/
Tags: общее машиностроение технология машиностроения
ISBN: 5-283-03743-6
Text
Ю. Н. КУЗНЕЦОВ
i
тегшообмен
в проблеме
езопасности
ЯДЕРНЫХ
DEAKTOPOB
Ю.Н.КУЗНЕЦОВ
ТЕПЛООБМЕН
В ПРОБЛЕМЕ
БЕЗОПАСНОСТИ
ЯДЕРНЫХ
РЕАКТОРОВ
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
1989
УДК 621.039.534
Кузнецов Ю.Н. Теплообмен в проблеме безопасности ядерных реак-
реакторов. - М.: Энергоатомиздат, 1989-296 с: ил. - ISBN 5-283-03743-6
Для реакторных условий рассмотрены нестационарные процессы теплопро-
теплопроводности в твэлах, конвективного теплообмена и гидродинамики в каналах,
тепломассообмена для двухфазного теплоносителя в каналах, тепломассообме-
тепломассообмена для двухфазного теплоносителя в сосудах и каналах, истечения вскипаю-
вскипающего теплоносителя, кризиса теплообмена, закризисного теплообмена, пов-
повторного увлажнения, парового взрыва и др. Основное внимание уделено реко-
рекомендациям по расчету процессов. Изложены основы математического модели-
моделирования и машинные программы для расчетного анализа теплогидравлических
процессов в циркуляционных контурах ядерных реакторов и в их элементах
при аварийных и переходных режимах.
Для научных и инженерно-технических работников, специализирующихся
в области разработки, проектирования и эксплуатации АЭС. Может быть полез-
полезна студентам энергофизических специальностей вузов.
Табл. 2. Ил. 60. Библиогр. 241 назв.
Научное издание
КУЗНЕЦОВ Юрий Николаевич
ТЕПЛООБМЕН В ПРОБЛЕМЕ БЕЗОПАСНОСТИ
ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ
Редактор Г. В. Циклаури
Редактор издательства О. А. Степеннова
Художественный редактор Б. Н. Т у м и н
Технический редактор Е. В. П р о н ь
Корректор СВ. Малышева
ИБ№1046
Набор выполнен в издательстве. Подписано в печать с оригинала-макета 31.10.88.
Т-20560. Формат 60 х 88 1/16. Бумага офсетная №2. Печать офсетная. Усл.
печл. 18,13. Усл.кр.-отт. 18,13. Уч.-издл. 19,11. Тираж 2000 экз. Заказ 6610.
Цена 3 р. 20 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Отпечатано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна-
Знамени МПО "Первая Образцовая типография имени А.А. Жданова" Союзполиграф-
прома при Госкомиздате СССР. 113054, Москва, М-54, Валовая, 28.
„2304000000-257,, _ft
К 7 8
К 051 @1)-89
ISBN 5-283-03743-6 © Энергоатомиздат, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обеспечение безопасной эксплуатации АЭС является одной из важней-
важнейших проблем современной энергетики. Вопросам теплообмена и гидро-
гидродинамики в оборудовании АЭС отводится в этой проблеме ключевая
роль.
Возникновение аварийной ситуации на АЭС и возможные ее послед-
последствия в значительной мере определяются закономерностями нестационар-
нестационарных теплогидравлических процессов, протекающих в оборудовании АЭС
и в первую очередь в циркуляционном контуре ядерного реактора.
Важнейшая задача при создании АЭС — достоверное предсказание из-
изменения основных параметров в элементах оборудования для всего спект-
спектра постулированных аварийных ситуаций, формулирование на этой основе
требований к структуре и характеристикам систем безопасности, надеж-
надежное обоснование обеспечения безопасной работы АЭС, удовлетворение
соответствующим требованиям, например "Общим положениям обеспе-
обеспечения безопасности атомных станций при проектировании, сооружении и
эксплуатации (ОПБ-82)" [1].
Решение этой задачи требует описания количественных характеристик
нестационарных теплогидравлических процессов в оборудовании АЭС в
аварийных режимах. Анализ нестационарных теплогидравлических про-
процессов в аварийных режимах реактора носит в определенной степени
уникальный характер: во41ервых, определяющая роль теплогидравличес-
теплогидравлических процессов в обеспечении безопасной работы ядерного реактора не
имеет аналогов в крупных и отечественных технических устройствах;
во-вторых, данный анализ в значительной мере проводится для гипотети-
гипотетических условий аварийных ситуаций; в-третьих, обычный для техники
путь проверки и уточнения результатов и выводов априорного анализа
характеристик основных технологических процессов (а для ядерного
реактора это теплогидравлические и нейтронно-физические процессы) и
соответствующих инженерных решений на основе промышленных испы-
испытаний для АЭС не может быть реализован. Очевидно, что практически не-
невозможно и нецелесообразно воспроизвести на АЭС полный спектр по-
постулированных аварийных ситуаций, да еще для всех элементов оборудо-
оборудования АЭС и их модификаций. Наконец, в силу тех же причин, обуслов-
обусловливающих отсутствие полного эмпирического базиса, единственно воз-
возможным средством анализа нестационарных теплогидравлических про-
процессов в циркуляционном контуре реактора является расчетный анализ,
причем носящий характер не обобщения эмпирических данных, а теоре-
теоретического предсказания.
При разработке методологии такого анализа необходимо принимать
во внимание некоторые специфические обстоятельства:
а) наличие на различных стадиях аварийных ситуаций большинства из-
известных механизмов и режимов тепловых и гидродинамических процес-
процессов (например, теплопроводности, конвективного теплообмена, кипения,
конденсации, излучения, плавления и т.п.);
б) реализацию этих процессор в весьма сложных условиях: при неста-
нестационарности режима, связанной с резкими глубокими возмущениями па-
параметров; при наличии очень широких пределов изменения режимных па-
параметров - давления (от нескольких десятков мегапаскалей до близких
к атмосферному), температуры (от нескольких десятков до нескольких
тысяч градусов Цельсия), удельной массовой скорости (от значений,
близких к нулю, до нескольких тысяч килограммов на метр квадратный
в секунду), плотности и т.п.; при сложных геометрических формах, на-
наличии фазовых переходов и межфазных взаимодействий; при взаимном
влиянии многих процессов различной физической природы; при значи-
значительной изменяемости физических свойств и т.п.;
в) недостаточную изученность как фундаментальных, так и интеграль-
интегральных закономерностей теплогидравлических процессов в сложных усло-
условиях оборудования циркуляционных контуров ядерных реакторов в
аварийных режимах;
г) отношение к совокупности теплогидравлических процессов в ядер-
ядерном реакторе в аварийных ситуациях как к развивающейся системе, в
которой условия протекания и структура теплогидравлических процессов
в данный момент времени определяются предысторией развития системы,
обусловливающей дальнейшее ее состояние.
В качестве примера можно привести совокупность теплогидравличес-
теплогидравлических процессов, определяющих протекание так называемой максимальной
проектной аварии (МПА) для водо-водяного энергетического "реактора,
для которого под МПА понимается разгерметизация первого контура
вследствие мгновенного разрыва трубопровода максимального диаметра
с беспрепятственным двухсторонним истечением теплоносителя при ра-
работе реактора на номинальной мощности с учетом возможного ее превы-
превышения вследствие погрешностей и допусков системы контроля и управ-
управления. Для такой аварийной ситуации требуется [1, 2], чтобы система
аварийного охлаждения реактора обеспечила непревышение так называе-
называемого второго проектного предела повреждения твэлов (т.е. температура
оболочки твэлов не должна быть более 1200 °С), локальную глубину
окисления оболочек твэлов не более 18% первоначальной толщины и долю
прореагировавшего циркония не более 1% его массы в активной зоне.
Должны также быть обеспечены возможность расхолаживания реактора
и выгрузка топлива из активной зоны после МПА. Подробное описание
вероятного протекания МПА, устройства и работы систем аварийного
охлаждения активной зоны достаточно широко представлено в литерату-
литературе (например, в [3-4]). Вероятная система определяющих тепло гидрав-
гидравлических процессов включает в себя:
истечение воды, недогретой до температуры насыщения; резкое паде-
падение давления за время, равное нескольким сотым долям секунды, ниже
давления насыщения; прохождение волн разрежения и сжатия, возникно-
возникновение механических усилий на элементы конструкции активной зоны;
быстрое снижение расхода теплоносителя и опрокидывание циркуляции
при разрьюе трубопровода холодной нитки и увеличение при разрыве
горячей нитки;
вскипание теплоносителя в верхней части активной зоны и распростра-
распространение его по циркуляционному контуру; уменьшение скорости снижения
давления; снижение абсолютного значения расхода теплоносителя, опреде-
определяемого критическим истечением двухфазной смеси; снижение мощности
до уровня остаточного тепловыделения (около 7%); смену режимов
теплообмена в активной зоне от конвективного до поверхностного и раз-
развитого пузырькового кипения;
возникновение кризиса теплообмена при пузырьковом кипении (f ^
^ 0,5 -г 0,8 с при разрыве холодной нитки);
первый пик температуры оболочки вследствие перераспределения на-
накопленного в твэле тепла посредством теплопроводности;
дальнейшее изменение температуры оболочки твэла (в течение при-
примерно tj** 15 с), обусловленное следующими явлениями: небалансом ин-
интенсивности генерации тепла из-за остаточного тепловыделения (около
7% номинальной мощности при отключении реактора, около 5% после
10 с, около 2% после 10 мин), а также из-за экзотермической пароцир-
кониевой реакции (при Т > 1100 °С) и интенсивности отвода тепла" к
теплоносителю в режимах закризисного теплообмена (при переходном и
пленочном кипении) при возможном ухудшении охлаждения в условиях
вспучивания твэлов (при Т > 650 °С); продолжающимся истечением теп-
теплоносителя, приводящим к дальнейшему снижению давления и оголению
активной зоны;
начало работы пассивной подсистемы системы аварийного охлаждения
активной зоны при снижении давления в контуре ниже давления в гидро-
гидроаккумуляторе (гидроемкости); начало подачи холодной борированной
воды из гидроемкости либо в холодные нитки неповрежденных детель
реактора, либо, кроме того, в горячие нитки или в верхнюю камеру
реактора; перемешивание холодной воды с теплоносителем, содержащим-
содержащимся в контуре; проникновение воды при заливе в холодную нитку через
опускную трубу в нижнюю камеру реактора, чему препятствуют воздей-
воздействие встречного потока пара и эффект байпасирования вследствие про-
прохода части потока воды системы аварийного охлаждения в поврежденную
холодную нитку и далее в течь; дальнейшее снижение давления в контуре
до нескольких десятых мегапаскаля примерно до 30-й секунды, при
этом расход через активную зону близок к нулю;
окончание истечения теплоносителя при выравнивании давления в кон-
контуре и под оболочкой реактора 0,2—0,4 МПА; начало эффективного за-
заполнения нижней камеры реактора водой (примерно после 30-й секун-
секунды) ; включение активной системы подачи воды аварийного охлаждения
низкого давления при р ^ 1 МПа;
заполнение нижней камеры реактора водой (примерно до 50«« секун-
секунды) . В этот период происходит разогрев активной зоны, так как практи-
практически с момента включения гидроемкости и до окончания заполнения
нижней камеры активная зона находится без эффективного охлаждения и
имеет место лишь небольшой отвод тепла излучением и естественной кон-
конвекции! пара. Скорость нарастания температуры оболочки — около
8—12 °С/с, так что за 30 с температура оболочки может достичь значений
более 1100 °С, что приведет к существенному дополнительному выделе-
выделению тепла вследствие'пароциркониевой реакции. Определяющие факторы
этого периода — остаточный уровень воды в нижней камере реактора и
скорость заполнения камеры водой системы аварийного охлаждения реак-
реактора;,
залив разогретой активной зоны. При поднятии уровня воды выше ниж-
нижней отметки активной зоны условия теплообмена в активной зоне улуч-
улучшаются: интенсивное испарение воды приводит к образованию восходя-
восходящего потока пара с диспергированными в нем каплями унесенной жидко-
жидкости; отток тепла от горячих частей аварийной зашиты к этому дисперс-
дисперсному потоку, а также отвод тепла посредством осевой теплопроводности
к более холодным частям активной зоны приводит к повторному увлаж-
увлажнению поверхности твэлов, фронт повторного увлажнения постепенно'
поднимается вверх; режимы теплообмена: конвекция, пузырьковое ки-
кипение, переходное и пленочное кипение в обращенном кольцевом и дис-
дисперсном режимах двухфазного потока; температура оболочки твэла в дан-
данном сечении, проходит через второй пик и в соответствующий момент на-
начинает снижаться, особенно резко — при прохояодении через данное сече-
сечение фронта повторного увлажнения; эффект, препятствующий заливу, —
запирание части циркуляционного контура паром, проходящим через
парогенератор и насос в разрыв (что препятствует заливу вследствие ма-
малого располагаемого напора, создающего давление около 0,05 МПа);
длительное расхолаживание реактора после залива активной зоны.
Естественно, что совокупность взаимосвязанных нестационарных теп-
логидравлических процессов, протекающих при МПА, как и при других
авариях, определяющих развитие аварийной ситуации, и в свою очередь
определяющихся развитием аварийной ситуации, не может быть с разум-
разумной степенью эффективности описана в рамках традиционных методов
построения и использования корреляционных зависимостей для характе-
характеристик отдельных процессов.
Единственно возможным является системный подход, связанный с по-
построением математической модели физической системы, в которой реали-
реализуется совокупность нестационарных теплогидравлических процессов.
Математическая модель должна быть достаточно общей, чтобы охватить
необходимые классы режимов, возникающих при постулированных ава-
аварийных ситуациях, но в то же время в такой мере адекватной реальной
системе, чтобы обеспечить высокую степень надежности и достоверности
расчетного анализа нестационарных теплогидравлических процессов в
циркуляционном контуре реактора в аварийных ситуациях, необходимую
для выработки обоснованных инженерных решений и суждений, связан-
связанных с безопасностью АЭС.
К настоящему времени сложилась вполне эффективная методология
построения математических моделей нестационарной термогидравлики
реакторов, учитывающая специфику необходимости получения достаточно
достоверных результатов при существенной степени неизученности зако-
закономерностей протекающих физических процессов [5,6].
На первом этапе исходная весьма сложная система теплогидравличес-
теплогидравлических процессов в условиях циркуляционного контура реактора в аварий-
аварийных ситуациях в той или иной мере идеализируется в целях как упроще-
упрощения дальнейшего описания, так и возможного исключения эффектов и
явлений, кажущихся малосущественными либо неизученными. Этот этап
определяет место данной модели в ряду других. Например, пренебреже-
пренебрежение эффектами межфазного теплового и силового взаимодействия приво-
приводит к гомогенным равновесным моделям термогидравлики двухфазных
потоков, стоящим на нижних ступенях иерархии математических моделей
двухфазных систем.
Следующим этапом является построение системы дифференциальных
уравнений модели на основе применения фундаментальных законов со-
сохранения массы, импульса и энергии в рамках принятых при идеализа-
идеализации исходной системы физических допущений. Как правило, получаемые
на этом этапе системы дифференциальных уравнений столь сложны, что
требуют дальнейших упрощений, в частности применения процедуры усред-
усреднения во времени и в пространстве.
Неотъемлемой частью математической модели является система замы-
замыкающих соотношений, описывающих закономерности протекающих тепло-
тепловых, гидродинамических и массообменных процессов, позволяющая вос-
восполнить информацию, утраченную при упрощении основной системы диф-
дифференциальных уравнений, и получить замкнутое описание рассматривае-
рассматриваемой физической системы. Практическое использование полученного ма-
математического описания системы нестационарных термогидравлических
процессов связано с выбором методики численного решения задачи и
реализацией ее в виде машинной программы.
Физическая идеализация исходной системы нестационарных теплогид-
теплогидравлических процессов в циркуляционном контуре реактора, упрощения
при ее математическом описании, недостаточная изученность закономер-
закономерностей физических процессов, входящих в систему замыкающих соотно-
соотношений модели и протекающих в сложных и трудновоспроизводимых ус-
условиях, характерных для аварийных ситуаций, и, наконец, неточности,
связанные с численной реализацией модели, приводят к обязательному
этапу анализа достоверности как отдельных составляющих модели, так и
модели в целом. В основе такого анализа достоверности лежит сопостав-
сопоставление с систематическими экспериментальными данными как фундамен-
фундаментальных исследований закономерностей отдельных физических процессов,
что позволяет уточнить соответствующие корреляции системы замыкаю-
замыкающих соотношений модели, так и исследований на установках, моделирую-
моделирующих совокупность физических процессов в реальном оборудовании, и,
наконец, на системных установках, моделирующих взаимодействие обо-
оборудования в циркуляционном контуре ядерного реактора в аварийных
ситуациях, что необходимо либо для адаптации данной модели путем над-
надлежащего подбора содержащихся в ней опытных констант, либо для обос-
обоснования перехода к другой, более физичной модели. Следует отметить,
что сложность и недостаточная изученность протекающих физических про-
процессов не позволяют в настоящее время обоснованно моделировать на
экспериментальных установках теплогидравлические процессы в реаль-
реальных условиях циркуляционного контура ядерного реактора в аварийных
ситуациях.
В этом плане только широкий объем сопоставлений расчетных резуль-
результатов с опытными данными, полученными на экспериментальных уста-
установках различной сложности, различного масштаба и в различной степени
воспроизводящими набор физических процессов и условия их протекания
в циркуляционном контуре ядерного реактора, может позволить с опреде-
определенной степенью обоснованности переносить результаты эксперименталь-
экспериментальных исследований на условия реактора. Эта степень обоснованности тем
выше, чем более физична математическая модель, чем на более высокой
ступени иерархии она находится.
Представляется целесообразным разделить погрешности, связанные с
приближенностью описания физики протекающих процессов, и погрешно-
погрешности, обусловленные неточностью численного решения системы уравнений
модели. С этой целью возможно на определенном этапе сравнить результа-
результаты численного решения, полученные "рабочим" методом и с помощью
"эталонного" численного метода, точность которого поддается оценке.
Весьма важное значение имеет сопоставление предсказаний по той или
иной математической модели термогидравлики циркуляционного конту-
контура реактора с данными, полученными в аварийных ситуациях, реально
имевших место на АЭС.
В настоящее время накоплен значительный опыт разработки и практи-
практического использования математических моделей и реализующих их ма-
машинных программ для расчетного анализа нестационарных теплогидрав-
лических процессов в циркуляционных контурах водоохлаждаемых реак-
реакторов.
Дальнейшие рассмотрения будут проводиться главным образом для во-
водоохлаждаемых ядерных реакторов, на которых в основном базируется
ядерная энергетика. В аварийных ситуациях в циркуляционном контуре
водоохлаждаемого реактора нестационарные теплогидравлические про-
процессы протекают преимущественно в двухфазном теплоносителе. Такой
вывод, в частности, следует из приведенного выше описания совокупно-
совокупности максимальной проектной аварии водо-водяного реактора.
Таким образом, анализ аварийных ситуаций для водоохлаждаемых
реакторов должен базироваться на математических моделях нестационар-
нестационарной теплогидравлики двухфазных систем, включающих в себя как част-
частный случай описание теплообмена и гидродинамики однофазного тепло-
теплоносителя.
Следует отметить, что применительно к реакторам с однофазным теп-
теплоносителем (например, газоохлаждаемым ядерным реакторам) целе-
целесообразно использовать специальные математические модели, опирающие-
опирающиеся на значительно более высокий, чем для двухфазных систем, уровень
знаний закономерностей нестационарных процессов конвективного теп-
теплообмена и гидродинамики [7-9].
Вплоть до начала 80-х годов машинные программы для расчетного ана-
анализа развития аварийных ситуаций в водоохлаждаемых ядерных реакто-
реакторах базировались на математических моделях, соответствующих весьма
упрощенному описанию физики протекающих в двухфазном теплоносите-
теплоносителе тепло гидравлических процессов (гомогенных равновесных моделях)
и приводящих в связи с этим к высокой степени консерватизма в резуль-
результатах анализа. По мере развития машинных программ этого класса были
сделаны попытки в рамках гомогенной равновесной модели двухфазно-
двухфазного потока в ряде случаев приближенно учесть эффекты механической
и термической неравновесности фаз [10-12].
Повышение требований к безопасности АЭС, необходимость снятия из-
излишнего консерватизма при анализе, на основании которого формули-
формулируются требования к системам безопасности, а также совершенствование
знаний закономерностей нестационарных теплогидравлических процессов
привели в конце 70-х — начале 80-х годов к концентрированию усилий
специалистов ведущих научных центров и промышленных фирм мира
на создании машинных программ нового поколения для улучшенного
расчетного анализа нестационарной теплогидравлики циркуляционных
контуров водоохлаждаемых ядерных реакторов в аварийных режимах,
базирующихся на негомогенных, неравновесных математических моде-
моделях двухфазных потоков и детальном описании закономерностей проте-
протекающих физических процессов. Математические модели нестационарной
термогидравлики двухфазных потоков этих программ отличаются каче-
качественно новой степенью глубины описания физических процессов и явле-
явлений, позволяющей получить более высокую достоверность расчетного
анализа, более надежное перенесение результатов экспериментального
моделирования теплогидравлических процессов на реальные условия цир-
циркуляционных контуров водоохлаждаемых реакторов.
Изложение основ системного описания нестационарных теплогидрав-
теплогидравлических процессов в циркуляционных контурах водоохлаждаемых реак-
торов в аварийных режимах в рамках математических моделей машинных
программ нового поколения и составляет основное содержание данной
монографии. Этим книга, с одной стороны, отличается от монографий,
содержащих либо описание технических аспектов проблемы безопасно-
безопасности ядерных реакторов [3, 16], либо традиционное рассмотрение отдель-
отдельных теплообменных и гидродинамических процессов, в том числе имею-
имеющих отношение к проблеме безопасности АЭС [17—21], а с другой сто-
стороны, объединяется этими монографиями.
В книге последовательно рассматриваются вопросы, связанные с физи-
физической идеализацией и построением основных систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений математических моделей нестационарной теплогидравли-
теплогидравлики негомогенных неравновесных двухфазных потоков (гл. 1), описанием
закономерностей отдельных тепломассообменных и гидродинамических
процессов, входящих в системы замыкающих соотношений моделей
(гл. 2), особенностями методик численного решения систем основных
уравнений моделей (гл. 3), реализацией математических моделей в ма-
машинных программах нового поколения для улучшенного детального рас-
расчетного анализа нестационарных теплогидравлических процессов в конту-
контурах водоохлаждаемых ядерных реакторов (гл. 4).
Особое внимание уделено особенностям теплогидравлических процес-
процессов при аварийных ситуациях, приводящих к тяжелым повреждениям
активной зоны водоохлаждаемого реактора (гл. 5).
Глава 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕРМОГИДРАВЛИКИ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
1.1. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
Двухфазные потоки вследствие их статистической природы целесооб-
целесообразно характеризовать (по аналогии с турбулентными однофазными по-
потоками) усредненными статистически (по ансамблю) или по времени зна-
значениями параметров.
По определению
— Ifdt при временном усреднении,
т т
— Б / при статистическом усреднении.
N N
Здесь Т — интервал времени, который достаточно велик по сравнению
с характерным временем флуктуации параметров потока, но достаточно
мал по сравнению с характерным временем изменения усредненных пара-
параметров потока в нестационарных режимах; N — число проб. Проблемы,
связанные с выбором этих величин, рассмотрены, например, в [22].
В большинстве практических приложений достаточную информацию о
двухфазном потоке содержат усредненные по пространству, в частности
по поперечному сечению канала, параметры двухфазного потока. При
этом наиболее употребительно усреднение параметров, относящихся к
фазе к по усредненной во времени согласно A.1) доле 5^ общего попе-
поперечного сечения S канала, занятой фазой к.
По определению
Sk = VkS, A.2)
где ~ipk ~ усредненное во времени истинное объемное содержание фа-
фазы к в двухфазном потоке. Таким образом, усреднение параметров
для фазы к по сечению проводится по соотношению
</*> = — J fkdS = J fk*kdS. A.3)
Sk Sk <PkS 5
11
Объединение операций усреднения по времени (или статистически)
A.1) по сечению A.3) дает значения параметров, которые, как пра-
правило, используются в термогидравлике двухфазных потоков:
s\ifkdS/Sk\dt/T;
T[Sk J
A.4)
Следует отметить коммутативность операторов усреднения по времени
и пространству (сечению).
К настоящему времени сформировался и достаточно обоснован путь
получения уравнений, связывающих усредненные во времени и в прост-
пространстве параметры двухфазных потоков. Этот путь базируется на приме-
применении к каждой из фаз двухфазной смеси, находящейся в элементарном
объеме dV, законов сохранения массы, импульса и энергии и последую-
последующем усреднении уравнений, описывающих эти законы сохранения, по вре-
времени, а затем и по пространству.
При этом если в данный момент данная точка принадлежит той или
иной фазе, то законы сохранения описываются дифференциальными урав-
уравнениями в частных производных. Если же точка находится на поверх-
поверхности раздела фаз, то законы сохранения формулируются в виде условий
сопряжения на межфазной границе. Различия дифференциальных уравне-
уравнений сохранения и условий сопряжения в различных работах в окончатель-
окончательной форме обусловлены, как правило, различиями в системах допущений
и упрощений, принятых авторами.
Достаточно полное и строгое изложение процедуры вывода системы
уравнений сохранения для двухфазных потоков приведено, например,
в [22, 23]. Здесь целесообразно ограничиться изложением более простого,
но и более наглядного вывода системы уравнений сохранения, которая
может быть положена в основу негомогенных, неравновесных (двухжидко-
стных) математических моделей двухфазных потоков.
Рассматривается двухфазный поток с фазовыми переходами в обо-
обогреваемом канале, ось которого составляет угол В с горизонталью. Пло-
Площадь поперечного сечения S канала может непрерывно меняться по его
длине. В каждом сечении канала в*данный момент времени поток харак-
характеризуется усредненными по времени и пространству согласно A.4) зна-
значениями плотности (рк >, осевой скорости < vv^ >, давления Срк ), удельной
энтальпии <^>, объемной концентрации \рк (усредняется, естественно,
только по времени) каждой из к фаз. При этом к =g соответствует газо-
газовой (паровой) фазе, а к = /. Уравнения, связывающие эти параметры, мо-
могут быть получены из условий сохранения в контрольном объеме AV
усредненных по времени и сечению массы, импульса и энергии каждой
из фаз. При этом необходимо учитывать как тепловое и механическое
12
\*
Рис. 1.1. Контрольный объем в однофазном потоке
взаимодействия фаз с входящей в контрольный объем поверхностью
стенок канала Aw, так и межфазные взаимодействия на поверхности раз-
раздела фаз Aj в обьеме А V.
На рис. 1.1 для наглядности изображен контрольный объем для коль-
кольцевого режима двухфазного потока, когда жидкость течет в пристенной
пленке, а пар — в центре канала. В этом случае достаточно просто описы-
описывается граница раздела фаз. Результаты, полученные для такого контроль-
контрольного объема, будут справедливы длялюбого режима двухфазного потока.
Итак, контрольный объем (рис. 1.1) образован двумя сечениями кана-
канала, расположенными на расстоянии Az (ось z направлена по оси канала),
и равен AV = SAz. Соответственно объем, занятый фазой к, равен
k
Условие сохранения массы фазы к в контрольном обьеме может быть
сформулировано следующим образом: изменение массы фазы в обье-
обьеме AV во времени равно сумме конвективного потока массы фазы через
границы объема и изменения массы фазы за счет фазового перехода.
Усредненные по времени и пространству значения массы фазы к в объе-
объеме AV и потока массы фазы к равны соответственно v^p^SAz и
^к^к^к ^> скорость образования фазы к в единице объема — Г^. Усло-
13
вне сохранения массы фазы к записывается в виде
Э . Э ,
(fic^) (*k<pkk) = VkSAz, A.5)
ИЛИ
Э Э _ 1 dS
— (**<Р*>) + ^-(**<Р***» = Гк -*k(f>kwk> J — '
A.6)
Условие сохранения массы на границе раздела фаз имеет вид
2 Г. = 0. A.7)
* = /,* к
Условие сохранения импульса фазы к — изменение импульса фазы к в
объеме AV — обусловлено конвективным потоком импульса через его
границы, воздействием внешних поверхностных и объемных сил и обме-
обменом импульсом между фазами.
Усредненные по времени и пространству значения импульса и потока
импульса фазы к равны соответственно <^< p^w^SAz и yk(pkw%)SAz.
Условие сохранения импульса фазы к при пренебрежении изменением ка-
касательных напряжений по Az записывается в виде
«Pkpkk)
Э _ Э (pkS)
— «Рр^5)Д2 + рк{ ___ Az
**i z kwkw иЩх, A.8)
ИЛИ
Э Э г _ Э «
— (^<РЛ^»+ — (^<Р*^>) +^— <Pjk> +
П/ 5- 1
~ 'kw с ki ^к *гк к' *гк rki'^k\ s dz '
A.9)
где Вz - проекция в единице объема на ось z вектора массовых сил, от-
отличных от гравитационных сил; т^н,, т^/ — касательные напряжения на
стенке и на межфазной поверхности; П#и>> П/ — периметры этих поверх-
14
ностей; pkj, wkj — давление и скорость на межфазной поверхности. Усло-
Условие баланса импульса на межфазной поверхности имеет вид
_ Ырк 1 dS
(rkwki ~ ki Pki Pki^k
,g к kl kl S kl bz kl k S dz
Условие сохранения энергии фазы к — изменение энергии фазы к в
объеме AV — определяется конвективным потоком энергии, обменом
энергий! между фазами, притоком тепла через границы объема, работой
внешних сил, выделением тепла в объеме. При этом усредненная по вре-
времени и пространству удельная энергия и поток энергии фазы к равны
{7к) = <\ +>v|/2>, {J^wk)Sk = <*kpk(hk +w2k/2)wk)S.
Очевидно, что кинетическая энергия фазы к двухфазного потока в ос-
основном определяется осевой компонентой скорости. Условие сохранения
энергии фазы к приводит к соотношению
TkiwkiUiAz
или
- — , A.12)
S dz
где ekf = hkj + w^/2 — энергия фазы к на межфазной границе; qkw, qki —
плотности теплового потока соответственно от стенки и от межфазной по-
поверхности; n^w — периметр, по которому фаза к контактирует с обо-
обогреваемой стенкой; qkv — мощность внутренних источников тепла.
15
Соотношение для условия сопряжения на межфазной поверхности при
этом имеет вид
Дифференциальные уравнения сохранения A.6), A.9), A.12) содер-
содержат производные от усредненных по времени и пространству произведе-
произведений основных параметров двухфазного потока — плотности рк, скорос-
скорости Wfr, давления рк, энтальпии hk, объемной концентрации $к фаз. По-
Поскольку задачей, поставленной выше, (ялло отыскание связей меэвду ус-
усредненными значениями этих параметров, необходимо ввести соотно-
соотношения
= А
хк'>
= А
гк.'>
= \
к'>
= A
6it.
A.14)
Подстановка соотношений A.14) в уравнения A.6), A.9), A.12)
позволяет получить систему уравнений сохранения, записанных через
усредненные значения параметров в следующем виде (здесь и в дальней-
дальнейшем знаки усреднения опускаются, qkv = 0) :
Э Э 1 dS
ЬА2к
дрь.
1Г
1 dS
16
2
bt
- г
2
7
1
2 | * S dz
A.15)
Параметры распределения А1Л. . . . АбЛ: определяются полями плотно-
плотности, скорости, давления и энтальпии фаз. Обычно в силу отсутствия ин-
информации об этих полях параметры распределения принимаются постоян-
постоянными и малыми по сравнению с другими членами соответствующих соот-
соотношений A.14), что для таких турбулизированных потоков, какими яв-
являются двухфазные потоки в канале, представляется вполне реальными.
Следует, однако, отметить, что поскольку в систему дифференциальных
уравнений A.15) входят производные от параметров распределения
Агк . . . Д6?, эти производные могут оказывать влияние на качественные
особенности решения системы.
Система уравнений A.15) с учетом отмеченного допущения, а также
при естественном для большинства практических приложений предполо-
предположении о постоянстве давления фазы по ее сечению примет вид
Э Э 1 dS
к 7 *Г ;
дРъ
*
- = гл- -
1 dS
wk
2
> A.16)
hk+
bt
- Tkiw
kiwki
1 dS
S dz
17
2-6610
Здесь обозначено:
Tki =
A.17)
Соответственно условия сопряжения на межфазной поверхности описы-
описываются соотношениями
2 Г, = 0;
1 dS
A.18)
к l,
Система A.16) состоит из шести дифференциальных уравнений и со-
содержит десять неизвестных функций, описывающих параметры двухфаз-
двухфазного потока *pk, рк, wk, рк, hk (k = I,g). Для получения четырех дополни-
дополнительных соотношений между неизвестными необходимо использовать
следующие соотношения:
условие заполнения двухфазным потоком всего сечения канала
kht**'1;
два уравнения состояния фаз
A.19)
A.20)
уравнение распространения паросодержания, которое может быть полу-
получено из условий на межфазной поверхности A.18) с учетом A.19) :
Э</>/Эг + ЛЭ<? jbz = a,
о о
где Л — скорость распространения паросодержания:
Л =
A.21)
а =
k=l,g
TkiAeki
1 dS
S dz
A.22)
18
Таким образом, система дифференциальных уравнений сохранения
A.16) вместе с A.19) — A.21) представляет собой полную систему
уравнений для описания двухфазного потока в рамках так называе-
называемой двухжидкостной модели неравных скоростей, температур и давле-
давлений фаз (wg Ф w/; Tg Ф 7); pg Ф р[). Следует отметить, что уже эта
система уравнений дает приближенное описание реальных тегоюгидрав-
лических процессов из-за системы упрощений, сделанных при ее выво-
выводе (в частности, операции усреднения, допущения о коэффициентах ус-
усреднения и постоянстве давлений фаз по их сечениям).
Для практических приложений система уравнений A.16), A.19) —
A.21), как правило, не используется, главным образом, по причине не-
недостаточной изученности закономерностей физических процессов, кото-
которые необходимы для построения системы замыкающих соотношений
при определении коэффициентов и правых частей системы основных
уравнений.
Однако данная модель двухфазного потока в настоящее время пред-
представляет собой основу для построения иерархии более простых, приме-
применяемых на практике моделей, математическое описание которых мо-
может быть получено введением соответствующих упрощений в систему
A.16),A.19)-A.21).
Модель равных давлений фаз является естественным упрощением ис-
исходной модели. При этом
Pg = Pi = Р,
и система уравнений сохранения A.16) приобретает вид
A.23)
э
~э7
э
»к = Гк-
1 dS
S dz
~ Чу, ~
ki
1 dS
« - Tkiwki
1 dS
1.24)
при следующих условиях сопряжения на межфазной поверхности:
19
2
= l,g
1 ds ,
. - т* - р = 0
' kl S d j
* *' kl S dz
k*ki+4kl ' Tkiwki>= °*
i
A.25)
Система шести дифференциальных уравнений модели A.24) содержит
теперь девять неизвестных (<^> pk, w^, h^, р) и дополняется тремя соот-
соотношениями A.19), A.20).
Данная модель двухфазного потока также называется двухжидкостной
моделью неравных скоростей и температур фаз (wg Фмр Т Ф 7\).
Модель со скольжением фаз является дальнейшим упрощением чисто
двухжидкостной модели. Вводятся следующие функции скоростей
фаз wk:
средняя скорость двухфазной смеси
k/p«; (i-26)
A.27)
A.28)
к * Л л к
скорость скольжения фаз
WR = Wg ~W!>
где pm — плотность двухфазной смеси:
Если теперь тем или иным способом задать скорость скольжения
фаз wRi то вместо двух неизвестных функций wg и н>/ в задачу войдет
лишь скорость смеси wm. Скорости фаз wg и и>/ при этом выражаются сле-
следу ющимобразом:
= wm -
wT
A-29)
В систему дифференциальных уравнений сохранения вместо двух урав-
уравнений импульса фаз войдет одно уравнение импульса двухфазной смеси
со скольжением фаз, полученное в результате суммирования уравнений
импульса фаз и использования A.29).
В уравнении сохранения массы и энергии фаз целесообразно также
ввести вместо скоростей фаз wg, W/ скорость смеси wm с помощью A.29).
В результате система уравнений сохранения неравновесного двухфазного
потока со скольжением фаз и равным давлением фаз примет вид
20
bt
(-1)" —
Ъ*\ Рп
VR
¦^ W* * 4г
dp
01
1 dS
- TkiWki
A.30)
при условиях сопряжения на межфазной поверхности
k = l,g k ki ki kl ki
Здесь обозначено
A.31)
A.32)
п =
1 для газовой фазы,
2 для жидкой фазы.
Система пяти дифференциальных уравнений модели A.30) содержит
восемь неизвестных функций (<^, р^, ww, Л^., р) и дополняется тремя
соотношениями A.19), A.20).
Следует отметить, что скорость скольжения wR в уравнениях системы
A.30) входит под знаком производной по координате, а следовательно,
способ отыскания скорости скольжения и вид конкретного выражения
зависимости wR от параметров потока могут существенно отразиться на
качественных особенностях системы A.30) и ее решения.
21
Модели полностью или частично равновесные. Допущение о термодина-
термодинамической равновесности потока (полной — обе фазы находятся в состоя-
состоянии насыщения или частичной — одна из фаз находится в состоянии насы-
насыщения) позволяет исключить из числа неизвестных плотность и энтальпию
соответствующих фаз.
В обоих случаях вместо энергии фаз ек = hk + wj^/2 целесообразно вве-
ввести энергию смеси:
ет = Ъ*кРкек1Рт- A.33)
Соответственно в систему дифференциальных уравнений сохранения
вместо уравнений энергии фаз войдет уравнение энергии смеси, которое
может быть получено суммированием уравнений эне^УЬш фаз и для двух-
скоростной модели имеет вид
Pmw
mwm
dt
1 dS
S dz
для модели со скольжением фаз
() Ornery, Э
Pm
где
0
Pm S I S dz
<Ъ\? ,<k
Если одна из фаз находится на линии насыщения, то для нее справедли-
справедливо уравнение состояния в виде
и система уравнений такой частично неравновесной негомогенной модели
будет включать в себя соответствующие уравнения массы, импульса фаз
из A.24) или A.30) и уравнение энергии смеси — соответственно A.34)
или A.35). В первом случае пять дифференциальных уравнений системы
содержат семь неизвестных функций <р , w , р> ц , р^, w/f em. Два допол-
дополнительных уравнения дают соотношение A.19) и уравнение состояния
неравновесной фазы A.20). Плотность и энтальпия фазы, находящейся
22
в состоянии насыщения, найдутся с помощью уравнения состояния A.37).
Затем из A.33) может быть определена энтальпия второй фазы.
Во втором случае четыре дифференциальных уравнения системы содер-
содержат шесть неизвестных функций <р , wm, р , ^ , р^, ет при тех же допол-
дополнительных соотношениях.
Если обе фазы находятся на линии насыщения, то плотности рк и эн-
энтальпии h k обеих фаз однозначно определяются давлением р с помощью
уравнений состояния A.37), поэтому независимыми неизвестными
остаются лишь следующие параметры двухфазного потока: \р , w fy w^, p.
Для их оцределения достаточно воспользоваться уравнением массы двух-
двухфазной смеси, которое может быть получено суммированием уравнений
массы фаз и имеет вид
Ърт Э 1 dS
+ ^ A.38)
Ртт Ртт
bt dz S dz
а также уравнениями импульса систем A.24) или A.30) и уравнением
энергии смеси A.34) или A.35).
В частности, система трех дифференциальных уравнений равновесной
модели со скольжением фаз [уравнения массы A.38), импульса A.30),
энергии A.35)] содержит шесть неизвестных функций pm, wm, *p> fy
ет> Р- Три дополнительных уравнения дают соотношения A.19),
A.28), A.33).
Если в качестве неизвестных функций системы дифференциальных
уравнений модели выбрать рт, wm, p, то плотности и энтальпии фаз най-
найдутся из уравнений состояния A.37), объемные концентрации фаз — из
соотношений A.19) и A.28), скорости фаз-из A.29).
Гомогенная равновесная модель является наиболее простой моделью
двухфазного потока. Система дифференциальных уравнений такой одно-
жидкостной модели равных скоростей и температур фаз соответствует
условиям
Wg = wl = wm ' Рк
hk = hkS(p);Pg = P, = P = PS A.39)
и может быть получена из системы уравнений равновесной модели со
скольжением фаз (подстановкой w^ = 0) в виде
m ~S dz
dt dz dz
1 dS
! 23
*Pmem
bt
-
Эр
РщЧ
memwm
dz
h z>w
Эр
dt
m ~ Pmem
1
m s
\
1
dS
dz
1.2. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
Весьма важная для практических приложений информация об особен-
особенностях систем дифференциальных уравнений различных моделей двух-
двухфазных потоков, о корректности постановки задач, о поведении решения,
об условиях применения методов численного решения может быть полу-
получена на основе их качественного анализа.
В первую очередь необходимо провести классификацию систем диф-
дифференциальных уравнений, отнеся их к одному из трех основных типов
уравнений математической физики [24].
Как известно, термогазодинамика однофазных сжимаемых потоков
описывается системами уравнений гиперболического типа [25]. Следует
ожидать, что и базисная система дифференциальных уравнений (без
учета правых частей) "чисто" двухжидкостной модели двухфазного газо-
газожидкостного потока, полученная приложением законов сохранения к фа-
фазам по отдельности, будет также гиперболической, так как эффекты меж-
межфазного взаимодействия в данном случае из рассмотрения исключены.
Введение физических допущений с целью упрощения "чисто" двух-
двухжидкостной модели может изменить тип базисной системы дифферен-
дифференциальных уравнений и тем самым качественно изменить математическое
описание процесса, что может привести к нереалистичным результатам.
Включение в рассмотрение правых частей уравнений, в частности ис-
использование для описания процессов взаимодействия фаз соотношений,
содержащих производные от зависимых переменных задачи, может при-
привести к тем же результатам.
Возможная негиперболичность системы дифференциальных уравнений,
описьюающей двухскоростные двухфазные течения, отмечалась уже для
несжимаемых фаз. Эта же проблема возникает и при математическом опи-
описании течения сжимаемой среды с твердыми частиидми, течения идеальной
жидкости с мелкими частицами, а также слоистого течения двух несме-
шивающихся жидкостей. Данная проблема является специфичной для
двухфазных систем и не имеет каких-либо аналогов в газодинамике од-
однофазной жидкости. В последнее время в связи с необходимостью созда-
создания машинных программ нового поколения для улучшенного расчетно-
расчетного анализа термогидравлики энергетического оборудования, в нестацио-
нестационарных эксплуатационных и аварийных режимах уделяется повышенное
24
внимание проблеме возможной негиперболичности систем уравнений
двухскоростных моделей двухфазного потока, используемых в этих ма-
шинных программах. В частности, эта проблема обсуждалась на V и VI
международных конференциях по тепломассообмену [5, 26].
Определение типа системы дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка может быть проведено путем отыскания
характеристических направлений системы. Если все характеристические
направления действительные — система гиперболична, если среди них
есть комплексные направления — система эллиптична или параболична.
Для отыскания характеристических направлений система дифферен-
дифференциальных уравнений приводится к матричному виду:
Эй Э и
А— + В— =С, A.41)
bt 02
где и - вектор неизвестных; А, В - матрицы коэффициентов; С -т вектор
правых частей.
Характеристические направления базисной системы X совпадают с кор-
корнями характеристического многочлена системы, задаваемого определи-
определителем
|В - ХА| = 0. A.42)
Модель- неравных скоростей, температур и давлений фаз. Для приве-
приведения системы дифференциальных уравнений модели A.16) к матрично-
матричному виду A.41) проводится преобразование уравнений с целью раскры-
раскрытия производных от произведений неизвестных функций и получения по
возможности простого вида матриц А и В. В частности, раскрытие произ-
производных в уравнениях импульса с учетом уравнения неразрывности дает
DiW, dp,
j1+ ъ =
= h • a43)
Аналогичное преобразование уравнения энергии и исключение из него
производных от кинетической энергии фазы с помощью A.43) дает
Из уравнения состояния фазы вида рк = рк (рк, hk) следует
DkPk = Щ Djl± + ??k_ jWk ? A 45)
Dt Ърк Dt Ыгк Dt
и уравнение неразрывности фазы может быть записано в виде
ЪРк Dkpk Ъ?к Dkhk Dk*k
* bpk Dt k bhk Dt k Dt
25
к=гк-
Здесь
D
к _
bk =
bz
э э
~э7 ™к эТ
1 dS
S dz
A.46)
A.46a)
Разрешение уравнений A.43), A.44), A.46) относительно производ-
производных Dkwk/Dt, Dyh^jDt, Dkpk/Dt и учет уравнения A.21) дает следующий
матричный вид системы дифференциальных уравнений модели неравных
скоростей, температур и давлений фаз:
JsZJl
Dt
Dkhk
Dt
1 dp
к _
dz
„г
K
Dt
Z
bz
Dt
_ 4
Dt
akfk>
A.47)
—?_ + Л ^
dt dz
= a.
A.48)
Здесь
Э рк
Л и cf - по A.22).
A.49)
26
Характеристическое направление, определяющее распространение возму-
возмущений паросодержания </?, дается A.48) независимо от A.47), а именно:
\ «Л. '
Остальные характеристические направления задаются корнями харак-
характеристического многочлена системы A.47), для которой вектор неизвест-
неизвестных u = u { и>?, hk, рк} , к = g, I, матрица А = Е — единичная матрица, а
1
в =
О —
™к о
Соответственно характеристический многочлен находится из условия
равенства нулю определителя (| В — ЛЕ | = 0), имеет вид
(wk - хK - (wk - х>4 = ° (L5°)
и определяет характеристические направления:
Х3,4 =
~ ак> к
A.51)
Все характеристические направления системы A.47), A.48) действи-
действительны; таким образом, базисная система дифференциальных уравнений
модели неравных скоростей, температур и давлений фаз двухфазного
потока гиперболична и постановка задачи Коши для нее корректна.
Модель неравных скоростей, температур и равных давлений фаз. Мат-
Матричный вид системы уравнений этой модели может быть получен путем
преобразования двух уравнений системы A.47), содержащих производ-
производную от давлений фаз Dkpk/Dt, в целях получения двух уравнений отно-
относительно производных от давления р и концентрации одной из фаз, в част-
частности у = <р. Концентрация другой фазы найдется из соотношения
Суммирование двух последних уравнений системы A.47) дает
к к 4- л/72 У in
Л Л2
— + ра'
dt
— + ра'
dz
+ pa2 (w2 -
= pa2 S -?- ,
bz к рк
A.52)
27
где
&2 = U-^K) • A-53)
\* Pkak /
Запись третьего уравнения системы A.47) при к = g с учетом A.52)
дает следующее уравнение для у:
D<r$ pa2 Ъу I pa2 \ bws
-i- - ^ -_ (w<r - w,) + ^ 1 - — ip\ ^
Dt pga2g bz \ pga2g I bz
где /^ определяется по A.49).
Подстановка производной Ър/Ъ t из A.52) в A.44) и некоторое пре-
преобразование полученных уравнений приводят к следующему матрично-
матричному виду системы дифференциальных уравнений модели неравных ско-
скоростей, температур и равных делений фаз двухфазного потока:
dt
up
dt
+ pa2
4.
+ [\
I. v
Рй
/
J '
dz
k 1С
d
dz
Э<^
bz
pa
_2v
1
=
f
dp _
3z
pa2 2
wfe\ dp
Pit'
>
*
;
Та2
эР
9z
•
Та2
* pA{
a*,'
9z
1
1
A.54)
28
I
bh, pa2 3w. 1 / ^Pirwir\ dp
at+ ~j~ * ** tt ~ у (w*"p * р~тм эГ+
pa2 Ъф ЭЛт <i, рд
+ (w _ >v ) —- + w — = ^ + 1 2 /
Pk g 9z 3z PA:flfc ^A: ^
Вектор неизвестных этой системы имеет вид
u = u{wg, wv р, у, hg, fy},
матрица А = Е — единичная матрица, а
™я ¦ О — 0 0 0
0 *7 — о оо
PeV РД2A-^) pa2 1 -^- pa2(wg-w.) о О
о 0
'V
Из вида матрицы В следует, что два корня характеристического много-
многочлена |В — ХЕ\ = 0 есть Xj = wg, X2 = w^ и определяют перенос малых воз-
возмущений энтальпий фаз. Остальные четыре характеристических направле-
направления являются корнями многочлена
(X - wgf (X - w,J - i$ 2 (X - wp - 72 (X - w,1) = 0, A.55)
где
flyt - по A.49) — скорость распространения акустических возмущений в
данной фазе. Анализ характеристического многочлена показывает, что
все корни уравнения A.55) действительны, только если выполняется
29
условие
где wR =
[-
= wg -
< -27,
A.56)
Поскольку условие A.56) выполняется лишь при wR = 0, система
уравнений модели неравных скоростей, но равных давлений фаз двух-
двухфазного потока имеет комплексные характеристические направления и
тем самым является негиперболичной.
В [27] уравнение, аналогичное A.55), решалось численно для широ-
широких диапазонов значений скольжения фаз wR, истинного объемного газо-
газосодержания <р, режимных параметров; там также показано, что два харак-
характеристических направления действительные, а два — комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные.
Физическая природа комплексных характеристических направлений
системы дифференциальных уравнений A.54) может быть пояснена на
примере течений, для которых разность скоростей фаз wR = wg — W/
намного меньше скоростей распространения акустических возмущений
в фазах ag и aj. В этом случае характеристическое уравнение может быть
решено приближенно [28, 29], что дает следующие выражения для харак-
характеристических направлений:
XA'2> = w* ± a*; w* = Z
A:
а~*2 =
= P*
Pi
± ftVjj
-1)
I = —J
Pk
A.57)
Таким образом, два действительных характеристических направления
^(Ь2) СООхветствуют распространению акустических волн в рассматри-
рассматриваемом двухфазном потоке. При этом а* — скорость распространения
акустических возмущений в неподвижной двухфазной смеси, a w* —
добавка, обусловленная движением смеси.
Два характеристических направления X*3'4* в случае неравных ско-
скоростей фаз комплексны (комплексно сопряжены), не связаны с распро-
30
странением акустических возмущений, а обусловлены исключительно
эффектами переноса фаз со скоростями wg и w>j. В случае равенства ско-
скоростей фаз между собой характеристические направления Х^3'4) стано-
становятся действительными и равными.
К чему приводит появление комплексных характеристических направ-
направлений? В общетеоретическом плане — к нарушению одного из основных
принципов физики — принципа причинности. Переход гиперболической
системы дифференциальных уравнений в эллиптическую при описании
нестационарной системы означает, что состояние системы в настоящем
будет зависеть от будущего. В плане постановки задач математической
физики появление комплексных характеристических направлений при-
приводит к некорректности постановки задачи Коши для негиперболической
системы дифференциальных уравнений [5,24]. В частности, следует ожи-
ожидать нарушения равномерно-непрерывной зависимости решения зада-
задачи от начальных условий.
В [28-30] проведен приближенный анализ, который иллюстрирует
поведение решения упрощенной системы дифференциальных уравнений,
описывающей двухскоростной газожидкостный поток.
Исследовались закономерности развития малых возмущений в адиа-
адиабатном двухфазном потоке с несжимаемой дисперсной фазой (газока-
(газокапельный поток) относительно стационарного однородного решения исход-
исходной системы, полученного для случая несжимаемости обеих фаз, и разно-
разности скоростей фаз, обусловленной внешними массовыми силами интен-
интенсивностью^, постоянной во времени и по координате.
Соответствующая система уравнений линеаризовалась относительно
этого стационарного решения, и исследовалось прохождение малых воз-
возмущений при наличии силы межфазного вязкого взаимодействия, зави-
зависящей от разности скоростей фаз и объемной концентрации несущей фазы.
Анализ корней соответствующего дисперсионного уравнения в предель-
предельных ситуациях очень коротких (X -> 0) и очень длинных (X -> °°) волн
показал, что как в случае очень коротких синусоидальных волн, так и
в случае очень длинных волн система допускает экспоненциальный рост
во времени амплитуды конвективных (не зависящих от скорости звука
в несущей фазе) возмущений, что делает исходное стационарное однород-
однородное решение с ненулевой разностью скоростей фаз (wR Ф 0) и ненулевой
концентрацией дисперсной фазы неустойчивым. Более того, показатель
роста неустойчивости конвективных возмущений с очень короткой
длиной волны стремится к бесконечности при X -» 0, что свидетельствует
о некорректности постановки задачи Коши для рассмотренного случая.
В то же время акустические возмущения оказались затухающими и не
нарушали устойчивости исходного стационарного состояния.
Для практических приложений весьма важно, как скажется потеря си-
системой гиперболичности на ее численном решении.
В общетеоретическом плане справедливо утверждение, что поскольку
наличие комплексных характеристических направлений приводит к не-
31
корректности постановки задачи Коши для данной системы дифферен-
дифференциальных уравнений, то, вообще говоря, не существует конечно-разност-
конечно-разностных схем, дающих устойчивое численное решение системы [31].
В качестве иллюстрации можно рассмотреть следующую полностью
неявную разностную схему для однородной системы, соответствующей
A.41):
A J. UJ- + в У^-У»/* щ 0 A.58)
Af Az
где At, Az — шаг сетки по времени и координате соответственно; nt и+ 1 —
номера слоев по времени; / — номер ячейки по координате.
Стандартный анализ устойчивости разностной схемы приводит к сле-
следующему соотношению для определения фактора усиления:
т? = [1 + /X(Ar/Az)sincj]", A.59)
где X — корень характеристического многочлена системы A.41), опреде-
определяющий соответствующее характеристическое направление; со =
= 7rAz/2/ (/—характерная длина).
Условие устойчивости разностной схемы
М < 1. A.60)
Если система уравнений A.41) гиперболична, т.е. все характеристи-
характеристические направления X действительны, то, как следует из A.59), условие
A.60) выполняется для всех со и полностью неявная разностная схема
A.58) безусловно устойчива.
Если же система уравнений A.4.1) теряет гиперболичность, т.е. среди
характеристических направлений существуют комплексные (комплексно-
сопряженные) направления
X =.а ± 10, A.61)
то модуль фактора усиления равен
|т?| = 1 ± [4j3(Af/Az)sinoo + 4(а2+/32) (Ar/AzJsin2cu]/2
и для выполнения условия устойчивости разностной схемы A.60) необ-
необходимо, чтобы соотношение шагов по времени и координате удовлетво-
удовлетворяло неравенству
> 2 \2
Az (a2 + j32)sinco
A.62)
Таким образом, если система дифференциальных уравнений A.41)
имеет комплексные характеристические направления X, то полностью
неявная разностная схема A.58) перестает быть безусловно устойчивой.
32
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 At,C
Рис. 1.2. Влияние скорости скольжения фаз на максимальное значение фактора уси-
усиления
Более того, поскольку условие A.62) не может быть выполнено одно-
одновременно для всех со, в данном случае полностью неявная разностная
схема должна быть отнесена к классу неустойчивых.
Однако поскольку при численном решении основные возмущения
имеют длину волны порядка шага сетки Az, то при достаточно больших
шагах по времени At, удовлетворяющих при таких возмущениях усло-
условию A.62), можно ожидать устойчивого численного решения даже при
негиперболичности системы уравнений A.41).
Для базисной системы уравнений модели двухфазного потока с не-
неравными скоростями, температурами и равными давлениями фаз, имею-
имеющей, как показано выше, комплексные характеристические направления,
в [27] численно исследовалась зависимость модуля фактора усиления |т?|
от разности скоростей фаз wR
объемного паросодержания </? па-
пароводяного потока при давлении
3,4 МПа, температурах фаз Г/ =
= 37,6 °С, Tg = 752,2°ChAz// =
= 1/9 (Az= 0,4552 m).
Как видно из рис. 1.2, 1.3, при
достаточно больших шагах по вре-
Рис. 1.3. Влияние истинного объемно-
объемного паросодержания на максимальное
значение фактора усиления
2 -
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0J 0,8 At,C
3-6610
33
мени At в принципе возможно получение устойчивого численного реше-
решения — модуль фактора усиления становится меньше единицы. Потребный
для получения стабильности решения шаг по времени является функцией
физических параметров процесса, в частности уменьшается с увеличе-
увеличением разности скоростей фаз wR и увеличивается с ростом паросодержа-
ния </>. Необходимость удовлетворения условию A.62) весьма затруд-
затрудняет получение достаточно точного численного решения задачи. С одной
стороны, удовлетворяющие условию A.62) шаги по времени At, как
правило, велики (в рассматриваемом примере несколько десятых долей
секунды) по сравнению с интервалами времени существенного измене-
изменения параметров при быстрых нестационарных процессах (несколько мил-
миллисекунд) . С другой стороны, оценка точности решения на основе анализа
его сходимости при последовательном уменьшении шага по времени прак-
практически невозможна из-за нарушения условия устойчивости A.62).
Нереалистичность результатов, получаемых при использовании модели
неравных скоростей, температур и равных давлений фаз, имеющей комп-
комплексные характеристические направления, для численного анализа реаль-
реального нестационарного процесса может быть проиллюстрирована на сле-
следующем примере. Горизонтальная труба длиной 4,097 и диаметром
0,073 м, наполненная насыщенной пароводяной смесью, объемное паро-
содержание которой <р = 0,8, при давлении р = 6,9 МПа в начальный момент
времени мгновенно соединяется на одном конце с резервуаром, имеющем
постоянное давление р = 5,17 МПа, а на другом конце — с резервуаром,
в котором поддерживаются начальные давления, паросодержание и
энергии фаз.
Базисная система уравнений модели неравных скоростей, температур
и равных давлений фаз без членов источника — стока в правых частях
была численно решена в [27] с использованием полностью неявной раз-
разностной схемы и устойчивой итерационной методики. Параметры расчет-
расчетной сетки следующие: 9 ячеек по длине трубы, At = 0,5 мс. Результаты
расчетов, представленные на рис. 1.4, 1.5, носят явно нереалистичный ха-
характер — неустойчивость при больших временах, снижение давления ниже
давления резервуара, в который происходит истечение среды. Причина
нефизичности результатов — негиперболичность исходной системы диффе-
дифференциальных уравнений.
Таким образом, использование модели неравных скоростей, темпе-
температур и равных давлений фаз весьма затруднено негиперболичностью ба-
базисной системы дифференциальных уравнений. Однако потребности прак-
практики и среди них — необходимость создания машинных программ для
улучшенного расчетного анализа нестационарных теплогидравлических
процессов, в первую очередь в оборудовании АЭС, базирующихся на не-
негомогенном неравновесном описании двухфазного теплоносителя,
вызвали поиски путей разрешения проблем, связанных с негиперболич-
негиперболичностью системы уравнений модели.
34
0,86
Ofib
Qfi2
OfiO
0,78
0,7б\
-
\
i
^ /
i i
^"Чч^- 50
-_ ^68
50
i
к z,m
Рис. 1.4. Расчетное изменение паросодержания при разгерметизации трубопровода:
— негиперболическая система уравнений; ¦ гиперболическая си-
система уравнений
Рис. 1.5. Расчетное изменение дав-
давления при разгерметизации трубо-
трубопровода:
- - - - негиперболическая
система уравнений; ги-
уравнений; гиперболическая система уравнений
Один из возможных пу-
путей - устранение негипербо-
негиперболичности базисной системы
дифференциальных уравнений
модели введением в рассмот-
рассмотрение в рамках данной моде-
модели разных давлений фаз. Дей-
Действительно, базисная система
уравнений модели неравных
скоростей, температур и дав- 0 1 2 J 4 гл м
лений фаз, как показано выше, гиперболична. Предположение равенства
давлений фаз pg = p/, по-видимому, недостаточно реалистичное при
неравенстве средних скоростей фаз wg Ф w/ [32J, переводит базисную
систему уравнений в негиперболичную.
Введение в систему A.24) неравных давлений фаз pg Ф рг требует
дополнительного замыкающего соотношения, связывающего pg и р\.
В [33], в частности, использовано соотношение Лапласа Pg - Pi - o/R,
где о — поверхностное натяжение, R — радиус кривизны межфазной гра-
границы. Соответствующая базисная система дифференциальных уравнений
35
4,5-
имеет только действительные характеристические направления, она
устойчива по отношению к коротковолновым возмущениям. Практи-
Практическая применимость предложенного подхода ограничена необходимостью
знания радиуса кривизны межфазногй границы в реальных двухфазных
потоках. Попытка обоснования разного давления фаз существованием
"внутреннего давления" у дисперсной фазы, обусловленного взаимодей-
взаимодействием включений между собой при их хаотичном движении, сделана
в [29]. Давление "псевдожидкости" дисперсных частиц pj представлено
в виде Pi = PiQ [ty/ (^im _ щ ) ] ny Где <д1т - максимально возможная кон-
концентрация частиц при их плотной упаковке. Если в уравнение импульсов
для фазы / системы A.24) добавить член bpjl bz, то при 0 < п < 2 имеем
V?/ -> 0 либо у>1 -> (^^, т.е. система уравнений гиперболична при доста-
достаточно больших значениях /?/0. До практических приложений этот подход
не доведен.
Второй путь решения проблем использования системы уравнений не-
неравных скоростей, температур и равных давлений фаз — гиперболизация
основной системы дифференциальных уравнений A.24) или A.54) путем
введения в правые части выражений для массовых сил, содержащих произ-
производные от зависимых переменных, и тем самым воздействия на матрицу
коэффициентов базисной системы и ее характеристические направления.
Достаточно обоснованным физически является введение в правые ча-
части системы силы присоединенных масс [34], связанной с относитель-
относительным ускорением фаз:
Bz =
D
wR =
Dt
Ст
D
(wg
Dt
A.63)
где Ст — коэффициент присоединенных масс. Примером выражения для
коэффициента присоединенных масс может служить формула [27]
1 +
3 -
A.64)
0,5
Ст = 0 при <fg = 0 или <pg = 1 и имеет максимум при ipg = 0,5.
Другое соотношение рекомендуется в [14]:
2 Ъ*1 Рт *
, 0
< 0,5;
A.64а)
C -
, 0 < <pg < 1,
36
где рт= ^ р + <fy 9\ • Множитель \р ^ рт выбран для обеспечения плав-
плавного перехода между случаями у = 0 и tf = 1. Для пузырькового режима
течения пароводяной смеси этот множитель близок к значению ^р pl, a
для дисперсно-капельного режима — к ^ р . Вследствие этого для этих
режимов значения Ст9 рассчитанные по A.64) и A.64а), близки.
По-разному различные авторы записывают выражения для относитель-
относительного ускорения фаз; в частности, в [35] приводится формула
D(Wl - Wg) = — _JL-^+w,_^-w, _±, A.65)
Dt dt bt l bz s bz
а в [14] это ускорение записывается в виде
A.65а)
Dt bt bt * bz bz
Численный анализ характеристических направлений соответствующей
системы дифференциальных уравнений при введении силы присоединен-
присоединенных масс в формулы A.63) — A.65) показал [27], что в этом случае
в зависимости от режимных параметров двухфазного потока система
уравнений может быть либо гиперболичной, либо негиперболичной. Ана-
Аналогичный результат дает и использование других выражений для отно-
относительного ускорения фаз (например, пренебрежение конвективными чле-
членами в A.65) [36]). Полного исключения негиперболичности системы
уравнений неравных скоростей, температур и равных давлений фаз добав-
добавлением в нее силы присоединенных масс при реалистичных значениях
коэффициента Ст достичь не удается.
Существенно менее обосновано физически введение в уравнения им-
импульсов некоторых сил, пропорциональных градиенту объемной концент-
концентрации фаз [26-28]. Вид выражений для таких сил подбирается из усло-
условия: добавление сил должно перевести систему в гиперболичную, но не
должно оказать существенного влияния на описание исходного и конечно-
конечного стационарных состояний. Например, сила, соответствующая обобщен-
обобщенной работе расширения пузырьков в потоке с неравными скоростями фаз
о t
и добавленная с разными знаками в уравнение импульсов паровой и жид-
жидкой фаз, приводит к значительному сокращению области негиперболич-
негиперболичности основной системы уравнений модели. В частности, при расчете не-
нестационарного процесса при обрыве рассмотренного выше горизонталь-
горизонтального трубопровода использование силы согласно (L66) дает устойчивое
и реалистичное решение (рис. 1.4, 1.5). Меньшее влияние на искажение
37
стационарного состояния при некотором расширении области гипербо-
гиперболичности имеет место при использовании другого вида члена, пропор-
пропорционального градиенту концентрации паровой фазы:
= с
(w - w{)
J
~
при С = 2.
A.67)
Третий путь использования негиперболичной системы уравнений моде-
модели неравных скоростей, температур и равных давлений фаз — применение
тех или иных механизмов, не дающих развиваться неустойчивости реше-
решения, в особенности при коротковолновых возмущениях, например при
диссипации колебаний, связанной с физической вязкостью [37] либо с
"численной" вязкостью [13], что ведет к большой и неоцениваемой чис-
численной диффузии и потере пространственной размещающей способности.
Таким образом, в настоящее время нет возможности рекомендовать
достаточно точный, надежный, универсальный и апробированный метод
решения негиперболичной системы дифференциальных уравнений модели
двухфазного потока с неравными скоростями, температурами и равными
давлениями фаз.
Модель со скольжением фаз двухфазного потока неравных скоростей,
температур и равных давлений фаз. Преобразование системы уравнений
A.30), аналогичные соответствующим преобразованиям систем уравне-
уравнений моделей, рассмотренных выше, приводит к следующему матричному
виду системы уравнений модели со скольжением фаз:
dw
m
dt
wm
bt
~Ъ~7
bt
+ wk
Здесь
+ pa2
+ Я
Ъг
dwm
dz
l
Рт
dp
R
dz
Р~аг
Рк
Ра
Ъг
Ъг
Эр
Ъг
= C2;
+ w
*т
Рк
Ъ$
*~ъ~Т
Ър_
~ъТ
ш2
+ — w
Рк
R
Ъч>
~ъ7
A.68)
w2Rd -гр)
38
г
3z \ "
Э
8г
Э Г р,
[О*)
C2 = pa2 2 A [cm A.49)];
g V P/ 1 - V //
C4,s = <V**P* + — 2 -*- [cm A.49I;
^A: k Pk
Pi1 =
= pa2w/pa2; pa2w = 2
Я= (p ea - рЛ)//й; pa Ъ
К
Вектор неизвестных системы A.68) есть
u = u{wm, р, ^, hg, ht). A.69)
Для замыкания данной системы уравнений необходимо знать зависимость
скольжения wR от компонент вектора A.69), т.е.
WR = wR(wm> P> *> hg> hl)' (L7°)
В качестве зависимости A.70), как правило, используются те или иные
эмпирические корреляции. Поскольку vv^ входит не только в козффи-
39
О 0,2 0,4 0,6 0,8 (р
-4
-2 -1 eg х
Рис. 1.6. Зависимость относительной скорости скольжения фаз для расслоенного
двухфазного потока от паросодержания
Рис. L7. Области гиперболичности A) и негиперболичности B) системы уравнений
модели со скольжением фаз расслоенного двухфазного потока
циенты системы уравнений A.68), но и стоит под знаком производной,
использование различных эмпирических корреляций для wR дает различ-
различные матрицы системы уравнений, а следовательно, и различные характе-
характеристические направления системы, которые могут быть как действитель-
действительными, так и комплексными.
В частности, для более простого случая — равновесного двухфазного
потока со скольжением фаз [23] — для двухфазного потока с сепариро-
сепарированными фазами, скорость скольжения которого иллюстрируется
рис. 1.6, были численно определены характеристические направления
соответствующей системы уравнений. В зависимости от параметров
wm, p, х были получены как действительные, так и комплексные характе-
характеристические направления (рис. 1.7). Здесь х — массовое расходное паро-
содержание [л: = Pgwgvl(pwm)]-
Выбор другого вида зависимости скольжения фаз от параметров пото-
потока не изменит общей картины, хотя может существенно повлиять на по-
положение границы, разделяющей области гиперболичности и негиперболич-
негиперболичности системы. Это связано с большой чувствительностыи, в частности
значений характеристических направлений, к изменению производных
функции, описывающей скорость скольжения. В экспериментах эти
производные, тем более в нестационарных условиях, не определяются.
Основная же причина наличия комплексных характеристических на-
направлений та же, что и в выше рассмотренном случае, — нереалистичность
допущений о равенстве давлений фаз при неравенстве их скоростей. Как
отмечалось выше, система уравнений модели гомогенного двухфазного
40
потока, для которого как скорости, так и давления фаз равны, всегда ги-
гиперболична.
Таким образом, при использовании математических моделей, учитываю-
учитывающих механическое неравновесие фаз, необходимо либо модифицировать
систему основных дифференциальных уравнений, чтобы исключить ее
негиперболичность, либо принять меры к снижению неблагоприятных
последствий, связанных с негиперболичностью системы уравнений.
Глава 2. ЗАМЫКАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
2.1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ
ЗАМЫКАЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ
Неотъемлемой частью любой математической модели двухфазного по-
потока является система соотношений для расчета процессов массообмена,
теплового и механического взаимодействий фаз между собой и со стенка-
стенками канала, которая позволяет замкнуть наряду с уравнениями состояния
фаз основную систему дифференциальных уравнений сохранения модели.
Адекватностью описания данной системой замыкающих соотношений за-
закономерностей совокупности физических процессов, протекающих в
двухфазном потоке в различных режимах, в значительной мере опреде-
определяется адекватность всей математической модели потока.
Количественно и качественно система замыкающих соотношений зави-
зависит от степени достоверности описания двухфазного потока основной си-
системой дифференциальных уравнений модели. Основное внимание в даль-
дальнейшем будет уделено замыкающим соотношениям для двухжидкост-
ных моделей, лежащих в основе машинных программ нового поколения
для улучшенного, детального расчетного анализа нестационарных тепло-
гидравлических процессов в двухфазных потоках.
Многообразие физических процессов, протекающих в двухфазных
системах в нестационарных условиях, приводит к необходимости построе-
построения весьма развитых систем замыкающих соотношений для двухжвдкост-
ных моделей (около 100 соотношений). При этом сложность и разнооб-
разнообразие условий реального оборудования — резко нестационарные режимы,
сложная геометрия, сложные граничные и начальные условия, взаимо-
взаимосвязанное протекание процессов различной физической природы, нали-
наличие фазовых переходов, широкий диапазон изменения режимных пара-
параметров давления, температуры, расхода, мощности обогрева, многомер-
многомерность и т.д. — обусловливает недостаточную изученность в настоящее вре-
время закономерностей многих физических процессов для реальных условий,
а следовательно, и отсутствие соответствующих надежных замыкающих
соотношений. Это приводит к необходимости использования при п остро е-
41
нии систем замыкающих соотношений подхода, заключающегося, во-
первых, в подборе соотношений, описывающих данные физические про-
процессы в условиях по возможности более близких к реальным и по воз-
возможности правильно отражающих влияние определяющих параметров,
и, во-вторых, во включении в эти соотношения констант, подбор значений
которых позволил бы устранить неопределенности, возникающие из-за
незнания закономерностей физических процессов.
Естественно, чем глубже физический уровень, на котором вводятся эти
константы неопределенности, тем, как правило, больше возможности по-
получения с их помощью достаточно достоверного описания широкого клас-
класса реальных теплогвдравлических процессов. Такой подход в свою оче-
очередь требует рассмотрения системы замыкающих соотношений именно
как системы. В частности, нельзя, анализируя изолированно одно из за-
замыкающих соотношений, прийти к определенному заключению о его
предпочтительности по сравнению с другими возможными соотношения-
соотношениями, описывающими тот же физический процесс. Необходимо проанали-
проанализировать "работу" данного соотношения по всей системе замыкающих
соотношений.
Более того, изменение того или иного замыкающего соотношения мо-
может потребовать корректировки других соотношений системы.
Определенные требования на выбор замыкающих соотношений накла-
накладывают специфика их взаимосвязи с системой основных дифференщаль-
ных уравнений модели, условия использования их при численном решении
задачи.
В частности, необходима достаточная гладкость представляющих их
функций, в особенности при переходе от одного соотношения к другому
вследствие изменения параметров процесса; они, как правило, не должны
содержать производных от зависимых переменных. Особого внимания
требует выбор соотношений для параметров, входящих в основную си-
систему дифференциальных уравнений под знаком производной (например,
для скорости скольжения в модели потока со скольжением фаз), по-
поскольку, как отмечалось при качественном анализе систем уравнений
моделей, от выбора соотношения для определения такого параметра за-
зависят не только количественные, но и качественные характеристики
системы уравнения и ее решения; наконец, весьма желательно, чтобы за-
замыкающие соотношения были построены по зависимым переменным
данным модели.
Ниже будут рассмотрены соотношения для описания закономерностей
тепловых и гидродинамических процессов, главным образом прошед-
прошедшие проверку или представляющиеся перспективными в системах замы-
замыкающих соотношений двухжидкостных моделей нестационарных
двухфазных потоков.
Следует подчеркнуть, что весьма малая изученность теплообмена и
гидродинамики двухфазных систем, работающих в нестационарных усло-
условиях, приводит, как правило, в настоящее время к необходимости ис-
42
пользования квазистационарного подхода при построении системы замы-
замыкающих соотношений.
Это допущение не является чрезмерно сильным на фоне недостаточной
изученности многих физических процессов в двухфазных потоках и в
стационарных режимах.
Важно, что последующие численные эксперименты и сопоставления с
данными физических экспериментов позволяют для определенных клас-
классов реальных режимов выявить чувствительность конечных результатов
к описанию характеристикам тех или иных тепловых и гидродинамиче-
гидродинамических процессов, сформулировать направления и выявить область необ-
необходимых фундаментальных исследований. По мере накопления новых
данных о закономерностях физических процессов система замыкающих
соотношений может корректироваться.
2.2. КАРТЫ РЕЖИМОВ ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА
Закономерности физических процессов в двухфазных потоках суще-
существенно зависят от структуры течения. Это относится как к процессам
теплового и механического взаимодействия фаз со стенками канала, так
и в особенности к процессам межфазного обмена массой, теплом и им-
импульсом. Соответственно системы замыкающих соотношений моделей
двухфазного потока, и в первую очередь двухжидкостных моделей,
предназначенных для улучшенного, детального анализа теплогидравлики
различного оборудования, должны основываться на том или ином опи-
описании режима или структуры течения двухфазной смеси.
Многообразие условий, реализующихся в энергетическом оборудова-
оборудовании, в особенности в нестационарных режимах его работы, приводит к
необходимости определять структурные характеристики двухфазных,
в частности пароводяных, потоков в очень широкой области параметров:
давлений от атмосферных до околокритических; массовых скоростей от
близких к нулевым до возникающих при критических истечениях среды;
паросодержаниях во всем диапазоне возможных вариаций — от течения
жидкости до течения чистого пара; при спутном или противоточном дви-
движении фаз; в каналах различной геометрии (трубах, кольцах, пучках
и др.), расположенных вертикально, горизонтально, или наклонно; при
опускном или подъемном движении среды; при различных интенсивно-
стях обогрева и различных режимах теплообмена; в нестационарных
условиях и т.д.
Несмотря на достаточно большое число выполненных исследований
задача определения режима двухфазного потока в рассмотренных выше
условиях остается в настоящее время в значительной мере нерешенной и
единственно реальным является приближенное описание границ суще-
существования течений с различными структурами — составление приближен-
приближенной карты режимов двухфазного потока. При этом, как правило, за
основу берется карта режимов для сравнительно простого и хорошо
43
изученного случая. Далее эта карта режимов модифицируется для при-
придания ей большей общности и удобства использования, что, конечно,
ухудшает описание границ режимов для тех потоков, для которых данная
карта была получена, но находится в согласии с общей концепцией при-
приближения при построении системы замыкающих соотношений. Моди-
Модифицированная карта режимов уже применяется для описания достаточно
широкого класса двухфазных потоков.
Подробные сведения по вопросу о картах режимов двухфазных пото-
потоков могут быть найдены в специальной литературе [39—41]. Здесь рас-
рассматриваются лишь результаты, полученные с помощью изложенного
выше подхода. Параметров, определяющих реализацию данного режима
двухфазного потока, очень много. К ним, в частности, относятся: ско-
скорости, плотности, вязкости, объемные концентрации фаз, давление, по-
поверхностное натяжение, интенсивности процессов обмена на межфазной
границе, направление течения фаз, плотность теплового потока на стенке,
геометрия канала, угол наклона канала и др.
Это не позволяет построить "универсальную" карту режимов и при-
приводит к совокупности карт режимов, каждая из которых описывает опре-
определенный класс двухфазных потоков.
В качестве первого базового случая целесообразно рассмотреть адиа-
адиабатные двухфазные потоки в вертикальных трубах при спутном движении
фаз. Для таких потоков в СССР принята единая классификация режимов
течения, предусматривающая четыре основных режима течения двухфаз-
двухфазных потоков [42] :
пузырьковый — газообразная фаза распределена в жидкости в виде
пузырьков, небольших по сравнению с размером поперечного сечения
канала;
снарядный — газообразная фаза движется в виде крупных пузырей,
поперечные размеры которых соизмеримы с характерным размером
поперечного сечения канала;
эмульсионный — газообразная фаза распределена в потоке в виде ма-
малых объемов, разделенных жидкими пленками;
дисперсно-кольцевой — газообразная фаза образует ядро потока, а
жидкая фаза движется частично в виде пленки по стенкам канала, а частич-
частично—в виде капель в газовом ядре.
При течении в обогреваемом канале сохраняются эти же режимы, а
также добавляются два режима, характерных для закризисных режимов
теплообмена:
обращенный дисперсно-кольцевой — жидкая фаза образует ядро пото-
потока, а газообразная фаза движется в виде пленки по стенкам канала и в
виде мелких пузырей — в ядре потока; кроме того, в газовой пленке
возможно наличие мелких капель жидкости;
дисперсный — в потоке пара распределены мелкие капли жидкости.
В качестве основы при построении применяемых для двухжидкостных
моделей карт режимов вертикальных двухфазных потоков может быть
44
/7 i i II I | i i i i i i
40 0 10 20 30 40 SO 60 70 80 X,%
Рис. 2.1. Карта режимов вертикального восходящего двухфазного потока:
1 — вода; 2 — пузырьковый; 3 - снарядный; 4 — эмульсионный; 5 - дисперсно-
кольцевой; 6 — кольцевой
использована карта режимов Беннета [43], полученная для паровых по-
потоков высокого давления в вертикальных трубах и приведенная на
рис. 2.1.
Одно из направлений модификации карты Беннета — по возможности
меньше отклоняясь от оригинала, облегчить использование карты в
машинных программах за счет проведения следующих операций: пере-
перехода от координат (pw)m, x к координатам (pw)m, <p, что позволит с
меньшими ошибками считать границы режимов не зависящими от
давления, а также ввести координату вектора неизвестных if; упро-
упрощенного представления границ режимов прямыми линиями; объединения
всех режимов при больших значениях ^ в кольцевой режим, при котором
вся жидкость считается сосредоточенной в пристенной пленке.
Результат модификации карты Беннета представлен на рис. 2.2 [44].
Другое направление модификации карты Беннета отличается, во-пер-
во-первых, значительно большим упрощением перестроенной в координатах
(Pw)m > Ф карты, что вполне допустимо в рамках общей концепции при-
приближенности системы замыкающих соотношений, и, во-вторых, введением
переходных зон между режимами, в которых соответствующие замыкаю-
замыкающие соотношения интерполируются между значениями на границах, что
обеспечивает гладкость перехода зависимостей для одного режима тече-
течения в зависимости для другого режима и вполне согласуется с наличием
реальных переходных зон между соседними режимами.
На рис. 23 представлена полученная на таком пути карта режимов
работы [45]. Следует отметить, что, поскольку в [45] снарядный режим
в значительной мере трактуется как переходный от пузырькового к
дисперсно-кольцевому, переходная зона между пузырьковым и сна-
снарядным режимами не нужна.
45
3
z
1
-
1 \ 2^v4
I i\ I ^ч*Ч
Рис. 2.2. Модифицированная карта режи-
режимов вертикального двухфазного потока
[44]:
1 - пузырьковый; 2 - снарядный;
3 - эмульсионный; 4 - кольцевой
0,2
Of Qfi<P
Рис. 2.3. Упрощенная карта режи-
режимов двухфазного потока [45]:
- переходные режимы
3000
2000
j Пенно -турбулентный
j. Пузырьковый Кольцевой
j Wa Снарядный \Z^X {,
0,2 0,4 0,в
0,8
/>W,/03^
<Р
<-Рис. 2.4. Упрощенная карта режимов
вертикального двухфазного потока
[45]:
1 - пузырьковый; 2 — переходные
зоны; 3 - снарядный; 4 - кольце-
кольцевой; 5 - дисперсный; б - эмуль-
эмульсионный
Аналогичная, но более деталь-
детальная карта режимов, на базе кото-
которой описывается межфазное тре-
трение, приведена в [46] и представ-
представлена на рис. 2.4.
Из полученных в недавнее вре-
время карт режимов вертикального
двухфазного потока представляется весьма перспективной к примене-
применению карта режимов [47] (рис. 2.5), построенная на основе систематичес-
систематических исследований с помощью метода лазерной голографии структурных
характеристик пароводяных потоков высоких параметров в трубе диамет-
диаметром d = 8,8 мм при давлениях р = 1 -г- 6,9 МПа, в кольцевом канале диамет-
диаметром de = 5,5 мм при давлениях р = 1 -т 9,8 МПа при обогреве внутреннего
стержня (q = 0,5 МВт/м2). В опытах'исследован диапазон массовых
46
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 X
Рис. 2.5. Экспериментальная карта режимов вертикального двухфазного потока
[47]:
¦ - вода; d - пузырьковый; А - переходная зона; * - снарядный; q - дисперс-
дисперсно-кольцевой с волнами на пленке; ф - дисперсно-кольцевой с рябью на пленке
скоростей (pw)m = 500 -г 3000 кг/ (м2 • с) и балансных паросодержаний
х = —0,2 -г 0,5. Высокие временная и пространственная разрешающие спо-
способности голографического метода и большой диапазон яркостей восста-
восстановленного голографического изображения позволили надежно иденти-
идентифицировать подрежимы дисперсно-кольцевого течения пароводяного
потока высокого давления, качественно различающиеся характерами
поверхностей пристенной пленки жвдкости: волны возмущения, гребни
которых ориентированы в основном по оси канала; гладкая пленка
(микропленка), на поверхности которой практически нет волновых воз-
возмущений.
На основе принципа доминирующей силы, предложенного Куандтом,
были получены безразмерные соотношения для границ режимов:
для нижней границы области устойчивого существования пузырько-
пузырькового режима в обогреваемом канале
BЛ)
для границы между пузырьковым и снарядным режимами
хь = 0 ± 0,01;
для верхней границы снарядного режима
xs = D,5 ± 1,5) -КГ2
B.2)
B.3)
47
для нижней границы дисперсно-кольцевого режима, или верхней грани-
границы эмульсионного режима
Pgsa ) \ Pgs
для верхней границы подрежима волн возмущения
хг = B0 ±0,2) if>W)m e . B.4а)
Эти зависимости обобщают экспериментальные данные как для не-
обогреваемой трубы, так и для необогреваемого и обогреваемого коль-
кольцевых каналов. Доверительные интервалы в значениях численных коэф-
коэффициентов могут рассматриваться как границы областей перехода между
данными режимами.
Опускные течения в вертикальных каналах описываются теми же карта-
картами режимов, что и подъемные течения.
Для горизонтальных каналов в качестве основы, как правило, исполь-
используется модифицированная карта режимов Бейкера, представленная на
рис. 2.6. Здесь Gg = W^w . i = О ~ <P)P/W/ — приведенные массовые
скорости газа и жидкости;
р Р/ \ ^
Pgo р/о/ ° Ко
Индекс 0 означает, что физические свойства определены при р =
= 0,01МПаиГ=20°С.
В отличие от вертикальных потоков в горизонтальных двухфазных по-
потоках выделяются добавочные режимы течения:
расслоенный — жидкая фаза занимает нижнюю часть сечения канала,
а газообразная фаза — верхнюю;
пробковый — переходный режим между пузырьковым и снарядным,
возникающий при увеличении расхода газа и слиянии пузырей в конгло-
конгломераты меньших размеров, чем снаряды.
Аналогично модификации карты режимов вертикальных потоков мо-
модификация карты режимов горизонтального потока при условии не-
несильного отличия от исходной карты была проведена в [44] (рис. 2.7).
Более перспективной представляется модифицированная карта режимов
горизонтальных потоков, приведенная в [46] (рис. 2.8).
Дальнейшее совершенствование карт режимов для двухжидкостных
моделей двухфазных потоков в каналах, по-видимому, может быть про-
проведено на основе карты режимов [48], построенной примерно по
6000 опытных точек и приведенной на рис. 2.9. Попытка обобщения гра-
границ режимов этой карты была предпринята в [49].
48
1,356Ю~5кг/(м2'с)
&у/А,КГ'М~*'С~*
1 10 102 10s 1OU 10s
Рис. 2.6. Карта режиМов горизонтального двухфазного потока [47]:
1 - расслоенный; 2 - волновой; 3 - кольцевой; 4 -дисперсный; 5 - пенистый;
6 - пузырьковый; 7 - пробковый; 8 - снарядный
Рис. 2.7. Модифицированная карта режимов горизонтального двухфазного пото-
потока [44]:
1 - пузырьковый; 2 - снарядный; 3 - расслоенный; 4 - кольцевой; 5 - дис-
дисперсный
Для многих технических приложений представляют интерес режимы
течения двухфазной смеси в каналах отличной от труб геометрии. Иссле-
Исследования границ режимов для этих каналов весьма немногочисленны.
Результаты работы [47], как отмечалось выше, показали, что в каче-
качестве карты режимов для кольцевого канала как при отсутствии, так и
при наличии обогрева внутреннего стержня с достаточной точностью мо-
может быть использована карта режимов трубы эквивалентного диаметра.
К аналогичному выводу для течения во внутренних ячейках продольно
обтекаемого пучка стержней пришли Авторы работы [50]. Представ-
Представляется, что при использовании не средних по сечению пучка параметров
теплоносителя, а локальных для данной ячейки этот вывод может &иъ
распространен на все ячейки пучка. Тем не менее вопрос режимов течения
в пучках требует дальнейших исследований, в особенности это касается
влияния дистанционирующих элементов на структурные характеристики
двухфазного потока.
В рамках карт режимов для составления математических описаний
двухфазных потоков в настоящее время, как правило, используется
модель эквивалентной трубы. Как исключение в [46] для кольцевых
областей предложена специальная упрощенная карта режимов, пред-
представленная на рис. 2.10.
49
4-6610
кг
0,2
0,15
I
i s
л
T
2\
2
3
!!
I
I I
I-1J
_J L
J I I L
J L
0,5
ю-
Рис. 2.8. Упрощенная карта режимов горизонтального двухфазного потока [46]:
1 - пузырьковый: 2 - переходные зоны; 3 - снарядный; 4 — дисперсные; 5 -
эмульсионный; 6 - расслоенный
Рис. 2.9. Карта режимов горизонтального двухфазного потока [48]:
1 - расслоенный; 2 - пробковый; 3 - пузырьковый; 4 - снарядный; 5 - коль-
кольцевой; б - волновой
/J2I
I I
\2\4
JDW
0,5
<Р
0,5
Рис. 2.10. Упрощенная карта режимов двухфазного потока в кольцевых областях
[46]:
1 - пузырьковый; 2 - переходная зона; 3 - кольцевой; 4 - дисперсный
Рис. 2.11. Упрощенная карта режимов двухфазного потока с высокой степенью пере-
перемешивания [46]:
1 - пузырьковый; 2 - переходная зона; 3 — дисперсный
При противоточном движении фаз, возникающем, например, при за-
заливе сверху воды в вертикальный канал, стенки которого перегреты выше
температуры насыщения, целесообразно выделить два режима течения —
кольцевой, если температура стенки ниже температуры смачивания для
50
данных условий, и обращенный кольцевой, если выше. Предельный слу-
случай противоточного движения фаз — захлебывание - будет рассмотрен
ниже.
В случае малых (близких к нулевым) массовых скоростей двухфаз-
двухфазной смеси при спутном движении фаз в вертикальных каналах режим те-
течения обычно классифицируется как пузырьковый, а в горизонтальных
каналах — как расслоенный.
Наконец, еще одним, специально выделяемым течением является те-
течение в устройствах с высокой степенью перемешивания двухфазного
потока (например, в .насосах). Упрощенная карта режимов для этого
случая представлена на рис. 2.11 [46].
2.3. ПЛОЩАДЬ МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для расчета механического и теплового взаимодействия фаз необходи-
необходимо знать площадь межфазной поверхности, приходящейся на единицу
объема потока Л/. Естественно, что соотношения для расчета площади
межфазной поверхности существенным образом определяются режимом
течения двухфазной смеси. Но даже в пределах одного режима картина
двухфазного потока столь сложна, что требует принятия весьма сильных
допущений, позволяющих получить достаточно простое и вместе с тем
вполне разумное описание процессов межфазного взаимодействия.
Так, для группы дисперсных режимов, при которых одна из фаз дис-
диспергирована в виде сравнительно небольших включений в потоке несу-
несущей фазы (пузырькового, эмульсионного, дисперсного режимов, режима
очень малых скоростей в вертикальном канале), двухфазная смесь пред-
предполагается состоящей из некоторого числа Асферических частиц дисперс-
дисперсной фазы, имеющих одинаковый усредненный радиус Гр и равномерно
распределенных в несущей фазе.
Для определения радиуса частиц дисперсной фазы возможны различные
подходы. Наиболее простой, но достаточно эффективный подход связан
с использованием представления о критическом значении числа Вебе-
ра Wecr, при котором могут существовать частицы дисперсной фазы при
данных условиях течения несущей фазы и допущении, что значение Wecr
и определяет эффективный радиус частиц гр.
Тогда по определению
гр = Wecror/Bpcw?). B.5)
При этом Wecr представляет собой эмпирическую константу модели и
подбирается на основании сопоставления с опытными данными, в частно-
частности для таких условий, для которых важны процессы межфазного обмена
при данном режиме течения двухфазной смеси. В [45] на основании со-
сопоставления с опытными данными при изучении процессов в опускном
канале ядерного водо-водяного реактора в условиях слабого недогрева
для пузырькового режима рекомендуется значение Wecr =7,5.
51
Для дисперсного режима принято значение Wecr = 4, характерное для
ускоряющихся капель в газовом потоке.
В то же время в [46] приняты другие значения WeCI, а именно:
We^r = 13; B.6)
We*cr = 1,24. B.7)
Это, по-видимому, свидетельствует о том, что характерный размер /р,
или, может быть, точнее, эффективный размер гр, зависит не только от
физической картины двухфазного потока, но и от вида корреляций для
расчета процессов межфазного обмена, используемых в той или иной
модели.
Более реалистичные и физически обоснованные значения характер-
характерного размера гр могут быть получены на основе применения модели Муге-
ле и Эванса для распределения частиц дисперсной фазы по размерам:
^[1 + 3aiexp[l/Dfll)] + За1ехрA/д|) + а?ехР[9/Dа2)]]~1/3-
B.8)
В [44] рекомендованы значения а 1 =4; д2= 0,738, так что
гр/гты = 0,06147, B.9)
где rmax — максимальный размер включений, который может быть опре-
опреe™a
B.10)
делен по критическому значению соответствующего We™ax, а именно:
Для капель из условий наилучшего совпадения с данными работы
Моекд
We?ax = 13. B.11)
Для пузырькового режима согласно теории разрушения пузырей в
турбулентном потоке жидкости
Для пузырькового режима при определении rmax можно обойтись
без опытной константы Wemax, используя соотношение, полученное
в [51]:
Pg
B-13)
Для исключения появления физически нереальных значений харак-
характерного размера дисперсных частиц гр необходимы ограничения типа
52
B.14)
полученные соответственно для капель и пузырьков из условия сосре-
сосредоточения всей жидкости или газовой фазы в одной частице — капле или
пузырьке.
Более грубое ограничение радиуса дисперсных частиц применяется
в [45] :
10 м < rp < D. B.15)
Следует отметить, что приведенные выше соотношения для опреде-
определения характерного размера дисперсных частиц учитывают лишь дина-
динамические воздействия несущей фазы на частицы. Тем самым не прини-
принимается во внимание влияние теплового взаимодействия частицы с не-
несущей фазой и стенкой канала.
Число дисперсных сферических частиц характерного радиуса гр в еди-
единице объема двухфазного потока с объемным газосодержанием <р можно
найти из выражения
Nb = C/4V/(*(r?K) Для пузырьков;
N " [Nd = C/4X1 - <р) /0г(гр*K)дпя капель. BЛ6)
И соответственно площадь межфазной поверхности, приходящаяся
на единицу объема двухфазного потока, равна
— \^lrv Для пузырькового и эмульсионного режимов;
CA— у)\г для дисперсного режима. \ )
Ограниченность областей изменения паросодержания </?, в которых су-
существуют пузырьковый (<р < 0,5 согласно карте режимов работы [45])
и дисперсный (</> > 0,75 согласно той же карте) режимы двухфазного по-
потока, предопределяет площадь межфазной поверхности для этих режи-
режимов.
Ввиду достаточно сильной в ряде случаев чувствительности результа-
результатов расчета теплогидравлических процессов по двухжидкостным моде-
моделям к площади межфазной поверхности, которая обусловливает ин-
интенсивность межфазных тепловых и механических взаимодействий, воз-
возможно ее определение по специальным формулам независимо от вели-
величины Гр. Так, в [45] предлагается, в частности, в пузырьковом режиме
за площадь межфазнои_ поверхности, приходящейся на единицу объема
двухфазного потока Af, выбирать максимальную из площадей, рассчи-
рассчитанных по формуле B.17) и следующему соотношению, основанному на
условии максимальной упаковки пузырей в объеме:
At = 4,&3v2l3Nbll\ B.18)
53
где число пузырьков в единице объема N^ является опытной констан-
константой. Оценку значения этой константы для пароводяных вскипающих по-
потоков можно получить по формуле [52]
15 - O,951gGi при Gi < 1500; B 19)
12,5 - 0,15igGi при Gi > 1500.
Здесь число Гиббса равно
167ГО3
Gi =
-Pgs!pls):
где к*= 1,381 10" 3 Дж/кг — постоянная Больцмана.
Для кольцевого режима течения, при котором вся жидкость сосредо-
сосредоточена в пристенной жидкой пленке, площадь межфазной поверхности
можно определить по следующему очевидному соотношению:
At = 4yfip/D. B.20)
Соответственно для обращенного кольцевого режима
А] = 4V1 - V/D. B.21)
Дисперсно-кольцевой режим двухфазного потока во многих работах,
например в [44, 46], сводится к кольцевому, т.е. вся жидкость считается
сосредоточенной в пристенной пленке. Такое допущение представляется
весьма реальным для дисперсно-кольцевых потоков в условиях терми-
термического равновесия фаз или близких к ним, для которых межфазный
теплообмен несуществен, а межфазный обмен импульсом в основном
сосредоточен на границе газ-волнистая жидкая пленка. В резко не-
нестационарных режимах, когда термическое равновесие фаз и в дисперсно-
кольцевом режиме может существенно нарушаться, необходимо учиты-
учитывать особенности структуры дисперсно-кольцевого потока, а именно на-
наличие капель жидкости в ядре потока и ту долю межфазной поверхности,
которая с ними связана.
В рамках двухжидкостной модели целесообразно ввести в рассмотре-
рассмотрение отношение доли сечения канала, занятой жидкими каплями, к доле
сечения, занятой всей жидкостью:
Е* = Sd/Si . B.22)
Зная Е , можно найти условное объемное содержание газа в газо-
газокапельном ядре:
S* Г A ^)Г
V* = ? = И + Е* — . B.23)
54
Радиус газокапельного ядра может быть определен по формуле
+ Е*{\- if) . B.24)
Использование для газокапельного ядра приведенных выше соотно-
соотношений для дисперсного потока дает для межфазной поверхности газ-
капля соотношение
Aid = 3A -Ф)Е*/г* , B.25)
где характерный диаметр капель определяется по критическому значению
числа Вебера, построенному по разности скоростей парового ядра и дис-
диспергированных в нем капель. Соотношение для расчета этой разности ско-
скоростей будет рассмотрено ниже при описании методов расчета скоростей
скольжения фаз. Соответственно площадь межфазной поверхности газ — ¦
пристенная жидкая пленка находится аналогично нахождению площади
при кольцевом режиме по формуле
Aif = 4V*+?*A - *>)/?>• B.26)
Доля сечения потока Е*, занятая жидкими каплями, может быть опре-
определена на основе результатов исследований распределения расхода жидко-
жидкости между ядром и пленкой в дисперсно-кольцевых потоках. Это рас-
распределение расхода жидкости характеризуется долей общего расхода
жидкостиЕ, приходящейся на капли:
Е = Gd/(Gd +G/). B.27)
Объемная доля капель связана с расходной соотношением
Е* = [1 _ A _ HE)(wd/wf)]'1. B.28)
Соотношение скорости капель wd и пленки иу будет рассмотрено ниже
при описании скольжения фаз.
В [45] для расчета расходной доли капель Е рекомендуется следующее
соотношение, построенное на базе S-образной кривой уноса:
Е = 1 - exp[-(Hfc + v*) 0,23J. B.29)
Здесь скорость уноса vE определяется через We^r для капель по фор-
формуле
B.30)
Более реалистичные результаты дает применение соотношения, полу-
полученного в [53] на основе обобщения опытных данных по распределению
жидкости между ядром и пленкой в дисперсно-кольцевом адиабатном
пароводяном потоке высокого давления в трубе диаметром D = 13,3 мм
в широком диапазоне давлений р = 1,0 -г 16 МПа, удельных массовых
55
расходов смеси (pw)^, = 500 -f 4000 кг/ (м2 • с) и массовых расходных
паросодержаний х = 0,1 т 0,9 и имеющего вид
2.ll-ИГ»
при
1,075 -10" 2[-L
< 1(Г2.
при
B.31)
Расходную долю капель в ядре потока находят соответственно по фор-
формуле
Е= 1 -*2/A -х). B.32)
Весьма перспективным представляется рекомендуемое в [54] соот-
соотношение для расходной доли воды в пристенной пленке пароводяного
дисперсно-кольцевого потоков, полученное на основании комплексных,
систематических исследований структурных характеристик потока в тру-
трубе диаметром D = 8 мм и учитывающее различия закономерностей процес-
процессов влагообмена между ядром и пристенной пленкой в различных под-
подрежимах дисперсно-кольцевого потока, выделенных в [47] и описанных
выше. Соотношение имеет вид
Г17,6-1(
х2
Г4
Lp xl,5
при Xa < x < xAp ;
17,6 • 10 xl 1 -
LP
хАр
1
1,
[1+
где
М/
а /
V
— число Лапласа;
B.33)
B.33а)
= 0,15
Рт
0,5
Pi
0,25
0,125
56
— расходное паросодержание, соответствующее кризису гидравлического
сопротивления в дисперсно-кольцевом потоке (резкое уменьшение пере-
перепада давления с исчезновением волн на пленке); ха — нижняя граница
дисперсно-кольцевого режима, определяемая по B.4); хг — верхняя
граница подрежима волн возмущения [см. B.4а)].
Общая площадь межфазной поверхности в дисперсно-кольцевом режи-
режиме течения двухфазной смеси определяется суммой
At = Ad. + Afr B.34)
В условиях обогрева и в нестационарных режимах распределение жид-
жидкости между пленкой и ядром дисперсно-кольцевого потока с фазовыми
переходами может существенно отличаться от распределения при адиабат-
адиабатных и стационарных условиях. Основная причина отличия - возможное
кипение жидкости в пленке. Так, в [47] показано, что кипение жидкости
в пленке при тепловых нагрузках выше определенного значения q^m
обусловливает дополнительный обмен жидкостью между пленкой и ядром
потока путем некомпенсированного пузырькового уноса.
На основе систематических опытных данных по пузырьковому уносу
авторы рекомендуют зависимость, связывающую интенсивность неком-
некомпенсированного пузырькового уноса х$ с режимными параметрами:
Ъх% Q - ^ijm
. _1 = 150 — , B.35)
bz rPmwmx
где <7j°im — тепловая нагрузка, соответствующая началу некомпенсирован-
некомпенсированного пузырькового уноса и определяемая соотношением
(LpH'5 = 0,7-1 ОТ3. B.36)
Снарядный редким двухфазного потока аналогично дисперсно-кольце-
дисперсно-кольцевому в большинстве работ сводится к кольцевому режиму, т.е. вся жид-
жидкость считается сосредоточенной в пристенной пленке. Но и в этом случае
для существенно термодинамически неравновесных двухфазных по-
потоков данное приближение не позволяет достаточно реалистично описать
процесс межфазного теплообмена, ибо основной вклад в этот процесс
вносит межфазное тепловое взаимодействие на поверхности мелких паро-
паровых пузырьков, существующих в потоке наряду с паровыми снарядами.
Делая то или иное допущение о количественной характеристике распре-
распределения пара между пузырьками й снарядами и предполагая, что весь
межфазный теплообмен происходит лишь на поверхности пузырьков,
можно рассчитать площадь межфазной поверхности по аналогии с расче-
расчетом для пузырькового режима. Поскольку снарядный режим по сути
является переходным между пузырьковым и дисперсно-кольцевым,
57
Рис. 2.12. Идеализированное представление рас-
расслоенного двухфазного потока в горизонтальном
канале:
1 — паровая фаза; 2 — жидкая фаза
для определения его характеристик вполне
применим метод интерполяции.
Полагая, что на нижней границе снаряд-
снарядного режима, т.е. при у = кр$1, весь пар на-
находится в виде пузырьков, размер которых db определяется по фор-
формулам для пузырькового режима [например, B.5)], а на верхней гра-
границе, т.е. при if = <ps2, на пузырьки приходится доля к всего объема
пара и их диаметр равен d^ определяются с помощью, например, ли-
линейной интерполяции текущие значения объемного паросодержания
пузырьков уь и их диаметра db:
db = dbsl +
^S 2 ^S I
db - db
B37)
sl
%2
B.38)
В [45], в частности, приняты значения к = 0,4; <psl = 0,3; $s
= 0,5; db = D, что дает
S2
= @,9 -
; d = dSl@,5 -
- 0,3)/0,2. B.39)
Соответственно площадь межфазной поверхности, отнесенная к еди-
единице объема, определяется следующими соотношениями:
для межфазного обмена импульсом (здесь допустимо сведение сна-
снарядного режима к кольцевому)
B.40)
для межфазного обмена теплом
А]= 3//А
B.41)
Сепарированный режим двухфазного потока в горизонтальном кана-
канале описывается в предположении, что вся жидкость сосредоточена в
нижней части канала.
Межфазная поверхность гладкая, ее площадь равна (на единицу объема)
At =4sin(e/2)/(ir/>), B.42)
58
где в - угол сегмента, занятого жидкостью. Значение угла может быть
определено из соотношения
2тгA - ip) = в - sine,
описывающего идеализированную картину сепарированного двухфазного
потока (рис. 2.12) [55].
2.4. МЕЖФАЗНОЕ ТРЕНИЕ
Механическое взаимодействие фаз в двухскоростном двухфазном пото-
потоке характеризуется напряжением Tki, которое может быть представлено
в виде
т = ikt ^-j l- i B.43)
при этом входящая в систему уравнений модели сила межфазного трения
будет иметь вид
г*. = А{гы. B.44)
Скорость движения межфазной поверхности щ в общем случае может
быть найдена из баланса сил трения газ — межфазная поверхность и жид-
жидкость — межфазная поверхность; что дает условие
Решение уравнения B.45) имеет вид
щ = ®gipgw* ^P/w/} ± АМ/р/(н^ - W/) . B.46)
Для имеющего практический смысл условия wg > w/ > W/ следует
выбрать знак минус в B.46).
В частном случае ? р = \прх разрешение неопределенности в B.46)
дает
щ = (wg + wz)/2. B.46a)
В некоторых работах, например в [5], выражение B.46а) рекомен-
рекомендуется использовать как общую формулу для определения скорости меж-
межфазной поверхности.
Если же р < р, , а коэффициенты трения и скорости газовой и жид-
жидкой фаз соизмеримы, то
щ * W/. B.466)
59
Это позволяет межфазное напряжение трения представить в вцде
Здесь рс — плотность несущей фазы. Выражение B.47), как правило,
используется в практических расчетах.
Коэффициент межфазного трения %., существенно зависящий от режи-
режима течения двухфазной смеси, весьма слабо изучен и поэтому описывается
лишь на базе модельных представлений двухфазного потока, в частности
тех, которые были сформулированы при описании площади межфазной
поверхности.
В дисперсных режимах двухфазного потока в рамках данных представ-
представлений задача описания механического взаимодействия фаз сводится к
задаче обтекания несущим потоком сферических частиц радиусом гр при
скорости обтекания wR = wg - Wj, что дает для коэффициента межфаз-
межфазного трения следующее выражение:
24
0,42
при Rep < 105;
0,42 при Rep > 105,
B.48)
где Re^ = 2rvpc\wg - w/|/juc (pc , juc — плотность и вязкость несу-
несущей фазы соответственно).
Несколько другая аппроксимация опытных данных по коэффициенту
сопротивления покоящейся одиночной недеформируемой сферы пред-
представляется формулой Клячко:
при 0 < Rep < Ю3;
при 103 < Rep < 2- 103; B.48а)
при Rep > 2- 103.
24Re-J(l
0,44
Следует отметить, что для сферических частиц коэффициент сопротив-
сопротивления при их обтекании играет роль коэффициента трения в определении
силы межфазного взаимодействия.
Для %'. может быть использована и более простая аппроксимация [22]:
0,4.
B.486)
Более реалистичные результаты при определении силы межфазного
взаимодействия в дисперсных режимах двухфазного потока могут быть
получены при учете влияния концентрации дисперсной фазы К^, деформа-
деформации дисперсных частиц A^w/, сжимаемости несущей фазы
60
В соответствии с данными [39] эти поправочные коэффициенты могут
быть, в частности, представлены в виде
= exp@,03We^5) при 0 < Wep < 0,25;
e^
ехр(-0,427/Ма^63 - 3,0/Re°'88).
B.49)
Здесь Мае — число Маха несущей фазы. Естественно, что поправка на
сжимаемость вводится лишь для газокапельных дисперсных потоков.
В кольцевом режиме двухфазного потока механическое взаимодейст-
взаимодействие фаз осуществляется на волнистой поверхности жидкой пристенной
пленки и описывается соотношениями, справедливыми для расчета сопро-
сопротивления в эквивалентной трубе с шероховатыми стенками. В области
малых Re определяющее влияние оказывает вязкое трение, и коэффи-
коэффициент межфазного трения равен
%. = бЛ/Rsgi при Regi < 500. B.50)
В области больших Re основное влияние оказывает "шероховатость"
межфазной поверхности, что дает основание, опираясь на результаты
работы [39], записать
%t = 0,02A + 15О6/:Яе) при % > 1500. B.51)
Если учесть, что для кольцевого режима толщина пленки равна Ь =
= A — \fp), то соотношение B.51) примет вид
^ = 0,02[1 + 150A - V5)J. B.52)
2Re(wg - w/)p
Здесь Re~/ = ~ , а эквивалентный радиус равен Re =
= y/ip'R. Скорость межфазной поверхности полагается равной скорости
движения пленки жидкости, т.е. Wj = w^
В области промежуточных значений Re коэффициент межфазного тре-
трения может быть найден с помощью линейной интерполяции, а именно:
= J3^_ ПОР - Reg/ + Reg - 5QQ x0,02[l + 150A -
1 Rcgl 1000 1000
при 500 < Re^ < 1500. B.53)
В последнее время были опубликованы зависимости для коэффициен-
коэффициента межфазного трения, базирующиеся на результатах систематических
исследований гидродинамических характеристик пароводяных потоков
высокого давления в трубах. Так, в [56] рекомендовано соотношение,
представляющее собой модификацию зависимости B.51), имеющее вид
61
?2. = 0,02[1 + 16F/Л)°'25 + 1,5- 10* (8/RJ] B.54)
и удовлетворительно описывающее как данные для пароводяного потока
(для труб диаметром D = 8,1 мм и D = 13,1 мм) [53,56], так и данные
для водовоздушного потока.
Более поздние исследования [54] выявили влияние давления на коэф-
коэффициент межфазного трения на границе паровое ядро — жидкая пленка,
что учитывается в соотношении
?. = 0,004/(Р//рр°'4A + 15О5/Л€), B.55)
которое также является модификацией зависимости B.51). При р =
= 5 МПа коэффициенты в B.51) и B.55) совпадают. В обращенном коль-
кольцевом режиме двухфазного потока радиус эквивалентной трубы и тол-
толщина пристенной паровой пленки будут соответственно равны
Re = л/1 - У R; 8/R = 1 - у/1- sp B.56)
и коэффициент межфазного трения может быть рассчитан по тем же за-
зависимостям, что и для кольцевого режима, но с учетом B.56).
Дисперсно-кольцевой двухфазный поток, как уже отмечалось выше,
при описании межфазных взаимодействий в большинстве случаев сводит-
сводится к кольцевому потоку. При этом вся жидкость считается сосредоточен-
сосредоточенной в пристенной пленке и, в частности, межфазное механическое взаимо-
взаимодействие рассчитывается по приведенным выше соотношениям для коль-
кольцевого потока. Более физичным является описание силы трения на меж-
межфазной границе как суммы сил трения на поверхностях паровое ядро -
жидкая пленка и пар — капли, диспергированные в паровом ядре, так
что
TtAi = TifAif + TidAid , B.57)
где ти-, rid — напряжения трения на межфазных поверхностях пар—плен-
пар—пленка Ay и пар—капли A\d соответственно. Площади межфазных поверх-
поверхностей рассчитываются по B.25), B.26), а напряжения трения - по
B.48), B.49) для т# и по B.50)-B.55) для rif. При этом радиус экви-
эквивалентной трубы и толщина пристенной жидкой пленки будут
равны
Re = Vtf> + A - V)E*R ; 6/R = 1 - y/v + A - <p)E* B.58)
где объемная доля капель Е*9 унесенных с поверхности пристенной жид-
жидкой пленки и диспергированных в паровом ядре, определяется по
B.28)-B.30).
В [54] приводится полуэмпирическая формула для расчета толщины
пристенной жидкой пленки в дисперсно-кольцевом потоке:
62
-?— при хп < х < хАр ;
5
— ^
8
8
,8-
Lp
,»•
LP
10
10
ха
хАр
B.59)
при хдр < х < 1.
- хг
Формула учитывает существенные различия интенсивностей уноса капель
с поверхности пристенной жидкой пленки в паровое ядро в различных
подрежимах дисперсно-кольцевого потока. Число Лапласа и расходные
паросодержания, соответствующие началу дисперсно-кольцевого режима
(л^ ) и кризису гидравлического сопротивления в дисперсно-кольцевом
потоке (лгдр), определяются по B.4) и B.33а), ахг- по B.4а).
Следует заметить, что если для стационарных дисперсно-кольцевых
потоков силовое взаимодействие между паром и диспергированными
в нем каплями достаточно мало по сравнению с трением на поверхности
пристенной пленки жидкости, то в нестационарных режимах оно может
стать вполне заметным, что служит основанием для учета- взаимодей-
взаимодействия пар—капли при описании межфазного трения в дисперсно-кольце-
дисперсно-кольцевом двухфазном потоке.
Снарядный режим двухфазного потока при описании межфазного обме-
обмена импульсом вполне возможно, как отмечалось выше, сводить к коль-
кольцевому режиму, определяя площадь межфазной поверхности, приходя-
приходящуюся на единицу объема, по B.40), а коэффициент межфазного тре-
трения-по B.50) - B.53).
В расслоенном режиме двухфазного потока межфазное трение, с одной
стороны, .изучено далеко не достаточно, а с другой стороны, его вклад
в общее силовое воздействие на данную фазу во многих практических
случаях относительно невелик. Все это приводит к использованию для
расчета межфазного трения в этом режиме весьма идеализированной мо-
модели, основными допущениями которой являются предположения о
гидродинамической гладкости межфазной границы и о равенстве иско-
искомого коэффициента межфазного трения коэффициенту трения при тече-
течении однофазного потока в трубе эквивалентного диаметра, равного
(рис. 2.12)
2фпЯ
De = . B.60)
sin@/2) + тг@/2)
В частности, коэффициент межфазного трения может быть рассчитан
по соотношению
18,7
2
63
Здесь Ree эквивалентного потока равно
Как было сказано, обычно в расчетах шероховатость межфазной по-
поверхности е полагается равной нулю.
Уточнение расчетов может быть сделано путем учета волновой ше-
шероховатости межфазной поверхности на основе результатов работы [57].
2.5. МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Правые части уравнений энергий фаз двухтемпературных моделей
неравновесных двухфазных потоков содержат члены q?if описываю-
описывающие обмен теплом между данной фазой к и межфазнои поверхностью /
в единице объема. По определению
<i - ЯкА = аи(Г, - Tk)Ait k = g,l. B.62)
Следует отметить, что в процессах с фазовыми переходами на меж-
межфазной границе, а именно такие процессы здесь в основном рассматри-
рассматриваются, тепловые потоки я*, и qfi не равны. Температуру межфазной
поверхности, как правило, можно считать равной температуре насыщения,
т.е.
7/ =TS. B.63)
Естественно, и ^шощадь межфазной поверхности, приходящаяся на
единицу объема Aj, и интенсивность обмена теплом между данной фазой
и межфазной поверхностью, характеризуемая коэффициентами теплоот-
теплоотдачи <*?/> существенным образом зависят от режима двухфазного пото-
потока и должны ставиться ему в соответствие. Соотношения для вычисле-
вычисления площади межфазной поверхности А\ приведены выше. Здесь рас-
рассматривается методика описания межфазных коэффициентов теплоотда-
теплоотдачи aki, базирующаяся аналогично методике расчета межфазного трения
на модельных представлениях о картине различных режимов двухфаз-
двухфазного потока.
Пузырьковый режим потока, как описывалось ранее, в идеализиро-
идеализированном виде представляется в виде совокупности сферических недефор-
мируемых пузырьков в монодисперсном приближении одного характер-
характерного размера г#, определяемого, например, по B.8) —B.10), B.12),
равномерно распределенных в несущем потоке жидкости.
Коэффициент теплоотдачи со стороны жидкости % определяется
тем, какой механизм теплообмена превалирует: конвекция при обтекании
потоком жидкости сферического пузырька или перенос тепла, связанный
с ростом пузырька.
64
В первом случае коэффициент теплоотдачи ац может быть рассчитан
на основании критериального уравнения для теплоотдачи при обтекании
одиночной сферы, модифицированного в целях учета интенсифицирую-
интенсифицирующего влияния потока среды и имеющего вид
Nuw = 2 + 0,74RtfJ2?xfl3. B.64)
Здесь
; Refe = -^—1 LZL ; рГ/ =
/V/ M/ /v/
Во втором случае существенными являются механизмы роста пузырька
при парообразовании или уменьшения пузырька при конденсации.
Анализ результатов экспериментальных и теоретических исследований
закономерностей роста паровых пузырьков в перегретой жидкости
[58, 59] показывает, что можно выделить несколько стадий роста пу-
пузырька: стадию медленного роста, определяющуюся силой поверхностно-
поверхностного натяжения; промежуточную стадию или стадию быстрого роста, в ко-
которой давление пара в пузырьке отличается от давления в жидкости за
счет радиальной инерции жидкости (приближение Релея); "энергетичес-
"энергетическую тепловую" стадию роста, определяющуюся скоростью переноса теп-
тепла от жидкости к поверхности пузырька. Оценка длительности первых
двух стадий показывает, что в пароводяной среде при давлении около
7,0 МПа она составляет примерно 10 - 10 с. Это позволяет считать,
что рост пузырька целиком определяется "энергетической тепловой"
стадией.
Аналитическое описание теплового роста пузырька в объеме перегре-
перегретой жидкости было получено в [58]. Там же было показано существо-
существование автомодельного решения, не зависящего от начальных условий.
Для воды характерное время выхода на автомодельное решение в широ-
широком диапазоне давлений весьма мало, что позволяет рассчитывать рост
пузырька по зависимости
12 Г 1 / 7Г \2/3 / 7Г \] 1/2 .
R(t) = — Ja 1 + — - Ja + — Ja \fait, B.66)
7Г [ 2 \6 / \ 6 /j
полученной в [59] в результате аппроксимации автомодельного решения.
Поскольку на "энергетической тепловой" стадии рост пузырька соот-
соответствует количеству подведенного тепла, с помощью B.66) можно по-
получить выражение для Nu# в виде
Г 1 / 7Г \2/3 7Г 1
Nu7/ = 3,9Ja I + — — + . B.67)
11 L 2 \6Ja/ 6Jaj
В этих соотношениях число Якоби, характеризующее степень перегре-
перегрева жидкости, равно
65
5-6610
Ja - ?L lULlJjL , B.68)
где г — теплота парообразования.
В работе [60] коэффициент теплоотдачи сщ определяется на основании
исследований, связанных в основном со скоростью уменьшения и исчез-
исчезновения пузырьков при конденсации, а также со скоростью роста пузырь-
пузырьков при парообразовании. Рекомендуется результирующая формула,
которая может быть представлена в виде
-щ\^\т^ B69)
В практических расчетах выбирается максимальный коэффициент
теплоотдачи ац из значений, рассчитанных по B.64), B.67) и B.69).
Определенное уточнение описания межфазного теплообмена в пузырь-
пузырьковом режиме может быть получено на основании результатов работ
[61, 62]. Для области достаточно больших перегревов и достаточно боль-
больших относительных скоростей жидкости существенны эффекты, связан-
связанные как с тепловым ростом пузырька, так и с конвективным переносом
тепла, коэффициент теплоотдачи от жидкости межфазной поверхности
может быть рассчитан по формуле
Л 1 6Ja0'63 1
Nu7/ = Nu0 + 1,13Ре2 ^ —. 2-1 * • BЛ0)
11 [ 13Ja3'3 + Ре1'5 31Ja4'3 + Ре2 J
Здесь Nu0 определяется по B.67); Ре = |w/ - wg\2rb/ai.
При малых перегревах (Ja ^ 1), но больших относительных скоростях
жидкости (Ре > 1) для расчета аи может быть использовано соотношение
l2. B.71)
Если же и перегрев (Ja:<^ 1), и относительная скорость (Ре < 1) жид-
жидкости малы, то интенсивность теплообмена между жидкостью и поверх-
поверхностью пузырька может существенно зависеть от объемной концентрации
пузырьков, что учитывается в формуле
Nuw = 2 +9^ + 22,5<р2. B.72)
Тепловой поток, идущий от межфазной поверхности к пару, находя-
находящемуся внутри пузырька, как правило, весьма мал, так как в пузырько-
пузырьковом режиме паровая фаза практически во все моменты процесса близка
к состоянию насыщения.
Основной механизм обмена теплом между межфазной поверхностью
и паром в данном случае — теплопроводность. Найденный из точного реше-
66
ния нестационарной задачи теплопроводности для сферы коэффициент
теплообмена может быть приближенно представлен зависимостью
Nu^- = 16, B.73)
что для пароводяных потоков высокого давления дает для коэффициента
теплоотдачи со стороны пара значение, Вт/ (м2 • К),
agi * 103^ 104, B.74)
которое обеспечивает малое отличие состояния пара в пузырьке от со-
состояния насыщения и поэтому рекомендуется к применению в ряде
работ, например в [45].
Дисперсный режим двухфазного потока в модельном представлении
в основном аналогичен пузырьковому режиму — поток теплоносителя
(пара, газа) обтекает сферические недеформируемые частицы (капли).
В связи с этим коэффициент теплообмена между паровой (газовой)
фазой и межфазной поверхностью agj может быть найден по аналогичному
B.64) соотношению:
NuJ = 2 + 0,7411е^/2Рг^3, B.75)
где
NuJ, =c?. -2rd/\g; Regl = 7rd | wg - W/lp,/^; B.76)
здесь rd - характерный радиус капель, определяемый по B.8)-B.10),
B.12).
Обмен теплом между межфазной поверхностью и жидкостью в капле
осуществляется главным образом посредством теплопроводности и ха-
характеризуется коэффициентом теплоотдачи %, который может быть
найден из соотношения
NuJ = Сй, B.77)
где Сц — опытная константа, для которой в [44] на основании аппрокси-
аппроксимации теоретического решения задачи нестационарной теплопроводности
в сфере рекомендуется значение
СИ = 16,134, B.78)
а в [15] на основании опытных данных по закризисному теплообмену
рекомендовано
Сц = 10. B.78а)
Влияние нестационарности режима на процесс теплообмена в капле
качественно может быть учтено с помощью соотношения
Nu? = 10A + 11у/Щ), B.79)
67
где Fo^ = ait*jr2d — число Фурье; t*~ характерное время изменения тем-
температуры (например, при гармонических колебаниях с частотой о? имеем
t* = со" *). Для газа влияние нестационарности существенно меньше, чем
для жидкости, так как коэффициент температуропроводности газа ag
значительно выше аналогичного коэффициента жидкости (ag > af).
В кольцевом режиме двухфазного потока межфазное тепловое взаимо-
взаимодействие происходит на границе парового (газового) ядра и пристенной
жвдкой пленки.
Теплообмен между паром (газом) и межфазной поверхностью осуще-
осуществляется за счет конвекции. Коэффициент теплоотдачи с/, может быть
рассчитан по любой из формул для конвективной теплоотдачи, напри-
например, по [63]:
? ^8Pr^4, B.80)
где
толщина жидкой пленки 6^ = (D/2) A —
Уточненное описание теплообмена системы пар (газ) — межфазная
поверхность можно получить, если учесть интенсификацию теплоотдачи за
счет "шероховатости" волнистой поверхности пленки, например, с по-
помощью соотношения
? ^оЩЩ0, B.81)
где "шероховатость" поверхности пленки жидкости определяется по фор-
формуле
е/Р = 46,/Я.
Как отмечалось вьппе, в большинстве практически реализуемых слу-
случаев в кольцевом режиме двухфазного потока можно полагать w,- = wt
и считать, что основной механизм обмена теплом между жидкостью в
пленке и межфазной поверхностью — теплопроводность, что дает для
определения соответствующего коэффицента теплоотдачи соотношения
Nu? =1, B.82)
где
Nuf/ = a//W B*83)
Если же выполняются условия частного случая B.46а), то w,-=
= A/2) (w/ + wg), механизм переноса тепла в пленке - конвекция и
коэффициент теплоотдачи с/ц находится по формулам конвективного теп-
теплообмена, в частности
68
Nu? = O^BReO'Spr,0'43, B.84)
где
NuL определяется по B.83); Re/ = ?
Щ
Для описания межфазного теплообмена в двухфазном потоке дисперс-
дисперсно-кольцевой структуры в общем случае необходима трехтемпературная
модель двухфазной среды. Однако в большинстве практически важных
случаев можно полагать температуры жидких капель в паровом ядре и
пристенной пленке жидкости достаточно близкими и определять общее
межфазное тепловое взаимодействие как сумму межфазного теплообмена
систем пар—жидкие капли, пар - пристенная жидкая пленка по соотно-
соотношениям
Плошдди_межфазных поверхностей в единице объема систем пар — жид-
жидкие капли Aid и пар — пленка А^ рассчитываются по B.26) и B.25), а
коэффициенты теплоотдачи, необходимые для определения тепловых пото-
потоков qki, cfki, согласно соотношениям B.62) находятся следующим обра-
образом: для межфазной поверхности системы пар — капли — по B.75) —
B.78); для поверхности системы пар - пленка - по B.80)-B.84) с
учетом того, что толщина пристенной жидкой пленки в дисперсно-коль-
дисперсно-кольцевом режиме задается соотношениями B.58), B.59).
При снарядном режиме течения двухфазного потока основной вклад
в межфазное тепловое взаимодействие вносит теплообмен на поверхности
паровых пузырьков площадью А ?, так как она составляет основную долю
общей межфазной поверхности. При этом площадь межфазной поверхно-
поверхности Л? определяется по B.40), а коэффициенты теплоотадчи а#/ — по
B.64), B.67).
Впрочем, в некоторых работах (например, в [44]) при описании меж-
межфазного теплообмена предлагается сводить снарядный режим, как и при
описании межфазного механического взаимодействия, к кольцевому
режиму, считая всю жидкость сосредоточенной в пристенной пленке и
понимая под межфазным теплообменом теплообмен на поверхности этой
пленки, который может быть найден по приведенным выше формулам
для кольцевого режима двухфазного потока.
Представляется, что такой подход к описанию межфазного теплообме-
теплообмена при снарядном режиме менее реалистичен, чем ранее изложенный.
В обращенном кольцевом режиме двухфазного потока механизм теп-
теплообмена систем жидкое ядро — межфазная граница и межфазная грани-
граница — паровая пленка - в основном конвекция.
Площадь поверхности межфазного теплообмена, приходящаяся на еди-
единицу объема, при этом находится по формуле
69
B.86)
где С\ — коэффициент, учитывающий интенсификацию межфазного теп-
теплообмена за счет наличия волн на поверхности. В [64] рекомендуется зна-
значение
Сх = 1,5. B.87)
Коэффициент теплоотдачи от жидкого ядра к межфазной поверхности а#
может быть найден по формулам:
при ламинарном режиме течения жидкого ядра
аи = 3,66X//BflVl - Ч>)\ B.88)
при турбулентном режиме
Соответственно коэффициент теплоотдачи от межфазной поверхности к
паровой пленке может быть определен из соотношений:
при ламинарном течении паровой пленки
а„. = 3,66 8 . ; B.90)
ё 2R A - VI -V)
при турбулентном течении
asi = 0,0083 ^ . ^-i Prj'01
2R{1 Vl ) [ J *
2R{1 - [ g J
B.91)
Как правило, в обращенно-кольцевом режиме течения двухфазного пото-
потока можно считать скорость межфазной поверхности w/ равной
щ = (wg + W/)/2. B.92)
В ряде случаев возможно преобладание механизма теплопроводности при
переносе тепла в паровой пристенной пленке. Интенсивность этого про-
процесса определяется коэффициентом теплоотдачи в виде
«*/= №0 - VT^7)]. B.93)
В практических расчетах за значение коэффициента теплоотдачи от меж-
межфазной поверхности к пару в пленке принимается максимальное из рас-
рассчитанных по B.90) —B.93) значений^/.
В расслоенном режиме двухфазного потока в широкой области объем-
объемных паросодержаний (за исключением очень малых и очень больших ф)
тепло от межфазной поверхности как к жидкости, так и к газу перено-
70
сится в основном посредством конвекции. Соответствующие коэффи-
коэффициенты теплоотдачи agj, ац могут быть определены из соотношений для
конвективного теплообмена, в частности, следующим образом:
aki = 0,023 \ Re°'8Pr°'4; к = /, g, B.94)
е
где Re# = \wg - ^il^P^l^y а эффективные диаметры равны
B.95)
sin@/2) + п - 0/2
, 2тгЛA - Ир)
D1 =
е
sin@/2) + тг - 0/2
В переходных областях карты режимов двухфазного потока межфазные
тепловые потоки могут быть найдены интерполяя(ией (например, линей-
линейной) по истинному объемному паросодержанию у и удельному массовому
расходу смеси (pw)m между значениями на границах соседних режимов.
2.6. ТРЕНИЕ НА СТЕНКЕ КАНАЛА
В случае двухскоростных моделей двухфазного потока для замыкания
основной системы дифференциальных уравнений необходимо знать силу
трения данной фазы о стенку канала rj*w, приходящуюся на единицу
объема и равную
rkw = AkwTkw> k = Ifg- B.96)
Здесь Akw - поверхность стенки, находящаяся в контакте с фазой к
и приходящаяся на единицу объема потока; Tkw— напряжение трения,
характеризующее механическое взаимодействие фазы к со стенкой канала
и определяемое из соотношения Дарси
Tkw = hwPkwVs> B-97>
где %kw — коэффициент трения для фазы к.
Механическое взаимодействие отдельных фаз двухфазного потока
со стенками канала изучено весьма слабо, что требует принятия весьма
сильных и неопределенных допущений при построении системы соотно-
соотношений для описания трения фаз на стенке канала.
Вместе с тем следует отметить, что потери давления на трение состав-
составляют во многих интересных для практики случаях достаточно малую долю
общей потери давления, в частности по сравнению с потерями давления
на местных сопротивлениях. Это и позволяет получать вполне реалистич-
реалистичные результаты для характеристик двухфазных потоков при принятии
упомянутых выше допущений.
71
Одним из возможных путей приближенного описания трения фаз двух-
двухфазного потока на стенках канала является сведение задачи к течению
данной фазы в некоторой эквивалентной трубе.
Естественно, что при таком подходе существенным является режим
двухфазного потока.
При дисперсных режимах двухфазного потока, объединяющих пузырь-
пузырьковый, эмульсионный и дисперсно-капельный потоки, согласно модель-
модельному представлению таких режимов площадь поверхности стенки трубы,
приходящаяся на единицу объема и находящаяся в контакте с газовой
фазой, полагается пропорциональной объемной концентрации газовой
фазы <р и равной
Agw = 4*/D. B.98)
Соответственно для жидкой фазы
Alw = 4A - <p)/D. B.98a)
1с 1с
Диаметры эквивалентных труб Z>e, определяемые по формуле Dе =
= 4.Sfc/nfc, для обеих фаз равны: DQ = Щ = D.
При этом Re для течений фаз в эквивалентных трубах определяются
следующим образом:
Ref = pg\wg\D/Hg; Rele = |w/|/>//!/.
Коэффициент трения для данной фазы находится по эквивалентному
числу Re* с помощью подходящих корреляций для однофазных потоков.
Коэффициенты трения для однофазных потоков изучены достаточно хо-
хорошо как для гладкой круглой трубы, так и для каналов сложной формы,
в том числе для пучков стержней, для каналов с шероховатыми стенками,
для не изотермических потоков и переменных теплофизических свойств
теплоносителя. Соответствующие корреляции могут быть найдены в
специальной литературе, например в [18], [65]-[71]. В рамках приня-
принятого приближенного описания вполне удовлетворительные результаты
могут быть получены при использовании для описания однофазного коэф-
коэффициента трения следующих корреляций [46]:
для ламинарного режима
^L, = 64/Re* при 1,0 < Re* < 2000; B.99а)
для переходного и турбулентного потоков
-1/2 [2€ 18,7
при Re > 4000, B.996)
где е - шероховатость поверхности.
72
В области значений 2000 < Re < 4000 коэффициент трения может быть
найден линейной интерполяцией по переменней 1/Re* в виде
%kw , B _ 4000/Re*)^ - fa) + fa . B.99в)
Следует отметить, что изложенный подход к определению трения фаз
на стенках канала может давать недостаточно реалистичные результаты
в тех случаях, когда распределение дисперсной фазы в несущей суще-
существенно неравномерно. Так, при пузырьковом режиме в случае поверх-
поверхностного кипения основное количество пузырьков сосредоточено вблизи
стенки канала и формула B.98) будет давать заниженные значения площа-
площади поверхности AgW стенки канала, находящейся в контакте с газовой
фазой. При дисперсном режиме в случае закризисного теплообмена кон-
контакт жидких капель со стенкой может быть затруднен вследствие эффек-
эффекта Лейденфроста и формула B.98) будет давать завышенные значения
площади поверхности Aiw стенки, находящейся в контакте с жидкой фа-
фазой. Степень неучета неравномерности распределения фаз по сечению кана-
канала в этих и других случаях может быть оценена лишь на основании сопо-
сопоставления результатов расчетов по модели с экспериментальными дан-
данными.
При кольцевых режимах двухфазного потока, включающих в себя в
данном рассмотрении снарядный, собственно кольцевой, обращенный
коьцевой, дисперсно-кольцевой режимы, а также режимы с противоточ-
ным движением фаз (жидкость на стенке или пар на стенке), в контакте
со стенкой находится лишь одна из фаз. Для кольцевого режима (жид-
(жидкая фаза на стенке) площади поверхности контакта фаз со стенкой рав-
равны Aiw - 4/D; Agw = 0. Соответственно диаметр эквивалентной трубы
для жидкой фазы определяется соотношением
/У = A -
а число Рейнольдса эквивалентного потока равно
Re' = - ; l . B.100)
Для обращенного кольцевого режима (пар на стенке) поверхность
стенки, находящаяся в контакте с фазами, равна Aiw= 0; Agw = 4/D.
Диаметр эквивалентной трубы для газовой фазы найдется как D& =
= tpD, а число Рейнольдса эквивалентного потока газа равно
Re* = ipDp^Wglib. B.100a)
Коэффициенты трения для этих режимов определяются по соотно-
соотношениям для однофазных потоков, в частности по B.99а) — B.99в),
с использованием соответствующих значений Re по B.100) или
B.100а).
73
Расслоенные режимы двухфазного потока идеализируются согласно
схеме, представленной на рис. 2.12. При этом доля площади поверхности
стенки, приходящейся на единицу объема и омываемой жидкостью, равна
Ajw = 2B/(nD). Доля площади поверхности стенки, находящейся в кон-
контакте с газом, описывается соотношением Agw = 2Bтг — 0)/(тгЯ). Диамет-
Диаметры эквивалентных труб для жидкой и газовой фаз представляются в виде
Efe = 2A - *)D/6; D\ = 2я^/Bтг - 0),
где угол в находится из трансцендентного уравнения B.42а).
Коэффициенты трения на стенке для жидкой и газовой фаз можно
найти, например, по B.103) —B.105) с использованием соответствующих
чисел Рейнольдса эквивалентных потоков фаз:
Rele = Z^PjIw,!//!,; Re/ = Dgepg\wg\ng.
Другой возможный путь описания сил трения каждой из фаз на стенке
канала предполагает первоначальное вычисление суммарной силы трения
двухфазного потока на стенке и последующее разделение этой силы на
составляющие, относящиеся к отдельным фазам. Методика вычисления
суммарной силы трения т? базируется на эмпирических корреляциях
и будет рассмотрена далее.
Разделение ее на составляющие может быть проведено, в частности,
следующим образом. По определению общая сила трения двухфазного
потока на стенке г?, приходящаяся на единицу объема, равна сумме
соответствующих сил трения каждой из фаз, т.е.
Вычисляя по тем или иным формулам, например по соотношениям,
рассмотренным выше, наименьшую из сил трения фаз и вычитая ее
из значения общей силы трения, можно найти силу трения для другой
фазы.
Достаточно простая процедура такого определения сил трения фаз на
стенке предлагается в [46]. Она основана на допущении, что периметр,
по которому происходит контакт данной фазы со стенкой канала, про-
пропорционален объемной концентрации этой фазы. При этом выражение
B.101) для общей силы трения, приходящейся на единицу объема, прини-
принимает вид
ID ID
Оценка членов правой части уравнения проводится по формулам для
однофазных коэффициентов трения ?/vv, ? с использованием Re& в виде
Rek = pk\wk\D/vk, к =
74
Если, например, второй член правой части меньше, чем первый, то
Представляется, что эта процедура может дать реалистичные результаты
лишь для дисперсных режимов двухфазных потоков.
Другая процедура разделения общей силы трения на стенке по фазам
осуществлена в [45]. А именно, считается, что
T*w ПРИ V < 0,75;
г* при <р > 0,95;
т* = Ч B.1016)
т
г^ =5 [@,95 -*)rj^e75 +
- 0,75)г* ^=095] при0,75 <*><0,95.
Описанию суммарного трения стационарного двухфазного потока на
стенках канала посвящено весьма значительное количество работ. Это,
по-видимому, одна из наиболее изученных проблем, относящихся к двух-
двухфазным потокам. Обзоры результатов этих исследований могут быть
найдены, например, в [18], [39]-[41]. Здесь, как отмечалось, описы-
описываются лишь некоторые методики и соотношения, которые используются
либо представляются перспективными в системах замыкающих соотно-
соотношений двухжидкостных моделей двухфазных потоков (как в двухско-
ростных моделях, так и в моделях со скольжением фаз).
При этом целесообразно провести разделение между общими корреля-
корреляциями, строящимися без учета режимов двухфазного потока, и системами
корреляций, учитывающих особенности данного режима двухфазного
потока.
Соотношения первого типа, которые можно назвать "всережимными",
естественно представляют меньший интерес для двухжидкостных моде-
моделей, направленных на детальное описание протекающих физических про-
процессов. Однако такие соотношения иногда применяются, в особенности
в моделях со скольжением фаз.
Наиболее распространенный способ построения "всережимных" корре-
корреляций для силы трения на стенках канала связан с введением множителей
двухфазности, позволяющих по известной силе трения в определенном
однофазном потоке найти искомую силу трения в двухфазном потоке.
В наиболее распространенном методе расчета Локкарта—Мартинелли за
исходное однофазное течение принят поток жидкости в том же канале
и с тем же расходом, что и в данном двухфазном потоке. По определению
T*=Tf*}9 B.102)
где Ф* - множитель двухфазности; rf - сила трения на стенке в исход-
исходном однофазном потоке жидкости, приходящаяся на единицу объема и
75
определяемая по зависимости
2De
где wj = A — ф)у^1 — приведенная скорость жидкой фазы: De — эквива-
эквивалентный диаметр канала; ^'wl - коэффициент трения, описываемый теми
или иными зависимостями для однофазного потока жидкости [например,
B.99а)-B.99в)] при Re; = р^/^/^ .
Множитель двухфазности Ф2 обычно представляется в функции от па-
параметра Локкарта—Мартинелли, равного по определению
X2 = ^- , B.103)
где т* — сила трения на стенке, приходящаяся на единицу объема, при те-
течении в данном канале однофазного потока газа с тем же массовым рас-
расходом, что и в двухфазном потоке.
В частности, если режим течения как жидкости, так и газотурбулент-
газотурбулентный и для коэффициента трения справедлив закон Блазиуса, то
VO,25/ 1-Jcil,7S pg
Х I " Р/
где х — массовое расходное паросодержание двухфазного потока. Авто-
Авторами работы [72] на основании обобщения опытных данных для двухфаз-
двухфазного множителя Ф2 получено соотношение
Ф/ = 1 + С/Х + ЦХ2, B.104)
которое в [46] рекомендуется к применению в двухжидкостных мо-
моделях.
Здесь константа С равна:
20 — течение жидкости и газа турбулентное;
5 — течение жидкости и газа ламинарное;
С = ^ 12 — течение жидкости ламинарное, газа — турбулентное;
10 — течение жидкости турбулентное, газа — ламинарное.
Другой подход к введению множителя двухфазности связан с выбором
в качестве исходного однофазного течения потока жидкости в данном ка-
канале с расходом, равным расходу двухфазной смеси.
Сила трения на стенке, приходящаяся на единицу объема, для двухфаз-
двухфазного потока определится при этом соотношением
К =
76
Из формулы B.106) следует, что коэффициент трения для двухфазно-
двухфазного потока ?ц, связан с коэффициентом трения для исходного однофазного
потока %wi0 следующей зависимостью:
К = «win — Ф2> B-107)
где pm— плотность двухфазного теплоносителя.
Коэффициент трения исходного однофазного потока находится при
этом по значению числа Рейнольдса, равному
Re =
B.108)
где G — удельный массовый расход двухфазного потока.
Множитель двухфазности Ф2 может быть найден, в частности, с по-
помощью модели Чисхолма ив [45] описывается следующим соотноше-
соотношением:
Ф2 = 1 + (К2 - 1)[АсA - х) + х2].
Здесь
Для К < 9,5
В =
2400
G
55
при G < 500 кг/ (м2 • с);
при 500 < G < 1900 кг/(м2 -с);
при G > 1900 кг/ (м2 . с);
для 9,5 < К < 28
520
В =
KG
0,5
при G < 600 кг/ (м2 • с);
21
-— при G > 600 кг/ (м2 - с);
К
B.109)
B,110)
B.111)
B.112)
для К > 28
В = 15000/ (K2G°>5). B.113)
Для определения множителя двухфазности Ф2 может быть также ре-
рекомендована система корреляции [73]
77
1,0
1 - X
0,478A - х)'
1,730A -х)л
(I-*I'64
при(/? =0 И(/? = 1;
при 0,39 <A-</>)< 1,0;
при0,КA-<р) < 0,39;
при 0< A -ф) < 0,1.
B.114)
Уточнение описания силы трения на стенке при течении двухфазного
потока в канале может быть получено при использовании корреляций,
зависящих от структуры потока. Достаточно подробный анализ таких
корреляций приведен в [18].
В частности, для двухфазного потока пузырьковой структуры для
определения Ф2 может быть рекомендовано соотношение
Ф2 = [1 - *(l-pglp,)]°'ls[l-x(l-Pllp)]
B.115)
Близкое по структуре выражение для Ф2 при пузырьковом режиме
двухфазного потока получено в [74] :
1 - X 1 -
2щ)р1
0,2
1-Х |1 -Д
0,8
B.116)
При течении кипящих двухфазных потоков пузырьковой структуры
в обогреваемых каналах режим кипения оказывает существенное влияние
на связь силы трения на стенке с параметрами потока, что определяется
особенностями распределения пузырьков по сечению канала в различных
режимах кипения.
Так, на участке поверхностного кипения пузырьки в основном нахо-
находятся вблизи стенки канала. Их распределение по сечению зависит от
степени недогрева жидкой фазы и тепловой нагрузки на обогреваемой
стенке канала. На основании обобщения опытных данных по гидравли-
гидравлическому сопротивлению в трубе при поверхностном кипении воды вы-
высоких параметров, проведенного в [74], для Ф2 может быть получено
следующее соотношение:
0,7
Ф2 = ^-\\ + 3,09
Рт
Pg
78
7 -
Здесь рт — средняя на участке поверхностного кипения плотность
двухфазного теплоносителя; UtIUq - отношение обогреваемого пери-
периметра к смоченному; hlsb — энтальпия теплоносителя при начале поверх-
поверхностного кипения:
Kb = hls ~ 031 ^o.J (~Ч '' BЛ18)
h'sb - энтальпия теплоносителя на конце участка поверхностного ки-
ния [75] :
7,5? / qD
Kb = hls - — Н — ' BЛ19)
Рт»т VPgsvlsl W/ I
если Ре > 7 • 10*, то
Kb = */, - 154?/(Pm"m), B.119a)
где his, pls, p - энтальпия жидкости, плотность жидкости и газа соот-
соответственно на линии насыщения.
Более простая, но вполне надежная корреляция для множителя двух-
фазности Ф2 при неравновесном двухфазном потоке пузырьковой струк-
структуры предложена в [76]:
Ф2 = [A - y>)°'5A + *(Pgs/pls- I))]. B.120)
При режиме развитого кипения теплоносителя в обогреваемом канале
множитель двухфазности может быть найден с помощью соотношения,
полученного в [74]:
Ф2 = [1 + xbiiJv^ ~ I)]'2* ]l + 0,57х°'125A - хJ х
1
- 5,2x2lj( B.121)
0,2 ¦
где х — действительное массовое паросодержание; Fr = w^/(gZ)) —число
Фруда.
Для кольцевого режима двухфазного потока накоплен достаточно
большой экспериментальный материал по сопротивлению трения на стен-
стенках канала, который суммирован, в частности, в [77]. Для применения в
системах замыкающих соотношений для негомогенных неравновесных
моделей двухфазных потоков могут быть рекомендованы соотношения,
79
позволяющие рассчитать силу трения в кольцевом и дисперсно-кольцевом
режимах.
В частности, на основе весьма большого числа опытных данных по гид-
гидравлическому сопротивлению при течении двухфазных потоков некото-
некоторых теплоносителей (пар—вода, аргон—вода, водород—вода, аргон—эти-
аргон—этиловый спирт) в вертикальных каналах различных геометрий^ (трубах,
кольцевых каналах, пучках стержней), как необогреваемых, так и обогре-
обогреваемых (при пароводяном потоке), в [78] получено следующее эмпири-
эмпирическое соотношение, описывающее коэффициент трения fw двухфазного
потока колыдевой и дисперсно-кольцевой структур:
«w = l,66p-0'46w-°>6a0'4Z)-0'2. B.122)
Более простая, но вместе с тем удовлетворительно описывающая экспе-
эксперимент корреляция для ?w приводится в [56]:
С 16/Ref при Ref < 400;
w ~ I 0,228/Re°'25 при Re/ > 400,
где для пленки
B.124)
здесь Gy — расход жидкости в пленке.
В [45] рекомендованы также соотношения, позволяющие рассчитать
?w на стенке для кольцевого двухфазного потока в шероховатой трубе:
%w = 4 (в + bRe-c)plWfl(pmw2m), B.125)
где
а = 0,026 (е/?>H'225 + 0,133(e/Z>);
b = 22,0 (e//)H'44;
с = 1,62 (е/Д)°>134;
B.126)
здесь e/D— относительная шероховатость стенки канала.
Расчет силы трения при течении двухфазного теплоносителя в каналах
сложной формы (в частности, в кольцевых каналах и продольно обтекае-
обтекаемых пучках стержней) в рамках описанного выше подхода построения
системы замыкающих соотношений двухскоростных моделей неста-
нестационарной теплогидравлики двухфазных потоков, как правило, про-
проводится на основе использования модели эквивалентной трубы
([44] -[46]).
Вместе с тем к настоящему времени накоплен достаточно большой
материал по исследованию теплогидравлики двухфазных потоков в кана-
каналах сложной формы, который позволяет уточнить описание силы трения.
80
Подробные сведения по данному вопросу можно найти в специальной ли-
литературе [18, 79]. Здесь приводятся только некоторые корреляции,
представляющиеся перспективными для использования в системе замы-
замыкающих соотношений.
Так, в [78] на основе отмеченной выше обширной программы исследо-
исследований теплогидравлики каналов различной формы для расчета коэффи-
коэффициента трения двухфазного потока в кольцевых каналах в продольно об-
обтекаемых пучках стержней рекомендуется единое соотношение
% = 0,852р~~ vv~ о * D~ , B.127)
удовлетворительно описывающее опытные данные в диапазонах массовых
скоростей 500 < pw < 5000 кг/(м2 • с) и массовых паросодержаний
0,01<х<0,98.
Другой подход к описанию силы трения в каналах сложной формы свя-
связан с введением поправки на геометрические особенности канала в соот-
соотношения для расчета силы трения при течении однофазного теплоносителя
в круглой трубе, т.е. с использованием выражения ввда
...... F B.128)
и с последующим введением поправок, зависящих от параметров двух-
двухфазного потока в данном канале.
Коэффициент трения при течении однофазного теплоносителя в круг-
круглой трубе ?^фе рассчитывается по зависимостям типа B.99а) — B.99в),
а поправки на форму канала Кр определяются по следующим соотноше-
соотношениям [69]:
для кольцевых каналов
— — - при ламинарном режиме;
\о.«,.. <2-129)
при тур-
+ A -
булентном режиме,
где Ri = rxjr2 — отношение радиусов внутренней (ri) и наружной (г2)
поверхностей кольцевого канала, 0,06 <Ri < 1;
для пучков стержней при ламинарном режиме
0,41 + 1,9 \/s/d - 1 для треугольной упаковки;
B.130)
0,41 + l,9y/s/d - 1 для квадратной упаковки;
81
6-6610
для пучков стержней при турбулентном режиме
/ * \°'5
0,63 (s/dH'61 + ( 1] для треугольной упа-
' ковки;
KF =
B.131)
0,59 + 0,l9(s/d - 1) + 0,52 j 1 -
— expj —10[— — 1) [[.для квадратной упаковки.
d
Здесь s/d— относительный шаг пучка, 1 < i/d < 2.
Коэффициент трения при течении двухфазного потока в пучке стержней
%w может быть найден по следующему соотношению:
Здесь %WQ определяется по B.128)-B.131), а поправочные коэффициен-
коэффициенты А^, К , Кх, Kwm находятся с помощью корреляций:
= I95s/d - 0,73;
Р - 1
К = 0,025 + 1,7 1
р * 1,64 + 0,915 (р - 1)
Кх =
1 +*
0 при р < 8 МПа,
0,7 [- - 1 /о,43
in2 VLx - 0,5х2);
3000
при р > 8 МПа.
B.133)
Диапазоны значений параметров, для которых получены соотношения,
следующие: 1,07 < s/d < 1,31; 1,0 <р <16 МПа; 500 < (pw)w <
<3600кг/(м2 -с); х<0,9.
Наконец, еще одним возможным подходом к описанию силы трения
при течении теплоносителя в каналах сложной формы является исполь-
использование модифицированной модели эквивалентной трубы. Модификация
состоит в использовании при расчете силы трения по соответствующим
соотношениям, справедливым для круглой трубы, не эквивалентного
диаметра данного канала сложной формы, а некоторого эффективного
диаметра, определяемого, в частности, для пучкоэ стержней по соотноше-
соотношению, рекомендуемому в [75] :
82
2е / е 1 ine
e A - €J \ 2 2 l -e
2е / е 1 ine \
def = deK = de - , B.134)
eJ e A €J \ 2 2 l e /
где е — доля площади стержней в общей площади сечения пучка.
2.7. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛАХ
Приведенные в гл. 1 системы основных дифференциальных уравнений
различных моделей двухфазных потоков описывают теплогидравлику
при течении теплоносителя в каналах как постоянного сечения, так и плав-
плавно изменяющегося по длине канала сечения, представляемого непрерыв-
непрерывными функциями.
При внезапном изменении сечения канала и направления движения теп-
теплоносителя требуются специальные соотношения для расчета параметров
потока на соответствующем участке канала. Потери давления, связанные
с диссипацией энергии потока теплоносителя на участке внезапного
изменения сечения канала, принято ошосить к так называемым местным
сопротивлениям.
Методика расчета параметров теплоносителя на участке канала, где
течение определяется влиянием местного сопротивления, связана с исполь-
использованием проинтегрированных по длине основных дифференциальных
уравнений модели, предварительно упрощенных с учетом особенности
потока на этом участке.
К таким упрощениям, как правило, относятся квазистационарность
описания течения, пренебрежение силами трения и массовыми силами по
сравнению с силами, вызванными внезапным изменением сечения кана-
канала, несжимаемость среды. Адекватность допущения о квазистационарно-
квазистационарности процесса находится в согласии с общей концепцией квазистационар-
квазистационарности системы замыкающих соотношений и к тому же подтверждается
результатами экспериментальных исследований, например [80]. Малость
участка влияния местного сопротивления позволяет, как правило, рас-
рассматривать поток как адиабатический.
Для однофазного потока несжимаемого теплоносителя интегрирование
уравнения сохранения при данных упрощениях дает известное модифи-
модифицированное уравнение Бернулли:
(р/р + w2/2)i = (р/р + w2l2h + ДР/, B.135)
где Ар, - необратимые потери давления, ассоциирующиеся с местным со-
сопротивлением, а индексы 1 и 2 относятся к параметрам потока соответ-
соответственно до местного сопротивления и после него (рис. 2.13). Если знать
Др., то из B.135) и интеграла уравнения неразрывности, имеющего в дан-
данном случае вид
(wS)x = (wSJi B.135a)
83
Рис. 2.13. Обобщенная схема
однофазного потока в канале
с местным сопротивлением
по известным параметрам потока до местного сопротивления можно опре-
определить значения параметров после местного сопротивления.
Соотношение для потерь давления на местных сопротивлениях может
быть получено по методике, развитой в [81]. В качестве общего случая
местного сопротивления целесообразно рассмотреть внезапное уменьше-
уменьшение сечения канала с шайбой, установленной в месте изменения сечения.
Экспериментальные результаты показывают, что потери давления, свя-
связанные с сужением потока,, не превосходят значения Ар, = 0905pw2j2 и
весьма малы по сравнению с потерями, связанными с расширением по-
потока, которые могут быть описаны выражением
Др, = О - Sc/S2Jpw*l2. B.136)
Здесь параметры с индексом с относятся к сечению наибольшего суже-
сужения потока, а с индексом 2 — к сечению полного расширения потока.
Вводя индексы 1 и 0 для входного и минимального сечений канала и
используя в качестве геометрических характеристик следующие отноше-
отношения площадей сечений:
б -
; е0 -
- sc/sOy
B.137)
с помощью уравнения неразрывности выражение B.136) можно привес-
привести к виду
B.138)
где б, б0 — заданные геометрические характеристики канала, а ес — эм-
эмпирическая функция параметра е0.
Соотношение B.138) носит общий характер и может быть применено
ко всем конкретным случаям местных сопротивлений. Так, для про-
простого внезапного увеличения сечения канала е > 1, €0 = 1, 6С = 1.
Соответственно для внезапного уменьшения сечения е = ео< 1, ес < 1.
Расчет изменения параметров при течении двухфазного теплоносите-
теплоносителя на участке канала с местным сопротивлением в рамках чисто двух-
скоростных моделей потока естественно проводить на основе распро-
распространения подхода, развитого для однофазных теплоносителей, на пото-
потоки каждой из фаз.
84
Рис. 2.14. Обобщенная схема
двухфазного потока в канале
с местным сопротивлением
Интегрирование уравнений импульсов для фаз, например, системы
A.16) при S = const, при аналогичных случаю однофазного потока до-
допущениях о несжимаемости фаз и квазистационарности процесса, при
пренебрежении силой трения на стенке, массовыми силами, переносом
импульса с потоком массы при фазовом переходе позволяет получить
аналог уравнения Бернулли для фаз двухфазного потока в виде
(Р
= Р
2 /2
B.139)
В B.139) входит падение давления за счет сил межфазного взамо-
действия, alt и L2 — некоторые весовые множители, которые можно
рассматривать как длины соответствующих участков вверх и вниз по
потоку от места внезапного изменения сечения канала.
При течении двухфазного теплоносителя на участке канала с местным
сопротивлением по аналогии с однофазным потоком уравнения типа
Бернулли B.139) для каждой из фаз модифицируются путем добавления
члена, описывающего необратимые потери давления данной фазы на мест-
местном сопротивлении, что дает аналогичное уравнение
f
р +
B.140)
Следует отметить, что силы межфазного взаимодействия для каналов
с внезапным изменением сечения могут быть весьма существенными, что
связано с возможными большими значениями относительной скорости
Wr при значительном различии плотностей фаз. Особенно это важно для
дисперсных двухфазных потоков.
Для наглядности на рис. 2.14 изображена схема течения двухфазного
потока с раздельными фазами на том же участке канала, что был пред-
представлен на рис. 2.13.
К потоку каждой из фаз могут быть применены модифицированные
уравнения Бернулли B.140). Сопряжение этих уравнений в общую систе-
систему уравнений для расчета параметров двухфазного потока связано с вы-
выполнением условий общего градиента давления, баланса сил межфазного
85
взаимодействия, геометрических характеристик сосуществования фаз в
канале.
Потери давления на местном сопротивлении для каждой из фаз могут
быть найдены с помощью соотношения B.138) для однофазного потока,
которое с учетом отмеченных выше условий приобретает следующий ввд:
АР/*88 I1" —^— 1 JJSZJ^> B.141)
где к = /, g; индексы 1, 2, 0, как и для случая однофазного потока, отно-
относятся к входному, выходному минимальному сечениям канала соответ-
соответственно, а индекс с относится к сечению наибольшего сужения потока
фазы; величины е, е0 находятся по B.137), а величина екс определяется
для данной фазы по соотношениям для однофазного потока, но как функ-
функция параметра е^0, равного
ек0 = -^2-е0. BЛ42)
Следует подчеркнуть, что по сравнению с течением однофазного теплоно-
теплоносителя, когда из двух уравнений — модифицированного уравнения
Бернулли B.135) с замыкающим соотношением B.138) и уравнения не-
неразрывности B.135а) — определялись два неизвестных параметра w2
и р2, при течении двухфазного теплоносителя на участке с местным сопро-
сопротивлением добавляется для каждой фазы еще одна неизвестная величи-
величина — концентрация данной фазы в сечении 2, т.е. <^2.
Итак, общее число неизвестных, которые надо определить при расчете
изменения параметров двухфазного потока на участке с местным сопро-
сопротивлением, равно пяти: р2, и>/2, wg2, Vg29 fy.2-
Они определяются с помощью пяти уравнений - двух модифицирован-
модифицированных уравнений Бернулли B.140), двух уравнений неразрывности, кото-
которые при принятых допущениях имеют вид
= *k2"klS2> BЛ43>
и соотношения
Весьма существенно, что описание процесса течения двухфазного пото-
потока на участке канала с местным сопротивлением в данной методике —
замкнутое и не требует каких-либо дополнительных допущений о поведе-
поведении неизвестных параметров.
В качестве иллюстраций представляется целесообразным рассмотреть
наиболее часто встречающиеся на практике случаи внезапного расширения
и внезапного сужения канала.
86
При внезапном расширении канала
^о = W, ео = 1; е1с = %с = 1; б > 0; (г*^ = 0; Lx = 0
и модифицированные уравнения Бернулли для фаз приобретают вид
+ 1 -
BЛ44)
При внезапном сужении канала процедура вычисления параметров по-
потока в сечении 2 усложняется необходимостью знания в сечении сужения
канала 0 значений параметров <р0, Wj0, wgQ, p0. Для их отыскания необ-
необходимо воспользоваться двумя уравнениями Бернулли A.139) на участ-
участке от входного сечения 1 до сечения 0 (при этом, естественно, L2 = 0)
и двумя уравнениями неразрывности ^l^fci^i = ?3tow*o^<r Затем ПР°"
водится расчет параметров в сечении 2 с помощью модифицированных
уравнений Бернулли B.140) (с учетом е = е0 < 1; ес < 1) и уравнений
неразрывности B.143). Значения параметров екс, являющихся эмпири-
эмпирическими функциями параметров е^0, определяемых по B.142), табули-
табулированы, в частности, в [81]. *
Для моделей со скольжением фаз и, конечно, для гомогенных моделей
двухфазных потоков описания изменения параметров на участке канала с
местным сопротивлением естественно проводить на базе уравнения им-
импульса для двухфазной смеси. Так, в частности, для внезапного
расширения канала суммирование уравнений импульса для фаз и их по-
последующее интегрирование по длине участка расширения потока при до-
допущениях, аналогичных допущениям при рассмотрении течения однофаз-
однофазного теплоносителя, дают следующее выражение для изменения давления
на участке для потока без фазовых превращений:
A - хJ Pi х2 1 ГA - хJ
Pi ~ Pi =
Pg
Pg
B.145)
Здесь использованы уравнения неразрывности вида B.143).
Такой подход не дает замкнутого описания изменения параметров по-
потока, ибо в правую часть B.145) входит неизвестное истинное объемное
паросодержание в сечении 2 - величина у2 • Необходимо принятие тех или
иных гипотез для ее определения.
87
Наиболее простая гипотеза — гомогенность двухфазного потока — при-
приводит к следующему соотношению для определения изменения давления:
Рг -Рг = 2 -1^-i ^LL. B.146)
Если использовать для расчетов модифицированное уравнение Бернулли
типа B.135), то в гомогенном приближении потока без фазовых перехо-
переходов необратимые потери давления на местном сопротивлении — внезап-
внезапном расширении — можно найти в виде
Плотность смеси рт для гомогенного потока определяется соотноше-
соотношением
1/Pm =x/Pg - A - x)/pr B.147a)
Менее грубым является используемое в ряде работ (например, в [82]) до-
допущение о постоянстве </> на участке с внезапным расширением канала.
В этом случае общее изменение давления описывается выражением
п—^± , B.148)
а необратимые потери давления определятся из формулы
2 Г A - хJ х~
е [ A - <р) ipp
о
2
B.149)
Допущение о постоянстве истинного объемного паросодержания близко к
действительности лишь на весьма значительном удалении от места внезап-
внезапного расширения канала (L/D < 70).
Более реалистичные результаты при расчете изменения давления на
участке канала с внезапным расширением дает использование подходящих
корреляций для величины <^2 в B.145), например корреляции Хьюмарка
[18] или корреляций, приведенных ниже при описании скольжения фаз в
двухфазном потоке.
Аналогичные рассмотрения для течения двухфазного потока в канале
с внезапным уменьшением сечения дают следующее соотношение для рас-
расчета необратимых потерь давления:
— f— I— - !) A I— + l)Ao +2A2
Во - В2\ т т2 , B.150)
где
B.151)
здесь pm — плотность смеси в гомогенном приближении, определяется по
формуле B.147а); ес = Sc/S2 — коэффициент сужения струи (рис. 2.13),
описываемый теми же зависимостями, что и для однофазного потока.
И в этом случае для замыкания задачи необходимо задаться дополни-
дополнительными соошошениями для расчета истинного объемного паросодержа-
ния, но уже в двух сечениях канала — сечении максимального сужения
струи сив выходном сечении 2.
Наиболее простой подход — гомогенная модель потока без фазовых
переходов на участке с внезапным сужением — дает для определения необ-
необратимых потерь давления следующее соотношение:
Допущение о неизменности у по длине участка с внезапным сужением
канала приводит к следующему выражению:
Ар = {pmwm2) ^рП_\{1 -Гс)\гсА - 11^511,B.153)
€
h
где?с =SC/S2; А иВ определяются по B.151).
Для получения более реалистичных результатов при расчете необрати-
необратимых потерь давления для данного случая можно использовать следующие
формулы при определении истинного объемного содержания в местах
внезапного сужения канала (индекс 0) и максимального сужения струи
(сечение с):
B.154)
х + Ki(pg/pJ) A - х)
89
где коэффициенты проскальзывания Kj
ношений [69}
Ко
определяются из соот-
соотKc = — + л/1/4 + !/[(# +РСJ - 4],
где Я =
B.156)
Рс = 0,664 V —
arcsim
Более простое эмпирическое соотношение для расчета необратимых по-
потерь давления на участке с внезапным уменьшением сечения канала
использовано в [45]:
Дру = [0,5 - 0/7е + 0,2е2]
B.157)
Расчет необратимых потерь давления при течении двухфазного потока
через местные сопротивления типа диафрагм, диетанционирующих реше-
решеток и т.п. проводится на базе различных эмпирических зависимостей. Ряд
таких зависимостей рассмотрен в [18]. Здесь целесообразно привести
лишь рекомендуемую в [69] для применения в машинных программах
систему соотношений, описывающих гидравлические потери при течении
двухфазного потока в диафрагмах и диетанционирующих решетках с
любой относительной глубиной отверстия и имеющих вид
— Ае -А
+ Br
о -
Ас - (В2 - 2А2)
B.158)
где Л иВ — величины, определяемые по B.151); я = SQ/S2 -отношение
сечений; ее — эффективный коэффициент сужения струи, равный
90
\ B.159)
где
1 - е0 /1 \2 , 1 - п
| = 0,5 ~ +• 1 +ту/Г^Т; —— ; B.160)
е п2 . \п I п2
т = 0,4exp(-Z.0e) + 0,93ехр(-?^5/0,44) -
- 0,001ехр[1,5661,^A - l,033L2oe)]. B.161)
Здесь L Ое — эффективная толщина отверстия диафрагмы (решетки):
Loe = ° й ' B-162)
где
в = 1 - exp(-Z,S/5) + -^- ; B.163)
^о = ^о/^о — относительная глубина отверстия диафрагмы (решетки).
2.8. ТЕПЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФАЗ
СО СТЕНКАМИ КАНАЛА
Для замыкания основной системы дифференциальных уравнений двух-
жщкостной модели двухфазного потока необходимы соотношения, опи-
описывающие количественные характеристики процесса обмена теплом меж-
между фазами и стенкой канала. В общем случае неравновесного двухфазного
потока требуется определить приходящиеся на единицу объема тепловые
потоки на поверхности контакта данной фазы к со стенкой канала, иду-
идущие на изменение температуры (удельной энтальпии) фазы (тепловой
поток q?k) и на изменение массового содержания фазы (тепловой по-
поток #*?). При этом общий тепловой поток между стенкой и фазой к, .
приходящийся на единицу объема канала, записывается в виде
Чк' <к + С*- <2-164)
Тепловые потоки q^k, <?*?, qwk являются функциями большого числа
параметров, в частности режимных параметров двухфазной смеси р,
PmWmf T> объемной концентрации фазы кук; режима течения двухфазно-
двухфазного потока; скорости и температуры фазы w#, T^\ геометрии канала;
механизма процесса теплообмена между стенкой и теплоносителем; вида
и закона изменения во времени и по длине граничных условий и т.п. Кро-
91
ме того, практически отсутствуют носящие сколько-нибудь общий харак-
характер исследования, направленные на непосредственное определение тепло-
тепловых потоков qwk, q* ,, q**k. Все это требует разработки приближенных
подходов, позволяющих щ основании накопленной к настоящему време-
времени обширной информации по интенсивности теплообмена между стенка-
стенками канала и одно- или двухфазнйм теплоносителем получить в достаточ-
достаточной степени физически обоснованные значения искомых тепловых пото-
потоков q*k, q*3^. Возможен, в часгаости, следующий путы
а) с помощью соответствующих корреляций по данному набору мгно-
мгновенных локальных значений параметров одно- или двухфазного потока р,
pw, Т, <р и температуре<тенки Tw определяется суммарный тепловой по-
поток между стенкой канала и теплоносителем, приходящийся на единицу
объема канала:
«w=«w/+<W BЛ65)
б) на основе анализа особенностей механизма данного процесса тепло-
теплообмена и режима течения теплоносителя принимается то или иное пред-
предположение о распределении общего потока тепла qw между фазами, что
дает возможность определить тепловые потоки qwl, qw из B.165) и вы-
выражений
qwg= H,;<7W, = 0 ~*К; B-166>
в) дополнительный анализ специфики процесса теплообмена при нали-
наличии фазовых переходов на стенке канала в условиях неравновесности фаз
приводит к тем или иным гипотезам о долях общего потока тепла меж-
между стенкой и фазой qw^y приходящихся на изменение удельного тепло-
теплосодержания фазы и на изменение удельного количества фазы, что позво-
позволяет с помощью B.64) найти соответствующие тепловые потоки q* к,
q^*k из выражений
<к = 4%к> <*к = 0 " **)***• BЛ67>
Таким образом, при данном подходе система замыкающих соотноше-
соотношений для описания теплообмена фаз со стенками канала должна строиться
на базе карты режимов двухфазного потока, карты режимов теплообмена,
представлений о механизме процесса теплообмена при данном режиме и
в условиях термической неравновесности фаз.
Карты режимов двухфазного потока были описаны выше.
При нестационарных ситуациях в энергетическом оборудовании могут
протекать весьма разнообразные процессы теплообмена при весьма раз-
разнообразных условиях. В частности, можно выделить следующие группы
процессов теплообмена: естественную и вынужденную конвекцию одно-
однофазного теплоносителя, пузырьковое кипение недогретой и насыщенной
жидкости, переходное кипение, закризисный теплообмен различных ви-
видов;: конденсацию. Большое количество параметров, влияющих на тепло-
92
Рис. 2.15. Обобщенная кривая кипения:
- - - - кипение недогретой жидкости;
¦ - развитое пузырьковое кипе-
кипение; о - перегретый пар; д - кризис теплообмена при кипении; о - минимальное
устойчивое пленочное кипение
обмен, приводит к представлению карты режимов теплообмена в виде
многомерной поверхности типа
w'
- Ts>
= о.
B.168)
Для наг ладности могут быть рассмотрены сечения поверхности режи-
режимов теплообмена B.168). Так, рис. 2.15 иллюстрирует так называемую
обобщенную кривую кипения, представляющую собой зависимость
qw -f(Tw - Ts). Схематическое изображение границ различных режимов
теплообмена приведено на рис. 2.16. Ниже для различных режимов тепло-
теплообмена рассматриваются ряд корреляций, используемых или перспектив-
перспективных для двухжидкостных моделей двухфазных потоков при описании
суммарного теплового потока между поверхностью стенки и теплоносите-
теплоносителем qw, и подходы, позволяющие выделить доли общего теплового по-
потока, соответствующие фазам к - qwk.
По определению приходящиеся на единицу объема потока общий теп-
тепловой поток и его доли, идущие к фазам, равны
B.169)
где Aw, Awk- площади поверхности канала в единице объема потока,
находящиеся в контакте со всем теплоносителем и фазой к соответствен-
соответственно; aw , awk — коэффициенты теплоотдачи к теплоносителю и фазе к соот-
соответственно; Tf, Tfc — среднемассовые температуры теплоносителя и фа-
фазы к соответственно.
93
Рис. 2.16. Схема границ режимов теплообмена двухфазного потока со стенками ка-
канала:
1 - конвекция к стенке; 2 ~ конвекция к теплоносителю; 3 - пузырьковое
кипение; 4 - переходное кипение; 5 - пленочное кипение и конвекция к пару;
6 - конвекция от пара к стенке; 7 - конденсация
Конвективный теплообмен имеет место при течении в канале однофаз-
однофазного теплоносителя: при \р = 0 - воды, при \р = 1 - пара. При этом ф = <л
где ф - параметр распределения теплового потока. Индекс / равен к.
Площадь поверхности теплообмена в единице объема потока
Aw = 4//)е. B.169а)
Коэффициент теплоотдачи равен
awg при \р = 1;
awl при <р = 0;
он может быть найден по соотношениям:
для вынужденной конвекции
( 0,023(X///>e)Re/-8Pr;'4 при турбулентном режиме;
( 4\f/De при ламинарном режиме;
B.170)
B.171)
для естественной конвекции
aw = -S
0,135
Dfi
1/3РгУ3 при (GrPr),> 1011;
0,6 -L (GiyPiy) *'4 при (Gr Pr)/ < 109;
B.172)
0,021 -L (GrfPrfH-4 при 10» < (GrPr), < 10
*¦ De ' ' '
где число Грасгофа равно
"
Xf=
2D\
w - Tf)p2fD\
При использовании формул B.172) в машинных программах в каче-
качестве характерного размера, как правило, принимается эффективный диа-
диаметр Dey что позволяет избежать трудностей, связанных с приближением
аксиальной координаты к нулю во входных сечениях канала. В турбулент-
турбулентном режиме естественной конвекции характерный размер из формулы
для aw исключается. При ламинарном режиме характерный размер входит
в степени 0,25 в формулу для aw и его выбор оказывает незначительное
влияние на коэффициент теплоотдачи.
Определенное уточнение описания конвективной теплоотдачи при про-
продольном обтекании пучков стержней может быть получено за счет более
полного учета геометрических особенностей пучка. В частности, для пуч-
пучков с относительным шагом в диапазоне 1,1 <s/d< 2,4 справедливо соот-
соотношение [69]
aw - av
для треугольной упаковки
B.173)
для квадратной упаковки
е = l,l[l,27(s/dJ - I]0'1,
где awi — коэффициент теплоотдачи, определенный по гипотезе эквива-
эквивалентной трубы.
Режим теплообмена при пузырьковом кипении теплоносителя имеет
место при условиях Tw > Ts; fw <TCI; 7} < Ts и включает в себя подрежи-
подрежимы: кипения недогретой жидкости Г/ < Ts, развитого пузырькового ки-
кипения Г/ = Ts, кипения при движении теплоносителя в канале и кипения
в большом объеме. Согласно известным представлениям о механизме теп-
теплоотдачи при кипении тепловой поток от стенки канала идет главным об-
95
разом к жидкости. В связи с этим при кипении параметр распределения
теплового потока между жидкостью и паром в формулах B.166) равен
Ф = 0. B.174)
Соответственно температурный напор в соотношениях B.169) равен
Tw - 7}.
Поверхность теплообмена в единице объема с достаточной точностью
может считаться равной омываемой поверхности канала [см. B.169а)].
В то же время в некоторых работах (например, в [44]) предлагается учи-
учитывать режим двухфазного потока в канале при кипении и считать, что
A/De при снарядном режиме;
B.175)
4A - V?)
при пузырьковом режиме.
De
Коэффициент теплоотдачи при пузырьковом кипении изучен достаточ-
достаточно хорошо. Для его расчета в литературе рекомендуются многочислен-
многочисленные корреляции, обзор которых может быть найден, в частности, в
[18, 28, 29, 63, 83]. Что касается изложенных выше требований к корре-
корреляциям, составляющим систему замыкающих соотношений двухжид-
двухжидкостных моделей двухфазных потоков, то предпочтительными представ-
представляются корреляции, описывающие единой зависимостью все подрежимы
теплоотдачи при пузырьковом кипении и обеспечивающие плавный пере-
переход функций на границах режима кипения. В настоящее время в большин-
большинстве двухжидкостных моделей двухфазных потоков для описания тепло-
теплообмена при пузырьковом кипении используется корреляция Чена [84],
модифицированная в целях распространения на режим поверхностного
кипения и имеющая вид
= amicSmm [ 1, _~ " Т* | + amacF. B.176)
Первый член правой части B.176) описывает интенсивность процесса
теплоотдачи, механизм которого определяется микроконвекцией, выз-
вызванной движением пузырьков, образующихся при кипении жидкости,
при учете снижения микроконвекции с ростом скорости движения двух-
двухфазной смеси.
Соответствующий коэффициент теплоотдачи может быть представлен
следующим соотношением:
^0,79 с0,45р0,49
amic - 0,00122 0f2!V0f2V,24 (Tw - Ts) (pSlW
0f2
24 l-p) .
B.177)
Здесь pSxw — давление насыщения, соответствующее температуре Tw.
96
Рис. 2.17. Безразмерная функция
подавления кипения в формуле Чена
при конвекции
Рис. 2.18. Безразмерная функция интенсификации конвекции в формуле Чена при
кипении
Функция подавления кипения 5 представлена на рис. 2.17. Ее аппрок-
аппроксимация, приведенная, например, в [44], имеет вид
5 =
[1 + (МгИеД'14]-1 npnRe* < 32,5;
[1 + О,-
1 при 32,5 < К^т < 70,
где
B.178)
B.179)
Второй член правой части соотношения B.176) описывает вклад мак-
роконвекщш в теплообмен при кипении двухфазного потока с учетом
улучшения макроконвекции в двухфазной смеси.
Коэффициент теплоотдачи атас рассчитывается по соотношению для
конвективной теплопередачи:
«mac. = 0,023
lw/l (I - у?J)е
14
0,8
-f . B.180)
Функция интенсификации конвективного теплообмена F, представ-
представленная на рис. 2.18, может быть аппроксимирована выражением, при-
зеденным, например, в [44]:
[1,0 при
F =¦
-6610
* < одо.
+ 0,213H'736
при
>0,10,
BЛ81)
97
j параметр Локкарта—Мартинелли:
tt
1 - х
0,9
¦о-5'^0'1
щ
B.182)
Корреляция Чена получена на основе экспериментальных данных в сле-
следующем диапазоне параметров: р = 0,09 + 6,9 МПа; (pw)m = @,054 -г
4,07) • 103 кг/(м2 -с); х = 0,07. Анализ, приведенный в [18], пока-
показал, что данная корреляция имеет более низкую, чем другие, погрешность,
охватывает широкую область паросодержаний, обеспечивает плавный
переход между режимами пузырькового кипения, конвекции и испаре-
испарения.
Отношение температур в первом члене правой части B.176) позволяет
согласовать температурные напоры — реальный (Tw — Tf) и имевший бы
место в состоянии насыщения (Tw — Ts) — в условиях кипения недогре-
той жидкости. Тем самым в определенной мере учитываются различия
интенсивностей теплоотдачи при поверхностном и развитом кипении.
В большей степени эти различия могут быть учтены с помощью следую-
следующего соотношения:
<b =
b
xbr
cpl
* -
B.183)
где o^f, a^, a^ - коэффициенты теплоотдачи соответственно при нераз-
неразвитом поверхностном кипении, конвекции и развитом пузырьковом ки-
кипении; 3ty < х = (hm - hsi)jr < хъ — относительная энтальпия теплоноси-
теплоносителя; хь, 1съ — относительные энтальпии соответственно при начале разви-
развитого и при начале неразвитого поверхностного кипения, определяемые
по соотношениям [69]
-140 -
™Л\ (fa V
UJ
0,2
для труб и
кольцевых каналов;
B.184)
3600)
pgs
для продольно
обтекаемых
пучков стержней;
xb = ~
B.185)
98
В некоторых работах (например, в [18,44]) для описания теплообмена
при пузырьковом кипении теплоносителя рекомендуется использовать
корреляцию
aw = 1,97 -КГ3 (Гн?~Г'J ехр0'23?. B.186)
Данная корреляция базируется на опытных данных, полученных при
р = 5,3-МЗ,8МПа,ри>= A,1^3,8) . 103кг/(м2 -с).
Представляется, что эта корреляция, не учитывающая зависимости
интенсивности теплообмена при кипении от массовой скорости и паро-
содержания, не вполне удовлетворяет сформулированным выше требова-
требованиям к соотношениям, образующим систему замыкающих соотношений
двухскоростных моделей.
Использование корреляций типа B.186) требует также специального
описания теплообмена при пузырьковом кипении в большом объеме.
Так, в [44] для расчета кипения в большом объеме рекомендуется соот-
соотношение Розенау
(Cs/K
<2187>
Здесь коэффициент Csf зависит от комбинации систем теплоноситель-
материал стенки и вода—сталь и может быть принят равным 0,013.
Достаточно общим является также соотношение из [83], рекомендуе-
рекомендуемое в [85] для расчета теплоотдачи при пузырьковом кипении одноком-
понентных жидкостей в большом объеме и имеющее вид
aw = 0,075 1 +
\1/3
Для воды B.188) можно представить следующим образом:
B.188)
1 - 0,045/? W
Как уже отмечалось, при кипении весь тепловой поток от стенки под-
подводится к жидкой фазе теплоносителя, т.е. qw = qwj. При этом в режиме
кипения насыщенной жидкости весь подведенный тепловой поток идет на
образование паровой фазы. В режиме кипения недогретой жидкости
часть теплового потока (?*/ приводит к увеличению энтальпии жидко-
жидкости, а часть q*f идет на парообразование. Соотношение между этими
потоками тепла определяется согласно B.167) функцией Х/- Если пола-
полагать, что подогрев недогретой до температуры насыщения жидкости осу-
осуществляется механизмом конвекции под действием температурного на-
99
пора Ts - Tj, то для всех режимов кипения при условии, что коэффициент
теплоотдачи при кипении а^ выше конвективного коэффициента тепло-
теплоотдачи а?, для определения функции X/ можно получить следующее
выражение:
, <fr. - г„
<<г» - г,)
Функция X/ принимает значения от 0 (при пузырьковом кипении на-
насыщенной жидкости, т.е. при Ts = 7} ) до 1 (при переходе к конвективно-
му теплообмену, т.е. при Tw = Ts; aw = a^).
В [86] для функции X/ получено следующее соотношение:
Х/ = A - e)(hs - А;)/(А, - hJb), B.190а)
где ha, — энтальпия жидкости, соответствующая началу развитого по-
поверхностного кипения, значение которой может быть, в частности, опреде-
определено по B.184); е — часть теплового потока #**, идущего на парообразо-
парообразование; эта часть, затрачиваемая на подогрев жидкости в пристенном слое
в процессе пузырькового кипения, равна
е = — [p,(hcv - h,) + р (ft, - hcv)). B.1906)
V
Первый член выражения в квадратных скобках характеризует тепло-
тепловой поток, необходимый на подогрев приходящей вместо оторвавшихся
пузырьков пара жидкости от температуры t\ до температуры fcv, соот-
соответствующей энтальпии контрольного объема hcv. Второй член соответ-
соответственно представляет собой тепловой поток, идущий на подогрев обра-
обращающейся в пар жидкости от температуры контрольного объема до со-
состояния насыщения.
Несколько иной подход к описанию распределения теплового потока от
стенки при кипении недогретой жидкости использован в [15], где доля
потока тепла, идущего на парообразование, была представлена в виде
( 0 при Tw < Т„
где awl — коэффициент теплоотдачи при пузырьковом кипении, рассчи-
рассчитываемый по формуле Чена. Функция #** изменяется от нуля при
7^ = Ts до gwi при Tj = Ts, т.е. при переходе к кипению жидкости, нагре-
нагретой до температуры насыщения.
Итак, при кипении недогретой жидкости выражение для теплового по-
потока #*j = Xjew входит в правую часть уравнения энергии для жидкой
100
фазы основной системы дифференциальных уравнений, а выражение для
теплового потока ?** = A - X/ )gw включается наряду с межфазным теп-
тепловым потоком в формулу для скорости генерации паровой фазы Г.
Специфичный режим теплообмейй возникает при кипении в области вы-
высоких объемных паросодержаний, т.е. при \р > 0,90. Это область двух-
двухфазного потока дисперсно-кольцевой структуры с микропленкой на
поверхности стенки канала. Скорость пара в этой области настолько
высока, что основной обмен теплом между стенкой и теплоносителем
осуществляется посредством испарения при вынужденной конвекции.
Результаты некоторых исследований (например, [87]) свидетельствуют
об отсутствии кипения на стенке при данном режиме. Интенсивность теп-
теплообмена в условиях испарения при свободной конвекции может быть
рассчитана либо по корреляции Чена B.176), в которой фактор S учи-
учитывает подавление кипения на стенке при больших скоростях среды, либо
по корреляции Шрока и Гроссмана:
aw - 2,50 А. 0,023 Рг<М [ (Р^°еA ТУ'75. B.192)
De I M/ J
Здесь Xtt — параметр Локкарта—Мартинелли, определяемый соотно-
соотношением B.182).
Кризис теплообмена. Верхняя граница режима теплообмена при пу-
пузырьковом кипении определяется, как правило, возникновением кри-
кризиса теплообмена при тепловой нагрузке, называемой критической плот-
плотностью теплового потока qcv и при критической разности температуры
стенки и температуры насыщения АГСГ = Гсг - Ts. Явлению кризиса теп-
теплообмена принадлежит важнейшая роль в обеспечении адекватного теп-
лоотвода от тепловыделяющих элементов энергетического оборудования
как в эксплуатационных, так и в аварийных режимах, в связи с чем ис-
исследованию проблемы кризиса теплообмена посвящено весьма большое
число работ, обзор результатов которых может быть найден, в частности,
в [88, 90]. Сложный и недостаточно изученный характер явления кризи-
кризиса теплообмена — различных возможных механизмов процесса, большого
числа влияющих параметров (режимных, геометрических, внешних ус-
условий и т.п.), статистической природы — обусловил тот факт, что не-
несмотря на опубликование в литературе около 500 различных корреля-
корреляций в настоящее время, по-видимому, не существует достаточно обосно-
обоснованной и общепринятой системы корреляций, позволяющей получить на-
надежные предсказания количественных характеристик процесса кризиса
теплообмена в широком диапазоне характерных для практики условий.
Достаточно полный обзор различных корреляций по кризису теплооб-
теплообмена приведен, в частности, в [41, 88-90]. В данной книге в соответствии
с изложенным выше подходом основное внимание будет уделено корре-
корреляциям, используемым или перспективным для использования в системе
замыкающих соотношений двухжидкостных моделей двухфазных пото-
101
ков, предназначенных для улучшенного, детального анализа нестационар-
нестационарной теплогидравлики в энергетическом оборудовании. При таком под-
подходе описание количественных закономерностей кризиса теплообмена
естественно проводить с учетом возможных различных механизмов воз-
возникновения кризиса теплообмена. Согласно современным представле-
представлениям существуют два принципиально различных механизма кризиса
теплообмена при кипении двухфазного теплоносителя в канале: кризис
пузырькового кипения, связанный с образованием пленки пара на по-
поверхности канала, отделяющей от стенки ядро потока, состоящее, как
правило, из жидкости с диспергированным в ней паром; кризис высыха-
высыхания, обусловленный испарением пристенной жидкой пленки в дисперсно-
кольцевом, а иногда и в снарядном режиме двухфазного потока.
Кризис пузырькового кипения может возникать в основном либо при
пузырьковом кипении насыщенной или недогретой до температуры на-
насыщения жидкости в большом объеме, либо в потоке двухфазной смеси
с небольшим паросодержанием. Режим двухфазного потока при этом,
как правило, пузырьковый с последующим переходом в обращенный
кольцевой. Кризис теплообмена при пузырьковом кипении возникает
обычно при очень высоких тепловых нагрузках, вызывает значительное
(на несколько порядков) снижение интенсивности теплосъема и тем са-
самым сопровождается быстрым ростом температуры стенки канала, при-
приводящим, как правило, к пережогу стенки. В связи с этим рассматри-
рассматриваемый тип кризиса теплообмена часто называется "пережогом".
Кризис высыхания, как отмечалось выше, возникает в основном при
дисперсно-кольцевом режиме двухфазного потока, т.е. в области боль-
больших паросодержаний, высоких скоростей парокапельного ядра потока.
После кризиса высыхания дисперсно-кольцевой режим переходит в дис-
дисперсный. Для этого типа кризиса теплообмена характерны умеренные
тепловые потоки и значительно меньшее, чем при кризисе пузырькового
кипения, снижение интенсивности теплоотдачи (переход от режима тепло-
теплообмена при испарении со свободной поверхности пристенной жидкой
пленки к охлаждению стенки высокоскоростным потоком парокапель-
ной смеси). Тем самым кризис высыхания приводит к значительно мень-
меньшему возрастанию температуры стенки, чем кризис пузырькового кипе-
кипения. Весьма существенно, что режим кризиса высыхания включает три
характерных подрежима [88]. Представленное на рис. 2.19 схематическое
изображение зависимости тепловой нагрузки от паросодержания при
кризисе высыхания в дисперсно-кольцевом режиме наглядно иллюстри-
иллюстрирует следующие подрежимы, различающиеся закономерностями процес-
процессов массообмена между жидкой пристенной пленкой и парокапельным
ядром потока, обусловливающих закономерности кризиса высыхания:
I — кризис высыхания, при котором унос влаги с поверхности жидкой
пленки превалирует над процессом осаждения влаги из ядра на пленку
(характерно снижение qcl с ростом паросодержания в месте кризи-
кризиса хсг); II - кризис высыхания, при котором интенсивности процессов
102
2
3
4
рис. 2.19. Зависимость тепловой нагрузки от
массового паросодержания при кризисе высы-
высыхания:
1 — кризис пузырькового кипения; 2—4 -
кризис высыхания B - при некомпенсирован-
некомпенсированном пузырьковом уносе, 3 - при отсутствии сум-
суммарного массообмена, 4 - при орошении пленки
каплями)
0 *а *ит *
уноса и осаждения влаги находятся в динамическом балансе [характерно
возникновение кризиса теплообмена при определенном граничном значе-
значении паросодержания х^т независимо от значений тепловой нагрузки qCT
в достаточно широком диапазоне ее изменения (вертикаль на рис. 2.19)];
III — кризис высыхания, при котором превалирует процесс осаждения
влаги на поверхность жидкой пленки (характерны весьма малые тепло-
тепловые нагрузки и большие паросодержания в этой области, что обуслов-
обусловливает ее небольшую практическую значимость).
Естественно, что зависимости для описания кризиса высыхания целе-
целесообразно строить с учетом особенностей рассмотренных подрежимов
кризиса теплообмена данного типа. Следует отметить, что в настоящее
время система корреляций для описания кризиса теплообмена, входящая
в систему замыкающих соотношений двухжидкостных моделей неста-
нестационарных двухфазных потоков, основывается на мгновенной локаль-
локальной гипотезе, что находится в соответствии с изложенными выше прин-
принципами построения системы замыкающих соотношений. Однако в дан-
данном случае анализу применимости мгновенной локальной гипотезы сле-
следует уделить особое внимание, поскольку к адекватности описания столь
сильно воздействующего на количественные и качественные характери-
характеристики теплосъема процесса, каким является кризис теплообмена, необ-
необходимо применить повышенные требования. Ниже этот вопрос будет
рассмотрен подробнее.
Плотность теплового потока при кризисе пузырькового кипения на-
насыщенной жидкости в большом объеме в [44, 69, 85] рекомендуется рас-
рассчитывать на основе методики [91], в которой определяется поток пара
от нагреваемой поверхности, достаточный для оттеснения жидкости от
нее. В [92] приводится модификация корреляции [91] > имеющая следую-
следующий вид:
?cr =
Pg)]
l/2
B.193)
Различие соотношения B.193) и оригинальной формулы работы [91]
сводится к добавлению множителя [Pil(Pj + pg)]ll2, который при
> pg близок к единице.
103
Критический тепловой поток при кипении недогретой жидкости в боль-
большом объеме может быть навден по соотношению
B.194)
где </at — критический тепловой поток при кипении насыщенной жидко-
жидкости в большом объеме, определяемый по B.193).
Значительно менее определен выбор достаточно общих и надежных
корреляций для расчета критического теплового потока при кризисе
пузырькового кипения двухфазного потока пузырьковой структуры в
каналах. Наибольшее количество опытных данных имеется для труб, что
приводит к применению гипотезы эквивалентной трубы при описании кри-
кризиса теплообмена к каналам другой формы. Более подробно возможность
применения этой гипотезы будет рассмотрена ниже.
Соотношения, которые могут быть рекомендованы к применению в
системах замыкающих соотношений двухжидкостных моделей двухфаз-
двухфазных потоков для расчета критической тепловой нагрузки qCI при кризисе
пузырькового кипения в каналах, представляется целесообразным разде-
разделить на две группы, отнеся к первой из них стационарные соотношения,
достаточно адекватно описывающие qCI в диапазоне реальных для прак-
практики параметров в стационарных условиях, а ко второй — формулы, в
той или иной мере учитывающие специфику нестационарных условий.
Из первой группы весьма солидное опытное подтверждение имеет следую-
следующее соотношение: из [92] — рекомендуемое к применению в [85], охва-
охватывающее следующий диапазон параметров: р = 3 -г 16 МПа, х^^цщ,
(Pw)m = 500 -т 3000 кг/ (м2 -с) и имеющее вид
<7СГ8 = [10,3 - 7,8(#9,8) + 1,6(#9,8J] х
х (pw/lOOOI'2^'25 W9'8 - О -*1ехр(-1,53), B.195)
где х= (hm - his)jr - относительная энтальпия двухфазной смеси, при-
принимающая при кипении недогретой жидкости отрицательные значения.
Выражение B.195) дает значения критического теплового потока для
труб диаметром 8 мм. Для труб других диаметров в диапазоне De =
= 4 -г 16 мм критические тепловые нагрузки рассчитываются по соотно-
соотношению
/8-1(Г3\0'5
«сг= — «сгя B-196)
из [93], охватывающему весьма широкий диапазон массовых скоростей
[(Pw)m~ 200 -г 6000 кг/ (м2 • с) ] и имеющему для пузырькового режима
потока вид
104
1,833 • 107 Г /,
4rr = ' * I, B.
cr (De- 100)" (pw/10I/6 [ (pw/10I/A '
где
( 0,4 при De > 0,01 м;
( 0,6 при De < 0,01 m;
fp = 0,7249 + 0,099pexp(-0,032p);
p — давление, бар; х — относительная энтальпия теплоносителя. Величина
qCT ограничена снизу значением qCI = 104 Вт/м2.
В некоторых работах для описания критического теплового потока
при кризисе пузырькового кипения рекомендуется соотношение, по-
полученное на основе использования аналогии Рейнольдса для расчета ин-
интенсивности потока пара, необходимой для оттеснения жидкости от стен-
стенки канала. Это соотношение имеет вид [44]
.0,5
w /pm\°'S]l
—- \[r + cpi(Ts -
q
8 U/P/^\P/ / J\.
B.198)
где %t — коэффициент трения для жидкости; mw - интенсивность потока
пара от стенки в условиях кризиса пузырькового кипения:
mw = -qjr. B.199)
Система уравнений B.198)—B.199) решается методом итераций для
определения неизвестных q^ и mw.
Весьма распространенной формулой для расчета qCI при кризисе
пузырькового кипения является корреляция Тонга [94], которая для
случая кипения насыщенной жидкости имеет вид
qCI = 3,013B,1942-0,0766р)[1,037 + 1,095- 10~4 (pw)m] x
х [0,2664 + 0,8357exp(-124i)e)]. B.200)
При описании кризиса теплоотдачи в дисперсно-кольцевом режиме
двухфазного потока (кризис высыхания) в большинстве работ в настоя-
настоящее время в систему замыкающих соотношений включаются те или
иные корреляции для расчета критического теплового потока в области
больших паросодержаний. Например, в [45] рекомендуется использова-
использование следующего соотношения из [93]:
3,78 • 107 _
?сг = я оТ М1 ~ *)> B.201)
105
где п определяется по формуле, аналогичной B.197), а поправочная функ-
функция давления — по формуле
899р
hp = -1,159.0,149рехр(-0,019р)
у
10 + р2
где р — давление, бар.
Следует подчеркнуть, что такой подход к описанию кризиса высыха-
высыхания не учитывает особенностей механизма кризиса теплообмена'этого
типа, рассмотренных выше и иллюстрируемых на рис. 2.19. Наличие
вертикали на рис. 2.19 делает отыскание qCI неопределенным. Необхо-
Необходимо либо строить соответствующие корреляции для хсг, либо проверять
достижение паросодержанием граничного значения xlim, которое, в част-
частности, может быть определено по соотношению из [93]
Г
Данное соотношение аппроксимирует опытные данные по кризису вы-
высыхания, полученные для трубы De = 8 • КГ3 м при следующем диапазо-
диапазоне параметров: р = 0,98 т 16,7 МПа,рм>= 750 -г 3000 кг/(м2 • с). Послед-
Последний множитель правой части B.202) дает возможность распространить
аппроксимацию на трубы диаметром De =4-5-16 мм. При достижении
равенства х = *lim возникают условия кризиса высыхания. При х < xlim
кризис высыхания имеет место при q = qCT, где qci определяется по тем
или иным формулам для области дисперсно-кольцевого режима, в част-
частности по B.201).
При использовании приведенных выше соотношений для описания кри-
кризиса теплообмена в ряде нестационарных режимов двухскоростного двух-
двухфазного потока возникает проблема, связанная с определением массового
расходного паросодержания х, в частности либо в режимах с изменением
направления движения теплоносителя, либо в режимах с низкими массо-
массовыми скоростями потока. В связи с этим более предпочтительными яв-
являются корреляции, включающие в число определяющих параметров
истинное объемное паросодержание <р, а не массовое расходное паросо-
держание х. К числу таких корреляций, рекомендуемых к описанию как
кризиса пузырькового кипения, так и кризиса высыхания, относятся,
например, следующие соотношения:
для малых массовых скоростей потока [95]
где qCT0 рассчитывается по B.193);
106
для больших массовых скоростей потока [96]
*СГ " qfb [1,76@,96 - *>)]0'5, B.204)
где qcl0 определяется по B.200); qrb — минимальный тепловой поток в
закризисной области при дисперсном режиме потока, рассчитываемый по
корреляциям, которые будут описаны ниже, при рассмотрении закри-
зисного теплообмена.
Как показано в [90], данные корреляции удовлетворительно описы-
описывают опытные для ряда работ данные по кризису теплоотдачи, полученные
в нестационарных условиях.
Кризис теплоотдачи в пучках стержней. Гипотеза эквивалентной трубы
при описании кризиса теплообмена в пучках стержней является вполне
приемлемой в рамках приближений, принятых при построении систем
замыкающих соотношений двухжидкостных моделей нестационарных
двухфазных потоков. В то же время учет особенностей теплообмена
в пучках стержней является одним из путей снижения приближенности
описания данного явления. К таким особенностям теплообмена в пуч-
пучках следует отнести, например, эффект дистанционирующих реше-
решеток, наличие необогреваемых поверхностей, внешнее обтекание поверх-
поверхности нагрева. Рекомендации по учету этих особенностей содержатся,
например, в [64, 97, 98]. В частности, в [98] предлагаются проверенные
на основании сопоставления с опытными данными ряда авторов следую-
следующие корреляции для расчета применительно к условиям пучков стержней:
а) критического теплового потока при кризисе пузырькового кипения
go
A - х)пКп 11 + .0>1....„. | , B.205)
= 0,024^^, -Pf)f]°'"[^ ^(
где х — средняя по пучку относительная энтальпия потока; п = 1,3
при ~х < 0 и п = 0,7 при F> 0;
<«'>
sub
— фактор, учитывающий термогидравлическую неравномерность в дан-
данном сечении пучка; пг — коэффициент радиальной неравномерности
тепловыделения; #?sub, Dxe ^sub, Щ - соответственно эквивалентные
?sub, De ^sub, Щ
обогреваемый и смоченный гидравлический диаметры подканала и все-
всего пучка; Ls — расстояние между дистанционирующими решетками;
107
б) критического паросодержания при кризисе высыхания
0,5
'е
х
(Г- *сг)°'5 = °Д V,
0,3 \ Г Г Qw
Ы45
B.206)
Влияние нестационарности режима на кризис теплообмена. Исследова-
Исследованию данного вопроса, имеющего важное значение для получения коррект-
корректного описания термогидравлики двухфазных потоков в нестационарных
режимах работы энергетического оборудования, посвящено значительное
число работ, в частности [99-110]. Оставляя на дальнейшее подробный
анализ результатов этих работ, здесь следует отметить частный характер
исследований, в особенности ранних, и заметную противоречивость резуль-
результатов и выводов. Необходимо подчеркнуть, что получение надежной
экспериментальной информации в нестационарных условиях по крити-
критическим тепловым нагрузкам и критическим паросодержаниям, а также
по мгновенным, локальным значениям параметров двухфазного потока
в месте кризиса теплообмена является весьма сложной задачей. Именно
неточность и неопределенность экспериментальной информации лежат
в основе противоречивости результатов и зачастую практической невоз-
невозможности их толкования. В то же время в более поздних работах
[9, 99, 106-108] на основании сопоставления опытных и расчетных дан-
данных по сравнительно более надежно измеряемому в опытах параметру —
времени возникновения кризиса теплообмена в нестационарных режи-
режимах — показано, что мгновенная локальная гипотеза в настоящее время
является наиболее подходящей для вполне реалистичного описания кризи-
кризиса теплообмена в нестационарных условиях. Проблема при этом сводится
к выбору удачной корреляции для расчета характеристик кризиса тепло-
теплообмена в квазистационарных условиях и к реалистичному расчету мгно-
мгновенных локальных значений параметров двухфазного потока во всех се-
сечениях канала в нестационарных режимах.
Что касается выбора формул, то в [9, 18, 108] рекомендуются рас-
рассмотренные выше стационарные корреляции B.195), B.197), B.201) —
B.204). Двухжидкостные модели, предназначенные для детального ана-
анализа теплогидравлики двухфазных потоков в нестационарных режимах,
дают наилучшие результаты при описании мгновенных локальных значе-
значений параметров потока во всех сечениях канала, а вместе с тем и наилуч-
наилучшие результаты при описании кризиса теплообмена в нестационарных ус-
условиях, что, в частности, было проиллюстрировано в [9].
108
Естественно, что применение мгновенной, локальной гипотезы исклю-
исключает и необходимость специального учета в корреляциях влияния нерав-
неравномерности нагрузки по длине на кризис теплообмена.
По найденному мгновенному локальному значению критического теп-
теплового потока может быть найдена температура стенки канала в условиях
кризиса теплообмена, например путем решения тем или иным итерацион-
итерационном методом следующего уравнения, характеризующего достижение
тепловым лотоком при кипении теплоносителя значения, равного крити-
критическому тепловому потоку при данных условиях:
« =at(T Г/)
где 7^г - температура стенки в условиях кризиса теплообмена; а^ -
коэффициент теплоотдачи, зависящий от температуры стенки и рассчи-
рассчитываемый по формулам для режима кипения теплоносителя.
Теплообмен при переходном кипении представляет собой теплообмен
между стенкой и теплоносителем, возникающий вслед за кризисом тепло-
теплоотдачи и являющийся промежуточным режимом между теплообменом
при пузырьковом кипении и теплообменом при устойчивом пленочном
кипении. В стационарных условиях переходное кипение возникает лишь
в теплообменном оборудовании, в котором передача тепла к теплоноси-
теплоносителю происходит при заданной температуре стенки и для которого
данный режим теплообмена не представляет существенного практиче-
практического интереса. Этот факт, а также сложность механизма теплообмена
при переходном кипении обусловили сравнительно слабую изученность
данного режима теплообмена. В обзорных работах (например, в [1.11])
отмечаются частный характер результатов опубликованных исследований,
узкий диапазон изученных параметров, недостаточная надежность опыт-
опытных данных. Повышенное внимание, уделяемое в последнее время теп-
теплообмену при переходном кипении, в значительной мере обусловлено за-
заметной его ролью в протекании теплогидравлических процессов в энерге-
энергетическом оборудовании, и в частности в активных зонах ядерных реакто-
реакторов, при нестационарных режимах работы. Действительно, временное из-
изменение интенсивности отвода тепла от твэлов после кризиса теплообме-
теплообмена, а также формирование условий повторного увлажнения их поверх-
поверхности при нестационарных режимах зависит от закономерностей тепло-
теплообмена при переходном кипении теплоносителя.
В основе построения многих корреляций для описания теплообмена
при переходном кипении лежит упрощенное представление о механизме
процесса теплообмена. На основе наблюдаемых в опытах весьма неустой-
неустойчивом характере кипения в режиме поверхностного кипения и значитель-
значительных флуктуациях температуры стенки предполагается, что данный малый
участок канала со статистическим во времени чередованием омывается
то жидкой фазой, то паровой. При этом режимы теплообмена при пузырь-
пузырьковом и пленочном кипении теплоносителя сменяют друг друга во вре-
109
мени. Так или иначе характеризуя интенсивность теплоотдачи и время
существования этих режимов теплообмена, получают описание усреднен-
усредненной по некоторому отрезку времени теплоотдачи при переходном ки-
кипении.
Согласно такому подходу тепловой поток при переходном кипении
может быть представлен в виде
где q» q — тепловые потоки, отводимые от стенки при омывании ее жид-
жидкой или паровой фазой соответственно; в — вероятность существования
режима с жидкой фазой на стенке.
В ряде работ, например в [112], полагают
(
в = Aexp[-B(TW- Г,)], \
где qnb, q^b — тепловые потоки при пузырьковом и пленочном кипении
соответственно; А, В — опытные константы.
В [112] для0 получено следующее выражение:
в = ехр -0,039 [0,018(Гн, - Ts)]l + o,oo29{Tw - rs)|
1 d*/dZ B.210)
С учетом соображения, что переходное кипение следует за режимом
кризиса теплообмена, можно полагать, что при омывании стенки жидкой
фазой тепловой поток равен критическому тепловому потоку, т.е.
ql -qci- При этом для функции в в [44] рекомендуется следующее соот-
соотношение:
в = ехр[-0,693(Tw - Т*1)] при qt = qcJ. B.211)
Приведенные выше корреляции, будучи феноменологическими по по-
построению, фактически носят эмпирический характер и в этом смысле
сравнимы с чисто эмпирическими корреляциями, такими, например,
к ак к орреляции Сю:
afb = 1456р°'558ехр[-0,003758р°'1733(Ги,-Г5)] B.212)
или корреляция, приведенная в [109] :
- Г,)]. B.213)
Модификация этих корреляций предлагается в [46] для описания
теплообмена при переходном кипении в системе замыкающих соотноше-
соотношений двухжидкостной модели двухфазного потока:
при небольших массовых скоростях потока
ПО
atb = Aexp[-B(TW - Ts)],
B.214)
где
A = 2,7182
- Iwg @,96 - <p)qfb]
rHSU
AT,
HSU
!
здесь AT'hsu = V^> В — логарифмическая интерполяция по давлению
между точками Вх = 0,0042222, рх = 0,413685 МПа и Вг = 0,0045556,
Рг =0,620528;
при больших массовых скоростях потока
qtb = Аехр[-0,6708204(Tw - Ts)ll2](Tw - Ts);
сг
А = exp[ln(qCI - q%) + 0,6708G^ - TsL2-
Здесь
B.215)
cr = cr /Tcr
— коэффициент теплоотдачи при пленочном кипении, отнесенный к
Отмеченное выше недостаточное количество надежных и систематиче-
систематических опытных данных не позволяет получить достаточное общие и реали-
реалистичные корреляции для расчета закономерностей теплообмена при пере-
переходном кипении в широком диапазоне параметров. Рисунок 2.20
из [18] иллюстрирует сопоставление результатов расчета по различным
корреляциям между собой с экспериментальными данными. В то же
время характеристики теплообмена на границах режимов переходного
кипения изучены в гораздо большей
степени. Это делает, по-видимому,
более предпочтительным другой под-
подход к описанию теплообмена в режи-
режиме переходного кипения в системах
замыкающих соотношений двухжид-
Рис. 2.20. Сравнение корреляций для пере-
переходного кипения с опытными данными:
1 - корреляция Эллиона; 2 — Берен-
сона (и = -1)^ 3 - Тонга (низкие р); 4 -
Ши; 5 - Реми-Вейсмана; 6 - Беренсона
(п = -3); о - эксперимент [пучок из
100 стержней: (pw)m = 125 кг/(м2 • с);
р = 0,1 МПа; Гвх=58 °С]
100 200 300(Tw-Ts),K
111
костных моделей — подход, основанный на интерполяции характеристик
теплообмена между значениями на границах данного режима. Такой под-
подход к тому же обеспечивает нужную плавность перехода от одних зави-
зависимостей к другим в каждом конкретном случае.
Так, в [45] используется квадратичная интерполяция в виде
в = [(Tw - Cw )];
Уст* Tw' ^/г>Ш' Т™Ш - тепловой поток и температура стенки при кризи-
кризисе теплообмена и минимальном устойчивом пленочном кипении соответст-
соответственно.
Возможно также интерполяционное соотношение вида
"/ft
где
и = In /In
- TS I/ \ r« - TS
Для замыкания системы основных уравнений двухжидкостной моде-
модели нестационарного двухфазного потока необходимо определить доли
общего теплового потока, приходящегося на единицу объема при поверх-
поверхностном кипении, идущие на нагрев жидкой (qwi) и паровой (qwv)
фаз, а также выделить количества тепла, расходуемого на изменение
удельной энтальпии жидкой фазы (<7*/) и на парообразование на стенке
(?**) согласно B.165) - B.167).
При учете рассмотренных выше представлений о механизме теплообме-
теплообмена при переходном кипении можно заключить, что от стенки к жидкости
подводятся весь тепловой поток на стадии пузырькового кипения, а также
некоторая часть теплового потока посредством излучения от стенки и
теплового взаимодействия капель жидкости со стенкой на стадии пленоч-
пленочного кипения. Наиболее простым путем для вычисления потока тепла,
идущего в жидкость при переходном кипении, является первоначальное
определение теплового потока, идущего в паровую фазу, например, по
соотношению
где 1 — в — вероятность существования режима с паровой фазой на стен-
стенке; Awg — доля поверхности стенки в единице объема потока, находящей-
112
ся в контакте с паровой фазой; t/v min — коэффициент теплоотдачи к
пару в режиме минимального устойчивого пленочного кипения.
Эмпирические либо интерполяционные формулы для в были рассмот-
рассмотрены выше.
Соответственно функция распределения ф в B.166) найдется из соот-
соотношения
ф = 1 - qwg/gtb . B.219)
Более неопределенным является отыскание функции распределения х
в случае поверхностного кипения недогретой жидкости, поскольку тепло-
тепловой поток, идущий на подогрев жидкости до состояния насыщения, под-
подводится от стенки к жидкой фазе различными механизмами, связанными
с кипением, излучением, взаимодействием капель со стенкой. В рамках
принятой приближенности построение системы замыкающих соотношений
представляется достаточно простым, и вполне приемлемо полагать про-
пропорциональность функции X/ соответствующим тепловым напорам:
X/ = (Ts - 7})/(rw - Г,) при Ts > Тц TW>TS. B.220)
Если считать, что основное количество тепла к жидкости передается на
стадии существования пузырькового кипения, то при переходном кипе-
кипении недогретой жидкости в обращенном кольцевом режиме для описа-
описания функции X/ можно воспользоваться соотношениями типа B.190),
справедливыми для пузырькового кипения.
Минимальная температура устойчивого пленочного кипения. Темпера-
Температура Т™1П определяет границу между режимами переходного и пленоч-
пленочного кипения. Ее корректное определение весьма важно для реалистично-
реалистичного описания временного поведения условий отвода тепла при работе
энергетического оборудования в нестационарных режимах, ибо при пере-
переходе температуры стенки через значение Т™1П происходит существенное
изменение интенсивности теплообмена.
По физическому смыслу 7^1П — температура, при которой в случае
увеличения нагрева стенки прекращается контакт жидкой фазы со стен-
стенкой канала, исчезают пульсации температуры стенки — происходит смена
режима переходного кипения на режим пленочного кипения. При обрат-
обратном переходе при снижении температуры стенки Т™т — температура, при
которой восстанавливается контакт жидкой фазы со стенкой канала.
Значительное внимание исследованию температур стенки, характери-
характеризующих смену режима малоинтенсивного теплообмена при пленочном
кипении на режим значительно более интенсивного теплообмена при пере-
переходном кипении, было уделено в связи с изучением вопросов теплогид-
равлики при повторном увлажнении находящихся в режиме закризисного
теплообмена поверхностей нагрева путем подачи (залива) "холодной"
жидкости снизу или сверху (при заливе снизу или сверху соответствен-
Ш
8-6610
Рис. 2.21. Изменение температуры
стенки канала при заливе сверху
(а) и снизу (б):
1 - жидкость; 2 - пар
° 1
но). Обзор результатов этих исследований может быть найден, в частно-
частности^ [18,90,ПЗ,П4].
Следует отметить, что, как правило, при экспериментальном исследо-
исследовании теплообмена при заливе измеряется не температура Т™т, а темпе-
температура TQi при которой начинается отклонение кривой распределения
температуры стенки по длине канала от закономерности, имеющей место
на участке пленочного кипения (рис. 2.21). Значения температур Т™1П,
Tq могут различаться в зависимости от вида залива (сверху, снизу, плен-
пленка), что вносит неопределенность в построение корреляций для Т™т
и их опытную проверку [115-117].
Обзор корреляций для расчета температуры стенки при минимальном
устойчивом пленочном кипении приведен в [112, 118]. По принципам,
положенным в основу построения, корреляции могут быть разделены на
несколько групп:
базирующиеся на теории тейлоровской нестабильности паровой пленки
или на гидродинамическом механизме перехода от пленочного кипения
к переходному, например корреляции, изложенные в [119, 120];
основанные на теории максимального перегрева жидкости, теории го-
гомогенной нуклеации или на термодинамическом механизме перехода от
пленочного кипения к переходному [121, 122];
представляющие собой обобщение опытных данных по определению
Т™'ш [116,123,124].
Корреляции первого и второго типов не учитывают существенного
влияния режимных параметров р, pw, if двухфазного потока на условия
существования устойчивого пленочного кипения в канале [116, 124, 125].
Например, соотношение из [119] имеет вид
-»min
АТВ
где
Pi +Pg
2/3
[Щ -Pg)
0,5
1/2
B.221)
114
здесь g - ускорение свободного падения; черта сверху означает, что
физические свойства берутся при температуре Т = (Tw + Ts)j2y а ба-
базирующееся на теории гомогенной нуклеации соотношение представлено
в [45] в форме
' , B.222)
где Tnh — температура гомогенной нуклеации. Поскольку Тф достаточно
мало меняется с изменением давления (для воды — от 580 К при
р = 0,1 МПа до 647,28 К при критическом давлении), bn [45] рекомендует-
рекомендуется считать температуру гомогенной нуклеации в соотношении B.222)
равной термодинамической критической температуре воды.
Учет влияния режимных параметров теплоносителя на температуру
стенки при минимальном устойчивом пленочном кипении весьма важен,
особенно для реалистичного описания процесса повторного увлажнения
канала при его заливе. Корреляции третьей группы позволяют учесть
влияние режимных параметров на Т™**1. В частности, в [45] для исполь-
использования в системе замыкающих соотношений двухжидкостной модели
двухфазного потока рекомендуется соотношение из [123]:
1,0 + /-^-|] , B.223)
гдеДГд вычисляется по B.221).
Представляет несомненный интерес сопоставление предсказаний по
различным корреляциям и экспериментальных данных по температуре
стенки при минимальном устойчивом пленочном кипении.
В [125] такое сопоставление проведено с результатами эксперимен-
экспериментального исследования процесса повторного увлажнения при заливе сни-
снизу 16-стержневого пучка квадратной упаковки, моделирующего пучок
твэлов кипящего реактора. Опыты проводились в следующем диапазоне
параметров: р = 6 -г 7 МПа; pw= ПО -г 1485 кг/(м2 • с); перегрев стенки
Tw - Ts = 60-т 390 °С. Рисунок 2.22 иллюстрирует результаты сопостав-
сопоставления опытных данных с расчетными значениями Т™ш, полученными
по B.221), B.223) и соотношению из [120].
Специальная экспериментальная техника, направленная на получение
соответствующих физическому смыслу значений 7^ш в условиях ста-
стационарного эксперимента, при исключении влияния побочных эффектов,
возникающих при определении Т™т в экспериментах с повторным увлаж-
увлажнением (перенос тепла в стенке осевой теплопроводностью, сопряжен-
сопряженность задачи, разбрызгивание капель и тл.), была применена в [116].
Исследовались условия существования минимального устойчивого пле-
пленочного кипения в трубе в диапазоне параметров р= 0,1 ^9 МПа; pw =
115
Рис. 2.22. Сопоставление опытных и
расчетных данных по перегреву
стенки при повторном увлажнении:
* - опытные данные [125]; 7 -
корреляция Илойжа [123] при
(fiw)m = 67,8 кг/ (м2 • с); 2 - то
же при (pw)m = 13,55 кг/(м2 • с);
3 - корреляция Генри [120];
4 - корреляция Беренсона [119]
= 50 -г 2800 кг/(м2 • с); х =
= -0,0015 * 0,12. Рисунок 2.23
иллюстрирует сопоставление
опытных данных и расчетов по
0,2 0,4 0,6
0,8х,отн.ед. корреляциям из [118, 119,
122, 126-128].
Анализ результатов сопоставлений позволяет заключить, что, по-види-
по-видимому, в настоящее время для расчета Г™ш наиболее надежной являет-
является корреляция из [116]:
284,7 + 0,0441р - 3,72- 10" V -
при х < 0; р < 9 • 103 кПа;
284,7 + 0,0441/? - 3,72- 1(Г6 р2
при х > 0; р < 9 • 103 кПа;
= 9 • 10** КПа
при р > 9 • 103 кПа,
х- 1(Г
2-82 + 0,00122р
B.224)
Ра ~ Р
РЫ ~ 9000
где р - давление, кПа.
Следует заметить, что в исследованном диапазоне параметров суще-
существенного влияния массового расхода на температуру стенки при мини-
минимальном устойчивом пленочном кипении обнаружено не было.
После того как температура Т™т определена, может быть рассчитан
поток тепла q J^in от стенки к теплоносителю в условиях минимального
устойчивого пленочного кипения, используемый, в частности, для отыска-
отыскания тепловой нагрузки на стенке.в режиме переходного кипения с по-
помощью соотношений B.216), B.217).
116
р,мпа
Рис. 2.23. Сопоставление опытных и расчетных данных по определению минимальной
температуры устойчивого пленочного кипения:
I - опытные данные [116] [х = 0,2,(pw)w= 100 кг/(м2 • с); материал стенки -
циркалой]; 1 - корреляция работы [124]; 2 - [116:]\3 - [119]; 4 - [122]; 5s -
данные Е.К. Калинина (МАИ); б - [127]; 7 - [120] \8 - [128]
Следует заметить, что определение условий минимального устойчивого
пленочного кипения при дисперсном режиме двухфазного потока может
быть связано с некоторыми особенностями.
Во-первых, при больших паросодержаниях и массовых расходах тепло-
теплоотдача при пленочном кипении в дисперсном двухфазном потоке может
стать столь интенсивной, что минимум на кривой кипения, соответствую-
соответствующий переходу от режима переходного кипения к пленочному, »выродится
(рис. 2.15). Данный факт был подтвержден экспериментально [129].
Во-вторых, процесс увлажнения стенки в дисперсном режиме двухфаз-
двухфазного потока связан как с выполнением температурного условия воз-
возможности увлажнения стенки Tw < T ™ш, так и с выполнением условия
материального баланса - равенства массовых потоков выпадающих из
дисперсного ядра капель и испаряющейся жидкости на стенке. Последнее
условие дает критерий начала смены режимов кипения — парасодержа-
ние xrew, которое является функцией массового расхода теплоносителя
и тепловой нагрузки на стенке. Существование двух критериев смены
режимов кипения — Т™т и *rew ~~ приводит к возможной неоднозначно-
неоднозначности кривой кипения, которая была обнаружена экспериментально в
[125, 130]. Действительно, как показано на рис. 2.24, при достижении
стенкой температуры Т™^ дальнейший ход кривой кипения может осу-
117
mln
Рис. 2.24. Схема возможной неодно-
неоднозначности кривой кипения при пленоч-
пленочном кипении в дисперсном режиме:
линии: а - пузырьковое кипение;
Ь, с, d — переходное кипение; е - пле-
пленочное кипение
ществляться по линиям Ь, с, d в
зависимости от того, в какой
точке A, 2 или 3) паросодержа-
ние достигнет xrew. В [125] по-
показана возможность построения
корреляций для величины xrew.
Экспериментальные исследования влияния нестационарности режима
на характеристики теплообмена при минимальном устойчивом пленочном
кипении на горизонтальной поверхности в большом объеме показали, что
при скачкообразном уменьшении тепловыделения либо при быстром по-
погружении тела, нагретого до температур выше температур Лейденфроста,
в воду значения всех характеристик теплообмена, включая rmin, #™in,
близки к квазистационарным. w
Теплообмен при пленочном кипении {Tw >j^in или x>xlim). Тепло-
Теплообмен при данном режиме играет существенную роль в описании поведе-
поведения тепловыделяющих элементов энергетического оборудования, и в част-
частности твэлов активной зоны ядерного реактора, при нестационарных ре-
режимах работы, так как разогрев тепловыделяющих элементов до мак-
максимальных температур в нестационарных ситуациях происходит именно
в режиме теплообмена при пленочном кипении. В этом режиме теплооб-
теплообмена осуществляется предварительное охлаждение нагретых до высоких
температур стенок каналов при повторном заливе их теплоносителем.
Столь важная роль теплообмена при пленочном кипении обусловила
большее количество исследований данного режима теплообмена, особен-
особенно после середины 60-х годов.
С учетом принятого подхода здесь изложены лишь те результаты ис-
исследований теплообмена при пленочном кипении, которые необходимы
для построения систем замыкающих соотношений двухжидкостных мо-
моделей двухфазных потоков, предназначенных для детального расчетного
анализа теплогидравлики энергетического оборудования, работающего
в нестационарных режимах.
Более широкие сведения о закономерностях данного режима тепло-
теплообмена могут быть найдены в специальных обзорных работах, например
в [18,29,118,131,132].
Теплообмен при пленочном кипении может протекать при двух режи-
режимах двухфазного потока - обращенном кольцевом и дисперсном. Обра-
Обращенный кольцевой режим характерен для пленочного кипения, следую-
следующего за кризисом теплообмена, связанного с кризисом пузырькового
118
кипения, поэтому он имеет место при низких объемных паросодержа-
ниях двухфазного потока. Дисперсный режим двухфазного потока воз-
возникает вслед за кризисом высыхания в условиях высоких объемных па-
росодержаний. Рекомендации по количественному определению границ
данных режимов двухфазного потока, имеющиеся в литературе, носят
несколько неопределенный характер. Так, граничное для существования
обращенного кольцевого режима значение истинного объемного паросо-
держания считают равным
0,2 [44];
0,3 [118];
0,4 [18]; B.225)
0,9 [115].
По-видимому, логичнее полагать, что верхняя граница для у в обращен-
обращенном кольцевом режиме при пленочном кипении близка к границе пу-
пузырькового режима двухфазного потока.
Теплообмен при пленочном кипении в обращенном кольцевом режиме
двухфазного потока определяется особенностями структуры потока,
состоящего из .жидкого ядра с диспергированными в нем пузырьками
пара и тонкой пристенной пленки пара. Граница системы ядро-пристенная
паровая пленка носит неустойчивый волнообразный характер.
Площадь поверхности теплообмена между стенкой и теплоносителем,
приходящаяся на единицу объема, полагается равной
Aw = Awg = Awl = 4/De . B.226)
Учет реального соотношения Awg и Aw[ осуществляется в формулах
для соответствующих коэффициентов теплоотдачи.
Теплообмен между стенкой и паровой фазой
происходит за счет конвекции в пристенной паровой пленке.
При пленочном кипении в большом объеме либо при небольших ско-
скоростях и объемных паросодержаниях двухфазного потока коэффициент
теплоотдачи сР может быть определен на базе модификации классиче-
классического уравнения [133], например, по соотношению
Jb = ^
I 11 D Л Л 1
B.227)
fb „
awg = С
где
Л = 2n{ol[g(Pl - pg)]} l'2
— длина волны по Тейлору; ?=r+ 095cpg(Tw - Ts) - модифицирован-
модифицированная теплота парообразования.
119
Константы С, п, В в [85] рекомендуется определять в зависимости от
формы и ориентации поверхности теплообмена следующим образом:
для вертикальных поверхностей [134]
/ г 1Г1/3/М1/2
С = 0,32 —— + — — ; п = 1/3;
\срАТ 2/ \TW
= 1;
для горизонтальных плоских поверхностей
С = 0,672; п = 1/4; В = Tw - Ts ; j> B.228)
для боковой поверхности горизонтально расположенной
трубы диаметром D
С = 0,59 + 0,069///); л = 1/4; В = Tw - Ts,
Эмпирический множитель у/1 - \р в B.227), введенный в [118], по-
позволяет распространить данное соотношение, полученное для пленочного
кипения в большом объеме, на двухфазные потоки с небольшим объем-
объемным паросодержанием.
Множитель [1 + 0,025(Гу - Г/)] правой части позволяет включить в
рассмотрение пленочное кипение недогретой жидкости.
Результаты некоторых работ, например [18, 111], подтверждают до-
достаточную реалистичность данных, полученных при расчете характеристик
теплообмена для пленочного кипения жидкостей при небольших скоро-
скоростях потока по соотношениям типа B.227) (w< 0,3 м/с согласно [18]).
При более высоких скоростях потока превалирующую роль в переносе
тепла от стенки к паровой фазе при пленочном кипении в обращенном
кольцевом режиме двухфазного потока может играть теплообмен при вы-
вынужденной конвекции в турбулентной пристенной пленке пара, интенсив-
интенсивность, которого можно описать корреляциями типа B.171), а также ре-
рекомендуемым в [118] соотношением
B.229)
где De = De{\ -
При практических расчетах коэффициент теплоотдачи crj для пленоч-
пленочного кипения в обращенном кольцевом режиме может быть определен
как максимальное значение из найденных по B.227), B.229).
Теплообмен между стенкой и жидкой фазой
при пленочном кипении в обращенном кольце-
кольцевом режиме, характеризуемом отсутствием контакта жидкой фа-
фазы со стенками канала, осуществляется излучением и сфероидальным
кипением входящих в тепловой контакт со стенкой капель, срываемых с
поверхности ядра потока. Таким образом, имеем
120
Коэффициент теплоотдачи а^ , характеризующий интенсивность пе-
переноса тепла между стенкой канала и поверхностью жидкого ядра из-
излучением, может быть определен по соотношению
w — * ч * w — * с
</ = A - *)« — — ~ , B.231)
Wl Tw - Ts Tw- Ti
где о - константа Больцмана; е - коэффициент теплового излучения
(е ^ 1); множитель A — ф) обеспечивает предельный переход при
у ->• 1.
Последний множитель правой части учитывает отклонение жидкости
от состояния насыщения.
Коэффициент теплоотдачи а^, характеризующий интенсивность обме-
обмена теплом между стенкой и не контактирующими с ней, но вступающими
в тепловое взаимодействие каплями, может быть найден по соотноше-
соотношениям, используемым для описания переноса тепла от стенки к каплям
в дисперсном режиме двухфазного потока, но с учетом особенностей
обращенного кольцевого режима.
В частности, использование аналогии Рейнольдса и предположение об
оттеснении капель от стенки потоком пара, образующегося при частич-
частичном испарении капель вблизи стенки, позволили в [44] получить для рас-
расчета awi соотношение, рекомендуемое при пленочном кипении как в дис-
дисперсном, так и в обращенном кольцевом режиме двухфазного потока
и имеющее вид
<& = [1 - exp(-0,693(rw - Гсг))] -if '- ,
wr Tw - Г/
_ B.232)
где Zwl - коэффициент трения; иу = BЛ:7}/тгЛ/I/2 - молекулярная ско-
скорость пара, нормальная к поверхности капли; к — константа Больцмана;
М- относительная молекулярная масса.
Модификация полученной на основе теории сфероидального кипе-
кипения корреляции Форслунда—Розенау с целью, в частности, ее распростра-
распространения на пленочное кипение в обращенном кольцевом режиме была про-
проведена в [45], в результате чего для расчета а^ рекомендуется следующая
система соотношений:
Tw -
d } Atw- Ts\vgdd} \ tw - Tt
°w = .
О при A-^)^ < 0,05, B.233)
121
где
= г
dd = Wey [pg (w^ - w/J] - диаметр капель, 1 • 10 < rf
Iff
-з.
(здесь We^r = 4 - критическое значение числа Вебера для капель); Е -
фракция унесенной жидкости, определяемая по B.29), B.30).
Теплообмен при пленочном кипении в дисперсном режиме двухфазного
потока. Этот режим теплообмена при пленочном кипении изучен в зна-
значительно большей степени, чем режим теплообмена для обращенного
кольцевого двухфазного потока.
Специфика закризиснрго теплообмена при дисперсной структуре двух-
двухфазного потока обусловлена, во^тервых, существенной термодинамиче-
термодинамической неравновесностью фаз — паровая фаза может быть значительно пере-
перегрета по отношению к состоянию насыщения; во-вторых, наличием ка-
капель в паровом потоке, причем при достаточно высокой их массовой
концентрации, что может приводить как к изменению структуры турбу-
турбулентности потока пара, так и к существованию специфичного механизма
отвода тепла с каплями от стенки канала.
Многочисленные корреляции для расчета теплообмена при пленочном
кипении в дисперсном режиме двухфазного потока могут быть разделены
на несколько групп.
Первую группу составляют корреляции, основанные на допущении о
термической равновесности двухфазного потока. Типичным является
соотношение Дугалла-Розенау
= 0,023 -^
0,8
Рг°'4 при х < 1, B.234)
о
^— относительная энтальпия потока, если У > 1, то принимается 5с = 1.
Вторую группу составляют корреляции, в которых в выражениях типа
B.234) используется не % а истинное паросодержание неравновесного
потока, рассчитанное по тем или иным эмпирическим формулам. Такие
корреляции приведены, например, в [112, 135]. В качестве примера мож-
можно привести соотношение из [135], имеющее вид
= 0,008348 -^ Re
De (
-^- A -
Р/
с)
0,8774
t0,6112
g
B.235)
где истинное паросодержание хас равно
хас = тх\ (hg ac - А7)
и
(hg,ac - hgl)lr = exp(-tani//)exp[-C^)"];
122
здесь hgi — балансная энтальпия пара; ^ — объемное паросодержание
в гомогенном приближении;
\ -0,09232
х A,3072 - 1,0833* + 0MS5X2) при 0 < ф < ujl;
0 при ф < 0;
я/2 при ф > тг/2;
Re/j = Reg [х + О
Для корреляций третьей группы характерно расчетное определение
истинного паросодержания хас на базе той или иной модели процесса
испарения капель в неравновесном дисперсном двухфазном потоке, как
правило, без учета теплового взаимодействия капель со стенкой канала.
К этой группе относятся, в частности, рекомендации [132, 136, 137].
Следующую группу составляют корреляции, базирующиеся на деталь-
детальном рассмотрении-различных составляющих механизма переноса тепла
от стенки канала к парокапельному потоку [118, 135-140]. Результаты
работ такого типа и должны быть положены в основу описания тепло-
теплообмена при пленочном кипении в дисперсном режиме двухфазного пото-
потока в системах замыкающих соотношений негомогенных, неравновесных
моделей нестационарной термогвдравлики двухфазных потоков в ка-
каналах.
Теплообмен между стенкой и паром характеризует-
характеризуется коэффициентом теплоотдачи crv, который может быть найден по
соответствующим корреляциям для конвективного теплообмена, напри-
например для турбулентного режима — по соотношению Дугалла—Розенау
jb ,ОО23^jи*-.* °*>'.)».»аьГ <2.236)
или по B.229), где De =De (I - y/l-*
Следует отметить, что наличие капель воды, диспергированных в паро-
паровой фазе, может оказывать существенное влияние на переносные харак-
характеристики потока перегретого пара, что подтверждается, в частности,
экспериментальными данными [141]. Так, в [141] отмечено изменение
константы турбулентности Кармана от к = 0,4 до к = 0,2 с ростом кон-
концентрации капель в паровом ядре. В [139] предложено учитывать воз-
воздействие капель на гидродинамику дисперсного потока введением мно-
множителя ?/!о, представляющего собой отношение коэффициентов сопро-
сопротивления дисперсного и однофазного потоков пара.
123
При небольших скоростях потока существенным может стать перенос
тепла от стенки к пару за счет естественной конвекции, который может
быть описан, в частности, известным соотношением
. B.237>
Теплообмен между стенкой и жидкой фазой в
дисперсном режиме двухфазного потока осуществляется за счет перено-
переноса тепла излучением и за счет теплового взаимодействия капель со стен-
кож канала. Соответствующие коэффициенты теплоотдачи могут быть,
в частности, описаны соотношениями B.230) —B.233). Расчеты [139]
и эксперименты показали, что при р = 10 МПа и pw = 1400 кг/(м • с)
тепловой поток, переносимый за счет теплового взаимодействия капель
со стенкой, не превышает 15% общего теплового потока qw.
Определенное уточнение описания переноса тепла от стенки к паровой
фазе как в режиме пленочного кипения, так и при охлаждении стенки
перегретым паром можно получить с помощью приведенных в [118]
поправок, учитывающих:
особенности теплообмена в пучках
Кг = min[l; 0,75 + (s/d- IH»6], B.238)
где s — расстояние между центрами трубок пучка;
интенсификацию теплообмена на входном участке либо за дистанциони-
рующими элементами пучка стержней
К2 = l+0,9S42De/L; B.239)
шероховатость стенок
Къ = уШо , B.240)
где ?о —коэффициент сопротивления гладкой поверхности.
Функция распределения X/ > характеризующая в режиме пленочного
кипения доли теплового потока к жидкости qwii идущие на подогрев не-
догретой до температуры насыщения жидкости (<7*j) [44, 45] и на ис-
испарение жидкости (<7*р, в большинстве работ полагается равной
X = 0, B.241)
что означает — все подведенное к жидкости тепло идет на испарение жид-
жидкости.
Однако в некоторых нестационарных режимах, например связанных с
заливом разогретого до высоких температур канала (Tw > Т^^)
"холодным" G/ <TS) теплоносителем, вполне возможно пленочное ки-
кипение при недогреве до температуры насыщения жидкой фазы в двухфаз-
124
ном потоке. В связи с этим представление функции X/ выражением вида
B.220), как и при переходном кипении, позволит в определенной сте-
степени уточнить описание теплогидравлики при пленочном кипении в канале
в нестационарных режимах.
Дальнейшее уточнение расчета теплообмена при пленочном кипении
в канале при нестационарных условиях может быть получено при учете
влияния нестационарности режима на характеристики данного процесса
теплообмена. Так, в [142] на основе результатов экспериментального
исследования закризисного теплообмена в трубе 8x1 мм длиной 2,5 м
в широком диапазоне режимных параметров \р - 0,98 -г 9,8 МПа, pw =
= 100 -г 1100 кг/(м2 -с), qw = 0,18 + 1,25 МВт/м2, хст = 0,58 + 0,98]
при росте во времени мощности тепловыделения в стенке или при умень-
уменьшении расхода теплоносителя на входе, вызывающем возникновение и
перемещение вверх по потоку фронта кризиса теплообмена, а также при
снижении мощности тепловыделения или увеличении расхода теплоносите-
теплоносителя, приводящего к образованию фронта увлажнения, получено соотно-
соотношение, описывающее в условиях опытов влияние нестационарности режи-
режима на коэффициент теплоотдачи при закризисном теплообмене:
Ка = 1,0 - 0,654[1 - ехр(-3,47 :1(PKTG)], B.242)
где
*TG = ^- *' /-~ B-243)
— критерий тепловой нестационарности пограничного парового слоя.
Следует, однако, отметить, что формулам типа B.242) присуща труд-
трудно оцениваемая неопределенность, связанная с неопределенностью расчета
мгновенных локальных значений параметров при обработке опытных дан-
данных (в данном случае по гомогенной равновесной модели).
Теплообмен при конденсации пара на стенке канала. Описание тепло-
теплового взаимодействия двухфазного потока со стенкой канала в режиме
конденсации паровой фазы (Tw <TS\ Tg> Ts) в двухжидкостных моде-
моделях двухфазных потоков в практически реальных случаях может быть
проведено на базе рассмотренных выше корреляций. Действительно, как
известно [143], в большинстве случаев конденсация водяного пара на ме-
металлических поверхностях связана с образованием пристенной пленки
конденсата (пленочная конденсация).
Если реализуются условия существования пленки жидкой фазы на
стенке канала, то режим течения двухфазного потока при конденсации
кольцевой или дисперсно-кольцевой. В противном случае режим потока
дисперсный. В первом случае тепловое взаимодействие теплоносителя
со стенками канала может быть рассчитано либо по рассмотренным выше
формулам для конвективного теплообмена между стенкой и жидкой
пленкой, либо по B.192). Во втором случае полагают, что вся образую-
125
щаяся на стенке жидкая фаза уносится в паровое ядро, увеличивая кон-
концентрацию диспергированных в нем капель жидкости.
В [45] предлагается обмен теплом между стенкой и жидкой фазой при
появлении конденсации рассчитывать по B.176) при факторе подав-
подавления кипения S = 0 до относительных энтальпий потока 5с = 0,71 с после-
последующей линейной интерполяцией по хдо 5 = 0 при?'= 1.
Соответственно a°wz— коэффициент теплоотдачи при вынужденной кон-
конвекции для однофазного потока пара — предлагается находить интерпо-
интерполяцией между значениями, равными нулю при Зс < 0,71, и значениями
Описание теплообмена при конденсации перегретого пара требует опре-
определения функции распределения xg > характеризующей долю общего теп-
теплового потока q* связанную с охлаждением перегретого пара до состоя-
состояния насыщения [см. B.164), B.167)]. В дисперсном режиме двухфаз-
двухфазного потока функция y может быть введена следующим образом:
a'iTg - Ts)
* < (
Здесь awg и cfw — соответственно суммарный и конвективный коэффи-
коэффициенты теплоотдачи для паровой фазы.
2.9. ИНТЕНСИВНОСТЬ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
В системы основных дифференциальных уравнений сохранения всех
математических моделей нестационарных двухфазных потоков неравных
скоростей фаз, будь то "чисто двухскоростные" модели либо модели по-
потока со скольжением фаз, входят интенсивности изменения массы данной
фазы в единице объема вследствие фазового перехода IV Из условия
баланса массы теплоносителя в объеме следует
Г^ + ^ = 0. B.245)
Тем самым интенсивность фазового перехода может быть охарактери-
охарактеризована интенсивностью изменения массы паровой фазы в единице объема,
т.е. величиной Г^, соотношение для расчета которой входит в систему за-
замыкающих соотношений данной математической модели двухфазного
потока с неравными скоростями фаз.
В зависимости от степени учета математической моделью термической
неравновесности фаз негомогенного двухфазного потока меняется под-
подход к описанию интенсивности фазового перехода Г^.
В частности, для двухжидкостных моделей двухфазных потоков, в ко-
которых обе фазы могут находиться в состоянии, отличном от состояния
насыщения, т.е. при полном учете термической неравновесности фаз пото-
потока, не требуется никаких дополнительных соотношений для расчета ин-
интенсивности фазового перехода Г^. Действительно, для системы диффе-
126
ренциальных уравнений негомогенной неравновесной модели A.24)
условия баланса тепла в малой окрестности межфазной поверхности, опи-
описываемые последним из соотношений A.25) при пренебрежении работой
сил межфазного трения, дают следующее выражение для интенсивности
фазового перехода:
г* = -щ - <tVlr' B-246)
Данное соотношение описывает интенсивность фазового перехода в
объеме теплоносителя. В условиях двухфазных потоков в каналах необ-
необходимо также учесть интенсивность фазового перехода, вызванную об-
обменом теплом со стенкой канала, имеющей температуру, отличную от тем-
температуры насыщения. Другими словами, необходимо включить в рассмот-
рассмотрение кипение и конденсацию "на стенке" в неравновесном двухфазном
потоке и обеспечить описание единой формулой интенсивности фазового
перехода при достижении потоком состояния насыщения. Естественно,
что в последнем случае весь поток тепла между стенкой и теплоносителем
связан с фазовым переходом. В то же время при неравновесном двухфаз-
двухфазном потоке только часть теплового потока между стенкой канала и дан-
данной фазой вызывает фазовый переход, другая же часть теплового потока
идет на изменение энтальпии данной фазы. Примером может служить ки-
кипение недогретой до температуры насыщения жидкости либо конденсация
перегретого пара.
С учетом сказанного выше интенсивность фазового перехода для двух-
двухфазных неравновесных потоков в каналах в условиях обмена теплом со
стенками канала следует рассчитывать с учетом доли теплового потока
между стенкой и теплоносителем, идущей на фазовый переход "на стен-
стенке", в частности, по следующему соотношению, являющемуся обобще-
обобщением B.246):
Г* - -Щ - 4 + *% + <)/'. B-247)
где q*f, #** — доли тепловых потоков между стенкой и жидкой и паро-
паровой фазами соответственно, идущих на фазовый переход.
Тепловые потоки #** и #** можно представить через соответствую-
соответствующие функции распределения X/ > Xg согласно B.167). Выражения для
функций распределения X/, Хя приведены при описании теплового взаимо-
взаимодействия между стенкой канала и фазами двухфазного потока.
Для' иллюстрации на рис. 2.25 представлена картина изменения по
длине канала параметров, характеризующих фазовый переход при по-
поверхностном кипении жидкости, недогретой до температуры насы-
насыщения.
При полном неучете термической неравновесности фаз двухфазного по-
потока, т.е. при негомогенном равновесном описании двухфазного потока,
127
выражение для интенсивности фазового перехода может быть получено
из уравнения энергии для насыщенной двухфазной смеси:
г =
* г
qwll
Ър
~э7
Эг
Эг
dh, ЭЛ;
L + W, -
B.248)
При выводе соотношения B.248) были приняты малыми члены, пред-
представляющие собой кинетическую и потенциальную энергию потока.
В промежуточных случаях частичного учета неравновесности двухфаз-
двухфазного потока для описания интенсивности фазового перехода должны быть
привлечены эмпирические либо пол у эмпирические корреляции.
Разработке корреляций для расчета интенсивности фазовых переходов
в частично неравновесных двухфазных потоках и в первую очередь для
кипения жидкости, недогретой до температуры насыщения, посвящено
значительное количество работ, в частности [144-146]. Построение физи-
физических или механических моделей для описания интенсивности генера-
генерации паровой фазы по существу сводится к тому или иному описанию в
условиях частичного термического неравновесия фаз отдельных состав-
составляющих: либо соотношения B.246) для вскипающих жидкостей, либр
соотношения B.247) при тепловом взаимодействии теплоносителя со
стенками канала. Рассмотрение проводится при упрощениях, связанных с
данным частным случаем: либо с кипением недогретой жидкости, при ко-
котором паровую фазу полагают находящейся в состоянии насыщения, либо
с конденсацией перегретого пара, когда жвдкую фазу считают находящей-
находящейся в состоянии насыщения. Подавляющее большинство моделей процесса
генерации фаз для частично неравновесных двухфазных потоков, терми-
термически взаимодействующих со стенками канала, развито лишь приме-
применительно к стационарным режимам
и не учитывает дополнительных со-
составляющих процесса генерации
фаз, присущих нестационарным
двухфазным потокам. Более общая
механистическая модель, справед-
справедливая для нестационарных двухфаз-
двухфазных потоков, развитая в [144],
позволила получить следующее
соотношение для расчета интенсив-
Рис. 2.25. Распределение параметров по
длине канала в режиме с поверхностным
кипением
ности генерации паровой фазы при кипении недогретой до температуры
насыщения жидкости в нестационарных условиях:
г ( 1 - e(z, t) [ hh-
- Ho y(Ts - Tj)
dp dh
g
— QnWtr
-vls) r N"e "" ' [dt "* bt 's 8 dz
B.249)
где hid — энтальпия начала развитого поверхностного кипения, опреде-
определяемая по соотношению
3;
( O,O22qwDeCр1/\, при Ре < 70- 103;
hld ~ hh - )
L lS4QwI(Pmwm) при Ре > 70 • 103;
Ре = P^wmDeCnl[K, ¦
B.250)
Первый член правой части соотношения B.249) представляет собой
долю теплового потока от стенки канала, вдущую на испарение жидко-
жидкости, т.е. это — величина #** в соотношении B.247). При этом отношение
(his ~ ^/)/(% ~ fytf) ^ть упрощенное представление в данной модели
функции распределения X/ [см., например, B.190)]. Множитель
1/[1 — е(х, г)] в B.249) позволяет учесть уменьшение теплового потока,
идущего на испарение, вследствие необходимости подогрева соответ-
соответствующего количества жидкости до температуры пристенного слоя, в ко-
котором происходит парообразование. Обозначив e(z, r) долю соответ-
соответствующего теплового потока по отнсхиению к общему тепловому потоку,
идущему на парообразование, воспользуемся модифицированным соот-
соотношением Боуринга, которое при предположении, что жидкость для ее
испарения в пристенном слое надо догреть до температуры, близкой к
температуре стенки, может быть записано следующим'образом:
P/I/w-*/I + Pglhls - ы\ B251)
6 v
Второй член правой части B.249) описывает часть межфазного обмена
теплом, связанную с конденсацией паровой фазы в объеме недогретой
жидкости. Эмпирическую константу Яо в [144] на основании сопостав-
сопоставления с опытными данными предлагается определять по формуле
Но = 0,075(с-AT1. B.252)
Последний член правой части B.249) приближенно описывает измене-
изменение в тепловых потоках, идущих на парообразование. Это изменение
связано с нестационарностью режима.
129
9-6610
Следует еще раз отметить, что в системе замыкающих соотношений ма-
математической модели полностью неравновесного двухфазного потока
содержится полное описание всех членов соотношений B.246), B.247),
связанных как с тепловым взаимодействием со стенкой канала, так и с
межфазным обменом теплом.
Помимо полуэмпирических соотношений для расчета интенсивности
фазового перехода в частично неравновесных двухфазных потоках могут
использоваться и эмпирические корреляции. Так, в [46] для случая ки-
кипения жидкости, недогретой до температуры насыщения, предлагается ис-
использовать соотношение
г = -^ (х + *0)(* -х). B.253)
Здесь С' (pwH, x0 — эмпирические константы, определяемые следующим
образом:
C*g = -6,45 • 10; (pw)o = 3500; х0 = 0,00001. B.254)
Соотношение B.253) предлагается использовать в нестационарных ре-
режимах во всем диапазоне паросодержаний 0 <х< 1,0.
При рассмотрении генерации пара в "полунеравновесном" двухфазном
потоке в обогреваемом канале на участке за кризисом теплообмена при
высыхании (паровая фаза перегрета, жидкая - в состоянии насыщения)
интенсивность фазового перехода в нестационарных условиях может быть
описана полуэмпирической корреляцией:
где коэффициент #! находится по соотношению
~ Pg) J Id -V)crw/c
B.257)
Здесь индекс "сг" относится к сечению канала, в котором возник кризис
теплопередачи.
В [147] показано, что включение описания интенсивности фазового
перехода в режиме пленочного кипения с помощью соотношений
130
Рис. 2.26. Сопоставление опытных и расчетных
данных по температуре стенки в режиме пленоч-
пленочного кипения:
О - опытные данные; расчет в равно-
равновесном приближении; расчет в неравно-
неравновесном приближении
B.255) — B.257) в термически равновесную
модель двухфазного потока, используемую
в машинной программе MAYU-4 [148] для
расчета термогидравлики пучков стержней,
существенно улучшило согласование расчет-
400
300
200
100
\
с
o°/
J1
1 1
/
/
f
1
О 0,2 0,4 0,6 0,8 W,2 X
ных и опытных данных по изменению температуры стенки с ростом от-
относительной энтальпии теплоносителя в режиме закризисного теплообме-
теплообмена, что видно из рис. 2.26.
Близкая по построению, но не принимающая во внимание эффектов,
связанных с нестационарностъю режима, корреляция для расчета интен-
интенсивности фазового перехода в неравновесном двухфазном потоке при
закризисном теплообмене рекомендуется в [146] в виде
~r
(I-
PgOrDe
B.258)
где fy — объемное паросодержание, рассчитанное на основе гомогенного
приближения. Опытная константа равна
К = 1&<р/рс
1>\
B.259)
где рс — критическое давление теплоносителя.
Расчет интенсивности фазового перехода при конденсации перегретого
пара может быть проведен по корреляции, базирующейся на релаксацион-
релаксационной модели Джонса и имеющей вид
-*) +хс](х ~
B.260)
где эмпирические константы по данным [46], в частности, равны К =
= -Ь 105; хс = 1.
2.10. СКОРОСТЬ СКОЛЬЖЕНИЯ ФАЗ
Как отмечалось выше, весьма перспективными для применения в рас-
расчетном анализе теплогидравлических процессов в энергетическом обору-
оборудовании АЭС и ТЭС являются математические модели двухфазного пото-
потока, в которых неравенство скоростей фаз учитывается введением в основ-
основную систему дифференциальных уравнений модели скорости скольжения
131
фаз wR = wg - w/. Примером соответствующей системы основных диф-
дифференциальных уравнений служит система A.30).
В настоящее время сформировались два подхода к построению моде-
моделей двухфазного потока со скольжением фаз. При первом подходе ско-
скорость скольжения wR считается известной функцией параметров, обра-
образующих вектор неизвестных модели,
wR = wR{p , р7, wg, и>/, (/?, р). B.261)
Конкретные выражения для уравнения B.261) входят в систему за-
замыкающих соотношений модели. Второй подход связан с включением в
основную систему дифференциальных уравнений модели дополнительно-
дополнительного дифференциального уравнения для скорости скольжения.
Преимущество первого подхода — возможность использования в моде-
модели негомогенного двухфазного потока такого относительно несложно
определяемого при экспериментальных исследованиях двухфазных пото-
потоков и поэтому сравнительно хорошо изученного экспериментально пара-
параметра, каким является характеристика скольжения фаз. Второй подход
позволяет учесть особенности относительного движения фаз в неста-
нестационарных двухфазных потоках, однако он сопряжен с существенными
трудностями, связанными с необходимостью описания сравнительно мало
изученных закономерностей межфазного силового взаимодействия.
В рамках первого подхода задача сводится к описанию скорости скольже-
скольжения фаз wR с помощью тех или иных соотношений.
Во многих случаях соотношения для расчета скорости скольжения фаз
wR строятся на базе так называемой модели потока дрейфа, развитой в
основном в работах Зубера. Согласно этой модели усредненная скорость
газовой фазы wg выражена через усредненный объемный поток двухфаз-
двухфазной смеси следующим образом:
w* = Со/ + vlj , B.262)
где
/ =
Со
fwg +
<(w
<<
A -
</>
g-П*
Р)
<p)w/ — объемный поток;
- параметр распределения;
>
- — усредненная с весом у скорость
дрейфа.
B.263)
Скорость скольжения может быть выражена через эти параметры сле-
следующим образом:
^ ^(Co - 1)//), B.264)
132
где Vgj -Wg-j — скорость пара по отношению к объемному потоку двух-
двухфазной смеси.
Скорости фаз при этом выражаются через среднемассовую скорость
двухфазной смеси wm следующим образом:
B.265)
wl
где
Рт
wm
1
Рт
*pg»g
A-
Pg
Рт
+ A
*)*
B.266)
В рвде работ приведены корреляции для скорости дрейфа Vg]- и параметра
распределения Со.
Поскольку характеристики межфазного силового взаимодействия,
определяющие скорость скольжения фаз, существенным образом зависят
от режима двухфазного потока, то, естественно, и корреляции для расчета
скольжения фаз строятся с учетом режима двухфазного потока.
Для пузырькового режима двухфазного потока в вертикальных и на-
наклонных каналах достаточно общепринятым является следующее соот-
соотношение, описывающее скорость дрейфа газовой фазы [18, 45, 69,
149-151]:
Vgj = 1,41
1/4
B.267)
где в — угол наклона канала. Для подъемного движения теплоносителя в
вертикальном канале sin0 = 1, для опускного sin0 = —I.
Для снарядного режима течения скорость дрейфа газовой фазы дает-
дается следующим соотношением:
Vgf = 0,35
1/2
B.268)
Для эмульсионного режима двухфазного потока скорость дрейфа га-
газовой фазы может быть определена по следующему соотношению:
при \р <0,8,
B.269)
где опытная константа С = lsl согласно рекомендациям [45].
133
При кольцевом и дисперсно-кольцевом режимах двухфазного пото-
потока для описания скорости дрейфа газовой фазы может быть рекомен-
рекомендована корреляция
ттгг- B.270)
75A -
Данное соотношение получено для кольцевого режима двухфазного
потока. Однако сопоставление с опытными данными для ряда работ дало
возможность рекомендовать соотношение B.270) для расчета скорости
скольжения в двухфазном потоке дисперсноеольцевой структуры при не
очень высоких концентрациях капель в паровом ядре потока.
Для горизонтальных двухфазных потоков в [45] предлагается рассчи-
рассчитывать скорость дрейфа паровой фазы для всех режимов по B.269).
Более неопределенным является выбор соотношений для описания па-
параметра распределения Со.
В рамках принятой приближенности построения системы замыкающих
соотношений двухжидкостных моделей нестационарных двухфазных по-
потоков представляется вполне удовлетворительным полагать для всех ре-
режимов справедливость следующего соотношения:
Со г 1. B.271)
Определенное уточнение в описании скорости скольжения можно полу-
получить, учитывая зависимость параметра распределения Со от концентрации
паровой фазы, давления теплоносителя и геометрии канала, например,
с помощью соотношения
Со = [Ко + A -КО)<РПГ\ B.272)
где
п= [1/A -
Здесь Кх — параметр, зависящий от геометрических характеристик ка-
канала.
При описании межфазных теплового и механического взаимодействий
в дисперсном и дисперсно-кольцевом режимах двухфазного потока появ-
появляется необходимость в определении скорости скольжения капель по
отношению к паровому ядру потока.
В работах [45, 152] для расчета скорости скольжения капель предла-
предлагается использовать корреляции, аналогичные B.267), в частности сле-
следующую :
134
B-273)
Рассмотренные выше квазистационарные соотношения в нестационар-
нестационарных режимах дают вполне реалистичные результаты по скорости скольже-
скольжения фаз лишь для структур двухфазного потока, характеризующихся до-
достаточно сильным механическим взаимодействием фаз (пузырьковой,
дисперсной). Более общее и достоверное описание скорости скольжения
фаз в нестационарных режимах требует учета характерных для неста-
нестационарных условий эффектов и в первую очередь инерционных сил для
каждой из фаз двухфазного потока.
Общее выражение для скорости скольжения фаз в нестационарных
условиях может быть получено из линейной комбинации уравнений им-
импульса фаз двухскоростной модели нестационарного двухфазного пото-
потока в виде [153]
l —
- wg)
) (//)
B.274)
где Aj, Aw}, Awg — площадь поверхности контакта соответственно между
фазами, стенкой и жидкостью, стенкой и газовой фазой, приходящиеся
на единицу объема; 2?/, Bw[, Bwg — коэффициенты в выражениях для
силового взаимодействия фаз между собой и со стенками канала вида
wk - -
Bwk = — pk\wk\t?wk, * = /, g.
B.275)
Соотношение B.274) позволяет оценить влияние отдельных состав-
составляющих, определяющих скорость скольжения.
Более действенным для расчета скорости скольжения фаз с учетом
нестационарности режима двухфазного потока является изложенный
выше подход, связанный с введением в систему основных дифференциаль-
дифференциальных уравнений уравнения, описывающего скорость скольжения фаз wR.
Это достигается заменой двух дифференциальных уравнений импульсов
135
фаз двухскоростной модели двумя уравнениями, представляющими собой
несколько преобразованные сумму [уравнение импульса смеси со сколь-
скольжением системы A.30)] и разность исходных уравнений импульсов фаз.
Последняя комбинация дает дифференциальное уравнение для скорости
скольжения фаз в виде
р - о, dp bw2 bwi
dt pgpj bz ё bz . ' bz
AwgBwgwg
Э w/
B.276)
где Ст— коэффициент присоединенных масс.
Добавление уравнения B.296) к системе основных дифференциальных
уравнений модели со скольжением фаз превращает ее в преобразованную
чисто двухскоростную модель со всеми присущими таким моделям не-
неопределенностями, связанными как с негиперболичностью основной си-
системы дифференциальных уравнений, так и с недостаточной изученностью
закономерностей механического взаимодействия фаз двухфазного пото-
потока между собой и со стенками канала [154, 155].
2.11. РЕАКЦИЯ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
СИСТЕМЫ МЕТАЛЛ-ВОДА
Как уже отмечалось, повышение температуры конструкционных мате-
материалов при нарушении условий охлаждения активной зоны реактора
может привести к активному их взаимодействию с водяным паром, со-
сопровождающемуся выделением тепла, при высоких температурах соиз-
соизмеримого с остаточным тепловыделением, образованием водорода,
охрупчиванием металла, уменьшением его исходной толщины.
Наиболее существенный эффект дает взаимодействие оболочек твэлов,
изготовленных из циркония или его сплавов, с водяным паром. Экзотер-
Экзотермическая пароциркониевая реакция протекает следующим образом:
Zr + 2Н2О = ZrO2 + 2H2 t + Q. B.277)
Теплота реакции равна Q = 6280,5 кДж/кг; интенсивность выделения во-
водорода составляет 0,044 кг Н2/кг.
136
Уравнение B.277) представляет собой упрощенное балансное описание
многостадийной реакции взаимодействия циркония с водяным паром,
включающей в себя, в частности, стадии: диффузию молекул Н2О через
тонкий пристенный слой водорода, абсорбцию этих молекул поверхно-
поверхностью, их диссоциацию, диффузию ионов кислорода через слой диоксида
циркония, рекомбинацию и десорбцию водорода.
При температурах ниже 1144 К цирконий имеет плотно упакованную
гексагональную структуру (а-фаза), которая при более высоких темне-
ратурах переходит в /Зч}>азу, обладающую объемно центрированной ку-
кубической структурой. В присутствии кислорода а-фаза циркония сущест-
существует при более высоких температурах. Так что под слоем диоксида цир-
циркония в окисленном металле при высоких температурах находится а-под-
слой, стабилизированный кислородом, а под ним — слой ^-циркония.
Толщина а-подслоя зависит от температуры. Распределение кислоро-
кислорода в цирконии существенно влияет на его механические свойства
[143,144].
Если полагать подвод пара к поверхности металла неограниченным, то
скорость реакции определяется диффузией ионов кислорода через ZrO2.
В этом случае кинетика пароциркониевой реакции подчиняется парабо-
параболическому закону и может быть описана следующим соотношением:
Am2 = Kpt, B.278)
где Am- количество прореагировавшего вещества; Кр - константа, оп-
определяющая скорость реакции окисления циркония.
Пароциркониевую реакцию можно характеризовать количеством при-
присоединившегося к металлу кислорода. В этом случае константа реакции
имеет следующее наименование: (г О2/см2J -с. Тогда, например,
константа, определяющая скорость генерации водорода, может быть най-
найдена из соотношения
*РН2 = — *РО2 •
Скорость пароциркониевой реакции определяется главным образом
температурой. Согласно закону Аррениуса
Кр = Aexp(rQ/RT)9 (Z279)
где Q — энергия активации, Дж/моль; R — газовая постоянная, R -
= 8,314 Дж/ (моль . К); Т - температура, К.
Важность эффектов пароциркониевой реакции при анализе аварийных
ситуаций на АЭС стимулировала проведение достаточно широкой про-
программы исследований в различных странах. Результаты некоторых работ
приведены в таблице. Исследованный температурный диапазон составляет
900—1850 °С; материал - в основном сплавы циркалой-2 (Zr-2) и
137
Таблица результатов основных зарубежных исследований
взаимодействия сплавов на основе циркония
с водяным паром
Энергия
актива- Литера-
ции G, тура
кДж/моль
Температур-
Температурный интер-
интервал,^
1300-1750
1000-1700
1000-1850
1000-1600
1600-1850
1035-1340
981-1482
1050-1580
1580-1850
1000-1400
900-1330
1000-1600
1000-1600
1000-1600
900-1500
900-1300
970-1250
Марка
сплава
Циркалой-2
Циркалой-2
Цирконий
Циркалой-2
Циркалой-2
Циркалой-4
Циркалой-2
Циркалой-4
Циркалой-2
Циркалой-4
Циркалой-2
Циркалой-4
Цирконий -
2,5% ниобия
Циркалой-2
Циркалой4
Циркалой-4
Циркалой-4
Циркалой4
Метод иссле-
исследования
Водородный
Водородный
Водородный
Водородный
Гравиметри-
Гравиметрический
Гравиметри-
Гравиметрический
Гравиметри-
Гравиметрический
Металлогра-
Металлографический
Водородный +
+ гравимет-
гравиметрический
Гравиметри-
Гравиметрический
Гравиметри-
Гравиметрический
Гравиметри-
Гравиметрический + во-
водородный
Водородный +
+ гравиметри-
гравиметрический
Водородный +
+ гравиметри-
гравиметрический
Металлографи-
Металлографический
Гравиметри-
Гравиметрический
Водородный
Коэффи-
Коэффициент Л
(MrZr/см Jх
х с
1,49 • 108
3,94 • 105
3,33 • 107
3,33- 107
5,56 • 105
1,5 • 108
8,92 • 106
3,1 • 105
2,96 • 105
8,79 • Ю5
3,64 • 106
3,803 • 106
2,68 • 106
3,36 • 10s
3,36 • 10s
2,932 • 106
4,258 • 106
5,22- 105
213,4
140,8
190,4
190,4
168,4
257,0
196,4
139,7
139,9
138,2
170,1
170,4
168,6
140,9
140,9
167,2
174,4
145,3
U58]
[159]
[160]
[160]
[161]
[161]
[162]
[163]
[167]
[167]
[171]
[162]
[164]
[164]
[164]
[165]
[169]
[166]
циркалой-4 (Zr-4); методы — водородный, гравиметрический, металло-
металлографический. Интенсивность пароциркониевой реакции характеризуется
константой реакции Кр Zr, определяющей скорость окисления циркония
и подчиняющейся закону Аррениуса.
138
6,0
7,0 1/T,10'UoC-1
Рис. 2.27. Зависимость константы паро циркониевой реакции от температуры по дан-
данным ряда работ
Сопоставление результатов исследований, приведенное на рис. 2.27,
показывает значительный разброс данных, объясняемый, по-видимому,
различием в методике исследований. Однако характерно, что результаты
всех работ лежат ниже данных, приведенных в [160]. Оба эти обстоятель-
обстоятельства послужили основанием выбора уравнения Бейкера—Джаста для
определения константы реакции (мг Zr/см2J • с
-1
при описании кине-
139
тики пароциркониевой реакции при проведении лицензионных расчетов
термогидравлики ядерных реакторов
2,291 • Ю4
Кр = 3,33 • 107ехр - . B.280)
Следует отметить, что значения константы пароциркониевой реакции,
(мг2г/см2J -с, для сплава Zr — l%Nb, применяемого для оболочек
твэлов реакторов типа ВВЭР, также расположены ниже значений, давае-
даваемых B.280) (рис. 2.27) поданным [157, 172], ив интервале температур
1000—1300 °С могут быть описаны уравнением
211 200
Кр = 5,92- 107 ехр . B.281)
RT
Влияние на интенсивность пароциркониевой реакции других, кроме
температуры, физических параметров, таких как давление и чистота пара,
ионизирующие излучение, предварительное окисление, по имеющимся
данным является незначительным.
Рассмотренные выше результаты относились к условиям постоянства
температуры, достаточного для реакции количества пара, известной
площади поверхности реакции. Несоблюдение этих условий в реальных
случаях приводит к неопределенности в расчетах эффектов пароцирконие-
пароциркониевой реакции. Так, разрушение или расплавление оболочек твэлов при ава-
авариях с тяжелыми повреждениями активной зоны реактора ставит весьма
сложную проблему определения площади поверхности реакции. Кроме
того, в настоящее время нет данных по кинетике пароциркониевой реак-
реакции при температурах выше температуры плавления циркалоя.
Интенсивное выделение водорода при высоких температурах может
ограничить скорость пароциркониевой реакции. Результаты [173] пока-
показали, что измеренная скорость пароциркониевой реакции в потоке смеси
водяного пара и водорода снижается в заметно большей степени, чем этого
можно было ожидать вследствие эффекта уменьшения концентрации пара
в среде. Водород, содержащийся в паре в существенных количествах, пре-
препятствует подходу пара к зоне реакции. Этот эффект, естественно, зави-
зависит от концентрации водорода в паровой среде.
При значительных разогревах активной зоны реактора в аварийных
ситуациях возможно значительное повышение температуры стальных кон-
конструкций реактора. При Т > 1273 К заметный вклад в повышение
температуры могут вносить тепловой эффект и генерация водорода в ре-
результаты реакции системы пар-сталь. Эта экзотермическая реакция про-
протекает по-разному в зависимости от марки стали. Для аустенитных сталей
оценки эффектов реакции системы пар—сталь могут быть проведены на
базе данных [174] по следующим соотношениям:
140
KLS = 1.1 • 10s exp (-185 650IRT);
г . B.282)
Qs = 648 800Дж/моль, l
где KLS — линейная скорость; Qs — тепловой эффект реакции системы
сталь—вода.
Глава 3. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕРМОГИДРАВЛИКИ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
3.1. ЭТАЛОННАЯ МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
Естественно, что эталонную методику численного решения гиперболи-
гиперболических систем дифференциальных уравнений математических моделей
нестационарных двухфазных потоков целесообразно базировать на методе
характеристик. Использование этого метода в качестве основы эталонной
методики численного решения задач теплогидравлики нестационарных
двухфазных потоков накладывает условие выбора такой его модифика-
модификации, которая обеспечивала бы по возможности меньшее искажение
решения за счет погрешностей, вносимых при численной реализации мето-
метода характеристик. Проблема уменьшения затрат машинного времени в
данном случае не является главной.
Следует отметить, что метод характеристик может быть использован
для решения только гиперболических систем дифференциальных уравне-
уравнений, в то время как системы основных уравнений ряда двухжидкостных
моделей нестационарных двухфазных потоков, как было показано выше,
могут терять гиперболичность (в частности, это характерно для модели
неравных скоростей, но равных давлений фаз, модели потока со скольже-
скольжением фаз).
Разработке и апробированию эталонных методик численного решения
термогидравлики нестационарных двухфазных потоков на базе метода
характеристик посвящен ряд работ (например [5,175, 176].
Рассмотрим кратко подобную эталонную методику на примере одно-
скоростной, двухтемпературной модели двухфазного потока. Система
дифференциальных уравнений такой модели может быть получена прирав-
приравниванием нулю скорости скольжения фаз wR в системе уравнений A30);
после разрешения относительно производных по времени от неизвестных
функций она имеет вид (для простоты рассмотрен канал постоянного
сечения)
bwm bwm I dp
+ wm + =
bt bz pm bz I
i
141
Ър Ър bwm
+ wm — + р tfv =
Pk
Ъу
Ъ*р
р а2 -^-
*т 9wm
bt
Ртат
*к(>к
где
dz
СЛ =
C.1)
пт> вк — скорости звука в смеси и фазе к соответственно, определяемые
из соотношений
г2 =
If*
Ър
Остальные обозначения аналогичны обозначениям системы A.30).
Существенным требованием для дальнейшего рассмотрения является
отсутствие в системе замыкающих соотношений модели формул, вклю-
включающих в себя производные от неизвестных функций, что обеспечивает
неизменность вида матрицы данной системы уравнений. *
Согласно обычной процедуре записи метода характеристик система
уравнений C.1) представляется в матричном виде:
142
dt dz
C.2)
где у {wm, p, у, hgt
системы:
- вектор неизвестных функций; А - матрица
А =
О
C3)
С {Сх, С2, С3, С4, С5} - вектор правых частей. Выражения для проек-
проекций с/ представлены в C.1).
Характеристические направления системы C.1) определяются соб-
собственными значениями матрицы А и равны
Xi = wm - ат\ Х2 = wm + ат ; Х3 = Х4 = Х5 = wm . C.4)
Соответственно соотношения на характеристиках записываются в виде
dz = (wm - am)dt; pmamdw -dp =
= (pmdmCx- C2)dt = Kxdt\
dz = (wm + дт )Л;
= OVmCi +C2)cfr =K2dt;
dz = wwc?r; d^
Pmamdw + dp =
t; pgdhg - dp =
dz =wmdt;
- dp =
-C2)dt =
C.4a)
При численном решении системы обыкновенных дифференциальных
уравнений C.4а) их конечно-разностная аппроксимация может быть про-
проведена либо на сетке с фиксированными узлами, либо при выборе в ка-
качестве узлов точек пересечения характеристик.
Сетка с фиксированными узлами чаще используется при решении прак-
практических задач термогидравлики одно- и двухфазных потоков методом
характеристик, так как алгоритм решения в этом случае проще, а время
143
Рис. ЗЛ. Схема алгоритма эталонной ме-
методики численного решения:
1 - dz = (wm + am)dt; 2 - dz = wmdt;
3-dz = (wm- am)dt
вычислений меньше. Однако прису-
присущее сетке с фиксированными узла-
узлами несовпадение области физическо-
физического влияния для данного узла сетки
и области численного влияния при-
приводят к необходимости введения тех
или иных интерполяционных про-
процедур для отыскания неизвестных
функций в граничных точках области физического влияния, т.е. к внесе-
внесению дополнительных погрешностей в решение, увеличению численной диф-
диффузии и т.п.
Обзор и сравнительный анализ различных методик численного анализа
теплогидравлики нестационарных двухфазных потоков, базирующихся на
численной реализации метода характеристик на постоянной расчетной сет-
сетке, приведены, например, в [176]. Для построения эталонной методики
численного решения, когда на первом плане стоит требование возможно
большей точности решения, а затраты машинного времени не являются
важными, целесообразно использовать конечно-разностную аппроксима-
аппроксимацию соответствующей системы дифференциальных уравнений [в рассмат-
рассматриваемом случае системы C.4а)] на "естественной" расчетной сетке,
узлами которой служат точки пересечения характеристик, определяющих
распространение малых возмущений в потоке.
Алгоритм решения рассматриваемой задачи при этом может иметь сле-
следующий вид (рис. 3.1) : пусть известны положение на плоскости Г, z точек
N\t n, Ni + \у п и значения искомых функций в этих точках. Требуется най-
найти положение и значение искомых функций для точки W/ п + i, являю-
являющейся точкой пересечения характеристик dz = (wm + am)dtu dz =
= (wm - am)dtf выходящих из точек N^ n, N( + \t n, т.е. найти семь неиз-
неизвестных tif n + i, zit n + lf wm/> n + l,Pitn + l> Vi, л + b hgt n + v hiif n + i •
Относящиеся к этим характеристикам дифференциальные соотношения
системы C.4а), записанные в конечно-разностном виде, дают следующие
четыре алгебраических уравнения:
i, п
Рта
~ zi
i, п
1, п
, п + \ ~
<> л
1, пУ>
1, л) =
и);
144
n + 1 ~ Ц + 1, л =
л + 1 ~
C.5)
('/, n + 1 ~ f/, „).
Добавочные уравнения могут быть получены путем конечно-разностной
аппроксимации дифференциальных соотношений системы C.4а), отно-
относящихся к проходящей через точку Njf п + i характеристике dz =wmdt,
определяющейся макродвижением двухфазной смеси. Однако при этом
необходимо знать положение и компоненты вектора неизвестных для
некоторой точки 0 данной характеристики (рис. 3.1). Таким образом,
появляются дополнительные семь неизвестных tQ, z0, Wmo> Po> <Аь hgo>
h\Q и имеют место 4 алгебраических уравнения
zi, п + 1 - zo = wm (tjf п + 1 - Го);
~ & (Pi, п + 1 - Ро) =
Л^о) " (Pi, л + 1 ~
Л/о) " (Pi, п + 1 ~ Р) =
- 'о);
C.6)
Недостающие для замыкания системы шесть уравнений могут быть
получены при определении значений независимых и зависимых перемен-
переменных в точке 0 путем интерполяции между известными значениями в близ-
близких к точке 0 точках. При этом возможны различные подходы как в оп-
определении положения точки 0, так и в выборе точек для интерполяции и
порядка интерполяции. Например, точка 0 может располагаться на линии,
соединяющей точки А^и и 7Vj + 11 п (точка 0' на рис. 3.1). Соответственно
и интерполяция осуществляется вдоль этой линии. Поскольку конечно-
разностное представление дифференциалов в системе уравнений C.4а)
осуществляется вдоль характеристик на основе линейной аппроксимации,
то представляется, что за точку 0 предпочтительнее выбирать точку пере-
пересечения характеристики dz -wmdt с волновой характеристикой и прово-
проводить линейную интерполяцию вдоль этой характеристики (точка 0 на
рис. 3.1). При этом интерполяция может осуществляться, например,
между точками Njt п и А^ п _ i, однако более естественно проводить ее
между точками Mjt п и Nft п- \, где вспомогательная точка M\t n пред-
представляет собой точку пересечения "волновой" характеристики, соединяю-
соединяющей точки Nff n и Nft n _ 1, с характеристикой, соединяющей вспомога-
вспомогательные точки Mit п и Mjt п - 1. Если считать, что положение и значение
145
10-6610
функций в точке Mjt n известны, то для точки 0 линейная интерполяция
дает следующие шесть уравнений:
PmMit „ -
PmNiy n ~
-1
¦ Pm0
Pm0
_ Щ,
4 n -:
-ft
hsMU n
hsNit n
- ho
~ hgo
C7)
f, n h
В результате получена система из 14 алгебраических уравнений
C.5) —C.7), содержащая 14 неизвестных (семь основных для точки Nft n
и семь вспомогательных для точки 0). Данная система алгебраических
уравнений нелинейная, так как коэффициенты системы являются функ-
функциями вектора неизвестных, что требует для ее решения той или иной ите-
итерационной процедуры.
Алгоритм отыскания семи неизвестных величин в точке M(t n (z, Г, wm,
Р, <А hgt h{) аналогичен соответствующему алгоритму, описанному для
точки 0, а именно: четыре уравнения, подобных C.6), дает конечно-раз-
конечно-разностная аппроксимация дифференциальных соотношений системы C.4а),
относящихся к характеристике dz =wmdt; оставшиеся три уравнения,
аналогичные C.7), получаются при линейной интерполяции величину Г,
wm и р между точками Nft n nNff n J \, т.е. вдоль "волновой" характери-
характеристики, соединяющей эти точки.
Результирующая вспомогательная система алгебраических уравнений
имеет вид
Щ, п ~ ^/, п - 1 т ^ Mit п "" Mjf п _ i/>
t п
C.8)
146
*M
if n - *Nit n . i = *MU n - *Nif n .
> n PNi> n ~
n ~ UNi, n - 1 PNif n - PNif n _ i
Описанный алгоритм справедлив для внутренних точек области, в ко-
которой отыскивается решение. В точках, расположенных на границе обла-
области (z =zrp), уравнения, связанные с входящими через эту точку в область
характеристиками, заменяются соответствующими граничными условия-
условиями. Так, на входе в канал, т.е. при z = 0, последние уравнения системы
C.4а), относящиеся к характеристикам dz = (wm + am)dt и dz -wmdt,
заменяются граничными условиями
z = 0; <р = tpe; hg = hge; hf = hfe; p = pe C.9)
либо wm =wme> что в совокупности с первыми двумя уравнениями сирте-
мы C.5) дает замкнутую систему соотношений для определения всех па-
параметров в данной граничной точке.
Если канал имеет закрытый конец, например, при z = 0, то в этом слу-
случае при всех t wm = wme = 0; точка 0 на рис. 3.1 совпадает с точ-
точкой Ni п _ 1, и для отыскания семи значений зависимых и независимых
переменных в данной граничной точке используются два граничных ус-
условия
z = 0; wme = 0, (ЗЛО)
два соотношения системы C.5), относящиеся к характеристике dz =
= (wm + am)dt, и три последних соотношения системы C.6).
На выходе из канала, т.е. при z = L, первые два уравнения системы
C.4а) или соответственно системы C.5), относящиеся к характеристике
dz = (wm - am)dt, заменяются граничными условиями:
в дозвуковой области
z = zL\ p =pL либо wm =wmL; C.11)
при критическом истечении
z = zL; wm = am . (ЗЛ2)
В остальном алгоритм для данной граничной точки аналогичен алгоритму
для внутренних точек области. Как было показано в [5, 175], описанная
выше эталонная методика численного решения задач нестационарной
термогидравлики двухфазных потоков обладает значительно меньшей
численной диффузией по сравнению с конечно-разностными методиками
и может быть использована для тестирования последних.
147
аг. методика конечно-разностного решения, базирующаяся
НА ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ (МХФ)
Весьма эффективным, обладающим многими достоинствами метода
характеристик, но отличающимся присущей конечно-разностным методам
высокой скоростью счета является метод численного решения, осно-
основанный на приведении основной системы дифференциальных уравнений
математической модели нестационарного двухфазного потока к характе-
характеристической форме [24] и последующей конечно-разностной аппрокси-
аппроксимации полученной системы дифференциальных уравнений.
Естественно, что МХФ может быть применен лишь для моделей, ос-
основная система дифференциальных уравнений которых гиперболична.
Первоначально МХФ был описан применительно к гомогенной, равно-
равновесной модели двухфазного потока. Здесь кратко рассматривается этот
метод на примере гомогенной неравновесной модели двухфазного потока,
для которой выше была описана эталонная методика численного решения,
базирующаяся на методе характеристик В дальнейшем МХФ будет ис-
использован для численного решения системы уравнений негомогенной,
неравновесной математической модели нестационарного двухфазного
потока в канале.
В основе МХФ лежит использование при численном решении специфики
гиперболических систем уравнений в частных производных, а именно —
наличия характеристических направлений.
В качестве первого шага МХФ проводится преобразование исходной
системы дифференциальных уравнений модели [в рассматриваемом слу-
случае системы C.1)] к характеристическому виду [177].
С этой целью, как и в методе характеристик, система уравнений C.1)
записывается в матричном виде C.2) или C.3). Затем находятся харак-
характеристические направления системы уравнений, в данном случае описы-
описываемые C.4).
Далее в рамках стандартной процедуры приведения матрицы А исход-
исходной системы уравнений к диагональному виду для матрицы А строится
фундаментальная матрица Т, столбцами которой являются собственные
векторы матрицы А. В данном случае матрица Т имеет вид
1
1
0 0 0
ртат 0 0 0
Т = -PmumS Ртпт$ 1 0 О
Pm"m/Pg О 1 О
PmdmlPi 0 0 1
Соответствующая ей обратная матрица равна
148
C.13)
-Р
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C.14)
так что
T-iAT =
am
ат
Т'АТ = А; Г1 А = AT
-l
C.15)
C.16)
где Л - диагональная матрица, составленная из собственных чисел матри-
матрицы А.
Умножение слева каждого из членов исходного матричного уравнения
модели C.2) на матрицу Т приводит его к характеристической форме,
имеющей вид
Tl(by/bz) + ЛГ^Эу/Эг) = Т^С/ C.17)
что соответствует следующей системе дифференциальных уравнений:
bwm 1 Ър , 4/3wm I dp
dt
dt
Рт<*т
Рт^т
1
Рт<*т Ъ t
(wm - am)
bz
+ \™т + йт)
pmam bz
1
Рт^т Ъг
bt
. Рт^т
Ър
bt \ bz
- 0
Ър
]3C2;
КЗ.18)
149
bhg
bt
bhj
bt
1
fig
1
Pi
bp
bt
bp
bt
w Щ
m\bz
v /9Л/
Hbz
1
fig
1
Pi
bp
bz
bp
bz
c2 '
Следующим шагом является конечно-разностная аппроксимация си-
системы дифференциальных уравнений C.17) или C.18). Вид схемы ко-
конечно-разностной аппроксимации, естественно, вытекает из того факта,
что система дифференциальных уравнений имеет характеристическую
форму. При этом существенно, что дифференциальные уравнения пред-
представленной в характеристической форме системы C.18) совпадают с урав-
уравнениями, описывающими условия согласования на характеристиках
C.4а) в методе характеристик.
Если представить условие согласования для характеристики, соответ-
соответствующей направлению X/ в виде
BidUf = Kidt C.19)
и для простоты принять Bf = const и Kj = const, то интегрирование урав-
уравнения C.19) на фиксированной сетке (рис. 3.2) вдоль характеристики
dz/dt = X/, проходящей через искомую точку /, п + 1, даст
+ i - tn) = KfAt. C.20)
Если, как принято при численной реализации метода характеристик
на фиксированной сетке, найти в точке А значение искомой функции UA
путем линейной интерполяции между значениями в точках/- 1, ли/, п,
т.е. по соотношению
UA =Ц» +^~(UJ - U1_X), C.21)
и подставить С/д в C.20), то конечно-разностное уравнение для метода
характеристик запишется в виде
1L + Vfr 7 7 = Kt. C.22)
iVfr Л Kt.
At Az
Если характеристика имеет отрицательный наклон, т.е. X/ <0, то область
численного влияния должна лежать справа от точки К и соответствующее
конечно-разностное уравнение будет иметь вид
* -Ц + хA m ; = *,. C.23)
At Az
150
рис. 3.2. Схема конечно-разностной ап-
аппроксимации системы уравнений в харак-
характеристической форме:
1 -dz= \dt; 2 - \At; 3 - Az\ 4 - At
п+1
J
Конечно-разностные уравнения ~~"^Z Т"" ? f^J n
C.22) и C.23) непосредственным ** *-.
образом связаны с природой исход-
исходной гиперболической системы урав-
уравнений. При постоянных Bf и Kj численная диффузия обусловливается лишь
линейной интерполяцией по C.21).
Соответственно и для системы C.18), представляющей характеристи-
характеристическую форму исходной системы основных дифференциальных уравнений
C.1) гомогенного, неравновесного, нестационарного двухфазного потока,
естественно выбрать аналогичную C.22) и C.23) конечно-разностную
аппроксимацию. Для исключения ограничений на шаг сетки следует поль-
пользоваться неявной схемой.
Соответствующие конечно-разностные уравнения в матричном виде
имеют вид
В?
1 At
At
где обозначено
1—- = К" при Х/>0; C.24)
Azf _ j '
/! + 1 - у? у1} + 1 - /! + 1
U. ¦ т* /\ . д>. ¦ ¦ -~ Л. •
' > Azf
[J при X/ < 0, C.25)
z. _ z._
Комбинация уравнений C.24) и C.25) дает следующее матричное
конечно-разностное уравнение:
где
At
Azj _
At
C.26)
Дг
} C.27)
I
151
Здесь р и S — диагональные матрицы, для которых
при Л/ < 0;
¦С
при X/ > 0;
s . = (\ при X/ > 0;
|^0 при Х/< 0.
Таким образом, относительно компонент вектора неизвестных функ-
функций в каждой внутренней точке / отрезка / = 1, ...,/, т.е. при измене-
изменении / в пределах / = 2, ...,/,— 1, матричное уравнение C.26) экви-
эквивалентно системе из пяти линейных алгебраических уравнений.
Оперирование граничными условиями происходит весьма естественным
образом: система линейных алгебраических уравнений, соответствую-
соответствующая матричному уравнению C.26), записывается и для граничных
точек / = 1 и / = /, однако алгебраические уравнения, содержащие индек-
индексы 0 и / + 1, а их число равно числу входящих через соответствующую
границу характеристик, исключаются из системы и заменяются подходя-
подходящими граничными условиями.
Например, при дозвуковом течении двухфазного потока в направлении
оси z на левой границе (z =0,/ =1) задаются четыре граничных условия,
а на правой границе (z = L, / = J) - одно. При переходе к сверхзвуково-
сверхзвуковому потоку или изменении направления течения корректная смена систе-
системы граничных условий происходит естественным образом, что является
существенным преимуществом данного метода численного решения ги-
гиперболических систем дифференциальных уравнений. Итак, в рассматри-
рассматриваемом случае задача свелась к решению системы из 5 х / линейных ал-
алгебраических уравнений, содержащей 5 х/ неизвестных.
Характерным для данного метода является ленточная структура мат-
матрицы системы алгебраических уравнений, что позволяет применить для
отыскания решения весьма эффективные алгоритмы, базирующиеся, на-
например, на методе Гаусса или методе матричной факторизации. Как
следует из вида матричного уравнения C.26), матрица системы алгебраи-
алгебраических уравнений имеет трехдиагональную структуру.
Таким образом, рассмотренный метод численного решения гипербо-
гиперболических систем основных дифференциальных уравнений математических
моделей нестационарных двухфазных потоков, основанный на приведе-
приведении исходной системы дифференциальных уравнений к характеристичес-
характеристическому виду, соединяет в себе основные черты и достоинства традиционных
конечно-разностных методов и метода характеристик и представляется
весьма перспективным для практического использования в машинных
программах для улучшенного расчетного анализа нестационарной термо-
термогидравлики двухфазных потоков.
152
3.3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАЛАНСНОЙ ФОРМЕ
Как было показано в гл. 1, вывод основной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений той или иной математической модели, описывающей теп-
логидравлику нестационарных двухфазных потоков, базируется на рас-
рассмотрении элементарных балансов масс, импульса и энергии фаз. Соот-
Соответственно и дифференциальные уравнения модели в исходном виде
имеют форму, которую можно назвать "балансной".
В частности, для служащей примером в данном параграфе математи-
математической модели неравновесного двухфазного потока со скольжением фаз
исходная система уравнений A.30) представляет собой систему диффе-
дифференциальных уравнений & балансной форме. Численное решение методом
конечных разностей балансной формы системы основных дифференциаль-
дифференциальных уравнений математической модели двухфазного потока лежит в ос-
основе многих современных машинных программ для улучшенного анализа
нестационарных теплогидравлических процессов в ответственном энерге-
энергетическом оборудовании.
К настоящему времени вполне сложились некоторые характерные осо-
особенности реализации конечно-разностного численного решения систем
дифференциальных уравнений в балансной форме, которые целесообраз-
целесообразно проиллюстрировать на примере системы уравнений A.30). Система
пяти уравнений A.30) содержит восемь неизвестных функций </??, р^,
wm> hkf Р и дополняется тремя соотношениями A.19), A.20).
Характерной особенностью конечно-разностной аппроксимации урав-
уравнений системы A.30) является, как правило, использование "шахмат-
"шахматной" расчетной сетки. Значения переменных \р%, р%, h^, p относятся к уз-
узлам некоторой секти / по координате z, которую можно назвать основ-
основной, а значения скорости wm относятся к узлам вспомогательной сетки,
совпадающим с границами расчетных ячеек основной сетки и имеющим
нумерацию/ - 1/2,/ + 1/2 и т.д. (рис. 3.3).
Соответственно и уравнения сохранения массы и энергии фаз аппрок-
аппроксимируются конечно-разностными уравнениями на основной сетке, а урав-
уравнение сохранения импульса двухфазной смеси - на вспомогательной
сетке.
Еще одной характерной особенностью конечно-разностной аппрокси-
аппроксимации уравнений системы A.30) является выбор при описании конвек-
конвективных потоков на данной границе расчетной ячейки в качестве значе-
значения переносимой величины ее значения в узле, расположенном вверх
по потоку.
В соответствии с этим конвективный поток величины Y на границе
/ + 1/2 ячейки/ представляется в виде
ПРИ "ю,/+1/2 > °">
<3-28>
ПРИ wm,/+l/2 < °-
153
j-3/2 J-1/2 j+1/2. J+3/2 Рис. З.З. Расчетная сетка для
—-о т о • о • о системы уравнений в ба-
J-1 J j+1 лансной форме
Конвективный член в дифференциальном уравнении баланса, связанный
с данным конвективным потоком, аппроксимируется следующим об-
образом:
A (*Wm)/ + 1/2 - (Ywm). 1/2
J —— , C.29)
Az J } Az/
где Azj = (zj + i - Zj _ j)/2; величина {Ywm), ±\n определяется по
C.28).
Конвективный поток импульса в уравнении баланса импульса имеет
следующую аппроксимацию:
В уравнениях баланса массы и энергии фаз члены, содержащие скорость
скольжения фаз wR, аппроксимируются в соответствии с соотношениями
C.28), C.29), в которых скорость смеси wm заменяется скоростью
скольжения фаз wR, в то время как для содержащегося в уравнении дви-
движения соответствующего члена справедливо представление
>"*,/- 1/2 ПРИ wR.f- 1/2 >0>
WRi ' УЧ <0
Весьма существенное влияние на эффективность численного решения
задачи оказьюает выбор явной или неявной схемы конечно-разностной
аппроксимации исходной системы дифференциальных уравнений.
154
Явная схема, требующая для обеспечения устойчивости численного ре-
решения достаточно малых шагов по времени в соответствии с условием
Куранта
At <
Az
C.32)
вполне эффективна при расчете режимов с высокими скоростями изме-
изменения параметров, например на ранней стадии аварий, сопровождающих-
сопровождающихся большими течами. Однако для режимов со сравнительно медленным
изменением параметров применение явной схемы приводит к неоправ-
неоправданно большим затратам машинного времени.
Неявная схема свободна от ограничений на выбор шагов, налагаемых
условием Куранта. К ее недостаткам следует отнести необходимость
решения теми или иными итерационными методами нелинейных систем
алгебраических конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих ис-
исходные дифференциальные уравнения математической модели. Однако
в процессах, связанных с достаточно резкими изменениями коэффициен-
коэффициентов и правых частей системы, что может быть обусловлено, например,
фазовыми переходами и сменой режима теплообмена со стенкой ка-
канала или межфазного теплообмена, и в случае неявной схемы из ус-
условий сходимости могут потребоваться достаточно малые шаги по вре-
времени.
В связи с этимв современных машинных программах для улучшенного
численного анализа нестационарных теплогидравлических процессов при-
применяются полунеявные схемы конечно-разностной аппроксимации исход-
исходной системы дифференциальных уравнений. Выбор степени неявности
схемы обусловливается, с одной стороны, возможно большим сокраще-
сокращением итерационных процессов при переходе по времени от одного слоя
к другому, с другой стороны - возможно меньшими ограничениями на
величину шага по времени.
В качестве примера можно привести следующую полунеявную конечно-
разностную аппроксимацию системы уравнений A.30), описывающих
термогидравлику нестационарного неравновесного двухфазного потока
со скольжением фаз. Аппроксимационная схема включает в себя отме-
отмеченные выше особенности — шахматную сетку и аппроксимацию кон-
конвективных членов согласно C.28) -C.31) - и связана с существенно
более слабым, чем C.32), ограничением шага по времени, обеспечи-
обеспечивающим устойчивость численного решения и имеющим вид
At <
Az
C.33)
Система конечно-разностных уравнений, соответствующих системе
дифференциальных уравнений A.30), в которой для простоты принято
155
S = const, записывается следующим образом:
At
1/2
1/2
+ 1
Дг
где
р = (-1)'
при
т
Ч)\^к= l,g,
г = 1 для газовой фазы;
г = 2 для жидкой фазы;
C.34)
Дг/+ 1/2 = (Az/ + Az/+i)/2e
Тепловые потоки между фазами и стенками канала, входящие в выра-
выражение для скорости генерации Г^, могут определяться либо на «-слое по
времени, либо частично на п + 1-слое (соответствующие разности темпера-
температур могут определяться на п + 1-слое).
К достоинствам использования при расчетном анализе нестационарной
термогидравлики двухфазных потоков численного решения системы ос-
основных дифференциальных уравнений в балансном виде следует отнести
естественное соблюдение балансов массы, импульса и энергии.
156
В качестве недостатков такого подхода можно отметить наличие доста-
достаточно большого числа итерационных процессов, а также неопределенность
постановки граничных условий. К тому же в ряде случаев возникают за-
затруднения, связанные с возможными значительными неточностями опре-
определения давления, которое в явном виде не входит в выражение для мас-
массы, энергии фаз и импульса двухфазной смеси, В частности, если давление
определять с помощью уравнений состояния A.20), то для жидкой фазы
небольшие неточности в определении плотности и энтальпии могут приве-
привести к весьма большим погрешностям определения давления.
Першективным путем повышения эффективности численного решения
систем уравнений математических моделей для улучшенного анализа не-
нестационарных теплогидравлических процессов представляется снижение
порядка решаемых систем дифференциальных уравнений путем предва-
предварительного расчленения исходной системы уравнений на ряд систем мень-
меньшего порядка и последующего итерационного процесса восстановления
решения исходной системы уравнений.
В качестве примера можно привести изложенный в [30] метод числен-
численного решения системы дифференциальных уравнений модели негомо-
негомогенного двухфазного потока со скольжением фаз, которая при очевидных
.доп)?щениях может быть получена из A.30):
~э7 **p*w* = r*; k=l'g; C35a)
э 3wm 1 э
— +
wm + wm — + ( ° • ° • wl I +
Tire-'is + *,; C35б)
Система из пяти дифференциальных уравнений C.35) содержит во-
восемь неизвестных ^, рк, wm, hk, p, дополняется двумя уравнениями
состояния фаз
рк=<>к(кк>р) <336)
и соотношением
2 <л = 1. C.37)
k=l,g K
157
Скорости фаз wg и и>/ связаны со скоростью скольжения wR соотношения-
соотношениями A.29).
Из соображений физики следует, что в C.35) связь между уравнения-
уравнениями сохранения массы и импульса является более сильной, чем связь меж-
между уравнениями сохранения импульса и энергии. Это позволяет провести
итерационную процедуру, при которой вначале решается система из трех
дифференциальных уравнений сохранения массы фаз и импульса двухфаз-
двухфазной смеси, а затем решаются два уравнения энергии фаз.
Система трех дифференциальных уравнений сохранения массы и им-
импульса фаз C.35а)-C.35в), дополненная уравнениями состояния C.36),
в которых энтальпии фаз h^ считаются известными, содержит четыре неиз-
неизвестные функции V у fy wm> P- Если рассматривать давление р как пара-
параметр, то система дифференциальных уравнений C.35а)-C.35в) становит-
становится замкнутой и может быть получено однопараметрическое семейство
решений
u(f, z, р) = {<pg , ц, wm}. C.38)
Выбор значения параметра р осуществляется на базе C.37). Если обозна-
обозначить искомое решение, для которого выполняется соотношение C.37),
(<Ъ0. %> wm0} . C.39)
то отклонения от этого решения могут быть записаны в виде
uo + Suo = { <pgQ + 8^; V1q + 8<p7; wmo + 8wm }. C.40)
Тогда условие C.37) дает
Уравнения, описывающие отклонения концентраций фаз 6у? и 6</?, ,
о 0 • О
могут быть найдены из уравнений баланса массы; стандартная процедура
записи этих уравнений в отклонениях и линеаризация дают
Dfr Фъ Di, Э 1
б<л + -JL -JL8pk + <л—3wk = 5Г,. C.42)
Dt к pk Dt к к dz pk K
Связывая отклонения плотностей и скоростей фаз с отклонениями
давления Ьр согласно соотношениям
dwk
158
подставляя C.43) в C.42), суммируя уравнения C.42) и используя соот-
соотношение C.41), получаем дифференциальное уравнение для отклонения
давления др в виде
C.44)
рк ЪР )bt к\рк *
ЩЬр
Ър I Ъг к рк
Это уравнение позволяет найти коррекцию давления, необходимую
для удовлетворения условию C.37).
Таким образом, процедура решения исходной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений C.35) сводится к следующим этапам:
1) задается исходное распределение энтальпий фаз h^;
2) задается исходное распределение давления р\
3) решается система дифференциальных уравнений C.35а) - C.35в);
4) находится корректировка давления др из C.44);
5) если поправка др значительна, то процедура повторяется, начиная
сп.2;
6) если поправка др мала, то решаются уравнения энергии фаз C.35с);
7) если полученные значения энтальпий фаз отличаются от исходных
больше чем на заданную величину, то процедура повторяется, начиная
сп. 1.
Подобный алгоритм решения системы уравнений типа C.35) исполь-
использован в машинной программе DRIFT [30], предназначенной для расчета
теплогидравлических режимов в канале с твэлом в условиях сепарации
теплоносителя и частичного осушения канала.
3.4. ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВКИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ.
КРИТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА
Если система основных дифференциальных уравнений математической
модели теплогидравлики нестационарного двухфазного потока гипербо-
гиперболична, т.е. обладает только действительными характеристиками (только
такие модели не противоречат основным физическим принципам, опре-
определяющим поведение двухфазных сред), то из теории следует, что для
такой системы уравнений число граничных условий должно равняться
числу характеристик, входящих через данную границу в рассматриваемую
область, а вид граничных условий должен обеспечивать определение соот-
соответствующих римановых инвариантов.
Возникают вопросы, как на практике определить число и вид гранич-
граничных условий для данной гиперболической системы основных дифферен-
дифференциальных уравнений модели двухфазного потока и как быть, если система
уравнений модели негиперболична?
159
Ответ на первый вопрос полностью определен, если исходная система
основных дифференциальных уравнений математической модели двух-
двухфазного потока представлена в характеристическом виде [например,
система C.18)] или если при решении задачи используется метод харак-
характеристик. В обоих случаях известны характеристики системы уравнений,
тем самым определено число граничных условий, которые необходимо
задать на входе в канал и на выходе из него, а также записаны уравнения,
относящиеся к данной характеристике системы, и, следовательно, ясен
вид соответствующих граничных условий.
Например, для системы дифференциальных уравнений (ЗЛ) характе-
характеристические направления представляются следующим образом:
*1, 2, з = wm\ Х4 = wm + ат\ Х5 = и>т - ат , C.45)
и для дозвукового двухфазного потока на входе в канал необходимо
задать четыре граничных условия, а на выходе — одно.
Уравнения системы C.18),представляющей собой характеристическую
форму исходной системы уравнений модели C.1), позволяют заключить,
что на входе в канал можно задать паросодержание <р, энтальпии фаз hg,
fy, скорость wm или давление р, а на выходе из канала — либо давление р,
либо скорость смеси двухфазного потока wm.
Выбор между заданием скорости смеси wm или давления р осуществ-
осуществляется из соображений физики. Например, при истечении теплоносителя
из заглушённого канала в большой объем на заглушённом конце целе-
целесообразно задать нулевое значение скорости смеси, а на противополож-
противоположном конце - значение давления.
Следует еще раз подчеркнуть, что при численном решении системы
дифференциальных уравнений модели, представленных в характери-
характеристической форме, изменение числа и вида граничных условий при измене-
изменении знака тех или иных характеристических направлений, вызванном,
например, сменой направления течения либо одной, либо обеих фаз, проис-
происходит автоматически.
Если гиперболическая система уравнений модели записана в балансной
форме, то в общем случае для правильной постановки граничных усло-
условий необходим предварительный характеристический анализ системы,
аналогичный описанному выше.
В данном случае автоматическое изменение системы граничных усло-
условий при возможных в ходе расчета изменениях знаков характеристичес-
характеристических направлений системы решаемых дифференциальных^равнений пред-
представляется весьма затруднительным.
Если же система дифференциальных уравнений модели может терять
гиперболичность, то постановка граничных условий становится в теорети-
теоретическом плане неопределенной. Возможным путем решения проблемы яв-
является использование системы граничных условий, такой же как для
гиперболичной системы уравнений, близкой степени детальности описания
физических процессов.
160
Определенная специфика возникает при постановке граничных условий
в случае возникновения явления запирания двухфазного потока. Экспе-
Экспериментально показано (например,, в [178, 179] )< что, как и в случае те-
течения однофазного сжимаемого теплоносителя, для двухфазного потока
возможно возникновение условий, при которых снижение противодавле-
противодавления ниже определенного значения при постоянных входных условиях не
приводит к дальнейшему изменению расхода двухфазной смеси в канале.
При этом говорят о запирании канала или о возникновении критических
условий на выходе из канала, а соответствующий расход двухфазной сре-
среды называют критическим или максимальным.
Вопросы критических истечений весьма важны, в частности, при анализе
аварийных ситуаций на АЭС, связанных с обрывами трубопроводов цир-
циркуляционных контуров. Им посвящено большое число работ. Здесь рас-
рассматриваются лишь некоторые аспекты проблемы критических двухфаз-
двухфазных потоков, связанные с улучшенным расчетным анализом нестационар-
нестационарных теплогидравлических процессов в оборудовании АЭС. Полное изло-
изложение вопросов критических течений двухфазных потоков содержится
в специальной литературе (например, в [178,179]).
Математическое моделирование нестационарной теплогидравлики двух-
двухфазных потоков требует определения условий, при которых в том или
ином сечении канала, выходном или внутреннем, реализуется критическое
течение потока, устанавливается критический расход двухфазной среды.
Условия критичности могут быть найдены для данной модели либо
с помощью тех или иных корреляций, полученных эмпирическим или мо-
модельным путем, либо из самой математической модели двухфазного
потока. Для математических моделей улучшенного анализа нестацио-
нестационарных теплогидравлических процессов в двухфазных потоках с их до-
достаточно глубоким описанием физики протекающих явлений предпочти-
предпочтительным является второй путь определения критических условий тече-
течения, непосредственно связанный с самой моделью и позволяющий полу-
получить критические условия на том же уровне описания физических процес-
процессов, что и в математической модели.
Если система основных дифференциальных уравнений математической
модели двухфазного потока гиперболична, т.е. все характеристические
направления X,- (/ = 1, . .., п,где п- порядок системы уравнений) реаль-
реальны, то условием критичности потока, описываемого этой системой урав-
уравнений, является условие неотрицательности всех характеристических на-
направлений системы, т.е.
\/> 0, / = 1,..., п. C.46)
Физический смысл этого условия следующий: возмущения параметров
извне не могут распространяться внутрь области, границей которой яв-
является сечение, где реализуются критические условия C.46), т.е. ока-
оказывать влияние на двухфазный поток в канале, если, например, данное
сечение является входным сечением канала.
161
11-6610
В частности, для системы C.1) односкоростной, двухтемпературной
модели двухфазного потока, для которой система характеристических на-
направлений представляется соотношениями C.45), условие критичности
C.46) принимает вид
*>т-ат = 0. C.47)
По аналогии с однофазным потоком величина ят может быть названа ско-
скоростью звука в двухфазной смеси, если считать, что скорость звука —
скорость распространения малых возмущений в потоке. Действительно,
анализ методом малых возмущений (например, [18, 180, 181]) пока-
показывает, что в критическом сечении скорость смещения волны распро-
распространения малых возмущений совпадает со значением величины ат в ус-
условии C.47), определенной по невозмущенным или "замороженным"
значениям коэффициентов системы C.1).
Из определения скорости звука в двухфазной смеси согласно C.2)
ясно, что качественно и количественно скорость звука существенным об-
образом связана с физической и математической моделями двухфазного
потока, зависит от конкретного вида учета эффектов негомогенности
потока, не равновесности фаз, процессов межфазного обмена и т.п.
Более сложен процесс выявления условий критичности, если система
основных дифференциальных уравнений математической модели двухфаз-
двухфазного потока записана в балансной форме и тем более если возможна поте-
потеря гиперболичности системы уравнений.
В этом случае необходим специальный характеристический анализ,
направленный именно на получение условий критичности потока. Мето-
Методология такого анализа может быть проиллюстрирована на примере опре-
определения условий критичности для системы дифференциальных уравнений,
лежащих в основе математической модели нестационарной теплогидрав-
лики двухфазного потока машинной программы RELAP-5 [182].
Математическая модель теплогидравлики машинной программы
RELAP-5 базируется на полностью негомогенном и частично неравновес-
неравновесном описании двухфазного потока (одна фаза - на линии насыщения).
Соответствующая система пяти основных дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка приведена в гл. 4 [систе-
[система D.1)J.
Упрощение анализа условий критичности может быть достигнуто умень-
уменьшением порядка системы уравнений модели, в частности принятием
дальнейших допущений о тепловом состоянии фаз двухфазного потока.
Возможны два принципиально различных предположения: а) фазы нахо-
находятся в термодинамическом равновесии, б) фазы не взаимодействуют
между собой ("замороженный" поток). Применительно к рассматривае-
рассматриваемой модели двухфазного потока предварительный анализ показал, что
допущение о термической равновесности двухфазного потока лучше
соответствует опытным данным, чем предположение о "замороженности"
фаз.
162
При допущении о термической равновесности потока система однород-
однородных дифференциальных уравнений модели (именно однородные уравне-
уравнения нужны для характеристического анализа) имеет вид
+ A
+ (i -
bt
bz
" '
+ w
bt
Эй
bt
v> о - <p)pm
'g's
bz
dt
= 0;
dz
bz dt
= 0.
C.48)
Здесь $?, S/ - удельная энтропия паровой и жидкой фаз. Уравнения си-
системы C.48) соответствуют уравнениям сохранения массы смеси, им-
импульса фаз и энергии смеси. Последние члены в уравнениях импульса фаз
представляют собой силу присоединенных масс. Как уже отмечалось
в гл. 1, сила присоединенных масс важна не по своему абсолютному зна-
значению, а по тому эффекту, который она оказывает на коэффициенты ха-
характеристического многочлена, тем самым на характеристические направ-
направления системы и, следовательно, на критические условия описываемого
этой системой уравнений двухфазного потока.
Для дисперсного режима двухфазного потока константа С в члене при-
присоединенных масс принимает теоретическое значение С = 0,5, а для режи-
режимов с малым механическим взаимодействием фаз С приближается к нулю.
Система четырех дифференциальных уравнений C.48) содержит во-
восемь неизвестных: <А wg, и>/, р, pg, #j, sg, s/. При принятом допущении
о термическом равновесии фаз плотности pg,P\ и энтропии sg, si фаз нахо-
находятся из уравнений состояний как функции давления р.
Таким образом, вектор неизвестных системы уравнений C.48) имеет
вид у { у, wg, w/, р } . Представление системы C.48) в матричной форме
Эу Эу
А + В—-
bt bz
= 0
C.49)
163
приводит к характеристическому многочлену четвертого порядка
|В - ХА| = 0. C.50)
Анализ корней этого многочлена, как правило, может быть проведен
лишь приближенно. В частности, пренебрежение четвертыми степенями
разностей X — wg и X — W/ по сравнению со вторыми степенями этих раз-
разностей позволяет получить приближенные значения первых двух характе-
характеристических направлений в виде
{A - <P)pg + РтС/2 ± [(ртС2/2J - 1A
C.51)
g + W/ + Ртс
+РтС/2 ± [(РтС/2J - фA 1/2
A - <p)pg + <ppj + ртС
Остальные два характеристических направления могут быть найдены
при пренебрежении членами второго и более высоких порядков скорости
скольжения wR = wg - W/. Эти направления равны
Хз, 4 = wm + DwR ± д, C.52)
где
{[Ср2т+ pm(W/'+ A - <p)Pg)]/(Cp2m
, C-53)
(здесь ане = у/др/Ърт - скорость звука в гомогенной равновесной двух-
двухфазной смеси);
D = 0,5
РтС + A - $)Р,,+Щ Pm(Pgf>, + Cp'j
л ds* л с?у
- а* — ^ ^ . C.54)
4.
Первые два характеристических направления определяются переносны-
переносными свойствами, связанными с макродвижением двухфазного потока.
По абсолютному значению, как следует из C.51), они имеют порядок
скоростей фаз wg и W/. В зависимости от параметра С в выражении для
силы присоединенных масс, а также от физических свойств фаз и паро-
содержания двухфазного потока, а следовательно, в зависимости от зна-
знака разности ртС2/2 — (/?A — V)pgP\ характеристические направления
Xj 2 могут быть реальными или комплексными. Таким образом, данный
анализ подтверждает сделанное в гл. 1 заключение о том, что потеря ги-
164
МО
200
-—"""
я*
Рис. 3.4. Зависимость равновес-
равновесной скорости звука от объем-
объемного паро соде ржания и коэффи-
коэффициента присоединения масс
0,2 0,4 0,6 0,8 9
Рис. 3.5. Зависимость коэффициента D
[формула C.55) ] от объемного паро-
содержания и коэффициента присоединен-
присоединенных масс
0,2
0,8 <Р
перболичности системы исходных дифференциальных уравнений
математической модели нестационарного двухфазного потока связана
с описанием конвективного переноса тепла в двухфазном потоке. Отсю-
Отсюда и меры устранения некорректности постановки задачи при математи-
математическом анализе нестационарной теплогидравлики двухфазных потоков —
учет сил присоединения масс, а там где этого мало, — добавление малых
вязкостных членов.
Распространение малых возмущений в рассматриваемом двухфазном
потоке определяется характеристическими направлениями Аз, 4- Эти на-
направления всегда реальны.
Таким образом условие критичности двухфазного потока, или условие
его запирания, в данном случае имеет вид
wm + DwR = ±a .
C.55)
Условие запирания C.55) двухфазного потока разных скоростей, но
равных температур фаз существенно отличается от условия запирания
C.47) двухфазного потока равных скоростей, но неравных температур
фаз. В C.55) входит скорость скольжения фаз w^, которая в общем слу-
случае может быть как положительной, так и отрицательной. Величина а
в C.53), которой можно придать смысл скорости звука в двухфазной
смеси, отличается от скорости звука ат для предыдущего случая.
Наконец, как скорость звука а, так и величина Dwr в C.55)
существенно зависит от константы С, входящей в выражение для силы
присоединенных масс.
165
На рис. 3.4 в качестве иллюстрации представлена зависимость скорости
звука а от объемного паросодержаиия <р для пароводяного потока при
/?=7 МПа для трех разных случаев: стратифицированного потока (С = 0),
дисперсного потока (С = 0,5) и гомогенного потока (С = °°).
Коэффициент D в выражении C.55), характеризующий влияние скоро-
скорости скольжения фаз на скорость двухфазного потока в условиях запира-
запирания, для разных структур потока может принимать как положительные,
так и отрицательные значения (рис. 3.5).
Глава 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕГОМОГЕННЫХ НЕРАВНОВЕСНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
ДЛЯ АНАЛИЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕРМОГИДРАВЛИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ОБОРУДОВАНИИ АЭС
4.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МАШИННЫХ ПРОГРАММ
НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ
В последнее время разработаны и успешно применяются для улучшен-
улучшенного расчетного анализа теплогидравлических процессов в переходных и
аварийных режимах работы циркуляционных контуров ядерных реакто-
реакторов машинные программы нового поколения, базирующиеся на негомо-
негомогенном, -неравновесном описании тепломассообменных и гидродинами-
гидродинамических процессов в двухфазных потоках.
Машинные программы нового поколения позволяют поднять на каче-
качественно новый уровень достоверность и информативность расчетного ана-
анализа нестационарных теплогидравлических процессов в оборудовании,
снять излишний консерватизм, заложенный в машинные программы
предыдущего поколения, и тем самым существенно повысить надеж-
надежность, экономичность и безопасность АЭС.
Общей чертой машинных программ нового поколения является исполь-
использование негомогенных, неравновесных моделей теплогидравлики двух-
двухфазных потоков. Однако степень учета эффектов негомогенности и нерав-
неравновесности, степень детальности описания физических процессов, выбор
конкретного вида системы замыкающих соотношений, методика числен-
численного решения, возможности совершенствования и т.п. у различных машин-
машинных программ существенно различны. Отсюда различие в целях и возмож-
возможностях их применения.
К настоящему времени сформировались два типа машинных программ
нового поколения:
системные программы, предназначенные для проведения улучшенного
расчетного анализа во всем циркуляционном контуре ядерного реактора.
Для таких машинных программ характерно сочетание весьма сложного и
подробного описания физических процессов в одних элементах цирку-
циркуляционного контура (например, в активной зоне,парогенераторе),и до-
166
статочно упрощенного описания процессов в других элементах (например,
в насосах, задвижках и тл.);
программы для улучшенного анализа нестационарных теплогидравли-
ческих процессов в отдельных, наиболее ответственных элементах цир-
циркуляционного контура ядерного реактора (в. активной зоне, циркуля-
циркуляционном трубопроводе, парогенераторе и тл.).
Эти программы используются в сочетании с системными программами
предыдущего поколения, базирующимися на более упрощенном описании
физики протекающих процессов и позволяющими рассчитать изменение
общеконтурных параметров в данном нестационарном режиме. Затем
с помощью элементных машинных программ нового поколения прово-
проводится улучшенный, детальный анализ теплогидравлических процессов в
отдельных важных элементах циркуляционного контура при использо-
использовании предварительно рассчитанных значений общеконтурных параметров
в качестве граничных условий.
Ниже в качестве примера будут кратко охарактеризованы математи-
математические модели термогидравлически нестационарных двухфазных потоков
и основные особенности получивших наибольшее признание и прошед-
прошедших практическое опробование системных машинных программ нового
поколения: RELAP-5 и TRAC (США), а также типичной элементной ма-
машинной программы нового поколения.
4.2. МАШИННАЯ ПРОГРАММА RELAP-5
Эта программа представляет собой машинную программу нового по-
поколения, предназначенную для улучшенного расчета анализа нестационар-
нестационарных теплогидравлических процессов в циркуляционном контуре водо-
охл^ждаемого ядерного реактора в нестационарных аварийных и эксплуа-
эксплуатационных режимах. Первая версия машинной программы RELAP-5/MOD0
была опубликована в 1979 г. [183], затем была разработана модифици-
модифицированная версия RELAP-5/MOD1 [6].
Следует отметить, что при создании машинной программы RELAP-5
ставилась задача получения достаточно надежных и детальных результатов
расчетного анализа теплогидравлических процессов в двухфазных пото-
потоках при минимальных затратах машинного времени.
С этой целью наряду с основной математической моделью термогидрав-
термогидравлики нестационарного пароводяного потока используются и специальные,
как правило, упрощенные модели отдельных процессов и целых элемен-
элементов циркуляционного контура. Ниже эти специализированные модели бу-
будут кратко описаны. Такой подход, а также меры по ускорению числен-
численного решения задачи позволили создать весьма "быструю" машинную
программу, в ряде случаев работающую быстрее реального времени.
Основная математическая модель термогидравлики двухфазного пото-
потока. В основу математической модели машинной программы RELAP-5
положено полностью негомогенное и частично неравновесное описание
167
термогидравлики двухфазного потока. Принципиальным допущением
является предположение о том, что одна из фаз двухфазного потока
находится в состоянии насыщения. Какая из фаз насыщена — зависит от
режима двухфазного потока. Как правило, полагают, что в состоянии
насыщения находится возникающая или исчезающая фаза. Так, в пузырь-
пузырьковом режиме двухфазного потока считается насыщенной паровая фаза,
а в дисперсном режиме - жидкая.
При этом допущении исходная система пяти одномерных дифферен-
дифференциальных уравнений сохранения массы и импульса фаз, а также энергии
двухфазной смеси записывается следующим образом:
> =г . D1)
bt S Ьг
I bwi dp
+^5 = *S
D-2)
+
bt S bz
Э
Здесь k = / для жидкой фазы и к =g для паровой:
Ек ="к +w2k'2' rg =~гг
В уравнениях импульса фаз D.2), записанных в отличие от уравне-
уравнений неразрывности D.1) и энергии D.3) не в балансной форме, в
правых частях обозначено:
D.4)
— линейная по отношению к скорости часть выражения для определения
силы трения фазы на стенки канала;
168
— линейная по отношению к разности скоростей фаз часть выражения для
силы межфазного трения;
( w - щ при к =g;
Awk = j * D.6)
( w/ - wg при к - I.
Кроме того, предполагается, что скорости фаз на межфазной поверхности
равны, т.е.
wgi =w// = wr D-7)
Последние члены правых частей уравнений импульса фаз D.2) представ-
представляют собой силы присоединенных масс, равные D.3)
Fak =
- w,)
w,
bt ' dz s dz
D.8)
- Wg) OWf 0 Wg
bt * bz l bz
Коэффициент С в D.8) зависит от режима двухфазного потока [184].
Например, для пузырькового или дисперсного потока С > 1/2, для рас-
рассмотренного С = 0.
Линейные преобразования позволяют привести систему дифферен-
дифференциальных уравнений D.1) - D.3) к более удобному для численного ре-
решения виду:
ЭР" +-L »<*»»'»>. 0; D.9)
bt S dz
Ъх (Wgg) Э[( 0p/w/?]
т 77 5 dz ~~S d~z g
D.10)
3wj 1
+ A - ф) p —— + —
bt 2
+ A ф) p po
s bt bt 2 * oz
l 3 wf bp
A - Ф) p,w,Fwl - rg(wg - W/); D.11)
169
dw, 1 3w| 1 dwf
bt bt 2 bz 2 bz
I 1 \ bp
Pg Pi
[ Pm™i ~
Pm Г Э (wg - wj) Э wg
bz g bz
D.12)
1 Э^р^иу*^ + A -
bt S bz
P 9 [ipwgS + A - ^)w/5]
S bz
D.13)
В уравнении D.10), представляющем собой преобразованную разность
исходных уравнений баланса массы фаз D.1), величина х есть истинное
массовое паросодержание:
Скорость межфазной поверхности принимается равной
Wj - \wg + A - X)w/ D.14)
при
г 0, если Tg > 0;
Х= ( 1, если Г^ < 0.
Удельная внутренняя энергия двухфазной смеси представляется фор-
формулой
ит = ZfoPfrttjt). D.15)
В уравнении энергии смеси D.13) отсутствует работа сил присоединенных
масс.
170
Вектор неизвестных основной системы дифференциальных уравнений
D.9) —D.13) математической модели термогидравлики нестационарного
двухфазного потока машинной программы RELAP-5 имеет вид
U =Щр, рт,х. wF w,, pmUm) . D.16)
Расслоенный режим двухфазного потока. Специального рассмотрения
требует важный для практики расслоенный режим двухфазного потока в
горизонтальных каналах, возникающий при малых расходах теплоноси-
теплоносителя, например при переходных режимах в циркуляционном контуре
ядерного реактора, вызванных малыми течами.
В математической модели двухфазного потока машинной программы
RELAP-5 предлагается для расслоенного режима двухфазного потока
модифицировать основную систему дифференциальных уравнений. В ос-
основе модификации лежит введение разных давлений для паровой фазы pg,
жидкой р^ и давления р. на межфазной поверхности согласно соотноше-
соотношениям
^S — = -*pS —g- + (pi - Pg)S — ;
oz oz oz
dp dpi Э A - Ф)
_(!_„)$ = (i _ ф) s—L + (pi - p,)S— . D.17У
OZ OZ OZ
При. этом среднее по сечению общее давление двухфазного потока равно
Р = Щ + 0 - *)д. D.18)
Рассмотрение баланса сил в расслоенном двухфазном потоке в трубе диа-
диаметром D приводит к следующим выражениям для давлений pgt p/, pf.
[sin30 cos#
Pi = Pi +
l
ЗтгA - V) 2 J
cosOl <4Л9>
где By — проекция массовых сил на ось у; в — угол хорды, образуемой
границей раздела фаз, связанный с объемным паросодержанием <р следую-
следующим соотношением:
^г = (в - sin0cos0). D.20)
Подстановка выражений D.17) для градиента давления в уравнения
импульса фаз D.2) и использование D.18)-D.20) приводит к появлению
добавочного члена в уравнении D.12) основной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений D.9) —D.13) математической модели термогидравлики
171
двухфазного потока машинной программы RELAP-5. Этот добавочный
член имеет следующий вид:
Рт I fy \
— (Pj ~ Pz)nDBv/Dsme)l— . D.21)
Pgf>i ' \Эх /
Модифицированная таким образом система основных дифференциальных
уравнений позволяет в едином логическом ключе с основным случаем
проводить расчетный анализ термогидравлических характеристик двух-
двухфазных потоков при расслоенных режимах в горизонтальных каналах.
Неконденсирующийся газ в паровой фазе. Этот случай также описы-
описывается машинной программой RELAP-5 путем соответствующей модифи-
модификации основной системы дифференциальных уравнений математической
модели термогидравлики двухфазного потока.
В основе модификации лежат следующие допущения:
1) неконденсирующийся компонент (индекс п) находится в механиче-
механическом и термическом равновесии с паровой фазой, т.е.
wn = wg; Tn = Tg; D.22)
2) паровая фаза представляет собой смесь пара с неконденсирующимся
газом, характеризуемую соответствующими теплофизическими свой-
свойствами. Так что под величинами, имеющими индексу, следует понимать
величины, соответствующие такой "модифицированной" паровой фазе,
т.е. для смеси пар — неконденсирующийся газ.
При таких допущениях модификация основной системы дифферен-
дифференциальных уравнений D.9)-D.13) модели сводится к добавлению урав-
уравнения баланса массы неконденсирующегося компонента в виде
^— = 0, D.23)
bt S bz
где рп — плотность неконденсирующегося газа; хп — массовое содержание.
Концентрация бора в жидкой фазе. Транспорт бора двухфазным тепло-
теплоносителем в циркуляционном контуре ядерного реактора может быть
описан в рамках математической модели машинной программы RELAP-5
при соответствующей модификации основной системы дифференциальных
уравнений. Приняты следующие предположения:
1) концентрация борной примеси весьма мала, так что на физические
свойства жидкости присутствие бора не влияет:
2) бор транспортируется только жидкой фазой, находясь в ней в меха-
механическом равновесии;
3) перенос энергии бором мал.
Модификация основной системы дифференциальных уравнений модели
сводится к добавлению уравнения баланса массы бора в виде
172
Эрв 1 Э(СВ + (l - ip)P/w/^)
= 0, D.24)
Эг S dz
где концентрационный параметр бора Св равен
^В = Рв/lPmO ~ *)] D.25)
и представляет собой концентрацию бора в единице массы жидкой фазы.
Система замыкающих соотношений. Математическая модель машинной
программы RELAP-5 требует для замыкания основной системы диффе-
дифференциальных уравнений соотношения для определения четырех величин:
межфазного механического взаимодействия фаз, механического взаимо-
взаимодействия фаз со стенками канала, теплообмена двухфазного потока со
стенками канала, скорости генерации паровой фазы. Принятые при пост-
построении модели упрощающие предположения о тепловом состоянии фаз
двухфазного потока (одна фаза находится в состоянии насыщения)
приводят к тому, что для данной модели термогидравлики двухфазного
потока не требуется знания межфазного теплообмена, для описания ско-
скорости генерации паровой фазы используется полуэмпирический подход,
не нужно знать обмен теплом каждой из фаз со стенкой канала. Естест-
Естественно, что эти упрощения приводят к снижению глубины описания физи-
физических процессов данной моделью, но во многих практически важных слу-
случаях удачный подбор эмпирических соотношений, включающих в себя
характеристики физических процессов, исключенных из рассмотрения в
результате принятия допущений, позволяет получить вполне достовер-
достоверные расчетные результаты.
Карты режимов двухфазного потока. В математической модели машин-
машинной программы RELAP-5, предназначенной для улучшенных оценок не-
нестационарных теплогидравлических процессов в оборудовании, замы-
замыкающие соотношения выбираются в зависимости от режима двухфазного
потока. Используются четыре карты режимов: для вертикальных труб,
для горизонтальных труб, для кольцевых каналов, для насосов (для
потоков с высокой степенью перемешанности фаз).
Для вертикальных труб упрощенная карта режимов двухфазного пото-
потока (рис. 2.4) включает в себя следующие режимы:
для pmWm < 2000 кг/ (м2 • с) :
пузырьковый при <
снарядный при 0,2
кольцевой при 0,85 <<?< 0,90;
дисперсный (или туманный) при<р>0,95;
переходные:
от пузырькового к снарядному при 0,1 ?;
от кольцевого к дисперсному при 0,9 <</>< 0,95;
от снарядного к кольцевому при 0,65 <<?< 0,85;
173
Для Pmwm ** 3000 кг/ (м2 • с) :
пузырьковый при (^^0,35;
дисперсный при if ^0,65;
переходный при 0,35 <<р<0,65;
для 2000 <Pmwm <3000 кг/(м2 • с) - переходный.
Как уже отмечалось, переходные режимы появляются вследствие не-
незнания или неточного описания границ между режимами, в особенности в
нестационарных условиях; они позволяют получить достаточно плавные
переходы корреляций для одного режима в зависимости от другого ре-
режима.
Карта режимов двухфазного потока в горизонтальных трубах (см.
рис. 2.8) представляет собой модификацию карты режимов для вер-
вертикальных труб. Изменения следующие: 1) при pmwm < 150 кг/(м2 • с)
и любых паросодержаниях имеет место расслоенный двухфазный поток;
2) область массовых расходов 150 < Pmwm < 200 кг/(м2 • с) - пере-
переходная; 3) при 200 < Pmwm < 2000 кг/(м2 • с) и 0,2 < \р < 0,9 режим
потока - снарядный.
Для кольцевых каналов, например для опускной трубы водо-водяного
ядерного реактора, используется специальная карта режимов (см.
рис. 2.10), на которой всю область паросодержаний между пузырьковым
и дисперсным режимами 0,2 < <р < 0,9, независимо от массового расхода
pmwm занимает кольцевой режим двухфазногб потока.
Для двухфазных потоков с высокой степенью перемешанности фаз
(например, для потока в циркуляционном насосе) в отличие от потоков в
кольцевых^каналах карта режимов (см. рис. 2.11) при всех pmwm вклю-
включает только пузырьковый (у < 0,4) и дисперсный (</? > 0,65) режи-
режимы, разделенные переходным режимом @,4 < у? < 0,65).
Межфазное трение. Сила межфазного взаимодействия в двухскорост-
ном двухфазном потоке представляется в машинной программе RELAP-5
следующим образом [см. B.43), B.44)]:
Tki = Щ1<У>г ~ "/)> <4-26>
где А\ - площадь межфазной поверхности в единице объема;
Bgl = 0/8)РсК - w/lt,.; D.27)
?. — коэффициент трения на межфазной поверхности; рс — плотность не-
несущей фазы.
При описании межфазного трения режимы двухфазного потока объеди-
объединяют в две группы: дисперсные, к которым относятся пузырьковый и
дисперсный режимы; с разделенными фазами, включающие в себя коль-
кольцевой и расслоенный режимы. Снарядный режим рассматривается как
переходный между пузырьковым и кольцевым режимами.
В дисперсных режимах характерный размер включений описывается
с помощью введения критического значения Wecr, так что
174
rp = Wecra/BpcH^). D.28)
Рекомендуются следующие критические значения числа Вебера:
для пузырькового режима Wecr = 1,24;
для дисперсного режима Wecr = 13,0.
По определенным таким образом характерным радиусам включе-
включений гр площадь межфазной_поверхности, приходящаяся на единицу объе-
объема двухфазного потока Aj> рассчитывается по соотношениям B.17).
Коэффициент межфазного трения ?/ для дисперсных режимов двухфаз-
двухфазного потока в машинной программе RELAP-5 описывается следующей
формулой:
24 ЛЛО„ 0,42
%i = 0 + 0,15Re/?H'687 + - Р^, D.29)
'Rep у 1 + 4,25 • 104Rep~1I6
где Rep = \wR\2rppc/(fJLc);
Ро lh - соответственно плотность и вязкость несущей фазы.
В режимах с разделенными фазами системы корреляций для расчета
межфазного трения для кольцевого и расслоенного режима различны.
Для кольцевого режима двухфазного потока удельная площадь меж-
межфазной поверхности определяется по формуле
At = 4V7/A D.30)
а коэффициент межфазного трения описывается на основе модели обте-
обтекания потоком пара волнистой пристенной жидкой пленки, приводящей
к расчетным соотношениям B.50), B.52), B.53).
В расслоенном режиме двухфазного потока в горизонтальном канале
площадь удельной межфазной поверхности (см. рис. 2.12) рассчитывается
по формуле
4sin@/2)
At = — , D.31)
nD
где угол в связан с объемным йаросодержанием соотношением D.20).
Коэффициент межфазного трения определяется на основе модели эк-
эквивалентной трубы, что дает расчетные зависимости B.60), B.61).
Следует отметить, что опыт применения машинной программы
RELAP-5 к расчетному анализу теплогидравлических процессов в цирку-
циркуляционном контуре водоохлаждаемых реакторов в нестационарных режи-
режимах показал необходимость улучшения описания межфазного трения в
режимах с разделенными фазами, в особенности для вертикальных двух-
двухфазных потоков. Соответствующая модификация системы замыкающих
соотношений машинной программы RELAP-5 предлагается, в частности,
в [185].
175
В основе модификации лежит переход к более реалистичному пред-
представлению о режимах двухфазного потока в области высоких паросодер-
жаний. А именно, рассматриваемые ранее при массовых расходах pw <
< 2000 кг/(м2 • с) и объемных паросодержаниях у > 0,85 кольцевой,
переходный и дисперсные режимы объединяются в единый дисперсно-
кольцевой режим, для которого характерно течение жидкой фазы как.
в пристенной жидкой пленке, так и в виде капель в паровом ядре. Суще-
Существенной характеристикой дисперсно-кольцевого потока являются усло-
условия начала уноса капель из пленки в паровое ядро, для описания которых
может быть использована система соотношений, полученная в [186] на
базе результатов исследований и имеющая вид
l,5Re/-°'s
при Re/ < 160;
ll,78Ntl Re,-|/3 при N.. < 1/15;
M/ • "/
l^SRef1/3 при Ж, > 1/15;
JV 0,8
0,1146
при
1/15;
при 160<
<Re, < 1635;
при N > 1/15 при Re/ > 1635,
D.32)
где
К* =
— критерий начала уноса капель;
Р/С
0,5 0,5
Re/ =
Если неравенство D.32) не удовлетворяется, то двухфазный поток имеет
кольцевую структуру. При выполнении условий D.32) режим двухфаз-
двухфазного потока — дисперсно-кольцевой. Доля жидкой фазы, приходящаяся
на капли, рассчитывается по соотношению
Е =
V
D.33)
176
где
П = 8,0
здесь
- р«> / pg \2/3!0'25
P,-Pg
0,5
Межфазное трение доя ? = 0 (кольцевого двухфазного потока) и
Е = 1 (для дисперсного двухфазного потока) рассчитывается по приве-
приведенным выше зависимостям основной системы замыкающих соотношений
машинной программы RELAP-5.
Для дисперсно-кольцевого потока @<?< 1) сила межфазного трения
определяется как сумма сил трения на поверхностях систем пар - жид-
жидкая пристенная пленка и пар - капли, диспергированные в паровом ядре,
так что [аналогично B.57)]
где Тф rid — соответственно напряжения трения на межфазных поверхно-
поверхностях пар — пленка А^ и пар — капли А^. Площади межфазных поверх-
поверхностей рассчитываются по формулам
А^ = 4\Л/> + 0 -
АШ =3A - <p)Etf9 D.36)
где А— характерный размер капли, описываемый D.28). Коэффициент
трения для капель находится по D.29), а на поверхности системы пар —
пленка — по описанным выше зависимостям для кольцевого двухфазно-
двухфазного потока, но с учетом того, что доля площади сечения, занимаемая
парокапельным ядром, равна
*>с = ? + A - <р)Е, D.37)
что приводит к соотношениям типа B.58).
12-6610
Сила присоединенных масс. Коэффициент С в выражении D.8) для
силы присоединенных масс рассчитывается по следующим соотношениям:
С =
1/2
1/2
1 +
2 _
3 -
при 0 <
при 1/2 *
1/2;
1.
D.38)
Трение на стенке канала. В математической модели термогидравлики
двухфазного потока машинной программы RELAP-5 в основные диффе-
дифференциальные уравнения включаются только силы трения фаз о стенки
канала. Эффект других механических воздействий на двухфазный поток,
связанных, например, с местными сопротивлениями, рассматриваются на
основе специальных моделей.
Относительно малое влияние сил трения на стенки канала для двух-
двухфазного тока по сравнению с влиянием местных сопротивлений позволило
использовать достаточно простое описание трения фаз на стенках канала,
в основе которого лежат определение суммарной силы трения двухфаз-
двухфазного потока и последующее ее разделение на составляющие, относящиеся
к отдельным фазам. Суммарная сила трения двухфазного потока на стен-
стенках канала рассчитывается по "всережимным" корреляциям, базирую-
базирующимся на введении множителя двухфазности (см. гл. 2).
Общий градиент давления двухфазного потока представляется в виде
Ъх \ Ъх
Ч '
D.39)
Градиент давления при течении жидкой фазы во всем канале с тем же
массовым расходом, что и двухфазной смеси, равен
Эх
Ц\М,\М1
D.40)
где Mj = A — ip)pjWjS — массовый расход жидкой фазы; Х^ — коэффи-
коэффициент трения для однофазного потока:
' \L = 64/Re} при 1,0 < Re; < 2000;
4000
V =<
2 -
Re/
\т = |l,74-21g(— +
(\т - XL) + XL при 2000 < Re^ < 4000;
18,7
при 4000 < Re!
D.41)
178
где е - шероховатость поверхности канала;
_ A
Kej —
Множитель двухфазности Ф* находится по соотношению
Ф* = 1 + С/У + 1/Х2, D.42)
где ЛГ- параметр Локкарта-Мартанелли [см. B.103а)]; С- константа,
зависящая от режима течения фаз [см. B.105) ].
Разделение общей силы трения двухфазного потока на составляющие,
относящиеся к отдельным фазам, осуществляется в машинной про-
программе RELAP-5 на базе процедуры, описанной в гл. 2 [см.
B.117) - B.Г19) ]. В основе процедуры лежат допущения о том, что пло-
площадь контакта данной фазы со стенкой канала пропорциональна объем-
объемной концентрации этой фазы, и о возможности определения коэффициен-
коэффициента трения для фазы, сила трения для которой меньше, чем для другой
фазы, по формулам, полученным для однофазных потоков.
Интенсивность фазового перехода в частично неравновесной матема-
математической модели двухфазного потока машинной программы RELAP-5,
включающей допущение о том, что одна фаза находится на линии насыще-
насыщения, рассчитывается по эмпирическим формулам, приведенным в гл. 2:
B.253) — для неравновесного кипения; B.260) — для неравновесной
конденсации.
Граница области неравновесного кипения определяется следующим
образом:
Tw - Ts = 2К, х - х < 0, D.43)
а конденсации соответственно
Tw - Ts = 0, х - х > 0. D.44)
Здесь х и х — массовое расходное паросодержание и относительная энталь-
энтальпия потока. Кроме того, полагают, что кипение существует при х> 0,0001,
а конденсация - при х < 0,9999.
Теплообмен на стенке канала. Система замыкающих соотношений ма-
математической модели термогидравлики двухфазного потока машинной
программы RELAP-5 включает в себя зависимости для описания теплово-
теплового взаимодействия всего двухфазного потока со стенками. Выбор режима
теплообмена осуществляется на базе диаграммы режимов теплообмена
с координатами перегрев стенки канала Tw - Ts - массовое паросодер-
жание х (см. рис. 2.16).
Соответствующие корреляции объединяются в две группы:
теплообмен одно- и двухфазного потоков при вынужденной кон-
конвекции;
179
теплообмен при естественной циркуляции и в большом объеме.
При малых массовых расходах [pw< 200 кг/(м2 • с)] расчет теплооб-
теплообмена проводится по корреляциям из обеих групп, а затем выбирается
максимальное значение соответствующей величины.
Группа соотношений для расчета теплообмена при вынужденной
конвекции теплоносителя включаете себя следующие корреляции:
конвективный теплообмен однофазного тепло-
теплоносителя
Qw = <*w<Tw ~ 7/); D-45)
aw — по B.171); 7) — среднемассовая температура теплоносителя;
кипение недогретой жидкости (модифицированная
формула Чена)
Qw = amicS(Tw - Ts)+ <WG\v - 7}), D.46)
где amic определяется по B.177); S — фактор подавления кипения
(см. рис. 2.17) ; атас - по B.180);
развитое пузырьковое кипение (модифицированная
формула Чена)
Qw = («micS + am^cF)(Tw - Ts), D.47)
где amjc, «mac» $ - CM- D.46); F - фактор интенсификации конвекции
(см. рис. 2.18);
переходное кипение - при высоких массовых скоростях
потока (модифицированная формула Конди— Бенкстона)
Qw = ЧгЬ [определяется по B.215)];
пленочное кипение - при высоких массовых скоростях
потока (Конди-Бенкстон)
Qw = Qfb = afb (т* ~ Ts)»
где ^
^0,4376pr2,3070Re [0,6004 + 0,2456ln(l l
afb = 0,0811033 i- w 8
1H
0,7842 A + ^
6
- 13,89471 ехр [ 1,4504 • 10" 7pPrw ], D.48)
здесь Зс— весовое балансное паросодержание; р— давпение, Па;
переходное и пленочное кипение — при малых мае
совых скоростях потока
Qw = Qwl + Qwg'>
тепловой поток к пару равен
180
Qwg = («с + *r) (Tw - Tg)l3;
коэффициент теплоотдачи при естественной конвекции
D.49)
ас = max
1,111—? (GrPr,H'25;
A> J
0,260 -i- (Gr Pr/)(
,0,33
D.50)
где
Gr = g(De/2fpf(Tw -
Tf = (rw + 7»/2;
— температурный коэффициент объемного расширения;
коэффициент теплоотдачи излучением
aR = 1,30548-Ю-8 (Г; - Tp/(TW - Tg);
объемное паросодержание
D.51)
1 - х
+ 1
тепловой поток к жидкой фазе
(atb + afb)(Tw - Г5)@,96 - .
при (Tw - Ts) > АГН8и;
qCT при (Tw - Ts) < АГН8и
D.52)
где ар, — коэффициент теплоотдачи при пленочном кипении, описываемый
следующей формулой:
fb
0,25
D.53)
Defig (Tw - Tg)
atb рассчитывается no B.214);
Ac = 27i{o/\g(pl - pg)]} °'5 ;
ATHSU находится так же, как и в B.214).
Следует отметить, что граница между режимами теплообмена при пере-
переходном и пленочном кипении, характеризуемая минимальной температу-
181
рой стабильного пленочного кипения Гт/„, в машинной программе
RELAP-5 не определена. В связи с этим оба укдзанных режима объеди-
объединяются в режим закризисного теплообмена, тепловой поток на стенке
для KOTojJbro рассчитывается как сумма тепловых потоков в режимах
переходного и пленочного кипения согласно соотношению
CHF =
D-54)
Тепловой поток при конденсации пара на стен-
стенках канала
D.55)
где
max
0,296
1,766
310,25
Dfi
(T$ — Tw)
-Pg)\] cosfll0'33
- ламинарный
режим, гори-
горизонтальный
канал;
ламинарный
режим, вер-
вертикальный
канал;
0,065
D.56)
0,5
- турбулентный D.57)
режим.
Критическая плотность теплового потока при
кипении недогретой жидкости в случае высоких массовых скоростей
потока [94]
qci . 10 = {B,002 - 6,23952 • \0~8р + 0,1722
- 1,42717- 10"8р)ехр[A8,177-5,98861-10
х{ @,1484 - 1,596х + 0,1729P)[pw/1356,2299 + 1,037]} х
х A,157 - 0,869*) {0,2664 + 0,8357ехр[-124,05512De]} х
х [0,8258 + 3,41359- Ю^ - Ain)] 3,15459,
D.58)
182
где hin - удельная энтальпия- потока на входе в канал. При кипении на-
насыщенной жидкости в случае высоких массовых скоростей (Су, Бекнер)
qcx определяет по B.204), если у < 0,96; )
f D.59)
qCI = 0, если \р > 0,96. )
При кипении в потоках низких массовых скоростей (модифицирован-
(модифицированная формула Зубера [95])
°'5@,96 - *). D.60)
Группа соотношений для расчета теплообмена при естественной цирку-
циркуляции и кипении в большом объеме включает в себя следующие корре-
корреляции :
теплообмен при естественной циркуляции жидкости или пара - исполь-
используются те же соотношения D.49) — D.53), что и для закризисного тепло-
теплообмена при низких малых скоростях потока;
теплообмен при кипении в большом объеме (а = amjc) определяется
по B.177);
закризисный теплообмен (переходное и пленочное кипение) рассчиты-
рассчитывается по D.49)-D.53).
Специальные модели процессов. Как уже отмечалось, с целью ускоре-
ускорения расчетов в машинной программе RELAP-5 наряду с основной матема-
математической моделью нестационарной термогидравлики двухфазных потоков
используются специальные модели для описания ряда процессов, харак-
характеризующихся малым временем релаксации или сложностью "классиче-
"классического" описания.
К процессам с малым временем релаксации по сравнению с временем
прохода теплоносителя относятся, например, процессы при критическом
истечении теплоносителя, при внезапном изменении сечения канала и т.п.
Примерами теплогидравлических процессов, сложных для аналитического
описания, могут служить процессы в насосах, вентилях и т.п.
Модель критического истечения. Модель критического течения двух-
двухфазного потока, базирующаяся на характеристическом анализе основной
системы дифференциальных уравнений математической модели термо-
термогидравлики двухфазного потока машинной программы RELAP-5, описана
в гл. 3. Согласно этой модели условие критичности задается соотноше-
соотношениями C.53)-C.55). Однако на практике в машинной программе
RELAP-5 используется упрощенное условие возникновения критического
течения двухфазного потока в виде
wm = ±ане , D.61)
183
где гомогенная, равновесная скорость звука в двухфазной смеси дне
определяется по C.53), а скорость см§си wm равна
w
D.62)
Выполнение условия критичности D.61) проверяется на каждом шаге по
времени с использованием прогнозируемых по явной схеме значений ско-
скоростей фаз wg и Wj. При выполнении условия критичности в каком-
либо сечении канала со спутным движением фаз двухфазного потока
уравнение D.61) решается уже по полунеявной конечной разностной схе-
схеме совместно с уравнениями импульса для фаз в сечении,.предшествую-
сечении,.предшествующем критическому. При этом из уравнений импульса фаз исключается
член с градиентом давления, что приводит к следующему уравнению:
wj 1 Э w/
+
7 э
rg
Э Wj .
D.63)
bt ' Ъг "8 Ьг
Конечно-разностная аппроксимация уравнения D.63) ло описанной
ниже полунеявной схеме и решение полученного уравнения совместно
с уравнением D.61), в котором принято
пП + 1 = п П + Не (пП + * _ тъП \
dp
где р — давление в сечении, предшествующем критическому, позволяют
найти значения / + 1ин^+1 как функции величины jP + l и перемен-
переменных на предыдущем слое по времени. Специального описания требует
процесс критического истечения вскипающей недогретой жидкости, что
связано со скачкообразным изменением скорости звука при переходе
через границу между однофазным и двухфазным состояниями теплоно-
теплоносителя. Например, на границе между жидким и двухфазным состояния-
состояниями отношение соответствующих значений скорости звука при давлении
0,6 МПа равно 339,4. В машинной программе RELAP-5 при описании ис-
истечения недогретой до температуры насыщения жидкости используется
184
гомогенное неравновесное приближение, согласно которому условие
критичности истечения D.61) и уравнение импульса фаз D.63) заме-
заменяются уравнением
wl = wg = ±wc • D.64)
Критическая скорость wc определяется как максимум между значе-
значениями, рассчитанными по уравнению Бернулли с учетом термической не-
неравновесности фаз и скоростью звука в данном сечении канала:
J1/2
+
гсг
= max J *¦
по D.53),
где pcrwCr ~~ Давление и скорость однофазного потока в сечении, пред-
предшествующем критическому соответственно; pt - давление вскипания
теплоносителя в неравновесных условиях, определяемое по методике
A87] и равное
0,258а3/2г«>13'76A + 13,252'0'8H'5
Pt = Ps ~ 77 t~s ~, П Г~ > <4-66>
лкВ'с' A - wVwg) ~ 0,07 (Sf/S) (pw /2)
где Кв - константа Больцмана; TR = Т/Тс; Тс — критическая температура
теплоносителя; 2' ~ (pw*/St) (Э5/Э z)t - скорость падения давления,
Па/с, в критическом сечении, например для стационарного потока в сопле
2' ~ (pW3c/St)(dS/bz)t; D.67)
здесь индекс t относится к узкому сечению канала.
С целью сглаживания эффектов, связанных с резким изменением ско-
скорости звука в теплоносителе при переходе от однофазного состояния к
двухфазному, в машинной программе RELAP-5 модель истечения недо-
гретой жидкости применяется до у < 0,05, а в диапазоне значений
0,01 < у < 0,1 скорости фаз рассчитываются по следующей релаксацион-
релаксационной схеме:
м? + 1 -> w? + 0,1 (w?+ г - wl), k = l,g. D.68)
В машинной программе RELAP-5 специально рассматривается важный
для практики случай критического истечения из горизонтального канала
через малое отверстие двухфазного потока с разделенными фазами.
В этом случае паросодержание истекающего потока определяется местом
расположения отверстия истечения и может весьма существенно отли-
отличаться от паросодержания в предыдущем сечении.
185
Использование результатов работы [188] позволяет получить следую-
следующие соотношения для определения объемного паросодержания двухфаз-
двухфазного потока с разделенными фазами, истекающего из горизонтального
канала через малое отверстие диаметра Dt\
если уровень жидкости лежит выше отверстия истечения, т.е. если
Hf> (D + Dt)/2, то
если уровень жидкости расположен ниже отверстия истечения, т.е. если
Hf < (D - Dt) 12, то
A - *)out = о - v)up(Vw^H'5; D-7°)
если уровень жидкости находится в пределах отверстия истечения, т.е.
если (D - Dt)/2 <Hf< (?> + Dt)/2, то паросодержание истекающего пото-
потока определяется интерполяцией между значениями, полученными по
D.69) и D.70). В этих формулах обозначено:
Hf = D{\ + cos0)/2, D.71)
где в - угол хорды границы раздела фаз в горизонтальном потоке с раз-
разделенными фазами;
^]М<.—);
здесь wgi~ предельная скорость паровой фазы; </?out, <?сг — паросодержа-
паросодержание в сечении истечения и в предыдущем сечении канала соответственно;
By - проекция массовых сил на ось у.
Следует отметить, что, как показано в [189], в ряде случаев, особенно
при малых паросодержаниях или при переходе теплоносителя в предше-
предшествующем сечении канала от недогретой жидкости к двухфазному со-
состоянию, применяемая в машинной программе RELAP-5 модель крити-
критического потока дает нереалистичные значения критического расхода
теплоносителя и приводит к значительной нестабильности численного
решения. Полагая, что причина указанных фактов связана с несоответ-
несоответствием негомогенного, частично неравновесного описания двухфазного
потока основной системой дифференциальных уравнений математической
модели и использованием гомогенной, равновесной скорости звука в
модели критического потока машинной программы RELAP-5, авторы ра-
работы [189] предлагают строить модель критического потока на базе
"замороженной" скорости звука.
На основе анализа системы шести дифференциальных уравнений сохра-
сохранения массы импульса и энергии фаз негомогенного, неравновесного ста-
стационарного двухфазного потока в [189] получены следующие выражения
для "замороженной" скорости звука:
186
обе фазы термически неравновесны, т.е. Tg Ф Ts(p)\ Т\Ф Ts (р):
; ,4.73)
•*
паровая фаза находится в состоянии насьвдения, т.е. Т~ = Ts (p)\ 7} ф
т,(ру.
жидкая фаза находится в состоянии насыщения, т.е. Т. Ф Ts (p); 7) =
-1
1 * ' ' ' D.75)
где
=dp'g/dp;
D.76)
Sk — энтальпия фазы к; индекс s означает состояние насыщения.
В версии машинной программы RELAP-5, разработанной в исследова-
исследовательском центре ISPRA, в математической модели критического потока
используются следующие соотношения для скорости звука в двухфаз-
двухфазном теплоносителе:
4!r по D-74) ПРИ ^ < 0,5;
по D.75) при х > 0,5.
* Н щ <4-77)
Модель гидроаккумуляторов. В качестве примера упрощенных моде-
моделей элементов циркуляционного контура водо-водяного реактора можно
привести математическую модель гидроаккумулятора системы аварий-
187
Рис. 4.1. Схема гидроаккумулятора:
1 - пар и азот; 2 - вода
ного охлаждения активной зоны реакто-
реактора, используемую в машинной программе
REPAP-5. Одно из основных упрощений
модели — описание гидроаккумулятора,
схема которого представлена, на рис. 4.1,
как системы с сосредоточенными пара-
параметрами, состоящей из двух объемов —
газвого (азотного) и водяного. Кроме
того, считаются справедливыми следую-
следующие предположения:
азот - идеальный газ, пар в газовом
объеме имеет очень низкое парциальное
давление, и принимается во внимание
лишь теплота его конденсации;
вода ввиду ее большой массы и теплоемкости сохраняет постоянную
температуру, равную начальной;
теплообмен со стенками, тепломассообмен между водяным и газовым
объемами осуществляются механизмом естественной конвекции;
модель потока жидкости включает в себя силы инерции, трения на
стенках, гравитационные и потери давления на местных сопротивлениях;
в водяной объем включается и водяная линия.
При этих предположениях система дифференциальных уравнений,
описывающих термогидравлику гидроаккумулятора вместе с водяной
линией, имеет следующий вид:
баланс массы азота
Выход
жидкости
Мп =PnVn = const;
баланс энергии азота
баланс энергии стенки
MwcVf wd Tw/d t = -Qw
баланс импульса
dw l
1 7Г + Tw
D.78)
D.79)
D.80)
+ Fw = ~(p-pn)SL + Pjg(h + H)SL ,
D.81)
где МП) Vn, Un, pn — масса, объем, внутренняя энергия, давление газового
объема соответственно; индекс L относится к линии отвода воды от
188
аккумулятора; Л — уровень воды 6 аккумуляторе; Н - высота располо-
расположения аккумулятора по отношению к месту подачи воды в систему рас-
расхолаживания; р — давление й системе расхолаживания; F =
= A/2) р^Лу. (/,?/</)$?w - множитель в выражении для силы трения в во
дяной линии; LL, Si - длина и площадь сечения водяной линии.
Уравнения состояния азота записываются в виде
РпУп =MnRnT; D.82)
Un = cvj. D.83)
v
Дифференцирование уравнений D.79) с использованием D.78), D.83)
и D.82) дает следующие уравнения:
t = -pnwAL + Qn ; D.84)
дрп I 1 Э Т 1 ЗКИ
Эг \Г Ъг V bt
Система из трех дифференциальных уравнений D.81), D.84) и D.85)
при численном решении позволяет найти изменение во времени темпера-
температуры Г, объема Vn и давления рп газового объема гидроаккумулятора.
Замыкающие соотношения системы дифференциальных уравнений D.81),
D.84) и D.85) имеют следующий вид:
общий подвод тепла к газовому объему гидроаккумулятора
Qn = Qw + Ql + ?Cond + Mv{bkslbt)\ D.86)
теплообмен со стенками осуществляется механизмом естественной
конвекции, так что тепловой поток Qw равен
Qw = Awax (Tw - Г), D.87)
где коэффициент теплоотдачи ах определяется по соотношению
а, = 0,15 — (GrPrI/3; D.88)
подвод тепла от воды к газовому объему гидроаккумулятора также
происходит путем естественной конвекции, и тепловой поток равен
G, =Ар2{Тг - 7), D.89)
где Ai - площадь поверхности раздела водяного и газового объемов;
7} - температура воды; а2 - коэффициент теплоотдачи, определяемый
по соотношению, аналогичному D.88) ;
189
теплйподвод путем конденсации испаряющегося с поверхности жидко-
жидкости пара
Gcond = [Л/„Г) " ^]-j^{ynU) +.-~Mv[hen(Tw)-hg
D.90)
где скорость массообмена между водяным и газовым объемами опреде-
определяется на базе аналогии между массообменом и теплообменом и рассчи-
рассчитывается по соотношению
—Mv = a3AlPg (T)r(Tw - Г); D.91)
здесь коэффициент массообмена а3 равен
<*з =a2(Dv/a)(a/Dv)ll\ D.92)
где Dv - коэффициент диффузии водяного пара в воздухе:
Dv = 0,239 (ро/рп) (Г/281) 2«3 D.93)
(ро — стандартное атмосферное давление).
Методика численного решения. При разработке методики численного
решения основной системы дифференциальных уравнений нестационарной
термогидравлики двухфазных потоков ставилась цель получения высокой
скорости выполнения расчетов при обеспечении достаточной точности
численного решения.
Основные пути достижения поставленной цели рассматривались в гл. 3.
К ним, в частности, относится:
использование частично неявной схемы конечно-разностной аппрокси-
аппроксимации исходной системы дифференциальных уравнений; применение
аппроксимации по неявной схеме лишь для тех членов уравнений, кото-
которые необходимы для обеспечения устойчивости численного решения, по-
получения условия Куранта в виде C.33), не содержащем скорость звука
в двухфазной среде, а также для членов уравнений, описывающих физи-
физические явления, характеризующиеся малыми постоянными времени;
линеаризация системы конечно-разностных уравнений;
обеспечение возможности снижения порядка системы конечно-разност-
конечно-разностных алгебраических уравнений от значения 5N x SN до значения N х N,
где N— число расчетных яЪеек по координате z;
использование описаний в гл. 3 "шахматной" расчетной сетки (рис. 4.2).
Реализация этих путей в машинной программе RELAP-5 приводит к сле-
следующей системе конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих ис-
исходную систему основных дифференциальных уравнений D.9) - D.13) :
190
О -
Рис. 4.2. Схема расчетной сетки машинной
программы RELAP-5:
1 — контрольный объем для уравнений
массы и энергии; 2 - контрольный объем
для уравнения импульса
D.94)
lSf] At - x"L [A - v)"^ (w,);+* x 5y. +
= yL (r)n + i д,.
D 95)
Д? -
+ «ДГ
[A -
г/
D>96)
2 \ n
)
At -
191
2 I V/ //
- о-
(i - *)P/]/ + pmFi(wi - w$+1)
D-97>
+ A
О -
D.98)
Уравнения D.94) и D.98) представляют собой конечно-разностные
аналоги дифференциальных уравнений сохранения массы D.9) и энергии
D.13) двухфазной смеси, что при принятой численной схеме (масса и
энергия переносятся конвекцией из одной и той же ячейки, при аппрокси-
аппроксимации конвективных потоков как масса, так и энергия берется с
предыдущего временного слоя) позволяет избежать больших неточно-
неточностей в численном определении столь важных в анализе нестационарной
термогидравлики величин, как масса и внутренняя энергия теплоноси-
теплоносителя.
Следует отметить, что при конечно-разностной аппроксимации конвек-
конвективных потоков массы и энергии значения массы и энергии выбираются
равными значениям соответствующих величин в соседней ячейке,
расположенной вверх по потоку от рассматриваемой ячейки. Таким
образом, скалярные величины 1р, /Г , р^, и , Tij в D.94), D.98) опре-
определяются по общему выражению
Ф
1 |и>
^ + Фг ) +
a l 2 w
-Фт ) при w Ф 0;
i
— (Ф^ + Ф^ ) при w = 0,
D.99)
192
где w —¦ соответственно н^ или w^ Член DIS SnL в конечно-разностном ана-
аналоге D.98) уравнения энергии двухфазной смеси представляет собой
сумму диссипативных членов уравнения D.13).
Дифференциальные уравнения импульса D.11), D.12) аппроксими-
аппроксимируются конечно-разностными уравнениями на сетке с узлами / — 1, /,
/ + 1 (рис. 4.2). При этом значения скалярных величин $, р, и в узле / , ле-
лежащем на границе между ячейками К и L, находятся путем линейной ин-
интерполяции между значениями этих величин в узлах ячеек КиЬ.
Конвективные потоки -в дифференциальных уравнениях импульсов
D.11) и- D.12) аппроксимируются по схеме, отличной от схемы кон-
конвективных потоков в уравнениях массы и энергии. А именно, в результа-
результате конечно-разностной аппроксимации конвективных потоков импульсов
в конечно-разностные уравнения D.96) и D.97) входят соответствующие
центральные разности и члены, в определенном смысле аналогичные вяз-
вязкостным членам и имеющие вид
1
VISG. = —
- \wg\K
; / 2
D.100)
- i
Значения скоростей фаз в узлах К и L находятся интерполяцией между
значениями на границах соответствующей ячейки. Если рассматривается
однопоточный канал постоянного сечения, то используется обычная
линейная интерполяция. Если в данный объем входит и из него выходит
несколько потоков, то линейная аппроксимация осуществляется между
вычисленными предварительно средними (определенными по сумме пото-
потоков) значениями скоростей на границах рассматриваемого объема. Соот-
Соответствующее соотношение имеет следующий вид (для примера — соотно-
соотношение для wg в узле К) :
D.101)
193
13-6610
Система пяти линейных алгебраических конечно-разностных уравнений
D.94) - D.98) содержит шесть неизвестных переменных, определяемых
на (п + 1)-м слое по времени: давление р, плотность смеси рт, массовое
паросодержание х, внутреннюю энергию смеси ит. Замыкающее систему
уравнений состояние, имеющее вид рт =f(p, х, ит), также линеаризуется
путем разложения в ряд Тейлора:
Х,и \ Ъх 1р,и
-икт), D.102)
р./
оно используется для исключения плотности смеси Ртиз числа неизвест-
неизвестных переменных системы. Для N ячеек расчетной сетки по координате z
система конечно-разностных уравнений модели имеет порядок SN x 5N.
Однако специфика выбора "неявностей" при конечно-разностной аппрок-
аппроксимации по частично неявной схеме исходной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений нестационарной термогидравлики двухфазных потоков в
машинной программе RELAP-5 позволяет снизить порядок решаемой на
каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений до значе-
значения N х N Это достигается исключением из системы конечно-разностных
уравнений, записанных для данной ячейки расчетной сетки, всех неиз-
неизвестных переменных, кроме давления р, которое выражается через дав-
давления в соседних ячейках.
Возможность подобной процедуры обусловлена линейностью системы
конечно-разностных уравнений, а также тем, что конечно-разностные
уравнения импульсов содержат в качестве неизвестных переменных лишь
давление и скорости фаз. Последовательность действий следующая: раз-
разрешение двух уравнений импульсов относительно скоростей фаз wg
и Wj; подстановка полученных выражений в уравнения массы и энергии,
которые содержат значения массы и энергии лишь в узле рассматриваемой
расчетной ячейки; сведе'ние полученной системы из трех линейных ал-
алгебраических уравнений к одному уравнению, описывающему связь меж-
между давлением в данной ячейке и давлениями в соседних ячейках расчет-
расчетной сетки. Для N ячеек это приводит к системе NxN линейных алгебраи-
алгебраических уравнений.
Автоматический выбор шага по времени. При численном решении си-
системы дифференциальных уравнений математической модели нестационар-
нестационарной термогидравлики двухфазных потоков, контроль шага по времени
и автоматическое управление выбором его значения являются действен-
действенным средством экономии машинного времени, ускорения проведения
расчетного анализа нестационарных термогидравлических процессов в
оборудовании.
194
В машинной программе RELAP-5 контроль шага по времени осуществ-
осуществляется по четырем показателям. Выбор шага по времени считается непра-
неправильным, если:
а) не выполняется условие Куранта устойчивости численного решения
в виде
At < I . при/= 1.2.....JV; D.103)
Id^l/. l^l/)m.xjmto
б) расчет физических свойств теплоносителя в метастабильной обла-
области (путем экстраполяции) дает нулевые или отрицательные значения
плотности;
в) относительная разность плотностей двухфазной смеси, определенных
по уравнению состояния р* . и по уравнению сохранения массы смеси р .,
больше установленного предела, т.е. если
>2-10 при / = 1,2, ...,N; D.104)
max
г) давление р, массовое паросодержание х9 внутренняя энергия и выхо-
выходят за рабочий диапазон параметров уравнений состояния.
Если контроль шага по времени показывает, что данное значение не
удовлетворяет сформулированным условиям, то это значение умень-
уменьшают в 2 раза и расчет повторяют. Если значение шага по времени удовлет-
удовлетворяет данным условиям, т.е. если относительная разность плотностей
(условие "в") менее 10~4, то расчет продолжают с удвоенным шагом
по времени.
Следует отметить, что комплекс мер, принятых в машинной программе
RELAP-5 для ускорения расчетов, позволил в ряде случаев проводить рас-
расчетный анализ нестационарных термогидравлических процессов в контуре
циркуляции водо-водяного энергетического реактора в режиме быстрее
реального времени.
Уравнения состояния. Используемая в машинной программе RELAP-5
математическая модель термогидравлики нестационарных двухфазных
потоков требует знания плотности двухфазной среды р^и всех необходи-
необходимых теплофизических свойств фаз как функций давления р, массового
паросодержания х9 внутренней энергии ит двухфазного потока, а в случае
присутствия неконденсирующейся фазы — и как функции концентрации
этой фазы хп. Кроме того, процедура решения основной системы диффе-
дифференциальных уравнений модели приводит к необходимости определения
входящих в D.102) производных от плотности двухфазной смеси по пере-
переменным р,х, ит.
Специфика модели двухфазного потока (одна из фаз находится в со-
состоянии насыщения) определяет специфику использования уравнений
состояния.
195
Поток-пароводяной, пар - на линии насыщения, жидкость недогрета
до температуры насыщения. Термодинамическое состояние воды опреде-
определяется давлением р и внутренней энергией Uj, состояние пара — давле-
давлением р, т.е.
Pg = Pgs(p)> P/ = Р/ (А "/)•
Плотность двухфазной смеси описьюается соотношением
A-х)
D.105)
D.106)
Входящие в D.102) производные могут быть рассчитаны по следующим
формулам:
Эр
тп
Ьр
х, и
dvgi
dp
x,um
D.107)
где v = 1 /p ; vl = 1 \px - удельный объем паровой (на линии насыщения)
и жидкой фаз соответственно;
' dv /dp =-v X + v E dT /с
gS' " gS gS gS gS gS'
dTgSldp = Tgs(ygs - v,)l(hgs -
D.108)
здесь Xs - изотермическая сжимаемость пара; (? — изобарический коэф-
о о
фициент термического расширения пара;
Ьр
um
Ъи,
Ъи,
'dv,
ul
%-
D.109)
D.110)
здесьЩ — изотермическая сжимаемость воды; fy — изобарический коэф-
коэффициент температурного расширения воды; с„/, ср1 - изохорическая и
изобарическая теплоемкости воды, связанные соотношением
D.111)
cVj =
Ъи,
D.112)
196
диЛ
dp Jx Um
Ърт\
Ъх)р,»„
3vi\
1
X
1 -Д
» P2f
\bullp
du
gs
с dp
V V
gs
fbuj\
i dxl
p,
+
где>
av,\ / a»,\ /au.\
D.114)
\Эх /p Uw 1 -x
(—I no D.111);
"^ ; D.115)
—pL fd - W^-l I <4Л16>
MV Л*«т1Р,х
P,x w y>
где
/3v/
^Эм^2 ' p x x " **/ 'p SKJ Umlp X
D.117)
{Ьиг1Ъит)р9Х = 1/A - *). D.118)
Таким образом, для того чтобы в рассматриваемом случае вычислить
входящие в D.102) частные производные от плотности смеси по парамет-
параметрам р, х, ит, достаточно задать при описании термодинамического со-
состояния:
для пара как функции р (на линии насыщения) - удельный объем vgs,
внутреннюю энергию ugs, температуру Tgs> изобарную теплоемкость cps,
энтальпию hgs, изотермическую сжимаемость Jtgs и изобарический коэф-
коэффициент термического расширения Cgs;
для воды (недогретой) как функции р и щ жидкой фазы, которая на-
находится из соотношения
Ul(P.x,um) = [ит - xug5(p))l(\ - х), D.119)
удельный объем Vj, температуру 7^, изобарную теплоемкость с ., энталь-
энтальпию hp изотермическую сжимаемость^ и изотермический коэффициент
температурного расширения fy .
197
Поток пароводяной, вода на линии насыщения, пар - перегрет. Расчет
термодинамических параметров может быть проведен по той же системе
соотношений D.106) —D.118), в которой индекс g заменяется индек-
индексом /, а параметр х параметром 1 — х
Поток - пароводяной, одна из фаз - в метастабильном состоянии
(пар переохлажден либо вода перегрета по отношению к состоянию насы-
насыщения) . Необходимые теплофизические свойства для фазы, находящейся
в метастабильном состоянии, частично полагаются одинаковыми с тепло-
физическими свойствами для фазы в состоянии насыщения, некоторые из
них находятся экстраполяцией из состояния насыщения в метастабильную
область.
Если для определенности считать, что вода находится в состоянии на-
насыщения, а пар переохлажден, то теплоемкость cpg, изотермическую сжи-
сжимаемость &g и изобарический температурный коэффициент объемного
расширения ]3 можно принять равными значениям для насыщенного пара,
о
т.е.
cpg - cpgs; Xg =Xgs\ $g = Pgs. D.120)
Температура и удельный объем переохлажденного пара находятся экстра-
экстраполяцией при постоянном давлении из состояния насыщения по следую-
следующим соотношениям:
Tg = Tgs +("^ {ug - ug,), D.121)
где
ug = (Mm - A - x)uh)lx; ug < ugs ; D.122)
ЭГ,\Х 1
= ~c pv j3 ; DЛ23)
Vg = Vgs + W7/ (M* " Ugs)' DЛ24)
где
(dvgldug)sp = vgs0gsl(cpg5 - pvgs$gs). D.125)
Производные от плотности смеси дрт/др, Эрш/Эх, дрт/дит вычисляются
по тем же соотношениям, что и в предыдущем случае. Если пар находится
в состоянии насыщения, а жидкость перегрета, т.е. если
"I > % . D.126)
198
то процедура определения физических свойств воды в метастабильной
области та же, только в D.120) -D.125) проводится замена индекса #
индексом / и величины х величиной 1-х
Неконденсирующийся газ в паровой фазе. Как отмечалось при рас-
рассмотрении основной системы дифференциальных уравнений машинной
программы RELAP-5, в данном случае двухкомпонентного двухфазного
потока неконденсирующийся газ находится в механическом и термичес-
термическом равновесии с паровой фазой (в частности, Tg = Тп) и его влияние
проявляется в основном через теплофизические свойства газообразной
фазы, представляющей собой смесь пара и газа, подчиняющуюся закону
Дальтона
" " *- , D.127)
где pst — парциальное давление пара в газовом объеме; хп, Rn — массо-
массовая концентрация и газовая постоянная неконденсирующегося газа, кото-
который рассматривается как идеальный газ соответственно. Тогда внутренняя
энергия двухфазного потока в данном случае описывается выражением
ит = A - x)uj + хпип + xstust . D.128)
Следует заметить, что массовое содержание неконденсирующегося газа
является дополнительным независимым параметром, определяющим
термодинамическое состояние системы в рассматриваемом случае.
Если одна из фаз двухфазного потока находится в состоянии, отличном
от состояния насыщения, то процедура вычисления теплофизических
свойств отличается от описанной выше процедуры для однокомпонентно-
го двухфазного потока следующими особенностями:
температура фазы, находящейся в состоянии насыщения, соответствует:
парциальному давлению пара в газовом объеме pst, т.е.
Tg = Ts(pst) либо Тг = Ts(pst); D.129)
термодинамическое состояние системы определяется не только урав-
уравнениями состояния фаз, но и соотношениями D.127), D.128), что тре-
требует итерационной процедуры расчета необходимых теплофизических
свойств;
при вычислении частных производных от плотности смеси по незави-
независимым параметрам, появляется необходимость определения производной
от удельного объема двухфазной смеси vmno массовой концентрации не-
неконденсирующегося газа, т.е. значения (dvmldxn)Pf Xt Um, для которого
справедливо выражение (для определенности считают, что жидкость на-
находится в состоянии насыщения)
\Ъхп
>, х, ит
199
)
где
vn),
D.130)
а производные {bpjbxn)p
)p x ^ и (Э Tg/dxn)p x ^ находятся из ре-
решения следующей системы алгебраических уравнений, полученных пу-
путем дифференцирования по х„ уравнений D.127) и D.128):
РлОАи + i/xst) + A + Xstpn) (dpst/dxn)p
+ Pn(i/Tg-pst)(dTgidxn)p x Um;
A - xXdUj/
~ "sf) ¦
= 0.
(«m -
D.131)
Машинная программа RELAP-5 представляет собой весьма эффективную
машинную программу нового поколения для улучшенного, детального
и реалистичного расчетного анализа технологических теплогидравлических
процессов в циркуляционных контурах водоохлаждаемых ядерных
энергетических реакторов и моделирующих оборудование циркуляцион-
циркуляционных контуров исследовательских установок в нестационарных аварийных
и эксплуатационных режимах, прошедшую достаточно широкую практи-
практическую апробацию.
4.3. МАШИННАЯ ПРОГРАММА TRAC
Машинная программа TRAC по полноте и детальности описания проте-
протекающих физических явлений стоит в настоящее время, по-видимому,
на вершине иерархии машинных программ нового поколения для улуч-
улучшенного анализа теплогидравлических характеристик циркуляционных
эксплуатационных и аварийных режимов.
По сравнению с машинной программой RELAP-5 программа TRAC ха-
характеризуется следующими свойствами: более сложной, полностью него-
негомогенной, неравновесной, многомерной моделью теплогидравлики двух-
двухфазного потока; исключением использования упрощенных или эмпири-
эмпирических моделей для описания отдельных процессов или элементов цирку-
200
ляционного контура; расширением системы замыкающих соотношений,
что позволило по одной программе рассчитывать все стадии протекания
аварийной ситуации от нормальной работы реактора до его окончательно-
окончательного расхолаживания.
Машинная программа TRAC в настоящее время в зависимости от вер-
версии обозначается следующим образом: TRAC — xyz, где х -р — версия для
анализа термогидравлики водо-водяных реакторов; х = В — для анализа
кипящих реакторов; у = D — базисная детальная версия; у = F — упро-
упрощенная версия с целью ускорения расчетов; z — номер модификации дан-
данной версии.
Описание ранней версии программы TRAC-P1 цриведено в [18, 191].
Здесь, опираясь на данные [45], целесообразно кратко рассмотреть мате-
математическую модель более поздней, получившей достаточно широкое рас-
распространение версии TRAC-PD- 1.
Математическая модель нестационарной термогидравлики двухфазного
потока. В отличие от машинной программы RELAP-5 математическая
модель термогидравлики двухфазного потока машинной программы
TRAC базируется на полностью термодинамически неравновесном описа-
описании двухфазной системы. Что же касается механического неравновесия
фаз, то для элементов циркуляционного контура, находящихся вне корпу-
корпуса реактора, используется приближение модели со скольжением фаз, в
то время как для внутриреакторных элементов применяется двухскорост-
ное описание двухфазного потока.
Неравновесная модель со скольжением фаз машинной програм-
программы TRAC Ос новная система уравнений модели содер-
содержит пять дифференциальных уравнений сохранения:
массы двухфазной смеси
ИГ1 + Т- {pmWm) = О'. D132)
at bz
массы пара
—-(«>,) + — (^ww) + — -^ ^LA = Г; D.133)
импульса двухфазной смеси
Э Э 1 Э
— % + wm —-wm + —
bz bz pm bz
^ ^ - Kwm\wm\, D.134)
где kwm\wm\ = r*;
201
энергии двухфазной смеси
Э . Э
D.135)
энергии паровой фазы
Э Э . ^ Э
??р„A - <0Р/ 1 3 9 [^A-</>)Р/ 1
х | —I -ugwR + р —-. (<pwm) + р —- wR =
где Wg, w/, ww — удельная внутренняя энергия фаз и двухфазной смеси
соответственно, причем
ит = «У,»^/ . DЛ37)
здесь рт> wm — плотность и скорость смеси; wR - wg - w/ — скорость
скольжения фаз.
Вектор неизвестных системы пяти уравнений D.132) —D.136) имеет
вид
U = U{fc p, pm, p-g, wm, ug, щ } . D.138)
Система замыкающих соотношений. Для замыкания
основной системы дифференциальных уравнений математической мо-
модели двухфазного потока со скольжением фаз машинной программы
TRAC помимо уравнений состояния необходимы соотношения для опреде-
определения следующих величин: скорости скольжения фаз И^, трения двух-
двухфазного потока на стенках канала г *, скорости образования паровой фа-
фазы Г, интенсивности межфазного теплообмена qf, теплообмена фаз со
стенками канала q* , q*r
Карт режимов двухфазного потока. Как и в машинной программе
RELAP-5, в программе TRAC, предназначенной для улучшенного, деталь-
детального расчетного анализа нестационарных теплогидравлических процес-
202
Рис. 4.3. Карта режимов двухфазного потока J°w
для расчета скорости скольжения фаз:
1 - пузырьковый; 2 - снарядный; 3 -
кольцевой; 1-2, 2-3, 1-3, 1-2-3 - пере- 2?М
ходные зоны
2000
1
1
1
1-2
2
1-5
1-2-5
2-5
5
0,2
0,6 0,8 9>
сов, в оборудовании конкретный вид замыкающих соотношений зависит
от режима двухфазного потока.
Используются две упрощенные карты режимов двухфазного потока:
для определения скорости скольжения фаз wR (pic. 4.3) и для межфаз-
межфазного теплообмена и трения (см. рис. 2.3). Обе карты получены упроще-
упрощением карты режимов Беннета для вертикальных потоков, и в отличие от
машинной программы RELAP-5 в этой программе специальных карт ре-
режимов для других случаев двухфазных потоков (горизонтального, коль-
кольцевого, высокоперемешанного) не вводится.
Скорость скольжения фаз wR. Соотношения для описания скорости
скольжения фаз wR могут быть получены из соответствующих соотно-
соотношений модели потока дрейфа B.264), B.267.)-B.271) и имеют вид:
для пузырькового режима [0,005 <«р <0,10, \pw\ m < 2000 кг/(м2 • с) ]
]0'25
; <4Л39)
для снарядного режима [0,20 < </? < 0,65, |pw | < 2000 кг/ (м2 . с) ]
0,345 \gDe(Pi - Pg)]0>5
[
WR = — |-
1 - * L Р/
D.140)
для кольцевого режима [0,85 < у < 0,90, \pw |т < 2000 кг/ (м2 • с) ]
Гр G6 - 75i0il O.S «л 1-1
для эмульсионного режима [0,005
1 - 1ЛФ
wR =
Hg
0,1
D.141)
>,8, |pw|w>3000Kr/(M2.c)]
D.142)
при ф = 0,005 и \р = 1 wR =0. В переходных областях скорость скольже-
скольжения wR фаз находится путем линейной интерполяции либо по <р [при
\pw\ < 2000 кг/(м2 • с)], либо по <р и (pw)m [при |pw|m >
203
> 3000 кг/(м2 -с)]. Для горизонтальных потоков wR определяется по
D.142) независимо от режима потока.
Трение на стенках канала. В машинной программе TRAC для расчета си-
силы трения на стенках канала т*, приходящейся на единицу объема, ис-
используются следующий алгоритм:
где ?w — коэффициент трения на стенке.
Для однофазного потока
0,184Re-°'2 при Re > 5000;
0,128 при Re < 500; D.144)
0,128 - 21 • 10 (Re - 500) при 500 < Re < 5000.
Для двухфазного потока коэффициент трения может быть определен
по различным соотношениям, а именно:
1) на базе модели гомогенного потока по D.144), где
Re = V
D.146)
здесь х — весовое расходное паросодержание потока;
2) с использованием множителя двухфазности Ф2 :
а) по соотношению B.114), при этом
D.147)
б) по модели кольцевого потока, для которой Ф2 рассчитывается либо
по соотношениям B.109) — B.113), либо по формуле
Ф2 =Р/^/2/(Р>^), D.148)
а коэффициент трения определяется из выражения
Рт „
К=Ко—*> DЛ49)
р/
где 5w0 — коэффициент трения для однофазного потока:
w0 ), D.150)
где коэффициенты д, Ъ, с находятся по B.126);
204
3) по эмпирической формуле B.122). Соотношения п. 2 используются
при высоких паросодержаниях (до у = 0,90). При больших значениях </>
проводится линейная интерполяция к значениям <?, получаемым по гомо-
гомогенной модели при \р = 0,9995.
Потери давления на местных сопротивлениях в машинной програм-
программе TRAC описываются по следующей упрощенной методике:
где
Г A — S1/S2J при внезапном расширении;
f " 1 0,5-0,7(^/^2) + 0,2(St/S2J привнезапном Г DЛ5О
L сужении. J
Интенсивность образования паровой фазы Г. Для неравновесной моде-
модели двухфазного потока со скольжением фаз в машинной программе
TRAC интенсивность генерации паровой фазы определяется по B.246),
т.е. на основании описания межфазного теплообмена.
Межфазный теплообмен. Интенсивность теплообмена между фазой к
и межфазной поверхностью описывается соотношением.
q*. = qkA. = aki{Tt - Тк)Аг при к = l,g, D.152)
где aki - коэффициент межфазной теплоотдачи; Aj — площадь межфазной
поверхности в единице объема потока. Методика расчета межфазного
теплообмена зависит от режимов двухфазного потока, определяемых кар-
картой режимов (см. рис. 2.3). Для пузырькового двухфазного потока
[У < 0,3 при PmWm < 2700 кг/(м2 • с) или \р < 0,5 при pmwm >
> 2700 кг/(м2 • с)] удельная площадь межфазной поверхности А\ нахо-
находится по формуле
Wecro
At = max D.153)
1 4,83^/3 {NBf>\
где критическое значение числа Вебера Wecr и удельная плотность центров
парообразования N^ приняты равными
Wecr = 7,5; NB = 1010 пуз/м3. D.154)
Коэффициенты теплоотдачи от межфазной поверхности к жидкой фазе
описываются соотношениями
205
, 2,0 + 0,74Re?'5;
XI J D'155)
Nu/f =max < 12 JWar,
n ' * ' pgr
где
Db _ _ Wccra _
Re* = PjWR —г ; D
2f>lwR
Л/
Коэффициент теплоотдачи от межфазной поверхности к паровой фазе
принимается равным
agi = 104, D.156)
что практически приводит к нахождению паровой фазы в состоянии на-
насыщения.
Снарядный режим двухфазного потока [0,3 < у < 0,5, ру^т <
< 2000 кг/(м2 • с)] рассматривается в математической модели машинной
программы TRAC в значительной мере как переходный от пузырькового
режима к дисперсно-кольцевому. При этом полагают, что весь теплообмен
между жидкой и паровой фазами происходит на поверхности диспергиро-
диспергированных в жидкости паровых пузырьков, составляющей основную часть
общей межфазной поверхности. Соответственно расчет интенсивности
межфазного теплообмена проводится по формулам для пузырькового ре-
режима. Необходимые значения объемного паросодержания пузырьков ^
и их диаметра Db определяются по интерполяционным соотношениям
B.37) -B.39) в предположении, что в виде пузырьков в снарядном ре-
режиме находится 40% общего количества пара.
В дисперсно-кольцевом режиме двухфазного потока @,75 < ^ < 1)
общее тепловое взаимодействие между жидкой и паровой фазами нахо-
находится как сумма процессов межфазного теплообмена на границах пар-
капли, диспергированные в паровом ядре, и системы пар — жидкая при-
пристенная пленка, т.е. согласно B.85). Доля капель, находящихся в паровом
ядре, определяется по B.29) —B.30), а их характерный размер из усло-
условия We^r= 4.
Площади межфазных поверхностей в единице объема, приходящихся
на капли Ajj и пристенную пленку Ajf, рассчитываются по B.25), B.26),
коэффициент теплоотдачи от пара к поверхности капель оР. определяется
по соотношению
Nug/ = 2,0 + 0,74Re?'5 , D.157)
где
Nugi = adgpdf\\ Red = PgWRDdlvg ;
206
Скорость скольжения капель в паровом ядре wRd описывается выра-
выражением
(Р, - Р ) ?
"JM - 2'33 [ ф J • <4-158>
Коэффициент теплоотдачи от поверхности капли к жидкости внутри кап-
капли находится по формуле
а,. = С — (С = 11 300), D.159)
11 D
что определяет весьма малую толщину теплового пограничного слоя в
капле, равную нескольким тысячным долям диаметра капли. Таким
образом, жидкость в каплях находится практически в состоянии насыще-
насыщения. Коэффициент теплоотдачи от поверхности пленки к жидкости, теку-
текущей в пленке, определяется по формуле
Nu7/ = 0,02Re/,
где
Nu/f = «„VV' 5/ =
Re/ .= />№ ~ w/IV^r DЛ60)
Коэффициент теплоотдачи от пара к поверхности жидкой пленки по-
полагают соответствующим выражению D.156). В переходном режиме двух-
двухфазного потока @,5 < \р < 0,75) характеристики межфазного теплообме-
теплообмена определяются линейной интерполяцией по «р.
Теплообмен со стенкой канала. Двухжидкостная, полностью термичес-
термически неравновесная математическая модель те рмо гидравлики двухфазных
потоков машинной программы TRAC обладает весьма обширной систе-
системой корреляций для детального описания теплового взаимодействия фаз
со стенками канала. Данная система корреляций охватывает все режимы
теплообмена одно- и двухфазных потоков. Логика выбора того или иного
теплообменного режима иллюстрируется рис. 4.4. Тепловой поток между
стенкой и фазой к, приходящийся на единицу объема, выражается следую-
следующим образом:
Кк = Awkawk(Tw - Тк), D.161)
•где Awk - площадь поверхности стенки в единице объема, находя-
находящаяся в тепловом взаимодействии с фазой к. Для однофазной жидко-
жидкости (<? = 0) рассматриваются следующие режимы теплообмена:
207
Естестбен-
ная
циркуляция
Вынужден-
Вынужденная
циркуляция
otfc
Пузырькобое
кипение
cxb
Переходное
кипение
OiWg=0
&wZ =CKtb
Рис. 4.4. Блок-схема расчета тепловых потоков от стенки канала к фазам двухфаз-
двухфазного потока
вынужденная конвекция (Gr/Re2 < 1) - коэффициент теплоотдачи
i определяется по B.171);
естественная конвекция (Cr/Re2 < 1):
25 при Cr,< 109;
'4 при 109 < Сг, < 1013; D.162)
0,10(Crj/Pr,I'3 при Сг, > 1013,
где СГ/ = g0(Tw - TjiPfPllvj ; 7} = (l/2Xrw + 7}); De - эквива-
эквивалентный диаметр канала;
Awl = Aw = 4/Z)e. D.163)
Для пароводяного двухфазного потока описываются следующие режи-
режимы теплообмена:
пузырьковое кипение (TW>TS) - коэффициент теплоотдачи а^ опре-
определяется по модифицированной формуле Чена B.176) —B.182); при <р >
>0,96 коэффициент теплоотдачи aw/ находится линейной интерполяцией
между значениями awj при ^ = 0,96 и awi = 0 при <р = 1. Соответст-
Соответственно коэффициент теплоотдачи системы стенка—пар в этой области
также определяется линейной интерполяцией между значениями awg = 0
при *р = 0,96 и awg = (а^)К0Нв пРи <Р = 1, где ¦ («^)конв ~К0ЭФФи-
циент теплоотдачи при конвекции пара, описываемый ниже;
кризис теплообмена — критический тепловой поток qCI при |p>v| >
> 200 кг/(м2 -с) рассчитьюают по корреляции Биази B.197), а при
|pw| < 200 кг/(м2 -с) полагают равным значению, полученному по
формуле Биази при \pw\ = 200 кг/(м2 -с). Температура в точке кри-
кризиса теплообмена находится путем итерационного решения уравнения
qw = q f где qw определяется по формуле Чена, а qct -по формуле
Биази. Соответствующая итерационная формула имеет вид
D.164)
a2)(daw/dTw)
Температуры кризиса теплообмена ограничены диапазоном Ts + 0,5 <
< TCI < Ts + 100;
переходное кипение — общий тепловой поток к жидкой фазе #?/ яв~
ляется суммой потоков тепла, передаваемого жидкости: при ее кон-
контакте со стенкой q* , за счет излучения qt, при взаимодействии ка-
капель со стенкой q*i, так что коэффициент теплоотдачи к жидкости при
209
14-6610
поверхностном кипении равен сумме соответствующих коэффициентов
теплоотдачи:
awl = aTb + aR + oj;. D.165)
Соотношение D.165) применяется для описания области переходного
кипения закризисного теплообмена во всем диапазоне паросодержаний,
т.е. как при обращенном кольцевом, так и при дисперсном режиме двух-
двухфазного потока.
Коэффициент теплоотдачи апь, зачастую называемый коэффициентом
теплоотдачи при переходном кипении, в машинной программе TRAC
определяется на основе квадратичной аппроксимации теплового потока
между значениями при кризисе теплообмена qCT и при минимальном
стабильном пленочном кипении qmini наступающем при температу-
D.166)
Соответствующие выражения имеют следующий вид:
aTb =
где
с , w — Jmm
о =
Коэффициент теплоотдачи излучением aR рассчитывается по соотношению
aR = WFair DЛ67>
где o^wJ описывается формулой B.231); Wf = (Tw - TCI)/(Tmin - Tcr) -
функция, обеспечивающая плавность перехода к описанию лучистого теп-
теплообмена при пленочном кипении. Коэффициент теплоотдачи при взаимо-
взаимодействии капель жидкости со стенкой а^ находится по модифицирован-
модифицированной формуле Форслунда-Розенау B.233).
Теплоотдача от стенки к паровой фазе при пленочном кипении харак-
характеризуется коэффициентом теплоотдачи awg, равным
где (Р — коэффициент теплоотдачи к паровой фазе при пленочном кипе-
кипении; Wp — те же функции, что и в D.167);
пленочное кипение — имеет место при температурах стенки выше ми-
минимальной температуры стабильного пленочного кипения Гтщ, которая
может быть найдена по B.222) или B.223).
210
Теплоотдача к жидкой фазе при пленочном кипении осуществляется
излучением и тепловым взаимодействием капель со стенками канала,
т.е.
«Si " <i + <! • <4169>
Коэффициент теплообмена излучением описывается формулой B.231).
Коэффициент теплоотдачи для теплового взаимодействия капель со стен-
стенкой канала при пленочном кипении находится по B233). Тепловой поток
от стенки к паровой фазе #* определяется как максимум среди значе-
значений тепловых потоков, рассчитанных в предположении о переносе тепла
теплопроводностью, естественной и вынужденной конвекцией. Соответ-
Соответственно коэффициент теплоотдачи к паровой фазе при пленочном кипе-
кипении равен
g artC, a/c), D.170)
где a# рассчитывается по модифицированной формуле Бромли
п = 0,62 -^—^ !— ; D.171)
[txg(Tw-Ts)A J
здесь 7 = г + 0J5 (cp)(Tw - Ts) - модифицированная теплота парооб-
парообразования; Л = 2я {о/ [g (Pj - р ) fiS }'- длина волны по Тейлору.
Коэффициент теплоотдачи за счет естественной конвекции пара апс
описывается соотношением B.237), а коэффициент теплоотдачи при
вынужденной конвекции пара еус - соотношением Дугалла-Розенау
B.236).
Тепловой поток, соответствующий условиям минимального стабильно-
стабильного пленочного кипения ^mjn, необходимый, в частности, для определения
коэффициента теплоотдачи при переходном кипении по D.166), нахо-
находится по соотношению
«mln = a5(rmin - Т,) + a$g(Tmin - Tg). D.172)
Тепловое взаимодействие между стенкой и потоком пара рассчитывается
следующим образом:
при отсутствии конденсации пара (Tw > Ts)
«w/ = 0; awg = max(awc, afc), D.173)
где коэффициент теплоотдачи при естественной конвекции пара находится
по B.237), а при вынужденной конвекции - по выражению B.171),
в котором индекс / меняется на g;
211
при конденсации пара (Tw < Ts; Tw < 7р
{по B.176) - B.182) при S = О, если х < 0,71;
flH1 *°/A °71)' если
О, если х< 0,71;
D.175)
с, еслих>0,71.
. 0,29
В машинной программе TRAC на расчет теплового взаимодействия фаз
со стенками канала наложен ряд ограничений, а именно:
1) коэффициенты теплоотдачи не могут быть отрицательными;
2) при у? < 0,15, для того чтобы исключить нереалистичный перегрев
небольшой массы пара, тепловой поток, идущий от стенки к пару, ис-
искусственно снижается путем линейной интерполяции между значения-
значениями q* при ф = 0,15 и q* =0 при лр = 0,01. Тепловой поток от стенки
к жидкости #*/ при этом увеличивается, так чтобы суммарный поток
тепла от стенки к двухфазному теплоносителю оставался неизменным;
3) при <р > 0,96 коэффициенты теплоотдачи от стенки к фазам двух-
двухфазного потока линейно интерполируются между значениями при
ip = 0,96 и соответствующими значениями для однофазного потока,
причем для жидкой фазы интерполяция проводится в области 0,96 <
< ^ < 0,999, для паровой фазы — в области 0,96 < у < 1.
Методика численного решения. В машинной програм-
программе TRAC основная система дифференциальных уравнений D.132) —
D.136) математической модели неравновесного двухфазного потока
со скольжением фаз при численном решении аппроксимируется системой
конечно-разностных уравнений на описанной в гл. 3 "шахматной" расчет-
расчетной сетке. В зависимости от скорости потока используются различные
схемы конечно-разностной аппроксимации, а именно — при высоких
скоростях потока, возникающих вблизи места нарушения герметичности,
на стадии истечения теплоносителя при обрывах магистралей применяется
полностью неявная схема, в остальных случаях — частично неявная схе-
схема, обеспечивающая исключение скорости звука в условии стабильности
Куранта. Переход от одной схемы аппроксимации к другой осуществляет-
осуществляется в одноячеечной зоне расчетной сетки с помощью специальной аппрок-
симационной схемы.
При использовании частично неявной схемы аппроксимации система
конечно-разностных уравнений имеет вид:
уравнение массы смеси
/<P!W+1) " О! D176)
212
уравнение массы пара
+
уравнение импульса смеси
p = Г; D.177)
*V/+l/2 L "V + l/2
+ f _ Knw^ + I\wm\nf D.178)
где Xй — коэффициент в представлении силы трения в форме т* =
уравнение энергии смеси
" ^7* + Q*i ¦ ; D.179)
уравнение энергии пара
D.180)
213
Здесь в аппроксимациях конвективных потоков выражения V,- (У^т)
описываются соотношением C.29), член ww, / + 1/2 V/ + \nwm B
уравнении импульса смеси D.178) — соотношением C.30), а член
(ywjj). - соотношением C.31);
Щ + Ц2 = (Azf + Дг/ + 1.)/2;
при
Аппроксимация величин, не имеющих индекса временного слоя, проис-
происходит по смешанной схеме, т.е. на новом слое по времени описываются:
для межфазного теплового потока q* - разность температур Ts - Tg\
для скорости генерации паровой (разы Г - разности температур
Ts - Tg, Ts ~Tjn теплота парообразования г ;
для тепловых потоков от стенки канала — температуры фаз Г, и Г..
Следует отметить, что при решении системы конечно-разностных урав-
уравнений D.176) — D.180) может иметь место явление, которое можно на-
назвать ''численным гидроударом", — при первичном полном заполнении
сильно недогретой водой численной ячейки, перед этим содержащей пар,
происходит резкий всплеск давления. Для устранения этого явления в
машинной программе TRAC скорость смеси в ячейке ниже по потоку
при появлении "численного гидроудара", рассчитываемая по уравнению
импульса, заменяется скоростью смеси, определяемой по уравнению
баланса массы двухфазной смеси. .
При использовании полностью неявной аппроксимационной схемы си-
система конечно-разностных уравнений математической модели термогид-
термогидравлики неравновесного двухфазного потока со скольжением фаз машин-
машинной программы TRAC имеет следующий вид:
уравнение массы смеси
D.181)
уравнение массы пара
214
D.182)
уравнение импульса смеси
(wn + 1 - wn ).
At
,/ + 1/2 ^ "z/-+ 1/2
уравнение энергии смеси
m,
3/2 wm,f - 1/2
j + Azf
D.183)
m
j \Pm m wm
+1
Jtl +1
уравнение энергии пара
д,
Wg, J
• +
J
rg g
D.184)
= -P
n + l
+ l
Hig
D.185)
Основной особенностью системы конечно-разностных уравнений
D.181)-D.185) является использование центральных разностей при
аппроксимации потока импульса смеси в уравнении D.183), что вполне
оправдано при неявной схеме аппроксимации для расчета критическо-
критического истечения.
215
Следует также отметить, что не входящая в вектор неизвестных основ-
основной системы дифференциальных уравнений модели скорость скольже-
скольжения м?? выбирается с предыдущего временного слоя.
Для устранения явления "численного гидроудара" при решении неяв-
неявной системы конечно-разностных уравнений D.181) —D.185) использует-
используется метод, отличный от применяемого при полунеявной аппроксимацион-
ной схеме, т.е. при появлении данного эффекта член градиента давления
в уравнении импульса смеси модифицируется следующим образом:
D.186)
в случае, если ячейка/ расчетной сетки заполнилась жидкостью.
В ячейке, переходной между ячейками с конечно-разностной аппрокси-
аппроксимацией исходной системы дифференциальных уравнений модели по по-
полунеявной и полностью неявной схемам, применяется специальная схема
аппроксимации, отличающаяся от полностью неявной схемы следующим
видом дивергентных членов:
^1/2<, 1>/-1/2' <4-187)
где предполагается, что участку с аппроксимацией по полностью неявной
схеме соответствуют большие значения индекса/; ?*= Sj/Vj.
Трехмерная, неравновесная, негомогенная модель. Существенным от-
отличием машинной программы RELAP-5 является использование трех-
трехмерного описания термогидравлических процессов, например во внут-
рикорпусных элементах ядерного реактора, на базе полностью негомоген-
негомогенной и полностью неравновесной математической модели двухфазного
потока.
Основная система дифференциальных уравнений
модели имеет вид:
уравнение массы смеси
bpjbt + Vfcp^w, + A - tfpjWj] = 0; D.188)
уравнение массы пара
b(wg)ldt + V(wgwg) = Г; D.189)
X
уравнение импульса пара
3w, _ d l Г
bt
216
x (w, - wfe) 22 Wg\Wg| + g ; D.190)
уравнение импульса жидкости
9w, Q 1
3f '_. ' A -4>)pf Рг
г
(wf-wf/) Cw/w/|v/l +g; D.191)
уравнение энергии смеси
VbPPggg (
% + A - *)w;] + ?^ + <7^; D.192)
уравнение энергии пара
d(<ppgu) Э</>
— + V(«yyrf) s-P-r- PV(vwf) + <f + 9J + Гг.
D.193)
Система шести дифференциальных уравнений (если уравнения импуль-
импульсов смеси и пара записывать в векторном виде) D.188) - D.193) содер-
содержит восемь скалярных и векторных неизвестных функций {ip, p, pm, p ,
w , w,, и , и,} и дополняется двумя уравнениями состояния.
Система замыкающих соотношений. По отношению
к описанной выше системе замыкающих соотношений математической
модели неравновесного двухфазного потока со скольжением фаз для
замыкания математической модели двухскоростного неравновесного
двухфазного потока необходимы дополнительные соотношения для
описания механического взаимодействия фаз со стенками канала и между
собой. Входящие в уравнения импульса фаз D.190), D.191) значения
фактора трения Cwg и Cwlпо определению равны
Cwk = *крк ^> *=«,/, D.194)
где Cfk — "однофазные" коэффициенты трения для фазы к. Формула
D.194) используется до у < 0,75. В области \р > 0,95 вся сила трения
относится к паровой фазе. В области 0,75 < \р < 0,95 силы трения для фаз
находятся линейной интерполяцией по \р. Формула справедлива для всех
217
координатных направлений (г, z, в) при соответствующем определении
для каждого из направлений значения смоченного параметра по формуле
De = 4ЗД. D.195)
Здесь П|- - смоченный периметр стенок канала, перпендикулярных коор-
координатному направлению /. Сила межфазного трения в машинной програм-
программе TRAC описывается в зависимости от режима двухфазного потока,
определяемого, как и при расчете межфазного теплообмена, по карте
режимов (см. рис. 23). Для пузырькового режима двухфазного потока
входящий в уравнения импульса фаз коэффициент межфазного тре-
трения С/, равный
Q - ^~ , D-196)
4Db
находится по формулам для коэффициента сопротивления при обтекании
сферы, имеющим вид
D.197)
Сь =
240
24
Reft
18,7
1 R.O.*.
при
при
при
Reft
0,1
Reft
< ОД;
< Reft < 2;
> 2,
где для пузырька пара Re# определяется так же, как и в соотношении
для расчета межфазного теплообмена D.155).
В дисперсно-кольцевом режиме течения расчет межфазного силового
взаимодействия на поверхности капель, диспергированных в паровом
ядре, проводится по тем же соотношениям D.196), D.197), что и для
пузырькового режима при использовании значений числа Рейнольдса
для капель, определяемых так же как и при расчете межфазного теплооб-
теплообмена, по D.155).
Межфазное сопротивление на границе системы пар — пристенная жид-
жидкая пленка определяется по модели Уоллиса, описанной в гл. 2, с по-
помощью соотношений B.50)- B.52).
В снарядном режиме двухфазного потока общее межфазное сопротив-
сопротивление определяется как полусумма сопротивлений на поверхностях пу-
пузырьков и пристенной пленки, найденных по формулам, представленным
выше. Скорость генерации пара Г определяется в двухфазной модели
термогидравлики двухфазного потока по следующему усовершенствован-
усовершенствованному соотношению, учитывающему парообразование на обогреваемой
стенке канала при кипении недогретой жидкости:
218
Г = Ч * !?_ . D.198)
г
Здесь q*b = q? - q*c,ecjmawl > а^, где^ c - конвективный перенос
тепла при данных условиях, ас l — соответствующий коэффициент тепло-
теплоотдачи конвекцией.
Методика численного решения. При численном реше-
решении векторных уравнений импульса фаз системы основных дифферен-
дифференциальных уравнений двухжидкостного трехмерного двухфазного потока
записываются в проекциях по координатам осям. Соответствующие урав-
уравнения, например для паровой фазы, имеют вид:
в проекции на ось z
= - \щ
ъг \vgr ъг г WTWgz 17
1 Ър Ciz Г
^g ^^8 ^^g
cwgz
х (wgz - wig2) ^iw^l +^ D.199)
в проекции на ось г
dt \ * дг г Ъв
9wgr| 1 Ър Cir
+ _^ *™gr 4g +"
5 3z / pg Ъг ippg 6 ir * l
Г ^н^г
(v?r • Wfer) - wgr\wg\ ; D.200)
в проекции на ось в
Эг \ * Ъг г Ъв
1 Ър С,й
Ъв <ppg
219
г
- w i (Wge - wige) -
wg
D.201)
Аналогичные три дифференциальных уравнения представляют проек-
проекции векторного уравнения импульсов для жидкой фазы. Конечно-раз-
Конечно-разностная аппроксимация основной системы дифференциальных уравне-
уравнений модели D.188)—D.193), где уравнения импульсоЬ фаз записаны
в проекциях на оси координат, проводится по частично-неявной схеме на
"шахматной" расчетной сетке. Ввиду громоздкости получающейся систе-
системы конечно-разностных уравнений здесь целесообразно привести лишь
примеры конечно-разностных уравнений двух типов: для уравнений со-
сохранения скалярных величин и для уравнения импульсов фаз в проекциях
на оси координат. В частности, конечно-разностная аппроксимация урав-
недая сохранения массы двухфазной смеси имеет вид
f>m ~ Pm + ~Z -Р*- 1/2**-1/2 -
r Z, Г, и
~ ^ + 1/2Лг + 1/2 + ЛГ- 1/2Лг- 1/2 ~ ЛГ+1/2Лг+ 1/2 +
+ S6 - хп*Ъ'*& - **¦+ 1/2^'ЛУ)'
где
А"' п + l = (Wg)Wg + l + [О - ^р,]"' п + Ч + »; D.203)
5 - площадь сечения канала; VZt r, в — объем ячейки расчетной сетки.
Конечно-разностное уравнение, соответствующее дифференциальному
уравнению импульса пара в проекции на ось z, т.е. уравнению D.199),
имеет вид (индексу допущен)
wnz + l (г, в, z + 1/2) - wnz(r, 6, z + 1/2)
wr(r, 0, z + 1/2)
[wz(r + 1/2, ft г + 1/2) -
- wz(r - 1/2, в, z
220
we(r, в, z + 1/2)
1/2,г+ 1/2) - wz(r,e - l/2,z + 1/2)]"
w2(r,fl. г+1/2)
Дг
[wz(r,e,z + 1/2) - wz(r,O,z - 1/2)]й[-
pn(r,e.z+ 1)Дг
С,г (г, б, г ч- 1/2)[м^г (г, б, г + 1/2) - wfe (г, б, г + У2)]и * '
б, z ¦ 1/2
Гп(г,в,г + l/2)[wz(f,9,z + 1/2) -
Г, 0, Z + 1/2
D.204)
r, ft 2 + 1/2
Значения "объемных" величин (Г, </>, р, w) на границах расчетных ячеек
выбираются в зависимости от направления скорости потока. Например,
в уравнении D.204)
j
( <р(г, в, z + 1) при wz (г, в, z + 1/2) < 0.
При выбранной частично неявной схеме конечно-разностной аппрокси-
аппроксимации системы основных дифференциальных уравнений трехмерной
двухжидкостной модели термогидравлики двухфазного потока машинной
программы TRAC критерий устойчивости численного решения может
быть записан следующим образом:
At = max M-, ~— , -—, — , —— < 1. D.206)
I Az rAO Ar Az г АО Ar f
Линеаризация системы конечно-разностных уравнений модели с использо-
использованием уравнений состояния вида
ч s
221
приводит к следующей форме конечно-разностных уравнений импульса
паровой и жидкой фаз:
w" + 1 = м/1 + [conv" + — Vpw + 1 + FRIC]Ar, D.207)
Р
что позволяет исключить скорости и снизить число искомых параметров
до четырех: 7}, Tg, p, <р, отыскиваемых численно на базе метода Гаусса-
Зейделя.
Следует отметить, что основная система дифференциальных уравнений
математической модели нестационарной термогидравлики двухфазного
потока машинной программы TRAC негиперболична. Для устранения
связанной с этим нестабильности численного решения рекомендуется на
основании опыта расчетов выбирать пространственные шаги не менее 1 см.
Перенос тепла в конструкционных элементах. Описание переноса тепла
теплопроводностью в конструкционных элементах циркуляционного кон-
контура реактора в машинной программе TRAC имеет ряд особенностей,
в частности используются три математические модели - для цилиндри-
цилиндрических, для плоских и для тепловыделяющих элементов; в рассмотрение
включаются эффекты термохимических реакций и термомеханического
поведения топлива; специально выделяется область фронта повторного
смачивания разогретых поверхностей. Сопряжение задач теплопроводно-
теплопроводности стенок и термогидравлики теплоносителя при численном решении
осуществляется по частично-неявной схеме — вначале решается задача
отыскания теплогидравлических параметров теплоносителя при исполь-
использовании значений температуры поверхности стенки и коэффициента теп-
теплоотдачи, определенных для предыдущего временного слоя, а затем
находится распределение температуры в стенке по полученным граничным
условиям.
Поле температуры в цилиндрических стенках в одномерных компо-
компонентах циркуляционного контура отыскивается путем численного реше-
решения следующего уравнения теплопроводности:
Ът 1 Г Э / дТ \ 1
НК М DМ8>
при граничных условиях на внутренней (г =/*i) и наружной (г =/*2) по-
поверхностях
дТ
-Л —
Ъг
= ±
- Tw) + awg(Tg - Tw)]. D.208a)
Температуры "плоских" конструкционных элементов циркуляционно-
циркуляционного контура, таких как опорная плита, стенки опускной камеры и т.п.,
рассчитываются на основании метода сосредоточенных параметров, что
222
дает следующее конечно-разностное выражение:
тп
+ 1 -
f>cP г
At
~ Т?
— б
+ fs
awg
)
D.209)
где 5 = m/BpA) — эффективная толщина элемента, имеющего массу m
и площадь поверхности А. В нестационарном режиме fss = 0, ft = 1, в ста-
стационарном /и = 1,/, = 0.
Распределение температуры в твэлах активной зоны реактора описы-
описывается для среднего по сегменту зоны элемента двухмерным дифферен-
дифференциальным уравнением теплопроводности
дт.
1
рс„ — = —
р dt 2
э
~э7
гХ~Г] ~
or
ЬТ
D.210)
при последующих граничных условиях: тепловой изоляции на верхнем
(z = z2) и нижнем (z =zi) концах твэла
ЭГ
~эГ
= 0;
2=2j,Z2
симметрии на оси (г = 0)
дт
= 0;
г = О
теплообмене на внутренней (г =rt) и наружной (г =г2) поверхностях га-
газового зазора и на наружной поверхности оболочки (г = г0)
-X
ЭГ
Эг
" а
1,2,
- Т,
г\,г2,
где а2 = ах (ri/r2).
Конечно-разностная аппроксимация уравнения D.210) осуществляется
по координате г по неявной схеме, а по координате z — по явной схеме.
Процедура численного решения задачи включает в себя специальный
алгоритм, позволяющий достаточно надежно рассчитывать распределение
температуры в твэле в окрестностях движущегося фронта повторного
увлажнения стенки на стадии работы системы аварийного охлаждения
активной зоны реактора. Специфика этой области - весьма большие из-
изменения температуры и теплового потока на малом участке Дг « 1 мм
223
Рис. 4.5. Расчетная схема твэла:
1 - неповрежденное топливо; 2 -
поврежденное топливо; 3 - газовый
зазор; 4 — оболочка
по оси канала. Бели при численном решении задачи разность значений тем-
температуры AT в соседних узлах расчетной сетки превысит заданное значе-
значение АГтах> Т0 между этими узлами добавляется определенное число
вспомогательных узлов, приводящих к сгущению расчетной сетки в дан-
данной области. После прохождения фронта повторного увлажнения и сниже-
снижения разности температур ниже заданного значения AjTmin вспомогатель-
вспомогательные узлы исключаются.
Эффективный коэффициент теплообмена через газовый зазор опреде-
определяется суммой трех компонент: теплопроводностью газового зазора,
тепловым контактом топлива и оболочки твэла, лучистым переносом
тепла, так что
ах = ag + ас + аг , D.211)
где ag = Х#/[(г2 - fi) +5] (здесь 5=4,4- 1(Г6 характеризует шеро-
шероховатость поверхностей топлива и оболочки); <хс = 0; с^= соег(Т^ -
- TtyKTf - Тс)\ с0 - константа Больцмана; Tf, TCt €f, ec - темпе-
температуры коэффициента теплового излучения топлива и оболочки соот-
соответственно;
— приведенный коэффициент теплового излучения системы топливо-
оболочка.
Газовый зазор Аг = Тг - Т\ определяется с учетом термической де-
деформации топлива и оболочки твэла по соотношению (рис. 4.5)
- гх = (г2 - г') +
„2 „2
Г0 - Г2
J Tcrdr -
J Tfdr- (rt - f) 1 - -i-
о I rx -
j
D.212)
где f - радиус границы нетреснувшего топлива; KС, /3^, TCt Tf - коэф-
коэффициенты термического расширения и температуры оболочки и топлива
224
ответственно. Распределение температуры Tf в топливе предполагается
параболическим:
Tf = То + (Г, - Го)
а в оболочке - линейным:
Мощность источника тепла qv может определяться как тепловыделе-
тепловыделением в результате ядерных реакций или. пропускания электрического
тока, так и тепловыделением при экзотермической пароциркониевой
реакции (см. гл. 2).
В последнем случае используется следующее выражение:
qv = 6,45 • 106m'Zi[At(rl -ЛЫ'\ D.213)
где m'Zi - масса циркония, приходящегося на единицу длины твэла и
прореагировавшего на одном шаге по времени At:
~ (>" + 1J]; D.214)
здесь
rn + l =г0 - Ц/1? +2(A/C)Atexp(-B/T)]l/2;
А = 16,8кг2/(м4 -с); В = 2,007 . 104 К; С = @,35pZrJ.
Реализованное в машинной программе TRAC описание нестационарных
теплогидравлических процессов в теплоносителе и тепловых процессов
в конструкционных элементах позволяет проводить детальный улучшен-
улучшенный анализ развития аварийных ситуаций на всех стадиях, в частности,
для аварии с потерей теплоносителя — на стадиях нормальной работы,
истечения теплоносителя, разогрева активной зоны (с учетом пароцир-
пароциркониевой реакции), повторного заполнения нижней камеры реактора
(с эффектами уноса и сепарации фаз, байпасирования потока теплоно-
теплоносителя, встречного движения фаз в опускной трубе и тл.), повторного
увлажнения поверхности твэлов, движения фронтов смачивания при
заливах снизу и сверху, аварийного расхолаживания реактора и т.д.
4.4. МАШИННАЯ ПРОГРАММА "КАНАЛ"
Эта программа приводится в качестве примера машинных программ,
базирующихся на негомогенном, неравновесном описании двухфазного
потока и предназначенных для улучшенного детального анализа неста-
нестационарной теплогидравлики в отдельных, наиболее важных элементах
225
15-6610
циркуляционного контура реактора на основе граничных условий, полу-
полученных из общеконтурных расчетов по интегральным машинным про-
программам с существенно более простым описанием физики протекающих
процессов.
Основная система уравнений. При составлении основной системы
дифференциальных уравнений математической модели теплогидравлики
двухфазного потока машинной программы "Канал" преследовалась цель
получения гиперболической системы уравнений, позволяющей достаточно
полно учесть эффекты негомогенности потока.
В § 1.2 было показано, что полный учет эффектов негомогенности
в рамках двухскоростного представления двухфазного потока с одинако-
одинаковым давлением фаз всегда приводит к негиперболичности основной си-
системы дифференциальных уравнений модели и тем самым к нефизич-
ности математического описания протекающих теплогидравлических
процессов и трудностям, возникающим при численном решении задачи.
Переход к упрощенному описанию эффектов негомогенности потока
путем введения эмпирических корреляций для разности скоростей фаз в
рамках модели двухфазного потока со скольжением не решает проблемы,
так как основная система дифференциальных уравнений такой модели
при некоторых режимных параметрах также теряет гиперболичность.
Более того, для данной модели характерна нефизичная, сильная зависи-
зависимость решения от не определяемых в экспериментах значений производ-
производных от скорости скольжения по параметрам потока. Тем самым как
характеристические направления системы уравнений модели, так и ее
решение весьма существенно зависят от вида корреляций, используемых
для описания скольжения фаз.
Представляется логичной такая модификация основной системы урав-
уравнений математической модели нестационарной теплогидравлики двухфаз-
двухфазного потока со скольжением фаз, которая позволит в значительной мере
устранить нефизичное влияние выбора эмпирической корреляции для
скорости скольжения и, главное, получить всюду гиперболичную систе-
систему уравнений.
Модификация исходной системы дифференциальных уравнений моде-
модели двухфазного потока со скольжением фаз A.68) связана, во-первых,
с пренебрежением эффектами скольжением фаз в уравнениях, описы-
описывающих распространение возмущений со скоростями wm ±am, где ат -
скорость звука в двухфазной смеси. Естественно предположить, что
скольжение фаз в этих уравнениях оказывает несущественное влияние на
конечный результат. Кроме того, в уравнениях системы A.68), описы-
описывающих распространение паросодержания <р и перенос энтальпий фаз /#,
члены, содержащие производные от скорости скольжения фаз, сравнитель-
сравнительно малы при разумном определении данных производных и можно либо
пренебречь ими, либо отнести их к известным членам правых частей
(например, взяв их значения с предыдущего шага по времени при числен-
численном решении задачи).
226
В результате может быть получена следующая система уравнений,
представляющих собой основную систему дифференциальных уравнений
математической модели нестационарной термогидравлики негомогенного,
неравновесного двухфазного потока машинной программы "Канал" [15]:
dt
+ wn
dz pw dz
dp dp __ dwm
— + wm — + pa2 = Со;
dt
э7~
dhg
dt dz
pa2 dwm
dz
WR Ър
dhn
pa2 dz
wopa2
dz
=С3;
dz
w - wm dp
Pa dz
pg dz
= C4;
ЭЛ/
dhi
э7~
Z-2
dz
D.215)
P/
" 5 '
или в векторном виде
Эй Эй
4- А = Г
dt dz
D.216)
где у Iwm, р, у, hg, Л/} - вектор неизвестных, а матрицы А и С
соответственно равны
А =
wm
pa2
h
1
Pm
wm
"R
%2
0
0
0
0
0
0
0
0
> D.217)
227
pa2 'w -wm wRpa2
Pg Pg Pg
Wg 0
- wm
Pi
Pi Pi
с =
1
Pm
?Tkw + fez + Bz)
P к
Pk
dl
Pi 1 -V
* Pk
P*2 „ fk
pa"
Z —
pl
D.218)
где
P" w ~ _2v *kwk ,-2,-г
pa2 =
Рл4
•Г
,- 2 -
Ърк
pk
pa
i -:'*-
Эр,
Pk
dk
+Гк
228
Система пяти дифференциальных уравнений D.215) или D.216) имеет
следующие характеристические направления:
Xi = wm - ат ; Х2 = wm "+ ат ; Х3 = w^; Х4 = wg; \s = w7
и всегда гиперболична.
Замыкающие соотношения. Для замыкания основной системы диффе-
дифференциальных уравнений машинной программы "Канал" необходима
система соотношений, включающая уравнение состояния фаз рк =
= Рк(р, hfc) и формулы для описания: скорости скольжения wR\ каса-
касательного напряжения на стенке канала т* межфазных тепловых потоков
qfo, тепловых потоков от стенок канала к фазам q%w\ интенсивности ге-
генерации паровой фазы Г*.
В основу системы замыкающих соотношений машинной программы
"Канал" положена система замыкающих машинной программы TRAC
[45] со следующими модификациями.
1. В качестве карты режимов двухфазного потока может использо-
использоваться как упрощенная карта режимов [45], так и более современная,
предложенная в [47] и описываемая соотношениями B.1)-B.4а).
2. Скорость скольжения для эмульсионного режима двухфазного пото-
потока рассчитывается по B.269) при значении опытной константы С = 1,05.
3. Площадь межфазной поверхности при пузырьковом режиме двух-
двухфазного потока может определяться как на основе выбора критического
значения числа Вебера B.5), так и путем определения числа центров па-
парообразования Nb по эмпирической формуле B.19) с последующим при-
применением формулы B.18).
4. Для дисперсно-кольцевого потока расходная доля жидкости, со-
содержащейся в виде капель, диспергированных в паровом ядре, опреде-
определяется по полученным в [54] на основе обобщения результатов система-
систематических экспериментальных исследований распределения влаги при дис-
дисперсно-кольцевой структуре потока в необогреваемых и обогреваемых
каналах по соотношениям B.33), B.35), B.36).
5. При расчете интенсивности межфазного теплообмена для пузырь-
пузырькового режима двухфазного потока используются соотношения, учиты-
учитывающие влияние перегрева пузырька, его относительной скорости, а
также объемной концентрации пузырьков B.70) — B.72).
6. С целью уточнения расчета силы трения двухфазного потока на
стенке канала используются следующие корреляции:
B.117), B.121) — для пузырькового потока в режиме развитого
кипения;
B.116) — для пузырькового потока в режиме поверхностного кипе-
кипения;
B.122) — для дисперсно-кольцевого потока;
B.127) — для двухфазного потока в пучке стержней.
229
7. При описании кризиса теплообмена различаются кризис пузырько-
пузырькового кипения и кризис высыхания. Наряду с применяемым в [191] соот-
соотношением B.197) используются следующие корреляции:
B.195) — для критического теплового потока при кризисе пузырько-
пузырькового кипения;
B.202) — для граничного паросодержания при кризисе высыхания;
B.205), B.206) - для критического теплового потока и граничного
паросо держания в пучках стержней.
8. Для расчета температуры стенки при минимальном стабильном
пленочном кипении в дополнение к соотношениям работы [45] введена
корреляция B.224).
9. С целью уточнения расчета теплового потока от стенки канала к
паровой фазе при закризисном теплообмене в пучках используются
поправочные множители B.238)-B.242).
10. При описании интенсивности парообразования для всех режимов
теплообмена учитываются доли тепловых потоков на стенке, идущие
на фазовый переход, т.е. используется соотношение B.247).
11. Коэффициент теплоотдачи от стенки к пару при пленочном кипении
может быть рассчитан по следующим соотношениям [64]:
= max
(</, a", ac); D.219)
с/ = 0,425 I—? [1 +
I nga(Tw - Ts) J
+ 0,025G^ - 7})]A - <p) — — ; D.220)
an = 3,66\g/D*; D.221)
ac = 0,0083Х^//)*(р^?)*/^н;H'877рг^611' D.222)
где
?'= г[1 + 0,4cpg(Tw - Ts)/r]2; D* = D(\ - y/(l-lp)).
Методика численного решения. В машинных программах для улучшен-
улучшенного детального расчетного анализа нестационарных теплогидравлических
процессов в отдельных, наиболее важных элементах циркуляционного
контура реактора, по-видимому, целесообразно применять по возможно-
возможности более точные методы численного решения.
Из этих соображений для машинной программы "Канал" была выбрана
методика конечно-разностного решения, базирующаяся на представлении
230
системы дифференциальных уравнений модели в характеристической
форме (см. гл. 3).
Характеристическая форма :истемы уравнений D.215). D.216) имеет
следующий вид:
Эу Эу
Р — + Л/3 — = 0С, D.223)
bt oz
где Л - диагональная матрица, составленная из характеристических чи-
чисел D.219) матрицы А системы D.216). Компоненты матрицы /3 = Т
равны
13ц = 1; 012 = -Ц(ртат); 013 = 014 = pl5 = 0;
021 = I', 012 = -1/(ртвш); 023 = 024 = 025 = 0;
031 = 4*32 +&3i)/2; 032 = -[1/Bртат)](Ьз2 - b3l);
0зз = l;034 = 035 = 0;
- ^42 + ^31^43 - ^41
Н4 1
042 =
043 =
05, =
052 =
^32^43
-&4з; 0
^32^5 3
^32^5 3
2
- &3i^
2Ртат
44 = 1;1
- *52 -
2
" *52 +
21>тат
C45 = 0;
К Й31*53 - *51
Й31*53 +*51
= ~*53; Р54 =0; 055 = 1,
где элементы матрицы В равны
*п = 1» *i2 = 1; #13 = *14 = *i5 = 0;
*2 1 = -Ртат'' *2 2 = Pmam'i Ь2ъ - Ъ2Л = Z>2 5 = °»
,аЪ2
?31 - ; Ъ
32 - -
т т
231
^33 ~ 1; Ь34 - ^35 " О»
«41 ~Pm«m«42 + <t43(pmama32 - a3l)j{w^ - wm + ат)
D42
U51 = ~
wg - wm + am
a41 +pmama42 - aA3 (a3l + Pm<tma 32) I (*>$ - wm - am)
wg - wm - am
); Ь44 = 1; b4s = 0;
w/ - wm + am
«si (
bs
W ); Z>54 = 0; Z?55 = 1.
Здесь ац — элемент матрицы А. Дальнейший алгоритм численного решения
совпадает с изложенным в гл. 3 алгоритмом решения системы уравнений
B.17), B.18).
Сопоставление с экспериментами. Достоверность результатов расчет-
расчетного описания характеристик теплогидравлических процессов для двух-
двухфазных потоков в каналах в стационарных и нестационарных режимах с
помощью моделей для улучшенного анализа должна оцениваться главным
образом на основании сопоставления с опытными данными, причем в тех
условиях, для которых предназначена соответствующая машинная про-
программа. Основной объем сопоставлений расчетов по машинной программе
"Канал" проводился с опытными данными, полученными для труб.
Оценка достоверности описания рассмотренной выше математической
моделью эффектов, в первую очередь неравновесности двухфазного пото-
потока, а также его негомогенности, может быть проведена для случаев заведо-
заведомо неравновесного состояния двухфазной смеси в стационарных усло-
условиях. Рисунок 4.6 иллюстрирует хорошее согласование расчетных резуль-
результатов по такому чувствительному к модели параметру, как истинное
объемное паросодержание <?, с опытными данными [192] для неравновес-
неравновесного кипения недогретой жидкости.
Достаточно удовлетворительное согласование опытных и расчетных
значений температуры стенки канала и места возникновения кризиса
теплообмена (рис. 4.7) получено для канала, находящегося в режиме за-
кризисной теплоотдачи и исследованного Беннетом.
В нестационарных условиях "классическим" является сопоставление
результатов расчетов по тем или иным моделям с опытными данными
232
-0,06 -0,04 -0,02
0,02
0,04
Рис. 4.6. Сопоставление экспериментального и расчетного истинного объемного паро-
содержания при различных способах учета негомогенности потока:
д - квазигомогенная модель; ^ - учет скольжения в замыкающих соотноше-
соотношениях; о - негомогенная модель машинной программы "Канал"; • — эксперимен-
экспериментальные данные по [192]
Рис. 4.7. Расчетное и эксперименталь-
экспериментальное распределения температур стенки
по длине канала в закризисном режиме
(по данным Беннета)
600
400
200
9kci
юримент
о-расчет (ТдфТ$)
*-расчет (rg = Ts)
0,24 0,28 0,32 €, м
[193], полученными для истече-
истечения вскипающей среды из необо-
греваемой горизонтальной труды
длиной 4 м и диаметром 73 мм,
заполненной несколько недогре-
той до температуры насыщения
водой (р0 = 7 МПа, То = 240 °С).
Машинная программа "Канал" до-
достаточно хорошо описывает кри-
кривую изменения давления в трубе, в том числе и неравновесный участок
"провала" давления ниже давления насыщения (рис. 4.8).
Достаточно большой объем сопоставлений расчетов был проведен с
данными систематических исследований теплогидравлических характери-
характеристик нестационарного пароводяного потока высокого давления в трубе
диаметром 13 мм и длиной 2500 мм [194] при быстрых и глубоких воз-
возмущениях мощности обогрева и расхода теплоносителя. Опыты проводи-
проводились в следующих диапазонах параметров: начальное давление 5-8 МПа;
233
р,МПа
6
4
2
р,МПа
8
g*
V
4
z
0
\
\
•—-
——
г 4z,w5c
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 С,с
Рис. 4.8. Расчетные и экспериментальные давления вблизи заглушённого конца ка-
канала при истечении вскипающей воды [ 193]:
программа "Канал"; о — эксперимент; — гомогенная равновес-
равновесная модель
0,3
0,2
0,1
аи
1
''У
1а
'/
^7
У
Wo,
отн.ед.
0,75
0,50
0,25
280
240
200
О. 1 2 3 4 5 t,c
Рис. 4.9. Экспериментальные (по данным [194]) и расчетные значения параметров
для опыта с набросом тепловой нагрузки до Qo (при Гвх = 194 °С; Go = 0,258 кг/с;
Ро = 7,05 МПа; Qo = 130 кВт):
— расчет; эксперимент
массовый расход 1000-2000 кг/(м2 • с); недогрев на входе 50—150 К;
мощность электрообогрева 80—170 кВт; скорости изменения тепловой
мощности - до 300 кВт/с и массового расхода теплоносителя - до
5 103 кг/(м2 с).
На рис. 4.9—4.12 представлены результаты сопоставления данных для
возрастания тепловой нагрузки (рис. 4.9), сброса тепловой нагрузки
(рис. 4.10), резкого уменьшения расхода теплоносителя (рис. 4.11)
и увеличения расхода (рис. 4.12).
234
0,4
0,3
0,2
0,1
U
Д
\
Q/Qo
\^
\
\ >
\
И
i<
\
Wot
отнес
0,8-
-0,6-
-0,4-
г,°с
280
-260
2W
-220
О 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 t,c
Рис. 4.10. Экспериментальные (по данным [194]) и расчетные значения параметров
для опыта с падением тепла (при Гвх = 192,7 °С; Go = 0,184 кг/с; р0 = 6,1 МПа;
Qo = 78 кВт) :
— расчет; эксперимент
в,кг/с
0,26
0,24
0,22
0,2
О 1 2 3 4 5 6 t,C
Рис. 4.11. Экспериментальные [194] и расчетные значения параметров при проведе-
проведении опытов с падением расхода теплоносителя (при Твх = 193 °С; Go = 0,229 кг/с;
р0 = 6,9 МПа; Qo = 86,3 кВт) :
эксперимент; расчет
0,3
0,2
0,1
\
\
г
У*
т,°с
260
Одним из важных параметров, характеризующих теплогидравлические
процессы в двухфазном потоке в нестационарных режимах, является
время наступления кризиса теплообмена. Из отмеченных в гл. 2 результа-
результатов работ, посвященных исследованию кризиса теплообмена в нестацио-
нестационарных режимах, для сопоставления расчетных и опытных данных по
времени возникновения кризиса теплообмена целесообразно в первую
очередь использовать опытные данные работы [195], поскольку, во-
235
9>
0,4
0,3
0,2
V
Г
]
\
r \
^G
/,
т
1 л
/ 1
н
•к
1
Т,"С_
320-
ORf)
дои
_
?,кг/с
0,28
0,26
0,2k
0,22
0,20
О 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 t,c
Рис. 4.12. Экспериментальные [194] и расчетные значения параметров для опыта
с увеличением расхода теплоносителя (при Гвх = 188 °С; Go = 0,197 кг/с; р0 =
=7,04 МПа; Go = 99,86 кВт) :
эксперимент; расчет
первых, они носят достаточно систематический характер и, во-вторых,
сопоставлялись с расчетными результатами, полученными по равновес-
равновесной модели двухфазного потока со скольжением фаз.
Эксперименты проводились на различных электрообогреваемых тру-
трубах: длиной 1,83 м, внутреним диаметром 9 мм и толщиной стенки
2,4 мм; длиной 3,66 м, внутренним диаметром 10,8 мм и толщиной
стенки 2 мм. Опыты на первом участке проводились при скачкообразном
увеличении тепловыделения в стенке, на втором - при экспоненциальном
падении расхода воды на входе в канал. Момент наступления кризиса теп-
теплообмена определялся с помощью дифференциальной термопары, имею-
имеющей высокие чувствительность и быстродействие.
Иллюстрируемое рис. 4.13, 4.14 сопоставление опытных и расчетных
данных показывает, что в рамках рассматриваемой неравновесной модели
теплогидравлики нестационарного двухфазного потока со скольжением
фаз и при использовании мгновенной локальной гипотезы кризиса тепло-
теплообмена в нестационарных условиях расчетные предсказания времени
возникновения кризиса теплообмена вполне реалистичны, причем в
большей степени, чем при применении модели равновесного потока со
скольжением фаз.
Приведенные выше на примере неравновесной модели со скольжением
фаз сопоставления расчетных и опытных данных позволяют заключить,
что лежащие в основе машинных программ нового поколения для
улучшенного детального анализа нестационарных теплогидравлических
процессов негомогенные неравновесные математические модели позво-
позволяют получить вполне реалистичное и подробное описание поведения
энергетического оборудования в нестационарных режимах.
236
•J
«
A
>
\
\
к
>
2
a5
\
•-/
*~5
о
s
0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5Q/Q0 0 0,8 0,85 0,9 0,95 Q/Q{
Рис. 4.13. Экспериментальные [195] и расчетные значения времени возникновения
кризиса теплоотдачи в опытах с набросом тепловой нагрузки от Qq до Q:
1 - эксперимент; 2 - расчет [195]; 3 -расчет [196]; 4 - расчет по машинной
программе "Канал" при qCI по [93]; 5 - то же при qCI [88]
Рис. 4.14. Экспериментальные [195] и расчетные значения времени возникновения
кризиса теплоотдачи в опытах с падением расхода теплоносителя при различных
уровнях тепловой нагрузки Q:
1 — эксперимент; 2 - расчет; 3 — [196]; 4 - по машинной программе "Канал"
при ^сг по [93] ;5 - то же по условию достижения х\\т [88]
Об этом свидетельствуют также многочисленные результаты сравнения
расчетов по другим моделям данного класса с опытными данными, по-
полученными как на лабораторных установках небольшого масштаба, так
и на крупных интегральных стендах, моделирующих циркуляционные
контуры реакторов [197-200]. Конечная цель разработки и последую-
последующего тестирования машинных программ нового поколения - получение
достоверной априорной расчетной информации о поведении реактора и
его оборудования в нестационарных эксплуатационных и аварийных ре-
режимах — требует системного подхода при постановке необходимых экс-
экспериментальных исследований. Необходимость такого подхода диктуется
как далеко недостаточной изученностью весьма обширной совокупности
сложных физических процессов, протекающих в циркуляционном конту-
контуре реактора в нестационарных режимах, так и практической невозмож-
невозможностью экспериментальных исследований поведения оборудования реакто-
реактора в таких режимах в натурных условиях.
Представляется, что соответствующая система экспериментальных
установок должна включать разные по сложности и масштабу установ-
установки, которые можно условно разделить на следующие три группы:
237
стенды для достаточно фундаментального изучения закономерностей
отдельных физических процессов с целью уточнения корреляций, обра-
образующих систему замыкающих соотношений математических моделей;
установки, с той или иной степенью полноты моделирующие сово-
совокупность физических процессов, протекающих в различных элементах
циркуляционного контура реактора на разных стадиях нестационарных
режимов;
интегральные стенды, объединяющие модели основных элементов
циркуляционного контура реактора и воспроизводящие тем самым по-
поведение всего циркуляционного контура реактора в нестационарных ре-
режимах.
К настоящему времени научными центрами и промышленными фирма-
фирмами различных стран созданы основы таких систем стендов и проводятся
широкие программы работ по анализу адекватности и совершенствованию
машинных программ нового поколения для описания нестационарных
термогидравлических процессов в циркуляционных контурах ядерных
реакторов в нестационарных эксплуатационных и аварийных режимах,
в особенности это относится к машинным программам TRAC и RELAP-5.
Сравнение опытных и расчетных данных может носить различный ха-
характер в зависимости от поставленных целей.
Определенный набор экспериментальных результатов, представитель-
представительных для соответствующих классов нестационарных режимов, может быть
использован для "настройки" машинной программы путем подбора
наилучших корреляций и выбора значений опытных констант в системе
замыкающих соотношений математической модели программы.
Данные других экспериментов (и их большее число), проведенных в
других условиях и на других установках, служат при этом для анализа
достоверности априорных расчетов по соответствующей машинной про-
программе. Весьма желательно при этом соблюсти "двойную априорность"
расчетов, обеспечивающую достаточную объективность анализа адекват-
адекватности машинной программы. Под "двойной априорностью" в данном
случае понимается следующее:
расчеты должны быть проведены до ознакомления с экспериментальны-
экспериментальными данными;
не должно быть информации о других экспериментах, выполненных
ранее на той же опытной установке;
входные данные для машинной программы должны подготавливаться
лишь на основании чертежей и описания установки.
В качестве иллюстрации можно привести несколько типичных сопостав-
сопоставлений расчетов по машинным программам TRAC и RELAP-5 с опытными
результатами, полученными на экспериментальных установках второй
группы.
В рамках моделирования совокупности нестационарных теплогидрав-
лических процессов, характерных для стадии истечения аварии с потерей
теплоносителя, на ряде экспериментальных установок были выполнены
238
Рис. 4.15. Сопоставление
опытных и расчетных значе-
значений истинного объемного па-
ро содержания:
• - опытные данные;
расчет по программе
TRAC-P1A (начальная тем-
температура воды 280 °С; диа-
диаметр отверстия истечения
0,1м)
исследования истечения вскипающего теплоносителя из труб. В частно-
частности, на установке Super-Canor (Франция) изучалось нестационарное ис-
истечение вскипающей воды при р = 15 МПа из закрытой с одного конца
горизонтальной трубы внутренним диаметром 0,1 м и длиной 4,389 м.
В опытах варьировались размеры отверстия истечения и недогрев воды.
Сопоставление опытных мгновенных значений истинного объемного
паросодержания на расстоянии 1,5 м от закрытого конца трубы с резуль-
результатами расчета по машинной программе TRAC-P1A (рис. 4.15) показа-
показало, что при общем качественном согласовании результатов имеются за-
заметные количественные расхождения данных на начальной стадии вски-
вскипания воды, т.е. при временах, меньших 0,2 с. Аналогичные отклонения
наблюдались и по давлению в том же месте. Анализ возможных причин
расхождения данных совместно с анализом сопоставления расчетов по
машинной программе "Канал" с результатами подобных опытов Эдвардса
и О'Брайена (рис. 4.8), показал, что в уточнении нуждается используе-
используемая в машинной программе TRAC методика определения скорости генера-
генерации паровой фазы.
Способности машинных, программ нового поколения учитывать масш-
масштабные эффекты при расчетном анализе нестационарных теплогидравли-
ческих процессов на стадии истечения теплоносителя могут быть проил-
проиллюстрированы на основе экспериментов, проведенных на полномасштаб-
полномасштабной установке "Марвикен" (Швеция); в процессе этих экспериментов
изучалось истечение воды из корпуса реактора типа ВВЭР через патрубок
внутренним диаметром до 0,5 м. Относительная длина патрубка истече-
истечения была равна трем. Начальное давление воды в корпусе составляло
4,94 МПа; начальная температура воды распределялась следующим обра-
образом: верхние слои до глубины около 6 мот начального уровня воды
A6,8 м при высоте сосуда 20,3 м) нагревались до температуры насыще-
насыщения. Температура нижних слоев была ниже температуры насыщения.
239
о
10
Рис. 4.16. Экспериментальные
и расчетные значения удельно-
удельного массового расхода при ис-
истечении воды из сосуда уста-
установки "Марвикен" (Шве-
(Швеция):
измерения труб-
трубкой Пито; • - изме-
измерения по перепаду давления в
сосуде; - - - - расчет по
программе TRAC; о - расчет
по программе RELAP-5
Как видно из рис. 4.16, для эксперимента, в котором диаметр от-
отверстия истечения 0,5 м, а недогрев воды на входе в патрубок истече-
истечения 60 К, опытные данные весьма хорошо согласуются с результатами
расчетов по машинным программам TRAC и RELAP-5, это свидетельствует
о том, что обе эти машинные программы нового поколения вполне хоро-
хорошо описывают масштабные эффекты при истечении вскипающего тепло-
теплоносителя.
Достаточно большое внимание в экспериментальных исследованиях и
сопоставлениях их результатов с расчетными предсказаниями уделялось
совокупности теплогидравлических процессов при работе систем аварий-
аварийного охлаждения активной зоны реактора (САОЗ).
На стадии проникновения воды САОЗ через опускную трубу в нижнюю
камеру реактора и заполнения нижней камеры доминирующими являются
процессы взаимодействия двух встречных потоков в опускной трубе -
нисходящего тока воды САОЗ и восходящего потока пара как из актив-
активной зоны реактора, так и образующегося на перегретых по отношению к
температуре насыщения стенках опускной трубы — и связанные с ними
эффекты байпасирования активной зоны водой САОЗ.
Экспериментальное моделирование совокупности этих процессов было,
в частности, осуществлено на установке Сгеаге (США) [197]. Опускная
труба реактора типа ВВЭР моделировалась кольцевым зазором шири-
шириной 0,0127 м, расположенным вокруг цилиндрического сосуда, линейные
размеры которого составляли 1/15 долю соответствующих натурных
размеров. В сосуде имелись патрубки, расположенные под углом 90°
друг к другу, и моделирующие присоединения четырех холодных ниток
циркуляционных петель, три из которых выступали в роли неповрежден-
неповрежденных петель, а одна — в роли поврежденной петли. В процессе экспери-
эксперимента вначале подавался постоянный заданный расход пара через верх
сосуда. Этот пар проходил через центральную часть сосуда, нижнюю ка-
камеру и вытекал через патрубок "поврежденной" петли. Затем холодная
вода, моделирующая воду системы САОЗ, подводилась с постоянным
расходом в "неповрежденные" петли. Через некоторое время начиналось
проникновение этой воды в нижнюю камеру реактора и заполнение по-
последней. В опытах варьировались значения интенсивности подачи и темпе-
240
Рис. 4.17. Сопоставление эксперименталь- Л
ных и расчетных данных по скорости за-
залива для установки Сгеаге:
О — опыт; л - расчет по про- 0M
грамме TRAC
0H
0/35-
ратуры холодной воды. Для» каждо-
каждого набора значений этих величин
расход пара изменялся в диапазоне
значений, соответствующих свобод-
свободному проникновению воды в нижнюю камеру или полному байпасиро-
ванию нижней камеры.
Рисунок 4.17 иллюстрирует сопоставление расчетов по машинной про-
программе TRAC с результатами эксперимента при расходе холодной воды
3,78 • 10~3 м3/с и температуре 339 К, что соответствует параметрам
подачи воды САОЗ в реакторе.
Диапазон давлений в опытах составлял 0,1—0,3 МПа.
Хорошее согласование опытных и расчетных значений безразмерных
объемных потоков воды и пара (/'? = i^P^\gD{pipg)]~0'5, к = /, g)
позволяет заключить, что, по крайней мере при данном масштабе модели-
моделирования натурных размеров, машинная программа TRAC достаточно
надежно описывает совокупность теплофизических процессов, опреде-
определяющих проникновение воды САОЗ в нижнюю камеру реактора и запол-
заполнение ее.
Изучение этих же процессов, но при существенно большем масштабе
моделирования и при более близких к реальным условиях было выпол-
выполнено в рамках программы экспериментов на установке CCTF (Япония).
Крупномасштабная экспериментальная установка CCTF (эксперимен-
(экспериментальная установка с цилиндрической моделью активной зоны) создана
в соответствии с международной программой исследования эффектов
многомерности процессов в различных элементах реактора, в особенно-
особенности в верхней и нижней камерах.
Рабочий сосуд установки имеет высоту около 10 м, внутренний диа-
диаметр 1,084 м, кольцевой зазор опускной трубы 0,065 м, что соответствует
масштабу высот 1:1, площадей сечений 1:5. Активную зону реактора
моделируют 2000 электрически обогреваемых имитаторов твэлов.
При этом воспроизводятся характерные для реактора осевое и радиаль-
радиальное распределения эне^говыделения.
Стенд имеет четыре циркуляционные петли, содержащие работающие
модели ПГ и шайбы, имитирующие гидросопротивление циркуляционных
насосов. Масштабы длин и площадей сечений трубопроводов те же,
что и экспериментального сосуда.
241
16-6610
/>МЛа
О 10 Z0 30 40 50 60 tx О Ю 20 5ОГЬО 50 60 t.C
а) 6)
Рис. 4.18. Экспериментальные и расчетные значения давления в сосуде (а) и доли
объема воды Vj в нижней камере (б) установки CCTF:
1 - эксперимент; 2 - расчет по программе TRAC
Специальные эксперименты были проведены с целью изучения тепло-
гидравлических процессов, обусловливающих заполнение нижней каме-
камеры реактора при работе САОЗ. В этих экспериментах три циркуляционные
петли, представляющие собой "неповрежденные" петли, отключались
путем установки заглушки вместо имитаторов циркуляционных
насосов. Подводимая мощность была равна нулю. Стенки опускной
трубы предварительно нагревались до температуры выше температуры
насыщения. Нижняя камера сосуда заполнялась до уровня 2 м водой,
находящейся при температуре насыщения, соответствующей давлению
0,6 МПа. Открытие вентиля в "поврежденной петле" имитировало обрыв
ее холодной нитки. Конечное давление в системе составляло около
0,2 МПа и соответствовало конечному давлению под защитной оболоч-
оболочкой реактора. Сопоставление экспериментальных и рассчитанных по ма-
машинной программе TRAC-PF1 значений давления в сосуде и доли объема
нижней камеры, занимаемой жидкостью (рис. 4.18), показывает доста-
достаточно хорошее расчетное описание особенностей изменения данных пара-
параметров. Следует отметить вполне приемлемое количественное согласо-
согласование моментов времени конца периода байпасирования активной зоны
и начала заполнения нижней камеры водой САОЗ.
В работе [198] отмечается, что с помощью машинных программ типа
RELAP-4 не удавалось получить реалистичные значения этого параметра.
Вместе с тем в расчетах давление и количество жидкости в нижней камере
в начальные моменты времени снижаются заметно быстрее, чем это имеет
место в эксперименте, что требует уточнения описания в машинной про-
242
грамме физических процессов, определяющих поведение данных пара-
параметров. Выполненный в [198] анализ показал, что возможной причиной
несовпадения опытных и расчетных результатов является недостаточно
адекватное для этих условий описание процесса конденсации в области
имитатора насоса, где горизонтальный поток с разделенными фазами
внезапно переходит в вертикальный, что вызывает в машинной програм-
программе появление волны конденсации в отличие от эксперимента. Достовер-
Достоверность описания в машинных программах нового поколения совокупности
теплогидравлических процессов, протекающих в активной зоне реактора
на стадии ее залива водой САОЗ и повторного увлажнения поверхности
твэлов может быть проиллюстрирована на основании сопоставления рас-
расчетных результатов по машинной программе TRAC с опытными данны-
данными, полученными на установке FLECHT (США).
Активная зона реактора моделировалась квадратным пучком из 100
(в опытах с радиальным перекосом энерговыделения - 160) электри-
электрически обогреваемых полномасштабных имитаторов твэлов, использую-
использующих в качестве наполнителя оксид магния. Переменный шаг нихромовой
спирали позволяет воспроизвести аксиальный профиль энерговыделения,
характерный для реактора. Максимальная подводимая мощность 1,5 МВт;
давление теплоносителя — до 0,4 МПа; объемный масштаб рабочего
участка 1 : 300.
В экспериментах рабочий участок заполнялся водой до начала обо-
обогреваемого участка, затем подавалась мощность на имитаторы твэлов и
они разогревались до заданной температуры, после чего начиналась подача
воды с заданным расходом и температурой в рабочий участок и одно-
одновременно программно снижалась мощность обогрева имитаторов твэлов
по закону, моделирующему кривую остаточных тепловыделений в актив-
активной зоне реактора.
Характеристики типичных опытов и сопоставление их данных с резуль-
результатами расчетов по машинной программе TRAC-P1A приведены^ табл. 4.1
и 4.2 [197].
Анализ результатов сопоставления опытных и расчетных данных пока-
показал, что для экспериментов как с высокой скоростью залива, так и с низ-
низкой скоростью залива, машинная программа TRAC-P1A весьма хорошо
предсказывает такой важный параметр, как максимальная температура
оболочки твэла.
Для опытов с высокой скоростью залива наблюдалось и достаточно
хорошее согласование данных rto временным характеристикам процес-
процесса залива рабочего участка и повторного увлажнения стенок имитаторов
твэлов. Однако в экспериментах с низкими скоростями залива имело
место существенное расхождение данных, относящихся к этим времен-
временным характеристикам; это в дальнейшем послужило основанием для
уточнения описания некоторых физических процессов (уноса жидкости,
теплообмена при переходном и пленочном кипении, переноса тепла осевой
теплопроводностью в стенке твэла в зоне фронта повторного увлажнения)
243
Таблица 4.1. Исходные значения параметров
в опытах FLECHT
Условный
номер
опыта
Давле-
Давление,
МПа
Входная
температура
жидкости, К
Скорость
залива,
м/с
Максимальное
линейное энерговы-
энерговыделение, кВт/м
0,39
0,28
0,28
337,6
324,8
327,1
0,25
0,04
0,02
4,07
3,12
2,76
Таблица 4. 2. Сопоставление опытных (FLECHT)
и расчетных (TRAC) результатов
в среднем сечении рабочего участка
Опыт № 1 Опыт № 2 Опыт № 3
Параметр
Начальная температура стенки, К
Максимальная температура стенки, К
Подъем температуры стенки, К
Время достижения максимального
значения температуры стенки, с
Время увлажнения стенки, с
1143 1144 1144 1144 1144 1144
1193 1190 1333 1333 1453 1449
50 46 189 189 308 305
8 6 74 40 96 80
71 72 219 170 345 210
Примечание, э - эксперимент: р - расчет.
при разработке машинной программы TRAC-PB2, рассмотренной в § 4.2,
что позволило существенно улучшить согласование опытных и расчетных
результатов [197].
Как отмечалось выше, следующая ступень анализа достоверности
описания машинными программами нового поколения нестационарных
теплогидравлических процессов в циркуляционном контуре ядерного
реактора при переходных и аварийных режимах связана с сопоставлением
расчетных результатов с опытными данными, полученными на экспери-
экспериментальных установках, моделирующих весь циркуляционный контур
реактора и состоящих из совокупности моделей основных элементов
оборудования контура, которые часто называют интегральными уста-
установками. Естественно, что степень детальности моделирования в уста-
установке того или иного элемента оборудования циркуляционного контура
определяется той ролью, какую этот элемент играет в общей картине
протекания нестационарных режимов данного класса в реакторе.
К настоящему времени только для моделирования первого контура
реакторов, охлаждаемых водой под давлением, в различных странах со-
244
Таблица 4. 3. Характерны* параметры интегральных установок
для моделирования циркуляционных контуров реакторов,
охлаждаемых водой под давлением
Название
установки
Гтпяня
Страна
Масштаб Масштаб Мощность,
по высоте по объему кВт
МПа
BETHSY
FLECHT-SEI
LOBI
LOFT
PKL
PMK
ROSA-N
Semiscale
SM-Marta
SPES
UMCP**
Франция
США
ЕЭС***
США
ФРГ
Венгрия
Япония
США
Польша
Италия
США
100
300
720
50
135
2070
48
2500
2500
420
500
3
1,5
5
50*
3
1
10
2
1
10
0,2
* Ядерный обогрев.
** Для визуальных наблюдений.
*** Европейское экономическое сообщество.
420
160
64
1400
340
19
1080
25
19*
97
16
15
0,4
15
15
3
15
15
15
15
15
2
зданы целый ряд интегральных установок различной мощности и масшта-
масштаба. Характерные параметры установок, представляющих наибольший ин-
интерес для целей анализа достоверности машинных программ нового
поколения приведены в табл. 4.3 (данные МАГАТЭ).
Наибольший опыт сопоставления опытных данных с результатами рас-
расчетов по машинным программам нового поколения накоплен для экспе-
экспериментов, проведенных на интегральных установках Semiscale и LOFT.
Контур циркуляции установки Semiscale (рис. 4.19) содержит модели
следующих элементов циркуляционного контура реактора: активной
зоны, верхней камеры, нижней камеры, опускной трубы, главного цир-
циркуляционного насоса, компенсатора давления, парогенераторов двух ти-
типов трубопроводов, пассивной и активных систем подачи воды аварий-
аварийного охлаждения активной зоны (САОЗ). Две циркуляционные петли мо-
моделируют "поврежденную" петлю и "неповрежденные" петли реактора.
Имитаторы твэлов первой модификации установки наружным диаметром
10,72 мм наполнены нитридом бора и имеют обогреваемую длину
1,68 м при общей длине 5,26 м. По длине сборки имитаторов твэлов
равномерно расположены 10 дистанционирующих решеток. Тепловы-
Тепловыделение изменяется по длине по косинусоидальному закону с коэффи-
коэффициентом неравномерности 1,58. В третьей модификации установки обо-
обогреваемая длина имитаторов твэлов составляет 3,66 м.
245
17-6610
Рис. 4.19. Схема установки Semiscale:
1 - корпус; 2 - насос; 3 - парогенератор (тип I); 4 - компенсатор давления;
5 - горячая нитка; 6 - узел разрыва; 7 - опускная труба корпуса; 8 - бак приема
истекающего теплоносителя; 9 - холодная нитка; 10 - парогенератор (тип II)
JOt,C
Рис. 4.20. Сопоставление эксперимен-
экспериментальных и расчетных значений темпера-
температуры оболочки твэла в среднем сече-
сечении A3 при моделировании МПА на уста-
установке Semiscale (опыт S-O4-6):
1 - расчет по программе TRAC; 2 -
эксперимент
246
В одной из серий экспериментов на установке Semiscale моделирова-
моделировались процессы, протекающие на стадиях истечения теплоносителя, запол-
заполнения нижней камеры водой САОЗ и повторного увлажнения активной
зоны максимальной проектной аварии, вызванной двухсторонним
полным обрывом холодной нитки одной из петель с последующим вклю-
включением САОЗ.
В частности, в эксперименте S-04-6 изучались процессы на первых 65 с
такого нестационарного режима. В исходном стационарном режиме под-
подводимая мощность была равна 1,44 МВт, давление 15,5 МПа, расход
теплоносителя через активную зону 8,9-10 м3/с. После начала исте-
истечения теплоносителя из "поврежденной" петли подводимая электричес-
электрическая мощность снижалась по закону, соответствующему изменению оста-
остаточных тепловыделений в реакторе.
Анализ сопоставлений опытных данных с результатами расчета по ма-
машинной программе TRAC-P1A [199] показал, что на стадии истечения
теплоносителя и заполнения нижней камеры водой САОЗ согласование
температур оболочки твэла достаточно хорошее в сечениях, близких к
входу в активную зону. В то же время в средних и верхних сечениях ак-
активной зоны наблюдается заметное расхождение данных (рис. 4.20).
Дальнейший анализ позволяет заключить, что в основе расхождения дан-
данных лежит различие в моментах возникновения кризиса теплообмена в
опыте и расчете, что в свою очередь свидетельствует о необходимости
уточнения методики расчета расхода истекающего теплоносителя.
В опыте S-07-6, проведенном на третьей модификации установки
и также относящемся к исследованию максимальной проектной аварии,
при сопоставлении опытных и расчетных данных в рассмотрение включа-
включалась и стадия повторного увлажнения активной зоны.
Как следует из рис. 4.21, машинная программа RELAP-5 достаточно
хорошо предсказывает максимальные и минимальные значения темпера-
температуры стенки имитатора твэла на отрезке времени примерно до 100 с,
т.е. на стадиях истечения теплоносителя, заполнения нижней камеры во-
водой САОЗ и начала стадии повторного увлажнения стеток твэлов
(t > 45 с). При больших временах расчетные значения температуры сте-
стенок "горячего" канала лежат ниже (примерно на 30%), а "среднего"
канала - выше (примерно на 40%) соответствующих экспериментальных
значений. В то же время среднее арифметическое расчетных значений
этих температур вполне хорошо согласуется с экспериментальными дан-
данными, что позволяет предполагать в качестве одной из возможных
причин расхождения опытных и расчетных данных отсутствие описания
перемешивания потоков между "горячим" и "средним" каналами в
машинной программе RELAP-5 в отличие от учета этого эффекта при
трехмерном описании термогидравлики активной зоны в машинной
программе TRAC.
Приведенные на рис. 4.21 результаты расчета температуры стенок го-
горячего канала на стадии повторного увлажнения по машинной программе
247
1000
600
иоо
100 115 150 175 t,C
Рис. 4.21. Расчетные и экспериментальные значения температуры стенки имитатора
твэла в среднем сечении A3 при моделировании МПА на установке Semiscale (опыт
S-07-6):
1 -эксперимент, "горячий" канал; 2 - расчет по программе RELAP-5, "горячий"
канал; 3 - расчет по программе RELAP-5, "средний" канал; 4 - эксперимент,
"средний" канал; д - расчет по программе RELAP-4/MOD6 "горячий" канал
предыдущего поколения RELAP-4/MOD 6 в значительно большей степени
(около 2,5 раза) отличаются от экспериментальных данных.
Представляет несомненный интерес анализ возможности использования
машинных программ нового поколения для расчетного описания неста-
нестационарных теплогидравлических процессов в циркуляционном контуре
реактора при авариях с малой течью теплоносителя. Результаты такого
анализе могут быть проиллюстрированы на примере сопоставления расче-
расчетов по программме TRAC с данными опыта S-UT-8 из серии эксперимен-
экспериментов, проведенных на установке Semiscale с целью моделирования процес-
процессов при авариях с малой течью [200].
В опыте S-UT-2T исследовался нестационарный процесс, вызванный
появлением в боковой стенке трубопровода холодной нитки одной из
циркуляционных петель отверстия площадью 5% номинальной, располо-
расположенного между главным циркуляционным насосом и входным патруб-
патрубком реактора. В исходном стационарном режиме подведенная мощность
составляла 1,95 МВт, давление 15,6 МПа, расход 10,2 кг/с. Машинная
программа TRAC позволяет достаточно хорошо описать временные ха-
характеристики последовательности событий в опыте, за исключением вре-
времени появления уровня в активной зоне (табл. 4.4). Расчетные значения
основных параметров, характеризующих теплогидравлические процессы,
в рассматриваемом случае также вполне хорошо согласуются с опытны-
опытными данными, что иллюстрируется рис. 4.22 для уровня теплоносителя в
активной зоне и рис. 4.23 для температуры в оболочке имитатора
твэла в средней части активной зоны. Наибольшей представительностью
описания нестационарных теплогидравлических процессов в водо-
водяных реакторах с помощью машинных программ нового поколения
248
Таблица 4.4. Сравнение последовательности событий
в опыте с расчетами по машинной программе TRAC
Событие
Время, с
Эксперимент
0
16
37
38
49
100
225
225
600
Расчет
0
16
37
38
36
200
250
250
574
Начало нестационарного режима
Начало выбега насоса
Закрытие задвижки питательной воды
Начало подачи воды САОЗ высокого давления
Осушение компенсатора давления
Появление уровня в A3
Минимальный уровень в A3
Начало подачи воды САОЗ из гидроаккумулятора
Достижение максимальной температуры оболочек твэлов
Рис. 4.22. Расчетные и экспе-
экспериментальные значения уров-
уровня теплоносителя в A3 (Н)
при моделировании аварии с
малой течью на установке
Semiscale (опыт S-UT-8):
1 — эксперимент; 2 - рас-
расчет по программе TRAC
Рис. 4.23. Сравнение расчет-
расчетных и экспериментальных
значений температуры стен-
стенки твэлов в опыте S-UT-8:
1 - эксперимент; 2 -
расчет по программе TRAC
249
15
Рис. 4.24. Схема интегральной установки:
1 - корпус реактора; 2 — нижняя камера; 3 - A3; 4 - опускная труба; 5 -
компенсатор давления; б - место подачи воды САОЗ; 7 - парогенератор; 8 - "не-
"неповрежденная" петля; 9 - насосы; 10 - место разрыва; // - имитатор парогенера-
парогенератора; 12 - "поврежденная" петля; 13 - быстродействующий клапан; 14 - имитатор
насоса; 15 - бак приема истекающего теплоносителя
характеризуются сопоставления результатов расчета с опытными данны-
данными, полученными на интегральной установке LOFT (США).
Установка LOFT (табл. 4.3, рис. 4.24) представляет собой крупно-
крупномасштабную двухпетлевую модель циркуляционного контура реактора,
предназначенную специально для анализа достоверности различных ма-
машинных программ, разработанных для расчета нестационарных тепло-
гидравлических процессов в реакторах при аварийных режимах. Наличие
ядерного обогрева делает установку LOFT в достаточной степени уни-
уникальной. Активная зона имеет диаметр 0,6 и высоту 1,7 м. В установке
моделируется САОЗ, состоящая из систем впрыска воды высокого и
низкого давления и гидроаккумулятора.
Подробное описание результатов сопоставления расчетов по различным
машинным программам с экспериментами, проведенными на установке
LOFT, приведено в специальной литературе [6, 197].
Здесь представляется целесообразным лишь проиллюстрировать типич-
типичные результаты сопоставления опытных данных для экспериментов, мо-
250
Рис. 4.25. Сопоставление расчетных
и экспериментальных значений тем-
температуры оболочки твэла при моде-
моделировании МПА на установке LOFT
(опыт L2-3):
1 - эксперимент; 2 - расчет по
программе TRAC-P1?
10 20 30 <*О 50 60 70 80
400
делирующих МПА и аварию с малой течью, с расчетами по машинной про-
программе TRAC.
Аварийная ситуация, вызванная двухсторонним разрывом циркуля-
циркуляционного трубопровода холодной нитки одной из циркуляционных петель
реактора, моделировалась, например, в опыте L2-3 на установке LOFT.
В исходном стационарном режиме мощность реактора установки состав-
составляла 37 МВт G5% номинальной), давление в системе было 15 МПа, расход
теплоносителя 185,4 кг/с.
Как следует из рис. 4.25, машинная программа TRAC-P1A с использо-
использованием корреляции Илойже для минимальной температуры устойчивого
пленочного кипения достаточно хорошо качественно и приемлемо
количественно описывает поведение температуры оболочки твэла в зоне
максимального энерговыделения на стадиях истечения теплоносителя,
заполнения нижней камеры реактора водой САОЗ и повторного увлаж-
увлажнения стенок твэлов.
Серия экспериментов (L3) на установке LOFT была посвящена мо-
моделированию аварии с малой телью в циркуляционном контуре водо-
водяного реактора. В частности, в опыте L3-1 исследовались нестационар-
нестационарные теплогидравлические процессы при 2,5% течи из холодной нитки
"поврежденной" петли. В данном случае расход течи превышает подачу
воды САОЗ, что приводит к постепенному снижению давления в системе.
В исходном стационарном режиме мощность реактора установки состав-
составляла 50 МВт, расход теплоносителя 478,8 кг/с, давление 14,95 МПа. Не-
Нестационарный режим начинался с остановки реактора, отключения цирку-
циркуляционных насосов и инициации течи путем открытия быстродействую-
быстродействующего клапана. Расчет по машинной программе TRAC-P1A дал завышенные
значения давления в системе (рис. 4.26). Анализ показал [197], что одни-
одними из причин расхождения данных являются неточности в описании вски-
вскипания теплоносителя в условиях экспериментов (что приводит к заниже-
занижению расчетных значений расхода теплоносителя через течь и соответствую-
соответствующему замедлению снижения давления в системе) и отличие расчетного
определения интенсивности остаточного тепловыделения по стандартной
методике от имевших место в реакторе LOFT. Уточнение опытных кон-
251
Рис. 4.26. Расчетные и эксперименталь-
экспериментальные значения давления в системе при
моделировании аварии с малой течью
на установке LOFT (опыт) :
1 - эксперимент; 2 - априорный
расчет по программе TRAC; 3 - уточ-
уточненный расчет по программе TRAC
стант в корреляциях, определяющих описание образования и транспорта
пара в воде в системе замыкающих соотношений в математической моде-
модели машинной программы TRAC (§ 4.2), позволило существенно улуч-
улучшить согласование опытных и расчетных данных (рис. 4.26). Таким об-
образом, иллюстрируемые выше результаты проведенных к настоящему
времени сопоставлений расчетов по машинным программам нового по-
поколения с опытными данными, полученными на экспериментальных уста-
установках различного назначения, масштаба и сложности, позволяют заклю
чить, что машинные программы нового поколения, базирующиеся на
глубоком и детальном описании физики протекающих процессов, могут
служить средством получения достаточно надежных данных при улучшен-
улучшенном и детальном расчетном анализе нестационарных теплогидравличес-
ких процессов в энергетическом оборудовании, в частности в ядерных
реакторах, при переходных и аварийных режимах работы.
Дальнейшее совершенствование этих машинных программ продол-
продолжается на основе специально ориентированных экспериментов на создан-
созданной и развивающейся в международном масштабе системе эксперимен-
экспериментальных установок.
Глава 5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ РЕЖИМАХ, СВЯЗАННЫХ
С ПОВРЕЖДЕНИЯМИ АКТИВНОЙ ЗОНЫ РЕАКТОРА
В последнее время растет внимание к гипотетическим ситуациям
на АЭС, при которых возможно тяжелое повреждение активной зоны во-
доохлаждаемого реактора. Основная задача - написать сценарий разви-
развития такой ситуации, количественно охарактеризовать протекающие
процессы, предсказать вероятные последствия, разработать методы и
технические средства уменьшения нежелательных последствий.
Подобные ситуации на АЭС характеризуются совокупностью весьма
сложных и взаимосвязанных процессов различной физической природы,
обусловливающих поведение активной зоны и циркуляционного контура
реактора.
Основные процессы, контролирующие развитие аварии, связаны с
нарушением адекватного охлаждения активной зоны, разогревом твэлов
и элементов конструкции зоны, интенсивным окислением металлических
252
конструкций зоны, расплавлением и разрушением активной зоны, паде-
падением разрушенной активной зоны в нижнюю камеру реактора, бурной
генерацией пара, повреждением корпуса реактора, образованием и горе-
горением водорода, воздействием разрушенной и расплавленной активной
зоны на бетонную оболочку реактора, разрушением оболочки, выходом
продуктов деления и их распространением.
Среди всей совокупности физических процессов ключевая роль принад-
принадлежит теплогидравлическим и массообменным процессам и в первую
очередь процессам в активной зоне реактора, в значительной степени
определяющим развитие рассматриваемой ситуации на АЭС и ее послед-
последствия.
Следует отметить, что исследования процессов, сопровождающихся тя-
тяжелыми повреждениями активной зоны водоохлаждаемых реакторов,
были инициированы сравнительно недавно (после аварии на АЭС "Три-
Майл-Айленд", США). До этого времени основное внимание уделялось
активным зонам жидко металлических реакторов-размножителей на
быстрых нейтронах.
Сложность и явно недостаточная изученность тепломассообменных
процессов обусловливают весьма высокую степень неопределенности
анализа рассматриваемых режимов, однако представляются целесооб-
целесообразными изложение вероятных сценариев развития ситуации и ее воз-
возможного математического описания, выделение основных влияющих
факторов и оценка степени неопределенности их знания.
5.1. ТЕПЛООБМЕН В АКТИВНОЙ ЗОНЕ РЕАКТОРА
К настоящему времени сложилась система представлений о наиболее
вероятном протекании тяжелой аварии в активной зоне водоохлаждае-
мого реактора [201], включающем следующие четыре стадии.
1. Разогрев неповрежденной активной зоны. Область температур
разогрева — от нормальной эксплуатационной до 2000 К. Разогрев может
сопровождаться такими повреждениями компонент зоны, как охруп-
чивание циркалоя вследствие окисления, "разбухание" и частичное разру-
разрушение оболочек твэлов.
2. Разрушение активной зоны может происходить либо вследствие
"ожижения" или "размягчения" циркалоевых оболочек твэлов, дистан-
ционирующих элементов, других конструкционных элементов при темпе-
температурах до 2170 К, либо из-за фрагментации при резком охлаждении
охрупченного циркалоя при Т> 1350 К. В результате действия обоих ме-
механизмов происходит формирование совокупности обломков или ос-
осколков разрушенной активной зоны.
3. Разогрев осколков разрушенной активной зоны существенным об-
образом определяется параметрами- слоя осколков, обусловливающими
отвод от него продолжающего выделяться тепла.
253
4. Формирование и перемещение объема расплава активной зоны.
Область температуры зоны определяется химическим составом осколков
активной зоны. Для металлического циркалоя температура плавления
составляет 2170 К. Если осколки содержат главным образом оксиды,
то плавление имеет место при температурах 2900 (ZrO2) - 3100 (UO2) К.
Однако в обоих случаях не следует ожидать образования значительного
количества жидких материалов при Т < 2700 К. Обусловлено это тем,
что при Т = 2700 К 1 кг расплавленного металлического циркалоя может
растворить 5,67 кг 1Ю2 [202]. С уменьшением температуры способность
циркалоя растворять UO2 существенно снижается. Если учесть, что по
массе содержание циркалоя в активной зоне водо-водяного реактора от-
относительно мало по сравнению с содержанием UO2, то при температурах
2170—2700 К находящийся в расплавленном состоянии циркалой не
сможет растворить существенного количества UO2. Для каждой из рас-
рассмотренных стадий могут быть выделены наиболее существенные факто-
факторы, определяющие развитие аварийной ситуации.
Стадия 1. Тепломассообменные процессы для этой стадии аварии
весьма интенсивно изучались в области температур примерно до 1475 К
в рамках исследований максимальной проектной аварии водоохлаждае-
мых реакторов.
Основные факторы, специфичные для рассматриваемых ситуаций в
активной зоне реактора, — термохимическое взаимодействие водяного
пара с цирконием, содержащимся в оболочках твэлов и возможно в
других конструктивных элементах активной зоны; термомеханическое
поведение оболочек твэлов, их деформация и частичное разрушение.
Пароциркониевая реакция, как было показано в гл. 2, сопровождается
в основном следующими эффектами: интенсивным выделением тепла при
высоких температурах, выделением водорода, изменением физических
свойств материала оболочки твэлов, в частности снижением механической
прочности из-за охрупчивания, повышением температуры плавления
от 2170 (Zr) до 2900 К (ZrO2 ).
Выделение тепла при пароциркониевой реакции составляет 6,29 МДж/кг
и при Т > 1250 К становится доминирующим фактором, определяющим
разогрев активной зоны. Только за счет тепла пароциркониевой реакции,
без учета остаточного тепловыделения, температура твэлов может намного
превысить 3100 К. Имеющиеся в настоящее время и рассмотренные, в
частности, в гл. 2 корреляции для расчета скорости пароциркониевой
реакции, а следовательно, интенсивности соответствующего тепловыделе-
тепловыделения базируются, как правило, на опытных данных, полученных для идеа-
идеализированных условий, не во всем совпадающих с реальными условия-
условиями, характерными для рассматриваемой ситуации в активной зоне реакто-
реактора. Так, основной массив данных был получен для Т ^ 1500 К, что соот-
соответствует предельно допустимой температуре оболочки твэла водоох-
лаждаемого реактора при максимальной проектной аварии, равной
1473 К [1].
254
В то же время существует весьма ограниченное количество данных по
скоростям пароциркониевой реакции для температур 1870 К. Как отме-
отмечалось в гл. 2, интенсивное выделение водорода при пароциркониевой
реакции может существенно снизить скорость реакции по сравнению со
скоростью в идеализированных условиях неограниченной подачи пара
к поверхности реакции. Так, для условий активной зоны реактора АЭС
TMI-2 (США) учет данного эффекта приводит к снижению максимальной
расчетной температуры твэла в аварийной ситуации на 20-25% при Т >
> 1300 К по сравнению с температурой при неограниченной подаче пара
для пароциркониевой реакции. Наконец, в условиях ситуации с повреж-
повреждением активной зоны реактора возникает проблема определения площа-
площади реагирующей поверхности оболочки твэла. Все эти отклонения от
идеализированных условий экспериментов приводят к неопределенно-
неопределенностям в определении интенсивности тепловыделения за счет пароцирконие-
пароциркониевой реакции для рассматриваемой ситуации в активной зоне водоохлаж-
даемого реактора.
Термомеханическое поведение твэлов при высоких температурах обус-
обусловливает изменение и, возможно, нарушение условий охлаждения твэлов
вследствие блокирования сечения прохода теплоносителя, а также частич-
частичное разрушение деформированных и охрупченных оболочек твэлов под
действием внутреннего давления.
Основная масса экспериментальных данных по деформационному по-
поведению оболочек твэлов относится к оболочкам из циркалоя (напри-
(например, [203-205]). На их основе создан ряд машинных программ для рас-
расчета степени деформации оболочек, а также условий их разрыва (напри-
(например, [206,207]).
Следует отметить, что количественный перенос результатов по дефор-
деформационному поведению оболочек из циркалоя на оболочки из сплава
Zr - l%Nb, применяемого в реакторах типа ВВЭР, неправомочен, главным
образом, из-за существенно различных температур перехода от а-фазы к
(а + 0)-фазе для этих сплавов F15 °С для Zr - 1% Nb и 820 °С для цирка-
циркалоя). Опытные данные по деформационному поведению оболочек из
сплава Zr — 1% Nb весьма ограничены, что иногда приводит к использова-
использованию машинных программ, основанных на данных для циркалоя, к рас-
расчетному анализу деформации оболочек из Zr - 1% Nb. В этой связи пред-
представляет интерес машинная программа EPSI (ГДР), разработанная спе-
специально для определения деформационного поведения оболочек из
сплава Zr- l%Nb [207].
Оболочка разбивается на сегменты. Для каждого сегмента зависимость
деформации от времени описывается дифференциальным уравнением
Нортона-Аррениуса из теории тонких оболочек, имеющим следующий
вид:
^р(), E-0
dt l \ кТ I
255
где Oi = Ар Я ./6; i - номер сегмента; Др. - разность давлений внутри
оболочки и снаружи; Rf = JR0 (I + е/) - текущее значение среднего радиу-
радиуса оболочки; б — актуальная толщина оболочки, рассчитываемая в пред-
предположении неизменности площади сечения оболочки в процессе деформа-
деформации. Коэффициент А определяется с учетом анизотропии деформации по
соотношению
А = aJZII + нТ /я + L\F + G)-(«+ D/2. E.2)
Связь между величинами F, G и Н находится из модифицированного урав-
уравнения фон Мизеса
Н = 1,5 - (F + C), E.3)
где F и G определяются как функции от температуры оболочки.
Напряжение разрыва оболочки, МПа, рассчитывается по эмпирической
зависимости, учитывающей влияние окисления оболочки:
api = ^expH^rjexp - A°° Xl ^-I . E.4)
Текущее значение концентрации кислорода в сегменте оболочки OXj
определяется с помощью следующего уравнения, описывающего кинети-
кинетику пароциркониевой реакции (см. гл. 2) :
*, ехр -— -—- . E.5)
dt у/Т \ Т I pZl60
Необходимые для замыкания описания параметры приведены в табли-
таблице [208].
Параметры сплава Zr — 1 % Nb
Деформационные
параметры
п
Ах
Qi
аг
Ъх
G
F
5,89
19379,0
32,1104
830
0,003
min @,5
max @,5
а - Фаза
+ 24,69 (Т -923,15)
; 0,3054 + 2- 10~4 Г)
; 1,029-4,017- 10~4 Т)
(а + E) -Фаза
2,55
2,166 • 108
29 Ю4
350
0,0025
/З-Фаза
4,50
А = 0,24
15-104
187,5
0,002
256
Рис. 5.1. Деформационное поведение оболо-
оболочек из Zr - 1% Nb и циркалоя-4 (е = R/Ro -1)
при ^р = 4,5 МПа; Tw = 1050 К
Уравнения E.1) —E.5) позволяют на 0,6
основе заранее определенных временных 0,5
зависимостей для разности давлений
между газовым зазором твэла и тепло-
теплоносителем и для средней температуры
оболочки провести расчетный анализ .тер-
.термомеханического поведения оболочек
твэлов в аварийной ситуации
Zr-7%Nb
Циркалой-и
300 600 900 12О0 t,C
Расчеты показали, что, как и следовало ожидать, деформация оболочки
из сплава Zr - 1% Nb существенным образом отличается от деформации
оболочек из циркалоя (рис. 5.1).
Следует отметить, что экспериментальные, например [206, 209, 210],
исследования показали отсутствие заметного ухудшения охлаждения
активной зоны водоохлаждаёмого реактора при степени блокировки
менее 90%.
Стадия 2. Как уже отмечалось, разрешение перегретой активной зоны
происходит как за счет "размягчения" циркалоевых оболочек твэлов, так
и вследствие фрагментации при резком охлаждении охрупченных оболо-
оболочек. Процесс образования, течения и затвердевания ожиженных материа-
материалов существенным образом определяется протекающими химическими
реакциями. В частности, результаты работы [211] показали: а) расплав-
расплавленный циркалой будет растворять диоксид урана (UO2) при температу-
температурах, примерно равных температурам плавления металлического циркалоя
(Т « 2170 К), т.е. при существенно более низких температурах, чем тем-
температура плавления UO2, равная 3100 К; б) если оксидный слой, обра-
образовавшийся в результате пароциркониевой реакции на наружной поверх-
поверхности оболочки твэла, достаточно велик, то большая часть ожиженной
массы оболочки и топлива будет оставаться внутри твэла. И лишь незна-
незначительная ее часть будет вытекать в канал теплоносителя через небольшие
отверстия в оксидном слое, приводя к незначительной блокировке кана-
канала. И уже в дальнейшем, при образовании больших трещин и отверстий
в оболочке вытекает основная масса ожиженного топлива, вызывая
существенно большую блокировку каналов теплоносителя.
Существенное влияние на процесс расплавления может оказывать
оксидная пленка, образующаяся на внутренней поверхности оболочки
твэла при ее повреждении до расплавления. Эта пленка может заметно
снижать количество топлива, растворяющегося расплавляющейся оболоч-
оболочкой при взаимодействии UO2 — Zr [212-214].
Как показали исследования, для жидко металлических реакторов теп-
тепловое взаимодействие вытекающего в канал теплоносителя расплавлен-
расплавленного топлива с относительно холодными стенками канала может управ-
257
ляться одним механизмом или комбинацией следующих механизмов:
а) теплопроводностью через затвердевшую корку, образующуюся на стен-
стенке канала; б) турбулентной конвекцией, если турбулентные пульсации
в потоке расплавленного топлива столь значительны, что препятствуют
образованию корки на поверхности стенки канала. Соответственно и
формирование обломков разрушенной зоны в этих случаях происходит
по-разному: либо нарастает корка на стенке канала, либо постепенно
увеличиваются твердые образования в потоке расплавленного топлива.
При этом в первом случае затвердевания расплавленного топлива
происходит на расстояниях на порядок больших, чем во втором случае.
К настоящему времени экспериментальных данных недостаточно для
того, чтобы выявить условия применимости той или другой модели за-
затвердения расплавленного топлива. Можно только отметить, что в рабо-
работе [213] сделан вывод о достаточно хорошей пригодности модели тепло-
теплопроводности для описания процесса затвердевания в трубе потока пара-
парафина и других материалов, не содержащих внутренних источников тепла.
В то же время для условий жидкометаллических реакторов, где расплав-
расплавление стальной пленки канала при контакте с расплавленным топливом
препятствует образованию корки, лучшее согласование с опытными дан-
данными дает вторая модель.
Для водоохлаждаемых реакторов применимость данной модели для
описания процесса затвердевания топлива зависит от степени окисления
стенок канала теплоносителя: если ожиженное топливо и циркалой при
Т = 2200 К попадают в канал теплоносителя, стенки которого покрыты
диоксидом циркония, температура плавления которого 2900 К, то модель
теплопроводности представляется более применимой; если же стенки
канала не окислены или ожиженные материалы имеют температуру, близ-
близкую к температуре плавления диоксида урана Т = 3100 К, то, по-видимо-
по-видимому, более предпочтительна вторая модель.
Систематические исследования процесса фрагментации охрупченной
оболочки твэла вследствие резкого охлаждения практически отсутствуют.
Следует только отметить работу [215], в которой анализируется нижняя
граница размеров фрагментов оболочки. В основу анализа положен сле-
следующий критерий охрупчивания: толщина циркалоевой оболочки с массо-
массовым содержанием кислорода менее 0,9% должна превышать 0,1 мм.
Основные неопределенности, связанные с процессом фрагментации
твэлов при резком охлаждении, следующие: количество разрушающихся
топлива и оболочек, размер фрагментов, количество материала, уносимо-
уносимого из зоны; влияние фрагментации на движение фронта резкого охлажде-
охлаждения и т л.
Отмеченные выше неопределенности количественных характеристик
процессов, лежащих в основе разрушения активной зоны, приводят к
значительным погрешностям в параметрах результирующего состояния
разрушенной активной зоны водоохлавдаемого реактора. В то же время
результаты гораздо более широких исследований процессов образования
258
осколков разрушенной активной зоны применительно к условиям жидко-
металлических реакторов, по-видимому, не могут быть перенесены на
условия активных зон водоохлаждаемых реакторов, так как имеющиеся
ограниченные эксперименты [213] показали, что размеры фрагментов
активной зоны водоохлаждаемого реактора (около 1000 мкм) суще-
существенно отличаются в большую сторону от соответствующих размеров для
жидкометаллических реакторов (около 100 мкм).
Стадия 3. Скорость дальнейшего разогрева слоя обломков разрушен-
разрушенной активной зоны, как уже отмечалось, существенно зависит как от
геометрических и физических параметров слоя, так и от режима теплооб-
теплообмена внутри него. Геометрические и физические параметры слоя облом-
обломков определяются закономерностями и сочетанием процессов ожижения,
движения и затвердевания, а также фрагментации при быстром охлажде-
охлаждении материалов активной зоны. Можно выделить две качественно различ-
различные структуры слоя обломков: слой достаточно грубых частиц (типа
щебенки), способных перемещаться одна относительно другой, и слой
мелких сцепленных между собой частиц, не имеющих возможности пере-
перемещаться. В первом случае условия отвода тепла от слоя обломков
активной зоны значительно лучше, чем.во втором, так как способность
фрагментов к перемещению делает возможными такие эффекты, как
псевдоожижение слоя и образование паровых каналов, по которым при
дальнейшем охлаждении может проникать жидкий теплоноситель.
Режимы теплообмена внутри слоя — конвекция, нижние, кризис тепло-
теплообмена, закризисный теплообмен. Наиболее существенными факторами,
определяющими скорость разогрева слоя обломков активной зоны, яв-
являются наступление кризиса теплообмена и интенсивность закризисного
теплообмена.
При анализе экспериментальных данных следует разделять следующие
случаи: различные структуры слоев, мелкие (каналы пронизывают всю
толщину) и глубокие слои, подачу теплоносителя сверху или снизу слоя.
Исследования кризиса теплообмена в слоях грубых частиц при различных
сочетаниях материалов теплоносителя и частиц (воды, ацетона, метанола,
жидкого натрия и стали, свинца, песка, урана) и при.подаче теплоносите-
теплоносителя сверху слоя показали, что эффект образования паровых каналов ока-
оказывает существенное влияние на условия возникновения кризиса высы-
высыхания. При заливе теплоносителя сверху кризис высыхания определяется
пределом противоточного движения жидкости и генерируемого внутри
слоя пара.
Результаты систематических экспериментальных исследований крити-
критического теплового потока в глубоких слоях частиц различного состава и
размеров при моделировании объемного тепловыделения в слое при-
приведены в [216]. Изучался теплообмен в цилиндрическом слое диаметром
21,6 и длиной 101,6 см, образованном алюминиевыми сферическими
частицами, нанизанными на проволоку, по которой пропускался электри-
электрический ток, и гравием с характерным размером частиц около 8 мм. Поле
259
температуры в слое измерялось 240 термопарами (d в 0,25 мм). По-
Пористость слоя составляла 0387, фактор формы характерной частицы —
около 1,24 (отношение площади поверхности частицы к площади поверх-
поверхности сферы равного объема) .Массив опытных данных этих исследований
может быть рекомендован для проверен теоретических моделей и ре-
рекомендаций для расчета критического теплового потока в слое при охлаж-
охлаждении обломков активных зон водоохлаждаемых реакторов.
Влияние глубины слоя на критический тепловой поток изучалось в ра-
работе [217] для стальных частиц размером 1 и 3 мм, обогреваемых индук-
индукционным способом. Показано, что зависимость qci от глубины слоя не-
незначительна.
Более существенное влияние на охлаждение слоя обломков может
оказать переменность пористости слоя. В частности, как следует из резуль-
результатов работы [218], при заливе слоя сверху теплоноситель быстро про-
проходит в зоны с большей проницаемостью, а затем, поднимаясь вверх,
охлаждает зоны с меньшей проницаемостью.
К настоящему времени разработано несколько десятков методик рас-
расчета кризиса теплообмена при охлаждении слоев грубых частиц. В рабо-
работе [216], в частности, для расчета критического теплового потока в глу-
глубоких слоях несферических грубых частиц рекомендуется соотношение
= 0,0707Р/г
-e)
0,1
E.6)
где е — пористость слоя; F — фактор формы частицы. Другим примером
могут служить методики расчета процесса повторного увлажнения слоя
частиц достаточно большого диаметра при заливе снизу или сверху, изло-
изложенные в работе [218].
При заливе слоя частиц снизу предполагается, что высота двухфазного
участка пренебрежимо мала, тем самым фронт повторного увлажнения
делит слой частиц по высоте на два участка; выше фронта — однофазный
пар, ниже — однофазная жидкость.
Система уравнений модели включает в себя:
уравнения энергии для пара (индекс v ) и частиц (индекс р) в паровом
участке слоя
€pvc
дТу
vcvv Т GvCPv Т + ** (ТР Г"); EJ>
и ot az
•N rp
0 - e)Ppcp -jf^- =-av(Tp -Tv); E.8)
уравнения энергии для жидкости и частиц в заполненном жидко-
жидкостью участке слоя
260
ЬТ, ЬТ,
= Gc + "(Т ~ Т1У' E'9)
bt ' *" bz
уравнение баланса импульса в слое
Ар = ](avfi, + G) + p,g)dz +
О Pj
н ъ
+ J (avvGv + G] + р g)dz; E.11)
^ q p
уравнение движения фронта смачивания
dzQ G,r*
;
dt A -€)ppcpp(Tp - Ts) + ep}r*
уравнение баланса массы пара на фронте смачивания
E.12)
G, = П «Урр«р Т^ - . E.13)
О е^(т зг) ty*
Здесь параметры с индексом v относятся к пару, с индексом / - к жидко-
жидкости, с индексом р — к частицам; е - пористость слоя; г* = г +cpi(Ts -
~ 7/L = * )' za ~ координата фронта смачивания.
При выводе системы уравнений E.12), E.13) принято допущение:
тепло, накопленное в частицах при подходе фронта увлажнения, мгно-
мгновенно освобождается и идет на парообразование, что эквивалентно пред-
предположению о бесконечно большом коэффициенте теплообмена системы
частица — жидкость.
Система семи уравнений E.7) —E.13) содержит семь неизвестных:
TVf T[, Tpv, Tpi, Gv, G/, zq. Заданными в задаче являются конфигурация
слоя и движущий напор Ар.
Для определения правых частей уравнений системы используются сле-
следующие замыкающие соотношения:
для коэффициента а в выражении для силы трения
а = 150A - €J!(e3d2p)\ E.14)
для коэффициента Ъ в выражении для силы сопротивления
Ь = 1,75A ¦- e)/(e3dp); E.15)
261
40
30
20
10
о
•
/ i i
• / p-6>35w*
/Граница слоев
Ар-бОсм
T0=525°C
! 1 1
Zf.CM
40
30
20
10
;
-
\ °
•
•
i
To
\
•
О
•
4
.25,*
о
«.
dp
I
J « 5Y,muh ^ 5 10 15 20 2549мин
Рис. 5.2. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по движению фронта
увлажнения при заливе снизу слоя частиц переменной пористости
Рис. 5.3. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по движению фронта
увлажнения при заливе сверху слоя частиц переменной пористости
для коэффициентов-теплоотдачи av и а^
Nu, = Re?'65 [О - е)//Я *'33,
E.16)
где Ь и а - коэффициенты, определяемые E.15), E.14); / = b/а - ха-
характерная длина, м; / = 0,00115 м — опытная константа;
= Gkl/fik; k = /, v.
E.17)
На рис. 5.2 сопоставлены расчетные данные по движению фронта увлаж-
увлажнения при заливе снизу с экспериментальными результатами работы
[218] для слоя частиц, нижняя часть которого (/ = 250 мм) состояла из
стальных частиц диаметром dp = 3,18 мм, а верхняя (/ = 250 мм) — из
стальных частиц диаметром dp = 6,35 мм. Начальная температура слоя
525 °С, движущий напор 500 мм.
Движение фронта увлажнения при заливе слоя частиц сверху, контро-
контролируемое условиями достижения предельного соотношения скоростей
фаз при их противоточном движении, может быть описано уравнениями,
выражающими баланс масс и энергии на фронте увлажнения и имеющими
близкий к E.12) й E.13) вид
dzq
dt
- Ts)
E.18)
Gv =
E.19)
A -€)pcCpp(Tp - Ts)+€Pf**
где r** = r + cpi(Ts - Tj. ); 7). - температура жидкости на входе в слой.
262
Массовые расходы жидкой Gj и паровой Gv фаз связаны соотношением
предельных скоростей фаз при их противоточном движении. В частности,
может быть использовано соотношение [219], учитывающее специфику
пористой среды и имеющее вид
0*I/2 + О'р1/2 = 0,875, E.20)
где
- pv)g
E.21)
E.22)
Система из трех уравнений E.18) —E.20) содержит три неизвестных:
zg, Gv и Gj.
Рисунок 5.3 иллюстрирует согласие расчетных предсказаний по описан-
описанной модели с экспериментальными данными [218] по движению фронта
увлажнения при заливе сверху в слое, верхняя часть (/ =170 мм) которо-
которого состоит из частиц диаметром 6;35 мм, средняя (/ = 170 мм) - из ча-
частиц диаметром 3,18 мм, а нижняя (/= 100 мм) - из частиц диаметром
1,6 мм. Начальная температура слоя 580 °С.
Все приведенные выше результаты относились к слоям частиц, кото-
которые моделируют слой обломков активной зоны, имеющий первую из вы-
выделенных выше структур, т.е. к слоям подвижных, достаточно больших
частиц. Для слоев мелких сцепленных частиц данные по кризису теплооб-
теплообмена отсутствуют. Однако можно полагать, что по условиям формации
таких слоев теплообмен внутри них осуществляется конвекцией к пару,
так что само понятие кризиса теплообмена в этом случае теряет смысл.
Отвод тепла от частиц внутри слоя сцепленных частиц, а также в режи-
режиме закризисного теплообмена для слоя грубых частиц осуществляется
конвекцией к пару, лучистым теплообменом и контактной теплопровод-
теплопроводностью. Возможным путем описания такого теплообмена является вве-
введение эффективной теплопроводности слоя. Так, в [220] на основании
экспериментальных данных для слоя сферических частиц циркония диа-
диаметром 45 мм для температур до 1273 К получено следующее соотноше-
соотношение для эффективного коэффициента теплопроводности слоя:
». . [1 - О - »)"!» * °-"''' ^
2/6 - 1 Bz
х II + ' 4oT3dpy E.23)
[ B/е - l)ApJ P
263
где Bz = 1,25A + </?I0/9/</>; Ар = \plDo7*dp) (Хр - теплопровод-
теплопроводность частиц); у — объемное паросодержание слоя; е - коэффициент
теплового излучения. Основные неопределенности в расчете как кри-
кризисного, так и закризисного теплообмена в слое обломков активной зоны
связаны с неточностями знания таких характеристик слоя обломков, как
размер фрагментов, паросодержание в слое, излучательная способность
частиц и. т.п.
Например, при изменении размера частиц от 350 до 4000 мк относи-
относительная эффективная теплопроводность слоя, найденная по формуле
E.23) при температуре 2700 К, \р = 0,52 и е = 0,55, изменяется от Хе/Хр~
= 0,58 до Хе/Хр = 3,16.
Стадия 4. Формирование и движение расплава активной зоны водоох-
лаждаемого реактора практически не изучены. Так что некоторые заклю-
заключения об основных факторах, определяющих протекание аварии с тяже-
тяжелым повреждением активной зоны водоохлаждаемого реактора, можно
сделать лишь на основании результатов исследований, проводившихся
для активных зон жидкометаллических реакторов [221].
Для слоя расплава при наличии внутреннего тепловыделения теплооб-
теплообмен излучением и естественной конвекцией может быть описан соотно-
соотношением, полученным в [222]:
Nu = 0(AORa0'224, E.24)
где N = ^л1Dп2оТ3)\ № - коэффициент поглощения; п - коэффициент
рефракции; о - постоянная Больцмана; Ra - число Релея; a(N) - опыт-
опытный коэффициент, обратно пропорциональный ixiN и lima (N) = 0,222.
ДГ->ОО
Движение расплава активной зоны, его проникновение через окружаю-
окружающую корку, взаимодействие с конструкционными элементами активной
зоны, попадание в нижнюю камеру реактора - весьма слабо изученные
процессы, которые можно характеризовать лишь качественно. В этой
связи представляют интерес результаты работы [223], в которой, правда,
для пористой среды, показано, что при Ra > 5,5 более горячая жидкость
может проникать в более холодную отдельными струями, что может в
дальнейшем привести к локальному перегреву элементов конструкции
реактора.
Неопределенность в описании процессов на четвертой стадии аварии
с тяжелым повреждением активной зоны водоохлаждаемого реактора
весьма велика. Основные из них связаны с охарактеризованием остаточ-
остаточного тепловыделения в расплаве, физических свойств расплава, его
взаимодействия с конструкционными элементами активной зоны.
Следует отметить, что на интенсивность остаточного тепловыделения
в разрушенной активной зоне реактора существенное влияние оказывает
вынос продуктов деления из активной зоны. Так, при температурах бо-
более 2200 К большая доля продуктов деления обладает высокой лету-
264
честью и может весьма интенсивно выноситься из активной зоны при
ожижении топлива фрагментации твэлов и формировании расплава актив-
активной зоны, что может примерно до 50%'снизить интенсивность остаточного
тепловыделения. Этот вывод был подтвержден при расчетах остаточного
тепловыделения применительно к активной зоне АЭС TMI-2.
При всей сложности и неопределенности процессов, обусловливающих
протекание ситуации с тяжелым повреждением активной зоны водоох-
лаждаемого реактора, актуальной является задача создания машин-
машинных программ для расчетного анализа поведения реактора в таких ситуа-
ситуациях.
Примером математической модели, которая может быть применена
для анализа аварийной ситуации с расплавлением активной зоны водоох-
лаждаемого реактора вплоть до проплавления корпуса реактора, является
двухмерная четырехжидкостная модель, описанная в [224],
Модель базируется на системе дифференциальных уравнений сохране-
сохранения массы, момента и энергии для четырех жидкостей: смеси водяного
пара и водорода, воды, твердых обломков активной зоны, расплава
активной зоны.
Уравнение сохранения массы данной жидкости (с индексом /) имеет
вид
Э п
() fo) 2 rkf. E.2.5)
bt } J J J J *=1
rkf.
1
Уравнение E.25) должно быть дополнено уравнением сохранения
массы водорода:
Э
= Гн. E.26)
bt
Генерация водорода Гн происходит за счет пароциркониевой реакции.
Уравнение сохранения импульса в проекции на ось z для данной жидко-
жидкости / может быть записано в виде
где Wf- аксиальная проекция вектора скорости у^ данной жидкости;
Czkf и Dzkt " коэффициенты в выражении для силы межжидкостного
взаимодействия и взаимодействия жидкости со стенками.
265
Уравнение сохранения импульса для данной жидкости / в проекции на
ось R имеет вид
Э _ 1 Ьр 1
uf + \fVur х
bt J J J pf bR (<pp)f
4 1
x
к
где 2^ - радиальная проекция вектора скорости \, данной жидкости.
Уравнение энергии данной жидкости представляется в виде
5Г W/ -
где Wy - удельная внутренняя энергия жидкости /; члены правой части
описывают тепловые потоки, связанные с фазовым переходом с интен-
интенсивностью Гкр межфазным теплообменом и теплообменом жидкости /
со стенкой.
Основная система дифференциальных уравнений модели содержит
17 дифференциальных уравнений и дополняется условием постоянства
объема
1 _ 2^-^=0, E.30)
где <ps — объемное содержание неперемещающихся (находящихся в твер-
твердом состоянии) элементов конструкции в рассматриваемом объеме.
Кроме того, для заключения основной системы дифференциальных
уравнений модели требуются соотношения, описывающие уравнения со-
состояния материалов, а также обмен массой, импульсом и энергией между
материалами и стенками.
Рассмотренная модель легла в основу машинной программы MELPROG
(США) [225] для расчетного анализа ситуаций с расправлением активной
зоны водоохлаждаемого реактора. Данная программа может быть ис-
использована в качестве модуля машинной программы TRAC-PF1 [13],
что распространяет применение программы TRAC на область ситуаций
с расплавлением активной зоны реактора.
5.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РАСПЛАВА С БЕТОНОМ
Важная роль принадлежит тепломассообменным процессам на ста-
стадии взаимодействия расплава активной зоны с бетоном оболочки ре-
реактора, следующей за проплавлением корпуса реактора, в значительной
степени определяющим скорость и степень разрушения бетона, интен-
интенсивность изменения температуры расплава, выделения газов, в том чис-
числе горючих, выноса с газами в пространство под оболочкой нелетучих
радиоактивных веществ, повышения давления под оболочкой.
Процесс взаимодействия расплава активной зоны с бетоном оболоч-
оболочки существенно зависит от температуры расплава, которая опреде-
определяется следующими оказывающими противоположное влияние эф-
эффектами: подводом тепла за счет остаточного тепловыделения и экзо-
экзотермических реакций между материалами расплава и выделяющимися
при взаимодействии расплава с бетоном газами (водяной пар и диок-
диоксид углерода); отводом тепла к среде внутри оболочки, а также тепла,
полученного за счет эндотермического взаимодействия с бетоном.
Важность влияния, которое оказывает процесс теплового взаимодей-
взаимодействия расплава активной зоны с бетоном оболочки и средой под обо-
оболочкой на протекание поздних стадий и последствия ситуации с тяже-
тяжелым повреждением активной зоны реактора, инициировало в последнее
время проведение достаточно интенсивных исследований — как экс-
экспериментальных с модельными и реальными веществами, так и расчет-
расчетных.
Одной из основных задач экспериментов с модельными веществами
было выяснение механизма обмена теплом на границе между горячим
расплавом и разрушающимся бетоном. Классически простой экспери-
эксперимент, поставленный в работе [226], с использованием в качестве мо-
модельных материалов воды и сухого льда показал, что образующийся
в процессе сублимаций льда газ может формировать газовую пленку
на поверхности раздела жидкость — твердое вещество. Естественно, что
эта газовая пленка и будет определять интенсивность теплообмена
между жидким веществом и разрушающимся твердым, в том числе
между расплавом активной зоны и бетоном.
Будет или не будет образовываться газовая пленка между жидкими
и твердыми материалами — зависит, в частности, от интенсивности обра-
образования газовой фазы при их взаимодействии. Экспериментально установ-
установлено, что при вдувании газа через пористую стенку в объем жидкости с
внутренними источниками тепла постоянная газовая пленка не наблюда-
наблюдалась вплоть до приведенных скоростей газа, равных 10 мм/с, соответст-
соответственно и интенсивность теплообмена была существенно выше, чем рассчи-
рассчитанная в предположении образования газовой пленки.
Другими существенными факторами, которые могут определяться
интенсивностью теплообмена между расплавом активной зоны и бетоном
267
оболочки, являются образование и разрушение твердой корки на поверх-
поверхности контакта.
В работе [227] была показана возможность периодического процесса:
образования корки вследствие снижения температуры расплава при на-
начале его взаимодействия с бетоном; последующего вторичного повы-
повышения температуры расплава, вызванного снижением интенсивности
отвода тепла от тепловьщеляющего расплава из-за увеличения термическо-
термического сопротивления при образовании корки; разрушения корки при соот-
соответствующем повышении ее температуры. В дальнейшем устанавливается
квазистационарный процесс взаимодействия рассматриваемых веществ.
В качестве модельных использовались следующие материалы: адипино-
вая (для расплава активной зоны) и азельпиновая кислоты, бикарбонат
натрия и полиэтиленгликоль (для разрушающегося бетона).
Существование стабильной корки возможно и при интенсивном выде-
выделении газов в процессе взаимодействия расплава с бетоном. Так, при
вдуве воздуха в охлаждаемый снизу объем воды стабильная корка льда,
пронизанная воздушными каналами, образовывалась в диапазоне при-
приведенных скоростей воздуха от 6,5 до 130 мм/с.
С реальными веществами проведено ограниченное количество экспе-
экспериментов, и они в основном посвящены определению скорости проникно-
проникновения расплава в бетон. В маломасштабных опытах [227] при взаимодей-
взаимодействии 1 кг расплавленного UO2 с бетоном измеренные скорости проник-
проникновения расплава составляли 10—100 мм/ч. В крупномасштабных экспе-
экспериментах по взаимодействию железоалюминиевого термита с бетоном бы-
были получены скорости разрушения более 600 мм/ч [228]. Отмечено силь-
сильное газовьщеление. Существенное влияние на скорость проникновения
расплава в бетон оказывает уровень теплового потока на поверхности
взаимодействия. Так, в [229] показано с помощью плазменной установ-
установки мощностью 2 МВт, что в диапазоне плотностей теплового потока
280-2800 кВт/м2 скорость разрушения бетона линейно возрастает с рос-
ростом плотности теплового потока.
В настоящее время проводятся исследовательские программы на уста-
установках BETA и SANDIA [230] (США) по изучению интегральных зако-
закономерностей взаимодействия жидкого и затвердевшего расплава активной
зоны с бетоном в приближенных и реальных условиях. Так, в установке
BETA расплав состоит из металлических и оксидных фаз, нагреваемых
индуктивно с высокой мощностью энерговыделения. Диаметр внутрен-
внутренней полости бетонного тигля составляет 380 мм. Опыты показали, что
скорость разрушения бетона пропорциональна мощности внутренних
источников тепла в расплаве.
На основании полученных в экспериментах представлений о механизме
теплообмена при взаимодействии расплава с бетоном разработан ряд
корреляционных соотношений, используемых, в частности, в машинных
программах для описания аварийных ситуаций с расплавлением актив-
активной зоны.
268
По физическим основам данные корреляционные соотношения могут
быть разделены на три группы. Первую группу составляют соотношения,
базирующиеся на представлении о существовании газовой пленки на гра-
границе системы расплав—бетон, вторую — соотношения, основанные на
предположении о наличии жидкой пленки на этой границе, третью -
соотношения, описывающие периодический контакт жидких материалов
с поверхностью бетона.
Механизм теплообмена для соотношений первой группы схож с меха-
механизмом теплообмена при пленочном кипении, второй группы — с пузырь-
пузырьковым кипением, третьей - с переходным.
Естественно, что соотношения первой группы дают наименьшую ско-
скорость охлаждения расплава активной зоны, разрушения бетона оболочки,
выделения газов. В качестве примера можно привести соотношения,
базирующиеся на концепции тейлоровской неустойчивости газовой плен-
пленки и использующиеся в машинной программе CORCON (США) для рас-
расчета разности температур между объемом расплава и бетоном оболочки.
Общее термическое сопротивление RT полагают равным сумме термичес-
термических сопротивлений объема расплава R* и газовой пленки на границе си-
системы расплав-бетон Rl, т.е.
RT = Д; + Rj. E.31)
Термическое сопротивление объема расплава, через который барботи-
рует газ, выделяющийся из бетона, описывается следующим соотноше-
соотношением [231]:
*v = К ^-^^(З-Ю-^АГ+О,^I^]-1, г E.32)
где
а= jgl (jg + wR); wR = \,53[gavl(pv - Pg)]1/4;
здесь jg — приведенная скорость газа; индекс v относится к материалу
расплава.
Термическая проводимость газовой пленки равна сумме термических
проводимостей процессов конвекции тепла через пленку (ас) и лучистого
теплообмена (аг ):
R}= (ac + о,Г»; E.33)
= 0,326 ^(^-); E.34)
E.35)
269
«г = era0(rf- 7J), E.36)
где er = (e~* + e — I)" - приведенный коэффициент теплового излу-
излучения системы расплав—бетон; 7/ и Гс — температуры на границах газо-
газовой пленки.
Расчетные соотношения второй группы практически не применяются
в расчетах теплообмена при взаимодействии системы расплав-бетон,
поскольку они не позволяют получить более реалистичные результаты,
чем соотношения других групп.
Представляют интерес развиваемые в последнее время расчетные соот-
соотношения третьей группы [230]. Полагают, что при реальных приведен-
приведенных скоростях газов, выделяющихся в процессе взаимодействия системы
расплав—бетон, стабильная газовая пленка на границе не образуется.
Продукты разрушения бетона представляются как двухфазная смесь
(шлак + газы), проникающая за счет гравитационных сил в расплав ак-
активной зоны. В то же время расплав периодически контактирует с твердой
поверхностью бетона. Подобная модель приводит к следующей системе
расчетных соотношений для коэффициента теплоотдачи в процессе взаи-
взаимодействия системы расплав—бетон:
Л A + PfIPvf [ r'sf J \ \s I
где r'sf =rsf + cs(Tc - To) + (Cf/2)(Ti - Tc) - модифицированная
теплота фазового перехода бетона в жидкое состояние; индексы s и /
относятся к твердому и жидкому состояниям бетона соответственно;
Тг = [Tv + (PflPv)Tc]l(l +fy/j3v) - температура на границе систе-
системы расплав (индекс v) — разрушенный бетон (индекс /) ;
E.38)
j g si ^ > / g
. 1 -
cf = eg* + csi(l - ф [
E.39)
S = (P5//P^H'33- отношение скоростей газа (индекс g) и шлака (si) в
двухфазной смеси продуктов разрушения бетона, имеющей объемное у
и массовое х газосодержание.
В [230] данная модель- была модифицирована на основе предположе-
предположения, что на начальной стадии взаимодействия расплава активной зоны с бе-
бетоном оболочки может существовать газовая пленка на поверхности раз-
раздела системы расплав—бетон. Такирм образом, при приведенных ско-
270
Рис. 5.4. Сравнение расчетных и экс-
экспериментальных данных по глубине
разрушения бетона при взаимодей-
взаимодействии его с тепловыделяющим рас-
расплавом:
в осевом направлении:
эксперимент; q - расчет; в радиаль-
радиальном направлении: - - - - экспе-
эксперимент; д - расчет
300 600 900 1Z00 15001,0
ростях газа, лежащих между значениями, задаваемыми предельной ско-
скоростью противоточного движения фаз (условие образования газовой
пленки) и предельной скоростью существования стабильной газовой плен-
пленки (условие разрушения газовой пленки), теплообмен между расплавом
и бетоном рассчитывают с использованием соотношений первой группы,
т.е. по модели газовой пленки. Рисунок 5.4 иллюстрирует согласование
расчетов по данной модели с опытными данными, полученными на уста-
установке BETA при взаимодействии с бетоном расплавленного железа, нагре-
нагретого до температуры 2473 К, при внутреннем тепловыделении 370,3 кВт.
5.3. ПАРОВОЙ ВЗРЫВ
Одним из возможных событий при развитии аварийной ситуации с тя-
тяжелым повреждением активной зоны реактора является паровой взрыв,
возникающий при взаимодействии расплава активной зоны с теплоноси-
теплоносителем. Паровой взрыв может привести к резкому увеличению генерации
пара и водорода, а также к сильному механическому воздействию на
элементы конструкции реактора и в первую очередь на корпус или обо-
оболочку реактора (в зависимости от того, где произошел взрыв). Вероят-
Вероятность повреждения оболочки при паровом взрыве, происшедшем в ниж-
нижней камере водоохлаждаемого реактора, в [232] оценена значением 0,01.
Паровой взрыв можно определить как высвобождение значительного
количества энергии расплава в форме ударной волны сжатия вследствие
высокоскоростного цепного процесса взаимодействия горячей жидкости
(расплава) и холодной испаряющейся жидкости (теплоносителя).
Физические исследования механизма термомеханического взаимодей-
взаимодействия двух разнородных жидкостей различной температуры, обзор кото-
которых приведен, в частности, в [233], позволили выделить различные
фазы возникновения и протекания парового взрыва:
начальное "грубое" перемешивание горячей и холодной жидкостей
механизм теплообмена между жидкостями - пленочное кипение;
резкая интенсификация теплообмена при нарушении пленочного кипе-
кипения под воздействием того или иного возмущения;
271
формирование ударной волны вследствие цепного процесса резкой ге-
генерации пара - дальнейшей фрагментации жидкостей;
распространение ударной волны в двухфазной системе.
Определяющей является третья фаза, при которой генерация пара в
данном месте происходит со скоростью, превышающей интенсивность его
отвода, что приводит к местному возрастанию давления и как следствие,
с одной стороны, - к дальнейшей фрагментации частиц жидкостей, разви-
развитию поверхности контакта и росту генерации пара, а с другой стороны -
к распространению этого процесса на соседние частицы. В результате
имеет место детонационный процесс.
Существуют разные представления о механизме резкой генерации пара
при внезапном контакте, например, частиц горячей высококипящей жид-
жидкости с холодной низкокипящей жидкостью. Соответственно возмож-
возможность реализации данного механизма в том или ином конкретном случае
может рассматриваться как необходимое условие возникновения парово-
парового взрыва. Другие необходимые условия определяются факторами, ли-
лимитирующими физические процессы, лежащие в основе остальных фаз
парового взрыва.
Описание процесса резкого возрастания генерации пара на рассматри-
рассматриваемой стадии парового взрыва предлагается проводить на основе
механизма спонтанной нуклеации. В пользу такой гипотезы свидетель-
свидетельствуют данные экспериментальных исследований. Так, в ряде работ при
выливании или инжектировании в воду криогенных жидкостей (гидро-
(гидрокарбонов) установлено, что для получения парового взрыва температура
гомогенной нуклеации вливаемой жидкости должна быть близка к темпе-
температуре воды, играющей здесь роль горячей жидкости. Эксперименты по
всплытию небольшой капли легкокипящего вещества в объеме высоко-
кипящей жидкости, имеющем вертикальный градиент температуры, пока-
показали, что взрыв капель различных органических жидкостей происходил
при температурах, отличающихся менее чем на 1 К от теоретических тем-
температур гомогенной нуклеации. Это позволило авторам заключить, что на-
наличие развитой поверхности контакта системы жидкость-жидкость,
имеющей температуру, большую, чем температура спонтанной нуклеации
легкокипящей жидкости, или близкую к ней, является достаточным
условием для возникновения по крайней мере локального парового
взрыва, К аналогичному выводу приходят авторы ряда исследований,
проводившихся для систем расплавленный металл-вода. При вливании
свинца при Т = 620 Ч- 1020 К в воду диапазон температур свинца
720-820 К был оптимальным для возникновения паровых взрывов.
В то же время в других экспериментах, проводившихся для систем ме-
металл—вода (например, олово—вода; сплав Вуда—вода), эффективное
взаимодействие было получено при существенно меньших температурах
E73-510 К), что может быть объяснено эффектом гетерогенного паро-
парообразования, которое в условиях мало масштабных экспериментов при
272
обилии центров парообразования позволяет обеспечить достаточную для
возникновения взрывов малого масштаба скорость генерации пара.
Начальная фаза парового взрыва в значительной мере определяет мас-
массу расплава активной зоны, которая достаточно эффективно перемеши-
перемешивается с водой и тем самым может принимать участие в последующих фа-
фазах парового взрыва.
Возможны два принципиально различных механизма перемешивания
расплава с водой, один из них предполагает, что фрагментация капель
расплава происходит до размера, соответствующего пределу противоточ-
Ho.ro движения падающей капли и восходящего потока пара. Во втором
случае расплав, вода и пар считаются образующими единую систему,
расширяющуюся в радиальном направлении по мере погружения в объем
теплоносителя. Детальный расчетный анализ процесса перемешивания при
вытекании струи расплавленного топлива через нижнюю опорную плиту
активной зоны водоохлаждаемого реактора, проведенный в [234] с по-
помощью многомерной машинной программы PHOENIX (Великобритания),
показал, что для условий экспериментов промежуточного масштаба пере-
перемешивание может быть описано на базе представления о фрагментации
струи топлива при соударении с уровнем воды на сферические капли
неизменного диаметра. Эти сферы окружены паровой пленкой и при
дальнейшем погружении в объем воды не фрагментируются.
В то же время для полномасштабных условий реактора более предпоч-
предпочтительным оказалось допущение непрерывной фрагментации струи
топлива под действием локального теплового взаимодействия с водой
и турбулентного перемешивания. Например, диаметр частиц топлива
можно полагать убывающим по закону
Д/ = Д/Оехр(-П, E.40)
где Df0 - начальный диаметр частиц; 7* = (цпt/Df0) (pcl9f)l^2 - без-
безразмерное время; щп — скорость топлива на входе; Рс-> Р/ — плотность
теплоносителя и топлива соответственно.
В рамках того или иного допущения о величине и законе изменения
частиц топлива процесс перемешивания может быть описан следующей
системой уравнений сохранения массы, импульса и энергии фаз двухфаз-
двухфазной смеси топлива и теплоносителя:
bt
где
1 в уравнениях масс;
vk, Wfr в уравнениях импульса; E.42)
ik в уравнениях энергии;
273
ик {vk* wk } — вектор скорости с проекциями v^ на ось у и wk на ось z;
<рк - объемное паросодержание фазы к\, $i + <р2 = 1; Гф , 5ф — коэф-
коэффициент переноса и источниковый член для фазы к соответственно.
Система замыкающих соотношений включает в себя:
уравнения состояния фаз
рк=рк(р.*кУ> E-43)
описание источникового члена в уравнении импульса фазы
S<$>k = igradp + ig + \Fkf(uk - u;), E.44)
где множитель межфазного трения Fkj равен
3 р!
Fkf = — CD ——\Ч ~ и/1' E-45)
4 vxDf
здесь коэффициент сопротивления Ср капли топлива диаметром
окруженной пленкой пара, находится по соотношению
18,67A -
E 46)
описание источникового члена в уравнении энергии фазы к, опреде-
определяемого межфазным теплообменом
Яф* = Qkj = Ар(ас + «г) (Гр - Г,), .E.47)
где Лр, Гр — площадь поверхности и температура частицы топлива;
Ts - температура насыщения теплоносителя; ас - коэффициент теплоот-
теплоотдачи конвекцией, равный
ас = 2,98 -i-i E.48)
D{T - Ts)
[здесь г' = r +0,68cpg(Tp - Гу)—модифицированная теплота парообразо-
парообразования теплоносителя; Pg,\ - плотность и теплопроводность пара тепло-
теплоносителя]; аг — коэффициент теплоотдачи радиацией, равный
аг * оег(Рр - Тр1(Тр - Ts) E.49)
(здесь ег - приведенный коэффициент теплового излучения системы).
Вторая фаза или фаза возбуждения парового взрыва обусловливает
стохастическую природу взрыва, связанную с разрушением паровой плен-
пленки вокруг горячих частиц под действием случайных возмущений. К ним,
в частности, могут относиться случайные снижения температур расправа
274
или теплоносителя, спонтанные локальные волны давления или волны
давления, приходящие извне. Так, исследования дестабилизации пленоч-
пленочного кипения этанола и фреона-113 на обогреваемой горизонтальной ни-
никелевой трубе вследствие ударного возрастания давления на 0,1—0,5 МПа
за время 0,08-3 мс [235] показали, что разрушение паровой пленки
визуально казалось полностью завершенным примерно через один кадр
(при скорости съемки 5000 кадр/с) даже при таких относительно неболь-
небольших скачках давления и температурах поверхности, в 1,5 раза превосхо-
превосходящих критическую температуру.
Третья фаза - формирования ударной волны - определяется цикли-
циклической совокупностью процессов, включающей в себя процессы переме-
перемешивания и формирования новой области контакта системы расплав -
теплоноситель, в частности за счет фрагментации расплава, генерации пара
и т.д.
Процессы генерации пара на данной стадии были рассмотрены выше.
В целом третья фаза является наиболее неопределенной среди всех стадий
взрыва. Предложен ряд моделей этой фазы. Однако в [233] делается
заключение, что ни одну из этих моделей нельзя рассматривать как
имеющую твердую теоретическую и экспериментальную основу. Поэто-
Поэтому целесообразно ограничиться лишь общей характеристикой основ этих
моделей.
Одна группа моделей базируется на представлении о фрагментации
вследствие разрушения пузырьков, в то время как другая фокусирует
внимание на перемешивании во время стадии расширения. Модели первой
группы обычно используют расчеты асимметричного разрушения кави-
тационного пузырька, касающегося вначале твердой стенки. При этом мо-
могут быть оценены длина, скорость и диаметр возникающей струи. Неопре-
Неопределенность приложений этой модели к частицам расплава, окруженным
паровым слоем, состоит в том, что условие касания не удовлетворяется
даже приближенно.
Вместе с тем киносъемки фрагментации капель олова в воде показы-
показывают повторяющийся рост и разрушение пузырей вследствие проникнове-
проникновения воды в каплю, за которым следует быстрое испарение [233]. Этот
факт находится в определенном соответствии с теорией образования кра-
кратеров, согласно которой теплоноситель проникает в капли топлива благо-
благодаря нестабильности поверхности и турбулентному перемешиванию,
вызванному большими относительными скоростями теплоносителя.
Затем он быстро испаряется, "выдувая" воронку материала, масса кото-
которой зависит от температуры и физических свойств расплава и теплоноси-
теплоносителя.
Другая модель нестабильности поверхности частицы расплава [236]
рассматривает кольцевую струю брызг, следующую за контактом "языка"
жидкого теплоносителя с поверхностью расплава и быстрым местным по-
повышением давления.
275
///////////////////////////////////// 7777/77777777777777777/7777/
*)
Рис. 5.5. Физическая модель процессов перемешивания (а) и парового взрыва (б):
1 - зона взрыва; 2 - промежуточная зона; 3 - зона расширения; 4 - зона пере-
перемешивания
Последняя фаза парового взрыва — распространение полностью сфор-
сформировавшейся термической детонационной волны в первоначально грубо
перемешанной смеси расплава, жидкого и парообразного теплоносителя.
Прохождение ударной волны вызывает срыв парового слоя и частицы
расплава и возникновение больших относительных скоростей. На этой
стадии фрагментация частиц расплава может происходить либо вследствие
вскипания при докритических давлениях, либо вследствие нарушения
устойчивости поверхности при сверхкритических давлениях. Второй ме-
механизм может быть доминирующим при высоких относительных скоро-
скоростях, соответствующих большим числам Бонда:
Во =
8а
> 10»,
E.50)
где uR - относительная скорость частицы радиусом rD\ cD - коэффи-
коэффициент сопротивления одиночной гладкой частицы. Такие значения Во
соответствуют высоким давлениям за ударной волной. Например, для
пары олово—вода давление примерно равно 102 МПа без учета замедления
теплоносителя в плотной дисперсии капель расплава.
Результаты более реалистичных расчетов, приведенные в [233], пока-
показывают возможность появления пара докритического давления в зоне
прохождения скачка давления.
Приведенное выше описание различных фаз парового взрыва показы-
показывает сложность и малоизученность протекающих при взрыве физических
процессов. Соответственно с весьма большими неопределенностями свя-
связаны попытки расчетным путем предсказать условия возникновения
парового взрыва при расплавлении активной зоны и его последствия.
В последнее время осуществляются исследовательские программы,
включающие в себя проведение "интегральных" экспериментов промежу-
промежуточного масштаба и разработку машинных программ, базирующихся на
"интегральных" феноменологических моделях паровых взрывов.
276
В частности, экспериментальные исследования промежуточного масшта-
масштаба выполняются на установке FITS (США) [237]. Расплав активной зоны
моделируется расплавами железоалюминия с добавкой кориума. Масса
расплава 1-20 кг. Теплоноситель - вода различных температуры и дав-
давления. Соотношения масс расплава и воды варьируются. Измеряются:
давление в окружающей воде и в атмосфере, параметры парогазовой
смеси, изменяющиеся во времени, финальное распределение осколков.
Процесс визуализируется с помощью высокоскоростной киносъемки.
В качестве примера феноменологических моделей парового взрыва можно
привести неравновесную модель парового взрыва большого масштаба
в водоохлаждаемом реакторе, представленную в [238].
Физическая модель рассматривает процессы перемешивания и взрыва
в трех зонах системы (рис. 5.5): взрыва, промежуточной и расширения.
Основные допущения модели:
система имеет одну зону взрыва, распространяющегося с плоским или
полусферическим фронтом;
весь теплоноситель в зоне взрыва участвует во взаимодействии с рас-
расплавом;
тепломассообмен с окружающей средой отсутствует; внутренний теп-
тепломассообмен осуществляется между зонами взрыва и промежуточной;
частицы расплава топлива равномерно распределены в объеме теплоно-
теплоносителя в результате начального перемешивания;
весь пар, возникающий при взрыве, остается вокруг частиц топлива;
радиационной энергией пара и энергией химических реакций между
топливом и теплоносителем можно пренебречь.
Вода и пар могут иметь различные температуры и потому не находить-
находиться в состоянии термодинамического равновесия. Частицы расплавленного
топлива разделяются по размерам на две группы: первую образуют части-
частицы диаметром Anix> определяющимся процессом начального переме-
перемешивания, вторую составляют частицы, образовавшиеся в процессе фраг-
фрагментации. Переход частиц из первой группы во вторую осуществляется
по тому или иному закону, например имеет место почти мгновенный
переход при прохождении ударной волны (в течение почти 100 мкс по дан-
данным [239]).
Основная система дифференциальных уравнений модели включает в
себя записанные в приближении сосредоточенных параметров уравнения
баланса массы и энергии для нефрагментированного и фрагментирован-
ного топлив, жидкого и парообразного теплоносителей в зоне взрыва,
теплоносителя в промежуточной зоне, а также уравнение движения для
промежуточной зоны:
уравнения баланса массы:
фрагментированного топлива (индекс fr)
dmfl/dt = mF; E.51)
277
нефрагментированного топлива (индекс/)
drrif/dt = -mF\ E.52)
пара теплоносителя (индекс g)
dmgldt = rhv\ E.53)
жидкого теплоносителя (индекс с)
dmc/dt = -mv + mM\ E.-54)
промежуточной зоны (индекс s)
dms/dt = -/ям; E.55)
уравнения баланса энергии:
фрагментированного топлива
dEpjdt = -QUg - mFVfp + mFif\ E.56)
нефрагментированного топлива
dEfldt = -Qfg + mFVfp - wF//^; E.57)
пара теплоносителя
dEg/dt = Qfg + QfTg - Qfc - QUc +
+ mv[hfg + cpc(Tsc - rref)] - pF^; E.58)
жидкого теплоносителя
dEc/dt = Qfc + Cfrc - '"vCpc (Гс - rref) +
+ mMcps(Ts - Tn{) - pVc; E.59)
промежуточной зоны
dEJdt = -rhMcps(Ts - W - PVS; E.60)
уравнения импульса для промежуточной зоны:
при плоском фронте ударной волны
^=g+ А°(Р ' Ро) L*J E.61)
dt ms 2 DH
при полусферическом фронте ударной волны
dus Ro I P - Ро 2g
dt Rf - R0Rj [ ps и
278
4
n
Л0
где Rj, Ro, Ts - внутренний и наружный радиусы и температура про-
промежуточной зоны соответственно; Tsc, TIQf — температура насыщения и
текущая температура теплоносителя; тр, mv, mM - интенсивности фраг-
фрагментации топлива, испарения теплоносителя, массообмена между зоной
взрыва и промежуточной зоной соответственно; Qfg, Qfig> Qfc> Qhc -
интенсивности теплообмена нефрагментированного и фрагментирован-
ного топлива с паром и жидким теплоносителем; hfg, hf - удельные
теплоты испарения теплоносителя и плавления топлива; vgf vc, vs— удель-
удельные объемы пара, жидкости и промежуточной зоны; As - площадь грани-
границы зон взрыва и промежуточной зоны; щ — скорость движения границы
промежуточной зоны; Vg, Yc — скорости изменения объема и пара жид-
жидкости.
Система замыкающих соотношений основной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений модели E.51)-E.62) включает в себя следующие
выражения для описания:
интенсивности фрагментации расплава топлива
при t < 7>г;
ТЬE.63)
О?при t > 7>г.
Здесь Arafr, Tfr — эмпирические параметры: масса фрагментирующегося
топлива и время фрагментации соответственно;
теплообмена с паром (рис. 5.6)
Qig = AfliVi - Tis), i = f, fr, E.64)
где коэффициент теплоотдачи а; равен
щ = max — ; J_ E.65)
[ ri \Jirajt J
(здесь г,-, п{ - радиус и коэффициент температуропроводности топливной
частицы соответственно);
теплоотдачи к внешней границе парового слоя
где термическая проводимость газового слоя равна
aig = \g/Sg = X^/maxf ^ , 50 E.67)
279
Рис. 5.6. Схема механизма теплообмена фраг-
фрагментов топлива:
1 - топливо; 2 - глубина слоя термического
взаимодействия; 3 - пар; 4 - жидкость
ШШ j
I
2 5 2
обмена теплом в слое жидкого теплоносителя
Qic B <*icAic(Tsc - Те)
(здесь Vg, 60 - объем и исходная толщи-
толщина газового слоя; е/ — приведенный
коэффициент теплового излучения);
E.68)
где
<Чс =
i=f, fr;
С ^ 0,1 - доля тепла, излучаемого топливом и идущего на объемное теп-
тепловыделение в теплоносителе;
интенсивности парообразования на границе системы пар-жидкость
E.69)
уноса из промежуточной зоны в зону взрыва, капель жидкости разме-
размером Drf с относительной скоростью ur :
Г о I1'2
Dd = 2тг = Лс; E.70)
[a(pc-Pg)\
uR = 0,465 м,]1/2, E.71)
Qfgc + Qfigc - Qfc - Qhc
mv =
ifg + cpc(T T)
где а - ускорение.
Система основных дифференциальных уравнений E.51) —E.62) и си-
система замыкающих соотношений E.63)-E.71) образуют неравновесную
математическую модель для описания параметров, характеризующих па-
паровой взрыв в системе расплав активной зоны — вода. В качестве условий
однозначности необходимо задать: ms — массу промежуточной зоны;
тс - массу теплоносителя в зоне взрыва; Vgj/VCj - начальное объемное
паросодержание в зоне взрыва; Тт[Х — характерное время смещения;
Anix - характерный начальный диаметр частиц, а также эмпирические
параметры процесса взрыва: 7fr - характерное время фрагментации;
DfT - локальный характерный диаметр фрагментации; AmfT — массу
топлива, участвующего во фрагментации.
280
В условиях экспериментов на установке FITS могут быть рекомендо-
рекомендованы следующие соотношения для определения условий однозначности:
тс = рс • 1,5(T+JVf, E.72)
где Т* — безразмерное характерное время смешения, равное
o) iPclPf)'/2; E.73)
?ехр -время взрыва; ?>у0 - входной размер частиц топлива; Uf - ско-
скорость скольжения нефрагментированного топлива, определяемая при рас-
расчете замедления топлива в теплоносителе;
VgilVci = 1.5(П2 - 1/1,5(П2; E.74)
= ехр [-Со (Г)т\Уеи] E.75)
Dfo
при Т* = 0; Dmix = DfQ; Co = 0,163; от = 0,772; и = 0,246; We =
= Pcu}PfQlaf;
7>r = 2L/uptop; E.76)
«prop - скорость распространения удара (измеренная или принятая);
L — расстояние от зоны взрыва до свободной поверхности объема;
1'2
где а* — коэффициент температуропроводности топлива.
Масса топлива, участвующего во фрагментации, находится путем ите-
итерационного решения следующей системы соотношений:
', E.78)
avg mf
Г 6(mf - Amfr) 1
% = —г
|l/3
E.79)
E.80)
X
где DmsLWg — среднемассовый диаметр частиц топлива; Dfr — диаметр
нефрагментированных частиц топлива; Nm(x - число частиц топлива,
прошедших предварительное перемешивание. Результаты расчетов по дан-
281
Рис. 5.7. Изменение давления во времени для опыта на установке FITS (mc = 14 кг*
<А) = 50%)
ной модели, приведенные в [238] и иллюстрируемые рис. 5.7, достаточно
хорошо совпадают с экспериментальными данными, полученными на уста-
установке FITS.
5.4. ЛОКАЛИЗАЦИЯ РАСПЛАВА АКТИВНОЙ ЗОНЫ
Маловероятной, но возможной стадией развития ситуации с тяжелым
повреждением активной зоны реактора является стадия локализации
расплава активной зоны либо внутри оболочки реактора, либо в спе-
специальной полости-ловушке. Под локализацией понимается долговремен-
долговременное удержание расплава активной зоны в ограниченном специально пред-
предназначенном месте и организация пассивного или активного отвода тепла
с целью затвердевания расплава.
До недавнего времени эта стадия развития ситуации с тяжелым повреж-
повреждением активной зоны рассматривалась лишь для реакторов на быстрых
нейтронах и в первую очередь для жидко металлических реакторов [240].
В настоящее время проводятся подобные рассмотрения и для водоохлаж-
водоохлаждаемых реакторов.
Здесь целесообразно остановиться лишь на общих для жидкометалли-
ческих водоохлаждаемых реакторов аспектах проблемы локализации рас-
расплава активной зоны. Технически возможны следующие пути локализации
расплава активной зоны:
1. Бетонный неохлаждаемый "тигель", образуемый стенками полости
реактора, практически существующий во многих имеющихся конструк-
конструкциях реакторов, хотя и не рассчитанный на локализацию расплава ак-
активной зоны.
2. Специальный бетонный "тигель" с керамической обшивкой и актив-
активной системой охлаждения бетона.
282
3. "Тигель-ловушка" с "жертвенным"- барьером. В этом случае бетон-
бетонный "тигель" имеет массивную обшивку из "жертвенного" материала,
характеризующегося в первую очередь высокой теплотой и подходящей
температурой плавления. В пределе вся реакторная полость может быть
заполнена "жертвенным" материалом.
4. "Тигель-ловушка" со стойким барьером, который образуется соот-
соответствующим тугоплавким материалом.
5. Система "ловушек-поддонов", организуемых таким образом, чтобы
поэтапно прерывать движение расплава вниз и охлаждать его.
Процесс локализации расплава активной зоны на каждом из этих путей
существенным образом зависит от многих факторов и в первую очередь
от состава, состояния, геометрических и тепловых параметров расплава,
от интенсивности и распределения в нем внутренних источников тепла,
от выбора материалов и геометрических характеристик локализующих
устройств, от особенностей химического, механического и теплового
взаимодействия материалов расплава и локализующих устройств и т.п.
Неопределенность знания этих факторов обусловливает значительную
неопределенность описания процесса локализации расплава активной зо-
зоны. Тем не менее можно отметить ряд практически интересных характери-
характеристик каждого из возможных путей локализации расплава.
Закономерности взаимодействия расплава активной зоны с бетоном,
происходящего во всех случаях использования бетонного "тигля", были
рассмотрены выше. Процесс проплавления стальной обшивки бетона
или стальных конструкций "ловушек-поддонов" может быть охарактери-
охарактеризован на основании использования в качестве модельного процесса тепло-
теплового взаимодействия стальной плоской плиты со средой высокой темпера-
температуры. Время проплавления такой плиты определяется, плотностью воз-
воздействующего теплового потока, теплоотдачей поверхностей.
Для достаточно высоких значений коэффициента теплоотдачи на по-
поверхности контакта с расплавом [около 2 • 103 Вт/(м2 • К)] и при
контакте плиты с плохим проводником тепла (бетон) время полного
проплавления стальной плиты может быть оценено по соотношению
- TQ){\ +S)e/flf, E.81)
где Тт - температура плавления стали; Та — температура бетона; S =
= L/c(Tm - Та) - число Стефана; L — теплота плавления стали; а —
толщина плиты; q — плотность теплового потока, МВт/м2. Например,
стальная плита толщиной 20 мм под действием теплового потока плот-
плотностью q = 2 МВт/м2 полностью проплавится примерно через 60 с. Мате-
Материалы, используемые в качестве "жертвенного" барьера, должны обладать
следующими свойствами: большой теплоемкостью и теплотой плавления,
достаточно высокой температурой плавления, способностью образовывать
раствор с UO2, с тем чтобы "разбавить" расплав топлива и уменьшить
интенсивность внутреннего тепловыделения, достаточно высоким сече-
сечением поглощения нейтронов, невысокой стоимостью.
283
Наилучшим образом всем этим требованиям, по-видимому, будут
удовлетворять композиционные материалы.
Из "чистых" тугоплавких материалов перспективны для использова-
использования в жертвенном барьере оксиды магния (MgO), алюминия (А12О3),
циркония (ZrO2) и кремния (SiO2), не вступающие в активное химиче-
химическое взаимодействие с материалами расплава активной зоны и нержа-
нержавеющей сталью основной обшивки тигля.
Оксид магния относительно легок C,5 т/м3), но имеет высокую теп-
теплоемкость [С = 1,3 кДж/(кг -К)], высокие температуру (Тт~ 2800 °С)
и теплоту [L « 1,8 МДж/(кг • К)] плавления. Оксиды магния и урана
образуют жидкую эвтектику (молярное содержание 50%) при Т «
« 2200 -г 2300 °С. Оксид алюминия (А12О3) имеет более низкие тепловые
характеристики, чем оксид магния [с = 1,1 кДж/(кг • К), Tm ъ 2000 °С,
L « 1,1 МДж/(кг • К)], но это частично компенсируется более высокой
плотностью D т/м3). Молярное содержание А12О3 в эвтектике
с UO2 - 83%.
Оксид циркония (ZrO2) имеет еще более низкие тепловые характери-
характеристики [с = 0,6 кДж/(кг • К)], L =0,7 МДж/кг], но высокую температуру
плавления (Ттъ 2760 °С) и существенно большую плотность E,7 т/м3).
Оксиды достаточно эффективны: MgO при разогреве до эвтектической
температуры и плавления поглощает тепло в количестве около 17 ГДж/м3,
А12О3 — в количестве 13 ГДж/м3. По этому параметру для "жертвенно-
"жертвенного" барьера подходит и бетон (поглощающий тепло до 14 ГДж/м3), но
отсутствие интенсивного газовыделения при взаимодействии с распла-
расплавом делает оксиды предпочтительными.
Следует отметить, что "тигли-ловушки" расплава активной зоны могут
быть как с активным охлаждением, так и без охлаждения. В качестве
жертвенного материала для пассивных ловушек были предложены обед-
обедненная урановая керамика UO2 и базальт. Базальт обладает теми же
недостатками, что и бетон, а необходимая масса UO2 весьма дорого-
дорогостояща.
В качестве примера устройств с "жертвенным" барьером можно при-
привести разработанный в проекте CRBR "тигель-ловушку", в котором
"жертвенный" барьер состоит из магнезиевых блоков высотой 5 м,
образующих цилиндр радиусом 7 м, окруженный встроенной в графито-
графитовые блоки системой охлаждения. Затем идет бетонная оболочка.
К материалам, используемым в качестве стойких барьеров, предъяв-
предъявляются требования тугоплавкости и отсутствия интенсивного химиче-
химического взаимодействия с расплавом активной зоны и со сталью, если
эти материалы используются в качестве слоя обшивки тигля.
Данным требованиям удовлетворяют рассмотренные выше оксиды,
в особенности оксид кремния SiO2. Однако более перспективными
представляются графит, оксиды тория и урана. Графит обладает достаточ-
достаточно высокими тепловыми характеристиками. Он остается в твердом со-
состоянии вплоть до температуры плавления UO2 (около 3100 °С).
284
В области температур 1600-1830 С при взаимодействии оксидного топ-
топлива с графитом образуется карбид урана UC согласно реакции
UO2 + ЗС -> UC + 2CO.
При больших температурах протекает реакция
UO2 + 4С -> UC2 +• 2СО.
При температурах около 2400 °С появляется жидкая фаза карбидов
урана. Основной недостаток графита - достаточно интенсивное газовы-
газовыделение (СО) при взаимодействии с расплавом топлива. С этой точки
зрения более предпочтительны UO2, ThO2. В частности, в проекте охлаж-
охлаждаемого "тигля-ловушки" реактора SNR-300 (ФРГ) [241] в качестве
материала стойкого барьера использован обедненный диоксид урана UO2
и тория ThO2.
Выбор и анализ оптимальных способов локализации расплава активной
зоны в ситуациях с тяжелым повреждением активной зоны водоохлаждае-
мого реактора требуют специальных исследований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Общие положения обеспечения безопасности атомных станций при проектиро-
проектировании, сооружении и эксплуатации, ОПБ-82// Атомная энергия. 1983. Т. 54, № 2.
С. 151-160.
2. Collier J.G. Safety issues - thermal hydraulic consideration// Nucl. Reactor Safety
Heat Transfer. Proc. of Internat. Centre for Heat Mass Transfer. 1981. N 12. P. 113-128.
3. Букринский A.M. Аварийные переходные процессы на АЭС с ВВЭР. М.: Энер-
гоиздат, 1982.
4. Riebold W.L. Loss of coolant accident// См. [2]. 1981. N 12. P. 273-324.
5. Banerjee S., Hancox W.T. Transient thermohydraulics for nuclear reactors// Heat
transfer. 1978. Proc. of VI Internat. Heat Transfer Conf. Toronto, Canada. 1978. Vol. 6.
P. 311-337.
6. LWR System safety analysis// Nuclear reactor safety heat transfer/ J.F. Jackson e.a.
Proc. of Internat Centre Heat Mass Transfer. 1981. Vol. 12. P. 415-480.
7. Кузнецов Ю.Н. Нестационарный конвективный теплообмен в трубах// Тепло-
Теплоэнергетика. 1974. № 9. С. 11.
8. Кузнецов Ю.Н., Калинин Е.И., Наумов М А. Исследование нестационарного кон-
конвективного теплообмена в кольцевых каналах и пучках стержней при произволь-
произвольном изменении тепловой нагрузки во времени и по длине// Тепло- массоперенос. VI,
1980. Т.1.4. 2. С. 127-137.
9. Kuznetsov Yu. N. Unsteady thermal-hydraulics of singleand two-phase channel
flows/ Proc. of Third Internat. Topical Meeting on Reactor Thermal Hydraulics. Newport.
USA. 1985. Vol. 2. P. 21. E.
10. Букринский А.М., Фукс Р.Л. Многоэлементная модель для расчетного иссле-
исследования аварий с потерей теплоносителя на АЭС// Теплоэнергетика. 1977. № 7.
С. 77-81.
11. RELAP-4-MOD6. A computer program for transient thermalhydraulic analysis
of nuclear reactors and related systems/ Fisher S.K. e.a. CDAP-TR-003. Jan. 1978.
12. Зайцев С.Н., Волков Г. А., Спасе ков В.П. Некоторые аспекты моделирования
процессов в ВВЭР при истечении теплоносителя из I контура по программе
"Течь-М"// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Динамика ядерных энергетиче-
энергетических установок. М.: ЦНИИатоминформ. 1981. Вып. 7 B0). С. 44-54.
13. TRAC-PF1. An advanced best-estimate computer program for pressurized water
reactor analysis/ LA-9944-MS. Jan. 1984.
14. RELAP5/MOD2. Code manual. Vol. 1. Code structure, systems models and solution
methods. Ranson V.J. et al. EGG-SAAM-6377. April 1984.
15. Кузнецов Ю.Н., Девкин A.G Математическая модель нестационарного него-
негомогенного неравновесного двухфазного потока в канале// Теплофизика высоких
температур. 1984. Т. 22, № 3. С. 544-549.
16. Радиационная безопасность и защита АЭС: Сб. статей. Вып. 12/ Под ред. д-ра
техн. наук, проф. Ю.А. Егорова. М.: Энергоатомиздат, 1987.
17. Петухов Б.С., Гении Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетичес-
энергетических установках. М.: Энергоатомиздат, 1986.
18. Делайе Дж., Гио М., Ритмюллер М. Теплообмен и гидродинамика в атомной
энергетике и промышленных установках М.: Энергоатомиздат, 1984.
286
19. Крамеров А.Я., Шевелев Я.В. Инженерные расчеты ядерных реакторов.
2-е изд. перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1984.
20. Галин Н.М., Кириллов П.Л. Тепломассообмен (в ядерной энергетике): учеб-
учебное пособие для вузов. М.: Энергоатом издат, 1987.
21. Кириллов ПЛ., Юрьев Ю?., Бобков В.П. Справлочник по тепло гидравлическим
расчетам (ядерные реакторы, теплообменники, парогенераторы). М.: Энергоатом -
издат, 1984.
22. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
23. Dynamics of two-phase flow in a Duct/ S. Banerjee. et al.// См. [$]. Vol. 1. P. 345.
24. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.
25. Салтанов Г.А. Неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике
однофазных и двухфазных сред. М.: Наука, 1979.
26. Gidaspow D. Modeling of two-phase flow//Heat Transfer. 1974. Proc.V-thlnternat.
Heat Transfer Conf. Tokyo. 1974. Vol. VII. P. 163-168.
27. Characteristics and stability analysis of transient one-dimensional two-phase
equiations and their finite-difference approximation/ R,W. Lyczkowski et al.// Nucl.
Sci. Engng. 1978. Vol. 66, N 3.P. 378-396.
28. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы
дифференциальных уравнений двухскоростного движения двухфазных сред/
Л.А. Клебанов и др.// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46, № 1. С. 83-95.
29. Клебанов Л.А. Исследование нестационарных пароводяных потоков с учетом
скоростной неравновесности в элементах энергетических установок: Дис. ... канд.
техн. наук. М., 1982.
30. Бандурски Т. Температурные режимы оболочек твэлов активных зон при ава-
авариях с сепарацией теплоносителя в первом контуре АЭС с реакторами типа
ВВЭР-440: Дис. ... канд. техн. наук. М., 1985.
31. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач: Пер.
с англ. М.:Мир, 1972.
32..Lyczkowski R.W. An analysis of why single pressure two-flyid two-phase unequal
velocity model equations are not globally hyperbolic// Nucl. Sci. Engng. 1980. Vol. 66.
P. 378-396.
33. Ranwhaw J.D., Trapp J.A. Characteristics, stability and short-wave length pheno-
phenomena in two-phase flow equation systems// Nucl. Sci. Engng. 1978. Vol. 66, N 1.
P. 93-102.
34. Drew D.A., Lahey R.T. Application of general constitutive principles to the deri-
derivation of multidimensional two-phase flow equations// Internat. J. Multiphase Flow. 1979.
Vol. 5. P. 243-264.
35. Chao B.T., Sha W.T., Soo S.L. On inertial coupling in dynamic equations of compo-
components in a mixture// Internat. J. Multiphase Flow. 1978. Vol. 4. P. 219-222.
36. Drew D., Cheng L., Lahey R. The analysis of virtual mass effects in two-phase flow//
Internat. J. Multiphase Flow. 1979. Vol. 5. P. 233-242.
37. Arai M. Characteristics and stability analysis for two-phase flow equation systems
with viscous terms// Nucl. Sci. Engng. 1980. Vol. 74, N 1. P. 77-83.
38. Hetstroni G. Handbook of multiphase systems. Washington: Hemisphere Pub. Co.,
1983.
39. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения: Пер. с англ: М.: Мир, 1972.
40. Баттерворс Д., Хьюитт Г. Теплопередача в двухфазном потоке: Пер. с англ.
М.: Энергия, 1980.
41. Стырикович М.А., Полонский B.C., Циклаури Г.В. Тепломассообмен и гидро-
гидродинамика в двухфазных потоках атомных электрических станции. М.: Наука, 1982.
42. Теория теплообмена: Терминология/ Сборник рекомендуемых терминов. М.:
Наука, 1971. Вып. 83.
43. Flow visualisation studies of boiling water at high pressures// Bennett A.W. et al.//
AERE-R4874. 1965.
287
44. Heat transfer and friction correlations required to describe steam-water behavior
in nuclear safety studies// Solbrfg C.W. et al.// AIChE Symp. Ser. 1978. Vol. 74, N 174.
P. 100-128.
45. TRAC-PD2. An advanced best-estimate computer program for pressurized water
reactor loss-of-coolant accident analysis. NUREG/CR-2054. 1981.
46. RELAP5/MODL. Code manual. Vol. 1: System models and numerical methods.
NUREG/RCR-1826. 1981.
47. Doroschuk V.E., Borevsky L. Ja., Levitan L.L. Holographic investigation of steam-
water flows in heated and unheated channels// Heat Transfer. 1982. Proc. VII Internal
Heat Transfer Conf., Munich, FRG. 1982. Vol. 5. P. 277-281.
48. МапсШапе J.M., Gregory G.A., Aziz К .A. A flow pattern map for gas liquid flow
in horizontal pipes// Internat J. Multiphase Flow. 1974. Vol. 1. P. 537-553.
49. Taitel Y., Duckler A.F. A model for predicting flow regime transitions in horisontal
and near horisontal gasliquid flow// AIChE J. 1976.
50. Bergles A.E. Two-Phase flow structure observations for high pressure water in a rod
bundle/ Two-Phase flow and Heat Transfer in Rod Bundles ASME. N.-Y. 1977. P. 47-55.
51. Беспалов А.А., Морозов И.И. О дроблении газовых пузырей сверхкритическо-
сверхкритического радиуса в турбулентном потоке жидкости// Динамика машин и рабочих процес-
процессов. ЧПИ. 1975. № 162. С. 65-69.
52. Блинков В.Н., Фролов С.Д. Модель течения вскипающей жидкости в соплах//
Инж.-физ. журн. 1982. Т. 42, №5. С. 741-746.
53. Нигматулин Б.И., Милашенко В.И., Шугаев Ю.З. Исследование распределения
жидкости между ядром и пленкой в дисперсно-кольцевом пароводяном потоке//
Теплоэнергетика. 1976. № 5. С. 77-79.
54. Левитан Л.Л. Кризис высыхания в дисперсно-кольцевом режиме/ Достижения
в области теплообмена и гидравлики двухфазных потоков в элементах энергообору-
энергооборудования. Л.: Наука, 1987.
55. Chisholm D. A theoretical basis for the Lockhart-MartineUi correlation for two-
phase flow// Internat. J. Heat Mass Transfer. 1967. Vol. 10. P. 1767-1778.
56. Нигматулин Б.И., Милашенко В.И., Николаев В.В. Экспериментальное иссле-
исследование гидродинамики равновесных дисперсно-кольцевых пароводяных потоков//
Теплофизика высоких температур. 1978. Т. 16, № 6. С. 1258-1263.
57. Cohen L.S., Hanratty TJ. Effect of waves at a gas-liquid interface on a turbulent
airflow//J. Fluid Mech. 1968. Vol. 31. P. 467-479.
58. Scriven L.E. On the dynamics of phase growth// Chem. Engn. Sci. 1959. Vol. 10,
N 1/2.
59. Исследование при помощи скоростной киносъемки роста пузырьков при ки-
кипении насыщенной воды в широком диапазоне изменения давлений/ Д.А. Лабунцов
и др.// Теплофизика высоких температур. 1964. Т. 2, № 3. С. 446-453.
60. Moalem D., Siedeman S. The effect of motion on bubble collapse// Internat. J. Heat
Mass Transfer. 1973. Vol. 16. P. 2321-2324.
61. Нигматулин Р.И., Крошилин А.Е., Крошилин В.Е. // Теплофизика высоких
температур. 1979. Т. 17, №4. С. 804.
62. Крошилин А.Е., Крошилин В.Е., Нигматулин Б.И. Влияние относительного
движения и объемной концентрации пузырей на межфазный тепломассообмен в па-
рожидкостных средах// Теплофизика высоких температур. 1984. Т. 22, № 2. С 355.
63. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.
64. Groenveld D.C., Roussen J.C. CHF and post-CHF heat transfer, an assessment of
predicting methods and recommendations for reactor safety codes. Invited Paper NATO
Advanced Research Workshop. The Advances of two-phase flows and heat transfer. Spitzing-
ses. Schlieersee. FRG, Aug. - Sept. 1982.
65. Гидродинамика и теплообмен в атомных энергетических установках/
В.И. Субботин и др. М.: Атомиздат, 1975.
66. Study of the velocity profiles in the inlet section of a densily packed bundle of
rods/ Subbotin V.I. et. al.// Heat Transfer Soviet Research. 1971. Vol. 3. P. 1-14.
288
67. Rowe D.S., Chapman CC Measurement of turbulent velocity, intensity and scale
in rod bundle flow channels containing a spacer. BNL-757. 1973.
68. Maubach K., Nekme K. Pressure drop for parallel flow through a roughened rod
cluster// Nucl. Engng. Design. 1973. Vol. 25. P. 369-378.
69. Оборудование теплообменное АЭС. Расчет теплообмена и гидравлического
сопротивления/ РТМ 108. 031. 05-84, 1986.
70. Rehme К. Simple method in non-circular channels// Internat. J. Heat Mass Transfer.
1973. Vol. 16. P. 933-950.
71. Malak J., Hejjna J., Schmidt J. Pressure losses and heat transfer in non-circular
channels with hydraucally smooth walls// Internat J. Heat Mass Transfer. 1975. Vol. 18.
P. 139-140.
72. Andeen G.B., Griffith P. Momentum flux in two-phase flow// J. Heat Transfer.
1968. Vol. 90, N 2. P. 211-222.
73. Арманд А.А. Сопротивление в двухфазных системах в горизонтальных тру-
трубах// Изв. ВТИ. 1946: № 1. С 16.
74. Тарасова Н.В. Гидравлическое сопротивление при кипении воды и пароводя-
пароводяной смеси в обогреваемых трубах и кольцевых каналах/ Тр. ЦКТИ. 1965. Вып. 59.
С. 47-58.
75. Saha P., Zuber N. Point of net vapor generation and vapor woid fraction in subcooled
boiling// Proc. 4th Internat Heat Transfer. Conf. Tokyo. 1974. Vol. IV. P. 47.
76. Невструева Е.Й., Тютяев В.В. Взаимосвязь тепловых и гидродинамических ха-
характеристик в двухфазных неравновесных потоках/ Тр. V Всесоюз. конф. по тепло-
теплообмену. Минск. 1976. Т. III. Ч. 2. С. 13-20.
77. Two-Phase Flows and Heat Transfer/ Eds. S. Kakac. F. Washington: Hemisphere.
Pub. Co. 1977.
78. Lombaidi C, Pedrocchi E. A pressure drop correlation in two-phase flow// Energia
Nucl. 1972. Vol. 19, N 2. P. 91-99.
79. Андреевский АЛ. Температурный режим и гидравлическое сопротивление при
движении двухфазного потока в парогенерирующих каналах теплообменного обо-
оборудования АЭС: Дис.... докт. техн. наук. Л., 1980.
80. Weisman J., Ake Т., Knott R. Two-phase pressure drop across abrupt area changes
in oscillatory flow// Nucl. Sci. Engng. 1976. Vol. 61. P. 297-309.
81. Trapp J .В., Ransom V.H. RELAP5 hydraudynamic model progress summary -
abrupt area changes and parallel branching. PG-R-77-92. Nov. 1977.
82. Harshe В., Hussain A., Wiesman A. Two-phase pressure drop across resrtictions
and other abrupt area changes. NUREG-0062. April 1976.
83. Лабунцов Д.А. Вопросы теплообмена при пузырьковом кипении жидкости//
Теплоэнергетика. 1972. № 9. С. 14-19.
84. Chen J. A correlation of boiling heat transfer to saturated fluids in convective
flow// IEC Process Design Dev. 1966. Vol. 5. P. 322-329.
85. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник/ Под ред.
В.А. Григорьева, В.М. Зорина М.: Энергоиздат, 1982.
86. Lahey R.T. A mechanistia subcooled boiling model// См. [5]. Vol. 1. P. 293-298.
87. Boiling heat transfer in annular flow/ Y. Aounallah et al.// См. [47]. Vol. 4.
P. 193-199.
88. Дорощук В.Е.Жризисы теплообмена при кипении воды в трубах. - 2-е изд.,
перераб. и доп. М.: Энергоиздат, 1983.
89. Hewitt G.R. Critical heat flux in flow boiling// См. [5]. P. 143-172.
90. Tong L.S. Heat transfer in reactor safety// Ibid. P. 285-309.
91. Теплопередача при конденсации и кипении/ Под ред. С.С Кутателадзе. Ново-
Новосибирск: изд. Ин-та теплофизики, 1978.
92. Дорощук В.Е., Левитан Л.Л., Ланцман Ф.П. Кризисы теплообмена в испари-
испарительных трубах// Кризисы теплообмена и около критическая область. Л.: Наука,
1977. С 5-16.
289
93. Biazi L., Cleiici G.C., Gairiba S. Studies on burnout. Pait 3// Energia Nucl. 1967.
Vol. 14, N9. P. 530-536.
94. Tong L.S. Prediction of departure from nucleate boiling for an axially non-uniform
heat flux distribution// J. Nucl. Energy. 1976. Vol. 21. P. 241-248.
95. Smith R.A., Griffith P. A simple model for estimating time to CHF in PWR LOCA//
Trans. ASME. 1976. 76-HT-9.
96. Tong L.S., Bennett G.L. NRC water reactor safety research program// Nucl. Safety.
1977. Vol. 18, N 1.
97. Исследование критических тепловых потоков в пучках стержней// Теплофи-
зика-84. М.: Изд. ИАЭим. И.В. Курчатова, 1974.
98. Smolin V.N., Polyakov VJK. Coolant boiling crisys in rod assemblies// См. [5 ].
Vol.5. P. 47-52.
99. Dryout onset in flow stoppage, depressurization and power surge transients/
G.P.Gasparietal.//Energia Nucl. 1973. Vol. 20, N 10. P. 554-576.
100. Исследование кризиса теплообмена в динамических режимах при малой мас-
массовой скорости среды/ O.K. Смирнов и др.// Тр. МЭИ. 1975. Вып. 239. С. 109-115.
101. Смирнов O.K., Зайцев В.Н., Серов В.Е. Исследование кризиса теплоотдачи
при нестационарных условиях// Теплоэнергетика. 1977. № 5. С. 81-83.
102. Экспериментальное исследование кризиса теплообмена в парогенерирующих
каналах при периодическом синусоидальном изменении теплоотвода/ З.Л. Миро-
польский и др.// Сб. ТФ-74. Исследование критических тепловых нагрузок в пучках
стержней. М.: Изд. ИАЭ им. И.В. Курчатова. 1974. С. 281-290.
103. Миропольский 3. Л., Безруков Е.К., Гребенников В.Н. Исследование кризиса
теплоотдачи в условиях нестационарного теплоотвода// Тр. МЭИ. 1974. Вып. 200.
С. 17-25.
104. Кризис теплообмена при вынужденном течении пароводяной смеси в сборке
стержней в стационарных и нестационарных режимах/ И.С. Дубровский и др.// Сб.
ТФ-74. Исследование критических тепловых потоков в пучках стержней. М.: Изд.
ИАЭ им. И.В. Курчатова. 1974. С. 67-71.
105. Cumo M., Fabrici F., Palazzi G. Transient critical heat flux in loss-of-flow-acci-
dents// Internal. J. Multiphase Flow. 1978. Vol. 4. P. 497-509.
106. Szabodos L. Transient critical heat flux investigations// Internat. Sem. on Nucl.
Reactor Safety Heat Transfer. Dubrovnik. 1980.
107. Szabodos L., Toth J., Trosztel I. Transient heat transfer and crisis// См. [47].
P. 543-550.
108. Vojtek J. Investigation of transient critical heat flux phenomena and forced conve-
convection film boiling heat transfer// Ibid. P. 557-563.
109. Osmachkin V.S. Problems of transient critical heat flux in rod bundles// См. [5].
Vol. 5. P. 59-64.
110. Mclntyre B.A., Merilo M. Controlled transient CHF tests in a 5 X 5 rod bundle
under loss-of-coolant accident conditions// См. [47]. P. 505-510.
111. Fung KJC. Post-CHF heat transfer during steady-state and transient conditions//
Rep.NUREG/CR-0195. 1978.
112. Tong L.S., Young J.D. A phenomenological transition and film boiling heat transfer
correlations// См. [75]. P. 120-124.
113. Rassohin N.G., Kabanov L.P. et al. Rewet heat transfer in hot tubes cooled by
bottom, top flooding and falling films// Internat. Seminar on Nuclear Reactor Safety Heat
Transfer. Dubrovnik (Yug.). 1980.
114. Mayinger F. Reflood and rewet heat transfer/ Nucl. Reactor Safety Heat Transfer.
Proc. Internat. Centre for Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 12. P. 395-414.
115. Salve M. De, Panella B. Analitical model for bottom reflooding thermal-hydraulics
in circular ducts and comparison with experimental results// Internat. Sem. Nucl. React.
Heat Transfer. Dubrovnik (Yug.). 1980.
116. Groeneveld D.C., Stewart J.C. The minimum film boiling temperature for water
during film boiling collapse// См. [47]. P. 393.
290
117. Lee Y., Chen WJ., Groeneveld D.C Rewetting of very hot vertical and horizontal
channels by flooding// Heat Transfer. 1978// См. [5 J. Vol. 5. P. 95-100.
118. Groeneveld D.C Production method for post - CHF heat transfer and superheat
steam cooling suitable for reactor accident analysis. Centre d'Etudes Nucle'aires de Grenob^
le// Report DRE/STT/SETRE/82-D/6.1982.
119. Berenson PJ. FUm boiling heat transfer from a horizontal surface// J. Heat Trans-
Transfer. 1961. Vol. 83. P. 351-358.
120. Henry RJE. A correlation for the minimum boiling temperature// AIChE Symp.
Ser. 1974. Vol. 70. A38). P. 81-90.
121. Теплофизические свойства жидкостей в метастабильном состоянии/
В.П. Скрипов и др. М.: Атомиздат, 1980.
122. Onset of stable film boiling and foam limit/ Spkgler P. et al.// Internat. J. Heat
Mass Transfer. 1963. VoL 6. P, 987-994.
123. Илойже Т., Пламер Д., Розенау В. Исследование распада парового слоя и
повторного смачивания поверхности нагрева при пленочном кипении воды в усло-
условиях принудительной конвекции в вертикальной трубе// Теплопередача. 1975. № 2.
С. 7-14.
124. Kim AJK., Lee Y. A numerical and experimental study of the rewetting process
in bottom flooding// См. [47]. Vol. 4. P. 181-186.
125. Chan K., Hong F.S., Shiralkar B.S. Rewet and transient boiling heat transfer in
simulated reactor fuel bundles// Heat Transfer. 1982.// См. [47]. P. 429-434.
126. Kalinin E.K. Investigation of the crisis of film boiling in channels// Two^hase
Flow and Heat Transfer in Rod Bundles. Proc. of the ASME Winter Annual Mtg. Los-
Angeles. 1969. P. 89-94.
127. Bjornard T.A., Griffith P. PWR blowdownheat transfer// Thermal and Hydraulic
Aspects of Nuclear Reactor Safety ASME. 1977. Vol. 1, N 4. P. 17-41.
128. A syudy of post critical heat flux heat transfer in forced convection system/
D.N. Plummer, O.C. nloeje , P. Griffith, W.M. Rosenow// MIT 1973. Report N 73645-80.
129. Groeneveld D.C, Borodin A.S. Occurance of slow dryout in forced convective
flow// Multiphase Transport. Fundamentals Reactor Safety and Applications// Hemisphere.
1980. Vol. 2. P. 583-600.
130. Shiralkar B.S., Hein R.A., Yadigaroglu G. The boiling curve in high quality flow
boiling/ ANS/ASME Internat. Topical Meeting on Nucl. Reactor Thermal Hydraulics.
Saratoga Springs. 1980.
131. Ремизов О.В., Воробьев В.А., Сергеев В.В. Закризисный теплоомен (обзор) /
Препринт ФЭИ ОБ-24. Обнинск, 1976.
132. Kirillov P.L., Kokorev B.V., Remizov O.V., Sergeev V.V. Post-dry out heat trans-
transfer// Heat Transfer. 1982. См. [47]. P. 487-492.
133. Heat transfer in forced convective film boiling/ L.A. Bromley, N.R. Leroy,
J.A. Robbers// Industrie Engng. Chem. 1953. Vol. 45. P. 2639-2646.
134. Лабунцов Д.А., Гомелаури А.В. Теплообмен при пленочном кипении криоген-
криогенных и обычных жидкостей на вертикальных поверхностях// Тр. МЭИ. 1976. Вып. 310.
С. 41-50.
135. Groeneveld D.C., Delorme G.GJ. Prediction of thermal non-equilibrium in the
post-dryout regime// Nucl. Engng. Des. 1976. Vol. 36. P. 17-26.
136. Кокорев Б.В., Лощинин B.M., Сергеев В.В. Метод расчета закризисного теп-
теплообмена/ Препринт ФЭИ-795. Обнинск, 1978.
137. Saha F. A non-equilibrium heat transfer model for dispersed droplet post-dryout
regime// Internat. J. Heat Mass Transfer. 1980. Vol. 23. P. 483-492.
138. Webb S.W., Chen J.C. A numerical model for turbulent non-equilibrium despersed
flow heat transfer// Internat. J. Haet Mass Transfer. 1982. Vol. 25. P. 325 -335.
139. Investigation of heat transfer processes during film boiling in steam generating
channel// M.A. Styrikovich, Yu. V. Baryshev, M.E. Grigorieva, G.V. Tsiklauri// См. [47].
Vol. 4. P. 421-425.
291
140. Ganic E.N., Rohsenow W.M. Dispersed flow heat transfer// Internat. J. Heat Mass
Transfer. 1977. Vol. 20. P. 855-866.
141. Измерение некоторых характеристик парожидкостного потока в круглой
трубе при давлении 68,6 бар/ П.Л. Кириллов и др./ Препринт ФЭИ-421. Обнинск,
1973.
142. Афонин В.К., Смирнов O.K. Влияние тепловой нестационарности на теплооб-
теплообмен в закризисной области// Теплоэнергетика. 1985. № 3.
143. Исаченко В.П. Теплообмен при конденсации. М.: Энергия, 1977.
144. Lahey R.T. A mechanistic subcooled boiling model// См. [5]. Vol. 1. P. 293-297.
145. Jones O,C. Inception and development of voids in flashing liquids// BNL
NUREG-26464.1979.
146. Webb StW., Chen J.C., Sundaram RJC. Vapor generation rate in non-equilibrium
convective film boiling// См. [47]. Vol. 4. P. 437-442.
147. Hardic C.E., Gay R.R., Lahey R.T. The adaptation of a non-equilibrium vapor
generation model into MAYU-4a// Thermal Reactor Safety-1. Modeling of Reactor
Transient Phenomena. Trans. Amer. Nucl. Society. 1981. Vol. 38. P. 421-422.
148. Punches W.C. MAYU-4. A method to evaluate transient thermal-hydraulic condi-
conditions in rod bundles// GEAP-23517.1977.
149. Ishii M. One-dimensional driff-flux model and constitutive equations for relative
motion between phases in various two^hase flow regimes// ANL-77-47. 1977.
150. Hshii M., Zuber N. Drag coefficient and relative velocity in bubbly droplet or
particulate flows// AIChE J. 1979. Vol. 25. P. 843.
151. Huges EX)., Paulsen M.P., Agee LJ. A drift flux model of two-phase flow for
RETRAN// Nucl. Techn. 1981. Vol. 54. P. 410-421.
152. Джишкариани Т.С. Закризисный теплообмен при низких давлениях и малых
массовых скоростях. Дис.... канд. техн. наук. Новосибирск, 1984.
153. Lyczkowski R.W. Theoretical bases of drift-flux field equations and vapor drift
velocity// Cm. [5]. Vol. 1. P. 339-344.
154. Lyczkowski R.W., Mecham D.C., Solbrig CW. RELAP/SLIP-A general purpose
one-dimensional two-fluid thermohydraulics computer program// Ibid. Vol. 5. P. 77-82.
155. McFadden, Paulsen M.P., Gose G.G RETRAN Denamicslip model//Nucl. Technol.
1980. Vol. 54.P. 287-297.
156. Chung H.M., Kassner T.F. Embrittlement criteria for zircaloy fuel cladding appli-
applicable in LWR Reactors// NUREG/CR-1344. Jan. 1980.
157. Высокотемпературное окисление и деформирование оболочек твэлов ВВЭР
из сплава Zr - 1% Nb/ В.И. Соляный и др. Доклад на совещании специалистов
МАГАТЭ по безопасности топлива водных реакторов и поведению продуктов деле-
деления при переходных и аварийных условиях. Роскильде, Дания. 16 мая 1983.
158. Bostrom W.A. The high temperature oxidation of zircaloy in water// WAPD-104.
1954.WestinghouseE.Co.
159. Lemmon A.W. Studies relating to the reaction between zirconium and water at
high temperatures. BMI-1154. 1957.
160. Baker L., Just L. Studies of metal-water reactions at high temperatures. Ill Expe-
Experimental and theore tical studies of the zirconium-water reaction// ANL-6548-196.
161. Wlite J.F. GEMP-619. Chio: General Electric Co. 1968.
162. Bentiey MJ., Mowat J.A.S. Paper presented at the BNES Conference on Safety
Aspects. Oct. 1973.
163. Ballinger R.G., Dobson W.C, Biederman R.R. Oxidation reaction kinetics of
zircaloy-4 in an unlimited steam environment// J. Nucl. Mater. 1976. Vol. 62, N 22.
P. 213-220.
164. Urbanic V.F. Oxidation of zirconium alloys in steam at 1000 to 1850 C// III
Internat. Conf. on Zirconium in the Nucl. Industry. Canada. 1976. ASTM. 1977.
165. Zirconium metal-water oxidations kinetics. I Thermometry/ R.A. Cathcart et al.//
ORNL/NUREG-17. Aug. 1977.
292
166. Westemman RJE., Heeon R.M. Zircaloy cladding ID/OD oxidation studies// EPRI
NP-525. Nov. 1977.
167. Urbanic V.F., Heidrick T.R. High temperature oxidation of zircaloy-2 and zir-
ziry^ in steam// J. Nucl. Mat 1978. Vol. 75, N 1. P. 251-261.
168. Kawasaki S., Fuiuta Т., Suzuki M. Oxidation of ziicaloy-4 under high tempera-
temperature steam atmosphere and its effect on ductility of cladding// J. Nucl. Sci. and Techn.
1978. Vol. 15, N 8. P. 589-596.
169. Leistikov S., Schanz G., Beig H. Kinetik und Murphologie der isotermen dampf-
oxidation von zircaloy-4 bei 700-1300 °C/ KFK-2578. Marz. 1978.
170. Pawel RJE., Cathcart J.V., McKee R.A. The kinetics of oxidation of zircaloy-4
in steam at high temperatures/ J. Electrochemical society. 1979. Vol. 196, N 7. P. 1105.
171. Brown AJ7., Heaten T. The kinetics of total oxigen uptake in steam oxidized zir-
zircaloy-2 in range 1272-1673 k// J. Nucl. Mater. 1980. Vol. 88, N 1. P. 1-6.
172. Коррозионное поведение в водяном паре оболочек твэлов ВВЭР из сплава
Zr - 1% Nb при высоких температурах/ Ю.К. Бибилашвили и др. Совещание специа-
специалистов МАГАТЭ по расчетному моделированию характеристик твэлов водяных
реакторов. Престон, Великобритания. 9-13 апреля. 1984.
173. Chung H.M., Thomas G.R. The retarding effect of hydrogen on zircaloy oxidation/
NSAC. Rept NSAC-29.1981.
174. Oxidation of 3042 Stainless steel by steam and air/ J. Bittel et al.// Corrosion.
1968. Vol. 25,N1.P. 7-14.
175. Насох W.T., Banerjee S. Numerical standards for flowboilinganalysis// Nucl. Sci.
Engng. 1977. Vol. 64. P. 106-123.
176. Siikonen T. An application of the method of characteristics for the simulation of
single-and two-phase flow// Internat. J. Multiphase Flow. 1980. Vol. 3. P. 18.
177. Яненко Б.Л., Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений. М.:
Наука, 1978.
178. Циклаури Г .В., Данилин B.C., Селезнев Л.И. Адиабатные двухфазные тече-
течения. М.: Атомиздат, 1973.
179. Фисенко В.В. Критические двухфазные потоки. М.: Атомиздат, 1978.
180. Ивандаев А.И., Губайдуллин А.А. Исследование нестационарного истечения
вскипающей жидкости в термодинамически равновесном приближении// Теплофизи-
Теплофизика высоких температур. 1978. Т. 16, № 3. С. 556-562.
181. A contribution to the theory of critical two-phase flow: on the links between
maximum flow-rates, choking, sonic velocities, propagation and transfer phenomena in
single and two-phase flow/ J.A. Boure, A.A. Fritte, M.M. Glot, M.L. Reoreux// Energie
Primaire. 1975. VoL 11. P. 1-27.
182. Ransom V.JL, Trapp J.A. RELAP-5 Progress Summary. Analytic choking crite-
criterion for two-phase flow// CDAP-TR-013. 1978.
183. RELAP 5/MODO Code Description/ Ransom V.H. et al.// CDAP-TR-057. INEL.
1979.
184. Van Wijngaardeni. Hydrodynamic interaction between gas and bubbles in liquid//
J. Fluid Mechanics. 1976. VoL 77. Pt 1. P. 27-44.
185. Nuthianandan CJC, Shah N.H., Mays M.E. An improved interphase drag model
for RELAP-5 /MODI// Proc. Third Internat Topical Meeting on Reactor Thermal Hyd-
Hydraulics. Newport. USA. Oct. 15-18. 1985. VoL 1. P. 2-D.
186. Ishii M., De Jarlais G. Phenomenological Modeling of two-phase flow in water
reactor at ANL (Inverted Annular Flow Modeling)/ Proc. NRC 10-th Water Reactor Safety
Research Information Meeting. Oct. 12-15. 1982.
187. Джонс О. Вскипание потока жидкостей// Теплопередача. 1980. Т. 102.
188. Taitel Y., Dukter A.E. A model for predicting flow regime transactions in hori-
horizontal and near horizontal gas liquid flow// American Inst' of Chemical Engineers. 1976.
P. 47-55.
189. Stadtke H., Kolar W., Worth B. Assessment of RELAP-5 choking model// Proc.
of III Int. Topical Meeting on Reactor Hydraulics. Newport. USA. Oct 15-18. 1985.
P8B- 293
190. TRAC-P1. An advanced best-estimate computer program for PWR LOCA analysis.
Vol. 1: Methods, Models. User Information and programming details// NUREG 6/CR-0063.
1978.
191. Бартоломей Г.Г., Чантурия B.M. Экспериментальное исследование истинных
паросодержаний при кипении недогретой воды// Теплоэнергетика. 1962. № 6.
С. 48-52.
192. Невструева Е.И., Тютя ев В.В. Взаимосвязь тепловых и гидродинамических
характеристик в двухфазном неравновесном потоке// Тепломассобмен-V. 1970.
Т. 3. С. 13-20.
193. Edvards AJR., O'Brien. Studies of phenomena connected with depressurization
of water reactors// J. British Nucl. Energy Society. 1970. Vol. 9. P. 125-135.
194. Кузнецов Ю.Н., Девкин А.С Экспериментарьное исследование нестацио-
нестационарных теплогидравлических процессов при течении пароводяного потока высокого
давления в трубе// Теплоэнергетика. 1985.№6.С47-49.
195. Moxon D., Edwards P.A. Dryout during flow and power transients// AEEW-R552.
G.B.Winfrith. 1967.
196. Нигматулин Б.И., Крошилин А.Е., Клебанов Л.А. Кризис теплоотдачи при те-
течении парожидкостных дисперсно-кольцевых потоков в нестационарных условиях//
Теплофизика высоких температур. 1980. Т. 18, № 6. С. 1242-1251.
197. Jackson J.F., Vigil J.C. Comparison of TRAC calculations with experimental
data// Proc. Internat. Seminar Nucl. Reactor Safety Heat Transfer. Dubrovnik. Yug. Sept.
1-5. 1980.
198. Crowley CJ., Cappiello M.W. TRAC-PF1 Calculations of blowdown and refill
behavior in CCTF// Proc. Third Internat. Topical Meeting Reactor Thermal Hydraulies.
Newport USA. Oct. 15-18. 1985. Vol. 1. P. 8. Q.
199. Demmie PJN. On the ability of the TRAC-PIA computer program to predict
blowdown, refill and reflood phenomena during Semiscale MOD-1 experiments// См. [197].
200. FujitaR. TRAC-PF I/MOW posttest analysis of Semiscale small-break test S-UT-8//
См. [198].P. 7.1.
201. Allison C.M., Hsieh T.CS. Heat Transfer during severae core disruptive accidents
in LWR// Cm. [47]. P. 309-404.
202. Hofmann P., Politics С The kinetics of the uranium dioxide-zircaloy reactions
at high temperatures// J. Nucl. Mat. 1979. Vol. 87. P. 375-397.
203. Erbracher F JM Neitsel HJ., Wiehr K. Experiments zur notkuhlung in der anlage
REBEKA// Atomwirtschaft. 1981. S. 561-564.
204. Головин И.С., Новиков В.В. Деформация труб из циркониевых сплавов при
аварии с потерей теплоносителя// Атомная техника за рубежом. 1982. № 5. С. 3-8.
205. Loftus M.J., Hochreiter L.E., Lee N. FLECHT/SEASET 21-rod bundle flow blocka-
blockage heat transfer during reflood// Proc. 2-nd Internat. Topical Meeting Nucl. Reactor Ther-
Thermal-Hydraulics. Santa Barbara. Calif. Jan. 11-14.1984. Vol. 1. P. 646.
206. Gulden W. SSYST-1. Ein programmsystem zur beschreibung des LWR-brennstab-
verhaltens bei kuhlmittelverluststorfallen// KFK-2496. 1977.
207. Клюгель Е.-У., Мюнх В., Румпф Й. Исследование поведения активной зоны
ВВЭР-440 при аварии с большой потерей теплоносителя/ Докл. на семинаре ТФ-84.
Варна, 1984. Т. 1.С. 89.
208. Займовский А.С, Никулина А.В., Решетников Н*Г. Циркониевые сплавы в
атомной энергетике. М.: Энергоиздат, 1981.
209. Bile P. Heat Transfer in Rod Bundles with severe deformations// Nucl. React.
Sci Engng. 1984. Vol. 89, N 3. P. 206-219.
210. Bile P., Rust K. Flow blockage effects on reflood heat transfer in 25-rod bundles//
Cm. [47].P. 475-479.
211. Hagen S., Maltuschek H. Bundle experiments on the meltdown behavior of PWR
fuel rods// ANS. Transfer. 1979. Vol. 33. P. 505-506.
212. Epstein M. Melting, boiling and freesing: the transition phase in fast reactor safety
analysis// Thermal and Hydraulic Aspects Nuclear Reactor Safety. ASME. 1977. Vol. 2.
P. 171-193.
213. Kerwin DJC. Test PCM-5 Fuel rod materials behavior// NUREG-CR-1430. 1980.
214. Cheung F.B., Baker L. Transient freesing of liquids in tube flow// Nuclear Reactor
Sci.Engng. 1976. Vol. 6O,N1.P. 1.
215. Chung H.M., Kassner T.F. Mechanical properties of zircaloy// Light Water Reactor
Safety Research Program: Quarterly Progress Report. NUREG/CR-1164. 1979.
216. Hu K., Theofanous T.G. On the measurement and mechanism of dryout in coarse
particle (corium debris) beds/ См. [198].
2,17. Hofman G. Dryout in very deep particulate beds// Ibid. Vol. 2. P. 191.
218. Quenching of debris beds having variable permeability in the axial and radial
directions/ Tung V.X. et al.// Ibid. P. 196.
219. Marshall J., Dhir VJC. On the counter-current flow limitation in porous media//
Proc. Intemat. Meeting LWR Severe Accident Evaluation. 1983. Vol. 2. P. 18. 5.
220. Breitback Gn Bar the Is H. The radiant heat transfer in the high temperature reactor
core after failure of the after heat removal systems// Nuclear Tech. 1980. Vol. 49.
P. 392-399.
221. Costa J. In-Vessel post accident heat removal// Nuclear Reactor Heat Transfer.
Proc. of the Internat. Centre for Heat Mass Transfer. 1981. 12. P. 581-602.
222. Комбинированная естественная конвекция и радиация в слое жидкости С
внутренним тепловыделением/ Чоула и др.//См. [487].
223. Bachu S., Dagan G. Stability of displacement of a cold fluid by a hot fluid in a
porous medium// Phys. Fluids. 1979. Col. 22. P. 54-59.
224. Dearing J.T. A four-fluid model of PWR degraded cores// См. [198]. P. 19. C.
225. MELPROG-FWR/MODO: A mechanistic code for analysis of reactor core melt
progression and vessel attack under severe accident conditions/ Sandia Nat. Lab. Report/
W.J. Camp et al.// Sand 85-0237. Febr. 1985.
226. Роль тейлоровской нестабильности при сублимации горизонтальной пласти-
пластины сухого льда// Дир и др. Теплопередача. 1977. Т. 99.
227. Interaction of LMFBR core dabris with concrete/ L. Baker et al.// Proc. Internat.
Meeting Fast Reactor Safety and Related Physics. Chicago. 1976. Vol. 4. P. 2105.
228. Concrete cruicible tests with termite melts/ Perinic et al.// Nuclear Research Center.
Karlsruhe. KFK-2572. 1979.
229. Muir J.F. Response of concrete exposed to a high heat flux// SAND77-1467.
1977.
230. Kao L.S., Lee M., Kazimi M.S. Assessment of heat transfer models for corium-
concrete interaction// См. [198]. Vol. 2. P. 19. H.
231. Blottner F.G. Hydrodynamic and heat transfer characteristics of liquid pools with
bubble agitation// Sandia Nat. Labs. SAND79-1132.1979.
232. Berman M., Swenson D., Wickett A. An Uncertainty study of PWR steam explo-
explosion// NUREG/CR-3369. May 1984.
233. Bankoff S.G. Vapor explosions: a critical review// См. [5]. VoL6. P. 355-360.
234. Hadid A., Bankoff S.G. Fuel-coolant mixing in the lower plemum of "a PWR in a
severe accident//Cm. [198]. Vol. 2. P. 19. K.
235. Inoue A., Ganguli A., Bankoff S.G. Northwestern Univ. 1978. Rep. COO-2512-13.
236. Ochiai M., Bankoff S.G. Third Spec. Mtg. on SFI. Tokyo. 1976. Vol. 1.
P. 129-152.
237. Berman M. Light water reactor safety research program. Semiannual report/
SAND83-1576. SNL. Oct. 1983.
238. OhM.D., CorradiniM.L.A non-equilibrium model for large scale vapor explosions//
Cm. [198]. Vol. 2. P. 19. J.
239. Kim В J., Corradini M.L. Recent film boiling dynamics calculations: implications
on fuel-coolant mixing// Proc. of Fifth Internat. Meeting Thermal Reactor Safety. Karlsru-
Karlsruhe. Germany. Sept. 1984.
240. Peckover R. Ex-vessel post accidents heat Removal// Nucl. Reactor Safety Heat
Transfer. Proc. Internat. Centre for Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 12. P. 603-646.
241. Keintzel G., Roth fuss H. Design of the core catcher system for the fast breeder
reactor SNR-300// Kerntecknik. 1978. Vol. 20. P. 127-134.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .« 3
Глава 1. Системы дифференциальных уравнений математических моделей
нестационарной термогидравлики двухфазных потоков 11
1.1. Основы потроения систем дифференциальных уравнений математи-
математических моделей двухфазных потоков 11
1.2. Некоторые результаты качественного анализа систем дифференциальных
уравнений математических моделей двухфазных потоков 24
Г л а в а 2. Замыкающие соотношения математических моделей двухфазных
потоков 41
2.1. Основные принципы построения систем замыкающих соотношений .... 41
2.2. Карты режимов двухфазного потока 43
2.3. Площадь межфазной поверхности 51
2.4. Межфазное трение 59
2.5. Межфазный теплообмен 64
2.6. Трение на стенке канала 71
2.7. Местные сопротивления в каналах 83
2.8. Тепловое взаимодействие фаз со стенками канала 91
2.9. Интенсивность фазового перехода 126
2.10. Скорость скольжения фаз . , 131
2.11. Реакция при взаимодействии системы металл-вода 136
Глава 3. Методика численного решения систем дифференциальных урав-
уравнений математических моделей нестационарной термогидравлики двухфазных
потоков 141
3.1. Эталонная методика численного решения 141
3.2. Методика конечно-разностного решения, базирующаяся на представле-
представлении системы дифференциальных уравнений в характеристической форме
(МХФ) .148
3.3. Численное решение систем дифференциальных уравнений в балансной
форме 153
3.4. Особенности постановки граничных условий. Критическое течение двух-
двухфазного потока . 159
Глава 4. Использование негомогенных неравновесных математических
моделей двухфазных потоков для анализа нестационарных термогидравличес-
термогидравлических процессов в энергетическом оборудовании АЭС 166
4.1. Общая характеристика машинных программ нового поколения 166
4.2. Машинная программа RELAP-5 167
4.3. Машинная программа TRAC 200
4.4. Машинная программа "Канал" . . . 225
Глава 5. Теплообмен при режимах, связанных с повреждениями актив-
активной зоны реактора 252
5.1. Теплообмен в активной зоне реактора • 253
5.2. Взаимодействие расплава с бетоном 267
5.3. Паровой взрыв 271
5.4. Локализация расплава активной зоны 282
Список литературы 286
296