/
Text
Печатается по решению секции механики грунтов
научно-технического совета
НИИ оснований и подземных сооружений
имени Н. М. Герсеванова Гасстроя СССР
Рецензенты:
кафедра механики грунтов,
оснований и фундаментов МИСИ
им. В. В. Куйбышева,
кафедра оснований и фундаментов РИСИ
Зарецкий Ю. К. Лекции по современной
3 34 механике грунтов.- Издательство Ростовского
университета, 1989. 608 с.
:\
l S В N 5-7507-0308-8
В кни1·е иэлагаются воnросы пластичности и динамической кoнco
rllllt<IНИH •·ру•пов е учетом вязкоrJЛастических деформаций. Предложенная
н·ор1н1 IJJIIH'ТI1Чt't'Koro течения с уnрочнением для многофазных грунтов
(1\'IIOIII.I!Iat•тcн 11<1 болыном эксJ1ериментальном материале.
1\ Hltr·a tiiH'ЛII:-tJH<-Iчeнa д.[! Я ндучно-технических работников, студентон
11 •••·rr••paнJoн. Cllt'IL~taлюиpf•щи~я а. области механики грунтон и про
~·•· 11tpн1LaiiiHI фyll}l<IML'JIТOB np~-~~HHЬIX, .•граi!<JЗНСКИХ И ГИдротехни
' 1 1'1'1 •11\ 1 '11111 '\'il\l 'ltllli
:\:.Ю:liiiiOIIIIO
М 17fi(H:I)
01~
КК . ,:1--RR
1',11N ~, 1~ .11i 11:\IIH Н
rC1 11щап'лl,ство Ростовского университета
198!1
nРЕДИСЛОВИЕ
В последнее время значительно активизировались исследования в области меха
ники грунтов, которая является теоретической базой фундаментостроения. Это свя
зано с освоением ранее вепригодных для строительства территорий, возведением
уникальных промышленных и гидротехнических сооружений, освоением континен
тального шельфа. Проектные решения, основанные на действующих в настоящее
время СНиП, не учитывают реальных свойств грунта во всей полноте. Все это
требует более совершенного математического описания грунта, которое бы адекват
но отображало реальную картину деформирования. Последние два десятилетия
характеризуются разработкой в основном нелинейных моделей грунта. Все чаще
применяется классическая теория пластичности -деформационная или пластиче
ского течения. Некоторые уникальные объекты расечитывались с исполRюванием
деформационной теории пластичности, но в отдельных случаях, когда был необхо
дим учет истории нагружения, это не устраивало исследователей. По этой причине
стали интенсивно осваивать теорию пластического течения, использование которой
nозволяет учесть технологию производства работ, т. е. деформирование с различ
ными траекториями нагружения.
Эта теория в достаточной степени разработана применительно к металлам,
поэтому от исследователей, работающих в области механики грунтов: потребовался
ряд оригинальных решений, позволивших успешно применять данную теорию к
грунтам. Строительство на воданасыщенных грунтах, в том числе на континенталь
ном шельфе, nотребовало решения задач консолидации, так называемых связан
ных задач, когда совместно с нелинейным деформированием грунта рассматри
ваются еще и зависящие от времени nроцессы фильтрации. Необходимость строи
тельства в сейсмооnасных районах nотребовала учета вязкопластических свойств и
воданасыщенности грунтов.
В зарубежной литературе известны математические модели критического со
стояния*, исnользование которых позволяет свести до минимума неопределенность
nри оценке наnряженно-деформированного состояния грунтового основания. Тем
не менее, как отмечает О. К. Зенкевич**, «точное nредсказание поведения грунта не-
* Sсhоfiе1dА., Wгоth Р. Critical State Soil Mechaпics. L., 1968, р. 306.
** Ziепсiеwiсh О.С., Lеwis R. W., S(аgg К. G. Nurпerical Methods
iп Offshoгe Eпgiпeeriпg. L. , 1979, р. 582.
3
достижимо на современном уровне понимания с войств грунта, но важно уметь
хорошо моделиро ва ть те свойств а , которые важны для решения проблемы». В силу
этого утверждения работающе му в механике грунтов исследователю необходимо хо
рошо знать сов ременные концепции в данной области. Не менее важен выбор алго
ритма для чи сле нного решения математической задач и, по с кольку не только в науч
ны х исследован!fя х, но и в пов сед невной жизнlf все большее значение отводится
компьютерам - от умещающих с я на ладонlf до целых вычlfслительных систем,
объед иняющих нес колько мощных ЭВМ с разветвленной периф е рией, в том Чlfсле и
дисплеями, которы е могут работ а ть как самост о ятельно, так lf сов местно с центра ль
ным процессором. Результаты расчетов, как правило, представляют на гр а фопо
стро ителе илlf графlfческом дliсплее в виде графиков или массива и зол иний.
Следствием широкого примен е ния ЭВМ явилось развlfти е численны х методов,
основными и з которых в настоящ ее время следует считат ь м етоды кон е чных раз
но стей, конечных элементов и гра ничных элементов. Можно отыскать огромное ко
личество оригин а льных ре зультат ов, получ е нных с исполь зова нием этих м е тодов,
назвать ряд монографий, ра ск рывающих основы каждого из них и опи сы вающих
приложенlfя к практическим зада чам* Знание основ численных методов необхо
димо, поскольку решение любой нел инейной зада чи представляет собой специаль
ное исследов а ние , в котором интуиция являе тся одним нз определяющих факторов.
Можно назвать более десятк а международных симпозиумов по численным мето
да м в геомеханике или посвященных иссл едованиям напряженно-деформ!iрован
ного состоянlfя гр у нтовых массивов, пров оди вшихся с и с п ользо ванием числ е нных
методов: Din a mica l method s in Soil апd Roc k Mechanics . K a rl s гuhe , 1977; Numerica\
Met hods in Geomechaпics. Аасhеп, 1979; S oi\ s uпdег Cic li c an d Traпsi e nt Loadiпg.
Swaпsea, 1980 ; Numerical M odels in Geomech a пics. Zuri ch. 1982; Deformati o п апd
Failшe of Gr aп ular Materia\ s. Delft. 1982; Numerical M ethods in Geom ec haпics.
Edmontiп, 1982. Общий уров е нь исследований характеризуется этими симпо з иума
ми и рядом мо нографий по чи сле нным методам в геомеханике** , в которых излага
ются сов ременные концепциlf м еха ники грунтов, необходliмые основы чlf сле нных
методов и прив одят ся прилож ен ия к акту а льным задачам ст роительства на суше
и континентальном шельфе.
Научно-и сследовательский институт оснований и подземных сооружений
им. Н. м. Г ерсева нова Гасстроя СССР, являющlfйся головным институтом в об
ласти механики грунтов, с 1975 г. работа ет над целевой комплексной пр ограм мой ,
в резул ьтате которой будут ра зработаны и внед рены методы ра счета осадок, несу щей
* Ваз о в В., Фор с ай т Д. Ж. Разностные методы решения дифq>еренциаль
ных уравнений в частных производных. М., 1963. 483 с.; Р их т м а и ~~ Р. д.,
Мор т о н К. Разностные методы решения краевых задач. М., 1972; Z 1е n с 1e-
wiсhО.С.TheF1n1teElerneпlMethod.L,1977;ПартонВ 3,ПРрли11ПИ
Интегральные уравнения теории упругости. М., 1977; В а n е r j ее Р. К . В в t 1е r-
f iе1d R. Deve\opmeпts in Boundary Element Methods - 1. L .,
1!179; Вапе
гjее Р. К.. S h о w R. Р. Developmeпts in Boundary Elemeпt М('\\нн\s 2. L.,
1982.
** Zien cie wich О. С .. l _ewis R. W .. Stagg К. G. Nrllll<'li<·"l
in Offshor e Engineeriпg. \. .. ,
1977. р.582.Сhапdrаkаn1S \),. '" i
са\ Methods in Geolecl1ical Eпgiпeeriпg. L., 1977, р. 784.
4
NIIIIH'Гi-
способности оснований lf прочности фундаментов зда ний и сооружений с исnо ль
зованием новых теорий деформирования, прочности грунта и железобетона, в том
числе и нелинейных.
В ле кциях nрофе ссо ра Ю. К. За р е цкого вn е рвы е в отечественной литератур е
систематически излаг аются воnросы пластичности гр у нтов, их д ин ам ической кон
солидацlfи с учетом вязкоnластических деформаций, протекающих под действием
статических, циклич ес ких и динам!fч еск и х воздей ствlfй , предл ага ется тео рия nла ст lf
ческого тече ния с упрочнением грунтов. При построении функции нагруж ения
испол ьзова лся стоха стич ес кий подх од к оценке р азр ушения связ ей в грунте при
деформ ац ии. Примен еине Ю. К. Зарецким теории пластического течения с упрочн е
нием для многофа з ны х гр у нтов основывается на большом экс перим е нтальном ма
териале по исследованию свойств грунта; эта теория ус пешно внед ря етс я им в прак
тlfку проектирования земл яных сооруже ний и оснований. В л е кциях nриводят ся
алгоритмы расчета мн о гофазных грунтов с исполь зован ием разра бот а нной мате ма
тической модели под действием ст а тич ес ких и динамических во здейст вий, апроби
рованных на эталонны х задачах, в трехосных испыт а ниях на р аз личных траекто
риях нагр у жения и при центробежном моде .~ировании. Обс уждаются результаты
ра с четов конкретных уникальных объектов, nолуч енн ых с исnол ьзова нием nр едло
женных алгоритмов.
Знакомство с на стоящим цикл о м лекций явля етс я лишь первым шагом для
исследователя, сnециализирующегося в области ра зра ботки нелин е йных математи
чески х моделей и их чи сле нной реалlf заци и в механик е грунтов. Дал ьней шая раб ота
в этом наnравлении в ес ьма многообразна и увлекательна, и одним из ее рез ульта
тов должно быть nредсказание nоведе ния гр у нта с н с nользованlf ем современных
математических моделей.
• и подзем ных сооруже ний им. .
Директор
Ин ститута оснований
Н. М. Герсева нова Гасс троя СССР,
профес сор ,
доктор техн ических наук В. А. Ильич ев
ВВЕДЕНИЕ
Ис следоват елям в любой отрасли знаний свой ственно n е риоди
че ски подводить итоги пройденного nути, называя их обзором совре
м е нного состояния науки . Механика грунтов не является исключе
нием из этого правила. Автор взял на себя смелость прочитать дан~
ный курс так, как он его видит в настоящее время. Отличитеольнои
особенностью развития м е ханики грунтов является, с однои ~то
раны, возросшая необходимо с ть в уточненных оценках устоичи
вости и анализ е напряж е нного состояния грандиозных по своим
масштабам уникальных гидротехнических сооруже ний и ос нований
промышленных з даний и сооружений. с другой стоеоны, револю
ционные и з менения, происшедшие в вычислительнон мате матике,
позволяют реализовать с помощью численных методов решение
с а мы х сложных инженерных проблем, учитывая при этом те хноло
гию и последовательность строительства сооружений. Кроме того,
открылась возможность учета сложных реальных геотехнических
свойств грунтов как строительных материалов. В настоящее время
проектировщики не ограничены в своих действиях и им не требу
ются для расчетов за мкнутые формулы и таблицы, как на этом на
стаивают некоторые специалисты. Инж е неры могут и должны ис
поль з овать вычислительные программы , поэтому в настоящее время
научные исследования в области механики грунтов должны вестись
с целью соз дания как можно более мощных и современных вычис
лительных программ, главным звеном которых являются с~едения
о пов е дении грунтовых мат е риалов, находящихся под деиствием
внешних факторов, или , иными словами, сформулированная на ма
тематическом языке, доступном ЭВМ, модель поведения грунта.
Для этого следует прежде все го провести исчерnывающие исследо
вания свойств грунтов и установить критерии их разрушения. Слож
ность грунтов как многофазных систем требует совр е менного под
хода, nривлечения для их описания все го ар сенала механики дефор
миру е мых сред. За д ача состоит в том, чтобы в кратком виде, но по
возможности полно прив е сти тре бования, предъявля е мые к ра с че
там грунтовых сооружений, в соответствие с достиж е ниями м е ха
ники деформируемых сред и достижениями в экспериментальных
иссл е дованиях сложных свойств грунтов. Н е обходимо, чтобы глав
ные факторы, влияющие на поведение грунтов , включая и всю слож
ность инженерной обстановки, учитывались в расчет а х на!lряжен
но-де формированного состояния и в оценке устойчиво сти.. и ~ейсмо
стойкости гр у нтовых оснований и грунтовых сооруж е нии . Следует
отметить, что именно м а тематическое описание пов е де1111Н 1·рунтов
является самой сложной проблемой при разработке IШ'IIII'.J IIIT\'JII·IIЫX
6
методов и требует поэтому пристального внимания исследователей.
Интересно в связи с этим привести высказывание, приписываемое
известному фи з ику Х . Лоренцу: « Если бы мне предложили соста
вить математическое уравнение того, что происходит в обычном
комке земли , я бы в ужасе убежал» . Оно nока зывает отношение
физика-т еоретика, которому удалось · так много сделать в области
электронной теории и общей теории относительности, к возмож
ности пре дсказания , поведения грунта .
Изложенный в настоящих лекциях материал является теоретиче
ской основой инженерной дисциплины, которая получила название
геотехника. В современном бурно развивающемся мире строитель
ство уникальных по своим масштабам и значению сооружений
сталкивается со все возрастающими трудно с тями прогноза поведе
ния этих сооружений , что особенно ярко проявляется nри освоении
континентального шельфа и строит ельстве промышленных, подз ем
ных, гидротехнических сооружений в сложных инженерно-геологи
ческих условиях. Геотехника призвана дать такой прогноз . Особая
ответственность геотехников состоит в том, что они, осуществляя
непосредственный контакт между специалистами по инженерной
геологии и специалистами в области строительных конструкций,
должны nонять и правильно выбрать расчетную схему взаимодей
ствия строительной конструкции с грунтом . Сложность геотехники
как научной дисциплины состоит в том , что она включает в себя и
инженерную геологию, и механику грунтов в nолном их объеме.
Можно считать, что настоящие лекции являются первой состав
ной частью геотехники .
Курс лекций составлен по материалам э·кспериментальных и тео
ретических исследований, проведеиных в НИСе Гидропроекта
им. С. Я. Жука в течение последних десяти лет . Автор благодарен
сотрудникам отдела камеино-земляных плотин и оснований, отдела
математических методов исследований и своим ученикам, nрошед
шим с ним -весь этот путь. Первые и основные результаты этой
работы были обобщены в монографии « Статика и динамика грун
товых nлотин» (М ., 1983), наnисанной совместно с В. Н. Ломбар
до, участие которого во всех этапах исследований кардинально
повлияло на обобщения и выводы всей работы.
Исnользуемые в расчетах уравнения состояния грунта nолучены
на основе эксnериментальных данных или выведены из интуитив
ных соображений. В силу этого необходим строгий математический
анализ основных нелинейных задач м е ханики грунтов . В подробном
математическом исследовании нуждаются также и численные мето
ды решения этих з адач . Н е которым воnросам математического ·
анализа рассмотренных в монографии моделей nосвящены п. 7 .5 и
9. 7, наnиса иные кандидатом физика- математических наук
Ш. М. Шлафманом.
7
Автор nризнателен директору НИИОСП доктору технических
наук, nрофессору В. А. Ильичеву за предоставленную возможность
nрочитать этот цикл лекций асnирантам и сотрудникам института
в 1982 г.
'I('IIИH
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
т.,; mw; mg - объемные концентрации с оответственно минеральных
(m,=V,/V; m .. =Vw/V; m g=
частиц , жидко ст и и газа
=Vg / V);
т - пористость грунта (m= I-m,);
р' ; р "' ; pg; p'k - плотность минеральных частиц , воды , газа и «скелета»
соответственно;
р - плотность грунта (p=m ., p' +m wp"' +mer g);
ld - относительная плотность;
l w- водонасыщенность ;
W - влажность;
КФ - коэффициент фильтрации;
Mw - модуль сжимаемости поравой жидкости;
G•; к• - мгновенные модули упругости «скелета» грунта (модуль
сдвига, модуль объемного сжатия);
G';. ,; К':.., - стабилизированные модули упругости «скелета» грунта ;
T,_t; T,_t
-
периоды релаксации и запаздывания «скелета>> грунта;
с* - сцепление грунта;
<р* - угол внутренн е го трения (k*=tg <р*);
a ,i - комnоненты тензора наnряжений (отрицательные значе·
ния нормальных компонент наnряжений- сжимающие
напряжения);
Sij- компоненты девнатара напряжений;
а - nервый инвариант тензора наnряжений или среднее гид·
ростатическое давление \а= +а") ;
а,- положительный корень из значений второго инварианта
девнатара напряж е ний или интенсивность касательных
наnряжений сдвига ( а1 = ( { s1is'i)
112
);
Tmax -
наибольшие касательные наnряжения
( Tmax= +(а1 -аз) ) ;
а1; а 2 ; аз - главные напряжения (а1 > а 2 > а 3 ; трехосное сжатие:
laзl > lazl > la1i);
Р "'; p g - давления в nоравой жидкости и газе (положительные з на
давления сжатия);
arf - компоненты эффективных напряжений (а;'{= "'i + a,iP "' );
11..
-
nарам е тр Ладе вида наnряженного сос;rояния
11,
lij" '
w,
( f.1., =
2 аz-аз _ 1);
!'ТJ - аз
комrюненты вектора скорости «скелета» r · рунта;
комrюнснты вектора скорости жидко с ти;
компоненты вектора относительной ск орm·п1
(w,=m(t.i r -ti,JJ;
8
1
-
•
1
e,t - компон е нты тен з ора деформаций «скелета» грунта;
e,i - компон~нты девиатора деформаций «скелета» грун'Г'а;
Eii - первыи инвариант тензора деформаций или объемная де
формация (е,=е,,, отрицательные значения- уnлотне
ние);
е, - интенсивность деформаций сдвига (е, = (2eiie,i) 112 );
Утих- наибольший сдвиг ( Ym ax =
81
-;
83
);
er;; t7;v; вf;; err- компоненты уnругих, упруrовязких , пластических и вязко-
uр(\ ). ир(z ) пластических деформа~ий;
E'i
, e,i
-
компоненты первичнои и вторичной вязкопластичности
(erf = eYf'
1
)+erf'
2
));
1
w=- r lde""l·
,
w'f) r
,
1
w, = -*- ~ de~ 1' - параметры упр()чнения Одквиста·,
w,
wt = ef; w~ = - et - предельные значения параметров уnрочнения;
fz(a,; а; w,; w, ) =0 - установившаяся поверхность нагружения·
f0(1)(а. а. (J)' W
·
e up(Z) .
'
'
,,
,
·~~p(l))'=0 -· мгновенная поверхность первичнои· вязко
ot2)
пластичности;
f, (а,; а; w1; w.;
efP(
2
J; е~"(
2
)) =0 - мгновенная поверхность вторичном" вязкопластичности;
af - предельное значение интенсивности напряжений сдвига
(af =с*- k*a);
р ( Б~Р; efP);
q (е ~"; ef") - функции упрочнения* первнчной вязкопластнчности;
ai
af =Ф, (еl" ) - описание днаграммы сдвига в испытаниях по траектории
(ZJ .
(ZJ и «раздавливанНЯ>>;
\V,,w,-
параметры упрочнения вторичной вязкоilластичности ·
щ.w
'
Р.q
--
функции упрочнения вторичной вязкопластичности
(р<2)= а*{2)ф~2) ( 8~~2)) ;
q<z) = а*(2)ф~2)(еУ~2)) )
* Для функций упрочнения р и q по данным испытаний грунта составляются
таблицы.
ЛЕКЦИЯ 1
ГРУНТЫ
Механика грунтов в настоящее время использует математиче
ский аппарат механики сплошной среды. Можно говорить о том, что
грунты - это прежде всего дисперсные образования, и поэтому
аппарат механики сплошной среды неприменим к ним. Однако воз
можная ошибка при таком подходе может быть сведена до миниму
ма, если правильно выбрать размеры «Элементарного» объема,
для которого определяются законы деформирования и который в
расчетах напряженно-деформированного состояния грунтового
сооружения принимается за точку области. Размеры элемента
объема выбираются, с одной стороны, в зависимости от масштаба
расчетной области, а с другой - в зависимости от размеров наи
большей фракции грунта, от размеров наибольшего его структур
ного элемента. Этот вопрос неоднократно подвергалея изучению, и·
некоторые рекомендации будут в свое время даны ниже. Главным
же отличием механики грунтов от механики твердого деформируе
мого тела, жидкости или газа является то, что в грунте одновремен
но сосуществуют и твердые частицы, и жидкость, и газ, которые под
действием внешних сил деформируются каждый по своим законам,
а кроме того, взаимодействуют между собой, и в общем случае их
количественное содержание в единице объема меняется.
Таким образом, механика грунтов- это прежде всего меха
ника многофазной системы с изменяющимся соотношением фаз в
единице объема.
1.1 . Параметры многофазного грунта
Классификация грунтов
Обычно термином грунт обозначаются «все рыхлые горные по
роды (природные минерально-дисперсные образования) коры вы
ветривания литосферы» [ 1]. Иными словами, природные грунтовые
отложения представляют собой осадочные или другого типа накоп
ления твердых частиц, образовавшиеся в результате механического
и химического выветривания горных пород. Со строителt,ной точки
зрения к грунтам относят пески, гравий, галечник, супеси, суглинки,
глины, а также торф и илистые отложения. К скалыii,IМ грунтам
обычно относят гранит, каменную соль, известняки, пес•I:IIIики, мел
и др.
\0
В общем случае грунт является многофазной системой. Под фа
зами грунта понимаются составляющие грунт компоненты: жид
кость, газ, минеральные частицы. Каждый из них рассматривается
как однородная среда, подчиняющаяся определенным законам де
формирования. К первой фазе будем относить так называемый «ске
лет» грунта, под которым понимается совокупность минеральных
частиц и среды, осуществляющей непосредственную связь структур
ных элементов. Связь между структурными элементами грунта может
иметь как водноколлоидную природу, так и цементационную. При
рода межструктурных связей определяет характер деформирования
грунта. Второй фазой будем считать жидкость (свободную, не
участвуюшую в образовании связей между частицами грунта), а
третьей - газ, заполняющий поры «скелета» грунта.
Основными параметрами многофазного грунта являются объем
ндя концентрация частиц, определяемая как отношение
ffis=Ys/V,
объемная концентрация жидкости mw и газа mg
mw= '; ; ffig=Vg/V
( 1.1)
и пористость
m=Vp/V.
Здесь V- объем элемента; Vp- объем пор; Vw- объем пор, за
нятый жидкостью; Vg- объем пор, занятый газом; Vs- объем,
занятый частицами грунта. Очевидно: ms+тw+mg= 1 или m+
+ms=1.
Удобными характеристиками являются коэффициент пористости
Vp
т
e=--=-
v,
т, или е=
I-m _,
т
( 1.2)
I-m
т_,
и степень воданасыщенности
( 1.3)
Плотность многофазного грунта р равна
р=р
5
Ш5+ pwmw + pgmg,
( 1.4)
а плотность «скелета»
psk = ffis(Js,
(1.4а)
или, выраженная через коэффициент пористости,
'/; 1*
Важнейшим пока за телем связного грунта является его влаж
ность W , опр едел яемая как отношение веса п о равой воды к весу
«с кел ета» . Пока з ателям и П JJа сп14 но сти связного грунта являются
предел ы текуч ес ти и пластичности. Соответствv·ющие им влажно
сти обозначаются W1_ и W p. Числом п л астичн ос ти принято назы
вать раЗНОСТЬ fp= Wl - W".
ГЛ И НИ СТЫе грунтЫ , ЯВ JlЯЮLЦИеСЯ про
дуКТОМ химического выве трив а ния горных пород. под ра здел яются
на суп ес и, суглинки и глины в з ависимости от пластич еск их свой с тв
характеризуемых число м пла стичности. Состоя ние гли н истых г рун:
тов по влажности отражают обычно с помощью nока зател я конси
стенции 11 :
W-W1,
\V 1 -W,.
( 1.5)
В процсссе деформирования в обш е м случ ае прои сх одит и з ме
нени е количественного соотношения ф аз грунт а в единице объ е ма.
Очевидно, что х"аракт е р деформирования во времени такой с реды
зависит от пут е и, по которым в резу льт ате механического воздей
ствия перемешаются фазы грунтовой системы, а скоро сть деформи
рования и сроки стабилизации за висят от конфигу рации и абсол ют
ных ра зме ров де формируемой об JJасти , а также от характера во зде й
ствия.
К трехфа з ным грун.там относятся грунты, сте пень воданасыще
ния которых за ключена в пределах 0,7 < lw< 0,9. В таких грун
тах га з , вода и «с келе т » представляют собой само стоят ель ные
фазы , подчиняющие ся своим за конам де формирования. При это м
скорости движ е ния «скелета», жидкости и газа неодинаковы. Край
ними являются случаи , когда пу з ырьки газа «за щемл е ны », т . е . ско
рость движения газовой фа зы равна ско рости движения «скелета»
грунта, и когда скорость га зов ой фа зы равна скорости движения
жидкости при консолидации грунта.
Грунты , степень водонасыщения ко торых более 0,9, считаются
квазидвухфаэными грунтами. В таких грунта х газ .1ибо полно сть ю
растворен в жидкос ги, либо н аходит с я частично в пу з ырьках, дви
жушихся со с корос,-ью, равной скор ост и движ е ния поравой жид
кости . Таким образом, квазидвухфазный грунт состоит и з д в ух фаз:
«скелет» грунта и заполняющая nоры грунта жидкость с изменяю
щейся сжимаем остью.
Кваэиодн.оф о< ный гру ;"т хар а ктери з уется отсутстви е м либо са мо
стоятел ьно й свободРо й ж1:дкой фазы, л ибо влияния жидкой фа3 ы
на деформ<Щ 11Ю «скелета>> грунта. При степени воданасыщения
грунта мене е 0 ,7 П ' > [Ю вая жидкость является свнзной и обр а3 ует
совместно с минера ; ;t,ны"'' ч аст ицами «с келет » грунта. С о11ротивле
нием газа движению « ,'"'' >! ета» можно пренебр е чь . Пр~1 Jtt' <jюpмиpo-
12
вании квазиоднофазного грунта изменения фа з в единице объема
грунта не наблюдается [2] или отток жидкости происходит настоль
ко быстро. что за характерное время проце сt::а жидкая фаза не
влияет на скорость деформации «скелета» гру нта .
Мы видим, что отнесение грунта к категории квазидвухфазного
и ква з иоднофа з ного зав исит н е только от его начального физиче
ского сос тояния, но и от граничных условий, накладываемых на
расчетную об "~аст ь, и от характера силового во зде йствия. Так, водо
насыщ е нный крупнообломочный грунт, обладающий большой про
ница емос тью, при статическом с и ло вом воздействии мож е т рассмат
ривать ся как квазиоднофазный. поскольку ра ссе ивание nороного
давл е ния прои схо дит настолько быстро, что не влияет на его пов еде
ние, ~ глинистый водонасыщенный грунт , напротив, должен, ввиду
ма,:~юи е го проницаемости , рассматривать с я как многофазный. С дру
гои стороны. ~ри кратковременном сейсмическом воздействии круп
нообломочныи грунт должен расс:чатриваться как многофазный,
так как в этом сл учае время воздействия и время оттока жидкости
сопос:авимы , а гл инистый грунт мо ж ~т быть рассмотр е н в этой рас
четнон ситуации" как ква з иоднофазный исходя и з того, что при сейс
мическом во зде истнии в нем не успева ет измениться соотношение
фаз в единиц е объ ема и его можно рассм а тривать как грунт
«В целом».
Д елен ие грунтов на квазиоднофа з ные и многофазные сущ ест
венно, поскольку это определяет объ е м и трудоемкость расчетов
(см . ~1екции 2 и 3). Во всех случаях, ког д а заранее можно сделать
такую Оltенку, это в з начител ь ной степени экономит затраты на nро
ведени е вычислительных проц еду р.
В " настоящ ее время существует большое количество классифи
кации грунтов, различающихся между со бой основным принципом,
110 которому объединяются гр у нты по классам с общими свой
ствами .
В конце XVIII в. была предложена классификация А . Г. Верн е ра:
1 - рыхлы е и сыпучие (песок, торф);
11 - мягкие (глина, песок);
111 -- ломки е , хрупкие, трещиноватые (м ел , гипс , каменный
УI'ОЛЬ и др.);
IV - крепки е (изв ест няк, п ес чаник);
У --- весьма крепкие (граниты, кварциты).
В 1923 г. К. Юнг предложил кла сс ификацию, основанную на
п·роении и сло жении горных пород. М. М. Протодьякононым в
1Ч26 г . была разработана кла сс ификация пород по ко э ффициенту
К\Н'IЮсти, получившая наибол ь шее распространение среди горных
1111женеров. К а чественные классификации грунтов и горных пород
llмt•ются в работах К. Терцаги и Е. М. Серге ева . Кл асс ификация
И. В. Орнатского связывается с механическJАми схемами грунтов.
J:\
Гранулометрический состав является основой кЛассификации
Н. Н. Иванова и В. В. Охотина. Получило распространенное инже
нерно-геологическое деление горных пород, предложенное В. Д. Лом
тадзе. Н. Н. Маслов [3] выделяет четыре основных класса, отли
чающихся по характеру внутренних связей:
1- породы с жесткими структурными связями;
11- породы с внутренними связями водно-коллоидной природы;
111- породы без внутренних связей (сыпучие);
IV- класс особых пород (лесс, ил, торф, мерзлые грунты, на
мывные грунты и т. д.).
В свою очередь, все глинистые грунты, по Н. Н. Маслову, под
разделяются на три основные группы: 1) пластичные, 2) скрыто
пластичные, 3) жесткие. Такое деление связано, по мнению Н. Н. Мас
лова, с ведущей ролью структурного сцепления и связности в вяз
ком сопротивлении глинистых грунтов сдвигу.
Часто грунты подразделяются на две большие группы: скальные
и рыхлые (нескальные). По гранулометрическому составу разли
чают крупнообломочные - несцементированные, содержащие более
половины по весу обломков пород с размерами частиц более 2 мм;
песчаные, содержащие менее 50% по весу частиц крупнее 2 мм;
лессовые грунты (преобладают частицы 0,05-7-0,001 мм); глинистые
грунты, подразделяющиеся в зависимости от содержания глинис
тых частиц (размером менее 0,001 мм)* на супеси, суглинки и гли
ны. По характерным влажностям деление обычно проводят в зави
симости от пластических свойств (по Аттербергу), характеризуе
мых числом пластичности:
супеси
суглинки
глины
нормальные
жирные
очень жирные
. W 0 =WL-Wr=1-7
.W0 =7-17
.W">17
.W0 =30-60
. W0 =60-100
.W">100
Распространенной является классификация связных грунтов по
показателю консистенции IL:
твердые
полутвердые
тугопластичные .
мягкопластичные
текучепластичные
текучие .
.IL~O
.0<JL~0,25
.0,25< IL ~0,50
.0,50< IL ~0,75
.0,75<1L~I
.1[_>1
* Глинистые минералы- кристаллические минералы с такой nовl'рхностной ак
тивностью, что они обладают сцеплением и пластичностью. Г линистщ• грунты
это грунты с содержанием > 30% глинистых частиц.
14
Каждая классификация грунтов отвечает своей специфической
задаче. Классификация, удовлетворительная с точки зрения геоло
га, не отвечает запроса~ инженеров-строителей, поскольку послед
них интересуют количественные показатели, помогающие оценить
деформативные и прочностные свойства грунтов. В настоящее вре
мя строители для расчета осадок оснований используют таблицу
нормативных значений модулей деформации глинистых грунтов,
в которой они разбиваются на группы по генезису и возрасту.
В каждой группе глинистые грунты подразделяются на супеси,
суглинки и глины.
Для этих групп глинистых грунтов в зависимости от консистен
ции и коэффициента пористости приводятся значения модуля дефор
мации. Так, например, для озерно-аллювиальных глин при 0< IL ~
~ 0,25 и коэффициенте пористости 0,9 <е< 1 модуль деформации
Е= 15 МПа, а для глин юрских отложений той же консистенции
и пористости Е=24 МПа.
Влияние классификационных признаков грунтов на расчеты со
оружений может быть весьма существенным. Приведем один харак
терный пример. До сих пор в ряде организаций испытания на сдвиг
воданасыщенных глинистых грунтов ведутся по двум схемам:
а) быстрый сдвиг; б) замедленный сдвиг. При консистенции IL;;?:
;;?: 0,25 требуется проводить быстрый сдвиг, а при IL < 0,25 - за
медленный. В результате для одного и того же грунта при быстром
сдвиге получаются очень малые углы внутреннего трения (для
озерно-болотных отложений, например, tg ср=0,08), а при замед
ленном сопротивление сдвигу возрастает в 3-5 раз. Объясняется
это просто различной степенью рассеивания парового давления за
вrемя испытания .
В зависимости от характера воздействия и условий оттока жид
кости в конкретной задаче сопротивление сдвигу грунта будет раз
лично, и связано это не только с начальным его состоянием. Методы
испытания грунтов по возможности должны быть инвариантны к
условиям конкретной расчетной ситуации, а классификация не мо
жет регламентировать метод испытания для определения свойств
грунтов в зависимо<'гИ от граничных условий задачи. Как мы уви
дим ниже, определение условий прочности, основанное на прин
ципе эффективных напряжений К. Терцаги, и делает эти испытания
инвариантными к конкретной расчетной ситуации .
С точки зрения полезности классификационных признаков для
целей расчетных исследований представляется важным установить:
а) принадлежит ли исследуемый грунтовый материал к квазиодно
фазной или многофазной системе; б) является ли исследуемый грунт
связным или несвязным (связными и сцементированными называют
грунты, обладающие сопротивлением разрыву). Последнее важно
потому, что от принадлежности к связным или несвязным грунтам
15
зависит определение тех или иных параметров начального состоя
ния грунта, от которых зависят механические свойства, непосред
ственно используемые в расчетах .
Для несвязных грунтов требуется определить прежде всего их
гранулометрический и минералогический состав, плотность сложе
ния и относительную плотность, nористость и влажность. От этих
nараметров зависят все механические свойства, они необходимы
для характеристики начального состояния грунта и nроведения гео
технических исследований.
При определении гранулометрического состава частицы грунта
nодразделяют no диаметрам на груnnы, называемые фракциями,
причем размером фракции считают интервал между максимальным
и минимальным диаметрами частиц, объединенных в данную фрак
цию . Численно гранулометрический состав характеризуется процент
ным отношением веса каждой из фракций к их общему весу в пробе
грунта. С помощью сит определяют содержание в грунте частиц
диаметром не менее О, 1 мм. Частицы мельче 0,05 мм подразделяют
на фракции по скорости их nадения в воде методом седиментации.
Принято называть частицы от .2 до 0,05 мм nесчаными; от 0,05 до
0,001 мм- пылеватыми; <0,001 мм- глинистыми.
Результаты гранулометрического анализа обычно представляют
в виде так называемой гранулометрической кривой (рис. 1.1), no
оси абсцисс которой отложен логарифм диаметра зерен D, а по оси
ординат- процентное содержание (по весу) частиц диаметром ме
нее данного . Эта кривая носит еще название кумулятивной, в отли
чие от кривой распределения состава, если по оси ординат откла
дывать процентное содержание каждой отдельной фракции. По
виду кумулятивной кривой исследователь сразу определяет стеnень
однородности грунта (чем круче кумулятивная кривая, тем грунт
однороднее), отсутствие тех или других фракций (горизонтальные
участки кривой) и т. д. Кумулятивную кривую характеризуют неко
торыми обобщенными nараметрами: коэффициентом неоднородности
11 = Dбo/D 1о (отношение максимального диаметра частиц , соответ
ствующего содержанию 60% , к максимальному диаметру частиц,
составляющих 1О% no весу от всей nробы), медиэнным диаметром
Dso и др . Грунты с коэффициентом 11 ::> 3 называются неоднород-
ными.
/
Карьер грунтов или строительная nлощадка вследствие неизбеж
ных колебаний грансостава грунтов характеризуются граничными
кумулятивными кривыми, которые охватывают всю вариабельность
грансоставов грунтов данного карьера или строительной nлощадки
(рис. 1.1, 6). Конкретные при меры, иллюстрирующие колебания
грансоставов грунтов, приведены на рис. 1.2 .
Плотность сложения не'iязны~ грунтов по К. Терцаги пред-
•#-
.~
~
fб
:.f,
...
'- "'
·.·.А:·•
10
1000 D,мм
Ри с. 1.1. Гранулометрически е кри в ые: а -- кумулятивная [ 1] и кри ва я р ас
~ределения [2] ; б - граничные кумулятивные кривые (1, 2)
ложено характеризовать относительной вел ичиной , называемой сте- ·
ленью плотности 10 :
emax- e
lo=-----
emax- e min
или
(1.6)
Здесь р::ах и fJ::in -:- соответственно предельно nлотное и предельно
рыхлое сложение несвязиого грунта . К сожалению, эти характе
ристики весьма чувствительны к методам их оnределения . Пре
дельно рыхлое сложение определяют отсыпкой грунта через конус,
nредельно плотное - виброуnлотнением.
Для связных грунтов требуется, помимо грансостава, минерало
гического состава, nлотности « скелета», пористости и влажности,
рассчитать начальную степень водонасыщения, определить число
пластичности и консистенцию . Существует целый ряд классифика
ций связных грунтов, в которых главными признаками являются
число пластичности и консистенция (см . [4]). Многие авторы свя
зывают деформативность и прочность с характеристиками влаж
ности грунта на границе раскатывания и nластично с ти. Установлено,
что влажности на границе раскатывания соответствует резкое изме
нение деформативных свойств грунта и уменьшение водопроницае
мости. Н. Н. Маслов, изучая консолидацию грунта, nока з ал, что
для реальных грунтов отношения времен консолидации двух слоев
разной мощности подчиняются зависимости [5]
где n ~2- показатель консолидации (по теории фильтрационной
консолидациив L.IfJLч...aги [6] n = 2). Показатель консолидации
.
#· --- ....
:·:~: (,-таи,.ч. nft;Jr,. г·{.11" ~ j
,
.
-.
.
.·
)~'!
...
. -""\,
;
:о
:с
:n
с;
~
tD
~t..
:Сс
"'
~...~
х:
"' '~
~ 1"..
.JJ d'>1\.
'i: ~
-~ ........
.::; f
\~ ~.....,
~v
"'
L-
"'
~\,\~ '\~- ""'
7
~
\/
v
~
"'
"'
>:С
t
:с
cQ
~
,' \.
"\
"\v
т
ос;
\.\\\ \.~Г\u
CiiJ
а..
"
~\ л~~
L-
~
.\
>::
V)(\1~ ~). l\(
~:::
с.,.,
С\.
'
,,
7
-у
-{'
"'%
1\
~'
~~[
"'
СТ>
оt
\
ln .11
'
1'!
u~
)(~\~
Cll ~
с: с::;
~(\ 1\1\~\
Q)
\
:s.
~:z:
о....
'\.
"'
\
~
\.. -~
~\
%
\\
1\\
.о 0:::
о:;
"'
'\
\
:i
Q.
"'
r:::
х
~:s.
~
О"
%
:s
.:::
о
С)
Q
о
с:::)
~
<Х)
С.О
~
N
С>
% '):IИtl>tiOdOO ЭИНIОЖdЭSОJ
18
~-;-
ом
000~
о~
м_
0..~
00~
U<~>
u:c
u~
,::.: ~
007:
о,_
:.: "'
u:r
:.: :с
О) "'
ош
с.iд
::C' I
О!;
1 Lc.>.
-~
:;;
:ж: м
Ol
"' сс.>
... _
~-
"
0:
о~
:;; "'
:с~
"'u
а.. о>
!i
~-<
!
"' "'
I
"'
"'"
li
Q.Q)
•Х
~'-
s
"'1
:r
"'
"'
"'"
~><
...
:;; ;.::
!i'O
s-~:;;
v.,..
IL
0€ "'-1
....
О<='>
Q)
оо:-
1
;>,
&'о
.-<
~ "'3
s
gu
о~'о
=t
:с
;>,
а.. о>
'- <;
<;
"' "'
~о·о
"' "'
,_о
u a..
80
lO'O
'""
1
":.: М
u
"' ..
~о ·о
".~
" :;;
а..
,_.,..
"'"'"
!ioo 'o
:Е С'>
о-
<;
>->"'
:r~
"' "'
ио·о
а.. :С
'-"'
::.:;'
C'i
юо'о _; ci
:.:
· '"'
u"'
&~
1
""
--------------------
связыв а ется Н. Н. Ма сл овы м (7] с консистенцией и числом плас
тичности н а основе э ксперим е нт ал ьны х данны х , прив е деиных на
рис. 1.3:
2,0
с:1,6
:s::
i§
~1.2
~~0.8
~
~0,4
ct
""С>
=
n =а(IL)WР+Ь(IL).
k062.
l'-
~
".
".
1,:0,37 k"' ~
/
.... ~
/
[..... !,..--
v
1,=0,12
)( 1,=0,1 1
А11
о4812162024
ЧИСЛО ПЛАСТИЧНОСТИ, l ·(W, · Wr)
Рис. 1.3 . Зависимость показате
ля консолидации n от консистенции
и числа пластичности по Н. Н. Мас
лову [7]
При искусстве нной укладке связны х грунтов в с ооружение (пло
тины , да мбы, дороги) требуется определить е го начальное состоя
ние (пл отность- влажно с ть ) в з ависимос т и от способа укладки.
Уста новлено , что начальное состояние зависит от работы А, затра
чив а емой на его у плотнение при укладке. Н а ри с. 1.4 приведены
q
W onт
5
ps~
20
~1(
"J...,=1
fmax
д~
~~
~~~
1
1
\.
iб
А3
/~
А2
// А1
~v//
v
12
Wonт
w
10
14
18 Ip
Рис. 1.4 . Определение оптимальной влажности. Зависимость плотно
сти грунта от влажности при его уплотнении при различной работе уплот
нения (а). Зависимость оптимальной nлотности от затраченной на уплот
нение работы и числа пластичности глинистого грунта (б)
типич н ы е гр а фики таких зависимостей. Из графиков сл едует , что
при одн о й и той ж е влажности грунт может обладать ра зличной
плотностью . Однако при одной и той же р а боте существует вполне
определ е нная за висимос ть плотности грунта от влажности . Эта з ави-
19
симость имеет максимум . Влажность, соответствующую максимуму
плотности, называют оптимальной Wо"т · По мере увеличения уплот
няющей работы оптимальная влажность уменьшается. Влажности ,
которая незначительно превышает оптимальную, соответствует наи
меньшая водопрониuаемость при данной уплотняющей работе. Оп
тимальная влажность растет, а плотность падает при одинаковой
работе с увеличением числа пластичности связного грунта . Инте··
ресно отметить, что, как показал Т . Лэмб, при W > W.,пт грунт
более сжимаем, чем при W < Wо"Т' а прочность при одинаковой
работе и плотности выше при W < W""" чем при W > W" "т·
Итак, изучение механических свойств свя з ных грунтов следует
проводить при обязательном учете их фи з ических характеристик;
особенно это относится к характерным пределам Аттерберга
влажности на пределе текучести и влажности на пределе пластич
ности. Отметим, что методы определения W1 и W" условны и тре
буют большой тщательности в соблюдении тех правил, которые для
них установлены, с uелью исключения субъективных факторов, з а
висящих от экспериментатора.
1.2 . Системы н.апряжен.ий в мн.огофазн.ом грунте
В многофазном грунте сущ е ствует несколько систем напряже
ний. Поровая жидкость находится под давлением Р "' , называемым
поровым давлени.ем.. Если в порах грунта газ находится не только
в растворенном виде в жидкости, но и в виде отдельных пузырьков
и существует граниuа раздела «минеральные частиuы - воздух
--
жидкость » , то давление в газе p g равно:
Pg=P"' +Pc,
(1 .7)
где р е - капил л ярное давление, зависящее в общем случае от насы
щенности I ш. Знак парового давления принимается (как в гидро
механике) положительным в случае сжимающих напряжений в жид
кой и газообразной фазах грунта.
Кроме того, в грунте следует различать тотальны е напряжения
и н.апряжени.я в «Скелете».
·
Для пояснения этих понятий примем, что на общую поверх
ность выделенного элемента грунта I действует пекоторая поверх
ностная сила f = F/I, которая при I--+0 но с ит название вектора
общего или тотального напряжения по площадке, характF'ризуемой
вектором нормали v. Компоненты тензора тотальных напряжений
u
б
lol Jl
в дальнеишем о означаются чере з a;j . ри этом осре д ненное по
объему V, ограниченному поверхностью I, значение компон е нт тен
зора напряжения будет равно, как и з вестно*.
a!j' = +v-Ф [f! 01
Xj +f;"
1
X;] di.
( ].8)
* Формулу для среднего напряжения легко получить из уравriсний рil вновl'
сия [8)
20
Правило з наков для тотальных напряжений и напряжений в
«скелете» грунта принимается в соответствии с правилом знаков,
принятых в механике де формируемого твердого тела (положитель
ные нормальные напряжения - растягивающие) .
Пов е рхностная сила pat = F ji, помимо этого , вызовет ~апряже
ния как в твердой фазе («скелет») грунта, так и в жидкои (запол)
няющая поры грунта жидкость) .
0
Поверхностную силу (тотальную, _
p ot , действующую на выделенным эле ~,-. е нт г рунта со стороны окр.~
жающИх его частей, можно представить н виде суммы поверхноs;;,
ной силы , действующей непосредс!ве нно на «скелет» гру~~а , f ,
и поверхностной силы, действующем на поровую жидкость, f . Оче-
видно с ледующ е е равенство:
p ot =fsk +fw.
(1.9)
о
1 напряжений, выс>ванные поверхностной
ср_е дненны е величинь
силой f'k , равны:
(1 .10)
и носят названи е напряжений в «скелете» грунта . Здесь V,,/1 и
I sk _ объем и площадь, занимаемые собственно минеральными
частиuами грунта. При этом V sk = m,V и I (sk) = m,I.
если их пrедставить в виде
или
Дал ее
или
где
\o1k.kx;dV= 0
v
~ G;;·.•ЦIV= ~ 1(1111,х;) . k
- 1 1,kXJ.k] dV .
\i
\'
110 теореме Га усса - - Остrо1·радского получаем
ф о,. ц12:. - )o;;dV=O
~
v
nолученное соотношение можно записать в симметричном виде:
(j, = .~Л:., (i;x; +i;x;)dL .
1
'2 \' ':У
21
1
11
Можно показать, что в том случае, если выбранный элемент
объема грунта несравнимо больше объема отдельной частицы или
поры грунта, то поверхностная и объемная пористости равны и рав
ны также относительные объемные и поверхностные содержания
твердых частиц. Поэтому из ( 1.1 О) получим
-sk
1 ф[fsk+rsk ]d~
Uij =~
;Xj i Х; .:....
( 1. 1Оа)
Осредненная величина давления в жидкой фазе Р "' с учетом
принятого правила знаков
Р"' = -f"' =-
2~", ф [f!"xi +fj'x;]d~wa·
r
(1 .11)
{ 1 (i=j)_
Здесь б,.i- символ Кронекера; б;i= 0 (i=;F=j) ' ~ wa- поверхность ,
отвечающая активным парам.
Активная пористость характеризует ту часть парового простран
ства, через которую возможно движение свободной жидкости, и
определяется величиной m wa = ~wa/~.
Многие горные породы вулканического происхождения, напри
мер туфы, имеют высокую общую пористоtть, но незначительную
активную . В связи с этим несколько подробнее следует сказать об
активной пористости. При консолидации предварительно уплотнен
ных глинистых грунтов в тонких слоях между минеральными части
цами в начальный момент жидкость остается неподвижной. При
этом активная пористость mwa, отвечающая относительному объему
подвижной жидкости, меньше общей пористости m w. Только при
определенном значении внешней нагрузки из тонких слоев между
глинистыми частицами жидкость может выдавливаться в поры боль
ших размеров, вследствие чего будет происходить <<Транзитное» дви
жение поравой жидкости в грунтовой среде. Расстояние между час
тицами грунта б определяет размер поры, обеспечивающий при за
данном внешнем давлении движение жидкости. Этот предельный
размер обозначим б* . Таким. образом, «транзитное» движение поро
вой жидкости в грунте возможно, если расстояни е между части
цами превышает величину б~б*. В порах меньших разм е ров б<б*
жидкость остается неподвижной.
В гетеропористом грунте* поры распределяются по размерам .
Если ср(б) - функция распределения диаметра пор по размерам, то
активную пористость можно выразить в форме [9]
* Гетеропори стый грунт - разнопористый грунт. Ха ра ктери зуется функцией
распределения пор по размерам.
22
т
.
.
'~·
...,
.
1\*
ffiwa =mw[ 1- ~ ср(б)dб];
бmin
бтах
~ qJ(б)dб=l.
б min
Отсюда видно, что активная пористость стремится к нулю, когда
б*-+б тах . и равна общей пористости, если б*-+бm in· Необходимо
отметить, что предельный размер б* зависит от величины ступени
нагрузки, а средний размер пор -от предварительного уплотняю
щего давления.
Возвращаясь к формуле (1 . 11), перепишем ее в виде
Р"' = -б;i ::а +vФ [f!"xi+fjx;] d~.
~
(1.12)
Таким образом, по значениям компонент векторов поверхност
ных сил f! 01
; ffk и f!" по формулам соотв~тственно (1.8), (J.10a)
и ( 1. 12) подсчитываются компоненты тензора тотальных напряже
ний, напряжений в «скелете» грунта и поравое давление.
Из соотношений (1 .8), (1.10а), (1.12) и (1.1) легко получаем
связь между этими системами напряжений [9] :
(1 .13)
где коэффициент ~ = m wa/m w в дальнейшем будем называть коэф
фициентом парового давления.
Соотношение ( 1.13) можно вывести и из других соображений.
Действительно> запишем принцип Терцаги по отношению к истин
ным давлениям в поравой жидкости:
alj1
= afik- б,.iР "' }
или
dalj 1
= dafik- б,.idP"',
(1.14)
где поравое давление Р "' определяется в соответствии с законом сжи
маемости (см . лекцию 3):
т. е . по отношению к жидкости, участвующей в движении.
Если же определять давление в жидкости по отношению ко всему
объему, т. е. некоторое фиктивное давление
и учесть, что
dP"' =K dYw
wYw'
Ywa= mwu Уw =~Уш И
т.,
dP"' = ~dP"'
ll
,
врин1~ип Терцаги (1 . 14) перепишется в форме (1.13).
Для двухфазного грунта (тg =О) и (т w =т) коэффициент ~
рав е н ~=т а /т, т. е. отношению активной пористости к общей .
Коэффициент парового давления 13 уменьшается при увеличении
пр едварительного уплотнения и растет во времени при постоянной
нагрузке . В работе [10] приводятся результаты экспериментальных
исследовании консолидации глинистых грунтов, показывающие
влияние предварительного уплотнения грунта на величину коэффи
циентов лорового давл е ния . При равенстве активной и общей по
ри стости коэффициент лорового давления становится равным еди
ниц е , и мы приходим к клас с ич еской формулировке принципа, дан
ного К. Терцаги в 1925 г.
Для песчаных и суп е счаных грунтовых материалов , т . е. мате риа
лов с точечными контактами между минеральными частицами, для
кот о рых во всем диапа зо не уплотняющих давлений т а = т , принцип
(1 . 13) совпадает с принцилом Терцаги.
1-3. Математическое отступление. Тен.зоры.
Тен.зорн.ая символическая запись
В дальнейшем в лекциях будет использована тенз орная симво
лическая з апись, позволяющая все громоздкие уравнения предста
вить в компактной форме. Оси декартовой системы координат вмес
Т? традиционных х, у, z обозначаются х 1 , х2, х3, или, коротко, х;
(1=1, 2, 3). В системе декартовых координат тройку чис ел А 1 , А2 ,
Аз обозначают одним символом А;, который при соблюдении условия
( 1. 18) сл едует понимать как вектор. Как известно, векторы отлича
ют~я от скаляров тем, что они ха ракт е ризуются не только величи
нои, но и направлением . Запись А= (А 1 , А2, Аз) указывает, что в
системе координат (i, j, k) три числа А 1 , А2 , Аз , называемые коор
динатами вектора , одно з начно определ яют вектор А.
Еще в XIX в. б~1ло обнаружено, что векторы представляют собой
лишь очень узкии класс нескалярны х величин , так на з ываемых ·
тен з оров. Векторы представляют собой тензоры, которые могут быть
охарактеризованы сист е мой чисел [А] с одним индек с ом. В общем
случае индексов может быть и два, и три, и более.
В механике сплошных сред наиболее важными являются тензоры
второго ранга , характ е риз ующие с я двумя ин дексами: [u;i ], [e;iJ .
Составляю"щи е , или координаты, такого тен зора располагают в виде
квадратн о н т а блицы:
11
О")) 0")2 0")3
[u;iJ =
0"2) 0"22 0"23
О"зJ Uз2 О"зз
(1.15)
24
1·,.
'(;'·
1.'.·
~r"
>
Первый индекс в (1.15) указывает строку, второй- столбец. А. Кей
ли сделал фундаментаJ}ьное открытие, что так расположенную си
сте му чисел можно рассматривать как единый алгебраический
объект, над которым могут производиться определенные действия.
Это означа е т, что основные действия алгебры (сложение, вычита
ние, умножение и деление, возвышени е в степ е нь и извлечение
корня) могут быть целесообра з но обобщены на область матриц, т. е.
совокупность чисел, записанных определенным образом в строки
и столбцы (см . , например , 1.18) .
Сокращенные обозначения
В тензорной алгебре и анализе применяются некоторые прави
ла , относящиеся к записи действий над тензорами.
1. Каждый буквенный индекс, встречающийся в выражении один
раз, может принимать значения 1, 2, 3. Под записью А будем по
ни мать совокупность трех величин: А1, А2 , А з , а под A; k - совокуп
ность 32=9 величин: А11, А1 2, А1 з, А21 , А22 , А2з, Аз1, Аз2, Азз.
2. По дважды повторяющемуся индексу подразум е вается сум
мирование от 1 до 3:
3
А;; = 1: Аii =А11+А 22 +А зз.
( 1.16)
i=l
Индексы суммирования называются немыми, поскольку сумма не
меняет значения, если заменить немой индекс какой-либо другой
буквой:
A ;==A u=Akk =AJJ +А22+Азз.
(!.!ба)
В соответствии с этим соглашением сформулируем без вывода бо
лее точные определения вектора (тензора первого ранга) и тен
зора второго ранга .
Вектором (тензор ом первого ранга) называется величина , опре
деляемая тремя числами (А; ), которые при изменении системы коор
динат
х[=a.; 'kxk+х~
преобразуются в А[ по закону:
А[= a.; 'k Ak.
( 1.17)
( 1.18)
Это определение им~ет сл е дующий простой смысл . Если в простран
стве задан вектор А, то его компоненты определяются по-разному
в зависимости от координатной системы, хотя сам вектор остается
н е изм е нным. Независимость вектора от выбора координатной с и
стемы опр е деляется условием изменения его компонент при пере
ходе от одной с истемы координат · к другой по закону ( 1.18) .
2. ')
32 _!~н.:;:ром второго ранга называется величина, определяемая
-
слами (компонентами) Ak, которые при изменении системы
кооркоординат преобразуются по закону:
Afk =a;'Lak'm Alm,
(1.19)
где ai'k =cos(~[!\xk)- косинусы углов, образованных новыми ося
ми декартавон сист е мы координат с первоначальной Наконе
оКтметим, что единичный тензор [6;k]' известный в алгебре .как сим во~
ронекера, равен
1оо
[6;k]=11О1О11· s:
}1приi=k·
,
Vik= al'ial'k =
.
'
ОО1
Опри1*k.
( 1.20)
Умножение 6;k на те нзор с последующим еверты в а ни ем при водит
к замене немого индекса :
A;=6;kAk.
(1 .21)
пя 3·• Дифференцирование тензора по переменным обозначается за
тои бна уровне индексов этого тензора с одновременным индекс
ным о означением переменной :
А-дА,
.
l.k=---;;;:;- (1, k = 1' 2, 3) .
( 1.22)
Из формулы (1.22) следует, что операция дифференцирования по
вышает ранг тензора на единицу .
Например, тензор деформации [Е;; ] образован дифференцирова
нием вектора перемещения u:
Е;; = +(u;.;+u;.;) = ~(~ + ~)
2
дх;
ах, '
а объемная деформация· записывается:
Eu =Ekk=Uk. k=U1 . 1+u2.2+uз.з= ~ + ~ + ~
ах,
ах.
ах. .
У тензора не может быть более двух одинаковых индексов.
Наконец, отметим формулу
U; .;;=u;.l l +u;.22 +u; ,зз = V 2u;,
гдеV2
-
оператор Лапласа, равный
2
а•
а•
а•
\7=-+-+-
дхf
axl
axl ·
( 1.23)
( 1.24)
Основные. сведения по тензорной алгебре и тензорному
можно наити , например, в известной работе [ 11] .
анализу
26
,
~
.
~
,.
По поводу обозначений еще укажем, что в книге часто будут
встречаться производные функции по времени . Эти производвые
будем з аписывать
~:-u·
dt-
'
d
2
u=
.,
-U.
dt-
( 1.25)
Тензор напряжений . Внутренние силы, действующие на элемен
тарную площадку dF, рассматриваются как результат воздействия
среды, находящейся по одну сторону от площадки dF, на среду,
находящуюся п о другую сторону.
3
2
-
t
Рис. 1.5. Действи е вект ора СИЛ!>! r на
эле ментарную площ адку с норм ал ью п
Вектор силы f, действующий на элементарную площадку, зави
сит от оgиентации этой площадки, определяемой направлением
нормаJ!И n (рис . 1.5). Вектор f, таким образ~м, является функцией
точки г и ориентации площадки (зависит от n - вектора нормали к
площадке). Поэтому он принципиально непригоден для характерис
тики напряженного состояния в точке среды . Однако возможно
определить такую величину, которая бы являлась однозначной функ
Itией ТОЧКИ И В ТО же время характеризовала напряженное СОСТОЯ-
ние в этой точке.
Для этого рассмотрим выр еза нный вокруг произвольной т . М
среды элементарный тетраэдр, три ребра которого направлены по
осям декартовой системы координат (рис ~ 1.6). Пусть при этом на
IIJIOcкoc~и, пер!!ендикуJ!ярные координатным осям, действую! силы,
равные t 1dF 1; t 2dF2 и t3dF3, а на наклонную грань - сила tdF.
Рассматривая равновесие выделенного элементарного тетраэдра
и учитывая, что dF;=dFcos(n ,!\ i) __: .dF n;, можно записать:
\ (1.26)
ПроекЦии вектора r (на ПJ10Щадке с нормалью n) на ОСИ декарто
вой системы координат будут равны:
(1 .26а)
27
3
2
Рис. 1.6. Равновесие элементарно
го тетраэдра
Здесь t;k - совокупность девяти напряжений, обозначаемых обычно
через a;k, на трех взаимно перпендикулярных площадках (рис. 1. 7).
3
Or----------------------
2
Рис. 1.7. Компоненты тен
зора напряжений
Формулу ( l.26a) б уде м записывать в виде
t; = a;knk;
( 1.27)
Эта формула определяет проекции на оси координатной системы
вектора силы по любой наклонной площадке с нормалью ii через
напряжения a;i.
Таким образом, в каждой точке среды однозначно определена
одна физическая величина [aii] - тензор напряжения, характери
зуе~ыи девятью числами aii и служащий исчерпывающей информа
циеи напряженного состояния среды.
28
Можно также показать, что [aii] - тензор второго ранга*. Усло
вия симметрии дают aii =аii· Вследствие этого вместо девяти компо
нент тензора напряжений для определения напряженного состояния
в точке сплошной среды достаточно знать шесть. Компоненты на
пряжений записываются в виде матрицы тензора [aii] в следую
щем виде:
а11 а12 а1з
(a;ij= 1а21 а22а2з\.
аз1 аз2 азз
По основному свойству тензоров второго ранга переход от одной
системы координат к другой осуществляется в соответствии с фор
мулой
( 1.28)
Матрицы преобразований координат С;'; и ci'i имеют смысл коси
нусов углов между осями координат l, 2, 3 и 1', 2', 3'.
Из тензорного исчисления известно, что существуют инварианты
тензора- величины, не изменяющиеся при любых преобразова
ниях координат. Физические законы, устанавливаемые для сплош
ной среды, не должны зависеть от выбора координатной системы.
Поэтому эти законы устанавливаются между инвариантами.
Главные инварианты симметричного тензора второго ранга опре
деля~тся как коэффициенты характеристического матричного урав
нения:
( 1.29)
Напомним, что {jii - символ Кронекера.
Корни этого уравнения /ч =а1; A2=<J2 и Лз=аз суть собствен
ные значения матрицы тензора напряжений [a;i]. Они определяют
собой главные нормальные напряжения и действуют по трем взаим
но перпендикулярным направлениям. Коэффициенты же уравнения
( 1.29) являются, в свою очередь, инвариантными величинами и
определяются как функции собственных значений (а1, а2, аз) в виде
I"= а1+а2+аз;
II"= а1<12+ а2аз+ <11<Jз;
1110 = а1а2<Jз.
( 1.30)
* Строго говоря, этот тензор один раз ковариантный и один раз- контрва
риантный. Однако в ортанормированной системе координат это различие можно не
делать и записывать его как дважды ковариантный или дважды контрвариант
ный [11].
29
Тензо р напряжений обычно представляют как сумму двух тен
зоров:
(а;;]= [DaJ + [6;;а].
( 1.31)
Тензор [Оа ] называют девиатором напряжений ;
а11- а а12
С113
(DaJ = 1 а21 а22-а а2з 1.
(1.32)
Этот тензор характеризу ет напряжения сдвига в данной точке
сплошной среды. Тензор [6 ;; а] на з ывают шаровым тензором;
а
о
о
а
о
о1'
ооа
( 1.33)
он соответствует среднему давлению в точке, а само с реднее гидро
статическое давление принима е тся равным
1
1
а= зakk= з(all +аzz+азз).
Инварианты девиатора л е гко получаем в форме
10• =0;
Ilo. =:Г [(а1- 0"2)
2+ (а2- аз) 2
+ (аз-а1)2];
1.
Illo. = 27(2<J1 - а2-<Jз) (2а2-аз- <J1) (2<Jз-<J1- а2) .
Величина а;= -JI~. назь1вается интенсивностью напряжений
сдвига . Нетрудно показать, что <J; пропорциональна касательному
напряжению, действующему по октаэдрической площадке с направ-
(111)
ляющими косинусами --,
--,
--
.
В случае чистого сдвига
vз vз -vз
<J; =т, а при простом сжатии (растяжении) а;= 1Gtl /-fJ. Нормаль
ное напряжение по октаэдрической пло~tадке равно среднему дав
!
лению: а= -
3
-
a kk.
Используя для корней кубического уравнения ( 1.29) тригономет
рическое решение, можно представить а1-а, <J 2 -<J, <J :; -a в фор
ме [12]
2
а1- а=-- <J; cos ( w- л/3);
-{3
30
<J2- <J= -
2
-
<J; cos(w+ л/3);
-JЗ
2
аз-<J=
-- <J; cos w.
'
{3
( 1.34)
Как видно из формул ( 1.34), угол w определяет положение проек
ции вектора а; по отношению к проекции оси а з на девиаторную плос
кость (а 1 +а 2 +<Jз=0) - к оси аЗ (рис. 1.8). Оценка величины w
дает о~(!)~ л/3.
.
Рис. 1.8 . Проекция
вектора (j, на дев иаторной
плоско сти
Тензор деформаций . Рассм_отрим в среде т . М и N, отстоящие
друг от друга на расстоянии dr . Эти точки в ре зул ьтате_дефор~ации
тела з,зняли положения М' и N' (рис . 1.9) . Векторы u(r) и u(г+
+ dr) называются векторами смещения точек М и N. Определим
х,
N
Ри с. 1.9. Перемещения
х3
точек сплошной среды при
0~------------------~~
Х2
деформа ции lo= 1 год: 1 --
при т/т:О= 0,5; 2- при
т/т:О = 1,0; 3- при т/т:О =
= 2,0
изменение расстояния между М и N , которое прои зо шло в ре;уf!ь
тате деформации среды. Для этого вычислим разност!' ( dr ) --::
-
(dr) 2 , предполагая, что смещение является непрерывнои функциеи
координат.
Тогда, пренебрегая величинами второго порядка малости, будем
иметь
31
( 1.35)
Возводя в квадрат обе части равенства ( 1.35), получим
(d')2(d)22дu;dd
дu; дu;
г-
r=
--
Х; xk+ -- --dxkdx1.
дхk
дхk дх1
(1.35а)
Поскольку индексы суммирования k и l немые, их моЖно поме
нять местами. Далее первое слагаемое в правой части (1.35а)
запишем в форме
В результате получим
(dr')
2
-
(dr) 2
=
(~+~+~~)dx;dxk..
дхk
дх;
дхk дх;
Таким образом, изменение расстояния между любыми двумя точ
ками среды вследствие деформации полностью определяется, если
известны девять величин e;i:
1
tij= т(Ui.j+ Uj , i+ U[.iUL.j).
( 1.36)
Нетрудно с помощью формул преобразования координат
'
+о
Х; = C;'jXj Х;·
и формулы преобразования компонент вектора смещения u пока
зать, что величины e;i образуют те нзор второго ранга:
E[j=C;' mCj'"trnn-
(1.37)
Обычно в линейной теории пренебрегают квадратичным членом
и вместо ( 1.36) записывают:
1
e;i= 2 (u;.i + ui.;).
Матрица тензора деформации · (e;iJ записывается в виде
t!l t!2 t!З
[e;iJ= 1е21 е22 е2з1.
Езt ез2 езз
( 1.38)
Компоненты тензора e;i (i =F j) называются компонентами дефор-
мации сдвига и иногда обозначаются : ~)'ху; * Собственные
* При этом под Уч ... понимают не собственно компоненты тензора деформа
ции, а величины относительных сдвигов (У ху =2 е,у ; ... ) .
32
1
1
•
1
значения этого тензора е,; е2; ез носят на з вание главных удлине
ний, и тензор деформации, как обычно , может быть приведен к
главным осям:
оо
о1'
ез
Значения трех главных удлинений полностью определяют деформи
рованное состояние в заданной точке с точностью до произвольнога
поворота среды как целого вокруг этой точки.
Тензор малой деформации обычно раскладывают на шаровой
тензор, характеризующий де формацию объема б ;iEi i• и девиатор де
формации D,, характеризующий изменени е формы:
( 1.39)
Среднюю деформацию (е) обычно принимаютравной е =+ (е,,+
+е22 + езэ ) = + ekk в отличие от объемной (е и ) деформации eu=
=3е.
Инварианты девиатора деформаций равны:
lo. =O; llo, = ~[( е ,- е2) 2+(е2-ез) 2+(ез-еt) 2];
1110,= (с:,- е) (е2-е) (ез -е).
(1.40)
Величина ~ определяется как
e;=2.fllo, = -{f-/(е,-е2)2+ (е2 - ез) 2+ (е,- ез) 2
( 1.41)
и называется инт е нсивностью деформаций сдвига. Сдвиг по окта
эдрической плоскости отлича ется от инте нсивности сдвига лишь
постоянным множителем.
Для получения сме щений U; по заданным значениям -деформа
ций необходимо решить систему дифференциальных уравнений в
частных производных типа ( 1.38). Чтобы обеспечить существование
единственного непрерывного решения, н е обходимо на функции e;i
наложить некоторые ограничения . Эти условия могут быть полу
чены путем перекрестного дифференци ров а ни я ( 1.38) . В результате
найдем шесть не за висимых соотношений:
( 1.42)
i,j,k=1,2,3.
2.З••· N• 51
33
..
1·
1
1'
Эти уравнения носят название уравнений совместности Сен-Ве
нана и означают условия сплошности материала до и после дефор
мации. Обычно первая группа условий получается при i = j =1= k,
вторая -при i =1= j = k (подробнее см. лекцию 2).
Тензор скоростей деформаций. Скорости смещений, вызванные
деформацией, есть полные производные по времени от смещений u;
дu,Пб
"
ф
и обозначаются v;= dl. ри есконечно малои де ормации тен-
зор скорости деформации идентичен скорости тензора деформации:
•
1
E;j= т(Vi.j+Yj , i) -Yij·
Ускорения определяются как a;=V;. При этом всюду трансляцион
ная часть в выражении полной производной
a;=v;+VkYi,k
отбрасывается, ибо при малой деформации производные по коорди
натам от скоростей обычно можно принять малыми.
Инварианты тензора скоростей деформаций получаются анало
гично инвариантам тензора деформаций .. Так, интенсивность ско
ростей деформаций (обозначим ее через е;) равна:
е;= 2yfflo, = .Ji;-..; (ill- i22) + (i22- iзз) + (iii- iзз).
Отметим, что так как главные оси тензоров деформации и скоростей
деформации, вообще говоря, не совпадают, то главные компоненты
скоростей деформации не равны производным по времени от глав-
.
d
ных компонент тензора деформации, а е;=/= dte; [13).
Отметим в заключение, что единой меры деформации не сущест
вует. Объективно существует лишь перемещение. Так, если элемент
до деформации имел длину lo, а после деформации lо+Ы. то за
меру деформации может быть выбрана как величина~l/lо, так и
величина Ы/Lо+Ы и другие меры деформации.
Обозначим через Л так называемую главную степень удлине
ния [14)
Л= l/lo,
являющуюся безразмерной величиной. Все меры деформации могут
быть выражены в виде функции от главной степени удлинения
(табл. 1.1).
Из разложений в ряд по степеням (Л-1) различных мер дефор
маций видно, что при степени удлинения, близкой к единице- при
34
l
,;
.
'~
Таблица 1.1
Мера информации
Аналитическо е выраж е ние меры де формации
Коши
/)./
-
'
1
е=---л-
lо
Свейнгер е= ~= 1-~ =(Л-1)-(Л-1)2+...
lo
Л
l
(Л-1)2
e=ln- = ln[l + (Л- 1)] = (Л.- 1)-
2
+
io
Генки
Грин
е=~( -
1
-
-!) (-
1
-
+1)= ~(Л2-1)=(Л--1) + -
2
1
(Л-- 1)"+ ..
2
lo
lo
2
Алманси
1(
1)(
/0)
1(
1)
3
2
е=-1--1+-
=-
1 - --:;-т- =(Л- 1)-2(Л-1) + ..
2
k
l
2.
л
малых деформациях,- все меры деформации сводятся к мере де
формации по Коши. В качестве меры деформации можно использо
вать любую функцию от Л=lf/ 0 при условии, что мера деформации
1) при Л= 1 обращается в нуль (нет изменения длины); 2) явля
ется безразмерной величиной; 3) приводится к мере деформации
по Коши при главной степени удлинения, близкой к единице.
В случае, когда главная степень удлинения значительно больше
единиц_ы, Л~ 1, деформация считается не малой и называется ко
нечной .
В сплошной трехмерной среде обычно конечные деформации
вызываются значительными смещениями. Однако если элементы
тела будут испытывать вращения, то перемещения частиц тела мо
гут быть большими и при малых деформаци~х . Например, относи
тельное перемещение концов пружины под деиствием приложеннаго
усилия будет значительно, а деформация самой спирали мала.
Такие малые деформации, происходящие при конечных перемеще
IIИЯХ, называют псевдоконечными .
Так же обстоит дело и с грунтами, являющимиен пористыми
средами. Если мы не знаем внутреннего строения тела, то можем
и11огда ошибочно заключить, что конечные перемещения происходят
нри конечных деформациях. В пористых средах большие переме
щения, как правило, связаны с малыми (псевдоконечными) дефор
мациями, и часто при исследовании вопросов механики грунтовых
массивов может быть использована мера деформаций Коши. В слу
чае конечных деформаций компоненты тензора деформации нели
llt'Йiю связаны с градиентами перемещений.
Остановимся кратко на мере деформации по Генки. Так назы
ваемая логарифмическая мера деформации по Генки (см . табл. 1. 1)
35
обладает тем преимуществом, что, во-первых , учитывает кон е чную
деформацию тела, т. е. при степени удлинения, з начительно превы:
шающей единицу. Во-вторых, сумма логарифмических деф о рмации
равна суммарной логарифмической де формации , чего нет при дру
гих определениях м е р деформации. Поясняется это следующим
простым примером.
Пусть стержень [0 удлинился на величину Ы, тогда его дефор
мация равна по Коши !J..l/! 0 . Затем этот ст е рж е нь подв е ргся еще
раз такому же удлинению !J..l. Чему равна его окончательная дефор-
ы
""
u
2f\./
мация? С одной стороны она равна -т;;+ Lо+Ы , а с другои -
-
10-
·
Ясно что равенство возможно при бесконечно малой вел ичине !J..l
по сравнению с [0 . По -д ругому об с тоит дело с мерой деформации по
lo+!'J.I
Генки. Зде сь при первом удлинении деформация равна lп-1-0 - ; при
втором удлинении ст е ржня на !J..l деформация будет с одной cтopo-
Lo+ !'J.I
lo+2!'J. /
"
\ lo+ 2!'J.l
ны равна lп-1-0 - + lп lo+i.\1 , а с другои- п /о
.
Здес.ь равен-
ство справедливо всегда :
!п lo+!'J. L
l lo+ 2!'J.I = !п lo+ 2!'J.l
10
+Пlо+Ы
lo
Таким обра зом, конечная деформация по Генки допускает суперпо
зицию.
Однако недостатком логарифмической м е ры деформации явля
ется отсутствие простой зависимости недиагональных компонент
тензора деформации от градиентов перемещений . Поэтому введение
логарифмической деформации может оказать с я полезным в тех
задачах , где могут быть указаны за ранее главны е направл е ния .
1.4. Структура грунта. Природа связей
и стохастический характер их разруиtения
Прочность и деформация грун тов обусловл е ны в перв у ю оче
редь прочностью и деформацией «с келет а », т. е . прочнос т ью и вза
имодействи е м частиц , их взаимным расположением, качеством кон
такта частиц, прирадой межчастичных связей. Все эти характерис
тики объединяются общим поняти е м - структура. Часто исполь
зуются понятия макрос тру ктура и микроструктура. Под макрострук
турой понимают структуру, различимую невоор уж енным глазом
(наименьший раз ме р ча с тиц, видимых невооруженным глазом,
около 0,05 мм), а под микроструктурой- те детали структуры,
которые ра зл ичимы с nомощью микроскопа. Электро~ныи микро
скоп позволяет наблю дать за поведе нием таких деталеи структуры,
которые получили н азван ие субмикроструктуры.
36
...
Таким образом, те рмин «с труктура грунта » охватывает минера
логич е ский состав и электрические свойства грунтовых частиц, так
же как их форму и ориентацию по отношению друг к другу, при
роду и свойства грунтовой воды и ее ион~ый состав, ;иловое взаимо
действи е грунтовых частиц между собои и с водои в порах «ске
лета » грунта . Сложность и многообразие грунтовых стр у ктур не
позволяют надеяться, что можно в какой-то степени точно описать
механизм деформирования и ра з рушения на этом уровн е и таким
образом создать не кую «физич ес кую механику» грунтов. А если бы
даже такая механика и была создана, ть детальность описания
микромеханизма деформирования потребовала бы знания парамет
ров, экспериментальное опре деле ние которых не представляется воз
можным .
Однако, не ставя задачу детального опи с ания микромеханизма
деформирования гр у нта, а предполагая лишь, что пластическая де
формация связана с нарушени е м ее структурных элементов , можно
выяснить принципи а льный вид закономерностей деформирования и
прочности грунтовых материалов.
При таком подхо де мы специально не оговариваем, что подразу
мевается под структурными элементами и их связями. Единственно,
что предположим, - это то, что изменени е начальной структуры
связывается не с нарушением какой-либо отдельной молекулярной
связи, а с разрушением целого комплекса связей, которое ведет к
образованию некоторого дефекта, характеризующего нарушение
структуры в масштабе, различимом невооруженным глазом, т. е. на
уровне ·порядка ~ \0-
2
мм. Совершенно очевидно, что возникнове:
ние и развитие таких дефектов структуры носит стохастическии
характер* , интенсивность и направление этого процесс а зависят от
внешнего воздействия, в том числе силового .
Обозначим через EN состояние, при котором в единице объема
грунта его структура имеет N дефектов. Если в некоторый момент
система находится в состоянии EN, то вероятность того, что за вf.е
мя от t до t+tJ..t осуществляется переход EN-+-EN+I• равна f.t~+ !J..t.
Вероятность же перехода EN-+ -E N- - I , т. е . перехода, при кот_?Rом
· nрои з ошло
залечивание одного дефекта, пусть будет равна r-.c.~ )!J.. t .
Вероятность того, что за время от t до t+tJ..t осуществится более
чем одно изменение , имеет порядок малости, более высокой, чем !J..t .
Вероятность того, что в мом е нт t система находится в состоянии
EN, т . е. структур а грунта имеет N дефектов в единице объема, обо
:щачим через PN(t)** .
* Стохастическим н а з ывается процесс случайных и з м е нений состоян ий неиот о
рой системы.
** Иными словами , Р~ (t) -вероя тност ь того, что в течение ин тервал а врем е ни
1 осу11t ес твится ров но N и з мененitЙ.
37
В теории стохастических процессов для определения вероят
ностей PN (t) выводится бесконечная система дифференциальных
уравнений. Для вычисления PN (t +М) заметим, что система может
находиться в состоянии EN в трех исключающих друг друга слу
чаях, а именно: 1) в момент t система находится в состоянии EN
и за время от t до t + ~t никаких изменений не происходит;
2) в момент t система находится в состоянии EN _1 и за время от t
до t + ~ t переходит в EN; 3) система находится в состоянии EN + 1
и затем переходит в EN; 4) за время ~t не происходит более одного
перехода. Первые три возможности исключают друг друг~, и по
этому вероятности их складываются; вероятность последнеи ситуа
ции стремится к нулю быстрее, чем ~t:
PN (t+M) =PN (t) (1-~-t~+Jм_ ~-Jм] + ~-t~"':_J1 MPN-I (t) +
+~-t~~\MPN+1 (t),
откуда получаются дифференциальные уравнения вида
:t PN (t) =- (!-!~+)+ 1-AN(-)) PN (t) +
+~-t~-+:_J1pN-1 (t) +~~\PN+1 (t);
:t PN~o (t) = -~-tь+JpN~o (t) + ~-t)-Jp1 (t).
( 1.43)
Если система при t =0 находилась в состоянии Ek, то должны вы
полняться также начальные условия
Pk(0)=1 и PN(O)=O при N=f=k.
В теории стохастических процессов показывается, что если коэф
фициенты системы ( 1.43) ограничены или возрастают достаточно
медленно, то эта система имеет единственное решение, удовлетво
ряющее условию регулярности:
~Р~=1.
N
Нам для нашей задачи достато.чно определить математическое ожи
дание M(N) распределения вероятности PN (t). Тем самым мы бу
дем знать изменение числа дефектов структуры во времени:
00
N(t)-M(N)= ~ NPN(t).
( 1.44)
N~l
Для окончательного определения числа дефектов структуры сде
лаем одно предварительное замечание. Под 1-t~+J~t, как уже говори
лось ранее, понимается вероятность повреждения ст9~~туры за вре
мя М при наличии имеющихся N дефектов. Пусть 1-to М - вероят-
38
'.
,,
'
•
ность появления дефекта структуры при наличии изолированного
дефекта и приложении к грунту комбинации напряжений. Тогда,
при наличии N дефектов, вероятность появления нового дефекта
будет в N раз больше. Каждый дефект, существующий в момент t,
явится своего рода «зародышем» нового и в момент t + ~t либ~
залечится с вероятностью fzt~-)~t, либо «произведет на свет» новы и
дефект с вероятностью 1-1~+)М.
Следовательно, 1-t~+J=N~-tb+J и ~-J=N~-tb-J. Учитывая сказанное,
нетрудно получить для математического ожидания числа дефектов
М1 (N) дифференциальное уравнение. Для этого подставим в систе
му уравнений ( 1.42) принятые выражения коэффициентов !-!~+) и
1-1~-J, умножим эти уравнения на N и просуммируем по N -1, ~. 3 ...
В результате получим
( 1.45)
Если начальное число дефектов структуры в единице объема
грунта равно М (t =О)= N0 , то к моменту времени t математиче
ское ожида ни е числа дефектов б удет на основа нии ( 1.45)
t
M 1 (N)- N (t) = No ехр [~ (~-tb+J -~-tb-J) dt].
( 1.46)
о
Таким образом, кинетика образования дефектов структуры, ха
рактеризующая развитие деформаций и ~азрушение, определяется
либо экспоненциальным ростом, если 1-to+) > 1-!Ь- J, либо экспонен
циальным падением, если 1-tb+ J< 1-tb- J _ Вероятность о~разовани"я изо
лированного дефекта 1-tb+J, очевидно, зависит от деиствую"щеи ком
бинации напряжений и времени. Поэтому рассмотренныи процесс
является неоднородным марковским процессом.
"
Сделаем некоторые предположения относительно вероятностен
1-!Ь+ J и 1-tb- J, подтвержденные в дальнейшем данными эксперимента.
1. Вероятность залечивания дефекта 1-tb-) не зависит от при1~-J
жениого напряжения. Можно предположить, что вероятность 1-to
пропорциональна величине предела длительной прочности на сдвиг
т~, т. е. чем больше прочность грунта, тем выше вероятность зале
чивания дефектов структуры (по поводу длительнон прочности ~~)
(15] и лекцию 10). Таким образом, вероятность залечивания 1-to
можно в первом приближении представить в виде
1-tb-) = x1\i (t) т~ .
(1.47)
Здесь х- некотор.ый параметр, зависящий от температуры и влаж
ности. Функция 'Ф (t), определяющая неоднородность стохастиче
ского процесса залечивания дефектов структуры, должна удовлет-
39
;1!
i, :1
1,:
ворять
ментов.
[15, 16]
ycлoвию~'li(t)dt-+oo и определяется на основании экспери
о
В наших исследованиях эта функция выбрана в виде
•
б
б
\jJ(t) = ~· т. е. \jJ(t) =t; б< 1.
( 1.48)
2. Вероятность образования единичного дефекта J.tb+J в отличие
от вероятности его залечивания, по-видимому, должна существен
ным образом зависеть от приложеиного напряжения т . Сделаем
одно упрощающее допущение. Буде м в дальнейшем считать , что ве
роятность образования дефекта больше вероятности его залечива
ния во столько раз, во сколько приложеиное напряжение больше
некоторого характерного для грунта напряжения т:,, отождествляе
мого нами с пределом длительной прочности, т. е.
(1.49) .
Таким образом, кинетика развития хрупких дефектов структуры
прогнозируется следующим аналитическим выражением:
t
N(t) =N0 exp[~ x(т-т:,)'li(~)d~] .
( 1.50)
о
В услqвиях ползучести, т. е. при т(t) =т= c onst, а также если
принять \jJ(t)-характеристику в виде (1.48), получим
N(t)= Nо{ехр[х(т~ - 1)t'
1
]},
( l .50a)
где х=хт* .
Введемоо в рассмотрение степень повреждения за счет образова
ния хрупких дефектов: ш = N/N0 . Степень повреждения, меньшая
единицы, означает, что произошло з алечивание хрупких дефектов
структуры, т. е . N < No. При ш > 1 nроизошло образование новых
дефектов структуры. Математическое ожидание степени поврежде
ния структуры из счет образования хрупких дефектов запишется
в форме, вытекающей из (l.50а) :
Мt(ш) =ехр[ х( т~ -1) t
6
].
(1 .50б)
Помимо указанного характера развития дефектов структуры,
в грунте происходит под действи е м внешних сил ориентация час
тиц. Это выражается в появлении при т;;?:т :, сначала отдельных
локальных участкnв, где развиваются микросдвиговые процессы,
40
1
приводящие к повышенной ориентации частиц. При дальнейшем уве
личении напряжения появляется система плоскостей сдвига, в кото
рой структурные элементы приобретают строгую ори е нтацию в плос
кости сдвига. Ширина образующейся зоны сдвига, т. е. число ориен
тированных элементов структуры, зависит от приложеиного напря
жения , скорости деформирования и прочности структу рных связей.
Введе м в рассмотрение при т ;;?: т:, так на з ываемую с тепень ориен
тации частиц
где Nop оо -число ориентированных частиц при напряжении, рав
ном пределу длительной прочности т* . Обозначим далее через
~
00
M(w ) ее математическое ожидание.
Развитие этого вида нарушения исходной структуры в данный
момент времени не зависит от общего числа ориентированных час
тиц. Поскольку очевидно, что вероятность J.t~+) = constи не зави
сит от числа дефектов Nor, основное уравнение ( 1.45) запишется
в форме
Оставляя прежнее положени е о том, что
( 1.45а) запишется в виде
t
., (+
ro
(-)
f!u
li
11~
N? =NЪr T[l-exp(- ~ J.tb- Jct~) ].
~
1)
Здесь по-прежнему
J.tb- )= хт:, 'li (t) .
( 1,45а)
решение
( 1.51)
Как видно, дефекты структуры этого вида во врем е ни стремятся
к определенной величине, а поэтому деформация, порожденная
указанным механи з мом, носит «затухающий » во вр е мени характер.
При т=т:, степень ориентации равна единице , но устанавливается
не мгновенно, а при t-+ оо.
Совместное протекание как процесса образования хрупких де
фектов, так и процесса переориентации частиц мож ет быть охарак
теризовано математическим ожиданием повреждения структуры Q,
равным произведению математических ожиданий этих двух незави
симых процессов:
( 1.52)
или, учитывая, что при т= const М 1 ( ш) и М1 ( шоr) определяются
выражениями ( 1 . 50б) и ( 1.51), будем иметь
1(; 2. ]ак.Jli"• 51
41
Mt(Q)= т~ {ехр[х( т~
-1)t
6
]} [l-exp(-xt
6
)].
(1.52а)
На рис . 1. 1О приведена кинетика развития повреждений струк
туры глинистого грунта во времени в зависимост~ от отношения
т /т: при значениях параметров грунта б= 1/ 3; х = 1 год; т: =
=0,1 МПа.
i
J
-~- 3
1
---
2
1
-
i
1
11
1
/
/
L'
/
/ _"",..Р"
L-"'"'"
---
Lg(t/t.) -3
-2
-
1
M(Q)
Рис. 1.10 . Кинетик а р азв ития поврежде-
н ий структуры глинис того гр у н та
2,2
1,8
1,4
1,0
0,6
0,2
о
Приведем несколько прим е ров исследования микромеханизма
деформирования.
1. В опытах С. С. Вялава и Р . В. Максимяк [17 , 18] в процес
се сдвига глинистых грунтов изучалось изменение стр у ктуры грунта,
оцениваемое отношением площади дефектов к площади шли
фаw,%.
Петрографические и электронномикроскопически е исследования
структуры глин в процессе деформирования позволили сделать сле
дующие выводы . Процес с деформирования обусловлен смещением
минеральных частиц вме сте с пленкой связанной воды, возникаю
щим после приложения напряжения и нарушения свя зей между час
тицами. Это смещение сопровождается пере у паковкой ча стиц , стре
мящихся занять «свобод ны е места», и их переори е нтацией в на
правлении сдвига. Если н а пряжение меньше пред ельного значения
(т <т:,), то переупаковк а приводит к залечиванию дефектов и
уменьшению их количества . Соответственliо проис х одит упрочне
ние грунта и затухание де формаций. Если напряжение больше пре
дельного (т> т:,), то в грунтах развиваются микротрещины (раз-
42
! *-•
·
мерам от долей микрона и больше), что наряду с переориентацией
частиц приводит к снижению прочности грунта и во з никновению не
затухающей ползучести . Ползучесть и длительное ра з рушение гр у н
та определяются взаимодействием ориентационных процессов и тре
щинообразованием . При этом степень развития ориентационных
процессов зависит в основном от длительности деформирования;
сте пень же микротрещинообразования находится в зависимости
от приложеннога напряжения. Разрушение может происходить при
различной степени развития ориентационного процесса, но всегда
при постоянном для данного вида и состояния грунта значении
плотности дефектов w = w* (табл. 1.2) *. При во з действии нагрузки
Таблица 1.2
Грунт
Среднее
Каол ин
36 ,9
39, 1
36,8
37, 0
38, 4
38,0
37,3
37,1
36 ,8
37,2
36,0
39,7
36 ,3
37,4
38,5
37,5
40,5
37,0
35,9
37,3
Среднее
38,6
37. 3
36,7
37,6
38 ,4
37,2
37,6
Грунт
Среднее
Юрская· глина
40 ,3
43,0
39,9
41 ,0
41 ,1
41 ,6
41 ,4
39,8
Среднее
40 ,7
41.4
40 ,6
40 ,9
40 ,9
происходит разрушение связей между частицами, переориентация
и смещение частиц в направлении сдвига . В процессе ползучести
важную роль играют ослабленные места структурной сетки, а раз
рушение обусловливает с я ра з витием микротрещин и других дефек
тов структуры (рис. 1.11, заимствованный и з работы В. В. Макси
мяк [18] ). На рис. 1.12 показана кинетика развития дефектов.
2. На основе регистрации акустической эмиссии, воз никающей
во льду при его деформировании , произведен анализ накопления
дефектов структуры , идентифицируемых с аку стическими импуль
сами, которые возникают при образовании микротр е щин [ 19]. На
рис . 1. 13 приведены некоторые да иные по определ е нию количества
акустических импульсов , развивающихся в процессе кратковремен
ной ползучести при различных напряжениях одноосного сжатия,
действующих на обра з цы льда. Анализ этих данных показал, что
* Данные заимствованы и з р а боты В . В. Максимяк [18] .
1
/z 2*
43
Рис. 1.1 1 . Ст1,уктура образцов юрской гли ны ( Х 80) : а - исход
на я структура; б - струнура в стадии течения. 1 - микроагрегаты;
2 - полости: 3 - ГJНtна-занол н ител ь
44
r,..п,9"'Pr'
c.l=~ 100%
t,~~t ac
6
28
55
72
w, o/o
28:1
28.5
33,8
34,8
t,'tac w, 'Yo
104 36,0
800 40,5
3
w """• txp [x(tjt.)'""J
5
tп (t/tJ
7
Рис. 1. 12 . Кинети ка развития дефектов структуры глюt и стого грунта. Као
лин W=0.4 . Кручевне при наnряжении • = 0,01 МПа
N//cJ
20
)--
,!
12
11
711
///
4
о
2
Jl1
/
--
~
4
j
~1
v
8= -8,5°С
Рис. 1.1 3 . Ки нети ка развития
дефектов структуры льда при
одноосtюм сжатии (по оси орди
нат - число фиксируемых аку
стических импульсов в един и це
объема льда, по оси абсцисс
время). 1- а=20,4 -1 0
5
Па; 2-
а=16,3 -105 Па; 3- а=14,2 -
· 105 Па; 4- а=12.3 -105 Па
зависимость ( 1 .50а) полностью подтвердилась при значении б=
=
1/3, т. е . при -ф(t) =Vf.
\\.роме того, был nроизведе н анал и з размеров возникающих де
фектов и установлена плотность расnределения амплитуд импуль
сов акустической эмиссии. На рис. 1.1 4 показаны функции распре
деления амплитуд импульсов по размерам (А; - амплитуда i-го им-
N
•
р
N,
пульса; ;- чи сло импульсов да ннон амплитуды ; ; = ~N,
-
отно-
ситель н ая частота или вероятность появления импульсов данной
а м плитуды)_ Эти да нные нам нужны, поскольку амплитуда им пуль
са может быть отождествлена с поверх ностью или объемом (разме
ром) хрупкого де фекта структуры .
По н ашему предложе н и ю была введена гипотеза , по которой де
формация , обусловле нна я непос редственно развитнем нарушений
структуры, может быть nредставлена как произведение независи
мых случайных величин - числа дефектов на размер единичного
дефе кт а, т. е. ра в н а п роизведению м атема тического ожидания ха -
45
11
Р.~
•
0,1
о
Am5
Ft
•
O,i
5Дm
5
t=2'; (< (А)=4,85
•
15
20 Ai
t=13
1
j tt (д) =6,81
•
iO
20 Ai
•
~(А) =8,40
t =36
1
i
1•
Am 10
Рис. 1.14 . Ра с пределение
амплитуд импульсов акустиче
ской эмиссии по размерам при
одноосном сжат ии образца льда
при 0=-4 ° С и а=12,7-105 Па
рактерного размера единичного дефекта на математическое ожида
ние числа накопившихся дефектов:
Е~=аМ(А) M(N-No) .
( 1.53)
Анализ экспериментальных исследований, изложенных в работе
[19], подтвердил эти предположения и позволил записать оконча
тельное выражение для деформации в виде
i~=
_ .!_ _ 1J) <t) (___!i_)
11
т.
<1. s4)
!'] о
N*
46
Здесь т~ 1 - некоторый постоянный параметр . Предельное чис
ло дефектов, при котором происходит ускоренная ползучесть,
можно принять за критерий длительной прочности, который с уче
том ( 1.50) представляется в форме
tp
) х(т-т:, )1J)(~) d~=const .
о
( 1.55)
Еще одно следствие из ( 1.54) заключается в том, что при N = N*
скорость деформации подчиняется условию
•
1•
Е~= --ф,
У]о
(1.54а)
которое при -ф = t
6
неоднократно экспериментально проверено. Из
( 1.54) также следует, что деформация, при которой реализуется
предельное состояние (в том смысле, что возникает ускоренное на
копление пластических деформаций), не ·является постоянной вели
чиной, а возрастает с увеличением времени процесса, т . е. с умень
шением действующей нагрузки (рис. 1.15).
3. Наконец,
. приведем
данные, полученные по акустической
эмиссии песчаных грунтов [20], испытанных на сдвиг в приборах
Маслова - Лурье. Перестройку структуры в песчаных грунтах
при деформировании можно связать с перекомпоновкой частиц
и их разрушением. Экспериментально показано, что количественная
характеристика перестройки структуры песка подчиняется зависи
мости .
N=Noexp [х(тп-т~)] .
Здесь т~ - напряжение сдвига, не вызывающее перестройку струк
туры, т. е. при Tn <т~ акустическая эмиссия не регистрировалась.
Показано также, что разрушение наступало при определенном
числе дефектов структуры, т. е. при N--+N*. При этом критическое
число дефектов зависело от нормальной нагрузки N* = ехр [<р (<Jn)].
На основании крИтерия N = N* было получено условие прочности
Т 11 =т~+<р(<J 11 ), совпадающее с обычным критерием Кулона .
Последняя часть этой лекции специально посвящена вероят
ностному механизму развития дефектов структуры грунта, посколь
ку полученные на этой основе закономерности являются определяю
щими при построении теории пластического деформирования и раз
рушения грунта и развиты в следующих лекциях.
ЛИТЕРАТУРА
1. U ы т о в и ч Н. А. Механика грунтов. М.: Госстройиздат, 1963. 636 с.
2. 3 ар е цк и й Ю. К. Те о ри я консолидации грунтов. М.: Наука, 1967, с. 270.
47
t
t:
t("
N
Рис. 1.15 . Зависимость раз
вития деформаций и дефектов
структуры грунта во врем е ни nри
nостоянных нагруз ках вплот ь
до разруше!JИЯ
3. М а с л о в Н. Н. Основы инженерной геологии и механ11ки грунтов. М.: Выс
шая школа, 1982, с. 511 .
4. Г о л ь д ш т ей н М. Н. Механические свойства грунтов. Т. 2. М.: Стройиздат,
19 73, с. 375.
5. М а с л о в Н. Н. Условия устойчивости воданасыщенных песков. M-Jl.: Гос
энергоиздат, 1959, с. 328.
б. Т ер ц а г и К. Теоретическая механика грунтов / Пер. с англ. я з. М.: Госстрой-
издат, 1933, с. 392.
.
7. Маслов Н. Н.,JlеБаJlыонг. Квоnросуоповышении прочности и не
сущей сп особн ости глинист ых гр ун то в nод нагрузкой во времени. -- В кн.: Про
блемы стр-ва на слабых грунтах. Рига, 1972, с. 39- 48.
8. JlандауJl.Д.,Jlившиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1965, с. 203.
9. 3 ар е цк и й Ю. К. Вопросы консолидации н ползучести с учетом ра спределе
ния nop грунта п о вел ичин е. - Основания, фундаменты и механика гр унто в , 19 73,
Ng4,с.23-26.
10. Uытович Н. А., Григорь е в а В. Г., З арецкий Ю. К. Эксперименталь
ные исследо вания парового давлен ия в вода насыщен ны х грунтах. - В кн.: Стр -во
на слабых грунтах. Рига, 1970 , с . 168- 175.
48
11. М а к-К о н н е л А. Д ж. Введение в тензорный анализ. М.: Госиздат физико
матем ат ической литературы, 1963 , с. 412.
12. С о к ол о в с кий В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969, с. 608.
13. К а ч а н о в Jl. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969, с. 420.
14. Р ей н ер М. Реология. М.: Наука, 1965, с. 237.
15. В я л о в С. С. Реологические основы механики грунтов. М.: Высшая школа,
197 8, с. 447.
16. 3 ар е цк и й Ю. К., В я л о в С. С. Вопросы структурной механики глинистых
грунтов. - Основания , ф ундаменты и механика гр унто в, 1971 , Ng 3, с. 1-5 .
17.ВяловС. С.,Зарецкий Ю. К.,Максимяк Р. В., Пекарская Н. К.
Кинетика структурных деформаций и р азру шения глин. - В кн.: Тр. к Vlll Меж
дунар. конгр. по механике гр у нтов и фундаментостроению. М. : Стройиздат , 1973 ,
с. 13-23.
18. М а к с и м я к Р. В. Исследование структурных изм енений полутвердых и мерз
лых глини стых грунтов в процессе пол зу ч е сти.- Автор е ф . дис . ... канд. геол.-мин.
наук. М., 1970, с. 156.
19. 3арецкий Ю. К., Чумичев Б. Д. Кратковременная ползучесть льда. М.:
Наука, 1982, с. 119.
20. 3 а р е цк и й Ю. К. и др. О вероятностном характере изменения структуры
песка при его деформирова нии. - В кн .: Всесоюз. науч.-техн. сове ща ние по nро
блемам гидрогеомеханики в горном деле, гидротехн. и гражд. стр- ве. М. , 1975, с. 25.
ЛЕКЦИЯ 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ
КВАЗИОДНОФАЗНЫХ ГРУНТОВ
Определение понятия квазиоднофазных грунтов дано в предыду
щей лекции. Из этого определения ясно, что механика таких грун
тов строится на известных уравнениях механики сплошных сред
(1 , 2] _ Особенности же поведения грунтов будут отражены лишь в
уравнениях состояния. Приведем кратко основные уравнения.
2.1 . Уравнения движения
Уравнения движения полностью определяются двумя законами
механики: а) законом изменения количества движения и б) законом
изменения момента количе с тва движения.
2.1 .1 . Закон изменения количества движения
Производная по времени от количества движения* Т материаль
ной точки или системы материальных точек относительно инерциаль-
* Количеством движения материальной точки называется вектор, равный про
изведе нию мас с ы точки на ее скорость.
49
ной системы отсчета* равна главному вектору всех внешних сил,
приложенных к системе :
dг
-
d"t=F.
(2.1)
Заметим , что в неинерциальной системе отсчета к ре з ультирующей
всех действующих сил должны быть добавлены переносная и ко
риолисова силы инерции.
Для квазиоднофазного грунта, отождествляемого со сплошной
средой, характеризуемой некоторым ра с пределением плотности р
по объему тела V, составляющие количества движ е ния тела в мо
мент t выражаются формулой
1с
.
1;= J P (i;)u; (i;, t)dV.
v
Закон изменения колич е ства движения в переменных Эйлера на
основании (2 . 1) будет иметь вид
:tI!= ~X;dV+ ~р;пd~.
(2.1 а)
V
L
В данном случа е главный вектор сил , дей ствующих на область V,
равен интегралу массовых сил Х; по объе му тела V, а также интег
ралу поверхностных сил Рпi по пове рхности ~ . огр а ничивающей
объем тела V .
Математическое отступление.Вдальнейшемнампо
надобятся:
1. Формула, вытекающая из теоремы Гаусса
-
Остроградского.
Интеграл по замкнутой поверхности преобразуется в интегр ал по
охватываемому этой поверхностью объему путем замены элемента
поверхности d~; = n;d~ оператором dV д/ дi;;:
фт;;n;d~ = ~ ~~;; dV;
L
V
(а)
2. Полная производная по времени:
d
дФ+v~-
-dtФ(i;,t)=
1
•
д!1;~соо$1
д~;
(б)
дФ
где ----а! - материальная производная, описывающая изменение во
* Инерциальными системами отсчета в классической механике называются те
системы, по отношению к которым выnолняется закон инерции (nервый закон Нью
тона) : всякая материальная точка сохраняет состояние nокоя или равномерного
прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие не выведет ее из этого со
с тояния .
50
свойства материальной частицы)
времени функци~ Ф ~не;ро;о~~;~менном положении частицы в про·
при постоянном .", т .
·
.
.~-
конвективная производная , определяю-
странстве, член V1 д~
щая вклад движения J самой материальной частицы в из менение во
времени функции Ф.
от интеграла по неизменной области
3. Производнан по времени
интегрирования равна
_i _C Ф(i; t)dV= С ~Ф(i;, t)dV.
dtJ
,
Jд!
v
v
и изменении области интегрирования во времени V(t) полная
Пр
ая по вре мени должна вычисляться по формуле
производи
.iJФ(i; t)dV(i;)=С~ФdV(~,)+~Фn;~7d~(i;)•
dtJ
'
Jд!
,.
v
v
-
~р~~~;е:аяс~иф~~~~~:н~~i~с:ыра~~Т:ИО::р~:~=~~~е~:н~слпе:~еч~~ члену
С(дФ дФ фдv;)dV(i;)=
:t ~Ф(i;,t)dV5i;) = J дt +v; д~; + Щ;
v
v
~С(~ +Ф~) dV(i;) .
-
Jdt
д~;
(в)
v
я количества движения (2 . 1а) и
Возвращаясь к закону изменениы х напряжений Рп i выражается
учитывая, что вектор поверх~остн
-
·n на осио
через компоненты на пряж0ении а;; по ф~р~i';; :;~она,~6~но запи
вании теоремы Гаусса - строградско~
сать только через интегралы по объему.
С[~ (pu;) + ддt (pu;u;) ]dV= ~[Х;+ ~~: ]dV.
(2.2)
Jд!
'о!
v
v
В силу произвольности выбранной области интегрирования урав
нение (2.2) приводит к локальному соотношению
д•
д••
_
.
да;;
(2 3)
_
(pu) + -(pu;u;) -Х,+ дt ·
·
дt'
дs;
"'
1
2.1.2 . Закон изменения момента количеств а движения
•
е формулируется еле-
Этот закон применительно к сплош~~~ ~~~ента количества дви
дующим обра з ом. Изменение во врем
51
жения* равно моменту массовых сил, действующих в области V, а
так.же поверхностных сил, действующих на поверхности ~. ограни
чивающей объем V:
d
d!L;=M;.
(2.4)
Момент количества движения сплошной среды в объеме V равен
L;= ~ pE;ik;iukdV,
v
где E;ik- антисимметричный тензор Леви - Чивиты**.
Момент действующих сил определяется соотношением
М;=~ E;jkGiXkdV + ~ EijkSiPkd~.
v
~
Выполняя необходимые преобразования, окончательно получим
EiikGi[:t (puk) + д~t (pukul) -Xk-
8
8~1k ] - E;jkOjk=O.
Выражение в квадратных скобках равно нулю в силу уравнения
движения (2.3), откуда следует, что и E;jkOjk=O, а это возможно
лишь при симметрии тен з ора напряжений:
(2.5)
Заметим, что полученное соотношение (симметричность тензора
напряжений) может быть нарушено, если учесть, что вектор напря
жения Рп на произвольной площадке может иметь эксцентриситет
относительно центра рассматриваемой площадки. В этом случае
тензор напряжений становится несимметричным, а закон изменения
момента количества движения дает необходимые уравнения для тен
зора моментных напряжений. Моментными напряжениями назы
вают интенсивность моментов, действующих на каждой элементар
ной площадке. Достаточными же уравнениями должны быть допол
нительные физические зависимости, связывающие кривизны граней
с моментными напряжениями .
2.1.3. Закон сохранения массы
Массой называется скалярная величина, являющаяся мерой
инертности тел. Масса тела в ньютоновской механике аддитивна:
* Моментом количе ства движения мате риальной точки отно с итель но не кото
рого rюлюса называ ется вектор С, равный векторному прои з ведени~ Рilдиу~а -в~к
тора г точки, проведеиного из полюса, на ее количество движения mu: L. = [г, mu).
** Е сли два ин декса равны, то E ;;k=O (например , Et 1z = Ез:Jз=О); если ijk
является четной перестановкой чис ел\, 2, 3 , то E;;k=i (наприм е р, EЗ! z =l).
Если ijk явля ется нечетной перестановкой чисел \ , 2, 3, то E ;; k= -1 (например ,
Е321=-\).
52
~''
'/'.
9
10
"
умме масс всех материальных точек,
она равна арифметическои с
входящих в составл~~~оос;:л:рунта обозначаем через p(s, t) - этVо
Какиранее,пt
е t так что масса среды в объеме
плотность в момент в точк .",
равна:
т= ~р(;, t)dV(s).
(2.6)
v
иовекой механике гласит, что мае
Закон сохранени~ массы в нь::~еняется при любых происходящих
са изолированнои системы не ск.орости движения системы. За
в ней процессах и не зависит от
кон сохранения массы требует, чтобы
~m=O,
dt
(2 б) и правила дифференцирования интеграла
откуда, учитывая .
по изменяющемуся объему, получим
dm _ ((dp +Р~)dV(s)=0.
dt'- ) dt
а;; ·
v
Окончательно
(2.7)
или
д
д
•
-
_g_+ --(pui)-О.
at
а;;
(2.7а)
внениями неразрывности. В ста-
Уравнения (2.7) называются у~~ ывности приводит к условиям
тических задачах уравнение нер ри поскольку в этих задачах
неизменности во времени плотноет '
.
~ =0 Уравнения неразрывности , одна-
u;=О, а следовательно, и at
·
.
"
вижения вытекающих из закона
ко, упрощают запись уравнен:: дВ самом 'деле, обращаясь к урав-
изменения количества движ(е;7 ). левую часть этого уравнения лег-
ению (2 3) на основании · а
е
~о преобраз'уем в полную производную по времени, т . .
Основное
р~+u;ар +u;-
8
8
t
(puj) +
дt
.lt
'oi
а.
.
а.
dti ,
•
д•
U; + U·--U;:=p--.
+puг-a~u;=P-at Р 1 Щ;
dt
теперь будет иметь вид
уравнение движения
dti ,
••
да;;
pdt=pu;=X;+~·
53
или, в тензорной записи,
(2.8)
Сделаем два замечания.
• А. При малых скоростях перемещений конвективном·
нои по ера
производ-
внению с материальной производной
и тогда уравнения движения записываются: можно пренебречь,
(2.8а)
Чабсто Х;- компоненты массовой силы, обусловленной действием
со ственного веса грунта Х -
. <::
(
с
,-u; з pg где Х ; = з- вертикальная ось
овпадающая с направлением силы тяжести)
'
Б. УАавнение (2.8а) представляет собой формулировку второго
закона ьютона для элементарного объема: в левой части стоит п 0 _
изведение массь~ элементарного объема на ускорение его цен~ра
масс, а в правои части - сумма всех массовых сил е·
на этот элементарный объем. Действительно, эта су~м~ ис~т:/о~~~~
массовых сил Х; (в частности, силы веса) и дивергенции тензора на-
пряжений да,; "==
..
.
•
дх; - a ,J,J • а дивергенциеи тензора напряжений служит,
по теорем.е Гаусса - С?строградского, вектор F с компонентами F·
являющиися векоторои массовой силой . Последнее означает чт~
при дискgетизации среды на некоторые малые элементы (дискрети
зацию о. ычно применяют для осуществления численных асчетов
сплош.нои среды) для каждого такого элемента может бытьрзаписан
второи закон Ньютона, что иллюстрируется рис. 2.1 .
6~~+d.<S!:I~
~х~ н:.i<S"~
d!J ~
at
fЭf2
б:~х
х=рэ
o,.!J 0!:1~
dx
Рис. 2.1 . Равновесие элемента среды
54
\.
r·
2.1 .4 . Закон сохранения энергии
Закон сохранения механической энергии записывается в виде
.
d
Ае = dТ (K+V),
(2.9)
где Ае- механическая мощность внешних сил, равная сумме мощ
ности массовых сил по области V и мощности поверхностных сил
на ~:
(а)
v
Правая часть уравнения (2 .9) представляет собой изменение пол
ной энергии системы, состояще й из кинетической энергии К. кото-
рая по определению равна:
К= Т~ pu;u;dV;
v
dd~ = ~ pu;u;dV,
v
(б)
и внутренней энергии
U= ~ vdV.
(в)
v
Здесь v - внутренная энергия, отнесенная к единице объема.
Подставляя (а), (б) и (в) в (2 .9) и принимая во внимание
уравнение движения (2.8), получим для произвольнаго элементар
ного объема выражение скорости изменения внутренней энергии:
•
•
[1•
•
J
v=a··u· · =а··
-
(u· ·+u· ·)
lf l,J
IJ2
l,J
f,l
•
(2.10)
На основании определения тензора деформаций предыдущее выра
жение переписывается:
(2 . \Оа)
Приведеиные соотношения справедливы для адиабатических про
цессов* . Для произвольнаго термодинамического процесса уравне
ние, вытекающее из nринцила сохранения энергии, должно быть по
сравнению с уравнением (2.9) дополнено членом, характеризующим
изменение энергии тела не только за счет производимой над телом
работы, но и за счет притока теnла Q** :
* Ад1-1абатическим nроцессом на з ывается термодинамический процес с , осу
ществляемый с1-1стемой без теnлообмена с окружающей средой.
** Отм ет1-1м, что, поскольку Ае +А ; = К. , , где А ,- механ1-1ческая мощиость внут -
•
•
d
ренн1-1х с1-1л, можем заnи сать : А; = Q- dtV.
55
•
d
Q+Ae= dТ (К+ U).
(2.9а)
Вводя понятие энтропии S (для объема V) и s (д
ного объе )
ля единич-
ма , приращение в единицу времени количества тепла
сообщенного телу Q, можно представить в виде dQ =т~
,
dt
dt,идля
элементарного. объема выражение приращения внутренней энергии
деформируемои среды в общем виде будет записываться:
dv=rJndEii+Tds.
(2.11)
2.1.5 . Принцип виртуаJ1ьных работ
Пусть на част~ поверхности тела заданы поверхностные силы
Pin, а н~ остальнон части - смещения u; . По принцилу Даламбера
под деиствием этих факторов, массовых сил и сил инерции тело
находится в равновесии. Дадим теперь перемещениям u; виртуаль
ные приращения 8ui. Величины 8u1 произвольны, но согласованы
с кинематическими условиями, наложенными на рассматриваемое
тело, т. е. 8ui=0 на части поверхности, где заданы смещения
Работа массовых и поверхностных сил на виртуальных перемеще~
ниях будет р~вна
<'>Ае = ~ Xi8u,dV + ~ Pin8u,d~.
v
r
Преобразовывая, как об~tчно, с помощью теоремы Гаусса _ Остро
градского поверхностныи интеграл в объемный и исnользуя .урав
нение движения (2.8), а также учитывая что rJ ou ·=rJ· s:."
по-
лучим
'
'1 l.J
1/u"''l•
~ (рХ,- pii,) 8u,dV + ~ Piп<'>u,d~ = ~ rJ 1;8e1;dV.
v
r
v
(2.12)
Уравнение виртуальных работ, или, иначе, вариационное урав
нение Лагранжа выражает тот общий факт, что виртуальная рабо
та об-ьем;:tых, поверхностных и инерционных сил равна работе на
пряже'!ии на соответствующих виртуальных деформациях. Приве
денныи nринцип виртуальных работ справедлив как для уnругих
так и для неупругих сред.
'
Уравнение Лагранжа может бьtт ь также переписано для вир
туальных мощностей:
~ (pX,-pli;)<St.i,dV+ ~p,nбt.i,d~= ~(Jn<'>Ё,;dV.
v
~
v
(2.12а)
56
!
1
2.2. Уравнения совм.естн.ости деформаций
По определению, компоненты деформаций е;; связаны с градиен
тами перемещений. Компоненты тензора малых деформаций линей
но выражаются через градиенты смещений по известным формулам
Коши:
(2.13)
Индексы i и j пробегают значения 1, 2, 3, и шесть уравнений
(2.13) определяют шесть компонент деформаций по значениям шес
ти градиентов от трех компонент перемещения. Однако ясно, что
однозначно определить три компоненты вектора перемещения по
шести произвольным значениям компонент деформаций нельзя. По
этому деформации е1; обязаны удовлетворять дополнительным урав
нениям.
Дополнительные ограничения, накладываемые на компоненты
деформаций, позволяющие однозначно определить вектор переме
щения, называются уравнениями совместности Сен-Венана. Указан
ная система шести уравнений совместности может быть получена
либо дифференцированием (2.13) и исключением из полученных
соотношений градиентов перемещений и их производных, либо спо
собом, предложенным Э. Чезаро. Уравнения совместности в тензор
ной записи имеют вид
(2.14)
(i, j, k, l=l, 2, 3).
В системе координат х, у, z шесть уравнений (2.14) записыва
ются подробно:
д?
д2
д?
~+~=~·
ду2
дх2
дхду ,
~(дf.у,+деzх_дtху)=д
2
еи.
дz дх
ду
дz
дхду ,
(остальные уравнения получаются круговой перестановкой индек
сов). В общем случае евклидона пространства, имею~его n измере
ний, число уравнений совместности равно: i=n
2
(п - -1)/!2. Так,
для n = 1 уравнений совместности не существует.
•
Уравнения совместности имеют также вполне определенньrи фи
зический смысл. Если тело разбить на некоторую систему элементов,
то при деформации тела деформируются и его элементы. Деформа
ции элементов не могут быть независимыми, ибо в противном слу
чае после деформации тело может иметь разрывы. Чтобы и после
деформации тело было сплошным и непреры_вным, деформации
57
должны подчиняться уравнениям Сен-Венана. Может быть также
указан и энергетический смысл этих уравнений: минимальное зна
чение накапливаемой в упругом теле потенциальной энергии соот
ветствует соблюдению принципа неразрывности деформаций.
2.3 . Уравн.ен.ия состояния
Приведеиная выше система уравнений не является замкнутой,
и, как можно было видеть, индивидуальные свойства среды в этих
уравнениях не отражены. Для замыкания системы уравнений исполь
зуются так называемые уравнения состояния, связывающие в об
щем случае компоненты тензора напряжений, деформаций и их про
изводных по времени:
(2.15)
Математическую формулировку уравнений состояния (или опре
деляющих уравнений) принято называть математической моделью
среды. Формулировка новых моделей связана прежде всего с экспе
риментальным изучением свойств среды. Уравнения состояния, ис
пользуемые в механике деформируемых сред, носят чаще всего фено
менологический характер. Свойства среды, описываемые этими урав
нениями, формально сравниваются со свойствами реальных тел,
и их внешнее сходство считается достаточным для оправдания пред
лагаемых уравнений. Составленные таким образом уравнения со
стояния имеют бесконечное число вариаций и обобщений. Поэтому
любые рекомендации по способам описания свойств не могут быть
признаны окончательными, ибо в своей основе не содержат какой
либо единой физической теории. Однако применение феноменологи
ческих уравнений состояния в настоящее время имеет большое прак
тическое значение, ибо дает возможность для конкретной расчетной
ситуации в определенных, заранее выявляемых границах получить
количественную оценку происходящих явлений. Для грунтовых сред
также используется феноменологический подход.
Следует помнить, что любая модель грунта, составленная на ос
нове феноменологического подхода, справедлива в определенных
рамках, которые должны быть выявлены и в пределах которых они
только и должны быть использованы. Могут быть сделаны попыт
ки более глубокого обоснования определяющих уравнений, основан
ные на предположении о некотором микромеханизме деформирова
ния. Такой подход не является более «физическим», чем традицион
ный в механике сплошных сред, но он ведет к большим обобщениям
и некоторым образом ограничивает вариации форм феноменологи,
ческих уравнений состояния.
58
2.3 .1. Голономные и неrолономные связи
(уравнения состояния)
Связи называются голономными, если соответствующие им урав
нения не содержат производных или могут быть приведены к такому
ви п тем интегрирования. Неголономными соотношениями назы
ва~тся\еинтегрируемые связи. Так, в реологии грунтов часто исполь:
зуются определяющие уравнения в виде конечных соотношении
между напряжением и, деформацией е и временем t:
Ф(и, е, t) =0.
(2.16)
Такого рода соотношения являются самой простон и удо н
-
"
бойфор
мой интерпретации экспериментальных данных, получаемых в усло
виях ползучести грунта в режиме и=const. Однако в режимах на-
гружени я отличных от режима ползучести (u=const), функция
'
Д исания реологи
(2 16) не всегда может быть использована. ля оп
че~кого поведения грунта в более широком диапазоне изменения
характера нагружения определяющие уравнения должны задавать
ся в виде соотношения между дифференциалами (бесконечно малы
ми приращениями) напряжения, деформации и времени
A 1 dи+A 2 de+Aзdt=0,
(2.17)
которое удобно записать в следующем виде:
Хотя. из (2.16) и
dt= Adu+ Bde.
следует при помощи дифференцирования,
~dи+ ~de+ ~dt=O,
да
де
дt
соотношение (2.18) является более общим.
(2.18)
что
Соотношения (уравнения состояния), определяемь!е в фор~е
(2 16) и (2.18), совпадают только в случае, когда линеиная дифф -
·
ф (2 18) интегрируема. Для этого необходимо,
ренциальная орма ·
сти а
чтобы были выполнены определенные условия интегрируемо ,
именно:
дА ~В=~+~А.
(2.19)
-----а;:- + дt
да дt
При этом уравнение записанное в виде (2.18), после интегрирова-
'
ф (216) текформесвязимежду
ния может быть приведено к орме ·
,
·
·
П
конечными значениями напряжения, деформации и времени. " оэтому
при выполнении (2.19) такая связь является интегрируемои, а сле-
овательно голономной. Помимо этого, связь (2.18) всегда может
gыть запис~на в виде (2.16), если рассматриваются процессы ~ибо
при и= ио= const, либо при е= е0 = const; иными словами, ли о в
59
режиме ползучести, либо в режиме релаксации. Действительно, в
этих случаях (2.18) преобразуется в соотношения между двумя
переменными, которые всегда интегрируемы:
а) a=ao=const:
б) Е= с:о = const:
t=\Bd e
t =\Ada
и
и
Ф1 (ао, е, t) =0;
Ф2 (а, Ео, t) =0.
Отметим, что уравнения состояния, используемые в форме (2 . 16),
относятся к так называемой теории старения.
Какова же принципиальная разница между голономными и не
голономными связями?
В случае интегрируемых соотношений (голономные связи) ка
кой бы ни был режим нагружения в плоскости «a - t», всегда для
одних и тех же конечных значений напряжения а= ам, достигаемых
за одно и то же время t=tм, деформация будет одинакова: е=Ем
(рис. 2.2), т. е. деформация в данный момент времени определя
ется только значением напряжения в этот же момент времени.
В случае неинтегрируемых соотношений (неголон9мные связи)
деформация в данный момент определяется не только значением на
пряжения в этот момент, но и характером нагружения. Так, для
режимов нагруж е ния 1 и 11 (см . рис. 2.2) деформации в момент
<3
1
А
с
~~~----o----------------QM
и
,;.
в'
о
---"Ем
----at,..
t
Рис. 2.2. Влияние режима
н а гружения на деформацию: р е
жим 1- нагружение ОАМ; ре
жим 11 - нагружение ОА'В'С'М
t =tм будут различны. Режим нагружения не оказывает влияния на
величины деформаций, если только выполняется условие интегри
руемости (2.19).
Уравнение состояния в реологии в случае неголономных свя
зей обычно имеет вид интегродифференциального соотношения . Счи
тается, что связь между напряжением и деформацией в изотропной
среде имеет вид
Ф(а,а,а,..., Е, е, е, ...)=0.
60
(2.20)
3
4
5
•7
•
'"
Следует однако заметить, что соотношения (2.20), включающие
~~~~з~~~~~т:ь~~к~:~~~г~л~о~:д:~~о~~:~:н:~б~~:~J~с~р:а~:::~
такого числа ~ачальных условий , которое не обеспечивается п~с;:~
вкой задачи . в случае линейных связей уравнение состо
~~жет быть представлено в виде следующего операторного соот-
ношения:
Q( е }= Р(а},
где р и Q- линейные операторы:
д
Р=ао +а~- +
дt
д
am
Q=bo+blд(+ ... + b m ~
(2.21)
да определенный физический
с постоянными ai и bi, имеющими иног
смысл .
"
ть интег
Связь между напряжением и деформациеи может носи
-
родифференциальный характер, например:
t
f(e, Ё) = ~ К[а(~); Ц]а(~)d~,
(2.22)
о
где к- функция двух аргументов t и ~. з авuисящая в общ~м слу
чае И от величины напряжения cr, меняющеися во времени, носит
название ядра оператора <2 ·22 ) ·
ия состоя-
Любопытно проследить связь между заданием уравнен " р
ифференциального соотношении . е-
ния в виде интеграл ьноrо и д
(2 21) ожет быть
шение линейного дифференциального уравнения . м
сведено к решению некотороrо интегрального уравнения Вольтерра
второго рода [3]:
1
cp(t)- ~ K(t-~)cp(~)d~=f(t) .
(2.23)
о
Здесь введены обозначения:
апа
cp(t) = ~;
f(t)= Q{e}-Cn- lal-(Cn-lt+ Сп-2)а2-
(
~-1
)
... -
Cn-l(n-l)! + ... + C1t+co ап.
(2.24)
61
Постоянные Сп определяются начальными условиями
Со=а(О) ; Ct=a'(O);
Сп- t=Оп - !(0).
(2 .25)
Можно по казать [1], что решение ер (t) интегрального уравнения
(2.23), будучи n раз проинтегрировано:
1
t"- 1
n
2
a(t) =Cn - l(n-l)! +с п -2(n
1
~2)! + ... + c 1t+co+ ~ (t-~) n- 1cp(~)d~,
о
даст единственное решение дифференциального уравнения (2 .21)
относительно a(t) при начальных условиях (2.25). Таким образом,
мы приходим к выводу, что запись уравнения состояния может
быть представлена как в дифференциальной (2.21) , так и в инте
гральной форме (2.23). Следует, однако, обратить внимание на то ,
что интегральная .Форма заnиси уравнения состояния, вообще го
воря, шире. Линеиное дифференциальное уравнение всегда можно
свести к интегральному (как было показано выше), а обратное
утверждение верно только для оnределенного вида ядра интеграль
ного уравнения К (t, ~). Интегральные уравнения эквивалентны
дифференциальным в том · случае, когда ядро интегрального уравне
ния nредставлено в виде суммы эксnонент :
n
K(t,~)= ~ An exp[-Bn(t-~)] .
a=l
Это утверждение легко проверить последовательным дифференци
рованием.
В з~ключение этого пункта укажем, что и при рассмотрении в
дальнеишем проблемы пластичности грунтов мы будем nользоваться
для записи уравнений состояния как голономными, так и неголоном
ными соотношениями. При этом голономными соотношениями мож
но пользоваться в случае, когда траектория нагружения (в про
странстве наnряжении) не оказывает существенного влияния на
окончательные значения накопившихся пластических деформаций .
В nротивном случае необходимо nривлекать неголонQvtные соотно
шения. Сказанное может быть проиллюстрировано прим е ром , nока
заиным на рис . 2.3 .
В дальнейшем уравнение состояния грунтовой среды будем за
писывать в операторном виде:
(2 .26)
2.3 .2 . Общая система разрешающих уравнений
Подведем некоторый итог изложенному в этой лекции. Мы ранее
последовательно остановились на ряде уравнений, вся совокупность
62
Рис. 2. 3 . Влияние траектории на
rружения на де формацию: 1 - наrр у
жени е по пути ОАМ; 11- наrружение
по nути ОАА'М
которых называется разре шающей системой уравнений, поскольку
эти уравнения, рассматриваемые совместно с н~длежащими гра
ничными и начальными условиями, nозволяют наити решение неко
торой конкретной, так называемой краевой задачи . Вся совокуn
ность разрешающих уравнений может быть представлена в виде
схемы.
Решение основной системы уравнений принципиально может
быть получено тремя методами.
1.Метод nеремещений. 3~неизвестныеnринимаютсятри
комnоненты вектора nеремещения u , т . е. u; (i = 1, 2 , 3). В этом
случае а) с nомощью соотношений Кош~ физические уравнения
выражаются через градиенты перемещении; б) граничные условия
выражаются через перемещения и градиенты nеремещения; в) урав
нения движения nреобра зуются в три дифференциальных уравне
ния относительно комnонент nеремещения (в теории упругости эти
уравнения носят название уравнений Ламе). Уравнения совместно
сти деформаций удовлетворяются автоматически. Итак, имеется три
уравнения относительно трех неизвестных U;.
2. М е т о д с и л. За основные неизвестные nринимаются девять
комnонент тен зора напряжений a;i · Система уравнений с.остоит из
трех уравнений движения (равновесия) и шести уравнении со~мест
ности деформаций, которые с помощью физических уравнении (м~
дель среды) выражаются через комnоненты тензора наnр~жении .
В теории уnругости эти уравнения носят название уравнении Бельт
рами. Произвольные функции интегрирования определяются из гра
ничных условий, также выраженных через комnоненты тензора
наnряжений.
63
Ypaвfll'IIIHI н :1менения
Закон сохранения массы
количе ства )llшжения (Ньютон)
_d_m=O
_<1 -Г=F
dt
<11
:t )pdV=O
,.
:t ~pti,<IV = ~X,dV+ ~Рп;d~
v
v
v
k
'
..
Ур п внения измене ния
Соотношения Коши
момента KOJIH'il'CTBa ДВИЖеНИЯ (Н ью тон)
1
E;j=т(U; ,j +U j,i )
_d _[=M
dt
a ;, =<Ji;
Уравн е ния совм е стности
Модель среды
физические уравнения
G;j= L{ E; j}
Сен-Венана
Еpnr ЕlsmErs,mn =О
Начальны е условия: u,(~. О); u,(~ . О)
Граничные условия: Pin(~. 1) = G;J(~. t) ni/~E ~.;
u,= u,(s. t) /t,E~ ,
1
1
1
3. Смешанный метод. За основные неизвестные принима
ются некоторые из компонент перемещения и тензора напряжений.
2.4 . Терм.одинам.ик.а деформирования
2.4.1. Понятия энергии и работы
Под энергией в физике понимают некоторую скалярную вели
чину, являющуюся единой мерой различных" форм движения . "Энер
гия, таким образом, служит количественнон характеристикон раз
личных форм движения материи.
Передача энергии от одного макроскопического тела другому
может быть осуществлена путем совершения работы или путем пере
дачи тепла. Качественное различие между ·этими двумя способами
передачи энергии заключается в следующем .
64
fir1
t
1
Рассмотрим термодинамическую систему в виде элемента объема
деформируемой сплошной среды . Пусть эта система находится в рав
новесном (с механической точки зрения) состоянии, т. е. не обла
дает кинетической энергией. Работа, совершенная напряжениями
при произвольнам бесконечно малом изменении состояния элемента
среды, описываемом приращениями деформаций б е , дается выра
жением (одномерный случай)
бА= абе.
(2.27)
Здесь и в дальнейшем, если это не будет оговорено особо , рассмат
ривается плотность энергии, или удельная энергия, т. е. энергия,
отнесенная к единице объема среды.
В более общей постановке, в феноменологич ес кой механике,
состояние системы, как известно, описывается некоторым набором
механических координат Xk (k= 1, 2, ... , n). Работа, совершаемая
макроскопическими силами Xt при произвольно малых изменениях
состояния системы, описываемых приращениями м е ханических ко
ординат бхk, дается выражением
бА=Хkбх k.
(2.27а)
В случае деформируемой сnлошной среды механические координа
ты элемента nредставляют собой компоненты тензора де формации,
а соответствующие силы - комnоненты тензора напряжений.
В рассматриваемом медленном nроцессе, когда изменением ки
нетической энергии с истемы можно nрен ебречь, работа макроскопи
ческих сил· (2.27) затрачивается на увеличение внутренней энергии
v элемента объема среды* :
(2.28)
Внутренней энергией называется энергия сист е мы, з ависящая
только от ее термодинамического состояния . Внутренняя энергия
равна сумме nотенциальной энергИи взаимодействия частиц систе
мы и кинетической энергии движения этих частиц . Внутренняя
энергия зависит не от одних только механических координат си
ст е мы, которыми в рассматриваемом случае являются компоненты
деформации, но и от конфигурации и состояния движения частиц
системы . Поэтому и з менить внутреннюю энергию системы можно
не только за счет приращения механических координат, но и за
счет nр~тока энергии при фиксированных значениях механических
координат (компонент деформации). Энергетический принцип (2 .28)
должен быть в связи с этим дополнен:
dv =бАе+ бQе.
(2.29)
* Здесь и далее dv оз начает дифференциал v. а бА ·-
бесконечно малое npи
I'"III<'IJH{' (в данном случае) работы А.
65
Здесь 6Qe обозначает внешний приток энергии при фиксированных
значениях механических координат в элементарном процессе, харак
теризующий способ передачи энергии в форме тепла: 6Ае - при
ток энергии, сообщенный телу в форме работы внешних сил.
Поскольку внутренняя энергия v. как мы видели, не может за
висеть от одних только механических координат (компонент дефор
мации), вводится дополнительная макроскопическая координата
темлература О . Механические координаты и температура дают
суммарную информацию о состоянии термодинамической системы
и являются поэтому параметрами состояния. Внутренняя энергия,
таким образом, оказывается функцией м е ханических координат и
температуры v ( ro , О) .
Процесс, происходящий при постоянной температуре О= const.
называется изотермическим, а соотношение (2.28) справедливо при
отсутствии теплообмена между системой и окружающей средой ,
т. е. для адиабатического процесса ( dQe =О). Отметим такж е , что
состояние системы будет считаться равновесным, когда значения
е и О не меняются во времени.
Первоенача.1о термодинамики
(закон сохранения энергии)
В термодинамике вводится nонятие плотности полной энергии э
(отнесенной к единице объема), которая отличается от плотности
внутренней энергии на величину плотности кинетической энергии
системы К. так что элементарное приращение плотности полной
энергии системы равно
dэ=dv+dk.
(2.30)
Полная энергия системы , так же как и внутренняя энергия , а сле
довательно, и кинетическая энергия, являются однозначными функ
циями параметров состояния термодинамической системы. Поэтому,
если начальное состояние системы известно и фиксировано, пол
ная энергия системы для всех осуществимых процессов зависит
только от конечного состояния. В замкнутом цикле изменение пол
ной энергии системы в связи с этим равно нулю.
Перво е начало термодинамики, или закон сохранения энергии,
подтвержденный всеми и з вестными оnытными данными, формулиру
ется обычно u1 е дующим образом. Невозможно осуществить веч
ный двигатель первого рода , т. е. такую циклически работающую
машину, которая служила бы источником полезной энергии без
использования внешнего источника энергии. Иными словами, nер
вое начало термодинамики · есть н е что иное, как закон сохранения
энерr;ии в применении к теnловым процессам.
66
j
Более глубокая его формулировка состоит в утверждении, что
для любых осуществимых процессов полная энергия термодинами
ческой системы равна сумме внешней работы и извне сообщенного
тепла. Эта сумма не зависит от способа перехода системы из на
чального в конечное состояние.
Универсальное соотношение, выражающее закон сохранения
энергии для элементарного процесса, записывается в форме [ 1]
dv+dk=6N+6Qe.
(2.31)
Здесь {)д'= 6Л:, +{)д' -элементарная работа внешних массовых
(бА~) и повер;~остн:rх (6Л:,0.) сил; 6Q e - элементарный приток
тепла к системе извне.
В этом утверждении важнейшим является то, что дифференциал
энергии есть полный дифференциал. Следовательно, может быть
найдена функция состояния - полная энергния э такая, что при
переходе системы из состояния 1 в состояние 2 полная энергия
изменится на определенную величину вне зависимости от пути
перехода:
2
э2-э1 = ~ dэ.
(2.32)
1
Таким образом, полная энергия деформируемой среды есть одно
значная функция ее мгновенного состояния.
Сказанное относится также к внутренней энергии v и кинети
ческой k. Подчеркнем еще раз, что сформулированное утвержде
ние относится к сумме внешней работы и сообщенного извне тепла,
тогда как само переданное тепло и совершенная работа в отдель
ности зависят от пути перехода, т. е. являются функциями про
цесса, происходящего в термодинамической системе.
2.4 .2. Теорема живых сил
Эта теорема вытекает, как следствие, из закона движения (вто
рого закона Ньютона). Она важна потому, что д~ет непосредствен
ное количественное выражение для кинетическои энергии, являю
щейся мерой механического макродвижения среды. По своему фи
зическому содержанию формулируемая теорема отражает закон
сохранения механической энергии
Будем исходить из обычной формулировки вт?рого закона Нью-
тона применительно к элементу объема сплошнои среды dV:
(d-
(-
) ТtpvdV =) FdV,
(2.33)
v
v
где р - плотность; v- вектор скорости; F - вектор сил, действую
щих на выделенный элемент объема. Умножим обе части этого урав-
3*
67
нения скалярно на вектор скорости v. тогда получим слева вы
ражение
которое определяется как скорость изменения
гни элемента объема среды. Справа же будет
ного над этим элементом объема работы:
)(FAv)dV.
кинетической энер
скорость совершен-
....
При этом вектор объемных сил можно разбить на вектор массовых
сил и вектор - градиент напряжений (см. 2. 1), т. е . градиент по
верхностных сил, которые могут быть внешними и внутренними по
отношению к выделенному объему .
В связи с этим математическая формулировка теоремы живых
сил для бесконечно малого объема следующая [ 1] :
dk =бА~+ бА~о в + бА~ов.
(2.34)
Из (2.34) заключаем, что для действительного движения среды
дифференциал плотности кинетической энергии элементарного объ
ема сплошной среды dk равен сумме плотностей элементарных ра
бот массовых сил бА~. поверхностных внешних &~о. и внутренних
бА:tов·
Сделаем последнее замечание . Подставляя (2.34) в (2 .31), по
лучим
(2.35)
т. е. изменение плотности внутренней энергии равно элементарному
притоку тепла извне и приращению плотности работы деформации
(внутренних поверхностных сил), взятому с обратным знаком (бА'=
=
-абе).
В ~лучае квазистатического механического процесса, когда
можно пренебречь кинетической энергией элемента объема дефор
мируемой среды dk =О, приращение работы внешних сил равно
приращению работы внутренних сил, взятому с обратным знаком:
&N=
-
бN,
(2 .36)
и, кроме того, нз (2 .35) и (2.36) получаем, что в квазистатических
процессах · с корость увеличения внутренней энергии равна скорости,
с которой энергия подводится к телу извне.
68
l1t
'"
2.4.3. Математическое отступление.
Понятие полного дифференциала
н интегрирующий множитель
В физике часто вводятся так называемые потенциалы, являю
щиеся функциями мгновенного состояния, по которым могут быть
определены действующие в природе силы, вне зависимости от ха
рактера протекания процесса. Важны только начальное и конечное
состояния. Так, существенной величиной в механике яв.'lяется не
сила, а работа, совершаемая действующими силами на виртуаль
ных перемещениях:
бА= Р1бх1 + Р2бх2 + ... +РпбХп.
В общем случае бА является линейной дифференциальной формой.
Эта дифференциальная форма играет важнейшую роль в механике.
Коэффициенты формы Р 1 , Р 2 , ... , Pn являются компонентами век
тора силы в n-мерном пространстве. В "случае, когда бА оказыва
ется nолным дифференциалом некоторои функции, компоненты си
лы выражаются через эту единственную скалярную функцию U;
работа, совершенная такими силами (они называются консерватив
ными), не зависит от формы пути, а только от начального и ко
нечного положения.
Термодинамическое состояние системы ~пределяют однозначно
функции мгновенного ее состояния, так называемые термодинами
ческие потенциалы, главнейшие из которых- внутренняя энергия
тела и энтропия . Важнейшим из свойством является то , что их из
менения зависят лишь от начального и конечного состояния и не
зависят от характера процесса. Указанное свойство математичес~и
связано с условиями, обеспечивающими независимость криволинеи
ного интеграла от пути интегрирования.
Пусть в некоторой связной области Q заданы непрерывные
функции А 1 (х, у) и А 2 (х, у). В курсе математического анализа
доказывается теорема .
Для того чтобы интеграл
~ (A 1dx+A2dy)
по любому лежащему в QL простому замкнутому контуру L обра
тился в нуль, необходимо и достаточно тождественное выполнение
в Q условия
дА,
дА2
--=--
ду
дх
(б)
Из этой теоремы следует, что при выполнении условия (б) значе-
69
ние интеграла (а}, взятого по кривой, например АВ, соединяющей
точки А и В, не зависит от формы этой кривой.
Нетрудно далее убедиться, что дифференциальное выражение
A1dx+A2dy
(в)
будет являться полным дифференциалом некоторой функции U (х. у)
от двух переменных, если
дU
--=А2
ду
.
Совершенно ясно , что для того, чтобы выражение (в) было пол
ным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение преж
него условия (б). В этом случае
U(x. у)= ~A1dx+A2dy.
(г)
Можно теперь сформулировать следующее положение. Чтобы
интеграл (а) не зависел от пути (а интеграл по замкнутому кон
туру равнялся нулю), необходимо и достаточно, чтобы подынте
гральное выражение (в) было полным дифференциалом некоторой
функции.
В терминах теории поля можно сказать, что в случае, когда
циркуляция поля по замкнутому контуру равна нулю, а интеграл по
кривой, соединяющей любые две точки, оказывается не зависящим
от формы кривой, такое поле будет потенциальным. Понятие потен
циального поля совпадает с понятием «безвихревого», т. е . вектор
ного поля W, для которого во всей области rot W оЩ>ащается в
нуль, или, что то же самое, для компонент вектора Ч'('Ф х , '\j)yj вы
полняются равенства
(д)
Условие (д) напоминает условие (б}. Поэтому его выполнение рав
носильно утверждению , что выражение
'Фхdх + '\j)ydy
является полным дифференциалом некоторой функции V (х , у). Сле
довательно, данное векторное поле Wбудет в свою очередь полем
градиента скалярной величины V. т. е.
W=grad V,
или
(е)
70
(~
".
~-1 •
Все эти полож е ния имеют естественное истолкование в терми
нах работы для потенциального силового поля. В теоретической
механик е функция V на з ывается силовой функцией, а функцию
U =- V иногда опреде,ляют как потенциальную энергию при со
блюдении условия (е).
Выясним еще один вопрос. Можно ли всякое выражение типа
A1dx+A2dy умножением на некоторую функцию 11(х , у) превра
тить в выражение полного дифференциала? Такая функция назы
вается интегрирующим множителем и подчиняется услови
A 1dx+A2dy умножением на некоторую функцию 11(х, у) превра
тить в выражение полного дифференциала? Такая функция назы
вается Интегрирующим множителем и подчиняется условию
11A 1dx+ 11A 2dy= dV .
(ж)
Из определения интегрирующего множителя следует, что он дол
}!}ен удовлетворять уравнению в частных производных
д(f!Ai)
д(!tА 2 )
ду
дх
Или
iJ
д
дА1
дА,
А2 - (ln 11)- А1- (\n 11) =----д-·
дк.
ду
ду
х
(з)
Укажем далее , что всякий интегрирующий множитель дается
общей формулой вида
~=Ф(V)11.
(и)
где V (х , у) -функция, полный дифференциал которой находится
из условия (ж); Ф(V) - прои з вольная функция аргумента V;
f-t- частое решение уравнения (з) .
В заключение остановимся на пфаффовых формах, имеющих
фундаментальное значение для термодинамики . Пфаффовой фор
мой называется выражение вида
n
~ А;(х1 ...., Xn)dxi.
i=l
Приведем без доказательства некоторые результаты, касающиеся
. пфаффовых
форм от трех переменных
A1dx+A2dy+Aзdz.
(к)
Рассмотрим приведение этой формы к каноническому виду. Здесь
могут встретиться три случая:
1) форма (к) представляет собой полный дифференциал неко -
торой функции V:
71
в этом случае выnолняется условие
дА1
дАz дАz
дАз дАз
дА1
ау=~· а:;-= ау;~= а:;-
(л1)
2) условие (л 1) не выnолняется, но имеет место тождество
А1(дАz _ дАз)+Ао(дАз _~)+А(~_ дА2)=
az
ау
-
ах
az
.!
ау
ах О,
(л2)
в таком случае nфаффова форма (к) доnускает интегрирующий
множитель f! :
A1dx+A2dy +Aзdz= _! _dV;
(к2 )
/1
3) не выnолнены условия (л1) и (л 2 ). В этом случае пфаффо
ву форму можно привести к виду
A1dx+A2dy+Aзdz=dV+ _!_dW .
(кз)
/1
В качестве примера рассмотрим nервый закон термодинамики
для квазистатического обратимого процесса:
dQ=dU+dA;.
Если в качестве независимых аргументов процесса nринять темпе
ратуру 8 и объем V , то nредыдущее соотношение можно заnисать:
dQ= ~~ d8+ [( ~~ )u+P ]dV=A1d8+A2dV.
Нетрудно видеть, что правая часть наnисанного уравнения явля
ется nфаффо_вой формой, но она не интегрируема, nоскольку
дА1
дА? В
-- -av- =1= ----ав- · случае двух независимых переменных всегда мож-
но найти интегрирующий множитель f! (8, V) такой, что f!dQ окажет
ся, полным дифференциалом. Так, для идеального газа А 1 =coпst
и А 2 = R8/V, интегрирующий множитель определяется из решения
дифференциального уравнения:
R8 д11
R
-v- --а8 = -f!y-·
Интегрирующим множителем является величина, обратная тем
пературе: f! = 1/8.
2.4 .4. Понятие энтроnии.
Второе начало термодинамики
В учении о связи между различными видами энергии, наблю
даемой во всех явлениях природы, термодинамика выделяет из
72
всех видов энергии тепло. Эта мысль еще более nодч еркнута в н а
чалах термодинамики. Если, со гласно первому началу те рмодина
мики, всю механическую или другую энергию (скажем, эле ктромаг
нитную) в каком-либо единичном процесс е можно полностью nр е
вратить в теnло, то второе начало термодинамики говорит о том,
что обратное утверждение не в е рно .
Согласно второму началу термодинамики , невозможн о построит ь
такую периодически действующую машину, в каждом цикле кото
рой · происходило бьt полное превращени е взятого от теплового
резервуара тепла в механическую энергию.
Для более глубокой формулировки второго начала, отражающей
и количественную сторону , вводится новая функция состояния
энтропия. Под энтроnией nонимают функцию состояния термоди
намической системы, которая, так же как и полная энергия, зави
сит от механических координат и темпера тур ы.
При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 энтропия
изменится на определенную в ел ичину вн е зав исимости от п у ти пер е
хода:
(2.37)
Таким образом, в элементарном проце ссе приращ ен и е энтропии
ds является полным дифференциалом.
Количественная формулировка второго начала термодинамики
закюqчается в том, что для элементарного процесса по.1ный диффе
ренциал энтропии ds больше или равен приращению так называе
мого приведенного . тепла, т . е . отношения приращения внешнего
6Q'
теnла -
8
- , nолученного системой, к абсолютному з нач ен ию темп е -
ратуры :
6Q"
ds~- 1
"
-.
<")
(2.38)
Ра з ность значений энтропии поэтому для двух состояний си
стемы (2.37) больше или равна интеграл у
(2.38а)
взятому между этими состояниями. При этом знак равенства ха
рактерен только для обратимого процесса .
Таким образом, в случае обратимого термодинамического про
цесса для nроизвольнаго замкнутого цикла L интеграл равен нулю:
1
/23.Зак.N•51
ф dQ"
Le-=0.
73
(2.39)
2.4 .5. Обратимые и необратимые nроцессы
Понятия обратимости и необратимости явлений фундаменталь
ны и определяют природу всех физических процессов.
Процесс называется обратимым, если последовательность е го
состояний система может проходить как в прямом, так и в обрат
ном направлениях . При этом внешние притоки энергии в прямом и
обратном направлениях отличаются только знаками. Вообще,
если все уравнения состояния термодинамической системы для бес
конечно малых приращений параметров удовлетворяются при за
мене знаков этих приращений на обратные, то это значит, что та
кая система участвует в обратимом процессе.
Строго говоря, все реальные процессы в макроскопических мас
штабах чувствительны к направлению, и поэтому они являются
необратимыми . Однако многие реальные явления можно мод ели
ровать с помощью обратимых проц е ссов и считать термадинами
чески обратимыми .
Возвращаясь к общей количественной формулировке второго
начала (2 .38), отметим, что его знач е ние заключается в установ
лении критерия обратимости всякого происходящего в природе
явления. Для необратимого процесс а , связывающего два беско
нечно близких состояния, на основании (2.38) будем иметь
(2.40)
Для обратимого процесса в (2.40) следует взять знак раве нства.
В этом случа е , как уже говорилось, приращение энтропии равно
отношению приращения тепла, полученного системой в элем е нтар
ном процессе от внешнего источника тепла к температуре .
Неравенство (2.40) может быть з аписано в виде равенства
введением в правую часть дополнительного положительного слагае
мого:
(2.41)
где бQ 1 - некомпенсированное тепло.
Внешний приток тепла бQе в элементарном процессе может
быть как положительной, так и отрицательной величиной (отток
тепла), тогда как величина некомпенсированного тепла ( внутрен
него), возникающего в с истеме в результате необратимого термо
динамического процесса , в сегда положительна:
(2.42)
Физический смысл введенного слагаемого заключается в том, что в
реальных процессах в силу «внутреннего трения» в системе возни
кают как бы положит ел ь ны е источники тепла .
74
Соотношение (2 .41) можно записать е ще так:
бQ"
15Q '
ds= -е-+ -е-
или
(2.41а)
В соответствии с (2.41 а) приращение энтропии состоит из двух
частей: dse- обусловленного те плообменом с внешней средой, ds'-
обусловленных возникновением энтропии внутри сист е мы . Первую
часть называют потоком внешн е й энтропии, вторую - порождением
энтропии . Обратимость и необратимость всякого процес с а связана,
таким образом , с порождением энтропии .
Отметим также, что поток внешней энтропии определяется толь
ко теплообменом с внешней средой, тогд а как порожде ние энтро
пии н е зависит от теплообмен а и полностью обусловл е но измене
ниями механических координат (в рассматриваемом сл у чае- ком
понент деформаций) .
При построении конкретных моделей грунтовых сред , в которых
при определенном уровне напряжений, как правило, происходят
необратимые процессы, необходимо с помощью экспериментов и
тщательно провернемых гипотез выяснять з акономерно с ти возник
новения некомпенсированного тепла .
Остановимся на двух важнейших следствиях, вытекающих и з
соотношений (2.41) и (2.42):
а) в случае обратимого адиабатического процесса, т. е. при
бQ е =О и бQ1 =О, из (2.41) следует, что энтропия так о го процесса
не изм е няется (изоэнтропический процес с ) : s = const;
б) в случае необратимого адиабатического процесса, т. е . nри
бQ е =О, но бQ 1 =;60 , энтропия (точнее, порождение энтропии внут
ри системы) мож ет только расти: ds' >О. Это утверждение следует
из (2.41), если учесть, что второе начало те рмодинамики устанав
лива е т обязательную положит ельность н е компенсированного теп
ла (2.42) .
Второе начало термодинамики, как мы видим, определяет на
правление реальных процессов : адиабатические процессы идут
только в направлении роста энтропии, а неадиабатические происхо
дят так, чтобы бQ' было неотрицательным . Рост энтропии в изоли
рованной систем е означает, что условием равновесия такой си
стемы для внутренних термодинамических процессов может быть
только условие максимума энтропии.
Краткие, но весьма емкие формулировки двух начал термоди
намики даны в известной работе Р. Клау з иуса «0 различных удоб
ных формах основных уравнений механической теории тепла», опуб
ликованной в 1865 г.:
1/2 3*
75
l. Энергия Вселенной постоянна.
2. Энтропия Вселенной стремится к максимуму.
2.4 .6. Замечания по поводу некомпенсированного тепла
В предыдущем пункте мы говорили о том, что необратимость
процесса связана с порождением энтропии ds;. При этом, посколь
ку некомпенсированное тепло бQ; не зависит от теплообмена, а
является следствием лишь изменения механических координат,
утверждалось, что порождение энтропии тоже не зависит от тепло
обмена и
di_ бQ'
s- -в-·
(2.43)
Хорошо известно, однако, что теплообмен внутри замкнутой си
стемы представляет собой необратимый процесс. Легко показать,
что любой тепловой поток внутри изолированной системы между
ее элементами увеличивает энтропию системы.
Действительно, пусть от тела, температура которого 8 1, пере
шло в тело с температурой 8 2 под действием разности темпера
тур (в общем случае под действием градиента температурного поля)
некоторое количество тепла бQ. Тогда энтропия первого тела умень
шилась на величину ds1 = бQ/8 1 , а второго- возросла на вели
чину dsz = бQ /E>z. Общее изменение энтропии как аддитивной вели
чины составного тела равно (с учетом знаков)
ds=ds1-dsz.
В соответствии со вторым началом термодинамики теплота произ
вольно может переходить только от тела более нагретого к более
холодному. Поскольку 81 > E>z, легко видеть, что ds >О. Таким об
разом, в изолированной системе (состоящей в данном случае из
двух тел) энтропия возрастает.
Отметим, что в приведеином примере над телами не соверши
лось никакой механической работы, и поэтому увеличение энтропии
в данном случае не было связано с некомпенсированным теплом.
Увеличение энтропии произошло за счет необратимого процесса
теплообмена между двумя телами с различной температурой.
Соотношения в предыдущих пунктах выведены для бесконечно
малого элемента сплошной среды, характеризующегося единствен
ным значением температуры. Для системы конечного объема с не
однородным температурным полем для условия обратимости про
цесса недостаточно равенства нулю некомпенсируемого тепла бQ' =
=0. В конечном объеме сплошной среды имеются два различных
источника порождения энтропии. Первый из них - это некомпенси
рованное тепло бQ', второй - назовем его бq'- связан с потоком
76
тепла, вызванным необратимым процессом теплообмена в среде ко
нечных размеров под влиянием температурного поля.
2.4.7. Объединенная запись первого
и второго начал термодинамики
В предыдущих пунктах сформулированы и обсуждены первое и
второе начала термодинамики применительно к обратимым и не
обратимым процессам в деформируемой сплошной среде. Компакт
ная запись первого и второго начал термодинамики в случае ква
зистатических процессов dk =О может быть сделана на основе
(2.35) и соотношения (2.41). Их объединенная запись, называемая
обычно основным уравнением термодинамики, будет иметь вид
dv= -бN+8ds-бQ;;
(2.44)
Таким образом, приращение внутренней энергии dv элемента объема
деформируемой сплошной среды в реальном процессе может быть
выражено через приращения энтропии, работы внутренних сил и
возникшего некомпенсированного тепла.
Отметим также, что объединенная запись (2.44) может быть
представлена еще и в виде неравенства Клаузиуса:
E>ds?:dv+бN.
Длядбратимых процессов объединенная запись первого и второго
начал термодинамики вытекает из (2.44) при условии бQ' =О.
2.4.8. Термодинамические потенциалы
и условия термодинамического равновесия
Для исследования обратимых термодинамических процессов на
ряду с внутренней энергией и энтропией вводятся дополнительные
функции состояния - термодинамические потенциалы.
Предварительно рассмотрим подробнее для обратимых процес
сов объединенную запись первого и второго начал термодинамики:
dv= E>ds+ ade.
(2.44а)
Поскольку внутренняя энергия v является функцией мгновенного
состояния, а ее приращение- полным дифференциалом, то из
(2.44а) следует, что температуру можно найти как частную произ
водную от внутренней энергии по энтропии при постоянной дефор
мации:
Е>=(:~\•.
(2.45)
77
Для нас более важным следствием соотношения (2.44а) являет
ся то, что внутренние, поверхностные силы (напряжения) опреде
ляются как частные прои з водные от внутренней энергии по дефор
мации при постоянной энтропии (адиабатический обратимый про
цесс):
(2.46)
Следовательно, при адиабатическом обратимом процессе работа,
произведенная над системой, полностью пошла на увеличение ее
внутренней энергии.
Внутренняя энергия двухпараметрической системы рассматри
валась как функция двух независимых персменных s и Е. Если вы
брать за независимые другие две персменные из числа имеющихся
четырех- 8, S, (J И Е, ТО МЫ ПрИДСМ К формулировке друГИХ тер
МОДИНаМИЧеСКИХ потенциалов.
Свободной энергией называют термодинамический потенциал,
равный
F=v-E>s.
(2.47)
Приращение свободной энергии в элементарном процессе будет
равно, если учесть соотношение (2.44а),
df= -sdE>+GdE.
(2 . 47а)
Рассматривая теперь свободную энергию F как функцию двух не
зависимых персменных е и s, будем иметь
S=-( ~~ )le И G=( ~: )1е·
(2.48)
Из (2.48) следует, что в изотермических процессах работа , произ
веденная над системой, пошла на увеличение свободной энергии,
составляющей лишь часть внутренней энергии. Другая ее часть,
а именно E>s, должна рассматриваться как связанная энергия , рас
сеивающаяся в окружающей среде.
Энтальпией называется термодинамический потенциал Н, яв
ляющийся ф у нкцией независимых персменных s и G и равный .
H=V -(J€.
(2.49)
Дифференцируя (2.49) и учитывая (2.44а), соотношение (2.49)
перепишем в форме
dH = E>ds- ed<J .
(2.49а)
Физический смысл введенного потенциала выясняется, если поло
жить в (2.49а) напряжение постоянным. В этом случае
dH=E>ds,
78
,.
{'·
'·111
т. е. энтальпия равна количеству тепла, которое получает элемент
среды в изобарном процессе. Поэтому термодинамический потен
циал Н иногда называют теплосодержанием.. Из (2.49а), в част
ности, следует, что деформация в изоэнтропийнам процессе равна
частной производной от энтальпии по напряжению:
Е=- ( ~~ )ls'
(2 .50)
Термодинамический потенциал Гиббса определяется следующим
соотношением:
G=H-8s
(2.51)
или
dG= -sdE>-Edcr.
(2.51а)
Мы видим, что термодинамический потенциал Гиббса является
функцией двух независимых персменных е и G . Из (2.51 а) сле
дует, что
(2.52)
и деформация равна в изотермическом процессе частной производ
ной от потенциала Гиббса по напряжению :
Е=- ( ~~ )IH'
(2.52а)
Обобщая сказанное, обратим внимание на то, что в процессах,
протекающих без внешнего теплообмена (при Qe =О и s = const),
компоненты напряжения и деформации выражаются через произ
водные от термодинамических потенциалов:
О'=( :: )ls; Е=-(~~ )ls'
(2.53)
тогда как в изотермических условиях имеем
О'=(~: )18; Е=-(~~)IH'
(2.54)
Таким образом, в адиабатических процессах должна вводиться
в качестве «потенциальной энергии деформирования» внутренняя
энергия, а в качестве «дополнительной энергии деформирования»
энтальпия с обратным знаком . В изотермических процессах соответ
ственно - свободная энергия и потенциал Гиббса. Ясно также, что
если соотношения между напряжениями деформации линейны, то
в адиабатических процессах
79
(2 . 53а)
а в изотермических
(дF)
Е= --аа- j (-'1·
(2.54а)
При этом если зависимости (2.53) и (2.54) являются следствием
общих термодинамических соотношений, то (2.53а) и (2.54а) спра
ведливы при дополнительном условии линейности закона дефор
мирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Седов Jl. И. Механика снлошной среды. М.: Наука, 1973, т. 1, с. 536; т. 2,
с. 584.
2. Нова цки й В. Теория уnругости. М.: Мир, 1975, с. 872.
3. Т р и к о м и Ф. Интегральные уравнения. М.: Иностранная литература, 1960,
с. 299.
ЛЕКUИЯ 3
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ДИНАМИЧЕСКОй КОНСОЛИДАЦИИ ГРУНТОВ
Проблема консолидации воданасыщенных грунтов , которая ре
шается на основе интегрирования системы уравнений многофаз
ной среды, является в механике грунтов определяющей. Собствен
но говоря, механика грунтов выделилась из механики сплошных
сред благодаря двум основополагающим исследованиям: работе
Ш. Кулона о внутреннем трении грунта и работе К. Терцаги о
двух системах давления в воданасыщенном грунте и математическом
описании процесса консолидаL!ИИ грунта, сопровождающегося от
жатием поравой жидкости. Об з ор работ по проблеме консолидации
грунтов представляет самостоятельный интерес, раскрывая подчас
драматические ситуации , во з никавшие в процессе эволюции взгля
дов на решение этих основных вопросов механики грунтов. Крат
кий, но достаточно полный об з ор изучения этой проблемы содер
жится в р а боте [ 1]. Отметим только, что выдающийся вклад в раз
витие теории консолидации внесли советские ученые Н. М. Герсе
ванон [21 и В. А. Флорин (3, 4] . Их ранние работы 1934 - 1939 гг.
во многом определили дальнейшее развитие теории консолидации
для р е шен11я нрактических задач геотехники. Поворотным пунктом
в форму.1111ровке основной системы уравнений консолидаLlИИ грун-
80
тов явились результаты, независимо полученные в исследованиях
Н. М. Герсеванова и Д . Е . Польшина [5], В . А . ~лорина (6],
М. Био [7] и Я. И . Френкеля [8] . Системы уравнении в этих рабо
тах, полученные без привлечения дополнительных упрощающих
гипотез являются и в настоящее время основополагающими.
Пер~йдем теперь к выводу общей системы динамической тео
рии консолидации для трехфазной среды.
Грунтовая среда, как правило, состоит из трех фаз: жидкость,
газ и минеральные частицы, образующие «скелет» грунта. Каждая
из этих фаз подчиняется своим определенным законам деформиро
вания -уравнениям состояния. Под действием внешних факторов
фазы грунта, взаимодействуя, участвуют в формирован~и напря
женно-деформированного СОСТОЯНИЯ. Для ВЫВОда ОСНОВНОИ СИСТеМЫ
уравнений движения [9] с.ледует прежде всего рассмотреть два
вопроса: кинетику движения многофазного грунта и систему напря
жений, определяющих деформирование каждой фазы .. О системе
напряжений в трехфазном грунте подробно говорилось в лекции 1.
Напомним, что напряжения в поровои жидкости представляют со
бой шаровой тензор P w; давление в поравам газе, находяще~ся
в виде пузырьков, т. е . в виде uот~ельной фазы, <:бозначено р , а
тензор эффективных напряжении aif, определяющи~ деформирован~
ное состояние скелета грунта, представляет собои симметричныи
тензор второго порядка.
Принцип Терцаги определяет соотношение между компонента-
ми напряжений, действующими на грунт в целом (aii), и компо
нентами эффективных напряжений атf, от которых зависят дефор
мации «скелета» грунта . Этот принцип в своем классическом ва
рианте, как об этом подробно было сказано в лекции 1, записы
вается в форме
(3.1)
Напомним, что правило знаков для напряжений в «скелете~
г·рунта принято соответствующи~ правилу в механике сплошно"и
среды: сжатие- отриLiательныи; "растяжение- положительныи.
Сжимающие же давления в поровои жидкости и газе имеют поло
жительные значения, подчиняясь правилу знаков гидрогазодинами
ки. Этот классический вариант и будет использован ниже во всех
построениях. При необходимости и дополнительном э"ксперименталь
ном обосновании может быть применен обобщенньш принцип Тер
цаги, формулировка которого приведена ранее (см . леКL!И:О 1).
3.1. Кинем.атика движения м.ногофазмго грунта
В данной работе кинематика движения многофазного грунта
исследуется с точки зрения Л. Эйлера, т . е . все дальнейшие вы-
81
воды основываются на рассмотрении не индивидуализированного
объекта (элемента среды), а того, что nроисходит в данной точке
nространства: х 1 ; х2 ; х 3 • Геометрические координаты nространства
Х; и время t носят название пере.м.енньtх Эйлера . Движение счи
тается известным, если все интересующие нас величины (переме
щения, скорости, ускорения и т. д.) заданы как функции Х; и t . При
фиксированных х; и переменнам t эти функции определяют измене
ние со временем интересующих нас величин в данной точке nро
странства для разных, nриходящих в эту точку, частиц среды.
Скорости отдельных фаз грунта оnределяются следующим об
разом.
1. Скорость движения nоравой жидкости в грунте v"' = u"' вы
числяется, как обычно, по расходу ее Q"' в единицу времени через
единицу nлощади сечения nоровых каналов, по которым она nроте
кает.
В ТQ._ехфазне>_.м грунте nлощадь сечения пор, занятых жидкостью,
равна S"'=mwS* (S- эл~мент общей nлощади сечения многофаз
ного грунта ~ нормалью n). I_аким образом, скалярное nроизведе
ние вектора vw и вектора mwS равно расходу Q"', т. е .
mw(S, v"' ) =Q"'.
Скоростью фи{lьтрации жидкости называют nриведеиную ско
рость движения _уф, скалярное произведение которой на элемент
общей площади S определяет расход жидкости в единицу времени
через nористую среду :
(vф"'. s) =Q"'.
Скорость фильтрации является, очевидно, фиктивной ; в дальней
шем будем ее называть nриведеиной скоростью движения nоравой
жидкости. Поскольку расход жидкости через пористую среду не
зависит от введенных оnределений, то легко заnисать связь между
истинной и приведеиной скоросrями движения поравой жидкости:
v't' =
vtф ; v;'ф<v't'.
IТ1 щ
(3.2)
2. Аналогично определению скорости движения жидкости в по
ровом nространстве можно определить скорости движения газа
vF и vfq,:
(3.2а)
* Здесь nри ни ма ется, что nоверхностная nористость равн а объемной: sw /S =
= vw jv. Последнее сnраве дливо, если размеры пор nренебрежимо малы по срав
н е нию с рассматриваемым объемом грунта.
82
1>
1.-
i,.
3. Скорости движения «скелета» грунта связаны соотношением
sk
v~: ·
S
V;=
--'
S-'= m, .
m :.-
(3.2б) с
В случае рассмотрения движения квазидвухфазной грунтовой
т е грунта фазами которого являются «Скелет», состоя-
среды, · ·
'
"
ИДКОСТИ И «ГаЗИ-
ЩИЙ из минеральных частиц и nрочносвязнои ж
,
рова нная» nоровая жидкость (жидкость и газ движутся с одина-
.
wg равна
ковы ми скоростями), скорость фильтрации смеси V;Ф
(3.3)
где m - nористость грунтовой среды (m=m ", +mg) . Общая (то
тальная) объе мная деформация грунта равна
v
Ev= ~
d~=ln~о·
v"
Изменение об~ема грунта складывается из изменения объема
пор ;').y r и объема, занимаемого собственно минеральными части
цами грунта !:J.V ". Тотальная объемная деформация
грунта равна
V''+V'
s.. =ln~--
..
'
Vf>+Vt
(3.4)
Соотношение (3.4) применимо для описания больши~ деформа
ций грунтовой среды и носит название логарифмическои меры де
формации. При малых деформациях приращение объема относится
обычно к начальному медеформированному состоянию или к неко
торому среднему значению V . В дальнейшем будет рассмотрен толь-
ко этот случай:
Ev=
~V"+~V '
VP+V'
~е
гдее - коэффициент пористости , равный e=vr;vs.
Соотношение (3.5) может быть также nредставлено в виде
•
'sk
1:s
Еu=Еи + --- Ev,
l+e
(3.5)
(3.5а)
где Ё"/ _ скорость объемной деформации.5«скелета» за счет из~ене~
ния пористости единицы объема грунта; Ev- скорость объемнон де
формации минеральных частиц «скелета» за счет изменения плот-
ности самих частиц.
83
Тотальные деформации грунта с учетом (3.5а) определяются сле
дующим образом: ·
(3.6)
или
(3.6а)
Деформацию «скелета» грунта вызывают эффективные напря
жения, а объемную деформацию самих минеральных частиц - дав
ление в поравой жидкости Р"'. Так, при линейной связи между на
пряжениями и деформациями «скелета» грунта компоненты тоталь
ных деформаций грунта определяются из выражений
'
l [·е·
Л"·е·] -рш
Е··=-- а 1 -8
а.! -8m-- ·
'1
2fl''
'1
'1 ЗЛ"+2fl"
u
'1
s
к;,
(3.7)
'
l[l'ef
Ке-
•"' J
Е--- -а ---т Р
ll-кr3ll
к~: s
'
где
K"=ffle+Л".
Здесь К~- модуль объемной сжимаемости минеральных частиц,
а ле и !le- постоянные Ламе упругого закона деформирования
«скелета» грунта.
В заключение отметим, что компоненты тотальных деформаций
грунта можно представить в виде, удобном для дальнейшего рас
смотрения:
sk
-
Р"'
E=E-8m--
,1
'1
'J
s
к;.
(3.8)
В случае, когда сжимаемостью минеральных частиц грунта по
сравнению со сжимаемостью «скелета» можно пренебречь, т. е. мож
но положить К~-+ оо, компоненты деформаций грунта равны компо
нентам деформаций «скелета».
3.2. Уравнения изменения количества движения
Уравнения изменения количества движения применимы к каж
дой фазе многофазного грунта. Рассмотрим их последовательно.
А. Первую группу уравнений получим, применив закон измене
ния количества движения (второй закон Ньютона) к многофазной
среде «В целом». В интегральной форме применительно к квазиод-
84
~·,,
нофазной системе этот закон ранее (в лекции 2) был представлен
в виде (2.1а). Для многофазной системы в уравнениях (2.1а) ме
няется только левая часть. Составляющие количества движения
трехфазного грунта представляются в следующем очевидном виде:
С=~ [mspsvik + щ"p"''vt' + mgpgvf] dV,
(3.9)
v
а уравнения движения записываются:
(3.1 О)
i=1, 2, 3.
1>1
Здесь поверхностные тотальные нагрузки. Pm выражаются через
граничные значения компонент напряжении в обычной форме:
tot
tot
Рпi = a;j Пj,
а все скорости являются истинными.
Тотальные напряжения, в свою очередь, связаны с эффективны
ми напряжениями и поровым давлением соотношениями, вытекаю
щими из принципа Терцаги. Плотность грунта «В целом» р выра-
жается:
s
"'+
g
p=msp +тшр mgp'
(3.11)
где значками s, w, g отмечены величины, относящиеся с~ответ
ственно к минеральным частицам «скелета» грунта, поровои жид-
кости и газу.
•
в дифференциальной форме первая группа уравнении динамиче
ской теории консолидации записывается:
m5p
5
vfk + щ,,p"'vt' + mgpgvf = рХ; + a~J.'i·
(3.12)
i, j=1, 2, 3.
Если в качестве массовой силы действует только сила
при направлении оси х 3 противоположно направлению
член уравнения (3.12) рХ; принимает значения
рХ;= -8;зрg
и уравнение (3.12) имеет вид
•k
ш•." +
g•g
"'
+а'о/
msp
5
VJ+mwpv't
mgp v, =- u;,зpg
ij,j ·
тяжести, то
ее действия
(3.12а)
Б. Группа уравнений теории консолидации, определяющая дви
жение жидкости в пористой среде.
Процессы ламинарного течения жидкости могут быть описаны
85
как интегральной, так и в дифференциальной форме. Так, из (3.10)
для жидкости следует :
:t) p"' v;" dV =) p"' X;dV +) p~;d~.
v
v
r
(3. 13)
где p ;:';=cr~ni; cr ~ - напряжения в жидкости. Из (3.13) легко полу
чаем дифференциальные уравнения движения жи д кости в форме
известных уравнений Навье - Стокеа:
1дш
)
d
ш1 V;
+ww
_
w
ш....:_ шхш
w
р \dt Yj Yi.i =Р (j(Yi -р i +crij.j-
·(3. 14)
Если тензор напряжений в жидкости cr~ принять в форм е (закон
Паскаля)
(3.15)
то система (3. 14) совпадает ~ динамическими уравнениями движе
ния жидкости Эйлера:
ш дvt' - "'Х"'-о·Р"'·
рdt-р
t
IJ 'J·
(3 . 14а)
Такой закон для напряжений в поравой жидкости (3. 15) при
нят в предполож е нии, что поровая жидкость является идеальной и
давление в ней подчиняется закону Паскаля (тензор напряжений
шаровой), причем давление сжатия считается положит ельным, в от
личие от знака сжимающих напряжений в «скелете» грунта. Дей
ствительно, фильтрующая в тонких порах грунта жидкость ведет
се бя, в связи с аномальными ее свойствами вблизи ст е нок поровых
каналов, как некоторая упруговязкопластическая среда. Поэтому
тензор напряжений в поравой жидкости следует считать состоя
щим ИЗ двух слагаеМЫХ шарОВОЙ чаСТИ p w И НеКОТОрОГО ДОПОЛНИ
ТеЛЬНОГО вязкого тензора, т . е . вместо (3 . 15) мы должны записать :
(3 . 15а)
Град~:~ е нт дополнительного вязкого тензора FF" = cr~_'j представ
ляет собой некоторую объемную силу, которую следу ет добавить к
действующим на жидкость массовым силам . Поэтому уравнения
Эйлера вида (3.14а) могут быть исполь з ованы при рассмотрении
фильтрации жид1юсти в поровых каналах грунта, если под p"'X F
понимать объемные силы, состоящие как из сил вязкого сопротив
ления F)'"' , так и из массовых сил собственного веса - р"'gб ;з .
Непосредственное интегрирование уравнений (3. 14) примени
тельно к течению жидкости в грунтовых пористых средах затруд
нено, поскольку при движении жидкости или газа в порах грунта
происходит обтекание бесчисленного количества частиц и постанов
ка точных граничных условий практически невозможна. По предло-
86
.., _
.
,.
i.
'' f:
'
'· ~·
'1
111
жению Н. Е. Жуковского [см. 10] вместо формулировки таких усло
вий вводится суммарная объемная сила сопротивления, оказывае
мая движению жидкости при фильтрации ее через пористые среды.:
Объемную силу p'"" XF можно представить в виде суммы внешнеи
массовой силы и силы сопротивления.
u
Если внешняя массовая сила вызвана лишь деиствием силы тя-
же сти, то эти суммарные силы представляем в виде
p"' XF = -б;3p"'g+Gf',
(3. 16)
где g _ ускорение силы т~жести, направленно~ в "'сторону, обратную
направлению вертикальнон оси,- х 3 (рис. 3.1), G; - массовые силы
Жуковского, обусловленные сопротивлением движению жидкости
при течении ее в пористой среде. На основании эксперименталь
ного з акона Дарси эти силы пропорциональны скорости движения
Q
Хз
--===- ~ --
--
h~@=-=
-=-в~
<)SKQ
33
87
Рис. 3. 1. Распр е деление на
пряжений от собствен~оrо веса~
а- н е водонасыщенныи
слои
грунта; б - слой воды; в- во
дона с ыщенный слой
И направлены В С"Торону, прОТИВОПОЛОЖНУЮ ДВИЖеНИЮ ЖИДКОСТИ
или газа "в пористо~ среде. При течении жидкости или газа в дефор
мируемом пористаи среде по предложению Н. М. Герсеванова [2]
закон д~~си шФоgмул~руется по отношению разности приведеиных
скоро~~еи. m (v; -v; ) . Таким образом, силы вязкого сопротивле
ния G; выражаются в виде
G"'
""
m..(w
sk)
;=-рg~V;-v;,
ф
(3.17)
где" kф- коэффициент относительной фильтрации жидкости, имею
щии размерность скорости (см/с).
"В истинных компонентах перемещения вторую группу ура вне
. нии
можно представить в виде системы следующих шести дифферен
циальных соотношений :
w dv!'" +
"'' g
..,
sk
-
-
Р ----cJt щ,.р ~ (vi -v; ) = -б;iP~i- бщ,"'g. (3.18)
ф
Здесь приближенно принято, что градиентами изменения плот
ности жидкости по области можно пренебречь и р... -
среднее зна
чение плотности по области. При кв.азистатических движениях,
когда ускорениями можно пренебречь v'f =0, уравнение (3 . 18) вы
ражает закон фильтрации Дарен - Герсеванова, который может
быть пре!l-ставлен относ~;~тельно приведеиных скоростей движения
скоростен фильтрации w;=m .., . (vY" -vlk) в известном виде:
•
~~
mw
k
.
·k
W;=mwVi - --Vф
5
i = vфш -еvф·'. =- kф"' grad Н"'=- k"'i
m_,
1
1
Ф '(3.19)
где Н"'=~ :~: + х.з носит название напорной функции, а i =
= grad Н "' - градиента напорной функции .
Таким образом, закон фильтрации Дарен - Герсеванова запи
сывается в форме
w;= -kф Н.;.
(3.19а)
Величина коэффициента фильтрации жидкости в пористой сре
де зави~ит как от ге~метрии парового пространства, так и от вяз
ких своиств движущеися жидкости. Поэтому коэффициент фильтра
ции есть функция пористости грунта и зависит от коэффициента
вязкости жидкости . Обычно коэффициент фильтрации представляют
в виде
(3.20)
где k"' -относительная проницаемость, имеющая размерность пло-
88
1
•
•
1
щади (см 2 ); ч"' - коэффициент вязкости, имеющий размерность
Н·с
-т·
Относительная проницаемость грунта зависит, в свою очередь,
от насыщенности (от коэффициента воданасыщенности l w= m ", jm) .
Обычно относительную проницаемость выражают в виде
k"' =k"' _
f(l w),
1..,- 1
(3.21)
гдеk{=
1
-
проницаемость пористой среды при ламинарной фильт
рации'" жидкости , полностью заполняющей поравое пространство;
функция f определяется экспериментально и имеет вид, показанный
на рис. 3.2. При этом очевидно: f(\)=1; f(O)=O .
j;'f
Рис. 3.2 . Зависимость от
носительных прониuаемостей
жидкости и газа в nористой
среде от на с ыщенно с ти
Функцию f (lu:.) часто аппроксимируют выражением [ 11]
f(lw) = ( l.,-l.,.~ у,
(3.22)
1-1 .,00
где т- безразмерный параметр, принимаемый обычно для глинис
тых грунтов равным m = 3; l woo - минимальная водонасыщенность,
при которой начинается фильтрация свободной жидкости в nоро
вам пространстве. При степени водонасыщенности , меньшей l w"" ,
вся жидкость в глинистом грунте является прочносвязной и не
участвует в фильтрационном движении. На графиках рис . 3.3 нане
сены теоретические зависимости f (I w) при т= 3 и различных l шоо,
а также экспериментальные данные, заимствованные из работы
[ 12]. Коэффициенты фильтрации kФ исходя из формулы (3.20)
имеют размерность см/с, иногда их выражают в м/сут или мjгод.
Коэффициенты фильтрации для различных грунтов весьма раз
личны. По проницаемости грунты могут быть классифицированы
следующим образом :
Круnноблочные грунты
Пески .
89
-
1~г-------------------~
{0118-ь.
w = o:i56-o-
0,187-
Рис. 3.3. Зависимость nроница е мос
ти воды в твердой глине по данным
работы [ 12]
~0,8
(.)
о
~....
~
"'
::z::
~
:о.2
::s::
:::r
:s::
::z::
~
о
0,4
СТЕПЕИЬ ВОДО/JАСЬIЩЕНИЯ
Супеси.
Суглинки
Глины .
см/с
см/с
см /с
В. Группа уравнений, следующая из закона измен е ния коли
чества движения, для газо~ой составляющей грунта, может быть
записана аналогично второи группе уравнений в форме
д~+ g_g_( g
sk)
-,
Рdt
m.~-r kg
v,-v; =-б;p gi -бiЗfJgg.
ф
(3.23)
Здесь символом g обозначены величины, относящиеся к газовой
составляющей грунта.
Коэффициент фильтрации газа можно представить в виде, ана
логичном (3.20):
(3.20а)
Относительная проница емость газа kд зависит от насыщенности:
(3.2la)
Функц_ия cp(Iw) определяется экспериментально и имеет вид, пока
занныи на рис. 3 .2 . При этом крайние значения этой функции равны
ср(О) -1 и cp(l) =0. Следует иметь в виду, что практика опреде
ния коэффициента фильтрации и коэффициента проницаемости ос
нована ~а замерах удельного расхода жидкости, отнесенного не к
истиннон площади поровых каналов, а к общей площади образца ,
т. е. опр;деление коэффициента фильтрации основано на замерах
скоростен фильтрации (или приведеиных скоростей: v;'ф = mwv,"' ).
Закон Дарен, полученный экспериментально, дает связь между
90
t1
осредненным значением скорости фильтрации и градиентом давле
ния и может быть записан как по отношению к истинной скорости,
так и по отношению к приведеиной скорости, называемой скоростью
фильтрации жидкости через пористую среду. Коэффициент фильтра
ции, т. е. коэффициент пропорциональности между скоростью фильт
рации и градиентом давления, зависит как от гео метрии парового
пространства, так и от вязких свойств жидкости, проявляющихся
при течении в порах грунта. Закон фильтрации может быть также
найден теоретически, если рассмотреть задачу о течении вязко
пластичной среды в длинной круглой трубе- задачу Букингама.
3.3. Вывод закона Дарси
Рассмотрим установившееся осесимметричное движение в длин
ном поровом круг лом канале радиуса R несжимаемой жидкости,
характеризуемой, в соответствии с реалагической моделью Винга
ма - Шведова, вязкопластическими свойствами . Реологические
свойства в жидкости , по С. В . Нерпину и Б. В. Дерягину, обнару
живаются при течении ее в тонкопористых средах в связи с физи
ко-химическими процессами, проявляющимиен на границе раздела
между подвижной и неподвижной (рыхлосвязанной и прочносвя
занной) жидкостью [13] .
В системе цилиндрических координат r, е, z (рис. 3.4) для рас
сматриваемой задачи очевидны соотношения
v,=O; v8 =0; Ё"=Ё88 =Ё,8 =Ё8,=0; Ё,,. *О ;
G,~J= Ge, =О; G"=<Уев=<Уи=р"'; <Уrг*О.
По условию несжимаемости Ё"+Ё&е +Ёгг =О, откуда Ёи =О и v ,. =
=v ,. (r) - скорость движения жидкости в поровом канале зависит
только от радиуса г. Согласно модели Бингама- Шведова,
(а)
где cr~' * - предел длительной прочности вязкопластичной жидкости
на сдвиг; ч"' - коэффициент вязкости жидкости .
Рассматривая уравнение равновесия (без учета инерционных
членов), получим
~=О· да" + ~- др"' =0
дг
'
дг
г
дz
.
(б)
Отсюда следует, что р "" не зависит от r , следовательно, поскольку
а, ,. - функция только радиуса, градиент давления по оси парового
канала- величина постоянная. Обозначим.его через
91
.
1 др"'
1=-- --
p"'g дz .
(в)
Тогда интегралом второго уравнениЯ равновесия (б) является функ
ция продольной скорости течения [14]:
v , =- p'". gi (R2-r2)+ а.~* (R-)
4ч "'
11 "'
r.
(3.24)
Здесь использовано граничное условие, состоящее в том, что
жидкость прилипзет к стенкам парового канала , т. е. v , =O при
r = R . Полученное решение имеет смысл только при 1Огг 1 ~о;' *,
()
дv,
т. е., как это видно из а , при ~ ~0. Из (3.24) следует при
2 "'*
этом, что решение имеет смысл при r ~ .а~ (см. рис. 3.4). Скорость
lpg
возрастает по параболическому закону от нулевого значения на стен-
2а•*
ке канала до максимального значения при r* =--'-.У стенки кa
ip• g
ip• g
нала Огг= -
2
-
R и затем уменьшается до значения Огг =о:'* на
границе недеформируемого ядра. Течение вязкопластической жид-
Рис. 3.4. Эпюра ра с
пр еделения с коростей и
наnряж е ний сд вига nри
теч е нии
вя з коnластич е
ской жидкости в порон о м
канале р а диусом R
кости по каналу радиуса R, очевидно , возможно при условии, если
градиент напора i превысит величину
. -........ .*
2cr;"*
1,;::::::;1 =---
Rp•g
Вычисляя объем протекающей жидкости
(м 3 /с) через площадь парового канала
92.
(г)
в единицу времени
~.
"
j..
tf
R
Qo=2n Jrv гdr,
получим после ряда преобразований формулу Букингама:
Qo= ;:~ p"' gi[l- 3~ ( ;;;i) + ;:. ( ;:;i YJ. (3.25)
В случае идеально вязкой жидкости- а~ *= О количество .протекаю
щей жидкости пропорционально градиенту давления 1 и равно
Qo= лR~ p"' gi (закон Гагена - Пуазейля). Скорость фильтрации,
8ч"
определенная по расходу жидкости и отнесенная к площади образ-
ца, в этом случае равна
R2m _.
w.
w
К"' .
~z w·
vФ=-
рg1=-рg-
.-- 1= -·'ф'•
вч·
ч·
где
w
w
К"'
lz" =p g-
•.
''ф
1l
Таким образом , скорость движения жидкости в поровом простран
стве подчиняется закону, по форме совпадающему с эмпирическим
законом фильтрации Дарен, а проницаемость грунта пропорцио
нальна квадрату радиуса парового пространства. Существует много
подтвержденных экспериментально полуэмпирических формул (в
основном для песчаных грунтов), определяющих пр~~ицаемость
грунта по квадрату эффективного диаметра частиц d1 o и порис
тости . Например, формула Козени [см . 10]:
т~.
K"'=8,2dтo---."..
(t-m ., )2
Можно назвать также формулы Слихтера, Терцаги, Газена, Зауэр
бреяит.д.
В случае, когда a ~*=FO. закон фильтрации следует из (3.25)
в виде нелинейного, относительно градиента напора, соотношения
vФ = -kф(i-A+ ~) [см/с],
(3.26)
8(а"'*)
гдеА=-3R
---;;..-
;
'
рg
\б(<J~*)4
В= -- -- - некоторые
ЗR4
p•g
константы .
* Эффективным диаметром называется такой диаметр шарообразной частицы
d
10
,
при котором сумма всех фракций , н а чиная от нуля н кончая этим ди а мет-
ром, составляет 1О%.
93
Уравнение (3.26) можно назвать обобщенным или нелинейным урав
нением фильтрации. Графическая интерпретация этого уравнения
показана на рис. 3.5 . Как видно, закон фильтрации существенно
Рис. 3.5 . Зависимость ско рости фильтра·
ции жидкости v Ф в поровом nространстве от
градиента давления i
нелинеен и асимптотически стремится к линейному vФ = - k ф (i-A)
при больших градиентах напора. При этом величину А не следует
~отождествлять с начальным градиентом напора , поскольку эта ве
. личина
может значительно отличаться от действительно началь-
ного градиента, определяемого из условия i0 -A+ ~ =0.
lo
Интересное развитие указанного подхода к формулировке закона
фильтрации дал Н. В. Чураев [15].
Предыдущий вывод относился к пористым средам, характеризуе
мым одинаковыми размерами пор . Реальные дисперсные среды об
ладают, однако, различным распределением пор по размерам. Пусть
cp(R) -функция распределения объема пор по размерам, напри
мер, показанная на рис. 3.6. При этом должно выполняться оче-
Rщu .··
видное равенство ~ cp(R)dR=l. Значение R* найдено ран ее
R min
·
2а"'*
иравноR*= -
.. .' - ., причем в порах меньших размеров R < R* при
p·gl
данных а?' * и i фильтрация происходить не будет. Фильтрация жид-
.
2cr~*
.
2cr~*
кости начнется при градиенте 1~ =
.,
·
;апри1~*=
"'·
в ра-
Р gRтux
Р gRmin
боту будут включены все поры и фильтрация будет происходить
по всему объему парового пространства . Можно сказать, что в пер
вом случае не все поры «проводящие» и таким образом не вся
94
'li
'.i
R""'"'
J'f (R )dR=1
R. min
.....
о"=~
" .Г~L
R
Рис. 3.6 . Функция расnределе·
иия объема пор по раз мерам
пористость активная, а во втором вся пористость грунта становит
ся «проводящей»:
Беря за основу формулу Букингама, вычисляем расход жидкости
по формуле
R,.," ,
F
Q= ~ Qo л; ;· cp(R)dR,
R*
где Q0 - расход , определяемый по формуле (3.25) ч е рез единичный
поровой канал радиуса R; F- площадь образца; лR
2
- площадь
единичной поры радиуса R; ер (R) - функция распределения объема
пор по размерам .
Выполняя все преобразования, по-прежнему придем к формуле
вида (3.26), но с иными значениями параметров kф, А и В, завися- .
щи ми, в отличие от (3.26), от параметра и з менчивости функции
распределения а=< R > ja . Так, при достаточно узком распреде
лении а> 5 влиянием гетеропор истости можно пренебречь, а при
а-*1 уравнение фильтрации значительно бу дет отличаться от сред
с одинаковым распределением пор по размерам, особенно в области
малых градиентов напора, и в этом случае начальный градиент на
пора будет равен нулю. Последнее, например, характерно для тор
фяных грунтов. В заключение рассмотрения вопроса о законе фильт
рации укажем, что если даже считать закон Дарен линейным, при
уплотнении грунта проницаемость его может для некоторых видов
грунтов значительно уменьшиться. Это очевидно, если учесть пря
мую зависимость проницаемости пористой среды от квадрата ра
диуса пор . При уплотнении и изменении в связи с этим пористости
грунта уменьшаются размеры его пор:
kф=kф(OI'IJ(p'k ).
(3.27)
95
К настоящему времени предложено несколько разновидностей
подобных зависимостей. Наиболее удачной является зависимость,
которую мы неоднократно использовали в своих расчетах [9] :
(3 . 27а)
или, иначе,
(
,.
)
kф'= kф(о)ехр\а _r.
_•o____€
...:.
·,. _
·
рш
1+1' ,,
(3.27б)
На рис. 3.7 приведена типичная зависимость коэффициента фильт
к;,см;с
Рис. 3.7 . Зависимость коэффициента фильтрации жидкости в глинистом
грунте kф от nлотности «Скелета » грунта р·'•, числа nластичности i p и содер·
жания мелкозема m < 5 (частиц диаметром менее 5 мм) по данным. 1 -:
4 - - В. М. Веселовского nри Ip=0,\95; 0,114; 0,110; 0,0675 соответственно,
5 - 9- геотехников канала им. Москвы nри Ip=O,OI; 0,03; 0,07 ; 0.12; 0,30
соответственно; 10 - С. И. Митина; 11 -Н . А . . Красильникова nри l p=
=0,138; 12 - 14
-
И . С. Ронжина - щебенисто-суглини стый грунт, содержа·
щий 80, 60 и 40% мелкозема соответственно
рации от плотности, полученная экспериментально. Таким образом,
коэффициент фильтрации жидкости в частично насыщенном (трех
фазном) грунте может быть представлен в виде
kф(З) = kф(2) f(Jw) ,
96
где kф( 21 -коэффициент фильтрации жидкости в полностью водо
насыщенном двухфазном грунте, а функция насыщенности f (1 w)
дается выражением (3.22). В свою очередь, коэффициент фильтра
ции жидкости в полностью воданасыщенном грунте зависит от уплот
нения грунта (см., например, (3 .27)). Поэтому в общем случае
можем записать:
(3.28)
Последнее, на что необходимо указать, - это верхний предел
nрименимости закона Дарси . Он справедлив при следующих чис
лах Рейнольдса*:
Re= vФ"'d ~3-;-10,
v
где vФ . скорость фильтрации, см/с; d - средний линейный раз
мер частиц, см; v"' -кинематическая вязкость v"' = чw j р "' , см 2 jc.
Для воды vw=0,018 см 2/с и, следовательно, vФd~ (5,4-; -
-;-18) ·10- 6 м2/с.
3.4 . Закон сохранения массы
В этом разделе рассмотрим уравнения, следующие из общего
физического закона сохранения массы вещества, применив его к
каждой фазе Грунта :
dm
1
ctt~o. где m=JP(~.t)dV(~).
v
В лекции 2 было показано, что уравнение неразрывности для одно
фазной среды записывается в форме (см. (2.7))
~+Рdivv=O
dt
или
др
-
m+divpv=O.
Это же уравнение можно записать в обще й форме уравнения со
хранения:
дС
-
--=-divl
д!
'
(3 .29)
где под С понимается концентрация массы рассматриваемой физи-
* Чи сло Рейнольдса оnределяет nорядок величины отношения сил ин е рции
(v2/ L) к силам вязкости (vv/ 1. 2).
4. Зак. N• 51
97
'll'CKOЙ величины в единице объема, кг /м 3, Г- плотность потока
данной физической величины (количество изучаемой физической
величины, переносимое через единицу площади в единицу времени,
кг/м~·с).
В случае, когда следует учесть происходящие в среде физико-хи
мические явления, в результате которых появляется источник или
сток массы вещества с интенсивностью q (кг/м 3 ), уравнение сохра
нения массы записывается:
dm
_d_t _ =q,
или, в обозначениях (3.29), д С/ дt =q- div Г
(3.29а)
Применительно к рассматриваемым фазам грунтовой системы вели
чины, входящие в (3.29а), равны значениям, указанным в табл. 3.1 .
Переменнан
с
!,
q
«Скелет>>
msr·~
mspsv·ik
о
Жидкость
Таблица 3.1
Газ
mgpд
mдpдvf
q~·- ~,щ,.Р"'
Выражения для концентрации и плотности потоков, приведеиные
в таблице, очевидны. Выражения для интенсивности источника в
жидкой и газообразной фазах требуют некоторых дополнительных
пояснений. Интенсивность источника (стока) жидкой фазы опреде
ляется величиной qW, характеризующей процесс выделения (погло
щения) жидкости в агрегатах минеральных частиц (н.апример, вну
триобъемное набухание агрегатов) и величиной ~,mu:.Pw, определяе
мой законом растворимости Генри.
В соответствии с этим законом, как известно, при изменении
давления в смеси «жидкость+ растворенный газ» на L'lPcc' из смеси,
занимавшей объем V CL'R • выделяется (поглощается) масса газа
L'lM~< = р~< L\ V ц. равная
L'lMg= pg!'l У R= - ~,V wgi'lP"',
или, в единице объема грунта,
ц:1Уц __j:
L'lP"'
ру-
~,mw
,
гж· ~., с~/м2
·-
постоянная закона Генри. ·
(3.30)
llоэтому при повышении давления в единице объема грунта в
l'ltl111111tY В[Н'мени произойдет увеличение содержания жидкой фазы
98
за счет растворения в ней газа на величину ( ~,mш ~~·· ) . В газовой
фазе в силу этих же обстоятельств произойдет уменьшение содер-
/
~Р"' )
жания газа на величину \- ~,mw ---м-
. В ели чина q6 определяет
выделение (или поглощение) газа , происходящее в силу протека
ния каких-либо физико-химических или микробиологических про
цессов в грунте.
Уравнения (3.29) могут быть теперь записаны в следующем
виде:*
!}_(p"m )=- (p"mV
5
k) ··
дt
s
s1
,!,
(3.31)
К уравнениям (3.31) следует добавить очевидное соотношение
ms+mш+mR=1.
Система уравнений (3.31) может быть упрощена. Очевидно, гради
ентами изменения пористости и плотности по сравнению с градиен
тами изменения скоростей смещения фаз грунта можно пренебречь,
полагая (msvfk),;::::::;msvf.~ и т. д.
Из. закона растворимости Генри следует также полезный прак
тический вывод: для растворения содержащегося в поравой жид
кости объема V "''~< воздуха в объеме V~< необходимо создать давле-
ние в жидкости Р"':
·
Р"'=~ ~=(~) ·4,8::::::;
m"'V G,
Уши
3.5. Определяющие уравнения поровой жидкости и газа
Для газа, присутствующего в грунте в виде отдельных пузырь
ков, справедлив закон Бойля - Мариотта:
(3.32)
гдерg-плотностьгаза; величина x=RT/[t (R=2 кал
-уни-
\
град· моль
* Здесь не указан источник в твердой фазе грунта за счет изменения коли
чества связанной воды.
99
4*
версальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура; !l-
молекулярный вес, г /моль).
Для газа, растворенного в поравой жидкости, справедлив за
кон Генри (3.30). Совместное рассмотрение законов (3.32) и (3.30)
приводит к соотношению
(3.33)
Отметим, что О~ ~,х < 1 -безразмерная характеристика газона
сыщенной поравой жидкости. Значение безразмерного комплекса
при нормальных условиях легко вычисляется* и равно
1:
= {0,0220
ь,х О
при
при
O~Iw<1;
Iw= 1.
(3.34)
Собственно жидкость (дегазированная) сжимается, подчиняясь за
висимости
(3.35)
Обычно считается, что модуль сжимаемости дегазированной жид
кости при нормальных rсловиях (при атмосферном давлении и
20°С) равен: Kw=2,1·10 МПа.
Экспериментальными исследованиями, однако, установлено, что
модуль объемной упругости жидкости, вообще говоря, не является
константой. Зависимость модуля объемной упругости от давления
можно представить (до давлений ~ 2 · 103 М Па) в виде [16]
Kw =Х1 (Pw + pw*).
При этом безразмерный коэффициент х 1 не зависит от температуры,
а на величину параметра pw* существенно влияет температура жид
кости. Для воды Х1 =6,5 и pw*=125 МПа при 20°С. Нетрудно за
метить, что при pw = - pw* модуль объемной упругости жидкости
стремится к нулю, что физически означает распад жидкости во
всем объеме. Иными словами, величина pw* численно равна макси
мальному отрицательному давлению, которое может быть приложе-
* Параметр х для воздуха равен
х= RT =8,32·10
4
м2/с2•
ft
КоэффицИ('НТ растворимости воздуха в жидкости определяется:
\/ цРц
0.204м 3
pR
522
(:"= --. =
--. -
·
--
=0,0269·10- ·
с' /м.
У'"цр ···
1м" 1ат
100
'
•.· ·
'
.
:~
1
1.
но к жидкости. В действительности разрыв реальной жидкости на
чинается при значительно меньших отрицательных давлениях. Так,
для воды экспериментально установлено, что это давление равно
28 МПа. Это объясняется, в частности, тем, что в жидкости всегда
присутствуют пузырьки газа и прочность жидкости зависит от раз
меров этих пузырьков.
Прочность жидкости при разрыве на пузырьке газа тем меньше,
чем больше объем пузырька (рис. 3.8, а). Опыты показывают, что
при устранении пузырьков газа путем воздействия давления поряд
ка 100 МПа объемная прочность на разрыв жидкости существенно
увеличивается. Экспериментально найденная объемная прочность
воды зависит также в большой степени от температуры (рис. 3.8, б).
а
10
зо
ТЕМПЕРА1VРд
50
Рис. 3.8 . Объемная прочность воды при разрыве на пузырьке газа: в зави
симости от радиуса (а); в зависимости от температуры (б)
Легко подсчитать сжимаемость смеси жидкости и газа, находя
щейся в порах грунта, считая, что эта смесь состоит из жидкости,
газа, растворенного в поравой жидкости, и газа в виде отдельных
пузырьков.
Пусть сжимаемость указанной смеси подчиняется следующей
общей зависимости:
dVwg
Ywg
Kwg '
где Kwg- модуль объемной сжимаемости смеси.
(3.36)
Для определения модуля сжимаемости смеси Kwg при перемен
ной воданасыщенности представим соотношение (3.36) в виде
101
dV•.g
dV~+dV.,
dV~ -dV~+dVw
dP"'
V"'.О
Vw~
V"'R
К"'д '
(а)
где dV ~ - изменение объема, зан имаемого газовыми nузырьками ;
dV~ - изменение объема газа за счет поглощения (выделения) из
жидкости (nри изменении давления) в количестве , оnределяемом
законом Генри; dV., .
-
изменени е объема У"'' занимаемого собствен
но баратроnной жидкостью . Пр е дыдущее соотношени е n ереп ишем:
dV.ц = d~~ (l-lш) _ dV~ С,.+ dV. !..,..
v•· g
vg
v"'
v"'
(б)
На основании законов сжимаемости окончательно nолучим
dP"'
dP"'
~
dP"'
d1'".
-=(1-1..,)-д +(;гХJ",-~ +J." -
.
К•.д
Р·
Р
К.,
(в)
Здесь i ш - степень воданасыщенности I "'' = V ш/ У o.• g· Выражение для
объемного модуля сжатия смеси К шR' nринимает вид
-
1
-
=
[1- (1-х~г)lш] -
1
-д+~.
К•.ц
Р
К.,
(3.37)
где безразмерный комплекс nараметров х~г оnределяе тся значения
ми в соответств ии с (3.34).
В nроцессе консолидации nроисходит непрерывно е изменение
насыщенности грунтовой системы, оnределяемое соотношением
Л . С. Лейбензона !10] :
Pg
"
(3.38)
1- (1-хЦ 1~.(1-Рд)Р3)
'
где Р ~- атмосферное давление в газе.
Соотношение (3.38) nроверялось нами эксnериментально. Ре
зультаты эксnериментов по трехосному сжатию лессовидиого суглин-
"
рд /Р3
рд
ка в условиях закрытои системы в координатах
(Oi--
неизмен-
t•.;t"'
pg
но nредставляли собой nрямую линию (рис. 3.9), nараметры кото
рой отвечали значению безразмерной nостоянной х~Г' равной 0,02 ...;-.
...; -.0,022 .
Отметим, что, как уже указывалось ранее, под действием nора
вого давления возможны объемная деформация минеральных час
тиц грунта и изменение nлотности этих частиц. Однако в дальней
шем для nростоты будем nренебрегать сжимаемостью минеральных
частиц грунт? и на основании (3.8) всюду д?лее за_писывать вместо
ufk; v fk; E-lik; siik соответственно u;; E;i и v;-u; или Eij.
102
r
.
.
•:
;, ·,
у.,:.
.,.
ii ~;
li
'l\,,
1
~J
~
5
4
з
2
/.:
~~/
/~
/ ~ ·ll g влажное. СТЕПЕНЬ tgo(;
~Ji ГP!IHTCI ВОДОНQС J.:(J-~f) 5,х
zC:
w
J::V
о
//
~
1 0,219 0,870 0,868 0,003
2 1 0,206 0,821
0 ,816
0,006
-·····--·
1
!
1
о
2
4
5
6
Рис. 3.9. Опр еделение характеристики ~г (х) газона с ыщенной поровой
жидкости. Трехосны е и с пытания лессовидиого суглинка в условиях закры
той системы
3.6. Капиллярное давление
В nредыдущих соотношениях фигурировала величина давления
в гаЗе Pg. Для ее оnределения необходимо ввести доnолнительно
nонятие о каnиллярном давJiении. Если две несмешивающиеся жид
кости соnрикасаются, то на границе между ними возникает скачок
давления, величин а которого зависит от кривизны nоверхности раз
дела'и удельной свободной энергии поверхности раздела*.
* Удельной свободной энергией поверхности называется потенциаль ная энер
гия молекул, находящих с я в пов е рхностном слое, рассчитанная на единицу пло
щади поверхности. Коэффициент поверхност ного натяжения измеряется работой,
необходимой для увеличения площа д и поверхности при постоянной температуре на
единицу, или его можно определить как свободную энер гию единицы площади этой
пов е р х ности. Так , при увеличени и радиуса жидкой сферы ра стет поверхностная
энергия. При уменьшении ра д иуса капли повер хностная э нергия у меньшается. Это
з начит, что работа пр оизводится силами, действующими в самой капле . Отсюда
следует , что жидкость п од с ферич ес кой п оверхностью все гд а с жата, т. е испыты-
вает до iiолнительное давление .
.
Работа сжатия dA по д действием этого давления при уменьше нии объема на
dV равна dA = pdV. Уменьшени е поверхност ной энергии определяется выражением
dF = yd2:, где d2:=8лrdr, а dV=4лг 2dr (2:=4rir
2
; V= ~ лг3). Поскольку dA =
2у
= dF, получим частный случай формулы Лапласа р =-г-. Дополнительное давле-
103
Этот скачок давления называется капиллярным давлением ре
и опр еделяется формулой Лапласа:
ре='\'1 .2(__.!___ +
__.!___).
г
г'
Здесь г и г' - главны е радиусы кривизны; у 1 .2 - удельная сво
бодная энергия поверхности р аз дела. Удельная свободная энергия
поверхности р аз дела, или пов е рхностное натяжение, имеет размер
ность силь1, дел е нной на длину (Н/м) . Существует несколько мето
дик эк с перим е нтального опр еделения коэффициентов поверхност
ного н а тяжения. Эти данные для воды при комнатной температуре
приведены в табл. 3.2.
В еще ство
Вода - эфир
Вода - бензол
Вода -- ртуть
y,,2 ·lO' Н/м
12, 2
33,6
427,0
В е щество
Вода - возду х
Вода - стекло
Таблица 3.2
YJ .2 ·l0
3
Н/м
73,0
о
В гру нтовой среде в контакте со стенками парового канала,
обра зо ванног о минеральными частицами грунта , находятся порсвая
жидко сть и га з. Пов е рхность раздела между жидкостью и га з ом
подходит под у глом а к тве рдой сте нке. Этот угол называется
кон.тактн.ым углом и определяется уравнением Юнга, вытекающим
из требования минимума свободной энергии системы в состоянии
равновесия:
y,, g -Ys. "'
cos et=
,
Yg.•·
где Y s.g - свободная энергия поверхности разде ла между материа
лом «скелета » грунта и газом ; У s.ш - м е жду материалом «скел е та»
грунт а и жидкостью ; Yg."'
-
между газом и жидкостью.
Для обычных условий y s.g > Ys. w
и угол а< л/2 - острый
(рис. 3 . 10). Последнее оз нача ет , что жидкость смачивает минераль
ные частицы и поэт о му стр е мится самопроизвольно проникнуть
внутрь среды вдоль стенок пор и вытеснить газ. Смачивающая
жидкость стр е мится за полнить прежде всего самые маленькие поры.
Проникновени е Жlщкости прекратится , если давление в вытесняе-
пис. опр еделяемо е формулой J Jапла са , направл е но к цен'i') криви з ны поверх но сти.
Поэтому в случае выnускаемой поверхности оно направлено внутрь жидкости и до
Сiав.няется к нормальному давлению жидкости.
104
Рис. 3. 1О. Сма ч ивание ми
н е ральны х частиц жидкостью
в не полностью воданасыщен
ном грунт е
lэs минеrальный скелет 'i~w
мом га з е будет больше величины давл е ния в поравой жидкости
как раз на величину капил л ярного давления , т . е.
pg= Р"'+Ре; Р' =yg,w(+++-) .
(3.39)
В более обще м случае, при наличии насыщенного пара жидко
сти с упругостью (давлением) , равной p gr, давление внутри газо
.вого пузырька будет равно
pg= Р"'-pgr+Ре,
(3.39а)
где капиллярное давление при сферической форме газового пузырь
ка (г=г') равно P c =2Yg . w /г. Капиллярное давление обусловливает
поднятие смачивающей жидкости или опускани е несмачивающей
жидкости в капилляре.
Если мениск жидкости принять за сферическую поверхность
(г= г'), то между радиусом мениска г и радиусом капилляра R
существует простая зависимость R =г co s а, а при полном смачи
ваниИ cos а= 1 и R =г . Формулу для определения поднятия жид
кости в капилляре радиуса R можно записать по Жюр е ну в виде
h
= 2y.,,g cos а
Rgp"'
.
Оrсюда следует, что высота поднятия жидкости обратно пропорцио
нальна радиусу капилляра. Например, для воды при полном смачи
вании и при температуре 20°С высота поднятия h =О, 15/ R [см] .
Следует отметить, что, поскольку капиллярное давление зави
сит от радиуса пузырька газа, то, следовательно, капиллярное дав
ление есть функция насыщенности грунта ре (Iw).
Известно несколько способов определ е ния капиллярного давле
ния и его зависимости от насыщенности . Среди них два метода наи
более распространены: м етод пропитки и метод вытеснения. Важно
отметить, что полученные по этим двум м етодам з ависимости ре (1 ", )
не совпадают (рис. 3 . 11) . Это явление получило название капил
лярного гистер езиса [ 17] .
Различие между кривыми зависимостями капиллярного давле
ния от насыщенности, соответствующими двум указанным методам,
связано с тем, что контактные углы, обра з уемые твердыми стенка-
1
/24.Зак.N•51
105
1,0
0,6~
0,2
о
2
Рис. 3.11 . Зависимост ь к а пиллярного д а вления от на с ыщенности: капил
лярный гистерезис (а); связь остаточной насыщенности с проницаемостью
(б)
ми и поверхностями раздела «газ - жидкость » , неодинаковы при
пропитке и вытесн.ении . Явление капиллярного гистерезиса легко
иллюстрируется на пример е чернильницы-невыливайки. Этот эффект
можно набщодать в каnи л ляре с переменным по длине радиусом
поперечного сечения. Для большинства пористых сред наблюдается
определенная зависимость между оста точной насыщенностью и про
ницаемостью, nотому что обе эти величины свя з аны с ра з мером
пор (рис. 3, 11, 6).
Поверхностные явления в жидкости на границ е ее с минераль
ным «скелетом» влияют и на прочность жидкости. Это особ е нно
важно, когда решается nроблема д инамической консол идации водо
насыщенного грунта. При возникновении растягивающих напряже
ний в жидкос т и предельн ое ее сопротивление ра з рыву должно быть
учтено, с тем чтобы ограничить пер едачу на воду отрицат ельных
поровых давлений. Как уже говорилось выше, объ е мная р е альная
прочность воды определ ена величиной Р "' * =
-28 М Па . Однако
разрыв в жидкости может произой т и не в объем е , а на границе
раздела меж ду нею и мин е ральным « скелетом » гру нта. Тогда, в за
висимости от смачиваем ос ти, т. е. в зависимости от краевого угла
а., оnределяемого уравн е нием Юнга, эта прочность может быть з на
чительно ниже , чем об ъе мная прочность поравой жидкости на раз
рыв. На рис. 3.12 показана графически эта зависимость [16] . Опыт
ным путем уст анов JJ ено , что адсорбция даже небол ьшага колич ества
вещества н а ст е нках п о ровых кана л ов может у вел ичить краевой
угол для воды и снизить соnротивление разрыву в 2-1О раз.
Более подробные сведе н ия о капиллярных явлениях в грунтах мож
но найти в книге М . Н. Г ол ьдштейна [18].
106
~ ....
w:fl w•
PnaJ. РО6ъом
Ри с . 3. 12 . Влияние угла смачива
ния на nрочность жидкости
3.7 . Основные уравнения теории динамической
консолидации квазидвухфазньtх грунтов
Напомним, что квазидвухфазный грунт- это грунт , характери
зуемый коэффициентом воданасыщенности Im>0,9. _в этом случае
принимается, что часть газа растворена в поровои жидкости, а
остальная часть движется совместно с жидкостью*; nри этом счи
тается, что nоровая жидкость благодаря растворенному ~ ней газу
облада ет сжимаемостью, определяемои модулем объемнон сжимае
мости к .,.g.
Первая групnа
фазн.ого грунта вид**
ура в н е н и й принимает для квазидвух-
:t ~ [msp' v7k+(1-ms)p"'vr'] dV= ~ a~j
1
nid~ ,... -
v
~
-
~ <\зgpdV.
v
(3.40)
Вторая групnа уравнений представляетсявинтеграль
ной форме:
:t~p"'vFdV=- ~ 6iзgp "' dV- ~т:(' (vr' -vfk)dV-
v
v
v
(3.41)
* Может быть ра сс мотрен такж е с лучай, ко гда га з вследстви е з ащемлеgн~я "в
пор ах грунта имеет с корости, равны е не , скор~ стям движенин жи д кости v, -
v,,
а скоростям движения «скелета» грунта: vf =V; .
** Здесь для nростоты вместо значка смеси wg используется значок w.
107
Третья группа уравнений вытекаетиз(3.30):
д( s)
( ssk)
д!msp=
-
ffisP V; ,;;
(3.42)
Система уравнений (3.42) упрощается, если пренебречь градиен
тами изменения пористости и плотности, т. е. принять
(m sp
5
Vfk),i~ ffisP
5
Vf.~;
[(1-ms)pwvr ] ,/ ~ (1-ms)pwvr;.
Преобразуя систему (3.42), третью группу уравнений можно пред
ставить в окончательной форме:*
msvf.~ +(l-m s )vf'; =-(1-ms) р: =- (l-m ,) pw _ (3.43)
Р
Kw
Три группы систем уравнений и физические законы деформиро
вания фаз грунта совместно с граничными и начальными условия
ми достаточны для решения проблемы динамической консолидации
квазидвухфазных грунтов .
В дифференциальной форме прив едеиные выше группы уравне
ний при использовании принципа эффективных напряжений Те р
цаги (a:f
1
= a f/- б; iР "' ) имеют следующий вид:
msp
5
ulk+ (1-ms)pwu:"= -б ;з pg+af/.i-б;iP~;
·w
'sk
kФ(Р~
u;" )
U·
-U· =-
б·-- +бз+--
.
1
L
1_ ms
IJ p"'g
1
g
,
'sk
Р"'
Uu=- м:-·
(3.44)
Здесь p=msr " + (1-ms)pw, а ms=Vs/V (отнош е ние объема, за
нима~мого минеральными частицами, ко всему объему грунта) и
V; =U;.
Рассмотрим предельный случай для уравнений (3.44), когда
ускорениями частиц можно пренебречь . Этот случай соответствует
ква з истатическому движ е нию грунтовой среды. Уравнения (3.44)
при этом примут вид
* В общем случае с учетом сжимаемости частиц грунта объемный модуль
Кш должен быть за менен выражением
1
1
m,
1
-
-=-+----
,'V\ .,
Кш
1-m _
,
К., ·
108
·1
1
'!
af/.i= б;зрg+б;iР~;
[~(Рw+бз)]=U + I-m_,
Р"'.
p"' g
,1
l
l
l,l
м.,
(3.44а)
Здесь индекс sk опущен, т. е . принято urk == U ;. Уравнения (3 . 44а)
совпадают (если перейти к соответствующим обозначениям) с урав
нениями, приведеиными в работах [5, 7, 19, 20].
Следует остановиться на системе уравнений (3.44а), поскольку
теория консолидации грунтов применительно к условиям стати
ческого воздействия наиболее развита и широко применяется в
практических расчетах . Последнее уравнение системы (3 . 44а) может
быть преобразовано на основе принципа Терцаги и уравнения со
стояния «скелета» грунта с помощью следующей замены:
•
'sk
1
't ol
•w
u··=v··=е =---(а +Р)
t,l
l,l
v
k.~k
к виду
(3.44б)
До недавнего времени ниболее распространенным вариантом
теории являлся вариант, по которому в правой части (3.44б) отсут-
ствовал член (-
1
-
6101
) . В этом случае последнее уравнение cи-
k,k
стемы (3.44а) решается независимо от остальных, и поэтому поро
вое Давление находится как функция координат и времени отдельно
от решения всей проблемы в целом, а остальные уравнения реша
ются с известной правой частью . Этот вариант теории основан на
nринципе «ГИдроемкости» [2] и детально развит в трудах в . А . Фло
рина (21). Исполь з ование его основано на предположении о неиз
менности в процессе уплотнения суммы тотальных главных напря
жений а101 ~ const и просто с математической точки зрения, однако
физически не оправдано. Общий вид системы уравнений (3.44) по
лучен Я . И. Френкелем [8] и независимо от него М . Био [22) ..
Иногда в приложениях удобно перейти к переменным Pw, afj, U;
и w1 = (u:" -u;)m w. В этом случае сист е ма уравнений (3.44) для
грунтов, подчиняющихся принципу Терцаги, переnишется к виду
sk •.•
ef
.~: pw -"'
sk + 1-m_,
w
•.·
р W;=Gij,j -ffisUij ,j -UiЗf) g
k
р gw,,
ф
sk
W,
ef
(jw1).<:pw
pg•.
р·__;__=
-G;j,j- р р
-
Uij .j- -k-W;,
I-m ,
Ф
109
I-m ., pw
м.,
(3.45)
или
ш.• +(."/1 )..
~Р"' ~ "'
p"' g
•
рU·
р~ -m W·=
-v·· ·-v·зр g---w ·
t
s
r
tJ ,f
1
kФ
r,
.
.
1 1-т, ) •..,
w;_;+u;,;=- \ м., р~_
(3.45а)
Сформулированная проблема теории динамической консолидации
является замкнутой, если к системе уравнений (3.44) или (3.45)
добавить определяющие соотношения для «скелета» грунта
(Je(-Llc ..j
IJ- t~LJ,
(3.46)
где L{E;iJ- некоторый интегродифференциаль~ый .оператор.
В этом случае для семи неизвестных- u;, _ uГ',
Р"" или u;, w;,
Р"'- имеем, с учетом (3.46), семь уравнений (3.44) или (3.45).
Для решения соответствующих краевых задач к указанной си
стеме основных уравнений теории динамической консолидации грун
тов необходимо присоединить надлежащие граничные и начальные
условия. Указанные динамические уравнения для двухфазной сре
ды получены независимо М . Био и Я. И. Френкелем [8. 22], для
трехфазной- в [9] .
3.8 . Граничные и начальные условия
Для решения поставленной проблемы необходимо сформулиро
вать граничные и начальные условия.
Начальные условия. В динамической проблеме консоли
дации грунтов задаются начальные значения неизвестных и их пер
вых производных по времени . В квазистатической проблеме консо
лидации задаются начальные значения неизвестных.
Граничные условия. Пусть :Е- поверхность, ограничи
вающая изучаемый объем У воданасыщенного грунта:
а) на частИ поверхности :Е" могут быть заданы тотальные по
верхностные нагрузки
_
/о/._
(ef
~- pw) .·
Pпif~" -a;i n,- a;i- v,з
n,,
(3.47)
б) на части поверхности :Eu могут быть заданы перемещения
U;=U;п:" ;
(3.48)
в) на водопроницаемой части поверхности ::Er задаются значе
ния н.апорной функции Н "' (см. 3.19)
110
1,
Н"'=нwj:Ep. где Н"'=\ dP"' + Хз;
) gp"'
(3.49)
г) на водонепроницаемой ча~ти поверхности :Е~ полатается р:в
ной нулю проекция относительнон скорости фильтрации W;= m (У; -
-У;) на нормаль к этой поверхности:
(3.50)
Отметим, что если уравнение водонепроницаемой части поверхности
:Е~ записывается в форме x3 =f( x r, х 2 ), то , поскольку nr:n2:n з =
=f 1:f 2:-1 и nз=-cos(n, х:3); n2=cos (n, хз)f,2; nr=cos(n, xз)f.r,
гра~и~ное условие (3.50) переписывается в форме
·
н~:, = (H~rf.r +H~2f.2-H~З)cos(n, Ха) =0
(3 . 50а)
ИЛИ
H"'З=H:-'If 1+H"2f.2 .
услови е (3.50а) носит название условия н.а поверхности падети
лающего слоя. При этом функция f задана .
Существует еще один тип условий, который появляется, если
внутри грунта е сть свободная поверхность (депрессионная поверх
ность) жидкости, например, в случае , указанном на рис. 3 . 13.
Положение такой поверхности, вообще говоря, неизвестно и неста
ционарно . Часто, однако, в задачах консолидации положение де
прессионной поверхности з адается. На самом же деле эта граница
х2
Рис. 3.13. Полож е ние н ес тацион а рной кривой деп ресси и при фильтра·
I(ИИ жидкости через од норо д н у ю земляную плотину
111
является неи з вестной. Поэтому граничное условие следует з аnисы
вать, исходя из баланса жидкости на неизвестной, нестационар
ной границе : хз = f (х,; х2; t). Количество жидкости, протекающее
ч е рез элемент поверхности d~ этой границы за время dt, равно
Wnd~ndt =- kф H ~n d~ndt,
но
.H~n= [H ~,f.,+H~2f.2-H~з]cos(n, х з ).
Вследствие этого nотока высота свободной nоверхности за вре
мя dt изменится и станет dx 3 = df, а объем, занятый при этом жид
костью, будет равен
(1 - ms )d~"cos(n, x3 )df.
Сравнивая оба выражения, получим
1- m,
дf
k
дt =H~,f.,+H~2f.2-H~1·
(3 .51)
ф
Можно показать, что условия (3.50) и (3.51) математически фор
мулируются однотипно. Если уравнение границы, на которой нор
мальная компонента скорости фильтрации равна нулю, записать
в форме
(а)
то граничное условие можно представить как равенство нулю nол
ной (субстационарной) производной по времени от функции F=
=хз-f(х,; х2; t) границы, движущейся со скоростью (vi"-vfk),
т. е.
dF_ дF+(шsk)F
_d_t_ =
at
V; -V;
;,
(б)
откуда
дf
•
(1-ms) дt = (б;зХз -f),;w;,
(3 .52)
где w;= -kфН , ;.
Совместное рассмотрение выведенного граничного условия (3 .52)
и основных дифференциальных уравнений позволяет решить nро
блему консолидации грунтов и определить изменение свободной
(депрессионной) поверхности внутри грунта, если ее форма задана
для начального момента.
3.9. Лример. Консолидация слоя оттаивающего грунта
11 роблема расчета консолидации слоя оттаивающего грунта pac-
cмoтpt>ila и решена в работах [23, 24]. Решение компрессионной
112
'
j
.
задачи оттаивающего слоя грунта под действием собственного веса
и внешней постоянной во времени нагрузки q сводится к решению
уравнения nараболического типа:
(а)
?
Cil=
где ck- коэффициент консолидации при компрессии, kФ
-
коэффи
циент фильтрации, ak- сжимаемость оттаивающего грунта при
компрессии:
~е= -ak~a~1 •
Дополнительно должны быть сформулированы граничные усло
вия. На внешней границе при z =0 воз можен свободный отток
жидкости, и поэтому естественным условием является Р"' =0 при
z=O . На границе же оттаивания при z=h(t) ранее ставилось усло
вие, что поравое давление воспринимает некоторую часть тотальных
напряжений (внешней нагрузки): P ~(t) = - ( 1-М) a z. При этом часто
полагали М =0 , что отвечало случаю, когда жидкость на границе
оттаивания воспринимает всю внешнюю нагрузку . Такое гранич
ное условие не соответствует физике явления и может быть исполь
зовано, как это будет показано ниже, лИшь при быстром оттаива
нии грунта. Нагрузка, воспринимаемая жидкостью на границе от
таивания , зависит от соотношения скорости движения фронта оттаи
вания и скорости отжатия жидкости в сторону дренажа. Впервые
в работе [23] сформулировано условие на подвижной границе от
таи·вания, которое исходило из того, что изменение влажности грун
та при перемещении фронта оттаивания на величину ~h равно
количеству жидкости, отфильтровавшейся через границу оттаива
ния за время ~t . При ~t--+0 это условие заnисывается в следую
щем виде:
(б)
Здесь аг-полное напряжение, равное cr г =q+gp" ' "z; p"
3
"=m,(p5
-
"')
2
kф(I +eJ
-
Р;Ck=
-коэффициент консолидации при компрессии.
p wgak
Сформулированное условие на подвижной границе является в
некотором смысле обобщением условия Стефана в задачах тепло
проводности при фазовых переходах. Покажем, что введенное в
[23] граничное условие (б) является следствием граничных усло
вий, сформулированных в предыдущем пункте. Действительно, по-
113
лагая, что в одномерном случае уравнение подвижной границы
дается в форме X з =h(t), и подставляя x3 =h(t) в (3.52), получим
dh
k дР"'
-(\- ms)-+ _Ф -- =0.
dt
p"'g дz
Учитывая, что (I - m , ) = -1-~-е-, и в силу компрессионной зависи-
(а,
мости (I-m,) =- \
_
l+e
) (J ~i окончательно убеждаемся в том ,
что условие (3.52) в данном случае приводит нас к условию (б)
работы [23J. Нетрудно видеть теперь, что при рассмотрении про
цесса консолидации оттаивающего грунта в условиях плоской и про~
странетвенной задач в качестве граничного условия на подвижной
границе может быть также использовано условие (3.52).
Решение одномерной задачи консолидации оттаивающего слоя
грунта при использовании сформулированных граничных условий
и предположении, что движение границы оттаивания подчиняется
закону h=a.jt, дается интегралом (а):
ll
где erfu=-2-~ exp(-~ 2 )d~;
.jл о
(в)
А=
q/Nf(Л)
.
B=gp•з•/{I+-1-). Л=-а- .
1+[ехр( - Л2 )/ .jЛЛ е гf(Л)] '
\
2Л2 '
2с"
Обозначая через М и N выражения
получим
М=
ехр(-Л2)
-)лЛ егfЩ +ехр(-Л2)
a~i= _ [q- (l-M) erf(Лzja.j[ )
q erfЩ +NgрвзвzJ.
(г)
Полученное решение, как нетрудно в этом убедиться , существен
но зависит от отношения Л= a/2ck- отношения скорости оттаива
ния к скорости отжатия жидкости из оттаивающего слоя. Пр\ до
статочно больших величинах Л, т . е. при быстром оттаивании и не
достаточной скорости отфильтровывания жидкости, что характерно
для глинистых оттаивающих грунтов, можно принять, как это сле
дует из (г), что на границе оттаивания вся нагрузка воспринима
ется водой, а a~~l•(r) =О. Последнее выводится из равенства коэффи-
114
'
1•
t.
..
циентов М и N нулю уже практически при Л~ 10. На рис. 3.14
приведены эпюры парового давления в слое оттаявшего грунта при
l' t ,, консолидации только от внешней нагрузки q .
p(z,tJ
ПОРОВОЕ PJI&ЛEHИI' -1\-
oгl!io.~~~0,=4===0,~6==~0,8~:J ~Л:R;;
о.~
~м
..,~'
<
:z:
0,6
s
...
"
:::
0,8
\0
Рис. З. 14 . Эnюры пороного дав
лени~ при консолидации оттаиваю
щего слоя грунта, находящегося
под действием уплотняющей на
грузки q
Осадка, происходящая в период постепенного оттаивания осно
вания под нагрузкой, теперь легко определяется интегрированием:
h(t)
Soт=-ak ~ a~i(z,t)dz=ak[x.qh+}Nh2gp" 3"J,
(д)
о
1 l-1-1[f(1)
1- ехр(-Л2) J
х.= -
er"
-
.
erf (Л)
{п. Л
Полная осадка оттаивающего грунта складывается из суммы
S(i)=Sт(t)+Soт(t)+Socт(t).
(е)
Здесь S т (t) - «тепловая» осадка, обусловленная изменением объ
ема грунта при переходе парового льда в воду:
(ж)
где Ао - коэффициент, характеризующий изменение коэффициента
пористости при оттаивании без нагрузки [25J.
Осадка Sост (t) характеризует деформацию уже оттаявшего слоя
постоянной толщины, соответствующей окончанию процесса оттаи
вания. Величина Sост (t) находится на основании теории консоли
дации для слоя постоянной мощности при начальном распределе
нии напоров по глубине, соответствующем моменту окончания оттаи
вания:
115
pw (z, О)= [(1-М) erf(Л z/[0 )
q erf(Л) +(1_ N)gрвзв].
Окончательное выражение для Sаст можно заnисать в виде
Sост= S~ Uj+sr:, U~,
где s~ = (1-х) aoqh,
sr:, = (1-N)ao g~"'" h2 .
Стеnени консолидации U7 и ur; оnределяются по формулам
32
U7=1- 772
л;
(1-М)Л "" 1
.
(nv)
2
(1-x)erf).v=~.~. :vзSIП 2 exp(-vT)F(Л,v);
l2
Здесь Т=~ (t-t )
4h2
от
и
h
(з)
(и)
(к)
(л)
F{).,v)=~eгf(л+)sin(~v · +)dz.
(м)
о
На рис . 3. 15, а nриведены кривые консолидации оттаивающего
nод собст~енным весом грунта nри Ао=0,01, р838 =1 тjм 3, ak=
=0,001 м /т, коэффициент фильтрации в nериод оттаивания kФ =
=0,3 м/год и nосле оттаивания kФ =0,02 м/год. Время оттаива
ния tат =5 лет . Коэффициенты оттаивания а1 =3,6 мjгод112; а2 =
=5,4 м/год' 12; а3=9 мjгод112.
В соответствии с тремя значениями коэффициента оттаивания
или тремя значениями nараметра Л (Л 1 =0,1, Л2 =0,3, Лз=0,5) кри
вые консолидации ( 1, 2, 3) существенно различны как в nериод
оттаивания, так и nосле него . Как видно из рисунка, стабилиза
ция осадки nосле оттаивания nроисходит тем быстрее, чем медлен
нее nроходило оттаияания грунта и, следовательно, чем больше от
фильтровывалось жидкости из грунта еще в nроцессе оттаивания
nод собственным весом. Момент окончания оттаивания на графи
ках отмечен кружком .
Абсолютная величина осадки за одно и то же время оттаива
ния tот =5 лет тем больше , чем больше оттаявший слой за это вре
мя. В данном случае для nриведеиных значений а толщина оттаяв
шего слоя соответственно равна 8,1; 12,1 и 20,1 м. На рис. 3.15, б
приведены кривые консолидации оттаивающего слоя грунта nод
116
1
r,,
~~
а
5
10
t,rOA О
5
10 t,roд
1
5...
2
3
~t,C;-----------5..,
Рис. 3.15. Осадка оттаивающег о слоя грунта: nод действием со бственного
веса (а); nод де йствием собственного вес а и у n лот няющей нагрузки q (б)
u
838
113
u
совместным деиствием собственного веса р = т м и внешнеи на-
грузки q =20 тjм 2 nри тех же характеристиках, что и для nримера,
nредставленного на рис. 3: 15, а. Однако в этом nримере принято,
что для всех трех режимов оттаивания толщина оттаивающего слоя
одинакова и равна hот = 12,1 м .
Таким образом, проблема одномерной консолидации оттаиваю:
щего · слоя решается достаточно просто на основании уравнени~
одномерной консол идации с привлечением дополнительных условии
на подвижной границе оттаивания. Кроме обычных характеристик
грунта, исnоль зуемых в расчетах классической теории одномерной
консолидации К. Терцаги,1 в предлагаемом решении следует доба
вить только параметр а , оnределяющий скорость оттаивания грун
та. Не представляет принципиальных трудностей переход к решению
пространствеиной задачи консолидации грунтового оттаивающего
основания под действием фундаментной конструкции.
3.10. Модифицированные уравнения динамики
квазидвухфазных грунтовых систем.
А. Как уже говорилось ранее, система определяющих уравнений
динамики квазидвухфазных грунтовых систем состоит из трех групп
уравн е ний. Пер в а я группа описывает движение грунта «В целом»
(закон сохранения количества движения для грунта «В целом»),
треть я выражает в дифференциальной форме закон сохранен и~
массы вещества в единице объема . В т о рая же группа уравнении
определяет закономерность движения жидкости в пористой среде.
117
Уравнения второй группы получены на основании уравнений На
вье- Стокеа и закона ламинарного движения жидкости (закон
Дарси) для условий медленно меняющихся напоров. в случае
пуль:ирующих напоров:, характерных для динамических воздей
ствии, уравнения второи группы могут быть в некоторых случаях
упрощены. Для этого, ради простоты, рассмотрим уравнения дви
жения жидкости в жестком поровом пространстве (полагая ujk =
=0) при наличии постоянного по координате градиента давления
(P"'/p""g),,=H.
Предположим далее,
мени по гармоническому
что градиент давления
закону:
меняется во вре-
Н= Hлsin (J)t.
(а)
Уравнения движения второй груnпы в этом случае перепишутся
к виду
(б)
g.
Решение уравнения (б) нетрудно получить в форме
_
"ш
gHA
Vi= u, =-
sin ((J)t +сро),
ya2+w2
(в)
где cpo=arctg((J)/a).
Если же в уравнениях вт~р?й группы пренебречь ускорениями по
ровой жидкости, полагая ut =О, решение запишется в традицион
ной форме:
gH
gHA.t
Vi=- -- = - --SIП (J).
а
а
(г)
Из сравнения решений (в) и (г) следует, что ус р
ко ениями в поро-
вой жидкости нельзя пренебрегать в случаях, о
мы по величине.
к гда (J) и а сравни-
При сейсмических воздействиях даже для грунтов с коэффи
циентами фильтрации порядка 1 см/с (горная масса каменного ма
териала) отставание по фазе (угол сдвига фаз сро) менее 1°_ Для
грунтов с меньшими коэффициентами фильтрации (особенно сугли
нисто-супесчань~х или глинистых при 1<,р < 10- 5 см/с) отставанием
по фазе при сеисмических и промышленных частотах воздействия
можно пренебречь.
* Закономерность движения жидкости в поровой среде при пульсирующих на
порах экспериментально мало изучена.
118
.
~'
ti
у
10
В этих случаях уравнения второй группы системы (3.44б) за
писываются в виде, совпадающем с уравнениями при статических
воздействиях:
"w
"sk
kф[1Р"'+S>J
u·
-
u·
=-
--
·
u·з .
'
'
I-m,
p"'g
·'
,
(3.53)
Дифференцируя все члены уравнения (3.53) по t и подставив в
(3.44а), получим уравнение
[ s+(l )"'] sk
~p"uo• tot+ Х Х
S>
m,p
-msр u, -
. i=G1;
р i."
1= -щзg.
g
(3.54)
Окончательно полную систему модифицированных уравнений дина
мики квазидвухфазных грунтовых сред теперь можно представить
в следующем виде:
pu'k= ~Pw+aef ·-б·Р"'-бзрg· !
1
g
,/,
lj,j
IJ ,j
1
,
u'k+ I-m, Р"'= ( ~р"':) .•
l,l
Кш.
\ p'"g
,l
•1
(3.55)
Для того чтобы систему четырех разрешающих уравнений
(3.55) выразить через четыре неизвестных- компоненты ufk и pw,
необходимо тензор эффективных напряжений ar; в свою очередь
представить через компоненты тензора деформаций или скоростей
деформаций «скелета» грунта. Такое представление делается на
основе определяющих связей (математической модели грунта, см.
лекции 9-10).
Б. В работах В. М. Пятхера и Б. И. Дидуха [26, 27] показы
вается, что при сравнительной оценке значимости отдельных сла
гаемых основной системы уравнений динамической линейной тео
рии консолидации по методике, принятой при анализе уравнений
гидромеханики, можно при выполнении некоторых условий принять
равенство скоростей обеих фаз воданасыщенного грунта
(3.56)
Этими условиями являются:
m_,
k"'w
---
__
Ф_«1·
I-m _,
g
'
(3.57)
1)
2)
(3.57а)
119
Здесь ш- частота основного тона вынужденных колебаний грун
та; L- характерный линейный размер рассматриваемой области
воданасыщенного грунта; Л! - упругая константа Ламе, равная
Л!=К е :-2/3Gе (Ке - уnругий модуль объемного сжатия; !!е =Gе
упругии модуль сдвига).
Подставляя (3.56) в основную систему уравнений (3.44), полу
чим модифицированную систему:
•
1-m,
·w
u,,=-
р
.
м,.
Ф3.58)
(3.58а)
Рассматривая систему уравнений (3 .58), можно прийти к выводу
о сведении проблемы динамической консолидации воданасыщен
ных грунтов к решению задачи динамики некоторой однофазной
среды, названной авторами «эквивалентной». Действительно, урав
нения (3.58) и (3.58а) могут быть совместно записаны в виде
(3.59)
Если предположить далее, что связь между напряжениями в
«скелете» грунта и деформациями оnределяется законом Гука и уп
ругими константами Ламе !l e и ле, то
ef_е+е+1е
а,1.1 -!! Uj.ij !! Ui.jj
11. Uk.ki
и уравнение (3.59) переnишется:
••_
е+{ееMw)
PUi-!l Ui , jj \!!. +Л+ I-m,
Uk,k; -cSiзpg.
(3.59а)
Теперь нетрудно видеть , что если ввести упругие константы Ламе
для нежнорой однофазной «эквивалентной» среды в виде
\ =Ле+ Mw
1-m. ,
}.
(3.60)
то уравнения (3.59а) будут представлять собой уравнения движе
ния этой упругой однофазной «эквивалентной» среды.
Отсюда следует алгоритм решения проблемы динамической кон
солидации воданасыщенной среды. Если выnолнены условия (3.57),
то решается соответствующая краевая задача динамической теории
упругости для однофазной среды с эквивалентными уnругими ха
рактеристиками (3.60) . Затем по найденным значениям объемной
деформации eu = uk.k оnределяется на основании (3.58а) поравое
давление:
120
1
-
-
•
Р"'=_ Mw
I-m, Uk,k
(3.61)
или, если известно из решения среднее наnряжение а= l j3akk, то
на основании соотношения
поравое давление находится из выраж е ния .
Р"'=_ [
Mw
]
(I- m,) (ffle+Л'') +Мш а,
(3.62)
саnадающего с полученными соотношениями в работах В . М . Лятхе
ра и Б. И. Дидуха.
Теория «эквивалентной» однофазной среды с успехом может быть
использована для прогноза динамического поведения воданасыщен
ного грута в условиях упругого деформирования «скелета» без уче
та особенност ей дилатансионного поведения грунта. Отметим, что
условие равенства скоростей фаз не соблюдается вблизи водопро
ницаемых границ. В обще м случае и граничные условия по пора
вому давлению также могут не удовлетворяться. Однако , за исклю
че~шем « пограничного слоя», толщина которого зависит от харак
теристик среды, спектрального состава воздействия и оценена в
указанных работах , во всей области воданасыщенного грунта с до
стаl'очной точностью могут быть использованы уравнения «эквива
лентной» уnругой однофазной среды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Развитие ис следо ваний по теории фильтрации в ССС Р (1917 - 1967). М.: Нау·
ка, 1969 , с. 546.
2. Г ер с е в а н о в Н. М. Основы динамики грунтовой массы. Л.: Госстройнздат,
1937 , с. 242.
3. Флор и н В. А. Определени е мгновенных напряжений в скелете грун тово й
массы. - Докл. АН СССР, 16, 8, 395- 398, 1937.
4. Флор и н В . А. Об основных уравнениях динамики грунтовой массы. -- Изв.
внииг , 1939, т. 25, с. 190-196.
5. ГерсевановН. М.,ПольшннД. Е. Теоретические основы механики грун
тов. М.: Госстройиздат, 1948, с. 385.
б. Флор и н В. А. Теория уплотнения земля ных масс. М.: Госстройнздат, 1948,
с. 284.
7. В i о t М. А. General Theory of Three - Dimensional Consolidation.--
J . Appl. Phys.,
12, 1941 .
8. Фре н к е ль Я . И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрическнх явлений во
влажной почве. - Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геоф., 1944, т. 8, N2 4, с. 133 - 150.
9. 3арецкийЮ. К.,ЛомбардоВ. Н.Статикаидинамика грунтовыхплотин.
М .: Энергоатомиздат , 1983, с. 255.
121
10. Лей бензон Л. С. Подземная гидрогазодинамика. Собрание трудов. Т. 2 /
АН СССР. М., 1953, с. 544.
11. Singh Rameshwaг. Unsteady and Unsaturated Flow in Soils in two Di-
mensions.-Technical Repoгt, Dept. of Civil Engineeгing. Stanfoгd Univeгsity 1965
N 54.
'
'
12. Mitchell J. К. , Ноорег D. R . and Campanella R. J . Peгmeabllity
of compacted clay . -
J. of the Soil Mech. and Found. Div. , Рг о с . ASCE, 91, SM4,
Ргос . Рарег 4392, 41 - 65, 1965.
13. Нерnин С. В., Чудиав е кий А. Ф. Фи з ика nочвы. М.: Наука, 1967, с. 583.
14. К а чан о в Л. М. Основы теории nластичности. М.: Наука. 1969, с. 420.
15. ЧУР а е в Н. В. Филырация структурировi:!нных жидкостей через гетероnорис
тые тела.- Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, N2 1, с. 136- 140.
16. К о р н ф е ль д М. Уnругость и nрочность жидкостей. М.: Гостеоретиздат , 1967,
с. 107.
17 . К о л л и н з Р. Течения жидкостей через nористые материалы. М.: Мир , 1964.
с. 350.
18. Г о ль д ш т ей н М. Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат. 1973,
с. 375.
19. Горелик Л. В. Расчеты консолидации оснований и nлотин из грунтовых ма
териалов. Л.: Энергия, 1975, с. 145.
20. 3 ар е цк и й Ю. К . Теория консолидации грунтов. М.: Наука, 1967, с . 270.
21. Флор и н В. А. Основы мехаинки грунтов. Т. 2. М.: Стройи здат , 1961 , с. 543.
22. В 1 о t М. А. Тhеогу of Pгopagation of Elastic Waves in Fluid Satuгated Poгous
Solid. -
J. Acoust. Soc. of Ameгica, 28, 168 - 191, 1956.
23. 3 ар е цк и й 10. К. К расче ту осадок отта явшего грунта. - Основания, фунда
менты и механика грунтов, 1968, N2 3, с. 3- 6 .
24.Могgеnstегn N. R.,
N i хоn J. F . On e -dimensional consolidation of tha-
wing soils. -De pt. ог Civil. Eng. August 20, 1971 .
25. Ц ы т о в и ч Н. А. Л1еханика мерзлых грунтов. М.: Наука , 1973, с. 446.
26. Л я т хер В. М. , Д и дух Б. И. Краевые з адачи динамики воданасыщенной
среды. - В кн.: Тр. Гидроnроекта, 1971, N2 20 .
27. Динамика сnлошных сред nри расчетах гидростатических сооружений. М.: Энер
гия, 1972.
ЛЕКЦИЯ 4
ПРОЧНОСТЬ ГРУНТОВ
Для грунтов необходимо различать nредел nрочности и nредел
упругости. Предел упру гости оцениваен;я уровнем наnряжений,
nревышение которого вызывает возникновение остаточных (nласти
ческих и вязкоnластических) деформаций. Под уровнем наnряже
ний в неодноосном наnряженном состоянии nонимается величина,
которую nриобретает некоторая оnределенная комбинация комnо
нент тензора наnряжений . Предел nрочности в дальнейшем будем
оценивать уровнем наnряжений, nревышение которого nриводит к
нестабилизированному накоплению остаточных деформаций. Часто
будем исnользовать термины допредельное и предельное состояние
грунта. Первое характеризуется стабилизацией деформаций, а для
122
11
~
,
r.
~-.
.~ ·-
<
,~:
i
'
второго характерен нестабилизированный процесс накопления де
формаций. Условие, записанное в математической форме и разгра
ничивающее эти два состояния, называется условием предельно
длительной прочности и при одноосном сжатии обозначается а~.
При наnряжениях выше nредела длительной прочности с некото
рого момента времени накоnление деформаций будет nроисходить
ускоренно, и именно это состояние мы в дальнейшем будем при
нимать за разрушение. Таким образом, разрушение nредставляет
собой процесс накопления остаточных деформаций с увеличиваю
щейся скоростью. Уровень напряжения, при котором накоnление
деформаций за время t nриобретает прогрессирующий характер,
называется длительной прочностью и обозначается ar .
Иногда нас интересует уровень наnряжения, nри котором эле
мент грунта nерестает существовать как единое целое, как сnлош
ная среда. Этот уровень а1* вызывает разрушение некоторого кри
тического числа внутренних связей в грунте (см. лекцию 1). Итак,
прочность грунта можно охарактеризовать набором уровней наnря
жений а~< а1 < а1* . Сказанное легко проиллюстрировать на при
мере поведения связного грунта nри постоянных напряжениях в ус
ловиях, наnример, одноосного сжатия (рис. 4.1).
Е
а
t
Рис. 4.1. К определению nонятия длит ельной nрочности: раз
витие деформаций во врем е ни nри nостоянных наnряжениях (а);
з ависимость длительной прочностн at и ра з рушающего наnряже
ния at* от времени (б)
Прежде всего нас будет интересовать nробЛема нахождения
nредела длительной прочности а~ в условиях произвольнога на
nряженного состояния. В дальнейшем оnустим значок оо, если
это не будет оговорено особо. Мы рассматриваем неразрушимость
грунта как состояние, которое характеризуется стабилизацией де
формаций nри напряжениях, меньших предельных, а разрушимость
грунта - как процесс безграничного их накопления, если ·будет
удовлетворено некое условие, называемое условием предельного со
стояния. Разрушение грунта в том смысле, о котором шла речь,
может произойти только вследствие проявления двух механизмов:
123
механизма отрыва и механизма сдвига. Механизм отрыва прояв
ляется при наличии линейных деформаций растяжения - грунт не
вьще~живает растяжения, большего определенной величины , нахо
дящеися в пределах упругого удлинения связей. При пластических
(остаточных) деформациях сдвига и достижении ими критической
величины проявляется механизм сдвига . Рассмотрим критерии проч
ности приментельна к проявлениям этих двух механи з мов раз
рушения.
4.1. Механизм отрыва
Проя~ление механизма отрыва физически выражается в разры
ве с~язеи грунтового.«скелета» и поэтому наступает при наличии
линеиных деформации растяжения. Ра з рушени е наступает по пло
щадкам, перп е ндикулярным к линии действия главных растяги
вающих напряжений . Этот тип разрушения, имея мол е кулярную
природу, очевидно, и должен характери з оваться только предельной
величиной упругой составляющей деформации растяжения. Таким
образом, крите рием действия механизма отрыва является условие ,
по которому разрушение наступает при достижении упругой частью
максимальной линейной деформации растяжения опр еделенного
значения . Математически этот критерий на основании з акона Гука
может быть записан в виде
E"ef*=a1-v e (a2+a э ) =const .
(4.1)
Здесь е1* ~О- упругая часть предельной деформации растяжения·
Ее
е
'
.
-модуль у пр у гости ; v -коэффициент Пуассона.
Если обозначить через аэкв величину эквивалентного растяги
вающего напряжения
а,••=а1- ve(az+ аз),
то условие разрушения по отрыву запишется в форме
а. =а*
экв
отр'
где
а* =Ее ее*
отр
1•
(4.2)
По. существу?щей классификации в строительной механике ука
з анныи критерии относится ко второй теории прочности и предло
жен впервые Э . Марноттом ( 1862), позднее Л. Навье и А. Сен-Ве
наном. Для грунтовых материалов этот критерий практически ни
когда н е исполь з овался, поскольку он не всегда удовлетворял экс
nе риментальным данным . Это связано с тем, что применялея он
в случаях, когд а при ра з рушении механизм отрыва не проявлялся.
В работе [ 1] и з ложены результаты опытов по исследованию проч
ности супеси при растяжении. Для испытания грунтов на растяже-
124
,.
;
i
n
ние в условиях сложного напряженного состояния был применен
nрибор констру-кции А. Бишоnа (аналогичная конструкция nред
ложена 3 . Г. Тер-Мартиросяном, Е . А. Васильевым и др . ) , в кото
ром образец в форме катушки подвергается воздействию по боко
вой поверхности давления р, вызывающе го в образце напряжения
сжатия а z =а з ~О и растягивающ ее напряжение а1 ~О (рис. 4.2, а) .
В зависимости от соотношения диаметров образца D / d изменяется
и соотношение напряжений а1 / а 3 , кото рое в указанных опытах на
ходилось в пределах О~а1/а:з> -3, т . е . опыты вьшолнялись в
условиях двухосного сжатия (а1=О при D/d=l) и при различ
ньiх значениях a 1 / a :з =const вплоть до значений растягивающих
напряжений, превышающих обжатие в три ра з а. Дополнительно
проводились опыты на одноосное растяжение, т. е. при значении
а1/аз=- оо.
Рис. 4.2. Опытные данные
по растяжению суглинистого
грунта: схема нагружения грун
тового обра з ца (а) ; за висим ос ть
величины разрушающ е й деф о р
мации р астяжения от соотнош е
ния гл ав ны х напряжений (б)
а
о
1
Результаты оnытов представл е ны на рис. 4.2, 6, где пока з ана зави
симость общей деформации растяжения при разрушении sr от па
раметра нагружения а1 / а :! - Из этих графиков видно , что при
а1/а з -+-О общая осевая деформация растяжения увеличивается , осо
бенно интенсивно в случае двухосного сжатия ( а1 =О; a z =аз< О) .
Однако nроведеиные систематические разгрузки в этих оnытах по
зволили М. Ю . Гарнцелову выделить упругую часть де формаций,
125
и оказалось, что величина уnругой составляющей деформации рас
тяжения nри разрушении достигает одной и той же величины вне
зависимости от того, был ли грунтовый образец исnытан в усло
виях одноосного растяжения (а1/а з =- оо) или в условиях двух
осного сжатия (aJ/a3 =0). Установлено, что доля . nластических де
формаций от общей nредельной деформации nри одноосном растя
жении составляет менее 1О%, а в оnытах на двухосное сжатие вы
растает до значения 90-95% от общей деформации.
Интересна nолученная в оnытах качественная картина разру
шения грунта nри растяжении. Во всех оnытах на диаграмме «На
nряжение - деформация» отсутствует nлощадка текучести . Обсле
дование образцов nосле исnытания nоказала, что во всех случаях
разрушение nроисходит по nлощадкам, nерnендикулярным к линии
действия растягивающих наnряжений, в зоне разрушения не отме
чалось образование шейки. Все эти nризнаки nозволиЛи сделать
вывод, что разрушение грунта можно объяснить действием меха
низма отрыва. Условие nрочности (4.1) характеризуется двумя nа
раметрами: а.;,.Р и коэффициентом Пуассона ve. Нетрудно видеть,
что соnротивление отрыву на основании (4.1) равно nредельной
величине напряжения при одноосном растяжении ( а 2 =а з = О), т. е.
1а6тr 1
сопротивление отрыву грунта nри двухосном сжатии (а 1 =0; а 2 =
=аз).
Полученные таким образом nараметры были подставлены в кри
терий (4.1), и этот критерий nроверен для всех остальных напря
женных состояний, характеризуемых отношением а 1 /а3 . На рис. 4 .3
, !о~
-3
-2
-~
о
0,1
"'W=0,120
0,2
~=0,1~
Рис. 4.3 . Зависимо сть эквивалентного навря·
жения от соотнош е ния главных навряжений (no
оnытным данным)
показано соответствие второй теории прочности экспериментальным
данным, а на рис. 4.4 построен график зависимости nредельной
уnругой деформации растяжения от влажности. Следует иметь в
виду, что nоскольку разрушение nроисходит при разрыве связей
126
.
~-..
,.о'{.,
а.
0,4
0,2
-
0,15 w
0,12 0,\3 0.14-
w
Рис. 4.4 . Зависимо ст ь nредельной уnругой деформации растяже·
ния от влажности (а). nринимаемой в соответ ствии с кривой стан
дартного уnлотнения с у глинка (б)
в nределах упругой составляющей деформации, то критерий раз
рушения не должен зависеть от скорости деформации или скорости
нагружения. Последнее является еще одним nризнаком реализа
ции механизма отрыва. В указанных выше исследованиях было
установлено, что продол~ительность исnытания, которая варьиро
валась в значительном диаnазоне, не повлияла на окончательный
результат и критерий nрочности (4.1) не зависит от этого фактора.
Из приведеиных оnытов с грунтами становится очевидным, что хруп
кость, о которой мы судим по общим деформациям, не является
неnр~менным условием nроявления механизма отрыва .
4.2 . Механизм сдвига
При разрушении грунта nутем среза накаnливаются вязкоплас
тические деформации сдвига за счет постепенного развития дефек
тов структуры грунта и ориентации частиц в глинистом грунте.
Разрушение путем среза nроисходит по границам агрегатов, а так
же наблюдается внутриагрегатное разрушение с раскалыванием
агрегатов на части. В кристаллических nородах разрушение носит
внутризеренный характер. Действие механизма сдвига при разру
шении обусловлено наличием касательных наnряжений и nроисхо
дит поэтому nреимущественно на площадках, на которых действуют
касательные напряжения .
В общем случае сложного напряженного состояния прогресси
рующий характер накоnления nластических деформаций определя
ется условием, в которое входит некоторая комбинация действую
щих напряжений. Такое условие носит название условия прочно
сти, которое может быть получено эмпирически из экспериментов
либо выведено исходя из определенных теоретических предпосылок
и обосновано экспериментами. Главное требование, предъявляемое
127
к такого рода условиям, - это их инвариантность по отношению
к напряженному состоянию, траектории нагружения, режиму загру
жения, простота и универсальность получения параметров форму
лируемого критерия прочности.
Понятие предела длительной прочности, введенное для одноос
ного напряженного состояния или для сдвига, может быть обобщено
на случай произвольнога напряженного состояния введением так
называемой функции текучести, аргументами которой служат
шесть компонент тензора напряжений f* ( aii). Эта функция опреде
ляет состояние материала: если f* ( aii) <О, то все деформации ста
били з ируются, а при f* ( a ii ) =О материал находится в состоянии
текучести и деформации накапливаются безгранично. Геометриче
ски уравнение f* ( aii) =О определяет в пространстве напряжений
некоторую поверхность, которая делит все пространство на две
обла с ти , в одной из которых (f*<O) грунт находится в допредель
ном состоянии, а совокупность точек самой поверхности f* =О
определяет предельное по прочности состояние.
В случае изотропного материала тензор напряжений может быть
задан тремя гл авными напряжениями* а 1 , а 2 , а з , поэтому условие
текучести имеет общий вид
f*(at, а2, аз; Ct, С2, ... , Cm)=O.
Линейный вариант функции текучести имеет вид
f* -Aat+Ва2-аз-С=0,
и условие прочности записывается в виде
~+ ~=А+В~.
cr,
cr,
cr1
(4.3)
(4.3а)
(4.3б)
Э . М. Лен6 [2] на установке с независимым изменением каж
дого из трех главных напряжений провел исследования прочности
смеси песка и гравия. Обработка этих данных (рис. 4.5) показы
вает, что они хорошо согласуются с критерием ( 4.3б) при сцепле
нии, равном нулю :
В качестве аргументов функции f* можно принять максималь
ное а 1 , минимальное а з , главные напряжения и параметр Л оде
!!а - параметр вида напряженного состояния. Параметр Лоде !!а
определяет вид напряженного состояния, т . е . показывает положе-
* В общем с лучае - тремя гл а вными наnряжениями и тремя углами, которые
оnр еделяют ори ент ацию гла вных осе й тензора наnряж е ний.
128
1i
1
lg:lв
L---~-~~1.~~--jg:l
0,6
1,0
Рис. 4.5 . Предельное соотношени е
меж ду ко мnонента ми главн ых наnряж е·
ний для nесчано-t·равийной смссв в экс
nервме нтах с неза висимым из менение м
каждого из трех главных наnряжений
ние пром е жуточного главного напряжения а2 относительно <Jt и а :, .
Геометрически напряженное состояние в точке ср еды удобно пред
ставить с помощью кругов Мора (рис . 4 .6). Положение а 2 проме
жуточного главного напряжения относит ельно Gt и а з можно оха
рактеризовать безразмерным отношением
л
А
!!о=
АВ-ВС
АС
-1.
=2
Рис. 4.6. Круги Мора
Когда промежуточно е главно е напряжение с овпада ет с мак с и
мальным а2 = а 1 , параметр Л оде равен !!о =+ 1; это значение ха
рактеризует вид напряженного состояния , реали з уемый обычно в
стабилометрических опытах при сжатии образца в камер е прибора
по вертикальной оси и боковой поверхности. При этом по верти
кальной оси сжимающие напряж е ния выше, чем давление, переда
ваемое на боковую поверхность цилиндрического образца . В др у
гом крайнем случае при а 2 =а з параметр Ладе равен !!а =-1
и характеризует вид напряженного состояния, при котором давле
ние, передаваемое на боковую поверхность , в стабилометрических
опытах выше, чем сжимающие напряжения , nередаваемые на тор е ц
.5.Зак.N'51
129
образца по вертикальной оси. Функция текучести поэтому может
быть записана в форме
(4.4)
Примем вначале функцию f* в виде линейной функции аргу
ментов а1 и аз:
(4.4а)
Параметры условия прочности (4.4а) А и С, вообще говоря, зави
сят от параметра Ладе- от вида напряженного состояния. По
опытам, проведеиным А. Бишопом и Г. Грином [3], а также по
данным наших опытов с песчаными грунтами (С =0) на приборах
с независимо управляемыми тремя главными напряжениями пара
метр А изменяется только при + 1> 1-to > 0,5 , а при !!о< 0,5 его
изменением можно пренебречь (рис . 4.7). Последнее говорит о том,
что на прочность грунта в основном влияет сочетани е величин ~ак
симального и минимального главных нормальных напряжении, а
промежуточное главное напряжение оказывает влияние только при
напряженном состоянии, бли зко м к состоянию, характеризуемому
значением параметра Ладе !J.п = + l.
А
3
2
о
0,5
Ри с. 4.7 . Зависимость параметра А условия прочности от вида напря
женного состояния
Запись критерия прочности в форме (4.4) удобна для обработ
ки экспериментальных данных, получаемых на стендах трехосного
сжатия. В этих опытах нам и з вестны сочетания разрушающих глав
ных нормальных напряжений. Однако запись критерия в форме
(4.4) н е раскрывает сущности механизма разрушения грунта. ~
какой-то степени этому может помочь концепция, согласно котарои
разрушени е rpy!iтa (или неустановившееся пластиче ское течение)
происходит по определенным площадкам скольжения . Указанная
концепция в развернутом виде состоит в утверждении следующих
трех основных положений.
\. Неустановившееся пластическое течение преимущественно
протекает по площадкам скольжения, определяемым в пространстве
130
1
1
1
1
главных напряжений а1 > а2> аз норма/ ью v
косинусами: L=cos (v '\ а~), т=cos(v , oz)
(рис. 4.8.).
с направляющими
иn= cos(v/\, о1)
Рис . 4.8 . П лощадка скольже ния в про
странстве главных напряжений
2. Положение площадки определяется н екоторыми дополнитель-
ными условиями .
~
3. На площадке с нормалью v разрушение (или прогреесирую
шее накопление пластических деформаций) происходит по закону
«сухого трения», т. е. при выполнении условия
lт,. l =т~=c~-avtgcp~
или более общего условия
1т\'1=т~-f((J,.) ,
(4.5)
(4.5а)
где с~, ер~- параметры, а т ,, и а,, - компон е нты нормальной и кас"!
тель-ной составляющих напряжений на площадке с нормалью v.
Эти ком~оненты равны
<Jv= аз/
2
+а2т2+01n2
;
2
222
222
(
)2/2 2
т,.= (аз-оz) Lт +(а2-а1) т n + <Jз-<JJ n;
Lz+т2+n2= \.
(4.6)
Известные критерии прочности, по существу, отличаются только
условиями, определяющими положение площадки скольжения, и
интерпретацией парам етро в условия (4.4). Сказанное справедливо
для изотропных грунтов . В природе, однако, часто встречают~я
грунты , обладающие в силу своего генезиса анизотропными свои
ствами, т. е . их свойства (в данном случае речь идет о nрочностных
свойствах) зависят от ориентации элемента среды относительно
некоторой системы координат. Анизотропия свойств грунтов форми
руется также и при их искусственной укладке, например, nри возве
дении дамб и плотин , при устройстве обратных засыпок котлова
нов и пр. В этих случаях условие прочности следует формулиро
вать, учитывая, что параметры А и С зависят также от направле
ния плоскости изотропии относительно направления главного наи
большего напряжения.
5*
131
4.2. 1 . Критерий орочиости Кулона
-
Мора
Постулируется, что площадки скольжения проходят через глав
ную ось а2, т. е. т =0, и что на этой площадке выполняется
условие экстремума функции отклонения (тv-т~). Положение ука
занной !_!{lощадки легко определить. Вводя обозначения l = cos 1jJ;
n -=-11= /
2
; т =0 по формулам (4.6), получим
lтvl=-}-(at-aз)sin211JJI; av= а,tаз
У еловне экстремума дает
cos 21jJ.
дд'!J [тv- (с:-а,. tg cr:)] =0,
где с: и cr:- параметры прочности по Мору.
После преобразования получаем· ctg 211JJ 1= + tg cr: или 1jJ =
=
+ (л/4-сr:/2).
Таким образом, площадки скольжения по критерию Кулона
Мора - проходят через ось а2 и нормаль к этим площадкам накло
нена к оси наименьшего главного напряжения а 3 под углом
+ (45°-cr:/2) (рис. 4.9). Отметим, что при более общем условии
(4.5а)
-
v
Рис. 4.9. Расположение площадок скольжения по условию Кулона
-
Мора
положение плошадки скольжения по-прежнему определяется соот
ношением (4.7),
где tg cv:= _ддf и cr:= arctg f' (здесь f' =
~).
Ov
даv
На площадке скольжения компоненты напряжений будут равны
132
а,,=
и предельное условие (4.5) теперь можно переписать, выразив его
через компоненты главных напряжений:
Условие (4.8) удобно представить в виде
аз= -C+Aat,
где С=2с: cos<р~
; А= 1+siп<р~ .}
1-siп 11':
1-siп <р~
(4.8)
(4.8а)
Таким образом, по критерию Кулона -Мора параметры усло
вия прочности (4.4) выражаются через сцепление и угол внутрен
него трения на площадке скольжения, ориентация которой в плос
кости «а 1 - а 3 » зависит от самого угла внутреннего трения cr:.
являющегося характеристикой грунта. Как мы видим, по Кулону
Мору - параметры А и С не зависят от вида напряженного состоя
ния, тогда как эксперимент не подтверждает это положение во
всем диапазоне изменения f.ta· Если для каждого вида напряжен
ного состояния определить угол внутреннего трения по формулам
(4.8~. (4.8а), то окажется, что он изменяется и зависит от f.ta
(рис. 4.1 О). Как показывают опыты, угол внутреннего трения по Мо
ру для несвязных грунтов при f.ta ~ 0,5 более у гл а внутреннего тре
ния, определенного в стабилометрических опытах ( f.ta = + 1), при
близительно на 10-15%. В лабораторной практике прочность оце
нивается в большинстве случаев по стабилометрическим опытам,
а определенные таким образом параметры используются в расчетах
при других видах напряженного состояния, например в условиях
плоской деформации (f.ta ~О-;- 0,2). В таких случаях необходимо
предусматривать повышение у гл а СVм на 10-15%, что дает воз м о ж
ность более экономично запроектировать грунтовые сооружения [4].
г~!":
~
1
1
111
!J%111.
-i
-0,5 о 0,5 1 t-'.s
133
Рис. 4.10. Зависимость
угла внутреннего трения
по условию Кулона - Мо
ра от вида напряженного
состояния для песчаных
грунтов
Обработка экспериментов. По условию Кулона~
Мора площадка разрушения ориентирована по отношению к на
правлению наименьшего главного напряжения а 3 под углами
+ (45о- (jJ~ /2). Если воспользоваться кругами Мора, то легко по казать,
что огибающая предельных кругов представляет собой графическое
отображение условия прочности в терминах «<v- а,», а угол, состав
ленный радиусом, проведеиным в точку касания, и вертикалью,
равен производной дf/даv. Обработка экспериментов, часто состоя
щая в том, что к предельным кругам Мора графически проводится
касательная, а затем находятся ее параметры, из-за разброса дан
ных является во многих случаях не совсем точной. Поэтому, безу
словно, предпочтительнее искать предельное условие непосредствен
но построением зависимости между главными разрушающими на
пряжениями «а1- a~j» методами математической статистики (ме
тодом наименьших квадратов). После определения параметров А
и С угол внутреннего трения и сцепление находятся по формулам
.
*- А-1
SIП (Рм- _А_+_!_
с*= С
м
1-sin <р~
2cos <р~
Большое распространение в прошлом получили опыты на срез
ных приборах типа широко известного прибора Маслова ~ Лурье.
В этих приборах сдвиг осуществляется по фиксированной поверх
ности, причем при разрушении известны нормальная и касательная
составляющие напряжений. В этом случае предельное условие ищет
ся непосредственно в форме зависимости т~= f (а,). Хотя недостат
ками такого типа испытания являются неопределенность напря
женного состояния в образце грунта и в некотором смысле услов
ность получаемого критерия, его результаты могут быть использо
ваны при расчетах устойчивости откосов грунтовых сооружений по
методу круглоцилиндрических поверхностей обрушения~ методу,
регламентированному действующим СНиПом. Основанием этому
служит то обстоятельство, что в соответствии с методом СНиПа
обрушение происходит тоже по фиксированной поверхности, а сле
довательно, сопротивление обрушению на каждой элементарной пло
щадке поверхности обрушения характеризуется теми же фактора
ми, что и в срезном приборе.
Кстати, заметим, что характеристики прочности (сцепление и
угол внутреннего трения), определяемые в срезном приборе, хоро
шо согласуются со значениями этих характеристик, определяемы
ми в трехосных испытаниях в соответствии с критерием прочности
Треска - Хилла.
4.2 .2. Критерий nрочности Треска ~ Хилла
Положение площадки скольжения определяется условиями
134
m=O; l=n= 1/{2,
(4.9)
т. е. площадки проходят через ось а 2 , а нормаль к площадке на
клонена к главным осям под углом 'ljJ=45° (l=n=cos'ljJ). В этом
случае компоненты т, и а,, на площадке максимального сдвига
и условие прочности запишется в виде
\<тих\ =С,*-Sп ig (IJ,*
или аз= -С+Аа1,
где
2с~ А= l+tg<p~ .}
1-tg<p~
1-tg<p~
Ст* и (jJ,*~ параметры прочности условия Треска~ Хилла.
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Здесь, так же как и в условии прочности Мора ~Кулона, пара
метр А инвариантен по отношению к виду напряженного состояния,
что не подтверждается экспериментами при f.icr > 0,5. Интересны
опытные исследования, проведеиные Р. Марсалом [5] с различ
ными грунтовыми смесями. Он установил, что в опытах при плоской
деформации прочностные характеристики, полученные в соответ
ствии с критерием Треска ~Хилла, совпадают с прочностными ха
рактеристиками, определенными в стабилометрах при fla = + 1 и
обработанными по Кулону~ Мору. Иными словами, в координа
тах <<Т,,- а,» предельная огибающая, проведеиная по критерию
Треска через максимальные точки окружностей разрушающих кру
гов Мора в опытах при плоской деформации, совпадает с касатель
ной, проведеиной к разрушающим кругам Мора стабилометриче
ских опытов (рис. 4.11, а). Это легко объясняется, если иметь в
виду экспериментальные результаты, представленные на рис. 4.1 О и
4.11' б.
Связь между параметрами прочности условия Кулона~ Мора
и Треска ~ Хилла очевидна и вытекает из того, что вне зависимо
сти от трактовки этого условия при одном и том же значении lla
величиныСиАдляниходниитеже,т.е.
2с~ cos <р~
1-sin <р~
1-tg<p~
и
1+sin <р~
1-sin <р~
откуда sin (jJ~=tg (/)т* или (jJ:=arcsin tg (IJ,*
\35
(4.13)
-1
о
Рис. 4 . 11 . Пред ель ные соотношения «Т , -а ,» : для грунтовых смесей
в оnытах nри nлоской де формации и в стабилометрических исnытаниях
(а~; nредельн ые соотношения «т,. - cr,», nолученные на основании усло
вии nрочно сти Кулон а - Мора и Треска
-
Хилла, no стабилометрическим
исnытаниям (б)
И C~=C.,*·----
vf \.....:_ ig'<p:
"Предположим, что разрушение происходит по площадке, имею
щеи некоторые. произв_Q_,~_l~значения направляющих косинусов:
m-0 , l-cos lp, п= .f l-cos lp . Прив еде м полученное эмпирически
условие прочности (4.4) к математической форме, в которой участ
вуют компон е нты напряжений, действующие по этой площадке,
т,. и а,. Для этого воспользу е мся легко получаемыми формулами
CJ1 =а,. +т v ctg lp;
аз=а,. -т, tg lp.
Тогда условие (4.4) после ряда преобразований приводится к виду
lт,.l =c*-tg ср*а,, :
-[(А-1)
(4.14)
136
1
где с*=С А~g1 :2 'Ф и tg ер*= (А-1) А~g1:2 'Ф можно назвать сцеп
лением и углом внутреннего трения на площад~е разрушения , опре
деляемой в пространстве а1, а 2, аз нормалью v(l, m, n} .
Нетрудно получить условия Кулона- Мора или Треска- Хил
ла, предварительно сделав nредположения относительно величин
С , А и tg 1р (например, критерий Кулона- Мора 1р=45 ° -qJ~/2,
А-- 1+sin ер~ с-- 2с* cos cr:
u
т
х
50
--~-; критерии реска - илла 1р=4
,
1-sin cr:,
м 1-sin cr:
А= 1+tgcr: С= 2с: )
1-tg cr: '
1-tg cr: ·
Из анализа условия прочности общего вида (4.14) следует
простой вывод.
Потребовав инвариантности к виду напряженного состояния ве
личин. сцепления и угла трения на площадке разрушения и учиты
вая экспериментально полученную зависимость параметров А и С
от f..L0 , убеждаемся в том, что положение площадки разрушения
должно зависеть от значений параметра Ладе (f..Lcr). Если же мы
потреруем инвариантности положения площадки скольжения, то
с необходимостью последует н.еин.вариан.тн.ость параметров проч
н.ости к виду напряженного состояния.
4.2.3. Критерий прочности Мизеса - Боткина
Постулируется, что разрушение происходит по октаэдрической
площадке, т. е. площадке, равнонаклонной к главным осям (l =
= m = n = 1/-JЗ) В этом случае компоненты напряжений т, и а,, по
октаэдрической площадке будут равны :
cr1+cr 2 +cr з
av =а=
3
-
среднее гидростатическое давление;
=~а;; al=} [(аl-а2) 2+(а2-аэ) 2 + (аl-аз) 2]
Tv=
интен-
сивность касательных напряжений.
Условие прочности по Мизесу- Боткину теперь запишется
в виде
(4.15)
где C~c t и (/!~ct - параметры прочности по октаэдрической площадке.
Выразим общее условие прочности (4.4), найденное эмпири
чески на основе экспериментальных данных, через инварианты тен
зора напряжений а и а; и представим его в виде, аналогичном
условию (4.15). Для этого воспользуемся очевидными соотноше
ниями
1/2 5. Зак. N• 51
137
и условием (4.4) . В результате подстановки получаем
ЗС
3(А-1)
ai==
а.
G3(A+1) - J..t " (A- 1)] G3(A+ 1)-J..tcr (A-1)](4_
16
)
Соотношение (4.16) явля ется услови е м прочности, выраженным
через инварианты тензора напряжений (ai, а , J.!a\ и основываю
щимся на эмпирически полученном условии (4.4) . Напомним, чт о
в отличие от (4 . 16) выведенное ранее условие (4.14) также осно
вано на эмпирическом условии (4.4), но выражено ч е рез напряж е
ния т v ; a v на площадке сд вига, ориентированной под у глом 'ф к
направлению главного напряжения аз. Условие прочности, напри
мер, Кулона- Мора в координатах «ai - а» з апишется на основа
нии (4.16) и (4.8а) в виде
(4.16а)
Сравнивая полученное соотнош е ние с условием прочности Ми
зеса -Боткина, можно опр еделить , как должны изменяться пар а
метры А и С, если считать, что сцеплени е c~ct и угол трения tg (j)~c t
на октаэдрической пл ощадке являются инвариантными характерис
тиками, не зависящими от вида напряженного состояния . После
преобразований для параметров А и С имеем
138
1'
1
В частности, при J.!o == + 1 эти параметры равны:
с== .;з -с~"
1-1 /VЗ tg ер~,,
А== 1+2/-.JЗt g<p~,,
1- l/узtg<р~"
Нетрудн о видеть, что эти параметры изменяются в зависимости от
J.!o· Так, например, изменение параметра А показано на рис. 4 . 12 .
- 0,5
Д
Рис. 4.12. Зависимость nараметра
о
0,5
прочности А от J..l cr в пр едnолож е нии
инва риантности угла внутреннего тре·
ния по октаэдрической nлощадке сколь
жения
Подобное изменение параметра А никак не согласуется с экспери
ментальными данными , которые р а нее иллюстрировались на
рис. 4.7 . Если же предположить, что параметр А инвариантен к
виду напряженного состояния (что достаточно близко согласуется
с экспериментом при J.!o<0,5) , то из (4 . 16) с н~обходимостью сле
дует зависимость угла трения на октаэдрич е скои площадке от зна
чения J.!п• причем характер этой зависимости показан на рис. 4 . 13.
Связи между характеристиками прочности, определяемыми раз
личными теориями прочности, легко устанавливаются для произ
вольного вида напряженного состояния (различных J.!o) приравни
ванием соответствующих з начений параметров А и С. Так, из срав-
1/2 5*
Ри с. 4.13. За висим ость угл а внутр е ннег о тре
ния по о кта эд рической площ а дке ск ольжения от
вида наnряженного со сто яния в nре д n ол ожении ин
вариантности параметра прочности А: 1 -А= 10=
=coпst; <р~,1=52° при J.-10 = + 1 (грунты обломоч
ные); 2-A=2=coпst; ср~,,=23о nри J..lo= + 1
(грунты с у глини стые)
139
нения выражений для коэффициентов А и С по условию Кулона -
Мора и по условию Мизеса - Боткина можно определить связь
между параметрами с:; cr: и C~ct; cp~ci· Так, при l-ta = + 1
*
3c~ct
См = -Y--:=1=2=+=4::-:-{3--:-:З=t=g=rp=~,=.,=-=Sl::-g--:2:-::(jJ=~-=,.,=
Основные выводы из проведеиного анализа можно сформули
ровать так:
-
общий вид критерия сдвигавой прочности выражается фор
мулой (4.4), его параметры зависят от вида напряженного состоя
ния·
. :___ параметры прочности критерия (4.4) могут быть интерпрети
рованы исходя из рассмотрения возможности разрушения по пло
щадкам сдвига;
-
положение площадок сдвига в пространстве главных напря
жений зависит от вида напряженного состояния, если считать, что
параметры прочности на сдвиг на этой площадке инвариантны;
-
из инвариантности положения площадок сдвига по отношению
к виду напряженного состояния следует неинвариантность парамет
ров сдвига;
-
гипотезы, положенные в основу различных критериев проч
ности, должны приводить к одной и той же формулировке условия
в главных напряжениях, если параметры этих условий определены
и прогноз прочности дан для одного и того же напряженного со
стояния.
Значимость различных критериев прочности проявляется только
при распространении их на другие виды напряженного состояния,
или, иными словами, значимость провернется инвариантностью этих
критериев прочности.
4.3 . Инвариантность критерия прочности
Критерии прочности содержат экспериментально определяемые
параметры (например, критерий Кулона -Мора характеризуется
двумя параметрами: сцеплением с: и углом внутреннего трения
cr:). Если определение па раметрав условия прочности производится
при том же виде напряженного состояния, что и дальнейшие рас
четные исследования, то не возникает и вопроса о том, какому
из критериев прочности следует отдать предпочтение. Этот воп
рос становится весьма важным в случае, когда испытания грунта
и расчетные исследования проводятся при различных видах напря-
140
1'
1'
-
J
жениого состояния, т. е. при различных значениях I)араметров Ла
де l-ta· Например, часто расчеты выполняются для грунтовых соору
жений, работающих в условиях плоской деформации, тогда как
испытания ведутся в приборах трехосного сжатия при 1-ta = + 1
(в стабилометрах). В этом случае используемый критерий прочности
должен быть инвариантен, а его параметры не должны зависеть
от вида напряженного состояния; такой экзамен выдерживают да
леко не все известные нам критерии прочности.
Инвариантность критерия прочности и границы его применения
могут быть определены только по результатам экспериментальных
исследований условий разрушения грунта при различных видах
напряженного состояния. Как это следует из приведеиных ранее
данных (рис. 4.7 и 4.10), в большом диапазоне изменения пара
метров Лоде +0,5>~-ta> -1 (за исключением, быть может, самого
значения 1-tcr =- 1) промежуточное главное напряжение <J2 не ока
зывает влияния на прочность и поэтому в этом диапазоне измене
ния напряженных состояний с успехом могут использоваться как
критерии Кулона- Мора, так и Треска- Хилла. Критерий Ми
зеса - Шлейхера целесообразно использовать только при измене
нии 1-ta в диапазоне от + 1 до некоторого значения 1-1:. Нес,;мотря на
некоторую несогласованность в результатах исследовании прочно
сти грунтов, можно все же констатировать, что влияние промежу
точного главного напряжения существенно в диапазоне + 1~ l-ta ~
~ 1-1:, а при 1-1:> l-ta > - 1 этим влиянием можно пренебречь. Отсюда
следует наше предложение о кусочио-гладкой форме предельного
условия прочности (будем называть его комбинированным усло
вием):
ПрИ + 1~ 1-ta ~ 1-1:: <J; = af"- C~ct- <J tg Cf!~ct;
ПрИ 1-1:> 1-ta > -1 : Tmax=T;\;ax-c:'- S" tg ер,;".
(4.17)
Предложенное комбинированное условие основывается на том
обстоятельстве, что параметр прочности А в интервале + 1 ~ l-ta ~
~ 1-1: растет с уменьшением /-1 0 , а при l-ta < 1-1: практически не изме
няется. Из ранее изложенного ясно, что этим условиям отвечает
критерий прочности Мизеса - Боткина, применимый в диапазоне
изменения + J ~ l-ta ~ 1-1:. и критерий прочности Треска - Хилла
для диапазона изменения 1-1:> 1-ta > - 1 .
В приведеиной формуле (4.17) необходимо выяснить значение
и согласовать параметры прочности с теми, которые обычно
определяются по стандартным стабилометрическим испытаниям,
т. е. по испытаниям при 1-ta = + 1(<Jt = а2, da3 <О). С этой целью
условимся, что в испытаниях при 1-ta = + 1 нам известны угол внут
реннего трения cr: и сцепление с:, а следовательно, определены
*
*
.
.
Coct И Cf!oct, равные
141
C~c t=
2-{3 с~ cos qJ~
;}
3- sin ер~
tg <p~cl =
2.jЗ sin qJ~
3-sin qJ~
Кроме того, нам известны экспериментальные соотношения
t*
-
·
t*
.
g <pM / i-Lu=+l -СХ.! g <рт/ nл.деф.'
c:I!Lu~+1= а.2с:jпл. деф. ·
(4.18)
(4.19)
Так, по опытным данным Марсала а. 1 = 1 (с*= О), а по опытам
А. Бишопа а. 1 =1,15 (с*=О). Следует отметить, что параметр а.,
по опытамснесвязными грунтами чаще всего равен 1,1 (рис. 4.14).
'f
Рис . 4 . 14 . . Угол внутреннего трения по
rf
условиям nрочности Кулона -Мора и
4
Треска - Хилла в зависимости от вида
35•
наnряженного состояния по эксnеримен
тальным исследованиям для несвя з ных
30
1
грунтов в диапазоне значений О~ tlo ~ + 1
Ч'~
Рис. 4.15. Диаграммы значений
пя .gеЧ>.
11~ в зависимости от величины угла
внутреннего трения, полученного в
испытаниях при tl u = + 1
о
о~
•1
Для определения ~-t: необходимо совместно рассмотреть два урав
нения:
(4 .20)
с: и ер: известны из испытаний в стабилометре при f..to = + 1;
l
l
*
tg<р,*=- tg<р:; С,.=-а; с:; C~ct И tg(/Joct
а,
2
определяются по формулам (4 . 18).
Второе уравнение системы (4.20) получено из (4.16) при значе-
А l+tgep:
С
2с: ( (412))
ниях =
и=
см.
.
.
l- tg(j):
.l - tgер:
Уравнения (4.20) выражают соответственно условия Мизеса
Боткина и Треска - Хилла. Результаты совместного рассмотрения
указанных уравнений для несвязиого грунта при использовании за
висимостей (4.18) и (4 . 19) приведены на графиках рис. 4.15. За
метим, что для грунтов при ер:< 30° условие · прочности Треска -
Хилла практически может быть применено уже при !J, ., < 0,8.
142
0,1 о
0,4
0,7
к,
10
20
30
Рис. 4.15 . Диаграммы значений
11~ в зависим ости от величины угла
вн у треннего трения, полученного в
испытаниях при tlп= + l
Укажем на одно чрезвычайно важное практическое предложе
ние, вытекающее из рассмотренных выше соотношений. Как пра
вило, в исследовательской практике характеристики прочности в
условиях плоской деформации не определяют в связи с отсутствием
и сложностью аппаратуры для проведения опытов при е, 2 =0. Проч
ность определяется в условиях стабилометрических испытаний при
l-ta = + 1. В этом случае очень важен переход к характеристикам
прочности в условиях плоской деформации.
На основании (4 . 19) можно сформулировать следующий про
стой практический прием . В условиях плоской деформации следует
использовать критерий Треска - Хилла
T~!QX = с.;'i ..л. деф.
-
s., tg cp.;'inл. деф.
при значениях параметров, равных
cp.;'inлдеф= arctg(~tg <p:ll'.~+1 ) ;
1
с.;*
=-с* .
/nл. деф. а2 м;,,.~+ 1·
Для несвязных грунтов, принимая а. 1 =а. 2 =1, получим, что
угол внутреннего трения и сцепление по Треска - Хиллу в усло
виях плоской деформации должны приниматься равным углу внут
реннего трения и сцеплению по Кулону- Мору, определенными
экспериментально в стабилометрических опытах при l-ta = + 1.
Геометрическая интерпретация
условий прочности
В шестимерном пространстве напряжений условие прочности
геометрически представляется в ~иде некоторой пятимерной поверх
ности. В пространстве главных напряжений а 1 > а 2 > а 3 условие
прочности представляется в виде двумерной поверхности. Усло
вие прочности, например, Мизеса в этом пространстве имеет вид
кругового цилиндра, ось которого совпадает с пространствеиной
диагональю (рис . 4.16, а), т. е . с гидростатической осью а=
143
= 1/3(а, +а2+а з ), условие же Мизеса- Боткина изображается
в nространстве главных напряжений в виде кругового конуса, ось
которого также совпадает с nространствеиной диагональю
(рис. 4.16, 6).
а
Рис. 4.16. Геометрическое nредставление условий nрочности в nростран
стве главных напряжений: Мизеса (а); Мизеса- Боткина (б)
Рассмотрим следы, оставляемые двумерной поверхностью теку
чести f*(aii) =0 при сечении ее девизторной nлоскостью a=const,
т. е. плоскостью, nерnендикулярной nространствеиной диагонали и
равнонаклоненной к осям координат- осям главных напряжений.
Эта плоскость носит название девиаторной или октаэдрической
ее направляющие косинусы равны l = 1j-{3; m = 1j-{3; n = 1;Тз,
что соответствует углам, образуемым нормалью к плоскости с на
правлениями осей _тлавных напряжений --.. 54,8°. П роизвольный век
тор наnряжений Poct, действующий на октаэдрическую площадку,
как известно, можно разложить на нормальную составляющую,
которая совnадает с величиной гидростатического давления а 0с1 =а,
и касательную T oc t. лежащую в этой плоскости и равную Toct =
=-J2/3 ai (рис. 4.17, а). На рис. 4.17, б приведена октаэдрическая
площадка, на которую спроектированы оси координат aj, а2 и а З,
!:! показан угол w", составленный направлением аЗ и вектором
T oc t- Угол w" определяется по известному выражению
з.;з
-c os 3wa=
2
(ai/ai) 3
,
где
ai=;ys, S2 S з , ai=l/1/2 Sij Sii·
Главные компоненты напряжений теnерь можно выразить, ис
пользуя понятие угла вида напряженного состояния, в форме
144
.1'
а
Рис . 4.17. Вектор наnряжений на девизторной плоскости
а1 =а+ 2/-/3 ai cos ( w"- л/3);}
a2=a+2f.j3aicos (wа+л/3);
aз=a-2j.j3 ai cos Ша.
Угол w., изменяется в пределах О,;::;;; w.,,;::;;; л/3 и связан с nараметром
Ладе - Надаи f..ta соотношением
f..ta =vГз ctg (щ, + л/3),
так что при f..ta = + 1 угол вида напряженного состояния W 0 =О,
при f..ta = -1 угол w" =л/3, а при f..t a =0 (чистый сдвиг) угол вида
напряженного состояния W 0 = л/6. Функция текучести на девиатор
ной' плоскости а= const (след поверхности текучести при пересе
чении этой поверхности девиаторной плоскостью) nредставляет
собой невагнутую замкнутую линию, не пересекающую начало ко
ординат .
Поскольку для изотропных материалов индексы 1, 2, 3 могут
быть произвольным образом присвоены осям координат, кривая те
кучести должна иметь тройную симметрию, как показано на
рис . 4 . 18, из которого видно, что любая переста нов ка индексов 1,
2, 3 для осей координат не меняет физического условия предель
ного состояния. Поэтому в экспериментах достаточно исследовать
один из шестидесяти градусных секторов, т. е . один из шести сек
торов, определяемых углом изменения вида напряженного состоя
ния О,;::;;; W0
,;::;;; л/3;
остальные секторы оnределяются из условия
симметрии. Следует отметить, что условия изотропии не требуют,
чтобы предел прочности nри f..ta = + 1 и f..to = -
1 был одинаков, как
это показано на рис. 4.18. При равенстве этих пределов функция
текучести имеет шестикратную симметрию (рис. 4 . 18, 6) и спра
ведлива, например, для критерия Треска - Хилла и критерия Ку
лона - Мора при qJ* =О (точнее, для всех критериев типа (4.4) при
А= 1). Последнее легко усмотреть, если nереписать критерий (4.4)
145
а
cs'2
d,'
Рис. 4.18 . След поверхности текучести из девизторной плоскости
в виде (4.16). В этом случае, т. е. при А= 1, кривая текучести дол
жна иметь шестикратную симметрию.
Для анализа различных критериев прочности удобно сравни
вать их по следам, которые образуются в пересечении предельной
поверхности f* =О с девизторной плоскостью. Для этого в девизтор
ной плоскости введем полярную систему координат R, е такую,
что R ==а;, а е= ffi". На
рис. 4.19 показан сектор изменения коорди
наты е от 8=0 до 6=л/3.
А . Условие прочности Мизеса- Боткина представляет собой
дугу окружности; поскольку по этому условию при a=const (по
ложение девизторной плоскости фиксировано), величина девиатора
a ; =const не зависит от угла вида напряженного состояния, т . е.
от полярного угла е выбранной координатной системы.
Б. Условие прочности Кулона- Мора может быть легко пред
ставлено в этих координатах, если воспользоваться записью в фор-
ме (4.16) и положить А= 1 +siпiJ'~; С=2с* coscp~
1-siПIJ'~
м 1-sin(j):
Можно убедиться, что уравнение (4.16) в координатах «R-8»
представляется прямой, отсекающей на оси R при е =0 величину
aiif! . =+l' а при е=л/3 (или при t-ta = -1)- величину a~f.to= - l =
3-siп IJ'~
=aii" -+l ·
.
так, что при q>:=o предельная интенсивность
.-о-
З+s!П (j)~
напряжений сдвига одинакова при f.ta = + 1, а, например, при q>:=
=л/2 предельная интенсивность напряжений сдвига at 1f.to=-l вдвое
меньше сопротивления при f.t a = + 1. То же самое относится и к усло
вию прочности Треска - Хилла, только с той разницей, что область
возможных изменений у гл а внутреннего трения по Мору О~ q>: <
< л/2, а по критерию Треска - Хилла О~ q>,*< л/4.
Комбинированное условие прочности [6] представлено на
рис. 4.19, 6, в. След комбинированного условия на девизторной
146
1,,
а
/
6,
ft6=-1
Рис. 4.19. Геометрическое представление условий прочности Куло~
на _ Мора и комбинированного условия прочности на девизторнон
плоскости
плоскости, показанный на рис. 4. ~ 9, в, в каждом и~ шести секторов
является кусочио-гладкой линиеи, представленнон при изменении
1 :=:::::: f.t :=:::::: t-t* частью окружности (условие Мизеса - Боткина), а при
t-t,f'> ~~> ~ 1 отрезком прямой (условие Треска - Хилла). Оrме
т~м ч;о по данным ряда исследований зависимость параметров усло
вия' прочности Кулона- Мора от вида напряженного состояния
гораздо более существенна, чем та, которая получена в раб%.ах
А. Бишопа, Г. Грина и в наших работах. Так, в работа\М. В . а
лышева и других исследователей график зависимости 'Рм (t-to) имеет
экстрему м в области, близкой к значению 1-la =О, и практически оди
наковую прочность при f..Lo = + 1. У еловне прочности, предложен
ное М. В. Малышевым [7), в отличие от критерия Кулона- Мора
включает дополнительный параметр Х и описывает эту зависи-
мость:
147
3(1 - Х) (1 --J.L~) ]
-
-о= с* ctg т*
4
М
lM'
где Х- доnолнительный параметр (при Х = 1 это условие тож
дественно условию Кулона - Мора (4.16а).
В критериях, nредложенных Г . М . Ломизе- А . Л. Крыжанов
ским [8], Г. А. Гениевым (9] и рядом других исследователей, не
инвариантность условия прочности Кулона - Мора исnравляется
соответствующим введением влияния среднего главного напря
жения или влияния параметра Ладе . Так, условие прочности, пред
ложенно е Г . М . Ломизе и А. Л . Крыжановским (8], записывается
в форме
ot= ф(of/от).
При этом функция Ф по данным А. Л . Крыжановского может быть
представлена в виде
Ф =а+ Ь (of/о[) а.
В девиаторной плоскости это условие представляется геометри
чески в виде криволинейного треугольника, вписанного в окруж
ность Мизеса, радиус которой определяется в испытаниях при 1.1 =
= + 1. Внутри криволинейного треугольника Ломизе- Кры~а
новского может быть вписана окружность Мизеса с радиусом, оп
ределяемым по значениям of в испытаниях при !.la =
-
1.
Критерий прочности Филаненка-Бародича [ 10] представляет
собой линейную комбинацию условий Мизеса - Шлейхера, опре
деленных в испытаниях при !.la = + 1; F + (oi, о)= О и в испыта
ниях при !.la =- 1: F _ ( Oi, о)= О. Условие Фи л аненка-Бародича за
писывается в форме
J-ftn
2
F_ =0.
Отметим в заключение, что критерий прочности (4.4) матема
тически представляет собой соотношение между максимальным и
минимальным главными напряжениями. Поэтому следует всегда
предварительно устанавливать, какое из напряжений о 1 , о 2 или о 3
является максимальным, а какое минимальным. В соответствии с
рис. 4.18 существует шесть возможных способов, которыми можно
упорядочить главные наnряжения (табл. 4 . 1).
148
'
.
'
'
'
.
.
~; ·~
ti
!)
10
Таблица 4.1
Обла с ть
1
11
lll
1V
у
Vl
Уравнени е (4.4):
О'тах
O'min
<J1
<J :J
O'i
<Ji
СТ2
<Ji
4.4. Усечение критерия прочности
в области растя~ения
O'min = Aumax- С
<J з =Acr,-c
crз =Acrz-c
<J , =AO'z-C
а, =Асrз-с
O'z =Acrз-c
az=Aa,- c
Разр у шение грунта nроисходит путем либо сдвига, либо ~трыва .
В первом случае опасными являются напряжения сдвига, деиствую
щи е по площадкам скольжения, во втором случае, как выяснено
экспериментально, разрушение происходит при превыше~ии макси
мальной упругой деформации растяжения определеннон критиче
ской величины. Площадками, по которым происходит разрушение
грунта, являются в этом случае площадки с направляющими к~
синусами n = 1; l= т =0, т. е. площадки - .нормальные к линии деи
ствия главных растягивающих напряжении. В связи с этим в про
странстве главных напряжений предельный конус Мизеса- Боткина
или предельная шестигранная пирамида Треска - Хилла в области
положительных значений суммы главных напряжений должны быть
усе~ены . Это усечение связано с тем, что сопротивление всесторон
нему растяжению равно величине
о.;тr ~Н*= С~с/ ctg cp~c l ·
Естественно предnоложить, что усечение конуса Мизеса - Шлей
хера происходит по некоторой сфере. На плоскости инвариантов
«Oi -o» след этого усечения предст.авляется в виде окружности в
области положительных значений (в области растяжения). Окруж
ность касается линии предельного условия of = C~ct- о tg cp~ct и
имеет вертикальную касательную о= о:тр (рис . 4.20).
Радиус этой окружности равен:
а центр отстоит от начала координат на величину
Аналогичным образом производится усечение в плоскости
-
Sa» ДЛЯ уСЛОВИЙ - 1< !.la ~ !.ld·
149
(4.21)
(4.22)
«'trnax-
Рис. 4.20 . След усеченной nредель
ной nоверхности текучести на nлоско
сти инвариантов тензора наnряже
ний
б
4.5 . Энергетические критерии прочности
Целый ряд критериев прочности получен исходя из рассмотре
ния энергетических аспектов процесса разрушения. Здесь мы оста
новимся только на четырех таких критериях .
4.5 .1. Критерий прочности Мизеса- Боткина
В 1885 г. Бельтрами высказал предположение о том, что пре
дельное состояние материала наступает rrpи достижении полной
удельной упругой потенциальной энергией некоторого предела:
a'f/2Ge+а2/2Ке = const.
Чтобы согласовать эту теорию с тем фактом, что материалы
не разрушаются при значительных гидростатических давлениях,
Губер в 1904 г . предложил за критерий прочности принять не пол
ную величину удельной потенциальной энергии, а только ту ее
часть, которая идет на изменение формы . Нетрудно показать, что
по Мизесу - Губеру критерий разрушения записывается в форме
ai= (1/2 sii sli) 112
=const.
По мнению Ф . Шлейхера, высказанному в 1925 г . , разрушение
материала наступает, когда полная удельная потенциальная энер
гия достигает определенной величины, зависящей от шарового тен
зора напряжений (от гидростатического давления). Гипотеза
Ф. Шлейхера, так же как и гипотеза Бельтрами, плохо подтвержда
ется экспериментами . К этой гипотезе примыкают теории, предло
женные В. Бужинским, Ю . И. Ягном, П. П. Баландиным и др .
А. И. Боткиным в 1940 г . [11] применительно к грунтам предложена
теория, основывающаяся на линейной зависимости касательных и
нормальных компонент тензора напряжений на октаэдрической
площадке. Ее энергетическая трактовка связана с предположением
J..
0 предельном значении энергии формоизменения, зависящим от гид
ростатического давления:
*'
ffi*=~=f(a) или ar=f(a);
Ф 2G'
в частности at=a-ba==c~c t -a tg IP~ct·
Эта теория для грунтов является наибол ее оправданной и получила
название теории прочности Мизеса - Боткина.
4.5.2. Критерий прочности Дж. Уэта
Дж. Уэт предположил [ 12], что разрушение грунта произой
дет при условии, когда упругая удельная энергия формоизменения
wФ = .- .. :!!_ будет равна упругой удельной энергии объемного сжа-
2Gе
(J2
тия ffiv=
--, т. е.
2Кс
Сравнивая это выражение с условием Мизеса - Боткина для не
связного (c~c t=O) материала
at =а tg (/)~c t,
можно легко установить связь между углом внутреннего трения по
октаэдрической площадке и коэффициентом Пуассона v, поскольку
G'
l-2v
---
К'
l+v
Эта связь имеет вид
_
/ l-2v
tg(/)~ct= V 1+v .
Соответствие между углом трения qJ~ct и коэффициентом Пуассо
на v легко провернется экспериментально. Дж . Уэтом показано,
что почти все грунты хорошо согласуются с этим теоретическим
предположением. При этом у пластичных глинистых грунтов, для
которых v = 0,5, угол трения равен нулю.
4.5.3. Критерий прочности Л. Н. Рассказова (13]
Вводится коэффициент запаса К как характеристика состояния
грунта по отношению к предельному в виде
151
ша+~ adev
к=
_
_: _L- --
~ sijdeij
L
где crde v- приращение энергии объемного деформирования; siidе;i
приращение энергии формоизменения; w0- энергия начального уп
лотнения.
В предельном состоянии при К= l имеем
· ~ Sijde;i=wo+ ~ ad ev ,
L
L
а при. wo =О в предельном состоянии постулируется равенство
энергии формоизменения и объемного деформирования . В отли
чие от критерия Дж. Уэта здесь предполагается равенство полных
потенциальных энергий фор.мои з менения и объемного деформирова
ния, а не их упругих частеи.
4.5 .4. Новая энергетическая концепция прочности
Концепция строится на следующих трех положениях.
!. Пластические деформации п_ротекают по потенциальным пло
щадкам скольжения с нормалью v(l, m , nj .
2. Площадки скольжения располагаются так, что отвечают ус
ловию постоянства мощности диссипации внутренней энергии:
cr1 de~ + azde~ + crзde~ = const.
(4.23)
В пространстве cr1, a z, а з условие (4.23) определяет положение
плоскости с направляющими косинусами:
П=~· m= d e~. l=~.
.Уо ,
.;о· ,
..,;о
D= -J(dеП2
+ (dе~) 2
+ (dе~)2.
(4 .24)
3. На площадке сдвига с нормалью v реализуется в предельном
состоянии условие сухого трения Кулона:
(4.25)
а направляющие косинусы площадки разрушения определяются по
предельным величинам der; de~; de~ . Обозначим через
~=
1dEP i min
1dEP 1max
Рассмотрим два частных случая .
152
1
w
1
! . Плоская деформация: m=O; d e~ =O. В этом случае направ
ляющие косинусы площадки разрушения будут равны :
2
f:\* 2
n=
_
_..!;.___
1 +(f:\*)'
[2=
1
1+ (f:\*) ~
m=O ,
а условие прочности по этой площадке, приним ая для песков с~= О ,
запишется:
(4.25а)
Из полученных соотношений можем определ ить а) полож е ние пло
щадки разрушения относительно направления действия главных
напряжений; б) выражение для угла внутреннего трения по пло
щадке разрушения , qJ~ .
Положение площадкиуазруш е ния определяется углом '\J* между
нормалью к площадке v и направлением действия наименьшего
главного напряжения сr з . Угол ф* равен:
ф*=аrccos( г 1
____,).
v1+(11*) 2
(а)
Угол внутреннего трения определяется из условия (4.25а) на осно
вании формулы
*
Tn
tg<:p ,, =-:
Оп
*-*
O.t-of
tg<:р,.-~ af+(f:\*)2of
Проведеиные нами эксперименты с п ес ками в испыт а тельных стен
дах, позволяющих созд ать условие плоской деформации, в част
ности, показали зависимость изменения парам етра ~ от величины
интенсивности деформации сдвига, характер которой показан на
рис. 4.2!, а. Определенную таким образом предельную величину
можно подставить в зависимости (а) и ( а 1) и найти значения '\J*
и tg <:р*.
153
0,8~а
0,6
0,4
0,01
(3Б
1,0
0,8
0,6
0,4
0,01
ldE"/min
jdE.•I ma}(
0,03
0,05
nл. десрормоция
0,03
0,05
0,07
i·
'
,..
--~
0,07
е,
Рис. 4.21. К условиям прочности: экспериментальная зависимость {3 от е; при
1-ta= + 1 (а); экспериментальная зависимость {3 от е; в условиях плоской дефор
мации (б); угол наклона плрщадок разрушения (в); угол внутреннего трення на
площадке разрушения (г). Песок люберецкий, ld = 0 ,55
2. Стабилометрические испытания !l" = + 1(и 1 = и2 >из). В этом
случае направляющие косинусы площадки разрушения
l=
1
{1+2{3*~
{3*
n------'- - -
- {1 + 2i-J*l21 '
154
'
1
L
55°
-----
L
45°
-----
1
20°
10
1
------+-Миэес- Боткин
TPeCKQ- Хилл
L_1------~-------~+1j--~6
З5
25
15
s·
-1
а условие прочности запишется в виде
Gз=
l+ .j2{3*tgrp*
l- tg rp*/-У2 {3*
А
\55
(4.256)
откуда угол, характери з ующий положение
направления главных напряж е ний, равен
площадки относительно
1\J*= аrccos(
.
1
)•
Ji +213'>1<(1)
(б)
Угол внутреннего трения
щих главных напряжений
формулой:
определяется через значения разрушаю
аf и а! на основании (4.25б) следующей
tgq:>~= -fiР*__a
_!_-_a.,....r-
а~+ 2f3* 1Z Jcrf
(б 1)
Экспериментальные данные показывают, что параметр р изменя
ется в процессе испытания так, как это показано на рис 4 21 б
Анализируя полученные данные, можно констатир.о~ать' ·
дующее:
еле-
-
nоложени е площадки разрушения в условиях плоской дефор
мации отвечает ~редложениям критерия прочности Кулона _ Мо
ра, nо;кольку нанденные значения 1\J* хорошо соответствуют усло
вию 1\J =+(45°-q:>:/2);
-
nоложение площадки ра з рушения в условиях стабилометри
ческого наМгружения (/А-а =+ 1) отвечает nриближ е нно критерию
nрочности и зеса - Боткина, т. е. в этом случае площадкой аз-
рушения является октаэдрическая nлощадка 1\J*;::::::: 55°;
р
-
вычисленные знач е ния угла внутреннего трения по пЛощад
кам разрушения q:>~ практически мало зависят от параметра вид~
напряже!lного состояния /А-0 , что положительно характеризует пред
лагаемым энергетический критерий прочности;
-
использование навои эн е ргетической концепции прочности
целесообразно только при возможности прогнозирования накопле
ния пластических деформаций в процессе нагружения*.
В посл еднее время А. Л. Крыжановским [14 15J
терий
,
выдвинут кри-
прочности, основывающийся на том, что постулируется раз-
руш е ни е на пл ощадках, положени е которых определяется следую
щими условиями:
а) m=O;
б) приращение норма
"
льнои составляющей деформации de~ на
этой площадке равно :
156
в) на площадке скольжения выполняется з акон « сухого тре
ния» Кулона.
Хотя критерий А. Л. Крыжановского и не основывается на энер
гетической концепции, он , так же как и приведенный выше крите
-рий, формулируется в приращениях пластических деформаций. Вы
вод, который следует из проведеиной А. JI . Крыжановским обработки
большого экспериментального материала, по существу, сводится к
тому, что положение площадки ра з рушения з ависит от напряженно
деформированного состояния среды, а параметры « сухого трения»,
реализующегося по площадкам разрушения, являются постоянны
ми, инвариантными к виду напряженного состояния, величинами .
А . Л. Крыжановским показано , что определенный эксперименталь
но угол трения на площадках ра з рушения в соответствии с форму
лируемым им крит е рием является инвариантным не только к виду
напряженного состояния, но и к состоянию грунта по плотности,
грансостава и пр. Но при этом пол о жение площадки ра з рушения
зависит от всех перечисленных обстоятельств и может быть найде
но только при предварительном прогнозе пластических деформа
ций. Применимасть указанного критерия также ограничивается
трудностями определения, независимо от условия прочности, плас
тических деформаций к моменту разрушения.
4.6. Влияние траектории нагружения
на прочность грунтов
Траектория нагружения, т . е . последовательность приложения
нагрузок, бе зусловно влияет на накопление пластических деформа
ций, что будет подробно изложено в последующих лекциях. Влия
ние траектории нагружения на прочность грунтов неоднозначно и
зависит от вида и состояния грунтов. Так, многочисленными опы
тами установлено, что траектория нагружения несущественно влияет
на прочность несвязных грунтов . Прочность несвязных грунтов
средней плотности и плотных инвариантна относит ельно посл едова
тельности приложения нагрузок . Для рыхлых несвязных грунтов
наблюдается слабая зависимость параметров прочности от траек
тории нагружения. Это объясняется тем, что nри испытании плот
ных несвязных грунтов предельное состояние достигается приблизи
тельна при одной и той же плотности, не з ависимо от траектории
нагружения. Так, в испытаниях с увеличивающейся суммой главных
напряжений (например, траектория «раздавливания», рис. 4.22)
при увеличении обжатия образца увеличивается и его уплотнение
в процессе деформирования. Однако при приближении к предель
ному состоянию в плотных несвязных грунтах происходит дилатан
сия, сопровождающаяся разуплотнением . В итоге эти два процесса
для различных начальных обжатий образца приводят к тому, что
157
6i. МПа
а
6 МПQ
ъ
.,
0,4
О,З
0,'2
0,1
2
2
4
3
6
8 EvJOZ
Ри с. 4.22. Влияние траектории нагружения на прочность и объемную де
формацию не.связных грунтов: при относительной плотности [ = 0 9 (а).
относительнон плотности ' " = 0 ,3 (б)
"
'
• при
разрушение происходит при приблизительно одинаковой объемной
деформации, т . е. при одинаковой плотности. Траектории же нагру
жения, характеризующиеся уменьшением суммы главных напря
жений, как это показано на рис. 4.22, а, сопровождаются разрых
лением при приближении к предельному состоянию, и поэтому
разрушение происходит _также при постоянной плотности грунта .
Все точки огибающеи предельных состояний для плотных не
связных грунтов находятся примерно в одном и том же физическом
состоянии, т. е . nри одной и той же nлотности независимо от тра
ектории нагружения и величины суммы главных наnряжений. При
испытании рыхлых несвязных грунтов наблюдается только доуплот
нение, и тем большее, чем больше сумма главных напряжений . По
этому разрушение грунта nри различных средних нормальных на
nряжениях начинается пр~ различном их уплотнении. Отсюда сле
дует, что точки огибающеи предельных состояний характеризуются
различным физическим состоянием грунта . Поэтому для рыхлых
158
,.
\_,·
111
несвязных грунтов и наблюдается зависимость прочности от траек
тории нагружения (рис . 4.22, 6).
Для связных грунтов (суглинистых и глинистых) с числом nлас
тичности более семи наблюдается явная зависимость nрочностных
свойств от траектории нагружения. Можно считать, что nервым
исследователем, обратившим на это внимание, был . М. Хворслев,
который еще в 1937 г. nровел испытания глинистых паст на сдвиг
по обратной ветви уплотнения. М. Хворслев показал, что nри исnы
тании глинистого грунта в переуплотненном состоянии получаются
иные углы трения и существенно другие величины сцепления по
сравнению с испытаниями нормально уплотненных глин [\б). В тер
минах механики nонятия нормально уплотненное состояние и пере
уплотненное состояние означают различную траекторию нагруже
ния на стадии nриложения нормальных нагрузок к моменту воз
действия сдвигающих сил. Для нормально уnлотненных грунтов
сдвигающая нагрузка nрикладывается nосле завершения уплотне
ния от нормальной нагрузки (рис. 4.23), тогда как для переуплот
ненных грунтов - после завершения уnлотнения от нормальной
нагрузки и снятия ее части, т. е. nосле частичной разгрузки грунта.
Различие в физических состояниях грунта при разрушении по этим
двум траекториям нагружения очевидно.
r... мna
0,6
0,4
0,2
- 0,1
- 0,3
-0 ,5
-
0.7
-0 ,9
- 1,1
-1,з б...,,мn.,.
Рис. 4.23. Сопротивление прямому сдвигу бентонитавой глины при W =
=0,48; p"k = 1,03 г /см 3 : 1 - испытания на ветви нагрузки; 2- испытания при
предварительном обжатии до 0,6 МПа с посл ед ующим уменьшени е м нормаль
ной нагрузки; 3 - испытания nри nредварительном обжатии до 1,2 М Па с nо
следующим уменьшением нормальной нагрузки
При активном нагружении сильно сжимаемых глинистых паст
точки огибающей предельных состояний характеризуются различ
ной плотностью грунта, т. е . к моменту nластического течения в
159
зависимости от величины нормальной нагрузки грунт уплотнился
различным образом. В то же время в испытаниях по траекториям
разгр~зки, т. е. с уменьшением предварительного уплотнения, гли
нистыи грунт при сдвиге сохраняет свою пористость, и таким обра
зом полученная диаграмма сдвига соответствует одному и тому
же фи з ическому состоянию грунта при разрушении. М. Хворелен
показал , что в испытаниях глинистых паст в переуплотненном состоя
нии получается один и тот же угол внутреннего трения, тогда как
сцепление зависит от величины переуплотнения, достигнутой к мо
менту частичной нагрузки (рис. 4.23) .
В общем случае трехосного напряженного состояния для слабых
глинистых грунтов (сильносжимаемых) будет прослеживаться яв
ная зависимость параметров прочности от траектории нагружения,
поскольку от траектории зависит, в конечном счете, накопление
пластических деформаций, а следовательно, и плотность грунта в
момент разрушения. Для глин природного сложения и плотных
жирных глин с углом внутреннего трения менее 10° этот эффект
должен быть менее значимым . Обобщая изложенное и основываясь
на результатах М. Хворслева, запишем предельное условие:
при + 1? f.Lo? f.t:: at = ctct(Е~)- а tg <p~ctJ,
*
(4.17а)
при !-Ln > !-Ln> - 1:Т~ах=с,.*(ЕО - sn tgер,*.
Зависимость сцепления ( с~с 1 или с.;") от накопленной к моменту
разруш е ния объемной деформации Е~ целесообразно определять
в испытаниях по траекториям нагружения, сохраняющим постоян
ство пористости грунта. Такие траектории применительно к глинис
тым грунтам показавы на рис. 4.24 . Экспериментальными исследова
ниями 3. Г. Тер-Мартиросяна и М. Якубова показано, что прира
щение сцепления может быть принято пропорциональным прираще
нию пластических объемных деформаций LlE~.
4.7 . Циклическая прочн.ость н.есвязн.ых грунтов
Многие грунтовые сооружения и грунтовые основания промыш
ленны;. гражданских и гидротехнических сооружений подвергают
ся деиствию периодически изменяющихся нагрузок либо с часто
тами, характерными для сейсмического воздействия (0,1-5 Гц),
либо с частотами 20-- 50 Гц, характерными для так называемой
промышленной сейсмики. Такие нагрузки называются циклическими.
Под действием циклических нагрузок напряжения в грунте изменя
ются периодически от своих максимальных значений до минималь
ных. Циклическое изм е нение напряжений во времени представля
ется графиком « напряжение- время t 1». Ограничимся рассмотре
нием гармонического изменения во времени напряжений (рис. 4.25) .
!60
о;
'f.:t
.~~c:,t
"
Caet
-о
е= c:onst
Рис. 4.24 . Траектории нагруж е ния при испытаниях r,1и
ни с того грунта в условиях трехосного сжатия с сохранением
постоянства коэффициента пористости e=const
Рис. 4.25. Гармонич еское из
мен ение напряж е ний во вре
мени
Циклические напряжения можно охарактеризовать следующи
ми величинами:
anнrr
,-=-- .
0
max
Безразмерное число г называется коэффициентом асимметрии цик
ла. При r=O минимальное напряжение равно нулю и аст =аа;
nри г= - 1 цикл называется симметричным и аст =О, а и"' ах= umin;
при г= 1 напряжения не меняются во времени. Циклические на
пряжения могут быть знакапостоянными при г> О и знакопере
менными при г<О.
Рассмотрим сначала воздействие на грунт знакопостоянных
напряжений, находясь для простоты в рамках гипотезы разрушения
Мизеса - Шлейхера . Распространенным мнением у исследователей,
занимающихся изучением вопроса !!ИКЛической прочности грунтов,
!б!
является суждение о существенно более низкой нагрузке, которую
грунт может выдерживать nри циклическом воздействии в сравне
нии со статической прочностью . Мнение это, как указал П . Л . Ива
нов [17], основано на том, чrо при анализе оnытов не были уч
тены дополнительные амплитудны е значения напряжений, которые
возникают в ходе эксперимента . Так, Д . Д. Баркан [18], М . Н . Гольд
штейн и др. [ 19] проводили обработку опытов без учета цикличе
ской составляющей нагрузки, принимая за коэффициент трения грун
та отношение сдвигающего усилия к статической нагрузке. В ре
зультате сделан вывод, что угол внутреннего трения песчаного
грунта падает при динамических воздействиях и это падение зави
сит от ускорений колебаний и 11р .
На рис. 4.26 приведены в координатах «О ; - О» схемы испыта
ний, обычно выполняемые в nриборах трехосного сжатия (анало-
б,
cs,
/
/
б
6
6'"
6"
Рис . 4.26. Траектории н а гр у ж е ния 11рИ циклическом воздей -
СТВИИ
гично в координатах «т,- о,» - в срезных приборах) . Если резуль
таты опытов (т. е. факт разрушения) относить к статическим зна
чениям (т. А, рис. 4.26) напряжений, то условие текучести (пре
дельное условие разрушения) изменяется и уменьшается сопротив
ление сдвигу. Учет же амплитудной составляющей напряжения и
анализ, проведенный по максимальным значениям действующих
u
СТ1
Q
1
•
СТ(
в
426) СТ+
циклических напряжении о + о stgn о т.
, рис.
.
о;
+ lofl, показывают , что во вс е х проведеиных ранее эксперимен
тах и на срезных приборах, и на приборах трехосного сжатия ста
тическая прочность не с вязных грунтов совпадала с прочностью
при циклических воздействиях . В наших опытах [20] это фунда
ментально е свойство было также подтверждено.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что циклическая
прочность несвязных грунтов совпадает со статической nрочностью
при любой асимметричности воздействия, но при ус.тювии, что коэф
фициент асимметрии цикла г> О, т. е. при знакапостоянных напря-
162
1
1
1
1.
1
1
1
1
.1
жениях. Следует только сделать одно замечание . Характер разру
шения песчаных грунтов при циклическом воздействии существенно
отличается от характера разрушения при nостоянных напряжениях.
Разрушение при циклическом воздействии сопровождается сдвиго
вым течением . грунта с примерно постоянной скоростью при сохра
нении постоянства его объема. На рис. 4.27 приведены графики раз
вития деформаций сдвига и объема песчаного грунта при ступен-
t
t
Рис. 4.27. Развитие деформаций грунта во времени при ступенча
том возрастании нагрузки (а) и циклическом характ е р е приложения
нагрузки (б)
чатом статическом и циклическом приложении нагрузки. Резуль
таты обработки экспериментов по критерию осевой деформации. при
нятому рядом исследователей (см., например , [21, 22] ) , представ
лены на рис. 4 .28. Как видно из графиков, осевая деформация
около 0,05 является вnолне приемлемым критерием разрушения
для статического испытания. Однако при циклическом воздействии
та же величина осевой деформации приводит к заниженной оценке
прочности песка. Поэтому не следует доверять критериям цикличе
ской прочности, основанным на предельных деформациях, опреде
ляемых при статических нагружениях. Если ввести инварианты тен·
зора эквивалентных напряжений
б*
163
-6~--~---4----+---~--~
·€,,"/o,'---~----1'---~---f---__"1
Рис. 4.28. Разрушение пес
чаного грунта при статическом.
и циклическом. воздействиях
а~КВ= а~Т+1af1 И аЭКВ = аСТ+1aQ1sign(аСТ)'
условие прочности запишется в обычной форме:
экв_ *
эквt *
(4 26)
а, -Сос/ - (J
g (j)пcl·
.
Для знакоперем е нных циклических воздействий (r<O) действи
тельно наблюдается снижение прочности, зависящее от коэффици
ента асимметрии цикла. Инварианты тензора эквивалентных напря
жений предлаг аем в общем случае записывать в виде
а~кв= 1а? 1+Ха~т; }
а'"" = 1аа 1sign (аст) +хает ,
(4.27)
где x=l при r>O и x(r)<l при r<O . Значения x(r) подлежат
экспериментальному определению. Условие же прочности остается
\64
по - прежнему в форме (4.26). На рис . 4 .29 приведена диаграмма
выносливости грунта: в испытаниях при аэк• = const внутри заштри
хованной области при любом соч етании статической и амплитудной
частей интенсивности напряжений сдвига разрушения не произой
дет . Диаграмма построена при некотором значении аст; точка А
ст*
диаграммы соответствует предельному значению а; для указанно-
го определенного значения аст =const по критерию Мизеса- Бот
кина в условиях разрушения при статическом воздействии.
6i
6,ст
Рис . 4.29. Диаграм.м.а цикли
ческой прочности грунта
Рассмотренная проблема циклической прочности относилась к
периодическому воздействию, строго говоря, бесконечной длитель
ности (практически же при числе циклов, большем 10 000). При
малом числе циклов воздействия прочность может оказаться значи
тельно выше статической. Вопрос о малоцикловой прочности, акту
альный для кратковременного воздействия , например сейсмическо
го, подлежит дальнейшему исследованию. Вполне вероятно, что для
грунтов имеется усталостная прочность, уменьшающаяся при уве
личении числа циклов воздействия и асимптотически стремящаяся
к статической прочности (рис. 4.30).
4.8. Длительная прочность грунтов
Грунты, проявляющие под нагрузкой вязкопластические свой
ства, разрушаются за различное время в зависимости от величины
165
Рис. 4.30. Усталостная прочность грунта
20000 n.
действующих напряжений. Во введении уже говорилось о том, что
при напряжениях, не изменяющихся во времени, прочность грунта
зависит от времени воздействия: за малый промежуток времени
грунт может выдержать значительные воздействия, а за длительное
время неразрушающее воздействие гораздо меньше. График ука
занной зависимости носит название кривой длительной прочности,
верхним пределом которой является мгновенная прочность (напри
мер, по Мизесу - Боткину обозначается а~о)), а нижним
-
предел
длительной прочности (обозначается ai"oo). Предложен ряд анали
тических выражений, описывающих зависимость длительной проч
ности от времени.
А. Зависимость Берстау, одноосное сжатие
а:ж=а:жоо( 1+~).
(4.28)
р
В терминах критерия Мизеса - Шлейхера зависимость Берстау за
писывается в виде
ai'l=ai*oo ( 1+ +) = (c~cloo -а tg ЧJ:Ct(oo)) ( 1+ +).
р
р
Б. Зависимость Вялава имеет вид [23]
ai'/= fЗ/lп (tpj (В)).
(4.28а)
(4.28б)
В. Зависимость Зарецкого можно записать в терминах критерия
Мизеса - Шлейхера в форме [24]
ai'/ = am- (am- ai*oo ) tp
Tp+tP '
am = C~ct(O)- (J tg CJ!~ct(o);
ai*oo = c:Ct 00 -
(J tg CJ!~ct 00.
: 166
( 4.28в)
1~
Уже указывалось, что приведеиные выше уравнения длитель
ной прочности справедливы только в условиях постоянно действую
щих нагрузок (иногда говорят «В условиях ползучести»). При про
извольном режиме нагружения грунта во времени его длительная
прочность не подчиняется этим зависимостям. Для конструкцион
ных материалов в этом случае применяется критерий Бейли, кото
рый формулируется следующим образом:
t,
~ _с!_!_=!
t
'
р
(4.29)
о
где tr- время разрушения, определяемое в соответствии с кривой
длительной прочности. Например, для зависимости Берстау инте
грал Бейли принимает вид
t,,
_ 1 _( [ а,-*(с~,1.~ -atg:~ctoo) Jdt = J.
тр J coct= ~(Jtg<рос/00
о
( 4.29а)
Здесь <Ji и а изменяются по заданному закону во времени.
Условие прочности, записанное в интегральной форме, позво
ляет определить время разрушения, если в процессе деформиро
вания грунт находился под различными, меняющимиен во времени
нагрузками. В частности, при ступенчатом изменении нагрузок это
условие записывается в форме
k
tn
~ -,..--- = 1,
п~ 1 tp(n)
(4.29б)
где tп- время выдерживания ступени нагрузки Gi(n); tр(п)- время
разрушения в условиях ползучести от ступени нагрузки ai(n)· Инте
ресно рассмотреть случай, когда напряжение ai(s), разрушающее
грунт за время tr ( s), приложено к образцу в течение времени
t(s') <tr(s). Затем нагрузка была увеличена до значения ai(s'),
разрушающего грунт в условиях ползучести за время tp (s'). Однако
в этом случае образец грунта разрушится не сразу, а, на основании
(4.29б), за время tr/tr(s') = [1-tp(s')/tr(s)], т. е. предварительное
нахождение грунта под нагрузкой упрочняет грунт. Разрушение
грунта произойдет при приложении следуЮщей ступени нагрузки
за срок более длительный, чем тот, который потребовался бы, если
бы эта ступень нагрузки была приложена с самого начала испыта
ния (рис. 4.31).
Применительно к грунтам наша гипотеза состоит в том, что кри
тические состояния грунта характеризуются определенным числом
167
d
Рис. 4.31 . Длительная
прочность грунта: условие
прочности Мизеса - Ботки
на, мгновенная прочность ~~u)
и предел длительной проч
ности ui~ (а); длительная
прочность при ступенчатом
нагружении (б)
нарушений его структуры в единице объема N = const. Следует раз
личать два критических состояния грунта (рис. 4.32): l) когда ско
рость накоnления вязкопластических деформаций начинает увели
чиваться и 2) когда происходит полное нарушение сплошности грун
та. Оба эти состояния математически формулируются одинаковым
образом, отличаясь лишь значениями входящих в них параметров.
Развитие во времени числа нарушений структуры было описано в
лекции l и давалось выражением
t
1n (N/Nо) = ~(а;/ai*.x, -
l)~(t- т)dт,
(4.30)
()
168
t
Рис. 4.32 . Критические со
стояния грунта по прочности в
испытаниях на ползучесть
пр~чем ЧJ (t) = (t/T") ''; 6 ~ l; ~ (t) = 8/ (t 1 -''T~). Полагая, что в кри
тическом состоянии (например, первом критическом) число дефек
тов структуры N* является велииной постоянной и не зависит от
нормальных напряжений N* = const, условие длительной прочности
запишется:
t,.
\ 6 _: . _ [O"-';/_('-c-'~'.:..:''IO-'----O"---'tg---''P::.:..~''-"1 =: .. _) _-
__
11:___dт = 1n_N_._*_ =
const.
)
(tp-T) l-<\
N"
о
(4.31)
Полученное условие (4.31) является, как это негрудно заметить,
обобщенным критерием Берстау.
Критическое число дефектов структуры может зависеть от сум
мы главных напряжений. Для выяснения этого факта требуются до
полнительные экспериментальные исследования. Так, в наших оnы
тах по сдвигу песка в срезных приборах установлено эксперимен
тально методом замера акустической эмиссии (см. лекцию l), что
предельное число нарушений структуры песка N* зависит от прило
женнаго нормального давления а,.
1/26.Зак.
.N' 51
169
4.9 . Влияние скорости деформаций
на прочность грунта
При интенсивных динамических возде йствиях у грунтов отмеча
ется зависимость разр у шающе го напряжения от скорости де форма
ций . В области з начительных скорост е й деформаций прочно сть
грунта повыша ет с я с увелич е нием скорости испытания, а при малых
скоростях этим влияни е м можно пренебречь .
Эксперименты показ ывают, что в общем случа е динамическое
сопротивле_ние сдвигу грунта связано со с коростью деформаций сле
дующей общей з ависимостью :
(4.32)
Выявлено, что скорости деформаций, меньшие 10 - 3 /с, не влияют на
прочность грунтов. При скор о стях де формаций в диапазон е 10 - 2
-:--
- : - -10 1/ с наблюдается з ависимость прочности от скорости деформ а
ции . Так, по данным А. Скемптона и А. Бишопа, при скорости по
рядка 1,5 1/с прочность глины увеличивается до 2 раз, а проч
ность песка ~ на 20 %. При сейсмических воздействиях скорости
деформации не превышают IО- 2 -:-1о- з 1/с, поэтому в этих усло
виях динамическая прочность грунта равна статич еской.
На рис. 4.33 показана з ависимость сопрот ивления грунта от
"
;; ,.
6; 9""1<5, cl·
10
о
10
10
Рис. 4.33 . Динамическая прочность глинистых грунтов
скоро сти деформаций сд вига . Более полная з апись динамической
прочности на основании (4.32) и (4.30) будет иметь вид
1
)"1а·
).
1
ёр)
\-' ~1
ЧJ(t-т)dт=чlg\1+-.-'..
о ofco
ej" m
ти (4.33) некоторым средним значением, т. е. приняв <~ - 1> .
ai<X>
170
В результате получим
a;=a;*oo[1+ltg(t+ .e .·r )].
1Р
c;nm
(4.34)
Здесь ёi";" ~ минимальная скорость сдвиговых деформаций, разгра
ничивающая область затухающе й и прогр е ссирующей ползучести
(см . рис . 4.32) . По нашим исследованиям , эта скорость з ависит от
длительности испытания; при эт о м она тем выше, чем м е ньше вре
мя проц е сса, и равна
(4 .35)
4.10 . Пиковая и остаточная прочность
Рассмотрение проблемы прочности грунтов было бы неполным,
если не косн уться вопроса так называ е мой пиковой и о статочной
прочно с ти. Изложенные выше вопросы прочности грунтов относи
лись к способу силового нагруж е ния, т. е. нагружения путем зада
ния посл едовательного ув еличения нагрузки на образец грунта .
При этом состояние равновесия было возможно лишь до достиже
ния комбинацией заданных напряжений определ е нной величины
(так, в условиях трехосного сжатия а; = а;":х, ); при больших значе
ниях (а ;> а;":х,) деформация сдвига грунта неограниченно возрас
тает с увеличивающейся скоростью.
Кинематич еский с пособ нагружения образца грунта~ это та
кой ·способ, при котором задается увеличивающаяся деформация
образца с некоторой контролируемой скоро стью . При таком спо
собе нагружения напряжение, воз никающее по контакту « образ е ц~
испытательная машина», з ависит от свойств и стадии де формиро
вания грунта . Эксп е рименты пока з ывают, чт о при кинем а тическом
характер е нагружения реализуются пиковая и остаточная прочно
сти, отмечаемые на диаграмме « нагру з ка ~ п е рем е щени е », как это
видно и з рис. 4.34.
Появление пиковой прочности не о з нача ет какого-либо особого
поведения грунта, а свойственно всем мат е риалам при интенсив
ном характер е нагружения. Неустойчивый ви д диаграмм при кине
м а тическом растяжении стержня аналитически по л учил Я. Г . Панов
ко, учтя кон е чность деформаций и определив истинную площадь
поперечного сечения стержня в процессе его растяжения .
"
При трехосном сжатии грунтового обра з ца по кинем а тич е скои
схеме нагружения также может быть показана во з можность воз
никнов е ния неустойчивой диаграммы, причем вид диаграмм сжа
тия будет, как увидим ниж е, существенно зависеть от дилатансион
ных свойств грунта .
Рассмотрим испытание грунтового образца в п·риборе трехосно-
171
а
•1
•11
tz >t:i!
0,1
О,З
0,5
",.
0,05
'-'z 0,15
0,25
0,35
Рис. 4.34 . llиковая и остаточная прочносп, ври кин"матическом нагруже
нии, Ег=сопst: а- несвязные грунты ( 1 -устойчивая диаграмма; 2 - неустой
чивая диаграмма); б- связные грунты
го сжатия. В системе цилиндрических .декартовых координат, ось
z которой совмещена с осью образца, приращения главных дефор
маций будем определять в соответствии с логарифмической мерой
по Генки (см. табл. 1.1), справедливой при конечных (истинных)
деформациях:
dист_ dист_
dz.
Ez=
Е;\ - ---:;:,
d.ист d_ист d_ист d_ист
dR
ER=Ен-Е1
=
Е2 =--R-,
где R - радиус-вектор.
Приращения объемной и сдвигавой истинных деформаций соответ
ственно равны:
d ист d _ист+ 2d _ист
(dz+2dR). }
Ev=
Е.з
Е1 =-
7
-R-
•
(а)
d ист
2 ldист d,истl_ 2
1dz
~1
е; = --.-
Е.з-Е1
-
-~- --:;: -
R·
.Уз
vз"
.
Как будет показано в лекции 8, flpи пластическом течении со
блюдается фундаментальное соотношение, определяющее дилатан
сию грунта (разрыхление при сдвиговом течении):
(б)
где k- некоторая константа, которую можно принять совпадающей
при пластическом течении с tg <p~ct· Указанное соотношение спра
ведливо для всех гранулированных сред*
* Точнее, как Jюка:~ано в лекциях 8 и 9, величина k б.1изка по значению
tg <р~,., в предельном состоянии для плотных несвязных грунтов и меньше этой вели
чины для грунтов средней плотвости и рыхлых.
172
Подставляя (а) в соотношение (б), будем иметь
c!R
( .УЗ/2+k )~.
R
-уЗ-k
z
(в)
об
б уЗ 12 + k _-а и проводя интегриро-
означая далее для удо ства
уЗ -k
вание уравнения (в) в пределах от z=ho до z=h и от R=ao до
R =а (где h0 и а 0 - начальные размеры образца, его высота и ра
диус), получим окончательно
а/ао= (h/ho) -а..
(г)
Приращение истинного осевого напряжения а:ст =P/F (где Р
нагрузка; F- площадь поперечного сечения образца, равная F =
=ла
2
), подсчитывается с учетом изменения площади сечения об
разца по формуле
dа~ст = с!Р + 2аР dh/h
"
f'o(ho/h) 2
"
'
(д)
где Fо=лаб- начальная площадь поперечного сечения образца.
Далее, считая для простоты линейную зависимость между прира
щением истинного напряжения dа:ст и логарифмической мерой осе
вой деформации по Генки
d ист __Е~
O'z
-
h'
(е)
легко получим для определения нагрузки Р дифференциальное урав
нение, решением которого является
P=EF lп(ho/h)
(ж)
0
(h/ho) ""
Если в выражении (ж) перейти к определению вертикальной_ де
формации в соответствии с мерой Коши (мера обычно принимается
для прогноза малых деформаций), т. е. полагая Eг=~h/ho (~h
_
u,-
вертикальное перемещение торца образца), а вертикальное
напряжение измерять по отношению к начальной площади сечения
а,= Р /Fo, то получим нелинейное соотношение
0'-=Е lп (l+e,)
~
(1 +F,)' "
(з)
Полученное выражение (з) описывает диаграмму осевого сжатия
образца грунта при трехосных испытаниях в терминах условных
напряжений и деформаций («0' 7 -
Е 7 »), обычно используемых при
испытаниях в области малых деформаций. Эта диаграмма имеет
максимум, который может быть интерпретирован как пиковая проч-
17З
ность грунта, достигаемая, как это следует из соотношения (з) ,
при осевой условной деформации (по Коши)
i'>h
( -vГз -k)
е~=-- =ехр _
-1.
ho
.jз+2k
(и)
Приведеиная оценка имеет физический смысл при условии
е~< 1. Практически в существующих конструкциях приборов трех
осного сжатия опыты можно проводить до величин осевых условных
·деформаций порядка 0,5 . Этим знач е ниям соответствуют величины
параметра k, большие 0,7.
Таким обра зо м , пиковая прочность в испытаниях на приборах
трехосного сжатия по кин е матической схеме отмечается у несвяз
ных грунтов, характеризуемых углом трения cp~c t 35° или углом ~ре
ния, по Мору, ер~> 30° при интерпретации данных испытании в
условных величинах напряжений и деформаций. Интерпретация ре
зультатов испытаний в истинных напряжениях и деформациях при
водит к устойчивому виду диаграмм.
Рассмотренный выше случай реализации пиковой прочности от
носится к средам, не обладающим реелогическими свойствами, ~
проявляется для гранулированных материалов с ярко выраженнон
дилатансией при конечных деформациях, если интерпретация ре
зультатов исследований образцов грунта проводится в условных
напряжениях и деформациях, т . е. относящихся к первоначальным
.их
размерам.
•
Для грунтовых сред, обладающих реелогическими своиствами,
на прочность и деформируемость которых существенное влияние
оказывает скорость приложения нагрузки, пиковая прочность мо
жет быть достигнута при малых деформациях. Математические мо
дели вязкопластического течения грунтовых сред, о которых подроб
но говорится в лекции 10, прогнозируют уже при малых деформа
циях и кинематическом характере нагружения неустойчивый вид
диаграмм деформирования с характ е рными для такого способа
испытания пиковой и остаточной прочностью (см . рис. 10.15). Сле
дует отметить , что как прогноз по указанным математическим мо
делям (из данных, приведеиных на рис. 10 . 15 , пиковая прочность
при навале льда на сооружение достигается при е* =0,018), так
и экспериментальные исследования , проведеиные А. Я. Туравекой
для гл ин ( пиковая прочность достигается при е *'"'""' 0,02), указы
вают на постоянство критической деформации и независимость ее
от скорости деформации и суммы главных напряжений.
Разрушение начинается при достижении пиковой прочности , ко
торой соотв етствует определенное значение критической деформа
ции е*, что отвечает максимальной мобилизации всех внутренних
сил, тогда как остаточная 11рочность отвечает условию минимума
внутреннего сопротивления грунта.
174
Испытания показывают, что остаточная прочность соответствует
пределу длительной прочности в случае преобладания коагуляцион
ных (восстанавливаемых) кон та ктов, тогда как для фазовых (не
восстанавливаемых) контактов остаточная прочность всегда мень
ше предела длительной прочности . В последнем случае остаточная
прочность соответствует прочности при повторном сдвиге по зара
нее сформированной поверхности сдвига. А . В. Скемптон отмечает,
что остаточная прочность характеризуется нулевым сцеплением,
тогда как угол внутреннего трения уменьшается примерно на 10%
от его значений, определенных для пиковой прочности . По А. Я. Ту
ровской, величина остаточной прочности ра зл ичных глинистых грун
тов практически одинакова и характеризуется сцеплением порядка
0,01 М Па и углом трения по Мору ер~"' 8°.
4.11. Заключительные замечания
В лекции были рассмотрены критерии разрушения при проявле
нии механизма отрыва или механизма сдвига . Критерии эти сущест
венно различны как по математИческой формулировке, так и по
физическому соде ржанию. При действии механизма отрыва они
основаны на достижении упругой составляющей деформации удли
нения определенной величины, а механизм сдвига обусловлен раз
витием вязкопластических деформаций сдвига. При одном и том
же виде напряженного состояния в зависимости от скороци испы
тания и других факторов разрушение может произойти путем либо
среза, либо отрыва, а это означает, что должны быть использованы
в одном случае критерии прочности в форме (4.1) или (4.4). На
пример, при исhытании образца грунта на сжатие он при быстром
приложении нагру з ки разрушается, как правило, по плоскости ,
параллельной линии действия наибольшего сжимающего напряже
ния, а при медленном приложении нагру з ки разрушение фиксиру
ется по наклонной площадке (рис. 4.35, а). В первом случае проявил
ся ме хан изм отрыва, а во втором - механи з м сдвига, поскольку в
первом случае критическое число дефектов, вызванных деформа
Циями сдвига, накопиться не успело, а упругая деформация попе
r~чного r~с ширения достигла своей критич ес кой величины.
Н. Н. Давиденковым и Я . Б. Фридманом была предложена объ
единенная теория разрушения и диаграмма, с помощью которой
можно определить , какой вид разрушения при данном испытании
должен ожидаться. На этой диаграмме (рис. 4.35, 6) по оси абсцисс
откладывается эквивалентное растягивающее напряжение а~•. а по
оси ординат- сопротивление сдвигу (например, критическое зна
чение at при данном значении а). В качестве характеристики на
пряженного состояния принимается отношение m = ai/ аэкв. При этом
предполагается, что осуществляется простое нагружение и напря-
175
а
00в
СРе3
б эка
t
Ри с . 4.35 . Обобщение диаграммы прочности Давиденкона
-
Фри дма
на на грунты, обладающие реолоrическими свойствами
женвое состояние в процессе деформации не претерпевает сущест
венного изменения. Диаграмма механического состояния Давиден
кова- Фридмана дает наглядное представление о возможном ме
ханизме разрушения. Этот подход может быть использован и при
анализе длительной прочности грунтов. Если луч, отображающий
напряженное состояние, пересекает сначала прямую Gi=o}/, з ави
сящую в общем случае от длительности испытания , то разрушение
материала произойдет путем среза. Если же изображающий луч
перес е :,ет прямую а"" =a,;,f, раньше, чем прямую a!'i, то разрушение
прои зо идет путем отрыва. еперь становится ясно, почему в некото
рых случаях на кривой длительной прочности при малой длитель
ности испытаний есть горизонтальный участок (рис. 4.35, в). Этот
участок характеризуется тем, что разрушение прои зо шло путем
отрыва, а реол огические свойства при таком механизме ра з рушения
не оказываю·т влияния [24].
При решении кра ев ых задач в тех точках области исследования
напряженно-деформированного состояния, где появляются дефор
мации растяжения, всегда следует проверить во з можность разру
шения отрывом, т. е. выполнение условия (4.1).
176
~··.,
1•
Приведем н е которые данные по исследованию прочностных
свойств грунтовых материалов [25, 26].
Крупнообломочные грунты
Обобщение исследований прочностных характеристик галечника
(Jl . Н. Рассказов, Б. Д. Чумичев и др.) позволяет сделать вывод о
том, что прочность гал~чника зависит от плотности его сложения
р5 \ процентнаго содержания мелкозе м а т< 5 (фракций < 5 мм).
На графиках рис . 4 .36 приведены прочностные характеристики
(по Кулону - Мору), определенные для различных плотностей сло
жения р' " при !lo = + 1. Точки , нанесенные на эти графики, явля
ются результатом обработки серии трехосных испытаний, выпол
ненных с модельной смесью данного зернового состава и при данной
плотности. Каждая серия состояла не менее чем из шести опытов.
'ft
'f:
б
41
40°
37
36°
2,1
2,2 2,3 fsк
10
30
50 m<s ,%
Рис. 4.36 . Угол внутреннего тр ени я по Кулону - Мору крупнообломочных грун
то в в зависимости от их п лот ности : а - общий вид диаграммы сдвига; 6 - зави
с имо с ть угла внутреннего трения от плотности грунта; в- за висимость угл а внут
р<.>tшего тр е ния от проц<.>нтиого содержа ния частиtt ме н ее 5 мм
Сцепление, которое получено при испытаниях гал е чника, явля
ется векоторой условной величиной, поскольку опыты при нулевых
з начениях суммы главных н ап ряжений провести не удается. Поэто
му у казанные на графиках парам етры прочности определяют сопро
тивление сдвигу крупнообломочных грунтов только при гидростати
ческих напряжениях больше минимальных, реализованных в опыте.
Однако распростран е нное мн е ние о нулевом сцеплении крупнообло
мочных грунтов также неверно. В крупнообломочных грунтах су
ществует так н азываемое зацеплени е , величина которого связыва
ется с формой частиц. Наличие з ацепления косв е нно подтвержда
ется тем, что уплотненные гравийно-галечникавые массы «держат»
! lt'рти кальны е откосы. Термины сцепление и зацепление имеют ра з -
177
ное математическое выражение . При сцеплении условие прочности
может быть продолжено, если а">О (т. е. в области растяжения),
тогда как для материала, характеризуемого зацеплением, область
определения функции текучести ограничена условием а 11 ~ О.
Супесчаные грунты
Исследования прочности связных супесчаных грунтов показы
вают, что влажность укладываемого в противофильтрационны е эл е
менты грунта (которая отклоняется от оптимальной влажности на
3- 5%) мало ска з ывается на величине угла внутреннего трения, но
значительно влия ет на сцепление грунта. С увеличением влажности
резко уменьшается сцепление. Это объясняется уменьшением капил
лярного давления , а nрирода связности таких грунтов обусловлена
в основном капиллярными силами. На рис. 4 .37 nриведена иллюстра
ция зависимости nрочностных nарам е тров грунта от влажности.
0,85
W/Wonm
Рис. 4.37. П ара метры nр о ч
ности с уn есча ных грунтов в за
висимости . от влажности
Прочность связных грунтов оnределяют по двум nринциnиально
различным схемам исnытаний. : а) по тотальным наnряжениям ;
б) по эффективным наnряжениям (либо с nомощью за мера лорового
давления , либо дожидаясь на каждой стуnени нагружения консо .; Iи
дации грунта). В первом случае nрочностные показатели зависят
от режима загружения и условий дренирования образца. Во вто
ром случае условие nрочности, записанное в соответствии с прин
цилом Терцаги
af=c~ct -Uef tg <p~c t;
aef=a+Pw.
(4.36)
не зависит от режима испытания и условий дренирования . Получен
ные nараметры относятся к nараметрам nрочности «С келета» грунта.
178
При влажности меньшей величины (Wonт- 0,05) или равн~й макси
мальной молекулярной влагаемко сти в грунте нет свободнон гидрав
лически непрерывной поравой жидко ст и. Поэтому н е возника ет и
парового давления в процессе испытания. В этом случае прочност
ные характеристики· могут определяться по тотальным напряже
ниям . Типичный график зависимости парового давления в недрени
рованных испытаниях приведен на рис. 4.38 и иллюстрирует влия
ние парового давления лишь при W > Wопт · Следует помнить , что
все характеристики механических свойств грунта должны опреде-
ляться для его «скелета».
f!>K
1,6
1,5
1.~
Ри с. 4.38. Коэффици ент no-
poвoro давления а в за висимости
от nлотности - влаж ности лес
сов идно го суглинка
Глинистые грунты
Соnротивление сдвигу глинистых грунтов различных генетиче
ских тиnов з ависит от влажности . Работами Б. Ф . Рельтова пока
зано, что зависимость сопротивления сдвигу от влагасодержания
связных грунтов обусловливается nрисутствием в них частиц гли
нистых мин е ралов. На nовер хн ости этих минералов образуются
различные категории связной воды (nрочно и рыхло связанной)
в з ависимости от влагосодержания. При малом влагасодержании
nроисходит формирование бимолекулярного адсорбционного слоя
(по Л. И. Кульчицкому), что обусловливает возникновение под
вижных контактов коагуляционного типа. Число таких контактов
и соответственно связность грунта растут. На этой стадии увлаж-
179
нения ~опротивление сдвигу достигает н аи больших зна чений. При
дальнеишем увеличении влажности посл е завершения формирова
ния адсорбционных слое в происходит обр азование гидратно-ион
ньrх диффузионных сл оев, которые увеличивают подвижность кон
тактов, всле_дствие ч его_ сопротивление грун та сдвигу падает до
определеннон пос то янн ои ве ли чины, как это п оказ ано на рис. 4.39 .
}
МПQ
/
... ..
0,2
0,1
о
0,10
1\
""- r-
0,30
w
4.39. Соnротивление сдвигу г.1н
ни стого грунта разл ичной в лаж-
н ости
Таким образом, со противлени е гр у нтов сдв игу за ви сит от а) гра
ну~ом етрич ес кого и мин е ралогичес ког о состава; б) плотности грун
та, в) влагосодер~ ания; г) напряженного состояния ; д) времени
и характера воздеиствия.
ЛИТЕРАТУРА
1. 3аРеuкнйЮ.К.,ВоронцовЭ.И.,ГарицеловМ.Ю.Прочностьиде
формируемо сть гли нистых грунтов пр и ра стяжении. - Основания , фундаменты и
механика гр унтов, 1977, NQ 5. с. 32- 34.
2. Lепое Е. М. E xp!l. Mech., 6, 99 - 104, 1966.
3. Gгееn G._
Е., Вishор А._ W. А Nole оп ll1e Dгaiпed Streпgth of Saпd
uпd ег Geпeгal1zed Stга!П Coпd1!10п. - Geotechпique 19 144 - 149 1969
4.3арецкийЮ.К.,ВоронцовЭ.И.,Мал~~ш~вМ.В.,'рам.аданИ.Х.
Деформируемость и nрочность nес чано го грунта в условиях плос1<0Й деф ор мации
при различных тра екто риях нагружения. - Основания, фундам е нты и механика
грунтов, 1981 , NQ 4, с. 25-28 .
5. М а г s а 1 R. 1 . Mechaпical Propeгti es of Roc kfill, Embaпkmeпt.-Dam Епgiпеегiпg
Casagгaпde volume, 109-~200 , 1973.
'
б. 3аРецкий ю: К., Ломбардо В. Н. Статика и динамика ·грунтовых пло
тин. М.: Энергоатомиздат, 198 3, с. 255.
7. М л ы ~е в М. В. Прочность грунтов и устойчивость осн ований соор уже ний .
М.: Строииздат, 1980.
8.ЛомизеГ.М.,КрыжановскийА. П.Обосновныхзависимостях напря
женно-деформированного состоя ния н прочностн грунтов. - В кн.: Вопр осы nроч
~о~~и-~7 ~еф орм ируемости грунтов. Матери алы семинара 3- 5 нояб. 1965. Баку,
9. Г е н и е в Г. А. К ,вопросу обобшения предельного равновесия сыпучей среды.
Основания, фундаменты и меха ника гру нтов, 1968, N2 2, с. 1- 2 .
:~()!:; л5~н е н к о-Б о Род и ч М. М . Механические теории прочности. М .: МГУ,
180
'
,,
111
•
11. Б о т к и н А. И. О прочности сыпучих и хрупких материалов.- ВНИИГ, 1940,
т. 26.
12 . У э т Д ж. Исполь зов ание энер ге тичес кой гипотезы в механике грунтов . - В
кн.: Мех ан ика грунтов и фундаментостроение/Тр. У М е ждунар. конгр . М.: С трой
издат, 1966, с. 105--114 .
13. Ра ссказ о в Л. Н. Грунт как материал тt'ла плотины. - Ги дротехн . стр-во,
1973, N2 8, с. 12- 15.
14. Кры жа новский А. Л. Закон трения Кулона и разрушение грунта при про
стра нетв е ннам наnряженно-деформированном сос тоя11Ии . - Гидроте х н . стр-во , 1982,
Ng 12, с. 50- 55.
15. Кры ж а но вски й А. Л. Механическое nоведение грунтов в условиях nрост
ра нственного н аnряженного состояния. - Основания, фундаменты и механика гру н
тов, 1983, N2 1, с. 23-27.
16. Н v о г s 1е v М. J. ОЬег die Festigkeitseieпschafteп gestoгte r bindiger Bodeп.
Iпgvidensk Skг., А, 45, 1937.
17. Иванов П. Л., Иткнн а Л. И., Посn ел ов В. А. Влияние динамических
н аг рузок на прочность песчаны х грунтов. - В кн.: Дин а мика осно в аний, фундамен
тов и nодземных сооружений. Ташкент: Фан, 1977, с. 200- 203 .
18. Б ар к а н Д. Д. Динамика оснований и фундаментов. М.: Стройвоенмориздат,
1948, с. 410.
19. Голь д шт ейн М. Н., Ханн В. Я., Бог ол юбчик В. С. Результаты иссле
дования сво йств nеска и дополнительных осад ок песч аны х осн ов аний nри динами
'-l еских нагрузках . - Тр. коорд ин а ц. сов е щаний по гидротехник е. Л.: Энергия, 1976,
выn. 110, с. 53- 58.
20.3арецкий Ю. К.. Чернилов А. Г., Мухамедаминов Ш., Чуми-
ч е в Б. Д. Про чнос ть и деформируемость н ес вязных грунтов при дин амич ес ких
воздействиях.- Ги дротехн. стр -во, 1982 , N~ 10 , с . 39- 44 .
2 1. S е е d Н. В., L е е К. L. Dyпami c Stгeпgth of Anisotгopically Co пsolidated
Sand. - Pгoc. AS CE, 93, SM5, 169 - 190 , 1967.
22. S е е d Н. В., L е е К. L. Cyclic Slгess Coпdilioпs Causiпg Liquefaction of
Saпd.- Ргос. ASCE, 93, SM1, 47 - 70 , 1967.
23. В я л о в С. С. Реологические свойства и несущая· сnособность мерзлых грун
тов. М.: АН СС СР, 1959, с. 191 .
24. 3 ар е цк и й Ю. К. Дли тельная nрочность 1· рунтов. - В кн.: Тр. Всесою з. сим
nоз. no реоло1·ии гру нтов. Ереван , 1973, с. 43-68 .
25.3арецкийЮ.К.,ЧерниловА.Г.,АбдулаевА.Прочностныеидефор
мативные свойства грунтов противофильтрационных jJ! емснтов кам е ино-земляных
шютин.- Тр. Гидроnроекта , 1978, N2 9 , с. 91 - 102 .
26. 3 ар е цк и й Ю. К. и др. Практика исследо ваний грунтовых мате риалов nло
тин.-Тр. Гидроnроекта , 1982, NQ 4, с. 8 - 18.
ЛЕКЦИЯ 5
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАН ИЯ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГРУНТОВ
Грунты оснований фундам е нтов промьrшленньrх, гр а жданских
и гидротехнических со оруж е ний , грунтовые массивы, грунтовые nло
тины , дамб ы и другие грунтовые сооружения находятся в уело-
181
виях сложного напряженного состояния. Каждый элементарный
объем грунта подвержен действию тензора напряжений, который
может быть охарактеризован тремя инвариантами. Если в каче
стве инвариантов тензора напряжений выбрать три главных напря
жения G1;;? G2;;? аз, то испытание образца, принимаемого за эле
ментарный объем грунта, должно производиться в условиях зада
ния по его граням трех главных напряжений. Отсюда вытекает
требование к ~онст~укции прибора, заключающееся в том, что при
задании воздеиствин на образец грунта в виде давлений по его по
ве~хности необходимо исключить передачу касательных напряже
нии, которые возникают, как правило, за счет трения между по
верхностью образца грунта и передающими механическое усилие
на образец устройствами (штампами и пр.). Второе требование
относится к выбору размера испытательной камеры прибора, в кото
рую помещается образец грунта, что прежде всего связано с поня
тием элемента объема грунта.
5.1 . Об элементе объема грунта
В механике сплошной среды используется понятие точки среды.
В средах с дискретным, зернистым или пористым строением под
точкой среды понимается некоторый объем, называемый элементар
ным. Значения внутренней силы, напряжения и деформации, кото
рыми оперируют при этом, используя аппарат механики сплошной
среды, являются некоторыми осредненными величинами. Так, на
пример, внутренние поверхностные силы, действующие на опреде
ленное сечение, являются статистически средними, обусловленными
силами взаимодействия между элементами структуры (зернами или
частицами), расположенными по разные стороны от рассматри
ваемого сечения.
Грунты являются несплошными телами и характеризуются по
ристостью, трещиноватостью, зернистостью строения и пр. Поэтому
естествен вопрос о возможности подхода к таким средам с позиций
механики сплошной среды. Для этого прежде всего необходимо
решить вопрос о возможности выбора для грунтов элемента объема.
Можно указать на два условия, накладываемые на выбор разме
ров элемента среды.
Во-первых, напряжения, определяемые пределом отношения дей
ствующих сил к площади рассматриваемого сечения, при стремле
нии размеров этого сечения к размерам «элементарной» площадки
(для идеально сплошного тела при стремлении величины площад
ки к нулю) не должны зависеть от ее формы и величи-ны. Наимень
ший размер «элементарной» площад'ки l не должен превышать
m-~ часть характерного размера L расчетной области в изучае
мои задаче:
182
1~
·'
1
1~-L; m~1.
m
При этом ошибка в определении величины среднего напряжения
составит 1j-{ill от величины напряжения в идеально сплошном
теле.
Во-вторых, закономерности деформирования грунта, устанавли
ваемые для некоторого его элемента и справедливые для любого
такого элемента, должны отражать в среднем все существенные
физико-механические свойства среды. Для выполнения этого требо
вания очевидно, что характерный размер элемента грунта l должен
превышать характерный размер структурного элемента среды d
впраз,т.е.
/;;?пd; п~1.
О порядке величины коэффициента n можно судить на основа
нии специально поставленных экспернментов по исследованию влия
ния отношения характерных размеров образца к размерам зерна
на прочностные и деформационные характеристики грунта. Много
численные эксnерименты, проведеиные с горными породами, метал
лами и другими строительными материалами, имеющими зернис
тую или пористую структуру, показывают, что коэффициент n
должен быть принят не менее пяти.
На основании проведеиных экспериментов с гравием и песком
с малыми и большими образцами Э. Шульце [ 1] показал, что отно
шение размера зерен к размеру прибора не должно быть большим
1:5. Различия в nолученных результатах уменьшаются с уменьше
нием максимального размера зерен. В работе [2] показано, что
диаметр образца должен быть по крайней мере в nять раз больше
максимального размера частиц. Для грунтов с максимальными
размерами частиц до бО мм приемлемые результаты дают испыта
ния грунтов на приборах трехосного сжатия только с диаметром
образца не менее 300 мм. Для изучения влияния моделирования на
деформационные характеристики материала каменной наброски в
Калифорнийском университете в Беркли (США) были nроведены
трехосные испытания при варьировании диаметра образца: 5,1, 30,5
и 91,4 см [3]. Во всех опытах выдерживалось отношение диаметра
образца к максимальному диаметру частиц, равное шести, т. е.
n =б. Вне зависимости от абсолютных величин диаметра образца
при соблюдении условия n =б экспериментальные данные по де
фор мируемости грунта в допредельном состоянии дают достаточно
близкие результаты. Правда, следует отметить некоторую зависи
мость предельных значений главных напряжений Gf /G~ (при кото
рых происходит разрушение образца) от абсолютных размеров
образца. При этом меньшие по размерам образцы более прочны,
чем образцы больших размеров.
183
5.2 . Аппаратура, применяемая для трехосных испытаний
В настоящее время в СССР и за рубежом разработано и при
меняется много различных моделей приборов трехосного сжатия.
Все приборы по принципу их действия могут быть разделены на
две группы.
Группа 1. Приборы трехосного сжатия с созданием осесиммет
ричного напряженного состояния, в которых два главных напря
жения равны между собой (либо а1 = а2, т. е. flп = + 1, либо
G2=<J:з, т. е. flп =
-1). Такие приборы получили название стабило
метров. В стабилометрах образец имеет цилиндрическую форму
и, как правило, заключен в тонкую резиновую оболочку. Напря
жения по боковой поверхности цилиндра создаются за счет дав
ления в рабочей камере прибора, заполненной жидкостью. Посколь
ку касательные напряжения по боковой поверхности цилиндриче
ского образца отсутствуют, то по ней действуют главные напря
жения Grr· Считают, что радиальные Grr- и тангенциальные а011 -на
пряжения в сплошном цилиндрическом образце при таком воздей
ствии равны, т. е. Grr = а80 . Напряжения по торцам цилиндра Gu
создаются передачей усилия через торцевые штампы. При этом в
результате действия сил трения между грунтом и жестким штампом
искажается задание главного нормального напряжения по торцу
образца. Трение на торцах образца может быть почти ликвидиро
вано путем применения специальных смазок или путем использо
вания гибких штампов, изготовленных в виде резиновых «подушеК>>,
заполненных жидкостью, в которых также с помощью гидравлики
создается давление.
Для исключения неоднородности поля напряжений в образце
грунта считается, что высота образца Н должна быть вдвое боль
ше его диаметра D. Диаметр же образца, а следовательно, и диа
метр испытательной камеры, как уже указывалось в предыдущем
пункте, устанавливается из условия, что отношение диаметра образ
ца ( ми~имального размера прибора) к максимальному размеру
фракции не должно быть менее пяти. Вследствие этого размеры
экспериментальных стендов должны выбираться в зависимости от
гранулометрического состава испытуемых грунтовых материалов.
Когда это сделать затруднительно, например в случаях испытания
крупнообломочных грунтов, прибегают к моделированию зернового
состава. Проблема моделирования зернового состава требует тща
тельного экспериментального изучения и в настоящее время до
конца еще не решена.
В практике исследования крупнообломочных грунтов Применя
ется в основном три способа моделирования (рис. 5.1): а) модель
ная смесь сохраняет зерновой состав натурного грунта до размера
184
100%
2
НСП!:IРНЫЙ
Г POIHCOCTOIB
10
100 d ffiOI)(
1000 tgd
Рис. 5.1. Моделирование грансостава
максимальной фракции, допустимой для данного прибора; все бо
лее крупные фракции заменяются этой максимально допустимой
фракцией; б) модельная смесь составляется по кривой зернового
состава натурного материала, переносимой параллельна в сторону
уменьшения размеров всех фракций с сохранением соотношения
между ними; в) моделирование грансостава (по Б. Д. Чумичеву)
осуществляется с сохранением фракций d < 5 мм и с заменой осталь
ных фракций частицами уменьшенного размера; коэффициент
уменьшения линейно изменяется от значения 1 для фракций <5 мм
до значения, соответствующего отношению максимальных фракций
натурного и моделируемого грансоставов.
Чем больше зерновой состав модельной смеси отличается от зер
нового состава натурного грунта, тем ощутимее погрешности, вно
симые моделированием в определение прочностных и деформатив
ных характеристик. Поэтому при исследовании грунтов стремятся
максимально приблизить зерновой состав модельной смеси к зер
новому составу натурного грунта. Так, для испытаний крупнообло
мочных грунтов используются крупногабаритные стабилометры
(прибор Маршала с диаметром образца 1200 мм и максимальным
боковым давлением 0,6 МПа; прибор НИСа Гидропроекта ПТСД-
300 с Д-300 мм и максимальным боковым давлением 3,0 МПа; при
бор ЕНИИГа ПТС-750; прибор, используемый японскими геотех
никами (табл. 5.1). Для песчаных и глинистых грунтов с включе
ниями гравия применяются приборы с диаметром образца до
100 мм. В НИСе Гидропроекта используется прибор СВД-100 (ста
билометр высокого давления с максимальным боковым давлением
6,0 МПа). Пески и глинистые грунты без включений гравия испы
тываются в приборах с диаметром образца 50-60 мм. Имеется
185
Техническая характеристика
Диаметр образца
Высота образца
Осевая нагрузка
Боковое давление
Боковая деформация
Осевая деформация
1200 мм
2400 мм
0~700 т
о~з.о мпа
о~8оо мм
о~5оо мм
Таблица 5.1
Параметр
прибор СВД-60 с боковым давлением до 6,0 МПа, диаметр образ
ца 60 мм.
Стабилометры различаются в зависимости от развиваемого в
них бокового давления: до 1,0 МПа- средние боковые давления;
до 3,0 МПа - высокие; свыше 3,0 МПа - сверхвысокие. Несмотря
на многообразие конструкций стабилометров, они в основном де-·
лятся по принципу своей работы на два типа: тип А и тип Б
(рис. 5.2). В стабилометре типа А вертикальное давление переда-
Рис. 5.2. Схемы двух типов стабилометров
ется на образец с помощью штока через штамп. При этом обра
зец всегда находится под действием всестороннего давления, рав
ного боковому, а осевое давление не может быть меньше бокового
и равно гидростатическому давлению плюс дополнительное давле
ние, передаваемое штоком. При сжатии образца объем воды в ка
мере меняется как в результате бокового расширения грунта, так
и вследствие вхождения в камеру части штока (рис. 5.2, а). Схема
стабилометра типа Б показана на рис. 5.2, б. Передача осевого
давления на обр~зец происходит непосредственно через поршень
186
одинакового с ним диаметра, без входящего в камеру штока мень
шего диаметра. В отличие от стабилометра типа А давления боко
вое и осевое являются независимыми [4].
Группа 11. Приборы, позволяющие задавать неравными все три
главных напряжения (а1 =1= а2 =!=аз). Приборы «действительного»
трехосного сжатия можно разделить на два основных типа.
1. Приборы с неподвижными жесткими ребрами, определяющи
ми сложную крестообразную в сечении конфигурацию образца
(рис. 5.3. а). Нагрузка на образец в таких приборах создается
либо через гибкие штампы (приборы конструкции А. Л. Крыжа
новского, Э. И. Воронцова - СССР; С. Ко и А. Скотта
-
США;
К. Ям ада- Япония и др.), либо через жесткие ( прибор М. В. Ма
лышева и др.- СССР; Р. Маршала (Мексика) для крупнообло
мочных грунтов - рис. 5.3, 6). Имеются конструкции приборов со
смешанными способами передачи нагрузки (приборы А. Бишопа,
Г. Грина и К. Ву да).
2. П риборы, в которых образцы в процессе деформирования
сохраняют строгую форму параллелепипеда; впервые прибор та
кого типа предложен в 1969 г. Э. Хембли (Англия) и применен им
для испытания при плоской деформации (рис. 5.3, в). М. Гольд
шнейдер и Г. Гудеус (ФРГ) 1972 г. создали на основе идеи Хембли
прибор с деформированием по трем направлениям. Для крупнообло
мочных материалов в настоящее время запроектирован прибор
трехосного сжатия с размерами образца 900 Х 900 Х 900 мм (автор
В. 3. Хейфиц, НИС Гидропроекта).
Важнейшей частью испытательной аппаратуры является способ
задания внеiiЖего воздействия. Применяются две. основные схемы
задания воздействия: силовое и кинематическое нагружение. Под
силовым нагружением понимается такой способ задания воздей
ствия, когда экспериментатор управляет напр5tжениями, передавае
мыми по определенному заданному закону. Этот способ осущест
вляется с помощью либо гидравлики, либо рычажных прессов.
При кинематическом нагружении на образец передается давление
от штампа, принудительна перемешаемого с заданной, чаще всего
постоянной скоростью. Напряжения на границе штампа с грунтом
фиксируются датчиками давления и зависят от свойств и стадии
деформирования грунта.
В последние годы отмечается значительный интерес к исследо
ванцям динамических, в частности, циклических воздействий на грун
ты. В НИСе Гидропроекта созданы на базе трехосных приборов,
о которых шла речь, экспериментальные стенды. Отличие заключа
ется лишь в способе задания нагрузок на образец. Например,
в приборе ПТСД-300 (рис. 5.4) предусмотрена возможность со-
187
.....---·
>~--~_,·....-' ·>=. ~ ::~·:·::·::. •.
.........·..
.
.
:·. ·.· ..
••~
т•••::·:.'
.~·..~·..........
...
.
,
..
.~.·.·..:.
... ·.
·....·. ·.·
. .. -·. ·.·.
·.
. :.....·... -
.. .. -::
-
.
.
.·. :.· ·.
....".·.,
....
..
... ·.. .
Рис. 5.3. Схемы приборов
трехосного сжатия
здания с помощью гидравлического пульсатора дополнительного
динамического воздействия по следующим законам:
G1 = G1ст+G1Аsiп wt; }
Gз= Gзст+G3А sin wt.
188
(5.1)
1-
fi
!1
10
птсд.-~оо
П!!ЛЬС"Q\ОР
Рис. 5.4 . Принципиальная сх ема ст е нда (ПТСД -300) для ис следования
крупнообломочных грунтов при динамических воздействиях
При исследованиях связных грунтов применяются две схемы
испьпания, различающиеся по условиям дренирования образца.
1. Дренированная схема испытаний предполагает возможность
оттока жидкости из образца грунта при его консолидации . Напря
женно-деформированное состояние грунта определяется по стаби
лизированному состоянию при полном рассеивании порового дав
ления. Связь между напряжениями и деформациями определяется
для «скелета» грунта. Продолжительность испытания определяется
временем рассеивания порового давления и в зависимости от типа
грунта , степени его водонасыщения , размеров образца и условий
дренирования составляет от нескольких часов до нескольких суток .
Для слабофильтрующих грунтов (при kФ < 10-
7
см/с) продолжи
тельность опыта, вследствИе медленного рассеивания порового дав
ления, велика, и поэтому применяются специальные меры для уско
рения консолидации (устраиваются центральные дрены в образце,
дренируется боковая поверхность образца и др.).
2. Недренированные испытания отличаются от первой схемы
однородностью поля напряжений и малой продолжительностью
испытания, определяемой только временем выравнивания в образ
це парового давления. Однако такое испытание должно сопровож
даться тщательным измерением порового давления с целью уста-
189
новления связи между компонентами тензора деформаций и компо
нентами тензора эффективных напряжений. Крупным недостатком
этого способа испытаний является невозможность проведения иссле
дований при больших значениях суммы эффективю~1х напряжений,
поскольку возникающее поравое давление при обжатии образца не
дает возможности передать внешнее воздействие непосредственно
на «скелет» грунта.
5.3 . Траектория нагружения образца
Под траекторией нагружения понимается последовательность
задания воздействий на образец грунта. В пространстве главных
напряжений траектория нагружения геометрически представляет
собой некоторую пространствеиную линию. Уравнение этой линии
задается параметрически, исходя из трех условий нагружения:
at=ft (t); a2=f2(t); aa=fз(t) (под t понимается время или любой
другой параметр н агружени я) .
Траекторию нагружения можно представить в виде простран
ствеиной линии в координатах трех инвариантов тензора напряже
ний . В опытах при постоянном значении па~аметра Ладе, напри
мер в стабилометрических опытах при /l" =
l , траектория нагру
жения изображается некоторой линией в координатах первого а-ин
варианта тензора напряжений и второго инварианта девнатара на
пряжений а, (рис . 5.5) . При проведении опыта с воданасыщенным
грунтом по недренированной схеме траектория нагружения, опре
деленная по заданным на поверхности образца тотальным напря
жениям, отли·чается от траектории нагружения «скелета» грунта,
т. е. от траектории нагружения, выраженной в эффективных напря-
Рис. 5.5. Траектории нагружения
190
,,
жениях. Последняя и определяет деформацию грунта. Однако если
траекторию нагружения в тотальных напряжениях эксперимента
тор задает по некоторой программ е, траектория в эффективных
напряжениях зависит от свойств грунта и его водонасы~енности,
а при дренировании -от характера рассеивания парового _давле
ния и в каждой точке образца различна. Поэтому испытуемыи обра
з ец воданасыщенного грунта по дренированной схеме не представ
ляет собой элементарный объем. Напряженное состояние в таком
образце не является однородным, а характер изменения напряжен
но-деформированного состояния образца по коорди~атам и во вре
мени зависит от абсолютных его размеров и условии дренирования.
Изучение поведения грунтового образца в период рассеивания
парового давления целесообразно для сопоставительных расчетов
указанной краевой задачи с известными законами деф~рмировани~
«скелета» грунта, проведеиных на основании решении уравнении
консолидации (см. лекцию 3) . В проц ес се и с пытания можно изме
нять вид напряженного состояния для изучения влияния этого фак
тора на накопление пластических деформаций грунта. Изменение
вида напряженного состояния также относится к нагружению по
некоторой траектории, которая вычисляется, если воспользоваться
выражениями главных напряжений, через инварианты а, а,, lla·
При проведении опытов с циклическим воздействием на образец
грунта траектория может быть задана исходя из технических воз
можностей прибора и желания экспериментатора.
Распространенные в лабораторной практике испытания прово
дятся по следующим траекториям (рис. 5.6, а), состоящим из двух
этапов. Первый этап- гидростатическое обжатие до заданного
значения а=- а о. Второй этап:
а) «девиаторное» нагружение
а =coпst, а11 (возрастает);
б) cr1 =coпst, lal 1 и a,=const, lcrl 1;
в) траектория «раздавливания»
а1= const, 1аз11;
г) траектория
cr 3 =const, !crt! 1.
Иногда первый этап нагружения заменяется траекторией естест
венного («бытового») напряженного состояния 1аз!/ 1 atl =К, где
коэффициент К принимается постоянным: К= l; l ,5; 2 и т . д.
(рис. 5.6, 6).
.
Компрессионное сжатие, часто осуществляемое в ~рактике лабо
раторных · исследований, представляется траекториеи в плоскости
«а 1 - а», показаиной на рис. 5.6, в. Надо отметить, что эта траек
тория количественно заранее не может быть задана, так как опыт
191
Рис. 5.6 . Распространение в лабораторной практике траектории нагру
жения: а - виды траекторий нагружения на втором этапе; б
-
траектория
«бытового>> напряженного состояния на первом этапе; в- траектория комп
рессионного сжатия; г- траектория «раздавливанию> в плоскости главных
напряжений при f!o= + 1 (cr1 =cr2<0)
ведется при ограничениях, наложенных на поперечные деформации
образца, и боковые напряжения а1 = а2 являются «реактивными»,
а их величин.а зависит от свойств грунта. То же самое можно ска
зать и относительно опытов, проводимых в условиях плоской дефор
мации при ~: 2 =0. В этом случае напряжение а2 является реактив
ным, зависящим от свойств грунта и приложеиных напряжений
а 1 и а:;. Траектория нагружения иногда графически представляется
в 11ространстве главных напряжений (а1; а2; аз). Так, например,
траектория «раздавливания» в стабилометрических опытах при
f.to = + l в плоскости «а1- а:1 » графически изображается так, как
это показано на рис. 5.6, г.
192
5.4 . Обработка трехосных опытов
и порядок расчета модулей деформации
Целью испытаний грунта при трехосном сжатии является полу
чение данных по прочности и деформируемости для их использова
ния в расчетах напряженно-деформированного состояния грунто
вого основания, грунтового массива или грунтового сооружения.
Трехосные испытания отличаются многообразием и широкими воз
можностями. В НИСе Гидропроекта выработаны стандартные испы
тания, достаточные для целей определения необходимых парамет
ров уравнения состояния грунта, как мы в этом убедимся в лек
ции 9. Нами предложено по результатам серии трехосных стабило
метрических испытаний образцов грунта при одинаковом началь
ном состоянии по плотности и влажности и различных величинах
гидростатического обжатия составлять графический «паспорт» ме
ханических свойств грунта, отражающий три главные зависимости:
предельное условие прочности грунта
af=f(a);
(5.2)
зависимость деформации формоизменения е, от инвариантов тензо
ра напряЖений
(5.3)
зависимость объемной деформации Ev от инвариантов тензора на
пряжений
(5.4)
Стандартные стабилометрические испытания при f.to = + 1 про
водятся по траектории «раздавливания». На рис. 5.7 схематично
показан «паспорт» испытаний грунта по консолидированно-дрени
рованной схеме, а на рис. 5.8 приведен пример обработки данных
опыта на ЭВМ и графическое построение «паспорта» грунта. На
рис. 5.7 наклонные параллельные прямые отражают траекторию
нагружения в отдельных опытах серии, различающихся величиной
начального гидростатического обжатия. Точки на окончаниях па
раллельных отрезков (траекторий нагружения) соответствуют пре
дельным напряженным состояниям, а линия, соединяющая эти точ
ки, отражает условие прочности по Мизесу - Боткину при flп = + 1.
Для пересчета полученных параметров ctc 1 и <ptct в параметры
Кулона- Мора или Треска -Хилла при flп = + 1 следует пользо
ваться формулами, легко выводимыми на основании материала,
изложенного в предыдущей лекции:
193
е·t
Рис. 5.7. « Паспорт » испытаний
Gv(к)ni'М
е,=е;(к)
где
t *- 3 !g <p:t'ct
gЧJм- L
мо
Lмо = 2vf3=FТз tg (j)~cl - 2tg2 ЧJ~ct ; }
L,o = 2-"jЗ- tg ЧJt<l·
(5.5)
(5.6)
Полученный по испытаниям грунта «паспорт» позволяет нахо
дить е го основные параметры деформируемости-модуль сдвига
GP и модуль объемной деформаци и К". Значение так на зываемого
секущего модуля сдви га G P по опр еделе нию равно отн ошению
а,kе;:
G"=~.е,
(5 .7)
На рис. 5.7 для некоторого частного знач е ния e i(k) показано
определение модуля G " дл я различных значений начального обжа-
194
~оо
......
"-j
s.
~Hf-----t --=11::--+ - -- -- -1 ~.50
J( -1
Ж-2
IЗ-3
о-4
iOO f-----1 - -+ --fl --t- -+- -- - -1
1
12
8
4
о
ИНiенсивность десрормсщий 100
0 J,50 iOO 1,50 ~00 ~50
Паспорт трехо с ных испыта
ний грунта.
о
ас
~12
:;:
~
"'
о
16
\\ 11
ч\.
l\~l= -ж
-:r-
Лессовндные cyrлннкн
W=0,20; Р= 1,71 (т/м3)
..
Сrеднее напrяженне ( м i "- )
Рис . 5.8. При мер обработки данных испытаний на ЭВМ
тия образца. Тангенсы углов наклона секу щих прямых, проведеи
ных из начала координат в точки диаграмм при з нач е нии e;=e;(k),
"
GP
и будут определять значение модулеи сд вига .
Ан ализ большего числа экспериментов с различными вид ам и
грунтов показывает, что во всем диапазоне напря~ений гидроста
тического обжатия диаграмма е 1 (а , ) с доста точнои степенью точ-
7*
195
ности описывается единой зависимостью типа зависимости Бот-
( 1-B)et +Ве;
(5.8)
где ai"=c~ct-a tg cp~ct; В и ejl'- некоторые безразмерные парамет
ры. Из (5.8) следует, что модуль сдвига пропорционален функции
прочности ar (а) и выражается в форме
(5.9)
Для несвязных грунтов установлено, что параметр В практи
чески всегда близок к величине 0,9, а предельная разрушающая
деформация формоизменения в общем случае зависит от суммы
главных напряжений и от начального состояния по плотности,
влажности мелкозема и грансостава. Для несвязных грунтов пре
дельная деформация формоизм е нения линейно зависит от относи
тельной плотности 10 (см . лекцию 1):
(5.1 О)
где а - некоторый бе з размерный параметр. Для мелкозернистого
песка параметр а= 1 и eiilo = 1 =О, 1, так что в предельно рыхлом
состоянии efl'=0,2, что подтверждается экспериментально и не за
висит от траектории нагружения.
Для связных грунтов параметры ejl' и В не являются постоян
ными величинами, а зависят в общем случае от суммы главных
напряжений а и времени (скорости) испытания (рис . 5.9, а). Так,
предельная деформация формоизменения е~ с увеличением времени
испытания увеличивается пропорционально функции 'ljJ (t) (см. лек
цию 4):
et=--'-'1\J(t); 'ljJ(t)=e\ б<!,
(5. 11)
Чш
где Ч Оi- неко т орая постоянная величина, имеющая размерность
функции 'ljJ (t) , а параметр В 1 равен (рис . 5.9, 6)
1
1jJ(t)
5
ВtВ00=
ао;+1jJ (t) .
( •12)
Подстав л яя (5. 12) в (5.8), можно з аписать з ависимость дефор
маций от приложеннога напряжения и времени процесса. Получен
ное таким обр аз ом уравнение состояния является голономным и опи
сывает развитие деформаций ползучести при постоянных напря
жениях:
196
а
1
1
1 tac(=_Q_
1vG"
е-
•
ао;
1jJ(I)
Рис. 5.9 . Диаграммы дефор
мирования для связных грунт о в
при сдвиге : а - секущий мо
дуль сдвига; б - зависимость
длительной прочности и пара
метра деформирования 8 1 от
в ремени; влияние вида напря
женного состояния на предель
н у ю величину деформ а uии сдвига
11 о; ao;+ЧJ(I)
е;(t)=
-- -'- -- ---'- --- -
!- 1jJ(t)
аш +ЧJ(I)
(5. 13)
Из (5.13) следует также, что деформация ползучести становится
безграничной при напряжениях, удовлетворяющих условию
*(1+а.о;)
а;= а;00
-- ;p(i) ,
которое, в свою очередь, представляет собой уравнение длитель
ной прочности (см . лекцию 4) .
Наконец надо отметить зависимость параметров В и ejl' от вида
напряженного состояния. Общие закономерности зде сь таковы
(рис. 5.9 , в) : предельная деформация ejl' незначительно увеличива
ется при измен е нии !-!а от + 1 до -1; параметр В также увеличива
ется при изменении от + 1 до - 1; предельная интенсивность на
пряжений сдвига уменьшается при изменении 1-1" от + 1 до - 1 .
197
Закономерность развития объемной деформации отражена на
рис. 5.7 в «пасnорте» испытаний. При этом диаграмма ОА1 А2
Аз ... А представляет собой диаграмму сжатия Е и(О) пористого грун
та под всесторонним эффективным напряжением при е;=О. При гид
ростатическом обжатии грунтовых материалов встречается два типа
зависимостей Ev(a), показанных на рис. 5. 10, а : кривая 1, имеющая
перегиб, характерна для переуплотненных грунтов, а кривая !'-
без перегиба - для недоуплотненных и нормально уплотненных
Q
о
к
Ра~Рыхление
Б
~е~- ----------------------~
•
к
0,02
е,-о
Цi)
Рис. 5.1 О. Объемная дефо рмация грунтов: при всестороннем сжатии (а);
дилатансия (б); модуль объемного сжатия (в); нелинейн а я зависимость модуля
объемного сжати я от средн е го нормального давления (г)
198
грунтов. Для нормально уплотненных грунтов диаграмма объемного
сжатия под действием гидростатического сжатия описывается вы-
ражением
,,
Е/Е*-
___
o_-., -
v(O) u(O) -
е/>
Що) -О
(5.14)
где E~(oJ- предельно возможная деформация обжатия по абсолют
ной величине.
м
б
КР
efj
0
одуль о ъемного сжатия l(e,=o)=a Ev(o) при е;= легко
получить на основа нии ( 5.14)
Kl! -KP
-
ао
1
ef
u= i (e; =O) - --*---*-а
!:., (0)
Ev(O)
(5. 15)
5.5 . Дилатансия
При приложении к грунтовому образцу девнатара напряжений
помимо деформаций сдвига в грунте возникает дополнительная
объемная деформация, которая в зависимости от плотности грунта
и действующей суммы главных напряжений может увеличить де
формацию уплотнения (5.14) либо уменьшить достигнутое к этому
моменту уплотнение грунта. Поэтому объемную деформацию иногда
представляют в виде
Bu= Bt·(O) +Bt'(i),
Где Eu(i)- объемная деформация, связанная с протекающими в грун
те сдвигами. Эта часть объемной деформации получила специаль
ное название дилатансии. При этом дилатансия может быть как
отрицательной (дополнительное уплотнение, контракция), так и
положительной (разрыхление). На рис. 5. 10 , б приведен типичный
график зависимости дилатантной части объемной деформации
(E v(i) ) от деформации формоизменения е ;. При решении задач о
напряженно-деформированном состоянии грунтового сооружения,
даже в рамках деформационной теории пластичности, нет надоб
ности в делении объемной деформации на две части. Важно знать
модуль полной (суммарной) объемной деформации KP=aet/E v. По
рядок определения модуля объем_ной деформации показан на графи-
о'!
ках рис. 5.7. Частные значения модуля K~ =--k- определяются зa
E,(kJ
данными значениями ei(k) и соответствующим на траектории нагру
жения напряжением ak и объемной деформации E,•(kJ·
Часто модуль объемной деформации может быть представлен
в виде линейной з ависимости от а, аналогиЧно объемному модулю
всестороннего сжатия К8, только на nараметры этой зависимости
оказывает влияни е величина достигнутой деформации сдвига и
начальной плотности «скелета» p0 sk (см. рис. 5.1 О, в):
199
(5.16)
Здесь можно отметить две области: область разрыхления, когда
деформация при приложении девнатара напряжений становится
меньш е, чем объемная деформация от всестороннего сжатия, и об
ласть доуплотнения, когда объемная деформация увеличивается при
прилож е нии девнатара напряж е ний . Как видно, знак дилатансии
при одном и том же значении начального состояния грунта зависит
от величины суммы главных напряжений.
Однако в общем случае зав исимость К~' (а) нелинейна и, как
пока зано в работе [6], мож ет быть выражена в виде (рис. 5.10, г)
К~'= а--ьс··i
п
1- - со'"1 + 1-пю'"'
(5.16а)
Ча сто может быть испо льзова на з ависимость (по А. Г . Столя
рову)
(5.17)
В общем случае функция (5.16а) при e;=const характеризу
ется наличием перегиба (для п е р еу плотненных связных грунтов),
а также сбл ижением модуля объемной деформации с упругим моду
лем объемной деформации при а~~ - =. При этом модуль в соот
ветствии с (5.16а) равен К" =Ь /с, и это значение модуля должно
совпадать со з начением упругого модуля К" т. е. К~'1 , . ;
= Ь/с=
==Ке.
'
а ---~о- - ею
Вид напряженного состояния оказывает такое же влияние на
модуль объем ного сжатия грунта , как и на модуль сдвига; при изме
нении параметра Лоде !lп от з начения + 1 до -1 (при прочих
равны х услови ях) увеличивается сжимаемость грунта , т. е. умень
шается модул ь К и увеличива ется Е~.
5.6 . Испытания в условиях плоской деформации
Напряженно-деформированное состояние грунта в основании
промышленных, гражданских и гидротехнических сооружений часто
отв е чает усло виям плоской де формации с 2 =0. Однако деформа
ционны е и прочностные характеристики грунта, испо льзуе мые в рас
ч ета х, определяются на приборах трехосного сжатия, как правило,
при з нач е ниях !lп = + 1, и получ е нные в этих опытах величины
н е корр е ктируются. Необходимо сть корректировки указанных ха
рактеристик применительно к случаю плоской деформации вытекает
из результатов опытных исследований Д. Корнфорса [7] , Г. Гри
на[8]идр.
Д. Корнфорсом [7] были поставлены опыты для и з учения влия
ния условий деформируемости песка на его прочность. Опыты вы-
200
полнялись на приборе конструкции А. Бишопа и К . Вуда в условиях
плоской деформации с воданасыщенным песком средней крупности
nри коэффициентах пористости ети х =0,792, ет ;п =0,475. Эти ре
зультаты исследований сравнивались с результатами, nолученны
ми на приборе трехосного сжатия при !!а= - 1 и + 1.
Эксперименты nроводились по двум траекториям нагружения :
а) по первой траектории после обжатия образца в условиях ком
nрессии давление в камере оставалось постоянным при Gt =
= -0,28 М Па, а 1 а э 1 1 увеличивалось по абсолютной величине
с заданной постоянной скоростью осевой деформации до разруше
ния образца;
б) по второй тра е ктории обжатие проводилось также в усло-
виях компрессии, величина осевого вертикального напряжения а;
была равна значению , полученному при ра з руш е нии по первон
схеме для той же nлотности песка . Затем осевое напряжение а з
оставалось постоянным, а 1а 1 1 1 уменьшалось по абсолютной вели
чине до разрушения . По результатам экспериментов Д. Корнфорса
можно отметить следующее.
1. В случае плоской деформации при увеличении девиатора на-
пряжений песок уплотняется больше, чем при !lп = + 1.
2. Установлено, что в предельном состоянии объемы плотных
образцов превышали начальные на 1-4% (рис . 5.11).
3. При !la = + 1 образец плотного песка достиг момента пре
дельного состояния при осевой деформации ез в три раза большей,
чем при плоской деформации, а прочность по Мору оказалась
меньшей.
По результатам работ Д. Корнфорса отношение главных напря-
о2
"
жений при плоской деформации + в ходе опыта по первон
01 Оэ
траектории было почти постоянным и равнялось 0,29 и 0,36 соот
ветственно для плотного и рыхлого песка.
Г. Грином и Д. Ридсом [8] были выполн е ны серии испытаний
речного песка, имевшего коэффициент пористости emax- 0,92 и
удельный вес р5 = 2,68 гс/см 3 при различных плотностях.
Опыты проводились по определенной схеме. Посл"е всесторон:
него обжатия величина а 1 оставалась постояннои и равнои
-
0,28 М Па, а 1а3 1 1 увеличивалось по абсолютной величине до
разрушения образца . Сравнение результатов , полученных при !lп =
=
+ 1 и при плоской деформации , показала, что в последнем слу:
чае уплотнение песка больше, чем в первом, и зав исит от пачальнои
Ol
плотности песка. Изменение отношения + в ходе опыта не рас-
о\ Оэ
сматривалось, а значение его в предельном состоянии было равным
0,36 и 0,40 соответственно для рыхлого и плотного песка.
В серии опытов, поставленных в НИСе Гидропроекта, резуль-
1/2 7. Зак N"o 51
201
cr;
#~~d.--~---+--~---4
0 ~~~d!:::~~::4J0~~4~2--~4~
HaЧOIJibHOI51 ПОРНСТОС'ТЬ, о/о
Рис. 5.11. Сопоставление резуль татов
испытания песк а (Д. Корн форс): 1 - в
случае плоской деформации ; 2 - в стаби
лометрических опытах nри f.t o = + 1
таты которых описаны в работе [9], изучалось поведение мелкого
однородного nеска при трех относительных n лотностях 10
= 0,8;
0,5; 0,23 в условиях плоской деформации. Были выполнены три
серии оnытов, Йз которых две проведены по схеме плоской деформа
ции. В серии I после всестороннего обжатия до -а0 = 40, 80,
160 кПа при 10 = 0,8 и --ао=40, 80, 120 кПа при 10 0,55 и 0,23
исключалась деформация в одном из боковых наnравлений, по ко
торому фиксировалось реактивное напряжение а 2, другое боковое
сжимающее напряжени е а, поддерж ивал ось постоянным, а верти
кальное напряжение а 3 постепенно увеличивалось (по, абсолютной
величине) до ра зрушения. В серии II все сто ронне е нагружение осу
ществлялось до -ап = 16(), 320 и 480 кПа. Затем на этапе нагру
жения в усл ови ях плоской деформации а3 оставалось неизменным,
202
а at уменьшалось по абсолютной величине f!-O разрушения. Оче
видно, что траектория нагружения при плоскои дефор мации в коор
динатах «а-а;» зависит не только от порядк~ изменения наnря
жений а 1 и а :3 , но и от деформационных своиств испытываемого
грунта влияющих на величину а 2 . Опыты показали, что траектории
серий 'r и II практически линейны и их можно ха рактеризовать
углом наклона 'iJ к отрицательному направлению оси а (рис. 5.12).
В опытах чисто девиаторног о нагружения ( се рия III) поддер
живалась постоянной величина - ао=80, 160 и 320 кПа при fla =
=
+ 1. На рис. 5 . 12 в качестве примера приведены результаты опы
тов с плотным песком (I0 =0,8) по траектории се рии 1 (сплошные
ЛИНИii\ .
!\
h
j
\•f.i
lh
1
0,1
Q
'
1 191
,'/
1
6
~VJ 1~/ /J
~·
'~V/ /1
~·
./
~~"'": v
r-""'
t-.
1,0
-r--
-f-v·10 2
Рис . 5. 12 . Результаты оnытов с однород ным мелким 1 1 еском l ,t = 0,8 в усло
виях пл оской деформации: 1 - оnытные данные; 2 - расчет
203
Анализ деформационных свойств песка выполнен путем установ
ления зависимости модулей сдвига GP и объемной деформации КР
от инвариантов напряженно-деформированного состояния
GP=
а;
е,(а; а;)
(J
и KP=----
!Ov(a; <J;) .
Для описания сдвигавой деформации использованы формулы, пред
ложенные А. И . Боткиным .
Объемная деформация Е ,, рассматривается как сумма объемной
деформации при всестороннем обжатии Б u( о) и дополнительной объ
емной деформации от действия девнатара напряж е ния Eu( i)· Дефор
мация Eu(O) по-прежнему может быть аппроксимирована форму лой
fu(o)= а - Ьа"'
.
Для описания зависимости c, ,, (i ) от е; предложено соотношение
EuuJ =- (a.er -A*e;) [ 1- ; ·: tg !poct(l-f.L") ]. (5.18)
где а., ~ - экспериментальные пара метры; Л*= dEu(i)/ de; - ско
рость дилатансии при ~азрушении; а и f.La соответствуют текуще
му значению е;; Ра = 10 кПа.
Для практи.ческого использования указанные зависимости не
обходимо дополнить уравнением траектории девиаторного нагру
жения
а= ао- а; ctg \jJ.
Все коэффициенты, входящие в вышеприведенные формулы,
определены и даны осредненные по каждой группе опытов зави
симости f.Lп от е;.
Из результатов опытов следует, что знач ения КР и GP для
исследованных траекторий плоской деформации различаются в 3-
4 раза. Такую разницу можно объяснить влияни ем на деформации
тра екто рии нагружения и вида напряженного состояния.
Скорость дилатансии при разр ушени и А*, по данным экспери
ментов (табл. 5.2), зависит не только от плотности песка, но и от
Таблиц а 5.2
lo
Тр аектория
Траектория 11
Траектория 111
( ez =O)".
(е2 =О) л•
(f!a=+l)л•
0,8
0,18
0,27
0,34
0,55
0,09
0,16
0,14
0,23
0.024
0,04
0,004
204
1,,
траектории нагружения и вида напряженного состояния. Это обстоя
тельство важно потому, что некоторые предложения по формули
ровке неассоциированного закона пластич еско го течения осн_ованы
на введении в качестве постоянного параметра пред:ельнои ско
рости дилатансии.
По результатам опытов было определено отношение а2 /(а1 +а з ) ,
показанное в зависимости от деформации е; на рис. 5.13, откуда сле
дует, что это отношение во всем диапазоне изменения е;, вплоть до
пр едельно го состояния, остается практич ески постоянным и не зави-
0,2
о
0,4
0,2
Трае1< тоРиsо
~оо~о
с
оо
С] )1.
)1. ·~ uu..
~о
"
~\[
ТраектоРия
п
n
~~
prт
"
О.
2
1
о
С] С]
!!
Ql!
6
..о
Рис . 5.13. Эксп е риментальные
значения v" =
__
a.,:. -
2
-
Gt+az
МОСТИ ОТ е;
в зависи-
сит от траектории нагружения. Прослеживается зависимость этого
отношения от нач ально й плотности песка . Считая, что общая де
формация грунта состоит из упругой и пластической частей и пола
гая, что в направлении действия а2 упругая составляющая дефор
мациИ равна нулю, можно, на основании закона Гука, вывести соот
нош ение
ve=
__
а:-2- ===con st,
а, +аз
гд е v e - коэффициент Пуассона.
(5.19)
Следовательно, экспериментальные значения отношения а2/
j (а 1 +а .з ) могут быть интерпр ет ированы как значения упругой ха
рактеристики материала - коэффиц иента Пуассона .
Полученное в опытах постоянство коэффициента Пуассона
имеет практич еское значение для расчетов напряженно-деформи
рованного состояния и оценки устойчивости сооружений, работаю
щих в условиях плоской деформации [ 1О]. Если алгоритм такого
расчета основан на теории пластическог о течения с упрочнением ·
(лекция 9), то возникает принципиальный вопрос, от которого зави-
:Ю5
сит количественная оценка устойчивости сооружения: следует ли
при формулировке пластического потенциала использовать крите
рий прочности грунта в форме Мизеса - Боткина (с учетом влия
ния промежуточного главного напряжения а2) или в ф~рме либо
Кулона- Мора, либо Треска- Хилла , не учитывающеи влияние
а 2 . В условиях плоской деформации е2 =Е.;+ 1'~ =О, где Е2 и е~
упругая и п .паст ическая составляющие деформации в направлении
а 2 . Выполнение этого очевидного рав е нства возможно при двух
альтернативных условиях:
Е~= -е~ или е2=0 и е~=О.
В первом случае необходимо использовать функцию нагруже
ния, ассоциированную с условием Мизеса - Боткина (поскольку
в этом условии присутствуют компоненты а 2 и, следовательно ,
должно быть накопл е ние Деформации в этом направлении) . Во
втором случае. поскольку dE ~ =О. условие прочности применит ел ьно
к случаю плоской деформации не должно включать промежуточ
ного главного напряжения а 2.
Именно второй случай и реализуется при плоской деформации,
что следует и з постоянства в опытах к оэ ффициента Пуассона. ~ас
четы (см. [ 11]) такж е показывают, что для определения устоичи
вости откосов в условиях плоской задачи критерий прочно~ти Ми
зеса - Боткина, определенный при ~-t ~ = + 1 и инвариантныи к виду
напряженного состояния, не может быть использован, так к ак в
этом случае получаются пред ельные высоты насыпи, не согласую
щиеся с опытными данными.
Резул ьтаты определения прочности песка в испытаниях по трем
траекториям показывают, что траектория нагружения в условиях
плоской деформации практически не влияет на прочность грунта.
Однако в испытаниях по схеме плоской деформации угол внутрен
него трения (по Мору) на 12 - 15% выше, чем при осесимметрич
ном сжатии.
Таким образом, результаты исследования подтверждают, что
для р е шения зада ч в рамках деформационной теории пластичности
характеристики грунта должны опред ел яться по соотв етствующим
схемам испыт а ния с учетом траектории нагружения и вида напря
женного состояния, характерных для решаемой задачи.
5.7 . Трехосные испытания грунтов
при циклических воздействиях
Существенным фактором , влияющим на" поведение грунтового
основания или грунтового сооружения при сеисмическом или вибра
ционном возд ействиях , является дополнительная деформация грун
та , накапливающаяся в процессе эти х воздей ств ий. Особое значе-
206
ние имеют объемные деформации в воданасыщенных элементах
грунтового сооружения, где при этом возникает поравое давление,
резко снижающее эффективные напряжения в «скелете» грунта.
К настоящему времени выполнен огромный объем исследований
110 динамике грунтов. Обзор исследований по этой проблеме можно
найти в генеральном докладе на IX Международном конгрессе по
механике грунтов и фундаментостроению [12], в трудах ряда меж
дународных симпозиумов (например, [ 13]). В нашей стране впер
вые подобные исследования были провед е ны Н. Н . Масловым [ 14],
П. Л. Ивановым [15, 16], Л. Р. Ставницером [17], М. Н. Гольд
штейном [ 18] и др. Однако в исследованиях деформируемости
грунтов при динамических воздействиях подавляющее большинство
авторов ограничивается и зу чением осевых или сдвиговых деформа
ций , что не позволяет использовать полученные результаты в уточ
ненных расчетах напряж е нно-дефо рмированного состояния грунто
вых сооружений. Только в последнее время появились работы, в
которых изучалась объемная деформируемость песков [19] при
никлических во здей ствиях.
Для дальнейшего важно дать хотя бы условную классификацию
воздействий. Воздействия будем подразделять на статические и ди
намические. Динамические возд ей ствия - это такие воздействия,
которые вызывают ускоренное развитие деформаций и , как след
ствие, при учете деформируемых масс- появл е ние инерционных
сил. В табл. 5.3 приведена подобная классификация.
Статич еск ие воздействия при
скоро ст ях деформации
< 10-
3
,
1/мин
Одно
кратны е
Многократны е
(циклически е)
Таблица 5.3
Динамические воздействия при скоростях
деформации > 10 -
1
1 /мин
Импульс
ные
Одно
кратные
Многократные
* В диапазоне ско ростей деф ормации 10-' <е< 10-
1
1 / мин воздействия мож-
110 рассматривать как квазистатические.
Для выяснения влияния динамических циклических нагрузок на
11рочность и деформиру е мость грунтов проводятся испытания грун
тов в условиях сложного статического напряж ен ного состояния,
на фоне которого создается дополнительная пульсация компонент
те113ора напряж е ния. Аналогично «nаспорту» статических и~пыта
IIИЙ грунта можно ввести «паспорт» динамических испытании , опи
сывающий в графическпй форме результаты ~тандартизированных,
207
в некотором смысле, экспериментов. За стандартную схему оnытов
мы выбрали стабилометрические опыты при lln = + 1, где траекто
рия нагружения совпадает с траекторией статического опыта тиnа
сраздавливания», nринятого нами ранее в качестве стандартного.
Испытания проводятся в три этапа. На первом этапе nроизводится
изотроnное статическое обжатие образца до заданного уровня а=
= -а 0 , принятого в данной серии опытов. На втором этапе произ
водится статическое девиаторное нагружение образца увеличением
осевого напряжения 1а3 1 1 при условии, что а 1 = а2 сох раня ется
постоянным. Увеличение осевого напряжения nродолжается до за
данных суммарных значений величин инвариантов а; и а. После
стабилизации деформаций образец статически разгружается По той
же траектории до значений а;ст и а ст · На третьем этаnе к образцу
nрикладывается циклическая нагрузка:
а:~"=а :kг+азл sin шt; а1 =G2=const;
O';N =G;cт+G;д sin шt; <J ~ =<J cт+Gл sin шt.
При этом амплитуды циклического воздействия выбираются рав
ными а;д =а;- а;ст и собл юд ается условие G;л:::;;; G;ст·
Динамическая и статическая траектории нагружения в стан
дартных оnытах совпадают. При одном и том же значении изотроп
ного обжатия, т. е. по одной траектории нагружения, проводится
серия опытов, отличающихся зна чени ем исходных статических на
пряженных состояний (а ,с" а с тl· Критерием разрушения образца яв
ляется, так же как и в статике, прогрессирующий характер накоn
ления осевых деформаций при неизменных параметрах внешнего
воздействия. Амплитудные знач ения интенсивности напряжений
сдвига варьируются, но не могут составить более 0,2af. Такое огра
ничение связано с тем, что оnисание поведения грунта при цикли
ческом нагружении необходимо в окрестности некоторого оnреде
ленного статического напряженного состо яния .
На рис. 5 . 14 представлены спаспо~тные» данные исnытаний пес
ка средней плотности p'r/ = 1,65 г /см при статическом и цикличе
ском нагружениях [20]. На этом же рисунке даны обозначения
координат точек 1 (статическое нагружение) и точек 2 ( стабилизи
рованные по деформациям состояния образца после приложекия
к нему циклического воздействия).
В результате сравнения «Паспортных» экспериментальных дан
ных nри статическом и циклическом нагружениях грунтов установ
лено следующее [20] .
* В с е величины , отн ос ящиеся к щшлич ес ким возд е йствиям. будем сн а бжать
значком N, нанример <Т;": <,.:-;; e,N н т. д.
208
'
.
.
·е
5
о
-1
-2
-з
tO864
iN102
10
20
'
t. н ·102
-2.
6
30
40
~о
60
70 t,мин
,-
~
1->ис. 5.14. Стандартные траектории динамических ис"nытаний грунта: а -- ста
билизированные деформации; б- развитие деформации во времени
1. При статических и динамических многоцикловых нагруже
ниях* для всех схем циклического нагружения (в диапазоне час-
* Каждая стуnень аиклическоrо воздейст в ия выдерживается до стабили з ааии
деформаций.
209
тот до 10 Гц) прочность несвязнога грунта практически совпадает:
а* -а*- *
IСТ - iN =a;.
(5 19)
Этот вывод согласуется с рез л
.
в работах Н. Н. Маслова [14] уПьтаЛтамИи, ранее опубликованными
2п
•
·
·
ванова [15 16]
·
роисходит развитие дефо ма u
'
·
воздействиях. В грунтах средне/ пл:::-и сдвига e,N nри циклических
мации nревышают соответств ю
ности развивающиеся дефор
ных значений статических нrпрщие дерормации еiс т для эквивалент
жений:
яжении, т . е. для значений напря-
аiст+а,д; аст+ /aд /sign аст·
Приращение деформаций сдвига
ла циклов воздействия В
увеличивается с увеличением чис -
деформаций происхо и; допредель~ом состоянии стабилизациi
1000 циклами воздей~твизя~ длительныи период , исчисляемый 500- -
Данные всех экспериментов по циклическом
хорошо аnnроксимируются функци ей вида у деформированию
и модуль
G~ = а!"Ф,N (e,N ) /e;N·
) При N-+= (стабилизированное доnредельное
та функция Ф,N ( е, ) представляется в форме
(5 .20)
(5.21)
состояние грун-
ФN(е)=
e,N/ef:,
'
'N
(1-B " )+B Ne;r-. ;/et-;
'
(5.22)
где BN -безразмерный параметр· *
сдвига nри циклических воздейст~ие~~-- максимальная деформация
Обработка оnытных данных nоказыв
лизираванных значений деформа u ает, что приращение стаби-
ствующему напряжению цикличе~~~uсдвига nри до~авл ении к дей
а,д всегда больше nриращения е и состuавляющеи с амплитудой
статического наnряжения р а вн~ формации сдвига nри добавлении
ствия. Отношение же эти'х п и го амn,:'!итуде циклического возд е й
капленной деформации . Р ращении различно и зависит от на-
При гармоническом законе
·
указать на явную форму зависим~~~лического во~действия можно
циклов воздействия N 0
и ~еформации сдвига от числа
рактеризуемом реальн~Iм:нзаак~и;ри сеисмическом воздействии, ха
оказалась бы бесnолезноиu n ями акселерограмм , такая з апись
,
оскольку в этом
указать ни на опр еделенное ч
б u случае н е возможно
ни н а частоту колебаний. . исло коле ании, ни на амnлитуду,
210
, 3. Анализ объемного деформирования грунта nоказывает, что
при циклических воздействиях на стадии девиаторного нагружения
грунт доуnлотняется в большей степени, чем при статическом экви
валентном нагружении. В области статического разрыхления при
приложении пульсирующих нагрузок грунт также разрыхляется,
но , как показывают эксперименты , в меньшей степени, чем для
эквивалентных статических напряжений. По - видимому, последнее
объясняется тем обстоятельством, что циклическая нагрузка всегда
приводит к более плотной упаковке частиц несвязнога грунта и
поэтому в области статического девиаторного доуплотнения цикли
ческая нагрузка увеличивает этот эффект доуплотнения, а в области
статического девиаторного разрыхления уменьша ется эффект раз
рыхления. Кривая циклического объемного деформирования в коор
динатах «~' vN - а» располагается всегда ниже соответствующей кри
вой при статическом нагружении (ри с. 5.14).
Модуль объемного деформирования при циклическом воздей
ствии может быть по-прежнему выражен в виде
(5.23)
Здесь параметры bN и a N зависят от деформаций сдвига e,N и от
отно с ител ьной амплитуды, т. е . величины (ад/а). Опытами выясне
но, что параметр bN от относительной амплитуды воздействия мало
з ависит, тогда как параметр aN мож ет быть аппроксимирован:
aN = аст ехр(::___ f)Naд/а),
где nараметр ~N• в свою очередь, зависит от числа циклов и описы
вает с я дробио-линейной функцией
N
~N= ~~ aN+N
Для условий статики параметр f) N=0, а для стабилизированных со
стояний динамического деформирования он равен ~~-
Отношение nриращения деформаций объема в статических опы
тах к приращению объемных деформаций в динамических опытах
для эквивалентных значений nриращений напряжений в статическом
и циклическом режимах нагружения зависит от накопленной дефор
мации объема.
Существенным для дальнейшего развития теории является про
ведение экспериментальных иссл едований по следующим направ
лениям:
-
влияние траектории циклического нагружения на развитие
пластиче с ких деформаций формы и объема;
-
влияние вида напряженного состояния (в том числе в усло
виях плоской деформации) на прочность и деформируемость грун
тов;
211
-
малоцикловая прочность и влияние коэффициента асиммет
рии цикла на прочность и деформируемость;
-
пов ед ение грунта при знакопеременных воздействиях·
-
пов ед ение н:свя з ных грунтов при динамических, в то~ числе
импульсных, во зде иствиях ;
-
пов ед ение связных грунтов при динамических воздействиях.
5.8 . Разжижен.ие
Термин разжижен.ие используется при оценке пов едения несвяз
ных воданасыщенных грунтов при динамических воздействиях Яв
ление ра зж ижения несвязных воданасыщенных грунтов сост~ит в
том, что, есл и динамиче<;,кое воздействие вызывает доnолнительное
их уnлотнение, в nоровои жидкости во з никает динамическое поро
вое давление, которое разгружает «Скелет » грунта, уменьшая эффек
тивное наnряж е ние и тем самым nриближая его к пред ел ьном
по прочност11 состоянию. Даже в том случае, когда вибровозде/
стви е {или ино е динамическое возде йствие) мало изменяет инте н
сивность напряжений сдвига, а вследствие доуплотнения грунта
возникает дополнительное nоравое давление, грунт может перейти
в предельное состояние, как это показано на рис . 5.15 (т. м _
<S·
'
Ри с. 5.15. Поравое давление
при вибровозд е йствни на грунт
в условиях nо с тоянств а cr ,
статическое наnряженное состояние). Н есв язный гр у нт в nр едель
ном состоянии т еч ет подобно вя зк ой жидкости _ разжижается
Иногда говорят о неnолном разжижении . Это означает что вслед~
ствие повы~ения парового давления и уменьшения сум~ ы главньrх
напряжении происходит дополнительное развитие деформации фор
моизменения, но грунт nри этом находит ся еще в доnредельном со
сто янии.
Таким образом, основной причиной разжиж ени я несвязных водо
~асыщенных гр у нтов яв.11яется повышение парового дав.11ения вслед
пвие их дополнительного уплотнения. При этом vменьшенне суммы
эффективных напряжений в «с кел ете» грунта и· накапливающиеся
в связи с этим деформаttин сдвига (которые в..~ияют н а стеn ень лри-
212
'
fi,
.\"
.,'
11
ближения к предельному сос тоянию) за ви сят от а) инт енси вности
динамического воздействия; б) ста тич еск ого наnряженного состоя
ния; в) возможности доnолнит ель ного ушютнения грунта, опр еде
ляющейся его nлотностью к моменту воздействия и наnряженным
состоянием; г) соотношения вр еме ни воздействия и времени оттока
жидкости, т. е. от скорости рас се ивания пороного да вл е н и я.
Во змож но сть и величина дополнителыю го уnлотнения грунта
зависят от характер а воздейстния и nл от ности грун та . В н е уплотнен
ных грунтах , как об этом уже говорилось ранее, по мере увеличе
ния сдвигающего ус илия возникают объемные деформации уплот
нения, тогда как в уплотненных грунтах деформачия сдвига сопро
вождается дила тан с ией п оложитель ного знака -·· ра зрыхлением .
Очевидно, существует н екото рая пром ежуточна я плотность н есв яз
ных грунтов, при которой деформация сдвига м ожет происходить
без изм е нения объема образца. Коэффици е; п rюри стост и . соответ
_рвующий этой промежуточной плотности, А . Казагранде на звал
критическим коэффициентом пористости [21 J. При этом он считал,
что для лесков этот коэффициент есть инвариантная ве.11ичина,
которая мож ет быть принятаза фундамента.т1ьную константу несвяз
ных грунтов. Вследствие леречи сле нных выш е причин ве сьм а тр у.1rно
установить чи словой критерий по значению nлотности nеска, при
котором обеспечив ает ся ег о н е разжижаемость. На устойчивость
сооружения влияют скорость и хар ак тер рассеивания парового
давления, которые за висят nри nрочих равных ус.11о виях от длины
nутей фильтра1щи. Например, коэффициенты фильтрации круnно
обломочн ых грунтов настолько велики , что разжижени е в таких
грунтах считалось н евозмож ным . Однако при сейсмическом во здей
ств ии крупнообломочный грунт, являющийся мат ер иалом упорных
лризм высоких кам е нно- земл яных плотин , может перейти в ра зж и
женное состояние, nоскольку и з - за достаточно протяженных путей
фильтрации за время возд е йствия во зн икш ее при ег о дополнитель
ном уnлотнении пор авое давление н е успевает рас се яться.
Таким обр аз ом , назвать крит е рий разжижения в виде н екот о
рого чис.п ового параметра не представляется возможным . Им еется
ед инств е нный путь оценки разжижаемости грунта в сооружении -
н а основании динамичесkого «паспорта» испытаний грунтов (nри
зад анной их начальной плотности) и полной си стемы уравнений
динамической теории консолидации реша ется · ·с оответствующая
краевая задача с оценкой устойчивости грунтового сооружения.
Однако во многих случаях решип> указанную краевую зад ачу не
возможно из-за отсутствия экспериментального оборудования, nо
зволяющего дать полные св едения о динамических свойствах грун
та в условиях сложного напряженного со сто яния , и из-за слож
ности алго ритма ра с чета и отсутствия вычислительных программ.
213
В этих случаях прибегают к инженерным методам оценки разжи
жаемости, основанным на нескольких подходах.
I по д ход. В экспериментальных исследованиях изучается ди
латансия грунта. По данным лабораторных экспериментов, по
динамическому «паспорту» может быть дана оценка потенциальной
возможности разжижения воданасыщенного несвязиого грунта,
если установлен знак дилатансии в зависимости от параметров
воздеиствия, статического напряженного состояния и плотности
грунта. Совершенно очевидно, что при положительно'й дилатансии
(разрыхлении) никакого явления разжижения ожидать не прихо
дится, поскольку в этом случае не будет возникать порового давле
ния, разгружающего «скелет» грунта. В этом смысле можно гово
рить о критической плотности (пористости), при которой в предель
ном состоянии дилатантная часть объемной деформации равна
нулю, т. е. Ev;=O . На рис. 5.16 приведен график объемной деформа
ции, где показаны три варианта поведения грунта при заданном
Рис. 5.16 .
часть объемной
грунта
Дилатантная
деформации
циклическом воздействии. При этом для варианта 1 дилатантная
часть объемной деформации в предельном состоянии е~.\)* характе
ризуется тем, что
. (I)*-
о
Е,., - f,,N- fc•(O) < . ,
т. е. происходит дополнительное уплотнение; для варианта 3
Е~1)*>0,
а для варианта 2 дилатантная часть объемной деформации при
разрушении равна нулю:
214
••~:
.,
'
·..;
Можно утверждать, что разжижение возможно в случае реали
зации условия е~;< О. Поэтому после серии опытов. в зависимости
от начальной плотности грунта, его статического напряженного со
стояния, характеризуемого суммой главных напряжений и пара
метрами динамического воздействия (частоты и амплитуды), по
знаку е~; устанавливается его потенциальная склонность к разжи
жению. Однако даже в случае (3), когда в предельном состоянии
грунт разрыхляется и, казалось бы, разжижения не ожидается, в
допредельном состоянии в процессе деформирования происходит
доуплотнение (заштрихованная часть диаграммы). Поэтому еще
задолго до разрушения возможно частичное разжижение, которое,
вообще говоря, может быть для сооружения и опасным. Это еще
раз убеждает нас в том, что оценку разжижения можно провести
достаточно точно только по результатам решения конкретной крае
вой задачи.
На рис. 5.17 приведены графики Е~; в зависимости от начальной
плотности грунта и его статического обжатия при одних и тех же
параметрах циклического воздействия. Границей критических со
стояний является величина е~;= О. Сплошной линией нанесены ре
зультаты статических стабилометрических опытов, а пунктирной ли
нией- результаты суммарного воздействия статической и пульси
рующей нагрузок. В силу того, что с увеличением обжатия а0 в ста
тических опытах отрицательная дилатансия (доуплотнение) увели
чивается, критическая плотность, определенная по статическим
опытам, также увеличивается (рис. 5.17, в). Опытами при цикли
ческом воздействии установлено, что при увеличении а0 и постоян
ной амплитуде циклически изменяющейся части напряжений вели
чина доуплотнения уменьшается. Совместное влияние этих двух
факторов несколько уменьшает зависимость критической плотности
от величины сумм главных напряжений либо, в некоторых случаях,
приводит к независимости критической плотности от статического
обжатия грунта. В табл. 5.4 приведены значения критической плот
ности мелкозернистых аллювиальных песков, определенные в наших
статических опытах по указанной выше методике. В табл. 5.5 для
тех же песков представлены значения критической плотности по
данным динамических испытаний. Данные этих таблиц подтвер
ждают вывод, сделанный А. Казагранде [21] еще в 1938 г.: чем
больше эффективное боковое давление, например, больше глубина
залегания песчаного слоя, тем меныие критическая пористость, или,
другими словами, тем плотнее должен быть песок, чтобы не допу
стить его разжижения.
Еще раз отметим, что методика оценки разжижаемости по пре
дельному состоянию образцов несвязных грунтов, как бы точна она
ни была, весьма ненадежна из-за того, что еще в допредельном
215
Рис . 5.17 . За ви симость дилатансии грунта от плотности и статического
напряженного состояния: исходные экс периментальные данные · (а); зависи
мость дилатанс1ш от опюсительной плотности при ста тичес ких и динамиче
ских воздействиях (б) ; критическая величина остаточной плотности (в)
Таблица 5.4
Сдвигавые испытания
Трехо с ные испытания
Нормально е Критическ ая плотность
Изотропное Критическая плотность
давление
(kP
1 p'k, гр/смз
обжатие
1
<Jn , МПа
11
<Jo, МПа
l~f
p'k, г/см3
-
0,20
0,40
1,38
-0,2
0,4
1,38
-
0,40
0,65
1,45
-0,4
0,7
1,47
-
0,55
0,70
1,47
-0,8
0,9
1,56
Таблица 5.5
Трехосные и с пытания , частота 5 Гц
Изотропное обжатие cr 0 , МП а
-
0,2
-
0,4
-
0,8
216
Кри тиче ская плотность p'k , г/см
3
1,48
1,52
1,56
..
ст
Cy(i)>O
Q4
0,&
состо янии во зможно частичное разжижение вследствие возникно
вения динамического парового давления.
Опыты по опред елению пот е нциальной возможности разжиже
ния . тр е буют особой тщательности и аккуратности при их проведе
нии. Ма.пейши е отклонения от заданной плотности образuа в начале
о пыта могут привести к неточиости в о пределении величины дила
т а нтной части объемной де формации, а следовательно, и неточиости
конечного результат а опыта.
II по д ход. Возможность разжижения воданасыщенного пес
ка ОJ! е нивается по величине уско р е ния а (мм/с 2 ), сообщаемого
толще грунта. По предположению Н . Н. Маслова [ 14], разжиже
ние во з можно, если динамиче с кое воздействие, характеризуемое
ускор е нием а, будет больше н екот орого критическ ого для данного
грунта ускорения акr · Под критическим ускорением понимается
такое ускорение колебательного проц есса, ниже которого не проис
ходит уплотн е ние п е ска. Впервы е Д. Д. Барк а нам [22] установлено,
что виброкомпрессия песк а одно з начно зависит только от ускоре ния
колебаний. Критическое ускорение определяется вибрированием
песчаного образна на вибростоле с зада нной амп .питудой и часто-
217
той колебаний. При этом, в отличие от пульсации поверхностных
напряжений, которая рекомендуется нами для установ.nения дина
мического «паспорта» испытаний, в колебательное движение при
водится весь прибор (камера прибора) с находящимся в нем образ
цом грунта. При таком испытании каждая частица грунтового
образца находится в поле инерционных сил, определя е мых ее мас
сой и заданным ускорением. Этот подход основывается на том,
что если несвязный грунт при колебаниях способен уплотниться, то
при воданасыщ е нии в нем возникнет так называемое динамическое
поравое давление, которое и прив едет его к разжижению. Однако
дополнительное уплотн е ние песка возможно лишь при превышении
ускорения колебаний над его критическим значением .
Рис. 5.18 иллюстриру ет понятие о критич е ском ускорении на
примере образца сестрорецкого песка с начальной пористостью,
равной 0.437 [23]. До ускорения акr=638 мм/с
2
уплотнения песка
не наблюдалось . Критическо е ускорение, по Н. Н. Маслову [24],
уменьшается с увеличением частоты колебаний и возра стает про
порцианальна уплотняющему нормальному давлению.
44,0
~
~ 43,0
<->
Q,_
~ 42.0
~
С>
~
=
о
112
Q о<!'= 63В мм/сЕк
1111\
111\
Q =2?>84 мм/сt~
'
111
481216
ВРЕМ~, СЕК
1'....,
22
1,2 ~
-
16.0 а
...:
(.)
20,0с::::>
Ри с. 5.18 . Ход уплотнения се
строрецкого песка
Указанный подход получил дальнейшее развитие в трудах мно
гих исследовате.nе й . На основе накоп.nенного экспериментального
материала и длительных наблюде ний разработаны практические
рекомендации для инженеров. Так, по данным О . А. Савинова,
nри ускорении колебаний до 5 см/с 2 в воданасыщенных слабых
грунтах наблюдаются н езначительные осадки фундаментов, при
ускорении от 5 до 15 см/с 2 осадки протекают со скоростью до
5 мм/год, а при ускорении свыше 30 см/с 2 - з начительные осадки
со скоростью бол е е 5 мм/год. На рис. 5.19 и зо бражены три зоны
(по Н. Н . Ма сло ву), отвечающие трем различным динамическим
режимам воданасыщ е нного песчаного основания: 1) зо на отсутствия
разжижения; 2) зона переходная; 3) зона полного разжижения . При
ведеиной диаграммой можно пользоваться, по мнению Н . Н. Мас
лова, для пр а ктической оценки разжижаемости основания.
К недостаткам данного подхода к оценке разжижаемости осно
вания и л и грунтового сооружения относится то, что он н е применим
при использовании точных методов опред еления напряженно-дефор-
218
J.
.\.
~.
3500
зооо
2500
"'~
-}2000
::i
w
:s
1500
:с
....
"-
с
".::
С,)
::::n
0 песка ра зл ичной
р 5 19 К оценке разжижаемости мелкозернистог
пори с~~~т~ . Римскими нифрами да но ускорение в балл а х
ния на всех стадиях динамического
мированного состояния сооруже
то создавая в об-
"
Это связано прежде всего с тем, ч '
воздеиствия.
-
е ине ционных объемных с ил, невоз-
разце грунта перем енно~ пол грv~та как «эле ментарный объем».
можно рассматривать о ра з ец и~пытаний н ельзя определить урав
С.nедовательно, ~а основе таких ионных сил учитывается в основной
нения связи. Деиствне же инер~й движени~ (см ..nекции 2 и 3).
системе динамических уравне
то что р езул ьтаты испыта
Очевидным следствием ~того яв,~яеет~я в ч 'а стности значение крити-
ний грунта по указабнvнд~~ ::;~~:ть 'от абсолютных раз меров образ
ческого vскорения, · • •
ца, вовл~каемого в колебания.
нен~~:,мп ~ ~;а~:ик=~J~~~:~~и~е~~~:о:~~~д~~:~йв~~ь::о~=~п~торс;~:~
219
благодаря многочисленным работам Х . Сида и его коллег [25 -
28]. Эта методика в об щих чертах сводится к следующему. В лабо
раторных условиях проводятся недренированные испытания водо
насыщенных пес чаны х грунтов при приложении циклических каса
тельных напряжений в опытах на сд виг или циклического девна
тора напряжений в опытах ~а приборах трехосного сжатия . В ре
зультате циклического воздеиств ин наблюдается постепенный рост
парового д~вления, а затем внезапное необратимое разрушение
структуры, сопровождающееся возрастанием деформаций сдвига
и парового давления, как это показано на рис. 5.20 и 5.21. При
о
Рис. 5.20 . Недрениру е
мое циклическое исnыта
ние на сдвиг рыхлого во
до насыщенного песка: !-
напряжение сдвига; 2 -
де формация сдвига; 3-
избыточное nоровое дав
ление
этом минимальное главное эффективное напряжение падает в рых
лых песках до значений 0,001 МПа. Это состояние принимается за
критерий разжижения. Не обратимое разрушение структуры при не
дренированном циклическом сдвиге наступает в за ви симости от
параметров воздействия за различное число циклов. Параметром
цикл~ческог о воздейс тв ия выбран относительный девиатор напря
жении (?dс/2аст ), где adc = (а,-а з ) с - циклический девиатор на
пряжении, аст-- начальное гидростатическое давление, под кото
рым образец был предварительно консолидирован. Принимаемое
число r1иклов наrруж е ния возрастает с магнитудой землетрясения
и рекомендуется при магнитудах 7 ; 7,5 и 8 принимать 10; 20 и 30
соответственно. Авторы также предлагают последовательность им
пульсов ка сательных напряжений землетр яс ений в лабораторной
практик е исследований заменить на гармонические колебания с
амплитудой, равной 6.1% от максимальной ам плитуды касатель
ного напряжения во время нерегулярного сейсмовоздействия.
Указанный критерий разжижения четко выполняется для рых
лых воданасыщенных песков, в то вр емя как дJIЯ пл отных несвязных
грунтов вследствие дилатантного разрыхления порово е давление
в недренированном опыте после кратковременного подъема начи
нает падать . В результате критерий нулевого эффективного давле
ния не может быть выполнен. Для таких грунтов , согласн о Де
Альбе " [28] , в качестве критерия приним ается достижение дефор
мациеи сдвига некоторог о предела, например, для однородного мел
кого песка пр едельная деформация принимается равной 0.01 за де-
220
1(1
10
100
1000
5 r- ....
~у
~'\
r\
~\L N
j\
\
"
15
-
~зГ /
N3=5_И
1,00
"""н2~~
__".,
"?"
t
7 J.._
~ .....
~~
t
1
о..
о
t
• .. Разжижение"
2.
о~:± 2,5%
-
~1
t;J t "±5%
0,1
~~ш !
4
1
10
100
1000
Рис. 5.21. Результаты циклического недрениров анного исnытания
водона.сыщенного nеска [2 6] при ап=0,105 МПа и nульсирующем
девиаторе наnряжений Uac= (а1 -а2),, равном : 1 - аdс/2а ,т =0,46; 2-
аdс/2аст=0,29; 3- U dc/ 2a,т=0, 17
сять циклов при относительной п лот ности выше 0,80. Вышеописан
ное явл ен ие получило название «циклическая подвижность» [29],
или по Казагранде,- «циклическое разжижение» [30] .
Результаты лабораторных испытаний с помощью целой системы
коэффициентов корректируются для возможности переноса этих
резул ьтатов на натурные объекты. Чтобы оценить сопротивление
разжижению в поле, Х . Сид рекомендует: а) от носительное каса
тельно е напряжение , вызывающее разжижение в лабораторных
испытаниях на простой циклич еский сдвиг, уменьшить на 10%,
допуская возможность колебаний во многих направлениях в поле;
б) от но сительн ый девиатор напряжений, вызывающий разжижение
221
в трехосных испытаниях, следует умножить на 0,57, если в есте
ственных условиях коэффициент бокового давления 0,4, и на 0,9,
если коэффициент бокового давления равен единице. По данным
Х. Сид~ [27] возможность разжижения песчаных грунтов с относи
тельнон плотностью I,J может быть оценена по табл. 5.6.
Таблица 5.6
Ускорение
Вероятное
Возможное
Невозможное
разжижение
разжижение
разжижение
O,lg
10 =0,33
0,33< 1[)<0.54
10 >0,54
0,15g
10 =0,48
0,48<1 0 <0,73
10 >0,73
0,20g
10 =0,60
0,60<1 0 <0,85
10 >0,85
0,25g
' "=0,70
0,70< IIJ<0,92
11,>0,92
Установлено также, что глинистые грунты неразжижаемы, если
содержание глинистых частей ( <0,005 мм) более 20%,а влаж
ность составляет менее 0,9 от влажности на пределе текvчести
Исследование прочности и установление критериев разрушени~
несвязных воданасыщенных грунтов, представляющих для земля
ных сооружений наибольшую опасность, всегда являлись централь
ной проблемой. Эта проблема до сих пор удовлетворительно не ре
шена. Однако, обобщая результаты большого объема эксперимен
тальных исследований по вибродинамическому воздействию на та
кие грунты, все же можно прийти к следующим общим выводам.
1. Параметры условия прочности в консолидированно-дрениро
ванных испытаниях при вибродинамических и статических воздей
ствиях практически одинаковы (различия отмечаются только для
рыхлых песков).
2. Прочность воданасыщенных несвязных грунтов в рыхлом со
стоянии, испытываемых по консолидированио-недренированной схе
ме, определяется условием достижения поровым давлением значе
ния минимального (по абсолютной величине) главного сжимаю
щего напряжения. При этом несвязный воданасыщенный грунт при
обретает свойства ~язкой жидкости и «разжижается», а девиатор
тензора напряжении падает до минимального значения.
3. Прочность плотных и средней плотности воданасыщенных
песков, испытываемых по консолидированио-недренированной схе
ме (обладающих свойством разрыхления при приближении к пре
дельному по прочности состоянию в условиях открытой системы),
харак~~ризуется условием достижения поровым давлением значе
ния Р -+-О, 1 М Па (предельное сопротивление поровой жидкости
объемному разрыву).
Сформулированные выше выводы могут быть использованы в
222
1
алгоритмах решения задач динамической консолидации грунтов.
При этом выполнение указанных критериев означает, что грунт
перешел в качественно новое состояние (запредельное), при кото
ром он ведет себя как вязкая жидкость.
Недостатком указанного подхода является его очевидная услов
ность, связанная с определением критерия разжижаемости, т. е., по
существу, с определением критерия разрушения, в опытах по за
крытой (недренированной) системе. Таким образом, воданасыщен
ный грунт рассматривается как однофазная среда. В случае не
связных воданасыщенных грунтов с большими коэффициентами
фильтрации даже при сейсмических кратковременных воздействиях
за время воздействия происходит отфильтрование поровой жид
кости и, следовательно, сейсмонапряженное состояние сооружения
существенно зависит от взаимного движения фаз грунта. Если же
иметь в виду промышленную сейсмику с длительными периодами
воздействия, то здесь совершенно очевидно, что критерий разжи
жения, сформулированный без учета многофазности грунта, не
применим.
В заключение еще раз подчеркнем, что нет иной альтернативы
для уточненного прогноза напряженно-деформированного состоя
ния воданасыщенных грунтовых сооружений и оснований, чем та,
которая была изложена нами ранее и основана на решении системы
определяющих уравнений. Необходимо в этих случаях рассматри
вать грунт как многофазную систему с привлечением определяю
щих уравнений динамической теории консолидации и уравнений
связи· для «скелета» грунта, формулируемых в рамках теории пла
стического течения (см. подробнее лекции 10 и 12).
ЛИТЕРАТУРА
1. S h u 1t z е Е. Laгge Scale Sheaг Tests.-Pгoc. IV Iпt. Conf. оп Soil Mech. апd
Found. L., 1, 193-199, 1957.
2. Саquоt А., Кегisе1J.Tгaitedemecaniquedes sols. Р., 1956.
3. Maгachi N. Dean Сhап Сlагепsе К., Seed Н. В. Evaluation of Pгo
peгties of Rock Mateгials.·- J. Soil Mech. апd Fouпd. Div., Ргос. ASCE, 98, 1,
95-114, 1972.
4. Сидоров Н. П., Сипидин В. П. Современные методы определения харак
теристик механических свойств грунтов. Л.: Стройиздат, 1972, с. 136.
5. Б о т к и н А. И. Исследование напряженного состояния в сыпучих и связных
грунтах.- Изв. ВНИИГ, 1939, т. 24, с. 153-171 .
6.3арецкий Ю. К.. Воронцов Э. И., 3алежнев Ю. Е., Гарице
л о в М. Ю. О прочностных и деформативных свойствах грунтовых материалов
плотины Нурекской ГЭС.-Энерrет. стр-во. 1978. N2 8, с. 58-62.
7. С о г п f о г t h D. Н. Some Expeгiments оп the Influeпts of Stгain Coпditions
оп the Stгength of Sand.- -
Geotechпique, 14, 1964,
8. Gгееn G. Е., Rеаdеs D. W. Boundaгy Coпditioпs Anisotгopy and Sample
Shape Effects оп the Stгess-Stгaiп Behaviouг of Saпd in Tгiaxial Compгession
and Plane Stгaiп.- Geotechпique, 25, 12, 1975.
223
9.3арецкийЮ.К.,ВоронцовЭ.И.,МалышевМ.В.,РамаданИ.Х.
Деформируемость и прочно сть nесчаного грунт а в условиях плоской деформации
при различных траекториях н а гружения. - О сн ования, фундаменты и механика
грунтов, 1981, .N'~ 4, с. 25-28.
10. 3арецкий Ю. К., Ломбардо В. Н., Грош ев М. Е. Пла стичес кое те
чение грунтовых массивов.- Изв. ву зо в. Стр-во и архитектура, 1979, .N'~ 2, с. 3- 23.
11. 3арецкий Ю. К., Ломбардо В. Н ., Грошев М. Е., Олимnи е в Д. Н.
Устойчиво ст ь грунтовых откосов.- Основания, фундаменты и механика гр у нтов ,
1980, N~ 1, с. 23-27 .
12. У о s h i т i е t а 1. Soil Dyпamics апd its Applicatioп to Fouпdatioп Епgiпее
гiпg.- Ргос. of the IX Iпt. Сопf. Soil Mech. апd Fouпd. Епg., Tokyo; 2, 605- 630,
1977.
13 . Soils uпdег Cyclic апd Тгапsiепt Loadiпg .-Swaпsea, 1980.
14. М а с л о в Н. Н. Условия устойчивосги воданасыщенных пес ков. Л .: Г ос энерго
издат, 1959, с. 328.
15. Иванов П. Л., Итина Л. И., По с пелов В. А. Влияние динамических
нагру зо к на прочность песчаных грунтов .- В кн.: Динамика оснований, ф у ндамен
тов и подземных сооружений. Ташкент: Фан , 1977, с. 200 - 203.
16. И в а н о в П. Л. Разжижение песчаных грунтов. Л.: Госэнергоиздат, 1962,
с. 260.
17. С т а в н и ц ер Л. Р., К арпуши н а 3. С. Динамические трехосные испытания
песчаных грунтов.- Основания , ф ундаме нты и м ех аника грунтов , 1973, N~ 1,
с. 23- 25.
18 . Гольдштейн М. Н., Хаин В. Я., Боло л юбчик В . С. Результаты иссл е
дований свойств песка и дополнительных осадок песчаных оснований при дина
мических нагрузках. - В кн.: Тр. ВНИИГ. 1976 , вып. 110, с. 53- 58.
19 . L u оп g М. Р. Stгess-Stгaiп Aspects of Cohesioпless Soils uпdег Cycli c апd
Тгапsiепt Loadiпg .- Ргос. lпt. Symp. оп Soil s uпdег Cyclic а пd Тгапs. Load. , Sw aп
sea, 1, 315-324 , 1980.
20.3арецкий Ю. К., Чернилов А. Г., Мухамедаминов Ш., Чуми
ч е в Б. Д. Прочность и деформируемость не связ ных грунтов при динамических
во зд ействиях. - Гидротехн. стр-во, 1982, N~ 10, с. 39 -44 .
21. Са sаgгапdе А. The Sheaгiпg Resistaпce of Soi1 апd its Relatioп to the StaЬi
lity of Eaгth Dams. -
Ргос . Soils апd Foumdatioп С опf. оп the US Епg. D ep aгtmeпt,
Bostoп, Mass, Juпe, 1938.
22. Б ар к а н Д. Д. Динамика оснований и фундаментов. М.: Стройвоенмори з дат,
1948, с. 410.
23. В е л л и Ю . Я. К вопросу о сейсмической устойчивости намывных ядерных пл о
тин.- В кн.: Вопросы м ех аники грунтов, 1958, выn. 28, с. 11 - 19.
24. М а с л о в Н. Н. Основы инженерной геологии и механики грунтов. М. : Высш ая
школа, 1982, с. 512.
25. S е е d Н. В., 1d г i s s 1. М. Aпalysis of Soil Liquefaction: Niigata Ea гthquake.-
J. SMFD , Ргос. ASCE, 93, SМЗ , 83- 108.
26.SееdН.В.,LееК.L., 1driss1.М.апdМаkdisiF.1.TheSlidesiпthe
Sап Fегпапdо Dam duгiпg the Eaгthquak e of F eb ruaгy 9, 1971 . - 1. GED , Pr 'Jc.
ASCE, 101. GТ?, 651 - 688, 1975.
27. S е е d Н. В. Evaluatioп of Soil Liquefactioп Effects оп Level Gгouпd duriпg
Eaгthquakes. - Liquefactioп ProЬ\ems iп Geotichпical Епgiпеегiпg, ASCE Nat ion a l
Сопvепtiоп, 1- 104 , 1976.
28. Dе А1Ьа Р., SееdН. В. аnd Сhап К. С. Saпd Liquefaction in Large-
Scale Simple Sheaг Tests. -J . G ED , Proc. ASCE, 102, GT9, 909- 927, 1976.
29. С а s t г о G. Liquefactioп апd Cyclic Deformatioп of Sa nds: А Cгitical Re-
view. -
Н а гvагd Soil Mechaпics Seгies N 87. Harvard Uпiversity, 1976.
224
ЛЕКUИЯ 6
УПРУГОВЯЗКОСТЬ ГРУНТОВ
Н nостро е нии оnределяющих соотношений механики грунтов су
щественная роль отводит с я с вя з ям м е жду напряжениями и обрати
мыми деформациями. Ро.nь эта важна потому, что однозначная
с nяз1, между наnряж е ниями и восстанав.nин а ющимися деформа
ниями по з воляет при выделении и з общих деформаций их обрати
мой сост а вляющей определить т е нзор действующих напряжений.
Обратимые деформации для многих типов грунтов характеризу
ются за паздыванием по отношению к напряженному состоянию,
связанному с проявлени е м так на з ываемых р ео логич е ских свойств.
З апаздыв а ющи е обратимые деформации носят на зва ние уnруго
вязких , особенностью которых является то, что х а рактерное время
з апаздывания не зависит от уровня дей ствующих напряжений,
то гда как для вязкопластичных (невосстанавливающихся) дефор
маций характерное время запаздывания существенно зависит от
уровня приложеннога воздействия. Следует также отметить. что ме
тоды определения уnруговязких свойств грунтовых материалов р аз
работаны недостаточно nолно и требуют для своего определения
особой аппаратуры и сложной инт е рпретации.
6.1 . Упруговязкость при статических воздействиях
Многие связные грунты обладают реологиче с кими свойствами.
Это значит, что законы деформирования «скелета» таких грунт()В,
даже nри малом уровне наnряжения, н е определяются конечными
соотношениями между компон е нтами тензора эффективных напря
жений и компонентами тензора деформаций « скел ета». В случае
линейной вязкоупругости оnред ел яющие с вя з и могут быть представ
лены дифференциальными соотношениями либо интегральными
соотн()шениями наследственного тиnа [ 1J. Здесь мы рассмотрим
nростейшие дифференциальные С()ОТН()Шения. Для девиаторной и
шаровой ча стей те нзоров напряжения и деформации могут быть
з аписаны сл едующие дифференциальные С()отнош е ния:
P(siii=Q(eii \: }
(6
_
1
)
M(п kkl = N(s>н \.
где Р, Q, М, N- дифференциальные оп е раторы вида
8. Зак.N•51
225
1
М ( !=co+ct _!! ___ +
...
+ер___!}_!:__.
r/I
iit'' '
N ( J=do+dt _!!_ __ +
+ с1ч~
iit
дtч
1. Рассмптрим прпстейший вид этих спптнпшений,
мую мпдель К ел ьвина - Фпйгта · [2J:
s,i =2G':., (e,i + т".1еu); '
(б.2)
так назьшае-
(б.3)
fJн = 3К':Ю (F~z~~ +т(('/ (c•)flill).}
Ппведение такогп материала при чистпм сдвиге 8
ки и разгрузки прпиллюстрирпванп на рис. б. 1.
условиях нагруз-
т
r
t
Рис. 6.1. Модель 1\елышна
---
Фоиv гта. Деформаци
грузки (а) и разгрузки (б)
я в условиях на-
з Характер объемнпй дефпрмании- запаздывающий с перипдпм
апаздывания Тт и, птличающимся пт Пf'рипда запаздывания при
чисто дениаторном за грvжении причем Т ___....т с
(б 3)
•
'
.
ret (,· ) ~ ГС/· ()()ТН()Шения
..
могут быть также перf'писаны к виду, удпбномv для их исп~ль
зования при решении пснпвной сис те мы уравнений:"
где
2G"
.
";i=
"" (Erj+ T".,l'11) +
{){<'
2е··
•
+'i К"-ЗG=) (fн+аТmFн),
lil
Т,,.:;,·)
а=
-
.
-
---'-'-
Т ,~·~
226
•)
к · --=-г-
""
:~ J'
(б.4)
1
~·
j·
1
!
В том случае, когда пбъемные деформаuии только уnруги и не
развиваются вп времени, время запаздывания Trcl(c·1=0 и а= l-
K(~
Другпй крайний с.nучай спптветствует услпвию ра-
.
2G'
К'оо-J 'со
венства времен запаздывания Tr eUc·: =Trcr и в этом случае а= l.
2. Рассмотрим вид спотнпшений (б . 2) для релаксируюшего при
сдвиге м ате риала и прпанализируем их прпстейший вид:
s11+Tre!Si j=2G';., (eu + T ,c ,eii);}
(б.Б)
fJн=ЗК"Fн.
Представленная уравнениями (б.5) модель грунта в ес ьма ре
алистична . Девиатпрная спставляющая тензора эффективных напря
жений и деформаний «ске.nета» подчиняется закону «стандартнпгп
тела». Одномерный аналпг этого уравнения
т+ Тгеtт =2G';., (у+ Тг ,., у),
(а)
где т- напряжение сдвига; у- дефпрмация сдвига. При постоян
ном Значении напряжения сдвига деформация сдвига развивается
пп закону:
т
'
1
.
1)
(
t')
Y(t)=
---
(-----тexn - --
2G ':X,
\ 2G':",
2G ':X, 1
,.
\
Т,,., 1 '
(б)
где значение мгновенного модуля сдвига равно G ь =G ':., Тrе t/ Тгеt
Релаксация напряжений подчиня ется за висимости
т(t) =2Geoo Yo+ {то-2G';.,уо) ехр(-t/Тгеt),
(в)
где то= 2GI!yo.
Графики, иллюстрирующие поведение грунта в сответетвин с ука
занными зависимостями, приведены на рис. 6.2 .
Объемные деформании грунта, возникающие при гидростатиче
ском пбжатии, упруги и не развиваются во времени.
Рассматривая уравнение (6.5) как линейное дифференциальное
уравнение относительно компонент тензора напряж е ний fJ; 1, после
вполне очевидных операций запишем:
t
2(G" -щ)
-
·
t-s )
s,1(t) =
~ \ eii(~)exp(- -т- 1 d~+
rc/
J
rt'l
о
а" =ЗКеЕ;;.
При естественных начальных условиях
sij (О) = 2Goeij (О),
8*
227
(6.5а)
т
t
2Goo То
t
Рис. 6.2. Поведение материала,
nодчиняющегося модели стандарт
ного тела в условиях нагрузки (а),
разгрузки (б) и релаксации (в)
и, учитывая, чтu
после преобразования окончательно получим
(6.6)
1
+2_з ( Щ;G';., )\е;;(~)ехр ( - tт- ; )ct~J.
~
J
~
о
Таким образом , учет реологических свойств релаксирующего при
сдвиге грунта приводит к выражениям (6.6), определяющим эффек
тивные напряжения.
3. В более общем виде, когда в грунте возможны релаксацион
ные процессы при чистом сдвиге и при объемном деформировании,
т. е . когда математическая модель грунта формулируется не в виде
уравнения (6.5), а в виде [2]
S;j +тr.·!S ij = 2G';", (e;j +тreteij);
}
0';,+ Trel(t·)G;;=ЗK ';", (е;;+ Trcl( t• ) ё;;);
Gi) = G';",Tm / T,r,; Кь =К';",T,et(vJ/T,,.,c,·J ·
(6. 7)
228
~1.
•
1
после преобразования получим выражение для компонент тензора
эффективных напряжений:
t
a ;i (t)=2G1) e;i(t)-2( щ;,,.~':Ю )~e;i(~)exp ( - t;".; )d~+
о
1
)\Е;;(~)ехр(- t-;)d~+
;J
.
т ,.., ,,.:;
11
t
21G''-G'')-
(t•)l
+-1
°
~ \1Е;;(~)ехр, -
;,,.,"
1 d~J.
З\
Trc!
(J
(6.8)
4. Подобным образом могут быть записаны определяющие" соот
ношения д.г1я «скелета» грунта и в виде теории наследственнон пол
зучести [ 1J, для которой ядром интегральных операторов будут
служить функции, в общем случае отличающиеся от экспоненци
ального вида (см. 6.6):
O';j(t) =2d (E;j!+oij(к- ~ d )!Е;;\,
(6.9)
где G(y! и К(у} - интегральные операторы Вольтерра:
"
G(y }=GiJy(t)- \ RG(t- ~ )y(~)d~;
~
(6. 1О)
6.2 . Упруговязкость при гармонических воздействиях
Среди многих причин затухания колебаний механических си
стем главное значение имеет рассеяние их энергии. Диссипация
энергии, опред еляемая по гистерезисным петлям, может быть анали:
тически предсказана из рассмотрения воздействия на элементарныи
объем грунта напряжения , изменяющегося по гармоническому за
кону. Для этого необходимо только предположить, что реологиче
ский закон деформирования грунта известен. Предполагаем, что
при воздействии циклических напряжений, не выводящих грунт за
пределы пропорциональности, остаются справедливыми уравнения
состояния линейной теории вязкоупругости.
Рассмотрим воздействие периодически изменяющегос~ (по гар
моническому закону) напряжения на грунт, подчиняющиися реоло
гическим законам деформирования:
229
s;i = 2G (e;iJ;
G;; = 3К (Е;;),
где G(y) и К(у) ~интегральные операторы типа (6.10).
Пусть девиатор напряжения или интенсивность напряжения
сдвига изменяется в течение длительного времени по синусоидаль
ному закону:
G;=G;д siп шt.
Установившееся периодическое изменение интенсивности деформа
пий е; также подчиняется гармоническому закону:
е;=е;дsiп (шt-rpc).
::Запаздывание колебаний определяется углом сдвига фазы rpc. Для
амплитуды колебаний е;д и угла сдвига фазы rp,. могут быть полу
чены выражения
/-- ---·-·-----~-------~--------~--------~--"·---------- - - - - -
--- -
-~;
1
.-.:.:_i[ 12 ~1 ]
2
~1 21
е;д- G[, ~ 2 l \1~+RGc(ш) +[RGs(ш)] J;
(6.11)
::Здесь R<-;:c;
1
(ш) и Reic
1
( ш) ~ синус и косинус преобразовани_я Фурье
ядра ползучести RG:
1
(t- ~), обратного к ядру оператора G(y), обо
значенного в (6.1 О) через Rc; ( t- ~).
Площадь петли гистерезиса или, что то же, рассеянная за цикл
энергия формоизменения, равная
может быть
где
выражена в виде
.,
г~
W
<Jiл /лR~1()
i=Л-G\
-2GSШ,
о"
, ---
00
RG:c;1(ш) =-v ~ ~ RG: 1(t) siп шt dt;
о
,--
00
RG:c1(ш)=\/_2_ \ RG:
1
(t) cosшtdt.
'
лJ
о
230
(6.12)
Из полученной формулы (6.12) следует, что рассеиваемая за
цикл энергия зависит от частоты изменения приложеиного гармо
нически девиатора тензора напряжений.
В качестве примера приведем два вида ядра:
RG: 1 =бexp(-б 1 t);
(а)
RG: 1 =бГ~'
t
(ядро Дюффинга).
(б)
Для первого ядра
а для второго
л2 01'(1~.'~") .[:т(1 S>)J
W;=
- G'" G;д
SIП- -U2 .
1)
(!)-
_!
2"
Здесь Г(\ ~б 2 ) ~ гамма-функция.
Зависимость рассеиваемой энергии деформирования от частоты
приложеннога гармонического напряжения показана на рис. 6.3.
w
w
Рис. 6.3 . Зависимость диссипации энер
гии от частоты: 1 - для материала с экс
поненциальным ядром ползучести; 2 -с
ядром ползучести типа Дюффинга
Экспериментальный материал по исследованию упруговязких коле
баний механических систем из различных строительных материалов
позволяет говорить о том, что площади гистерезисных петель
не зависят от частоты колебаний и являются функцией амплитуды
колебаний* (рис. 6.4). Для грунтов характерна зависимость (2)
(рис. 6.3). Влияние внутреннего трения на колебательные процессы
определяется площадью петли гистерезиса.
* С.1едvет отметить, что колебания механических систем в области вязковлас
тичности ~овровождаются диссипанией энергии, характеризующейся гем. что
гисrерезисные потери практически не зависят от частоты колебаний. а лишь от ам
плитуды (см. лекцию 1О).
231
бст
Рис. 6.4 . Упруговязки е п е тли гистер ез иса
Рассмотрим модель грунта, сдвиговые деформации которого под
чиняются закону стандартного упруговязкого тела (6.5). Нетрудно
убедиться, что для такого грунта диссипируемая энергия может
быть определена по формуле
аfл
T rci- Tret
W;=л G:._
(t)
"
'
~·
1+ы т;,.,
(6.13)
или
1,;,1 - T ,-ez
1+••> 2Т;,., '
где а;д и е ;д -- амплитудные значения соответств е нно интенсивности
напряжения сдвига и де формации сдвига.
При этом модуль сдвига зависит от частоты гармонического
воздействия и равен
а угол сдвига фаз ер" определяется выражением
tg (j)e=
(Go-G~)wT,,.,
G оо +Gow
2
Т"'
(6.14)
(6.15)
Для стандартного упруrовязкого тела, опр еделяющие соотноше
ния которого даются выражениями (6.7), аналогично (6.14) и
(6.15) могут быть записаны зависимости модуля объемной дефор
мации и угла запаздывания объемных деформаций от частоты.
С математической точки зрения иногда оказывается удобным
выразить совокуп ность величи н G и <Ре в виде комплексного модуля
упругости при сдвиге:
232
1~·1
G*=G exp(irpe) .
(6.16)
Анализ зависимостей (6.14) и (6.15) показывает, что с увеличе
нием частоты модуль сдвига G монотонно растет от своего значения
длительного (статического) модуля G "" до мгновенного (динамиче
ского) G 0 , а график зависимости tg rp e от частоты проходит через
максимум при (\)= 1/Тг е l (рис . 6 .5). Точка максимума tg <ре совпа
дает с точкой перегиба для G. В этой точке
~--2
G=\/Go+G"";
}·.
(.IJ
..
Рис. 6.5. Зависимость мо
дуля деформации и тангенса
угла сдвига фа з от частоты
деформаций
Таким образом, если грунт в области восстанавливающихся де
формаций ведет себя как стандартное упруговязкое тело, подчиняю
щееся определяющим соотношениям (6.7), то перед эксперимента
тором ставится задача определения шести независимых констант :
Go; Goo; T rel
и
Ко; Коо; Trel(c•)·
При этом мгновенные (динамические) модули Go и Ко могут быть
определ е ны динамическими м етодами исследования, в частности , по
скоростям распространения упругих волн. Длительные (статиче
ски е) модули G oo и Коо могут быть опред елены по методу много
кратн ой разгрузки. Эти модули иногда н а зыва ют ра з грузочными.
Периоды релаксации Tr c l и Т ,щ ,. ) определяются по характеру
запаздывания упруговязких деформаций или непосредственно с по
мощью измерения релаксации напряжений. В частности, опытами
с гармоническим возбуждением колебаний грунта в пр еделах вос
стан авлива ющих ся деф ормаций могут быть, на основ ании зависи
мостей, приведеиных на рис. 6.5, определены все необходимые па
раметры у пруговя з кости.
233
6.3. Определение упруговязких характеристик грунта
До с и х пор речь шла об определении в ус.nовиях с.тюжного на
пряж е нного состояния общи х де форманий грунта, в кл ючающих в
себя как во сстанав л иваюш ую часть, так и деформании , которые
при ра з гру з ке не восстанав л и ваются . В дальнейшем всюду компо
не нты су ммарных деформаци й пр ед полагаются следуюшим·и
Е;;= ~·f'( + fi'(.
Здесь !i}/ - упруговязкая ч асть де форманий; ri/' --- вюкоп.пастиче
ск а я часть деформаний. В н ас тоящем пункте р ечь бvдет идти о
вюкоупр у гих деформациях. При этом мгновенно восстанав .riиваю
щи еся дефо рмации но сят н азва ни е у пруго-мгнов е нны х (истинно
у пр у ги х), компоненты т е н зо р а которых обозначаются ~·~·, . Дефор ма
~~~и. восстанавливающиеся во в р еме ни , называют ся уп р у гов яз кими
r ;( . Упру гие деформании связа ны с напряж ениям н с;;; законом
Г ука:
(6.17)
В уравнениях (б.17) ве.~ичины С,;,,, играют роль м еха нических
мат е ри аль ных констант. В еличины С,; 111 в общем случ ае образуют
т е н зо р ч етв е ртого ранга . Однако мы не будем здесь рассматри
вать об щй случай, а остановимся на изотропном материа .пе, ха
ракте ри зуемом всего дв ум я меха нич ес кими кон ста нт ами:
(6.18)
.
•
•.. -
1~•
<'
,.
1"~
где компоненты девиа1ора s11 - п;;- -т о;;с;;;, е;; =~·;; - Т •1;;~·;;. ((юТ-
нош ение обоб щенного зако н а Гука за писывает с я также в форме
c; ;;=2 tt'' r;;+l.' '{ );;f'; ,,
(6.1Sa)
еG'''"К"
2
G"
11
где f..t =
ил=
-
З - постоянные " аме.
Для определения модулей упругости грунта иногда использу
ется статическая однократная разгрузка и по восстанавливаюLцей
ся ч аст и де формании вычи сляются статические уп р у ги е модули,
как это показпно на рис. б.б, а. б. Для грунтов характерна нели
н ей ная. упругость . Но олнократная ра з гр узка может и сказ ить ре
зультаты о пр еде .-1ения rvl <~ 't y ля у пр у г ост и , так как в дейстl}итель ности
уменьшение н неi ' Iни х н агрузок !:' щ е н е означает, что прот екает пpo
Itecc разгру:щи (см . .leKШIIO S) . В связи с этим прибегают к много
кратн о му снят ию нu1·ру зок, доб ив а ясь в итоге, чтобы « п етл я» де
формиров а ния либо ныроди .'1 ась в н е которую линию, либо по следvю
щие циклы не изменял н "" поло же ние и форму (см. ри с . 6.6:в).
При ЭТОМ, как nудет ЯСН () 113 дальнейшего (леКilИЯ 9)' р аз грузку
234
а
6·
'
-б
(J
Рис. б.б. Оnр еделен и е модуля уnругости по разгрузке: одно
кратная разгрузка (а, б); многократная разгр уз ка (в, г)
желател ьно производить с нятием нагрузок не до нул я , а не более
50% от их значений при активном нагр уж ении (рис . 6.6, г).
· Следует отметить, что при любых спос обах определения стати
ческих модулей упругости в восстанавливаюшуюся часть деформа
ций входит и доля за па здывающих деформаций. Де йствительно,
если в грунте под действием постоянных напряж е ний возникают де
формации, которые р аз вив а ются во времени ( за п азд ывают), то и
при разгрузке эти д е формации восстанавливаются не мгновенно
(рис. 6.7). Поэтому определенный по статической разгрузке мо-
235
~---· --~- ~-----
-Jo:
;1
--- -- --....J ..J
е
t;(o)
Рис. 6.7. Восстановление упруговязких деформаций при разгрузке
дуль деформации относится к стабилизированным упругим дефор
мациям и, следовательно, G" = G';,., и Кс= К';,.,. Значение длительных
модулей упругости для песка Кеоо = 250 М Па, G';,.,
_: _ 115 МПа; для
супеси К';,., =86 М Па, G';,., = 62 МПа. Истинно мгновенные модvли
упругости GiJ и Ко следует определять по скорости распростра'не
ния в грунте упругих волн. Такие модули иногда называют дина
мическими модулями упругости. Динамические модули упругости,
как правило, превышают статические в 2-5, иногда в 9 раз. Та
кая разница в значениях упругих констант объясняется тем, что на
развитие упругих деформаций в грунте оказывает влияние внутрен
нее трение.
6.4 . Определение динамических модулей
упругости грунта
Мгновенные модули упругости могут быть определены по изме
рениям скорости распространения упругих колебаний в грунте. Для
упруговязкой среды существует, однако, достаточно сложная зави
симость между скоростью распространения колебаний, реологиче
скими параметрами среды и длиной волны. Только при очень быст
рых колебательных процессах реологические свойства не успевают
сказаться на скорости распространения упругих волн. При расче
тах сейсмостойкости особое значение приобретают упругие свой
ства грунтов. При этом существенным является тот факт, что слож
ные статические напряженные состояния грунтов, очевидно, значи
тельным образом сказываются на величинах их упругих характе
ристик.
Кратко рассмотрим вопросы распространения упругих волн в
деформируемых средах. Уравнение движения изотропной упругой
среды относительно перемещений 11, записывается в виде [3]
pui= U-"+1-l")ut,_ki+f.l"Lli.ii+Xi.
(6.19)
Решение уравнения (6.19) для безграничной среды приводит к
236
\t·~·' ,,
\
,.
выводу о существовании двух типов волн: волн расширения, или
безвихревых (продольных), распространяющихся со скоростью
Ср= [((Л)e+2f.le)/p] 'Л, и волн искажения (эквиволюмиальных, или
поперечных волн), скорость распространения которых с,= (f.l" j р) '1
2
•
В сейсмической литературе продольная волна носит название р-вол
ны (primary), а поперечная- s-волны (secondary wave). Можно
сказать, что любая плоская волна может распространяться внутри
изотропной упругой среды только с указанными скоростями.
Рассмотрим простейший случай, а именно плоскую волну, рас
пространяющуюся ВДОЛЬ ОСИ Х1. В ЭТОМ CJI_yчae ВОЛНОВЫе ДВИЖеНИЯ
характеризуются вектором перемещения u ( u,, u2, uз), компоненты
которого являются функциями только х 1 и t. Предположим, что
массовые силы равны нулю, а причи~;~ой движения являются началь
ные возмущения. Уравнения движения для рассматриваемой одно
мерной задачи будут следующими:
(Л" +2f.le) aa"t~'- =pu,;
х,
д'u,
.•
,.е __ =pu2·
r
д2·
'
х,
е д'uз
••
f.l
--
2 - =рuз.
дх,
(6.19а)
Видно, что уравнения однотипны и отличаются только коэффициен
тами, ·а их решением является интеграл Даламбера:
(6.20)
Аргументы функций Ф+ и ф_ называются фазой в момент t, а ве
личина с - фазовой скоростью. Учитывая начальные условия
u(x1, О) =а(х1) и u(x1, О) =/)(х1),
общее решение запишем
х, +ct
На рис. 6.8 показано распространение возмущения [3]:
х<-а
lxl <а
х>а
(6.20а)
Здесь мы имеем наложение двух ~перемещающихся возмущений:
функции а(х 1 +ct) в направлении оси- х 1 и функции a(x 1 -ct)
237
Рис. 6.8 . Распространение начального единичного возмущения в виде
продольной волны
в наnравлении оси + х 1 • Начальное возмущение nеремешается в на
правлении осей + х 1 и -х 1 с постоянной скоростью с (рис. 6.8).
При ,этом~ nеремещение u 1 распространяется со скоростью Cr =
=,/Л' +2f-t " и наnравление распространения волны совпадает с на-
'
f'
правленнем вектора перемещения u1 (продольная волна). Пере~
мещения u 2 и u:з имеют направления, перпендикулярные к наnрав
лению распространения BOJ!J:I!>I (поперечные волны); скорость рас
пространения равна Cs=-{!1"/p.
Скорость поперечной волны зависит только от плотности и мо
дуля сдвига тогДа как скорость продольной волны Ср зависит от
плотности, ~одуля сдвига и модуля объемного сжатия (Л"+ 211е =
=
ке + ~ Ge) . Физический смысл ЭТОГО состоит в том, ЧТО при
распространении продольной волны среда подвергается как объем
ному сжатию, так и искажению формы (в статике аналогом явля
ется компрессионное сжатие-деформация образца без возможности
бокового расширения; компрессионное сжатие сопровождается
уплотнением и искажением формы).
Рассмотрим решение волнового уравнения типа (6.19а) в слу
чае гармонически изменяющихся во времени возмущений. Гармо
ническое решение (6.19а) можно представить в виде
u(x 1, t)=uAexp[i(kx1-шt)].
(6.21)
238
r.,·i'
Подставляя (6.21) в (6.19а), получим
Здесь k - волновой вектор.
Решение (6.21) можно записать
u=н.tcxp[-i(t)(t- -7) J+tt\exp[-i(t) t+f- :) ], (6.21а)
и, очевидно, оно является частным случаем решения Даламбера.
Nlожно доказать, что величина L =
2
лс является длиной волны,
(J)
или что волновой вектор равен k =
2
л. Для этого следует пока-
1.
зать, что фазы точек, отстоящих друг от друга на L, 2L, ... , раз
личаются на 2л, 4л, ... , т. е. являются одинаковыми. Таким обра
зом, функция tJ (х, t) внутри отрезка длины L изменяется, но ее зна
чения повторяются через L. Легко также увидеть, что nлоские волны
обладают периодичностью по времени с периодом .Т= L/c. Реше
ние (6.21) можно представить также в форме
'l
,(( Xt)l
tJ=\JAcxp -2щ, Т+ Т 1 J·
(6.21б)
Скорость волны, или фазовая скорость, определяется как
с= <u/k.
Волновой вектор для случая распространения возмущения с IJО
стоянной скоростью линейно зависит от частоты ш, и, следователь
но, длина волны обратно пропорциональна частоте.
В случае, когда существует нелинейная связь ш=<t)(k), ско
рость распространения возмущения (фазовая скорость) зависит от
частоты или, что то же, от длины волны. В этом случае говорят о
дисперсии волны, т. е. об искажении распространяющегося импульса
возмvu~ения. Такое явление связано с проявлением реологических
свой~тв среды. В упругой же среде дисперсия проявляется при рас
пространении возмущений в ограниченных объемах - чи:то геомет
рический фактор. При этом вводится понятие группавон скорости
сц как скорости распространения пакета волн, в котором длины со
ставляющих пакет волн ограничены значением L. Групповая ско
рость равна
или, как легко видеть,
239
д
dc
с11 ---:- дk ( kc) =с- L ----;п-:-.
Групповая скорость характеризует скорость, с которой распростра
няется энергия импульса колебаний .
Таким образом, измеряя скорости распространения упругих
волн в неограниченной грунтовой среде, можно опр едел ить мгно
венный модуль сдвига Go и мгновенный модуль объемного сжатия
кь:
Ga=rcs>O; Кь =р(с~- ~ сО >0.
2
откуда следует , что Cr > ---::-<: s. т. е. скорость распространения про-
·./3
дольной волны Cr всегда больше скорости распространения попереч
ной ВОЛНЫ Cs .
Геофизики накопили богатейший опыт по определению скорос
тей распространения упругих волн в различных горных породах,
в том числе в грунтовых средах . Оказалось, что скорости распро
странения упругих волн существенно зависят, при прочих равных
условиях, от глубины залегания слоя, т. е., иными словами, от ста
тического напряженного состояния .
На рис. 6.9 представлены данные Таджикского треста инже
нерных и з ысканий о скоростях распространения упругих волн в грун-
~
~~
::s:
:s:
100~----~~~~~--~~r-~-1
~200~--~~~~~~------~~--~~
<
.. ..
Рис. 6.9. Изменение скорос
тей расnространения nродоль
ных Cr и nоnеречных с. уnругих
волн no высоте nлотины Нурек
ской ГЭС: 1 - в ядре nлотины
(суnесь); 2 - в уnорных nри
змах (галечник)
товых материалах Нурекской плотины. Из графика следует, что
с ув елич е нием глубины залегания материала, отсчитываемой от
гребня nлотины (а следователь но, с ростом давления и уменьше
нием пористости), скорости продольных и поперечны х волн воз
растают примерно в три раза. Приведем еще один пример. На осно
ве огромного экспериментального материала с помощью статисти
ческой обработки в [4] пр ед ложены эмпирические формулы для
240
определения скоростей распространения упругих волн. Вот одна из
таких формул , дающая возможную ошибку ,....., 20%:
Cs = 84,36Н0·
2
~5
( 1,000
1,435
1,000
1,202
1,261
1,412
1,482
1,927 r
[м/с],
гд е Н - глубина определения скорости распространения упругих
волн.
(
аллювий
Фактор Е
делювий
); факторF
глина
тонкозернистый песок
среднезернистый песок
крупно зе рнистый песок
песок с гравием
гравий
В неограниченном изотропном массиве могут расnространяться,
как уже указывалосJ:> ранее, только два типа волн . Однако, когда
имеется граница, возникают так называемые поверхностные упру
г ие волны или волны Рэлея, впервые теоретически предсказанные
им в 1887 г., а затем экспериментально обнаруженные и изме
ренные.
Распространение плоской волны внутри упругой среды с плос
кой границей находится как решение уравнений (6. 19) в предполо
жении, что волна распространяется в направлении х2 в упругом
полупространстве х 1 ~О и рассматриваемое возмущение не зависит
от координаты х3 . Вследствие независимости искомых функций от
х 3 перемещение ua =O и f::3з =t:~:J=E1:3=0 (плоское деформирован
ное состояние). С помощью потенциальных функций qJ и \jJ компо
ненты перемещений можно представить в виде
(6.22)
Полагая, что волна является гармонической и распространяется
вдоль оси х 2 , будем искать решение системы уравнений в виде
(6.22а)
241
Ппд с тавляя указаннпе nред став.nе ние кпмnпнент nер еме щений
в уравнения движения и nолагая массовые силы равными нулю ,
nолучим
ri"Ф 2l ()·
---а,()=
(tx{
'·
'
1''1 '
_,_-_ -а~чr=о
'"' .,
"
'
I.J\ T
где
'
1 /''
1'2
}
а1 -- lk2 - -'-''.'_)
-
-
\' k2
.,, '
')!.k
"'
\
,·. '
1
и а~-.
-
-.-~- 1
.
,
.
-.
(а)
Р
с"
-
с1~
Из пбщих решений выберем только те, которым соптвf'тствует
уменьшение амnлитуд волны с глубиной
(б)
При этом а1 и а2 должны быть величинами действите.nьными и nо
ложительными.
В непграниченном nростран стве nродольные и nпn е р ечные вплны
расnространяются разде.nьнп. В р асс матриваемом случае pacnpo-
-
стран ен ие эт их волн связанп граничными условиями.
Условия за дачи требуют, чтобы комnоненты наnряж е ний 0' 1 1(0,
х2, t) .0: G12(0, х2, t) =0 вследствие тогп, что nло скос ть х 1 =0
свободна от наnряжений.
Исnо.nьзуя граничные условия и nредставление комnонент nере
мещ е ний в виде градиентов от nотенuиальных функций, а также
проведя соответствующие выкладки, окончательно nолу чим выра
жение для компонент пер еме щений tl ; . Эти волны ра с nространя
ются со с коросп,ю,. спстав.nяющ ей х - часть от скорости волн иска
жения с , , а значение х находи тся из кvбического относите.nьно
х2 уравнения
•
·
(х2)
3
-8(х2)
2
+ (24- 16rx
2
)x
2
+ 16rx
2
-16=0,
1-2\'
2 ( 1_ ,, ) ; v- коэффини ент Пуассона. Это хар актер исти-
ческое уравнение получено и з условия совместности систем ы одно
родных уравнений (равенства нулю оnреде.nите.nя системы) относи
тельно постоянных А и В , пол у ч е нной nри удовлетворении гранич
ных условий в напряжениях .
На рис . 6.10 приведены фа зов ы е скорос ти распро стране ния волн
в зависимости от коэффиаиент а П уассо на. Движение частиr1 в вол
нах Рэлея nроисходит в nлоскости, nерпендикулярной к nов е рхно
сти, вдоль которой расnростр ан яются волны, и nаралл ель ной на
nравл е нию распространения. Для гармонических волн Рэлея траек
тория каждой частиаы есть эллиnс. Окончательные формулы для
компон е нт nеремещений имеют вид [3]
242
5
1 -Ср
2. -с.
3-CR
1
rJ-
0,1
IY
~~
1
1
Q5
Рис. б.IU. Фазовые скорости
расnро странения волн в зависи
мости от коэффициента Пуассона
u,~0,8475А(е_,,,,-1,7320е -•·" ) '"'_ ["'(t- :,:... )]}
U2= -А (е -а , х , -0,5773е -а ,х,) SIП [(о) (t- ~)].
(6.23)
Выражения для u 1 и u 2 nоказывают, что большая ось эллипса, кото
рую описывает материальная частица, перпендикулярна к nоверх
ности. Для частиu nри х 1 =0 отношение большей оси эллипса к
меньшей составляет 1,468.
Из этих формул т акже следует, что nоверхностные волны Рэлея
очень быстро угасают с глубиной. На глубине одной длины волны
амплитуда уменьшается до О , 19 от ее значения на поверхности. Вол
ны Рэлея высокой частоты затухают с глубиной более интенсивно,
чем волны низкой частоты . Волны Рэлея обладают большой ампли
тудой и большой энергией. Энергия этих волн больше, чем энергия
пространствеиных nродольной и nоnеречной . Скорость nоверхност
ных волн меньше скорости пространственных волн: cR<cs<cr.
В волнах Рэл е я материальные частиuьr nеремещаются только
в nлоскости расnространения nоверхностньiх волн. Однако наблю
дения за сейсмическими движениями nоверхности земной коры nо
казывают, что в ряде случаев возникают горизонтальные nереме
щения по оси хэ при расnространении nоверхностных волн. А. Ляв
nоказал, что эти волны (волны с. Лява) возникают в неоднородном
у nругом полуnространстве [5].
Важно подчеркнуть, что скорости распространения как поверх
ностных, так и nространственньrх волн н е з ависят от частоты. Ско
рости расnространения волн зависят только от свойств среды, и по
этому форма имnульса воздействия распространяется в среде без
искажения. Указанны е тиnы волн не обладают дисnерсией. Зависи
мость фазовой скоро с ти расnространения продольных, nоперечных
волн и волн Рэл е я в среде от коэффициента Пуассона v показана
на рис. 6.1 О.
243
Ранее уже говорилось, что исследование скорости расnростра
нения уnругих волн в грунтах nроводится на цилиндрических об
разцах, поэтому прежде всего требуется изучить теоретические
аспекты проблемы распространения волн в стержнях конечного
диаметра D. Эта проблема впервые решена Л. Пахгаммером (6].
Уравнения движения заnисываются в цилиндрич еской системе ко
ординат , и рассматрива ется распространение бесконечного ряда
синусоидальных волн.
В стержнях могут распространяться три типа волн: продольные
крутильны е и изгибные волны. Скорость крути.11ьных волн не зави~
си~ от длины волны, если стержень совершает колебания основ
нои формы, т. е. если каждое сечение вращается как единое цело е
около его центра. Практически определено, что возбуждается толь
ко эта форма. Скорость распространения продольных волн зависит
от соотношения длины волны и диаметра стержня . Если длина вол
ны велика по сравнению с диаметром ст е ржня-образца L ~о то
скорость nродольных волн nриближается к скорости с = · lft;-~
где Е
м
"
о\о,.,
о - одуль nродольнои уnругости. Волны же ма.11ой длины
как показа.ТJ д. Банкрофт , расnространяются со скоростью nоверх~
ностных волн Рэлея. Общее решение исследовал Р. м. Дэйвис (7]
вычислив зависимость фазовой и групnовой скоростей от отношени~
D /L для первых трех форм колебаний (рис . 6 . 11) .
Рис . 6.11. Зависимость фазовых
скоростей распространения волн в
стержне от отношения диаметра стерж
ня к длине волны
Ниже nр"иводятся методика и результаты оnределения мгновен
ных модулеи упругости крупнообломочных грунтов ; методика осно
вана на ?пределении скорости распространения импульса vnpvгиx
колебании в образце грунта в условиях сложного стати"чес~ого
напрf!женного состояния (8] .
Для определения упругих характеристик крупнообломочных
грунтов была сделана поnытка применить один из стандартных
ультразвуковых nриборов. В ультразвуковом диаnазоне частот (20-
2000 кГц) можно получить длины волн порядка ОЛ5 м и менее,
244
l•
что обесnечило бы исследование скорости распространения волн
Рэлея, так как в приборе D = 300 мм и отношение D / L было бы
более шести (см. рис . 6.11). Однако предварительными экспери
ментами было установлено, что в зернистом грунте, даже при ра
боте с самыми низкочастотными преобразователями (25 кГц), ам
плитуда принятого сигнала падает ни же порога чувствительности
входного усилителя уже при расстоянии между преобразователя
ми nорядка 12 см. Поэтому было решено исnользовать импульсньи1
метод. Уnругие колебания вызываются в излучателе ударом бойка,
падающего с постоянной высоты.
Анализ. проведенный Р. М. Дэйвисом [7] для кругового цил.инд
ра конечных размеров из упруговязкого материала, подвержен
ного имnульсному воздействию, nоказьшает, что в данную точку
«nрибывает» сначала груnпа очень длинных волн со скор~!ЬJ9 про
дольных упругих кол е баний материа.nа цилиндра с0 = у' Е0 /р . За
бесконечно длинными волнами следуют более коротки е . Таким об
разом, фиксируя датчиком время « nервого вступления», можно
определить скорость истинно упругих колебаний материала. Такой
метод исследования предполагает опр еделени е модуля продольной
упругости. На рис. 6.12 представлена схема прибора трехосного
сжатия ПТС-300 , в котором проводились исс.nедования прочност
ных, деформативных и упругих характеристик материалов упорных
призм .
Для определения акустических характеристик исследуемых ма
териа л ов в рабочей камере прибора размешались излучатель И
идваnриемникаN=2иN=3.
Определения упругих характеристик крупнообломочных материа
лов уnорных призм Рогунекой nлотины совмешались с эксnеримен
том на nриборе ПТС-300 по определению прочностных и деформа
тивных свойств этих материалов. Исследованы два вида грунта
гранитный щебень и галечник, состоящий из галек гранита, песча
ника и известняка nримерно в равных nроnорциях с небольшой
(до 3.5%) примесью галек а.nевролита. В табл. 6.1 nриведсны гра
нулометрические nроuентные составы смесей, из которых формава
лись образцы .
Оnыты nроводились по единой сх е ме: сначала стуnенями nри
кладывалось гидростатическое обжатие IJ 1 = IJ 2 = IJ з , затем, сохра
няя IJ 1 =const. стуnенями повышалась осевая сжимающая нагруз
ка ( liJзl t).
На рис. 6.13 nриведены тиnичные графики измен е ния скорости
продольной волны в зависимости от объемной деформации l:'v образ
цов для тех случаев, когда приложение возрастающего девизтор
ного наnряжения (разности главных наnряжений а 1 - а 3 ) приводит
к разрушению материала. На этих графиках отчетливо выделя ется
неско.nько характерных участков . На участке АВ, соответствую-
245
~ if./././-
и
31
~·
DNZ
c:=J
4:
.4>
DNЗ 4:
c::=::J
~~
1~
dз
Гр унт
NQ смеси
Гравитн ый щебень
1
2
Гал ечник
1
60-
40 мм
70,0
15 .0
34,9
Рис. 6.12. C.\C\Ia расnолuже
ния излучателя кол е баний и дат
чик ов в камере nрибор а П ТСД-
300
Т аблв ца
Содержав н е фракций, %
1 40-
1
20-
11 0-5ммl
20мм 10мм
5мм
14,0
8,0
3,0
5,0
15, 0
20,0
15 ,0
35 ,0
17 ,0
9.9
4,3
33,9
6.1
щем стадии наrружения и у плотнения образ ца , и дет равномерное,
близкое к пропорциона .1 ьному , во з растание скорости с 0 с ростом е~.
От точки В начинается стад ия ра з рушения материала - идет инт ен
сивное разрыхление при постоянном (или почти постоянном) на
пряжении.
·
В есьма примечате.nьно, что на участке ВС скорость с0 почти
не меняется , несмотря на з н ачительное (вплоть до и зменени я з на
ка) изменение объемной деформации. Из этого факта следует вы
вод, что скорос ть прохождения упругих колебаний ч ерез зер ни с тую
среду определяе тся не только объемной массой этой среды , т. е. ко
личеством контакто в между частицами на единицу объема материа-
246
1;
·'
\0
Е
+ 1,2
Рис. 6. 13. Завис11мость
скорости упругих волн в га
лечнике от объемной дефор
мации (а) и траектория ста.
т и ческого нагруж е ния (б).
Галечник ро"=2,33: G,= a, =
=
-0 ,4 МПа
2500
D
1500
500
+ 0,4
Со, М/с а
--
~
А
- 0,4
-1,2.
.'la, но и «качеством » эт их ко нтактов . По д «ка ч еством » контакта
мы понимаем как площадь, по которой со п рикасаются д ве части
ны и которая явля етс я функ ци ей действующего напряжения, так 11
в ел ичину ак уст ического со противле~ия контакт а, которое для дан-
ного мате риа ла также 3авис и т от нагру зки.
Р
Этот выво д п одтверждается также видом зав исимости co =f( E,.)
на участке CD. Здесь ид ет уме ньшени е девиJтор н оrо напряжения,
прекращается разруш е ни е и вновь возр астает пnотность грунт а.
Однако скорост ь продольных в~nн на этом участк е не увеnичив а
е тся, а падает, следуя за изменением напряж ения.
На участке DE, гд е сбра_<.; ывалось гидростатическое давлени е
и вновь уменьш алась объем н ая деформация, гrафик становился
247
почти парал лел ьным начальному участку АВ, где уплотнение шло
на фоне роста напряжений.
Р асс мотрим е ще один график экспериментальной зависимости
со от Е~ (рис . 6.14) . В опыте с гранитным щебнем при малой началь
ной объемной массе «ск елета » объемная деформация образца была
очень велика, но разрушени е достигнуто не было , а опыт прекра
щен в связи с достижением предела возможностей прибора ПТС-300 .
3000
2000
о
-
8
-
12
Рис . 6.14. Зависимость скоро сти уnругих волн от уnлотнения. Грунт
гранитный щебень, pf,k =1 ,79 г/см 3 ; а,=а 2 =2,! МПа
На этом график е выделяются лишь два участка: на этапе нагру
жения скорость упругих волн растет пропорционально росту объем
ной деформации, а при разгрузке объемная деформация почти н е
меняется, тогда как скорость распространения продольной волны
падает почти до начального значения. Здесь, по-видимому, сущест
венную роль играет дробимость материала: щебень слабых грани
тов, отобранный и з зоны выветривания, сильно дробится в процес се
трехосного нагружения. Образующи е ся при этом новы е шерохова
тые контакты между частИilами и микротрещины внутри частиц ,
сжатые внешним давлением, не пр е пятствуют прохождению упру
гих колебаний. По мере уменьшения давления силы упругости рас
крывают микротрещины и ра зд вигают контакты между ча.стицами
на величину микрошероховатостей. Таки е упругие деформании
мало сказываются на общей объемной деформации образца, но
существенно уменьшают скорость распростран е ния колебаний в
среде.
И з менение напряженного состояния грунта влечет за собой на
копл е ние в нем объемных деформаций (уплотнение или ра зу плот
нени е ). Известны эмпирические зависимости, которые позволяют
248
'
~-
•
-
-
•
аненить влияние взаимного сж а тия частшr , их п е рекомпоновку ,
дробление и т. п. на изм е н е ния объемной массы и воданасыщен
ности грунта. Обработкой экспериментальных данных для этапа
воз растания нагрузки бы.nо установлено , что за вис~мости co=f(~: ,. )
для всех иссл едо ванных материалов с достато чнои точностью ап
проксимируют с я линейными уравнения"ми: "
з.
для г алечника с н а ча.nьно и объемнон маесои «скелета» 2,33 г/см .
с0 =450-7,2·104Е,.;
для гранитного 1цебня с начальной объемной массой «с кел ет а»
2,09 г/см3: c0 =380-2 ,78·104Ev ;
3
с начальной объем ной массой «ске.nета» 1.79 г / см : сп= 570-
-1 .46·104Ev [м/с].
Два опыта были пост авле ны с целью определен ия раздельного
влияния объемной массы грунта и действующ его напряжения на
скорость продольных волн. Методика проведения этих опытов отли
чается тем, что в ходе опыта нагружение об ра зца п ериодическ и
сменялось ра з грузкой: на этапе гидростатического нагружения
до нvля, а н а этапе деви аторного нагружения - до гидростатики
и от" макс имального девиатора- т акже до нуля (см. графики
f ,. =f,.(cr) на рис. 6.15). На этих гр аф иках среднее напряжени е в
образце равно а= (а з +2п 1 )/3. Из графиков следует, что для обеих
начальных плотностей зависимость приращ е ния скорости со от при
р а щения ост ат очной объем ной десJ:ормации в иенагруж е нном со
стоянии (а=О) и при мак с имальнон гидростатике (n=nt max ) мож
но изобразить линейной функцией. Характерно , что при а= О обе
аппроксимирующие прямы е имеют довпльно бл"изкие угловые коэф
фициенты и сv ществ е ннп отличаются начальнпи скорпстью, ра зл ич
ной для ра з~ ых плотнпстей. Если подсчитать, какую плотность
приобрел гал ечник с нач ал ьной объемной массой «скелета» p6k =
=2 .20 гjсм ·3 к том у моменту, когда с0 в нем сра~нялось с на~аль
ньiм значением с0 =360 м(с д.nя галечника с ро =2,33 г /см , то
получается p sk = 2,30 г/ см·, что явля ется неплохим совпадением.
В нагруженном состпянии прирост скорости со с уплотнением боль
ше для рыхлого галечника, чем для плотного.
Итак, мы получили, что на этапе нагружения в допредельном
состоянии прирост ско ро ст и продоль ных упругих волн в крупнооб
ломочных грунтах пропорционален и х объемной деформации и не
за висит от траектории и режима нагружения :
с0 =с~"'- Ае~.
(6 .24)
При возр астании нагр узки в грунте дефо рмация со провожда
етс я п ере компоновкой ч астин , растет плотность , а сл едо вательно,
увеличивает с я общ ая пл ощ адь контактов. между частицами SN, ко
торая мпжет быть опрел.елена как произведение среднестатистиче-
249
а
1600 1200 800
б=О
1200 800 400
Go, М/с
1/
J1 rna)l./
б=б1 0"0
Со, м/с
2000
1000
р
Gy,%
1200 Со,м,k
400
о
-0,5
-1
-3
-5
р
Су,%
-1 ,5
-2,5 б, МПа
-1 ,5
-2 ,5
о,МПСI
Рис. 6.!5 . Зависимо сть скорости упругих волн от объемной
деформации eg н средне;о гидростатического давления а для га
лечника при almax=-,, 6 МПа: при p'k=220 1 з ()·
p~k=2,33 г/смз (б)
.
о ' гсма,при
250
J. ""
~;:
:~....
.. 1,
+;.
'<·
1.;
..,
'!' .
.,
...
....
с кой п.тющади единичного контакта S 1 на число контактов N, т. е.
S" = NSr-; =1•
Объемная деформация f.\~ пропорниона.Гiьна относительному изме-
нению суммар н ой пЛощади контактов между частицами: ~:~=
= a~L-/L-n.
Здесь и далее а - коэффициент пропорциональности,
символ ~ обознача ет прираu1ение данной величины при изменении
нагрузки и объемной массы, а ::>нак О указывает на принадлеж
иость данной хар актеристики к исходному, иенагруженному состоя
нию грунта. Таким образом,
f' ,.=a
NЛS, ,+S,~, :~"i
sк
(6.25)
В соответствии с теори е й Г ep tla приращ е ни е п .Г!ощади контакта
двух частиц, сжимаем ых силой F, равно
.
=
111_
(~) 11/ .
~S:-i=lxf-х\N1, m<l.
(6.26)
где G- среднее статическое напряжение, х - функция упругих ха
рактеристик частиц и их геометрических размеров, т - покази
тель степени (в случа е идеально упругих шаровых частиц m = 2/3) .
При разгрузк е, т . .е. при уменьшении н апряжения, происходят
только упругие деформании , не сопровождающиеся п е рекомпонов
кой ча ст ин и изменением количества контактов междv ними. Инач е
гово ря , ~N=O. В этом случае выражение (6.24) с 'учетом (6.25)
и (6.26) приобретает вид
Со=С~ач+В(1G1)т
(6.27)
ИЛИ
.~со=В(1G 1) т,
(6.27а)
где B=AaxN 1 -m/S ~ - коэффициент, зависящий (при прочих рав
ных условиях) от начальной объемной массы .«скеле та». грунта
rr. Поскольку дробная степен ь числа контактов N1
-
m мало зави
сит от p'k, величина В будет уме ньшаться при уве.11и ч ени и началь
ного числа конт актов, т. е . с увеличением нач аль ной объемной
массы «скелета» rf/.
Графики зависимости скоростей у пр уг их волн от напряжения
на этапе разгр узки (рис. 6.1 .6) при уменьшени и как де виаторного,
так и гидростатического напряжения подтверждают уравнение
(6.27). Из графиков следует, что параметр В дейс твит ель но умень
шается с ростом начальной объемной массы «скелета» pf1k , а пока
за т ель степени m, равный угловому коэффиilи е нту прямых, состав
ляет ~ 0,65, что хорошо совпадает с теоретическим значением
m=2/3.
251
J_JlC, м/с
30001
2000
1000
800
600
400
300
200
100
80
60
--о- 2
3
0,1
0,2 0,3 q4 0,5 0,6 0,6 1,0
2,0 З,О 4,0 \G\, МПа
Рис. 6.16. Зависимость приращения скорости упругих волн
от среднего гидростатиqеского напряжения при разгрузке (а
этап уменьш3ения девнатара н:пряжений) :_ 1 - гале<Jнйк, pi\k =
=2, 33,//см ; 2- галеqник, рь =2,20 г/см 3 ; 3- гранитный ще
бень, ро = 1,79 г/см3
Сделаем одно замечание. В оnытах, приведенных на рис. 6.15,
поровая вода, отжатая на первых ступенях нагружения, при раз
грузка~ в грунт не возвращалась, а заменялась воздухом. При
последующем нагружении этот воздух защемлялся в порах, отжи
мались новые порции воды, которые при разгрузках вновь заменя
лись воздухом. Таким образом грунт из двухфазного становился
трехфазным, а такое изменение приводит к существенному сниже
нию скорости распространения упругих волн.
Скорости распространения сейсмических волн в рыхлых отло
жениях, определенные геофизическими методами приведены в
табл. 6.2 [9].
'
Скорости упругих волн в породах заметно изменяются в зависи
мости от минералогического состава, плотности, пористости, зерни
стости и других параметров среды. Для всех горных пород замечено
увеличение скорости упругих волн с ростом объемного веса. Обоб-
252
11)
Грунты
Валунно-галеqниковые и гравийно-щебенис
тые с пес<Jаным заполнителем
при естественной влажности
водоносные
Валунно-галечникавые и гравийно-щебенис-
ты е с г линистым заполнителем
при естественной влажности
водоносные
Песчано-глинистые с галькой, гравием и ва
лунами или со щебнем и камнем
при естественной влажности
водоносные
Галечные промытые
при естественной влажности
водоносные
1,8-2,2
1.95-2,35
1,8-2,2
2,0-2,35
1,8-2,3
2,0--2,4
1,7-2.0
1,9-2,3
Таблица 6.2
0,8-1,0
0,3-0,6
2,2--3,3
0,8-1,3
0,3-0,8
2,3-3,4
0,12-0,75 0,36-0,5
2,2-3,3
0,5-1,1
0,3-0,8
1,8-3,3
щение экспериментальных данных [10] показывает, что в большине
стве случаев характер этой зависимости приближается к линейному.
Существенно зависит величина скорости распространения упру
гих волн от пористости пород. Наибольшие скорости соответствуют
наименьшим значениям пористости. При этом большое значение
име~т степень влажности горных пород. В воданасыщенных поро
дах скорости продольных волн больше, чем в сухих, тогда как ско
рости nоперечных волн почти не зависят от повышения влажности
( сдвигавые колебания в жидкостях не распространяются). Скаль
ные nороды с низкой пористостью можно отнести к категории упру
гих однофазных сред, тогда как сильнопористые связные, а также
зернистые сыпучие породы следует рассматривать как двухфаз
ные, а иногда и многофазные среды. Основными факторами, опре
деляющими акустические свойства зернистой среды, являются пара
метры твердой составляющей, пористость, степень заполнения пор
жидкостью, а также свойства этой жидкости и газов, заполняю
щих поры.
Скорость упругой продольной волны для многофазного грунта
в ненарушенном состоянии может быть вычислена по общей фор
муле
K+4/3G'
р
(6.28)
где К- модуль объемной упругости многофазного грунта, а р
nлотность многофазного грунта. По предложению В. Г. Самарина
[ 11] модуль сжимаемости многофазной среды оnределяется из уело-
253
вия, что сжимаемость такой среды равна сумме сжимаемости каж
дой компоненты, т. е. применительно к грунтовой квазидвухфаз
ной системе:
к= -::-;-----
rn,/K,+m,,;к,. , '
где Ks- модуль объемной сжимаемости минеральных частиц грун
та; К"'д- модуль объемной сжимаемости смеси «вода- воздух»
в порах грунта, а ms и m"'д- удельные их содержания. Модуль
ОбЪеМНОЙ СЖИМаеМОСТИ СМеСИ к,,R ОПредеЛЯеТСЯ формулоЙ (3.37)
из лекции 3. Плотность трехфазного грунта равна р = p
5
m5+pwm",+
+pцmg. Подставляя значения К и р в формулу (6.28), получим
выражение для скорости упругой волны.
На рис. 6.17 показана зависимость скорости распространения
упругой продольной волны многофазного грунта в nенагруженном
состоянии. График ( 1) построен в предположении полного заполне
ния пор грунта водой при различной пористости mp= (1-m 5 ).
График (2) построен для другого предельного случая, когда сте
пень воданасыщенности грунта равна нулю, т. е. все поры заполненьi
3000
2400
1000
о
1
1
1
Рис. 6.17. Схема изменения скорос
ти упругих волн в зависимости от
объ~мной деформации при нагрузке
и разгрузке
1400 "/c(Jvr1)
330% {Jw=O)
воздухом. Можно видеть монотонную зависимость начальной ско
рости упругой продольной волны в грунте от пористости и степени·
заполнения пор водой. Теоретический анализ распространения упру
гих волн в зернистой среде показывает, что скорость продольной
волны складывается из двух составляющих. Первая из них обуслов
лена наличием объемной упругости заполнителя пор, и значение ее
тем выше, чем больше степень насыщения. Вторая составляющая
определяется наличием и свойствами упругости контакта между
254
111
·i
соприкасаю1цимися зернами и возрастает с увеличением давления
на среду.
Рассмотрим теперь схему изменения скорости продольных волн
в крупнообломочном грунте в зависимости от напряженного состоя
ния и объемной деформации, как она представляется на основе
обобщения полученного экспериментального материала. При нагру
жении имеет место зависимость скорости с 0 от Е,., описываемой ЛИ'
нией АВ (рис. 6.18), причем зависимость эта сохраняется для всех
траекторий нагружения (примером может служить график на
рис. 6.13, построенный по всем ступеням для четырех значений гид
ростатического обжатия).
сн•ч
~0------------------------------------ё~Р
~
Рис. 6.18. Скорость продольной волны в иенагруженном грун
те в зависимости от пористости и степени воданасыщения
В том случае, если в точке М начнется разгрузка грунта, изме
нение скорости с 0 пойдет не по траектории МО, а по линии MN.
Объяснение этому, было дано ранее. В nенагруженном состоянии
фазовая скорость с 0 в грунте (линия OD) зависит только от его плот
ности psk. По- вид и м ому, (график 6.15 это подтверждает), линия
.
k
OD «разгрузочных» скоростей совпадает с зависимостью с,1 от р 5
для nенагруженных образцов, уложенных с различной начальной
плотностью.
При повторном нагружении материала изменение скорости пойдет
по траектории NMM', а при новой разгрузке- из точки М' к
точке N'. Угол
наклона траекторий разгрузки MN и M'N' к оси
абсцисс определяе~ся упруговязкими свойствами контактов частиц
материала и в некоторых случаях (например, сильно дробящийся
гранит) может достигать 90°.
255
/
В заключение укажем, что для определения двух упругих кон
стант измерение скорости только продольной волны является недо
статочным. Необходимо по изложенному выше принципу развить
методы определения скорости поперечных волн, возбуждаемых им
пульсом. Скорость находится по фиксации времени «вступления»
на приемнам датчике. Подбор амплитудно-частотных характеристик
импульса, под действием которого возбуждаются" колебания в об
разце, должен исходить из следующих требовании: а) импульс не
должен вызывать необратимых деформаций; б) частота основного
тона колебаний должна быть такова, чтобы длина волны упругих
колебаний была значительно больше максимального размера час
тиц крупнообломочных грунтов.
Помимо описанного выше импульсного метода определения ха
рактеристик упругих свойств несвязных грунтов разработаны и при
меняются резонансные методы. Суть этих методов состоит в приве
дении грунтовых образцов в состояние резонанса и измерении соб
ственных частот крутильных или продольных вынужденных коле
баний. Исследования, проведеиные в этом направлении, отражены
в [12, 13]. В работах [14, 15] обобщен опыт определения модуля
Юнга (Е") и модуля сдвига (Ge) резонансным методом.
Связные грунты типа суглинков и глин обладают з~ачительным
затуханием, в силу чего истинные значения модулеи упругости
трудно определять, пользуясь указанными выше методами. Как уже
отмечалось, определение в этом случае модулей упругости связано
с возбуждением в грунтах высокочастотных колебаний.
6.5. Методы определения параметров затухания
Простой и наиболее полно отражающей свойства запаздывания
деформаций и релаксации напряжений является упруговязкая мо
дель, в соответствии с которой суммарная скорость деформаций
складывается из скорости упругих и скорости запаздывающих де
формаций. Общие соотношения могут быть записаны в форме
"eu
ev
1[Т·+]·}
Тreteii + e;i = 2G':x,
retSij • Sij ,
т"ev+ ev
1[Т
+]
ref(v)Ev
Ev=
К';" rel(v)G (J •
(6.29)
Здесь e;i и s;i - компоненты девиатора соответственно тензора де
формаций и напряжений;
Gь _ Т,_,
1
.
К8 _Tu~t(vJ>1
----->
---
'
G~
Tret
,
К~
Trei(и)
256
где Tret и Tret(v)- периоды релаксации соответственно девиатора
напряжений и средних напряжений; G:'x, и К::О; Gб и Кь - статиче
ские и динамические модули упругости соответственно.
В определяющие уравнения (6.29), отражающие упруговязкие
свойства грунта, входят шесть параметров: два статических (дли
тельных) модуля упругости G:'x, и К:'ю; два характерных периода
Tret и Tret, определяющие реологические свойства при сдвиге; два
периода Tret(и) и Tret(v), определяющие реологические свойства объем
ного сжатия. Пусть из статических разгрузок нам известны значе
ния модулей G:'x, и К~. Для определения Tret и Tret, Tret(vJ и TretCиJ
можно использовать следующие методики ..
6.5 .1. Метод гармонических колебаний
На образец грунта, находящийся в условиях статического слож
ного напряженного состояния, воздействует пульсация, характе
ризующаяся тем, что дополнительные (к статическим) деформации
s1N; e2N и e3N изменяются по гармоническому закону с постоянными
заданными амплитудами:
s1N= Е1д. siп wt; ~N = Е2д. siп wt; s3N=Езд. sin wt.
Амплитуды поддерживаются такими, что вызывают в грунте лишь
обратимые деформации. Рассеянная за цикл энергия формоизмене
ния и объемного деформирования выражается, как известно [2,
6], ЗрВИСИМОСТЯМИ:
2л/w
2л/w
/1W;= 1 ~ a;ё;Ndt 1; 11Wv= 1 ~ aЁ,,Ndt 1.
(6.30)
о
о
Нетрудно показать, что если пренебречь массой колеблющегося
образца, то в соответствии с уравнениями состояния (6.29) рас
сеянная за цикл энергия выражается в виде
(т'"' )
T"tW ~~1
11W; = ле& G:'x, -----: -=-: -- -" -- --
1+ т;еf w
2
(6.31)
Рассеиваемая за цикл энергия, как это следует из (6.31), обраща
('ТСЯ в нуль при нулевом и бесконечно большом значениях (Tret w)
11 (Т ret(v) w) соответственно. Максимальная величина рассеиваемой
11tРргии наблюдается при частотах
(t) = 1/Т rel И (t) = 1/Т rel(v)·
( 6.32)
~~ \:11\ .NV 51
257
Проведение испытаний при плавно изменяющейся частоте с фикса
цией гистерезисных петель может служить для определения пара
метров T rel и T rel(и) в соотве тс твии с (6.32). Значения же максималь
ной диссипируемой энергии
~WF'"~ie,~G~( ~:: - 1);1
~W~пах= ...:.:._
.2 Ке(TmrvJ -l).
J
2EvAоо Т
)
Гf'/(t• )
(6.31а)
служат для определения оставшихся неизвестных Tret и Tret (v), а
тем самым и мгновенных модулей Gь = G~ Тгеt/Т,", и Ко= К~ Tгet(иJI
/ T re!(v)· Примечательным является тот факт, что, рассматривая ко
леблющийся образец как инерционную систему с бесконечным чис
лом степеней свободы, мы nридем к тому же результату (6.31).
Как показано в работе А. Р. Ржаницына [2], при колебаниях с за
данной постоянной амnлитудой леремещения выраж е ние для гисте
резисных лотерь не з ависит от массы и совпадает с формулой
типа (6 .31). Отсюда следует способ определения упруговязких ха
рактеристик грунта, когда при установившихся гармонических коле
баниях образца с заданной амплитудой записываются ги стерезис
ные потери. Фиксируется частота, при которой обнаруживается
максимальное рассеяние. На основании формул (6.32) и (6.31 а)
определяются искомые реологические параметры.
6.5.2 . Методы распространения волн
Наиболее прямой метод определения внутреннего трения со
стоит в изучении отнощения ~ W ;w e, где ~W- энергия, рассеянная
образцом в течение цикла напряжений , а we- упругая энергия,
накопленная образцом в момент достижения наибольшей дефор
мации.
Это отношение носит на з вание специфического рассеяния. Его
значение обычно зависит от амплитуды и скорости цикла, а часто
также от предшествующей истории нагружения образца. В преды
дущем пункте указывался возможный nуть определения сnецифи
ческого рассеяния, а следовательно, и нахождения реологических
улруговя з ких характеристик грунта .
Другой мето д состоит в измерении затухания волн наnряжения
во время их ра с nространения в грунте. Найдено, что для nлоской
синусоидальной волны малой амnлитуды затухание следует эксnо
ненциальному закону, так что если начальная амnлитуда напряже
ния ао, то после прохождения волной расстояния х амnлитуда
становится равной аое -· ах Здесь а- Постоянная затухания, явля
ющаяся мерой внутренн е го трения грунта . Коэффициент затухания
258
)
1
.
...
а характеризующий уменьшение амnлитуды колебаний с расстоя
н~ем от источника, можно определить эксперим~нтально, замерив
амплитуды давлений или амплитуды колебании в двух точках,
отстоящих друг от друга н;J. расстоянии ~х = х 2- х ,. При этом коэф
фициент а будет равен ·
а= lln(u д (x2 )/uд(x,)) 1.
(х 2 -х,)
На рис. 6.19, а представлены экспериментальные зависимости
-с р%
v,
01
70
50
60
f"
"
•
!"'о!..
't
tJ..
........
~
80
1
40
6
0,8
р
1,6 -Ev,%
Рис. 6.19. Зависимость коэффициента затухания и объемной деформации
от гидростатического давления (а); зависимость коэффи~rента зат~ан~
от объемной деформации (б). Горная масса гранита р =а, =а 2 -ао
=
-0 ,4 МПа
объемной деформации е~ и коэффициента затухания а от статиче
ского осевого напряжения (получены Б. Д . Чумичевым в опыте с
горной массой гранита), а на рис. 6.19, б они даны во взаимозави
симости. На рис. 6.20 приведены типичные записи амплитудно-час-
9*
д,
At
Рис . 6.20 . Тиnичный вид амnлитудно-частот
ных характеристик регистрируемых сигналов
259
тотных характеристик сигналов, регистрируемых датчиками .N'!! 1
и2.
Свяжем постоянную затухания а со специфическим рассеянием
[6] . Для этого рассмотрим изменение интенсивности волн, т. е.
изменение количества энергии, проходящей в единицу времени че
рез единицу площади , нормальной к направлению распространения.
Значение интенсивности волны выражается череЗ давление и ско
рость на фронте и равно 1= au.
Легко показать, что напряжение на фронте упругой волны свя
зано линейной з ависимостью со скоростью частиц :
а= Psk cu.
Коэффициент пропорциональности p5 kc (где с - скорость распро
странения волны) носит название характеристич ес кого импеданса
или акустического сопротивления.
Вывод этого соотношения следует из решения Даламбера :
.
дu
дu
u=Ф(ct+x) и дх =Ф'(сt+х); дt =сФ'(сt+х),
дu дu
дu /Е
а·
откуда дt =с~· и далее, поскольку ~ =а , получаем с Е = u
или a=pskcu . Учитывая последнее соотношение, интенсивность вол
ны запишем
I= а2/pskc.
Если рассмотреть элемент грунта длиной бх с единичным попереч
ным сечением, нормальным к волне, то энергия, получаемая в еди
абе - :tах
ницу времени , равна
, а энергия , отданная за единицу вре-
р·'"с
а~ ех р [ -2а(х+6х)]
мени, равна
•
.
Таким образом, рассеянная энергия
р'с
за единицу времени будет
2"
2
aoaux
--,---- ехр(-2ах),
р'"с
~ з а цикл при частоте w/2л
42
лw __ лаоа
(2)
n
ехр- ах
.
fY'•cw
Полное значение энергии при гармонических колебаниях опре
деляется выражением
260
!
J
1
1
и поэтому в элементе среды длиной бх накопленная энергия равна
W=
ехр( -2ах),
откуда
w
ft..W
а = 4лс ----v:;- ИЛ И
1 ft..W
а
4л ----v:;- =
-; ;;- С'
(6.33)
так что гrостоянная затухания а прямо свя з ывается с величиной спе
цифического рассеяниЯ. Можно легко показать, что «сnецифическое
рассеяние» (иногда i:\W /W называют коэффициентом поглощения ')1)
равно удвоенному значению декремента затухания б, равного
натуральному логарифму отношения последовательных амплитуд
колебаний
б1А,
=
n/\,+1.
Это действительно так, поскольку коэффициент ')1 можно записать
в форме
(А,
)
А, 2~:
;:::::;2 ---1 ;:::::;2ln--- u.
A,+ l
А, *-1
Измеряя постоянную затухания а , скорость волны с и длину волны
L = 2л (с/ w), можем вычислить специфическое рассеяние, а следо
вател ьно, и параметры упруговязких свойств грунта .
Рассмотрим более точно решение задачи о распространении
проходящей плоской продольной волны в бесконечном стержне из
упруговязкоrо материала.
Уравнение состояния грунта в условиях одноосного напряжен
ного состояния записывается, исходя из (6.29), в виде
(J +Т retG =Е 00 (Е+ ТretЁ) ·
Волновое уравнение колебаний будет при этом иметь вид
skд2u-~
р fit2- дх
ИЛИ
(6.34)
Уравнение (6.34) не удовлетворяется функцией типа U=UлexpX
х [i ( wt- kx)], если k- не комплексная величина. Поэтому реше
нием уравнения (6.34) является функция
u(x, t) =Re(uдexp[i(wt- (ko+ai)x)]\,
(6.35)
261
где вол новой вектор k = k0 +аi равен:
koc~ =
_1_[(n2+p2 у/2 +
w
-
,j'i
I+P 2
(6.36)
acg =
_1_[( n2+P2)1/2_
w
.j2
1+Р2
(6.37)
где р=юТгеt; с(\=(Ео/рsk) 1 1 2 -скорость упругой волны; n=
=Tret/Trel·
Скорость со распространения волн вдоль стержня определяется
как со= ю/kо, и из уравнения (6.36) следует, что для малых час
тот, по сравнению с 1/Тгеt, она стремится к скорости, определяе
мой длительным модулем упругости C 00 -+ .JE=/psk (если обратиться
к механической модели рис . 6 .21, а, то в этом случае скорость рас
пространения соответствует поведению двух пружин, соединенных
1
1
1)
последовательно, с модулем ~ = Ео + ЕФ . При высоких час-
тотах фазовая скорость стремится к величине c0 -+.jE0 /p5
k,т.е.
при высоких частотах фохтовская пружина бездействует и ско
рость распространения зависит лишь от модуля дополнительной
пружины.
Де.мпфирование волны определяется величиной а и возрастает
с увеличением частоты. Специфическое рассеяние, равное....!.... /j.W
4:rt w
б n:Ь=z · Ео•Еер
С/с:
Еоо 1
Ео
0,9
0,8
Е"'
'l
0,7
0,01
0,1
10
100
р =Co.>Tret
Рис . 6.21 . Скорость расnространения волны и сnецифическое рассеяние
в уnруrовязкой среде
262
= .5!:.- сЪ,
как видно из (6.37), стремится к нулю как _при очень ма-
w
лых , так и при очень больших значениях юТret· На рис. 6.21 , б
nриведены теоретиче с кие зависимости скорости распространения
уnруговязкой волны и сnецифического рассеяния в зависимости от
параметра р=юТ ,, 1 при частном значении n =const.
Из рис. 6.21, б можно видеть, что демпфирование максимально
nри юТ,е1 = 1,18 и что nри частотах выше или ниже этого значе
ния оно быстро убывает.
Интересно заметить, что тенденции дисперсии (зависимости ско
рости распространения волны от частоты или длины), связанные
с проявлением упруговя з ких свойств и с чисто геометрическими
факторами, при распространении волны в стержне противоnоложны
(6] . Действительно, высокочастотные волны расnространяются бы
стрее низкочастотных в уnруговязком теле, тогда как в стержне,
у которого диаметр сравним с длин·:JЙ волны, низкочастотные волны
(большая длина волны) распространяются быстрее высокочастот
ных (см. рис. 6.11). В действительности оба эффекта имеют место
и nоэтому зависимость скорости распространения от длины волны
весьма сложная.
6.5.3. Имnульсный метод определения
параметров распространения волн
Уже говорилось , что использование ультразв у кового диапазона
част9т при определении параметров распространения уnругих волн
в крупнообломочных грунтах практически трудно осуществить вслед
стви е сильного затухания на фракциях грунта размером > 5 мм .
Исследование параметров упруговязког.о поведения грунта с по
мощью распространения продольных волн в обра з це осуществля:
ется импульсным методом . Для того чтобы амплитуд~ отраженнон
волны от закрепленного конца образца считать малои, предусмат
ривается достаточно мягкая резиновая прокладка. Возбужденные
импульсом продольные волны в образце (обра з ец стараются вы
полнить в виде грунтовой колонны с отношением длины образца к
диаметру > 20) не пр едставляют собой монохроматическую волну.
Поэтому , для того чтобы можно было восполь з оваться простыми
приведеиными решениями , н еобходимо представить их как бесконеч-
ный набор гармонич е ских колебаний.
•
•
Рассмотрим задачу о распространении плоскои упругон волны
в грунтовой колонне, з акрепленной на одном из торцов. Влияние!\!
радиальных деформаций пренебрегаем. В этом случае задача сво
дится к решению уравнения (6.34) для случая установившихся
гармонических колебаний (так называемая задача «без начальных
условий»). Граничные условия ставятся следующим образом:
263
ulx~н=O; ui x=o =Re(uдexp(iwt)j.
Реш е ние по-прежнему ищется в форме
u(x, t) =Re( u ,(x )exp(iwt)j.
(6.38)
После необходимых преобразований находим следующую оконча
тельную формулу для продольных установившихся колебательных
движений:
u(x, t) =Uд sin [ko(H-x) J ch(ax) sin(koH) cos wt-sh(ax) cos(knH) sin wt
ch
2
(ax )sin
2
(knH) +sh2 (ax) cos 2 (k01i)
(6.39)
где k=ko +ia равен:
k2= p-'"w"+ivs"T"tш"
E~ (l+iT;,t W)
(6.40)
Приэтома=B2/2ko и ko = -v~~ +-Jвт~8~ , а В1и В2 соответ
ственно равны
P5kW
2
( 1+T,_tT,.tw2 )
Е~ (1+T~e~w2)
p'kw"(T"t - T "t )
Е~(1 +T~etW2)
(6.40а)
Для анализа, вообще говоря, более предпочтительным явля
ется решение уравнения (6.34) в виде стоячих волн, для которых
перемещение u (х, t) выражается произведением
u(x , t) =Ux(x)u,(t).
(6.41 )
,
В [2] это решение представленq_ в форме ux(x) =sin(Лx+cp),
где Л и <р- постоянные, а u1(t) =А1е-а'+В siп('yt)e-~'+
+ D cos (yt) е -~ 1 • Здесь а - действительный корень;
-
~иу-
действительная и мнимая части комплексных корней характеристи
ческого уранения.
(6.42)
В случае трех действительных корней характеристического урав
нения имеем апериодическое движение. Каждой форме колебаний
Л= cons t отвечает колебани е системы с одной степенью свободы и
массой М=p sk/Л
2
.
Высшие формы колебаний эквивалентны мень
шим массам системы с одной степенью свободы. А. Р. Ржаницын
по~азывает, что при колебаниях с заданной постоянной амплиту
дои перемещения выражение для гистерезисных потерь не зависит
от массы и совпадает с формулами типа (6.31), выведенными для
безынерционной упруговязкой системы.
264
1
t1
Для определения скорости распространения упруговязкой вол
ны и параметров ее затухания в грунтовой колонне можно исполь
зова ть следующий прием . Возбуждая импульсом у пр у говязкую вол
ну в грунте, измеряем колебания с помощью двух датчиков, рас
положенных на расстоянии х 1 и Х2 от источника. Анализ этих коле
баний (откликов) позволяет определить все необходимые парамет
ры упруговязкого пов едения грунта.
Пусть в грунтовой колонне распространя етс я монохроматиче-
ская плоская продольная волна
u(x , t) =U де - ах cos(wt-kox).
(6.43)
В точке с координатами х 1 и х 2 датчики з афиксируют соответ
ственно колебания
u(x 1
, t) =Uде- 'н. cos(wt-k0 x1) и u(x 2, t) =Uде - ах,. cos(wt -kox2);
U111ax (Xi) =U.~e-'""' И Umax(XJ) =Uде-ах,_
Тогда по измерениям максимальных значений амплитуд в 1'.
Х1и
х 2 будем иметь
[
. ln(u'"'"(xJ)/u"''"(x2) J
а=
,
(6.44)
х2~х1
а по измерениям смещений фаз <p1=kox1 и cp2=kox2 найдем
(6.45)
Теперь легко рассмотреть немонохрома~ический пакет волн . На
рис. 6'.22, а показаны за писи перемещении в т . Х1 и Х 2. Представим
отклик в т. х1 и х2 в виде разложения в ряд Фурье:
u(x2, t) =е-ах, u(x2, t),
где
А'
ос
u(х2, t)2= т+,.~~ А~. cos w,.t +
2
B~?)n w_, t; г= 1, 2. (6.46)
фе Ао=~- ~ u(x2 , t)dt; А ~ (w,)=т- ~ u(x 2,t)cosw,tdt;
~~
-Т~
Т/2
В~·(w) = ~ ~ u(х2,t) sin w,.tdt;
-т/2
265
(6.46а)
u
u (х, ,t)
~.AW_о{Со
41Г w -ш-
U (X:~.,t)
ссо:: (J.)
Со Ко (W)
а
t
5
в
w
Рис. 6.22. Импульсный метод определения параметров распростра
нения волн: отклик в т. х 1 и х 2 (а); спектр амплитуд отклика в т. х 1
и Xz (б); зависимость специфического рассеяния и скорости распро
странения волн от частоты (в)
266
\,
ji
li
где ffiv=vffi, (v= 1, 2, 3, ... ); ffi 1 =2л/Т- основная частота;
R~=-YA~ +В~'- спектр амплитуд,
в~.
tg ер~.= А~ - спектр фаз.
(J).
На рис. 6.22, б показаны зависимости R~=
1
и R~= 2 от частоты
Параметр затухания а вычисляется по формуле (6.44):
и
(6.47)
Найденные функции k0 ( ffiv) и а ( ffiv) сопоставлЯЮl'СЯ с теоретиче
скими, что позволяет определить необходимые реологические пара
"'етры. Если период процесса становится достаточно большим, то
суммирование следует заменить интегрированием и перейти к Фурье
анализу.
Пусть при возбужд~нии колебаний датчик .N'!! 1 зафиксировал
колебания ur=l=e-ax,u(x,, t), а датчик .N'!! 2- колебания ur=
2
=
=е-'щu (х 2 , t). Преобразования Фурье этих функций будут
5r='(iffi)=-
1- \ u(/) 1eiwldt
-$Л )Х)
и
Зная расстояние между датчиками, можно определить составляю
щие волнового вектора ko и а по простым формулам:
l tn (lu'~
1
1/lu'~'l) 1· .
1
a(ffi) =
х,-х 1
ko(ffi) = 1 arg i1'::=:~g п~~~ 1,
где, как известно, lul =-{(Reli) 2 + (l,пG) 2 и
-'='
t!,nU
arg u = arc g------=.
Reu
(6.48)
По найденным значениям а ( (J)) и ko ( (J)) определяются специфи-
ческое рассеяние 4
1
л11
::="~'
и фазовая скорость ;о = cok:(w)
1
/z 9*
267
На рис. 6.22, в показаны типичные графики, сравнение которых
с теоретическими позволяет определить необходимые параметры
упруговязкости грунта.
Изложенные в лекции методы не претендуют на полноту и де
тальность . Многие вопросы еще требуют значительных методиче
ских ра з работок.
ЛИТЕРАТУРА
1. 3 ар е цк и й Ю. К. Теория консолидации грунтов. М.: Н аука, 1967 , с. 270.
2. Ржа н и u ы н А. Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат. 1968. с. 416.
3. НовацкийВ. В.Теорияупругости. М.: Мир, 1975.с.872.
4. О h t а .У._. C_ot о N. Empiгical Sheaг Wawe Velocity Equatioпs iп Teгms of
ChaгacteгJs!JC So1l lndexes. -
Eaгthquake Eng. and StгLJct. Dyпamics 6 164-
187, 1978 .
'
'
5. Л я в А . Математическая теория уnругости. M. - Jl .: ОНТИ - НКТП , 1935.
б. К оль с кий Г. В. Волны напряжения в твердых телах. М.: Иностранная ли
тература , 1955, с. 192.
7. Д эй в и с Р. М. Волны напряжений в твердых телах. - В кн.: Механика. М.:
Ин остранная литература, 1961, с. 104.
8. 3арецкий Ю. К., Чумичев Б. Д. Скорости распространения упругих про
до~ьных волн в к•рупнообломочных грунтах при их деформиров ан и и под нагруз
кои.- Инж ене рная геология, 1980, N2 2. с. 32 - 41 .
9. Jl о м т а д з е В. Д. Инженерн ая г еология. Инженерная петрология. Л.: Недра,
1984, с. 38 1.
10. Рж е вский В. В., Я м щи к о в В. С. Акустические методы исследования и кон
троля горных пород в массиве. М.: Н ау к а, 1973, с. 305.
11. Самарин В .•Г. Определение скорости распространения уnругой волны ежа.
тия в аэрированнон жидкости при изучении удара волн о гидротехнические соору
жения.- В кв.: Тр. ин-та/Водгео. М., 1972, вып. 36, с. 211 - 222.
12. R i с hа г t F. Е. Some Effect of Dynamic Soil Pгopeгties оп Soii-StгLJctlJГe
lпteгaction .-Pгoc. ASCE, 101, GTI2, 11 97- 1240, 1978.
13. Sееd Н. В., 1dгiss 1. М. Soil ModLJii апd Dampiпa Factors fог Dyпamic
Response Analyses. -
Report to SW -- AJA, 1970.
"
14 . Руковод с тво по определению хар а ктеристик упругих и пог ло щ аю щих свойств
грунтов м е тодом продольных и крутильных колебаний обра з цов. Л . : Энергия,
1975, с. 11.
15. К ра с н и к о в Н. Д. Динамические свойства грунтов и методы их оnределения.
М.: Эн е ргия, 1970. с. 239.
ЛЕКЦИЯ 7
ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
ПЛАСТИЧНОСТИ ГРУНТОВ
С развитием численных методов и вычислительной техники по
явилась возможность решать инженерные проблемы механики грун
тов, используя закономерности, устанавливаемые эксперименталь-
268
'•'
1
'-
•
но при испытаниях грунтовых материалов в условиях сложного
напряженного состояния . В настоящее время все большее число
исс лед ователей разрабатывает методы расчета, учитывающие реаль
ные свойства грунтов . Как было отмечено ранее, при реальной
работе сооружений деформирование грунта сопровождается в основ
ном накоплением пластических деформаций, нелинейно зависящих
от уровня действующих напряжений. Поэтому прежде всего при
формулировке уравнений состояния следует отразить существенно
неЛJшейные связи между напряжениями и деформациями.
7.1. Общие соотношения деформационной теории
Суммарная деформация грунта подразделяется на восстанавли
вающуюся и не восстанавливающуюся при ра з грузке части :
tij= I'Zj+Бfj-
(7.1)
Здесь Eli - компоненты тензора упругих (восстанавливающихся)
деформаций, Efi - компоненты тензора пластических (невосстанав
ливающихся) деформаций . Те и другие могут развиваться при по
стоянном во времени уровне воздействия. Тогда они носят соот
ветственно название упруговязких (е~) и вязкопластических (вif)
деформаций:
l'ii = вi{+E[f.
(7.la)
Преж де всего рассмотрим грунты, для которых запаздыванием де
фор1'1аций можно пренебречь, т. е. будем рассматривать упруго
пластическое поведение грунта.
Зависимость между упругими деформациями и напряжениями
устанавливается законом Гука:
(7.2)
Здесь Hlikt- в общем случае тензор четвертого ранга. Величины
H Tjkt играют роль механических материальных констант. Для изо
тропного грунта, характеризуемого двумя упругими константами
Ge и Ке. закон Гука за пишется так:
Ее__
-
1
-(а-~ба)+L а
ч-
2
G,
,,
3'1
'1
9К"
,,,
(7.2а)
Ge
(J;
ке
(J
u
где =-е-- модуль сдвига; =--;- - упругни модуль объем-
2е;
Eu
1
н ого сжатия (а= З б;ia ii - среднее гидростатическое давление;
Е~ = б;iEli- объемная деформация).
Пластические деформации свяжем с текущим напряженным со
стоянием голономными соотношениями (см . л екц ию 1). Теория
269
пластичности, в основе которой лежат голономные связи между
компонентами тензора пластических деформаций и напряжений,
получила название деформационной теории пластичности .
В соответствии с этой теорией в процессе нагрузки деформации
складываются из упругих деформаций, подчиняющихся закону Гу
ка, и пластических, связанных конечными соотношениями с теку
щим напряженным состоянием, тогда как в процессе разгрузки
связь между напряжениями и деформациями определяется исключи
тельно законом Гука.
Рассмотрим общую форму конечных соотношений между компо
нентами тензора пластической деформации и компонентами тен
зора напряжениИ. Тензорная <:вязь называется изотропной, если
все дополнительные параметры , от которых она зависит, являются
скалярами. Такая связь соответствует среде, сохраняющей свойства
изотропии nри деформации. Пусть соотношение между напряже
ниями и деформациями записывается в виде функциональной связи
между тензорами [a,i J и (е~ ] : [efi] = f [a;i].
Разлагая функцию f в ряд по степеням тензора [a1iJ, эту связь
можно выразить в виде матричного* nолинома:
efi=Ao(l] +А1 (a,iJ +A2(a;i] 2
+ ... +Ak[aii]k,
где [ l] -единичная матрица размером 3 Х 3; A k- некоторые
функции инвариантов тензора** напряжений Ak(la, IIa, IIIa);
[a;iJ k- k-я степень тензора напряжений***.
* Матрицей называется система т Х n элементов (чисел или иных величин)
а;•(i=1,2, ..., т;k=1,2,
.. . , n), расnоложенных в виде nрямоугольной схемы
с т строками и n столбцами. При т= n матрица называется квадратной. Матри
ца-столбец называется матрицей-вектором . С матрицами одинаковых размеров nро
изводят вычисления, как с алгебраиче ск ими объектами.
** Тензор n-го ранга- это величина, оnределяемая в каждой с и с т е ме декар
товых координат совокуnностью 3" чи сел (или функций) Аш
", которые nри изм е
нении с и стемы координат nреобразуются по зако ну
*** Высшие стеnени тензоров образуются по формулам
(Т;•] 2 =Т;тТт•:
[Т;•]3
= Т;тТ",,т,•.
Вектор-тен зор 1-го ранга характери зуетс я тремя числами. Три чи сла или функции,
Qrределяющие вектор, меняются nри изменении системы координат, но по такому
закону, что в любой из координат с истем они определяют один и тот же вектор
объе кт Af= а.;.,,А. (здесь а.;·• - косину с угла между осями старой и новой систем
координат i' и k).
270
Тензор при умножении на вектор изменяет длину его и повора
чивает В;= T 1kAk. Если существуют для тензора T;k векторы Ak,
которые не поворачиваются, а только изменяют свою длину, то та
кие векторы называются собственными (главными) :
'A.A;=TtkAk.
Предыдущее равенство может быть переписано в виде
(T;k-б;k'A.)Ak=O.
Равенство нулю определителя
TII-'A.
=0
представляет собой характерическое уравнение для определения
собственных чисел Л.
Инвариантами тензора называются такие величины, которые не
изменяЮтся при любых преобразованиях координат. Инварианты
симметричного тензЬра второго ранга определяются как коэффи
циенты характеристического матричного уравнения
[T;k-б;k'A.] =Л :3 - IтЛ
2
+IIтЛ-IIIт=0.
Корни этого уравнения Л 1 , Л2, Л3 - собственные значения матриц
тензора. Коэффициенты-инварианты выражаются через собствен
ные значения:
Iт =Л1 +А2+А з;
Ilт = А1А2 + Л2Лз + АзА1;
IIIт = Л1ЛzЛз.
Из алгебры матриц известна теорема Кейли - Гамильтона: каж
дая матрица удовлетворяет тождественно своему собственному ха
рактеристическому уравнению. Применительно к тензору второго
ранга - тензору напряжений - это означает, что
[a;iJ 3 =б;i lii" (lj -IIo (a;iJ +I" [a;i ] 2
.
Используя теорему Кейли - Гамильтона, можно установить ре
куррентные соотношения для степеней тензора напряжений выше
третьей и записать основную связь между компонентами тензора
напряжений и деформаций окончательно в виде
(7.3)
Здесь Аб; Aj и А2 - некоторые функции инвариантов тензора
напряжений; например, их можно представить в виде функции пер
вого инварианта тензора напряжений и инвариантов девиатора
напряжений:
271
10 = O;jGii; 11~= s,,s22+ S22Sзз+ s,,Sзэ; 1II~= s,,S22S:1з;
1
Si j = Gij- 3 OijGij·
Пренебрегая членами второго порядка, получим квазилинейную
аппроксимацию общего выражения (7.3). Строго говоря, квазили
нейная аппро"ксимация имеет место при дополнительном предполо
жении о подобии и коаксиальности девнаторов напряжений и плас
тических деформаций (равенство параметров Ладе f.-tп = f.1 , ):
Efj=Aooii +Aiaii·
(7.4)
Обычно тензор напряжений и деформаций можно пр едстав.ить
в виде суммы соответствующих шаровой и девизторной частей.
Тогда (7.4) можно переписать в форме
Е~-+Oiji:O~'i= Ai (<J;j - +O;jGij ) ;
(7.5)
где
д,_А)(I", 11~. III~) и Aи=AI+3Aofo,, .
Функции А и A v определяются экспериментально по диаграммам
объемного сжатия и формоизменения. Действительно, и з представ
ления (7 .5) следует, что
р
1
р
1
А=-е-'-=--· А . =!.:'_=--
'
2а,
2G"'" а,,
3К"
и
3А'о- ( _1-
-
_l-)о.
-
3КР
2G"
"'
так что квазилинейная аппроксимацИя тензорной связи между ком
понентами напряжений и деформаций при нагружении может быть
представлена в виде
Ер-__!_ fJ Ер- -1-(о -
__!_0(J).
ч
3'1'1-2GPlJ
3'1
'1
•
Ер· = _l_
-(J·· =
_1_(J
."
3Кл
"
К".
(7.5а)
Соотношения (7.5а) носят название соотношений Генки [1].
В случае несоосности девнаторов тензоров напряжений и дефор
м<щий, определяемой разностью углов между главными осями соот
Вt'тсгвующих тензоров w=cpcr -cp, (где cpcr=arctg f.-tп/-/3 и ер,=
с_ :1 гс1~ р. , / Jз), соотношения между компонентами напряжений и
272
.
,.
!
,~.
деформаций уже не имеют форму квазилинейных соотношений, а
записываются в форме, например, данной В. В . Новожиловым [2]:
o1i = 2GP[cos(зср, -ш) е~- 2~3 siпш(e~i,e~i- -
6
1
Oiief
2
)
3
.
1
]+
С/
cos <р,·
+ КР5:.,.1
·" .1
,)1.·•
еР- El' -
__!_ s;;. ••еР.
\)с
IJ- if
3 tJ11Ч1·
В общем случае работа напряжений на пластических деформа~
циях зависит от пути наrружения. Однако в том случае, когда су
ществует потенциал деформаций, работа не зависит от пути наrру
жения. Соотношения (7.3) допускают существование потенциала
де формаций, т . е.
(7 .6)
Необходимые и достаточные условия существования потен
циала U можно получить, представив (7.6) в виде
РдU
дU+дU.
Eij= ~ fJ/j+ дll~ S;j д!.!\ ~ Tij,
(
Sij=Gij- +fJijGii;)
(7.6а)
Lij= SikSkj- ~ Ilcr fJij
и сравнив с соотношением (7.3), которое можно предварительно
записать в эквивалентной форме:
Efj = Arдi +д., Sij + A2Tij.
откуда
А,'.1 =~·. А.,-~· А2=~
-
д\1~ '
дlll~ .
д!"
"
"
а затем с помощью перекрестного дифференцирования окончатель
но получим необходимые и достаточные условия существования
потенциала деформаций :
ал;,
дА, дА,
дА2 дА"
а л;,
дll~ = ~: дlll~ д\1~ ' ~ - rJill~
.
(7-7)
Следовательно, при выполнении (7.7) соотношения деформацион
ной теории пластичности при нагружении, по существу, совпадают
с соотношениями физически нелинейной теории упругости. Однако
разгрузка определяется са моетоятельным за коном.
273
Для 9бъемно-несжимаемой среды в случае, когда А; является
функциеи только а;, легко видеть , что
,
efi=A;(a;) [a ;i- O;i aJ
и при любом виде диаграммы a;-ef работа напряжений не зави
сит от пути нагружения.
В общем случае определяющи е соотношения деформационной
теории пластичности можно за писать
при нагружении:
(7.8)
при ра з грузке:
(7.8а)
где Хп- пара метры, определяю щие влияние пути нагружения на
деформированное состояние ; С п - константы.
7.2 . Влияние пути нагружения. Определение разгрузки
При ра з грузке восстанавлив а ются только упругие деформации,
пластически е остаются без измен е ния. Существует несколько ва
риантов определения процесса нагружения и разгрузки [3] .
В процессе нагрузки реализуется положительное приращение
работы пластич ес кой деформации формы и объема , т . е . нагру з ка
осущ е ствляется при выполнении условия
а разгрузка - при dAP <О.
(7.9)
dAP = a;def+ade~>О, }
В. Прагером предложено другое определение процессов нагруз
ки и разгрузки:
-
активный процесс деформаций идет при da;= siids;i >О;
-
разгруз ка имеет место при da; < О , и связь между дефор-
мациями и н а пряжениями подчиня етс я закону Гука;
-
у слов ие da; =O означает н ей тральное изменение напряжен
ного состояния, т. е. такое, которо е не сопровождается пластиче
скими деформациями.
.
В теории пластичности критерии нагрузки, ра з гр узк и и ней
трального нагружения естеств ен но формулируются, основываясь на
понятии поверхности нагружения или поверхности пЛастичности
(текуч ести). В одноосном напряж енном состоянии легко отмечается
пред ел по н а пряжениям, который разграничивает области упругих
и пластических деформаций. На рис. 7.1 изображена за висимость
а1- е1 при одноосном сжатии связного грунта, где точкой А
274
··~
'·--
:~
а
Ри с. 7.1 . Диаграммы деформ ир о в а ния: при од ноосном напряже н ном состоя
нии (а); при сложном н а nр яже нн ом сос тоянии (б)
отмечен предел упругости are. Это означа ет, что при а!< are в грун
те развиваются тольк о обратимые, т. е. у пр уг ие деформации. При
напряжениях а! :?': are появляются пластиче с ки е деформации, кото
рые не восстанавливаются при снятии нагрузки. В этом случае
критерий нагрузки и разгру з ки устанавливается ес тественным обра
зом. Процесс нагру з ки характеризуется условиями
а!=ф(t .l) при а!:?': are }
и
da1 >0.
Разгрузка же формул ир уе тся так: da 1<0.
Если диаграмма испытаний грунта (рис . 7.1, 6) представлена в
форме зависимости а; = Ф( е;), то критерий Праг е ра является есте
ственным критери е м нагр у ж е ния . Однако , как мы неоднократно
отмечали, поведение грунта не может быть однозначно охаракте
ризовано единственной диаграммой а;-е ;, поэто му и критерий раз
грузки в форме da; <О является недостаточным. Действительно,
опыт показывает, что даже при выполнении условия da;<O и
da>O (рис. 7.2) происходит не разгрузка , а нагрузка и грунт
может быть разруш е н . По этому в теории пл астич ности вводится
обобщение понятий разг ру зка , нагрузка и нейт рально е нагружение.
В шестимерном пространстве напряжений П ( а;1 ), в котором вво
дится декартова сист~ма координат a ;i, каж да я точка соответствует
некоторому вектору a(a;ij, который выходит и з н а ча л а координат.
В пространстве П (рис. 7.3) может быть выделе на некоторая
область Q, в которой рассматриваемая с ред а в еде т . себя как упру
гое тело, т. е. внутри этой области деформации могут быть опреде
лены, в соответствии с напряженным состоянием , со гласно закону
Гука. Точки границы э той области (поверхность пластичности ~)
со ответствуют пределам упругости, которы е, как видно, являются
функцией некоторой комбинации компонент те н зо ра напряжений
275
о. -1 мnа
о
Рис. 7.~. Разрушение грунта nри одновременном уменьшении девиатора
наnряжении и гидростатического давл е ния: траектория нагр у жения (а) ; диа
граммы деформирования nри ра зличных 3 начениях гидростатич еского давле
ния (б)
Сечение CS" C.OI\St
-б1
Рис. 7.3 . Поверхность nластичности и ее сечения nлоскостями a 2 = const
и a=const
[aii]. Для идеально пластичного материала, очевидно, эта граница
фиксирована (рис. 7.3, а), для упрочняющейся среды поверхность
~ изменяется в связи с изменением напряженного состояния и на
коплени е м пластических деформаций. В литературе используется
термин « упрочняющаяся пластическая среда», поверхность пластич-
276
111
ности которой изменяется в процессе изменения деформированного
состояния элемента среды.
Обычно постулируемые свойства nоверхности пластичности со
стоят в следующем: она замкнута, но в некоторых направлениях
может простираться до бесконечности; ,1юбой луч, исходящий из
начала координат, пересекает ее не более одного раза. Точку на
поверхности ~. принадлежащую вектору действительного напряжен
ного состояния, будем называть точкой нагружения.
Предположим, что уравнение поверхности пластичности (грани
цы ~) можно записать в виде
(7.10)
где ffik- параметры упрочнения, связанные с накопленными плас
тическими деформациями . Функция f называется функцией нагру
жения . Точки поверхности нагружения, в окр е стности которых функ
ция нагружения дифференцируема по CJ ii и в которых, следователь
но, имеется единственная нормаль к ~. называются регулярными.
Поверхность нагружения в окрестности регулярных точек являет
ся гладкой. Упругой области Q соответствуют отрицательные зна
чения функции на гр ужения f <О. Вводятся понятия разгрузки. на
грузки и нейтрального нагружения.
Разгрузкой называется процесс, при котором напряженное со_:
стояние принадлежит поверхности ~. а приращения вектора da
переводят вектор о внутрь области Q (рис. 7.4, а) . Поверхность ~
при разгрузке не меняется, а приращения напряжений связаны с
приращениями деформаций законом Гука. Условие разгрузки фор
мулируется следующим образом:
df=O; d'f=-aдf daii<O или df<O.
(7.11)
(Jif
Отметим, что разгрузка совсем не обязательно сопровождается
уменьшением общих деформаций. Для разгрузки справедливо лишь
отсутствие приращений пластических деформаций . Например, на
рис. 7.4, б приведена иллюстрация, когда в процессе разгрузки уп
ругие деформации ра с тут, а пластические не развиваются.
Нагружение называется активным , если приращение вектора
напряжений сопровождается приращением пластических деформа
ций. Для него необходимо, чтобы исходное состояние соответство
вало пределу упругости. Конец вектора а должен принадлежать
поверхности ~ (рис. 7.4, в). В упрочняющемся теле процесс на
гружения связан с и з менением поверхности ~ так, что приращение
функции нагружении всегда положительно:
d'f- _ддf daii >О.
a,i
277
а
м'
Рис. 7.4 . Поверхность нагружения и процессы разгрузки (а, б), нагрузки
(в) и нейтрального нагружения (г)
Итак, процесс нагрузки
двумя условиями:
(7 .12)
характеризуется
df=0·}
d1 f>o.
Еще различают нейтральное нагружеJЩе. реализующееся тогда,
когда приращения вектора напряжений da таковы, что конец век
тора остается на поверхности нагружения и изменения пластиче
ских деформаций не происходит. Другими словами, при нейтраль
ном нагружении напряженное состояние находится на пределе упру
гости и изменения поверхности не происходит (рис. 7.4, г). В этом
случае дополнительного развития пластических деформаций не про
исходит. Математически условие нейтрального нагружения записы
вается в виде
(7.13)
278
\.
;.
1
Эти фундаментальные представления о процессах нагружения ~
разгрузки можно интерпретировать и в терминах деформационнои
теории пластичности. Действительно, из уравнений этой теории
следует, что приращения пластических деформаций можно предста
вить в виде
(7.14)
дФ
Величины дcr,j зависят только от компонент тензора Gij, и по-
этому приращения пластической деформации de~ при данном напря
женном состоянии полностью определя22.тся приращениями da;j. В
зависимости от направления вектора da вектор приращения пла
стических деформаций W принимает различные значения (рис. 7.5).
аёр(Ц)
Рис. 7.5 . Зависимость направления
вектора
приращения
пластических
деформаций от направления вектора
догружения по деформационной тео
рии пластичности
Нетрудно видеть, что деформационные соотношения не допуска
ют выполнения условий нейтрального нагружения. Отсутствует не
прерывность приращений пластических деформаций при нагруже
нии вдоль поверхности нагружения. Действительно, при нагруже
нии вдоль ~ происходит приращение пластических деформаций -
см. (7.14), тогда как при движении вдоль поверхности ~. но оста
ваясь внутри Q, приращения пластических деформаций равны нулю
по определению. Нет постепенного уме~шения приращений пласти
ческих деформаций при стремлении da к касательной гиперплос
кости к f =О со стороны внешней области Q.
Достоинством деформационной теории пластичности является
ее простота, определяемая характером голономных связей между
напряжениями и деформациями. Однако эта теория обладает по
крайней мере двумя существенными недостатками, которые" могут
явиться определяющими при расчете инженерных сооружении, вза
имодействующих с грунтом.
Первым принципиальным недостатком теории пластичности де
формационного типа является отсутствие непрерывности прираще
ния пластических деформаций при переходе из области нагрузки
в область упругих деформаций, т. е. в деформационной теории
279
пластичности отсутствует понятие нейтрального нагружения. В сле
дующей лекции этот вопрос будет подробно проанализирован.
Второй недостаток заключается в явной зависимости парамет
ров уравнений состояния от траектории нагружения: модули КР
и GP, определяемые экспериментально, самым существенным обра
зом зависят от пути нагружения. Другими словами, в уравнения
состояния должны входить параметры Хп, определяющие влияния
пути нагружения на пластические деформации грунта. В большин
стве случаев при расчетах грунтовых сооружений путь нагружения
в каждом элементе сооружения заранее не известен. Так, при строи
тельстве и эксплуатации земляных плотин реальный график возве
дения плотины и заполнения водохранилища приводит к тому, что
грунт в таком сооружении подвергается сложному нагружению. Со
вершенно очевидно, что при сложном и заранее не известном пути
нагружения применение деформационной теории пластичности мо
жет привести к значительным ошибкам. В то же время эта теория
с успехом может быть использована в расчетах, когда заранее
известен путь нагружения.
Приведем несколько характерных примеров.
1. Явная зависимость диаграмм деформирования от траектории
нагружения выявляется уже в простейших стабилометрических опы
тах при f-ta = + 1. На рис. 7.6 показаны два вида диаграмм сдвига,
полученных по траекториям: в случае, когда 1 G:> 1 t при Gt = а 2 =
=const и когда Gэ=const, а !at! t· Для несвязных грунтов пара
метры прочности мало зависят от траектории нагружения, тогда как
на деформируемость значительно влияет последовательность при
ложения внешних нагрузок. Диаграммы сдвига отличаются каче
ственно: во втором случае характеристика диаграммы более жест
кая. Очевидно, что использование в расчетах указанных диаграмм
приведет к различным результатам - это особенно хорошо можно
видеть на примере определения активного и пассивного давления
грунта на стенку.
2. На рис. 7.7 показаны графики зависимости пластических мо
дуля сдвига и объемного модуля от интенсивности деформаций
сдвига при испытаниях песчаного грунта в условиях плоской де
формации и в стабилометре при l-ta = + 1. Можно убедиться, что
различие в модулях существенно и поэтому прогноз пластических
деформаций в грунтовых сооружениях, работающих в условиях
плоской деформации, но основанный на определениях модулей по
стабилометрическим опытам, может привести к значительным ошиб
кам.
3. Простым примерам может служить также следующий опыт по
компрессионному сжатию. Траектория компрессионного сжатия мо
жет быть изображена графически, если в процессе опыта измеря
лось реактивное давление на стенки прибора а 1 = а 2 в зависимости
280
lt
"1
t..
;~
0,5
о
G~1о:' к Па
400
200
р-2
К·10, кПа
750
250
2,5
3 -е(10 2
281
7.6. Диаграммы несвязиого де
формирования грунта в условиях
стабилометрического испытания
при двух различных траектори
ях нагружения
Рис. 7.7 . Зависимость плас
тического модуля сдвига (а)
и пластического модуля объем
ного деформирования (б) одно
родного песка при 10 =0,8 от
интенсивности
деформации
сдвига в условиях плоской де
формации и стабилометрического
сжатия [4]: 1 -плоская дефор
мация; 2- J.ta= +1
a;r вертикальной деформации Е з. Такие опыты нами проводились,
и на рис . 7.8 приведена иллюстрация их результатов . С другой сто
роны, нетрудно , имея данны е по модулям деформации GP и кr из ста е
0,2
'f' 2.
\~
\
\
\
~0~--~~======-=
-€ 3·102
1,0
Ри с . 7.8 , Комnрессионно е сжа тие : а - трае ктория; б- деформ а ция комn
рессионного сжатия; в - коэффицие нт бокового да вления. 1 - no опытным да н
ным ; 2 - rасчет по деформа.циоииой теор ии nластичности. П есок одноро дный
люберецкии при от носительнон nлотиости 1,1=0.55 (p'k = l ,56 г /с м 3 )
билометрических стандартных опытов при 1-ta = + 1, рассчитать за
висимость деформации nри компре сс ии (в 3 ), коэффици е нт бокового
давления cr,fcr з и траекторию нагружения. Делается это так .
l. И з условий комnрессионног о сжатия ( Е 1 = Е 2 =О) и соотно
шений Г е нки легко получаем
;= ~ = 3K"-2GP
оз
3K" +4GP
и по найденным из стабилом етрического опыта значениям моду
лей КР и GP, зависящих от е; =2/31Е з l, строим зависимость коэф-
фициента бокового давления ; - ~ от вертикальной д е формации
а"
Ез. На графике 7.8, в прив едена такая зависимость (2). Можно
видеть, что она существенно отличается от опытной.
282
~·:
1,.
2 . Модуль комnрессионного сжатия выражает с я через модули
КР и GP в соответствии с формулой
Ер - КР+_i_GP
ком n-
3
·
Исnользуя значения КР и GP, полученные nри 1-to = + 1, можем оnре
делить зависимость деформации при компрес с ии от nриложенной
нагрузки. Такая зависимость приведена на рис. 7 .8, б. Видно ка
че ственное различие расчетного графика комnр есс ионного сжатия
и оnытного.
3. Траектория нагружения также легко рассчитывается по зна
чениям а з (задаются) ; а 2 = а 1 (вычисляются по формуле а,= ;а з
ЗКР-2GР
или а,= ЗК"+ 4GР аз) . Вычисленная траектория нагружения
(рис . 7 .8, а) качественно отличается от опытной .
Таким образом , приведеиные простейши е примеры nоказывают,
что деформационная теория nластичности может быть использована
лишь nри известном заранее виде наnряженного со стояния и траек
ториях нагружения.
7.3 . О некоторых видах уравнений
состояния деформационной теории пластичности
Для установления определенной, так на з ываемой физической,
связи между напряжениями и деформациями в деформационной
теории пластичности необходимо при квазилинейной тензорной свя
зи (7.5а) определить две зависимости:
1) зависимость формоизменения от инвариантов тензора напря
а·
жений e?=ef(a;, а, 1-ta ) или отношения---;- =GP;
ef
2) зависимость объемной пластической деформации в~ от инва
риантов тензора напряжений Е~= Е~ (а;, а, 1-to) или отношения
~=КР.
Е~
7.3.1. Зависимость формоизменения
от инвариантов тензора наnряясений
Достаточно общей формой уравнения состояния е," =е," (cr; , а,
f..tO o) является уравнение типа Боткина [4] :
е•
а·=а"'Ф·(е")· Ф =
---
'--
'
'
'
'
'
'
Bo+Bef
(7.1 О)
Здесь а'?'- предельное значение интенсивности касательных наnря
жений, оnределяемое в соответствии с гипотезой Ми зеса - Боткина
283
(a?'=c~ct-a tg <p~ct); Во и В- безразмерные константы . При этом
легко видеть, что параметр Во равен :
Во= (1-B)ei",
(7.11)
где е)"- деформация разрушения . Деформация разрушения для не
связных грунтов является константой, зависящей только от началь
ного состояния (плотности, грансостава и влажности). Для связ
ных грунтов деформация е)" зависит от среднего гидростатического
давления и продолжительности процесса деформирования. Пара
метр В для несвязных грунтов мало зависит от начального состоя
ния грунта и является константой, для связных грунтов зависит
отаиt.
Для грунтов, у которых е?'-+ оо, параметр В следует положить
равным В= 1, при этом В о · coпst и функция Ф; принимает вид,
точно совпадающий с тем , который был предложен А . И . Бот
киным (4]:
eF
Ф;=--
Во+еf
Соотношения (7.10) и (7.11) (как мы об этом уже говорили в лек
ции 4) справедливы в диапазоне изменения вида напряженного
состояния +1 ~flo>fld (fl.;-0,8-; -0,5). В диапазоне изменения
- 6 .N'2Vfl" < fld целесообразно использовать следующую зависимость:
(7.12)
а1+а з
Здесь Tmax =
2
; Y~zax=ef-e S ; T~ a x=c.,*-s tg <р.;" (условие Tpe-
ска- Хилла); s =
al +аз
·
2
.
Формулы, необходимые для пересчета:
-J
12
а1-аз }
G;=Tmax
1+ -3 fla; fla =2
-1;
а1-аз
+
11.
a=s
т•тах;
Условия прочности (см. рис. 7.9)
284
при
Рис . 7.9 . Геом етриче с кое изображение
условия прочности на де ви з торной плоскости
a=const
-·~-- (J tgч>i
,/
3 (· 1-~tg<p*)
V 3+!L~
3
т
В отношении параметра В и предельной максимальной дефор
мации сдвига У~ах можно сделать те же замечания, что и при
fla > fld·
7 .3 .2. Зависимость объемной пластической · деформации
от инвариантов тензора напряжений
Часто объемную деформацию представляют в виде суммы
е~ = е~(о)+ eg(i)·
Объемная деформация, зависящая от гидростатического
е~(о), удовлетворительно описывается уравнением
обжатия
р
*
(J
e v(o) =Eu Ао-а ,
(7 .13)
где Ао - параметр, имеющий размерность напряжения; Е~- пре
дельная деформация уплотнения, определяемая специально постав
ленными опытами (для несвязных грунтов, например, она соответ-
"
G1
sk
Psk
т е е*-1-
ствует относительнон плотности d =
иР= max,
·
·
и-
-
~~k ) • Для переуплотненных грунтов уравнение состояния за-
Ртах
писывается
(J
е~(О) = е~ -------:А:-о-1--
Ao-cr+ 1-Aoza
(7.13а)
285
и отражает характерный перегиб зависимости B u(o) -G (рис. 7.10) .
Для дилатантной части объемной деформации e~i может быть пред
ложена формула [5)
B~i = [Л*ef-a.(ef)~) [1- ;а tg (j)~ct(l-f-10 ) ] .
(7.14)
de~
Здесь Л*= -- - предельная скорость дилатансии; а., ~
-
экспе
dеР
риментальные параметры; cr и f..La соответствуют текущему значению
ef, Ра= 10 2 КПа.
При практическом использовании деформационной теории плас
тичности целесообразнее не разделять объемную деформацию на
две части, а найти зависимость модуля общей объемной деформа
ции от инвариантов тензора напряжений. Такая общая форма пред
лагается в виде [5]
д,
+ 1-Asa
(7.15)
Параметры Ak зависят от ef (см . рис. 7.10) . Отметим, что в чис
ленных расчетах иногда удобнее выражать модули деформации в
за висимости от величины пла стических деформаций еР и е~.
Можно представить отношение модулей КР в виде некоторой
GP
функции аргументов ef , в~ , т. е.
.~ =F(e" е'!) .
GP
l.'
v
Частным сл учаем этой зависимости является линейная функция
КР
еР
-
=Ао +А~~
GP
Е~
или
(7.16)
хорошо аппроксимирующая экспериментальные данные, за исклю
чением поведения грунта при малых гидростатических давлениях.
При ef =О, т . е., в условиях гидростатики,
at
Kfe;=O = AoGfe; =O' где Gfe; =O= ----
(1-B)et
Конкретные значения параметров, входящих в определяющее
соотношение, приведены в [6) . В настоящее время в расчетах вооб
ще могут быть использованы не аналитические выражения для КР
и GP, а д:иаграм~ы деформирования, обработанные в виде цифро -
286
•1
р
е, ,о
е~ ,const
L....-------·-- ·
- ---'------
-
--
- c:s'~t
Рис. 7 . 10. Тиnичные д иаграммы деф о рмирования об ъе ма (а)
и зависим ости nластическ о го модуля деф ормации от гидростати
ческого эффективног о давл ения (б)
вых таблиц. Таким образом, в численных расчетных исследованиях
нет необходимости представить уравнения состояния в виде анали-
тических выражений.
.
"
О дин частный пример применения голономных соотношении в
р е ологии грунтов легко р е ализуется, если в предыдущих соотноше
ниях заменить предельные параметры crf, ef их дл~тельными ан~
логами - длительной прочностью cr~ и предельнон деформациеи,
зависящей от длительности процесса е~ . ДлительнаЯ прочность
в простейшем случае описывается выражением
*
* + а,'\\-а;""
Git=G;oo
' \J(t)
,
а предельная деформация е~= J.....ЧJ(t). где 1\J= (.f- У'+
~
о
(см. лекцию 4).
287
7 .3 .3 . Деформационная модель грунта
А. Л. Крыжановского
Согласно деформационной модели грунта, разработанной
А. Л. Крыжановским [7], условие прочности записывается в виде
*
"''(
2)
()
и;=а1+и аз +a4fta+asfta ,
а
где а 1 - а5 - числовые пара метры. При некоторых частных значе
ниях коэффициентов (а) может принимать вид условия прочности
Мора - Кулона или условия Мизеса
-
Боткина.
Деформация объема представляется в виде
fu= f u(O)+fvi,
где f u(O ) - деформация объема при гидростатическом обжатии;
(б)
Дилатантная часть объемной деформации fv; определяется следую
щим образом:
1) контракция (уплотнение) при Q ~ ~2"Р
fvi = аа ( QjQкp) и"'';
2) дилатация (разрыхление) при
f v;= [ ав- (ав+аg)
(в)
(г)
где ав и ag- числовые параметры. Параметр Q=u;/u'f показы
вает стеnень nриближения напряженного состояния к предельному.
Значение Qкр характеризует критическое состояние, при котором
дилатантная часть объемной деформации переходит от уплотнения
к разрыхлению и определяется как функция от
Qкр= { a 10 +at 1G, если и~2,54 МПа;
ato+att•2,54+at2G, если и>2,54 МПа,
где а 10 - а 12 - числовые nара метры. Деформация формоизменения
е; nринята в виде
е;= [
cx.I Jora.• 4a;
(crr-a;)a' 5
где а 1 3 - а 16 - числовые параметры.
288
(д)
7.3.4 . Нелинейные соотношения Конднера
Широкое nрименение, особенно в зарубежной _:'lитературе, nолу
чили определяющие соотношения деформационнои теории пластич
ности, предложенные в работах [8-: 11].
По данным трехосных исnытании, связь между девнатором на
пряжений и осевой деформаци е й хорошо аппроксимируется гипербо
лической функцией вида*
(а)
где параметр а имеет смысл величины, обратной величине началь
ного тангенциального модуля деформации Е; ; параметр Ь равен
обратной величине асимптотического значения девиатора наnряже-
ний
nlt
Асимптотическое значение девиатора напряжений (иt-Gз)иu
отличается от величины девиатора, соответствующего разрушению
(и 1 -и :1 ) 1 . Вводится коэффициент Rr=(Gt-G:I)r/(Gt-G з )uu, назы
ваемый коэффициентом разрушения. Обычно коэффициент Rt ра
вен 0,7 70,9. Разрушающее значение девиатора определяется усло
вием прочности Кулона - Мора
2 с. cos <р.-2а о sin <р.
(Gi- G!) ; = --l-siп <р . ---'
(б)
где uo <:: .0 - напряжение «обжатия», равное в испытаниях по траек
тории «раздавливания» боковому давлению а1<:О .
Отметим, что гиперболическая зависимость, введенная Кондне
ром в \963 г., совпадает с рассмотренной подробно ранее зависи
мостью Боткина [4]. Однако зависимость Боткина выгодно отли
чается от зависимости Конднера тем, что связывает девиатор н~
пряжений не с осевой деформацией, а с девнатором деформации.
В этом случае, как показано в предыдущих пунктах, пар~метр Ь
совпадает с разрушающим значением девиатора напряжении, опре
деленным в соответствии с критерием nрочности Мизеса - Бот
кина .
Из соотношения (а) дифференцированием легко получить теку-
щий тангенциальный модуль деформации Е,, равный
_д(~- а!2__ ==Е , = ----~~----
д(-Е,)
[1 ./F..-
!(>· ; ]2
•
-,
,-,
,-
-
-.
(i-,,...
,
(в)
* В наших обозначениях осевая деформация сжатия е, < О и а,,< О.
10. Jal\. NQ 51
289
или
Е_
1
(rт1-ai)
t- Et г.----т- где D =
L1+ ~~- '
(аt-rтз)г ·
1-R1D
(г)
Анализ многочисленных данных трехосных испытаний показал, что
величина начального тангенциального модуля Е, зависит от гидро
статического обжатия образца и может быть представлена зави
симостью
(д)
где Ра- атмосферное давление; k- безразмерный параметр; n-
показатель степени, обычно равный 0,2 ~0.9.
В случае повторных нагрузок в формуле (д) используются без
размерные параметры k' и n', определенные по кривой разгрузки.
При этом параметр k' обычно в 1,2 раза больше параметра k для
плотных песков и в 3 раза- для рыхлых, а показатель n прини
мается одинаковым.
Помимо тангенциального модуля деформации Е 1 в качестве вто
рого независимого соотношения вводится тангенциальный коэффи
циент Пуассона Vt. Опытную кривую зависимости осевой дефор
мации сжатия Еэ от радиальной Е.з = Ф (Е,) аппроксимируют также
гиперболической функцией вида
Ез=
-
-v- ,
--d,_. e-,-
(е)
где v1- начальное значение тангенциального коэффициента Пуас
сона; d- безразмерный параметр.
Также определено, что начальный коэффициент Пуассона умень
шается с увеличением ао по логарифмическому закону:
Vt=G -F 1og!o(laoi/Pa).
(ж)
Учитывая, что, по определению, тангенциальный коэффициент Пуас
сона равен
дё,
Vt=---
дёз '
(з)
после преобразований можно записать выражение коэффициента v1
от напряжений в виде
(и)
290
1
!1
Таким образом, в расчетах используются тангенциальные мо
дуль деформации и коэффициент Пуассона, зависящие от напря
женного состояния в соответствии с выражениями (г), (д), (и),
(ж). Для описания деформирования грунтов гиперболическими
функциями необходимо иметь по данным трехосных испытаний зна
чения восьми параметров: см; срм; k; n; Rr; G; F; d. В табл. 7.1
приведены расчетные параметры грунтов плотины Оровилл (США)
высотой 235 м и плотины Сан-Фернандо (США), потерпевший ава
рию вследствие землетрясения.
Таблица 7.1
Оровилл
Сан·Фернандо
Пере-
Намывная
Параметры Упорные
часть
ходные
Ядро Наброска Ядро
призмы
зоны
упорных
призм
p'k, r/см 3
2,40
2,40
2,00
2,00
1,69
1,69
qJ", град
43,50
43,50
25,10
25,00
37,00
37,00
см, МПа
о
о
0,144
0,127
о
о
k
378,00
335,00
345,00
300,00
510,00
510,00
п
0,19
0,19
0,76
0,76
0,54
0,54
Rг
0,76
0,76
0,88
0,90
0,72
0,72
G
0,43
0,43
0,30
0,30
0,41
0,41
F
0,19
0,19
0,05
0,10
0,23
0,23
d
14,80
14,80
3,83
3,80
9,40
9,40
7.4. Примеры решения некоторых задач
Приведем решения отдельных задач, которые можно получить
либо достаточно просто, либо приближенно, но все их удается при
вести к некоторой простейшей аналитической форме, удобной для
использования и анализа.
7.4 .1. Деформируемость и прочность ледопородного цилиндра
При проходке шахтных стволов методом замораживания устраи
вается ледапородное ограждение в виде цилиндра замороженных
грунтов, служащих временной крепью. Для выбора оптимальной
толщины такого ограждения производится расчет деформируемости
и прочности стенок ограждения. Приведем краткий вывод необхо
димых формул для определения смещения во времени и прочности
ледопородного цилиндра неограниченной длины исходя из уравне
ния состояния деформационной теории пластичности [12, 13]
(J.-
еУР [а* + Tu(a!!\-a1=) ] ,·
*
,-
·
eu-+ оо ,·
б= 1.
Во+еУР 100
t
(7.17)
10*
291
Объемная деформация грунта при низкотемпературном замора
живании может быть принята равной нулю по сравнению с вязко
пластической деформацией сдвига . Принимается , что по оси цилинд
ра ezz =О, а граничные условия в напряжениях следующие
(рис . (7.11):
Ри с. 7.11. Расчетная схема
. 1едоn о р о дного аилиндра
а"=О при r=a;
arr= -р при r=b.
z
ait-a*~
Заметим, что выражение а~=а;~ +То 1
'
отражает изме-
нение во времени прочности грунта и является одним из анали
тических выражений «кривой длительной прочности » . Далее посту
паем известным образом. Исходя из того, что е~Р=О и е ~: =е;~=О,
найдем радиальную компоненту перемещения u,=D 1/r. Тогда efP=
=2DI/r
2
и (7.17) перепишется
или, подробнее ,
20,/r2
а; = а~---'--
Bo+20,j r2
(7 .18)
.-
( * +Т _с3'_-_с-=~~) 20,
t*
201
а,- С"" о t Bor2+
2
0, -а gq:>oc t---";---.(7. 18a)
Bor2
+ 20,
Интеграл уравнения равнов е сия, выраженного в форме
da_
da; + 2а,
-
ct;:- -
---crr-
-г-
,
можем представить как
292
(7.19)
... .
[
2
tg <р~о
--(с*+Т ci\'- c~ )ct * {D
г
]t - tg<p~. ' -1}
а"- ""
u
t
gq:>ocr 2 В 2+20 (l-t
*)
·
оГ
1
g<pu, t
(7.19)
Далее, используя граничные условия в напряжениях, после пре
образований окончательно получим
р=-
p~t+ (pi1'- p*)To (
а2'
}
(а2' - 1)!
[ __B_:o_a_2...:..+_2_:_~...:..(_1-_t.::.:g_:<p...:..~'_:')~J'" - \
'
Bo+2~(1-tg rp t,,)
(7.20)
где введены обозначения
V=
lg rptп
Ь
* ;а=-~
1-tg <р'"'
а
p~=H "" (a 2 '" -l); H o =c~ctgcpt,t; Н~ . c~ ctgq:>~ct · (7.21)
Нагрузки р~ и р~ являются предельными для цилиндра, мате
риал которого обладает внутренним трением tg q:>~ct =1= О и сцепле
нием (мгновенным с~ и пр едельно длительным с~) . Разрешая соот
ношение (7.20) относит ельно радиального перемещения Ua, найдем
формулу, позволяющую определить развитие во времени смещения
стенки ледопородного ограждения:
~=~=
___
В_оа_2
__
а
2(1- tg<pto)
Здесь функция Ф равна
Ф(а , t)-1
а2-Ф(а, t)
Ф(а t)=[ (az' -l)pt
+1]1 /'·.
'
To (pi1'-p~) +p~t
(7.22)
(7.23)
Разрушение цилиндра, т. е. Uu--+oo, произойдет при условии,
вытекающем из (7.22). когда Ф--+а
2
. Учитывая (7 .23), при дей
ствующей нагрузке р разрушение произойдет за время
tт
pi1'-p~
=
о
.
р-р~
Приведеиные выше формулы (7 .22) и (7 .23) можно заменить при
ближенным соотношением типа
Ua
а
в2
аа
pt
2(1-lg qJ~u ) To(pi1'-p~) + (р ~ -p)l
(7.24)
Формулу (7.24) можно записать в следующей краткой форме:
u.. (t)
Ll0 ( 00)
T+t
293
при р<р~.
(7.25)
где параметр Т зависит от приложенной нагрузки и равен
Т=То r~-p ':., .
р':.,-р
(7.26)
При этом предельные нагрузки для ледопородного цилиндра из
идеально пластичного грунта опр еделяются как pt = 2ct ln а и
р :, = 2с* ln а, а для грунта, обладающего трением, как р~
=Но(ат,-1) и р:,=Н 00 (а2' -1).
Сравнение с данными моделирования
На рис . 7 . 12 представлена схема установки, на которой прово
дились испыт а ния модели цилиндров из замороженных пород. Опы
ты проводились с моделями цилиндров, внутренний диаметр кото
рых был принят 2а =4,0 см. Толщина стенки варьировалась за счет
изменения внешнего радиуса . У длинных цилиндров высота моде
ли h = 11 а. И зм ерени е деформаций произво д илось при помощи
механических рычажных устройств. Точность и змере ния определя
лась точностью индикатора и была равна 0,01 мм. Предваритель
ные опыты показали, что измерение деформаций в нескольких точ
ках достаточно характеризует общую радиальную деформацию ци
линдра [13] .
Рис . 7. 12 . С хема установки для моделирова
ния ледоnородного ограж де ния
Модели ледапородных цилиндров изготовлялись из келловей
ской супеси и глин бат-байосса. Так как сохран е н~е естественной
структуры воданасыщенной супеси практически оказалось невоз
можным , то и модели и з нее изготовлялись с нарушением струк
туры. Влажность грунта модели соответствовала естественной и со
ставляла 25%. Модели изготовлялись в специальной разъемной
форме, позволявшей получать цилиндры с ра зличной толщиной
стенок. Для за мораживания модели форма с грунтом помещалась
в холодильную камеру, в которой поддерживалась темпер а тура
294
." ,.
-30°С. Такая низкая температура замораживания н еобходима для
предотвращения возможности перераспределения влаги в образце .
Замороженный образец извлекалея из формы и подготовлялся к
испытанию . Высота образца доводилась до необходимой величины
220 мм, что определялось вн у тр е нними габаритами исnытательной
установки. Торцы цилиндра обрезались nерпендикулярно продоль
ной оси и шлифов ал ись. Вс е эти операции nроводились при отри
цат ель ной темn е р ату ре. Готов ая модель устанавливалась в рабо
чую камеру, и в соб ранном виде весь nрибор, вмест е с nомещен
ной в нем моделью , выдержив ался не менее 12 ч nри температуре,
принятой в да нном испытании. Основные испытания nроводились
при температуре -20° и - 10 ° С.
Для сравнения результатов моделирования с предл агае мым ме
тодом расчета рассмотрим д а нные по мод е лированию и расчету
длинны х цилин дров из заморож ен ннх ке мювсйс ких супесе й. Расче
ты, проведенны е на основании форм ул ы (7.24), пр едста влены в
виде кривых на рис . 7 . 13. Там ж е нанес е ны э кспериментальные дан-
Рис. 7.13 . Относительные nер е мещения вну т ренней стенки ледо nородног о
11ИЛИ1Шр а: а=Ь /а = 2 во врем ен и . Су nесь келловейская: !J= I0° C; В 0 =6,5Х
Х10-
2
; !g IP~ct = 0,5; с':.,= 1,1 М П а; со= 1. 95 М Па . Точки- эксnериментальные
значения
с*
ные. Как видно из рис. 7.13, для давлений р < р:, =-7(а2'- 1) тeo-
tgrp ""'
ретические з • :·. ,ч е ния относительного nеремещения внутреннего кон-
тура ледопородного цилиндра во времени достаточно хорошо отв е
чают данным моделирования. В соответствии с формулой (7.24)
данны е моделирования должны в координатах У =f t и Х = (р:,
- р) t отображаться nрямыми линиями, согласно уравнению
295
У-Т р~-р;., 1 Х В= --8
-
0
--
-
ов~2+в~';
1
*
-~
~
2( -tg qJ ,",)
На рис. 7.14 в координатах У-Х нанесены резqJультаты моде
лирования. Из рис . 7.14 видно, что экспериментальные точки доста-
о
12,0
36,0
Х 1 МПа·с~т
Ри с. 7. 14 . Результаты моде
лирования и расчета л ед аnо
родиого I(ИЛиндра при Р =
= 5,() М Па и различных толщи
нах с тенки. Суnесь келл овей
ская: fi=-20°C; lgq;~0 =0,5;
с~.= 1,84 МПа; Cu=3,25 МПа.
Точки - э к с периментальные
значения. l- a=2; 2-а=2.5
точно точно ложатся на прямые. При этом можно убедиться по на
клону прямых на этих графиках, что параметры В и То совпадают
с соответствующими пар а метрами уравнения состояния.
7.4.2. Ползучесть основания из плотных глинистых грунтов
под круглым жестким штампом
Рассматривается пол з учесть основания из глинистых грунтов,
которые могут быть отнесены к категории квазиоднофазных . К ним,
как правило, относятся глины тугопластичные, полутвердой и твер
дой консистенций.
Для расчета напряженного состояния и осадок оснований обыч
но пользуются линеИной теорией упругости. В этом случае с целью
приближения к фактическому поведе нию грунтов под нагрузкой при-
296
1\
ходится вводить ограничения . К числу таких ограничений, напри
мер, ОТJЮсится установление толщины сжимаемого слоя, ниже ко
торого условно считается, что грунт несжимаем. Ограничивается
и величина нагрузки, до которой мы вправе пользоваться распре
делением напряжений, исходя из линейной теории упругости, и т. д.
Вопрос о напряженном состоянии оснований и их деформациях
правильнее рассматривать, применяя результаты решений задач для
нелинейно деформируемой среды. Однако до недавнего времени ре
шения в конечном виде удалось получить лишь для частных задач,
в которых предполагал ас!> невесомость среды [ 14-16] . Влияние
веса в задачах, связанных с расчетами оснований, представляется
весьма существенным, и им нельзя пренебречь [ 16] .
В работах [17, 18] рассмотрена задача о напряжениях и пере
мещениях нелинейнога деформируемого весомого полупростран
ства, на поверхности которого расположен круглый центральна на
груженный штамп (рис . 7.15) . Принималось, что проскальзывания
Рис. 7.15. Расчетная схема
грунта под подошвой штампа не происходит, т. ~- горизонтальные
перемещения по контакту грунта и штампа отсутствуют. Задача
решалась численно с использованием м етода упругих решений
А. А . Ильюшина [ 19] в сочетании с методом сеток. С целью уточ
нения решения в области, примыкающей к штампу, было прим е
нено сгущение сетки. Объемные силы были включены в уравнения
равновесия, и интегрирование этих уравн е ний производилось с уче
том весомости грунта .
Для решения указанной з адачи связь между компонентами на
пряжений и деформаций принималась в форме обобщенного закона
Гука:
1
/z 10. 1ак. Ne 51
297
где G 1' и кr - в данном случае скалярные функции инвариантов
тензора напряжения и времени, вид которых определяется из экспе
риментов. При этом
При составлении уравнений равновесия в перемещениях должно
быть учтено, что GP и КР являются при таком подходе неизвестны
ми функциями координат. Тогда задача с осевой симметрией для
полупространства (z >О) сведется к решению следующей сист е мы
нелинейных дифференциальных уравнений относительно компонент
вектора перемещения (u, = u г; u2= u0=О; u3= u,) :
(кr+~GP) д"~.z +GP д
2
~г+~.!!_(кr+~GP)+
-3
дz·
йг'
дz дz
3
+~(~+дG'')+(кr+_!_Gr)д2u, +(йG"+
дг
г
дг
3
дгд z
дг
К"+ ~GP
+
3
)~+.!!_(К~'- _2_G~' )[~ + ~J + =0·
г
дz
дz
3
дг
г
pg,
4
(7.27)
(КР+~GP) д"u, +GP д'~, + ~[ К"+ зG"
3
дг2
дz" дг
г+
+.!!_(кr+~Gr)]+ дG" ~+uг[_!_.!!_(кr-
дг
3
дz
дz
гйг
(1\'' -
_;_ G") ..
_
2_Gr) _
3
2G" J+ (кr+ ~Gr) д"u, +
3
г"
г2
3
дгдz
+ ~ .!!_(кr- _2 _Gr) + ~- дG" =0.
дz дг
3
дг
дz
При этом кr и GP- ф у нкции аргументов :
дll,
дz
гдеUr,u"-
неизвестные.
дu,
дг
дu,
дz
дu,
дг
Сущность метода, и спол ь з ованного в указанных выше работах,
закл ючала сь в том, что с истема (7.27) решалась методом после
довательны х приближений. При этом для каждого i-го приближе
ния значения К 11 и GP вычислялись н а основании (i-1)-го при
ближения. За первое приближение принималось решение системы
(7 .27) при KP= coпst и G~'=coпst . При решении задачи полу-
298
пространство заменялось слоем, глубина которого составляла 8R,
что практически не сказывалось на результатах расчетов. Для того
чтобы иметь возможность использовать предлагаемый м етод реш е
ния с помощью конечных разностей, бесконечный в горизонтальном
направле нии слой, н а котором располагался штамп, заменялея цилинд
ром радиусом 16R. На внешнем боковом контуре рассматриваемой
дu
области ставились граничные условия: Т =О; tlг =О. а на ниж-
нем основании Ur =O; Uz=O, т. е . предполагалось отсутствие пере
меще ний. Након е ц , на верхней свободной границе (z =О) - гра
ниц е « полупространства »
U, =w; Ur =O при r~R;
ии=О; игг =О при r>R.
В р асс мотренных расчетах ради ус штампа R принималея рав
ным R=7,5 м , объемный вес грунта pg=1,66 т / м. Перемещения
от внешней нагру з ки вычислялись как ра зн ость полных перемеще
ний, полученных при интегрировании исходной системы, включаю
щей объемные силы, и перемещений только от собств е нного веса
грунта с учетом той же свя з и между напряжениями и деформа
циями , что и в первом случае .
Целью проводимых расч етов было выявление влияния характера
изменения и величины секущего модуля сдвига при одном и том ж е
значе нии модуля объемного сжатия на напряженно-деформирован
ное состояние рассматриваемого полупространства. Модуль объем
ного сжатия · был принят во всех расч етах постоянным и равным
К~'=ЗО МПа.
Р ез ультаты р е шения рассматриваемой зад ачи и их анализ для
нескольких видов уравнений состояния ef = ef (<J;; и; f.Lп ) обсужда
лись в цитированных выше работах. Здесь же мы рассмотрим ре
зультаты указанной задачи для уравнения состояния вида (7.16) .
Результаты численного решения у казанной зад ачи для случая иде
альной пластичности и;'':," =с ~ и и)\) . ct представлены на рис. 7.16
при следующих з начениях параметров, входящих в уравнение
(7.16):
Во =0,0075 ; cr=c~ + T u(ci\'tc:.,)
=0,1+~ [МПа].
Здесь мы остановимся лишь на анализе зависимости осадки
штампа от нагрузки и времени с тем, чтобы рекомендовать подхо
дящую аппроксимирующую формулу для расчета осадок сооруже
ний . На рис. 7 . 16 приведены графики «осадка- нагрузка (s-p)»
для моментов времени t1=0,1 сут; t2 =0,3 сут и t3-+oo. На
рис . 7 . 17 , а для стабилизированного состояния (t-+oo; с~ =0 , 1 МПа)
299
о
i\
20
40
60
S,см
02
\
\ t..,.go
1-=-- -
\
\
1\
S;см
Рис. 7.16. Зависимость осадки
штампа от нагрузки для ра зличны х
моментов времени
результаты численного решения представлены в координатах _Е_ - р.
soo
Прямая в указанных координатах отвечает зависимости Попова
[20]:
1,4
1,0
0,6
0,2
о
0,1 0,2.
о
2
0,7 !:!·101 МПа ·с~тjсм
0,5
0,3
0,1
о 0,2 0,4 0.6 О,б Х·1О, мn01 ~т
Рис . 7 . 17. Зави с"имость ос адки шт а мпа от нагрузки в стабили з ированном
(а) и не ста били з ированном ( б ) состоянии в специальных координатах
s""=A/
[см),
Роо-р
где р:, = 0,4 М Па (предельная нагрузка на штамп); А= 30 см -
параметр, зависящий от площади и формы штампа. Затем вводят-
ся координаты У= _Е_ t и Х = (р:,- р) t и остальные результаты
s
300
расчета наносятся на график рис. 7.17, 6, где прямая означает,
что результаты численного расчета можно аппроксимировать в виде
следующей формульной зависимости:
St =A
pt
T o(pt -р':.,) + (р':., - р) t
(7.28)
Таким образом, эмпирическая зависимость (7.28) подтвержда
ется численным решением нелинейной пространственной задачи.
Параметр А, входящий в эту формулу, требует дальнейшей рас
шифровки, которая возможна при расчете большого числа вариан
тов данной задачи при различных формах и площадях штампа.
Рассмотрим далее, с точки зрения соответствия рекомендуемой
формулы натурным данным, осадку фундамента при загрузке эле
ватора в Послелих е [21] . Фундамент элеватора располагается 11 ; 1
слое плотной желтой глины толщиной в 1 м , пuдстилаемом плас
том суглинков. Закладка фундаментов состоялась в июне 1930 г. ,
а окончание работы по сооружению элеватора относится к июню
1931 г. Загрузка зерном происходила по схеме, обеспечивающей
равномерность нагрузок на грунт по всей площади фундаментной
плиты. Полная загрузка элеватора относится к 12 октября 1932 г.,
и до 23 октября происходило интенсивное приращение осадок, а с
23 октября по 12 ноября развитие осадок во времени заметно
уменьшилось.
Для того чтобы нанести значения замерных осадок на график
в введенных нами координатах У и Х и убедиться в соответствии
предлагаемой формулы (7 .28) натурным данным, необходимо найти
предварительно предельную нагрузку р:,. С этой целью кривую за
висимости осадки от на.rрузки (по натурным данным), приведенную
на рис. 7.18, а, перестроим в координатах _Е_ - р. Как видно из
s
рис. 7.18, 6, такое построение указывает на хорошее соответствие
за висимости
s=A-, _P _
р':.,-р
экспериментальной кривой. Предельная нагру з ка, определенная по
этому графику, равна р:, =0,22 МПа.
Теперь нетрудно график осадок во времени построить в коорди
натах Y=(p / s)t и X=(p:, -p)t . На рис . 7 . 19 приведен характер
ный график осадок (по марке 4), данные нанесены в выбранных
координатах У; Х, и прямая, проведенная по ним, свидетельствует
еще раз о том, что формула (7.28) может быть использована для
прогноза развития осадок во времени. Испытания в лотке при вдав
ливании полосового жесткого штампа в слой глинистого грунта под
робно описаны в работе [22]. Опыты проведены при различных
301
ц
1+ 16 18 2Р Р·10МПа
~· ~~9
0,10
10 Г'
.......
"""" ~
1'\.
1\
\
'1\
-h
30
50
70
90
0,05
""'
~
~~
~
i'
1'
S,мм
1.5
1,7
1,9
Р·10 МПа
Рис. 7.18 . Зависимость стабили з ированной осадки Посn елихинекого элевато
ра от нагрузки
а
Б
ОКПIБРЬ 1932
НОЯЕ.РI. 1932
12 18
24
31
6
12
0,10
60
1\ P•O,Z Mna
~~
"--t- -
100
Q05
5, мм
О 0,10 0,20 0.30 0,40 Х,МПа·сут
Рис. 7 . 19 . Зависимость осадки 4-й контрольной марки Посnелихинекого элева
тора во вр е мени (а): то же в специальных координатах (б)
соотношениях между шириной штампа и глубиной грунтового слоя,
и показана справедливость дробнолинейной зависимости осадки
штампа от приложенной нагрузки.
7.4 .3 . Нелинейная консолидация
слоя подонасыщенного грунта
В качестве примера, иллюстрирующего использование нелиней
ных соотношений деформационной теории пластичности при про-
302
гнозе консолидации воданасыщенных грунтов, рассмотрим, следуя
[23, 24], задачу по определению осадки «слабо го » грунта, под кото
рым принято понимать грунт с малой несущей способнqстью, водо
насыщенный и сильно сжимаемый. Основными особенностями кон
солидации «слабых» грунтов являются:
1 - нелинейпая зависимость уплотнения от прилагаемого давле
ния, например, вида
(7.29)
е-е=
"
фф
где 'Ф=
; е 0 - начальныи коэ ициент nористости;
eo-ecro
е оо-
конечный коэффициент nористости, отвечающий nредельно плот-
ному состоянию;
2 - зависимость
ции) от у плотнения ,
водопроницаемости
наnример, ви д а
(коэффициента фильтра-
kФ= kФ0'Ф"; n~1,
(7.30)
где kФ0 - начальный коэффициент фильтрации, соответствующий
начальному коэффици е нту пористости е 0 ; п с- безразмерный пара-
метр.
·
lla рис. 7.20 nриведены соответствующие зависимост и, построен
ные в полулогарифмических координатах, прим енител ьно к некото
рым случаям исследованных торфов.
Одномерная компрессионная (без возможности бокового расши
рения) консолидация слоя (рис. 7.21) « слабого» грунта толщиной
h по Д дейст вием внешней нагрузки интенсивности q определяется
на основании решения н ел инейнаго дифференциального уравнения,
которое, при принятом законе деформирования (7.29) и nроницае
мости (7.30), легко может быть получено с исполь з ованием опреде
ляющих процесс консолид ации уравнений (см. лекцию 3). Это урав
нение, при условии, что степень воданасыщения грунта не менее
0,9, может быть заnисано в форме
где
( 1+_А_)~ +А~ =С _а_(,~,п - l ~)
aljJ
дt
дt
0
дz '1'
дz'
-
А';::::5 __е
__
-
ео-е
1-1 .,
Р.,
(7.31)
Коэффициент С о будем называть начальным коэффициентом кон
солидации.
Задача консолидации nолностью воданасыщенного слоя (1"' = 1)
«слабого» грунта, подстилаемого несжима ем ыми водоупорными
грунтами, сводится на основании (7.31) к реш е нию уравнения
303
е
-{n'f q
1,5
0,5
'f
0,2
0,6
Рис. 7.20 . Компрессионны е (а) и фильтрационные (б) свойст в а верх о
вого т ор фа: 1 - при степени . разложения 20%; 2 -· при стеnе ни р азло же
ния 10%
Рис. 7.21 . Расчетная схема
h
., САд БЫЕ" ГР~НТЫ
Во О~ПОРНЫЕ ГР':JНТЫ
дrр- ( )~д"rр
~-Пер
~·
(7.31а)
где введены безразмерны е пер е ме н ные
л2с,1t
лz}
4h
;~=211
ер=_!_ '!Jn.
n
(7.32)
т=
и функция
Начальное и граничные условия записываются в виде
(7.33)
304
Уравнение (7.31 а) является квазилин е йным параболического
типа, и оно может быть решено числ енно, например , методом конеч
ных разностей . Уравнение (7.31а) и условия (7.33) в конечных
р а зностях представляют систему следующих алгебраических урав
нений:
k+> k
....!!.=..L •+• 2 k+'+ф+'
tн - пер,
~;2
'
rp,
-
rp,
-
( k) ll rp,+1-
qJi
i-1•
}
ер\ 0)=__!_; ep~+I=__!_exp(-anq); ер~+ 1 -ер~ ~ \=О
n
·
n
'
(7.34)
i=O,1,2, ..., N(Л~N= ~); k=O,1,2, ....
Здесь epf0J=ep(~; О); epg+
1
=ср(О; Tk+I);
ер~+ 1 =ер( ~; Tk+l).
Система (7.34) р е шалась с шагом по ~. равным Л~=0,05, а по
· т был взят шаг, равный Лт=0,01, что соответствует условию устой
чивости (см. лекцию 12) .
На рис. 7.22 приведены результаты такого численного решения
для случая а=17 Mna -
1
•
q=0,025; 0,075 и 0,1 МПа, а параметр
п принималея равным 3 и 5 . По оси абсцисс на графике рис. 7 .22
отложено значени е ,;:; , а по оси ординат- значение степени кон
соли дации Q, которо е подсчитывалось по формуле
"/2
Q= _ss_
_
,
= ~--.,.--~[1 - л2 ( '!Jd~ J.
_
1- ex p(-aq)
Jо
Пунктирными прямыми на рис. 7.22 обозначено аппроксимирующее
решение вида
Q=в-vт-.
(7.35)
где В - некоторая функция а, п и q.
Вид функции В по данным численного р е шения (рис. 7.22, а)
можно представить в форме
В=0,72ехр[- ~ (п-l)q0· 7 ] .
(7 .36)
Нетрудно показать , что при Q <О, 7 решение можно представить
в виде
305
0,2
0,05
0,5
о.з
0,1
0,25
0,50
0,70
0,90
1,1
1,3
1,5 -ус
o,o625-..-Q2s~Q49qв11,21~1,692:257
Рис . 7.22 . Зависимость степени
Q
·
времени т (по результатам численно:~~~о~~~=~)ш от безра змерного фактора
l =п= '.:..._ q=O,l МПа; 2-п=З, q=0,25 МПа ; З-п=5 q=O О2б МП .
п-3, q-0,075 МПа; 5-n=З, q=O 10 МПа· б- n-5' -о'о25 М а, 4 -
п=5 , q=O, lO МПа
'
'
-
·
q-,
Па; 7-
отк у да функция В (а, n, q) б у дет приближенно равна (nри Q <
<0,7)
Окончательно, на основании выражения (7.37), будем иметь
ЗОб
(7.37)
'
Q(t)={2,26 ~~·~ ехр[ -+a(n-l)ч]} -v't .
(7.38)
На рис . 7.23 nриведено сравнение оnытных данных по консоли
дации торфяного слоя мощностью h = 2,7 м nод уnлотняющей на-
О
ЮО
200
300 t <:vт
Ри с. 7.23. Сравнение опыт-
-f
ных данных по консолидации
слоя торфа с расчетными зна-
0,05
чениями осадки во времени: l -
эксперим е нт, 2 - расчет
~",
'.._
---2
\\ '-,
-
1--3
!'.."
\~~ -- ~---
--
5'
.....
-
St/h.
грузкой q = 0,02 М Па с расчетами протекания осадки во времени
по линейной и нелинейной теории консолидации. Кривые l и 2 рас
считаны по линейной теории соответственно при начальном и конеч
ном коэффициентах консолидации (С 0 =1 ,6· 103 см
2
/сут=5,9·
-105 см 2jгод; С = =0,12·102 см 2 /сут=4.4·10
4
см 2 /год). Кривая 3
соответствует расчету по предложенной зависимости (7.38) при сле
дующих значениях характеристик: eu = 11 ,65 ; е = = 5,0; kФ0 =
=1,15 смjсут; n=5,5; a=l8 мпа- 1 • Относительная осадка St/h
выражается через степень консолидации Q при конечной осадке
S00
:-49 см по формуле St/h=0 , 182. Как видно из рисунка , расчет
ная кривая 3 хорошо согласуется с опытными данными.
Из полученных выше формул следует несколько важных выво-
дов:
а) для полностью воданасыщенных нелинейно-сжимаемых грун-
тов время стабилизации пропорционально квадрату толщины слоя;
б) время достиж ен ия определенного процента стабилизации воз
растает с увеличением нагрузки;
в) при ~=kФ 0 '1jJ, т. е. при n=l, стабилизация осадки не зави-
сит от нагрузки.
Из приведеиного решения , кроме того, вытекает, что коэффи
циент консоли даци и приближенно может быть принят в виде
-~
С= 1,93СоВ 2
или
С=Соехр[-Та(п-l)q],
(7.39)
где Со~ начальный коэффициент консолидации.
Таким образом, можно использовать для расчета результаты,
307
получ енные по линейной теории, вводя в них коэффици е нт консо
лидации в соответствии с приведе иным выше соотношением . Даль
нейшее ра з витие указанного подхода к решению одномерной зада чи
нелинейной консолидации воданасы ще нного гр у нта можно найти
в работе [25] .
7.5 . Некоторые математические вопросы
деформационной теории пластичности
Ра ссма триваются статич еские задачи со смешанными гранич
ными условиями, уравнения состояний которых заданы с помощью
конечных соотношений (5.3), (5.4) или (7.5) ( [26]) в виде
е;=ср,(и; , и)и; -Ф,(и ;, и); f.,. =cp~(a;, и)и-Ф2 (и;, и),(7.40)
здесь и; , е; - интенсивность напряжений и деформаций ; и , f. , ,
-
гид
ростатическое давление и объемная деформация. Предполагается,
что для за висимостей (7.40) выполняется условие потенциальности
(7.7) , которое в данном случае примет вид
дФt(<J; ,а)
дФ2 (а;,а)
да
(7.41) '
а деформ а ции являются малыми:
Ejk= 1/2(Ujx,+Ukx),j,k=1,2, 3.
(7.42)
Нижний индекс Xk -означает операцию дифференцирования по пара
метру м.
Приводятся достаточные условия, обеспечивающие однозначную
разрешимость рассмотренных задач и сходимость метода Бубно
ва - Галеркина (в частности, прямого метода жесткостей) при
решении эт их задач, а также дос таточные условия сходимости ме
тодов упругих решений и перем е нных параметров.
7.5.1. Обобщенная постановка задачи
Уравн ен ия равновесия трехмерного тела имеют вид ( с м . лекцию 2)
иjkx,+Xi=0, j = 1, 2, 3, (х,, Х2, Хз)ЕQ,
(7.43)
где Х1, Х 2 , Хз- компоненты вектора внешних объемных сил
Х(Х1, Х2 , Х з ). Обозначим через S границу области Q. Пу сть на части
границы sl за даны перемещ ен ия
U1=U2=Uз=O,
(7.44)
'! на оставшейся части S2=S\S1 з адана поверхностн а я нагрузка
g(gl. g2, gэ)
308
~j'
t·r
'·
~·
'
'!.
ti
.,
!)
10
(7.45)
П k, k = 1, 2 , 3- направляющие косинусы.
"
За меч а н и е 1. В случае неоднородных граничных услови~
(7.44) задача стандартным приемом сводится к соответствующеи
зад аче с однородными граничными условия~и [27] .
Предположим, что функции срj(и;, а), J=l, 2 удовлетворяют
условиям
cpi(a;, a)ECC' ) (D), j=l, 2, D=((a;, а):а;?О. lal<oo\;(7.46)
0 <m 1 :::;;;cp 1(a;, а), ср 2 (а;, а) :::;;;mz;
(7.47)
о _..--
iJФ1 (a1,a) дФ2(а;. а) 1_.. --
(7.48)
< m a::::::::::
да, '
да
::::::::::m4.
Здесь 1 - Якобиан пр еоб ра зо ва!-!ия (7.40) , а mk - всюду строго
положительные числа . Условие (7.48) для 1 обеспечивает су~ст
вование взаимно одно зна чной зависимости между векторами а (е;,
Ev) и 6 (а;, а). Пусть
a;=F 1(е,, Ev) =f 1 (е;, Ev)e;=3G"(l-wl (е;, Ev))e;;
a=F2(e;, е ,.) =:f2(e;, Ev)Ev=Ke(l-w2(e;, Ev) )Ev.
(7.49)
Ge, ке _упругие характ е ристики (модуль сдвига и модуль объем
ной деформации).
Будем считать, что выполняются следующие условия.
А. Область Q ограничена, а ее граница S- регулярная [27] ·
·введем в рассмотрение скалярное произведе ние
(u, u)н1111= ~ [3GeL(u, u) +K"evev] dQ;
\1
~(u.u)= ~ [( е i,-Еz2 )(ё11-еz2)+(е2z - Е:зз )(е22-ёзз)+
+ (е:зз- Е11) (езз - ё,1) +6(е12ё1 z + Е2зе2:з + Е:з1ёз1 )],
ёik= Ejk(u), ёv=е.,(u).
(7.50)
0 пр е д е л е н и е l . Замыкание множества вектор-функций
u(ul. U2, U з) ECC' ) (Q)' удовлетворяющих граничным условиям
(7А4) в норме , порож даем ой скалярным произведением (7.50) ,
на з ывается гильберто вым пространством Н (~2).
За меч а н и е 2. В силу неравенства Корна [28] простра~~тво
Н ( Q) является подпространством пространства Соболева W~ ( Q)
и, следовательно, является _сепарабельным, рефлексив!-!_ЫМ и равно
мерно выпуклым. Пу с'!:_ь v- след _вектор-функции u Е Н (Q) на
S. Тогда vELz(S) и llvllL , (S) :::;;;msllullн(Щ •
309
Исходя из принципа Лагранжа, введем понятие обобщенного
решения .
Определен и е 2. Обобщенным решен!fем краевой задачи
(7.40) - (7 .45) называется вектор-функция u Е Н (Q), удовлетво
ряющая уравнению
~ G;k(u)t:;k(u)dQ= ~ X;u;dQ+ ~ g;u;dS
11
Q
s,
(7.51)
при произвольных вектор-функциях uЕ Н (~2).
Б.
F;EW~-I)(Q), g;EL2(S), j=l, 2, 3.
Тогда все члены (7 .51) имеют смысл.
3 а меч а н и е 3. Решение кра е вой задачи (7.40)- (7.45) обычно
называется классическим. Отметим, что обобщенная постановка за
дачи не противоречит классической . Всякое классическое решение
является обобщенным, а при достаточно гладких входных данных
обобщенное решение задачи является классическим.
7.5.2. Однозначная разрешимость задачи
и сходимость метода Бубнова - Галеркина
Используя теорему Рисса о представлении линейного функциа
нала в гильбертовам пространстве, уравнение (7.51) можно свести
к операторному уравнению
Gu=r
(7.52)
в гильбертовам пространстве Н (Q):
(Gu. u)н щ) = ~ G;k(u)t:;k(ii)dQ.
11
(7.53)
Л е м м а 1. Пусть u, П - прои з вольные вектор-функции из Н (Q).
Тогда для функцианала E(u, u) = (Gu, U, u-u)H(Q) справедливо не
равенство
Е(u, G)?mб [ ( lle;IIL,((2) -llё;IIL,(Щ) 2+
+ (11 EuIIL,(Q) -11 eiiL,(~2)) 21.
Доказательство . В силу (7.53)
E(u. u) = ~ (G;k(u) -O" ;k (u>> (E;k(п)-:_E;k(o))dQ .
(7.54)
Обозначим через U внутреннюю потенциальную энергию. Соотно
шения (7.49) определяют вид вариации
бU=F1(e;, Eu)бe;+F2(e;, Ev)бt:u,
310
из которого вытекает представление
4
(
1
1
).
sll=g-ft(e;,~-: ,. ) ~-:~~- 2 ~-:22- 2~-: зз .
S 12= i-- f1(е;, Eu) f·\2, 1-. :±:2-.:±:3 ;
O"=f2(e;, Eu)t:v.
(7.55)
Здесь s;k- компоненты д~виатора напряжений. Из (7.50), (7.55)
следует, что
O"k;(U)E k; (u)=fl(e;, Е и )!:;(u. u)+f2(e;, Eu)E v, Eu ,
!:: (u, u) =e'f.
Тогда
E(u, u) = ~ [fl (е;, E,.)eт-fl (е;, Eu)b(u, u) -il (ё;, Ev)h(u, u) +
Q
+f 1 (ё;, Еv)ёт+f 2 (е;, Ev)E~-f2(e;, Ev)EuEv-f2 (ё;, Еи)ЕиЕv+
+f 2 (ё;, ёu)ё~]dQ.
Поскольку для любых чисел Л
о~ь (u+лu, Li+лu) =еr+2ль (u, u) +Л 2ёТ,
1!:: (u , u) 1~е;ё;, ~;.
(7 .56)
Учитывая нераiзенство (7 .56 ), получим
E(u, u)? ~ [(fl(e;, Ev)e;-fl(ё;, Еv )ё;) (е;-ё;) +
Q
+ (f2(е;, Eu) Ev - f2(ё;, Ev) Еи) (Еи - Eu)1dQ =
=
~ (F1 (е;, Eu)- F1 (ё;, Ev)) (е;-ё; ) +
Q
+ (F2(е;, fи )- F2 (ё;, Ev)) (Еи - Eu) 1dQ.
Для функций F;(e;, Ev), j = 1, 2 справедливы равенства
1
F;(e;, Еи ) -F;(ё;, Eu) = ~ :tF;(a, b)dt=
о
1
1
=~ дF;~:·Ь) dt(e;-ё;)+~ дF;~~.Ь) dt(Eu-Eu);
о
о
a=te;+ (1-t)ё;, b=tt:и+ (1-t)ev.
(7.57)
311
в силу (7.57)
1!
11 (u, u) =АЛт+2ВЛ1Л2+СЛ~; Л1 =е;-е;, Л2=ev-ev ;
1
1
А= ( дF-',(а.Ь) dt· С= ( дFz(a.b) dt;
jда
'
j iJb
о
о
1
1
В ( дF,(а,Ь) dt= ( дFz(a.Ь) dt
jдЬ
jда
·
о
о
(7.58)
Условие (7.48) обес_пе~ивает положительную определенность
квадратичной формы 11 (u, u) в (7.58) и тем самым справедливость
неравенства (7.54).
Л е м м а 2. Оператор Gu является непрерывным коэрцитивным
и строго монотонным . Для него справедливо s-свойство: если
uп~uo в H(Q) и Е(uп, u)-+0 при n-ню, то uп::;..u в H(Q).
"
Доказательство. Функции Sjk. а определяются по форму
лам (7.55) и удовлетворяют условиям lsikl ~m?e;, lal ~mвlev l·
В силу известных результатов [29] sik• aEL2 (Q) и являются не
прерывными в L2 (Q). Кроме того, для оператора Gu будет спра
ведливо неравенство
1 (Gu -Gv, u)н(щ 1~ mg(
j.k=1
-sjk(v) IL " <щ ·lle,IIL , (Q) + lla(u) -a(v) II 1_
1
(Q) ·IIЁ и llц~~>}
и, следовательно, оператор Gu Я_!lляется ·непрерывным.
Коэрцитивность оператора Gu вытекает из неравенства
(Gu. U)H(I!I = ~ (f1(е;, е,.) ef+f2(е;, Е,.)е~) dQ~
\!
11
а строгая монотонность и s-свойство оператора Gu - из неравен
ства (7.54), аналогичного условию d-монотонности в [27].
Лемма доказана.
Пусть обобщенное решение задачи ищется с помощью метода
Бубнова - Галеркина в виде
(7 .58)
312
·'"
'f.
где (\Ji• j = 1, 2, ... - система координатных вектор-функций "в ~ (~~).
Коэффициенты aj', j = 1, 2, ... . ~ определяются из нелинеинон си
стемы алгебраических уравнении
(Gun. ~i)н(111 = (f. ~1)нт1• j = 1, 2 ..... n.
(7.59)
Теорема 1. Пусть выполняются условия «а» и «б>~ (7.41),
(7.46) - (7.48). Тогда система алгебраических уравнении (7.59)
однозначно _разрешима при любом n. _ По сл ед ов а те ль но ст ь
nрибли
жений u11::;..u в H(~n при n-+oo, где u --единственное обобщенное
в смысле определения 2 решение задачи .
Справедливость теоремы 1 с~~дует из лем~ы 2, обеспечиваю
щей выполнение для оператора Gu всех условии леммы 3.2 в [27].
3 а меч а н и е 4. Если для численного решения задачи исполь
зовать наиболее распространенный вариант метода конечных эле
ментов - прямой метод жесткостей, то решение также будет
искаться в виде (7.58), (7.59), но_ координатные функции зависят
от шага n применения метода - cpj. Доказательство теоремы 1 в
этом случае будет аналогичным.
3 а меч а н и е 5. Аналогичные рассуждения будут иметь место
для с.~учая степенных зависимостей
e;=!j>1 (a;, а)а ? =ФI(а;, а) а> 1;
е,.=<:р 2 (а;, а) laiB. Ф2(а;, а) 0<~< 1.
Обобщенная постановка задачи и ее анализ в этом случае прово
дятся в банаховом пространстве В(~~) с нормой
llullв<щ = lle;IIL ,, (\11 + lle,.llцщ• р= 1 + 1/а. q= 1 + 1/~-
7.5 .3. Сходимость методов уnругих решений
и nеременных nараметров
Уравнение (7.51) с учетом (7.49) можно представить в виде
(u. u)ll(\1)-ЗG" ~ WJ (е;, е,. )~ (u. u) dQ-
1!
-К" ~ (1)2 (е; . Е,.) е,.ё,.d~~ = ~ XiuidQ + ~ giuidS .
~2
~2
s!
Уравнение (7.60) сводится к операторному уравнению
вli=u-Au-Gu-f=o
в пространстве Н(~~).
313
(7.60)
Сходимость метода упругих решений
Впервые сходимость метода упругих решений была исследована
для случая ыz =О, а ы, = ы, (е;) в работе [31]. Обобщение резуль
татов [31] на другие классы задач дано в [32, 33] и др.
Последовательность приближений метода упругих решений
определяется равенством
-
где uo - решение линейной задачи (ы 1 =ы 2 =0).
Если выполняются условия
о~ ( · )- д(w,(е;,е,.)е;)
~ы, е,,~:: ,, ~
~Л(I -~:: );
де;
1
д(w2 (е;,е,. )е,. ) 1
.
де,.
~Л.(I-~::),
~К~·· 1 д(w,(е;, f.,. )e;) 1 =- ~
д(w2(е;, Eu) Eu)
деv
У3<7- J
де;
О< Л.< 1, O<s< 1,
(7.61)
то аналогично [31] доказывается, что оператор Au нвляется опе
ратором сжатия. Рассмотрим выражение
(Ai1,-Auz, u)H(12) =3G " ~ (ы, (е;,, E v i )h (u, , u)-
Q
-ы,(е;z, Euz)h(Uz, u))dQ+Ke ) (ыz(е;,, Evi)Evi-
1!
··-ыz(e;z, Eиz)E uz ) dQ:=3Ge'Y}I + Ke'Y) z.
Представим функционал rJ 1 в виде
2'Y}I = ~ [ы, (е;,, Evi)h (u,, U) -(t)l (e;z, ful)h (Uz, U) + (Ыi (e ;z , Svi)-
1!
-ы'(e;z, e,.z)h (uz. u) + (ы, (е;,, s"') - ы, (е;,, sиz)) L (u,, u)]dQ.
Используя неравенство . (7.56), получим следующую оценку
ДЛЯ 'У}1:
1
21'YJ11~ ~ 1~дда (ы1(а,Еи1)а+ы1(а,Еи2)а)dt 1е;(u1- u2)е;(u)dQ+
Qо
1
+ ~ 1~:ь(ы1(е;1. Ь)е;1+ ы1(e;z, Ь) ~;2)dt 1 1Еи, - Еи21е;(u)dQ,
\!
о
314
а =te;, + ( 1 -t)e;z, Ь =tevl + ( l-t)Ev2·
В силу условий (7 .61) из (7.62) следует
1'У}, 1~Л.[(1 -е) 11е;(tl'- Uz) 11L,(~~) +
+e~ev,-Ev2llц12)E] Jle;(u) IIL , (I~)·
Аналогично для функцианала ч 2 получим оценку
lчzl ~л.[e$e;(u,-uz) IIL, (Щ +
+(1- 8)JIEи1- EvzJILz(щ·11Еи(U) 11L,(Щ·
Тогда для оператора Au будем иметь
(7.62)
1(Au,- Auz, u)н<RI 1~ 3G•j 1111 + Kel чz l ~А[ ( 1- s) (aza, + bzb,) +
+s(bza,+azb,)], a z =-. . /3Ge 1\e;(u,-uz)IIL, (\2)'
bz= ·Vk""llevl-eиzi\L , (Щ, а, =-.J3Gё--Jiё;IIL , (Щ, Ь, =vГKeJIЁviiL,(Q) ·
Поскольку
то
aza, + bzb, ~-Уа~ +-Ы -{ат+ Ьт ;
аzЬ,+а,Ьz~ vГаТ+Б~-../ат+Ьт; az , b z, а,, Ь,?О,
1(Au,- Au z, u)H(!!) ~ Л.ll u,- U z llн (!}) 11 ullн (!!).
и, следовательно, оператор Au является оператором сжатия
11 Au,- Auzllн 1111 ~ Л.JI u,- ilzllн(!!) .
(7.63)
Т е орем а 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и условие
(7.61). Тогда метод упругих решений сходится в Н (Q) со ско
ростью Л..
Сходимость метода переменны ·х параметров
Сходимость метода переменных параметров для случая ы z(е;, Ev)
=0 , ы 1 =ы 1 (е;) была рассмотрена в_ работах [33, 34] и др.
Последовательные приближения Un метода переменных парамет
ров для рассматриваемого класса задач определяются из уравне
ния
[f( n- 1 n- I)L(-
"')+f(n-1 n-l)n:]dQ-
1е;
,Еи
~Un,U
2е; ,8,,
Еи Ev
-
\!
(7.64)
[!
s,
315
Из (7.64) следует:
sп=) [fl(e?,e~)b(un+l-u".u)+f2 (ef,e~)(e;: + 1 _
11
-е~)€,.]dQ = ) [(f1(ef'-
1,е~-1)- f1(ef', е~))L(uп,u) +
\1
-
+ (f2(е?-1, е~ -1)- f2(е?, е~))е~Ev]dQ=
-
)[f1(eF-1
, е~ -1)- f1(eF,е~-1)+ f1(е?,е~-1)_
[J
\!
-
f2 (е?, е;~ -
1
)+ f2(е?, е~-1)-f2(е?, eZ)]Е~ €,.]dQ.
Пусть выполняются условия
о::::;;; (1- F,(e,,, E,. ,)-F,(e,z. Е,. ,) ) - 1r, (еп. f,. ,)
(e,,- e ,,)f,(e",e,,) У f,(e,2,E u2 )
j 1_ Fz(~"· е,.~)
-F2(e", е,.2) 1- 1f~(e". е,1 )
(е,.,-Е,.2)f2 (e", е,. ,)
У f2(e,2
, е,2)
1 __F _:_,(:...e::.i2': ...E _::
' " ' : .: . .) _- _:F:_:1_c _(e~i2:.:_·:::.:Е,,::,;2 ):.._ _ _
(f:,. , -
f- , . 2).jf, (е;,. е,. ,л;-(е;;, ё,.2 )
0</З<1, О<е<1.
Тогда из (7 .65) следует оценка
:::::;;;tз(l- E );
:::::;;;fЗ(I -е);
1~~~1 ::::::;;; 1З ([ (1-е)а2 + еЬ2] а1+ [еа2+ (1-е) Ь2] Ь1J,
а2= () f1(ei'-
1, e~ - 1 )er(uп-un- l)dQ) 112,
\!
bz= () f2(e?-1
, е~--1)(e~-e~-I)JdQ) 112,
\!
!1
Учитывая (7.63), будем иметь
1~п 1 ::::::;;; f3 !) (f1(е?- 1, е;~- 1)e,J(u"- uп _1) +
!J
316
(7.65)
(7.66)
~·1'
.,
а
:1'
i
n
•
11
111
+f2(ef- 1
, е~-
1
)(e~-eZ-1)
2
dQ) 112.
.
[ ~ (fl(e?, е;~)ет(u) +f2(e?, e~ ) eZ, (u))dQ) l/ 2
(!
Полагая в последнем неравенстве u=u"+ 1-Un, получим сле
дующую оценку:
~ !f1(е?, Е2)er(uп+1- u") + f2(е?, eZ) (EZ+1-Е;~)2]dQ::::::;;;
!1
__ _- f32(n - 1) \(f(o 0) 2(- -)+f(o 0)(1 0)2]dQ
~
j 1е;,Evе;U1-Uo
2 е,,е,. ev-ev
,
!!
из которой следует
11 uп + 1- uпllн< щ ::::::;;; tзп -
1
m2/m1llu1- uo llн (\!).
Аналогично доказывается неравенство
-
-
2-
-
Jlu-u1Jiн 1 щ :::::;;;tз(mz/ml) Jlu-uo1Jн< 1n,
где u -точное решение задачи. Из последних двух неравенств
следует оценка
-
-
n-1
-
-
Jluп+I-U n llн (щ ::::::;:;mlo/3 IIU-U o llн ( !! ) •
обеспечивающая сходимость метода переменных параметров.
Асимптотический вид условий (7.66) будет следующий:
дF,(е,, е,) /r ( )
)
Q::::::;;; 1 -
де,
1 е;, е,. ::::::;;; fЗ (1-е ;
1
дF2(e,,e" )/r
/
(l)
1- де,.
z(e;, Ev) ::::::;:;13 -Е ;
дF,(е,,е,) 1, 1
1
дF2 (е,. е,.)
де ,.
f,2(e,, Еи)
де,
f1 z =~(e; , е,,}Т2(е;,е~).
О<е< 1; 0<13< 1.
(7.67)
Условия (7 .67) будут обеспечивать сходимость, есть Uo нахо
дится в достаточно близкой окрестности точного решения .
Т е орем а 3. Пусть выполняются условия теоремы 1 и условие
(7.66). Тогда метод переменных параметров сходится cg скоростью
fЗ в пространстве Н (Q). Если н~чальное приближение u0 достаточ
но близко к точному решению u. то вместо условий (7 .66) можно
рассмотреть условия (7 .67) .
317
3 а меч а н и е 6. Для случая зависимостей Каудерера [26, 35]
cr;= F1 (е;) ==f1(е;)е;=ЗGе(1-ffi1(е;)jе;;
G= F2(Ev) ===' f2(Ev)Ev= Ке(1- ffi2(Ev))Ev
необходимо в условиях (7.61), (7.66), (7.67) положить с: = О.
ЛИТЕРАТУРА
1. К а чан о в Л. М. Основы т е ории пластичности. М.: Нау ка, 1969 , с. 420.
2. Новож нлов В. В. Теория упругости. М.: Судnромгиз, 1958, с. 315.
3.ОльшакВ.,МрУз3., П е ж и н а П. Современное состояние теории nластич
ности. М.: Мир, 1964, с. 244.
4. Б о т к и н А. И. Исследование напр яже нного состояния в сыпучих и свя зных
грунтах. - Изв. ВНИИГ, 1939, н~ 24, с. 153-171 .
5.3арецкийЮ.К.,Воронцов Э.И.,МалышевМ.В.,рамаданИ.Х.
Деформируемость и прочность песчаного грунта в условиях плоской деформации
при р азличн ых траекториях нагружения.- Осн ован ия, фундаменты и механика
грунтов, 1981, Н2 4, с . 25 -28 .
6.3аРецкийЮ.К.,ВоронцовЭ.И.,3алежневЮ.Е..Гарицел0вм.Ю.
О про~ностны х и деформа тивных свойствах грунтовых материалов плотины Ну
рекскои ГЭС.- Энергет. стр-во, 1978 , Н2 8, с. 58- 62.
7. КРыжановс"кийА.Л.,Чев_икинА.С.,КуликовО.В.Эффективнрсть
расчета основ ании с учетом велинеиных де форм ацион ных свойст в грунтов.- Осно
вания, фундаменты и механика гр унтов , 1975 , Н2 5, с. 37.
8. DuпсапJ.М,СhапgСhiп-Уuпg.NопliпеагAпalisis ofStгessапd Stгaiп
IП So1ls. - Jouг пal of the Soil Mechaпi cs апd Fouпdatioпs Division. -
Ргос. Рар е г
7513, S ept., 1629- 1653, 1970 .
·
~· D u nса n J. М., К а i S. W оn g. Hypeгbolic Stгess-Stгain Paгameteгs fог Non·
lmeaг fiПite Element Analisis of Stгess апd Stгaiп iп Soil Ma sses _ Repoгt
NTE-74-3. Вегсlу Uпiv. Pгess , 1974 .
·
10 . К оn d n е г N. Hypeгbolic Stгess-Stгaiп R espoпse of Cohesive Soils. -
Proc.
ASCE, 89, SM1 , 1963.
11. J а n Ь у F. Soil Cornpressibllity as Deteгmiпed Ьу Oedometeг ап d Tгiaxi al
Tests.- Eu гo pe an
Сопf . оп Soil Mechan . а пd Found . Eng. Wiesbadeп, 1963.
12 . Вя лов С. С., 3арецкий Ю. К .. Городецкий С. Э. Расчеты на прочность
и ползучесть при искусственном замор аж ивании грунтов. М.: Стройи зд ат, 198 1,
. с. 200.
13. Вялов С. С., 3арецкий Ю.К.идр.Прочностьиползучестьмерзлыхгрун·
тов и расчеты ледо пород ног о ограждения / АН СССР . М., 1962.
14. 3 аР е цк и й Ю. К. К расчету ленточных фун да ментов на нелинейно - деформи
руемом и нес днородно м осн ован ии.- Ос нования, фундаменты и механи ка грун
тов, 1965, н~ 1. с. 10- 14.
15. Горб унов-Посадов М. И., 3ареitкий Ю. К. Успехи в области теории
расчета оснований и фундаментов в СССР и за рубежом. - Основания, фундамен
ты и механика грунтов. 1973. н~ 4, с. 8--12 .
16 . Г о Р бУнов-По с а д о в М. И. О путях развития теории расчета к о нструкций
на упругом ос новани и. - Осн ован ия, фундаменть) и механика грунтов, 1963, н~ 1.
с. 1-4.
17. Широков В. Н., Соломин В. И., Малышев М. В., 3арецкий Ю. К.
Напряженное состояние и перемещения весомого нелинейно-деформируемого грун
тового полупр остран ства под крупным жестким штампом.- Основания, фундаменты
и механика грунтов, 1970, н~ 1, с. 2-5 .
18. Шир оков В . Н., Соломи н В. И., Черемных В. А., Малышев М. В.,
318
3 а р е цк и й Ю. К. Круглый штамп на нелинейно-деформируемом основанни//Тр.
IV Будап ештск ой и 111 Дунайско-Европейской конф. по мех анике грунто в и фунд а
ме нтостр оению. Будапешт, 1971, с. 757- 764.
19. И льюши н А. А. Пластичность. М. , АН СССР. 1963 . с. 272 .
20. Поп о в Б. П. Применевне анализа размерностей к опытам с nробными на~
грузками. - В кн.: Инженерно-геолог. исслед. для гид роэн ергет. стр-в а. Т. 2. М.:
Госгеолиздат, 1950.
21 . Рыбаков В . И . Осадки фундаментов сооружения. ОНТИ , 1937 .
22. В я л о в С. С. Реелогические основы механ11ки грунтов. М.: Вы с шая школ а,
1978, с. 447.
23. 3 ар е цк и й Ю. К. Вопросы консоли дац ии слабых водан асы щенных грунтов.
В кн.: Проблемы стр-ва на слабых грунтах. Рига , 1972, с. 51-64.
24. 3 ар е цк и й Ю. К . Н екотор ые воnросы теории нелиней ной консолидации.
В кн.: Докл. к Vll Междунар. конгр. по механике гру нтов и фуидамеитостроению.
М.: Стр ойизда т, 1969, с. 75- 85.
25.Абелев М. Ю., БагировЛ. А., Смагин С. А. Расчет нелинейной кон
солидации сло я воданасыщенных гр унтов методом последовательных оср едн ений.
М.: МИСИ им. В. В. Куйбышева, 1977, Н2 140, с. 90-107.
26. 3 ар е цк и й Ю. К. Теория консолидации гр унтов. М.: Стройиздат, 1967.
27. Гаевский Х.. Грёгер К., 3ахарис К. Нелинейвые операторные уравне
ния и операторные дифф еренци аль ны е уравнения. М.: Мир, 1978.
28.Мосолов П. П .,
Мясн и ков В. П. Доказательство неравенства Корна.-
Док,l. АН ССС Р , 201, 1, 36-39, 1971.
29. С к р ы п н н к И. В. Нелиней вые эллипт иче ские уравнения выс шего nорядка.
Киев: На ука ва думк а, 1973.
30. М их л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: На ука.
3 1. Вор ович И. И., Красовский Ю. П. О методе у nр угих реш е вий.-Докл.
АН СССР, 126, 4, 740- 743, 1959.
32. Б ро в к о Г. И., Л е н с кий В. С. О сходимости метода однородных линейных
nриближений в зад ачах теории nластичности несднородных тел.- Прикладнан ма·
тематика и механика. 3fi. :), 519- 527, 1972.
33. У м а н с кий С. Э. О сходимости метода перем енных n арамет ров уnругости.-
Прикла дная математика и механика. 44, 3 , 577-581, 1980.
.
.
34. Агgугis J. Н., Sсhагрf D. W. Methods of Elastoplas!Ic Analys1s.-
ISD.
Uпiv. Stuttgaгt, R ep t, NI05. Stuttgaгt, 1971.
35. Куд ерер Г. Нелинейнан механика. М.: Ин остранная литера тур а, 1961.
ЛЕКЦИЯ 8
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО
ТЕЧЕНИЯ ГРУНТОВ
8.1 . Основные факторы, определяющие деформируемость
и прочность грунтов
Экспериментальное изучение особенностей механического пове
дения грунтовых материалов показывает, что в качестве основных
факторов, опред ел яющих процесс деформирования, можно назвать
следующие [1] .
319
l. Пластические деформации грунтовых материалов . При актив
ном нагружении практически при любом уровне напряжений они
являются определяющими и составляют иногда до 95% от общих
деформаций . Отмечается нелинейная связь между напряжениями "и
деформациями, особенно ощутимая при повышенных уровнях деи
ствующих напряжений.
2. Величины пла ст ических деформаций за висят от пути на-
l·ружения и вида напряженного состояния. Иллюстраци е й влиянии
пути нагружения являются графики (рис. 8.1), на которых опреде-
..--т---r--а..., 6,,мпQ
li о,,;:.;м~n:.:::Q:...--.----т-...,
е, 0,04 0,02
р
~~~
А
А
е[ о.оо 0.04
Рис. 8.1. Влияние траектории нагружения на деформацию грунта . Суnесь
pi/ = 1 ,8 г /см 3 (nлотина Рогунекой ГЭС). 1, 2 - ном е ра траекторий нагруже
ния; а, б - различные режимы нагружения
ленному напряженному состоянию (т. А, наприм е р) соответствуют
различные величины пластических деформаций, зависящие от того ,
по какому пути нагружения достигнуто это напряженное состояние.
В реальном грунтовом сооружении в каждом его элементе за
ранее не известны ни напряженное состояние, ни траектория нагру
жения . При учете реального графика производства работ или после
довательности возведения грунтового сооружения, наличия пере
мениого воздействия его элементы находятся в условиях сложного
напряженного состояния и в общем случае нагружение происходит
по сложным траекториям, а в некоторых областях во з можна раз
грузка.
3. Дилатансия грунтов. Под дилатансией в настоящее время
понимают объемную деформацию, происходящую в результате не
обратимых сдвиговых деформаций . · Этот эффект, имеющий для кон
струкционных материалов второй порядок малости (им, как прави
ло, пренебрегают), для грунтов является наиболее значимым. На-
320
r
~-
пример , для горной массы (рваный каменный материал) или круп
нообломочных грунтов, уложенных рыхло, дилатансuонная часть
объемной деформации может быть по величине такого же порядка,
что и уплотнение от всестороннего сжатия . Дилатансия в грунтах
может быть двух законов: при сдвиге грунт либо доуплотняется
(контракция), либо разуплотняется (рис. 8.2) . Знак и величина
_
0
et
Рис. 8.2. Днлатансия грунта nри трехосном сжатии no траектории
«раздавливаниЯ>>: а - рыхлого; б - средней nлотности
дилатансионной части объемной деформации зависят от плотности
грунта; от степени приближения к предельн"ому по прочности со-
стоянию; от траектории нагружения. .
·
Учет дилатансии оказывается определяющим при рассмотрении
вопросов устойчивости и консолидации воданасыщенных грунтовых
сооружений. Дополнительная объемная деформация воданасыщен
ного грунта приведет к возникновению дополнительного порового
давления, что явным образом скажется на локальной прочности
грунта и, естественно, отразится на устойчивости · сооружения в
целом.
4. Многофазнасть грунтов. При расчетных исследованиях много
фазных грунтов определяющие соотношения следует формулировать
в эффективных напряжениях. Из этого общего положения выте
кают дополнительные требования к экспериментальным и расчет
ным исследованиям: необходимость учета изменяющейся водана
сыщенности и сжимаемости заполняющей поры грунта жидкости,
а также изменения проницаемости грунта при его консолидации.
Отметим, что путь нагружения в эффективных напряжениях в
зависимости от степени воданасыщения грунта может значительно
отличаться от траектории нагружения в тотальных напряжениях
и быть сколь угодно сложным (рис. 8.3).
11. :!а.. N• 51
321
Wопт W
--
f
---
2.
С)
.
Рис.. 8 .3. Траектории 11агружения сня:1Н01·о 1py111<J н оnы 1 е 1ю тре\
осному сжат ию: 1 -тр аектория в тота JJЫIЫХ и 2- в эф ф ект ивных на
пряжениях
5. Характер воздействия. Особ енность ю грун товых мат ериалов
являетс я существенная за~ис им?ст ь их nоведения от характера
nри ложе ния внешн"их во зде иствии. Так, деформирование несвязан
ных грунтов n од деиствием ttикл_ически nриложенной нагрузки соnро
вождается доnолните~ьны'.llи ооъемными де фор мациями по сравне
нию с эфф екто м деиствин э квивал ентной статической нагру зки .
В еличина этогорауплотн е ния грунта завис ит от nлотности грунта.
сооrее тств уюи:еи плотн ости, достигнутой к моменту начала цикли
че ского во зде и ствия. и от параметров циклического во здействия
(амплитуды, частоты и пр.). При девнато рвом tlИк ли ческ ом нагру
жени~ прои сходит доnолнительное ра з витие пластических дефор
мации сдвиг а.
Прочностны е свойства грунтов также могут за висеть от nара
мет ров ци ~'1ического во зде йствия . Влияние характера циклических
нагружении на деформируемость и nрочность грунтов должно быть
обследовано по результатам сnециально по ставлен ных эксnер и-
ментов.
·
6. Заnа здыван ие во времени nл ас тических деформаций грунтов
по отношению к напряженному со стоянию, возник ающе му nод дей
с тви ем вн ешних факторов. В грунте развиваются вязкопЛастиче
ские деформа ции. Характерно, что их время заnаздыва ния не n о
стоян но и зависит как от свойств грунта, так и от вели чин ы и ха
рактера воздействия_ Т ак, nри прибли жен ии наnряженного состоя
ния к nред ельно му время стабилизации деформ ац ий увеличива
ется [2] .
В nреды ду щей ле кции уже говорилось подробн о о том, что голо
номные связи м ежду тензорами напряж ений и деформа ций н е могут
быть в общ ем случ ае исnользованы для описания nоведения грун
тов. Во-п ервых, nотому, что траектори я нагруж е ния может быть
учтена в этих сооuтношени ях только параметрически (для каждого
класса тра ектории --свои зако ны деформи рова ния), и, во-вторых,
322
потому, что проц ессы нагрузки и разгру зк и разграничиваются ус
ловно , а введени е понятия пов е рхности нагружения не обеспечи
ва ет непрерывно сти приращен ия пластич ес ких деформаций при
пер еходе из области нагрузки в область упругих деформаций. В
деформационной теории пла ст ичности отсутствует поняти е нейтраль
ного нагр у жения .
Таким обра зом, для того, чтобы адекватно описать процесс де
формирования грунта, опр едел яющие фи з ические соотношения
должны носить форму неголономных соотношений.
Соответствующая форма тензорно-квазилинейных соотношений,
обобщающая nрив еден ную в предыдущей лек ции , может быть пред
ставлена в следующем вид е:
Efi+а1(w) ёfi+а2(w) Ёfi=
= Ао +А,(w) a;i+А2(w) cr;i+А:1(w)Gii·
(8.1)
Здесь w- парам е тр нагр уже ния , наприм ер длина траектории п лас
тиче ского деформирования.
Частные случаи приведенных соотношений:
efi= Ао +А, (w) G;i-
(8.1а)
аналог теории малых упругопластических дефо рмаций Генки, п од
робно рассмотрен в преды ду щей лекции;
ё!j =A(w)cr;i-
aнa.i!oг теории «инкрементальных соотношений»;
ifi= А(w)а;i-
аналог теории пл аст ического течения ;
Ёfi+а (w) efi =А(w) cr;i-'-
(8. 1б)
(8.1 в)
(8. 1r)
аналог теории Новожилова - Кадаwевича [3] _
Вс е тензорно-квазилинейные связи (8 . 1) , за исключ е нием вырож
де нн о га случая (8. 1а), являются неголономными и у читывают влия
ни е траектории нагружения на величину пластической деформа
ции .
Ю. И. Кадашевич [4] указал на очень важное свойство тензор
но-ква зил инейных соотнош ений тиnа (8.1), а именно : если порядок
старшей производной у членов, стоящих в левой части соотноше
ний ( 8. 1), выше порядка старшей прои звод ной у членов, стоящих
в правой части , то существу ет поверхн ость нагуж е ния, т. е. по
верхность в пр остранстве напряжений, нагружени е по которой не
прои зво дит пластической деформации.
Так, исполь зова ние соотношений типа (8.1а) и (8.1б) исклю-
11*
323
чает возможность удовлетворения условиям непрерывного перехода
из области нагрузки в область упругих деформаций.
Одним из вариантов. неголономных соотношений типа (8.1б),
допускающим учет влияния траектории нагружения, является ва
риант, предложенный В. Н. Широковым [5]. К определяющим свя
зям типа (8.1б) примыкает теория, развиваемая Л. Н. Рассказо
вым (6], названная им энергетической. Свое название модель грун
та получила, по-видимому, от энергетического условия прочности,
являющегося составной частью модели. Индикатором для опреде
ления вида нагружения служит знак приращения потенциальной
энергии деформирования.
Тензорные соотношения (8.1 в), постулирующие подобие и коак
сиальность тензора приращений пластических деформаций и тен
зора напряжений: а) учитывают влияние траектории нагружения;
б) предполагают наличие поверхности нагружения.
Эти соотношения можно получить· непосредственно; к рассмот
рению их мы перейдем в следующем пункте.
8.2. Теория пластического течения
неупрочняющихся грунтов
Модель упругопластического течения грунтов без упрочнения
предполагает следующую идеализацию их поведения. Считается,
что вплоть до некоторого напряженного состояния грунт деформи
руется упруго, а при достижении этого состояния безгранично раз
виваются пластические деформации и грунт разрушается. Иными
словами, отмечается только два состояния: а) допредельное, в кото
ром грунт деформируется упруго, и б) предельное, когда грунт
разрушается и это разрушение сопровождается накоплением плас
тических деформаций.
Критерий наступления предельного состояния, сопровождае
мого пластическим течением, носит название критерия riрочности,
о формулировке которого подробно говорилось в лекции 4. В данном
случае критерий прочности совпадает с критерием пластичности.
Следует отметить, что чаще всего критерий прочности зависит от
суммы главных напряжений (критерии Мизеса- Боткина, Трес
ка - Хилла, Кулона - Мора). Такие среды принято называть сре
дами с внутренним трением.
Н а рис. 8.4 схематически приведены диаграммы сдвигового де
формирования грунта в координатах инвариантов а; -ef в соответ
ствии с анализируемой моделью и условием прочности (типа усло
вия Мизеса - Боткина). П рименительно к модели упругопластиче
ского течения грунта без упрочнения деформации определяются:
а) в области a;<at о/(а)
324
а
о-,
Рис . 8.4. Диаграммы сдвигового деформирования (а) и nрочности
(б) грунта в соответствии с моделью уnругоnластического течения без
упрочнения
(8.2а)
б) в области a;=at(a) развинается пластическое течение и при
ращение деформаций равно
de;i= defi+ defi =H;ikldak, + defi·
(8.2б)
Для определения приращений пластических деформаций исполь
зуется принцип максимума Мизеса - принцип максимума скорости
диссипации механической энергии, который формулируется следую
ЩИ!\1 образом: скорость диссипации механической энергии в едини
це объема во время пластического деформирования имеет макси
мальное значение для действительного напряженного состояния
из всех возможных напряженных состояний, допускаемых данным.
критерием. пласти'!-ности.
"
Пусть D == a;iefi - скорость диссипации меха ни ческои энергии
в единице объема, где a;i - компоненты действительного напря
женного состояния. Максимум скорости диссипации энергии мы
должны отыскать среди всех напряженных состояний, отвечающих
условию пластичности, которое представим в форме
f=a;-at(a)=O или f(a;i)=O.
(8.3)
Заметим, что условие f(aii) =0 определяет в пространстве на
пряжений некоторую поверхность. Эта пQверхность фиксирована
и ограничивает пространство Q - область упругих состОЯI-!ИИ грун
та. Сформулированный выше принцип математ~чески означает
отыскание условного экстремума функции D = aiie~ при дополни
тельном ограничении f ( a;i) =О. По пр·авилу вариационного исчисле
ния в этом случае ищется экстремум выражения
I5 = aiiё~- i.f (a;i),
325
где ~- неопределенный множител ь_Лагранжа .
Поскол ьку э кстрем ум фу нкции D определ яетс я при варьирова
нии компон е нт напряжений , окончател ьно пол у чим
(8.4)
Отметим, что соотношение (8.4) может быть пер е пи са но в при
ращ е ниях компонент деформ а ций, так как это соотнош е ни е одно
родно относительно диффер е нциала времени:
дf
de~=dЛ-.-.
дrJ,,
(8.4а)
При пластическом де формировании напряженно е с осто яни е удов
летворяет условию пластичности f(o;;) =0 и , так как с корость дис
сипации при этом не м ож ет быть отрицате л ьной , имеет м ес то
dЛ ;;? О, если f=O и df-'-0.
(8 .5)
Усл овие (8.5) является формулировкой процесса нагрузки и
нейтр а льного нагружения одн о временно. В данном случае упруго
пластич е ского течения напряж е ния не могут превосходить некото
рого определенного предела п лас тичности и поверхность нагруже
ния f =0 фиксирована. Пла стич ес кие деформации отсут с твуют, если
напряж е ния не достигают пр е де ла текучести
dЛ=О при f< 0
(8.6)
или, если имеет место разгрузка,
dЛ=О, если f=O и df- ~ <0.
д<Jij
(8.7)
Соотношения (8.4)-(8.7) определяют так называ е мый ассоции
рованный закон пластическо г о те ч е ния, поскольку скорости пласти
ч е ского те чения связывают с я с критерием пластично с ти.
Таким образом, принцип максимума диссипации м еха нической
эн е ргии при пластическом те ч е нии приводит к формул ировк е ассо
циированного закона течения , всл едс твие которо..!д, м ожно говорить
о градиенте вектора пластической деформации de1' , та к как он на
прав ле н нормально к рег улярной nоверхности нагр у ж е ния (в точке
нагружения f=0, рис. 8.5, а).
С ледствие легко дока з ыв ае тся . Действительно , и з с формулиро
ванного nринципа максимум а Мизеса следует, что для данного
значе ния приращения компон е нт пластических де форм а ций имеет
место неравенство
(8.8)
326
1
1.
1'
Рис. 8.5. Градиснта,1ьность (а) и выпуклость (6) поверхно
сти нагружения
где о;;- действительные значения компонент напряжений, соответ
ствующие .ц,анному значению d~:f; и удовлетворяющие условию плас
тичности; о;;- компоненты любого возможного напряженного со
стояния, допускаемого условием пластичности f =0.
Формулировка осл а бл е нного принципа м а кс имума Мизеса тре
бует выполнения неравенства
o;; d efj ;:;? G; ;def; .
В векторной форме условие (8.8а) переnисывается в виде
((j - {i) d~P;:;? О,
(8.8а)
(8.9)
:!
по которому скалярное nроизведение векторов ()"- ()" и deP неотри-
цател ьно.
И:з (8.9) следует, чт о ве ктор 11а= а - а при л юбом возмож
ном д должен образовать нетупой угол с вектором deP. Из рис. 8.5, б
ясно, что последнее возможно в случае, когда вектор deP направ
лен по нормали к поверхности f=0 в точке нагружения, а сама по
верхность должна быть невагнутой (рис. 8.5 , б), т. е. лежать по
од ну сторону от ка са т ель н о й гиперплоскости в точ к е нагружения.
Таким обра зом , принцип максимума ди сс иn а ции мех анической
энергии (на пластических деформациях) накладывает оnределен
ные ограничения на возможную форму функции нагружения (или
поверхности нагружения) : а) функция нагружения должна совпа
дать с условием nластичности и б) поверхность нагружения должна
быть не вогнутой.
В основу построе н и я тео рии пластическог о те ч е ния вместо прин
циnа м~ксимума Ми зеса м о жет быть полож е н п ос тулат Драккера,
которьш утвержда ет : ра бо та , производимая доп олнительной нагруз
ко й при нагружении , буде т положительной; рабо та , производимая
дополнительной нагрузкой за полный цикл нагружения и разгруз
ки,- не_отрицательной.
327
Постулат приводит к важным следствиям. Пусть начальное на
пряже~ное состояние будет a?i (т. М о ). Дал:е предположим, что
под деиствием внешних сил вектор напряжении выходит на поверх
ность нагружения (т . М1), причем путь нагружения М 0 М 1 целиком
лежит внутри упругой области Q (рис . 8.6). Предположим, что про-
Рис. 8.6 . Пов ерхнос ть наrр у
жения и путь нагруж ени я
ведено дополнительное бесконечно малое догружение da. При пере
ме~ении точки нагружения из т. М 1 в т. М 2 приращение напряже
нии вызовет приращение пластических деформаций deP . Далее снова
вернемся в т . Мо каким-либо путем. Согласно постулату Дракке ра
для нульмерного или однородного напряженного состояния придем
к следующему:
1. Работа добавочных напряжений за весь цикл (путь М 0М 1 М 2 )
положительна :
(8.10а)
2. Работа добавочных напряжений за замкнутый цикл
(МоМ1М2Мо) неотрицательна:
[(cr ;i -cr?i) +dcr;i ]d e~~O.
(8.10б)
Соотношение (8.10б) следует из того, что на замкнутом пути
за весь цикл нагрузки и разгрузки работа добавочных напряже
ний на упругих деформациях равна нулю и, кроме того, пластиче
ская деформация происходит только на бесконечно малом участке
нагружения М1М 2.
Рассмотрим два основных случая .
А . Начальное напряжение cr~=;i=O и cr;i=;i=cr~. При этом dcr ;i мало
и в неравенствах (8.10а) и (8.10б) остается только первое слагае
мое, что совпадает с формулировкой принципа максимума Мизеса.
Б. В случае , когда a;i=a?i, неравенства (8.10а) и (8.10б) при
нимают вид
328
dcr; ide; i >O для процесса М1М 2
(8.11а)
и
dcr;ide.~~О для процесса М1М2М1.
(8.11б)
Неравенства (8. 11) исключают из рассмотрения мате риалы, диа
граммы которых обладают неустойчивостью (рис . 8 .7). Для подоб-
А
Рис. 8.7 . Неусто йчи·
вые диаграммы деформи-
~t-________ , _ С
_рования
ных мате риалов поверхность нагружения после достижения т. А долж
на сместиться внутрь первоначальной. Эти неравенства устанавли
вают ограничения на устойчивость в малом. Следуя Драккеру,
можно ввести ограничения на устойчивость в большом для произ
вольного цикла нагрузки - ра з грузки. Таким образом, постулат
Драккера накладывает большие ограничения на класс рассматри
ваемых материалов , чем это сл едуе т из принципа максимума дисси
пации механической энергии.
Постулат Драккера носит название квазитермодинам.ического,
поскольку он не является непременным следствием положений тер
модинамики, однако энергетическая его трактовка означает, что
полезная энергия не может быть выделена из системы исходных
напряжений. Постулат Драккера выделяет из всех материалов класс
устойчивых, для которых развиваются все положения теории плас
тического течения, доказаны теоремы единственности и вариацион
ные теоремы. Сделаем два замечания.
1. Условие локальной устойчивости, согласно постулату Драк
кера
dcr ;idefi ~О,
определяет неотрицательность суммы прои з ведений компонент до
полнительных напряжений на компоненты приращений пластиче
ских деформаций, или
dcr;idefi = dcr;def + dcrde~ ~О.
Поэтому наличие разрыхления на диаграмме о - е~ совсем не озна
чает неприменимости к таким материалам, как грунты, положений
теории пластического течения .
2. Если упругие константы за счет пластических деформаций
претерпевают изменения и в условиях нагрузки матрица упругих
констант H ;ik' отличается от Hfikt при разгру зке, то постулат Драк-
329
кера приводит к выводу, что вектор dё" уже не должен быть направ
лен по нормали к поверхности нагружения, а сама поверхность
может быть вогнутой , поскольку в этом случае вместо (8.1 Об)
будем иметь
(Нiikt-Hiik t ) (aii-a )j ) (a,i -a)j) + (a,i-a)j )d~:~ ;;:;:=o.
В случае идеально упругопластических сред, которые и рассмат
риваются в настоящем пункте, поверхность нагружения фиксиро
вана . Неравенство (8.11 б) при этом заменяется равенством
(8.11 в)
выражающим ортогональность входящих сюда векторов da и dёР,
и, 5ледовательно, поверхность пла стичности должна бь!._ть невогну
тои, а вектор приращения пластических деформаций de" нормален
к пов е рхности пластичности в точке нагружения.
Таким образом, для неуnрочняющихся упругопластических сред
в процес.се нагружения деформации определяются
где
и
dЛ=О при f<~ или nри f=O и df<O.}
cl f.,i = H'i" 'dakt·
(8.12б)
Теория идеальной пластичности получила большое распростра
нение для металлов и вообще для сред, не обладающих внутрен
ним трением. Впервые для сред , обладающих внутренним трением
(грунтовые материалы), ассоциированный закон пластического те
чения был применен Прагером и Драккерам [7]. Они предложили
в качестве критерия пластичности принять обобщенный критерий
Мизеса . Сейчас мы его на з ываем критерием Мизеса- Боткина;
поверхность ~агружения является поверхностью конуса Мизеса,
следы котарои на плоскости «а1 - а» и девиаторной плоскости а=
=const представлены на рис. 8.8 . Для грунтов, подчиняющихся
уравнениям теории упругопластичности без упрочнения, прираще
ния пластических деформаций на основании ассоциированного за
кона опр е деляются (при ус10вии, что f = f (а1 ; а)) по формуле
(8.13)
330
,,
а
6
6
'
О =const
оА
Рис. 8.8. Следы пове рхности конуса Мизеса на пло с ко сти « о,
-о » (а) и на девиаторной плоскости o=const (б)
где dЛ - скалярный множитель, равный
dЛ=
- - ;==d=ef=== -.
-v :;, :;,
Условие пластичности или функция нагружения в соответствии
с критерием, например, Мизеса -Боткина записывается в форме
f-f(ai, а) =a , -Coct +tg (j)~ct O.
(8. \4)
Анализ определяющих соотношений модели (8 . 13), (8.14) при
водит к следующим главным выводам: а) в допредельном состоя
нии вся деформация упруга; б) в предельном состоянии вследствие
развивающихся пластических деформаций сдвига прогнозируются
пластические объемные деформации разрыхления (дилатансия)
такие, что
de~= dЛ g~
= dЛ tg (j)~ct
или
де~t*
--
=
g (j)ocl·
def
(8.15)
Результаты экспериментальных исследований по пластическому
деформированию грунтовых материалов не подтверждают основные
выводы рассматриваемого варианта теории пластического течения.
1. В допредельном состоянии пластические деформации грунтов
значительны и зависят от пути нагружения и вида напряженного
состояния.
2. Наиболее противоречащим экспериментальным данным явля
ется вывод, по которому объемная пластическая деформация упру-
331
/
га в допредельном состоянии, а в предельном эта деформация но
сит характер разрыхления .
Если обратиться к опытным данным, то это несоответствие осо
бенно ярко иллюстрируется рис . 8.9, а также 9.14 и 9.15 (см.
лекцию 9) . Пластические объемные деформации имеют место глав
ным образом в допредельном состоянии. При этом в з ависимости
1,6
о4
----
2.
--.х-з
0,8
!
о
!
L
-6,МПсt
4
8
Рис. 8.9 . Испытания г орной массы гранита p'k= 1 ,79 r/см 3 ; m < 5 =
= 5%; 11,=0,98: 1 - данны е оnытов; 2- результаты расчета по мо
дели пластическоt·о упрочнения (лекция 9); 3 - - результ аты расчета
по модели неупрочняющ ейс я пластической среды (модель Прагера
Драккера)
332
от напряженного состояния, траектории нагружения и начальных
физических параметров грунта, прежде всего его плотности, они
могут носить характер либо доуплотнения, либо разуплотнения
(см . лекцию 5). Для во да насыщенных грунтовых сооружений, осо
бенно при сейсмических воздействиях, именно эти эффекты стано
вятся для устойчивости определяющими в связи с тем, что объем
ные деформации влияют на возникновение парового давления (в
частности, динамического парового давления).
При всей привлекательности и простоте теории упругопластич
ности без упрочнения от ее использования приходится отказаться
по двум причинам:
1. Теория неверно прогнозирует объемные деформации. В соот
ветствии с этой теорией пластические объемные деформации носят
характер разрыхления . Было установлено, что при оценке устойчи
вости откосов насыпи из неводанасыщенных грунтов это не ведет
к большим ошибкам . При рассмотрении же процессов консолида
ции и устойчивости сооружений из воданасыщенных грунтов исполь
зовать теорию идеальной упругопластичности вообще не представля
ется возможным. Действительно, в этом случае прогнозируемое раз
рыхление грунта приводит к «вакуумированию» его и, как следствие,
к отрицательным поровым давлениям.
2. При сложных путях нагружения в допредельном состоянии
могут развиться значительные пластические деформации сдвига и
объемные деформации, приводящие как к дополнительному уплот
нению , так и к разуплотнению.
дл·я отражения наиболее существенных черт механического по
ведения грунтов и приближения к действительным их свойствам
необходимо учесть не только упругое поведение и деформирование
в предельном состоянии, но и всю историю накопления пластических
деформаций в допредельном по прочности состоянии.
В заключение рассмотрим соотношения теории при сдвиге грун
та по фиксированной пов ерх ности - например, в опытах на срез
(рис. 8.1 О). В этом опыте верхняя часть образца смещается как
твердое тело, а нижняя часть зафиксирована. В тонком переходнам
слое наблюдается сильный разрыв скоростей деформаций. Выбрав
оси, как это показано на рис . 8.10, можно рассматривать фиксиро
ванную поверхность.как _предельное положени е переходиого слоя ,
в котором скор~сти u" и v" претерпевают резкие изменени~ . Можно
показать, что Е~х=О (см. лекцию 11}. Тогда, поскольку E~z=O, то
•
•
дf
Е~у ='А -д--. Поэтому верхняя, заштрихованная на рис. 8.10 область
<Jyy
п е р е мещается не только горизонтально, но и поднимается вверх.
Если в качестве условия прочности при разР.уше!-!ИИ срезом _при
нять f -т-c~+tg ср~а"=О, то деформация Е~у =А sin ер~, а ~'·~у=
333
а
5
N
d.
-
ov"
-~~
Бо' бi0.2МПj/'
/"1 .
т
ьt>n
1
-
/
ь-и"
х
58° 1
1
1
4-<1-1~
1
1,5 1,59
Рис. 8.1 О. Сдвиг песка по фиксированной поверхности в стандар тном при
боре nлоского СJ!.ВИГа: схема сд виг а образца (а); экспериментальная зависи
мость угла ct= (R.,, 1:5'V. ,) от плотн ости песка р·'• (б)
= i. co.s ер~ и. между приращениями ,компонент. скорости перемеще
ния бun и бvn имеет мес~о связь* бvn= tg ер~ бun.
Вектор напряжения Rп," действующий на элемент грунта, сдви
г~емого по фиксированнон поверхности, составляет также угол
ер" с н"ормалью к поверхности сдвига . Таким образом, ассоцииро
ванныи з~кон пластического течения предполагает ортогональность
вектора R!'(тп; an) и вектора приращения скорости перемещения
бVп{бuп; бvn). Любопытно, что в соответствии с ассоциированным
законом пластического течения мощность внутренних сил на соот
ветствующих скоростях перемещения зависит только от сцепления
грунта, а диссипация энергии для несвязных грунтов равна нулю:
D = TnбUn+anбvn = с~6uп;
при с~=О диссипация 0=0 .
Наши многочисленные опыты по простому сдвигу, nриведеиные
на рис. 8.1 О, б, не подтверждают выводов теории идеальной упру-
* Вывод
этих соотношений чрез вычайно прост, если учесть, что т.,=
'1'
•
дf
=аху; а.,=а.ч.ч и Ехх= =Л--- =0 . Кроме того, так как 1\v.,-hey.ч и бu.,-h~xy
дххх
(h - толщина переходнога слоя,
)
·
fyy
•
стремящаяся к нулю , имеем бv_., =
-.-
бu.,.
Еху
334
гоnластичности. На рис. ~ . 1 О б nоказана зависимость угла а, со
ставленного векторами (R п . Л бV11 ) , от nлотности и с пытанных nес
чаных грунтов. Этот угол , как видно, весьма далек от угла, рав
ного л/2.
8.3 . Неассоциированньtй закон течения
Функция П называе тс я nластическим nотенциалом, если спра
ведливо соотношение
д/1
def=dЛ--.
1
да;i
(8.16)
При ассоциированном законе течения пластическим nотенциа
лом является функция нагруж е ния (условие пластичности или гра
ница уnругой области) , т . е. П - f.
Вектор приращения nластических деформаций направлен по нор
мали к nоверхности равного nотенциала П = coпst. Поэтому если
пластический nотенциал не совпадает с условием nластичности
П =!= f, то вектор приращ е ния пластической деформации не ортого
нален границе упругой области и в связи с этим объемная дефор
мация может быть м е ньше, чем это прогнозируется на основании
ассоциированного закона течения. Однако для неассоциированных
законов принцип максимума Мизеса и постулат Драккера не вы
nолняются .
Самое nростое nредл ожение по формулировке вида nластиче
ского nотенциала П может быть сделано на основании того, что ,
как это следовало и з пр ед ыдущего рассмотрения , так называемая
•
([fl:
скорость дилатансии Л=--· - равна
def
•
дli
л= ---а;;-.
(8.17)
Принимая по аналогии с f=f(a 1, а) зависимо с ть Jl(a1, а) в виде
П(а,; а) =a, -ctct +g 'P~ct а,
легко nолучаем соотношение
'IJ~ct = а гctg Л.* ,
(8.18)
где Л* - nредельная скорость дилатансии.
Параметр 'IJ~ct потенциала nластичности II можно связать с пара
метром условия пластичности ер~с 1 в виде
'IJ~c l = ep~cl- L1~c/,
335
(8.19)
(8.20)
Считается, что скорость дилатансии при разрушении мало зависит
от траектории нагружения и вида напряженного состояния и может
быть принята в виде некоторого параметра грунта, зависящего от
начального его состояния [8, 9] .
На рис . 8 . 11 приведена типичная зависимость Л.= ~ от дефор
dеf
а
JD=1
Р
Л
5
Ev'
РС13vnлотнение
!! плотненке
~nлотнение
Рис. 8.11. Тиnичные з ависим ост и дилатансии грунта о т де фо рм а ций
сдвиг а (а) и скорости дилат а нсии от де формаций сдвига (б) для нес вяз
ных грунтов различной отно с и тел ьн о й плотности llJ
мации ef. Проведеиные нами. ис следования с мелкоз ерни с тым пес
ком пока з али , что скорость Л* существенно зависит от траектории
нагружения , в чем легко можно убедиться, взгл янув на табл. 8.1
результатов тре~осных испытаний при '"'"" = + 1, в которой приве
дены значения Л* .
Таблица 8.1
р'''= 1,49 г/см3
1[)=0,98;
р''· = 1,77 г/см3
iaзlt; а1= 02 =const ,=cOIJstiaJI = lo~l{la., Jt; а1=a2=coпst з=constlo11= la21t
тра е ктория 1
траектория 11
траектория 1
траектория 11
0,8 МПа
0,01 3
1,6 МПа
0,016
2.4 МПа
0 ,020
0 ,06
0.06
336
0 ,045
0 ,05
0 ,05
0,17
0,1 7
0,1 7
Таким образом , исполь з ование неассоциированного закона плас
тического течения з атруднительно прежде всего . потом у, что пара
мет~ этого закона , а именно с корость д илатансии , не является
постоянной характеристикой грунта. Помимо этого , для неассоции
рованного закона течения н е выполняется nринцип максимума дис
сиnации энергии и остается открытым вопрос о доnредельных плас.
т ических деформациях.
В заключение рас с мотрим вариант теории nластического тече
ния без уnрочнения грунта в условиях плоской де формации е2=О.
Примем в качестве крит е рия nластического теч е ния критерий Ку
лона - Мора, который з аnисывается в главны х напряжениях в
форме
f_ GJ
-
03
2
(8.21)
В соответствии с этим критерием и а с социированным законом
течения de~ = dЛ дд:'i nриращение объемной nластической дефор
мации будет равно
(8.22)
Рассмотрим nриращение нормальной и сдвигавой составляющих
n л астических деформ а ций d e~ и dy~ на _площадке, характеризуемой
направляющими косин ус а ми нормали v(n , т =0 , l ). Составляющие
деформации d e~ и dy~ выражаются чере з приращения главных нор
ма л ьных пластических де фор м аций в форме
dE1 + de1
de1- de3
de ~ = ---:2,..---~ -
2
cos 2а,.;
d
р _ de1-de§
.
2
Yv-
2
SIП а,,
(8.23)
где а,- угол меж д у нормалью к площадке v и направлением
главной нормальной деформации Ё1.
Подставляя в (8. 23 ) соотношение (8.22) , получим
dр_i_(1_ cos2а,)dр.
Е,, -
Ev,
2
sin qJ~
(8.24)
На площадках пла стического течения (рис . 8.12), нормаль к кото
рым расположена под углом л/4-ср: /2 к напр а влению алгебраи-
337
Рис. 8.12 . Площадки пластического течения
чески наибольшего главного напряжения, деформация d e~ =O (по
скольку cos 2а , = sin cr: при а , = л /4-сr:/ 2), а на площадке, распо
ложенной перпендикулярно рассмотренной, т. е. nри а,= л/ 4 + cr: / 2,
деформация de~ = de~. На площадке максимального сдвига , т. е.
при а , =л/4, деформации dy~=dy~zax и dE~=d е~/ 2.
Таким образом, в соответствии с ассоциированным законом те
чения на площадке пластического течения, определяемой условием
пластичности Кулона -Мора, нормальная составляющая дефор
мации отсутствует, а nриращение деформации сдвига по этой пло
щадке равно
dy~= dy~;/U.. cos cr: .
Более подробно можно отметить , что в соответствии с ассоцииро
ванным законом течения и условием пластичности Кулона - Мора
образуется зона сдвига, которая характеризуется тем, что вдоль
поверхности сдвига (а F =л / 4 - ср:/2) она нерастяжима, а скольже
ние сопровождается изменением объема, реализующимся в направ
лении, перпендикулярном скольжению (а,. =л/4+сr: / 2) .
Если использовать неассоциированный закон течения, выбрав
пластический потенциал в виде
(8.25)
то нетрудно видеть, что на площадке с нормалью v буд е м иметь
338
1(
cos2а, ) р
d~:-~=
-
2
1-
de v.
siп (tp:-~*)
(8 .26)
При этом угол ~*. как уже отмечалось, определяется по пре
дельной скорости дилатансии из выражения, аналогичного (8.22)
т. е. ~*=cr:-aгcsin А*.
(8.27)
По аналогии с углом внутреннего трения можно ввести угол ди
латансии ср1 такой, что
тогда
.
*
·
\·*
SIП CfJ<i = 1
,
~*=«:р:-ср1 .
Выражение (8.26) теперь перепишем в виде
dР_
...!._ (1_ cos2а,)dр
€,, -
.
ev.
2
SIП tp~
(8.28)
(8.29)
(8.30)
Таким образом, в соответствии с неассоциированным з.аконом
течения на площадке пластического течения, определяемои усло
вием пластичности Кулона- Мора, приращение нормальной со
ставляющей деформации не равно нулю и определяется выраже-
ни ем
.Р_ 1(
siп'Р~)dр
de" -- 1-
.
E-v ·
2
SIП tp~
(8 . 30а)
С другой стороны, если считать, что разрушение грунта проис
ходит по площадкам, на которых отсутствует нормальная состав
ляющая деформации ( d~:~ =0), то эти площадки расположены так,
что нормаль к ним наклонена к направлению главного напряжения
под углом а,.=+ (л/4-ер1/2). На рис. 8.\3 с помощью диаграммы
Рис. 8.13 . Полож е ни е площадок
р аз рушения на диаграмме Мора
339
fv}.opa показано положение площадок разрушения, определяемых
этим условием в случае ассоциированного и неассоциированного
законов пластического течения .
Рассмотрим в заключение формулировку условия прочности
А. Л . Крыжановского [ 1О], по которой разрушение происходит на
тех площадках, на которых dE~ = kde~. Тогда, из (8.30) следует, что
k= ~(\_ cos 2а, )
2
sin <р:\'
или
cos 2а.,= (I- 2k)sin <р~.
Пусть а. , =± (л/4-'Ф/2), где 'Ф- характерное направление пло
щадки . При этом получим простое соотношение
'Ф = arcsin [ ( l-2k) s in <р;\')],
(8.31)
откуда выясняется верхний предел значений k ~ 1/2 и следует:
а) при k=O 'Ф=<р~ (условие Кулона- Мора);
б) при k=l/2 'Ф=О и площадка наклонена под углом 45°
(условие Треска - Хилла);
в) при k=l/4 -ф=arcsin(l/2sin<p~).
Значения угла ~J для случая «В» даны в табл. 8.2.
Таблица 8.2
9,8 °
18,75 °
20,7 °
22,5 °
25,7°
Таким образом, с позиций неассоциированного закона пласти
ческого течения объясняется гиnотеза разрушения А. Л. Крыжа
новского, по которой разрушение в соответствии с законом сухого
трения Кулона происходит на площадке, оnределяемой условием
dE~ = kd e~ . При этом положение nлощадки зависит от свойств со-
,
стояния грунта и траектории нагружения , а угол трения по плос
щадке скольжения остается постоянной величиной.
8.4. Теория пластического течения с упрочн.ен.ием.
При сложных путях нагружения в доnредельном состоянии мо
дели упругопластической среды, основанные как на ассоциирован
ном, так и на неассоциированном законах течения, неудовлетвори
тельно описывают процессы деформирования грунтовых материа
лов и, в конечном итоге, не дают nравильной оценки устойчивости
грунтовых сооружений. Для отражения наиболее существенных черт·
340
1
2
6
7
8
9
1n
механического поведения грунтов и приближения к действительным
их свойствам необходимо учесть не только его упругое деформиро
вание и деформирование в предельном состоянии, но и всю исто
рию накопления пластических д~формаций в допредельно~ состоя
нии. Представляется, что теориеи, адекватно описывающеи все су
щественные моменты механического поведения грунтовых мате
риалов, может служить теория течения упрочняющейся пластиче
ской среды. Теория пластического уnрочнения прогнозирует воз
можное развитие остаточных деформаций в процессе нагружения
в допредельном по прочности состоянии.
Грунт является упрочняющейся пластической средой, что иллю
стрируется уже простейшими испытаниями., типичная диаграмма
которых приведена в координатах «а;-е;» на рис. 8.14. Условие
б
'
Ри с. 8. \4 . Типичная диаграм
ма дефор м ир о вания грунтовых
материалов
начала возникновения пластических деформаций отмечается кри
терием are. который на диаграмме помечен т . А, т . е. ai(A) =are.
Этот критерий никогда для реальных грунтовых материалов не
совпадает с критерием прочности a't . В отличие от диаграмм, изо
браженных на рис . 8.4, пластические деформации накапливаются
и в допредельном состоянии. Дело не в том, что участок диаграм
мы испытаний в допредельном по прочности состоянии нельзя аппро
ксимировать линейной функцией, как это сделано на рис. 8.4, а
в том, что на этом участке процессы разгрузки и нагрузки не совпа
дают. При нагружении грунта за пределом упругости (т. е. при
а;> a'f e - G; (A)) ДО Т. В предел упругоСТИ ИЛИ предел ПЛаСТИЧеСКОГО
ТеЧеНИЯ увеЛИЧИВаеТСЯ ДО a'f e = ai(B), ПОСКОЛЬКУ Теперь ПрИ ПОВТОрНОМ
его нагружении (после разгрузки из т. В) упругие деформации в
грунте будут наблюдаться в диапазоне а;~ ai(B! и тем самым пре
дел пластичности повысится до значений a't e= G; <B! ; иными словами,
грунт упрочнится . Напряжение ai(BJ является текущим пределом
пластичности, разграничивающим упругую разгрузку и нагружение,
которое сопровождается дальнейшей пластической деформацией.
В случае сложного напряженного состояния в пространстве на
пряжений (aii) совокупность пределов упругости образует некото
рую поверхность ~. которая является границей между напряжен-
Э41
ными состояниями, деформации при которых подчиняются закону
Гука, и областью пластичности . В отличие от неупрочняющегося
материала область упругих деформаций в грунте в процессе дефор
мирования изменяется. Граница L между упругой и пластической
областями носит название поверхности нагружения . Поскольку
область упругих деформаций в процессе нагружения изменяется
то изменяется и граница этой области, а следовательно, поверх~
ность нагружения зависит от некоторых так называемых парамет
ров упрочнения, изменяющихся в процессе накопления пластиче
ских деформаций.
Предполагается существо в а ни е конечной системы пара метров
и констант, определяющей со"стояние эл:мента среды. В шестимер
· ном пространстве напряжении указаннон системе параметров соот
ветствует поверхность нагружения f ( a;i; ~;~; шk ; ck) =О .
При нагружении упругопластических изотропно упрочняющихся
сред поверхность текучести однородно расширяется . На рис. 8.15
а
<5
Ер
Рис . 8.15. Поверхности нагружения (а) и диаграмма деформиров а ния
(б) прн н а груж е нии изотропной среды
показано, как изменяется след пов е рхности нагрvжения при нагру
жении по лучу ОМ1М 2 , последующе й разгрузке M2 M 10MI и нагру
жении другого знака MIM2. При независимости пределов пл : tс
тичности от перемены знака деформации материал считается изо
тропным.
Для того чтобы математически описать расширение поверхности,
необходимо, чтобы в качестве аргументов функции нагружения вы
ступали параметры упрочнения. Они должны быть скалярными ве
личинам~, которые зависят от истории нагружения, значений на
пряжении и накопленных значений пластических деформаций, но не
342
.-
,·
il
..
··.
·'
..,
..
10
зависят от скорости напряжения . Известны две формы задания
параметров упрочнения:
а)
Ш;= ~ O";jdEI'j ,
L
где L- траектория деформаций;
б)
ш; = ~ ldefl = ~ l2defid e!'il;
(8.32)
(8.33)
В первом варианте (8.32) параметр упрочнения выражает ра
боту пластической деформации, а во втором (см. формулу (8.33)) -
длину траектории деформирования , выраженную в форме накоплен
ной величины интенсивности пластической деформации сдвига (па
раметр Одквиста). Параметры упрочнения- скалярные, сугубо
положительные величины. Оба аргумента остаются постоянными,
если приращения пластической деформаtщи не происходит:
dш;=О при defг-0.
(8.34)
Как показал Д . Блэнд, параметры упрочн е ния (8.32) и (8.33)
эквивалентны для любого квадратичного или линейного условия
текучести.
Для грунтовых материалов упрочнение связано с накоплением
не ·только пластических деформаций сдвига, но и необратимых
объемных деформаций е~ . Поэтому в качестве лараметра упрочне
ния мы предлагаем ввести также параметр упрочнения вида
Шv = ~ стdё~,
(8.35)
L
выражающий работу на пластических объемных деформациях, либо
nараметр упрочнения вида
ш,. =-) dё~,
(8.36)
l.
где L- длина траектории объемного деформирования.
· Таким образом. для грунтовых материалов функция нагруже
ния принимает вид
(8.37)
Здесь Ck - материальные константы.
Рассмотренная схема упрочнения не учитывает эффекта Баушин
гера, т. е. эффекта изменения предела текучести за счет пред
шествующей деформации другого знака. В этом случае говорят,
343
что мате~иал приобрел свойство анизотропии в результате предва
рительнон деформации . Следовательно, поверхность нагружения не
только изотропно расширяется, но и претерпевает перемещение как
целое, т . е . трансл~ционно движется в наnравлении вектора nласти
ческих деформации, как это показано на рис. 8 . 16.
м;
-б
Рис. 8.16. Поверхности нагружения (а) и диаграмма деформирования
(б) nри нагружении анизотроnной среды
Поэтому более полная форм а математической з аписи функций
нагруж е ния в случае анизотроnного уnрочнения будет иметь вид
(8 .38)
где Г;; определяет перемещение центра поверхности нагружения .
В . Прагер впервые предложил описать анизотроnное упрочнени е
предполо~ив, что беско~ечно малый переход dг;; зависит от nри~
обретеннон пластическои деформации, т . е. dг;; = ade~ . Аналогич
ное предnоложение было сделано Ю. И . Кадашевичем и В . В. Но
вожиловым [3] .
На диаграммах 8.16, 6 сплошной линией отмечены зависимости
напряжений от деформаций при однократных независимых нагру
жениях . Пунктирам показана диаграмма после предварител ьной де
форм~ции среды другого знака. Для уnрочняющейся упругопласти
ческои среды процессы нагрузки , разгрузки и нейтрального нагру
жения формируются следующим образом.
Процесс, сопровождающийся накоплением пластических дефор
мации, называется проц ессом нагружения. Конец вектора догруже
ния лежит на nоверхности нагружения . Процесс нагружения свя
зан с изменением поверхности , т . е. нагрузка имеет место , если
344
1
•
-
1
,
...
'
t
Процесс разгрузки реализуется, когда
либо f <0,
}
либо f=0 и d'f<0;
(8.40)
а нейтральное нагружение имеет место nри
f=O; }
df =d'f =0.
(8.41)
Точки поверхности нагружения , в окрестности которых функция
нагружения дифференцируема по ач и в которых, следовательно,
имеется единственная нормаль к поверхности, называются регуляр
ными. Поверхность нагружения не обязательно должна быть глад
кой. Кусочио-гладкие nоверхно сти нагружения, имеющие особен
ности в виде ребер и угловых точек, можно описать при помощи
некоторого конечного или бесконечного числа гладких функций:
f,(a;;; wi; w~; ...) =0;
(8.42)
г=1,2, 3, ..., n.
Упругой области соответствует отрицательное значение всех
функций f, <О при г= 1, 2, 3, ... , n. Точка нагружения может при
надлежать одной или нескольким функциям нагружения (8.42) из
всего числа кусочио-гладких функций. Как обычно, вводятся поня
тия нагрузки, нейтрального нагружения и разгрузки.
А. Если приращение напряжений сопровождается приращением
пластических деформаций, то подобный процесс называется нагру
жением . Конец вектора напряжения в этом случае должен лежать
на пов е рхности нагружения. Процесс нагружения упрочняющегося
тела связан с изменением поверхности нагружения. Наrружение
будет иметь место, если приращение напряжений таково, что хотя
бы для одной или нес кольких функций f, из общей совокупности
(г= n) выполняются соотношения
f(r= l.2...., m)=0; df(r=l ,2. ... m)=O;}
d'fcr = 1. 2.
.т)>О; m<n.
(8.43)
Б . Разгруз ка происходит, если приращение вектора напряжений
таково, что
345
либо fc, = '· 2. .. .тJ<О,
}
либо f
0d
(r=l,2, ...,m)= И
'f(r=l ,2. ..., т)<O.
В . Нейтральное на гружение р е аJtизуется, если
(8.44)
f(r=1.2, ..., m)=0 И d'f(r=l,2, ... ,m)=0.
(8.45)
Соотношения между наnряжения
ских деформаций основываются б ми и приращениями пластиче-
скорости диссипации механиче ? ычно на принципе максимума
могут быть nолучены как следсс;воиие работы (принцип Мизеса) либо
динамического постулата Драккера. фундаментального квазитермо-
Из этого принципа следует, что
o;id e~? а;idеfj .
Переписанное в векторной фо
·
показывает что при люб
рме приведеиное вы we неравенство
-
·
ых допустимых нап
<J ij вектор догрузки си--а) б
ряженных состояниях
р~щения пластических ~ефо~м~а:::_т нетупой угол с вектором при-
Из приш~иnа максимума Ми
функцией наrружения обобще з~са следует ассоциированный, с
,
нныи закон течения В. Койтера [ 11 J:
de~'· =~d1 ' дf,
lj
L..J r... --
r
дoij
(8.46)
где dЛ' ~О - некоторые с а
тель dЛ' обычно принято ~а~:~~~ь~~т~а~~~етр~. d~fкалЗярный м ножи-
нулю, если f,<O или d'f <О
-с,гr-
десь с, равно
d'f,? O.
'
и равно единице , если f, =O и
При этом суммирование nрои з водится по
жения, для которых выполняются
тем функциям нarpy-
no каждой поверхности f -0
условия" (8.43). Иными словами
дится определение векто~;- пр~~аствующеи в наrружении, произво~
а . результирующий вектор н:~ения пластических деформаций,
(рис. 8.17) .
одится как векторная сумма
346
• Рис 8.17. РезуJrьтирую
щии вектор приращения n лас
тиче с кой деформа rщи deP
..
·~
При нагружении всл едствие накопления пластических деформа
ций все поверхности f, =O перемещаются, хотя нагружение осу
ществляется только по одной или нескольким поверхностям г= m
из общего числа г= n . Поверхности должны перемещаться, однако,
таким образом, чтобы точка нагружения всегда принадлежала по
верхности, ограничивающей область упругих деформаций.
При полном нагружении для всех поверхностей нагружения,
образующих данную особенность, все dл' = " > О , при неполном для
некоторых значений г (из числа г= n) dЛ' =0. Смещение точки
нагружения из особой в регулярную происходит, е сли· лишь един
ственный пластический множитель отличен от нуля, а остальные
равны нулю.
Полные деформации складываются из упругих и пластических.
Соотношения (8.46) определяют неголономную свя з ь между компо
нентами тензора деформаций и напряжений. Как следует из (8.46),
функции нагружения f, играют роль потенциалов для приращений
Пластических деформаций, регулярная часть поверхности нагруже
ния обладает свойством градиентальности (рис. 8.\8). Принципи-
а
Рис. 8.18. Нанравлени е вектора nриращения nла с тич ес ких де формаций nри
догружении: в регулярной точке поверхности нагруж е ния (а); в сингулярной
точке поверхности нагруж е ния (б); в точке поверхности н а гружения при изме
нении геометрии поверхности (в)
альное отличие от деформационной теории пластичности здесь со
стоит в том , '!_ТО направление вектора приращений пластических
деформаций d~:;~', на основании (8.46), фиксировано и совпадает
с направлен!!ем нормали . От величины и направления век!ора до
гружения do зависит лишь величина модуля вектора 1de~' 1- Так ,
если вектор догрузки л е жит в касательной rиnерплоскост~ к регу
лярной части поверхности f =О, модуль вектора 1 dё~'l равен нулю
(нейтральное нагружение). При нагружении _? особой (сингуляр
ной) точке повер~ности направление вектора de~' зависит от наnрав
ления вектора da. но эта зависимость ограничена так называемым
пластическим углом, образованным нормалями к соответствующим
347
касательным плоскостям регулярных частей поверхности в данной
точке (см. рис. 8.18, 6).
В последнее время рассматривались теории, в которых сингу
лярность поверхности нагружения связывается не с ребрами или
углам~, имеющими место в исходном состоянии, а с конической
точкои, которая следует за траекторией нагружения; при этом гео
метрия поверхности нагружения существенно изменяется
(рис. 8.18, в). Такие теории (С. Батдорфа и Б. Будянекого [12]
Дж. Л .• Сэндерса [13] и др.) первоначально выдвигались как не~
которь!и новыи подход в теории пластичности. Однако, как показал
В. Коитер [ 11], они могут быть рассмотрены как частные случаи
обобщенного ассоциированного закона теории пластического упроч
нения (8.46) для срt:;,д с сингулярной поверхностью нагружения.
В качестве простеишего варианта теории скольжения приведем
вариант теории пластичности, разработанный в работе Сэндерса
[13].
Ранее мы рассматривали изменение поверхности нагружения в
процессе пластической деформации в виде подобного изотропного
расширения, трансляционного перемещения либо комбинации этих
двух движении. В теории скольжения коническая точка следует
за путем нагружения и геометрия поверхности нагружения в про
цессе пл,астического деформирования существенно изменяется.
Дж. Л. Сэндерсом предложен один из вариантов теории скольже
ния, с.?гласно которому поверхность нагруж~·ния состоит из плоских
гранен (рис. 8.19). Теория Сэндерса предполагает:
Рис. 8.19. Поверхность на
гружения в теории Сэндерса:
нагружение при движении одной
плоскости (а); нагружение при
движении двух плоскостей (б)
--
если точка нагружения находится на одной из плоскостей
образующих поверхность нагружения, то по мере нагружения эт~
и только эта плоскость перемешается параллельна самой себе в
одном направлении;
--
величина приращения пластической деформации лропорцио
нальна леремещению плоскости·
·,
--
если точка нагружения dопадает на ребро, пересекающиеся
плоскости перемешаются каждая параллельна себе в одном направ
лении, . а приращения пластической деформации вычисляются для
каждои плоскости отдельно, а затем складываются;
348
--
если вектор догрузки в точке пересечения nлоскостей направ
лен вне угла, образованного плоскостями, то nеремешается только
одна плоскость (рис. 8.19, а);
--
если вектор догрузки направлен внутри этого угла, то пере
мешаются обе плоскости (рис. 8.19. 6).
Гипотеза Сэндерса не описывает эффекта Баушингера, и взаимо
действие между nлоскостями отсутствует. Это предложение явля
ется достаточно упрощенным. В работе Сэндерса, правда, оговари
вается возможность взаимодействия между плоскостями нагруже
ния, однако механизм, описывающий это взаимодействие, не при
водится.
Легко видеть, что обобщенный ассоциированный закон пласти
ческого течения В. Койтера включает в себя теорию скольжения
и в том числе теорию Сэндерса, уточняя при этом, что означает
«пластический угол», внутри которого приращения пластических
деформаций определяются движением частей поверхнос~и нагруже
ния, примыкающих к особой, в том чис.nе и коническои точке на
гружения .
8.5 . Д иссипативная функция.
Принцип максимума Циглера
Диссипативной функцией называется функция, определяющая
скорость диссипации механической энергии в единице объема среды:
D = ai;Ёf;.
(8.47)
В nространстве напряжений диссипативная _функция интерпр~-
·рв
·р
тируется скалярным произведением векторов а и Е • ектор 1::
определяется на основании обоб.шенного ассоциированного закона
течения. Для данного вектора i;,P диссипативная функция опреде
ляется однозначно (рис . 8.20). Поэтому диссипативная функция
задается как функция, зависящая от компонент скоростей пласти
ческих деформаций, накопленных значений пластических деформа
ций и параметров упрочнения:
(8.48)
Построение теории упрочняющейся пластической среды может
быть осуществлено исходя из определения диссипативной функции.
Аналогично пространству напряжений вводится шестимерное
пространство скоростей пластических деформаций, в которо!\;1 декар
товы координаты точки сqответствуют комnонентам тензора е~. Каж
дому зна'!~нию тензора ef; соответствуют точки этого пространства
и вектор i:P.
Функция (8.48) в пространстве скоростей пластических дефор-
349
dtp
д'
D=const
с
Ри с. 8.20. Функ1~ия наrружения (а) и диссипативная функция (б)
маций при фиксированных значениях Efi и w;, wv определяет поверх
ность равного уровня диссипации механической энергии.
На рис. 8.20 показано соответствие между поверхностью нагру
жения в пространстве напряжений и поверхностью равного уровня
диссипативной функции. Выпуклым участкам функции f =О соот
ветствуют выпуклые участки D = const; особенностям А, В и С функ
ции нагружения соответствуют участки невагнутости А' А'; В'В';
С'С' диссипативной функции и, наконец , участку невагнутости СВ
функции f =0 соответствует острый угол C'D'B' .
Г. Циглером (141 был введен принцип максимальной скорости
диссипации, аналогичный принципу максимума Мизеса. В принципе
максимума Мизеса варьировались напряженные состояния и раз
ыскивались напряжения, удовл е творяющие условию текучестсри, до
ставляющие максимум скорости диссипации механической энергии.
В принципе максимума Циглера варьируются скорости пластиче
ских деформаций, удовлетворяющие данному уровню диссипации
энергии и доставляющие максимум скорости диссипации при задан
ном напряженном состоянии.
Принцип максимума Циглера з аписывается
(8.49)
где ~Р - вектор возможных скоростей пластических деформаций.
И з неравенства (8.49) следуют невагнутость поверхностей рав
ного уровня диссипативной функции и ассоциированный закон на
гружен~:~я:
(8.50)
350
откуда
и
( 8.51)
Предположим, что D - однородная функция порядка m компонент
о
дDо
l
~:fi - Тогда mD= --
0
-
t:fi и, следовательно, df.L= -.
Так, если m=2
д~
m
(D - однородная квадратичная функция компонент ~~ ) , соотноше
ние (8.50) определит свя з ь u ;i - t:fi для вязкой жидкости.
В случае, когда 0 0
-
однороднаяфуню~ия первого порядка отно
сит ельно компонент ~::fi , и з (8.51) имеем dfl = 1 и
дD
U;j= --0-.
д!:'{!;
(8.50а)
дD
Вследствие того, что --
0
-
-
функции однородные нулевого по-
д<f;
рядка относительно ifi, можно получить конечное соотношение вида
[151
f(U;j; Е~; щ; Ck)=O.
(8.52)
Функция (8.52) представляет собой , как показано в работе (151,
функцию нагружения и , следовательно,
о
одf
Efi = dЛ -д---
.
.
CJ,I
Из принципа максимума Циглера следует принцип максимума
Миз е са, и наоборот.
Действительно, рассмотрим две пары напряж е ний и скоростей
ПЛаСТИЧеСКИХ деформаЦИЙ U ij( 1) ; Oij(2) И ffj(l ); f fj(2) , СООТВеТСТВеННО
отвечающих одной и той же функции нагружения и одному и тому
же уровню диссипации механической энергии при фиксированных
з начениях ~::.fi; w;; c k:
f (Oij(l); Efj; W;; Ct,) = f(Oij(2); ~;fi; W;; Ck);
дf
Efj( l ) =dЛ-- при Gij( l);
дСJ,,
дf
efi(2) = dЛ -- при Oij(2);
дCiij
Gij(l )~fi(l) = Oij(2)f~(2)·
351
(8.53)
Согласно принципу максимальной скорости диссипации Циглера
(8.49) , можем записать неравенство
a;;c2J (if;c2) - ёfi(l)) ~о.
Здесь роль возможных компонентов скорости пластической де
формации играют [f; = ~fi(IJ· Учитывая последнее соотношение
(8.53), предыдущее неравенство можно переписать:
( a;i(l J- a;;(2 J) Ёfi(l J ~О,
что соответствует утверждению принципа максимума Мизеса. Ана
логично доказывается и обратное утверждение.
Таким обра з ом, модель пластического тела может быть выве
дена либо через определение функции нагружения, либо через опре
деление диссипативной функции, однородной первого порядка отно
сительно компонент скорости пластической деформации [15].
В обоих случаях следует формулировать соответствующий прин
цип максимума.
8.6 . Термодинамика пластического течения
Первый закон термодинамики , как известно, записывается (см .
лекцию 2) в виде
(8.54)
где dU- приращение внутренней энергии элемента рассматривае
мой среды; dQ - теплота, полученная элементом среды; а;; dв; ;
-
приращение работы внутренних напряжений на соответствующих
приращениях деформаций.
Второй закон термодинамики записывается для обратимых про
цессов в виде
8ds-dQ=0,
где 8- абсолютная температура; s- энтропия;
для необратимых процессов
8ds-dQ~O .
Примем, что
8ds-dQ=xiidef; ~о.
(8.55)
(8 .55а)
(8.55б)
где х;;- пока неизвестный тензор второго порядка . Если dвf;=O,
то имеют место только обратимые процессы и выполняется (8.55).
Из (8 . 55б) следует, что приращени е энтропии ds можно пред
ставить в виде двух слагаемых
ds = dsвнеш + dsвнутр. '
352
.t
t
J
1
d внеш.
dQб
б
где слагаемое s
=
-
0
-
о условлено теплоо менам с окружаю-
щей средой и называется притоком э нтропии , тогда как ds"" yтp =
=
+x;;dвf; не зависит от теплообмена и называется порождением
энтропии внутри системы.
При этом приток энтропии может быть двух з наков, а порожде
ние энтропии имеет только положите ль но е значение. Процесс , для
которого ds =0, на з ывается изоэнтропийным.
Таким обра зо м, процессы называются обратимыми или необрати
мыми в зависимости от того, будет ли равно нулю или отлично от
нуля порождение энтропии.
Рассмотрим далее свободную эн е ргию элемента, которая по
определению равна
F= U -8S.
(8.56)
Примем далее, что F = F (ef;; (J); 8), т . е. свободная энергия зависит
от упругих компонент деформаций. Тогда dF = dU- 8dS- Sd8 и,
используя выраж е ния первого и второго за конов термодинамики
(8.54) и (8.55б), будем им ет ь
~ dEf;+ ~ d(J)+ ~ d8=
де,;
дш
де
=G;;def; + (a ;; -X;;) dE~-Sd8.
(8.57)
Если dE ~. О , то {J}-0 и F=F(ef;; 8), и из предыдущего соотноше
ния получим известные связи
дF
дF
0";;=-д,; S= ---.
Eij
дО
(8.58)
Связи (8.58) остаются справедливыми и для упругопластиче
скоrо состояния, т. е. примем, что напряжения и в упругопласти
ческом состоянии однозначно определяются упругими деформация
ми (например, на основании закона Гука). При этом из (8.57)
и (8.55б) будем иметь
ХdeP-аdeP.
,;F d(J)2 0
l}
lf-
IJ
IJ- --а;;;-
~•
Прим ем параметр упрочнения в форме
d(J)=G;;dEf;.
(8.59)
Тогл.а соотношение (8.59) переписыва ет ся в компактном виде :
11
x;;dвf;= d(J) ( l - ~= )~О
(8.60)
x·· =a··(l-~) 20
'J
'1
дtо
~.
,.,
t;.., _м51
353
В том случае, когда F = F (ei;; 8; w), как в упругом, так и в
упругоnластическом состоянии, из (8 .60) сле дует положительность
параметра упрочнения, т . е. d<u ~О. Это условие необратимости
впервые было предложено Прагером. Из (8.60) такж е следует
Gij =
__x
_ ,"-
i--
1-~дw
(8.61)
Для формулировки определ яющих уравнений состояния следует
прибегнуть к дополнительным пр ед положениям, не вытекающим из
законов термодинамики. Так, пр ед полагая, что
дD
Xij =
-- ---:;--,
д>., /
где D -- диссипативная функция , пол у чим [ 16]
G;;= -----
l- _a_r
дu>
дD
а в предположении F = F (ef;; 8) получим частный вид
дD
G;;= - -.-.
йffJ
(8.62)
(8.62а)
Уравнение (8.62) устанавливает зависимость между напряже
ниями и скоростями пластических деформаций. Таким образом,
найдено выражение закона течения в форме (8.50) .
В месте с тем из (8.62) е ще не следует вып уклость поверхности
равного уровня диссипации энергии. Выпуклость пов е рхно сти опре
деляется формулировкой принципа максимума Цигл ера.
Определяющие уравн е ния для широкого класса н еу пругих твер
дьiх тел были сформулированы Г. Циглером [ 14], А. А . Вакуленко
[17], И . И. Гольдевблатом [18], А. М. Фрейдентал е м и Х. Гейрин
гер [ 19], Л. И. Седовым [20] и др.
ЛИТЕРАТУРА
1.3арецк~1й Ю. К.,Ломб<tрдо В. Н. Модели и расчеты нескальных осно
ваний гидротехнических сооруже ний и плотин и з грунто в материалов.-В кн.:
Проектир. и и сслед. оснований ги д ротехн. соо р уже 1шй. Л.: Эне ргия , 1980.
2. 3 а р е цк и й Ю . К. Нов ая конце nция вязкоп .~астического течения грунтов.
В кн.: Тр. lll Всесоюз. симно :~. по реолuгии грунтов 3- 8 сент. 1979 г . Е реван,
1980 .
3. Кад<t111\'вич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитываю
щая остаточные мнкронаnряж е нии. --- ПММ, 22, 1, 1958.
4. К а д а ш е в и ч 10. И. О р<t з,l нчны х вариантах тензорно-лин ейных соо тношений
в теории пластичности.- В кн.: Исслед. по уnругости и пла ст ичн ост и. Л.: ЛГУ,
1967, N2 6. с. 39 -4[>
354
•
5. Ш н рок о в В. Н. Моде.~ь нeynpyгoii сыпучей среды H<J основе теории nла ст и
че с кого течения. - В кн.: И сслед. по ст роит. меха нике и меха нике гр у нтов. Челя
бинск, 1973, N2 113, .:. 9 - 17.
6. Рассказ о в Л. Н. Грунты как материал тела плотины .- Гидротехнич. стр-во,
1973, N2 8, с. 40- 43.
7. Dr uсkег О. С., Ргаgег W. Suil Mechanics and Plastic Aпalysis ог Limit
D es igп.- Quaгt. Appl. Mech., 10 , 157, 1952.
8. Строг а н о в А. С. Анали з nлоской пластич ес кой деформаци и грунта.-- Ин
женерный журнал, 1965, т. 5. в ыn. 4. с. 734-742 .
9. М а л ы ш е в М. В. О линиях скольжения и траекториях nеремещения частиц
в сыпучей среде. - Основания, фундаменты и м еханика грунтов. 1971, N2 6,
с.1-5.
10. Крыж а н о в с кий А. Л. Закон Кулона и разрушени е грунта nри простран
ств е ином наnряженно-деформированном состоянии - Гидротех н . стр-во, 1982, N2 12,
с. 50- 55.
11 . К ой т ер В. Т. Общие теоремы теории у пруr ·о nла стическ их сред. М.: Ино ст ран
ная литература, 1961.
12. Ваtduгf S. В., Вudiа11skу В. А Mathem<tlical Тhеогу of Plasticity Ba-
sed 0 11 the Co11cept of Slip. - -
NACA TNI871, 1949.
13. S а 11 d е г s !. L . Plastic St гess-Stгa i11 Relatioпs Based 011 Lineaг Loading F-'un c-
tions . -
Proc. 2nd LJ. S . Nat. Co ngг. of Appl. Mech. N . У., 1954.
14. U и г л ер Г. Экспериментальные принцивы термодинамики необратимых про
цессов и механика сnлошной среды. М.: Мир, 1966.
15. И е в л е в Д. Д., Бы к овце в Г. И. Теория уnро,rняющегося пластического
тела. М.: Наука, 1971.
16. Ольшак В., Мруз 3., П е ж и н а П. Современное состоя ние теории пластич
ности. М.: Мир, 1964, с. 244.
17. В а к у л е н к о А. А. Термодинамическое исследова ние связей между наnряже
ниями и деформациями в и зо троnных уnругоnластических средах.- Докл. АН
СССР, 126, 4 , 736 - 739, 1959.
18 . Го л ь де нблат И . И . Н екото рые воnросы механики де формир уем ой среды.
М.:· Гостехтеоретиздат, 1955.
19. Фрей д е н т а ль А. М., Г е й ринг ер Х. Математические теории неуnругой
сnло шной среды. М.: Физматгиз, 1962.
20. Седов Л. И. Механика сnлошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1973.
ЛЕКЦИЯ 9
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГРУНТА
9.1. Вводные замечания
В настоящей и следующей лекциях излага ется разработанная
и опубликованная в работах [1, 2] модель вя зко пластического тече
ния грунтовых мат е риалов. Прежде всего рассмотрим грунты, не
обладающие реологическими свойствами и подверженные действию
статически приложенных напряжений. В лекции 10 математическая
12*
355
формулировка модели грунта будет расширена с целью учета фак
тора запаздыt~ания деформаций и характера воздействия, отлич
ного от статич еско го.
Предлагаем ая математич ес кая формулировка механического
пов еде ния грунтовых материалов основывается на обобщенном ассо
циированном зако не течения уnрочняющихся п ласти чески х сред
В. Койтера. Такой по дход был вы зва н тем, что только в этом ва
рианте теории пластического течения доказаны теоремы един ствен
ности и получ ены формулировки вари а ционных принципов (см . лек
цию 11). Обобщенный ассоциированный зако н течения основан на
nринципе максимума дисси пации энергии nри nластическом тече
нии для действительного поля напряжений и в то же время вклю
чает в себя как частный случай различные варианты так называе
мой теории скольж ения, допуская существование сингулярной по
верхности нагружения.
Теория течения упрочняющейся пластической среды строится
принципиально на тех же соотношениях , что и теория течения упру
го пластической среды. Отличие заключается лишь в том, что функ
ция нагруж е ния зависит от некоторых парам етров, называ емых
параметрами упрочнения. В качестве таких парам етров могут быть
выбраны пла стичес кие дефор мации и, так им образом, в проаессе
допредельного состо яния развивающаяся поверхно сть нагружения
определяет в з ависимости от траектории нагр ужения и вида этой
поверхности величину и направление вектора прираЩения пласти
ческих деформаций. Математическая формулировка поверхности
нагружения конкретизирует форму определяющих уравнений связи
и тем самым определяет формулировку модели грунта.
За последние десятилетия выбор формы поверхности нагруже
ния для гранулированных сред занимал большое место в исследо
ваниях крупнейших специалистов. Вслед за обобщением Д. Дракке
рам и В. Праг еро м своей модели на трехмерный случай [3] Д. Драк
кер, Р. Гибсон и Д. Хенкель [4] добавили к своей поверхно сти
текучести (конусу Ми зеса - Драккера - Прагера) сферическую
часть (сферический «колпачок»), которая имеет возможность сме
щаться всл едствие у прочнения при уплотнении материала. А . Енике
и Р. Шил д [5] допустили возможность расширения вследствие
упрочнения всего конус а Драккера. Уже первы е работы в этой
области, относящиеся к грунтовым среда м, пр едставл яли поверх
ность нагруж ения в вид е за мкнутой расширяющейся поверхно сти.
Замкнутость поверхности нагружения позволяет учест ь основную
особенность гранулированных сред - возможность пластической
объ;мной деформации уплотнения ( eg ) при нагружении. Сфериче
скии «колпачок» в модели Драккера (рис. 9.1) определяет при его
пересечении вектором догружения уплотнение среды, т. е. развитие
пл асти ческих объемных деформаций сжатия.
356
1••
Рис. 9.1 . Поверхно сть наrруж ен ия
-
(5
1
Дракк е ра- Пра rера
Необходимо отметить развиваемую почти два десятилетия мо
дель упрочняющегося пластич еского течения грунт а, созданную в
Кембридже и носящую в настоящее время название «Cam-Clay».
Развива.1ась она на простой физической основе, имеющей непо
средственное отноше ние именно к грунтовым материалам (подробно
изложена в монографии А . Скофилда и П. Рота [6]) . В [7 -9]
экспериментально уста новл ен вид пов ерхности нагр ужени я для пес
чаных грунтов различной плоскости и получены нез амкнуты е поверх
ности нагружения. Обзор работ по пластичности грунтов дан в [10].
Исследованию теории пластического упрочнения грунтов посвя
щена работа В . А. Иоселевича и Б . И . Дидуха [ 11] , в которой изу
чены поверхности нагружения, формирующиеся при пластическом
деформировании песчаного грунта . В пространстве главных напря
жений это поверхности капл евид ной формы, ориентированные вдоль
пространственной диагонали и располагающиеся внутри пов ерх
ности предельных состояний (внутри конуса Мизеса - Шлейх ера).
Всл ед за этим исследованием в отеч ест венной литературе опуб
ликован ряд работ, посвященных экспериментальному изучению по
верхности нагр ужени я грунт овых материалов [12 - 15].
В работе Б. Н. Николаевского [16] дается вывод варианта тео
рии пластичности, основанного на введ ении двух условий пластиче
ского де формиров ани я. Первое из них - это условие предельного .
состояния в форме Мизеса :- Шлейх ера, а второ е
-
кинематиче
ское условие в форме deg = Л*deP, где Л* = s in ер~- скорость дила
тансии, определяемая опытным путем. В качестве параметра упроч
нения предлага ется взять завис имости угла внутр еннего трения и
скорости дилат ансии от пористости, также определяемые экспери
ментально. Для замыкан ия модели Б. Н. Николаевский предл агает
принять связь между текущим углом внутреннего трения и ско
ростью дилатансии, например, в форме, данной П . Роу [17]:
.
*
k-l+(k+l) s in<p~
SlП ерм =
---'--'--'---'--
k+1+ (k-Г)sin<р~
где k - некотор ая константа.
357
---·-·--
·-
------~--------------------------
В опытах Э. Коула [18], Д. Кумуласа (19] и наших экспери
ментах указанная связь в допредельном состоянии не однозначна
и зависит от траектории нагружения.
9.2. Экспериментальные исследования
Анализируя многочисленные данные экспериментальных иссле
дований и различные теоретические предложения, можно в целом
констатировать, что теории пластичности, в которых понятие по
верхности нагружения отсутствует, слишком «вольно» обращаются
с направлением вектора приращения пластических деформаций
вплоть до отказа от существования процесса нейтрального нагруже
ния. В то же время концепция гладкой поверхности нагружения
и ассоциированн2го закона течения жестко регламентирует направ
ление вектора_dЕР и независимость этого направления от вектора
догружения da. Введение сингулярности в функцию нагружения и
использование классических построений теории обобщенного ассо
циированного течения упрочняющейся пластической .среды (типа
Койтера) кажется наиболее перспективным направлением при реше
нии задач механики грунтов.
Формулировка функции нагружения, ассоциируемой с поверх
ностью границы упругих деформаций, должна отражать следующие
специфические для грунтовых материалов особенности механиче
ского поведения.
1. При нагружении в грунтах возникают значительные пласти
ческие деформации как в допредельном, так и в предельном по проч
ности состояниях. При этом пластические деформации возникают не
только при формоизменении. Объемные деформации в грунте также
являются остаточными.
2. Значения пластических деформаций зависят не только от
уровня приложеиных напряжений, вида напряженного состояния
и других факторов, но самым существенным образом - от пути
нагружения.
3. Сдвигавые пластические деформации грунтов сопровожда
ются остаточными объемными деформациями (дилатансия). Дила
тансионная часть объемных деформаций может быть как положи
тельной (разрыхление), так и отрицательной (доуплотнение).
4. При гидростатическом обжатии возникает область упругих
деформаций, в пределах которой не только объемные, но и сдвиго
вые деформации упруги.
5. Для грунтовых материалов отмечается в некоторых случаях
влияние направления вектора догружения на направление вектора
приращения пластических деформаций.
Перечисленные особенности поведения грунтов учитываются сле
дующим образом:
358
а) наличие остаточных объемных деформаций в грунте пред
оJJределяет замкнутость поверхности нагружения;
б) отражение дилатансионных свойств грунтов возможно при
формулировке функций нагружения, зависящих от первого инва
рианта тензора и второго инварианта девиатора напряжений;
в) развитие пластических деформаций грунта в допредельном
состоянии может быть учтено зависимостью формы и положения
rюверхности нагружения от накопленных пластических деформаций
объема и деформаций формоизменения;
г) область упругих деформаций, возникающая при гидростати
ческом обжатии грунта, учитывается введением начальной поверх
ности нагружения;
д) изменение направления вектора приращения пластических де
формаций в зависимости от направления вектора догружения может
быть учтено наиболее просто, если поверхность нагружения имеет
особые «конические» сингулярные гочки.
Ниже приводятся результаты осуществленной М. Ю. Гарицело
вым программы экспериментальных исследований (20], основными
целями которой являлись:
1) изучение закономерности формирования области упругого де
формирования (области, в пределах которой проявляются только
упругие свойства грунта) и ее трансформации в процессе направ
ленного изменения напряженного состояния.
2) выявление роли траектории нагружения в процессе объемного
и сдвигового деформирования грунтов; оценка влияния траектории
нагр·ужения на величину и направление вектора приращения плас
тических деформаций.
Опыты выполнены на приборах трехосного сжатия при flи = + 1,
т. е. а1 = а2 > <Jз (все компонен"Гы напряжений сжимающие). Нагру
жение образцов цилиндрической формы высотой 120 мм и диамет
ром 60 мм осуществлялось изменением всестороннего давления жид
кости на заключенный в тонкую оболочку образец, а также осевой
нагрузки, передаваемой от нагружающего устройства через шток на
торец образца. Опыты проведены по консолидированно-дренирован
ной схеме испытания. В процессе опыта фиксиравались осевые
перемещения и изменения объема жидкости в боковой полости ра
бочей камеры прибора, что позволило определять главные деформа
ции Е! =Е2; Е:з.
Песок испьпыв;. rся в воздушно-сухом состоянии при плотности
1,64 г /см 3 , соответствующей относительной плотности I0 = 0,8. Об
разцы песка формиравались непосредственно в приборе по специаль
но разработанной методике с использованием разъемного металли
ческого цилиндра. Уплотнение песка до заданной плотности дости
галось постукиванием по ограждающей образец форме резиновым
молоточком. Сохранение образцом формы после удаления цилиндра
359
обеспечивалось натяжением тонкой резиновой оболочки, эквива
лентным гидростатическому обжатию образца а 0 = -0,150·
·10 -
2
мпа.
Подготовка супеси к опытам заключалась в отсеве фракций
крупнее 5 мм, замачивании грунта до заданной по условиям испы
таний влажности и длительном выдерживании в герметическом
объеме при периодическом перемешивании. Плотность и в.~ажность
образцов из супеси назначены в соответствии с результатами стан
дартных уплотнений по методу Проктора. Для того чтобы избежать
возникновения порового давления, грунт испытывался при влажно
сти на З% ниже оптимальной и плотности «скелета» 1,80 г jсм 3 , что
составляет 0,95 от плотности «скелета», достигаемой уплотнением
по ~етоду Проктора при данной влажности. Цилиндрические образ
цы супеси формиравались в разъе мном контейнере прослойным
трамбованием . Высота слоя составляла 15 мм. Определение плот
ности в ра зл ичных зонах контрольных образцов, не подвергавших
ся испытаниям, показало достаточную их однородность.
Первичная обработка полученных результатов выполнена на
ЭВМ по программе, которая позволяет учитывать необходимые
тарировочные поправки, влияние изменения геометрических разме
ров образца на напряжения, а также разделять общие деформации
на пластическую и упругую составляющие .
Опыты для оценки возможного влияния реологических свойств
грунтов на результаты исследований проведены по траектории «раз
давливания » (а 1 =a2= const; dа э< О) от начального гидростати
ческого обжатия а0 = -0,7 МПа . Для супеси получено, что дли
тельность испытания на этапе дсвиаторного нагружения в диаnа
зоне от 20 мин до трех суток не ока з ывает влияния на зависимость
деформаций от напряжения. Тем не менее, в связи со спецификой
данных исследований, установлены жесткие критерии условной ста
билизации деформации на ступени нагружения:
•
-
61
ез:::;:::8·10 --;
""""'
мин
•
51
Ev ~2·10 - --.
мин
В зависимости от траектории нагружения принятые критерии
условной стабилизации деформаций приводят к длительности опы
тов с супесью от 4 до 11 сут. Длительность опытов с песком состав
лялаот5до8час.
В соответствии с изложенными выше задачами исс.IJедования с
каждым из грунтов (песком и супесью) выполн е ны по пяти сериям
опытов.
Опыты первой серии (рис. 9.2, а) проведены с целью изучения
закономерностей упругого деформирования. Для выделения упругих
составляющих общих деформаций по достижении напряженных со
стояний, пом е ченных на схеме точками, проводилась разгру зка до
360
а.
СеРия 1
СеРия 2
<5
Рис . 9.2 . Тра ектори и нагруж ения, ре ализов а иные в пяти сериях опытов
состояния а 1 =а2 =аз =0. Опыты выnолнены по траектории «р аз
давли вания » от значений всестороннего обжатия - ао= ( 1, 3, 5 , 7.;
9) , 10 - 1 М Па с разгрузкой о т несколь к и х напряженных состоянии
как на участке гидростатического сжатия, так и на участке «р аз
давливания». Тарировочные nоправки на сжимаемость жидкости,
вводимые в расчет в этой серии, определ ялись для каждого опыт а
индивидуально по специально разработанной методике. Упругие
составляющие де формации вычисляли сь по отношению к ра зме рам
образца после снятия нагру з ки.
•
•
Опыты второй (рис. 9.2, 6) и треть.е и (рис. 9.2, в) серии прове
дены в целях и зу чения влияния траектории нагружения на законо
мерности пластического деформирования и прочностные характ е -
1
/z 12.Зак.
-"" 51
361
ристи~и гру~тов. Соnоставление результатов испытаний второй и
nервон серии позволило оценить влияние'повторности нагружения
на прочностные и деформативные свойства грунтов.
В третьей серии нагружение в каждом из опытов проводилось
вначале по траектории «раздавливания», а дальнейшее изменение
напряженного состояния, вплоть до предельного , достигалось сни
жением среднего сжимающего напряжения при постоянном значе
нии интенсивности напряжений (о,= coпst, do >О). Для каждой из
траекторий _<~раздавливания», выполняемых от значений -ou = (3;
5; 7; 9) · 10 МПа, проведено по три-четыре таких опыта.
В оnытах четвертой серии (рис. 9.2, г) · изучались з акономер
ности формирования области упругого деформирования грунта и ее
трансформации в процес се изменения напряженного состояния. В
проведеиных исследованиях каждая точка границы области упру
гого деформирования определялась в отдельном оnыте при соответ
ствующем напряженном состоянии. Так, область упругого дефор
мирования, формирующаяся в процессе нагруж е ния грунта до на
пряженного состояния « В» , обследовалась следующим образом . На
nервом этапе nроводилось нагружение по траектории « раздавли
вания » до т. В, после чего в каждом отдельном опыте осуществля
лась одна из траекторий, обозначенных на рис. 9.2 , г стрелками.
Появление приращений пластических деформаций на этих траекто
риях указывало на пересечение границы области упругого поведе
ния грунта. Такие обследования выполнены с каждым грунтом для
нескольких напряженных состояний . Ступени изменен~:~я напряжен
ного состояния по о, и о выбирались достаточно малые и назнача
лись в пределах 0,003 ~L\ o,~0,015 МПа; 0,008~L\o~0,025 МПа
в соответствии с величинами действующих напряжений, видом тра-
ектории и т. п.
.
Появление пластических деформаций выявля л ось прежде всего
по данным измерений общих деформаций и вычислении nластиче
ских деформаций (с:~= c:,i - r:fi). При этом упругие деформации опре
делялись на основании реально полученных (по данным системати
ческих разгрузок) диаграмм упругого поведения грунта. Кроме
того, использованы данные опытов первой серии, пока з ывающие,
что вязкоупругие свойства исследованных грунтов незначительны,
в связи с чем л юбое заметное изменение общих деформаций во
времени на данной (ма лой) ступени изменения напряженного со
стояния предполагает пластическое деформирование. Это второе
дополнительное услови е, определяющее начало процесса пластиче
ского деформирования, хорошо согласуется с результатами , полу
чаемыми и з д~:Jаграмм «н апряж е ние - деформация». Такая методи
ка определения начала nроцесса пластического деформирования
испо~ьзо вана при анали зе ре зуль татов оnытов третьей и четвертой
серии.
362
Пятая серия опытов проведена с целью выявления влияния на
nравления догружения _на направление вектора nриращений плас
тических деформаций dc: P, для чего от ряда напряженных состояний,
наnример от напряженного состояния К (рис. 9.2, д), проводились
в каждом отдельном оnыте догружения по различным наnравле
ниям.
Изучение закономерностей упругого деформирования в опытах
nервой серии показала, что при нагружении диаграмма «напряже
ние- деформация» линейна , т. е. модули упругости постоянны.
При разгрузке обратимые деформации грунта нелинейно зависят
от напряжений, и поэтому модули упругости не являются постоян
ными и существенно отличаются от соответствующих модулей упру
гости грунта при нагрузке .
На рис. 9.3 представлены результаты изучения закономерно
стей, по которым формируется область упругого деформирования,
здесь же выявлена начальная область упругих деформаций, обра
зующаяся при гидростатическом обжатии. Предварительное уплот
нение грунта всесторонним давлением приводит к тому, что после
частичной разгрузки последующее приложение к(lсательных напря
жений вызывает появление остаточных деформаций только на уров
не напряжений, превышающем некоторый предел, определяющий
nоверхность нагружения, которая может быть связана со структур
ной прочностью грунта.
е, 0,08 0,04
о
с:J,МПа
Рис. 9.3. Зави си мость nриращения nластич ес ких де
формаций от наnравления вектора догружения. Оnреде
ление сингуля~ной точки nоверхности нагружения . Суnесь ,
p'k =l,80 г /с м, W=Wопт=0,03
363
Испытания супеси показали, что три участка границы области
упругого деформирования (II, III, IV) можно для упрощения пред
ставить в виде прямых линий. Пересечение этих участков векто
ром догружения сопровождается в основном необратимыми дефор
мациями.
Испытания проводились от напряженного состояния, достигну
того в процессе нагружения по траектории «раздавливания» при
начальном гидростатическом обжатии <Jo =- 0,3 М Па, и показали,
что напряженное состояние, характеризуемое т. К (рис. 9.3), при
надлежит участку III границы области упругого деформирования.
В процессе нагружения от т. К по траекториям 1 и 2 вектор df~'
имеет различное направление, при этом на траектории 2 направле
ние вектора практически совпадает с направлением оси. Аналогич
ные результаты п.?лучены во всем исследованном диапазоне напря
женных состоянии при испытании супеси.
Таким образом, т. К должна классифицироваться как особая
(сингулярная) точка, и ее следует рассматривать как коническую
особенность, закономерно следующую за траекторией нагружения.
"Рассмотренные результаты эксперимента подсказывают возмож
ны"и вид границы области упругого деформирования. Приняв в даль
неишем границу этой области за поверхность нагружения, приходим
к необходимости введения некоторых принадлежащих ей сингуляр
ных конических точек, а следовательно, и к признанию необходимо
сти использования обобщенного ассоциированного закона течения
В. Койтера.
Правомочиость принятия предлагаемой формы поверхности на
гружения, закономерностей ее развития и наличия сингулярных
точек может быть подтверждена лишь сравнением эксперименталь
ных исследований по сложным траекториям нагружения с теорети
ческим прогнQзом.
3 а м е; а н и е. Опыт показывает, что практически любая точка
отмеченнои границы упругой области обладает сингулярностью.
Иными словами, при нагружении в любой точке границы упругой
об~асти направление вектора приращения пластических деформа
ции зависит от направления вектора приращения напряжений.
Пр"авда, эта зависимость ограничена некоторым конусом направле
нии, поэтому сингулярность точки нагружения может быть отне
сена к конической особенности, и изложенное является скорее не
иск~ючением, а правилам. В связи с этим построение математиче
скои модели грунта, отражающей указанные особенности поведе
ния, может быть проведено по четырем направлениям:
1) на основе деформационной теории пластичности·
2) применяя предположение о неассоциированном ~аконе плас
тического течения;
3) основываясь на
дорфа и Будянского;
теории скольжения, развитой в работах Бат-
364
1;
4) предполагая существование ограниченного числа сингуляр
ных точек границы упругой области.
Первое направление может быть использовано в ограниченных
случаях, поскольку при этом голономность связей между напряже
ниями и деформациями предполагает полную зависимость направ
ления вектора приращения плас:_тических деформаций df:P от на
nравления вектора догружения da (что противоречит данным экспе
римента), отсутствует непрерывность между пластической и упру
гой областями (отсутствует понятие о нейтральном нагружении),
а законы деформирования должны быть определены для каждого
класса траекторий нагружения.
При использовании второго направления физическая основа тео
рии течения- принцип максимума диссипации энергии (принцип
Мизеса) неприменим. В связи с этим отсутствует возможность обо
снования единственности решения задач пластичности. КQоме того,
необходима формулировка закона отклонения вектора dёР от нор
мали к поверхности нагружения, что, как показывают эксперимен
ты, сделать практически невозможно, поскольку это отклонение за
висит и от свойств грунта, и от траектории нагружения.
Третье направление является, по-видимому, наиболее обоснован
ным, однако реализация теории скольжения приводит к значитель
ным усложнениям.
Наконец, последнее направление, которое развито в настоящих
лекциях, является и теоретически обоснованным, и практически
легко реализуемым. Предполагается использование обобщенного
ассоциированного закона Койтера при наличии ограниченного числа
сингулярных точек поверхности нагружения.
9.3. Математическая формулировка модели грунта
Суммируя результаты экспериментов по обследованию поверх
ности, разделяющей упругие и пластические состояния грунта, мож
но высказать предположение о ее форме. Так, показан (рис. 9.4)
след этой поверхности на плоскости «<Ji- <J», состоящий из четы
рех регулярных невагнутых участков, первый из которых отражает
фактор усечения предельного конуса Мизеса - Боткина при поло
жительных значениях <J, т. е. в области растяжения. Второй повто
ряет завис11мость между <Ji и <J в предельном состоянии, т. е. <Ji=
= <Ji (а), но только параметры этой зависимости. очевидно, изме
няются с накоплением пластических деформаций. Четвертый вер
тикальный участок определяется возможным накоплением объем
ных пластических деформаций при догружении по оси <J, а третий
участок - некоторый переходный.
·
Считая возможным использовать обобщенный ассоциированный
365
Рис. 9.4 . След nоверхности нагружения nредлагаемой математической мо
дели грунта на nлоекост н инвариантов «а; - а»
закон пластического течения, принимаем указанную границу за по
верхность нагружения. На рис. 9.5 показаны направления векторов
приращения пластических деформаций при расположении точек
~'агружения на различных ее участках. Оси координат def и de~
совмещаются соответственно с осями а; и а.
Предлагаемая поверхность нагружения, очевидно, определяется
следующими параметрами: а:,.Р -сопротивление отрыву (в некото
рых случаях допускается использовать параметр Н*= c~c,ctg <p~ct);
текуЩие углы <р и 1jJ и, наконец, координаты особой точки D. На-
Рис. 9.5 . Наnравления вектора nриращений nластических де
формаций
366
чальная поверхность определяется углами <ро и 1\Jo и значением
Рстр (см. рис. 9.4). Таким образом, функциями упрочнения, т. е.
функциями, изменяющимиен в зависимости от накопления пласти
ческих деформаций, являются координаты точки D; tg <р и tg 1\J, а
параметрами - tg <ро ; tg 1\Jo; Рст р; C~ct; tg <p~c t; а:Тр·
Для рационального задания вида функций упрочнения обратим
ся к следующему возможному «физическому» подходу в объяснении
построения функции нагружения. Пластическая деформация грунта
связана с процессами накопления и залечивания дефектов струк
турь!. При этом развитие дефектов ведет к объемному разрыхле
нию грунта, а их залечивание - к уплотнению [21-231 .
А . Нагружение характеризуется тем, что точка нагружения на
ходится на участке поверхности II и сопровождается только раз
рыхлением грунта, поэтому этот участок поверхности «физически»
связан с процессами накопления дефектов структуры. Число де
фектов структуры N определяется экспоненциальной зависимостью
(см. лекцию 1) . Аргументом этой зависимости служит разность
между действующим напряжением и пределом, который опреде
ляет возникновение дефектов структуры.
В данном случае действующим напряжением является а;, а пре
дел, которому соответствует возникновение дефектов в упрочняю
щейся среде, изменяется и определяется диаграммой сдвига, т. е.
диаграммой в координатах «G ; -ef»:
а1 = а!"Ф; (ef),
(9.1)
где функция Ф1 (еf) заключена в пределах О~Ф;~ 1, а af=c~,,
-
а tg <р~,1 • Поэтому можно положить, что математическое ожида
ние числа накапливающихся дефектов (см. лекцию 1) равно
М (Nч) = N~ ехр (а [а;- а!"Ф; (ef) 1}.
(9.2)
Положим также, что начальное число дефектов, связанное со струк-
•
*
()tо
тур НОИ ПрОЧНОСТЬЮ На СДВИГ (J; с тр = Cact- (J g qJoct, раВНО
N ~ =exp (- ааi"стр [1-Ф;(еf) 1).
(9.2а)
Таким образом, математическое ожидание числа накопившихся де
фектов структуры определим соотношением
М (N ч) =·ехр (а [а;- (а!"Ф; + аfстр (1-Ф;)) 1}-
(9.3)
Введем обозначения , которые ясны будут в дальнейшем . Пусть опи
саниедиаграммы сдвига (рис. 9.6) дается выражением a ; =qcr(ef; а),
где
qo =ai"Ф;(ef), а q~~а~тр [1-Ф,(еf)].
(9.4)
Математическое ожидание М (Nч) запишем коротко:
367
Рис. 9.6. Диаграммы р (Е~; ef') и q (Е~; ef)
(9.3а)
Б . Н агруже ние характ е ризуется тем, что точка нагружения на
ходится на участке поверхности JV и сопровождается только уплот
н е нием грунта , поэтому этот у часток поверхности « фи з ически » свя
за н с процессами залечивания дефектов структуры . Математическое
ожидание числа дефектов, залечивающихся в процесс е такого на
гружения, будет равно Nr
М (Nr) = N~ ехр [- ~(а+р)]; N~=exp (- РРс тр). (9.5)
Описание диаграммы объемного сжатия (см. рис. 9.6 и 9.12)
да е тся выражением
-а=р(е~; ef) +Рстr·
(9.6)
В. Нагружение по 1I I участку поверхности сопровождается ком
бинаци ей процессов накопления дефектов и их залечивания. Зале
чивани е дефектов определяется выражением (9.5), тогда как обра
зование новых дефектов структуры определяется условием наличия
единичного начального дефекта N~= 1 и условием а=- (Р+Рстр).
Математичес кое ожидани е числа вновь образующихся дефектов
структуры N~ равно
M(N~) =ехр [a(a ; -a~a = - (r+rcorJФ(ef))].
Полагая , что эти процессы взаимонезависимы, математическое ожи
дание равно произведению М (Nr + ч ) =М (N~) М (N r ).
368
В качестве функций нагружения примем f = ln [М (N)], тогда
fr= 2 =a;- (qu+q~);
f r=~ =a; -qp- ~ (а+Р+Рстр);
(9.7)
Здесь qo=q(ef; а); qp=q(ef; Р+Рстр).
Таким образом, nоверхность нагружения полностью определена
зада нием функций упрочнения q (ef; а); р (ef; е~) и параметрами
Рстр; pfa. В сформулированной модели делается дополнительное пред
положение: координаты точки D совпадают со з начениями функций
q и р в условиях нагружения на траектории «разда вливания».
Иными словами, считается, что нагружение по траектории «раз
давливания» реализуется всегда в сингулярной точке D с координа
тами (q, р ). Окончательно формулировка пов е рхности нагружения
представляется в виде (9.7), где параметр ~/а задается
P/a=tg\j)=tg\j)o(1+ЧJ(ef)) ;
(9.8)
так, что участок III при ef~et (предельное значение ef) становится
вертикальным и совпадает с участком IV функции нагружения.
Можно еще представи ть, что функция нагружения в плоскости
инвариантов «а;-а» характеризуется соотношением (9 .9) и коор
динатами сингулярной точки D\q; р), где q и р есть описание соот
ветствующих диаграмм (см. рис. 9.6).
Геометрическо е и зо бражение функций нагружения совпадает с
тем, что было nоказано на рис. 9.4:
tg q>oct = tg q>~c.t + (tg ер~,,- tg q>~ct) Ф; (ef) ;.}
Coct = C~ct+(C~ct-C~ct)Ф;(ef);
tg\jJ=tgЧJ0 +tg\jJ
0
·\jJ(ef).
(9.9)
Участок I ф у нкции нагружения задается (рис. 9 .5) очевидными
соотношениями
и
siп <pot·t
R" = (Н*- a~,r) ----'---
1-sin ЧJ<>ct
1- C~n COS cpo cf / О~1·р
·
1-siп <j)oct
369
(9.10)
Требование га< и:Тr приводит к очевидному неравенству Н*>
> и:Тr · На основании обобщенного ассоциированного закона плас
тического течения приращения пластических деформаций определя
ются
(9.11)
гдеf,-
регулярные участки поверхности нагружения . Нетрудно
видеть, что все регулярные участки f, =О поверхности нагружен и я
предложенной модели пластического упрочнения грунта могут быть
записаны в единой форме:
f, = u,.- Cr+k,u,
(9.12)
где при г= 1 с, = 1 и k, = 1 - параметры касательной к дуге окруж
ности радиуса R" (см. (9.10)) :
при Г=2: Cr = 2 =Cnct ; kг =2 =tg<poct (формулы (9.9));}
при r=3: Cr=з=q p + (Р+Рст р)t~с~;4 kг=З
-tg ф; (9.13)
при Г=4: Сr=4-+сю; kг =4 -+ СХ)'k г ~4 - (Р+Рст р).
Полез но заметить, что любая поверхность нагружения в регуляр
ной точке нагружения может быть заменена касательной гиперплос
костью . Поэтому криволинейный след поверхности на плоскости
«и ,. - G» в точке нагружения также представляется в виде касатель
ной u,.=c-ku.
Функции упроЧнения, входящие в оnределенные функции нагру
жения, должны зависеть от параметров уnрочнения, в качестве
которых исnользуем лараметры
<n./<nf~ :,
1
) ldeFI;}
Wu/ (JJ~ = -:;- ( de~,
е,, J
L
(9.14)
где е!" и е~ - максимальные знач е ния . Заменяем в формулах (9.9)
соответственно ef-+w, .
и е~-+Ю 0 • Тогда соотношения (9.9), входя
щие в (9.12) и (9.13), должны быть лерелисаны в ви де
tg !poct =ig <p~ ct + (tg <ptcr -tg ср 2сt )Ф,.(ю ,.j юi");
_о+(* о )Ф·(·/*)·
Сос/- Сос/ Coct -Сие/
,
Ш,Ю,,
(9.15)
tgф= tgфо(1+ф(ю;/юi"));
р (ю,.jш!"; ш,.fwt); q (ю,.fшf; шv/шt),
370
где функции р и q являются координатами сингулирной точки по:
верхиости нагружения и задаются аналитически или в табличнои
форме. Функции уnрочнения р и q аллроксимируют соответствую
щие диаграммы исnытаний «u,. - ef» и «G - E~ » по траектории «раз
давливания», показанные на рис. 9.6, на котором графически из~
бражены результаты стандартных стабилометрических исnытании,
названные нами «nасnортом» исnытаний (см . также рис. 5.8).
Форма таблицы р или q
о
Функции упрочнения р и q - координаты сингулярной т . D nо
верхности нагружения , могут быть заданы также следующими соот
ношениями, удобными для лриложений:
q= uf(и)Ф(ef);
р =q/F (е7 /е~).
Указанный возможный вариант записи функций уnрочнения пред
ставляет собой случай, когда данные трехосных исnытаний грунта
по траектории «раздавливания» могут быть аплрокси_мированы вы-
ражениями:
"
"
.
а) диаграммы сдвига «nаспорта» исnытании в виде единои зави
симости
u; fuf=Ф(ef);
б) отношение инвариантов тензора напряжений u,.ju всей сово
куnности оnытов nредставимы в виде единой зависимости аргумен
та е7/е~, т. е.
u, jи=F(ef/е~) .
Сформулированная модель грунта, характеризуемая соотноше
ниями (9 . 12), (9. 13), (9. 14) и (9.15), сnраведлива для вида напря
женного состояния, определяемого диаnазоном изменения лара
метра Л оде f..t: < f..ta ~ + 1. При виде напряженного состояния
-
1 ~ f..ta ~ f..t .; аналитическое оnисание регулярных участков nоверх
ности нагружения да ется формулой
fr =Tmax- Cx(r) + kx(r)Scr ,
Где Tmax= (GI-Gэ)/2; Sa = (ui+Gз)/2.
371
(9.16)
Параметры упрочнения в этом сл уча е равны wy/ wt= -:-~ dly;nax l
Y max
Иw6/w:=~~d8P,где Утих=
L
2
L
Функции упрочнения C x(r) и k x( r ) записываются аналогично
(9.13) :
Сх =с~+ (с~- с~) Фу (wy/ wt);
tg ерх = tg ер~+ (tg ер~- tg ер~) Фу (ffiy/ wt) ;
(9.17)
tg1\Jx= tg1\J~(\+ w,./w~ *) .
1-w,./ w,
Следы пов е рхности нагружения на плоскости «<J;- а » и на плоско
сти а =const (на девиаторной плоскости) показаны на рис. 9.7
а
Рис. 9 .7 . Развитие поверхно с ти н аг руж е ния в зависимосги от нак о пле
ния nла стических деформаций сдвиг а в nло с кости «<J;- <J>> (а) и на де в иатор
ной nлоск ости <J = coпst (б)
в зависимости от накопленной пластической деформации сд вига er.
Сделаем два замечания
1. При нагружении по траектории «раздавливания » для некото
рых грунтовых материалов в процессе накопления пластических
деформаций сдвига отмечается смена знака дилатансии. Иными
словами, при малых пластич е ских деформациях сдвига происходит
дополнит ельное уплотнение, а зат е м при приближении к предельному
состоянию- разрыхление грунт а. Эти процессы существенно зави-
372
'
1
1
2
\:1
'4
6
6
-~!, '. .
9
1n
сят от суммы главных напряжений. Как пока з ано на рис. 9.6, та
кая смена знака дилатансии имеет место при выполнении условия
а11 =а; (а) , отмеченного на графике пунктирной линией. Подобные
результаты опубликованы нами ранее по ре з ультатам эксперимен
тальных исследований в работе [24]. Зависимость а 1 (а) определяет
состояние грунта, при котором отсутствует изменение его порис
тости и соответствует так называемой линии критических состояний.
В модели, рассматриваемой в настоящей лекции , реализация крити
ческих состояний соответствует условию слияния двух сингулярных
точек В и Д в одну и вырождения 111 участка поверхности нагру
жения, которое происходит автоматически и пр е допределено зада
нием фракций (9 . 15) . На рис. 9 .8 приведено описание, соответствую
щее математической модели испытания шульбинского песка плот
ности p'k=\ ,64 г/см 3 (с~с~ =0,022 МПа; tgep~,1 =0,8) .
2 . В лекции 4 ука з ывалось, что прочно сть глинистых грунтов
з ависит от траектории нагружения в связи с за висимостью парамет
ров условия прочности от накопленной пластической деформации
объема, т. е. зависит от изменения пористости грунта в допредель
ном состоянии. Это обстоятельство, существенное для глинистых
грунтов (особенно для переуплотненных в естественном состоянии),
легко может быть учт е но в рассматриваемой модели. Для этого до
статочно установить экспериментальные зависимости параметров
прочности tg ер~,, и с~,, от объемной пластической деформации Е~ .
Так, по данным, прив едеиным в лекции 4, только сцепление
зависит от изменения пористости в процессе допредельного дефор
мирования грунта . Поэтому в описание функций упрочнения (9.15)
следу.ет включить эксп е риментально найденную з ависимость
C~ct=C~cl(ffiv/ ffi~ )·
9.4 . Начальная поверхность нагружения
и структурная прочность грунта
Как видно и з предыдущего , в формулировку модели пластиче
ского течения грунта входит так называ е мая начальная поверх
ность , характеризуе мая параметрами с~,1 ; tg ер~,1 ; tg 1jJ0
.
Физический
смысл начальной поверхности состоит в том , что при изотропном
первичном обжатии в грунтах образуется область упругого поведе
ния и при повторном произвольнам (в том числе девиаторном)
нагружении пластические деформации во з никают только тогда, ко
гда не только сумма главных напряжений превысит предваритель
ное обжатие грунта, но и сдвигавые напряжения превзойдут опре
деленный уровень .
В условиях испытания грунтов нарушенной структуры по траек
тории «раздавливания» (траектория 1) поверхности нагружения раз-
373
Gi МПа
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,01
0,02
0,03
-е. (Р)
v
0,40
0,50
1
1
1
1
1
1
1
0,60 -6,МПо1
Рис. 9.8 . Трасформация поверхностей нагружения, прогнозируемая
предложенной моделью, в испытаниях песка по траектории «раздавлива
ния>> в стабилометрических опытах
виваются так, как это показано на рис. 9.9 . При этом после оер
вого этапа нагружения - обжатия грунта всесторонним давлеr1ием
ао- образуется такая начальная поверхность, что на втором э'f'апе
нагружения при приложении напряжений сдвига сразу же возни
кают "необратимые деформации. Начальная область упругих дефор
мации проявится в этом случае тогда, когда после этапа всесторон
него обжатия нагружение грунта будет происходить по траектории,
проходящей внутри этой области (например, так, как это показано
на рис. 9.9, траектория 11). В этом случае при начальных ступе-
374
'
Рис. 9.9 . Развитие начальной поверхности наrР,ужения: 1 и 11 - тра
ектории нагружения
нях приложения сдвигающего напряжения деформации будут только
упругими. Подобная картина развития начальной поверхности на
гружения характерна только для грунтов нарушенной структуры.
Ltля указанного типа грунтов начальная поверхность характеризу
ется двумя независимыми параметрами tg cp2ct и tg ЧJ 0 .
Эти параметры могут быть назначены (если для данного грунта
известен коэффициент Пуассона) на основании простейших фор
мул [2]. Помимо этого, начальная поверхность может быть непо
средственно определена из экспериментов, специально поставлен
ных по траекториям типа 11, указанным на рис. 9.9. Практически
же параметры tg cpZ,.1 и tg ЧJ 0 находятся при обработке «паспорта»
результатов испытаний, проведеиных с данным грунтом по траекто
риям «разда~ливания». На рис. 9.10 иллюстрировано влияние пара-
. метров
начальной поверхности нагружения на диаграмму сдвига,
и параметры начальной поверхности нагружения могут быть подо
браны из условия наилучшей аппроксимации диаграммы «Gi-ef».
При испытании грунта ненарушенной структуры или предвари
тельно уплотненного грунта обнаруживается так называемая струк
турная про,чность сжатия. По данным компрессионных испытаний
уже давно замечено, что для предварительно уплотненных грунтов
или грунтов ненарушенной структуры существует некоторая вели
чина уплотняющего давления, ниже которой уплотнения грунта не
наблюдается. Эта величина уплотняющего давления получила на-
375
(О)
tэ 'foct =О, 05
о
4
8
12.
4
8
12
Рис. 9.10 . Влияние параметров tg <JJ2,., и tg 'IJ 11 на аппроксимацию диаграм
мы сдвига (песок рыхлый волжский, p'k = 1,49 г /см 3 ): а-- tg <р2, 1 = (соответ
ственно 1-0 ,05; 2--0,10; 3--0 ,15; 4-0,20); 6-tg'\J"=(соответстеенно
1 - 0,25; 2- 0,50; 3- 0,75; 4- 1,00)
звание структурной прочности. На рис. 9.11, а показан типичный
вид графика изменения пористости в компрессионных испытаниях.
При уплотняющем давлении, меньшем структурной прочности, оста
точные изменения коэффициента пористости не происходят. Совер
шенно очевидно, что и в условиях сложного напряженного состоя
ния существует структурная прочность, определяемая начальной
поверхностью нагfужения и характеризуемая координатой -о=
= Р~тр и углами Cf!oct и 1j.J
0
(рис. 9.11, 6).
Особо следует рассмотреть вопрос об определении начальной
поверхности нагружения при расчете напряженно-деформирован
ного состояния грунтового основания, которое формируется длитель
ное время преимущественно в условиях компрессии (без возмож
ности бокового расширения). Каждый элементарный объем грунта
прошел за длительный период своего формирования путь в про
странстве напряжений, соответствующий траектории компрессион
ного сжатия. Следовательно, при определении напряженно-дефор
мированного состояния грунтового основания в результате воздей
ствия дополнительных нагрузок от сооружения необходимо за на
чальную поверхность нагружения принять такую, которая бы гаран
тировала упругое поведение грунта при напряженных состояниях,
соответствующих этой траектории нагружения. На рис. 9.11, б по
казаны. траектория компрессионного сжатия и трансформация на
чальнои поверхности в зависимости от глубины залегания грунта.
376
е
начальная
nоверхность
нarp':J!IICHIAЯ
Рис. 9.11 . К определению структурной прочности грунтов ненарушенного
сложения в зависимости от глубины их залегания в основании: изменение
коэффициента пористости при компрессионных испытаниях (а); поведение
слоя грунта, залегающего на глуб и не z' = сопs t, при стабилометрическом
испытании по траектории «раздавливания» (б); 1- траектория «раздавли
ванию>; 11 -траектория компрессионного сжатия
Для получения начальных поверхностей нагружения по глубине
однородного грунтового основания рекомендуется:
а') определить траекторию нагружения грунта в условиях комп-
рессии;
б) для значений среднего гидростатического напряжения грун-
та на глубине z: o=pgz (1+2~)/3 (~-коэффициент бокового
давления) найти характерную сингулярную т. В начальной поверх-
ности нагружения;
в) структурная прочность находится по углу 1j.J
0
,
если знать по-
ложение сингулярной т. В;
г) начальный угол cpZct в данном случае определяется лучом,
проведеиным из т. В в т. А (рис. 9.11, 6), и обозначается cp?,ctcp.
Для данного горизонта z =const этот угол должен быть внесен в
формулы (9.9).
Отметим, что найденная таким образом начальная поверхность
нагружения элементов грунтового основания предnолагает:
а) однородность рассматриваемого слоя грунта;
б) нормальную уплотненность грунтов основания;
в) наличие только водно-коллоидных структурных связей грун-
тов основания.
В случае переуплотнения грунтов основания с коэффициентом
переуnлотнения Кос значение Рстr определяется по указанному выше
377
алгоритму для значений -а= Kщ pgz (1+2~) /3. Коэффициент пере
уплотнения Кос может быть определ ен по простейшим компрессион
ным испыт а ниям как отношение (см. ри с . 9.11, а):
к-~
ос-
·
pgz
При этом указанное отношение должно соблюдатьс я для всех гл у
бин од нородного слоя грунта, т . е.
p:,r / pgz' =p{~r/ pg z" ,
поэтому целесообразно в условиях трехосного сж а тия рассматри
вать два случая: первый соответствует нормально уплотненному
грунту нарушенной структуры, у которого Рстр =0, и второй - грун
ту ненаруш е нной структуры или п ереу пл отн е нном у, для которого
Рстр =1= О . Величину Рстр можно определить как структурную проч
ность грунта при все стороннем сжатии. В этом случае ука за нная
диаграмма в испытаниях по траектории « р аз дав л ивания » имеет
характерный нач а льный участок (см . рис. 9.11, 6) .
Учет структурной прочности в н е которых случаях приводит к
качественно отличным результатам по сравнению с теми, которые
получаются, если е Ю пренебречь . Любопытен в этом отношении при
мер определе ния напряжений в грунтовой засыпке под действием
собственного вес а.
С учетом стр уктурной прочности Rтр боковое давление до неко
торой глуби н ы следует упругому решению, т. е . коэффициент боко
вого давления определяет с я отношени ем ~ =v / (1- v ) (v - упругий
коэ ффициент Пуассон а ). Для больших глубин коэффициент боко
вого давления ув еличивается по сравнению с у пругим коэффициен
том.
9.5. Экспериментальная проверка
предложенной .м.ате.м.атической модели грунта
Предложенная математическая модель грунта проверялась на
ра зл ичных траекториях нагруж е ния .
Совпадение данных эксперимент а по трехосным испытаниям
волжского п ес ка в рыхлом и пл отном сос тояних по тр ае кториям
«раздавливания» и теоретич еского прогноз а означает лишь правиль
иость определ ения параметров модели (рис. 9.12) . На рис . 9.1 3
представлено сопоставление теоретического прогноза и эксперимен
тальных данных для то го же волжского песка, но приведеиных по
совершенно другой траектории (аз =соп s t ; da 1 >0). Парам етры
модели приняты были по данным испытаний ри с. 9.12. Пр едст а влен
вое удовлетворительное совпадение (рис. 9 . 13) у же св идет ел ьствует
n правильности сформулированной модели грунта.
378
,.
1.
·~
~-------------_"",."..,.._,.,_._. ·-- -
1
,_,,"",
ро
1!-
,-
l
~~~
~~~
~~i-&..
о
~
r=
~
·о' ~
1
"'
С)
.....-
....
379
,МПQ
v
1\
v
J<~
7
r\\
1
v
1\ 1\
1
0,8
0,8
1_1
r т -~ir"="""
1~
~
~
f)(
с;
,
~
о
17
\\
1\
04 08 1,2
1~ 2,0 <'>.MnQ
1»
-J.
0,4
\
---ii
'\
!'-- .
~
\ ,..
~
· 102
1'1--
-6
~
~
.2
о
4
Рис. 9.13 . Сравн е ние данных трехосных испытаний волжского nеска с р е
зультатами расчета. Траектория нагружения: do 3 =О; do 2 = do 1 >О 1- p'k =
= 1,77 г/см3; 2 -- р'·•= 1,49 г/см3 1 - эксперимент, 11 -- расчет
На рис . 9.14, а, б приведены да иные экспериментальных иссле
дований рогунекого суглинка по сложным траекториям нагруже
ния . Параметры модели предварительно были определены по дан
ным испытаний по траекториям «раздавливания». На г рафик ах
рис. 9 . 15 и 9.16 на несены результаты экспе римента и теоретического
прогноза поведения гр унта при использовании предложенной моде
ли. Как следует из со п ост авл е ния экспериментальных д анных с тео
ретическими расчетами, пр едложен ная математическая модель гр ун
та достаточно хорошо согласуется с основными опытными факто
р ам и при нагружения х в различных траекториях.
На рис . 9 . 16 показаны трансформирующиеся в процессе дефор
мации грунт а поверхно с ти нагружения. Обращает на себя внимание
тот факт , что в услови я х сложного нагр ужени я вектор догрузк и,
как правило, на х одится в сингулярной точке. Таким образом, « прак
тически» напра вление вектора прир а щения пл ас тических деформа
ций за ви сит от направ лени я вектора догружения . Эта завис имо сть
ограничена «пластическим углом», составленным в ко о рдинат ах
380
··,·
'•
f
.
...
•.
{
118
'\j-
'
9,1~ l
~1--
---
"9
4;~
1~
8
4
1~3-
""
1~9 G;~ .l
-
-
~
5ь4
~
.Р
2
4
0,6-0,9
-8
-12
,,_
с~ ·ю
\
2 ,....
4- ~~
I~
<5 , МПе~
~'\,
~6
~н
10\
0,6 L___ .!_-L ..l...--... l..:-:-= -' n
- 0,9
-
1,3 О, М11~
-8
"
2\
~1
-12
4~\~5
~~6
"""
~1'
Рис. 9.14 . И сследование влияния сложной траектории на деформацию
рогунекого сугли нка: оп ытные да нн ые (а); расчет (б)
381
Рис. 9.15. С равнение данных испы
таний рогунекой супеси по сложной
траектории наrружения с р езультата-
ми расчета. 1 - эксперим е нт, 11 -
расчет
!..
li
« ai- а» нормалями к сторонам соответствующего угла поверхности
нагружения .
Процесс развития деформаций в супеси при двух траекториях
нагружения полностью соответствует опытным данным (рис. 9.17
и табл. 9.1).
Апробация предложенной модели выполнена также в работе
[25], где рассмотрены результаты расчетов, численно моделирую
щих испытание воданасыщенной супеси. Испыт ания грунта прово
дились в приборе трехосного сжатия СВД-1 00 по недренированной
схеме. Начальная влажность испытуемого грунта W =0,078, началь-
382
:. :~
;~
~r'
ol
'•
З,4,5, 6,7 ,8
е,
р
0,12
0,04
- 0,04
- 0,08
tр
v
-
0,8
- 1,6 6,МПа
11
Ри с. 9 . 16. Сравнение данны х и с nытаний рогунекой су n еси no слож ной траек
тории нагружения с рзультатами р асч ета и ра звит и е nовер хности нагружения :
1 - эксnери мент, 11 - расчет, цифры в кружк ах -- поверхно с ть нагружения
(расчет)
ная воданасыще нность составляет 0,9, объемная масса psk =
= 2 ,09 г /см 3. Паспорт испытания грунта приведен на рис. 9.18
и в табл. 9.2 . При решении з адачи нагружение , так же как и в
эксперименте, ведется по траекториям в тотальных напряжениях.
В процессе решения, основ анного на численном интегрировании
основной системы статических уравнений теории консолидации (см .
лекцию 3) методом конечных элеме нтов, учитывалось изменение
пористости и связанное с этим и з менение воданасыщенности и объ
емного модуля сжимаемости смеси у поравой жидкости и газа.
После нахождения величин парового давления в образце опре
деляются траектории нагруж ения грунт а в эффективных напряже
ниях. Рассчитанные траектории, гораздо более сложные, чем траек
тории в тотальных напряжениях, хорошо соответствуют экспери
ментальным.
383
8
Рис. 9.17. Влияние траектории
нагружения на процесс деформиро
вания грунта: 1 - опытные дан
ные, 11 - расчет
б(М11а)
-8~----~-----+~~--~----~
--о- 1
--Jl
9.6. Анизотропное упрочнение грунтовых сред
До сих пор при построении функций нагружения молчаливо
предполагалось, что эти функции завис ят лишь от инвариантов тен
зора напряжений и пластических деформаций. Тем самым предпо
лагалось, что грунтовая среда п ер воначально изотропна и деформи
рованное состояние не зависит от ориентации рассматриваемой
области относительно фиксированной системы координат. В общем
случае число основных инвариантов тензоров [cr ;j ] и [efj ], входящих
в функцию нагружения, равно девяти, поскольку напряженно-де
формированное состояние определяется шестью величинами глав
ных комnонент напряжений и деформаций и тремя углами, харак
теризующими взаимную ориентацию главных осей тензоров [G;j]
и [efj ] . Если же грунт явля ется первоначально анизотропным, то
384
13. Зак .
.N'• 51
3
е
*·-
3
-
о
о
..,.
о
..,.
00
о
о
о
о
о
*·-
,.!;·-
3·=
-.....
3
э1
t!-
э
э3
э
-<
~1
*·-
3
-.....
э
*·-
а:)
~+
э а:)
э
е
1
385
"'::!
"'о;
10
"'
f-
"'~
>-.
=:\
о
::;
Q)
"'<..
>-.
Cl.
<=
>.,
~
3~
:r
~
3
~~
Cl.
~
э
е
*·-
ь
~
ь
"'
• "t::
0::;::
1----
"'
• ··r::
~::;::
"'{о-
~
-
t!
<
f---
"'
t::
::;::
<
*·-
3
-
а:)
*~&-
~
f---
-"'
<: t::
*J ::;::
~
=э.
ь.о
-
-"'
~~t::
u::;::
о
ф
о
,.. _
о
О)
о
о
Расчетная
ОБЛQСТЬ :1
ci
12.
8
4
(tot)
hг-т-..~73
1,О ~- Mna
,,
б,МПа
-вг---~-г~~~~----~
--о-- .т
-л
Рис. 9.18. Сравнение данных и с пытания водон
"
1
асыщеннои супеси с расче-
том: - опытные данные, 11 - расч е т
функция нагружения в этом случае зависит еще и от тензора анизо
тропии. Если же грунт становится анизотропным в результате пла
стического деформирования, то функция нагружения зависит в об
щем случа: от компонент тен з оров напряжений и пластических
деформации .
Одним из вариантов учета деформационной ани'зотропии (т. е.
·анизотропии, приобретенной в результате пластического деформи
рования) является вариант, в котором предполагается трансляцион
ное движение поверхности нагружения, т . е. движение поверхности
нагружения как целого. Тако е предположение позволяет описать
изменение предела текучести материала (возникновения пластиче
ских деформаций) при перемене направления вектора догрузки на
противоположное (эфф е кт Баушингера). Д. Д. Иевлевым показано
что моде,:~~ь изотропного упрочнения приводит в некоторых случая~
к неустоичивым процес с ам пластического деформирования и, таким
образом, эти модели не отвечают требованиям постулата Драккера.
Более того, ука з ыв"ается, что наличие эффекта Баушингера связано
с процессами устоичиного пластического деформирования.
Для грунтовых сред э ффект Баушингера эксnериментально мало
386
1'
1,
.
~
1'
..
'
.
'
изучен. Достаточно четко отмечается лишь тот факт, что при квази
статическом медленном всестороннем обжатии, а затем уменьшении
гидростатического давления наблюдаются приращения пластиче
ских деформаций другого знака, т. е. после объемного сжатия на
блюдается его разрыхление. Поэтому при формулировке функции
нагружения, зависящей от инвариантов тензоров [a;iJ и (EfiJ, не
обходимо предусмотреть трансляционное движение поверхности на
гружения вдоль гидростатической оси. Предположение о трансля
ционном движении поверхности нагружения вдоль гидростатиче
ской оси связано с тем, что из инвариантов а; , ef, Е~ и а, которые
являются аргументами функции нагружения, только инварианты
Е~ и а двузначны. Вообще можно сформулировать общее правило:
если функция нагружения зависит от аргументов, которые изменяют
свой знак, анизотропное упрочнение может быть учтено с помощью
трансляционного движения поверхности вдоль направлений изме
нения этих аргументов.
Ниже рассматривается один из возможных вариантов учета ани
зотропного упрочнения . Отметим также, что идея построения транс
ляционных моделей пластически упрочняющейся среды с успехом
может быть использована также для учета вязкопластических
свойств грунта (см. лекцию 10).
Рис . 9 . 19 иллюстрирует как простейшее предположение о транс
ляционном движении вдоль гидростатической оси поверхности на
гружения (в сформулированной выше модели пластического дефор
мирования грунта), позволяет учесть эффект Баушингера, прояв
ляющийся, например, при одноосном сжатии-растяжении. В плос
кости «а;- а» траектория ОАА * - траектория одноосного сжатия,
а ОВВ* - траектория одноосного растяжения. В цикле нагружения
пластические деформации при растяжении должны были бы наблю
даться только при напряжении, соответствующем т . В траектории .
Однако эффект Баушингера, проявляющийся в том, что предел
текучести при растяжении уменьщается после предварительного
этапа сжатия грунта (т. В' траектории растяжения), учитывается
при трансляционном движении поверхности нагружения .
Проведеиные в последнее время в НИСе Гидропроекта (Б. Д. Чу
мичев) опыты по циклическому статическому нагружению грунтов
в условиях трехосного сжатия (опыты, при которых увеличение и
снижение напряжений на образец производилось так медленно, что
скорости деформаций не превышали значений 10-
4
1/с) показы
вают, что в некоторых случаях даже для грунтов, не обладающих
реологическими свойствами, происходи! дополнительное накопление
пластических деформаций. На рис. 9.20 приведены некоторые дан
ные (из этой серии опытов) по глинистым сланцам, предполагае
мым к укладке в однородную грунтовую плотину гидроузла Гольди
сталь при p' k = 1,97 гjсм 3. Циклическое нагружение проводилось на
13*
387
оgноосное
Раст~жениЕ'
/
А"
оgноосное
сжатие
-о
Рис. 9.19. Эффект Баушинrера (а) и трансляционное движение по
верхности наrружения (6)
участке девиаторноrо нагружения АВ и на участке гидростатиче
ского об~атия ОА . С..rrедует отметить, что обработка результатов
исnытании велась с исnользованием тарировки, учитывающей ynpy-
388
гость прибора, образца и величину пенетрации резиновой оболочки
в грунт .
Под пенетрацией оболочки при испытании понимается ее nрони
кание в поверхностные nоры образца несвязанного или гранулиро
ванного материала. Чем круnнее слагающие материал частицы,
тем глубже проникзет оболочка. Пренебрежение величиной пенетра
ции может nривести к завышению наблюдаемых деформаций при
исследовании несвязных грунтов. Методика определения пенетра
ции заключается в следующем: фальш-образец (металлический),
обклеенный тонким слоем исследуемого материала, заключается в
оболочку и nодвергается гидростатическому обжатию в приборе.
В nроцессе исnытания фиксируются объемные деформации, которые
являются суммарными и возникают как вследствие сжимаемости
рабочей жидкости, податливости элементов прибора, так и в ре
зультате пенетрации оболочки. Разница в форме петли с учетом и
без учета такой тарировки показана на рис. 9.20, б. Кроме того,
на рис . 9.21 представлены данные по испытаниям тех же грунтов
в одаметре в условиях комnрессионного сжатия, проведеиным спе
циалистами ГДР.
В указанных оnытах отмечается следующее:
-
при изотроnном обжатии пластические деформации накапли
ваются от цикла к циклу, когда в цикле нагружения напряжение
уменьшается до значений менее 0,2-:- -0,3 максимальной нагрузки;
-
в конце каждого цикла (lol < I0,7omaxl) nри уменьшении на
пря.жения происходит разуnлотнение, в результате которого при
последующей нагрузке, после стадии упругого деформирования,
частицы грунта уnаковываются более плотно (рис . 9.22, а);
-
деформаЦии доуплотнения накапливаются в зависимости от
числа циклов по логарифмическому закону (рис. 9.22, 6), который
можно заnисать в форме
б~= \E~N -е~\ =6~= 1 [1 +а ln N],
(9.18)
где E~N - суммарная nластическая объемная деформация, возни
кающая при циклическом характере приложения напряжений и
включающая деформацию однократного нагружения Е~ в зависи
мости от числа nовторных циклов нагружений N; а - не который
безразмерный nараметр, не зависящий от параметров циклического
нагружения; 6~ = 1 -дополнительная nластическая деформация за
первый цикл .
Приведеиная выше формулировка функции нагружения не до
пускает трансляционного движения nоверхности в силу того, что
эта поверхность закреплена в ее вершине о= о:тр · В связи с этим
при снижении изотропного обжатия не возникает разрыхления, по
скольку при снижении 1о 1 1
•
nосле предварительной пластической
объемной деформации и развития поверхности нагружения, вектор
389
е,·10 28 24 20 16
1,0
Б
2Q (Р)
·
-cv ·102
-СS,МПа
t-
/1 l!
0,5
н11
~+
11
0,3
~1
11
11
11
0,1
~ ~Ь&
в
3,0
5,0
-cv ·102
0,05 0,1
0,5
0,5
1,0
1,0
390
0,4 0,5
- d,Mfla
0,15 -СS,МПа
i
1
1
Рис. 9.20. Исnытания глинистых сл анцев nри цикли ч ес ком иагружении
в условиях тре хос н ого сжатия: тр ае ктории нагр ужен ия (а); форма гистере
зисных nетель (б); накоnление объемных пластических деформаций в зави
с им ости от числа циклов и степени разгрузки (в). 1 - бt> з у чета пе н етра ции
оболочки при полном де ф орми ров а нии образца; 11 - ·
с учетом пенетра ц ии
оболочк и no nластич ес ким деформа циям образца
о
0,1
а
0,3
0,5
0,7
-N:10
-н:2о
-N =ЗО
0,9
=N; 50
~N~100
Рис. 9.21 . Компр есс ионны е испытания глини стых сланце в гидроузла
Гольдисталь (ГДР)
наnряже ния всегд а будет находиться внутри области уnругих де
ф о рмаций (рис . 9.24). Для учета возможн ого разрыхле ния грун
та nри ум еньш ении вел ичины 1 а 1 1 ф ункция нагружения должна
быть сформул ир ована так, чтобы участок f, = 1=О мог изменять свое
nоложе ние . Это изменение следу ет n оставить в зависимос ть от дви
жения участка f, = " = 0, тогда nри ра звитии nластических деформа
ций уnлот нения вся nоверхность нагр ужения трансляционно nере
мещаетс я и и зменяет свою форму. Это в свою оче р едь влечет за
собой изменение nр еделов развития объемных nласти':!_еских дефор
маций (еП. При перес е чении вектором догруж е ния dст участка nо
верхности fг=4 =О nоявляются nластически е деформа ции уnлотн е
ния. При последующ ем снятии сжимающего гидростатического дав
л е ния вектор наnряж ени я n е ресечет участ ок поверхности нагруж е
ния f, = • =O nри значениях ст<ст:тr · Это озна ч ает, что в процессе
391
i
Рис. 9.22. Логарифмичес к ий з акон накоп ления дополни
тельных п ласти ч еск!'х деформаций при циклическом ст а тич е
ском нагружении (ЕР< 10- 1/с)
уменьшения напряжения 1 а 1 +, еще до того, как наступит пр едел ьное
по прочности состояние (а= а:т.l! ), возникает пластич еска я дефор
мация разуплотнения грунта [2о].
Таким образом, первое дополнение к формулировке поверхности
нагруж е ния заключается в том, что для первого участка поверх
ности вво.z:итс я условие, связывающее параметр этого участка а:тr
с функч.иеи упрочнения р (ю;, ю,.) , определяющей положение участка
поверхности нагружения f, = 4 =0 . Его можно с форм ул ировать , на
пример, так [26] :
fг=1=<J-(J~pN•
(9.19)
*_*
ао(.
где GoтpN-<Joтr-]\(р ю;, ffiv).
Б езразмерный параметр а 0 определяется по опытам с много
кратным статическим нагружением, а N -число циклов наrруже
ния. П ара метр а о определяет ту часть напряжения а, которая при
392
-
1
1~- о
<б
ш
::s
:с
ш
""><
:оа.(1)
<:
а.
&р
...
Рис. 9.23. Вид пов ерхнос ти нагружения после N
полуци клов нагружения и разгрузки
первой разгрузке (N = 1) определяет начало проц есса разрыхления
грунта.
Для несвязны х грунтов cr:Тr=O, а ао ~О.2-7-О,З при р~О и
an=О, при р<О, так что
*_
au
(JoтpN - - ]\Гр.
С увеличением чис ла циклов нагружения грунт все более при
ближается к упругому состоянию во всем диапазоне изменения cr
в пределах цикла, так что петля гистерезиса по мере увеличения
ч исла N приближа ется к за мкнутой форме, а процесс разрыхления
пластических деформ а ций прекращается. Таким образом, возмож
ность трансляционн ого движе ния поверхно сти уме ньшается с уве
личением числа цикло в , что нашло свое отражение в у казанной
ао
форм ули ровке , поскол ьку при N-+-oo коэффици е нт - N --+ - О.
На
ри с. 9.23 п у нктир ом п оказано уме ньшени е a,;,r'~ с числом циклов на
гружения. Исполь зу я логарифмический зако н нарастания доуплот
нения грунта при циклическ ом нагруж е нии, выражение для пер
вого участка функции нагружения f, = 1 =0 м ож но переписать в
форме
*
( 16~-6~ _ ,1)
f,=1=а-Gотр+аорехр. -
---;;;---
.
auN- t
(9.19а)
393
След поверхности нагружения на плоскости «ai- а » имеет вид,
изображенный на рис . 9.23.
При сделанном уточнении , в конце каж д ого цикл а nри снятн11
гидростатиче с кого давления грунт ра з уnлотняется (когда точка
(ai. a J находится левее nрямой а= G:тр~ ), а nри nосле д ующем уве
л ичении нагр уз ки, в конце цикла , грунт доуnлотняется (когда точка
lai. Gj окажется 11равее nрямоИ а=-Р( щ, (oJ). При этом величина до
уnлотн е ния, оч е аидно, будет равна в точности величине nредв а ри
тельного разуnлотнения грунт а . На самом дел е , как у же отмеча
лось ранее, разуnлотнение nозволяет грунту np1t nоследующем на
груженнн уnJlОТниться более з начительно, и тем самы м от цикла к
циклу грунт доуnлотня е тся по логарифмическому закону. Величина
доуnлотнения з а цикл, очевидно, равна de'i1 , ~~ 1 + d e'Z·(I ~ 11, где
d~:·'(.,,= ' ! - приращение уnлотн е ния, ког д а нагр у жени е о с уществля
ется за счет участка функции нагружения f, = ~ =О. а dё1(,1, = 11
-
прир а щение ра з уплотнения в результате нагружения по уч а стку
nовер х ности нагружения f , ~ 1 =О. Для того чтобы величина суммар
ного у nлотнения за цикл не была равна нулю, параметр упрочне
ния w ,. для этих участков должен быть различен .
Второе дополнение к формулировке nоверхности нагружения з а
ключается в том, что nараметр упрочнения w _.
nринима ется в фо~
ме [26)
(!),,
1("
---
=
....__ Jх'dr:1.'.
(J)~
ё~
..
.
(9.20)
1.
При этом, nоскольку 1dE'Z.1, = ~)1 ~ 1dE'(.1
,=111,топриодномитомже
з начении параметра уnрочнения w ,., множитель х ' nри г= 1 долж е н
б~:"ь больше _ з, начения х' nри г= 4 и в дальн е йшем принима ется
х1~1иx'- -.I..J=Iприr=2.3,4.
Сделае:vt еще третье дтzолненuе: при г=1 параметр z ' - l до.l
жен ~ав11сеть от ч11сла циклов, так как с увел11ч е нием числа наrру
жении в еличин а разуплотнени я в каж д ом посл е дующем цикл е по
мере накопления суммарного уплотнения должна становиться р а в
ной веJlИчине доупJютнения, т. е. nри N--+ oo должно быть dE~I~ = ~ ) =
= -dE'!-1,=11 · Дл я параметра х'= 1 может быть предложена зависи
мость
(9.21)
На рис. 9 .24 пока з ана диаграмма гидростатического сжатия
ОАВ с последующей разгрузкой BCD 11 повторным нагруженнем
по ветви DEF. Пусть при уменьшении гидростатического давления ,
в первом цикл е , деформация ра з рыхл е ния будет равна DC'. Это
394
Рис. 9.24. К определению параметра х
F
G
разрыхление - результат нагружения по участку поверхности f,= 1 __:_
=0 - соответствует величине приращения деформации ~eeNi r= 1)
при N = 1. При повторном нагружении nолное nластическое уплот
нение грунта будет выражаться суммой отрезков ОС' и BF. По
этому величина параметра х' = 1 в первом цикле нагружения
x ' =l= i'ie~ N r~1+i'i e~N r~l
tlr~Nr= 1·
Определенные таким образом значения х'~ 1 в зависимости от номе
ра цикла, как nоказывают эксперименты, хорошо подчиняются nред
ложенной зависимости (9.21).
Итак, формулами (9. 19) и (9.19б) учтено возможное тр"ансляци
онное движение поверхности нагружения. Обобщени е этои зависи
мости отражающее накопление деформаций при сложных траекто
риях 'нагружения , может быть предложено в следующей общей
форме:
(9.22)
Здесь qJ(N) -убывающая функция числа циклов N, наnример
qJ(N)= b~N и пр.; LN-I -длина nути нагружения (N-1)-го
цикла, которая выражается
LN_1=~dl, где dl= y da[+da
2
.
а инварианты тензора напряжений изм е няются в пределах (N -1) -го
цикла нагружения.
Модифицированная модель пластического уnрочн е ния грунта по-
11' 13*
395
;
зволяет учесть особенности поведения грунта при циклическом изо
тропном нагружении и накоплении пластических объемных дефор
маций уплотнения для зернистых сред, не обладающих реелогиче
скими свойствами. Такое накопление объемных деформаций связьi
вается физически только с возможностью перестройки структуры
грунта, удобоукладываемостью частиц при периодической смене
процессов разрыхления и уплотнения . Циклическое приложение
нагрузки, как выясняется при анализе эксперименталь~ых данных
и результатов прогноза по предложенной модели, приводит к росту
деформирования с возрастанием числа циклов нагружения. Увели
чение деформации пропорционально логарифму числа циклов, а
отношение деформаций, накопленных за N циклов, к деформации
на первом цикле зависит лишь от физико-механических свойств
грунта. При этом дополнительная деформация грунта за первый
цикл существенно зависит от напряженного состояния, достигну
того к моменту приложения циклических нагрузок, степени прибли
жения к предеЛьному состоянию, а также степени изменчивости
напряжений (отношения величины циклических напряж~ий к сум
ме статических и циклических напряжений).
Модифицированная формулировка функций нагружения, пред
ставленная в настоящем пункте, позволяет учесть эффект Баушин
гера при однократной и многократной перемене знака первого инва
рианта тензора напряжений. Циклическое изменение величины ди
виатора напряжений также приводит к дополнительным пластиче
ским деформациям . Однако в этом случае механизм накопления
пластических деформаций уже не связан с эффектом Баушингера.
В лекции 1О показывается, как в этом случае можно учесть накоп
ление пластических деформаций, связывая их с появлением вторич
ной пластичности .
Итак, математическая формулировка модели пластического де
формирования грунта, учитывающая эффект Баушингера при цик
лическом квазистатическом нагружении, состоит из соотно
шений, которые можно выписать в следующей последовательности:
dt:;i = dt: Ti + dt:~;
dt:fi = Cij kid<Jki;
f, =G;+k,<J-C ,
(9.23)
при г= 1: k , = 1 и с,= 1 - параметры касательной к окружности ра-
диуса
_
1б'N_-:=_6'1 , ~ J_.
Г" =[(Н*-сr:Тр) +аое- аб((, ~ , J sin Ч'ос /
·р
.
.
) - SIП (/Jm·l
(9.24)
396
При r=2, З, 4 функции упрочнения k, и с, определяются по ~9.13).
Кроме того, w;- паР, а метр упрочнения Одквиста, равны и W; =
=
~ ldefl; w?=c?- предельное значение параметра Одквиста .
'-
Далее : wi - параметр упрочнения, равный
г-(
1'
2з4
w,,-)df:,, при r= ,,, :
L
w~- предельное значение параметра упрочнения ( w~ ==- En; ~-2,~
участка поверхности нагружения г= 1 параметр упрочнения w"
принимается
r=1
(
где
Wo
=
)
L
J;;f'
1 .,Р
c.f' . с•Р
-
( [dc•f' )+dcf'
·]
uN= Е,,:--~ - с-,.,с-,1'1 -)
<- to(r =l
Vt•(г= 4).
L
9.7 . Некоторые математические вопросы
теории пластического течения в механике грунтов
(9 .25)
Математическому анализу нелинейных задач пластического те
чения грунтов посвящены лишь работы В. Г. Корнеева [27, 28].
Ниже рассмотрены нелинейные задачи механики грунтов для моде
лей, приведеиных в лекции 8. Приводятся достаточные условия
однозначной разрешимости нелинейных задач относительно прира
щений перемещений для заданного напряженного состояния и схо
димости метода Бубнова - Галеркина при решении этих задач.
Обобщенная постановка задачи. Запишем уравне
ния равновесия для nриращений напряжений dcrik:
dajkx,+dXi=O, j=1, 2, З, (х,, Х2, Хз) EQ.
(9.26)
Здесь dX;, j = 1, 2, З- комnоненты вектора приращений внеш:
ней объемной нагрузки dX(dX,, dX2, dХз). Как и ранее, нижнии
индекс x i означает операцию дифференцирования по nараметру
х;, а по повторяющимся нижним индексам произво~ится суммиро
вание. Компоненты тензора приращений деформации
de i1, =dEjk+de)k, j, k= 1, 2, З.
(9.27)
где dc51 -
компоненты тензора приращений упругих деформаций,
1'
"
С
dе dР
а dc'Jk - пластических деформации. вязь между E;k и r:;,, осу-
ществляется с помощью закона Гука:
(9.28)
397
Здесь Cjkmn- уnругие
характеристики материала. Матрица
lcikmnl -симметричная, соqтветствующая ей квадратичная форма
nоложительно оnределена:
(9.29)
mi- всюду строго nоложительные числа.
Связь между d~::}k и daik задается в рамках ассоциированного
закона течения (лекция 8 [29])
d·"
-
~ьh
)дf,дf,d
Ejk- 2: r ,(Gmп, Х -д-- -д-- Gmn,
r=l
Gjk
a/flfl
f
1 nри f,=O , df , =O, d'f,>O;
b,=b(d'f, ) = О nри f, =O, df , =O, d'f,~O;
•
ИЛИ f,<O, d'f , = -д~ dGmn·
Dmn
(9.30)
f,, г=1, 2,
N -регулярные участки кусочио-гладкой nоверх
ности нагружения, х- u);- nараметр Одквиста (здесь для просто
ты рассмотрен случай одного nараметра упрочнения). Пусть
f,=a;+k,(x)a-c,(x), r= 1, 2,. ... , N .
(9.31)
а;, а- интенсивность напряжений и гидростатическое давление.
Функция h,(a""'' x)d'f , =dx оnределяется условием (9.30)
df, =d'f,+ ~~- dx=O.
Приращения деформаций d~::ik связаны с комnонентами вектора
приращений перемещений линейными соотношениями
(9.32)
Как и в п. 7.5, примем следующие условия.
А. Область Q ограничена, а ее граница S - регулярная [30].
На части границы S,
aui=O, j=1 , 2,3,
(9.33)
а на оставшейся части S 2 =S\S, задано приращение напряжений
dg(dg,, dg2, dg:J)
(9.34)
Пk - направляющие косинусы.
В случае неоднородных граничных условий (9.33) задача сво
дится стандартным методом к соответствующей задаче с однород
ными граничными условиями.
398
Введем в рассмотр е ни е скалярное произведение
(du. du)нщ> = ~ df;" ·d;;kd~2. df';~c =dE;" (di'l).
!1
(9.35)
Определен и е 1. Замыкание множества вектор-функций
du (du,, du2. dL11) EC(' )(Q), удовлетворяющих гр а ничным условиям
(9.33), в норме, nорождаемой скалярным произведением (9.35),
называется гильбертовым пространством Н (~1) .
Для пространства. Н(~2) сnраведливо замечани е 2 (n. 7 .5) в силу
результатов [31].
Исходя из принциnа минимума энергии по приращениям сме
щений [29], введем понятие обобщенного реш е ния .
Определен ~(е 2 . Обобщенным реш е н1:1ем краевой задачи
(9 .26)-(9.34) на з ыв ае тся ве ктор-функция duEH(~2), удовлетво
ряющая уравнению
d€"111 = dE"'" ( du)
при произвольных вектор-функциях du Е Н (Q).
Б. dX;EW~- 1)(~2), clg;EL2(S).
Тогда все члены (9 .36) имеют смысл.
Из соотношений (9.27), (9.28), (9.30) следует
dcflt == a jlunnda"/1/ ,
'J
rJf, .
дf ,.
ajkmп =Cjimm + L b,.h,.(a""'' х) -д-
r=l
a j/.:
дпm,r ·
Пусть выполняется условие
O~h,, k,,c,~m3, г=1, 2, .... N.
дf'
5"",
1k)~
Поскольку--= -
2
---
-
3
-
·,(х u 11111 , то в силу условия
дGmn
Or
•
1
дf, 1
.
-д-- ~m,.
Omn
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.38)
(9.39)
Л е м м а 1. Для квадратичной формы a;kmпda;kda"," справедли
вы н ера венства
msdГJ ;~<cla i'' ~ а i'"""da ;~<dГJmп ~ mбda ;11da ;;,.
(9.40)
Доказательство. Всилу (9.30)
399
\
a;kmndCJjkdCJmn=C;kmnda;kd0" 11111 + ~ Ьгh г (G тn. х) (d'fг) 2 . (9.41)
г~l
ИспоЛI,зуя оценки (9.29), (9.38) и (9.39), из (9.41) получим (9.40).
Следствие 1. Из леммы 1следует, что симметричная мат
рица 1a ;kmn 1 имеет обратную симметричную матрицу 1Ь;kтп 1. (9.42)
Коэффициенты матрицы 1 Ь;1ипп 1 удовлетворяют условиям
(9.43)
Из (9.35), (9.40), (9.43) следует, что если du Е Н (Q). то d~·;,,.
da;"EL2(Q), j, k= \, 2. 3. С помощью теоремы Рисса о представ
лении линейного функцианала в гильбертовам пространстве урав
нение (9.36) сводится к операторному уравнению
(9.44)
в пространстве Н (Q), где
(Gdli. du)н 1щ = ~ da;kdЁ;kdQ.
(9.45)
Л е м м а 2. Пусть dt1, du- прои~вольные _ вектор-функц~и и:з
H(Q). Тогда для функцианала E(du. du) = (Gdli-Gdu, du-du)н 1 u 1
справедливо неравенство
где
E(dli. du) ~m, ~ (da ;k -da;k) (da ;k -da;k )dQ.
(9.46)
!1
Доказательство. Учитывая (9.45),(9.37),получим
E(du, du) = ~ (da;k -da;k, d e;k -dЁ;k)dQ= ~ c;kmп(da;k-
N
- da;k) (damn-dGтп)dQ+ ~ Eг(du, du),
Г=i
(9.47)
Е(d- d"') ~(d d- Ьh~-d'f-Ь-h~~-d'-f)dп-_
гU,U
=
CJ;k- Gjk, г г
г
г~~
дaik
'
'
дa fk
\!
.
~ [bгhг(d'fг) 2 -6гhгd'f,d'f, -ьгhгd'fгd'fг+Бгh, (d'f,) 2] dQ,
Q
дf,
-
дf, -
-
-
d'f,= -д--dа""'' d'f , = -д--dатп, b,=b , (d'f , ).
Gmn
О"тп
В силу (9.30) все возможные сочетания значений Ь,, 6, и знаков
d'f, d'f дадут
E, (ctli. ctli) ~о.
(9.48)
400
Из (9.47), (9.48) с учетом _(9.29) следует справедливость леммы.
Л е м м а 3. Оператор Gdu является непрерывным, коэрцитивным
и строго монотонным в Н (Q). Для него с:прав~дливо s-сво~ство_:
если du n ~du в H(Q) при n-+oo и E(dun. dll)-+0, то du"~du
в H(Q).
Д о к аз а т е ль с т в о. Коэрцитивность оператора Gdt1 следует
из свойства матрицы b; kтn (9.43)
(GdLJ, du) Н(Щ = ~ b;k""'dE;kdEmnd~2 ~
!!
~mб1~ de;kde;,,dQ= mб ' 11 diillf, 1,n.
\)
а строгая монотонность и s- свойство оператора Gdti из леммы 2.
Из (9.46) следует неравенство
3
:!
~ llda;k-da;"llt., 11 n ~m7 ~ ll cle ;k -dЁ ;"II t. ,( ~~) =
j, k~J
j.k~1
= m711 dtl- du llн(\2)'
обеспечивающее непрерывность операн~ров da; k в L2(Q). а следо
вательно, непрерывность оператора Gdu в !-1 (~2). Лемма доказана.
Пусть обобщенное решение задачи du Е Н (Q) ищется с по
мощью метода Бубнова - Галеркина в виде
n
dun= ~ aj'<p;.
j~J
где ~;. j = l, 2, ... -система координатных вектор-функций в Н (Q).
Коэффициенты aj', j = l, 2, ... , n определяются и з нелинейной си
стемы алгебраических уравнений
(Gdun. ~;)н щ1 = (f. ~;)1111n, j = 1, 2, .... n.
(9.49)
Аналогично теореме l (п. 7.5) будет справедлива. .
Т е орем а. Пусть выполняются условия «А» и «Б» (9.38) . Тогда
система алгебраических уравнений (9.49) метода Бубнова- Га
леркина однознqчно ра з решима при любом n . По~ледовательность
приближений du n~du в Н (~2) при n-+ оо, где dll - единственное
обобщенное / в смысле опр еделения 2 решение з адачи.
3 а меч а н и е. Рассуждения не изменятся, если гладкий учас
ток поверхности нагружения вместо (9.31) будет задан кривой
f,(a 1, а, х)=О,
удовлетворяющей условию
401
ЛИТЕРАТУРА
1 Зарецкий Ю. К.,Ломбардо В. Н..ГрошевМ.Е.Пластическоетече
ние грунтовых массивов.- Изв. вузов. Стр-во и архитектура, 1979, N'2 2, с. 3 - 24.
2.3арецкий Ю. К., Ломбардо В. Н. Статика и динамика грунтовых пло
тин. М.: Энергия, 1982.
3. Dгuсkег D. С., Ргаgег W. Soi1 Mechaпics апd Plastic Aпa1ysis ог Limit
Desigп. - Quaгt. дрр1. Math., 1 0 , 157 , 1952.
4. Dгuсkег D. С., GiЬsоп R. Е., Непkе1D. 1. Soil Mechaпics апd Woгk
Haгdeпiпg Theoгies of Plasticit y. -
Тгапs. ASCE, 122, 338, 1957.
5. 1епikеА. \V,Shiе1d R. Т Оп theP1asticFlo\v of CoulombSo1ids Веуопd
Oгigiпal Failtrгe. · - Ргос. ASCE, Месhап., 26, 599, 1956.
б. Sсhоfiе1dд., Wгоth Р. Cгitical State Soil Mechaпics. N. У., 1968.
7. Pooгosl1asb Н В ., Holub ec G. , Sheгbo t1гke
А. N. Yielding and F1ow
of Sand iп Tгia x ia1 Compгessioп. Р. 1. · -
Caпadiaгl Geol. J ., 3, 4, 1 96б; Р. 2- 3-
Сапаdiап Geot. J. , 4 , 4 , 1967.
8. R о sсое К. Н. Тlн· lnf1trel1 ce of Stгains iп Soi1 Mechanics. -
Geotechl1iqtre, 20,
2, 129 -- - 170, 1970.
9.Таtst1оkа F.,
1 с h i h а г а К. Yielding of Saпd i11 Triaxia1 Compгessioi1.--
Soi1s a11d Fot•пdatioпs, 14, 2 , 1974.
10. М г о z Z. Оп Stress-Straiп Relatioпs i11 Soi1 Mechaпics. ·- - Ргос. of the Fiгst
Baltic Co11f. оп Soi1 Месhап. апd f'ou11d. Епg., v. 1, Sept. Po1a11d. Gdaгisk, 1975,
р. 127 - lб4.
11. И о с е л<' в и ч В. А. , Д и дух Б. И. О l)рименении теории пластического упроч
нения к описанию деформируемост и грунта. - В кн.: Вопр . механики грунтов н
стр- ва на лессовых основаниях. Гр оз ный , 1970.
12. И ва щен ко И. Н., 3ахаров М. Н. Эксrrернментальное исследование rlлас
тич ескнх деформац ий глинистО!'<) гр унта nрн трехосном сжатии. - Прнкладная ме
ханика н техн. фнзнка, 1971, N'2 2 , с. 1- 20.
13. С т ар о в д. В. О применении теории nласт ического У••рочнения к описан ию
допрсдел_ьного поведения глини стого грунта. - Гидротехн. стр-во , 1977, N9 б.
с. 31-36.
.
14. ИоселевичВ.д.,3уевВ.В.,ЧахтауриГ.д.Обэффектахпластического
упрочн ения нескальных грунтов. - М еханика ледников, снежных л авин и грунтов.
Науч. тр. МГУ , 1975, N'2 5, С. 9б - 112.
15.Иоселевич В. д., РассказовЛ. Н., Сысоев Ю. М. Об особенностях
развития поверхностей нагруж ен и я при rJластическом упрочнении грунта. - Изв.
АН СССР. Механика твердого тела, 1979, N'2 2, с. 155-161 .
1б. Н и к о л а е в с кий Б. ·н. Механические свойства грунтоR и теория пластич
ност и . - В кн.: Механика тв ерды х деформируемых T<' Jl. М.: ВИНИТИ , т. б, 1972.
17 . R ow Р._ W. The Stгess-Di1etaпcy Re 1ation fог Static Equi1ibгiuт of ап Assemb1y
of Partr c 1es 111 Coпtacl.- Ргос . Roy. Socie ty , 2б9, 500--527, 19б2.
18. С о 1е Е. R. L. The .Beha viouг of Soils iп the Simp1e Shear Appaгa!us.-Ph.
D. thesis, U11iveгsity of Cambгidge, 1967.
19. Со uто u1а s D. G. д Oadiographic Sltidy of Soids.- Ph. D. thesis, Uпiveг
sity of Camb rid ge, 19б8.
20. 3арецкий Ю. К., Воронцо в Э. И., Г ар нцелов М. Ю. Эксперименталь
ные ис следования упругопластич еского поведения грунтов. - В кн.: Тр. всесоюз.
совещани я «Проек тир. и исслед. оснований гидротехн. сооруж ений». М.: Энер гия,
1980.
402
1
~--------------------------------------------~·------~·~
21.3арецкий Ю. К., Вялов С. С. Вопросы структурной механики глинистых
грунтов.- Основания, фундаменты н механика _грунтов, 1971 , N'2 3, с. 1-5.
22. Vyalov S. S., Zaгelsky
У. К., Maxrmyk R. V ., Pekarskaya N. К.
Probl e т s of the Structuгa1 Rheo1ogy of C1ays.
Bu11 et rn of th e 1111 . Assqs. of E11g.
Geology. Р., 1972, р. 79- 83.
23.3арецкийЮ.К..ЧумичевБ.Д.КратковременнаяnоJIЗучестьльда.Ново
сибирск: Наука, 1982, с. 119.
24.Ма1уshеvМ. V.,
Zагеtskу У. К., Zа1еzhnеvУ.Е.Оп the P1astic
F1ow of Cohesioп1ess Soi1 s. Proc . IX l11t. Сопf. on Soi1 Mechan. апd Fo1111d. E11g.,
2/25. Tokvo, 1977, р. б3З -- 63б
.
.
25. zагe.tskv У. К., Огсkhоv V. V. P1astic strai11s апd Fou11da!ю11 Bearmg
Capacity U11de"r the Actioп o f Rigid Load Plate.- I VIAM Syтposrum «Defoгmatюl1
and Failure of Gгапt11аг Mateгials». De1ft, the Netherla11d s, 1982.
.
.
2б.zагеtskу У. К., LотЬагdоV. N., SсhегЬi11а V._
1. l11 vest•ga tюпs of
Vi sco-Piastic Defoгmati oпs of Eaгthf•11 Stгucture w1th Numeг1ca1 апd Centrrftlga1
Mode11il1g Methods. - Numeгica1 _Mode 1s iп Geornecha11i cs. Zuгich, 13 - 17 sept. 1982 .
Balke ma (Ro tteгdam), 1982, р. 626- 633.
27. К о р н е е в В . Г. О решении >1етодом конечных элементов зада ч теории n ласти
ческоr·о течения для грунтов. - Диффере нциа ль rrые y paв~r e rlliЯ. 16, 4 , 705-722. 1980.
28. К о р н е е в В. Г. О nриближенном решении задач теории нластического тече
ния для сред, nодчиняющи хся условию текучести Ку.1она. --- Журнал вычислит. ма
тематики и математ. физики . 20, 2 , 433 --450 , 1980.
29.КоларовД., Бо .1тов д., Бочева М. Механика n,1астических сред. М.:
Мир , 1973.
•
•
30.Гаевский Х.. Грегер К.. 3ахарис К. Велинеиныеоператорные уравне-
ния и операторные диффер енциальные уравнения. М.: Мнр. 1978.
3 1. Мосолов П. П., Мя сников В. П. Доказа тельство неравенства Корна. -
Докл. АН СССР, 201, 1. 36 - 39, 1971.
ЛЕКЦИЯ 10
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕН ИЯ ГРУНТОВ
А.Вязкоnластичность грунтов
при статических воздействиях
При статических воздействиях для многи х грунтов характерно
запаздывание деформаций относительно напряж е нного состояния._
Иначе говоря, для заданного постоянного напряженного состояния
деформации устана_вл иваются не мгновенно, а, изменяясь, стабили
зируются через некоторый промежуток времени. При этом запазды-
403
вают как востанавливающиеся деформации (упруговязкие el?), так
и невосстанавливающиеся ( вя з копластические eff) . Однако если
характерное время запаздывания для упруговязких деформаций _
велич"ина постоянная, то время установления пластических дефор
мации зависит от уровня напряжений и, прежде всего, от степени
приближения к предельному по прочности состоянию .
Рассмотрим последовательно две проблемы вязкопластичности
[1, 2]. Первая заключается в построении теории вязкопластично
сти в допредельном состоянии, когда деформации стабилизируются
т. е . скорости деформаций при о =const стремятся к нулю, а пр~
достижении предельного состояния грунт течет с постоянной ско
ростью деформаций. Предельное состояние при этом совпадает с
понятием предела длительной прочности о,*"., (см . лекцию 4) .
Вторая проблема заключается в расширенном построении тео
рии вязк~пластичности, прогно з ирующей развитие пластических де
формации не только в допредельн-ом, но и в запредельном состоя
нии с учет~м прогрессирующего характера возрастания скоростей
дефо~мации. В этом случае условие возрастания скорости дефор
м;ции (рис. 10.1) определяется значениями длительной прочности
ait (рис. 10.1, 6).
Б
t
Рис. 1U.l. За виси мостп с коро сти вяз коп л астического те че ния от времени
(а) и з ави симость прочности от време ни (б) в условиях пол з учес ти при постоян
ных н а пряжениях. 1 - зависимо сть минима л ьной скоро сти деформирования от
времени , ~то соответствует п е р е ходу в прогрессирующее теч е ние; 2 _ предел
длит ел ьион прочности грунта
Примем, что полные деформации состоят из суммы
( 10.1)
упруговязких efiv и вязкопластических eYf деформаций. Упруговяз
кие (восстанавли~ающиеся) деформации подчиняются одной из
известных моделеи упруговязкости. Выбор модели и, следователь-
404
но, определяющих уравнений упруговязкости зависит от данных
экспериментальных исследований , характера задачи и необходи
мости точного изучения областей разгрузок. В качестве наиболее
простой и в то же время достаточно полной в смысле описания как
процессов запаздывания деформаций, так и процессов релаксации
напряжений примем модель упруговязкого стандартного тела. Урав
нения стандартного тела записываются в виде [3]
Tret e ?i" +efiv =
2~:, [TretSii+s,i]: }
т:еиeu
1[Т
·
]
(10.2)
re t(t•)Eu + ev =
К';., rel(t•)O +О ,
ее• ег 1~et•
l~
гдеe;i=e;i- 3
u;ie;i ; S;i =o;i- 3
u;i o ' i- компоненты девнаторов
соответствующих тензоров .
В более общем виде определяющие соотношения могут быть
записаны в форме интегрального соотношения наследственной упру
говязкости [4]
2G- { "'')+ ~ (К-
2 ,.о:) ( "'')
o;i =
eii
u;i - 3'--'
eii ,
где G и К- интегральные операторы Вольтерра .
10.1 . Вязкопластические деформации грунта
в допредельном состоянии о,";;; п 7~
( 10.3)
Для учета фактора з апаздывания деформаций необходимо в ка
честве параметров уnрочнения помимо накопленных величин вязко
пластических. деформаций eYf ввести скорости вязкопластических
деформаций eYf.
Так же, как в работе П . М. Нахди и С. А. Мёрч [5], будем
рассматривать в дальнейш е м так называемую мгновенную поверх
ность нагружения H0 J =О , которая зависит как от па раметрав плас
тич е ского упрочнения , так и от скоростей вязкопластических дефор
маций. Положение мгновенной поверхности нагружения в шести
мерном пространстве напряжений зависит, таким образом, не только
от составляющих тензора напряжений и накопленных значений
вязкопластических деформаций, но и от истории и времени нагру
жения. Математическую формулировку мгновенной функции нагру
жения дадим ниже, но ее общая форма заnиси им еет вид
f(o)(o·w·со
·
>Р) О
r
ij, i,
v, Eit ==
·
(10.4)
Мгновенная поверхность нагружения совпадает со стабилизи
рованной поверхностью f г =О в случае, когда все компоненты тен-
405
зора скорости вязкоnластических деформаций становятся равны
ми нулю .
Для учета фактора заnаздывания деформаций исnользуем nоняс
тие анизотроnного уnрочнения. Представим, что в зависимости от
скорости вязкоnластических деформаций nоверхно с ть нагружения
nеремещается трансляционно , т. е. ее центр изменяет свое nоло
жени е в фазовом nространстве наnряжений, и это и з м ене ние nоло
жения та ково, что в каждый данный момент не в есь вектор догру
жения участвует в накоплении вязкоnластических деформаций. По
мер е уменьшения скорости деформаций мгновенная nоверхность
приближа ется к положению стабилизированной nоверхности
(рис. 10 .2 ). В связи со сказанным пn.rJ<Iгaeм, что выражение для
<S1
--- ..........
'l
1
1
1
Ри с. 10.2. Положе ни е 1юверх н ости нагр уже нии в нача ; 1ьный мом е нт времени
( 1) , стаб илизи рованное полож е ни е пове рхности нагружении (2) и некоторое
nром е жуточное nол ожение. соответствую щее моменту врс·ме н 11 t = t 1
мгновенной поверхности нагруж ен ия может быть записано в виде (6]
( 10.5)
где Гi и г ,,- координаты центра мгновенной поверхности. Пусть
ri и г и являются функциями с коростей вязкоnластич ес ких дефор
маций:
(10.6)
Введе нный вариант теории анизотропного упрочнения основан
на том nредположении, что на вя з копластический nроцесс дефор-
_мирования непосредственно оказывает влияние лне полный тензор
напряж е ния CJ ii • а только е го векоторая часть aii • на званна я тен
зо~ом активных напряжений; те н зо р внутренних вязких напряже
нии r ii управляет вязким м еха ни з мом.
Просте йшей иллюстрацией такого подхода к вязкопластическому
процессу деформирования служит элементарная механическая мо
дель (рис. 10.3) (6]. Паралл ель ное соединение элементов, опреде-
406
а
to
элемен1 _ л
r вн~l'Реннеи б
вязкости
t<5
Ри с. 10.3 . и.~лю с тр а ция nростейшей модели у 11р уговязкости - вязкоrlлас
тичности: общее расгюлож е ни е элеме нтов модел и (а); вязкие наnряжениf! ,
определяемые уравн е ние м Г = f1''"~''1' (б); вязкие нпnряже ния r=ч ''"~"Р +
+E''"F "" (в); вя зкие н а 11 ряжения r/ll''''+ r/ E'"=i'' 1
'
(г)
ляющих пластический и вязкий механизм, да ет нам искомое соотно
шение. Легко видеть теперь, что поверхность на гру жения, опреде
ляющая развитие пластических деформаций, связана только с актив
ным тензором наnряжений. Теперь становится понятным смысл
вв еден ия мгновенной n о в е рхности нагр уже ния - она опредеJlяет
...
nоложе ние вектора активных напряжений а в фа з овом пространстве
напряжений и отражает в каждый данный момент работу тoJlbKO
внутреннего nластич еского м е ханизма. Т е н зо р внутренних наnря
жений в зависимости от сложности элем е нтов внутреннего вяз!<ОГО
механизма деформирования может быть как угодно сложным и в
общем случае зависит как от скоростей вя зко nла ст ических дефор
маций, так и от накоnившейся вязкопластич ес кой деформании.
В простейшем случа е (рис. 10.3, 6) инварианты внутреннего тензо
ра наnряжений определяются соотношениями ( 10.6) или, с учетом
н елинейной зависимости ,
407
(10.7)
При этом коэффициенты вя з кости rJ ; и ч ,. уменьшаются с уве
лич е ни е м скорости вязкопла с тических деформаций. Практически
хорошо соответствуют эксп е риментальным данным зависимости
Т)i(а, еУ" ) =Т) ; (а) ln (ёj'P jёi'1111 )
ёj'Р
} ( 10.8)
Здесь Ч ; (а) и lJ ,. (a) зависяу (обычно линейно) от гидростати
ческого давления; вl" ;" и Бz•in - с корости, соответствующие крите
рию стабили~ации деФормаций ( у станавливаются порядка е?""~
~10-
7
1/с, e.Z""~lo-& 1/с).
Бол ее сложная модель внутр е нних напряжений приведена в ка
честве примера на рис. 10.3 , в , г. Если для внутренних напряже
ний характерен спектр периодов релаксации, то они определяются
с помощью интегродифференциального оператора.
Экспериментальное определение границы, разделяющей в про
странств е напряжений упругую и пластическую области, и изучение
свойств этой границы осуще ствлено подробно М. Ю . Гарицеловым.
Разработанная методика поз волила оценить трансформацию грани
цы области упругости в проце ссе наг.ружения и накопления пласти
ческих деформаций . Им же ра з работана методика по и з учению
положения границы области восстанавливающихся деформаций в
процессе нагружения обра з цов по стандартным тра е кториям тре х
осного сжатия. На рис. 10.4 пока з ан схематически этап такого иссле
дования. Пусть в результате статического нагружения грунта до
состояния М 1 в стабилизированном состоянии сформиру ется область
восстанавливающихся деформ а ций. след регулярного участка по
верхности которой представл е н на плоскости «а 1- а» линией А 1 В 1 •
ДОПОЛНИТельное нагружение И З Т. М 1 В Т. М2 фаЗОВОГО пространства
напряжений формирует область восстанавливающихся деформаций
в стабилизированном состоянии А2 В 2. Таким образом, развитие
области упруговязкости при статическом нагруж е нии происходит
за сч ет изменения положения участка поверхности нагружения
А1В1•
Характер движения границы упруговязкости и з положения
А1В 1 в положение А2В 2 опр еделя ет в конечном счете и характер
накопл е ния во времени пластических деформаций . Изуч е ние этого
вопроса проводилось для грунтов, обладающих реологическими свой
ствами, по следующей методик е . В двух параллельных опытах
выполнялось идентичное нагружение образцов грунта по траекто
рии « раздавливания» до напряженного состояния М 1, в котором
408
а
d
t1
t
5
б,
~2
е~р
"G:М:М,
L
--
--
... ... ..
_,
/':..."...
м"'м2
1
м;м4
м
_в2
-
1.--
М2М~
-
1
м~
1
в~
1
А1
1
1
cs
t1
t
Рис. 10.4. Методик а о пр е деления мгновенной пов е рхнu с ги .нагружени~ при
разгрузке образца посл е п е риода ползучести !1 с по сл едую~ е и наrрузкои сту
пенями до начала нак о пл е ния вя з копластиче~ких де ф о рм а ции (а); при ступен
чатой разгрузке обра з ц а п ос л е периода ползуче с ти 11 до прекращения вязко
пластических деформаций (б)
образцы выдерживались длительное время с целью стабилизации
деформаций. По зав е ршении периода стабилизации ~ образцам
прикладывалась одна и т а же ступень догруж е ния М1М 2 , которая
выдерживалась определ е нное непродолжительное время t1. Дефор
мации or догружения М 1 М 2 , протекающие за это время, составляют
некоторую долю от деформаций, накапли~а е мых при длительно~
выдерживании той же ступени. В дальнеишем схемы испытании
образцов различались в следующем.
Первый образец ра з гружался до состояния М :1 (рис. 10.4, а)
за одну ступень измен е ния нагрузки, после чего проводилось повтор-
409
ное нагружение мелкими ступенями до nоявления nриращений плас
тически~ деформаций, указывающих на nересеч ен ие границы упру
говязкои области (состояние М2). По этой же м етод ике оnределя
лось nоложение всего участка границы области восстанавливаю
щихся деформаций~ А2В2 .
Второй образец разгружался (рис . 10.4, 6) в отличие от пер
вого в несколько ступеней . Первая qтупень разгруз ки М 2М 3 назна
чалась по результатам исn~тания п~рвого образца таким образом,
чтобы уровень наnряжении после снятия этой стуnени несколько
лревышал напряжения в состоянии М 2. Такая разгрузка приводит к
многократному снижению скорости деформирования, однако плас
тическое течение" продолжается при этом уровне напряженного со
стояния. Дальнеишан разгрузка второго обра з ца велась мелкими
ступенями до nрекращения течения грунта во времени. Напряжен
ное состояние, в котором лрекращается течение грунта, по данным
ольпав бли з ко или совпадает с состоянием М2 , оnределенным в
испытании первого обра з ца . Это nоз воляет достаточно определенно
указать мгнов ен ное положен ие участка А 1 В 1 границы упругой обла
ет~ на М_Qмент времени t, nосле приложения ступени нагрузки, рав-·
нои М,М2. Проведеиные по изложенной методике эксперименты
ло~азали, что лолож:ние границы восстанавливающихся деформа
ции, отождествляемои с поверхностью нагружения, изменяется во
времени и существенно зависит не только от траектории, но и от
режима нагружения. При этом ее положение меняется в зависи
мости от скорости вязкопластических деформаций. Мгновенная по
верхность нагружения ~ это поверхность нагружения в данный
момент врем ен и, и ее положение определяют те активные напряже
ния, которые в действительности относятся к чисто пластич ескому
механизму (см . рис. 10.3) .
10.2 . Мгновенные поверхности нагружения
Мгновенные поверхности нагружения могут быть геометрически
интерnретированы следующим образом. При нагружении элемента
объе~а. характеризу~мого в плоскости инвариантов тензора напря
жении вектором М1М2 (рис. 10.5), nоверхность нагружения 1~ 1
должна в конечном итоге зан ять положение 2~2 при условии ста
билизации всего лроцесса деформирования. Поверхности 1~ 1 и
2~2 названы стабилизированными. Однако пластическим механиз
мом в действительности улра~ля,...ют н е напряжения а;, а, а назван
ные активными напряжения а;, а. В общем случа е
U;=a; -r;(eYP, ejP ) и a=a-rv(в~P. ё ~Р ) .
На рис. 10 .5 локазаны векторы М 1 М2. М 1 М2 , которые опреде-
410
,.
t
~-\
GН
2
/
/
/
1
---
Рис. 10.5. Положение мгновенных (1'-1'; 1" -1 "; 2'-2'; 2"-2") и стаби
лизир ован ных ( 1- 1; 2- 2) поверхно с тей нагруж е ния
ляют положение точек нагружения в активных напряжениях для
различных моментов времени. Компоненты этих векторов зависят
от скорости вязкопластических деформаций. Через точки нагруже
ния М2, М2', ... проходят мгновенные поверхности нагружения 2~2,
2 ~ 2, .... Процесс стабилизируется, когда компоненты r;=O, rv=O
и точка нагружения совпадает с т . М 2 , а мгновенная поверхность
совпадает с установившейся поверхностью 2~2 . Можно , однако,
введенные мгновенные поверхности интерпретировать в простран
стве полных напряжений а;; а, не прибегая к понятиям активных на
пряжений а;; а. В этом случае через точку нагружения М2(а;; а)
проходит множество поверхностей нагружения 1~1; 1'~1'; ... ,а их
положение зависит от скоростей вязкопластических и накопленных
значений пластических деформаций. Нетрудно заметить, что поверх
ности 1 ~ 1; 1'-1'; ... параллельны поверхностям 2-2; 2'-2'; ...
Отм ет им, что эксп е риментатор, который захотел бы проверить спра
ведливость ассоциированного закона, пришел бы к выводу, что в
точке нагружения (т. М 2 ) направление вектора приращения плас
тических деформаций меняется и эту точку можно классифициро
вать как сингулирную (см . рис . 10.5) . Если же точка нагружения
совпадает действительно с сингулярной точкой поверхности, то по
веде ние вектора приращения пластических деформаций становится
еще более сложным.
Итак, для прогноза вязкопластических деформаций принимаем
следующий вариант теории вязкоnластичнос;и.
411
1. Тензоr: полной деформации представляется в виде суммы
упруговязкои и вязкопластической составляющих.
2. В фазовом пространств е напряжений существуют стабилизи
рованная ~ мгновенная поверхности нагружения. Внутри стабили
зированнон поверхности нагружения грунт ведет себя как упруго
вязкая среда.
3. Справедлив обобщенный ассоциированный (к мгновенной по
верхности нагружения) закон т е чения В. Койт е ра.
На основании п. 3 обобщенный ассоциированный закон записы
вается в вид е
дi}О)
de[1'P =
~d~
.<...,
"-г-)-.-. '
r=m+п
(G11
( 10.9)
где т+ n - совокупность всех регулярных участков поверхности
нагружен и я.
Мгновенная функция нагружения имеет вид
f(O)
л
л
r =a; -c,+k,a,
(10. 10)
где
~;=a;-1J;(a, _er r) le!PI ;}
a=a-'l']u(a, е~Р ) ·le~r l .
(10.11)
Значени!l с, н k, даются выражениями (9.12)- (9.15) и (9.24)
пр~дыдущеи лекции. Когда скорости вязкопластических деформа
ч.ии дрстига.ют в.еличин, характеризующих условную стабилизацию
e VP-+-e"lln
.. ир
Пllfl
,
;
; и е ,, -+ ~:и , мгновенная функция нагружения совпадает со
стабилизированной:
л
л
а;==а;; а==и и f~O)-f,.
Рассмотрим два частных случая [7]:
а)
Jn (lef'Pifel'''")
ёt'Р
Тогда мгновенная функция нагружения примет вид
f~0) =a;+k ,u- [с,+1JюР ln (lef'Pife!";") +
+1Juopk, ln ( 1Ё~Р I / 1Ё;:';"l) J;
( 10. 10а)
б) 1J;(a, е[Р) =1Jv(a, Ё ~Р ) ='l']o(a) ln ( l в':I/Ёm'")
f-t!p
'l']o(u) =1]ор,
где P(ffi;; ffi ,, ) - функция упрочнения (см. подробнее ле кцию 9);
412
,,
скорость Ё"Р представляет собой моду;Ль ве!<тора ~корости, компо
нентами которого являются скорости ejP и е~Р = k ,eYP .
Последнее соотношение является следствием ассоцииР.ованного
закона пластического течения. Модуль вектора скорости 1eur 1 равен
li"PI =yf( eYP) 2+ (ё~Р) 2 = -f(l+k~) 1e rr1 .
Мгновенная функция нагр уже ния прини мает в этом случае вид
r>o)=a;+k2u- [c,+1Jop-{(l+k~T lп (. vП+kT) lefPI )]
ёi"in
( 10. 10б)
и имеет геометрическую интерпретацию, показанную на рис. 10.6 .
Форма мгновенной поверхности нагружения (10 . 10б) использована
· В. Н. Ломбардо в конкретных расчетах [7] .
cs,
1
1
1
1/
~/
Рис. IO .ti. 1 ·е ом е 1· риче скаи июервретаu.ии мгновt:н ни н новерх ности (10.106)
Для глинистых сланцев в этой работе процесс ползучести про
гнозировался на основании (10.10б) и для них было принято 'l']o=
=0, 105. Ниж е будет приведено сопоставление экспериментальных
деформаций, развиваю(Цихся во времени при компрессионном сжа
тии, с теоретически проrнозируемыми значениями.
10.3. Определение процессов нагрузки, разгрузки
и нейтрального нагру~ения
Процесс нагрузки сопровождается накоплением пластических
деформаций, реализуется при выполн е нии следующих условий:
413
т. е. процесс нагружения идет по некоторым регулярным частям
поверхности нагружения r =т, где т может и не охватывать всей
совокупности индексов r, а по остальным участкам мгновенной по
верхности r=n (из общей совокупности n+т) происходит про
цесс разгрузки или нейтрального нагружения.
Поскольку да&,, = 1, а мгновенная функция нагружения f~o) от-
"
личается от стабилизированной fг только тем, что аргументы функ-
ции fг ( a;i) заменены на аргументы а кт и в н ого тензора &,i = a;i- r;i,
tli~")
дf,
производные -л- совпадают тождественно с производными
до1;
до11
Поэтому условия нагру зки могут быть записаны :
и
( 10.12а)
д[
•
•
до;; (a ;j -Гii) >0.
Працее с разгрузки, т. е. переход из вязкопластического состоя
ния в вязкоупругое, соответствует новому значению мгновенной
функции нагружения
f~U)+f~O)dt< 0
или, учитывая, что f~0) =0, процесс разгрузки соответствует усло
вию f~0)<0.
Производнан по времени от мгновенной функции нагружения
о fif("J
•
•
дf}"1 •
дf}"J • дf("1 .., .
f~)=
--_ -_
(a;i- Г;j) + --_
- <u,+ --wv+ ~E,f,
до,,
д(J),
д(J) "
де,,
а так как при разгрузке пластические деформации дополнительно
не развиваются:
'·'
'''
const и ,.:,. ='·~ ,. =.;,и,р = ~·,и,р=О, о f'(u)_ дf, ( •
·)
"-'i="-'u =
"-'
""' "
"'
с-
Т г --д--- Uij-Г;; .
.
Urj
-
Условия разгрузки:
( 10.13)
414
•
,.
J:
j··~;h ·
.: .:;_ .
s·'
~· "1
:11
Таким образом, переход из вязкопластического состояния в вяз
коупругое возможен, когда конец вектора догружения окажется
внутри стабилизированной поверхности нагру~ е ния либо ког,g.а угол,
составленный нормалью к стабилизироваНJ::!ОИ _поверхности n и век
тором скорости активных напряжений (о- Г), будет более л/2.
Нейтральное нагружение осуществляется при выполнении сле
дующих условий:
и
дfr=m
дои
при
}
(o-,i- г,i) =о.
(10.14)
Нейтральное нагружение реализуется, когд'а вектор скорости
активных напряжений ортагонален нормали к поверхности нагуу_:
жения, причем вектор приращения действительных напряжении а
может быть направл е н внутрь поверхности нагружения, как это
показано на рис. 10.7.
б,
а
rr
f'аЗГР!:IЗКОI
cs,
t"=o
-+-
-dr-
7
rt.
л
dб.........-.........- (r~O
Нейтrальное
наrР!:Iжение
Рис. 10.7. Геометрич ес кая интерпретация разгру з ки (а) и ней
трального наrруж е ния ( б )
415
-
I
Развитие деформаций при нагружении вектором <J показано на
рис. 10.8 . На этом же рисунке представлен случай, когда вектор
G
5
rе,
jе.
<5'
G'
б"
<5"
t2
t
t,
t2
t
J.>ис. IU. ь. J.>азв ити е дефо рма ций во врем е ни при н агруз ке и разгрузке: щнu·
венные и стабилизированные пов ерх ности нагружения (а); разгрузка (б); на·
грузка (в)
4
41
напряжения а уменьшается до величины а . В зависимости от того,
какова величина уменьшения действующего напряжения и в какое
время это уменьшение было произвед е но, возможна либо разгрузка
и переход в упруговязкое состояние, либо продолжающееся накоп
ление вязкопластических деформаций . В первом случае (при t==
-11
= = t 2 ) конец нового вектора напряжения а должен лежать на ста-
билизированной поверхности либо вообще находиться внутри огра
ниченной стабилизированной поверхностью области. Во втором сл1;[
чае стабилизированная пов ерх ность не совпадает с вектором <J
-11
"
и конец вектора а ле жит на мгновеннои nоверхно сти, соответ-
ствующей накопленной деформации к моменту измен е ния напряже
ния t == t 2. При этом вязкопластические деформации продолжают
накапливаться до тех пор, пока стабилизиров.анная поверхность не
-11
совпадает с концом вектора а
416
На рис. 10.8 nоказаны положения мгновенных и стабилизиро
ванных поверхност ей нагружения для различных моментов вре
мени. Так , для t == t 1 при накопл енных П{!а ст иче\ких деформациях
e["(t 1); E ~"( t 1 ) и скоростях деформаuий eY"(t1}; E~"(tl) мгновенная
поверхность нагруж е ния определяется соотношениями
а;==- k,a +с,+(Ч;(р; е['"(t1))1ef"(t1)1+
+Чv(р; ё~Р(t1))1i~P(t1) 1] ,
где k, и с, за висят от величины eY" (tl) и E~"(t l).
След этой пов е рхности на плоскости «<J;- <J», как нетрудно убе
диться, представляет собой прямую, параллельную следу устано
вившейся поверхности, определяемой теми же величинами накоп
ленных значений вязкопластических деформаций , т . е. следу
<J;== - k,a+c,.
У становившаяся поверхность, положение котордй опре дел яется
промеж уточными з начениями деформаций , такими как ef" (tl) и
E ~" (t 1 ), имеет вполн е отчетливый смысл, и ее nолож е ние может быть
определено экспериментально. Действительно, если предположить,
что в мом ент t==t 1 проведе на разгрузка, т. е. в момент t=t 1 ско
рости деформаций равны нулю и вязкопластичеuские деформации
перестанут накапливаться, то положение истиннои поверхности на -
J
гружения как раз и будет определяться уравнени е м
а;==- k,(ef"(t1); ~:.,2"(t1)) а+с,(еУ"(t1); Е;"(t1)).
При nоследующей нагрузке накоnление деформаций _будет про
должено только в том случае, когда вектор догрузки da пересечет
границу области упруговязкости, определяемую приведеиным выше
уравнением стабилизированной поверхности нагружения, характе
ризуемой накопленными деформациями 10Yf (t1).
Сформулированная модель грунта учитывает как тра ек торию,
так и режим нагружения , влияни е которого иллюстрируется графи
ками рис . 10.9 .
Пусть в фазовом пространстве наnряж е ний в т. М мы попадаем
по одной и той же траектории, но и с ра зл ичными режимами на
гружения . В первом случае нагр уз ка соответствует мгновенному
~ада нию вектора напряжения ОМ, а во втором достигаем т . М в
.~на этаnа, нагружаясь ступенчато: сначала до т. N, а затем от т. N
до т. М (NM). Ступень нагрузки ON выде рживается не до стаби
л и за ции , а донекоторого времени t==t1. Во втором случае при на
гружении NM начальная ск_орость_деформации будет соответство
вать скорости при нагружении ОМ при одинаковых накопленных
величинах вязкопластических деформаций е ''" == еУ". как это показано
на рис. 10 .9. При этом и стабилизированные величины деформаций
\4 . Зa к.N2SI
417
б..ом
t .... 00
(S,.tТм
t-oo
.. ..
<S=QN
t-oo
t
Ри с. 10.9 . Развитие дефор маций ползучести при мгновенн ом и ступенча
том наг ружении: мгновенная и ста бил изированная поверхности на rруже ния
(а) ; деформации ползучести (б)
будут различны. Нетрудно вид еть, что в этом случа е прогноз раз
вития деформаций качественно совпадает с прогнозом по теории
упрочн е ния .
В рамках введенной формулировки функции нагр у ж е ния спра
ведлив принцип максимума Ми зе са. Действительно , есл и предполо
жить справ е дл ивость этого принципа в пространств е активных на
пряжений :
или
(а)
(б)
где CJ;i - любые возможны е компоненты тензора напряжений, удов
летворяющие условию (см. лекцию 8)
f(alj) ~o,
(в)
418
то из соотношения (б) вытекает справедливость принципа макси
м у ма Мизеса для действительных напряжений:
(г)
Из приведеиных соотношений (б) и (г) непосредственно следует
справедливость ассоциированного закона пластического течения
как в пространств е действительных, так и в пространстве актив
ных напряжений.
В предлагаемой формулировке модели грунта для конкрети
зации положения мгновенной поверхности нагружения необходимо
дополнительно определить два коэффициента вя з кости Т]; и ТJ v · Эти
параметры определяют з апа здывание сдвиговых и объемных дефор
маций и могут быть найдены при обработке экспериментальных
данных по стандартным испытаниям на пол зу честь. Параметр ТJ ,.
определяет запаздывание объемных деформаций и легко определя
ется из опытов при изотропном обжатии. В этом случае в нагружении
участвует только ч етвертый участок поверхности нагружения:
f~=4=- [cr+р(е~Р)] -Т]v ln (1Ё~РI/ЁZ'in) =0.
Параметр Т]; мож ет быть определен при нагружении по стандарт
ным траекториям либо из экспериментальных исследований проч
ности грунта. Ра з рушение грунта в случае, когда сдвигавые вязко
пластические деформации превышают предельную величину, проис
ходит в соответствии с условием , вытекающим из уравнений сфор
мулированной модели:
(10.15)
Динамическое условие нрочности ( 10.15) подтверждается в опы
тах, проводимых при скоростных нагружениях грунта. Известно,
что в этих опытах разрушающая нагрузка увеличивается с увели
чением скорости вязкопластических деформаций. Зависимость проч
ности от скорости деформирования для н е которых видов грунтов
и горных пород в общем случае представлена на рис. 10.10. Гори
зонтальный участок графика, означающий н ез ависимость разру
шающих напряжений от скорости деформирования, характерен в
условиях проявления м е ханизма отрыва (см. лекцию 4). Величины
скоростей деформаций , при которых наб л юд ается смена механи з ма
разрушения (разрушени е путем сдвига сменяется разрушением пу
тем отрыва), зависят от вида и состояния грунта, траектории на
гружения, вида напряженного состояния и пр.
10.4. Прогрессирующая ползучесть
В некоторых случаях необходимо достаточно подробно прогно -
14*
419
где
в частности,
а;=G;-Т]ю ln
а=О"-Т)vо ln
( 10.18)
( 10.18а)
'*
.
где е; и Е~ - критические скорости деформации, соответствующие
переходу в пr0огрессирующее течение (см. рис. 10.1). Поверхность
нагружения f,l2=0 может быть теперь переписана в форме.
или
где
f~0l2= G;-G't [Ф(efP)- +
__;:.__]
-
ТJ;о ln ( 1 ёyru'e* + 1)-
1jJ(t)
.
l
k* (1+ х* )t ( IЁ~''I
-
Т)ио
-_-
П
.
1jJ (t)
Е~
+1) =О
11:1 +1)+
.
(
х* ) (---IЁ;:__pl + 1) J"О,
+k*Т]vo 1+ ---:-- ln
=
'\1 (t)
Ё~
Cr=2=C~ct[Ф(е[Р) + ~ J;
'IJ(t)
kr=2= tg <p~ct [ Ф (efP) + ~].
'\1 (t)
(10.19)
( 10.19а)
Аналогично в форме ( 10.19а) могут быть записань1 все участки по
верхности нагружения.
Таким образом, для формулировки мгновенной поверхности на
гружения в области допредельного и предельного (прогрессирующе
го) теч~ния необходимо дополнительно определить зависимость дли
те~ьнои прочности от времени по опытам на ползучесть по стандарт
нон траектории «раздавли~ания», т. е. определить функцию 'Ф (t) (с~.
рис. 10.1, 6), а также наити зависимость критической скорости e'f
от времени (рис.10.1,а). Установлено,что~'t=_!_·ф(t), и, следова-
'lо
тельно, необходимо лишь определить значение параметра Т]о.
Заметим, что при рассмотрении прогрессирующей ползучести
т. е. при G; > G[i/, функция упрочнения принимае~ значение Ф; (efP) '
=1. Вследствие этого выражение G;~(Ф+x*I'Ф(t)) преобразуется
422
'
1
1,
)
к виду (с~- k~ G) ( 1 +х* j'!j] (t)), что совпадает с длитель~:~.ой проч
ностью G[i/, определяемой в опытах на ползучесть при G= cons t,
т. е. (10.17) принимает вид
f\0l2=G;- G[i/- [ТJ;IefPI + k~ Тlиl i~rl ( 1 +х* j'!j] (t))]. ( 10.17а)
Однако такой относительно простой вид мгновенной функции на
гружения получен в связи с тем, что в общем случае интегральный
оператор левой части (10.16) заменен простым соотношением
( 10.16а). Нетрудно показать, что и в общем случае можно пользо
ваться этим соотношением и вытекающим из него соотношением
( 10.17), если длительная прочность G[i/ определяется из интеграль
ного соотношения
1
~ (G[i/- О";~) ф (t --т) dт = x*G;~,
()
которое, как нетрудно видеть, представляет собой не что иное, как
известный интеграл Бейли.
Рассмотрим два примера использования изложенной выше тео
рии вязкопластичности .
10.5. Кратковременная ползучесть льда
Кратковременная ползучесть льда, для которой характерно
отсутствие в области ускоренного течения G; > G;*"" процессов уплот
нения, определяется на основе изложенной теории вязкопластич
ности в упрощенном варианте.
Поскольку в этом случае поверхность нагружения не замкнута
и имеет один регулярный участок, уравнение этой поверхности
можно записать в виде, приведеином нами в работе [8]:
f(O) _
*[х*Jт
'и•
-G;-0"; 00 1+- _ -
- -- ln (le;Pife'f+1)=0. (1020)
1jJ (t)
'IJ(t)
.
Функция нагружения ( 10.20) совпадает с (l 0.19а), если учесть,
что она записана для области кратковременной ползучести, т. е. при
G;>G;~ (e[P=ei" и Ф(е[Р) =1). Учитывая, что длительная проч
ность определяется формулой
G[i/=G;*oo ( 1 + '\1~~) ) ,
функцию нагружения перепишем в кратком виде
т ( leYPI
)
f(O)=(J;-G[i/---Jn ----+1.
'\1 (t)
ёt
(10.21)
423
где et, ёt - критические скорости вязкопластических деформаций,
определяемые соотношениями
•
1•
1
et= -')J(t);et= -
')J (t).
t]o
l]o
(1 0 .22)
Таким образом, для прогноз а кратковременной пол зу чести льда
необход имо экспериментально определить длительную прочность
(а~). т . е. ту интенсивность напряжений сдвига, при которой начи
нается rурогр есс ируюLЦая ползучесть и скорость начала этого про-
цесса (et).
·
Зависимости этих величин от врем ени определяются как это
видно , одной функцией врем ени ф (t). Деформации прогрессирую
LЦего течения находятся на основе ассоциированного закона тече
ния и мгновенной ф ункции на гру жения вида ( 10 .2 1) .
На рис. 10 . 12 прив еден ы результаты расчет ов (А. Г . Щеболев)
3
8
-··
4
1
1
/v
1
1
1
11
1
--! .
~//
1'
,lj
---н
11
~'l
/v
1
1
6
4
'
,у
f/~
1
_,.
и --~~~
2
4
6
8
10
12
Рис . 10.12. Кривые nолзучести nоликристаллического Jlьда nри
одноосном сжатии (0=-4°С): l - a 1 =-2,02 МПа; 2-а 1 =
=-1 ,6 МПа; 3 - а,= -1,14 МПа; 4--а1=-0,91 МПа. !-
экс nерим е нт, 11 - расчет
в соответствии с пре дла гаемой формулировкой модели вязкопласти
ческого течения и сравнение эт их ра счет ов с данными испытаний
льда в условиях одноосной ползучести. Хорошая согласованность
этих данных иллюстрирует во змож ности сформулированной модели
вязкопластич ес кого течения льда. На рис . 10 .13 приведены данные
расчета при трехосных испытаниях льда .
Влияние режима н а гружения хорошо иллю стриру ется на гра
фиках рис . 10 . 14, на которых приведе ны рез ульта ты расчета одно-
424
1
еУРг--~---r---,~--~------~--------т--------т------~
~
о
t,c
Рис. 10.1 3. Расчетны е кривы е nолзуч ес ти nолик риста ллич ес кого льд а в
усло виях стаби ломе трич еско го исn ытан ия (0= -4°С) пр и сто = -0,533 МПа:
(1-1')-ст;=0,923 МПа; (2-2')-ст;=0.750 МПа; (3- 3') -ст1=0,577 МПа; 4-
ст; = 1,475 МПа
осной де форм аци и льда при различном изменении во времени внеш
ней н<:~гр узк и .
В работе [9] приводится расчет навала льда на жесткое пре
пятствие, выполненный с использовани е м излож е нной теории по вы
ЧИ!=лительной программе М . Е. Грош ева . В результате получ е ны
зависимости роста напряжения на контакте льда с опорой во вре
мени при различных с коростях движения свободной границы ледя
ного поля (рис. 10.15). Каждая такая кривая характери зует ся
относительно крутым фронтом нарастания напряжений с замедле
нием по мере приближения к максимуму и дальнейшим плавным
падением. Максимум напряжения соответству ет началу разрушения
льда у опоры. При этом чем больше скорость движения льда, тем
больше ве ли чина пр едел ьного напряжения и меньше время дости
жения этого ма ксим ума. Зависимость м ежду временем до разр у ше
ния льда и разрушаюLЦим (максимальным) напряжени е м на контак
те с опорой (кривая 2 на рис. 10.15, в), представляет собой аналог
кривой длительной -прочности при силовом нагр уже нии , построенной
по испытаниям образцов (кривая 1) .
Как видно из графиков (рис. 10.15, в), при тех же параметрах
реологического пов еден ия льда, определенных в опыт ах на ползу
честь в расчет е по теории пластич ес кого течения, учитываюLЦих
режим наrружения, получено, что при постоянной скорости навала
льда на опору время до разрушения на несколько порядков больше,
чем при мгнов е нном приложении и сох ранении nостоянства на
грузки.
1
/:! 14. 3tll< N2 51
425
Cl
<S,
0,300 мnа
/20 103 t,с
о,
0,300
10 · 102.
25
15
5
2
6
10
14
18·103 t,c
Рис. 10. 14 . Влияние режима нагружения н<J деформацию rюл зу чссти Jlьда
nри одноосном сжатии (8= -4° (): схе ма испытания (а); режим наrружения
(б); ра звити е деформаний во времени (расчет н ые да нн ые) (в)
В да н ной работе иссл едо вана ква з истатическая задача - навал
льда на опору при ма Jшх скор~остях, од нако тот же алгоритм мо
жет быть испоJJ L,зо ван н для р е ш ен ия д инамич еских задач, напри
мер, об ударе дрей фующ ей льдины об опору, ударе л едокола о ле
дяное поле, суд на о ледяной причал и т. п.
10.6 . Ползучесть мерзлого грунта
Реологическое поведение м е рзлого грунта отличается от пове-
426
а
в
'
6
,lJ
\
\
'2
4
2
1'.
~
r"..
1'..
,...
•2
о
,2
4
6
10 10 10t,c
10 10
L-----------------~~
о
4
Рис. 10 .15 . Расч ет навала льда на жесткое препятствие: расчетная схема ,
эпю ра скоростей и с корост е й деформации (t;z); развитие контактных напряжений
во времени при скорости деформа ции Egy (1 /с ]. равной: 1- 2·10 -
8
;2-
1·10-7
; 3-2·10 -
7
;4-4·10-
7
; 5-2 ·10 - (б) ; завис имость разрушающих на
пряжений от времени (в): 1 - прочность, определенная из опытов на ползу
честь образцов льд а ( с иловое нагружение); 2 - пиконая прочность льда , опр е
де ленная расч ето м по навалу льда (кинем атическое наrружен ие)
дени я льда в основном тем, что пластич еская объем ная де формация
носит ха ракте р как доу п лотнения (преимущественно в области за
тухающей ползучести), так и раз у плотн ени я . При этом раз у плотн е
ние, которое развивается в усло вия х прогрессирующей ползучести,
по величине гораздо меньше, чем то , которое прогнозировалось
бы в предположе нии н езамк нутости пов ерхнос ти нагружения. Всл ед
ствие этого, в отличие от формулировки · функции нагружения для
льда, предлагают с я следующие (упрощ енн ы е в _р азумных преде
лах) аналитически е выражения для регу л ярны х участков функции
нагружения :
1/2 14*
427
I
f(U) -
*.
участок r=J-a-aoтp•
т(
lc'"'' l )
II участок f~1~2 =a; -a~Ф(eYr )---lп I+-: -* - ;
1jJt
е;
III участок f~1~ 3 =-а-р+ 'У] и lп ( 1 + 1 Ё~Р 1 /Ё~';")).
Здесь введены обозначения: а,;,Р - предел прочности на отрыв,
а~- длительная прочность грунта (в случае подо - ия кривых дли
тельной прочности аппроКС!iмируется зависимостью а~=а;*.х, (1 +
+ 1Р~:) ), причем а;*.х, =ер (а) ; 'iJ (t) = t
6
; б~ 1; если же подобие не
соблюдается, то значение длительной прочности задается в таб
личной форме): Ф (et"r) - функция упрочнения вида Ф ( еУР) =
ej'~-'
гдеА1и81-
парам етры (в общем случае зав исящие
A,+ B,ei"' '
от среднего напряжения и времени (рис. 10.16)); Ф (eJ'P ) < 1 и при
достижении предела .длит ел ьной прочности функция упрочнени"я
становится равной 1; et - скорость вязкопластических деформ~ции,
соответствующая переходу в прогрессирующее течение (et =
= .!.._
ч"J(t)); Ёv'nin- скорость, соответствующая принятому критерию
r]o
стабили за ции объемных деформаций .
<5;
G:t
tl<
............
---- t-oo
е~
е~
' -t"
"
Рис. 10.16. Ди а граммы сдви
га, построенные д.1я различных
времен по р езульта-rам испыта
ний r· руита н а пол зучес ть при
постоянны х напряжениях
Функции р в uбщем случае зав и сит от объемной ·вя зкопласт и
ческой дефо рмации e:J' и интенсивности касательных напряжений
428
.,,
а; . Объемную деформацию мерзлого грунта можно представить
в виде
up
up+up
fu = fu(O) fui,
( 10.24)
где e;(tJ) - пластическ а я объемная деформация, вызванная всесто
ронним давлением; e~f- объемная деформация, вызванная интен
сивностью касательных напряжений.
Для определения функции упрочнения р ( e~r, efP) обратимся к
работе [10], в которой отмечен весьма интер е сный факт, заключаю
щийся в том, что дилатансионная часть e;f объемной деформации
развивается синхронно с деформацией сдвига efP , т. е. их отноше
ние не зависит от времени . Математическое выражение этого факта
представляется в форме
(10.25)
(10.25а)
что соответствует представленным графикам рис. 10.17 . ЗависимостJ:>
Рис. 10.17. Зависимость еУ~' jE;f от интенсивн ости напряжений сдвига а;
при различных значениях г идростатического давления а
объемной деформации уплотнения c:~(o J от суммы главных напряж е
ний и развитие ее во ~ремени может быть представлено в виде
429
( 10.26)
Совместное рассмотрение формул ( 10.24)- ( 10.26) позволяет
определять функцию упрочнения р, которая будет зависеть в общем
случае от ejP, ai, е~Р и е~Р.
Дадим пример определения функции упрочнения р для прогрес
сирующей ползучести мерзлого грунта. Для мерзлых грунтов объем
ная деформация от гидростатического обжатия е;(о) обычно неве
лика и составляет около 0,01. Ради упрощения пренебрежем объем
ной деформацией уплотнения еХР. Тогда функцию упрочнения р =
-
-а получим в замкнутом виде . На основании ( 10.25а) и по
лагая e ~f = е ~Р, функцию упрочнения р (efP, е ~Р) можем записать
в виде
р=------
В* tg qJ':.,
(10.27)
Параметры модели определяются на основе испытаний грунта на
трехосное сжатие. Для использования модели необходимо опреде
лить:
-
кривую длительной nрочности, т. е. зависимость ai'i(a; t), на
пример, вида ai'i=a;~ [1 +x*/'i'(t)] из оnытов на nолзучесть при
постоянных во времени напряжениях;
-
функцию упрочнения Ф (еУР) по стабилизированным значе
ниям вязкопластических деформаций при а;< ai'i;
- -- - : функцию р (e f P; f, ~P) и скорость вязкопластических деформа
ций et;
-
значение a~r и упругие модули Ge и Ке.
Геометрическое представление поверхности нагружения дано на
рис. 10.18. Используя метод конечных элементов, А. Г. Щеболев
[ 11] составил вычислительную программу, которая на . основании
изложенной общей теории позво"ляет определять развитие во вре
мени деформаций ползучести мерзлых грунтов как в области зату
хающей, так и незатухающей nолзучести.
На риш . 10.19 дано сопоставление результатов расчета по пред
лагаемой математической модели грунта с экспериментальными дан
ными [12] испытания образцов мерзлого грунта по траекториям
a=const и a,t.
Таким образом, предложенные определяющие уравнения для
мерзлого грунта носят неголономный, инкрементальный характер.
Л1одель позволяет описать поведение грунта как в допредельном,
так и в предельном состоянии, и для определения параметров мо
дели не требуется специальных исследований. Расчетные параметры
находятся по результатам испытаний на трехосное сжати е .
430
,,,
П OBePI<.HOCTb
QJ1ИTeJ1bHOЙ
/{PO'I~OCЛI
р
Мгновенная
nовеРхность
j~o1 (6~}S,ci~ tЛ}=О
Рис. 10.18 . Поверхно с т ь нагружения для расче та вя з коnластичности мерз
лого грунта
Рассмотренный подход к nроблеме вязкоnластичности помимо
дал.ьнейших углубл:нных теоретических разработок, nре;полагает
также значительныи объем эксnериментальных исследований по
изучению реологического nоведения грунтовых сред в условиях
сложного напряженного состояния при сложных траекториях и ре
жимах нагружения. Завершающим этапом развития этой теории
является разработка алгоритмов и вычислительных программ при
менительно к конкретным инженерным задачам.
10.7. Расчет длительных деформаций
каменно-набросной плотины
Результаты численного расчета наnряженно-деформированного
состояния камеино-набросной nлотины сравниваются с данными
исnытаний модели этой плотины на машине центробежного модели
рования [7]. Расчеты выnолнены по алгоритму и вычислительной
программе, состав~енной В. Н. Ломбардо. В этой программе учтены
реологические своиства грунтового материала в соответствии с ва
риантом математической модели грунта ( 10.10б), а также учтен
эффект Баушин~ера (см . лекцию 9). На рис. 10.20 nриведен «пас
nорт» испытании глинистого сланца, nредназначенного к укладке
в тело однородной камеино-набросной плотины. При этом исnьпа-
431
ф
:s:
:I:
Ql
70
60
50
40
30
20
10
2
~6
:D
Q.
.. .,
~8
2
--·
,_,._._ _
6
10
-т
--- !i
4
--·---·
5
14 i8 Т1 ЧОIС
Рис. 10.19. Кривые nол зуче
сти nы : J!· в~той суnеси nри тем
пературс lk~- I0 °C: сдвиго
выf' (а) и объемнщ• (б) (без
у ч ета объемных деформаuий
уnлотнения от гидр остатическо
го дав ,1сния) де форм аuи и образ
Ltа 11ри on= - 3,0 МПа и раз
личных значениях о;: 1 - 3 ,9
МПа; 2- 3,47 МПа; 3-~
3,03 МПа; 4 - 2,06 МПа; s·-
2, 16 ,1\'\Па. 1 -экс nери мент ,
11- расчет
ния проведены при условной стабилизации деформаций, соответ
ствующей скорости деформаций порядка 10 -
4
!/мин. Если же ста
билизацию деформаций определять по критерию, соответствующе
му скорости nорядка 10-
10
! /мин, то эффект за паздывания дефор
маций глинистого сланца существен и его сл едуе т учитывать в кон
кр етн ых расчетах.
На рис. 10 .2 1 показаны прим ер развития деформаций глинис
того сланца во времени при комnрессионном сжатии и сравнение
с прогнозируемыми деформациями в соответствии с разработанной
реоло гич ес кой моделью грунта.
432
бi,МП01
v
--к
LL
~
4,0
/j__
-.....
3,2
А
N~
~v
-
2,4
А_
-
~~
l{;'/
/
1,6
-
~ '1 l{L!;
~
~
...
~ V_L1
ei%
~
о,МПа
12.
8
4
:~1 1,6
- 3,2
- 4,8
\ll 1
2
~~11
3
~_,
--
Рис. 10.20. «Пас n орт» трехосных
-
испытаний глинистого сла нu а гид-
роуЗла Го,~ьдисталь (Г ДР)
4 Cv,%
юо2.46вю•246вЮ224ввю~2468ю•t,..ин
1,0
2,0
З,О
- t;·10
2
-----
~----
.......
-
--- -
.
-r-1
--
J..
--- 2
---
li
---
т----- 3
Рис. 10.21 . Ра звити е во вр ем ен и деформаuий глинистого сланuа гидро
узла Гольд11 с таль (ГДР) nри комnрессионном сжатии: 1 - а 1 =
-
0,2 М Па;
2- а1=
-0.5МПа; 3-о1= -
1,0 МПа. 1- расчет, 11 - эксnеримент
433
Результаты расчета
однородной плотиньr с напряженно-деформированного состояния
экраном, сложенной гли
nредставл ены на рис. 10 .22 . Пока за ва пер
н истыми сланцами,
.
емещение nротивофиль-
в
АД~~~~:=
c%,~~~L_
~
'"""~
1 0,6 q2 ·Q2 ·0,6
:""\,"""""'\'V"Y"\~~"""\~~ГV"\""'""Y"'\.""\""'"\rv'\'"'Y'Y'Y'
Рис. 10 .22. К расчету напряженн о
·
ф
плотины с экраном· а __ р с
·д. е армированного состояния однородной
ф
·
а четная схема (1 _ экран). 6
тиво ил ырацион ного экрана 8 перио .
·
-
пе ремещения про
ность.состояний); в-эпюра линейн 1 д эфксrмуата"ции (1 - 6 - последова тель-
ь х де ормации экрана
трационного экрана в период экспл
2
нения водохранилища до отметок ~атации: , 3 , 4 - nосле заnол-
5- в начальный период с точног 5 ·
_
68 и 85 м соответственно;
отметки68ма6
У20 ° регулирования nри сработке до
'
-
через
лет nосле стабил
ческих деформаций.
изации вязкопласти-
На рис. 10.22 в приведена э ю
"
уложенного по в'ерховом отко; ра линеиных деформаций экрана,
эксплуатации. Из предста~леннь у плотины, через 20-летний период
тический вывод о том что
rx результатов следует важный nрак-
'
нижняя часть экрана п 0
в условиях растяжения (порядка 1%)
л тины находится
инженерные мероnриятия не до о и, следовательно, требуются
В той же работе сопостав~яютс nускающие повре"ждения экрана.
модели плотины из глинистого я данные исnытании на центрифуге
ведены В. И. Щербиной) . сланца с результатами расч ета (про-
Центрифуга НИСа Ги 0
вращения 2 5 м nозво др проекта имеющая эффективный радиус
до 320g. Ф~зич~ские м~;:~ и п~~~~~ить эксперимент при ускорении
натурного мате иала
ны изготавливались из того же
рах трехосного ~жати~ на котором проводились испытания в прибо
ных характеристик т ебдля определения деформативных и nрочност
в масштабе 1·200 РТ уемых для расчета. Модели изгот а н .шна, llll"'•
.
.
ак как плотина, для которой 11роводились
434
исследования , имела высоту 45 м, то , следовательно, высота мо
дели составила 22,5 см . Максимальный размер камня, укладывае
мого в модель согласно су ществующим требованиям, составлял
40 мм . Начальная плотность укладки кам ен ной смеси в модель
подбиралась по заданной величине относительной плотности, в опы
те она имела величину 0,85. Объемная масса камня составляла
1,97 ·г/см3.
В соответствии с теорией центробежного мод ел ирования для
обеспечения в модели напряжений, аналогичных по характеру рас
пределения и величине натурным напряжениям, модель необходимо
было испытывать при цетробежном ускорении 200g. В nроцессе
эксперимента на модели с помощью двухкомпонентных датчиков
деформаций проводили~ь и зме рения осадки и смеtцения гребня и
откосов плотины . Для возможности более полного сопоставления
резул ьтатов эксперимент и расчет велись по дной и той же мето
дике нагружения модели. Модель нагружалась собственным весом
при ускорении 200g. Рост цетробежного ускорения подбирался та
ким образом, что он моделировал строительный период. Суммарное
время разгона модели составляло 18 мин. На расчетном режиме
модель испытывалась еще 180 мин, после чего нагрузка сбрасыва
лась до нуля и определялись остаточные деформации модели.
На рис. 10.23 приведны результаты исnытаний модели на этапе
нагружения от собственного веса. На несимметричной модели nло
тины, имещей заложение ве рхового ткоса l :2 и низового- l: l ,6,
устанавливались три датчика деформаций. Максимальная осадка
на гребне модели nлотины составила i = 1,98% от Н (где Н - вы
сота модели), что в n ерес чете на натурные условия составляет
89 см.
Изменение осадки в процессе увеичения наnряжений в модели,
в соответствии с росам центробежных ускорений,- линейное. Это
наблюдается как в осевом сечении, так и в откосных сечениях по
двум боковым датчикам . То, что садки модели на фткосах несколь
К() больше, нежели осадки гребня, соответству ет ха рактер распре
д< 1 с ниЯ осадок, и змер яющихся на многих nостроенных камеино
набросных nлотинах.
После торможения и остановки центрифуги наnряжения в моде
ли енижались и осадки частично восстанавливались. Величина
остаточных смещений в nоnеречном сечении составила 46- 66% от
величины nолных осадок. Повторное нагружение приводит к увели
чению остаточных деформаций. Как видно, в целом по значениям
осадок модели наблюд ае тся совnадение расчет а и эксnеримента
(рис. 10.24).
435
о
2
L
о
2,44
Б
~------·
,........
80
120
~.~----
~
2,35
160
200
2г-------~-------+--------~~----~~--~~1.~~
2,35
2,44
3~----~------~-------L------~~----L_~
Рис. 10.23 . Р~зультаты испытаний модели на центрифуге: схема расположе
ния датчиков деформаций (а); относительная осадка контрольных точек модели
при ускорении 200g (б); относительные осадки контрольных точек модели в
процессе их нагружения (в)
436
о
- (),2
:~:-0,4
~т
!:!
(.)
о -0,6
- 0,8
- 1,0
ВРемя, час
3
6
9
12
15
Q
ll\
''и
1\..
АIN
111~
\\
\\5
\\ Роlсчет
.J-
"" !'-..
\'- ~~9(i.=1,76) 11'
~ ••. •• .J~89 (i=1,98)
~
Atl\1
0,58 (i=1,29)
\ \..--
\\(\
~
'·
р~[ ~~]
\..
\\~
3кспеrи мен т
на центРИ'Р!dГе
//-
(//
2,0
1,0 ~<')
.,..
0..
оо
~
0,76
0,93 ...............
/
.... ...... .... V1 01
Рис. 10.24. Сравнение эксnериментальных и расчетных значений осадок
гребня при периодическом нагружении модели: характер нагружения модели
(а); осадка гребня плотины (б)
Б.Вязкопластичность грунтов
при циклических, динамических'воздействиях
10.8. Вводные замечания
Как отмечалось ранее в лекции 9, при квазистатичt'ских цикли
ческих нагружениях накопление пластических деформаций отме
чалось только при значительном снижении уровня гидростатического
давления в цикле. Это связывалось с изменением пределов пластич
ности в зависимости от изменения знака приращения da. Если же
циклическое изменение напряжений происходит с частотой порядка
0,5 Гц и более, накопление пластических деформаций фиксируется
и при малых амплитудах изменения действующих напряжений. При
437
этом развитие вязкопластических деформаций з ависит от пар а мет
ров 1~иклического воз де йствия: частоты и амплитуды измененин
напряжений . Вязкопластические деформации также характеризу
ются :;а паздыванием, и их накоплени е определяется числом циклов
нагружения. Модель пластически упрочняющегося грунта обобща
ется нами для возможности прогно зи рования вязкопластически х
деформаций при цикл ическом воздейств ии различной интен сив но
сти и частоты [13].
Особенности вязкопластич еск ого деформирования при цикличе
ском характере возд ейст вия , выявленные в экспериментах в усло
виях трехосного сжатия (см . лекцию 5), состоят в следующем.
П ервой характерной особенностью пластических (остаточных)
деформаций грунтов является их запа зд ывани е во вр емени по отно
шению к щ·йствующим напряж е ниям .
Д л я связных суглинистых и, главным обра зо м, глинистых грун
тов это явление отмеч ается и при неи з менны х во врем ен и действую
щих напряж ени ях и связано с проявлением реологических свойств.
Нами уже дан вариант теории пластичности, учитывающий эффекты
запаздывания деформаций вследствие проявления реологических
свойств грунтов. Д е формирование несвязных грунтов при действии
статически приложеиных по сто янных напряж е ний практически не
сопровожда ется запаздыванием. Однако многократное динамиче
ско е приложение нагрузок ведет к накоплению деформаций с не
которым запа зд ывани е м, которое не может быть объяснено прояв
лением только реологических свойств грунта . Объяснением этого
факта может служ ить явление, названное нами вторичной пластич
ностью, под которой мы понимаем накопление пластических дефор
маций при повторном динамическом нагружении по сле предвари
тельной статической разгрузки . Отсюда следует вторая особенность
повед е ния грунтовы х материалов при многократных нагружениях:
пределы упруговязкости (в пространстве напряжений-- границы
между упруговязким и вязкопластическим состояниями) зависят
от ско ростей у пруговя зк их дефо рмаций или, инач е, от скоростей
изм е нения действующих напряжений .
На рис . 10.25 проиллюстрировано понятие вторичной вязко
пластичности. В фаз ово м пространстве напряжений после статиче
ской нагрузки из т. М в т. N прои з ведено дополнительное много
кратное нагружени е с круговой част ото й w = 2лv, Гц , при этом по
вторное нагружение произвед е но так, что век то р догружения нахо
дится внутри области, обра зо ванной п е рвичным нагружением . По
явление в ре зул ьтате такого воздействия в пр еде.~ах области упруго
вязкости грунта остаточных де формаций мы и называ ем вторичной
вязк о пластичностью . Накапливающиеся деформации вторичной
вязк опла стичности фиксируются как з апаздывающие деформации,
а кроме того, они определяют третью особенность деформирования.
\
438
'•
е-•
а
6-L
ч.-----------;!е~~р(21
\
L-----~------~t
'IP(21
е.t
Рис. 10.25. Первичная и вторичная вязкопл астичность: диаграммы деф_ор-
._.
..
t•p~l)
мирования (а); Rазвитие интенсивности деформации сдвига перви~нои ~
и вторичной е У''С- 1 вя зкоJ J J t асти чfю ст и (б); за висимости де формации вторич
ной пласт ичн ости от при веде иных f1 3 11ряжений (в)
Трет ья особ енность поведения грунтовых м а т е риалов за ключ а
етс я в том, что циклические воздействия вызывают дополнительные
439
как сдвиговые, так и объемные деформации по сравнению с дефор
мациями, возникающими при действии эквивалентных статических
напряжений. На рис. 10.26 приведсны данные испытаний рогунекого
галечника (М. Б. Грановский). Циклические испытания проводи
лись по сх.еме: до т . А на траектории «раздавливания» образен
нагружался стат ически, затем производилась разгрузка до т. В 11
включалась осевая пульсирующая дополнительная нагрузка ступе
нями вновь до т. А, наконец, не изменяя циклической нагрузки.
осуществлялось статическое нагружение образца по траектории
«раздавливания» до разрушения. Из рис. 10.26 становится ясным,
каковы величины дополнительных деформаций сдвига и объема при
пульсации напряжений в области статической разгрузки грунта.
Дополнительная объемная деформация, возникающая при дина
мическом ( цик.nическом) воздействии на воданасыщенные несвяз
ные грунты, приводит к тому, что при этом п овышается поравое
давление. Повышение парового давления, в свою очередь, самым
существенным образом повлияет на предельное сопротивление грун
та сдвигу. Полное или частичное разжижение несвязнога грунта,
таким образом, зависит от степени его доу п лотнения при динами
ческом характере воздействия.
Четвертая особенность заключается в том, что, по крайней мере
для несвязных грунтов, прочность при малых скоростях пластиче
ских деформаций ( < 10 - 1/с) не зависит от характера приложе
вин воздействий. На рис . 10 .26 отчетливо видно практическое совпа
дение разрушающих напряжений как при статическом, так и при
циклическом нагружении.
В диапазоне же повышенных скоростей пластических деформа
ций увеличение скорости пластических деформаций приводит, как
правило, к увеличению предела длительной прочности грунта (см.
рис. 10.10).
Для отражения в теоретических прогнозах перечисленных осо
бенностей поведения грунта при многократных нагружениях необ
ходимо дополнить математическую модель грунта, рассмотренную
в предыдущей лекции главным образом введением а) в качест
ве параметров, помимо накопленных значений остато чных деформа
ций и скоростей вязкопластических деформаций, амnлитудных зна
чений напряжений; б) поверхностей нагружения, оnределяющих
дополнительные (вторичные) вязкоnластические деформации при
повторных нагружениях.
Таким образом. nри однократном нагружении рассматривается
nроявление в грунтовой среде первичной , а при многократном на
гружении также и вторичной пластичности, т. е. дополнительное
накопление остаточных деформаций при повторном нагруж ении
после разгрузки.
Принимается, что вязкопластические деформации равны сумме
440
~
""
'
1
,,
::(
1
~ra...
....
~ ~t:.
~
.......
~
~ """а
~
'"""
""
~
"'
-.:-
~~rt~
v~
1l(
J
1
,..._
-
.....-
...
-о.
-
~""
оп
l"'t ""
/-; _/
l)!
(<" )
/;
f
vо
...-
001 ж ~ИtllfWdOc!X)\" ~lfHW'I.'.IQ
...-
о
;:?
..
>:S:
:S: ·
::!
<
:Е
0...
о
&-
QJ
('(')<
..а
1-
CJ
о
:ж:
d)
:s:
и
:ж:
"-'
,_
::1:
::s:
1.Г")
141
""'
;Е~
"' ::с
<; <;
а:!:.::
.::с
"' :::1
~1
:I:
:rc-.
"'<;
-
"' "'
'- ::с
:.::
оu
'- "'
о:r
"'"'
uf-
:I: "'
>--f -o
'-u
8.. 1
~-
:I:
"'~
f-
з
.1::
u
=
(1.)
з
:r:
u11
о
~~
0..
f-.
ф
""
о1
-
u
=
0..
-аr:::
::s
.
вязкопла стиче ск их де фо. рмаций первичной пластичности e''.r( l ) и вто-
р
"
vp\2 )
'1
ичнои пластичности е;1 , так что полные деформации равны
е··=Eev+E"fl(l)+ c ''f1(2)
lj
•tj
•tj
ЧJ
•
10.9 . Первичная пластичность
Деформации первичной пластичности в общем случае запазды
вают по отношению к действующим напряжениям, и поэтому их
следует на з ывать деформациями первичной вязкопластичности,
дл~ прогноза развития которых наряду с установившейся первич
нои поверхностью нагружения рассматривается мгновенная первич
ная поверхность нагружения .
Мгновенная первичная поверхность нагр у жения зависит как от
накопленных значений деформаций, так и от скорости вя з копласти
ческих деформаций
fO(1) л.л.
.
r
((J;, (J, W;, W,,)=О,
(10.28)
л
л
где а; и а - инварианты активного тензоJ?а напряжений первичной
вязкопластичности, равные a;=a,-г{I J и а=а-г(1 J и г< 1J =r · (e·иr(l )) .
•
(1)
l
'-'
l
'
l
'
г и= г и ( Е~Р ) . Парам етры упрочнения w; и w u по-прежнему выража-
ются на основании формул (9. 14) ч е рез накопленные полны е плас
тически е деформации сдвига.
На основании ( 10. 1О) мгновенная поверхность нагружения пер
Бичной вязкопластичности будет выражаться в форм е
f~(l)=а;-с~')+k~')a- (Т]~1)1ёyrC')I + Т]Ь1)1Ё~r(')l) = 0. (10.29)
Установившаясн первичн а я поверхность нагружения записы
вается:
f~'J==а;- с~')+ k~')a =О.
( 10.29а)
Регулярные участки мгновенной поверхности н а гружения, как не
трудно" заметить, параллельны соответствующим участкам устано
вившеися поверхности нагружения (рис. 10.27).
Таким образом, математическая модель грунта , прогнозирующая
процесс накопления вязкопла стических деформаций первичной плас
тичности, характеризуется в пространстве напряж е ний в общем слу
чае наличием двух поверхностей нагружения. На рис . 10.27 в плос
кости «а; - а» схематически приведены следы этих поверхностей *:
f~(I)=O и [}'! =0.
Приращения вязкопластических деформаций первичной пластич-
* В бо лее общем случае учитыва ется та к же возможность тран сл яционного дв и
же ния поверхности н а гружения (см. лекцию 9).
442
6
'
1\ач<мьная
ПОВеРХНОСТЬ
Мгновенная повеrхность
в nеrвичной пластичности
1 ~~·~.. о
'\
'
!lстановивwаяся
'- nовеrхность
'\ Т~·J· O
Р ис. 10.27. Мгновенная и уста н ов ивш аяся поверхности н аг руж е ния первич
ной вя з копластичности
ности определяются на основе обобщенного ассоциированного
закона.
Пр и меч а н и е. Функции упрочнения р и q , а также параметры
упрочн е ния w; и wv, входящие в оnределение функций нагружения
первичной пластичности, определяются по значениям полных накоп
ленных вязкопластических деформаций EYf = effC ' )+ ~:;ffC 2J. Послед
нее связано с тем, что, как отмечается в экспериментах, область
обратимых деформаций расширяется или, что то же, предель! плас
тичности увеличиваются в результат е циклического воздеистви~,
т. е. в результате накопления вторичных пл а стических деформации.
Деформации вторичной пластичности определяются в соответствии
с Изложенным ниже в п . 10 н астоящей лекции.
10.10 . Вторичная пластичность
Деформации вторичной пластичности запаздывают и возникают
при повторном нагруж е нии. В отличие от первичной пластичности
при нулевых значениях скоростей вязкоупругих деформаций вторич
ная вязкопластичность в грунте вообще не развивается . Общая
форм а мгновенной вторичной пов е рхности нагруж е ния имеет вид
( 10 .30)
443
Положение введенных мгнов е нных поверхностей нагружения в
ш е стимерном пространстве напряжений зави с ит, таким образом,
не только от составляющих тен з ор а напряж ен ий и накоnленных
значений вя з копластических деформаций, но и от траектории и вре
мени (р е жима) нагружения. На рис. 10.28 на плоскости «Gi-rr»
приведены следы этих поверхностей нагруж е ния.
Установившаясн функция на г ружения вторичной пластичности
f ~2) в соответствии с ассоциированным законом течения определяет
стабилизированные зна4ения вя з копластич е ских деформаций вто
ричной пластично ст и, которые в дальней шем будем обозначать
f,.vp(2)
lJ00 •
Однако поверхность нагруж е ния вторичной вязкопластичности
экспериментально в настоящее время не исследована. Поэтому
предлагаемый здесь вари а нт хотя и отв ечает данным по цикличе
скому нагружен11ю, но требует дополнительного эксперименталь
ного обоснования. Здесь для простоты принимается, что как мгно
венная, так и установившаяся поверхности наг~ужения состоят из
двух регулярных участков f~~)з =0 ; f~~)4 =0; f ~lз =O ; f~2l4 =0, по
казанных на рис. 10.28.
Рассмотрим сначала установившуюся функцию нагружения,
определяющую стабилизированные величины деформаций вторичной
пластичности.
В настоящее время эксперимеьпальных данных для непоср ед
ственного построения поверхности нагружения вторичной пластич
ности, вообще J'оворя, не имеется. Существуют только некоторые
соображения и косвенные эксперим е нты, которые говорят о том ,
что след этой поверхности в плоскости «Gi- rт» целесообразно пр ед
ставить двумя регулярными участками . Гkресечение участка по
верхности f>2l4=0 с вектором догружения сопровождается разви
тием дополнительных пластических деформаций уплотнения грун
та , а пересечение участка f~2l 3 =0 - вторичных пластических де
формаций формои з менения при объемных пластических деформа
циях доуплотнения . Нагружение в си нгулярной т. D 2
,
координаты
которой обозначим q ~2) и рС
2
>, сопровождаен: я развитием как сдви
говых, так и объемных деформаций уплотнения. Таким образом,
выбранная форма поверхности вторичной nластичности отвечает
условию отсутствия дополнительных пластических деформаций
разуплотнения , т. е . циклическое нагружение приводит только
к эффектам дополнительного (no отношению к однократному на
гружению) уnлотнения трунта. Физически это означает, что цик
лическое нагружение связано с nерекомnоновкой сл агающих
грунт ч :.1с тиц, приводящей их к более плотной упаковк е. Это nо
ложение требует, конечно, более детального экспериментального
изучения. Некоторые данные, действительно, свидетельствует в
поль зу этого пред положения. Так, при циклическом нагружении
444
•
'
,,,
j•
'·
..
о
11
-: :;:<'<:r
'-'
•
t-'
-. ....
о
о
11
11
--...
~'q" ~"'
о•
"'1
•
~ --~
'+,
G:)..
145
"'
«1
с..
10
о
"':s:
"'<!)
:Е>.
с..
'-
"'
"'
"':s:
с..
о
.. ..
"'
"'
"'с..
.. ..
:i
....
u
о
:>:
:т
:s:
....
u
"'
"'о:
о
"'
"'
"'
"'
'"'о
:>:
:т
=
с..
о
....
"'
±
.. ..
u
о
"'х
с..
"'
"'о
о:
"'u
"'
"'3
"'=
"'о
"'
"'....
u
>.
=
"'
"'
"'
"'
"'
"'о
"''-
~
00С'1
6
"'
u
....
"'
:s: >.
0.. с..
'-
"':::1
грунта по траектории раздавливгния отмечается общее свойство,
заключающееся в том, что если при однократном нагружении проис
ходит уплотнение грунта, то многократное нагружение по той же
траектории только увеличивает уплотнение, т. е. происходит доуплот
нение грунта. В случае же, когда при однократном нагружении
происходит разуплотнение грунта , то многократное нагружение при
водит к уменьшению этого разуплотнения , что связывается, есте
ственно, опять с дополнительным уплотнением от циклически из
меняющегося напряж ен ия . Указанный эффект наблюдается не толь
ко при нагружении по траектории «раздавливания». На рис . 10 .29
приведены данные (М. Б . Грановский) трехосных испытаний (на
приборе ПТСД-300 , см. лекцию 5) горной массы эффузивов при
циклическом нагружении а, =az =const и а 3 =азст +азА sin (J)t по
дв~м траекториям изменения статических составляющих наnряже
нии. Из nриведеиных на рис. 10.29 графиков объемных деформаций
б
4
2
0.~ -б,МПсt
т
JI
);
-Е.:P- ю:tt---------~..""'==~~'-.J
Ри с. 10.29. Результаты тrexut:HЫX t:тат ич еских и циклических (ч астота
пульсании ос ев ог о напряжения 5 Гц) .и сп ыт ан ий горной мас с ы эффузивов
(ги дроу зел Хоа- Бинь , Вьетнам) при р·'" = 2,15 г fс м 3 в воздушно-сухом со
стоянии. 1 - ст а билизированные деформации при статич ес ких испытаниях,
11 - то же при циклических l'с пытания х
146
видно, что мног о кратное nрилож е ни е нагрузки сопровождается
только дополнительным уплотнением грунта.
Однако н е всякое циклически приложеиное воздействие nри
водит к дополнительным пластиче ским деформациям. Эксnеримен
тально было выяснено, что nри заданной частот е циклически и з ме
няющихся напряжений дополнительные (вторичные) пластические
деформации сдвига появляются, если су ммарные напряжения сдви
га превышают некоторую опр еделенную величину. Эта величина
на з вана структурной прочностью вторичной пластичности с~вига
q~; ~. Точно так же при nульсации суммы "главных напряжении вы
является структурная прочность вторичнои пластичности объемного
(2)
сжатия Рст r·
"
У становившуюся функцию нагружения вторичнои пластичности ,
таким образом, предлагает ся з аписать в сл едую щем общем виде :
f~2l :l =o;- (q~~~ +q(2) )- (p(2J +P~~~+o) tg '\){2) ;
f(2) =<Т+ р(2) + р(2)
(_1 0.31)
r=4
,_,
стр
·
Сл ед поверхности нагр у жения вторичной пластичности показан
на рис . 10 .28. Тангенс утла tg ф( 2) является характерным параметром
этой поверхности, и его значения зависят от накопленных дефор-
·· r(2' К
маций сдвига вторичной пластичности ei ' .
ак показывают экспе-
рименты , при приближ е нии к предельному по прочности состоянию
дополнительные пластические объемные деформации уменьшаются,
тогда как сдвиговы е деформации вторичной пластичности продоJ1-
жают накаплив а ться. Поэтому предлагается, в первом приближе-
нии, принять
tg '11(2)=
ef" -е УР
er- e i'p(l )
(10.32)
В соответствии с предлагаемой формой за висимости ( 10.32)
IZ'
/
4
t•p(2) 0
up
up( 1) ДО
угол '\) ' 1 меняется от з начения л
прие; = ие;=е;
знач е ния '\) ( 2 )---+-О при стремлении суммарных вязкопластических де
форм а ций сдвига к предел ьной величине, т. е. при eYr---+er. Даль
нейшие экспериментальные исследования по непосредственному
определению вида и х а рактер а трансформации поверхнос ~и нагру
жения вторичной пластичности должны уточнять и вид этои поверх
ности , и выражения для функций упрочнения.
Введе м, по аналогии с первичной пла стичностью, параметры
уnрочнения вторичной пла ст ичности :
~.f =
_1_\ 1deup(2)1
ш:"Ui e;"I'J )L
'
w~'1 _
1 \ ,up(2)
- --;(2} - ----;;(:;) )L ё t '
.
W;•
f.v
(10.33)
147
Здесь efC 2 ) и ~::~( 2 ) -~ предельные величины инвариантов тензора
деформаций вторичной пластичности. Эти значения могут быть вы
ражены через предельные величины полных пластических дефор
маций в следующем виде:
ё~( 2 ) =Е~- Е~р( 1);
et(2)=ef-ezPCIJ.
(10.34)
Предельная величина суммарной деформации уплотнения Е~,
равная максимальному уплотнению грунта, может быть определена
по начальной плотности грунта:
8.1(
.sk
*_ JПUX _ ро~ртах
Eu =Eu
-
sk
Ртах
Предельная же величина суммарной сдвигавой деформации
устанавливается экспериментально и часто может быть выражена
в виде
et=пc:Z'ax; n> 1.
Для определения функций упрочнения qC:!.,) и рС 2) по д~нным испы
таний выделяют дополнительные деформации вторичнои вязкоплас
тичности е;'Р( 2 ) и E;PC 2J, показанные на рис. 10.25, и изучают прежде
vp(2)
.vp(2) Об б е
всего стабилизированные их значения, т. е. е;оо и Ev=
.
ощ-
ние экспериментальных исследований вторичной вязкопластичности
приводит к выводу о том, что стабилизированные значения вязко
пластических деформаций зависят:
-
от статического напряженно-деформированного состояния
(к моменту начала динамического воздействия), характеризуемого
значениями функций упрочнения первичной пластичности р ( w;; wu)
и q (w;; w,,);
-
от суммарного наnряженного состояния в процессе динами
ческого воздействия, характеризуемого значениями инвариантов
СJ;=ст,,,+lст,лl и ст=стст+lстлl sign(cтcт);
-
от значений относительных амплитуд инвариантов тензора
напряжения, определяемых отношением модуля вектора амплитуды
напряжения к модулю вектора статического напряжения при одно
кратном нагружении:
Ска:~анное проиллюстрировано на рис. 10.28, где показана т. Д
с координатами jq, р)- напряженное состояние при однократном
статическом нагружении; т. М- напряженное состояние после раз-
448
грузки и т. Д11(
2
J с координатами (ст;; ст)- напряженное состояние,
характеризуемое максимальными суммарными напряжениями (ст;=
= СТ;ст + 1ст,л 1; а= стст + 1 ал 1sign стст при динамическом воздействии с
амплитудами СТ;л и СJл.
Исходя из изложенного, функции упрочнения qC 2) и qC 2 ) предла
гается представить в форме
qC2J = afC2Jф~2) ( e;'~C2J);}
(2) _ *(2)ф(2) ( • r•p(2))
( 10.35)
р-а
иёиоо'
где Ф~ 2J(e;"t,C 2)) и Ф~2 )(Е~;:; 2)) -экспериментально определяемые функ
ции, зависящие от значений накопленных деформаций вторичной
пластичности. Эти функции непосредственно определяются по дан
ным, схематически приведенным на графиках рис. 10.25, которые
являются исходными при расшифровке «паспорта» циклических
трехосных испытаний грунта. В выражениях ( 10.33) введены пре
дельные инварианты тензора напряжений вторичной пластичности,
которые зависят от функций упрочнения первичной пластичности
и величин относительных амплитуд в форме
af( 2)=af(p)H;(G;л).
(10.36)
где р - функция упрочнения первичной пластичности р = р ( w;; Wv),
а иt (р) = C~ct + tg <p~ctP· Функция относительных амплитуд Н; ( а;л)
также экспериментально определяемая убывающая функц"!_я своих
аргументов, например, вида Н;=ехр(-ст;л) и Н;=ехр(-ал). На
конец, величины q~;!, и р~~~. названные нами структурной проч
ностью вторичной пластичности, определяют те значения инвариан
тов тензора напряжений, превышение которых приводит к появле
нию дополнительных деформаций вторичной пластичности. Иными
словами, развитие деформаций Eij'C
2
) возможно. если действующие
•
.
(2)
(2)
суммарные напряжения таковы, что а,~ q,,
11
и -а~ Рстр·
Предполагается, что структурная прочность вторичной пластич-
ности может быть представлена в виде следующих зависимостей:
стр
t·1
'
q (2) = х·ст*(2).}
р~;~ =Xua*(
2
).
( 10.37)
Таким образом, установившиеся функции нагружения вторич
ной пластичности (10.31) с учетом (10.35) и (10.37) перепишем
в виде
f~2l з =а;- o*(
2
J(х;+Ф~2)(w~2)) )-~
-
(и+а*(2) (Хи+Ф~,2)(w~2)) ) tg '11(2) ( wf2J) ;
f~2l1 =а+ а*С 2 ) ( Хи + Ф\_2) (w(?J)).
149
( 10.38)
Функции Ф}2J ( e1"~(2J) и Ф~2J ( е~~ 2)) определяются на основании
эксперим е нтальных зависимостей деформаций вторичной пластич
нос:и2 от приведеиных инвариантов тензора напряжений cr,jcr*C 2J и
cr / cr С >. Действительно, равенство нулю функций нагружения ( 10 .38)
дает
ф(2)( vp(~)) -
а;
G;
1
eloo
-
G*(2) -Xi =
_a _r_(_p_)_H _(G- x) -Xi;
( 10.39)
Аппроксимация зависимостей е''Р( 2) от аргумента cr / cr* <2 J и ~·vp(2J
* (2)
1оо
'и оо
от аргум ента cr/cr
(см. рис. 10.25, в) дает возможность конкре-
тизировать виды функции Фi 2 > и Ф~2 J _
По данным опытов П . Ю. Дьяконова, проведеиных с песком,
отобранным из шурфов на строительстве nлотины Шульбинской
ГЭС , функции Ф}2J и Ф~2J могут быть аппроксимированы степенной
зависимостью. Аналогичные результат ы получены Б. Д. Чумиче
вым и М. Б. Грановским по исnытаниям галечниковых грунтов
плотины Рогунекой ГЭС и плотины гидроузла Хоа-Бинь. Одним из
возможных вариантов nредставления этих фракций на основании
указанных экспериментов может быть следующий:
фC2J=BC2J ~ "' ·
(
up(2) ) ·
1
er('2)
'
ф(2) = А(2) ( е~Р(2) )п, . ::;:::: 1
и
et(~) ' nv""" '
( 10.39а)
где А<2>; в<
2
>; n;; n и - некоторые кон стант ы грунта.
На р~с. 10.30 привед е ны эти данные, прич ем в качестве функ
ции Н (о..._). принят а экспоненциальная зависимость. Параметры
структурнон прочности х; и xu, определяемые при аппроксимации
экспериментальных данных и обоз наченные на рис. 10.25, в, за ви
сят от частоты циклич ес кого во здейст вия , что можно видеть по
данным , nриведеиным на рис. 10.30 . При этом с увеличением час
тоты во здейст вия или в более общем случае с увеличени е м ско
рости упруговязких деформаций множитель х1 уменьшается. Сле
довательно, с 2 fменьшается структурная прочность вторичной nла
стичности qстр• т. е. увеличивается nотенциальная возможность по
явления доnолнительных nластич ес ких деформаций nри цикличе
ском возде_йств ии . Точно так же при пульсации суммы главных
напряжении выявляется структурная прочность вторичной пластич
ности на объе мное сжатие р~;;,, которая также уменьшается с уве
личением частоты nул ьсаци и. Зависимости множителей х1 и x v от
скорости упруговязких дефо рмаций nринимаются в виде
450
а
e~p(2J
t
ii
0,4
1;'
0,8
/
/1/
f
l~~ /
г
v.l
~~~, r·~
~--~:---...............
,/
1,.
v/
J/1
.(
""-
~,(.1. з ~./
?
v
,,
·""
~/·""
0,2
О,З
0,6
0.2
0,4
о.~
Q90 0,98 1,06
0,5
0,7
Ри с. 10.30 . Экспериме нт альные кривые функции уп рочн ения песча ного
грунта плотины Шульбинской ГЭ С: объемные деформаци и вторичной плас
тичности (а); сдвигавые деформ ации вторичной пластичности (б). 1 -- плот
ность 1,64 г/см3; частота 5 Гц; 2 - плотность 1,64 г/см3, частота 50 Гц;
3 - плотность 1,74 гjсм3, частnта 5 Гц
х,=
-
YJJ"1nШёт"1) ;
Xv= -Yj~v lnШЁ;и l) .
(10.40)
Остановимся на одном обстоятельстве, которое мож ет у простить
вид ф у нкций на гружен ия. Как показывают эксперименты с крупно
облом очн ыми грунтами, пров едеи ные М. Б. Грановским, отношение
(e~~~J/e,'-:,<2>) есть однозначная, убывающая функция аргумента
(cr 1/cr) и эта функция не зависит от нача льно го сост ояни я грунт а
и п арамет ров циклического во здейст вия (см. ниже рис. 10 .37).
Если обратиться к nредложен ным выш е ф унк циям у прочнения , то
указанный экспериментальный факт означ ает, что прежде всего nа
рамет ры n 1 и n и функций упрочнения (10 .39 а) равны, т. е. n,=
= nv= n. В этом случае, как легко видеть ,
"ир(>)
(
а -q<~) )-1/n
~и
_
(2)
'
стр .
''P(Z) - С
(2)
'
ei=
-о-Р стr
где
( вс~) )'fn
c< 2J=
--
=const.
Д(2)
15*
451
Данные испытаний, привед е нные , например, на ри с. 10 .37, могут
быть аппроксимированы выр аже нием
- Е,~ =С(2) ~
" 1>(2)
(
)- 1/n
er~:! )
-а
'
что говорит о близости к нулю структурной прочности вторичной
пластичности q~;~::::::O и р~;~ ::::::О или, что то же. х; =О и х,, ::::::О.
По аналогии с первичной пластичностью и основываясь на
прив едеи ных эксперим е нтальных данных, можем за пис а т ь :
(q<2J+q~;~) j (p<2J+ р~;Ь) =Fi'(e/~(2J/e~~2)).
( 10.41)
Учитывая написанное выше соот ношение , ф у нкции упрочнения
вто ричной пластичности з начител ьно у nрощаются и могут быть
представлены в форме
f~2l:\=О;- (р(2)+р~;~) (f (2) +tg "\jJ(2)) - (J ig"\jJ(2);
f~2l4 =а+ pi2J + р~~~; p<2J + р,~;(, = uf(р) [х,.+ ф(2) (w~2J)].
(10.42)
Е сли обратиться к функциям упрочнения этой поверхности, то
можно отметить:
-
ра з витие деформаций вторичной пластично ст и ei'PC 21 и e;Pc 2J,
во з можно, если действующие сумма рные напряж е ния т ако вы , что
{2)
(2) .
(J;~qстр И -(J~Рстр'
-
при прочих равных усло вия х с возрастани е м з н а ч е ний инва
риантов те нзора статич ес ких напряжений дополнительные дефор
мации вторичной пластичности уменьшаются;
-
с увеличением стат иче ско й разгрузки по сле однократного
н аг руже ния пластически е де формации от циклич ес кого воздействия
уменьшаются;
-
увеличение амплитуды динамического во Здей ств ия приводит
к увеличению деформаций вторичной пластичности;
·
-
ув ел ичение скорости упруговязких деформаций приводит к
уменьшению напряжений , при которых начинают ра з виваться де
ф о рм а ции вторичной вязкопластичности;
-
больше изотропно е обж а ти е грунта привод ит к увел ичению
критич ес ких пара мет ров д инамич ес кого воздействия , к большим
вел ичинам критически х с коро сте й уnруговязких де ф о р ма ций , необ
ходимых дл я развития де формаций вторичной вязкопластичности;
по след н ее означает, что увеличе ние изотропного давл е ния умень
ш ае т опасность «разжиж ения» , nоскольку дополнит ельн ые дефор
мации во з никнут лишь нри увеличенных значениях частот и ампли
туд динамического возд ейств ия;
-
увеличение плотн ости грунта уменьша е т доnолнительные
пластические деформации при ди намическом во зде йствии и пол-
452
ностью их исключает при относительной стеnени у п лотнения, б6ль-
11Jей 0,9.
Под водя итог формулир о вки установивш е й ся функции нагруже
ния, отметим, что конфигу рация поверхно ст и н а гружения вторич
ной вя з копластичности тр е бу ет дальнейшего экс п е риментального
изучения как с точки зрения ее формы, так и с точки зрения уточ
нения функций упрочн е ния, определяющих ее развитие в фазовом
пространстве напряж ени й.
Мгновенная функция н аг ружения вторичной пластичности фор
му л ируется исходя и з э к спе риментально установл е нного факта, за
ключающеrося в том, что сте пень стабили зац ии де формаций вто
ричной вязкопластично сти, обозначенная нами
не з ависит от статич ес кого напряженного состояния, степени пред
варительной разгру зк и и амплитуды динамич еск их напряжений.
Степень стабилизации вязкопластических д е формаций зависит от
частоты воздействия или, в общем случае, от скорости упруrовяз
ких деформаций. При этом, как показывают эксперименты, стаби
лизация деформаций вторичной вязкопластично ст и с увеличением
частоты воздействия пр оисход ит при большем числе циклов, но во
вр е мени заканчивается быстрее. Кроме того, можно отметить, что
в гру нта х большей п ло тности при прочих равных условиях стабили
за ци~ деформаций вторичн ой вязкоnластичности наступает быстрее
и при меньшем числе циклов .
На рис. 10.31 приведе ны данные, х аракт е ри зу ющие процесс
стабилизации вязкопла ст ич е ских деформаций вторичной пластич
ности, по эксперим е нтам П . Ю. Дьяконова. Уч ет этих фактов мо
жет быть реализован двумя практически эквивал е нтными путями.
Первый путь состоит по-прежнему в использовании принцила
анизотропного упрочнения, подробно изложенного нами в части А
настоящей лекции. В этом случае мгновенная функция нагружения
за писывается в той же форме, что и установившая с я функция на
гр уже ния , но по отношению к активномуу тензору напряжений, т. е.
f?2Jз= &;- u*12J(х;+Ф}2J(ш}2J))-
-
[&+а*(2)(Xv +ф~2)(w\,2)) ) ] tg"Ф(2)((t)}2J);
f~~)4=а+о*(2)(Xv+Ф\,2)(w\,
2
))),
а инварианты активного тензора напряжений даются выражениями
G; = (J;- и*12)Т](2) 1efP(2) 1; }
&= cr + cr*<2JТ]\,2J 1Ё~Р(2) 1.
( 10.43)
453
/;v
~..
/
lj1 /~
1
!/1
/
1
--~i
l·~г
0,8
0,6
0,4
0,2
1,0 2,0 3.0 4,0 5,0 N10~цю<.JIОВ
1,0 2,0 3,0 4,0 NЮ~цикnов
Рис. 10.31. Стабилизация де формаций вторичной вязко11ластичности: сте
пе~ь стабили зации деформаций объема (а); степень стаб и л и зац ии деформа
ции сдвиг а (6). П есок шульбинский. 1 - плотно с ть 1,64 г/см', частота
5 Гц; 2 - плотность 1,64 г/см .з , частота 50 Гц; 3 - плотность 1,74 r/см3,
частота 5 Гц
где a*C
2
J по-прежнему определяется соотношениями ( 10.34). Сле
дует отметить, что последний член в ( 10.43) может иметь и более
сложную форму (сравним с ранее рекомендованной нами [ 13j,
например, вида)
u; =а;- a*C2JYJ)6 J 1п ( 1er''c' 11
)J
е:шп
&=а+ a*C2JYJ~~i 1n (
1Ё~"(2)1
).
(10 . 43а)
• min.
!'и
Второй путь состоит в и з менении формулировки параметров
упрочнения вторичной вязкопластичности ffi}2 J и ffi b2 J. Новая форму
лировка параметров упрочнения в отличие от (10.42) предлага
ется в виде
dei'"C 2J
€~(2)
d e.~ p(2)
Et( 2)
(10.44)
Новая формулировка параметров упрочнения вытекает из того
простого факта," что полученные зависимости стабилизации дефор
мации вторичнои вя зк опластичности подчиняются уравнению
454
решени ем которого явля етс я
e"r(2J
R=
,, r<2 J =1-exp(-t/YJ),
f~
(а)
(б)
откуда видно, что с увеличением значения параметра У] увеличи
вается и время стабилизации деформаций вторичной вязкопластич
ности . В связи с тем, что при увеличении частоты пульсации на
пряжений время стабилизации уменьшается, параметр 11 должен
также уменьшаться, и поэтому он может быть представлен в форме
У]= YJoX, где х дается выражениями ( 10.39).
Мгновенную функцию нагружения можно получить, воспользо
вавшись выраж е ниями для установившейся функции нагружения
( 10.36) и прове д я замену в них величин стабилизированных дефор
маций вторичной вязкопластичности на основе приведеиного выше
уравн ен ия (а) .
10.11 . Принцип Терцаги
В литературе выска зы вались различного рода возражения по
поводу выполнения принципа Терцаги в случае цик~ич ес кого (или
динамического) приложения нагрузки к воданасыщенным грунтам,
в частности, к воданасыщенным несвязным грунтам.
Поэтому критерии «разжижения» не свя зыв ались с пот е рей
проЧности грунта вследствие появления парового давления и умень
шения среднего эффективного нормального давления. В качестве
критерия выдвигались условия, лимитирующие деформацию.
Для выясн е ния этого чрезвычайно важного положения механики
грунтовых систем были поставлены специальные опыты с полностью
воданасыщенным несвязным грунтом при циклическом на него воз
действии. Опыты ставились с образцами иЗ горной массы эффу з и
вов (p'k = 2,0 г / см 3 ) на динамическом приборе ПТСД -300 по сле
дующей схеме.
Образец н аг ружался по стандартной траектории «раздавлива
ния», состоящей из этапа гидростатического обжатия до а 0 =
= -0.4 МПа и этапа, на котором при а, =а 2 = -0,4 МПа увели
чивалось осево е напряжение а 3 ст у пенями до значения а з =
= -0 .6 МПа и а;=0,35 МПа.
Все ступени нагрузки прикладывались к обра з цу по «з акрытой»
системе, и измерялось поравое давлени е, а затем, когда деформа
ции и поравое давление стабилизировались, система открывалась
в конце каждой ступени и поравое давление рассеивалось. На по
следней ступени статического прилож е ния нагрузки также систе
ма была открыта и поравое давление полностью рассеялось. Затем
455
система была з акрыта и включ е на пульсация ос е вого напряжения
<J:з с амплитудой loaдl =0,15 МПа и частотой v=5 Гц. Пульсация
была осуществлена в д в е ступени: сначала l o3
A 1=0,13 МПа, а за
тем амплитуда была доведе н а до значения 0 , 15 МПа . Во время
пульсации стало повышаться поравое давле ни е всле д ствие проявле
ния вторичной пластичности, выразившейся з дополнительном у плот
нении грунта. Когда эффективные суммарные напряже ния , дей
ствующие на «скелет» грунта , оказались равными тем, которые удов
летворяют предельному статическому условию прочно сти , грунт
стал теч ь с по стоя н ной скоростью сдвига и разрушился . Н а
рис . 10 .32 , а пока за ва траектория нагружения в тотальных (I) и
в эффективных (11) напряжениях, а также ра з вивши еся деформа
ции сдвига и объема. На рис. 10.32, б приведены гр а фики развития
парово го давления и деформаций образца при п риложении к н е му
пульсирующ его н а пряжения О;з. Замечательным являет с я то, что
разруш е ни е прои зошло в полном соответствии с принципом Т е р
цаги (рис. 10.32, а). Кроме того, р азруше ни е наб людал ось при по
стоя н ной скорости сдвиговых деформа ций и при практическом неиз
менной объемной деформации.
10.12 . Функции нагружения вторичной вязкопластичности
и формулировка прочессов нагрузки и разгрузки
Формулы ( 1 0.38а) о пр еделяют раЗвитие деформаций втори чн ой
вязкопластично ст и , которые в сумме с деформациями первичной
вязкопластичности составляют невосстанавливающуюс я часть де
формаций , возникающих при мно гоцикловых нагружениях грунта .
Перечислим параметры и функции , определ яющие положени е
мгнов е нно й поверхности нагруж ения вторичной пластично ст и, до
полнительные к тем, которыми характеризо в ались пов е р хности на
гружения первичной пластичности. Этими параметрами модели я в
ляются:
а) коэффициенты вторичной вязкопластичности YJic~}); YJ ~.1IJ) ;
б) значения предель ного инв а рианта те н зо ра напряжений вто-
ричной вязкопластично сти <J*( 2 );
в) коэффици е нты упруговя з кости rJ1(~ 1 ; YJ~(o) ;
г) п араметры функции Фi2J и Ф~,2 J вторичной вя з копла стичности.
Указанные п араметры могут быть определены и з опытов по ком-
бинированному статиче скому и циклич ескому нагруж ению образцов
грунта по тра е ктории «разда вл ивания ».
Параметры предел ьных на п ряжений вторичной вя зкопластич
н ости определяются экспериментально . В наших практич ес ких рас
ч етах использовался вариант, п о которому в ( 10 .32) tg 'Ф ( 2 ) =0 и
сл ед соот в е тствующего участка поверхности н а гружения f?~\ =О
на пло с кости « О; - <J» составляет собой п рям ую п араллельную оси
451)
1
1\\
~....... ,...
lo
-~
~"'
'
'"\Ntl
'\
/~L
~
!1
"'
с
~
:::!:.
CD
\9
с-
r
v
:/
о
1
/2 15.3ак.N' ol
:Е
i>
со
d
~
CS"
'
С>
CD
-
/
/
v
<:--/
00
1-11:::::1
~
'!
f.:'
со
.......
<i>~
1\
~
А
/
v
N
+
g
(Du$
1
457
\"'
о
с::
::::i::
~.
~
\
1'--
г--
"""
С>
<D
,.----- --------------- ---======~------------------
абсцисс [ 13]. Последнее оправдано. если при циклич е ских испыта
ниях грунта в условиях, когда сумма главных напряжений умень
шается (по абсолютной вел ичине) , дополнительного (к статиче
скому) изменения объема грунта не наблюдается. Это означает
что при таком многократном нагружении измен е ния объема в ре~
зультате проявления вторичной пластичности не прои с ходит.
Итак, приращения вязкопластических деформаций опр еделяются
в соотв етствии с ассоциированным законом пластич е ского течения:
где
de "P= dc-~'Pl' )+ dc-''P(2)
lf
CJ fJ
c,lf
'
)fl'l I J
de''JI(I)= ~ ctл_(l)_' -'
-·
lJ
........,
r
дaii '
- 11(2)
d,up(2)_ ~ d1(2)дl,
fO, I
-
..::...
Лr -_о____ .
uat1
( 10.46)
( 10.46а)
При этом условием нагрузки для деформаций п е рвичной вязко
пластичности является критерий (10.12)
и
dЛ~ 1lm>O при f~~)m=O; f~~)m=O
дf f)~ ~l/1
да ;i
(а -г'CIJJ>O
IJ
lf
'
а для вторичной вязкопластичности
и
дf 0~:2 т
да;,
ctл.<,?L m>O при f0~:;2m=0
•
·c-~J
(u,i- r, i·) + дf"!~m
д~,
( 10.47)
(10.47а)
где /),=j);(ei''') ~ /) ,.=() ,. (i ~'')- чл е ны мгновенной функции нагру
жения вторичнои вяз.копл а стичности, зависящие от скоростей упру
говя з ких деформации. Суммирование при определении вязкоплас
тических деформаций проводится по всем участкам поверхности
г = .m. по которым происходит нагрузка, а по остальным г =е (из
все и с~вокупности т+ е участков) может иметь место разгрузка
или неитральное на:·ружение.
Процесс разгрузки первичной пластичности опр еделяется соот
ношениями ( 10.13). а вторичной- условиями
458
1'11
и
~rut")
.
.
f'U(2) =
IJ•~т(_(~)}+
r=m-
CJ,1 Г,1
да;i
(10.48)
Нейтральное нагруж е ни е по условиям первичной пластичности
о11ределяется соотношениями (10.14), а вторичной - условиями
иf
'0(2) - дf")';l", ( •.. -
:(2)) + дf"i:l ",
r=m =
CJ,I
1,,
до;J
д~;
JfЩ')
+ {'~'" ~,.=0.
д~--
(10.49)
в случае, когда одноврем е нно выполняются условия нагр у зк~
( 10.47) и ( l0.47a), для однозначного опре~е ле ния приращени~
nластических деформаций вводится след у ющии принцип: в каждыи
момент времени реали з уются те деформации вязкопластичности,
для которых скорости деформаций максимальны [ 13].
В качестве нормы для такого сравнения использ_уется дJ;иl!а
вектора приращений вязкопластических деформа ц_ий 1_~ 1.= -vf(P) +
·
+(е~Р) 2 . Таким образом, если величина vfl+ (k ~ ·lezrC')I боль-
ше, чем yf(ejPC2 )) 2 + -(e ;r~ то в данный момент будут происхо
дить приращения деформаций первичной, а в противном случае
вторичной вязкопластичности.
1О.13. Лрим.ерьt сравнения с эксперим.ентом.
Правильнасть выбора динамический модели грунта проверялась
теоретическими расчетами по всем режимам и траекториям нагру
жения, которые имели место в экспериментальных исследованиях,
частично отраженных в работах [ 14, 15]. На рис. 10.33 показано
сравнение расчетных и экспериментальных даннь~х ( стабилизиро
ванных по числу циклов нагружения на каждои ступени), а в
табл. 10.1 в качестве пояснения к Графикам даны значения u,
(МПа) на траекториях активного нагружения при циклических
исnытаниях (v = 5 Гц) шульбинского nеска .
На рис . 10.34 приведе ны результаты расч ета гистерезисных пе
тель при частоте во здействия 5 Гц и амплитудах , не выходящих
за nределы статической nрочности грунта. В этом случае , как видно
из приведеиной иллюстрации расчета, гистер ез исные потери, свя
занные с пластическими деформациями, уменьшаются от цикла к
циклу. С увеличением числа циклов гистерезисные петли в конечном
итоге превращаются в замкнутые петли, характеризующие упруго
вязкое поведение грунта . Следует отметить, что гистерезисные по
тери существенным обра з ом зависят от статического напряжен-
1/2 15*
459
8б42
- 0.25
6(Mil~
Рис. !О :JЗ. Сравне ние р;; счетных н э кс 1tериментальных 3 начен ий дефор
маций lll ую-,бинского пес1<а 1,-··' = 1,65 r/см3 в трехосных исrJЫта ния х: траек
тории !, 2 , 3 - - - статичес кое нагружение; траектории 20, 21 , 22 - - цикличе
ское нагружение ,. ч:;стот ой v =5 Гц
460
1.
1
0,074 + 0,040 siп wt
:2
0,076 + 0,050 siп шt
:J
0,108+0.052 siп wt
4
0,121 +0.058 s iп (J)(
[)
0 , 129+0,049 sin wt
()
0,133+0.052 si п (1)(
7
Тр ае ктория
2!
0,058+0 .058 s iп wi
0,!20 + 0,088 siп ш!
0,14 3+0.090 siп wt
0,160+0.090 s iп wt
О,167+ 0,090 siп <U!
Таб л ица !0.1
22
0.043+0.043 sir. (J)(
0,087 + 0,087 s iп шt
0,113+0.110 siп (l)t
0, 156+0. 115 si n шt
0,186+0.1!7 s iп шt
0,223+0.!02 siп ш!
0,223+0,102 sin шt
Itoгo состояния и амплитуды воздействия. При воздействиях, н е
· Rыходящих
за пределы статической прочности, пластическая дефор
мация грунта стабилизируется с течением времени и в связи с этим
гистере з исные потери уменьшаются.
Эксn е рименты и более детальные расчеты nоказывают, что зату
хание вязкопластических деформаций уменьшается а) с числом
никлов нагружения; б) с увеличением изотропного обжатия и уве
Jtичивается при nриближ е нии к nредельному по nрочности состоя
нию, а также с увелич е нием частоты воздействия.
При воздействиях, выходящих за nр еде лы статической nрочно
сти , гистерезисные потери формы nостоянны и н е меняются от цик
ла к Циклу. Разрушение грунта nроисходит nри nостоянной скорости
и сдвигавой деформации, тогда как объемная деформация не изме
няется и разрушение nроисходит nри nостоянном объеме грунто
вого образца (рис. 10.35) .
В качестве второго nримера nриведем обработку данных тр ех
осных исnытаний крупнообломочного грунта nри циклическом во з
действии.
В оnытах исс ледо валась горная масса эффузионных nород , nо
лученная в результате взрывов и з nоле з ных выемок гидроу з ла Хоа
Бинь (Вьетнам). Оnыты nроводились на модельной смеси зе рнового
состава, nредставленного в табл. 10.2 . .,
Исnытания модельной смеси выnолнены nри з начениях плотно
стИ «скелета» 2.0 гjсм3 и 2,15 гjсм3.
Установка для изучения прочностных деформативных свойств
крупнообломочного грунта состоит из nрибора трехосного сжатия
\lТСД -3 00 , гидраnульсатора и nультов уnравления (см . лекцию 5) .
В стабилометре исnытывается цилиндрический образец круnно
обломочного грунта диам е тром 300 мм и высотой 600 мм. Обра зец
формуется непосредственно в рабочей камере прибора пут ем nослой
ной укладки мате риала с уплотнением каждого сло я до требуемого
461
...
О">
""
...
О">
""
0,1&6
0,1&0
0,174
~f.-0,168
::Е
\91-О,\62
1 0,156
t1
1,65
1,00
{
0,014
~
>
03 0,012
1/
0,010
о
0,308
0,304
~ го.зоо
:::!:
· Q'LQ, 296
0,292
24,6
""о
2,65
.. : 2,55
>>
"V
2,45
G
~~
1
1
1,10
1,15
~
24,8
25,0
5
10
rr11иvvu
1
1,20
\2.5
е~р i02
L
~
-15
25
25,2
25,4
25,6
е.~р -10 3
15
20
,vvvy.
1,2>0
-1 ,2>5
35
25,8
26,0
26,2
25
30
35
45
40
а
'lнcno цнt<n06, N
с·•
26,4
21>,6
о
45 Число
циклов,N
Рис. 10.34 . Петли гистер ез иса шул ьб инс ког о песка при частоте циклического воздействия 5 Гц и cr n= -0,2 МПа;
cr ;,,=0, 167 МПа; crcr= -0,3 МПа; G; л =0,0173 МПа; l crлl =0,0 1 МПа: диаг рамма «cr ; -e;» (а); диаграмма «G-Ev» (б)
....
О">
.. ..
....
О">
ел
о.:ш
и 0,343
с:
~
'
"f)"
О,З29
в1
0,16
..
>-~
ф 0,14
0,1 2
о
ё;;
...
.., с>
~""
..
>".
Ц)
о
..
.
.
.
.
.
.
0,120
0,132
0,144
0,156
0,16&
5
15
25
З5
45
ЧИСЛО ЦИКЛОВ , N
19,7
20,0
d
о
10
20
30
40
50
60
......,.. ,
Число циклов N
Рис. 10.35 . Деформа ции шульб инского п еска при циклическом воздействии в предельном по статической проч
ности состоянии при cro = - 0,2 МПа; сr,ст=сr~т = 0,342 МПа; ас ,= -0 ,4_ МПа; cr ,A= 0,0\73 МПа; \ crд l =0,01 МПа
и частоте 5 Гц : деформаци и сдвига (а) ; объемные дефо рмации (б)
Размер
фраКL~ИИ , ММ
Содержани е
в смеси, %
0-5
25
5- 10
21
Таблица 10.2
10- 20
20-40
40--60
21
21
12
значения плотно сти. Перфорированный штамп и дренажная труба
позволяют н ас ыщать образец перед опытом водой и обеспечивают
отток поравой жидкости в процессе испытания. Испытания nрово
дились по схеме трехосного « раздавливания» в два этаnа. На nер
вом этапе образ ец подвергалея всестороннему статическому обжа
тию, возрастающ е му ступенями до выбранного давления. На втором
этап е к обра з цу прикладывалась осевая нагрузка воз растающими
ступенями до его разруш е ния. В динамических опытах на одной и з
ступеней в осевое давление вводилась циклическая составляющая
с заданной ч астотой и амплитудой. Посл е затухания осевых дефор
маций , вызванных nриложеннем переменной нагру з ки, опыт продол
жался с увеличением среднего осевог о наnряжения при сохранении
парам етров циклической составляющей до разруш е ния образца.
В качестве критерия затухания деформации nринята величина ско
рости осевой деформации i, = 1о - 6 с - 1 . За критерий разрушения
образца nринимается прогрессирующее возрастание осевой дефор
мации при неизм е нных парам ет рах вн е шних воздействий.
Опыты по определению nрочностных и деформативных характе
ристик крупнообломочного материала упорных призм плотины Хоа
Бинь выполнены nри трех значениях гидростатического обжатия
оо : 0,2; 0,4 ; 0,8 МПа. Параметры циклического во здействия в дина:
мических опытах: частота - 5 Гц, амплитуда осевой нагрузки о3л
=0,15 МПа.
По результатам испытаний строится обобщенный гр а фик в коор
динатах, пред ст авляющих собой инварианты напряж е ний и де фор
маций : о-:- <J i и еУР -:- е~Р (рис . 10.36) . Это графич ес кий « nаспорт»
грунта данного зернового состава и начальной плотности, nозволяю
щий определить параметры прочности, а такж е модули деформаций
при статическом и циклическом во здействиях.
В координатах o-:-oi (рис . 10.36) показаны траектории трех
осного ра здавливания: отрезки абсцисс от О до указанных выше
значений о0 соответствуют гидростатическому обжатию, а наклон
ные отрезки прямых представляют тра е ктории девиаторного нагру
жения . Координаты конечных точек этих отрезков есть предельные
(разрушающие) наnряжения, а прям а я, соединяющая эти точки,
опJ1сывает в линейной форме услов.ие прочности октаэдрической тео
Р'''' М11:~е са - Боткина . На рис. 10.36 представлены зависимости
466
'
1
-z
/ ---!!
1/
6
0,6
1,0
1,4
Рис. 10.36. «Паспорт » тр е хосных и сп ытаний ( статическ,~:_ и циклич~СК
8И0
:)_
горной массы эффуз ивов (гидроузел Хоа-Бинь , Вьетнам). р -2, 15 г /с м ,
о•
5 Гц· la 1- 0 15 МПа 1- деформации при статических и
душно-сух и; v =
,
эл-
,
·
2- циклических испытания х : 1 - опытны е и 11 -расчетные
467
между стабилизированными значениями деформаций и напряже
ниями, приложеиными статически, т. е. при однократном нагужении
( 1). Кривые (2) характеризуют зависимости между стабилизиро
ванными значениями суммарных деформаций и максимальными
значениями напряжений, приложеиных циклически по гармониче
скому закону:
О';=О'iст+G;д SiП wt: б=аст+Gд sin (rJJ,
где G;д и ад- амплитуды циклически изменяющихся напряжений;
аст- статические составляющие инвариантов тензора напряжений;
ш- частота воздействия; t- время.
Аналогичные испытания были проведены с галечником, уклады
ваемым в упорные призмы плотины Рогунекой ГЭС, при различной
начальной плотности и различном статическом напряженном состоя
нии (определяемом степенью приближения к предельному состоя
нию по прочности) в момент введения пульсирующей составляю
щей напряжения.
Пластические деформации сдвига и объема при циклическом
воздействии представлялись в виде суммы деформаций первИчной
и вторичной пластичности. На рис. 10.37 нриведена обработка дан
ных по вторичной пластичности рогунекого галечника при двух
плотностях: p'k=2,10 г/см 3 и p8 k=2,25 г/см 3 . В соответствии с
(10.39а) в полных логарифмических координатах построена зави
симость ( 1c:~~
2
J 1/е;''!:,\
2
)) от (а;/ 1G 1), которая удовлетворительно
«спрямляется» в этих координатах и показана на рис. 10.37, а.
При этом различная плотность мало влияет на параметры прямой,
которые оказались равными: cC
2
J 0,41иn= 0,67.Этижеданные
показывают, что виды функций Фf 2 J и Ф~2 ) совпадают и могут быть
представлены в виде степенных функций своих аргументов <:: пока
зателем степени n=0,67. Нетрудно видеть, что функция Н(ад) мо
жет быть найдена построением графиков в координатах, приведеи
ных ни рис. 10.37, б и 10.37, в. Из указанных графиков следуют
зависимости
1
=
A)"l аА;
где
( 1E~~"l 1) оыст!" (р)
-(J
1
--ад,
А\"1
Параметры 1/Af 2J и 1/A~2J определяются как тангенсы углов на
клона соответствующих прямых (рис. 10.37, б и 10.37, в). Таким
образом, функции, входящие в формулировку ( 10.38а), следующие:
a*C
2
J= (c~ct+P tg l:fl~ct)H (a,J; Н (ад)= 1/ал; х;=хи=О;
468
/,
11
111
<>.(
•
><
а:::
t-- .;-:- ф
"'-10
"'.
~8>
. .. ci1.
..
..
./
l./1/
.
v~•
~i.o'•
1
1
<>о
~.-~
,..1D
= "'.
о'
-.r
о (V'j'
~8> >
Ц)
-=
~11./
~~
1"'
"'
.
1
1
469
со
-.r.
.".
~-
r:n
...
--
.__
-6/-о
------
~0-
,,
~8,~8
~ :> >._.
__ !:Q(j)
"'
о'
со
Ci
сО
о
c:::i
с::>
6\Q
1
Значения параметров установившейся вторичной вязкопластично
сти рогунекого галечника сведены в табл. 10.3 .
1
p·' k, 1-jcм 'j
2.10
2,25
13 ,30
3 ,81
24.20
6 ,89
0,67
0 ,67
0,41
0 ,41
Таблица 10.3
0,866
1,020
С~о , МПа
0 ,044
0 ,090
На рис. 10.38 приведены данные по степени стабилизации де
формаций вторичной пластичности R; и Rv ( 10.40), которые, как
--- -
~----r----~
-
il(
/
v:
.
1
J( 2.
о3
О,б
0,2
о
10
15
t,мин
Рис. 10 .38. Степень стабили за ции деформаций вторичной плас ти чности ро
гунского гал ечника; p'k=2.25 r/см 3, v=5 Гц: 1- ао=
-0,4 МПа при степени
приближения к предельному состоянию G;"/ai"=0,3; 2- ао =
- 0,4 МПа при
а;,-т/аi" =0,7; 3 - Go= -0,8 МПа при G;"т/ai" = 0,5
видно и з экспериментально полученных графиков, могут быть
аппроксимированы единой кривой вне зависимости от обжатия,
уровня статического напряженного состояния и амплитуды цикли
ческих напряжений . Приведеиные данные подчиняются экспонен
циальным зависимостям, и их обработка дает значения парамет
ров ТJf2J и ТJ~~J.
Следует отметить, что прив еде ины е результаты относились копы
там, проведеиным при фиксированной частоте пульсации напряже
ний 5 Гц . Для выявления за ви с имо ст и параметров х; и хи. а также
YJf 2J и Т] t2) от частоты воздействия необходимо проведение испыта-
470
'
;~
1
'1
ний при различных частотах. В этом случае удаетс я определить
указанные зависимости и коэффициенты упруговязкости Т]l " и ТJ ~" -
Легко могут быть ра зработаны алгоритм и вычислительная про
грамма для определения всех необходимых параметров динами
ческой модели грунта по динамическому « паспорту» трехосных
испытаний.
Развитая в настоящ ей лекции динамн•1еская мод ел ь грунта обла
дает значительной общностью и, по-видимому, отражает большин
ство экспериментально наблюдаемых фактов. В связи с этим она
может быть использован а в качестве уравнений состояния при рас
четах конкретных инженерных задач.
10.14. Заключительные замечания
Сформулируем в сжатой форме подробно описанную в лекциях
9 и 10 математическую модель грунта, основанную на теории плас
тического течения с упрочнением.
1. Приращения п ~л ных деформаций определяются в виде суммы
где dEi/- приращения компонент упруговязких деформаций, вы
числяемые в соответ ств ии с любой обоснованной моделью упруго
вязкости.
2. Приращения компонент вязкопластиче с ких деформаций "6дно
кратного нагружения (п е рвичная пластичность) deY/'(
1
) определя
ютс.я суммированием приращений деформаций по вс ем регулярным
участкам мгновенной п о верхности нагружения (правило Койтера) :
( 10.51)
где dЛ~1 J- пластически е множители; f~ r
1
J - регулярные участки
мгновенной функции наr · ружения.
3. Приращения компон е нт вязкопластиче с ких д е формаций мно
гократного нагружения (вторичная пластично сть) d€[f< 2 J определя
ются:
( 10.52)
4. Регулярные у частки стабилизированной функции нагружения
п ер вичной пластично сти f~1 J формулируют ся следующим образом:
fC) = J=a-a~P (либо f\)L 1 задает ся соотнош е ниями (9.10));
r<; L 2=a;-(q+qcтp);
}
r<)L з=a;- q- tg 1\J (а+ р + Рстр);
fC)L4=а+ (р+Рсгр).
471
( 10.53)
Здесь а:тr -- сопротивление отрыву; q ; р; tg '\jJ --функции упроч
нения; q ст р; Р ст r- структурная прочность на сдвиг и на всесторон
нее сжатие грунта соответственно.
4а. Функции упрочнения зависят от параметров упрочнения:
~ = ~~ ldefl;
w"t
е~ j[_
4б . Функции упрочнения даются выражениями:
tg'\jJ= tg1\Jo(1+ *w,
):
ffi; -W;
р ((t);; (t) v) И q ((t);; (t)v)-
координаты сингулярной т. Д поверхности нагружения. Функции:
а= -р и a 1 =q есть не что иное, как описание эксперименталь
ных диаграмм сдвига «а;- е!'» и диаграмм объемного деформиро
вания «а- е~» в испытаниях по трехосному раздавливанию. Функ
ции упрочнения р и q могут быть часто представлены в виде
q=o-:"(p) -Ф((t) ; );}
F(w,. )
p=q
-
.
w,
4в. Структурная прочность грунта характеризуется начальной
поверхностью нагружения, определяемой соотношениями
q =а* [1 - Ф((t))]·
стр
it~ тp
I
'
Рстр = P~
1
rr; tg 1\J = tg 1\Jo,
гд~ Рстр; tg 1\Jo -- константы грунта; а,~т р =c:t",(J>J+ р tg ЧJtJ~ > -- струк
турная прочность грунта при - а= р; ct/?> и tg cptJ~J J- константы
грунта.
4г. Эффект Баушингера учитывается введением следующих до
полнений:
а) а:Тр N =a:,r -[ао+ (1-а о )Ф((t);)] ЧJ(N) С" __1 ;
.
ь
1p(N)= b+N;LN1-
длина пути нагружения (N -1)-го цикла;
где ао , Ь - параметры грунта, N -- номер цикла нагружения;
б) (t) u(2) = ~ x.~ 1dsf,,
где х.\;=2· 3• 4>=1; x~.~ 1 =1+f3/N.
472
5 . Регулярные участки мгновенной функции ·нагружения первич
ной пластичности f~(l) формулируются в терминах активных напря
жений &,i- При этом инварианты активного тен зо ра напряжений
равны
~1 =а_;-r1;}
а= а+ г,,,
где r;=YJf 1 >iё[PCIJI; r и =YJ ~1 J(~ ~P< 11 ).
YJf 1J и YJ~IJ- коэффициенты вязкости первичной пластичности, зави
сящие в общем случае от р, (t); и (t),,. Математическая формулиров
ка мгновенной функции нагружения в терминах активных напряже
ний совпадает с формулировкой стабилизированной функции нагру
жения первичной пластичности .
б. Стабилизированная функция нагружения вторичной пластич
ности f~2 J состоит из двух регулярных участков:
f(22_ =а- (q (2)+q(2)) _ (p (2J +P(2) +О") tg•1,(2) .
r~З
1,
стр
стр
't'
'
e •·r(2J
fC22_ . =а+ (p<2J+p<2J). tg,,,(2)= 1-
-'-.-
.
r-4
стр '
't'
erl~)
ба. Функции упрочнения q< 21 и p< 2
J даются соотношениями
q<2>= О"Т (р) н (ал) Фf
2
> ((t)f2>);}
р(2)= ат (р) н (ал) ф~~1((t)~2))'
где · Н (ал) - эксрериментально определяемая функция относитель
ной амплитуды О"л, равной
-
_
а ,л+ал
-v
2
2
ал- q"+p' .
Функция Н (ал) часто _может_ быть представлена в виде убываю
щей функции вида Н (ал)= (ал) -т_
бб. Структурная прочность вторичной пластичности равна
q~2(" =x;af (р) Н (ал );}
(2)_ Xu (2)
Р стр - -;z-qcтp'
где множители х.1 и х.,. зав исят от скорости упруговязких дефор-
маций
х.;=-чf" ln(Gief"l );}
хч=
-
·rt~·L' ln (~ 1E~L' 1).
бв. Функции упрочнения часто могут быть представлены в виде
473
q (2)= u'f'(р)Н(GА)ф(2)((1)~2)) ;}
p(Z) = q (Z)f (Z)( wf2)/ (1)~,2)) .
Функции упрочнения вторичной пластичности определяются по
« паспорту» стандартных динамиче с ких испытаний по траектории
«раздавливания» ~ выдел е ни,; м из общих деформаций стабилизи
рованных з начении первичнои и вторичной пластичности.
бг . П а раметры упрочнения вто ричной пластично ст и выр
ются:
ажа-
(t)(2)/w*(2)= _1-.
~ 1de''P(2 )1-
t
I
ej"(Z) J
1
'
1.
Где g*(Z) = o*- ~vp(l). е*(2)_е* vp( l )
и
иvv
,
,
-
;-et.
Предел ьная величина деформации уплотнения устанавливается
экспериментально и равна е~ = (р'{- р~~ах) 1Р~ах ; пр едель ная вели
чина деформации сдвига устанавливается эксперим е нтально и рав
на e'f'=ne~; n> 1.
ocz /· Мгновенная функция нагруж е ния вторичной пластичности
f, формулируется в терминах тен зо ра активных напряж е ний инва-
рианты которого равны
'
G;=G; -'Y]f2J( p, wf
2
J) lefP(Z)I ;}
о-= и+ YJL2) (р, (1)~2)) ( i~p(2))-
Математическая формулировка мгновенной функции нагружения в
терминах ак~ивных на)lряж е ний совпадает с форм ул ир о вкой стаби
лизированнон ф у нкц~и нагружения вторичной пластичности .
8.•Возможен инои вариант мат е матической формулировки мгно
веннои пов е рхности нагруж е ния как первичной, так и вторичной
пластичности. Он состоит в том , что меняется лишь формулировка
параметров упрочнения:
w;= Jlde."" l +YJ; I~Y" I;}
Wu= ~de~P+YJv(e~P),
L
а вид мгновенной и стабилизированных фу нкций н агруже ния оста
ется неизм е нным .
ЛИТЕРАТУРА
1. 3 аР е 1l кий Ю. К. Новая конн епция вязкопластического течения грунтов.
Тр . 111 В сесоюз. симiюз. по реалогни грунтов. Ереван, 1980, с. 58 - 73 .
2. 3 а Ре 1l к и й Ю. К. Мат емат ич еская модель вязкопла стического 110веде ния
474
'
'
'·~
грунтов.- В кн.: Тр. IV Всесоюз. симnоз. по реалогни грунтов. Самарканд, 1982,
с. 15.
3. Ржа н и u ы 11 А. Р. Теория nолзучести. М.: Стройиздат, 1968.
4. 3 ар е lt кий Ю. К. Теория консолидаuии грунтов. М.: Наука, 1967.
5. NаghdiР. М., М11гсh S. А. Оп the Mechaпical Behaviour of Viscoelastic/
P lastic Solills.- J . Appl . Mccl1.. 30, 321-328 . 1963.
б. Иевлев Д. Д., Быковuев Г. И. Теория упрочняющегося nластического
т ела. М.: Наука, 1971.
7. 3арецкий Ю. К.,J1омбардоВ.Н.,Щербина В.И.Расчетвязкоплас
тичес ких деформаций грунтовых плотин.- В кн.: Тр. IV Вс есо юз. симnоз. по реа
логни грунтов. с. 26- 40.
8. 3арецкий Ю. К., Чумичсв Б. Д. Кратковременная nолзучесть льда. Ново-
сиби рск: Наука ( Сиб. отд.), 1982, с. 72.
9. ГрошевМ. Е., ЧумичевБ. Д. Ползучестьльда и расчетдавленияледо
вого поля на неподвижные оnоры.-- В кн.: Тр. IV Всесоюз. симпоз. по реалогни
грунтов. с. 21-36.
10.3арец11ий Ю. К., Городецкий С. Э. Ди,1атансия мерзлого грунта 11 по
строение деформационной теории ползучести.- Гидротехн. стр-во, 1975, N~ 2,
с. 15--18 .
11 . IH е б ол е в А. Г. Модель вязкоnластического деформирования мерзлых грун-
тов.- В кн.: Тр. IV Всесоюз. симпоз. по реологии грунтов, с. 17- 22 .
12. Вялов С. С., 3арецк и й Ю. К., Горо децкий С. Э. Расчеты на проч
ность и ползучесть nри искусств е нном замораживании. Л.: Стройиздат, 1981, с. 200.
13. 3арецкий Ю. К., Ломбардо В. Н. Статика и динамика грунтовых пло
т ин. М.: Энергия, 1982.
14. zа г е t s k у У. К. Streпgth апd Deformatioп Properties of Cohesioпless Soi1s
uпder Dyпamic Loa diп g. -- Proc. of the Iпt. Symp ositlm оп Soi ls uпder Cy~1ic апd
Traпsieпt Loadiпg, 19 80, р. 561 - 568.
15. 3аре цкий JQ К., Ч ум и чев Б. Д., Черни лов А. Г ., Мухамедами
н о в W. Прочность и деформируемость несвязных грунтов при динами ческих воз
де~ствиях.- Гидротехн. стр-во, 1982, N~ 10, с. 39- 44.
ЛЕКЦИЯ 11
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
И УСТОЙЧИВОСТЬ ГРУНТОВЫХ СООРУЖЕНИЙ
В практической деятельности инжен е ры руководствуются ра з
работанными Строитель ными нормами и пр а вилами при выборе
и обосновании оптим ал ь ных конструкций грунто вых сооружений,
расчетах оснований фундаментов гражданских, промышленных и
гидротехнических сооружений. Общим для в сех Строительных норм
является требование расчета по двум пр едельным состояниям: по
несущей способности и по предельным деформациям. Расчеты по
п е рвому предельному состоянию основывают ся на условных рас -
475
четных схемах разрушения грунтового основания или откоса грун
тового сооружения, предложенных еще К. Терцаги . Эти схемы
предполага~т, что в грунте при разрушении реали зуетс я жестко
пластическии механизм, в соответствии с которым по некоторым
фи"ксированным поверхностям происходит скольжение одной жест
кои части грунтового сооруж ен ия по другой (аналог движения кир
пича по наклонной плоскости).
Эта, казалось бы, сугубо условная схема для однородного и
однофазного грунта достаточно реалистична. Более того. попыт
ки видои з менить"эту схему или внести в нее поправки (например,
ввести взаи"модеиствие грунтовых отсеков, на которые разбивается
оползающии массив грунта) приводят к оценкам, иногда значитель
но снижающим достоверность расч ета. Если же обратиться к тео
рии предельного равновесия, разработанной проф. В. В . Соколовским
[1], то, как показывает проф . Н. Н . Маслов, расчеты, выполнен
ные в соответствии с этой теори ей, практически всегда да ют зани
женный коэффициент их устойчивости. Иными словами откосы
в действительнос;:и (в натурных условиях) и по расчета~ СНиП,
являющиеся устоичивыми, сказывались неустойчивыми по В. В. Со
коловскому. Этот, казалось бы. парадоксальный результат имеет
свое теоретическое объяснение, основанное на фундаментальных
теорема х пластического разруш е ния .
11.1 . Уравнение виртуальных мощностей
однофазных и многофазных грунтовых систем.
Пр е жде чем с формулировать теоремы о пластическом разруше
нии, обра;:имся к уравнению виртуальных работ, или виртуальных
мощностеи, которые лежат в основе доказательств общих теорем
теории пластичности.
"Рассмотрим некоторое тело, занимающее объем V, ограничен
ныи поверхностью ~ = ~Р + ~ v. На части поверхности заданы на
пряжения Р п, компоненты которых по осям х; обозначаются Р п;. На
части поверхности ~ " заданы скорости перемещения u 1~. Обозна
чим через рХ; массовые силы, действующие на единицу объема.
Уравнения движения однофазной среды имеют вид
u,ii +PX, =pu, (i, j=l, 2, 3).
(11 .1)
Если единственной объемной силой является сила веса, то Х;=
= -б ;зg.
Скорости перемещения u; и компоненты тензора скоростей де
формаций связаны соотношениями Коши:
.
l.
.
E;j= т(U;,i+ Uj, ;).
( 11.2)
476
'
1"
1
11
j)
IO
Пусть a;i~ поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям
движения ( 11.1) внутри тела и уравновешивающееся с задан 1 . 1 ·IМИ
на границе ~Р напряж е ниями Р п; :
( 11.3)
гд е n 1 ~ направляющие косинусы нормали n к границе тела.
Пусть также сУ.ществует поле кинематиче ски возможных скорос
тей перемещения uf
0
J ~ н е которое неп1;ерывное пол~'соУдо!?летворяю
щее заданным условиям на границе 2:,,, а именно Ll, = u,1;,: на гра
нице ~v· Этому пол~ отвечает поле кинематич еск и возможных ско
ростей деформаций ё}~\ определяемых соотношени5!~)и Коши ( 11 .2).
Заметим, что кин ематическ и возможно е по ле u, не о~язатель
но должно совпадать с действительным полем скоростен перем:
щения u;. Эти поля лишь на части гра~и.uы I; ,0равны между собои.
Следовательно, и скорости деформации E; i и e)i могу; быть различ
ными . Поэтому действительный тен з ор на11ряж е нии a;i и тен зо р
кинематически возможных скоростей деформаций, вообще говоря,
могут быть и не связаны м е жду собой.
Умножим почленно уравнение движения ( 11.1) на кинемати
чески ВОЗМОЖНЫе (ВИртуаЛЬНЫе) СКОрОСТИ Пере м е щеНИЯ u)IIJ, а за
ТеМ проинтегрируем по объему тела:
) (a;i.i +pX;)u)
0
JdV= )pu;u)
0
JdV.
(11.4)
v
v
Воспользуемся далее очевидным равенством
'()
'(О)
'(О) ( '(О))
('(О) + '(О))
Gij.jll/1
=
(G;jU1 ) .j - G;jUi.j = O';jUt .j - O'ij ttj
W,j
·
Так как тен зор a ;i симметричен, а тензор W;i антисимметричен,
выражение u,iw' i р авно нулю. Поэтому можем з аписать, используя
тео рему Гаусса ~ Остроградского:
1
'(O)dV 1
·c oJd"' 1
' (O)d V-
JGij. jU1
=
J G;jПjUt .: ...
-
JGijftj
-
v
2:
v
=
~ p",.u)0Jd~- ) a,.i~)~JdV.
~1'
\!
Заметим, что если поле скоростей имеет внутри тела разрывы,
например, на поверхности ~ 1 , то при преобразовании объемного
интеграла ) (a,.i u}0 J) , i(iV в поверхностный н еобход имо испо Jlьзовать
v
обобщенную форм у л у Гаусса~ Острогра дского, учитывающую
разрыв перемещения на поверхности ~~:
) (G;iu}0J) .idV = ) GijПjU}11Jd~ - ) G;jVi [U}0J)td~·
v
~1'
~/
477
Здесь чееез n обозн а чена внешняя нормаль к поверхности тела
~р, а через v - внешняя нормаль к поверхности разрыва ~~ Через
·(о)
· (о)
· coJ
·
[u, ]t==U i( - J -U;c+J обозначена величина скачка тангенциальной
ВИртуальноЙ СКОрОСТИ на ПО_!З ерХ НОСТИ разрыва U~~~)- значение
скорос_ти с положительной и u~~J_J- с отрицательной стороны нор
мали v). Теперь уравнение ( 11 .4) можем з аписать:
К ~ (pX;-pu,)u}
0
JdV+ ~ Pп,uf0Jd~= ~ o,;ёf?JdV+ ~ qv1 (uf0J] 1d~,
V
l:p
V
2:1
(11 .5)
где <J;;n; = Р пl - компоненты внешних поверхностных напряжений
на ~р; qv;=<J;;v; - комп он енты напряжений на поверхности разры
ва скоростей пере мещений ~~- Левая ча сть уравнения ( 11.5) опре
дел яет на виртуальных скоростях пер е мещения мощности внешних
сил: поверхностных, объем ных и сил инерции, приложеиных по
Даламберу с обратным знаком; правая часть-диссипацию энергии
внутренних. напряжений на кинематич еск и во змо жных скоростях
дефоr:мации и дисс~riацию энергии на поверхност ях ра з рыва ско
ростен пе ремещении. Равенство указанных мощностей определяет
равновесное положение тела.
Уравнение виртуальных мощностей в статике следует из ( 11 .5)
при равенстве нулю ускорений u1 ~ 0:
~ pX,uf
0
JdV + ~ Pпiuf0Jd~ = ~ <J;;ёf?JdV + ~ q,., [uf0J] zd~.
V
2:"
V
2:1
( 11 .5а)
Легко убедиться, что для справедливости уравнений ( 11.5) не
обходимо и достаточно лишь то, чтобы имели место соотношения
( 11.1! и ( 11.2), а фо~ма связи между компонентами тензора напря
жении и деформации несущественна; иными словами, уравнения
(11.5) справедливы для всех сред [2].
Если .положить, что. кинематически возможные скорости uf0 J
равны деиствительным u;, то уравнение ( 11 .5) выражает зако н со
хранения механической энергии:
(11 .6)
где Z = ~ pX;u;dV + ~ P п; U;d~ - мощность объемных и поверхност-
У
2:
ных сил; К= ~ pu;u,dV - скорость изм е н ен ия кинетической энер
v
гии; V= ) o,;Ё;;dV + ) q ,, [u ;] t d~- скорость измен е ния потенциаль-
v
2:,
ной внутренней энергии - диссипация внутренней энергии.
478
.,
'"
11.2. Уравнение виртуальных мощностей
двухфазных грунтов
Ра ссмот рим двухфазную среду в объеме V, огран·иченном по
верхностью ~ =~p+~p w +~v+~ w , где ~Р- часть поверхности, где
заданы внешние эффективные давления; ~p w - давления в жидко
сти; ~ v- скорости движения «с келета » грунта; ~ w - скорости дви
жения жидкости. Легко записать следующее уравнение:
~ pX,uf
0
JdV+ ~p~'j
1
uf0Jd~ = ~ aJj1ё)?JdV,
(11 .7)
v
2: ,,
v
где, как обычно, aJj1
= ai/- б,;р "' и, сл едов ател ь но, на поверхности
~/о/(ef.<:
"'}
";.,р Рпl = <J\\-Uljp П;.
Здесь Ёf; J - возможные скорости дефо рмаций «с кел ета» гр унта,
выведенные посредством форму л ( 11.2) из по л я виртуальных ско
ростей перемеще.НИЙ uf
0
J, раВНЫХ на ЧаСТИ ПОВерХНОСТИ ~v Задан-
НЫМ величинам u,~ .
tot
101
Подставляя в ( 11 .7) выражения для a ii и Рп i и восполь зо
вавши с ь опять теоремой Гаусса - Остроградского, получим урав
нение виртуальных мощностей, выраженное через компоненты тен
зора эффективных напряжений
~ (pX1 -б;гP~;)uf0JdV+ ~ p~~uf
0
Jd~ = ~ of/Ёf?JdV. (11.8)
v
l:p
v
где ·p ~ =of/ n 1 - компоненты пов е рхностных эффективных напряже
ний на границе ~Р· Таким обра зо м, для за писи уравне~ия виртуаль
ных мощностей в терминах эффективных напряжении необходимо
к виртуальной мощности объемных сил добавить мощность фильтра -
.<:
w)*
ционных сил (градиента парового давления u;;p , ;
.
Однако для двухфазного грунта одного уравнения . ( 11.8) не:
достаточно. З ако н ламинарной фильтрации жидкости в пористон
среде, как об этом уже говорилось в лекции 3, за писывается:
u)" -u,=-
kф ( р~~ +б;з).
(11.9)
(1-m ,)
gp
•
•
•k
Обоз начим скорость относительного движения W;= (u)" -
uj)Х
Х (1-ms) и введем массовую силу pwY; = ~v , gp"' (помимо объем
Ф
ной силы: pwX ; = -813 gp"' ). Тогда уравнение фильтрации можно
представить в следующем виде:
* Вn е рвые, но в ином виде, в работе [16] с формулированы уравнение р аботы
внешних сил и теорема Бэтти о взаимности nеремещений для двухфазной среды.
479
( 11.9а)
Умножая почленно уранение ( 11.9.а) на кинематически возмож
ную скорость движения жидкости uF(u) и интегрируя по объему
тела, получим
~ р"' (Х;- У;) uf'<
0
JdV = ~ 6;iP~iuf'<
0
JdV.
v
v
Интегра. 1 правой части преобра з уем, используя формулу Гаус
са - Остроградского, и окончательно получаем
\ р"' (Х;-У;)u;"C0JdV- ~ p~u;"<0Jd~ =- ~ p "' Ё ~(o) dV.
~
~"''
v
( 11. 1о)
Здесь на части поверхности ~р ш , ограничивающей рассматри
ваемый объ е м, заданы давлениЯ в жидкости р~· . Левая часть урав
нения ( 11.1 О) по-прежнему определяет мощность объемных и по
верхностных сил, действующих на жидкую фазу грунта, а правая
часть- мощность внутренних напряжений в жидкости. Заметим,
что ё~<0 J = ё;r<oJ- кинематически возможная скорость объемной де-
формации жидкости , полученная посредств9м формул ( 11.2) из
"
"
w(O)
а асИ
поля виртуальных скоростен перемещении u; , равных н ч т
поверхности ~" "' заданным скоростям движения жидкости.
Итак, в статике двухфазных сред уравнения виртуал"ьных мощ
ностей представляются в виде двух систем уравнении ( 11.8) и
(11.1О) .
Уравнения виртуальных мощностей для двухфазных сред в усло
виях, когда ускорениями жидкости и «скелета» пренебречь нельзя,
могут быть получены аналогично и после некоторых преобразова
ний записываются в форме следующих двух систем:
) [msp ' X;+ (1-m,)p "' Y;-m s psu;-ms<'\iiP ~i] uf01 dV+
v
(11.11)
[р"'Х ~"'У
~v
-
~ P~Lit•(O)d~=- ~ P "' Ё ~(O) dV.
L pc·
(11.12)
у
В общем случае поверхность ~. ограничивающая рассматривае
мый объем V двухфа з ной среды, разбивается на четыре части:
~=~"+~ ,. +~r ш +~ w- На части~" заданы поверхностные эффек
тивные нагрузки р ;;'; ; на части ~ и -скорость перемещения «скелета»
u,., на части ~" w- поровь!е давления Р~, а на части ~ к·- ско-
,_
w
расти движения жидкости U;L·
480
11.3. Теоремы о пластическом. разрушении грунтовых систем.
при статических воздействиях
Внешние, статически приложеиные на тело нагрузки не могут
увеличиваться беспредельно, поскольку ни в одной из точек тела
напряжения не должны превысить локальный предел прочности,
подробная формулировка которого была изложена в лекции 4 . Од
нако локальное разрушение грунта в некоторой точке грунтового
сооружения еще не означает, что сооружение в целом находится
в опасном состоянии . Последнее говорит лишь о том, что в этих
точках грунт не сопротивляется более сдвигу или отрыву. Однако,
если соседние области сооружения находятся в допредельном со
стоянии, накоnление nластических деформаций будет nриостанов
лено , и сооружение не разрушится. Только в том случае, когда
целая область, имеющая свободную поверхность, перейдет в nре
дельное состояние, пластические деформации в этой области соору
жения будут накаnливаться беспредельно.
Безграничный характер накопления пластических деформаций
в каком-либо элементе сооружения говорит о том, что сооружение
находится в nредельном состоянии и разрушится. В дальнейшем
под пластическим разрушением сооружения будем понимать не
ограниченное возрастание деформаций при постоянных внешних
воздействиях, вследствие которого сооружение оказывается неспо
собным воспринять дальнейшее увеличение вн.ешн.их нагрузок . Та
кую кри.тическую систему нагрузок принято называть системой
предельных нагрузок. Распределение скоростей деформаций при
разрушении иногда называют механизмом разрушения [3].
Распределение напряжений называется статически возможным
(static-possiЬie) aff, если оно удовлетворяет уравнениям равнове
сия в объеме тела
(а)
и краевым условиям на той части поверхности ~ р . где заданы по
верхностные нагрузки
cr lfni=P"; .
(б)
Статически возможное поле напряжений aff, вообще говоря,
отличается от действительного поля напряжений crii. Напряжения
alf' называются безопасными статически возможными (static-pos-
siЫe-safety), если всюду эти напряжения ниже предельных ary,
определяемых локальным условием прочности f ( crry) =О, т . е .
aff'< ary .
Напряжения affa называются допускаемыми статически возмож-
\б. :Jак. .N'• 51
481
ными (static-possiЬ\e-admission), если всюду эти напряжения ниже
или равны предельным
G[f'a ~ crjl).
Распределение скоростей деформаций ~~? 1 называется кинемати
чески возможным, если оно может быть получено посредством
СООТН?Шений Коши ( 11.2) ИЗ поля скоростей перемещений u~0 ), рав
ных u~ на части поверхности ~v-
Приведем формулировку двух предельных теорем пластического
течения [3].
Т е орем а 1. Тело может выдержать внешние нагрузки, прила
гаемые в любой последовательности, если на каждом этапе про
граммы нагружения можно найти безопасное статически возможное
распределение напряжений crff"'. Тело не может воспринять систе
му внешних нагрузок, для которой не существует статически до
пустимого распределения напряжений Gif'и.
Т е о ре м а 2. Тело не может воспринять заданную систему
внешних нагрузок, если существует поле кинематически возмож
ных скоростей деформаций c:f?J, для которого мощность заданных
внешних нагрузок превышает скорость пластической диссипации
энергии в теле при скоростях пластической деформачии, соответ
ствующих пластическому механизму разрушения c:fj = Efj*:
~ pXiuf0JdV + ~ Pпiu~0Jd~ > ~ Gji)Ёf/dV.
(11.13)
V
2:r
V
С другой стороны, тело может выдержать внешние нагрузки, если
~ pXiuf 0 JdV + ~ Pпiuf 0Jd~ ~ ~ Gji)Ёfj*dV.
(11.13а)
у
2:.
у
Отметим, что здесь поля Gt и Ёfj* связаны законом пластического
течения, ассоциированным с предельной функцией текучести.
Первая теорема очевидна, вторая доказывается от противного.
Допустим, что вопреки неравенству ( 11.13) тело не разрушится и,
следовательно, по теореме 1 существует поле статически допусти
мого распределения напряжений GY/'a. Тогда, на основании урав
нения виртуальных мощностей, имеем
~ pXiuf0JdV + ~ Pmuf0Jd~ = ~ Gff'aЁf/dV
v
2:.
v
и, следовательно, соотношение ( 11.13) может быть переписано:
~ cr7f'aЁf/dV> ~ crjl)s~*dV
(11.14)
v
v
или
uтf'asf/ > uji]Ёfj*.
482
Полученное неравенство противоречит принципу максимума Мизеса
(лекция 8), по которому скорость диссипации энергии при пласти
ческом течении имеет максимальное значение для действительного
напряженного состояния среди всех напряженных состояний, до
пускаемых функцией нагружения или в данном случае предельной
функцией тек1'чести: f(Gji))=O, т. е. (рис. 11.1)
Рис. 11.1. Предельная функция те
кучести, вектора напряжений и скоро
стей деформаций
Gjl)sf/ > uffaЁf/ или (Gjl)- uyf'a) Ёfj* >О.
Тем самым доказывается теорема 2.
Таким образом, первая теорема устанавливает приближение для
предельной нагрузки снизу. Рассматривая различные статически
вовможные состояния, можно определить нагрузки, меньшие пре
дельной, наибольшая из которых будет ближе всего к предельной.
В отличие от первой, вторая теорема устанавливает приближе
ние для предельной нагрузки сверху. Рассматривая различные кине
матически возможные состояния, можно определить нагрузки, боль
шие предельных, наименьшая из которых будет ближе всего к пре
дельной.
Для двухфазной среды теоремы о пластическом разрушении в
условиях статики остаются справедливы, но только в формулировке
их должны участвовать эффективные напряжения.
Т е орем а 1. Тело из двухфазного грунта не может воспри
нять систему внешних нагрузок, для которой не существует поля
эффективных напряжений, статически допустимого предельным
условием текучести
Gf/ > crjl),
и тело может выдержать внешние нагрузки, если
Gf/ ~ Gij·
(11.15)
( 11.15а)
Т е орем а 2. Тело не может воспринять систему внешних на
грузок, если
16*
483
) (pX;-O;iP~i)tif 0JdV+) p~~-uf 0Jd~>) of/*s!j*dV. (11.16)
\'
~~~
v
С другой стороны, тело из двухфазного грунта может выдер
жать внешние нагрузки, если
) (pX;-O;iP~i)u) 0JdV+) p~1:uf 0Jd~~) o1'/*sP*dV. (11.16а)
V
Lp
V
Доказательство теорем проводится аналогично, учитывая, что ско
-рость пластических деформаций «скелета» грунта на основании
принципа максимума Мизеса, формулируемого в отношении дисси
пации энергии, вызванной действием эффективного тензора напря
жений, приводит к формулировке уравнения течения:
(11.17)
Рассмотренные теоремы относились к разрушению при одно
кратном нагружении. Другой тип разрушения происходит, когда
сооружение подвергается циклическому квазист<.пическому нагру
жению. При этом, если разрушение не произошло после однократ
ного нагружения, то сооружение может разрушиться после опреде
ленного числа последовательных нагружений вследствие накопле
ния деформаций сдвига. Такое накопление имеет место, если по
вторяющийся цикл нагружения влечет за собой увеличение пласти
-ческих деформаций сдвига. Характерной особенностью цикличе
ского нагружения конструкции является возникновение остаточных
напряжений после снятия внешних нагрузок. Остаточные напряже
ния будем далее обозначать o;i(r) (residual). Очевидно, что система
остаточных напряжений самоуравновешена, т. е. удовлетворяет
уравнениям равновесия при нулевых условиях на ~Р· Остаточные
напряжения возникают после снятия всех внешних нагрузок в связи
с тем, что пластические деформации efi, вообще говоря, несовмест
ны. Заметим, кстати, что в нульмерной и одномерной задачах все
деформации совместны, поэтому в этих задачах остаточные напря
жения не возникают. Остаточным напряжениям o;i(r) соответствуют
остаточные деформации (компоненты которых будем далее обозна
чать Eii(rJ), они совместны, и их можно представить в виде
(11.18)
где ei}crJ определяют упругую часть остаточных деформаций. Оста
точным деформациям соответствуют остаточные перемещения U;cгJ,
связанные с компонентами ~'ii(rJ формулами Коши
(Eij(г)= Т (Ui(r) .. j+Uj(r).i)),
484
1'
и
и они удовлетворяют нулевым условиям на ~и· Таким образом, пос
ле снятия всех нагрузок в конструкции возникают остаточные дефор
мации Eii(r), не равные пластическим составляющим деформации efi
и отличающиеся от них на величину eiiCrJ· В соответствии с этим в
конструкции возникнут остаточные напряжения, которые определя
ются обобщенным законом Гука:
(11.19)
Очевидно, что компоненты упругих деформаций, возникающих в
конструкции, можно всегда представить в виде суммы
е
е +-е
Eij = Eij(r) Eij·
(11.20)
~
.
Нетрудно заметить, что компоненты Е;i,называемые в дальнеи-
шем «фиктивными», соответствуют тем упругим деформациям кон
струкции, которые возникли бы в ней под действием заданных внеш
них сил, если бы конструкция «работала» как упругая система,
т. е.
(11.21)
Подставляя (11.20) в основное соотношение E;j=Eii+efi и учи
тывая ( 11.18), получим
Eij = ffj + Eij(r)·
Умножая почленно (11.20) на H;ikl, запишем
Oij = G;j + Oij(r)·
(11.22)
(11.23)
Полученные соотношения ( 11.22) и ( 11.23) показывают, что ком
поненты деформаций конструкции, как и компоненты напряжений,
могут быть представлены в виде суммы соответствующих компо
нент остаточных деформаций или напряжений и компонент упругих
«фиктивных» деформаций или напряжений.
Таким образом, циклическое нагружение конструкции в каждом
цикле снятия нагрузки приводит к возникновению поля остаточных
напряжений (Oij(r)), сумма которых с напряжениями, соответствую
щими вполне упругому поведению конструкции при последующем
воздействии (o;i), и б удет действительным полем напряжений Oij.
При этом, если действительное поле напряжений в фазовом про
странстве напряжений соответствует точке, лежащей внутри области,
ограниченной поверхностью нагружения, то конструкция не будет
разрушена и «приспособится». Сформулированы теоремы приспо
собляемости.
Т е орем а 1 о приспособляемости (теорема Мел ан а). Если
.можно найти такое, не зависящее от времени, распределение оста
точных напряжений ( Ч.ii(r)), что их су.м.ма с упругими «фиктивны
ми» напряжениями ( o;i) в каждой точке конструкции образует
485
безопасное статически возможное напряженн_ое состояние a[f5
,
то
конструкция nрисnособится к некоторому не зависящему от време
ни распределению остаточных напряжений, и при последующих
изменениях нагрузок в заданных пределах поведение конструкции
будет вполне упругим. С другой стороны, приспособляемость не
возможна, если не существует никакого не зависящего от времени
распределения остаточных напряжений, обладающих тем свойством,
что при всех возможных комбинациях нагрузок сумма остаточных
и упругих «фиктивных» напряжений является в каждой точке тела
допустимым напряженным состоянием (affa).
Для двухфазных грунтов теорема Мелана также справедлива,
если под составляющими напряжений понимать эффективные на
пряжения. Доказательство теоремы Мелана дано В. Койтером (3].
Теорема 2 о приспособляемости (теорема В. Койтера). При
способляемость невозможна, если можно найти такие внешние на
грузки Xi(t) и Pпi(t), величины которых лежат в заданных преде
лах, и такой допустимый цикл скоростей пластической деформации
Ёfi*, что будет справедливо неравенство
т
т
~dt{~pXiuf
0
JdV + ~ Pпiu)0Jd~} > ~ dt ~ anЁf;*dV. (11.24)
о
v
l:r
CJ
'1
С другой стороны, конструкция приспособится, если будет справед
ливо неравенство
т
т
~dt{~pXiuf
0
JdV + ~ Pпiu)0Jd~ } ~ \ dt ~ anЁ~*dV. ( 11.25)
о
v
1::,,
иv
Доказательство этой теоремы также дано В. Койтером (3].
Нетрудно видеть, что для двухфазного грунта может быть также
сформулирована теорема о приспособляемости, аналогичная тео
реме В. Койтера, в которой неравенства ( 11.24) и ( 11.25) заме
няется следующими:
т
~ dt { ~ (pXi- бiiP~'i) u)
0
JdV + )p~~u)0Jd~ } >
о
v
\'
-..!.р
т
> ~ dt) af/*Ё~*dV и
( 11.24а)
о
v
т
~ dt { ~ (pXi- бiiP~i) u)
0
JdV + ~ p~~u)11)d~ }~
11
v
1::,,
486
~1
\
1
т
~ ~ dt ~ a1'}*Ёfi*dV
о
v
11.4. О критерии разрушения сооружения
и коэффициентах запаса
(11.25а)
Из второй теоремы о пластическом разрушении следует, что со
оружение неминуемо разрушится, если мощность внешних сил
(объемных и поверхностных) превысит мощность внутренних на
всех кинематически возможных скоростях перемещений. Поскольку
в любом случае баланс механической энергии должен выполняться,
то при этом разность мощностей внешних и внутренних сил вызо
вет изменение кинетической энергии Последнее означает, что в усло
виях статического воздействия при разрушении возникнут нестаби
лизирующиеся скорости пластического движения. Исходя из этого
может быть сформулирован критерий пластического разрушения
сооружения, хорошо воспроизводимый при численных решениях
соответствующих задач. Признаком разрушения сооружения явля
ется появление на некотором этапе статического нагружения не
стабилизирующихся пластических движений (4, 5].
В то же время может быть введен коэффициент запаса п, опре
деляющий для заданной системы нагрузок Xi и Р пi такую мощ
ность внешних сил, что она будет равна мощности внутренних на
пряЖений:
(11.26)
Уже говорилось, что первая теорема о пластическом разруше
нии дает нижнюю границу в оценке коэффициента запаса, а вторая
теорема- верхнюю границу. Действительно, если в соответствии
с первой теоремой выбрать статически допустимые напряжения
aifa, то мощность внутренних напряжений на пластических скорос
тях деформации будет равна
ti' = ) a7faЁfi*dV.
v
При этом поля affm и Ёlj* не связаны между собой.
.,[
\.
В соответствии же со второй теоремой LI = j anFfi*dV и поля ai'j
v
и Ёfi* связаны ассоциированным законом течения, вытекающим из
принципа максимума Мизеса, и, следовательно,
0''>0',
487
•
откуда нетрудно получить двустороннюю оценку коэффициента
запаса n:
1
11
n~n~n.
( 11.27)
Общее выражение коэффициента запаса для двухфазной среды
с учетом возможного разрыва поля скоростей деформаций может
быть записано в виде
or/*e~*dV + ~ с(\ [ur*] 1 d~
(11.28)
где e!j*- скорости пластических деформаций, соответствующие ки
нематическиu возможному механизму разрушения; ur*- скорости
перемещении, соответствующие кинематически возможному меха
низму разрушения, так что
.
1.
•
рР·* =
_
(uP:t; + uP:t;).
"
11
2
'·1
1-'
•
ef*
aii - напряжения, достигающие предела текучести и связанные
со скоростями деформаций е~* ассоциированным законом пласти
ческого течения.
При это~, поскольку поля напряжений и скоростей пластических
деформации связаны ассоциированным законом течения то соот
ношение ( 11.28) определяет верхнюю границу коэффиdиента за
паса.
Как следует из приводимых соотношений, для обеспечения устой
чивости достаточно, чтобы коэффициент запаса n превосходил еди
ницу. Однако в случае многократных повторений программы нагру
жения одного лишь условия n > 1 недостаточно для обеспечения
ог~аниченности общей деформации. Необходимо выполнение усло
вии, диктуемых теоремами о приспособляемости.
11.5. Устойчивость грунтовых откосов
Простейший анализ может быть проведен для оценки устойчи
вости грунтовых неводанасыщенных откосов, опираясь на приве
деиную выше формулировку предельных теорем и предположение
о жесткопластическом механизме потери устойчивости откоса.
Предположим, что разрушение откоса происходит rio векоторой
поверхности скольжения, как это показано на рис. 11.2, а. Кине
матика разрушения состоит в том, что верхняя часть откоса дви
жется как твердое тело по выделенной поверхности, а нижняя
часть фиксирована. Локализация пластических деформаций в узкой
488
F
а
Рис. 11.2 . Схема расчета устойчи
вости грунтового откоса: а~ кинема
тика разрушения откоса; б ~зона ло
кализации пластических деформаций
зоне сопровождается разрывом скоростей (рис. 11.2, 6). Можно рас
сматривать поверхность разрыва скоростей ка.к преJ,I.ельное положе
ни~ переходнаго слоя, в котором скорости Ux и Uц претерпевают
резкие изменения.
Наличие составляющей скорости, нормальной к линии скольже
ния, и является самым существенным различием между грунтом,
обладающим внутренним трением, и двумя твердыми телами, сколь
зящими с трением друг по другу. Иными словами, необходимым
результатом теории пластического течения для сред, обладающих
внутренним трением (зависимость сопротивления сдвигу от нормаль
ного давления), является то фундаментальное положение, что сколь
жение сопровождается uзJ;сененuем объема.
Для того чтобы записать связь между скоростями деформаций
и напряжениями, воспользуемся критерием прочности Кулона -
Мора и обобщенным ассоциированным законом течения. При реше
нии двухмерных задач механики грунтов в области расчета пре
дельного состояния считается, что напряжения удовлетворяют урав
нениям равновесия ( 11.1) и условию Кулона -Мора:
f -- пн+G,1,1 .
*+-j1(
)2+ 2
*
*-О ()
-
2
sincp.. Vт ан-Gуу
Gxy-C соsсрм-.
а
Уравнения равновесия (11.1) и уравнение предельного равнове
сия (а) образуют гиперболическую систему, имеющую два семей-
489
~~с~ь х~~~~:~и[J]к. Часто предполагалась статическая определи-
~~:·~:::~,и~:~~::•:"~~ст~~:,~i~:~;:~::~:~g;;;:~:~:~у::::~~~;а~~
ных условии задачу не
·
гранич-
муюВэ
удается р е шить как статически определи-
шен~я те~;~ ис~~:~~~ч:~~~;~дтие:~н~~ивлечь определяющие соотно
пластичности принять функцию (а) ~ у~~~;и: к~~~~т;:_п~г;;uи(а.~а
называемое идеально п.~астическое течение)
а так
~~~д~~::~~н~~~::ниии поверхность нагружени~ ~~в~~а~~~~аст~ре';еоль~
з ано (см
не замкнута, то, как неоднократно бы ло пока
с линия ., н~пример , [6]), характеристики напряжений совпадают
жения р~~нС:~~~е ния и скорость растяж е ния вдоль линий сколь-
На рис . 11.3 пока за вы направления 1 и 11
нь1х напря
..
..
- направления глав-
ж е нии в векоторои точке относительно глобальной си-
е
х
Рис . • 11. 3 . Характеристики
nряжении и векторы скоростей
на-
стемы координат ХОУ
щиечеезэт
, а линии а и ~ - характ е ристики , проходя-
ниями f 11 у точку. Характеристика, лежащая между на правле-
и ' называется обычно первой линией скольжения ( )
а ее наклон к оси Х обозначен через 8.
а,
Если ввести обозначение
а= о,-о ., ~О
2 siп (jJ: ""'" '
то можно пока зат ь , что компоненты нап я
..
щих предельному усло вию (а), выражают~я:жении, удовлетворяю-
С~,,=-(~ [ 1 + siп ер: siп (20 +ер:}] +с,; ctg ер:;
Gyy=-G(1-siпер:Sill(2EJ+ер:)j+с:ctgер:;
490
Gxy =а si/1 ер: COS (28 +ер:)
и уравнения р~вновесия могут быть заменены соотношениями Кёт
тера ctg ер: 1g ~ + 28 = coпst- вдоль первой линии скольжения;
au
ctg ер: 1g ~ -28 = coпst- вдоль второй линии скольжения.
Go
Здесь а 0 - положительная величина, имеющая размерность напря-
жения. Три компон е нты напряжения Gxx, а 11 у, Gxy опред еля ются
путем интегрирования соотношений Кёттера вдоль линий сколь-
жения.
Драккер и Прагер впервые показали, что, приняв конце пцию
пластического потенциала, ассоциированного с предельным усло-
вием Кулона - Мора (а)
•
•
д[
Е~х=А--;
д<Jхх
•
•
д[
"r-
'--
cxy -rc д
,
О х!!
можно получить соотношения между напряжениями и скоростями
деформаций вида
'р-i.[
.
*
.
(20 + *)].
Е.о-2 Sl/1ер"-SIП u ер..
,
f~y = ; [siп ep:+siп (2О+ер:) 1;
Ё~у =Л. cos (28 +ер:).
(б)
Из полученных соотн!)ше~;~ий СJ}едует, что скорость объемной пласти
ческой деформации е~=Е~х+е~11 равна:
Ё~ =i. sin ер:~ О
и, следовательно, сдвиrовая дефuрмация сопровождается увеличе
нием объема, т. е. грунт разрыхляется (обсуждение этого факта
подробно проводилось в лек циях 8-l О). Л е г ко показать, что ха
рактеристики скоростей совпадают с характеристиками напряжений.
Если подставить значения 8 =О и О= - (; + rr:) в первое из
уравнений (б), то получим
.
(дu,)
Е~.,= ~ =0,
что означает равенство нулю скорости растяжения вдоль линии
скольжения, или иногда говорят о нерастяжимости линий сколь
жения. Обо з начим через v 1 и v 2 ортогональные проекции вектора
скорости в данной точке на направления первой и второй линий
скольжения, проходящих через эту точку (см. рис. 11.3). Проекции
1/2 \б*
491
скорости v1 и v 2 связаны с компонентами Ux и U y очевидными
соотношениями
Условие, устанавливающее, что скорость растяж е ния вдоль ли
ний скольжения равна нулю , дает для поля скоростей следующие
соотношения на характеристиках:
dv1- (v1 tg <p:+v2 s ec <р:) d8=0 -}
вдоль первой характеристики;
(в)
dv1 + (v1 sec <p: +v2 tg <p:)d0=0-
вдоль второй характеристики.
СоотношЕ:ния (в) вместе с граничными условиями для скорости и
условием, что дилат а нсия должна быть положительной, достаточ
ны для определения поля скоростей, если линии скольжения из
вестны. Приведенный выше результат , полученный Драккером, Пра
гером и Шилдом, основан на использовании ассоциированного к
предельному условию Кулона потенциала пластичности.
Однако в сформулированной модели пластического течения (лек
ция 9) поверхность нагружения замкнута и обладает сингуляр
ностью. При этом в предельном состоянии nри нагружении в сингу
лярной т . М можно считать, что поверхность нагружения (I- I)
не совпадает с предельной nоверхностью (рис. 11.4, а). Отметим,
что введенная сингулярность поверхности нагружения nриводит
в конечном счете к неассоциированному течению. Разница состоит
принцилиально в том , что угол отклонения вектора приращения
nластических деформаций от нормали к поверхности нагружения
не является заранее определенным и фиксированным, а за висит от
траектории нагружения. Указанная снеассоциированность» в рас
сматриваемом случае характеризуется углом 1j). Укажем, что в пр ед
лагаемой модели nластического течения (см. лекцию 9) nри выходе
на преде л ьную поверхность в е ктор нагружения находится в сингу
лярной точке (рис. _11 .4, а). Поэтому вектор nриращения пластиче
ских деформаций df" не совпадает с направл е нием нормали к пре
дельной nоверхност!J . В связи с этим вектор приращения пластиче
ских деформаций d 1:0P направлен не под углом arc sin <р: к оси орди
нат на nлоскости «(ai-a:J) ....;- - (а1 +а з )», а nод некоторым углом,
равным arc s in ·ф. Можно с читать, что этот вектор направл е н по нор
мали к следу некоторой поверхности I- I, проходящей через точ
ку нагружения под углом arc sin 1jJ к оси абсцисс графика рис. 11.4, а
(11' ~ <р:) . Угол, как показано в лекции 9, зависит от траектории
нагружения и определяется расчетом при выходе точки нагружения
на предельную поверхно ст ь.
492
!·l
1
а
I
j3
Ри с. 11 .4 . Си нгу.1ярный nотенциал
riластичности: а - «неассоц иированно ст ь »
nр ед ельной пов е рхн ос ти наrруже~ия;
б -·- характеристики nол я наnряжении и
·
векторы скоростей
х
В связи со сказанным потенциал пластичности должен быть за
писан (ер . (а)) :
f= ац~Gцч sin1JJ+-J+(axx-ayy )2+a;y-c*cos1j)=0, (а')
а скорости деформаций равны :
.
дu, .дf
i.. [
.
.
(28+'1')1
еР =--· =А--=- Stn 1j)-SIП
'1'
;
хх
дх
дахх
2
·
дu" ·дf
i.. [
·
.1,+ · (28+.1,)]·
еР=--· -=Л.--=- SIП'I' Stn
'1' ,
Y!l
ду
да"ч
2
f_P-~(~+ дuч )=~~=~cos(28+1JJ). (б')
ху-2 ду
дх
дахц
2
Уравн е ния равновесия ( 11.1) и условие .(а') представляют соб<:й
также гиперболич ес кую систему уравнении, имеющую два семеи-
493
ства характеристик. В любой точке плоскости (х, у) имеются два
характеристических направления, углы между которыми соответ-
n
n
Н
ственно равны т-'Ф и 2 +'Ф- етрудно видеть, что при 0=0
или 8=- ( ~ +'Ф) скорость деформации ~ хх=О, и, следователь
но, линия разрыва скоростей должна быть одной из характеристик.
Существенной особенностью линии разрыва тангенциальных ско
ростей, как видно, является ее нерастяжимость. При этом характе
ристики поля напряжений, найденные при рассмотрении уравнений
равновесия совместно с предельным условием (а), не совпадают
с линиями скольжения (рис. 11.4, б).
Линия разрыва поля скоростей должна рассматриваться как не
который переходный слой конечной толщины при ер* o:F:O. Рассмотрим
переходный слой и направим оси координат n и s по касательной
и нормали к средней линии этого слоя, как это показано на
рис. 11.2, а.
.
Поскольку в условиях плоской деформации Ezz =О, скорость де
формации ~" не должна бьrть равна нулю, и поэтому ПР.И переходе
через линию скольж е ния должен наблюдаться скачок в En . Из урав
нений (в') получаем
"ро.
f'п="' S!П 'ljJ И 2e~. s = +А COS 'ljJ,
(г)
причем знак « + » относится к линии скольжения первого, а знак
«-»
-
к линии скольжения второго семейства.
В локализованном слое пластического течения имеем
i~
1\u "
t
R•
R•
--
=
-.- =
g'ljJ, где uu" и uu_,-
2 e~,
1\u .,
изменения с~оростей в данном слое. В связи с этим скачок каса
тельной скорости вдоль линии разрыва должен сопровождаться
изменением нормальной ~остаJ?ляющей скорости, причем вектор при
ращ е ния скорости oV(ou п ; OU sl образует угол 'Ф с линей а (см.
рис. 11.2, 6) и, как нетрудно заметить, нормален к линии (3.
·
Теперь на основании уравнения виртуальных мощностей запи
шем выражения для мощностей приложеиных внешних сил и внут
ренних напряжений на линии разрыва скоростей деформаций. При
чем, как показано на рис. 11.2, а, что линией разрыва является
прямая, наклоненная под углом О к горизонтальной плоскости
основанию насып".
Скорость диссипации эн е ргии на единичной площади поверх
ности разрыва (рис. 11.2, а) выражается следующим образом:
494
'
,.
'
.
1.
'"
где т и а - касательное и нормальное напряжения на поверх:
ности" разр"ыва, ou s, ou 11 -
составляющие приращения скоростен
деформаций вдоль и перпендикулярно поверх.ности. разрыва. Учи
тывая, что т " =<Jнtgер:+с:• . и имея в виду ou"=бu s tg'ljJ, . нa осно
вании (г) выражение для D1. на всей длине пов е рхности ра з рыва
запишется:
•
[h
D = с*--+
L.
"
sin е
siп(~-e) cos e (tg(r:-tg'ljJ) ]ous.
Slll ~ 51110
(д)
Отметим, что в случае использования классич е ского по.тенциала
(рис. 11.4, а), т. е. в случае 'ljJ =ер: диссипация внутреннеи энергии
на поверхности разрыва скоростей будет определяться только ве J1И-
чиной c*-.h-6 u5
,
а при отсутствии сцепления - равной нулю. В
мSIПе
-
последнем случае вектор внутреннl-lх сил R(т ", cr n) ортагонален век-
тору скооости перемещения (см. ри с . 11.2, а) .
Мощ~ость вн е шних сил в объем е сдвигаемого массива грунта,
обусловленных действием только си л ы ве са, равна:
.
_
[gp'"h2 sin(~-O) siп(0-'\1) ]бti s .
(е)
LL-
2sin~sinОcos'\1
Приравнивая мощности (д) и (е), после преобразований получим
2sitl ~ cos '\J
(ж)
sin(I3-U) [sin(U -1\1 ) -В cos О)
где
в= cos'Ф(tgер:-tg'Ф).
Угол плоскости обрушения 8 находится из требования миниму
ма выражения (ж) и определяется условием
sin ((3 +'Ф- 20*) + cos ((3- 28*) cos 'Ф (tg ер:- tg 'Ф) =0.
(з)
Подстановкой найденного угла 8* в формулу (ж) определяется
предельно допустимая высота насыпи h* при заданном заложении
откоса (заданном угле (3).
Нетрудно видеть, что в случае, когда потенциал пластичности
ассоциирован с предельной поверхностью Кулона ~Мора и поверх
ность нагружения не является замкнутой (см. рис. 11.4, а), т . е.
в случае, когда 'Ф = q1:, получаем известные соотношения [7]
где
2с*
siп f'\ cos <р~
h* = ~ ----~--':'::-----:;:-:--
"/'.
siп(~-e*) siп(O*-<p~)
495
Анализ nриведеиных формул nоказывает, что они дают верхнюю
границу в оценке устойчивости откосов, которая значительно рас
ходится с оценкой, выполненной по nолю статически доnустимых
наnряжений, т. е . наnряжений, удовлетворяющих условиям равно
весия, граничным условиям и критерию nредельного состояния
Кулона - Мора (теория nредельного равновесия В . В. Соколовско
го [ 1]). Последнее находится в строгом соответствии с nрс . Lель
ными те оремами о пластическом разрушении. В теории nредель
ного равновесия сыnучей среды оценка устойчивости откосов дается
по нижней границе в соответствии с теоремой 1, тогда как исполь
зование аппарата теории пластического течения с упрочн е нием при
водит к оценкам устойчивости сверху в соответствии с теоремой 11.
Заметим, что в СНиП для опр едел ения устойчивости грунтовых отко
сов и:пользуется метод К. Т е рцаги -- метод фиксированных поверх
ностен ОбJlушения. Фиксированная поверхность ра з рыва отыскива
ется как поверхность, на которой коэффициент заnа с а принимает
минимальное значение, т . е. по существу решается вариационная
проблема, сводящаясяк отысканию минимума функционала, который
может быть выражен формулой ( 11.28). Аналитические методы ре
шения этой вариационной nроблемы разработаны достаточно под
робно в работе [8]. Найденный по такому методу коэффициент
запаса в соответствии с теоремой 11 определяет его в е рхнюю гра
ницу .
В качестве примера приведем результаты наших исследований
устойчивости грунтовых откосов [9] , выполненные на основании
использования модели пластического течения с упрочнением (см.
ГЛ. 9).
11.6 . Напряженное состояние
и устойчивость сухих и воданасыщенных
откосов грунтовых насыпей
Как уже указывалось ране е , всякая неуравновешенность «сдви
гающих » и «удерживающих» си л вызывает движение, развиваю
щееся во времени. Поэтому no характеру развития во времени
nолного вектора перемещения в данной точке можно судить о со
стоЯНI-!И грунта в рассматрива е мой области земляного · сооружения .
На основе предложенной модели грунта решен ряд задач по
оnределению устойчивости откосов земляных сооруж е ний [4, 5, 9].
Прежде всего был выполнен расчет модельного откоса, исnы
танного на центрифуге НИС Гидропроекта в условиях nлоской де
формации (рис. 11.5). Модельный откос вьшолнен из люберецкого
песка с nримесью бентонита . Прочностные характеристики мате
риала модели, полученные на приборе плоского сдвига , следую-
496
1
~-
\1
40м
А
lul
Расчетная схема
3,0
2,0
1,0
0~~~--L-~~--L---±---L---~--~--~~~
6
10
Н
1~ t, сек
1-'ис. 11 .5 . Результаты расчета nеремещения бровки откоса (т. А)
во времени: 1, 2, 3 -- критf:'рий llJЮЧности Треска - Хилла; 4, 5- кри
терий nрочности Мизеса - Боткина; l --у' =8,3:3 кн / м 3 (h = l2,5 м);
2-у''=9 кн /м3 (h=l 3,5 м); :3--у''' =IЗ,З кi1 /м:1 (11=20 м); 4-
у''=lб кн/м' (h= 24 м); y''= l7 кн/м' (h=25,5 м)
щие: c:=35-I0-
2
МПа; ср:=24°. Коэффициент Пуассона равен
v = 0,3; модуль Юнга, определенный по разгрузке, равен Е=
= 3000 М Па. Критическая высота откоса, соответствующая его
полному разрушению , в испытаниях на модели получена равной
h* = 12 м . Расчеты проведены исходя из теории идеально-пласти
ческого течения Драккера - Прагера в двух вариантах:
а) поверхность те кучести ассоциирована с критерием прочности
Треска -Хилла (ра з рушение по nлощадкам максимального
сдвига);
б) поверхность текучести ассоциирована с критерием прочно
сти Мизеса- Боткина (разрушение по октаэдрическим площад
кам).
Для указанных на схеме размеров откоса расчет производился
при различных значениях объемного веса грунта y ' k. На рис. 11 .5
приведены значения полного перемещения т . А откоса в зависи
мости от времени. П о характеру развития пер е м е щения можно су
дить об устойчивости откоса . Если nер е мещения накапливаются
непрерывно с nостоянной скоростью при з аданном з начении y 'k , то
такой откос находит с я в предельном состоянии , а его критическая
высота определяется прость,м пересчетом и з условия, что действи
тельный объемный вес материала откоса рав е н y 'k =20 кн/м 3 . Из
результатов расчета сл е ду ет, что при исполь з овании условия проч
ности Хилла критиче с ким откосом является откос высотой h* =
=
13,5 м, а при использовании условия nрочности Мизеса- Шлей
хера h* = 25,5 м.
497
С увеличением прочностных характеристик материала погреш
ность в прогнозе устойчивости грунтового откоса (работающего
в условиях плоской деформации) при использовании условия проч
ности Мизеса- Шлейхера возрастает. Так, для суглинка, имею
щего прочностные характеристики с:=О,О5 МПа и (/!:=28°,
при
прочих равных условиях критическая высота по Хиллу в четыре
раза меньше, чем прогнозируемая по условию Мизеса - Шлейхера.
Анализ результатов расчета, помещенных в работах [4, 5], при
водит к следующим выводам:
1. Для оценки статической устойчивости неводанасыщенных от
кос~в может быть применена модель идеальной упругопластиче
скои среды Драккера- Прагера. Оценка при этом идет не в «за
пас».
2. Для определения устойчивости откосов в условиях плоской
задачи критерий прочности Мизеса - Боткина не может быть
использован. В противном случае получаются велИчины, не согла
сующиеся с опытными данными. К такому же выводу пришел в
своей работе М. В. Малышев [10]. Наше объяснение весьма просто
и заключается в том, что при использовании закона пластического
течения, ассоциированного с критерием Мизеса - Боткина, возни
кают в направлении Е2 =О пластические деформации е~, что вызы
вает, соответственно, дополнительные реактивные напряжения. Воз
растание напряжения cr2 ведет к увеличению локальной прочности
грунта.
3. Теория идезльно пластического течения Драккера- Прагера
существенным образом искажает картину деформирования грунто
вого массива. Из расчетных исследований, приведеиных в [4], ста
новится ясным, насколько большое различие в объемных деформа
циях грунта предсказывается различными формулировками теории
пластического течения. В соответствии с моделью среды
Драккера - Прагера грунтовый откос при сдвиге в сильной степени
разрыхляется, тогда как прогноз по предложенной модели теории
пластического упрочнения показывает, что объемные деформации
откоса при сдвиге в основном носят характер доуплотнения.
4. Для оценки пластических деформаций и устойчивости водо
насыщенных грунтовых сооружений принципиально неверно исполь
зовать модель Драккера- Прагера теории идеально пластиче
ского течения.
Для воданасыщенных грунтовых сооружений условие пластиче
ского течения, а следовательно, их уtтойчивость определяется в
большей степени теми объемными деформациями грунта, которые
возникают при сдвиге. В соответствии с моделью среды Драккера
Прагера разрыхление грунта при пластическом сдвиге сопровожда
ется уменьшением парового давления. Последнее обстоятельство
не подтверждается экспериментально и значительно искажает дей-
498
'
стаительную картину деформирования воданасыщенного грунта.
Прогноз напряженно-деформированного состояния грунтового от
коса при использовании предложенной модели грунта показывает,
что доуплотпение грунта насыпи при двиге сопровождается повы
шением парового давления и тем самым в насыпи интенсивнее
развиваются области предельного по прочности состояния.
Ниже приводятся результаты решения задачи об устойчивости
неводанасыщенного и воданасыщенного грунтовых откосов насыпи
при статическом загружении их собственным весом [9]. При этом
скорость возведения сооружения, являющаяся важнейшим факто
ром устойчивости воданасыщенного откоса, имитируется скоростью
возрастания объемного веса «скелета» грунта - графиком возведе
ния насыпи (см. рис. 11.10).
В качестве грунтового материала насыпи взят подробно иссле
дованный нами супесчано-дресвяный грунт Сафедобского месторож
дения, отсыпаемый в ядро плотины Нурекской ГЭС. Плотность
укладки такого грунта ysk=22,5 кн/м 3 , пористость m=0,167, влаж
ность грунта W=6,8%; грунт укладывается в состоянии оптималь
ной «плотности- влажности» при степени воданасыщения I\;}J=
=0,9. Лабораторные трехосные испытания сафедобской супеси по
зволили определить все необходимые параметры предложенной мо
дели.
Начальная поверхность нагружения по площадкам октаэдриче
ского сдвига характеризуется параметрами: cC~iJ1 =0,00855 МПа,
tg qJ'{;2 1 = 0,05; tg 1\J(o) = 3,5, а предельная поверхность - c~ct =
=0,12 МПа, tgчJ~ct=0,7. Функция Ф(ш,) принята в форме
где et=0,24, В=0,943.
Функция упрочнения р поверхности нагружения определяется
из соотношений
р=[а+Ьр+ пl+mp J р.Еп, р* = р+qjtg ф,
где а, Ь, m, n - параметры.
Упругие константы материала: Е'= 200,0 МПа и ve =0,25. Коэф
фициенты фильтрации п~инимались
Jg k~ерт = Jg kф(О)+ 16,9( Е~
l +f~:
) [~];
с
499
При расчете напряженно -деформированного состояния и устой
чивости откосов земляных сооружений, работающих при плоскои
деформации, использовалось условие прочности Треска -Хилла,
а поверхность нагружения формулировалась по площадкам макси
мального сдвига.
Расчетная схема грунтового сооружения nриведена на рис . 11 .6, а,
где nоказано заложение откоса (~ = 45° ) и приведена конечно
разностная апnроксимация расчетной области.
Поверхности ОА и АВ свободны от нагрузок и водопроницаемы .
Поверхности ВС и ОС- водонепроницаемы; вектор перемещения
точек основания насыnи ОС равен нулю; на .линии ВС поставлены
условия симметрии (горизонтальная компонента перемещения и
касательно е напряж е ние равны нулю).
На основе разработанного алгоритма nрежде всего решена зада
ча напряженно-деформированного состояния и дана оценка устой
чивости грунтового откоса nри бесконечномедленном возведении
насыпи из сафедобской супеси. Тем самым рассмотрена проблема
устойчивости сооружения из квазиоднофазного грунта, поскольку
при таком бескон е чно медленном возведении процессы консолида
ции не существ е нны. Другими словами, рассмотрена проблема
устойчивости «сухого» откоса.
Для указ анных на схеме размеров откоса расч ет производился
при различны х з начениях объемного веса грунта ysk. На рис. 11.6, б
приведены значения вертикальной компоненты перемещения т . А
откоса в зависимости от времени , по характеру перемещения кото
рой можно судить об устойчивости откоса . Из результатов расчета
следует, что при использовании условия прочности Треска - Хилла
критическим откосом является откос высотой 200 м< l1 < 220 м
(y5k=2,25 т/м3).
На рис. 11.6, в показаны рассчитанные по модели пластическо
го течения (.лекция 9) изолинии второго инварианта девнатара
пластических деформаций откоса, находящегося в предельном со
стоянии (h "'"'220 м). Зд е сь мож ет быть отмечена область макси
мальных деформаций сдвига (max ef), в которой и локализуется
движение откоса при обрушении (см. пунктир на рис. 11.6, в) .
« Верхушка» откоса движется как единое целое по заглубленной
nоверхности обруш е ния. Объемные деформации в откосе носят ха
рактер доуплотнения.
Критическая высота откоса h* с углом залож е ния () может
быть также, как известно, приближенно оценена по з амкнутой фор-
500
х
--·-
-г---- -
-
[',
l
1'-
1
~l
\ ~"--
!/\ :1
о t--r-
о
х
""
t-t- о
~"t-г-
N
.&1.
N
г- г-
"
\l\
г-- t- ..с:
N
~
1'\.
.п
=
са
XV · 01=\j
u
'
+++++++++;-
+++-++т+т..... -+
<:1 ++++++т-+++
++++++++++
!Q' ++++++++++
"
:::
...
_.J
t-++++-++++т
+++++++-t++
++++++++++
++++++++++
~+++++ттт-t
<:"-\+ ++ ++ ++ +
\ ~+++++++
=1:::3
~++ттт;-
~
,g"\+++++
~
:::;;: ~++++
"
::r-><ntn
_!
~8о' "-\;+++
"
:'\
"
о'"~ о~ +r!
~~~>(Д> dз--~~
.!. а
r1-
'r-lt"lr
l.k::f\""1
""'
"-,1\,.
.,..
"\~
"'
501
llltl
[
111
11lll
lll ,,.
J_j_ 11
1
_1
f-1'""'1 -т 11
г 111
~1-"1 t:j
~ ..,.,...,
"'
~ 1.1:
~ 11...
"'~
"'
"'u
о
"f-
0
муле, помещенной, например, в работе Харра [7]. Эта формула
имеет вид*
h*=
2cf
Ysk
sin f3 cos Ч':
2 [ tl-l{Jf ]
SIП
2
Указанный приближенный способ предполагает, что обрушение
откоса произойдет по плоскости, наклоненной к гори зо нтальному
е f:l+lfJ~ п
.
основанию насыпи под углом =
2
.
оложение предполагае-
мой плоскости обрушения нанесено сплошной линией на рис. 11.6, в.
Как видно из рисунка, полож е ние гипотетической плоскости обру
шения хорошо совпадает с найденной нами областью максималь
ных величин второго инварианта девиатора деформаций . М . Е . Гро
шевым были проведены дополнительные исследования влияния вы
бранного шага аппроксимации расчетной области на оценку устойчи
вости откосов [ 11]. Установлено, что зависимость погрешности
ЧИС.Jiенного решения от величины шага, полученная при экстрапо
ляции в область ~х-+0, для выбранной в приводимых выше расче
тах густоты сетки не превыша ет 14%. При сгущении сетки область
максимальных значений сдвига существенно локализуется. В
связи с этим критическая высота исследованного откоса состав
ляет около 170 м, и таким образом формула Харра завышает
предельную высоту откоса на 14% .
Полученный результат важен с точки зрения обоснования пра
вомочиости подхода к оценке устойчивости откосов грунтовых насы
пей с позиции разрывных реш ен ий жесткопластической среды. Бо
лее того, инженерные методы расчета устойчивости откосов, исполь
зующие концепцию поиска « фиксированной поверхности обруше
ния» с наименьшим коэффициентом запаса следует при знат ь обосно
ванными (метод К. Терцаги). На рис. 11.7 нанесены результаты
расчета коэффициентов заnаса nри определении устойчивости отко
са насып ей . Расчеты проведены Н . А. Красильниковым по различ
ным предложениям в рамках метода фиксированных поверхностей
обрушения. На этом же графике представлены и результаты рас
чета откосов, приведеиные выш е, которые отнесены к значению
коэффициента заnаса, равного ед инице, nоскольку оценка устой
чивости, согласно разработанной методике, прои з водится по крите
рию начала прогрессирующ его накопления nластических деформа-
* Формула Харра также мож ет быть . получена при рассмотр е нии жесткопласти·
ч еского механизма обрушения откоса и использовании ассоциированного закона
идеальной nластичности. Обобщ е ние этой формулы для случая неассоциирован
ного за кона течения дано в пре дыдущих рассуждениях.
502
1 к"'""
2.,60
r•1
•
2
113
о4
1,20
"'
u
~~
0,80
40
120
.l.J~""t
..
... .... ..
r--.
А
~
~
200 h,м
Рис. 11 .7 . Резу .~ ьтаты расчета ко·
эффиJtиент а за n аса: 1 - метод За
рецкu го - Ломбардо ; 2 - метод Тер·
Ц<JПI. 1 - метод Бишопа; 4 - метод
Ничоtt11р11НИча
ций и определяется по графикам развития во вр е мени перемещения
характерной точки (наnример , бровки откоса).
Дальнейшие расчеты напряженно-дефор м ированного состс:яния
насыпей, сложенных воданасыщенной ( l\2 = 0 ,9) сафедобскои су
п есью , велись для различных высот и при ра з личных временах
возведения грунтового сооружения. Если соору~ение из водонасы
щенного связного грунта возводится за кон ечн ыи интервал времени
(Т,10 , 11 ), то в грунте под действием собственного веса сооружен и~
возникает поровое давление, которое влияет на развитие областеи
пр едел ьного состояния . Ч ем быстрее возводи т ся сооружение, тем
это влияние оказывается большим и тем вероятнее обрушение отко
са прогрессирующее накопление пластически х деформаций.
На рис. 11 .8 приве де ны некоторые р езультаты расчета откосов
высотой h = 80 м и h = 120 м, возведенны х за различные сроки. Из
рис. 11.8, а видно, что откос высотой 80 м не ра з рушится, если он
будет возводиться 5 лет, и разрушится, если будет возводиться
1 год, а откос h = 120 м разрушится, если он будет возведен за
3 года. На рис. 11.8, б, в в качестве иллюстрации приведено распре
деление порового давления и эффективного среднего нормального
давления в теле насыпи для устойчивого откоса. Деформированное
состояние воданасыщенн ой насыпи критической высоты h* = 120 м,
возведенной за 3 года, представлено на рис . 11 .9 . Сравнивая дефор
мированное состояние ра з рушенных насып ей h * = 120 м (рис. 11 .9, б)
и «сухого» откоса l1* = 220 м (рис. 11.6, г), можно отметит~, что
разрушение воданасыще нной насыпи сопровождается в нижнеи час
ти откоса значительным «вы пором~ грунта и образованuем « про
вала» у бровки откоса. Распределение интенсивностей деформаций
сдвига (рис. 11 .6 и 11.9) показывает, что поверхность обрушения,
характеризуемая (max еР), в случае водонасыщенного откоса более
заглу блена (см. рис. 11 .6 . в и 11.9, а), «Верхушка» откоса насыпи
h* = 120 м не является жесткой, как в случа е сухого откоса h* =
=220 м.
50Э
IUI ,м/ .......: -
-
5
lt=80м
3
1
J11
.-
v
J/ 1...-~1-""
0,5 1,5 2,5
Рис. 11.8 . Результаты
расчета воданасыщенных
грунтовых откосов высо
той 80 и 120 м: nереме
щение бровки откоса
(т. А) в зависимости от
времени возведения (а);
распределение
nopoвoro
давления (МПа) в откосе
на момент окончания воз
ведения (б); распределе
ние среднего эффективно
го напряжения (МПа) в
откосе на момент оконча
ния возведения (в)
3,5
01
1U\,м
т\1038 о5,0ле 5т
11 h.=120м
и
1IJ
/
/
v
3
!J Т&о3в=З,Олеr / Т\103в=ЩО.ет
'1
..","
lv
ILv "'
4,5 t 1ГQ,Ц
1.0 З,О
6
5,0 7,0 9,0 t,rop,
/
h=80 м
/
Т1103& = 5,0 лет /
ns 1-
/
!,. ;
....
.:... 101-""
/
~ 201-
/ / [/ !,.;~-"" зоt-
///
!- ""
5,0-
/v//v
l..--'
......
/1 / \/1..1 v
7.0
/1 1/1,1
vv8,0
.... 90
. ..{, ........
1"--
0,5
h.= 80м
д
Тво3в=5,0лет ~ ~ . -1- 20
!., .;-
1,... 301- 1-
4v
!--"'
1'-
.." [/ L,..o !-""
f,O
~v .....
1- 1-
......
.. ....
~ !-"'
--~-
.ь:: j...-'
1-
6,0
5,0г-!'.....
г--..
/1/Г
......
!"- .
1'-.
Обратимся далее к рис. 11.1 О, где иллюстрируются оценки устой
чивости для насыпей различной высоты при различных темпах их
возведения (vвозв=h/Твозв). Можно отметить две характерных ве
личины: h.;x -критическая высота сухого откоса или насыпи, воз
водимых с·о скоростью vвозв~о; h:- максимальная высота водо
насыщенной насыпи, которую можно возвести без разрушения.
Изложенная методология оценки устойчивости откосов водана
сыщенных грунтовых насыпей позволяет запроектировать устойчи
вые грунтовые сооружения, связав их со сроками и технологией
взведения. Кроме того, становится ясной правомочиость подхода
к оценке устойчивости откосов с позиций разрывных решений жест
копластической среды. Инженерные методы, использующие концеп-
504
··t
t'
1
Рис. 11.9 . Воданасыщенная насыпь критической высоты h = 120 м, возве-
(
а
)
;
деформированное состояние насыпи (б)
цию поиска «фиксированной поверхности обруu1ения» (метод Тер
цаги, метод Бишопа и др.) с минимальным коэффициентом запаса,
следует признать обоснованными. В работе [ 12] дл~ трех различ
ных случаев проводится расчет предельно возможнои высоты отко
са по методу Зарецкого- Ломбардо, по которому значение коэф
фициента запаса равно единице, и сопоставительные расч:ты для
тих откосов по методам круглоцилиндрических поверхностен сколь
жения в которых коэффициенты запаса оценивались традицион
НЫ'\1 с'пособом. Результаты сопоставительных расчетов приведены
в таблице 11.1 . Для откоса N!! 2 расчет выполнен с учетом пора
вого давления консолидации.
505
sк
r ' кнjм3
"
h.(м)
х~1
20
о- 2.
"
200
i5
10
"~' ~
120
5
..........
40
0,1
0,3
0,5
0,7
t/Гвозв
10
20
30 h./Твозl .(~)
Ри с. 11 . 10. Гр а фик возведения н асы nи (а) и критическая высота (б) в за
висимости о т скор о ст и вазв е дения. 1 - - неустойчивый и 2 -усто йч и вый откосы
Характеристик <~
о т коса, показ а тели
грунта
Заложение откаса
Плотность грунта, гfсм1
Коэффициент внутреннего трения
по Мору
Сцеnление, МПа
Предельная возможная высота ат
коса (по Зареttкому ·-Ломбардо). м
Коэфф1щиент заr1aca
по Терцаги
по Бишопу
Откас N2 1,
сухой
1:0,5
2.00
0,65
4.1 . 11)
25
1.07
1.08
Огкос N2 2
водо на -
сыщенный
1:2
2,25
0 ,504
о
80
0,9()
1,00
Таблица 11.1
Откос N2 3,
сухой
1:1
2.2 5
0.500
8.65- 1о-"
170
0,94
0,98
В з аключени е прив едем пример практического испол ь зо вания
критерия разрушения , о с нованного на фиксации скорости д виж е ния
бровки от ко са. Ленинградским институт ом ВНИМИ пров еде ны де
тальные маркш ейде рские з амеры движения от в ало в Це нтр аль ного
рудника комбината «Апатит», расположенных на склонах гор. Эти
исследования позволили установить, что р азв ити е деформаций на
отва ле протекает в две ф аз ы. П е рвая характеризуется устойчивым
положением отвала со ско ростью движения бровки откоса н е более
200- 250 ммjсут. Вторая фаза характеризуется ускоренным спол
занием отвала по склону впл оть до е го разрушения. Инстр уме н
тальными з амер а ми установлено, что угол накл о на полного в ек
тора смещения бровки от кос а , определяемого по установленному
реперу , круче угла склона о с нования. Детальный а н а лиз с меще ний
позво л и л также и з общего смещения отвал а выделить в ел ичину
'
'
.
''·
а На рис. 11 .1l показа ны некоторые
уплотнения и величину с?-виг . изме ений Здесь л ишь отметим,
результаты :тих м а ркш еидерских ия от!о~а п~ условию насту пления
ЧТО критерии Пр РЛ.РЛ ЬНОГО СО СТО ЯН
V~,,..м/сУт
700
500
300
Рис. 11.11. Графики изме
нен ия во времени с корости nол
ного смещения р е перов , уста
новленных н а север ны х отвалах:
100
12_дляотваловNQ8и9
с~ответственно; 3 - дата начал а
l-~--'---'-~~~-::7'7.--'-:'y~y7.'11;-'vV1iiill~\)(;11 и нте нси вного ополза н ия отва-
iЭ?i·хXl)1.111111!1IVV1
лов (.NQ 8-27 10.72 г. и NQ 9-
L___..,=-":7.7~--;;--"'7.';~;-'\,....-;;i'i'"\j\\";~~ 2
17 .09.70 r. )
19691'1.ХXlXll1\1 111\V VVlVllV\11\'/.
"
вития деформации явля ется весьма
прогрессирующего характера раз я для контроля и управления,
рактически применяете
:~~~~:е;, ~ практике веде ния открытых горных работ.
11.7 . Критерий предельного с~стояния
грунтовых сооружен!'-и
при динамических воздеиствиях
сфо мулированы достаточно
К настоящему времени еще не бы роценить предельную на-
общие теоремы, которые поз:~;~~~еском воздействии. Несколько
гру з ку на сооружение при д аботах [13 - 15].
простых теорем установл е но в р жение действовали дин ам ичес кие
Очевидно, что :ели на соору емени это действие прекратило с ь ,
нагру з ки и в какон-то момент вр ная с этого момента в после
то кинетическая энергия тела нач~дуется н а пластическое деф о р
дующем движении полностью рас:амич ески е воздействия никакой
мировани е, поскольку вн е шни е ди что существует такой м о мент
аботы не производят . Ест е ственно,
р
t t при котором движени е прекрати тс я.
времени = k,
507
Для одноф:ззной системы, смдуя Д. Мартину [ 13], можно дать
оценку нижнеи границы времени деформирования до nолной оста
новки tk. Условно nринимая t =0 за момент, в который действие
динамических нагрузок nрекратилось, так что массовые и nоверх
ностные нагрузки в дальнейшем не изменяются во времени, а также
ради простоты считая, что разрывы в скоростях деформаций в кон
струкции отсутствуют, основное уравнение виртуальных мощностей
( 11.5) для этого случая nримет вид
) (рХ;- pu;) u)
0
JdV + ) Pn;U)0Jd~ = ) a;iЁ)J!dV.
v
2: ,,
v
.
(а)
Здесь a;i и U; ~ действительные напряжения и ускорения; t.i}0J~
кинематически возможное nоле скоростей, не зависящее от вре
мени:
Ё(U) = _!_(U(O)+ u" (IJ) ).
'1
2 '·1
1·1
•
рХ; и Рпi ~ не зависящие от времени массовые и nоверхностные
силы .
Если "nоставить в "со~тветствие полю кинематически возможных
скоростен деформации e)i J nоле напряжений af?J согласно ассоцииро
ванному закону n.пастич еского течения , то, воспользовавшись ло
кальным принципом максимума
(aCOJ- а
·) .;coJ ......_ О
lj
I J CJj .;::::::;
,
увидим, что и з соотношения (а) следует неравенство
) (рХ;- pu;) u}
0
JdV + ) Pп;u)0Jd~:::::;; ) aij>Jё})1JdV.
V
I,
.
V
(б)
Интегрируя неравенство (б) по времени от t=O до t=tk и учи
":ЬIВая, что U;=O nри t=tk, а nри t=O поле скоростей известно:
U;it=O~V;(O), получим
) pv;(O) u) 0JdV
t
v
k~ --------------------------------
v
Здесь через D обозначена диссипация внутренней
кинематиqески возможных скоростях деформации
D = ) a)J>ё)j>!dV.
v
(11.29)
энергии на
Оценка (11 .29) совnадает с оценкой Мартина при Х; =0 и
508
'·
р 11 ;=0. В работе [13] приводится также теорема, позволяющая оце
нить величину поверхностных смещений за время деформирования.
Однако, как показывают сравнения с некоторыми точными реш:ния
ми [ 15], время деформирования tk определяется с небольшеи по
грешностью, тогда как оценка перемещений значительно завышена.
Нетрудно заметить, что время стабилизации tk увеличивается при
увеличении начальных скоростей движения v; (O) и уменьшается
при увели'lении диссиnативных свойств среды, т. е. при увеличении
D. Можно также отметить, что стабилизация движения всегда бу
дет иметь место, поскольку предnолагается, что внешние массовые
и поверхностные силы, приложеиные статически, не вызывают пре
дельного состояния сооружения. Иными словами, предполагается,
'I TO знаменатель в формуле ( 11.29) всегда положителен:
1 х "(O)dV+1 "(O)dV D
Jр ;U1
JPn;U,
<,
v
что совпадает с оценкой неразрушимости сооружения при стати
ческих воздействиях ( 11.13а).
Подобная оценка для двухфазной среды может быть nоучена
следующим образом. Уравнения виртуальных мощностей для двух
фазных сред ( 11.11) ( 11.12) запишем в виде одного уравнения,
умножив почленно (11.12) на величину (l~m s ) и выполнив далее
почленное сложение уравнений ( 11 . 11) и ( 11.12). При этом выберем
поле кинематически возможных скоростей для «скелета» и поравой
жидкости единым: u)
0
J и, следовательно, Ё)~J. В результате будем
иметь
v
"(U) [
)w""w+
s•]"(О)
([(1-m,)pw+m,p']X;U1 - (1-ms р U; ПlsP U; U1 -
..:
"' "(o)jdV + 1 eJ "(o)d"' _
1(1_ ) w"(O)d~=
-
m , u;j/)i. jU1
J pfllu,
.::..
J
Пls РпUt
,.
~"
=
) (a['IЁ)?J- {1~m,) pw€~0)] dV.
v
Примем далее , следуя Мартину, поле u}
0
J не зависящим от вре
мени, поле напряжений свяжем с полем кинематически возможных
скоростей деформаций ассоциированным законом пластического
течения. Интегрируя далее приведеиное выше соотношение по вре
мени от t =О до t = t~г и учитывая, что действительные скорости
течения «скелета» u; и жидкости ui" равны нулю в момент времени
t = tk а в момент начала динамического воздействия (t =0) эти
скор~сти равны, т. е. U;lt=o=V;(O) и u,"' lt=o=vi" (O), nолучим
509
) ((1-ms) pwvf (0) + msp5
V; (0)] u)0JdV
tk~
\'
[ o ef + (1-ms) D"']- {) (рХ;- msбiiP~J u)0JdV + ) p;,~u)0Jd1:~··----*
v
1:р
.. . ---+
-- ---- ---- ---- -
Здесь
( 11 .30)
oet = ) a7/if?>dv-
v
диссипация внутренней энергии «с келета» грунта на кинемэтиче
ски возможных скоростях деформации а о ~· = 1 "'' ' (u)dV
,
JР Ev
-
скорость
u
v
дис~ипации внутреннеи энергии лоровой сжимаемой жидкости
c1J"':ae, когда жидкость дегазирована и несжимаема д~сси
пация "равна н~лю. Из формулы ( 11 .30) следует, что ~аличи~
ежимаемои поровои жидкости в грунте и , следовательно, диссипа
ции энергии nриводит к уменьшению времени tk, т. е. л оисходит
более быстрое гашение скоростей движения в водона~ыщенной
:реде по сравн"ению с остановкой движения в неводанасыщенной
среде. С др~гои стороны, наличие начальных скоростей движения
жидкости У; (О) приводит к увеличению времени стабилизации t
Требование п~ложительности знаменателя формулы ( 11 .30) оп ед:~
ляетфкритерии неразрушимости nри статическом воздействи~ на
двух азную среду . Деиствительно, неравенство
J [pX; -msбiiPif]u}0JdV+) p~1;u)0Jd1:-) (1 - m,)p;;'X
Lv
Хu)O)d1:> )afji)?)dV+ ) (1- m
5
) pwЁ t0)dV,
v
v
используя формулу Гаусса - Остроградского, можно
к виду
переnисать
) (рХ,-б,iPi)ti)0>dv+ 1 p~~ufo>d1::::::::, r aef..:coJdV
V
•
J
~J·IJVtj
>
L1,
V
что совпадает с оценкой ( 11 . 16) при кинематически возможных ско
ростях , соответствующих пла стическому механизму разрушения
Заметим также, что интегрирование по времени от t=O до t-t~
~~=и:ыв~де (р .30) проведено в nредположении, что поровое дав-
р и 1J;1 не зависят от времени. Это следует понимать так,
510
что поровое давление и эффективное напряж е ни е являются функ
циями двух аргументов: р ш (t. т) и af/ (t; т). При этом аргумент т
опр едел я ет время всего процес с а от начала статич ес кого з агруже
ния и до полной стабилизации, а аргумент t характеризует изме
нение ди н амических частей, котоr,ые принимаются nостоянными и
равными значениям р"' (0, т) и af1 (0, т) в момент лрекращения ди
намич е ского воздействия , условно принима е мый на нуль.
В з аключение следуе т о становить ся на возможной формулиров
ке критерия ра з рушимо с ти гр у нтового сооружения при динамиче
ском нагружении. Крит е ри е м ра з рушимости по-пр е жн е му следует
считать отсутстви е стабили з ации движения элементов сооружения
(см. п. 11.3). При этом, поскольку принята малость деформаций
и соответствующие им и змене ния в г ео метрии сооружения в уравне
ниях движения н е учитывают с я, ра сс матриваемый критерий отно
сится только к начальной стадии разрушения. Реали з уется ли такой
критерий в усло виях , когда статиче с кое напряж е нное состояние в
сооружении не явля ет ся предел ьным, а динамическое воз действие
кратковр е м е нно и после его окончания, в соот ветствии с приведеи
ными выше оценками , движение конструкции должно прекратиться
за время t k? Каж ется , что такой критерий н е ~ожет быть реали
зован, если время tk не стремится к бесконечности, однако сущест
вуют по крайней мере две причины , поз воляющие реально его и с поль
з овать.
1. При динамическом воздействии на воданасыщ е нный грунт
в н е м, вслед ствие доnолнительного остаточного объемного уплотне
ния , во зни ка е т д инамиче ское поравое д авление, которое рас с еивается
за время значительно большее, чем , скажем, вр е мя сейсмич еского
во з действия. Поэтому эффективные напряжения , котор ые и оnреде
ляют локальную лрочность грунта, могут оказаться на преде ле
пр о чн о сти. Если в таком состоянии окажется цел ая область грун
тового сооруж е ния, н е ограниченная областями допредельного со
стояния, в сооружении воз никнут движения с увеличивающейся
скоростью. Этот момент и уровень во здействий и следует прини
мать з а nредельный для данного сооружения. Если же рассматри
вать кон е чные деформации и продолжить анализ напряженно-дефор
мированного состояния сооружения, то по прошествии определ е н
ного инт е рвал а времени перемещения могут с табилизироваться
вс ледст вие и зме н ен ия как геометрии сооружения, так и рассеяния
лорового давления.
2. При кратковременном динамич е ском воздействии в некотором
элементе грунтового с ооружения напряжения могут оказаться на
пр еделе прочности , и з а время во здей ствия этот элемент разрушит
ся. Посл ед н е е означает, чт о грунт пришел в такое состояние, nри
котором он более не может с опротивляться сдвигу , а может воспри
нимать л ишь всестороннее давление. В этом случае nри прекра-
511
щении динамического воздействия под действием приложеиных ста
тических воздействий грунтовая среда продолжает разрушаться,
пасколку более не сопротивляется сдвигу. Если при этом в состоянии
локального ра з рушения находится целая область сооружения, не
огранич е нная областями допредел ьного состояния, то в грунтовом
сооружении во з никают не за тухающие перемещения , которы е мы и
классифициру ем как нача ло разрушения сооружения.
Основываясь на ука за нном эффекте, можно предложить следую
щий алгоритм, который легко реализовать при численном анализе
предельных состояний грунтовых сооружений . Упругий модуль сдви
га приравнивается к нулю для тех областей грунтового сооружения,
в которых условие предельного состояния за время динамического
воЗдействия выполнялось. Иными словами, в этих областях второй
инвариант девиатора эффективных напряжений рав е н нулю, однако
это предполож е ние требует тщательной экспериментальной провер
ки и выявления эффекта разрушения грунтовой среды при комбини
рованном статическом и ограниченном во времени динамическом
воздействиях.
11 .8. Единственность решений краевых задач
Проблема единственности решения краевой задачи теории плас
тического течения распадается на три: единственность скоростей
изменения напряжений; единственность скоростей деформаций и
единственность напряжений.
11.8.1 . Теорема единственности для скоростей напряжений
Не существует боле е одного распределения скоростей напряже
ний , удовлетворяющего уравнениям равновесия и граничным усло
виям .
Дока зател ьство основано на том, что если предположить су
Iр.ество.в ,ание двух различных распределений скоростей напряжений
af} J и affJ , то послед!'lее пр~водит к противоречию. Действительно,
разность решений (af}J- af[J) будет являться полем самоуравнове
шенных скоростей напряжений с равными нулю на ~r скоростями
изменения поверхностных нагрузок . .Соответствующая разность пол
ных скоростей деформаций (~:f)J-ef!J), вычисляемых как обычно:
будет полем совместных скоростей деформаций, которому отвечает
поле скоростей перемещений, равных нулю на ~,;.
Применительно к самоуравновешенному полю скоростей напря
жений ( af} )- a~r)) и к скоростям деформаций ( i}jJ- iir)) уравне-
512
ние виртуа л ьных мощностей в статике на основании (11 .7 ) запи
сывается
) (aiJ >- afJJ) (iUJ -if?J )dV=o,
(а)
v
или, более подробно,
) (afJJ- af? J) (izi 1 )-iтi 2))dV+ ) (cri}J-cr)fJ ) (Ёf/ 1 J- Ёf?>)dV=O.
v
v
(б)
С другой стороны, первое слагаемое в (б) положительно на осно
вании закона Гука, поскольку
("е(!)_ "е(2))-с (·11)
· 12)
е,1 е,1 -
iikl ak, -
Gkt.),
а второе, для упрочняющейся пластической среды, положительно
на основании квазитермодинамического постулата Драккера . Таким
образом, установлено противоречие и, следовательно, верна теоре
ма единственности скоростей напряжений в случае справедливости
постулата Драккера, т . е. справедливости ассоциированного зако
на пластического течения.
Для двухфазной среды может быть сформулирована аналогич
ная теорема : не существует более одного распределения скоростей
эффективных напряжений и скоростей изменения парового давле
ния, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным усло
виям.
.
Док.азательство также проводится от противного. Предполагая
существование двух таких распределений и используя уравнение
виртуальных мощностей (11.8) , будем иметь
) (arJ<I)_ar/ <2>) (ifJ !-iir>)dV+
v
+) O;i(P J'
11
J-PJ'<
2
J) (u~ 1 J-t.i}2J)dV=0.
(в)
v
Первое слагаемое в (в), как было пока з ано выше, положи
тельно. Покажем, чо и второе слагаемое положительно. На осно-
вании (11 .9) и (11.10) можно записать
.
) O;i(PJ'
11
J-PJ'I
2
J) (u} 1>-u}2J)dV=
v
=
_) (l:)w( l)_p w(2)) (Ё ~,I) _Ё\,2) )dV,
(г)
v
и нам остается показать , что праваЯ часть соотношения (г) неот
рицательна. Для этого достаточно вспомнить равенство, вытекаю
щее из закона сохранения массы (лекция 3)
513
'w
m_,
's
1 p'w
ev+---e
----
1-rn,
v-
к"' ,
(д)
и на этом основании правую часть соотношения (г) перепишем в
виде
(I)w(l) _ pw(2)) (f~l)_ f~2)) dV= 1-m, [ ~ [Pw(l) _ pw(2)] 2dV +
m_,Кш
у
у
+ ~ (Pw(l)_pw(2)) (Ё~(I)_f~(2))dV].
(е)
у
Нетрудно заметить, что правая часть (е) положительна. Тем
самым доказана теорема единственности для скоростей изменения
эффективных напряжений и парового давления.
11.8 .2 . Единственность скоростей деформации
На основании доказанного единственность скоростей деформа
ции следует непосредственно из уравнений связи между напряже
ниями и деформациями для упрочняюще_йся упругопластической
среды. Следует отметить, что для идеально пластического материала
распределение скоростей деформаций не единственно. Отсутствие
единственности, как отмечает В. Койтер, заложено в самой концеп
ции идеально пластического тела. Важно подчеркнуть, что при раз
рушении, когда отсутствует стабилизация пластических деформа
ций, возникает иенулевое поле скоростей деформаций при постоян
ном поле напряжений. Таким образом, пластическое разрушение
сопровождается возникновением неединственного поля скоростей
деформаций.
11.8.3 . Теорема единственности напряжений
Единственность распределения напряжений при заданных конеч
ных значениях нагрузок и перемещений на поверхности будет обес
печена, если, кроме того, будет задано распределение в теле плас
тических деформаций e?i [3].
Покажем, что предположение о существовании различных рас
пределений напRяжений ai}J и a\JJ ведет к противоречию. Упругие
деформации етi ) и ef} 2 J, соответствующие этим двум распределе
ниям, вообще говоря, не совместны, поскольку задано распределе
ние пластических деформаций в теле е~, разность упругих дефор
маций будет их совместным распределением, которому отвечают
равные нулю на ~и перемещения. На основании уравнения виртуаль
ных мощностей будем иметь
~ (ai)J-aiJJ) (e~')-e7i 2))dV=0.
у
514
•
С другой стороны, из закона Гука следует положительность
левой части написанного соотношения при aD) =;6= aiJJ_ Аналогичная
теорема имеет место и для двухфазной среды.
Заметим в заключение, что если в теле не задано распределе
ние пластических деформаций, то доказанная в (а) единственность
распределения скоростей напряжений, или, иными словами, един
ственность приращения напряжений дает основание утверждать
лишь, что напряженное состояние в теле единственно, если известна
история нагружения. Распределение напряжений существенным
образом зависит от пути, по которому были достигнуты конечные
значения нагрузок и перемещений. Поэтому нельзя судить о един
ственности распределения напряжений, если заданы только конеч
ные значения внешних воздействий.
ЛИТЕРАТУРА
1. С о к о л о в с кий В. В. Статика сыпучей среды. М.: Физматrиз, 1960.
2. Раб о т н о в Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 196б, с. 752._
3. К ой т ер В. Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Иностран
ная литература, 19бl.
4.3арецкий Ю. К.,Ломбардо В. Н., ГрошевМ. Е. Пластическоетече
ние грунтовых массивов.- Изв. вузов. Стр-во и архитектура, 1979, NQ 2, с. 3-24.
5. 3ареtlкий Ю. К.. Ломбардо В. Н. Статика и динамика грунтовых пло
тин. М.: Энергия, 1982.
б. S h i е 1 d R. Т. Mixed Bouпdary Value Problems in Soil Mechanics.-
Quart.
of App.l . Math., 11, 1, б1-75, 1953.
7. Ха р р М. Е. Основы теоретической механики грунтов. М.: Иностранная лите
ратура, 1971.
8. Д о р ф м а н А. Г. Алгоритмы расчетов устойчивости откосов по вариационно
му методу.-~ В кн.: Вопр. геотехники. Днепропетровск, 1970, NQ 17, с. 31-53.
9.3арецкийЮ.К.,ЛомбардоВ.Н.,ГрошевМ.Е.,ОлимпиевД.Н.
Устойчивость грунтовых откосов.- Основания, фундаменты и механика грунтов,
1980, NQ 1, с. 23--27.
10. М а л ы ш е в М. В. О линиях скольжения и траекториях перемещения частиц
в сыпучей среде.- Основания, фундаменты и механика грунтов, 1971; NQ б,
с. 1-5.
11. Гр о ш е в М. Е. Применение теории пластического течения с упрочнением к рас
чету сооружений на статические и динамические воздействия.- Из в. ВНИИГ,
1980, т. 140, с. б4-70.
12. Красильников Н. А. Современные методы оценки надежности и устойчи
вости грунтовых плотин в период строительства и эксплуатаtщи. М.: Информэнерго,
(сер. 2 Гидроэлектростанции, вып. 1), 1982, с. 51.
13. Мар т и н Д. Теоремы для импульсного нагружения жесткопластической сре
ды.- Механика, 19б5, NQ 3, с. 47-Бб.
14. Ер х о в М. И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука,
1978, с. 352.
15. К а чан о в П. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 19б9, с. 420.
16. D е г s k i W. Theorem оп Reciprocity of Displacements in the Theory of Conso-
lidatioп.- Bulletin de I'Academie Polonaise des Sciences, Serie des Science Techni-
ques, 13, 1, 1965.
17*
515
ЛЕКЦИЯ 12
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА УnРУГОВЯЗКИХ
И ВЯЗКОnЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
ГРУНТОВЫХ СРЕД
Прогноз напряженно-деформированного состояния грунтовых
сооружений и оснований необходим для оценки про ектн ых решений
по предельным деформациям и несущей способности. как это тре
буют СНиП. При этом и зложен ная в предыдущих леюtиях теория
вязкопластичности гр у нтов позволяет проводить таки е оценки на
одной методологической основе, не требующей раздельных методов
и принципов для определ е ния первого и второго пр едель ных состоя
ний . В се расчеты ведутся с исnользованием ед иной математиче
ской модели грунта (см. лекции 9, 10).
Вследствие весьма сложных связей между напряжениями и де
формациями теория вя з копл аст ичности грунтов для решения прак
тических задач использует nреимущественно числ е нные методы:
м етод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей
(МКР) , а в последнее время - метод граничных элементов (МГЭ).
Анализ положительных или отрицательных сторон того или
иного метода относится к области вычислительной математики, по
этому здесь проблемы сход имости , аппроксимации и др. не будут
затронуты, хотя они могут оказаться решающими . Сnециалисты в
механике грунтов, являясь лишь потребителями разработок, кото
ры е интенсивно ведутся в области вычис .11ител ьной метематики,
должны тем не менее ориентироваться в имеющемся арсенале спо
собов и средств численных методов и уметь ими nользоваться.
12.1 . Алгоритм определения пластических
и упругих деформаций грунта
Кратко изложи м алгоритм нахождения компонент напряжений
u 1i, основанный на предлагаемой модели грунта . Главной задачей
алгоритма является у ка зание сnособа разделения общих деформа
ций на пластическую и у пругую составляющие, поскольку компо
ненты тензора напряж ений одно з начно связаны с упругими состав
ляющими деформаций [ 1, 2].
Пусть нам известны:
на шаге t-Лt - комnоненты вектора перемещ е ний U i(l - ltJ. а сле
довательно, на осн ова нии соот ношений Коши, компоненты полных
деформаций ~'iiU- '' J и компоненты накопленных пластических де
формаций E'ilt- \ t);
516
1'
на шаге t- компоненты вектора полных перемещений Ut(i) и,
t'Jiсдовательно, компоненты те нзора полных деформаций Eij(l ) ·
Необходимо опр едел ить на шаге t:
Efj(t), erj(l), Gij(t)·
Введем фиктивный тен зор деформаций l';i, определяемый извест
ными величинами и равный
Etj = Eij(t)- 1'~(1
--
\1)·
( 12.1)
Соотношение ( 12.1) можно записать в другой эквивалентной
форме :
(12.1 а)
Компоненты фиктивного тензора E;i nредставляют собой упругие
деформации, определенные в предrюложении, что nриращения плас
тических деформаций de~ на дыщ.ом временном шаге равны нул.!,О.
Фиктивный тензор наnряж ен ий u 1i, соответствующий тензору e1i,
определим на основании зако на Гука:
·
{·~"~2•~''' +б,,л·:,;
G;=G"e,; а= К еёu ; e-G"· ,,._Ке_ ]_G e
~--,А-
2.
( 12.2)
Здесь модули упругости грунта G " и К" являются « разгрузоч
IIЫМИ>~ , т. е. их значения определяются по ра згрузке. Запишем оче
нидные соотношения, следующие и з ( 12.1 а):
-
-G" G"(" +d ~') -Ged 11 +
·}
а~- ~=
e,<,J е, -
е; Gi(l),
и=К"ё,,=Ке (Е;(I)+ dё~) =Ked~>~ +at.
(12.3)
Тогда истинные значе ния инвариантов тензора напряжений на
шаге t равны
( 12.4)
Теnерь алгоритм отыскания G ij(i ) можно пр едстави ть следующей
110следовательностью действий:
1. По знач~ния~ Etj(l ) и f ~(I - J t) определяем компоненты фиктив
III>IХ тензоров E;i и u,i (см. формулы (12.1) и (12.2)).
2. Положение пов ерхност и нагржения на шаге t с читаем в пер
Iюм nриближении таким же, как и на шаге t-Лt. В случае моно
тонного нагружения параметр Одквиста равен н а копленной плас
ТI!'I ес кой деформации формоизменения (!)l(t - \l)=ei(t -- \ 1), а (!),.(1-~1)=
'·= ~·~~(/ - -~1)·
3. По значениям фиктивных напряжений в плоскости инвариан-
517
тов «G;-G» определяется положение т. М. (а ; ; а} (на рис. 12.1, в
в качестве иллюстрации показан след одного регулярногь участка
поверхности нагружения АВ на момент времени t- М).
4. В первом приближении, считая, что функция нагружения
за 1'1t не изменила своего положения, легко найп1 на основании фор
мул ( 12.4) истинные значения инвариантов напряжений Gi(IJ; Ut.
Угол наклона а, определяется по очевидной формуле, вытекаю
щей из ( 12.4):
tнr
К'" dc~
К'"
дf,
Ке
tga --------- --·-- - -- k
r- Ll<r; -
Gedef-G'"д<r
-
Ge
''
( 12.5)
поскольку функция нагруж е ния аппроксимируется линейными участ
ками
f, =a;+k,a-c,.
Например, для участка r =2, показанного на рис . 12.1, будем
иметь
Q
А
А
о
о
Рис. 12.1. След nовер х ности наrр у жения и фиктивны е наnряжения в nлос
ко с ти инвариантов тен зора наnряжений : а- nоложение и зображающей т. М
на nов е рхности наrр у ж е ния; б - nромежуточное nолож е ни е nов е рхности наrру·
жения на шаге ilt
tga,= 2 =Kf> дf, ~ 2 =к·: [tgq/2Jt+(tgcpuct-tgq}g],)Ф(co;u - \t))].
G' д<r
G'
( 12.5а)
5. После определения G i(t) и а 1 находятся значения приращений
инвариантов пластических деформаций
518
def=
d~~=
!J;- Gi(t)
Ge
G-G ,
ке
(12.6)
6. По найденным значениям a; cn; а,; def и d~~ определяются
компоненты девизтора напряжений на момент времени t по форму
пам
2G'
Sij(t) =
___
G.::. . .e - --eii,
1+ --def
( 12.7)
<f i(l)
н, следовательно,
(12.8)
Формула ( 12. 7) для компонент девизтора напряжений выведена
иэ следующих соотношений:
def;= ~ def (ассоциированный закон пластического течения).
2Gi(t)
7. Компоненты тензора пластических деформаций на шаге t
paBH!'>I
или
F/'·c,J=~··c,J- [-
1
- s+o-
1
-a ].
IJ
'1
2G'
lj
ljзке 1
(12.9)
8 Значения ~=:fюJ и a;;(t ) являются первым приближением. На
основании найденных значений e~c 1 J уточняется положение поверх
ности нагружения на момент времени t. Для этого определяются
эначения параметров упрочнения
COi(/)= Wt(t -11) + def;
COu(t)= (!)v(t- ~/)+df~
и находятся новые значения функций упрочнения. Далее расчет по
юложенному алгоритму повторяется до достижения требуемой точ
Iюсти в определении приращений пластических деформаций (поряд-
ка 10-
4
-7 -10-
5
).
•
В случае работы грунтового сооружения в условиях плоской
дефQрмации ~:: 2 =0 реализация пластического течения осуществля
rтся по площадкам максимального сдвига. При этом в вышеизло-
519
женный алгоритм опредеJJения пластических и упругих деформаций
грунта для случая плоской деформации вводятся следующие и з ме
нения:
1. Функции нагружения записываются в виде, данном соотноше
ниями лекции 9, где дJJя этого случая функции нагружения форму
лируются для инвариантов
Ттах =
s=
а
а1-а.1
2
dр-
••, -
<• .1
•
')'т ах -
2
,
dOP= def+de~.
dc•P
dol' }
2 . Закон Гука , связывающий компоненты тензора эффективных
напряжений и компоненты тензора упругих деформаций, записы
вается в виде
"" =~+о~-
-/,
2G"
112К''
е
el'- eJ
Ymax=
2
sa= кеое; О"=ei+1=-j; е~=Е~=0,
где упругие характеристики грунта связаны зависимостью (для
условия Е~= О)
К"='л"+Ge.
3. Ассоциированный закон течения записывается в следующем
виде:
{ 1 (i=j)
б;j= о (i=t=j)'
4 . Компоненты девнатара напряжений на момент t находятся
по формуле
2G''ё,1
Sij(t) = --,.[--~-~--~
1г----
1+ ~dyf.,ux (2 -б;;)
T max
(12.7а)
В общем случае на плоскости инвариантов тензора напряжений
<<а;- а» след поверхности нагружения в сформулированной ~ат~м'!_
тической модеJJи грунта представлен на рис . 12.2 . EcJJи т . М (а;; а}
в ПJJОскости «а;-а» будет находиться на поверхности или внутри
обJJасти, ограниченной поверхностью нагружения (обла сп N
0
),
т . е . будет выполняться условие
520
r
,.
1
1
"'
"
'-
(.)
+
\9
1
/ " 17. за•.·"'.-.
~1
1
521
z
z
z
=
::;'
0:
.. ..
u
"'<;
10
о
u
=
=
:r:
"':Е
>-,
0..
'-
"':х:
-"
.. ..
u
о
:х:
><
0..
"'
"'о
r::
u
=
Cl.
fг~О (r=l, 2, 3, 4),
(12.10)
то грунт в данной точке среды «работает» в упругой стадии и п и-
ращения пластических деформаций за время от (t-M)
tр"
ствительно ~е Qроизойдет .
до деи-
Если т. М {а;; а) находится за пре
б
поверхностью нагружения ABCDE (делами о (ласти, ограниченной
ются), то необходимо ее ве н
условия 12. 1О) не выполия-
ношением ( 12 5)
р уть на поверхность по заданным соот-
.
направлениям в областях N N N N Э
облоасти ограничены прямыми, указанными на р~с {2 2 :J ,
4·
ти
бласть N1:
•
•
•
0";=0;
G''
}
K"k
.
•
r= 'l
·-
в
в
а,-а;+(а1-о)
_
в+
в
G
}
а,-а; (а-а )
K'k,~2
О";=аУ+ (а-ас) G
K"k, ,_ 2
Область N3 :
O";=a f + (а-ас) G
}
кek,~:J .
·-
!)
D
G
а,-а; +(а-а ) Х
k" k,~·з
G;=af;}
0";=0.
Если же т. М (а,; а) попадает в области Ns и N
ние происходит в угловую т. D или т С
б, то возвращ е
рис. 12.2 .
·
• как
это показано на
Значения иннарнанто в тензора напряжений на шаге t т е
чения а (t) и а чычис
,
.
.
зна-
'
_
t,_ •
_
ляются в зависимости от области в
попала т. М {о;; а), а з ат ем по формулам ( 12 6-12 9), которую
ются компон е нты на
.
"
·
·
определя-
€~(1)·
пряжении a,i(I J и пластических деформаций
Докажем следующее пр
_
едложение: если под JiОМПонентами фик-
тивных деформаций f;l· понимаю
тся величины eii=efi(l)+ds~ (см.
522
формулу 12.1 а) и справедлив ассоциированный закон пластического
течения, то из равенства
(а)
следует соотношение для инвариантов девиатора напряжений а;:
a; =Geё;=a;+Gedef.
(б)
Действительно, если справедливо соотношение (а), то можем запи-
(
)
f;z
.
с:ать, воспользовавшись равенством а;= Т s;isii
и ассоцииро-
ванным законом пластического течения
(при f,=a;+k,a-c,)
следующее соотношение:
(1--)1/2(1
) 1/2[
2 SijSij
=
2 SijSij
1+
откуда предыдущее равенство персписывается
a;=a;+Gedef.
что и требовалось доказать .
Ged ef J'
а;
Обратное утверждение также справедливо. Поэтому предложен
ный а.лгоритм нахождения компонент тензора напряжений и компо
нент тензора пластических деформаций исходя из анализа следа
поверхности нагружения на плоскости инвариантов тензора напря
жений правомочен.
Ал.rоритм нахожд е ния на каждом временном шаге значений ком
nонент наnряжений a;i(I J, упругих €li(IJ и пластических e~(tJ состав
ляющих деформаций может быть изложен в другой, более nростой ,
но эквивалентной форме .
Предварительно напомним, чо регулярные участки поверхности
нагружения в предложенной математической модели грунта (лек
ция 9) заnисываются в форме
(12.11)
На основании ассоциированного закона пластического течения
имеем
~ dЛ,; defi= ~ ~ dЛ,;}
r
r
2а;
ds~= ~ k,dЛ,,
r
(12.12)
523
что позволяет дать простой способ опр еделения параметра пластич
ности dЛ ,. Этот алгоритм для регуулярных участков поверхности
нагружения состоит в выполн е нии сл е дующих действий.
1. По значениям фиктивных .ц_еформаций Ё;; опред~ляю:rся фик
тивные комп_9ненты н_а пряжений о;; и их инварианты а ; и а.
2. Если о; :::;:;;- k,a + с, , то грунт « работа ет» в упругой стадин
и прi:!Ращ е ний пластических де формаций не происходит. а напряж е -
ния О ;; ЯВЛЯ_!9ТСЯ ИСТ_!:IННЫМИ. _
3. Если а ; >- k,a +с , (т. М находится вне области, ограничен
ной поверхностью нагруж е ния) , то инварианты те н з ора истинных
напряжений определяются формулами ( 12.4) , которые, использу я
ассоциированный закон пл астического течения, можно переписать
в форме
Oi(t) - G; -G"dЛ,;}
Ot =а- к~k,dЛ,.
Пластиче с кий параметр d Л, при этом рав е н
dЛ,=
.J,+k,G- C,
G"+K''k!
( 12.13)
( 12.14)
Формула (12 . 14) легко находится, если уче с ть, что истинны е
напряжения, т. е. истинная точка нагружения (т. М) , в фазовом
пространстве напряжений должна лежать на поверхности нагруже
ния. Для регулярных уч а стков поверхности нагруж е ния формул у
дл я определения з нач е ния парам ет ра dЛ , получим, подставив выра
жения (12.13) в уравнени е (12.11).
4. Компоненты де внатара истинных напряжений опр еделяются
по формулам
2G'~'i
Sij(l) =
-- --'----
1+G''fa,,n ·d~.,
(12.15)
5. Компоненты тен з ор а напряжений н тен з ора пл а стических де
формаций находятся, по-прежнему, с помощью формул ( 12.8) и
( 12.9) .
Рассмотрим т е перь зоны N5 и N6 (рис. 12 .2) в окр е стности син
гу л ярных точек С и D. Для _опр еделения пластИческих деформа
ций в тех случаях, когда т. М (<J ;; <J ) попадает в области N5 и N6 ,
вместо форму л ы ( 12 . 14) на основании общих соот ношений ( 12.12)
параметры сiЛ , находятся из реш е ния системы ур а вн е ний. Так , для
зоны N6 будем иметь
del' = dЛг= 2+dЛ,=:I; }
de~:= Kr=2dЛ,=~+kr=:ldЛr=:J·
524
(а)
( 12.4), окончательно найдем
-
с
Gi-Oi
'}
(12 . 16)
Здесь принято очевидное у словие:
"
01
= <J~- и <J = <Jc, где <Jf и <J' - координаты сингулярнои точки С. Ре-
шение системы уравн е ний ( 12 .6) доставляет значения dЛ.r = 2 и
dЛ,=:J. Аналогично сл едует поступить и в том случае, когда
т. М (cr;; cr\ попадает в з ону N 5 . Далее _ нетрудно получить формулы
для опреде ления и стинных напряж е нии
( 12.15а)
3
ю ся координатми сингулярных точек (т . С
десь Oi(t) и <J, явля т
или т. D, рис. 12.2).
12.2. Алгоритм определения упруговязких
_
и упруговязких-вязкопластических деформации
Рассмотрим алгоритм определения пластических дерормаций с
учетом возможного развития упруговязких деформации. Для опи
сания упруговязких деформаций может быть использована любая
подходящая модель упруговязкости. Остановимся на модели стан
да тного упр у говязкого тела, алгоритм решения к~торого предло:
ж:Н в. Н. Ломбардо [3]. Уравнения стандартнон упруговязкои
среды записываются в форме (см . лекцию 9)
·
2G' ('еит + е_и).}
T ret S;;.+ s;;= е "" ·~:; ret e:~v'
Тrei(v)O + <J = Коо(€,, Тrel(t•)+Е,, ) ·
( 12.17)
Из первой строки ( 12.17) следует анал_огичное уравн е ние для вто
рого инварианта девиатора напряжении :
T,e1a; +<J; =G::Ю (Trelёf"+ef'').
(12 . 17а)
Заменим дифференциальные уравнения ( 12.17) их кон е чно-раз
ностными аналогами:
525
т Sij(t)- Sij(t -~ \ 1)
геl
1'1!
(12.18)
Тогда для инвариантов a;(t) и а, можно записать соотношения
+Ge 1'11 [Т 'et• +(eu +лt'ev)]
IJi(/ - \/)
00 --=г:;-
гetei(l) e ;u - с\ 1)
u ei(l) .
IJi (t) =
1+~
T re/
( 12.19)
+к<' 1'11 [Т
'ev +(си +At·,.v )]
G(t- \1)
.:Х, -Т-- ret (v)fv( t)
f,,(l- ~1)
u 1: 1,(1)
rl'l(v)
Из соотношений ( 12 . 19) видно, что по значениям напряжений
и упруговязких деформаций на предшествующий момент времени
(t-~t) и скоростям деформаций на момент t могут быть опреде
лены напряжения на момент t.
Соотношения ( 12 . 19) могут быть использованы такж_е дл~ опре
деления инвариантов фиктивного те нзора напряжений а; и а .
Действительно , запишем очевидные соотношения
( 12.20)
в виде конечноразностных аналогов :
( 12.21)
С уч етом этих уравнений ра з ностные аналоги формул ( 12.19)
можно представить в виде
526
ii.
~.....
11
i1'
tJ
1.
i
\.
\
i
_l_•G"т".,(.+еи +"t.)
_
_
(fi<t -- \/)) =-- = --=г:;- <'i(t) е,с, - ~~) u <'t(tJ
J
G,(l)- L-
"1
-
1+-"-
T ref
G::, ~(1+~) мyr
Т ,(',
Т ,(.,
(12.22)
Первое слага е мое правых частей соотн оше ний ( 12 .22) представ
ляет собой выраж е ние для инв а риантов те н з ора фиктивных напря
жений а; и а, полученное в предположении , что на шаге М при
ращений пластич еских деформаций не произошло . Эти значения
следуют из общих соотношений в пред положении ~ ~: 7f =0. Тогда ,
учитывая, что ~ е;·r =~Л, и ~Е ~" =k,~Л , , и в соответствии с (12.22),
исти 'н ные инварианты тензор а напряжений а; и а можно записать
в форм е , соверш ен но аналогичной (12.13) :
где
а=а_- К''~~;~Р.=а=- К"k:~Л,; }
а;=а;-G·~ei"=а;-G~Л,,
К"=Кь
l +1'11 / Т ,_,(,·!
[ +1'11 / Т се/(;>) '
l +М/Т,.,
l+ЗijT,..t
(12.2 3)
( 12.24)
Как это следует ИЗ (12 .23) и (12.24) , при T re t =Tret =Trel(u) =
=Т геt(и) =О и, следовательно, G::, =Go=G" и к::, =Кь =Ке мы при
ходим в точности к соотношениям (12.13).
В условиях, когда запаздывание прои сход ит только дл обрати
мой части деформаций (для случая упруговязкопластич ес ких дефор-
527
маций), алгортм решения полностью совпадает с изложенным вы
ше, т. е. могут быть использованы формулы (12.13- 12.16), но
только с заменой разгрузочных модулей Ge и к е соответственно на
модули G " и К " по соотношениям (12.24). В случае, когда запазды
вают не только обратимые деформации (упруговязкие), но и остаточ
ные (вязкопластические), алгоритм меняется только в части опре
деления пластических модулей dЛ,. При рассмотрении вязкопласти
ческих деформаций, как об этом подробно говорилось в лекции 10
исполь зуется ассоциированный к мгновенной поверхности нагруже:
ния закон пластического течения . Принимая мгновенную функцию
нагужения, например, в виде, данном уравнением (10.10б), и под
ставляя соотношение ( 12.23), получим для определения dЛ,
X ~JЁ.IIlill)
м
'
.
( 12.25)
Трансцендентное уравнение для определ е ния дЛ , на основании
( 12 .25) можно записать в краткой форме
дЛ, =А,-В, lп (СдЛ,) ,
где вв едены обозначения
А a;+k, a- c,
r=
---'------:--
G'' +l\'' k;
1]оор {\~
G'' +K''k~
v Г+Е
(12.25а)
( 12.26)
Отметим, что для упрощенного варианта модели коэффициент
вязкопластичности ч. зависящий от накопленных деформаций вязко
пластичности, принят пропорциональным функции упрочнения
р( vp
up)
В
Ev'е;
," т . е. Ч = Чо · р. этом случае соответствующие участки
мгновенном и стабилизированной поверхностей нагружения парал
лельны .
В уравнении ( 12.25а) все величины, кром е дЛ,, известны, что по
зволяет вычислить искомые значения дЛ, любым итерационным ме
тодом. В работе [4] подробно описан алгоритм определения упруго
вязких и вязкопластических деформаций пр~менительно к модели
вязкопластического теч е ния льда. Мгновенная поверхность сформу
лирована в форме, позволяющей прогнозировать прогрессирующую
ползучесть (см . формулы (10.20- 10.22)). Подставляя в (10.22)
528
соотношения ( 12.23), получим уравнение для определения пласти
ческого параметра дЛ типа ( 12 . 25а)
дЛ =А-В lп (СдЛ),
где введены обозначения
o; -(c~-<Jtgcr~ )(l+ 1\J~~))
А= ---------.,.------,-.c..:.,...;,..---
G''+К"tg2ер*(1+ ~)L
00
1jJ (t)
С=---
e,*At
( 12.27)
В заключение в краткой форме ещ е раз рассмотрим методику
учета вязкоуnругих и вязкопластических деформаций по nредл агае
мой математической модели грунта.
Пусть из решения на предшествующих шагах расчета нам извест
ны следующие величины.
1. Напряжени е Gii(l- ~~ ) на момент времени t- дt .
2. Уnруговязкие деформации Ef/(1- l t ) , накопл е нны е за предшест
вуЮщий период времени.
·
3. Скорости полных деформаций Ё ;i на данный момент времени,
вычисленные по скорости перемещений на момент врем е ни t.
4. Параметры уnрочнения W i(l - 11). w ,,(t - .~t ). ЕЦ't - 11), накопленные
за nредшествующий период вр е мени.
Задача состоит в том , чтобы, исnользуя сформулированную
модель грунта, вычислить значения компонент напряжений Gij(l) и
значения приращений компонент деформаций дefiCn, д~.:Yfct) .
В настоящее время суще ствует обширная литература по вычис
лительным методам математической физики, сколько-нибудь подроб
ное з накомство с которой в рамках курса лекций по механике грун
тов не пр е дставляется возможным. Ниже будут рассмотрены только
отдельные вопросы, освещение которых необходимо для nостроения
алгоритмов опред еления вектора nолных деформаций nрименитель
но к грунтовым средам. Ос новные принципы nостроения таких алго
ритмов nроиллюстрируем на решении краевых з адач для однофаз
ной грунтовой среды. Решение краевых з а дач в условиях статиче
ских воздействий сводится к интегрированию с истемы уравнений
G i j.j+pX;=O ,
(12.28)
где р - плотность; Х;=- 6; 2 g; g - ускорение свободного Падения,
529
направленное вдоль оси ( - х 2 ) (в случае действия объемных сил
вызванных з емным притяжени е м). Индексы i и j пробегают знач е ~
ния1.2,3.
Система из трех дифференциальных уравнений (i = 1, 2, 3) дол
жна решаться при задании граничных условий:
-
на части поверхности L" задаются перемещения
( 12.29)
-
на части поверхности Lp задаются поверхностные нагрузки
q;,. =anv;.
(12.30)
Здесь <J;;"- напр яже ния ; vi - направляющие косинусы внешней
единичнои нормали к поверхности Lч. Краевые условия ( 12.30)
иногда выражают в функции перемещений.
Для изотропной упругой среды
Ч;,= 2~t"ui:(VJ·+ 11" ( L(·- ue ·)V·+'"~"v·
.
r-"'
J.l
l,J J
л с..~, l
или
Здесь, как обычно, wj;=0,5(u1, 1
-uj,; )- кососимметричный
вращения; u; ,,. -
производная по нормали.
Для изотропной неупругой среды граничные усJювия
можно представи11-. в виде
( 12.30а)
тензор
( 12.30)
IJ;, . = 2/!" LI;, , + 2~t"W;;Vj + Л.ес:,,v- qr,.,
( 12.30б)
где i]f,. -
фиктивная поверхностная нагрузка, равная
qf, = 2~t ' 'tJf, + 2~t"w~vi + A"E~V;.
( 12.30в)
Иногда на границе известны значения w11 и s,.. Тогда граничное
условие (12.30б) будет аналогично условию Н е ймана:
1
-
U;' =2';:( (q ,, +Ч f', -2~t "w;1v;-Л."ё.,v;).
( 12.30г)
Заметим, что интеграл от Ll ;, , по поверхности L должен быть
равен нулю, а нагру :щи, действующие на тело, должны удовлет
ворять условиям равновесия тела V как абсолютно твердого.
Пусть, далее, для рассматриваемого однофазного грунта харак
те~на однозначная свя з ь м е жду компонентами тензоров напряже
нии и упругих деформаций:
а;; = нrjklrz,.
Тогда, учитыв~я. что ~·r1 =ё11 -ё!j=0,5(lJ ;,1 +u11 ) -~:У,
систему уравнении ( 12.38) в виде
1
(12.31)
перепишем
530
( 12.32)
( 12.33)
'
'
2-
где \72
-
оператор Лапласа, равнь!.Й \l =д;д ; =д1д1 +д2д2+д о д э ;
i и j пробегают значения 1, 2, 3; Н-вектор фиктивных объемных
сил, равный
( 12.34)
Здесь нf- комnоненты вектора остаточных перемещений. В
случае, когда восстанавливающиеся деформации подчиняются
иному закону, например закону упруговязкости Кельвина- Фойгта,
определяющие уравнения которого
{а;;=2~t::, (10[(' + Tгet f.f{ ) + б;;'А::, (~:fj" +аТгet(cJef;");
а=~(~-~) к:, ,
'
т ,.,и
т ,.,,,,, Л. ';.,
(12.31а)
дифференциальный оператор Ц" (u;) принимает вид
Цv(...) = /!;:., б;j[\72+Тretд1\l
2
] +(/!;:., +Л.;:,)Х
[
fl:" +аЛ.:, Т
дддJ
Хд;д;+ееret(v)1ij·
floo +Л.oo
(12.33а)
Напомним, что по повторяющимся индексам nроизводится сумми
рование. Объемная фиктивная сила в этом случае равна
Ff= La'' (uf j.
( 12.34а)
Изложенное выше позволяет сформулировать следующую nо
следовательность действий.
1. По формулам (12.14) или формулам типа (12.25) с учетом
выражения ( 12.24) вычисляются значения L'-Л.г.
2. По формулам ( 12.23) находятся истинные значения коор
динат точки (а;; а 1 на поверхности нагружения.
3. По формулам (12.15) или (12.15а) оnределяются значения
компонент тензора напряжений, соответствующих точке (а;; а j и
необходимых для nолучения скоростей на следующем временном
шаге.
4. Суммированием найденных по ( 12.6) nриращений инвариан
тов пластических деформаций определяются значения w;, Wu для
следующего временного шага.
В приведеином выше алгоритме определения пластических и
упругих деформаций грунта (лекция 12, п. 1), а также алгоритме
определения упруговязкопластических и упруговязких-вязкопласти
ческих деформаций (лекция 12, п. 2) принималось, что положение
nоверхности нагружения за время L'.t не изменяется. Однако в про-
53!
цессе активного нагружения поверхность нагружения непрерывно
изменяет свое положение. Учет этого факта позволит снизить влия
ние ошибок округления при вычислении параметров упрочнения.
В такой ситуации возможно использовать уточненный алгоритм ра з
деления общих деформаций на восстанавливающуюся и невосстанав
ливающуюсf\ составляющие.
1. По формулам (12.4) или формулам типа (12 .25) с учетом
выражения ( 12 .24) вычисляется первая оценка з начения L'lЛ ,.
2. По формулам типа ( 12.23) определяются промежуточные зна
чения инвариантов тензора напряжений (рис. 12.1 , б) :
ai = Oi- EJGfl).,;
ai =о- О Kk,bl,, .
В этих выражениях под G и К следу ет понимать либо разгру
зочные модули G " и К" (алгоритм определения пластических и упру
гих деформаций грунта), либо модули G'' и К '' (алгоритм опреде
ления упруговязкопластических деформаций грунта), определяе
мые соотношениями ( 12.24) . Величина параметра 8 выбирается
в интервале О< О~ 1 и определяет количество итераций n на каж
дом временном шаге L'lt.
3. По формулам ( 12.15) или ( 12.15а) определяются значения
компонент тензора напряжений, соответствующих промежуточной
точке 1ai; о' \.
4. Суммированием найденных по (12.6) либо по (12.12) при
ращений инвариантов nластических деформаций определяются уточ
ненные значения параметров упрочнения Wi; w,. :
Wv =W,, (t-flt)- fl(!),,;
wj= (t)j(t- St) + L'llt)j.
5. Для n =F 1 можно получить оценку погрешности итерацион
ного процесса при определении пластических деформаций:
б=I(MPiJ" - [M:filп - 1 1<10-
4
-7-- 10-
5
.
При определении вязкопластических деформаций:
..:_ II·'""PJ I"<· ''P\ 1 < I0-
4
•
I0-
5
u- U.vi.l п-L1LiJJn- 1
---;-
.
6. Если погрешность б превышает допустимую и лимит итера
ций не исчерпан, последовательно вычисляются полные прираще
ния перемещений, деформаций и напряжений, определяется новый
тензор фиктивных напряжений, затем получается последующая
оценка значения L'lЛ, (пункт 1) , и цикл вычислений повторяется
снова. В противном случае осуществляется переход к следующему
временному шагу.
Так, шаг за шагом находятся накопленные значения упруго-
532
вязких и вязкоnластических деформаций и комnоненты тензора на
пряжений. Для р е ализации указанного алгоритма существенным
моментом является оnределение на каждом временном шаге компо
нент вектора скорости полных перемещений , а следовательно, компо
нент тензора полных скоростей деформаций. Только в этом случа:
возможен переход к сл едующ е му шагу - - разделению деформации
на восстанавливающуюся и невосстанавливающуюся части и опре
деление напряженного состояния. В следую~их пунктах nриво:
дятся алгоритмы численного решения основнои системы уравнении
в перемещениях, nозволяющие на некотором ~аге итераuионного
процесса определить вектор nолных nеремещении по известным зна
чениям комnонент наnряжений , остаточных и восстанавливающих
ся частей компонент тензора скоростей деформаций на предьщу-
щем шаге.
12.3. Основные принtlипы построения
алгоритма определения вектора полных перемещений
12.3 .1 . Вводные замечания
Правая часть уравнений ( 12.32) представляет собой соответ
ствующие компоненты_некоторого вектора об:емных сил, обозначае
мые в дальнейшем Н. Система уравнении ( 12.32) может быть
теперь пере~исана в оnераторном виде:
LfJ(ti,\= FP- pXi,
( 12.32а)
где Ц(ui) - дифференциальный оператор вида
LfJ[ ui\ =~t " бii'V 2 (ui) + (Л"+~t")vivi(llj),
(12.33)
где \7 2 - оператор Лапласа, рав~ый
'V
2
==vivi=VJVJ +v2v2 +vзv з;
i и j пробегают значения 1, 2. 3; F1'- вектор фиктивных объемных
сил, равный
F-p- (Н ..
,,).-
L''[ Pl
i-
tjklfkt .J- 1) u, 1.
( 12.34)
Здесь ui' -
компоненты вектора остаточных перемещений .
В случае, когда восстанавливающиеся деформации подчиняют"ся
иному закону, например закону упруговя з кости Кельвина - Фоиг
та, определяющие уравнения которого
{
Gij = 2~~ (ё [/ + T,,.·t Ёi'() + б,/Л~ Щ{ + aT,,,иern;
а-~(1-~) к·;,.,
(12.31а)
-
Т rr'/( ~·)
T...f' /(,·1
Л~~ '
дифференциальный оператор LfJ'' (u, } принимает вид
L''''l \ е.<:["2+Т "2]+(е+Л"}Х
О1...
=
~00 Pij V
re/Vt V
~оо
оо
533
( 12.33а)
Напомним, что по повторяющимся индексам производится сум
мировани е . Объемная фиктивная сила в этом случае равна
F-r
_
Le'' (uPI
,-
о
tj·
(12 . 34а)
Аналогично находятся объемные фиктивные силы в случае иных
определяющих соотнош ени й упруговязкости.
Решени е системы уравнений ( 12.32а) можно получить , исполь
зуя итерационный проц есс и строя его следующим обра зо м. Пусть
на шаг е (п = 1) итерационного процесс а известны пластические
де формации c:fi·
Тогда и з вестны компоненты объемной фиктивной силы
f((п- 1)= (Hi'jil{l::~i(n-- 1)).j
и граничные условия (12.29) и (12.30а).
Из решения системы (12.32а) определяем компоненты вектора
полных перемещений на шаге (n), т. е.
( 12.32б)
Lt) 1 \ j - оператор, обратный оператору Lo( j, т. е. Lo
1
Lo= 1.
По значениям полных перемещений н а шаге (n) определяются
компоненты полных деформаций и с помощью алгоритма, изложен
ного в предыдущих п у нкт ах, находятся компоненты упругих и плас
тически х деформаций. При этом должны быть удовлетвор е ны гра
ничные условия по перемещениям ( 12.29) и по напряжениям ( 12.30).
Н а шаге (n) гр ан ичны е условия ( 12 .30 ) преобразуются к виду
(l2.30a) и (12.302), которые определяются в з ависимо ст и от фик-
тивных нагрузок qf, ..
_
Дале е находятся комп о ненты фиктивной объемной силы Ffc п) и
снова, в со ответ ст вии с ( 12.32б) , определяются компон е нты пол
ных пер еме щений на следующий шаг (n + 1) .
Итер а ционны й проце сс продо л жается, пока п о лный вектор сме
ще ния в двух посл едоват ельных итерациях будет отличаться на ве
личину, не большую той, которая назначается исходя из точности
расчета.
Отм етим, что указанный ит е рационный процесс, к которому
мы пришли ест естве нным о бразом, иног да назыв а ют методом упру
гих решений и л и методом перера с предел е ния сил. Достоинство е го
сост оит в том, чт о итер а ции иду т чере з правую часть, не изменяя
вид линейного оператора ц; 1 j. Схема итерационного процесса
в этом слу чае дл я общ е го не лине йнаг о операторного уравнения
L (uj=f
534
1t'}
- ~:f.i
11!"';
выглядит следуtощим образом:
t.ь(u " - un- 1J=f- L lu11- 1f,
где L 1 )-- нелин е йвый о ператор рассматриваемой систе мы; ц;
линейный опер атор рассматрива е мой системы, н е изменяющийся в
лроцес се итерационного счета; U п- I и 11 " -
приб л иж е нные значе
ния ра з решающе й функции на (n -1) и ( n) этапах итерационн ого
процесс а .
Для одномерного случая ит ера ционный проц ес с доп ус кает гео
метриче с кую интерпр ет а цию (рис. 12. 3, а). В отличи е от этого,
а
б
f
Un-1 Un
u
ц
Ри с. 12.3 . Геом етрическая интерп рета ция итерационных вычислительных про
цессов: а - мет од перера спределения с ил; б -- м е тод переменных па раме тр ов
может быть и с п ол ьзован итерационный проце сс, основанный на ме
тоде переменны х парам ет ров (м етоде Биргера). В этом сл учае н е
линейный опер ато р р ассм атрив ае мой с и стемы за меня ется линей
ны м L~, но на ка ждом ш аге итера ционного про1lесса этот оператор
исправляется, т. е. в этом случае говорят, что вычислител ьный
процесс идет через левую часть. Схема итерационного процесса
выгля д ит следующ им обра зом :
L~-1(u")= f,
и для од номерного случ а я он допускает геометрическую интерпр е
тацию, показанн у ю на рис. 12 .3, 6. В дал ьнейш ем будет использо
ваться только процесс, постро е нный н а методе у пр у ги х реш е ний,
поскол ьк у он оказ ался проще и экономичнее при практич ес кой р еа
лизации задач механики грунтов, а также е с т ес твенн ее связан с
общим алгоритмом опр едел ения пластических и упругих деформа
ций системы.
Изложенный итерационный процесс решения проблемы основан
на аналитическом (на каждом шаге итераций) решении неоднород
ной системы разрешающих уравнений ( 12.32а) с известной правой
частью. Однако во многих случаях реализация такого подхода
затруднительна из-за громоздкости и сложности получения анали
тических решений. В этих случаях целесообразно прибегнуть к
численному решению уравнений ( 12 .32), которое сводится в конеч
ном счете к замене этих уравн е ний векоторой системой линейных
алгебраических уравнений, а решение последней осуществляется с
помощью арифметических операций, реализуемых на быстродей
ствующих электронно-вычислительных машинах (ЭВМ). Здесь мо
гут быть отмечены два главных направления.
1. Замена разрешающих дифференциальных уравнений эквива
лентной формулировкой для кон е чной малой области (конечноэле
ментной формулировкой) и представление искомой функции в виде
комбинации заданных пробных функций.
2. Замена дифференциальных операторов приближенными алге
браическими операторами, а искомых функций - набором неизвест
ных их значен~й в отдельных точках области решаемой краевой
задачи.
Существует целый ряд способов первого направления с общим
названием «метод конечных элементов» (МКЭ), позволяющих найти
приближенное решение системы разрешающих уравнений. Общим
для этого направления является :
а) дискретизация расч етной области на m так называемых ко
нечных элементов с общим числом узлов, равным n;
б) представление искомой функции в виде комбинации задан
ных пробных функций
J
U;= .L a;;<p;(Xt),
(12.35)
j=l
где i - размерность искомой вектор-фvнкции; J - общее число сте
пеней свободы, равное прои з ведению Числа узлов n на размерность
искомой функции i; l- размерность пространства (например, в слу
чае плоской деформации пробная функция з ависит от д~ух пере
менных х,, Х2, т. е. 1 nробегает значения l= 1, 2).
Весовые коэффициенты а ,; вычисляются либо исходя из вариа
ционного принципа (nрямой метод Рэлея- Ритца) , либо -с исполь
зованием критерия малости оцJИбки, получаемой заменой искомой
функции U; ее приближением tJ;.
Второе направление, реализуемое использованием конечно-раз
ностньiх операторов, nолучило широкое распространение как метод
конечных разностей (МКР} и весьма подробно изложено Е обшир
ной литературе (например, (3 - 7] ). Так , в работе (3] детально
536
ff' ..
"
l
•·
...
рассмотрено применение вариационно-разностно1·о метода для ре
шения задач статики и динамики двухфазных грунтов , приведены
разработанные В. Н. Ломбардо необходимые алгоритмы, а тякже
дан анализ результатов расчета конкретных кра ев ых зад ач меха
ники грунтов.
Остановимся подробнее на первом направлении. Прежде всего
укажем, что решение дифференциальных уравнений
L"(Lt\= f,
(а)
где L"- линейный оператор; t1 - дважды дифференцируемые функ
ции, удовлетворяющие краевым условиям ; f- функции, удовлет-
воряющие условию ~ f 2 dL < оо ( функпни с ·конечной эн ергией), м о-
жет быть представлено в виде бесконечного ряда по собственным
функпиям оператора L" 1 ... f:
U=
~an
-'-'
./
.
1Liп,
)() Лп
(б)
где U 11 и ·;.,"- собственные функции и собственные значения опера- .
тора, т. е. L" (un[= Л"u". Собственные функнии удовлетворяют крае
вым условиям и ортонормальны. Коэффипиенты an- коэффициен
ты ра зл ожения правой части (а) в ряд по собственным функциям:
f= L anU,,.
Коэффипиенты разложения правой части 3 11 находятся по форму
лам скаляр~ого произведения*
X[r,
а"=) f(xt)Un(x,)dXt,
(в)
о
где х ,- nеременвые области интегрирования, изменяющиеся в nре
делах О~х 1 ~х1~. Скалярное nроизведение (в) nринято заnисывать
в более сокращенном виде:
an= (f, Un).
* Для nолучения фopмy ,lnl (в) дос таточно умножить леuую и правую части
равен с тва f( x 1) = ~ antJ "(x1) на собственную ф у нкцию u ", ( x1) и nроинтеrрировап ,
no обла с ти О :;;;;; х 1 :;;;;; х 1 ~. Учитывая, чт о собс тве нные функции ортонормальны, т. е .
Хе:.
) u"(Xt)Um(x,)dx,=б"m= {
о
11олучим форм улу (в) .
537
1 nри n=m
О при n =;Ьm'
Тогда решение (б) записывается в форме
_
.. ..,
(f; u")u"
U-L
-'-----:-
. -'--
со
А11
(г)
Можно показать, что аппроксимация Ритца представляет собой
проекцию точного решения
N
U=~
О=(
(f, u")u"
л"
на подпространство, натянутое на первые N собственных функций .
Замена бесконечномерного пространства функций последователь
ностью конечномерных подпространств с элементами этих подпро
странств, называемыми пробными функциями,- это одно из глав
ных з веньев метода Ритца. Второ е звено - вариационный прин
цип -будет рассмотрено ниже, в п . 12.3.3.
В реальной задаче собственные функции точно неизвестны, по
этому искомую функцию u пр едставляют в виде комбинации задан
ных пробных функций . Формулой ( \2.35) дается приближенное
представление вектора
{u;}= [~~ ].
uз
Для областей со сложной геометрией в качестве пробных функ
ций cpi (х 1 ) выбирают кусочио-полиномиальный функции . Для этого
~ся область р а збивается на конечные элементы, в пределах каж
дого из которых вектор-функция представляется в виде ( 12 .35).
Почти сорок л ет назад Р . Курант [8] предложил для решения
вариационных задач использов а ть в качестве пробных функций
кусочио-линейный функции, а в качестве конечных элементов на
плоскости - просты е треугольники . Внутри каждого такого эле
мента три коэффициента функции
U= <Х1 +<Х2Х1 +<ХзХ2
однозначно определяют с я з начениями u в трех вершинах треуголь
ника. Это означает, что функцию удобно задавать через ее узловые
значения. Кроме того, в пр еделах элемента гради ен ты пробных
функций по координатам постоянны, непрерывность же функции
u; на стороне тр е угольника гарантируется непрерывностью в вер
шинах (узлах).
В общ~м случае пробная функция nлоского (l= 1, 2) конечного
элемента ufhJ может быть представлена в форме полного nолинома
от двух nеременных х1 и х2:
ufh) = <Х1; + <Х2;Х; + <Хэ;Х2 + <Х4;Х1 Х2 + <Х5,ХТ + <Х5;Х~ + ..., (\2.35а)
538
а и з начения коэффициентов зависят от тиnа
где число . членов ряд
( 12 35 а) могут быть выра-
а Коэффициенты ряда
·
конечного элемент .·
-
(h)
эл'емента которые в
жены через значения функции- У, в узлах
'
Д flЯ ком-
дальнейшем буДем обозначать u~(k), где k- но~ер уз"1а.а :ие све
пактной записи пробной функции нам поиада ятся кр т
дения из матричной алгебры .
12.3. 1.1. Математическое отстуnление
Матрица определяет~яс~ра~к~р~м~~~~~~:~~IЙМма~~сии:ач~~~:;~:а~~~~
волов, упорядоченных
{А]= {a;i] =
....
......... .
.·
(а)
aml 3m 2 .. ........ amn
в форме
[ ::: ::: :::::::::: :::j·
Нижние индексы i и j указывают соответственно i-ю строку и
.-й
столбец. Матрица (а) имеет порядок m Х n ( m - число стр) о к~
J_
столбцов). Матрица-столбец имеет порядок (m Х 1 ,
n
число
-по я ок ( 1 Х n) . Квадратная матрица имеет раБ-
матрица-строка р д б (m Х m) Матрицы подразделяются:
ное число сторок и стол цов
.
_
единичная матрица {l] имеет элементы
диагональная матрица, у которой все элементы вне диаго
нали равны нулю; диагональная матрица может быть записана
в виде
[а.11 О ОJ
о <Х22
о;
(б)
[D]=ОО
<Xm n
е иенулевые элементы в полосе вдоль
-
ленточная матрица име т
главной диагонали
[А]=
а11
а21
о
о
о
al2
а22
a:J2
о
о
оо
32:1 о
а:Jз аз4
о
о
о
о
о
о
...
о
о
о
о
3n-1,n- 2 .an-\,n-1
О
Эп.п- 1
о
о
о
an-l .n
апп
(в)
треугольная матрица имеет нулевые элементы либо под глав-
539
ной ди"агональю (нижняя треугольная матрица) [LJ ), либо над
главнон диагональю (верхняя треугольная матрица) [UJ);
-
~имметричная матрица [А] -это квадратная матрица, для
котарои справедливо соотношение
a;i=ai, для всех i и j;
(г)
-
для кососи.ttметричной матрицы справедливо соотношение
О,приi=j
.
a;i. при i=1=j '
-
блочная матрица- матриr~а. разделе нная на
(д)
подматрицы:
(е)
След и определитель матриц являются числами, характери
зующими квадратную матрицу.
Определитель матрицы [А] размера n Х rп обозначается det [А]
и вычисляется по формуле
n
det [А]= 2:: ( - 1)'+ia,1det [AiJ,
.
i=l
(ж)
где I- ном,ер стр~ки матрицы [А]; [a,iJ -- элементы матрицы [А];
[A,I] - ма1 риц31 размером. (n- 1) Х (n- 1), получаемая из [А] вы
че ркиванием r-и стро ки и J-го столбца. Укажем полезную форм~лу
вычисления оnределителя произведения матриц:
det([A] [В] ... [F])=de t[A]de t[B] ... det[F].
(з)
След матрицы [AJ обозначается tr[AJ и вычисля етс я по формуле
"
tr[A] = "5' а·
~
u,
i=l
(и)
т. е. равен сумме ее диагональных элем ентов. След матрицы н е
зависит от е~ вн едиагональных элементов, а определит ель явля
ется функциеи всех элементов матрицы. Сложение и вычитание
матриц определяются как сло жени е и вычитание соот ветствующи х
элементов. Указанные операции возможны для матриц одного по
рядка
[CJ =[А]+ [В],
где элементы матрицы [С] задаются равенством
c,i = a,i+b,i-
(к)
540
',
1..·~.-·••l.
'
•
' 'J'
\..
''.
\
"11
'"
Действия сложения и вычитания подчинаются закону коммутатив
ности и ассоциативности.
Умножение матрицы на скал яр оnределяется как умножение
каждого Э Ji емен та н а скаляр. Перемн о жени е дв ух м а триц оnреде
ляет ся формулой
[С]= [А] [В];
(л)
И з форму J1Ы (л) (см. дал ее ) сл едуе т, что число столбцов мат
рицы [А] долж но совnадать с числом строк матрицы [В]. Мат
рицы , удовлетворяющие этому услов ию, на зываются согласован
ными . Операцию умножения можнn распро ст ра нить на про изведе
ни е более ч е м двух матриц. К nрсн!3 ведению матриц nрим ен имы
законы ассоциативно сти и д и ст рибут11вн ости, но в общем случае
пер ем ножени е не ком мутат ивно . т. е.
[А] [В] =1= [В] [А].
Обратной к квадра т ной матри1~е является матрица, которая
поС J1е умнож е ния н а исходную дает единичную матрицу
, [А]__,[А]=1.
.
Можно показать, что матрица, обратная [А] , существует, если
ее определитель det [А] отличен от н ул я. Матрица на з ывается син
гулярной. если ее опр ед елит ель рав ен нулю и 9на не имеет обрат
ной матрицы. Транспонировани е м матрицы [А] называется опера
ния, когда все строки меняются местами с соответствующими столб
нами , наnрим е р,
1
~~~~- ~~~ 1
[А] = а:11 а:~2
Симм ет ричная матриц а совп адае т со своей тр ан спонированной мат
риц ~й. Для кососимметричной· \1атрицы справедливо рав е нство
[А] 1 =-[А]. Транснониров а ние блочной матрицы пол у чается за
меной каждой подм ат rицы на транспонированную, а затем переме
ной строк и столбцов блочной матрицы. Транспонированная мат
риц а суммы равна сумм е транспонированных матриц слага е мых.
Тран с понированная матрица произв еде ния равна произведе нию
тра с п о ниров ан ных матриц сомножителей, взятому в обратном по
рядк е, т. е.
.')4]
Укажем также на формулу вычисления обратной матрицы от
произведения матриЦ
((А] (B]) - I=(B] - I[A]-1 .
Транспон~рованная обратная матрица равна обратной от транс
понированнои , т . е.
([А] --1)т = ( [А]т) - 1.
Обратная матрица может быть использована для ре шения си
стемы линейных уравнений
[А] (х}=(с}.
Реш ен ием этой системы служит вектор
(х}= [А] -l (с}.
Степени матрицы. Если n - натуральное число, то полагают
[А) [А) ... [А]= [А]".
н раз
Для степеней матрицы с целыми показателями справедливы
обычные правила :
[А}n[А}т=[А}п+m; ([A]m)n=[А}тп.
Может быть введена отрицательная степень по правилу
[А]-п= ([А) -1)".
Дифференцирование или инте грирование матрицы выполняется
дифференцированием или (соответственно) интегрированием каж
дого ее элем~нта. Например,
[А]= [a;i] и d[A] = [~]
dt
dt
.
При этом, если матрицы [А), [В], [С] согласованы, то спра
в едл ивы равенства
l) :t([А]+[В])= :t[А]+:t[В];
2) :t([А][В])=(:1 [А] )[В]+[А] ( ddt [В] );
3):t[А-1]= -
[А-1]( :t [А])[А-1].
Частное дифференцирование матрицы определяется так же, как
и общее . Укажем на часто употребляемые формулы
542
и
д~J ((С!ЭГI[А](Фl) =2 [А] (Ф}
д(~>тl ( (Фт }[А) (Ф}) =2 (Фт}[А ].
12 .3 .1 .2 . Функции формы
Вернемся теперь к общей за писи пробной функции (l2.35a ).
·. .-1 В матричной форме ее можно представить [
]
<Xil
[u- (l• )j-[l ·x ·x ·xx·x2.x2. ) а;2 •
'-.
1.· 2. 12.·1. 2. . ..
аг
( 12.35б)
- \/•)
где матрица [ufh)] = [ ~~h) ].
т
Обозна чая матрицу-строку [1 ; Xl; Х2 ; x lx2; хт; х~; .. .] = l<r il ==
= [Фj ) и матрицу-столбец [a;i] = [ а ; 1 ]. равенство (l2.35б) пере
а;2
пишем сокращенно:
[uf1'J ] = l<ril т [a;i] = [Ф,] [a;i].
( 12.35в)
Пу<пь координатами узлов служат х;щ, где i = l, 2 (размерность
плоскости, в общем случае размерность пространства i = 1, 2, 3);
(k) -- номер узла*. Применяя равенство ( 12 .35 в) к каждому из
узлов элемента, получим систему уравн е ний относительно элемен-
.
[1 **
тов матрицы a;i , т. е.
[uЧibl= [Фi(k)] [a;iJ; i=1. 2; j= 1. 2..... k.
Обращая матрицу [Ф i(k) ], реш е ние у ка за нной выше системы за пи
шем
[a;iJ = [a iCkJ ] [u~1bl.
где ai(k) - элементы матрицы [Ф i(k )]
-
l == [Ai(k)] .
В р езу льт ате пробную функцию конечного элемента можно пред
ставить в вид е
(12.35г)
* В дальн е йшем ном ер узла будет ука зыватьс я в ниж1 1ем индексе в скобке .
** Матрица [Ф ;( k ) ] равна матрице [Ф1] при х,, соотв етствующих значениям в
узлах эл е мента Xi(k)·
543
Обычно вводится так называ емая матриц а формы
[NckJ] = [ФiJ [AiCkJ].
( 12.36)
и тогда произвольмая пробная функция элемента записывается в
виде произведе ния матрицы форм ы элеме нта [N CI') ] на узловой век
тор элемента ~~~l J:
1Lif'I )J = 1N<M J 1~ЧikJJ.
(12.37)
Учитывая ( 12.36), соот ношени е ( 12.37) мож ем записать подроб- \i..·
нее:
[iJC'I)] = [N(/1). NU:;'· N(/1) . N (II) J
'
(1), l
(-)·
(.!) ,
...
(k)
\J (/(j )
uЧ(~J
11 (111)
(12.37а)
где k= 1, 2 , ... -ном е ра узлов элеме нта (h) в локальной системе
координ ат. Могут быть сформулированы общие требования, на
кладыв ае мы е на ба зисные фуню1ии формы [9, 10].
1. Базисные функции N7QJ обладают тем св ойством, что при
подстановк е коор д ин ат узла с номером (k) эт и функции равны
ед инице, а для остальных узлов они обращаются в н уль, т . е.
NVi}(x·)={1приj=kдлявсехi;
•Jl(;)
Оприj=Fkдля всех i.
(12.38)
2. Сумма базисны х функций :LNC(QJ должна равняться ед инице
"
в каждой внутренней точке элемента [9- 11].
~ NU11 -I
L. (11) -
.
( 12.39)
k~1
3. Число членов полинома ба з исных функций должн о совпа
дать с общим числ ом узло в элемента. Поря док полинома r связа н
с числом узло в элемента n за висимостью
n=0,5(r+ l) (г+2) .
Перво е требование очевидно и вытекает, из предыдущих соот
ношений, а второе связано с тем, что в случае, когда узловые зна
чения элеме нта оказываются равными между собой, интерполя
ционные уравнения должны приво д ить к постоянным значениям рас
сматриваемых величин внутри элемент а. Выполнение третьего тре
бования приводит к ~епрерывности пробных функций при переходе
через гр ани цу между элементами и, следовательно, по всей области,
где р е ша етс я задача . В качестве примера рассмотрим типичный
544
Рис. 12.4 . Типичный плоский треуголь
ный элем ент
-(h)
Х2(1) - -ifL--------~2~Uщl
(X1(2J;X 2(2J)
треугольный элем е нт, изображ е нный на рис. 12.4. Ном е ра узлов 1.
2 и 3 указаны в порядке , соотв етст вующем д вижению против часо
вой стрелки. Пробнан функция простого треугольного элемента вы
бирается линейной от двух переменных х, и х 2 :
(а)
где а, ,; а;2; а;э - постоянные.
Дл_я определения этих постоянных чере з з начения узлового век
тора u\'(k) запишем уравнения (а) для всех трех узлов:
uCf(1 J=a
11
+а12х 1с 1J+а,зх2(1'} luCf(i J] l1x, c, Jx2( 1J \а"]
U~~~)=a;l +а1 2Х1(2) +а1зХ2(2) ИЛИ U~1~) = IX!(2)X2 (2) а;2 . (б)
ulf(j) =а;! + а;2Х ! (З) + а1зХ2(:J)
u\'(1)
1Хi(З)Х2(3) a i:J
Система уравнений (б) относительно a,i им еет единств е нно~ реше
ние , поскольку определитель матрицы коэффициентов всегда отли
чен от нуля:
X! (l) Х2(1)
L'1 =
Х! (2) Х2(2 )
х !(З) Хz(З)
где tl - площадь треугольного элемента h. Решая (б), получим
1(
- (11) "+
- (/1) + -(/1)
а;,=~ a, ( i)U i(l) a1(2)LI ;c2) a l(з)Ui(З);
(в)
18. Зак. Ne 51
545
Здесь a1c1J= Х1(2)Х2р) - Хl(э)Х2(2); а21 11= X212J - X2(:J); азс1)= X1(:J;- Xl(2);
остальные элементы матрицы [a ,,in] nолучаются путем цикличе
ской nерестановки индексов. Подстешим (в) в (а), это дает сле
дующее представление ч е рез базисны е функции:
или
GY'J= 2~ [(al(l)+а2(1)Х1 + a:J(I)X2)t!Чn)+ (а1(21+ а2(2!Х1+
+ аз(2JХ2) u(/(~) + (а11J)+ а2(з)Х1 + аэп1Х2)uCf(~)~
uЧН )
ulfl~~
u'/iJ\,
(г)
что соотв етствует ( 12.37а). Можно уб ед иться, что м а трица ба з ис
ных функций [N YVJ] определяется обще й форму .~ой ( 12.36). Де й
ствительно, на основании (12.36) име е м
1
a l(l) 1:"
[N <t·~ ~J =-
2
1
-[1; Х1; х2] а2(1) =al(l)+a2(1)x1+aзc1JX2.
Л
аз(l)
Кусачно-линейная функция формы, рассмотр е нная в данном при
мере, пр едполагает постоянство градиента этой функции внутри
каждого элем е нта . В связи с этим аппроксимация быстроменяю
щейся функции связана с использованием большого числа малых
по величине треугольных элементов первого порядка .
Важным моментом при использовании МКЭ является выбор
формы и типа конечного элемента как с точки зр е ния получ~ния ре
шения с з аданной точностью, так и с точки зрения лучшеи аппро
ксимации расчетной области. Наибол ее простой и в то же время
универсальной формой элемента является треугольник . При локаль
ной аппроксимации расчетной функции на конечных .элементах
каждый элемент можно считать изолированным от всеи совокуп
ности элементов, и nоэтому возможно аппроксимировать расч етную
функцию на элементе с помощью ее з начений в узлах н ез ависимо
от поведения функции на других элементах . Искомая функция
может быть представл е на линейным, билинейным и т. д. полино
мом (рис. 12.5). Каждый новый элемент более вы сокого nорядка
характеризуется увелич е ни е м числа у з лов и повыш е нием точности
аппроксимации расчетной функции. Число таких эл е ментов, н е об
ходимых для получ е ния доста точно точного реш е ния , будет быстро
уменьшаться.
При исnользовании сложных эле ментов значительно сокраща
ется время nодго то вки исходных данных. Один элемент второго
546
!.~~.·.·J;, .
\
.>·
..
'
l
1r'·· ·
"
t
l.
r
{,
1
а
5
х,
H1J
j=(2}
х2
о
х~
о
Xt
Рис. 12 .5 . Треугольные элементы для расч е та плоского деформированного
состояния грунтовой среды: а - треугольный эл ем е нт первого порядка; б
треугольный элемент второго порядка
порядка заменяет четыре элемента первого порядка, кроме того,
координаты дополнительных узлов легко определяются путем вве
дения подпрограммы интерполирования.
Сравнение результатов показывает, что при одном и том же
числе · степеней свободы использование сложных элементов значи
тельно повышает точность расчета, однако оно сопровождается уве
личением ширины ленты матрицы коэффициентов разрешающих
уравнений, что часто делает нецелесообразным riрименени е элемен
тов, сложность которых выше второго порядка.
Система н.ормализован.н.ых L-координ.ат
Получение системы уравнений для узловых неизвестных в ме
тоде конечных элементов включает интегрирование по площади эле
мента функций формы. Интегрирование может быть упрощено,
если интерполяционные соотношения записать не в глобальной си
стеме (х;) координат (как было записано выше), а в системе,
связанной с элементом, так называемой локальной системе. Ло
кальные системы координат могут быть выбраны различным обра
зом. Наиболее предпочтительной является нормализованная систе
ма L-координат, иногда называемая еще естественной системой
координат .
Эта система определяется относительными величинами L1 , L2,
L3 , изображенными для треугольного плоского элемента на
рис. 12.6 . Координаты т. М элемента могут быть интерпретированы,
18*
547
Рис. 12.6 . Система нормализованных L-
координат треугольного элемента
2
как величины, определяемые отношениями площадей треугольников,
изображенных на рис. 12.6, к площади всего элемента S = ЬН/2,
т. е. L,=S,jS; L2=S2/S и Lз=Sз/S. Обозначения ясны из
рис. 12.6 . С очевидностью следует, что определенные таким образом
координаты подчиняются зависимости
( 12.40)
Перечислим свойства L-координат:
а) координаты L,, L2, L 3 являются функциями глобальных коор
динат х; и представляют собой базисные фуf:!.кции формы N 1, N 2,
Nз. Иными словами, аппроксимация вектора u)hJ может быть запи-
[
Li\~J) j;
U(lz~
[u)hJ] = [L,; L2; Lз] u~1;~
сана
(12.41)
б) координата L, равна единице для узла с номером 1 и равна
нулю для остальных узлов. Подобное правило справедливо и для
других естественных координат;
в) в общем случае элементные вклады содержат интегралы
вдоль сторон элемента и по его площади [9]:
\ LaUdL =
а!Ы !-- ·,
)12~ (a+b+l)-
~
( 12.42)
ь
а!Ыс!
ЦL2L~dS =
2S.
(а+Ь+с+2)
Выше иннмание было сосредоточено на соотношениях, харак
терных для некоторого элемента. Большую детальность изложен-
548
нога материала и технику включения элемента в область можно
найти в литературе, например [9-12]. Укажем лишь, что приме
нение уравнения ( 12.37) к элементам системы во всей области по
зволяет записать интерполирующую функцию в области, как сумму
( 12.43)
где т- число элементов. Уравнение ( 12.43) можно переписать в
форме
u;= [N] [u;(k)],
( 12.43а)
где U;(k)- узловой вектор системы, а расширенная (глобальная)
[N] = ~ [N\hJJ].
( 12.43б)
tt:.: .= i
12.3.2 .. Метод взвешенных невязок
Перепишем систему разрешающих уравнений ( 12.32а) в виде
Ф(u;) -Lьju;)- (Ff-pX;) =0.
( 12.44)
Пусть приближенным решением ( 12.44) служат функции u;. По
грешность, или невязка, R; для уравнений (12.44) будет равна:
R;=Ф(u;) -Ф(u;).
Поскольку справедливо равенство ( 12.44), для невязки получаем
простое выражение
R;= -Ф(u;).
(12.45)
С приближением аппроксимирующего решения u; к точному
U; невязка R; стремится к нулю. Основная идея метода невязок
состоит в том, что взвешенный интеграл по области
) wчr (R;) dV-+min,
( 12.46)
v
т. е. должен удовлетворять некоторому критерию малости. Здесь
W- весовая функция; чr (R;) - некоторая функция невязок.
До сих пор ничего не говорилось об удовлетворении граничных
условий. Разрешающая система уравнений ( 12.32а) дополняется
граничными условиями двух тиnов:
на части границы области ~Р заданы поверхностные нагрузки
<J;jПj ~~" = р~;;
( 12.47)
-
на части границы ~n заданы перемещения
549
( 12.47а)
Отметим, что полная поверхность 1: равна 1:=1:р+1:и. При
ближенное решение системы (12.44) в общем случае удовлетворяет
граничным условиям с некоторой ошибкой, т . е.
Рп;- р~;= Гр=;60 на 1:р;}
U;-UT=ru=FO на 1:u.
(12.48)
Эти ошибки следует распределить по границе, сделав их как
можно меньшими. Требование минимума взвешенного интеграла
по области ( 12.46) в общем случае следует дополнить, переписав
его в виде
) WW(R;)dV+) WW(rp)d1: +) WW(ru)d1:-+min. (12.46а)
v
l:p
l:,
Выбор весовой функции и функции невязок определяет содер
жание конкретного метода .
· 12 .3 .2.1 . Метод Бубнова
-
Галеркнна
Метод впервые был сформулирован И . Г . Бубновым в отзыве о
работе С. П. Тимошенко «Об устойчивости упругих систем»
(сб. Санкт-Петербургского института инженеров путей сообщения,
вып. 81, 1913, с. 33-36) как требование ортогональности искомой
функции и дифференциального уравнения, в которое подставлено
выбранное представление для искомой функции. Он применим к
любым дифференциальным уравнениям, а идея метода развита и
реализована для решения широкого круга задач Б. Г. Галеркиным.
Нетрудно заметить, что метод Бубнова - Галеркина является част
ным случаем метода взвешенных невязок, в соответствии с кото
рым указанный выше взвешенный интеграл по области равен нулю:
) WW(R;)dV=O,
v
весовая функция принимается равной базисной функции формы,
ачr(R;)=R;,т.е.
) N(k)Ф (u;ckJ ) dV =О,
(12.49)
v
r.де k= 1, 2,
... , n - номера узлов, т
-
общее их число; U;(k)-
узловой вектор.
На основании (12.43а) уравнение ( 12.49) можем для системы
плоских элементов записать
550
l
h~l () N\h,/)Ф(u~~1))ds)* =О;
s
(12.49а)
Обозначая через Х\\~ элем е нтный вклад
Х\\)= ) N~QJФ(uЧ(kJ)dS
( 12.50)
s
и проводя необходимое интегрирование, nолучим
[X\'J/J] = [K~k) ] [u~7kJ] + [F<(QJ ],
(12.51)
где K\'l!J - матрица-строка ; u~1kJ - вектор узловых значений (h) с
узловыми номерами , указанными нижним индексом в скобках в ло
кальной системе координат.
Объединение элементных вкладов дает k-e уравнение системы
~ [K\h,}J] [uЧ(kJ] + ~ F~VJ=O
( 12 .52)
11= 1
11= 1
или
[K(k)] [u;ckJ ] + FckJ=O,
( 12.52а)
где матрица-строка [K (k)] формируется расширением [K \hk) ] до
размеров системы и сложением расширенных матриц, а [FckJ ] полу
чается как сумма [F~J,) ]. Таким образом, матричное уравнение си
стемы, k-й строкой которого является уравнение (12 . 52а), записы
вается в виде
[К] [u;] + [F] =0.
( 12.53)
Указанный проц есс объедин е ния соответствует объединению по
узлам . Отметим, что матрица [К] симметрична только в случае
самосопряженной задачи. Более подробные сведения по методу Буб
нова - Галерки на можно найти в работах [11, 12] .
12.3.2.2. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов также следует из метода взвешен
ных невязок. В этом случае в ес овую функцию выбирают равной
единице, а функцию чr (R) nринимают равной R 2 и критерий ма
лости ошибки записывается
) R2 dV-+min.
v
Подстановка конечноэлементной интерполяции в R на основании
(12.45) nреобразует подынтегральное уравнение в функцию от уз
ловых параметров системы. Минимум функцианала сводится к ра-
551
венству нуля производных по всем узловым параметрам системы.
В результате приходим к матричным уравнениям вида ( 12 .53). В
методе наименьших квадратов матрица системы симметрична и поло-
жительно определена [13) .
-
12.3.3. Вариационный метод
В вариационном методе конечных элементов, в отличие от мето
да Бубнова - Галеркина, вместо системы определяющих уравнений
используется эквивалентная вариационная формулировка.
Как показано С. Г. Михлиным [ 14], решение линейного диффе
ренциального уравнения
(12.54)
соответствует вектору {u ;J, миними з ирующему квадратичный функ
ционал:
Здесь
мер,
I(u;)=(Lu;, u;)-2(F;, u;) .
( 12.55)
означает скалярное произведение функций, напри-
Xt'I.
(F;,U;)= ~ F;(x1)u;(xt)dxt,
о
гд е х 0;- граничные значения nеременных Xt.
Функции F; и u; вещественны. В случае же комnлекснозначных
функций в интеграле надо поставить над одним и з сомножителей
знак соnряжения.
Можно доказать и обратное утверждение, что уравнение L{u;J=
= F ; есть уравнение Эйлера [ 14), доставляющее минимум функцио
налу (12.55).
Таким образом, задqчи обращения оператора L, т. е. решение
уравнения ( 12.54) и;=L - '{F;J, и минимизации квадратичного функ
ционала ( 12.55) эквивалентны и решением дJ]Я них служит один
и тот же вектор (и;j.
Функционал ( 12 .55) с nомощью оnерации инт е грирования по
частям можно привести к виду, не содержащему вторых nроизвод
ных. Это значит , что 1 (u;) можно оnределить на функциях, у кото
рых nервая производная, а н е вторая (как для функций являю
щихся решением ( 12 .54)) обладает конечной энергией, т. е. подчи
няется условию [ 11] :
Xt~
~ [u;'(xt)] 2dx,<=.
о
552
'
Следовательно, класс функций, на которых задача минимизации
( 12 .55) имеет смысл, шире, чем для дифференциальных уравнений
(12.54) . На практике это означает , что минимум функцианала
можно искать не только на функциях непрерывных, но и в классе
кусочно-линейных, ибо их nервые nроизводные также обладают ко
нечной энергией.
Итак, пространством функций, допустимых при минимизации,
будет пространство, элементы которого имеют первые производные
с конечной энергией и удовлетворяют гла~ному краевому условию
u;(O) =0. Естественное краевое условие ui(xt) =0 выполняется авто-
матически (см. 12 .3 .3 . 1).
•
Пр и мер . Рассмотрим дифференциальное уравнение
L{uJ= [- ddx ( р ddx ) +q]u=f; О~х~л;
u(O) =u'(л) =0.
(а)
Построим функционал 1(u) = (Lu, u) -2(f, u) . По определению
скалярного произведения получим
л
n
(Lu,u)= ~ [-(pu')'+qu 2]udx=~ [p(u')
2
+
u
о
(б)
Если u удовлетворяет краевым условиям , то квадратичный функ
ционал принимает вид
n
I(u) = ~ [p(u')
2
+qu
2
- 2fu] dx.
(в)
о
Решением дифференциального уравнения (а) служит функция u,
минимизирующая функционал (в).
12.3 .3 .1. Граничные условия
При формулировке определяющих соотношений метода конеч
ных элементов важным вопросом является правильный учет гранич
ных условий. Чтобы удовлетворялись различные виды граничных
условий, требуется модифицировать функцианалы в эквивалентной
вариационной постановке задачи. Наиболее распространенными
граничными условиями являются так называемые граничные усло
вия первого, второго и третьего рода (иначе их называют гранич
ными условиями Дирихле, Неймана и Коши соответственно).
553
Граничные условия первого рода :
L
U;= U; при x1LE.I:u,
(12.56)
причем функция uf (x, L), как функция координат границы .I:u, зада
ется явно.
Граничные условия второго рода :
uf.п+<рТ =О на .I: u,
у
где 'Фi - функция точ е к части границы
. I:u,
вектора U; по нормали к границе .
Граничные условия третьего рода:
( 12.57)
2:
а u;.п - прои зво дная
uf.п +'ФT +afuT =O на .I:a,
(12.58)
где 'ФТ и af - известны е функции точек границы .I:a.
В вариационной постановке ра злич ают главные и естественные
граничные условия.
12.3 .3 . 2 . Математическое отстуnление
Рассмотрим экстремум функцианала
х,
I= ~ F(х,у,у!)dx,
(а)
Хо
где у'- nроизводная функция у (х) по х.
Для отыскания экстремума этого функцианала запишем выра
жения nервой вариации интеграла [ 15]:
Х1
Xz
Ы=[F.y'•бу] 1+ ~[F.y- ddxF.11
• ]буdх ,
(б)
Хо
Хо
где F. 11
•
и F.11
-
nроизводные функции F по у' и у соответственно.
Эта вариация должна обращаться в нуль. В случае, когда ищется
функция у(х), закрепленная на ее концах, т. е . nри у=у(хо) и
y=y(xi), и, следовательно, вариация бу на концах равна нулю ,
экстремаль должна удовл етворять уравнению Эйлера:
d
F. 11
-
~F.11. =0.
(в)
Внеинтегральный член в (б) также должен обращаться в нуль,
nоскольку и скома я кривая у(х) закреплена и ее вариация на кон
цах равна нулю: 611 =0. Это и есть главные граничные условия.
Положим, что ищется экстреli:!.УМ функцианала nри закреплении
левого конца 9>ункции при у= у (ха) и свободном правом конце,
т. е. на правыи конец ни ка кого условия не накладывается. В этом
554
случае при х = х 0 внеинтегральный член равен нулю , как и прежде,
а при х = х 1 из равенства нулю внеинтегрального члена следует
F.IJ)X=x, =0.
(Z)
Предельное условие, накладываемое на экс трема ль, связ ывает
между собой у и у'. Это пред ель ное условие носит на зва ние естест
венного граничного условия.
Полученный результат подска зы вает, как путем вв еде ния допол
нительных слагаемых, зависящих от знач ений функций на контур е
области интегрирования, изменить естественные граничные усло
вия, удовлетворения которых треб ует конкр етна я задача математи
ческой физики.
Рассмотрим функционал вида [15)
1=) (F(x; у; u; U, x; u.11 )dxdy+) Ф(s; u; t1 .5 )ds,
(12.59)
L
где s- длина дуги контура l, отсчитываемая от определ е нной точ
ки конту ра . Прои з водя обычные nреобразования, получим , что иско
мая функция u (х, у) должна удовлетворять уравнению Эйлера
Остро градского:*
д
д
F --F
--F -О
.u
дх ,u.x
ду .и.у -
( 12 .60)
При этом на контуре l должно быть вЫполнено естественное условие
( F.u.x ddy - F.u.y ddx) ll + ( Ф.и- _dd Ф.u.s) ll =О,
( 12.61)
s
s
s
где ddy (- ddx) - направляющи е косинусы нормали к контуру l .
s
s
Если дополнительный интеграл в ( 12 .59) принят в виде
)Фds= )ЧJ,(s)u;ds, т. е. Ф=ф;u;,
(12.62)
то н ет р уд но заметить, что предель ное условие будет им еть вид гра
ничного условия второго рода ( 12 .57) при
F=U~x+U~ц.
что соответствует дифференциальному
(см. 12 .55).
* Здесь запятая означает д ифф еренцирование.
dF
дF
дf'
f.u.x= д(~~);f.u= dU;fu.y= д(~~) ;
1
;. 18*
555
оператору L= U.xx + U ,yy
Например,
( -dtJ.
_du)
где F=F и;
dx·dy
Если же дополнительный интеграл принять в виде
~ Фds= ~ ['1\J;csJU;+ a;csJUtl ds,
(12.63)
то можно показать, что предельное условие прим ет вид граничного
условия третьего рода ( 12.58). Отметим также, что можно изме
нить естественные предельные условия путем добавления к подын
тегральной функции выраж е ния, не изменяющего уравнения Эйле
ра - Остроградского. Наприм е р, при добавлении выражения
А(х , у) +В(х, у)у',
такого , что А .у = В . х, уравнение Эйлера-Остроградского не изме
нится, а естественное предельное условие вместо F.y =O примет
вид
F.y · +B=O.
П р и мер. Рассмотрим конечноэлементную формулировку зада
чи определения установившихся напоров Н жесткой пористой сре
ды. Как следует из уравнений лекции 3, установившиеся напоры
в изотропной пористой среде удовлетворяют уравнению Лапласа
д2Н
д2Н
-
.
-
,
+-,
-=0вD,
дхт
дх2
а также условиям Дирихле (условиям первого рода)
Н= Hs на части границы ~н
и условиям Неймана (условиям второго рода)
дН
-д- +'i's =0 на части границы ~".
х,.
(а)
(б)
(в)
где~ =~н+ ~n- полная граница области D. Исполь зуя вариацион
ное исчисление, на основании ( 12.55), а также учитывая ( 12.59),
(12 .61) и (12.62), буд е м иметь
1= +~[(~~ У+( :~ YJdx1dx2+ ~ 'ф}; Hd~n -
(г)
D
L.
Подобную функцию для элемента (h) можно записать , как это
подробно показано в пр ед ыдущих пунктах, в виде
556
rt·
l; [H\hk\] = [ ~~~ ] - вектор узловых
Н \\\
элемента (h).
значений напорной функции
Для элементного вклада функционал (г) с учетом (д) запи-
шется
rChJ= ~ ( [ дд~I:• J J [H CM J У+ ([ад~~·>] [H ~Q) Ydx1dx2+
D
(е)
Примем, что область решения задачи разбита на треугольные
элементы первого порядка равной площади . В этом случае (см.
формулы (12.37) и (а) - (г)).
дNlhJ
1
1
---а;;- =-и-- [аз(l ), а3(2), аз(з)] = ~ (Аз],
где ~-площадь треугольного элемента, а [А 2 ] и [Аз ] -матрицы
строки .
К.роме того, обозначим ~ ~ [NChJ ] d~"=- [R]. Тогда элемент-
L.
ный вклад 11h) можно переписать в виде
fChJ= ~[([А2] [H~QJ] )2+ ([Аз] [Н\1\] )2
]- [R] [Н\1\]. (ж)
Узловые значения напорной функции H(k) должны рассматривать
ся в качестве переменных, которые необходимо определить.
Условия минимума функцианала (г) можно з аписать
дl
m дJ(h)
-
дН = ~ан=О,
р
h=1
р
(з)
где т - полное число элементов; р- глобальная нумерация узлов.
Элементный вклад в (з) имеет вид
дJ (h)
1
(1)
1
(h)
aнlkJ = ~а2(1)[А2) [HckJ) + ~а:з(IJ [Аз) [Нщ) -(R)
или
557
Объединение компонент элементных уравнений, согласно (з),
выполняется отдельно для каждого узла системы. Матричное урав
нение в итоге может быть представлено видом
[К] [Н"]= [R],
(и)
где [Нр] - матрица узловых значений напорной функции (р = 1,
2, ... , k, ... , n); п- общее число узлов; [К] -глобальная матрица,
формирующаяся из элементных матриц [KC 1
'Jl
по явной формуле.
Очевидно, компоненты глобальной матрицы [К], а именно матрица
с номером ( k), вычисляются по формуле:
[K(IгJI = [Ku'J'; Ku,J2; Ku,Jп],
где 11- число узлов*.
Для осуществления поэлементного объединения составляются
соотношения между глобальными и локальными номерами узлов,
а также вычисляются координаты всех узлов и характерные пара
метры функций формы. На рис. 12.7 приведен пример разбиения
10
7
4
Рис. 12.7. Разбиение об
ласти на элементы: цифры в
кружках - номера
элементов,
без кружков -- номера узлов
области на 16 элементов, а в табл. 12.1 -соотношения между гло
бальными и локальными номерами и координаты узлов.
Учет заданных граничных условий Дирихле осуществляется вве
дением (для узлов границы ~н) в первую часть матричного урав
нения (и) значений заданных напоров Н~ и записью в соответствую
щих строках глобальной матрицы [К] значений единицы - на диа
гонали и нулей - в остальных позициях строк.
* Объединение по узлам предусматривает объединение строк. При этом вклад
дают только те элементы, для которых данный узел является общим. В отличие
от этого объединение возможно по элементам. В этом случае объединение состоит
в расширении элементных матриц [Kli'J] и их последовательном добавлении к мат
рице жесткости системы. Нетрудно заметить, что поэлементное объединение явля
ется, но сущестну, сложением расширенных элементов матриц.
558
'"
Таблица 12.1
Глобальный номер узла
Координаты узлов
Элемент
Локальный номер узла
11
х,
X:z
(1)
(2)
(3)
1
4
1
5
о
о
2
2
5
1
1
о
3
5
2
б
2
о
4
3
б
2
о
0,5
5
7
4
8
1
0,5
б
5
8
4
2
0,5
7
8
5
9
о
1
8
б
9
5
1
1
9
10
7
11
2
1
10
8
11
7
о
1,5
11
11
8
12
1
1,5
12
9
12
8
2
1,5
13
13
10
14
о
2
14
11
14
10
1
2
15
14
11
15
2
2
!б
12
15
11
Введение условий Дирихле приводит к тому, что симметрия
матрицы [К] нарушается, но может быть сохранена, если исполь
зовать правило Пэйна- Айронса:~ если узловая пер_;менная u; за
дана . посредством равенства U; = u; , то диагональныи элемент мат
рицы К;; следует заменить на KiiB, а в правой ча,сти матричного урав
нения в i-й строке (R;) поставить число K;;u7B, где В- большое
число, например 10 12
.
12.3 .4 . Применеине вариационной формулировки
к задачам плоской деформации механики сплошной среды
Рассмотрим двумерную область S с границей ~ (рис. 12.8).
На части поверхности ~ задана распределенная нагрузка, которая
в любой точке этой части поверхности может быть представлена
в виде силы Т, приложенной к единичной поверхности [12]. Компо
ненты матрицы Т, обозначенные Т 1 и Т2.. соответствуют проекциям
ЭТИХСИЛнаОСИХ1ИХ2Т.е.
[TJ=[T'].
(12.64)
т2
Массовые силы и вектор персмещения задаются аналогично:
[F]=[F,];[u]=[u,].
(12.65)
F2
U2
559
2.
т
Рис. 12.8. Разбиение на элементы двухмерной области,
находящейся под действием объемных и поверхностных
СИЛ
Узловой вектор перемещения будем обозначать в дальнейшем
б(k), и он равен
[б(k)) =[Ui(k)) = [ UI(k) J,
il2(k)
(12.66)
где k- номер узла. Узловой вектор перемещения элемента обозна
чается [бCfJJ] .
Смещения внутри элемента [u~h)] выражаются через узловые
смещения с использованием базисных функций формы в виде
[u<hJ] = [N\'1\] [б\hd)],
( 12.67)
или, более подробно,
uCh)=[ ~~:;J=[N~h)
u 1(1)
U2(I)
ili(2)
ll2(2)
ili(З)
il2(3)
( 12.67а)
В двухмерном случае деформации связаны с перемещениями
формулами Коши:
·
560
',.
Используя эти формулы, матрицу деформаций можно записать
в виде
о
дjдх2
1/2 д/дх 1
Подстановка (12.67) в (12.68) дает
[с:]= [В] [б],
где матрица [В] равна
[
дjдх,
[В]=
О
1/2 дjдх2
о
д/ дх2
1/2 дjдх,
] [N].
(12.68)
(12.69)
(12.70)
Для простого треугольного элемента первого порядка матрица имеет
вид
1
[В]= --м-Х
[
(X2(2)-X2(:J))
0
(Х2(З)-Х2(1)) 0
х
0
(Xl(:з)-Xt(2J)
()
(Xl(t)-Xl(:JJ)
(Xt(J)- Xt(2J) (X2(2)-X2(JJ) (Xl(t)- Xt(1J) (Х2(З) ~ X2(t))
2
2
2
2
(Х2(1)-Х2(2)) 0 ]
0
(Xt(2)-Xl(t))
(Xt(2)- Xt(t)) (Х2(1)- X2(2J)
2
2
( 12.70а)
Матричное уравнение, связывающее матрицу напряжений с мат
рицей упругих деформаций, записывается в следующем общепри
нятом виде:
[а]= [D] [ёе],
( 12.71)
где для случая плоской деформации матрица [D] примет форму
(табл. 12.2)
о
[D]= (1 +v)(l-2v)
о
о
о
(l-2v)
2(1-v)
(12.72)
561
CJ1
О>
t-v
CJ1
О>
с..>
Таблица 12.2
Виды матриц 1В1и 1D'l
Вид наnряженного j · Матри ца [BU•J] = [ B\hJвЧ•Jвq•>. .B~hJJ]
со стоя ния
-число узлов элемента
П лоское деформи
рова нвое сос тоя ние
Осесимметрич н ое
наnряженное
состояние
[В\~)] =
r
дN \~\
дх1
о
о
дN {RI
дх2
aNV~\ 1 дN\h)J
2 ----ах;- 2 ----ах;-
дN\'1)
о
дг
E(l-v)
(1 +v)(l-2v)
М а трица у n ругости
ID'I
v
~
о
v
~
v
1-v
о
о
дN(h)
1 1_:v
о
дхз
о
Вид наnряженного
состо яния
Т рех мерн ое
напряженное
состояние
!ВУ1Ч =
1 ~ дN\hk)
1 дN~hJJ
2 дха
2 _д_г_
E(l-v) l
(1+vXI- 2v)
о
о
l -2v
2( 1-v)
N \~)
о
1-
"-
1-v
о
v
1=-v
.:~i --t.'f! . '! :.. ~-:-·
Матрица [B<hJ] = [B\hJв~hJв~h) __вxi\1
Матрица упругости
-число узлов элемента
ID' I
r дN\hJ) о
о
1
,.
"
о
дх1
--т=-;- --т=-;-
дN\~)
о
о
"
1
"
о
----ах;-
--т=-;-
--т=-;-
[B\hJJ] =1
о
о
дN\hk\
E(l-v)
"
"
1
о
~ (1 Xl 2 ) --т=-;- --т=-;-
+v
-
v
дN~hk\ 1 дN~hk\
о
о
о
о
l- 2v
2.
2 ах,-
--
дх2
2(1- v)
о
1 дN\~\ 1 дN~hk\
о
о
о
о
2дхз2дх2
\ дN\hJJ
о
1 йN\hJJ
о
о
о
о
.2 ---ах;-
2 --ах;--
о
о
l -2v
2(1-v)
v
1-v
v
т=-;-
о
"{~~~ -д !(
о
о
о
о
о
о
о
о
l- 2v
о
2(1- v)
о
l- 2v
2(1-v)
Не~рудно показать, что вариационная формулировка рассматри
ваемои проблемы сводится к отысканию минимума потенциальной
энергии деформирования, которая з аписывается в виде следующе го
функционала:
l=h~J~ ~ (s]т(u]dS- ~ (u]т(F]dS- ~ [u]т[T]d~J
s (l•)
s (/r)
~т
(12.73)
или, с учетом предыдущих соотношений,
rn
rn
\l
l=h~IJ(h) =l,~l [ J 2 [б\h)J]т(В]т(D] (В] (б~~J ]dS-
s<h )
-
~ (б~VJ]т [N~V>]т [FU•>] dS- ~ [б \'JМт [N\'k\ J [T<h> J d~.
s<hl
2":т
( 12.73а)
Элементное матричное уравнение получается дифференцирова
нием функцианала JU• > по б ~")) :
=
~ [В]т [D] [В] [б\h)J) dS-
sи•)
-
~ (N\'k\Jт[F<hJ]dS- ~ [N~QJ]т[TU'>]d~
S~J
~т
или можно записать короче:
(12.74)
где через X~Q> обозначе н элементный вклад, а
[KChJ], [F~h J ]
и [FthJ] - матрицы вида
через
[Ки'>] = ~ [В]т [D] [В] dS;
sи•)
fFV'> J = ~ [N<c'k) ]т [FU'> ] dS;
s<h!
(12.75)
[FthJ ] =
[N\h)J]т [T(I'Jj d~ .
2":т
Требование минимума функцианала з апишется теперь в виде
rn
2: X\'JJ>=O.
(12.76)
11= 1
564
(1
',1
1
11
111
Для всего ансамбля конечных элементов на основании ( 12.76)
и ( 12 .74) проводят суммирование членов матриц ( 12 .75) по одно
именным индексам глобальных номеров узлов, для чего необходимо
предварит ельно перейти от локальных номеров узлов элемента к
глобальным. Окончательно матричное уравнение будет иметь вид
[К] [б]= [F1. - ] + [I·-:т ],
где матрицы ( 12.77) - глобальные.
12.4 . Прим.енение м.етода конечных элементов
к расчету консолидации квазидвухфазных грунтов
12.4 .1 . Общие соотношения
(12.77)
Постро е ние о с новных соотношений м етод а конечных элементов
для определения вектора полных перемещений (u;] и порового дав
ления pw основано на представлении сплошной двухфазной среды
с бесконечным числом степеней свободы дискр етной моделью, со
стоящей из конечного числа элементов, связанных между собой в
узлах. Непрерывность искомых функций, состояших из множества
кусочнонепрерывных функций, каждая из которых определена на
отдельном элементе, обесtiечивается соответствующим заданием
координатных функций формы элемента .
Выделим в рассматриваемой области произвольный треугольный
Элемент (см. рис. 12.5). При использовании локальной нумерации
треугольный элемент второго порядка определяется у зловыми точ
ками 1, 2,
.. . , 6. Перемещения внутри элемента второго порядка
определяются перемещениями его узловых точек и аппроксимиру
ются билинейным полиномом . Значения постоянных a.;i (i = 1, 2;
j=1,2,
. .. , 6) определяются из двух систем уравнений, которые
получаются в результате подстановки узловых координат и прирав
нивания перемещений соответствующим перемещениям узловых то
чек. Для треугольного элемента более удобно ввести специальную
систему нормализованных координат, свя з анную с декартовой сл е
дующими линейными соотношениями [9- 12] :
Х1= L1X1(1)+ L2X1(2)+ LзХI(э);
Х2=L1x2(1)+ L2X2(2)+ LзХ2(з);
L1+ L2+Lз=1,
(12.78)
где Xi(k) - координаты xi и х 2 угловых узлов треугольника (k =
=1,2,3).
Разрешив соотношение (12.78), получим
565
L _ a,(k)+a2(k)x,+a з(k)X 2
(k)-
2~
( 12.79)
где д - площадь рассматриваемого элемента ;
а1(1)= Xi(2)X2(3) - Хi(з)Х1(2); а2(1) = Х2(2) - Х2(З);
аз(1)= Хl (з)- Х1(2);
остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой
индексов.
Тогда перемещение любой точки внутри элемента u~''); u~') мож
но будет записать в стандартной форме :
u~ll) = [ N(h)] (uЧ?k )};}
u~h) = [ N<hJJiu<~(kJ),
(12.80)
где (u<('(kJ) - вектор горизонтальн~х перемещений узловых точек рас
сматрив.аемого элемента (h); (utq(~JJ - вектор вертикальных пере
мещении узловых точек элемента (h); [N] - матрица координат
ных функций формы (k= 1, 2, ... , 6).
.
в дальнейшем вектор, ~зловых перемещений элемента uЧilJ бу
дем обозначать через (6 )' }. Для простого треугольного элемента
это означает
16ih )I==16~1J ) ; 6~~;); 6С:iЧ =
= (Li <rгl ); исgгl); u<rг2) ; исgг2) ; и сrгз ) ; и <~·гзi .
а для треугольного элемента второго порядка -
l6fhJI=f6Ч<J) ; ...; 6~?~i =ru<:~г ~ ) ; ис~г~ ) ; ... ; ич·гб); исgгбi.
Таким образом, перемещение точки внутри эл е мента будет выра
жаться
[u)''JJ = [I N<hJ ] (6}hJj,
где [ 1] - единичная матрица размером 2 Х 2,
(IJ=[~ ~].
Соотношение ( 12.81) подробно записывается
[ ufhJ J_[N~h)
u~h )
-
О
566
( 12 .81)
т. е.
J
( 12.81 а)
1
•~
•~
•
"1'
•111
Для треугольного элемента второго порядка функции формы
имеют следующий вид:
а) для угловых узлов
N~h)= (2L1-I)L1; N~'J = (2L2-I) L2; NЧ'J= (2Lз-1) Lз;
(12.82)
б) для узлов, расположенных на середине сторон,
N~h)=4L 1 L2, N~'J =4L2L:J , N~'J = 4L:JL,.
( 12.82а)
Значение парового давления в любой точке внутри элемента ана
логично выражается через у зловые значения :
Р "' = [N\hk\] (P \hJ)j,
( 12.83)
где (P~~J}- вектор значений парового давления в узлах рассматри
ваемого треугольника.
Если известны полные перемещения всех точек элемента, то
в них можно определить и полные деформации:
е11
дu,jдх,
(е)={е22}= {
дu2/дх2 } = [BJI6(hJ }, ( 12 .84)
1:12
дu1/дх2+дu 2 /дх,
где [В J - матрица, характеризующая геометрическую форму тре
угольника; (6(1')) - вектор узловых перемещений.
Матрица [В] может быть легко получена из соотношения
( 12 .80) . Следует заметить, что при использовании треугольного
элемента второго порядка матрица [В] линейно зависит от коор
динат рассматриваемой точки элемента, и, следовательно, дефор
мации и зависящие от них величины линейно изменяются внутри
элемента.
В случае использования линейного закона деформирования ком
поненты деформаций связаны с компонентами эффективных напря
жений законом Гука : *
а11, .
(а)= { a~f2} = [De]le)= [De] [BJI6(h)),
( 12.85)
(J 12
где De - матр_!1ца упругих характеристик элемента .
* Здесь дан о т ензорн ое обозн аче ние компонент напряжений и деформ.аций
(о 11 ; ~, i) вместо обознач е ний , часто использу е мых прим е нительно к де картавон си
стеме координат х1 :=х и х2.: у, т. е . <11 =е,; Е22=~11; 2е,2=Ух11; а"=ох; 022=cry;
Gt2= txy·
567
12.4 .2 . Вывод основных соотношений
вычислительного алгоритма МКЭ
Выше отмечалось, что использование вариационного принцила
позволяет получить основные соотношения вычислительного алго
ритма МКЭ. Самый распространенный подход - использование
метода Ритца, связанного с приближенной минимизацией энергети
ческого функционала, получаемого из исходных дифференциальных
уравнений. На основе такого подхода Р. Сэнди и Э. Вилеоном
[ 16] впервые было получено численное решение МКЭ уравнений
уплотнения полностью воданасыщенного грунта при использовании
линейного закона деформирования грунта.
Однако, как известно [ 14], существование энергетического
функцианала возможно лишь щ> 11 соблюдении определенных тре
бований к дифференциальному оператору исходных уравнений.
В случае использования метода Галеркина, являющегося по су
ществу частным слу"!аем метода взвешенных невязок и обобще
нием метода Ритца, необходимость в предварительных построениях
энергетического функцианала отпадает, что особенно важно при
выводе необходимых соотношений для. решения нелинейных задач.
Рассмотрим процесс получения основных соотношений вычис
лительного алгоритма МКЭ по Галеркину [2, 17, 18). В качестве
весовой функции выбирается функция формы [N), с помощью
которой апроксимируется решение. В соответствии с процессом
Галеркина потребуем ортогональности координатных функций фор
мы к уравнениям системьr '~ 44а):
(12.86)
I-m,
P"cts) =О,
при i, j = 1, 2; k= 1, 2, .. ., 6; б;i - символ Кронеккера. Обозначим
элементные вклады- выражения, сто,Ящие в ( 12.86) под знаком
суммы, соответственно через X~'k\ и У~hk\ 1тогда (12 .86) перепишется:
П1
~ x~hJ>=O;
h=l
568
t
.~.1'
i
i
••
·~
~ Y\"J> =O,
h=l
где т- число элементов расчетной областн.
Для того чтобы понизить порядок производных,
элементные вклады, воспользуемся интегрированием
X~hJ> = ~ [N <NJ.i ] ai'/dS- ~ [N~JJ . i] fJiiP wdS+
s
s
+ ~ [N~hJ)] 6; 2pgdS- ~ - [N~hJ>] (af{ -fJ;iPw) dl;
s
r
Y~'k\= ~ [N~hA;J -
1
-
w kФ;P~dS- ~ [N~hk\] ёdS+
s
gp
s
( 12.87)
входящих в
по частям :
+
( [NCIV>] (l-m ,) p wdS- С [N\hJJ] -
1
- k ;P~dl.
( 12.88)
l \• а"'"
tgp"'Ф
Исключим из дальнейших выкладок интегралы по контуру l, так
как они берутся только по части границы, где заданы граничные
условия (фактически вклад этих интегралов оnределяется учетом
граничных условий).
Используя известные соотношения МКЭ , запишем элементные
вклады ( 12 .88) в матричном виде :
[Х<'•> ] = [ke(h >] (tJe(h}J- (C U•>] (P Ch>J- (F Ch>J;
[Y(h}] = [x(hJ](p(h)J+
+ ~ N~k\ёdS + ~ Nyk\ (1:w~,) pCh>cts,
s
s
(12.89)
s
[В] т [De] [В] dS -упругая матрица жескости;
1
[CCh>] = ~ [В]т{ 1}[N<h>]dS;
s
о
[xCh>] = ~ kФ~ [N~!' > {[N~!' > ] dS;
sgp
u<r(, )
u<q(, )
569
rg:;~~- вектор узловых перемещений;
( ) - вектор узловых упругих перемещений·
'
(F<h>J=- r [Nщ] ~. dS·
.J
11>> u,2pg
,
[BJT
s
В-;;-- транспонированная матрица [В] .
равую часть второго уравн ения си стемы ( 12 89)
рость объемной де формации е и
.
входят ека -
ний парового давления р <'• ) ( скоро.сть изм енения узловых зн а ч с -
ты не пишем) .
в дальнеишем значок (w) для прост о -
Предположим ЧТО е и р
.лИнейном з
'
меняются за интервал времени -1 t по
чения е ~ $к~ну. Тогда внутри интервала времени -1t текущие зна
(12. 127)):
удут соответствен~ о ра~ны (метод Ньюмарка , см.
е.() е"' е'+Лt_е,
т=+
(т-t) ·
At
'
( 12 .90)
(т-t) .
(12.91)
Интегрируя эти выражения в пределах l' +t.t
1
'
получим
(12.90а)
pt+ЛI = 2(Р'+"'-Р')
•
1
ы-Р·
(l2.91a)
Подставим выражения (l2.90a) и ( 12 91 )
системы ( 12.89):
·
а во второе уравнени е
[Y(h)) = [x(h)]{P J tHt +
+ ~ Nti) -2-(e'+ м +(1-m,) p'+ м )dS-
s
Д(
awg
-
~N~i)(е'+ (l-w; ,) Р1)dS.
s
а
(12.92)
зап~~~~~ьзуя соотношение ( 12.89) для третьего интеграла в ( 12.92)'
(12.93)
Первый и второй интегралы в соотношении . ( 12.92)
писать следующим образом:
можно за-
570
r..
).
([N(h)j_2_(е'+ЛI+ I-m, р'+м )dS=
.J
(k) м
WR
s
а
=
-it( [C(h)] T(l)(t• >fH' + [л(h)Jip(h)f + ·~');
(12 .94)
~ [N<MJ+(о'+ l-w~' P1)dS=
s
а
( 12.95)
где
( 12.96)
транспонированная матрица [бh>] .
Подставляя соотношения (12.93), (12 .94), (12.95) в (12 .89),
окончательно пол у чим
[XChJ] = [Ke(h)]{бe(h>f +м_ [C(h)] (P<hJy_ (FU• >j;
(Y(h)) = _2_[C(h)]T(б(h)f+t.t __2_[ C('•) ] T(б(h)JT +
ы
м
+ [!x<h>] + -ft-!л<h >] ]rp<h>f+ м + [!x<h>]- -ft-!л<h> ] ]lpChJjt.
(12 .97)
При вычислении матриц, входящих в соотношение ( 12.97), точ
ное интегрирование связано с большими трудностями , в свя зи с
этим возникает необходимость численного интегрирования с исполь
зованием приближенной зависимости
~ ср(х, y)dS= ~ W;cp(x , y)S,
(12.98)
s
i=l
где ср(х, у) - интегрируемая функция ; S - площадь элемента ;
т - количество точек интегрирования; W; - ве совые коэффици
енты.
Для треугольного элемента второго порядка Хаммерам и др .
[см . 10, табл. 8.3] было предложено численное интегрировани е
проводить в точках, лежащих на середине сторон треугольника с
использованием весовых коэффициентов W;=} (i = 1, 2 , 3) . Как
показал анализ результатов точного интегрирования матрицы [k] ,
численное интегрирование по зависимости ( 12.98) обладает высо
кой степенью точности.
571
До сих пор мы рассматривали типичный конечный элемент, н е
связанный со всей совокупностью элементов в рассматриваемой
дискретной области. Связанность конечноэлементной модели дости
гается установлением надлежащих соотношений между локальны
ми · номерами узлов элемента ( 1, 2,
.. . , 6) с соответствующими
глобальными номерами (i, j , k, l , m, n) . Тогда при составлении
разрешающих уравнений для всего ансамбля конечных элементов
на основании ( 12.86) ( 12.87) проводят суммирование элементов
матриц системы ( 12.97) по одноименным инде ксам глобальных но
меров узловых неизвестных:
т
т
[Ке] = ~ [КТ?'J]; [Н]=~ [xChJ] .
lf,
h=l
11= 1
Пl
т
[С]=~ [C(I•) j .
IJ'
[П] = ~ [л~7)J,
( 12.99)
h=l
h=l
где m - количество конечных элементов в рассматриваемой об
ласти.
Таким образом, полная система линейных матричных уравне
ний для всего ансамбля конечных элементов записывается в сле
дующем виде:
[Ке]lбеf + м + [C](-P w)'H' ={F)';
[С]т(бj +лt_ [ т(Н] + (П] ]{-Pwf+м =
=[С]т[б]'+[т[Н]-[П]]1- pw)',
(12.100)
где (о ) - вектор полных п е ремещений всех узлов рассматриваемой
области; (Pw)- вектор значений парового давления во всех узлах
рассматриваемой области; {F)- вектор узловых сил всей области;
{б е)- вектор восстанавливающихся перемещений всех узлов об
ласти .
12.4.3 . Особенности решения системы линейных
матричных уравнений уnлотнения грунта
Как будет подробно показано ниж е, первое из уравнений
( 12.100) можно также записать относительно вектора полных пере
мещений {б} . Тогда систему уравнений ( 12.100) легко представить
в более удобном виде:
[ ~ ~ ]{ _opw }'+ы={F~P}t+лt ИЛИ ( 12 . 1о 1)
572
11
111
где
[L] {
}'+ЛI= { F~р}'
[Е]=- [т!Н] + [П] ];
(Т)1 = [С] 1 {б}'+ [---м-[Н]- [П] ]\-Pwy;
2
(Р)'= (К" }(бР); (б}=(Ое)+(оР).
(12.101а)
( 12.102)
В качестве эффективного приема прямоrо решения ур:;~е:ис~
( 12 .101) может быть использована процедура исключения
)
су ~:;~он~~~~~=~~ [~;l)~атрица [L] симметричная, и, значит, для
ешения системы (12.1 О l) можно применить метод квадратного .кор
~я [20} Это весьма существенно, так как при решении. линеиных
или не~ин ейных задач методом начальных напряжении. матрица
] остается постоянной (если используется постоянныи шаг по
!~емени). Разложив матрицу [L] на треугольные, далее сов.ерша:~
лишь прямой и обратный ход для получения новых значении осн
ньtх неизвестных, что приводит к большой экономии времени счета.
Весьма существенно также, что матрица [L] заполнена не пол
остью так как матрицы [К], [С], [Е] - полосовые. Перегруппи
нровав ~истему уравнений ( 12.1 О 1), что соответствует последователь-
(и· u
·
pw) получаем поло-
ной нумерации неизвестных в узлах 1, 2,
,
совую общую матрицу системы:
(12.103)
где
IOI I02С,з
о
ю, I02 С2з
[S} = Сз1 Сз2 Езз
о
573
IR)=
IXJ=
Ut(l)
U2(1 )
-P~ J
Ut (n)
U2(n)
- PC:.J
Ft(I J+Ff(t)
F 2(1J+ F~(I J
T<tJ
F l(n) + Ff(п)
F2(пJ +H(n)
T(n)
n - количество узлов в области.
При исnользовании записи разрешающих уравнений в виде
( 12.103) алгоритм решения удается построить таким образом, что
в памяти хранится половина полосы матрицы [S]. Решение полной
системы уравнений ( 12.103) проводится шаговым методом по неяв
ной схеме с учетом начальных и граничных условий.
Если в грунте защемленного воздуха нет, то начальным усло
вием при решении системы ( 12.1 03) будет равенство нулю объемной
деформации грунта в момент приложения первой ступени нагрузки.
При наличии в грунтенекоторого количество воздуха непосредствен
но после приложения нагрузки в «скелете» грунта возникает объ
емная ;:еформация, равная объемному сжатию газообразной состав
ляющеи грунта, обусловленному сжатием и растворением в воде
защемленного воздуха. Таким образом, в начальный момент вре
мени система (12.101) принимает вид
[ке
ст
( 12.104)
Граничные условия задаются для перемещений в виде*
* Условие ( 12 . 105) является граничным условием первого рода (условием Ди
рихле ) . Процедур а введения услов ия Дирихле для узла (q) в матричное уравне
ни е (12.103) состоит в том, что в q-ю строку глобальной матрицы жесткости [К]
вносятся нули, кроме диагонального элемента ; диагональный элемент пол агаетс я
р ав ным единице ; в q-ю строку матрицы [R] вносится заданн ое значение функции.
Отметим, что nри это м симметрия матрицы [К] нарушается. Симметрия может
быть сохранена, если nри учете условия Дирихле использовать метод Пэйна -
Айронса [1 О].
574
( 12.105)
Для парового давления граничные условия могут быть двух
типов.
На проницаемой границе можно задавать граничное условие
в виде некоторой фу нкции времени и координат:
P w_ pw2:
;t-
.
(12.106)
Так, если на части границы поравое давление равно нулю,
то поступают аналогично тому, как учитываются нулевые пере
мещения , т. е . вычеркиваются соответствующие строки и столбцы
матрицы [S).
На непроницаемой границе должно выполняться условие равен
ства нулю нормальной составляющей скорости потока жидкости:
дР"'
--
=0
дп 1/
'
(12 . 107)
дР "'
где ~- производная по нормали к границе.
Это условие выполняется автоматически, если на границе не
задано условие п е рвого типа, так как при выводе основных уравне-
ний мы исключили интеграл по контуру ~ [ N~~)] ~~,"' Р~; dl, который
представляет собой взвешенный интегрlл от потока через границу .
В случае необходимости учета неоднородного граничного условия
второго рода (условия Неймана) или учета граничного условия
третьего рода (условия Коши) элементный вклад изменяется за
счет добавления членов, получаемых по правилам учета естествен
ных граничных условий (см . 12.3 .3).
Остается лишь отметить, что система уравнений ( 12.1 03) явля
ется общей при решении всех задач консолидации квазидвухфаз
ных грунтов независимо от принятой модели грунта .
12.4 .4 . Алгоритм решения задач пластического течения грунтов
Алгоритм, позволяющий использовать для расчета грунтовых
сред соотношения теории пластического течения с упрочнением,
строится на основе итерационного проц е сса, проводимого на каж
дом шаге по времени (см . 12 .2) .
Существующие методы ре шения задач пластического течения
МКЭ (см., например, [21]) строятся, как правило , на основе ис
пользования упругопластической матрицы жесткости. Однако, как
уже указывалось в п. 12.3 . 1, учитывая опыт решения нелинейных
задач, с точки зрения экономии времени счета целесообразно рас-
575
смотреть построение алгоритма, учитывающего развитие пластиче
ских деформаций через правую часть первого уравнения системы
(12.100). В этом случае матрица жесткости системы [Ке] форми
руется на основе постоянных разгрузочных (упругих) модулей ма
териала и остается неизменной в процессе счета.
Выпишем еще раз первое уравнение системы ( 12.1 00)
[Ке] (беJ+м +[С] (-P wf+ы =(F(
(12.108)
При решении задач пластического течения под вектором пере
мещений (б} подразумевается суммарный вектор упругих (обрати
мых) и пластических (необратимых) nеремещений:
(б}=(б е}+{бРJ.
( 12.109)
Тогда, при исnользовании уnругой матрицы жесткости [Ке],
выражение ( 12.108) nреобразуется к следующему виду:
[Ке) ((б}-(бРJ)'Нt + [C](-Pwf+Лt =(FJ'
или
(12.110)
где
(FP}'= [Ке)(бРf + м_
( 12.111)
Здесь матричное уравнение ( 12.11 О) выражено относительно ис
комого вектора полных узловых nеремещений (б} и узловых значений
парового давления (Pw} на момент времени t +М.
Таким образом, при использовании итерационного процесса
разрешающая система уравнений для шага (п) запишется в сле
дующем виде:
[Ке) {бJ/м + [С) (- pwf"+~' =(F}t + (FPJ~;
[C)т(бjt"+\t + [E](-Pwf"+м =(Т}'.
(12. 112)
Здесь элементный вклад (F(h)P)n на шаге итерации п удобнее
представить как
{F(h)P)" = ~ (В)т (D) (j~-;Р)п - 1 +(fl~-;Pj"dS.
(12. 113)
s
Итерационный процесс строится в предположении, что на шаге
(п) приращение вектора nластических деформаций (fl~-;P)" в каждой
точке равно нулю (см. 12.2). Тогда из решения системы (12.112)
можно найти вектор nолных nеремещений на шаге (n). Далее в тех
точках элементов , где проводится численное интегрирование, вы
числяются значения компонент тензора упругих деформаций, инва
рианты данного тензора и соответствующие инварианты тензора
эффективных напряжений:
576
( 12.114)
( 12.115)
Если .точка М (Ou, ;",ах) в плоскости инвариантов тензора на
nряжении «<J v -Tmax» находится на nоверхности нагружения или
внутри области, ограниченной поверхностью нагружения, т . е. вы
полняется условие
{f~': 1
-1 ( о~{п). ,;max<пJ) ~О;
fr=2 { -,./
-
) _.--О
n-- 1 Gu(n).Tmax(n) ~ ;
"!
-
,.
-
f~,':'1 (G~(")• T" ax(n)} ~О,
(12.116)
то материал в данном узле работает в уnругой стадии, прираще
ние пластических nеремещений на шаге (n) действительно равно
нулю и дальнеЙЦIИ!5
1итераций не требуется.
• Если точка М (а~, Tmax) находится за пределами области упру
гон работы материала, т. е. условие (12.116) не выполняется, то
необходимо ее вернуть на поверхность нагружения по соотноше
ниям. (п. 12.2). Значения инвариантов тензора эффективных напря
жении, удовлетворяющих условию текучести, вычисляются в зави
симости от области, в которую попала точка М ((; ~f, fmax).
Таким образом, истинные наnряжения на шаге (n) будут равны
a r/(n )= s i j(n) + б;;а~{п);
(12.117)
Sii = -т-----2:.:G:::.е~-,1с...· ... ,.- - -- -
[ 1+ _g _dy?n ax J(2-6ij)
Ттах
Компоненты тензора nластических деформаций на шаге (п)
определяются из соотношения
р•-
е
( sij(n)
~ u~fп) )
Eij(п) -Eij(п) -Eij(n) =E;j(п) - -ш- +u1;2k . (12.118)
На основе полученных значений пластических деформаций на
шаге (п) .исправляется положение поверхности нагружения, и ите
рационныи процесс продолжается до тех пор, nока не будет выпол
нен выбранный критерий сходимости*.
В качестве критерия чаще всего принимаются определенные зна
чения нормы вектора приращения перемещения [23]. Следуя рабо
те [26], в качестве критерия для момента времени t +М примем
• * Для организации в11утреннего ит е рационного цикла на каждом шаге Jн е ра
ции n с целью учета изменения nоверхности нагружения необходимо nостроить
вычисления в соответствии с методикой. описанной в n. 12 .2 .
19. :Зак. Nc 51
577
условие относительно пластических составляющих вектора пере
мещения:
12.4 .5. Замечания о сходимости решения
по методу конечных элементов
(12.119)
Решение, получаемое методом конечных элементов, является
некоторым приближением к истинному. Важнейшими вопросами,
связанными с использованием МКЭ, как, впрочем, и при исполь
зовании любой другой вычислительной процедуры, являются точ
ность, устойчивость и сходимость.
Точность - это. мера близости численного решения к истинному
решению.
Устойчивость оценивается ростом ошибок, которые являются
следствием аппроксимации, округления и пр. при выполнении отдель
ных вычислительных операций. Неустойчивый вычислительный про
цесс характеризуется неограниченным накоплением ошибок.
Сходимость - это приближение последовательно вычисленных
решений к предельному. В сходящейся вычислительной процедуре
разница между последовательными результатами уменьшается,
стремясь в пределе к нулю.
В добавление к обычным ошибкам численных вычислительных
процедур в МКЭ существуют ошибки, которые являются следствием
самого метода: ошибки дискретизации, т. е. ошибки аппроксима
ции границы области; ошибки, обусловленные разностью между
точным решением и его представленнем пробной функцией.
Ошибки дискретизации могут быть уменьшены использованием
более подробной разбивки области на элементы. Для уменьшения
ошибок пробной функции должны быть выполнены критерий пол
ноты и согласованности.
Критерий полноты состоит в том, что пробные функции внутри
элемента должны быть представлены в виде полных полиномов
степени q, где q - наивысший порядок производной, входящей
в минимизируемый функционал (в вариационном методе) или в опре
деляющий интеграл (в других формулировках МКЭ, таких, как на
пример, метод Галеркина и др.), т. е.
[u)
1
')]=[1; \1; Х2; ХТ; Х1·Х2; х~; ... , x'l; X~j
578
В случае использования полного полинома более высокой сте
пени, чем указанный в критерии полноты, следует ожидать более
высокой скорости сходимости.
Критерий согласованности состоит в том, что при переходе через
границу между элементами должны быть непрерывны сама функ
ция и ее производные вплоть до порядка ( q-1) включительно,
где q - наивысший порядок прои:шодных, содержащихся в функ
ционале или определяющем интеграле.
Выполнение критериев, формулировка которых приведена вы
ше, определяет достаточные условия сходимости МКЭ. Можно по
казать, однако, что критерий полноты представляет собой более
сильное требование, чем критерий согласованности, и при выполне
нии критерия полноты критерий согласованности вьтолняется как
следствие. Поэтому критерий полноты есть необходимое и достаточ
ное условие сходимости.
Как показано в работе [22], монотонная сходимость к точному
решению имеет место при выполнении следующих условий: тип
элемента и пробные функции удовлетворяют критериям полноты
и согласованности; размеры разбивки области уменьшаются таким·
образом, чтобы элементы последующего уровня представляли собой
части соответствующих элементов предыдущего уровня; подмноже
ство разбиений каждого уровня содержится в подмножествах
предыдущего уровня.
Сл.едует отметить, что решени€ МКЭ с уменьшением элементов
будет сходиться, если выполняется равенство единице суммы зна
чений функций формы в каждой внутренней точке элемента:
lП
~ NckJ= 1.
k~l
Если этот критерий не выполняется, то полиномиальная аппро
ксимация пробной функции не будет давать постоянного значения
при условии, что узловые значения оказываются равными между
собой. Так, часто используемая естественная система L-координат
подчиняется этому критерию (см. ( 12.40)).
При практическом счете важны не только сходимость вычисли
тельного процесса, но и точность получаемого результата, т. е. бли
зость результата вычислений к точному решению. Теоретически не
возможно определить, даже при решении линейных задач механи
ки, точность вычислительного решения. Один из практических при
емов оценки точности состоит в том, что с помощью таких же
элементов по разработанной программе решается задача с извест
ным аналитическим решением. Определенная таким образом ошиб
ка может быть использована для оценки ошибки в рассматривае
мой задаче. Другой прием состоит в том, что задача решается
19*
579
несколько раз с последовательным уменьшением размеров элемен
тов. Если сходимость улучшается монотонно по мере уменьшения
размеров элементов, то для получения оценки точности результаты
решений можно экстраполировать.
Для общего случая использования неголономных соотношений
теории пластического течения зада ча исследования сходимости ре
шения становится зад ач ей практического счета. Вопрос о сходимо
сти может быть исследован на основе реш ени я серии зад ач с уве
личивающейся густотой аппроксимирующей сетки . В качеств е при
мера на иссл едование сх од мости при использовании опр ед еляющих
соотношений теории пла стического течения приведем решение про
стейшей тестовой зада чи , получен нос J3. В. Ор-еховым. В качестве
теста им был проведен ряд расчетов напряженно-деформированного
сос тояния однородной грунтовой пл оти ны треугольного профиля.
Высота плотины Н= 100 м, заложение откосов 1:1 ,5, характеристи
ка грунта и параметры, входящие в определяющие соотношения,
даны в табл. 9.1 .
Как видно из приведеиных на рис. 12.9 результатов расчета с уве
личением густоты аппроксимирующей сетки, реш ен ие за дачи схо
дитс я и при n ~ 5 практически не изменяется. Также отметим, что
эффективность ре ализации метода конечных элементов существен
ным образом зависит от алгоритмов реш е ния системы линейных
алгебраических уравнений, общий вид которых можно представить
в матричном виде
(А] (х)=(В).
(а)
где [А]= [aii] -матрица коэффициентов; (xi)- узловой вектор не
известных; [В]= (bi] -заданная матрица-столбец свободных
членов.
Существующие способы решения систем линейных алгебраиче
ских уравнений обычно принято разделять на прямые и итерацион
ные. В прямых методах решение находится в результате одно
кратного применения вычислительной процедуры. К прямым мето
дам относится метод исключения Гау сса, метод квадратного корня,
метод Холесекого и др.
Метод исключ ения Гаусса с помощью действий над стр ока ми
предполагает пре дставление симметричной ленточной матрицы [А]
в виде произведения верхней треугольной ленточной матрицы [U]
на подход ящую нижнюю треугольную [L], т. е.
[А] = [L] [U].
(б)
Реш ение системы (а) может быть теперь получено из системы
[U][х]=[L]- l[В].
(в)
580
'
G22 ~~·1nq
б
~6
'
4
5
1--"
- 3,0
-0,3~ 4
-1,5
2
/
2
з
v
5
...._
/
-1,0 /
-0,5
-0,1
-
5
n.
t\
Г\.
з57
357
3s7
Ри с. 12.9 . И сс ледование сходимости по МКЭ: а - аппроксимация расче т
ной области; б - осадки ; в - вертикальные напряж е ния ; г- гори зо нталь
ные напряжения; 1-б -- номера узлов
581
Значение переменной Xn п о луча е тся непосредственно из n-го
уравнения системы (в) . Подстановка этого значения в (n -- 1):
уравнение системы (в) дает значени е Хп-1 и т. д. Проц е сс обратнон
подстановки позволяет последовательно получить значения всех
неизвестных .
Метод тр ойной факторизации. Симметричную матрицу [А] раз
мерности n можно представить в виде прои з вед е ния
[А]= [L] [D] [L]т ,
(г)
где [D] - диагональная матрица; [L] -нижняя треугольная мат
рица. Элементы матриц [D] и [L] вычисляются по ф о рмул а м
i-1
d;;=а;,- ~ l~"dтm;l;;= 1;
П1=[
j-1
a;j- ~ l;mljmdmm
Пl=[
(ji
(д)
L,i=O при i< j.
С учетом представления (г) уравнени е (а) эквива л ентно двум
уравнениям
[L] (yf= (B f;
(е)
и
(ж)
Сначала реша ется уравнение (е), а з атем - у равнение (ж) .
Векторы (у\ и (х\ определяются по рекуррентным формулам
и
i-1
у;=Ь;- ~ linYn
n=l
п=l
~
lll = i+l
Х;=
----;-----
d,,
(з)
Система (а) имеет ед инств е нно е реш е ние, если d;; =FO (i=l ,
2, ..., n).
.
·
Метод квадратного корня. Матрицу [А] представляют в виде
произв едения двух транспонированных м е ж ду собой треугольных
матриц
[А]= [L] [L]т.
(и)
582
)
Отсюда находят
i1
aij-
·
L lmJmj
111- l
!;; =------ (i < j);
(к)
Р е шени е матричного уравн е ния (а) осуществляетс я также за два
шага:
Отсюда по сл едовател ьно находят
i-1
IJ,
Yl= -~-"- ;
у,-
~
bi- 2: fmiYm
!П=1
Х;=
-- -=m-
=
7
i_, _
+-'-l___
lii
(i< n);
(л)
(i> 1);
(м)
у"
х!/ =
---- z:: ::- .
Заметим , что м етод фо рмально применим и при l,~ <О , хотя эле
м е нты l ;i строки i будут мнимыми.
Итерационны е методы да ют возм ожность пол у чить решение си
стемы, как предел вычислит ельного проц ес са, по з воляющег о по
найденным приближ ениям н а йти следующее. Итерационны е методы
требуют знания начального приближения. Скорость сходимости вы
чи с лительного проц есса в этих мет одах за висит от свойств матрицы
си стемы (а) и выбор а начал ьных прибли ж ений . Преобладание
в матрице коэффициентов си сте м ы диагональных чле нов у вел ичи
ва е т скор о сть с х одимости ит е раци о нных вычислительных пр о цессов.
Общая схема линейной итерации для системы (а) представля
ется в виде
(x)(l') = [Pj (kJ(4(Н~+(Q \(IIJ ,
где k - номер итерации.
Различные ите рационны е методы отличают ся конкр етиз а цией
матриц [Р] и [Q]. Так , в методе Зейделя предпол агают , что мат
рица [А] системы (а) может быть представленс: в виде суммы
583
(н)
[А]= [L] + [D] + [U],
где [L], [U] -нижняя и верхняя треугольные матрицы; [D]
диагональная матрица.
Матрицы [Р] и [Q] выражаются следующим образом:
[Р]=- ([L]+[D])- ·
l [U];
[QJ= ([L]+[D])-
1
•
(о)
(п)
Если последовательность приближений (x)CkJ сходится к некото
рому предельному вектору, то он будет решением системы уравне
ний (а) . Условия сходимости последовательности (x)CkJ диктi"ет тео
рема: для того чтобы последовательность приближения (x )Ck сходи
лась, достаточно, чтобы все собственные з начения матрицы [Р]
были по модулю меньше единицы. Более подробные сведения о ме
тодах численных решений систем линейных алгебраических уравне
ний можно найти в работах [7, 12, 20, 23 и др.] ..
12.5. Лрименение мет"ода конечных элементов
к расчету динамической консолидации грунтов
12.5. 1. Основные соотношения динамики однофазных грунтов
Решение краевых задач в условиях динамического воздействия
сводится к интегрированию системы уравнений:
(12.120)
при соответствующих граничных (см . 12.29 и 12 .30) и начальных
условиях
U;\1=О=Ui(O)(Xt);
U;\t=o=Ui(o)(Xt).
(12.121)
Массовые силы рх в зада чах механики грунтов чаще всего зада
ются в виде сил тяжести. При направлении оси х2 ве ртикально
вверх обусловленные земным притяжением массовые силы равны:
рХ; =
-
бщJg.
Рассмотрим процесс получения основных соотношений вычисли
тельного алгоритма по Галеркину. Так же , как это было пока з ано
в п. 12.4 .3, элементный вклад получим в форме
[X\hdJ] = [MU'JJ(бCI'JJ + Ke(hJ(бe} - (FChJ},
(12.\22)
где [M (h)] -элементная матрица мас с , равная
[MC''JJ = ~ rPJ[JNC-">Jт [IN(I'J j dS;
s
584
(12.123)
[Ke(h) J -элементная упругая матрица жесткости, равная
[К"и'>] = ~ [В]т [De] [В] dS.
(12.123а)
s
Проводя, как обычно, объедин е ние либо по узлам, либо по эле
м е нтам, получим окончательно матричное уравнение, содержащее
глобальные матрицы
[М]= ~ [MChJ] и [К"] = ~ [K"ChJ]; [F] = ~ [FC''Jj;
h=!
11=1
11= 1
[М] (б)+ [К"] (б е)=(F).
(12.124)
Для того чтобы выразить матричное уравнение через ве ктор пол
ных п е ремещений всех узлов рассматриваемой области, восполь
зуемся очевидным равенством 8 = 8 е + 8Р. Окончательно будем
иметь
[М] (6}+ [Ке] (б)=(F)+(Р);
(fP)= (К е ) (<'JP).
( 12.124а)
При динамическом воздействии имеет место диссипация энергии,
связанная как с процессами пластического деформирования, так
и с про цессами упруговя з кого поведения грунта. В последнем слу
чае матрица демпфирования легко может быть получена, если
известны опр еделяющие уравнения состояния грунта в области
упруговязкого его поведения.
Так, например, когда восстанавливающи ес я де формации подчи
няются закону упруговязкости Кельвина- Фойгта (12 . 31а), легко
показать, что матричное уравнени е ( 12.124) переписывается в
форме
(12.125)
При этом матрица жесткости системы [Ке ] определяется стабили
зированными значениями характеристик упругости 1-L :;" и л:;" или
Е::О и v::O .
Матрицу демпфирования н етрудно получить по общим прави
лам. Обратим внимание на один частный случай, когда периоды
запаздывания сдвигоных и объемных деформаций совпадают, т. е.
T ret =Tre t (v) · В этом случае, как нетрудно видеть, матрица демпфи
рования пропорциональна матрице ж е сткости и равна
[Cs) = T re/ [Ке].
Последнее явля ется частным случаем так называемого рэлеев
ского демпфирования, рассматриваемого подробне е в п. 12.5.2. От
метим лишь, что при этом демпфирование пропорционально час-
1
/219.Зак. .N"51
585
1:_оте колебаний и решение матричной системы уравнений (12.125)
легко реализуется в базисе собственных векторов и для получения
реакции системы эффективно может быть использован спектраль
ный метод, т. е. решение представимо в виде линейной комбинации
по собственным формам. Именно для этого случая физически оправ
дан этот метод, который математически выражается в том, что
уравнения системы ( 12.125) разделяются и могут быть решены
независимо. В более сложных случаях, когда диссипация энергии
линейно-вязкой системы не пропорциональна частоте колебаний,
матрицу демпфирования нельзя получить простым суммированием
элементных матриц демпфирования, как для матрицы масс и жест
кости. Для сложных моделей упруговязкости учет демпфирования
неоправданно затруднителен · nри численной реализации вычисли
тельного процесса и может быть проведен только прямым интегри
рованием. Поэтому иногда удобно ввести диссипацию энергии в виде
дополнительной объемной силы, пропорциональной вектору скоро
сти суммарного перемещения
[М] {8)+ [C s] (6 ")+ [К " ] {<Se)=(FJ+(F").
( 12.124б)
Решение матричного уравн е н и я ( 12.124б) про водится, как и ра
нее, в 4.4, с использованием итерационной процедуры, на каждом
шаге которой вычисляется значение объемной силы [F"] по фор
муле (12 . 113).
Следует помнить, что введенная таким образом объемная сила
является фиктивной. Полезность же введения диссипативного чле
на , пропорционального скорости , особенно ощутима в методе реше
ния статических задач с nомощью ( 12.124б) . Действительно, си
стема матричных уравнений ( 12.124б) может быть использована
для получения решений статических задач при соответствую
щем подборе величин [С,]. В этом случае решение инерционной ди
намической системы через некоторое число циклов колебаний евы
ходит» на статическое решение. Подобная схема (схема установ
ления) реализована В. Н. Ломбардо применительно к методу ко
нечных разностей и подробно описана в работах [ 1-4].
Существо ее состоит в том, что вместо исходной стационарной
задачи рассматривается некоторая нестационарная - динамиче
ская задача с введением искусственной вязкости.
В этом случае время может являться некоторым фиктивным
параметром, а искомые перемещения, деформации и напряжения
получаются после стабилизации решения. Преимущества схем уста
новления особенно существенно в тех задачах, когда необходимо
рассматривать действие как статических, так и динамических на
грузок [2]. Другое преимущества- в том, что параллельна с рас
четом напряженно-деформированного состояния определяется уро-
586
вень нагрузки, приводящей к незатухающим во времени (нестаби
лизирующимся) деформациям, и на этой основе оценивается устой
чивость сооружения (см . лскнию 11).
12.5.2 . Методы интегрирования
Уравнения (12.124) nредставляют собой на каждом шаге n
итерации систему линейных дифференциальных уравнений второго
nорядка с постоянными коэффициентами. При больших порядках
матриц эффективными являются численные процедуры решения
этой системы. В работе [23] рассматрены две группы методов ре
шения: прямого интегрирования и разложения по собственным
формам .
При прямом интегрировании* уравнений (12.124) применяется
численная nошаговая процедура вычислений. Система уравнений
(12.124) удовлетворяется не в любой момент времени, а только
на отдельных коротких отрезках времени М. Для этого весь времен
ной отрезок Т разбивается на n равных интервалов 11t: 11t=
=Т /n и производится численное интегрирование, дающее прибли
женное решение в момент времени О, 11t, r11t, ... , Т. Для каждого
выбранного интервала времени с nомощью итерационной процеду
ры численно решается квазилинейное уравнение ( 12.124б). Итера
ционный nроцесс для фиксированного временного интервала стро
ится по алгоритму, изложенному в п. 12.4 .4. На каждом шаге
этого nроцесса Пр вычисляется фиктивная объемная сила по фор
муле ( 12.113). Итерационный процесс продолжается до тех пор,
пока во всех узлах рассматриваемой области с заданной степенью
точности (см. ( 12.119)) не б у дут определены компоненты тензора
пластических деформаций. Далее расчет проводится для следую
щего интервала времени. Поскольку такой алгоритм позволяет
вычислить решение в каждый последующий момент времени с исполь
зованием решений, полученных на предыдущих временных шагах,
предполагаем далее, что решение рассматриваемой системы урав
нений известно для времени t и необходимо найти решение для
момента t + 11t.
Существует несколько способов пошагавого интегрирования
системы по времени. Первая группа таких способов основана на
конечно-разностном представлении дифференциальных оnераторов,
т. е. представлении скоростей и ускорений в виде конечно-разност
ных выражений в перемещениях. Так, в методе центральных раз-
* При
интегрировании не производится предварительных иреобразований
уравнений.
587
ностей ускорение и скорость перемещения на момент времени t
представляют
••
1
бt = -2-(бt-L\t-28,+бt+~t);
м
..
•
1
8,= ---uт-(бt+~t-81-\f).
Подстановка этих выражений в уравнение ( 12.124б), за писан
ное для момента времени t, по з воляет написать явное выражение
для определения перемещения на момент t + ~t. Отметим, что, так
как вычисление перемещений 8 1 + ~' производится чере з значения
81 и 8 1 - ~ 1 , должны быть известны бо и б_;..,, ко~орые ..легко вычис
ляются на основании начальных условий бо, бо и бо. Основным
недостатком методов, основанных на конечно-разностном представ
лении дифференциальных уравнений ( 12 . 124), является ограниче
ние, накладываемое на выбор шага интегрирования ~t. Можно по
казать [5], что на выбор шага накладывается условие
М~ Т ",;п
-..-::::
л,
гдеTmin-
наименьший период собственных колебаний системы,
определяемый минимальным значением отношения элементов матри
цы масс и е го жесткости .
Вторая группа способов прямого пошагавого интегрирования
основана на идее задания изменения перемещений, скоростей и
ускорений внутри каждого вр еме нного интервала ~t. В п . 12.4 .2
уже был рассмотрен подробно метод, в котором предполагалось,
что в интервале времени от t до t+~t скорость процесса изменя
ется линейно (см. формулы (12 .90)-(12.91)). Здесь мы рассмот
рим метод Ньюмарка [24], являющийся обобщением метода линей
ного ускорения. В этом методе предполагается, что за отрезок вре
мени ~t сохраняется постоянным среднее ускорение, т. е. прини
мается
(12.126)
В этом случае
и
(12.127)
588
\
Затем , подставляя ( 12 . 127) в разрешающую систему уравнений
( 12 . 1246), записанную для момента времени t + ~t. и проводя не
обходимые преобра зова ния, окончательно получим
([К"]+ 1\~~ [М]+ ~[С] }!!~t + \t)"=[FJ+[Pf"+[R[Rt+~,j.
(12.128)
где вектор внешн ей н аг ру3ки (R, + \tl выражает с я в форме
(Rt+ .~t)= [М] { Л4l' fJ, + +б/+ Б,}+ [C s] {-ft- бt+ Bt},
( 12.129)
а объемная сила [P'f" на шаге итерации Пр по-прежнему равна
{f!')" =
~ (В]т (D e] ((р,Р)"- 1 +(~ еРfп ) dS.
s
Алгоритм интегрирования методом Ньюмарка является безуслов
но устойчивым. В более общем виде определяющие соотношения
метода Ньюмарка ( 12.127) могут быть записаны в форме [23]
Бt + .\t=B_\t+ [(1-а)бt+аб, + лt]~t; }
8,+~, =8,+8t~t+ [ (+-~)Б~+ ~Б, + :lt J~t 2. (12.127а)
Значения параметров а и f3 определяют точность и устойчи
вость схемы интегрирования. При значениях а= 1/2 и /)= 1/ 6 со
отношения (12.127а) приводят к -соотнош ен иям метода линейного
. v скоренин. Близким к рассмотренному является метод Э. Вилеона
[25]. Устойчивость и точность этих методов анализируется в рабо
те [23], где привед е на достаточно полная библиография по этим
вопросам. В заключение отметим, что использование безусловно
устойчивых методов прямого интегрирования позволяет выбрать шаг
интегрирования ~t. который в общем случае может значительно
превышать величину шага для условно устойчивых схем.
При разложении перемещений по собственным формам система
разрешающих уравнений ( 12 . 124) приводится к более эффектив
ному для интегриров а ния виду при помощи следующего преобра-
зования:
(бt)= [ФJ(х, ),
(12. 130)
где (xt)- вектор-столб е ц, зависящий от времени. Матрица [Ф]
называется матрицей собственных форм.
Математическое отступление.
Векторы (а), удовлетворяющие условию
[А] (а)=Л(а),
589
(а)
называются собственными векторами, а соответствующие им числа
Л - собственными значениями матрицы [А]. Если n- nорядок
матрицы [А], то в общем случае существует n отличных от нуля
(нетривиальных) решений. Нетривиальным решением уравнения
(а) являются собственные значения Ai и соответствующие им соб
ственные векторы ai. Задачу получения всех собственных значений
и векторов называют проблемой собственных значений . Уравнение
(а) можно представить в эквивалентной форме
([А] - Л[!] )(а)=О,
(б)
где [ 1] - ед иничная матрица размера n Х n. Для отыскания не
тривиальных решений (б) н еобход имо , чтобы определитель этой
системы был равен нулю, т. е.
det( [А] -f. [l]) =0 .
(в)
Характеристическим многочленом матрицы [А] называют мно
гочлен n-й степени
р (Л}= det ([А] - Л[ 1]).
(г)
Корнями характеристического многочлена или решениями уравнения
(в) являются n собственных зна чений
(д)
Подставляя затем собственные значения в уравнение (б), най
дем n соответствующих собственных векторов (ai)- Каждому соб
ственному значению Лi соответствует вектор (a;J размерности n.
Спектральным радиусом матрицы [А] называется величина
р(А) =maxiЛil,
(е)
и для ее определения вычисляются корни характеристич ес кого по
линома р (Л), а затем берется максимальное, по абсолютной вели
чине, значение корня. Определ е ние спектрального радиуса имеет
существ е нное значение для оценки устойчивости интегрирования
уравнений ( 12 . 124). Критерием устойчивости является выражение
р (А) ::::;:; 1.
В этом случае [А] - матрица оператора аппроксимации. Та
ким образом, применительно к (12.124) устойчивость схемы интегри
рования зависит только от собственных значений оператора аппро
ксимации. Обобщенная проблема собственных значений формули
руется в виде
[A](aJ=Л[B](aj,
(ж)
где [А] и [В] -матрицы; (aj- вектор; Л- скалярные величины.
590
[-··
Каждая собственная пар а . у;щшiспюряющая (ж), является нетри
виальньiм решением, т . е.
[A](a;J=Ч BI:a,J; i=l, 2, ... , n .
(з)
Собственные векторы удовлетворяют условию В-ортогонально
сти:
т
ra .l [ulr.1 1--" ..
l1)
L) l(JJ-t '/f ,
где б;;- символ Крон екера, равный
{1; i=j
б;;= О;i=Fj.
Исnользуя (и), nереnишем (з) в форме
(aJ [А] (а;)= Л;б;;,
(и)
(к)
которая означает, что собственные векторы (ж) оказываются еще
и А-ортогональными . Обозначая через [Ф] матрицу, состоящую
и з столбцов векторов (а;), и через [Л] -диагональную матрицу
А;, за nишем п решений (ж) в форме
[А] [Ф] =[В] [Ф] [Л],
(л)
где
1
л,_
[Ф) =[а, , ... , an); [Л)=
·
. Лп1.
Умножая (л) слева н а матрицу, сопряженную [Ф], и восполь
зо вавшись свойствами А- и В-ортогональности собственных векто
ров, получим два важных соотношения:
[Ф] т [А] [Ф] =[Л];
[Ф]т [В] [Ф] = [!].
(м)
Обобщенная проблема собственных значений встречается в рас
четах, связанных с интегрированием уравнений колебаний методом
ра з ложения колебаний по собственным формам . В этом случае
интегрирование матричных уравнений колебаний сводится к ре
шению обобщенной проблемы собственных з нач е ний (ж), в ко
торой матрица [А] - это матрица жесткости [К], а матрица [В]
матрица масс ансамбля конечных элементов [М]. Собственные
числа Ai и собственны е векторы ai- это соответственно квадраты
частот собственных колебаний w[ (рад/с) и векторы форм свободных
колебаний fl!i·
Возвращаясь к р ешению уравнений (12.124) с помощью преоб
разования (12.130), укажем, что матрицу [Ф] целесообразно вы-
59!
брать как матрицу собственных форм системы, определяемую урав
нением (23]
[К] [Ф] = [М] [Ф] (Q2],
( 12.131)
где (Q2
] -диагональная матрица собственных частот системы
[Q2]=[rот(!)~.. 2]'
.
Шп
(12. 132)
где матрица [Ф] = [<р1, <p z,
... , <рп],
где <р; - вектор i-й собствен
ной формы; ro ;- соответствующая собственная частота. Таким об
разом, (12.131) представляет собой общую проблему собственных
значений. Собственные векторы матрицы [М] ортогональны, и по
этому выполняются следующие равенства:
•
[Ф]т[М][Ф]= 1 и [Ф]т[К] [Ф]= [Q2].
(12.133)
Проблема собственных значений (12 . 131) имеет п собственных
решений, где n -общее число степеней свободы системы. Подстав
ляя (12.130) в (12.124б) и учитывая (12.133), получим
·
[x.t] + [Ф]т [С] [Ф] [xt]+ (Q2
] [xt]= [Ф]т([F]+[fP]).
Начальные условия для [х 1 ] выражаются системой
[~о]= [Ф]: [М] (~о];}
[хо] = [Ф] [М] (6о].
(12.134)
( 12.135)
Если эффект демпфирования не учитывается, т. е. (С,] =0, то
(12. 134) приводится к системепотдельных уравнений
••
2
Х;+ ffi; Х;= Г ;,
( 12.136)
где i = 1, 2, .. ., n; n - общее число степеней свободы.
Перемещения узловых точек получаются суперпозицией реакций
системы по всем формам:
<'~t= L <р;Х;.
i=l
(12. 137)
В общем случае матричное уравн е ние ( 12 . 134) не сводится к
системе отдельных уравнений, решаемых независимо, пос.кольку
матрица деформирования не может быть построена и з матриц де
формирования элементов. Однако в специальном случае , когда де
формирование системы пропорционально собственным частотам, т. е.
когда
(12.133а)
592
г•. -~де .-~коэффициент пропорииональности, задаваемый в процен
тах от критического*, система ( 12.134) разделя ется на n уравнений:
'
1·
1
( 12.136а)
Так~м образом, для получения реакции системы методом разло
жения по собственным формам требуется: а) вычислить собствен
ные формы и собственные зна•Jt-JIИЯ (12.131); б) решить уравнения
(12.136) или (12.136а); в) сложить реакции по каждой собствен
ной форме ( 12.137).
Выбор между методами прямого инт е грирования и методом раз
ложения по собственным формам определяется только эффектив
ностыо вычислений, так как математически n собственных век
торов и n узловых пер е мещений являются ба з исами одного и того
же пространства. Ра зл ичием между методами прямого интегриро
вания и разложения no собственным формам является переход в
методе разложения к базису векторов, определяемых уравнением
( 12.131). Однако вследствие воз можности исполь з ован и я ограничен
наго количества форм второй метод оказывается в некоторых слу
чаях значительно эфф е ктивнее. Количество учитываемых форм оп
ределя ется особенностями грунтовой конструкции и частотным
спектром воздействия . При сейсмическом воздействии, как правило,
могут быть учтены до 10 нижних форм, тогда как при взрывном
воздействии число учитываемых форм достигает 2n/3.
Матрица демпфирования определяется на . основании данных по
упруговязкому поведению грунта, и ее вид зав исит от принятой
математической модели уnруговязкости (см. формулы ( 12 . 125)).
Если, как сказано выше, вводится фиктивная сила демпфиро
вания, матрицу демпфирования рекомендуется представлять по
Рэлею в виде
(С] =а[М] +Ь[К].
Для определения двух параметров а, Ь необходимы сведения о
демпфировании системы двух различных частот колебаний. Пусть
известно, что при частотах колебаний <о 1 и ro z коэффицИ е нты демп
фирования составляют G1 и Gz. Тогда парам етры а и Ь рэлеен
екого демпфирования находятся по формулам, которые следуют из
соотношений (12.133) и(12.133а):
* Критиче ск им называ ется затухание, nри котором J tiHt Ж\ '1111< ' н · p~t• · J '' "·' ''''"1
тельный характер. Свободные колебания снстt'мы ,. щ tll o Й
,.,,.",.111.111
, .""''";""
"""
сываются уравн ен ием
Критич еское затухание 011 рещ·лнРтся •· ooлJolfll'lflf< ' м .. .. ; , .
.,
.. ..
[Ф]т(а[М]+ Ь[К]) [Ф]-а+Ьш[= 2ш;~;.
Тогда
Ь=2
(!) l;! -- (1)~~2
2
2
Ш!-W:l
Предположени е о демпфировании , пропорциональном ча стот е,
н е всегда может быть оправдано. В этом случае условие ( 12 . 133а)
не выполняет с я и матриц а демпфиров а ни я пр едст а вляет собой пол
ную матрицу, а матричные уравнения (12.134) не ра зделя ются. В
этом случае следует использовать метод прямого nошагавого инте
грирования.
12.5 .3. Вывод уравнений вычислительного алгоритма
динамической теории консолидации грунтов
Рассмотрим процесс получения основных соотно шений вычисли
тельного алгоритма динамической теории консолидации грунтов. Р е
шение системы динамических уравнений консолидации (лекция 3)
целесообразно в ест и относительно неи з вестных u; и w; = ( 1- ms) Х
Х(uJ"-
U;). В ЭТОМ случае ИСХОдную систему дифференциаЛЬНЫХ
уравнений (3.4 5) можно представить в следующем виде:
tot
~
••
.w••
0
Gij. i- tmpg- pu;- р W; =
;
рш+~ш+w••+
р"'
.
i
Vi2Pg рU;
1
-Пl s
В качестве весовой функции, так же как и в п. 12.4 .1, прини
мается функция формы [N], с помощью которой ап проксимиру
ет ся реш е ни е в элементах.
Прим е нение метода Га лер кина к первым двум уравн е ниям
( 12 . 139) приводит к соотношениям
~ (N]тGif)dS - ~ [N]тp g6;2dS- ~ [N]тpu, dS- ~ (N] тp"\~;d S=O;
s
s
s
) (N] т P w;d S+ ~ [N]т6 ;2 p "'' g dS+ ~ (N] т .....,..-'-р"_" -w;dS+
1-rп,
s
s
s
(12.139а)
+ ~ !NJTp"' u;dS+) tNJT f~g w;ds=o.
s
s
ф
Для пониженин порядка произв одных, входящих в интегралы
594
г-
~-· ·
~ [N] тG:y)dS и ~ [N]тP ~i dS, во с нользуемся интегрированием по час-
s
тям:
s
~ (N] тG:Y1id S=) [Nj'cri;' 'dl - ) [N . i]тGif'dS;
s
s
~ [N]тP~;dS=~[Nj1P "'dl- ~ [N.;]тP"'dS,
s
s
( 12.140)
где l - длина контура элемента.
Исключим из дальнейших выкладок интегралы по контуру, так
как они берутся только по части границы, где заданы граничны е
условия. Вклад этих инте гралов определяется учетом граничных
условий.
Исполь зуя (12.139а) и соотношения МКЭ. можно за"писать си-
стему уравнений ( 12.139) относительно узловых значении н е извест-
ных (uCЦk JJ и (w<f(kJ \ для конечного элемента.
"
Ре шение определяющей системы уравнении ( 12.1 39) разыски-
ваем в обычном 'виде :
u~h)= [IN ЧQJJ1u~11JJ;
w~'') = [1N C/Jг\JiwC;1kJJ-
(12.141)
Здесь [1] - единичная матрица разм е ром 2 Х 2; ( u~11JJвектор узло
вых перемещений «скелета» грунта; (w~11 JJ- вектор узловых пере
мещений относительного движения жидкости и «скелет а» W; = ( 1-
·-m s) (uF' -
u;) . Для треугольных элементов второго поря д ка под-
робно запишем:
В дальнейших преобразованиях учтем, что деформации и пере
мещения « скелета » грунта складываются из вос с танавливающи х ся
и нево с станавливающихся частей :
Точно так же и вектор узл овых перемещений « скелета» может
быть представл е н как
u~1k> = u;(~~J + uДk1> .
Предварительно заметим , что в соответствии с принципом Тер
цаги, справедливым и для динамической сист е мы (см. лекцию 10),
будем иметь
a!j 1
= af/- 6;ipw и a'/(i= af/i- 6;iP~i·
Кроме того, на основ а нии третьего уравнения системы ( 12.139)
предыдущее соотношение можно представить в виде
(J iot._ ae f+
CXw
(u·· +w· ·).
,1,1 -
, 1,1
I- m.,
'·'
'·'
,1.
( 12.142)
Тензор тотальных напряжений на основании ( 12 . 142) приведем к
виду, удобному для дальнейших преобразований:
или
/о/ ef
5: pw
1не(е+е)+.<:
1-m, (
+
)
<Jij = <J;I - Vij
=-
2 ijkl Uk,l U[,k
Vij ~
U;,; W;,;
~ (w)
/о/[1не(+).<:
1-m,(
)]
<Jij =
-
2
ijkl U k,1
Ut,k + Vij
U;,;+W;,;
-
СХ( ш)
-
[ +Нfjkt (LI~.t+ uf.k) J.
(12.143)
Подставляя (12.143) в (12.139а) и имея в виду (12. 140), пере
пиш е м систему ( 12.139а) в виде суммы элементных вкладов:
~х<?>>=о·} i=1 2
L.J tiЭ
'
''
h=l
~y(h)-0
h::'J i(э) - '
( 12.144)
где динамические вклады X)~~J и У\~~> выражаются:
Х)~;> =0 р [IN~hJJ] [IN~\\] dS )(u<ДlJJ+
s
+() р ш [IN \'JiJ]т [IN ~';,\ ] dS )(w~1kJJ +
s
596
г.,
+(
s
+ ( 1~·~ , ) [д<{iМ1 IAVV>] dS) {u~11>J+
s
s
+()
1
~tп, [INV~J]т [IN~h)J] dS) {w<;~k)~ +
s
+0 рш [tN <M( [IN~V>l dS)(u1/c1>~ +
s
+ ( r...с.:к_ [1N~h)J]т [1N~~J] dS) {wЧ(k>~+
)кф.
s
+б;zg) р"' [N~QJ] dS.
s
( 12.145)
(12. 146)
Матрица-строка [А ~))] треугольного элемента второго порядка,
как нетрудно в этом убедиться, равна
·
[А~1\] = [N~)J] ,; =
[
дN\1'J дN\1'J дN~'J дN~'J J
=
--ах;- д-;; ... --ах;- д-;;
.
(12.147)
Подставляя ( 12 . 145) и ( 12.146) в ( 12.144) , производя сумми
рование и объединение матриц элемен т ов, п олучим матричное урав
нение в глобальных координатах в следующем общем виде :
[М){Ь;) + [С){б;}+ [К] {6;}={Ф;} +{Фf}.
.
(12.148)
Здесь вектор узловых перемещений {б} равен {6 ;)= { ~ ; }, а гло-
бальные матрицы представляются в форме
[М]=[М~ Mw J;
Mw Мс
[с о]
[С]=О.Cw ;
[К]=[ Ks~:w i:•J; {Ф;}= {;~ }
{ФV} = [ 6sJ{~f }
597
(12.149)
Приведем более подро бную запись глобальных подматриц ( 12.149):
Пl(
[Ms] = 2: Jр[INVVJ]
1
[IN ~k\ ] dS;
11~1 s
[Ми.]= ~ ~ р"'[IN\hk\] 1 [JNCCVJJdS;
11= 1s
111 (
[С,]= 2: J
h= 1s
[Ks] = ~ ~[В]1[De][В]dS;
11=1 s
[FF] = 8,2 ~ ~ gpw [NV~J] dS.
11=1s
( 12. 150а)
( 12.150б)
( 12.150в)
( 12.150г)
( 12.150д)
( 12.150е)
(12.150ж)
(12.150з)
Интегрирование матричного уравнения ( 12 . 148) можно провес
ти методами прямого пошагавого интегрирования, на каждом шаге
которого организуется итерационный вычислительный процесс по
алгоритму, изложенному в 12 .2, для вычисл е ния пластических де
форм а ций сист е мы на з ад анный момент вр ем ени . Пашагавое инте
грировани е уравнения ( 12.148) осуществляется методами централь
ных разностей, Вилеона или Ньюмарка , коротко излож е нными в
12 .5.2 . Обобще ниями этих методов являются соотношения, которые
мы приведем ниже.
Введем в рассмотрени е вектор эффективного перем е щения {61)1 + ~ 1
и вектор с корости эффективного пер е меще ния (бilt + " на момент
времени t + At в виде
(6,I, +·~' = (б;Jt+OAt(6,j, + (~-а) 82Аt 2 (б1}1 +
( 12.151)
598
f
1••J...
}
'·
Здесь а, fi , О - некоторые 11араметры. Под ст авив ( 12.151) в
(12.148), в результате придем к матричному уравнению относит ель
но эффеtпиtнюго п е рем е щения
[К] \<~,:,1 " = (R,},t- \1,
(12.152)
в котором эффективная матриаа жесткости [К] равна
-
1
~
[К]= [К]+ rL O'\t ' [М]+ -а~8=-Лt- [С].
(12.153)
Матрица (R}1+ \1 приво д ится к ви ду
{R}, + \I = {<Щt+ \ 1+ (Фi':t ~ \t+ -а-0-~~-1с-, [М]+ ;;~t [С], (12.154)
где коэффициенты а 1 и Ь 1 равны соответственно
a 1={<\11 +8At{Bt }l + (Т ~а) 82At~(6,j,; l
Ь1={б1}1+ ( 1- ~ ) 8At(B;}1+ (Т- ~ )82At2(б;j1J (12.155)
Реш е ние матричного уравнения_( 12.152), т. е. определение век
тора эффективного перемещения (б)l + •~' на мом ент врем е ни t + At
позволяет найти перем е щения, скорости и ускорения системы на
момент времени t+At по явным формулам:
(<'>,}1+\1= t~'' {бt}t+\1+(1-
-t,) (o ,J, +
+ ( 1- *)At(6,J~++(1- +)At
2
{6, }1;
.
~
-
!M t- \t= ае'лt ({o;)lt- \1- (o,J ,)+
(~)·(~)..
+ 1--
,
(81)1+ 1--
20
,
Аt(б,),;
an-
а-
(12.156)
••
1
-
{<'\;}t+ \i = aO'I~t" ((fJ;}t+\i-
-{б;Jt) - ali~лt2 {Bt)t+ ( 1- 2~0 ) {8,} 1•
Варьируя параметры а, ~ и О, получим хорошо изв естные м е
тоды прямого численного интегрирования уравнений типа ( 12.148) .
В табл. 12.3 приведены эти частные мет оды пошагавого инте гри-
рования.
Анализ сходимости и устойчивости перечисленных в т аблице
599
Методы
ин те гриров а ния
Методы централ ьны х разностей
М етод nостоянн ого с реднего ускорения Нью
марка
Метод линейного ускорения
Метод Вил со t~а
Значения
а
о
1/4
1/б
1/б
Таб л ица 12.3
nараметр о в
е
1/2
1,0
1/2
1,0
1/2
1,0
1/2
1,4 -;- 2
мет одов прямого интегрирования и примеры применении этих м е
тодов к решению уравн е ний типа (12.\48) приведеныв работе [23).
ЛИТЕРАТУРА
1.3аРецкий Ю. К.,Ломбардо В. Н., ГрошсвМ. Е. Пластическоетече
ние грунтовых"массивов.- Изв. вузов. Стр-во 11 архитектура, 1979, N~ 2, с. 3-23
~3аРецкинЮ.К.,J1омбардо В. Н., ГрошевМ. Е. Орехов В В.
л и м n и е в Д. Н. Алгоритмы расчета воданасыщенных грунт~в - Изв внИиГ'
1979, Т. 130, С. 26-34 .
.
.
,
3. 3аРецк11йЮ.К..ЛомбаРдоВ.Н.Статикаидинамикагрунтовыхnлотин.
М.: Энергия, 1982.
4. 3аРецкий Ю. К.. ЧУмичев Б. Д. Кратковременная nолзучестьльда Но-
восибирск: Наука, 1982.
·
~-·J1~дУн0 в С. К., Рябенький В. ·С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977,
б._МаРч Ук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука 1980 с 534
7.КрыловВИБб
ВВМ
"
'
'
.
.
·
··
оков-
.,
онастырныи П. И. Вычислительные
методы. М.: Наука, 1976, т. 1, С. 303; 1977, т. 2. с. 399.
8. Со _u г а п t R Vaгiational Methods fог the Solution of РгоЫеms of Equilibгiom
and V1bгatюns. --·- B o ll . Аmег. Matl1. S oc., 49, 1- 23, 194 3.
~: ~~-ге Рл и н д Л. Применеине метода конечных элементов. М.: Мир, 1979,
1О. 3 ен кев и ч О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
~-~-3~т Р е н г Г., Фи к с д ж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977,
12.НоРРи д.,ФРизЖ.де. Введениевметодконечныхэлементов М
·
М
1981 , с. 304.
·
··
ир,
~3.L.У n nР.Р.,АгУа S. К. Use of Least Sqoaгes Cгiteгion in tl1c Finite Element
oгmolatюn.- lпt. J. Nomer. Methods iп Eng., б, 75- 88, 1973.
14. Михл и н С. Г. Вариационные методы математической физики М Н
1970, с. 512.
·
.:
аука,
15. СмиРнов В.,И. Курс высшей математики. Т. 4. М., 1957, с. 812.
16.Sапdhо R.S ., W11sоn Е. L. Fiпite Element Analysis ofSeepagein Elastic
Med1 a .-
Ргос. ~SCE, J. So1l Месhап. апd Found. Div., 95, б, 97- 104 , 1969.
17. З аре цкии Ю. К., И"лар11онов Е. Д., Ореха~ В. В. Анализ наnряженного
~~~1оя~,:я и трещинн ое тоикость яде р ка меино-зе мляных плотин. - Энергет . стр-во ,
' J"12,с.60-65.
18.Зарецкий Ю. К.,Орехов В. В В
.
лияние режима заполнения водохрани -
600
1 ·,,
1,r
•
..
1.
лища на напр я женно-деформир о ванное ,· остояни е кам l' нно- з емлян о й пл о тины.- Гид
ротехн. стр-во, 1982, N2 3, С. 26 -~\).
19. Сга 11 ll а 11 S. Н. Eпgineeriпg A11<~lysis. N. У., 1956.
20. Дем 11дов11 '' Б. П., Ма ро11 И. А. Oc!IORЫ вычислитеJJI>IЮЙ математики.
М.: Фюмадгю, 1963, с. б59.
21. Yam<~d<J J.,
Jo s himuг<J N. ,
S aktlr a i Т Plastic Stгess Stгain Matгix
a nd its Arplica tion fог the Soltllioп о[ E lastic-Pi astic PгoЬiem s Ьу t he Fiпit e Element
Method. -
lпt. Jo1нn. Mech. Sci.. 10, :1. :343- -354, 1968.
22. О д е н Д ж. Конечные элеменТJ,J в нелинейной механике сплошных сред. М.:
Мир, 1976.
23. Бате К., Ви JIсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элемен
тов. М.: Стройиздат, 1982, с. 447.
24. N е w т а г k N. М. А Method of Computation fог Struc!tJгal Dynamics.-~Pгoc.
ASCE, Jонгп. of Eng. Mech. Div., 85, 67- -94, 1959.
25. Wi1sоn Е. L., Fагhооmаncl.! ., В аthе К.J. Noпlinear Dyпamic Aпalysis
of Complex Stгuctures.- Iпt. J. of Eaгthquake Епg. апd Struct. Dyпamics, 1, 241 -
252, 1973.
2б. Nаv<1 г G. С., ZiепkiеwiсzО С. Elasto-Piastic Stress Aпalysis. А Geпe
гalization for Vaгious Coпstituitive Rclations lncluding Stгaiп Softening.-
Int.J.
Nomer. Meth. Епg., 1, 113- 135, 1973.
27. Б ребб и я К.. Уоке р С. Применеине метода граничных элементов в техни
ке. М.: Мир, 1982, с. 248.
28. Бенерджи П .. Баттерфилд Р.Методыграничныхэлементовв nриклад
liЫХ науках. М.: Мир, 198~, с. 494.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основным преимуществом МКЭ является во з можность исполь
з ования произвольной структуры дискр етизации расчетной области .
Следствием этого является универсальность метода и возможность
увелич е ния числа элем е нтов в интересующей нас части расчетной
области . Применяемые в настоящее время алгоритмы расчетов,
основанные на МКЭ , отличаются в основном формой элементов и
аппроксимацией пере мещений внутри каждого из них. Со степенью
аппроксимации полиномов связано и число узловых неизвестных на
один элемент .
Ест е ственно, что у величение порядка полинома приводит к уве
личению точности аппроксимации, однако существенным для задач
механики грунтов является то, что связи между деформациями
и напряжениями нелинейны и устанавливаются обычно в точке
между инвариантами т е нзоров напряжений и деформаций. В этой
ситуации наибол ее строгим является применение лин е йных треуголь
ных элементов, в пределах которых напряжения и деформации
являются постоянными, однако это влечет (для обеспечения тре
буемой точности) использов а ни е большего числа эл е ментов и суще
ственно ув еличивает порядок решаемых систем уравнений.
601
Другая возм"ожно сть состоит в том, что порядок аппроксима
ции напряж е нии внутри элемента ус т а нав л ивают независимо от
аппрок~имации перемещений , н а прим е р , приним а я для н а пряжений
те же за к о ны изменения внутри элемента, что и для де формаций.
При эт ом формировани е матрицы жесткости существенно осложня
ется из-за необ х одимости устанавливать связь между напряжения
ми и де формациями дл я н е скольки х точек внутри од ного элемента.
Во многих прим е ня е мых алгоритм ах моду "1и упругости (при
исполь зо вании де~ормационных теорий) или приращения плас т и
ческих деформации (при исп оль зовании с о отношений пластическо
го течения) определяются как с р едние д.1я элем ента при вы сок их
порядках аппроксимации. При з начител ьных п л астически х де ф о р
м а циях в этом случа е следует ожидать, чт о точность расчета будет
не выше, чем точност ь при riро ст ейших тр е угольных элем е нтах
в пределах которых деформации и н а пряжения по стоянны.
'
Применяемы е в настояще е время алгоритмы, основанные на ко
н е чно-разностных м ет одах (МКР) , отличаются способом по строе
ния аппрокси~ирующих сеток и с по с обом ф о рмирования ра з ност
ных уравнении. Наряду с традиционными прямо у гольными сетками
в узлах "которых опред:ляются все компоненты перемещений, на~
пряжении и деформации, широко е распростран е ние получили сме
щенные н сдвоенные смещенные сетки, позволяющие повысить
точность .~асчето~. и прид~ющие р аз н~стным аналогам дифференци
ал~ ных уравн:J-Iии четкии физиче с кии смысл. Наряду с формаль
нон ра з но етнон аппрок с имацией разрешающе й системы 'диффере н
циальных уравнений в напряжениях или пер е м е ще ниях исполь
зуются в а риационно разнос_тные методы, в которых формальная
разностная а ппроксимация дел а ется только для уравнений связи
перемещения - деформации, а ра з но стны е ана ло ги уравнений дви
ж е ния получают из вариационного принципа или инт е гральных з а
конов со хранения энергии (так на з ываемы е инт е гроинтерполяцион
ные методы). Уравн е ниям движения, которые в обычных в а риантах
МКР заменяются конечно-ра з ностными аналогами, в интегроинтер
поляционном в а рианте пр едстав л яются в виде у равн е ний д вижения
этого элемента под де йствием пов е рхностных и объемных сил.
Дос то инством инт е гроинт е рполяционных метод о в является обеспе
чение сходимости в клас се уравнений с разры в ными коэффициен
тами.
Про стота формиров а ния с и стем ы линейных у равнений в МКР
особе нно в случае использ ования инте гроинтерполяционных вари а н~
тов, по з воля е т при ее р е шении ит е рационными методами отказать
ся от хран е ния матриц высокого порядка в памяти ЭВМ что
дает возможность решения систем с большим числом неизве~тных
узловых п е р е мещений . Реали з ация же вычислительных алгоритмов
на основе метода кон е чных ра з ност е й с использованием интегро-
602
интерпол яционного подхода осущС'ствлена В. Н. Ломбардо и по д
робно изложена в работах [2. J \.
В последнее время интснсив110С ра 3в итие численных методов
расч ета отмечается в нанран.нении ра3вития методов граничных
интегральных уравнений (см .. нанример, [27, 28], где д ана под
робная библиография), IIO.II Y 'IИBII!ItX lta:~в a ltиe метода граничных
элем ентов (МГЭ) . Су щнос"гl. ·,них методов со стоит в преобра зова
нии разрешающей сист е мы J1.ttффере111LИаJJьных уравнений в э кви
валентную систему интегра .I IЫIЫ Х у р а вн е ний. Такая опер а ция
преследу ет цель полу читt, систему уравнений, включающую тол ько
значения переме нны х н а гранинах расчетн ой области . Это , в свою
очередь. приводит к необходимости дискретизации только поверх
ности, ограничивающей однородную расчетную область. В с вя з и
с эт им МГЭ уменьшает размерно сть и сходной задач и на ед иницу,
т. е. для трехме рных зад а ч полу чаются двухмерные интегральные
уравнения по пове рхности . Следует только подче ркнуть, что в МГЭ
рассматривают ся однородные области, поэтому неоднородная об
ласть требует ра зби е ния на однородные подобласти. Для зада ч,
в которых неоднородность велика и требуется большое число малых
однородных подобластей, этот при е м вырождается в дискрети з ацию
всей расчетной области, и в этом случ а е МГЭ и МКЭ ст а новятся
эквивалентными. Для реш ения з ада ч пластичности с помощью МГЭ
можно построить итерационный процесс, в котором к гранич;\1,\М
инт е гралам на каждом шаге доба вл яется объемный интеграл от
непрерывно распредел е нных по обл асти фиктивных объемных с ил,
определяемых по пластическим компон ентам поля деформ а ций (ер.
( 12.32) - ( 12.34)) . Объе мны е интегралы от непре рывно распр еделен
ных объем ных сил могут быть , в свою очередь, преобра зованы с
помощью теоремы Гаусса- Остроградско го в эквивалентные гра
ничны е инте гралы . Более дет а льны е с ведения по обоснованию и
практическому применению МГЭ можн о н а ЙТI! 11 книге П. Бенерджи
и Р. Баттерфилд [28].
В настоящее врем я выбор оптимального чи сле нного метода ре -
шения той или иной конкретной зада чи механики грунтов обуслов
лен как спецификой задачи, так и ре сур с ами им еющейся в распо-
ряжении иссл едователя ЭВМ.
В настоящей лекции подробно рассмотр е ны алгоритмы решения
з адач пластического те чения грунтовы х сред и их реал изация толь
ко с помощью метода кон ечных элем е нтов. Дальн е йшее примен е
вне численных методов к решению трехмерных за дач м е ханики
грунтов автор видит в практическом исполь з овании успешно ра з ви
ва ем ых в настоящее вре мя комбинированных методов граничных
элементов и конечных элементов.
603
ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Лекция 1. Грунты
1.1. Параметры многофаэного г рунта. Классификация грунтов
1.2. Системы напряжений в мно г офаэном грунте
1.3. Математич ес кое отступление. Те нэо ры. Тенэорная символическая
аапись
1.4. Структура г рунта. Природа с'rтэ е й и стохастич ес кий характер их
раэрушения
Литература
Лекция 2. Основные уравнения
2.1 . Уравнения движения
механики
квазиоднофазных
2.1.1. Закон изменения количества движения
2.1 .2 . За кон изм е нения момента количества движения
2 . 1.3 . Закон сох ране ния массы
2 . 1.4 . Закон сохранения э нергии
2 . 1.5 . Приицип в ирт у альных работ
2.2 . Уравнения со вместности дефо рмаций
2.3 . Ура вне ния состояния
грунтов
2.3. 1. Голономны е и неголономные связи (уравненин- состоян ия)
2.3 .2 . Общая система ра з решающих уравне ний
2.4 . Термодинамика деформирования
2.4 .1. Понятия энергии и работы
2.4 .2. Тео рема живых сил
2.4.3. Математическое отступление. Понятие полного дифферен
циала и интегрирующий множитель
2.4.4.
2.4.5.
2.4.6 .
2.4.7 .
П онят ие э нтропии . Второе нача ло термодинамики
Обратимы е и необра т имы е процессьi
Замечания по по воду нек ом nенсированного тепл а
Объединенная запись перво го и вто рог о начал термоди-
намики
2.4.8 . Т е рмодинамически е потенциалы и условия термодинами
ч еског о равновесия
Литература
Лекция 3 . Основные уравнения теории динамической консолидации грунтов
3. 1. Кинематика движения многофа:того грцнта
3.2. Ура вне ния иаменения кол ичества дв ижен ия
3.3 . Вы вод эакона Дар си
3.4. Закон сохранения массы
3.5. Опр еделяющие ура внения поравой жидкости и гаэа
3.6 . Капиллярн ое давл е ние
3.7. Основные уравнени я теорuи динамической консолидации кваэ и-
двухфазных гр ун тов
3.8 . Граничны е и начальные условия
3.9 . Консолидация слоя оттаивающего грунта
3.10. Модифицированны е ура в нения динамики квааидвухфа з ных грун
товых сис тем
Л итер атура
Лекция 4. Прочность грунтов
4.1 . М еханизм отрыва
4.2. М ехан изм сдви га
4.2 . 1. Критерий прочно ст и Куло на- Мора
604
:3
6
8
10
10
20
24
:36
47
49
49
49
51
52
55
56
57
58
59
62
64
64
67
69
72
74
76
77
77
80
80
81
84
91
97
99
103
107
110
112
117
121
122
124
127
132
11
')""
4.2 .2. Кр итерий IIJIO ЧII ot"ТI I Трt>ска
---
Хилл а
4.2. ~~- Крит е рий про•11tост11 Mюccil Бот кин а
4 .3. И ноариантность кри тс ри.ч llfU>'IНOCTII
4 .4. ,Vц• че ние крит е рия прочнос-т 11 oriлa cm ра стяжеюtя
4.5 . Энер ге тически е крит е р1111 про•1ности
.
4.5 . 1. Кри тери й !ip O ЧIHKТII Ми:н' с<l lютки11а
4.5 .2 . КритЕ>рий IIJЮЧ ност н Jlж У·;та
4.5.3 . Критерий ripO•iнocлl Л. li. РаLтка:юва 11:31
4.5.4 . Но вая энерг rт ич<>сК <НI KOIIIl t' IIIIИЯ прочности
4.6. Вли ян ие тра е ктории наг ру жuншt на прочность грунтов
4 .7 . Uиклическая прочно с ть нссuн з ных г рунто в
4.8. Длит ел ьная прочность грунтов
4.9 . Влияние скорости дефо рмаций на прочность грунта
4.10. П ик ов ая и остаточная пр о чность
4. 11 . Заключительные эаме•шнuя
Литер ат ура
Лекция 5. Эксnериментальные исследования деформирования грунтов
5.1. Об элементе об-ьема грунта
5.2 . Аппаратура , приж е няе мая для тр ехос ных и с пытаний
5.3 . Тра ек тория нагруж е ния обраэца
5.4 . О nрайотка трехосных оnы тов и п ор.чсlок расчета мосiулей дефор-
мацtm
5.5. Дилатuнси я
5.6 . И спыта ния в ycлoвtuiX пл оско й д е формацuu
5. 7. Тр ехосн ые испытани я грунт ов при цикличе с кuх воздействиях
5.8. Раэжижение
Литер ат ура
Лекция 6. Уnруговязкость грунтов
б. 1. Упруговяз к ост ь при с татич ес ких воздействиях
6.2. Упруговяэкость при г арм о нически х в оздейст виях
6.3. Оп ределени е упру гов язких характ еристик г рунта
6.4. Опр еделени е динамических модулей упруг ости грунта
6.5. М е тоды опр еделени я парам е тров эатухани я
6.5. 1. Метод гармонических колебаний
6.5.2. Методы распростр а 11ения вол н
6.5.3. И мпул ьсный метод определения в а раметров ра с простран е -
ния ВОЛН
Литератур а
Лекция 7. Деформационная теория пластичности грунтов
7.1 . Общие соотношения дефорлшционной теории
7.2 . Вли я ние пути на г ружения. Опред еле ние раэгруэки
_
7.3. О н е которых вида х уравн е ний состояния де форм ац ионн ои теории
пла с тичн ости
7.3 .1. Зав и с имость формоизмен е ния от иннарнантов тензора на -
пряжений
7.3.2 . Зависимость объе мной nластич еско й деформации от инв а
ри а нтов тензора напряжений
7.;3.3. Деформа llИ О нная модель грунта А. Л. Кржt.lж<Jновског о
7.3.4. Н е линейвы е соотн оше ния Кондн е ра
7.4 . П ри,~tеры ре шени я некот ор ых эадач
7 .4 .1 . Деформируемость и 11 рочность ледо пор одно го 11И Л И н дра
7.4 .2 . Пол з уче С ТЬ OCIIOFI<IHИЯ ИЗ II ЛОТНЫХ ГЛИНИСТЫХ грунтон ПОД
круглым жес тким штампом
7.4.3. Н ел 11нейная консолидания слоя подо н асыщенного гр унта
7.5. Н е которы е матемитичеt:Кil е вопросы дефоо.~tационной тео рии п лас
ти•tн.остu
605
134
137
140
149
150
150
151
151
152
157
160
165
170
171
175
180
181
182
184
1~0
193
199
200
206
212
223
225
225
229
234
236
256
257
258
263
268
268
269
274
283
28З
285
288
289
291
291
296
302
308
7.5.1 . Обобщсш1ая rюстаиовка задач и
7.5 .2 . Одно :тачная разрешимость за дачи и сх одимост ь мет од а
Бубнова - Г алерки 11 <1
7.5.3. Сход имо сть методов у пр угих решений и переменных п ара
метров
Литература
Лекция 8. Теория пластического течения грунтов
8. / . Основные факторы, определяющие дефор.мируе.мость и прочность
грунтов
8.2. Т еор ия пластического течения неупричняющихся грунтов
8.3. Н еассоци ир ованньtй закон течения
8.4 . T eop иJt пластического те чен ия с уп ро чне ни ем
8.5 . Диссипативная функция. 11 ринцип максимума Циглера
8.6 . Т ер модин амика пласти•tеско г о те•tения
Литература
Лекция 9. Математическая модель пластического деформирования грунта
9. /. Вводные замечания
9.2 . Экспериментальные ис следовани я
9.3. М атематич еск ая формулировка .модели грунта
9.4 . Начальная поверхность на г ружения и структурная пр очность гру нта
9.5. ЭкспериJ.tентальная проверка пр едложен н ой ма те.чатическ ой моде-
ли грун та
9.6. Анизотропное упрочнение г рунтовых сред
9.7 . Н екоторые математические в опросы те ории пла ст ич еск ог о течения
в .механике г рунтов
Литература
Лекция 10. Матем а тическая модель вязкопластического поведения грунтов
А. Вязкопластичность грунтов
при статических воздействиях
10.1 . Вязкопластические деформации грунта в допредельном состоянии
Oi~ afoo
/0.2 . Мгнов енны е поверхно сти нагруженшt
/0.3 . Опред ел ени е процессов на г рузки. ра зг рузки и нейтрального на гру-
жения
10.4 . П рогр ессирующая ползучесть
/0.5 . Кратковременная ползу че сть льда
10.6. Ползучесть .мерзлого гру нт а
/0.7 . Расчет длительных деф ормаци й кам е нно -на бр осн ой плотины
Б. Вязкопластичность грунтов
при циклических,
динамических воздействиях
/0.8. Вводные эа мечания
10.9 . П ерви ч ная пластичность
10 . /0. Вторичная пла с тичность
/0. 11. При нц ип Терцаги
10 . 12 . Функции нагружения вторичной вяэкопластичности и формули
ровка процессов на г рузки и ра эг руаки
10.13. Примеры сравнения с экспериментом
/0./4 . Заключительные эамечания
Л ит е ратура
Лекция 11. Предельные теоремы теории пластического течения н устойчн-
308
310
313
318
319
319
324
335
340
349
352
354
355
355
358
365
373
378
384
397
402
403
403
405
410
413
419
423
426
431
437
437
442
443
455
456
459
471
474
чивость грунтовых сооружений
475
1/. 1. .Уравнение виртуальных мощностей однофазных и много фаз ных
грунтовых систем
476
11.2 . Уравнение ви рту альных мощностей двухфазных г рунтов
479
606
~··
l
~1·
i
1/ .3. Т еоремы о пластич е сколt fJil:l f HJIIII'H/111 .-ру нт овых систем пр и ста -
тllч ес ких во:~действuях
f / .4. О критерии разруtш: ншt CUIJfi!JЖ<'HШt u коэффициентах :щпаса
11 .5. .Устойчивость г рунтовых опшсои
1J. б. Напряженное состоянш' 11 устт1чивость сухих и воданасыщенных
откосов г рунтовых насыпl'ti
11.7 . Критер ий пр едельно,•о coc т шtн ll 't с рунтовых сооружений п ри ди
намических воздейстнш1х
1 /.8. Единств ен но сть р еше ншl краивых :.:aciu •t
11 .8 . 1. Те ор е ма единственносrи д.•:н скоростей напряжений
11 .8 . 2 . Единстве ни ость скоростей дефоrм:щии
1! .8 .3. Теорема единственности напряжений
Литерат у ра
Лекция 12. Алгори т мы расчета упруговязких и вязкопJlастических дефор
маний грунтов1>1х сред
12.1. Алгоритftt опреdел е t-ш я пластических и упру г их дефорлщций
грун.та
12.2 . Ал горитм определения упруговяэких u упру<:оняэких-вяэко-
пласлиt ес ких де ф ормаций
12 .3. О сновные принципы n• • rт ро ения а л~оритма о пределен.ия векто ра
полных пере.мещениti
12.3 . 1. Вnодные зaм t''l <ttt ия
12.3 . 1.1. Матем ат ич еское отl'Т) IJ ,н· нн е
12.3.1 .2. Функани формы
12.3.2 . Мето д юв е шенных не вязок
12.3 .2 . 1. М етод Бубнова
-
Га лер кин;;
12.3.2.2. Метод наименьших квадратов
12.3 .;3. Вар11 а ционный метод
12.3 .3 .1 . Граничные уеловин
12.3 .3 .2 . Математиче ск ое отсту н ле ви е
12.3 .4 . При менение вариационной формул ир овк и к :J<illil'lll ~
П .'IОСКОН д РфОрМ<!llИИ MPXi!HИI-'11 CII.!IOIIIHOИ С рrдЫ
12.4 . П р 1ии•нснt1е метада коttс<tных элемента,: к расчету консолидации
квазt/l!tщ .нfю :; ных гр унтан
12.4.1. Общие соотношения
12.4 .2 . 13ывод осн овных со отн ош ени й вычислительного алго
ритм;; МКЭ
12.4.3. Особенности решения системы линейных матричных урав
нений уплотисния гру нт а
12.4.4 . А,~ горит м рс111ения задач иластического течен ня 1·ру11 гон
1:2.4.5. Jамt'чання о сходимости решения 110 методу конечных
:; . ~<"ментов
f 2.5. П puJ1 eнeнue ,иетода конечных элементов к расчету динамической
кон.солидацtш <'fJIJHTOII
12.5 . 1 Ocн<>I!IIЫ< ' t'OOTIIO Ш eii i/Я д ииа мик и од но фаз ны х грунтов
12.5 .:2 . Л\t'TOJ\1>1 IIIIТl'I" PИ POB <JH ИЯ
12.5 .:\_ BI .IIIOJl y paшl<' llиii вычи сл итель н ого а ,lгор и тма дИ II aми
' IL 'l'Koii Т\'Ор 111! KOIII'OJlИДilllИИ ГруНТОВ
.il111,.ра,.ур;1
Заключение
1)()7
481
487
488
496
507
512
512
514
514
51S
5 1()
516
525
;)л
г;~ ·~; -~
539
543
549
550
551
552
553
554
565
565
568
S72
575
bl8
584
584
587
594
()()()
IIOI