/
Author: Кухарев В.Н. Салли В.И. Эрперт А.М.
Tags: исследование операций экономика отдельных стран экономика мирового океана математика экономика системы управления планирование математическая экономика
ISBN: 5-11-002326-3
Year: 1991
Text
ВН.КУХАРЕВ
ВИ САЛЛИ
________АМ.ЭРПЕРТ
экономико-
МАТЕМАГИЧЕСКИЕ
, МЕТОДЫ
МОДЕЛИ
в планировании
и управлении
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования УССР
в качестве учебника
для студентов вузов,
обучающихся по специальности
«Экономика и управление
в отраслях горной
промышленности и геологии»
Киев
«Выща школа»
1991
ББК 65.9(2)304.11—2я73
К95
УДК 519.86 : 65(075.8)
Рецензенты: доктора технических наук М. И. Крулькевич (До-
нецкий государственный университет) и С. С. Резниченко (Мо-
сковский горный институт)
Редакция литературы по экономике и управлению
Редактор И. В. Ермак
Кухарев В. Н. и др.
К95 Экономико-математические методы и модели в
планировании и управлении : Учебник / В. Н. Кухарев,
В. И. Салли, А. М. Эрперт.— К. :Выща шк., 1991.—
с.: ил.
ISBN 5-11-002326-3.
В учебнике изложены основные принципы построения эконо-
мико-математических моделей задач оптимизации, планирования
и управления горным производством. Рассмотрены корреляцион-
ные, имитационные и прогнозные модели, освещены методы линей-
ного и динамического программирования, сетевого планирования,
массового обслуживания. В каждом разделе имеются примеры
составления экономико-математических моделей, учитывающие
специфику работы шахт, рудников и карьеров. Методы расчетов
представлены в алгоритмической форме, удобной для их реали-
зации на ЭВМ.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Эко-
номика и управление в отраслях горной промышленности и гео-
логии».
v 0601000000-041 о-
М211(04)-91
ББК 65.9(2)304.11—2я 73
ISBN 5-11-002326-3
©В. Н. Кухарев, В. И. Салли,
А. М. Эрперт, 1991
ВВЕДЕНИЕ
Современная горная помышлэнность характеризуется
значительными объемами производства, большими затра-
тами на добычу и переработку полезных ископаемых. Пе-
реход предприятий горной промышленности на хозяйст-
венную самостоятельность немыслим без технического пере-
вооружения и модернизации действующих шахт, рудников
и карьеров, реформы ценообразования, внедрения аренд-
ных, акционерных и других форм собственности. В то же
время хозяйственная самостоятельность предполагает стро-
гий учет и контроль расходования и экономии природных,
материальных и финансовых ресурсов с применением совре-
менных методов количественного анализа, теории приня-
тия решений, с широким использованием ЭВМ.
Существующая вычислительная техника в значительной
степени позволяет повысить эффективность, качество и дей-
ственность плановых и управленческих решений. Непре-
менным условием при этом является наличие надежной ме-
тодической основы построения экономико-математических
моделей, адекватных тем процессам и явлениям, параметры
которых подлежат оптимизации.
Для принятия плановых и управленческих решений не-
обходимо рассматривать всю совокупность возможных (ча-
сто альтернативных) вариантов, а это реально только на
основе применения современных математических методов
расчетов.
В условиях становления рыночной экономики, хозяй-
ственной самостоятельности предприятий и различных
форм собственности экономико-математические методы яв-
ляются эффективным инструментом анализа хозяйствен-
ных ситуаций, планирования и управления развитием
горных работ, решения различных организационно-эконо-
мических задач, связанных с горным производством и по-
требностями рынка.
Впервые математические методы для решения организа-
ционно-экономических задач использованы в работах
Л. В. Канторовича, опубликованных в 30-е годы. Это были
исследования, связанные с анализом оптимальных реше-
ний, т. е. определением таких значений управляющих
8
параметров, при которых некоторая функция, получившая
название целевой, принимает экстремальное значение.
В дальнейшем экономико-математические методы рас-
сматривались в трудах советских ученых А. Г. Аганбегяна,
И. Я. Бирмана, Е. Г. Гольштейна, А. И. Колмогорова,
В. С. Немчинова, А. Я- Хинчина, Д. Б. Юдина, а также за-
рубежных Дж. Данцига, Р. Веллмана, Л. Форда, Д. Фул-
керсона, А. Коффмана и др.
Наиболее интенсивное развитие математические методы
получили в 60-е годы в результате стремительного роста
возможностей вычислительных машин.
Принятие решений в планировании и управлении связа-
но с анализом и обработкой большого объема информации.
Применительно к горной промышленности информация,
характеризующая производственное предприятие как слож-
ную систему иерархической структуры, имеет следующие
особенности:
неопределенность данных требует применения статисти-
ческих методов для описания и прогнозирования динамики
изучаемых процессов;
экономические, организационные и технологические про-
цессы характеризуются большим количеством фактических
данных, для оперативной обработки и упорядочения кото-
рых требуется использование современной вычислительной
техники;
большая часть информации обладает свойством «старе-
ния», поэтому ее следует использовать только при опера-
тивном решении задач;
ограничения, накладываемые на управляющие факторы,
в большинстве случаев допускают многовариантность ре-
шения задачи планирования или управления, из-за чего
возникает необходимость в применении оптимизационных
методов для определения наилучшего из вариантов.
Очевидно, в будущем роль математических методов ста-
нет еще более значительной, поскольку концентрация и
интенсификация производства повышают «цену ошибки»,
вызванной отклонением принятого решения (планового, ор-
ганизационного, управленческого и т. д.) от оптимального.
При подготовке учебника использованы результаты на-
учно-исследовательских работ кафедр экономики промыш-
ленности и организации производства Днепропетровского
горного института им. Артема в области оптимизации пара-
метров горных предприятий на базе экономико-математи-
ческого моделирования с применением ЭВМ. В примерах
и таблицах приведены условные данные.
4
Глава 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
И КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКОНОМИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
1.1. Общие положения
Процесс планирования, управления и принятия решений
на всех уровнях представляет собой комплекс взаимосвя-
занных инженерно-экономических задач, к которым отно-
сятся учет, анализ, прогноз, оценка, оптимизация и постро-
ение плана производства.
Учет состоит в накоплении информации о работе пред-
приятия в текущем (отчетном) периоде по основным пока-
зателям — объему продукции, ее качеству, использованию
оборудования, затратам трудовых и материальных ресур-
сов и т. д.
Анализ заключается в установлении причин отклонений
отчетных показателей от плановых, а также выявлении
сдерживающих факторов и неиспользованных резервов в
работе предприятия.
Прогноз предусматривает разработку возможных вари-
антов развития предприятия в планируемом периоде с уче-
том спроса на данную продукцию и мероприятий по устра-
нению выявленных недостатков.
Оценка предполагает расчет количественных характери-
стик возможных вариантов плана, а также соответствую-
щих им качественных показателей.
Оптимизация предусматривает выбор из множества ва-
риантов наилучшего с точки зрения принятых критериев
оптимальности и учитываемых ограничений.
Построение плана производства заключается в опреде-
лении уровня показателей, характеризующих все стороны
производственно-хозяйственной деятельности и обеспечи-
вающих максимальную эффективность производства.
Планирование и управление в горной промышленности
имеют ряд особенностей:
постоянно изменяющееся местоположение горных работ;
рассредоточенность в пространстве технологического
оборудования, определяемая характером залегания полез-
ного ископаемого и уровнем концентрации горных работ;
наличие относительно самостоятельных подсистем
(очистные работы, транспорт, подъем и т. д.), от состояния
5
которых зависит выполнение установленных объемов про-
изводства;
влияние на функционирование горного предприятия
природных факторов, случайный характер проявления ко-
торых, как правило, не предсказуем;
недостаточная разведанность месторождений, вследст-
вие чего детальная технологическая разведка и их опробо-
вание производятся уже в процессе ведения добычных ра-
бот, что, несомненно, сказывается на точности и надежности
текущего планирования.
Для получения качественных плановых и управленче-
ских решений необходимо применять методы количествен-
ного анализа, основанные на построении и исследовании
экономико-математических моделей. В основе таких моде-
лей лежат математические соотношения, связывающие эко-
номические показатели хозяйственной деятельности пред-
приятия или его подразделений и материально-технические
условия производства.
Горное предприятие представляет собой чрезвычайно
сложную экономическую систему. В то же время экономико-
математическая модель должна быть достаточно простой и
обозримой, поэтому при ее построении фактическую ситуа-
цию обычно упрощают, рассматривая только главные пока-
затели и наиболее важные свойства объекта. При этом не-
обходимо избегать как чрезмерного упрощения действи-
тельности, так и излишней ее детализации.
После составления экономико-математической модели
возникает необходимость в ее анализе и решении соответст-
вующей математической задачи для получения количест-
венных значений показателей. Применяемый здесь матема-
тический аппарат количественных расчетов называется
экономико-математическими методами. Важным фактором
эффективного применения этих методов на производстве
является использование вычислительной техники.
Таким образом, предмет курса «Экономико-математи-
ческие методы и модели»—это количественная оценка
экономических процессов и явлений с целью повышения
эффективности производства.
1.2. Краткая характеристика
экономико-математических методов
Экономические и технико-организационные процессы
можно количественно описать с помощью математических
соотношений, образующих экономико-математическую мо-
6
дель объекта. Она отражает характерные особенности, при-
сущие изучаемому объекту (горному предприятию), с
той или иной степенью детализации.
Экономико-математические модели, применяемые в пла-
нировании и управлении, подразделяют на оптимизацион-
ные и информационные (рис. 1).
Оптимизационные модели содержат описание условий
функционирования объекта. Эти условия, выражаемые
в виде уравнений или неравенств, представляют собой
ограничения задачи и отражают баланс материальных, тру-
довых, финансовых и прочих ресурсов. Цель функциониро-
вания задается в виде функционала, который должен до-,
сти1Ь оптимального значения при значениях аргументов,
соответствующих условиям функционирования. Особен-
ностью оптимизационных моделей является наличие боль-
шого (в некоторых случаях бесконечно большого) коли-
чества допустимых решений, из которых следует выделить
оптимальное.
Информационные модели содержат исходные данные
(информацию), необходимые для принятия решений. Ти-
пичным примером таких моделей являются корреляцион-
ные, представляемые регрессионными зависимостями между
факторными и результативными признаками. Таким обра-
зом, информационные модели позволяют установить коли-
чественную взаимосвязь между различными технико-эко-
номическими показателями. В этих моделях функциони-
рование изучаемого объекта описывается в виде аналити-
ческих уравнений (например, регрессионных), с помощью
которых устанавливается количественная взаимосвязь меж-
ду системами входных и выходных параметров.
Рис. 1. Укрупненная классификация экономико-
математических моделей
В основу классификации экономико-математических ме-
тодов, применяемых при решении задач планирования и
управления, положен математический аппарат, используе-
мый для построения моделей. Если в модели учитывается
фактор случайности, то для ее описания и исследования
прибегают к вероятностным (стохастическим) математиче-
ским методам. В тех случаях, когда причинно-следственные
связи в моделях взаимообусловлены и выражены аналити-
чески, т. е. фактор случайности считается несущественным,
для описания и исследования инженерно-экономических
задач используют детерминированные математические ме-
тоды.
Если экономические процессы развивающиеся (в разные
промежутки времени их параметры принимают различные
значения), то соответствующие математические методы и
модели относятся к классу динамических. Если параметры
определенной системы в рассматриваемом интервале вре-
мени не подвергаются существенным изменениям, матема-
тические методы и модели, используемые для описания
такого объекта, принадлежат к классу статических.
К детерминированным математическим методам относят
методы математического программирования. Их применяют
для решения оптимизационных задач, которые в общем
виде можно сформулировать следующим образом: дано т
ограничений вида Д (х) = 0, i = 1, m, и функция цели
F (х); надо найти такое значение вектора х = {хь х2, ...
..., хл}, которое обеспечивает экстремальное значение функ-
ции цели и соответствует ограничениям.
Наиболее распространенным видом математического
программирования является линейное программирование,
в котором ограничения и функция цели представлены линей-
ными выражениями.
Если на компоненты вектора решения х накладываются
условия целочисленности, то такая задача относится к клас-
су целочисленного программирования.
Ограничения или функция цели (или то и другое одно-
временно) могут быть заданы также нелинейными выраже-
ниями. Поиск экстремального значения функции цели в
этом случае несколько усложняется и осуществляется с
применением методов нелинейного программирования.
Все перечисленные задачи содержат не зависящие
от времени условия и поэтому их относят к статическим.
Оптимизационные задачи динамического типа, как прави-
ло, многошаговые решаются методом динамического про^
граммирования.
8
Таблица LI
Экономико-математический
метод
Модели
Математическое программиро-
вание
линейное + + +
квадратическое + + +
целочисленное + + +
стохастическое + + +
- динамическое + + + +
. геометрическое + + +
Управление запасами + + + + + .
Теория игр + + + + ~г
Сетевые модели + + + + +
Корреляционные модели + + +
Теория массового обслужива-
ния + + +
Теория надежности + + +
Прогнозирование + + +
Имитационное моделирование + + +
Примечание. Знаком «+» отмечена возможность реализации мо-
дели соответствующими методами.
Одним из видов экономико-математических задач яв-
ляется сетевая задача планирования работ. Для решения
таких задач применяется аппарат теории графов, являю-
щийся математической основой теории сетевого планирова-
ния и управления.
В особый класс можно выделить экономико-математи-
ческие методы, связанные с решением задач отыскания без-
условного экстремума. В частности, к этому классу относят
задачи управления запасами.
Отличительной особенностью вероятностных экономико-
математических моделей является учет воздействия слу-
чайных факторов на экономические и организационные про-
цессы и явления.
К вероятностным относятся модели теории надежности,
массового обслуживания, прогноза показателей горного
производства и др. Нгпример, экономико-математические
модели массового обслуживания отличаются случайными
характером поступления требований на обслуживание,
продолжительностью времени обслуживания, длиной оче-
реди заявок на обслуживание и другими характеристиками,
9
подчиняющимися вероятностным распределениям. Теория
массового обслуживания позволяет установить значение
математического ожидания основных параметров системы:
среднее время ожидания в очереди, среднюю длину очере-
ди, пропускную способность системы и др.
С помощью моделей теории надежности определяются
показатели работы отдельных технологических звеньев и
предприятия в целом. Это позволяет правильно устанавли-
вать производственную мощность предприятия и отдельных
его подсистем, планировать профилактические и ремонт-
ные работы, определять количество запасных частей и
необходимый резерв оборудования.
Перечень экономико-математических методов, применяе-
мых при решении задач планирования и управления в гор-
ном производстве соответственно с классификационным при-
знаком экономико-математической модели, приведен в
табл. 1.1.
1.3. Критерии оптимальности
в экономико-математических моделях
Эффективность различных вариантов решения экономи-
ко-математических задач планирования и управления оце-
нивается с помощью заранее определенного показателя,
который называют критерием оптимальности.
Различают натуральные, стоимостные и комплексные
критерии оптимальности. Натуральные критерии исполь-
зуются в тех случаях, если оптимизируются объемы добы-
ваемого полезного ископаемого, качество сырья, полезное
время работы, трудоемкость производственных процессов
и другие аналогичные показатели. Большое распростра-
нение получили стоимостные критерии оптимальности:
сумма приведенных капитальных и эксплуатационных за-
трат, себестоимость единицы конечной продукции, прибыль
от реализации продукции горного производства, затраты
на выполнение некоторого объема работ и др. Комплексные
критерии оптимальности используются, как правило, при
решении задач большой размерности, связанных с состав-
лением межотраслевого баланса, размещением предприя-
тий, решением вопросов комплексного управления каче-
ством продукции.
Обычно модель оптимизируемой системы горного про-
изводства описывает совокупность взаимосвязанных под-
систем, имеющих различное оптимальное состояние. Если
каждую подсистему охарактеризовать своим критерием
10
оптимальности, то в решении многокритериальной задачи
возникнут трудности, для устранения которых вводится
комплексный критерий, представляющий собой комбина-
цию частных критериев отдельных подсистем.
Например, при циклично-поточной технологии горных
работ на карьерах доставка горной массы на концентра-
ционный горизонт осуществляется автотранспортом, а на
поверхность и обогатительную фабрику — конвейером. Со-
прягающим узлом является бункер, вместимость которого
влияет на экономическую эффективность транспортной
системы. При малой вместимости бункера вероятность про-
стоя автосамосвалов возрастает (натуральный критерий —
производительность автотранспорта). При увеличении вме-
стимости бункера простои сокращаются, но возрастают
капитальные и эксплуатационные затраты на вторую под-
систему «бункер — конвейер» (стоимостной критерий —
затраты). Таким образом, для оптимизации параметров
данной транспортной системы необходимо выбрать комп-
лексный критерий, который учитывал бы экономический
ущерб как от простоя автотранспорта, так и от увеличения
затрат на сооружение и эксплуатацию бункера.
Рассмотрим методику построения комплексных крите-
риев. Допустим, исследуемая система состоит из п подси-
стем, характеризуемых своими частными критериями
КА,К2, ... ,Кт, Кт+1, ... ,Кп,
где Къ ...» Кт— критерии, требующие максимизации;
/Сп+1, ...» Кп — критерии, требующие минимизации.
В этом случае комплексный критерий может быть пред-
ставлен в виде
т
% а1*1
К = ------->тах.
V aAz
Очевидно, что комплексный критерий будет принимать
максимальное значение при стремлении критерия в знаме-
нателе к минимуму. При объединении разнородных кри-
териев их приводят к единому соизмерителю (стоимость) с
помощью весовых коэффициентов Однако рассмотрен-
ный способ построения комплексных критериев используют
только в тех случаях, если коэффициенты вариации воз-
можных значений частных критериев знаменателя не пре-
вышают 10—15 %. В противном случае целесообразно
11
применять аддитивный комплексный критерий
т п
/(=£₽Л- S ₽Л/-*пих,
/=1 ;=т4-1
где Р; — весовые коэффициенты данного критерия.
Следовательно, этот комплексный критерий примет мак-
симальное значение, если будут удовлетворены требования
каждого из частных критериев.
Таблица 1.2
Показатель Вариант
первый второй третий
Объем добычи угля в месяц, тыс. т 100 70 80
Зольность угля, % 32 28,1 30,5
Массовая доля серы, % 0,8 0,6 0,7
Себестоимость добычи 1 т угля, р. 15,2 18,4 17,2
При построении комплексных критериев важной задачей
является правильный выбор весовых коэффициентов. Если
комплексный критерий стоимостный, то весовые коэффици-
енты для стоимостных частных критериев равны единице,
а для натуральных — пересчетным коэффициентам в стои-
мостную форму.
Во многих задачах планирования горного производства
использование комплексного критерия усложнено невоз-
можностью приведения частных критериев к единому соиз-
мерителю. Для примера, используя данные табл. 1.2, рас-
смотрим три варианта плана горных работ.
В этой задаче необходима оптимизация по четырем кри-
териям: максимальный объем добычи; минимальная золь-
ность; минимальная массовая доля серы; минимальная се-
бестоимость добычи 1 т угля.
Из сопоставления представленных в таблице вариантов
видно, что критерии противоречивы. В частности, по объ-
ему добычи и себестоимости оптимальным является первый
вариант, а по качественным характеристикам — второй.
Чтобы устранить это противоречие, можно ввести комплекс-
ный критерий
р : £ <рЛ -* opt,
;=i
где ф; — весовые коэффициенты, определяющие значимость
каждого критерия. Их величину, как правило, устанавли-
вают методом экспертных оценок.
12
Рис. 2. Определение оптимального решения
в области компромиссов
Данный способ позволяет свести многокритериальную
задачу к однокритериальной, что облегчает ее последую-
щее аналитическое решение. Вместе с тем определение зна-
чений коэффициентов q>£ связано с субъективной оценкой
значимости отдельных критериев, что снижает достоверность
результатов решения. Во многих случаях определить зна-
чения весовых коэффициентов не представляется возмож-
ным.
Сведение многокритериальных задач к однокритериаль-
ным является наиболее распространенным методом их реше-
ния. В этом случае один из критериев (наиболее существен-
ный с точки зрения постановки задачи) принимается в ка-
честве функции цели, а на значения остальных критериев
накладываются непротиворечивые ограничения. Недоста-
ток метода — искусственное сужение области значений
оптимизируемых параметров. Действительно, изменяя
ограничения, можно получить другие решения, которые
также будут оптимальными при данных условиях. Много-
вариантность решений приводит к появлению области ком-
промиссов, в которой выбор конкретного решения произво-
дит постановщик задачи, основываясь на своем опыте и
интуиции. Как правило, в области компромиссных решений
выбирается среднее значение или методом последователь-
ных уступок находится оптимальное решение. Сущность это-
го метода иллюстрируют графики, приведенные на рис. 2.
Поскольку экстремумы функций и F2 на рисунке не
совпадают, то диапазон значений аргумента (Хопт, *опт) обра-
13
зует область компромиссов. Величина коэффициента уступ-
ки а показывает, на какую долю оптимального значения
можно изменить критерии. Если увеличивать а, то значе-
ние %опт перемещается вправо, а х0Пт — влево. Увеличивать
а можно до тех пор, пока соответствующие значения аргу-
ментов не совпадут (хОпт). Аналогично поступают при боль-
шем количестве критериев оптимальности. Однако в этом
случае, как правило, добиваются только сужения области
компромиссов. Оптимальное решение из области компро-
миссов выбирает постановщик задачи.
Глава 2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МОДЕЛИ
2.1. Общие положения
Большинство экономических процессов и явлений пред-
ставляет собой результат множества одновременно дейст-
вующих и взаимосвязанных факторов. На горнодобывающих
предприятиях выходные параметры (себестоимость добычи,
производительность труда и т. д.) складываются под влия-
нием комплекса горно-геологических, горно-технических,
организационных и социально-экономических факторов.
Многообразие этих факторов обусловливает вероятностный
характер выходных параметров.
Например, важнейший выходной параметр — себестои-
мость добычи 1 т полезного ископаемого — зависит от уров-
ня механизации, производительности труда, концентра-
ции горных работ и других технических и организационных
факторов. В свою очередь, производительность труда за-
висит от квалификации рабочих, показателей использова-
ния горной техники, горно-геологических условий и т. д.
По такому же принципу экономические показатели раз-
деляются на факторные и результативные.
Результирующие показатели называют результатив-
ными признаками и обозначают у, а показатели, влияющие
на их значения,— факторными и обозначают х. Очевидно,
что значение результативного признака формируется под
воздействием большого количества факторных признаков,
которые в каждой конкретной ситуации принимают слу-
чайные значения в пределах определенного диапазона.
В экономико-статистических исследованиях практически не-
возможно учесть все многообразие влияющих факторов,
и поэтому из множества факторных признаков выделяются
несколько (иногда один), оказывающих наибольшее влия-
14
ние на результативный признак. Влиянием остальных фак-
торных признаков пренебрегают, из-за чего функциональ-
ная зависимость между у и факторами хь х2, хп (когда
для любого допустимого значения xh i = 1, п, можно ука-
зать определенное значение у) уступает место стохастиче-
ской, т. е. такой, которая проявляется только в массовом
процессе, при большом количестве статистических исследо-
ваний. В этом случае каждому фиксированному набору
значений факторов xh i = 1, л, соответствует множество
значений у. Так, при одной и той же длине лавы наблюда-
ются различные значения коэффициента машинного вре-
мени, поскольку на эту величину влияет совокупность
факторов, не учтенных в данной модели.
Статистические закономерности изменения выходных
параметров того или иного производственного процесса
(производственной системы в целом) под влиянием воздей-
ствующих на них факторов исследуют с помощью корре-
ляционного анализа.
Две величины называют корреляционно связанными,
если определенному значению одной из них могут соответ-
ствовать несколько значений другой. Иными словами,
корреляционная связь проявляется в виде определенной
зависимости между средним значением результативного
признака и факторами-аргументами при большом числе
наблюдений.
В простых случаях исследуется корреляционная связь
между двумя показателями, один из которых является не-
зависимым фактором-аргументом х, а другой — зависимой
переменной у. Наличие зависимости между у и х определя-
ется не математически, а путем качественного анализа,
вскрывающего причинную связь этих параметров. Аппарат
корреляционного анализа служит для количественного из-
мерения выявленной связи и подтверждения или отрицания
выводов качественного анализа. С помощью средств мате-
матической статистики можно описать количественные соот-
ношения между параметрами, отражающими экономиче-
ские процессы и явления, причем главной задачей исследо-
ваний является получение закономерностей, не искаженных
погрешностями наблюдений, случайными возмущениями,
наличием пар или групп факторов, корреляционно связан-
ных между собой.
Построение экономико-математической модели с исполь-
зованием математического аппарата корреляционного ана-
лиза состоит из следующих основных этапов:
15
1. Выбор зависимой переменной и факторов-аргументов.
2. Обработка статистической информации.
3. Составление уравнения регрессии и измерение тесно-
ты связи между факторным и результативным признаками.
4. Анализ корреляционной модели.
2.2. Выбор зависимой переменной
и факторов-аргументов
Зависимая переменная выбирается исходя из цели кор-
реляционного анализа. Результативной переменной чаще
всего являются показатели, характеризующие уровень
производственно-хозяйственной деятельности горного пред-
приятия, т. е. себестоимость добычи полезного ископаемого,
производительность труда, уровень использования основ-
ных производственных фондов и др.
Выбор факторов-аргументов (влияющих факторов) пер-
воначально производится на основе логического анализа:
из совокупности горно-геологических, технических, тех-
нологических, организационных и социально-экономиче-
ских условий производства выбираются те, изменение кото-
рых оказывает наибольшее влияние на изучаемый показа-
тель.
Следует отметить, что корреляционным анализом не
устанавливаются новые экономические закономерности. Он
служит инструментом подтверждения их существования и
определения количественной зависимости рассматривае-
мых показателей от того или иного фактора. Поэтому изу-
чение экономической сущности процесса при выборе влияю-
щих факторов является обязательным.
При изучении экономических явлений рекомендуется
вводить в модель не более четырех-пяти факторов, так как
чрезмерное увеличение их количества повышает вероятность
включения факторов, не оказывающих существенного влия-
ния на зависимую переменную.
К факторам-аргументам предъявляются требования, со-
гласно которым они должны:
быть количественно измеримы, т. е. характеризоваться
уровнем определенного показателя (мощность пласта, сред-
няя скорость подачи комбайна и т. д.);
функционально не зависеть друг от друга или от груп-
пы факторов. Например, не следует включать в модель од-
новременно нагрузку на очистной забой и скорость подви-
гания лавы, поскольку они в принципе связаны функцио-
нальной зависимостью;
16
Ж определяться по данным текущей и оперативной отчет-
Жяости анализируемой подсистемы (отчеты шахт, цехов,
участков, диспетчерские документы, фиксирующие про-
•' стой оборудования и распределение материальных и энер-
гетических ресурсов по участкам).
После выбора зависимой переменной и факторов-аргу-
ментов, а также определения количественных показателей,
характеризующих их уровень, приступают к сбору стати-
стического материала и его обработке.
2.3. Обработка статистической информации
Статистические данные, обладающие некоторыми общи-
ми свойствами, характеризующие какое-либо массовое
явление и принятые к обработке, называются статисти-
ческой совокупностью.
Собранный статистический материал подвергается обра-
ботке для доказательства однородности и представительнос-
ти (достаточности количества наблюдений). Обработка
„статистической совокупности состоит из следующих этапов:
упорядочение статистических данных и построение на
их основе интервального вариационного ряда;
расчет числовых характеристик вариационного ряда;
отсев отдельных значений, резко отличающихся от ос-
новной массы наблюдений;
доказательство представительности выборки;
установление закона распределения, которому подчи-
няются эмпирические данные (большинство статистических
данных подчиняется нормальному закону распределения).
Имеющиеся в распоряжении исследователя исходные
данные первоначально располагают в виде дискретного ва-
риационного ряда. Он представляет собой таблицу, в ко-
торой показатели располагаются в порядке возрастания
(уменьшения) значений. Если одинаковые значения пока-
зателя повторяются несколько раз, то их можно в таблице
записать один раз, указав число повторений.
Например, исследовалось сменное содержание магнит-
ного железа в исходной руде. Была взята 51 проба во вход-
ном потоке руды на обогатительной фабрике. Данные пред-
ставлены в табл. 2.1.
Систематизируя эти данные в порядке возрастания и
подсчитав количество одинаковых значений, получим дис-
кретный вариационный ряд (табл. 2.2).
Анализ вариационного ряда показывает, что все значе-
ния признака сосредоточены в интервале от 16,2 до 25, а
JL7
Таблица 2.1
Номер про- бы Мас со-' вая доля железа, % Номер пробы Массовая доля железа, % Номер пробы Массовая доля железа, % Номер пробы Массовая доля железа, %
1 19,5 14 25,0 27 21,2 40 19,2
2 21,1 15 20,4 28 19,4 41 20,4
3 22,3 16 21,6 29 20,4 42 18,5
4 21,5 17 18,7 30 19,0 43 21,1
5 18,7 18 20,1 31 18,7 44 20,0
6 16,4 19 19,6 32 22,6 45 21,5
7 19,2 20 20,8 33 21,8 46 22,8
8 17,6 21 17,3 34 Н,1 47 20,5
9 23,1 22 17,4 35 20,3 48 19,5
10 23,2 23 19,2 36 20,7 49 20,4
11 21,2 24 20,3 37 23,9 50 24,1
12 18,6 25 21,9 38 19,1 51 18,7
13 16,2 26 21,3 39 20,6
одно значение (11,1) выпадает из этого интервала, сущест-
венно отличаясь от остальных («вихревая» проба). Появ-
ление такого значения объясняется тем, что при опробы-
вании были нарушены правила отбора проб и это привело
к разубоживанию отобранной порции руды. Данное зна-
чение признака следует исключить из ряда.
Таблица 2.2
№ п/п Значение признака Частота № п/п Значение признака | Частота
1 11,1 1 20 ’ 20,6 1
2 16,2 1 21 20,7 1
3 16,4 1 22 20,8 1
4 17,3 1 23 20,9 1
5 17,4 1 24 21,1 2
6 17,6 1 25 21,2 2
7 18,5 1 26 21,3 1
8 48,6 1 27 21,5 2
9 18,7 4 28 21,6 1
10 19,0 1 29 21,8 1
11 19,1 1 30 21,9 1
12 19,2 3 31 22,3 1
13 19,4 1 32 22,6 1
14 19,5 2 33 22,8 1
15 19,6 1 34 23,1 1
16 20,0 1 35 23,2 1
17 20,1 1 36 23,9 1
18 20,3 2 37 24,1 1
19 20,4 4 38 25,0 1
Основными числовыми характеристиками дискретного
вариационного ряда являются:
среднее значение
£ W
, (2.1)
£mi
1=1
где п — количество значений признака; х£ — значение при-
знака; mi — частота каждого значения признака;
средний квадрат отклонений значений признака от сред-
него значения (дисперсия)
Dx = -^—п----------; (2.2)
S'”*
i = l
среднее квадратическое отклонение
Sx = VDX. (2.3)
В нашем примере (учитывая, что «вихревая» проба ис-
п
ключена из рассмотрения) п = 3& £ гщ = 50. Числовые
1=1
характеристики ряда имеют такие значения: х = 20,34;
Dx = 3,5988; Sx = 1,8971.
В математической статистике согласно «правилу трех
сигм» установлено, что 99,7 % значений признаков, со-
ставляющих вариационный ряд, должны помещаться в ин-
тервале х— 3Sx...x + 3SX. С достаточной для практи-
ческих целей точностью можно считать, что все значения
варьирующего признака попадают в этот интервал.
В данном случае х — 3SX = 14,65. Значение «вихревой»
пробы меньше этой величины. Следовательно, принятсе
решение об исключении «вихревой» пробы из рассмотре-
ния было правильным.
Отметим, что дискретный вариационный ряд сложен для
вычисления числовых характеристик из-за необходимости
суммирования большого количества слагаемых. Поэтому
в практике вычислений переходят от дискретного к интер-
вальному вариационному ряду. Диапазон значений варьи-
рующего признака разбивают на интервалы, количество
19
которых определяют по формуле
k = 1 4- ] 3,322 lg JV[, (2.4)
где — количество исходных данных; J а [ —целая часть а.
Для рассматриваемого примера
V = = 50,
£=1
k = 1 + ] 3,322 1g 50 ( = 1 + ]3,322 • 1,699 [ =
= 1 + 15,1 ( = 6.
Таким образом, количество интервалов должно быть не
менее 6. Рассчитанное по формуле (2.4) количество интер-
валов является минимально допустимым.
Разность между максимальным хтах и минимальным хт1п
значениями признака называют размахом вариации
= Хщах — Xmin-
Длина интервала рассчитывается по формуле
д ___ *max "’'mm __ R
~~ k “ k *
Обычно величину Дх округляют до ближайшего больше-
го значения, приемлемого для практических расчетов.
В примере Хтах = 25, xmin = 16,2; Дх = (25 — 16,2)/6 «
« 1,46; принимаем Дх = 1,5; R = Дхй = 9. Следова-
тельно, для построения интервального ряда хтах = 25,
«^min = 16.
После разбивки диапазона значений варьирующего
признака на интервалы определяется количество данных,
попавших в каждый из них. Если значение признака х сов-
падает с границей г-го интервала, при решении вопроса
о включении признака в интервал пользуются правилом
Xt—\ < х где Xi — верхняя граница i-ro интерва-
ла. Исключением являются только значения х, равные
Таблица 2,3
Номер
интервала
Интервал
Г xi
Середина
интервала X/
Частота гп{
1 16,0... 17,5
2 17,5...19,0
3 19,0...20,5
4 20,5...22,0
5 22,0...23,5
б 23,5...25,0
16,75 4
18,25 7
19,75 17
21,25 14
22,75 5
24,25 3
20
Хо, т. е. совпадающие с нижней границей первого интерва-
ла. Эти значения принадлежат первому интервалу.
Для дискретного ряда, приведенного в табл. 2.2, ин-
тервальный вариационный ряд представлен в табл. 2.3.
Основными числовыми характеристиками интервального
вариационного ряда являются:
среднее значение
; (2.5)
дисперсия
k
Dx~-i=±—k--------; (2.6)
среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по
формуле (2.3).
В практических расчетах используют модифицирован*
ную формулу расчета дисперсии
* *
S ^imi ~ S + E
n _ <=i t=i i=i
Ux----------------- .
/=1
Пользуясь формулой (2.5) и вынося постоянные сомно-
жители за знак суммы, получим
k
S
Dx=-^--------(2.7)
м
Для определения числовых характеристик составляем
расчетную таблицу (табл. 2.4).
Из расчетов, приведенных в таблице, получим
в -2-^Е6- _ (20,29/ = 415,17 — 411,68 - 3,49,
S, =/ЗД9= 1,87.
11
Таблица 2.4
Хе n/n Середина интерва- ла X/ Частота x?mf
I 16,75 4 67' 280,5625 1122,25
2 18,25 7 127,75 333,0625 2331,4375
3 19,75 17 . 335,75 390,0625 6631,0625
4 21,25 14 297,50 451,5625 6321,8785
5 22,75 5 113,75 517,5625 2587,8125
6 24,25 3 72,75 588,0625 1764,875
E 50 1014,5 2560,875 20758,625
Отметим, что среднее значение и дисперсия, вычислен-
ные по интервальному вариационному ряду, отличаются
(хотя и незначительно) от значений, полученных по дис-
кретному ряду. Это объясняется тем, что значения призна-
ков х, попадающие в некоторый интервал, заменяют значе-
нием середины соответствующего интервала.
Известные трудности возникают при определении число-
вых характеристик из-за дробных значений х4-. Поэтому
целесообразно применить схему вычислений, основанную
на замене переменных.
Введем вспомогательную переменную 27 = * д7’С , где
с — середина одного из интервалов. Определим среднее
значение и дисперсию для z
k
Е (*t - с> "h
Z=1
k
&Х S mi
Отсюда получим
х = Дх? + с. (2.8)
Аналогично
п — f=1________z2 = f=1_____________? =
uz k г k г
S mi S mt
22
1
(М*
- k k *
5] xfa — 2c £ x.m( + c*'£mi
i=i M _______ M
— (x2 — 2xc 4- c2)
1
№
— 2cx + c2 — x2 + 2xc — c2
Таким образом,
Dx = (Дх)2О,.
(2.9)
. Формулы (2.8) и (2.9) позволяют упростить вычисления,
поскольку для нахождения среднего значения и диспер-
сии признака х необходимо вычислить z и DZi определение
которых значительно проще благодаря целочисленности.
Данные положения проиллюстрируем расчетом, приве-
денным в табл. 2.5. Величина с принята равной 19,75.
Вычислим z и Dz:
6
S zimi
5 = -т— = 4r = °'36’
£=1
-------? = -g- - 0,36* = 1,55.
{—1
По формулам (2.8) и (2.9) найдем
х = 1,5 • 0,36 + 19,75 = 20,29,
Z\ = 1,5а - 1,55 = 3,49,
Sx = /О; = 1,87.
Для оценки вариации признаков относительно среднего
значения применяют коэффициент вариации, который
23
Таблица 2.5
№ п/п xi х{ — 19,75 * — ‘ 1,5
1 16,75 4 —2 —8 4 16
2 18,25 7 — 1 —7 1 7
3 19,75 17 0 0 0 0
4 21,25 14 1 14 1 14
5 22,75 5 2 10 4 20
6 24,25 3 3 9 9 27
2 50 18 84
вычисляется как отношение среднего квадратического откло-
нения к среднему значению случайной величины и выража-
ется в процентах:
V = 4^-100.
X
Статистическому исследованию объект подвергают пу-
тем отбора некоторого количества проб. Например, при
изучении производительности труда рабочих данные соби-
раются за определенное количество смен. Они образуют вы-
борку, по которой исследователь может получить сведения
об интересующем его показателе.
Если бы были собраны данные о производительности тру-
да по всем сменам в течение исследуемого промежутка
времени, они составили бы так называемую генеральную
совокупность. Ее числовые характеристики (генеральная
средняя, генеральная дисперсия и т. д.) являются абсолют-
но достоверными значениями. Однако для получения таких
значений необходимо проделать большой объем работ по
сбору и обработке информации. Очевидно, что этот объем
может быть сокращен, если отбор проб производить выбо-
рочно. Статистическую совокупность данных, полученных
таким способом, называют выборочной. Ее числовые харак-
теристики (выборочная средняя, выборочная дисперсия
и т. д.) отличаются от генеральных. Следовательно, при за-
мене сплошного наблюдения выборочным допускается опре-
деленная ошибка, величина которой зависит от объема
выборки и величины вариации признака. В связи с этим
должна быть решена задача определения объема выборки;
при котором ошибка, обусловленная заменой генеральных
показателей выборочными, не будет превосходить некото-
рого наперед заданного значения.
Согласно теории вероятностей закон распределения вьь
борочных средних является нормальным независимо от
закона распределения случайных величин х. Математиче-
ское ожидание среднего выборочного равно среднему гене-
ральному хг, а дисперсия — D (х) = D (x)/nj где п — коли-
чество элементов выборки; D (х) — генеральная дисперсия.
Таким образом, если выборку производить многократ-
но, плотность распределения получаемых при этом средних
выборочных значений будет определяться выражением
1
f(x) -
(X—Хг)*п
2D(x)
(2.Ю)
Поскольку по выборочным данным генеральную дис-
персию определить невозможно, то в этой формуле с опре-
деленной погрешностью ее можно заменить выборочной
дисперсией S2.
Предположим, по выборочной средней надо оценить ‘зна-
чение средней генеральной с ошибкой, не превосходящей
8. Определим вероятность выполнения неравенства | хг —
— х | е
ХгЧ-8
Р(|хг —х|^8)= У f(x)dx. (2.11)
-ХГ_8
_______________X ) _
Заменив в формуле (2.10) переменные t =-Vп9
получим
^(|хг — х|<е) = у=- у е 2 dt. (2.12)
В статистических таблицах (прил. 1) указаны значения
функции F (0 = -у=- Се 2 dt. Задаваясь вероятностью
У 2л J
—г
Р (| хг — X к е), по таблице можно найти ей соответст-
вующее значение tp. Следовательно, tp = 4- V п, отсюда
нетрудно определить объем выборки, обеспечивающий с
ваданной вероятностью необходимую точность вычисления
25
генерального среднего,
(2.13)
Например, по данным табл. 2.5 определим, является ли
достаточным объем выборки для расчета генерального
среднего с точностью е = 0,5 и вероятностью Р = 0,9. Из
прил. 1 находим tP = 1,645, п = • l,645j2 = 38.
Поскольку объем выборки составляет 50 наблюдений, она
является представительной. В практических расчетах при
анализе экономических показателей следует принимать
Р = 0,9...0,95. Величина е не должна превышать
0,055...0,15.
Установление закона распределения эмпирических дан-
ных. Как уже отмечалось, статистические данные чаще
всего подчиняются нормальному закону распределения.
В этом случае для исследования корреляционной связи меж-
ду результативным и факторными признаками можно при-
менять наиболее разработанный метод наименьших квад-
ратов.
Проверка соответствия выборки нормальному закону
распределения состоит из следующих основных этапов:
1) построение гистограммы распределения фактических
значений исследуемых величин;
2) построение теоретической кривой распределения;
3) . проверка соответствия фактического распределения
теоретическому с помощью критериев согласия.
Предположим, что в схожих горно-геологических усло-
виях для интервала значений длины лавы 160—180 м полу-
чены значения коэффициента машинного времени приве-
денные в табл. 2.6. Предполагается, что в выбранном диапазо-
не влиянием длины лавы на значение можно пренебречь.
В гр. 1—3 табл. 2.6 представлены исходные данные, шаг
интервала принят равным А/? = 0,015. Гр. 4—6 позволяют
вычислить среднее значение и среднее квадратическое
отклонение Sk через вспомогательную переменную
В результате расчетов получим z = —0,1, Dz = 0,99, kw =
= 0,276, Sk — 0,0149. В гр. 7 введена вспомогательная пере-
менная 4 = — kw)/Sk, которая является безразмер-
ной величиной. Эта переменная позволяет перейти от
плотности распределения с заданными значениями матема-
тического ожидания и среднего квадратического отклоне-
ния к стандартной плотности нормального распределения
26
Таблица 2.6
Интервал Середина ин- тервала k^. Частота mi € N* э-
2х = . — 0,2775 | 0,015 £ !•« 1 z <0*
II T i co II
II
1 2 1 3 1 4 1 5 I 6 1 7 1 8 1 1 9
0,240...0,255 0,2475 3 —2 —6 12 — 1,91 0,0644 2,593
0,255...0,270 0,2625 11 — 1 -11 11 —0,91 0,2637 10,619
0,270...0,285 0,2775 15 0 0 0 0,10 0,3970 15,987
0,285...0,300 0,2925 9 1 9 9 1,11 0,2155 8,678
0,300...0,315 0,3075 2 2 4 8 2,11 0,0431 1,736
Итого 40 —4 40 39,613
Ф (/J, для которой математическое ожидание равно нулю,
а среднее квадратическое отклонение — единице. Значе-
ния функции ср (/) (гр. 8 табл. 2.6) находим в прил. 2.
От плотности нормального распределения можно пере-
йти к теоретическим частотам, которые должны соответст-
вовать интервалам данного вариационного ряда при усло-
вии, что исследуемая случайная величина действительно
подчиняется нормальному закону распределения. Теоре-
тические частоты т} вычисляются по формуле
k
£ mi (Дй)
/и) =-^4-—<р(/г). (2Л4>
Значения теоретических частот приведены в гр. 9. Оче-
видно, что эти значения могут быть дробными, причем их
сумма должна быть равна сумме эмпирических частот.
Небольшое расхождение между этими суммами (см. итоги
гр. 3 и 9) объясняется округлениями при вычислении нор-
мированной переменной ti и теоретических частот mJ.
Гистограмма эмпирического распределения коэффици-
ента машинного времени и сглаживающая ее кривая
нормального закона распределения, построенная по дан-
ным гр. 9 табл. 2.6, приведены на рис. 3. Из рисунка видно,
что эмпирическое распределение хорошо согласуется с тёо-
ретическим нормальным. Однако такая оценка степени со-
гласованности эмпирического распределения с теоретиче-
ским имеет лишь качественный характер. Для объективной
количественной оценки соответствия эмпирического распре-
деления теоретическому применяют критерии согласия.
27
Рис. 3. Гистограмма и сглажи-
вающая кривая распределения
коэффициента машинного вре-
мени
Сущность критерия согла-
сия заключается в следую-
щем. Из генеральной совоку-
пности получена выборка, по
распределению которой тре-
буется установить закон рас-
пределения изучаемого при-
знака в генеральной совокуп-
ности. Сформулируем гипоте-
зу Н: генеральная совокуп-
ность подчиняется теоретиче-
скому закону распределения
F (х) и расхождение между
теоретическим и выборочным
распределениями объясня-
ется случайными обстоятель-
ствами, обусловленными ограниченным объемом выборки.
Альтернативной будет гипотеза И: отличие выборочного рас-
пределения от теоретического F (х) объясняется тем, что
генеральная совокупность не подчиняется закону распре-
деления F (х).
Введем в рассмотрение количественную меру расхожде-
ния между теоретическим и выборочным распределениями
г и определим вероятность Р (г) того, что при подчинении
генеральной совокупности теоретическому распределению
F (х) при данном объеме выборки расхождение г может иметь
место. Если Р (г) достаточно велика, то гипотеза Н прини-
мается и утверждение о соответствии выборочного распре-
деления теоретическому F (х) считается справедливым; если
же вероятность Р (г) мала, то принимается альтернативная
гипотеза Н — эмпирическое распределение не согласуется
с теоретическим F (х).
Применяемые на практике критерии согласия отлича-
ются как способом оценки количественной меры расхожде-
ния г, так и способом определения соответствующей вероят-
ности Р (г). Наиболее часто применяют критерии согласия
А. Н. Колмогорова и Пирсона.
Критерий согласия Колмогорова. В качестве меры рас-
хождения между теоретическим и выборочным распределе-
ниями А. Н. Колмогоров предложил использовать вели-
чину
г = X = ДМ/
(2.15)
28
Таблица 2.7
X Р(Х) 1 Р (1) к Р(Х)
0,0 1,0 0,7 0,711 1,4 0,040
0,1 1,0 0,8 0,544 1,5 0,022
0,2 1,0 0,9 0,393 1,6 0,012
0,3 1,0 1,0 0,270 1,7 0,006
0,4 0,997 1,1 0,178 1,8 0,003
0,5 0,964 1,2 0,112 1,9 0,002
0,6 0,864 1,3 0,068 2,0 0,001
где ДМ = max | Mj — МД \ Mf — накопленная частота /-го
/ / \ у
интервала = Mf— накопленная теоретическая
\ i=l /
частота /-го интервала I Мт/ = £ пг} \.
\ f=i /
Каждому значению X соответствует вероятность согла-
сия Р (Л), т. е. вероятность того, что изучаемая генеральная
совокупность действительно подчиняется теоретическому
закону распределения F (х).
Значения вероятностей Р (Л) приведены в табл. 2.7.
Проверим согласие распределения коэффициента ма-
шинного времени kM с нормальным законом распределения.
Вычисления эмпирической и теоретической накопленных
частот по данным табл. 2.6 приведены в табл. 2.8.
Из таблицы видно, что ДМ = max | Mt — М} | = 0,788,
/r~k
следовательно, Л = ДМ/|/ У = 0,788/у 40 = 0,125,
Р(Х)=1. Таким образом, распределение коэффициента
машинного времени согласуется с нормальным законом рас-
пределения с вероятностью согласия, равной единице.
В практических расчетах гипотеза Н принимается, если
вероятность согласия не меньше 0,1, чему соответствует
значение меры расхождения 1,2.
Таблица 2.8
Интервал Т м, М1 |мг-м; ।
0,240...0,255 3 2,593 3 2,593 0,407
0,255...0,270 11 10,619 14 13,212 0,788
0,270...0,285 15 15,987 29 29,199 0,199
0,285...0,300 9 8,678 38 37,877 0,123
0,300...0,315 2 1,736 40 39,613 0,387
29
Следует отметить, что критерий согласия Колмогорова
применим в тех случаях, когда объем выборки большой и
параметры распределения вычислены достаточно точно.
Для выборки ограниченного объема этот критерий дает
завышенные значения вероятности Р (Л), что может при-
вести к принятию гипотезы Н в случае плохого согласования
выборки с теоретическим распределением.
Критерий согласия Пирсона X2. Мерой расхождения
между теоретическим и выборочным распределениями яв-
ляется величина
□=1
(2.16)
Введем в рассмотрение вероятность Р (X2) достижения
величиной %2 данного значения из-за случайных отклоне-
ний эмпирических частот от теоретических при выполне-
нии гипотезы Н, Если эта вероятность значительно отли-
чается от нуля (в практических расчетах больше чем на
0,05), то отклонения эмпирических частот от теоретических
можно считать случайными. Если же вероятность Р (X2)
мала, то отклонения нельзя считать случайными, что сви-
детельствует о несоответствии эмпирического распределе-
ния теоретическому.
Вероятность Р (X2) зависит не только от значения X2,
но и от количества интервалов k, на которые разбита иссле-
дуемая совокупность. Действительно, чем больше интер-
валов содержит вариационный ряд, тем больше слагаемых
входит в величину X2 и тем большей она может получиться
даже при случайном характере отклонений эмпирических
частот от теоретических. Поэтому при определении вероят-
ностей Р (X2) следует учитывать не только значения X2, но и
число степеней свободы, определяемое по формуле К =
= k — t — 1, где t — число наложенных связей.
Под наложенными связями понимают числовые харак-
теристики распределения, принимающие одинаковые зна-
чения для теоретического и эмпирического распределений.
Так, при проверке согласия эмпирического распределения
теоретическому нормальному должны быть равны теоре-
тическое и выборочное средние значения и дисперсии (t =
« 2), следовательно, К = k — 3.
Значения X2 в зависимости от вероятности Р (X2) и
числа степеней свободы К приведены в табл. 2.9. Отметим,
что вероятность согласия выборочного и теоретического
распределений Р (X2) называют также доверительной ве-
роятностью.
30
Таблица 2.9
pm
0,9 0,7 0,5 0,3 0.1 0.05 0,01
1 0,016 0,148 0,455 1,074 2,71 3,84 6,64
2 0,211 0,713 1,386 2,41 4,60 5,99 9,21
3 0,584 1,424 2,37 3,66 6,25 7,82 11,34
4 1,064 2,20 3,36 4,88 7,78 9,49 13,28
5 1,610 3,00 4,35 6,06 9,24 11,07 15,09
6 2,20 3,83 5,35 7,23 10,64 12,59 16,81
7 2,83 4,67 6,35 8,38 12,02 14,07 18,48
8 3,49 5,53 7,34 9,52 13,36 15,51 20,1
9 4,17 6,39 8,34 10,66 14,68 16,92 21,7
10 4,86 7,27 9,34 11,78 15,99 18,31 23,2
Предположим, выборочное распределение представлено
интервальным вариационным рядом, содержащим девять
интервалов. Для проверки согласия выборочного распре-
деления с теоретическим нормальным рассчитано значе-
ние X2 = 7,18, К = 9 — 3 = 6. По табл. 2.9 находим до-
верительную вероятность Р (X2) « 0,3. Поскольку эта
вероятность достаточно велика (Р (X2) > 0,05), можно счи-
тать, что отклонения эмпирических частот от теоретических
имеют случайный характер и обусловлены ограниченным
объемом выборки; гипотеза Н о соответствии выборочного
распределения теоретическому нормальному принимается.
Возможен и другой подход к решению задачи принятия
гипотезы Н. Пусть доверительная вероятность Р (X2) =
= 0,05 принята в качестве критической: если Р (X2) >
> 0,05, то Н принимается, если же Р (X2) < 0,05, то Н от-
вергается. В табл. 2.9 каждому значению К и Р (X2) == 0,05
соответствует ХкРИТ. Очевидно, что если рассчетное значе-
Таблица 2.10
Интервал mi — m} (tn{ — mj)* (m. — mT)»
„т
0,240...0,255 3 2,593 0,407 0,1656 0,0639
0,255...0,270 11 10,619 0,381 0,1452 0,0137
0,270...0,285 15 15,987 0,987 0,9742 0,0609
0,285...0,300 9 8,678 0,322 0,1037 0,0119
0,300...0,315 2 1,736 0,264 0,0697 0,0401
2
0,1905
31
ние X2 меньше критического, то соответствующая ему до-
верительная вероятность больше критической и гипотеза
Н принимается.
Проверим согласие распределения коэффициента машин-
ного времени kM с нормальным законом распределения по
критерию Пирсона. Величина X2 определяется по табл. 2.10.
Анализируемый вариационный ряд содержит пять ин-
тервалов. Следовательно, К = 5 — 3 = 2; Х2асч = 0,1905,
Ккрит = 5,99. Поскольку Храсч < Хкрит, то можно утверждать,
что распределение коэффициента машинного времени км
хорошо согласуется с теоретическим нормальным распре-
делением.
2.4. Понятие регрессии
Исследование зависимости между случайными перемен-
ными — факторным признаком X и результативным призна-
ком Y — на практике ограничивают изучением зависимости
между X и условным математическим ожиданием М (Y/X =«
= х) = ср (х), где М (Y/X = х) — математическое ожида-
ние случайной величины Y при условии, что случайная
величина X приняла значение х. Эта зависимость получи-
ла название функции регрессии Y на X.
Для определения функции регрессии надо установить
аналитический вид двухмерного распределения f (У, X).
Однако практически это сделать достаточно сложно, по-
скольку исследователь обычно располагает выборкой ограни-
ченного объема, по которой с одинаковой степенью точности
совокупность данных (xz, yj, 4 = 1,2, ..., и, можно опи-
сать различными функциями. Поэтому в практике статисти-
ческих расчетов при изучении зависимости между X и Y
используют понятие эмпирического уравнения регрессии,
или просто уравнения регрессии.
Эмпирическое уравнение регрессии Y по X (или Y на X)
устанавливают по наблюдаемым значениям двухмерной
случайной величины (х, у) в виде выражения
У (х) = ф (х, а0, а1г ... , ат),
где у (х) — условное среднее значение случайной перемен-
ной Y, определяемое по эмпирическим данным; а0, alt ...
..., ат — параметры уравнения регрессии, определяемые
методом наименьших квадратов.
Таким образом, функция регресии М (Y/X == х) «=»
(р (х) может быть определена для генеральной совокуп-
32
ности (X, У)» уравнение регрессии —для выборки ограни-
ченного объема (xz, j/t), i = 1, 2, п.
Функцию регрессии представим в виде
М (Y/X = х) = (р (х) = а0 + + а2*2 + • • • +
+ атх"\ (2.17)
где а0, аъ а2, ат — коэффициенты регрессии.
Поскольку исследователю не известна вся генеральная
совокупность данных, по выборке определяется уравнение
регрессии
у (х) = а0 + а,х -ь а2х2 + • • • + атхт. (2.18)
Параметры уравнения регрессии а0, аи а2, ..., ат явля-
ются оценками коэффициентов регрессии а0, аь а2, ...» ат.
Задача регрессионного анализа заключается в вычислении
этих оценок. В дальнейшем, там, где речь будет идти об
уравнениях регрессии, оценки коэффициентов регрессии
также будем называть коэффициентами регрессии.
Помимо оценки коэффициентов регрессии, оценивается
остаточная дисперсия Пост — рассеивание результативного
признака относительно условного математического ожи-
дания М (Y/X = х). В регрессионном анализе такой оцен-
кой является выборочная остаточная дисперсия, определяе-
мая по формуле
п
S^T = , (2.19)
т п — (т + 1) ’ v '
где п — количество данных в выборке; т + 1 — количест-
во параметров в уравнении регрессии.
Остаточная дисперсия может использоваться для ана-
лиза и оценки точности подбора функции регрессии.
В дальнейшем (см. раздел 2.8) этот вопрос будет изучен бо-
лее подробно, а в данном разделе остановимся на рассмот-
рении линейного уравнения регрессии.
В регрессионном анализе наиболее широко использу-
ется нормальная регрессия, основной предпосылкой которой
является выполнение условия, что {Y/X — х} —множест-
во значений Y при X = х — подчинено нормальному зако-
ну распределения. В этом случае оценки коэффициентов
регрессии подчинены нормальному закону распределения
с минимальной дисперсией, что позволяет найти для них
доверительные интервалы и оценить их значимость. Предпо-
ложим, что в дальнейшем условия нормальной регрессии
выполняются.
2 529
33
Линейная регрессия имеет место в том случае, если функ-
ция регрессии (2.17) линейна, т. е.
М (Y/X = х) = а0 + агх.
Линейной функции регрессии, являющейся для гене-
ральной совокупности моделью зависимости между фак-
торным и результативным признаками, соответствует линей-
ное уравнение регрессии у (х) = а0 + параметры
которого а0 и «1 определяются по выборочным данным из
условия минимума суммы квадратов отклонений эмпири-
ческих значений результативного признака от вычисленных
по уравнению регрессии
п п
р =^. (yt —У (xj)2 = У (yt _ ап — atxt)2 -- min.
1 = 1 Z=1
Значения параметров а0 и al9 обращающих в минимум
функцию F, найдем из решения системы уравнений
f-F=o.
dF
даг = О*
Выполним дифференцирование
= — 2 У (ус — а0 — = О,
dF oV , \ л
= -2l ky< ~a0 — агх() xt = 0.
После несложных преобразований получим систему
уравнений
. п п
па0 + Д1 У х{ = У t/i,
„ ‘=* „ П (2.20)
а0 У xt + «1 У х? = У xtyt.
;=1 f=i
Решая эту систему относительно aQ и получим оценки
коэффициентов регрессии а0 и Для решения используем
формулы Крамера. Определители системы уравнений рав-
ны соответственно
п
= п
у Xi
м
п
34
iyt
i=\
n
S Wi
;=i
n n n
E w E xi S xi
i=l t = l . t=l
ZX n n n
-
uo
Нетрудно заметить,
n
-----= X,
n
Учитывая эти обозначения, получим
п п
S«? £ -л
- П=1 - *=1
I]----------X--------
Оо =------п—-2---------п----, (2.21)
п
Е xiVi
Z=1
----------п---"ху
«1 =------------• (2.22)
35
Объем вычислений можно сократить, если, используя
первое уравнение системы (2.20), выразить а0 через а2
«о = У — «1^.
(2.23)
Таким образом, последовательность вычислений сводит-
ся к определению ах по формуле (2.22) и затем а0 по формуле
(2.23).
Оценку остаточной дисперсии в соответствии с формулой
(2.19) определим следующим образом:
п
S — а« — °1XJ2
с2 _ I =1
«Зпст - ’ л •
Пример. Установим зависимость между себестоимостью 1 т угля у
и производительностью труда рабочих х по среднемесячным данным,
полученным на основании статистической отчетности шахты за год.
Исходные данные и результаты промежуточных расчетов приведены
в табл. 2.11.
По данным таблицы получим
— — ЪСЛ,
х = 44,583; у = 14,875; ---— = 654,28;
п
Sx2
S* =---------х2 = 2018,92 — (44,583)» = 31,28.
* м
Таблица 2.1 /
Месяц х^, т/мес Ур Р- аг (N •- Н н* 1 У1 — У 1 аГ
I 45 13,5 607,5 2025 14,77 — 1,27 1,613
II 48 13,2 633,6 2304 13,92 —0,72 0,518
III 55 12,9 709,5 3025 11,93 0,97 0,941
IV 53 12,7 673,1 2809 12,50 0,20 0,040
V 46 14,6 671,6 2116 14,48 0,12 0,014
VI 43 15,1 649,3 1849 15,34 —0,24 0,058
VII 38 16,8 638,4 1444 16,76 0,04 0,002
VIII 35 18,1 633,5 1225 17,61 0,49 0,240
IX 39 17,2 670,8 1521 16,47 0,73 0,533
X 42 15,9 667,8 1764 15,62 0,28 0,078
XI 44 14,4 633,6 1936 15,05 —0,65 0,422
XII 47 14,1 662,7 2209 14,20 —0,15 0,023
2 535 178,5 7851,4 24 227 4,482
•A- S 44,583 14,875 654,28 2018,92
36
Определим параметры линейного
уравнения регрессии а} и а() соответст-
венно по формулам (2.22) и (2.23)
_ 654,28 -44,583- 14,875 _
01 “ 31,28 -
а0 = 14,875 — (— 0,284) • 44,583 =
= 27,548,
Искомое уравнение у (х) = Рис. 4. Зависимость себестои-
= 27,548—0,284х. мости угля от производитель-
Ис.ходные данные и график эмпи- ности труда рабочих
рического уравнения регрессии при-
ведены на рис. 4. Из рисунка видно, что зависимость себестоимости
угля от производительности труда рабочих в диапазоне наблюдаемых
значений х достаточно хорошо аппроксимируется линейной зависимо-
стью. Отрицательный коэффициент регрессии аг свидетельствует о том,
что с увеличением факторного признака х результативный признак у
уменьшается. В данном примере увеличение производительности труда
рабочего на 1 т/мес вызывает снижение себестоимости 1 т угля на 0,284 р.
В трех последних графах табл. 2.11 приведены данные для опреде-
ления остаточной дисперсии
21к-^,»-_^_о448
ост п — 2 10
2.5. Измерение тесноты связи
между факторным и результативным
признаками
Теснота связи между факторным и результативным
признаками отражает степень влияния вариации фактор-
ного признака х на вариацию результативного у. Для
генеральной совокупности измерителем тесноты связи яв-
ляется индекс корреляции 1У/Х. Для выборочной совокуп-
ности теснота связи может быть оценена выборочным (эм-
пирическим) индексом корреляции т|^/х, который называ-
ют корреляционным отношением.
Полная дисперсия результативного признака о2у =
= М [Y — М (К)]2 образуется под влиянием двух групп
факторов. Первая группа — факторный признак X, ва-
риация которого вызывает изменение признака Y в соот-
ветствии с функцией регрессии ср (%). Вторая группа —
прочие факторы, влияние которых вызывает вариацию
результативного признака относительно условного мате-
матического ожидания М (YIX = х) = <р (х) (рис. 5).
37
Рис. 5. Разложение вариации Y на
составляющие
Рассмотрим отклонение точ-
ки из генеральной совокуп-
ности (отмеченной на рисун-
ке крестиком) от математи-
ческого ожидания М (У).
Оно состоит из: vt — вариа-
ции, вызванной изменением
факторного признака по
сравнению с математиче-
ским ожиданием М (X);
v2 — вариации, обуслов-
ленной влиянием прочих
факторов, не рассматривае-
мых в данной модели. Оче-
видно, чем меньше влияние прочих факторов, тем теснее
связь между результативным признаком У и факторным X.
Как известно, полную дисперсию можно разложить
на два слагаемых
= М[М (Y/X = х) — М (У)]2 + М [У — М (Y/X = х)]2.
Первое слагаемое (обозначим его Д?у/Х) представляет
собой дисперсию функции относительно математического
ожидания результативного признака; эта дисперсия обус-
ловлена влиянием первой группы факторов — признака X.
Второе слагаемое — дисперсия результативного признака
относительно функции регрессии, обусловленная влиянием
прочих факторов; эта дисперсия называется остаточной и
обозначается ОоСТ. Таким образом,
°у — &у/х + С1ост« (2.24)
Тесноту связи оценим в долях полной дисперсии: 12у/х =
= Ау/х/оу. Эта величина называется теоретическим коэф-
фициентом детерминации. Поскольку Д^/х о^, то очевид-
но выполнение неравенства 0 [2у/х 1.
Допустим, вариация факторного признака X не влия-
ет на результативный признак У. Следовательно, график
функции регрессии представляет собой линию, параллель-
ную оси X (рис. 6, а) и Ду/х = 0. В этом случае теорети-
ческий коэффициент детерминации 1У/Х = 0, что свидетель-
ствует об отсутствии связи между факторным и результа-
тивным признаками.
Предположим, вариация признака У обусловлена толь-
ко влиянием фактора X; вторая группа факторов не вызыва-
38
Рис. 6. Интерпретация предельных значений тео-
ретического коэффициента детерминации
ет вариации Y ( рис. 6, б). В этом случае остаточная диспер-
сия Пост = 0 и из равенства (2.24) вытекает, что 12у/х — 1.
Все точки генеральной совокупности сосредоточены на ли-
нии функции регрессии, следовательно, между Y и X суще-
ствует функциональная зависимость.
В том случае, когда существенно влияние как фактора
X, так и прочих факторов, теоретический коэффициент
детерминации принимает значение в интервале О 1У/Х <
С 1. Чем больше влияние фактора X на вариацию У, тем
ближе 1у/х к единице.
Таким образэм, тесноту связи между факторным и ре-
зультативным признаками можно определить с помощью
теоретического коэффициента детерминации. Допустим,
каким-либо способом установлено численное значение Г2у/Х ~
= 0,8. Это значит, что 80 % вариации результативного при-
знака обусловлено влиянием факторного признака X, а
остальные 20 % — влиянием неучтенных факторов.
Индекс корреляции lytx равен квадратному корню из тео-
ретического коэффициента детерминации 1У/Х = Д^/х/о^.
По аналогии с генеральной совокупностью введем в рас-
смотрение коэффициент детерминации для выборки. Полная
выборочная дисперсия результативного признака S2y ==
S (yi — у)2 ,
= —~* дисперсия у, обусловленная влиянием факто-
ра х, б^/х == .. Коэффициент детерминации для
выборки т\у/х определим по формуле
2 _ §у/х __ (У (хр У)2
S2 - Z(yt-~y^
(2.25)
39
Показатель т]2 является измерителем тесноты связи фак-
торного и результативного признаков для выборки. Если
== О» то связь между признаками х и у отсутствует;
если т|2/х == 1, то связь между х и у функциональная; при
выполнении соотношения 0 < х\у/х < 1 вариация у обуслов-
лена как фактором х, так и прочими факторами, не учтен-
ными в данной регрессионной модели. Чем ближе коэффи-
циент детерминации к единице, тем больше теснота связи
между хи у. Как правило, если т^у/х 0,1, то тесноту связи
считают слабой, при 0,1 < rjy/x 0,4 — средней; при т^/х>
> 0,4 — сильной и зависимость результативного призна-
ка у от фактора х существенной.
Корреляционное отношение равно квадратному корню
из коэффициента детерминации
Пример. Оценим тесноту связи между производительностью труда
рабочих и себестоимостью угля при условиях, приведенных в примере
предыдущего раздела. Расчеты, необходимые для определения коэффи-
циента детерминации, сведены в табл. 2.12.
Выборочный коэффициент детерминации
2 (£(*() — У)2 _ 30,337
34,838
Таблица 2.12
№ п/п Ус У У — У Су up — у)2 У( — У {у^ — у}'
1 13,5 14,77 —0,11 0,012 —1,38 1,904
2 13,2 13,92 —0,96 0,922 — 1,68 2,822
3 12,9 11,93 —2,95 8,702 —1,98 3,920
4 12,7 12,50 —2,38 5,664 —2,18 4,752
5 14,6 14,48 —0,39 0,152 —0,28 0,078
6 15,1 15,34 0,47 0,221 0,22 0,048
7 16,8 16,76 1,89 3,572 1,92 3,686
8 18,1 17,61 2,74 7,508 3,22 10,368
9 17,2 16,47 1,59 2,528 2,32 5,382
10 15,9 15,62 0,75 0,562 1,02 1,040
11 14,4 15,05 0,18 0,032 —0,48 0,230
12 14,1 14,20 —0,68 0,462 —0,78 0,608
S 30,337 34,838
40
В соответствии с градацией коэффициентов детерминации теснота
связи сильная; 87,1 % вариации себестоимости угля обусловлено вариа-
цией производительности труда, влияние прочих факторов незначитель-
но и составляет 12,9 %. _____
Корреляционное отношение равно т^/АГ = ]А),871 = 0,933.
2.6. Коэффициент корреляции
Индекс корреляции характеризует тесноту связи фак-
торного и результативного признаков независимо от формы
связи, т. е. вида функции регрессии ср (%). Это же утвержде-
ние справедливо и для выборки: корреляционное отноше-
ние является характеристикой тесноты связи признаков
при любом виде уравнения регрессии. Действительно, при
определении расчетной формулы коэффициента детермина-
ции никаких ограничений на регрессионную зависимость
не накладывалось.
Корреляционное отношение может служить показате-
лем правильности выбора того или иного вида уравнения
регрессии. Поясним это утверждение на примере.
Предположим, что уравнение регрессии может быть за-
дано в виде (х) = Ф1 (х, а) или у2 (х) = ср2 (х, а). Возни-
кает вопрос, какой из зависимостей отдать предпочтение.
Каждой форме связи соответствует своя остаточная
дисперсия — Socr, и Socr2. Учитывая, что S2 = Ь2у/Х + SoCT,
получим
(S2 — S2 S2
2 иУ/х °ост f °ост
%/* — “ 72 — 1 72“ *
Функция <р2 (*, а) лучше аппроксимирует эмпирические
данные, чем функция (х, а), если рассеяние эмпириче-
ских точек относительно графика функции <р2 (х, а) меньше,
чем относительно графика cpj (х, а). Рассеяние характери-
зуется остаточной дисперсией S02CT, поэтому уравнению
регрессии у2 (х) = ср2 (х, а) будет отдано предпочтение, если
*^ост2 ^ост,, или, что эквивалентно, т£у/х > г]цу/х. Сле-
довательно, из нескольких регрессионных зависимостей
связь признаков лучше описывает та, которой соответству-
ет большее значение корреляционного отношения.
Проиллюстрируем это утверждение примером.
На рис. 7 показано размещение точек выборки, по кото-
рым уравнение регрессии может быть задано в виде уг (х) =
= п0 + агх (линейная регрессия) или у2 (х) = а0 + агх +
+ пах2 (параболическая регрессия). Из рисунка видно, что
41
X
Рис. 7. Выбор вида регрес-
сионной зависимости по кор-
реляционному отношению
остаточная дисперсия для пара
болической регрессии меньше’
чем для линейной; следователь-
но, т\2,у!х > параболиче-
ская регрессия точнее описыва-
ет связь между признаками и
ей следует отдать предпоч-
тение.
Если функция регрессии ли-
нейная и выполняются условия
нормальной регрессии, то тесно-
ту связи между факторным и ре-
зультативным признаками мож-
но оценить с помощью коэффициента корреляции
X — Л4 (X)
Сх
У —М (У)
Оценкой коэффициента корреляции для выборки явля-
ется выборочный коэффициент корреляции
п
£ (Х{ — X) (ус — у)
i=\_________________
? nSxSb
Докажем, что в случае линейной связи между перемен-
ными х и у г2 — ч\у/х.
Выборочный коэффициент корреляции равен
п п п п
(х( — х){у{ — у) £ x^-lV yi — уЦ х{ + хуп
6=1________________ _ *=1____________t=!_______t=l________
nSxSy nSxSy
(2.26)
При выполнении последнего преобразования была учте-
на формула (2.22) для коэффициента регрессии аг.
В случае линейной связи между результативным и фак-
торным признаками имеем
Ух = а0 + ахх; у = а0 + ахх.
42
Выборочный коэффициент детерминации
п п
02 £ (У (xt) — у)2 S (а0 + а1х( — а0 — ajX)«
„2 °у/х 1=1 1=1
S* “ nS2y ~ nS2y
что и требовалось доказать.
Отметим, что если связь между х и у нелинейная, то г2 <
< %/* и разность у\у/х — г1 можно использовать как ко-
личественный показатель нелинейности связи.
Как следует из формулы (2.26), ах — г Таким обра-
^х
зом, линейное уравнение регрессии можно представить в виде
Sn
ух = ф г %.
Учитывая, что ух (% = х) = у, получим
у -=aQ + r-^-х, откуда aQ = у-т-^-х.
Следовательно, уравнение регрессии можно представить
так:
__ Q — Q — Q —
ух = у— r-^-x + r-^-x = «/4-r-^-(x — х). (2.27)
°х °х
Выражение (2.27) можно использовать в качестве одно-
го из способов определения параметров уравнения регрес-
сии через выборочный коэффициент корреляции г. Данный
коэффициент является важнейшим показателем, характе-
ризующим тесноту связи между случайными переменными,
поэтому рассмотрим наиболее важные его свойства.
Свойство 1. Выборочный коэффициент корреляции *
принимает значения в интервале [—1, 1].
Для доказательства этого свойства рассмотрим следую-
щее выражение:
*В дальнейшем для краткости слово «выборочный» опускается.
43
Раскроем скобки под знаком суммы
S(X{ —X)2 А (X, - X) (у( -у) (у {- у)*
-^-±2L „S.S, +i-^-
Из определения дисперсий S2 и S2y следует, что первое
и третье слагаемые равны единице, второе слагаемое пред-
ставляет собой удвоенный коэффициент корреляции. Таким
образом, получим ±2г + 2^0, откуда следует —1
г 1, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Значение коэффициента корреляции не за-
висит от начала отсчета и масштаба переменных х и у.
Введем в рассмотрение переменные х1 = kxx + х0, уг =
== kyy + Уъ\ коэффициенты kx и ky изменяют масштаб пере-
менных х и у, а постоянные х0 и у0 — начало отсчета. Вы-
числим коэффициент корреляции
п
£ (хц — х.) (уи — у\)
г __ы_________________________
Гх^ ~ nSr S„ ~
*1 Уу
п
S (kxxi + хо — kxx — %о) (kyy. + у0 — k~y — у0)
1=1
и _
kxky £ (X, — х) (yt — у)
п Г П
£ <xu - *1)2 1 / Е ^Х1 + х0 — Ь*х — *о)2
I/ (=1 ______________________________
Аналогично можно доказать, что Syi = kySy. Подстав-
ляя указанные выражения для SXl и Syi в формулу (2.28),
получим
Гх^= ^S^S~y = Гху9
что и требовалось доказать.
44
Отметим, что коэффициент корреляции может принимать
как положительные, так и отрицательные значения (свой-
ство 1)? Знак коэффициента корреляции определяет знак
коэффициента регрессии alt стоящего при факторном при-
знаке х. Таким образом, если коэффициент корреляции
г > 0, то увеличение факторного признака х вызывает уве-
личение результативного признака у\ если г < 0, то уве-
личение х приводит к уменьшению у.
Значение коэффициента корреляции может служить
оценкой тесноты связи между факторным и результатив! ым
признаками при линейной связи между ними. Обычно счи-
тают, что при | г | 0,3 теснота связи слабая, при 0,3 <;
< | г | 0,6 — средняя, при | г | > 0,6 — сильная, пе-
реходящая в функциональную линейную связь при | г | =
= 1. Если коэффициент корреляции г = 0, то случайные
переменные х и у некоррелированы; в линейном уравнении
регрессии коэффициент регрессии ах = 0. Некоррелиро-
ванность признаков х и у свидетельствует об отсутствии
линейной связи между ними, но не является признаком
отсутствия зависимости у от х вообще. Между у и х может
существовать нелинейная зависимость.
Пример. По данным примера, приведенного на с. 36, определим
коэффициент корреляции между себестоимостью 1 т угля и производи-
тельностью труда рабочих. Для расчета используем формулу
Е х(У1
i=l
На основе данных табл. 2.11 получим-------------=== 654,28;
« 44,583; у = 14,875;
(х)2 = у 2018,92 — (44,58)2 = 5,616.
Исходя из табл. 2.12,
45
Подставим приведенные числа в расчетную формулу коэффициента
корреляции
654,28 — 44,583 - 14,875 — 8,892
г = ------------------------ ~П С7П = ~ 0,929.
5,616- 1,704 9,570
Согласно градации коэффициентов корреляции, корреляционная
связь между себестоимостью и производительностью труда сильная.
Отрицательный знак коэффициента корреляции свидетельствует о том,
что с повышением производительности труда себестоимость 1 т угля
уменьшается. Модуль коэффициента корреляции равен корреляционному
отношению (см. раздел 2.5), так как связь между признаками линей-
ная. Расхождение в 0,004 объясняется погрешностями округления чисел
при определении коэффициента корреляции и корреляционного отноше-
ния по различным формулам.
Коэффициент корреляции вычисляется по выборочным
данным и, как и любой другой статистический показатель,
может быть определен с некоторой погрешностью. При от-
сутствии корреляционной связи между признаками коэф-
фициент корреляции в генеральной совокупности равен
нулю, однако из-за случайного характера отбора данных
выборочный коэффициент корреляции может быть и отли-
чен от нуля. В связи с этим возникает необходимость про-
верки значимости коэффициента корреляции, вычисленно-
го на основании выборочных данных. Выборочный коэф-
фициент корреляции считается значимым, если выводы
относительно наличия и характера корреляционной связи,
сделанные на основании-выборки,справедливы и для гене-
ральной совокупности.
Рассмотрим способы оценки значимости коэффициента
корреляции. Каждому значению коэффициента корреля-
ции соответствует случайная величина /, подчиненная рас-
пределению Стьюдента с К = п — 2 степенями свободы,
гУк
/Т^Т2
(2.29)
Вычисленное по этой формуле значение t сравнивают с
критическим значением /х.а, которое находят по таблице
распределения Стьюдента при заданных уровне значимос-
ти а и числе степеней свободы Л- Если | 11 > t^tа, то кор-
реляционная связь между переменными считается значи-
мой; если | 11 /х,а, то различие между выборочным
коэффициентом корреляции г и коэффициентом корреляции
р, равным нулю, незначимо, а отличие г от нуля объясня-
ется случайным характером отбора данных,
В практических расчетах уровень значимости а прини-
мают равным 0,05. Значения статистики t Стьюдента
46
Таблица 2.13
1 12,71 9 2,26 17 2,11 25 2,06 45 2,01
2 4,30 10 2,23 18 2,10 26 2,06 50 2,01
3 3,18 11 2,20 19 2,09 27 2,05 60 2,00
4 2,78 12 2,18 20 2,09 28 2,05 70 2,00
5 2,57 13 2,16 21 2,08 29 2,05 80 1,99
6 2,45 14 2,15 22 2,07 30 2,04 90 1,99
7 2,37 15 2,13 23 2,07 35 2,03 100 1,98
8 2,31 16 2,12 24 2,06 40 2,02 120 1,98
при а = 0,05 в зависимости от числа степеней свободы К
приведены в табл. 2.13.
Пример 1. Оценим значимость коэффициента корреляции между
себестоимостью 1 т угля и производительностью груда рабочих очист-
ного забоя.
В предыдущем примере было вычислено г — —0,93 при п = 12.
Учитывая это, по формуле (2.29) при # = л — 2 = 10 получим
— 0,93 V10
/1 _ о,932
= — 8,02.
По данным табл. 2.13 находим критическое значение ^апри К =
= 10; /10-9 05 = Поскольку । t | > 2,23, коэрфициент корреляции
значимый. Отметим, что, признавая выборочный 'коэффициент значимым,
согласно принятому уровню значимости можно ошибиться с вероят-
ностью, не превышающей 0,05 (в данном примере со значительно мень-
шей вероятностью, поскольку расчетное значение статистики t больше
критического значения tK а).
Критическому значению статистики Стьюдента tK Q, может соответ-
ствовать критическое значение коэффициента корреляции гкр< Исходя
из формулы (2.29), получим
1К,а
(2.30)
Очевидно, если | г | > гкр, выборочный коэффициент корреляции
значимый, в противном случае принимается гипотеза о незначимости
различия между г и коэффициентом корреляции генеральной совокуп-
ности р = 0. Значения критического коэффициента корреляции в зави-
симости от количества степеней свободы К при уровне значимости а =
= 0,05 приведены в табл. 2.14. .
Пример 2. Используя условия предыдущего примера и данные
табл. 2.14, находим, что при К = 10 гкр = 0,58. Поскольку | г | > 0,58,
коэффициент корреляции между себестоимостью 1 т угля и производи-
тельностью труда рабочих может быть признан значимым.
Если объем выборки достаточно большой (п > 50), закон распреде-
ления выборочного коэффициента корреляции можно считать прибли-
женно нормальным, Среднее квадратическоё отклонение коэффициента
47
Таблица 2.14
к гкр К гкр К гкр
1 1,00 30 0,35 120 0,18
2 0,95 35 0,32 150 0,16
3 0,88 40 0,30 200 0,14
4 0,81 50 0,27 300 0,11
5 0,75 60 0,25 400 0,10
10 0,58 70 ‘ 0,23 500 0,09
15 0,48 80 0,22 700 0,07
20 0,42 90 0,21 900 0,06
25 0,38 100 0,19 1000 0,06
и больше
корреляции в этом случае определяют по формуле
Sr =
1 — г2
V
(2.31)
Согласно «правилу трех сигм» (см. раздел 2.3) коэффициент кор-
реляции генеральной совокупности должен находиться в интервале
г — 3Sr р г 4- 3Sr. Если границы этого интервала имеют разные
знаки, это значит, что коэффициент р может быть равен нулю или иметь
знак, противоположный знаку г. Поэтому коэффициент корреляции г
может быть значимым, а корреляционная связь между факторным и
результативным признаками — реальной при | г | > 3Sr. Если же L— -<
< 3, то связь между признаками нельзя считать доказанной и можно
предположить, что отличное от нуля значение коэффициента корреля-
ции получено из-за случайного стечения обстоятельств.
Пример 3. Допустим, по выборке при п = 65 был вычислен коэф-
фициент корреляции г = 0,6. Оценим значимость этого коэффициента.
Поскольку п > 50, произведена выборка большого объема. Сред-
нее квадратическое отклонение коэффициента корреляции составит
Поскольку —-— =
1 — 0,62
К 65 — 1
0,64
8
= 0,08.
0,6
0,08
= 7,5>3,
то
коэффициент корреляции
г можно признать значимым, а связь между факторным и результатив-
ным признаками — реальной. Коэффициент корреляции генеральной
совокупности р может отличаться от вычисленного по выборке, но для
него можно указать интервал принимаемых значений: (0,6 — 3 • 0,08;
0,6 + 3 • 0,08) = (0,36; 0,84).
2.7. Элементы многомерного
корреляционного анализа
7 Рассмотренные в предыдущем разделе модели относятся
к классу парных корреляционных моделей, поскольку в
них устанавливается взаимосвязь между парой признаков —
48
факторным и результативным. На практике часто прихо-
дится исследовать статистическую зависимость результа-
тивного признака от нескольких факторных. В таких слу-
чаях применяют математический аппарат многомерного кор-
реляционного анализа.
Допустим, имеется многомерная совокупность призна-
ков, содержащая один результативный и т факторных
признаков: у, х2> •••» хт. Произведена выборка объема
п, в результате чего получено п точек в (т + 1)-мерном
пространстве:
(f/o х2£, ... , xmi), / = 1,2, ... , n.
Между каждой парой признаков можно установить вы-
борочный парный коэффициент корреляции. Напримео,
обозначим парный коэффициент корреляции мэжду резуль
тативным и /-м факторным признаками ryx., j == 1, 2, ...
...» т, а между s-м и /-м факторными признаками rXXp s,
7= 1, 2, .... т. Sl
Отметим, что rx.x = 1, как следует из расчетной форму-
лы (2.26). Это же справедливо и для результативного при-
знака Гуу = 1.
Взаимосвязь между признаками можно представить
корреляционной матрицей, состоящей из парных коэффи- циентов корреляции, У Х1 *2 • • • хт
— 1 ryxt Гух2 • • • ryxm rxty 1 fXiX, • • • ГХ1Хт Г х2у Г x2Xj 1 • • • Гх2т У *1 х2- (2.32)
_ ГхтУ Гхтх‘ Гхтх‘ 1 _ т
Каждой строке и столбцу матрицы соответствует один из
признаков. Таким образом, элемент матрицы, стоящий на
пересечении данной строки и столбца, будет парным коэф-
фициентом корреляции между признаками, им приписан-
. ными. Условимся, что первым строке и столбцу соответст-
вует признак у, вторым — хг и т. д. Всего корреляционная
матрица должна иметь т + 1 строк и столбцов.
v Подчеркнем, что у матрицы Q^+i все элементы на глав-
ной диагонали равны единице; матрица симметрична отно-
сительно главной диагонали, поскольку гух^ = гх*х. =
ГГх‘х*
49
Предположим, что при вычислении парного коэффици-
ента корреляции гух. вся объясняемая им вариация резуль-
тативного признака у обусловлена изменением факторного
признака х/. Это утверждение будет справедливо, если при-
знак Xj не коррелирует с другими признаками xs, s= 1,2, ...
...» и, s =^= /. В статистической практике такие случаи чрез-
вычайно редки. Как правило, парные коэффициенты кор-
реляции между факторными признаками отличны от нуля.
В этом случае вариация признака у, объясняемая при вы-
числении ryXj вариацией признака х/, в действительности
обусловлена влиянием нескольких коррелирующих меж-
ду собой признаков.
Для выявления «чистого» влияния х/ на у следует про-
извести такую выборку, в которой все факторные признаки,
кроме X/, принимают некоторые фиксированные значения.
Коэффициент корреляции, вычисленный при таких усло-
виях, отражает тесноту корреляционной связи только меж-
ду у и х/; влияние других признаков на у исключено. Этот
коэффициент корреляции называется частным и обознача-
ется гух..ХхХг.„Хт. В индексе перед точкой указывается
пара коррелирующих признаков, а после точки — т — 1
факторных признаков, принимающих фиксированные зна-
чения.
В многомерном корреляционном анализе для вычисле-
ния частных коэффициентов корреляции не обязательно
производить выборки с фиксированными значениями т — 1
признаков, тем более, что практически это удается сделать
довольно редко и для сравнительно малого количества
факторных признаков (не больше двух-трех). Частные
коэффициенты корреляции можно вычислить с помощью
корреляционной матрицы по формуле
(233)
где Aitk — алгебраическое дополнение к элементу корре-
ляционной матрицы, находящемуся на пересечении /-й
строки и fe-ro столбца матрицы.
Значимость частных коэффициентов корреляции оце-
нивают так же, как и парных, однако число степеней сво-
боды вычисляют по формуле
К = п — т — 1. (2.34)
Пример. Произведена выборка объема п — 30, содержащая один
факторный у и два результативных признака, Вычислена матрцда
50
выборочных парных коэффициентов корреляции
1 г г fyxt fyxt 1,0 0,8
Q» = ryxt 1 rxtxt _ ryx2 ГХ1Х2 1 = 0,8 . ~o,6 1,0 — 0,7
—0,6
—0,7
1,0
Необходимо определить частные коэффициенты корреляции гуХг
ГуХа.Х1 и оценить их значимость
Вычислим алгебраические доюлнения А^ р Л22, Л33, 2, Л13:
I i o —0,7 I
Ад = (- + | _ 0>7 10 I = 1 - °>49 = 0,51:
,,,| 0,1 —0,6 I
А.2 = (-1)2+2| _06 1>0 1 = 1 -0,36 = 0,64;
А3 3 = (— 1)3+31 * ’° °’8 I = 1 — 0,64 = 0,36;
3*3 ' ' I 0,8 1,01
А.2 = (- ‘)1+21 _ °б “ 10 | = - (°’8 - о>42) = - о«38;
А,3 = (- »,+3| _о’б _0 7 |=-0,56+ о,6 =0,04.
Определим частные коэффициенты корреляции
~ , °-аа -W
/А.1А.2 /0,51-0,64
— А з — 0,04
1,3 = — = — 0,093.
V А,1Л3.3 V 0.51 • о,36
ух^.х2
yx2.xi
4,3
Оценим значимость коэффициентов корреляции при уровне значи-
мости а = 0,05 и числе степеней свободы К = п — 2 — 1 = 27. Для
коэффициента гуХ| ,х статистика Стыодента
0,67/27 л „о t — 0,093 /27 .
t, = ,... 1 = 4,68, для г —t„— = = — 0,47.
/1 _ 0,672 /1 — 0,0932
По табл. 2.13 находим критическое значение z27.0 05 = 2,05. По-
скольку > 2,05, коэффициент корреляции ryXi.X2 значимый, а 1t2 | с
< 2,05, следовательно, коэффициент гух* х незначимый. Таким образом,
между признаками у и хг имеется горреляционная связь, а между у и х2
связь практически отсутствует; большое значение парного коэффициен-
та корреляции гух объясняется наличием сильной корреляционной свя-
зи между х1 и х2, из-за чего влияние фактора xt приписывается при
анализе парной связи фактору *♦.
Совокупную связь результативного признака со всеми
факторными можно оценить с помощью коэффициента
множественной корреляции Ry.x1Xt...Xm> который вычисля-
51
ется по формуле
= |/(2.35)
где | Qzn-н | — определитель корреляционной матрицы Qm+i.
Коэффициент множественной корреляции — положи-
тельная величина, принимающая значение в интервале
О < R < 1. Квадрат коэффициента множественной корре-
ляции называется множественным коэффициентом детер-
минации.
Выведем формулу коэффициента множественной корре-
ляции для частного случая — совокупности, содержащей
один результативный и два факторных признака,
I Qs I = 1 ух/ух/XiXt Г у ху Г ух2 Г Х1х2> ^1,1 31
> __ 1 / ГУ*1 + ГУХг 2/ух/ух/xtxa
y.xtx2 — у ——2
Х1Х2
Пример. Вычислим коэффициент множественной корреляции и мно-
жественный коэффициент детерминации при условиях, приведенных в
предыдущем примере.
R2 = 0.8022 = 0,643.
УХхХ2
Таким образом, факторы хг и х2 объясняют 64,3 % вариации резуль-
тативного признака. Отметим, что парный коэффициент корреляции
ryXi = 0,8, а коэффициент детерминации = 0,64; следовательно,
добавление факторного признака х2 к Xj в данном случае практически
не увеличивает долю объясняемых отклонений у, что подтверждает
установленное в предыдущем примере отсутствие корреляционной связи
между у и х2.
2.8. Линейный регрессионный анализ
Изменение результативного признака может быть обус-
ловлено общим влиянием нескольких факторных призна-
ков. В этом случае взаимосвязь между признаками для ге-
неральной совокупности задается функцией регрессии
Л4 (Y/Xy = хъ ... , Хт = хт) = а0 4- + • • • + атхт.
Задачей регрессионного анализа является оценка пара-
метров функции регрессии а0,аь ...» ат по выборочным
данным.
52
Определим уравнение регрессии по функции регрессии,
заменив параметры их оценками
у(xlt х2, ... , хт) = а0 + ад + а2х2+ • • • 4- атхт. (2.36)
Данное уравнение отражает линейную зависимость
результативного признака от нескольких факторных; мо-
дели такого вида получили название многомерных линей-
ных регрессионных моделей. Коэффициент показывает,
на сколько единиц изменится результативный признак
у, если факторный х( изменится на одну единицу, а осталь-
ные останутся прежними.
Предположим, произведена выборка объема и, резуль-
Для оценки параметров регрессии используем метод
наименьших квадратов, согласно которому сумма квадра-
тов отклонений выборочных значений результативного
признака от вычисленных по уравнению регрессии должна
быть минимальной. В соответствии с принципом наимень-
ших квадратов имеем
п
F — £ (у{ — а0 — агхи — a2x2t — • • • — amxmi)2 -+ min.
f=l
Функция F принимает минимум при таких значениях
искомых параметров а0, аъ ..., ат, при которых ее производ-
ные по этим параметрам равны нулю
= -^- = 0, .... -^ = 0.
да0 даг дат
Определяя частные производные от функции F, прихо-
дим к следующей системе уравнений:
п п п,
па0 + £ хн + • • • + ат £ xmt = S Уь
п п п п
S Хи 4- £ Хи + ... + ат S xmiXu = S ViXu,
п п п п
«О 2 Xmi + аг S xuxmi 4- ... 4- ат £ х2т1 = £
£=1 ш. м
(2.37)
63
Для вычисления коэффициентов а0, ат систему
уравнений (2.37) можно решить любым известным в линей-
ной алгебре методом. Рассмотрим, например, метод обрат-
ной матрицы, наиболее часто используемый для статисти-
ческих расчетов в связи с применением ЭВМ.
Из первого уравнения системы (2.37) получим
п п п
S У1 S Хи £ Хт1
1=1 „ i=l f=l
а —-----------аг-------------- • • — ат-------=
0 п 1 п т п
= у — аГх1— ••• — а~хт.
Подставив в остальные уравнения системы вместо а0 по-
п
лученное выражение и учитывая, что S хы = при-
(=1
ходим к следующей системе уравнений:
(п \ / п \
S х2ц — пх2 + а21 £ X2iXU — nx2Xi + • • • +
i=l / \<=1 /
(п \ п
S XmlXli— ПХтХ± = 2 У(ХИ — пухь
(=1 / г=1
...................................................(2.38)
(п ____\ /и ___\
S XtiXmi — п XYXm + а2 I S XtiXmi — ПХ2Хт +
( = 1 / \<=1 /
(п \ п
£ xmi — ПХт = S yiXmi — П ух'
4 = 1 / 4 = 1
Рассмотрим алгоритм формирования коэффициентов
при неизвестных аъ а2, ат и свободных членов системы
уравнений (2.38). Обозначим: W — матрица коэффициентов
при неизвестных размера tn X т\ V — вектор-столбец сво-
бодных членов размера т X 1. Введем в рассмотрение мат-
рицу XQ и вектор Уо, элементы которых центрированы
относительно своих средних значений:
Х1,1 Xi %2,1 Х2 • • • Xmti Хт
У1 — У
,Уо =
У2 — У
—X}fn Х^ Х2,п Х2
хт,п хт~
^уп — уЗ
54
1 Покажем, что W — Х'оХ0, V — ХоУл, где Хо — транспо-
нированная матрица Хо. Действительно,
1 п п
Wkl = {^ki — Хк) [Xli xl) = S ХмХц %k S XH “““
i=l i=1 i=l
n n n
— Xi V Xki + S Xkxl = S xkixli —nXkXi\
;=i 1=1 n=\
n _ _ n __ n
Vk = S <Xkl — Xk) (tji — y) = £ Xkiyi — xk S yt —
t=l i=l t=l
n n n
— y^ Xki 4- s ад = S Xkiyi — П xky.
4=1 1=1 1=1
Систему уравнений (2.38) запишем в матричном виде
WA = V, где А' = (alf а2, ап).
Пусть №-1 — матрица, обратная матрице W. Искомый
вектор А находим из выражения А = W~r V, откуда опре-
деляем и расчетные формулы для параметров
ak = S *=1,2.........т, (2.39)
£=1
т _
«О = У — S “kXk- (2.40)
fe=l
Таким образом, алгоритм расчета параметров уравнения
регрессии по данным матрице X и вектору Y сводится к сле-
; дующим действиям:
J 1. Вычисление средних значений факторных и резуль-
п
тативного признаков xk = XkJn, k = 1, 2, ..., т\ у «
z=i
п
= v yjn.
i—1
2. Формирование матрицы Хо и вектора /0, элементы
\ которых центрированы относительно своих средних зна-
\ чений.
3. Определение матрицы коэффициентов при неизвест-
\ ных W = XqXq и вектора свободных членов V = XqYq.
; 4. Вычисление матрицы IF-1, обратной матрице W.
5. Расчет искомых параметров уравнения регрессии по
формулам (2.39), (2.40).
Оценкой остаточной дисперсии Пост является выбороч-
ная остаточная дисперсия Soct, которую можно определить
г 65
по формуле
SocT = £ (У( — у(хц, х2{.....Xml))*/K, (2.41)
r = I
где К — число степеней свободы (К = п — т — 1).
Уравнение регрессии у (хь х2, хт) является точеч-
ной оценкой условного математического ожидания
Л1 (У/Х1 = Х12 Х2 Х2> • • • > Хт в хт)’
Очевидно, что эта оценка может изменяться при пере-
ходе от одной выборки к другой. Поэтому для условного ма-
тематического ожидания определим доверительный ин-
тервал.
Дисперсия условного среднего у (X) в точке Х° =»
«= (хь х2, хт) равна
[4- + <Х° - W~' -*>']• <2-42)
Доверительный интервал может быть найден из условия
г -----------х---------- lKta = 1 — а,
\ У(Х0) J
где а — уровень значимости; — критическое значение
статистики Стьюдента при К степенях свободы и уровне
значимости а (см. табл. 2.13). Следовательно, условное ма-
тематическое ожидание М (Y/X = Х°) с вероятностью
1 — а попадает в интервал
~у (Х°) - S5(X0/K.a < М (Y/X = Х'О) < у (Х°) + S-(X0) tK,a.
(2.43)
Аналогично можно установить доверительный интервал
для каждого параметра функции регрессии а0, аь ..., ат,
поскольку коэффициенты регрессии рассчитываются по
выборочным данным и при изменении объема выборки или
при переходе от одной выборки к другой могут изменяться.
Дисперсии коэффициентов регрессии определяют по
формулам
Sa. = SL(4 + XW-'X’); (2.44)
= S*c№, k = l, 2, , m, (2.45)
где X = (xb x2, ..., xm).
56
Доверительные интервалы для ak при числе степеней
свободы К и уровне значимости а определяются неравен-
ством
К,а OCjfe “f“ (2.46)
Отметим, что доверительный интервал для параметра
ak может захватить область как положительных, так и от-
рицательных значений (что возможно, если | ak |
Sa^K.a)- В таком случае коэффициент регрессии ak и оце-
ниваемый им параметр ak могут иметь разные знаки. Это
противоречие можно объяснить тем, что в действительности
параметр ak = 0 (результативный признак не зависит от
факторного признака xk), а отличие коэффициента регрес-
сии ak от нуля (в ту или другую сторону) обусловлено огра-
ниченным объемом выборки и влиянием неучтенных слу-
чайных факторов. Поэтому проверяется значимость оценок
параметров регрессии: для каждого коэффициента регрес-
сии ak вычисляют статистику tk = -^k । -, k = 0, 1, 2, ...
..., m, и сравнивают ее с критическим значением /к,а при за-
данных уровне значимости а и числе степеней свободы К.
Если tk tx.a, то предположение о равенстве нулю коэффи-
циента регрессии ak отвергается и его считают значимым.
Если же tk < то нет оснований отвергать данное пред-
положение и оценку ak считают незначимой.
Помимо оценки значимости каждого коэффициента рег-
рессии оценивают также значимость уравнения регрессии.
В связи с этим высказывается гипотеза, что все коэффициен-
ты регрессии, кроме я0, равны нулю (эта гипотеза называ-
ется нулевой и обозначается Но). Проверка гипотезы Но
осуществляется с помощью статистики Фишера
(<2-<?осЖ1
Qoct/^2
(2.47)
де Q, Qoct — сумма квадратов отклонений результативного
признака соответственно от среднего значения и от условно-
го среднего у (хь х2, •••> xmY> = т\ К2 = п — т — 1.
При заданном уровне значимости а для степеней свободы
Кг и /С2 по таблице F-распределения Фишера находят кри-
тическое значение F (Л^, /<2, а) и сравнивают его с расчет-
ным, определенным по формуле (2.47). Если F > F (Klt
К2, а), то гипотезу Но об одновременном равенстве нулю
всех коэффициентов регрессии отвергают и уравнение рег-
рессии считают значимым. Если же F < F а), то
57
Таблица 2.15
Ki
к. 1 2 3 4 5 6 1" 9 10
1 161,0 200,0 216,0 225,0 230,0 234,0 237,0 239,0 241,0 242,0
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97
12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49;
.18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41*
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,52 2,45 2,40 2,35
25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,41 2,34 2,28 2,24г:
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,34 2,27 2,21 2,16
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,07
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,02
60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99
80 3,96 3,11 2,72 2,48 2,33 2,21 2,12 2,05 1,99 1,95
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,30 2,19 2,10 2,03 1,87 1,92
200 3,89 3,04 2,65 2,41 2,26 2,14 2,05 1,98 1,92 1,87
400 3,86 3,02 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85
со 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 2,01 1,94 1,88 1,83
уравнение регрессии считают незначимым, т. е. отвергается
влияние факторных признаков х2, хт на резуль-
тативный. В практике статистических расчетов уровень
значимости а принимают равным 0,05. Это значит, что при
F = F (Къ Къ, вероятность того, что гипотеза спра-
ведлива, составляет 0,05; при F > F (Л\, К2, а) все коэф-
фициенты регрессии могут иметь нулевые значения с вероят-
ностью, меньшей 0 05. Если же F < F (Ki, а)» то ве-
роятность справедливости нулевой гипотезы становится
больше 0,05 и ею уже нельзя пренебречь. Значения F (Къ
/С2, а) при а = 0,05 приведены в табл. 2.15.
Рассмотрим два частных случая линейного регрессион-
ного анализа, имеющих практическое значение при ре-
шении многих прикладных задач:
1) т = 1; у (х) = ап 4- агх — парная регрессионная
зависимость;
2) т = 2; у (хь х2) = а0 4- агх± 4“ 02*2 — двухфактор*
ная регрессионная зависимость.
58
Парная регрессионная зависимость. Для случая т = 1
система уравнений (2.38) записывается так:
(п. _ \ п _
£ х? — пх2 = S у{х{ — пух.
4=1 / 1=1
Матрица W и вектор V имеют размерность 1 X 1 и рав-
п — п
ны соответственно W = х] — nx2t V = £ урс^ —
___ i=i i=i
— пух\ обратная матрица 1F-1 определяется формулой
1F-1 = 1/( S х2 — пх2),
v=i /
откуда следуют расчетные формулы для параметров уравне-
ния регрессии ах и а0:
п
S yiXi — nyx
ai = W~XV - , (2.48)
2 х? — пх2
1=1
а0 = у — ахх.
(2.49)
Дисперсия условного среднего у (%) в точке х — х0 рас-
считывается по формуле
S- _ Q2 1 I ~ *)2
'у(х) — *^ост п ' п
.(2.50)
1=1
Исходя из формул (2.44) и (2.45), получим дисперсии
коэффициентов парной регрессии
S2a. = SL [ 4 + -7Г-^---------• (2.51)
\ У, х] — пх2 /
1=1
S2a, = SL/( S х2 — пх2). (2.52)
\/=1 /
Пример. Установим'регрессионную зависимость себестоимости 1 т
угля у от мощности пласта полезного ископаемого х по среднемесячным
данным, представленным в статистической отчетности шахты.
Исходные данные и промежуточные расчеты приведены в табл. 2.16.
Используя данные таблицы, получим
х= Sxz/12= 1,66; у = 2^/12= 15,4;
59
Таблица 2.16
№ п/ж ж Р. сч * =2 н* сч У Уi — У (*;) н* 1 1 аа*
1 1.5 15,2 2,25 22,8 231,04 16,09 —0,99 0,98
2 1,7 17,0 2,89 28,9 289,0 15,20 1,80 3,24
3 2,0 14,6 4,00 29,2 213,16 13,71 0,89 0,79
4 2,2 13,1 4,84 28,82 171,61 12,72 0,38 0,14
5 2,1 13,7 4,41 28,77 187,69 13,21 0,49 0,24
6 1,8 14,7 3,24 26,46 216,09 14,70 0,00 0,00
7 1,8 13,3 3,24 23,94 176,89 14,70 —1,40 1,96
8 1,6 14,0 2,56 22,4 196,00 15,69 —1,69 2,86
9 1,3 16,5 1,69 21,45 272,25 17,18 —0,68 0,46
10 1,4 16,8 1,96 23,52 282,24 16,69 0,11 0,01
11 1,2 18,3 1,44 21,96 334,89 17,68 0,62 0,38
12 1,3 17,6 1,69 22,88 309,76 17,18 0,42 0,18
2 19,9 184,8 34,21 301,1 2880,62 11,24
IF-1 = (Sx?— лх2)-1 = 1/(34,21 — 12 (1,66)2) =0,875;
V =Sjf,x, —лух = 301,1 — 12 • 15,4 • 1,66 = — 5,67;
a1= W~'V = — 4,96; n„ = v — a,x= 15,4 + 4,96 • 1,66 = 23,63.
Таким образом, уравнение парной регрессионной зависимости
себестоимости угля от мощности пласта имеет вид
-/ (х) — 23,63 — 4,96х-
Тесноту корреляционной связи оценим с помощью выборочного
коэффициента корреляции г = IS ,
/ i / 34 21
Sx= |/ -^--х2 = у ------------------------(1,66)2 = 0,307,
—
28И),62
12
(15,4)2= 1,7,
г = — 4,96 • 0,307/1,7 = — 0,89.
Из расчетов следует, что между факторным и результативным приз-
наками существует сильная корреляционная связь; отрицательный знак
коэффициента корреляции свидетельствует о том, что увеличение фак-
торного признака (мощности пласта) приводит к уменьшению результа-
тивного (себестоимости добытого полезного ископаемого).
Определим остаточную дисперсию
о S (yL — у (х))2 J । 24
3* т =-------—------—i— = "M# = I. *24; S0CI = 1,06,
001 п — т — 1 10 > > ост
60
Рис. 8. Регрессионная
зависимость себестои-
мости от мощности пла-
ста:
1 и 2 — соответственно
верхняя и нижняя гра-
ницы доверительного ин-
тервала
При уровне значимости а = 0,05 для К — п — т — 1=10 в
табл. 2.13 находим критическое значение статистики Стьюдента /10.0 05 =
= 2,23. Величина доверительного интервала, рассчитанная в соответ-
ствии с формулой (2.50), равна
(х — 1,66)2
1,143
1/1 2,23 =
^/10:0,05- Г06 -^4
= 2,364 /0,083 4- 0,875 (х — 1,66)2.
Отметим, что величина доверительного интервала минимальна
при х = х и увеличивается при отклонении х относительно х. График
линии регрессии и соответствующий ей доверительный интервал при-
ведены на рис. 8.
Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии а0 и ах.
Для этого вычислим дисперсии коэффициентов по формулам (2.51) и
(2.52)
^=1'124[4- + 1Ж-]=2>8; S«» = I'67:
S2ai = 1,124/1,143 = 0,983; Sa_ =0,991.
Определим статистики ta* и ta^ и сравним их с критическим значе-
нием <10:0,05 = 2-23
/ I °" । 23-63
а« Sa 1,67
«о ’
= 14,15;
| аг | 4,96
0,991
= 5,0.
Поскольку /ап и ta намного больше критического значения, гипо-
тезу о равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергаем и оценки
и а± параметров а0 и ах функции регрессии признаем значимыми.
61
По средним квадратическим отклонениям коэффициентов уравне-
йия регрессии можно оценить их доверительные интервалы. Из формулы
(2.46) получим
23,63— 1,67 • 2,23 < а0 < 23,63 + 1,67 . 2,23; 19,9 < а0 < 27,35;
— 4,96—0,991 • 2,23 <^< — 4,96 + 0,991 . 2,23;
— 7,17 <а1<—2,75.
Таким образом, оцениваемые параметры функции регрессии а0 и
ах могут отличаться от оценок а0 и , однако с вероятностью Р = 0,95
их значения попадут в доверительные интервалы 19,9...27,35 и
—7,17... —2,75 соответственно.
Оценим значимость уравнения регрессии с использованием стати-
стики Фишера. Исходя из данных табл. 2.16, получим
Q = — пуг = 2880,62 — 12 • (15,4)2 = 34,7;
QOCT= 11,24; 7(1=1; К2=12-2=10;
(О-ОостЖ (34,7-11,24)/1,0
0^-------------Й,24/10,0------2°’87-
Из табл. 2.15 находим критическое значение F-статистики при Ki =
« 1, Ка= 10 и уровне значимости а = 0,05: F (1; 10; 0,05) = 4,96.
Поскольку F > 4,96, уравнение регрессии значимо.
Двухфакторная регрессионная зависимость. Для слу-
чая т = 2 система уравнений (2.38) записывается так:
(п _\ / п ___\
У Хи — пх2] 4- а2 ( У — пх2хг) =
i=l / \i=1 /
п
= S yi^i — пух1’
' М М 2 -Л (253)
°1 У ЗД — ПХГХ2 I + а2 У — «*2 ) =
\1=1 / \1=1 /
п
= У УсХ2С — пух2.
i=l
Матрица W и вектор V соответственно имеют размер-
ность 2 X 2 и 2 X 1. Учитывая, что
п п
Е Хц — пх2 = nS2Xl, S х221 — ПХ2 = nS2Xt,
1=1
n _
Xi — ПХ1Х2 = flSX1SXtrXlXit
i=l
62
Д ViXn — пух1 = nSx^yry^
Yyi^i — пух2 = nSX2SyryX2,
матрицы W и V равны
W _ / n$xt V — ( nSx^yx' \
\ nSXxSX2rXiXr nSX2 J ’ \ nSX2SyryX2 ) ’
Определим обратную матрицу W~l. Она вычисляется
по следующему правилу: в исходной матрице каждый эле-
мент заменяют его алгебраическим дополнением; получен-
ную матрицу транспонируют; каждый элемент матрицы де-
лят на определитель исходной матрицы.
Выполнив описанные преобразования, получим
/ nS2 — nS S r \
f Х2 Х| Л2 XjXj I
W~' -- • ~ nSx‘S^r’c^----2^1-----L . (2.54)
Из выражений (2.39) и (2.40) находим формулы для опре-
деления параметров уравнения двухфакторной
at = f №йЧ- = Sy(r'
uxy чх2 xtx2
s. (i — dx)
Xj ' X(X2'
zv _ v П7—Н/ — <Гух* ~ Гих/х^2‘
а, - \ W„ V,------------
t — I Хо ' Х\Х2
a0 — У ^2X2-
регрессии
(2.55)
(2.56)
(2.57)
С учетом формул (2.44) и (2.45) определим
формулы для дисперсий коэффициентов регрессии
•^1 S 4" ^9^V — $х ТХ х
1 Л2 ’ & 1 А Х\ Х2 XiX^
расчетные
е2 —
°а0 — ° ост
п "SxSx (*-dx)
Sa, = Soc-r^U = 5ост/[п5х, (1 -4,х,)Ь
sl = S^Wv' = SL/lnSl (1 -rb,)].
(2.58)
(2.59)
(2.60)
Пример. Установим регрессионную зависимость сменной произ-
водительности труда рабочего очистного забоя у от мощности пласта
хг и длины лавы х2 по среднемесячным данным, полученным из отчет-
ности по всем забоям шахты.
63
о>
Таблица 2.17
№ п/п Xit м х2-10», м у. т/смен х2 Х1 4 У* xty Xty ЪХ, у (XiXt) Si — У — У)*
1 1,2 0,4 10,3 1,44 0,1600 106,09 12,36 4,120 0,480 10,02 0,28 0,0784
2 1,0 0,5 10,1 1,00 0,2500 102,01 10,10 5,050 0,500 9,75 0,35 0,1225
3 0,9 0,3 8,6 0,81 0,0900 73,96 7,74 2,580 0,270 8,55 0,05 0,0025
4 1,0 0,4 9,2 1,00 0,1600 84,64 9,20 3,680 0,400 9,33 —0,13 0,0169
5 1,3 0,35 10,5 1,69 0,1225 110,25 13,65 3,675 0,455 10,16 0,34 0,1156
6 1,4 0,5 11,2 1,96 0,2500 125,44 15,68 5,600 0,700 11,14 0,06 0,0036
7 1,1 0,5 9,8 1,21 0,2500 96,04 10,78 4,900 0,550 10,10 —0,30 0,0900
8 1,2 0,6 10,6 1,44 0,3600 112,36 12,72 6,360 0,720 10,87 —0,27 0,0729
9 1,3 0,55 11,2 1,69 0,3025 125,44 14,56 6,160 0,715 11,01 0,19 0,0361
10 1,5 0,4 10,8 2,25 0,1600 116,64 16,20 4,320 0,600 11,07 —0,27 0,0729
11 1,5 0,65 12,3 2,25 0,4225 151,29 18,45 7,995 0,975 12,13 0,17 0,0289
12 1,4 0,4 10,4 1,96 0,1600 108,16 14,56 4,160 0,560 10,72 —0,32 0,1024
13 0,9 0,45 9,1 0,81 0,2025 82,81 8,19 4,095 0,405 9,19 —0,09 0,0081
2 15,7 6,00 134,1 19,51 2,89 1395,13 164,19 62,695 7,33 0,7508
Исходные данные и промежуточные расчеты приведены в табл. 2.17. *
Как следует из таблицы,
хх = 15,7 : 13 = 1,208; х2 = 6,0: 13 = 0,462; £ = 134,1 : 13= 10,315;
Sx2
= —— — = 19,51 : 13 —(1,208)» = 0,042; SXj =0,205;
„ Ы, _
s;t = —-----х% = 2,89 : 13 — (0,462)» = 0,0089; 5Xj = 0,094;
Sy?
S? ----------у» = 1395,13:13 — (10,315)» = 0,918; Su = 0,958;
* n *
_^ylx{iln — xly 164,19:13— 1,208-10,315
ry*r ~ Srsu ~ 0,205 - 0,958 “ °’8':
*1 » » »
Zy^iln — x# 62,695 : 13 — 0,462 - 10,315
rV*> = SxSy ~ 0,094 • 0,958 ~ °,b4’
2xux2f/n — Ijx, 7,33 . 13 _ 1,208 - 0,462
“ sx Sx ~ 0,205 • 0,094 “0,Ж
Коэффициенты уравнения регрессии вычислим по формулам
(2.55) — (2.57)
0,958(0,87 — 0,64 * 0,3)
°* ------0,205 (1 —0,3»)----= 3’48:
0,958 (0,64 — 0,87 - 0,3)
°» ~ 0,094(1—0,3») —4- 4;
а0 = 10,315 — 3,48-1,208 — 4,24-0,462 = 4,15.
Таким образом, уравнение множественной регрессионной зависи-
мости производительности труда от мощности пласта и длины лавы имеет
вид
y(xlt х2) = 4,15 + 3,48xj 4- 4,24ха.
По уравнению регрессии вычислим условное среднее у (хх, х2) для
каждого набора факторных признаков, после чего определим остаточную
дисперсию (см. табл. 2.17)
V (у, —St.,,»*
"ZT-V-°-°75' ««.-«.я-
Вычислим дисперсии коэффициентов регрессии, используя расчет-
ные формулы (2.58) — (2.60),
(1,208)2.0,0089 + (0,462)2.0,042 —
2 п 5 Г 1 — 2 - 1,208 - 0,462 • 0,205 - 0,094 - 0,3]
dflo-O’U'O[ 13 + 13.0,042.0,0089(1 —0,32) ] “
= 0,269; 5Л =0,518;
3 529
65
S2 =0,075 : (13 • 0,042(1 —0,3s)) =0,151; S„ =0,388;
«1 «1
S2f = 0,075 : (13 • 0,0089 (1 — 0,3s)) = 0,71; S = 0,844.
Определим статистики и сравним их с критическим значением
а при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы # =«
= п — т 1 — 10 (tю;о,о5 ~ 2,23)
4,15
0,518
= 8,01;
I -+1 = __3'48_ = 8,97;
I sat I 0,388
f = I a‘l I — 4,24
а‘ | Sat | o,844
= 5,02.
Поскольку вычисленные величины tata , t больше критического
значения, оценки параметров функции регрессии являются значимыми*
Их доверительные интервалы равны соответственно
4,15 — 0,518 • 2,23 4,15+ 0,518 * 2,23; 2,99 < а0 < 5,30;
j 3,48 — 0,388* 2,23 ^3,48 + 0,388 * 2,23; 2,61 а2 С 4,34;
4,24 — 0,844 * 2,23 4,24 + 0,844 * 2,23; 2,36 < а2 6,12.
Малый объем выборки (л ~ 13) является причиной того, что дис-
персии коэффициентов регрессии имеют большие значения, из-за чего
доверительные интервалы коэффициентов велики. Это может привести
к определенным неточностям при анализе полученных результатов.
Поясним данное положение на примере первого фактора. Из полученной
регрессионной модели видно, что при увеличении мощности пласта на
1 м по сравнению с базовым вариантом производительность труда рабо-
чего очистного забоя возрастает на 3,48 т в смену. Однако величина дове-
рительного интервала для оц показывает, что другие выборки такого же
объема могли дать для коэффициента регрессии значения в интервале
2,61...4,34 и соответствующие им величины прироста производительности
труда. Таким образом, для объективной и однозначной оценки влия-
ния мощности пласта на производительность труда следует сузить дове-
рительный интервал. Это достигается увеличением объема выборки.
Вместе с тем из полученных по данной выборке результатов можно сде-
лать однозначный вывод о том, что увеличение мощности пласта повы-
шает производительность труда, причем не менее, чем на 2,61 т в смену
при приросте мощности на 1 м.
Оценим значимость уравнения регрессии, используя статистику
Фишера F.
Исходя из данных табл. 2.17, получим
Q = Stfl — п~у2 = 1395,13— 13(10,315)»= 11,94;
<?ост = 0-7508; К1 = 2; К, = 13-3=10;
/г = (С _ 74 5
Qoct/Ks
По табл. 2.15 находим критическое значение F-статистики при =
= 2, /С2 “ 10 и Уровне значимости а = 0,05: F (2, 10, 0,05) = 4,1.
Поскольку F > 4,1, уравнение регрессии значимо, т.е. гипотеза о равен*
стве нулю всех коэффициентов регрессии отвергается.
65
Корреляционная матрица взаимосвязи результативного и фактор-
ных признаков равна
Qs —
Вычислим частные и
1.2
' 1,00 0,87 0,64 “
0,87 1,00 0,30 .
. 0,64 0,30 1,00
множественный коэффициенты корреляции
; °'6Я = 0,925;
ух'х' У /0,91-0,59
~ Л1,3 0,379
г = —..........— = — ...— = О.оОо:
V А\,\Аз.з /0,91-0,234
г2 + г2 — 2г „ г г
r УХ1 1 ух2________yXj ух2 Х1Х2 __ q ggg
yXiX t = I __ 9 * *
К'Х.;
Из приведенных результатов видно, что в действительности корре-
ляционная связь между результативным и факторными признаками
сильнее, чем это следует из значений парных коэффициентов корреляции;
коэффициент множественной детерминации R2 = 0,915, т. е. факторы
X} и х2 объясняют 91,5 % вариации результативного признака.
2.9. Нелинейная регрессия
Регрессионная зависимость может быть нелинейной
по факторному признаку х. Вид этой зависимости обычно
определяется характером расположения выборочных точек
на корреляционном поле. Однако в ряде случаев несколь-
ко различных регрессионных моделей (линейных и нелиней-
ных) могут примерно с одинаковой точностью описывать
выборочные данные (отметим, что точность модели, аппрок-
симирующей зависимость результативного признака от
факторных, оценивается величиной остаточной дисперсии).
При выборе одной из альтернативных моделей руководству-
ются смысловой адекватностью каждой рассматриваемой
зависимости описываемому явлению или процессу. Напри-
мер, при изучении зависимости себестоимости добычи от
мощности пласта (см. пример на с. 59) принималась линей-
ная регрессионная модель, которая достаточно хорошо опи-
сывала опытные данные в диапазоне мощности 1,2 ...2,2 м.
Однако очевидно, что дальнейшее увеличение мощности
пласта не может обеспечить такого же снижения себестои-
мости, поскольку в конечном итоге можно прийти к абсур-
ду: при х > 4,76 м из уравнения регрессии получим у (х) <
<Z 0. Как будет показано далее/модель, допускающая эк-
страполяцию в разумном диапазоне вариации мощности
пласта, должна быть гиперболической.
3*
67
8
Таблица 2.1$
Наименование зависимости Аналитический вид Прео разование к линейному виду
Гиперболическая У = СЦ) + ах1х 1 w = у = aQ + axw
Параболическая у = а0 + ахх + а2х2 хх = х-. х2 = х2; у = а0 + аххх + а^
Степенная у = а^ v = In у\ w = In х; Ао = In а0; v — Ао + aLw
Показательная У = v = In у\ Ап = In а0; Ах = In аг; v = Ао + Ахх
Экспоненциальная 1 у = а^'* v = In у\ Ао = In а0; v = Ло + ахх
Показательно- у = апха а* v = In у\ Aq = In а0; w = In х; Л2 = 1п а2» v — Ло + <hw + Atx
степенная Экспоненциальная 2 у — w — е' х; у = а0 + axw
Обратная линейной у = 1/(а0 4 , И 1 . v = —; v — а0 + ахх У
Обратная гиг.срболи- у = Ща • ) v = 1/у; w — \!х v = а0 + axwx
чгской Обратная параболи- ческой у = \/\а, Г ;2ха) и = 1/у; хх = х; х2 = х2; v = а0 + аххх + а2ха
Таблица 2.19
Наименование зависимости Сис ем,, чрав еч «• д.п- вычисление параметров Обратные преобразования переменных и параметров
Гиперболическая jna0 + ax%Wi = Ху1 + a-^w? — XyiWt X = \/w
Параболическая ,naQ 4“ axXxXi “H #2^X21 = Sy/ L0SxIt- + axXx2l( + a2Exl .x2i = ^ytxxb [£ZqSx2/ tz^Sxi/Xjj/ -f- a2Sx|(* — ^ycx2i X = хх X2 = х2
Степенная । 'пА0 + axStty = Sty, X0Stty +
Показательная 1 аЛ0 + XxSxj == Sty AqZxi + XxSx? = Styx/
Экспоненциаль- | ная 1 1 nAo + axSxz = A^xi + axSx? = Stw
Показательно- степенная пА9 + axStty + X2Sxf = 40Sity + axSay? + 42Sxztty = 2ty<ty> 40Sjty + axS^4x4- + 42Sx^ = Styx4
Экспоненциаль- ( ная 2 । па9 + a^wi = Sty, a0Stty + axSa/? = Styai i
Обратная линей- ( НОЙ 1 na^ + axSxt* = Sty, a^xt + axSx? = Styx^
Обратная гипер- ( болической j Tia9 + a^Wi = Sty, a0Stty + axSa^ = Stytty,
Обратная парабо- । лической 1 7ia0 + axSxx/ + a2Sx2l- = Sty, a0Sxx/ + axSxft- + a22xt№ = Sty*i6
о 1 со [aQlxti + а^х^хц + a2^2i = Styx^
у --- С , л — С
а} = еА‘
у = е°, а9 = е®*
01 = ел’
у = е°, а0 =
у — е°, х — е®
а«= ?*•
а»= еЛ«
X = —In tt>
ff = 1/0
у = l/er, х = 1/ш
х= Xi
xa = X,
y~ l/o
Наиболее часто применяемые в практике статистических
расчетов нелинейные регрессионные зависимости, а также
их преобразования, позволяющие использовать метод наи-
меньших квадратов, приведены в табл. 2.18. Система урав-
нений для определения параметров регрессионной модели
составляется относительно зависимости, преобразованной
к линейному виду; после решения системы уравнений
выполняется обратное преобразование от вспомогательных
величин к исходным (табл. 2.19).
Пример 1. Установим гиперболическую регрессионную зависимость
себестоимости 1 т угля у от мощности пласта полезного ископаемого х
при условиях, приведенных в примере на с. 59. Исходные данные и про-
межуточные расчеты представлены в табл. 2.20.
Для определения искомых параметров а0 и ах составляем следую-
щую систему уравнений:
12^0 4-7,5080! = 184,8,
7,508о0 4- 4,871^ = 117,695.
Решение этой системы: о() = 7,683; аг = 12,046.
Таким образом, зависимость себестоимости угля от мощности пласта
можно представить уравнением регрессии вида
у(х) = 7,863 4- 12,046/х.
Вычислим коэффициент корреляции
Таблица 2.20
ц/u w 4 н* •d -k II 3* сч 3 У sT 1 (IQ — У
1 1,5 15,2 0,667 0,445 10,138 15,898 —0,698 0,487
2 1,7 17,0 0,588 0,346 9,996 14,946 2,054 4,219
3 2,0 14,6 0,500 0,250 7,300 13,886 0,714 0,510
4 2,2 13,1 0,455 0,207 5,961 13,344 —0,244 0,059
6 2,1 13,7 0,476 0,227 6,521 13,597 0,103 0,011
6 1,8 14,7 0,556 0,309 8,173 14,561 0,139 0,019
7 1,8 13,3 0,556 0,309 7,395 14,561 —1,261 1,590
8 1,6 14,0 0,625 0,391 8,750 15,392 —1,392 1,938
9 1,3 16,5 0,769 0,591 12,688 17,126 —0,626 0,392
10 1,4 16,8 0,714 0,510 11,995 16,464 0,336 0,113
11 1,2 18,3 0,833 0,694 15,244 17,897 0,403 0,162
12 1,3 17,6 0,769 0,591 13,534 17,126 0,474 0,225
2 184,8 7,508 4,871 117,695 9,725
70
Sy— 1,7 (см. пример на с. 59);
г , ==а1-^-= 12,046
у — ьу
0,1225
1,7
= 0,868.
Из расчетов следует, что между результативным признаком и обрат-
ной величиной факторного признака существует сильная корреляцион-
ная связь; коэффициент детерминации равен 0,753. Вычислим остаточ-
ную дисперсию SqCT. Исходя из данных табл. 2.20, получим
2 _
°ст ~ п — т — 1
9,725
10
= 0,9725;
SOCT = 0,9861.
Гиперболическая и линейная регрессионные зависимости себестои-
/ мости угля от мощности пласта приведены на рис. 9. Сопоставляя резуль-
таты данного примера с результатами примера на с. 59, отметим, что
корреляционная связь результативного признака с факторным примерно
одна и та же как для линейной, так и для гиперболической моделей.
Однако для гиперболической регрессии меньше остаточная дисперсия,
что свидетельствует о большем соответствии этой модели наблюдаемым
фактам.
Пример 2. Определим параметры уравнения регрессии, отражаю-
щего зависимость коэффициента машинного времени механизирован-
ного комплекса у от длины лавы х. Исходные данные для расчета при-
ведены в табл. 2.21.
Корреляционное поле и эмпирическая линия регрессии показаны
на рис. 10. Для построения этой линии диапазон значений факторного
признака разбит на k = 5 интервалов (К = 1 + | 3,32 1g 23 [ = 5).
В каждом интервале вычислено среднее значение результативного приз-
нака (указано на графике в середине интервала). Соединив полученные
точки ломанной, получим эмпирическую линию регрессии, характер
ной и гиперболической моде-
лей себестоимости
Рис. 10. Корреляционное поле и
эмпирическая линия регрессионной
зависимости коэффициента машин-
ного времени от длины лавы
71
Таблица 2.2[
Afe п/п х-10», к У х»Ю» х»*10» -10* амг.10» дх*-10» t (*> у — У (х) (у — W)»iw
1 0,110 0,22 1,210 0,1331 1,464 2,420 0,2662 0,2147 0,0053 0,2809
2 0,120 0,23 1,440 0,1728 2,074 2,760 0,3312 0,2318 —0,0018 0,0324
3 0,124 0,23 1,538 0,1907 2,365 2,852 0,3537 0,2386 —0,0086 0,7396
4 0,125 0,24 1,562 0,1952 2,440 3,000 0,3749 0,2402 —0,0002 0,0004
5 0,128 0,26 1,638 0,2097 2,683 3,328 0,4259 0,2449 —0,0151 2,2801
6 0,130 0,25 1,690 0,2197 2,856 3,250 0,4225 0,2481 0,0019 0,0361
7 0,137 0,25 1,877 0,2571 3,523 3,425 0,4692 0,2585 —0,0085 0,7225
8 0,140 0,26 1,960 0,2744 3,842 3,640 0,5096 0,2628 —0,0028 0,0784
9 0,150 0,28 2,250 0,3375 5,063 4,200 0,6300 0,2763 0,0037 0,1369
10 0,152 0,29 2,310 0,3511 5,336 4,408 0,6699 0,2789 0,0111 1,2321
11 0,159 0,27 2,528 0,4020 6,391 4,293 0,6826 0,2874 —0,0174 3,0276
12 0,160 0,29 2,560 0,4096 6,554 4,640 0,7424 0,2886 0,0014 0,0196
13 0,170 0,28 2,890 0,4913 8,352 4,760 0,8092 0,2996 —0,0196 3,8416
14 0,170 0,30 2,890 0,4913 8,352 5,100 0,8670 0,2996 0,0004 0,0016
15 0,180 0,31 3,240 0,5832 10,498 5,580 1,0044 0,3093 0,0007 0,0049
16 0,185 0,33 3,422 0,6331 11,710 6,106 1,1293 0,3137 0,0163 2,6569
17 0,190 0,32 3,610 0,6859 13,032 6,080 1,1552 0,3177 0,0023 0,0529
18 0,196 0,31 3,842 0,7530 14,761 6,076 1,1910 0,3222 —0,0122 1,4884
19 0,204 0,32 4,162 0,8490 17,322 6,528 1,3318 0,3275 —0,0075 0,5625
20 0,210 0,35 4,410 0,9261 19,448 7,350 1,5435 0,3309 0,0191 3,6481
21 0,220 0,34 4,840 1,0648 23,426 7,480 1,6456 0,3356 0,0044 0,1936
22 0,230 0,33 5,290 1,2167 27,984 7,590 1,7457 0,3391 —0,0091 0,8281
23 0,235 0,34 5,522 1,2977 30,492 7,990 1,8775 0,3403 —0,0003 0,0009
S 3,825 6,60 66,681 12,145 229,968 112,855 20,1783 21,8661
проведения которой свидетельствует о том, что зависимость между приз-
наками следует описывать параболической регрессионной моделью.
Учитывая, что
Xj = X, х2 = х8, ххх2 = х3, х2х2 = X4,
УХ! = ух, ухг = ух\
для нахождения искомых параметров aQt а^, составляем систему урав-
нений по данным табл. 2.21
23а0 + 3,825ах + 0,6668я2 = 6,6,
3,825я0 + 0,6668^ + 0,12145а2 = 1,12855,
0,6668ао + 0,12145ат + 0,022997а2 = 0,201783.
Решение этой системы: а0 = —0,0582; = 3,1713; а2~ — 6,286.
Следовательно, зависимость коэффициента машинного времени от длины
лавы можно представить таким уравнением регрессии:
у (х) = — 0,0582 + 3,171 Зх — 6,286х2.
Сопоставив расчетные значения у (х) из табл. 2.21 с соответствую-
щими им значениями на эмпирической линии регрессии, нетрудно убе-
диться в их соответствии. Остаточная дисперсия равна
с2 = ___________________
ост п — т — 1
Отметим, что, несмотря на наличие одного факторного признака
(длина лавы), при определении числа степеней свободы было принято
/и =? 2. Это объясняется тем, что параболическая регрессия была сведена
к линейной двухфакторной (хг = х, х2 = х2) и поэтому число наложен-
ных связей принималось равным двум.
2.10. Анализ уравнения регрессии
Уравнение регрессии позволяет установить характер
влияния факторных признаков на результативный.
По знаку коэффициента регрессии ak определяется на-
правление влияния признака xk на результативный при-
знак: положительный знак указывает на возрастание ис-
следуемой величины при увеличении фактора xk, отрица-
тельный — на ее уменьшение.
Абсолютное значение коэффициента регрессии ak пока-
зывает, на сколько единиц увеличится (уменьшится) резуль-
тативный признак при увеличении факторного на единицу
(см. пример на с. 63).
Многофакторное уравнение отражает влияние несколь-
ких факторных признаков на результативный. Если необ-
ходимо выделить влияние фактора xk при фиксированных
значениях других факторов, то из уравнения множествен-
ной регрессии получают уравнение чистой регрессии. Для
этого все факторы, кроме приравнивают к их средним
73
уровням и полученные значения подставляют в уравнение
множественной регрессии.
Методику построения уравнения чистой регрессии рас-
смотрим на основе данных примера, приведенного на с. 63.
Получено уравнение множественной регрессии
У (%ь хг) = 4,15 4- 3,48%! 4- 4,24х2,
где у — производительность труда рабочего очистного за-
боя, т/смену;_хх — мощность пласта (jq = 1,208), м; х2—
длина лавы (х2 = 0,462), 103 м.
Уравнение чистой регрессии производительности труда
в зависимости от мощности пласта имеет следующий вид:
r/(%i/%2 = %2) = 4,15 4- 3,48хх 4- 4,24 • 0,462 =
. =6,109 4-3,48%!.
В этом уравнении исключено влияние на производитель-
ность труда длины лавы. По форме чистая регрессия похо-
жа на парную, однако отличается от нее по степени точ-
ности. Можно представить себе идеализированный экспе-
римент, в котором определяют статистические данные о
производительности труда при разных мощностях пласта,
но при длине лавы, равной ее среднему уровню х2. Получен-
ная по результатам этого эксперимента выборка позволит
установить уравнение парной регрессии, эквивалентное
данному уравнению чистой регрессии.
Аналогично составим уравнение чистой регрессии произ-
водительности труда в зависимости от длины лавы
у = %i) = 4,15 4- 3,48 • 1,208 4- 4,24х2 =
= 8,354 4- 4,24х2.
В этом уравнении исключено влияние на производитель-
ность труда мощности пласта.
Относительное количественное влияние факторного при-
знака на результативный оценивают с помощью коэффици-
ента эластичности, который показывает, на сколько про-
центов изменяется уровень результативного признака при
изменении факторного на один процент.
Коэффициент эластичности определяют по формуле
е = Xk . dy
*k у {xk) dxk
(2.61)
где xk — значение k-го факторного признака^ при котором
определяется коэффициент эластичности; у (хЛ) — значе-
74
ние результативного признака при соответствующем зна-
чении xk, рассчитанное по уравнению чистой регрессии.
Для линейной регрессионной модели
% Ao + akxk ak’
где
Ло = «О + X arXr + S агхг-
г=1 г=6+1
Для параболической регрессии
ех = —;—---------г (ai + 2а.,х).
а0 4- atx + а2х2 ' 1 27
Из приведенных формул видно, что коэффициент элас-
тичности динамичен и его значение определяется уровнем
фактора, при котором он рассчитывается. Обычно коэффи-
циент эластичности вычисляют при средних уровнях ре-
зультативного и факторного признаков.
Используя полученные выше уравнения чистой регрес-
сии и принимая во внимание, что у = 10,315, определим
коэффициенты эластичности производительности труда по
факторным признакам
е — а — • 3 48 — 0 41 •
еХ[ — - ai— 10315 — и,41,
х2 0,462 л ал п 1 п
~ у 0,2 ~ ТоТзПГ ’ 4,24 — °’19-
Из данных значений коэффициентов эластичности сле-
дует, что изменение мощности пласта на 1 % приводит к
изменению производительности труда на 0,41 %; измене-
ние длины лавы на 1 % вызывает изменение производи-
тельности труда на 0,19 %. Следовательно, ранжируя
факторы по их влиянию на результативный признак,
мощность пласта помещаем на первое место, а длину ла-
вы— на второе.
При управлении горными работами можно выделить
с помощью коэффициентов эластичности наиболее сущест-
венные факторы и, варьируя ими прежде всего, обеспечи-
вать оптимальный режим работы.
75
2.11. Пошаговый метод включения факторов
в уравнение множественной регрессии
При построении множественной регрессионной модели
по экспериментальным данным или статистической отчет-
ности возникают трудности с отбором факторных признаков,
которые в совокупности оказывают самое большое влияние
на результативный. Обычно количество факторных призна-
ков достаточно велико и выбор наиболее существенных и з
них производят на основании логического и экономическо-
го анализа. Такой подход приводит к неоднозначности в
отборе факторов и основан не на строгих статистических
критериях, а на опыте и интуиции исследователя. В ста-
тистике разработаны методы, позволяющие решать эту
задачу однозначно.
Пусть на стадии логического анализа статистической за-
дачи было отобрано М факторных признаков, которые мо-
гут быть аргументами уравнения множественной регрессии.
Из этих признаков надо отобрать /л, наилучшим образом
объясняющих вариацию результативного признака. Оче-
видно, что самым простым способом является последова-
тельное присоединение аргументов и оценка полноты объяс-
нения вариации результативного признака отобранным
множеством факторных с помощью коэффициента детерми-
нации. По мере увеличения числа факторных признаков
т детерминация будет возрастать; прекратить присоедине-
ние аргументов можно после достижения коэффициентом
детерминации достаточно большого значения (например,
0,9} либо тогда, когда дальнейшее увеличение числа фак-
торных признаков не приведет к заметному росту детерми-
нации.
Несмотря на кажущуюся простоту, этот метод имеет
один весьма существенный недостаток: один и тот же ре-
зультат (заданный уровень коэффициента детерминации)
может быть получен при различных наборах аргументов,
входящих в множество отобранных факторных признаков.
Эту неоднозначность в отборе объясняющих переменных-
аргументов проиллюстрируем характерными графиками
зависимости коэффициента детерминации от числа фактор-
ных признаков при М = 5 (рис. 11). Коэффициент детерми-
нации принимает различные значения в зависимости от того,
какие факторные признаки и в каком количестве учтены
в регрессионной модели (учтенные факторные признаки
указаны в скобках возле узловых точек соответствующих
графиков). Из рисунка видно, что коэффициент детермина-
76
ции, равный 0,9, можно по-
лучить, включив в модель
два аргумента х2, х4, три
аргумента х1? хя, х4 либо
четыре аргумента х3, х2,
xlf х5. Таким образом, в за-
висимости от порядка по-
дключения аргументов для
результативного призна-
ка у могут быть построены
различные регрессионные
модели. Из перечисленных
подмноже ств аргументов
первое является наилуч-
шим, поскольку обеспечи-
вает достижение заданного
та детерминации R2 от числа вклю-
ченных в модель факторных призна-
ков М
уровня детерминации при
минимальном числе факторных признаков. Однако этих дан-
ных явно недостаточно для принятия окончательного ре-
шения о составе регрессионной модели. Действительно, при
М = 5 и т = 2 существует Cl = 10 возможных вариан-
тов сочетаний аргументов и не исключено, что коэффициент
детерминации для некоторой пары факторных признаков
будет большим, чем для выбранного подмножества х2, х4.
В общем случае, когда число аргументов в отбираемом
подмножестве факторных признаков заранее неизвестно,
следует рассмотреть все возможные сочетания аргументов
и вычислить коэффициент детерминации для каждого из
них. Общее число вариантов при этом будет равно р =
= С\л + С2м + С^м + ... + См — 2м — 1.
Нетрудно определить, что с увеличением М число вари-
антов возрастает очень быстро. Так, при М — 5, р = 31,
при М = 10, р = 1023. Следовательно, при большом мно-
жестве исходных факторных признаков объем вычислений
для выбора наилучшего их подмножества настолько велик,
что решение задачи остается проблематичным даже при ис-
пользовании ЭВМ.
Одним из наиболее эффективных способов уменьшения
объема вычислений является построение регрессионной мо-
дели пошаговым методом. Перед рассмотрением метода за-
метим, что использование априорно заданного значения
коэффициента детерминации (в предыдущем примере 0,9) в
качестве критерия для прекращения присоединения аргу-
ментов в отбираемое подмножество не всегда является
77
корректным, поскольку даже включение всех аргументов
в регрессионную модель может не обеспечить требуемой
детерминации. Вместе с тем регрессионная модель может
быть достаточно адекватной объекту и при относительно
небольшой детерминации, если частные коэффициенты
корреляции факторных признаков с результативным явля-
ются значимыми.
Пусть D — множество т факторных признаков х/ g D,
Xi — присоединяемый факторный признак, xt £ D. Обозна-
чим ryXi,D — частный коэффициент корреляции признаков
X/ и у, вычисленный при условии, что влияние факторных
признаков множества D исключено. Доказано, что величи-
на
_ryXi.D(n-m-2)
подчиняется F-распределению Фишера с = 1 и /С2 =
= п — т — 2 степенями свободы. Эта величина является
статистикой критерия для проверки значимости частного
коэффициента корреляции ryx d при уровне значимости
а. Если FyXi'D F а), то частный коэффициент
корреляции является значимым, т. е. р^.о =# 0.
Значимость частного коэффициента корреляции будем
использовать в качестве критерия при решении вопроса
о включении соответствующего факторного признака в мно-
жество существенных аргументов D. Примем следующее
решающее правило: если частный коэффициент корреля-
ции ryx d является значимым при априорно заданном
уровне значимости сх (обычно принимают а = 0,05), то
факторный признак х, присоединяют к множеству D, в
противном случае присоединение не производится. Крити-
ческое значение F (Кь К2, а) называется минимумом
F-включения, а вычисленная величина F-статистики частного
коэффициента корреляции — значением F-включения. Если
для нескольких факторных признаков величина F-включе-
ния больше минимума, то к множеству D будем присоеди-
нять тот из них, для которого значение F-включения
наибольшее.
После присоединения признака к множеству объяс-
няющих аргументов D образуется новое множество D V
при этом частные коэффициенты корреляции признаков
X/ С D могут измениться, в результате чего изменится и
их значимость. Вычислим F-статистику для частных коэф-
78
фициентов корреляции ryXj.D>, где х/ £ D, D' = D V xt\xj,
i-yXj,D' = •
1 ryXj.D'
Эта величина называется значением F-удаления, Если
вычисленное для некоторого признака х/ значение F-уда-
ления меньше минимума F-включения, то х/ удаляется из
множества факторных признаков, используемых в регрес-
сионной модели (отметим, что в применяемых прикладных
программах значение F-удаления сопоставляется с мини-
мумом F-удаления, который на 0,1 меньше минимума
F-включения).
Теперь рассмотрим алгоритм пошагового метода по-
строения регрессионной модели. Пусть для объяснения вариа-
ции результативного признака у отобрано М факторных
признаков хь х2, ...» Хм. Вычислим корреляционную мат-
рицу
1 ГУХу. Гух9 • • • ГУХМ
ГУХ1 1 ГХ1Х, • • •
Qm+i = Гухг 1 ...
ГУХМ rxiXM гх2хм • • • 1
Шаг 1. По первой строке (столбцу) корреляционной
матрицы определим значения F-включения FyXe 4 = 1,2,...
..., М
Fyxi — Гух{ (п 2)/(1 ГуХ^.
Из табл. 2.15 найдем минимум F-включения при Ki =»
= 1, К2 = п— 2. Если найдутся значения F-включения,
большие минимума, то среди них выбирается наибольшее
и соответствующий ему факторный признак включается в
множество D. Если же ни одному из парных коэффициентов
корреляции не соответствует значение F-включения, боль-
шее минимального, делаем вывод, что отобранное множест-
во факторных признаков не может объяснить вариации ре-
зультативного признака и регрессионную модель на дан-
ной совокупности аргументов построить нельзя.
Шаг 2. Предположим, после выполнения шага 1 в мно-
жество объясняющих аргументов D включен признак
xt: D = {xj. Выясним, можно ли ввести в это множество
79
признак х/. Для этого сформируем корреляционную матрицу
Г 1
Qs(xi) == ry*i
ГУ*1
rU*i ГУ*1
1 Гх1х1
fxixi 1 _
по которой вычислим частный коэффициент корреляции
ryxj.xit определим значение ^-включения
F yXj.Xt = ryXj.x. (п 3)/(1 Г ух 1.x
Затем сравним полученное значение с минимумом F-включе-
ния при Ki = 1, = п — 3. Описанную процедуру про-
делаем для / = 1, 2, ...,Л1, / =5^= Л Если ни одному из частных
коэффициентов корреляции не соответствует значение
F-включения, большее минимального, пошаговая про-
цедура завершена; множество объясняющих аргументов
D состоит из одного факторного признака xt. Если же име-
ется один или несколько признаков, для которых значение
F-включения больше минимального, то в множество D зано-
сится xj с наибольшим значением F-включения, D— {л^, Xj],
Шаг 3. После выполнения шага 2 число отобранных фак-
торных признаков увеличилось на единицу. При этом изме-
нится значение частного коэффициента корреляции резуль-
тативного признака с факторным хь ранее включенным в
множество D. Вычислим для признака х{ значение F-удале-
ния и, сравнив его с минимумом F-удаления при = 1,
= п — 3, примем решение относительно исключения или
сохранения этого признака в множестве D.
Последующие шаги алгоритма аналогичны рассмотрен-
ным шагам 2 и 3. Отличие заключается в том, что по мере
возрастания числа признаков, включенных в множество
Z), увеличиваются размеры корреляционной матрицы и соот-
ветственно уменьшается число степеней свободы К2. Поша-
говая процедура считается завершенной, если на очередном
этапе вычислений не будет найдено ни одного факторного
признака, соответствующего условиям включения в мно-
жество D. С отобранными признаками решается задача по-
строения регрессионной модели.
Пример. Построим многофакторную регрессионную модель для
установления взаимосвязи между результативным признаком!/ — товар-
ной продукцией однотипных предприятий отрасли и рядом факторных
признаков. На этапе предварительного анализа выделим три фактора,
влияющих на вариацию у: стоимость активной части основных произ-
водственнных фондов среднюю списочную численность рабочих х2,
80
среднюю явочную численность рабочих х8. Получены отчетные данные
>а год по двадцати предприятиям отрасли, п — 20.
По статистическим данным составлена корреляционная матрица
г 1,0 0,8 0,5 0,7 -
0,8 1,0 0,3 0,4
0,5 0,3 1,0 0,8
- 0,7 0,4 0,8 1,0 -
Определим значения F-включения для факторных признаков
FyXl-^Xi („-2)/(1 -^)=32,
Fyxt = ryxt ^yxj 8,
Fyx3 = 2)/( 1 ryxJ 33 17,3.
Исходя из данных табл. 2.15, при = 1, К2 а п — 2 в 18 найдем
минимум F-включения F (1; 18; 0,05) = 4,41. Поскольку все значения
F-включения больше этого минимума, любой из факторных признаков
можно включить в множество отобранных аргументов D. По максималь-
ному значению включаем в множество D признак хг: D = {агх} .
Определим значения F-включения для признаков х2 и х8 при
условии,
Для
что в D содержится факторный признак хг.
х2 получим
Для
0,8 0,5 '
1,0 0,3 ;
0,3 1,0 _
г х = - = —^2= = 0,454,
ух' 1 КЛ!,1Л3,3 /°>91 • °-36
х (п — 3)/(1 — х ) = 4,4.
УХ1-Х1 УХ2.Х1 ' " ' yXi.Xi' »
х3 получим
1,0
0,8
0,5
“ А,з
Оз (хг) —
13,3
0,7 •
0,4
1,0
0,8
1,0
0,4
~ 0,38
l3>3 /0,84 • 0,36
Fyx3.xx ~ Гух3.хп (п 3)/(1 ryx3.xJ ~ 15,53.
Минимум F-включения при = 1, /С2 ~ п — 3 равен F (1; 17;
0,05) = 4,45. Сопоставляя вычисленные значения F-включения с мини-
мальным, получим FyXi <4,45; Pyx^.Xi >4,45. Следовательно, в
множество D вносим факторный признак х3, D — {хъ х3}.
Определим значение F-удаления для признака х19 используя
реляционную матрицу Q3 (х3),
— Л 2 0.52
= - > =. = . = 0,794,
V ^,1^,2 /0,84-0,51
Fu, к * (п — 3)/(1 — Л , ) = 29,08.
yX^Xi ' f \ VX\W ’
Гух3.Х!
1,0
0,8
_ 0,7
~~ А.З
Оз (*з) —
= 0,691,
ух3.Х1 'ух3.х
УХ^
кор-
81
Минимум F-удаления равен F (1; 17; 0,05) — 0,1 = 4,35; FtfX* >
> 4,35. Следовательно, факторный признак остается в множестве D.
Выясним, можно ли присоединить к множеству D факторный при-
знак х2. Для этого вычислим PyXt,Q = ^уж2-х^ используя матри-
ну Qi.
г„х х х — - = ~°,СМ^ = — 0,183;
их,.х,х, У^А1ЛА3>3 /0,302-0,158
F„_ х г = ^,г хх (п — 4)/(1 — г/ , ,) = 0,554.
ух^.х^ъ ух1.х1х3 ' > V yxt.x^x3f »
Минимум F-включения при Ki = 1, /С2 ~ п — 4 = 16 равен
F (1; 16; 0,05) = 4,49. Поскольку PyXi.X1X3i < 4,49, факторный при-
знак х2 в множество D не вносится.
Таким образом, окончательно получаем D = {хх, х3). Следователь-
но, в данном случае надо построить регрессионную модель, в которой
устанавливается взаимосвязь товарной проду кции с двумя факторными
признаками — стоимостью активной части основных фондов хх и сред-
ней явочной численностью рабочих х3.
Глава 3. МОДЕЛИ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
3.1. Определение и классификация
систем массового обслуживания
Различные процессы горного производства, подчинен-
ные вероятностным закономерностям,, могут быть описаны
с помощью методов теории массового обслуживания. Объек-
ты, участвующие в процессе производства, условно подраз-
деляются на обслуживаемые и обслуживающие. Например,
в технологическом процессе погрузки породы участвуют
породопогрузочная машина и вагонетки; обслуживающим
объектом здесь является породопогрузочная машина, а
обслуживаемым — вагонетки.
В теории массового обслуживания обслуживающие
объекты называют каналами или приборами обслуживания,
обслуживаемые — заявками на обслуживание, требовани-
ями или клиентами._!Например, на карьере имеется 15 стан-
ков для бурения скважин. Периодически станки могут вы-
ходить из строя и бригада ремонтных рабочих производит
их восстановление. В этом примере бригада — канал об-
служивания, а поломки — заявки на обслуживание.
Отличительной особенностью моделей массового обслу-
живания является то, что заявки на обслуживание посту-
пают в случайные моменты времени и продолжительность
обслуживания также является величиной случайной. Та-
82
Система массового обслуживания
Центр обслуживания
Каналы
обслуживания
Рис. 12. Структура системы массового обслуживания
кой характер процессов поступления заявок и их обслу-
живания приводит к тому, что в одни периоды времени
возле каналов обслуживания заявки скапливаются, обра-
зуя очереди, а в другие — каналы обслуживания простаи-
вают из-за _их_ отсутствия..
Таким образом, задачей теории массового обслужива-
ния является установление статистических характеристик
загрузки каналов обслуживания, размеров очереди, потерь
времени заявками в ожидании обслуживания и других по-
казателей в зависимости от интенсивности поступления за-
явок на обслуживание .и характеристик обслуживания,/
Под системой массового обслуживания (СМО) понимают
совокупность заявок и каналов обслуживания, взаимодей-
ствующих между собой в соответствии с определенными за-
конами распределения. Предполагается, что заявки нахо-
дятся в источнике, оттуда в случайные моменты времени
они поступают в центр обслуживания, который состоит из
одного или нескольких каналов обслуживания и очереди.
Если заявка поступает в центр обслуживания и имеется сво-
бодным хотя бы один канал, ее обслуживание начинается
сразу, в противном случае заявка находится в очереди
до освобождения одного из каналов (рис. 12).
В зависимости от того, удаляется ли после обслужива-
ния заявка из системы или возвращается в источник заявок,
системы массового обслуживания подразделяют на разомк-
нутые и замкнутые.
Если в центре обслуживания находится один канал об-
служивания, то СМО называют одноканальной, если не-
сколько — многоканальной.
Существуют системы массового обслуживания, в кото-
рых заявка, застав каналы обслуживания занятыми, ста-
новится в очередь только в том случае, если длина очереди
83
не превышает некоторого наперед заданного значения, в
противном случае она отказывается от обслуживания. Если
критическая длина очереди не ограничена, то СМО называ-
ют системой с неограниченной очередью, при ограниченнос-
ти — системой с ограниченной очередью. Критическая дли-
на очереди может быть равна нулю, при этом заявка, застав
в:е каналы обслуживания занятыми, покидает центр необ-
служенной. Такую СМО называют системой с отказами.
В некоторых случаях заявки на обслуживание могут
р (Зличаться по приоритетности. Например, заявкой на
обслуживание является ремонт двух механизмов. Один из
них работает на главном производственном участке, дру-
гой — на вспомогательном. Естественно, что прежде всего
необходимо обслужить первый механизм. СМО, в которых
одним заявкам оказывается предпочтение перед другими,
называют системами с приоритетом заявок.
Существуют также другие классификационные признаки
систем массового обслуживания, однако они используются
реже.
Рассмотрим примеры технологических схем горного про-
изводства, функционирование которых можно интерпрети-
ровать в терминах теории массового обслуживания.
Доставка полезного ископаемого к шахтному стволу
осуществляется вагонетками, подъем на поверхность —
скиповым подъемником. Прибывающие на разгрузку ваго-
нетки (составы) являются заявками на обслуживание, ски-
повой подъемник — каналом обслуживания. После разгруз-
ки вагонетки направляют в очистные забои (источник за-
явок). В соответствии с принятой классификацией данная
система относится к замкнутым одноканальным системам
массового обслуживания с очередью.
На железорудном карьере за добычным экскаватором
закреплено пять автосамосвалов, которые доставляют руду
из забоя на перегрузочный склад. Экскаватор в этой систе-
ме является каналом обслуживания, автосамосвалы —
клиентами. Автосамосвалы, находящиеся в забое под по-
грузкой или в очереди в ожидании погрузки, считаются
клиентами, поступившими в центр обслуживания; осталь-
ные автосамосвалы, находящиеся вне забоя,— пребываю-
щими в источнике заявок. Данная система также относится
к одноканальным замкнутым системам массового обслужи-
вания с очередью.
В моделях массового обслуживания заявки являются
обезличенными, следовательно, заявка, вернувшаяся в
источник и повторно поступившая в центр обслуживания,
84
может рассматриваться как новая. Поэтому принципиаль-
ное различие между разомкнутыми и замкнутыми системами
массового обслуживания состоит в том, что первые имеют
в источнике бесчисленное множество заявок, направляемых
с некоторой интенсивностью в центр обслуживания, а вто-
рые содержат в источнике ограниченное число заявок. Из
сказанного следует, что способность источника генериро-
вать заявки для разомкнутой СМО не зависит от того, сколь-
ко заявок находится в данный момент времени в центре об-
служивания; для замкнутой СМО это свойство не выполня-
ется. Действительно, если в замкнутой СМО все заявки
поступят в центр обслуживания, то в источнике их не оста-
нется и поток заявок из него станет равным нулю.
Если замкнутая СМО содержит небольшое число за-
явок, то поступление одной или нескольких заявок в центр
обслуживания приводит к заметному уменьшению их чис-
ла в источнике и, следовательно, к ощутимому снижению
способности источника генерировать заявки. Если же в
замкнутой СМО число заявок достаточно велико, то влия-
ние состояния центра обслуживания на поток заявок из
источника значительно уменьшается. Это является основа-
нием для того, чтобы некоторые замкнутые по существу
системы интерпретировать приближенно как разомкнутые
при условии, что вероятность накопления всех заявок в
центре обслуживания достаточно мала.’
На железорудных карьерах с циклично-поточной техно-
логией работ горная масса из забоев автосамосвалами достав-
ляется на перегрузочные пункты, оборудованные бункером
и дробилкой; бункер обычно имеет несколько мест для раз-
грузки. В этой системе автосамосвалы являются заявками
на обслуживание, а их разгрузка в бункер интерпретирует-
ся как процесс обслуживания. Автосамосвалы вне перегру-
зочного пункта считаются находящимися в источнике
заявок. Данная система относится к многоканальным замк-
нутым системам массового обслуживания с очередью. Заме-
тим, что по таким технологическим схемам на перегрузоч-
ный пункт работает несколько экскаваторных забоев, число
заявок в источнике достаточно велико и поэтому прибли-
женно данная система также может быть описана моделью
разомкнутой многоканальной СМО.
Рассмотрим технологическую схему, в которой один
взорванный рудный блок отрабатывается двумя экскаватор-
ными забоями с общей трассой транспортирования руды.
Если оба экскаватора свободны, то прибывший на погрузку
автосамосвал поступит под первый экскаватор, поскольку
85
по трассе движения он расположен ближе. Если один из
экскаваторов занят погрузкой, то автосамосвал поступит
под свободный. Если оба экскаватора заняты, автосамосвал
станет в очередь, после чего выберет тот экскаватор, кото-
рый освободится раньше. Из данного описания работы си-
стемы следует, что первому экскаватору отдается предпоч-
тение перед вторым. Подобную систему можно интерпрети-
ровать как замкнутую или разомкнутую (в зависимости от
числа автосамосвалов в системе) СМО с двумя каналами
обслуживания и приоритетом первого канала.
Следует отметить основные организационно-экономиче-
ские аспекты моделей, связанных с применением метода тео-
рии массового обслуживания. При организации и планиро-
вании производства перед исследователем возникают две
альтернативные задачи. С одной стороны, для обеспечения
оперативного обслуживания заявок (ремонт оборудования,
погрузка горной массы и т. д.) необходимо создать возмож-
но большее число каналов обслуживания. В этом случае
очередь практически отсутствовала бы и заявки обслужива-
лись без потерь времени на ожидание. С другой стороны,
создание каналов обслуживания требует дополнительных
(иногда весьма значительных) капитальных затрат. Для
выбора оптимального варианта должна быть сформулирова-
на функция затрат, составными элементами которой явля-
ются затраты, обусловленные простоями заявок в центре
обслуживания, и приведенные капитальные затраты на
создание каналов обслуживания. Оптимальные парамет-
ры СМО должны обеспечивать минимум функции суммар-
ных затрат.
3.2. Вероятностные характеристики
потока заявок и обслуживания
Основной числовой характеристикой процесса поступ-
ления заявок на обслуживание является плотность их пото-
ка. Эта характеристика показывает, какое количество
заявок поступает из источника в»центр обслуживания за еди-
ницу времени. Плотность потока заявок обозначают К. Ко-
личество заявок и интервал времени между их смежными
поступлениями могут подчиняться различным законам рас-
пределения. В теории массового обслуживания наибольшее
распространение получили такие модели, в которых коли-
чество заявок, поступивших за единицу времени на об-
служивание, соответствует пуассоновскому закону распре-
86
деления
Pk
qfe)
к\
где Рк — вероятность того, что за единичный интервал вре-
мени в центр обслуживания поступает k заявок.
Потоки заявок, подчиняющиеся пуассоновскому распре-
делению, относят к так называемым простейшим потокам.
Можно доказать, что для таких потоков интервал времени
между двумя смежными поступлениями заявок подчинен
экспоненциальному распределению. Действительно, опре-
делим вероятность того, что за интервал времени Д/ не по-
ступает ни одна заявка. Среднее количество заявок, посту-
пающих за время Д/, равно ЛДЛ Тогда искомая вероят-
ность составляет
Р„ (Д0 = e-w =
что и требовалось доказать.
Простейший поток обладает следующими свойствами:
1. Стационарность — поток заявок, поступающих на
обслуживание, является однородным во времени. Это зна-
чит, что среднее количество заявок, поступающих на об-
служивание за единицу времени, остается неизменным в те-
чение различных достаточно больших отрезков времени.
2. Ординарность — две заявки не могут поступить
в центр обслуживания в один и тот же момент времени.
3. Отсутствие последействия — количество заявок,
поступивших в систему за интервал времени Д/, зависит
от величины этого интервала и не зависит от того, какое
количество заявок поступило в центр обслуживания за
предыдущий интервал времени Д/. Иначе говоря, конкрет-
ная реализация случайного процесса после некоторого
момента времени t не зависит от реализации процесса до
этого момента.
Следует отметить, что в современной теории массового
обслуживания рассматриваются также случайные процессы
поступления заявок на обслуживание, не обладающие
свойствами простейшего потока. В этом случае математи-
ческое описание системы значительно усложняется. Однако,
применяя модель пуассоновского потока для описания ре-
альных объектов, не отвечающих требованиям стационар-
ности, ординарности и отсутствия последействия, можно
получить приближенное описание системы массового обслу-
живания, а это в подавляющем большинстве случаев может
оказаться достаточным для определения качественных
87
Таблица 3.1
Интервал изменения случай- ной вели- чины, мин Середина интерва- ла /t-, мин Коли- чество наблюде- ний в интерва- ле Накоп- ленная частота мс Функция распре- деления Fi Теоретическая функция распределе- ния F*
0...1 0,5 98 98 0,44 0,4566
1...2 1,5 57 155 0,70 0,7071
2...3 2,5 29 184 0,84 0,8412
3...4 3,5 17 201 0,91 0,9145
4...5 4,5 13 214 0,97 0,9540
>5 5,5 6 220 1,00 1,0000
характеристик системы и, следовательно, позволит прини-
мать экономически обоснованные решения.
Для установления характеристик потока заявок необ-
ходим обширный статистический материал, основанный на
хронометражных наблюдениях. Сбор и обработка информа-
ции осуществляются в соответствии с требованиями мате-
матической статистики.
Методику получения функции распределения потока
заявок рассмотрим на следующем примере.
Пример. На карьере были проведены хронометражные наблюдения
с целью определения интервалов времени между смежными прибытия-
ми автосамосвалов на перегрузочный пункт. Хронометраж выполнял-
ся в течение 6 ч, было зарегистрировано 221 прибытие автосамо-
свалов, т. е. установлено 220 интервалов времени между смежными
прибытиями. Интервальный вариационный ряд, построенный на
основе хронометражных наблюдений, приведен в табл. 3.1. Среднее
значение интервала времени между смежными прибытиями автосамо-
свалов составило 7 = 1,627 мин. Следовательно, плотность потока на
перегрузочном пункте \/t= 0,61 автосамосвалов в минуту. Эмпи-
рическая и теоретическая функции распределения исследуемого пока-
зателя приведены на рис. 13. Из рисунка видно, что интервалы времени
F(t)
0,75
0,50
0,25
0
Рис. 13. Распределение интервалов вре-
мени между смежными прибытиями авто-
самосвалов:
между смежными прибы-
тиями автосамосвалов с
достаточной точностью со-
ответствуют экспоненци-
альному закону распреде-
ления. Это же подтверж-
дает и проверка согласия
теоретического и экспери-
ментального распределе-
ний по критерию согла-
сия Колмогорова. При па-
раметре Колмогорова ==
= max | Ft — Fj | VЪпц =.
= 0,246 вероятность co-
/ —* теоретическое; 2 » эмпирическое
гласил выборки экспонен-
88
циальному распределению
Р(М= 1,0.
Таким образом, если
интерпретировать посту-
пление автосамосвалов на
перегрузочный пункт как
поток заявок на обслужи-
вание, а разгрузку авто-
самосвалов в бункер —
как процесс обслужива-
ния, то для потока заявок
можно считать приемле-
мой пуассоновскую мо-
дель с параметром X =
«= 0,61 автосамосвала в
минуту.
Рис. 14. Распределение продолжительно-
сти обслуживания с постоянной состав-
ляющей:
1 — теоретическое (экспоненциальная аппрок-
симация); 2 — эмпирическое
Основной характеристикой, канала обслуживания яв-
ляется продолжительность обслуживания заявки. Как и
для потока заявок, для времени обслуживания возможны
различные законы распределения. В теории массового об-
служивания наиболее часто для характеристики времени
обслуживания применяют экспоненциальный закон распре-
деления. Процессы обслуживания также должны отвечать
требованиям стационарности, ординарности и отсутствия
последействия.
Числовой характеристикой канала обслуживания явля-
ется среднее время обслуживания /обс. Величина, обратная
среднему времени обслуживания, называется интенсив-
ностью обслуживания, р = 1//Обс. Интенсивность обслужи-
вания показывает, какое количество заявок может в сред-
нем обслужить канал обслуживания за единицу времени,
работая непрерывно.
Следует отметить, что реальные процессы обслуживания
в горном производстве не всегда соответствуют экспонен-
циальному закону распределения, так как большинство
из них характеризуется минимальным значением времени
обслуживания, отличным от нуля. Аппроксимация таких
процессов экспоненциальным законом распределения при-
водит к погрешностям, величина которых возрастает с
увеличением минимального значения времени обслужива-
ния (рис. 14). Однако в ряде случаев такая аппроксимация
допустима.
Экспоненциальное распределение интервалов времени
между поступлениями смежных заявок и времени обслужи-
вания позволяет построить математические модели СМО,
используя свойства простейшего потока. Если же для обес-
печения необходимой точности модели требуется учесть
89
Рис. 15. Фазы процесса обслуживания
реальное неэкспоненциальное распределение, то это су-
щественно усложняет математическую модель СМО, а в
некоторых случаях аналитическое решение задачи стано-
вится невозможным. В связи с этим необходимо прибли-
женно описать реальное распределение времени обслу-
живания заявок или реальный поток заявок таким зако-
ном распределения, который позволил бы использовать
свойства экспоненциального распределения.
Поясним это утверждение для процессов обслуживания
заявок. Предположим, что заявка, поступая в канал обслу-
живания, проходит в нем k фаз обслуживания (рис. 15),
причем каждая фаза характеризуется продолжительностью
обслуживания, подчиненной экспоненциальному распре-
делению со средним значением t. Обозначим случайную про-
должительность i-й фазы обслуживания Тогда случай-
ная продолжительность обслуживания заявки каналом
k _
составит Т = S th а средняя продолжительность — Т ==
i=i
= kt.
Определим аналитический вид закона распределения
продолжительности обслуживания заявки в канале об-
служивания; для этого найдем выражение для плотности
распределения данного закона fk (Т).
Обозначим интенсивность обслуживания заявки в одной
фазе р = 1/t. Тогда среднее число фаз обслуживания, ко-
торые должна пройти заявка за промежутки времени
Т и dT, будет равно рТ и [idT соответственно.
Вычислим элемент вероятности fk (Т) dT того, что слу-
чайная продолжительность обслуживания заявки в канале
попадет в пределы элементарного участка (Т, Т + dT).
90
Для этого должны выполняться следующие события: внут-
ри интервала времени продолжительностью Т заявка долж-
на пройти k — 1 фазу обслуживания; £-я фаза обслужива-
ния должна завершиться в пределах промежутка времени
(Т, T + dT).
Вероятность первого события можно определить в соот-
ветствии с законом распределения Пуассона по формуле
Р ('Т'Х (Н^)
Вероятность завершения £-й фазы обслуживания в про-
межутке (Т, Т + dT) есть вероятность совершения одного
события внутри интервала времени dT
Рг (dT) = е~ц</г « ndT.
Согласно теореме о вероятности произведения незави-
симых событий получим
fK(T)dT = Pk^ (Т) P1(dT),
откуда следует •
МЛе-»г. (3.1)
Закон, плотность распределения которого описыва-
ется формулой (3.1), называют законом распределения
Эрланга k-ro порядка.
Порядок закона Эрланга в нашем примере определяется
числом фаз, на которые разбит процес обслуживания заяв-
ки в канале. Установим взаимосвязь между характеристика-
ми фазы и канала обслуживания. Поскольку продолжитель-
ность фазы обслуживания подчиняется экспоненциальному
распределению, то средняя продолжительность фазы об-
служивания равна среднему квадратическому отклонению
7 = s (/) = 1/ц. Интенсивность обслуживания заявки в
канале М = 1/Т — = [i/k. На основании теоремы
сложения дисперсий имеем s2 (Т) — ks2 (t) = £/р,2, откуда
S (Г) = = T/y~k.
При аппроксимации экспериментально установленного
распределения законом Эрланга возникает необходимость
в определении его порядка k. По экспериментальным дан-
ным рассчитываем среднюю продолжительность обслужи-
вания Т и среднее квадратическое отклонение s (/). Учиты-
вая приведенное соотношение между этими параметрами,
получим
£ = (T/s(T))2. (3.2)
91
Варьируя порядок за-
кона Эрланга, можно по-
лучать различные плотно-
сти распределения (рис. 16).
Так, при k = 1 получим
экспоненциальное распре-
деление; при k -> оо s (Т) ->
-> 0 и обслуживание ха-
рактеризуется постоянной
продолжительностью Т =»
= Т. Если в первом слу-
чае свойство отсутствия
последействия соблюдает-
ся, то во втором имеем ре-
Рис. 16. Плотности законов распре- гулярный процесс, харак-
деления Эрланга первого — четвер- теризующиЙСЯ наличием
того порядков при т = 1 последействия, т. е. функ-
циональной связью между
моментами времени начала и завершения событий. Таким
образом, разлагая процесс обслуживания с последействием
на отдельные фазы с экспоненциальным распределением
времени обслуживания, приходим к модели процесса, от-
вечающей требованию отсутствия последействия. Анало-
гичное приведение к закону Эрланга можнр выполнить и
для потока заявок, не обладающего свойствами простей-
шего потока.
Случайные процессы без последействия называются
марковскими (по имени впервые изучавшего их математи-
ка А. А. Маркова). Системы массового обслуживания, в
которых поток заявок и провесы обслуживания соответ-
ствуют условию отсутствия последействия, описываются
математическими моделями, называемыми марковскими
моделями массового обслуживания. Таким образом, с по-
мощью закона распределения Эрланга можно сводить не-
марковские процессы к марковским, для которых разрабо-
тана методика построения математических моделей процес-
сов массового обслуживания.
3.3. Марковская модель процессов
массового обслуживания
/ Рассмотрим единичный интервал времени Т = 1. Пред-
положим, плотность потока заявок в единицу времени
составляет X = 1. Разобьем интервал времени Т на п
частей.
92
Определим вероятность
того, что внутри интервала
Д/ = Т/п поступит заявка
на обслуживание. Поступ-
ление заявки внутри еди-
ничного интервала Т рав-
новероятно на любом его
отрезке А/, поэтому поступ-
( ) конвейер /
Конвейер 2
ление заявки именно на
данном отрезке будет равно
= А/, поскольку Т~ 1.
Рис. 17. Схема транспортной си-
стемы
Если X =# 1, то вероятность попадания заявки в интервал
А/ будет равна ЛА/. Поступление и непоступление заявки
в интервале времени А/ образуют полную группу событий.
Следовательно, вероятность непоступления заявки за ука-
занный интервал времени равна 1 — ЛА/. Аналогично
это можно доказать и для процессов обслуживания заяв-
ки: вероятность того, что обслуживание заявки будет за-
вершено внутри интервала А/, равна рД/, а вероятность
противоположного события — 1 — цА/.
Методику построения марковской модели массового об-
служивания рассмотрим на примере. Пусть имеется транс-
портная система, состоящая из двух последовательно уста-
новленных ленточных конвейеров (рис. 17). Входной гру-
зопоток составляет Q, т/ч. Конвейеры могут выходить из
строя с интенсивностью Л отказов в час каждый. Их обслу-
живает ремонтная бригада, которая может устранять отка-
зы со средней продолжительностью восстановления /ВОСст.
Следовательно, для каждого конвейера интенсивность об-
служивания р = — восстановлений в час. Определим
^восст
производительность транспортной системы.
Предположим, что при отказе одного конвейера транс-
портная система останавливается и простаивает до его пол-
ного восстановления. Следовательно, второй конвейер во
время ремонта первого выйти из строя не может. В соот-
ветствии с условием ординарности процесса одновремен-
ный отказ обоих конвейеров также невозможен. Таким об-
разом, рассматриваемая система может находиться в сле-
дующих состояниях: оба конвейера исправны; первый
конвейер неисправен; второй конвейер неисправен.
Условимся обозначать Sq — состояние системы; индек-
сом i — состояние первого конвейера, / — второго; /, / «
=0,1; 0 — объект исправен, 1 — неисправен.
93
1-2ХДГ
Рис. 18. Граф состояний двух конвейер ной транспортной
системы
Построим граф состояний системы (рис. 18). Как было
указано выше, система может находиться в трех состояни-
ях: So,o — оба конвейера исправны; Si,о—первый кон-
вейер неисправен; So,i — второй конвейер неисправен.
Поскольку вероятность пребывания двух конвейеров в
неисправном состоянии равна нулю, то состояние Si.i на
графе не показано. Каждому состоянию системы соответст-
вует вершина графа. Рассмотрим возможные переходы
системы из одного состояния в другое за достаточно малые
промежутки времени АЛ
Если система находится в состоянии So,о, то она может
перейти в состояние So,i с вероятностью ХАЛ Аналогично
с такой же вероятностью система может перейти в состоя-
ние Si,о. Тогда вероятность того, что за время А/ система
не изменит своего состояния, должна быть равна 1 — 2ХД/,
поскольку рассмотренные три перехода образуют полную
группу событий.
Теперь рассмотрим систему, находящуюся в состоянии
Si,o. Вероятность завершения процесса восстановления
первого конвейера в интервале времени А/ равна рАЛ
Следовательно, вероятность перехода из состояния Si,о в
состояние So,о равна рА/, а вероятность остаться в том же
состоянии — 1 — рАЛ Аналогично можно определить и
вероятности перехода из состояния So.i.
На графе переходы из одного состояния в другое изобра-
жены ориентированными дугами. Над каждой дугой про-
ставлена соответствующая ей вероятность перехода (см.
рис. 18). Ориентированный граф, на дугах которого указа-
ны вероятности соответствующих переходов, называется
размечен ным графом.
Обозначим Pi/ (I) — вероятность пребывания системы
94
в состоянии Si/ в момент времени t. Тогда Ро.о (t) — веро-
ятность исправного состояния обоих конвейеров в момент
времени t. Аналогично определяются вероятности Pi,0 и
Род. По графу, используя вероятности переходов за время
Д/, можно установить вероятность каждого состояния си-
стемы в момент времени t + А/. Так, вероятность того,
что в момент времени t + Д/ система окажется в состоянии
So,о, определяется из следующих условий:
в момент времени t система находилась в состоянии
So,o (вероятность этого равна Ро.о (/)) и за время Д/
не изменила своего состояния (вероятность этого равна
1 — 2ЛД/);
или в момент времени t система была в состоянии S0,i
(вероятность — Рол (^)) и за время Д/ перешла в состояние
So,о (вероятность перехода цД/);
или в момент времени t система была в состоянии Si,о
(вероятность — Pi,о (/)) и за время Д/ перешла в состояние
So,о (вероятность перехода цД/).
В соответствии с теоремами сложения и умножения ве-
роятностей (напомним, что связка «и» соответствует произ-
ведению вероятностей, а связка «или» — сложению), по-
лучим
Ро.о (t + ДО = Ро.о (0(1— 2Х ДО + Рол (0 • +
+ Pi,о (0 цД/.
Аналогично можно составить уравнения для состояний
системы Si,о и So.i
Pi,о (t + ДО = Pi,о (0(1- НАО + (0
Рол (/ + ДО = Рол (0(1 — НАО + ро.о (0 ^А/.
Подчеркнем такую закономерность: количество слагае-
мых в правой части уравнения равно количеству стрелок,
входящих в соответствующее состояние на графе системы
(см. рис. 18). При этом каждое слагаемое состоит из двух
сомножителей: первый из них — вероятность состояния,
из которого выходит стрелка, а второй — вероятность со-
ответствующего перехода, указанная над стрелкой.
Полученные уравнения преобразуем следующим обра-
зом:
1) раскроем скобки в правых частях уравнений;
2) перенесем из правой части в левую Ро.о (0 в первом
уравнении, Pi,о (/) — во втором, P0,i (/) — в третьем;
3) разделим правую и левую части уравнений на Д/;
4) вычислим предел при Д/ 0.
95
В результате выполнения этих действий получим
Р00(( + Ы) — Л>о(0
llm ~-------д?---= -2 W(0 + |*Р1,о(0 + нАм (0.
Д/-+0 °*
Р1>о(/+Др-Р1>о(О _ , 1D ,А
hm ---------дт--------= — [iP 1,0 (0 + ХРо.о (0,
дмо
Р01(/ + Д0-Р0,1(0 _ р ,D
пт —--------------од (0 + №о.о (0-
д/-и) ш
Нетрудно заметить, что левые части уравнений представ-
ляют собой производные от соответствующих вероятностей
по времени
р^а+до-^ю _ dpif(t)
1™ Д' ’
Таким образом, получим для вероятностей состояний
следующую систему дифференциальных уравнений первого
порядка:
—°^(<) = - 2М>о,о(0 + Н^о.1 (0 + (0,
-^^- = -рЛ.о(0 + ХРо.о(0,
---= — рРо.1 (0 + *Л>,0 (t)-
Эту систему называют системой дифференциальных урав-
нений Колмогорова. Решая ее относительно вероятностей
Pi{ (t), можно установить характер изменения вероятностей
состояний во времени при заданном начальном состоянии
смо.
Перейдем к рассмотрению стационарного режима функ-
ционирования системы, в котором вероятности состояний
не изменяются во времени, а следовательно,
dPit
Pti(t) =Р(1 и -/- = 0.
Для стационарного режима из системы дифференциаль-
ных уравнений получим систему алгебраических уравне-
ний Колмогорова
— 2ЛРо,о + "Ь M^o.i — 0,
— pPi.o + ^о.о = 0» (3-3)
„ — H^o.i “Ь ^о,о ~ 0*
96
Эта система уравнений является совместной и неопре-
деленной. Действительно, если сложить второе и третье
уравнения, то получим первое. Поэтому для устранения
неопределенности любое из уравнений можно исключить
из системы.
Все состояния СМО образуют полную группу, следова-
тельно, сумма вероятностей всех состояний системы равна
единице
Ро.о + Л,о + Род = 1. (3.4)
Выражение (3.4) называют условием нормировки ве-
роятностей.
Исключим из системы (3.3) первое уравнение и добавим
условие нормировки (3.4). В результате получим
— 1^Р |,о + ХР о.о = 0,
— ИРол 4" ХРо,о == 0, (3.5)
. Ро,о + Р1.0 + Ро.1 = 1.
Система уравнений (3.5) является совместной и опреде-
ленной. Решим ее относительно искомых вероятностей
Ро,о> PltQ И Ро,1
р — и
^°’° и + 2Х ’
Зная вероятности исправного и неисправного состоя-
ний системы конвейеров, можно вычислить производитель-
ность СМО. Она определяется входным грузопотоком и ве-
роятностью исправного состояния системы 0факт — QPo.o*
Проиллюстрируем полученное решение числовым при-
мером. Пусть Q = 500 т/ч, X = 0,05 отказа в час, р
= 2 восстановления в час. Таким образом,
9
^0 0 = 2 + 2 • 0,05 0’9524,
рфакт = 500 • 0,9524 = 476 т/ч.
Рассмотренный пример позволяет выделить следующие
этапы построения и анализа моделей систем массового
обслуживания практически любой структурной сложности:
1. Постановка задачи и четкое (словесное) описание ал-
горитма функционирования СМО, определение обслуживае-
мых и обслуживающих объектов.
2. Построение графа состояний системы и разметка его
вероятностями переходов из одного состояния в другое.
4 529
97
3. Получение из графа состояний системы уравнений
Колмогорова для стационарного режима.
4. Нормировка системы уравнений и ее решение отно-
сительно искомых вероятностей состояний.
5. Расчет числовых характеристик СМО, определяющих
показатели работы системы.
3.4. Разомкнутые одноканальные системы
массового обслуживания
В данной системе массового обслуживания предполага-
ется, что в источнике находится бесчисленное множество
заявок, которые поступают в центр обслуживания с ин-
тенсивностью А, не зависящей от того, сколько заявок в
нем накопилось. Если единственный канал системы занят
обслуживанием заявки, то следующие заявки становятся
в очередь и обслуживаются по мере его освобождения (в
порядке очереди). Очевидно, что при бесчисленном множест-
ве заявок в источнике в центре обслуживания может на-
копиться сколь угодно большое число заявок, из-за чего
количество состояний системы обслуживания должно быть
бесконечным. В реальных СМО источник всегда содержит
ограниченное число заявок. Однако если число заявок
в источнике достаточно велико (для задач горного производ-
ства 2С—Ю и более), то с достаточной степенью точности
можно пользоваться моделью разомкнутой СМО.
Обозначим состояние системы с i заявками в центре об-
служивания Sf. Очевидно, что если i > 1, то i — 1 заявка
находится в очереди в ожидании обслуживания.
Вероятность поступления заявки на обслуживание в ин-
тервале времени А/ равна ХД/, вероятность непоступления
заявки — 1 — ЛД/. Аналогично вероятность завершения
обслуживания в интервале времени Д/ равна рД/, а веро-
ятность противоположного события — 1 — рД/.
Рассмотрим г-е состояние системы. За время Д/ возмож-
ны следующие переходы из этого состояния: j
St- — St — состояние системы не изменилось, т. е.
обслуживание заявки не завершилось и новая заявка не
поступила (вероятность такого перехода равна (1 — ЛД/) х
X (1 —рД/)); 5/ — Si-н —система перешла в новое состоя-
ние в связи с прибытием за время Д/ в центр обслуживания
еще одной заявки (вероятность этого перехода равна ХД/);
Si — St-i — система перешла в новое состояние из-за
завершения обслуживания заявки (вероятность этого пе-
рехода равна рД/).
98
Рис. 19. Фрагмент графа со-
стояний разомкнутой одно-
канальной СМО
Рис. 20. Граф состояний ра-
зомкнутой одноканальной
СМО
(1-ХДг)(1-дДИ
Отметим, что прибытие очередной заявки из источника и
завершение обслуживания заявки в канале внутри одного
интервала времени А/ невозможны по условиям ординар-
ности процесса, если принять данный интервал времени
достаточно малым.
Фрагмент размеченного графа состояний системы, соот-
ветствующий описанным выше переходам, приведен на
рис. 19.
Если объединить фрагменты графа при i = 0, 1,2, ..., то
в результате получим размеченный граф состояний одно-
канальной разомкнутой СМО (рис. 20). Подчеркнем, что
в отличие от других в состоянии So в центре обслуживания
нет заявок и поэтому из So есть только два перехода:
— So — за время А/заявка не поступила (вероятность
этого перехода равна 1 — ХА/);
So — Si — за время А/ поступила заявка (вероят-
ность — ХА/).
По графу состояний системы в соответствии с методи-
кой, изложенной в разделе 3.3, получим уравнения для
вероятностей различных состояний системы в момент вре-
мени / + А/
Ро (t + А/) = Ро (/) (1 - ХА/) 4 Pi (0 И А/,
Pi (t + А/) = Рг (/) (1 - ХА/) (1 - рД/) + Ро (/) ХА/ +
+ Р2(/) рА/,
Р2 (t + А/) = Р2 (/) (1 - ХА/) (1 — рА/) + Л (/) ХА/ +
+ Р3(/)|лДЛ
рп (t 4- до = рп (t) (I - (1 — (О хд/ +
+ Рп+1 (0 идо
4*
99
Выполняя описанные ранее преобразования системы
уравнений и переходя к стационарному режиму, получим
систему линейных алгебраических уравнений Колмогорова
— ЬР0 + = О,
— + И) Р\ +
— + И) Р^ + ^Р1 + \^Рз —
— 4" и) Рп 4" ^Рп—1 + рАг-Н =f О,
Добавим к этой системе условие нормировки вероятно-
стей
(3-7)
П=0
Решим систему (3.6) — (3.7) относительно искомых ве-
роятностей Pit i = 0, 1,2, ... Из первого уравнения систе-
мы (3.6) получим
Подставим это выражение во второе уравнение
- (X + |Х) А р0 + крй - ир2 = о,
откуда
Выполнив аналогичные подстановки в остальные урав-
нения системы, получим
Рп=^Р0, п=1,2,3, ...
И
/ Л
/ Если обозначить р = —, то формула для расчета веро-
ятности п-го состояния системы примет вид
Рп = ?ПРа,
где р — уровень обслуживания, который показывает, ка-
кую часть рабочего времени канал занят обслуживанием
ваявок. Для определения вероятности отсутствия заявок
в центре обслуживания PQ используем условие нормировки
S р„ = £рпр0=р0(1 +S Рп) = 1.
п==0 п=0 \ п=1 /
100
(0° \
1 + S рп ) = (1 + р + Р2 + ps + ...) пред-
П=1 /
ставляет собой геометрическую прогрессию со знамена-
телем р. Сумма членов этой прогрессии равна
довательно, из условия нормировки получим
1 Л-
1. Сле-
1— р
Ро = 1 - Р,
(3.8)
Рп = prt(l - р). (3.9)
Зная вероятности состояний СМО, можно вычислить
ряд ее параметров, к которым относятся среднее число
заявок и среднее время пребывания одной заявки в центре
обслуживания и в очереди, среднее время загрузки канала
обслуживания и др.
Среднее число заявок в центре обслуживания определя-
ют в соответствии с правилами математической статистики
как их математическое ожидание
п = У пРп.
п=\
Подставим в эту формулу вместо Рп его выражение из
формулы (3.9)
П = 2 пр" (1 — Р) = (1 — Р) [р + 2р2 + Зр3 + • • • ] =»
= р(1-р)[1 +2р + 3р2+ ••• ]•
Можно заметить, что
[1 + 2р + Зр2+ ... ] = ^-(р + р2 + Р3 + ... ) =
= d I Р \ == 1
Ф \ 1 “р / о — Р)2
Таким образом, подставляя данное выражение в исход-
ную формулу, получим
Среднее число заявок в очереди v также определяется
по формуле математического ожидания. Если в центре об-
служивания находится п заявок, то при одном канале об-
служивания в очереди будет п — 1 заявок, причем очередь
будет образовываться только при п 2. Следовательно,
со
v = S (п — 1) Рп. Подставляя в эту формулу вместо
п«2
101
Рп его выражение из формулы (3.9), получим
5 Прп-f рп~ f прп—рг-f рп + ^рп-
п»2 п«2 п=1 п=0 n=Q
^n-p.-i + p. + p^-^-i + d-p)^^..
Обозначим среднее время пребывания заявки в центре
обслуживания ~tn. Если среднее число заявок в центре об-
служивания равно и, то за единицу времени из-за простоя
здесь заявками будет потеряно п единиц времени. Допус-
тим, в среднем за единицу времени в центр обслуживания
поступает 1 заявок. Тогда очевидно, что средние потери вре-
мени одной заявки в центре обслуживания будут равны
4-. Таким образом,
л
7 _ п — Р __ 1 1 _ 7 1
п ~~ X (1— р) X ~~ н 1 — Р “ Гобс 1 — Р ’
где /обе—среднее время обслуживания.
Аналогично можно доказать, что среднее время пребы-
вания заявки в очереди составляет
Определим разность между временем пребывания заявки
в центре обслуживания и в очереди
tn | (1 р) “ ^обс •
Полученный результат подтверждает логику расчета,
поскольку время пребывания заявки в центре обслужива-
ния состоит из времени ожидания в очереди и времени
обслуживания.
Пример. На карьере для транспортирования руды на обогатитель-
ную фабрику применяется циклично-поточная технология. Из забоев
руда доставляется на концентрационный горизонт автотранспортом.
Горная масса из автосамосвалов поступает в перегрузочный бункер,
откуда питателем подается в дробилку. Дробленная горная масса кон-
вейером доставляется на обогатительную фабрику.
Для планирования суточных объемов добычи и соответствующего
количества автосамосвалов в транспортной системе необходимо уста-
новить потери времени автотранспортом на перегрузочном пункте. На
доставке руды занято 20 автосамосвалов, которые создают на перегру-
зочном пункте поток заявок с интенсивнрстью X = 45 автосамосвалов
в час. Средняя продолжительность разгрузки одной машины составляет
/обс == 1 мин, интенсивность обслуживания — р = l/^c = $0 автосамо-
свалов в час.
102
Определим потери времени, связанные с простоем автосамосвалов
в очереди в ожидании разгрузки.
Уровень обслуживания
Средняя длина очереди
Р2
v =--------= 2,25 автосамосвалов.
1 — р
Среднее время пребывания автосамосвала в очереди
- 2 25
tv == -Х_ = —----= 0,05 ч = 3 мин.
X 45
Таким образом, при расчете производительности автотранспорта
следует учитывать, что на каждом прибытии из-за простоя машин в
очереди дополнительно будет теряться в среднем 3 мин. Следовательно,
для обеспечения заданной производительности системы в соответствии
со средней длиной очереди необходимо каждую смену планировать
дополнительно два автосамосвала.
3.5. Разомкнутые системы массового обслуживания
с несколькими каналами обслуживания
В отличие от одноканальной СМО в этой системе имеется
S каналов обслуживания, S>1. Если обслуживанием
заявок занято k каналов, то вероятность завершения об-
служивания одной заявки в достаточно малом интервале
времени А/ будет равна £цА/. Соответственно вероятность
того, что не будет завершено обслуживание ни одной заяв-
ки, составит 1 — k\xAt.
Рассмотрим состояние системы Sn. Если п S, то ве-
роятность завершения обслуживания заявки в интервале
времени А/ равна А/, если же п > S, то вероятность
завершения обслуживания — SpA/, поскольку в этом слу-
чае обслуживанием занято S каналов.
Граф состояний многоканальной СМО аналогичен гра-
фу одноканальной, однако при разметке дуг, изображаю-
щих переход из одного состояния в другое, здесь следует
учитывать количество каналов, занятых обслуживанием
(рис. 21).
(1-ХДг)(1-дДб
1-ХДг \ (1-ХДг)(1-2дДИ (1-ХДг)(1-$дДг) t (1-ХДЩ1-$дД0
о *д* С)хд^ XAt ХА/ ХДГ ХДГ
jfeuL "Z*1
дДг 2дДГ 3/^ДГ $дДг $дДг SjiAt S/iAt
Рис, 21. Граф состояний разомкнутой многоканальной СМО
103
7 Г По графу СМО получим уравнения, описывающие рабо-
ту системы
Ро (/ + Д/) = Ро (/) (1 - АД/) + Р, (/) рД/,
Pi (t + Д/) - Рг (/) (1 — АД/) (1 - рД/) + Ро (/) АД/ +
+ Р2 (/) 2рД/,
Р2 (t + Д/) = Р2 (/) (1 — АД/) (1 - 2рД/) + Л (/) АД/ +
+ Р3(/) ЗрД/,
Ps (t + Д/) = Ps (/) (1 - АД/) (1 - ХрД/) + Ps-i (/) X
X АД/ + Ps+1 (/) 5рД/,
Ps+i (/ + ДО = Ps+i (0 (1 - *Д0 (1 - 5рД/) + Ps (О X
х АД/ 4" Ps+2 (/) 5рД//
Рп (t + ДО = Рп (0 (1 - АД/) (1 - ХрД/) + (О X
X АД/ + (О 5рД/,
Произведем следующие преобразования данной систе-
мы: раскроем скобки в правой части и Рп (/) перенесем в
левую часть; разделим обе части уравнений на Д/ и вычис-
лим предел при Д/ -> 0; перейдем к стационарному режиму.
В результате этих действий получим
- АР0 + рЛ - О,
— 4~ и) Р 1 + ^Ро + 2рР2 = 0,
— + 2р) Р2 ^Р1 4~ ЗрРз = 0,
— (А 4~ Sp) Ps 4- MPs-i 4" 5рЛ$-н = О,
— (А 4" 5р) Ps+i 4" kPs 4- SpPs-j-2 = О,
- (А 4- Sp) Рп 4- 4- $рЛ:+1 = О,
Все вероятности состояний системы выразим через Ро.
Решим систему уравнений относительно следующих иско-
мых вероятностей:
для п S
Р == Р ’
Гп п\
104
для п> S
р = ____2_____р
п Sn~s S! °*
Для вычисления Ро используем условие нормировки
вероятностей
п=0
Подставим в это условие вместо вероятностей Рп их вы-
ражения
v р = р IV — 4- 4- -р - 4- р 4- • • • I =-
2d п 0 2j П\ S! S2S1 I
п=0 \ п=0 /
р I р2
S S2
5—1 п Ь
= р у -L_ + -Р1
’1л' $1
О
Выражение в круглых скобках представляет собой гео-
метрическую прогрессию со знаменателем Сумма этой
прогрессии равна 1/^1 —Следовательно, искомая ве-
роятность может быть рассчитана по формуле
8-1 оп os I""1
V —---1--------
п\ ' / р \
n=o S! 1-4-
о
Определим основные характеристики многоканальной
СМО.
Среднее число заявок в очереди
V= 2 (n — S)Pn.
n=S-M
Опуская промежуточные вычисления, после подстанов-
ки выражений для вероятностей состояний системы, полу-
чим
— ns+1
V = -------—--------- р
V __ / О \2
Среднее количество заявок в центре обслуживания опре-
деляется как сумма среднего количества заявок в каналах
и очереди, т. е.
°°
п = ц прп = v + р.
п=»1
105
Среднее время ожидания заявки в очереди
/ = А = Р* р
Lv X / р \2
iissi И — -у
Среднее время пребывания заявки в центре обслужива-
ния
tn ~ ~ ' — tv Н---- == /v + /обе
Таким образом, среднее время пребывания заявки в цент-
ре обслуживания состоит из среднего времени ожидания
заявки в очереди и среднего времени обслуживания.
Пример. В карьере для доставки руды на перегрузочный пункт
используется 40 автосамосвалов. Средняя продолжительность рейса
автосамосвала /р составляет 25 мин (в рейс входит время порожнего и
груженного движения, погрузки в забое и разгрузки на перегрузочном
пункте). Средняя продолжительность разгрузки машины составляет
/обс = 1 мин. Следует определить количество пунктов разгрузки, необ-
ходимое для обеспечения наиболее эффективного функционирования
системы.
Годовые расходы по эксплуатации одной машины составляют
75 000 р. Приведенные капитальные затраты на оборудование пункта
разгрузки автосамосвалов — 15 000 р.
Определим плотность потока заявок %. При продолжительности
рейса 25 мин среднее время пребывания машины вне пункта разгрузки
составляет 24 мин (пребывание машины в очереди у пункта разгрузки
при определении продолжительности рейса во внимание не принимается).
Таким образом, общая плотность потока заявок
Х= 40 •
60
25 — I
= 100 прибытий в час.
X 100
Уровень обслуживания р = — =---------= 1,67.
ц 60
Для обеспечения такого уровня системе требуется не менее двух
каналов обслуживания. С целью определения оптимального количества
пунктов разгрузки рассмотрим следующие варианты системы:
1. Д в а пункта разгрузки. Вероятность отсутствия заявок
в центре обслуживания
/’о = Г1 + р-^
Средняя длина очереди
2.2
у Ро = 3,695 автосамосвалов.
106
Экономический ущерб от простоя машин в очереди составит
С = 75 000 • 3,695 = 277 125 р.
2. Три пункта разгрузки. Вероятность отсутствия
заявок в центре обслуживания
р2
2
Р3
31 (1 — —
\ 3
= 0,1724.
Ро= 1 + Р 4
Ро = 0,377 автосамосвала.
v
Средняя длина очереди
Р4
/ Р \2
3 • 3! 1 —
\ 3 )
Экономический ущерб определяется затратами на простой в очереди
и оборудование дополнительного пункта разгрузки
С = 75 000 • 0,377 + 15 000 = 43 275 р.
2. Четыре пункта разгрузки. Вероятность отсутст-
вия заявок в центре обслуживания
Ро =
Р2 । Р1
2 31
Р*
4! (1 — —
\ 4
0,1859.
Средняя длина очереди
р6
V =---------
4 • 4!
р0 = 0,0733 автосамосвала.
Экономический ущерб составит
С = 75 000 • 0,0733 + 2 • 15 000 = 35 497 р.
Очевидно, что уменьшение длины очереди за счет оборудования
пятого пункта разгрузки экономически нецелесообразно, так как капи-
тальные ратраты на его сооружение превысят экономию от сокращения
простоев. Следовательно, оптимальным является вариант оборудования
концентрационного горизонта четырьмя пунктами разгрузки.
3.6. Замкнутые одноканальные системы
массового обслуживания
Отличительной особенностью замкнутой СМО является
то, что в ней функционирует ограниченное количество за-
явок, которые после обслуживания не удаляются из систе-
мы, а возвращаются в источник заявок и через некоторое
время могут снова поступить на обслуживание. Например,
ремонтная бригада обслуживает несколько станков. Вы-
ход из строя одного станка является заявкой на обслужи-
вание, его ремонт — процесс обслуживания, ремонтная
бригада — канал обслуживания. Каждая заявка характе-
107
ризуется своей плотностью Хр Если центр обслуживания
свободен, то все заявки находятся в источнике и общая плот-
ность их потока из него составляет Л = ягХр где т — общее
количество заявок в источнике. Если в центр обслужива-
ния поступило п заявок, то в источнике их осталось т —
п и общая плотность потока заявок из него будет составлять
Л = (т — п) Хр Таким образом, в отличие от разомкну-
тых, в замкнутых системах массового обслуживания плот-
ность потока заявок, поступающих в центр обслуживания,
зависит от количества заявок в этом центре. Если все т
заявок поступят в центр обслуживания (одна заявка об-
служивается и т — 1 — в очереди), то в источнике их не
останется ни одной и поток заявок из него в центр будет
равен нулю.
Следовательно, система может иметь ограниченное ко-
личество состояний, равное tn + 1.
Построим граф состояний системы с учетом приведенных
особенностей данной модели. Рассмотрим состояние Sn и
возможные переходы из него в смежные состояния.
В состоянии S„ в центре обслуживания имеется п зая-
вок, из которых одна обслуживается, ап — 1 находятся
в очереди. В источнике — т — п заявок. Таким образом,
плотность потока заявок, поступающих на обслуживание,
равна (т — и) ХР
Из состояния Sn возможны следующие переходы:
Sn — Sn — обслуживание заявки не завершено и новая
заявка в центр не поступила; вероятность этого перехода
равна [(1 — (т — п) (1 — pA/)l;
Sn — Sn+i — в центр обслуживания поступила еще
одна заявка (вероятность перехода — (т — п) XjA/);
Sn — Sn__\ — за интервал времени А/ было завершено
обслуживание заявки (вероятность перехода — и А/).
Граф состояний рассматриваемой СМО приведен на
рис. 22. Определим систему уравнений, описывающих
этот граф:
Ро а + ДО = Ро (/) (1 - mk^t) + Рх (О нА/,
Pi (i + А/) = Рх (0 (1 — (т — 1) МО (1 — РАО +
+ Ро(О^М/ 4-Р2(0 НА/,
, Ра (t + АО = р2 (0 (1 — (^ — 2) МО (1 — нАО +
+ Pj (0 (т — 1) + Рз (0 нА/,
Ра (/ + Д/) = Рт (0 (1 - нД/) + (О МДЛ
108
1-mX1 At
(™-1) X.At
(m — 2) X1 Ar
П-С/п-ПХ^И-рДг)
[1-(т-2)Х1Дг](1-дДг)
d-X^tld-AiAr) 1 -pAf
juAt ii At gAt рдг ддг
Рис. 22. Граф состояний замкнутой одноканальной СМО
Выполнив над системой преобразования, описанные в
предыдущих разделах, и перейдя к стационарному режи-
му, получим следующую систему алгебраических уравне-
ний Колмогорова:
— т^Ро + р/\ = О,
— [(т — 1) Xj + р] Рх 4- + рР2 = О,
— [(т — 2) Х2 + р] Р2 + (т — 1) К1Р1 + = О,
— рРт + ^Рт-\ = 0.
Эта система состоит из т + 1 уравнений относительна
т + 1 неизвестного Ро, Р2, ..., Рт. Поскольку свобод-
ные члены уравнения равны нулю, то система является
совместной и неопределенной. Поэтому любое уравнение
(например, последнее) можно исключить из нее. Для рас-
чета к этой системе следует добавить условие нормировки
вероятностей
т
£Л. = 1.
л=0
Решим полученную систему уравнений, обозначив рх в
Xj тл
= Из первого уравнения имеем
Pi = mpiP0-
Из второго уравнения, подставив в него Р19 получим
Ра = т (т — 1) pfP0 = (от2'2), Pipo-
Продолжая выполнять подстановку, обобщим формулу
для n-го состояния системы
п» 1,2,3........т.
109
Из условий нормировки найдем Ро
VI т- пП Р _______ 1
X (т — л)! Р1 0 ’
п=0 '
откуда
Г т 3—1
“ 1 + S, <3.10>
Зная вероятности состояний, можно определить сле-
дующие основные параметры системы обслуживания.
1. Средняя длина очереди. Очередь образуется, если
число заявок в центре обслуживания n 2, при этом ко-
личество заявок в очереди равно п — 1. Определим сред-
нюю длину очереди по формуле математического ожидания
__ т
V = £ (и - 1) Рп.
п=2
Опуская промежуточные расчеты, в результате получим
v = m-----1±£1_(1-Р0). (3.11)
Pl
2. Среднее число заявок в центре обслуживания. Если к
средней длине очереди добавить среднее число заявок в
канале обслуживания, равное 1 — Ро, то получим искомую
величину
n = V + 1 — Рп = т — (1 — Р«)-
3. Среднее время пребывания заявки в центре обслужи-
вания. Поскольку в центре находится в среднем п заявок,
то в источнике в среднем т — п заявок, создающих средний
поток Л = (т — и) X. Следовательно,
Т ____ п _ 1 I т .11
4. Среднее время пребывания заявки в очереди. Разделив
среднюю длину очереди на среднюю плотность потока зая-
вок, получим
7 — А = 1 [ т । 1 — Pi 1
Л ц L 1-Ро Pi Г
Пример. Добыча угля на шахте осуществляется с помощью механи-
зированных комплексов КМ-87 в четырех очистных забоях. Среднесуточ-
ная нагрузка на каждую лаву составляет 1100 т. Установлено, что сред-
ний интервал времени между отказами оборудования в лавах — 5,2
смены, Устраняет отказы ремонтная бригада, Среднее время восстанов-
110
Таблица 3.2
Характеристика СМО К хж 2 № 3 к — 4 к-5
р1 и 0,1280 0,0960 0,0800 0,0700
т I (т— 1)!Р1 0,5120 0,3840 0,3200 0,2800
т\ 2 (т— 2)!Р1 0,1966 0,1106 0,0770 0,0588
т| оз (/и—3)г 1 0,0503 0,0212 0,0123 0,0082
т\ 4 (т—4)!^1 0,0064 0,0020 0,0010 0,0006
•+ £ (Л)!р> п=1 ' ' 1,7653 1,5178 1,4103 1,3476
Ро 0,5665 0,6588 0,7091 0,7421
V 0,1798 0,1046 0,0728 0,0578
С 44,85 38,15 42,20 50,45
ления оборудования, в зависимости от численности рабочих в бригаде
— 6
к, определяется по формуле to6c — I + — , ч. Убытки от простоя лавы
к
в течение смены при условии включения в работу резервной лавы со-
ставляют 250 р. Средняя заработная плата одного рабочего в смену —
12 р., продолжительность смены — 6 ч. Необходимо определить опти-
мальную численность рабочих в ремонтной бригаде.
В соответствии с условиями задачи: количество заявок в источнике
т = 4, плотность потока Xj = 1/5,2 = 0,192 заявки в смену. Уровень
обслуживания ц = 1//обс зависит от численности рабочих в бригаде к:
при к = 2, 3, 4, 5 соответственно ц = 1,5; 2; 2,4; 2,73.
Функция затрат С = 250 v + 12 (к — 2) min.
Для решения задачи необходимо определить среднюю длину очереди
при различном количестве рабочих в ремонтной бригаде в соответствии
с формулами (3.10) и (3.11). Результаты вычислений приведены в
табл. 3.2.
Из расчета функции затрат видно, что оптимальным является состав
бригады из трех рабочих.
111
3.7. Замкнутые многоканальные системы
массового обслуживания
В замкнутых многоканальных системах имеется S ка-
налов обслуживания, S > 1 (рис. 23). Если в центре об-
служивания количество заявок п < S, то вероятность за-
вершения обслуживания в интервале времени А/ равна
пр АО если же n S, то вероятность завершения одного
обслуживания независимо от состояния системы равна
Sp ДО Поток заявок изменяется в соответствии с состоянием
системы так же, как и в одноканальной СМО.
Из графа состояний (см. рис. 23) получим систему урав-
нений для вероятностей состояний СМО в момент времени
t + М
Ро (t + А/) = Ро (/) (1 — znXjAO + Л (/) рАГ,
Рп (/ + ДО = Рп (0(1 — >фД0 (1 —(т — п) А/) +
+ (0 (т — п + 1) + Рп+! (0 х
х(п4-1)рА/, и = 1,2, ... , S—1,
Рп (t + АО = Рп (0 (1 - 5цД0 (1 - {т - п) МО +
+ Рп-л (0 (ш — п + 1) ^1Д^ + Рп+\ (0 SpA/, п = S,
S + 1, ... ,т — 1,
Рт (t + ДО = рт (0 (1 - SpAO + Лп-1 (0 \До-
выполнив над данной системой уравнений преобразова-
ния, описанные ранее (см. раздел 3.3), и перейдя к стацио-
нарному режиму, получим
— т^Ро + мА = 0,
— [пр + (т — п) Рп + (т — п + 1) Mn-i + (п +
+ 1)рРп+1 =0, п = 1, 2, 3, ... , S — 1,
— [Sp + (т — п) XJ Рп + (иг — п + 1) ^Рп-х +
+ SрРп_|_1 = 0, zz = S, S 4~ 1 > ••• — 1 >
- SpPm + ^Ргп-х = 0.
(1-МО IlH/n-SHiArja-SMH (1
1—
ЛЛ Х,Дг(_)
2дДг $дДг 5дЛг
Рис. 23, Граф состояний замкнутой многоканальной СМО
112
Поскольку у этой системы уравнений правая часть рав-
на нулю, она является совместной и неопределенной. Лю-
бое уравнение системы (например, последнее) может быть
исключено из нее. Для получения определенной системы
добавим условие нормировки
из первого
из второго
из третьего
Из условия
Обозначим pi = Xj/p. Решим систему уравнений отно-
сительно искомых вероятностей Ръ Р2 и т. д.:
уравнения Рг =
Рп = Сп^Р0, п- 1, 2, ... , 5-1;
уравнения для п S
рп - адр0.
нормировки вычислим Ро. Обозначим
Тогда S Рп = £ а„Р0 = 1, откуда Ро = 1 + S а„ +
п=0 п=0 L 1
т 1—1
+ У ап . Для определения ап используем рекуррент-
п—з J
ные формулы
Ш — /I “J— 1 1 о 1 t
ап= -----—Pian-i, п = 1, 2, ... , 5 — 1, а0= 1,
ап = — g—1 Pi«n-i, n « S, S+ 1, , т.
О
Среднее число заявок в центре обслуживания и в очере-
ди рассчитаем по формулам
т т
П = S пРп, V = £ (п — S) Рп.
п= 1
Для вычисления среднего времени обслуживания заяв-
ки в центре обслуживания 1п и в очереди tv определим сред-
нюю плотность потока заявок А = {tn — п). Тогда иско-
мое среднее время простоя заявок равно соответственно
tn =х----2—^ ; tv « -----—=- .
Хх (т — п) Ах (т — п)
Обратим внимание на одну существенную особенность
моделей СМО, рассмотренных в разделах 3.4—3.7. При их
113
составлении предполагалось, что клиенты, находящиеся
в источнике, равноценны между собой, т. е. обладают оди-
наковой способностью генерировать поток заявок. В ре-
альных системах это условие выполняется далеко не все-
гда. Предположим, на шахте имеется действующих и
т2 резервных лав. В случае выхода лавы из строя из-за
встречи непереходимых геологических нарушений, зава-
ла лавы при слабоустойчивой кровле и т. д. ее восстанов-
лением занимается ремонтная бригада, а добыча ведется
из резервной лавы. Очевидно, что плотность потока за-
явок (отказов), формируемого действующей лавой, суще-
ственно отличается от этого показателя для лавы, находя-
щейся в резерве. При составлении математической модели
СМО необходимо учитывать разнородность клиентов, на-
ходящихся в источнике, и отражать эту особенность в гра-
фе состояний системы.
Для описания методики синтеза модели СМО с разно-
родными клиентами конкретизируем изложенную задачу.
Пусть комплекс очистных забоев шахты состоит из четырех
основных и двух резервных лав; ремонт лав (процесс об-
служивания) осуществляется двумя ремонтными бригада-
ми (каналами обслуживания). Основная лава генерирует
заявки (отказы) с плотностью потока резервная —
с плотностью Х2, Xj > Х2. Если резервная лава переходит
в рабочее состояние, то соответственно плотность потока
генерируемых ею отказов изменяется и принимает значение
Хь Ремонтная бригада устраняет отказы лав с интенсив-
ностью р. Предположим, что время безотказной работы
как действующих, так и находящихся в резерве лав, а так-
же продолжительность ремонтных работ подчинены экспо-
ненциальному распределению. Таким образом, данная СМО
представляет собой замкнутую двухканальную систему
с tn = т1 + т2 « 6 разнородными клиентами в источнике.
Рассмотрим построение графа состояний системы
(рис. 24). В состоянии So все клиенты находятся в источни-
ке, который генерирует заявки с плотностью Л = 4Хх 4-
+ 2Х2. При выходе из строя одной лавы (состояние
число резервных лав уменьшается на единицу и плотность
потока заявок снижается до величины 4^ + Х2. В состоя-
нии S2 работают две ремонтные бригады; резервных лгв
нет и плотность потока равна 4ЛР В последующих состоя-
ниях источник содержит одинаковые заявки (действующие
лавы) и поэтому построение соответствующих фрагментов
графа выполняется по методике, указанной ранее для
замкнутой многоканальной СМО при п > S. По графу
114
Рис. 24. Граф состояний системы массового обслуживания с разнород-
ными клиентами
состояний составим систему уравнений, описывающую рабо-
ту объекта в стационарном режиме,
I - (4Х, + 2М Ро + НЛ = 0.
— (4Лх + Х2 + ц) Рх + (4Xj 2Х2) Ро + 2рР2 = 0,
— (4%i + 2ц) Р2-\~ (4Xj + Х2) + 2рР3 = 0,
— (3%i + 2ц) Р3 + 4%tP2 -|- 2[iP4 = 0,
— (2Хх 4" 2ц) P4 + 3AqPз 4 2цР5=0,
— (^i + 2ц) P5 4" 2XxP4 + 2pP6 = 0,
— 2pPe4- W\ = 0,
6
X Л = 1-
I
Отметим, что структура приведенной системы уравне-
ний аналогична рассмотренной ранее в данном разделе
системе уравнений S-канальной модели. Однако отличие
в способности генерировать потоки заявок разными клиен-
тами привело к другому построению коэффициентов при
вероятностях состояний СМО.
Решим данную систему уравнений в общем виде. Обозна-
чим
о 4А,Х 4~ 2А,2 , о 4A/j 4- А2 . л г 4А>1 ' п ЗМ ф
Р1 ц * Р2 2ц ’ Ps 2ц ’ Р4 2ц ’
₽5=4: = Р/Ро.
Р ^Ц /=S1
В соответствии с условием нормировки
+ ₽1Л> + + ₽sPa + ₽<р8 + + ₽.Р# = 1,
115
Таблица 3.3
Характеристики СМО k = 1 k = 2 k =3 k « 4 k = 5 fc = 6
рй 1,0 0,45 0,4 0,3 0,2 0,1
ПР/ 1,0 0,45 0,18 0,054 0,0108 0,00108
/=1 k 1 S пр/ 1,0 1,45 1,63 1,684 1,6948 1,69588
/=| k Pk = Ро ПР/ 0,3709 0,167 0,0688 0,020 0,004 0,0004
/=1 kpk 0,3709 • 0,334 0,2004 0,080 0,020 0,0024
(k -1) Pk 0,0 0,163 0,1336 0,060 0,016 0,0020
откуда
получим
Пример. Пусть для системы, имеющей четыре действующие и две
резервные лавы, плотность потока отказов лав и интенсивность их
восстановлений соответственно равны Xj = 0,1, — 0,05 отказа, |х =
0,5 восстановлений в смену. Вычислим вероятностные характеристики
СМО по данным табл. 3.3. Получим = 0,3689; вероятность использо-
вания не менее четырех лав Ро + Рг + Р2 = 0,9068.
По известным вероятностям состояний системы определим числовые
характеристики СМО (см. табл. 3.3)
6 6
п = £ пРп <= 1,008; v = £ (п— 1) Рп = 0,3746;
п=1 п==2
Х= + ^2 (т, — = 0,416.
Средние потери времени из-за простоя лав составят «
= 1,008 : 0,416 = 2,42 смены; средние потери времени в ожидании
ремонта tv = v/1 = 0,3746 : 0,416 = 0,9 смены.
3.8. Модели массового обслуживания
при неэкспоненциальном обслуживании
заявок
Как отмечалось в разделе 3.2, на практике процессы
обслуживания заявок часто нельзя непосредственно отра-
вить в терминах, принятых для описания марковских мо-
делей. Для построения аналитической модели процесс об-
116
служивания можно интерпретировать как последователь-
ное прохождение заявкой нескольких фаз обслуживания
с экспоненциальным распределением времени обслужива-
ния, т. е. использовать при описании процесса закон рас-
пределения Эрланга.
Методику построения и анализа моделей с неэкспонен-
циальным обслуживанием рассмотрим на примере. Пред-
положим, во въездной траншее карьера установлена весо-
вая платформа, которую автосамосвалы пересекают с огра-
ниченной скоростью (5—15 км/ч); при этом определяется
горная масса в приемной емкости авгосамосвала. Поступ-
ление автосамосвалов на пункт взвешивания можно ин-
терпретировать как поток заявок на обслуживание, а
прохождение их через платформу с автоматическим взвеши-
ванием и регистрацией массы — обслуживание заявок.
Отметим, что к процессу обслуживания относится не только
взвешивание автосамосвала, но и ряд предварительных
и заключительных операций — замедление движения в
контрольной точке перед платформой, выезд на платформу
и съезд с нее.
Для построения модели системы массового обслужива-
ния выполнен хронометраж прибытия автосамосвалов на
пункт взвешивания и прохождения ими весовой платфор-
мы. С целью установления характеристик и закона распре-
деления входного потока заявок измерялись интервалы
времени in между смежными прибытиями автосамосвалов
в контрольную точку перед весовой платформой (табл. 3.4).
Таблица ЗА
Интервал, мин Середина интервала, мин Частота Накопленная частота |М, - I
mJ М1 м}
0...0,5 0,25 — 45,2 — 45,2 —
0,5...2,5 1,5 171 134,4 171 179,6 8,6
2,5...4,5 3,5 89 83,6 260 263,2 3,2
4,5...6,5 5,5 63 51,6 323 314,8 8,2
6,5...8,5 7,5 30 32,4 353 347,2 5,8
8,5...10,5 9,5 23 20,0 376 367,2 8,8
10,5...12,5 11,5 10 12,4 386 379,6 6,4
12,5...14,5 13,5 6 7,6 392 387,2 4,8
14,5...16,5 15,5 3 4,8 395 392,2 3,0|
16,5...18,5 17,5 1 3,2 396 395,2 0,8
18,5...20,5 19,5 4 2,0 400 397,2 2,8
Итого 400 397,2
117
Таблица З.б
Интервал, с Середи- на ин- терва- ла, с Частота Накопленная частота 1 м( - м] |
т mi
0...4 2 2,28 2,28
4...8 6 18 27,76 18 30,04 12,04
8...12 10 64 57,72 82 87,79 5,79
12...16 14 75 71,20 157 158,99 1,99
16...20 18 72 68,00 229 226,99 2,01
20...24 22 53 55,78 282 282,77 0,77
24...28 26 39 41,37 321 324,14 3,14
28...32 30 30 28,54 351 352,70 1,70
32..;36 34 15 18,68 366 371,38 5,38
36...40 38 14 11,71 380 383,09 3,09
40...44 42 7 7,11 387 390,20 3,20
44...48 46 13 4,19 400 394,39 5,61
48... 52 50 — 2,37 — 396,76 —
Итого 400 396,76
Числовые характеристики полученного распределения сле-
дующие: среднее значение — ~tn = 4,24 мин; дисперсия —
D (tn) = 12,292 мин2; среднеквадратическсе отклонение —
S (tn) = 3,506 мин.
По формуле (3.2) определим порядок закона распреде-
ления Эрланга, которому предположительно соответству-
ет полученной распределение:
k = (tn/S = (4,24: 3,506)2 = 1,46.
Округлив, примем k = 1; следовательно, промежутки
времени между смежными прибытиями автосамосвалов на
пункт взвешивания можно приближенно описать экспо-
ненциальным распределением. Убедиться в справедливости
этого утверждения можно, сопоставив между собой эмпи-
рические и теоретические накопленные частоты, т. е. с по-
мощью критерия согласия Колмогорова. Действительно,
X* = max I Mt — MJ = 8,8 : 20 = 0,44;
вероятность согласия выборочного распределения с теоре-
тическим экспоненциальным Р (Xft) = Р (0,44) = 0,984.
Для установления характеристик и закона распределе-
ния процесса обслуживания заявок измерялись продолжи-
тельности прохождения автосамосвалами весовой платформы
(табл. 3.5). Числовые характеристики полученного рас-
пределения равны: среднее значение /в = 20,27 с; диспер-
118
сия D (Q = 92,9 с2;
среднее квадратиче-
ское отклонение
5 (/в) = 9,64 с.
По формуле (3.2)
определим порядок
закона распределения
Эрланга, которому
предположительно со-
ответствует данное
распределение
& = .(/B/S(/B))2 =
«= (20,27:9,64)2 =
= 4,42.
Округлив, примем
k = 4; следовательно,
продолжительность
прохождения автосамо-
свалами весовой плат-
сти прохождения автосамосвалом весовой
платформы:
/ — выборочное; 2 — теоретическое Эрланга
четвертого порядка
формы можно приближенно описать законом распределения
Эрланга четвертого порядка. Для сравнения в табл. 3.5
приведены теоретические частоты и накопленные теорети-
ческие частоты, соответствующие распределению Эрланга
четвертого порядка. Теоретические частоты определялись
по формуле
т
т} = hXmifi (t9\ = 4 • 400е~<в‘/<в А \ /
Сопоставив выборочное и теоретическое распределения,
отметим, что они хорошо согласуются (рис. 25); это под-
тверждает и сравнение распределений по критерию согла-
сия Колмогорова: Kk = 12,04 : 20 = 0,602; вероятность
согласия Р (kk) = Р (0,602) = 0,86.
Рассмотрим методику построения математической мо-
дели СМО при взвешивании автосамосвалов с учетом не-
экспоненциального распределения времени обслуживания.
Как уже отмечалось, аппроксимация некоторого распреде-
ления законом Эрланга позволяет перейти от немарковских
моделей к марковским. Поскольку порядок закона Эрланга
для прохождения автосамосвалами весовой платформы
в данном случае равен четырем, предположим, что процесс
взвешивания условно разбит на четыре фазы обслуживания
119
с экспоненциальным распределением времени обслуживания
в каждой фазе; при этом среднее время обслуживания в фазе
/об = 20,27 : 4 = 5,067, интенсивность обслуживания р «
= 1//об = 0,1973 с-1. Поток заявок на обслуживание (взве-
шивание) определяется данными табл. 3.4 и равен
А, = 1 : 4,24 = 0,23585 мин-1 = 0,00393 с-1.
Для построения графа состояний системы (рис. 26) вве-
дем следующие обозначения: So — в центре обслуживания
нет заявок; Sn,t / = 1, 4 — в центре обслуживания нахо-
дится п заявок, среди которых первая пребывает в i-й фазе
обслуживания.
Очевидно, что обслуживание следующей заявки не мо-
жет начаться, пока предыдущая не пройдет все фазы обслу-
живания; поэтому завершение обслуживания очередной
заявки на графе состояний системы изображено переходом
Snt4 — Sn-i.i. Для упрощения переходы-петли S/ti — SJti
на рисунке показаны только для двух состояний: So и
Sit4. Аналогичные петли предполагаются и для других
состояний, причем вероятности соответствующих переходов
всегда равны (1 — ХА/) (1 — рД/).
120
Пользуясь правилами построения системы уравнений
Колмогорова для графа состояний СМО, составим систему,
соответствующую данному графу:
;~М>О + ЦР1,4 =0,
---(^ + н) ^1,1 + hP0 + Р-^2,4 — 0,
— 4~ и)Л,2 -|- =0,
---(^ + И) Л.З + ,2 = О,
— 4" р) Р\ .4 И- цР 1,з = 0,
— 4" Н) ^2,1 4- ^Р 1,1 4~ \*>Рз,4 = 0,
---(Л, 4- Р-) ^2,2 4- ,2 4- Р-^2,1 = 0,
---(Л 4" ц) ^2,3 4- ^Р 1,3 4" Ц^2,2 = 0,
--- 4" н) Р2,4 4" ^Р 1,4 4" \^P2,3 ~ 0,
— 4- н) Pn,i 4- ^Рп-1.1 4- р^п+1,4 — 0,
— 4" н) Рп,2 4- ^Рп—1,? 4~ p,^n,i — О,
— (Л 4" Ц) Рп,3 4“ ^Ри—1,3 4- 1^Рп,2 — О,
— 4" М-) Рп,4 4- 1,4 4- Н^п,3 = О,
Для обеспечения определенности этой системы уравне-
ний к ней следует добавить условие нормировки вероят-
ностей
Л)+Е I Лм = 1.
П=1 '=1
Решить данную систему в общем виде достаточно трудно.
Поэтому в каждой конкретной ситуации можно пользовать-
ся методом последовательных приближений, решая задачу
на ЭВМ с последовательным увеличением числа учитывае-
мых состояний. Задачу можно считать решенной, если до-
бавление еще одного учтенного состояния практически не
изменит вероятностей начальных состояний, а вероятности
добавленных состояний будут пренебрежительно малы.
В рассматриваемом примере важным является тот
факт, что поток заявок на обслуживание значительно мень-
ше интенсивности обслуживания: Л/jn = 0,00393 : 0,1973 »
= 0,02. Это свидетельствует о том, что накопление в центре
обслуживания более двух-трех заявок маловероятно. По-
этому примем, что п = 3, и получим приближенное решение
системы уравнений. Для последующих расчетов обозначим
121
р ® Мр = 0,02. Выразим все вероятности состояний си-
стемы через вероятность Ро
/\1 = р(1 + р)3Л); ^1,2 = р(1 + р)2р0;
Л,з= р (1 +р)Л>; Л.4 = рР0;
/>2,1 = 1(1 + Р)7 Р - 4р2 (1 + Р)2 - Р (1 + Р)2] Ро;
Р2,2 = [(1 + Р)в Р - Зр2 (1 + Р) - Р (1 + Р)1 Р0>
Р2.3 = 1(1 + р)5 Р — 2р2 + р] Ро;
р2,4=[(1 + р)4р-р1Р0;
Рз,1=[(1 + р)11р-7р2(1+р)в-р(1+р)в4-
+ 5р3(1 +р) + 2р2(1 + р)|Р0;
Рз,2 = [(1 + Р)10 Р - 7р2 (1 + р)5 - р (1 + р)3 +
+ р2 (2 + р) + 2р3] Ро;
Рз.з = [(1 + р)9р-6р2(1 +р)4~Р(1 + р)4 + р2]Р0:
Рз.4 = 1(1 + Р)8 Р - 5р2 (1 + р)3 - р (1 + р)3] Ро.
Обозначим РпЛ = an,iP0. Вычисленные значения ко-
эффициентов an<i п — 1, 2, 3, i = 1, 2, 3, 4 при р — 0,02
приведены в табл. 3.6 (расчеты выполнялись с точностью
до шести цифр после запятой)? Из приведенных в таблице
значений апл получим
/ 34 \
/>0 1 + Е Е«п.,- =1; Ро(1 +0,088198)= 1;
\ п=1 Z=1 /
Ро = 1 :(1 + 0.088198) = 0,91895.
При известной вероятности Ро по данным табл. 3.6 мож-
но найти вероятности различных состояний системы
(табл. 3.7). Сумма вероятностей состояний по фазам Рп =
Таблица 3.6
п i 2
1 2 3 4
1 0,021224 0,020808 0,020400 0,020000 0,082432
2 0,000501 0,002099 0,001282 0,001649 0,005531
3 0,000048 0,000072 0,000055 0,000060 0,000235
2 0,021773 0,022979 0,021737 0,021709 0,088198
122
Таблица 3.7
п i рп
1 2 3 4
1 0,019504 0,019126 0,018746 0,018379 0,075755
2 0,000460 0,001929 0,001178 0,001515 0,005082
3 0,000044 0,000066 0,000051 0,000055 0,000216
4
= ~ Pni позволяет вычислить вероятность пребывания
системы в n-м состоянии независимо от того, в какой фазе
обработки находится заявка в канале обслуживания.
Из табл. 3.7 видно, что вероятности состояний резко
уменьшаются и уже при п — 3 вероятность Рп пренебрежи-
тельно мала. Характеристики системы массового обслужи-
вания (средняя длина очереди, ожидание в очереди и
др.) при известных вероятностях состояний системы опре-
деляются по общепринятой методике.
Глава 4. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
4.1. Основные понятия имитационного
моделирования
Как уже отмечалось, функционирование технологиче-
ского оборудования горных предприятий подчинено веро-
ятностным закономерностям. Например, установлено, что
производительность оборудования подчиняется нормально-
му закону распределения, продолжительность наработки
оборудования на отказ и продолжительность восстанов-
ления — экспоненциальному, количество транспортных
средств, прибывших на погрузку (разгрузку) за единицу
времени,— закону распределения Пуассона и т. д. Некото-
рые технологические процессы (например, погрузка и раз-
грузка транспортных емкостей) соответствуют законам рас-
пределения, которые трудно описать аналитически. Выбор
оптимальных параметров технологической схемы и харак-
теристик используемого оборудования (вариант техноло-
гической схемы, производительность оборудования, коли-
чество единиц оборудования, вместимость сопрягающих
емкостей и т. п.) должен производиться с учетом случайно-
го характера функционирования элементов схемы и взаи-
модействия их между собой. Аналитическому описанию,
123
например, с использованием аппарата теории массового
обслуживания поддаются только простейшие в структур-
ном отношении схемы. Поэтому имитационное моделирова-
ние является одним из наиболее универсальных методов
анализа и оптимизации схем и параметров технологическо-
го оборудования горного производства.
Моделирование сводится к имитации случайных момен-
тов времени совершения некоторых событий и случайных
значений параметров процессов с помощью числовой моде-
ли на ЭВМ; последовательности этих случайных моментов
времени и случайных значений параметров должны соот-
ветствовать установленным для них законам распределе-
ния. Поскольку при моделировании предполагается взаи-
модействие элементов системы между собой, то, производя
статистический анализ результатов моделирования (выход-
ных характеристик системы), можно установить оптималь-
ные параметры элементов системы либо структуру системы.
Например, горное предприятие имеет п установок (ма-
шин), потребляющих электроэнергию. Известны электри-
ческая мощность каждой установки IVt, i = 1, 2, ..., и, а
также законы распределения продолжительности их ра-
боты и простоя. Мощность электроподстанции, снабжаю-
щей электроэнергией предприятие, должна быть не больше
п
W = 4 Wi. Однако в реальных условиях все установки
i=i
одновременно не функционируют, поэтому мощность элект-
роподстанции может быть принята меньшей. Для определе-
ния ее значения можно смоделировать процессы включения
и выключения каждого элемента системы и вычислить, ка-
кая суммарная мощность при этом потреблялась. При мо-
делировании следует составить на ЭВМ временные диаграм-
мы работы установок, имитирующие случайный характер их
функционирования, причем продолжительность работы и
продолжительность простоя должны соответствовать задан-
ным законам распределения.
4.2. Датчики случайных чисел
Для моделирования случайных процессов на ЭВМ не-
обходимо получить последовательности случайных чисел,
подчиненных заданным законам распределения.
В ЭВМ случайные числа можно получить двумя способа-
ми: физическим и программным.
Физический способ основан на использовании генерато-
ров шума (выделение и усиление дробового эффекта в элек-
тровакуумных приборах; подсчет количества частиц, по-
124
павших в ионизационную камеру из источника радиоак-
тивного излучения и др.) Получаемые этим способом слу-
чайные числа называются чисто случайными, поскольку
повторно воспроизвести их последовательность невозможно.
Данный способ использовался в ЭВМ первых поколений.
В современных ЭВМ случайные числа получают про-
граммным способом с помощью специальных подпрограмм,
которые называются датчиками случайных чисел. Случай-
ные числа генерируются датчиком с помощью рекурсивной
процедуры: задается первое случайное число (входное),
по которому датчик определяет второе; при повторном об-
ращении к датчику второе число является входным и из
него по тому же алгоритму формируется третье и т. д. Для
получения, например, тысячи случайных чисел следует
тысячу раз обратиться к подпрограмме датчика, под-
ставляя каждый раз в качестве входного случайное число,
полученное на предыдущем этапе.
При программном способе получения случайных чисел
их последовательность может быть воспроизведена много-
кратно., если генерация начинается с одного и того же вход-
ного числа. По этой причине такие числа называются псев-
дослучайными.
Получая случайные числа с помощью программного дат-
чика, через некоторый период может быть сгенерировано
такое случайное число, которое раньше уже встречалось.
Очевидно, что все следующие за ним числа также будут
повторяться в той же последовательности. Пусть от начала
генерации до появления такого случайного числа было
получено п чисел. Эти числа различны и обладают стати-
стическими свойствами, близкими к статистическим свой-
ствам чисто случайных; в сгенерированной последователь-
ности они образуют так называемый участок апериодичнос-
ти длиной п. При решении задач методом имитационного
моделирования общее количество используемых случай-
ных чисел не должно превышать длины апериодичности.
Современные программные датчики позволяют получать
последовательности случайных чисел с длиной апериодич-
ности 1012 и более.
Случайные числа, подчиненные любому вероятностному
распределению, получают на основе использования слу-
чайных чисел, равномерно распределенных в интервале
[О, 1]. При этом последовательные значения чисел должны
быть некоррелированы между собой.
При имитационном моделировании применяют датчик
случайных чисел, алгоритм которого был предложен Д. Дэ-
125
висом (датчик Дэвиса). Он позволяет получить последова-
тельность равномерно распределенных случайных чисел
в интервале [0, 1].
Модуль-подпрограмма датчика Дэвиса ,
SUBROUTINE DS4 ((/1, 672, R)
R ==U\ +U2
U\ = U2
IF (R. GT А.) R=R — 4.
U2 = R
R = RA
RETURN
END
Формальный параметр подпрограммы R есть искомое
случайное число. В подпрограмме присутствуют два вспо-
могательных параметра U\ и 672, которые используются
для формирования случайного числа R и изменяются после
каждого исполнения подпрограммы. Начальные значения
им следует присвоить перед первым обращением к подпро-
грамме — U\ = 3,141596; U2 = 0,5421019.
Для получения случайных чисел, подчиненных различ-
ным законам распределения, можно применить метод ин-
версии, сущность которого заключается в ч следующем.
Пусть случайная величина х подчиняется закону распреде-
ления F (%). Функция F (х) разномерно распределена в
интервале [0, 11. Приравняем случайное значение F (х),
соответствующее имитируемой величине х, случайному
числу R, полученному с помощью датчика Дэвиса,
R=F(x). (4.1)
Решим уравнение (4.1) относительно х
X = F-1 (/?). (4.2)
Формула (4.2) определяет алгоритм получения случай-
ного числа х по его функции распределения методом ин-
версии.
Для иллюстрации метода рассмотрим получение слу-
чайных чисел Е, подчиненных экспоненциальному закону
с плотностью распределения f (Е) = где Л — пара-
метр распределения. Так, если £— экспоненциально рас-
пределенные интервалы времени между событиями, то
X — интенсивность процесса (число событий в единицу вре-
Е
мени). Функция распределения F (Е) — § ke-^dE = 1 —
— е~^Е. Подчеркнем, что если случайные числа R распре-
126
0 X] Х% Xj ^i-i %
Рис. 27. Получение случайных чисел х
по кумуляте функции распределения
делены равномерно в ин-
тервале [О, II, то числа
1 — также равномер-
но распределены в этом
интервале. В соответ-
ствии с методом инверсии
получим
1 — R = 1 — ё~кЕ,
откуда
Е - — 1п(7?)Д. (4.3)
Формула (4.3) опре-
деляет алгоритм полу-
чения экспоненциально
распределенных случайных чисел Е по равномерно распре-
деленным случайным числам R методом инверсии.
Для некоторых законов распределения (например, нор-
мального) функция распределения пе может быть задана
непосредственно вычисляемой аналитической формулой.
Многие технологические процессы также подчиняются за-
конам распределения, которые не поддаются точному ана-
литическому описанию. Однако в каждом из указанных
случаев функция распределения может быть протабули ко-
вана и задана кумулятивной кривой, которая при програм-
мировании датчика этой функции реализуется массивом
узловых точек. Получение случайных чисел х по кумуля-
тивной кривой с помощью рав-
номерно распределенных слу-
чайных чисел R показано на
рис. 27. Алгоритм вычисления
состоит из двух последователь-
но решаемых задач: определе-
ние интервала узловых точек,
в который попадает случайное
число /?; вычисление х методом
линейной интерполяции. Схема
алгоритма приведена на рис. 28.
/7 = х._х. Рис. 2^- Схема алго-
* ритма вычисления слу-
чайного числа х по ку-
муляте функции рас-
пределения
127
Блоки 1—3 решают первую задачу, блок 4 — вторую. Ис-
ходными данными являются массивы узловых точек куму-
ляты xv..xrt, F^.Fn и случайное число R. Величина h =
= х{ — — шаг интервала. Если шаг постоянный, то
необходимость в массиве х^.Хп отпадает, поскольку xk =»
= хг + (k — 1) /г, а если переменный, то в блоке 4 вместо h
следует поместить его выражение.
При многократном обращении к датчику Дэвиса полу-
чим последовательность случайных чисел Rh i = 1, 2, 3, ...,
равномерно распределенных в интервале [0, 1] с матема-
тическим ожиданием М (R) — 0,5. Дисперсия этих чисел
будет равна D (/?) = J (R — 0,5)2 dR = Для получе-
о
ния последовательности нормально распределенных слу-
чайных чисел воспользуемся центральной предельной теоре-
мой теории вероятностей, согласно которой сумма т слу-
чайных чисел является случайной величиной, асимптоти-
чески подчиняющейся нормальному закону распределения
при т -> оо. Практически достаточно принять т = 10...15.
т
Следовательно, z = Rt — случайная величина с М (z) =»
= m/2 и D (z) = m/12. Для получения нормально распре-
деленных случайных чисел х с математическим ожиданием
М (х) = 0 и дисперсией D (х) = 1 используем формулу
х= R‘~^Y <4-4)
Для упрощения вычислений можно принять т = 12,
тогда из выражения (4.4) получим
12
х = £ R( _ 6. (4.5)
Формула (4.5) определяет алгоритм, по которому при
имитационном моделировании получают нормально рас-
пределенные случайные числа.
Для получения нормально распределенных чисел х с
заданным математическим ожиданием М (х) =^= 0 и средним
квадратическим отклонением о (х) =# 1 используют формулу
/ 12 \
х == М (х) + о (х) I £ Rt — 6). (4.6)
\t=i /
Случайные числа, полученные по формуле (4.6), явля-
ются некоррелированными. Вместе с тем для моделирования
128
многих технологических показателей (качество полезного
ископаемого сложных участков блока; распределение гра-
нулометрического состава руды в смежных порциях,
поступающих из забоя; производительность питателя бун-
кера в смежные промежутки времени и др.) необходимо полу-
чить коррелированную последовательность случайных чи-
сел с коэффициентом корреляции двух смежных случайных
значений, равным г.
Коррелированные центрированные случайные числа
г//, подчиненные нормальному закону распределения с
Л4 (у) = 0 и с любым наперед заданным значением о (у)
при у0 = 0, получают по формуле
у, = г у 1-1 + а (у) Г1 — r2Xj, (4.7)
где х/ (/ = 1,2, ...) определяют по формуле (4.5).
Для получения случайных чисел у, с математическим
ожиданием М (у) =£ 0 к значениям yt добавляют величину
математического ожидания
у]=М(у) + У1 (/ = 0,1,2,...). (4.8)
Подпрограммы, реализующие описанные ранее алгорит-
мы получения случайных чисел, должны содержать обра-
щение к подпрограмме DS4. Поэтому в списках их формаль-
ных параметров должны содержаться вспомогательные
переменные U1 и t/2, значения которых передаются в под-
программу из вызывающего программного модуля. Воз-
можна также пересылка параметров U1 и U2 в подпрограм-
му с использованием аппарата общей области, причем об-
ласть, содержащая Ui и £72, должна быть общей как для
вызывающего модуля, так и для модулей-подпрограмм дат-
чиков случайных чисел.
4.3. Методика построения имитационной модели
Применение имитационного моделирования для исследо-
вания и анализа технологических процессов горного про-
изводства обусловлено стохастическим характером послед-
них. Имитационные модели могут быть построены для про-
изводственных процессов практически любой сложности,
протекающих в течение любого отрезка времени. При этом
продолжительность моделирования процесса на ЭВМ обыч-
но в сотни раз меньше длительности самого реального про-
цесса.
При построении такой модели следует иметь в виду, что
она должна характеризовать и имитировать самые суще-
5 529
129
Sr
Рис. 29. Транспортная система «кон-
вейер — бункер — конвейер»
ственные черты модели-
руемого процесса. По-
этому разработке схемы
алгоритма моделирова-
ния объекта должен
предшествовать логиче-
ский анализ его функ-
ционирования, на осно-
вании которого выделя-
ются основные и иск л ю-
чаются втооостепсн i ле
факторы. Затем составляется формализованное слов<сюе
описание функционирования объекта, в котором опреде-
ляются характеристики всех его звеньев и устанавливает-
ся логика их взаимодействия между собой. Это описание
должно сопровождаться гипотетической временной диа-
граммой работы звеньев объекта, в которой следует отра-
зить все возможные его состояния. На основании форма-
лизованного описания и временной диаграммы функцио-
нирования объекта составляется схема алгоритма моде-
лирования, в которой предусматривается как имитация
процесса с дискретным шагом времени, так и статистиче-
ская обработка результатов имитационного эксперимента.
Методику построения имитационной модели рассмот-
рим на примере моделирования транспортной системы,
содержащей два конвейера и бункер, обеспечивающий их
сопряжение (рис. 29). Первый конвейер транспортирует
уголь из очистного забоя, поэтому его функционирование
характеризуется интервалами времени работы tp и техно-
логических простоев /п, связанных с выполнением вспомо-
гательных технологических операций в лаве. Предположим,
что величины /р и tn — случайные, подчиненные экспонен-
циальному закону распределения с математическим ожи-
данием, равным соответственно /р и Средняя производи-
тельность первого конвейера равна второго — Q2 т/мин.
Бункер выполняет функцию сопрягающего устройства и
аккумулятора, обеспечивающего работу второго конвейера
при остановке первого за счет накопленных в нем запасов
горной массы. Таким образом, бункер осуществляет сгла-
живание углепотока во времени, преобразуя прерывистый
входной поток в непрерывный выходной.
В данной модели будем пренебрегать неравномерно-
стью грузопотока, обусловленной изменением производи-
тельности оборудования очистного забоя, поскольку от-
клонения производительности за 1 мин от среднего значе-
130
Рис. 30. Временная диаграмма работы транспортной системы
с перегрузочным бункером
ния в интервале времени непрерывной работы будут друг
друга взаимно компенсировать. Не будем также принимать
во внимание простои оборудования, обусловленные отказа-
ми; продолжительность восстановления значительно боль-
ше продолжительности технологических перерывов и для
их компенсации требуется аккумулирующий бункер намно-
го большей вместимости, чем для сопряжения двух звеньев.
Таким образом, в данной модели предполагается, что при
отказе одного из звеньев последовательной транспортной
цепочки вся система прекращает работу и до момента вос-
становления звена ее состояние не изменяется; по этой при-
чине имитация отказов и восстановлений в модели не
предусматривается.
Очевидно, что функционирование системы возможно
только при выполнении условия
(4-9)
'р "Г 41
Это означает, что для достаточно больших интерва-
лов времени выходной грузопоток бункера должен быть не
меньше входного. Аккумулирующие свойства бункера мо-
гут проявиться только в том случае, если Q2 с в про-
тивном случае всю поступающую в бункер горную массу
будут сразу же выгружать на выходной конвейер и бункер
будет выполнять только роль узла перегрузки.
Гипотетическая временная диаграмма работы транспорт’
ной системы приведена на рис. 30 с учетом соблюдения ус-
ловия
Из диаграммы видно, что в периоды работы первого кон-
вейера в бункере накапливается горная масса, поскольку
5*
131
ДА
---- бункер — конвейер»
Qi> Qs- Во время технологи-
ческих простоев лавы углепо-
ток в бункер не поступает и
происходит его разгрузка с
интенсивностью, определяе-
мой производительностью вто-
рого конвейера. Повременной
диаграмме можно вычислить
функцию распределения количества горной массы в бун-
кере. Если принять вместимость бункера равной получен-
ному в результате моделирования максимальному коли-
честву горной массы в нем, то можно предположить, что
работа очистного забоя из-за переполнения перегрузочного
бункера прерываться не будет. Таким образом, целью ими-
тационного моделирования транспортной системы явля-
ется установление закона распределения количества гор-
ной массы в бункере, позволяющего определить его оп-
тимальную вместимость.
133
Схема алгоритма моделирования транспортной системы
приведена на рис. 31. В блоке 1 перечислены исходные
данные, значения которых задаются перед началом моде-
лирования: ДУ — шаг интервала; V — количество горной
массы в бункере; tK — конечное время моделирования.
В блоке 2 формируются начальные значения переменных.
Блок 3 обнуляет массив частот распределения уровня
заполнения бункера по интервалам
О —ДИ, ДИ —2ДИ, ..., 18ДИ —19ДИ, 19ДИ — оо.
Блоком 4 производится обращение к датчику Дэвиса
для получения случайного числа R, подчиненного равно-
мерному закону распределения. Блоки 5—7 изменяют
состояние входного грузопотока на противоположное и фор-
мируют случайную продолжительность времени пребыва-
ния его в этом состоянии в соответствии с экспоненциаль-
ным законом распределения. Действия этих блоков
повторяются каждый раз, как только текущее время моде-
лирования t достигает момента времени переключения вход-
ного грузопотока если система была в состоянии техно-
логического простоя (рг = 0), то она переходит в состояние
работы (pr = 1); вычисляется интервал работы /р =
— — 7Р In (R) и определяется момент перехода системы в
противоположное состояние = tx + ^Р; если же система
была в состоянии работы (рг = 1), то происходит переход
в состояние технологического простоя и устанавливаются
его характеристики (блок 7).
В блоках 8—12 в зависимости от состояния системы
вычисляется текущее количество горной массы в бункере
к концу шага моделирования. Если очистной забой рабо-
тает (рг = 1), то учитывается как поступление грузопотока
в бункер, так и его разгрузка (блок 9). Если же на данном
шаге моделирования имеет место технологический простой,
то происходит только разгрузка бункера (блок 10); при
этом, как видно из рис. 30 (участок /п2), расчетное значение
количества горной массы в бункере может оказаться мень-
ше нуля, но его следует принять равным нулю (блоки
П, 12).
В блоках 13—17 определяется, в какой интервал по-
падает текущий уровень заполнения бункера на данном шаге
моделирования (соответствующая частота увеличивается
на единицу). Если количество горной массы в бункере пре-
вышает значение 19ДV, то увеличивается на единицу ча-
стота k2Q (блоки 16, 17). Таким образом, блоками 8—17
реализуется имитация работы системы на одном шаге
134
моделирования (продолжи-
тельностью 1 мин) и выпол-
няется статистический учет
результатов.
В блоке 18 текущее вре-
мя моделирования t увели-
чивается на единицу, после
чего сравнивается с конеч-
ным временем моделирова-
ния tK (блок 19). Если
tK, то моделирование еще
не завершено; происходит пе-
реход на блок 20, где текущее
Рис. 32. Функция распределе-
ния уровня заполнения бункера
время сравнивается с мо-
ментом времени изменения состояния входного грузопото-
ка /р при процесс моделирования продолжается без
изменения состояния входного грузопотока, а при t > 4
происходит переход на блок 4 и состояние системы изме-
няется на противоположное.
После завершения моделирования в блоках 21 и 22 вы-
числяются накопленные частоты распределения уровня
заполнения бункера ft-, i — 1,2, ..., 20, которые делением
на F20 (блок 23) преобразуются в накопленные частости.
Блок 24 реализует вывод на печать функции распределе-
ния уровней заполнения бункера.
Отметим, что если F20 — F^ > 0,05, то это косвенно сви-
детельствует о том, что максимальная вместимость бункера
должна быть значительно больше 20AV, следовательно,
шаг интервала А У надо увеличить в два раза и повторить мо-
делирование. Если же в результате моделирования получи-
ли более половины накопленных частостей равными едини-
це, то шаг интервала следует в два раза уменьшить.
Функции распределения, полученные при /р = 30 мин,
tn — 10 мин, Qi = 4 т/мин, приведены на рис. 32. Из
рисунка видно, что максимальная вместимость бункера
при Q2 = 3,25 т/мин составляет 65 т и уменьшается с уве-
личением производительности выходного конвейера.
4.4. Определение производительности
сборочного конвейера методом
имитационного моделирования
Рассмотрим порядок имитационного моделирования ра-
боты транспортной системы угольной шахты (рис. 33, а).
Уголь, поступающий из очистных забоев (1.1—1.5), по от-
каточным штрекам (2.1—2.5) доставляется конвейерами к
135
Рис. 33. Структурная схема транспортной системы и функ-
ции распределения грузопотоков
панельному уклону или бремсбергу <?, по которому затем
также конвейером транспортируется к коренному штреку.
Таким образом, конвейер в наклонной выработке выполня-
ет функции сборочного; он должен обеспечивать транспор-
тирование угля, поступающего одновременно из всех очист-
ных забоев.
Можно принять производительность сборочного конвейе-
ра равной суммарной максимальной производительности
всех очистных забоев. Однако в силу вероятностного харак-
тера функционирования оборудования очевидно, что такое
решение будет неэкономичным, поскольку вероятность од-
новременной работы всех забоев с максимальной произво-
дительностью чрезвычайно мала. Поэтому необходимо уста-
новить закон распределения одновременной суммарной
производительности всех очистных забоев, исходя из кото-
рого затем определить требуемую производительность кон-
вейера наклонной выработки.
За единичный интервал времени примем 1 мин. На
рис. 33, б и в приведены соответственно функция распределе-
ния минутной производительности очистного забоя и получен-
ная в результате моделирования функция распределения
136
сборочного конвейера. Из последней видно, что производи-
тельность конвейера наклонной выработки следует прини-
мать меньше суммарной максимальной производительности
очистных забоев.
При имитации работы транспортной системы должны
быть учтены следующие факторы: между производитель-
ностью в смежные интервалы времени имеется корреляцион-
ная связь с коэффициентом корреляции г = 0,6...0,8;
функционирование очистного забоя характеризуется интер-
валами работы и простоев, обусловленными технологиче-
скими причинами и внутрисменными отказами оборудова-
ния; законы распределения продолжительности работы
и прссгоев экспоненциальные с математическим ожиданием
/р и 7П соответственно.
В блоке 1 (рис. 34) описан ввод исходных данных. Функ-
ция распределения F (qi) также относится к исходным дан-
ным и может быть задана массивом узловых точек; в алго-
ритме предполагается, что этот массив описывается в про-
грамме с помощью блока данных и поэтому не изменяется
при переходе от одного варианта решения к другому. В бло-
ках 2 и 3 формируются начальные условия моделирования:
текущее время принимает значение первого шага; очист-
ные забои — в режиме работы; определяются моменты вре-
мени их переключения в противоположное состояние; про-
изводительность очистных забоев принимается равной ее
математическому ожиданию (эти значения нужны для вы-
числения случайной производительности с учетом ее
корреляции с производительностью на предыдущем шаге
моделирования). Блоки 4 и 5 позволяют вычислить значение
суммарного грузопотока, в который включаются только
те очистные забои, которые находятся в состоянии работы
(рг = 1): Q = ^qtpri. После запоминания результатов мо-
делирования на данном шаге (блок 6) происходит переход
к следующему шагу моделирования (блок 7) и сравнение
текущего времени t с продолжительностью моделирования
(блок S). Если t не достигло конечного значения, моделиро-
вание следует продолжить. В этом случае в блоке 9 момен-
ты переключения состояний сравниваются с текущим
временем, и те очистные забои, для которых момент пере-
ключения наступил, изменяют свое состояние на противо-
положное; одновременно вычисляется следующий момент
переключения состояния для данного забоя с учетом сред-
ней продолжительности работы 7Р или простоя tn. После
выполнения операции блоком 9 управление передается на
блок 4 и выполняется следующий шаг моделирования.
137
Рис. 34. Схема ал-
горитма моделиро-
вания транспортной
системы «очистные
забои — сборочный
конвейер»
Когда текущее время моделирования превысит конечное
значение /к, произойдет переход на блок 10 для статистиче-
ской обработки результатов моделирования и последующего
вывода их на печать (блок 11).
Отметим, что в соответствии со структурной схемой при
пяти очистных забоях максимальный грузопоток равен
5
Стах = Z ^imax = Ю т/мин. Однако с учетом вероятност-
i=»l
139
ных характеристик грузопотока, обусловленных как изме-
нением производительности очистных забоев, так и их
простоями из-за отказов оборудования и по технологичес-
ким причинам, установлено, что максимальный грузопоток
практически не превышает значения 7,5 т/мин (см. F
на рис. 33). Этот результат определяет требуемую произво-
дительность конвейера, устанавливаемого в панельном
уклоне или бремсберге.
4.5. Оценка точности результатов моделирования
При разработке имитационных моделей возникают труд-
ности методического характера, основными из которых яв-
ляются обеспечение адекватности модели изучаемому объек-
ту и определение продолжительности моделирования, по-
зволяющей получить статистические оценки с заданной
точностью и надежностью.
Адекватность в имитационной модели может быть обес-
печена использованием эмпирических функций распределе-
ния и учетом всех существенных связей элементов объекта
между собой и с внешней средой.
Теоретической основой для оценки необходимой про-
должительности моделирования и точности полученных
результатов является центральная предельная теорема
теории вероятностей. Пусть в результате имитационного
моделирования получено п реализаций случайной величи-
ны х (xn х2, ...» хп). Статистическими оценками случайной
величины являются выборочное среднее значение х =»
п п _
= У Х[/п и выборочная дисперсия S2 = У х\/п — х2.
~ 1
Пользуясь свойствами математического ожидания и диспер-
сии, получим
7И (х) = Л4Х; D (х) = Dx/n « S2/n.
Найдем такую величину ер, для которой
Р(|х — /Их|<е3) =₽,
(4.Ю)
где Р — доверительная вероятность, т. е. вероятность того,
что неравенство | х — Мх | < ер будет выполнено.
Согласно центральной предельной теореме закон распре-
деления х близок к нормальному. Из формулы (4.10) полу-
140
чим
ф (_ ф /____________________е.Р _ .)
\ V2D(x) ) \ V2D(x) )
(х-Мх)*
Р(|х —Л4х|<е₽) = f е~ dx~
V2nD(x)
eP
}f2D(x)
-^e-‘'dt =
у л
__eP
V 2D(x)
__ J_
“ 2
где Ф (z) = —l=r- f e~t2dt— протабулированная функция
У л n
Лапласа.
При выполнении указанного преобразования произве-
дена замена переменных t = (х — 2D (%).
Учитывая, что функция Лапласа нечетная, в результа-
те получим
Р(1х -Мх1< ер) = ф(-2^-) = ₽•
Из этого уравнения найдем количество реализаций и,
обеспечивающих заданную точность Ер с доверительной
вероятностью Р
П = 2|L[O-1(P)]2 = 2f-zg, (4.11)
ез ер
где zp — квантиль, соответствующий доверительной ве-
роятности р = Ф (Zp).
В практических расчетах доверительную вероятность р
принимают равной 0,8; 0,9; 0,95; 0,99, при этом квантиль
zp равен 0,9; 1,16; 1,4; 1,82 соответственно.
Рассмотренный способ оценки объема выборки спра-
ведлив только в том случае, если значения отдельных реали-
заций xh i = 1,2,..., и, статистически независимы. В ими-
тационных моделях систем массового обслуживания это
условие в большинстве случаев не соблюдается. Для объяс-
нения этого факта рассмотрим процесс имитации разомкну-
той одноканальной системы массового обслуживания
(рис. 35).z
141
Рис. 35. Фрагмент временной диаграммы функциони-
рования одноканальной разомкнутой системы массово-
го обслуживания:
а — поступление заявок на обслуживание; б — изменение
количества заявок в центре обслуживания; в — убытие об-
служенных заявок
Предположим, заявки на обслуживание поступают в
случайные моменты времени в соответствии с законом рас-
пределения Пуассона; для упрощения анализа временной
диаграммы примем, что продолжительность обслужива-
ния — постоянная величина.
Количество заявок в центре обслуживания изменяется
в случайные моменты времени с дискретным шагом Afe =
= 1. Если на шаге моделирования t количество заявок в
центре обслуживания равнялось kiy то на следующем шаге
моделирования t + 1 можно будет получить kt^\ = т,
где т g \kt> kt + 1, kt — 1}. Так, при kt = 2 можно полу-
чить равное 1, 2 или 3; значения kt+\ = 0 или =
= 4 на шаге I + 1 получить невозможно (предполагается,
что шаг моделирования выбран достаточно малым и требо-
вание ординарности выполняется). Обобщив результаты,
можно утверждать, что если в некоторой реализации полу-
чено малое значение исследуемого показателя то в бли-
жайших последующих реализациях значения ...
также будут малыми, и наоборот. Таким образом, выбороч-
ные значения xt и сильно коррелируют между собой
и не могут быть признаны статистически независимыми.
Эффективным методом преодоления трудности, обуслов-
ленной корреляционной связью между смежными реализа-
циями моделируемого процесса, является применение для
исследования систем массового обслуживания регенера-
тивного моделирования. Для выяснения сущности этого
метода также используем временную диаграмму (см.
142
рис. 35). Отметим, что перед поступлением шестой заявки
система находилась в том же состоянии, в котором она была
перед поступлением первой (центр обслуживания свободен).
Следовательно, начиная с момента времени поступления
шестой заявки, процесс развивается по определенному сце-
нарию, имеющему случайный характер и не зависящему
от того, как он развивался ранее. Это же утверждение спра-
ведливо и для всех последующих реализаций процесса, на-
чинающихся с поступления заявки в свободный центр
обслуживания.
Время моделирования, состоящее из периода занятости
центра обслуживания и следующего за ним периода отсут-
ствия заявок на обслуживании, назовем циклом. Способность
системы после нескольких реализаций процесса возвра-
щаться в исходное состояние назовем свойством самовос-
становления (регенерации). Доказано, что большинство
невырожденных моделей, имитирующих реальные системы
массового обслуживания, обладают этим свойством. Оче-
видно, что реализации процесса, принадлежащие различ-
ным циклам, между собой статистически независимы. Это
позволяет определить продолжительность моделирования,
приняв за основу не количество шагов моделирования (и
соответствующее ему количество реализаций процесса),
а количество циклов моделирования.
Для каждого цикла рассмотренной ранее модели можно
определить время ожидания всеми заявками начала обслу-
живания Тож и общее количество заявок в цикле /V. Так,
для первого цикла (см. рис. 35), приняв продолжитель-
ность обслуживания заявки равной единице времени, полу-
чим ^ОЖ1 == 0, /ож2 = 0,33, /ож3 ~ 1,05, /Ож4 1,17, /ож,
«= 0,5, Тож = Е Л>ж, = 3,05 единиц времени; W = 5. Мож-
но показать, что для времени пребывания одной заявки
в очереди справедливо выражение
М (t ) — М (?ож)
т ад - M(N) .
Реализации величин ТОж и N, получаемые в разных
циклах, являются статистически независимыми, поэтому
для них легко установить доверительные интервалы. Это
позволяет определить объем выборки для вычисления ис-
комой величины М (/ож) и оценить точность и надежность
полученного результата.
143
Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ПРОГНОЗА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ГОРНОГО
ПРОИЗВОДСТВА
5.1. Основные понятия
Планирование работы горного предприятия и управле-
ние его производственно-хозяйственной деятельностью свя-
заны с необходимостью прогнозировать на перспективу тех-
нико-экономические показатели горного производства. Оче-
видно, что научно обоснованный прогноз на планируемый
период производительности труда, себестоимости продук-
ции и объема ее реализации, производительности обору-
дования и других горно-технических и технико-эконо-
мических показателей позволяет эффективнее использовать
имеющиеся у горного предприятия ресурсы и принимать
реальные плановые решения. Применение вычислительной
техники для решения задач организационного управле-
ния горным предприятием позволяет получать прогнозную
информацию не только в регламентированные моменты
времени, но и в любой момент, когда в ней возникает необ-
ходимость.
Исходными данными для решения задач прогноза явля-
ются числовые последовательности, количественные значе-
ния которых отражают процесс изменения и развития ис-
следуемых показателей во времени. Такие числовые после-
довательности получили название временных рядов.
Временной ряд может служить основой для прогнози-
рования, если он описывает процесс, не содержащий ка-
чественных скачков. Например, если исследуется произ-
водительность труда рабочего очистного забоя по данным
временного ряда за десять лет и в этом периоде происходи-
ла замена устаревшего технологического оборудования но-
вым, более производительным, то использование данных,
предшествукэщих замене оборудования, приведет к невер-
ным результатам в прогнозе. Аналогично прогноз нельзя
распространить на будущие периоды, в которых будут иметь
место качественные изменения (применение новой техноло-
гии горных работ, замена оборудования, существенные из-
менения горно-геологических условий и т. д.).
В основе всех методов прогнозирования лежит идея
экстраполяции закономерностей развития процесса, сло-
жившихся к моменту выполнения прогноза, на будущий
период времени.
144
Временной ряд, описывающий изменение прогнозируе-
мого показателя, представим в виде
Уь Уа, ... , Vt, ... , VT, (5.1)
где Vt — значение показателя в период (момент) времени
t\ Т — число реализаций временного ряда.
Изменение показателя Vt во времени с некоторой погреш-
ностью можно выразить функцией
V? = Ж, а2, ... , am, Vt-i, Vt^ ... , /)» (5.2)
где VP — расчетное значение показателя; а2, ..., ат—
параметры функции; m — число параметров; k — глубина
предыстории.
Параметры функции (5.2) следует определять так, чтобы
сумма квадратов рассогласований между фактическими
Vt и расчетными V4 значениями показателей временного
ряда была минимальной (принцип метода наименьших
квадратов):
т
(Vt — V/p)2-*min. (5.3)
/ Значения параметров at, i = 1, 2, ..., /л, при которых
будет выполнено условие (5.3), найдем из системы урав-
нений
=0, i = 1,2, ... , m. (5.4)
Сущность экстраполяционного прогноза состоит в том,
что функция (5.2) используется при определении значений
исследуемого показателя для моментов времени t = Т +
+ т
У?Ч-т = f{a±a2, am, Ут+т-ь ... , Ут+т-fe, Т + т), (5.5)
где т — глубина прогноза.
Методы прогнозирования различают в основном по виду
функции (5.2). Очевидно, что вид функции, число ее пара-
метров и глубина предыстории определяют точность прогно-
за и предельное значение глубины прогноза. По возмож-
ной глубине прогнозы подразделяют на краткосрочные
(т 3), среднесрочные (т = 4...7) и долгосрочные (т > 7).
Рассмотрим методы, позволяющие выполнять кратко-
и среднесрочное прогнозирование.
145
5.2. Прогнозирование методом авторегрессии
Для прогноза показателя V с глубиной прогноза т мож-
но использовать прогнозирующую модель
= a(iTVr + «2TVt—1 + ••• + o^Vt—/г-bi, (5.6)
т= i, 2, ..., е.
В этой модели предполагается, что значение показателя
Vt в любой момент времени зависит от значений этого по-
к 1зателя в моменты времени t — т, t — т — 1,... Нетрудно
8 метить, что при таком построении прогнозирующей мо-
дели число ее параметров равно глубине предыстории.
Для определения значений параметров модели (5.6) рас-
считаем значения V? при t
V? = a^Vt—v + «2T)^r—т—i + • • • + т—н-ь
t = k -J- т , k 4~ т 4~ 1» • • • » T.
Условие (5.3) примет вид
т
D= S (yt-a^Vt_x----------------4T,V/_x_ft+02->min. (5.7)
t=k—T
Для обеспечения минимального значения суммы квад-
ратов отклонений прогнозируемых значений показателя от
известных фактических параметры прогнозирующей мо-
дели должны
соответствовать системе линейных уравнений
=0, ‘ = 1’2........k-
Учитывая
( т
формулу (5.7), получим
а™ £ 4-02° S 16-т16—r-i
+ a(k S 1Л-т16—т-н-1 =
/=*=Л+т
a iT) S t—х— 1V t—x 4- л 2Т)
t=k-i-X
+ S Vt-x— 1^/—T-fc+l — X
t^k-j-x /«=^4-т
S vt_xvt-,
/=/г-И
S l7/—Т—1 4“
/=£4-Т
(5.8)
146
#iT) S Vt-t-k+xVt—x + S +
/=/г-И /=£4-т
T T
+ ••• + a** S V?_T_^4-1 = x—k+\Vt-
/=*+т /=*?4-т
Решая систему уравнений (5.8) относительно неизвест-
ных a(iT), «2Т), •••» а™, найдем искомые параметры прогнози-
рующей модели (5.6). При этом предполагается, что зна-
чения параметров, позволяющие выполнять прогноз с
минимальной средней ошибкой для ретроспективы, обес-
печивают значения показателей на перспективу также с
минимальной средней ошибкой.
Отметим, что прогнозирующая модель (5.6) должна
быть получена отдельно для каждого значения т. Следова-
тельно, в общем случае прогноз методом авторегрессии сво-
дится к построению 0 моделей вида (5.6) и решению систем
уравнений (5.8) при т = 1, 2, ..., 0.
Метод авторегрессии используют при планировании по-
казателей для краткосрочных прогнозов.
Рассмотрим несколько простейших случаев прогноза ме-
тодом авторегрессии при глубине прогноза т = 1.
Прогноз по последнему значению показателя. Глубина
предыстории k = 1. Прогнозирующая модель представлена
выражением Vr-f-i = aVT-
Определим параметр а этой модели. Условию (5.7) для
рассматриваемого случая соответствует выражение
т
D = VJ (yt — aVf_i)2->min.
f=2
Системе уравнений (5.8) соответствует одно уравнение
(модель прогноза содержит один параметр)
a s VL, = s
t—2 t=2
Искомый параметр можно определить по формуле
а = £
^2 t=2
Очевидно, что прогноз по минимальной предыстории не
может обеспечить высокой точности результата, однако,
благодаря простому вычислению, его можно применять для
147
получения приближенных прогнозных оценок при доста-
точно «гладких» временных рядах *.
Прогноз по двум последним значениям показателей. Глу-
бина предыстории k = 2. Прогнозирующая модель представ-
лена выражением Kth-i = щУт +
Для вычисления параметров аг и а2 получим систему
уравнений
т т т
ах Е VLi + a, Е Vt-xVt-2 = S Vt-xVt-,
f=3 /=з M
T T T
аг X V/_2V/—i + a2 Xi Vt—? = X V/—гГ*.
t=-3 t—3 '=3
Решим эту систему уравнений, используя формулы Кра-
мера:
х ^1>ь-х
„ _ /=3 t=3 t=?. /=3
«1 7 т / т \ 2 »
Е <.Е ^_2- Е v,_2v,_,
f=3 f=3 \t=3 /
S vLi E ^-2^-S S v<-^
„ f=3 t=3 t=3 t=3
T T , T \ 2 •
E ^-.S ^-2- E ^-2^->
t=3 t=3 \t—3 J
Данная прогнозирующая модель позволяет получить
результаты с более высокой точностью, чем предыдущая.
Применять эту модель целесообразно, если установлена
корреляционная связь между значениями показателя Vt и
V/-i, Vt-2, а корреляционная связь Vt с Vz_3 и предше-
ствующими точками значительно слабее.
Пример. Временной ряд годового количества часов, отработанных
роторным экскаватором за 1984—1990 гг., приведен в табл. 5.1.
Выполним прогноз исследуемого показателя на 1991 г., используя
метод авторегрессии с глубиной предыстории k = 2.
По исходным данным определим коэффициенты системы уравнений
£ И2_!= 52,86; f V(_,V,_2 = 52,49;
r₽3 t=3
• Временной ряд, для которого среднее квадратическое отклонение
уровней относительно тренда не превышает 0,2 среднего квадратиче-
ского отклонения тренда от среднего значения.
148
7 7
S V,=1V< = 53,63; £ V?_2 = 52.21;
/=3 t=*3
7
£ vt-2vt = 53,32.
t=3
Составим систему уравнений относительно искомых параметров
прогнозирующей модели
(52,86а! + 52,49а2 = 53,63,
(52,49^ + 52,21а2 = 53,32.
Таблица 5,1
Год t Vp тыс. ч Год t V? тыс. w
1984 1 3,2 1988 5 3,4
1985 2 3,1 1989 6 3,3
1986 3 3,25 1990 7 3,35
1987 4 3,2
Решая эту систему уравнений относительно и а2, получим а± =*
-= 0,272; а2 = 0,748.
Прогнозирующая модель позволяет рассчитать прогнозное значение
количества часов, которые отработает роторный экскаватор в 1991 г»
V8 = 0,272V7 4- 0,748Ив = 3,38 тыс. ч.
При построении авторегрессионной модели важно пра-
вильно выбрать глубину предыстории. Для этого выполня-
ют прогноз на ретроспективу при глубине предыстории
k — 2, 3, 4, ..., после чего оценивают среднюю квадратиче-
скую ошибку прогноза для тех точек ретроспективы, пока-
затели которых прогнозировались при всех значениях глу-
бины предыстории. Пусть S; — средняя квадратическая
ошибка прогноза при глубине предыстории k = i. Если вы-
полняется соотношение 0,8 SJSt—x то глубину пре-
дыстории можно принять равной г, поскольку следует
ожидать, что ее дальнейшее увеличение не приведет к
повышению точности прогноза.
Существуют и более строгие способы оценки правиль-
ности выбора глубины предыстории прогнозирующей мо-
дели, например статистический критерий Манна-Вальда.
При решении задачи прогнозирования с использованием
ЭВМ возникает необходимость в матричном представлении
системы уравнений (5.8).
149
Обозначим
Заметим, что
S = РРТ =
t=k t=k t=k
T^vt^vt s'vb... s\-iV/-h-i
t—k t—k t—k
S v t—ч-i^S Vt-k+\Vt—\ X Vt—k+i
________t=k t=k t=k _
где PT — транспонированная матрица P.
Используя введенные обозначения, систему уравнений
(5.8) можно представить в виде
- PQ. (5.9)
Соответствие уравнения (5.9) системе (5.8) можно про-
верить непосредственной подстановкой.
При решении системы вычислим обратную матрицу
S-1 к матрице S
4=S"1PQ.
5.3. Прогнозирование методом
наименьших квадратов
Временной ряд, отражающий динамику развития неко-
торого показателя во времени, можно представить состоя-
щим из двух слагаемых
Vt + (5.Ю)
где Wt — детерминированная компонента (тренд); 6, —
случайная компонента.
150
Детерминированная компонента отражает общую тен-
денцию развития во времени исследуемого процесса; слу-
чайная компонента учитывает воздействие на процесс раз-
личных случайных факторов, вызывающих отклонение
уровней показателя временного ряда от тренда.
Таким образом, прогноз некоторого показателя по фак-
тическим значениям, представленным временным рядом
в ретроспективе, можно разбить на две стадии: прогноз
детерминированной составляющей процесса; прогноз слу-
чайной составляющей процесса. Отметим, что на практике
случайная составляющая процесса часто вносит небольшую
погрешность, поэтому в таких случаях достаточно выпол-
нить только прогноз тренда.
Сущность прогноза тренда состоит в следующем: опре-
деляют функциональный вид тренда; вычисляют методом
наименьших квадратов параметры функции, аппроксими-
рующей тренд; выполняют по уравнению тренда экстраполя-
цию на перспективу.
При прогнозе экономических показателей тренд наибо-
лее часто аппроксимируют полиномиальной и экспоненци-
альной функциями, аргументом которых является время t.
Полиномиальная функция в общем виде записывается
следующим образом:
= (5.11)
Z=1
Частными и наиболее распространенными случаями
полиномиальной функции являются полином первой степе-
ни (уравнение прямой) Wt = ах + a2t и полином второй
степени (уравнение параболы) Wt = ах + a2t + a3t2.
Экспоненциальная функция, применяемая для аппро-
ксимации временного ряда, в общем виде записывается так:
/П
£а/-1
^ = е'=' . (5.12)
Наиболее распространенным частным случаем экспо-
ненциальной функции является функция при т = 2
Wt = ea,+ai'.
Помимо перечисленных для аппроксимации временного
ряда могут применяться и некоторые другие функциональ-
ные зависимости. Например, если значения параметра
Vt изменяются по закону, близкому к геометрической про-
грессии, то уравнение тренда следует выражать показатель-
151
ной функцией
== П14; (5.13)
если связь между логарифмами V и t линейная, то для урав-
нения тренда используют степенную зависимость
(5.14)
Отметим, что формулы (5.11) — (5.14) являются част-
ными случаями формулы (5.5). Критерий метода наимень-
ших квадратов в соответствии с формулой (5.3) определя-
ется выражением
т
D = S (Vt — W,)2 -> min. (5.15)
/=1
Рассмотрим методику вычисления параметров уравнения
тренда. Для полиномиальной функции из формулы (5.15)
получим
Т / m \2
D = S И— S a/-1 — min.
/=1 \ t=l /
Значения параметров at, i = 1, 2, ..., m, при которых
D будет принимать минимальное значение, найдем из реше-
ния системы уравнений
«хТ + X + аз X + ’ • * + am Xi
t=\ /=1 fc=l
al X + a2 X + a3 X + ’ ’ ’ + atn X X У/Л
/=1 (=1 /=1 /=1 /«1
аЛ Г"1 +a2£ r + a3X +
/=i /=1 /=1
T T
. v j2tn~2 V h/
+ = Lt Vt-
(5.16)
Если уравнение тренда задается полиномом первой
степени (т = 2), то систему уравнений (5.16) можно запи-
сать так:
= S Vt,
М (5.17)
т т т ' '
fli X t + а2 s t2 = S tvt.
/el /жв1 /el
152
Аналогично из (5.16) получим систему уравнений для
тренда, заданного полиномом второй степени (т = 3),
( т т т
агТ + а2 S t + «з Е ? = Е Vt,
/=1 /=1 Г=1
«i S t + «2 Е ? + а3 £ t3 = S tvt,
Л=1 /=1 /=1 /=1
т т т т
а, Е t2 + а2 Е t3 + «з 2 t* = Е t2Vf
( r=l r=l t=A Z=1
(5.18)
Решить системы уравнений (5.17) и (5.18) нетрудно, на-
пример, по формулам Крамера. Однако в практике планиро-
вания приходится решать задачи большей размерности,
кроме того, для получения коэффициентов системы уравне-
ний необходимо выполнять большой объем вычислений.
Поэтому задачи, связанные с прогнозом целесообразно
решать с применением ЭВМ, из-за чего возникает необходи-
мость в матричном представлении системы уравнений
(5.16).
Обозначим
Очевидно, что
S = РРТ =
т
Е*
1=1
т
£ t2
/=1
т
£ /2
т
Ь=1
s /2т-2
153
Учитывая принятые обозначения, систему уравнений
(5.16) представим в виде = PQ, откуда следует искомое
решение:
A—S~'PQ. (5.19)
В качестве исходных данных используются вектор Q,
количество точек предыстории Т, число параметров т и
предельная глубина прогноза 0. После формирования мат-
риц Р и S решается система уравнений (5.19) и вычисляется
вектор А параметров модели. Прогноз заключается в вычис-
лении значений показателя Wt по формуле (5.11) при t =
= Т + 1, Т + 2, Т + 0.
Пример. Временной ряд добычи угля шахтой за 1984—1991 гг.
приведен в табл. 5.2.
Следует составить прогноз ожидаемой годовой добычи шахты на
1992—1994 гг. (/=9...11).
Тренд временного ряда может быть аппроксимирован параболой
Wt = а3 + а2/ 4" азР’
Коэффициенты прогнозирующей модели найдем из решения системы
уравнений (5.18), для которой Т = 8. Вычислим коэффициенты системы
уравнений
8 8 8 8
£ / = 36; У Р = 204; £ Z3 = 1296; £ /4 = 8772;
t=\ /=1 /=1
8 8 8
£ Vt = 7,02; V/V, = 32,51; £ PVt = 187,09.
/=1
Получена следующая система уравнений:
(8#1 4- 36а2 + 204аз — 7,02;
/36^ + 204а2 + 1296а3 = 32,51;
(204а! + 1296а2 + 8772а3 = 187,09.
Решим эту систему относительно искомых параметров аь а2, а3Г
ах = 0,7625; а2 = 0,0319; а3-=—0,00142.
Таблица 5.2
Год t Vр МЛН 7 Год / V*, млн т
1984 1 0,78 1988 5 0,91
1985 2 0,85 1989 6 0,90
1986 3 0,83 1990 7 0,93
1987 4 0,87 1991 8 0,95
154
Прогнозирующая модель имеет
вид
Wt = 0,7625 + 0,0319/ — 0,00112/2,
/ = Т + т.
Вычислим прогнозные значе-
ния годовой добычи шахты на
1992—1994 гг., т — 1, 2, 3.
Ц71992 = 0,9585;
Г1993 = 0,9695; №1994 = 0,9779.
Параболический тренд времен-
ного ряда и результаты прогноза
приведены на рис. 36.
При аппроксимации вре-
менного ряда функциями
(5.12) — (5.14) для определе-
ния их параметров применя-
ют метод наименьших квад-
ратов к логарифмам исход-
ных показателей.
Для экспоненциальной функции с двумя параметрами
их значения находят из решения системы уравнений
Рис. 36. Временной ряд добычи
угля шахтой и прогнозные зна-
чения, рассчитанные методом
наименьших квадратов:
1 — временной ряд; 2 — тренд;
3 — прот ноз
Т Т
aj + a^t = £ In(Wt),
/=1 /=1
(5.20)
«iS t-+ аЛ S/ln(rr).
Для тренда, выраженного показательной функцией,
параметры функции определяют из решения системы урав-
нений
ln(a1)T + ln(a2)S t = f In^),
Г=1 t=l
T T T
InfaO S t + In (a2) s t2 = 5] t In
t=i t=\ r=l
(5.21)
Эту систему уравнений решают относительно неизвест-
ных In (aj и In (а2); искомые параметры и а2 вычисляют
потенцированием.
Если уровень тренда задан степенной зависимостью
(5.14), то параметры функции определяют из следующей
155
системы уравнений:
ln(ai)T + aaS In (0 = £
T T T
ln(aj)S ln(Z) + a2S (ln(O)2= S In (t) In (Wt).
r=l r=1 /=1
Эту систему решают относительно неизвестных In (ах) и
а2\ значение аг вычисляют потенцированием.
При прогнозировании методом наименьших квадратов
важное значение имеет правильный выбор функциональной
зависимости для тренда, сглаживающего временной ряд.
Во многих случаях вид уравнения тренда определяется физи-
ческим или экономическим содержанием процесса, описы-
ваемого исследуемым временным рядом. Например, по мере
освоения нового технологического оборудования произ-
водительность труда горнорабочего возрастает до некото-
рого предельного значения, определяемого возможностями
оборудования и горно-геологическими условиями; очевидно,
что в этом случае наиболее подходящей для тренда функцио-
нальной зависимостью должна быть экспоненциальная.
Если вид функции, описывающей тренд, заранее неиз-
вестен, то его подбор производится эмпирически. Для
этого тренд задается различными функциональными зави-
симостями, которые сравниваются между собой по величине
средней квадратической ошибки аппроксимации
(5.23)
Для описания тренда принимается функция, для кото-
рой средняя квадратическая ошибка сглаживания времен-
ного ряда трендом минимальна.
Необходимо отметить, что прогноз методом наименьших
квадратов, позволяющий определять значения показателя
на перспективу на основе выявления тенденций развития
временного ряда, относится к краткосрочным и дает хоро-
шие результаты лишь для достаточно «гладких» рядов.
5.4. Прогнозирование методом
наименьших квадратов с весами
При прогнозировании методом наименьших квадратов
все точки исходного временного ряда считаются равноцен-
ными как источники информации о динамике развития про*
156
цесса во времени. Такой подход не всегда правомочен,
поскольку последние точки временного ряда в большей сте-
пени определяют будущее процесса, чем удаленные в прош-
лое. Учет этого обстоятельства приводит к модификации
метода наименьших квадратов, в которой каждая точка
берется со своим весом, уменьшающимся по мере удаления
в ретроспективу. Такой модифицированный метод получил
название метода наименьших квадратов с весами.
Каждой точке временного ряда присвоим некоторый
вес Pt, Pi = 1, P/_i < Pt. Вес может быть задан числен-
ным значением. Обычно его принимают в виде некоторой
функциональной зависимости. Типичными для весовых
функций являются экспоненциальная и показательная за-
висимости.
Экспоненциальная весовая функция
Pt = е-а(Г_/), (5.24)
где а — постоянный коэффициент (параметр весовой функ-
ции).
Показательная весовая функция
Pt = (5.25)
где Р < 1 — постоянный коэффициент (параметр весовой
функции).
Из формул (5.24) и (5.25) видно, что с увеличением t вес
возрастает, причем Рт — 1.
Условие метода наименьших квадратов (см. формулу
6.15) с учетом весовой функции имеет вид
7
D = V pt (V, — Wt)2 -> min. (5.26)
/=1
Для тренда временного ряда, заданного полиномиальной
функцией, получим следующую систему уравнений отно-
сительно искомых параметров тренда:
«1 S Pt + а2 S Pft + а3 v p(t2 + •.. 4-
£=1 /=1
+ am S ЛГ'1 = £ PNt,
/=1 f=l
т т
<h S Ptt + а2 S Ptt2 + a3Ptt3 + • • • +
fc=l Z=1
' + am S Pttm = S PtWt, (5.27)
r=l (=1
157
S + a2 S Pytm + a3 S Ptr+i + • •. +
/=>=1 f=l * /=1
/=! f=l
Легко заметить, что при Pt = 1 система уравнений
(5.27) совпадает с системой (5.16). Таким образом, рас-
смотренный ранее метод наименьших квадратов является
частным случаем метода наименьших квадратов с весами.
При прогнозировании по точкам временного ряда с ве-
сами важно правильно выбрать параметр весовой функции.
Процедуру определения численного значения этого пара-
метра называют обучением прогнозирующей модели.
Сущность обучения прогнозирующей модели состоит в
следующем:
при различных значениях параметра весовой функции
из решения системы уравнений (5.27) получают уравнения
тренда для Т = Т — m — 1 точек временного ряда;
по уравнениям тренда производят прогноз показателей
временного ряда для точек t = Т + 1, Т + 2, Т;
оценивают погрешность ретроспективного прогноза при
каждом значении параметра весовой функции по формуле
/“ т
(5.28)
где Pt — инвертированная на перспективу весовая функция
(например, инвертированная весовая функция имеет вид
Pt = Р'"7'"1);
из множества значений параметра весовой функции выби-
рают такое, при котором погрешность ретроспективного
прогноза Хпогр минимальна.
Пример. Годовое количество часов простоя комплексно механизиро-
ванной лавы из-за поломок оборудования в 1985—1991 гг. приведено в
табл. 5.3.
Необходимо составить прогноз ожидаемого годового простоя
лавы из-за указанных поломок на 1992—1993 гг. Для прогноза исполь-
зуем метод наименьших квадратов с весами; весовая функция — показа-
тельная. Примем линейную прогнозирующую модель
щ 4“ > / = 7 4~ »
158
Таблица 5.3
Год t Vр ч/год Год t ч/год
1985 1 790 1989 5 740
1986 2 860 1990 6 780
1987 3 870 1991 7 720
1988 4 760
Для определения параметров прогнозирующей модели составим
систему уравнений
| 7 7 7
S = S Р^<
/=1 /=1 t=l
7 7 7
aiS Л/ + а2^ р>^ = ^ pt^t,
t=\ t=\ /4-1
где Pf = Р7_?.
Систему уравнений (5.29) можно решить при известном значении
параметра весовой функции р. Для его определения произведем обуче-
ние прогнозирующей модели при Т' — Т — tn — 1 = 4. Система урав-
нений для обучения модели следующая:
а, у; Pt + а2 Y Ptt = £ PtVt,
t=] /=1 t=l
{ (5.50)
I 4 44
h £ ы + ъ S ptp = Y p‘iVt>
( t=\ t=\ t=\
VJ& Pt = P4~z.
Принимаем p = 0,4; 0,5, 0,9; 1,0. При каждом значении P
составляем и решаем систему уравнений (5.30) и производим ретроспек-
тивный прогноз для известных точек временного ряда t = 5, 6, 7. Так,
при р = 0,7 получим
Г2,533а1 4- 7,423а2 = 2061,37;
17,423а1 4- 24,603а2 = 5980,77.
Решая систему уравнений относительно параметров ах и а2, находим
а± — 875,5; а2 = —21,06.
По уравнению = 875,5 — 21,06 (Т' 4~ т) производим прогноз
на ретроспективу
= 770,2; U76 = 749,14; W7 = 728,08.
* По формуле (5.28) оценим погрешность прогноза при Рб = 1, Рв =
» 0,7, Р7 = 0,49
sv- / 812 '+8и'9,У + И'3 -°'49 = 27,!2.
159
Рис. 37. Зависимость погрешности
ретроспективного прогноза от зна-
чения параметра весовой функции 0
Рис. 38. Временной ряд простоя лавы
1 — временной ряд; 2 — ретроспективный
ноз
и результаты прогноза:
прогноз; 3 — перспективный прог*
Аналогичные расчеты производим при всех принятых значениях
параметров весовой функции. Результаты обучения модели приведены
на рис. 37. Из рисунка видно, что минимальная погрешность получена
при 0 — 0,8; следовательно, прогноз на перспективу надо выполнить а
этим значением параметра.
В соответствии с системой уравнений (5.29) имеем
3,96ах+ 19,23а2 = 3058,7,
19,23^ + 107,39а2 = 14575,8.
Решая эту систему уравнений относительно параметров и а29
получим аг = 868,6; а2 = —19,8.
Прогнозирующая модель
= 868,6 — 19,8(7 + т), т = 1, 2.
Выполнив несложные расчеты, получим прогнозные значения про-
стоя лавы UZ8 — 710 ч, UZ9 = 690 ч.
Результаты прогноза на 1992—1993 гг. приведены на рис. 38. На
этом же рисунке показаны результаты ретроспективного прогноза при
обучении прогнозирующей модели.
Рассмотрим матричное представление системы уравне-
ний (5.27), применяемое при прогнозировании показателей
горного производства с использованием ЭВМ. Отметим,
что структура матриц взаимосвязана с типом используемой
весовой функции. Ниже приводится матричная запись
системы уравнений для случая показательной весовой функ-
ции.
160
Обозначим
V1 р:
рг-‘ рг-22
= рг_| рг-222
T—t
рг-з
рг-3з
рГ-332
• • ₽(Т-1)
.. Р(Т— 1)’
T
T*
... р(7’_1)"*-1
т—1 рТ——^3^—1
Заметим, что S является матрицей коэффициентов систе-
мы уравнений (5.27).
Следовательно, эту систему уравнений в матричном виде
можно представить так:
= PR. (5.31)
Из этого уравнения следует решение системы (5.27) отно-
сительно вектора параметров прогнозирующей модели.
В качестве исходных данных используются вектор вре-
менного ряда R, параметр весовой функции р, количество
6 529 161
точек предыстории Т, число параметров m полиномиальной
прогнозирующей модели и предельная глубина прогноза 0.
После формирования матриц Р, Q и S решается система
уравнений (5.31) и вычисляется вектор А параметров про-
гнозирующей модели.
Метод наименьших квадратов с весами, как и предыду-
щий метод, используют для краткосрочных прогнозов де-
терминированной составляющей временного ряда.
5.5. Прогнозирование методом
экспоненциального сглаживания
Метод экспоненциального сглаживания является одним
из наиболее эффективных методов при выполнении кратко-
и среднесрочных прогнозов. Сущность метода состоит
в сглаживании временного ряда с помощью взвешенной
скользящей средней, в которой весовая функция показа-
телей временного ряда является экспоненциальной, убываю-
щей в ретроспективу. Экспоненциальное взвешивание пока-
зателей позволяет при вычислении скользящей средней луч-
ше учесть тенденцию развития процесса, сложившуюся к
моменту последнего наблюдения.
Метод экспоненциального сглаживания по имени авто-
ра называют также методом Р. Г. Брауна.
Прогноз значений временного ряда в моменты времени
Т + т (т = 1,2, ..., 0) может быть получен с помощью раз-
ложения тренда Wt+% в ряд Тейлора
№г+т = а, + а2т + -f-т2 + ••• + т'п~1, (5.32)
где а. = WT, а2 = Wt1, а3 = W?\ .. , ап = W? -
k-я производная функции тренда в момент Т.
В отличие от метода наименьших квадратов параметры
полинома (5.32) определяют через экспоненциально сгла-
женные скользящие средние. Основанием для этого явля-
ется доказанная Брауном теорема о том, что любая k-я
производная Wr} может быть выражена через линейную
комбинацию экспоненциальных средних до /л-го порядка.
Скользящие средние экспоненциально взвешенных пока-
зателей временного ряда называются экспоненциальными
средними первого порядка. Для их определения использу-
ется такая рекуррентная формула:
= aVt 4- (1 — a) S&, = Vlt (5.33)
где а — параметр сглаживания (0 < а <_ 1).
162
Выполняя экспоненциальное сглаживание экспоненци-
альных средних первого порядка, получим экспоненциаль-
ные средние второго порядка
Sj2) = aSj1) + (l-a)5(/22.1, Si2) = V,. (5.34)
Аналогично экспоненциальные средние fe-ro порядка
получим экспоненциальным сглаживанием средних k— 1-го
порядка
ST = aS(*-l) + (1 — a) S(&, Sf’ = Vv (5.35)
В технико-экономическом прогнозировании наибольшее
применение нашли линейные и квадратичные прогнозирую-
щие модели.
Для линейной прогнозирующей модели Wt+x = + а2т
параметры аг и а2 выражают через экспоненциальные сред-
ние первого и второго порядка
аг = 2S(t} — S?; (5.36)
fl2 = 14T(S^-S?)). (5.37)
Таким образом, алгоритм прогнозирования методом эк-
споненциального сглаживания с линейной прогнозирующей
моделью состоит в следующем:
1) принять Sih = Vi, S(i2) = Vf,
2) принять t = 2;
3) вычислить 5(гП и S(2) по формулам (5.33) и (5.34)
соответственно;
4) увеличить t на единицу;
5) если t Т, то перейти к п. 3, в противном случае —
к п. 6;
6) вычислить параметры прогнозирующей модели аг и а2
по формулам (5.36) и (5.37) соответственно;
7) рассчитать прогнозные значения показателей времен-
ного ряда по формуле Wt+x = ах + а2т, т = 1,2, ..., 0.
Отметим, что при решении этой задачи на ЭВМ можно ис-
пользовать также расчетные формулы, позволяющие вычис-
лить непосредственно и S(2) через показатели временно-
го ряда, не запоминая промежуточных значений экспонен-
циальных средних. Действительно, применяя формулу
(5.33) последовательно для Т точек, получим
Sp=aK2 + (l-a)V1;
= ay3 + (1 — a) = ay3 + a (1 - a) V2 + (1 - a)2 V,;
6*
163
Sp = aVt + (1 -a)SP.t = aVt + a(l -a)Vt-, + • • • 4-
+ (1 -a/"' V,.
Таким образом,
т
SP=a£ (1—af-'Vf + fl—(5.38)
(=2
Аналогично путем последовательного применения фор-
мулы (5.34) для экспоненциальной средней второго порядка
получим
Sp=af (l-a)r-'(T-/+!))/,+
t—2
+ (l-a)r-‘[l +(T-l)a]V1. (5.39)
Для квадратичной прогнозирующей модели =
«=^4- а2т + "2“t2 параметры а19 а2, а3 выражают через
экспоненциальные средние первого, второго и третьего
порядка
ах = 3 (SP — SP) + Sp; (5.40)
= -уЛлт К6 ~ 5a) SP - (10 -8a) Sp + (4 - 3a) Sp];
(5.41)
a, = ла\+ ~ 2S® + SPb (5-42)
Алгоритм прогнозирования методом экспоненциального
сглаживания с квадратичной прогнозирующей моделью
состоит в следующем:
1) принять Sp = Vj; Sp = V\; Sp = Vi;
2) принять t — 2;
3) вычислить Sp по формуле (5.33), Sp и Sp по форму-
ле (5.35);
4) увеличить t на единицу;
5) если t Т, то перейти к п. 3, в противном случае —
к п. 6;
6) вычислить параметры прогнозирующей модели аи а2 и
Оз по формулам (5.40), (5.41) и (5.42) соответственно;
7) рассчитать прогнозные значения показателей времен-
ного ряда по формуле
U7r+x3= + +Ojt + ^-t2, т = 1, 2, ... , 0.
164
Таблица 5.4
Год vr p. Год t P.
1982 1 23,2 1987 6 20,5
1983 2 22,8 1988 7 20,3
1984 3 20,9 1989 8 19,7
1985 4 21,4 1990 9 19,2
1986 5 21,2 1991 10 19,6
Пример. Временной ряд себестоимости добычи 1 т угля на шахте за
1982—1991 гг. приведен в табл. 5.4.
Следует составить прогноз себестоимости добычи 1 т угля на 1992—
1994 гг. методом экспоненциального сглаживания.
Для прогноза используем линейную прогнозирующую модель. По
рекуррентным формулам (5.33) и (5.34) вычислим экспоненциальные
средние первого и второго порядка, приняв а = 0,6,
Sp = 23,2;
SS,1* = 0,6 • 22,8 + 0,4 • 23,2 = 22,96;
= 0,6 • 20,9 + 0,4 • 22,96 = 21,72;
S® = 0,6 -21,4+ 0,4 • 21,72 = 21,53;
S^ = 0,6- 21,2 +0,4-21,53 = 21,53;
= 0,6 • 20,5 + 0,4 • 21,33 = 20,83;
S® = 0,6 • 20,3 + 0,4 - 20,83 = 20,51;
$0’ = 0,6 • 19,7 + 0,4 - 20,51 = 20,02;
SO) = 0,6 • 19,2 + 0,4 - 20,02 = 19,53;
Sj'j = 0,6 • 19,6 + 0,4 - 19,53 = 19,57;
S<* = 23,2;
S%> = 0,6 • 22,96 + 0,4 • 23,2 = 23,06;
S® = 0,6 • 21,72 + 0,4 • 23,06 = 22,25}
5® = 0,6 • 21,53 + 0,4 • 22,25 = 21,82;
S® = 0,6- 21,33 + 0,4 • 21,82 = 21,53;
S,® = 0,6 • 20,83 + 0,4 • 21,53 = 21,11;
£® = 0,6 • 20,51 + 0,4 • 21,11 = 20,75;
165
Рис. 39. Временной ряд себестоимости до-
бычи 1 т угля и прогнозные значения се-
бестоимости:
1 — временной ряд; 2 — экспоненциальные
средние; 3 — прогноз
Рассчитаем прогноз на:
S<2> = 0,6 • 20,02 +
+ 0,4 • 20,75 = 20,31;
=0,6 • 19,53 +
+ 0,4 • 20,31 = 19,84;
S® = 0,6 • 19,57 +
+ 0,4 • 19,84 = 19,68.
Определим параметры
прогнозирующей модели
ах = 2 • 19,57 - 19,68 =
= 19,46;
0,6
X (19,57— 19,68) =
= —0,165.
Таким образом, урав-
нение прогнозирующей
модели имеет вид WT^_X =
= 19,46 —0,165т, т = 1,
2, 3.
1992 г.— = 19,46 — 0,165 = 19,295 р.;
1993 г.— П?12 = 19,46 — 2 • 0,165= 19,13 р.;
1994 г.— П713 = 19,46 -3-0,165 = 18,965 р.
Исходный временной ряд, экспоненциальные средние и а
также результаты прогноза себестоимости добычи 1 т угля на шахте
на перспективный период 1992—1994 гг. приведены на рис. 39.
Подчеркнем, что метод экспоненциального сглаживания,
как и метод наименьших квадратов, позволяет прогнозиро-
вать тренд временного ряда. Как было показано в разделе
5.3, помимо детерминированной компоненты ряд содержит
случайную компоненту, учитывающую воздействие различ-
ных случайных факторов и вызывающую случайные от-
клонения от тренда со средним квадратическим отклоне-
нием о0. Очевидно, что случайная компонента временного
ряда будет вносить ошибку в прогноз тренда.
Ошибка прогноза при использовании линейной прогно-
зирующей модели определяется по формуле
К (2 —«)з [1 + 4(1 -а) + 5(1 -а)2 +
+ 2а (4 — За) т + 2а2т2].
166
Для квадратичной прогнозирующей модели оценка
ошибки прогноза определяется следующим образом:
о0 У2а + За2 + За3т2.
Из приведенных формул видно, что с увеличением глу-
бины прогноза т его ошибка возрастает. Существенное влия-
ние на ошибку прогноза оказывает также параметр сглажи-
вания а. Очевидно, что при разных значениях параметра а
результаты прогноза также будут различными. Если а
близок к единице, то весовая функция убывает быстро и на
результаты прогноза влияют в основном последние показа-
тели временного ряда; если же а близок к нулю, то функция
убывает медленно и при прогнозе учитываются все эле-
менты временного ряда.
Оптимальное значение параметра а можно выбрать на
основании следующей эмпирической процедуры: временной
ряд делится на две части; по первой части ряда при различ-
ных значениях а получают прогнозирующую модель и выпол-
няют ретроспективный прогноз второй части ряда; выбира-
ют такое значение а, при котором ошибка ретроспективного
прогноза (дисперсия фактических значений относительно
прогнозных) будет минимальной.
Пример. Временной ряд годовой производительности марганцево-
рудного карьера за 1983—1991 гг. приведен в табл. 5.5.
Необходимо составить прогноз годовой производительности карьера
на 1992—1994 гг. методом экспоненциального сглаживания.
Тренд данного временного ряда хорошо описывается линейной
моделью Wt = 1,218 4- 0,0255/.
Среднее квадратическое отклонение показателей временного ряда
от тренда ______________
а0= >=' г_,------= 0,0386.
Определим параметр сглаживания а путем обучения модели. Для
этого выполним ретроспективный прогноз на 1989—1991 гг. при разных
значениях а и оценим ошибку прогноза.
Таблица 5.5
Год t Vp млн т Год t Vp млн т
1983 1 1,25 1988 6 1,44
1984 2 1,22 1989 7 1,38
1985 3 1,28 1990 8 1,41
1986 4 1,34 1991 9 1,43
1987 5 1,36
1G7
Рис. 40. Зависимость погреш-
ности ретроспективного про-
гноза годовой производитель-
ности марганцеворудного
карьера от параметра сглажи-
вания
Рис. 41. Динамика производительности карьера:
1 — временной ряд; 2 — прогноз; 3 — доверительные интервалы прогноза
Из полученной при обучении модели зависимости (рис. 40) видно,
что оптимальное значение параметра сглаживания равно 0,24. С этим
значением а выполним прогноз годовой производительности методом
экспоненциального сглаживания с линейной прогнозирующей моделью.
Опуская промежуточные вычисления, получим = 1,3751; =э
« 1,325.
Параметры прогнозирующей модели
о, = 2S(gl> — Sj? - 1,425; аг = (S%> — Sjj2*) = 0,0158.
Прогноз годовой производительности карьера получим по линейной
прогнозирующей модели = 1,425 + 0,0158т:
на 1992 г. — Н710= 1,441 млн т;
на 1993 г. — = 1,457 млн т;
на 1994 г. — = 1,472 млн т.
Оценим ошибку прогноза соответственно
0^7 == 0,0238;
= 0,0263;
<jw„ =з 0,0289.
Временной ряд годовой производительности марганцеворудного
карьера, прогноз производительности на 1992—1994 гг., а также довери-
тельные интервалы для прогнозируемых значений изображены на
рис. 41.
168
5.6. Прогнозирование случайной
составляющей временного ряда
Как уже отмечалось, на значение показателя временного
ряда кроме главных факторов, определяющих его тренд,
влияют различные случайные факторы, вызывающие от-
клонения уровней показателя от тренда. Эти случайные от-
клонения образуют случайную составляющую временного
ряда 6,.
Рассмотренные методы прогнозирования (наименьших
квадратов, наименьших квадратов с весами, экспоненциаль-
ного сглаживания) позволяют прогнозировать детерминиро-
ванную составляющую процесса. В этом случае можно вы-
делить случайную составляющую процесса и применить к
ней соответствующие методы прогноза. Прогнозное зна-
чение показателя временного ряда определяется суммой де-
терминированной и случайной составляющих
И?+т = + 6?+т, (5.43)
где 1/?+т — прогнозное значение показателя временного
ряда; Wt+t — прогноз детерминированной составляющей;
6т4-т — прогноз случайной составляющей для момента
времени Т + т.
Для прогноза случайной составляющей временного ряда
чаще всего применяют метод авторегрессии (см. раздел 5.2).
В отличие от прогноза этим методом показателей вре-
менного ряда при прогнозе случайной составляющей про-
гнозирующая модель записывается в виде
+ а2&т-\х—2 + • • • + (5.44)
т = 1, 2, ... , 0.
В этой модели предполагается, что значение случай-
ной составляющей показателя 6? зависит от значений слу-
чайной составляющей в моменты времени t — 1, t — 2,
t — k.
В соответствии с принципом метода наименьших квадра-
тов параметры прогнозирующей модели аъ а2, ..., ak должны
соответствовать критерию
г
D £ (6, — — a28t-.2 — • • • — ak8t-k)2 -> min.
169
Из этого критерия следует система уравнений
т т т
а1 X 6/— 1 + а2 X 6/—16/—2 + ’ * * + ak X б/—16/—Л =*
/«*4-1 /=*4-1 /=*4-1
Т
Т т т
а1 Xi 6/—26/—1 + а2 X 6/—2 + * ’ * + Я* X 6/_26/—в
/=*4-1 /=*4-1 /=*4-1
= S б,_2б„
/=*4-1
т т т
ai £ б/—*6/—1 + ^2 X 6/_k^t—2 +••’+<% X 6/—k я
/=*4-1 /=*4-1 /=*4-1
= I 6/^6/.
/=*4-1
Решив эту систему уравнений относительно искомых
неизвестных а1У а2, ..., aki определим параметры прогнози-
рующей модели (5.44).
Пример. Используем данные примера, приведенного на с. 154. Для
временного ряда годовой добычи угля шахтой (см. табл. 5.2) было полу-
чено уравнение параболического тренда Wt = 0,7625 + 0,0319/—
— 0,00112/2. Отклонения от тренда указаны в табл. 5.6.
Получим прогноз случайной составляющей временного ряда на
1992—1994 гг., используя метод авторегрессии с глубиной предыстории
k = 2 (методика определения глубины предыстории при прогнозирова-
нии случайной составляющей временного ряда аналогична приведенной
в разделе 5.2).
Систему уравнений (5.45) запишем так:
8 8
ai X ^/—i "I- °2 X ~ X 1^/>
/=3 /=3 /=3
8 8 8
ai X 6/4.26/—1 + а2 X б/_2 ~ X б/_2б/.
( /=3 /=3 /=3
Таблица 5.6
Год / 6^, млн т Год t dj, млн т
1984 1 0,0133 1988 5 —0,0160
1985 2 —0,0282 1989 6 0,0136
1986 3 0,0181 1990 7 0,0009
1987 4 0,0022 1991 8 —0,0040
170
По данным табл. 5.6 вычислим коэффициенты системы уравнений
8 8
S <>/-1 = 1-57 • ю~3; S 6(-А-2“ — '-о86 • ’о"-3;
/=3 t—3
8 8
£ б?_2 = 1,746 • 10-3; £ б^б/—0,715 • 10~3;
t=3 t=3
8
S ^-2^ = — °’419 ’ 10~3-
г=з
Получим следующую систему уравнений относительно параметров
прогнозирующей модели:
11,570!— 1,086а2 = —0,715,
1— 1,086а! + 1,746а2 = — 0,149.
Решение системы уравнений: aY = — 0,902; о2 — — 0,646.
Уравнение прогнозирующей модели
6£+т = — 0,902бг+т_1 — 0,6466г+т_2.
По этому уравнению рассчитаем прогнозные значения случайной
составляющей годовой добычи угля шахтой на:
1992 г. — = — 0,902 (— 0,004) — 0,646 (0,0009) = 0,003;
- 1993 г. — 6f0 = — 0,902 • 0,003 — 0,646 (— 0,004) - — 0,0001;
1994 г. _ $Р = _ 0,902 (— 0,0001) — 0,646 • 0,003 « — 0,0018.
Таким образом, с учетом случайной составляющей исследуемого
процесса прогнозные значения годовой производительности шахты на
1992—1994 гг. соответственно составят
Vj = UZ9 + 6P « 2,9616,
Ио = + % = 0,9694,
VP = Гц + 6f, = 0,9761.
Глава 6. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
6.1. Постановка задач линейного
программирования
Линейное программирование, являясь наиболее разра-
ботанной областью математического программирования,
находит широкое применение при решении задач планиро-
вания и управления в различных отраслях народного хо-
зяйства.
171
Таблица 6.1
Наименование ресурса Расход на единицу продукции по изделиям Ресурсы, выделен- ные пред- приятию
1 2 1 3 1 4
Сталь, т Я11 912 913 914
Чугун, т 921 922 923 924 Q2
Машинные ресурсы, станко-ч *1 <2 ^3 h Т
Прибыль от реализации, Р- <Л с* сз С4
Рассмотрим постановку некоторых типовых задач плани-
рования, при решении которых используют методы линей-
ного программирования.
Задача 1. На планируемый период предприятию выде-
лены ресурсы, необходимые для производства продукции
определенного ассортимента. Предположим, это сталь
т, чугун Q2, т, машинные ресурсы Т, станко-ч. Номенклату-
ра выпускаемой продукции состоит из четырех наименова-
ний. Для изготовления каждого изделия требуется различ-
ный расход ресурсов. Прибыль от реализации изделий из-
вестна. Исходные данные можно представить в виде табли-
цы (табл. 6.1).
Необходимо составить такой план выпуска продукции,
выполнение которого обеспечит предприятию максималь-
ную прибыль.
Представим задачу в математической форме. Обозначим
х1 — количество изделий r-го вида. Расход стали на выпуск
х{ изделий составит q\iXh т; аналогично расход чугуна —
т; расход машинного времени — станко-ч. Оче-
видно, что расход стали, чугуна и машинного времени на вы-
пуск всех изделий не может превышать ресурсов, выделен-
ных предприятию на планируемый период. Это ограничение
можно представить в виде следующей системы неравенств:
<711*1 + <712*2 + <713Х3 + 914*4 Q1»
<?21*1 + <722*2 + <?23*3 + <724*4 ^2’ (6-1)
/1*1 + hX2 + ^3*3 + ^4*4 Т.
Левая часть первого неравенства соответствует суммар-
ному расходу стали, второго — расходу чугуна, третьего —
расходу машинного времени. Знак свидетельствует о том,
что плановые ресурсы предприятия могут быть использо-
ваны полностью или частично. Система неравенств (6.1) на-
зывается системой линейных ограничений.
172
Очевидно, что неизвестные xlt х2, х3 и х4 не могут прини-
мать отрицательных значений, так как соответствуют реаль-
ной продукции. Если некоторый вид продукции выпускать
нецелесообразно, то значения xt могут быть равными нулю.
Таким образом, имеем
xz>0, /=1,2,3, 4. (6.2)
Неравенства (6.2) называются условиями неотрица-
тельности переменных.
Прибыль от реализации изделий составит сгхг + с2х2 +
+ с3х3 + с4х4, р. Цель решения данной задачи (определить
такой план выпуска изделий, чтобы общая прибыль пред-
приятия была как можно больше) можно выразить в виде
функции
F = сгхх + с2х2 + с3х3 + с4х4 -> шах. (6.3)
Выражение (6.3) принято называть функцией цели
задачи.
Задача 2. В карьере имеется п добычных забоев, макси-
мальная производительность которых соответственно равна
<21, Q2, • ••» Qn- Для каждого забоя выполнено технологиче-
ское опробывание руды и установлены ожидаемые показате-
ли обогащения: качество концентрата и выход кон-
центрата i = 1, 2, ..., п. Необходимо определить факти-
ческие объемы добычи из каждого забоя qu q2, ..., qn, при
которых концентрат, полученный в результате обогащения
всей добытой руды, будет характеризоваться качеством
не ниже планового рпл и выход его при этом будет макси-
мальным. Производительность обогатительной фабрики по
руде равна (?ф.
Математически эту задачу можно сформулировать так:
qt i = 1, 2, ... , и,
L Qi Сф»
4 = 1
Xi] Рплфф,
<7,>0, i = 1, 2, . . . , П,
T = 2j
(6-4)
(6.5)
(6-6)
Система (6.4) является системой линейных ограниче-
ний, неравенство (6.5) — условие неотрицательности, вы-
173
ражение (6.6)—функция цели. В системе (6.4) первые п
неравенств ограничивают фактическую производительность
забоев установленными максимальными значениями. Сле-
дующее уравнение содержит условие равенства суммарной
производительности всех добычных забоев производитель-
ности обогатительной фабрики (?ф. Последнее неравенство
отражает условие выполнения либо перевыполнения плано-
вых показателей по качеству концентрата.
Обратим внимание на особенность математических моде-
лей, сводимых к классу задач линейного программирования.
В систему линейных ограничений и в функцию цели неиз-
вестные Xi в первой задаче и ql во второй входят в первой
степени. Таким образом, ограничения и функция цели яв-
ляются линейными формами относительно неизвестных.
Основная задача линейного программирования формули-
руется следующим образом:
дана система линейных ограничений
а11%1 "Ь #12*2 + • • • + С1\п^п 1 ^1,
. #21*1 4" #22*2 + • • • + #2п*п 1 ^2»
#т,*1 4" #/п2*2 4" • • • 4" #тп*п Ьт\
неизвестные х< удовлетворяют условиям неотрицатель-
ности
xt- > О, 1 = 1,2,..., п\
найти такие значения неизвестных xlt х2, ..., хп, которые,
соответствуя системе ограничений и условиям неотрица-
тельности, обращают в максимум (минимум) функцию цели
F = + с2*2 4- • • • 4- спхп max (min).
Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи ли-
нейного программирования. Она позволяет лучше понять
алгебраические свойства линейной модели, наглядней пред-
ставить сущность системы ограничений и критерия опти-
мальности.
Предположим, надо решить следующую задачу. Для
составления программы горных работ на шахте необходимо
определить оптимальные нагрузки на лавы № 1 и 5 по
пласту /х, оборудованные соответственно узкозахватным
комбайном с индивидуальной крепью и механизированным
комплексом КМ-88. Расходы по заработной плате, амортиза-
ции и материалам на 1 т добычи, а также ресурсы шахты
по месячному фонду заработной платы, плановым аморти-
174
Таблица 6.2
Наименование ресурса Расход на 1 т добычи угля по лаве, р. Ресурсы, выделенные предприятию, тыс. р.
№ 1 №5
Заработная плата 10 4 250
Амортизационные отчисления 2 3 114
Материалы 1,6 1 49,2
зационным отчислениям и нормируемым оборотным средст-
вам приведены в табл. 6.2. В связи с тем что зольность угля
в лаве № 1 ниже, его реализуют по более высокой цене —
15 р. за 1 т; за уголь, добытый в лаве№ 5, цена составляет
14 р. Необходимо определить месячные объемы добычи по ла-
вам, обеспечивающие максимизацию объема реализации.
Исходные условия задачи можно представить в таком виде.
• 10%! + 4х2 250,
Зхх + Зх2 ^114,
, 1,6Xi Ц- 1х2 49,2,
F = 15хх + 14х2->-тах,
где хг, х2 — месячный объем добычи соответственно из
лав № 1 и 5.
Каждое из ограничений задачи на графике можно пред-
ставить в виде области, отверченной осями Х!их2 (согласно
условию неотрицательности) и прямой линией, соответст-
вующей ограничению, представленному в виде равенства.
На рис. 42, а представлена область, удовлетворяющая огра-
ничению по заработной плате. Точки на прямой линии
10 Xj + 4х2 = 250 соответствуют tikhm значениям хг и
х2, которые удовлетворяют этому уравнению. Точки, лежа-
щие под прямой линией, соответствуют первому ограниче-
нию, когда левая часть меньше правой. Аналогичные об-
ласти для ограничений по амортизационным отчислениям
и материалам приведены на рис. 42, бив. Искомые неиз-
вестные и х2 должны удовлетворять одновременно всем
ограничениям. Совмещая ограничения на одном графике,
получим область допустимых решений (ОДР) системы линей-
ных ограничений (рис. 42, г). Из рисунка видно, что ОДР
представляет собой выпуклый многоугольник (симплекс).
Оптимальное решение должно принадлежать одной из то-
чек, расположенных в этой области. Для определения этой
точки в ОДР построим произвольную линйю функции цели.
175
Рис. 42. Графическая интерпрета-
ция задачи линейного программи-
рования
Этого можно достичь
Примем F = 210 тыс. р. Соглас-
но уравнению 15^ + 14х2 = 210
эта линия пройдет через точки
%! = 14, Х2 = 0 И Xj = 0, х2=»
= 15. Очевидно, что значение F
может быть увеличено за счет
увеличения значений и х2.
перемещением данной прямой
вверх и вправо параллельно самой себе в направлении,
указанном стрелками, в пределах области допустимых
решений. Своего максимального значения функция цели
достигает в точке k, лежащей в одной из вершин мно-
гоугольника, образующего ОДР. Координаты точки k и яв-
ляются оптимальным решением данной задачи.
Из рис. 42 получим хг = 12, х2 = 30. Следовательно,
месячный объем добычи из лавы № 1 должен составлять 12,
а из лавы № 5 — 30 тыс. т, при этом объем реализации соста-
вит F = 15 • 12 + 14 • 30 = 600 тыс. р.
Рассмотренный пример иллюстрирует один из наиболее
часто встречающихся вариантов решения задачи линейно-
го программирования. Не меняя общей методики, можно
описать и другие варианты, встречающиеся в линейных
оптимизационных моделях.
Если изменить в решенной нами задаче коэффициенты при
176
Рис. 43. Графическая иллюстра-
ция задачи линейного програм-
мирования, не имеющей реше-
ния '
ОДР, т. е. задача имеет бе-
неизвестных в функции цели,
например принять их равны-
ми 16 и 10 соответственно, то
при тех же ограничениях ока-
жется, что точка является
не единственным решением
задачи. Действительно, пря-
мая, соответствующая урав-
нению функции цели, окажет-
ся параллельной линии,опре-
деляющей ограничение по
материалам. Следовательно,
максимальному значению
функции цели будут соответ-
ствовать точки, лежащие на
отрезке этого ограничения в
счисленное множество равноценных решений.
Вариант, когда задача линейного программирования не
имеет решений, показан на рис. 43. Очевидно, что при пере-
мещении графика целевой функции в пространстве ограни-
чений ее значения будут возрастать.
Правильно поставленная задача линейного программи-
рования должна иметь совместную систему линейных огра-
ничений. Несовместность системы свидетельствует о том,
что множество точек области допустимых решений пусто и
задача не имеет решения.
Отметим, что графический метод решения задач линей-
ного программирования имеет весьма ограниченное при-
менение при решении практических задач. Это объясняется
тем, что представить графически область допустимых реше-
ний в пространстве трех и более переменных не представ-
ляется возможным.
Математические методы решения задач линейного про-
граммирования основаны на выполнении преобразований
над системами линейных алгебраических уравнений. Как
правило, в исходной постановке задачи часть ограничений
задается в виде неравенств. Поэтому возникает необходи-
мость преобразования неравенств в равенства.
Рассмотрим неравенство вида
^11^1 4" ^1'2^2 4" • • • 4"
В правой части этого неравенства указан объем ресурса
f-го вида, в левой части — расход этого ресурса. Очевидно,
что разность между расходом и объемом ресурса представля-
ет собой неиспользованный остаток ресурса. Обозначим его
177
Xn+i- Тогда неравенство можно заменить следующим равен-
ством:
^1*1 + (^12^2 + • • • + QinXn + Xn+i = bt.
Теперь рассмотрим неравенство вида
0Л1Х1 + ^2%2 + • • • + aknXn ^k-
Для получения равенства надо из левой части вычесть ве-
личину xn+k, численно равную разности между левой и
правой частями неравенства. В результате получим
dk\Xx + Uk2X2 + • • * + ttknXn — xn+k = bk.
Новые неизвестные xn±i и xn+k, позволяющие преобразо-
вывать неравенства в равенства, называются балансными
неизвестными.
Предположим, дана следующая система ограничений:
ац%1 + ^12*2 + • • • + а\пхп С blt
ир\хх + аР2Х2 + • • • + арпХп Ьр,
Up-j-1,1Х^ 4~ Up-j-l ,2X2 4“ • • • -f- Up+i гПХп bp+it
akiXi 4~ ak2X2 + • • • + aknXn b^,
tffc-f-l.lX], + ttk+2,2X2 + ••• + ak+l,nXn = fyfe-J-b
[ 4" Um2X2 4" •’ * 4“ ^mnXn M
В этой системе ограничений можно выделить такие три
части: первые р ограничений — неравенства со знаком
«^С», следующие k — р ограничений — неравенства со зна-
ком <О», последние т — k ограничений — равенства.
Для приведения системы ограничений к виду равенств
надо добавить k балансных неизвестных, причем в первых
р ограничениях они берутся со знаком «4-», а в следующих
k — р ограничениях — со знаком «—». Окончательно име-
ем
aiiX± 4" #12-^2 4- • • • 4- а\пХп 4~ = Ьг,
... ...............................................
йрхХг 4- аР2Х2 4- • • • 4" аРпХп 4- хп+Р == bpi
^р4-1,1%1 4“ ^р4-1,2Х2 4- ^р+1,пХп bp+\t
178
+ ^2^2 + * * * + aknXn — — t>k*
+ а/г4-1,2Х2 + • • • + ak+i,nXn = ^h-i,
amlXi + CLm2X2 + • * * + atnnXn — Ьт.
Система ограничений, в которой с помощью балансных
неизвестных все неравенства преобразованы в равенства,
называется системой, приведенной к каноническому виду.
В дальнейшем, рассматривая методы решения задач линей-
ного программирования, будем считать, что ограничения
приведены к каноническому виду. Если в оптимальном ре-
шении балансные неизвестные будут больше нуля, то это
значит, что для выполнения запланированной программы
производства продукции потребовались не все имеющиеся
ресурсы.
6.2. Математические основы решения задач
линейного программирования
Основным математическим аппаратом, применяемым для
решения задач линейного программирования, является
метод Жордана-Гаусса. Этот метод позволяет решать систе-
мы линейных алгебраических уравнений посредством при-
ведения их к базисному виду.
Системы линейных алгебраических уравнений подразде-
ляют на совместные и несовместные. Совместная система
уравнений имеет по крайней мере одно решение. Несовмест-
ная система уравнений решений не имеет. Напомним, что
уравнения системы в задачах линейного программирования
интерпретируются как гиперплоскости, совокупность кото-
рых образует выпуклый многоугольник в n-мерном про-
странстве (симплекс), охватывающий область допустимых
решений. Таким образом, совместной системе уравнений
соответствует область, содержащая бесчисленное множество
точек, образующих совокупность допустимых решений.
Для несовместной системы ОДР содержит пустое множество
точек.
4 Совместные системы уравнений подразделяют на опреде-
ленные и неопределенные. Определенная система имеет одно
и только одно решение. Неопределенная система имеет
бесчисленное множество решений. Таким образом, опреде-
ленная система является частным случаем неопределенной,
когда ОДР сводится в одну точку.
179
Внешним признаком неопределенности совместной си-
стемы является то, что количество неизвестных п превы-
шает число уравнений т. В задачах линейного программи-
рования системы ограничений, приведенные к каноническо-
му виду, представляют собой совместные неопределенные
системы уравнений.
Рассмотрим систему т линейных алгебраических урав-
нений с п неизвестными
#11*1 + * • • + а\1У! + * ’ * + #1п*п — &],
ClilXi + • • • 4" QijXj 4" • • • + GinXn — bj, (6.7)
#mi*i + • * • 4" anijXj 4- ... 4- amnxn = bm.
Допустим, эту систему надо преобразовать так, чтобы
переменная %/ была исключена из всех уравнений, кроме
г-го. Такое преобразование состоит из следующих действий:
разделим Z-е уравнение на aij
-p_X1 + -p-X2+ ... +1X/+ ••• +4Lxn=-4-;
aii aij aij aij
преобразованное i-e уравнение умножим поочередно
на «1/, «2/, tf(f-i)/, #(H-i)/» •••» amj и вычтем из перво-
го, второго, ..., m-го уравнения соответственно; в резуль-
тате получим
(ап---) Xi 4“ (#12 4—#i/) х2 4“ • • • 4“ Oxj 4*
\ ail / \ ач /
4- ••• 4-(#1п-~2“#i/)*n = ^i-
\ аИ / аИ
?-*i + ^-*2 + ••• +1-Х/+ ... 4--^-xrt-
аи ац аи
bi
аи
( -----) *1 4- ( ат2-------------CLtnj ) Х2 4“ • • • 4“
\ aii / \ аЧ /
4“ Ох/ 4“ • • • + I атп---------- #т/) Хп= Ьт--------amj.
\ ач / ач
180
Коэффициент ац, стоящий при выделяемой неизвестной
х/ в Z-м уравнении, называется ведущим коэффициентом и
соответственно строка и столбец, на пересечении которых
он находится, также являются ведущими. Из формул пре-
образования коэффициентов, определяющих новые значе-
ния коэффициентов во всех строках, кроме ведущей,
нетрудно заметить, что преобразуемый и ведущий коэффи-
циенты образуют вершины прямоугольника, лежащие на
одной диагонали; остальные коэффициенты, входящие в
формулу преобразования, находятся в двух других верши-
нах этого прямоугольника. Предположим, преобразуется
коэффициент aki, k Ф i\ в этом случае в прямоугольник
входят коэффициенты
... dki ... dkj . •.
... ац ... aij ...
Преобразованный коэффициент определяется по формуле
O'ki = dki--• (6.8)
ан
Из формулы следует, что для вычисления преобразован-
ного коэффициента dki надо из преобразуемого коэффициен-
та dki вычесть произведение коэффициентов, лежащих на
противоположной диагонали прямоугольника, деленное на
ведущий коэффициент. Это правило вычисления преобразо-
ванного элемента принято называть правилом прямоуголь-
ника.
Сформулируем алгоритм преобразования системы урав-
нений, позволяющий исключить некоторую переменную
Xj из всех уравнений системы, кроме г-го:
коэффициенты ведущей строки разделить на ведущий
коэффициент;
коэффициенты остальных строк системы преобразовать
по правилу прямоугольника.
Отметим, что для ведущего столбца получаем вырожден-
ный прямоугольник^/ = j). Применяя к нему правило пря-
моугольника, получим нулевые значения коэффициентов
в ведущем столбце во всех строках, кроме ведущей.
Данное преобразование системы уравнений называется
преобризовинием Жордини — Гаусси.
Система линейных уравнений (6.7) может быть представ-
лена в матричной форме. Обозначим: А — матрица коэф-
фициентов при неизвестных; В, X — столбцовые матрицы
181
свободных членов и неизвестных соответственно
Лц . . . dij ... din
di\ ... dij . . . din
__ dml • • • dmj • • • dmn _
Используя матричные обозначения, систему уравнений
(6.7) запишем в матричной форме
АХ = В. (6.9)
Из матриц А и В составим расширенную матрицу систе-
мы уравнений С, которая образуется добавлением к матри-
це А столбцовой матрицы В
Яп ... dif
du ... dij
_dm\ • • •
• • • din
... din bi
. . . dmn bm
Для перехода от матрицы С к системе уравнений ее сле-
дует разделить на составляющие А и В и подставить их в
систему уравнения (6.9).
Как было показано выше, преобразование Жордана —
Гаусса над системой уравнений сводится к преобразованию
коэффициентов системы по соответствующим правилам.
Следовательно, эквивалентные результаты можно получить,
если выполнить преобразования над расширенной матри-
цей системы С и затем перейти к системе уравнений (6.9).
Над матрицей С выполним k преобразований Жордана —
Гаусса. При выполнении первого преобразования в каче-
стве ведущего выберем коэффициент аи, при £-м преобразо-
вании— d{kk~X\ при /л-м — dmmX} (верхний индекс в скобках
указывает на количество преобразований, которые были
выполнены над этим коэффициентом до использования его
в качестве ведущего). Рассмотрим £-е преобразование Жор-
дана — Гаусса матрицы С. Очевидно, что перед этим преоб-
разованием матрица С имела вид
1 ... d\k 6Z1(&_|_1) ... din
=
Л л**”1) J*-1) Ь**-1)
и ... dkk dk(k+\) • • • dkn bk
n л**'1) J*-1* J*-1*
U . . . Umk • • • dmn
182
- После выполнения k-го преобразования Жордана —
Гаусса с ведущим коэффициентом «IV0 получим
* “ 1 л л^ л®> № ”
1 . . . и ЛцЛ+1) • • • а1п
П 1 л<*>
и ... i ... akn Ok
Здесь
Л Л л^ . л^
__ U ... U 6lm(^_|_i) . . . Q-tnn Dm
a® = <F<'>
№ =
(6.10)
Ь^^ьГ1}-а?Г^\
/== 1, ... , fe— 1, k+ 1, ... , tn\ ’ / = fe, fe+l,...,n.
Первые две формулы (6.10) соответствуют первому, а
следующие две — второму шагу алгоритма преобразова-
ния Жордана — Гаусса.
Отметим, что при выполнении &-го преобразования мат-
рицы С первые k — 1 столбцов не рассматриваются, посколь-
ку применение к этим столбцам алгоритма Жордана — Га-
усса их не изменит (в соответствующем прямоугольнике в
одной строке с ведущим коэффициентом находится нулевой
коэффициент).
В результате выполнения т преобразований Жордана —
Гаусса матрица С примет вид
’1 ... 0 ... О а!Х+» ••• «И ЬГ~
г{т} — л 1 л (т) Am) iAm)
С v ... 1 ... U 6Zf(m_|_i) . . . din Di
-О ... 0 ... 1 аХ+>) ••• Л
Перейдем от матрицы С(т) к системе уравнений
Х1 4" • • • 4“ ЯЦгп4-1) Хт+\ + ... 4" хп = b\ \
Х1 + ••• 4“ ^Цт-Н) *т-Н 4" ••• + D^in ХП — Ь^ ,(6.11)
( хт “Ь • • • “F ат{т-{-1) хт-^1 4" • • • 4" ^тп Хп — Ьт\
183
Система уравнений (6.11) имеет следующую отличитель-
ную особенность: в каждом уравнении есть одна неизвест-
ная (с коэффициентом 1), отсутствующая в других уравне-
ниях системы. Систему такой структуры называют системой
уравнений, приведенной к единичному базису. Неизвестные
называются базисными неизвестными, а неиз-
вестные ... хп — свободными. В качестве базисных мо-
гут быть использованы любые т неизвестных, а остальные
п — т неизвестных будут свободными. Таким образом,
общее количество вариантов сочетаний базисных неизвест-
ных равно С„.
Система уравнений (6.11), как было показано выше, яв-
ляется совместной и неопределенной. Задавая свободным не-
известным произвольные численные значения, можно вычис-
лять значения базисных неизвестных
xt = Ь(Г — а^+1)хт+1 — ... — affix*, i = 1, 2, .... tn.
Очевидно, что в этом случае будет получено бесчисленное
множество решений системы уравнений. Среди всех реше-
ний системы уравнений, приведенной к единичному базису,
выделим одно, в котором свободные неизвестные равны ну-
лю. При этом базисные неизвестные равны свободным чле-
нам
xt = bffi, 1=1,2........т,
xt = 0, i = т + 1, ... , п.
Такое решение системы уравнений называется базисным.
Совместная неопределенная система т уравнений с п неиз-
вестными может иметь базисных решений.
Системы линейных уравнений во многих случаях могут
иметь разреженные матрицы, т. е. такие, большинство коэф-
фициентов которых равно нулю. Очевидно, не исключено,
что в качестве ведущего коэффициента может быть выбран
нулевой элемент. Поскольку делить на нуль нельзя, то в ве-
дущем столбце следует отыскать другой, не равный нулю,
элемент и принимать соответствующую строчку в качест-
ве ведущей.
Пример. Пусть дана система уравнений
2*1 + *2 + х3 + = 8,
Зхг + 2х3 + 6х4 — 12,
— 4х2 + 4х3 + 6х4 = 10.
Для этой системы уравнений следует получить два базисных реше-
ния. Первое решение должно иметь базисные неизвестные х99
второе — х2, х3, *4»
184
Таблица 6.3
Номер итерации Матрица С bi
*1 х2 *3 х4
0 | 2] 3 1 1 0 -4 1 2 4 3 6 6 8 ' 12 10
1 1 0 0 0,5 l.-id -4,5 0,5 0,5 3,5 1,5 1,5 4,5 4 0 6
2 1 0 0 0 1 0 0,667 -0,33 | 2~| 2 - 1 0 4 0 6
3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 2 — 1 0 2 1 3
4 0,5 0,5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 3
Для системы уравнений составим матрицу
С = '2 1 3 0 1 3 8" 2 6 12
J —4 4 6 10
Для получения первого базисного решения будем последовательно
выбирать в качестве ведущих элементов коэффициенты ап, а22> ^зз-
Последовательность вычислений приведена в табл 6.3. В таблице нулевой
итерации помещена исходная матрица С. После первой итерации в базис
введена переменная xlt после второй — х2, после третьей — х3. Для
получения второго базисного решения в качестве ведущего элемента
выбран коэффициент а14. При выполнении преобразования Жордана —
Гаусса с этим ведущим элементом в базис вводится переменная х4, а
переменная xlt находящаяся в этой же строке, из базиса выводится.
Проанализируем полученные результаты. Из матрицы третьей
итерации имеем
(*1 +*4=2,
< х2 — 1х4 = 1,
( х8+ 0х4 = 3.
Поскольку х4 является свободной переменной, приняв ее равной
Нулю, получим базисное решение хг = 2, х2 = L хз = 3, х4 3 0.
185
Второе базисное решение получим из матрицы четвертой итерации
Г0,5х4 -J- х4 = 1,
\0,5xj -j— х2 = 2,
I -Г x3 =3.
В этой базисной форме системы уравнений принимаем равной нулю
свободную неизвестную хг. В результате получим
Xj = 0, х2 = 2, х3 — 3, х4 = 1.
Аналогично можно получить и другие базисные решения. Например,
если в матрице четвертой итерации выбрать в качестве ведущего эле-
мента коэффициент а21, то в базис будет введена х1 и выведена перемен-
ная х2. В этом случае базисными неизвестными будут xlt х3, х4, а свобод-
ной — х2. Очевидно, что всего для данной системы уравнений к'ожет
быть получено четыре базисных решения.
6.3. Симплексный метод решения задач
линейного программирования
Автором симплексного метода Дж. Данцигом было до-
казано, что оптимальное решение задачи линейного про-
граммирования совпадает с одним из базисных решений
системы линейных ограничений, причем численные значе-
ния базисных неизвестных должны быть неотрицательными.
Симплексный метод позволяет решать задачи линейного
программирования путем перехода от одного базисного ре-
шения к другому. На каждом таком переходе, составля-
ющем итерацию (шаг) метода, происходит увеличение мак-
симизируемой функции цели. Оптимальное решение будет
получено после выполнения конечного числа итераций.
Рассмотрим симплексный метод на числовом примере,
на основании которого сформулируем в общем виде правила
вычислений, составляющие алгоритм данного метода.
Пусть требуется найти максимум функции цели
F — Ч- 2х2 + 4х3 -> max
при ограничениях
12%! + Зх2 + 2х3 10,
12хт 4- х2 4" хз = 8-
Приведем систему ограничений к каноническому виду,
введя в первое уравнение балансную переменную х4, после
чего систему уравнений приведем к единичному базису.
При этом учтем, что первое уравнение имеет базисную неиз-
вестную х4 и требуется выполнить только одно преобразо-
вание Жордана — Гаусса для получения базисной неиз-
вестной во втором уравнении. Допустим этой базисной неиз-
вестной будет хх; тогда в качестве ведущего элемента сле-
186
Таблица 6.4
Номер итерации Матрица С Л/
*1 х2 х3 х4
2 3 2 Т 10
0 | 2 | 1 1 0 8
0 2 | 1 | 1 2
1 1 0,5 0,5 0 4
0 2 1 1 2
2 1 -0,5 0 -0,5 3
дует выбрать коэффициент а21. Получение базисного реше-
ния приведено в табл. 6.4 (первая итерация).
Из матрицы первой итерации имеем
|2*2 + *3 + *4 = 2,
I —J— 0,5*2 ~f“ 0,5*3 = 4.
Базисное решение имеет вид х± = 4, *4 = 2, х2 = О,
*з = 0.
Выясним, является ли данное решение оптимальным.
Для этого выразим базисные неизвестные через свободные
и подставим их в функцию цели
*! = 4 — 0,5х2 — 0,5*3;
F = 5 (4 — 0,5х2 — 0,5*3) + 2*2 + 4*3 = 20 — 0,5*2 + 1,5*3
По виду целевой функции можно сделать следующие
выводы:
полученное базисное решение обеспечивает значение
целевой функции F = 20;
коэффициент в функции цели при свободной неизвестной
*2 отрицательный, следовательно, перевод *2 из свободной
в базисную (в результате чего *2 будет больше нуля) приве-
дет к уменьшению целевой функции;
коэффициент при свободной неизвестной *3 в функции
цели больше нуля, следовательно, перевод *3 в базис при-
ведет к увеличению целевой функции.
Таким образом, функция цели еще не достигла макси-
мального значения и введение переменной в базис обеспе-
чит ее увеличение.
Неизвестная, вводимая в базис, должна заменить в нем
какую-то базисную неизвестную. В данной задаче надо
187
определить, в каком из уравнений должна находиться ба-
зисная неизвестная х3. Очевидно, что ведущий элемент
следует выбирать так, чтобы после преобразования Жор-
дана — Гаусса свободные члены системы ограничений оста-
лись положительными (для базисного решения должно вы-
полняться условие неотрицательности неизвестных).
В связи с изложенным для выбора ведущего элемента в
ведущем столбце следует руководствоваться симплексным
правилом, суть которого заключается в следующем. Пусть
в базис вводится переменная xk. Вычислим отношения bjaik
для всех aik > 0, i ~ 1, 2, ..., /л, и найдем среди них мини-
мальное bplapk. Переменная xk становится базисной в р-й
строке, а в свободные неизвестные переходит та базисная
неизвестная, которая раньше этой строке соответствовала.
Так, для рассматриваемой задачи получим
_ 2 2« _^2_ __ g
6Z13 1 * а2з 0,5
Минимальным является отношение следователь-
но, неизвестная х3 должна стать базисной в первой строке;
неизвестная х4 станет при этом свободной.
Преобразование Жордана — Гаусса, выполняемое над
системой линейных ограничений с учетом симплексного пра-
вила выбора ведущего элемента, называется симплексным
преобразован ием.
Во второй итерации в табл. 6.4 приведен результат симп-
лексного преобразования с ведущим элементом а13. Таким
образом, получим
12 <2 + х3 4- *4 = 2,
| Xj — 0.5х2—0,5*4 = 3.
Базисное решение имеет вид
%i = 3, х3 = 2, х2 ~ 0, *4 = 0.
Выясним, является ли полученное решение оптималь*
ным. Для этого выразим базисные неизвестные через сво-
бодные и подставим их в функцию цели
F = 5 (3 + 0,5х2 + 0,5*4) + 2*2 + 4 (2 — 2*2 — *4) =
= 23 — 3,5*2— 1,5*4-
Сопоставляя полученный результат с результатом пер-
вой. итерации, отметим, что функция цели возросла с 20
до 23 единиц. Коэффициенты при свободных неизвестных в
функции цели (называемые оценками свободных неизвест-
ных) отрицательные. Это свидетельствует о том, что даль-
188
нейшее увеличение функции цели за счет введения в базис
неизвестных х2 или х4 невозможно.
Проанализируем последовательность вычислений при
поиске оптимального решения. Получаемое на каждой
итерации базисное решение проверялось на оптимальность.
Для этого базисные неизвестные системы линейных ограни-
чений выражались через свободные неизвестные и свобод-
ные члены соответствующих ограничений, а затем под-
ставлялись в функцию цели. Полученные при этом оценки
свободных неизвестных позволяли судить об оптимально-
сти плана: если знаки оценок были положительные, то это
свидетельствовало о возможности дальнейшего увеличения
функции цели; среди нескольких положительных оценок
выбиралась большая и соответствующая ей переменная вго-
дилась в базис с выбором решающей строки по симплексно-
му правилу. Об оптимальности решения свидетельствовало
отсутствие положительных оценок свободных неизвестных.
Очевидно, что описанную процедуру перехода от одного
базисного решения к другому можно несколько упростить,
если преобразования Жордана — Гаусса выполнять не
только над системой ограничений, но и над функцией цели.
Для этого функцию цели представим в виде дополнитель-
ного ограничения, в котором в левой части находятся не-
известные со своими оценками, а в правой — текущее
значение функции цели. Поскольку система ограничений
должна быть приведена к базисному виду, то обозначение
функции цели будем интерпретировать как базисную не-
известную в этом ограничении. Отметим, что при такой
записи функции цели оценки свободных неизвестных изменя-
ют знаки на обратные; поэтому об оптимальности решения
следует судить по отсутствию отрицательных оценок. Если
отрицательных оценок несколько, то разрешающий стол-
бец выбирается по отрицательной оценке, наибольшей по
абсолютному значению.
Для выполнения симплексных преобразований Жорда-
на — Гаусса над совмещенной системой ограничений со-
ставляется специальная таблица, которую называют симп-
лексной.
Структура симплексной таблицы представлена в табл.
6.5. В первом столбце приведены базисные неизвестные в
порядке их принадлежности соответствующим ограниче-
ниям. Буквой F в этом столбце обозначена базисная неиз-
вестная, принадлежащая ограничению, полученному из
функции цели. В заглавной строке таблицы перечислены
неизвестные в порядке их принадлежности столбцам. Над
189
Таблица 6.5
Номер итерации Базисные пере- менные С1 с2 ст сп Свободные чле- ны Контрольный столбец
Xi х2 хт х/и4-1 хп
k *1 1 0 0 ... а1п ь\ ^1с1
х2 0 1 0 а2,т+1 а2п Ь2
... ... ... ... ... ...
хт 0 0 ... 1 ... атп ^тст
F 0 0 0 с'п Fa ЛЬ^С[
каждой неизвестной указана ее оценка в исходной функции
цели. Столбцы симплексной таблицы заполнены коэффи-
циентами системы линейных ограничений. В табл. 6.5 пред-
полагается, что система ограничений приведена к единич-
ному базису относительно первых т неизвестных, поэтому
коэффициенты ац и cf отмечены штрихами, так как они по-
лучены из исходных коэффициентов системы ограничений
путем преобразований Жордана — Гаусса. Величина Fo
является численным значением функции цели на данном
этапе преобразований. Для контроля правильности вычис-
лений в симплексной таблице предусмотрен контрольный
столбец, в котором каждое значение базисной неизвестной
умножается на соответствующую оценку исходной функции
цели. Очевидно, что сумма элементов контрольного столб-
ца должна равняться численному значению функции це-
ли Fq.
Выбор разрешающего столбца для следующей итерации
производится по оценкам целевой строки симплексной таб-
лицы; преобразование Жордана — Гаусса выполняется над
всеми строками, включая целевую.
В качестве примера использования симплексной табли-
цы для решения задач линейного программирования рас-
смотрим задачу оптимизации нагрузок на очистные забои,
исходные данные которой приведены в табл. 6.2.
190
Таблица 6.6
Номер итера- ции Базисные перемен- ные —15 —14 0 0 0 Свободные члены Контрольный столбец
xi Х2 хз х4 хь
хз "10 4 1 0 0 250 250-0
0 х4 2 3 0 1 0 114 114-0
хъ 1,6 1 0 0 1 49,2 49,2-0
F —15 — 14 0 0 0 0 0
1 0,4 0,1 0 0 25 25-15
Х1 0 2,2 —0,2 1 0 64 64-0
1 Ч
ХЬ 0 0,36 —0,16 0 1 9,2 9,2-0
F 0 —8 1,5 0 0 375 375
Y-, 1 0 0,278 0 —1,1 14,78 14,78-15
2 •*1 *4 0 0 0,778 1 —6,1 7,78 7,78-0
х2 Р 0 1 —0,445 0 2,78 25,55 25,55-14
0 0 —2,056 0 22,2 579,44 579,44
Х1 1 0 0 —0,357 1,08 12 12-15
3 х3 0 0 1 1,28 —7,84 10 10-0
Х2 0 1 0 0,572 —0,71 30 30-14
F 0 0 0 2,638 6,08 600 600
Расширенная система ограничений, содержащая функ-
цию цели и приведенная к единичному базису, имеет вид
10x1 + 4xi + x3 = 250,
2xl + 3x* +х4 =114,
1,6хх + 1*2 + х5 = 49,2,
— 15хх — 14а;2 4-F = 0.
Коэффициенты приведенной системы ограничений зане-
сем в симплексную таблицу в строки нулевой итерации
(табл. 6.6).
В качестве ведущего выбираем первый столбец, посколь-
ку его оценка в целевой строке (—15) является наибольшей
отрицательной.
Используя симплексное правило выбора ведущего эле-
мента, получим
. / 250 114 49,2) 250
тШ I 10 ’ 2 ’ 1,6 / “ 10 ‘
Следовательно, ведущей должна быть первая строка (ве-
дущий коэффициент в таблице взят в рамку).
Из таблицы нулевой итерации видно, что в результате
преобразования Жордана — Гаусса в базис будет введена
переменная xlf которая станет базисной в первом ограни-
чении. До преобразования базисной была переменная
х3, которая становится свободной. Результаты преобразова-
ния представлены в первой итерации симплексной таблицы.
Отметим, что в целевой строке первой итерации имеется
отрицательная оценка переменной х2, свидетельствующая
о возможности дальнейшего улучшения плана. Выполняя
аналогичные преобразования, после трех итераций полу-
чаем окончательное решение: х} = 12 тыс. т, х2 = 30 тыс. т;
х3 = 10 тыс. р. При этом функция цели максимальна —
600 тыс. р.
Проанализируем полученные результаты. Исходные
ограничения были сформулированы в виде неравенств и для
их приведения к каноническому виду введены балансные
неизвестные х3, х4 и х5. В результате решения оказалось,
что х4 и х5 стали свободными неизвестными, которые рав-
ны нулю. Следовательно, второе и третье ограничения вы-
полняются как равенства и соответствующие им ресурсы
использованы полностью. Балансная неизвестная х3 в опти-
мальном решении является базисной. Это значит, что ре-
сурс по заработной плате использован не полностью (х3 =
«= 10 тыс. р.).
192
В справедливости полученных результатов можно убе-
диться непосредственной подстановкой значений базисных
переменных в исходные ограничения и функцию цели.
При построении симплексной таблицы предполагается,
что получено опорное решение, т. е. система ограничений
приведена к единичному базису таким образом, что правая
часть этой системы — положительна. Очевидно, что пред-
варительное получение опорного решения создает опреде-
ленные трудности. Для применения симплексной таблицы
непосредственно к исходной системе ограничений, приведен-
ной к каноническому виду, используется метод искусствен-
ного базиса .(М-метод)....................
Пусть задана система ограничений в каноническом виде
и функция цели, причем у части ограничений отсутству-
ют базисные неизвестные
( ^1,1*1 + ^1,2^2 4~ • • • 4" а\,пХп 4" — ^1»
#2,1-^1 4“ а2,2Х2 4" • • • 4- ^2пХп 4" -^п4-2 = ^2>
ak,ixi 4" ak,2x2 4- • • • 4~ ^ktnxn 4“ xn+k = bk9
^k+\xi 4“ Дл-н»2X2 4- • • • 4“ ak+i,nXn —
l ат,1Х1 4“ am,2X2 4- • • • 4- am,nxn — bm^
F = C1xt + c2x2 4- ... 4- Cnxn max.
В этой системе первые k ограничений содержат положи-
тельные балансные неизвестные хп+2, ...» хп^9 кото-
рые являются базисными. В функции цели балансные неиз-
вестные не учтены, поскольку они появились в процессе
приведения системы ограничений к каноническому виду.
Остальные т — k ограничений не содержат базисных пере-
менных.
Для получения системы ограничений в базисном виде
в каждое из последних т — k ограничений введем искусст-
венную базисную переменную xrt+*+i, Xn+w, хп+т-
Очевидно, что эти переменные нарушат равенство левой и
правой частей ограничений, если они не будут выведены в
свободные неизвестные при получении оптимального реше-
ния. Для обеспечения вывода искусственных переменных
из базиса модифицируется функция цели: из нее вычитают-
ся искусственные переменные, умноженные на оценку М9
где М — сколь угодно большое число. Поскольку алгоритм
симплексного метода должен обеспечить максимальное
7 529
193
значение функции цели, то искусственные переменные, вы-
зывающие ее уменьшение, будут выводиться из базиса.
Таким образом, при использовании метода искусственного
базиса система ограничений и функция цели должны быть
приведены к следующему виду:
I ^1,1^1 + а1,2^2 + • • • + а1,пХп + = ^1»
• • ....................
о*,1Х* 4~ #*,2Х2 4~ • • • 4— ^k,n^n 4~ %п+ь ^*» 12^
0*4.1,1Хх + 0*4-1,2Xg 4“ • • • 4" 0*4-1 ,ЛХП + Х/14-Л4-1 в ^*4-1»
I Отд%1 4“ От,2Х2 -р • • • 4“ От>ЛХЛ 4" ^п4-т в
F = CiXi 4- с2х2 4- ... +спхп— Л4хл+*4.1 —
— Mxn+k+2— ... — Mxn4.m->max.
В симплексную таблицу функцию цели можно включать
только в том случае, если она выражена через свободные
неизвестные. Поэтому искусственные неизвестные хЛ4-*4-ь ...
..., хП4-т выразим через свободные неизвестные и подста-
вим их в функцию цели.
Определим оценки свободных неизвестных и свободный
член в функции цели. В результате подстановки искусствен-
ных неизвестных в функцию цели получим
= — М (bk+i 4- bk^2 + • • • + bm),
й = Ci 4~ 7И (#*4-1,1 4“ o*4-2.i 4- • • • + отд),
C2 = C2 4- M (#*4-1,2 4- #*4-2,2 4" • • • 4~ #m,2)>
cn — cn-\- M (ak^.itn 4- #*4-2,n 4" ••• 4“ #тл)-
Таким образом, для составления симплексной таблицы к
системе линейных ограничений (6.12) следует добавить
функцию цели, представленную в виде (т 4- 1)-го ограни-
чения:
7? С\Х^ С2Х2... спхп — 7*q.
Решение задачи линейного программирования Af-мето-
дом рассмотрим на примере.
194
Пусть задана такая задача линейного программирова-
ния:
+ 2х2 — х3 25,
4Xi— х2 + х8 <44,
2Х} -J- 2х2 -^з — 48,
Xi 4“ %2 ~Ь 5х3 = 78,
F = 8Xi 4- 2х2 4- 10х3 -> max.
Приведем систему ограничений к каноническому виду
и для получения опорного решения в третье и четвертое
ограничения введем искусственные базисные переменные
Xj 4- 2х2 — х3 4- *4 = 25,
4хх — х24- х3 4-хб =44,
2xi Н~ 2х2 4-^з + х6 =* 48,
Xi 4~ х2 4~ 5х3 4~ -^7 “ 78.
Базисные переменные х4 и хб являются балансными и
не учитываются в функции цели. Базисные переменные
хв и х7 являются искусственными и симплексным алгорит-
мом должны быть выведены из базиса. Для этого функцию
цели представим в виде
F = 8х! 4- 2х2 4- 10х3 — Л4хб — Л4х7 -> max.
Для применения симплексной таблицы базисные неиз-
вестные должны быть выведены из функции цели. Рассчи-
таем коэффициенты функции цели после замены базисных
неизвестных свободными
Fo = — М (Ь3 4- &4) = — 126Л1,
С\ = С! 4- М (a3J + а4д) = 8 4- ЗМ,
^2 = с2 4~ М (#з,2 4“ ^4,2) — 2 4“ ЗЛ4,
с3 = с3 М (#з,з 4~ ^4,з) = 10 4“ 6А4.
Окончательно функция цели, представленная в виде
пятого ограничения, примет вид
F — (8 4- ЗЛ4) Xj — (2 4- ЗЛ4) х2 — (10 4- 6Л4) х3 = — 126Л4.
Решение задачи линейного программирования Al-мето-
дом приведено в табл. 6.7. В нулевой итерации представле-
на исходная матрица коэффициентов. В первой итерации
из базиса выведена искусственная переменная х7, поэтому
7*
195
Таблица 6.7
Номер итера- ции Базис- ные пере- мен- ные 8 2 10 0 0 —М —м bi Контрольный столбец
xi Х2 *3 *4 *5 хв Х1
х4 1 2 — 1 1 0 0 0 25 25-0
*5 4 —1 1 0 1 0 0 44 44-0
0 2 2 1 0 0 1 0 48 —48-М
Х1 1 1 н 0 0 0 1 78 —78-М
F —8—ЗМ —2—ЗМ —10—6Л4 0 0 0 0 —126Л4 -126-М
х4 1,2 2,2 0 1 0 0 40,6 40,6-0
*3 3,8 — 1,2 0 0 1 0 28,4 28,4-0
1 х4 1,8 1,8 0 0 0 1 32,4 —32,4-М
Х3 0,2 0,2 1 0 0 0 15,6 15,6-10
F —6— 1,8/И — 1,8М 0 0 0 0 156—32,42И 156—32,4- М
Х4 0 2,579 0 1 —0,316 0 31,631 31,631-0
П *1 1 —0,316 0 0 0,263 0 7,474 7,474-8
2 *• 0 2,369 0 0 —0,473 1 18,947 18,947- (-М)
х3 0 0,263 1 0 —0,053 0 14,105 14,105-10
F 0 —1,896 0 0 1,578+ 0 200,842— 200,842—18,94744
—2,363 -М +0,473- М —18-947М
х4 0 0 0 1 0,2 11 11-0
xi 1 0 0 0 0,2 10 10-8
3 Ха 0 1 0 0 Q 2 8 8-2
х3 0 0 1 0 б 12 12-10
F 0 0 0 0 1,2 216 216
столбец этой переменной вычеркивается и в дальнейших
расчетах не участвует. После первой итерации из базиса
удаляется балансная неизвестная х6, после второй — ис-
кусственная неизвестная хв. В третьей итерации столбец
искусственной неизвестной хв вычеркивается и в дальней-
шем не рассматривается.
В третьей итерации табл. 6.7 приведено окончательное
решение задачи. В базис вошли переменные хп х2 и х3, для
которых три последних ограничения выполняются как ра-
венства. Балансная неизвестная х4 также вошла в базис,
следовательно, первое ограничение выполняется как нера-
венство.
Анализ и интерпретация решения задачи линейного
программирования в ряде случаев могут быть эффективнее
при исследовании двойственной модели.
Двойственные модели задач линейного программирова-
ния базируются на двух основных теоремах:
1. Оценка максимального количества конечной продук-
ции, которая может быть произведена при имеющихся запа-
сах ресурсов, равна оценке этих ресурсов.
2. Если исходная задача имеет конечное оптимальное ре-
шение, то это справедливо и для двойственной к ней задаче,
причем оптимальные значения целевых функций совпадают.
Общий порядок построения двойственных моделей сле-
дующий:
а) если прямая задача является задачей максимизации,
то двойственная к ней будет задачей минимизации;
б) коэффициенты при неизвестных в целевой функции
прямой задачи становятся свободными членами в ограни-
чениях двойственной задачи;
в) свободные члены из ограничений прямой задачи ста-
новятся коэффициентами при неизвестных в целевой функ-
ции двойственной задачи.
В общем виде прямая и двойственная к ней задачи имеют
следующий вид:
Прямая задача
п
Максимизировать СуХу при
/—1
ограничениях
У aZyXy<^ (/=1,2.........m),
Ху >0 (/ = 1, 2, ,,, , л)
Двойственная задача
т
Минимизировать b.ut при
^=1
ограничениях
iui С1 = > л),
и( >0 (/ = 1, 2, .,. , т).
W
Согласно основным теоремам
п т
S cixi = X btut.
/=i z=i
В двойственной задаче переменная щ является «ценой»
(«теневой ценой», или «оценкой») соответствующей единицы
ограниченного ресурса. Она равна величине, на которую
могла бы повыситься суммарная прибыль, если бы коли-
чество данного ограниченного ресурса увеличилось на еди-
ницу и это увеличение было бы использовано оптимально.
Иными словами, щ — это количество прибыли, недополу-
ченной из-за отсутствия дополнительной единицы ресурса.
Таким образом, исходная задача максимизации прибыли
преобразована в задачу минимизации недополученной при-
были.
Составим и решим двойственную модель применительно
к матрице ресурсов, представленной в табл. 6.2.
Минимизировать
250^ + 114//2 + 49,2w3-> min,
при ограничениях
10иг -J- 2//2 Н- 1,6//3 15,
4//1 -J- 3//2 14.
Здесь иъ и2, и3 — «цена» 1 р. соответственно заработной
платы трудящихся добычных участков, плановых амортиза-
ционных отчислений и ресурсов по материалам, расходуе-
мым участками.
Результаты решения задачи симплекс-методом: = 0;
и2 = 2,638; и3 = 6,084.
Таким образом, результаты, решения двойственной за-
дачи позволяют сделать следующие весьма важные выводы,
дополняющие результаты решения основной задачи (см.
табл. 6.6):
а) если мы сможем увеличить ресурсы по амортизацион-
ным отчислениям и материалам на 1 р. и это увеличение
будет использовано оптимально, то выручка от реализации
повысится соответственно на 2,638 и 6,084 р.;
б) нулевая «цена» ресурсов по заработной плате ==
= 0) свидетельствует о том, что данный ресурс имеется
в избыточном количестве и значит его увеличение не при-
ведет к улучшению экономической деятельности шахты.
(Действительно, в решении основной задачи балансная не-
известная х3 = 10, т. е. заработная плата недорасходуется
на 10 тыс. р.);
Н>8
в) оценки неизвестных в целевой строке на последней
симплекс-итерации (см. табл. 6.6) соответствуют оптималь-
ным значениям переменных двойственной задачи. Это важ-
ное правило, вытекающее из теории двойственности, позво-
ляет судить о величине двойственных оценок при решении
прямой задачи.
В этой связи отметим, что двойственные модели линей-
ного программирования несут весьма полезную экономи-
ческую информацию, поскольку часто важнее оценить на-
ши возможности и ресурсы, чем определить объемы выпу-
скаемой продукции.
Таким образом, если в результате решения любой задачи
линейного программирования получен ответ = а,х 2 —
..., хп — fe, это свидетельствует о том, что одни ресурсы
использовались полностью, а другие — частично. Возни-
кает вопрос, как изменится прибыль, если:
а) увеличится количество дефицитного ресурса;
б) предприятие при данных ресурсах начнет выпускать
другую продукцию.
На эти и другие аналогичные вопросы можно получить
ответ, решив двойственную задачу.
6. 4. Транспортные задачи линейного
программирования
При планировании объемов перевозок, определении
загрузки оборудования, распределении трудовых ресурсов,
построении сетей вскрывающих и подготовительных выра-
боток и при решении других проблем возможно построение
экономико-математических моделей, которые относят к
классу транспортных задач линейного программирования.
Рассмотрим формулировку транспортной задачи в клас-
сической постановке. Пусть имеется т поставщиков, кото-
рые располагают однородным продуктом в количествах аи
а2, •••> ат единиц соответственно. Этот продукт следует до-
ставить потребителям, спрос которых равен Ь1У Ь2, ..., Ьп.
Стоимость перевозки единицы груза от f-го поставщика до
/-го потребителя равна сц. Допустим, xij — количество
продукта, перевозимого по маршруту ij, i = 1,2, ..., m; / ==
= 1,2, ..., п. Требуется определить величины хц для всех
поставщиков и потребителей, при которых суммарная стои-
мость будет минимальной.
Транспортную задачу можно представить в ваде транс-
портной таблицы (табл. 6.8), в которой строкам соответст-
вуют поставщики, а столбцам — потребители. Показатель
19?
Таблица 6.10
Поставщики Потребители Потенциалы строк “4
1 2 3 4
155 85 85 275
100 Lr_ 100 -г 4 | 3 + l_2_ 0
. 2 200 I 2 I 4— 55 । 8 85 1_22_ I 9 60 0
з • 300 I 5 I 3 [ 2 85 Ll_ 215 — 1
Потенциалы столбцов Зу 2 8 3 9
распределение, выполненное методом «северо-западного уг-
ла», представлено в табл. 6.9.
Метод наименьшего элемента в строке применяется в
том случае, если строк в транспортной таблице меньше, чем
столбцов. В каждой строке матрицы, начиная с первой, на-
ходят минимальные показатели сц и в соответствующие
клетки заносят величину поставки. Если при этом возмож-
ности поставщика исчерпаны не полностью, в этой строке
находят следующий минимальный по величине показатель
Сц и туда заносят величину поставки. Опорное распределе-
ние, выполненное методом наименьшего элемента в строке,
приведено в табл. 6.10. Для полученного в этой таблице опор-
ного решения стоимость перевозок равна
F = 100 • 2 + 55 • 2 + 85 • 8 + 60 • 9 + 85 • 2 +
+ 215 • 8 = 3420.
Обращаем внимание на то, что опорное решение явля-
ется одним из возможных решений системы уравнений (6.14),
(6.15). Эта система содержит т + п уравнений, линейно
зависимых по условию (6.13). Следовательно, любое базис-
ное решение данной системы должно содержать т + п — 1
отличных от нуля значений. Поэтому в транспортной таб-
лице любое допустимое решение должно содержать т +
+ п — 1 заполненных клеток.
Проверка полученного распределения на оптимальность
производится с помощью специальной системы оценок, на-
зываемых потенциалами. Сначала по заполненным клеткам
202
- транспортной таблицы вычисляются потенциалы строк
af и столбцов р/ по следующим правилам:
1) потенциал первой строки принимается произвольным
(например, равным нулю);
2) в первой строке находится занятая клетка; пусть это
клетка 1, /; потенциал /-го столбца Р/ = c\j — Этот пункт
выполняется для всех занятых клеток данной строки;
3) выбирается занятая клетка в /-м столбце, потенциал
которой Р/ определен ранее; пусть это клетка ij; потенциал
Лй строки рассчитывается по формуле аг- = ci}- — Р/.
Описанная процедура выполняется до тех пор, пока не
будут вычислены потенциалы всех строк и столбцов. Под-
черкнем, что при правильно построенной системе потенциа-
лов строк и столбцов для каждой занятой клетки должно
выполняться правило = аг- + Р/. Потенциалы строк
и столбцов, вычисленные по изложенным выше правилам,
приведены в табл. 6.10. Потенциал первой строки ах при-
нят равным нулю; в первой строке занята клетка 1,1, сле-
довательно, Рх = С1.1 — aj = 2 — 0 = 2; по потенциалу
Рх для клетки 2,1 находим a2 = c2,i — Pi = 2 — 2 = 0.
Аналогично производят расчет и других потенциалов.
По потенциалам af и Р/ можно установить, является ли
полученный план перевозок оптимальным. Для этого вы-
числяют потенциалы клеток по формуле = а; — (ai +
+ Р/). Очевидно, что потенциалы занятых клеток будут
равны нулю. Если величина > 0, то перемещение в эту
клетку (по определенному правилу) единицы груза приведет
к увеличению затрат на Р^ единиц стоимости, а если Рц <
< 0, то затраты сократятся. Если же Pt/ = 0, то перемеще-
ние груза в эту клетку не отразится на величине затрат.
Вычислим потенциалы свободных клеток для транспорт-
ной табл. 6.10. Матрица потенциалов имеет вид
Pi
0 —4 0 — 9"
0 0 7 0
4—4 0 0
Из этой матрицы следует, что клетки 1,2; 1,4 и 3,2 име-
ют отрицательные потенциалы, причем наибольшее сниже-
ние сбщей стоимости перевозок будет достигнуто в том слу-
чае, если груз направить в клетку 1,4, имеющую наиболь-
ший по абсолютной величине отрицательный потенциал.
Наличие отрицательных потенциалов свидетельствует
о том, что план перевозок является пеоптимальным и мо-
жет быть улучшен путем перераспределения груза в клетки
203
Таблица 6.8
Поставщики Потребители
1 ь, • . . п ьп
1 “1 Х11 С11 х12 с12 . . . х1л с1л г
2 “2 Х21 Г21 х22 с22 . . • х2л с2п
• • • • • • . . . . . .
т ат т 1 Ст1 х/л2 ст2 . . • хтл тп
Сц помещен в правом верхнем углу соответствующей кле-
точки матрицы.
Предположим, что суммарное количество груза у постав-
щиков равно суммарному спросу потребителей, т. е.
1 т п
(6.13)
/=1
В этом случае должны выполняться условия баланса
для количества груза, отправляемого каждым поставщиком,
и количества груза, получаемого каждым потребителем,
У Xij = at, i — 1, 2, *.. , т, (6.14)
/=i
У хи — bj j = 1, 2, ... , n. (6.15)
i=l
Очевидно, что объемы перевозок не могут принимать
отрицательные значения, т. е. > 0.
Цель решения задачи — минимизация стоимости пере-
возок. Поскольку затраты на перевозку по маршруту ij
равны CijXij, то функцию цели можно записать в виде
т п
F = S S CijXij -> min.
t=i /=i
Рассмотренная транспортная задача относится к классу
задач закрытого типа. Практически возможны такие ситуа-
ции, когда количество груза у поставщиков больше (мень-
200
Таблица 6. 9
Поставщики Потребители
1 2 3 4
155 85 85 275
1 100 1( 2 )0 4 3 3
2 200 5 2 5 в 8 5 60 10 9
3 300 5 3 2‘ 2 2 8 75
me) спроса потребителей. Подобные задачи относятся к
классу транспортных задач открытого типа.
Наиболее распространенным и эффективным методом
решения транспортных задач, является метод потенциалов,
предполагающий выполнение таких процедур:
1) построение опорного распределения;
2) проверка полученного распределения на оптималь-
ность;
3) улучшение плана путем перераспределения груза.
Этапы 2 и 3 повторяются несколько раз до получения
оптимального решения.
Рассмотрим алгоритм решения задачи на конкретном
примере. Пусть имеется три поставщика и четыре потреби-
теля, транспортные связи между которыми указаны в
табл. 6.9.
Построение опорного распределения может производить-
ся методом «северо-западного угла», методом наимень-
шего элемента в строке или столбце либо по наименьшему
элементу в матрице.
Сущность метода «северо-западного угла» заключается
в следующем: распределение груза выполняется, начиная
с верхней левой клетки (или «северо-западной» клетки).
Если количество груза у первого поставщика больше, чем
спрос первого потребителя, то груз первому потребителю
назначается полностью, а оставшийся у поставщика груз
отдается второму потребителю. Если же спрос потребителя
превышает возможность поставки, то поставщик отдает весь
груз этому потребителю, а недостающий груз берется у сле-
дующего поставщика. Эта процедура последовательно по-
вторяется со всеми поставщиками и потребителями. Опорное
201
Таблица 6.11
Поставщики Потребители Потенциалы строк “4
1 2 3 4
155 85 85 275
1 100 I 2 I 4 _ j_L_ J 3 0
40 J- “ “] 60
2 200 I—L I 8 I 10 I I-2- 0
11.5 !_ + 85 I
3 300 I 5 11 3 1_2_ I I 8 5
I +| 85 j 215
Потенциалы столбцов Зу 2 8 -3 3
с отрицательными потенциалами и прежде всего в клет-
ку 1,4.
Занесем в клетку 1,4 единицу груза и отметим это в клет-
ке знаком «+»• Очевидно, что этот груз надо взять из заня-
той клетки, например, клетки 1,1, иначе будет нарушен
баланс количества груза в строке. Знак «—» в клетке 1,1
показывает, что из нее единичный груз переносится в клет-
ку 1,4. Однако при выполнении этой операции нарушается
баланс груза в первом столбце и для его восстановления по-
метим знаком «+» клетку 2,1. Это вызовет нарушение ба-
ланса по количеству груза во второй строке и для его вос-
становления вычтем единичный груз из клетки 2,4, поме-
тив ее знаком «—». Клетки 1,4; 1,1; 2,1 и 2,4 образуют замк-
нутый контур с прямыми углами (см. контур, показанный
пунктиром в табл. 6.10). В построенном контуре две верши-
ны отмечены знаком «+» и две — знаком «—». Из «отрица-
тельных» вершин груз будет забираться и добавляться к
«положительным». Очевидно, что если выполнить перерас-
пределение не одной, a Q единиц груза, то стоимость пере-
возок уменьшится на величину РifQ. Поэтому целесообраз-
но перераспределять как можно большее количество груза.
В рассматриваемом контуре в «отрицательных» вершинах
находится 100 и 60 единиц груза. Следовательно, вычитать
из «отрицательных» вершин можно не более 60 единиц груза,
который затем добавить в «положительные» вершины (2,1
и 1,4). Выполнив перераспределение груза, получим новый
план перевозок (табл. 6.11). Стоимость перевозок составля-
ет F « 2880.
204
Таблица 6.12
Потребители Потенциалы строк
Поставщики 1 2 > 3 4
155 85 85 275 а1
’1 100 2 4 3 3 100 0
2 200 I 2 155 4! WI ~1 1 00 J 10 । -> + 9 10
3 300 Li_ 4С >1 1 1_2_ 85 1 —J Ll_ 175 5
Потенциалы столбцов — 8 - 2 -3 3
Новый план перевозок отличается от предыдущего тем,
что клетка 1,4 стала занятой, а 2,4 — свободной. Таким об-
разом, при перераспределении груза количество занятых
клеток не изменилось, следовательно, контур, по которо-
му перераспределяют груз, должен содержать только одну
свободную угловую клетку.
Проверяем план перевозок (см. табл. 6.11) на оптималь-
ность. Матрица потенциалов имеет вид
Г 0 —4
Р2 = О О
— 2 —10
6 О'
13 6
0 0
Наибольший отрицательный потенциал имеет клетка
3,2, в которую будем перераспределять груз. Вершины кон-
тура перераспределения находятся в клетках 3,2; 3,4; 1,4;
1,1; 2,1 и 2,2. Из всех «отрицательных» вершин наименьшее
количество груза (40 единиц) содержит клетка 1,1.
Очередной новый план перевозок приведен в табл. 6.12.
Стоимость перевозок F = 2480.
Проверяем план перевозок на оптимальность. Матрица
потенциалов имеет вид
ГЮ
6 6
0 3
о о
0
2
О'
— 4
0
205
Таблица 6,13
Потребители Потенциалы строк
Поставщики 2 3 4
155 85 85 275 а1
1 100 2 4 3 1( 3 )0 0
2 200 15Е 2 8 10 4 9 5 6
3 300 5 е 3 J5 1 2 35 12 8 (0 5
Потенциалы столбцов — i 1 - 2 — 3 3
Отрицательный потенциал имеет только одна клетка
2,4, в которую необходимо перераспределить груз. В ре-
зультате перераспределения 45 единиц груза 'вновь полу-
чим новый план перевозок (табл. 6.13). Матрица потенциа-
лов для этого плана имеет вид
6 6 0"
4 7 0
ООО
Матрица Р4 не имеет отрицательных элементов, следо-
вательно, полученный план перевозок является оптималь-
ным. Затраты на перевозки составляют F = 2300. Если
сравнить полученный план перевозок с опорным, то нетруд-
но заметить, что функция цели уменьшилась с 3420 до 2300
единиц.
Контуры, по которым производилось перераспределение
грузов, могут иметь самую различную геометрическую фор-
му. Вместе с тем, независимо от их размеров и формы,
они обладают следующими общими свойствами:
1) к каждой свободной клетке транспортной таблицы
можно построить контур перераспределения и притом толь-
ко один;
2) контур является замкнутым многоугольником, имею-
щим четное число вершин;
3) все углы контура прямые и каждый его отрезок (меж-
ду соседними вершинами) принадлежит одному столбцу или
одной строке;
206
4) вершины контура, кроме той, в которую перераспре-
деляется груз, являются занятыми клетками транспортной
таблицы;
5) отрезки контура могут проходить через занятые клет-
ки транспдртной таблицы.
При построении опорного решения или в процессе ре-
шения задачи может, случиться, что количество заполнен-
ных клеток в транспортной таблице меньше, чем т + п —
— 1. Транспортные задачи в таком случае называются вы-
рожденными.
Рассмотрим явление вырожденности более подробно.
Обозначим 1 — множество индексов поставщиков, J — мно-
жество индексов потребителей, / = {1, 2, ..., т}, J »
== (1, 2, ..., п]. Предположим, каждое из этих множеств
можно разделить на два подмножества / = Л U 2=1
= A U А- Пусть разбиение множеств обладает таким
свойством:
Sa<=Sft/, (6.16)
S ai = S bl. (6.17)
Kit KJt
В этом случае на систему уравнений (6.14), (6.15) накла-
дываются два ограничения, следовательно, система может
иметь базисное решение, содержащее т п — 2 отличных
от нуля неизвестных. Очевидно, что в этом случае невозмож-
но вычислить потенциалы строк и столбцов и построить кон-
тур для перераспределения груза. Аналогичные трудности
имеют место и в том случае, когда множество индексов по-
ставщиков и потребителей можно разбить на большее
количество подмножеств.
Для устранения эффекта вырожденности изменяют спрос
потребителей по следующей схеме:
b\ = &i + е, Ь? = Ь2 + е, ... , b\-i = Ьп_х + 8,
Ьп = Ьп + (п — 1) 8,
где 8 — достаточно малое число. Очевидно, что в этом слу-
чае будут нарушены равенства (6.16), (6.17), но равенство
(6.13) выполняться будет, так как У, bf = У &/. После
KJ KJ
получения оптимального решения принимают е = 0.
Пример. Три шахты поставляют на обогатительные фабрики уголь
одной марки. Объем суточной добычи шахт, суточная мощность фабрик
и стоимость транспортирования 1 т угля представлены в табл. 6.14.
207
Таблица 6.14
Шахты Фабрики
1 2 3
1500 1800 1400
1 1500 1500 0,8 2.0 1.0
2 2000 0,6 1800 0,9 20С 1,0 )
3 \ 1200 1,4 2,3 1200 1,6
Опорный план перевозок построен методом наименьшего элемента
в строке. Из таблицы видно, что количество занятых клеток равно 4.
Для применения метода потенциалов должно быть заполнено т 4~
+ п— 1, т. е. 5 клеток. Таким образом, имеет место явление вы-
рожденности аг~ а2 4- а3 = 4- &з-
Для устранения вырожденности преобразуем спрос потребителей
по изложенному ранее правилу (табл. 6.15). Как видно из таблицы,
опорное решение содержит 5 занятых клеток, что позволяет найти потен-
циалы строк и столбцов. Матрица потенциалов
‘0,0 0,9 — 0,2“
Р1 = 0,0 0,0 0,0
,0,2 0,8 0,0.
Таблица 6.15
Шахты Фабрики Потенциалы строк а1
1 2 3
1500 + Е 1800 4-Е 1400 - 2Е
1 1500 0,8 2,0 1,0 0
1500 — — --) +
2 2000 I I °'6| 0,9 I 1,0 -0,2
£ I 1800 + г I 200 - - 2Е
3 1200 I I м 2,3 1,6 0,4
1200
Потенциалы столбцов /Зу 0,8 1,1 1,2
208
Таблица 6.16
Шахты Фабрики Потенциалы строк Ч
1 2 3
1500+ £ 1800+ £ 1400-2 £
1 1600 1300 0,8 + 2£ 2,0 200 1,0 -2 е 0
2 2000 200 0,6 1800 0,9 1,0 -0,2
3 1200 1.4 2,3 120С 1,6 I 0,6
Потенциалы столбцов 0,8 1,1 х 1,0
Из матрицы Рт следует, что перераспределение груза на маршрут
1,3 должно улучшить план перевозок. В клетку 1,3 перемещаем 200—2в
единиц груза. Получаем новый план перевозок, представленный в табл.
6.16. Матрица'потенциалов этой транспортной таблицы не содержит
отрицательных элементов, следовательно, полученное решение является
) оптимальным. Для перехода к окончательному решению в табл. 6.16
примем е =« 0.
6.5. Модификации транспортных задач
1. Открытая модель транспортной задачи предполагает
неравенство суммарной мощности поставщиков суммарно-
му спросу потребителей. Это обстоятельство учитывается
т п
ограничением £ 0/ £ &/.
»=i
Для перехода от открытой модели к закрытой дополни-
тельно вводится фиктивный поставщик или потребитель.
т п
Если £ at > У bj9 то вводится фиктивный потребитель,
i=i /==1
т п
спрос которого равен Ьф = у at — у Ь/. В противном слу-
t=i /=1
.чае вводится фиктивный поставщик, мощность которого
п т
at. Столбец (строку) фиктивного потребите-
ле 4=1
4 -ля (поставщика) будем называть фиктивным. Показатели
' Ctj в фиктивной строке или столбце могут принимать любое
численное значение (например, равное нулю); важно, чтобы
иОни были одинаковы во всех фиктивных клетках.
«09
Таблица 6.17
Поставщики Потребители
1 2 3
65 55 130
1 85 5 4 3
85
2 75 1 2 4
65 10 -
3 90 4 3 4
4Е 4! 5
Преобразованная таким способом транспортная задача
решается методом потенциалов. После получения оптималь-
ного плана перевозок фиктивная строка (столбец) исклю-
чается из рассмотрения.
2. Ограничение пропускной способности достаточно часто
встречается при решении горно-экономических задач, осо-
бенно при синтезе сетей горных выработок.
Оптимальное решение транспортной задачи без учета
пропускной способности маршрутов представлено в табл.
6.17. Стоимость перевозок равна F = 3 • 85 4- 1 -65 4-2 X
X 10 4- 3 • 45 4- 4 • 45 = 655. Предположим, что на мар-
шруте 2,1 пропускная способность ограничена и по нему
можно перевезти не более 20 единиц груза. В этом случае
производится следующее преобразование транспортной таб-
лицы. Столбец, соответствующий участку с ограниченной
пропускной способностью, разбивается на два столбца. В
первом из них сцрос принимается равным ограниченной
пэопускной способности, а во второй заносится остаток
спроса. Показатель ct/ на маршруте с ограниченной про-
пускной способностью в первом столбце не меняется, а во
втором принимается равным М (его величина численно не
обозначается и считается равной сколь угодно большому
числу). Другие оценки клеток в этих столбцах остаются не-
изменными. По преобразованной ^аким образом транспорт-
ной таблице выполняется рас1ет методом потенциалов.
Оптимальный план перевозок приведен в табл. 6.18.
Отметим, что стоимость перевозок возросла и стала рав-
ной F = 745. Это подтверждает важный принцип оптималь-
ного программирования: дополнительные ограничения, если
их учет влечет за собой изменение плана, обязательно при.
210
Таблица 6.18
Поставщики Потребители
1 Г 2 3
20 45 55 130
1 85 5 5 4 8 3 5
2 75 20 Ll_ I I I м 5! 2 4
3 90 4 4Е 4 3 4! 4 5
водят к ухудшению функционала. Это относится и к случаям
принятия волевых решений типа обязательных поставок.
3. Многоэтапные транспортные задачи. При планиро-
I в.ании перевозок в ряде случаев возникает необходимость
доставки груза через перевалочные пункты. Предполага-
. ется при этом, что часть груза может доставляться непо-
средственно на конечные пункты — потребителю. Перева-
L лочные пункты имеют ограниченную пропускную способ-
ность, которая может быть как меньше, так и больше мощ-
к ности поставщиков.
Методику решения задачи рассмотрим на следующем
примере. Пусть на карьере имеется три вскрышных забоя,
f откуда порода автотранспортом может доставляться либо
непосредственно в отвалы, либо на два перевалочных пунк-
та. От этих пунктов конвейерным транспортом порода до-
/ ставляется в те же отвалы (рис. 44). Известна стоимость
транспортирования 1 м3 вскрышных пород автомобильным
% и конвейерным транспортом. Необходимо составить такой
. план перевозок, чтобы суммарная стоимость доставки поро-
... ды в отвалы была минимальна.
Как и ранее, в транспортной таблице строки соответст-
вуют пунктам отправления, а столбцы — пунктам назна-
чения. Очевидно, что перевалочные пункты выполняют
’ двойную роль, поскольку они являются как пунктами на-
значения, так и пунктами отправления. Объемы суточных
- перевозок, пропускная способность перевалочных пунктов
' и стоимость транспортирования 1 м3 пород приведены в
, табл. 6.19. Из таблицы видно, что суммарная пропускная
> способность перевалочных пунктов и приемная способность
Отвалов больше суммарной производительности вскрышных
211
Рис. 44. Схема транспортирования вскрышных пород в от-
валы:
/, 2, 3 — экскаваторные забои; 4, 7 — перевалочные пункты;
5, б — отвалы
забоев. По условию задачи между перегрузочным пунктом
№ 4 и пунктом № 7 перевозки не осуществляются, поэтому
оценки соответствующих клеток (ctJ принимаются равны-
ми М (сколь угодно большому числу). Перевалочный пункт
№ 4 связан с отвалом № 5, а перевалочный пункт № 7 —
с отвалом № 6, поэтому для маршрутов 4,4 и 5,3 также
введены оценки, равные М. Очевидно, что данная задача
относится к открытым транспортным задачам и для нее дол-
жен быть добавлен фиктивный поставщик с мощностью
4100 м3 (строка в табл. 6.19).
Поскольку перевалочные пункты выполняют роль и по-
ставщиков и потребителей, то стоимость перевозок из пере-
в 1лочного пункта до него же должна быть равна нулю. Это
реализовано нулевыми оценками стоимости перевозок в
клетках 4,1 и 5,2. По этой же причине задача является вы-
рожденной.
Решение задачи производят методом потенциалов. Про-
межуточные вычисления опускаются. В табл. 6.19 приведен
оптимальный план перевозок.
212
Таблица 6.19
Пункты отправления Пункты назначения
1 2 3 4
Перевалочный пункт № 4 Перевалочный пункт № 7 Отвал № 5 Отвал №6
6000 м3 6000 м3 7000 м3 8000 м3
Забой № 1 1 4200 м3 6 8 10 25
4200
Забой № 2 2 2500 м3 7 6 18 21
700 1800
Забой №3 3 4200 м3 10 4 30 26
4200
Перевалочный пункт № 4 4 6000 м3 0 М 6 М
5300 700
Перевалочный пункт № 7 5 6000 м3 М 0 м 5
6000
Фиктивный поставщик 6 4100 м 0 0 | 0 2100 0
2000
Проанализируем полученное решение. Из забоя № 1 вся
порода направляется в отвал № 5, так как непосредственное
транспортирование из забоя в отвал обходится дешевле
, (10 к. за 1 м3), чем через перевалочный пункт № 4 (12 к. за
1 м3). Из забоя № 2 700 м3 породы направляется на пере-
* валочный пункт № 4, а остальные 1800 м3 — на перевалоч-
ный пункт № 7. Из забоя № 3 вся порода направляется на
• перегрузку в пункт № 7. Таким образом, пропускная спо-
собность перевалочного пункта № 7 используется пол-
* ностью, а № 4 — частично. В отвал № 5 направляется
4900, а в отвал № 6 — 6000 м8 породы. Груз, сосредоточен-
ный в строке фиктивного поставщика, соответствует резер-
ву приемной способности отвалов. Объем перевозок, поме-
. щенный в клетке 4,1, показывает, что пропускная способ-
ность перевалочного пункта № 4 в сутки недоиспользуется
на 5300 м3.
6.6. Транспортная задача в сетевой постановке
Транспортной сетью называется фиксированное на кар-
тосхеме расположение поставщиков, потребителей и ком-
муникаций между ними. Транспортную сеть принято изоб-
ражать в виде графа. Вершины графа, соответствующие
поставщикам продукции, отмечают знаком «+», а потре-
бителя — знаком «—». Коммуникации между поставщи-
ками и потребителями называются ребрами графа. Каж-
дому ребру соответствует число сц, являющееся оценкой
этой коммуникации в функции цели. Мощности поставщи-
ков и спросы потребителей изображают цифрами в верши-
нах графа. Целью решения задачи является определение
плана перевозок, минимизирующего функцию цели. Мето-
дику решения транспортной задачи в сетевой постановке
рассмотрим на примере.
Предположим, имеется транспортная сеть (рис. 45).
Как и в соответствующих матричных алгоритмах, решение
начинается с опорного (базисного) распределения. Ребра,
по которым будет направляться груз, выделяются, а на-
правление перемещений отмечается стрелками. Требования
к базисному распределению:
а) каждая мощность должна быть распределена, каждый
спрос — удовлетворен;
б) к каждой вершине должна подходить или выходить
из нее хотя бы одна стрелка;
в) количество стрелок должно быть равным п — 1, где
п — количество вершин;
г) стрелки не должны образовывать замкнутую цепь.
Опорное распределение, отвечающее приведенным выше
условиям, представлено на рис. 46. Левая цифра на ребре —
объем поставки, правая — показатель dj. Стоимость пе-
814
Рис. 46. Опорное распределение поставок на сети
ревозок, соответствующая этому решению, равна F —
- = 105 • 3 + 25 • 5 + 15 • 2 + П5 • 3 + 50 • 6 + 10 X
X 7 = 1185.
Проверка опорного плана на оптимальность произво-
дится с помощью системы потенциалов, которая строится
следующим образом. Произвольно выбранной вершине
присваивается любой потенциал. Затем, двигаясь только
по стрелкам, вычисляют потенциал других вершин. Если
стрелка выходит из вершины, то к потенциалу этой вер-
шины прибавляют показатель Если же направление
стрелки противоположно (стрелка входит в вершину), то
ш показатель с,, вычитают из потенциала вершины, соответ-
ствующей концу стрелки. На рис. 46 потенциалы отмечены
возле вершин в квадратной рамке.
Процедура проверки допустимого плана на оптималь-
г, ность сводится к определению потенциалов ребер, по кото-
рым не направляется груз. Каждое ребро имеет две верши-
ны и соответственно два потенциала. Из большего потен-
циала вычитается меньший и разность затем вычитается
из показателя ci} проверяемого ребра. Эта разность и
есть потенциал ребра. В частности, для ребра V—VI он
равен 4 — (19 — 15) = 0, для ребра VI—VII — 4 —(19 —
, — 13) = —2 и т. д.
План перевозок, изображенный на рис. 46, имеет ребра
с отрицательными потенциалами, следовательно, он не
. Оптимальный.
215
Рис. 47. Распределение поставок после первой итерации
Наибольший по абсолютной величине отрицательный
потенциал соответствует ребру VI—VII, значит необхо-
димо перераспределить поставки так, чтобы груз направ-
лялся по этому маршруту. Новую стрелку по ребру VI—VII
необходимо направить от вершины с меньшим потенциалом
к вершине с большим потенциалом (на рис. 46 новая стрелка
показана штриховой линией).
После ввода новой стрелки на сети образовалась цепь,
состоящая из стрелок по ребрам VII—V, V—III, III—IV,
IV—VI и VI—VII. Рассмотримте стрелки в этой цепи.Одна
из них совпадает по направлению с новой — это стрелка по
ребру V—III, другие противоположны по направлению —
это ребра VII—V, III—IV и IV—VI. Среди последних вы-
бирается стрелка с наименьшей поставкой (в данном случае
ребро III—IV). Найденная величина поставки (10 еди-
ниц) прибавляется ко всем поставкам по ребрам, имеющим
то же направление, что и новая стрелка, и вычитается из
поставок по ребрам, имеющим противоположное направ-
ление.
Поставки, не входящие в рассматриваемую цепь, ос-
таются без изменения. Выбранная ранее стрелка противо-
положного направления с наименьшей поставкой ликви-
дируется. Общее количество стрелок остается неизменным.
Новое распределение груза представлено на рис. 47.
Проверим полученное решение на оптимальность. Про-
извольно принимаем потенциал вершины III равным 20 и
определяем потенциалы остальных вершин. Из четырех ре-
бер без стрелок — ненасыщенных ребер (этот термин будет
встречаться при решении задачи синтеза сети горных выра-
боток) — лишь одно (II—III) имеет отрицательный потен-
циал. Новая стрелка пройдет от вершины III к вершине II.
216
При этом образуется цепь из ребер I—II, II—III, III—V,
V—VII и VII—I. В стрелках, противоположных по направ-
лению новой, наименьшая поставка, равная 25, находится
на ребре I—II. Перераспределяем поставки и получаем
план, представленный на рис. 48. Вычислив потенциалы
вершин и ребер, убедимся в его оптимальности. Функция
цели оптимального решения F = 1140, т. е. уменьшилась
на 45 единиц по сравнению с опорным планом.
Совершенно очевидно, что между матричной и сетевой
постановкой транспортной задачи много общего. Главное
же различие заключается в том, что в матричных алгорит-
мах каждый поставщик или потребитель может б$лть только
отправителем или получателем груза: движение груза через
них в другие пункты невозможно. В сетевой же постановке
мы не фиксируем направление движения груза из одного
пункта в другой, оно выбирается в ходе расчета. При этом
другие пункты служат в качестве промежуточных. Не
вызывает особых трудностей и учет ограничений по про-
пускной способности.
При решении на сети открытых моделей транспортных
задач также вводится фиктивный потребитель (поставщик)
со спросом (мощностью), равной небалансу. Он соединяет-
ся ребрами, имеющими одинаковые оценки С^, со всеми
поставщиками (потребителями). При этом, в отличие от
матричной постановки, оценки фиктивных ребер должны
быть существенно больше оценок маршрутов, связывающих
реальных поставщиков и потребителей. Это обусловлено
тем, что при сетевой постановке любой пункт (в том числе
и фиктивный) может служить в качестве промежуточного.
Поэтому оценки фиктивных маршрутов следует устанав-
ливать такими, чтобы было заведомо невыгодно использо-
217
вать фиктивного потребителя (поставщика) в качестве про-
межуточного пункта. На рис. 49 приведен пример откры-
той транспортной задачи на сети с оптимальным распреде-
лением поставок, фиктивный потребитель VII изображен
квадратом.
Из графа, приведенного на рис. 49, можно выделить то-
лько ту часть, которая изображает данный план перевозок,
исключив из рассмотрения незадействованные ребра графа.
Полученный таким способом граф называется частичным
подграфом исходного графа. Основной оценкой каждого
подграфа является значение его функции цели. Таким обра-
зом, решение транспортной задачи сводится к выделению из
графа подграфа с заданным на нем свойством— минималь-
ным значением функции цели. Такая интерпретация тран-
спортной задачи на сети будет использована при решении
задач перспективного планирования развития шахт.
6.7. Примеры прикладных оптимизационных
экономико-математических моделей
Оптимизация параметров вскрытия и подготовки шахт-
ных полей. В течение всего периода эксплуатации шахты
приходится практически непрерывно вести работы, свя-
занные с воспроизводством очистной линии забоев. Причем
для поддержания ранее достигнутой производственной
мощности кроме подготовки лав необходимо проводить
818
специальные работы по модернизации отдельных техноло-
гических звеньев, вскрытию дополнительных запасов и др.
Все эти работы объединяют под общим названием «подгото-
вка новых горизонтов». От правильно выбранных решений
по вскрытию и подготовке новых участков шахтного поля
существенно зависит не только объем капитальных вложе-
ний, но и надежность обеспечения плановых объемов до-
бычи.
Оптимальный способ вскрытия и подготовки шахтных
полей можно выбрать на основе решения транспортной за-
дачи на сети с ограниченной пропускной способностью ком-
муникаций. Сущность метода заключается в том, что ком-
плекс выработок рассматривается как транспортная си-
стема, по которой доставляется полезное ископаемое из
очистных забоев (пунктов производства) на поверхность
(пункт потребления). Особенность системы — учет расхо-
дов на транспортирование полезного ископаемого и затрат,
связанных с проведением и поддержанием горных выра-
боток.
В соответствии с этим для конкретных горно-геологи-
ческих условий намечается проведение любых технически
оправданных капитальных и подготовительных вырабо-
ток, составляющих определенную сеть. Данную сеть можно
представить в виде графа, дуги которого соответствуют гор-
ным выработкам, а вершины — их сопряжениям. На мно-
жестве дуг задаются затраты на проведение и поддержание
горных выработок Rih а также пропускная способность
г;/. На вершинах указываются некоторые числа, называе-
мые интенсивностями. Интенсивность может быть положи-
тельной ah что соответствует очистному забою, отрица-
тельной bf — поверхности шахты и нулевой, что идентично
сопряжению горных выработок.
Если обозначить объем перевозимого по выработке по-
лезного ископаемого стоимость транспортирования —
Сц, а затраты на проведение и поддержание горных вы-
работок — Rij, то функция цели задачи будет иметь сле-
дующий вид:
F = S CijXii + Rijh (хц) -> min. (6.18)
Здкь *(«,)=!' ес“х"’ь°:
и (0, если xij — О,
т. е. затраты на выработки, по которым не производится
транспортирование грузов, из функции стоимости исклю-
чаются.
819
Ограничения задачи:
а) количество перевозимого груза по дуге не должно
превышать ее пропускной способности
(6.19)
б) для сопряжений горных выработок, не производящих
и не потребляющих продукцию, должно выполняться ус-
ловие непрерывности транспортных потоков
S S хи - S S Хц = 0; (6.20)
I / I i
в) суммарный объем транспортируемого груза должен
быть равен производительности очистных забоев и объему
выданного на поверхность ископаемого
= (6.21)
i j i
£ £ Xii x= b. (6.22)
i /
Модель (выражения (6.18)—(6.22)) является сетевой
транспортной задачей, представленной коммуникациями
с ограниченной пропускной способностью. При этом на
исходном графе необходимо выделить частичный подграф
с заданными свойствами, т. е. должно выполняться усло-
вие У, = b — доставка груза от забоев до поверхности
при минимальных затратах.
В отличие от рассмотренной транспортной задачи на
сети данная модель имеет следующие особенности:
» а) вершины графа могут соединяться между собой не
одним, а несколькими ребрами (дугами) в зависимости от
типа выработки и вида транспорта (это преобразует графе
мульти граф);
б) в качестве базисных выбираются дуги, для которых
справедливо соотношение 0 < х£/ < гц (ненасыщенные
дуги);
в) если ненасыщенных дуг меньше, чем п — 1 (и — ко-
личество вершин сети), то в частичный подграф включаются
насыщенные (хг/ = г^/) и нулевые = 0) дуги;
г) на каждой дуге мультиграфа записываются три числа:
значения пропускной способности п/, показатель сц и
стоимостной критерий Ru. Если на дуге имеется ненуле-
вой поток, то первое число представлено дробью, где чис-
литель — величина хц9 знаменатель — пропускная спо-
собность гц;
220
д) строится система потенциалов и проверяется, являет-
ся ли распределение потока оптимальным. С этой целью
для каждой дуги, по которой не направляется груз, стро-
ится цикл из базисных дуг. Если поток по дуге равен нулю,
то направление обхода цикла принимается совпадающим с
направлением проверяемой дуги; е<;ли же величина потока
равна пропускной способности, то направление обхода
противоположно направлению проверяемой дуги.
Определяются дуги, совпадающие по направлению с
новой (отмечаются знаком у+) и противоположные по на-
правлению (у~). На дугах «положительной» полуцепи по-
ток может быть увеличен на.величину, равную
Qi = min \rii — Xf z], (6.23)
v+
а на дугах «отрицательной» полуцепи — уменьшен на ве-
личину, равную
Q2 = min[x£/]. (6.24)
v
В целом по циклу поток может быть изменен на вели-
чину
Q = min [Qp Q2]. (6.25)
Целесообразность изменения потока в данном цикле
устанавливается с помощью таких критериев:
если поток в проверяемой дуге х^ = 0, то поток в цикле
остается прежним при выполнении неравенства (Vit Vj —
потенциалы соответствующих дуге вершин)
F = Q [ci, - (К - И/)] + S Rti - X Rii > 0; (6.26)
v+ v~
если хц = rijt то проверяется неравенство
F = - Q [c4 - (Vt - И/)] + S *4 -• £ Rd > 0: (6.27)
v+ v
' если условия выполняются, то строится следующая цепь;
если не выполняются, то производится новое перераспре-
деление по правилу:
н fxi/ + Q—Для «положительной» полуцепи,
[Xij—Q — для «отрицательной» полуцепи;
е) выделив дуги, по которым величины поставок отлич-
ны от нуля, определяем частичный подграф, по которому
суммарные затраты на транспорт и сооружение выработок
минимальны.
221
Рассмотрим пример. На рис. 50 приведен мультиграф,
соответствующий некоторой сети. Требуется из него выде-
лить частичный подграф с минимальным весом (затратами)
по его дугам.
Интенсивность вершины 0 равна 50 единиц, груз на-
правляется в вершину 6, т. е. а0 = &6 = 50. Остальные
вершины являются перевалочными пунктами и для них
выполняются условия, предусмотренные ограничением
(6.22). Значения п/, сц и Rij записаны на каждой дуге.
Вершина 0 связана с вершинами 1 и 2 фиктивными дуга-
ми, поэтому показатели Сг/и fj/по этим дугам равны нулю.
Строим первоначальное распределение с учетом требо-
ваний алгоритма решения транспортной задачи на сети и
ограничения (6.19) (рис. 51).
Выделим частичный подграф, состоящий из базисных
дуг. Напомним, что их число равно п — 1 (и — количество
вершин) и они не должны образовывать замкнутых циклов.
Указанный подграф выделен на рис. 52 полужирными стрел-
ками.
Так как на графе
имеются мультидуги
2—5—1 и 2—5—II,
то удобнее сначала
рассматривать цик-
лы, образованные этой
парой. Поток по но-
вой дуге 2—5—I ну-
левой, поэтому на-
правление обхода цик-
ла совпадает с направ-
лением дуги. Опреде-
лим величины изменения потока по этому циклу в соот-
ветствии с выражениями (6.23) — (6.25), причем здесь одна
дуга 2—5—II противоположна по направлению новой
Qi — 1/2—5—I — *2—5—1] =30 — 0 = 30,
Q2 = 1*2—5—II ] = 30, г
Q = min [Qi, Q2] = 30.
Целесообразность изменения потока в рассматриваемом
цикле проверяется с помощью критерия
Q [с2-5-1 — (V6 — И2)] + /?2—5—I — /?2-5-П 0, »
30[6 + (8—2)] + 40 —50 = — 10<0.
Это свидетельствует о целесообразности направления
груза по дуге 2—5—I, причем величина x2-s-i будет равна
30, а по базисной ду-
ге 2—5— 11 соответст-
венно сократится на
30 единиц. На осталь-
ных дугах величина
потока не изменится.
Новое распределение
приведено на рис. 53.
Строим систему потен-
циалов и проверяем
условие оптимально-
сти для дуги 2—3.
При этом образуется
цепь из дуг 2—5,
5—6, 2—3 и 3—6.
223
Дуга, совпадающая
по направлению с но-
вой, — 3—6, противо-
положные по направ-
лению — 2—5 и 5—6.
Определим вели-
чину Q
Qi = minfr,/ — x/f] =*
= min [50 — 0, 50 —
— 0] = 50,
Q2 = min [%,/] =«
= min [30, 50] = 30,
Q == min [Qi, Q2] = 30.
Проверим условие оптимальности для дуги 2—3 по со-
отношению (6.26)
Q [сг—з — (Уз ^2)] + ^2—3 + Яз-в — R2—5 R5—6 0,
30 [3 — (10 — 3)] + 40 н- 30 — 50 — 20< 0.
Таким образом, в рассматриваемом цикле распределе-
ние можно улучшить. Для этого 30 единиц груза направля-
ем по ребрам 2—3 и 3—6 за счет ребер 2—5—I и 5—6.
Новое распределение представлено на рис. 54. Вычис-
ляем. потенциалы вершин и намечаем новую поставку по
дуге 1—2. Образуется цепь, состоящая из дуг 1—2, 2—3,
3—6, 6—5, 5—4 и 4—1. Совпадают по направлению с новой
дуги 2—3 и 3—6, а противоположные ей дуги 1—4, 4—5
и 5—6.
Определяем величину Q
Qx = min [/7,— хи\ = min [25 — 0, 50 — 30] = 20,
Q2 = min [%;j] = min [20, 20, 20] = 20, •
Q = min [(?!, Q2| = 20.
Проверяем целесообразность перераспределения потока
Q [Cl-2 — (V2-^1)] + ^1—2 + R?-3 — -Rl—4 — R4-5--
--/?5—0,
20 [6 — (7 — 0)] + 15 + 40 — 40 — 20 — 20 < 0.
После перераспределения потока получаем новый под-
граф (рис. 55). Проверка его на оптимальность показывает,
что ни в одном из циклов распределение не может быть
улучшено. Следовательно, выделенные на графе дуги и
являются оптимальным частичным подграфом.
224
Таким образом, методика оптимизации сети вскрываю-
щих и подготовительных выработок должна сводиться к
выполнению следующих этапов:
1) выбор критерия оптимальности;
2) построение графа, представляющего сеть допустимых
выработок;
3) построение мультиграфа;
4) определение весов дуг мультиграфа и их пропускных
способностей;
5) выделение оптимального подграфа.
Кратко характеризуем каждый этап на примере опти-
мизации параметров вскрытия и подготовки части поля
шахты, разрабатывающей крутые пласты с выходами на
поверхность. Глубина горизонта 150 м. Вскрытие пластов
может быть произведено вертикальным или наклонным
стволами, пройденными вкрест простирания пород. Разме-
ры шахтного поля по простиранию 2600 м. Годовой объем
добычи шахты 600 тыс. т.
1. За критерий оптимальности примем приведенные
затраты, представляющие собой сумму текущих затрат и
капитальных вложений k(Ji приведенных к одинаковой раз-
мерности с помощью нормативного коэффициента эконо-
мической эффективности £н. В данном случае это затраты
на проведение Спр и поддержание горных выработок СПОд,
транспортирование по ним груза Стр, затраты на приоб-
ретение и монтаж оборудования СОб, т. е. функция стоимо-
сти по дуге Л j имеет вид
$ч = -^^ + С??л + су + ЕяК(1, (6.28)
где Kii = Capij Соб{/.
8 529
225
Рис. 56. Сеть допустимых выработок
для вскрытия шахтного поля.
Рис. 57. Граф сети вскрывающих выра-
боток
систему дуг и вершин (рис. 57).
Q
Параметр —со-
ответствует величине
амортизационных отчис-
лений от стоимости про-
ведения капитальных
выработок, определяе-
мых сроком службы Т.
2. Строим сеть до-
пустимых выработок
(рис. 56). Скиповой
ствол (1—2) с около-
ствольным двором и
этажный квершлаг (2—3)
образуют одну группу
выработок, наклонный
ствол (6—3) с приемны-
ми площадками — дру-
гую. По групповым
штрекам (3—4) и (3—5)
доставляют уголь к ство-
лу шахты.
Для преобразования
исходной сети в граф
необходимо построить
В качестве источников
угля примем условно точки 4 и 5, интенсивность ко-
торых а4 = аь = 300 тыс. т/год, в качестве стоков —
устья 1 и 6 скипового ц конвейерного стволов (интенсив-
ность каждого ствола — 600 тыс. т/год). Дуга 2—7соответ-
ствует околоствольному двору, а дуги 6—11 и 10—3 —
верхней и нижней приемным площадкам наклонного ствола.
Уголь от источников 4 и 5 может доставляться к стволу
рельсовым транспортом — дуги 4—9 и 5—9 или конвей-
ерным — дуги 4—3 и 5—3. Дуги 8—2 и 9—3 соответствуют
перевалочным пунктам для данного вида транспорта.
Для превращения графа в замкнутую цепь вводим две
дополнительные вершины S и Т и соединяем их с источни-
ками и стоками фиктивными дугами. Затраты по этим ду-
гам, естественно, равны нулю, а пропускная способность
приравнена к интенсивностям соответствующих вершин,
т. е.
fS-4 = ^4» f5-5 == Я5,
ri-т = Ь19 гь-т =
226
Код дуги Тип выработки Транспорт Сече* ние SCB- м3 Длина выра- ботки /, м
7—1 Вертикальный ствол Скип 28,87 150
2—7 Околоствольный двор » — —
3—2 Квершлаг Конвейер 12,1 340
3— Г8—2 > > 13,7 340
9—8 » Электровоз 12,1 340
9—17—8 » » 13,7 340
8—2 Перевалочный пункт » — —
9—3 То же —— —— —
8—10 Нижняя приемная
площадка — —— ——
10—11 Наклонный ствол Конвейер 11,2 615
10—16—11 » » 12,6 ,615
11—6 Верхняя приемная
площадка » ——
5—3 Штрек » 9,7 1300
5—12—3 » » 11,2 1300
5—9 » Электровоз 9,7 1300
5—13—9 » » 11,2 1300
4—3 » Конвейер 9,7 1300
4—14—3 » » 11,2 1300
ю 4—9 » Электровоз 9,7 1300
КЗ •ч 4—15—9 » » 11,2 1300
Таблица 6.20
Затраты на, тыс. р. Приведен- ные затра- ты С, тыс. р.
прове- дение Спр поддер- жание Спод транс- порти- рование Стр обору- дование Соб
233,0 0 27,0 319,5 86,6
1552,9 0 .— — 77,6
242,1 5,4 765,0 646,2 915,7
264,4 6,1 765,0 646,2 920,9
242,1 5,4 71,4 118,2 142,9
264,4 6,1 71,4 118,2 148,1
20,0 0 0 — 5,0
20,0 0 0 — 5,0
55,4 0 0 11,08
385,5 11,4 102,0 185,0 218,3
459,0 12,8 102,0 185,0 234,4
42,4 0 0 0 8,48
830,3 8,3 121,0 175,8 363,2
914,6 9,6 121,0 179,8 385,6
830,3 8,3 80,5 661,7 395,6
914,6 9,6 80,5 661,7 418,0
830,0 8,3 121,0 175,8 363,2
914,6 9,6 121,0 175,8 385,6
830,3 8,3 80,5 661,7 395,6
914,0 9,6 80,5 661,7 418,0
Таблица 6.21
Код ДУГИ Тип выработки Вид транспор- та Сечение, м2 Длина выра- ботки. м Затраты на, тыс. р. Приведен- ные затра- ты, тыс. р.
прове- дение поддер- жание транспор- тирование оборудо- вание
4-3 Штрек Конвейерный 9,7 1300 830,3 8,3 121,0 175,8 363,2
5-3 » » 9,7 1300 830,3 8,3 121,0 175,8 363,2
3—10 Нижняя приемная площадка » — — 55,4 — — — 11,08
10—11 Наклонный ствол в 11,2 615 218,0 11,2 102,0 185,0 218,3
11—6 Верхняя приемная площадка в — — 42,4 — — — 8,48
S
964,26
Интенсивности
вершин S и Т примем
соответственно рав-
ными интенсивности
источников и стоков,
предположив, что ин-
тенсивность вершин
4, 5, 6 и 1 равна ну- 4
лю. Тогда
as = а4 + аь = 600>
ат = аь = 600.
Для всех осталь-
ных дуг графа функ-
ция стоимости опре-
деляется в соответствии с принятым критерием оптималь-
ности.
3. В данном примере исходный граф преобразовывается
в мультиграф только за счет рассмотрения двух размеров
сечений некоторых выработок, например дуги 10—11 и
10—16—11; 5—3 и 5—12—3 и др. Мультиграф сети пред-
ставлен на рис. 58.
4. В соответствии с принятым критерием оптимальнее™
(6.28) подсчитываются затраты по всем дугам мультиграфа
(табл. 6.20).
5. На построенном мультиграфе описанным выше мето-
дом выделяется частичный подграф, сумма затрат по дугам
которого минимальна. Оптимальный подграф для условий
данного примера выделен на рис. 58 полужирными линия-
ми, а затраты приведены в табл. 6.21.
Таким образом, оптимальной для данной задачи яв-
ляется схема вскрытия наклонным стволом при доставке
угля по выработкам конвейерами.
Планирование добычных работ на карьере. Предположим,
на карьере добывают две разновидности руды, которые
ватем раздельно обогащают на фабрике. Данные об объ-
емах добычи и показателях обогащения каждой разновид-
ности приведены в табл. 6.22. По плану объем добычи руды
составляет Q 3 68 тыс. т., качество концентрата — Рпл м
= 62 %, его выход — упл = 38,5 %. Необходимо так со-
ставить план добычных работ, чтобы при выполнении тре-
бований к качеству и количеству концентрата затраты на
его получение были минимальны.
Обозначим qt (i = 1, 2) —объем добычи руды ьй
разновидности. Условия задачи представим следующей
229
Таблица 6.22
Разновид- ность РУДЫ Объем добычи, тыс. т Концентрат
минималь- ный (?mln максималь- ный <7тах качество ₽. % ВЫХОД V, % себесто- имость С, р.
1 20 30 59 35 11,2
2 35 45 65 41 8,0
системой ограничений:
Яс < <?гх. 1 = 1. 2; (6.29)
S Яс = Qi™; (6.30)
1=1
—2-------->рпл; (6.31)
1=1
2
------>?пл. (6.32)
^•пл
Функция цели
2
F = £ Ciqc -> min. (6.33)
£==1
Ограничение (6.29) определяет возможные объемы до-
бычи каждой разновидности руды; ограничение (6.30) обус-
ловлено производственной мощностью обогатительной фаб-
рики; ограничения (6.31) и (6.32) определяют выполнение
требований к качеству и количеству концентрата.
Отметим, что каждое ограничение (6.29) является двух-
сторонним, вследствие чего в симплексной таблице его надо
представить двумя ограничениями. Для уменьшения раз-
мерности симплексной таблицы произведем следующую
замену переменных:
min .
Qi — Qi +
где xt — превышение добычи Z-й разновидности руды ми-
нимально необходимого объема.
После замены переменных получим
~тах лпйп : 1 о.
Xi^qt —qt , i — 1, 2;
230
_ I „ Г\ _ min mill,
Xl + X2 — Хпл--Ql ----Q2 »
2 2
S Yi’ (Pf — Рпл) xt S ?4 (Рпл Pt) ? I J
f=i ;=i
2 2
X Vixl Упл<2пл — S Yz9”ln;
t=l
2 2
F = £ C^rin + S СЛ->пип.
;=i i=i
Поскольку алгоритм симплексного метода ориенти-
рован на максимизацию функции цели, то запишем ее в виде
2 2
F = — £ Сд™1П — S CiXt -> max.
Z=1 i=l
В систему ограничений подставим численные значения
параметров, заданные в табл. 6.22, и (после приведения ее
к каноническому виду) воспользуемся методом искусствен-
ного базиса
%1 —Х3 =:: 1 Oj Х2 “Н Х4 == 1 О» Х1 ~Н Х2 ~Н Х5 ===
1,05%! — 1 ,23х2 + х6 = 22,05; 35%! + 41 х2 — х? + х8 = 483;
F = — 504 — 11 ,2xl — 8х2 — Мх5 — Мх8 -* max.
Здесь переменные х3, х4, х6 и х7 — балансные, а х5 и
х8 — искусственные базисные; в ограничениях балансные
неизвестные х3, х4 и х6 являются также базисными. Искус-
ственные базисные неизвестные присутствуют в функции
цели, поэтому выразим их через свободные неизвестные
Х5 —- 13 Х| х2ъ
х8 = 483 — 35х4 — 42х2 + х7.
Подставив данные выражения в функцию цели, получим
F = — 504 — 496Л4 — 11,2хх + ЗбТИхх — 8ха +
+ 42Л4х2 — 2Их7 -> max.
Решение задачи линейного программирования приве-
дено в табл. 6.23.
Проанализируем полученное решение. Базисная пере-
менная
Х1 = 3, qt = <7?,п + 3 = 23; х, = 10, qt = $”п + 10 = 45.
Следовательно, первую разновидность руды следует добы-
вать в объеме 23, а вторую — 45 тыс. т. При этом по первой
231
Таблица 6.23
Номер итерации Базисные переменные Х1 Х2 хз хъ Х< х? Х8 Свободные члены
х. 1 0 1 0 0 0 0 0 10
Хл 0 1 0 1 0 0 0 0 10
х6 1 1 0 0 1 0 0 0 13
0 х« 1,05 —1,23 0 0 0 1 0 0 22,05
Х8 35 41 0 0 0 0 —1 1 483
Н,2 8 0 0 0 0 0 0 —504
F —36Л1 —42Л4 0 0 0 0 м 0 —496М
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
х3 0 0 1 1 0 0 7
ха 0 1 0 1 0 0 10
Х1 0 0 0 6 0 1 32
4 х8 0 0 0 2,28 1 0 31,2
Х1 1 0 0 —1 0 0 3
0 0 0 3,2 0 0 —617,6
F 0 0 0 0 0 0 0
разновидности производственная мощность недоиспользу-
ется на 7 тыс. т (х3 = 7). Базисные балансные переменные
х6 и х1 равны соответственно 0,312 и 0,32 тыс. т, поскольку
показатели 0 и у заданы в процентах. Переменная яв-
ляется балансной в ограничении (6.31), таким образом, по-
лученный план добычных работ обеспечит дополнитель-
ное извлечение в концентрат 0,312 тыс. т металла; качество
концентрата при этом составит
Рфакт = (PiTi<7i + ₽2Yss<7a)/(Ti<7i + У2Я2) =63,17 % > ₽пл-
Переменная х7 является балансной в ограничении
(6.32), следовательно, выход концентрата будет выше плано-
вого и составит
Уфакт — (У1<71 Уг^гУФпл = 38,97 % > уПл-
Это позволит получить дополнительно 0,32 тыс. т кон-
центрата.
Суммарные затраты на добычу и обогащение руды будут
минимальными — 617,6 тыс. р.
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
ЗАПАСАМИ
7.1. Основные понятия управления запасами
В задачах линейного программирования, описанных в
гл. 6, значения переменных, определяющих оптимальное
решение, выбираются с учетом имеющихся ресурсов (за-
пасов), ограниченность которых учитывается в моделях это-
го типа в виде системы уравнений или неравенств. Другими
словами, предпочтение здесь отдается производственной
программе, а ограничения по ресурсам служат в качестве
вспомогательного материала.
Однако в ряде случаев необходимо сосредоточить основ-
ное внимание на рациональном распределении трудовых,
материальных и финансовых ресурсов, определить опти-
мальные сроки пополнения расходуемых запасов, размер
отдельных партий и т. д. Модели управления запасами
специфичны, в большинстве случаев они не могут в точно-
сти отражать какую-то конкретную ситуацию. И тем не
менее, при огромных масштабах народного хозяйства на-
шей страны для рационального, бережного расходования
ресурсов было бы неверным пренебрегать любыми возмож-
ностями использования математического аппарата для
построения моделей управления запасами.
233
Рис. 59. График пополнения и расходования запасов с
управлением по страховому уровню
В каждой задаче управления запасами рассматриваются:
величина спроса на определенные материалы;
наличие запаса этих материалов, его пополнение и вос-
становление, осуществляемое непрерывно или в отдельные
промежутки времени;
затраты, связанные с хранением запасов, убытки из-за
неудовлетворительного спроса и другие расходы, образую-
щие оптимизируемую целевую функцию;
ограничения, определенные теми или иными фактора-
ми, связанными с задачей управления запасами.
Один из возможных вариантов процесса пополнения и
расходования запасов можно представить в виде графика
(рис. 59). В начальный момент времени на предприятии
имеется запас материала q0. Этот запас постепенно расхо-
дуется и, когда его уровень достигает величины страхово-
го запаса qCi производится заказ очередной партии qt.
Заказ производится в момент времени тзЬ а его поступле-
ние с некоторым запаздыванием, т. е. в момент времени
тП1. В общем случае величина запаздывания может быть
случайной. В период времени t2 расходуются вновь создан-
ные запасы. При достижении ими страхового уровня (мо-
мент тз2) производится заказ очередной партии размером
q2. Как видно из рис. 59, вследствие большого запаздыва-
ния поставок на предприятии возникает дефицит запасов,
который к моменту поставки тП2 равен значению р. В этом
случае часть поступившей партии идет на покрытие образо-
вавшегося дефицита, а остальная часть, равная q2 — р,
образует очередной запас. В дальнейшем процесс повторя-
ется аналогично.
Искомыми величинами в задачах такого типа являются
объем партии поставок q и страховой уровень запасов qQ.
234
Рис. 60. График пополнения и расходования запасов через
равные промежутки времени
Такая модель управления запасами называется моделью
управления по страховому уровню. Особенность этой мо-
дели состоит в необходимости постоянно контролировать
наличие запасов и при достижении им страхового уровня
производить очередной заказ. Из-за этой особенности дан-
ная модель на практике не всегда оказывается приемлемой,
поэтому находят применение и такие модели управления
запасами, в которых заказ делается через определенные
(равные) промежутки времени (рис. 60).
Приведенные на рисунке моменты заказов на поставки
Тз1, тз2 и т. д. разделены равными интервалами времени.
Как и в предыдущем случае, запасы могут расходоваться
неравномерно, а время выполнения заказа тП1- — т34- может
быть величиной случайной. Следовательно, не исключен
вариант, когда запаздывание поставок приведет к дефици-
ту запасов (величина р в момент времени тп2). В этом случае
некоторая часть поступившей партии компенсирует дефи-
цит, а остальная часть, равная q2 — р, образует начальный
запас на очередной период.
В моделях управления запасами с поставками через рав-
ные промежутки времени нет необходимости постоянно
следить за уровнем запасов на складе. Однако при неравно-
мерном расходовании запасов и при прочих равных усло-
виях вероятность образования дефицита здесь значительно
выше, чем в предыдущей модели.
Искомые величины в задачах такого типа — период
времени пополнения запасов t и объем партии поставок q.
Обобщением двух рассмотренных моделей является
модель с установленной периодичностью пополнения запа-
сов до постоянного уровня. Заказ на пополнение запаса
делается через равные промежутки времени. Величина за-
- каза определяется как разность между максимальным уров-
нем запаса qm™ и уровнем, достигнутым в момент заказа.
235
Рис. 61. График пополнения запасов до постоянного уров-
ня и их расходования с установленной периодичностью
При этом постоянно контролируется величина запасов,
« если она становится меньше страхового уровня, то заказ
на пополнение выполняется до завершения данного перио-
да. Графически процесс поступления и расходования
запасов представлен на рис. 61.
Искомыми величинами здесь являются период пополне-
ния запасов Z, максимальный уровень запасов qmax и стра-
ховой уровень qc.
Отметим, что описанные задачи управления запасами
относятся к задачам оптимизационного типа. Каждая из
составляющих процесса поставки, хранения и расходова-
ния запасов может быть оценена некоторыми затратами.
Так, каждая партия запасов требует затрат на поставку,
которыми могут быть транспортные издержки, расходы по
заработной плате, затраты на запуск в серию и т. д. Очевид-
но, что с увеличением периода между смежными пополне-
ниями запасов количество партий в плановом периоде бу-
дет уменьшаться и затраты на поставки будут снижаться.
Запасы, поступившие на предприятие, должны хра-
ниться на складе, и для этого также требуются некоторые
затраты. С увеличением размеров партии запасов расходы
на хранение будут возрастать. Таким образом, суммарные
затраты в моделях управления запасами состоят из аль-
тернативных слагаемых, представляющих собой затраты
на поставку и хранение. При увеличении периода между
поставками и соответственно объема поставок одно из
слагаемых (затраты на хранение) увеличивается, а другое
(затраты на поставку) — уменьшается. Задача оптимиза-
ции запасов сводится к определению искомых параметров
модели, обеспечивающих минимум суммарных затрат.
Если условия производства не допускают дефицита за-
пасов, то параметры модели должны обеспечивать минимум
236
суммарных затрат при близкой к нулю вероятности обра-
зования дефицита. Если же дефицит допустим, но приводит
к некоторому экономическому ущербу из-за перебоев в
производстве, то в суммарных затратах должен учитывать-
ся наносимый дефицитом экономический ущерб.
Общие затраты, связанные с пополнением, хранением
и расходованием запасов, можно представить выражением
3 = Зп 4~ Зх Зд min, (7.1)
где Зп, Зх — затраты соответственно на пополнение и хра-
нение запасов; Зд — экономический ущерб, обусловленный
дефицитом запасов.
Функция (7.1) называется функцией затрат модели
управления запасами. Она принимает различный вид в
вависимости от особенностей каждой конкретной модели.
Далее будут рассмотрены наиболее распространенные
модели управления запасами.
7.2. Определение размера партии поставок
при постоянном периоде пополнения запасов
Для упрощения модели предположим, что расходование
вапасов производится равномерно во времени и пополне-
ние их осуществляется мгновенно.
Практически на предприятия запасы поставляются с
некоторым запаздыванием. Однако если считать запазды-
вание постоянным, то при равномерном расходовании за-
пасов это эквивалентно их мгновенному поступлению.
Характер пополнения и расходования запасов при вы-
полнении указанных условий показан на рис. 62.
Пусть на период планирования Т предприятию требу-
ется Q единиц запасов, которые поставляются партиями по
q единиц в каждой. Затраты на хранение единицы запасов
в течение единицы времени составляют сх. Затраты на по-
Рис. 62. Равномерное расходование запасов при по-
стоянной периодичности их пополнения
\ 237
ставку одной партии запасов не зависят от ее размеров
(т. е. не учитывается стоимость поставляемых изделий) и
составляют сп.
Определим общие затраты на поставку Зп. За период
времени Т должно быть поставлено Q/q партий изделий,
следовательно, Зп = cnQlq.
Из рис. 62 видно, что объем запасов изменяется равно-
мерно во времени в диапазоне от q до 0. В среднем на пред-
приятии должно храниться q/2 единиц запасов, таким об-
разом, затраты на хранение в течение времени Т будут
составлять
== c*qT/2-
В данной модели дефицит запасов образоваться не мо-
жет. Поэтому функция затрат имеет вид
3 = Зп + Зх = Т -> min.
Как следует из этого выражения, первое слагаемое с
увеличением неизвестной q уменьшается, а второе — уве-
личивается. Для вычисления оптимальной величины пар-
тии q0, минимизирующей функцию затрат, приравняем
к нулю ее производную по объему партии
^3 CuQ I С*Т Л
dq q2 2
Объем партии поставок, определяемый этим уравнением,
равен
Докажем, что при q = qQ функция затрат принимает
минимальное значение. Для этого вычислим вторую про-
изводную и определим ее знак
d23 = 2cnQ
dq2 q3
Очевидно, что при любом положительном значении q,
d2^
в том числе и при q — qo, > 0. Это свидетельствует
о минимальности функции затрат в точке q = q0.
Оптимальному объему партии поставок qQ соответствует
оптимальный период пополнения запасов
t Тдр д/~ 2с„т
Г°“ Q V '
238
Из формулы функции затрат определим ее значение,
соответствующее оптимальному объему поставок
Зо = V2QTcncx.
Пример. Для крепления капитальных выработок шахта ежемесяч-
но расходует 5000 шт. железобетонных затяжек. Стоимость хранения
одной затяжки 0,06 р. в месяц. Организация доставки одной партии
затяжек от поставщика составляет 20 р. Необходимо определить опти-
мальный размер партии затяжек на складе шахты qo, оптимальный
период пополнения запасов /о и соответствующие этим параметрам
суммарные затраты 3Q.
Подстановка исходных данных в расчетные формулы дает следующие
результаты:
5000-20 1ОО_
ч° = V 2- 1- W ° 1825 шт-:
'°=2 V 5ото~та = °’36 мес ~11 wft:
Зо = К2 • 5000 • 1 • 0,06 • 20 = 109 р.
Таким образом, каждые 11 дней расходуемый запас затяжек необ-
ходимо пополнять партиями по 1825 шт. При этом общие затраты на по-
ставку и хранение составят 109 р. в месяц.
В реальных условиях строгое соблюдение оптимального
размера партии представляет определенные организа-
ционные трудности. В связи с этим возникает вопрос о
том, как изменятся затраты при изменении объема партии
поставок на некоторую вел- чину Лд относительно опти-
мального значения.
Рассмотрим два варианта поставки.
1. Пусть q = q0 + &q, тогда A3j = 3 (q0 + Д<?) —
— 3 (q0). Подставив в эту формулу выражение для опреде-
ления затрат и выполнив несложные преобразования, по-
лучим
2. Примем q = q0 — &q, тогда А32 = 3 (qo — &q) —
-3 (go).
После преобразований получим
Д32 = Д <?2 9 Л . .
2 4 2(qo — Д?)
Из приведенных формул следует, что прирост затрат
зависит от величины нелинейно и возрастает с ее уве-
личением. При этом A3j растет медленнее, чем Д32, следо-
вательно, недопоставка запасов приводит к большему
ущербу, чем превышение оптимального объема партии.
239
трат от изменения объема партии
поставок
Для условий примера,
рассмотренного выше, оце-
ним изменение затрат при
&q = 500 единиц
ДЗХ = 5002 х
0,06-1
А 2.(1825 4-500)
= 3,22 р.;
Д32 = 5002 х
у 0.06—1
Л 2.(1825 — 500)
= 5,66 р.
Предположим, что по-
полнение запасов в течение
планового периода производится неравномерно, т. е. объе-
мы партии поставок отклоняются от оптимального значе-
ния qo. Можно установить закон распределения для аб-
солютного отклонения \q и найти математическое ожида-
ние М (Д</). Экономический ущерб, обусловленный таким
отклонением, будет составлять
дз = ДЗх (М (Дд)) +Д32 (М (Д?)) = схТд0 (М (Дд))2
2 2 [<£ - (М (Д<?))21 ‘
Зависимость ДЗ от математического ожидания абсолют-
ного отклонения размеров поставок от оптимального зна-
чения приведена на рис. 63. Из рисунка видно, что при зна-
чениях М (Д</), не превышающих 300...400 единиц, вели-
чина ДЗ незначительна. Такое колебание объема поставок
признано допустимым, но дальнейшее увеличение абсо-
лютного отклонения приводит к существенному росту
затрат.
7.3. Управление запасами с компенсацией дефицита
В отличие от моделей, рассмотренных в предыдущем раз-
деле, допустим, что в данном случае дефицит запасов воз-
можен. Поставка очередной партии изделий обеспечивает
покрытие дефицита и образование из оставшейся части
этой партии очередного запаса. Как и ранее, предположим,
что расходование запасов производится равномерно во
времени, а их пополнение осуществляется мгновенно.
240
Рис. 64. Модель равномерного расходования запасов с
компенсацией дефицита
Характер пополнения и расходования запасов при вы-
полнении указанных условий показан на рис. 64. Из ри-
сунка видно, что партии изделий величиной q поступают
после того, как образовался дефицит запасов р. Часть
поступившей партии идет на компенсацию дефицита, а
остальные изделия в количестве q — р образуют запас,
который расходуется равномерно во времени.
Пусть на период планирования Т предприятию тре-
буется Q единиц запаса. Как и в предыдущей модели, при-
мем, что сх — затраты на хранение единицы запаса в те-
чение единицы времени; сп — затраты на поставку одной
партии изделий. Поскольку в модели возможен дефицит
изделий, то следует учесть ущерб, обусловленный запазды-
ванием поставок. Обозначим экономический ущерб из-за
недостачи одного изделия в течение единицы времени сд.
Как и ранее, затраты на поставку за время Т определяются
количеством поставок и равны Зп = а затраты на
„ Р-- Р
хранение — средним количеством хранимых изделии --2--
и временем хранения (/ — -у. Учитывая, что tr = р ~
(см. рис. 64), получим
= Jl=!L S. It _ p = Cx W-P)‘ r.
x 2 q \ r q ] x 2q
Затраты, обусловленные дефицитом изделий, опреде-
ляются средним количеством недостающих изделий -у,
а также общей продолжительностью дефицита /х и рас-
241
считываются по формуле
з - с JLf Q _ с р2т
Ja — са 2 li q — Сд-2^--
Следовательно, в соответствии с выражением (7.1),
функцию затрат представим в виде
р р । р I р CnQ । с* (q р)2 гр । р2 гр
3 = Зп 4- + Зд = —-----1----Yq---т + с*~ц~Т -^не-
определим оптимальную величину партии поставок q0,
период пополнения запасов /о и уровень дефицита ро.
Из функции затрат следует, что затраты зависят от
двух переменных q и р, поэтому для нахождения минимума
данной функции приравняем к нулю ее частные производ-
ные по q и р
дЗ
dq
дЗ
др
£п2_ । ( я2 — р2 \ w2Tt _
<7а * 2 ( q2 ] 2?2 ~
схТ f ч . спТ л
— Р) + -а-Р = О-
Решив эту систему относительно р и q, получим
СЦ1 С* -Г сд
Нетрудно доказать, что в точке qQ, р0 функция затрат
принимает минимальное значение.
Оптимальный период поставок to определяется из соот-
ношения to = Т, а минимальные затраты будут состав-
лять ______
сх -г сд
Отметим, что предыдущая модель является частным слу-
чаем данной. Действительно, если сд -> оо (дефицит /из-
делий недопустим), то получим
о.=о-
Пример. Работы по креплению выработок ведутся с применением
бригадного подряда; ежемесячный расход железобетонных затяжек
составляет 5000 шт., стоимость хранения одной затяжки — 0,06 р. в
месяц; организация доставки одной партии от поставщика — 20 р.
Месячная компенсация бригаде ущерба от недопоставки одной затяжки
равна сд =«0,5 р.
242
Необходимо определить оптимальный размер партии затяжек,
период пополнения и величину дефицита.
-1/2.5000 . 20 1/ 0,06 + 0,5 1О91
*»= И • V ------0^6—=1931 ШТ-;
„ _ -I / 2 • 5000.2° -]/ 0^6 оп_
р V 0,5-1 ' V 0,06 + 0,5 - 207 шт-«
to = • = 0>386 мес « 12 дней;
30 = /2 5000 • 1 • 0,06 • 20 • У - -,°’5 = ЮЗ р.
г О,ио + 0,э
Сопоставляя результаты решения этой задачи с рассмотренной в
предыдущем разделе, отметим, что для соизмерения затрат на хранение
затяжек и компенсацию бригаде ущерба от недопоставки материалов
размер партии поставок возрос на 106 единиц, а период пополнения запа-
сов увеличился с 11 до 12 дней. За счет уменьшения количества партий
поставок и затрат на хранение общие затраты снизились на 6 р. в месяц.
7.4. Управление запасами при случайном спросе
Модели управления запасами при случайном спросе
используются для определения необходимого количества
запасных частей, изготавливаемых самостоятельно или
приобретенных вместе с основным оборудованием. Предпо-
ложим, предприятие приобрело дорогостоящую буриль-
ную установку и запасные части к ней. В процессе экс-
плуатации может оказаться, что необходимости в некото-
рых частях нет и предприятие несет убыток от их приоб-
ретения и хранения. Возможен и такой вариант, когда
запасных частей на период эксплуатации установки ока-
залось недостаточно. В этом случае предприятие обраща-
ется к заводу-изготовителю, поставляющему необходимое
изделие. Однако на его изготовление и доставку требуется
определенное время, в течение которого установка простаи-
вает и предприятие несет значительные убытки.
Для составления функции затрат в моделях такого типа
необходимо сопоставить расходы по приобретению запас-
ных частей и убытки, связанные с простоем оборудования
из-за их отсутствия.
Предположим, что известен закон распределения тре-
п
буемого количества запасных частей Рп, Рп = 1. Пусть
и—О
предприятие приобрело k запасных деталей, а на время
эксплуатации установки их потребовалось и. Стоимость од-
ной детали с учетом затрат на ее поставку и хранение обо-
243
значим clt а убыток предприятия, обусловленный отсут-
ствием запасных частей, — с2. Если п k, то расходы
предприятия будут равны ст (k — п). Если же п > Л, то
убыток составит с2 (п — k).
Поскольку каждому значению п соответствует своя ве-
роятность то нетрудно определить математическое ожи-
дание убытка предприятия, которое и представляет собой
функцию затрат
3(k) = Ci £ pn(k — n) + с2 £ Рп (n — k)^ min. (7.2)
п—0 n=k-i-l
Таким образом, при заданном законе распределения по-
требного количества запасных частей и изрестных пара-
метрах сг й с2 необходимо найти величину k, при которой
математическое ожидание суммарных затрат будет мини-
мальным.
Найдем такое значение k = ko, при котором функция
(7.2) минимальна. Для этого следует определить 3 (k + 1)
и 3 (k — 1)
3(Л-Ь 1)= (Л+ 1 — п)Рп+ с2 £ (n —fe—1)Р„«
/1=0 п=£4"2
- (Л+ l-n)Pn + (k+ 1 -£-1)7>*+1 +
n=0
4-С, 5 (n-k+ l)Pn-C2(k+ 1— k— 1)РЛ+1 =
П=*-М
e C1S (fc —+ p„+c2 5 (n — k)Pn —
n=0 n=0 n=A-j-l
-с. V pn.
n=/?4-1
Учитывая, что £ Pn — 1 — £ Pn, получим
n=fe4-l n=o
k co
s(*+l)= (k-n)Pn + c2 S (n-k)Pn +
/1=0 n=/?4~i
k k
+ (^1 + ^2) S C2 ~ 3 (k) + (^1 + C2) S ^2*
n=0 /1=0
Аналогично можно доказать, что
3 (k - 1) = 3 (k) - (cx + c2) Pn + ct.
ip-0
244
Пусть при k = ko функция 3 (k0) минимальна, тогда
3(£0+ 1)>3(60),
. 3(k„- 1)>3(/г0).
Выполнение этих неравенств эквивалентно выполнению
условий k
(ci + с2) Рп — с2 > О,
п=0
“о
— (С1 + Сг) £ Рп + с2 > 0.
п=0
Из этой системы неравенств следует, что
2-1 П С1 + С2 ’ А * G + с2
п=0 1 1 2 п=-0 1 1 3
Отсюда получим условие, определяющее значение Ло>
_£2_
С1 + С2
kO
<s
п=*0
Таким образом, решение задачи сводится к следующему:
строится кумулята функции распределения потребного
количества запасных частей F (k) « £ Рп\ вычисляется
п=0
отношение
—I—; определяется интервал значения kt внутри
С1 “Г С*
которого функция распределения равна ; верхняя
граница этого интерва-
ла принимается равной
искомому значению k0.
Пример. Стоимость бло-
ка электропривода угольного
комбайна составляет 2000 р.
При выходе из строя элек-
тропривода и отсутствии не-
обходимых запасных частей
на складе шахты запасной
блок доставляется с базы ма-
териально-технического обес-
печения либо с рудоремонтно-
го завода. При этом про-
стой комбайна приводит к
убыткам, составляющим
10 000 р. Установлено, что
потребность в блоке электро-
привода на период срока
Рис. 65. Определение оптимального
числа запасных блоков электроприво-
дов
245
службы угольного комбайца подчиняется следующему закону распре-
деления:
Потребность в запасных
блоках 0 1 2 3 4 5
Вероятность отказа электро- 0,2 0,5 0,2 0,07 0,03 0
привода
Функции распределения 0,2 0,7 0,9 0,97 1,0 1,0
Определим, какое количество запасных блоков электропривода к
данному комбайну должно храниться на складе шахты, чтобы убытки
предприятия были минимальны.
По условиям задачи имеем с± = 2000 р., с2 = 10 000 р. Решение
приведено на рис. 65.
тл с2 10 000
Из рисунка видно, что отношение —==— = 1П — = 0,833, откуда
с^ с2 12 000
следует, что оптимальное количество запасных блоков должно составлять
Ао=2.
Глава 8. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
8.1. Принцип оптимальности
в динамических моделях
Многие задачи планирования и управления горным
производством можно рассматривать как процесс принятия
решений, причем эти решения принимаются в определенной
последовательности, что делает данный процесс многошаго-
вым. Попытки решения такого типа задач классическими
методами вычисления экстремумов функций многих перемен-
ных из-за значительного количества входных параметров,
определяющих решение задачи, в большинстве случаев
оказываются безрезультатными.
Принцип оптимальности, положенный в основу динами-
ческого программирования, предполагает построение свое-
образных функциональных уравнений, решение которых
возможно средствами вычислительной математики. Это
позволяет на основе стандартного подхода принимать весь-
ма значительное (с применением ЭВМ) количество решений,
совокупность которых определяет правила управления за-
пасами, распределения ограниченных ресурсов, порядок
обновления выбывающие основных фондов и др.
На первый взгляд задача может показаться весьма три-
виальной, необходимо лишь разбить многошаговый про-
цесс на отдельные шаги, изучить состояние системы и
выбрать для каждого шага оптимальное решение. Однако
управление, оптимальное для какого-либо отдельного шага,
246
может помешать получить оптимальное решение для всего
процесса в целом. Метод динамического программирования
и заключается в том, что оптимальное управление строит-
ся постепенно — на каждом этапе управления выбирается
оптимальное решение не для данного шага, а для всего
процесса в целом.
Это основное правило сформулировано Р. Веллманом в
виде такого принципа оптимальности: каково бы ни было
предшествующее состояние системы, последующие решения
должны выбираться оптимальными относительно состоя-
ния, к которому придет система в конце предыдущего
шага.
Таким образом, суть метода динамического програм-
мирования состоит в последовательной пошаговой опти-
мизации процесса с учетом всех его последствий в будущем.
Общие свойства динамических моделей сводятся к сле-
дующему:
1. Цель программирования (принцип решений) — мак-
симизация некоторой функции параметров состояния.
2. Состояние системы в любой момент времени характе-
ризуется небольшим количеством параметров.
3. Результатом принятия решения является преобра-
зование этих параметров в том же количестве, нос другими
числовыми значениями.
4. Поведение системы в будущем определяется ее состоя-
нием в данный момент времени и очередными шагами и не
зависит от предыстории процесса, т. е. от того, в каких со-
стояниях система находилась до этого момента вре-
мени.
Из общего правила, сформулированного Р. Веллманом,
есть од! о исключение — на последнем шаге процесса, на
котором нет будущего, решение можно принимать оптима-
льным только для данного шага. Поэтому в большинстве
случаев процесс динамического программирования начи-
нается с планирования последнего шага. Причем делаются
различные предположения о том, чем кончился предпо-
следний шаг, и для каждого из них выбирается управле-
ние, максимизирующее выигрыш (доход, экономический
эффект от принятого решения) на последнем шаге. Руковод-
ствуясь таким принципом и осуществляя процесс реше-
ния с конца, находим оптимальное управление для перво-
го шага, т. е. для начала процесса. Очевидно, если при-
нято правильное решение на первом шаге и учтены его
последствия в дальнейшем, можно быть уверенным, что
данные решения оптимальны для всего процесса в целом.
247
Этим завершаются основные вычисления для динамиче-
ских моделей, называемые условной оптимизацией. Следую-
щий этап — безусловная оптимизация.
Предположим что в результате условной оптимизации
стали известны начальное состояние системы So и оптималь-
ное управление, переводящее систему в состояние Sv за-
тем — в S2 и т. д. до получения максимального выигрыша
fn (S). Из этого следует, что в результате безусловной опти-
мизации определяются оптимальные управления на всех
шагах процесса, приводящие к максимально возможному
выигрышу Zmax.
Таким образом, динамическое программирование пред-
полагает осуществление пошагового процесса оптимизации
дважды:
от конца к началу, в результате чего находятся условно-
оптимальные управляющие воздействия;
от начала к концу, в результате чего определяются оп-
тимальные шаговые управления на всех стадиях процесса.
8.2. Построение рекуррентных
соотношений Р. Веллмана
Общее описание модели динамического программирова-
ния сводится к следующему.
Рассматривается система, которая под влиянием управ-
ляющих воздействий может переходить из состояния в со-
стояние. Предположим, эта система из начального состоя-
ния So переходит в конечное Sn за п шагов.
Последовательное изменение системы достигается с по-
мощью некоторых мероприятий (Ult U2, ..., Ukt ..., (/„),
составляющих управление системой; Uk — управление на
k-м шаге, переводящее систему из состояния S^i в состо-
яние Sk.
Граф состояний данной системы представлен на рис. 66.
При изменении управляющих воздействий изменяет-
ся эффективность процесса, которая оценивается целевой
функцией /, зависящей от начального состояния системы
So и управляющих воздействий (/.
Показатель эффективности &-го шага процесса управле-
ния, зависящий от предыдущего состояния системы Sk-i и
Рис. 66. Граф состояний динамической системы
248
выбранного на этом шаге управления Uk, определяется
функцией fk (S*_i, Uk).
Таким образом, цель пошаговой оптимизации — опре-
делить набор управляющих воздействий U, переводящих
систему из состояния So в состояние Sn и минимизирующих
п
(максимизирующих) функцию цели у Uk).
fc=l
Так, если система находится в состоянии Sk—i и, выбрав
произвольное управление Uk, мы переведем ее в состояние
Sfe, то дальнейшие управляющие воздействия (Л4-1, ^4-2 и
т. д. должны выбираться оптимальными относительно со-
стояния Sk, т. е. максимизируется (минимизируется)
п
величина У ft t/t).
Задача оптимизации процесса, начиная с k-ro и кончая
последним п-м шагом,, аналогична исходной задаче при на-
чальном состоянии системы S*_i, управлении uk = (Uk,
СД+i, ..., Un) и показателе эффективности Zk — F (Sk-\9
Определив оптимальное управление на оставшихся
п — k + 1 шагах, получим максимум (минимум) функции
Zk, зависящий только от Sk—i, т. е.
f Zk (Sk-i) = max F (Sk-i, uk).
Величина Z/? называется условным оптимумом. Согласно
принципу оптимальности, какое бы управляющее воздей-
ствие Uk в дальнейшем не принималось, последующие управ-
ления (i/fc.+i, i/fe+2, ...» CQ необходимо выбирать так, чтобы
показатель эффективности достигал максимального (ми-
нимального) значения, равного Z*+i (Sfe). Управляющее
воздействие Uk выбирается таким, чтобы совместно с управ-
лением на последующих шагах обеспечивался максимум
(минимум) показателя эффективности на п — k + 1
шагах, начиная с fe-го и до конца процесса.
Это обстоятельство аналитически можно представить
в следующем виде:
Z, (S&-. 1) = max [ffc (Sfc—i, Uk) -Ь Zk+i (*$л)Ь
Соотношение (8.1) для выбора оптимальных управляю-
щих воздействий по критерию Zb (S^-i) через Zk+i (Sk)t
k = и, n — 1, n —2, 1 получило название основного
рекуррентного соотношения Р. Веллмана.
Для того чтобы лучше понять сформулированный прин-
цип оптимальности Р. Веллмана, рассмотрим задачу вы-
числения кратчайшего расстояния на сети.
249
Рис. 67. Определение кратчайшего расстояния на
сети
Предположим, имеется сеть, представленная графом
(рис. 67). Необходимо определить кратчайший (минималь-
ный по стоимости) путь от вершины 1 (источник) до вершины
10 (сток). Остальные вершины графа являются промежуточ-
ными пунктами. Числа, помещенные на ребрах графа, мож-
но трактовать по-разному. Это могут быть показатели Сц,
определяющие длину дуги из вершины i в вершину /, либо,
как в данном случае, стоимость перевозки единицы груза
из пункта i в пункт /.
Прежде чем приступить к решению задачи, введем такие
обозначения: fn(k) — затраты, соответствующие стоимости
транспортирования от пункта /?, если до конечного пункта
остается п отрезков сети; jn (/?) — путь, позволяющий
обеспечить величину затрат fn (k).
Как и в любой другой задаче динамического программи-
рования, решение будем осуществлять с конца, т. е. с верши-
ны 10. Если предположить, что груз сразу окажется в этой
вершине, то, естественно, никаких затрат на транспортиро-
вание не потребуется, а значит /0 (10) = 0. Достаточно про-
сто вычисляются значения (8) и (9) — они равны соот-
ветствующим стоимостям, указанным на дугах 8—10 и
9—10, т. е.чД (8) = 8 и Д (9) = 5.
Для лучшего понимания сущности многошаговых расче-
тов необходимо более детально уяснить смысловую нагрузку
букв и индексов, составляющих аналитические зависимости
задачи. Индекс k означает, что определяются затраты по
сети для перемещения груза от некоторой вершины k до
конечного пункта — вершины 10\ индекс п свидетельствует
о том, что от пункта k до конечной цели осталось п отрезков
пути. Например, /3 (2) — стоимость транспортирования
груза из вершины 2 до вершины /0, причем от 2 до 10 три
шага (10—8, 8—5, 5—2 или 10—9» 9—6 и 6—2).
250
Таким образом можно вычислить все возможные значения
стоимости, отвечающие различым стратегиям перемещения
груза по сети. Для этого необходимо суммировать стоимость
перевозки от вершины k да вершины / и стоимость, соответ-
ствующую минимуму затрат транспортирования груза от
вершины j до конечного пункта 10, причем от вершины j до
цели остается п — 1 шагов. Вычисленные суммы сравни-
ваются между собой и выбирается такая вершина /, для
которой эта сумма минимальна. Указанный принцип фор-
мулируется в виде динамического рекуррентного соотно-
шения
fn(k)= min icki + fn-i (/)],
для всех
k и I
n= 1, 2, 3, 4.
У В соответствии с выражением (8.1) вычисляются значения
/0 (£), затем — (£), /2 (£) и т. д. до тех пор, пока не будет
получено значение /п(5), соответствующее оптимальному,
т. е. минимальному по стоимости пути.
Для вершин 8 и 9 за 1 шаг до цели (п = 1) рекуррентные
соотношения имеют вид (8) = с8,ю + 0 = 8, путь из вер-
шины 8 лежит к вершине 10, следовательно, j\ (8) = 10.
Аналогично — Д (9) = с9,ю + 0 = 5; j\ (9) = 10.
Порядок вычислений представлен в табл. 8.1. Для каждо-
го числа шагов (п = 1, 2, 3, 4) в таблице отведены разделы.
Первая слева графа отражает состояние, в котором система
находится на данном шаге (при п = 1 это вершины 8 и 9,
при п = 2 — 7, 6, 5 и т. д.). В верхней строке таблицы указа-
ны номера вершин, из которых путь до конечного пункта на
один шаг меньше. В соответствии с номером вершины в гра-
фах проставлены суммы стоимости доставки груза от очеред-
ного элемента сети ckj (от вершины k до вершины /) и стои-
мости (/), соответствующей наименьшим затратам тран-
спортирования груза от вершины / до конечного пункта 10.
Кроме того, для каждого шага п приведены значения jn (k)
и
Как следует из вычислений (условная оптимизация),
оптимальный (кратчайший) путь из вершины 1 в вершину
10 пройдет через пункты 2,6 и 9 (безусловная оптимизация),
при этом затраты составят/4 (1) = 18 единиц. Оптимальный
маршрут выделен на рис. 67 полужирными стрелками.
Даже на таком элеме тарном примере можно убедиться в
преимуществах вычислений методом динамического програм-
мирования. Действительно, исходя из данных табл. 8.1,
251
252
Таблица 8.1
Поло- жение на дан- ном шаге k Переход к следующим вершинам и показатели оптимальности
10 - 9 8 oi $ 7 6 5 2 со 2 4 3 2 /4 (k) /< (fe)
л=1 9 8 5+0 8+0 10 10 5 8
СЛ О II ю 10+5 3+5 6+5 4+8 5+8 8+8 8 9 9 12 8 11
п=3 4 3 2 5+12 4+12 М 3+8 8+8 6+8 2+11 4+11 7+11 6 5 6 н 15 14 \
л=4 1 8+11 4+15 4+14 2 18
нами произведено 19 операций сложения. Перебор всех
возможных путей транспортирования груза на сети (см.
рис. 67), а таких путей 15, потребовал бы 45 операций (15 X
X 3), ричем с увеличением размера сети эти преимущества
в значительной степени возрастают.
8.3. Задача оптимальной замены оборудования
Данная задача относится к классу моделей принятия
решений при разработке долгосрочных планов замены выбы-
вающих из эксплуатации основных фондов.
Известно, что проблема своевременной замены оборудо-
вания чрезвычайно актуальна и сложна для любой отрасли
народного хозяйства. Оборудование в процессе эксплуата-
ции изнашивается, стареет морально и физически и насту-
пает такой момент, когда его дальнейшая эксплуатация
оказывается нецелесообразной. Необходимо установить
оптимальное время замены того или иного комбайна (ком-
плекса), так как потери от снижения надежности данной
машины при добыче полезных ископаемых больше, чем
стоимость ее ремонта или замены.
Принцип решения такой задачи методом динамического
программирования рассмотрим на условном примере.
Предположим, необходимо определить политику оптима-
льной замены угольного к мбайна в течение планового пери-
ода. Для решения задачи введем следующие характеристики
параметров комбайна: t — возраст комбайна, t = 0, 1,2...
(t = 0 — ьовая машина, t = 1 — соответствует использо-
ванию машины возрастом 1 год и т. д,);г(/) — стоимость
угля, добываемого за 1 год комбайном возраста /; и (t) —
эксплуатационные расходы за 1 год на комбайн возраста /;
р — цена нового комбайна (условно принято, что в течение
планового периода она оста тся неизменной); s (t) — оста-
точная стоимость комбайна возраста t\ N — лительность
планового периода.
Функция fn (О соответствует величине суммарного дохо-
да за последние п лет планового периода при условии, что
в начале этого периода длительностью п лет имеется комбайн
возраста t.
Согласно концепции динамического программирования
решение будем осуществлять с конца процесса.
Допустим, до конца планового периода остался 1 год
(п = 1) и к началу этого последнего года имеется угольный
комбайн возраста t. При этом возможны два варианта дей*
ствий:
253
Л (t) = max
1) сохранить данный комбайн и получить за этот год от
него доход
(8.2)
2) заменить имеющийся комбайн новым и уже от него за
последний год получить доход
s(/) + r(0)-«(0)-p. (8.3)
Очевидно, что решение о замене комбайна следует при-
нять, если s (/) + г (0) — и (0) — р > г (f) — и (/). В про-
тивном случае имеющийся комбайн в указанном году выгод-
ней сохранить.
Политика оптимального управления на последнем шаге
планового периода выбирается из учета обеспечения мак-
симального дохода, определяемого по наибольшей части
выражений (8.2) и (8.3). Если доход в последний год плано-
вого периода обозначить через (/), то
г (/) — и (t) — сохранение комбайна,
s (/) + г (0) — и (0) — р — замена комбайна.
(8.4)
Функции Д (0, /2 (0, fn(t) учитывают вклад после-
дующих шагов в общий доход, и если определить значение
fa (/) в начальный момент планирования и политику замены
машины, обеспечивающую этот доход, то задачу можно счи-
тать решенной.
Для этого, прежде всего, необходимо найти связь между
функциями Р. Веллмана при изменении количества лет п
на 1 год, т. е. между fn+\ (/) и fn (/). Если данная связь будет
определена, то, знаяД (/), можно найти/2, /3, ..., /rt, ...
... , /л/ и тем самым решить задачу. Такая схема реше-
ния соответствует концепции динамического программирова-
ния — устанавливать оптимальную политику для всего про-
цесса путем нахождения условно оптимальных политик,
т. е. вычисления fn (f) при различных значениях nut.
Предположим, что до конца планового периода остается
п + 1 лет и к началу этого периода имеется комбайн воз-
раста /; необходимо определить оптимальную политику его
замены. Разобьем данный период на две части: первая со-
стоит из 1 года, а вторая — из п оставшихся лет.
В первом году возможны два варианта решения — со-
хранение комбайна или его замена. В случае сохранения
машины за этот год мы получим от него доход г (/) — и (f),
причем к концу года возраст комбайна составит t + ^зна-
чит за оставшиеся п лет машина принесет доход /Л (t + 1), а
254
общий доход за п + 1 лет будет равен
r{t)-u(t) + fn{t+ 1). (8.5)
В случае замены комбайна доход в первом году составит
г (0) — и (0), причем к концу года возраст машины будет
равен 1 году и доход за оставшиеся п лет составит fn (1), а
общий доход за п + 1 лет
s(t) +г (0) — и(0) — р н-/п(1). (8.6)
Очевидно, что оптимальной считается политика, обес-
печивающая доход, соответствующий большему из выра-
жений (8.5) и (8.6), т.е.
г (/) — и (/) + fn (t + 1) — сохранение
с ... комбайна,
(г) = max
s(Z) + г (0) — и (0) — р + /п(1) — замена
комбайна.
(8.7)
Соотношения (8.4) и (8.7), устанавливающие связь между
выражениями для /,r+i (/) и Д (/), и являются искомыми ре-
куррентными соотношениями, позволяющими определить
оптимальную политику замены машины при различных
значениях t.
Пример. Необходимо построить политику оптимальной замены
комбайна 1ГШ-68 в течение пяти лет планового периода.
Числовые значения функций г (t), и (/) и выражения г (t) — и (t)
приведены в табл. 8.2.
С целью упрощения вычислений будем считать, что, во-первых,
остаточная стоимость комбайна не зависит от его возраста и равна нулю
(s (0 = 0), а во-вторых, балансовая его стоимость с течением времени
не изменяется и равна р — 74 тыс. р.
Максимальный доход за последний год планового периода соответ-
ствует большему из выражений
(t) = max { —
1 U(/)+r(0)~u(0)-p
(r (t) — и (t) — сохранение комбайна,
0+ 144 — 70 — 74— замена комбайна.
Таблица 8.2
Параметр, тыс. р. Возраст машины, лет
0 1 1 2 3 4 б
г (О 144 134 122 110 98 86
и (0 70 74 78 80 84 86
г (0 — и (0 74 60 44 30 14 0
255
Таблица 8.3
я /, лет
0 1 1 1 2 1 3 * 1 б
1 74 60 44 30 14 0
2 134 104 74 60 60 60
3 178 134 104 104 104 104
4 208 164 148 134 134 134
б 238 208 178 164 164 164
Из последней строки табл. 8.2 видно, что г (t) — и (/) =£ 0 (сравни-
те 0 + 144 — 70 — 74 « 0), следовательно, необходимо придержи-
ваться политики «сохранения» комбайна, так как при его замене полу-
чаемый доход не увеличится, т. е. /х (t) при политике «сохранения» дости-
гает максимума.
Максимальный доход за период п + 1 лет равен наибольшему из
выражений
fn+l (t) — max
7(0-«(0 + /„(/+1)
,s (/) + г (0)-«(0)-₽ + /„(/)
fr(/)—u(/)+f„(/+ 1)
.0 - 74+ 144 - 70 + MI)
fr (t) — и (t) + fn (t + 0 — сохранение комбайна,
= max <e (8.9)
(/n(l) — замена комбайна.
Используя полученные выражения (8.8) и (8.9), вычислим значения
функции Р. Веллмана fn (t) в зависимости от возраста комбайна.
Числовые значения fn (t) при различных ли/ будем записывать в
табл. 8.3.
Поскольку fi (t) = г (t) — и (/), то первая строка табл. 8.3 совпа-
дает с последней строкой табл. 8.2.
Теперь перейдем к заполнению второй строки. В соответствии в
выражением (8.9) для t = 0 запишем
fr (0) — а (0) +/i(l) — сохранение комбайна,
/2 (0) = шах ( .
(/х (1) — замена комбайна.
Так как г (0) — и (0) + Д (1) > /х (1), то максимальный доход мы
получим при политике «сохранения» комбайна, и записывается это сле-
дующим образом:
(0) =» шах
Г (0) и (0) +/1 (1) = г (0) _ и (0) + Л (1) = 74 + 60 в
41 (!)
» 134 — сохранение комбайна.
Далее
fr (1) — « (1) +/х (2) (60 + 44
(1) = max =max< « 104 — сохранение
1/1 (1) (00
комбайна)
256
fr(2)-u(2) + M3) /44 + 30
f2 (2) = max < = max< =74— сохранение
ViU) VoO
комбайна;
(г (3) — и (3) + Л (4) Г30 + 14
/2 (3) = max < = max < =60— замена ком-
if 1 (1) 160
байна.
Для того чтобы различать, в результате какой политики получен
оптимальный доход, будем значение fn (0, соответствующее политике
- «замены», выделять в таблице курсивом.
Отметим, что чем больше воз|; аст комбайна, тем меньший объем товар-
ной продукции он позволяет получать и тем выше затраты на его обслу-
живание, а следовательно, величина г (0 — и (t) с увеличением t умень-
шается. Поэтому при t 3 (1) > г (t) — и (0 + fi (t + 1), т. е.
(г (/) — и (0 4- h (t + 1)
f2 (0 = max < =(I) = 60— замена комбайна,
’и (О
Таким образом, во второй строке табл. 8.3, начиная с f2 (3) и далее,
будет курсивом проставлена цифра 60.
Для заполнения третьей строки произведем следующие вычисления:
. /гп (°) ~ + /а (0 /74 + 104 17Q
f8 (0) = max < = max { = 178 — сохране-
на (1) U04
ние комбайна;
/г (1) — а (1)+/2 (2) /60 + 74
f,(l)=max| =max|lo4 = 134 — сохране-
ние комбайна;
1з (2) = max
fr(2)-a(2) + f2(3) /44 + 60
< = max < =104 — сохранение
V2(l) 1104
комбайна.
В данном случае обе политики — «сохранения» и «замены» — обес-
печивают одинаковый доход (104 тыс. р.). Условимся, например, со-
хранить комбайн. Естественно, что результат не изменится, если мы
примем решение комбайн заменить.
Далее
/г(3)-и(3) + /2(4) /30 + 60
f, (3) = max 1 = max < = 104 — замена
3 l/2(l) 1104
комбайна.
Следовательно, курсивом вносим в табл. 8.3 значение f3 (3) = 104.
Отметим, что с ростом t величина выражения г (0 — и (0 и функции
f2 (0 уменьшается, поэтому если при t = 3 f2 (1) > г (3) — и (3) +
+ /з (4)> то это неравенство будет выполняться и при t > 3:
(Г (0 — U (0 + f2 (t + 1)
f3(0 = max j = f2 (1) = 104 — замена комбайна.
1/2 (0
Таким образом, в третьей строке, начиная с f3 (3) и далее, будет кур-
сивом записана цифра 104,
g 529
257
Аналогично заполняем в табл. 8.3 последующие строки. Подчерк-
нем, что в данной таблице прямой шрифт соответствует политике «со-
хранения» комбайна, а курсив — политике его «замены».
Например, /4 (3) = 134 и /4 (4) = 134, но значение первой функции
вписано в таблицу прямым шрифтом, а второй — курсивом. В данном
случае запись прямым шрифтом означает, если используется комбайн,
возраст которого 3 года, и до конца планового периода осталось 4 года,
то максимальный доход за это время составит 134 тыс. р., причем для его
получения необходимо в первом году данного четырехлетнего периода
сохранять имеющийся комбайн. Запись/4 (4) — 134 курсивом означает,
что если используют комбайн, возраст которого 4 года, и до конца плано-
вого периода остается 4 года, то максимальный доход будет равен (как
и в первом случае) 134 тыс. р., но для получения этой суммы в первом
году оставшегося четырехлетнего периода необходимо заменить име-
ющийся комбайн новым (поскольку в случае его сохранения доход за
четыре года уменьшится и составит 118 тыс. р.).
Данные табл. 8.3 являются результатом условной оптимизации
и содержат информацию, позволяющую осуществлять дальнейшие (без-
условные) оптимальные управления.
Предположим, в начале планового периода имеется комбайн, воз-
раст которого 4 года. С целью получения максимального дохода за пяти-
летку необходимо определить оптимальную политику («сохранения»
или «замены» комбайна). Величину дохода при указанном условии можно
найти в табл. 8.3 — значение /5 (4) (164 тыс. р.). Теперь определим опти-
мальную политику, обеспечивающую такой доход. Для этого политику,
характеризующую переход системы из одного состояния в другое, изо-
бразим на графике (рис. 68). Так как значение /6 (4) указано в таблице
курсивом, это означает, что для достижения оптимального дохода в
плановом периоде длительностью 5 лет необходимо в первом году заме-
нить комбайн. Следовательно, проработав на новом комбайне 1 год, за
4 года до конца планового периода, будем иметь машину, возраст кото-
рой составит 1 год. На графике политика «замены» изображена отрезком,
идущим сверху вниз из точки (0,4) в точку (1,1). Теперь необходимо дей-
ствовать оптимально в оставшемся
Рис. 68. Политика замены комбай-
на в зависимости от его возраста
четырехлетием периоде, учитывая,
что возраст имеющегося ком-
байна составляет уже 1 год, т. е.
следует найти значение /4 (1).
Из табл. 8.3 видно, что /4 (1) =
— 164 (прямым шрифтом), таким
образом, во втором году име-
ющийся комбайн надо сохранить.
Проработав на нем еще год (за
3 года до конца планового пе-
риода), мы будем иметь комбайн,
возраст которого составит уже
2 года. На графике политика «со-
хранения» комбайна изображает-
ся отрезком, идущим снизу вверх
из точки (1,1) в точку (2,2). Зна-
чение /3 (2) в табл. 8.3 записано
прямым шрифтом. Следователь-
но, необходимо сохранить имею-
. щийся комбайн. Проработав на
нем год, за 2 года до конца пла-
нового периода будем иметь ком-
байн возраста 3 года. На графи-
ке
ке это изображается отрезком, идущим из точки (2,2) в точку (3,3).
Значение /2 (3) записано курсивом. Следовательно, на четвертом году
планового периода комбайн необходимо менять. Таким образом, за 1 год
до конца планового периода у нас будет комбайн возраста 1 год. На гра-
фике это изображается отрезком, идущим сверху вниз из точки (3,3)
в точку (4,1). Действуя аналогично, определим, что в оставшийся до
конца планового периода год оптимальной политикой является «со-
хранение» комбайна.
Итак, оптимальная политика замены машины при условии, что в
начале планового периода имелся комбайн возраста 4 года, выглядит
следующим образом
/6 (4)------- (I)------------fs (2)--------------
Замена Сохранение Сохранение
/2 (4)------/, (1)------------_
Замена Сохранение
График весьма наглядно демонстрирует принцип перспективного
планирования. На первом году комбайн был заменен и доход, получен-
ный за этот год, был равен нулю, хотя можно было сохранить комбайн
и получить доход 14 тыс. р. Оказалось, что с точки зрения всего плано-
вого периода, а не только одного первого года, целесообразно в первом
году доход уменьшить.
Допустим, теперь в начале планового периода имеется комбайн,
возраст которого составляет 2 года. Определим по табл. 8.3 оптималь-
ную политику за весь период. Для этого последовательно находим
/6 (2)------------(3)-------------13 (4) --------_
Сохранение Сохранение Замена
к (О--------------- к (2)------------
Сохранение Сохранение
На рис. 68 отрезок, соответствующий этой политике, показан штри-
ховой линией. Максимальный доход в данном случае равен 178 тыс. р.
Если же в начале указанного периода возраст комбайна составит
1 год, то для установления оптимальной политики последовательно опре-
деляем
/6(1) ----------- /4 (2)------------/, (3) -----
Сохранение Сохранение Замена
-> к (1)------------- к (2)-------------
Сохранение Сохранение
Отрезок, соответствующий данной политике, на рис. 68 показан
штрихпунктирной линией. Здесь максимальный доход равен fb (1) =
= 208 тыс. р.
Проиллюстрируем на рис. 68 еще одну особенность задач динамиче-
ского программирования: прошлая история системы не имеет значения
при определении будущих действий. Для этого рассмотрим на графике
две линии (траектории) — штриховую и штрихпунктирную. Каждая из
них характеризует оптимальную политику действий для своей конкрет-
ной задачи. Эти траектории имеют разное начало и до определенного
момента ведут себя по-разному, т. е. имеют разные предыстории. В мо-
мент Т = 3 обе траектории приходят в одну точку, т. е. соответству-
ющие им системы (комбайны) оказываются в одном состоянии (их возраст
одинаков и составляет 1 Год). Этим объясняется то, что в дальнейшем обе
траектории совпадают,
259
8.4. Динамическая модель оптимального
размещения шахт
Поточно-прерывный характер горного производства и
четкая периодичность планирования позволяют использо-
вать динамическое программирование для решения задачи
ооеспечения заданного прироста объемов добычи, явля-
ющейся составной частью экономико-математической модели
поддержания мощности шахт объединения (региона) за счет
нового строительства. Предположим, что в заданном районе
имеется свободный, детально разведанный, геологический
участок, на котором возможно строительство новых шахт.
Для каждого строящегося предприятия известна его мощ-
ность, которая может быть достигнута в плановом периоде,
и определены необходимые затраты, зависящие от этой мощ-
ности.
Математическая постановка такой заачи имеет вид
N
У <pt (xj -> min (max)
(8.10)
при условии, что
N
S xt = Лпл,
bi
(8.H)
(8.12)
где W — количество предприятий, которые могут быть по-
строены; Дпл — суммарная плановая мощность N предприя-
тий; bi, Bi — соответственно наименьшая и наибольшая
производственная мощность, которую может иметь i-e пред-
приятие; Xi — мощность f-го предприятия; ср, — затраты
(прибыль, экономический эффект) по f-му предприятию,
зависящие от его производственной мощности.
Если -> +оо, то это соответствует возможности стро-
ительства предприятий любой мощности. Если bt = 0, это
означает, что предприятие строить нецелесообразно.
Необходимо выбрать оптимальный план развития и раз-
мещения производства, т. е. такой план, который с мини-
мальными затратами (или максимальной прибылью) удовлет-
ворял бы заданным потребностям в условиях ограничен-
ности используемых ресурсов.
Для упрощения исходных данных и вычислений от этой
экономико-математической модели можно перейти к реше-
нию задачи, в которой вместо оптимальной производствен-
ной мощности выбирается ее прирост.
260
С этой целью в модель вводится новая неизвестная Уь
соответствующая приросту мощностей предприятий по
сравнению с минимально возможными bif yt = xt — bt.
В результате экономико-математическая модель (см. выра-
жения (9.10) — (9.12)) принимает вид
N
S ф, (//Jmin (max)
4=1
Л/ _
при условии, что 2 У1~А>
_ N
Здесь А = 4пл — S Ьь a Yt = В£ -
i=i
Для решения задачи такого типа методом динамического
программирования вводятся функции fk (4), кото ые описы-
ваются следующим образом:
k
fk(A) = minS фДг/,),
i==l
k
fi(A) = <Р1(Л), A = S Ус
4 = 1
Данные функции представляют собой минимальные за-
траты на добычу угля на первых/? предприятиях. Затраты,
связанные с приростом мощности на k-м предприятии на
величину yk и увеличением добычи на k — 1 предприятиях
на величину А —yk, для всех k предприятий равны ср* (yk) +
+ /fe_i (4—yk). Минимальные затраты k предприятий
равны минимуму этой суммы. Запишем рекуррентные соот-
ношения, выражающие fk через fk-i,
fk (Л) = min [<pfe (yk) + Д_1 (A — yk)], k= 2, 3, .... N,
(8.13)
/1 И) = <P (Л).
Величина А является переменной и изменяется в пре-
делах от 0 до А.
Если некоторые функции fk (4) не определены при всех
4, то вместо них вводится штрафная функция — сколь
угодно большое число М. Ниже приведен пример решения
задачи при следующих условиях.
Поддержание достигнутого уровня добычи по угольному
производственному объединению возможно путем строи-
тельства на свободном геологическом участке одной или не-
скольких шахт. Исходя из промышленных запасов, на
231
участке можно организовать добычу на уровне А =«
=• 1800 тыс. т в год.
Необходимо определить оптимальную мощность новых
шахт.
Предположим, что на участке есть возможность по-
строить пять шахт. Ограничения по мощности для каждой
из них записываются таким образом:
0^*/i<600; 0 у* 900;
0^z/2^ 1200; 0 Уъ С 900,
0<^z/3< 1800;
т. е. по максимальной мощности может рассматриваться три
варианта:
1) строительство одной шахты мощностью 1800 тыс. т
в год;
2) строительство двух шахт соответственно мощностью
600 и 1200 тыс. т в год;
3) строительство двух шахт мощностью по 900 тыс. т
в год.
По каждому варианту определяются затраты (уд по
формуле
Ф; (Уд — S Kitlf + S Sitk*— S aitka,
t=l f==I Г=1
где Kit — капитальные вложения на строительство и под-
держание производственной мощности по f-му варианту в
/-м году; Sit — эксплуатационные издержки по f-му варианту
в /-м году; аи — амортизационные отчисления на ренова-
цию по /-му варианту в Лм году; k\ ks, ka — коэффициенты,
учитывающие дополнительный народнохозяйственный эффект
соответственно от использования высвобождаемых капи-
тальных вложений, снижения эксплуатационных издержек
и реновационных отчислений в течение принятого периода
оценки т.
Величина затрат ср, (уд по каждому варианту приведена
в табл. 8.4. В верхней строке таблицы указан ряд значений
мощностей шахт от 0 до А с интервалом А (в данном случае
он равен 300 тыс. т). Интервал А выбирается произвольно,
но с его уменьшением, естественно, увеличивается размер-
ность задачи. Во второй и последующих строках таблицы
записаны значения затрат по каждой шахте для всех вари-
антов мощностей в пределах 0 С yt Yt. Для Yt А
предполагается, что <р/ (уд и изображается симво-
лом М.
262
Таблица 8.4
Затраты Вариант мощности
0 300 600 900 1 1200 1500 1800
Ч>1 0/1) 0 280 546 м м М М
Ч>2 (У1) 0 270 516 776 1026 М М
Ч>« (Уз) 0 311 607 919 1223 1510 1791
Ч>4 (J/1) 0 278 523 J 788 М м М
4>s (Уз) 0 277 529 796 М м М
Решение задачи в соответствии с принципами динами- •
ческого прогр ммирования разбивается на шаги (итерации).
Каждому шагу соответствует вариант строительства шахт.
Первый шаг. Рассматривается строительство первой шах-
ты мощностью 0 уi 600. Поскольку при строитель-
стве одной шахты альтернативные варианты не расе атри-
ваются, то очевидно, что затраты при всех значениях ее
мощности и будут минимальными, т% е. (Д) = (у).
Значения (у) из табл. 8.4 переписываются в табл. 8.5.
Втор й шаг. Определяются минимальные затраты на
добыч угля при строительстве и эксплуатации первых
двух шахт, т. е./2 (Д)- Для каждого значения Д, используя
данные табл. 8.4 и 8.5, рассчитываются величины ср2 (у) +
+ /1 (Д — У), которые затем записывают в табл. 8.6. При
этом заполняют лишь те клетки, для которых справедливо
неравенство А у. По данным этой таблицы определяют
значения /2 И)- Ими будут наименьшие значения величин
q>2 (//) +* /1 И — //) в каждом столбце, т. е. при каждом зна-
чении А.
Например, для столбца А = 900 выполняются следу-
ющие расчеты согласно соотношениям (8.13).
Таблица 8.5
Затраты Вариант мощности А
0 300 600 900 1200 1500 1800
/1 (Л) 0 280 546 М м м М
263
Таблица 8.6
Прирост МОЩНОС- ТИ у Вариант мощности А
300 600 900 1200 1500 1800
0 280 546 М М М М
300 270 550 816 М м М
600 516 796 1062 м М
900 776 1056 1322 м
1200 1026 1306 1572
1500 М М
1800 м
На основании данных табл. 8.4 и 8.5 находим
f/— О, (р2(0) +Д(900 — 0) — 0 + М = М,
у = 300, ф2 (300) + fi (900 — 300) = 270 + 546 = 816;
у = 600, ф2 (600) + А (900 — 600) =516 + 280 = 796;
у = 900, ф2 (900) + f, (900 — 900) = 776 + 0 = 776.
Наименьшее число в столбце равно 776, следовательно,
/2 (900) = 776. Соответствующее значение у = 900 представ-
ляет собой оптимальную мощность второй шахты при общем
объеме добычи по первой и второй шахтам — 90Э тыс. т.
В каждом столбце табл. 8.6 указано наименьшее значе-
ние /2 (Д). Составляется табл. 8.7, содержащая величины
/2minG4) и у2[А).
Таблица 8.7
Затраты и прирост добычи у Вариант мощности А
0 300 600 900 1200 1500 1800
fi И) 0 270 516 776 1026 1306 1572
Уг И) 0 300 600 900 1200 1200 1200
264
Таблица 8.8
Прирост МОЩНОС- ТИ у Вариант мощности А
300 600 900 1200 1500 1800
0 270 516 776 1026 1306 1572
300 311 581 827 1087 1337 1617
600 607 877 1123 1383 1633
900 819 1189 1435 1695
1200 1223 1483 1739
1500 1510 1780
1800 1791
Третий шаг. Рассматривается вариант строительства
трех шахт. Расчеты минимальных затрат и выбор оптималь-
ной мощности третьей шахты аналогичны вычислениям,
произведенным на втором шаге. Для определения значений
/3 (Д) на основе данных табл. 8.4 и 8.7 строится табл. 8.8
(величин <р3 (у) + /2 И ~ УУЬ из которой значения /3 (Д)
и у3 (Д) записывают в табл. 8.9.
Четвертый шаг. Определяются минимальные затраты на
добычу угля при строительстве четырех шахт. Используя
данные табл. 8.4 и 8.9, строят табл. 8.10, содержащую
величины <р4 (г/) + /3 (А — у). Значения /4 (Д) и соответст-
вующие им значения у4 (Д) записывают в табл. 8.11.
Таблица 8.9
Затраты и при- рост добычи у Вариант мощности А
0 300 600 900 1200 1500 1800
/8(Л) 0 270 516 776 1026 1306 1572
Уз (А) 0 0 0 0 0 0 0
265
Таблица 8.10
Прирост мощности У Вариант мощности А
300 600 900 1200 1500 1800
0 270 516 776 1026 1306 1572
300 278 548 794 1054 1304 1584
600 523 793 1039 1299 1546
900 788 1058 1304 1564
1200 М М М
1500 м м
1800 м
Пятый шаг. Строительство пяти шахт. Функция /6 (Л)
вычисляется так же, как и функция /4 (Л). Данные расчетов
приведены в табл. 8.12 и 8.13.
Используя данные табл. 8.5, 8.7, 8.9, 8.11 и 8.13, можно
определить оптимальные мощности всех рассматриваемых
шахт. В соответствии с принципами динамического про-
граммирования все расчеты осуществляются с конца про-
цесса, т. е. с пятого шага. По условию задачи необходимая
дополнительная мощность пяти шахт должна быть равна
1800 тыс. т в год. Как следует из табл. 8.13, оптимальная
мощность пятой шахты равна уь = 0. Суммарная мощность
оставшихся четырех шахт составляет Л —уъ = 1800 — 0 =
= 1800 тыс. т в год. По данным табл. 8.11 определяют опти-
Таблица 8.11
Затраты и прирост добычи у Вариант мощности А
0 300 600 900 1200 1500 1800
ft (А) 0 270 516 776 1026 1299 1546
Vi И) 0 0 0 • 0 0 600 600
266
Таблица 8.12
к1 Прирост мощности у Вариант мощности А
300 600 900 1200 1500 1800
0 270 516 776 1026 1299 1546
300 277 547 793 1053 1303 1576
600 - 529 799 1045 1305 1555
900 796 1066 1312 1572
1200 М М М
к 1500 М М
1800 М
1. V 1 U1XUOV1IX1>UIV 1 V41 1 CAXVXL4V 1 1-
г при суммарной добыче у
|Кв год, т. е. при А = 12(
L мальную мощность четвертой шахты — z/4 = z/4 (1800) =
К. = 600 тыс. т в год. Мощность первых трех шахт соответст-
’венно равна А — уь — f/4 = 1200 тыс. т в год. По табл. 8.9
L устанавливают оптимальную мощность третьей шахты
г при суммарной добыче угля на трех шахтах — 1200 тыс. т
*\в год, т. е. при А = 1200 у3 = у3 (1200) = 0. Суммарная
^мощность первой и второй шахт, следовательно, равна
£>;|200тыс. тв год. Исходя из данных табл. 8.7, мощность вто-
рой шахты также составляет 1200 тыс. т в год. Таким обра-
зом, мощность первой шахты равна 0. В результате получаем
1^1 = 0, у2 = 1200, у3 = 0, уА = 600, у,* = 0. Поскольку
р для строящихся шахт приростом мощности является сама
ь*1' Таблица 8.13
Затраты и прирост **4 добычи у Вариант мощности А
0 300 600 900 1200 1500 1800
f^A>> 0 270 516 776 1026 1306 1572
0 300 600 900 1200 1200 1200
267
их мощность, то оптимальное решение задачи соответствует
строительству на свободном участке двух шахт мощностью
1200 и 600 тыс. т в год, при этом суммарные затраты на их
строительство и эксплуатацию в течение двадцатилетнего
периода составят 1546 млн р.
Глава 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕВОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ
9.1. Основные понятия сетевого планирования
Сетевое планирование — научный метод планирования
сложных работ, в выполнении которых может участвовать
большое число исполнителей. Планирование работ с помо-
щью сетевых методов позволяет оценить составленный план
с точки зрения правильного распределения ресурсов, вы-
явитксдерживающие ф кторы производства, обеспечить со-
кращение сроков выполнения работ и снижение материаль-
ных затрат, дает возможность вносить поправки в органи-
зацию работ и оперативно рашать вопросы, связанные с их
материально-техническим обеспечением.
В горной промышленности сетевое планирование приме-
няют при строительстве горн х предприятий, монтаже и
демонтаже сложного технологического оборудования, вы-
полнении ремонтных работ, реконструкции предприятий и
во многих других случаях.
Комплекс подлежащих выполнению работ разбивается
на отдельные «элементарные» работы, для котор х опре-
деляется последовательность выполнения, а также необ-
ходимые затраты времени и ресурсов. Сетевой график пред-
назначен для графического изображения последователь-
ности работ. Он позволяет не только наглядно представить
весь комплекс работ в их взаимосвязи, но и проанализиро-
вать составленный план, выполнить его корректировку и
оптимизацию по затратам времени и ресурсов.
Основными элементами сетевого графика являются
работы и события. Изображают сетевой график в виде гра-
фа, вершины которого соответствуют событиям, а ориенти-
рованные дуги — работам.
Событие — это факт выполнения одной или нескольких
работ. Событие (во времени) происходит тогда, когда завер-
шаются все работы, о выполнении которых оно свидетель-
ствует. С другой стороны, если некоторая работа В может
начаться только после завершения работы Л, то событие
268
Рис. 69. Изображение событий и работ на сетевом графике
«работа А выполнена» является одновременно событием
«начата работай». Таким образом, событие обладает свойст-
вом «сшивания» предыдущих работ с последующими. Само по
себе событие не требует никаких затрат времени или ресур-
сов; предполагается, что оно наступает как бы мгновенно.
Работа — это технологический или хозяйственный про-
цесс, требующий для осуществления затрат времени и ре-
? сурсов. Примерами работ, выполняемых на угольных шах-
тах, являются выемка угля комбайном, передвижка кон-
вейера или секции крепи, зачистка лавы и другие работы.
Для выполнения этих и подобных им работ необходимы
‘ затраты времени, энергии, трудовых ресурсов, материалов
: и т. п. Иногда для выполнения работы могут потребоваться
только затраты времени. Например, процессы естественной
сушки материала, остывания отливки в форме, твердения
бетона не требуют материальных затрат и трудовых ресур-
сов, но на их выполнение затрачивается время. Такие ра-
боты называют ожиданиями.
События на сетевом графике изображают кружками,
каждому событию присваивают номер, помещаемый внутри
кружка. Если событие 1 изображает факт начала работы
Л, а событие2 — факт завершения этой работы, то события
• 1 и 2 соединяются стрелкой, направленной от кружка со-
бытия 1 к кружку события 2 (рис. 69, а); стрелка на сете-
вом графике изображает работу А. Очевидно, что любые
два события могут быть соединены не более чем одной
стрелкой.
Если два события соединены стрелкой (см. рис. 69, а),
то событие 1 называют предшествующим по отношению к
* событию 2, а событие 2 — последующим по отношению к
событию 1. Таким образом, стрелка, изображающая рабо-
V ту, всегда направлена от предшествующего события к по-
<;\следующему.
Событие может отражать факт выполнения нескольких
/работ; такое событие является последующим по отношению
269
Таблица 9.1
После
Номер Содержание каких
работы работы: уста- работ вы-
новка узла полняется
1 № 1 —
2 № 2 1
3 № 3 1
4 № 4 2
5 № 5 2, 3
к нескольким предшест-
вующим событиям. Не сете-
вом графике в кружок, соот-
ветствующий этому событию,
должны входить стрелки из
всех предшествующих собы-
тий. На рис. 69, б событие k
имеет три предшествующих
события п2 и п3. Событие
может также отражать факт
начала нескольких работ,
т. е. может быть предшествующим по отношению к несколь-
ким событиям. На сетевом графике из кружка, соответст-
вующего этому событию, должны выходить стрелки во все
последующие события. На рис. 69, в событие I является
предшествующим для событий тъ т2, т3.
Часто возникает необходимость отразить на сетевом
графике взаимосвязь между событиями, сотоящую в том,
что некоторое событие не может совершиться раньше како-
го-либо другого события. Эту взаимосвязь отражают с
помощью фиктивной работы, на выполнение которой не
требуются затраты времени и ресурсов. Фиктивная работа
изображается штриховой стрелкой.
Для построения сетевого графика входящие в него рабо-
ты должны быть перечислены с указанием последователь-
ности их выполнения. Предположим, надо построить сете-
вой график сборки агрегата, содержащего пять узлов.
Комплекс состоит из пяти работ — установки пяти узлов
(табл. 9.1).
Сетевой график указанных работ приведен на рис. 70.
Событие 1 — начало установки узла № 1; событие 2 — узел
№ 1 установлен; следовательно, стрелка, направленная из
события 1 в событие 2, изображает работу 1. Поскольку
работы 2 и 3 можно выполнять только после завершения
работы 1, то событие 2
отмечает начало работ 2
и 3. Так производится
«сшивание» работ сете-
вого графика. Событие 3
изображает завершение
работы 2, событие 4 —
завершение работы 3.
Работа 4 может начать-
ся после завершения ра- Рис. 70. Сетевой график сборки агре-
боты 2, следовательно, гата
170
событие 3 является началом работы 4 — стрелки (3, 5).
Для выполнения работы 5 необходимо завершить рабо-
ты 2 и 3, окончание которых отмечается разными со-
бытиями — 3 и 4. Совместить данные события в одно
нельзя по двум причинам: во-первых, из события 2 в
этом случае будут выходить две стрелки, входящие в
одно событие, что недопустимо (напомним, что два собы-
тия можно соединять только одной стрелкой); во-вторых,
при таком совмещении начало работы 4 будет определяться
завершением не только работы 2, но и работы 3, что проти-
воречит условиям, указанным в табл. 9.1. Для отражения
взаимосвязи между работой 5 и работами 2 и 3 введем фик-
тивную работу (3, 4). После ее добавления событие 4
происходит только в результате завершения всех предшест-
вующих ему работ, т. е. работ 2 и 3. Завершение работ 4
и 5 свидетельствует об окончании всего комплекса работ,
следовательно, событие 5 может быть конечным не только
для работы 4, но и для работы 5. Поэтому работу 5 изобра-
жает стрелка (4, 5).
Таким образом, при построении сетевых графиков
необходимо руководствоваться их следующими свойст-
вами:
Свойство 1.Ни одно событие не может произойти
до тех пор, пока не будут завершены все входящие в него
работы.
Свойств о 2. Ни одна работа, выходящая из неко-
торого события, не может начаться до тех пор, пока не
произойдет это событие.
В сетевом графике можно выделить начальное событие —
начало комплекса работ (событие 1 на рис. 70) и конечное
событие — окончание комплекса работ (событие 5). Осталь-
ные события сетевого графика (события 2, 3, 4) называются
промежуточными. Особенностью начального события яв-
ляется отсутствие работ, предшествующих ему (в событие
не входит ни одна стрелка); особенность конечного собы-
тия — отсутствие последующих работ (из события не вы-
ходит ни одна стрелка).
«Сшитый» сетевой график должен удовлетворять таким
требованиям:
1. Содержать только одно начальное событие. Наличие
нескольких начальных событий свйдетельствует о том, что
либо работы сетевого графика были «сшиты» неправиль-
но, либо опущена работа, предшествующая одному из на-
чальных событий. Анализ сетевого графика позволяет
легко исправить допущенную ошибку.
27!
2. Содержать только одно конечное событие. При нали-
чии в комплексе работ нескольких целей возможно появ-
ление нескольких «тупиков», т. е. событий, из которых не
выходит ни одна стрелка. Если появление «тупиков» п| а
вомочно, один из них принимается в качестве конечного
события, а остальные соединяются с ним фиктивными ра-
ботами.
3. В сетевом графике не должно быть циклов. Для пояс-
нения этого требования введем понятие «путь». На сетевом
графике путем называется последовательность работ,
у которых конец одной работы совпадает с началом следу-
ющей. Например, на рис. 70 последовательность работ
(1, 2), (2, 4) и (4, 5) образует путь. Замкнутый путь, у кото-
рого конец последней работы совпадает с началом первой,
называется циклом. Очевидно, если последовательность
работ образует цикл, то ни одна из составляющих его ра-
бот никогда не сможет начаться.
Для определения параметров и оптимизации сетевых гра-
фиков должна быть введена правильная нумерация собы-
тий. Правильной называется такая нумерация, при кото-
рой любая работа (стрелка) выходит из события с меньшим
номером и входит в событие с большим номером.
Для правильной нумерации событий сетевого графика
применяют алгоритм вычеркивания работ. Определяют на-
чальное событие (т. е. событие, в которое не входит ни одна
стрелка) и присваивают ему номер 1. Затем вычеркивают
одним штрихом все выходящие из него работы и на сети
находят события, в которые входят только зачеркнутые
стрелки. Эти события назовем событиями первого ранга
(путь от начального события к ним содержит одну работу)
и последовательно пронумеруем их числами натурального
ряда 2, 3,... Работы, выходящие из событий первого ранга,
зачеркивают двумя штрихами и находят непронумерован-
ные события, в которые входят только зачеркнутые стрелки.
Максимальный путь от начального события к данным со-
бытиям содержит две работы, поэтому им присваивают вто-
рой ранг и также последовательно нумеруют числами на-
турального ряда. Описанные действия повторяют, увели-
чивая на каждом этапе количество штрихов (на 1 штрих),
до тех пор, пока не будут пронумерованы все события.
Очевидно, что событие с наибольшим номером — конеч-
ное.
Пример введения правильной нумерации в сетевом
графике показан на рис. 71. Из рисунка следует, что ранг
конечного события равен пяти.
272
Отметим, что если сеть содержит цикл, то ввести пра-
вильную нумерацию невозможно. Поскольку в правильно
составленном сетевом графике циклов не должно быть, то
введение правильной нумерации и позволяет проверить
корректность его составления.
В заключение приведем пример построения сетевого
графика монтажа конвейера КЛ-150. Перечень выполняемых
работ, а также их последовательность приведены в табл. 9.2.
Сетевой график изображен на рис. 72. Обратим внимание на
Таблица 9.2
Номер работы Содержание работы После каких работ выпол- няется
1 Погрузка става
2 Доставка става 1
3 Погрузка головок 1
4 Монтаж става 2
5 Доставка головок 2, 3
6 Погрузка ленты 2, 3
7 Монтаж привода 4, 5
8 Доставка ленты 6
9 Подключение электрооборудо-
вания 7, 8
10 Укладка ленты 7, 8
11 Клепка и натяжение ленты 9, 10
12 Обкатка конвейера 11
10 529
273
наличие в нем фиктивных работ (3.4) и (8.9), отражающих
логическую взаимосвязь между выполняемыми работами:
монтаж става может начинаться после его доставки, а до-
ставка головок (и параллельно погрузка ленты) могут вы-
полняться после доставки става и погрузки головок; фик-
тивная работа (8.9) показывает, что событие 9 произойдет
после выполнения двух работ — укладки ленты конвейера
и подключения электрооборудования.
9.2. Параметры сетевых графиков
Пути, связывающие на сетевом графике начальное и
конечное события, называются полными; все другие пути —
неполные. Для каждого пути можно определить продолжи-
тельность, равную суммарной продолжительности состав-
ляющих его работ. Среди полных путей можно выделить
путь с наибольшей продолжительностью. Такой путь назы-
вается критическим. Все работы и события, принадлежа-
щие критическому пути, называются соответственно крити-
ческими.
Увеличение продолжительности работ критического
пути приводит к увеличению его продолжительности, а
следовательно, и продолжительности выполнения всего
комплекса работ, описываемых сетевым графиком. Если
комплекс работ необходимо выполнить за минимально
возможное время, увеличивать продолжительность работ
критического пути нельзя. В таких случаях отмечают,
что работы критического пути не имеют разерва времени.
Продолжительность работ, не принадлежащих крити-
ческому пути, можно увеличивать при условии, что про-
должительность содержащих их путей не превысит крити-
ческого. Следовательно, такие работы имеют определенный
резерв времени.
При управлении ходом работ с применением сетевых
графиков возникает необходимость в изменении сроков на-
чала и завершения работ, а также продолжительности ра-
бот в пределах заданной продолжительности критического
пути. Для решения этой задачи рассмотрим основные вре-
менные параметры сетевых графиков — параметры собы-
тия и параметры работ.
Каждое событие сетевого графика характеризуется ран-
ним и поздним сроками его наступления, а также резер-
вом времени.
Ранний срок наступления /-го события // —это наибо-
лее раннее возможное время совершения /-го события.
274
Рис. 73. Исходный сетевой график для расчета временных пара-
метров
Если в /-ю вершину сетевого графика входит несколько
стрелок (работ), то /-е событие произойдет тогда, когда
будут выполнены все входящие в него работы. Иначе гово-
ря, ранний срок наступления j-го события равен величине
пути максимальной продолжительности, соединяющего
начальное событие с данным. Из этого следует расчетная
формула для раннего срока наступления события:
/у= шах {/? + /<,/}. - (9.1)
где tij — продолжительность работы (г, /); // —множест-
во событий, предшествующих событию /.
Для начального события t? = 0 и для остальных собы-
тий формулу (9.1) следует применять в порядке возраста-
ния их нумерации.
Расчет раннего срока наступления событий можно про-
иллюстрировать сетевым графиком (рис.73). Продолжитель-
на сть выполнения работ сетевого графика указана над
соответствующими стрелками (работами).
Примем, что t\ = 0. Событию 2 предшествует одно собы-
тие, следовательно, + Л,2 = 0 + 7 = 7.
Аналогично, для события 3 получим — $ = 9.
Событию 4 предшествуют два события (/4 = {1, 2}),
поэтому /4= max (Z?+64, ^2 + h 4} = max {0 + 10,7 +
*€<1,2}
+ 8} = 15.
Для остальных событий получим
tl = max {$ + /2,5, ft + /4,5} = max {7 + 5,15 + 0} = 15,
i€{2,4}
10*
275
= max {/? + /з.б! M = max (9 + 8; 15 + 6) = 21,
(€<3.4}
/7 = max {/5 -p й 7» ^6 ~Ь ^6,7} — max {15 4~ 4,21 4~0} = 21,
^{5,6}
tl = max {/£ + /5,8; $ + /7,8} = max (15 4- 7,21 + 5} = 26,
^{5,7}
/9 = max {^6 4~ ^6,9» ^8 4~ ^8,9} — max {21 4~ 14,26 4~ 6} = 35.
^{6,8}
Поздний срок наступления f-го события fl — это наи-
более позднее допустимое время совершения г-го события.
Рассмотрим, например, некоторое промежуточное событие
сетевого графика; из этого события в конечное ведут один
или несколько неполных путей различной продолжитель-
ности. Поздний срок наступления /-го события должен быть
таким, чтобы следующие за ним работы самого продолжи-
тельного пути были выполнены не позднее раннего срока
конечного события (предполагается, что поздний срок на-
ступления конечного события равен его раннему сроку и,
следовательно, весь комплекс работ выполняется за мини-
мально возможное время). Так, для сетевого графика,
приведенного на рис. 73, й = /9 = 35. Событие 5 соеди-
нено с событием 9 двумя путями; = ! (5, 7), (7, 8), (8, 9)}
и L2={(5, 8), (8, 9)J. Продолжительность путей следую-
щая: TLi = 15, TL? = 13, TLi > Tl2. Очевидно, что fl —
= Й - TL, = 20.
С учетом изложенного расчетная формула для вычис-
ления позднего срока наступления события имеет вид
fl = min {fl — ZfZ|, (9.2)
где Ji — множество событий, последующих по отношению
к событию I.
Например, рассчитаем поздние сроки наступления собы-
тий для сетевого графика, приведенного на рис. 73.
Принимаем й = й = 35. Из сетевого графика получим
Л = {2; 3; 4), J2 = (4; 5}, J3 = {6}, J4 = {5; 6), J6 =
= {7; 8), Je = {7; 9}, J7 = {8), J8 = {9}.
Поздние сроки для событий следует определять в по-
рядке, обратном их правильной нумерации,
Й = {/9П-М = {35 — 6} =29;
*7 = {/£ — *7,8} = {29 —5} = 24;
276
= /6t9}' = min [24 — 0; 35-14} =21;
/ел
ts = min {t? — /5>7; /8П — /5,8} = min (24 — 4; 29 — 7} = 20;
t4 = min {/5— /4,5; *6 - *4,6} - min (20 — 0; 21 —6} = 15;
/ел
/зп = {/б~Ы = (21—8} = 13;
/2 = min {/? —/2t4; *5 —*2,5} = min (15 — 8; 20 —5} =7;
/eJ,
= min {/2П - /h2; /Зп - *i,з; - *1,4} =
/eJi
= min (7 —7; 13 — 9; 15—10} =0.
Отметим, что для начального события поздний срок его
наступления всегда должен быть равен нулю (/? = t\ = 0).
Резерв времени события R (i) равен разности между
поздним и ранним сроками его наступления. Он показы-
вает, на какое время можно задержать данное событие, не
вызывая при этом изменения срока наступления конечного
события. Из определения критического пути следует, что
события, лежащие на нем, не имеют резерва времени.
Для сетевого графика, изображенного на рис. 73, по-
лучим
/?(!) = $-$ = 0 — 0 = 0,
7?(2) = $ —$ = 7 — 7 = 0,
#(3) = $ —$= 13 —9= 4,
7? (4) = $ — $ = 15—15 = 0,
Я(5) = $ —$ = 20—15=5,
7? (6) =$ — $ = 21—21 =0,
R (7) = $-$= 24 — 21 =3,
£(8) = $ — $ = 29 —26 = 3,
Я(9) = $ —$ = 35 —35=0.
Анализируя данные резервы времени событий, можно
установить, что критический путь проходит через события
1, 2, 4, 6, 9, следовательно,
LKP = {(1,2); (2,4); (4,6); (6,9)}.
277
Вычислив ранний и поздний сроки наступления собы-
тий, можно для каждой работы сетевого графика опреде-
лить ранний и поздний сроки ее начала и окончания.
Ранний срок начала работы равен раннему сроку на-
ступления начального события этой работы Zp (i, /) =
Поздний срок начала работы— это такой срок, при ко-
тором работа завершится не позже позднего срока конеч-
ного события:
(Л /) = tj tij-
Ранний срок окончания работы равен сроку ее заверше-
ния при условии, что она началась в свой ранний срок:
(*» /) == $ 4~
Поздний срок окончания работы равен позднему сроку
наступления конечного события fn (it j) =
Если поздние сроки начала и (или) окончания работы
не равны соответствующим ранним срокам, то это свиде-
тельствует о наличиии у работ резервов времени для их
выполнения. Различают полный, свободный и частные
резервы времени.
Полный резерв времени — это максимально возможный
запас времени сверх продолжительности самой работы, при
использовании которого конечное событие наступит не поз-
же позднего срока:
/) = ^- — (Лр +
Например, для работы (5, 8) полный резерв времени бу-
дет равен
гп (5, 8) = tg - (Ц + /5,8) = 29 — (15 -Ь 7) = 7.
Таким образом, если данную работу начать на семь
единиц времени позже раннего срока ее начала или увели-
чить на это время ее продолжительность, то поздний срок
окончания работы при этом не изменится.
Свободный резерв времени — это запас времени сверх
продолжительности самой работы, при использовании кото-
рого начальное и конечное ее события наступят в свои ран-
ние сроки:
гс(М) = ^-('?+^)-
Например, для работы (5, 8) свободный резерв времени
будет равен
гс (5, 8) = $ - (/5р + /5>8) = 26 - (15 + 7) = 4.
278
Следовательно, если работу (5, 8) .начать на четыре еди-
ницы времени позже раннего срока ее начала или увели-
чить на это же время ее продолжительность, то ранний срок
наступления конечного события при этом не изменится.
Отметим, что использование работой ее свободного ре-
зерва времени никак не сказывается на резервах времени
последующих работ, а также сроках их начала и заверше-
ния. С полным резервом времени дело обстоит иначе, если
он больше свободного резерва. Использование работой пол-
ного резерва времени приводит к увеличению раннего срока
наступления ее конечного события, из-за чего уменьшаются
резервы времени последующих работ. Так, для сетевого
графика (см. рис. 73) резервы времени работы (8, 9) состав-
ляют
гп (8, 9) = tg - (% + Z8,9) = 35 - (26 + 6) = 3;
гс(8, 9)-/9р-(/8р + М = 3.
Если продолжительность работы (5,8) увеличить на
свободный резерв времени, то ранний срок наступления со-
бытия 8 не изменится и резервы времени работы (8, 9) со-
хранят прежние значения. Если же продолжительность ра-
боты (5,8) увеличить на полный резерв времени, то полу-
чим $ = 29, из-за чего г„ = (8, 9) = 0, гс (8, 9) = 0. Это
означает, что резервы времени работы (8, 9) использованы
предшествующей работой и отклонения в ее выполнении от
графика недопустимы.
Частный резерв времени первого вида — это запас вре-
мени, который имеет работа сверх своей продолжительности
при условии, что начальное и конечное ее события совер-
шаются в свои поздние сроки:
riG’,/) = ^-(/? + ^/).
Например, для работы (5, 8) получим
Г1 (5, 8) = - (tg + /5.8) = 29 - (20 + 7) = 2.
Таким образом, если по каким-либо причинам событие
5 произойдет в свой поздний срок, то работа (5,8) будет
иметь резерв времени в две единицы, использование кото-
рого не изменит позднего срока наступления события 8 и,
следовательно, продолжительности выполнения всего ком-
плекса работ.
Частный резерв времени второго вида — это запас вре-
мени, которым располагает работа сверх своей продолжи-
тельности при условии, что ее начало совпадает с поздним
279
Рис. 74. Условные обозна-
чения, применяемые для
разметки сетевых графи-
ков
Определять частный
дует по формуле
сроком наступления начального
события, а окончание не превы-
шает раннего срока наступления
конечного события.
В сетевых графиках может воз-
никнуть ситуация, когда rf—
— tni< В таких случаях част-
ный резерв времени второго вида
принимают равным нулю.
резерв времени второго вида еле-
ra (i, /) = max {0; — (t" 4-
Наличие нуля в выражении, помещенном в фигурные
скобки, означает, что г2 будет принят равным нулю, если
вычисленное по формуле значение окажется отрицательным.
Например, для работ (5, 8) и (2, 5) получим
г2 (5, 8) = max {0; t% - (tg + /5,8)} = max {0; 26 —
— (20 + 7)} = max (0; — 1} = 0;
r2 (2, 5) = max {0, — (/2n + /2,5)} = max {0; 15 — (7 + 5)} =»
= max {0; 3} = 3.
Таким образом, если начало работы (2, 5) совпадает с
поздним сроком наступления события 2, то увеличение ее
продолжительности на три единицы не повлияет на ранний
срок наступления конечного события 5; подобным резер-
вом времени работа (5, 8) не располагает.
280
Отметим, что для событий и работ, лежащих на крити-
ческом пути, t\ = /?, fj — = // — fi = tn. Это свиде-
тельствует о том, что данные работы не имеют резервов вре-
мени. Действительно, удлинение любой работы критическо-
го пути приводит к увеличению его продолжительности,
что является недопустимым.
При расчете временные параметры специальными ус-
ловными обозначениями (рис.74) наносят на сетевой гра-
фик, который в этом случае называется размеченным. При-
мер такого сетевого графика, полученного на основе
рис. 73, приведен на рис. 75. Критический путь на сетевом
графике выделен двойной линией.
9.3. Распределение материальных
и трудовых ресурсов для комплекса работ
по календарным срокам
Для выполнения каждой работы сетевого графика долж-
ны быть выделены определенные материальные и трудовые
ресурсы. При этом важным с точки зрения организации
работ является то, что потребность в этих ресурсах в те-
чение того или иного календарного периода может быть раз-
лична. Так, в какой-то день может потребоваться ресурсов
больше, чем их имеется в наличии.
Как уже отмечалось, работы, не принадлежащие кри-
тическому пути, имеют резерв времени, позволяющий из-
менить время начала их выполнения в заданных пределах.
Изменяя календарные сроки начала и окончания работ,,
можно получить такое их распределение на временной
оси, при котором максимальная потребность в ресурсах
будет меньше, чем для исходного распределения работ.
Такая корректировка распределения ресурсов по кален-
дарным срокам называется сглаживанием ресурсов.
Методику решения задачи сглаживания ресурсов для
сетевого графика рассмотрим на примере. Предположим,
для выполнения комплекса работ, заданного сетевым гра-
фиком (рис. 76), выделено 10 рабочих. Количество рабо-
чих, необходимое для выполнения каждой работы, указано
в скобках на стрелках сетевого графика.
Из рисунка следует, что для выполнения каждой рабо-
ты в отдельности требуется меньшее количество рабочих,
чем выделено. Однако несколько работ может выполнять-
ся параллельно и поэтому необходимые на каждую кален-
дарную дату ресурсы надо суммировать, из-за чего общая
281
Рис. 76. Сетевой график с разметкой распределения трудовьл ресурсов
потребность в них в отдельные периоды может превзойти
имеющиеся ресурсы.
Для сопоставления требующихся и наличных ресурсов
построим линейный график (рис. 77). Из графика видно,
что потребность в рабочих очень неравномерна: в первые
7 и последние 10 дней (если под единицей времени подра-
зумевать рабочий день) требуется меньше рабочих, чем вы-
делено, а с 13-го по 24-й день их необходимо значительно
больше 10.
Количество рабочих по дням было распределено при
условии, что все работы начинаются в свои ранние сроки.
Рис. 77. Линейный
график распределе-
ния работ и рабо-
чих по календар-
ным срокам
282
Рис. 78. Линейный
график распределе-
ния работ и рабо-
чих по календарным
срокам после сгла-
живания ресурсов
В действительности же все работы, кроме лежащих на кри-
тическом пути, можно начинать с некоторым опозданием
в пределах имеющихся резервов времени. Поэтому можно
попытаться изменить сроки выполнения работ таким об-
разом, чтобы ежедневная потребность в рабочих не превы-
шала выделенных ресурсов. Очевидно, что из работ, кален-
дарные сроки выполнения которых на исходном линейном
графике пересекаются, в первую очередь надо перемещать
те, которые имеют наибольшие полные резервы времени.
На линейном графике (см. рис. 77) резервы работ пока-
заны штриховой линией. Одновременно с работой IX кри-
тического пути выполняются работы XIV и XII, которые
имеют полный резерв времени, составляющий 10 и 9 дней
соответственно. Параллельное выполнение этих работ тре-
бует превышающего ресурсы количества рабочих. Пере-
местим работу XIV вправо по оси времени линейного гра-
фика (рис. 78); теперь она будет выполняться одновременно
с работой XIII и суммарная их потребность в трудовых ре-
сурсах составит 5 чел. Если затем на эти же календарные
сроки переместить работу XII, то при их Одновременном
выполнении потребность в трудовых ресурсах не превзой-
дет заданного количества и при этом с 22-го по 24-й день
будет высвобождено 7 рабочих.
Теперь можно распределить ресурсы на участке линей-
ного графика, где параллельно с критическими выполняют-
ся работы VIII и XI. Переместив работу XI по временной
оси на полный резерв времени, получим последовательное
выполнение работ VIII и XI.
283
Больше имеющегося количества ресурсов требуется на
участке графика, где во времени пересекаются работы IV,
VII и VIII. Если работу VII переместить по временной оси
на весь резерв ее времени, то устранить пересечение работ
VII и VIII все равно не удастся. Поэтому целесообразно
работу VII сместить только на один день вправо, устранив
при этом ее пересечение с работой IV, а затем перемещать
работу VIII до устранения ее пересечения с работой VII,
поскольку резерв времени работы VIII (9 дней) больше про-
должительности работы VII (4 дня).
Как видно из итогового линейного графика (см. рис. 78),
путем перемещения работ в пределах их резервов времени
удалось так расположить работы по календарным срокам,
что потребность в ресурсах для всего периода времени их
выполнения не превышает заданного значения. Н
Отметим, что распределение ресурсов по календарным
срокам следует анализировать по всем их важнейшим ви-
дам, используемым в планируемом комплекс1 работ (рабо-
чая сила, оборудование, материалы и т. п.). При этом для
разных видов ресурсов может потребоваться различное
распределение работ по календарным срскам, из-за чего
приходится рассматривать большое количество вариантов
линейных графиков и выбирать такой из них, который соот-
ветствует ограничениям по всем ресурсам одновременно.
Очевидно, что задача сглаживания ресурсов при задан-
ных ограничениях на них может не иметь решения. Поэто-
му в практике сетевого планирования календарные сроки
выполнения работ перераспределяют в следующем поряд-
ке: сглаживают ресурсы таким образом, чтобы максималь-
ная потребность в них была минимально возможной; по-
лученное при этом значение максимальной потребности
принимается в качестве требуемой величины ресурсов при
планировании работ.
9.4. Постановка задачи оптимизации
сетевых графиков по стоимости
В рассмотренных методах анализа и расчета сетевых гра-
фиков предполагалось, что продолжительность работ являет-
ся заранее определенной неизменной величиной. В действи-
тельности дело может обстоять иначе. Если увеличить
количество трудовых ресурсов, материалов, оборудования,
выделяемых для выполнения некоторой работы, то она мо-
жет быть выполнена и в более короткие сроки. Однако
увеличение затрат на трудовые и прочие ресурсы приводит
284
к повышению стоимости выполнения работы, следовательно,
продолжительность работы и ее стоимость находятся в об-
ратной пропорциональной зависимости.
Для работ сетевого графика введем в рассмотрение две
оценки их продолжительности:
нормальная т. е. такая продолжительность работы,
которая может быть достигнута при условии своевременно-
го обеспечения ресурсами в соответствии с заранее уста-
новленными нормами (нормальная продолжительность
представляет собой максимально возможную в данных
условиях продолжительность работы);
минимальная — это продолжительность (меньше
нормальной), которая может быть достигнута при увели-
чении количества выделенных средств и ресурсов сверх
установленных норм.
Очевидно, если все работы сетевого графика будут вы-
полняться с нормальной продолжительностью, то общая
продолжительность всего комплекса работ будет макси-
мальной, а стоимость — минимальной. Если же за счет
увеличения выделенных средств и ресурсов будет обеспе-
чено сокращение продолжительности работ до минимально-
го значения, то достигнет минимума и продолжительность
всего комплекса работ при максимальной его стоимости.
Характерный вид зависимости стоимости выполнения ра-
боты от ее продолжительности приведен на рис. 79. Из
рисунка видно, что зависимость имеет нелинейный характер
и может быть представлена параболической функцией.
Эта зависимость неудобна при использовании методов ма-
тематического программирования для оптимизации сетевых
графиков и поэтому, допуская определенную погрешность,
ее заменяют прямолинейной зависимостью (штриховая ли-
ния на рис. 79). Прямолинейная аппроксимация позволяет
достаточно просто выразить
связь между продолжитель-
ностью работы и ее стои-
мостью С
(^т _ рн
- «ъ - ‘‘Л’
~
где С?/, СТ/ — стоимость вы-
полнения работы соответствен-
но при ее нормальной и мини-
мальной продолжительности.
Рис. 79. Зависимость стоимости
выполнения работы от ее про-
должительности
285
Обозначим ACi7 = (С™ — С^)/(fy — t™) — коэффициент
стоимости выполнения работы (i, /); он определяет, на
сколько единиц увеличится стоимость работы при умень-
шении ее продолжительности на единицу времени.
С учетом принятого обозначения
С(6/)= CF/+ bCilW-tij). (9.3)
Стоимость выполнения работы в зависимости от ее про-
должительности можно выразить также через оценки ра-
боты при минимальной йродолжительности
С(Л7) = СГу —— (9.4)
Определив для всех работ сетевого графика уравнения,
связывающие стоимость работ и их продолжительность,
можно сформулировать задачу оптимизации сетевого гра-
фика по стоимости и продолжительности. При этом сле-
дует учитывать, что для получения минимальной продол-
жительности выполнения всего комплекса работ нет необ-
ходимости ускорять все работы, поскольку уменьшение про-
должительности работ, не принадлежащих критическому
пути, увеличивает общую стоимость всех работ, но не со-
кращает продолжительности критического пути. С другой
стороны, при директивно заданной продолжительности
всего комплекса работ невозможно продлить все работы
с целью минимизации стоимости проекта, так как в этом
случае могут возникнуть на сетевом графике пути, длина
которых больше длины критического.
Таким образом, задача оптимизации продолжительности
работ сетевого графика с учетом стоимости их выпол-
нения может быть сформулирована в следующих двух ва-
риантах:
1. Все работы сетевого графика имеют нормальную про-
должительность, в результате чего общая стоимость всего
комплекса работ минимальна. Требуется* ускорить выпол-
нение всего комплекса работ до директивного срока таким
образом, чтобы общая их стоимость увеличилась мини-
мально.
2. Все работы сетевого графика и критический путь
имеют минимальную продолжительность, общая стоимость
работ максимальна, продолжительность критического пути
совпадает с директивным сроком. Требуется так увеличить
продолжительность работ, не изменяя продолжительности
критического пути, чтобы были минимизированы суммар-
ные затраты на выполнение всего комплекса работ.
286
9.5. Сокращение критического пути
до директивной продолжительности
Рассмотрим задачу оптимизации продолжительности
работ сетевого графика в первой ее постановке. В исходном
сетевом графике продолжительность работ установлена на
уровне нормальных значений, поэтому суммарная стои-
мость выполнения всего комплекса работ минимальная, а
продолжительность критического пути — наибольшая.
Необходимо сократить критический путь до директивной
величины при минимальном увеличении стоимости всего
комплекса работ.
Метод решения этой задачи рассмотрим на примере.
Предположим, надо сократить продолжительность крити-
ческого пути для сетевого графика, приведенного на
рис. 80; характеристики работ, включенных в него, указа-
ны в табл. 9.3. Директивная продолжительность критичес-
кого пути составляет 25 единиц времени.
На сетевом графике изображены следующие пути:
1—2 —5 —8, 7\ = 24,
L2 = 1 —2 — 6 — 8, 7\ = 27,
L3 = 1— 3 — 6 — 8, Т3 = ЗО,
L, = 1 — 3 — 7 — 8, Т4 = 28,
= 1 — 4 —7 —8, Г5 = 24.
Путь L3 — критический; пути L2, L3, L4 имеют про-
должительность, превышающую директивную.
Сокращение продолжительности работ начнем с крити-
ческого пути. В первую очередь следует ускорять те
работы, коэффициент стоимости которых наименьший,
поскольку при этом стоимость всего комплекса работ
будет возрастать в меньшей степени. Выберем работу
(3, 6), так как ее коэффициент стоимости меньше, чем у дру-
гих работ критического
пути. Данную работу
можно сократить на три
единицы времени. Одна-
ко путь Л4 имеет резерв (Т
две единицы, поэтому в
большей степени сокра-
щать продолжитель-
ность этой работы не р
следует. и
:. 80. Сетевой график с минималь-
стоимостью работ
287
Таблица 9.3
Рабо- та дс£/ Рабо- та дс;/
1» 2 6 5 2 3, 7 7 5 1
1, з 8 6 6 4, 7 5 3 2
1, 4 6 4 4 5, 8 10 6 1
2, 5 8 5 3 6, 8 12 9 3
2, 6 9 9 —- 7, 8 13 10 2
3, 6 10 7 2
После сокращения работы (3, 6) на две единицы времени
получим /з.б = 8, 7\ = 24, Т2 = 27, Т3 = 28, Т4 = 28, Т6 =«
«= 24. Стоимость комплекса работ увеличилась на ДСз.б X
X 2 = 4 единицы. В сетевом графике образовалось два кри-
тических пути L3 и Л4. Поскольку путь L2 имеет резерв,
равный единице времени, то критические пути пока целе-
сообразно сократить на единицу. Это можно сделать, ус-
корив выполнение либо общей для обоих путей работы
(1,3), либо одновременно двух работ из параллельных (3, 6),
(6, 8) и (3, 7), (7, 8). По наименьшим коэффициентам сто-
имости выбираем работы (3, 6) и (3, 7)
АСз.б + ЛСз.7 = 3.
После сокращения работ (3, 6) и (3, 7) на одну единицу
времени получим /3,6 = 7, /3>7 = 6, 7\ = 24, Т2 — 27,
Т3 = 27, Т4 = 27, Т5 = 24. Стоимость комплекса работ
дополнительно увеличилась на (ДС3,3 + Д^з.г) -1 = 3 еди-
ницы. На сетевом графике образовалось три критических
пути L2, L3 и Л4. Продолжительность остальных путей мень-
ше директивного срока, и поэтому они не лимитируют со-
кращение критических путей.
Отметим, что после выполненнных преобразований ра-
боту (3, 6) больше сокращать нельзя, а работу (3, 7) можно
сократить только на единицу времени. Возможны следую-
щие варианты сокращений: работа (6, 8) (пути Ь2 и L3) и
работа (3, 7) или (7, 8) (путь L3); работа (1, 3) (пути L3 и Д4)
и работа (1,2) (путь L2). По наименьшей сумме коэффициен-
тов стоимости выберем для сокращения работы (6, 8) и
(3, 7). После сокращения работ на единицу времени полу-
чим t3j = 5, /6,8 = П, Л = 24, Т2 = 26, Т3 = 26, Т4 ==
== 26, Тб = 24, стоимость работ возросла на (ДС3,7 + ДСб.в) X
X 1 = 4 единицы.
Для приведения продолжительности критических пу-
тей в соответствие с директивным сроком необходимо их
288
Рис. 81. Сетевой график с директив-
ной продолжительностью критического
пути
сократить еще на одну
единицу времени. Из
вариантов (6, 8) (пути
L2, L3), (7, 8) (путь L4)
и (1, 2) (путь L2), (1, 3)
(пути L3 и L4) выбираем
первый по наименьшей
сумме коэффициентов
стоимости. Таким обра-
зом, /б8 = Ю, t7,8 — 12,
7\ = 24, Т2 = 25, Т3 =
= 25, Т4 = 25, Тб =
= 23; стоимость ком-
плекса работ возросла на (ДСб,8 + AG,в) *1=5 единиц.
Сетевой график, полученный после сокращения работ,
приведен на рис. 81. Продолжительность критического пути
на нем составляет Ткр = 25 единиц времени, т. е. соответ-
ствует директивной. Выбор работ для сокращения по мини-
мальным коэффициентам стоимости позволил увеличить сто-
имость комплекса работ в минимальной степени (на
4 + 34-4+5 = 16 единиц).
9.6. Оптимизация комплекса работ по стоимости
при фиксированной продолжительности
критического пути
Предположим, что комплекс работ, описываемых сете-
вым графиком, необходимо выполнить в минимально воз-
можные сроки. При составлении исходного сетевого графика
в этом случае принимают, что продолжительность всех ра-
бот минимальна. Таким образом обеспечивается наимень-
шая продолжительность критического пути, однако общая
стоимость всех работ имеет наибольшее значение. Задача
состоит в следующем: не изменяя продолжительности кри-
тического пути, надо так продлить некритические работы,
чтобы свести к минимуму стоимость выполнения всего
комплекса работ.
Рассмотрим методику оптимизации в упрощенной по-
становке. Допустим, что на максимальную продолжитель-
ность работ не наложены ограничения, следовательно, вре-
мя выполнения каждой работы может быть увеличено в
пределах ее полного резерва времени. Решение задачи рас-
смотрим на следующем примере.
Пусть дан сетевой график с указанной на нем продол-
жительностью работ (рис. 82). Для каждой работы известны
289
Рис. 82. Сетевой график с минимальной продолжительностью работ
минимальная ее продолжительность fl}, стоимость выпол-
нения (при этой продолжительности) 67} и коэффициент
стоимости ДС0 (табл. 9.4). Приведенная в таблице нор-
мальная продолжительность работ на этом этапе не при-
нимается во внимание, поскольку в данной постановке
задачи продолжительность работ не ограничена.
Обозначим R — множество работ критического пути,
К — множество событий критического пути, R — {(1,3),
(3, 4), (4, 6), (6, 7)(, К = {1, 3, 4, 6, 7}. Для работ (t/) С
£ R Сц = Сц, Для всех остальных работ (i, /) $ R С(/ =
= Сц — (tii— fl}), где tn — искомая продолжительность
работы (i, /).
Для рассматриваемого сетевого графика получим
С1.2 = СЪ - ДС1>2 (/1>2 - fl}2) = 60-4 (/1>2 - 5);
Ci.3 = СЪ> = 40;
CI>4 = С\а - АС,,4 (Л.4 - /м) = 30-3 (Л,4 - 6);
С2.5 = С^5 - АС2,5 (/2,5 - с5) = 50-2 (/2>5 - 7);
Сз,4 = 'СТа = 40;
Сз.5 = С?л - АСз.5 Рзл - С>) = 45-6 (/3,6 - 8);
Сз,а = Сз,з — АСз.е, (/з,б — Азл) = 70 — 5 (^з.е — 7);
С4.в = С£6 = 50;
Съл = CZ - ДС5>7 (^5,7 - С?) = 65-9 (/6.7 - 6);
С6,7 = = 80.
290
Таблица 9А
Работа са ^сц /п И Работа Cij дс;/ 'о
1, 2 60 4 5 10 3, 5 45 6 8 11
1, з 40 2 7 9 3, 6 70 5 7 10
1, 4 30 3 6 11 4, 6 50 — 9 9
2, 5 50 2 7 13 5, 7 65 9 6 9
3, 4 40 4 3 4 6, 7 80 4 7 8
Продолжительность критического пути фиксирован: t
следовательно, фиксированы и моменты времени наступ-
ления событий, ему принадлежащих. Продолжительность
некритических работ можно увеличить таким образом,
чтобы моменты времени их завершения не выходили за
пределы поздних сроков наступления соответствующих со-
бытий; иначе говоря, продление некритических работ не
должно привести к созданию в сетевом графике пути, про-
должительность которого будет больше критической. Про-
должительность работы можно определить как разнссгь
между сроками совершения начального и конечного для
этой работы событий tif = t, — tit поэтому в качестве не-
известных величин примем сроки наступления событий.
Выполнив замену переменных в формуле для опреде-
ления стоимости работ, получим
С1>2 = 80 — 4 (/2 — /х); Clt3 = 40;
CL4 = 48 — 3 (/4 - /х); С2,5 = 64-2 (t5 - t2\,
C3t4 = 40; Сз,5=93-6(/й-/3);
Сз.б = 105 — 5 (/6 — /3); С4.6 = 50;
С5,7 = 119-9(/7-/5); С6,7 = 80.
Определим ограничения для сроков наступления со-
бытий. Для событий критического пути i £
£ /<, следовательно, согласно рис. 82 имеем tr = 0, /3 = 7,
/4 = 10, tQ = 19, t7 = 26. Для событий, не принадлежащих
критическому пути, получим 5 t2 13, 15 <1 20.
Таким образом, неизвестными являются только моменты
времени наступления событий, не принадлежащих крити-
ческому пути (для остальных событий моменты их-наступ-
ления определены).
Подставив в выражения, определяющие стоимость ра-
бот, значения ti9 i g К. в результате получим
СЬ2 = 80 — 4/2; С1>3 = 40; Ci,4 = 18;
291
C2t5 = 64 — 2tb + 2/2; Сзл = 40; C3,5 =135 — 6/5;
Сз.б - 45; C4,6 = 50; C5,7 - — 115 + 9/6; C6,7 - 80.
Целью задачи является минимизация стоимости выпол-
нения всего комплекса работ при минимальной продол-
жительности критического пути, равной в рассматривае-
мом примере 26 единицам времени. Для стоимости комплек-
са работ
С = £ Си = 437 — 2t2 + tb -> min. (9.5)
(G/)
На искомые неизвестные t2 и tb наложены следующие
ограничения:
t2 >5, /2<13, /5>15, /5<20.
(9.6)
Очевидно, что эти ограничения на сроки наступления
событий 2 и 5 должны обеспечить работы (1, 2), (3, 5) и (5,
7) временем, достаточным для их выполнения, поскольку
начало работ (1,2) и (3, 5) и завершение работы (5, 7)
определяются фиксированными моментами времени наступ-
ления событий критического пути. Для работы (2, 5)
неизвестными являются сроки как ее начала, так и завер-
шения, поэтому их разность может оказаться меньше мини-
мальной продолжительности работ = 7. Поскольку
это недопустимо, необходимо учесть еще одно ограничение
h-t2>l> (9.7)
Следовательно, задача оптимизации сетевого графика
по стоимости свелась к задаче линейного программирова-
ния с ограничениями (9.6), (9.7) и функцией цели (9.5).
На рис. 83 приведено решение этой задачи графическим
способом. Из рисунка видно, что оптимальное решение равно
Рис. 83. Решение задачи оптимиза-
ции сетевого графика
t2 = 13, /б = 20, Cmin-431.
Проанализируем полу-
ченные результаты. При
минимальной продолжи-
тельности всех работ стои-
мость выполнения комплек-
са работ составляла С = 530,
что существенно больше
значения Cmiri. Работы (1,4)
и (3, 6) соединяют события
критического пути и этим
самым определяется их мак-
симальная продолжитель-
ность ЯТ - = 10,
/зТ « t. - t3 = 12.
292
Продолжительность работ (1,2) и (3,5) увеличилась на
пэлпыс резервы времени ^,2 = 13, ^з,5 = 13. Очевидно, что
одновременное увеличение продолжительности работ (1,2)
и (3, 5) целесообразнее увеличения продолжительности
работы (5, 7), так как ДС1,2 + ДСз,5> ДС5>7; эти работы в
результате продлеваются на 5 единиц времени (полный
резерв времени работы (3, 5)). После этого работа (5, 7) ли-
шается резерва времени и остается на уровне минимальной
продолжительности /5>7 = /™7 = 6. У работ (1, 2) и (2, 5)
остаетсд резерв времени 3 единицы, который следует от-
дать работе (1, 2), поскольку ДС1,2> ДС2>5. Следовательно,
ра'бота (2, 5) сохраняет минимальную продолжительность
^2,5 = ^5 = 7.
Еще раз подчеркнем, что данная задача решалась при
условии, когда продолжительность работ директивно не
ограничивалась. Если сравнить оптимальную продолжи-
тельность работ с нормальной (см. табл. 9.4), то нетрудно
заметить, что для трех работ из четырех установлена про-
должительность, превышающая нормальную: /зб>10,
/1,2> Ю, /3,5> П.
Рассмотрим теперь формулировку задачи оптимизации
сетевого графика в общем виде.
Стоимость выполнения работы (/, /) равна
Си = CTj - АСЧ (tif - t?j) = CTj + АСЧ^ - ACiftf +
+ ACijtt.
Учитывая, что для работ, принадлежащих критическо-
му пути, ((г, /) g /?), titj = суммарную стоимость вы-
полнения всего комплекса работ можно записать в виде
с = £ си = Y Си + Y + ДСО^) -
(i,/) (С/)€Я (i,j)£R
- £ ДС0<+ V ДС04
(i,j)£R
Можно выделить известные сроки наступления событий
критического пути f £ /<, и неизвестные сроки событий,
не принадлежащих критическому пути, ti9 i $ К. Из такого
разделения множества событий на два подмножества полу-
чим
у ^Cijtj— Е дед+ S дад.
. w
S дед= v дад+ S дс<а
(Л/)(£Я (i.i)ftR
(ек.
293
Правые части данных равенств состоят из двух слагае-
мых, первые из которых содержат известные величины
/ь i € К. а вторые — неизвестные величины tb i (J /<.
Следовательно, функцию цели задачи линейного програм-
мирования, оптимизирующей сетевой график по стои-
мости, можно представить так:
С=С0— S AQ///+ S ACt/<->min,
(i>i)£R (i,i)£R
где
C0 = S + S ДС;/// +
jdK
Систему линейных ограничений можно записать в виде
iM£K-
В справедливости полученных выражений нетрудно
убедиться путем подстановки в них исходных данных, при-
веденных в табл. 9.4 и на рис. 82. В результате должны
быть получены система ограничений (9.6), (9.7) и функция
цели (9.5).
Теперь рассмотрим оптимизацию сетевого графика по
стоимости при условии, что максимальная продолжитель-
ность работ ограничена значениями (см. табл. 9.4).
В этом случае для работ, заканчивающихся событиями кри-
тического пути, моменты времени их завершения могут не
совпадать со сроками наступления соответствующих собы-
тий (например, работы (1, 4) и (3, 6) на рис. 82). Аналогич-
но, сроки наступления некритических событий могут не
совпадать со сроками завершения некоторых из входящих
в них работ.
Предположим, что начало работы всегда совпадает со
сроком наступления предшествующего события. Для работ,
начинающихся событиями критического пути, эти сроки
определены, а для остальных работ — находятся в про-
межутках времени между ранними и поздними сроками на-
ступления соответствующих событий.
Обозначим t\j и t{; — момент времени соответственно
начала и завершения работы (Z, /). Очевидно, что для ра-
294
бот критического пути t'u = tit t\j =tj, (i, j) £ R; для ра-
бот, начинающихся событиями критического пути, tq —
= ti> i € К\ для работ, завершающихся событиями кри-
тического пути, t!ij //, / £ /<, (/, /) (£ R.
Продолжительность работ, не принадлежащих крити-
ческому пути, tn = tij — tLu должна находиться в преде-
лах между минимальной и нормальной продолжитель-
ностью. Учитывая, что сроки наступления событий кри-
тического пути определены при построении исходного
сетевого графика, для искомых моментов времени начала и
завершения работ (ij) $ R систему линейных ограничений
можно представить следующим образом:
</ = ^, , (9.8)
it К (9.9)
i£K’, (9.10)
(9.11)
.it К (9.12)
(913)
(9.14)
Стоимость выполнения работ определим по формулам
C{l=CTh
Cti = Сц - \СИ (tii - tii - tTj), (i,
Суммарная стоимость всего комплекса работ составляет
с = S ст, - S AC,/ (til - til - tT'i).
(i'i) W
Выделив в полученном выражении известные сроки на-
чала работ /q-, i (= К, получим функцию щели задачи оп-
тимизации сетевого графика
С = С0— I АС,-,4/+ U AC04/->min, (9.15)
где
Со = S с” + S ^Cijttj -|- S ^Cijtij.
<i,I) li.MR (i.j)iR
/ i QK.
Сформулируем задачу оптимизации сетевого графика по
стоимости для условий, заданных на рис. 82. Ограничения
(9.8) — (9.14) справедливы для работ, не принадлежащих
295
критическому пути. Ограничение (9.8) определяет сроки
начала работ (1,2), (1, 4), (3, 5), (3, 6), ограничение (9.9) —
сроки завершения работ (1, 4), (3, 6), (5, 7), ограничения
(9.10) и (9.11) — диапазон сроков начала и завершения ра-
бот, инцидентных событиям 2 и 5; ограничение (9.12) от-
ражает условие для событий 2 и 5, согласно которому по-
следующая для данного события работа не может начаться
раньше, чем завершатся все работы, ему предшествующие;
неравенства (9.13) и (9.14) ограничивают продолжительность
работ в пределах от минимальной до нормальной. Следо-
вательно, систему линейных ограничений можно записать
в таком виде:
t\>2 = 6> 4,4 = tl> 4,5 — 6» 4,6 = 4,4 < h,
/I<4.5<^2,’ 4<4,5<4i
$ < 4,2 < ^2 J 4 < 4,5 < 4 J A,2 < 4,51 4,5 < 4,7»’
4,5 < 4,71 4,2 — 4,2 — 6 4.2J /2,5 — 4,5 >
4,5— 4,5 <4,5; 4,4— /1>^4, 4,4— 4 < 4,4>
4,5— 4,5—6 <4.5,* 4,6— 6 >4^ 4,6— 6^4,
4.7 — 4,7 > 4j, 4,7 — 4,7 < 4,7-
1,5 — 6 >6,5, 6,5—6 <6.5,* 6,6— 6 >6,6; 6.6— 6^6,6?
Подставив численные значения временных параметров,
указанные на рис. 82 и в табл. 9.4, и исключив избыточные
ограничения, получим
t\,2 = о, Л1,4 = 0; 4,5 = 7, 4,6 = 7;
4.4 <Ю, 4.7 <26;
5<4,5< Ю; 15<4.7<20;
5 <4,2 <13; 15 <6% <20; 15 <6% <18;
4,2 < 4.5*, 4.5 < 4,71 4.5 < 4,7;
4,5 — 4,5 > 7; 4,5 — 4,5 < 13;
4,4 >6; 4,6 >14; 4.6 <17;
4,7 — 4,7 > 6; 4,7 — 4,7 < 9.
Определим функцию цели
S Cfj = 530;
«,/)
2И
S ЛСД = 4- 5 + 3- 6 + 2- 7 + 6- 8 + 5- 74-
+ 9 • 6 = 189;
E АС/4/ = 4 0 4- 3 • 0 + 6 • 7 + 5 • 7 = 77;
(t.niR
<€K
Co = 796;
C = 796 — 4/?,2 — 34,4 — 2<5 — 64.5 — 54,6 —
— 9/5,7 4- 2/2,5 4- 9/5,7 ~*• min.
Подчеркнем, что размерность данной задачи линейно-
го программирования значительно больше размерности за-
дачи без ограничений максимальной продолжительности
работ. В некоторых случаях, учитывая конкретную струк-
туру сетевого графика, размерность задачи можно умень-
шить. Так, в рассматриваемом примере можно определить
оптимальную продолжительность работ (1, 4) и (3, 6), по-
скольку она помещена между критическими событиями.
Для работы (1, 4) резерв времени меньше разности —
— /^4, поэтому/1% = 10; для работы (3, 6) резерв времени
больше разности таким образом, /3% = /3 +
+ 6% =17.
В результате решения задачи оптимизации сетевого
графика по стоимости получим
/1.2 = 10, 4,4 = 10, /2,5 = 10, 4,5 = 17, 4.5 = 17,
4.6 = 17, 4.7 = 17, /75.7 = 26.
Рассчитанным срокам начала и окончания работ соот-
ветствует следующая их продолжительность:
/it2 =10, tit4 = 10, /2,5 = 7, /3,5 = 10, /3,6 = 10, /5,7 =«= 9.
В заключение отметим, что если на сетевом графике
нельзя выделить путь или фрагмент пути с нормальной
продолжительностью работ, имеющих резерв времени, то
соответствующие работы можно не рассматривать при по-
строении оптимизационной модели, приняв их продолжи-
тельность равной максимально возможному значению.
297
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
/ __
Таблица значений функции F (/) = -Л=- \е 2 dt
V 2л
t F (/) t F (t> t F (/) t F (/)
0,00 0,00000 1,00 0,68269 2,00 0,95450 3,00 0,99730
0,05 03988 1,05 70628 2,05 95964 3,05 99771
0,10 07966 1,10 72867 2,10 96427 3,10 99806
0,15 11924 1J5 74986 2,15 96844 3,15 99837
0,20 15852 1,20 76986 2,20 97219 3,20 99863
0,25 19741 1,25 78870 2,25 97555 3,25 99855
0,30 23582 1,30 80640 2,30 97855 3,30 99903
0,35 27366 1,35 82298 2,35 98123 3,35 99919
0,40 31084 1,40 83849 2,40 98360 3,40 99933
0,45 34729 1,45 85294 2,45 98571 3,45 99944
0,50 38292 1,50 86639 2,50 98758 3,50 99953
0,55 41768 1,55 87886 2,55 98923 3,55 99961
0,60 45140 1,60 89040 2,60 99068 3,60 99968 1
0,65 48431 1,65 90106 2,65 99195 3,65 99974
0,70 51607 1,70 91087 2,70 99307 3,70 99978
0,75 54675 1,75 91988 2,75 99404 3,75 99982
0,80 57629 1,80 92814 2,80 99489 3,80 99986
0,85 60468 1,85 93569 2,85 99563 3,85 99988
0,90 63188 1,90 94257 2,90 99627 3,90 99990
0,95 65789 1,95 94882 2,95 99683 3,95 99992
Приложение 2
1 _____
Таблица значений функции ф (/) = — е 2
*01 23456789
0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3725 3712 3697
298
Продолжение прил. 2
01 23456789
0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
*0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОИ 2989 2966 2943 2920
0,8 2397 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1154 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1005 0989 0973 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0724 0721 0707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 044б 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
*2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
4,0 0001 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ч 0000
299
список рекомендуемой литературы
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и
задачах.— М. : Высш, шк., 1986.— 320 с.
Ашманов С. А. Линейное программирование.— М. : Наука,
1981.—210 с.
Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ : Подход с исполь-
зованием ЭВМ.— М. : Мир, 1982.— 488 с.
Крэйн М., Лемуан О. Введение в регенеративный метод анализа
моделей.— М. : Наука, 1982.— 104 с.
Кудрявцев Е. М. Исследование операций в задачах, алгоритмах и
программах. — М. : Радио и связь, 1984. — 184 с.
Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое
программирование.— М. : Высш, шк., 1980.— 238 с.
Математические методы и модели в планировании и управлении:
Сб. задач / С. А. Кулиш, С. Н. Воловельская, А. Н. Жилин,
А. С. Пилипенко.— К- : Вища шк. Головное изд-во, 1985.— 239 с.
Математические методы и модели в планировании и управлении
горным производством / А. Г. Протосеня, С. А. Кулиш, Е. И. Азбель
и др.— М. : Недра, 1985.— 288 с.
Петросов А. А. Моделирование и оптимизация процессов на рудни-
ках.— М. : Недра, 1978.— 205 с.
Потапов В, Д., Призов А Д Имитационное моделирование произ-
водственных процессов в горной промышленности.— М. : Высш,
шк., 1981.— 191 с.
Резниченко С. С. Математическое моделирование в горной промыш-
ленности.— М. : Недра, 1981.— 216 с.
Сетевые графики в планировании ! И. К. Разумов, Л. Д. Белова,
М. И. Ипатов, А. В. Проскуряков.— М. : Высш, шк., 1981.— 168 с,
Таха X. Введение в исследование операций : В 2 кн.— М. : Мир,
1985.— Кн. 1.— 479 с.; Кн. 2.— 496 с.
Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного
анализа.— М. : Финансы и статистика, 1983. — 302 с.
Цой С., Данилина Г. П., Гуц Е. Н. Автоматизация проектирования
вскрытия шахтных полей.— Алма-Ата : Наука КазССР, 1973.—
236 с.
300
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм
вычеркивания работ 272
Жордана—Гаусса 183
Базис единичный 184
Датчик случайных чисел 124
Задача
линейного программирования
172, 197
оптимального размещения
шахт 260
оптимальной замены оборудо-
вания 253
оптимизации параметров шахт-
ных полей 218
» сетевых графиков 284
планирования добычных работ
229
транспортная 199—201, 207,
211
Индекс корреляции 39
Корреляционное отношение 40
Коэффициент
детерминации 38—39, 52
корреляции 41, 50—51
регрессии 33
эластичности 74
Критерий
комплексный 12
оптимальности 10
согласия Колмогорова 28
Метод
авторегрессии 146, 169
искусственного базиса 193
наименьшего элемента 202
наименьших квадратов 150
— с весами 156
потенциалов 202
«северо-западного угла» 201
экспоненциального сглажива-
ния 162
Модель
имитационная 129
марковская 92
регенеративная 142
Неизвестные
базисные 184
— искусственные 193
балансные 178
свободные 184
Пополнение запасов 234
с постоянной периодичностью
237
с компенсацией дефицита 241
Правило
прямоугольника 181
симплексное 188
Преобразование
Жордана—Гаусса 181, 183
симплексное 188
Принцип оптимальности Веллма-
на 247
Прогноз экстраполяционный 145
Резерв времени
работы 278—279
события 277
Рекурентные соотношения Велл-
мана 249
Свойства сетевого графика 271
Сглаживание ресурсов 281
Сеть транспортная 214
Система
линейных ограничений 172
обслуживания
— замкнутая 107, 112
— разомкнутая 103
уравнений Колмогорова 96
Скользящая средняя 162
Событие сетевого графика 268,
271
Спрос запасов случайный 243
Срок
наступления событий 274, 276
начала работы 278
окончания работы 278
Статистика
Стьюдента 46, 56
Фишера 57
Страховой уровень запасов 234
Таблица симплексная 189
Уровень обслуживания 100
Условия неотрицательности 173
Функция цели 173
Числа случайные 125
301
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . ... . • . . . . . . . . ............... 3
Глава 1. Принципы построения и классификация экономико-ма-
тематических моделей 'Я
1.1. Общие положения ....................................... 5
1.2. Краткая характеристика экономико-математических методов 6
1.3. Критерии оптимальности в экономико-математических моде-
лях ....................................................... 10
Глава 2. Корреляционные модели
[2.1. Общие положения...................................... 14
2.2. Выбор зависимой переменной и факторов-аргументов ... 16
2.3. Обработка статистической информации................... 17
2.4. Понятие регрессии .................................... 32
2.5. Измерение тесноты связи между факторным и результатив-
ным признаками............................................. 37
2.6. Коэффициент корреляции ............................... 41
2.7. Элементы многомерного корреляционного анализа .... 48
2.8. Линейный регрессионный анализ......................... 52
Г 2.9. Нелинейная регрессия................................ 67
2.10. Анализ уравнения регрессии........................... 73
2.11. Пошаговый метод включения факторов в уравнение множест-
венной регрессии ...................................... 76
Глава 3. Модели теории массового обслуживания
3.1. Определение и классификация систем массового обслужива-
ния . ..................................................... 82
3.2. Вероятностные характеристики потока заявок и обслу ва-
ния ....................................................... 86
3.3. Марковская модель процессов массового обслуживания 92
3.4. Разомкнутые одноканальные системы массового обслужива-
ния ....................................................... 98
3.5. Разомкнутые системы массового обслуживания с несколькими
каналами обслуживания .....................................103
3.6. Замкнутые одноканальные системы массового обслуживания 107
3.7. Замкнутые многоканальные системы массового обслуживания 112
3.8. Модели массового обслуживания при неэкспоненциальном
обслуживании заявок........................................116
Глава 4, Имитационное моделирование
4.1. Основные понятия имитационного моделирования..........123
4.2. Датчики случайных чисел...............................124
4.3. Методика построения имитационной модели ....... 129
ЗП9
4.4. Определения производительности сборочного конвейера ме-
тодом имитационного моделирования ........................ 135
4.5. Оценка точности результатов моделирования.............140
Глава 5. Математические методы прогноза показателей горного
производства
5.1. Основные понятия .....................'...............144
5.2. Прогнозирование методом авторегрессии.................146
5.3. Прогнозирование методом наименьших квадратов .........150
5.4. Прогнозирование методом наименьших квадратов с весами 156
5.5. Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания 162
5.6. Прогнозирование случайной составляющей временного ряда 169
Глава 6. Оптимизационные экономико-математические модели
6.1. Постановка задач линейного программирования...........171
6.2. Математические основы решения задач линейного программи-
рования ...................................................179
6.3. Симплексный метод решения задач линейного программиро-
вания .....................................................186
6.4. Транспортные задачи линейного программирования .... 199
6.5. Модификации транспортных задач.......................209
6.6. Транспортная задача в сетевой постановке.............214
6.7. Примеры’ прикладных оптимизационных экономико-матема-
тических моделей...........................................218
Глава 7. Элементы теории управления запасами
7.1. Основные понятия управления запасами ................ 233
7.2. Определение размера партии поставок при постоянном пе-
риоде пополнения запасов.......................У...........237
7.3. Управление запасам с компенсацией дефицита............240
7.4. Управление запасами при случайном спросе..............243
Глава 8. Модели динамического программирования
8.1. Принцип оптимальности в динамических моделях..........246
8.2. Построение рекуррентных соотношений Р. Веллмана .... 248
8.3. Задача оптимальной замены оборудования .............. 253
8.4. Динамическая модель оптимального размещения шахт . . . 260
Глава 9, Элементы теории сетевого планирования
9.1. Основные понятия сетевого планирования................268
9.2. Параметры сетевых графиков............................274
9.3. Распределение материальных и трудовых ресурсов для комп-
лекса работ по календарным срокам..........................281
9.4. Постановка задачи оптимизации сетевых графиков по стои-
мости .....................................................284
9.5. Сокращение критического пути до директивной продолжи-
тельности .................................................287
9.6. Оптимизация комплекса работ по стоимости при фиксирован-
ной продолжительности критического пути....................289
Приложения ............................................... 298
Список рекомендуемой литературы ...........................300
Предметный указатель............... 301
Учебное издание
Кухарев Валентин Николаевич
Салли Владимир Ильич
Эрперт Александр Михайлович
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В ПЛАНИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ
Переплет художника В. С. Левчук
Художественный редактор А, Д. Бондаренко
Технический редактор А. И. Омоховская
Корректор И, П. Бойко
ИБ № 13939
Сдано в набор 27.05.90. Подписано в печать 24.04.9Т,
Формат 84X1O81/3S. Бум. тип. №2. Гарнитура литератур-
ная. Высокая печать. Усл. печ. л. 15,96. Усл. кр. -отг. 16,22.
Уч.-изд. л. 16,84. Тираж 1600 экз. Изд. № 7808. Заказ 1—311.
Цена 1 р. 60 к.
Издательство «Выща школа». 252054, Киев-54, ул. Гоголев-
ская, 7
Отпечатано с матриц Головного предприятия республикан-
ского производственного объединения «Полиграфкнига»,
252057, Киев, ул. Довженко, 3, на Белоцерковской книж-
ной фабрике, г. Белая Церковь, ул. Карла Маркса, 4.