекает, что геометри- ческие свойства фигуры не изменяются от параллель- ных переносов и поворотов, от преобразований подо- бия, от зеркального отражения и от всех преобразова- ний, которые могут быть составлены из перечисленных. (Отметим, что все они в совокупности образуют группу.) Можно сказать, геометрические свойства — это те, ко- торые не изменяются в результате любого преобразо- вания из группы перечисленных выше. Будем говорить теперь о произвольной группе преоб- разований. Как обобщение геометрии тогда получится следующая задача. Дано пространство и в нем группа преобразований. Нужно исследовать те свойства фигур, которые не из- меняются от преобразований этой группы. Иными сло- вами, требуется развить теорию инвариантов этой груп- пы. Это — общая задача, заключающая в себя не только обыкновенную геометрию, но и новейшие геометричес- кие теории. Так говорил Клейн. С тех пор каждую геометрию, порождаемую некото- рой группой преобразований (в том смысле, какой имел в виду немецкий математик), называют клейновской геометрией. Так, например, наша обычная школьная эвклидова геометрия, как отметил сам Клейн, порождена группой преобразований подобия. Как одну из других клейнов- ских геометрий было бы любопытно изложить неэвкли- дову геометрию Лобачевского или Римана. Такая цель 409
выполнима, однако не соответствует возможностям нашей популярной книги. Мы расскажем ради примера о более простой, так называемой аффинной геометрии. По ее названию нетрудно догадаться, что она порож- дается группой аффинных преобразований. Уже само определение аффинных преобразований (они переводят прямые в прямые) указывает на один из инвариантов этой группы — свойство линии быть пря- мой. К инвариантам той же группы принадлежит и отно- шение, в котором отрезок делится его какой-либо внут- ренней точкой, и наличие у двух прямых одной общей точки. Зная хотя бы это, мы уже можем назвать некото- рые понятия аффинной геометрии. Это, например, тре- угольник, медиана — в основе обоих понятий лежат только что названные инварианты группы аффинных преобразований. Мы можем даже сформулировать и доказать какую-нибудь теорему аффинной геометрии, например, теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2. А вот, скажем, теорема о том, что высоты равносто- роннего треугольника совпадают с медианами, к аф- финной геометрии не принадлежит. Некоторые слова, употребленные в формулировке этой теоремы, в аф- финной геометрии не имеют смысла. Что такое, напри- мер, равносторонний треугольник? Тот, у которого сто- роны равны по длине? Но ведь отношение длин непа- раллельных отрезков не принадлежит к инвариантам аффинной геометрии. С ее точки зрения все отрезки равны между собой, поскольку любой из них можно совместить с любым другим при помощи надлежащего аффинного преобразования — повернуть до нужного направления, сжать до нужной длины и перенести куда надо. А величина угла? И такого инварианта не знает аффинная геометрия, поскольку теми же поворотами и сжатиями можно «приравнять» друг другу любые два угла. А раз так — в аффинной геометрии не имеет смысла говорить ни о прямом угле, ни о высоте тре- угольника. Прямой угол, равносторонний треугольник — это по- нятия эвклидовой геометрии, которая, по Клейну, по- рождается группой преобразования подобия. 410
Как видим, круг .теорем у аффинной геометрии гораз- до уже, чем у эвклидовой. Причина понятна: слишком узок круг ее инвариантов, круг свойств, которые оста- ются неизменными при аффинных преобразованиях. Казалось бы, какой прок от такой геометрии? Прок есть—и немалый. Она выявляет геометрические свойства, которые сохраняются при весьма неделикат- ных преобразованиях. Она помогает понять, какие из этих свойств наиболее глубоки и существенны. В редакцию известного научно-популярного журнала пришла рукопись от некого естествоиспытателя-само- учки. Нам довелось ознакомиться с его сочинением. Ниже мы предлагаем читателю выдержки из этого ори- гинального трактата. «Последние годы наука о природе все более впадает в крайности. С одной стороны, она устремляет свой взор в бездонные просторы Вселенной, с другой — вперяет его в не менее неисчерпаемые глубины микромира. При этом само собой разумеется, что где-то посере- дине, в мире житейских масштабов, все установлено давно и навсегда. Какой безумец рискнет ныне опровер- гать представление о шарообразности и выпуклости Земли или гелиоцентрическом строении Солнечной системы? И все-таки я утверждаю: человечество ошибается! Вселенная устроена совсем не так, как нас учат в школе, как об этом написано в учебниках и энциклопедиях. Вот мои постулаты. Их тоже три (как у Эйнштейна). 1. Да, Земля действительно есть сфера с радиусом около 6400 км, но сфера полая, и мы живем не на внешней, а на внутренней ее поверхности. 2. Все многообразие объектов и явлений природы, весь видимый мир заключен внутри этой сферы. 3. Лучи света распространяются в этом мире по ок- ружностям, проходящим через центр сферы — «центр мира». Каждая теория должна опираться на строгие доказа- тельства. С чего обычно начинают убеждать школьника 411
в том, что Земля выпукла? С общеизвестной истории с кораблем, отправляющимся в плавание. Вот корабль I достиг горизонта и начинает медленно скрываться за ним. Вот провожающие видят с берега лишь палубу и мачты, вот одни только мачты, вот из-за горизонта виднеется лишь вымпел, и, наконец, корабль исчезает из виду. Все верно в этой картине. Но разве для объяснения । этого факта так уж необходимо предположение о выпук- I лости Земли? Обратимся к моей системе мира (см. рисунок). Дуги окружностей 00' — это световые лучи, которые приходят к наблюдателю. Заштрихованная область, в которую уходит корабль, наблюдению не доступна. Последова- тельные положения корабля позволяют легко просле- дить процесс его исчезновения за горизонтом. Ну, да бог с ним, с кораблем. Займемся более фунда- ментальными проблемами. День и ночь. Их принято объяснять вращением Земли вокруг своей оси. Но такое объяснение — отнюдь не единственно возможное. В моей системе мира смена дня и ночи происходит в результате движения Солнца вокруг центра мира. Солнце в моей системе — не гигантский раскаленный шар, каким мы считаем его по традиции. Я, скорее, уподоблю его. узконаправленному прожектору, лучи ко- торого расходятся веерообразно по искривленным тра- екториям. Лучи, идущие по направлениям, близким к радиальному, падают на земную поверхность почти от- весно — там день в разгаре. А к другим участкам земной поверхности лучи Солнца приходят под углом — там утро или вечер. Легко заметить, что при этом за Солн- цем в направлении центра мира пролегает шлейф мрака и темноты. Когда Луна в своем блуждании по орбите J заходит в эту мрачную зону, на Земле случается лунное затмение (см. рисунок). Когда же она входит в область I света и загораживает собою часть солнечных лучей, идущих к земной поверхности, случается затмение сол- нечное. В центре мира располагается сгусток материи, усеян- ный светлыми точками — звездами. Можно усомниться: как огромный небосвод, усеянный мириадами звезд и { 412
О «Центр мира» ' Вечер
обнимающий Землю со всех сторон, может быть пред- ставлен каким-то малым сгустком со светящимися точ- ками на нем? А между тем здесь все просто (см. рису- нок). Лучи света приходят к наблюдателю от нижней части этого сгустка по круговым траекториям, причем под всеми углами к земной поверхности — от нуля до 90 градусов. Потому-то наблюдателю и кажется, что над ним, подобно куполу, нависает искрящийся звездами небесный свод. ... Земля древних была плоской. Потом ученые загну- ли края диска, превратили его в сферу, предоставив всему живому ее выпуклую поверхность. Я полагаю, что они загнули не туда». Гипотеза полой Земли, с которой мы познакомили читателя, вероятно, встречается ему не впервые. Ее использовал, например, в своем научно-фантастичес- ком романе «Плутония» советский геолог Владимир Об- ручев. Автор цитированного трактата развивает гипоте- зу, пытается увязать ее с повседневными наблюдениями и при этом, как кажется на первый взгляд, приходит к полнейшему абсурду. Но позвольте, а что, собственно, абсурдного в этом трактате? Мысль о том, что свет распространяется не по прямым, а по окружностям? А почему бы и нет? Ведь и современная физика допускает искривления его лучей — например, вблизи массивных тел. Противоречия в странной теории есть, но они лежат не так уж близко к поверхности, как может показаться на первый взгляд. Более того, с чисто геометрической точки зрения оба мира — описанный в трактате и наш реальный мир — по отношению друг к другу являются своеобразными взаимными отражениями. Пользуясь уже привычным для нас термином, можно сказать, что оба мира равны друг другу с точностью до преобразо- вания. Что же это за преобразование? Вообразим полую сферу. Возьмем какую-нибудь точку пространства (допустим, точку А на соседнем 414
рисунке) и проведем через нее луч, исходящий из цент- ра сферы. На луче отметим еще одну точку — выберем ее так, чтобы произве- дение расстояний обеих точек до центра сферы было равно квадрату ее радиуса (точка В на том же рисунке). При этом обе точки будут распо- лагаться по разные сто- роны от сферической поверхности, служа друг для друга своеоб- разным отражением. Любая точка сферичес- кой поверхности при этом сольется со своим отражением. Такая процедура по- зволяет поставить в со- ответствие каждой точке пространства (кроме центра сферы) вполне определенную новую точку. Речь, стало быть, идет о некотором преобразовании. Его называют инверсией. Как зеркальное отражение пространства задается не- которой плоскостью зеркальной симметрии, так, говоря об инверсии, необходимо указать ту сферу, относитель- но которой она производится. Примем за такую сферу поверхность земного шара. В результате инверсии внутрь сферы переместится все внешнее пространство. Прямые при этом примут вид окружностей, упирающих- ся в центр Земли. (Исключение составят лишь прямые, проходящие через центр, — они перейдут в себя.) Если мы считаем лучи света прямолинейными, то, перейдя во внутренний мир, мы должны будем согласиться с авто- ром диковинного трактата: лучи света распространяют- ся здесь по окружностям, проходящим через «центр мира». 415
Вместе с лучами света из необозримого пространства Вселенной в окрестность центра нового мира переходят звезды, планеты... Причем орбиты планет по-прежнему близки к круговым: окружности при инверсии переходят в окружности. (Обобщая, можно сказать, что инверсия переводит прямые и окружности в прямые и окружности По этому поводу еще говорят, что прямая есть частный случай окружности — окружность бесконечно большого радиуса.) Казалось бы, геометрические расхождения между «внутренним» и «внешним» миром должны быть весьма явными от того, что инверсия превращает отрезки пря- мых в дуги окружности. Однако чем короче отрезок, тем, очевидно, менее заметна его искривленность. Поэтому с достаточно малыми фигурами инверсия поступает почти так же, как преобразование подобия, так что искажение форм остается неприметным. В тонком же слое, прилежащем к сфере, относительно которой со- вершается инверсия, это преобразование почти тожде- ственно зеркальному отражению, а уж оно и вовсе сохраняет все размеры фигур. Получается, что для опровержения странной теории недостаточно одной лишь геометрии. Необходимо при- влекать на помощь физику. Тогда несостоятельность учения о полной Земле доказывается просто и легко — например, в его рамках невозможно объяснить тяготе- ние. Но физические рассуждения выходят за рамки нашей математической книги. Да и цель наша в том, чтобы познакомить читателя не со сногсшибательной гипоте- зой, а с преобразованиями инверсии. Любопытно сравнить их с аффинными. Те сохраняют прямые линии, но, вообще говоря, искажают углы. Ин- версия, напротив, сохраняет углы, но, как правило, не оставляет прямые линии прямыми, превращая их в ок- ружности. Казалось бы, противоположность полная. Но можно подметить и сходство между сравниваемыми преобра- зованиями. Мы говорили, что с достаточно малыми фигурами инверсия поступает так же, как подобие, одно из аффинных преобразований. Потому-то и говорят, что преобразование инверсии в малом аффинно. 416
Мы совершали инверсию пространства относительно сферической земной поверхности. Однако то, что изо- бражено на рисунках, можно рассматривать как инвер- сию плоскости относительно окружности, соответствую- щей земной сфере. Такое преобразование принадлежит к классу так называемых конформных преобразований плоскости. Их общая отличительная особенность в том, что они сохраняют углы между линиями. Именно это важное свойство и обусловливает ту популярность, ко- торой конформные преобразования пользуются в гид- роаэромеханике, в теории упругости, в других отраслях физики. К конформным, кстати сказать, относится и преобразование Жуковского, с помощью которого мы так эффектно приравняли друг к другу цилиндр и крыло птицы. < Позвольте пригласить вас, читатель, к чайному столу. Он, правда, не такой уж чайный, скорее демонстраци- онный, и не чайку мы предлагаем вам попить за этим столом, а продолжить наше знакомство с геометричес кими преобразованиями. Вот ложка в стакане. Как вы отнесетесь к нашему утверж- дению, что с точностью до не- которого преобразования ложка и стакан — одно и то же? Вам это кажется неправдопо- добным? А между тем такое преобразование существует. Вот рисунки, на которых пока- заны его последовательные стадии. Приглядитесь: как будто руки гончара формуют податливую массу, превращая одно тело в другое, стакан в ложку (левая колонка рисун- ков). А вот бублик и чашка. Мы утверждаем, что и они родст- Ц-480 417
венники. Роднящее их преобразование показано на ри- сунках правой колонки. Разглядывая эти рисунки, заметьте, каким вниманием в ходе преобразования окружена дужка. Мы заботливо сохраняли ее в моменты самых сильных деформаций. Мы тщательно следили, чтобы это ушко не разорвалось и не заплыло. В этом проявилась определяющая осо- бенность всех тех преобразований, о которых мы сейчас ведем речь. При всей своей смелости они не так уж произвольны. Они не могут перевести .все, что попадет- ся, во все, что пожелается. Будь у нас полная свобода действий, мы гораздо проще превратили бы бублик в чашку. Сначала мы смяли бы его в один ком, затем вылепили бы из него чашку с округлым выступом для дужки и напоследок прокололи бы этот выступ. Но как раз такое и запрещает определяющая особенность тех преобразований, о которых мы говорим. Эта особен- ность заключается в простом требовании: ни одного разрыва и ни одной склейки. Преобразования, удовле- творяющие этому условию, называются топологически- ми. Сформулировав это условие, мы без труда разобьем на семейства, на топологические-типы все предметы на нашем столе. Скажем, стакан отнюдь не родня чашке, поскольку для превращения в чашку его необходимо проколоть. Не родня бублик ложке, поскольку ради пре- вращения в ложку дырка у бублика должна затянуться. Судя по той роли, которую играют дырки в таком разбиении, предметам разных семейств можно было бы присвоить звания двухдырочных (чайник, сахарница), однодырочных (чашка, бублик), нульдырочных (стакан, блюдце). Впрочем, в математике давно уже сложилась система названий для разбиения тел на топологические типы: тела без дырок называют односвязными,.с одной дыркой — двусвязными и т.д. Снова вглядимся в рисунки, на которых совершается преображение стакана в ложку или бублика в чашку. Как резки искажения на каждой стадии этих преображений! 418
Это не аффинные преобразования с их заботой о пря- молинейности отрезков: прямые ребра граненого ста- кана изгибаются, искривляются его плоские грани. Это не инверсия, гарантирующая сохранность углов и ок- ружностей: углы между гранями стакана расправляются, округлая дырка бублика превращается в каплевидный вырез между стенкой чашки и ее ручкой. Это преобразование наиболее общего характера среди всех, с которыми мы знакомились до сих пор. Однако какими бы жестокими ни казались нам эти преобразования, каким бы чудовищным деформациям ни подвергали они преобразуемые тела и фигуры, все- таки и здесь можно обнаружить такие геометрические свойства, которые остаются неизменными. Как ни расплющивай, ни раскатывай ком глины, он не превратится в двумерную плоскость, толщины не имею- щую. Иначе говоря, он сохранит свою размерность. А запрет на разрывы и склейки гарантирует, что преобра- зуемые тела и фигуры сохранят свою связность (одно- связные останутся односвязными, двусвязные — дву- связными...). Итак, размерность и связность — инварианты тополо- гических преобразований. А поскольку эти преобразо- вания — самые произвольные из всех известных нам, следует признать, что размерность и связность — одни из наиболее фундаментальных свойств геометрических объектов. Но вглядимся в преобразуемые тела еще глубже, в самую их толщу. Мы с удивлением увидим тогда нечто, что роднит столь бесцеремонные топологические пре- образования с самыми бережными из известных нам — с аффинными. Представьте себе, что к нашему столу мы взялись испечь булочки с маком. Формуя куски теста, мы под- вергаем их топологическим преобразования. Давайте проследим за теми перемещениями, которые испытывают маковые зерна в процессе всех кулинарных приготовлений. Мы увидим: какие бы эволюции ни пре- терпевала будущая булочка, внутри нее близкие мако- вые зерна остаются близкими. Мы знаем: преобразования, отличающиеся'этим при- знаком, называются непрерывными. Итак, всякое топо- 14» 419
логическое преобразование непрерывно. Более того, топологические преобразования обычно и определяют- ся как взаимно-однозначные и взаимно-непрерывные. Так переводится на математический язык требование: «ни одного разрыва и ни одной склейки». Отметим еще одну важную деталь. Если бы маковые зерна поначалу располагались в тесте прямолинейными Цепочками, образуя маленькие параллелепипеды, то каждый из них остался бы близким к параллелепипеду и в готовой булочке. Прямолинейность цепочек, конеч- но, нарушилась бы, но малые их участки остались бы близкими к отрезкам прямых — тем более близкими, чем они короче. \ Мы видим, что в малых масштабах всякое топологи- ческое преобразование сходно с аффинным, в ходе которого прямые линии остаются прямыми.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ В книге о математике без задач не обойтись. Но если уж они так необходимы, лучше все-таки подыскивать их не в скучных задачниках, а в книгах позанимательнее. Ярослав Гашек «Похождения бравого солдата Швей- ка». Швейк — перед комиссией судебных врачей. «Радий тяжелее олова? Могли бы вы вычислить диаметр земно- го шара? Не знаете ли вы, какова наибольшая глубина в Тихом океане?» — с такими вопросами наступают они на свою жертву, надеясь по ответам испытуемого заклю- чить, все ли ладно у него с головой. И бравый солдат решается на контратаку: «Однако мне тоже хочется, господа, задать вам одну загадку. Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у щвейцара его бабушка?» Швейк верен своему неистребимому чувству юмора, и его загадка вызывает у нас невольную улыбку. Кстати, почему? Пока вы размышляете над ответом, мы рискнем предложить вам еще одну головоломку: Если в огороде бузина, то в Киеве дядька. В огороде бузина или лошади кушают овес. Если лошади кушают овес, то Волга впадает в Каспийское море. Волга не впадает в Каспийское море. Так проживает ли в Киеве дядька? Мы так и видим, читатель, как вы перечитываете это условие еще раз и в недоумении морщите лоб. Несуразиц тут еще больше, чем в загадке Швейка. «В огороде бузина, а в Киеве дядька» — куда уж дальше? «Волга не впадает в Каспийское море» — как это пони- мать? И тем не менее головоломка вызывает в памяти то, в чем мы привыкли видеть воплощенные каноны логики 421
Согласитесь, разве не похожа она на логические по- строения математиков? Вот, пожалуйста, отрывок из учебника геометрии: Одна из сторон треугольника АВС равна диаметру описанной окружности тогда и только тогда, когда тре- угольник прямоугольный. Если все стороны треугольни- ка АВС не равны диаметру описанной окружности, то треугольник остроугольный или тупоугольный. Если тре- угольник АВС тупоугольный или прямоугольный, то его ортоцентр не лежит внутри него. Ортоцентр треугольни- ка АВС лежит внутри него.., А разве не так же выглядят другие общепризнанные образцы логического метода, например, те, которыми запоминаются лучшие произведения детективного жанра? В рассказе Герберта Честертона «Странные шаги» неизменный герой этого писателя патер Браун раскры- вает тайну похищения серебряных ножей и вилок, обра- тив внимание на загадочные шаги в коридоре отеля — то быстрые и мелкие, то медленные и мерные. Кем бы мог быть, задумался патер Браун, обладатель такой необычной походки? Вот он идет неторопливо и вразвалку. Если это хозяин отеля, то тот ходит вразвалку и торопливо или не тро- гается с места. Если это лакей или посыльный, то те ходят вразвалку, когда бывают навеселе, или стоят на -одном месте, особенно если окружающая обстановка столь велико- лепна... Что же общего между доказательством геометричес- кой теоремы, разбором обстоятельств преступления и условием головоломки о бузине и овсе? Уж конечно не содержание, а форма. Сложные фразы каждого из трех наших показательных отрывков содержат повторяющиеся части, соединенные связками и, или, если... то, тогда и только тогда, а иногда видоизмененные частицей не. Повторения со- ставных частей побуждают нас сопоставлять такие сложные фразы, а характер связок, при помощи которых они образованы, позволяет выводить из уже имеющихся предложений новые, в чем, очевидно, и состоит всякое рассуждение. 422
Так первые две фразы размышлений патера Брауна, пересказанных нами, подсказывают, что обладатель за- гадочной походки — не хозяин отеля. Так последние две фразы математического отрывка приводят к заключению, что треугольник АВС — не тупо- угольный и не прямоугольный. За верность этого вывода можно поручиться, не строя никаких чертежей и даже не зная, что такое ортоцентр. Для этого достаточно знать смысл связующих слов не, и, или, если... то. Наша бессмысленная головоломка с бузиной в огоро- де и не менее бессмысленный для непосвященных ма- тематический пример и многие другие примеры, подоб- ные приведенным, говорят о том, что эти связки обра- зуют как бы каркас рассуждения, определяют его струк- туру. Обнаружив эту структуру, мы склонны исследовать ее саму по себе, не вдаваясь в содержание предложе- ний, нанизанных на этот каркас. Наука, позволяющая анализировать рассуждения, от; влекаясь от их содержания, обращая внимание лишь на форму, выделяя их структуру,, называется формальной логикой. Быть может, кому-то из наших читателей в словах «формальная логика» чудится пренебрежительное зву- чание. Формальное мышление в представлении мно- гих — это нечто безжизненное, сухое, скучное. Напро- тив, содержательное мышление — это нечто живое, яркое, увлекательное. Такое представление было бы верным лишь при одном условии: если воображать обе стороны челове- ческого мышления — содержательную и формальную — разъединенными и противопоставленными друг другу. Но ведь такое разделение противоестественно и нера- зумно. Не лучше ли мыслить их едиными, как есть от приро- ды? В плодотворном сотрудничестве каждая из обеих сторон человеческого рассудка обнаруживает свои до- стоинства. 423
Содержательное мышление — залог творчества. Фор- мальная же логика указывает творческой мысли прямые пути к цели. Она помогает строить правильные рассуж- дения и позволяет проверять правильность уже постро- енных. Современная формальная логика умеет проводить такую проверку с поистине математической строгостью. Содержательные части фраз, из которых состоит испы- туемое рассуждение, заменяются буквами (как в алгеб- ре, оперирующей буквами вместо цифр), а логические связки, участвующие в построении фраз, обозначаются специальными символами. Так последовательность предложений (и тех, что передают исходную информа- цию, и тех, что получены в процессе рассуждения) превращается в цепочку формул. Затем относительно каждой из формул, обозначающих фразы, возникшие в ходе рассуждения, решается, является ли она логичес- ким следствием каких-либо предыдущих формул анали- зируемой цепочки. Проверка проводится на основе так называемых правил вывода, также выражаемых при по- мощи формул. Расплывчатость и многозначность, свойственные фразам живого языка., устраняются при их переводе на язык символов. Опасаться приходится лишь того, что перевод не сохранит каких-то смысловых нюансов от- дельных фраз или что перечень правил вывода не отра- жает всех логических средств, используемых в людских рассуждениях. Что же касается проверки логического следования, то она заключается в простом сравнении предложений анализируемого текста, переведенных на формульный язык, с правилами вывода и потому ее можно выполнить совершенно механически. Использующая язык символов и математические ме- тоды, современная формальная логика потому и назы- вается символической, или математической, а отдель- ные ее разделы — исчислениями (исчисление высказы- ваний, исчисление предикатов). 424
«Когда поймают рыбу, про сеть забывают. Когда пой- мают птицу, про силок забывают. Когда поймают зверя, про капкан забывают. Когда поймают мысль, про слова забывают. Вот бы Mrje найти человека, который забь)л слова! Я бы с ним побеседовал». Так написано в древнекитайском трактате «Чжуан- цзы». Приведенный из него отрывок, вероятно, придется по душе всякому, кто понимает, что правильность логичес- кого рассуждения обеспечивается в первую очередь его структурой, а не содержанием составляющих его фраз. Однако здесь следует сразу отметить, что в логичес- ком рассуждении допустима отнюдь не всякая фраза. Присмотримся к предложениям тех отрывков, с кото- рых мы начали знакомство с формальной логикой. Лошади кушают овес. Волга не впадает в Каспийское море. Треугольник АВС остроугольный.1 Хозяин отеля ходит вразвалку. А теперь для сравнения — Гоголь «Майская ночь»: «Знаете ли вы украинскую ночь? О, вы не знаете украинской ночи! Всмотритесь в нее. С середины неба глядит месяц. Необъятный небесный свод раздался, раздвинулся еще необъятнее. Горит и дышит он. Земля вся в серебряном свете; и чудный воздух и прохладно- душен, и полон неги, и движет океан благоуханий. Бо- жественная ночь! Очаровательная ночь!» Великолепно, вдохновенно, поэтично сказано. И тем не менее многие фразы этого отрывка в логическом рассуждении казались бы чужеродными. Сравнение подсказывает ясно: фразы вопроситель- ные и восклицательные, повелительное и сослагатель- ное наклонение неупотребительны в логических рассуж- дениях. В них уместны лишь повествовательные пред- ложения. Но это еще не все. Существеннейшую для дела осо- бенность мы поймем, если возьмем одну лишь фразу: «Дядька проживает в Киеве», и вдумаемся в нее с точки зрения нашей головоломки про бузину и овес. Ответ на 425
головоломку, в сущности, заключается в том, чтобы решить, истинна эта фраза или ложна. Но ведь истинность вывода обеспечивается истиннос- тью предложений, приводимых в его обоснование. Стало быть, проверке на истинность или ложность долж- на поддаваться каждая фраза, которая участвует в ло- гическом рассуждении. В логике всякое повествовательное предложение, ко- торое может быть определено либо как истинное, либо как ложное (но не как то и другое одновременно!), называется высказыванием Лошади кушают овес — высказывание, и притом ис- тинное. Дважды два четыре — тоже высказывание и тоже истинное. Дважды два пять — высказывание, но ложное. Чудный воздух прохладнодушен — не высказы- вание, поскольку слово «прохладнодушен» строгого смысла не имеет, так что относительно этой фразы Гоголя невозможно, решить, истинна она или ложна. Средняя плотность вещества во Вселенной меньше 10~29 г/см3 — тоже высказывание. Правда, относительно него никто еще точно не знает, истинно оно или ложно. А между тем от этого зависит ни больше ни меньше, как дальнейшая судьба Вселенной: истинность последнего высказывания означает то, что она будет всегда расши- ряться, ложность обещает то, что в один прекрасный момент она начнет сжиматься. Можно исследовать обе возможности, сначала посчитав вышеприведенное вы- сказывание о средней плотности вещества во Вселен- ной истинным, а потом — ложным. Истинность или ложность, приписываемая высказы- ванию, называется его значением истинности. Значение истинности того или иного высказывания обозначают прописными буквами: И (истина), если вы- сказывание истинно, и Л (ложь), если оно ложно. Теперь мы можем уточнить, в каком смысле и каким образом формальная логика отвлекается от содержания высказываний, составляющих логическое рассуждение. Тема каждого высказывания для нее действительно без- различна. Однако она строго учитывает, какое значение истинности приписывается каждому высказыванию, и на основе этого проводит анализ всего рассуждения. 426
Когда мы знакомились с понятием высказывания, при- мерами нам служили короткие простые фразы: «Лошади кушают овес», «Хозяин отеля ходит вразвалку» и т.д. Мы понимали, что это лишь фрагменты тех сложных пред- ложений, которые фигурировали в самом начале нашего разговора о логике: «В огороде бузина или лошади кушают овес», «Хозяин отеля ходит вразвалку и тороп- ливо или не трогается с места». Мы уже знали к тому времени, какое,важное значение для логического анализа таких фраз и состоящих из них текстов имеют слова и словосочетания не, и, или, если... то, тогда и только тогда. Недаром им присвоено особое название: пропозициональные связки. Исходя из обычного разговорного смысла этих свя- зок, математическая логика выработала понятие так называемых логических операций. С их помощью из одних высказываний образуются другие, более слож- ные. И наоборот: сложные высказывания, содержащие пропозициональные связки, можно разлагать на эле- ментарные (то есть не содержащие связок или рассмат- риваемые как неразложимые). Поскольку, соединяя элементарные высказывания, логические операции порождают опять-таки высказыва- ния, относительно полученных таким образом предло- жений приходится выяснять, истинны они или ложны. Задача, казалось бы, не из простых. Однако формаль- ная логика решает ее без труда. - Для этого, во-первых, всякий раз нужно знать значе- ния истинности тех простых высказываний, из которых состоит сложное, подвергаемое анализу на истинность. Во-вторых, нужно знать точные определения логических операций, выражаемых пропозициональными связками. В одном переулке Стояли дома. В одном из домов 427
Жил упрямый Фома. Ни дома, ни в школе, Нигде никому — Не верил Упрямый Фома Ничему Так начинается поучительное стихотворение Сергея Михалкова «Фома». Фома был, что называется, масте- ром критического анализа и все подвергал сомнению. «На улице дождь», — говорили ему. Но Фома на это резонное высказывание по своему обыкновению отве- чал: «Неправда, на улице нет дождя». «Смотрите, — говорили ему в зоопарке, — это слон». Но Фома и тут был верен себе, он тотчас же формулировал отрица- тельное высказывание: «Это не слон». С to4j<h зрения логики Фома к любому высказыванию своих собеседников применял логическую операцию- отрицания и делал это просто: пользуясь частицей «не» или любым равнозначным ей выражением типа «невер- но, что...» Если ему говорили правду, то Фома таким путем превращал истинное высказывание в ложное. И наобо- рот; каждое ложное высказывание после такой добавки становилось истинным. Результат описанной лингвистичес- кой обработки называется отрицани- ем исходного высказывания. Если же говорить более строго, то отрицанием какого-либо высказывания называет- ся такое утверждение, которое ложно, когда исходное высказывание истин- но, и которое истинно, когда исходное высказывание ложно. Сказанным мы уже определили логическую операцию отрицания. В логике, однако, для определения логичес- ких операций принят не только словесный, но и таблич- ный способ. Для каждой операции строится так назы- ваемая таблица истинности, равносильная ее определе- нию. Выше приведена такая таблица для операции «не». В левой колонке таблицы перечислены возможные значения истинности исходного высказывания. Возмож- 428
ностей — всего две: каждое высказывание может быть либо истинным либо ложным. В правой колонке, как бы заполненной рукой Фомы, показано, какое значение истинности примет в зависи- мости от исходного высказывания его отрицание. «Завтра по области пройдут дожди и температура понизится до 10 градусов...» Эту сводку погоды услышали сотни, тысячи, если не миллионы людей. И они строят свои планы в зависимос- ти от этих двух высказываний, соединенных союзом и. Но сбудется ли предсказание? Истинно оно или ложно? Мы назовем эту сводку верной, если истинными ока- жутся обе ее половины: то есть и дождь пройдет и температура понизится до указанной отметки. Во всех остальных случаях мы посчитаем прогноз неверным. Таких случаев всего три. Первый: дождь прошел, но температура до 10 градусов не опустилась. Второй: дождь не прошел, хотя температура понизилась, как было предсказано. Третий: не было ни дождя, ни пред- сказанного понижения температуры. Иными словами, мы сочтем ложным весь вышеприведенный прогноз в целом, если ложно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Логическая операция «и», с которой нас познако- мил этот метеорологичес- кий пример, носит назва- ние конъюнкции. С ее по- мощью из двух высказыва- ний получают третье, кото- рое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания. Таково определение конъюнкции. Новое высказывание, полученное применением этой операции из исходных, называется их конъюнкцией. 429
Вслед за словесным определением вновь дадим таб- личное? В таблице истинности для конъюнкции двух высказываний — три столбца. В первых двух проставле- ны значения истинности исходных высказываний, в тре- тьем — значение их конъюнкции. Разбор метеосводки показал, что среди комбинаций исходных высказываний возможны три таких, при которых их конъюнкция ложна, и лишь одна комбинация такова, что их конъюнкция истинна. Итого, четыре возможности. Столько же и строк в таблице. Логическая операция конъюнкции позволяет связы- вать не только два, но и любое конечное число выска- зываний. Их конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинно каждое из них. Ложна же она тогда, когда ложно хотя бы одно из них. Непонятно, хоть убей, Снег ли это или сокол Гонит беЛых голубей Мимо звезд... Поэтический образ — не научное предсказание. 7 В подлинно научном утверждении каждое положение должно быть одназначным и верным. А подлинная поэ- зия всегда допускает многозначность прочтения, увле- кая читателя возможностью сотворчества. Казалось бы, эта возможность делает равновероят- ным как верное, так и превратное прочтение поэтичес- ких высказываний. Ведь каждое утверждение может быть либо истинным, либо ложным. Однако, как мы уже говорили, это относится лишь к элементарным высказываниям. Сложное высказывание можно построить так, что оно окажется верным даже тогда, когда одна из его элементарных компонент ложна. Приглядимся внимательнее к поэтической картине, нарисованной в процитированном отрывке из стихотво- рения Георгия Леон'идзе «Песня первого снега». Снего- пад и полет голубиной стаи настолько (хоть убей!) не- 430
различимы для поэта, что для создания описанного им впечатления достаточно чего-то одного — снега или голубей. То и другое вместе, разумеется, произведут тот же эффект. Впечатления не будет лишь тогда, когда нет ни того, ни другого. Нашим рассуждениям нетрудно придать логическую отчетливость. С этой целью перепишем строчки стихо- творения в нарочито строгой форме. «Идет снег или сокол гонит белых голубей». Перед нами — два элементарных высказывания, со- единенных союзом «или». Если истинно и первое (идет снег) и второе (сокол гонит белых голубей), то истинным будет и все сложенное из них высказывание в целом. Но пусть истинно хотя бы первое из них. Если даже второе и ложно, все сложное высказывание в целом все равно окажется истинным. Таким же будет оно и тогда, когда истинно вторре высказывание, а первое ложно. И только в том случае, когда ложны оба, ложным будет и высказывание, образованное из них посредством союза «или». Логическая операция «или», с которой мы только что познакомились, назы- вается дизъюнкцией. С ее помощью из двух высказы- ваний образуется третье, которое истинно, когда ис- тинно хотя бы одно из двух исходных высказываний, и ЙЙ ИЛИ ЙЙ и и и и л и л и и л л л оба. Таково определение которое ложно, когда ложны дизъюнкции Таблица истинности для дизъюнкции двух высказываний содержит три столбца и четыре строчки, как и таблица, приведенная в предыдущем разделе. Только на сей раз, в соответствии с определением дизъюнкции, в третьем столбце таблицы преобладают буквы И — символы истины. Логическая операция дизъюнкции позволяет связы- вать не только два, но и любое конечное число выска- зываний. Их дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из них. Ложна же она тогда, когда ложны они все. 431
Одна из глав «Всеобщей истории, обработанной «Са- тириконом», посвящена древней стране Спарте (или Лаконии) — царившим в ней порядкам, обычаям ее жи- телей и, конечно, их своеобразной манере выражаться: «Они с детства приучались говорить лаконически, то есть коротко и сильно... Так, одна спартанка, отдавая щит сыну, сказала лаконически: «С ним или на нем». А другая, отдавая кухарке петуха для жаренья, сказала лаконически: «Пережаришь — вздую». Этот отрывок привлек наше внимание потому, что содержит два сложных высказывания, структуры кото- рых стоит проанализировать. О первом из них («со щитом или на щите») мы пого- ворим после. Пока займемся вторым. «Пережаришь — вздую». Фраза звучит чересчур лако- нически даже для такой немногословной науки, как ма- тематика. Для понятности придадим ей более разверну- тый вид: «Если петух будет пережарен, то кухарка будет наказана». Сложное высказывание такой структуры называют импликацией тех двух элементарных высказываний, из которых оно образовано. Из них первое, снабжаемое словом «если», называется посылкой, или основанием, второе, начинающееся со слова «то», — следствием, или заключением. Строго определить соот- ветствующую логическую операцию, также называе- мую импликацией, нам вновь поможет таблица ис- тинности. Чтобы построить ее, нужно проанализировать все возможные исходы ис- тории с петухом и кухаркой. Петух пережарен, кухарка наказана. То есть и посылка и следствие истинны. Тогда в соответствии с обещани- ем хозяйки (а суровые лаконские женщины умели дер- жать слово!) истинно все сложное высказывание 432
Петух пережарен, но кухарка избежала наказание. То есть посылка истинна, а следствие »— нет. При тех по- рядках, которые царили на лаконских кухнях, такое аб- солютно исключено, это явная ложь. Петух не пережарен, кухарка не наказана. Истина. Петух не пережарен, но кухарка наказана. Тоже исти- на; чего не бывает под горячую руку в доме, где верхо- водит суровая лаконская женщина! Не спешите упрекать ее в несправедливости и нело- гичности. В математической логике дело обстоит точно так же. Вот убедительный тому пример. «Если из двух слага- емых каждое делится на три, то и сумма делится на три». Все высказывание в целом не оставляет сомнений в своей истинности. А теперь посмотрим, какие значения истинности могут принимать основание и следствие. Возможно, что оба они истинны. Слагаемые 6 и 9 делятся на три, и такова же их сумма — 15. Возможно, что оба ложны. Слагаемые 2 и 5 не делятся на три, и то же самое можно сказать про их сумму — 7. Возможно, что основание ложно, а заключение истин- но. Слагаемые 4 и 8 не делятся на трр, а их сумма — 12 — делится. Но нам не удастся найти пример, когда оба слагаемых делятся на три, а их сумма — нет. В ходе этих рассуждений мы словно заново заполнили таблицу истинности для операции «если...то». И таблица продиктовала, нам прежнее определение этой логичес- кой операции: импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда основание истинно, а след- ствие ложно. , Попробуем взглянуть на дело, так сказать, с обратной стороны. Попытаемся разобраться, что обычно мы имеем в виду, говоря, что из некоторого высказывания А не следует другое высказывание В? Подыщем мате- матический пример и к этому случаю. Древние вавилоняне полагали, что площадь всякого четырехугольника равна произведению полусумм про- тивоположных сторон. Отсюда нетрудно вывести такое утверждение: если периметры двух четырехугольников равны, то равны и их площади. 433
Верна ли эта импликация? Похоже, что нет. Вот, ска- жем, две фигуры: с одной стороны — квадрат, с дру- гой — ромб с теми же сторонами, с углами между ними 30 и 150 градусов. Периметры этих четырехугольников равны (основание высказанного утверждения истинно), а площади разнятся в два раза (следствие ложно). Стало быть, анализируемая нами импликация ложна. Итак, что же получается? Отрицать импликацию двух высказываний А и В (неверно, что из А следует В) —То же самое, что утверждать: А и не В. Эта конструкция из двух высказываний построена с помощью хорошо знакомых нам логических операций — конъюнкции и отрицания, и потому нетрудно установить, какие значения истинности принимает это сложное вы- сказывание в зависимости от того, истины или ложны его элементарные компоненты. Построим соответст- вующую таблицу истинности, и это будет, согласно сказанному выше, таблица для отрицания импликации. Переменив вычисленные значения истинности на обрат- ные, дополним таблицу новым столбцом... гляди- те — у нас получилось зна- комое определение импли- кации! Все тут, как прежде: импликация двух высказы- ваний ложна в том и только в том случае, если посылка истинна, а заключение ложно. Мы не случайно уделяем так много внимания импли- кации. На свойствах этой логической операции основаны все умозаключения, по- зволяющие выводить одни утверждения из других и составляющие существо всякого логического рассужде- ния. * «Если дважды два пять, то существуют ведьмы», — говорил немецкий математик Феликс Хаусдорф. 434
При всей своей бессмысленности, этот афоризм весьма поучителен. Приглядимся к нему. Это имплика- ция. Ее основание ложно. А теперь обратимся к таблице истинности для этой логической операции. При ложном основании импликация всегда истинна, каким бы ни было заключение — истинным или ложным. Недаром говорят, что из ложных посылок можно вывести все, что угодно. Слегка переиначим афоризм Хаусдорфа: «Если суще- ствуют ведьмы, то дважды два четыре». Опять имплика- ция, притом ее заключение истинно. Снова обратимся к таблице истинности для операции «если... то». При ис- тинном заключении импликация всегда истинна, каким бы ни было основание — истинным или ложным. Неда- ром говорят, что к истинным выводам можно прийти из каких угодно посылок. Выражения «все, что угодно», «какие угодно», конечно, преувеличение, если смотреть на дело с точки зрения здравого смысла. В импликациях, употребляемых в ос- мысленных рассуждениях, основание и следствие всег- да связаны по содержанию или предмету. Это же можно сказать и про любое сложное высказывание, если по- дыскивать их реальные примеры. Однако с точки зрения формальной логики никакого преувеличения мы не допустили. Ведь математическая логика анализирует рассуждения, отвлекаясь от их со- держания. Поэтому требовать от нее, чтобы она как-то отсеивала вздорные высказывания, подобные выше- приведенным, было бы чрезмерным. Да и как в конце концов формализовать это понятие — вздор? Остается лишь надеяться, что в разумных рассужде- ниях бессмысленные сочетания элементарных высказы- ваний не встретятся. Некоторые логические операции в разговорном языке (да и в математической терминологии) выражаются раз- личными оборотами, и это может затруднять анализ сложных высказываний 435
Скажем, в математических рассуждениях часто упот- ребляются слова «необходимо», «достаточно». Что стоит за ними? Оказывается, не что иное, как логическая операция «если... то», импликация. Что значит, например: «Для того, чтобы фигура была квадратом, необходимо, чтобы она была ромбом»? Это значит: если данная фигура — квадрат, то она — ромб. Или — что значат: «Достаточным условием нечетности числа, не равного двум, является то, что число — про- стое»? Это значит: если число, не равное двум, простое,- то оно нечетное. Из всех логических операций импликация, быть может, наиболее богата способами для своего выраже- ния: «если А, то В», «из А следует В», «А влечет В», «А имплицирует В», «В при условии, что А», «А достаточное условие для В», «В необходимое следствие из А», «В необходимое условие для А», «В тогда, когда А», «А только тогда, когда В» и т.п. В житейском языке слово «если» часто заменяется словом «когда» (хотя давно известна латинская поговор- ка: «После — не значит вследствие»). Иногда союз «если» и вовсе опускается (как во фразе: «Пережа- ришь — вздую»), И, как правило, логика в живой речи густо окутана эмоциями. Вот почему, сопровождая свой рассказ о логике при- мерами из литературы, мы часто пересказываем их, чтобы вскрыть их логическое строение — то разворачи- вая короткую фразу, то упрощая замысловатую, жертвуя языковыми красотами оригинала ради ясности смысла. Математические высказывания такой обработки, ра- зумеется, не требуют, поскольку их смысл точен и не- двусмыслен. Мы так обстоятельно говорили о логической операции «если... то», что читатель сможет, вероятно, и без нашей помощи уяснить смысл сходной с ней по названию логической операции «тогда и только тогда, когда» (ва- 436
рианты: «необходимо и достаточно», «если и только если»). Сложное высказывание, образованное из двух исход- ных с помощью этой операции, называется их эквива- ленцией; так же называется и сама эта операция. Определить ее нам поможет пример. Говорят, что число делится на три тогда и только тогда, когда на три делится сумма его цифр. Это, оче- видно, означает следующее: если число делится на три, то и сумма его цифр делится на три и если на три делится сумма цифр числа, то и само число делится на три. Так можно развернуть эквиваленцию двух каких угод- но высказываний. Надо сначала образовать из них имп- ликацию, приняв первое высказывание за посылку, а второе за следствие. Потом надо образовать еще одну импликацию, приняв на. сей раз за посылку второе высказывание, а за следствие — первое. Наконец, обе полученные импликации надо соединить операцией конъюнкции. После такой расшифровки нам уже будет нетрудно определить логическую операцию эквиваленции. По опыту предыдущих разделов мы знаем, что для этого нужно установить, какое значение истинности принима- ет эквиваленция двух высказываний в зависимости от того, каковы они сами — истинны или ложны. И еще мы знаем, что таблица истинности для логической опера- ции равносильна ее определению. © 3+2 н] 3 J если то если рр) то и только тогда L когда 3 . и и л л И л и л И л и и Л и л и И л л и Начертим два первых столбца таблицы и проставим в них значения истинности двух высказываний, образую- 437
щих эквиваленцию, во всех четырех сочетаниях, кото- рые возможны. В третьем столбце укажем, какое значе- ние истинности примет при этом импликация первого и второго высказываний. В четвертом сделаем то же самое для импликации второго и первого. А пятый заполним, беря исходные данные из третьего и четвер- того столбцов и ставя им в соответствие такое значение истинности, которое предписывается операцией конъ- юнкции. В согласии с приведенным выше развернутым пони- манием эквиваленции пятый столбец таблицы и опре- делит собой эту логическую операцию. Посмотрите его. Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба они истинны или оба’ложны, то есть значения истинности того и другого совпадают В поисках иллюстраций для положений математичес- кой логики мы перелистали с вами, читатель, страницы Гашека и Честертона, «Сатирикона» и Леонидзе. Цита- тами из них мы поясняли логические операции отрица- ния, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивален- ции. Подбор первоисточников для этой цели в значитель- ной мере обусловлен симпатиями авторов. Вы можете взять любую другую книгу, извлечь из нее любое слож- ное высказывание и проанализировать, какие значения истинности принимает оно в зависимости от того, како- вы входящие в него элементарные высказывания — ис- тинны или ложны. Мы уверены: чтобы описать резуль- таты такого анализа, вам вполне хватит все той же пятерки — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импли- кация, эквиваленция. Кстати, можно и не лазить на полку за новыми книга- ми. Помните лаконскую женщину, которая провожала сына на войну со словами: «Со щитом или на щите»? На первый взгляд ее напутствие, представляет собой обыкновенную дизъюнкцию. Однако, если разобраться, 438
союз «или» понимается тут несколько не так, как мы воспринимали его, разбирая строки Леонидзе «Идет снег или сокол гонит белых голубей». Мы до- пускаем, что сокол вылетел поохотиться на голубей во время снегопада, иными словами, что в этом сложном высказывании истинными могут быть оба элементар- ных. Иначе употребляла эту связку лаконская-женщина, изрекая свой знаменитый афоризм. Ее сложное выска- зывание истинно лишь в двух случаях- тогда, когда истинно первое из входящих в него эле- ментарных высказываний («со щитом»У и ложно второе («на щите»), или тогда, когда ложно первое высказывание и истинно второе. В подобных случаях говорят, что союз «или» имеет разделительный смысл и выражает так называемую строгую дизъюнкцию. В разговоре, когда хотят подчеркнуть, что речь идет именно о ней, союз «или» повторяют, иногда заменяя его союзом «либо»; «Или пан, или пропал»; «или то, или другое», «либо р стремя ногой, либо в пень головой» и т п. Чтобы выяснить точный смысл новой для нас логи- ческой. операции, следует дать ей строгое определе- ние. Тот, кто разобрался с афоризмом лаконской ма- тери, сделает это без труда: строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда значения истинности того и другого не совпадают. Сравните это определение с определением эквива- ленции и вы согласитесь: строгая дизъюнкция двух вы- сказываний равносильна отрицанию их эквиваленции. Как видите, этот наугад взятый пример подтверждает наше предсказание- для описания любой применяемой нами в рассуждениях логической операции достаточно 439
пяти основных (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция). До сих пор мы занимались самыми простыми из сложных высказываний, в состав каждого из которых входило лишь два элементарных. Попробуем теперь подняться на следующую ступеньку сложности. Попытаемся проанализировать какое-либо высказывание, состоящее из трех простых компонент. Помните Безенчука, гробовщика-философа из рома- на Ильфа и Петрова «Двенадцать стульев»? Классифи- цируя своих клиентов, он, в частности, говорил: «Но самые могучие когда помирают, железнодорожные кон- дукторы или из начальства кто, то считается, что дуба дают. Так про них и говорят: «А наш-то, слышали, дуба дал». Чтобы логическая структура этого суждения стала яснее, перепишем его попроще и почетче: Если умер железнодорожный кондуктор или умер на- > чальник, то люди говорят: дуба дал. Теперь ясно видно, что это сложное высказывание образовано из трех элементарных: «умер железнодо- рожный кондуктор»; «умер начальник»; «люди говорят: дуба дал». Логическая структура сложного высказывания — это совокупность и порядок логических операций, при по- мощи которых оно образовано из элементарных. Про структуру высказывания Безенчука можно ска- зать, что это — импликация. Следствием в ней служит последнее из трех перечисленных элементарных выска- зываний, место посылки занимает дизъюнкция первых двух. Длинноватое описание, не правда ли? А ведь в даль- нейшем нас ждут высказывания еще более сложные. Чем они сложнее, тем труднее описывать словами их структуру. Потому и возникли логические формулы. И когда сложные высказывания переводятся на формульный язык, их элементарные составляющие заменяются про- 440
писными латинскими буквами. А вместо пропозицио- нальных связок ставятся символы соответствующих ло- гических операций: 1 для операции «не», л для операции «и», v для операции «или», -»для операции «если... то», <-> для операции «тогда и только тогда». Надо сказать, что существуют и другие обозначения для логических операций. Отрицание порой обознача- ется волнистой чертой перед отрицаемым выражением, импликация — символом z>. Мы предпочли наиболее наглядные, как нам кажется, обозначения. Ради примера переведем на формульный язык упро- щенный вариант рассуждения Безенчука. Три входящих в него элементарных высказывания закодируем буквами А, В, С соответственно. Используя символ дизъюнк- ции V, свяжем им первые две буквы: A v В; затем, оградив для ясности эту комбинацию скобками, образу- ем из нее и третьей буквы импликацию: (Av В)-» С. «Ага! — готов схватить нас за руку ехидный чита- тель. — Опять формулы! Не удается обойтись без них авторам, как бы они ни старались!» В ответ на справедливое замечание мы открыто заяв- ляем, что намерены и далее изредка употреблять эле- ментарные логические формулы и что на это есть свои причины. Что побуждало нас ранее говорить «бесформульным» слогом? Желание сделать доступными для непосвящен- ных те премудрости, которые в учебниках по математике излагаются строчками выкладок, а поясняются сухим жаргоном с его бесконечными «если... то... тогда и только тогда... для любого... существует...» Но ведь сейчас речь идет именно об этих самых «если... то... тогда и только тогда...» Как говорить обо всем этом? На манер популярных книг по логике с их кропотливым разбором всяческих парадоксов, апорий, головоломок и дедуктивных построений в духе Шерлока Холмса? Нам кажется, что они лишь затуманивают суть 441
дела. Гораздо яснее она становится, если в нужный момент привести простую логическую формулу. Несогласные с таким мнением могут на этом месте прервать чтение книги и перейти к ее заключительной главе. Если вы читаете эти строки, читатель, значит, вы соглашаетесь с только что изложенной позицией авто- ров, и логические формулы вас не страшат. 3 таком случае позвольте вам их и предложить. А-> В Av С С -> D 1D 1С А В Сам вид этого отрывка говорит, что он позаимствован из книги по математической логике. Мы привели его, вспомнив хороший прием опытных преподавателей иностранных языков. Наставляя своих учеников в искусстве перевода, они просят переводить тексты дважды: сначала с чужого языка на родной, а потом — обратно. Сопоставляя результат с оригиналом и видя расхождения, лучше понимаешь свои промахи. Некоторый опыт перевода с житейского языка на формально-логический, родной язык математики, мы уже приобрели в предыдущих разделах. Займемся те- перь обратной процедурой. Попробуем перевести с языка символов на русский язык хотя бы первую строчку текста, с которого начина- ется этот раздел. Прописные латинские буквы — это, очевидно, высказывания. Стрелка — знакомый нам сим- вол импликации. Мы уверены, что после этого напоминания читателю уже слышится голос строгой лаконской домохозяйки: «Пережаришь — вздую». Но не будет никакой ошибки, 442
если перевод получится, например, таким: «Если тре- угольник остроугольный, то его ортоцентр лежит внутри него». Или даже таким: «Если лошади кушают овес, то Волга впадает в Каспийское море». ~ Не будет ничего страшного, если разночтения вкра- дутся и в перевод второй строчки с символического языка на русский. У одних, возможно, получится: «Идет снег или сокол гонит белых голубей». У других: «Тре- угольник АВС — остроугольный или тупоугольный». У третьих: «В огороде бузина или лошади кушают овес». Пусть, читатель, вас не озадачивает такая многознач- ность. Это вовсе не порок, а великое достоинство. Записав в таком кратком и четком виде структуру како- го-то одного логического рассуждения, мы тем самым получаем возможность анализировать не только его, но и все другие рассуждения той же структуры. Это как в алгебре Когда мы пишем а + b - b + а (переместительный закон сложения), то за этим мы видим не какое-то одно числовое равенство (скажем, 14-2 = 24-1), а всевозможные равенства такого же типа (например, 5 + 7 = 7 + 5). Изучив по алгебраичес- кой формуле эту закономерность сложения чисел, мы можем складывать, не заботясь о порядке слагаемых, любые реальные объекты — станки, пуговицы, столы, карандаши.. Продолжим аналогию. В алгебре буквы, входящие в формулы, называются переменными Буквы, входящие в формулы исчисления высказываний, называются вы- сказывательными переменными. До сих пор, когда в наших рассуждениях появлялись логические формулы, нам было удобно понимать под такими буквами конкретные высказывания. Под буквами алгебраических формул тоже можно подразумевать кон- кретные предметы. Но так никто не делает. Изучая и обсуждая формулы алгебры, мы вместо букв подставля- ем числа. Так намного проще и удобнее. Значит, аналогия хромает? Нет, просто нам еще не хватает опыта. Мы еще не успели убедиться, что при изучении и обсуждении формул исчисления высказыва- ний проще и удобнее подставлять в них вместо букв не высказывания, а значения истинности, И и Л. 443
Действительно, анализируя логические формулы, ма- тематик не представляет за ними ни Безенчука с его глубокомыслием, ни лаконскую домохозяйку с ее само- дурством. Исследуя логическую структуру высказыва- ния, отвлекаются от его конкретного содержания и ин- тересуются лишь тем, какое значение истинности при- обретает оно, когда вместо букв в его формулу будут подставлены те или иные значения истинности — И или Л. Кстати, в некоторых формулах исчисления высказы- ваний встречаются и сами эти буквы, И и Л. Поскольку их толкование однозначно, их называют высказыватель- ными постоянными. В разговорном языке связки, выражающие логичес- кую структуру того или иного предложения, тонут меж его слов. В формульной записи символы логических операций столь же заметны, как буквы, символизирующие эле- ментарные высказывания. Логическая структура слож- ного высказывания при этом видна отчетливо, а возмож- ные двусмысленности устраняются применением ско- бок. Собственно, всякую такую конечную последователь- ность букв, знаков операций и скобок, удовлетворяю- щую некоторым простым правилам (типа: левых скобок должно быть столько же, сколько правых), можно на- звать логической формулой. Строгое же ее определение таково: всякая высказы- вательная переменная и постоянная есть формула; вся- кое отрицание формулы и всякое объединение двух формул с помощью знаков конъюнкции и дизъюнкции, импликации и эквиваленции есть формула; никаких дру- гих способов образования логических формул из выска- зывательных переменных и постоянных нет. Не правда ли, за этим определением видятся смутные образы разрастания, укрупнения? Вот на листе бумаги появились две буквы, сцепленные символом логической операции, вот символом-сцепкой к образовавшейся 444
формуле, огражденной для ясности скобками, присо- единена еще одна буква или другая формула... Это напоминает химический синтез, когда посредством хи- мических связе'й молекулы образуются из атомов или молекул поменьше. И наоборот: видя логическую формулу, мысленно на- чинаешь анализировать ее, разнимать на составные части, сообразуясь с расстановкой скобок. Истина и ложь — вот все множество значений, кото- рые может принимать высказывательная переменная. Сложностей, вроде бы, никаких. Сложности возникают, когда в логической формуле не одна, а много переменных —л переменных, скажем мы, чтобы подчеркнуть их многочисленность. Придавая им конкретные значения истинности, надо всякий раз отда- вать себе отчет, какое значение получила первая из переменных, какое — вторая... какое — л-ная. Речь, стало быть, идет об упорядоченных наборах из элементов множества {истина, ложь}. Речь идет об л-ках этих элементов — вспомним термины теории множеств, они сейчас нам понадобятся для преодоления кажущих- ся сложностей. Придавая всем л высказывательным переменным какой-либо логической формулы всевозможные значе- ния истинности, будем каждый раз смотреть, какое значение истинности приобретает при этом вся форму- ла в целом. Речь, стало быть, идет об отображении множества л-ок из элементов множества {истина,.ложь} в то же самое множество. Такое отображение называется л-местной функцией исчисления высказываний, или высказывательной функ- цией л высказывательных аргументов. Вам хотелось бы разобрать по этому поводу какой-то пример? И для начала попроще? Что ж, напишите на бумаге любую букву и понимайте ее как логическую формулу,‘состоящую из одной выска- зывательной переменной. Какое значение вы придадите 445
переменной, такое же примет и формула. Это будет простейшая одноместная функция исчисления высказы- ваний. Каждому элементу множества {истина, ложь} она ставит в соответствие тот. же элемент. Поставьте теперь перед этой буквой символ отрица- ния. Получится опять-таки одноместная функция исчис- ления высказываний. Каждому элементу множества {ис- тина, ложь} она ставит в соответствие другой элемент того же множества. Характер этой функции уже знаком нам из таблицы истинности, которую мы составляли для логической операции отрицания. Если две буквы, соединенные знаками конъюнкции или дизъюнкции, импликации или эквиваленции, рас- сматривать как высказывательные переменные, каждая такая пара определит собой двухместную функцию ис- числения высказываний. VI опять в их исследовании помогут уже знакомые нам таблицы истинности, состав- ленные нами раньше для этих операций. (Вспоминая терминологию теории множеств, можно сказать, что каждая такая таблица есть график соответствующей высказывательной функции.) Пример трехместной функции исчисления высказыва- ний нам поможет построить Безенчук. Помните, как мы зашифровали его сентенцию о кондукторах и начальни- ках? (A v В) -» С. Будем понимать участвующие в этой формуле буквы как высказывательные переменные, по- строим для нее таблицу истинности и тем самым опре- делим нашу трехместную функцию исчисления высказы- ваний. А в с (AvB) (AvB)->C И и и и и И и л и л И л и и и И л л и л Л и и и и Л и л и л Л л и л и л) л л л и Кстати, не могли бы вы сказать, сколько строк будет в таблице на сей раз? Таблица для одно- местной функции насчиты- вает две строки, для двух- местной — четыре, то есть добавление новой пере- менной удваивает количе- ство строк. И это понятно: все комбинации прежних переменных следует рас- сматривать сначала вместе 446
с истинным значением новой, а потом — вместе с лож- ным. Стало быть, трехместная формула имеет восьми- строчечную таблицу истинности, четырехместная—таб- лицу из шестнадцати строк... А говоря в общем, таблица для n-местной функции исчисления высказываний на- считывает 2п строк Формулы, таблицы, функции.. В своих рассуждениях о них мы определяли каждое следующее понятие в этом ряду через предыдущее. Говорят, что таблица, опреде- ляемая формулой, соответствует этой формуле, а функ- ция, определяемая формулой или таблицей, соответст- вует той и другой. Разумеется, функцию можно определить и без фор- мулы, одной таблицей, указывая для каждого набора значений истинности, которые приданы высказыватель- ным аргументам, значение функции. (Вспомним: ведь и в мире числовых функций не всякая задается алгебраи- ческой формулой!) Чаще всего, однако, формула для высказывательной функции бывает известна. И потому эти два термина в математической логике зачастую употребляются на рав- ных. Говорят, например, не «значение функции», а «зна- чение формулы» и т.д. До сих пор, беседуя об исчислении высказываний, мы говорили, собственно, лишь о том, как оно определяет истинностное значение того или иного сложного выска- зывания, исходя из значений его элементарных компо- нент и его логической структуры. Мы переходим сейчас к другой, существеннейшей стороне исчисления высказываний. Руководствуясь так называемыми правилами вывода, оно исследует взаи- мосвязи между истинностными значениями сложных вы- сказываний, имеющих некоторые общие элементарные компоненты, и на этом основании позволяет анализиро- вать логические рассуждения, доказывая или опровер- гая, что последнее утверждение в некоторой цепи вы- сказываний есть логическое следствие исходных. При помощи тех же правил исчисление высказываний позво- 447
ляет также и строить логические рассуждения, выводя одни высказывания из других. (Кстати, если при анализе какого-то рассуждения, разлагая его фразы на элементарные составляющие, мы видим, что все эти составные части различны, мы ни одну из этих фраз не сможем вывести как логическое следствие из других. Потому у нас и вызвала улыбку загадка Швейка, с которой начинался наш разговор о логике: ясно, что из информации о слуховых окнах и квартирантах некоего дома нельзя сделать никаких до- стоверных выводов о дате смерти бабушки швейцара.) Во всех языках есть слова, звучащие по-разному, но означающие одно и то же: «сильный» и «мощный», «большой» и «крупный», «быстро» и «скоро» и т.д. Такие слова называются синонимами. Сопоставление синонимов иногда позволяет лучше уяснить смысл стоящих за ними понятий. Вспомните, как с этой целью мы перебирали синонимы слова «множе- ство»: «совокупность», «набор», «ансамбль» и т.д. Синонимичными бывают не только слова, но и целые выражения. Возьмем для примера одно из тех, которые содержат частицу «ни»: «ни рыба, ни мясо». Верные принципу формальной логики не вдаваться в содержание анализируемых фраз, не будем углубляться в образные оттенки этого выражения. Мы и без этого можем безоговорочно утверждать, что фраза: «Это не рыба и не мясо» совершенно синонимична, то есть тождественна по смыслу предложению: «Неверно, что это рыба или мясо». Здесь явно пахнет какой-то логической закономер- ностью! Но будем последовательны в своем безразличии к содержанию исследуемых предложений. Уже отрабо- танным приемом заменим буквами входящие в них эле- ментарные высказывания, превратим их в формулы, применимые не только к продовольственным товарам. У нас получится, что высказывание со структурой «не- верно, что А или В» означает то же самое, что высказы- 44В
вание со структурой «не А и не В». А если выражаться еще более общо и совсем уж научно, отрицание ди- зъюнкции нескольких высказываний равносильно конъ- юнкции их отрицаний. Если читателю эта логическая находка показалась небезынтересной, он может продолжить поиски само- стоятельно, например, доказать, что отрицание конъ- юнкции нескольких высказываний равносильно ди- зъюнкции их отрицаний. В частности, сложное высказы- вание со структурой «неверно, что А и В» означает то же, что высказывание со структурой «не А или не В». Найденные закономерности называются законами де Моргана. Позже мы увидим, что они отнюдь не случайно носят имя того же математика, что и два известных закона теории множеств. Обнаруженные нами совпадения смысла у различных по логической структуре сложных предложений — не такая уж редкость для исчисления высказываний Вспомните-ка одну из фраз, с которых мы начали знакомство с этим исчислением: «Если лошади кушают овес, то Волга впадает в Каспийское море». Сравните ее с таким предложением: «Если Волга не впадает в Каспийское море, то лошади не кушают овес». Опять: высказывания разные, но означают они, по существу, одно и то же. Вам это не очевидно? Что ж, давайте перейдем от этих высказываний к их формульной записи: С -» D (для первого) и 1D -»1С (для второго). Формулы получились разные, но если построить для той и другой таблицу истинности, то обе таблицы совпа- дут. Стало быть, эти две формулы определяют одну и ту же высказывательную функцию. Две формулы исчисления высказываний, определяю- щие одну и ту же высказывательную функцию, и назы- ваются равносильными. О существовании таких формул проницательный чи- татель наверняка догадывался раньше — еще когда мы с помощью таблиц истинности доказали- высказывание 449 15- 410
«неверно, что если А, то В» означает то же самое, что высказывание «А и не В». Беря отрицание обоих выска- зываний, заключаем, что формула импликации А -» В равносильна формуле 1(А л ]В). Здесь опять напрашивается аналогиях: алгеброй. Там тоже встречаются формулы, обозначающие одно и то же. Например, а(Ь + с) и ab + ас (Их равенством выражается распределительный закон умножения отно- сительно сложения.) Какие числа ни подставляй в ту и другую формулу, результаты там и здесь всегда будут одинаковые. Подобное равенство называется тождест- вом и записывается с помощью особого знака: а(Ь + + с}= ab + ас. В алгебраических выкладках одну из таких формул всегда можно заменить другой. Это позволяет преобра- зовывать алгебраические выражения, упрощая их и при- водя к определенному удобному виду. Точно так же и в логических выкладках всегда можно заменить одну формулу другой, ей равносильной. Таким путем можно преобразовывать логические формулы в тех же целях простоты и удобства, что и в алгебре. Несколькими строчками выше мы заменили формулу импликации А -> В другой, содержащей иные логические операции: Т(А а 1В). Замена выглядит громоздкой, одна- ко ее можно упростить, пользуясь законами де Моргана, с которыми мы недавно познакомились. Возьмем вто- рой: отрицание конъюнкции нескольких высказываний равносильно дизъюнкции их отрицаний. С его помощью замена для формулы импликации становится более про- стой: 1А v В. Замена позволяет выразить все логические операции через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (в этом заключается приведение логических формул к так назы- ваемой нормальной форме, удобной со многих точек зрения). Алгебраические тождества (вроде приводившегося выше) выражают свойства арифметических операций. Равносильность тех или иных логических формул выра- жает свойства логических операций.' По явной аналогии с алгеброй равносильность логи- ческих формул обозначают тем же символом, что и 450
тождественное равенство, тремя горизонтальными чер- точками. Наиболее важные «равенства» такого рода приведены на этой странице Таблица 3 Равносильные формулы исчисления высказываний А л В = В л А A v В -= В v А А л (В л С) з (А л В) л С A v (В v С) = (A v В) v С А а (В v С) = (А л В) v (А л С) A v (В л С) = (A v В) л (A v С) Ал А = А A v А а А Ал И=А ' A v И = И Ал Л = Л A v Л = А Та = а 1(AaB) = 1Av1B- 1(а v в) = Та л 1в а -> в = 1в -> Та (А л В) -> С = (А л 1С) -> 1в А -> В slA V В А <-> В = (А -> В) л (В -> А) «Быть или не быть?» — вопрошал Гамлет, принц дат- ский, герой одноименной трагедии Шекспира. В нашей беседе о логике высказываний этот возглас звучит диссонансом: ведь вопросительные предложе- ния высказываниями не являются. Подредактируем Шекспира. Опустим в гамлетовской фразе вопросительный знак, превратим ее в формулу, заменяя слово «быть» высказывательной переменной А, а союз или и частицу не — их символами: A vlA. Что будет, если придавать переменной А то и другое из ее возможных значений: истину и ложь? 15' 451
Если А есть истина, истинной будет левая половинка нашей дизъюнкции. Если же А есть ложь, истинной будет ее правая половинка. Истинности одного из двух выска- зываний достаточно, чтобы их дизъюнкция была истин- ной. Итак, наша формула истинна всегда^ какие значения истинности ни придавать переменной, от которой эта формула зависит. Подобное бывает и с формулами, содержащими не одну, а две, три и большее количество переменных. Формула, значение которой есть истина, каковы бы ни были значения входящих в нее высказывательных переменных, называется тождественно-истинной (или тавтологией, или общезначимой). Таблица 4 Тождественно-истинные формулы исчисления высказываний ((А -ч В) л А) -ч В ((А —» в) л 1в) —> Та ((А v ₽) а ТВ) -> А (Ал В) ч А Ач (A v В) ((АчВ)а(ВчС))ч(АчС) ((а-> (в аТв)) -ч Та А-> (В -> (А А В)) .'(Ач В)ч ((AvC) ч(В vC)) (А-> В) -ч ((А л С) -ч (В а С)) (АчВ)ч((ВчС)ч(АчС)) ((А <ч В) а (В <ч С)) -ч (А <ч С) (АнВ)ч (В <ч А) ((А л В) ч С) ч (А ч (В ч С)) ((А -ч В) а (С -ч В)) <ч ((A v С) ч В) ((А -ч В) а (А -ч С)) <ч(Ач (В а С)) Если читателю подборка таких формул, помещенная здесь, покажется слишком немногочисленной, он смо- жет без особого труда понаделать из приведенных фор- мул сколько угодно новых, опять-таки тождественно-ис- тинных. Рецепт таков: взять любую тождественно-истин- ную формулу и вместо какой-то входящей в нее выска- зывательной переменной (всюду, где эта переменная 452
встречается!) подставить произвольную формулу (всюду одну и ту же!). У вставленной формулы может быть много аргументов, но значений — только два: ис- тина или ложь, то есть такие же, как у высказывательной переменной, место которой заняла вставка Так что если исходная формула была.тождественно-истинной, то она и после подстановки не лишится своей тождественной истинности Есть еще один способ получения тождественно-ис- тинных формул. Оказывается, если взять две равносиль- ные формулы и соединить их символом эквиваленции, то полученная формула будет тождественно-истинной. Ведь в силу своей равносильности обе исходные фор- мулы при любых значениях входящих в них высказыва- тельных переменных будут одновременно либо истин- ными, либо ложными. И в том и в другом случае их эквиваленция будет истинной. Тождественно-истинные формулы замечательны тем, что ими выражаются законы логики, по которым мы строим свои рассуждения. В этом читатель убедится несколькими страницами позже. Можно поинтересоваться: а бывают ли тождественно- ложные формулы, то есть такие, которые обращаются в ложь при любых значениях входящих в них высказыва- тельных переменных? Да, бывают. Возьмите «гамлетов- скую» формулу и замените символ операции «или» на символ операций «и»: А л 1А. Какое значение ни придать переменной А, одна из половинок этой конъюнкции будет истинной, а другая — ложной. А ведь если ложно хотя бы одно из высказываний, образующих конъюнк- цию, ложна и вся она в целом. Заметим, что у тождественно-ложных формул есть еще одно обобщающее название: противоречие. V Однако как раз в этот момент мы вынуждены попро- сить у читателя извинения: на наших часах — время обеда. На сей раз мы приготовим его сами, прямо у вас на глазам 4БЗ
На первое, пожалуй, пойдет щавелевый суп: 400 грам- мов щавеля, 500 граммов мяса, 200 граммов лука, 2 столовые ложки масла и 3 литра воды. Такие исходные компоненты рекомендует «Книга о вкусной и здоровой пище». По ней мы перескажем и рецепт приготовления блюда: «Сварить мясной бульон. Лук очистить, нарезать мел- кими кубиками и слегка поджарить на масле. Щавель потушить, протереть сквозь сито и смешать с поджарен- ным луком. Смесь залить мясным бульоном, добавить соль, размешать и варить 15 — 20 минут». Вода Мясо Щавель Лук - Масло Пристрастные к матема- тическим методам, мы мыс- лим этот рецепт на графи- ческий манер. Линии нари- сованного здесь графика — это путь от исходных про- дуктов через промежуточ- ные к готовому блюду Подкрепившись, продол- жим изыскания в области математической логики. Переведем взгляд на следую- щую страницу... Ба, знакомый узор линий? Что, опять рецепт? Пбжалуй, но не кулинарный. Это графическая запись тех рассуждений, которые начина- ются бузиной в огороде и кончаются точным ответом на вопрос, проживает ли в Киеве дядька. Но можно сказать и большее по поводу этого графика: по такой древовидной схеме ведется логическое рас- суждение, когда из нескольких высказываний, называе- мых посылками, выводится новое, называемое заключе- нием, которое и является целью всего рассуждения — это, как правило, ответ на логическую задачу, сформу- лированную посылками. При этом все происходит примерно так же, как при варке супа: из числа посылок берут какие-то две и из них, как следствие, получают новое высказывание. Из расширившегося таким образом множества высказыва- ний — посылки плюс выведенное из них следствие — опять берут какие-то два и получают, как следствие, еще одно высказывание. Иногда очередной шаг заключается в том, что какое-то сложное высказывание заменяется 454
равносильным, которое состоит из тех же элементарных компонент, но имеет другую логическую структуру, более удобную для дальнейших шагов. Так продолжает- ся до тех пор, пока не получится высказывание, которое можно рассматривать как ответ на поставленную логи- ческую задачу. Последовательность образовавшихся по ходу описанной процедуры высказываний называется доказательством, иди выводом данного заключения из данных посылок. Искусство логического рассуждения, в частности, за- ключается в том, чтобы угадывать кратчайшие пути от посылок к заключению и верно по- д^в AvC C^D 1D дыскивать среди уже имеющихся вы- Q @ @ @ сказываний те, которые дадут новое. \ \ / Но даже и при столь искусном под- \ \ Ь )С ходе мало-мальски серьезные рас- \ \ у суждения имеют весьма сложные \ (g)A схемы, которым вполне подходит \ у придуманное для них название: де- q в рево логического вывода. Картинка, приведенная тут, — всего лишь ве- точка. Но мы намеренно взяли для иллюстрации именно ее: ведь за развесистыми деревьями можно не разгля- деть леса. А незатейливую веточку нетрудно расчленить на составные части. И читатель, вероятно, уже начал делать это сам, не дожидаясь призыва авторов. Вот одна из деталей схемы: точка под номером 5. В нее упираются стрелки, исходящие из точек 3 и 4 Сверяясь с условиями головоломки, надписанные над ними формулы следует расшифровать так: «Если лоша- ди кушают овес, тс Волга впадает в Каспийское море» (формула С -> D) и «Волга не впадает в Каспийское море» (формула 1D). Тогда высказывание 1С, написанное рядом с точкой 5, надо понимать так: «Лошади не кушают овес». Это вполне логичное следствие из предыдущих двух высказываний, что, очевидно, и указывается стрел- ками, ведущими из точек 3 и 4 в точку 5 Точно так же из фраз «В огороде бузина или лошади кушают овес» (A v С) и «Лошади не кушают овес» (1С) заключаем: «В огороде бузина» (А). А из фраз «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька» (А -» В) и «В огороде 455
бузина» (А) получаем ответ на головоломку: «В Киеве дядька» (В). Теперь мы имеем возможность вкусить плодов с де- рева вывода, вычерченного в предыдущем разделе. Дядька проживает-таки в Киеве. Решение головоломки получилось коротким и убедительным. Нетерпеливый читатель, пожалуй, даже досадует: сто- ило ли тянуть с ее решением, если оно оказалось таким простым? Внимательный читатель, возможно, добавит к этому, что формульная запись только что проведенного нами рассуждения была помещена еще на стр. 442 (загляните-ка туда!). Разве мы не могли бы разобрать еще тогда столь немудрящую, как выяснилось, логичес- кую цепочку? Для ответа на эти вопросы очень кстати упоминание о логических формулах. Действительно, из высказываний «В огороде бузина или лошади кушают овес» и «Лошади не кушают овес» нетрудно вывести: «В огорбде бузина». Но не подсказан ли этот вывод содержанием посылок? Всегда ли из двух высказываний со структурой A v С и 1С будет следовать высказывание А? В конце концов нас интересует не овес, не бузина и не киевский дядька, а общие законы логических рассуждений, те принцицы, по которым из одних высказываний выводятся другие. Попытаемся разобраться, каковы должны быть эти принципы. Всякое рассуждение, как мы уже знаем, на- чинается с высказываний, называемых посылками. Ес- тественно, все они полагаются истинными. Иначе из них можно вывести все, что угодно, как мы подчеркивали за разговором о логической операции «если... то». А тогда логическое рассуждение теряет всякий смысл: ведь нас интересуют только истинные заключения, выведенные из посылок. Сказанное и определяет естественное требование к правилам, используемым на каждом шагу логических рассуждений: эти правила должны быть такими, чтобы из истинных высказываний получались опять-таки лишь 456
истинные. Иными словами, чтобы из истинных высказы- ваний нельзя было получить ложное. Тогда и последнее высказывание, именуемое заключением и представляю- щее собой цель рассуждения, будет истинным. Попробуем присмотреться с такой точки зрения к только что подвернувшемуся нам примеру: верно ли, что из любых двух высказываний со структурой A v С и 1С следует высказывание А? Чтобы придать ответу наибольшую общность, переве- дем вопрос на чисто формульный язык. Заменим союз и символом конъюнкции л, слово «следует» — символом импликации И тогда ответ на поставленный вопрос сведется к исследованию формулы ((A v С) л *]С) -> А. А теперь, внимательный читатель, напрягите свою память! Встречалась ли вам эта формула в нашей книге? На 452-й странице она стоит третьей в списке тожде- ственно-истинных формул. Это означает, что она истин- на всегда, какие бы истинностные значения ни прида- вались высказываниям А и С. Впрочем, согласно сказанному выше, они могут быть лишь такими, что образованные из них сложные выска- зывания A v С и 1С истинны: ведь оба входят в число посылок. Если истинны они, то истинна и их конъюнкция (A v С) л 1С. Итак, все, что стоит в исследуемой нами формуле по левую сторону от стрелки, — истина. Тож- дественно-истинна и вся формула в целом. А при таких условиях то, что стоит го правую сторону от стрелки, не может быть ложью. Действительно, загляните в таблицу истинности для логической операции «если... то», сим- волизируемой стрелкой: при истинном основании имп- ликация истинна лишь тогда, когда истинно следствие (в данном случае — высказывание А). Стало быть, мы можем утверждать наверняка: всякий раз, когда истинны высказывания со структурой Av С и 1С, истинно и высказывание А. В нашем понимании это и означает, что из высказываний со структурой A v С и 1С следует высказывание А. В списке тождественно-истинных формул мы видим и формулу ((А —» В) л ~1В) —» 1а. Она подтверждает, что из высказываний «Если лошади кушают овес, то Волга впадает в Каспийское море» и «Волга не впадает в 457
Каспийское море» следует высказывание «Лошади не кушают овес». А формула ((А -> В) л А) ч В, стоящая в списке самой первой,обосновывает завершающее вы- сказывание всего нашего рассуждения о бузине и дядь- ке. Вообще, всякое правило вида: «Из'высказываний со структурой, выраженной такими-то формулами, следует высказывание, выражаемое такой-то формулой», назы- вается правилом вывода. Знакомство с правилами вывода, применяемыми в исчислении высказываний, мы начнем с так называемо- го правила заключения. В словесной формулировке его можно выразить так: из высказывания А и высказывания со структурой «ерди А, то В» следует высказывание В В списке правил вывода, наиболее употребительных в исчислении высказываний (табл. 5), правило заключе- ния стоит на первом месте. И не случайно: следующие сводимы к нему Таблица 5 Правила вывода исчисления высказываний А ч В, А ----g---- правило заключения А -ч В, В -ч С ------------- правило силлогизма , А —> С* А, В —---— введение дизъюнкции A v В AvB,~\A ----g---- удаление дизъюнкции А, В —---— введение конъюнкции А А В А лВ —т— удаление конъюнкции 458
А^В 1В---правило контрапозиции (А а В) -> С —-—=г~---ч— правило расширенной контрапозиции (А л Ю) —> IB ' Все приведенные правила даны в формульной записи При этом формулы-посылки выписываются через запя- тую в строчку, подчеркиваются чертой, а под ней пишет- ся формула-заключение. Сверяясь со стр. 452, читатель обнаружит, что заго- товками для перечисленных правил вывода послужили тождественно-истинные формулы исчисления высказы- ваний, имеющие вид импликаций и эквиваленций. Мы надеемся, что теперь читатель понял, какую важ- ную роль в обосновании логического следования играют тождественно-истинные формулы и почему лишь после знакомства с ними мы смогли дать убедительное реше- ние головоломки о бузине и дядьке. Мы надеемся также, что по ходу ее решения читатель получил представление о принципах логических рассуж- дений. В их основе лежит уже высказывавшееся нами неявно определение логического следования: некото- рая формула есть логическое следствие из некоторых других формул, принимаемых в качестве посылок, если она истинна по крайней мере при всех тех значениях входящих во все эти формулы высказывательных пере- менных, которые обращают в истину все посылки. Принципы логического следования, с которыми мы ознакомились, позволяют не только строить правильные логические рассуждения, но и анализировать уже по- строенные (если они основаны на тех законах логики, с которыми мы имели дело до сих пор). Анализ рассуждения начинают с того, что выделяют его схему. Сложные высказывания, из которых оно со- стоит, разлагают на элементарные и заменяют их бук- вами. Пропозициональные связки не, и, или, если... то, тогда и только тогда заменяют символами соответству- ющих логических операций. В получившейся при этом 459
цепочке формул выделяются посылки (если запись вы- вода ведется в столбик, как на стр. 442, то они отделя- ются от дальнейших формул горизонтальной чертой). Затем относительно каждой из формул, следующих за посылками, решается, можно ли получить ее из каких- • либо предыдущих на основании того или иного правила вывода. Если для каждой удается получить утвердитель- ное решение, то вся цепь рассуждений признается пра- вильной — в том смысле, что последнее высказывание в цепи не ложно, если истинны посылки. Впрочем, это можно проверить и сразу. Способ про- верки естественным образом вытекает из определения логического следования, данного нами в конце предыдущего раздела. Нужно образовать импликацию, где роль основания играет конъюнкция всех посылок (она будет истинной лишь тогда, когда истинна, каждая посылка), а роль следствия — заключение всего рассуждения. Затем нужно составить для полученной формулы таблицу ис- тинности, придавая высказывательным переменным всевозможные значения, при которых посылки истинны. Если вся полученная формула в целом при этом будет принимать лишь одно значение — истина, то данное заключение действительно есть логическое следствие из данных посылок. Этот способ довольно громоздок, но зато надежен. С его помощью относительно всякой промежуточной формулы рассуждения, построенного по знакомым нам принципам, можно решить, является ли она логическим следствием из посылок. Заметим, что в число посылок всегда можно включить любую тождественно-истинную формулу: ведь требова- нию истинности, которое предъявляется к посылкам, она удовлетворит при любых истинностных значениях входящих в нее высказывательных переменных. Проверку логического следования, описанную в предыдущем разделе, часто проводят по несколько ви- 460
доизмененной схеме, известной под названием «дока- зательство от противного». В чем его суть? К формулам-посылкам добавляют отрицание предполагаемого заключения. Из расширен- ного таким образом набора формул пытаются вывести противоречие, то есть какую-нибудь тождественно-лож- ную формулу (как правило, имеющую вид «А и не А») ' Если это удается, то говорят, что предполагаемое за- ключение следует из данных посылок. Оправданна ли такая схема доказательства? Попро- буем разобраться. Предположим, что мы придали высказывательным переменным такие истинностные значения, что все по- сылки обратились в истину. Выведенная тождественно- ложная формула в согласии со своим названием при таких значениях высказывательных переменных, естест- венно, обратится в ложь. Но ведь ложь логически следует только из лжи (загля- ните в таблицу истинности для операции «если... то» при ложном заключении импликация истинна лишь в том случае, если ложно основание). Стало быть, среди ис- пользованных при выводе противоречия формул (вклю- чая добавленную) есть такая, которая ложна при вы- бранных истинностных значениях высказывательных переменных. Ни одну из посылок в этом заподозрить нельзя: ведь мы придавали высказывательным переменным именно такие значения, чтобы все посылки были истинными Очевидно, все дело портит, обращаясь в ложь, исполь- зованное при выводе отрицание предполагаемого за- ключения. Стало быть, само предполагаемое заключе- ние истинно при выбранных значениях высказыватель- ных переменных. Нетрудно сообразить, что проведенное рассуждение останется точно таким же при любых значениях выска- зывательных переменных, при которых посылки обра- щаются в истину. Всегда при этом в истину обратится и предполагаемое заключение. А это и означает, что дан- ное заключение следует из данных посылок. Так и оправдывается схема доказательства от против- ного. 461
Проводя по этой схеме доказательство какой-либо конкретной теоремы на языке конкретных высказыва- ний, поступают так- к высказываниям-посылкам добав- ляют отрицание доказываемого высказывания и из них выводят высказывание со структурой «А и не А». Оно, согласно только что сказанному, и обосновывает дока- зываемое высказывание. Ради иллюстрации здесь ---------можно доказать от против- -ного какую-нибудь неслож- ную теорему. Возьмем, на- ------------------------ пример, за исходное поло- жение эвклидову аксиому о параллельных: через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести не более одной прямой, парал- лельной данной. Выведем отсюда такое утверждение: две различные прямые, параллельные третьей и не совпадающие с ней, параллельны друг другу (то есть не имеют общей точки). Предположим противное: две наши прямые имеют общую точку (обозначим ее М). Это равнозначно тому, что через точку М мы провели две различные прямые, параллельные третьей прямой (обозначим ее С). Но согласно эвклидовой аксиоме о параллельных через точку М проходит не более одной прямой, параллельной прямой С. Объединим два последних высказывания в одно со структурой тождественно-ложной формулы «А и не А»: через точку М проходит более одной прямой, парал- лельной прямой С, - и через точку М проходит не более одной прямой, параллельной прямой С. Полученное противоречие и доказывает теорему о параллельности любых двух прямых, порознь парал- лельных третьей. Уяснив, как проверяется правильность рассуждений, проведенных по правилам исчисления высказываний, 462
читатель, естественно, захочегг узнать, как по правилам этого исчисления опровергаются неправильные рассуж- дения. Делается это так: для высказывательных переменных, участвующих в формульной записи рассуждения, под- бираются такие истинностные значения, чтобы все по- сылки обратились в истину, а заключение — в ложь. Это и означает, что анализируемое рассуждение не- верно по своей структуре. Ведь правильной (напомина- ем!) его структура считается лишь тогда, когда по выра- жающей ее цепочке формул от истинных посылок нельзя прийти к ложному заключению.
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ Точка, которую мы поставили в конце предыдущей страницы, завершает не только ее, но и весь наш рас- сказ об исчислении высказываний. Не будучи знакомым с ним, вряд ли можно сделать хоть один осознанный шаг в логических рассуждениях. Но это вовсе не значит, что оно дает все средства для анализа любой логической задачи. Для характеристики такой ситуации можно употребить уместное в нашей математической книге словосочетание: необходимо, но не достаточно. Проиллюстрировать эту недостаточность можно с по- мощью классического силлогизма, который наверняка знаком хотя бы понаслышке многим нашим читателям.: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следователь- но, Сократ смертен». Логично? Да. Но попробуем ответить на вопрос: а в чем, собственно, логичность этого умозаключения? Во- прос поставит нас в тупик, поскольку мы пока владеем лишь средствами исчисления высказываний, а оно такие умозаключения не способно ни строить, ни разбирать. В самом деле, с чего начинается в нем и построение и разбор всякого логич'еского рассуждения? С анализа посылок. В них выделяются простейшие компоненты, называемые элементарными высказываниями и соеди- ненные связками не, и, или, если... то, тогда и только тогда. Каждое новое высказывание в логической цепи рассуждения строится из уже имеющихся по тому или иному правилу вывода. В нашем примере посылок две: «Все люди смертны» И «Сократ — человек». Здесь нет ни одной пропозицио- нальной связки. Оба высказывания неразложимы, так что каждое из них приходится рассматривать как эле- ментарное. То же самое можно сказать и о заключении: «Сократ смертен». И все эти три высказывания различ- ны, так что из первых двух третьего не получишь ни по 464
какому правилу вывода, известному вам из исчисления высказываний.- Словом, все как в загадке Швейка: с одной стороны — слуховые окна и квартиранты, с другой —бабушка швей- цара. Конечно» нельзя сказать, что у этих высказываний совсем нет общих элементов. В первом идет речь о всех людях, в том числе и о Сократе. О нем же говорится и во втором, и в третьем высказываниях. Сократ — вот то общее звено, которое связывает заключение с посыл- ками. Но исчисление высказываний не способно выде- лить это звено ни в одном из трех предложений, по- скольку с ее точки зрения все три неразложимы. Вот и получается, что при всей очевидной логичности заключения мы не можем вывести его из посылок, вла- дея одним лишь исчислением высказываний. Добро бы если эта беспомощность помешала нам рассуждать лишь о судьбе Сократа. Нет, дело здесь в гораздо большем: обороты логической выкладки, с ко- торой мы только что познакомились, типичны для рас- суждений из самых различных областей математики. Все квадраты — прямоугольники. Фигура ABCD — квадрат. Следовательно, фигура ABCD — прямоуголь- ник. Существуют положительные целые числа. Все целые числа — рациональны. Следовательно, существуют по- ложительные рациональные числа. Исчисление высказываний не способно разлагать столь простые и очевидные рассуждения на достаточно тонкие компоненты, чтобы доказать их правильность. Для анализа и построения таких рассуждений нам требуются новые логические средства, выходящие за рамки исчисления высказываний. Кто бы вы ни были, наш уважаемый читатель, но хотя бы раз в жизни вам приходилось получать в каком-либо учреждении какую-либо справку. И вы имели возмож- ность убедиться, на какую высоту поставил эту проце- дуру наш рациональный век 44В
В канцелярском шкафу аккуратными стопками лежат бланки для справок на все случаи жизни. В ответ на ваш запрос достается нужный бланк и. после заполнения всех пробелов печатного текста невзрачный прежде листок бумаги превращается в официальный документ. А до этого он назывался формой: форма № 1 (для справок с места жительства), форма № 3 (для справок о научных трудах и изобретениях), форма № 286 (для справок о состоянии здоровья). Примерно такая же ситуация сплошь и рядом наблю- дается в математических дисциплинах, в их логических рассуждениях. Когда математик читает: «х — целое число», для него х все равно, что для канцеляриста пробел е бланке. Подобно тому как бланк после заполнения пробелов превращается в документ, так закавыченная фраза после замены символа х конкретным числом превратит- ся в высказывание. Например: пять — целое число. И если канцелярский бланк называется формой, то фразы, подобные закавыченной, именуются высказыва- тельными формами. Встречаются они не только там,, где речь идет о числах. «S — выпуклая фигура», «L — ломаная линия», — все это типичные высказывательные формы. Каждая математическая дисциплина применяет в по- добных случаях свои буквы. Но логик предпочтет им всем букву х и, не считаясь с устоявшимися обозначе- ниями, напишет: «х — острый угол», «х— замкнутая кри- вая», если по смыслу рассуждения приходится рассмат- ривать не какой-то определенный, а произвольный угол, не какую-то конкретную, а какую угодно линию. В таких случаях наиболее уместна, конечно же, буква х, недаром ее называют переменной. (Иногда в роли переменных выступают и другие буквы из второй половины латин- ского алфавита: у или z, и или t и т.д.) В дальнейшем мы увидим, что фразы с иксами очень помогают при логическом анализе не только математи- ческих, но и самых разнообразных рассуждений. Нам еще встретятся выражения «х — овощ», «х — моряк». И чтобы подчеркнуть, что традиционному иксу приходится обозначать не только математические объекты, его на- 466
зывают предметной переменной (числовая перемен- ная — лишь частный случай предметной). Названия же конкретных предметов, подставляемые вместо икса в содержащие его выражения (типа Только что приводившихся), называются предметными посто- янными. Вот несколько результатов подобной подстановки; «Окружность — замкнутая кривая», «Помидор — овощ», «Магеллан — моряк», Слова «окружность», «помидор», «Магеллан» играют здесь роль предметных постоянных. Из предыдущих разделов мы знаем, что каждое вы- сказывание может быть либо истинным, либо ложным (но не тем и другим одновременно). Из высказыватель- ных форм могут получаться и те и другие, если вместо предметной переменной подставить ту или иную пред- метную постоянную. «Пять — целое число» — высказывание истинное. «Пи — целое число» — высказывание ложное. «Поми- дор — овощ» — высказывание истинное. «Яблоко — овощ» — высказывание ложное. Поглядим теперь на дело с новой стороны. Но сначала вспомним, что такое отображение. Это соответствие, которое с каждым элементом некоторого множества сопоставляет определенный элемент друго- го (иногда того же самого) множества. Предметы, названия которых мы подставляем вместо предметной переменной в ту или иную высказыватель- ную форму, образуют некоторое множество, конечное или бесконечное. Для высказывательной формы «х — целое число» — это множество вещественных чисел, для формы «х— моряк» — это множесто людей. То, что после подобной подстановки высказыватель- ная форма обращается в истинное или ложное выска- зывание, можно трактовать так; каждому элементу не- которого множества посредством данной высказыва- тельной формы ставится в соответствии один из эле- ментов множества {истина, ложь) 467
Такое специфическое отображение называют логи- ческой функцией, или предикатом. Как для всякой функции указывается ее область оп- ределения, так говорят об области определения преди- ката (или об области значений его предметной перемен- ной). Для предиката «х — целое число» — это множество чисел, для предиката «х — моряк» — множество людей. Внимательный читатель, конечно, заметил, что мы только что повторили фразу, встречавшуюся ранее, од- нако вместо термина «высказывательная форма» на сей раз употребили термин «предикат». И это могло вызвать недоумение: что же. представляют собой выражения «х — целое число», «х — моряк»? Высказывательные формы или предикаты? Точный ответ на вопрос таков: это высказывательные формы, определяющие некоторые предикаты, если для предметной переменной х указана область ее значений. Однако в логике часто называют предикатом не только ту или иную логическую функцию предметной перемен- ной, но и высказывательную форму, посредством кото- рой выражается та или иная логическая функция. Поэтому в дальнейшем мы будем называть предика- том всякую фразу с иксом, в которую вместо икса можно подставлять названия предметов из некоторого множе- ства (области определения данного предиката). Кстати, еще одна справка о справках. Формы их могут быть весьма разнообразны. Справка с места жительства заполняется на одно лицо. Свидетельство о браке — на два: мужа и жену. Свидетельство о рождении — на три: ребенок, отец, мать. Соответственно они отличаются й количеством пробелов. В исчислении предикатов дело обстоит точно так же. Логическая функция (то бишь предикат) может зависеть от нескольких предметных переменных. Например, «х — отрицательно» — это одноместный предикат; «х меньше у» — двухместный; «х плюс у равно 468
z» — трехместный. (Все переменные здесь, естествен- но, числовые.) Если в многоместном предикате одну из входящих в него предметных переменных заменить предметной по- стоянной, то количество мест в предикате понизится на, единицу, и это отразится на его названии. Возьмем двухместный предикат «х меньше у» и при- дадим переменной у конкретное значение — нуль. По- лучится: «х меньше нуля». Иными словами: «х отрица- тельно». А это уже известный нам пример одноместного предиката. Точно так же трехместный предикат после подстанов- ки предметной постоянной на место какой-то предмет- ной переменной превратится в двухместный. Интересно, а как назвать то, что в подобном случае получится из одноместного предиката? Нульместный предикат — не правда ли? Но еще раньше мы говорили, что результат такой замены есть высказывание. Стало быть, высказывание и нульместный предикат — одно и то же. Высказывательная форма, предметная переменная, предметная постоянная, одноместный предикат, много- местный предикат... Не слишком ли много мудрёных терминов, новых понятий для пяти страничек текста? Этак недолго распугать всех читателей, даже самых преданных математике. , Но, как часто бывает, за диковинными математичес- кими абстракциями удается разглядеть нечто привы- чное и понятное. Так и тут. Скажем, выражения «х меньше нуля», «х любит Есени- на» — это одноместные предикаты (первый определен на множестве вещественных чисел, второй — на множе- стве людей). Однако человек, не Знакомый с предиката- ми, мог бы сказать, что в том и другом выражении речь идет о некотором свойстве: в первом случае об отрица- тельности числа, во втором — о литературных вкусах человека. 469
И с этим нельзя не согласиться. Понятие свойства и понятие одноместного предиката — по существу, одно и то же. Не будет ошибкой сказать, что произвольный одноместный предикат можно задать выражением: «х обладает некоторым свойством». Одноместный предикат мы определяли как соответ- ствие, при котором с каждым элементом некоторого множества, называемого областью определения преди- ката, сопоставляется одно из двух значений истинности: «истина» или «ложь». Отберем в этом множестве те элементы, которые придают прёдикату значение «исти- на».'Это будет так называемая область истинности дан- ного предиката. Но ведь такая процедура равнозначна испытанию, обладает ли элемент некоторым свойством или не об- ладает. Вспомним: в самом начале разговора о множе- ствах мы говорили; что именно так можно определить то или иное конкретное множество с помощью некото- рого характеристического свойства. Область истинности предиката «х меньше нуля» — это множество отрицательных чисел. Область истинности предиката «х любит Есенина» — это множество поклон- ников поэта. Возьмем теперь двухместные предикаты, скажем, такие: «х меньше у», «х любит у» (определенные на тех же множествах, что и рассмотренные только что). Про оба примера опять-таки можно выразиться на общепо- нятном языке: и там и тут говорится о некотором отно- шении. Поскольку и то и другое отношение связывает по два элемента из области своего определения, каждое называется двухместным, или бинарным. Стало быть, двухместный предикат и бинарное отно- шение — в сущности одно и то же. Не будет ошибкой сказать, что произвольный двухместный предикат можно задать выражением: «х находится в некотором отношении к у». Рассмотрим поближе какой-нибудь конкретный двух- местный предикат — хотя бы «х меньше у» или «х любит у». Посмотрим, какие пары элементов из области его определения придают ему значение «истина». Перебе- рем с этой целью все возможные пары элементов этого множества. Совокупность таких пар называется произ- 470
ведением множества на себя. Напомним, что порядок 'элементов в каждой такой паре существен: скажем, если Ваня любит Таню, то Таня может и не любить Ваню; если два меньше трех, то три никак не меньше двух. Это напоминание говорит также о том, что, возможно, не каждая пара обратит взятый нами предикат в истину. Так или иначе, область истинности любого двухместного предиката — это некоторое подмножество произведе- ния его области определения на себя. Вспомним: за беседой о множествах именно так мы и определяли всякое бинарное отношение, определенное на некотором множестве. Опять мы видим, что бинарное отношение и двухмест- ный предикат — одно и то же. Что же касается многоместного предиката, то его можно понимать как некоторое многоместное отноше- ние. Маленькое отступление о маленькой букве х. Мы условились называть ее предметной переменной. Читателю она наверняка знакома и в другой роли — в роли неизвестного, в которой она выступает в уравне- ниях. Вот, например, квадратное уравнение х2 — х — 2 = 0. Требуется найти такие х, которые ему удовлетворяют. Попробуем действовать наугад. Подставим в наше уравнение вместо х единицу. Получится: минус два рйвно нулю. Это неверно. Или, говоря на языке логики, это высказывание ложно Возьмем в качестве следующего кандидата двойку. Подставив ее в уравнение, получим: нуль равен нулю Это высказывание истинно. А если подставить тройку? Снова ложное высказыва- ние: четыре равно нулю. А если половину? Опять неуда- ча: минус два с четвертью равно нулю. А если минус единицу? На сей раз удача: нуль равен нулю. Теперь давайте разберемся: что же представляет собой формула, о которой идет речь? Как называется выражение, которое становится либо истинным, либо 471
ложным высказыванием в зависимости от того, какое значение мы придаем иксу? Высказывательная форма — прочтите еще раз опре- деление этого понятия! С помощью нашей высказывательной формы х2 — х— — 2 = 0 элементам множества вещественных чисел (например, единице, двойке, тройке, половине, минус единице) мы ставили в соответствие один из двух эле- ментов множества {истина, ложь}. Но именно в таком соответствии заключается сущ- ность логической функции, говоря иначе, предиката. Так что, читатель, с высказывательнымй формами и предикатами вы были непосредственно знакомы еще до чтения этой книги. Оказывается, всякое уравнение — это, в сущности, предикат. Более того, фактически вы уже не раз сталкивались даже с такими тонкими понятиями, как область опреде- ления предиката, область его истинности или ложности. Вспомните те далекие времена, когда вы только-толь- ко постигали искусство счета и за словом «число» еще не видели ничего, кроме чисел целых положительных, иначе говоря, натуральных: один, два, три и т.д. Вспомните, как в ту пору вас ставили в тупик вопросы типа: сколько будет, если из двух вычесть пять? Решить задачу значило найти такое число, которое, будучи сло- жено с пятеркой, давало бы в сумме двойку. Обозначив по привычке неизвестное число буквой х, мы можем переформулировать вопрос в виде уравнения: х + 5 = 2.. Ваше детское недоумение перед поставленной задачей объяснялось тем, что из-за ограниченности вашего ма- тематического образования вам приходилось рассмат- ривать этот предикат на множестве натуральных чисел, где он не обращается в истину. Действительно, пять плюс один не равно двум, пять плюс два — тем более, а уж за большие числа нечего и браться. И вы растерянно говорили, что из двух вычесть пять нельзя. Позже, освоившись со множеством вещественных чисел, вы уже без труда могли отыскать в нем решение «неразрешимого» уравнения, область истинности пре- диката х + 5 = 2: она состоит из единственного числа минус три. 472
Вспомните, читатель, о своих былых математических затруднениях и учтите на будущее, говоря о ti м или ином предикате, необходимо всегда отдавать себе отчет в том, на каком множестве он рассматривается. И тогда многие сложные вопросы становятся просты- ми. Мы просим прощения у читателя, но мы опять о справках Нет, поверьте, мы вовсе не сторонники бюрократии. Но есть в канцелярском арсенале кое-что такое, что грех не использовать в разговоре об исчислении предикатов. Из правил приема в высшие учебные заведения: «Заявление о приеме подается поступающим на имя ректора высшего учебного заведения по единой форме. К заявлению прилагаются: документ о среднем образовании (в подлиннике), характеристика для поступления в вуз, медицинская справка...» И вот в приемную комиссию вуза приходит абитуриент и подает секретарю стопку бумаг. Секретарь просмат- ривает их одну за другой. «Аттестат... Петров А.А. окончил среднюю школу номер... Характеристика... Петров А.А-. морально устой- чив. активно участвовал... Справка медицинская... Пет- ров А.А. практически здоров...» И убедившись в правильности всех бумаг, секретарь выдает новоявленному абитуриенту экзаменационный > лист и справку: «От Петрова А.А. получены документы в количестве...» Любая заполненная справка, как мы уже говорили, — это высказывание. Поэтому все, что представил в ко- миссию наш абитуриент, — это сложное высказывание: «Петров А.А. окончил среднюю школу и морально устой- чив и практически здоров». Секретарь приемной комиссии ответил на высказыва- ние высказыванием: «От Петрова А.А. получены все документы и Петрову А.А. выдан экзаменационный лист». 473
Описать эту сценку нам не составило труда. Она полностью регламентирована правилами приема в вузы, процитированными выше. В этих правилах, конечно, нет фамилии Петрова А.А. — мы ее придумали сами. В правилах фигурирует абстрактный абитуриент — так сказать, абитуриент х. Так что с точки зрения математи- ческой логики инструкция о порядке приема докумен- тов,' воплощенная в нашей сценке, — это не высказыва- ние, а предикат: Если х представляет заявление о приеме в вуз и документ о среднем образовании и характеристику для поступления в вуз и медицинскую справку, то х получает экзаменационный лист. Всмотритесь в эту словесную конструкцию. Она со- стоит из нескольких предикатов: «х представляет заяв- ление о приеме», «х представляет документ о среднем образовании», «х представляет медицинскую справку», «х получает экзаменационный лист». Предикаты соеди- нены теми же пропозициональными связками, которыми прежде мы соединяли высказывания. И это естественно, поскольку, подставляя вместо предметной переменной х ту или иную фамилию, мы превращаем предикаты в. высказывания. Кстати, о подстановке предметных постоянных. Сек- ретарь приемной комиссии не подошьет в одно дело справки, заполненные не на одно и то же лицо. Подоб- ные неурядицы недопустимы и в математической логи- ке: связав несколько предикатов пропозициональными связками, мы обязаны заменять в них предметные пере- менные, обозначенные одной и той же буквой, каждый раз одной и той же для всех предикатов предметной постоянной. Все предикаты, которые фигурировали в нашем при- мере, — одноместные. Логические операции примени- мы и к многоместным предикатам. Ключик, который мы подобрали к предикатам в предыдущем разделе, позволит нам сейчас открыть сразу две двери. Возможность применять к предикатам 474
логические операции поможет нам проложить связую- щие пути из исчисления предикатов в исчисление вы- сказываний и в теорию множеств. Как всегда, дороги, которые мы выбираем, будут пролегать по хорошо знакомым местностям. Областью определения предикатов, рассматривае- мых ниже, послужит множество персонажей романов Жюля Верна. На помещенных ниже рисунках мы обозна- чаем его так же, как в теории множеств обозначали универсальное множество того или иного рассужде- ния, — прямоугольником. Многие из героев знаменитого писателя были моря- ками. Для проверки их по этому признаку введем в рассмотрение предикат «х — моряк». х-моряк По методу диаграмм Венна внутри начерченного пря- моугольника обведем кружком область истинности этого предиката, обозначив ее буквой М. Точки круга — -это и Джон Гаттерас, и Роберт Грант, и Нед Ленд... Нетрудно описать на «предикатном» языке и внеш- ность очерченного круга. Это будет, очевидно, область истинности предиката «х— не моряк», образованного из предиката «х — моряк» применением логической опера- ции отрицания. Точки этой области — это, например, Сайрус Смит, Гектор Сервадак, Филеас Фогг... В своих книгах писатель вывел немало своих сооте- чественников. Это дает повод рассмотреть еще один предикат; «х — француз» и очертить область его истин- ности Ф. Точки нового круга — это и Жак Паганель, и Пьер Аронакс, и тот же Гектор Сервадак... К предикатам, как мы уже говорили, применимы все логические операции исчисления высказываний. Можно рассмотреть предикат «х — моряк или х — француз», образованный из прежних предикатов с помощью опе- 475
рации дизъюнкции. Что представляет собой область его истинности? Это, очевидно, объединение множеств М и Ф: Джон Гаттерас и Жак Паганель, Роберт Грант и Пьер Аронакс — каждый из них либо моряк либо француз. С помощью операции конъюнкции читатель может построить предикат «х —моряк их — француз» и дока- зать, что область его истинности — это пересечение множеств М и Ф, а затем проверить, не пуста ли эта область. Рассматривая внешность двух последних фигур, сим- волизирующих объединение и пересечение множеств М и Ф, вдумчивый читатель поймет, почему о законах де Моргана говорят и в теории множеств и в логике выска- зываний (см. правый из следующих рисунков). Пусть точка С на нашей диаграмме — это Сайрус Смит, предводитель обитателей таинственного острова, которому посвящен одноименный роман Жюля Верна. Нельзя сказать, что Смит был моряком или францу- зом. И эго равнозначно утверждению: Смит был не моряк и не француз. Заключив это, мы установили для одной и той же пары высказываний равенство между отрицанием их дизъюнкции {«Неверно, что Смит моряк или Смит француз») и конъюнкцией их отрицаний («Смит 476
не моряк и Смит не француз»). В таком равенстве выразился один из законов де Моргана, известных нам из исчисления высказываний. Но, с другой стороны, первой фразой предыдущего абзаца выражен факт, что точка С принадлежит допол- нению объединения множеств М и Ф, а второй фразой — что точка С принадлежит пересечению дополнений мно- жеств МиФ. Так можно сказать про любую точку, лежащую за пределами обоих кругов. Стало быть, дополнение объ- единения двух множеств равно пересечению их допол- нений. А это — один из законов де Моргана, известных нам из теории множеств. Аналогично на наших диаграммах мы могли бы убе- диться, что столь же тесно связаны между собой и два остальных закона де Моргана — один из исчисления высказываний (отрицание конъюнкции двух высказыва- ний равносильно дизъюнкции их отрицаний), а другой — из теории множеств (дополнение пересечения двух мно- жеств равно объединению их дополнений).- На диаграммах, которые мы научились строить и ана- лизировать, хотелось бы теперь рассмотреть имплика- цию каких-нибудь двух предикатов. Но поскольку эта логическая операция, пожалуй, самая сложная из известных нам, то для ее пояснения стоит подобрать произведение попроще, чем романы Жюля Верна, — например, известное каждому ребенку стихотворение Владимира Маяковского «Что такое хо- рошо и что такое плохо». Там, в частности, говорится: «Если мальчик любит мыло, этот мальчик очень милый». И говорится это, как нетрудно понять, не о каком-то конкретном, а о произ- вольном мальчике — так сказать, мальчике х. Если определить на множестве мальчиков предикаты «х любит мыло» и «х очень милый», то процитированная фраза будет их импликацией, в которой предикат «х любит мыло» играет роль основания, предикат «х очень милый» — роль следствия. 477
На диаграмме кругами очерчены области истинности этих предикатов. Круги перекрываются. Попробуем вы- делить множество тех иксов, тех мальчиков, которые обращают наш предикат-импликацию в истинное выска- зывание. если х любит мыло то х очень милый Это множество включает в себя область ложности предиката-по- сылки «х любит мыло» (иначе гово- ря, область истинности предиката «х не любит мыло»): ведь при лож- ной посылке импликация всегда верна (загляните в таблицу истин- ности для операции «если... то»). Принадлежит этому множеству (как показывает та же таблица) и об- ласть истинности предиката-след- ствия «х очень милый». Напрашивается вывод: искомая область истинности предиката «если х любит мыло, то х очень милый» есть объединение областей истинности предиката «х не любит мыло» и предиката «х очень милый». Чтобы убедиться в этом оконча- тельно, остается доказать, что ис- комая область состоит только из тех мальчиков, которые обращают в ис- тину хотя бы один из двух послед- них предикатов. Действительно, для всех остальных мальчиков верен предикат-посылка «х любит мыло» и ложен предикат-следствие «х очень милый». Но тогда ложен и весь предикат-импликация в целом. Из предыдущего раздела мы знаем: объединить об- ласти истинности двух предикатов — это все равно, что связать сами предикаты логической операцией «или» Итак, область истинности предиката «если х любит мыло, то х очень милый» — не что иное, как область истинности предиката «х не любит мыло или х очень милый». 478
В этом утверждении, при всей его странности, мы видим уже знакомую нам равносильность двух логичес- ких формул: «Если А, то В» и «не А или В». До сих пор, чтобы повести разговор о каком-либо математическом явлении, мы частенько начинали с да- лекой от математики занимательной истории, шутки, стихотворения. Но ведь точные науки при всей их строгости и логич- ности тоже могут дать повод для улыбки. Американский математик Дьёрдь Пайа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» расска- зывает байку про одного исследователя, который пы- тался экспериментально доказать, что все нечетные числа простые, то есть делятся лишь на себя и на единицу. Как рассуждал этот экспериментатор? «Единицу можно рассматривать как простое число. Затем идут 3, 5 и 7, все,, несомненно, простые. Затем идет 9—досад- ный случай; 9, по-видимому, не является простым чис- лом — оно делится не только на себя и на единицу, но и на три. Но 11 .и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9: это, должно быть, ошибка эксперимента». ' В этом рассуждении нашла отражение характерная особенность человеческого мышления: делать глобаль- ные обобщения на основании ограниченного числа фак- тов. Конечно, логика нашего экспериментатора не выдер- живает никакой критики. Но отголоски подобных при- емов можно почувствовать и в строгих логических по- строениях. Проанализируем чуть подробнее вероятный ход мыс- лей нашего экспериментатора. Конечно, все началось с открытия: существуют нечетные числа, являющиеся простыми. И тут же скоропалительный вывод: любое нечетное число — простое. Разумеется, посылка и следствие в этом умозаключе- нии не имеют строгой логической связи. Но отвлечемся 479
от содержания и обратимся к форме. Подобные кон- струкции сплошь и рядом встречаются в математике. Например: «Существуют х такие, что | х положитель- но» (речь идет о вещественных числах). «Для любого х | х удалено от центра на заданное расстояние» (речь идет о точках окружности). Мы не без умысла разрубили эти фразы вертикальной черточкой. Присмотритесь ко второму обрубку той и другой. Это предикаты, не так ли? Один определен на множестве вещественных чисел, другой — на множестве точек окружности. Однако сами фразы не являются предикатами. Это высказывания. Про каждую фразу можно сказать, истин- на она или ложна. (Во избежание недоразумений для начала мы подобрали только истинные.) Присмотритесь теперь к первому обрубку каждой из фраз, разрубленных вертикальной чертой. Что это за словосочетания «существуетхтакое, что...» «для любого х...», которые превращают предикаты в высказывания? Их называют кванторами. Выражение «для любого х...» (синонимы: «для всякого X...», «для всехх...») называется квантором общности. Выражение «существует х такое, что...» (варианты «найдется х такое, что...»-«для некоторыхх верно, что...») называется квантором существования. V х 3 х квантор квантор общности существования Когда к предикату приписывается тот или иной кван- тор, то это называется навешиванием квантора. Гово- рят, что переменная, к которой относится квантор, свя- зывается квантором, и после этого она именуется свя- занной переменной. Не связанная переменная называ- ется свободной. Квантор общности обозначается символом Vx (V — перевернутая начальная буква немецкого слова «Д//е» — «все»). Квантор существования — символом Зх (3 — перевернутая начальная буква немецкого слова «Existieren* — «существуют»). 480
Есть такая поговорка: «Каждому овощу — свое время» — высказывание мудрое и употребительное во многих жизненных ситуациях. Термин «высказывание» мы применяем здесь в стро- гом логическом смысле, а называя его мудрым, подчер- киваем, что оно истинно. Интересно разобрать- ся в структуре этой фразы Слово «каж- дый» — прямой намек на то, что здесь употреблен квантор общности. Осоз- нав это, нетрудно пере- вести поговорку на язык йсчисления предикатов. Для этой цели, как пола- гается, введем предмет- ные переменные: буквой х будем обозначать элементы множества овощей, буквой у —то или иное время года Ну, а теперь можно читать, как по писанному: «Для любого х существует у такой, что х созревает в у». УхЗу (х созревает в у) Предикат «х созревает в у» — двухместный. И потому чтобы превратить его в высказывание, связав в нем обе переменные, понадобилось два квантора. А теперь попробуем немного поэкспериментировать С этими кванторами. Поменяем их местами. Перед нами — новое высказывание: «Существует у такой, что для любого х х созревает в у». Или более понятно «Существует время, в которое созревают все овощи» ЗуУх (х созревает в у) Не надо быть агрономом, чтобы сразу сказать: Это неверно! Стало быть, от такой малости, как перестановка кван- торов, высказывание превращается из истинного в лож- ное. 16-480 481
Следует заметить, что подобные казусы случаются лишь с разноименными кванторами. Одноименные можно переставлять без боязни. Отчетливее всего нам докажут это математические примеры. Будем обозначать буквами хи у прямые на плоскости. Возьмем такое высказывание: «Для любого х и для любого у х пересекает у». Высказывание явно ложное (ведь существуют и непересекающиеся, параллельные прямые), и никакая перестановка кванторов не превра- тит его в истинное. Употребим в той же фразе кванторы существования: «Существует х такая и у такая, что х пересекает у». Теперь высказывание верно, и ему не страшна переста- новка кванторов: оно от этого не станет ложным. Станем теперь обозначать буквами х и у веществен- ные числа. На сей раз начнем с истинного утверждения: «Для любого х существует у такое, что х меньше у». Переставим кванторы: «Существует у такое, что любого х х меньше у». Высказывание получилось явно ложное: ведь оно утверждает, что среди действительных чисел есть наибольшее! Итак, читатель, будьте осторожны с перестановкой разноименных кванторов! Предикаты и кванторы, свободные и связанные пере- менные... Мы полагаем, читатель, что вы уже настолько освоились с этими понятиями, что сможете решить с их помощью несложную задачу, которую мы приготовили для вас. Дано: предикат «х меньше у», определенный на мно- жестве вещественных чисел. Требуется: построить на его основе высказывание (безразлично какое — истинное или ложное). Как вы догадываетесь, решений у задачи — неисчер- паемое количество: «три меньше пяти», «семь меньше десяти», «существует х такой, что х меньше семи», «для любого х х меньше нуля», «для любого х существует у такой, что х меньше у...» (Из перечисленных высказыва- ний четвертое ложное, остальные истинны.) 482
Решений много, но способов решить поставленную задачу — всего два: каждую из предметных переменных предиката нужно либо заменить предметной постоян- ной, либо связать квантором. Предикат (а точнее, выражающая его высказыватель- ная форма) становится высказыванием, когда в нем не остается свободных предметных переменных. Связывая любую из них тем или иным квантором или заменяя ее предметной постоянной, мы снижаем число мест в предикате на единицу Для нас уже стало привычным, знакомясь с очеред- ным понятием мудреного исчисления предикатов, обра- щаться за пояснениями к хорошо освоенным положени- ям исчисления высказываний и теории множеств. Так было, когда мы беседовали об одноместных и многоместных предикатах, о логических операциях над ними Подыщем подобные аналогии и для кванторов. С ними нас познакомил экспериментатор' пытавший- ся доказать опытным путем, что все нечетные числа простые. С точки зрения логики он размышлял над вопросом: что будет получаться, если навешивать кван- торы существования и общности на предикат «х простое число», определенный на множестве нечетных чисел? Беря пример с нашего исследователя, не пошедшего в своих опытах дальше тринадцати, сузим это множество вообще до четырех нечетных чисел первой десятки: 3, 5, 7, 9. Первый вывод экспериментатора заключался в следу- ющем: «Существует х такое, что х простое число». Отно- сительно отобранных нами чисел это значит, что или тройка, или пятерка, или семерка, или девятка — про- стое число. Вывод верный и весьма плодотворный для нас: мы видим, что квантор существования, по сути, не что иное, как логическая операция «или». Второй вывод экспериментатора был таким: «Для лю- бого х х простое число». Относительно тех же чисел первой десятки это означает, что и тройка, и пятерка, и семерка, и девятка — простые числа. Вывод, несомнен- 16' 483
но, ложный (все дело портит девятка), но не менее плодотворный, чем первый: мы видим, что квантор об- щности, в сущности, то же самое, что логическая опе- рация «и». Поправим нашего экспериментатора: «Неверно, что и тройка, и пятерка, и семерка, и девятка — простые числа». Это высказывание, очевидно, равнозначно тако- му: «Или тройка, или пятерка, или семерка, или девят- ка — не простое число». (Устанавливая такую равнознач- ность, мы основываемся на одном из уже известных нам законов де Моргана: отрицание конъюнкции нескольких высказываний равносильно дизъюнкции их отрицаний.) Перескажем последнее высказывание на «предикат- ном» языке: «Существует х такой, что х не простое число» (ведь операция «или» — не что иное, как квантор существования). По образцу только проведенного рассуждения можно рассмотреть ложное высказывание: «Неверно, что су- ществует х такое, что х простое число», и доказать, что оно равнозначно такому: «Для любого х х не простое число». Что же получается? Когда строится отрицание выска- зывания, содержащего квантор общности, он заменяет- ся на квантор существования, а операция отрицания переносится на предикат, к которому привешен квантор. Аналогично строится отрицание высказывания, содер- жащего квантор существования: он, соответственно, меняется на квантор общности. Но позвольте, заметит недоверчивый читатель, все это, по-видимому, так лишь постольку, поскольку об- ласть определения предиката, рассмотренного нами —, множество конечное: в нем всего четыре элемента, четыре нечетных числа первой десятки, так что обоб- щающие высказывания обо всем этом множестве («для любого... существует...») мы могли заменить конъюнк- циями и дизъюнкциями высказываний о каждом элемен- те в отдельности. А если перейти к предикатам, опре- деленным на бесконечных множествах? Так же ли будут строиться отрицания высказываний, содержащих кван- торы? Да, точно так же. Действительно, не нужно никаких предположений о конечности и бесконечности множе- 484
ства, элементы которого подразумеваются под пере- менной х, чтобы согласиться с равнозначностью таких фраз: «Неверно, что для любого х х обладает данным свой- ством» и «Существует х такой, что хне обладает данным свойством»; «Неверно, что существует х такой, что х обладает данным свойством» и «Для любого х х не обладает данным свойством». Если это понятно, можно смело строить отрицания высказываний, содержащих даже не один, а сколько угодно кванторов. ' Вернемся к вопросу о сроках созревания овощей. Несколькими страницами ранее мы решили: «Невер- но, что существует такое время, в которое созревает любой овощ». Или в переводе на «предикатный» язык: «Неверно, что существует у такой, что для любого х х созревает в у» (х — овощ, у — время). неверно, что ЗуХ/х (х созревает в у) С учетом только что сказанного заменим это выска- зывание таким, равнозначным: «Для любого у неверно, -что для любого х х созревает в у». Vy неверно, что Vx (х созревает в у) И еще одно преобразование по только что описанно- му методу: «Для любого у существует х такой, что х не созревает в у». Или в переводе на житейский язык: «В любое время какой-то овощ не созревает». Vy3x (х не созревает в у) Не правда ли — эта фраза означает то же, что исход- ная? Итак, мы видим, что строить отрицание высказывания, содержащего кванторы, — это играть в своеобразную чехарду: выражение «неверно, что» перепрыгивает слева направо через кванторы, меняя квантор сущест- вования на квантор общности, а квантор общности — на квантор существования, пока не доберется до предика- та, к которому привешены эти кванторы. 485
Однако не слишком ли мы увлеклись мудреными рас- суждениями? Вот уж которую страницу в нашей беседе не встречается ни шуток, ни занимательных историй. Не заскучали ли наши читатели? Хороший способ развлечь заскучавшую компанию — карточные фокусы. Одному из них мы вас сейчас научим. Существуют карты симметричные и несимметричные, у которых можно различать верх и низ. Скажем, бубно- вый туз симметричен, а у туза пикового есть выделенное направление, на которое указывает острие пики. Точно так же можно различать верх и низ у всех семерок, а вот шестерки такому различению поддаются все, кроме бубновой. Сложите теперь все несимметричные карты, чтобы верх у всех был ориентирован в одну сторону. Теперь предложите кому-нибудь вытащить из этой облегченной колоды какую-то карту и запомнить ее. Незаметно пере- верните колоду, поменяв местами верх и низ, и попро- сите вложить вынутую карту обратно — в любое место колоды. После этого можете на глазах у всех перетасо- вать ее — вы все равно угадаете, какая карта была вынута: она обнаружит себя ориентацией, отличающей ее от всех остальных карт. Первый показ этого фокуса обычно проходит на «ура». Однако если он разгадан и перестал вызывать интерес, вы можете поправить дело, обратив внимание на его логическую сторону. Описание этого фокуса так и кишит кванторами: «Су- ществуют несимметричные карты» (квантор существо- вания); «существует симметричная шестерка» (тот же квантор); «любая семерка несимметрична» (квантор об- щности)... Во всех этих высказываниях фигурирует одноместный предикат, равнозначный свойству «быть симметрич- ным» и определенный на множестве 36 листов карточ- ной колоды. Во втором высказывании употребляется другой предикат, определенный на том жё множестве и формулирующий свойство «быть шестеркой», в тре- тьем — «быть семеркой» 486
Чтобы сделать присутствие этих предикатов более явным, перепишем эти высказывания в несколько более пространном виде. «Существуют такие х. что х несимметрично* «Существуют такие х, что х симметрично и х шестер- ка». «Для любых х, если х семерка, то х несимметрично» (Кстати, эти фразы намечают еще одну параллель между исчислением предикатов и теорией множеств Первая означает, что множество несимметричных карт непусто. Вторая — что непусто пересечение множества несимметричных карт и множества шестерок. Третья — что множество семерок включено в множество несим- метричных карт. Подобным образом на «предикатном» языке можно выразить любое утверждение о непустоте или пересечении каких-либо множеств, о включении' одного множества в другое.) Какие же выводы следуют из нашего кратковремен- ного развлечения? Например, такой: если уж мы разо- брались в секрете эффектного карточного фокуса, то до секретов исчисления предикатов докопаемся обяза- тельно Так продолжим же наши игры, читатель! Не напомнил ли вам, читатель, наш карточный фокус о Сократе, про судьбу которого мы так и не смогли сказать ничего определенного, оставаясь в рамках ис- числения высказывания? Не показалось ли вам, что дело знаменитого философа подлежит рассмотрению в свете исчисления предикатов? В самом деле, первая посылка злополучного силло- гизма выглядит совсем как фраза: «Все семерки несим- метричны», которая на языке исчисления предикатов зазвучала так. «Для любого х, если х семерка, то х несимметрично» Если поступить также с первой посылкой силлогизма о Сократе, то весь он перепишется следующим образом Для любого х, если х человек, то х смертен. Сократ человек. 487
Следовательно, Сократ смертен. Теперь остается показать, как третье высказывание следует из первых двух. Во всякой доброй старой сказке, столкнувшись с трудностями или замыслив великое дело, главный герой незамедлительно отправлялся в дальнюю дорогу. В странствиях по белу свету он набирался опыта, мудрости, а от различных доброжелателей получал в подарок разные чудесные штуковины, как то: меч-кла- денец, сапоги-скороходы, скатерть-самобранка и т.п. Вернувшись домой во всеоружии, он без труда решал все свои проблемы. Читатель, по-видимому, уже обратил внимание на то, что авторы частенько следуют примеру сказочных геро- ев. Так оно было и совсем недавно: обнаружив, что исчисление высказываний недостаточно для анализа силлогизма о Сократе и многих других важных рассуж- дений, авторы взяли читателя под белы руки и повели - его по всяким учреждениям, где выдают и требуют справки, затаскивали в компании, где показывают кар- точные фокусы и рассказывают анекдоты о простых числах, и даже забрели в огород, где интересовались сроками созревания овощей. От взглядов внимательного читателя не утаилось, что во время этих визитов авторы прихватывали с собой разные полезные вещи, как то: предикаты, предметные переменные и постоянные, кванторы. Оказывается, достаточно присовокупить эти понятия к основным понятиям исчисления высказываний (мы имеем в виду высказывания и логические операции), чтобы на новой, расширенной основе стал возможным анализ математических и не только математических рассуждений. Но вот какая заковыка: если выгоды от приобретения сапогов-скороходов и скатерти-самобранки ясны каж- дому Иванушке-дурачку, то по поводу предикатов и кванторов у читателя могли появиться серьезные сомне- ния. 488
В самом деле, кому они нужны, если нормальные человеческие фразы вида «Все люди смертны» с их помощью превращаются в каких-то монстров: «Для лю- бого х, если х человек, то х смертен»? Конечно, простота — великое достоинство. Но невер- но думать, что усложнения всегда нерациональнь/. «Кто там?» — отзываетесь вы на стук в дверь. Фраза понятна и вам и стучащему, а между тем она явно уклоняется от норм грамматики. Попробуйте-ка разо- брать ее по членам предложения — и вы убедитесь, что ради этого' ее необходимо усложнить, добавив недоста- ющее (но п< дразумеваемое) сказуемое: «Кто есть там?» Точно так же мы не могли вскрыть логическую связь между фразами «Все люди смертны» и «Сократ — чело- век», покуда не усложнили первую из них, сделав раз- ложимой на звенья, одно из которых («х — человек») оказалось обобщенным вариантом второй фразы. Правда, мы еще не знаем, как использовать эту связь, чтобы вывести из этих двух фраз третью: «Сократ смер- тен». Мы еще не до конца прошли дорогу, в которую отправились, столкнувшись с недостаточностью исчис- ления высказываний. Так что — снова в путь, читатель! Можем вас обнадежить, что до цели осталось немно- го Да и идти придется знакомой местностью, через пункты с названиями которых мы знакомы по исчисле- нию высказываний: логическая формула, равносильные формулы, общезначимая формула, правило вывода. Итак, пункт первый: логическая формула. В исчислении высказываний это была любая выска- зывательная переменная или постоянная, а также любая их комбинация, образованная по определенным прави- лам с помощью символов логических операций и ско- бок. В исчислении предикатов, которое по отношению к исчислению высказываний является расширением и обобщением, шире толкуется и термин «формула». 489
Во-первых, это всякая высказывательная переменная или постоянная. Во-вторых, это любой символ для обозначения про- извольного предиката. Кстати сказать, если традицион- ное обозначение высказывательной переменной — про- писные начальные буквы латинского алфавита, то тра- диционное обозначение произвольного одноместного предиката — Р (х), двухместного — Р (х, у) и так далее. В формулах исчисления предикатов первый из этих символов можно понимать и как «х — овощ», и как «х — моряк», и вообще как «х обладает некоторым свойст- вом», второй — и как «х меньше у», и как «х любит у», и вообще как «х находится в некотором отношении к у». В-третьих, это все то, что получается из формул ис- числения предикатов после навешивания на них кванто- ров существования и общности. В-четвертых, это любая комбинация формул исчисле- ния предикатов, образованная с помощью символов логических операций и скобок по тем же правилам, что и в исчислении высказываний. Надо лишь следить, чтобы в каждой такой комбинации предметные пере- менные, свободные в одной формуле, были свободны и в других. Тогда они будут свободны и во всей комбина- ции. Обратите внимание на первое и последнее положе- ние: из них-то и следует, что исчисление предикатов включает в себя все формулы исчисления высказыва- ний, являясь в этом смысле его расширением и обоб- щением Как мы видим, в формулах исчисления предикатов встречаются переменные трех сортов Прежде всего это высказывательные переменные. Далее, это предметные переменные предикатов. Нако- нец, поскольку символы для обозначения предикатов могут иметь в этих формулах произвольный смысл, их называют предикатными переменными Всем таким переменным, входящим в некоторую фор- мулу исчисления предикатов, придают определенные значения: каждая предикатная переменная истолковы- вается как какой-то конкретный предикат, вместо каж- дой свободной предметной переменной подставляется название какого-то элемента из ее области значений, 490
каждой высказывательной переменной придается ис- тинное или ложное значение. И тогда вся формула обращается в истину или ложь. Предположим, написано: А -♦ ЗхР(х). Буква А, пропис- ная начальная буква латинского алфавита, — это, несо- мненно, какое-то высказывание. Например, такое: «Дважды два пять». Р (х) — какой-то предикат. Скажем* «х ведьма» (подх, естественно, подразумевается какая- то женщина). Стало быть, один из возможных переводов нашей символической фразы на общепонятный язык — это известный нам афоризм Хаусдорфа: «Если дважды два пять, то существуют ведьмы». У этой импликации ложная посылка. Согласно опре- делению логической операции «если... то» этого уже достаточно, чтобы вся импликация в целом была истин- на. Пункт второй: равносильные формулы. В исчислении высказываний так назывались любые две логические формулы, принимающие одни и те же истинностные значения, какие бы значения ни придава- лись входящим них высказывательным переменным. В исчислении предикатов определение равносильной формулы — точно такое же, кроме двух последних слов Вместо них следует поставить: «... предикатным, пред- метным и высказывательным переменным». Аналогия, как видим, весьма тесная. Она позволяет без труда заключить, например, что любые две равно- сильные формулы исчисления высказываний обраща- ются в равносильные формулы исчисления предикатов, если вместо одинаковых высказывательных переменных в них подставить какие угодно (но одинаковые же) фор- мулы исчисления предикатов. Конечно, такой способ не позволяет получить все пары равносильных формул исчисления предикатов* ведь исчисление высказываний на знает кванторов. А с их помощью можно образовать не одну пару равносиль- ных формул исчисления предикатов. 431
Кстати, с такими парами мы уже неявно встречались, разбирая поговорку: «Каждому овощу свое время». По существу, мы доказали тогда, что отрицание произволь- ной формулы исчисления предикатов, содержащей кванторы, равносильно такой формуле, где каждый квантор существования заменен на квантор общности и обратно, а знак отрицания перенесен на предикат, сто- ящий за ними. Пункт третий: общезначимая формула. В исчислении высказываний этому термину соответ- ствует понятие тоадественно-истинной формулы. Соот- ветствие четко подсказывает, в чем определяющее свойство общезначимой формулы исчисления предика- тов: она обращается в истину всегда, какие конкретные предикаты ни подставить в нее вместо предикатных переменных, какие значения из области определения этих предикатов ни назначить входящим в них свобод- ным предметным переменным и какие значения истин- ности ни' придать высказывательным переменным, встречающимся в формуле. Опыт предыдущего раздела подсказывает нам безот- казный способ, которым можно получать общезначимые формулы исчисления предикатов: взять любую тоадест- венно-истинную формулу исчисления высказываний и каждую высказывательную переменную заменить про- извольной формулой исчисления предикатов. Поскольку такая аналогия весьма очевидна, не имеет смысла .помещать здесь получаемые с ее помощью общезначимые формулы исчисления предикатов. В таб- лице приведены лишь формулы, выходящие за рамки аналогии: они содержат кванторы. В некоторых из них встречается символ эквивален- ции. Так же, как и в исчислении высказываний, его можно заменять знаком тоадественного равенства: обе половинки каждого такого равенства будут представлять собой равносильные формулы. 492 /
Таблица 6 Общезначимые формулы исчисления предикатов (Ъ/хР(х)) о (Зх]Р(х)) (ТВхР(х)) <-> (VxlP(x)) (VxP(x) л VxQ(x)) <-> (Vx(P(x) л Q(x))) (ЗхР(х) v 3xQ(x)) о (Зх(Р(х) v Q(x))) (VxVyP(x.y)) <-> (VyVxP(x.y)) (ЗхЗуР(х.у)) <-> (ЗуЗхР(х.у)) (VxP(x) v VxQ(x)) (Vx(P(x) v Q(x))) (3x(P(x) a Q(x))) (3xP(x) a 3xQ(x)) (Vx(P(x) Q(x))) -> (VxP(x) -> VxQ(x)) (3xVyP(x,y)) -> (Vy3xP(x,y)) P(y) -» (3xP(x)) (VxP(x)) -4 P(y) Из формул, содержащих символ импликации, особого интереса для дальнейшего заслуживают две последние. Возьмем, например, самую последнюю. В переводе на предметный язык ее можно прочесть так: «Если ночью все кошки серы, то сера ночью и наша Мурка». Общезначимость этой формулы доказать нетрудно, особенно если продолжать ее разбор в «кошачьей» интерпретации. Действительно, здесь возможны два варианта. Первый, неблагоприятный: ночью не все кошки серы. Это означает, что основание импликации ложно. Но тогда вся импликация истинна, каким бы ни было следствие, истинным или ложным (загляните-ка еще раз в таблицу истинности для операции «если... то»). Второй, благоприятный вариант: ночью все кошки серы. Но тогда сера и Мурка, как одна из этих кошек. Тогда и основание, и следствие истинны, а значит, истинная и вся импликация. Других вариантов нет Стало быть, анализируемая нами формула общезначи- ма. Читатель может доказать общезначимость всех ос- тальных формул. Он сразу обнаружит, что это не такое простое дело, как в исчислении высказываний. Там для решения по- добного вопроса было достаточно построить таблицу истинности. В исчислении предикатов такой способ не- применим, если хотя бы у одной свободной предметной переменной, входящей в формулу, область значений 493
представляет собой бесконечное множество. Механи- ческое заполнение таблиц здесь уступает место рассуж- дениям, не менее сложным, чем вышепроведенный раз- бор вопроса о ночной расцветке кошек. Зато уж доказать, что какая-то формула не общезна- чима, часто оказывается делом простым. Помните, как нас позабавил незадачливый экспери- ментатор, который верил, будто все нечетные числа простые9 К такому предположению он пришел, обнару- жив несколько нечетных чисел, которые действительно просты. А далее он повторил заблуждение многих, ко- торое, дабы не причинить никому обид, мы выразим в абстрактной форме: «Если в некотором множестве су- ществует элемент, обладающий некоторым признаком, то этим признаком обладают все элементы данного множества». Но такая импликация вовсе не общезначима. Доказать это можно на примере ice того же экспериментатора. Под элементами множества, о которых говорится в нашей импликации, будем подразумевать нечетные числа — пусть их будет всего два: семерка и девятка. А признак, о котором идет речь, пусть заключается в том, что число — простое. Тогда основание разбираемой импликации верно: среди наших нечетных чисел суще- ствует простое, например, семерка. А вот следствие импликации ложно, не все из наших нечетных чисел просты, скажем, девятка не такова. Но если основание импликации истинно, а следствие ложно, то вся импли- кация ложна. «Единожды солгавши, кто тебе поверит?» — говари- вал мудрый Козьма Прутков. Чтобы доказать, что неко- торая формула исчисления предикатов не общезначи- ма, достаточно подставить в нее лишь раз подходящие для этого конкретные предикаты с конкретными облас- тями определения и убедиться, что вся формула при этом обращается в ложь. Пункт четвертый: правила вывода 494
Но прежде — несколько слов о логическом следова- нии. В исчислении высказываний, говоря, что из данных формул-посылок следует некоторая формула-заключе- ние, мы имели в виду, что заключение истинно по крайней мере при всех таких значениях входящих во все эти формулы высказывательных переменных, при кото- рых обращаются в истину все посылки. В исчислении предикатов логическое следование оп- ределяется почти так же, но с небольшой обобщающей поправкой: формула-заключение истинна по крайней мере при всех таких значениях предикатных, предмет- ных и высказывательных переменных, при которых об- ращаются в истину все формулы-посылки Заметим, что сказанное позволяет добавить к посыл- кам любую общезначимую формулу, она обращается в истину всегда, каковы бы ни были входящие в нее переменные. Нетрудно перефразировать для исчисления предика- тов понятие вывода или доказательства, освоенное нами в исчислении высказываний. Это некоторая пос- ледовательность формул исчисления предикатов, каж- дая из которых есть либо одна из посылок, либо полу- чается из предшествующих ей формул по какому-либо правилу вывода исчисления предикатов, а последняя формула есть заключение. Как и в исчислении высказываний, употребляемые при этом правила вывода основаны на общезначимых формулах. Эти формулы выражают собой законы логи- ки, и недаром их незримое присутствие можно выявить во всяком рассуждении, которое укладывается в рамки исчисления предикатов. 4 , Например, вслед за посылкой: «Ночью все кошки серы» естественно написать: «Ночью наша Мурка сера». Логично ли это заключение? Вполне. Для обоснования достаточно к имеющейся посылке добавить другую — высказывание. «Если ночью все кошки серы, то ночью сера и наша Мурка», основанное на известной нам из таблицы 6 общезначимой формуле (а такие формулы, как мы уже говорили, можно вводить в любое рассужде- ние). К двум этим посылкам остается применить прави- ло заключения, знакомое нам еще по исчислению вы- 495
сказываний и основанное на одной из ее тождественно- истинных формул. В чем же суть перехода от высказывания «Ночью все кошки серы» к высказыванию «Ночью наша Мурка сера»? Оба получены из одного и того же предикта «ночью х сера», определенного на множестве кошек. Только в одном случае («ночью все кошки серы») этот предикат превращен в высказывание навешиванием квантора об- щности, а в другом («ночью наша Мурка сера») — под- становкой предметной постоянной «наша Мурка». Подобный переход логично делать с произвольным предикатом и вслед за утверждением о том, что каким- то свойством обладают все элементы какого-то множе- ства, утверждать, что данным свойством обладает неко- торый конкретный элемент данного множества. Это пра- вило вывода в исчислении предикатов называется пра- вилом универсальной конкретизации. Формула, стоящая предпоследней в вышеприведен- ном списке общезначимых формул исчисления преди- катов, подсказывает еще одно правило вывода: от ут- верждения, что некоторый элемент какого-то множества обладает каким-то свойством, логично переходить к утверждению, что существует элемент данного множе- ства, обладающий данным свойством. Например, вслед за высказыванием: «Треугольник АВС равносторонний» можно писать: «Существуют равносторонние треуголь- ники». Это так называемое правило экзистенциального обобщения. Иногда в математических рассуждениях встречаются переходы типа: «Существуют равносторонние треуголь- ники. Пустьтреугольник АВС равносторонний». Говорят, что здесь применено правило экзистенциальной кон- кретизации. Наконец, в математических рассуждениях применяет- ся так называемое правило универсального обобщения. Скажем, берется произвольный треугольник и доказы- вается, что его медианы пересекаются в одной точке. Далее говорится: поскольку треугольник произвольный, то у любого треугольника медианы пересекаются в одной точке. 496
Таковы некоторые часто употребляемые в исчислении предикатов правила вывода, содержащие кванторы и потому выходящие за рамки исчисления высказываний. Позвольте поздравить вас, читатель: мы с вами про- шли до конца весь намеченный нами путь. Продвигаясь по нему, мы познакомились с понятиями исчисления предикатов, вполне достаточными для анализа матема- тических (и не только математических) рассуждений. На заключительном этапе пути нам крепко помогли аналогии с исчислением высказываний. Читатель заме- тил, что эти аналогии всегда носили характер обобще- ния. Уже из определения формул исчисления предика- тов следовало, что в их число входит всякая формула исчисления высказываний. Среди формул исчисления предикатов мы особо вы- делили общезначимые, подчеркнув, что они выражают законы логики. В них, согласно сказанному, включаются и все тождественно-истинные формулы исчисления вы- сказываний, также носящие высокое звание законов. Однако это включение — строгое: законы исчисления высказываний представляют собой лишь часть законов исчисления предикатов. Отсюда и следует, что исчисле- ние предикатов позволяет анализировать такие рассуж- дения, которые не под силу исчислению высказываний. Догадливый читатель, вероятно, уже понял, что после этих слов мы примемся за Сократа. Да, сейчас мы уже готовы разобрать каверзный силлогизм. Как и положено в науке, прежде чем браться за людей, мы обстоятельно поэкспериментировали с животными. Поговорка «Ночью все кошки серы» познакомила нас с важным для исчисления предикатов правилом вывода — правилом универсальной конкретизации. Его-то мы и применим к первой фразе силлогизма о Сократе (запи- санной на «предикатном» языке): «Для любого х, если х человек, то х смертен». На основании сказанного по поводу кощек логично, опустив в этом высказывании квантор общности, подставить вместох имя конкретного Сократа: «Если Сократ человек, то Сократ смертен». 497
Поставим рядом с полученным высказыванием вторую посылку силлогизма: «Сократ человек». Наконец, к двум последним фразам применим правило заключения, зна- комое, нам по исчислению высказываний, и получим: «Сократ смертен» Торжественность, с которой мы поздравили читателя с решением головоломки о Сократе, вполне оправдан- на: решив каверзную загадку, мы познакомились с ис- числением предикатов, на котором держатся очень мно- гие математические теории: и арифметика натуральных чисел, и элементарная планиметрия — врата математи- ческой учености всякого школьника, и математический анализ, и аналитическая геометрия, и теория функций комплексного переменного... Пытаясь в самых общих словах охарактеризовать ту или иную из них, мы тотчас почувствуем, что говорим на «предикатном» языке В самом деле, каждая математическая теория имеет дело со своим множеством математических объектов: скажем, элементарная планиметрия — со множеством точек и прямых на плоскости. Множество объектов, описываемых математической теорией, должно быть точно определено Как, напри- мер, определить множество точек, множество прямых? Перечисление Здесь, очевидно, не годится, и следует прибегнуть к определению через характеристическое свойство: «быть точкой», «быть прямой». Но любое свой- ство, как мы уже знаем, — это одноместный предикат. Объекты, изучаемые той или иной математической теорией, мыслятся с определенными свойствами и в определенных отношениях друг с другом. Так, элемен- тарная планиметрия говорит о непрерывности прямых линий, о принадлежности точек прямым, о параллель- ности прямых, о конгруэнтности фигур (то есть о воз- можности совместить их наложением), о том, что из любых трех точек, лежащих на одной прямой, одна обязательно находится между двумя другими... 498
А теперь вспомним: всякое отношение между элемен- тами каких-либо множеств — это не что иное, как много- местный предикат. Бинарные отношения, выражаемые фразами с иксами и игреками «х принадлежит у», «х параллельно у», «х конгруэнтно у», — это двухместные предикаты. Тернарное отношение между точками пря- мой, выражаемое фразой «у лежит между х и z», — трехместный предикат. ' Свойства объектов, изучаемых той или иной матема- тической теорией, и отношения между ними точно и полно фиксируются в высказываниях, называемых акси- омами. Вот, например, аксиомы элементарной плани- метрии: Для любых двух точек существует одна и только одна такая прямая, что эти точки принадлежат ей. Для любой прямой существуют по крайней мере две точки, принадлежащие ей. Существуют по крайней мере три точки, не принадле- жащие одной прямой. Для любых трех точек, принадлежащих одной прямой, существует одна и только одна, лежащая между двумя другими, и т.д. Ни фразы без кванторов! Чистый «предикатный» язык! , Обратимся к аксиомам арифметики натуральных чисел — та же история: «Для любых двух чисел х и у выполняется одно из трех соотношений: х меньше у или у меньше х или х равно у». «Для любых двух чисел х и у существует число z такое, что х плюс у равно z...» Полистаем первые страницы учебника математичес- кого анализа. Мы и на его страницах обнаружим «пре- дикатный» язык. Вот, скажем, как выражается тот факт, что число а является пределом последовательности хп: «Для любого продолжительного числа е существует на- туральное число N такое, что для любого номера л, если л больше N, то абсолютная величина разности х„ — а меньше е». Листая любой учебник (вернемся ради простоты к учебнику элементарной планиметрии), мы увидим, что на основе объектов и отношений, описываемых аксио- мами, определяются новые объекты и отношения. Взяв две точки на плоскости и прямую, которой они обе 499
принадлежат, определяют отрезок — совокупность точек прямой, лежащих между двумя данными. Взяв три точки и построив три соответствующих отрезка, опре- деляют треугольник. Введя понятие угла, а затем пря- мого угла, определяют отношение перпендикулярности прямых и т.д. На дальнейших страницах учебника мы вскоре увидим особо выделенные высказывания, называемые теоре- мами. Каждая теорема сопровождается доказательст- вом — конечной последовательностью высказываний, каждое из которых есть либо аксиома, либо получается из других высказываний, предшествующих ему в дока- зательстве, по одному из правил вывода исчисления предикатов. Последняя фраза в этой цепочке высказы- ваний есть доказываемая теорема (ее часто отмечают словами: «Что и требовалось доказать»). Совокупность теорем (то есть высказываний, логичес- ки следующих из аксиом) и представляет собой мате- матическую теорию, основанную на данных аксиомах. При таком подходе каждую аксиому можно рассмат- ривать как теорему: все ее доказательство состоит из единственного высказывания — ее самой. Быть может, кое-кого из наших читателей удивит до- казуемость аксиом. Удивятся скорее всего те, кто счи- тает аксиомы очевидными истинами, не требующими доказательств. Весь наш разговор о логике внушает, однако, совсем другое представление об аксиомах: это исходные высказывания некоторой теории, из которых выводятся все остальные составляющие ее высказыва- ния — теоремы. В таком определении не утверждается недоказуемость аксиом — стало быть, допускается до- казуемость. Вот математики и доказывают их — так, как только что было сказано. Впрочем, в учебниках, излагающих ту или иную мате- матическую теорию, лишь самые первые теоремы выво- дятся непосредтвенно из аксиом. Видимо, учитывая предостережение Вольтера: «Верное средство быть скучным — объяснять все», авторы учебников сокраща- ют доказательства, начиная их не с аксиом, а с ранее доказанных теорем, опуская очевидные положения и т.д. 500
Вот, например, как доказывается теорема о том, что у любого четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180’. Рассмотрим произвольный вписанный четырехугольник ABCD. Известно, что любой угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на кото- рую он опирается. Следова- тельно, угол ZABC равен поло- вине дуги uADC. Аналогично, угол ZADC равен половине дуги иАВС. Сумма дуг uADC и иАВС равна 360*. Следова- тельно, сумма углов ZABC и ZADC равна 180*. Поскольку четырехугольник ABCD произ- вольный, доказанное справедливо для любого четырех- угольника, вписанного в окружность. Вторая фраза приведенного доказательства — это ранее доказанная теорема (об этом напоминают слова «известно, что»). Из нее по правилу универсальной кон- кретизации естественно заключить (хотя это явно и не сделано в приведенном доказательстве): «Если угол ZABC вписан в окружность, то он равен половине дуги uADC, на которую он опирается». Из формулировки теоремы вытекает и такое высказывание (хотя его тоже нет в доказательстве): «Угол ZABC вписан в окруж- ность». После сказанного становится заметным, что тре- тья фраза приведенного доказательства следует из только что написанных по правилу заключения, извест- ному нам еще по исчислению высказываний. А послед- няя фраза основана на правиле универсального обоб- щения.
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ - ДИАЛОГ АВТОРОВ — Ну вот и окончилось наше путешествие по некото- рым интересным разделам математики. — И поскольку мы исполняли обязанности гидов, уместно поинтересоваться: не осталось ли у кого-то каких-либо вопросов? — Позволь мне спросить первому: как ты думаешь, кто вместе с нами дошел до конца? Кому оказалось полез- ным знакомство с математикой, лишенной формул и строгих доказательств, место коих заняли шутки и по- басенки? Кто заинтересован в подобных книгах? — Во-первых, мне кажется, преподаватели. Элементы высшей математики сейчас проникают даже в школьный курс. Школьникам надо излагать ее иначе, чем студен- там. Как говорил Паскаль, «предмет математики на- столько серьезен, что полезно не упускать случая сде- лать его немного занимательным». —А можно воздействовать такими книгами непосред- ственно и на самих учеников, особенно если математика подавалась им в изрядно пересушенном виде и потому казалась скучноватой. Привлеченные яркой оболочкой занимательности, эти читатели попутно станут усваи- вать и математическое содержание, которое до сих пор казалось им горьким. — Я вспомнил бы еще про тех, которым математика сейчас нужна в гораздо большем объеме, чем излага- лось в школе и вузах, где они учились. Это биологи, лингвисты, социологи — короче, все те, кто пытается перевести свою специальность на математические рельсы. Где брать этим людям первые уроки математи- ки? Из серьезных учебников? Не слишком ли высока эта ступенька для первого шага? Должны существовать книги, играющие роль промежуточной ступеньки. — И их должно быть тем больше, чем интенсивнее происходит математизация знания. А ведь она ширится и ускоряется на наших глазах. Уже давно замечено, что 502
из всех наук наиболее быстро развиваются точные. Вот почему прочие науки стремятся перейти в разряд точ- ных. — Мне опомнилось по этому поводу высказывание Дарвина: «У людей, усвоивших великие принципы мате- матики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных» — А я хотел бы привести слова другого биолога, хотя и менее известного, чем Дарвин. Это Фабр, автор книг о жизни насекомых Про математику он говорил, что это «удивительная учительницу в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкор- чевывать глупости, фильтровать грязное и давать яс- ность. Но она, — продолжал далее ученый, — тот дели- катный цветок, который произрастает не на всякой почве и распускается так, что никто не знает как» — Имеется в виду, что никто не знает, каким образом некоторая область знания становится точной? К сожа- лению, исчерпывающих рекомендаций на этот счет, действительно, не существует. И если мы с тобой про- должим разговор на эту тему, мы сможем повторить лишь самые общие соображения. — Согласен. Но если мы не сумеем порекомендовать представителю любой специальности, что именно сле- дует делать ради математизации его науки, давай хотя бы предостережем его от того, чего не следует делать. — По крайней мере разберем некоторые хронические заблуждения, касающиеся математики. Ну, например, многим кажется, будто развитие каждой математичес- кой дисциплины начинается с провозглашения аксиом, невесть откуда взявшихся. А потом на них выстраивает- ся все дальнейшее. Напротив! Четкая формулировка аксиом той или иной математической дисциплины за- вершает целый этап ее развития, оформляет достигну- тые результаты. Как говорил Энгельс, «принципы — не исходный пункт исследования, а его конечный резуль- тат». • — Некоторые считают, что вся геометрия началась с «Начал» Эвклида. А ведь до этой книги были открытия Фалеса, Пифагора, Гиппократа, систематизированные Эвклидом. Причем его систематизация была кое в чем несовершенной, как выяснилось в прошлом веке. К 503
исходу девятнадцатого столетия и была создана аксио- матика геометрии, в основном приемлемая nd тогдаш- ним канонам строгости. Она завершила, таким образом, двадцатипятивековой этап в развитии элементарной геометрии. — Но логично спросить: если точная наука начинается не с аксиом, то с чего же? — Об этом могла бы рассказать история таких клас- сических точных наук, как механика, термодинамика, оптика, электродинамика. Все начинается с накопления экспериментальных фактов, установления устойчивых связей между явлениями, обычно называемых закона- ми. Возьми хотя бы ту же электродинамику. Закон Ам- пера, закон Фарадея, закон Био-Савара — сколько их было открыто, покуда не появились уравнения Максвел- ла, своеобразные аксиомы электродинамики, из кото- рых вытекали открытые до тех пор законы электромаг- нитного поля. — Но, очевидно, ценность уравнений Максвелла этим не исчерпывается. В самом деле, хороша ли та теория, которая лишь по-новому излагает уже известное? — Разумеется, нет! Теория и строится и развивается ради получения новых знаний о природе. Аксиомы ценны, тем, что из них логическим путем выводятся утверждения, предсказывающие неизвестные ранее яв- ления. Так было и в электродинамике: тот же Максвелл, анализируя свои знаменитые уравнения, пришел к за- ключению, что существуют электромагнитные волны, что свет имеет электромагнитную природу... Его гипо- тезы потом блестяще подтвердились экспериментами. Великий принцип математики, заключенный в ее дедук- тивном методе, в способности вывести все свои утверж- дения из немногих аксиом, поистине вооружил физиков как бы новым органом чувств, который позволяет им предвидеть и постигать то, что они не могут увидеть и вообразить. — Да, по-видимому, это хороший образец для любой науки, желающей стать точной. Хотелось бы выделить принципиальные моменты этого становления. По мере того как экспериментаторы накапливают опытные факты, теоретики вырабатывают элементарные осново- полагающие понятия, немногочисленные, но очень 504*
емкие в том смысле, что наблюдаемые факты могут быть интерпретированы как конкретные проявления этих по- нятий. В механике к их числу принадлежит понятие материальной точки, в электродинамике — понятие на- пряженности электрического и магнитного поля... — И еще один принципиальный момент: анализ спо- собов рассуждения, которые применяются в данной науке. Из них вырабатываются те принципы вывода, по которым из аксиом будут получаться следствия. — Здесь, по-моему, дело обстоит намного легче. Ло- гика во всех науках одна. Очень хорошо, если найденные в той или иной науке законы допускают количественную формулировку. Тогда для их выражения нужно лишь выбрать подходящий математический аппарат, а все дальнейшее идет по соответствующим правилам преоб- разования формул. — Я не согласен со словом «выбрать». Это значит — взять готовое. Такой путь, конечно, возможен и разумен. Математика создала богатый арсенал методов, дока- завших свою эффективность и в механике, и в термоди- намике, и в оптике... — И часто случается, что одно и то же уравнение позволяет описать очень далекие по своему физическо- му смыслу Явления. Одна и та же формула, например, выражает и закон взаимодействия двух электрических зарядов, и закон притяжения двух масс. Я не удивлюсь, если математический аппарат термодинамики приго- дится, например, в какой-то лингвистической теории. — Но может случиться и так, что готового аппарата для новой развивающейся науки на математических складах не найдется. Тогда его придется строить с нуля. Кстати, это пойдет на пользу самой математике, пополнит ее арсенал. Необходимость творчества может выявиться в самых непредвиденных местах. Вот, скажем, ты уверен, что во всех науках логика одна и та же — с ее извечным «да — нет», «истина — ложь». Но вспомни, как ты голо- суешь на собраниях. У тебя не две, а три возможности: «за», «против», «воздержался». И недаром разрабатыва- ются многозначная логика и еще более диковинные логические теории. Вполне возможно, что какая-то наука, становясь точной, примет на вооружение такую логическую систему, которая до сих пор еще не находи- 505
ла применения в точных науках. Ведь закономерности в каждой области знания свои. — Иными словами, превращение той или иной науки в точную — это процесс, идущий из самой ее глубины, а не бездумное заимствование уже известного матема- тического аппарата и отработанной терминологии. — Такое, к сожалению, встречается нередко. В иных книгах, написанных под девизом математизации науки, по существу, нет ничего, кроме нагромождения формул да жонглирования эффектными словечками: инвариант многомерность, изоморфизм... — Искривленное пространство, векторное поле и про- чая и прочая — Математизация не в этом. Не боясь повториться, я бы вновь попытался подчеркнуть два существеннейших ее положения. Первое — это обобщение уже достигну- того той или иной наукой и выделение нескольких ос- новных утверждений, если угодно, аксиом содержащих точное и полное описание взаимосвязей между элемен- тарными понятиями данной науки и одновременно слу- жащих определениями этих понятий Второе — это за- крепление принципов вывода, согласно которым всякое утверждение данной науки логически вытекало бы из ее аксиом. — Все это, конечно, очень просто порекомендовать, но очень трудно выполнить. Проблем тут возникает немало. Располагает ли данная наука необходимыми для описанной процедуры основополагающими поня- тиями? Если располагает и на их основе удалось сфор- мулировать некоторую систему аксиом, то полна ли эта система, то есть можно ли, исходя из нее, вывести любое утверждение данной науки, хотя бы любое из уже известных? Если же система неполна, то как ее попол- нить? Такое пополнение рано или поздно окажется не- избежным с открытием новых фактов... Вот что должно заботить специалиста, желающего видеть свою дисцип- лину в ряду точных наук. — А что касается формул, это уж как получится. — Вот на этой фразе, оправдывающей название нашей книги, давай и закончим. 506
ББК 22.1 П 90 Пухначев Ю., Попов Ю. П 90 Математика без формул. — М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1995- 512 с. Математические формулы — лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти - идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни. 4809000000 - 005 _ П-----------------Без объявл 11 41А(03)-95- ISBN 5-7459-0026-1 © Пухначев Ю.,Попов Ю. Текст. Составление. 1995 г ©АО «СТОЛЕТИЕ». Составление, оформление, 1995 г