Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах - Лужин О.В., Безухов Н.И., Колкунов Н.В.

Author: Лужин О.В. Безухов Н.И. Колкунов Н.В.

Tags: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства строительство строительные конструкции учебное пособие теория устойчивости

Year: 1987

Similar

Неустойчивости и катастрофы в наук и технике

Устойчивость деформируемых систем

Устойчивость упругих систем

Механика сплошных сред

Text

Н.И.Безухов, О. В. Лужин, Н.В.Колкунов
УСТОЙЧИВОСТЬ
И ДИНАМИКА
СООРУЖЕНИЙ
в примерах и задачах
Издание третье, переработанное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве
учебного пособия для студентов
строительных специальностей вузов

Москва • Высшая школа • 1987
ББК 38.112
Б40
УДК 624.04
Рецеваевт—кафедра строгальной мехлкхкм Ленввград-
сяого ордена Октябрьской Революцп в ордена Трудового
Краевого Знамени нвжеяерио*стронтелыюго института (эм.
кафедрой - д-р техн, наук, проф. А. М. Масленников)
Безухов Н. И. и др.
Б40 Устойчивость и динамика сооружений в приме-
рах и задачах: Учеб, пособие для строит, спец. ву>
зов/Н. И. Безухов, О. В. Лужин, Н. В. Колкунов. —
3-е изд., перераб. — М.: Высш, шк., 1987. —264 с.:
ил.
Пособие содержит краткие сведала из теории устоЯлвостн а да-
намикм сооружал*. которые кдлюстраруютса ха при мерой ка рашч-
имя обаастй строктельмоД црактака. Наряду с раявообразаымв пра-
мерамм • кем содержатся вадачм дм самостоятодыгаго pamn. >е
хждамм CJ-e — a IWB г.) всрераОогаао: аоихишв усгаракшД хате-
риал, добавмяы маме задал.
8106000000 (4300000000)—
Б 001(01)—в7
ББК 38.113
8С1
© Издательство «фкшая школа». 1987
Предисловие
Предлагаемая вниманию читателей книга является третьим пе-
реработанным изданием учебного пособия «Устойчивость и динами-
ка сооружений в примерах и задачах». последний раз изданного
в 1969 г. По замыслу и характеру, так же как и предыдущее изда-
ние, это учебное пособие аналогично изданной в 1947 г. книге*, по-
священной теории и практическим методам расчета сооружений на
динамические воздействия.
Книга является учебным пособием для студентов строительных
специальностей при изучении курсе строительной механики; она
может быть использована и в других (нестроительных) вузах в ка-
честве задачника по теории упругих колебаний (гл. В—10), а так-
же может служить практическим пособием для проектировщиков,
аспирантов и инженеров, изучающих и использующих в практиче-
ской работе теорию устойчивости и динамику сооружений.
Цель настоящего учебного пособия — выявление основных зако-
номерностей поведения моделей строительных конструкций при ре-
шении задач устойчивости и динамики. В связи с этим авторы со-
знательно не делают акцента на использовании библиотеки прог-
рамм для ЭВМ, позволяющих решать сложнейшие задачи.
Изложенные в учебном пособии методы на современном этапе
развития строительной механики могут давать достоверные оценки
действительного поведения систем. Однако следует всегда иметь в
виду, что любая расчетная модель — это абстракция, отражающая
основные свойства поведения объекта. И ин одна расчетная модель,
как бы она ни была точна с математической точки зрения, не может
дать решения, точность которого превышает точность исходных дан-
ных.
Книга состоит из двух разделов: в первом изложены теория и
практические методы расчета стержневых систем на устойчивость,
во втором — теория и практические методы расчета сооружений на
различные динамические нагрузки.
Учитывая опыт предыдущих изданий, авторы сочли необходи-
мым н в настоящем издании в каждой главе книги дать краткие
сведения из теории, вполне достаточные для решения задач. Из
различных вариантов записей тех или иных теоретических положе-
ний выбраны наиболее простые н более всего распространенные в
строительной практике. Особенно это относится к тем приемам н
• Баухов Н. И. Динамика сооружений в примерах задачах. М.. 1947.
3
методам расчета, которые аналогичны применяемым в статике со-
оружений. При использовании таких методов расчета, привычных
для инженеров (метод перемещений, начальных параметров и т.п.),
для большей части задач отпадает необходимость в непосредствен-
ном применении и исследовании дифференциальных уравнений, ко-
торые в инженерной практике в значительной степени обременяли
динамические.расчеты и исследования устойчивости сооружений.
Задачи расположены в порядке постепенного усложнения, и мо-
гут быть использованы для закрепления изучаемого предмета, для
итоговых индивидуальных заданий или курсовых работ, а также для
углубленного изучения теории в научно-исследовательских студен-
ческих кружках, семинарах я т. п.
Знаком • отмечены условия предлагаемых задач, знаком ? —
вопросы для самостоятельного, более углубленного анализа реше-
ния задач. Подробные указания или полное решение ряда задач
объясняется желанием помочь студентам-заочникам и специалистам
при самостоятельном изучении теории устойчивости или динамики
сооружений.
Главы 1 — 6 написаны О. В. Лужиным, главы 8—12 — Н. И. Бе-
зуховым, главы 7 и 13 — Н. В. Колкуновым. Общее редактирование
настоящего учебного пособия выполнено О. В. Лужиным. Большая
помощь при подготовке книги была оказана Н. Н. Безуховой.
Замечания и пожелания по улучшению книги просим присылать
по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная, 29114, издательство
«Высшая школа».
Авторы
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ
ГЛАВА 1
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОВОДЫ
Краткие сведения ив теории
При действии статически приложенных сил на упругую или состоящую из
абсолютно жестких звеньев, связанных между собой упругими связями, систему
она может находиться как в устойчивом, так и в неустойчивом состоянии равно-
весия. В первом случае бесконечно малые нарушения состояния равновесия (от-
клонения от первоначального состояния, возмущения от случайных причин, не-
предвиденное увеличение нагрузки и т. п.) исчезают после удаления возбудивших
их факторов. При неустойчивом состоянии малейшие отклонения системы от
положения равновесия приводят к конечному нарастанию деформаций. В теории
статической устойчивости сооружений рассматриваются принципы и методы оп-
ределения значений тех статических нагрузок, при которых система переходит из
устойчивого в неустойчивое состояние, а также тех конечных перемещений, кото-
рые наблюдаются в закрнтической стадии.
Потеря устойчивости I рода (или эйлерова потеря устойчивости)
определяется таким состоянием системы, при котором возможно существование
двух или нескольких форм равновесия, одна из которых (устойчивая форма) ка-
чественно отлична от форм неустойчивых и единственно возможна до достижения
первого критического состояния.
Следует подчеркнуть, что явление потерн устойчивости I рода характерно
для систем, наделенных идеализированными свойствами: строго прямолинейными
элементами, идеальными шарнирами, силами, приложенными на бесконечно ма-
лых участках, узловой передачей внешних нагрузок и т. д. Но такая идеализация,
сохраняющая нетронутыми основные особенности работы сооружений, позволяет
получить достаточно простые и в то же время отвечающие натурным наблюде-
ниям решения.
Задачи о потере устойчивости II рода, т. е. такой потери устой-
чивости. при которой качественно сохраняется характер развития деформаций на
всем протяжении процесса деформирования, будут рассмотрены в гл 6.
Следует, однако, отметить, что приведенная классификация, хотя в часто ис-
пользуется в строительной литературе, не обладает достаточной полнотой, на что
было указано в работах В.' В. Болотина. Г Ю. Джанелидзе к Я- Г. Пановко.
Если воспользоваться кривыми равновесных состояний, явля-
ющимися геометрическими местами точек, каждая из которых характеризует в
плоскости параметров /. Р (f — перемещение характерной точки системы; Р —
силовое воздействие) соответствующее равновесное состояние, то два отмеченных
выше случая могут быть графически представлены схемами I и 2 (табл 1.1).
В схеме 1 стержень до некоторого значения силы Р остается прямолинейным, пос-
ле чего могут иметь место два состояния: неустойчивое (показано на чертеже
точками), я устойчивое (пунктирная линия). Если стержень наделен идеально
упругими свойствами, то пунктирная линия неограниченно возрастает при увели-
б

Схема вмружеш
Крама рвввоаосамх состоанжЯ
6. Цкдкцдрнчесхая оболочка
7. Жесткий стержень
ченнв силы Р. В схеме 2 внецентренно сжатый идеально упругий стержень неог-
раниченно деформируется при увеличении силы Р. Точка А в схеме i носит назва-
ние точки бифуркации. В схеме 2 точка бифуркации отсутствует.
В табл. 1.1 представлен также ряд характерных случаев поведения систем,
хотя и имеющих точку бифуркации, но качественно отличных от той модели, ко-
торая представлена схемой 1. Так, на схеме 3 представлена упругая пластана, под-
крепленная ребрами. Пока сила Р не достигнет значения, соответствующего точ-
ке А, система находятся в состоянии устойчивого равновесия. После эйлеровой
потерн устойчивости пластинка может сопротивляться возрастающей нагрузке
вплоть до потерн устойчивости подкрепляющими ребрами, чему соответствует
точка В на кривой равновесных состояний.
На схеме 4 показана кривая равновесных состояний для прямолинейного
стержня, в котором после потери устойчивости развиваются при изгибе пласти-
ческие деформации. Хотя внешне кривые на схемах 3 и 4 схожи, их существенное
отличие заключается в том, что разность между значениями сил, соответствующих
точкам В и Л, 8 схеме 3 существенно больше, чем в схеме 4. Последнее обстоя-
тельство должно быть учтено при оценке несущей способности конструкций в
практических расчетах.
На схеме 5 представлена так называемая стойко Шекли. В отличие от слу-
чаев I, 3, 4 угол наклона касательной к кривой равновесных состояний в точке Д
на участке АВ отличен и больше нуля. т. е. потеря устойчивости происходит здесь
обязательно три возрастании силы Р. Случай же, показанный на схеме 6, в отли-
чие от предыдущего характерен тем, что в нем угол наклона касательной в точ-
ке А меньше нуля. Кроме того, для этого случая характерно наличие еще одной
особенной точки —точки В, которой соответствует значение силы Рв, носящее
название нижней критической силы. Последняя сила представляет большой инте-
рес при практических расчетах. И наконец, в системе, представленной на схеме 7,
потеря устойчивости происходит при постоянном значении критической силы, од-
нако в системе имеется нижняя критическая сила, значение которой равно нулю.
В табл. 1.2 даны кривые равновесных состояний для систем, не имеющих то-
чек бифуркации, но, как и в разобранных выше случаях, эта системы обладают
определенной спецификой. В системе, представленной иа схеме !. в отличие от
7
в
схемы 2 (табл. 1.1) имеется предельная точка (точна В), после достижения ко-
торой происходит разрушение системы, так как нарастание перемещений проис-
ходит даже при уменьшенном значении действующей нагрузки. Случай 2 харак-
теризует поведение пластичного образца при его растяжении в испытательной ма-
шине. однако он весьма близок к случаю, представленному на схеме I.
Случай, представленный на схеме 3. так же как случаи 1 и 2, обладает пре-
дельной точкой В. но он характерен тем. что в упругом кольце при достижении
критического значения нагрузки возможна серия перескоков из точки В в
точку В? и т. д. Кроме того, отличительной особенностью этого случая является
то, что при нагрузке, превышающей значение Ра. вообще не существует равно-
весных состояний.
В хлопающей мембране (схема 4) и в ферме Мизеса (схема S) также может
быть перескок с одного устойчивого состояния на кривой равновесных состояний
на другую ветвь. Различие в случаях 4 и 5 заключается в том, что при загрузке
хлопающая мембрана возвращается в исходное состояние, тогда как в ферме Ми-
зеса имеют место остаточные деформации.
Особенно характерной является пружина с посаженными витками (схема 6).
В этой схеме ист ни точек бифуркации, ни точек максимума кривой равновесных
состояний, однако в этой системе имеют место перескоки. Если при некотором
значении силы Р. большем значения Р>, дать системе незначительное отклонение,
то произойдет перескок на устойчивую ветвь, показанную толстой пунктирной
кривой.
В табл. U представлены системы с так называемыми следящими силами, т. е.
такими силами, которые при деформации системы изменяют свое направление»
оставаясь, например, перпендикулярными тому поперечному сечению, в котором
они приложены. В обоих случаях отсутствуют как точки бифуркации, так и пре-
дельные точки, однако потеря устойчивости здесь возможна и при достижении си-
лой значения РА — система приходит в движение либо в виде колебаний с воз-
растающей амплитудой, либо в виде апериодического ухода от положения равно-
весия.
Приведенные выше разнообразные случаи поведения систем при их нагруже-
нии наглядно показывают, что деление всех возможных случаев потерн устойчи-
Таблица 1.3. Кривые равмовесиых состояний
Спив аагружашш
Крпаа рвакмесных состмнмА
Упругий стержень при следящей на-
грузке

&
♦кР
воств лишь на дм класса: потерю устойчивости I рода и потерю устойчивости
II рода — не исчерпывает и не характеризует полностью специфику поведении
различных систем. Лишь полный анализ поведении систем в процессе нагружения
позволяет правильно отобразить истинное поведение системы я вынести наиболее
объективное суждение о ее истинной несущей способности.
Однако если исследовать явление потери устойчивости стержневых сис-
тем. оставаясь при этом в области упругих деформаций млн наделяя рассматри-
ваемые системы свойством идеальной упругости* то поставленные при этом задачи,
могут быть решены в рамках деления характерных случаев на дм класса. При
этом не стоит упускать из поля зрения то обстоятельство, что указанный подход
не может охватить всего многообразия задач, с которыми приходится встречать-
ся проектировщику, а при исследовании упругопластических систем, пластин и
оболочек, ни в коей мере нельзя замыкаться в рамках тех представлений, кото-
рые стали привычными и традиционными при изучении стержневых систем.
Попутно также следует отметить, что уточнение расчетных схем, приводящее
к исследованию устойчивости систем с позиции эйлеровой теории за счет учета
начальных несовершенств в системе, виецентренностн приложения нагрузки, неод-
нородности материала н т. п., существенно отражается на качественном поведении
системы. В частности, это приводит к исчезновению точек бифуркации, хотя, как
уже отмечалось выше, определенная идеализация свойств системы позволяет до-
статочно точно определить количественные значения характерных нагрузок. При
этом, однако, следует всегда ясно представлять истинную картину напряженно-
деформированного состояния изучаемых систем.
Число возможных форм неустойчивого равновесия определяется степенью
свободы системы. Под степенью свободы системы понимается число независимых
геометрических параметров, необходимых для определения с нх помощью положе-
ния всех точек системы, потерявшей устойчивость. Стержень, состоящий из аб-
солютно жестких вэеньев, число которых равно двум н которые связаны между
собой шарниром с пружиной (рис. 1.1). обладает одной степенью свободы, так
как неустойчивое состояние системы может полностью определяться лишь одним
параметром (или перемещением шарнира у(, или углом поворота одного из звень-
ев, например ф( и т. д.). Система с четырьмя абсолютно жесткими звеньями,
представленная на рис. 1.2, имеет две степени свободы, а ее положение можег
быть определено двумя параметрами, например, перемещениями у( и у> или yt к у»,
или о» и у,.
В системе с п степенями свободы возможно л форм неустойчивого равнове-
сия, но из них практически вероятна лишь одна, первая, остальные возможны
лишь при создании соответствующих условий.
Нагрузка, приводящая к переходу системы из состояния устойчивого равно-
весия в новое состояние равновесия, которое может быть как устойчивым, так и
неустойчивым, носит название критической ширужи или критической силы, В сис-
теме с одной степенью свободы существует лишь одно значение такой нагрузки.
Если внешняя нагрузка не достигает этого значения, то система находится в со-
стоянии устойчивого равновесия, а если внешняя нагрузка превзошла это значе-
ние, то наряду с первоначальным может существовать иное положение, причем
более вероятное из-за существующих нарушений идеальности системы.
10
Хотя в действительности реальные инженерные сооружения и не являются
системами с одной или несколькими степенями свободы, однако в ряде случаев
подход к реальным системам, как к системам с конечным числом степеней свобо-
ды. позволяет достаточно точно представить истинную работу сооружений. С згой
точки зрения изучение систем с конечным числом степеней свободы может пред-
ставлять большой практический интерес
Существует три основных классических метода для определения критических
сил. Статический метод (или метод равновесия), основанный на рассмот-
рении условий равновесия системы в деформированном состоянии, приводит к не-
обходимости определения критических сил из уравнения, которое можно пред-
ставить в виде следующего определителя:
*13 — ^12^*Р *1я — &1лАф
*за~ ^зЛр *3л — ^Зл^ <Р
*л1 — he?*? *дЗ — яр *дл “ ^ллА«р
где элементы определителя а<а и Ьи зависят от упругих свойств и геометрии сис-
темы. Следует отмстить, что в общем случае Р*? не является множителем для
элемента Ьн, а входит в аргумент трансцендентной функция. Написанное выше
уравнение (1.1) верно только для случая систем, состоящих из жестких дисков.
Энергетический метод основам на использовании условия, что кри-
тическому состоянию соответствует равенство нулю значений первой я второй ва-
риации &U и &U потенциальной энергии U системы в деформированном состоя-
нии, что приводит в случае систем с п степенями свободы к следующим условиям:
/^•=0; — = 0;...;—-О. (1.2)
dyi дуъ дуя
число которых равно л.
Уравнения (1-2) можно также получить, использовав принцип возможных
работ применительно к деформированному состоянию системы. В этом случае для
системы с л степенями свободы составляется л уравнений возможных работ иа
перемещениях, задаваемых приращением каждого из параметров, определяющих
положение системы.
Третий метод решения задач устойчивости — динамический (или к и -
нематический)—является наиболее общим к универсальным. Он тесно свя-
зан с математической задачей об устойчивости движения. Он основан на рассмот-
рении колебаний систем, нагруженных осевыми силами, и определении той на-
грузки, при которой внешнее возбуждение приводит к неограниченному росту ам-
плитуды колебаний во времени.
Следует, однако, отметить, что во всех этих трех методах задача упругой
устойчивости формулируется различно. Так, в первом случае определяется на-
грузка. при которой могут существовать равновесные конфигурация, отличные от
исходных. Во втором методе определяются те нагрузки, при которых потенци-
альная энергия системы перестает быть положительно определенной, т. е. такие
нагрузки, при действии которых в случае малейшего отклонения системы от пер-
воначального состояния выражение для потенциальной энергии, представленное
в виде канонической квадратичной формы, содержит отрицательные коэффици-
енты. И наконец, в третьем методе рассматриваются те нагрузки, при которых
амплитуда свободных колебаний становится неограниченной. Так как эти три за-
дачи существенно отличаются друг от друга, то критические нагрузки, опреде-
ляемые этими значениями, могут не совпадать. Последнее бывает при рассмотре-
нии систем с центробежным и кориолисовым ускорениями, в задаче о выпучива-
нии скручиваемого вала и т. д. хотя для исследования большинства систем, при-
меняемых в строительстве, все эти методы пригодны в равной степени, так как
приводят к тождественным результатам.
Отмеченное обстоятельство, определяемое характером действующих нагру-
зок, вызывает необходимость разделять системы на консервативные и неконсер-
вативные. Причем консервативными называются такие системы, в которых рвбота,
11
совершаемая внешними силами, не зависит от пути, проделываемого силами при
переходе из начального в конечное состояние. Для консервативных систем теоре-
тически все три метода решения задач дают один и тот же ответ. Так как энер-
гетический метод используется для приближенного решения задач устойчивости,
когда приходится задаваться формой упругой линии, то он, как правило, приво-
дит к завышенным значениям критических сил. Последнее связано с тем, что. за-
даваясь приближенной формой упругой кривой, мы как бы накладываем связи на
исходную систему.
Исследование неконсервативных систем необходимо проводить динамическим
методом.
1.1. Устойчивость систем с одной стеганью свободы
Ч i
4
• 1.1. Абсолютно жесткий невесомый консольный стержень
(£/=оо) длиной / закреплен в основании упругоподатливо отно-
сительно поворота (рис. 1.3, а). Жесткость связи — момент, возни-
кающий в основании при повороте опорного сечения на единицу.—
равна k. Необходимо найти статическим и энергетическим методами
критическую силу. Сопоставьте абсо-
лютно жёсткий стержень с упругим
стержнем (рис. 1.3. б), для которого
критическая сила Рм»=ляЕ//(4/5). и
найдите :.то значение я. при котором
критическая сила в абсолютно жестком
стержне равнялась бы критической си-
ле в упругом стержне с известной жест-
костью стержня EJ и той же длиной /.
что и у абсолютно жесткого стержня.
Решение. 1. Решим поставлен-
ную задачу статическим методом. Для
этого рассмотрим абсолютно жесткий
стержень в отклоненном состоянии
(рис. 1.3. а), близком к исходному. Составим условие равновесия
моментов относительно точки 0. При отклонении стержня на угол О
в основании возникает момент 6ЛГ момент от внешней нагрузки от-
носительно точки 0 равен Рб; при учете малости угла 0 можно при-
нять, что 6=/sin Условие равновесия теперь запишется
2 л*0=- ел=Р/е - м=о.
откуда Ркр=к/1.
2. Рассмотрим решение той же задачи энергетическим методом.
Изменение упругой энергии рассматриваемой системы определяет-
ся работой, проделанной силами при переходе системы из первона-
чального в отклоненное положение. Работа силы Р при этом опре-
деляется выражением РД, причем с учетом малости перемещения Д
определяется как
Д=/(1 - cos6)=2Z
Работа, совершенная моментом ОД возникающим в упругой свя-
зи. определяется выражением МР/2.
12
Изменение полной энергии U определится как
£/=-Р/Р/2+Аеа/2.
Критическое состояние будет тогда, когда
^-=-п-(-р/е»/2+ле»/2)=(-р;+*)в-о.
0 9 0 9
Так как 6 отлично от нуля (мы сами мысленно придали системе
отклонение), то условие для определения критической силы запи-
шется
_p/+*=0,
откуда
3. Решим поставленную задачу динамическим методом. Возмож-
ное движение системы характеризуется поворотом стержня относи-
тельно точки 0. Уравнение движения при этом запишется
J-=Pl6-ki.
6 fl
где /—момент инерции массы рассматриваемого стержня относи-
тельно точки 0. Последнее уравнение может быть приведено к виду
(1.3)
где <!)’= (Л—Pl)IJ.
Критическому состоянию будет соответствовать такое положе-
ние, при котором стержень, выведенный из первоначального равно-
весного состояния, получает бесконечные отклонения и не возвра-
щается в исходное состояние. В соответствии с материалом, изло-
женным во втором разделе книги (с. 97), решение уравнения (1.3)
запишется в виде
0=00 сов о/,
где Оо — угол, определяющий начальное отклонение стержня.
В соответствии с последним уравнением стержень при любом
конечном значении со спустя некоторый конечный интервал време-
ни опять вернется в исходное положение н будет совершать неза-
тухающие колебания, если не учитывать сил сопротивления, отно-
сительно положения устойчивого равновесия. Период этих колеба-
ний определяется величиной Т=2л/ы.
И 'лишь в случае, когда период колебаний стремится к беско-
нечности, система, выведенная из состояния равновесия, практиче-
ски не вернется в первоначальное устойчивое состояние. Но при
стремлении периода к бесконечности частота со стремится к нулю,
что позволяет записать условие
щ2=А-Р/=0,
из которого можно найти значение критической силы
Р„=Л11.
13
4. Чтобы определить ту жесткость А, при которой Р»ф в абсо-
лютно жестком стержне равно Ркц в упругом стержне, следует при-
равнять значення критических сил
л’ГУ/(4^)=А//,
откуда искомая жесткость определяется как
А=л’£У/(4Л).
? При определении /Ър статическим методом мы рассмотрели рав-
новесие системы, составив соответствующее условие равновесия. Ту
же самую задачу можно решить, воспользовавшись принципом воз-
можных работ, согласно которому сумма работ внешних и внутрен-
них сил на возможном перемещении, если система находится в рав-
новесии. должна равняться нулю. Как использовать этот принцип
для решения поставленной выше задачи?
• 1.2. Определить статическим и энергетическим методами кри-
тическую силу для системы (рис. 1.4. а); коэффициент жесткости
Рис. 14
Ряс. 15
пружины в середине стержня относительно взаимного угла поворо-
та двух смежных сечений равен А. Из равенства горизонтальных
смещений в точке, расположенной посредине пролета, от сосредо-
точенной горизонтальной силы, действующей в той же точке, в дан-
ной системе и в упругом стержне с жесткостью EJ (рис. 1.4, б),
найти приближенное значение критической силы в упругом стерж-
не и сравнить полученный результат с точным
Рмр=л«ЕУ/Р.
Ответ. Критическая нагрузка для системы, состоящей из абсолютно жестких
дисков, Pw4bll. Приближенное значение критической нагрузки для упругого
стержня Рир—12 £///*. что на 21% отличается от точного.
• 1.3. Определить критическую силу для системы с одной сте-
пенью свободы, состоящей из абсолютно жестких дисков (рис.
1.5. а). Значення коэффициентов жесткости в шарнирах разные:
14
Ai и (рис. 1.5. б). Задачу решите статическим и энергетическим
методами.
Отт «(А. и.+ММ-Д^.Л/ГЛЫА+Ы b
• 1.4. Определить критическую силу для системы (рис. 1.6). со*
стоящей' из двух абсолютно жестких дисков, связанных упругой
связью с жесткостью k.
Ответ. Рхр- А/в.
? Каким методом (статическим или энергетическим) проще ре-
шить эту задачу?
Рас. !.«
РК. 1.8
Рас. 1.7
• 1.5. Определить критическую силу Рьр для рамы, состоящей из
жестких дисков (рис. 1.7). с упругими связями в верхних узлах,
жесткости которых равны и А>.
Ответ. P^~2(kl+ki)lh.
? Как в рассмотренной системе влияют на значения критической
силы следующие факторы: а) величина пролета рамы, б) перемена
местами упругих связей, в) исключение одной упругой связи и на-
деление другой связи новой жесткостью, равной сумме прежних,
г) перестановка узловой нагрузки из левого верхнего узла в правый,
д) перестановка нагрузки из узла в пролет ригеля, е) замена сосре-
доточенной силы Р. равномерно распределенной по ригелю нагруз-
кой интенсивностью q=Pjh?
• 1.6. Определить значение критического параметра а. при кото-
тором пронзо1иет потеря устойчивости системы, представленной на
рис4. 1.6 н состоящей из абсолютно жестких дисков, связанных меж-
ду собой упругими связями с жесткостями А|. Аа, и А4.
Ответ.
• 1.7. Определить значение критической нагрузки для двухэтаж-
ной рамы, составленной из абсолютно жестких звеньев, шарнирно
соединенных между собой и наделенных в узлах упругими связями,
жесткости которых относительно взаимного угла поворота сечений
показаны на чертеже (рис. 1.9, а).
15
Указание. Форма потерн устойчивости показана на рис. 1.9.б.,6озмнкажь
щяе при этом моменты в узлах зависят от изменения первоначально .прямых уз-
лов между звеньями, что к показано на рис. 1.9. в. Задачу рекомендуется решить
энергетическим методом.
Ответ. />ж»-(*+Л1+М/(20.
Рк. 1.3
• 1.8. Определить критический параметр для сил, действующих
на водонапорную башню, показанную на рис. 1.10, считая ее абсо-
лютно жесткой. Коэффициент постели ли-
нейно деформируемого основания с, а
момент инерции сечения в основании ра-
вен /00>
Указание. Данная задача сводится к за-
даче 1.1. но с несколькими силами, действующими
в разных точках.
Ответ: a^—cJ^IUPt+P^P^h], где Л=
= (Р|Л|+Р1Л1+ЯЛ)/(>|+Рг+-^в) — ордината
центра вертикальных сил.
• 1.9. Определить соотношение сил
Р и Р|, действующих на систему, пред-
ставленную на рис. 1.11, а, при котором
указанная система будет находиться в
равновесии. Установите, будет ли это со-
стояние равновесия устойчивым.
Решение. Для того чтобы устано-
при котором рассматриваемая система
будет находиться в равновесии, воспользуемся условием равновесия
моментов сил относительно опорного шарнира =Ра—Р,а=
=0, откуда получим Р|=Р.
Для того чтобы выяснить, является ли данное состояние равно-
весия устойчивым или нет, рассмотрим состояние системы, близкое
к равновесному (рис. 1.1 L б). Учитывая малость заданных переме-
щений. получим <Д=>аУг 20. Величины Д1=Дз=А/У/Г 2. Нетрудно
1Й
видеть, что перемещение Д> меньше, чем перемещение Ль Началь-
ное значение потенциальной энергии системы примем равным нулю.
Смещение вертикальной силы Р приводит к отрицательному при-
Рвс. 1.1В
ращению энергии (—P&i). Горизонтальная сила определяет увели*
чение энергии системы на величину Р&$. Суммарное значение по-
тенциальной энергии (ее прираще-
ния) будет отрицательным, так как
выражение (—РД|) по абсолютной
величине превышает РА* Увелнче*
нне перемещений системы приводит
к уменьшению потенциальной энер-
гии системы, а это значит, что систе-
ма находится в условиях неустойчи-
вого равновесия.
• 1.10. Определить критическое значение сил Р, действующих на
шарнирно-стержневую систему, состоящую из абсолютно жестких
звеньев (рис. 1.12).
Ответ. Аф—0.
1Д. Устойчивость систем с двумя и несколькими степенями свободы
• 1.11. Для систем, состоящих из абсолютно жестких дисков (рис.
1.13, о, б. а, а), определить число степеней свободы.
17
перемещение точки С
• 1.12. Определить значения критических сил в системе, пред-
ставленной на рис. 1.14. а Стержни абсолютно жесткие, жесткости
упругих связей k относительно взаимного угла поворота сечений в
шарнирах одинаковы. Задачу решите
статическим, энергетическим н динами-
ческим методами.
Решение. 1. Рассмотрим опреде-
ление критических сил статическим ме-
тодом. В этом случае обратимся к про-
извольному возмущенному состоянию
(рис. 1.14. б).
Горизонтальная реакция S в верх-
нем опорном стержне будет равна ну-
лю. в чем нетрудно убедиться, если
взять сумму моментов относительно
нижнего шарнира Л.
Составляем уравнения равновесия
относительно шарниров С н В, рас-
сматривая при этом либо верхнюю, ли-
бо нижнюю части стержней. Перемеще-
ние точки В по горизонтали, учитывая
малость угла щ, представим как а>/, а
по горизонтали равно aj. Взаимный угол
поворота сечений в шарнире В равен (в|—оз)+а1 = 2а|—ai. вза-
имный угол поворота сечений в шарнире С равен сц—(в|—чаи) =
=2ад-—-а».
Уравнения равновесия запишутся
Ра^—(2а,—о>)Л=0;
PaJ—(2О| — <ц) k=0.
Представим систему уравнений в виде
^/-адоа+Ла^О;
Ла2-|-(Р/—2й)а!=0.
Приравняем определитель данной системы уравнений нулю
plM-2* k |
| k P/-2*|
Раскрывая определитель, получим следующее уравнение второй
степени:
РРа-4А/Р+ЗА«=0.
Решение уравнений получим в виде
Р=(4Л/ ± /16Л*Р-12Л’Р)/(2Р).
откуда получим два значения критической силы
Ржр|=(4Л/ —2А/)/(2Р)=А//;
Рж1вь=(4А/+2Л/)/(2Р)=ЗЛ//.
18
2. Решение энергетическим методом проводится следующим об-
разом. Определяем величину перемещения точки приложения осе-
вой силы
А =/(I — cos 04)+1 <I — cos а) 4-/[ 1 - cos (а, — а^]»
%[а’+^+С0!— — OjOj-f-a?) .
Изменение энергии системы, обусловленное перемещением си-
лы Р. если принять за начало отсчета устойчивое равновесное со-
стояние, можно представить в виде
— РА = — PZ(a?—ajdj-l-a’) .
Знак минус здесь показывает, что смещение силы направлено по
направлению действия силы, а это приводит к понижению энергии
системы.
Потенциальная энергия, накопленная в упругой связи при шар-
нире С, определяется выражением Л(2аа—<xi)*/2, а энергия, на-
копленная в упругой связи при шарнире В, равна £(2ai—аг)*/2.
Выражение, определяющее изменение полной потенциальной
энергии системы, запишется
l/=-/>Z(a?-a,o3+a?)+*(2a,-aIy>/24-*(2e1-alF/2. (1.4
Для получения уравнения устойчивости продифференцируем вы-
ражение для полной потенциальной энергия по параметрам а( и <ц,
что дает
-= — Pl (2aj — о,) — йсгсц— at)-|- 2й (2ах — а^О;
слц
^-=-Р/(-о1+2а,)+2Л(2а,-а1)-А(2а1-аа)=0.
СКХ2
Перепишем полученную систему уравнений в виде
— (2PZ — 5А) О| Ц-(Р/ — 4Л) 02=0;
(Pl—4k) al - (2PL - 5Л) а3=0.
Определитель системы уравнений приравняем нулю
I—2PZ-J-5A Pl — 4k I
I PL-4k -2PZ4-5A I
Раскрывая определитель и производя элементарные преобразо-
вания, получим квадратное уравнение
РР2_ШР+ЗА2=0,
которое полностью совпадает с квадратным уравнением, получен-
ным статическим методом.
3. Воспользуемся теперь динамическим методом. Составим урав-
нения, определяющие движение системы, представленной на рис.
18
1.14, а. Уравнения движения в рассматриваемом случае лучше все-
го получить, использовав уравнения Лагранжа:
(к=1, 2....).
d / \ / dq* ддц
в которых К—кинетическая энергия системы; U — ее потенциаль-
ная энергия; дь— обобщенные координаты; t — время. Точкой обо-
значены производные обобщенных координат по времени.
Кинетическая энергия системы
К =/,а?/2+/,(а, - i,)’/24- /,<#2.
Потенциальная энергия системы была определена выше (уравне-
ние (1.4)]. Независимыми координатами являются углы сиис^. Так
как система имеет две степени свободы, то дважды используем урав-
нения Лагранжа, полагая ^i=ai и ^а=<х2. В результате приходим
к следующей системе уравнений:
Л«|+/»(«|— «?)= —2Л(2а, —а^+Л(2а,—о,)-|-^С2«1-<Ч):
—/, (а, — а») 4-/^,=Л(2а, — а,) — 2Л (2а,—а,)-|- Р/ (— а, -|- 2а,).
которую после элементарных преобразований можно представить
в виде
/А + Л (®i — ог) =( — 5*4-2Р/) СЦ — (— 4Л+PZ) о*;
— A (ai — аз) + ааз= —(— 4й-|- PZ) Oj -|-( — 5А-[" 2PZ) Oj.
Уравнение частот при этом может быть получено из определи-
теля
I-5*+2Р*+/1^ + /*«»2 4Л-Р/-/^ | 0
| -бл+гр/^/^+Аш21 ’
где to — частота собственных колебаний. При действии на систему
критической нагрузки частота должна обратиться в нуль (см. зада-
чу 1.1), тогда из уравнения частот получаем определитель устой-
чивости:
1-БЛ+2Р/ 4k —Pl I
| 4k —Pl —5^4»2PZ| ’
из которого следует уравнение для определения критического зна-
чения нагрузки, полностью совпадающее с тем, которое было по-
лучено при решении задачи статическим и энергетическим мето-
дами.
• 1.13. Решить ту же задачу, что и в предыдущем примере, толь-
ко с учетом условий симметрии системы.
Указание. Предположите, что в рассматриваемой системе с двумя степе-
нями свободы возможны две формы потери устойчивости (рис. 1.15,а, б), одна
из которых является симметричной относительно середины пролета, а другая —
обратное нмметркчной.
20
Рж. 1.16
Решение. Рассмотрим симметричную форму потери устойчи-
вости (рис. 1.15. о). Прибегая к использованию статического мето-
да расчета, получим следующее уравнение равновесия моментов
относительно шарнира С:
откуда Р|ф=АД, что совпадает с первой критической сцлой, полу-
ченной в предыдущей задаче.
Далее рассмотрим обратносимметрнчную форму потери устой-
чивости (рнс. 1.15, б). Угол поворота среднего элемента е может
быть определен из условия равен-
ства проекций отрезков CD ц СВ на
горизонталь, т. е. ахва/2. откуда
e=2aj. Уравнение равновесия мо-
ментов относительно шарнира С за-
пишется
2Afc=P/a2-A3a3=0,
откуда имеем Р1ф=ЗА//, что совпа-
дает со второй критической силой,
найденной в предыдущей задаче.
? Какая форма потери устойчиво-
сти определяет предельное состоя-
ние системы; какая критическая
сила, Лф| или Р»<р2, является расчет-
ной?
• 1.14. Два бесконечно жестких
стержня связаны между собой шар-
ниром (рис. 1.16) и оперты на упругие стержни, жесткость кото-
рых равна k. Определите критическое значение силы и найдите
формы потерн устойчивости.
Ответ. АФ1-0.38А/; 2.62JW.
Рже. 1.16

• 1.15. Бесконечно жесткие стержни соединены между собой шар-
нирами и шарнирно прикреплены к консольной балке, жесткость
которой равна EJ. Определите значения наименьших критических
21
сил в предположении, что: а) сила действует в верхнем шарнире
(рис. 1.17); б) сила действует в среднем шарнире.
Ответ, a) б) Р*р1=4.ВЕЦР.
• 1.16. Определить значения критических сил для абсолютно
жесткого стержня (рис. 1.18). Жесткости верхней и нижней упругих
связей соответственно равны fei и k2. Решите также задачу в част-
ном случае, когда ki=k^=k.
Ответ, а) /’«-<». В частном случае Ptvi-Mf2.
• 1.17. Определить значения критических сил в системе, пред-
ставленной на рис. 1.19, а. Элементы системы бесконечно жесткие.
Рае. 1Л
Жесткости связей равны Л| и Каковы критические силы, когда
Л1=Л2=Л. Найти формы потери устойчивости.
Ответ. Рып=Ы&, PU99=MJ3. Формы потери устойчивости представлены на
рис. 1.19.6 и в.
• 1.18. Определить значения критических нагрузок для системы,
состоящей из жестких дисков (рис. 1.20), причем жесткости упру-
гих связей в шарнирах одинаковы и равны k.
Указание. Воспользуйтесь условием симметрии системы и действующей
нагрузки.
Ответ. Р„|=»0Л9*//; Рт-3,41Л/1; Р.м-бА/Г.
• 1.19. Определить число отдельных жестких дисков весом q,
упруго связанных с жесткой конструкцией (рис. 1.21), при котором
не произойдет потери устойчивости системы. Длина каждого дис-
ка й, жесткости всех опор, кроме инжней, шарнирной, равны k.
Указание. Задачу решите энергетическим методом, рассмотрев возмож-
ную форму потери устойчивости.
Ответ. л<(ЛЛ/4+Б)/4.
22
ф 1.20. Определить наименьшую критическую нагрузку для си-
стемы. представленной на рис. 1.22. Жесткость связей одинакова
и равна Ь.
Ответ. при//с(>4//п: Р.р—ty-‘(l <2Ы1//>+9/64)-1
nPHf/d<4//U.
• 1.21. Составить выражение для критической силы, если стой-
ка (рис. 1.23) заключена в линейно деформируемую среду (коэф-
фициент постели С) и шарнирно прикреплена
к одной опоре.
Ответ. Рмр-СР/3.
• 1.22. Установить соотношение для нагру-
зок Р| и Ръ действующих на раму (рис. 1.24),
помещенную в линейно деформируемую среду
Рис. 1.21 Рве. 1.22 Рж. 1-23
с коэффициентом постели С, при котором рама теряет устойчи-
вость. Жесткость упругих связей в узлах относительно поворота се-
чений равна k.
Ответ. Р^Р^2СР^-2кЦ.
• 1.23. Составьте выражение для определения критической силы
в системе (рис. 1.25). заключенной в линейно деформированную
среду (коэффициент постели среды равен С). Жесткости упругих
связей в шарнирах относительно поворота равны kit As и Л. Заданы
также соотношения между сосредоточенными нагрузками: Ро=
*ОоР, Р|«<Х|Р и Pi^asP, причем <io-Hii+aae I-
где р — G/Zj; X = ooXi + <4(а + + р?*1) + 02 1 + р*
• 1.24. Определить минимальное критическое значение нагрузки
для каркаса здания из крупноблочных элементов (рис. 1.26). При
23

определении критической нагрузки предположите, что система со-
стоит из недеформируемых жестких элементов, соединенных меж-
ду собой линейно деформируемыми связями с жесткостью k
(рис. 1.27). Моменты, возникающие по концам жестких элементов,
пропорциональны изменению углов. Давление перекрытий на каж-
дую стойку равно Р.
Решение. Воспользуемся методом перемещений. Основная си-
стема представлена на рис. 1.28, а. Число неизвестных равно пяти
по числу добавленных горизонтальных связей, препятствующих ли-
нейному смещению узлов рамы.
Канонические уравнения метода перемещений при этом запи-
шутся так:
Г11^1 4"Г12^2+Г1Э^з+Г14^4"Ь Г15^5=0;
Г21^1 +
I 14“ а 4" 4+r3S ^5=0 •
Г41% 14" г42^а4" Г4»^8 4" Г44^4 4" Г45^5Г=Ф
^14-^а4-^з4-^44-г5^5=о.
Система однородных уравнений имеет ненулевое решение лишь
при условии равенства нулю определителя, составленного из коэф-
фициентов при неизвестных:
Г11 г12 г18 г14 Г1Б
Г21 Г22 Г2Я г84 Г25
Г31 r92 rt3 Г34 Г36
Г41 Г42 Г48 Г44 Г45
Г51 Г52 Г53 ГМ Г55
= 0.
Для нахождения коэффициентов канонических уравнений рас-
смотрим единичные состояния, придавая последовательно единич-
ные смещения первой дополнительной связи (рис. 1.28, б), второй
дополнительной связи (рис. 1.28, в) и т. д. При определении реак-
ции Гц, f|2=/’2b г2з и других учтем продольные силы и воспользу-
емся принципом возможных работ. Учтем, что при смещении верх-
него конца стойки на единицу по горизонтали этот конец смещается
также и по вертикали. В соответствии с рис. 1.28, г имеем, что это
смещение равно Л(1—соэф) или, что то же, 2hsina (ф/2), но ма-
лость угла ф позволяет от sin (ф/2) перейти к ф/2, тогда вертикаль-
ное смещение конца определится как 2Л(ф/2)2 = Лф*/2. Составим
теперь уравнение возможных работ при смещении первой связи,
учтя значения моментов, действующих в узлах и равных фЛ, силы
Р. действующие в верхних узлах, и реакцию Гц. За возможные пе-
ремещения примем те, которые характеризуют возврат системы в
начальное неотклоненное состояние. Тогда можно записать
-2РЛ^/2 + 4^+гп=0,
25
откуда после элементарных преобразований получим
П1 = Л^(Р-4Л/Л).
Реакцию гп найдем из условия равенства нулю суммы проекций
всех сил на горизонтальную ось и учтем, что она имеет отрицатель-
ный знак, так как ее направление не совпадает с направлением
реакции г»:гц^г8|=—rti=htf(P—4Л/Л).
Для нахождения реакции гл рассмотрим схему, представленную
на рис. 1.28, а. При составлении уравнения возможных работ уч-
тем. что вертикальное перемещение сил Р, действующих на верх-
ние узлы, будет вдвое больше перемещений узлов этажом ниже, а
перемещения последних равны htf/2. Уравнение возможных работ
теперь можно записать как
-2Р2А«р/2-2РЛ^/2+8А^+гя=0.
откуда следует
гя=А^(ЗР-8А/Л).
Зная ги и гц, находим rw=—ra-f-ri2.
Аналогично определяются реакции от смещения остальных до-
полнительных связей. При этом следует обратить внимание на то,
что отличными от нуля оказываются элементы, расположенные на
нисходящей диагонали определителя и смежные с ними. Нетрудно
также подметить, что представляется возможным записать следу-
ющие соотношения гц=— г«; гя=—ri2—гм; гм=—ги—r43; г^=
=—гы—гм=—г<в—Ге-
Подстановка найденных реакций в определитель устойчивости
дает
"гм Гц О
гя ~г12~ги ги
О гп -~гъ~г<л
О 0 гм
0 0 0
0 0 0 0 гм 0 — Г84“ГМ Г45 ГМ —Г65 = 0.
Для приведения полученного определителя к диагональному ви-
ду последовательно сложим все элементы второй строки с эле-
ментами первой, элементы третьей строки сложим с полученными
элементами второй строки и т. д.. что позволяет записать
-гп ги 0 0 0
0 ~~гл га> 0 0
0 0 ~ги гм 0 =0.
0 0 0 — гы
0 0 0 0
Раскрывая полученный определитель, будем иметь — г^дои^Х
Хгм=0, откуда записываем уравнения для определения значений
критических сил: гц=0; гм=0; гм=0; гм=0; гЛ=0. Подставляя
26
в уравнения найденные выражения коэффициентов канонических
уравнений, получаем пять значений критических сил:
РКР1=4Л/Л; Рмр,=2Л/А; Ржр3= I .ЗЗА/Л; P^k/h; P^OM/h.
Минимальное значение критической силы Аф=0,8Л/Л.
ГЛАВА 2
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ
Крапом сведения ив теории
При рассмотрения упругих систем (реальных балок, рам и арок) с бесконечно
большим числом степеней свободы, а такими являются все системы, у которых
для определения деформированного состояния необходимо знать перемещения всех
поперечных речений, используются методы, отмеченные в предыдущей главе: ста-
тический. энергетический к динамический. Первый и последний позволяют нахо-
дить точные решения. На втором методе, как правило, основываются приближен-
ные решения; приближенные решения можно также найти первым и третьим ме-
тодами, если использовать конечно-разностные представления дифференциальных
уравнений устойчивости, вариационные методы решения дифференциальных урав-
нений. численные методы, метод конечных элементов.
При решении статическим методом задач устойчивости систем с
бесконечно большим числом степеней свободы необходимо рассматриваемой сис-
теме придать деформированное состояние, соответствующее состоянию, качествен-
но отличному от того, которое характерно при нагрузках, меньших критических.
Например, рассматривая устойчивость сжатого стержня, надо обратиться к иссле-
дованию изгиба этого стержня. Изучая устойчивость симметрично нагруженной
арки, следует рассмотреть обратносиммстрнчную форму изгиба арки я т. д. Далее
следует составить дифференциальное уравнение равновесия и найти его решение.
При исследовании эакритмческого состояния, характеризуемого бесконечно
малыми перемещениями, величины которых намного меньше длин элементов сис-
темы, дифференциальные уравнения равновесия будут линейными.
При определении критических значений рассмотрение граничных условий поз-
воляет получить соответствующее число однородных алгебраических уравнений.
Так как нетривиальное решение системы однородных уравнений возможно лишь
при равном нулю определителе, составленном нз коэффициентов при неизвестных,
то это позволяет получить уравнение устойчивости, корни которого определяют
значения критических нагрузок.
При исследовании плоской стержневой системы, элементы которой в устой-
чивом состоянии подвержены лишь* осевому сжатию, а в неустойчивом — и изгибу,
задача об определении критических сил сводится к решению приближенного урав-
нения изгиба
«8-* <2,)
где х—координата некоторой точки осн элемента; у —прогиб этой точки; Е —
модуль упругости; J — момент инерции поперечного сечении; М — изгибающий мо-
мент от внешних сил, которыми в рассматриваемом случае являются силы, дейст-
вующие вдоль осей элементов, причем в случае, представленном на рис. 2.1,
(2.2)
Если подставить выражение (2.2) в уравнение (2.!). то получим дифференци-
альное уравнение возмущенного равновесия упругой системы
(2.3)
О X*
27
(2-4)
Непосредственное интегрирование однородного дифференциального уравнения
упруго* линии (23) позволяет записать решение • виде
р = Л cos vx 4-Bain иг. (2.5)
В отдельных случаях уравнение (23) оказывается неоднородным в его пра-
вую часть входят члены, содержащие опорные реакции.
Для определения постоянных интегрирования и неизвестных опорных реакций
следует рассмотреть граничные условия, число которых равно числу
Неизвестных постоянных плюс число неизвестных опорных реак-
/1 ций, содержащихся в решении дифференциального уравнения
(2.1). что позволяет записать соответствующее число однородных
алгебраических уравнений, определитель В (и) которых равен ну-
лю:
D(v) = O. (2.6)
Элементным определителя О (и) являются геометрические ха-
рактеристики системы, а также параметры о (2.4) и трансцендент-
ные функции от этого параметра. Если рассматривать выра-
жение (2.6) как уравнение устойчивости, то представляется воз-
можным найти параметры о, обращающие в нуль определитель,
а следователыю. и все значения Р. соответствующие критическим
состояниям системы, т. е. переходу системы из устойчивого со-
стояния в неустойчивое или переходу от одного неустойчивого со-
стояния к другому.
Приближенное уравнение (2.1). которое получено путем за-
мены истинного выражения кривизны на вторую производную, не
дает возможности установить ординаты упругой линии в закри-
тнческом состоянии, оно определяет лишь характер упругой линия. Для более
полного исследования положения системы в закритяческом состояния следует
прибегнуть к решению точного нелинейного дифференциального уравнения упру-
гой линии, которое будет рассмотрено в гл. 7.
Наряду с рассмотрением уравнения (2.1) при решении задач устойчивости
центрально сжатых систем с прямолинейными элементами постоянного попереч-
ного сечения в отдельных случаях целесообразно прибегнуть к решению диффе-
ренциального уравнения четвертого порядка
W* +#>р,,-о. (2.7)
Его решение может быть записано в виде
у — Cj cos vx 4- С2 Bln vx 4- C>x I- C«. (2.8)
Если выразить произвольные постоянные через начальные кинематические н
силовые факторы у©, уо*. Af0 и Q©. а затем получить выражения для аналогичных
факторов в любом поперечном сечении, то можно записать формулы метода на-
чальных параметров:
. _ I—CO3VX л VX—SiOUX
у “ м> + Но* - л<0---р--------Сь :
, valour „ 1—совох
у1 - Уо- Af0-----------Qo------р : (2.9)
sin их
М «= Л<о cos их 4- Qo —"— ’•
Q«= - Afou ain их 4- Qo w
В формулах (2-9) поперечная сила Q предполагается направленной перпен-
дикулярно изогнутой осн стержня. Если перейти к поперечной силе Q. отнесенной
28
к неяскриалеииой первоначальное оса, то соответствующие формулы метода на-
чальных параметров будут иметь вид
, atavt 1—cos ох — ox —sinox
y-lrt) 4-I/O—“-----—p -Go —;
, vain ox » 1— cos ox
/ *= V0cos ox — Mo —------— Vo-----jp :
, (210)
/ .. -ж 8,0 vx
M = yrf>EJ ain vx + Mo cos vx + (Л ———;
C-Qo.
При использовании метода начальных параметров в общем слу-
чае приходится имел» дело с рассмотрением определителя четвертого порядна, хо-
тя в простейших случаях при определении арктических сил решение получается
при рассмотрении определителя второго порядка.
Если стержень имеет переменное по длине поперечное сечение и момент инер-
ции последнего изменяется по закону /(х), то для случая, представленного на
рис. 2.1, дифференциальное уравнение изгиба запишется
Аналогично (2.7) данное уравнение с учетом переменности момента инерции
по длине стержня запишется.
<2п>
Решение последнего уравнения будет иметь внд, отличный от решения, пред-
ставляемого выражением (2.8). Так, если момент инерции поперечного сечения
/(х) изменяется по закону хН/а*, то вместо решения (2.Б) получим
у = Vx [л «In In -yj + В со, (р In -yjj.
гм » =Ко>А/(Й/)-1/4.
В том случае, когда подкоренное выражение оказывается отрицательным, от
функций тригонометрических следует перейти к гиперболическим.
Если закон изменения момента инерции поперечного сечения определяется
более сложной аналитической зависимостью, а также к тогда, когда продольная
нагрузка распределена по длине стержня по сложному закону, решение уравне-
ния (2.11) может быть проведено приближенными методами с использованием
ЭВМ.
Прн исследовании плоских рам. несущих лишь узловую нагрузку, не вызыва-
ющую изгибающих моментов в сечении элементов до потерн устойчивости, может
быть использован в простейших случаях метод начальных параметров, а в болев
сложных случаях используют метод сил, метод перемещений, смешанный метод,
метод конечных элементов, который еще не нашел широкого использования при
решении задач устойчивости.
При реализации классических методов можно считать элементы рамы несжи-
маемыми к иерастягиваемыми, не принимать во внимание изменение расстояний
между узлами при изгибе элементов после потери устойчивости, а также не учи-
тывать изменения угла наклона сечений, вызванного изгибом, при определении
поперечных сил.
Методом сил расчет рам проводится в такой последовательности. Оп-
ределяют число лишних неизвестных и выбирают основную систему, причем эле-
менты, испытывающие сжатие от действия узловых нагрузок. в основной системе
должны иметь либо шарнирно неподвижно опертые, либо один защемленный.
29
а другой свободный концы. Строят шпоры моментов от единичных лишних неиз-
вестных В тех элементах основной системы, которые испытывают сжатие от уз-
ловых нагрузок, при построении эпюры следует учесть дополнительный изгиб эле-
ментов, обусловленный осевой силой, что и показано на рис. 2.2, а н б.
Далее определяют коэффициенты канонических уравнений, причем в тех слу-
чаях, когда эпюры прямолинейны, их интегрирование проводится по правилу Ве-
рещагина. а при интегрировании криво-
линейных эпюр следует воспользоваться
формулами, приведенными в табл. 2.1.
Так как система канонических урав-
нений однородна, то определитель, со-
ставленный кз коэффициентов при неиз-
вестных, должен равняться нулю
Р(о)жз
*11 (0 *31 (V) *12(0 *22 (v) *1Я (V) *2д (0 = 0,
*«i(0 *Я2(0 *яд (0 1 [2.12)
Рис, 99 где л — число лишних неизвестных.
Рассмотрение выражения (2.12) как
уравнения относительно о дает возмож-
ность найти все те значения о, которые соответствуют критическим значениям
узловых нагрузок. Обычно решение уравнения (2.12) в замкнутом виде затруд-
нительна Оно проводится заданием произвольного значения v, определением с
помощью табл. 2.2 значений функций а(о). Щр), 0i(o), 6i(p)> 6>(о) и вычис-
лением значений определителя (2.12). Отмеченный алгоритм эффектявно реали-
зуется на ЭВМ.
Однако следует подчеркутъ. что условия, накладываемые на формирование
основной системы метода сил, существенно снижают эффективность этого метода.
При расчете рам методом перемещений последовательность реше-
ния такая же, что и в случае расчета рам на прочность. При построении эпюр сле-
дует. как и в методе сил, учесть их криволинейность на тех элементах основной
системы, которые испытывают действие осевых сил. Характер этих эпюр, значення
ординат и выражения для соответствующих функций приведены в табл. 2.3.
Значения функций <Pi(t>). Фв(о). фз(о), ф4(о), цДо), т)з(°) приведены
в табл. 2.2. и 2.4.
В методе перемещений, так же как и в методе сил. решение задачи об опре-
делении критических сил сводится к отысканию корней уравнения устойчивости,
получаемого приравниванием в этом случае нулю определителя
D(0» Hl (0 '21 (0 '12 (0 '22(0 'IB (0 '2л (0 = 0, (2.13)
'•I (0 'на (0 'ЯД (0
сформированного из коэффициентов при неизвестных в канонических уравнениях
метода перемещений.
Расчет как методом сил. так и методом перемещений значительно упрощает-
ся в случае симметрии системы и действующих на нее нагрузок, при этом отдельно
рассматриваются симметричные и обратяосимметрнчные формы потери устойчи-
вости и соответствующие им критические силы или параметры.
При расчете на устойчивость некоторых типов рам эффективным оказывается
смешанный метод, который повторяет известкую процедуру расчета на
прочность с учетом специфики, характерной для метода сил при рассмотрении
задач устойчивости.
30
Таблица 2.1 Результаты интегрирования криволинейных эпюр
Все отмеченные выше методы могут быть использованы при расчете устойчи-
вости сжатых арок, комбинированных систем, изгибаемых балок и других плоских
н пространственных систем.
Критические силы можно также определить методом введения до-
полнительных нагрузок. В этом случае к исследуемой системе прикла-
дываются некоторые произвольные поперечные нагрузки, составляются и решают-
ся дифференциальные уравнения равновесия с учетом осевых сил. Значения осе-
вых сил, при которых перемещения системы будут неограниченно возрастать, яв-
ляются критическими. Достоинство этого приема заключается в том, что при его
применении нет необходимости решать уравнения устойчивости. Недостаток его
в том, что при неудачном приложения поперечной нагрузки можно потерять наи-
меньшие, т. е. найти более высокие значения критических сил.
31
Таблица 3.2. Значения специальных функций
0 в(Г) 0|(О) е»«о 0.(0) Ф1(О> | | I ФаСо) Щр)
0 1.0000 1,0000 1.00000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000
03 1,0027 1,0042 1,0163 1,0065 1,0178 0,9973 0.9986 1,0009 0.9992
0,4 1.0107 1,0188 1,0683 .1,0252 1.0768 03895 0,9945 1,0026 0,9973
ОД 1,0249 1,0437 1,1686 1,0622 1,1901 0.9756 0,9881 1,0061 0.9941
03 1,0455 1,0800 1,3456 1,1256 1,3900 0.9567 0,9787 1,0111 0.9895
1.0 1,0737 1,1304 1,6722 13395 1.7605 0.9313 03662 1.0172 0,9832
1Л2 1.1144 1,1979 23822 1,4806 2,5677 03998 03511 1,0251 03756
1.4 1.1610 13878 43082 23832 53332 0.8613 03329 1,0348 03669
Я/2 13159 13880 оо оо оо 03225 0,9149 1,0445 03581
1.6 1,2266 1,4078 —263445 -7Д214 -30.1204 0,8153 0,9116 1,0463 03567
13 1,3147 13710 —3,1308 —0,8271 -3,7410 0.7609 0,8871 1,0600 0.9449
2,0 1,4365 1,7993 -1,5694 03575 —13658 0,6961 0,8590 1,0760 0.9313
2S. 1,6124 2,1336 -1,0069 0,4659 —13323 0.6202 0,8273 1,0946 0,9164
2,4 13854 2,6596 -0,7196 03897 — 1,0151 03304 0,7915 1,1164 03998
2,6 2,3618 33890 -0,5465 0.6828 -0,8304 0,4234 0,7513 1.1417 0,8814
23 33963 5,6315 -0.4313 0.7654 -0,7151 0,2944 0,7064 1,1712 0,8613
3,0 7,3486 13,5057 -03492 03483 —0,6417 0,1361 0.6560 13057 0,8393
л ©о ее -0,3040 0.9119 —0.6079 0 0.6168 1,2336 03224
3.2 -15,7398 —32,7063 -03876 0,9401 -0,5976 -0,0635 03997 1.2463 03153
3.4 -3,0787 —7,4248 —03394 1,0499 —0,5772. -03248 03366 13940 0.7891
3.6 —1,4572 -43292 -0,1997 1,1907 -03797 -0,6862 0.4656 13508 0,7609
33 —0,8128 -2,9961 -0,1654 1.3861 -0.6099 -1.2303 03850 1,4191 0,7297
4.0 —0,4603 -2,3570 -0,1332 1,6838 -0,6823 —2,1725 03933 1,5018 03961
43 —03317 -1,9792 -0,0981 23057 —0,8378 -4,3155 0,1877 1,6036 0,6597
4.4 —0,0652 -1.7429 -0,0459 33836 -1,2265 -15,330 0.0648 1,7310 0,6202
4.6 0,0682 -1,5962 0.1314 8,7218 -3,0745 — -0,0807 13933 0,5772
Зп/2 0,1351 -13434 00 оо оо -0,1755 2,0052 0,5614
43 0.1851 —13152 -0,4390 —10,2705 33933 — -03572 2,1056 03305
5,0 0.2975 -1,4914 -ОЗОН -2,8355 1.0083 — —0,4772 2,3924 0,4793
53 0.4169 -1,5280 -0,1512 -1.4908 0.5541 — -0,7630 2,7961 0,4234
5,4 0.5592 -1,6436 -0,1261 -0.9209 03706 -1,1563 33989 0,3621
5,6 0.7538 -1,8886 -0.1096 -0,6010 0,2745 —. -1,7481 43794 03944
53 1,0750 -2,4050 -0,0972 —0,3917 03176 — -2,7777 63140 03)95
6,0 1,8015 —3,7455 -0,0874 —03398 0,1817 — -5,1589 10,727 0.1361
63 53812 —11,8030 -0,0791 —0,1200 0,1588 —18,594 37,308 0.0424
2я i « оо -0,0760 -0,0760 0,1520 — 00 ©о 0
2—786
33
Таблица 2.4. Значения смцнальмых функций
о Ч1(о) «И(о> о П»(») «ь(»)
0 1.0000 1.0000 33 —3,4768 -0,0380
од 0,9840 0.9969 3.4 —4,1781 -0,1742
0.4 0.9362 0,9840 3,6 -5.0062 -03191
0,6 03556 0,9641 33 -6,0436 —0,4736
03 0,7434 0,9362 4,0 —73058 -0.6372
1.0 03980 03999 43 -10.196 -03103
13 0.4198 0.8556 4,4 —21.783 -03931
1.4 03080 03025 43 — —1,1861
л/2 0 0,7525 Зя/2 — —13992
13 -0.0380 0,7434 43 -1.3896
13 —0.3191 03749 5.0 —1,6040
2.0 -0.6372 03980 53 —13299
23 -0,9931 03131 5,4 -2.0679
2,4 —13896 0,4198 53 -23189
23 —13299 0.3131 53 —23838
23 —23189 0,2080 6.0 -2,8639
3.0 -23639 0.0893 63 -3,1609
л —33898 0 2л — -3.2898
После определенна критического значения нагрузка представляется возможным
определить в сечениях элементов конструкции соответствующие нормальные силы,
которые могут быть представлены как

(2.14)
Если бы в элементе конструкции критические силы были определены в пред-
положении о наличии по концам элемента шарнирных неподвижных опор, то при
действии на конце сосредоточенной силы ее критическое эйлерово значение было
бы равно
^=л2£//л. (2.15)
Если теперь несколько преобразовать формулу (2.14). приведя ее к виду
(2.15), то можно записать
где р — так называемый коэффициент приведенной иля свободной длины, а ве-
личина называется приведенной или свободной длиной элемента, причем
коэффициент р определяется как
Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции по-
перечного сечения называется гибкостью стержня X, которая равна Х“1о/гИ|п. Эта
характеристика влияет на значение критической силы при расчете системы на
устойчивость.
2.1. Стержни постоянного и переменного сечения
• 2.1. Найти наименьшие критические силы к соответствующие
им формы потери устойчивости для упругих стержней с различным
закреплением концов (рис. 2.3, а—д). Длины стержней Z, жесткости
EJ постоянны по длине.
Указание. Задачу рекомендуется решить двумя способами: с использова-
нием уравнения упругой лнннн (2.5) н с помощью метода начальных параметров.
34
Решение. Рассмотрим подробное решение в случае, представ-
ленном на рис. 2.3, а Воспользуемся методом начальных парамет-
ров, который приводит к формулам (2.9). В заделке при х=0
Рмс. 2Л
Уов/ов0. На свободном конце АТ,—О и Qi—Pi/i. Два последних
уравнения (2.9) запишутся
Л10со8«/+(?0^^=0; (2.16)
—Мер cos vl -|- Qo cos vl=Qx.
Если воспользоваться вторым уравнением системы, то можно
записать
Q,= - р(м0 ^—+(?<,--Mav sin vl-
—Qo(l — cost»/). (2.17)
Подставляя выражение (2.17) в систему уравнений (2.16). после
элементарных преобразований получим
Af0cos«rf+Q.2!H2!£=0; (2.18)
V
Qo-0.
Определитель системы уравнений (2.18) можно представ ггь
в виде
V =0.
0 1
Раскрывая определитель, будем иметь cos о/=0, откуда сИ=л/2.
Возведя обе части последнего равенства в квадрат и определяя
получим
Р„=п*ЕЛ(4Р).
2*
35
Форму потери устойчивости получим, если воспользуемся пер-
вым выражением системы (2.9)
* • I— сов ох рк—sinvx ~ /. ях\
—р---------Q#—р—=сЦ| -«’s-j-j •
Так как в рассматриваемом случае о’»Ф=л1/4. то коэффициент р
приведенной длины равен л/П|ф=2, а приведенная длина элемента
определяется как Z0=2f.
Ответ. Ди других случаев закрепления:
б) у - С| Bin (жх/f); = I;
•) Р^ПЛВЦР; у-С,[«,49(/-х)- 'о = О.П;
I) P^tOBJ/K r-Cj^l-cos-yj; /,=/;
d/P^-AKlS///». /.-1/2.
• 2.2. Найти критическое значение равномерно распределенной
нагрузки, действующей на консольный стержень с постоянным по-
перечным сечением (рис. 2.4). Задачу решите статическим методом
и сопоставьте полученное решение с приближенным, предложенным
А. П. Коробовым.
Указание. Приближенное решение, предложенное А. П. Коробовым, за-
ключается в приведении всех нагрузок, действующих иа стержень, к силе, при-
ложенной к верхнему коану. При действии ряда сял приведенная нагрузка, харак-
теризуемая критическим параметром и определяемая из условия равкоустойчиво-
стя. находится как
я£/ _____________________________ Р_________
4/1 ‘ /Vi+#v,+•••+л.£'
где Pi — действующая сила; lt — расстояние точки приложения Г-fl силы от задел-
ки; / — пролет стержня.
Ответ. Точное решение дает ^р-»7Д4£//Р, приближенное— ^мр—7,4 £//Р.
36
• 2.3. Определить минимальную критическую силу для стержня
постоянного поперечного сучения, упруго опертого нижним концом.
Жесткость стержня £/, пролет Z, жесткость упругой опоры k
(рнс. 2.5). Построить график изменения критической силы в зави-
симости от жесткости упругих связей.
Решение. Воспользуемся методом начальных параметров,
причем учтем, что у&=0 и Af0=—Л<ре=—ky^. При x=Z yi=Q,
Й-0.
Запишем первое и третье выражения метода начальных пара-
метров применительно к верхнему концу стержня, используя фор-
мулы (2.9)
-Qe^^L=O;
—ifofe cos«/+Qq ”= 0-
Полученная система уравнений однородна. Ее решение возмож-
но, когда определитель, составленный из коэффициентов при не-
известных у/ и Qo, равен нулю, т. е.
IPZ+A—AcosvZ — ®Z-|-shivZ| q
—AcosvZ slntjZ/v I
Уравнение устойчивости запишется
tgt>/=oZ/(PZ/*+ I).
Если принять во внимание формулу (2.4). то последнее уравне-
ние можно представить в виде
tgvZ=vZ/(v*Z2a-|-l). (2.19)
причем a=EJ/(kl) характеризует соотношение жесткости стержня
и упругой податливости опоры k. Величина о может изменяться от
нуля, когда нижний конец стержня заделан (Л=оо), до бесконеч-
ности, когда нижний конец стержня шарнирно оперт (Л=0).
Решение уравнения (2.19) можно наглядно представить графи-
чески (рис. 2.6), аналогичную процедуру можно осуществить при
использовании ЭВМ.
При графическом решении в зависимости от vl на графике стро-
ятся кривые tgnZ и AZ/(v’l*a+l) при различных значениях парамет-
ра а. Ординаты пересечения этих двух семейств кривых определяют
искомые значения и/, знание которых позволяет найти критические
силы. На рис. 2.7 показан характер зависимости критической на-
грузки от жесткости упругой связи.
• 2.4. Определить критическое значение силы Р, действующей
на стержень, являющийся перегородкой между двумя резервуара-
ми, наполненными жидкостью (рис. 2.8). При потере устойчивости
перекачки жидкости из одного резервуара в другой не происходит.
Объемная масса жидкости равна у*
37
Указание. Рассмотрите отдельно симметричные я обратиосимметричные
формы потерн устойчивости. При обратноснмметричных формах потеря устойчи-
вости уронена жидкости в обоих резер-
вуарах не изменяется. При симметрич-
ных формах произойдет изменение уров-
не*. что приведет к возникновению рав-
номерного давления ив перегородку.
Ответ. На рис. 2J представлен характер изменения величины / У Рж>/(£/) в
зависимости от параметра mEJfl1, где т=О|О*/(уа).
? Чему соответствует горизонтальный участок графика и сплош-
ная кривая? Какому состоянию системы отвечает нижняя пунктир-
ная линия? Какой смысл имеет пунктирная кривая?
• 2.5. Определить критическое значение нагрузки q для системы.
состоящей из двух тросов со стой-
кой (рис. 2.10). /=500 м. жест-
кость стойки £/.
Указание. При решении задачи учтите упругое закрепление верхнего кон-
ца стойки, создаваемое изменением натяжения троса.
Огаст. Р.р-19,9£//А».
• 2.6. Доказать, что в двух отмеченных ниже случаях стержни
не будут терять устойчивость при действии любой осевой силы:
система на рис. 2.11, а представляет собой сжатую трубу, внутри
которой проходит растянутый шнур, прикрепленный к верхнему
концу трубы и плотно примыкающий к стенкам трубы, но не свя-
38
занный с вики; на рис. 2.11. 6 сжатая труба находятся под действи-
ем внутреннего давления, создаваемого несжимаемой жидкостью.
Указание. Для доказательства отсутствия потери устойчивости составьте
дифференциальное уравнение изгиба.
• 2.7. Определить критическую нагрузку для системы (рис. 2.12),
представляющей собой сжатую стойку с двумя ненапряженными
РИС. 2.11
тягами. Горизонтальный элемент системы абсолютно жесток, изгиб-
ная жесткость стержня ECJ, жесткость тяг при растяжении EmF,
причем a = '//:r//(£wF). На сжатие тяги не работают.
Указание. При решении задачи не учитывайте удлинение тяги, вызывав*
мое смешением коша стойки. Примите во внимание лишь поворот верхнего узла.
Ответ. Р^-4.12Ее//Я
• 2.8. Найти критическое значение параметра для стержня с од-
ним защемленным, а другим свободным концом, на который дейст-
Рас. 2.1В
вуют две сосредоточенные силы
(рис. 2.13).
Ответ. Л«Р=IfilEJHPPt).
• 2.9. Найти критическое значение
силы Р, приложенной посредине
длины стержня постоянной толщи-
ны, шарнирно закрепленного по обо-
им концам (рис. 2.14).
Ответ. Ям»79Е///«
Рве. 2-16
39
• 2.10. Определить критическую силу для стойки ступенчатого
переменного сечения, представленной на рис. 2.15. Длины отдель-
ных участков: Л>=Л; Л>=2Л; Л»=ЗЛ; момент инерции: /|=7; Л=
=4/; Д=9/.
Ответ. Рм»-1О,б£//Л’.
• 2.11. Определить критическую силу в стержне, момент инерции
поперечного сечения которого изменяется по линейному закону
(рис. 2.16). Стержень шарнирно оперт по концам, момент инерции
верхнего поперечного сечения равен h. Примем а/6=О,О4.
Ответ.
11. Неразрешима багам м рамы
• 2.12. Определить критическое значение осевой силы, действу*
ющей на неразрезную балку (рис. 2.17). Сопоставить найденную
критическую силу с теми эначенн-
«ц j v J ями. которые определены для от*
’т' fi ’г Дельных элементов балки, рас-
U—------------------I смотренных как стержни с двумя
шарнирными концами.
нс- ’,7 Решение. Воспользуемся
методом перемещений. Основная
система показана на рис. 2.18. а. На рис. 2.18, б показана эпюра
моментов, построенная в соответствии с данными табл. 2.2.
«,=«=//₽/(£/): «,=2///>/(£/)•_ ^=2е,=2т.
Уравнение устойчивости запишется
ЗЕЛ->ъ (о,)+3EJ ъ =Q
После соответствующих сокращений будем иметь
?i («>+ 0.5т, (2о)=о.
С помощью табл. 2.2 находим корень этот
вующий минимальной критической ru „Л уРавнеиня, соответст-
=3.72£//Р. Силе’ ‘’=>.93, откуда
40
Найденное значение больше, чем критическая сила для стержня
длиной 2/, и меньше, чем критическая сила для стержня длиной /.
• 2.13. Найти критическое значение силы, действующей на сим-
метричную двухпролетную неразрезную балку (рис. 2.19), как ме-
тодом сил (отбросив в основной системе средний стержень), так в
методом перемещений. Сопоставить
полученные результаты и объ-
яснить причину несовпадения значе-
ний низших критических сил.
Ответ. Метод см дает 20.2Е//Л.
метод перемещений —При вс-
пользовании предложенной основной ся-
Pwc. 9.19 Рис. 2J0
стены методы см произошла потеря первой критической силы. Если в качестве
основной системы метода см выбрать систему балок, имеющих шарнир вад сред-
ней опорой, минимальная критическая сила снова ие была бы определена. Свя-
зано эта с тем. что минимальной критической силе соответствует обратносиммет-
ричиая форме устойчивости, тогда как возможные основные системы метода ем
приводят к симметричной картине деформаций.
• 2.14. Определить критическое значение силы, действующей на
стойку ступенчато переменного поперечного сечения, представлен-
ную на рис. 2.20. Жесткость средней опоры £=£///’.
Ответ. РМ«3.76Е//Л
• 2.1 Б. Определить критическую нагрузку для системы (рис. 2.21).
Ригель системы абсолютно жесток, высота стоек равна л, сечения
всех стоек одинаковы и их момент инерции равен /.
Ответ. Рк,,—6,oi£//h’.
? Чему бы равнялась критическая нагрузка, если бы равные си-
лы действовали в каждом узле? Как изменилось бы в последнем
41
случае значение критической нагрузки при увеличении числа про-
летов системы?
• 2.16. Определить критическое значение силы Р, действующей
на раму (рис. 222).
Решение. Для решения этой задачи воспользуемся методом
сил. Число лишних неизвестных равно единице. Основная система и
соответствующая эпюра от лишнего неизвестного представлены на
рис. 2.23. Перемещение бц определяется в соответствии с данными
табл. 2.1.
ел»=414+41*' +4- 2% («).
X О О Q
Уравнение устойчивости запишется
в1(т?)4-в2си>4-©3(^)= — 1.
Путем подбора в соответствии с табл. 2.4 получаем о=2,46. от-
куда Р^=Ь,05Е//Р.
? Как изменится критическая сила, если увеличить вдвое момент
инерции его поперечного сечения и вдвое же увеличить пролет ри-
Рмс. 2.24
геля? Что произойдет с критической силой, если пролет увеличить
вдвое, а момент инерции сечения ригеля увеличить втрое?
• 2.17. Определить критическую силу для рамы (рис. 2.24). Про-
лет ригеля рамы равен высоте стойки. Жесткости обоих элементов
одинаковы.
Ответ. P»9"28,2EJ/?.
? Как отражается на значении критической силы изменение жест-
кости ригеля и его длины?
• 2.18. Установить зависимость наименьшей критической силы от
геометрии рамы, представленной ня рис. 2.25, а.
Указание. Для установления указанной зависимости в рассмотрение вве-
дите коэффициент где ^=£/^/1 — линейная жесткость ригеля, а irt=
^EJcrfh — линейная жесткость стойки.
Ответ. График зависимости от m приведен на рис. 2.25. б.
42
• 2.19. Определить критическую нагрузку для рамы (рис. 2.26);
Л1=2Л; линейные жесткости всех элементов рамы одинаковы.
Указание. Учтите, что мшшмвльиоА критической силе соответствует об*
ратноскмметричная форма потери устойчивости. Обратите при этом внимание иа
то. что нормалыше силы и ломаиом ригеле отсутствуют.
Ответ. P.f-0,788£/«/A’-
? Как влияет на изменение критической силы увеличение подъ-
ема ригеля f и увеличение пролета /?
• 2.20. Определить критическое значение нагрузки, действующей
на двухпролетную раму (рис. 2.27) с элементами, имеющими одина-
ковые моменты инерции поперечных сечений.'
Отмг.
? Кек изменится критическое значение нагрузки, действующей
на раму, если в правый ригель у его левого конца вставить шарнир?
РЖ- 2Л7
• 2.21. Определить критическое значение нагрузки, действующей
на раму (рис. 2.28).
Ответ. Д«р-1Д£У/Р.
• 2.22. Определить критическую силу Р, действующую на си-
стему с верхними шарнирными узлами (рис. 2.29). Жесткость стоек
на изгиб £/, жесткость регилеЙ на осевую деформацию £F=oo.
Ответ. /Ъ,—7,13£//А».
43
Рве. US
• 2.23. Определить критическое значение нагрузки, действующей
на раму со стойками ступенчато переменного поперечного сечения
• 2.24. Определить критическое значение нагрузки, действующей
на несимметричную раму (рис. 2.31). Сила Q. приложенная в верх-
нем узле, постоянна, причем (?=0,6(3>г2)-1л’Е/.
Ответ. Рм>«1.42£//Р.
• 2.25. Определить наименьшее зна-
чение критической нагрузки Р, дейст-
вующей на двухэтажную трехпролет-
ную раму (рис. 2.32).
Ответ Рм>-22.1£//11.
> 2.26. Определить наименьшую критическую нагрузку, действу-
ющую на многоэтажную раму (рис. 2.33).
Ответ. P,v—2\.9EJIP.
• 2.27. Определить значение критической нагрузки Р, действу-
ющей на многоэтажную раму (рис. 2.34. а).
Указание. Учитывая, что минимально* критической сале соответствует
обратмосямметркчная форма потери устойчивости, расчет исходно* рамы заменить
расчетом рамы, показание* на рис. 2.34,6.
Ответ.
• 2.26. Найти критическое значение силы Р. действующей на кон-
струкцию (рис. 235). Момент инерции стойки равен / в обеих глав-
ных плоскостях; момент инерции
ригеля относительно вертикаль-
ной осн равен 0,17, а относитель-
но горизонтальной — /.
Рас. 234
Решение. Для решения задачи воспользуемся методом пере-
мещений. При смещении узла С из плоскости рамы сечение над уз-
лом С поворачиваться не будет, следовательно, число неизвестных
равно одному. На рис. 2.36 показана эпюра моментов от смещения
узла С на единицу. На стойке эпюра моментов построена в соответ-
ствии с данными схемы 2 табл. 23.
Каноническое уравнение запишется rnZ(=0. Так как то
уравнение устойчивости представим в виде гц=0, или гп=2х
45
X3£0.1J(//2)-J+(3EJ/P)ni(^)=0. откуда Л1 (о)«1Д В соответст-
вии с табл. 2.4 получаем и=2,5, откуда Аф==6,25Е//Л
Меньшая критическая сила будет соответствовать потере устой-
чивости из плоскости конструкции.
• 2.29. Определить критическое значение нагрузки, действующей
на раму (рис. 2.37), усиленную тягами АВ и CDt причем
1ЕЛ/(Е/)]Л*«38Д
Ответ. Ряр-17^Е//Р.
• 2.30. Определить критическое значение нагрузки q, действу-
ющей на бесшарнирную четырехпанельную арку с надарочным
строением: А//б=5; /о=0,1/а; fto=0,05Z. Арка очерчена по
квадратной параболе (рис. 2.38).
Указание. Арку ва участках между стойками замените отрезками прямых.
Задачу решите методом перемещений. Наименьшей критической нагрузке соответ-
ствует ооратиосимметрнчная форма потеря устойчивости.
Ответ. I08EJJ/1.
• 2.31. Определить значение критической нагрузки, действующей
на пространственную раму, стойки которой шарнирно оперты
(рис. 2.39). Все элементы имеют одно и то же поперечное сечение,
момент инерции которого равен /. Критическое значение силы най-
дите в трех предположениях: a) h=lj2\ б) ft=Z; в) h=2Z.
Указание. При решении задачи исходную пространственную раму можно
заменить плоской рамой, что представляется возможным после исследования ха-
рактера формы потери устойчивости.
Ответ. а)Аф-2,НЕ//Л*; б) 1Д2£//Л>; в) P„p=l,45EJ/A*.
2.3. Арки
• 2.32. Определить значение критической нагрузки q, действу-
ющей на круговое кольцо (рис. 2.40).
Решение. Дифференциальное уравнение изгиба кривого бру-
са записывается
>и’+(,+^)Л,'=0*
46
где штрихи обозначают дифференцирование по углу 6. Решение
уравнения представим в виде
Mt=Ct cos ®в+Са sin тЛ +С0,
где ^==!+^/(ЕУ).
В случае кругового кольца момент является периодической функ-
цией угла 6 с периодом 2л. Это может быть, когда v= 1, 2, 3 и т. д.
Отсюда минимальная критическая нагрузка
^р=(^- I)£///?=(2»- 1)£///?>=3£//Я».
Ряс. 2.40
РяС- 2.41
• 2.33. Определить критическое значение равномерно распреде-
ленной нагрузки, действующей на круговое кольцо с изгибной жест-
костью £4 ослабленное одним шарниром (рис. 2.41).
Ответ. qw~\t4EJ]R*.
Ряс. 2.44
47
• 2.34. Определить критическое значение- нагрузки, действующей
на кольцо с двумя шарнирами (рнс. 2.42). Жесткость кольца на
изгиб равна £/.
Ответ.
• 2.35. Определить критическую нагрузку qt действующую на
круговую трехшарнирную арку постоянного сечения (рис. 2.43).
Ответ. 4вР|—3£//Я*.
• 2.36. Найти критическое значение нагрузки q, действующей на
систему (рис. 2.44); /?=15 м; г=10 м; а=60°; 0=60°; £=21X
Х10* МПа; *=2,БМН.м.
Ответ: фф—62 кН/м.
ГЛАВА Э
пвивлижвнныв методы вешние ЗАДАЧ
УСТОЙЧИВОСТИ УПВУГМХ систем
Краткие сеедеимя кз теорич
В тех случаях, когда конфигурация системы достаточно сложна либо сложен
закон изменения характеристик поперечных сечений по длине элемента. решение
дифференциального уравнения устойчивости затруднительно. Трудности можно
преодолеть, если воспользоваться приближенными приемами для решения диффе-
ренциального уравнения или реальную систему заменить системой с конечным
числом степеней свободы.
Решая дифференциальное уравнение устойчивости стержня переменного сече-
ния. сжатого силами, приложенными по торцам, можно воспользоваться мето-
дом последовательных приближений. Для згой цели уравнение
(2.7) запишем в виде
£/А^+РЛ< = 0
я зададим М в виде произвольной функции М0(х). удовлетворяющей существую-
щим граничным условиям. Критическое значение силы определится как предел по-
следовательности значений
А<о(л) __ Aft(x) Aff-i(x)
Afi(x) ; ’ M2(x)....... ' Л(,(л) *
(3.1)
где с — номер приближения, а
причем точность определения критической силы зависит от выбора значения
л(0<*<0- Обычно за ж принимают координаты той точки, в которой момент
Мв(х) достигает максимума; целесообразно определять Рнр из условия экстрему-
ма выражения (3.1).
Так как интегрирование по формуле (32) представляет не что иное, как по-
строение эпюр моментов Mt по заданной фиктивной нагрузке Mi-J(EJ) ня стер-
жень с соответствующими граничными условиями относительно М«, это интегри-
рование можно провести графически или использовать ЭВМ.
Методы численного интегрирования позволяют легко установить те пределы,
внутри которых лежит значение критической силы. В этом случае задают некото-
рое значение критической силы и при известных граничных условиях ив одном из
48
концов стержня проверяют удовлетворение граничных условий на другом койие.
Расчеты проводятся неоднократно при разных значениях критической силы до
полного с заданной точностью удовлетворения граничных условий. Построение
итерационных процессов особенно эффективно при использовании ЭВМ.
Попутно следует подчеркнуть, что любой приближенный метод, основанный
не численном интегрировании, как правило, значительно точней методов, основан-
ных на численном дифференцирования.
Решение дифференциального уравнения устойчивости можно провести при
конечно-разностном представлении исходных уравнений. При этом стер-
жень разбивается на к участков обычно равной длины //я и производные от проги-
бов или моментов приближенно выражаются через соответствующие величины на
границах участков. Уравнение (2.7). в частности, в конечных разностях запишется
h-j + - 2U, + У/+1 - 0 (/=1.2.к - 1). (3.3)
Так как общее число неизвестных у, равно А-И (Го. .....V*). а число урав-
нений равно Л—I. то для решения задачи следует еще присовокупить два гра
ничных условия.
Определитель полученной выше системы однородных алгебраических уравне-
ний можно привести к симметричному виду, приравнять его нулю и найти зна-
чення л—I критической силы, решив следующее вековое уравнение:
«и — Р1ЦЪ* <*ц
ад — Р1Ц№
О
<Нз
«о. (3.4)
О
О
о Ид-1,д-1 —PPI**
ГЛС !• ------& V f il/+!•
Методу конечных разностей можно дать механическую трактовку, если вос-
пользоваться понятием о системах с конечным числом степеней свободы. Приме-
нение метода конечных разностей к системе с бесконечно большим числом степе-
ней свободы равноценно замене последней цепью с бесконечно жесткими элемен-
тами. связанными упругими шарнирами.
Точность метода конечных разностей можно существенно увеличить, если ис-
пользовать формулы для конечных разностей высшего порядка. Так. если учесть
конечные разности четвертого порядка, то уравнение (2.7) запишется так
- + (12РЛ/(Й2£//) - 30) у( + 16у/+1 - у^ = 0
(/=!,2.......*-!). (3.5)
При этом число уравнений здесь, хак и ранее (см. формулу (3.3)]. равно
к— I. а число неизвестных равно n-f-З, следовательно, возникает необходимость
не только учета граничных условий, но и установления соответствующей связи
между перемещениями на концах элемента. Если один из концов элементов, на-
пример. при х»0 шарнирно оперт, то у^-О и (<РуМ*)9—0. Последнее условие
можно записать в конечных разностях у-|—2^о+Ю*О. что приводит к дополни-
тельному условию У-|.
Критическое значение нагрузки находят из рассмотрения определителя сис-
темы уравнений (3.5). хак при решении векового уравнения (3.4).
Графоаналитический метод сформулирован А. Ф. Смирновым в
матричной форме, что придало ему большую компактность, четкость и возмож-
ность использования при решении задач на ЭВМ. Сначала мы сформулируем су-
щество метода, не прибегав к матричным обозначениям величия. Реальная систе-
ма заменяется системой с конечным числом степеней свободы, но это достигается
не постановкой шарниров в сечении элементов я не заменой упругих звеньев на
бесконечно жесткие, как это бывает при механической интерпретации метода ко-
нечлых разностей. а выбором определенного «тела сечений, перемещения которых
определяют положение всей системы при перемещениях в остальных сечениях,
обусловленных упругостью системы н перемещениями в конечном числе выбранных
точек. В «том случае прогиб /< (рис. 3.1, о) после
потери устойчивости можно определить как
= (М)
но учитывая, что характер шпоры моментов повто-
ряет эпюру перемещений (рис. 3.1, б). я исполь-
зуя известные приемы строительной механики для
определения перемещений, ft определим интегри-
рованием эпюр М с фиктивной эпюрой А<< (рис.
3.1, в), что позволяет записать, если заменить кри-
волинейную эпюру М прямолинейными участка-
ми
fl
f MMtds
J EJi
- (РР/(12Л2£//)] (yf_l + 4У/ + (3.7)
Приравнивая правые части выражений (3.6)
и (3.7). получим трехчленное уравнение
Vt-I(• + Р/)+ -2 + V,)+ »|+|(* + ₽()= О-
(3.8)
Задача об определении критических сил при шарнирном олмранни стержня и
любом законе изменения размеров поперечного сечения сведется таким образом
к решению уравнения устойчивости
— 24- 1 4- Л 0 0
1+Л — 2+4pi 1 + рт 0
= 0,
0 0 0 —~ 2 4- 4рв—।
где pi^PPHVflEJt).
. Более точное решение можно получить, учитывая криволинейный характер
эпюры М и используя интерполяционные полиномы Лагранжа.
Как метод конечных разностей, так и графоаналитический метод приводят к
необходимости рассмотрения векового уравнения, как правило, достаточно высо-
кого порядка. Непосредственное раскрытие определителя и решение уравнения
высокого порядка связаны со значительными трудностями при вычислении. За-
дача. правда, несколько упрощается тем, что нас, как правило, интересуют лишь
минимальные значения
Наиболее эффективными приемами вычисления наибольшего характеристиче-
ского числа Аа.х векового уравнения
— А
л1з • •• ®1л
*21
0)3 — А
является метод Ван ден Дунгена, метод спектральной функция. предложенный
С. А. Бернштейном, и метод итерации.
50
В методе В ев дея Дунгенв Ла» определяется путем двусторонних
оценок
•рА’/ерА < /«рА*:
/арД</врА* < Хщи < t'lpA*;
^врАй/арА< < Хди, < у<врА*; (3-9)
причем каждая последующая оценка дает все более тесные границы для искомо-
го наибольшего характеристического числа.
Матрица А имеет вад
’«11 «« ®1а
«Я «Я «Зя
_«я! «же «ал -
а ее следом sp называется сумма всех диагольных мементов матрицы, т. е.
>-Я
ар А вц + вф+ ... + аяа ® У о*|. (3.10)
Произведение матриц определяется известным правилом
са“ в/А> + в1Л» + • • * +вщАл> “ S Л/Лв*
т. е. каждый элемент ст матрицы С определяется суммой произведений соответст-
вующих элементов строки I матрицы А на элементы k столбца матрицы В.
Более тесные оценки дает метод С. А. Бернштейна, который приво-
дит к выражению
2-" Vr1pA*[l+/2spA"/(«pA)>l <>шм<>/'»рА*. (3.11)
в котором целесообразно придавать й значения 2. 4, 8, 16,....
Метод итераций, являющийся, по сути, методом последовательных при-
ближений, позволяет достаточно быстро и с любой степенью точности определять
наибольшее значение характеристического числа. Достоинством его является также
одновременное определение формы упругой линии, соответствующей найденному
характеристическому числу.
51
Как «лестно, характеристическое число X соответствующий собственны*
вектор -столбец
Г 1 1
(3.12)
должны удовлетворять матричному уравнению
Ау = Ху. (3.13)
Для определения наибольшего характеристического числа А**к итерационным
методом в качестве нулевого приближения зададимся произвольными значениями
Ун, у»...причем если значения 0ц, — pin будут соответствовать перво* фор*
ме потери устойчивости, то процесс итераций будет быстросходящимся. Неудач-
ный выбор 0U. 0|Я может несколько удлинять итерационный процесс, но, как
правило, в конце концов привести к наибольшему характеристическому числу.
Умножаем далее матрицу А ив матрицу-столбец у. после чего получаем мат-
рицу у-1, а после деления всех элементов последней на р|Р «=• Х'° получим
Ау» 11 в12 021 в1л“ ®2Я " 1 “ ¥11 в ГИР‘ ИР el<» ИР = Х(,’у<|>. (3.14)
аяя- -ЙЫ- _ИР. .ИР.
Здесь р/я’— Величина есть первое
приближение наибольшего характеристического числа, а величины pjp опреде-
ляют в первом приближении форму упругой линии при потере устойчивости.
Далее процесс вычислений повторяется, матрица А умножается на вектор-
столбец у(П. после чего находят во втором приближении значения Х<*> и вектор
у<’>. Процесс итераций продолжается до тех пор. пока с заданной точностью не
совпадут результаты двух последовательных вычислений.
Развитие вычислительной техники, прогресс которой связан с созданием и
совершенствованием быстродействующих ЭВМ. требует формулировки задач ус-
тойчивости в форме, наиболее подходящей для постановки решении на машине.
С этой точки зрения особыми достоинствами обладает метод А. Ф Смирно-
ва. построенный на использовании теории матриц, так как именно аппарат мат-
ричной алгебры является одним из мощных инструментов вычислительной тех-
ники.
Деформированное состояние любой упругой системы будем характеризовать
вектором-столбцом а:
(3-15)
где a,. а* .... « — перемещения сечений 1. 2.л.
Грузовая матрица Р будет обусловлена внешними действующими силами, ко-
торые определены с точностью до параметра р.
52
Прокзведеяке матрицы Р ив параметр 0 ж на вектор-столбец в определяет
моменты в точках 1. 2. л системы я ввметея вектором-столбпом
(3.16)
(3.17)
Если обозначить матрицу влияния реакций, т. е. матрацу, столбцами которой
являются опорные реакции от а,—1. в>—1 я т. д.. через П, а матрицу влияния
моментов — через U,. причем столбцами матрицы U, являются моменты в точ-
ках I, 2..л от реакций = I. I и т. щ то вектор моментов от реактивных
сил определится вектором-столбцом mr. равным
тг-1.П.. (3.18)
Вектор-столбец упругих грузов W, элементами которого являются упругие
грузы в точках I. 2».... л. определяется выражением
W = B.Gm, + BX- (3.1в)
Здесь матрица G. определяющая закон изменения моментов инерции стержня,
является диагональной матрицей
ро/Л 0 0 1
_0 0 /о//я_
В» н В*. — матрицы упругих грузов, причем если эпюра моментов прямолинейна,
то матрица В. определяется выражением
'ап ац 0
Зр «^3
ве/о
_ о о о
(3.21)
ан,= 2(₽* + *a+i); =
(3.22)
Здесь а» — длина *-го участка, a s© — длина участка, принятого за базисный.
При криволинейной эпюре моментов следует использовать выражение
fa 0
fa fa
fa fa
(3.23)
w 0 0 0 Ряд-
БЗ
где
. _ Ъ+^+i____________!?*!_
+»,+1)'» 4P»+*.+i) '1+,:
^л+1 ’*’*> *'*1+1
>*» - ^--'»+ ~ г,, Ы <3-20
*1 **+1+2**
U*° "ЧнС.+'и,) '* +2(«а + ,>+,)^«-
Приведенные выше формулы получены при интерполировании с помощью
формулы Симпсона.
Величины отклонение с вспользованяем матрицы упругих грузов и фиктив-
ное упругое системы могут быть теперь определены вектором-столбцом
• = l;w. (3.25)
где fw. — матрица влияния моментов в фиктивном сооружении, т. е. каждые
столбец это* матрицы дает момент в точках I. 2. .... л от единичных сил. прило-
женных в точках I. 2. л последовательно.
Подставляв в равенство (3.25) выражение (3.19). получим следующее мат-
ричное уравнение
.-(PL^p+lXl-п). (3.26)
или
(С-1Е).«0, (3.27)
где С₽= (Е - L^LMn) L^B^P; 1- l/p.
Ненулевое решение системы уравнений возможно, когда определитель
|С —ХЕ|=О. (3.28)
Таким образом, задача об определении наименьшего критического параметра
сводится к отысканию наибольшего характеристического числа матрицы С.
Наряду с численными методами и методами, построенными на использовании
теории матриц, которые, как правило, реализуют статический метод решения за-
дач упругой устойчивости, для приближенного решения широко используется
энергетический метод. Так как в этом случае критическому состоянию
соответствует постоянство потенциальной энергии при малых возможных откло-
нениях системы от первоначальной формы равновесия, то критическое состояние
будет определяться условием
где АС/— изменение потенциальной энергии при переходе из одного состояния в
другое. Последнее условие можно представить в виде
Г «17. (3.29)
где Т — работа внешних действующих сил при переходе вз одного состояния в
другое; ж —соответствующая работа внутренних сил.
В общем случае в плоской стержневой системе работа внешних сил опреде-
ляется выражением
Г =2^6/. (3.30)
где Pi — обобщенные силы; Д« — соответствующие этим силам обобщенные пе-
ремещения.
54
Работа виутреааи ш
„ I v fAPds I V f , I v Г HQ***
Г 2 2j Ej + 2 EF + 2 2J QF * <*8l)
где M, Л/ и Q— моменты, осевые н поперечные силы: Е к G —модули упругости
и сдвиге соответственно; / и F—момент инерции и площадь поперечного сече-
ния; и — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.
При решении задач упругой устойчивости энергетическим методом веобходи-
мо задать форму потери устойчивости и из условия равенства нулю приращения
потенциальной, энергии установить значения критических нагрузок. В простейшем
случае, когда форма потерн устойчивости, соответствующая наименьшему значе-
нию критической силы, очевидна, можно задать выражение, удовлетворяющее
граничным условиям рассматриваемой задачи и зависящие лишь от одного па-
раметра.
В более сложных задачах приходятся форму потери устойчивости определять
суммой функций, удовлетворяющих граничным условиям, причем каждая из этих
функций входит со своим неизвестным параметром. Определение этих параметров
из условия минимального значення критической нагрузки приводит к системе од-
нородных уравнений. После приравнивания определителя этой системы нулю мож-
но найти значения критической нагрузки.
Энергетический метод расчета целесообразен в тех случаях, когда весьма
сложно получить дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи или это
дифференциальное уравнение сложно. В тех же случаях, когда имеется дифферен-
циальное уравнение равновесия системы в деформированном состоянии, ио реше-
ние его сложно, удобно использовать вариационные методы.
Одним из эффективных вариационных методов является метод Бубно-
ва—Галеркии а. При использовании этого метода искомое решение диффе-
ренциального уравнения, определяющего форму упругой линии при потере устой-
чивости. представляется в виде ряда
y«(x)«atyi(x)4- едз(*)+ ... + ОДя(х), (3.32)
где П|. о* Оя — неизвестные коэффициенты; pi(x). р>(х), .... у«(х)—система
линейно независимых функций, удовлетворяющих граничным условиям.
Подстановка выражения (3L32) в дифференциальное уравнение не обращает
его тождественно в нуль к в нем появляется правая часть q(x)‘
*(*)-*(*♦), (3-33)
которую можно рассматривать как некоторую нагрузку, вызывающую деформа-
цию системы в соответствии с выражением р*(х).
Если теперь воспользоваться принципом возможных работ и в качестве воз-
можных перемещений принять функции Pi(x), у>(х). уя(к), то в результате
получим систему однородных алгебраических уравнений относительно коэффи-
циентов П|. .... п«. Решение системы уравнений возможно при равенстве пулю
следующего определителя
«11 «И «1я
«я! «я2 «ял
где

(3.35)
В последнем выражении интегрирование распространвется нв все элементы
системы. Полученный определитель является определителем устойчивости, позво-
ляющим найти интересующие нас критические силы.
Замена действительного уравнении, определяющего форму потери устойчиво-
56
Стк. выражением, содержащим л неизвестных коэффициентов аь а* .... а«. хак в
энергетическом, так и в вариационном методе равноценна замене реальной систе-
мы с бесконечно большим числом степеней свободы системой с конечным числом
степеней свободы, что непосредственно следует из понятая «степени свободы
системы». Одновременно следует отметить, что н энергетический метод, и варив*
ционный метод Бубнова — Галерквна приводят к завышенным значениям мак*
меньшей критической нагружен, что не идет в запас «живучести» реальных кон*
струкцнй. Это объясняется тем. что мы принимаем за форму потери устойчиво-
сти кривую, несколько отличную от истинной. Это расхождение является следст-
вием искажения действительной формы потери устойчивости введением некоторых
связей, а введение любой новой связи не может привести к понижению значения
критической силы.
Значительные трудности, связанные с определением критической силы в сис-
темах с конечным и бесконечно большим число степеней свободы, обусловлива-
ются необходимостью решения алгебраического (для систем с конечным числом
степеней свободы) уравнения высокого порядка или трансцендентного, тогда сис-
тема имеет бесконечно большое число степеней свободы. Еще более усложняется
решение, если элементы имеют переменные по длине геометрические харвктериста-
кн. Решение подобных задач путем последовательных попыток, т. е. путем произ-
вольного задания критической силы, нахождения определителя устойчивости и тех
значений, при которых определитель равен нулю или имеет разные знаки при двух
смежных значениях критической силы или критического параметра, не может слу-
жить указанием иа то. что найденное критическое значение является минималь-
ным, а при решении практических задач представляет интерес именно минималь-
ное значение критической силы.
Качественный метод основан на использовании теории устойчивости
движения А. М. Ляпунова в работ А. Пуанкаре. Впервые качественный метод
анализа задач упругой устойчивости деформаций систем был разработан
А. Ф. Смирновым. Им было введено понятие степени неустойчивости равновесия
упругой системы при данном значении осевой силы или соответствующего ей па-
раметра, причем под степенью неустойчивости, определенной по отношению к на-
грузке. понимается полное число критических сил млн параметров, меньших рас-
сматриваемой силы или параметра. Так, если Pi,f<P<P»p, то степень неустой-
чивости системы равна единице, если Pt»p<.P<Pi»v. то степень неустойчивости
равна двум я т. д. А. Ф. Смирнов установил, что степень неустойчивости системы
равна числу отрицательных характеристических чисел X» матрицы (3.27) переме-
щений заданной упругой системы. Отсюда следует, если при заданном значении Р
решить уравнение (3.28) и найти все его корни, то по числу отрицательных кор-
ней можно судить о степени неустойчивости системы. Если все корни положитель-
ны. то это позволяет сделать заключение, что заданное значение Р меньше Р1вр
в что система устойчива.
Существенный вклад в развитие качественного метода в теории упругой ус-
тойчивости внесен работами Я. Л. Нудельмаиа н Р. Р. Матевосяна.
Заметам, что определение степени неустойчивости может быть сформулиро-
вано также по отношению к формам потери устойчивости. В этом случае степень
неустойчивости определяет число «пройденных» собственных форм равновесия при
данном фиксированном значении нагрузки, включая кратные фцрмы, а также соб-
ственные формы заданной системы, совпадающие с собственными формами вы-
бранной основной системы в методе сил. методе перемещений или в смешанном
методе.
Для решения этих и родственных вопросов требуется привлечение специаль-
ных критериев, нашедших отражение в работах Р. Р. Матевосяна и названных
им леклассическмми критериями устойчивости.
Ниже будут рассмотрены лишь основные понятия качественного метода без
привлечения специальных критериев устойчивости, с помощью которых можно
определить любой параметр для системы с бесконечным числом степеней свободы
при конечном числе уравнений строительной механики.
Как известно, решение задачи устойчивости системы с конечным числом сте-
пеней свободы сводится к рассмотрению определителя (1.1). причем если задаться
произвольной величиной Р. которая не является критической нагрузкой для задан-
ной системы, то элементами этого определителя станут числа н а общем случае
56
определитель будет отличен от нуля. Этот определитель можно записать а виде
«11 «It «|а
«и «и «ал
«Я1 «КЗ ®яя
<3.36)
Так как определитель D отличен оу нуля, то элементарными преобразованиями
его можно привести к диагональному виду
«п «12 «Га
А = 0 «» «2а (3.37)
0 0 «Za
Величины В||. ел*.... образуют ряд устойчивости.
Если все члены этого рядя положительны, то принятое значение Р ыеяыпе
Р1а9 и система находится в устойчивом равновесии. Число отрицательных чисел
в ряду устойчивости равно степени неустойчивости системы, причем если число
отрицательных элементов ряда равно единице, то соответствующее значение удовле-
творяет условию Ящ»<Р<Рвф. если число отрицательных элементов равно двум,
то Рир</><Р»аг и т. д. Анализ числа отрицательных членов в ряду устойчиво-
сти позволяет найти сколь угодно тесные границы для определения критических
сил иля критических параметров.
Сравнение качественного метода с методом отыскивания критических значе-
ний путем последовательных попыток показывает на существенное преимущество
первого, так как он позволяет не только установить факт нахождения критиче-
ского значения, но и указать, каков порядок найденной критической силы. По-
следнее обстоятельство представляет особенный интерес, так как при расчете ре-
альных конструкций необходимо знать минимальное значение критической силы.
При определении критических сил качественным методом в рамных статиче-
ски неопределимых системах с простой основной системой метода перемещений
необходимо: I) составить определитель устойчивости; 2) задаться произвольным
значением вагружи; 3) определить числовые значения всех элементов определи-
теля; 4) найти коэффициенты устойчивости ui(o).
Для определения коэффициентов со (о) ряда устойчивости в случае трехчлен-
ной матрицы
>11 Г11 °
rn rn
О г„ rn
_0 О о
о о
о о
о о
(3.38)
получены рекуррентные зависимости
г9 («О
('=1.2...........п). (З.Эв)
57
которые « развернуто* виде запишутся таи:
-2 /».%
«1 (*) - гп (v);
М*) = 'й,(р)в Ь(9)----
(3.40)
ц*(с>,ж4S~X4«0q*^(0 —" •
«я-1 (v)
Аналогичные формулы известим для матриц иной структуры. В самом общем
случае задача заключается в приведении исходного определители устойчивости
к диагональному виду, так как именно диагональные элементы последнего со*
ставляют элементы ряда устойчивости.
Далее:
5) по числу отрицательных элементов ряда устойчивости определить степень
неустойчивости системы. Для того чтобы определить, сколько критических значе-
ний лежит в интервале, заданном двумя произвольными значениями параметра,
необходимо определить разность степеней неустойчивости при двух значениях
параметра;
6) иайтн верхние н нижние границы, с заданной точностью устанавливающие
значения критических сил или параметров.
Приведенные соображения по определению критических сил относятся к та-
ким случаям, когда задаваемое фиксированное значение продольной сжимающей
силы Р9 не превосходит каких-либо критических значений нагрузок для простых
элементов (однопролетных стержней) основной системы метода перемещений.
Первые критические нагрузки элементов основной системы с наложенными свя-
зями всегда больше или равны первой критической нагрузке заданной системы.
Указанные условия легко проверяются путем предварительного вычисления кри-
тических сил для сжатых элементов основной системы и сравнения этих значений
с произвольной фиксированной величиной Р<. Отмеченная ситуация наблюдается
в методе перемещений по отношению к первой критической нагрузке заданной
системы.
Таким образом, в рассматриваемых случаях показатель степени неустойчиво-
сти (число отрицательных коэффициентов устойчивости) для высших критических
сил заданной системы будет носить условный характер и будет свидетельство-
вать о том, что при данном фиксированном значении Р< «пройденоэ некоторое
число критических нагрузок. Это обстоятельство указывает иа то, что значение
Pt следует понижать, добиваясь максимального приближения к первой критиче-
ской нагрузке заданной системы Pi</>mp</,i.
Условный характер степени неустойчивости для высших критических значений
нагрузки объясняется также возможностями совпадения собственных форм рав-
новесия заданной и основной систем. Такие случаи могут быть обнаружены с по-
мощью специальных критериев устойчивости, иа которые указывалось выше.
Поскольку практяечскяй интерес представляет первое критическое значение
нагрузки, действующей на заданную систему, для определения которой достаточ-
но иметь представление о степени неустойчивости, равной единице, то в расчетах
можно вполне ограничиться степенью неустойчивости, определяемой числом, не
ббльшнм Порядка исходной матрицы коэффициентов. При этом степень неустой-
чивости, большая единицы, будет указывать иа направленность вычислительных
операций, т. е. на необходимость снижения фиксированного значения параметра
нагрузки.
Объем математических операций в качественном анализе уменьшается, если
предварительно каким-либо приближенным способом оценить первое минимальное
значение нагрузки, действующей иа заданную систему.
В приводимых ниже задачах не рассматриваются случаи, требующие приме-
нения неклассических критериев устойчивости, на которые было обращено вни-
мание выше.
Ы
XI. Стержни и фермы
• 3.1. Определить методом последовательных приближений зна-
чение критической силы, действующей на стержень постоянного по-
перечного сечения, опертый по концам (рис. 332. о). Длина стерж-
ня Z, жесткость EJ. Сравнить по-
лученный результат с точным.
Указание. В качестве исходной
эпюры моментов примите: а) ломаную,
состоящую из двух отрезков прямых
(рис. 332, б); б) втору моментов в бал-
ке от действия равномерно распределен-
ной нагрузки (рис. 332. а). В первом слу-
чае выполните два последовательных
приближения, во втором — одно.
Примечание. Следует заметить,
что решение данной задачи точным ме-
тодом не сложнее приближенного.
С этой точки зрения данный пример яв-
ляется лишь иллюстрацией метода, отнюдь не претендующего на доказательство
эффективности метода последовательных приближений. Последний целесообра-
зен там, где точное решение слишком громоздко.
Решение. Рассмотрим случай, представленный на рис. 3.2, в.
Уравнение эпюры моментов представим в виде
Af0 W=4/ (/ — х) x/Z2.
Аналитическое решение, определяющее эпюру моментов М|(х).
запишется в виде
4/Д /Zx» х4 . - д\
EfP 1 6 12 ' ‘
Произвольные постоянные А и В определим так. чтобы моменты
на левом и правом концах были бы равны нулю. Следовательно, прн
х=0 М,(0)=—W/{EJP)]B=Q. откуда В=0. При x=Z MHZ) =
=[4//(£/Z2)](ZV6-Z«/12+AZ)=0. откуда А=— Р/12.
Теперь имеем
Мх = - HZ/zf/Z2)! (Zx3^-х*/12 -Zax/I2)=
= -/(2Zxs-x4-Zax)/(3Z2£J).
Критическое значение нагрузки определим, приравняв значение
x=Z/2. Тогда в соответствии с формулой (3.1 > получим
PKP=9,6EJ/Z2.
Ответ. Для случая (а) 10£//П; точное решение Яф—9.81 £7/Я
• 3.2. Определить значение сосредоточенной критической силы,
приложенной на свободном конце консольного стержня переменно-
го поперечного сечения, методом последовательных приближений.
59
Момент инерции поперечного сечения изменяется по закону Цх) =
=/cos1[«x/(2/)J, начало координат принято в заделке.
Ответ. /’а,->1.42£//Р.
• 3.3. Определить критическую силу, действующую на шарнирно
опертый по концам стержень постоянного поперечного сечения мат-
ричным методом А. Ф. Смирнова. Сначала на стержне возьмите
Рже. эл
одну точку (рис. 3.3, а), затем возьмите три точки (рис. 3.3, б) и
сравните полученные результаты с точными.
Решение. Рассмотрим случай, когда на стержне взяты три
точки (рис. 33, б). В рассматриваемом случае st=lj4. Фиктивная
балка при заданном опирании совпадает с исходной балкой. Мат-
рица Lm* запишется
ГЗ/16 1/8 1/161
U.=| 1/8 1/4 1/8 I/.
L1/16 1/8 3/16 J
Здесь значения величин в первом столбце определены путем по-
строения эпюры от единичной силы, приложенной в точке 1. Эле-
менты первого столбца есть моменты в точках /, 2 и 3 соответствен-
но (рнс. 3.4, а). Элементы второго столбце — это значения моментов
Рве. 3.4
в точках 2 и 3 от единичной силы, действующей в точке 2 (рис.
3.4, б). Аналогично при действии единичной силы в точке 3 опреде-
ляются моменты в точках /, 2 и 3 и находятся элементы последнего
столбца.
Матрица Bv находится по формуле (3.21). Здесь р= 1; оц=4;
аи= 1; ац = 1; а^=4; 023=1; Оз2=1; ам=4, следовательно,
В-=^7
"4
1
О
1
4
1
01 ГР О О
1 : Р= О Р О
4J [о О Р
60
В рассматриваемом случае опорные реакции не вызывают мо-
ментов в пролете, следовательно.
C=L«BWP=| 1/8 1/4 1/8 I^7tI1 * l||0 р 0 1=
и/16 1/8 3/18 J lo I 4_||0 О #*1
[3-44-2-1 3142-44 Ы 2.141-41
2-4+4-1 2-1+4.44-2.1 41+2-4 =
1-4+2-1 1-1+2-4+3-1 2-I+3-4J
РР
3MEJ
14 12
12 20
6 12
6’
12
14
Уравнение устойчивости (3.28) запишется
14—к 12
12 20-Х
6 12
6
12 -0.
14—X
где к =1/0=384 ЕЩРР).
Наибольшее значение корня уравнения найдем методом
С. А. Бернштейна (3.11). Найдем матрицу А, затем матрицу А’:
14 12 6
А = 12 20 12
. 6 12 14
[14-14 + 12-12 + 6-6 14-12 + 12-20 + 6-12 14-6 + 12-12+ 6-141
12 14 +20-12 + 12-6 12-12 + 20-20+ 12-12 12-6+ 20-12+ 12-14 1 =
6-11 + 12-12+ 14-6 6-12 + 12-20+ 14-12 6-6 + 12-12 + 14-14 J
[376 480 3121
480 688 480
312 480 376J
След матрицы А определится как spA= 14+20+14=48. След
матрицы А1 равен spA1-376+688+376-1440.
Оценка С. А. Бернштейна запишется
48(| + 1440/48»-|)/2<Хши<48,
или 36<Хш«ж<48.
61
Для более строгих оценок определим матрицу А4:
Г376 480 3121Г376 480 3121
480 688 480 480 688 4801=
312 480 37бДз12 480 37б]
Г376»+480»+312»
480»+688»+480»
L 312»4-480’4-376*
’469 120 1
= 934 144
469 120 J
Точками обозначены внедиагональные элементы, которые не
влияют на значение следа матрицы.
След матрицы А4 равен
sp А4=4691204- 9341444-469120= 1872384.
Двусторонняя оценка прн Л=2 дает
|/ М40(1 + 1^2 < < /ТЯб.
или 36.9644<Хпах<37.9473.
Среднее значение Хщ.ж получается равным 1ср== (36.9644+
+37,9473)/2=37,5559. Критическое значение нагрузки определится
из соотношения 384Е//(0РР) =37,4559. откуда
Ркр=₽Р=(384/37,4559)(£7//а)= 10.25EJ/P.
Точное значение критической силы
Р^ЕЛР,
причем погрешность вычисления оказывается менее 4%. Прн рас-
смотрении одной точки (рис. 3.3, а) имеем Ржр= 12Е//Р.
• 3.4. Определить критическое значение распределенной по ли-
нейному закону осевой нагрузки, действующей на стержень посто-
янного поперечного сечения, шарнирно закрепленного по концам
(рис. 3.5).

Рме. ЭЛ
Укаааиие. Задачу решать с испольэоаакнем матричного аппарата, разде-
лив длину стержни на семь участжов. Найдите точное решение и сопоставьте
результаты.
Ответ. Прибдвжешюе значение фф—I0.2E//P, точное — lOfiEJ/P.
62
• 3J5. Определить значение критической нагрузки для стержня
переменного поперечного сечения (рис. 3.6). используя метод ко-
нечных разностей. В точках /, 2 и 3 на стержень действуют силы
P1=PJ=P8=O,23 Р. Моменты инерции сечений / и 3 равны ОД /,
момент инерции среднего сечения равен J.
Ответ. 6,73£//Л.
• 3.6. Определить критические значения нагрузки, действующей
на стойку ступенчатого переменного поперечного сечения
(рис. 3.7).
Указание. Для решения воспользуйтесь теорией матриц а разделите вс»
длину стержня на четыре участка сечениями, расположенными в местах резкого
изменения размеров поперечного сечения. Заданный стержень рассмотрите кам по*
ловину симметричной двухооорноА балки.
Огаст.
• 3.7. Найти критическую сосредоточенную нагрузку, действую-
щую на шарнирно опертый по концам стержень длиной /, момент
инерции которого изменяется по закону /=/0(1+
+4х/1—4х,/Л) энергетическим методом, приняв в
качестве уравнений формы кривые, определяемые
такими выражениями:
у=1х — л’; y=sto(njc//);
y=Ci ski (nx/Z)-|-Cj sin (Злх/Z).
Начало координат совпадает с одним нз концов стержня.
Указание. Убедитесь, что все эти выражения удовлетворяют граничным
условиям. Сопоставьте полученные результаты и определите погрешность первого,
менее точного результата по отношению ко второму.
Решение. Рассмотрим первый случай, когда у=1х—х*. Вос-
пользуемся энергетическим методом. В соответствии с формулой
63
(3.29) находим
' 11 i ll
P„=-j £J(!fpdjcI|(!/'J>dx=E| J(!ГЯ<1х И (s')»dj
Определим у' и у":
у'=/-2х; у*=-2; <у')»=Г.-4/х4-4х’; (jT)’=4.
Найдем далее интегралы
I i
| J <^=/0 J (1 +4ж/, -4jc’/P)4dx=20Jo//3;
(P-Ux+4x*)dx=P/3.
^(y’fdx=
В результате получим
Pn,=(2O£'/o//3)/(/’/3)=2OF/1yP.
Ответ. В двух другвх случаях имеем Р.,» 19.4£/q/P: Pw\$2EJqIP.
* 3.8. Определить приближенное значение критической силы для
стержня, шарнирно опертого по концам, энергетическим мето-
дом, принимая следующие уравнения упругой линии: а) квадрат-
ная парабола у=*с(1х—х2); б) полином 4-й степени, определяющий
кривую прогиба балки от равномерно распределенной нагрузки
у=с(Рх—2/х3+х4). Начало координат совмещено с одним из кон-
цов стержня. Ту же задачу решите методом Бубнова — Галеркнна.
Ответ, а) Р.р«10£//Р; б) Ряр—9ДО//Р.
* 3.9. Определить вариационным методом критическое значение
нагрузки Р, действующей на консольный стержень (рнс. 3.8). Урав-
нение упругой линии представьте квадратной параболой.
Ответ. P^lJbEJfP.
• 3.10. Определить критическое значение сил Р, действующих на
плоскую ферму (рис. 3.9). Площадь поперечного сечения раскосов
Fe в 5 раз меньше площади F остальных элементов. Угол а=45°.
Ответ. /’.,'=0,00546 ЕЕ.
ЭД. Плоские и пространстваммьм рамы
• 3.11. Определить наименьшее критическое значение нагрузки,
действующей на раму (рис. 3.1), качественным методом.
Ответ. Р^—№2ЕЦ1Р.
• 3.12. Определить наименьшее критическое значение нагрузки,
действующей на раму (рис. 3.11). Задачу решить точным и каче-
ственным методами.
Указание. При решении задачи учтите симметрию рамы и нагрузки.
Ответ. Рад-31Д£/Д>
64
р
к
3J
"Т77
j
Рас. ХЮ
Рве. 3.14
Рас. ХЮ
Рве. зла
• 3.13. Определить критическое значение нагрузки для системы
перекрестных балок (рис. 3.12). Длины и жесткости элементов по-
казаны на чертеже. Постройте график, показывающий зависимость
критической силы от параметра
Указание. Задачу решите с помощью энергетического метода, представ-
ляя упругие линии продольных балок уравнениями: a) y=*f sin (лд/(3/|)); б) у—
—Л sin [2лх/(31|)1: ai) у—/sin (лх//,). Упругие линии поперечных балок во всех
случаях представые уравнением у—/ sin [ял/(36)1-
Ответ.
а) = (I +1) при 0 < X < 4;
в) Яч> = (16+Х)я»В1/,/(36^) при 4 < X < 20;
в) Р*, = aWi/'f при X > 20.
График зависимости Рп от параметра X представлен на рис. 3.13.
я’£1/ j
Сплошной линией показано приближенное, пунктирной — точное решение.
• 3.14. Определить критическое значение силы Р, действующей
на шарнирно опертый по концам стержень (рнс. 3.14). состоящий
нз 12 круглых стержней с осевым моментом инерции Л, связанных
круглыми кольцами, момент инерции которых равен /К=2Д. Дли-
на стержня l=6d, где d—расстояние между кольцами. Радиус
колец R.
Указание. Учтите деформацию сдвига, задачу решите энергетическим ме-
тодом.
Ответ.
1 + [d /144 + /?/(16л)) /?.*/(£/<) ’
где PS—iPEJ/P: / — осевой момент инерции всех стоек.
• 3.15. Определить значение критической нагрузки, действующей
на абсолютно жесткую плиту, опертую на восемь деревянных стоек
(рис. 3.15). Длина стоек Z=1.5 м. размеры поперечного сечения
5х Ю сма, Е= 1 МПа.
Ответ. Рир=366 кН.
3.3. Арки
• 3.16. Установить графическую зависимость критического зна-
чения нагрузки q, действующей на двухшарнирную параболиче-
скую арку с надарочиым строением (рнс. 3.16). от соотношения
моментов инерции балки /о и арки Л при различных отношениях
стрелы подъема f к пролету /.
Указание. Воспользуйтесь формулой А. Ф. Смирнова q—KEJ/P, где К—
—Кс<0,95+0.7(//+(///)11£в/е/(£ж/>), причем /^—коэффициент устойчивости для
двухшарнирной арки без надарочного строения — определите энергетическим ме-
тодом.
Ответ. Результаты приведены ва графике (рис. 3.17).
66
• 3.17. Определить приближенно критическое значение нагруз-
ки qt действующей на круговую арку постоянного поперечного се-
чения (рис. 3.18, а). Сравните полученный результат с точным.
Решение. Симметрично нагруженная круговая арка теряет
устойчивость по обратносимметрнчной форме, соответствующей
минимальному значению критиче-
ской нагрузки (рис. 3.16, а). При
исследовании обратноснмметрнч-
ной формы можно ограничиться
Рис. 3.1В
рассмотрением одной половины аркн (рис. 3.16, б). Фиктивная
арка при этом совладает с заданной системой.
Как известно, уравнение устойчивости арки запишется
|С—ХЕ 1—0, где матрица С—НВ, причем элементы столбцов мат-
рицы Н есть моменты в сечениях арки от приложения единичных
сил в различных точках. Матрица В определяется в соответствии
с формулой (3.23).
Если полуарку разделить на два участка, то отмеченные матри-
цы будут содержать лишь по одному элементу. Матрица В запи-
шется
бс/о 12с/
так как$о=Яа/2; рц= (2+1/2) =2,5.
Матрица Н запишется
H=|(Z?/2)tg(a/2)|.
3*
так как момент в точке / от приложения единичной силы в той же
точке
R skl <°^=т‘к(а/2)-
Матрица С будет равна
C=[-f-tg(a/2)]-§7|2,5|=^l!^ J1].
Уравнение устойчивости запишется
|*Patg(a/2)________________L_|—п
I 9.6£/ 9tfR |
откуда
^-9.6£J/(atg(a/2)W).
Точное решение дает
Результаты сравнения точного и приближенного решений при
разных углах а даны в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Срииемие результатов решения
Зяачсмаа еарДО(£/) Потрашюсть. Ь
точное арввавжсмт
ОДл 3 3.06 2
0,4я 5Д5 5,26 0.2
0.3л 10.11 10 —1.1
0,2л 24 23.51 —2
0.1л 99 96Д4 -2Д
• 3.18. Определить с помощью теории матриц значение критиче-
ской нагрузки д, действующей
на круговую симметричную ар-
ку переменного поперечного
сечения (рис. 3.19). Отношение
стрелы подъема к пролету
f//=l/6.
Указание. Раздолие полуар-
ку на четыре участка, границами ко-
торых являются места резкого изме-
нения размеров поперечного сече-
“"ответ. «„-273ИЖ
вв
ГЛАВА 4
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ЮЛ* И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ
РАСЧЕТ СИСТЕМ
Крвткив смдммя из теории
Как уже отмечалось в гл. I. действительные конструкции лишены тех иде-
альных свойств, которыми их наделают при исследовании устойчивости первого
рода. В действительности неоднородность материала, наличие неизбежных поги-
бей. эксцентричность приложения нагрузок приводят к работе элементов конст-
рукций в условиях продольно-поперечного изгиба.
При рассмотрении отдельных стержней в случае заданных продольных сил.
обусловливающих сжатие элементов, и малых перемещений расчет сводится к ре-
шению соответствующего линейного дифференциального уравнения, что не свя-
зано с введением каких-либо специальных приемов. В тех случаях, когда отыска-
ние решения дифференциального уравнения математически достаточно затрудни-
тельно, целесообразно прибегнуть к одному из многочисленных приближенных
методов. В методе последовательных приближений первона-
чально определяется упругая кривая стержня без учета влияния продольных сил.
Знание ординат упругой кривой позволяет найти дополнительный момент, созда-
ваемый продольной силой. Во втором приближении прогибы определяются как с
учетом поперечной нагрузки, так и дополнительных моментов. Найденные прп
этом перемещения позволяют отыскать дополнительные моменты для следующего
приближения и т. д.
Для приближенного решения задачи о продольно-поперечном изгибе стержня
можно воспользоваться разложением нагрузки по собственным функциям. По-
следними являются упругие линии, соответствующие спектру форм потери устой-
чивости. Так как в общем случае формы потери устойчивости не ортогональны
между собой, то приходится ограничиваться учетом некоторых т форм и опреде-
лением разложения по характерным ординатам нагрузки в т точках. После на-
хождения коэффициентов разложения упругая кривая определяется в соответст-
вии с выражением
где oi — коэффициенты разложения: Vt — соответствующая форма; V/» P^JP.
Интересно здесь отметить, что всякий раз, когда действующая осевая сила
приближается к критическому значению, прогибы стержня стремятся к бесконеч-
ности. Это обстоятельство подчеркивает положение о том. что критические силы,
найденные из рассмотрения задачи продольного изгиба, достаточно точно опре-
деляют действительную несущую способность сжато-изогнутых упругих стержней.
В более сложных статически определимых системах используются те же ме-
тоды. что и при расчете простых стержней.
В статически неопределимых упругих системах расчет конструкций с учетом
продольно-поперечного изгиба усложняется тем. что первоначально неизвестны
осевые усилия в элементах. Эти осевые усилия могут быть найдены лишь после
рассмотрения перемещений, которые в свою очередь зависят от действующих осе-
вых сил.
Расчет рам с учетом продольно-поперечного изгиба элементов, или дефор-
мационный расчет рам, основан ма сохранении всех тех предпосылок,
на которых построены обычные методы статического расчета рам: не учитыва-
ются продольные деформации стержней, вызванные действием продольных сил.
не учитываются изменения длин, обусловленные искривлением стержней, предпо-
лагается. что деформации конструкций не вызывают изменения направлений н то-
чек приложения сил, перемещения предполагаются малыми. При деформационном
расчете рам могут использоваться: метод сил перемещений, смешанный или любой
69
мз приближенных методов. Специфика деформационного расчета заключается в
том. что все коэффициенты канонических уравнений должны быть определены
с учетом окончательных усилий в стержнях рамы. Последние в первом прибля-
женин могут быть взяты из обычного статистического расчета рам. В случае
большого расхождения в значениях нормальных усилий по недеформационному
деформационному расчетам в первом приближении следует уточнить деформаци-
онный расчет, взяв значения осевых сил из первого приближения.
При определении коэффициентов канонических уравнений методом сил сле-
дует иметь в вцду, что обычные эпюры в единичных состояниях интегрируются о
эпюрами от единичных состояний, построенными с учетом окончательных, дейст-
вительных нормальных сил в элементах.
В случае деформационного расчета рам методом перемещений при опреде-
лении коэффициентов канонических уравнений следует также учитывать оконча-
тельные значения осевых сил. При использовании ЭВМ эффективным является
метод конечных элементов.
В заключение следует подчеркнуть, что выполнение деформационного расчета
не избавляет проектировщика от проверки системы на устойчивость, так как в
тех случаях, когда вызванная внешней нагрузкой деформация системы близка
по характеру к одной кз форм потери устойчивости, возможна потеря устойчи-
вости. отвечающая этой форме, если ей соответствует более низкий уровень на-
гружения.
4.1. Простые балки
• 4.1. Определить максимальный изгибающий момент в шарнир*
но опертой балке пролетом /=1 м, на которую действуют осевая
сжимающая сила 5 кН и попереч-
ная равномерно распределенная
нагрузка (рнс. 4.1) интенсив-
ностью 0=0,5 кН/м. Жесткость
стержня 1.25 кН • ма.
Решение. Так как в данной
Рис. «л задаче нас интересуют лишь изги-
бающие моменты, то мы восполь-
зуемся следующим дифференциальным уравнением изгиба стерж-
ня М*4-о’М=0(х), где о1=Р/(£/).
Решение уравнения представим в виде
/И=A sin vx+# cos vx
Граничные условия запишутся: при х=0 М(0)=0; при х=1
М(1) ^0. Отсюда имеем
В4-0/®а=О;
A sinT/-|-Bcos®/4-0/®2=O.
Решая полученную систему уравнений, найдем
В= —д№\ A=(0/ti2)(cos т»/— l)/sin ф/.
Выражение для изгибающего момента в любом поперечном
сечении теперь можно представить в виде
М (л)=(0/ф2) [(cos чЛ — 1) sin vx/sin vl—cos ч>х +1 ].
70
Наибольший момент, учитывая симметрию балки и нагрузки,
определим в середине пролета при х=1!2\ о*=£/(£/)=5/1,25 е
=4 м”’; м-1; v/«2; t?//2= 1:
~ МШ-М «И-J. (-5^=1--. *-».*•+ >)-
°т( ~ о£г 1 °-84' -°-м+9° -1>07 кН-“-
Если не учитывать сжимающую силу, то момент в середине
пролета определится как
Л40(//2)=^Л/8= —5-Р/8= —0,625 кН-м.
Для определения момента в середине пролета можно восполь-
зоваться приближенной формулой; сначала определим критическое
значение осевой силы без учета поперечной нагрузки £.=
=n9EJ/P=x* 1^25/1*=12,4 кН, тогда
М=Л1о/[1-(Р/Р^]==О,625/(1 -5/12,4)=- 1,045 кН м.
Приближенное значение отличается от точного всего лишь
на 24.
• 4.2. Построить эпюру прогиба у, угла поворота сечения <р, мо-
мента М и поперечной силы Q для балки, расположенной на двух
опорах (рис. 4J, а). Материал балки — сталь; £=21-10* МПа;
/«0,173- КН м4; V-216X
4-КН м3; F-43.9-КН м»
Ответ. Окончательные эпюры
представлены на рве. 4.2,6.
• 4.3. Определить наи-
большую нагрузку, которую
может воспринять труба
(Е-210 ГПА; от-240 МПа),
нижний конец которой заде*
лан, а верхний — свободен.
Силы действуют с эксцен*
Рис. 4.3
триситетом относительно оси трубы е=12 мм. Внешний диаметр
трубы 63 мм, толщина 3 мм. длина 1500 мм.
Ответ. Р-69 кН.
• 4.4. Провести деформационный расчет рамы (рис. 4.3), опре-
делить прогиб в точке приложения силы. Сечение стержня —
квадрат со сторонами 20 см*, модуль упругости £=20 ГПа; Р=
=200 кН.
Ответк у—6,97 см.
4JL Статически неопределимые балки, рамы, арки
• 4.5. Определить прогиб конца консоли и наибольшие напряже-
ния над средней опорой для стержня (рис. 4.4). Момент инерции
сечения стержня 1,44* 10**4 м4, площадь поперечного сечения £=
=88*10^ м»; £=21 ГПа.
Ответ. у-» 1,47 см: Стаж—74.9 МПа.
• 4.6. Провести деформационный расчет рамы (рис. 4.5) и по-
строить эпюры моментов прн различных значениях сил Р=
=ш(1|25й). принимая а=0; 4; л*; 12/25, где i — линейная жест-
кость.
Ответ. Характерные эпюры моментов представлены на рис 4.6.
? При каком значении параметра акр возможна кососимметрич-
ная форма потери устойчивости?
• 4.7. Провести деформационный расчет рамы (рис. 4.7, а); по-
лученные результаты сравнить с результатами расчета по неде-
формнрованной схеме.
Ответ. Эпюра моментов, полученная в результате деформационного расчета,
представлена на рис 4.7. б; эпюра моментов, полученная при расчете по недефор-
ыированной схеме,— на рис 4.7, в.
• 4Л. Провести деформационный расчет трехшарннрной арки,
очерченной по квадратной параболе при загруженнн левой ее ло-
те
ловнны равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью
12 EJ/F, и найтн моменты в сечениях 1, 2, 3,4 (рнс. 4.8). Соло*
ставьте полученные значения с данными недеформацнонного рас-
чета. Сечение арки постоянное.
Ответ. М,-0.(Я4Р1-, М»—0,094 РР. М<—0.0MPL Нсдеформа-
шюииый расчет дает 0.085Я; М2=0,083Р/; М1-М<~—0.0ВЗР1.
ГЛАВА 5
КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Краткие сведении из теорем
Рассмотренные выше методы определенна критических сил дат возможность
найти форму упругой линии при потере устойчивости, но не позволяют найтК
истинные значения перемещений в закритичесхой стадии, а в случае продольно*
поперечного изгиба деформационный расчет основан иа предположении о малости
перемещений. Отдельные предпосылки, которые были приняты во внимание, сна*
жат точность получаемых результатов*, поэтому существенный интерес представ-
ляет оигнма точности этих результатов.
73
Для решения поставленной задачи следует воспользоваться уравнением, ус-
танавливающим связь между радиусом кривизны р и изгибающим моментом М:
M = (5.1)
для кривизны принять точное выражение
1/? = »*('+J-’')-’'’. (S.2)
ли заменить радиус кривизны р выражением
р = dx/dy. (5.3)
где з — длина дуги; ф — угол поворота касательной к упругой линии.
Полученное таким образом дифференциальное уравнение является нелиней-
ным. в его решение представляется эллиптическим интегралом или гнперпюметрн-
ческими функциями. Возможно исследовать работу системы и в том случае, когда
значения и направления нагрузок связаны с деформацией системы, только при
этом существенно усложняется решение дифференциальных уравнений.
5.1. Коимшв пер
• 5.1. Построить график зависимости прогиба у трехшарнирной
арки (рис. 5.1) от силы, действующей в замке арки, и установить
критическое значение силы.
Ответ. Характер зависимости прогиба от силы представлен па рис. 5.2.
? Что означает пунктирная линия на рис. 5.2?
Рве. 5.1 Рис. 5Д
• 5.2. Определить прогиб конца стального консольного стержня
переменной ширины (рис. 5.3). Сила Р=2.5 кН.
Указание. Воспользуйтесь приближенным приемом, который заключается
в замене реального стержня абсолютно жесткими звеньями с упругостью, сосре-
доточенной в местах соединения звеньев. Жесткость соединений определяется как
al(EJ), где о —длина абсолютно жесткого эвена. Расчет провести методом после-
довательных приближений. Стержень разбить на пять участков.
Ответ, у—13,5 см.
• 5.S. Определить прогиб в середине пролета стержня (рис. 5.4).
расположенного на катковых опорах прн неизменном расстоянии
между ними. Пролет стержня I м; сила Р=Ь кН действует в
середине пролета; /=3,5-10“4 см4; Л =8,33-10-4 см4;
=21 МПа.
74
Указание. Воспользуйтесь методом последовательных приближений, идея
которого изложена в задаче &2. Рассмотрите поломку стержня, считая, что и се-
редине пролета поставлена заделка, а иа конце консоли действует сила перемен*
кого направления. Разбейте стержень на пять участков.
Отлег. см.
ГЛАВА 6
устойчивость нвлмнвиио>ултмх
и уптоплдспгаамх систем
Крапм смдамия мз теории
График зависимости между напряжениями а деформациями как при нагруже-
нии, так и при разгрузке нелинейно-упругого материала имеет вид. показанный
на рис. 6.1. В игом случае можно использовать весь тот аппарат, который спра-
ведлив для линейно-упругих систем, только следует принять значение касатель-
ного модуля упругости равным F-do/de. Если осевая сила непостоянна по дли-
не элемента. то переменным будет и касательный модуль упругости. В последнем
случае задача об определении критической нагрузки решается аналогично тому.
как решалась задача об устойчивости стержней переменного сечения, момент
ннсрцки которых /ар изменяется по закону Inp—JE'lE, где / — момент инерции
заданного поперечного сечения, F— касательный модуль упругости, переменный
по длине стержня, а Е— некоторая постоянная. Так как F зависят от напряже-
ния о, которое определяется значением критической силы, то решение задачи про-
водится путем последовательных попыток.
75
Первоначально следует задаться некоторым значением напряжения, найти
касательный модуль упругости и определить значение критической нагрузки. По
найденным критическим значениям следует вновь определить напряжение и затем
найти значение касательного модуля упругости.
В том случае, когда работа материала элемента характеризуетя графиком,
представленным на рис. 6J2, и разгрузка определяется законом, отличным от за-
кона нагружения, сохраняются в силе все выражения, получаемые для упругих
систем, только при этом вводятся либо приведенный модуль упругости, либо при-
веденный момент инерции сечения, зависящие от формы поперечного сечения и от
напряжений.
Однако нужно отметить, что некоторые последователи Ф. Шенли, Ю. Н. Ра-
ботнова, Я. Г. Паиовко считают, что скорость загружения стержня продольной
силой может превышать скорость разгрузки крайнего волокна при выпучивании.
В этом случае после потерн устойчивости еще продолжается увеличение напряже-
ний в сечении и расчет проводится с учетом касательного модуля F.
Таким образом можно ориентировочно рекомендовать определить критическое
значение нагрузки при ее медленном возрастании с помощью приведенного моду-
ля. а в случае быстрого, ио не динамического возрастания — с помощью касатель-
ного модуля.
Приближенный прием проверки устойчивости внецеитренио сжатых стержней
и рам в плоскости изгиба в упругопластичесжой стадии по методу двух сечений
разработал А. В. Гем мер линт. Расчет при этом распадается на два этапа. Пер-
воначально следует задать критическое значение нагрузки и провести деформа-
ционный расчет системы, используя прием последовательных приближений, при-
чем на этом этапе расчета вводится понятие о первом расчетном сечении, гео-
метрические параметры которого находят с учетом отношения секущего модуля
упругости £* к некоторой постоянной Е.
На втором этапе определяют геометрические характеристики так называемого
второго расчетного сечения, которые находят с учетом отношения касательного
модуля упругости Е' к постоянной Е. Далее определяют критическую нагрузку
для системы, поперечные сечения которой совпадают со вторым расчетным сече-
нием, в предположении, что материал конструкции упругий и имеет модуль упру-
гости. равный Е.
Найденные критические нагрузки сопоставляются с теми, которые были при-
няты на первом этапе расчета. При их расхождении весь расчет повторяется сно-
ва по среднему значению критических сил, найденных на двух предыдущих
этапах.
6.1. Расчет стержней за пределом упругости
• 6.1. Определить значение критической нагрузки в случае сталь-
ного стержня, шарнирно опертого по концам. Длина стержня 1=
= 1,2 м, £=210 ГПа; предел пропорциональности о«=200 МПа;
предел текучести от=240 МПа. За пределом пропорциональности
<тКр (МПа) вычисляется по формуле пкР=300—0,01 X, где X —гиб-
кость стержня. Выше предела текучести напряжения считать по-
стоянными и равными От.
Указание. Рассмотрите: а) круглое сечение rf=6 см: б) квадратное сече-
ние со стороной а«4.5 см; в) прямоугольное сечение 10Х& см; г) двутавровый
профиль Nt 22.
Решение. Рассмотрим случай (б). Радиус инерции поперечно*
го сечения, представляющего собой квадрат,
Z=e//T2=4.5/l2=l,3 см.
Гибкость стержня
1=1/1= 120/1.3=92.5.
76
Критическое напряжение
^=300-0,01-92,5=207.5 МПа.
Критическая сила
Рмр=ввр£=207,5.4,5.102=0,42 МН.
• 6.2. Определить значение критической нагрузки для стержня
квадратного сечения с размерами а=4,5 см, длиной /= 1,2 м. Стер-
жень шарнирно оперт по концам. Выражение для касательного
модуля определяется формулой £'=о(310—прн а>
>190 МПа. Модуль упругости £=2,14.10е МПа.
Указание. Задачу решжте по Яапюгому — Энгессеру Энгессеру — Шея-
лн. Сопоставьте полученные результаты с найденным в предыдущей задаче.
Решение. Чтобы решить задачу по Ясинскому—Энгессеру,
находим значение касательного модуля, задавшись некоторым на-
пряжением, например о=220 МПа. Прн этом получим
£*=220(310-220F/128= 1,39.10s МПа.
Для прямоугольного поперечного сечения приведенный модуль
₽ 4££_______________4.2,14.105.1,39 10» , сп |ПБ МПй
£*р (Иё + KFF = (Vi.u ioi + i'i.ito.iosj* “,69‘МГ“‘
Радиус инерции сечения /=а/у^Т2=4.5/К 12= 1.3 см.
Гибкость стержня К-120/1.3=-92,5.
Критическое напряжение
eMp=rt«£JB|A’=n2.1,69.105/92,52= 196 МПа.
На втором этапе берем среднее значение напряжений между
принятым и полученным, т. е.
о<р=(220-|-196)/2= 208 МПа.
Определяем касательный модуль
£*=208(310—208^/128=1.69- 10s МПа.
Приведенный модуль
Е __ 4-2,14-1Q5-1,09-105
о₽~ (утттта+/г;ш.|о*р
1,9.10s МПа.
Критическое напряжение
ажр=лМ.9.105/92.5*=220 МПа.
На третьем этапе берем следующее среднее значение напря-
жения!
о,р=(2084-220)/2=214 МПа.
Определяем касательный модуль
Г_2!4Й»О->МУ =1.54.10» МПа.
77
Приведенный модуль
4-2,14-105.1,54-106
(К2.14-Ki id»)3
= 1,8* 10е МПа.
Критическое напряжение
_ Л* 1,8- 1QS
* 92.5»
=208 МПа.
Так как результаты двух последних приближения достаточно
близки, то принимаем
ож,—(2084-214)/2=211 МПа.
тогда критическая нагрузка будет
Лф=°м/г=211.4.5М0-<=425 МН.
При решении задачи по Энгессеру—Шенлн снова зададим на-
пряжение. например предположим, что ояр=211 МПа, тогда ка-
сательный модуль
Е=211(310-211^/128= 1.616-10s МПа.
Определим теперь критическое напряжение
вжр=л2.1,616-105/92,5= 187 МПа.
Так как полученное н заданное напряжения существенно от-
личаются, то на втором этапе принимаем
<^=(187-1-211)/2= 199 МПа.
Касательный модуль упругости
£=199(310—199)2/128= 1,87«105 МПа.
Определяем критическое напряжение
□«₽=л’. 1,87-105/92.52=216 МПа.
Окончательное значение критического напряжения
в1ф=( 199-f-216)/2=207,5 МПа.
Критическое значение сосредоточенной нагрузки
Ркр=207.5.4,52-10-^=420 кН.
Сопоставляя значения Ряр» определенные различным путем, ви-
дим. что они близки друг к другу.
• 6.3. Определить критическую силу, действующую на консоль-
ный стержень переменного поперечного сечения. Момент инерции
н площадь ннжнего сечения обозначим через /0 и F; момент инер-
ции и площадь верхнего сечения: 7=0.4 Уо; Fi=0,4 Г. В промежу-
точных сечениях эти величины изменяются по линейному закону
(рис. 6.3). Материал — сталь марки СтЗ.
Указание. Касательный модуль упругости определите в зависимости от
напряжения: £*-о(310—о)*/128 при о>190 МПа.
Ответ. Лф=1.9б£Л/'а.
78
• 6.4. Определить критическую силу для стержня ступенчатого
поперечного сечения (рис. 6.4). Площадь и момент инерции узкой
_______________________ части Fi=27 см2, /1=123 см4; ши-
рокой части F—49 см1; /—307 см4;
/=2 м; Х=0,8 м. Материал — сталь
марки СтЗ.
Указание. КасателышА модуль оп-
ределите в соответствии с выражением,
приведенным в задаче &2.
Ряс. 6.3
• 6.5. Исследовать динамическим методом устойчивость прямо-
линейной формы равновесия шарнирно опертого стержня, нагру-
женного постоянными осевыми силами Р. Материал стержня под-
чиняется упруговязкому линейному закону о«Ее+Яе.
Указание. Используйте уравнение возмущенного движения стержня
jwv + Pv*4-E|v*[1 +(eW + Я/ (р* [1 +(v'F/2] + v'pv*)* « 0.
где о — прогиб стержня; т — линейная плотность.
В уравнении производные по временя обозначены точками, а производные по
длине изогнутой оси стержня — штрихами. Решение уравнения следует искать в
виде где /(/) — некоторая функция времени; ®(s) — функция коорди-
наты. удовлетворяющая граничным условиям задачи. С помощью метода Бубно-
ва — Гадеркина свести уравнение возмущенного движения к обыкновенному диф-
ференциальному уравнению. Выписать его линейную часть н с помощью неравен-
ства Гурвица записать условия отрицательности вещественных корней характери-
стического уравнения.
Ответ. Равновесие стержня будет асимптотически устойчивым при P<i&EJ!P.
• 6.6. Исследовать устойчивость существующих криволинейных
форм равновесия стержня, рассмотренного в предыдущей задаче.
Указание. Найти частное решение уравнения возмущенного движения
стержня, рассмотренного выше, при f=/.—const. В результате получить зависи-
мость между статическим прогибом /. и осевой силой Р для существующих кри-
волинейных форм равновесия стержня. В уравнении возмущенного движения за-
менить переменные: 1—У+!», и полученное уравнение исследовать так же. как это
сделано в предыдущей задаче.
Ответ. Криволинейные формы равновесия стержня будут асимптотически ус-
тойчивыми при Р>пЧ!Р.
6.2. Расчет рам м пределом упругости
• 6.7. Определить значение критической нагрузки для стальной
рамы (рис. 6.5). Предел текучести от=240 МПа. Предел пропор-
о 79
-льности <га=207 МПа. Моменты инерции /|=4,38-10е см4;
^лоЗЭ-КР с*4; /в* 10е см4, площади поперечных сеченнА £|-=
ем’. Fi=102 см’. Пролет /=20 м. Значення приведенного
модуля взять в соответствии с
данными задачи 6.2.
Ответ. амр»219 МПа.
• 6.8. Определить критиче-
ское значение нагрузки, дейст-
вующей на трехпролетную
стальную раму (рис. 6.6). Мо-
мент инерции поперечных се-
чений и их площади: Л =
= 10000 см4; /1=5400 см4;
/3=6510 см4; £1=40 см’; £»=
=60 см’.
Средняя стойка изготовлена из стали, характеризуемой £—
==2,2- 10* МПа, оа=290 МПа, о.=660 МПа. Диаграмма критиче-
ских напряжений представлена на рис. 6.7 (кривая /). Остальные
элементы изготовлены из стали, параметры которой £=2,17 X
X 10е МПа, Ов=260 МПа, а.=680 МПа. Диаграмма критических
напряжений дана на рис. 6.7 (кривая 2).
Ответ. МН.
ГЛАВА 7
УСТОЙЧИВОСТЬ ОВОЛОЧВС И ПЛАСТИН
Краткие сведения из теории
Методы исследования оболочек к пластан на устойчивость подобны тем. ко-
торые описаны в гл. !. Рассматриваются три основных метода для определения
критического состояния оболочек н пластин: I) статический, состоящий в анализе
возмущенных равновесных форм; 2) амергетнческнй, сводящийся к исследованию
интегралов энергии и выражений, км родственных; 3) динамический, который за-
ключается в исследовании возмущенного движения системы.
80
Процесс потери устойчивости оболочек имеет характерные осо-
бенности. В практических расчетах иа устойчивость стержней в стержневых свс-
тем можно ограничиться определением изогнутых равновесных форм, лежащих
в ближайших окрестностях основного состояния (исследование устойчивости сис-
темы «в малом»). Такой подход возможен и при определении критических нагрузок,
действующих ва обслбчху. Он приводит к определению так называемой верхней
критической нагрузки. Основное состояние обычно соответствует безмоментному
напряженному состоянью оболочки. Опыт показывает, однако, что при потере
устойчивости оболочки новая равновесная форма существенно отличается от ис-
ходной. поверхность оболочки резко искажается, получая большие прогибы. Сам
процесс перехода к новой равновесной форме на практике сопровождается резким
хлопком. Исследование устойчивости в этом случае возможно лишь на основе не-
линейной теории, учитывающей упругие перемещения, соизмеримые с толщиной
оболочки (исследование устойчивости системы «в большом»). Методами нелинейной
теории определяется нижняя критическая нагрузка. При нагрузках, меньших ниж-
ней критической, оболочка оказывается устойчивой не только «в малом», но н
«в большом».
Важно отметить, что перескок к новым формам равновесия может произойти
задолго до того, как нагрузка достигает своего верхнего критического значения.
Для реализации этой возможности необходимо только сообщать оболочке неко-
торое деформационное возмущение (например, дополнительней прогиб). Чем
больше оказываются эти возмущения, тем при меньших значениях нагрузки мо-
жет произойти потеря устойчивости.
Сохранить идеальной форму поверхности тонкостенной конструкции трудно.
Всякая реальная конструкция имеет вмятины н другие дефекты поверхности. Та-
кне нарушения эквивалентны деформационным возмущениям и значительно сни-
жают нагрузки, при которых происходит потеря устойчивости. Этим объясняется
тот факт, что опытные данные в редких случаях (при особо тщательно постав-
ленном эксперименте) дают теоретические значения верхней критической нагруз-
ки рРу. Обычно экспериментальные значения р*р лежат в пределах, определяемых
неравенством р^ < Р^< р„. Таким образом, сри расчете оболочек на устойчи-
вость приходится учитывать как верхнюю, так и в особенности нижнюю крити-
ческую нагрузку. Расчет нельзя считать обоснованным, если не учтено влияние
известных начальных искажений формы оболочки.
При статическом анализе процесса потери устойчивости оболочек
необходимо записать уравнения равновесия для элемента оболочки в момент по-
тери устойчивости, т. е. при переходе из основного безмоментного состояния в из-
гибкое, моментное. Если при потере устойчивости появляются сравнительно по-
логие волны иа поверхности оболочки, то можно использовать аппарат теория
пологих оболочек. ТТрк решении задачи для малых прогибов эта уравнения имеют
вид
— 9 О!
л сН , д L д \ д L д\
ш — прогиб оболочки; ф —функция напряжений; й| и —кривизны поверхности
оболочки в направлении координатных линяй а и ₽ соответственно; й — толщина
оболочки; у — в задачах устойчивости представляется некоторой фиктивной по-
перечной нагрузкой, равной сумме проекций безмоментных усилий N9, NpH S на
направление нормали к изогнутой поверхности оболочки:
ф = —(We>4 + + 25х>;
где Xi и х« — изменения кривизн вдоль а я ₽ соответственно, х~ изменение кри-
визны кручения.
81
Составляющие напряжеиного деформированного состояния оболочка выра-
жаются через ф м w ыекутщпл образом:
(7.2)
М-
дадр
Q—D^-T4r, Q=-O~^v’w.
оа г 0р
Все расчетные усилия показаны на рас 7.1
ди др ди до
’•*= лГ+>1Ш: ^e-dT+Aw Y-»=“dT+дГ:
dhr дНа д>*
к‘—д^; м’в“’дГ: х=я~д5р”
(7.3)
Предполагая, что оболочка пологая по крайней мере в пределах одной вмя-
тины, можно запасать н уравнение для исследования устойчивости при больших
прогибах:
DV*w — £(», р) + pfr-f = 0; (7.4)
^-г*т-^(-.»>-4»=0: Р-5)
где
I v дЦв д»р
Л да» ’ дра +
. *L_-2_£±. **
*" др» * даа дадр ' дадр ’
В уравнении (7.4) нелинейные члены появляются в выражениях для дефор-
маций в срединной поверхности оболочки:
*• ~ da + lW + 2 \ да / I
ди до дш ди>
Y«P= др +»да + да ’ д₽ ’
При исследовании потерн устойчивости оболочки энергетическим ме-
тодом используют выражения потенциальной энергии деформаций
82
где U —энергия деформация срединной поверхности оболочки; Ua„ — энергая
изгиб*- Эти составляющее определяются по формулам
Sv.,)«F:

(7-6)
Интегрирование следует распространить на всю поверхность оболочки. Рабо-
та внешних сил на перемещениях в момент потерн устойчивости записывается для
каждого конкретного случая. Критические усилия определяются из условия ра-
венства анергии деформации и работы внешних сил. действующих на оболочку.
Задачу об устойчивости п л истин удобно рассматривать как част-
ный случай задачи об устойчивости оболочек. Положив в уравнениях (7.1) кри-
визны Л| и равными нулю, получим уравнения для определения критических
напряжений в пластинах. Решая задачу дли малых прогибов, считают, что при
выпучивании напряжения в срединной плоскости пластины малы по сравнению с
напряжениями изгиба. Пренебрегая напряжениями плоского напряженного состоя-
ния. получают одно уравнение для исследования устойчивости пластин
ДОж
(7.7)
dx« * дуЭ дхду '
где N*. N9 и S — внутренние усилия в пластине, вызванные нагрузкой, приложен-
ной по контуру в плоскости пластины.
Потенциальная энергия деформации для пластины определяется выражением
(7.6) прн условии, что кривизны *i и к» равны кулю.
Прн исследовании поведения пластины после потерн устойчивости (в закрв-
тической области) приходится учитывать прогибы, соизмеримые с толщиной пла-
стины, и использовать более общую теорию гибких пластин. Уравнения для этой
задачи можно получить из (7.5). приравнивая й| и нулю:
„ д2» „ d2*
Dy4» —— — N~—_s —— = 0;
dx’ * др® дхду
£й ™ lAdxdjJ djfl дуЧ J ‘
Функция напряжений «р и прогиб п? связаны с усилиями н моментами фор-
мулами (7.2).
7.1. Устойчивость оболочек и пластик в пределах упругости
• 7.1. Определить критическое продольное сжимающее усилие,
приложенное по торцам круговой замкнутой цилиндрической обо-
лочки (рис. 7.2, о). Исследовать устойчивость в малом.
Решение, а) Полагаем, что форма оболочки после потерн
устойчивости остается осесимметричной (рис. 7.2, а). Тогда w н <р
не зависят от р и систему (7.1) можно записать в виде
D __________L
йх< R
dx2
(PtP
dx*
1 1 dfw
Eh ' dx< ~ R ‘ dx2
(7-8)
“ Зир^
83
где <Лф — критическое напряжение, т. е. напряжение в момент по-
терн устойчивости. Положим
v=BKsin^~
(7.9)
Подставим (7.9) в (7.8), получим систему алгебраических урав-
нений относительно Ат и Вт’

А. 4-(==)'-»:
Эта однородная система уравнений будет иметь ненулевое ре-
шение только тогда, когда ее детерминант равен нулю:
I — 1//? I 0
| \/R »KEh) I
где Х»тя//.
Раскрывая определитель, получим критическое значение
+ — . (7.Ю)
* w * ж
Нужно найти минимальное значение о** при котором оболочка
потеряет устойчивость, для этого должны соблюдаться условия
±2.=0;_______
dX ‘ Ж
Отсюда !Й(1 —'ttyyTRh.
84
Подставляя это значение в (7.10), получаем
в__________________________Eh
e,₽— Л у 3(1-V»)
Это и будет верхнее критическое напряжение. При у=0,3
«0,605 Eh/R. Следовательно, продольная критическая сжимающая
сила определяется выражением
Ркр=2л/?о^Л=3,799ЕЛ2.
б) Полагаем, что оболочка при потере устойчивости не сохра-
няет своей осесимметричной формы (рис. 7.2. б) и получает прогиб
л₽, (7.11)
где т — число полуволн по образующей; л —число полных воли
вдоль окружности; х— координата вдоль образующей; 0 — угло-
вая координата.
Примем ф изменяющимся по закону
’?=Д(ИЯ sin kwx-sinp^. (7.12)
где Хт=шя//; ря=л. Подставляя (7.11) и (7.12) в (7.1) и полагая
^=—тз: • находим
dx*
ВжвО(Х«4-Л»)» -4-
К
СЛ А
Приравнивая детерминант системы нулю, получаем
о Р(ХЛ4-Я>)? . £1»
"р Ы “гда(Ха+|ЯЯ‘
Наименьшее значение оКр получается тогда, когда соблюдается
условие
ха__________Rh
(Ха + лая /12(1 -vi) ’
тогда
а — £*
*ГЗ(1-У2)
Верхние критические нагрузки при симметричной н несиммет-
ричной формах потерн устойчивости совпадают.
в) Можно попытаться задать w и ф в виде, отличном от (7.11).
Положим
Arsin’-2^-. sin>«fl;
' (713)
sin3 -т™ -sin3Др.
85
Задавая ф таким образом, полагают, что на торцах оболочки
и на границах каждой выпучины (при х—1/т) отсутствуют каса-
тельные напряжения. Подставляя выражения (7.13) в (7.1), далее
умножая первое уравнение на ф, а второе на ш и проделывая необ-
ходимые операции по методу Бубнова — Галеркина, получают си-
стему двух алгебраических уравнений относительно Атп н Bmn.
Из этих уравнений определяют о«р:
Для случая i и при ш=л ОжР=0Л Eh/R. Сравнение
этого результата с полученным в решении (7.11) указывает на
существенную роль, которую играют касательные напряжения на
торцах оболочки при определении критической нагрузки.
• 7.2, Определить критическое напряжение в круговой цилинд-
рической панели, шарнирно опертой по контуру, при действии про-
дольных сжимающих сил (рис. 7.3).
Указание. Ранение данной задачи аналогично решению задачи 7.1, а. Зна-
чение А следует привить равным гиф/й».
• 7.3. Определить критическое значение интенсивности равно-
мерно распределенной нагрузки, действующей на замкнутую ци-
линдрическую оболочку, шарнирно закрепленную по торцам
(рис. 7.4).
Указание. Действие поперечной нагрузки эквивалентно действию кольце-
вых сжимающих усилий в оболочке N,=qR. Поэтому в уравнении (7.1)
дз»
м
Решение найти в форме
® = Дяв11п-^~^-а1пл?. (7.14)
Припять т равным единице, что соответствует данным эксперимента.
Ответ, gj, = 0,В2£ (Л//) V hlR. Этим выражением можно пользоваться,
если л удовлетворяет условию (лЯ/(л/)]< I. Если это условие не удовлетворя-
ется. то следует пользоваться более полным выражением для фиР.
< 7.4. Определить критическое напряжение в цилиндрической
оболочке, шарнирно опертой по торцам, скручиваемой парой мо-
ментов (ряс. 7.5).
Указание. Основное напряженное состояние оболочки определяется ка-
сательными напряжениями т=Л1л/(2я/?,Л). а фиктивная поперечная нагрузка в
уравнении (7.1) рвана
? = 25ц- я/р ' Kixde-
Форма выпучивания определяется выражением
_ хг п
w « в cos — - cos — (у + ex),
где л — число полных волн по окружности; £ — тангенс угла наклона гребней воли
к образующей.
Л . Е * 7^*’
Ог««. т’=»0,74 (l vJ)W — |/ —.
При заданном соотношении I/R
(7.15)
• 7J5. Определить интенсивность критического нормального дав-
ления р, действующего на сферическую оболочку радиуса R.
Решение. В уравнениях (7.1) полагаем Й!—Лз=1/Я;
= —aftV’w, где о=р₽/(2Л). Исключая ф из системы (7.1), мож-
но получить уравнение
£>v*w+pv'v 4--^- v1®=0.
Решение уравнения удовлетворяет условию V’w= —?.2ш. где
X— неопределенный параметр. Подставляем Vsw в уравнение
(7.15) и, минимизируя по X1, определяем р^>:
* _ 2______Efc2
у 3(1 _ v>) &
• 7.6. Определить критическую комбинацию осевого сжатия и
внешнего давления для круговой цилиндрической оболочки, шар-
нирно опертой по контуру.
Указание. Выражение для q получить, суммируя нагрузки, взятые нз за-
дач 7.1 я 73. Задавая w н ф выражениями (7.14) и вводя безразмерные па-
раметры:
- n ”^R rPh — q t R V
87
найти весомое соотношение из системы (7.J).
Ответ.
i _ 1 o+w ж . 62
89 “ 12(1—v^) ₽ Л+(1 + в*)<
Примечание. Величины /> и ? связаны между собой в критическом со-
стоянии линейной зависимостью при заданных В и Я- График этой зависимости
показан на рве. 7.6 'пунктиром. Точки А в В соответствуют верхним критическим
нагрузкам осевого сжатия До и внешнего давле-
ния у», приложенным отдельно друг от друга. Ес-
ли соединить эти точки (сплошная линия на
рис. 7.6). то можно определить верхние критиче-
ские нагрузки с некоторым запасом устойчивости
по сравнению с ломаной линией. В расчетах пер-
вого приближения можно пользоваться сплошной
линией и соответствующим ей уравнением
Р/Ар + ^кр=1.
• 7.7. Определить критическое напря-
жение в круговой цилиндрической обо-
лочке при действии продольных сжима-
ющих сил н наличия начального симмет-
ричного отклонения от цилиндрической
поверхности с амплитудой f=h. Радиус
кривизны этого отклонения условно принять равным P/(8f); сред-
ний радиус кривизны оболочки R; l/R=2* R/h= 100; v=0,3.
Указание. До момента потери устойчивости от действия осевых сжимаю-
щих сил в оболочке возникают нормальные напряжения как в поперечных, так и
в продольных сечениях. Причем последние будут сжимающими, если начальное
отклонение имеет отрицательную кривизну, и растягивающими, если кривизна на-
чального отклонения положительна.
Ответ.
<*ф= 1-Л№
Яр mxR 1ЗДЦ1-уД)
Л“ (mxR/ф1 I У fts ;
т и п — число полуволн при выпучивании в продольном и кольцевом направле-
ниях.
На рис. 7.7 приведен график зависимости Аср = «кр/«ц от А к В при отри-
цательных А. В рассматриваемой задаче:
_____0,00811
₽“ 8/ ~ 2Л ’ * «2 :
В = 285 кН.
В соответствии с рнс. 7.7 возьмем т=1 и л=Б, при которых по формуле
(7.16) получим
01ф = 0.605.0.6&4ЕЛ//? 0.4ЕЛ//?.
Таким образом, за счет начального выпучивания критическое напряжение
уменьшилось более чем на 30% по сравнению с гладкой оболочкой.
88
Ф 7.8. Определить критическое напряжение в сферической обо-
лочке при действии равномерно распределенной нагрузки. Иссле-
довать устойчивость «в большом».
Указание. Задачу решать двумя способами. При первом способе решить
нелинейные уравнения (7.4)—(7.6). задавшись выражениями для <р и ш. Эти вы-
ражения содержат некоторые постоянные параметры н должны удовлетворять
граничным условиям задачи. Применяя метод Бубнова — Галеркииа к уравнениям
(7.4)—(7.5), получить зависимости, связывающие нагрузку с параметрами, вхо-
дящими в выражения фиш. Анализ этих зависимостей позволит определить ниж-
нюю критическую нагрузку.
Второй способ состоит в выборе выражения для ш, содержащего несколько
варьируемых параметров, и в подстановке этого выражения в правую часть вы-
ражения (7.5). интегрируя это уравнение, определять функцию напряжений <р.
Далее вычислить энергию системы. Варьируя энергию по параметрам прогиба,
найти диаграмму равновесных состояний оболочки к значение нижнего критиче-
ского давления. Как показывают исследования. результат сильно зависят от вида
функции, аппроксимирующей прогиб.
Ответ.
p{K = 0.№2EhfR.
если ш = Bi ain (лисл/Г) sin (ny/R) 4- Да ain* (тлл/О + В$
/£в0.334£й/Я,
если w = Bi sin (тлл//) sin (лу/Я) 4- В^ sin’ (mxx/l) sin’ (ny/R) 4- B$.
В обоих случаях решение берется во втором приближении: р*' получается при
варьировании полной энергии оболочки по параметрам В а, В2 и п, а />*— при
варьировании по параметрам Вг, m и п.
Ф 7.9. Определить критическую равномерно распределенную на-
грузку, действующую на пологую сферическую оболочку (рис. 7.8),
89
в плане представляющую собой прямоугольник размером аХЬ.
Предполагается, что оболочка шарнирно оперта по контуру. Иссле-
довать устойчивость <в большом».
Указание. При исследовании полотях оболочек, находящихся под дейст-
вием поперечных сил, приходятся считать напряженное состояние моментным, на-
чиная с первых ступеней нагружения. Задавшись выражениями
7 « Bin (jmtr/e)* sin (од/6); (7.17)
v = Дня sin (жлл/д)- sin (няу/й).
применить метод Бубнова — Галер кина к уравнениям (7.4)—(7.5) и. приравнивая
нулю детерминант системы уравнений для выбранных значений шил, установить
зависимость между р*жр и заданными геометрическими параметрами.
Ответ. На графике (рнс. 7.9) даны значения верхней я нижней критических
нагрузок р—(р/Е) (abjti*)* в зависимости от AiO’/A+M’/A Ь=а}Ь- Принято
Рас. 7.9
v=0. Прощелкивание оболочки имеет место при А’>18 для А—1. при 30>Л*>
>20,4 для А=0,5 и А’>30 для А—ОД С увеличением А жесткость оболочки умень-
шается.
• 7.10. Определить критическое значение равномерно распреде-
ленной сжимающей нагрузки, приложенной по двум противополож-
ным сторонам прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по
контуру (рис. 7.10).
Указание. В уравнении (7.7) N»—P. Прогиб ш при выпучивании принять
в форме (7.17). Эта функция удовлетворяет граничным условиям задачи: при х—
-О н к—а ш—0, Mi«=0; при у—0 я у~Ъ ю-0, Л4ж—0.
Ответ.
Drt* / mb tfla
Рж₽ ' ЛЗ ( а + mb )
При л-1
Гмр-« & .
Коэффициент К принимает минимальное значение, равное 4, если т^а{Ь, т. е.
а/б —целое число. Если т не целое число, то К определяется из графика на
90.
рис. 7.11. По этому графику определяется в число полуволн, образующихся в
пластинке при /\р в направлении сжатия. Если не интересоваться формой водно*
образования т, то К определяется по таблице:
V
1‘
03 0J3 0,4
27 13.2 8,41
1.2
4.13
13 1.4
438 4.47
ОД 0.6
635 5.14
• 7.11. Определять критическое значение равномерно распреде-
ленной сжимающей нагрузки, приложенной по двум противополож-
ным шарнирно опертым краям при условии, что два другие края
жестко защемлены (рис. 7.12).
Рве. Т.Н
Рже. 7.1S
Решение. Применим энергетический метод для определения
критической нагрузки. Представим прогиб в момент потерн устой-
чивости в виде
®=Bsin
а Ь
Используя уравнение (7.6), составим выражение для потенци-
альной энергии изгиба
Работа внешних сил определится по формуле
ST*'
91
Приравнивая £7М1Г и V, находим
Если а>6» то р»р определяем из уравнения -^-=0; 0,658,
0А
тогда
рч,=7,З^Л/Я
• 7.12. Определить критическое значение равномерно распреде-
ленной сжимающей нагрузки для пластинки с тремя шарнирно
опертыми н одним свободным краем. Нагрузка приложена по про-
тивоположным шарнирно опертым краям.
Указание. Использовать энергетический метод, как к в задаче 7.11,
приняв форму выпучивания в виде w—By sin(mju/a).
Ответ.
p«p=K~: K = «’-^4-6(i-v).
Примечание. Решение может быть использовано для приближенной оцен-
ки устойчивости сжатой полки равнобокового уголка. Значения К приведены
в таблице:
alb 0.6 0.8 1 1,2 М 1,6 1.8 2 3 «
К 3.65 2.25 1,44 1.14 0.95 0.84 0,76 0.7 0.56 0.45
• 7.13. Определить критическое значение сжимающей равномер-
но распределенной нагрузки, действующей по сторонам х=0, х=а
ортотропной прямоугольной пластинки (рис. 7.13).
Указание. Критические усилия определяются из уравнения
Л 04® дЧв 04® 0“® Л 02» 0^
Dl~d^+WidM^+Di~d7^Pt~д* + Рд*ду +Р" ( *
D‘=12G^):

Gh*
12 ;
Ex, vi и E* v>— модули упругости к коэффициенты Пуассона в направлении осей
Ох и Ои соответственно. Задача решается подстановкой ® в форме (7.17). В урав-
нении (7.18) для данной задачи нужно положить рг-р—О.
Ответ.
и
где с=о/6; л= 1.
В зависимости от с выбирают значение т:
т = 1 при 0 < с < 4О1/Ой
и з 2 при 4Di/Z>2 < с <
m = 3 прн 1<Зб^/^а<С < и т. д.
92
Если с>1. то
_ / Р, \
• 7.14. Сравнить критические сжимающие нагрузки, действую-
щие на железобетонные плиты, имеющие одинаковые размеры в
Ряс. т.н
плане, но разные жесткости в направленны осн Ох [вторая плита
(рис. 7.14) усилена ребрами жесткости в направлении осн Ох].
Указание. Di=3,6-10« кН-см; 12-10* кНсм; О,/О,—3.34. Поэтому
гп—2.
Ответ. р1х = 51 кН/м; д’ = 35.5 кН/м.
• 7.15. Определить значение критического сдвигающего усилии,
приложенного по граням удлиненной пластинки (рис. 7.15): а) при
шарнирном опирании продольных краев; б) при жестком защемле-
нии продольных краев.
Указание. Применять энергетический метод, представляя прогиб в виде
w «= В sln-^- • sin -у- (х — ky) для случая (afc
Ъ •
w = В sin2 -—у- • sin -у-(х — ky) для случая (б),
о I
где й —параметр. характеризующий наклон линий нулевого прогиба (узловых
линяй); / — расстояние между узловыми линиями. Работу внешних сил вычислить
по формуле
r-'J
Ответ, а) б) /^«8,98^0/*».
93
Примечание. Рещение задачи может быть использовано при проверке
на устойчивость тонкой стеикн балки, несущей поперечную нагрузку.
• 7.16. Определить критические значения равномерно распреде-
ленных сжимающих усилий рх и pv, приложенных по противо-
положным сторонам шарнирно опертой пластинки (рис. 7.16).
Указание. Представляя решение в виде w=B sin (лх/а) -sin (xylb), введи-
те обозначение ф—
Ответ, р, = Кж р„жр -= ? рж*р К ж = 4/(1 + f). «ди а = Ь.
• 7.17. Определить критическую нагрузку, распределенную по
произвольному линейному закону р—ро(1—ау/Ь) на противопо-
ложных шарнирно опертых краях пластинки (рнс. 7.17).
Указание. Применить энергетический метод исследования, как и в задаче
7.11. Прогиб задать в форме ряда
• = 2 2 Вт* »1п (тлх/а) sin (ллу/й).
m л
Значении К взять из таблицы:
л/Ь • 0.4 ол 0.75 ол 1Л 1Л
2 29.1 24.1 24.1 24,4 25.6 243
4/3 18.7 12.9 ПЛ 11.2 П.0 И.Б
1 15.1 9.7 8.4 8.1 7.8 8.4
4/5 133 83 7.1 6.9 6.6 7.1
2/3 ЮЛ 7.1 6.1 6.0 БД 6.1
Ответ, р ыР=ХлаО/й>.
• 7.18. Определить критическое значение сжимающих сил, дей-
ствующих на пластинку, усиленную продольными ребрами и сво-
бодно опертую по контуру (рис. 7.18): Ft — площадь ребра; В/ —
жесткость одного ребра при изгибе; D — жесткость пластинки при
изгибе; с/ — расстояние от края пластинки до ближайшего ребра.
Решение. Задаются уравнением упругой поверхности выпу-
ченной пластинки в виде двойного ряда
sin (тлх/а) sin (nnyjbY
94
По (7.6) вычисляют энергию деформации изгиба пластинки
и энергию деформации ребра при изгибе
м
Работа сжимающих сил
м л
Работа, произведенная сжимающей силой pi^pFfh, действую*
щей на ребро,
о
м
Критическое иапряженне получают из уравнения
Um+U‘„r=W+VI'‘.
Дифференцируя его по втл. находят ркр из системы алгебраи-
ческих однородных уравнений, приравнивая детерминант системы
нулю.
Примечание, а) Для пластинки, усиленной одним симметричным ребром:
^ = ^-. р=«_: ,= _L. y=Jl.
* * 4» ₽»<l +2») 4 4* т Ы)
Решение приведено для случая т«л-1. Оно близко к точному при 0>2.
Для более коротких пластинок следует брать большее число членов ряда.
б) Для пластинок, усиленных двумя продольными ребрами, при делении ши-
рины пластины на три равные части получают
rtD (1 + У) + Зу
VI * р(1-31)
Решение дано в первом приближении.
в) Для пластинки, усиленной I равноотстоящими друг от друга ребрами
жесткости
(I + PF + 2 У/ ainetncj/O
язр ______________/_____________
РКР~ * Рр +22 в/sin» (лс//Л)|
95
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЯ
ГЛАВА 8
.колпдния систем с одной стеганью свободы
Кроткие сведения из теории
Системам с одной степенью свободы называют такие, у которых для полной
фиксации як геометрического состояния в любой момент временя достаточно знать
лишь одни параметр, например положение определенной точки.
Классическим примером системы с одной степенью свободы является невесо-
мая упругая балка (пружина, вал) с одной сосредоточенной массой, имеющей
возможность перемешаться в одном только направлении (рис. 8.1. а—в). При ко-
лебаниях такой массы перемещения всех точек балки будут определяться пере-
мещениями указанной массы, но характер перемещений (упругая кривая балки,
диаграмма перемещений точек оси пружины) не будет связан с динамическими
качествами системы и может быть определен обычными статическими методами.
Известным приближением к такой расчетной схеме может быть реальная бал-
ка с установленным на ней тяжелым грузом (мотор к т. и.). по сравнению с ко-
торым весом балки можно пренебречь.
Системой с одной степенью свободы может быть механизм, состоящий из не-
скольких масс (рис. 8.1, е). укрепленных на жесткой недеформяруемой балке,
имеющей возможность вращаться относительно определенного центра (шарнир-
ная опора)* балка подперта несколькими пружинами, массой которых по срав-
нению с массами Mt. Mt, М, можно пренебречь. В таком случае для полной фик-
сации в любой момент времени геометрического состояния системы (любой мас-
сы. любой точки, взятой на пружине, и т. д.) достаточно знать одни параметр —
угол поворота жесткой бажн.
К задаче с одной степенью свободы можно привести изучение радиальных
колебаний тонкостенного цилиндра, симметричных относительно его оси
(рис. 8.1.д). В этом случае для определения в любой момент времени геометри-
ческого состояния стенок цилиндра достаточно знать всего лишь один параметр:
радиальное перемещение любой точки.
При толстых стенках цилиндра отдельные слон их могут иметь в каждый
момент времени различные радиальные перемещения (за счет деформации стенок
в радиальном направлении), но изменением толщины тонких стенок во время ко-
лебаний по сравнению с амплитудой колебаний можно пренебречь и таким об-
разом система сводится к задаче с одной степенью свободы.
Реальные инженерные сооружения обычно далеки от системы с одной сте-
пенью свободы. Однако для практических целей ряд задач по динамическому
расчету может быть заменен изучением эквивалентной по окончательным резуль-
татам. специально подобранной системы с одной степенью свободы. На основании
указанных соображений изучение колебаний систем с одной степенью свободы со-
ставляет одну из важных глав динамики сооружений.
Если нарушить равновесие системы с одной степенью свободы (приложить
импульс к массе или отклонить массу от состояния статического равновесия и за-
96
тем предоставить самой себе), то при отсутствии <ял сопротивления система бу-
дет совершать свободные колебания по гармоническому закону:
у уо cos ui 4- (vq/«) sin wfi (6.1)
v = посозш/— po“Sin«/, (8.2)
где у и о — перемещение к скорость массы в момент временя /: |й ©в — началь-
ное отклонение и скорость массы в момент времени (—0; to — круговая частота,
т. е. число колебаний в 2я секунд.
р«с. вл
Перемещения у и уо в формулах (8.1) и (8.2) отсчитываются от того состоя-
ния. в котором находилась масса к моменту начала колебательного процесса, т. е.
от статического уровня.
Амплитуда перемещений зависит от начальных условий движения и выража-
ется формулой
+ (8-3)
Круговая частота определяется одним из следующих выражений:
-=У77Ж=/«^=/*7^ = ^1/(М«(м). (8.4)
Здесь уст — статическое перемещение (прогиб), т. е. перемещение массы в задан-
ном направлении под влиянием действующей в этом направлении силы, равной
по величине собственной силе тяжести; с—жесткость системы, т. е. сила, вы-
зывающая при се статическом приложении единичное безразмерное перемещение;
M-Q/ff—сосредоточенная масса; 6»« — податливость системы, т. е. статическое
перемещение точки прикрепления массы от безразмерной единичной силы, при-
ложенной в той же точки, в направлении этой силы (эти перемещения в дальней-
шем будет называть «возможными»).
Круговая частота w и период Т (продолжительность одного никла колебаний)
связаны зависимостью
Г=2я/«. (8.5)
Число колебаний в одну минуту (техническая частота) определяется выраже-
нием/тв60/Г.
Период свободных колебаний и связанная с ним частота колебаний являются
главнейшими динамическими характеристиками конструкций.
Если нагрузка нарастает или вообще претерпевает изменения в промежуток
времени, составляющий менее двух-трех периодов свободных колебаний, то такая
нагрузка по отношению к сооружению будет считаться динамической или быстро
изменяющейся.
4-786
97
Если же нагрузка нарастает млн изменяется в течение времени равного 5—10
в больше периодам свободных колебаний, то эффект таких нагрузок будет близок
к статическому.
При действии на массу
закону Р«ЦС), система
силы, которая изменяется во времени по какому-либо
будет совершать вынужденные колебания
(рис. 62). В таком случае перемещение массы
в момент времени / будет определяться выра-
жением
/
» = -7Г I
ыМ J
(86)
Рж. ал Если к моменту приложения указанной
силы система совершала свободные колебания,
то полное перемещение массы будет определяться суммой выражений (8.1)
и (8.6).
Прн действии на систему кратковременной силы с импульсом
t
S=f P(O<W.
6
где t<7, наибольшее перемещение, которое испытывает система (это будет после
исчезновения силы), выражается формулой
J/max — S/(<oM). (8.7)
Этому перемещению соответствует эквивалентная статическая сила
Рив= Зш.
При наличии в системе малых сил затухания, пропорциональных первой сте-
пени скорости движения, что характерно для строительных конструкций, уравне-
иве свободных колебаний записывается в виде
у = ^соз 4- —* sin «(Г) ц- •— sin , (8.8)
где частота u>i = —ей, период Г*>2я/<|>1, в—ц/(2М) (здесь а — коэффициент
сопротивления — сила сопротивления, развивающаяся при скорости движения,
равной единице); ш —частота свободных колебаний при отсутствии сил сопро-
тивления.
Прн действии на такую систему возмущающей силы перемещение записыва-
ется так:
<
У"j »-“-'•»/(G) »1 ('(8.9)
Прн продолжительном действии возмущающей силы, изменяющейся во вре-
мени по гармоническому закону Pi-PsinG/ (весьма распространенный случай),
как показывает исследование выражения (8.9), система будет совершать коле-
бания с частотой 6 возмущающей силы (установившийся режим), причем перио-
дически повторяемые наибольшие амплитуды 1/п..(т) будут связаны со статиче-
скими следующей зависимостью где Уели — статическое пере-
мещение от наибольшего значення возмущающей силы, т. е. от Р. а р — коэффи-
циент динамичности, определяемый выражением
•//(« - <е/-)йр+(«М .
При пренебрежимо малых сопротивлениях и вообще в эонах, удаленных от
резонанса (когда 6 значительно отличается от со), можно полагать
F- Н/П - (в/«>Я|. (8.10)
98
Коэффициент дямямнчяостя для перемещений одновременно является коэф-
фициентом динамичности и для напряжений, т. е. 0Ш—|Шст- В системах со мно-
гими степенями свободы коэффициенты динамичности по напряжениям и по пере-
мещениям различны (см. гл. 9. 10).
При крутильных колебаниях расчетные формулы можно получить из (8.1)—
(8S); заменив у и Уо на ф к Фо — углы закручивания в моменты t и о и с0 на
ф и фо —угловые скорости вращения в моменты / и fa М на Л — момент инер-
ции массы относительно оси вращении.
8.1. Свободные колебания
• 8.1. На конце консольной балки (рис. 8.3) длиной /=1 м нахо-
дится двигатель весом Q= 1,23 кН. Балка — стальной двутавр
№ 8 (£=2i-104 МПа; /=78-10~* м4). Собственным весом балки
по сравнению с весом двигателя пренебречь. Определить частоту
и период собственных колебаний.
Решение. Прогиб конца консоли от собственного веса двига-
теля
S/eT=Q/3/(3£J).
Частота колебаний
со =
Период
9,81-3-21-1010» 7В» КН8
1230-Р
=62.8 С"».
Г=2л/ш=2-3,14/62*8=0,1 с.
Число колебаний в минуту /т=60/7=600.
• 8.2. На балке пролетом Z=5 м на расстоянии п»2 м от левой
опоры (расстояние до правой опоры 6=3 м) находится двигатель
весом 20 кН; балка—двутавр №24 /=3.773X
X10-5 м4; Е=21 • Ю4 МПа. Определить частоту соб-
ственных колебаний балки, пренебрегая ее весом.
Ответ.
* = Vgly^t= c-i.
• 8.3. Определить число свободных продольных
колебаний в минуту стержня переменного сечения,
нагруженного на нижнем конце силой Р=40 кН
(рис. .8.4). Весом стержня пренебречь. Данные: —
-=2 см; d2=3 см; 4 см; Е-20-104 МПа; /|«50 см- /,-75 см*
Z3—100 см.
Ответ.
Уст = 0.069 см;
£ \ г 1 r2 rzJ
fr — (30/л) У g/уст П42 кол/мкн.
• 8.4. На левом конце двухопорной невесомой балки на жестком
рычаге (£Д=оо) высотой Л сосредоточена масса М (рнс. 8Д а).
Определить частоту собственных колебаний балки.
•Решение. Так как масса М совершает вращательное движе-
ние относительно точки (в плоскости балкн), то можно воспользо-
ваться формулой для частоты крутильных (вращательных) коле-
баний и)=Ус/Лгде с—момент пары, необходимый для создания
единичного угла поворота; J — момент инерции массы относитель-
но осн вращения.
Из известной формулы сопротивления материалов для угла
поворота опорного сечения двухопорной балкн от момента, прило-
женного в том же сечении: <р=АН/(ЗЕ/), определяем при единич-
ном повороте c^=3EJjl. Для / можно положить при «точечной»
массе J=Mh*. Таким образом,
Ш=УЗ^ММ/Л«).
Те же результаты можно получить из теории линейных колеба-
ний. рассматривая перемещение точечной массы в горизонтальном
направлении. В этом случае где уст — перемещение
массы в горизонтальном направлении от силы Q=Mg (рнс. 85, б).
Очевидно, z/cT=Q6c-r. По эпюре моментов от единичной силы (рнс.
8.5, в), определив результат перемножения этой эпюры самой на
себя по правилу Верещагина, будем иметь
&„=(Л//2)(2Л/3)[1/(Е-1)].
Окончательно «#=}/Г3£Л/(М/Л^).
100
• 8Л. На верхнем конце стойки находится сосредоточенная мас-
са М (рис. 8.6, а). Основанием стойки является плита, которая
покоится на упругом основании (грунт), позволяющем плите вра-
щаться относительно точки а в плоскости чертежа. Жесткость
основания определяется величиной kt представляющей момент па-
ры, которая прн статическом приложении к плите (рис. 8.6, а) по-
ворачивает ее на единичный угол (указанная жесткость может
быть определена, если даны коэффициент постели грунта и разме-
ры плиты). По сравнению с малой жесткостью k жесткость стойки
можно полагать равной бесконечности. Определить частоту собст-
венных колебаний.
Решение. Частота где J— момент инерции мас-
сы относительно осн вращения; с — момент воображаемой пары,
приложенной к системе, прн действии которой угол вращения ока-
зывается равным единице. Этот момент равен моменту k, умень-
шенному на величину того момента, который появляется в системе
при ее наклоне (рис. 8.6, б): c=k—Qha—k—Qh при а=1. Момент
инерции массы (если пренебречь массой стойки) равен МА*. Сле-
довательно,
«,=>/(*—QA)/( МА2).
? Как следует истолковать решение предыдущей задачи, если
A=QA?
• 8.6. Двухшарннрная рама (рис. 8.7, а) посредине ригеля несет
массу М. Определить частоту свободных колебаний рамы. Массой
Рис. ВТ
стержней рамы по сравнению с сосредоточенной массой прене-
бречь.
Решение. По условию масса М может совершать только вер-
тикальные колебания. Пренебрегая продольными колебаниями
стержней рамы, имеем для искомой частоты выражение u>=]/g/yCT
или и>= i/Клй^.
Для определения бвв строим эпюры моментов в заданной раме,
(рис. 8.7, б) и в любой статически определимой раме, получаемой
из заданной (рис. 8.7, в).
10)
Распор рамы при единичном нагружении
Н=—.~----------*—, где *=4-: ₽=-£-•
8 Л 2?+3* * /(
Перемножая по известному правилу эпюры, показанные на рис.
8.7, б и 8.7. в (или эпюру на рис. 8.7, б саму на себя), имеем
_ ___ Р ЗЛ 4“ 8ft
вл,— 48£/2 +
Таким образом, искомая частота вертикальных (симметричных)
колебаний _______________
/48£/2 12*4-8?
МЛ 3*4-8?
? Как влияют на частоту о соотношение длин А// и соотношение
жесткостей Рассмотреть случай Л—со и /|-0.
• 8.7. Для рамы из задачи 8.6 определить частоту собственных
горизонтальных колебаний, которые могут иметь место, если уда-
лить горизонтальный стержень, препятствующий смещению ригеля.
Решение. Так как в данном случае масса М имеет возмож-
ность перемещаться только в горизонтальном направлении, то вся
рама будет совершать обратноснмметрнч-
PfK. ные колебания.
, llllllllifr^ Перемножая эпюру, указанную на
рис. 8.8, саму на себя, имеем
W 'В ««=-J5^7-<2₽4-*>.
t= t=
Е е Таким образом, частота горизонтальных
1 ь колебаний
А ] у/ - \/ Х2Е^2
А, А. *“ Г МЛэ(2? + Л)'
Рис. ел • 8.8. Для тонкостенного цилиндра (см.
рис. 8.1. д) определить период свободных
радиальных осесимметричных колебаний. Рассмотреть случай ла-
тунной гильзы со средним радиусом /?=0,2 ы. у -=78 кН/м3, Е-
= 10б МПа.
Указание. Под жесткостью с в данной задаче следует понимать интенсив-
ность той радиальной нагрузки, лрв статическом действии которой возникает еди-
ничное радиальное перемещение. По известной формуле для изменения радиуса
цилиндра &r*=qR4(E6)t если принять q—c к Дг—1. получим c^EtyR2.
Ответ. T-=2nR ^Y/(££) = 0.00032 с.
? Как изменится частота и период свободных радиальных коле-
баний кольца или цилиндра, если вследствие неравномерного, но
осесимметричного нагрева стенок кольца модуль упругости мате-
риала оказывается неодинаковым по толщине и изменяющимся по
закону £=£(г)?
102
BJL Колебания под двйстяиам мгаомимых от
• 8.9. К сосредоточенной массе, моделирующей систему с одной
степенью свободы и находящейся в покое, прикладывается сила Р.
которая действует на сооружение бесконечно малое время dt и не*
чезает (рис. 8.9. а). Описать вызванные такой нагрузкой колебя
Рис. 8.9
Рис. 8.10
ння системы. Направление действия мгновенной силы совпадает с
направлением возможных перемещений массы.
Решение. Ускорение Р/М, сообщаемое массе при ее прямо-
линейном движении, равно производной от скорости по времени:
Р__dv
М~ d/
или d*= =А
м м
где S — импульс силы.
Очевидно, что приращение скорости do за время d/ является
скоростью о0» с которой система начнет после исчезновения силы
совершать свободные колебания.
Таким образом, на основании зависимости (8.1), если принять
Уо=О (так как за время dz действия силы на сооружение переме-
щение будет представлять бесконечно малую величину более вы-
сокого порядка, чем последующие перемещения), имеем
sin ю/=—sin ш/. (8.11)
*> ыМ
Закон свободных колебаний изобразится графиком (рис. 8.9, б),
из которого следует, что по прошествии одной четверти периода
свободных колебаний перемещение достигает наибольшего значе-
ния, равного (см. формулу (8.7)]: ym„=SI(tM).
Примечание. Формулой (8.11) практически можно пользоваться н при
малой (не только бесконечно малой) продолжительности действия нагрузки, если
время ее действия меньше ’/ю периода свободных колебаний. Формулой (8.11)
нельзя пользоваться, если продолжительность действия нагрузки меньше времени,
необходимого для распространения волны деформации от места удара до опор
балки и двух-трехкраткого отражения. Скорость указанной волны равна скорости
звука в материале балки (примерно 3—5 км/с).
103
• 8.10. Массивная стальная плита прямоугольной формы подве-
шена на четырех металлических стержнях круглого сечения
(рис. 8.10). Вес плиты равен Mg. Суммарная площадь поперечного
сечения стержней равна F. Их вес по сравнению с весом плиты
незначителен. Требуется вычислить напряжение в стержнях от дей-
ствия мгновенного импульса S. приложенного в центре плиты, при
следующих данных: Е=21-104 МПа; Mg=12 кН; Г=15 сма; S=
=850 Н с; /=2.5 м.
Указание. По формуле (8.7),
== 5/(М«) - S
« = ±EJ// + ±S У £/(/=•/*!) + Mg/F.
Уменьшения напряжения можно достичь, увеличивая либо длину I, либо пло-
щадь F; последнее выгодней, так как одновременно уменьшается и напряжение
от собственного веса.
Ответ. <тавх«115 МПа; оиюв—М МПа; при проверке стержней на про-
дольный изгиб оказывается Оир—9,6 МПа. т. е. стержни во время сжатия выпу-
чиваются.
• 8.11. На сосредоточенную массу, находящуюся на балке (см.
задачу 8.2.). действует мгновенная сила Р= 10 кН продолжитель-
ностью Д/=0,01 с. Определить наибольший прогиб и напряжения,
возникающие от этой силы в балке, и сравнить с теми, которые
возникают прн статическом действии силы Р.
Решение. Период собственных колебаний Т=2л/б)=0,157 с;
0.1 7=0.0157 с. что больше Д/=0.01 с; поэтому указанное в за-
дании время пребывания нагрузки можно отнести к малой* продол-
жительности.
Вместе с тем для распространения волны деформации от места
приложения мгновенной силы до опор требуется время Д/|=
=b/v«3/3000=0.001 с. что меньше Л/=0.01 с, следовательно (см.
примечание к задаче 8.9), можно воспользоваться формулой (8.7).
Итак.
(8.12)
л»т •••Л!
где P/(waM)=P/c=yCT(f>), очевидно, представляет собой переме-
щение прн статическом действии силы Р.
Таким образом, динамический коэффициент в рассматриваемом
случае р=оД/=40-0,01 =0,4.
• 8.12. Построить график колебаний системы, рассмотренной в
предыдущей задаче, если действие мгновенной силы периодически
повторяется по прошествии каждой половины периода собствен-
ных колебаний (рис. 8.11. а).
Решение. После второго приложения мгновенной силы на
колебания, имевшиеся в системе к этому моменту времени (от пер-
вого импульса), должны наложиться колебания, вызываемые но-
вым импульсом. Эти колебания будут обратными по знаку колеба-
ниям от первого импульса. В итоге на втором участке колебаний
104
не будет. Колебания возобновятся после третьего импульса и пре-
кратятся после четвертого и т. д. График колебаний изображен на
рнс. 8.11, а.
• 8.13. Рассмотреть случай, когда мгновенные силы периодиче-
ски повторяются по прошествии каждого периода собственных ко-
лебаний.
Ответ. Колебания от каждого нового импульса будут накладываться на ко*
лсбандя, имевшиеся от прежних импульсов, потому амплитуды будут неограни-
ченно расти (случай ударного резонанса), как это изображено на рнс. 8.11,б.
• 8.14. Рассмотреть случай, когда мгновенные силы периодиче-
ски появляются через каждые лТ, с, где л—любое целое число,
а 7 — период свободных колебаний.
Ответ. Амплитуды также (см. задачу 8.13) имеют тенденцию к неограничен-
ному возрастанию, однако в данном случае существенное влияние на снижение
амплитуд окажут внутренние сопротивления (затухания колебания) и тем силь-
нее. чем больше л.
• 8.15. Рассмотреть случай, когда мгновенные импульсы повто-
ряются через каждый период свободных колебаний и регулярно
меняют направление своего действия (вниз, вверх, вниз, вверх
и т. д.).
Ответ. График колебаний изображен на рис. 8.12, и. После каждого импуль-
са. имеющего четный порядковый номер, колебания прекращаются, а после каж-
105
Wo импульса, имеющего нечетный порядковый номер, они возобновляются с
прежней амплитудой.
• 8.16. Как изменится в предыдущей задаче график колебаний,
если импульс первого воздействия будет в два раза меньше всех
последующих?
Ответ. График колебаний изображен на рис. 8.12,0.
106
• 8.17. Рассмотреть случай, когда мгновенные силы одинакового
импульса повторяются через каждый полупериод свободных коле-
баний и регулярно меняют направление своего действия.
Ответ. Амплитуды будут неограниченно расти (ударно-вибрацмоняый резо-
нанс) я быстрее, чем это было л задаче 8.13. Графя* изображен на рис. 8.12» в.
• 8.18. Определить, каким импульсом должна обладать мгновен-
ная сила, прикладываемая в момент времени /=2 Т, чтобы внезап-
но остановить колебания системы от четырех мгновенных сил раз-
ных импульсов, как это представлено на рнс. 8.13.
Ответ. Si—2S.
• 8.19. Рассмотреть случай, когда на массу оказывают влияние
мгновенные силы различных импульсов, повторяющиеся в различ-
ные моменты времени, как это показано на рнс. 8.14.
Решение. От i-ro по счету импульса, очевидно, для времени /
перемещение будет на основании формулы (8.11)
ЯП •(/—/,).
«ж
Влияние всех импульсов от первого до последнего, предшеству-
ющего мгновению /, оценнтся выражением
V St Sin -i,). (М3)
Примечание. Любой закон изменения во времени нагрузки, прикладывае-
мо* к любой точке (массе), может быть представлен как ряд непрерывно друг
за другом Действующих мгновенных сил (сила появляется, по прошествии вре-
меня А1 исчезает, немедленно возникает новая, другой величины и т. л). В таком
случае выражение (8.13) перейдет в (8.6) путем замены
• 8JO. В задачах 8.10—8.19 мгновенная сила прикладывалась
к сосредоточенной массе, расположенной на балке. Как должны
измениться колебания невесомой балки, если мгновенная сила
будет приложена в точке b (рнс. 8.15, в)?
107
решение. Мгновенная сила, приложенная в точке b иевесо-
мой балки, повлечет за собой мгновенное образование изогнутой
оси балкн (рис. 8.15. б). Сосредоточенная масса М в силу инерции
в момент приложения мгновенной силы остается на месте, и изо-
гнутая ось балкн представит собой
статическую упругую кривую двух-
пролетной неразрезной балкн (рис.
8.15. в).
Таким образом, в момент при-
ложения мгновенной нагрузки мае*
са М реагирует на балку силой Ра,
по величине равной реакции нераз-
резной балки, н по закону взаимо-
действия сама испытывает воздейст-
вие мгновенного импульса Pod/
(рис. 8.15, г). Поэтому приложение
мгновенной силы с импульсом Pd/
в точке b эквивалентно приложению
к точке а мгновенной силы с им-
пульсом Pad/. и. следовательно, ра-
нее описанные явления колебаний
(задачи 8.10 — 8.19) сохраняются,
претерпевая масштабное изменение,
так как амплитуды их уменьшаются
в отношении Р/Ро.
С помощью обычной статической
линии влияния опорной реакции
промежуточной опоры неразрезной балки (рнс. 8.15. д) (она одно-
временно является и линией влияния прогиба в точке двухопорной
балкн) получим Ра~РЪъа1Ъаа-
8.3. Колебания под действием сил,
изменяющихся во времени по произвольному закону
• 8.21. К сосредоточенной массе балкн внезапно прикладывается
сила Р, которая неограниченно долго остается на балке. Описать
колебательный процесс в балке.
Решение. Воспользуемся выражением (8.6). В данном случае
ДМ
=P=const. Следовательно,
I
у—-»м ..
о
/(/j) sina>(/—/pd/^-^j-Cl —COS«/).
Делая замену Р/(<оаМ)=Р/с=уст(п (статический прогиб от
силы Р). имеем
V=!/crO’)(^coswO. (8.14)
Выражение (8.14) представляет собой гармонические колебания
с частотой о», т. е. с частотой собственных колебаний системы. При
/=л/ш=0,5Г у
106
Развитие колебаний, согласно выражению (8.14). изображено
на рнс. 8.16. Динамический эффект внезапно приложенной силы,
как видно из графика, в два раза превышает статический эффект.
• 8.22. К сосредоточенной массе балки внезапно прикладывается
сила Р, а по прошествия времени а внезапно добавляется еще
такая же сила Р. Описать 4
колебательный процесс бал*
кв после приложения второй
силы. Рассмотреть случай,
когда о=Т я о=0,5Т.
Решение. При /<о
колебания будут происхо-
дить по закону (8.14), т. е.
У1=£сгг(Р)(1—cosorf)-
При />о на колебания
от первой силы должны на*
ложиться колебания от вто-
рой силы. т. е.
Уг= У1 +Ро<р>[ 1 - cos -
—в>|=У«<я|2—cos <>(/ —
—о) —cos «О- (8.15)
р
При о=7=2л/л) у2=
= 2{/ст(Р)(1— cos <1)Г) (рис. *)
8.17, о, б). При о=0,5Т уа=
=2^ст(Р)—колебания отсут-
ствуют (рнс. 8.17, а, г).
В первом случае динамиче-
ский эффект двух внезапно
приложенных сил в два раза
превосходит эффект тех же
двух сил при их статическом приложении. Во втором случае дина-
мический эффект не превосходит статического.
• 8.23. Рассмотреть случаи ступенчатого нарастания нагрузки,
изображенные на рис. 8.18, а—в.
109
Указание. Надлежит воспользоваться принципом наложения колебаний,
т. е. на график колебаний от внезапного приложения одной силы (рнс. 8.15) на-
кладывать такие же. но сдвинутые по времени графики от действия позднее по-
явившихся сил.
Ответ. На тех же рис 8.18, а—в указаны законы развития колебаний. Как
видно, наиболее благоприятными моментами для внезапного добавления новых
сил являются те, в которые скорость обращается в нуль [график у—НО прохо-
дит через экстремальные значения]. Добавляемые силы в совокупности с ранее
имевшимися в предположении их статического действия вызвали бы те же внут-
ренние усилия и деформации, ко-
торые в это мгновение имеют-
ся в рассматриваемой динамиче-
ской задаче.
• 8.24. Рассмотреть слу-
чай. когда сила, внезапно по-
явившись. действовала на
сооружение в течение неко-
торого времени а и затем
также внезапно исчезла. Ис-
следовать случаи, когда а=
=Т/2 или а=лТ/2 и а=Г
или о=пТ. где п — целое
число, Т — период свободных
колебаний.
Решение. Исчезнове-
ние силы можно рассматри-
вать как добавление к име-
ющейся новой силы с отри-
цательным значением. Таким
образом, после исчезновения
силы
— Уею») 11 — cos »(/—а)]=
[cos <0 (/ —а)—cos «4
(8.16)
Если а=Т. то уа=О; ес-
ли а=0.5Т, то
= —2^СТ(Р) cosuL Для ука-
занных двух частных случаев на рис. 8.19, а, б изображены графи-
ки колебаний.
• 8.25. Исследовать колебания балки при следующих продолжи-
тельностях действия нагрузки на сооружение: а=0.87; о=0,ЗТ;
fl-7/б; а = 0,1Т.
Ответ. Ня рис. 8.19, в—е указано развитие колебаний. Как видим, прн а<
<0,5 Т наибольшие перемещения система испытывает уже после исчезновения
силы. На рис. 8.20 изображен график для коэффициента динамичности ц-
=упиж/Уст(Р| в зависимости от продолжительности действия нагрузки на соору-
жение. График построен на основании формул (8.14) и (8.16).
ПО
• 8.26. Найти погрешность определения прогиба, если при про-
должительности действия на сооружение нагрузки, равной 0,37
и 0,17, пользоваться формулами, установленными для случая дей-
ствия мгновенной силы.
Отмт. При мгновенной силе, по (8.12). ума-Рст<м<*>Д*- При Л/«а—0ДТ
рта."1Л8рс1(»> вместо l.6!7yt,(j»> (ошибка 14%). При af-a-0.IT |/П1-
<=0.628рст(Р) вместо 0.618 pCT(F) (ошибка 1.6%). Таким образом, если про-
должительность пребывания нагрузки меньше 0,1 периода свободных колебаний,
практически можно пользоваться формулой, установленной для мгновенной силы.
• 8.27. На сосредоточенную массу М. укрепленную на пружине
жесткостью с, оказывает действие периодическая нагрузка, изме-
няющаяся по закону, представленному на рис. 8.21. Составить
уравнение движения массы М.
ill
Решение. Использовать выражение (8.6) в данном случае не
следует, так как оно дает громоздкое решение. Применение выра-
жений (8.14) и (8.16) с последующим суммированием эффектов от
каждой нагрузки (см. задачу 8.19) сведется к исследованию бес-
Рмс. &2I
конечного ряда. Кроме того, упомянутые способы непосредственно
не выявляют периодичности движения. В таком случае проще вос-
пользоваться специальным методом Дюффннга, дающим решение в
виде определенного интеграла:
у=-------!----ГС /(Mcosw Л——Id/j—
* 2Mein(«t/2) J'17 \ 1 2/ 1
о
f /(Ocosu.[(-—j-jd/,
(8.17)
Выражение (8.17) может быть получено из (8.6), если учесть
особенность периодической нагрузки, а именно: f (/>+т) =f(G).
Первый член в (8.17) определяет вынужденные колебания с часто-
той свободных колебаний системы.
Так как возмущающая сила изменяется непрерывно, то нам
необходимо исследовать поведение системы в двух случаях: когда
момент времени t лежит в том интервале, где /(G) =Р, а затем,
когда этот момент находится в интервале, где /(G) =0. В связи с
этим промежуток интегрирования разбивается на следующие
части:
(средний интеграл пропадает, так как в этом интервале /(G) =0);
о о
J ...=[ ...+J
—t -« -1,
(второй интеграл исчезает, так как подынтегральная функция в
этом интервале f (fi) =0).
112
В результате решения (8.17) имеем
п=-------------[sin —— shi -^2- cos w—
У -Ш«1п(-г/2) L 2 2 к 2/
— sin-^-cosw^ + ^jJ при 0</<Ti;
У
-----------[sin
«^Mein-y- I-

(8.18)
- sin ~ cos “(z+-^-) 4>и »!<<<»•
(8.19)
График колебаний, построенный по выражениям (8.18) и (8.19)
в промежутке времени т, дальше повторяется и в следующих ин-
тервалах (по свойству периодичности изучаемого движения).
? Как отразится на развитии колебаний внезапное добавление
сил (с последующим их неограниченно долгим пребыванием) в
следующие мгновения: 1) для случая, указанного на рнс. 8.19, б,
внезапное добавление отрицательной силы Л= —2 Р в мгновение
/=Л т. е. по истечении полупериода свободных колебаний после
исчезновения первой силы; 2) для случая, указанного на рис.
8.19, е, внезапное приложение силы 1,677 Р в мгновение /—0.47,
т. е. по истечении 0,1 Г от момента исчезновения первой силы;
3) для случая, указанно-
го на рис. 8.19, е, внезап-
ное добавление силы Р|=
=0,618Р в мгновение /=
= 7/3.
Ответ. Во всех указанных
и подобных случаях колебания
немедленно прекратятся, а со-
ответствующие этому мгнове-
нию добавления новой силы пе-
ремещения неизменно сохра-
нятся в дальнейшем. В первом
случае, начиная с /=Т, переме-
щение остается постоянным и
равным 2#ст(>)'. во втором слу-
чае, начиная с /=0.4/, пере-
мещение остается постоянным
к равным 1,6!7^с«(Я) и в
третьем случае соответственно
равным 0,618устся).
• 8.28. На невесомую
консольную балку с со-
средоточенной массой М опирается невесомая балка АВ (рис.
8.22. а). Рассмотреть колебания массы М в случае, если по балке
АВ перемещается равномерно со скоростью v груз Р, который, дой-
дя до точки В, останавливается. Силами инерции груза пренебречь.
113
У1 =
Решение. График изменения во времени нагрузки, приходя-
щейся на массу М, изображен на рис. 8.22. б выше оси абсцисс
сплошной линией.
Когда груз перемещается по балке, давление, передаваемое на
массу М. выражается формулой
tga=Zl(Pv//1).
В это время колебания массы М подчиняются закону
о
Так как ш2М=с, Ztga=Pf (значение опорного давления в
мгновение t). то имеем
У1 =&т(О—|tg a/(c«)l sin wt,
т. e. конец консоли совершает гармонические колебания с постоян-
ной амплитудой tgu/(c<i>) около равномерно возрастающего ста-
тического перемещения (рис. 8.22. б. ниже оси абсцисс).
К моменту, когда груз придет в точку В, прогиб консоли станет
равным
" РР Pv . Zj
у=-------------sin « ——
9 3EJ /|*> У
или, принимая во внимание, что в данном случае c=3EJJP и
»=F3£J/(M/»). имеем
(8.20)
У=
МР .
—— sin <i>
2EJ
Если (о/|/о<л. прогиб консоли в этот момент будет меньше стати-
ческого прогиба; если <i)f|/o>n, прогиб конца консоли будет больше
статического. Общий вид колебаний массы изображен на рнс.
8.22, б.
Скорость перемещения консоли
•v== -^-а (I — cos «О.
(8.21)
а к моменту, когда груз придет в точку В,
w«=-!7!L(,-Cos,“v)-
Когда груз остановится в точке В, перемещения конца консоли
могут быть найдены следующим образом. Можно положить /(/|) =
=F= const, но учесть, что к моменту появления постоянной си-
лы Р система уже имела начальный прогиб и начальную скорость
[выражения (8.20) и (8.21)], а можно и иначе — полагать, что
«прежний» закон «статического» нарастания нагрузки продолжает-
ся (рис. 8.22, б), но в мгновение включается новая сила об-
114
ратного направления с той же интенсивностью нарастания, и. та-
ким образом, результирующая сила будет P=f(/i) «=d|d3—^зв
=fltga.
При таком представлении силы колебания конца консоли бу-
дут происходить в соответствии с уравнением
Обозначая a tga/(<i)2M)==P/c=^c-r==P/3/(3E7), после преобра-
зований имеем
slnПГcos“ ('“тЬ (822)
т. е. когда груз будет неподвижно стоять на конце консоли, по-
следняя будет совершать гармонические колебания около положе-
ния статического равновесия с постоянной амплитудой
X=-^-sinu> —. (8.23)
аал 2
Если (иа=2лл, где л —любое целое число, то колебаний не
будет. Если оа= (2л+1)л, то амплитуда во второй стадии коле-
баний оказывается в два раза больше, чем в первой.
• 8.29. Предполагая закон изменения нагрузки во времени та-
ким, как указано на рис. 8.22, б, исследовать влияние скорости
нарастания нагрузки до своего полного значения на величину наи-
большего перемещения. Сравнить
найденные наибольшие перемещения
со статическими и построить график
изменения коэффициента динамич-
ности.
PNC. 414
Рис. 4-23
Указание. Задать различные сроки нарастания нагрузки до своего пол-
ного значения, а именно в—0; 0J5F; 7; 1,57; 27. Далее использовать выраже-
ния (822) и (8.23).
Отлет. Результаты подсчетов представлены иа рис. 821
• 8.30. По невесомой консольной балке с сосредоточенной мас-
сой М на левом конце перемещается груз Q со скоростью о (рис.
115
8.24, а). Описать колебания массы М прн нахождении груза на
балке и после схода его с балки.
Решение. Непрерывное перемещение груза по балке можно
рассматривать как «скачущие* мгновенные силы, т. е. как прило-
жение к балке через каждый промежуток времени df в новой точ-
ке мгновенной силы с импульсом Qd/, причем новая точка прило-
жения отстоит на бесконечно малом расстоянии от предыдущей
точки приложения в соответствии с рассматриваемым интервалом
времени d/ и скоростью передвижения груза по балке.
В задаче 8.20 было найдено, что приложение мгновенной силй с
импульсом Qd/в любом месте невесомой балки эквивалентно прило-
жению к сосредоточенной массе мгновенной силы с меньшим
импульсом Padtt причем Ра представляет собой с обратным знаком
реакцию от силы Q на воображаемой опоре, если таковую пред-
ставить на месте реальной массы М.
Так как непрерывное перемещение груза по балке мы уподо-
били «скачущим» импульсам, прилагаемым в различных точках
балки, а влияние каждого из них эквивалентно мгновенной силе с
меньшим импульсом и прикладываемой к самой массе, то движе-
ние груза по невесомой балке по отношению к колебаниям балки
эквивалентно приложению к самой массе силы, непрерывно изме-
няющейся во времени (рис. 8.24, б), т. е. P=f(t).
График изменения этой силы в связи с передвижением груза по
балке должен представлять собой с обратным знаком линию влия-
ния левой опорной реакции (рнс. 8.24, г) в балке, изображенной
на рис. 8.24, в.
Из статики сооружений известно, что y=Qx*(3l—х)/(2Р). Так
как x=*vt, то Р—Р(Л) определится как
Колебания массы М прн нахождении груза на балке будут опи-
сываться уравнением
y=~S- f /(/t)sln »«-/,)<«,=
о
*= мм/э [—<p/34-3Z^+-~(^—/-[-/cosu>/)—sinto/l. (8.24)
2uhM73 £ uh ’ ш8 J
Скорость перемещения массы в мгновение t определится диф-
ференцированием выражения (8.24) по времени:
= /ш sin ю/)—~ coso/l. (8.25)
О» ** L адЗ иИ J
После схода груза с балки колебания системы будут происхо-
дить по закону свободных колебаний
i/=f/oCos<o/ sin urf;
где уо и п0 определяются из выражений (8.24) и (8.25) при
116
а время t в последнем выражении отсчитывается от момента схо-
да груза с балки.
• 8.31. Описать вынужденные колебания массы М. на которую
действует сила, изменяющаяся во времени по гармоническому за-
кону Р—An«xsinOt. где 0 — частота вынужденных колебании. Та-
кого типа силы рассматривают при расчете сооружений, на кото-
рых установлены двигатели.
Решение.
/
у=~^л f /</«>81п«,<*-/«>Л1 =
о
(8|пЦ~т sin“z)
(8.26)
где уСт<п1*х)вР/с—Ртдх/(<1)2М)—статическое перемещение, соот-
ветствующее наибольшему значению переменной силы.
Формула (8.26) показывает, что во время действия силы переме-
щения массы М складываются из колебаний, совершаемых с часто-
той 0 (вынужденные колебания), и свободных колебаний —с час-
тотой (О.
• 8.32. На основании выражения (8.26) предыдущей задачи оп-
ределить наибольшее значение отклонения за все время колебаний.
2лл
От.ег. =
С небольшой погрешностью последнее выражение можно записать так:
Упах =* "" С®/*0)2]*
Это приближенное значение соответствует точному значению при продол-
жительном действии возмущающей силы и при наличии хотя бы незначительного
сопротивлении (см. задачу 8.53 и выражение (8.10)].
• 8.33. На невесомой балке пролетом /=4 м посредине находят-
ся неуравновешенный двигатель весом Q=35 кН с частотой
вращения л=500 об/мин. Двигатель создает вертикальную состав-
ляющую центробежной силы Р sin Gt. причем Р=)0 кН. Балка
стальная, двутаврового сечения № 30 (/=8.8-КН м*). Найти
амплитуду вынужденных колебаний и амплитуду напряжений при
продолжительной работе двигателя.
Решение. Частота свободных колебаний
1/ 8 -у/ ^Elg48,21»lQio-8,8-10-8-9,81“ 6g 5
V Усу V <?/3 V 35-103-43 “ ’
Частота возмущающей силы
б=лл/30=3,14-500/30=52,3 C”L
Согласно выражению (8.10), коэффициент динамичности
И= 1/11 — (6/шЯ| = VI1 -(52.3/62,5^1=3.
117
Таким образом, напряжения и деформации от динамической си-
лы будут в три раза больше статических.
Наибольший прогиб балки под двигателем
-^-=0.2514-3-0,0717=0,466 см.
Наибольшее напряжение в сечении под грузом
109,8 МПа.
• 8.34. Определить, как изменится коэффициент динамичности в
предыдущей задаче при увеличении частоты вращения двигателя
на 10 и 20%.
Ответ. При л—550 оД/мав коэффициент динамичности (1-6,66; прн л—
—596 об/мин р—<ю (резонанс).
• 8.35. Проверить прочность балки, рассмотренной в задаче 8.2,
полагая, что в нормальном режиме частота вращения двигателя
400—500 об/мин. Амплитуда добавочной силы (вертикальной со-
ставляющей центробежной силы инерции, возникающей при работе
двигателя) составляет 10% статического веса двигателя. Если за-
данное поперечное сечение не удовлетворяет наложенным усло-
виям, то следует выбрать другой профиль балки.
Решение. Частота вынужденных колебаний 0=пл/ЗО: прн
л=400 об/мин 0=3,14*400/30=41,8 с**1; прн п=500 об/мин 0=
=3,14*500/30=52.3 с~’.
По заданию сечение балки —двутавр № 24. При таком сечении
частота, собственных колебаний (см. задачу 8.2) ы=40 с~', что
практически совпадает с нижним пределом для критической часто-
ты и, следовательно, при заданном сечении балка будет находить-
ся в условиях, близких к резонансу, что недопустимо.
Практически требуется, чтобы частота собственных колебаний
н критическая частота разнились между собой не менее чем на
15—20%. В качестве первой попытки выбираем двутавр № 27,
имеющий 07=371-10“® м3 и /=501*1й~т м®. Прн таком сечении
частота свободных колебаний •= К3EJ/?//(Qe?52)=46.5 с**1, что
находится в интервале наименьшей и наибольшей критических ча-
стот.
Таким образом, увеличение профиля балки только ухудшит
условия работы балки п машины, притом утяжелив и удорожив
конструкцию.
В качестве второй попытки выбираем двутавр № 22, для кото-
рого 07=251-10~* м3 н /=276* 10~7 м4. Частота свободных коле-
баний такой балки <о=34 с’, что отстоит от ближайшей критиче-
ской частоты приблизительно на 20%.
Коэффициент динамичности в этом случае будет
1/11 -(6/<«Я= 1/] I -(41,8/34^=2,1.
118
Наибольшее напряжение в балке возникает в сечении под дви-
гателем:
%•«=MqIW +*Мр№'=Qa/>/(AT)+pO. К?аВД1Г)= 112 МПа.
Итак, в данном случае более слабая балка дает лучшие техни-
ческие и экономические результаты.
? Если в предыдущей задаче оставить сечение балки в виде дву-
тавра № 24, но между мотором и балкой установить резиновую
прокладку, то какой жесткостью должна обладать указанная про*
кладка, чтобы коэффициент динамичности оказался равным 1,2.
• 8.36. Электромотор весом 10 кН с частотой вращения
550 об/мин установлен на свободных концах двух балок, заделан-
ных другими концами в стену. Требуется подобрать сечение балок
при действии возмущающей силы P=2500sin0/ (Н), чтобы избе-
жать резонанса. Пролет /= 1 м.
Ответ. Если балки представляют собой двутавр М 16. то ори сравнительно
малых статических «апряженмях (порядка 70 МПа), балка оказывается в состо-
яния резонанса. Подходящим оказывается двутавр Гй 14.
• 8.37. Фундамент симметричной формы массой (включая уста-
новленный на нем агрегат) М=2* 10» кг с площадью подошвы
Е= 18 м* установлен на грунте, коэффициент упругого сжатия ко-
торого равен С,=5 МН/м3. Вынужденные колебания фундамента
вызываются периодической силой, прикладываемой по осн фунда-
мента, с амплитудой Р=100 кН. Частота вращения агрегата
280- об/мин. Определить амплитуду вертикальных колебаний фун-
дамента.
Решение. На основании формулы (8.4) квадрат частоты вер-
тикальных колебаний фундамента представляется выражением
<oa=CfF/M. В данном случае 10е-18/(2-10s) «0,45-103 <r*.
Квадрат частоты вынужденных колебаний 0’=(лл/30)2=
= (3.14.280/30),=0,715.10’ <г».
Амплитуда колебаний а=ДОт, где в соответствии с (8.10)

0,715» КРХ!
0,45-10» Л
1,7.
Так как статический прогиб у^—Р/(Мы3), то
fl==pP/(Afw2)= ij. 105/(2-105.0,45.10®)= 1,89- 10*~s м.
• 8.38. Как изменится в предыдущем случае амплитуда колеба-
ний фундамента, если массу фундамента увеличить до 3*10Б кг
без изменения площади подошвы? Как изменится амплитуда тех
же колебаний, если такое же увеличение массы фундамента произ-
ведено в том случае, когда он установлен на груше с коэффициен-
том упругого сжатия Сх=20 МН/м3?
Ответ. В первом случае амплитуда уменьшится с 1,89 до 0,8 мм; ао втором —
увеличится с 0,423 до 0,74 мм.
119
• 8.39. По невесомой двухопорной балке с сосредоточенной мас-
сой М посредине пролета перемещается груз Q с большой скоро*
стыо и (рис. 8.25, а). Описать колебания массы М прн прохожде-
нии груза по балке и после схода
с нее.
Решение. Влияние переме-
щающегося груза на массу экви-
валентно приложенной к массе
силе, меняющейся во времени
(рис. 8.25, б) по закону линии
влияния опорной реакции двух-
пролетной неразрезанной балки
(рис. 8.25, в, г).
Принимая упомянутую линию
влияния приближенно за синусо-
иду (погрешность составляет все-
го лишь ~2%), можно свести за-
дачу к расчету системы с одной
степенью свободы, подверженной
действию силы, изменяющейся во
Рис. SJS
времени по закону одной полуволны сн1гусоиды, н использовать ре-
шение задачи 8.31. в которой рассматривалось длительное действие
синусоидальной нагрузки.
Согласно выражению (8.26), при передвижении нагрузки по
балке перемещение массы М следует закону
- v —)
(8-27)
где ^cr(me«)=Q/((»)0M), и который справедлив для КЦи.
При т. е. после схода груза с балки, решение задачи
можно представить следующим образом: на синусоиду с уравне-
нием QsinO/ спустя время a=lfv наложим синусоиду Qsin0(/—
—//о), что в итоге даст Р=0 (рнс. 8.26).
Таким образом, после схода груза с балкн перемещения массы
следуют закону
sin ft—— sin «о/sin 0(/—а)—— sin 0(/ —а)1,
УсНлмж) [
v 1-(8/ЧЧ
где 6«2л/Т|—яо//.
рке. 8Л
(8.28)
8.40. Исследовать колебания системы при действии на нее па-
грузки, изменяющейся во
времени по закону одной по-
луволны синусоиды (рнс.
8.26) прн малой продолжи-
тельности пребывания на-
грузки ня системе (т. е. при
малом основании полувол-
ны а) для следующих случа-
120
ев: а) о=1.5Г; б) as=0.8T; в) а=ОД25Т; г) а=0.1Т, где Т—пери-
од свободных колебаний системы.
Ответ. На рве. &27, а—г. изображены графика вынужденных в свободных ко*
лебаний. построенные по уравнениям (8.27) в (8.28).
• 8.41. Результаты расчетов в предыдущей задаче изобразить в
виде графика коэффициента динамичности, дающего зависимость
Упих/^ст от продолжительности пребывания нагрузки.
Ответ. На рис. 8,28 изображен график коэффициента дмнамичноств. Прв
п>1.57 для определения коэффициента дмнамкчноств можно с достаточной точ-
ностью использовать формулу (8.10).
121
? Как изменятся графика колебаний, изображенные на рис. 8.27»
если законы изменения силы будут такие, как изображены на рис.
8.29. а» б?
Рис. 8J9
• 8.42. Исследовать колебания системы при действии на нее на-
грузки, изменяющейся во времени по закону, изображенному на
рис. 8.30. а.
Решение.
г
у=—^7- f <!)<!/,=
1 Г' 4 । cos И — cos ы/ 1
-т**-»!’ ,_<е/,я ] •
ГДе ^/ст(твж):= Q/ (to2M).
• 8.43. Исследовать колебания системы при действии нагрузки,
представленной на рнс. 8.30, б.
Решение. При t<a колебания описываются законом, уста-
новленным в предыдущей задаче. При t>a представляем нагрузку
в виде двух косинусоид (рис. 8.30, в); колебания системы описы-
ваются тогда уравнением
+ l-coswg-а)^- 1
122
• 8.44. Рассмотреть колебания массы М, находящейся на пру-
жине, если на массу действует нагрузка, меняющаяся во времени
по закону, изображенному на рис. 8.31: P=Pm>x(l—<?-*•).

Решение. Используя выражение (8.6), получаем
У=4ГсЛ.в>[1 -ГГре"““Г+р(8*П“,+₽СО8',,,>]’ (829)
где Если k= оо, то выражение (8.29) переходит в извест-
ное уравнение (8.14): у=уСт(т.х)(1—coscof).
• 8.46. Рассмотреть колебания пружины, несущей на себе массу
Л1, на которую действует нагруз-
ка, изменяющаяся во времени по-
закону (рнс. 8.32) Р=Рщ»Х
Х(^м)ехр(1-/Дм). где Р™х-
наибольшее давление; /м — время
от начала действия до момента
наибольшего давления. Указан-
ным уравнением может быть при-
ближенно описано давление по-
роховых газов прн выстреле, дей-
ствие взрывной волны и т. п.
Ответ. Используя выражение (8.6). получаем
1 ___ Г/ * 2 \ -1Ци
l + ex₽Ks+«4j, + i)*
"’4-1 2
123
• 8.46. Доказать, что если закон изменения нагрузки во времени
P*=f(t) представляет непрерывную функцию, то выражение (8.6>
может быть разложено в ряд следующим образом:
-[у}(0) —5-/(0)4-...] sin- [/(0) —± f (0)4-
+^7(0) -•••] cos «л}. (8.30)
где /(0.7(0 и т- Д-— выражения производных (второй, четвер-
той и т. д.) от уравнения нагрузки; /(0). /(0), /(0) и т. д. —значе-
ння нагрузки и производных по временя при /=0.
Указание. К выражению (8.6) применить известное правило интегриро-
вания по частям
Judn = av — J vda. (8.31)
Вначале сделать замену sin «(/-—/i)d/i—do; f(tt)^u, а после подстановки
ее в (8.31) к полученному новому интегралу применить снова правило интегри-
рования по частям т. д. Определение интеграла (86) указанным способом при-
ведет к бесконечному ряду, а для случая, когда J(М представляет собой алге-
браический полином с конечным числом членов, будем иметь конечный ряд.
• 8.47. Показать, что в случае возмущающей силы, закон измене-
ния которой задан в виде
P=/</)=Pfr4.p;J_+p;2i+...4_p<->^_,
перемещение системы с одной степенью свободы может быть за-
писано
__ Pq / 1 —сов «в/ \ I Л) / «4 — sin \ । Pq / cos ut — 1 + 0,5иДО \ .
М \ -а ГМ I Г "М"( Г
где условно обозначено V —~ (df у» — л-кратный определенный
о
интеграл от нуля до t от функции (|—cos<d/)/oA
Указание. Исходную функцию у следует так же, как я силу Р, разло-
жить в ряд Маклорена.
• 8.48. Пользуясь записью (8.30), проверить правильность реше-
ния задач 8.21 и 8.28, а также описать колебания для случая пара-
болического графика (рнс. 8.33, о).
124
Решение. Для параболического графика имеем
/<0)=0; /(0)=Рв.1^-; 7(0)=
а* а а*
и потому
• 8.49. Исследовать колебания системы при действии на нее на-
грузки. изменяющейся во времени по закону (рис. 8.33. б) Р—
= (Ро/а2)(а-/)2.
Решение. Пользуясь выражением (8.6). имеем
sin и>/— («Ах2—2)cosw/J.
<йа*
гДе Устрплх)=Ро/ (со2*).
Для момента времени, определяющего окончание действия си-
лы, т. е. при t=a, имеем
=УсЛмх) ^71 — 2+2«а sin —(«Ах2—2) cos «а];
^=в=^<^Вх)'^~|2й)^1 cos i*xz-|-4’ («Ах2—2) sin <aaj.
Наибольшая амплитуда перемещений после исчезновения на-
грузки (при />а) определяется по формуле (8.3)
ут = V yLa + vLal^
• 8.50. Исследовать колебания системы с одной степенью свобо-
ды при действии на нее периодической возмущающей силы, изме-
няющейся по закону (рис. 8.34, о): P=Pmax|sin8/|. Исследовать
случай, когда 6=со и 6=2<о/7. Возмущающая сила такого харак-
тера встречается при расчете колебаний коленчатых валов поршне-
вых насосов.
Решение. Возможно использование известных решений (8.30).
Задача в таком случае сведется к вычислению суммы ряда. Проше
125
использовать операционное исчисление или применить специальное
решение Дюффинга (см. задачу 8.27), в результате чего будем
иметь %
’ -‘“‘'j <“>
Формула (8.32) имеет силу прн 0</<л/0.
РИС. 8Л4
При 6=0), раскрывая неопределенность в (8.32) по правилу
Лопиталя, имеем
!/=pi«i +(-|—costo/J . (8.33)
Наличие множителя tot вне знака тригонометрической функции не
является указанием на резонанс, так как выражением (8.33) над-
лежит пользоваться прн t<nfe. График y(t) при 0=0) показан на
рис. а34, б.
Прн 6=2ы/7 имеем в соответствии с (8.32)
График y(t) показан на рис. 8.34, а.
• 8Л1. Рассмотреть колебания системы с одной степенью свобо-
ды, когда на нее действует
возмущающая сила, изменя-
ющаяся по гармоническому
закону с постоянной часто-
той P=Pmsin6/, причем ча-
стота возмущения равна ча-
стоте собственных колебаний
(0=ы). а амплитуда силы
Рже. 8Л5
126
уменьшается по закону арифметической прогрессии Рт—Л>(1
—s/m). где s=0, 1, 3 т. График изменения во времени указан-
ной силы представлен на рис. 835.
Решение. Используем формулу (8.28):
p У=*--°- (SHI <4 —<»/ COS<»/) ДОМ при 0</<-y;
[fl —)(SH1<d/— tt/COStt/)—— COS О»/] при—</<—
9 WM 1 IA m / -J
y=Sa\ —J (SHI Ш/ — «*/ COS «о/) — — COS <u/j 1 2я при—</< —
прн-==-</<оо.
В данном случае т=4; резонанса, в обычном смысле этого сло-
ва. очевидно, нет.
• 832. Описать явления, происходящие при внезапном приложе-
нии силы Р, учитывая наличие затухания собственных колебаний
(сравнить с задачей 8.21).
Решение. Согласно выражению (8.9), полагая f (/,) = ₽,
t
У=—^~ f <»-'•>/(/,) sin «ч(/
=»етр— е~Дсовsin.
Максимум указанного выражения
Это значение несколько меньше 2у„ и достигается, как и преж-
де (задача 8.21), спустя пол периода после появления нагрузки.
• 8.53. Описать колебательные движения, происходящие прн
продолжительном действии возмущающей силы Р sin Ш, учитывая
малое затухание собственных колебаний.
Решение.
t
J sin W, sin w,« —sin
4-# sin (fl/4-p), (8.34)
где
в ~КП -(«/«FF+ : p=arct8[- ] •
A = — Ssinp/sinX; CigX=(#ctg
127
По прошествии некоторого (вообще небольшого) промежутка
времени первое слагаемое в выражении (8.34) практически стано-
вится близким нулю, и поэтому колебания имеют установившийся
характер, описываемый только вторым членом.
Таким образом, при продолжительном действии возмущающей
силы амплитуды вынужденных колебаний ут«х=руст. где ц=
При пренебрежимо малом сопротивлении последняя формула
переходит в выражение (8.10).
Значения коэффициента динамичности при вибрационной на-
грузке и наличии сопротивлений даны в таблице:
0 ОЛб 0Д6 1
0 1 1 1 1
од 1.042 1,041 1,036 0,962
0.4 1.190 1,183 1,158 0362
ОД 1362 1350 1,415 0,735
03 2,778 2,712 1358 0,610
1.0 со 10,000 2,000 озоо
13 2373 2,193 1,344 0,410
1.4 1,042 1.031 0342 0.338
1.8 0,641 0.638 0370 0381
13 0,446 0.445 . 0.414 0Д36
2.0 0333 0333 0316 ОДОО
3.0 0,125 0,125 0,123 0,100
10,0 03101 0,0101 0,0101 0,0099
со 0 0 0 0
• 8Л4. Найти амплитуду вынужденных колебаний для задачи
8.33 при условии затухания колебаний. Коэффициент затухания
принять равным е=0,8 с• **1.
Решение. Частота свободных колебаний, согласно (8.8),
W|=/62,б2-0,^=62,50,99992с->
(за счет затухания частота снизилась меньше чем на 0,01.%).
Отношение частот вынужденных и свободных колебаний
6/«=523/62.5=0,838.
Коэффициент динамичности
|i= 1//(1 -0.838’Я+(0.838’4.0,8’/62,5»)=3,
т. е. практически он совпадает с вычисленным в задаче 8.33.
При увеличении частоты вращения двигателя до 550 об/мин
6=57,6 с-1; 0/со=57,6/62,5=0,92; ц—6,6, т. е. в этом случае коэф-
фициент практически не отличается от коэффициента, полученного
ранее без учета затухания (см. задачу 8.34).
128
При частоте вращения двигателя, равной 596 об/мин, коэффи-
циент динамичности достигает максимального значения ц=39,2,
тогда как без учета затухания он имел бесконечно большое
значение.
• 8.55. Описать колебания массы М при действии на нее затуха-
ющей синусоидальной нагрузки (рис. 8.36, а): sin 0/,
где 8| — показатель затухания возмущающей силы; 6 —круговая
Pwc. 0J6
частота возмущающей силы Р. С такого рода силой приходится
встречаться при расчете сооружений на действие взрывных, акус-
тических и т. п. волн, сводящееся к попеременному и затухающему
действию волн сгущения н волн разрежения. Прн решении задачи
учесть силы затухания собственных колебаний.
Решение. Согласно выражению (8.9),' имеем
jSin WJe- <«-*•> sin «,(/-/,) X
—^(Ч —+ —«У—*»]| «to»»!*
4 (»/»У (Ч — «У + [(Ч - «У + »?- *»]*/«* Г
4-йне-м + 835
4(в/«У(ч-«У+ [(ч-4*
где Уст=^а/(ш2М); е —показатель затухания собственных колеба-
ний; о,=с/М; «j=y«2—в2.
5-786 129
Из выражения (8.35) следует, что колебания будут происходить
в результате сложения двух затухающих синусоидальных колеба-
ний— одного с частотой собственных колебаний (щ н собственным
коэффициентом затухания а, а другого — с частотой возмущающей
силы 6 и коэффициентом затухания et.
Когда ei=e, т. е. показатели затухания силы и собственных ко-
лебаний одинаковые, выражение (8.35) переходит в следующее:
у=-------------------&---------е- . (8.36)
* 1-(•/<->!)*-(в/*!)3 \ в «ч ) * ’
Для случая, когда 8 близка к со, кривая, построенная по выра-
жению (8.36). превращается в кривую с затухающими размахамн.
Промежуток между ннмн (рис. 8.36, б), равный 4п/(0—«и), беско-
нечно возрастает, когда 6 приближается к <i>le но резонанса в том
смысле, как это имелось в виду ранее (задача 8.34), т. е. неогра-
ниченного роста амплитуд, в рассматриваемом случае не будет
(исключение составит, очевидно, случай, когда е=в|=0).
Наибольшая амплитуда при 0=w достигает приближенно зна-
чения
ГЛАВА 9
колвания систем с нкколысмми степвммм поводы
Краткие сведения из теории
Системами с п степенями свободы принято в динамике называть тайне сис-
темы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент
времени требуется задать л параметров, например положение (прогибы) л точек.
Положение прочих точек определяется обычными статическими приемами.
Примером системы с л степенями свободы может служить балка или плоская
рама, если массы ее отдельных частей или элементов условно (для облегчения ди-
намического расчета) считаются сосредоточенными в л точках, или если она несет
л больших масс (двигатели, .моторы), по сравнению с которыми возможно пре-
небречь собственным весом элементов. Если отдельные сосредоточенные («точеч-
ные») мессы могут при колебаниях совершать перемещения по двум направле-
ниям, то число степеней свободы системы будет равно числу связей, которые сле-
дует наложить на систему, чтобы ликвидировать смещения всех масс.
Если вывести из равновесия систему с л степенями свободы, то она будет
совершать свободные колебания, причем каждая «точка» (масса) бу-
дет совершать сложные полнгармоиическне колебания типа
t-я t^n
у « 2 cos ы// -Ь 2 ®п (9- О
i-i t=i
Постоянные At и В* зависят от начальных условий движения (отклонений
масс от статического уровня н скоростей в момент времени /<=>0). Лишь в неко-
торых. особых, случаях возбуждения колебаний полнгармоинческое движение для
отдельных масс может перейти в гармоническое, т. е. как в системе с одной сте-
пенью свободы
«о
у = уо соя м/ +---sin **/.
130
Число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы. Для вычисления собственных частот необходимо решить так называемый ол-
редел О = ягель частот, записываемый в таком виде: М1Й11-2 — 1 М2В12»2 АЦ Ал*2 М2 Адо2 — 1 М/ А^Ьц»2 М/Ь,/*»2—1 АЦ = 0.
м3»я^ А1« ЬддС*2— 1 (9.2)
Это условие в развернутом виде дает уравнение л-ft степени для определения
л значений ю3. которое называется уравнением частот.
Через 6ц, Аи, бя и т. л обозначены возможные перемещения. Так, б» есть
перемещение по первому направлению точки расположения первой массы от еди-
ничной силы, приложенной по второму направлению к точке расположения вто-
рой массы и т. и.
При двух степенях свободы уравнение частот получает вид
(М| Впм*- IXMiBtf*3 - 1) = О,
откуда для двух частот имеем
|Ml‘" +
-/(Mt »П + М2 «п)3-4 М1М» («11«и -»£)]. (9-3)
Для случая двух равных масс, симметрично расположенных на симметричной
упругой системе, имеем М( = М3 и Аи=бп, н выражение (9.3) принимает вид
2 1 Т bia/bft
В том случае, когда отдельные массы М< могут совершать в совокупности с
линейными перемещениями также вращательные или только вращательные дви-
жения, то <-й координатой будет угол вращения, и в определителе частот массу
М< надлежит заменить моментом инерции массы J<; соответственно возможные
перемещения по направлению <-Й координаты (бц, Ац и т. д.) будут являться уг-
ловыми перемещениями.
Если какая-либо масса может совершать колебания по нескольким направ-
лениям—i-му и А-му (например, по вертикальному и горизонтальному), то такая
масса участвует в определителе несколько раз под номерами М« и М* и ей соот-
ветствуют несколько возможных перемещений (Ан. А*». А<» и т. д.).
Заметим, что каждой собственной частоте присуща своя особая форма коле-
баний (характер изогнутой осн, лиши прогибов, перемещений в т. п.). которая в
отдельных, особых, случаях может оказаться действительной формой колебаний,
если только надлежащим образом были возбуждены свободные колебания (над-
лежащий подбор импульсов, точек их приложения и т. п.). В этом случае колеба-
ния системы будут совершаться по законам движения системы с одной степенью
свободы.
В общем случае, как это вытекает из выражения (9.1), система совершает
полигармонические колебания, но. очевидно, что всякая сложная упругая линия,
в которой отражается влияние всех собственных частот, может быть разложена
иа отдельные составляющие формы, каждая из которых соответствует своей соб-
ственной частоте. Процесс такого разложения истинной формы колебаний на со-
ставляющие (что необходимо при решении сложных задач строительной дина-
мики) косит название разложения по формам собственных колебаний.
б* J3I
Если в каждой массе, точнее — по направлению каждой степени свободы,
приложить возмущающую силу. изменяющуюся во времени по гармоническому
аниону Р<я1пШ, или P<ccs0f. что для дальнейшего безразлично, причем ам-
плитуды сил при каждой массе различны, а частота и фаза одинаковы, то прн
продолжительном действии таких юзмущающш сил система будет совершать
установившиеся вынужденные колебания с частотой вынуж-
дающей силы.
Амплитуды перемещений по направлению любой f-й степени свободы в этом
случае будут
A«=-D,/D, (9.4)
где определитель D записывается по (9-2) с заменой ш о 0 и, следовательно,
ОчМ); D< определяется выражением
Mt Вцев-1 МгВДй Ма8»83 MjIqP—1 4«л 2*w isl .S'1'- ма1>аа>
Я/- Mt 8Г1й> МЛй₽ 2 Гж1 . (9.5)
МяВв1ЙЗ м.Чт* ГжЯ /=1
3- С- /-Й столбец определителя О заменяется столбцом, составленным из членов
вида 2
t=i
Для случая двух степеней свободы
А «(М.Вява- i)(plBll 4-PjBu) -М2 hje»(Pi»a +pM)l
°2“ (МЛ111- 1)(Р1Вд — ^а^и);
D -= (*i hi®2 - 1) (М2 -1) - М1Ма (9.6)
и соответственно А,—DJID; At—D^D.
При расчете на вынужденные колебания балок постоянного сечения, несущих
сосредоточенные массы (рис. 9.1), проще, однако, пользоваться нижеуказанными
Рже. 9.1
132
формулами дли амплитуд прогиба, угла поворота, изгибающего момента и попе*
речной силы в любом сечении балки:
1 [ лЗ И ж®
yjr = lfo + w*+ £7^° ’5"+ + *5р +
(/’ ? \ |
ъ - *>+Yj [*Ь*+2 м,г'+°0 Т +Sp'T+
+ *(xm»»«4+z,‘*'‘)]5
Мя - м, + 2М| + Он+Х₽л + «* (XMwXj+Pin);
Qx-Qb+XPi + PSMwi.
(9.7)
I
где y9, фо. Mo, Qo — амплитуды прогиба, поворота, момента и поперечно* силы на*
чальиого сечении (начальные параметры); М< и J<— масса в ее момент инерции
(сосредоточенные массы); знак £ распространяется на все силы в сосредоточен-
ные массы, расположенные от начального сечения до обследуемого.
Указанными формулами (9.7) можно пользоваться и при вычисления собст-
венных частот, для чего необходимо считать возмущающие силы £Р« в моменты
£М| равными нулю, заменить частоту вынужденных колебания 0 частотой собст-
венных колебаний о в, предполагая существование колебаний (свободных коле-
баний), написать выражения (9.7) применительно к сечениям, где расположены
сосредоточенные массы и уже известны амплитуды (опорные сечения, ось симмет-
рии и т. п.). Получим систему однородных линейных уравнений. Приравнивая
нулю определитель згой системы, получим возможность вычислить собственные
частоты.
Целесообразным оказывается использовать выражения (9.4) и (9.6) для оп-
ределения амплитуд (уо, фо и т. п.) при х—0. а затем с помощью (9.7) вычислить
все остальные элементы изгиба.
С помощью формул (9.7) можно составить таблицу амплитуд реакций для
различных случаев вибрации балок (табл. 9.1). Данные, приведенные в таблице,
могут быть с успехом применены к расчету рам на вынужденные колебания илв
к определению собственных частот, если параллельно использовать метод переме-
щений, хорошо известный читателю из курса строительной механики, обобщенный
на динамические задачи.
В расчетных формулах (табл. 9.1) через / обозначен пролет балки, а для слу-
чаев 6—8 для определения р следует использовать формулу (8.10). Значения ко-
эффициентов а и а( зависят от отношения а/Ь.
Более сложной является задача расчета движений системы с несколькими сте-
пенями свободы ма действие произвольной нагрузки, изменяющей-
ся .до времени и приложенной к различным массам.
При решении такой задачи надлежит поступать следующим образом:
а) определить собственные частоты м формы собственных колебаний;
б) заданную нагрузку перегруппировать между массами или, как принято
говорить, разложить по формам собственных колебаний. Число групп нагрузок
равняется числу собственных частот системы;
в) после выполнения указанных выше двух вспомогательных операций сде-
лать расчет для каждой группы нагрузок по известным формулам из теории ко-
лебаний системы с одной степенью свободы, прячем частота собственных колеба-
ний в этих формулах принимается та, которой сошвегствует данная группа на-
грузки;
г) частные решения от каждой категории нагрузок суммируют, чем и опреде-
ляется окончательное решение задачи.
133
Таблица 9.1. Таблиц* амнлмтуд рсажцм* при аымуждекмых жолебаимях
Схема сооружала а
расчетное кпдаИстама
1. Вибрирующий поворот
2. Вибрирующее смещение
3. Вибрирующее смешение
4. Вибрирующий поворот
Расчетные формулы ала амплагту* реаяца!
= 4£/ 1-(е/*у
r,,_ I i-e(e/«F:
_ 6Е/ 1-aHe/wF
Гя= Л * 1-а(8/«У
при a = 8, a =4/7, <rj=12/7;
_____________12в/__________
“ МЯЦЗв^+Зв/ —2Г2) + *3(3/-ф)]
12£/ I -(В/«Р
Г®“ /з * |-О(8/ыИ * 1 * Ги=*
6£/ 1 — сцСВ/ыр
= i2 |-a(fi/<-)2
з = », а = 1/5» а» = 8/5;
ЗЕ/ 1 —(6/ш)Д
Гп~ [2 ‘ 1-О(8/«)2 1 rue
ЗЕ/ 1 — сц (8/мУ
“ р *|-а(е/аЯ
при д = 5( а •= 7/128. at = 5/32;
3£J
*U>»(3+^-)
П1-»
ЗЕ/ 1-(8/ыЯ __ ЗЕ/
I ’ I—а(8/«Р ’’ Гя"“ Л
X при а = Ь. а = 7/16, <Х| =5/12;
ЗЕ/
134
Продолжена* табл. 9.1
формулы дл ашшпуд р«шщМ
5. Вибрирующее поступи*
телыюе движение всей
балкн
7. Вибрирующая сила в ££
1X5
Определение собственных частот выполняется согласно (9.2). Что касается
выявления форм собственных колебаний, то здесь необходимо руководствоваться
тем основным свойством любой формы собственных колебаний, что она представ-
ляет собой линию влияния прогиба от еял (число которых равно числу степеней
свободы), пропорциональных произведению масс на ординаты прогибов точек при-
крепления масс. При равных массах, стало быть, форма собственных колебаний
представляет линию прогиба от сил. пропорциональных ординатам прогиба; эпю-
ра нагрузки подобна эпюре прогиба.
Низшей частоте соответствует наиболее простая форма колебаний. Для ба-
лок чаще всего эта форма близко отвечает изогнутой оси системы под влиянием
собственного веса. Если данная конструкция оказывается меиее жесткой в каком-
либо направлении, например в горизонтальном, то для выявления характера ис-
комой изогнутой оси надлежит условно собственный вес приложить в этом на-
правлении.
Что касается второй формы собственных колебаний, то здесь помимо удо-
влетворения указанному выше условию необходимо также удовлетворить условию
ортогональности, а именно:
Нцпти - о.
(9-8)
где pi (—ординаты точек, в которых расположены массы М1а соответствующие
первой форме, а — соответствующие второй.
Для определения следующих высших форм ординаты должны аналогично
удовлетворять условию ортогональности по отношению ко всем предыдущим фор-
мам собственных колебаний.
Разложение заданной внешней нагрузки по формам собственных колебаний
следует понимать так. что заданная нагрузка представляется состоящей нз не-
скольких групп, подобранных с таким расчетом, что от действия каждой группы
статическая изогнутая ось системы будет по своей форме соответствовать ранее
найденной одной из форм собственных колебаний.
Эффективным методом определения частот свободных колебаний является
графоаналитический метод, разработанный А. Ф. Смирновым. Этот
метод, использующий теорию матриц, является одним из наиболее мощных инст-
рументов для решения задач динамики с использованием ЭВМ.
Уравнение частот записывается в следующем виде:
|С—ХЕ | =0,
(9.9)
прячем после нахождения характеристических чисел X частоты собственных коле-
баний определятся выражением « = V I /X.
В определителе (9.9) Е — единичная диагональная матрица, матрица С оп-
ределяется матричным произведением
C = L*BLmM*,
(9.10)
где LM — матрица влияния моментов в заданной системе, т. е. матрица, каждый
столбец которой определяет значения моментоя во всех точках приложения масс
от действия единичной силы в соответствующей точке балки; —матрица
влияния моментов в фиктивной балке. В случае балки с шарнирно опертыми
краями фиктивная балка совпадает с заданной; В — матрица упругих грузов, оп-
ределяемая выражением (3.8); М* — диагональная матрица, определяемая значе-
ниями масс, приложенных в разных точках, причем
М*-тд
где то—некоторая произвольная масса.
Отыскание характеристических чисел определителя может быть произведено
методом итераций или любым иным эффективным методом.
136
Необходимо, однако, подчеркнуть, что определение частот колебаний можно
провести нс прибегая даже к понятию определителя. В данном случае достаточ-
но рассмотреть матрицу С—ХЕ и вычислить ее собственные числа и соответствую-
щие им собственные векторы любым прямым методом: методом Якоби, методом
понижения или методом исчерпания в сочетании с методом итераций.
9.1. Свободные колебания
• 9.1. Вычислить частоты свободных колебаний невесомой балки
с двумя одинаковыми массами М и М, расположенными на рассто-
яниях одной трети длины балки от ее концов (рнс. 9.2, а).
Решение. Вычисляем возможные перемещения бц. 6» и бц.
входящие в формулу (9.3). Перемножая по известному правилу
единичные эпюры моментов (рнс. 9.2, б. в), получаем
й11=гя«=4Р/(243£У): 8l2=82l=7/»/(486FJ).
По формулам (9.3) для системы с двумя степенями свободы
имеем ______
—l,.j v — 4 (B|| —8ia) ] ,
2 (8ц — el2)M
откуда =5,69 У £J/(M/3) (низшая частота): w2=22 >/.
• 9.2. Решить предыдущую зада-
чу, используя условия симметрии
системы.
Решение. Любые колебания
симметричной системы могут быть
представлены как результат нало-
жения симметричных колебаний на
обратносимметрнчные. Прн симмет-
ричных колебаниях каждая полови-
на балки работает в условиях систе-
мы, изображенной на рнс. 9.3, а,
а прн обратноснмметричных — в ус-
ловиях обыкновенной балки с шар-
нирными концами, показанной на
Рис. 9.2
РИС. 93
137
рве. 9Д в. Таким образом, задача распадается на две задачи, каж-
дая—с одной степенью свободы.
По эпюрам, указанным на рис. 9.3. б, г, имеем
« =_б____Р_. • =_J____(L
162 £/ ’ °22 486 £/
Окончательно
w,=y 1/(ЛВ1|)=5,69у/£УЛмЛ); «•>=✓ 1/(МЬа)=22/£7/(МР).
Таким образом, в данной задаче низшей частоте соответствует
симметричная форма колебаний, а второй собственной частоте —
обратносимметрнчная.
• 9.3. Вычислить частоты свободных колебаний невесомой двух-
пролетной балкн с двумя равными сосредоточенными массами М,
расположенными посредине
пролетов (рнс. 9.4, а). Данные:
/=1 м, Q=1 кН. /=63,82Х
Х10-® м\ Е=2-10® МПа.
Решение. Раскладываем
движение на симметричные н
обратносимметричные колеба-
ния (рнс. 9.4. б, в). В первом
случае каждый пролет находит-
ся в условиях однопролетной
балкн с одним заделанным, а
другим подпертым концами, не-
сущей сосредоточенную массу.
Во втором случае каждый про-
лет находится в условиях од-
Рж. 9.4
нопролетной балки с шарнир-
ными концами и несущей одну сосредоточенную массу. Таким об-
разом, задача разбивается на две, каждая из которых является за-
дачей о колебаниях системы с одной степенью свободы.
Как известно, прогиб под грузом однопролетной балки с одним
шарнирным и другим шарнирным или заделанным концом прн од-
ном сосредоточенном грузе посредине пролета будет
7 <№
^ст—768 ’ EJ И ~
I QP
48 ’ EJ ’
Таким образом, частота симметричных колебаний
w=/^L=372.6c-.
г 7 Q/3
а обратносимметричных —
«= 1/48 ^-=247с-'.
• 9.4. Определить собственные частоты невесомого трехпролет-
ного вала, несущего посредине каждого пролета по одной сосредо-
138
Урчешюй массе (рис. 9.5, а). Данные: /=1 м, Q=1 кН, 7=
463,62 см\ £=2- 10« МПа.
’ Указание Вместо того чтобы иметь дело с определителем частот третье!
степени, воспользоваться свойспамн симметричности. При симметричных коле*
банцях вала можно фактически рассмотреть двухлролетаую балку (рнс. 9.5.б).
Рм. fcfi
у которой правы! конец способен перемещаться в вертикальном направления? но
не поворачиваться. При обратносммметркчных колебаниях можно рассматривать
двухпролетиую балку (рис. 9.5, в). В первом случае задача сводится к системе с
двумя степенями свободы, а во втором — к системе с одной степенью свободы.
Ответ. Ш|«241Д С’1; <ui"3l6j6 с-1; w>—429,9 с-*.
• 9.5. Определить собственные частоты Г-образной невесомой
рамы, несущей в середине ригеля н стойки по сосредоточенной мас-
се (рнс. 9.6). Размеры, нагрузки, жесткость — те же, что и в за-
даче 9.3.
Указание. Так как узел рамы не смещается, то колебания данной рамы
можно уподобить колебаниям двухпролетной нераэрезной балки, в которую пре-
вращается заданная рама, если ее «развернуть». В связи с этим результаты зада-
чи 9.3 целиком справедливы н для данной рамы.
• 9.6. Найти частоты симметричных колебаний рамы (рис. 9.7).
Размеры, нагрузки, жесткость—те же, что н в задаче 9.4.
Указание. При симметричных колебаниях узлы рамы не смещаются н по-
тому этот тип колебаний рамы можно уподобить симметричным колебаниям трех-
139
пролетной неразрезной балки. в которую превращается заданная рама, если it
«развернуть». Таким образом, можно из задачи 9.4 целиком заимствовать две
частоты, отвечающие симметричным колебаниям.
• 9.7. Определять собственные частоты кронштейна (рис. 9.8).
Ответ. «1=79,98 с~•; «1—246 с~‘.
• 9.8. Определить первые три частоты колебаний двухопорной
балки, условно разбив бал- '
ку на три части и сосредо-
точив в центре каждой части
ее вес (рис. 9.9. о).
Указание. Общее решение
(9.2) требует составления опреде-
лителя частот третьей степени.
Рнс. 2.S
Рк. од
Раскладывая изучаемые колебания на симметричные (рис. 9.9, б) (две степени
свободы) н обраткосямметрнчные (рнс. 9.9, в) (одна степень свободы), упростить
вычислительные операции.
Ответ»
«1
9,859
= Л
38,184-I/E7F
“2“ Р V д •
(расхождения с точными значениями, полученными в задаче 9J, составляют со-
ответственно 0,1, 4 и 30%).
• 9.9. Определить частоты собственных колебаний системы, сос-
тоящей из двух сосредоточенных масс равной величины /и, распо-
ложенных на расстояниях одной трети пролета от концов балки.
Жесткость балки равна EJ.
Решение. Воспользуемся матричной записью для определе-
ния частот. В первую очередь найдем все матрицы, которые входят
в произведение (9.10).
Диагональная матрица масс М— ее элементами являются зна-
чения масс. т. е.
14Л
\ Элементы матрицы В определяются в соответствии с выражени-
ей (3.15): ац=2(1 + 1)=4; au=a»i-l; сц,-2(1+1)~4. следо-
вательно,
‘-и и®--
\ В
Элементы матрицы L™*, тождественной матрице Lm, можно най-
ти, е^ли определить моменты в точках 1 и 2 от единичной силы
(рнс. 9.10):
\ Li=
ж [1 2j 9 •
8ямры М
у Я 9 "9
Теперь находим матрицу С, производя перемножение матриц;
Определитель частот теперь можно записать в виде
24-1458-^-1
тР
21
21
24-1458-^—1
т/«
Раскрываем этот определитель и получаем следующее квадрат-
ное уравнение^!3—481+135=0, где 1= 1458 £/1/(тР), решение
которого дает lj=45; 1а=3. Отсюда получаем искомые значения
частот:
_____L.=^®i/ZL. _________L_=2^]/ZI
1 Кц J ' «I * I ' ml ’
• 9.10. Определить графоаналитическим методом с привлечени-
ем теории матриц наименьшую частоту собственных колебаний
стержня, несущего пять сосредоточенных масс. Расстояния между
массами и расстояния между массами и опорами одинаковы и рав-
ны //6. Стержень имеет постоянное поперечное сечение и шарнирно
оперт по концам.
л 4,02 iZfiT
Ответ. «1 — —— 1/ —г-
V F ж/
141
• 9.11. Определить собственные нагибные колебания стержня
переменного сечения (рнс. 9.11), используя аппарат теории матращ.
Указание. При определеякк частот рассмотрите стержень как систему с
тремя степенями свободы, /
Рже 9.Н
Рже 9.12
• 9.12. Определить низшую частоту свободных колебаний кон*
сольного стержня переменного сечения, высота которого меняется
по линейному закону (рнс. 9.12).
Указание. Стержень рассмотрите.кая систему с четырьмя степенями сво-
боды, приняв в качестве независимых параметров перемещения точек 1—4.
• 9.13. Определить первую
частоту колебаний стержня (рис.
9.13), при двух соотношениях
между высотами крайних сечений
Ло/Л=0,6 и hjh=6j2.
Указание. Стержень рассмотрите
как систему с четырьмя степенями сво-
боды.
• 9.14. Упругий стержень, несущий на своем верхнем конце
сосредоточенную массу М, нижним концом опирается на упругое
основание посредством жесткого фундамента (рис. 9.14, а). Мо-
мент инерции массы фундамента относительно оси вращения, про-
ходящей через точку а, равен Je- Определить частоты свободных
колебаний такой системы.
Решение. Независимыми координатами перемещений явля-
ются поворот ннжней массы н горизонтальное смещение верхней.
В отличие от сходной задачи 8.5 необходимо учесть влияние про-
дольной силы стержня. В данном случае имеем (рис. 9.14, б, в):
’о=(зёг+АЧ/(1-'&‘):
(9.11)
142
1 _ М А+О»и . . J 4-Q>ai
cj7“ c/o ’ c/o
(9.12)
здек С—коэффициент постели грунта; /0 — момент инерции пло-
щади подошвы фундамента; Р9—критическая сила (эйлерова) для
стержня с одним заделанным концом.
ИМ (9.11) и (9.12) следует
Далее используем формулу (9.3) с заменой М| на Jb
Примечание. Поскольку в возможные перемещения входит отношение
Qh/lCjo), то отсюда вытекает, что большое влияние иа снижение собственных
частот имеет местоположение массы М.
• 9.15. Определить три частоты собственных колебаний жесткого
фундамента под двигатель в плоскости, перпендикулярной оси ва-
ла. Данные: вес фундамента и спаренных дизеля и генератора Q=
=2,45 МН; колеблющаяся масса М=25*104 кг; площадь подошвы
F—7,7 -5,25е 40,5 м2; момент инерцнн площади подошвы относи-
тельно оси, проходящей через центр тяжести подошвы параллельно
осн вращения, /w—93 м4; момент инерции колеблющейся массы от-
носительно той же оси Jcv=2,15-10* кг-м2; а относительно оси, про-
ходящей через центр тяжести, Jv=l,34-10l кг*м2. Грунт — мелко-
зернистый песок. Уровень грунтовых вод выше заложения подошвы
фундамента, значения коэффициентов упругости в таком случае
ориентировочно можно принять: С,=0.2...0,4 МПа; С,=0,4...
0.7 МПа; С,=0.1 ...0.3 МПа. Расстояние общего центра инерции
от подошвы фундамента Л =1,8 м.
Ответ. Используя формулу (8.4). имеем пределы для .квадрата частоты вер*
текальных колебаний (ЗД4... 6,48) 10* с~’; для частот сдяиговращателышх
колебаний: <*>?—(Б.4... !Б,4)10« С"’; <о/—(0,78 ...2,38)10” с~«.
Следовательно, резонанс возможен при частоте врашения л(=>544 ...764 об/мин
(вертикальные колебепия); л»—6Б0—1900 об/мин; 270... 470 об/мин (сдвнго-
врашательные колебания). Таким образом, имеем широкий диапазон для воэмож-
143
костя возникновения резонянся. Реэонаиса можно иэбежжтъ, если л<270 об/мин
идя л> 1900 об/мин.
• 9.16. Вычислить частоты собственных колебаний для замкну-
той рамы с двумя массами (рис. 9.15). Жесткости стержней на из-
гиб относительно обеих главных центральных осей поперечного
Ряс. 9.15
сечения проставлены на рисунке в квадратах. Жесткости на круче-
ние проставлены под стержнями в скобках в виде множителя при
EJ. Закрепление стоек в основании принято шарнирным.
Укязякяе. Используя условия симметрии, рясчлеяять совместную систему
из шести урявненнА холебяний масс ив три отдельные системы по двв уравнения
в каждой.
Возможные перемешемкя равны:
Вц-17,25/(£Л: Вм-= 18.4/(£/); •» = 5.4 !/(£/);
*41-11,б9/(£Л; В44=17,25/(£/); «к= 18.4/(£/);
Ъ»5,41/(£Л; B»=H.87/(£/); Цз-0,38/(£/).
Ответ.
mJ = 0.033£//M; = 0.0346Е//М; «? = 0,153£//М;
<•2 = 0,173£//М; о»’ = 0,179£//М; ы£ = 0,199Е//М.
9Л. Вынужденные колебания
• 9.17. На консольном балке (рис. 9.16, а) установлены два дви-
гателя весом Q каждый. Собственным весом балки по сравнению
с весом двигателя можно пренебречь. Построить динамическую
эпюру моментов, возникающих в балке вследствие того, что начал
работать двигатель № I и потому появилась дополнительная гар-
моническая сила PsinOt
Данные: /=4 м; /=35,52-10"* м«; Q=70 кН; Е=0.21 -10® МПа;
Р—ЮкН. Рассмотреть две частоты вращения двигателя: л=
=200 об/мин и л=400 об/мин.
144
Решение. Пользуемся формулой (9.6). По эпюрам (рис.
9.16, б, а) определим
\P=9a*/(EJ)-
Амплитуды вычисляем по формулам At-—D|/D; Ая=—DJD, где
о=(08„е»/г- D(QW%- И-сгёДО;
D, ^(QktJPIg- 1)РД, -QWPfiiJg-,
Dt=(QW4g - UPJ^-Q^JPPMg.
Определив амплитуды, переходим к вычислению динамических
изгибающих моментов в точках 2 и 3:
М2= -VQAtVa/g-Pfia;
М2=-^(QAfia-^QA^/g-P.Sa.
На рис. 9.16, г, д представлены искомые эпюры моментов при
6=ял/30=л200/30 с-1 (частота вынужденных колебаний ниже
Рее. 9.16 Рис. 0.17
первой собственной частоты балкн) и прн 0=л4ОО/ЗО с-1 (частота
выше первой собственной частоты).
? В каких случаях масса второго двигателя будет способствовать
ослаблению колебаний первого двигателя и когда, наоборот, может
усиливать?
145
• 9.18. На невесомой двухпролетной балке находятся два двига-
теля одинакового веса (рнс. 9.17, а). Рассмотреть случай одновре-
менной синхронной работы двигателей (рнс. 9.17, б) и случай^ ког-
да вращения обоих двигателей характеризуются сдвигом фаз; рав-
ным л (рнс. 9.17, в).
Решение. В первом случае каждый пролет можно предста-
вить как балку с одним заделанным и другим опертым коннами, в
связи с чем можно перейти от рассмотрения системы с двумя сте-
пенями свободы к системе с одной. Частота собственных колебаний
(см. задачу 9.3) g/y где Ус?= (7/768) QP/(£7); коэффи-
циент динамичности щ=И1—(6/<oi)*l. Во втором случае каждый
пролет рассмотрим как балку с шарнирными концами. Частота
собственных колебаний *2=^glугде ует=( 1/48) QP/(EJ); ко-
эффициент динамичности Иа= 1Д1—
На рис. 9.17, г, д указаны эпюры моментов для обоих случаев.
• 9.19. Вычислить амплитуды перемещений фундамента, рас-
смотренного в задаче 9.15, если известно, что амплитуда горизон-
тальной возмущающей силы Рх, действующей на высоте основного
вала машины (4.2 м от подошвы фундамента), составляет 100 кН,
частота вращения двигателя 167 об/мин.
Решение. Использование (9.4) и (9.6) приводит к следую-
щим выражениям для амплитуд горизонтального смещения и угла
врашения:
Ст/У - (?* + СжЛЛ/7 -

(9.13)
В нашем случае 0=3,14-167/30=17,3 ст1; для частот собствен-
ных колебаний принимаем наименьшие значения частот (О| и ыа, а
именно: <i)|2=5,4-103 с-8; <i>ja=0,78-108 с~® (этим обозначениям со-
ответствуют случаи Сх=10 МН/м3; Сж=70 МН/м3).
По формулам (9.13) имеем Лх= 1,12- 1Сг> м; Лш=0.19-10"3 рад.
Несмотря на то что наименьшая частота сдвиговращательных
колебаний отличается от частоты возмущающей силы на 60%, все
же полученные амплитуды колебаний недопустимы.
Таким образом, из этого примера становится очевидным, что
необходимо вычислять амплитуды вынужденных колебаний и в том
случае, когда сооружение не работает в резонансном режиме.
• 9.20. На двухопорной балке весом 150 Н н пролетом /|= 1.7 м
с моментом инерции поперечного сечения /(=20,9 см4 установлен
неуравновешенный двигатель весом 109 Н. частота вращения кото-
рого 1420 об/мин. Неуравновешенность двигателя вызвана двумя
грузами, эксцентрично насаженными на концы его вала; вес каждо-
го груза равен 0,9 Н, эксцентриситет е« 1,9 см (рис. 9.18, а).
При указанной частоте вращения вала двигателя балка оказы-
вается в состоянии, близком к резонансу. Для погашения вибраций
Мб
к балке присоединили два грузика весом 6,3 Н каждый, на двух
упругих стерженьках (рнс. 9.18, б). Определить длину упругих
стерженьков, при которой произойдет максимальное гашение ко-
ЛС0 0^68 М?меиты ннеРцин поперечных сечений стерженьков Л-
Решение. Прн отсутствии успокоителей колебаний приведен-
ная масса
\ м,= -^у)15од|85кг;
с, =48£7//’=48-21 • 10ю-20,9-10-»/1,7»=0,427 М Н-м-«.
Частота собственных колебаний <•=/ti/M| = 152c-1. а частота
вынужденных колебаний 8=лл/30=149 ст*. т. е. близка к частоте
собственных.
Амплитуда центробежной силы инерции Р—2-0.9-0.019Х
ХМ9«/931-78 Н.
Амплитуда вынужденных колебаний двигателя на балке будет
весьма значительна:
у=уетн=(Р/с.) , ' „ =РЛМ.«Ч1 -(в/.я>=
I — (fi/w)2
=(P/Ml)/|(cl/Ml)—6®|=(78/18,5У|(427-103/18,5)— 149з]=4-10-’ м.
При учете дополнительных грузиков имеем 0а=Са/Ма=ЗЕ/з/
(<,’М3). откуда 13=уЛ3£Т^(М^)=0,228 м.
В действительности же максимальное погашение вибраций на-
блюдалось прн /j=0,235 м. Амплитуда вынужденных колебаний
груза гасителя будет (к каждому из грузов надо отнести половину
полного значення возмущающей силы) равна 78- 9,81/(3*6.3X
X 149я) =2,7* 10~s м. т. е. даже меньше амплитуды колебаний, ко-
торую имела бы балка при отсутствии гасителя.
Частоты собственных колебаний новой системы (с двумя степе-
нями свободы) находятся по (9.3) и оказываются равными <oi=
*131 с-1; (о,= 168 ст».
Прн угловых скоростях мотора, равных (о> или соз, имеет место
резонанс, тогда как при отсутствии гасителя эти угловые скорости
не являлись бы опасными.
147
Рте. 9-19
• 0.21. На одну из масс двухопорной
балки, рассмотренной в задаче 9.1. дей-
ствует мгновенный импульс 5 (рис.
9.19, а). Исследовать колебания балки,
происходящие под влиянием указанной
нагрузки.
Решение. В задаче 9.1 было вы-
яснено. что низшей частоте собствен-
ных колебаний соответствует симмет-
ричная. а второй — обратносиммет-
рнчная форма смещений (см. рис. 9.2).
По этой причине разложение нагрузки
по формам собственных колебаний сво-
дится к преобразованию ее на симметричную и обратносимметрич-
ную группы (рнс. 9.19, б, в).
При симметричном загружении перемещения точек а и b будут
описываться уравнением (на основании (8.11)]
*=5^Г$,Пв‘Л
При обратноснмметричном загружении перемещения точек а и
Ь будут одинаковы и обратны по знаку
*’=-Йм5|п"’Л
Таким образом, действительные колебания левой и правой масс
будут описываться соответственно уравнениями
с
Уа=-Г-~ 1Sin wi^+(<ol/w2) sin «Л
yh=-—— [ sin U>1/ — (Wj/^) sin Wj/].
(9.14)
Так как по результатам задачи 9.1 отношение второй частоты
к первой близко к четырем, то при исследовании выражений (9.14)
указанное отношение для облегчения подсчетов принимаем равным
точно четырем. На рис. 9.20, а, б на основании (9.14) построены
графики колебаний левой и правой масс. Любопытно отметить, что
выражение, заключенное в квадратные скобки в первой формуле
(9.14), достигает наибольшего значения, равного 1.173 (в отличие
от единицы, как это было бы в случае системы с одной степенью
свободы), а наибольшее перемещение оказывается равным: 1,1735/
/(2о1М)=0,5865/(со1М).
В том случае, если вести расчет как для системы с одной сте-
пенью свободы и правую массу условно сосредоточить в точке а (в
таком случае приведенная масса Мпр=1,87 М), наибольшее пере-
мещение оказалось бы равным: 5/(ш1МПр)=5/(1,87ю1М) =0.5355/
/(coiM), т. е. за счет колебаний высших тонов наибольшие переме-
щения оказываются приблизительно на 9% больше.
148
Рже. 9Л0
Рже. 9Л1
• 9.22. Для балки, рассмотренной выше, определить колебания
в случае внезапного приложения силы к левой массе.
Решение. В том случае, когда сила изменяется во времени по
закону P=f(tf) для перемещения левой массы на основании (9.14).
будем иметь выражение

которое при Д/|)=Р принимает вид
[1—cosu>i<+-T-(l—eos»^)
(9.16)
График движения, согласно (9.15). изображен на рис. 9.21. На-
ибольшее перемещение max i/a«P/(a)iaM).
• 9.23. Для двухопорной балки с тремя сосредоточенными мас-
сами, рассмотренной в задаче 9.8, найти формы собственных коле-
баний.
Решение. Собственные частоты балки были найдены в зада-
че 9.8. Находим формы собственных колебаний. Форма колебаний,
отвечающая первой частоте, представлена на рис. 9.22, а. Соотно-
шение прогибов под точками а, b и с определяем из условия, что
прогибы в указанных точках относятся как статические силы, при-
кладываемые в этих точках и вызывающие указанную форму сме-
щения (см. с. 136).
Таким образом, если сила в точке b в а раз больше, чем в точ-
ках а и с, то прогиб в точке Ь больше прогибов в точках а и с так-
160
же в а раз. Используя формулы прогибов для простых балок, за-
писываем выражение для прогибов середины пролета и точки под
силой:
6£/ ЛЬ ’
y>=ML+2-fa!!L/3-!l-4V
48£/ 4в£/ \ а» )
Заменяя Ab=afea и уъ=ауа. из равенства (9.16) получим a=2.
Таким образом, первая форма собственных колебаний представ-
ляется упругой кривой, у которой средняя масса получает смеще-
ние в два раза большее, чем крайние (рис. 9.22. б). Следующую
форму смещения легко определить из условия ортогональности
(9.8), что при равных массах означает равенство нулю суммы про-
изведений ординат смещений из первой формы на соответствующие
ординаты из второй. Очевидно, этому удовлетворит обратносим-
метрнчная форма смещения (рис. 9.22. в).
Третья форма смещения должна быть ортогональна первой и
второй. Так как вторая форма обратноснмметричнам, то условию
ортогональности к ней удовлетворит симметричная форма смеще-
ния (рис. 9.22, г), а из условия ортогональности последней также
по отношению к первой форме определяем соотношение ординат
смещений под массами. На основании (9.8) имеем или
1-1— 2-Л+1* 1=0. откуда А=1, т. е. прн третьей форме собствен-
ных колебаний крайние массы получают одинаковые смещения, в
то время как средняя масса отклоняется на такую же величину в
противоположную сторону.
• 9.24. На двухопорную балку, рассмотренную в задачах 9.8 и
9.23, в середине пролета оказывает действие мгновенная сила с им-
пульсом $ (рнс. 9.23, а). Исследовать колебания балкн.
Решение. При заданной мгновенной силе будут иметь место
симметричные формы колебаний, поэтому указанную нагрузку сле-
дует разложить по формам только симметричных колебаний (по
первой н третьей) (рис. 9.23, б). Так как при сложении сил по обе-
им формам колебаний мы должны получить в сумме заданную на-
грузку, а третьей форме смещения соответствует нагрузка из трех
одинаковых, но противоположно направленных сил (рнс. 9.23, а),
то с очевидностью следует, что при первой форме значенне импуль-
са в средней массе должно составлять % полного значения им-
пульса.
Таким образом, колебания средней массы представим уравне-
нием
“Чг sin ^+45 —V sin шэ'=
3«>|M \ ]
151
• 925. Для той же балкн исследовать частный случай, когда к
средней массе внезапно прикладывается сила Р н неопределенно
долго остается на системе.
Ответ.
2Р
3<*?М
I — COSU1/ + —Др (I — cost^O
-**3
(9-17>
График движения, согласно (9.17), для промежутка времени, равного пе-
риоду первой формы, изображен на рве. 924. Наибольшее перемещение оказы-
вается приблизительно равным
шах 1 ДЧР/СшЛМ).
Если выполнить прибли-
женный расчет как системы с
одной степенью свободы (мас-
су системы сосредоточив в се-
редине пролета), то получим
max ^*—2Р/(Ш1’М«р).
• 926. Наметить план
расчета замкнутой рамы
с жестко защемленными
концами стоек, в узлах
которой сосредоточены
одинаковые массы М; ра-
ма подвержена действию
безмассовых динамиче-
ских сил P\=f{t\) и
А( W. действующих
вдоль осей ригелей 1-3 и
3-4 (рис. 9.25, а).
Указание. Рекоменду-
ется заданную динамическую
нагрузку разложить на сим-
метричные и обратносиммет-
ричные составляющие, от каж-
дой нз которых в отдельности
будут возникать чисто кзгнб-
ные колебания в плоскости
(рис. 926. б, г) или язгибно-
крутильные (ряс. 925, а. д).
Прн воздействиях, показанных
на рнс. 925, в, д, имеется опре-
деленная связь между смеще-
ниями At и Д>. поэтому во всех
четырех задачах, на которые
разбивается расчет, имеем си-
стему с одной степенью сво-
боды.
• 927. Показать, что ес-
ли система с одной сте-
пенью свободы, например
балка с одной сосредоточенной массой в точке k, будет подвержена
действию гармонической силы Р/= Р sin 6/, приложенной в точке i.
то в данном случае обычная формула коэффициента динамичности
152
(8.10) для перемещения под силой, в которую входит отношение
б/to, неприменима и необходимо пользоваться выражением
н—р—<е/ичЯ1/1> — «/«ЯЬ
где со — частота собственных колебаний заданной системы; <oi —
частота собственных колебаний преобразованной (фиктивной) сис-
темы, которая получается из заданной, если в месте приложения
вибрационной силы и по ее направлению мысленно поставить до-
полнительную связь, препятствующую перемещению в направле-
нии упомянутой силы.
Примечание. Если сила Pt прикладывается непосредственно к сосредо-
точенно! массе, то О|-« и вышенапвсамное выражение для g переходит в вы-
ражение (8.10).
• 9.28. Показать, что частоту свободных колебаний любой ста-
тически неопределимой системы можно определить как частоту вы-
нужденных колебаний другой системы, полученной из заданной
путем удаления одной нли нескольких связей, при которой ампли-
туды перемещений при вынужденных колебаниях по направлению
удаленных связей равны нулю.
Указание. Справедливость сформулированного выше утверждения про-
верить на любой нз ранее обследованных задач. Например, рассмотреть случай
однопролетной балки с левым шарнирно неподвижным концом и правым защем-
ленным при сосредоточенной массе М посредине пролета. В качестве преобразо-
ванной системы взять обычную двухопорную балку (т. е. балку с шарнирными
концами), приложив взамен удаленной связи опорный вибрирующий момент с
частотой 6 и поставив условие, что при этом угол поворота на правом конце ра-
вен нулю.
• 9.29. Определить амплитуды реакций в случае вибрирующего
поворота левого конца балки при скользящем другом (рис. 9.26).
EJ 1-(й/«Я ЗЕ/ _ 4 —За//
ест. Hl- t |_а(в/<4)2 • «1- Мв(д*+3*2) ' “ 4(1 + 3(й/аЯ .
Рис. ЯЛВ
Рис. ЭЛТ
• 9.30. Определить амплитуды реакций и перемещений в случае
консольной балки (рнс. 9.27) при поступательной (без вращения)
вибрации заделки.
Ответ. И ~ !/[«- (•/<*«; То = - МЛРдь/СИЛ'.
ги =- - 09М/£ 1 - (й/«Я; = ₽MZ/(I - (Й/«Я; « 8в//(МП).
153
• 9.31. В Т-образной раме с тремя сосредоточенными массами
(рнс. 9.28) в состояние вибрации введен средний узел. Определить
амплитуду динамического момента Гц.
Ответ.
VI 4BJt
2|i I,
где со< в о< следует взять вз табл. 9.1 (схема 1).
fsLnfit
Ряс. ВД8 Ряс- 9Л9
• 9.32. В Т-образной раме в состояние вибрации введен левый
опорный узел (рис. 9.29). Составить выражение для амплитуды
реакции г&.
Указание. По схеме I (см. табл. 9.1) найдите Гц прн условии за-
креплешф узла 1 от поворота. Далее по третьей формуле системы (9.7) опреде-
лите реакцию в заделке, поставленной в узле /. Используй формулу, полу-
ченную в задаче 9Д определите 7ц — реакцию в первой заделке от вибрирующего
поворота ф|о|‘51п0/. После чего <pi—— Flf /Рц. Определите rn— реакцию в за-
делке 2 от ввбрврующего поворота узла 1: I-sin Of.
Ответ, 4-<PiFb-
• 9.33. Определить собственные частоты обратноснмметрнчных
форм колебаний трехпролетной рамы (рнс. 9.30, а). Массы —М,
момент инерции опорных масс — J.
Указание. Мысленно закрепив узлы рамы, начинаем их вибрировать
с единичной угловой амплитудой, соблюдая прн этом обратноснмметричную фор-
му. При таких предположениях каждая половина рамы будет находиться в ус-
ловиях двухдролетноА рамы (рис. 9.30, б). Единственное каноническое уравнение
метода перемещений запишется ХцГц“0. откуда Гц=0 (уравнение частот).
Ответ.
4EJ г_________________I________________
а I 1 — ох (й/сщЯ 1 —
I3 I—(б/«1Я + 1-(в/-2Я
з |_(в/<а)2 Ji а а ] А
8 l-a(8/u>)2 /8 4£/J
154
, 12 Ei t №EJ 6£/ _/ie
>« "l= , 4= ы 1, ; “1==тг: «1=2/7; о> = 5/Я; о = 7/16;
7 М О8 МА9 МА9
/1 — момент мнерцм стойки.
Из последнего уравнения и найдется частота 0» которая будет искомой часто-
той собственных обратноашметркчных форм колебаний заданной рамы.
Рас. ВЛ!
• 9.34. Для раыы (рнс. 9.31. а), используя метод перемещений,
составить уравнение частот симметричных форм допеваний.
Указание Достаточно мысленно закрепить узел / постановкой связи,
препятствующей повороту (рис. 931,6). а затем заставить эту связь вибрировать
с единичкой амплитудой. Единственное уравнение метода перемещений гиХ(явО
млн гц»О. Пол составления выражения для Гц возможно использовать результат
задач 9.31 а 9.32.
155
ГЛАВА 10
КОЛНАНИЯ систем с В1СКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПМЯ своводы
Краткие сведения кв теории
Для точного решения задачи о колебаниях упругих систем необходимо рас*
сматривать сооружение с непрерывно распределенными по длине сооружения
массами. При такой постановке задачи со» всякого стержня должна рассматри-
ваться как система, загруженная бесконечно малыми массами, находящимися в
бесконечно! близости друг к другу. В соответствии с этим любо! материальны!
стержень и любое сооружение является системе! с бесконечным числом степеней
свободы.
Решение аадачи кзгнбных колебаний стержневых сметем без учета влияния
сдвига я инерции вращения для сооружений, состоящих из прямых стержней,
приводит к необходимости решить для каждого изгибаемого элемента диффе-
ренциальное уравнение
02 / Л/ \
дх») + " iP
где т и J—переменные по длим линейная плотность н момент инерции попереч-
ного сечения стержня; р(х, t)—меняющаяся во времени и переменная по длине
стержня нагрузка; у— перемещение оси стержня, меняющееся во времени и по
длине стержня.
Для случая изгибаемых балок постоянного поперечного сечения с равномер-
ным распределением масс по длине н подверженных продолжительному действию
вынужденных гармонических колебаний (рис. 10.1) решение
Рмс. 10.1
vxasamioro выше двфЛервщияльиого УР““«" и Дяльпсйпие клольеоввию
гоимят™ следующей четырем ашаашоепы для «мтиопуд прошве. повороте.
штат и поперетвоГшлы в ловом <метод «««льиых перяиетров в ди-
иамкке сооружений):
£/*7+0° £/*»+ ej»
iM
Таблица 10.1. Фуакцп влипай: Ла. В», С», De
(к динамическому расчету балок в рам на вынужденные колебала)
1г с. в. 4, 0.
0.00 1,00000 0,00000 0,00000 0,00000 1.6 1,27413 1,68757 130333 0,63800
0,01 >.00000 0,01000 0,00005 0,00000 1.7 139974 131864 1,47832 032698
0.02 1.00000 0.02000 0.00020 0,00000 13 1,44013 1,95801 1,66823 0,98416
0.03 1,00000 0,03000 0,00045 0.00000 1.9 134722 2,10723 137551 1,16093
0.04 1,00000 0,04000 0.00080 0,00001 го 1,67277 236808 2.08917 135828
0,05 1,00000 0.05000 0,00125 0.00002 2,1 1,82973 2,44253 232458 1,57937
0.06 1,00000 0.06000 0.00180 0.00004 23 1,98970 2,63280 2,57820 132430
0.07 1,00000 0.07000 0,00245 0.00006 23 2,18547 234133 235175 2,09562
0.08 1,00000 0,08000 0.00320 0.00009 2.4 2,40978 3,07085 3,14717 239537
0.09 1.00000 0.09000 0,00405 0.00012 2,5 2,66557 3,32433 3,46671 2,72586
0.10 1,00000 0,10000 0,00500 0.00017 2,6 2,95606 3.60511 331295 3.08961
030 1,00007 0,20000 0.02000 0,00133 2,7 3,08470 331682 4,18872 3.48944
озо 1.00034 030002 0,04500 0,00450 2,8 3,65520 436346 439747 3,92846
0.40 1,00106 0.40008 0,07999 0,01062 2,9 4,07181 4,64940 5,04277 4,41016
ОДО 1,00261 1,50026 0,12502 0.02084 3,0 4,53883 5,07949 532882 4,93837
озо 1.00539 0.60064 0,18006 0,03606 3,1 5,06118 535901 6,06032 531743
0,70 1.01001 0.70190 034516 0.05718 я 539597 5,77437 639597 6,77437
озо 1.01702 030273 032036 0,08537 33 5,64418 6,09375 6,64247 6,15212
озо 1.02735 0,90492 0.40574 0,12159 з $ 6,29364 6,69006 7,28112 634781
1.0 1,04169 1,00833 030139 0,16686 3.4 7,01692 735491 7,98277 7,61045
1.1 1,06106 1.11343 030746 032222 3.5 731818 8,09502 8,75464 8.44670
13 1.0865! 132075 0.72415 038871 3.6 8,70801 8,92147 9,05477 936399
13 1.11920 1,33097 0.85170 036691 3.7 9,69345 934072 10,54205 1037066
1.4 1,16043 1,44487 0.99046 0,45942 3,8 1038540 10,86377 1137637 11,47563
13 13П57 136338 0.14083 036589 3.9 11,99271 12,00167 12,71864 12,68943
1Й2п 135409 135015 135409 0,65015 4,0 1332739 1336656 13,98093 14,02336
4.1 1430180 14.67179 15.37662 15,49007 7.1 30333425 303,28381 30234970 302,62707
43 16.43020 1633204 16,92046 17,10362 7.2 335,16205 335,25434 33435370 334,46067
•м 2 43 18.27794 17.96347 18,62874 18,87964 73 37033819 370,50003 36931211 389.64954
Продолжение табл. 10.1
kJC Ая вя С. fcx Л. В. С. 0,
4.4 2031212 19,88385 20,51945 20.83545 7.4 409.21553 409.44531 408.77698 40834660
43 22,40186 22,01274 22,61246 22.99027 7,5 452,18406 452.92446 461,73742 451,54146
43 243175! 2437172 24,92966 25.36541 7.6 499.67473 500,03281 499,42347 499,06489
4.7 2748287 2638456 27,49526 27.98448 7,7 552.16384 552,58097 552,01042 551.58780
3/2я 27,83169 27,32720 27.83169 28.32720 7,8 610.17757 610,64966 610.12361 609,65112
43 30.42341 2937746 30,33591 30.87362 5/2л 643.99272 644,49252 643,99272 643,49252
4.9 33.66756 33,07936 33,48105 34,06181 7,9 674,29767 67431986 67434367 673,82102
53 37.24680 36,62214 36,96314 37.58106 8.0 745.16683 745,73409 745,31233 744.74473
5,1 41,19599 40,54106 40,81801 41.46686 8.1 823.49532 823,95189 823,73886 82338200
53 45.55370 4437495 45,08518 45.75840 8,2 910,06807 910,70787 910,40722 909,76714
53 50.36263 49.66682 49,80826 50.49909 83 1005,75247 1006,41912 1006,18385 100531695
5.4 55,67008 54.96409 55.03539 55.73685 8,4 1111,50710 1112,19393 1112,02639 1111,33933
53 61.52834 60.81919 60,81967 6132473 83 1228.39125 1229,09140 1228,99326 122839291
5.6 67.99531 6739004 66.21974 67,92131 8.6 1357.57558 135838205 1358,25430 1357,54765
5,7 75.13504 74,44067 7430033 74,99136 8,7 1500,35377 1501,05950 1501,10242 1500.39658
53 83.01840 82,34183 82,13288 8230633 8,8 1658,15549 165835342 1658.96658 1658,26850
5,9 91.72379 91,07172 90,79631 91,44562 8.9 1832,56070 1833.42607 1833,42614 1832,74284
6,0 101.33790 100.71687 100,37773 100.99629 9.0 2025,31545 2025,97701 2026,22658 2025.56480
6.1 111,95664 111.37280 110,97337 111,55491 9,1 2238.34934 2238,98270 2239,29706 2238,66360
6.2 123,68604 123.19521 122,68950 123.22830 9.2 2473.79487 2474,39373 2474,76971 2474,17079
2я 134,37338 133.87245 13337338 133.87245 93 2734.00871 2734.56701 2735,00094 2734,44255
63 136.64336 136,15092 135,64350 136.13411 9.4 302139536 3022.10755 3022,59505 3022,08297
6.4 150,96826 150,46912 149,97508 15035257 Зя 3097,41192 3097.91193 8098,41197 3097,91193
6.5 166,77508 166,39259 165.79749 166,17747 93 3339,43314 333939411 3340,43031 3359,96926
6,6 184.24925 183,92922 183,29902 183.61768 9,6 3690.70306 3691,11321 3691,68775 3691.27754
6,7 20335895 208.30357 262.64457 202.89872 9,7 4078,92063 4079,26590 4079,88299 4079,53766
63 22439590 224.70860 224,02740 224,21449 9,8 4408.47103 450835298 4508,90146 4508,61946
6,9 248,47679 248,35764 247.66106 247.77920 9,9 4982.14802 4982,36202 4983,03721 4982,32136
7.0 274.53547 274.48655 273,78157 273.82956 10,0 5506,19696 550634442 5507,03599 5506,88844
+ +"i7r(2M'erI
— •аЕ->1ТД/+—(10.1)
вх
Мх «= М^АХ + Qo — + !п£хЫ& 4- ФоОхе/*+2Л<Мг +
* г|
f 02
+ y ~ *• *>\
Qx«Q>X.r+ ftoBJCBJ& + *PJtEJ& +MqDjCM-}- k^MtDf{ + £P/A, -
-•*>2JiT/D,r+ iaZM/FMf|.
В этих выражениях у* ф*. M* Qo— амплитуды прогиба, угла поворота, мо-
мента в поперечной силы в начальном сечет (при *=0); р<. ф< — амплитуды
прогибов м углов поворота сечений, в которых имеются сосредоточенные массы;
Аж. Вж. С.. D« — функции влияния, вычисляемые по выражениям (табл. 10.1):
Ах = “— (ch *л 4-cos Ал); Сх = —- (ch kx - cos JU); (10.2)
Bx --= -у (ah kx + sin JU); Dx -j-(ah JU — aln JU).
где A = j'^/C ££./); 6 — частота внешних пульсирующих нагрузок; ф— вес
единицы длины белей с учетом равномерно распределенной нагрузки (если тако-
вая имеется); Р< в м< — пульсирующие сосредоточенные силы и моменты
АГ/. ВЖ/. в т. в. — функции влиянии, аргументами которых являются соответ-
ственно г*. st, /<; М< и Jf — сосредоточенные массы и мх моменты инерции.
Знак X в выражениях (10,1) распространяется на все внешние пульсирующие
силы и моменты и на все сосредоточенные массы, расположенные в промежутке
от начального до обследуемого сечения.
Приведенные формулы метода начальных параметров могут быть использо-
ваны и для определения совокупности собственных частот (спектра
системы). Для чего следует считать отсутствующими возмущающие силы (М«.
Pt). вместо 0 подставить ш (разыскиваемую частоту собственных колебаний) в
использовать формулы (10.1) для сечений с известными амплитудами; в итоге
получится система трансцендентных однородных уравнений. Приравнивая опре-
делитель этой системы нулю, получим уравнение для определения бесконечного
множества собственных частот.
Выражения (ЮЛ) могут быть использованы не только при расчете балок, но
и рамных систем, путем поочередного н надлежащего применения их к
каждому стержню рамы.
Однако при большом числе элементов, составляющих раму, целесообразнее
перейти к методу, представляющему собой обобщение известного кз строительной
механики метода перемещений применительно к расчету рам на вынужденные ко-
лебания.
Так. для рамы, показанной на рис. 10.2. о, можно определить амплитуды уг-
лов поворота узлов / и 2 (X, и Х#) и амплитуду горизонтального смешения тех
же узлов (Х3) на следующих канонических уравнений:
4- Xjfn 4- Х2Г|3 4- Хлгц — 0;
4-Х1Г1з+Л’у334-Х'з/’2з — 0; (Ю.З)
R^p + ^1Г1Я + ^*Хэа+ *з'зз - - 0»
где /?|г. Ли», Ям* — амплитуды динамических реакций (опорные моменты и ре-
акция) от вибрирующей нагрузки в основной системе (рис. 10.2, б); Гц. гв и т. п —
159
Т а б л ц л 10-2. Таблица амплитуды динамических реакций
и перемещений при вынужденных колебаиинх
Схема сооружаема расчетное
воадеВггана
Расчетам* формулы
I. Вибрирующий поворот
Е/й(АР-ВС)
с»-во ’
Е/ЬЦАС—Щ
Гя“ С2 —ВО 1
ОЕ/й
С»-ВО
-EJk*C
&-BD
EJ&tAB-CD) .
Ct — BD г
Е/йа(/У —AC)
EJiflC -EJ&B
Гяг=3 С*—Во 'Г42~ Cfi—BD
3. Вибрирующий поворот
_ Е/Й(В2 —PQ
Г|1~ АО —ВС
Е/йЗ(СО-АВ)
<я= АР-ВС ’
Е/й»В —Р
AD-ВС9 АР-ВС
4. Вибрирующее смешение
Е/йа^-АД)
AD^BC '
Е/ЩАВ-СР)
AD^BC
EjIfiA Ch
'а~ AD-ВС : AD-ВС
160
Продолжение табл. ЮЛ
Схема сооружеаиа расчете
•оздаАстчие
Расчетные формулы
Б. Вибрирующее смещение
опоры
£/ЛЗ(ДП-ВС)
Гц =---zz—zz---“ — ГЛ»
** В»— D2
кфР — АВ)
*"= да-£В :
-кВ
в*-ол
6. Вибрирующее поступатель-
ное перемещение всей бал-
'II-
£/*3(СдРл-ЛаВа)
А*-С* 5
л’-cj
7. Вибрирующая сила
Яц> =
Р
2k
_____Са____
ЛоДа — С^Оа
2(ЛвД|—‘Ctfiai
8. Вибрирующая пара
Г» . Af Ра
2 ВЛа-ЛеРа *

м
2
ДдСд — Л«Оа
6-786
16!
Продолжение табл. 10-2
Схема сооружаем pacwnroe
ммВстама
Растепли формулы
9. Вибрирующая равномерно
распределенная нагрузка
*ЧЛА-СЛ>)
Я’₽=’ *(ЛА-СА)
10. Вибрирующая сила
а р АгСь — DjDb
,Р = Е/*« AiBi-CtDt :
_ Р_____BtOe — CiCb
У9~ EJ» AiBt-Cfit :
Pep — PipAt 4- -РВь
/?2j> = PA* — yoBiEJk* — RipDfk
11. Вибрирующая пара
*iP~M
AiB6—CbDt .
C<D| — Bt А/
_ Af С&ь .
*°~ VEfCAtBt-CtDt) ‘
/?aP = PipAt + MАь 4-
Rip = — — RipDik — MD^k
12. Вибрирующая сила
Л P A/Bd-CiDi)
__ P AiDb — CiB^
"°- EJ»
R'iP “ PAe — ycBik^EJ — R ipDjk
162
________Продолжение табл. 10.2
Расчялше формулы
Сжсм! сооружения расчете*
асщиВстямя
13. Вибрирующая пара
CiC^*— лм> .
.9 —9 •
лс,-лл_.
в
/?№ -Io4№/-*ifDjA-AUM
Примечания: 1. Пролет бала во всех случаях обозначен через I.
2. Для схем 1—6 в обозначениях функций влияния Alt Bl Cl Dt для крат-
кости письма опущен индекс /.
3. Частота вибраций сил или перемещений всюду обозначена через 6 я потому
*»ДУ .
4. Для простоты на схемах прн обозначениях вибрирующих реакций опущен
множитель sin О/ я. следовательно, на схемах изображены их амплитуды.
амплитуды элементарных динамических реакций от воздействий, показанных
на рис. 10.2. л—д. В табл. 10.2, составленной по выражениям (10.1), даны указан-
ные амплитуды реакций.
После определения амплитуд поворота и смещений концов элементов рамы
можно по формулам (10.1) сравнительно просто определить амплитуды дефор-
маций и усилий в любом сечена стержня.
Рис. 10.2
6*
163
Указанные метод перемещений в динамике сооружений может быть также
использован в для определения собственных частот (неизвестными будут собст-
венные частоты <д).
Как при нескольких степенях свободы (см. с. 130), так я в случае непрерыв-
ного распределения масс определенной частоте собственных колебаний соответ-
ствует своя форма колебаний: очевидно, число таких различных форм в общем
случае возбуждения свободных колебаний должно равняться бесконечности.
Если от какой-либо статической нагрузки форма смешений (прогибов) балки
соответствует какой-либо форме собственных колебаний, то после внезапного уда-
ления указанной нагрузки балка придет в колебательное движете, причем форма
колебаний будет прежней формой статического смешения, а сами колебания бу-
дут простыми гармоническими колебаниями (как в системе с одной степенью сво-
боды) с частотой, которой соответствует указанная форма смешения.
10.1. Свободные колебания балок
• 10.1. Определить частоты свободных колебаний двухопорной
балки с равномерно распределенной массой (рнс. 10.3).
Решение. Выбираем начало координат на левом конце, где
0о=Л1о=О. и используем (10.1) для сечения на правой опоре, где
yi=Mt=Q. Имеем
yi=^i/*+QoO</(£JA»)=0;
Определитель частот
D I BJk DJIEJIMq
\DtEJk BJk I ’
откуда уравнение частот В/2—D<2=0.
После подстановки вместо Dt выражений (10.2) имеем
(sh AH-sinA/)2—-(shA/—sin A/)2=0. откуда sh М-sin А/=0, но так
Рнс. 10Д
как s 11 А/0 (прнАт^О), то окончательно sin А/=0, причем А/=
«пл (где п—любое целое число), следовательно:
первая частота (л= 1) о>|=^-j/;
вторая частота (л«2) <0,=-^^- ^±*11/;
/3 г [2 f q
третья частота \/ н т. д.
164
• 10.2. Определить собственные частоты равномерно загружен-
ной консоли (рнс. 10.4).
Решение. Начало координат выбираем на левом конце, тог-
да для правого конца условия запишутся:
1/И/+*ДО==0;
KAi+y<Pi*=0>
откуда А?—Раскрывая полученное выражение, имеем
(после сокращений и преобразований) chA/*cos kl=—1. Это урав-
нение удовлетворяется при Л|= 1,876//; Л2= 4.694//; Л8= 7,853// и
прнл>3, я^~1 л; соответственные частоты: «о|=-3-у3 — х
X
f q Р f q Р f q
• 10.3. Определить собственные частоты балки с обоими заде-
ланными концами прн равномерном распределении собственного
веса (рис. 10.5, а). Как запишется уравнение частот для балкн, по-
казанной иа рис. 10.5, б?
Ответ. В первом случае уравнение частот: Cp—BtDi «0 или
сЬЛ/соаД/—1. (10.4)
откуда Л| = 4,731//; А2 = 7,853//;...; *я = *•
Рас. 10.5
Во втором случае: AiDt—
иля tg М—tn W=-0, откуда 3,927//;
4л -f-1
А>=7,068//;—J *a----------
• 10.4. Определить собствен-
ные частоты балкн, правый ко-
нец которой заделан, а левый
имеет возможность скользить в
вертикальном направлении, но
без поворота левого сечения
в*—786
Рас. I
165
(рис. 10.5. в). Чему равны собственные частоты балки, показанной
на рис. 10Д а.
Ответ. В первом случае уравнеике частот tgtt-Hhtt—0. откуда
д ~f~* *° ВТ0₽<Ш слУчае c*i*/cosJW-0, от-
rt1 9я> ifeTg
“жт я*
• ЮЛ. Определить собственные частоты равномерно загружен*
ной двухпролетной неразрезной балки (рис. 10.6).
Решение. Неизвестными будут два начальных параметра
(фо. Qo) и один промежуточный (S — амплитуда реакции промежу-
точной опоры). Используем условия равенства нулю прогиба на
средней опоре и прогиба н момента на крайней правой опоре:
У/вУИжЛ<2|=0.
Определитель частот запишется
BJk
D= BJk
DvEJk
DJ(EJk*)
DJ(EJkP)
BJk
0
DiKEJk?)
BJk
=0.
Раскрывая и преобразовывая определитель, приходим к урав-
нению
sinAZ(tg«—th«)=O.
откуда Ai-n/Z; *t=3.927/Z; As=2n/Z; = 7.068// н т. д.;
Примечание. Частоты с нечетным номером оказались частотами однопро-
летвой балка с шарнирными концами (задача 10.1), а частоты с четным номе-
ром — частотами балка с одним шарнирно, а другим заделанным концом (зада-
ча 10.3. рис. 2.72.6). Указанное свойство можно было предвидеть и ранее из тех
соображений, что любые колебании заданной симметричной двухпролетной балки
можно представить складывающимися из симметричных колебаний (т. е. когда
сечение балка на средней опоре не поворачивается) и обратносимметричных (ког-
да кривая изгиба одного пролета обратносимметрична кривой изгиба второго про-
лета а. следовательно, опорный момент на промежуточной опоре равен нулю).
• 10.6. Определить частоты симметричных колебаний портальной
рамы (рис. 10.17, а). Моменты инерции стоек и ригеля Ji и Л. вес
равномерно распределенной нагрузки на стойке—?ь на риге-
ле—?».
Решение. Прн симметричных колебаниях узлы 1 и 2 (если
пренебречь продольными колебаниями) будут оставаться на месте,
а среднее сечение ригеля (точка 3) не будет вращаться. Принимаем
166
начало координат для стойки 0-1 в точке 0, а для ригеля — в точ-
ке 1.
Записываем три известных условия: прогиб верха стойки (узел
/), поворот среднего сечения ригеля (точка 3) к поперечная сила
Рнс. 10.7
в этом же сечении равны нулю. Пользуясь выражением (10.1), име-
ем:
(10.5)
(W.6)
(Ю.7)
’h=9lAa+MlBtKEJ^+QiCj(EJ^=0;
<?S=Q1A.+f.CeE/a*?+ М,ОЛ=0.
где, очевидно. ____ ___________
1 gEJi * 2 QiJt
Сд=-£-(с11 kth — cos АЛ); £\=-y(sh АЛ— ski АЛ);
А, (ch ^a-f-cos М): #e=-y(sh АЛ-J-sin АЛ);
Ф i. МI. Qi — амплитуды угла, момента и поперечной силы ригеля в
узле /. Ввиду того что пренебрегаем продольными колебаниями
стойки. Qi = А.
Что касается Mi и ф:. то для верха стойки имеем:
^M^EJ^+HCJiEJ^); (10.8)
(10.9)
Подставляя (10.8) и (10.9) в (10.5)— (10.7), получаем систему
трех однородных уравнений с неизвестными начальными парамет-
рами. Составляя определитель этой системы, приравнивая его нулю
и раскрывая, получаем уравнение частот
IZAjA/jCh Лзв(1 — cos M-ch cos kfl+^hJt (sin Aft-ch A* —
—cos АЛ-sh A*)(sin Aa-ch Aa — cos A^-sh kfi)=0,
решение которого позволяет найти частоты симметричных колеба-
ний.
167
В частном случае прн Z=A, J\=J* Q\=XQ^. наименьший корень
уравнения А|А=3,555, откуда
(41=!2^v'IZS
*2 ' «I
(как н следовало ожидать, эта частота лежит между основными
частотами двухопорной балкн с шарнирными концами н с заде-
ланными).
• 10.7. Определить частоты обратноснм матричного изгиба рамы
во время колебаний (рис. 10.7, б), используя три условия (10.5) —
(10.7) в соответствии с тремя неизвестными начальными парамет-
рами).
Решение. У ригеля прогиб и момент в сечении на оси симмет-
рии равны нулю, а в месте прикрепления стойки к ригелю сила,
передаваемая от стойки к ригелю (поперечная сила в верхнем се-
чении стойки), должна уравновешиваться половиной силы инерции
ригеля (рнс. 10.7. в), т. е.
в--т(т>—V-'’-'
Первые два условия записываются
Л=?,ва/Л,+Л11С./(еУ^)+(?1О(1/(ЕУ^)=0; (10.10)
(10.11)
Условие для Qx-л в развернутом виде записывается
Используем выражения для М| и <₽>, представленные прн рас-
смотрении предыдущей задачи (выражения (10.8) н (10.9)]. Под-
ставляя их в (10.10) н (10.11). получаем систему трех однородных
уравнений. Раскрывая определитель, придем к уравнению частот в
виде
Р л2* 7^ S*n <cos ~
— cos AjA-sh AlA)(sin A/z-ch A/z — cos A/t-sh Aja)l=2-^.^- x
J *1 •’X
X sin Aja-shA/ilsin AjA-ch AjA-|-sh A1A-cosAlA)—
—(sin Ayz-ch A^z — cos A^-sh A^H 1 -f-cos AjA-ch AjA).
• 10.8. Двухпролетный вал в середине каждого пролета несет со-
средоточенные грузы весом Q (рнс. 10.8). Данные: /=100 см; /=
=63,62 см4; £=0,2 • 10е МПа; $=0,222 кН/м; С=1 кН. Определить
собственные частоты.
Решение. Так как любые колебания симметричной системы
могут быть разложены на симметричные н обратносимметричные,
168
то определение собственных частот в данном примере выполним сле-
дующим образом. Вначале рассмотрим симметричные колебания
(сечение на промежуточной опоре не поворачивается), а затем об-
ратноснмметрнчные (опорный момент в сеченни 2 равен нулю.)
Рас. ЮЛ
Спектр системы (совокупность собственных частот) получим, объ-
единяя окончательные результаты указанных двух частных реше-
ний.
При симметричных колебаниях условие отсутствия прогиба н
поворота в точке 2 запишется
(10. 13)
ft=Mi+QA/(£JA2)+<o’QIZ1Cef(£JA2g)=0. (10.14)
Прн обратноснмметричных колебаниях условия отсутствия про-
гиба и момента на промежуточной опоре записываются
^=?oef/A+QoDl/(£J^)+u^y1D^(EJA®g)==O; (10.15)
^2=?о^Л+РЛ^+<»^1ад^)=0. (10.16)
где вместо yi в формулы (10.13) — (10.16) следует подставить
Уа-^BJk+Q^DKEJ^.
Составляя определители систем уравнений (10.13). (10.14)
и (10.15). (10.16) и далее раскрывая нх. придем к двум уравнениям
частот, которые записываются в следующем виде:
sh AZ-cos А/—ch AZ-sin AZ-}-(QA/g)[(ch Aa-sin ka —sh Ад-cos Aa)2—
— 2 ch Ад-sin Ад (ch Ад-cos Ад — l)]=0; (10.17)
sh AZ-sin AZ-(-(QA/g)[AshAa-sin Aa(sh Aacos Aa—ch Ад-sin Aa)|=0.
(10.18)
Уравнение (10.17) удовлетворяется прн AZ=2,14; 6,83; 8.5 и т. д.
Уравнение (10.18) имеет корни А/=1,72; 6,28; 7,965 и т. д.
Переходя от характеристики частоты к критической частоте
вращения двигателя и располагая последнюю в порядке ее воз-
растания, имеем (об/мин): nt=2166, гц=3277. п3=28233, л4=
=33 382, лб=45400. Пв=61 700 н т. д.
169
10Л. Вынужденные колебание балок
• 10.9. Двухопорная балка подвержена действию пульсирующей
силы с частотой 0 и амплитудой Р (рис. 10.9). Найти выражения
для амплитуд реакции, угла поворота опорного сечения, момента и
прогиба под грузом.
Решение. Выбираем начало координат на левой опоре, тогда
^о=Мо=О. По условию симметричности воздействия нагрузки на
балку имеем фх—а=0, а поперечная сила в сечении левее точки А
равна половине амплитуды силы, т. е. Р/2.
Уравнения (10.2) при х=а запишутся
?a=<Me+QoCe/(^J«=O;
Qa=Q<A+^^=/’/2.
откуда
О Р Л> . ___________Р Св
2 ’ То 2£/ЛМ*-С’ ’
где
Ao = ~(ch Ла-f-cos Ла); Co=~(chto—cos Ла); Л*= .
Для момента под грузом имеем
M^Q^Jk+^fi^EJ^P • <ЮЯ9)
Для прогиба под грузом
yt-.=’hBe/lt+QtDJ(EJ^= Р - 00.20)
• 10.10. Двухопорная балка двутаврового профиля № 20 совер*
шает вынужденные колебания под действием приложенной посре-
дине пролета изменяющейся по
гармоническому закону сосредо-
точенной силы с амплитудой Р=
=5 кН н частотой 1200 кол/мнн.
Пролет балки /=4,35 м. Требует-
ся вычислить амплитуды изги-
бающего момента н прогиба в се-
редине балки.
Решение. Из сортамента
имеем: вес балки ф=263 Н/м;
7=2,14* 10~” м4. Круговая частота вынужденных колебаний 0=
-лЛ/30-125,6 с-».
Характеристика частоты
Рис. 10.9
Л=
ЙбЗ'Т28,(Я
9,81*21.5* 10Ю.2,14-10-е
0,551 м->.
170
Используем формулы (10.19) н (10.20) из предыдущей задачи.
Для значения яа=0,551-2,175—1,2 из табл. 10.1 имеем Ла—
= 1,08651, £«=1,22075, Св=0,72415, De=0,28871. Амплитуда про-
гиба под грузом у=0,00282 м. Амплитуда момента под грузом М=
=7,75 кН-м.
Интересно сравнить полученные результаты с результатами ста-
тического действия той же силы. Статический прогиб в середине
пролета РР/(48£/)=—0,00186 м. Статический момент Р1Ц=
=5,44 кН-м.
Таким образом, коэффициент динамичности по прогибу (для се-
редины балки) pi=0,00282/0,00186= 1,52, по моменту (для того же
сечения) ру=7750/5440= 1,42.
• 10.11. Железобетонная балка с заделанными концами, сечение
которой 20x 40 см н пролет /=4 м, помимо собственного веса несет
распределенную нагрузку 0,5 МН/м; £=2-104 МПа. В середине
пролета балка подвергается действию периодической сосредоточен-
ной силы с амплитудой Р—2,5 кН и числом колебаний в минуту,
равным 1000. Определить амплитуду опорного момента и сравнить
с результатами прн статическом действии силы.
Указание. Можно воспользоваться данными табл. 1022 амплитуд динами-
ческих реакций (строка 7). Опорный момент (в таблице Pta)
М (P/2)Ca/[k(AaBa - СМ].
В машем случае
= 0,775 м-i; М= - 1.57 кН-м.
При статическом действии Л(—1,25 кН-м и, следовательно, коэф-
фициент динамичности 1,256.
Малое отличие динамических усилий от статических объясняется тем, что ча-
стота свободных колебаний балки (2330 кол/мны) достаточно удалена от часто-
ты возмущающей силы.
Если вести расчет приближенно, как системы с одной степенью свободы, то
Н-1/(1-(е/«)«]-1ДЗ.
Примечание. Так как частота возмущающей силы достаточно удалена
от первой частоты свободных колебаний и меньше ее, то эпюра амплитуд момен-
тов, будучи криволинейной, все же близка к статической, в потому в выполненном
расчете достаточно было проверить опорный момент, моменты в остальных сече-
ниях (как и в статической эпюре), несомненно, по величине меньше опорных.
• 10.12. Построить эпюру амплитуд моментов для трехпролетной
неразрезной балкн с равными пролетами, подверженной синхрон-
ному воздействию симметрично расположенных возмущающих сил
с одинаковой частотой (рнс. 10.10, а). Данные: /=4 м; q=
= 17,5 кН/м; 7=8888 см4; £=21-104 МПа. Рассмотреть случай,
когда ш=52,3 с~'.
Указание. Начало координат принять на левой опоре. Неизвестными
будут: амплитуда реакции, амплитуда угла поворота на левой опоре (Q« и <r>) и
амплитуда реакции на опоре /. Условии для их определения следующие: прн х«/
yi=»0; ж—3//2 ф—Q—0.
Ответ. На рнс. 10.10.6 представлена искомая эпюре.
• 10.13. Как изменятся исходное дифференциальное уравнение по-
перечных колебаний балки с линейной массой т, если температур-
171
ное поле, в котором находится балка, будет, во-первых, относи-
тельно высоким (т. е. изменяются упругие свойства материала бал-
кн) к, во-вторых, сама температура будет изменяться во времени
Рис. 10.10
по закону T=7'i-|-Tasin0f, где и Га— величины постоянные, не
зависящие от времени?
Указание. Если полагать, что пластических деформаций не возникает (по*
скольку температурное поле невелико), то модуль упругости материала во вре-
мени тоже каменистей, как и температура, т. е- £—£(/)—£r—A£sin в/, где £( —
модуль упругости материала, соответствующий температуре прогревания Т}-, ЬЕ—
енвженж модуля упругости за счет дополнительного повышения температуры
иа Tf.
Ot"T- = О.
Примечание. Переменную во времени жесткость поперечного сечения
балки можно представить и в таком виде
£(Jj + A/Bin ОО.
где £—модуль упругости, отвечающий нормальной температуре, а значения
в А/ вычисляются в соответствии с температурами Л и Tj, т. е.
/,=J^df: d/=-f^^dF.
В том случае, когда значения Т| и Та изменяются по высоте поперечного се-
чения балкн, т. е. н AT|-A7|(z), то такой вариант записи жесткости
сечения оказывается более удобным.
• 10.14. Показать, что в случае вынужденных чисто продольных
колебаний (если не учитывать потерю устойчивости) упругого ве-
сомого стержня постоянного поперечного сечения F при наличии
приложенных к нему нескольких однофазных и одночастотных осе-
вых сил (частота пульсации 0) возможно, как и в теории вынуж-
денных нагибных колебаний, построить общее решение в форме
метода начальных параметров.
172
Так, прн обозначениях, показанных на рис. 10.11, для амплитуды
дх продольного смещения поперечного сечения, отстоящего от на-
чального (например, от нижнего) на расстоянии х, и для амплитуды
продольного усилия Ых в том же сечении можно записать:
1^я
дж=д,соз е А+w “ sin е V sin в irft;
а его а Его Jggi л
х — с.
N1cos6------.
а
^=^cos в—- До — Sin 9 —+
а о л
где До н No — амплитуды смещения и усилия
в сечении, принятом за начальное. Прочие обо-
значения: а— /fg/y, где у — удельный вес
стержня.
• 10.15. .Построить эпюры амплитуд смеше-
ний и продольных усилий для стержня (рис.
10.12, а) длиной 1=2 м в случае приложения
к нижнему концу вибрационной нагрузки Р=
= Posin6C где Р=10 кН, 6=2750 с”1. Попут-
но вычислить те частоты пульсации, при кото-
рых амплитуды смещений и усилий обращают-
ся в бесконечность (иначе, вычислить спектр
частот собственных продольных колебаний
стержня).
Ответ. На рис. 10.12. б. в показаны эпюры ампли-
туд смешений и усилив для рассматриваемого случая
пульсации. На ряс. 10.12, е, д для сравнения даны со-
ответствующие эпюры при статическом приложении про-
дольной силы. Коэффициент динамичности по усилию
оказывается равным 1,859. а по перемещению—1,57.
Резонанс наступает при 0|«=ш1=4318 с~', 01=<О1=
— 12954 с-1 ит. д.
Рис. 10.11
Рис. 10.12
173
• 10.16. Выводы нз задачи ЮЛ 5 обобщить на случай, когда на
стержне имеются прикрепленные к нему тяжелые массы Mi, Mj,...
(рис. 10.13).
Ответ.
В написанных выражениях начальный параметр АГ0 подразумевается в чвсле
слагаемых под знаком
• 10.17. Показать, что выражениям из задачи 10.16 можно при-
дать н такой вид рекуррентных зависимостей:
где
Ая=cos 6 —-----V. ДМ, sin 6 —---------L ;
а ЕР а
в^-^— \\n, sin 6 —fl - -f£- V вм sin е —ft
ЕГЙ л ЕР а
И Т. П.
• 10.18. Исходя из внешней аналогии исходного дифференциаль-
ного уравнения свободных продольных колебаний стержня постоян-
ного сечения и дифференциально-
го уравнения свободных крутиль-
ных колебаний составить форму-
лы методов начальных парамет-
Ряс. 10.13
174
ров для случая установившихся вынужденных крутильных колеба-
ний (рис. 10.14).
Ответ. По аналогия с ответом к задаче 10.16 можем записать
V^Tocosfl^-У 7^—63 У JfT/3?nO " d|);
А| О/жрв \ТТ At Л1 /
Ж •=
где at = М< — внешний
крутящий момент.
• 10.19. Построить ампли-
тудные эпюры крутящих мо-
ментов н углов закручива-
ния для стержня круглого
поперечного сечения, закреп-
ленного правым концом в
стену (рис. 10.15) и подвер-
женного в середине пролета
действию гармонического
крутящего момента Afj =
=Я| sin 0/. Данные: ампли-
туда момента X?i=2- 10s Нх
Хм; частота пульсации 6=
=2000 с-1; диаметр стержня
J=10cm; пролет /=2Ь=
=2 м. Исследовать также
колебания, если 6=267 с*1,
6=6000 с-1.6=8028 с-1,0=
= 12000 с-1.
Указание. Принимая за на-
чальное сечение левый конец
стержня, для которого Жо—0, но-
рме. юле
думаем возможность определять амплитуду угла закручивания левого компа.
Учитывая, что угол закручивания правого конца равен нулю, найдите амплитуду
угла закручивания левого конца:
fll
*>= "‘о/ч» со*(2»/а)‘
При а(»341 -101 м/с, /ж>—100 см1 имеем фо •“0,6784 рад.
Для подсчета амплитуд крутящих моментов и углов закручивания следует
использовать формулы нэ задачи 10.18.
Ответ. На рис. 10.15 показаны амплитудные эпюры крутящих моментов и уг-
лов закручивания. Для сравнения ниже приведены статические эпюры. Коэффици-
ент динамичности для момента оказывается равным 2,08, а для наибольшего угла
закручивания — 233.
175
10.3. Колебания рам и арок
• 10.20. Двухпролетная рама с несмещаюшнмися узлами подвер-
гается в середине второго пролета действию гармонической силы
(рис. 10.16, а): 11=3 м; £2=4 и; £3=2 м; а=2 м. Построить эпюру
амплитуд моментов для случая, когда А=2,5 м”1 и А=0,5 м .
Рис. 10.16
Жесткость и линейная плотность элементов постоянные. Амплитуда
силы Р.= 10 кН.
Решение. Целесообразно применить метод перемещений. За
неизвестную примем амплитуду угла поворота среднего узла,
т. е. Л|.
Каноническое уравнение (10.3) имеет вид
п-0,
176
по табл. 10.2 амплитуд динамических реакций (схемы 1 и 7) май-
Ru> 2 AtAA-CA) :
и-^ с»_в<<о<(
где сумма распространяется на все три элемента, входящие в узел.
Найдя амплитуду угла поворота единственного поворачивающе-
гося узла, можно перейти к рассмотрению каждого элемента рамы
в отдельности с помощью данных табл. 10J.
В первом случае задано А=2,5 м~’, а потому Ад=5; А1|=7,5;
AZ, = 10; А1а=5 и соответствующие указанным аргументам значения
функций влияния заимствуем нз табл. 10.1.
Таким образом, Ru>=—2,95 кН-м; Гц=90.97£/ кН-м.
Амплитуда угла поворота среднего узла
X, = =Q№23!EJ.
Амплитуда момента на левом конце левого пролета найдется
с помощью табл. 10.2 (схема 1):
AfM= *---'.02 кН-м.
На левом конце второго пролета, используя результаты для
схем 1 н 7 (табл. 10.2), имеем
Af12=
,+ 2
А (— CeDa)
2,66 кН-м.
Аналогично выполняется подсчет амплитуд моментов н для всех
прочих точек. На рис. 10.16, б, е указаны искомые эпюры моментов
для обоих случаев вибрации нагрузки.
• 10.21. Рассчитать пятипролетную неразрезную балку, симмет-
рично загруженную гармонической силой (рнс. 10.17, а); 1=4 м.
Исследовать случай, когда А= 1 м_|.
Указание. Применить метод перемещений. За неизвестные амплитуды
принять углы поворота опорных сечений / и 2. Канонические уравнения имеют ьнд
+ °;
4- ЛГИЛ + + ^Зг33 ~ 0»
где. очевидно. —ха.
Ответ. На рис. 10.17, б представлена искомая эпюра моментов.
• 10.22. Рассчитать неразрезную балку предыдущей задачи по
способу динамических моментных фокусов. Рассмотреть также слу-
чай, когда характеристика вибрации силы А=2 м"1.
177
Решение. Для случая равных пролетов рекуррентная зависи-
мость для амплитуды опорного момента Мп+i от амплитуды опор-
ного момента Мп записывается просто в виде /
ЛГя+1//Ия=ая+1=2з//- 1/оя,
(если крайний пролет имеет на левом конце заделку, то длй пер-
вого пролета MjAfo™ «и—$//). где сь—фокусное отношение для
пролета /я;
s=-C,fi,+AJD,;
Ai, Bi, Ci, Di—значения гиперболо-тригонометрических функций
(10.3) при значении аргумента Ы.
Рк. 10.17
Для случая /=4 м, Е/=10 кН -м2 и Л=1 м~1; s= 1.4146; /=
= 14,024; з//=0,1008.
Таким образом, <ц—а//=0,1008; aa=2s//—1/<м«9,719; <хз—2s/Z—
—1/аа=0,305. По условию симметрии. аз'=аз=0,305.
Для амплитуд опорных моментов по концам единственно загру-
женного пролета имеем выражение
М = А*~|,р а" ~. ал i.p +
" 1 вал-1(аяа^ — •) * Л &ж,»-|(ала'— 1)
178
4® Ъ.яР-Р ; Д.; Ca-
функции влияния прн аргументе ka—MI2.
Таким образом, а=20,6576; бя,я-|=—0.6780; Aip=&8p=
=0,666884; М5=М3= 14 кН-м; М,=М<=1.44 кН-м; М0=М5=
= 14,262 кН-м.
Щя случая А=2 иг' имеем следующие результаты: з=—845,74;
/=740.74; sft=—1.14; d=—1475.75; Qj=—1,142; с,=—1,407; c>=
=—1,57; 6n,n-i=0.251; Aaf»=Aw.=—0.0979; M2=M3=4,21 кН-м;
Mj=—2,99 kH-m.
Эпюра амплитуд моментов для последнего случая представлена
на рнс. 10.17. а.
• 10.23. П-образная рама подвергается действию вращающейся
нагрузки Р=40 кН. совершающей 2000 об/мин. Размеры элементов
рам. моментов инерции поперечных сечений, интенсивности посто-
янной нагрузки указаны на рис. 10.18. В середине пролета ригеля
на раму от веса перекрытия передается сосредоточенная сила
170 кН. Вычислить амплитуды изгибающих моментов в концевых се-
чениях элемента и посредине пролета ригеля.
Решение. Вращающуюся нагрузку раскладываем на верти-
кальную и горизонтальную составляющие, вызывающие соответст-
венно симметричные и обратносимметричные колебания. Эти коле-
бания имеем право рассматривать в отдельности, так как амплиту-
де каждого из этих колебаний достигает максимальной величины,
в то время как амплитуда другой обращается в нуль.
В первом случае (вертикальные колебания) достаточно одного
уравнения метода перемещений (для узла /) с использованием дан-
ных табл. 10.2 для вибрирующих реакций. Вычисления дают Мо—
=283 кН-м, М|=—548 кН-м; Мв=465 кН-м. При статическом
действии той же нагрузки имели бы Мо=9 кН-м; М|=—18 кН-м;
Мв=32 КН-м. Бдльшие значения динамических изгибающих мо-
ментов объясняются близостью частоты колебаний к первой собст-
венной частоте симметричных колебаний (2600 кол/мнн).
179
Во втором случае (горизонтальные колебания) необходимо со-
ставить для узла 1 два уравнения. Вычисления дают: Мов27 кЬЬм;
Л<1=1,7 кН-м. При статическом действии горизонтальной силы
40 кН имели бы Мо=—35 кН-м; М|=70 кН-м. Динамические иа*
пряжения здесь меньше статических; это объясняется тем. что
частота вынужденных колебаний превосходит частоту свободных
обратносимметрнчных колебаний.
• 10.24. Определить частоты симметричных свободных колебаний
П-образной рамы (рис. 10.19, а).
Решение. Применительно к узлу / каноническое уравнение
метода перемещений имеет вид (приотсутствии внешней нагрузки):
^1Г11_Ь^ЭГ!2==0*
Полагая далее по условию задания —X(, имеем уравнение
частот в виде Гц—Гц=0.
По табл. I0J2 (схема 1) имеем
SEJk^BC-AD) EjkD
Ci-BD Ф-BD
где сумма распространяется на ригель и стойку, сходящиеся в уз-
ле /. а второе слагаемое относится только к ригелю.
Для случая одинаковых по длине, жесткости и массе элементов
уравнение частот представится в виде
2(BC-AD)-D=0-
В развернутом виде уравнение частот симметричных колебаний
имеется в задаче 10.6.
• 10.26. Определить частоты обратносимметрнчных свободных
колебаний П*образной рамы (рис. 10.19, б).
Указание. Применяем метод перемещений. Канонические уравнения, пред-
ставляющие собой систему трех однородных уравнений, служащих для вычис-
ления собственных частот, представим в таком виде:
^1<11 + + Хъги — 0;
Х\Гц + X^t2 + ^8^23 =
^1<Я1 + ^3Г33 — 0.
Согласно табл. I0J вабрмруюшлх реакций имеем:
EJktBC—AD)
-(лая ригеля к стойки);
С* — DU
П1 = гя= - -(»« «“геи);
„£/,*>(ЛА-СЛ) Ч11 . .
= 2-----ж———-------4- -12- «2 (индекс / — для стойки, индекс 2—для
ригеля);
(Л|С,-oft Eh*. Л
73—стоЯ“>-
С, —
180
\Кроме того, в указанных выше канонических уравнении следует положить
Xi-М». поэтому при решении достаточно воспользоваться двумя уравнениями
вместо трех.
О(вег. В развернутом виде определитель канонически уравнений запишется
в Biuq указанном в задаче 10.7.
• 10.26. Для рамы (рис. 10.20) составить уравнения для опреде-
ления собственных частот
обратноснмметрвчных сво-
бодных колебаний. Рассмот-
реть случай <7=^о» h=l\
Ответ. Составжв три канони-
ческих уравнения метода переме-
щений н приравняв их оПределн-
гель нулю, получаем уравнение
частот в виде
* л
Рас. ЮЛ)
1 [ <*i(5a— ₽) 1
JU« — — 2у-------*------- = о.
л L 2а(3а+р>^ J
1.5ур/ 4-Й11 g ah JU-cos kt 4- ain JU-ch JU
qh * V I — cos JU-ch JU
th kt-ain kl _ 8ln JU-ch Д/—ah JU-cos JU .
°* 1—cosJU-chU ' а 1— саз kt-ch kt ’
ah JU — aln kt
₽~ 1 - cos JU-ch JU’
Наименьший корень этого уравнения для обратносимметричных колебаний:
• 10.27. П-образная плоская рама, осн элементов которой лежат
в горизонтальной плоскости, при наличии опорных закреплений,
показанных на рнс. 10.21, о, подвергается действию вертикальной
Ряс. 1021 Рае. ЮЛЯ
пульсирующей силы P=P0sinO/, приложенной в среднем сечении
ригеля 1-2. Наметить план вычисления и построения амплитудных
эпюр изгибающих и крутящих моментов. Влиянием осевых дефор-
маций элементов пренебречь.
181
Указание. Используя фиктивное состояние. показанное _на рис. ЮЛ.б
(вибрация левого узла в вертикальной плоскости с единичной1 амплитудой), до*
статочио ограничиться единственным каноническим уравнением
1?1Р4-ЛГ1<п +^Уи = О, где Xj*= — Х\.
В этом уравнения для подсчета амплитуды Rte имеется готовый результат
из табл. ЮЛ (схема 7). точно так же для подсчета г,( (по закону взаимности оно
же и гп) возможно использовать схему I той же таблицы (в обозначениях, при-
нятых в таблице, искомая амплитуда обозначена Гц).
Для подсчета амплитуды гп в рассматриваемой задаче необходимо суммиро-
вать амплитуду опорных моментов иа левом конце среднего пролета (схема I
из табл. 10.2) с амплитудой крутящего момента в узле 2 элемента 1-2. Послед-
няя яа основании формул, приведенных в задаче 10.18. определится выражением
O/^ctge—, где в] =
«I
• 10.28. Определить частоту основного тона свободных колебаний
двухшарннрной круговой арки (рнс. 10.22). которая помимо собст-
венной массы несет постоянную радиальную нагрузку (гидростати-
ческое давление). Данные: радиус оси арки а=170 м, половина
центрального угла ц=36° в линейная плотность арки гл=63.8х
Х10* кг/м; интенсивность внешней нагрузки 9=63,8 кН-м-’. В=
=£/=2,604-10s МН м».
Указание. Интегрирование дифференциальных уравнений изгиба арки,
если предположить постоянство первоначального радиуса а в пренебречь инерци-
онным членом, соответствующим повороту сечения, приводят к выражению для
определения низшей частоты:
_. 1/ №»-!)(»»-1-«>)
* г Х(Р+3)
где А—лш*/В*. c*—qaPIB\ В«вл/а (с® не может быть больше (И— 1).
Ответ. <0=1.634 с-*; 7=4,09 с.
• 10.29. Как изменится для арки, рассмотренной в предыдущей
задаче, частота свободных колебаний, если полагать, что отсутству-
ет радиальная постоянная нагрузка (т. е. 9=0)?
Ответ. .»«= (Р- D//4P + 3)- 1.584с-’.
• 10.30. Определить низшую частоту колебаний пологой парабо-
лической арки в ее плоскости прн следующих данных: /= 105 м,
/=8,4 м, площадь поперечного сечения F=I,99 м’, момент инерции
поперечного сечения относительно нейтральной горизонтальной осн
/=1,24 м\ сплошная равномерная вертикальная нагрузка, вклю-
чая и собственный вес арки, 9=646 кН/м, £=2,1-10s МПа.
Указание. Следует записать уравнения колебаний пологой арки, решение
принять в виде у*=Уе sin ях/(1 sin (of) и решить задачу методом Ритца, что дает
яЧ1-0.5653(///,Я) EJg
1 + 4.12П(//М1+1.6910(//W »/} •
где
Как показали исследования А. Б. Моргаеаского. выражение (10.21) дает весь-
ма хорошие приближения для арок с отношением ///, нс превышающим ОД.
Ответ. 0=6,18 с-'.
182
• 10.81. Определить частоты нзгибных колебаний тонкого, неза-
крепленного (совершенно свободного) кольца при изгибе в его же
плоскости. Данные: радиус—г, жесткость сечения — ЕД линейная
плотность кольца—т.
Ответ.
*(*+ 1)(*+2) у/ Л
Г М*(* + 2) + Ч
(*-1. 2,...);
таким образом,
1 ~ z* Г 5m ’ Г Ют
• 10.32. Для двухшарнирного кругового стержня с опорными
шарнирами, оси которых горизонтальны и лежат в плоскости
стержня, определить частоты собственных колебаний системы из ее
плоскости.
Ответ. При обратноснммстрнчных колебаниях
*»(«?-*»*)./ а/
“>= У ш(*№+«£/) ‘
При симметричных колебаниях
_ (2>-1)л[^-(2*-1Нла] Z ~Ё7~
*°* ~ «фр У m[(2a-lj»n» + 4«jr] ’
где *=1, 2. 3,...;
• 10.33. Для кругового стержня на катках, имеющих возможность
перемещаться в направлении, перпендикулярном плоскости стерж-
ня, определить спектр частот собственных колебаний из плоскости
стержня.
_ / &------------
гдеЛ—1, 2» ~ .
• 10.34. Тонкая прямоугольная мембрана, подпертая упругим ос-
нованием, подвергается динамической нагрузке д=?(х, у. t). Со-
ставить дифференциальное уравнение движения мембраны и рас-
смотреть частный случай — нагрузка задается мгновенной (импульс
S). мембрана прямоугольная (ахб), натяжение задано (з), коэф-
фициент жесткости основания k.
Ответ. Дифференциальное уравнение движения
/да« да» \
~’(х- у' <)+**+я,“5Г-
Частоты свободных колебаний
л
r m У Ь2
k
*
183
Рнс. I0J3
Для случая импульсивной нагрузки прогиб мембраны

та—
1Я>
—
1Ц- —
, плк , тли
X sin----sin——ь.
а b
• 10.35. К верхнему сеченню упругой колонны
(рис. 10.23) приложена продольная, неизменная по
направлению и значению сила Р, и. кроме того, на
жестком стержне прикреплена масса М, подвешенная
на упругой связи жесткостью с. Линейная плотность
колонны т. Составить уравнение свободных колеба-
ний, полагая, что в начальный момент среднему сеченню колонны
сообщается некоторая известная начальная скорость.
Огест.
*!L
djfl
= 0.
ГЛАВА 11
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ПЕРИОДОВ СОБСТВЕННЫХ
КОЛЕБАНИЯ СООРУЖЕНИЯ
Краткие сведения из теории
В литературе встречается много различных приближенных методов нахожде-
ния периодов собственных частот, на которых рассмотрим наиболее распростра-
ненные.
Первым следует назвать метод приведения масс. Идея этого мето-
да состоит в замене распределенной массы одной или несколькими сосредоточен-
ными массами, в результате чего система с бесконечным числом степеней свобо-
ды обращается в систему с одной или несколькими степенями свободы.
Чем больше число частей, на которые разбиваем сооружение с непрерывным
распределением масс, тем ближе к точным будут результаты расчета по такой
схеме с «точечными» массами.
Так, разбивая балку однопролетную на три равные части (см. задачу 9.8),
получаем удовлетворительные результаты для первых двух частот, слишком гру-
бый результат для третьей частоты н. само собой разумеется, остаются невыяснен-
ными последующие частоты.
Вообще, для получения приближенных значений для п частот потребуется
разбить сооружение на л-f-l частей. Однако для получения удовлетворительного
значения п-й частоты отдельные авторы рекомендуют рассматривать систему
с 2л+1 массами.
В большинстве случаев для строительной практики достаточно знать только
первую частоту. В этом случае необходимо массу сооружения сосредоточить в
двух точках.
Сосредоточение массы в одной точке может дать удовлетворительные резуль-
таты только в том случае, если предварительно будет определена так называе-
184
мая чпрнведенлая масса», т. е. та сосредоточенная масса, которая сообщает сис-
теме ту же частоту колебаний, какую давала распределенные массы.
Отношение приведенной массы к полной массе сооружения каш*
лается коэффициентом приведения массы. Вычисление указанного коэффициента
приведения а составляет основную задачу метода приведения масс.
Распространенным приемом вычисления коэффициента приведения является
приравнивание кинетической энергии действительной системы с распределенными
массами кинетической энергии невесомой системы с одной сосредоточенной мас-
сой. что приводит к следующему выражению для коэффициента приведения:
^« = 75—Г (+
vxf/л \ ' л К /
где Qi* и Q«v — имеющиеся в действительном сооружении сосредоточенные дав-
ления (компоненты давлений вдоль осей х и у). например узловые давлении в
фермах; qa, ^—компоненты линейных сид от всех частей конструкций, обла-
дающих распределенной массой; yt а х< — вертикальное и горизонтальное сме-
шения узлов (точек приложения сосредоточенных давлений); у я х— вертикаль-
ное я горизонтальное перемещения точек оси конструкции с текущей координатой
в местях распределения масс; М« и ф« — приложенные извне моменты и соответ-
ствующие им утлы поворота; Ъ « — длины соответствующих консолей; Q*— полный
вес действительного сооружения, т. е.
л
Qx e 2X?fx + J Чх <1*;
у« — перемещение вдоль вертикальной осн центра приведения, т. е. той точки,
в которой условно сосредоточивается приведенная масса.
В большинстве практических случаев для балок можно пользоваться сокра-
щенной формулой, а именно:
я
К« = -7г-тГ»жН'«*. 01.1)
УхУл J
Так как форма изгиба у=|(х) прн колебаниях неизвестна, то ею приходится
задаваться из различных соображений, в чем и заключается, главным образом,
приближенность приема. Удовлетворительные результаты получаются, если за-
даться формой изгиба от собственного веса конструкция.
После определения коэффициента приведения частота основного тона соору-
жения подсчитывается по известной формуле (8.4), т. е.
г “пр Ла«П г Лл "•
Центр приведения назначается произвольно, что. конечно, будет отражаться
на значениях коэффициента приведения Кв я возможного перемещения бм. но в
общем незначительно меняет значение частоты со. Обычно центр приведения вы-
бирают в месте наибольшего прогиба от собственного веса.
Указанный прием сведения сложной задачи о колебаниях к простой динами-
ческой модели позволяет широко использовать результаты, полученные в теории
колебаний систем с одной степенью свободы (см. гл. 8).
В качестве приема, облегчающего вычисление коэффициента приведения, но
в большинстве случаев дающего грубое решение, можно указать на способ опре-
деления приведенной массы из условия равенства прогибов в двух сопоставимых
системах: действительном сооружении с непрерывным распределением масс и не-
весомом сооружении с одной сосредоточенной массой.
185
В ряде задач при определении Частоты основного тона колебаний с равным
успехом может применяться формула вида *
уд______________________
* -bSQ/y*? +Jtfjry2(!« + Jqgx*6s ’ (*1 • 3)
где Д—статические перемещения, вызванные произвольно назначаемыми сила-
ми Р по направлению этих сил; у<. х<, ф< — вертикальные, горизонтальные и уг-
ловые перемещения точек приложения компонентов действительных давлений
Qr« и <2<» в моментов Mt от указанной выше фиктивной нагрузки силами Р- и,
х — вертикальные и горизонтальные перемещения точек осн конструкт»» с те-
кущей координатой в местах непрерывного распределения масс.
Нагрузка силами Р должна быть взята такая, которая вызывает упругую
линию, по своему характеру близкую к изучаемой основной форме колебаний
Если за фиктивную нагрузку принять статическое действие реальных масс
(Q». ЛЬ. 9). чо выражение (11.3) перейдет в следующее:
WlxSH + 'SQlpXi + '2Mni+ J Уд/бх 4- J дух da
* HQixlft + + J одЗба + Jqyx*te (11 -4>
где обозначения прежние.
Для балок с непрерывным распределением масс выражения (ПЛ) и (11.4)
принимают простой вид:
ы2 = йГУД/|джУабз (П.5)
или
«-3 - g (11.6)
Для шарнирно-стержневых ферм с узловыми нагрузками выражение (11.3)
принимает вид
ыЗ^£ХРД/(1Р/ху? +2Рщ*?)- (11.7)
Выражения (11.2) и (ПЛ) определяют приближенные значения частоты соб-
ственных колебаний, отличающиеся от истинных значений в сторону увеличения.
В связи с этим заслуживает упоминания формула Донкерлея. дающая, на-
оборот, уменьшенное значение низшей частоты:
•/<-’ = X (!>?). (11.8)
где он —частота. вычисленная в предположения наличия одной только сосредо-
точенной массы М«. Эту формулу можно выразить так: обратное значение квад-
рате искомой частоты равняется сумме обратных значений квадратов частот, под-
считанных от каждой составляющей массы (сосредоточенной или непрерывно
распределенной) в предположении отсутствия всех остальных. В случае прост-
ранственных задач следует учитывать главные направления.
В развернутом виде выражение (ПЛ) записывается
где бн—возможное перемещение (прогиб) точки приложения силы Qi, вызван-
ное единичной силой, приложенной по направлению той же силы; ф<< — возмож-
ное угловое перемещение сечения, в котором приложена пара с моментом Mt» I;
бжж — возможное перемещение (прогиб) точки осн сооружения с текущей коорди-
натой х от единичной силы, приложенной в этой же точке, по направлению этой
силы.
В случае, если результаты подсчетов по формуле (11.9) и по формуле (11.3)
или (11.4) будут близки друг к другу, можно вполне удовлетвориться результа-
тами указанных попыток. В случае необходимости нахождения высших частот
целесообразно обратиться к методу последовательных прнближе-
186
я я ft. базирующемуся на том свойстве истинной формы, что она лрм равномерно
распределенной нагрузке представляет собой линию прогиба от сил, пропорцио-
нальных ординатам прогиба, т. е. эпюра нагрузки подобна впюре прогиба.
Сущность метода состоит в следующем. При определении первой собственной
частоты исходят из некоторой формы смещения Уо-«/о(*) (рис 11.1,в); опреде-
ляют для нагрузки qydg форму смещения у1—/|(х) (рис. 11.1,6); далее для на-

Рк. 11.1
грузин qyjg находят форму смещения Уж">/в(х) (рис 11.1, в) в т. д. до тех пор,
пока формы смещения yn-t^h-i(x) я найденные в двух следующих
непосредственно друг за другом последовательных приближениях (рис. 11.1,а),
не будут практически подобны друг другу, т. е. будут отличаться только посто-
янными множителями.
Найденная таким путем форма смешения будет весьма мало отличаться от
первой формы собственных колебаний.
Приближенное значение квадрата первой частоты собственных колебаний
определится как частное:
(11.'0)
подсчитанное для какой-либо точки сооружения (безразлично для какой, так как
результат должен практически получиться один и тот же). Иногда удается отв-
инчиваться только первой попыткой я частоту вычислить по выражению
Вместо выражения (11.10) можно прн найденной форме изгиба воспользо-
ваться выражением (11.7), которое для случая балок с сосредоточенными масса-
ми принимает вид
Здесь Pt — сосредоточенные силы, вызвавшие кривую изгиба yt и подсчитанные
ранее как — где у"~~1 — перемещение точки в л—1 приближении.
При определении второй частоты указанным методом следует поступать ана-
логично изложенному, но. назначая формы смещения, необходимо удовлетворить
так называемому условию ортогональности, а именно:
f = °.
где yt — ординаты задаваемой формы смещения при вычислении второй частоты;
у — ординаты из формы смещения, найденной в окончательном расчете, при оп-
ределении первой частоты (т. е. из формы колебаний, отвечающей первой час-
тоте).
При вычислении следующих частот назначаемые формы смещения должны
удовлетворять условию ортогональности по отношению ко всем ранее найденным
формам. Недостатком приближенных методов определения собственных частот
является то, что не все они имеют строгое обоснование и не дают суждении, за
J87
исключением некоторых способов, о степени расхождения получаемых по этим
способам результатов с точными.
В связи с этим заслуживает внимания известный метод С. А. Бернштейна.
Метод С. А. Бернштейна является прямым, т. е. не содержит элементов, которыми
следует задаваться из каких-либо соображений. Определенные этим методом ча-
стоты зависят от упругих свойств (перемещений) и нагрузок системы. Будучи по
идее методом последовательных приближений, этот метод позволяет на любой
стадии расчета оценить расхождения с точным результатом.
В качестве первой попытки предлагаются следующие крайние пределы, меж-
ду которыми заключено истинное значение первой частоты свободных колебаний
1 2
(,,н>
Если принять для частоты среднее значение из двух крайних, указанных в
выражении (11.11), то имеем
“?з т[тк + b,(i+ri/B?-ir ] <|,12>
где обозначено:
<=л
Bi = + М2В52 +. • • = 2
1=1
+М}£+... +2(М1М,«’,+
+ М|М,»?,+ ... + + (11.13)
+«эм,»!+ ...) = 2 m?»u+2У мл!?,.
1<*
Через бц, би н т. п. обозначены возможные перемещения, показанные
на рис. 11.2.
Приближенное значение для второй частоты записывается
“2=~[ + в;(ц-И2в^в;’-|) ] ’
гя» В{ - В, - 1/-J Bj = В, -1/«{.
В упомянутом способе получены формулы, позволяющие в качестве следую-
щих попыток найти более узкие пределы (верхний и нижний), между которыми
заключаются действительные значення частот собственных колебаний, как мень-
шей, так и всех высших.
Для ориентировочного определения периода колебаний двухопорных балоч-
ных металлических ферм однопутных железнодорожных мостов можно восполь-
зоваться формулой С. А. Бернштейна:
7 = (47 —O.JZ)/ Ю-4. где 7-в с; /-им.
При расчетах на сейсмостойкость для приблизительной оценки первого перио-
да собственных колебаний высоких зданий можно пользоваться следующей фор-
мулой:
Г-аЛ/?/(£><). (11.14)
где 7 — период, с; / — высота сооружения, м; q — вес единицы длины элемента,
Н/м; Е— модуль упругости, Па; J — момент инерции поперечного сечения, м*;^—
188
ускорение свободного падения, м-с*’; а — коэффициент, зависящий от грунтовых
условий, степени защемления в нем сооружения, принимается: а—13 — в случае
расположения здания на скале; а—1,12—если фундамент может иметь боковое
перемещение (например, при неглубоком заложении в слой гравия, который отде-
ляет фундамент от естественного грунта); а—0,41—если фундамент имеет воз-
можность поворачиваться в вертикальной плоскости (например. фундамент рас-
положен на влажном сжимаемом стложе-
яин)4 а=0,28—если фундамент может
иметь разные перемещения.
Для низких сооружений, когда высота
здания меньше пятикратной ширины (в
плоскости колебаний), т. е. 1/6<5. период
где Т определяется по формуле (11.14). а
Ci в зависимости от свойств грунта и сте-
пени закрепления в нем фундамента прини-
мается для указанных четырех случаев со-
ответственно: С|«0.13; 03; 0,55 или 0,8.
При наличии на концах стержня стати-
чески приложенной продольной силы N
верная собственная частота может быть
приближенно определена по выражению
где <о—собственная частота системы при
отсутствии продольной силы колебания. От-
ношение N/Pa положительно для растягивающей продольной силы и отрицатель-
но для сжимающей.
При действии на сооружение гармонически изменяющейся возмущающей силы
Р sin w. если ее частота ниже первой собственной частоты системы, напряжения
и перемещения могут быть приближенно вычислены путем умножения статических
значений на коэффициент динамичности (2.6). причем (o=®olt где ы(—первая
собственная частота. Здесь, как и в случае системы с конечным числом стемней
свободы, эффективно применить графоаналитический метод
А. Ф. Смирнова, сформулированный с помощью алгебры матриц и позволяющий
широко использовать ЭВМ.
Уравнение частот записывается в виде
|С-ХЕ| = О,
где Е —единичная диагональная матрица; С —матрица, определяемая произве-
дением: С=LM"Ba. GLPM. причем М — матрица масс:
где т< —масса стержня, приведенная к /-Й точке; то—произвольное значение
масс.
Матрица LP косит название матрицы преобразования. Эта матрица позволяет
сделать переход от системы с бесконечным числом степеней свободы к системе
с л степенями свободы. Элементы этой матрицы определяются по таблицам.
189
Мгтрмш G определяет закон язмеяеняя момента кнерцмн сеченая:
'ль
°=Т /,л ••
’///•
где /—произвольное зиаченае момента инерция.
Матрица В„ — матрица упругих грузов может быть определена а соответ-
ствии с выражением (3-21). Матрица L« — матрица влияния моментов в фик-
тивное балке (см. с. 53).
Частота собственных колебаний определяется выражением « = 1//Х.
11.1. Бмм N плиты
• 11.1. Для двухопорной балки со сплошной равномерной на-
грузкой определить первую частоту собственных колебаний мето-
дом приведения масс, приняв за центр приведения середину про-
лета. Рассмотреть при назначении
* г. * формы изгиба следующие вариан-
тт_ ты функции y=f(x)t входящей в
формулу (11.1): a) y=f(х) -
1 —-* уравнение статического прогиба
балки от собственного веса;
₽вс-,,л б) y=f(x) — уравнение статиче-
ского прогиба балки от сосредо-
точенной силы в середине пролета; в) y=f(x) —квадратная пара-
бола; г) у=/(х) — синусоида. Определить степень погрешности от
принятия того или иного решения, используя точное решение (см.
задачу 10.1).
Решение, а) Уравнение статической упругой кривой от соб-
ственного веса (рнс. 11.3), как известно из курса сопротивления
материалов:

где
e 384 EJ '
Коэффициент приведения (11.1)
Соответственно найденному коэффициенту приведения низшая
частота
-=/f=
0,493f<.p/(48E/)

100
Точное значение (см. задачу 10.1)
Расхождение составляет 0,8%.
б) Уравнение статической упругой кривой от сосредоточенной
силы в середине пролета:
У=У<(ЗЛл-4лв)Д»
Коэффициент приведения оказывается равным Кв=0,486.
в) Для случая квадратной параболы
у.=Р/’Д48£/)
коэффициент приведения /(<,=0.533.
г) Для случая синусоиды y=yasin лх/(;
*г--д-р('-1“т-Г'и-ол
и соответственно частота
1Л------------=— VEJglq.
Расхождение с точным выражением составляет 0,7%.
Примечание. Обращается внимание читателя иа малое изменение окон-
чательного результата при достаточно широких диапазонах изменения формы из-
гиба.
• 11.2. Для балкн из предыдущей задачи определить низшую час-
тоту по выражению (11.7), выбирая за форму изгиба уравнение
статической упругой кривой от собственного веса балки.
1 I 1
Ответ. = g J ydx И у2<1х = lOIE/r/f и м =
о / о
что превышает точное решение на 23%.
• ПЛ Для той же балкн определить низшую частоту методом
наложения, т. е. по формуле Донкерлея (11.8).
Решение. Прогиб в точке х от силы / в той же точке выразит-
ся (рнс. 11.4): бхх=х«(/—х)1/(3/Е/).
По формуле (11.9),
i ।
-L=f-2-8„dx=—2— f x’(/-xJ»<U=^90£/g).
«-з J g ZIEjg £
окончательно
Расхождение с точным составляет около 4%.
191
• 11.4. Для той же балки определить приближенно низшую часто-
ту, но для этой цели условно заменив действительную (непрерыв-
ную в смысле жесткости по ее длине) балку дискретной расчетной
схемой, т. е. балкой, упругость которой сосредоточена в одном се-
чении (посредине пролета), а масса балкн оставлена непрерывной.
Рас. 11.4
Рнс. 113
Жесткость фиктивной связи определить из условия, чтобы единич-
ная сила, приложенная к условной системе, вызывала такой же
прогиб, как такая же сила, приложенная к реальной системе:
1-Р/(48£/).=с~1; с=4ЪЕЛР.
Решение. Так как по закону рычага половина массы с каж-
дой половины пролета будет передаваться на опоры и не будет уча-
ствовать в колебаниях, то в формуле (а2=с/М под М следует пони-
мать половинное значение массы балки, т. е. M=?//(2g).
Таким образом.
»=У 48ЕУ-2г/(/М)-(9.8/Р)/Ё7^.
Расхождение с точным решением составляет только 0,7%.
• 11.5. Найти коэффициент приведения массы для консоли, поме-
щая сосредоточенную массу на конце консоли (рис. 11.5). Рассмот-
реть два ва'рианта предполагаемых форм изгиба: а) упругая линия
от равномерной нагрузки; б) кривая с уравнением у=уД1—
—-cos лх/(2/)] (начало координат в заделке).
Решение. В первом случае
частота основного тона
-----?.------^Ъ^у/fjgiq.
0.2S7fl-P/(3EJ) Р
Во втором случае Хв=ОД23 и частота
В=(3,61/Р) VKTgfr.
точное значение частоты имеет множитель 3,515. Ошибки соответ-
ственно равны —2,8% и -f-2,5%.
192
• 11.6. Для балки, рассмотренной в предыдущей задаче, найтв
частоту методом наложения по формуле Донкерлея (11-8).
Ответ. б««—х»/(8Е/):
< ।
3- - f 7- f жЧх = »М/(12Е/жк
.-(3,46/P)E'27i7?.
Расхождение с точным значением около 2%.
• 11.7. Для балки, представленной в задаче 11.5, определить час-
тоту энергетическим методом, за форму изгиба принимая прогиб от
собственного веса.
Огаст. По формуле (11.6),
•-1/1 (»<u / f |Ли = (3,езб/Л)^£7гл.
Расхождение с точным значением 0,5%.
Примечание. Обращают на себя внимание близкие к точному значению
результаты, получаемые энергетическим методом.
• ПЛ. Для однопролетной балки с одним заделанным концом н
другим шарнирно опертым определить низшую частоту, воспользо-
вавшись методом приведения масс. Принять форму изгиба совпа-
дающей со статической упругой кривой от собственного веса балки.
Исследовать, как влияет выбор центра приведения на значение
частоты основного тона, рассмотрев следующие точки: х=//4; х=
л=0,579/ (сечение, где имеет место наибольший прогиб от
собственного веса балки); х=3//4.
Огаст.
а) х = //4; Кл = 2.196; w = (12,88//*) fEjgtq'.
б) л-//2; Ка =0,483; - = (15.05/Р) \'еЩъ
в) л = 0.579/; AQ-0,448; ы = (15.09/Л) VEJg/q;
г) л = 0,75/; Кл = 0.678: « - (14,87//*) VEjgiq.
Погрешность определенна низшей частоты при х-1/2 составляет 2,3%; при
ж=0,579/—2%. Чем ближе центр приведения к сечению, где имеет место наи-
больший прогиб от собственного веса балки, тем меньше расхождение прибли-
женного и точного значений частоты.
• 11.9. Определить энергетическим методом низшую частоту
трехпролетной неразрезной балки с равномерным распределением
масс (рис. 11.6, а).
Решение. Так как первая форма собственных колебаний име-
ет вид, указанный на рис. 11.6, б. то зададимся нагрузкой в соот-
ветствии с рис. 11.6, в, где в крайних пролетах нагрузка действует
вверх, в среднем — вниз (наиболее благоприятное предположение
193
для того, чтобы получить на «низшее значение собственной часто-
ты).
По уравнению трех моментов находим моменты на средних опо-
рах:
0.0406?/?.
Кривая изгиба в первом пролете (считая начало координат на
крайней левой опоре)
Во втором пролете (считая начало отсчета на левом конце этого
пролета)
Точное значение первой частоты для данного примера равно
( Н/й) Vт. е. приближенное значение отличается от точного
на 1%.
• 11.10. Определить первую частоту свободных колебаний мачты,
несущей сосредоточенную массу М н имеющей оттяжки, как изо-
бражено на рнс. 11.7, а. Линейная плотность нижней части ствола
/пь верхней части — т8.
Задачу решить в следующих предположениях: а) пренебречь ве-
сом ствола; б) приближенно учесть массу ствола, сосредоточив ее
194
на верхнем конце с коэффициентом приведения 0,236 (как это при-
нимается для балкн с одним защемленным концом)•» в) массу ство-
ла условно сосредоточить в двух точках — массу нижней части mth
в точке а с коэффициентом приведения, равным Vs (как для стерж-
ня, имеющего перемещения, пропорциональные расстоянию от ме-
Рмс. 11.7
ста прикрепления), я массу m^h, поделив поровну между точками
а и Ь.
Принять mi=M/(2ft), m2=0,7mi, а жесткость оттяжек, т. е. уси-
лие, необходимое для преодоления сопротивления оттяжек прн сме-
щении точки а в горизонтальном направлении на единицу, равной с.
Жесткость ствола на изгиб £*/. Жесткость упругой опоры с связана
с жесткостью на изгиб поперечного сечения ствола соотношением
сЦЕ])=$1№. Массой оттяжек прн расчете пренебречь н рассматри-
вать оттяжки лишь как упругие связи.
Решение, а) Если пренебречь массой ствола, то будем иметь
в соответствии с выражением (8.4):»»>= у/ 1/(МВи). где бц=1А-|-4/с—
перемещение точки b от единичной силы, приложенной в этой точке
(А — перемещение точки Ъ от изгиба). При определении перемещения
би учтено сопротивление оттяжек 5=2, найденное из условия равно-
весия ствола (рис. 11.7, б).
Из рассмотрения мачты как двухопорной балки с консолью
(опоры в точках Ока) получаем
Xli;=2A’/(3FJ)+4/c=2A»/(fJ);«=0,707/E7/(MA’).
б) Сосредоточивая массу ствола в точке Ь, имеем
w=l/--------------—----------= 0,645/е7/(МЛ8).
V 2 (М +0,236(л1|Л +Л12Л))ЛЗ Г * ’
в) Сосредоточивая массу ствола между точками а и 5, сводим
задачу к системе с двумя степенями свободы (рнс. 11.7, в):
= М2=4'"1»л +-r«i*=0,34M.
2 2 3
195
Возможные перемещения:
В11==2Л’/(£/); 8я=1/с=Ла/(ЗЕ7); 813=2/с=2Л»ДЗЕУ).
Для низшей частоты [выражение (9.3)] имеем
-----------------------------!_______ х
X [М|8ц МаВя — У 4“ “ 4MjMa “ &>г)] =
=0,412£7/(МЛ3); Ш|=0,64/£Т/(МЛ’).
По исследованиям С. А. Бернштейна, точное значение низшей
частоты в данной задаче лежит между следующими пределами:
0,683 /£У/(МЛ») < ш1 < 0,696 /£У/(МЛа).
Таким образом, различные варианты условного распределения
масс дали для частоты результаты, отклоняющиеся от истинных
больше, чем первый расчет, при котором совсем игнорировалась
масса ствола. Эго следует объяснить тем, что при назначении ко-
эффициентов приведения переоценено влияние изгиба мачты н не-
доучтено влияние упругой опоры на форму колебания. Если поло-
жить, что при наличии оттяжек нижняя часть ствола будет иметь
незначительные перемещения по сравнению с перемещениями верх-
ней части ствола, н в расчете пренебречь силами инерции нижней
части мачты (т. е. положить, что т|=0), то получим результаты
приближенного расчета, близкие к точному:
£J/|(M4-0,236m^) 2Л»|=0.68 у£//(МЛ»>.
• 11.11. Определить коэффициент приведения массы прямоуголь-
ной плиты со сторонами 2а и 2d, опертой по контуру и имеющей
толщину Л, приняв за центр приведения точку, совпадающую с цен-
тром плиты.
Указанае. В качестве уравнения изогнутой срединной поверхности мож-
но принять следующее выражение, как удовлетворяющее краевым условиям:
л —/сов (пх/(2а)]»соз [лу/<2Э)].
где f — прогиб в центре плиты (ось х параллельна стороне длиной о).
Пользуясь формулой (11.1). получаем коэффициент приведения
а В
чгЧхйу'
Ответ. 1'4.
• 11.12. Сравнить первые частоты свободных колебаний плиты
прямоугольной формы в случае свободного опирания и в случае за-
щемления по контуру.
Указание. Прогиб центра плиты от единичной силы, приложенной в ее
центре, в случае свободного опирания определяется выражением
192(1 -у2)д3^з
196
в случае защемления по контуру
12(1-у2) д»_____
д< + М \
—£--+11,8881 Ей»
Ответ. Для плиты, свободно опертой по контуру*.
u»t =
Eg
Y(l—v2)’
для плиты, защемленной по контуру:
где v — коэффициент Пуассона.
Отношение частот
0.712 (лз + W)/K2.63 (л< + М) + I ,5а2^.
Прн а~Ь й)|/ыа—0,548.
• 11.13. Для круглой плиты радиуса а. защемленной по контуру,
определить коэффициент приведения (точка приведения совпадает
с центром плиты) и первую частоту свободных колебаний.
Указание. За уравнение упругой поверхности можно принять выражение
Прогиб от единичной силы, приложенной в центре плиты:
__________________________3_ (1~уЗ)дз
8вв ~ 4 ' Я£А3
Ответ. Коэффициент приведения К» —1/6. Частота колебаний
- = 2.58 K^/(Y(l-v’)b
• 11.14. Определить первую частоту для плиты предыдущей зада-
чи энергетическим методом, приняв форму колебаний совпадающей
с упругой поверхностью от собственного веса плиты.
Указание. Уравнение упругой поверхности от собственного веса плиты
где D= ЕЛа/[12(1 — v2)].
Ответ. w = 2,98(Л/д2) V£e/(y(I —
• 11.15. Оиоеделить коэффициент приведения и частоту основно-
го тона колебаний круглой плиты, свободно опертой по контуру.
Ответ. Коэффициент приведения
30.
При v=l/3 К.—0,293.
h т / 1 +v i / Eg
Чктст. яюбо*иыхКо«б.И|Л<и = —|/ (3 + v)K. V
197
Ф 11.1 в. Решить предыдущую задачу энергетическим способом.
OT9tT. • = 1.43 (A/fl2) F^/(V(i-v2)J.
• 11.17. Квадратная плита со стороной 2а оперта по четырем уг-
лам. Определить коэффициент приведения для центра плиты и пер-
вую частоту.
Указание. За уравнение упругой поверхности можно принять
Прогиб от единичной силы, приложенной в центре плиты
192д2(1 _у2)
8v)’
Ответ. Кл = 0.45; » = (лЛ/д2) V1,23v/43.44 VEglfttl —
• 11.18. Определить методом последовательных приближений пе-
риод собственных колебаний кирпичной заводской трубы высотой
Л=70 м (рис. 11.8, в). Данные: модуль упругости кирпичной клад-
ки £=4,25-103 МПа; плотность кладки р= 1,63-103 кг/м3; грунт
основания — лёссовидный суглинок, коэффициент постели упругого
вертикального сжатия С=30 МН/м3; коэффициент упругого сдвига
основания —С'=с/5=6 МН/м3.
Решение. Делим трубу на 13 частей по числу уступов, а всего
вместе с фундаментом на 15 частей. Площадь поперечного сечения
трубы на л-м уступе определяем по формуле Fn=n(Rn2—гп2).
Момент инерции поперечного сечения
Л=0,25л (/?: - г1)=0,25А„(^ +г’).
Переменная линейная плотность трубы
p;=pZm=i.61ov>
Используя выражение (11.10) метода последовательных при-
ближений, необходимо задаться упругой кривой. За первое при-
ближение функции уп принимается уравнение упругой линии оси
трубы от сплошной нагрузки у, распределенной по высоте трубы по
закону треугольника (рнс. 11.8, в). Выбор такой нагрузки обосно-
вывается тем, что она по своему характеру близка к форме смеще-
ния оси трубы прн колебаниях.
Уравнение моментов от этой нагрузки
О
Для подошвы Л4О=Л3/3=18.6 МН-м; (?о=Л/2=О,3736 МН.
Перемещение осн трубы (м) от указанной нагрузки можно
представить состоящим из трех частей (рис. 11.8, б):
где
у|=—2~ = —?73600—= 5,88-10-4
1 С'/=Ь 6-106-105,7
198
Рв»с. ПЛ
— перемещение от упругого сдвига подошвы;
Уг=~¥~ т=- 74,72^=5,215-lO-’J
** С/о 30-10М88
— перемещение вследствие упругого поворота подошвы фундамента;
Ул — уравнение упругой линии оси от нагрузки ?=£, считая осно-
вание трубы жестко заделанным.
Ординаты у* могут быть подсчитаны как ординаты эпюры мо-
ментов Мф от фиктивной нагрузки если принять свободный
конец (верх трубы) жестко заделанным, а основание свободным,
что хорошо известно читателю из сопротивления материалов, а по-
тому. освобождая его внимание от очевидных арифметических под-
счетов. сообщаем окончательные результаты для полных перемеще-
ний (рнс. ИД г), подсчитывая в первом приближении по выраже-
нию
yt=5.88-10-4+5,215-10~^ + Af*.
Далее надлежит найденную эпюру прогибов умножить на ли-
нейную плотность и новую» искаженную, этору принять за эпюру на-
грузок. от которой уравнение упругой линии будет представлять
второе приближенное значение функции у.
Результаты нового расчета приводят к выражению
=90-10“4+76»5. Ю-^+УИ;.
по которому построен график, показанный на рнс. 11.8, д.
Приняв для сравнения верхнюю точку осн трубы в сечении 15 и
имея для этого сечения значения функций yi н уть определим часто-
ту свободных колебаний трубы в первом приближении:
®t=yI#II=28.542/3.626=7,86 с~а,
или <01=2,8 с-1 и Г«=2л/<й=2,24 с.
Чтобы судить о степени точности вычисления частоты свободных
колебаний в первом приближении, составим сравнительную табли-
цу функций yi и <0|2уп- Для наглядности эти две функции построены
графически (рнс. 11.8. е). Так как совпадение получилось удовлет-
ворительное, то дальнейшее уточнение решения в практическом от-
ношении излишне.
• 11.19. Определить первую частоту горизонтальных (вращатель-
но-поступательных) колебаний монолитного мостового быка, име-
ющего глубокое заложение (рис. 11.9, а). Полагать известными сле-
дующие данные: вес сооружения (надземной части и фундамента)
V; коэффициент постели грунта (в смысле Винклера) в основа-
нии Сь модуль сопротивления грунта боковым перемещениям
быка изменяется с высотой по линейному закону СХ=С , где
С—модуль на глубине Л. Решение провести в условиях плоской
задачи, т. е. расчет выполнить по ширине быка (в направлен ни.
перпендикулярном чертежу), равной единице, и все указанные вы-
ше параметры считать отнесенными к указанной шнрнне.
200
Задачу в первом приближении решить» полагая, что сила тре-
ния в подошве фундамента отсутствует, а инерцией грунта при ко-
лебаниях сооружения пренебречь. Воспользоваться формулой Дон-
керлея.
Решение. От фиктивной единичной силы, горизонтально на-
правленной и приложенной в сечении эпюры статических со-
противлений грунта показаны на рис. 11.9, б. Обозначая_угол вра-
щения сооружения от указанной фиктивной силы через ф, для сил
бокового сопротивления грунта на глубине у от поверхности земли
будем иметь выражение
^=с*Дж=с -у (//о—0?;
для краевых напряжений в подошве фундамента О1=С1Оф/2.
Уравнения равновесия (проекции на горизонтальную ось и сум-
ма моментов относительно оси, проходящей через фиктивную силу)
записываются
* * _ —
J qAy=\‘, j $(0а+«/)<10=У(уо+й|)?— М,
где момент в подошве от реакций грунта в основании определяем
как A?=O|IF; W=a*l6—момент сопротивления расчетного сечения
подошвы.
Приведенные выше уравнения и соотношения позволяют опре-
делить значения ф, у& q, Л?, оь
7-786 201
тайный по известной теореме Мора — Максвелла, в данном случае
Аф= 1,232 см.
Решение. Для балочных ферм хорошие результаты н с наи-
меньшей затратой труда получаются путем замены заданной фермы
эквивалентной балкой, для которой момент инерции поперечного
Рве. II.II
сечения подбирается из условия равенства прогибов середины про-
лета фермы и эквивалентной балкн: Дб=Дф.
Как известно, прогиб середины пролета равномерно загружен-
ной двухопорной балкн
д.=Л JiL.
4 384 е/
(ИМ)
а первая частота
V q
Используя (11.14), будем иметь (o=1.13V g/Д©. Подставляя Л*
вместо Де, окончательно получим
ш=1,13/^. (11.15)
В данном случае 0=31.9 с*“’. Данный результат весьма близок
к результатам, полученным прн решении задачи другими, более
строгими и вместе с тем значительно более сложными методами.
• 11.25. Определить первую ча-
стоту свободных колебаний фер-
мы с нагрузкой, приложенной к
узлам верхнего пояса (рис. 11.12).
Решение. Для определения
прогиба середины пролета фермы
вычисляем усилия в элементах от
заданной нагрузки и отдельно от
единичной силы, приложенной в
среднем узле верхнего пояса. Вы-
численные усилия и перемещения
сведены в таблицу
204
Обама* «свае Дамма a. Пжмнадь ewra м-« N9. мН 7ft жн мН*м-«
О| 5.00 0.015 0.0333 -3700 —0.005 6200
01 5.00 0,020 0.0250 -50.00 -0,010 125,00
Ui 5.00 0.005 0.1000 0 0 0
01 5.00 0,010 0,0500 3700 0005 93,75
Di 7.07 0.010 0,0707 53,00 0,007 265.00
D? 7,07 0.010 0.0707 17.70 0,007 8800
Ve 5.00 0.020 0,0250 —50,00 -0,005 6200
Vi 5,00 0.015 0.0333 —37,50 -0.005 6200 X—
К. 5,00 0.015 0.0333 -25.00 —0.010 -759.75 8333
Таким образом.
дф=(2.759.7504-83.30)/£= 1602,830/f.
Первая частота
«=1.13/Т/Дф = 1.13 / 9.81 • 22- 10Ю/1602.830= 128 <гЛ
Период Т=2л/й)=0.049 с.
• 11.26. Определить первую и вторую частоты свободных колеба-
ний балочной фермы (рис. 11.13. с), загруженной в узлах нижнего
пояса массами М=2, а в узлах верхнего пояса массами М=1.
Рмс. 11.13
205
Длина панели d=2h, высота — Л, площадь сечения поясов — Гп,
раскосов — Гр, опорных раскосов — Го. причем Гц/(2Л) =
-FJ(O,7h)-Fo/(1.4h)-r.
Решение. Выполним решение по способу С. А. Бернштейна.
Разложим изучаемые колебания на симметричные и обратносим-
метричные формы. При исследовании симметричных колебаний
можно проводить вычисления для системы, показанной на рис.
П.13, б.
Так как необходимо вычислить перемещения каждого узла от
вертикальной единичной силы, последовательно прикладываемой в
каждом узле, то вначале необходимо определить усилия в элемен-
тах фермы от указанных нагрузок. Результаты подсчетов написаны
на рнс. 11.13, в — д. Перемещения подсчитываем по известной фор-
муле Мора — Максвелла:
EF„ Т BF, 2£г
Аналогично,
. 11. » 31 . » 6 . . 13 . , И
Ви“^- ^“2^7 ’ *И=Й7- *“=17-
Вычисляем значения Вх и В,:
В, = (1 ~4-2.11 +—. JL) ;
\ 2 1 2 2 1 Er Ег
в-1,,(т)’+2’"*+(т)’(т)’+2|12 6’+' -г(т)’+
+2. Лиг-])-!______________иг.
2 JI (£г)2 (£г)2
Квадрат низшей частоты симметричных колебаний, согласно
формуле (11.11), лежит между следующими пределами:

0.03103Fr<to’ <0,0313£г;
0.1761 /^<«<0.1764/27.
Для отыскания низшей частоты обратносимметрнчных колеба-
ний исходим из расчетной схемы фермы, показанной на рис. 11.13, е.
В данном случае задача сводится к системе с двумя степенями сво-
206
боды. Элементарные перемещения на основании усилий, выписан-
ных на рнс. 11.13, ж. э:
\ 3 / Ег$ \ 3 / Ег р \ 3 / с га
. / 1 V * 37 .
’ \ 3 J ЕГ. 18Ег ’
,____49_. >______20
823 18£г ’ 18£г
Низшая частота обратноскмметрнчных колебаний, согласно (9.3).
ш2=---------------‘•|8£,~ - [(1-37-4-2-49)—
2(37-49 — 204 * '
-✓(t-37+2-«p-4(37-4<>-2o>)i.2j:
<^=03276fn «=0,572/fr.
• 11-27. Для трехшарннрнон рамы (рис. 11.14, а), несущей четы-
ре сосредоточенные массы, определить первую и вторую частоты
свободных колебаний. Данные: Mt=Ms=2; М3=М<=1; Л=/,
жесткость всех стержней одинакова.
Решение. Если не рассматривать растяжение-сжатие элемен-
тов и пренебречь их массой, то система будет иметь пять степеней
свободы. Так как любое колебание симметричной конструкции мо-
жет быть представлено как результат наложения симметричных на
2С7
обратносимметричные колебания, то для решения поставленной
задачи рассмотрим отдельно указанные два вида колебаний.
При симметричных колебаниях каждую половину рамы можно
рассматривать как самостоятельную систему (рнс. 11.14, б). На
рис. 11.14, г—д изображены эпюры моментов от единичных загру-
женнй по направлению возможных перемещений для сосредоточен-
ных масс. Так как при изучении симметричных колебаний данная
система является системой с двумя степенями свободы, то возмож-
но частоты определить по формуле (9.3).
По указанным эпюрам моментов имеем:
л = 5/3 у 4/3 • х = 3/3
11 192EJ * 192EJ ’ u 192Е/ ’
Таким образом, для низшей частоты симметричных колебаний
имеем значение
«»=-------!----[2.5+1-4—
2(5-4-Э*)2-( 1
—У(2-5+1-4>>-4-21(5-4-32)]^^,
/3
откуда w=3,97 VEJjl*.
При обратвосимметричных колебаниях каждую половину рамы
можно рассматривать как самостоятельную систему (рнс. 11.14, в).
На рис. 11.14. е—з изображены эпюры моментов от единичных за-
груженнй по направлению возможных перемещений для сосредото-
ченных масс.
По эпюрам имеем:
я /а . х __ 5Z" . х — р •
11 384£/’ 22 24£/ ’ ® 2EI ’
Л /3 л /3 . л 5/3
12 128£/ • 18 64Е/ ’ 828 16Е/ *
По формулам (11.13) определяем
=(2-14-1 80+2-192) —— =—. — ;
1 . 384EJ 384 EJ
В3=«2®. Р+ Р-802-|-2«. 1923)-|-2(2.1-324-2-2-62+ Ь2-120>)] X
/* _ 211784*6
38Р (£/Н 3842 (Е/)3
Истинное значение первой ннвшей частоты обратноснмметрич*
ных колебаний находится между следующими пределами:
j/ркита
/ 384/?/
с 211 784
4€62
206
или
0.91341/-££<и <0,91361/.
Г Р у Р
• 11.28. Определить частоту колебаний пятиэтажной рамы (рнс.
11.15, а). Момент инерции поперечного сечения крайних колонн,
равный 108-КМ м4, постоянен по всем этажам; отношение момен-
. д) ,
г)
Туй?
~5Vg"

116,5'tfy
$
Рис. II.16
тов инерции сечения колонн среднего ряда к моменту инерции край-
них колонн указано на рнс. 11.15, б. На том же рисунке указаны
значення линейной плотности ригелей н колонн по каждому эта-
жу в кг/м.
Решение. Найдем приближенное решение задачи (например,
энергетическим способом). Учитывая, что применение формул
209
(11.3) и (11.12) связано с большим количеством трудоемких вычис-
лений, решим поставленную задачу способом сравнения с эквива-
лентной консольной балкой.
Для этого вначале загружаем раму в направлении изучаемых
колебаний, т. е. обратносимметрнчных (так как в этом направле-
нии рама обладает меньшей жесткостью и, следовательно, наиболь-
шим периодом свободных колебаний), узловыми горизонтальными
силами,* равными весу ригеля на соответствующем уровне и полу-
сумме весов колонн, примыкающих к рассматриваемому узлу. На
рнс. 11.15, б показаны эти нагрузки, причем выписаны не веса, а их
массы.
Далее от этих горизонтальных воздействий приближенным спо-
собом строим эпюру моментов, для чего предполагаем нулевые точ-
ки эпюры моментов в середине высоты всех колонн, за исключени-
ем колонн первого этажа, где нулевая точка принимается на рас-
стоянии % высоты от уровня заделки. Распределение поперечной
нагрузки между колоннами выполняем пропорционально жестко-
стям поперечных сечений колонн (рнс. 11.15, а).
В соответствии с указанным приближенным расчетом эпюру
моментов по крайним стойкам представим в виде, показанном на
рнс. 11.15, г. На рнс. 11.15, д выписаны значения отдельных площа-
дей указанной на рис. 11.15, г эпюры моментов и учтены их знаки.
Соответствующие направления сил на схеме выбраны с учетом
этих знаков.
На основании данных рнс. 11.15, д определяется смещение верх-
него ригеля рамы графоаналитическим методом:
Уст=Ц47.5+93,5+116,5+13213+276-21,5-69.18,51 х
xJ^5-826-10^-
По формуле (8.4),
Уст V 5.826-10*
/21-10»-1,0810-Д
5.826-10«
1,97 С"1.
Период колебаний 7’=2л/л)=0,506 с.
• 11.29. Определить частоты свободных колебаний многоэтажной
«почти регулярной» рамы (рнс. 11.16). Ригели считать абсолютно
жесткими. Стойки считать условно безмассовымн, а их фактическую
массу (но как «приведенную») присоединить к массе ригелей. При-
веденная масса ригелей (ригель и стойки) одинаковая и равна т
для каждого ригеля. Все этажи имеют одинаковую высоту н оди-
наковую (суммарную для всех стоек данного этажа) жесткость ЕД
кроме первого этажа, для которого жесткость £Д=£7(|—«).
Решение. Обозначая суммарную поперечную силу в стойках
любого этажа при единичном взаимном смещении верхнего и ниж-
него ригелей через г. а частоту свободных колебаний одноэтажной
рамы через Q, определяем: г=12Е//Ла; Q= (r/m)*A.
210
Представляя искомые собственные частоты ш как w=XQ. запи-
шем уравнения метода перемещений
-гХв»1+2гХ||-гХвЧ.1-тш>Хя=0 (д=1, 2......а)
(s —число этажей; п — номер ригеля; — амплитуда линейного
смещения n-го ригеля). Проводя исследования регулярных уравне-
ний, получаем
tg?-tg2s?=(l-f-e)/(l—в).
Коэффициент частоты X связан с параметром <р зависимостью
Х=2 sin у.
* 11.30. Найти наименьшую частоту собственных колебаний рамы
с наклонными элементами (рис. 11.17, а) по методу перемещений
Рис. иле
и с помощью основной системы в виде кинематической цепи. Дан-
ные: а=3 м; 1=9 м; Л=4 м; £/=const; m=const.
Решение. Точное решение по методу перемещений для пер-
вой частоты (случай обратносимметричной формы колебаний) при-
водит к результату
/оГИ т
Используя кинематическую цепь, показанную на рнс. 11.17, б
(инерционные нагрузки заменены узловыми силами Pt и Р2, а воз-
211
можные перемещения выбраны в соответствии с рис. 11.17, в), по-
лучим уравнения возможных работ в форме
Р,- 1 ‘An+Ра’ 141 и’ 1 ““ Wot+^io) Ya 4"^isYij=O»
где для_выбраниой кинем аттической цепи, как следует из рис.
11.17, в, уц=2уо1=2.
Выражая узловые давления Pi и Ръ осевую инерционную на-
грузку У» и узловые моменты через массу элемента и квадрат
частоты колебаний и подставляя в написанное выше уравнение,
получаем для частоты колебаний
что расходится с точным решением всего лишь на 4,2%.
• 11.31. Вычислить частоты свободных вертикальных колебаний
металлической двухшарнирной арки пролетом /=105 м и стрелой
подъема /=8.4 м прн следующих данных: площадь поперечного се-
чения Г=1,99 м*. момент инерции поперечного сечения относитель-
но нейтральной горизонтальной осн /=1,24 м4. Арка загружена
сплошной равномерной нагрузкой интенсивностью ф=646 кН/м.
Указание. Тах как рассматриваемая ярка пологая, то возможно прене-
бречь влиянием горизонтальных инерционных сил. В таком случае решение при-
водит к следующим выражениям для частот симметричных колебаний (первая я
третья формы колебаний):
Для частот обратносимметркчных форм колебаний (вторая в четвертая) ана-
логично получается
4Я* , f ЕП
“2=~И —
(как в балке пролетом L=l/2) и са*—4<о».
На рис. 11.18 показаны формы колебаний.
Ответ. «!—123 «г1; Шз—17.6 с”1; <^=7,12 с-1; <о«»28.48 с“‘; Г,=2д/<«>1 =
-0.498 с; Т.—0,356 с; 7а»0Д8 с; 7\=0,22 с.
Низшей частоте соответствует обратноснмметричная форма колебаний с од-
ним узлом посредине пролета (вторая форма).
• 11.32. Для арки, приведенной в предыдущей задаче, определить
коэффициент приведения массы, выбирая центр приведения в сере-
дине пролета прн исследовании симметричных форм колебаний и в
212
четверти пролета при исследовании обратносимметричных форм
колебаний.
Указание. Из выражешм для частоты свободных колебаний системы с
одной степенью свободы (11.2) следует
Ка=1/(-*М0РКы). <Н-1в)
Располагая единичный груз в середине пролета н пренебрегая продольной
деформацией, для арки постоянной жесткости имеем для перемещения под грузом
Ам=/*/(2О48£/). Подставляя бе. в
(11.16) и выражение для частоты (щл.
полученное в предыдущей задаче, най-
дем коэффициент приведения.
Для случая единичного груза, при-
ложенного в четверти пролета, переме-
щение под ним оказывается бм»
=^/(719£Jk
Ответ, при центре приведения в се-
редине пролета
Кы»«/(|.»+о.ои-£»
Рис. 11.19
Т0,103-р-). (11.17)
Прн заданных числовых значениях
величии, входящих в формулу (11.17),
имеем fa—0,417; fa=0^18.
Для арки, рассмотренной в задаче ПЛ, ///«0,08; ₽—1.05. Ki—0,363; fa—
=0,188.
При центре приведения в четверти пролета fa=0,46.
• 11.33. Найти низшую частоту и соответствующие формы собст-
венных колебаний круговой арки постоянного сечения при ///=0,25,
применив приближенный метод Б. М. Теренина.
Указание. Данный приближенный метод основан на следующих допу-
щениях:
1) криволинейная ось заменена ломаной, вписанной в нее, состоящей на шести
прямолинейных элементов одинаковой длины d (рнс. 11.19,а);
2) масса арки заменена сосредоточенными массами т. приложенными в узлах
ломаной;
213
3) прямые элементы ломаной осн предполагаются несжимаемыми и нерастя-
жнмымн, но гибкими и способными воспринимать изгибающие моменты.
Задача решается смешанным методом (основная система приведена па
рис 11.19, о).
При свободных гармонических колебаниях с частотой а» из дифференциаль-
ных уравнений получается следующая система матричных уравнений
-из/Г»Л+Я* = 0;
Д°Д 4-ЬХ=0.
ВАС
вдс ВЛ>
ВСС BCD
BDC BDD
причем г^ц1, 1-1, 2)—реакция в 1-й дополнительной связи в основной системе
от смещения 4-й связи на единицу; r<* (/«I. 2; Ь=А, В. С. D) —реакция в 1-Л
связи от единичных моментов, действующих в шарнире 4; б<* (/, В, С,
D)— взаимные углы поворота сечений в шарнире i от приложения единичной па-
ры в шарнире A; U—A В, С. D-, 1, 2)— взаимный угол поворота сече-
ний в шарнире i от смешения А-й опоры, причем квадратные матрицы R® и б по-
ложительно определены; А| и Aj —смещения (ординаты форм) 1-й н 2-Я связи
соответственно; Хл, Хя, Хс. Хи — моменты в сечениях исходной арки в местах
постановки шарниров, соответствующие определенной форме колебаний.
Система матричных уравнений может быть элементарно представлена
АГ &-1ДпД;
(м2Яо+/?В-!До)Д = 0.
Рассмотрение определителя |<o,A?°+J?e_,A®| =0 позволяет найти частоты собст-
венных колебаний, определить ординаты собственных форм А> и А*, а затем найти
значения ординат соответствующих изгибающих моментов.
Ответ. На рис. 11.19, б—е даны линии вертикальных перемещений, отвечаю-
щие первой форме следующих колебаний:
б—обратноснмметричные колебания трехшарннрной арки (двухшарнирной);
в—обратноснмметричные колебания бесшарнирной архи;
г — симметричные колебания трехшарннрной арки;
д — симметричные колебания двухшариириой арки;
е—симметричные колебания бесшарнирной арки.
Значения соответствующих частот колебаний:
214
60,27 I /~вТ ч 78.06 | / £/
г)“1=~к V
• 11.34. Определить периоды свободных колебаний однопролет-
ного висячего моста с балкой жесткости, шарнирно опертой по кон-
цам (рнс. 11.20). Длина пролета 1=242,4 м, постоянная нагрузка
9=54 кН/м. модуль упругости 2,2-10* МПа» момент ннерцнн попе-
речного сечения балки жесткости
7=0,25 м*. распор цепи от постояи- . к
ной нагрузки #=15,55 МН.
Решение. Если подвески цепи рк.
рассматривать по отношению к бал- ГГТТ| I I I ГТТТ1
ке жесткости как упругую связь и .-LLLJJJ I I I I I И 1 1 1
заменить нх влияние на балку при JL Д
большом числе подвесок непрерыв- 3*-________~
но распределенной нагрузкой, то ис-
следование колебаний балки жест- Рж' llJ0
кости значительно упрощается. За-
дача сводится к свободным колебаниям обыкновенной балки, за-
ключенной в своеобразную упругую среду, и исходное дифферен-
циальное уравнение колебаний оказывается идентичным уравне-
нию поперечных колебаний прямой балкн. нагруженной растягива-
ющей силой (распором цепи).
Прн указанных выше предпосылках формула для периодов при-
нимает вид
т ШУт
nVP* + H *
где Р»—эйлерова критическая сила, в данном случае
Р,=л’ £fZ=8,996e» МН.
/2
Период свободных колебаний, соответствующий второй частоте
(л=2),
т __ 2-242,4 /54-МР/М1 п к
соответствующий четвертой частоте (л=4)
т 2-242,4/54-ЮМ.61 0 7] с
4/42-8,996-10* 4-15,55-10
• 11.35. Определить периоды свободных колебаний гибкой арки
с балкой жесткости. Данные взять из предыдущей задачи.
Решение. Приближенная формула для определения периодов
может быть записана в виде
•Г _ 2/ /л«
“л /Рэ-Н
216
В данном случае
Та=—__________ . - -35я с; Т4=0,79 с.
2 2 У 5М,Ш-1(>-15,55-10
• 11.36. Определить приближенным способом три собственные
частоты колебаний радиомачты с одним ярусом растяжек
(рис. 11321, а). Прн подсчете частот условно сосредоточить массу
радиомачты в одном ее сечении, совпадающем с узлом крепления
растяжек, а массы (приведенные) растяжек сосредоточить в середи-
нах их пролетов (рнс. 11321, б). Растяжки считать гибкими элемен-
Рис. 11-21
тами, способными работать только на растяжение, а зависимость
между деформациями и усилиями в таких элементах принять соот-
ветственно теории гибких элементов, т. е. нелинейными. Для основ-
ного стержня (мачты): s=0,437; //=16 м; сечение527X5мм; Ji=
—2,76-Ю”4 м4; mi=65,6 кг/м; Ei=0,2-10* МПа. Для растяжек:
21=25,2 м; N=4,2-I08 кН; диаметр сечения 12 мм; F$= 1,13- 10м м2;
Cj=G8-223 Н; m3=m2=0,902 кг/м; а-39°24'; £я-0,210* МПа.
Указание. Исходные уравнения прн обозначениях координатных осей, по-
казанных на рнс. ПЛ. б. имеют такой вид:
«Х1 Г 2(л-HP/Vcoe а 3£1А] ( а а
<и» +[ (2л + 1)(л+1Р + /712 + № J l + 2Лз!п2В ( ,+ з)
„ 62jc2 2N ЕаЛ . , Е^Рч
м» да-+—+т.м„ (4+*3) + -йг «•«»«•*?-*
_. «х3 2ЛГ ЕчРч » я я. ЕзЕт •
м’ да’ + ~ТХ* + ’л"в1п»а'^ + Х’)---№ *п’ O COS = °'
где обозначено: r=2Nl/{EiFi cos a); n~GJl cos а/(4АГЗ); N — усилие в растяжках.
Прн перемещении среднего сечения гибкой инти на величину х в нити возни-
кает дополнительное усилие и связь между растягивающей си-
лой в нити и перемещением одного нз концов выражается формулой
м ЫН 2NbN-bN2
216
Кроме того, надо учесть, что абсолютная величина дополнительной алы
растяжке не может быть больше соответствующего статического усилия.
Прнближжшое решение системы уравнений следует искать в предположении
гармопкческяхХколеоаимй. т. е. в виде:
Х1 = Л1 «п(/М +01); х2-Л2а1п(р^ + 0# л3»Д,gin(pj + 0з),
где pi. Ря. pt — частоты колебаний основного стержня и растяжек.
Ответ. *=Ц.9.„15.3 с-'; *—7.45... 7,65 С"»; *-17.116.95 ст».
• 11.37. Определить частоты свободных колебаний колонны, под-
держивающей перекрытие (рис. 11.22» а), заменив реальную си-
стему системой с двумя степенями свободы (рис. 11.22, б). Дейст-
вие перекрытая на колебания колонны заменить действием присо-
единенной массы и упругой связи.
Эту же задачу решить как систему с бесконечным числом сте-
пеней свободы. Исходные данные: /=4 м; F=2-10-2 м8; у=
=0,0785 МН/м8; М=10в кг; Л=
= 5 МН/м; Е=22-10* МПа.
Ответ. Точное решение: <* — 102.4 с*-1;
<*-4021.8 с-1; <*-8б43Д с~'; сщ» 12064,0 С"1
вт. л Приближенное решение: <*—118 с'1;
<*—4447 с”1 н т. д.
• 11.38. В системе, представляющей
собой конструкцию, подобную пролет-
ному строению моста через Москву-ре-
ку около Лужников (рис. 11.23). наме-
венных колебаний. Нагрузку принять равномерно распределенной и
постоянной для всех панелей и равной q (Н/м). После того, как си-
стема была нагружена собственным весом и натянута с усилием
//=16EJ/P, обе промежуточные опоры были закреплены от гори-
зонтального перемещения. Момент инерции проезжей части в верх-
нем ярусе JP=O,1J. Момент инерции арки переменный н равен
/a=//cos<p, где угол <р есть угол наклона касательной к осн арки
с горизонтом. Задачу решить графоаналитическим методом, разви-
тым применительно к определению частот колебаний подобных
арок А. А. Петропавловским. Кроме того, решить эту задачу энер-
гетическим методом, подобрав соответствующую кривую прогибов,
удовлетворяющую граничным условиям.
217
Указание. Учесть, что мниимальяой частоте собспеяных колебаний будет
соответствовать обратаосимметрнчиая форма колебаний. В этом случае замбк
арки не получает смещения по вертикали при расчете можно пркуиматьво вин*
манне лишь половину системы. При этом следует отбросить одну из частей кон-
струкция, в в аамкй оставшейся части поставить связь, препятствующую смещению
вамкй ярки по вертикали. '
Согласно исследованиям А. Ф. Смирнова, можно предположить, что масса
арки и надаренного строения сосредоточивается в узлах арки. /
Ответ. - = 8.2 /
ГЛАВА 12 I
ПЕМЛМЖЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТЫ СООРУЖЕНИЙ
/
Краткие сведения ив теории
Наиболее простой приближенный расчет сооружеиий на действие д и и в м и -
ческой нагрузки заключается в том, что заданное сооружение заменяется
условно системой с одной степенью свободы. В соответствии с указанным все ди-
намические внешние силы, прикладываемые к различным точкам сооружения,
должны быть заменены одной сосредоточенной динамической силой, действующей
в выбранном центре приведения масс. Строгое решение задачи о том. каким об-
разом должно выполняться указанное условное перенесение сил, представляется
очень сложным и потому «меется несколько различных лрактическнх предло-
жений.
Так. приведенная сила определяется из условия, чтобы вызываемое ею пере-
мещение «центра приведении», в предположении ее статического действия, рав-
нялось перемещению той же точки от действительных сил, еелг их действие также
предположить статическим.
Встречаются попытки определять приведенную салу из условия, чтобы прн
каком-либо возможном перемещении действительной системы работа приведенной
силы равнялась работе действительных сил. Зя возможные перемещения в таком
случае выбирают ту* статическую упругую линию. которая близка к предположи-
тельной форме колебаний системы от настоящих динамических сил. Проще пер-
вый вариант.
Если динамическими нагрузками являются силы постоянной величины, но
быстро перемещающиеся по сооружению, то в таком случае они также могут
быть заменены одной неподвижной по положению силой в центре приведения, но
зато переменной по величине, т. е. изменяющейся во времени.
Закон изменения во времени упомянутой приведенной силы может быть на-
значен из условия, чтобы статическое перемещение центра приведения в любое
мгновение от действительной силы равнялось перемещению того же центра от
одной приведенной силы, если соответственно подобрать величину последней.
Уточнением приближенных динамических расчетов
будет сведение заданного реального сооружения к системе с несколькими степе-
нями свободы и преобразование действительных динамических сил. распределен-
ных по длине всего сооружения, в силы, действующие по направлению выбран-
ных степеней свободы в соответствии с формами собственных колебаний системы
с несколькими массами.
Действие на упругую систему внезапной нагрузки, которая перед
своим воздействием на сооружение имела уже некоторую скорость, принято на-
зывать ударом. С теоретической стороны указанная ударная нагрузка не должна
отличаться от динамических нагрузок, разобранных в гл. 8, ио закон изменения
во времени давления на упругую систему во время удара упавшего на нее сна-
ряда (копер, кузнечный молот н т. п.) до настоящего времени недостаточно вы-
яснен. что заставляет при изучении явлений удара реже пользоваться классиче-
ской теорией упругих колебаний и чаше применять так называемый энергетиче-
ский способ.
218
Последовательность решения зад» отмеченным выше способом таком:
а) внчисляется киметяческая энергия ударяющего тела*.
б) составляется выражение потенциальной энергия V* стержней, восприни-
мающих удар; 'потенциальную энергию удобно выразить через напряжение в опас-
ном сечении (е^лн конечной целью расчета является определение напряжений)
или через наибольшую деформацию, т. е. через удлинение, прогиб я т. п.;
в) полагая переход кинетической энергии в потенциальную энергию деформа-
ции я потому приравнивая Л — V*. находим непосредственно динамическое напря-
жение иля деформацию (кли приведенную силу, которая при своем статическом
действии вызывав? напряжения к деформации, равные искомым динамическим).
Приближенность указанного метода заключается в том, что отсутствует фор-
ма перехода кинетической энергии в другие формы энергии, кроме потенциальной
энергии упругих деформаций, в допущении, что напряжения во всех поперечных
сечениях достигают своих наибольших значений одновременно. Массой упругой
системы обычно пренебрегают по сравнению с массой ударяющего тела.
В случае, селя удар осуществляется по несвободной системе (балка яа опо-
рах и т. л.), то для вычисления напряжений и деформаций может служить лю-
бая из указанных формул:
. /Яё - ;
V, - = /ЯД - 2 КЖ7Г;
_____________ ___ 9 ________ S
Р.Г = /ЯД^ - /Яё =— уяц=—— .
йм_______________________________м'иорйм
где с — жесткость системы; Ui — потенциальная энергия для случая единичной
статической силы, прикладываемой к конструкции в месте удара; Рир — эквива-
лентная статическая сила, которая прн приложении в месте удара создает такие
же напряжения и деформации, как и заданная динамическая нагрузка; S — им-
пульс ударной силы; о и б.. — статические напряжение н деформация от еди-
ничной силы, прикладываемой к конструкции в месте удара.
В случае, если кинетическая энергия системы сама зависит от перемещений
системы (например, в случае свободного падения груза Р с высоты Л кинетиче-
ская энергия Д—г(Л+у)), то необходимо пользоваться формулой для коэффи-
циента динамичности в одной вз указанных записей (с учетом массы упругой
системы):
И= 1 + V ' * »сЛо(1 4-<?/Л = * + |/^’ + <Гет(я(| +<?//>) • <“•11
где й — высота свободного падения груза (измеряется до уровня «деформиро-
ванной балки); п —скорость груза непосредственно перед ударом; Q — сосредо-
точенная масса, приведенная, системы в месте удара.
Динамические напряжения я деформации определяются из выражений
где о„ и ус»(Р) — напряжение я деформация, вызванные грузом в предположении
его статического действия.
В случае, если прн ударе (например, прн взрыве) оказывается известным
импульс удара, то расчет сооружения может быть выполнен в соответст-
вии с расчетом на действие мгновенных сил. Для такой цели заданный ударный
импульс, известным образом распределенный по длине сооружения, заменяется
условным импульсом, действующим в центре приведения массы. Способы приве-
дения указанного импульса к одной точке аналогичны общему способу условного
перемещения динамических сил в’цемтр приведения (см. с. 185). Следует заметить,
что расчеты по известному импульсу правильнее отображают действительное по-
ведение конструкции прн динамической нагрузке, нежели расчеты по заданной ки-
нетической энергия удара.
2)9
Однако следует учесть, что расчеты могут привести к неправдоподобным
результатам, если время действия динамических сил будет значительно превы-
шать десятую долю периода собственных колебаний сооружения (основного тона).
Расчетная сейсмическая нагрузка в выбранном направлении,
приложенная к точке k я соответствующая i-й форме собственных колебаний
зданий или сооружений, определяется по формуле
sa = (12.2)
где Qa — вес здания или сооружения, отнесенный к точке Л; £< — коэффициент
динамичности, определяемый в зависимости от периода колебаний Tt (i — номер
формы), причем.
₽/ = в/Гб (12.3)
для прочных скальных грунтов (см. СНиП 11-7—81 «Строительство в сейсмиче-
ских районах») а=1.0,8 <£«<3; для нарушенных скальных грунтов, а также пес-
ков, глин, суглинков и супесей с малыми показателями консистенции о—1.1.
0.8<В«<2,7; для трунтов с большими показателями консистенции (порядка
Об ...09 в зависимости от грунта) о— 1Д £<<2;
Л — коэффициент, значение которого следует принимать разным 0.1; 0.2; 0.4
соответственно для расчетной сейсмичности 7. 8, 9 баллов*.
Ki—коэффициент, учитывающий допустимые повреждения зданий и соору-
жений: если для сооружений не допускаются остаточные деформации и локаль-
ные повреждения, то Ai—I; если допускаются частичные повреждения при обес-
печении безопасности людей и сохранности оборудования, то AG—0.25; для про-
чих сооружений при условии обеспечения безопасности людей Я|-»0.25;
К* — коэффициент, учитывающий характеристики конструкций: для высот-
ных сооружений и каркасных зданий, стеновое заполнение которых не оказывает
влияния на его деформ ативность, при отношении высоты стойки Л к поперечному
размеру в направлении действия расчетной сейсмической нагрузки, равном млн
более 25, X*—UJ)*, для прочих зданий I;
Ki—коэффициент, учитывающий конструктивное решение зданий. Этот ко-
эффициент может принимать значения от ОД до 1.5;
коэффициент формы колебаний тр* учитывает тот факт, что на разных вы-
сотах ординаты формы имеют различные значения
Ч/» = Jf( (*») 2 QjX, lx,) I Q,X*(xfr (12.4)
для зданий высотой до пяти этажей при Л <0.4 с можно пользоваться прибли-
женной формулой
т* - х* 2 .
где х«, Xf — соответственно расстояния от основания до мест расположения то-
чек / и i по высоте сооружения.
Для массивных сооружений, деформации которых малы по сравнению с пе-
ремещениями вследствие податливости основания, период свободных колебаний
можно вычислить по формуле
Т = 2nv* УТЙ7л7, (12.5)
где М —масса сооружения; v* — коэффициент, учитывающий инерцию вращения
сооружения.
1.12-|-0,41Л/А; (12.6)
Л —высота расположения центра тяжести сооружения над уровнем основания.
b—ширима основания;
220
Л« —жесткость осмоваиия прн сдвиге, определяемая сопротивлением грунта
под подошвой фундамента СЛ по боковым поверхностям, по которым воз-
никает трение Гтр сжатие Лж грунта:
*x = CJcf4 + C^ + C,fa,. (12.7)
Коэффициенты, характеризующие упругие свойства грунта, зависящие от
расчетного сопротивления грунта: С,—0.7С,—коэффициент упругого равномер-
ного сдвига; Са — коэффициент упругого равномерного сжатия.
Если в расчетной схеме массивного сооружения вес принят распределенным
по высоте и в точках расположения сосредоточенных масс определяют соответст-
вующие сейсмические силы, то последние следует вычислять с учетом формы ко-
лебаний
Х‘“'+8^7Г- <,28>
Для высоких гибких сооружений свободные колебания могут быть учтены
приближенно следующим образом;
1) расчетная схема сооружения рассматривается как система с 5—8 сосре-
доточенными массами, вес каждой из которых равен Q(;
2) ординаты Xt форм свободных колебаний в зависимости от тона вычисля-
ются как для консольного стержня постоянного сечения;
3) в одной из точек системы к от сил Pi=*Q<Xt вычисляется статический
прогиб;
4) в зависимости от тона колебаний определяется соответствующий период
свободных колебаний: Г=2я V
12.1. Влияние перемещающихся нагрузок
• 12.1. По тяжелому балочному мосту (рнс. 12.1, а) с равномер-
ным распределением масс и одинаковой жесткостью по длине быСТ-
Рмс. 12.1
ро перемещается легкий груз со скоростью v. Описать колебания се-
редины Моста.
Решение. Вначале заменим заданную конструкцию системой
с одной степенью свободы, для чего балку будем полагать невесо-
мой н несущей в среднем сечении сосредоточенную массу, равную
,7/э5 от действительной массы сооружения (рис. 12.1, б). Массой
221
перемещающегося груза в соответствии с условием можно прене-
бречь.
Далее, груз, меняющий свое положение, условно заменим при-
веденным грузом, находящимся в середине пролета м меняющим
свою величину во времени. Указанный приведенный груз найдем из
условия, чтобы статический прогиб середины моста под действием
этого груза равнялся прогибу от действительного груза.
Принимая приближенно линию влияния прогиба середины моста
по синусоиде (рис. 12.1, е), имеем
Py=PJ>
откую приведенный груз
Px=Pyjf=P sin (лх/Z).
Принимая во внимание, что и вводя обозначение ли//=р,
имеем
Pj=Psinp/. (12.9)
Таким образом, изучение колебаний середины моста вследствие
быстрого перемещения постоянного груза может быть заменено
изучением колебаний системы с одной степенью свободы под влия-
нием нагрузки, изменяющей свое значение во времени по гармони-
ческому за кону (12.9):
Подобная задача решалась ранее (см. задачу 8.31), где было
установлено
У=У«<тж) , _ (sin Pf —g- sin W ) . (12.10)
Графически закон колебаний представлен на рис. 12.1, е.
Наибольший эффект движущегося груза может быть приближен-
но оценен на основании (12.10) выражением
j/max УсНтхх) j_’
где ₽/>=74/(2Z)=nv/(Zw); yer<«wx>=A>ZsA48£,J)— наибольшее ста-
тическое перемещение от груза при нахождении его посредине про-
лета; «о—частота свободных колебаний.
• 12.2. По тяжелому балочному мосту со скоростью и движется
легкий гоуз, вес которого изменяется во времени по гармоническому
закону (рис. 12.2, а). Описать колебания середины моста.
Решение. На основании рассуждений (см. предыдущую за-
дачу) приведенный груз Р| определяется выражением
Pj=P sin 6/ sin (лл//)=Р sin 0/ sin рЛ
где p=no/Z.
222
Сводя задачу к простейшей модели — системе с одной степенью
свободы (рис 12.2, б), подвергающейся действию переменной силы
Ръ для перемещения середины моста имеем выражение
I
У=~^~ J AXWi=
= | ski et/ sin р| sin«(/ —
J
0
После интегрирования получаем
P [COS — CQSft>f _COS 6g/ — COS W 1
y~ «Mai -1~6I’ J’
где 9,=6+₽.
• 12.3. Для моста пролетом /=55 м. собственный вес которого
47=41.8 кН/м, известна частота свободных колебаний (в незагру-
Ряс. 12Л
Ряс. 12-3
женном состоянии) со=27.4 с-1. Определить, как изменяется часто-
та собственных колебаний, когда по мосту будет передвигаться
длинный товарный поезд, вес которого Qi=30 кН/м.
Решение. Так как частота обратно пропорциональна корню
квадратному из нагрузки, то частота свободных колебаний загру-
женного моста «!=ш Vq&4 +?i)- =20,9 с-1.
• 12.4. Для предыдущей задачи требуется определить критиче-
скую скорость товарных поездов, при которой может наступить
так называемый вагонный резонанс, т. е. когда частота ударов ко-
лес в стыках будет совпадать с частотой собственных колебаний за-
груженного моста. Предположить, что все осн вагонов взаимно раз-
двинуты на одну и ту же длину 6=3,8 м.
Решение. Прн скорости о (м/с) частота ударов 6=2ло/6=
=2ло/3,8. Приравнивая эту частоту собственной .частоте моста,
получаем о=<0|6/(2л). В нашем случае 0=20,9-3,8/6,28=12,6 м/с.
• 12.5. По балке с обоими заделанными концами движется со ско-
ростью о груз Р (рнс. 12.3, а). Требуется описать колебания сере-
дины моста.
223
Решение. Рассуждениями, аналогичными приведенным и за-
даче 12.1. данную задачу сводим к расчету системы с одной массой»
подверженной действию переменной силы (рис. 12.3.б).Принимая
линию влияния прогиба середины моста за синусоиду (рис. 12.3, в),
получим для приведенного груза выражение:
р
Обозначая х=п/, 2ло//= р. имеем Pt 1 — cos р0.
На основании задачи 8.42 для случая пребывания груза на бал-
ке имеем
у= М”»?»!. Г1 — cos —-------!
у 2l V 1-рэ/иа
• 12.6. По легкому балочному мослу со скоростью v перемещает-
ся тяжелый груз Р (рис. 12.4), по сравнению с которым массой
моста возможно пренебречь. Оп-
------ределнть динамический коэффи-
I* __________ циент.
_________Решение. Полагая для уп-
рощення, что мост лишен массы и
обладает лишь жесткостью, сле-
рж. 12.4_дует считать, что в любой момент
времени перемещение под гру-
зом соответствует статическому прогибу от динамического давле-
ния Rt которое, согласно принципу Д'Аламбера, равняется
/?=/>—(12.11)
dfi \ g dfl]
Из сопротивления материалов известна связь между давлением
и прогибом:
у EJ 31
(12.12)
Если выражение (12.12) подставить в (12.11). то получится до-
вольно сложное дифференциальное уравнение. По этой причине вы-
ражение (12.12) подставим приближенно, заменив R на Р, т. е.
Р
Ef ’ 31
(12.13)
Принимая во внимание, что х=о/, имеем
«-'’{•--г-8-)-
224
Используя выражение (12.13). окончательно получим
К=Р [1 ~~7- SriP~ Ых + 6л*4
I g otxa j
откуда
Представляя /?тм=рА имеем
у2 Р1
g * 3EJ ’
1X2. Действие удара на сооружение
• 12.7. Найти коэффициент динамичности при ударе груза весом
Р, падающего со скоростью v на двухопорную балку в сечение, от-
стоящее от левой опоры на расстоянии а. Массой балки пренебречь
по сравнению с массой груза; b=d—а; I—пролет.
Ответ. На основании формулы (12.1) имеем
. 1/.
F I + у * + <а1лр • g .
• 12.8. Сравнить коэффициенты динамичности при ударе с одина-
ковой скоростью равных по весу грузов в случае балки с шарнир-
ными опорами и с закрепленными концами. В обоих случаях удар
осуществляется в середину пролета балки.
Ответ. Для балки с шарнирными опорами
. 1 /’ 48£/
М=1+|/ I+—.
Для балки с закрепленными концами
.. _f . 1 /. , 192£/ у*
РР * g ’
При большой скорости удара
< 12.9. Вычислить коэффициент динамичности прн ударе в сере-
дину ригеля двухшарннрной рамы. Данные: /=Л=6 м; момент
инерции поперечного сечения ригеля /(=548,1 • 10-® м4; момент
инерции стойки J8=/i; груз Р=10 кН, его скорость в момент уда-
ра о=1 м/с.
Ответ. Используем результат, полученный для статического прогиба в зада-
че 8.6: ______________
. /. 16B/J 02
н=ч- р '+-₽йг--7-’

3
Наибольшее напряжение (в середине ригели) о—ПО МПа.
226
Pwc. 12Л
PP
Ует“ 3£/
• 12.10. В пакет из четырех жестко
связанных деревянных свай диаметром
03 м, забитых в дно реки, ударяется
льдина весом 20 кН на высоте 2 м от
дна (рис. 12.5). Скорость течения
1 м/с. Момент инерции пакета J=
=79,5-10"* м*; модуль упругости дере-
ва £=1,2-10* МПа. Грунт дна плот-
ный, и потому сваи условно считать
защемленными на уровне дна. Опреде-
лить напряжения, возникающие в сва-
ях от удара.
Решение. Статический прогиб
пакета от силы, равной весу льдины:
2-104-2*
_____ =5.6-10“* M.
3-l.2-10W.793.10~4
Коэффициент динамичности
13,5.
Наибольший изгибающий момент
/И=Л1стр=2.10*.2.13.5=540 кН-м.
Наибольшее нормальное напряжение
а=<МДГ=54.10* 03/(79.5-10-*)=20.4 МПа.
Так как это напряжение значительно выше допустимого, то
свайный пакет необходимо защитить ледорезом.
• 12.11. Сопоставить коэффициенты динамичности для случая
удара в центр круглых плит одинакового радиуса а, одной — опер-
той по контуру, а другой—защемленной.
бтвет. Для круглой плиты, опертой по контуру.
4л£/з
v2
у + 3(l-v)(3 + v)eV ’ g
Для круглой платы, защемленной по контуру:
. t ' 4ЛЕР
____________ рД
8(l-v2)tUP ‘ g
При большая скоростях удара к при v-=03 = 137.

• 12.12. Написать выражение коэффициента динамичности при
ударе в середину квадратной плиты, опертой по четырем углам.
Стороны квадрата а. Массу плиты учесть приближенно.
192(1 -*2)в2р(|+д-|.) <
где Q—4yaV к А—0,45 (см. задачу 11.17).
226
• 12.13. Вычислить наибольшее напряжение в бетонной балке,
лежащей на сплошном упругом основании и испытывающей в сере-
дине пролета удар от падения на нее с некоторой высоты груза.
Длина пролета балки /=34 м; /=0,256 м4; 1Г=0.35 м3*, модуль уп-
ругости балки £=10* МПа; коэффициент постели основания k=
=ДоЬ=4О МПа, вес падающего груза 0.2 МН, высота падения h=
=0,1 м. Массу балки (вес ее 1 МН) учесть в формуле коэффициен-
та динамичности в виде сосредоточенной массы в месте удара.
Решение. Характеристика жесткости системы балка — осно-
вание
Л,=V *Д4£/)=>/4-107(4-10’-0,256)=0,25
Так как Z>8/Aj=32 м, то балку при расчете можно принять беско-
нечно длинной. В таком случае прогиб под грузом прн его статиче-
ском действии yeT=P/(8£/V)*. наибольший момент МСт(шх)=
=Р/(^).
Коэффициент динамичности
1 / 16*£/Л?
14- \/ 1 -I---------—.
г ^У ^P(l+Q/P)
В данном случае ц=8,35.
Наибольшее напряжение в балке
МПа.
• 12.14. Сравнить коэффициенты динамичности для балок одина-
кового пролета, но с разными закреплениями (консоль, оба конца
заделаны в стену и, наконец, с двумя шарнирно опертыми концами)
для случаев удара равномерно распределенной нагрузкой н сосре-
доточенного удара (для консоли — в свободный конец, для осталь-
ных случаев — в середину пролета).
Указание. При ударе равномерно распределенной нагрузкой коэффици-
енты динамичности для балок выражаются формулой
где Р — вес падающего тела; Q — вес балки; X — коэффициент, зависящий от ус-
ловий закрепления (0.642 — для консоли: 0.762 —для балки с двумя заделан-
ными концами; 0.787 — для обычной двухопорной балки).
Ответ. При большой высоте падения коэффициент динамичности при ударе
распределенной нагрузкой больше, чем прн сосредоточенном ударе той же ио ве-
личине нагрузкой,— в 2,04 раза для консоли, в 1,63 раза для балки с заделан-
ными концами из 1,42 раза балки с двумя шарнирными опорами.
Что касается наибольших напряжений, то. наоборот, а случае распределен-
ного удара той же по величине массой, что и в сравниваемом случае сосредо-
точенного удара, они будут меньше в 1,02 раза для консоли, в 1,025'раза для
балки с заделанными концами и 1.4 раза для обычной двухопорной балки.
• 12.15. Тело весом Р=5,25 кН с шаровой поверхностью ударни-
ка падает на середину пролета балки двутаврового профиля Nt 30,
имея к началу удара скорость о= 1,72 м/с. Определить наибольшее
227
значение прогиба балки с учетом местной пластической деформации
материала в месте удара. Пролет балки /=3 м; вес балки 1,5 кН.
модуль упругости 0J21 • 10е МПа.
Решение. Наибольший прогиб может быть определен по фор-
муле, которую запишем в виде
и — v.
Утаж « 1+Q/P *
где в} — коэффициент восстановления; Q — приведенный вес балки;
со—круговая частота собственных колебаний балки (без учета мас-
сы ударяющего тела).
В данном случае
/Т _ । / 48£/< _ . /48.0.2Ы0».778.10-7.9,81 6g- .
М V QI* ~У 390-3» “
Коэффициент восстановления прн шаровом ударнике можно оп-
ределить по эмпирической формуле, учитывающей, что часть энер-
гии, истраченная на пластическое деформирование, необратима:
1 — ** ,
1
где а и b зависят от механических свойств материала. Если при-
нять а=0,576; Ь=91,3 см/с, то
U=1_______—=0.623; —=3,62-10-’ и.
5 1+91,3/172 1 Ут“ 695 (I+590/5250)
Если не учитывать потери кинетической энергии на пластическое
деформирование и считать, что груз после удара не отскакивает,
получим
• «_.=--------------------—---------=6,9-10“’ м.
«1(1+ Q/P) 221 (1 + 590/5250)
где cot — частота собственных колебаний балкн с учетом массы упав-
шего на нее груза.
12.Э. Влияние кратковременных нагрузок
• 12.16. Балка подвергается действию кратковременного и равно-
мерно распределенного по длине балки импульса. Составить выра-
жения для наибольшего динамического прогиба балки, а также для
эквивалентной статической равномерно распределенной нагрузки,
заменяющей собой действие ударного импульса. Опоры балки счи-
тать шарнирными, пролет—/, полный импульс—5.
Указание. Равномерно распределенный импульс можно приближенно за-
менять сосредоточенным импульсом из условия равенства прогибав середины про-
лета при статическом действии распределенной и сосредоточенной нагрузок.
Ответ.
Sap 5
SeP^0.625S; ----------
сЛЦ, 4 «М

228
М 9.8С1/ Ы
Л- f ; Яад- /а 5 |/ *
(12.14)
• 12.17. Для случая двухопорной балкн. испытывающей влияние
взрывной волны, определить коэффициент приведения импульса, вы-
бирая за центр приведения середину пролета; распределение им-
пульса по длине балкн задано убывающим до нуля по синусоидаль-
ному закону от середины к опорам.
Ответ. Л=$^5 «=0.492.
• 12.18. Вычислить коэффициент приведения импульса для слу-
чая распределения импульсивных сил по длине балкн по рис. 12.6;
кривую принять за синусоиду; за центр
приведения выбрать середину пролета.
Ответ. *«=(0.625 + О.3130)/(1 +0.6370).
• 12.19. На расстоянии /1=15 м от -------------------------1
дверного проема шириной /9= 1.5 м
взрывается авиабомба весом 1 кН с за- Ряс-1,6
рядом с=0.45 кН. К дверной коробке
проема прибиты горизонтальные брусья толщиной 0.15 м. Требует-
ся определить напряжения в брусьях при ударе воздушной волны.
Модуль упругости дерева (сосна) £=1,08’10* МПа. удельный вес
сосны 7 МН/м8.
Решение. Определяем средний радиус заряда
г,=0,062^с7д =0,062 ^450/16=0,19 м,
где Л — плотность заряда.
Отношение ,,//=0.19/15=0,0122. Давление фронта волны прн
0.004< (гв//|),<0,02 может быть определено по формуле П. Л. Са-
вича:
рх=8,979/^ + 220.4 0,071=8,979-0.0122+
+220.4’0,012224-0.071=0.2133 МПа.
Давление прн ударе о перегородку определяется по формуле
О. Е. Власова:
Pt=Pl L~ °-1=0,2133 8 0-2133 0,419 МПа.
п А+0.6 0.2133+ о.в
Продолжительность удара, по О. Е. Власову,
G 6а+ 0*1
D 4pi+0,3
где D=306.7 yf 10(Др+0.118) —скорость ударной воздушной вол-
ны (здесь Др— избыточное давление, МПа).
229
Подставляя числовые значения, получаем:
Лр=0,2133—0,1=0,1133 МПа;
0=306,7/ 10(0,11334-0.118)=466 м/с;
A/-*»»..*?*» +?-? =Q,000536c.
466 4*0,2133-f-0,3
Импульс удара (принимая закон изменения давления во време-
ни по параболическому треугольнику)
5=-Г₽тл/=4-°-419 0«000536=75 Па с-
3 3
Собственная частота колебаний простой балки при 7=
= 1 *0,15^/12=2,81-1(H м4 и линейной плотности балки шириной
0,01 м т=0,01 *7* 10е* 15/(9,81 10s) = 1,05 кг/м составляет
«=— l/—=750 с-».
Р 9 т
Период собственных колебаний Т=2л/<о=0,00843 с. Отношение
времени действия ударного импульса к периоду собственных коле-
баний Л//7=0,063. Так как указанное отношение меньше 0,1, то
ударную воздушную волну можно отнести к мгновенным силам и
коэффициент динамичности вычислять по формуле
Р = а Д/=(u»AZ,
где а —отношение площади графика в координатах р, t к площади
прямоугольника, построенного на тех же высоте н основании; в дан-
ном случае для параболического графика а=1/3. Таким образом,
д-2-3,14-0,063/3-0,131.
Статическая нагрузка, эквивалентная динамической,
7=0.419*0,131 =0,0553 МПа.
То же значение получим и по формуле (12.14):
ЙЛ*75*М 1,06*1010*2,81*
|.5> ' 1.05
Наибольший изгибающий момент
М=7^/8=0,0553- 10е* 1,52/8= 155 Н-м.
Момент сопротивления поперечного сечения
UZ=0.01-0,152/6=0,375 10-e м3.
Наибольшее напряжение в балке под действием импульса уда-
ра воздушной волны
e=/W/Wz= 155/(37,5* 10-*)=4,14 МПа.
230
• 12.20. На глубине 12 м от поверхности земли расположено по-
крытие подземного сооружения, представляющее собой железобе-
тонную прямоугольную плиту, опирающуюся на монолитные камен-
ные стены. На глубине 4 м ниже поверхности земля происходит
взрыв заряда весом 1,9 кН. Определить наибольшую деформацию
плиты перекрытия от действия импульса ударной волны в грунте.
Грунт—песок с модулем упругости Е=80 МПа. коэффициентом
Пуассона v=l/3, плотностью р=1700 кг/м», удельным весом у=
= 17 кН/м»; толщина плиты Л=0,4 м, приведенный модуль упруго-
сти Е|=2,1 • 104 МПа, коэффициент Пуассона vt=1/9, размеры пли-
ты а=Ь=4 м.
Решение. Средний радиус заряда
^=0,062^^/4=0,062^1900/16=0,3 м.
Отношение =0,3/8=0,0375.
Давление на покрытие сооружения, по формуле П. Л. Савича,
л=ржт('-»/Л)2’’.
где Рдет—давление на поверхности заряда, МПа. Тогда
Л=2-10*0,0375^=3 МПа.
Продолжительность удара
д/=2 — —,
Pi — Ро
где D=УЕ/ро — скорость ударной волны; ft=ро ---------плот-
но— Pi
ность среды в волне; Р2=Ро — плотность среды прн ударе
со —Ра
непосредственно у покрытия.
Давление на фронте волны
П — Ра-Ьро^ДЕр —Ро)
1 I + У£/(Ео-Ро) ‘
где £0«£ ; ро —давление грунта, принимаемое сред-
ним на промежутке между положением заряда н покрытием соору-
жения (принимается условно как гидростатическое).
Подставляя числовые значения, получаем:
РЬ= 17000(4+12)/2=0,136 МПа; Ео=80-1,5=120 МПа;
р1= 1,709 МПа; Р1 = 2,5510з кг/м»; pj=2,64-10» кг/м»;
0=^80-10*/1700=220 м/с; 4/= 2 0,3 (2,64 ~ 2,S5^-—=0,000288с.
220(2,55— 1.7)-10®
Интенсивность импульса ударной волны у покрытия сооружения
$=-Laa/=JL.3.0,000288=2.88 10-‘ МПа-с.
3 3
231
Для вычисления наибольшего динамического изгибающего мо-
мента в плите воспользуемся формулой И. М. Рабиновича для пли-
ты, защемленной по контуру:
—— О.ЗМЗЛ дДу| 4~& т/ £|Л
/ I -v? /(л* + М)/(аЛ)1 +М7Й ab ' т
где Е| и vi — модуль упругости и коэффициент Пуассона для мате-
риала плиты. При подсчете массы т, приходящейся на единицу
площади поверхности плиты, помимо собственного веса плиты сле-
дует учесть вес грунта, покоящегося на плите. Ограничимся учетом
только веса грунта, расположенного ниже грунтового свода, что
(опуская вычисления) составит в общей сложности m^lO4 кг/м9.
Таким образом:
_________0,354-2,88 (42-0,111 + 4а)_-|/2,1 - 1О»О-0,4 _
16/1-6.1112 У(42 + 4*)/(Лу + 6.$73 V «и “
=0,126 МН-м/м.
Найденному изгибающему моменту без учета армирования со-
ответствует напряжение в бетоне:
а=6ЛТ/А2=6-126-10 3/0,42=0.473 МПа.
ЯлН
Лк
jmm

• 12.21. Заряд динамита весом 1,13 кН взрывается на расстоянии
322 м от четырехэтажного железобе-
тонного здания. Веса стоек, ригелей,
ребер и бортовых балок приведены на
рис. 12.7 (веса перекрытий отнесены к
весу ригелей). Вычислить эквивалент-
ные статические нагрузки, заменяющие
своим действием влияние сейсмовзрыв-
ных волн; в расчете полагать число соб-
ственных колебаний рамы известным и
равным 110,2 кол/мнн.
Решение. Прн вычислении пара-
метров сейсмовзрывных волн восполь-
зуемся формулами П. Л. Савича: ради-
ус заряда гв= 0,062 / 1130/10=
=0,31 м; отношение Га/А=0.31/322=
=0,00096; горизонтальная составля-
ющая амплитуды колебаний, соответ-
ствующая первой форме колебаний (прн rJh <0.001):
37
tftt
Рме. 12.7
Д=0,7 (50000(r^+3lrB (^>1=0,7 (50000-0,00096’+
+ 31 0,31 -0,00096)=7-10-* м.
Для вычисления наибольшего периода колебаний при взрыве
артснарядов н авиабомб, заряженных тротилом и равноценными
232
ему по силе взрывчатыми веществами, рекомендуется формула
=0,000045/^, 4-0.72га—0,00168=0,1 с.
Ускорение сотрясения
»0=4л»Л/Г?=4л».7.10-»/0,1’=0,03 мч.
Частота вынужденных колебаний
0=2л/Т1=63 с-«.
Частота собственных колебаний
«=л/т/30=3,14.110.2/30= 11.57 с“«.
Отношение квадратов частот 0,/хо’=29,62.
В дальнейшем расчет ведем, как для консоли, которой условно
заменяем заданную раму.
Равнодействующая сила инерции
p = 2o5l 0,682 - 0.318(6/^ _34
g |-(в/-р
где вес сооружения Q= (37.844-484-44,094-43,25) -10*= 1.83 МН.
Таким образом, расчетные инерционные силы составляют всего
лишь 0.2% веса сооружения.
• 12.22. Проверить устойчивость против опрокидывания кирпич-
ной стены (рис. 12.8) при действии на нее взрывной воздушной вол-
ны. Высота стены А=3 м. толщина а=0,4 м, ширина стены 1 м;
Ряс. ,пл
Ряс. 13-D
давление взрывной волны 9=6,4 кН/м1, продолжительность дейст-
вия волны /=0,01045 с. Стену рассматривать как стержень, сво-
бодно опирающийся на горизонтальное основание, к которому он
прижат собственным весом; сцеплением раствора между стеной и
основанием пренебречь.
8-786 233
Решение. В данном случае следует применить формулу
И. М. Рабиновича для наибольшего угла наклона стены:
\ nga / Мд2
где d — длина диагонали сечения; М — масса стены (без фунда-
мента) .
Условие устойчивости, по Рабиновичу, выполнено, если (XmaxC
<arctg (a/h). В данном случае
а~=О,75(-™™----------i\6W9o.o.o«=O0O,06
\18Э0-®,8-0,4 /1833(33+0,4’)
arctg (a/h) =0,135>0.00105 и. следовательно, стена не опрокинется.
114. Сейсмические нагрузки
• 12.23. Определить расчетную сейсмическую нагрузку на изме-
рительную установку весом 140 кН. жестко закрепленную на мас-
сивном бетонном фундаменте, н общую сейсмическую нагрузку на
сооружение (рнс. 12.9, а — боковой вид, б — форма свободных ко-
лебаний сооружения). Сейсмичность района строительства —
9 баллов. Вес фундамента Q*=l,46 МН; общая масса сооружения
М= 16.3'10* кг; расстояние центра тяжести фундамента вместе с
установкой от подошвы фундамента Л=2,58 м; коэффициент упру-
гого равномерного сжатия грунта Ct=40 МН/м3.
Решение. Рассматриваем колебания в продольном направле-
нии, которому соответствует большая жесткость сооружения.
Жесткость основания прн сдвиге [формула (12.7)]
(0,7-4,5-3+0,7-22.4,5+2-3)= 1120 МН/м.
Период свободных колебаний (12.5)
7'=2л»* /МД7=2-3,14-1,36/16.3-10«/( 1120-106)=0,104 с,
где V* == 1.12+0,41 -2,58/4.5= 1,36 — коэффициент, учитывающий
инерцию вращения (12.6).
Коэффициент динамичности в данном случае имеет максималь-
ное значение ц=3.
Форма колебаний прямолинейная; зададимся ее ординатой на
уровне подошвы фундамента равной единице. Тогда ордината на
уровне центра тяжести установки будет (12.8)
X. = 14--------------= 1,121.
8,3-4,5+4,7-2,58
Ордината на уровне центра тяжести фундамента
Х,= 14-lil?kL1.2,25= 1,045.
6
234
Коэффициенты формы колебаний:
на уровне центра тяжести установки
„ _ . 191 146- I0M.045+ 14-10M.121 . п-
Ч| * Ь146- КМ-1.045» + 14. КМ-1.121» ’ ’
на уровне центра тяжести фундамента:
42=1.045-0.96=1.
Расчетные сейсмические силы
$!= 14-0,1-3-1,07-104=45 кН;
$,= 146-ЮМ), 1-3-1=438 кН.
Общая горизонтальная сила, действующая на сооружение.
5=454-438=483 кН.
• 12.24. Определить расчетную сейсмическую нагрузку на водо-
напорную металлическую башню, которая строится в районе с сейс-
мичностью 9 баллов. Вес бака с водой и вес утепляющей конструк-
ции равен 146 кН. Собственный вес башни 40 кН.
Решение. За расчетную схему сооружения принимаем систе-
му с одной степенью свободы (рнс. 12.10). Сосредоточенная масса
системы М принята на уровне центра бака с водой.
Предполагаем, что форма деформации башни близка
к форме изгиба консоли; коэффициент приведения
массы башни при помещении ее на конце консоли &
К.=0,23.
Сосредоточенная масса системы J
м_(146+40-0.23) юз_ "
м--------gjjj— 1О.О-IU» кг.
Перемещение этой массы в горизонтальном направ- рмс. 12.10
леннн, подсчитанное по формуле Мора, равно 3.9 см.
Период свободных колебаний башни при условии абсолютно жест-
кого основания Т = 2л j/"0.039/9,82= 0,395 с-1. Считая башню гиб-
ким сооружением, динамический коэффициент принимаем равным
р= 1,6-0.9/0.395=3,8.
Для системы с одной степенью свободы коэффициент формы
колебаний равен единице. Следовательно, расчетная сейсмическая
сила равна
5=9,81-1,58-ЮМ).1-3,8-1=59 кН.
• 12.25. Для водонапорной башни из предыдущего примера вы-
яснить, как влияет учет упругого поворота ее основания на период
свободных колебаний и расчетную сейсмическую силу. Башня сто-
ит на фундаментных столбах (рис. 12.11).
Решение. Жесткость основания при повороте определяем по
формуле
где С, — коэффициент упругого неравномерного сжатия: С»=2СГ:
Б* 235
С,—см. задачу 12.23; /ф—момент инерции площади основания
фундамента относительно осн вращения; F* н Ц — площадь и рас-
стояние до осн вращения боковых поверхностей, по которым проис-
ходит равномерный сдвиг прн повороте; Сх—коэффициент упругого
С'С
±6 dL
Рве. 13.11
Рве. 12.12
равномерного сдвига: Сх=0,7С<; и — коэффициент» повышающий
жесткость в связи с малыми размерами столбов, принимается рав-
ным двум;
*f=|4.1,62(5,5/2)22-4- KF+4-4-1,6-2 (5,5/2)» 0.7 -4- MF] 2=
=3.41-10* МН-м.
Горизонтальное перемещение наверху башни от поворота фунда-
мента
/.=<?—= 1.58- 10*.9Д1.21'78* =21-10~* м=0.21 см.
*f 3.41-1010
Общее перемещение от поворота фундамента и деформации кон-
струкции /=0,21 4-3,9=4,11 см.
Период свободных колебаний Г=2 л yf 0,0411Д 61=0,41 с.
Разница в периодах колебаний, вычисленных без учета и с уче-
том податливости основания, составляет 4%, что практически не
вызовет изменения сейсмической нагрузки.
• 12.26. Определить расчетную сейсмическую нагрузку для желе-
зобетонной дымовой трубы (рис. 12.12, а) высотой //=180 м, стро-
ящейся в районе с расчетной сейсмичностью 7 баллов. Грунт—ие-
выветренная скала. Построить огибающую эпюру изгибающих мо-
ментов.
Указание. Для определения сейсмических сил, действующих на трубу,
рекомендуется расчленить ее по высоте на девять участков и вес каждого участка
принять сосредоточенным посредине его высоты.
236
Пжпцадь поперечного сеченая трубы вверху соответствующая момент авер-
цяв: Л-3,53 м’; /|—13,73 м«; то же. внвву: F«-40.l м8; Jo-1020 м4; площадь
основания фундамента F>—616 м*. Радиус инерция площади поперечного сече-
ния трубы у основания гв =» /10ЙУ40,1= 5,04 м.
Для определения периодов а соответствующих вы форм свободных колебанм*
дымовых труб воспользоваться формулами, полученными А. И. Судишшным:
2лНД / V
1 Vo ]г Eg
• !+**,/« ["(т тг)+л‘ "(т «)+
♦'"(v £)]
здесь *—0,7б(/|//о—I).
Коэффициенты At, А«. для каждого тона колебания, найденные по соот-
ветствуюшям графикам в зависимости от параметров
/1
/о
13,73
1020 “
0,0135;
= 35.8;
следующие:
25/0 2*2,8. Юто» 1020
00 “ " 610> 6!51803
= 0,000266,
Форма колебаний . .
Коэффициент частоты
Коэффициенты формы:
В<
Первая
43
—0.197
0.011
Вторая
18.7
5,8
Третья
35
9.5
27
Удельный вес материала трубы с учетом футеровки у=35,1 кН/м8.
Периоды свободных колебаний:
За»//»» 2.3.143 18031 /" 35,1103
Vo И Eg " 4,9.5,04 V 2,28.1010.9,81 2*
7>0,77с: Та =0,412 с.
Коэффициент *—0,75(0,0135—I)0.74.
Ординаты форм колебаний вычисляются по вышеприведенной формуле, на-
пример для верхней точки при первой форме колебаний:
* ° । Го.кт[* (Т0-973) -°-187 а1п (^-°-873)+
+0.11 «п (-у-0.973^ = 4.3.
Здесь для верхней точки h/H=0.973,
Коэффициенты формы колебаний вычисляются по формуле
Коэффициент динамичности определяется, как для грунта первой категории:
Pi-ОД так как 1/Т,<0Д р»-1/0.77= 1.3: р>-1/0,412-2,42.
Затем вычислить расчетные сейсмические силы и соответствующие им изги-
бающие моменты (рве. 12.12.6).
237
• 12.27. Определить сейсмические нагрузки на четырехэтажную
железобетонную раму (рнс. 12.13. а) при расчетной сейсмичности
8 баллов и грунтах второй категории. Провести расчет по уточнен-
ной схеме.
Решение. При определении периодов и соответствующих нм
форм свободных колебаний зданий каркасного типа в качестве рас-
четных схем рекомендуется принимать системы типа показанной на
рнс. 12.13, б. Здесь Q — сосредоточенные грузы для каждого этажа.
Рас, 12.13
располагаемые на уровне перекрытий; fi. /з.fn и rlt rs, .... гп —
суммы погонных жесткостей всех стоек и ригелей соответствующих
этажей рамы.
При расчете по упрощенной схеме ригели принимаются абсолют-
но жесткими, что приводит к уменьшенным значениям периодов ко-
лебаний н, следовательно, к увеличенным значениям коэффициен-
тов динамичности.
Частоты и формы колебаний находятся из обычных уравнений
динамики сооружений, причем коэффициенты уравнений определя-
ются по формулам:
=a*.n~V*4-v^r*) (k—ДЗ,...,л);
R.-^-.
(A=3.4...л).
Правильность вычислений бц проверяется по формуле
238
Приближенные значения двух низших частот находим по форму-
лам С. А. Бернштейна. Имея значения частот, находим соответству-
ющие им формы колебаний.
Определение сейсмических сил. отвечающих двум формам коле-
баний. производится так же. как и в предыдущих задачах, а имен-
но: вычисляем коэффициенты форм колебаний по формуле (12.4).
затем определяем коэффициенты динамичности по формуле (12.3)
и. наконец, по формуле (12/2) вычисляем сейсмические силы Sy.
Если принять приведенные линейные жесткости (МН/м): 6=
=201.6. 6=162» /а=121. 6=80,7. Г|=50.4, га=40.4. г3=30.2.
г4=20,2; массы грузов (кг): Qi=43,3-103; Q3=44.1-103, Q>=
=43-103. Q<=38,1 103, высоту этажа /=4.5 м и. полагая А=0,2;
К2=0,9; Хф= 1, получим следующие значения сейсмических сил:
Сейсмическая сила SH, кН
Форма колебаний:
первая £|j
вторая Sa
S*t So Sa S,t
6,4 16.1 22,7 31.4
16.4 32J2 13,1 —36,8
Nl
Далее необходимо построить две эпюры моментов в раме и най-
ти расчетные значения по формуле М
Рк. 12.14
• 12.28. Вычислить динамические напряжения, возникающие прн
землетрясении, на уровне обреза фундамента в подпорной стенке
(рнс. 12.14). поддерживающей сыпучую мас-
су. Данные: сейсмическое ускорение то=
= 1 м/с3, удельный вес засыпки ус=18 кН/м3,
удельный вес кладки у=24 кН/м3 размеры
стенки указаны на рис. 12.14.
Решение. Ввиду массивности подпорной
стенки можно пренебречь ее упругими колеба-
ниями н силы инерции определить как одну
десятую веса кладки. Прн расчете давления
земли возможно пользоваться обычными фор-
мулами. внеся следующие два изменения: ус-
ловно уменьшить угол внутреннего трения на
так называемый сейсмический угол Х=
= arctg(To/g), т. е. принять его равным (ф—Л),
и условно увеличить удельный вес земли, при-
няв его Ye/cosA.
Таким образом, общей расчетной формулой для давления зем-
ли на наклонную стенку под углом е к вертикали (стенка задней
гранью наклонена на землю) будет:
I .2 cos(k-a) Г j / »1пСр —M-ainy
2 Vc cos 1 cos2 (у — «) [ у cos(c—X)-cosa
В данном случае To/g=0.1; у=агсИ?0»1=5°50'; уклон задней
грани 1/7(е=8о10/).
239
Таким образом» давление земли при землетрясении
/?е=—-1,8-10*Л2——(1-\f °-L°'^- ) =0.290-10< Л».
* 2 0.995-0.028 1 V 0.999-0,99 I
Давление земли в обычных условиях (полагая в формуле Х=0)
/?,=—• 1.8- КУЛ2 2^- (1 - |/ =0,235- КУЛ».
‘ 2 0.923 \ V 0,93-0.99/
Приращение давления
Яс = /?>=0,055- 104Л2=8,8 кН.
Веса кладки составляют: Pj=33,6 кН и Р2=66,4 кН; их плечи
относительно центра поперечного сечения (на уровне обреза фун-
дамента): С|=2,26 м; £*3=1,20 м.
Момент дополнительных сил относительно подошвы
ДЛ1=0,1-33,6-2,284-0,1-66,4-1.24-9,11 -£-=27.32 кН-м.
3,099
где 15,56 кН-м — от сил инерции кладки и 11,76 кН-м — от допол-
нительного давления земли.
Дополнительные напряжения в шве кладки (без учета коэффи-
циента динамичности) о=27,32-6/1,42=83,6 кПа. Некоторые авто-
ры удваивают вычисленные таким образом напряжения, предусмат-
ривая внезапное приложение нагрузки (толчка); однако надо при-
нять во внимание, что в выполненном расчете имеется запас при
подсчете сил инерции кладки, а дополнительное давление земли
фактически может быть отнесено к безударному воздействию.
12.5. Колебания уируголластмчаашк систем
• 12.29. Определить предельное состояние конструкции, состоя-
щей из тяжелого жесткого перекрытия массой М, опирающегося на
упругие колонны длиной Z, общей площадью поперечного сечения
F и массой М|, под действием мгновенного продольного импульса S.
Принять, что предельное состояние конструкции определяется пре-
дельным состоянием колонн по сжатию, а деформации подчинены
диаграмме Прандтля.
Ответ. Упругие колебания будут иметь место до достижения мгновенным им-
пульсом величины
«г. = а EF(« + ТМ‘)I1 •
где a — наибольшее вертикальное перемещение конструкции, при котором колон-
ны работают еще упруго.
При значениях импульса, превышающих Synk во время первой волны сжатия
колонны получат остаточную деформацию
240
Достигнув самого низкого положения, система затем будет совершать сво-
бедные упругие колебания.
Предельное состояние характеризуется некоторым заранее заданным значе-
нием Уост-
• 12.30. Балка постоянного прямоугольного сечения bxh с шар*
нирно опертыми концами нагружена сосредоточенной силой Q. при*
ложенной в середине пролета. Сила вызывает только упругие де-
формации. Определить тот импульс So, который, действуя совмест-
но с силой Q, доведет балку до исчерпания упругопластической
стадии деформирования.
Указание. Следует приравнивать нулю сумму работ внешних и внутрен-
них сил на действительном перемещении, вызванном импульсом. Зв действитель-
ное перемещение нужно взять первое по временя отклонение системы от перво-
начального положения до крайнего.
Работа внутренних сил в упругопластической области для рассматриваемого
случая
Л » 1 tGAQynUyu*
где Qyv к угЛ — наибольшие значения силы Q и прогиба у, при котором балка ра-
ботает еше упруго.
Ответ. _____________________________________________________
_ У//„.... "J*2**20.0299Qa,MV» , 0,0101<?«<\
М' ж (О.О192-----------------------J.
• 12.31. Для условий предыдущей задачи определить импульс S,
вызывающий заданный прогиб у^и в пластической области.
Указание. Для определения работы внутренних сил в пластической об-
ласти следует иметь в виду, что прогиб в середине пролета возрастает с у=
^2^2у^, исчерпывающего упругопластическую стадию работы данной балкн.
ДО ^оиж.
о™. >-)/. +
где m — линейная плотность.
• 12.32. Определить остаточный прогиб однопролетной балки с
шарнирно опертыми концами, вызываемый действием равномерно
распределенного по всему пролету импульса с интенсивностью о=
=3 кН -с/м.
Постоянная нагрузка также равномерно распределена с интен-
сивностью дст—20 кН/м. Балка прокатная из двутавра № 20а; про-
лет /—3 м.
Указание Воспользоваться упрощенным графиком т. е будем
игнорировать криволинейный участок ЛС. соответствующий упругопластической
стадии работы балки (рис. 12.15, д).
Остаточный прогиб определяется по формуле И. М. Рабиновича:
где К — работа, произведенная импульсом:
]\я1р4х-.
М» — моменты в пластических шарнирах; <р< — угловые перемещения* в тех же
шарнирах (рис. 12.15, б); z — перемещение произвольной точки системы, работа-
241
Рве. 12.15
ющей на последнем, неупругом участке, как механизм; — то же, для некото-
рой точки А системы; м«т—эпюра изгибающих моментов системы до приложе-
ния импульса; AG, — суммарная эпюра моментов, отвечающая превращению сис-
темы а механизм. Эпюру (AGp—AGt) можно рассматривать хан график, опреде-
ляемый равномерно распределенной нагрузкой (for-ftr). где q«p — интенсивность
нагрузки, вызывающей в середине пролета возмакноаение пластического шарнира.
Ответ. ал—5,97 oAtulfiO. Значение остаточного прогиба велико, я балку
нельзя считать пригодной для дальнейшей нормальной эксплуатации.
• 12.33. Определить предельный импульс S, приложенный в сере-
дине пролета однопролетной балкн с защемленными концами, поль-
зуясь упрощенным графиком P=f(y) (см. рнс. 12.15, а), если оста-
точный прогиб в середине
Рас. 12.16
пролета гл=6 см; <?ст, сече-
ние балки н ее пролет те же,
что и в задаче 12.32.
Указание. На рис. 12.15,а
даны: эпюры Alev. Мар, (Мар—
—AG») и (Q.p-Qct). Эпюра
(Gap—Got) получена дифферен-
цированием эпюры (Мор—Мет):
из нее следует, что Р-131,56 кН.
Эпюре (М.р—Мот) отвечает
симметричная упругая линия, из
Рве. 12.17
242
которой находим прогкб в середвве пролета у—0,96 см. Следует иметь в ваду,
что допущение об упругом характере деформаций, положенное в основу постро-
ения ашор Мя9 к Мир—Л1«т. приводят к тому, что углы поворотов концов балки,
отвечающие этим эпюрам, отличны от нуля. В дальнейшем эта неточность
игнорируется. На рис. 1216» б показан механизм, в который превратится балка
на последнем этапе работы.
Ответ. S—5.39 кН-с.
• 12.34. На шарнирно опертый стержень, имеющий линейную
плотность m н сосредоточенную на верхнем конце массу М (рнс.
12.17, а), подействовал равномерно распределенный по всей длине
импульс 3 Н-с/м. Статическая сжимающая сила равна Р. Опреде-
лить угол ф (рнс. 12.17, б).
Решение. Для случая прямоугольного сечения предельный мо-
мент определяется по формуле
где N — продольная сила.
Предельная стрела прогиба, после достижения которой дефор-
мации начинают неограниченно нарастать, определяется нэ равен-
ства Мир в пластическом шарнире моменту внешних сил. откуда
sin + +л1</1 •
Составив уравнение работ внешних (импульса и Р4-М&) н внут-
ренних Мир сил. получаем
2М1ф- а Л 1 (К+мП|ДЬф)
0.25 (Р 4- JAg) I + 0,5m£P
Этой формулой МОЖНО воспользоваться при ф>фпр.
В качестве разрушающей интенсивности следует принять мень-
шее из двух следующих значений S:
1) при котором получается неприемлемая для дальнейшей экс-
плуатации стрела прогиба: например, для стальной колонны
2) при котором ф получается мнимым. Если же ф<Фпр» то. при-
няв приближенно закон изменения изгибающего момента в виде
М=МП|^р/ф|1р н составив баланс энергии, получим
|/m[2!l±.—Lmgi—.
• 12.35. Для системы с одной степенью свободы (рнс. 12.18, о),
на которую в начальный момент подействовал мгновенный импульс,
сообщивший начальную скорость с>0. сравнить результаты решений.
243
получаемых прн применении упругопластического (рис. 12.18, б) и
жесткопластнческого методов (рнс. 12.18, в).
Указание Применяя жесткопластнчесхкй метод в соответствии с
рис. 12.18, в. пренебрегаем упругими деформациями. Погрешность, вносимую при
испольэоваини жесгкооласткческого метода, оцениваем через R — отношение энер-
гии, накопленной при пластической деформации, к максимально возможной энер-
гии упругой деформации.
где максимальное смещение при применении упругопластического метода;
Уя — то же, что при жесткопластическом методе.
Таким образом, жесткопластяческий метод в данном случае дает решение с
точностью до 10%, если J?>8.
• 12.36. Балка постоянного сечения, шарнирно опертая по концам,
нагружена мгновенным импульсом, распределенным вдоль пролета
по закону синусоиды (рис. 12.19, а). Найти наибольший прогиб бал-
ки, применяя упругопластнческнй метод.
Указание. Применяя упругопластнческнй метод, следует принять зави-
симость между кривизной осн н изгибающим моментом по схеме рнс. 12.18.6.
Движение балки можно разделить на два этапа: на первом этапе движение
продолжается до тех пор, пока изгибающий момент в середине пролета не до-
стигает предельного значения А<0; на втором этапе движение происходит при по-
стоянном значении Мо в сечении х—/ (рис. 12.19,6). Максимальное смещение
балки в середине пролета будет достигнуто тогда, когда скорость вращения от-
носительно пластического шарнира обратится в нуль.
где = /j — момент времени, когда максимальный изгибающий
момент в балке достигает предельного значення; // — момент времени, отвечаю-
щий максимальному перемещению ?««.
244
• 12.37. Найти форму движения однопролетной балки, внезапно
нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивно-
сти р, прн условии, что начальные скорости соответствуют искомой
форме движения (рис. 12.20).
Указание. Воспользуемся решением А. Р. Ржаннцынв. Прогиб балки мож-
но представить как произведение двух функций, из которых одна зависит от t,
а другая — только от х: у—/(0л(х)-
Введем следующие обозначения:
mh*dx.
Тогда условие для определения л(х). т. е. формы движения балки по
А. Р. Ржаннцыну. имеет следующий вид: (К—£)*/Л1=тах. Дополнительным
Рве. 13.10
Рве. I5L2O
Рк. 13Л1
требованием является К—£>0. Для данной задачи ищем форму движения в виде
трапеции.
Ответ. Первое решение а-//2, что соответствует треугольной форме движе-
ния с шарниром текучести в середине пролета. Вторая форма движения
(рис. 1220) возникает при о<//2 или при Р>24Ма/Р.
• 12.38. Для стержня (рнс. 12.21), выполненного из нелинейно-
упругого материала, подверженного действию нагрузки вида Р=
=Po4-Pr sinOl, определить область динамической неустойчивости.
Данные: физическая нелинейность упругого материала стержня за-
дана уравнением о=Ле—Be8. где Л=2-10« МПа; В=2-109 МПа;
сечение стержня 40X40 см. длина 10 м, удельный вес материала
25 кН/м8.
Указание. Исходное дифференциальное уравнение имеет вид:
Примяв прогиб в виде
у(х, /)-= w(O sin (rtx/f)
я решая уравнение методом Бубнова — Галеркмна, получим уравнение движения.
245
зависящее только or времени (таким образом, задана свелась к колебаниям сяо
темы с одной степенью свободы):
•^•+в*<,-2«с-*>—тКт)'-’=°-
где Q — частота колебаний стержня, сжатого силой Рв:
О* — -*(« —

Со—деформация, соответствующая постоянной частя нагрузки Рй;
<?а
2(! — псд)
—коэффициент возбуждены;
— коэффициент физической иелмкЬости.
2л 6
Область динамической устойчивости определится уравнением в вариациях:
3^-+ fii(l - 2хсов W) » = О
(уравнение Мятье). При малых х имеем его приближенное решение:
62/(402)= 1 ± х.
Ответ. Поперечные колебания стержня могут возникнуть при частоте вынуж-
дающей силы, находящейся в интервале 39,7 с-*<6<44,1 с~’.
• 12.39. Однопролетная шарнирно опертая балка (рнс. 12.22) под*
вержена действию нагрузки 9=9o+^tsinO/. Материал балкн не*
Рас. 12-22 Ршс. IL23
линейно-упругий. Зависимость между напряжениями и деформация-
ми принята в виде <г-Лв—Вв8; Л=2-104 МПа; В—2-10® МПа.
Балка прямоугольного сечения 30X60 см. пролетом 6 м;
=3,65 кН/м; <7о=7,3 кН/м. Удельный вес материала 25 кН/м3. Оп-
ределить постоянную часть прогиба и амплитуду колебаний при
6|=59.5с-*;е,= 168с-«.
246
Указание. Исходное дифференциальное уравнение
efo + ft «*п W.
где У—ВЛ Оля прямоугольного сечения момент инерции четвертого порядка ра-
вен А^оЛг/вО).
Чтобы свести исходное уравнение к уравнению колебанн! систем с одно* сте-
пенью свободы, примем
foefoi«fa “1 и(х. О—/(Z)sin -j—
и получим
<р/ ж
Afi + Н
4 Z° m mm
причем Ям и ян находятся по правилу для определения коэффициенте» ряда
Фурье, а именно:
1 I 1
[ 1 ** л ( 3 ** J 4fo
ф01=^ fo*ln “7“ dx / ) ®n “*Х= л ' *n= л ’
о /о
В уравнении движения удобно перебтн к безразмерным координатам. Фор-
мулы перехода:
»= — /; т=»«/; ! = ~; Ров^-“Рг = ^-—,
ы ы ты ты
Y
, тогда ы> =
Уравнение движения в безразмерных координатах
4-w —ерЗ= P0 + Pf sin ут.
Приняв ш—«4-о sin фт. подставим его в уравнение, затем, приравняв нулю
коэффициенты при sin<pr и свободные члены (метод гармонического баланса), по-
лучим два уравнения:
-nS-i-e—|-по2 = Яо;
4’(T'-l)v+V«
3 о
Сначала по первому уравнению построим график завнсямостн п(«), а затем,
пользуясь им. по второму уравнению построим амплитудно-частотную характе-
ристику (рис. 12.23).
Ответ.
«1=1.41 см; О| —1.02см; «2=,»34см; оя«0,8см.
247
ГЛАВА 13
ДИНАМИКА ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
Краткие сидения иа теории
Уравнения колебаний оболочек и пластин можно получить путем прибавления
к внешним силам, .которые входят в соответствующие уравнения равновесия, сил
инерция. Жесткость оболочки и пластинки в срединной плоскости намного больше
жесткости в направлении нормали к срединной поверхности. Поэтому тангенци-
альными составляющими сил инерция обычно пренебрегают, полагая
рА #9
g ' '*
Х = Г = О; Z= —
X и У — составляющие сил инерции в срединной поверхности; Z — нормальная
составляющая силы инерция; р — плотность материала; А —толщина оболочки
или пластины; w — прогиб.
Рассмотрим гармонические колебания, при которых прогиб может быть пред-
ставлен в виде
v = w(a. ₽)в1пш/.
Основное уравнение для исследования колебаний пластины имеет вид
0V4» + — ~ Я = 0.
g ОТ2
(13.1)
где внешняя нагрузка. Если q является периодически изменяющейся нагруз-
кой, то уравнение (13.1) служит для определения прогибов прн вынужденных
колебаниях. Если ? —статическая нагрузка, то уравнеляе позволяет определить
частоты собственных колебаний пластины с нагрузкой.
Поперечные колебания пологих оболочек описываются уравнениями
+ ^0;
* (13-2)
чЪ - V = °-
Вид операторов V4 и V1*, а также связь ю н if с напряжениями я деформа-
циями оболочки приведены в гл. 7. Если $=0, то уравнения (13.1) я <13-2) опре-
деляют собственные колебания пластин и оболочек.
Определение собственной частоты (частоты свободных колебаний) пластин
и оболочек связано с решением однородных уравнений (13.1) н (13.2) (при q=
«0). Эти решения следует подчинить граничным условиям, которые ничем не
отличаются от гоаничных условий в задаче о равновесии пластины или оболочки
под нагрузкой. Получают систему однородных уравнений для неизвестных произ-
вольных постоянных. Эта сястема имеет отличные от нуля решения, когда детер-
минант системы равен нулю. Отсюда получают уравнение частот f (ш) =0.
Уравнение определяет спектр частот собственных колебаний пластины или
оболочки. Граничные условия приводят, как правило, к детерминантам высоких
порядков, раскрытие которых может быть громоздким. Исключение составляют
задачи о шарнирно опертых пластинах н оболочках. Задавая прогиб двойным три-
тонометрическим рядом (а для оболочек —и функцию напряжений), удовлетво-
ряющим всем граничным условиям, непосредственно из уравнений (13.1) и (13.2)
получают выражения для определения спектра частот свободных колебаний.
Для определения частот свободных колебаний при произвольных граничных
условиях широко применяют приближенные способы.
248
Метод Бубнова — Галеркииа. Задают ф н w в форме рядов
г=2 2 л""х« (°)г- <ю •1п
=2 2 в««ь> (о)*» <w “*•
Для пластины берут лишь выражение для ш. Функции ф и w должны удо-
влетворять граничным условиям задачи. Удобно использовать в качестве Л, У, у
и ф фундаментальные балочные функции, что позволяет удовлетворить проц»,
вольным граничным условиям. Эти функции подставляют в вариационные уран,
нения:
для оболочек
+ vif + у-^г) «•<’/*=0;
$Ur’4’-vJe)
BfdF = 0;
для пластинок
Приравнивая детерминанты получающихся систем алгебраических уравнений
нулю, получают выражение для определения собственных частот:
для оболочек
ЛЛ1
Л/зГ
для пластинок
/1 = ^Х„гя^ (X„Y„) 0аЛ9;
A-ff x„r. +х.^-[*.+„]) чир:
/> = £[*. ♦- |У-£ [*»4] + Х"^ 1*»’^)*’*
/«=JJ 1п4'ж0Х«'Ма<1Р;
л=ЛхЙ£<1«Ч1- <1з.э)
При выборе X. У, х и ф существенное значение имеет задание функций, об-
ладающих свойством ортогональности как с самими функциями этого класса, так
и с их вторыми к четвертыми производными. Тогда бесконечная система уравне-
ний с бесконечным* числом производных распадается на систему, состоящую из
пар уравнений относительно Лмя и Вм.
Метод Рэлея — Ритца. Частота собственных колебаний пластинки оп-
ределяется из условия минимума суммы ее потенциальной я кинетической
энергий.
249
Прогиб представляют в форме ряда
w -= ЭДл*м tin Ы (ai*i + os«b +...) ain ы.
Потенциальная энергия определяется выражением (7.6). Кинетическая мер-
гяя имеет вид
Подставляя ю в U я Т я определяя производные
-^-(17+П = 0.
получают систему уравнений для Пряравяявая нулю детерминант этой сис-
темы, получают уравнение для определения частот. %
Приведенные приближенные методы действительны при прогибах существен-
но меньших толщины оболочки. Если прогиб велик, то следует принимать во вни-
мание натяжение срединной поверхности оболочки. Натяжение изогнутой поверх-
ности увеличивает жесткость конструкции. Увеличивается я частота свободных
колебаний.
Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях пластин и оболочек, шарнир-
но опертых по контуру, при действия произвольной нагрузки, изменяющейся во
временя по гармоническому закону. Тогда о уравнении (13.1) и (132) нужно вве-
сти Q"f(o, 0) sin 01. Прн шарнирном опирании по контуру у(о, 0) представляют
в форме ряда
9 (а. 0) = 2 2 СМ4 ain Хяа sin ^0. (13.4)
где
Сая “ "aJT J J Я<а» W “1П Х"а 1,11 Ил,₽<,<“,₽:
;tsn = — <|3-5>
“о h
Решение уравнений (132) задают в виде
у = ain«22A»»« eta^aalnftep; (18.6)
• л
ж = sin W у, 2 Алл *я° »in (13.7)
м я
Для пластины прогиб принимают в виде (13.7). Подставляя уравнения
(13.4), (13.6), (13.7) в (132), определяют Вж« через известный коэффициент Ст*.
Амплитуда вынужденных колебаний оболочки определяется выражением
’-b-SS^r-
at л
(13.8)
Для пластины прогиб определяется по такой же формуле (частоте м» в
этом случае вычисляется для свободно колеблющейся пластины). Если 0 мало по
250
сравнеяпо с Mm. то перемецеш будут соответствовать статяческому ведебсг-
вмю нагрузка
Значение динамического коэффициента равно отвсшепшо (13.8) к (13.9)
1
13.1. Свободны» колебания оболочек и пластин
• 13.1. Определить частоту собственных колебаний круговой ци-
линдрической оболочки (рис. 13.1). свободно опертой по контуру.
Вычислить частоту основного тона для железобетонной оболочки,
имеющей следующие размеры: /=54,4 м; /|=20,6 м; /=4,15 м; /?=
= 14,85 м; Л=10 см; 0о=1,54 рад. Материал—легкий армирован*
ный бетон £-5,6-103 МПа; р- л
= 1,6 т/м®; v=0. _
Решение. Уравнения для кру-
говой цилиндрической оболочки
имеют вид
-S-+~
<«*°> |Ч,
Уравнения получены из (13.2)
при А|=0, Ai= 1/Я, где R — радиус ₽ж’1X1
кривизны оболочки. Уравнения записаны в безразмерной системе
координат а=//£ и Q=s/R. Граничные условия прн свободном
опирании имеют такой вид:
w=v=Af.=ATe=0 при a=0; a=///?;
w=e==Af₽=^=0 при 0=0; 0=fe.
Выражения для ф и ш, удовлетворяющие этим условиям, имеют
следующий вид:
?=2 2 Л"* sin *"a s*n s*n ***
ж=1 я=1
®=2 2 s*n М* sin sin »t, (13.11)
где *.=««/?//; |»e=»wt/fc.
Подставляя (13.11) в (13.10). получаем:
-^-W+h.)’+B^=:0:
251
ляя
в,* tf+£)’ ’
2
мл
ЕЫ&*
+о(*:+аг].
(13Л2)
Для определения основного тона колебаний нужно определить
значения тип (значения Хп и рт), соответствующие низшей часто-
те. Исследование выражения (13.12) показывает, что основной тон
колебаний соответствует Xj (при л=1 одна полуволна в продоль-
ном направлении). Для длинных цилиндрических оболочек и для
оболочек средней длины основному тону собственных колебаний со-
ответствует т=2 (две поперечные полуволны), а для весьма поло-
гих и слабо искривленных оболочек — т=1. В этом нетрудно убе-
диться. исследуя выражение (13.12) на минимум при постоянном Хп:
После несложных выкладок получают
При /|//=20,6/54.4<0,5 частоту основного тона следует искать по
формуле (13.12) при п=1 и т=2.
! 3.14*14.85 поте. 3,14-2 ft7 .
. =0.875; 1»,=-^—=4,08; ш12=6,7 с->.
34.4 1.04
• 13.2. Исследовать изменение частоты свободных колебаний шар-
нирно опертой цилиндрической оболочке в зависимости от длины
пролета. Размеры оболочки в поперечном направлении принять, как
в задаче 13.1. Пролет оболочки принять равным 6,4; 10,4 н т. д. до
54,4 м с шагом 4 м.
Указамие. Расчет вести по формуле (13.12). Так как отношение IJI ме-
няется в широких пределах, представляет интерес подсчитать частот^ для разных
значений т при л»1.
Ответ. Результаты представлены в таблице [приведены значения Шт/(2л)]
1. И а»п Uhi Мн М<1 «м
6,40 18.50 15,30 12,00 9,90 9,16
10,40 16,30 10.90 7,27 6,76 5.80
14,40 14,10 8,30 4.72 4,02 4.80
18,40 12,00 5.58 3,34 ЗД2 4.47
22,40 10,00 4,14 2Д2 3,01 4,30
26.40 8 ДО 3,32 2^0 2,85 4.22
30,40 7,10 2,52 1,93 2.76 4.16
34,40 6,03 2,08 1,78 2.70 4.14
38,40 6,15 1.75 1.70 2.67 4.12
42,40 4.45 1.49 1,63 2.64 4,10
46.40 ЗДЗ 1.31 1,59 2.635 4.09
50,40 3,36 1,18 1,56 2,63 4,08
54.40 3,00 1.06 1.53 2,625 4.075
252
На рис. 132 изображен график зависимости частот от длины
пролета рассматриваемой оболочки. Из графика следует, что низ-
шим частотам во все более коротких оболочках соответствуют фор-
мы колебаний с увеличивающим-
ся числом полуволн в поперечном
направлении.
• 13.3. Исследовать влияние по-
логости цилиндрической оболоч-
ки на частоту свободных колеба-
ний. Рассмотреть оболочку со сле-
дующими данными: /= 16 м; />=
Рис. 13.2
=8 м; Л=6 см; Е= 1.4-10* МПа;
р=2,4 т/м’; v=0,17.
Рже. 133
Ответ. Частоты, вычисленные для пологостей от f/l|—1/8 до ///,«= 1/20. приве-
дены ниже:
IJf 8 9 10 Н 12 13 14
«11 9.63 8,57 7,73 7,05 6,48 6,00 БД9
«13 4Д6 4,84 4,75 4,68 4.64 4,60 4.67
/1// 15 16 17 18 19 20
«II 5,24 4,93 4,66 4,42 421 4,02
0)13 4.55 4.53 4Л1 4,50 4.48 4.47
Для рассматриваемой оболочки основной тон колебаний начиная с /J/—18
соответствует форме с одной полуволной как в продольном, так и в поперечном
направлениях. Эта закономерность наблюдается у всех длинных цилиндрических
оболочек. Предельная пологость, для которой «и становится частотой основного
тоня, зависят от конкретных данных, но всегда существует.
• 13.4. Определить частоту свободных колебаний пологой оболоч-
ки двоякой положительной кривизны, шарнирно опертой по конту-
ру (рнс. 13.3). Вычислить частоту свободных колебаний пологой
сферической оболочки на квадратном плане: а=10 м; /=0,3 м;
£=2-10» МПа; р=2,4 т/м’; v=0,12; Л=0,1 м; Я=82.98 м.
Указание. Формула для расчета частоты свободных колебаний оболочек
двоякой кривизны получается тем же способом, что и для цилиндрической обо-
лочки. Задавая ф и w в форме (13.11) н подставляя их в систему (132). после
простых выкладок получают
где ₽i, R3 — радиусы кривизны оболочки в направлении координатных линий а и
Р соответственно; пл/а;
253
Для сферической оболочки /?!-/?>-Я а
<.-b-[»w+AC+->],
Исследования показывают, что низшей частоте колебаний соответствует фор-
ма с одной водной как в направленна а. так и в направлении В. т. е. т=л—1.
Это наблюдается в оболочках с постоянными кривизнами я ка прн небольшой
разнице между /?» Ь %
Ответ. Шц—5,891 с~!.
• 13.6. Определить низшую частоту свободных колебаний поло-
гой оболочки переноса, имеющей размеры в плане а=20 м, Ь=
=20 м. Толщина А= 10 см; /=4 м; f-2-103 МПа; р=2,4 т/м’;
₽i=26 м; Яа=37 м.
Ответ. <011*14,5 с-1.
• 13.6. Определить низшую частоту свободных колебаний пологой
сферической оболочки, защемленной по контуру. Данные—в зада-
че 13.4.
Указание. Граничные условия имеют такой вид:
приа»0| дет _ л
1и=0; —= 0; и = о = 0;
а = а) да
при p = 0i . dw _ _
Р = в|
Этим условиям удовлетворяют следующие фундаментальные балочные функ-
ции:
Хл (а) = sin Лаа — ah Хяа — а* (cos Ляа — ch 1яа);
Хл (а) * ain 1яа + ah 1яа — в* (cos Хяа -f- ch 1яа);
Фт (₽) = Sin - ah Итр - (cos Pmp - ch Рмр);
Гж (₽) = sin pm₽ + sh f»»₽ - b* (cos + ch HwP);
__ sin 1яао4-ahXHgQ _ sin b»Po 4- ah FaPo.
cos 1яао — ch Хяао ’ cos ИжРо — ch p^Po
Подставив эти функции в (13.3) н взяв интегралы, определить частоту.
Ответ. ыц-"(Ц)87 кол/с.
• 13.7. Определить частоту собственных колебаний цилиндриче-
ской оболочки, защемленной по криволинейным краям. Продоль-
ные края ие оперты (рис. 13.4). Дано: /=12 м; /|=6 м; л=8 см;
£=500 МПа; р=1,8 т/м’; /=0,55 м.
Указание. Граничные условия имеют такой вид:

254
Функции v ф представляют в форме произведения фундаментальных фуях-
Ци*. удовлетворяющих граничным условиям:
v = sin м/ [sin X*u + sh X* a — a* (cos X’a 4- ch X*a)] x
X [einp^p — shi4₽ — a*(cosi£p — ch£₽)];
f »= sin «rf [sin XMa — sh XMa — «♦ (cos Хяа — ch Хя a)] X
X (sin ияр + sh Pmp — a* (cos Hmp 4- ch Л.Р));
_ 2л 4-1 я 2m —1 я .. 2л—I л . 2m 4-1 я
5“Т: т: ----------- -- “-““Г-V
Ответ. «и—5.73 кол/с.
• 13Л. Определить частоту собственных колебаний шедо-
вой оболочки с главными кривизнами срединной поверхности

(рис. 13.5). Ограничиться определением
частоты основного тона. Оболочка шарнирно закреплена по кон-
туру.
Решение.
^(“)=x«(e)=sin х«°: Ч=—:
°0
Гя(₽)=Ф.(₽)=8>п i*«₽: :
₽0
Jl=\ sinJX„a sin»
0 0 4
X2
sinM-^-sinX^aX
/?2
Рна 11
“3?" sin и. ВI} dadB=
Ja=l I sinX^asin
265
j J sinH.asin’,».? (Xi+ni)dad₽=(tf ;
J f sln»X-asin»|»„pdad₽=-^-
0 0
21Y
Л, I
£h
-L=£ о(4+|х’)Ч
г* [_
• 13.9. Определить спектр частот собственных колебаний прямо-
угольной пластинки со сторонами а и Ь, шарнирно опертой по кон-
Решение. Принимая прогиб в виде
w=B„e sin 5|П 2EL sin

и подставляя его в уравнение (13.1), находим
*h/ Ы*
& )У 12р(1 -V2)
Частота основного тона определяется прн т=п= 1
« а* 1 / _____СЛ»4
<*1|*“ аЧ» У 12р(|— v2)
• 13.10. Определить приближенное значение частоты свободных
колебаний прямоугольной пластинки со сторонами 2а н 26. защем-
ленной по контуру.
Решение. Применим метод Рэлея — Ритца. Зададим прогиб
выражением
«=Д(х2—аЩу*—
удовлетворяющим граничным условиям:
Ver=B’D-g-aV[^+
T=& —
t e*
Из условия (У+D =0 находим
до
“=4 V 2 ["^4
Для квадратной пластинки
и =9,09-1-1/
afl У
Dg
P*
25С
• 13.11. Определить частоту свободных колебаний прямоугольной
пластинки со сторонами а и Ь, защемленной по краям х=0, х=а
к шарнирно опертой по краям у=0, у=Ь.
Указянве. Примешггъ метод Бубнова — Галеркина. Прогяб, удовлетво-
ряющий граничным условиям, можно представить с помощью фундаментальных
балочных функций
9 = ВяяХ(х)У(уЦп»1.
где Х(х) = 51пХях — вЬХях — a(coel*x — chX„x);
У (0 eln нту;
Хя = лл/а; нж = л1Д/б; л = (И + 1)/2 (/-I, 2,...).
4,635 jfTg .
Ответ. -и = —т— у —г~» если а = Ь.
в* * fn
11Х Вынужденные колебания оболочек и пластин
• 13.12. Определить амплитуду вынужденных колебаний в шар-
нирно опертой цилиндрической оболочке, имеющей размеры, ука-
занные в задаче 13.1. Оболочка подвержена действию равномерно
распределенной нагрузки, изменяющейся по закону q—q sin Of, где
<7=0,5 кН/м2; 0=20 сЧ
Решение. Раскладывая нагрузку q в тригонометрический ряд
по а и 0, определяем по (13.5) Cmn:
С~=sinX.asin^ad^^-.
Амплитуда вычисляется по формуле
16<у V уч «1п Хяа lining
рая2 тл(“жя—®2)
(т=1.3,5......со; л—1,3,5,...,со).
Значения Штп (частота собственных колебаний) можно взять
из последней строчки таблицы в задаче 13.2. Для этих частот полу-
чаем ш= 1,929 см.
• 13.13. Определить амплитуду вынужденных колебаний цилин-
дрической оболочки, нагруженной сосредоточенной гармонической
силой Р sin 0/, приложенной в точке с координатами си, pi-
Решение. Сосредоточенную силу заменяют распределенной
нагрузкой на малом участке цилиндрической поверхности со сто-
ронами е и 1).
v=P/(4/?M);
4п "г!*1
J J Я Sin Хяа sin p^pdadp.
257
Стягивая выделенный элемент к точке аь рь получают в пре-
деле
sin Mlsin <*-₽>•
PqUC
Амплитуда вынужденных колебаний
• 13.14. Определить амплитуду вынужденных колебаний сфери-
ческой оболочки, нагруженной равномерно распределенной нагруз-
кой 9=9 sin 6/. Размеры оболочки и частоты собственных колеба-
ний приведены в задаче 13.4; 9=0,5 кН/м1; 0=50 «г1.
Ответ. в* 1,34 мм.
• 13.15. Определить амплитуду вынужденных колебаний в прямо-
угольной пластинке axb, шарнирно опертой по контуру. На пла-
стинку действует нагрузка
9=90sin — sin2sin 6Л
а b
Решение. Коэффициент Cmn вычисляют по формуле

тогда
w —
sin-2^ sin-22-.
рЛ «2 — 6^ a b
Амплитуда колебаний в центре плиты
w=*£_.__________________________!___;
рй U>3—(Р
если не учитывать явление затухания, то при совпадении частот вы-
нужденных н собственных колебаний амплитуда стремится к беско-
нечности. Таким образом, полученная формула может быть исполь-
зована лишь вне области резонанса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем учебном пособии рассмотрены сравнительно прос-
тые задачи, которые позволяют освоить и понять специфику ис-
пользования современных методов расчета конструкций на устой-
чивость и на динамические воздействия. Авторы стремились пред-
ложить читателю такие задачи, которые, с одной стороны, вскры-
вают характер исследуемых явлений, а с другой — позволяют по-
лучить окончательные результаты без привлечения современных
больших вычислительных машин. С методической точки зрения
при решении поставленных выше задач можно рекомендовать при-
менение микрокалькуляторов, например типа «Электроника
МК-54», и мини-ЭВМ. Составление программ и их использование
позволяют широко внедрить в учебный процесс элементы научных
исследований.
Современное развитие вычислительной техники способствовало
дальнейшему развитию методов расчета строительных конструкций
на устойчивость и на динамические воздействия. Эти методы в ос-
новном направлены на приближение расчетных схем к действитель-
ному описанию поведения реальных объектов. В связи с отмечен-
ным можно сформулировать ряд проблем, представляющих боль-
шой практический интерес.
В первую очередь — это развитие методов решения нелинейных
задач теории устойчивости и динамики сооружений. Здесь боль-
шое значение имеют приближенные, качественные методы, с по-
мощью которых представляется возможным наглядно описать по-
ведение широкого класса систем. Наряду с этим представляет ин-
терес развитие численных методов, позволяющих получать кон-
кретные решения поставленных задач.
В последние годы особый интерес представляет развитие ме-
тодов решения оптимизационных задач, когда параметры систем
устанавливаются из условия удовлетворения некоторым оптими-
зационным критериям.
Новое направление связано с проблемами идентификации рас-
четных моделей, когда на базе известных воздействий н реакций
сооружений определяются параметры систем. Решение таких за-
дач тесно связано с использованием теории вероятностей н теории
случайных функций. Кроме того, последние теории широко исполь-
зуются в тех случаях, когда параметры системы и исходные нагруз-
ки являются случайными величинами или случайными функциями.
Актуально развитие методов теории надежности применительно
к решению задач теории устойчивости и динамики.
259
В качестве широко обсуждаемых в настоящее время в техниче-
ской литературе проблем можно отметить задачи, связанные с рас-
смотрением неклассического затухания, вопросы расчета систем,
состоящих из жестких и деформируемых элементов, имеющих ко-
нечные смещения, методы расчета активных виброизолирующих
систем с обратными связями, развитие метода конечных элементов
применительно к решению задач динамики и, особенно, устойчиво-
сти, так как разработка отмеченного метода к решению последней
еще далека до стройного завершения.
Исключительно важным обстоятельством, которое всегда надо
иметь в виду при формулировке расчетных моделей, является адек-
ватность описания последними реальных металлических, железо-
бетонных конструкций и конструкций из других материалов. Это
определяет необходимость усиления связи методов строительной
механики с проблемами расчета строительных конструкций. С дру-
гой стороны, необходимо прн решении задач строительной меха-
ники, особенно задач устойчивости и динамики, широко использо-
вать весь современный аппарат высшей и прикладной математики
и вычислительную технику.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда 97, 133, 153
Арка 46, 66, 72, 74
— круговая трехшарнирная 48
Балка 40. 70. 72
Вековое уравнение 49
Возможная работа 25
Возможное равновесие 27
Возможные перемещения 25
Гибкость стержня 34
Граничные условия 28
Деформационный расчет 69
Динамики сооружений 96
Жесткость 12, 102
Закрнткческое состояние 27
Затухание 127
Изгиб продольно-поперечный 69
Импульс 103, 219
Квадратичная форма II
Колебания вынужденные гармониче-
ские 156, 214
---установившиеся 132
— изгибные 156
— крутильные 99
— свободные 99. 137
— фундамента 119
Кольцо круговое 46
Конечные деформации 73
— перемещения 74
Коэффициент динамичности 98, 117,
— Пуассона 92
— постели 16
— приведения массы 185
Кривая равновесных состояний 5
Критическая сила 10
— нагрузка нижняя 81
---верхняя 81
Критический параметр 15, 16
Метод вариационный 56, 64
—дополнительных нагрузок 31
— гармонического баланса 247
— графоаналитический 49, 136, 189
— динамический II, 13, 18. 27
— итераций 50
— качественный 56, 64
— конечных элементов 29, 70
---разностей 49, 63
— начальных параметров 28, 34
— перемещений 29. 30. 69, 155, 176
— приведения масс 184
— последовательных приближений 48»
55. 69, 187
— Релея — Ритца 249
— сил 22. 41, 69
— смешанный 22, 69
—спектральной функции 60
— статический И, 12. 14. 18, 27. 86
— энергетический 11, 12. 54. 63. 66.82
Модуль касательный 76
— приведенный 76
Нагрузка динамическая 218
— кратковременная 228
— перемещающаяся 221
— сейсмическая 220, 234
— ударная 225
Напряжения динамические 239
Начальные несовершенства 10
Нелинейно-упругие системы 75
Обобщенная сила 54
Обобщенное перемещение 54
Определитель устойчивости 26, 55
Период 97
Податливость 97
Полином Лагранжа 50
Потеря устойчивости Б
Приведенная длина 34
Принцип возможных работ 14
Работа внешних сил 54
— внутренних сил 54
Равновесие неустойчивое 25
Рама 64. 72
— плоская 64
— пространственная 64
261
Ряд устойчивости 67
Силв критическая 10
— обобщенная 54
Система консервативная 11
— неконсервативная 11
— следящая II
— упругопластнческая 75
Скорость звука 103
Собственный вектор 52 ’
Степень свободы 10
Стойка Шенлн 67
Точка бнфупкацвн 7
— предельная 9
Уравнение Лагранжа 21
— частот 131
Ускорение кориолисово 114
— центробежное 114
Устойчивость движения 11
— систем с одной степенью свободы
12
---с несколькими степенями свобо-
ды 17
— оболочек в «большом» 89
-----«малом» 89
— упругих сметем 27
Ферма Мизеса 9
Фиктивная связь 192
Фиктивное состояние 182
Формула Бернштейна 188
— Донкерлея 186
— Мора — Максвелла 206
— Рабиновича 234
— Савича 232
Характеристическое число 51
Частота 97
Численное дифференцирование 49
— интегрирование 49
Энергия кинетическая 185. 250
— потенциальная 11. 17. 260
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел первы А Устойчивость сооружений Б
Глава 1, Устойчивость систем с одной и несколькими степенями свободы
Краткие сведения из теории Б
1.1. Устойчивость систем с одной степенью свободы.................... 12
1.2. Устойчивость систем с двумя и несколькими степенями свободы . 17
Глава 2 Устойчивость упругих систем
Краткие сведения из теории......................
2.1. Стержни постоянного н переменного сечения
22. Неразрезные балки и рамы
2.3. Арки
Глава 3. Приближенные методы решения задач устойчивости упругих сис-
тем ...
Краткие сведения из теории
3.1. Стержни и. фермы...............
32. Плоские и пространственные рамы .
3.3. Арки
Глава 4. Продольно-поперечный изгиб и деформационный расчет систем
Краткие сведения из теории .
4.1. Простые балки..............................
4.2. Статически неопределимые балки, рамы, арки .
Глава 5. Конечные деформации
Краткие сведения из теории
5.1. Конечные перемещении
Глава 6. Устойчивость нелинейно-упругих и упругопластических систем .
Краткие сведения нз теории.................
6.1. Расчет стержней за пределом упругости
6.2. Расчет рам за пределом упругости
Глава 7. Устойчивость оболочек н пластин
Краткие сведения нз теории...............................
7.1. Устойчивость оболочек и пластин в пределах упругости
Раздел второй. Динамика сооружений
Глава 8. Колебания систем с одной степенью свободы
Краткие сведения из теории . .
8.1. Свободные колебания.............................. ...
8.2. Колебания под действием мгновенных сил.......................
8.3. Колебания под действием сил, изменяющихся во времени по произ-
вольному закону
Глава 9. Колебания систем с несколькими степенями свободы
Краткие сведения нз теории
9.1. Свободные колебания .
92. Вынужденные колебания
К ЙЗЗЗ $ ?338 8 35й Й PS ie PPP S SS a sag 3 Я 8Й? g
Глава 10. Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы
Краткие сведения из теории
10.1. Свободные колебания балок . .
10.2. Вынужденные колебания балок
10.3. Колебания рам и арок
Глава 11. Приближенные расчеты периодов собственных колебаний соору-
жений
Краткие сведения из теории
11.1. Балки и плиты
11.2. Рамы и фермы
Глава 12. Приближенные динамические расчеты сооружений
Краткие сведения из теории . .
12.1. Влияние перемещающихся нагрузок
12.2. Действие удара на сооружение . .
12.3. Влияние кратковременных нагрузок
12.4. Сейсмические нагрузки...........
12.5. Колебания упругопластических систем
Глава 13. Динамика оболочек и пластин
Краткие сведения из теории . ....
13.1. Свободные колебания оболочек и пластин .
13.2. Вынужденные колебания оболочек и пластин
Заключение
Предметный указатель .
156
156
164
170
176
184
184
190
202
218
218
221
225
228
234
240
248
248
251
257
259
261
Учебное издание
Николай Иванович Безухов
Ольгерд Владимирович Лужин
Николай Вячеславович Колкунов
устойчивость и динамика
СООРУЖЕНИИ
в примерах и задачах
Заведующий редакцией А. В. Дубровский. Редактор Л. Н. Шатунова. Младшие редакторы
Т, Ф. Артюхина и Н. М. Иванова. Художественный редактор Л. К. Громова. Технический
редактор Т. А. Новикова. Корректор Г. А. Чечеткняа
ИБ № 6592
Изд. № ОТ-598. Сдано в набор 01.12.86. Подп. в печать 14.05.87. Формат 60X88Vie.
Бум. офс. № 1. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 16.17 усл. печ. л.
16,17 усл. кр.-отт. 17.23 уч.-изд. л. Тираж 16 500 экз. Зак. № 786. Цена 90 коп.
Издательство «Высшая школа». 101430. Москва. ГСП-4. Неглинная ул., д. 29/14.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома прн Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
101898. Москва, Центр, Хохловский пер., 7.