Андрей Шуман
СОВРЕМЕННАЯ
ЛОГИКА
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Минск
_______издательский центр
УКОНОМ UPfCG'
2004
УДК 16
ББК 87.4
Ш96
Рецензенты:
профессор математической логики в Институте
математики Польской академии наук (Варшава), заслуженный профессор
философии и председатель Комитета философии в Институте философии
и социологии Польской академии наук (Варшава), член Международного
института философии Анджей Гжегорчик;
ректор Академии последипломного образования (Минск), зав. кафедрой
высшей алгебры Белорусского государственного университета (Минск).
доктор физико-математических наук, профессор Олег Тавгень;
доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники
Российской Федерации, президент Ульяновского отделения Международной
академии информатизации и председатель Ульяновского отделения Российского
философского общества Леонид Волгин;
и. о. зав. кафедрой философии Белорусского государственного университета
информатики и радиоэлектроники (Минск), кандидат философских наук,
профессор Галина Ма лыхина;
и. о. зав. кафедрой философии Белорусского государственного
педагогического университета им. М. Танка (Минск), доктор философских
наук, профессор Павел Кинель.
Шуман А. Н.
Ш 96 Современная логика: теория и практика / А.Н. Шуман. —
Мн.: Экономпресс, 2004. —416 с.
ISBN 985-6479-35-5.
В предлагаемой книге предпринята попытка общедоступного
изложения современной логики. Содержание работы затрагивает наиболее
актуальные вопросы математической, вероятностной и неформальной
логики трех доминирующих разделов современного логического
знания. Впервые в отечественной литературе логика сопоставляется с
критическим мышлением.
УДК 16
ББК 87.4
© Шуман А.Н., 2004
© Экономпресс. 2004
ISBN 985-6479-35-5
Книга посвящается моим родителям
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга во многом отличается от пособий по логике, ис-
пользуемых обычно для философских и гуманитарных отделений ву-
зов. Принципиальное расхождение сводится к тому, что учебный курс
□свешается в нем с позиции современной логики. В обычных про-
граммах содержится главным образом четыре общих раздела: (1) “По-
нятие как форма мышления”. (2) “Суждение как форма мышления”,
[3) “Умозаключение как форма мышления", (4) “Учение о методе”
Такое традиционное деление курса логики отражает исключительно
зристотелевское понимание принципов ее построения (см. Аристо-
тель [IV в. до н. э.]), оно было предложено еще схоластами и просу-
ществовало на Западе вплоть до конца XIX в. Наиболее популярный
груд, включающий названные разделы, — книга Арно и Николь [ 1662].
Но этому же образцу выстраивались все традиционные учебные кур-
:ы логики (см., например, Кайт [1800]). Исторически первые работы
по философской логике также либо непосредственно имели подоб-
ную структуру (Кант [1787], Гегель [1812, 1813,1816], Фишер [1865]),
пибо косвенно были связаны с ней (Наторн [1910], Риккерт [1892]).
Однако в современной логике т акие категории, как “понятие”, “суж-
тение” и “умозаключение”, были признаны в высшей степени про-
блематичными, поэтому логические системы строятся теперь с при-
влечением других, более элементарных категорий. Существует целый
ряд стро1 их теорий, в которых делаются лишь попытки определенным
эбразом эксплицировать три вышеназванные категории. Среди них
можно назвать L-семантику Карнапа (см. Карнап [ 1947], Тонд.1 [ 1966]),
более или менее успешно эксплицирующую категорию “понятие”, а
также различные варианты исчисления имен (см. Лукасевич [1951],
Лесьневский [1927—31]), выявляющие логический смысл категорий
‘суждение” и “умозаключение”. С учетом данного обстоятельства
построение учебного курса на базе небесспорных понятий является в
4
Предисчовие
методическом плане некорректным, не говоря уже о том, что контек-
стуально вводимый материал соответствует уровню логической на-
уки лишь середины XIX в., т.е. вплоть до тех революционных откры-
тий, которые полностью изменили ее лицо. Эти открытия связаны с
именами Буля [ 1847], Шрёдера [ 1877,1895], Уайтхеда и Рассела [1910- -
1913] Фреге [1879] и др.
В связи с этим становится понятным, почему в философской об-
щественности аналитическая философия не находит значительного
отклика, тогда как на Западе она составляет одну из наиболее мощных
философских традиций. Это объясняется, повторюсь, отсутствием
необходимой учебно-методической базы. По тем же причинам стано-
вится понятным отсутствие широкого резонанса даже на логические
работы, носящие публицистический характер, таких авторов, как Хин-
тикка [1968, 1973] и фон Вригт [1971]. К этому можно добавить, что в
советской школе логики, славящейся множеством серьезных откры-
тий, наиболее известными представителями были, в обшем-то, не фи-
лософы, а математики (Мальцев [1941], Новиков [1955], Ершов [1980]
и др.). Вызвано это было скорее всего тем, что долгое время специали-
сты в логике, имеющие философское образование, вынуждены были
заниматься оправданием нонсенса, носящего имя диалектической
логики. С исчезновением же последней разумнее всего ожидать про-
фессионализацию логического образования среди философов и гу-
манитариев.
Любопытно, что в философской среде бывшего СССР математи-
ческая логика и традиция аналитической философии долгое время
оценивались как буржуазные дисциплины, призванные выражать ин-
тересы правящих элит капиталистических государств. Соответственно
в отечественной среде ощущалась потребность в построении особой
“пролетарской” логики, пригодной для трансляции в советском соци-
уме. Таким образом, диалектическая логика и была создана в проти-
вовес математической логике для оправдания советского дискурса и
специфической социальной практики так называемого социалисти-
ческого реализма. Вместе с тем вследствие того, что она не имела
никаких коррелятов с современной логикой, возникла насущная по-
требность в реанимации традиционных учебных курсов. Так, в науч-
ной среде бывшего СССР возник миф о существовании двух логик —
одной для философов и гуманитариев, отражающей учебный матери-
ал курсов по логике XIX в., другой для математиков и естественников,
отражающей уже последние достижения в области логической науки.
Однако отличие читаемых курсов у гуманитариев от таковых у есте-
ственников должно быть продиктовано исключительно демонстраци-
ей различных аспектов применения одной и той же логической тео-
Предисловие 5
рии. Ведь существует только одна логика, имеющая лишь различные
сферы своего применения В этом плане представляется удивитель-
ным тот факт, что студентам гуманитарных отделений до сих пор чита-
ется, что в логике существует четыре закона (закон тождества, закон
противоречия, закон исключенного третьего и закон достаточного
основания), в то время как еще в конце XIX в. было доказано: у логики
вообще не может быть законов, поскольку она строится как произ-
вольная аксиоматическая теория. Другими словами, законы могут
встречаться только в теориях, изучающих природные феномены, у
логики же могут быть только методы.
Итак, особенность пособия видится в попытке изложения не "мер-
твого” логического знания (материал стандартных пособий восходит,
в общем-то, к Аристотелю [IV в. до н. э.]), а целого ряда современных
логических методов При их рассмотрении акцент ставится, как прави-
ло, на проблемы, инициировавшие развитие современной аналити-
ческой и постаналитической философии. В итоге основной целью книги
является выявление основных методов логики, которое позволило бы
студентам старших курсов и аспирантам непосредственно использо-
вать полученные знания в научной работе, в частности самостоятель-
но осваивать логическую литературу.
Я дачек от того, чтобы приписывать
мои открытия личным достоинствам,
потому что я есть лишь инструмент не-
кой высшей силы, которая будет рабо-
тать и после меня тем же самым обра-
зом, как она проявила себя тысячи лет
назад в Евклиде и Архимеде.
Г. Кантор
ВВЕДЕНИЕ
Вся современная логика распадается фактически на три раздела:
математическая, вероятностная и неформальная логика. При этом
вероятностная логика непосредственно предполагает математичес-
кую как исходную базу своего построения, тогда как неформальная
является сильным расширением вероятностной логики за счет до-
бавления прагматических отношений. Таким образом, невозможно
адекватно рассмотреть вероятностную логику без подробного об-
ращения к логике математической, а неформальную — без анализа
вероятностной и математической логики. По существу неформаль-
ная логика является наиболее широкой логической теорией, включа-
ющей в себя любые возможные логические системы. В этом плане
неформальную логику можно сравнить с неевклидовой геометрией,
которая является расширением классической евклидовой геометрии,
например, за счет использования радиуса кривизны. Прагматичес-
кие отношения — это и есть, в конечном счете, некий “радиус кри-
визны”, искривляющий “пространство” математической и вероят-
ностной логики. В этом плане удивительным представляется тот факт,
что многие отечественные философы пытаются освещать нефор-
мальную логику без какого бы то ни было обращения к математи-
ческой или вероятностной логике, что говорит о некоторой некор-
ректности в постановке задачи.
В изложении материала по математической, вероятностной и не-
формальной логике автор ни в коей мере не претендует на оригиналь-
ность. Тем, у кого возникнет желание ознакомиться с более обстоя-
тельными учебными пособиями, можно рекомендовать следующие
книги: по математической логике-- Барвайс[1977], Ершов ЮЛ., Палю-
Введение 7
тин Е.А. [1987], Клини [1952b, 1967], Мендельсон [1964], Новиков П.С.
[1973, 1986], Шёнфилд [1967], по вероятностной логике - Джефрис
[1939], Кайберг [1969], Карнап [1959], Райхенбах [ 1949]. по неформаль-
ной логике ван Еемерен, Гротендорст [1983], ван Еемерен, Гротен-
дорст, Хенкеманс [ 1996], Кахаиа [1971], Перельман и Ольбрехт-Титека
[1958], Сёрль и Вандервекен [1984]. В русскоязычной литературе была
только одна попытка системно изложить современную логику для фи-
лософов и гуманитариев — книга Гончарова С.С., Ершова ЮЛ., Са-
мохвалова К.Ф. [1994]. Однако авторы данной работы ограничились
лишь рассмотрением отдельных тем математической и вероятност-
ной логики, оставив без какого-либо внимания неформальную логику.
При изложении математической логики основное внимание уде-
ляется логике первого порядка, называемой обычно классической
логикой. Данная логика является не только исходной синтактико-се-
мантической базой всей формальной логики, включая логику науки,
но и логическим основанием аналитической философии. Вместе с
тем изложение затрагивает в гораздо большей степени не синтакси-
ческий, а семантический уровень классической логики, поскольку
именно здесь заключена та логико-философская проблематика, кото-
рая активно разрабатывается в рамках аналитической традиции. При
рассмотрении проблем оснований математики акцент ставится на
освещении методов метаматематики, которые имеют принципиаль-
ное значение для формальной логики. Например, главным образом
благодаря общему методу арифметизации метаматематики стало воз-
можным доказательство двух теорем Гёделя (см. Гёдель [1931]) о не-
полноте формализованной теории с богатыми выразительными воз-
можностями — наиболее существенных логических метатеорем.
Немаловажно и то, что эти методы непосредственно используются в
аналитической философии и формальной семиотике.
Рассмотрение вероятностной и неформальной логики ведется с
учетом наиболее актуальных методов философской логики — логики,
ориентированной, во-первых, на прояснение семантических основа-
ний формально-логических теорий, во-вторых, на использование этих
теорий для экспликации мировоззренческих понятий и анализа неко-
торых философских тем (см. Шуман А.Н. [2001, с. 5 —14]). Очевидно,
что в своем большинстве данные методы являются чисто семантичес-
кими. В частности, именно этим и отличается вероятностная логика от
классической теории вероятности Колмогорова (см. Колмогоров А.Н.
[1974]). В разделе, посвященном неформальной логике, затрагивают-
ся те семантические методы философской логики, благодаря которым
аналитическая философия трансформировалась в философию пост-
аналитическую.
8
Введение
Предлагаемое пособие призвано решить широкий круг учебных
задач, среди которых следует назвать не только формирование необхо-
димого уровня логической грамотности студентов и аспирантов, но и
введение их в наиболее насущную проблематику современной логи-
ки. Изучение курса логики с помощью пособия позволит студентам
старших курсов и аспирантам осваивать материал по философии на-
уки, аналитической философии, социальной теории и теоретической
социологии на более высоком и углубленном теоретическом уровне.
Основная задача пособия состоит в том, чтобы студент мог овладеть
современными методами логики и тем кругом философских и социо-
логических проблем, к которому применимы данные методы. В евро-
пейской гуманитарной традиции есть особое обозначение того логи-
ческого комплекса, который необходим для теоретика-гуманитария. —
“критическое иыипение" (critical thinking) (см., например, одну из
первых работ на эту тему: Блэк [1946]). Под критическим мышлением
при этом обычно понимается овладение материалом наиболее важ-
ных разделов математической, вероятностной и неформальной логики.
Итак, особенность курса видится в попытке изложения логичес-
ких основ критического мышления и научного метода (critical thinking
and scientific method). Для этого освещаются основные аспекты кри-
тического мышления и те логические методы, которыми пользуется
любой специалист, способный критически осмысливать реальность и
находить необходимые схемы для ее объяснения или освоения.
В конце работы приводится обширная библиография, в которую
вошли все основные знаковые произведения по логике за всю ее ми-
ровую историю. В ссылках на эти публикации указывается фамилия
автора и год издания. При написании пособия использовались мате-
риалы лекционных и семинарских занятий по логике, проводимых ав-
тором в Европейском гуманитарном университете (г. Минск).
Особую благодарность хотелось бы высказать Григорию Яковле-
вичу Миненкову и Олегу Игнатьевичу Тавгеню, без доброго отноше-
ния которых книга не могла бы быть написана. Огромную признатель-
ность хотелось бы высказать также польскому профессору Анджею
Гжегорчику, согласившемуся просмотреть рукопись. Данное обстоя-
тельство имеет большое символическое значение. Одобрение содер-
жания книги со стороны видного представителя львовско-варшавс-
кой школы (одной из крупнейших мировых школ логики) отсылает к
достаточно важным культурным контекстам. Близость польской и бе-
лорусской культур, в том числе и близость творческих идей и подхо-
дов, особо ярко проявившая себя до Октябрьской революции, не мо-
жет не сказаться и в настоящее время. Назову только некоторых
представителей львовско-варшавской школы: Айдукевич [1934 1958,
Введение 9
1960], Бохенский [1956], Гжегорчик [1957, 1995], Куратовский, Мос-
ювский [1952], Котарбииский [1961], Лесьневский [1929,1930], Лось
[1955а], Лукасевич [1930.1951], Мосговскнй [1969], Расева и Сикорс-
кий [1963]. Серпииский [1928], Сикорский [1960], Тарский [1930.1944,
1956] и др.
Длительный и глубинный симбиоз белорусской и польской куль-
тур был нарушен целым рядом политических событий конца XIX —
начала XX в. Все эти события повлияли также на постепенное рассея-
ние собственной белорусской творческой элиты, так что у советской
власти появилась в свое время особая задача искусственно вырас-
тить новую творческую элиту из “народа". Мало кзо знает, что в Бела-
руси существовала некогда собственная школа логики — так называе-
мая вшенская шкспа. Город Вильно (ныне Вильнюс) долгое время
являлся культурным белорусско-польско-еврейским центром. Основ-
ные представители виленской школы — Смягленкий [1618], Нарбут
[ 1769] и Довгерд [ 1829]. Однако традиция данной школы была искусст-
венно прервана еще в середине XIX в. Можно лишь выразить надеж-
ду, что выход данной книги станет своеобразным символом возрож-
дения отечественных традиций логики
ГЛАВА 1. КРАТКИМ ОЧЕРК
ИСТОРИИ ЛОГИКИ
В данной главе история логики рассматривается не феноменоло-
гически, когда в случайном порядке перечисляются отдельные откры-
тия в области логико-философского знания, а систематически - - пред-
лагается логически вымеренная экспликация ключевых положений
традиционной логики. Тем же, кто захочет познакомиться с популяр-
ными работами по истории логики, можно порекомендовать две моих
книги (см. Шуман А.Н. [2001; 2002а]), одна из которых посвящена ана-
лизу общих тенденций развития логики, а во второй излагается исто-
рия немецкой содержательной (неаристотелевой) логики от И. Канта и
до К.-О. Апеля.
С древнейших времен под логикой понимается наука о рассужде-
ниях. Вместе с тем в традиционной логике всегда предполагалось, что
рассуждения — это такая речь, которая является либо истинной, либо
ложной. Например, фраза “сегодня хорошая погода” считается рас-
суждением главным образом потому, что без особого труда мы мо-
жем установить ее истинностное значение: действительно ли сегодня
хорошая погода или это не так. Процедура, с помощью которой уста-
навливается истинность или ложность рассуждения, называется оцен-
кой, результат оценки называется истинностным значением. Совокуп-
ность всех возможных объектов, на которых какие-то осмысленные
комплексы рассуждений являются истинными, называется моделью
соответствующего комплекса рассуждений. Модели станем обозна-
чать заглавными готическими буквами: ЭД, 3?, 2, ft, ...
Исходное понимание модели в традиционной логике отражает:
Определение 1.1 (модель). Физический универсум ЭД является
единственной моделью. Он реализует любые рассуждения, т.е. пра-
вильно построенные и осмысленные комбинации знаков, о которых
всегда можно сказать, что они истинны или ложны. К таким комби-
Краткий очерк истории логики	11
нациям относятся понятия, высказывания, суждения, умозаключе-
ния и т.п.
Согласно этому определению, предметный мир Т?, будучи един-
ственной моделью, задан как некое актуальное множество — как
нечто всецело предъявленное. Тем не менее в своем личном опыте
мы сталкиваемся только с фрагментами предметного мира. Мы не в
состоянии видеть мир как таковой. С этих позиций физический уни-
версум должен считаться скорее потенциальным множеством — ведь
он всякий раз представлен нам лишь какой-то своей локальной час-
тью. В этом смысле определение 1.1 не является столь уж тривиаль-
ным: оно утверждает, что модель Т? — это такой мир нашего опыта,
который мы мысленно представляем себе в качестве некоего актуаль-
ного множества.
Истинностная оценка рассуждений в традиционной логике
получает отсюда такую трактовку:
Определение 1.2 (семантическое следование). Произвотьное рас-
суждение р является истинным тогда и только тогда, когда оно истинно в
физическом универсуме Т?. Данный факт станем обозначать следую-
щим образом: CD? i= р (читается: “в СО? семантически выводимо р").
Определение 1.3 (объем). Объемом рассуждения р называется
множество всех предметов Ь из мира СО? (обозначим это посредством
b е СО?, читается: “Ь принадлежит СО?”), причем такое, что в Ь всегда
истинно р, г.е. Ь (= р.
Например, объемом понятия “дерево” является множество всех де-
ревьев, а объемом высказывания “человек есть смертное существо” яв-
ляется множество всех предметов, описываемых данным высказыванием.
Определение 1.4 (логическое следование). Одно рассуждение
логически следует из другого тогда и только тогда, когда на основании
истинности одного можно сразу же сделать вывод об истинности вто-
рого. Пусть имеется рассуждение р и рассуждение q, причем q следу-
ет из р. Обозначим тогда это так: р I- q (читается: “из р логически
выводимо q").
Определение 1.5 (содержание). Содержанием рассуждения р
называется множество всех логических следствий изр. Если обозначить
множество следствий через {^}, то р •- {«?} говорит о том. что {<?}—
содержание р.
Например, из высказывания “сейчас день” логически следуют
высказывания “сейчас светло”, “сейчас стоит солнце” и т.д. Поэтому
множество {“сейчас светло”, “сейчас стоит солнце”, ...} составляет
содержание высказывания “сейчас день”.
В определениях 1.1 — 1.5 отражено понимание общих задач логи-
ческой науки, характерное для традиционной логики. Наиболее специ-
12
Краткий очерк истории югики
фичной представляется трактовка модели. Поскольку моделью явля-
ется физический универсум, традиционная логика могла строиться
только как содержательная теория. Ведь весьма затруднительно здесь
предложить эффективные процедуры, позволяющие моделировать се-
мантическое следование. При таком понимании семантическую
истинность рассуждения, т.е его объем, можно установить в конеч-
ном итоге только посредством чувственного созерцания. Но чтобы
каким-то образом все же моделировать семантическое следование,
его стали сопоставлять с логическим следованием по следующему
закону.
Утверждение 1.1' (закон прямого соотношения объема и
содержания) Если и только если имеет место семантическое
следование q 1= р, то имеет место логическое следование р I- q Чем
больше объем рассуждения р. тем больше его содержание, и чем
больше содержание рассуждения р, тем больше его объем.
С данного утверждения собственно и берет свое начало тради-
ционная логика Еще в те времена, когда она была неотделима от практик
экзегезы - практик толкования Святого Писания, утверждение 1.1 было
исходным в любом анализе рассуждений. Так, в талмудической эк-
зегезе предполагалось, что весь предметный мир, весь физический
универсум Т? исчерпывающе описан в книгах Святого Писания. По-
этому логическое следование р н q оправданно только в том случае,
если рассуждение q непосредственно отсылает к соответствующим
священным стихам “Указание на Святое Писание является необхо-
димым для нашего учения” (p-yiCtfN? ХПр "|'ПСХ"К) Всякое
абстрактное рассуждение (^5), имеющее богатое содержание, долж-
но иметь столь же богатый объем и наоборот. Соответственно общие
рассуждения, у которых наличествует богатый объем и бедное содер-
жание, не должны приниматься во внимание: “Мы не учим исходя
только из общего” (Н'55_П '[С "'ПС5 ”Х). Такие рассуждения необхо-
димо переосмысливать с использованием следующего правила: “Если
перед нами общее, то к чему конкретному оно должно быть примене-
но?” ("КС K55SC "X).
Например, понятие “человек” (“Адам”; "ПК) является общим
оно применимо к целому множеству предметов, под которыми мы
понимаем людей. Отсюда имеет место семантическое следование
“люди” 1= “человек”. Данное понятие обладает бозее богатым объе-
1 В дальнейшем поя утверждением мы станем понимать положение, которое может и не быть
доказанным и имеет при этом важное доктринальное значение Под теоремой будет пони
маться положение, которое, несмотря на свою доктринальность всегда может быть доказа
но. И наконец, под предюжением мы будем понимать такое положение, которое не является
доктринальным и тегко может быть доказано.
Краткий очерк истории логики
13
мом и в то же время более бедным содержанием, чем, скажем, поня-
тие “Моисей”. Чтобы построить верное талмудическое рассуждение
“человек” Н “люди”, необходимо чтобы множество “люди” принадле-
жало Т?, т.е. универсуму Святого Писания. Только так в нашем рас-
суждении будет иметь место не только богатый объем понятия “чело-
век” (“Адам"), но и его богатое содержание. На основании данного
примера видно, какую роль играет библейское генеалогическое дере-
во. Адам является первым человеком, так что все мы — его потомки.
Поэтому каждый из нас носит имя человека (“Адам”) и содержит в
себе все характеристики Адама. Именно вследствие этого понятие
“человек" отвечает утверждению 1.1.
Логику, строящуюся на утверждении 1.1, у( ювно можно назы-
вать генетической логикой, поскольку она изучает отношения логи-
ческого и семантического следований между предками и потомками.
Пусть р генетический предок q. Тогда имеют место отношения q t=
р и р I- q. Например, Иаков — генетический предок евреев, по этой
причине все евреи называются Израиль одним из имен Иакова, так
что каждый еврей реализует в себе понятие “Иаков”, т.е. q р, где q —
евреи и р - их праотец Иаков. Вместе с тем в соответствии с талмуди-
ческой экзегезой предполагается, что все позитивные качества Иакова
унаследованы евреями, поэтому р н q. Таким образом, принятие ут-
верждения 1.1 в экзегезе Талмуда сопровождается допущением, что
моральные качества каждого конкретною человека полностью опре-
деляются генетическим предком, ставшим пращуром народа, пред-
ставителем которою и является данный человек.
В качестве иллюстрации рассмотрим талмудическое моделирова-
ние двух рассуждений вокруг понятий “еврей“ и “нссврей" Неевреи
(*1Д) обозначается в Талмуде выражением “сын Ноя” (ПД fi). Каждый
человек обязан следовать семи заповедям, данным Богом Ною, при
этом в каждом человеке есть семя добра, поскольку Ной был правед-
ником. Но в наибольшей полноте положительные качества единствен-
ного отца семейства, спасшегося от потопа, передались Симу (семи-
там) и от него через несколько колен Аврааму. Далее, у Авраама
было два сына Исмаил и Исаак. Тем не менее, все положительные
качества были унаследованы не первенцем Исмаилом, а вторым сы-
ном — Исааком. В свою очередь, у Исаака также было два сына —
Исав и Иаков. И опять в наследие вступил не первенец Исав, а второй
сын — Иаков. Непосредственным праотцом евреев (“святого наро-
да”) стал, таким образом, именно Иаков. Отсюда имеет место следую-
щее семантическое следование: “еврей” h= {“Авраам”. “Исаак”,
“Иаков”}. Данная генеалогия народа Израилева призвана показать, что
еврейство передается главным образом не по отцу, а по матери. Так,
14
Краткий очерк истории логики
Исаак был сыном Сары, тогда как Исмаил - сыном Агарь., а Иаков у
Ревекки был более любимым сыном, чем Исав, поэтому, несмотря на
то, что Авраам был евреем, таковым не являлся Исмаил и, несмотря
на то, что Исаак был евреем, таковым нельзя было считать Исава. По-
этому имеет место такое логическое следование: {“Авраам и Сара
“Исаак и Ревекка”, “Иаков”} I- “еврей”.
Итак, каждое понятие получает свое осмысление на основании
соответствующего генетического предка, который, как считается,
обязательно должен упоминаться в текстах Святого Писания.
Подробнее с ситуативной логикой Талмуда можно познакомиться в
книге Штеннзальца [1993].
Наряду с талмудической экзегезой к разновидности генетической
логики — логики, полностью выстроенной на утверждении 1 .1, — мож-
но отнести стоическую логику (см. Арним [1903]), основателем кото-
рой является Хрисипп из Сол. Отношение предок потомок обобща-
ется в ней уже на любые отношения предметного мира. Так, под
генетическим предком понимается не прародитель того или иного
народа, а некая смысловая глубина вещи, названная стоикаьии “семен-
ным логосом” (Zoyog отарцсткод). Данный логос определяет смысл
в аспекте закона прямого соотношения объема и содержания в
аспекте утверждения 1.1. Если имеют место отношения q 1= р и р Н q,
то р — семенной логос предмета q. Подобное понимание логического
и семантического следований является причиной того обстсоятельства,
что абсолютно все провозглашалось стоиками телесным, вклночая даже
смысловые отношения.
Физический универсум Hi в контексте определения 1.1 назывался
стоиками пневмой (тгуеъца). Считалось, что она потенциально содер-
жит в себе любую вещь, поскольку вбирает в себя все семемные лого-
сы (если Т? р и q 1= р, то q G "1?). Закон прямого соотношежия объема
и содержания выводился из “напряжения пневмы" (TtvcupaTiKog
Tovog) - - специфического движения, осуществляющегося “одновре-
менно внутрь и наружу”, когда в одной сингулярной системе наблю-
дается одновременно покой и движение. Именно таким движением
обеспечивается единство космоса, так как в результате п|роисходш
экспансия мельчайших количеств вещества в область более крупных
количеств, вследствие чего любое место, занимаемое каждым из них,
занимается ими вместе.
Проиллюстрировать напряжение пневмы можно на примере сле-
дующего моделирования рассуждений. “Неизбежно погибает то, час-
ти чего подвержены гибели; части мира подвержены гибели; значит,
подвержен ей и весь мир” (Арним [1903,1, фр. 106]). Итак, напряжение
пневмы заключается в том, что все свойства части можно переносить
Краткий очерк истории логики	15
и на целое2. И действительно, согласно утверждению 1.1, все свойства
части идентичны свойствам целого. Пусть р обозначает часть мира,
q сам мир и / - свойство “подверженность гибели”. Тогда в эксплици-
рованном виде данное рассуждение выглядит так: “если q (= р и / G р.
то р н и / g q" (“если в мире является истинным ‘подверженность
гибели части мира', то из ‘подверженности гибели части мира' логи-
чески следует сам мир со свойством ‘подверженность гибели”). Сто-
ики часто использовали рассуждения, имеющие подобную логичес-
кую схему. Вот примеры некоторых из них: “То, что испускает семя
разумного, само разумно. Но мир испускает семя разумного. Значит,
мир разумен” (Арним [1903, I, фр. ИЗ]). “Никакая часть [целого], ли-
шенного способности чувствовать, не может быть чувствующей. Части
мира способны чувствовать, следовательно, мир не лишен способности
чувствовать” (Арним [ 1903,1]).
Самой же грандиозной системой генетической логики следует
считать диалектическую логику Гегеля (см. Гегель [1812.1813, 1816],
Фишер [1865]). Физический универсум Т? в контексте определения 1.1
назывался Гегелем абсолютным духом (bet absolute (Beist). Абсолютный
дух есть окончательный результат непрестанного движения от абст-
рактного к конкретному, от “непосредственности” к “опосредство-
ванию”. Если имеют место отношения q 1= р и р I- q, то р — непо-
средственность q, a q — опосредствование р. Увеличение момента
опосредствования предмета или понятия р свидетельствует о том, что
все большее и большее количество других предметов или понятий ло-
гически выводимо из р. Абсолютный дух Т? есть, таким образом, не-
что, логически выводимое из любого предмета нашего мышления, а
значит, и основание, из которого семантически выводимо все наше
знание.
Моделирование рассуждений Гегель выстраивает на основе ана-
лиза понятий. Так, становление от непосредственности к опосредство-
ванию, называемое диалектическим становлением, протекает в фор-
ме спецификации всеобщего понятия, или дефиниции понятия
единичного. Например, “квадрат” является единичным именем толь-
ко в качестве результата диалектического становления, берущего нача-
ло от всеобщего имени “пространство”. Спецификация же “простран-
ства”, т.е. его диалектическое развитие вплоть до понятия “квадрат”,
основывается на том семантическом факте, что пространство содер-
жит в себе возможность поверхности, поверхность — возможность
плоскости, та — возможность четырехугольника, четырехугольник —
‘ Точно такие же схемы рассуждения можно встретить в талмудической экзегезе —
характеристики у представителя народаЛ идентичны с характеристиками праотца народа А (с
характеристиками самого народа X).
16
Краткий очерк истории чогики
возможность параллелограмма и уже тот, в свою очередь, — возмож-
ность квадрата. Каждое последующее понятие может получить дефи-
ницию лишь благодаря предшествующему. К примеру, “квадрат есть
прямоугольный и равносторонний параллелограмм", “параллелог-
рамм есть четырехугольник, у которого противоположные стороны
параллельны” и т.д. В последовательности данных определений каж-
дое детерминируется таким образом, что в итоге формируется одно
единственное определение, специфицирующееся с каждым шагом. И
только такого вида дефиниционная спецификация, которую Фишер
называл “самовоплощением ", может обозначаться словом “понятие”
(в приводимом случае — это понятие квадрата). Другими словами,
понятие есть единство своих определений, в нем всеобщее полно-
стью специфицировано или определено. Следовательно, каждое по-
нятие несет в себе особую диалектическую историю, а потому есть
субъект, свободно себя полагающий. Вот как Фишер описывает логи-
ческую природу понятия: “То, что само приводит себя в действие и во
всем проявляет свою действенность не иначе, как свою собственную
сущность, т.е. само себя воплощает, мы называем свободным. Эта
свободная деятельность всюду (t>urcbqdnciic|) обоснована и потому необ-
ходима; но ее основанием является самость, субъект, который себя
определяет, который во всей деятельности выражает только свою соб-
ственную сущность и никогда не становится чем-то другим, отлич-
ным от своей внутренней возможности (QSermoqen). Необходимость,
которая совпадает с деятельностью в отношении себя ((ScLbfttbdtiqheit)
или самоосуществлением, мы называем свободой. Это есть свобода,
без которой развитие не может быть постигнуто (rrirb beqriffen)” (Фи-
шер[1865 S.410—411]).
Любое понятие, будучи свободным субъектом, т.е. являясь ча-
стью абсолютного духа, подчиняется условию утверждения 1.1. На-
пример, пусть р - параллелограмм, a q квадрат. Тогда q 1= р и
р I- q3. Понятия диалектической логики “самовоплощаются” в ре-
альной действительности, онн всегда являются истинными в уни-
версуме Т? и логически выводятся из более абстрактных понятий.
Существует, например, только одно истинное представление “квад-
рат”, все остальные ошибочны. Оно соответственно образует
понятие квадрата (чтобы мыслить квадрат как понятие, мы пред-
ставляем “прямоугольный и равносторонний параллелограмм”).
Данный пример призван наглядно показать отличие традиционной логики, базирующейся
на утверждении 1.1, от современной чогики, в которой имели бы место отношения q t= р и
q н р, где р — параллелограмм a q — квадрат Объясняется это тем, что в традиционной
логике моделирование рассуждений предполагаю неэкстенсиональные принципы
выводимости.
Краткий очерк истории югики	17
Такому истинному представлению принадлежит целое множество
потенциальных определений, причем в том случае, если одним
определением больше либо меньше — представление ошибочно
(например, “равносторонний параллелограмм" — недостаточное
определение “квадрата”, а “прямоугольный, равносторонний и рав-
ноугольный параллелограмм” - избыточное). На том основании,
что вещь не больше и не меньше, чем сумма ее определений, в
моменте единичности понятие есть вещь, а вещь есть понятие4. Так,
в вышеприведенном примере "квадрат” в равной степени и поня-
тие н вещь. В итоге Гегель делает вывод: “Мышление в своих имма-
нентных определениях и истинная природа вещей составляют одно
содержание” (Гегель [1812]).
Стоит отметить, что в современной логике утверждение 1.1 не
используется совсем. Еще в античности был предложен другой закон,
по которому стали иначе сопоставлять семантическое и логическое
следование, и именно он в настоящее время является основным при
любом моделировании рассуждений.
Утверждение 1.2 (закон обратного соотношения объема и
содержания). Если и только если имеет место семантическое сле-
дование р 1= q. то имеет место логическое следование р l- q. Чем
больше объем рассуждения q, тем меньше его содержание, и на-
оборот, чем больше содержание рассуждения р, тем меньше его
объем.
Авторство этого утверждения принадлежит главным образом
Аристотелю. Данный закон он сформулировал применительно к сво-
ей силлогистике (см. Аристотель [IV в. до н. э., “Первая аналитика”]),
тогда как в своей диалектике он использовал утверждение 1.1 (см. Ари-
стотель [IV в. до н. э., “Топика”]). Принципиальное отличие утвержде-
ния 1.2 от утверждения 1.1 состоит в том. чго единичность больше не
рассматривается как особая логическая сущность. Пусть р - всеоб-
щее понятие (например, “параллелограмм”), a q единичное (напри-
мер, “квадрат”). Согласно утверждению 1.1, имеют место отношения
q р н р q, в то время как согласно утверждению 1.2 - отношения
q 1= р и q I- р. В последнем случае единичность q оказывается таким
же всеобщим понятием, что и р, имеющим только меньшую степень
общности. В качестве иллюстрации данного обстоятельства рассмот-
рим силлогизм “Все люди смертны. Сократ есть человек. Следователь-
но, Сократ смертен”. Рассуждения “Все люди смертны” и "Сократ
смертен” наделены общей логической схемой  в них субъект берет-
ся в полном объеме, другое дело, что "люди” и “Сократ” отличаются
' Ср. со стоическим потожением о всеобщей телесности
18 Краткий очерк истории югики
степенью общности. Для того чтобы сделать вывод “Сократ смертен”
на основании рассуждения “Все люди смертны”, используется усло-
вие утверждения 1.2: “Сократ” “человек”, “Сократ” I- “человек”
(“Сократ есть человек”). В эксплицированном виде силлогизм "Все
люди смертны. Сократ есть человек. Следовательно, Сократ смертен”
записывается поэтому так: если q 1= р и / G р, то q Н р и q I- /, где q —
“Сократ”, р — “люди” и / — свойство “смертность”
То обстоятельство, что единичность q является столь же всеоб-
щим понятием, что и р, демонстрируется посредством того, что в
логике, выстроенной на утверждении 1.1, не существует в общем
случае отношений р >= рирь- р, тогда как в логике, основывающейся
на утверждении 1.2, эти отношения существуют (семантическое н
логическое следования рефлексивны только для утверждения 1.2).
Именно эта особенность позволяет представить логическую теорию,
основывающуюся на утверждении 1.2, как аксиоматическую систе-
му. Предположим существование такого всеобщею, которое семан-
тически н логически выводимо из любого единичного: 0 1= р и 0 н р
(с учетом того что q 0 = q, для произвольного q имеем q 1= р и q Н
р). Множество данных р и образует систему аксиом. Это обстоятель-
ство говорит о возможности математизации логической теории, стро-
ящейся на утверждении 1.2. И действительно, благодаря утвержде-
нию 1.2 семантическое и логическое следования могут отвечать
принципу нётеровой индукции (см. теорему 6.3.4). Например, мно-
жество логических следствий {/?} является минимальным множе-
ством со свойствами:
(1) всякое множество {<?} со свойством 0 I- {<?} принадлежит мно-
жеству {/?};
(2) если {р} содержит множество {рД со свойством {г,} I- (р,), то
{р} содержит множество {р,} со свойством {г2} I- {р,}, где {rj с
и {Р2} <Z {pj;
Данная трактовка единичности как разновидности всеобщего
привела в конечном итоге к появлению математической логики, у
истоков которой стояли Буль [1847], Буралн-Форти [1897], Венн [1881],
Де Морган [1847], Дедекинд [1888], Кантор [1874,1895—1897], Пеано
[1889], Пирс [1885], Фреге [1879,1884,1893] и многие другие. Одной из
первых попыток системного изложения математической логики явилась
работа Уайтхеда, Рассела [1910—1913].
Новое понимание природы единичного понятия, имплицитно вво-
димое в утверждении 1.2, имеет важные социально-культурные кор-
реляты. Любая традиционная культура предполагала социальную ком-
муникацию, строящуюся на утверждении 1.1. Вот типичный пример
индуистского рассуждения, в котором подразумевается, что единич-
Краткий очерк истории югики	19
ное понятие не редуцируется к всеобщему:
- Как называется это дерево о царь?
- Это дерево называется манго.
— Существуют ли здесь еще деревья манго, кроме этого?
Существует множе тво деревьев манго.
— А существуют ли здесь другие деревья, кроме этого дерева манго и
других деревьев манго?
-	Существует множество деревьев, о достопочтенный, но это деревья,
которые не есть деревья манго.
А существует ли здесь, кроме других деревьев манго н тех деревьев,
которые не есть деревья манго еще другие деревья?
Вот это дерево манго о достопочтенный.
-	Есть ли здесь люди твоего рода, о царь?
-	Здесь много людей моего рода, о достопочтенный.
- А есть ли здесь кто-лнбо, не принадл жаший к твоему роду, о царь?
— Да, их здесь еще больше, чем людей моего рода.
А есть ли здесь кто-либо, кроме людей твоего рода и других?
— Это я, о достопочтенный.
Редукция единичности к всеобщему в сфере социальной ком-
муникации оказалась возможной только с приходом капитализма,
когда единственно приемлемой формой социального поведения ста-
ло считаться стратегическое действие (см. раздел 11.3). Как след-
ствие, начиная с XVII в. утверждение 1.2 все чаще провозглашается
наиболее правомерным при моделировании социальных рассуж-
дений. Силлогистика Аристотеля постепенно оказывается един-
ственной логической системой, используемой не только в научных
дискуссиях, но и при выработке как общих, так и ситуативных соци-
альных стратегий Традиция Просвещения стала активно перено-
сить способы моделирования научных рассуждений на материал
социальной коммуникации. В результате первые попытки ма1сма-
тизации логической науки, предпринятые Лейбницем [1875 1890]
еще в конце XVII в., имели немалый социальный резонанс, когда
впервые начали вырабатываться социальные технологии - осо-
бые информационные пакеты, предназначенные для произвольно-
го конструирования социальной реальности и не предполагающие
уже никакой контекстуальности по причине полного растворения
единичности во всеобщем. В этом смысле силлогистика Аристоте-
ля в контексте культуры Нового времени — это не только первая
аксиоматическая система, но и первый метод социального конст-
руктивизма (см. раздел 11.3).
Несмотря на общую тенденцию технизации логического знания и
социальной коммуникации, в классической европейской философии
20	Краткий очерк истории логики
долгое время существовали системы содержательной логики — ло-
гики, сгроящейся одновременно на утверждении 1.1 и узверждении
1.2. Наиболее известной такой системой является трансценденталь-
ная тогика Канта (см. Кант [1787, 1800]). Рассуждения, подчиняющие-
ся условию утверждения 1.1, он называл априорными синтетически-
ми, а рассуждения, подчиняющиеся условию утверждения 1.2, —
аналитическими. Так, по словам Канта, знание бывает аналитичес-
ким и синтетическим a priori. Если его применение не зависит от дан-
ных опыта, то оно аналитично, если же зависит и является при этом
всеобщим и необходимым - синтетично a priori.
Обратимся к суждению — наиболее употребимой разновид-
ности рассуждения. В анаттическом суждении предикат Р и
субъект S всегда имеют общее родовое понятие (чаще всего тако-
вым является Р). В синтетическом суждении a priori понятие Р
только пересекается с понятием S у них нет общего родового
понятия. В частности, в данном суждении понятие Р уже не явля-
ется родовым понятием по отношению к S. Например, высказы-
вание “все тела протяженны” (тело— это то, что по определению
имеет объем) представляет собой аналитическое суждение, тогда
как высказывание “все тела имеют тяжесть” есть синтетическое
суждение a priori. Синтез предиката тяжести с понятием тела воз-
можен лишь благодаря опыту, в котором эти понятия обнаружи-
ваются как имеющие общее основание, хотя они и не содержатся
друг в друге. “В аналитическом суждении я остаюсь при данном
понятии, чтобы извлечь из него что-то. Если аналитическое суж-
дение должно быть утвердительным, то я приписываю понятию
только то, что уже мыслилось в нем; если суждение должно быть
отрицательным, то я исключаю из понятия только то, что проти-
воположно ему. В синтетических же суждениях я должен выйти из
данного понятия, чтобы рассмотреть в отношении с ним нечто
совершенно другое, нежели то, что мыслилось в нем, это отноше-
ние никогда поэтому не может быть ни отношением тождества,
ни отношением противоречия, и из такого суждения самого по
себе нельзя усмотреть ни истинности его, ни ошибочности" (Кант
[1787; рус. перев. с. 132]). Кантовское разделение всех рассужде-
ний на аналитические и синтетические виды можно эксплициро-
вать посредством следующих определений.
Определение 1.6 (аналитическоерассуждение). Пусть р и q про-
извольные рассуждения, / — их оценка, /(р) и I(q) — соответствующие
значения оценки. Рассуждения р и q являются аналитическими тогда и
только тогда, когда существует объединение оценок /(р) и I(q) и при этом
данное объединение является оценкой: l(p<jq) = 1(р) I(q) # 0, т.е. объе-
Краткий очерк истории логики	21
динение оценок само есть оценка и не является пустым множе-
ством’ .
Определение 1.7 (априорное синтетическое рассуждение).
Пусть р и <7 - произвольные рассуждения, /— их оценка, /(/>) и l(q) —
соответствующие значения оценки. Рассуждения р и q являются
априорными синтетическими тогда и только тогда, когда в общем
случае не имеет место объединение 1(р) и I(q), т.е. может оказаться,
что /(р О q) = I(p) и I(q) = 0, несмотря на то, что 1(р) * * 0 и /(q) * 0, но
всегда имеет место пересечение Кр) и I(q) которое само является
оценкой: I(p n q) = 1(р) П l(q) * 0”
Утверждение 1.3. Синтетические рассуждения a priori не
отвечают условию утверждения 1.2 и характеризуются условием
утверждения 1.1.
Доказательство. Предположим обратное, а именно что опреде-
ление 1.7 совместимо с утверждением 1.2. Пусть 1(р) и /(</) - положи-
тельные оценки pviq, значит, /(р) 1= р и I(q) 1= q. В силу определения 1.7
имеем /(р) ГТ I(q) 1= р и /(р) ГТ l(q) i= q. Отсюда по смыслу утвержде-
ния 1.2 /(р) гт l(q) i= рел q и /(р) и l(q) \= pej q. Следовательно, /(р> гт
l(q) = Др) О /(</), что противоречит условию определения 1.7. Покажем
теперь, что определение 1.7 совместимо с утверждением 1.1. Посколь-
ку /(р) гт I(q) 1= р и 7(р) гт I(q) 1= q ведет к тому, что /(р) гт l(q) \= pc\q,
имеем р гт q I- /(р) гт l(q). •
Интересно, что традиционные ценности - Бог, благо, добро и
т.д. Кант выводил из априорных синтетических рассуждений, т.е. из
утверждения 1.1, подобно тому, как это делали теоретики генетичес-
кой логик».
В последующем на базе определения 1.7 было создано огромное
множество вариантов содержательной логики. Все они фигурировали
под общей рубрикой трансцендентальная философия (см. Шуман А.Н.
[2002а]). Основным положением этого логико-философского течения
бы ю то, что определение 1.6 является всего лишь частным случаем
определения 1.7. Вот как Наторп описывает производный характер ана-
литических рассуждений от априорных синтетических, называя после-
дние “основополагающими функциями синтетического единства”:
“...Основополагающим актом познания ((Brunbabt bes Grfccnnene)
является... акт синтетического единства, т.е. основополагающая кор-
' В этом смысле все рассуждения математической логики аналитические
* В математической логике это ус ловие не выполняется совсем. До сих пор не создано строгих
логических систем, в которых бы выполнялось условие определения 1.7. хотя определение
I 6 и является его частным случаем.
В последующем значок • будет означать завершение локазательстна Читается он с ледллошим
образом. «Этим доказательство окончено»
22 Краткий очерк истории логики
реляция обособления и обобщения ((Вп1пЬ(югге(апсп гсп Conberung unb
%reinigung). Непосредственно из этого должны проистекать основные
составляющие (©runbhcnetituenten) познания, которые в этом случае так-
же должны обнаруживагься в качестве таковых уже для понятий и суж-
дений. Логика должна, таким образом, выстраивать понятия и сужде-
ния в первую очередь именно из основополагающих функций
(©runbfunkticnen) синтетического единства, и не должна предполагать
их в качестве чего-то данного, чтобы заимствовать (entncbmen) у нее
впоследствии основополагающие функции познания. Решающая про-
верка полагания синтетического единства состоит также не в том, что
из этого следует понимать транслируемые (iiberliefcrten) формы поня-
тия и суждения, но в том, что исходя из этого следует трактовать содер-
жательные основополагающие виды научного познания (bit inbaltlicben
(Brunbcrbenntnisse bet QBiesenecbuften). Тогда желательное дальнейшее под-
тверждение оказывается не основным делом логики, а чисто побоч-
ной задачей, когда удается растолковать именно в качестве аналити-
ческих противопоставляемых картин изначальных синтетических
процессов познания также известные и опробованные формы поня-
тия и суждения, которые ведь также принадлежат к содержательной
части (Seetanb) науки” (Наторп [1910, S. 44]).
Наиболее известной в гуманитарных кругах системой содержатель-
ной логики, подпадающей под рубрику трансцендентальной филосо-
фии, является логика истории и естествознания Риккерта (см. Рик-
керт [1892, 1896]). Различие условий определений 1.6 и 1.7 проистекает,
по его мнению, из различных форм образования понятий. Формальные
особенности целей, преследуемых познающим субъектом, вызывают
два вида образования понятий. В случае определения 1.6 мы имеем
генерализирующее образование понятий, отвечающее духу естествоз-
нания. Источник его в стремлении разума фиксировать повторяющи-
еся явления и процессы, некоторые общие феномены, хотя ничто в мире
на самом деле в точности не повторяется. Генерализация превращает
объекты в экземпляры общего родового понятия. Эти экземпляры впол-
не взаимозаменяемы, причем без какого-либо ущерба содержанию об-
щего понятия, несмотря на то, что объекты сами по себе никогда не
могут быть равными. Однако возможен и иной подход к пониманию
действительности, соответствующий условию определения 1.7, а имен-
но когда в предмете выделяется нечто особенное, его отличительное
качество. Такой вид образования понятий Риккерт называет индивидуа-
лизирующим, и именно в нем видит сущность исторического познания.
Историческая наука так выстраивает систему понятий с индивидуаль-
ным содержанием, что на любом уровне общности имеет место все та
же единичность, но уже с большим единством.
Краткий очерк истории ю<. ики 23
Таким образом, и по Рикксрту, все рассуждения можно интер-
претировать двумя различными способами с позиции определе-
ния 1.6 и с позиции определения 1.7, что детерминируют появление
двух альтернативных логик науки: логики естествознания и логики ис-
тории. Предмет генерализирующей логики соответствует предмету
логики Аристотеля. Обе логики отличаются принципами соотнесения
понятий. Различие этих принципов, будучи результатом двух специ-
фических рядов образования (генерализирующего и индивидуализи-
рующего), выражается, как отмечает Риккерт, в следующем. В инди-
видуализируемых понятиях объем и содержание являются прямо
пропорциональными, в то время как в генерализируемых понятиях
они обратно пропорциональны друг другу. В логике естествознания
общие понятия всегда беднее содержанием, чем подчиненные им эк-
земпляры, поскольку в них устранена связь между содержанием объек-
та и нашим интересом к нему. В исторических же понятиях на всех
уровнях сложности привлекается точка зрения той или иной ценнос-
ти. Однозначная привязка к определенной ценности и высвечивает
индивидуальность, неповторимость объекта в его понятийном ото-
бражении. полагая его значимость в некотором историческом гори-
зонте.
До сих пор наименее изученным течением традиционной логики
является индийская чогика более или менее хорошо известная только
историкам философии. Ее основателями стали Гаутама [IV в.] и Ват-
ейайана [IV в.], предельно точно сформулировавшие доктринальные
положения школы ньяя. С критикой этих положений выступили затем
теоретики буддийской логики — Дхармакирти [VII в.] и Дхармоттара
[VII в.]. Во многом под влиянием данной критики ньяя трансформиро-
валась затем в синтетическую школу ньяя-вайшешика, одним из пос-
ледних теоретиков которой стал Аннамбхатта [XVII в.]. Теоретическое
осмысление концепции ньяя-вайшешика можно найти в книге Ингол-
лса [1961], с философской трактовкой буддийской логики можно по-
знакомиться в книге Щербатского Ф.И. [1995].
Индийская логика изначально строилась на совмещении условий
утверждении 1.1 и 1.2. Фундаментом этой логики было учение о логи-
ческих категориях, т.е. о сущностях, отвечающих условию утвержде-
ния 1.1. Данные категории можно назвать единичностями в гегелевс-
ком смысле. В системе ньяя категории назывались “падартха" (ч << i ’-Г),
т.е. вещами (ЗПТ), соотнесенными со словом (Ч<) через свою родо-
вую характеристику. Считалось, что при выделении категории необхо-
димо избегать трех ошибок: нераспределения, перераспределения и
невозможности распределения родовой характеристики как опреде-
ляющего. Нераспределение имеет место тогда и только тогда, когда
24 Краткий очерк истории югики
определяющее не содержится в части определяемого. Например, выс-
казывание “бурость — это родовая характеристика коровы” страдает
нераспределением. Перераспределение обнаруживается тогда, когда
определяющее содержится также в неопределяемом. Например, та-
ким свойством наделено высказывание “рогатость - - это родовая ха-
рактеристика коровы”. Невозможность распределения имеет место
тогда, когда определяющее вовсе не содержится в определяемом. На-
пример, в высказывании “однокопытность — это родовая характери-
стика коровы” не присутствует распределения.
В системе ньяя-вайшешика в качестве подлинных референтов вся-
кого рассуждения провозглашалось семь логических категорий, т.е.
“падартха”: субстанция, качество, действие, общее, отдельное, внут-
ренняя присущность и отсутствие. Все названные категории служили,
во-первых, родовой характеристикой класса вещей, доступных
познанию (л ч г-ч), во-вторых, родовой характеристикой класса вещей,
выступающих объектом истинного познания (!и П-i Гн Гч ч ч i-ч), в-тре-
тьих, родовой характеристикой класса вещей, которые могут быть
каким-либо образом названы (ЗгВтЧ ч >-ч). Существенным положени-
ем школы ньяя-вайшешика было то. что категории являются одновре-
менно чем-то единичным, как референты рассуждений, и чем-то все-
общим, как родовая характеристика класса вещей8. Для усиления
данного положения найяиками был даже выдвинут особый доктри-
нальный принцип, запрещающий редукцию целого к части
(31 ч ч ч I ч ч ГчЧТ). Так, субстанции, наделенные атомарной приро-
дой (земля, вода, огонь, ветер и манас), истолковывались представите-
лями школы в двух аспектах — как целостные (31ччГч9оч) и как части
целого (314 чч). В результате часть и целое трактовались как две раз-
личные субстанции. Ведь целостная субстанция состоит из частей,
части в свою очередь, тоже являются целым по отношению к своим
составляющим, но при этом существует далее неразложимая часть —
атом, гак что атом не является целым, а только частью.
Проиллюстрируем роль утверждения 1.1 в моделировании кате-
горий на примере субстанции (5°ч). Субстанция как потенциальный
носитель свойств выступает качественным субстратом, называемым
“дхармин (ЧГЧИ), преходящих вещей с количественной характерис-
тикой, называемых “дхарма" (ЧЯ"), но как объект йогического и теоре-
тического постижения субстанция не может редуцироваться к эмпири-
ческим объектам в качестве их материальной причины. Данный
доктринальный принцип запрещает редукцию субстанции в ее каче-
ь Совмещение в категории свойств единичного и всеобщего свидетельствует о том. что она
отвечает условию утверждения 1.1.
Краткий очерк истории югики 2?
ственно количественной определенности к эмпирическим объектам
(ЧТТЧГНЧТ). Если имеют место отношения qt=pHpt-qn р - суб-
станция, то р — дхарма, q — дхармин.
В буддийской чогике в качестве “падартха” рассма1ривалась только
субстанция. Буддисты насчитывали 75 видов субстанции и называли
ес дхарма. Она представляла собой своеобразный аналог кантовской
вещи в себе и провозглашалась подлинным референтом любого рас-
суждения. В классическом буддизме под дхармой понимали момен-
тальную вспышку сознания, при этом полагали, что между этими
вспышками существуют устойчивые причинные связи.
Итак, логические категории найяики рассматривали с позиции
утверждения 1.1, в то время как рассуждения они строили на базе
утверждения 1.2. Рассуждения они представляли исключительно в виде
умозаключений, состоящих из трех терминов, а именно это субъект
вывода или “пакша" (ЧТЯ"), логический признак или “тнга" (Г"1 j).
однородные объекты с субъектом вывода или “сапакша' (ЧЧ£Г). При-
ведем пример подобного умозаключения:
1.	Гора обладает огнем
2.	на основании дымности;
3.	все, что обладает дымом, то обладает и огнем, как очаг.
4.	Точно так же и это.
5.	Следовательно, здесь есть то же.
В 1 фиксируется тезис, в 2 — основание, в 3 — пример, в 4 —
подведение, в 5 — заключение. Гора как пакша обладает многими
свойствами, поскольку на ней могут быть и камни, и деревья, и тому
подобное: Но эти свойства в контексте данного умозаключения из-
лишни Необходимое для умозаключения свойство пакши в этом кон-
кретном случае только одно - наличие дыма на горе. Это свойство и
есть линга. Именно данная обусловленность пакши со стороны только
одного свойства называлась “пакшадхарма" (ЧИТЧ^Т). В то же время
любой дым, находящийся вне данной горы, также не является пакшад-
хармой, ведь, несмотря на свою связь с огнем, он не присутствует в
данном месте, т.е. на горе, относительно которой и производится умо-
заключение. Огонь в очаге является однородным объектом с огнем на
горе, поэтому он приводится в примере, чтобы тем самым подчерк-
нуть его роль в качестве сапакша.
В буддийской логике умозаключения, отвечающие условию ут-
верждения 1.2, назывались аналитическими, поскольку строились на
основе аналитической линга (^ГЧТоГрЧ"^). Вместе с тем в этой логике
выделялись также умозаключения, удовлетворяющие условию утвер-
ждения 1.1, которые назывались причинными, так как выражали дей-
ствие (чн'-з). Последний вид рассуждений вполне можно считать ап-
26	Краткий очерк истории югики
риорными синтетическими в кантовском смысле. Пример аналити-
ческого умозаключения: “Этот предмет есть дерево, потому что он
дальбергия’” Пример причинного умозаключения: “Там есть огонь,
потому что есть дым”. Отличие данных умозаключений отражают сле-
дующие определения.
Определение 1.8 (аналитическоерассуждение). Пустьpnq —
произвольные рассуждения, р з q их импликация (читается: “если
р, то q"). Рассуждения р и q являются аналитическими тогда и только
тогда, когда вместе с их импликацией существует также контрапози-
ция: -1 q z> -tр (читается: “если не-q, то не-р”).
Определение 1.9 (априорное синтетическое рассуждение).
Пусть р и q — произвольные рассуждения, р z> q — их импликация.
Рассуждения р и q являются априорными синтетическими тогда и
только тогда, когда вместе с их импликацией существует отношение:
-р O-ifl* 10.
Подводя итог, следует сказать, что для всех систем традиционной
логики утверждение 1.1 играло весьма существенную роль, отвечая за
их содержательность. Только таким образом определение 1.1 вступало
в свою силу. Обычно утверждение 1.1 применялось в учении о катего-
риях, элементы которого можно найти в любой традиционной логике
(см. Шуман А.Н. [2001, 2002а]). У Аристотеля это было учение о пре-
дикаментах и предикабилиях, у схоластов — учение о суппозиции,
апелляции и т.д., у Канта — учение о трансцендентальных категориях,
и этот список можно сколь угодно продолжить. Вместе с тем логичес-
кое следование зачастую трактовалось с учетом утверждения 1.2. В
настоящее же время все логические теории, формальные и нефор-
мальные, выстраиваются исключительно на утверждении 1.2. Данное
обстоятельство имеет особую важность и для современной социаль-
ной коммуникации. О бытии вообще и о мирских проблемах как тако-
вых теперь не принято говорить, поскольку определение 1.1 почти
полностью игнорируется в чересчур ситуативном социальном дис-
курсе наших дней.
Упражнения
1.1.	На основании библейских текстов самостоятельно воспроиз-
ведите моделирование рассуждения Ханаан, хананеи.
1.2.	Приведите собственные примеры утверждения 1.1 в духе сто-
ической логики.
4 Порода дерева, произрастающего в Индии.
10 Буддисты обращали внимание на то. что определение 1.9 можно рассматривать как
своеобразное обобщение определения 1.8.
Краткий очерк истории югики
1.3.	Покажите, что определение 1.6 совместимо с определением
1.8, а определение 1.7 совместимо с определением 1.9. Являются ли
они соответственно эквивалентными дру| другу?
1.4.	Совместима ли нётерова индукция с утверждением 1.1?
ГЛАВА 2. ДЕДУКТИВНЫЙ,
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ
И ДИАЛЕКТИЧЕСКИЙ УРОВНИ
КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ
Критическое мышление представляет собой комплекс таких аргу-
ментативно-логических методов, которые не самодостаточны, — бу-
дучи простыми схемами, они требуют конкретного наполнения в за-
висимости от поставленной перед ним практической задачи. Все эти
схемы регламентируют ход устной аргументации вне зависимости от
затрагиваемого содержания, а также процесс написания научной ра-
боты на любую тему. Но выбор темы и обращение к тому или иному
содержанию имеет все же немалое значение за это отвечает уже не
критическое, а креативное (творческое) мышление. Различение кри-
тического и креативного мышления является весьма существенным.
Так, креативное мышление не предполагает пользования предзадан-
ными схемами, так что является способностью, которой трудно на-
учиться. Этого нельзя сказать о мышлении критическом: важнейшим
его свойством является то, что ему всецело можно научиться.
Критическое мышление, выстраиваясь на обобщенных схемах
повседневной деятельности, является систематичным — оно ни при
каких условиях не должно противоречить самому себе. Поэтому оно
и протекает как четкая последовательность определенных действий.
Для этого оно должно строить верные выводы или алгоритмы при
осмыслении тех или иных практических ситуаций и неукоснительно
им следовать. В результате этого внутри данного мышления имеет
место рассмотрение деятельности как таковой — безотносительно
какой бы то ни было конкретики. Все это ведет к тому, что критическое
мышление является мульти перспективным, поскольку содержит та-
кие обобщенные схемы деятельности, которые можно апплицировать
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни .29
на любую ситуацию. Но, несмотря на свою мулыиперспсктивносгь,
данное мышление остается при этом комплексным оно вырабаты-
вает типовые решения практических задач В зависимости же от слож-
ности ставящихся задач критическое мышление пред 1агает и различ-
ные виды их решения. Поэтому такое мышление должно быть
иетакогнитивным, те. иметь в себе несколько уровней в соответствии
с алгоритмической сложностью вырабатываемых схем типовых реше-
ний. Многоуровневость, в свою очередь, возможна только при нали-
чии рефлексии — способности анализировать самого себя (данная
способность всегда свидетельствует о нетавтологичности мышления )
Важнейшими аспектами критического мышления, таким образом,
являются:
✓ систематичность;
комплексность;
•J последовательность в суждениях (употребление верных вы-
водов);
мультиперспективность (к его схемам подходит любое
содержание);
J метакогнитивность (наличие реф лексии и многоуровневости);
•J досту пность обучению.
Принципами критического мышления являются такие способы
задания обобщенных схем деятельности, которые не противоречат всем
перечисленным аспектам критического мышления. Можно выделить
два таких фундаментальных принципа:
J принцип минимализма, согласно которому критическое мыш-
ление пытается добиваться максимального успеха с использо-
ванием минимального набора средств12;
J принцип универсализма, согласно которому критическое
мышление стремизся вырабатывать такие обобщенные схемы
деятельности, которые приложимы к поведенческим ситуаци-
ям различного типа.
Нарушение принципов данного мышления ведет к его дефициту.
Рассмотрим некоторые выражения которые, несмотря на видимую
убедительность, нарушают принцип универсализма, так что свиде-
тельствуют о дефиците критического мышления.
, Подробнее о нетавтологическом мышлении см. Шэман А.Н. [2002а].
Данный принцип является важнейшим принципом математики. По существу, математиче-
ские алгоритмы это не более чем эффективные способы получения максимальной теорети-
ческой пользы при минимуме средств. Поэтому о критичности мышления математический
алгоритм свидетельствует в не меньшей мере, чем алгоритм деловой активности предприни
матеэя. Лозунг "Нормальные герои всегда идут в обход" нарушает фундаментальный прин-
цип критического мышления
30 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
Примеры дефицита критическою мышления
Accent (неправомерное смещение акцента):
“Не следует говорить дурно о наших друзьях. Следователь-
но, не следует говорить дурно о наших друзьях”.
Ad hoc (объяснение события случайным стечением обстоя-
тельств):
“У меня разболелась голова. Он при этом находился побли-
зости. Значит, он и виноват в этом”.
Affirming the consequent (вывод основания в связи с подтвержде-
нием следствия):
“А влечет В, В истинно, следовательно, А истинно”.
Amphiboly (сомнительность аргумента в силу некорректной фор-
мулировки):
“Ворона черная, потому что она летает”
Anecdotal evidence (анекдотичное свидетельство):
“А вот Иванов споткнулся, когда входил в комнату. Следова-
тельно, он и был в нее влюблен”
Argumentum ad antiquitatem (аргумент к истории):
"Это известно с древнейших времен и, следовательно, не
может быть неправильным”.
Argumentum ad baculum (“палочный довод”, аргумент к силе):
“А вот я тебя сейчас стукну, и ты поймешь, кто был прав”
Argumentum ad сгитепат (аргумент к богатству):
“Билл Гейтс не смог бы заработать столько, если бы был
неправ”.
Argumentum ad hominem (аргумент к человеку):
“Гитлер и Сталин полностью с тобой согласились бы”.
Argumentum ad ignorantiam (истинно то, что не опровергнуто):
“Он преступник. Никто не может доказать обратное”.
Argumentum ad lazarum (аргумент к бедности):
“Сытый голодного не поймет”.
Argumentum ad logicam (вывод из ложной посылки при правиль-
ности самого умозаключения):
“Все млекопитающие — четвероногие. Все люди — млеко-
питающие. Значит, все люди - четвероногие”
Argumentum ad misericordiam (аргумент к жалости):
“Почему вы не подготовились к экзамену? У меня малень-
кий ребенок”.
Argumentum ad novitatem (аргумент к новизне):
“Такого еще не было! Это круто”
Argumentum ad питегит (аргумент к числу):
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни
31
“Миллионы считают, что логика никому не нужна”.
Argumentum ad populum (аргумент к аудитории):
“Все считают, что это так”.
Argumentum ad verecundiam (аргумент к авторитету):
“Сам Джорж Сорос полагает это правильным. Думаешь,
такой человек, как он, стал бы ошибаться?”.
Bifurcation (учет только п альтернатив, хотя существует т > п
альтернатив):
“Тебе предоставлена полная свобода. Что ты выбираешь,
жизнь или кошелек?”.
Circulus in demonstrando (порочный круг, принятие доказывае-
мого утверждения за доказанное):
“Земля шарообразна, потому что она круглая”.
Fallacy of interrogation (неправомерный вопрос):
“Ты уже перестал бить свою жену?”.
Fallacy of composition (предположение, что собрание обладает
свойствами своих членов):
“Каждое зерно в куче почти ничего не весит. Следователь-
но, куча также почти ничего не весит".
Generalization (ложная генерализация):
“Билл Гейтс богач. Следовательно, все программисты богачи”
Conversion (обращение условного суждения):
“Если А, то В. следовательно, если В, то А”.
Post hoc ergo propter hoc = Non causa pro causa = Cum hoc ergo
propter hoc (после этого, значит, по причине этого):
“Я открыл окно, и тут начался дождь. Следовательно, от-
крытие окна вызвало дождь”.
Denying the antecedent (отрицание основания в условном сужде-
нии):
“А влечет В, А ложно, следовательно, В ложно”.
Dido simpliciter (неверное применение общего правила к част-
ному случаю):
“Философы-постмодернисты ненавидят Гегеля. Ты фило-
соф, следовательно, ты ненавидишь Гегеля”
Fallacy of division (предположение, что части обладают свойства-
ми целого):
“От смущения он покраснел. Следовательно, все его тело
покрылось красными пятнами”.
Equivocation (использование в одном утверждении различных
смыслов одного слова):
“Он наказа! ему так не поступать. Так что он часто его
наказываj”.
32 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни..
Extended analogy (расширительная аналогия):
“На Земле есть атмосфера. На Марсе есть атмосфера. Сле-
довательно, на Марсе есть жизнь”.
Ignoratio elenchi (подмена тезиса):
“Все люди мудры. Ведь каждый человек обладает разумом".
Fallacy of natural law (неправомерный довод к закону при-
роды):
“Хищники пожирают друг друга. Таков закон природы. Так-
же должны поступать и люди. Ведь таков закон природы”.
Non sequitur (не следует):
“Астрологи майя составили невероятно точный солнечный
календарь, поэтому они несомненно обладали различными ас-
трономическими приборами, включая телескоп”.
Petitio principii (предвосхищение основания):
“Инопланетяне похищают людей каждую неделю. Прави-
тельство в курсе. Следовательно, правительство в сговоре с
инопланетянами”
Reification / Hypostatization (подмена абстрактного понятия кон-
кретным предметом):
“Вы утверждаете, что в Чикатило содержится зло. Покажи-
те мне предмет под названием «зло» и в каком месте Чикатило
он находится”.
Shifting the burden of proof (допущение истинности утверждения,
пока не доказано обратное):
“В этой комнате находится невидимый, неслышимый, не-
осязаемый дракон. Докажите обратное"
Для того чтобы избежать дефицита критического мышления, не-
обходимо вырабатывать такие решения практических проблем, кото-
рые строятся не посредством восклицаний, стонов, ложных суждений
и т.д., а с помощью лишь рассуждений.
Определение 2.1 (рассуждение). Рассуждение представляет со-
бой речь, которая характеризуется одновременным выполнением ряда
условий. Она:
1.	атрибутивна - - относительно одного положения должно ут-
верждаться другое; атрибутивная речь называется также ана-
зизам, если относительно А утверждается В, то А называется
анализируемым выражением, В — анализирующим выраже-
нием-,
2.	информативна — в явном виде показывает собеседнику (реци-
пиенту) свое содержание, иными словами, непосредственно
отсылает его к реальным или вымышленным объектам и гово-
рит о них нечто нетривиальное; такая речь не сводима всецело
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
33
к утверждению “Я = А" (читается: А аналитически равно Я) и
имеет вид “Я = В”13;
3.	оооснована — явно или неявно включает некие выводы, кото-
рые подкрепляют ее содержание; такую речь можно привести
к выражению “Л = В, потому что...”;
4.	убедительна — всегда способна убедить разумного собесед-
ника в правильности какой-то точки зрения; такую речь можно
привести к выражению “некто считает, что А = В, и с чтим мож-
но согласиться”
Таким образом, рассуждением называется информативный, обо-
снованный и убедительный анализ, т.е. речь, содержащая анализируе-
мое и анализирующее выражения и являющаяся информативной,
обоснованной и убедительной.
При внимательном рассмотрении четырех перечисленных выше
условий нетрудно заметить, что имеет место следующая цепь зависи-
мостей: 4. => 3. => 2. => 1.
И действительно, всякая убедительная речь является обоснован-
ной, всякая обоснованная речь информативной и всякая информа-
тивная речь - атрибутивной, но не наоборот, ведь существует атри-
бутивная речь, которая не информативна, информативная речь,
которая не обоснована, и. наконец, обоснованная речь, которая не
убедительна. Поскольку выполнимость условия 4. предполагает вы-
полнимость всех четырех условий, рассуждением можно считать вся-
кую убедительную речь.
Проиллюстрировать нарушение определения 2.1, когда речь не
может считаться рассуждением по причине своей необоснованности
(а значит, неубедительности), можно на примере следующего диалога
Врача и Больного:
Врач: Чем вы встревожены?
Больной: Я знаю, меня хотят убить.
В.: Почему вы так думаете?
Б.: Когда я шел домой, на улице стоял неизвестный человек
В.: Что это значит?
Б.: Он хотел меня убить.
В.: Почему вы так думаете?
Б.: Он держал в руке пачку “Беломора”
11 Здесь и далее в данной главе знак будет обозначать анализ в собственном смысле
слова (поэтому не следует трактовать его как чистый знак тождества =). Отметим, что
понятие анализа имеет схожий смысл с понятием определяющего соотношения группы
Так, всегда имеет место отношение если тождество А - В. то анализ А « В, но не
наоборот.
2 Зак. 784
34 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
В.: Что это значит?
Б. (со с челами на глазах): Убийство.
В.: Почему?
Б.: “Беломор" означает белый мор, гибель.
В.: Означает ли это еще что-нибудь?
Б.: Вообще это название канала. Но в данном случае — намек, пото-
му что меня хотят убить.
Логика как раз и исследует различные способы моделирования
рассуждений, а именно способы повышения степени их атрибутив-
ности, информативности, обоснованности и убедительности
В рассуждении можно различать три уровня:
1.	синтаксический — отношения между знаками, используемы-
ми при построении рассуждения:
2.	семантический - отношения между смыслами знаков, т.е. от-
ношения. отвечающие за атрибутивность, информативность и
обоснованность рассуждения:
3.	прагматический — отношения между носителями языковой
компетенции, а именно теми, кто в зависимости от конкретной
ситуации способен вкладывать тот или иной смысл в опреде-
ленную комбинацию знаков, т.е. отношения, отвечающие за
убедительность рассуждения.
Совокупность всех синтаксических отношений произвольного
языка Ч (например, русского) образует синтаксис V. Совокупность
всех семантических отношений языка (Г образует семантику Ч. Со-
вокупность всех прагматических отношений языка / образует праг-
матику Ч. Семиотической системой языка Ч будем называть упо-
рядоченный набор, куда входит синтаксис, семантика и прагматика
языка /.
Синтаксис всякого языка состоит из алфавита, а также из
правил, благодаря которым получаются правильно построенные
комбинации из знаков, входящих в алфавит. Например, в русском
языке алфавит состоит из множества знаков .-/= {а, б, в, г, д, е, ё. ж,
з, и, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я },
называемых буквами. Комбинации букв (слова, предложения и т.д.)
образуются на основе строгого соблюдения синтаксических правил.
К синтаксическим правилам русского языка можно отнести такие
правила, как словообразование, склонение имен существительных,
спряжение глаголов и т.д
Семантика всякого языка состоит из правил, по которым каждой
правильно построенной комбинации знаков приписывается некий
смысл. Рассмотрим семантику естественного языка на примере рус-
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
35
ского. Правила этой семантики распадаются на два класса (см. Витген-
штейн [1921]):
1. правила, в соответствии с которыми всякому реальному или
вымышленному предмету сопоставляется некоторая правиль-
но построенная комбинация букв, такие правила называются
отношениями именования;
2. правила, в соответствии с которыми всякому состоянию dei
(положению вещей) семейству реальных или вымышлен-
ных предметов, находящихся в тесном взаимодействии, — со-
поставляется некоторая правильно построенная комбинация
букв; такие правила называются отношениями семантической
суперпозиции.
Определение 2.2 (отношение именования). Отношением имено-
вания или номинацией называется такое соответствие, которое любо-
му мыслительному конструкту приписывает (не всегда единственным
образом) некую конечную комбинацию букв естественного языка.
Такая комбинация букв называется сюво.м. Например, понятию "ме-
бельное изделие, предназначенное для письма” приписывается ком-
бинация из четырех букв "стол”14.
Определение 2.3 (отношение семантической суперпозиции).
Отношением семантической суперпозиции называется такое
соответствие, которое каждому состоянию дел приписывает (не всегда
единственным образом) некую конечную комбинацию слов. Такая
комбинация называется предложением'5  Например, состоянию дел
‘Сократ прогуливается’ приписывается комбинация из двух слов:
“Сократ” и “прогуливается”
Семантическая суперпозиция образуется благодаря особым функ-
циям. Например, предложение “Сократ есть человек” образуется бла-
годаря функции е (“...есть...”) которая связывает слова “Сократ” и
“человек” с тем, чтобы выразить соответствующее положение вещей.
14 Всегда можно предположить, что соотаетстаня именования являются бинарными: каждой
единице нашего мышления приписывается некая отдельная комбинация букв Но а этом
случае предполагается редукция сложных мыслей к неким атомарным мыслительным конст-
руктам (так называемый логический атомизм) Таким образом номинации необходимо
различать не только по их компонентам образующим пару, но и по уровню сложности. Если
представить произвольное отношение именования в в» те бесконечной последовательности,
то данное соответствие будет иметь с тедуюшии вид
1 Для комбинаций букв Аг ‘.г	—это ..<•	>..	> (,>. Чем
сложнее комбинация букв» тем менее прозрачна ею выражаемая мысль
2 Для мыслительных конструктов /	/ г... — это <	< »'f < lv. <...,
Чем сложнее мыслительный конструкт, тем труднее его выразить в
естественном языке.
В этом смысле каждый текст является предлож'еннем (см. Витгенштейн [ 19211)
36 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
Те предложения, в которых встречается только один субъект (под-
лежащее) и только один предикат (сказуемое), станем называть элемен-
тарными предложениями. Основными функциями семантической су-
перпозиции элементарных предложений выступают следующие: V
(“не...” или “неверно, что...”), 1Г(“...и...”), 8 (“...или...”), I (“если...,
то...”). Данные функции являются естественными зогическими фун-
кциями - - используя их, мы в состоянии моделировать рассуждения в
русском языке.
Определение 2.4 (отрицательное суждение). Отрицательным
суждением называется такая семантическая суперпозиция, которая
образуется из элементарного предложения посредством применения
естественной логической функции V.
Определение 2.5 (соединительноесуждение). Соединительным
суждением называется такая семантическая суперпозиция, которая
образуется из двух элементарных предложений посредством приме-
нения естественной логической функции к.
Определение 2.6 (разделительное суждение). Раздезитезьным
суждением называется такая семантическая суперпозиция, которая
образуется из двух элементарных предложений посредством приме-
нения естественной логической функции 5.
Определение 2.7 (условное суждение). Условным суждением на-
зывается такая семантическая суперпозиция, которая образуется из
двух элементарных предложений посредством применения естествен-
ной логической функции I.
Естественные логические функции продуцируют наибозыиий
тип смысловой связи. Это значит, что каждая естественная логичес-
кая функция предполагает максимальную семантическую суперпо-
зицию. Так, если А есть семантическая суперпозиция и множество А
принадлежит множеству В, то В также есть семантическая суперпо-
зиция16
Прагматика всякого языка состоит из правил, по которым каждой
правильно построенной и осмысленной комбинации знаков приписы-
вается некоторая прагматическая оценка, в частности одобрение или
неодобрение по поводу сказанного. Всякая прагматическая оценка про-
изводится носитезем языковой компетенции — тем, кто всегда спосо-
бен использовать язык с определенной практической целью. На праг-
матическом уровне язык, таким образом, превращается в речевую
практику. Носитель языковой компетенции производит рассуждения
1(1 Максимальную семантическую суперпозицию можно разъяснить на следующем примере.
Смысл суждения “Все теза протяженны” содержится а смысле суждения “Все тела имеют
тяжесть”, при этом второе суждение не сводимо к первому.
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни ...37
как некие речевые акты. Речевой акт xapaKi сризуется следующими
аспектами:
1. интенциональностью - он направлен на конкретный предмш
физического мира, который в явном или неявном виде является
основной темой рассуждения;
2. интерактивностью — его содержание является явным или
скрытым призывом к совершению каких-то поступков.
Для того чтобы успешно моделировать рассуждения, необходимо
иметь алгоритм построения семантической суперпозиции. Перед тем
как предложить такой алгоритм, заметим, что убедительная атрибутив-
ная речь отвечает принципу обобщенной индукции;
1.	анализ А = А всегда является убедительно обоснованным (дан-
ное утверждение не нуждается в обосновании, будучи очевид-
ным и без него);
2.	если анализ А~ В убедительно обоснован посредством какого-
то аргумента С, то он убедительно обоснован и посредством
любого другого числа аргументов, среди которых встречает-
ся С;
3.	всякий анализ является убедительно обоснованным тогда и толь-
ко тогда, когда он отвечает двум предыдущим условиям.
Утверждение 2.1 (наименьший тип смысловой связи, мини-
мальная семантическая суперпозиция). Индуктивная трактовка
убедительного обоснования показывает, что в убедительно обо-
снованной речи в анализируемом и анализирующем выражениях
должен наличествовать наименьший тип смьи ювои связи Это зна-
чит. что в убедительном анализе естественная логическая функция
должна предполагать минимальную семантическую суперпозицию.
Так, если А есть семантическая суперпозиция, то В является се-
мантической суперпозицией тогда и только тогда, когда В принадле-
жит Я.
Доказательство. Предположим, что в анализируемом и анали-
зирующем выражениях имеет место наибольший тип смысловой свя-
зи. В этом случае в анализе А ~ А для анализируемого выражения А
всегда можно найти некое выражение В. которое будет строиться по
правилу семантической суперпозиции анализируемого выражения
А, а для анализирующего выражения А всегда можно найти выраже-
ние С, которое будет строиться по правилу семантической суперпо-
зиции анализирующего выражения А. В итоге анализ А ~ А должен
иметь такой же смысл, что и анализ В - С. Но это противоречит
требованию очевидности анализа А = А. Таким же образом можно
привести к противоречию условия 2 и 3 трансфинитной индукции
для убедительно обоснованной речи, если допускать максимальную
38 Дед ктивный, вероятностный и диалектический уровни...
семантическую суперпозицию. Следовательно, в анализируемом и
анализирующем выражениях имеет место минимальная семантичес-
кая суперпозиция. •
Введем новые логические функции (нижеследующие определе-
ния), которые задают уже минимальную семантическую суперпози-
цию.
Определение 2.8. Отрицанием называется наименьший тип смыс-
ловой связи в отрицательном суждении. Обозначается отрицание зна-
ком —1. Условие минимальной семантической суперпозиции отрица-
тельного суждения следующее: —v4 является истиной тогда и только
тогда, когда А является ложью, и —А является ложью тогда и только
тогда, когда А является истиной.
Определение2.9. Конъюнкцией называется наименьший тип смыс-
ловой связи в соединительном суждении. Обозначается конъюнкция
знаком л. Условие минимальной семантической суперпозиции соеди-
нительного суждения следующее: А л В является истиной тогда и только
тогда, когда одновременно истинно А и В, и ложно во всех остальных
случаях.
Определение 2.10. Дизъюнкцией называется наименьший тип
смысловой связи в разделительном суждении. Обозначается
дизъюнкция знаком v. Условие минимальной семантической
суперпозиции разделительного суждения следующее: Av В является
ложью тогда и только тогда, когда одновременно ложно А и В, и истинно
во всех остальных случаях.
Определение 2.11. Импликацией называется наименьший тип
смысловой связи в условном суждении. Обозначается импликация
знаком э. Условие минимальной семантической суперпозиции ус-
ловного суждения следующее: A z> В является ложью тогда и толь-
ко тогда, когда А истинно и В ложно, и истинно во всех остальных
случаях.
Высказывание (A z> В) л (В z> А) будет называться эквивалентно-
стью и обозначаться А <=> В. читается: “А тогда и только тогда,
когда В".
Таким образом, всякое отрицание является отрицательным суж-
дением, но не наоборот, всякая конъюнкция является соединитель-
ным суждением, но не наоборот, всякая дизъюнкция является разде-
лительным суждением, но не наоборот, и, наконец, всякая импликация
является условным суждением, но не наоборот. Условия минималь-
ной семантической суперпозиции соответствующих суждений и явля-
ются в конечном итоге алгоритмами построения семантической су-
перпозиции для убедительно обоснованной речи. На примере
импликации проиллюстрируем, что в определениях 2.8 — 2.11 дей-
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...39
ствигельно заданы условия минимальной семантической суперпози-
ции. Так, во-первых, из ложного основания следует все, что угодно:
{ложь} о А, т.е. любое предложение А, выражающее какое угодно
состояние дел. Во-вторых, из любого предложения вьпекает истина:
А лз {ис1ина}. Отсюда, в частности, следует, что высказывание “Если
2x2 = 4. то Луна шарообразна” представляет собой истинную импли-
кацию, хотя никакой причинной связи между основанием и следстви-
ем здесь не просматривается. Подобные несуразности, вытекающие
из условия минимальной семантической суперпозиции условного
суждения, получили в ло1 ике особое название - парадоксы имплика-
ции. Самостоятельно рассмотрите на конкретных примерах, почему
отрицание, конъюнкция и дизъюнкция задают минимальную семанти-
ческую суперпозицию17.
Отношения, которые предполагают минимальную семантическую
суперпозицию, станем называть логически ни отношениями. Пусть
3iL - множество всех логических отношений Д и 3is - множество
всех семантических отношений f\, т.е. отношений, предполагающих
любую семантическую суперпозицию (максимальную или минималь-
ную). И гвестно, что логические отношения — это наименьшее непус-
тое подмножество множества семантических отношений. На языке тео-
рии множеств данное свойство выражается следующим образом: Л, с
3is, причем если Э1Х с и Лх с 31,, то 3\ = Эх,. Другими словами, для
каждого е 3is можно найти соответствующее /?, е 31, такое, что
является наименьшей смысловой связью в семантическом отноше-
нии /?s.
Логическим языкам будем называть язык, семантика которого со-
держит только правила задания минимальной семантической суперпо-
зиции. т.е. его семантика состоит только из логических отношений. Для
того чтобы рассуждение могло быть убедительно обоснованным, в языке
У, на котором мы рассуждаем, должен содержаться логический язык
Ч ‘* 8. Логический язык Ч состоит из набора /'= <.-/. .f>, где
1.	. / - - алфавит, включающий переменные, на места которых
можно подставлять слова и предложения, а также состоящий
из функций а. р. ..., определяющи? соответствующие логи-
ческие отношения (такими функциями, например, являются:
-1, л, v, z>);
Для отрицания начните с разбора примера “Неверно, что все люди глупы"
* В результате такого понимания языка рассуждения (как содержащего логический язык) мы
избегаем громоздкого различения предметного языка. на котором мы строим осмыстенные
комбинации знаков, н метаязыка. на котором мы задаем пра зила семантической суперпозиции.
В частности, наше понимание показывает, что логический язык — эго минпмл шнын язык
рассуждении
40 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни
2.	.7 — множество всех формул, образованных из знаков в .-/ по
правилам задания минимальной семантической суперпози-
ции.
Логический язык всегда является искусственным, при этом на места
переменных можно подставлять соответствующие выражения есте-
ственного языка. Искусственный язык отличается от естественного
тем, что все его выражения определяются эффективно, т. е. за конеч-
ное число шагов с помощью какого-то конкретного алгоритма. На-
пример, для множества ./формул языка чогики высказываний (языка,
в котором среди функций, задающих логические отношения, встреча-
ются только —1, л, v, z>) эффективная процедура построения выраже-
ний определяется по индукции и выглядит так:
Множество ./является минимальным множеством, таким, что
1.	всякая переменная V принадлежит
2.	если V принадлежит то —1V принадлежит .Z
3.	если V и V принадлежат .£ то Ул V, V v V, V з V принадлежат./
Таким образом, множество переменных и функции —>, л, v, z> яв-
ляются базой нётеровой индукции. О роли принципа обобщенной
индукции в задании отношений, подчиняющихся условию минималь-
ной семантической суперпозиции, см. Шуман А.Н. [2002Ь]. В зависи-
мости от того, насколько язык рассуждений богаче логического язы-
ка — насколько заметнее его семантические правила отходят от
принципа минимальной семантической суперпозиции — различают
дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни критического
мышления. На первом уровне критическое мышление тестируется на
собственную логическую корректность, на втором — на способность
обрабатывать эмпирические данные, на третьем — на способность
субъекта вступать в дискуссию и убеждать оппонентов в правильнос-
ти собственной точки зрения.
Дедуктивный уровень критического мышления. На данном уров-
не логические отношения рассматриваются в качестве наименьшего
подмножества множества семантических отношений и язык рассуж-
дения в точности является неким логическим языком. С позиции де-
дуктивного уровня рассуждение является убедительным тогда и толь-
ко тогда, когда оно в явном виде содержит выводы, т. е. какое-то новое
знание по отношению к описываемой реальности. Если собеседник
признает рассуждение в этом случае убедительным, то это означает,
что он соглашается с теми выводами, которые предполагаются в дан-
ном рассуждении, в силу одной их корректности. Тем самым он согла-
шается, что рассуждение действительно привносит с собой какое-то
знание. На дедуктивном уровне критического мышления истины яв-
ляются истинами во всех возможных мирах. Моделированием рас-
Дедуктивный, вероятностный и диалектический ровни...41
суждения на дедуктивном уровне является математическая логика
(главы 3 —9).
Вероятностный уровень критического мышления. На данном
уровне логические отношения рассматриваются в качестве наимень-
шего подмножества множества семантических отношений и язык рас-
суждений помимо логического языка содержит также семантические
отношения, которые не являются сугубо логическими и при этом со-
держат соответствующие логические отношения. Например, возьмем
логическое отношение z>. Постулируем теперь такое семантическое
отношение между основанием е и следствием Л, которое может вы-
ражаться опреде ленным числом, называемым степенью подтверж-
дения гипотезы Л в отношении эмпирических данных е. Степень под-
тверждения приставляет собой некоторую функцию с от двух
аргументов Л и е, т.е. с(Л, е) = q. Значение этой функции q лежит в
отрезке вещественных чисел [0, 1]. Если q = 1, то мы имеем имплика-
цию е z> Л (докажите это), а, значит, отношение с(й. е) содержит отно-
шение сой. На индуктивном уровне критического мышления исти-
ны являются истинами только в некоторых возможных мирах.
Моделированием рассуждения на вероятностном уровне является
вероятностная логика (глава 10).
Диалектический уровень критического мышления. На данном
уровне язык рассуждений содержит также прагматические отношения.
Следует заметить, что на прагматическом уровне всегда полагается
максимум семантического отношения, для логики же — это всегда
минимум. В этом плане можно сказать, что если математическая ло-
гика изучает семантические отношения в их минимуме (как мини-
мальные семантические суперпозиции), то прагматика — в их макси-
муме (как максимум максимальных семантических суперпозиций).
Прагматическая оценка того или иного носителя языковой компетен-
ции способна неотраниченно усилить смысловую связь внутри выра-
жения. На диалектическом уровне критического мышления истины
являются поэтому истинами только в одном возможном мире. Моде-
лированием рассуждения на диалектическом уровне является нефор-
мальная логика (глава 11 и приложение 1).
Уровни критического мышления и основная проблема
аналитической философии
Аналитическая философия, как особое направление логико-фи-
лософских исследований, занимается выяв тением условий построе-
ния атрибутивной речи, т.е. тем, как следует строить выражения вида
А = В. Логика же занимается выявлением условий построения не вся-
кой атрибутивной речи, а только той. что характеризуется свойством
42 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
убедительное!и. Поэтому логика является более узкой дисциплиной,
чем аналитическая философия. Однако алгоритм построения выра-
жений вида А ~ В исследуется исключительно в рамках логики, так что
точное изучение проб 1емы анализа возможно лишь с применением
всего арсенала логических средств1’
Особой традицией аналитической философии является логичес-
кий позитивизм (его преставители - Витгенштейн [1921], Гильберт
[1918], Карнап [1928,1947], Куайн [1960], Нагель [1961], Нагель и Коэн
[1934], Поппер [1934, 1959, 1968], Рассел [1919, 1921, 1948,], Тарский
[1930], Фейгл [1954], Фейгл, Бролбек [ 1953], Фреге [1891], ван Хейено-
орт [1967], Хинтикка [1962. 1966]. Шлик [1946] и др.). В рамках этой
традиции проблема анализа решается сугубо логическими средства-
ми. Основной вопрос логического позитивизма звучит так: какие тер-
мины из определенного множества анализируемы и в терминах чего?
Или так: каково наименьшее подмножество данного множества тер-
минов, достаточное для того, чтобы анализировать все остальные тер-
мины множества? Или так: анализируемо ли в рамках определенной
логической системы либо А в терминах В, либо В в терминах А, либо
одно в терминах другого20? Таким образом, в логическом позитивиз-
ме корректный анализ сводится к тождеству, поскольку анализ, как
считают логические позитивисты, предполагает минимальную семан-
тическую суперпозицию и сам является минимальной семантичес-
кой суперпозицией.
Изучение проблемы анализа должно проходить в рамках четко
очерченной системы постулатов. Например, только в том случае,
если дана система внелогических постулатов, в которой определен
термин “треугольник”, мы можем заключать: “Если и только если
X— равносторонний треугольник, то X — равноугольный треуголь-
ник”. Поэтому необходимо всегда помнить, что А = В может тракто-
ваться как А = В только в рамках некоей системы 7. в которой опреде-
лены термины А и В и в которой определены семантические
отношения, предполагающие А и В. Другими словами, А = В — это
такое тождество, которое может меняться от системы к системе.
А = В - это такое тождество, которое остается неизменным при пе-
реходе от системы к системе.
Пусть X — анализируемое выражение, У — анализирующее
выражение. Если анализ корректный, то X тождественно У; но в таком
14 Другими словами, логика это минимум аналитической философии, тот минимум, без
которого последняя невозможна
2и Разумеется, все перечисленные вопросы предполагают, что соответствующие термины
обладают строго фиксированными значениями при их повседневном и научном
употреблении
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...	43
случае суждение, выраженное высказыванием X = Y, тождественно
суждению, выраженному высказыванием X - X. Другими словами,
если анализ, зафиксированный посредством некоего тождества,
является корректным, он оказывается сразу же тривиальным. Это
обстоятельство подводит нас к парадоксе анализа', высказывание X = У,
независимо от того, идет ли в нем речь о тождестве конкретных или
абстрактных объектов, не может быть одновременно истинным и
нетривиальным.
Рассмотрим два уравнения: 4 = IV и 4 = -J64 . Мы всегда можем
сказать, что уравнение 4 = IV является тривиальным, тогда как урав-
нение 4 = \/б4 является информативным, поскольку справа и слева
стоят различные по смыслу символы. Для того чтобы избежать па-
радокса анализа, логические позитивисты различают два модуса тож-
дества: онтологический и семантический. Высказывание “X и У явля-
ются тождественными понятиями (или свойствами)” отражает
онтологический модус тождества. Семантический модус тож-
дества формулируется следующим образом: “X и У являются сино-
нимичными выражениями” Так, в уравнении 4 = V64 обнаружива-
ется онтологический модус тождества, а в уравнении 4 = IV
семантический.
Тем не менее, парадокс анализа вновь возникает в семантической
формулировке, если мы придерживаемся такого принципа:
(i)	Пусть S, — предложение, содержащее выражение X, a S, —
предложение, получающееся из если X замешается
синонимичным выражением К; тогда S синонимично S,21
Данный принцип напрямую ведет к парадоксу, если выбрать в
качестве предложение, выражающее сам анализ, в качестве X —
анализируемое выражение, а в качестве У анализирующее
выражение. Например, если слово “отец” синонимично выражению
“родитель мужского пола”, то фраза “Отец является родителем
мужского по ла" не означает ничего, кроме того, что “отец” является
“отцом". В формальной записи:
(ii)	Хе S и У е St, следовательно, (X = К) е S и (X = X) е S,
Приведем другой пример. Пусть мы имеем анализ представ-
ленный высказыванием “Атрибут брат = атрибут единоутробное
существо мужского пола”. Это позволяет нам прийти к противоес-
тественному выводу: суждение “Атрибут брат = а1рибут единоут-
робное существо мужского пола” тождественно суждению “Ат-
рибут брат = атрибут брат”
Другая формулировка принципа если X = У, то при подстановке У вместо X в прои (вольное
предложение S, его истинностное значение остается неизменным.
44 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
Если же мы выбираем в качестве S, предложение “Такой-то зна-
ет, что атрибут брат = атрибут брат”, то из этого должно следовать,
что “Такой-то знает, что атрибут брат = атрибут единоутробное
существо мужского пола”. Очевидно, что подобный вывод не мо-
жет быть логически корректным. Так, из моего знания, что 4 = 4, не
следует, что мне известны все тождественно истинные уравнения ариф-
метики, касающиеся числа 4. Данная разновидность ра сматриваемо
го парадокса называется эпистемологическим парадоксом анализа* 21 22.
Его точная формулировка такова:
(iii)	Если р = <7, то (р = р) = (р = q), а поскольку каждый знает, что р = р, то
каждый знает, что р = q.
По мнению Чёрча [1956], парадокс (ii), в частности парадокс (iii),
можно устранить, если следовать фрегевскому различию смысла и
значения (денотата) (см. Фреге [1892]). Выражения “отец” и “роди-
тель мужского пола”, обозначая одно и то же понятие, имеют, тем
не менее, разный смысл точно так же, как в уравнении 2 + 2 = 4 выра
жения слева и справа от знака тождества обозначают одно и то же
число (имеют общий денотат), но обладают разным смыслом. Ясно,
что правило подстановки, сформулированное в (i), будет приемлемым
только в том случае, если синонимичность будет пониматься как со-
впадение по смыслу.
Другой способ устранения парадоксов (ii) и (iii) предложил
Карнап [1947]. Он заметил, что суждения “Скотт тождественный
Скотту” и “Скотт тождественный автору “Веверлея” не
тождественны, поскольку первое из них является тавтологией, а
второе— фактическим суждением (с допущением, что имя “Скотт”
не является дефиниционным сокращением выражения “автор
“Веверлея”).
Наиболее надежным способом устранения парадокса анализа
является различение X = Y как максимальной синонимической связи
для X (традиционное название — salva necessitate22) и X = X как
минимальной синонимической связи для X (традиционное название —
" Классический пример эпистемологического парадокса анализа в формулировке Куайна
11939,1943]: из высказывания "Необходимо, что Утренняя Звезда тождественна Утренней
Звезде” не следует высказывание "Необходимо, что Утренняя Звезда тождественна
Вечерней Звезде”, хотя Утренняя Звезда и Вечерняя Звезда обозначают одну и ту же
планету Венера. Формулировка этого же парадокса, принадлежащая Расселу [1905.1906]:
из того обстоятельства, что король Георг пожелал узнать, тождествен ли Скотт автору
"Веверлея”, не следует, что король Георг пожелал узнать, тождествен ли Скотт самому
себе.
21 Данное название выражает следующий принцип: “Eadem sunt quorum unum potesl subslilui
altcri salva necessitate*’ — “Тождественны те которые взаимозамен!!мы при сохранении
необходимости”
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...
45
salva veritate2i). Пусть i обозначает элементы, тождественные между
собой25 Максимальной синонимической связью для X называется
такой анализ X = К, который имеет место только при некоторых i.
Минимальной синонимической связью для X называется такой анализ
X = Y, который имеет место при всех i. Очевидно, что проблема
анализа при минимальной синонимической связи для X решается на
дедуктивном уровне критического мышления. Покажем, что
проблема анализа при максимальной синонимической связи для X
решается на вероятностном или диалектическом уровне критического
мышления.
Пусть С — анализируемое выражение, в котором присутствует
некий теоретический термин, а формула Q^R: — анализирующее
выражение, имеющее вид условного суждения языка проводимых
наблюдений i, а именно языка, в терминах которого проверяется
теоретический термин, входящий в С. Например, в качестве С возьмем
высказывание “В момент / по данному проводнику течет
электрический ток, сила которого равна а в качестве Qo/? —
высказывание “При наблюдении i если в момент / данный
проводник соединен с амперметром, то стрелка амперметра
отклонится в этот момент на столько-то делений I от начального
положения”.
Предположим, что в анализе С = Q, э R имеет место мини-
мальная синонимическая связь для С. Это значит, при всех i из С
должно логически следовать Q z> R. Допустим далее, что при не-
котором i из С логически следует Q z> R т.е. верификация выска-
зывания Q л —R при некотором i логически вынуждает —iC2t, даже
если все остальные условные высказывания, следующие из С вида
Qj z> R, где j * i, оказались бы не верными. Но это не может быть
корректным при минимальной синонимической связи для С. Сле-
довательно, в анализе С =	мы должны использовать усло-
вие максимальной синонимической связи для С. И действительно,
установить, что С = Q о R при всех результатах наблюдения i,
невозможно наблюдения пришлось бы проводить бесконечно
долгое время. В данной ситуации лучше всего сопоставлять сте-
пень опровержимости С в связи с фальсификацией одного из его
следствий со степенью подтверждаемости С в связи с верифика-
Данное название выражает следующий принцип: “Eadem sunt quorum unum potest substilui
alien salva veritate” “Тождественны те, которые взаимозаменимы при сохранении
истинности".
' Элементы входящие в один класс эквивалентности.
“ Формальная запись: Со (Q о R), что тождественно тому, что (Q л —Л) о —<С. Используя
определения 2.8 — 2.11, проверьте корректность данного рассуждения.
46 Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни ..
цией других его следствий. Другими словами, анализ С = Q z> R
необходимо рассматривать не во всех возможных мирах (не при
всех i), а только в некоторых (при некоторых i). Таким образом,
проблема анализа С = Qi z> R решается на вероятностном уровне
критического мышления.
Пусть С — анализируемое выражение, в котором, в свою оче-
редь, содержится какой-то анализ, Q z> R анализирующее выра-
жение, произносимое носителем языковой компетенции i и имею-
щее такой смысл: “Если выражение С правильно, то С меня
убеждает”. Предположим, что в анализе С = Q z> R имеет место
минимальная синонимическая связь для С. Это значит, что при всех
i из С должно логически следовать Q э R . Предположим также, что
если при некотором i имеет место высказывание “С правильно и
С меня не убеждает”, то —>С даже в том случае, если для других
носителей языковой компетенции будет актуально высказывание
“Если выражение С правильно, то С меня убеждает”. Но это
не является очевидным при минимальной синонимической связи
для С. Следовательно, в анализе C=QdR опять-таки предполага-
лось условие максимальной синонимической связи для С. Опрос
всех субъектов i с тем, чтобы прояснить, убеждает их выражение С
или нет, представляется нереализуемой задачей. Единственным вы-
ходом будет сопоставление анализируемому выражению С того
контекста, в котором С убеждает или не убеждает i. Как видим,
анализ C=Q □ Я необходимо рассматривать не во всех возмож-
ных мирах и не в некоторых (не при всех и не при некоторых i), а в
единичных возможных мирах (при конкретном |). Отсюда пробле-
ма анализа С = Q z> R решается на диалектическом уровне крити-
ческого мышления.
Подробнее о проблеме анализа (атрибутивной речи) и других
общих проблемах семантики и аналитической философии см.
Айдукевич[1934, 1958, 1960], Барт [1972, 1979], Бар-Хиллел [1964,
1966, 1969], Бар-Хиллел и Карнап [1952, 1953- 1954], Барч [1979],
Бриджмен [1928], фон Вригт [1971], Гемпель [1958а, 1965], Гуссерль
[1913,1921], Дэвидсон, Харман [1972], Карнап [1928,1942,1947,1952а,
1955,1955а], Кемени [1956,1959], Кемпсон [1975], Коль [1978], Коль,
Морган [1975], Котарбинский [1961], Куайн [1943, 1947,1950, 1951,
1960], Линский [1952], Лоренцен [1978], Лоренцен, Швеммер [1975],
Морис [1946], Мартин [1958], Нагель [1961], Нагель и Коэн [1934],
Пап [1958], Парет [1978], Патнэм [1954], Пятницын Б. Н. [1967], Рассел
[1919, 1921], Роджерс Р. [1963], Тарский [1944, 1956], Тондл [1966],
Ульман [1957], Фреге [1892], ваи Хейеноорт [1967], Хомский [1972],
Шенон, Вивер [1949] и др.
Дедуктивный, вероятностный и диалектический уровни...47
Итак, проблема анализа требует индивидуального решения с пози-
ции либо дедуктивного, либо вероятностною, либо диалектического
уровней критического мышления. В качестве иллюстрации каждого из
названных уровней рассмотрим различные варианты силлогистики
силлогистику Аристотеля и силлогистику Васильева как примеры
моделирования рассуждения на дедуктивном уровне критического
мышления, нечеткую силлогистику как пример моделирования рас-
суждения на вероятностном уровне и неформальную силлогистику как
пример моделирования рассуждения на диалектическом уровне.
Упражнения
2.1.	Покажите, что в определении 2.1 невыполнимость условия 1
влечет невыполнимость условия 2, невыполнимость условия 2 — невы-
полнимость условия 3, невыполнимость условия 3 - невыполнимость
условия 4.
2.2.	Приведите пример анализа, который бы не являлся
информативным.
2.3.	Приведите пример обоснованной речи, которую нельзя
считать убедительной.
2.4.	Является ли следующее суждение правильно построенным с
позиции синтаксических правил русского языка: “Труляля бармалеет
балабея”? Является ли оно речевым актом?
2.5.	Укажите, какие из перечисленных ниже выражений являются
осмысленными, а какие бессмысленными (см. Остин [1970, “Значение
слова”]) Обоснуйте свое решение.
1.	Каково значение (слова) “крыса”?
2.	Каково значение (слова) “слово”?
3.	Что такое “крыса”?
4.	Что такое “слово”?
5.	Что такое “морда” крысы?
6.	Каково значение (фразы) “Каково значение?”?
7.	Каково значение (предложения) “Каково значение (слова)
«Л»?”?
8.	Каково значение слова?
9.	Каково значение любого слова?
10.	Каково значение слова вообще?
11.	Что такое значение - (слова) -“крыса”?
12.	Каково “значение” слова?
13.	Что такое “значение” (слова) “крыса”?
14.	Каково значение (фразы) “значение слова”?
15.	Каково значение (предложения) "Что есть значение
(слова)«А'»?”?
48 Силлогистика Аристотеля
16.	Каково значение (предложения) “Что такое «значение»
«слова» «А'»?”?
2.6.	Используя свойство минимальной семантической суперпо-
зиции, докажите, что истины математической логики являются исти-
нами во всех возможных мирах.
2.7.	Используя свойства семантической суперпозиции, которая
не является минимальной семантической суперпозицией, докажите,
что истины вероятностной логики являются истинами в некоторых
возможных мирах.
2.8.	Используя свойство максимума максимальных семантичес-
ких суперпозиций, докажите, что истины неформальной логики явля-
ются истинами в одном возможном мире.
2.1.	Силлогистика Аристотеля
Базовой теорией силлогистики Аристотеля (см. Аристотель [IV в.
до н.э.; “Первая аналитика”, “Вторая аналитика”]) является логика
высказываний.
Определение 2.1.1 (алфавит логики высказываний). Алфавитом
логики высказываний является упорядоченная система = <V, £р Z.,,
К>, где
1.	V— множество пропозициональных переменныхр, q, г, ...;
2.	— множество унарных пропозициональных связок, которое
состоит ровно из одного элемента —i, называемого знаком от-
рицания',
3.	L, — множество бинарных пропозициональных связок, которое
содержит три элемента: л, v, z>, называемых соответственно
знаком конъюнкции, знаком дизъюнкции и знаком импликации;
4.	К — множество вспомогательных символов, образуемое из
левой и правой скобок: (, ).
Причем V, Lp Z.,, К — непересекающиеся множества, множество
V счетно, а объединение множеств и L, не пусто.
Определение 2.1.2 (формализованный язык логики высказыва-
ний). Формализованным языком логики высказываний называется
упорядоченная система 9’= <3>, где
1. .'/—алфавит логики высказываний;
2.	— множество всех формул, образованных из знаков в
Элементы .'^определяются по индукции следующим образом:
(а)	всякая пропозициональная переменная р, q, г, .. есть фор-
мула;
(Ь)	если а, /3 — формулы, то формулами будут также выражения
-.а, а л р, a v Р.а^Р;
Силюгистика Аристотеля 49
(с)	формулой чогики высказываний называется выражение, отве-
чающее только двум предыдущим условиям.
Определение 2.1.3 (логика высказываний). Логикой высказыва-
ний или пропозициональным исчислением называется упорядоченная
система .7 = <.f, 'Р>, где
1.	— алфавит логики высказываний;
2.	У - множество всех формул, образованных из знаков в
3.	'( — операция присоединения следствия к элементам У, которая
для любого произвольного множества формул с У строит
множество т.е. множество всех следствий из .fB, получае-
мых с использованием правил вывода. Правилами вывода ю-
гики высказываний считаются:
(а)	правило подстановки, согласно которому из любой формулы
логики высказываний а(р.........ря), содержащей пропози-
циональные переменные р.........рп, всегда можно получить
формулу а’(р,....рн, fl(ql...qk). р^, ..., рл) путем замены
пропозициональной переменной р, формулой логики выс-
казываний fl{q}..qt), содержащей пропозициональные пере-
менные qt, ..., qk:
_________а(р<..... р, рд.....
а'(р......................... р :P(q.<?*), р.рд ’
(Ь)	правило отделения (modus ponens), согласно которому из любых
двух формул логики высказываний an fl всегда можно полу-
чить формулу fl:
a,a zj fl
fl '
Основное свойство правила вывода состоит в том. что оно
не меняет значения истинных посылок: если посылки были тавто-
логиями27, то и заключение по правилу вывода также будет тавто-
логией.
Операция присоединения следствия определяется по индукции
следующим образом:
(i)	для любого произвольного множества формул •>" с Умножество
^'(Уп) содержит множество 'Г(0), называемое множеством
тавтологий логики высказываний;
(ii)	если множество содержит множество гТ(а), то оно также
содержит множество rf(fl), где а и fl — множества формул логики
2’ Тавтологией называется формула, истинностная оценка которой принимает только значение
истина (см. определение 2.1.7).
50 Силлогистика Аристотеля
высказываний, причем а является таким подмножеством
множества Д, что г(\р) С /(сг)~;
(iii)	множество Ф(-?о) является минимальным множеством,
отвечающим двум вышеназванным условиям.
Логику высказываний можно аксиоматизировать многими
способами в зависимости от того, какое множество формул выбрано
в качестве исходного при получении множества '<(0). Воспользуемся
множеством аксиом пропозиционального исчисления Лукасевича
(см. Лукасевич [1929а]):
(2.1)	(р z> ci) => Цц о г) о (р о г)),
(2.2)	(-р о р) о р,
(2.3)	р з z> q).
В этой системе в качестве основных используются связки
отрицания и импликации. Остальные связки алфавита логики
высказываний рассматриваются в качестве производных — их можно
ввести посредством таких определений:
(2.4)	р л q « -.(р z> -ц),
(2.5)	р v q = -р z> q.
Применяя к аксиомам (2.1) — (2.3) правила вывода, можно полу-
чить все другие тавтологии множества Z(0) системы В качестве при-
мера рассмотрим доказательство закона тождества р z> р:
!________(рз^)з((^эг)з(рэг))___________________________
(р z> (-.р z> q)) z> (((—.р зр)зг)з(рз г))
здесь мы применили правило подстановки, поставив на место
переменной q формулу —i р z> q-,
2 (р => (-.р => <?)),(р => (-.р => д)) => ((Ир з?)эг)з(рз г))
((прзр)зг)з(рэг)
здесь мы применили правило отделения, используя в качестве первой
посылки аксиому (2.3);
3 ((~<Р зд)эг)э(ррг)
((—.р	р)т> р)т> (р р)
теперь мы применили двойное правило подстановки, заменив
переменные q на р и г на /?;
4 ((—£> => Р)=> p),((-.pz> р)эр)э(ррр)
(р =5 р)
заканчивая доказательство закона тождества, мы воспользовались
правилом отделения, используя в качестве первой посылки аксиому
(2-2).
2К В соответствии с данным определением среди всех пар <а,	данное а всякий
раз оказывается минимальным элементом со свойством
Силлогистика Аристотеля 51
Силлогистика Аристотеля является расширением логики выска-
зываний.
Определение 2.1.4 (алфавит силлогистики Аристотеля).
Алфавитом силлогистики Аристотеля является упорядоченная
система .VSA= <V, Q, Lf, L,, L}, K>, где
1.	V — множество пропозициональных переменных р, ц, г,
2.	Q — множество силлогистических переменных S. Р, М,
3.	множество унарных пропозициональных связок, которое состо-
ит ровно из одного элемента —i, называемого знаком отрицания,
4.	L, — множество бинарных пропозициональных связок, которое
содержит три элемента: л, v, z>, называемых соответственно
знаком конъюнкции, знаком дизъюнкции и знаком импликации;
5.	С, — множество бинарных силлогистических связок, которое
содержит четыре элемента: а, е, i, о, называемых соответственно
знаками функторов "каждый... есть... ", "ни один... не есть...".
"некоторые... есть..." и "некоторые., не есть...”29:
6.	К — множество вспомогательных символов, образуемое из левой
и правой скобок: (,).
Причем V, Q, L{, L,, Lv — непересекающиеся множества, множе-
ства V и Q счетны, а объединение множеств и L, и L, не пусто.
Определение 2.1.5 (формализованный язык силлогистики Ари-
стотеля). Формализованным языком силлогистики Аристотеля на-
зывается упорядоченная система = < уд, ,^д>. где
1. .VSA - алфавит силлогистики Аристотеля;
2. Jj. — множество всех формул, образованных из знаков в ,-/SA;
помимо множества всех формул полученного по правилам
(а). (Ь) и (с) определения 2.1.2, оно содержит также элементы,
определяемые так:
(d) если S н Р - силлогистические переменные, то выражения
Sa Р, S е Р, Si Р, S о Р будут собственными формулами
силлогистики Аристотеля20.
(d’l если ан ft — собственные формулы силлогистики Аристотеля,
то формулами будут также выражения —iCt, а л р, ах/ р, а^> р. 24
24 Заметим, что функторы i, о понимаются в силлогистике в широком смысле — “по крайней мере
некоторые суть (не суть).. ”. но никак не в узком — “только некоторые... суть (не суть)...”
Подстановка именных констант в функторы в. e.i, о может дать, к примеру такие категорические
суждения: “каждый человек есть живое существо" “ни один кит не есть рыба’ некоторые
люди добродетельны", некоторые материалисты не суть нравственные индивиды”.
’° Подстановка именных переменных образует следующие выражения: “каждый S есть Р”
(Sa Р). “нн одно S не есть Р" (S е Р) ‘некоторые S' есть Р” (5i Р). “некоторые S не есть Р"
(S о Р) Именные константы, подставляемые на место переменной S, называются субъектам
высказывания, константы же, подставляемые на место переменной Р. называются предикатам
высказывания.
52
Силлогистика Аристотеля
Таким образом, формулой силлогистики Аристотеля называет-
ся выражение, образованное в алфавите .-/SA по правилам (а), (Ь) и (с)
определения 2.1.2, а также по правилу (d) и (сГ) определения 2.1.5. Фор-
мулы, образованные по правилу (d) и (d’) определения 2.1.5, будут в
дальнейшем называться собственными формулами силлогистики
Аристотеля для того, чтобы подчеркнуть их отличие от формул логи-
ки высказываний.
Определение 2.1.6 (силлогистика Аристотеля). Силлогистикой
Аристотеля называется упорядоченная система SPSA = < .7SA, .'>SA, V>, где
1. .Vs — алфавит силлогистики Аристотеля;
2.	.>SA — множество всех формул, образованных из знаков в .-/SA;
3.	V — операция присоединения следствия к элементам ?
Правилами вывода силлогистики Аристотеля являются:
(а)	правило подстановки, согласно которому из любой формулы
логики высказываний а(р(, ..., рг) всегда можно получить
формулу a'(pt......P^.fitq...qk),pjfl..р„) или сд(р{,Pjl,
fit Sf, Рт), р , ..., рл) соответственно путем замены
пропозициональной переменной р. формулой логики
высказываний fi(q......... qfi или путем замены
пропозициональной переменной pj собственной формулой
силлогистики Аристотеля fitSp Рт):
а(рр,,..„ р„)
Я/	ч	ч или
« (Р.... р,-,,fi(q,,....qA. р . РА
________а(.р,--, р.,-, рА______,
а'(р............................ р. - ,fi(S‘, РА, р, • pj
а также из любой собственной формулы силлогистики Арис-
тотеля а(8у, Р) всегда можно получить формулу ot'(Sk, Р) или
a'tSj, Р) путем замены соответственно S на S* или Р на Рр
a(S„P) a(S„P)
a'(S.,P) или а'(£,Р.) ’
(b)	правило отделения (modus poitens), согласно которому из
любых двух формул силлогистики Аристотеля а и az> fi всегда
можно получить формулу fi:
a,a z> fi
Р ’
Аксиомы силлогистики Аристотеля состоят из аксиом логики
высказываний (в качестве таковых мы выбрали аксиомы (2.1), (2.2),
(2.3) пропозициональной системы (-'/pL)), и, кроме того, из следующих
выражений:
Силлогистика Аристотеля 53
(2.6)	S aS,
(2.7)	S i S,
(2.8)	(M a P л S a M) э S a P — Barbara,
(2.9)	(M a P л M i S) z> S i P — Dati.si.
Данную аксиоматическую систему предложил Лукасевич [1951].
В ней, как видим, связки а и i выбраны в качестве исходных. Две
оставшихся определяются так:
(2.10)	SeP = —i(SiP),
(2.11)	S о Р =-AS а Р).
Все тавтологии силлогистики Аристотеля могут быть получены
из аксиом (2.1), (2.2), (2.3), (2.6). (2.7), (2.8), (2.9), а также дефиниций
(2.4), (2.5), (2.10), (2.11). Приведем пример того, как может быть получен
закон конверсии для частнохтвердительных суждений'.
(2.12)	SiP^PiS.
Воспользуемся тавтологией логики высказываний ((р a q) г) z>
(р => {q => г)):
j ((р а^)д г)д (р д (q z> г)),
((М а Р а М iS)D S i P)d(M a Pd(M i S S i P))
здесь мы произвели тройную замену пропозициональных перемен-
ных: р поменяли на М а Р. q — на Л/ i S и г — на S i Р;
2 (MaPAMiS)^SiP((MaPr.MiS)^SiP)^(MaP^(MiS^SiP))
Мa Pz>(MiSnSi Р)
по правилу отделения из аксиомы (2.9);
М а Р (М i S z> 5 i Р)
SaSz3(SiPz>PiS)
здесь также тройная замена — М на S, Р на 5, S на Р;
S a S,S a S z> (S i Р z> Р i S)
Si Рэ Pi S
по правилу отделения из аксиомы (2.6).
Определение 2.1.7 (истинностная оценка на множестве
формул логики высказываний). Истинностной оценкой на
множестве формул логики высказываний .f0 cz .f называется функция
1, имеющая областью определения множество .*0 и областью значения
множество {1,0}, где 1 обозначает значение “истинно” и 0 - значение
“ложно”. Задается функция индукцией по длине формулы следующим
образом:
Г
(а)
7(р) =
I 0,
где р — произвольная пропозициональная переменная;
54
Силлогистика Аристотеля
(Ь)	/(-.а)= -	1, если 1(a) = 0; _ 0, если 1(a) = 1,
где а —	формула лоп	1ки высказываний; ' 1, если 1(a) = /(Д) = 1;
(с).	1(алр) = -	_ 0 в противном случае, 1, если 1(a) = 1 или 1(р) = 1, или и то, и другое;
(d)	l(av р) = -	О в противном случае, ' 0, если На) = 1 и 1(р) = 0;
(е)	I(az>P) = -	_ 1 в противном случае,
причем	в (с), (d), (е) переменные а и Д пробегают по формулам логики	
высказываний.
Определение 2.1.8 (истинностная оценка на множестве
формул силлогистики Аристотеля). Истинностной оценкой на
множестве формул силлогистики Аристотеля с .>SA называется
функция /, имеющая областью определения множество и областью
значения множество {1, 0}. Задается функция индукцией по длине
формулы на основании условий (а) — (е) определения 2.1.7 (причем в
(b), (с), (d), (е> переменные а и (3 пробегают не только по формулам
логики высказываний, но и по собственным формулам силлогистики
Аристотеля), а также следующих четырех условий:
(0	l(SaP) = -	' 1, если пересечение I(S) и	-7(F) = О31;
(g)	l(SeP) = -	,0 в противном случае, ' 1, если пересечение /(5) и	1(Р) = О32;
(h)	l(SiP) = -	0 в противном случае, ' 1, если пересечение —J(S)	и -./(Р) = О33;
		О в противном случае,	
11 “Каждое S' есть Р" тождественно тому, что “не существует S, которое не есть Р". На языке
логики предикатов Sa Р можно поэтому выразить так: Vx(хе $эхе Р) <=> —тНх(хе Sa
х г Р), т.е. S о —<Р = 0.
J- “Ни одно S ие есть Р" тождественно тому, что “ие существует S, которое есть Р". На языке
логики предикатов S е Р можно поэтому выразить так: Vx (хе $дх£ Р) <=> —Зх (х е 5л
х е Р), т.е. Sn Р = 0.
4 “Некоторые S суть Р” тождественно тому, что “существуют S, которые суть Р“ На языке
логики предикатов Si Р можно поэтому выразить так: Их (х € S а х е Р). т.е. —15 п —>Р- 0
Силлогистика Аристотеля
55
'1, если пересечение —J(S) и 1(Р) = О’4;
(•)
l(SoP) =
JD в противном случае,
где /(5) и 1(Р) обозначают соответственно множество именных
констант (произвольных имен с фиксированным содержанием),
подставляемых на место переменной S. и множество именных
констант, подставляемых на место переменной Р, —J(S) и —iI(P)
обозначают соответственно дополнение множества именных констант,
подставляемых на место переменной S, и дополнение множества
именных констант, подставляемых на место переменной Р, до
универсума всех именных констант3’.
Имея возможность устанавливать истинностное значение формул
силлогистики Аристотеля, мы можем построить теперь семантику
этого формализованного языка. В качестве семантики формализован-
ного языка того или иного логического исчисления берется обычно
структура.
Определение 2.1.9 (структура для формализованного языка).
Структурой дзя формализованного языка (Г называется упорядо-
ченная система 21 = <А, Q>, где
1. А множество элементов произвольной природы:
2. Q - множество л-арных отношений <оч между элементами А.
причем л-арное отношение <оя из Q встречается для каждой л-местной
формулы <0 из 9.
В соответствии с этим определением, элементы множества А
можно рассматривать как денотаты (предметные значения) формул
языка 9. При этом всякая л-местная формула представима как л-арное
отношение (0^ между денотатами. Например, в языке логики
высказываний пропозициональной переменной р соответствует 0-
арное отношение из Q, а точнее, некий индивид из множества А,
формуле р л q — некое бинарное отношение из Q и, наконец,
произвольной формуле (О - такое л-арное отношение <ог в котором и
является числом пропозициональных переменных, входящих в
формулу (О. 34
34 "Некоторые S не суть Р” тождественно тому, что “существуют 5, которые не суть Р" На
языке логики предикатов So Р можно поэтому выразить так: Зх (л е .*>' л х е PY т.е.
-•S п Р = 0.
” Таким образом, истинностная оценка/(S) и КР) имеет областью значения не множество {1.
0), а множество всех именных констант, поэтому на области определения 5 и Р истинностная
оценка / не может быть задана по индукции. На этой области значения истинностная оценка
будет всегда не наименьшим, а наибольшим множеством, поэтому функция / с областью
определения 5 и Р всегда будет неконструктивна.
56
Силлогистика Аристотеля
Определение 2.1.10 (структура для языка логики высказыва-
ний, булева алгебра). Структурой для языка логики высказываний
является булева алгебра. Булевой алгеброй называется упорядочен-
ная система 23 = <В; П, и, —i, 1. 0>, где
1.0 — бинарная операция, называемая операцией пересечения.
которая для всякой пары элементов а, b из В задает наибольшую
нижнюю грань a n Ь'6, т.е. наибольший элемент среди всех, которые
содержатся одновременно в а и Ь;
2.	и — бинарная операция, называемая операцией объединения,
которая для всякой пары элементов а, b из В задает наименьшую
верхнюю грань а и ft17, т.е. наименьший элемент среди всех, которые
содержат одновременно а и Ь;
3.	—I — унарная операция, называемая допознением, которая
всякому элементу а из В сопоставляет элемент b из В, причем таким
образом, что пересечение с b дает наименьший элемент множества В,
а объединение с b дает наибольший элемент множества В;
4.	1 — константа, обозначающая наибольший эземент
множества В',
5.	О — константа, обозначающая наименьший эземент
множества В.
Аксиомами булевой алгебры являются:
(2.13)	Vx е В (х Г\х = х) — идемпотентность дзя п,
(2.14)	Vx е В (х и х = х) - идемпотентность для и,
(2.15)	Vx е В Vу е В (х ri у = у п х) — коммутативность дзя п,
(2.16)	Vx е В Xfv е В (х и v = v их) — коммутативность для и,
(2.17)	Vx е В Vv е В V; е В (х п (у n z) = (х П у) П ;) —
ассоциативность для П,
(2.18)	Vx е В \/у е б V; е В (х и (v и ;) = (х и >) и ;) -
ассоциативность для и,
(2.19)	Vx е В Vy е В V; е В (х и (у п ;) = (х о у) п (х и с)) —
дистрибутивность и относительно П,
(2.20)	Vx е В Vy е В Mz е В (х п (у и z) = (х П у) и (х П ;)) —
дистрибутивность Г\ относительно и,
(2.21)	Vxe В Vye B(-i(xn v) = -xu-iy)—закон де Моргана для r\
(2.22)	Vre В V v е В (~л (х иу) = -х п -у) — закон де Моргана для и,
(2.23)	Vx е В (——л = х) — инволюция или закон снятия двойного
отрицания.
’‘Для множеств {1. 2.6.9} и {1.2. 3} пересечением станет множество {1.2}. оно же будет
наибольшей нижней гранью этих множеств
’’ Для множеств {3,4, а, к, р} и {9. а. £} объединением станет множество {.3,4. 9. а. к. р},
оно же будет наименьшей верхней гранью этих множеств.
Силлогистика Аристотеля 57
(2.24)	V.v е В (л гл —а = 0) закон противоречия.
(2.25)	V х е В (ли —а = 1) - закон исключенного третьего.
а также ограничите льные законы:
(2.26)	Vve В (х гл 0 = 0),
(2.27)	V ve В(хгл 1 = х),
(2.28)	Vxe В(х<л0 = х),
(2.29)	V.ve В (ли 1 = 1)
и закон представления импликации:
(2.30)	Ухе В V у е В (х	у = —а и у).
Нетрудно проверить, что каждому отношению (формуле) логики
высказываний соответствует определенное отношение булевой алгеб-
ры. Устанавливается это индукцией по длине формулы с учетом того,
что конъюнкции соответствует пересечение, дизъюнкции — объеди-
нение, отрицанию - дополнение.
С целью описания структуры для языка силлогистики Аристотеля
введем новое понятие, никем не используемое ранее.
Определение 2.1.11 (структура для языка силлогистики
Аристотеля, векторная структура над нижней полуструк-
турой). Структурой для языка силлогистики Аристотеля явля-
ется векторная структура над нижней полуструктурой Пусть
3 = <В\ гл, и, —1, 1, 0> - булева алгебра. СВ = <В ; п. 0> - нижняя
полуструктура, т.е. такая упорядоченная система 03 , в которой
существует только одна бинарная операция пересечения гл и кон-
станта 0. и пусть для каждого элемента к нижней полуструктуры
23 на множестве В заданы две унарных операции и ц*38. Вектор-
ной структурой над нижней полуструктурой называется упо-
рядоченная система 03* = <В\ п. и. —, 1. 0; {A.J к е В }.
{gj ке В }>, где {A.J кеВ } (соответственно {gj кеВ }) озна-
чает множество всех таких (соответственно gj, для которых к
принадлежит В
Любой элемент множества В называется вектором, а любой
элемент множества В скаляро.м.
Операции X* и определяются по индушии:
(2.31)	Vfle В(Хо(д) = О)
(2.32)	УаеВ УЬеВ УкеВ (\(а c\b) = \(а) c\b = \(b) Л а);
(2.33)	Х/д е В Vbe В Мке В (\(a<j b) = \(a)yj\(b')):
(2.34)	Voe В(ц0(й) = а);
(2.35)	УаеВ У1ЬеВ Уке В, (ц,(аЛ Ь) = Ц/а) Лgt(B));
(2.36)	УаеВ МЬ&В Мк&В (ц((а и b) = Ц/а) и b = gt(fe) и а);
“ Каждому пементу 1с из множества В операции X и р сопоставляют какой-то единственный
элемент X, и из множества В
58
Силлогистика Аристотеля
(2.37)	Vk е Br Vie В^ (gA(/) = 1, если k = mC\n>0nl = mon< п);
(2.38)	Vke Br Vie Вг (рк{1)=1,еслнк = топ = пм1 = топ<п);
(2.39)	Vke В^ Vie В^ (ДА(0 = 1. если к = тОп = 0н1=топ>0).
Элемент \(а) векторной структуры 0?^ называется пересечени-
ем элементов к и а и обозначается к о а, причем (к п а) е В. Элемент
pt(a) векторной структуры называется объединением элементов к
и а и обозначается к и а, причем (к и а) е В. Соответственно условия
(2.31)	(2.39) можно записать так:
(2.31') Vae В (0 п а = 0) поглощение нулем нижней
полуструктуры;
(2.32’) Vae В VbeB Vke В{ (ko(aob) = (koa)c\b = (koЬ)о
П а) — ассоциативность и коммутативность относительно
пересечения векторов а и Ь;
(2.33’) Vae В VbeB Vke Вг (к п (а и Ь) = (к п а) и (к о Ь)) -
дистрибутивность "кк относительно объединения векторов а и fe;
(2.34') Vae В (Q\ja = а) - поглощение нуля нижней
полуструктуры;
(2.35') Vae В Vbe В Vke Вг (k\j(aob)=(k<ja)o{k<jb)) -
дистрибутивность ц относительно пересечения векторов а и Ь\
(2.36') Va е В VbeB Vke В^ (к и (а и b) = (ku а) и h =
= (k<j b)<j а) ассоциативность и коммутативность ц относительно
объединения векторов а и Ь;
(2.37’) VkeBr Vie Вп (k^l=l,ecimk = mOn>Qnl = mOn<n):
(2.38’) VkeBr VI е Br (k<jl = 1, если к = топ = п и / = т г> п <п);
(2.39’) Vke В^ Vie В^ (к и I = 1, если к = топ = 0н1 = тОп>0).
Нижняя полуструктура 03, представляет собой частично упо-
рядоченное множество Другими словами, элементы ее основного
множества Вг отвечают следующим аксиомам порядка:
(2.40)	Va е В а<а — рефзексиеность,
(2.41)	Va е Br Vh е Br Vc е Br (a < b а b < с а < с)
транзитивность,
(2.42)	Va е Br Vb е В^(а<ЬлЬ<а=>а = Ь) антисим-
метричность.
В полуструктуре определена только одна бинарная операция a ob.
ее смысл таков:
Va е Br Vb е Вг (а < b <=> а о b = а).
Аксиомы нижней полуструктуры:
(2.43)	Va е Вг (а о а = а) -рефлексивность,
(2.44)	Va е В Vb е Вг (а О b = b О а) — коммутативность,
(2.45)	Va е B^Vb е Br Vc е В^ (а о (Ь о с) = (а п Ь) о с) -
ассоциативность,
(2.46)	Va е В^ (а Л 0 = 0) — поглощение nyie.it.
Силлогистика Аристотеля
59
В нижней полуструктуре можно также определить отношение
строгого порядка:
Vg е Br^h е Br (а < b <=> а < b л а Ф Ь).
Легко проверить, что каждому отношению (формуле) силлогис-
тики Аристотеля соответствует определенное отношение векторной
структуры над нижней полуструктурой. Устанавливается это индук-
цией по длине формулы со следующим базисом:
1.	отрицанию —10С соответствует дополнение вектора а;
2.	конъюнкции а л ft соответствует пересечение векторов а и Д,
дизъюнкции a v р - объединение векторов а и Р;
3.	общеутвердительному суждению S а Р соответствует пересече-
ние скаляров S Г\ Р = S, общеотрицательному суждению S е Р
пересечение скаляров S n Р = 0, частноутвердительному суждению S
i Р - пересечение скаляров S n Р > 0, частноотрицательному сужде-
нию S о Р пересечение скаляров S с\ Р < S.
На то обстоятельство, что нижняя полуструктура (нижняя полу-
решетка) реализует все отношения силлогистики Аристотеля, впер-
вые обратил внимание Субботин A.J1. [1965]. В качестве примера дока-
жем справедливость в нижней полуструктуре модуса Barbara (см.
формулу (2.84)).
Пример 2.1.11а. На языке нижней полуструктуры данный модус
записывается так:
Mc\P = MnSc\M=S<^SnP=S.
Подставим в S n Р вместо S выражение S Г\М, получим (S n М) о Р
По закону ассоциативности S n (М n Р). Отсюда через замену М r> Р
на М заключаем, что S.
Однако Субботин рассматривал нижнюю полуструктуру без векто-
ризации, поэтому в его полурешетке не реализуются отношения логи-
ки высказываний. Покажем теперь, как доказывается справедливость
модуса Barbara в векторной структуре над нижней полуструктурой.
Пример 2.1.11b. На языке векторной структуры над нижней
полуструктурой запись модуса следующая:
((М n Р = М) n (S М = S)) => (5 П Р = S).
В процессе преобразования получаем:
(WnS)	S = —t(M nS)u S = —M и —iS и S = -M и 1 = 1.
Упражнения
2.	1.1. Докажите в общем случае основное свойство правил вывода
для правила подстановки и правила отделения.
2.	1.2. Используя главным образом следующие тавтологии:
(2.47)	р z> (q z> р),
60
Силлогистика Аристотеля
(2.48)	(q z> г) z> ((р z> q) z> (p z> r)),
(2.49)	(pz> (q ZD r)) => (q => (p z> r)),
(2.50)	рэЬрз?).
(2.51)	(-pz>p)z>p,
(2.52)	(p zd q) zd z> ->p),
(2.53)	((p л q) z> r) z> (p z> (q z> r)),
(2.54)	p ZD (((p л q) ZD r) z> (q zd r)).
(2.55)	(.op) z> (((p л q) zd r) zd ((.v л q) zd r)),
(2.56)	((p л q) zdг) э ((.v d0d((pas)d r)),
(2.57)	(гэ s) d (((p л q) zd r) zd ((q л p) zd 5)),
(2.58)	((p л q) zd r) zd ((p л —.г) zd ~q),
(2.59)	((p л q) z> r) z> ((—/- л q) z> -p),
(2.60)	((p л ~q) z> -,r) z> ((p л r) z> q),
докажите все перечисляемые ниже законы силлогистики на основе
аксиом и правил вывода системы .<^А.
Законы логического квадрата (см. рис.2.1.1):
SaP SeP
SiP SoP
Рис.2.1.1.
(2.61)	SaP=>^(SoP), Л
(2.62)	-{SoP)^SaP,
(2.63)	SiP^^lSeP),
(2.64)	-.(5 e P) z> S i рД
(2.65)	SeP zd-.(5 i P).
(2.66)	—i(SiP)z>Se P,
— законы контрадикторны отношений,
(2.67)	SoP=>-,(Sa P).
(2.68)	-{S a P) S о P, J
(2.69)	Sa Pz>—<(Se P), 3
(2.70)	SeP=>4.SaP), J
законы контрарных отношений.
(2.71)	—>(SiP) z> So P, Д
(2.72)	4.SoP)^>SiP, J
— законы субконтрарных отношений.
(2.73) Sa P^ SiP,
(2.74) SeP^SoP,
— законы подчинения,
(2.75)	S e P S i P — первый закон исключенного третьего,
(2.76)	Sa Pv So Р — второй закон исключенного третьего.
Силлогистика Аристотеля 61
(2.77)	—<(S а Р л S е Р) - закон противоречия.
Законы конверсии'.
(2.78)	SePT>PeS,
(2.79)	PeST>SeP.
(2.80)	SiPT>PiS,
(2.81)	PiSz>SiP,
(2.82)	SaPz>PiS,
(2.83)	SePiPoS.
Модусы первой фигуры'.
(2.84)	(МаРл5аМ]з5аР — Barbara34,
(2.85)	(MaPASaM)aSiP — Barban,
(2.86)	(МеРл5аМ)з5еР — Celarent,
(2.87)	(M e P л S a M) dSoP — Celaront,
(2.88)	(MaP/\SiM)TiSiP — Darii,
(2.89)	(Me P aS i	So P — Ferio.
Модусы второй фигуры:
(2.90)	(P e M л S а М)э S e P — Cesare,
(2.91)	(PeMhSaMjjSoP — Cesaro.
(2.92)	(P a M л S e M) S e P — Camesires.
(2.93)	(P a M л 5 e M) 5 о P — Camestrop,
(2.94)	(PeMaSiM)dSoP — Festino,
(2.95)	(PoMaSoM)2SoP — Baroko.
Модусы третьей фигуры:
(2.96)	(M a P л M a 5) z> S i Р — Darapti,
(2.97)	(MiP/\MaS)3SiP — Disamis,
(2.98)	(M a P л M i 5) 5 i P — Datisi,
(2.99)	(MePhMaS)DSoP — Felapion,
(2.100)	(M о P л M a S) о S о P — Bocardo,
(2.101)	(MePAMiSj^SoP — Ferison.
Модусы четвертой фигуры:
(2.102)	(Pa M лМа S)2Si Р — Bramantip,
(2.103)	(PaM/\MeS)TiSeP— Camenes,
(2.104)	(Pa M л M e S) z> Sо P — Camenos,
(2.105)	(PiMaMoS)3SiP — Dimaris,
(2.106)	(P e M a M a S) о S о P — Fesapo,
(2.107)	(PeMAMiS)jSoP — Fresison.
n Традиционные названия модусов были придуманы еще в средние века. Гласные обозначают
соответствующий функтор первой посылки, второй посылки и включения, поэтому в каждом
названии модуса встречается только три гласных.
62
Силлогистика Аристотеля
2.	1.3. Отношения силлогистики Аристотеля можно задать в
качестве системы запретов (см. Закревский А.Д. [1988]). Так,
собственные формулы силлшистики можно представить в таком
виде:
/. Sa Р означает, что запрещено 5 л —<Р (S П —,Р = 0);
2.	S е Р означает, что запрещено 5 л Р (S n Р = 0);
3.	S i Р означает, что запрещено —iS л —<Р (—iS п —<Р = 0);
4.	S о Р означает, что запрещено —£лР (-S n Р = 0).
Отношение запрета можно изображать с помощью графа. В табл.
2.1.1 приводится соответствие между символическим и графическим
представлением запрета:
Символическое предста&зение запрета	Графическое предста&зение запрета
5л-В		►
SaP	—
—lS а —\Р	◄	►
-ЗлР	◄	
Табл .2.1. /.
Пусть задана совокупность посылок А а В, В а С, В е D. D е Е.
С а Е, F а Е. Она определяет область запрета в пространстве признаков
{А, В, С, D. Е, F}.
а)	Область запрета имеет вид ДНФ (см. определение 5.2.2).
Постройте ДНФ и СДНФ для данного примера. Что можно сказать на
основании полученного СДНФ о совокупности посылок? Она является
выполнимой формулой, тавтологией или противоречием?
Ь)	Постройте все следствия из совокупности посылок, используя
наглядную схему на рис. 2.1.2. Выведите общее правило, используя
которое можно легко получать все следствия из совокупности посылок
на основании системы графов.
А В С
------М-----
D	Е F
Рис. 2.1.2.
Сиглогисзника Васильева
63
2.1.4.	Докажите, что в нижней полурсшстке реализуются отноше-
ния силлогистики Аристотеля (2.61)- (2.107) (см. Субботин А.Л.
[1965]).
2.1.5.	Докажите, что в векторной структуре над нижней
полуструктурой реализуются отношения силлогистики Аристотеля
(2.61) (2.107).
2.2. Силлогистика Васильева
Силлогистика Васильева (см. Васильев [1910, 1912, 1912—1913])
является более простой дедуктивной сисгсмой, чем силлогистика
Аристотеля. Но точно также в качестве своей базовой теории она
предполатает логику высказываний
Определение 2.2.1 (алфавит силлогистики Васильева).
Алфавитом силлогистики Васильева является упорядоченная система
,Vsv = <V, Q, £,, L ,, K>, где
1.	V— - множество пропозициональных переменных р, q, г. ...;
2.	Q — множество силлогистических переменных S, Р, М. ....
3.	£, — множество унарных пропозициональных связок, которое
состоит из одного элемента —, называемого знаком отрицания;
4.	L, — множество бинарных пропозициональных связок, которое
содержит три элемента: л, v, z>, называемых соответственно знаком
конъюнкции, знаком дизъюнкции и знаком импликации;
5.	L , — множество бинарных силлогистических связок, которое
содержит три элемента: а, е. т, называемых соответственно знаками
функторов “'каждый... есть...", ‘‘ни один, не есть...", “некоторые,
но не все. есть.. ”40;
6.	К — множество вспомогательных символов, образуемое из
левой и правой скобок: (,).
Причем V, Q, L , L2, L ,, — непересекающиеся множества,
множесз ва V и Q счетны, а объединение множеств Lt, L, и L , не пусто.
Определение 2.2.2 (формализованный язык силлогистики
Васильева). Формализованным языком силлогистики Васизьева
называется упорядоченная система '/sv = <-/sv, Av*’ где
40 В выска зываннях типа “некоторые, но не все S есть Р" утверждается нечто относитетьно
всего объема субъекта. Данное суждение объединяет в себе два: "некоторые S есть P“(Si Р)
и "некоторые S не есть Р~ (S о Р), ведь утверждая посредством высказывания "некоторые,
но не все S есть Р". что только часть S подпадает под А мы утверждаем тем самым, что часть
S не подпадает под Р. и обратно - S оказывается полностью распределенным. Таким образом,
замечает Васильев, по качеству существует только одно частное суждение - частит твер-
дитечъноотрицатезьное, и его формой является фу нктор т Данное суждение может фор-
мулироваться и как индифферентное высказывание ("S есть и не есть и как дизъюнк-
тивное высказывание ("S есть Р ити не есть Р"). н как акцидс нтазьное высказывание ("S
может быть Р’У
64
Си т логистика Васильева
1. .'/sv — алфавит силлогистики Васильева;
2.	— множество всех формул, образованных из знаков в .-/sv;
помимо множества всех формул полученного по правилам (а), (Ь) и
(с) определения 2.1.2, оно содержит также элементы, определяемые
так:
(d) если 5 и Р — силлогистические переменные, то выражения
S а Р, S е Р, S т Р будут собственны ми формулами си погистики
Васильева;
(d’) если а и Р— собственные формулы силлогистики Васильева,
то формулами будут также выражения —iCf, а л Д a v Д а э р.
Таким образом, формулой силлогистики Васильева называется
выражение, образованное в алфавите .7S4 по правилам (а). (Ь) и (с)
определения 2.1.2, а также по правилу (d) и Cd’) определения 2.2.2.
Формулы, образованные по правилу (d) и (d’) определения 2.2.2 будут
в дальнейшем называться собственными формулами силлогистики
Васильева для того, чтобы подчеркнуть их отличие от формул логики
высказываний.
Определение 2.2.3 (силлогистика Васильева). Силлогистикой
Васильева называется упорядоченная система .'/sv = < .Vsv, .>sv, rP>,
где
1. .VS4 — алфавит силлогистики Васильева;
2. .*sv — множество всех формул, образованных из знаков в .-/sv,
3. V — операция присоединения следствия к элементам fsv.
Правилами вывода силлогистики Васильева являются:
(а)	правило подстановки, согласно которому из любой формулы
логики высказываний «(р,, .... рп) всегда можно получить формулу
.......Pj-rfar	--Р„)или а'(р,, ....p^.PlS'.PJ.p^..рл)
соответственно путем замены пропозициональной переменной pj
формулой логики высказываний jB(g........................... qk) или путем замены
пропозициональной переменной р> собственной формулой
силлогистики Васильева P(Sp Р );
	«(р.,--. р,	 р.)_______
zv ’ /_______________________________Л / „.\	\ ИЛИ
а (р.... р- >,P(q.....р ...... Р")
_________«(р...., р...Р")__________
«'(р.... р I, P(Si, Р~), р -.,..., р..)
а также из любой собственной формулы силлогистики Васильева
а (5, Р) всегда можно получить формулу a\Sk, Р) или а’(5, Р) путем
замены соответственно 5 на 5. или Р на Р;.
a(S,,P) a(S„P) .
a'CS^P ) или a'(S,.P.) ’
Силлогистика Васильева 65
(b)	правило отделения (modus ponens), согласно которому из
любых двух формул силлогистики Васильева а и а э /3 всегда можно
получить формулу /3:
а,а э ;В
Д 
Аксиомы силлогистики Васильева состоят из аксиом логики
высказываний (в качестве таковых мы выбрали аксиомы (2.1), (2.2),
(2.3) вместе с дефинициями (2.4), (2.5) пропозициональной системы
Ур1 (см. предыдущий раздел)) и. кроме того, из следующих
выражений:
(2.108)	S a S,
(2.109)	(М а Р л S а М) S а Р — Barbara,
(2.110)	(MeP/\SaM)^iSeP — Celarent,
(2.111)	(М т Р л М а 5) э 5 т Р — Disamis-Bocardo,
(2.112)	SePiPeS,
(2.113)	Sa Pz>—i(Se P),
(2.114)	Sm P^HSa Р)лЧ5е P)),
(2.115)	(—<(S a P) л—<(S e P}} z> S m P".
Воспользовавшись пропозициональной тавтологией (2.55)
упражнения 2.1.2, докажем для примера модус Cesare:
(2.116)	(Ре М л5а M)z>Se Р.
Вначале произведем замену у на 5 е М и р на М е S:
1		(.у э р) э ((( р л д) э г) э ((.у л g) z> г))_____
(S е М э М е S) (((М е S л q) э г) э ((5 е М л q) э г))
затем воспользуемся правилом отделения и аксиомой (2.112):
2	Se М 2>MeS,(SеМг>Ме S)z>(((M е S r-q) зг)з((5е М л^зг))
((М е S/\q)z> r)z>((Sе М/\q)z> г)
после чего заменим q на 5 а М и г на 5 е Р:
2	((М е S л q) э г) э ((5 е М л q) z> г)
((М е Р л S а М) э 5 е Р) э ((Р е М л S а М ) э 5 е Р)
и под конец используем правило отделения и аксиому (2.110):
41В дедуктивном отношении силлогистика Васильева значительно проще силлогистики Ари-
стотел я. Это объясняет, помимо прочего, невозможность минимизации системы аксиом.
Почти все тавтологии силлогистики Васильева, ие сводимые к преобразованию пропозицио-
нальных выражений, являются вксиомами, за исключением, пожалуй, только модусов Cesare.
Camestres. Camenes, которые получаются из аксиом (2.110) и (2.112). Если убрать из силло-
гистики Васильева аксиому (2.112), то список аксиом будет отражать все тавтологии, которые
невозможно получить в результате одного лишь преобразования пропозиционального выра-
жения.
3 Зак. 784
66
Силлогистика Васильева
4 (Me Рл5а M)z>Se Р,((Ме Рл5а M)z>Se Р)^>((Ре Мл5а M)z>SeР)
(Ре М л5а M)z>Se Р
Определение 2.2.4 (истинностная оценка на множестве
формул силлогистики Васильева). Истинностной оценкой на
множестве формул силлогистики Васильева .f0 <z -^sv называется
функция /, имеющая областью определения множество и областью
значения множество {I, 0}. Задается функция индукцией по длине
формулы на основании условий (а) — (е) определения 2.1.7 (причем в
(Ь), (с), (d), (е) переменные а и /3 пробегают не только по формулам
логики высказываний, но и по собственным формулам силлогистики
Васильева), а также следующих трех условий:
(f)	I(SaP)= -	'1, если пересечение /(5) и —d(P) = О42;
(g)	l(SeP) = и	„0 в противном случае; '1, если пересечение I(S) и 1(Р) = О43 44;
(h)	l(SmP) = -	О в противном случае; '1, если пересечение I(S), 1(Р) и —J(P) =
		О в противном случае.
где /(5) и 1(Р) обозначают соответственно множество именных
констант (произвольных имен с фиксированным содержанием),
подставляемых на место переменной 5, и множество именных
констант, подставляемых на место переменной Р, —d(S) и —<1(Р)
обозначают соответственно дополнение множества именных констант,
подставляемых на место переменной 5, и дополнение множества
именных констант, подставляемых на место переменной Р, до
универсума всех именных констант.
Определение 2.2.5 (линейная нижняя полуструктура). Линейной
нижней полуструктурой называется такая нижняя полуструктура 2V. =
=<Вп; п, 0> (см. определение 2.1.11), в которой имеется дополнительная
аксиома:
Va g В^Х/b 6 (а > b v b > а).
42 “Каждое S есть Р" тождественно тому, что “не существует S, которое не есть Р’. На языке
логики предикатов Sa Р можно поэтому выразить так: Vx (х е У эхе Р*) или —i3x (хе S' л
л х е Р), т.е. У п (—<РУ = 0, где S' = С S (см. определение 6 1.9) и аналогично Р = С Р.
41 “Ни одно S не есть Р' тождественно тому, что “не существует S, которое есть Р". На языке
логики предикатов SeP можно поэтому выразить так: Vx (х е S'^Jxe Р) или -.Ят (хе S'
лх е Р), т.е. У г> Р- = 0.
44 “Некоторые, но не все S суть Р” тождественно тому, что “существуют S, которые суть Р и
не суть Р". На языке логики предикатов SmP можно, поэтому, выразить так: Vx (х е У э (х
е Р* v х е Р1)) или -.Нт <х е У л (х е Р* л х е Р*)). т.е. У о р> (—РУ = 0
Силлогистика Васильева
67
В линейной нижней полуструктуре реализуется только общеут-
вердительное суждение Sa Р.
Определение 2.2.6 (полулинейная нижняя полуструктура).
Полулинейной нижней полуструктурой называется такая нижняя
полуструктура = <Вп; п, 0>, в которой имеется дополнительная
аксиома:
Va 6 В- Vfc 6 Bn ((а > b) v (h > a) v (a n h = 0)).
В полулинейной нижней полуструктуре реализуются общеутвер-
дительное суждение 5 а Р и общеотрицательное суждение S е Р.
Замкнутым множествам будем называть такое множество 5, что
5 = С5, где С - оператор замыкания определяемый следующим
перечнем аксиом:
(2.117)	С(5 и Р) = CS и СР;
(2.118)	ScCS;
(2.119)	CCS =CS;
(2.120)	С0 = 0.
Замкнутое множество 5 будем обозначать посредством S4. Нефор-
мальный смысл оператора замыкания можно прояснить на следующем
примере. Возьмем окружность. Множество всех ее внутренних точек
обозначим через 5. В таком случае S4  это множество всех внутренних
точек окружности вместе с самой линией окружности. Заметим, что пе-
ресечение 5* и (—iS)* образует множество, которое в нашем примере
представляет собой множество всех точек линии окружности Именно
поэтому множество S4 n (—S)* называют иногда поверхностью.
Определение 2.2.7 (замкнутая нижняя полуструктура). Замк-
нутой нижней полуструктурой называемся такая полулинейная ниж-
няя полуструктура 03* = <В*; п, 0>, в которой все подмножества явля-
ются замкнутыми и выполняются аксиомы:
(2.121)	Va* е В* (а* П а* = а*),
(2.122)	Va*	6	В* Х/b* е	В* (a* n fe* = 6* п а*).
(2.123)	Xfa'	6	В* V6* 6 Я* Vc* е В* (а* n (6* п с*) = (а* n 6*) п с*),
(2.124)	Xfa* е В* (а* п 0 = 0),
(2.125)	Va*	6	В* Xfh* е	В* ((а* > b*) v (b* > a*) v	(а* г\ Ь* >	0)),
(2.126)	Va*	6	В* Xfb* 6	В* (а* п Ь* > 0. если a n	b = 0).
Определение 2.2.8 (структура для языка силлогистики Василь-
ева, векторная структура над замкнутой нижней полуструк-
турой). Структурой дзя языка силлогистики Васильева является
векторная структура над замкнутой нижней полуструктурой. Пусть
23 = <В; Г\ kJ, —1, 1,0> — булева алгебра, 03* = <Я*; п. 0> замкнутая
нижняя полуструктура и пусть для каждого элемента к1 замкнутой
нижней полуструктуры 03* на множестве В заданы две унарных
операции К* и pt*. Векторной структурой над замкнутой нижней
68
Силлогистика Васильева
полуструктурой называется упорядоченная система = <В; п, и,
-1, 1,0; {\Ч к* 6 В*}, {ц/1 к* 6 В*}>, где
I к* е В*} (соответственно {pt*l к* G Л*}) означает множество
всех таких к* (соответственноц/), для которых к* принадлежит В*
Любой элемент множества В называется вектором, а любой
элемент множества В* — скаляром.
Операции к* и определяются по индукции:
(2.127)	Va е В (к0(а) = 0);
(2.128)	Vug BVbe BVlCe В* (к* (af>b) = k*(a)r\b = k*(b)r\a);
(2.129)	Чае В Vbe BVk* е В* (к;(а и b) = к; (а) о к;(Ь});
(2.130)	Va е В (ц0(а) = а);
(2.131)	Va е В Vb е В Vk* е В* (Ц/(а П Ь) = Ц/(а) n ц/(6));
(2.132)	Vae BVhe BVk*e B*(ji/r*(aub) = ii*(a)ub = ji*(b)ua);
(2.133)	Vk* e В' VI* e B* Vn* e В* (Ц/(Л о n*) = p/(V и n*) =
= ц/(£* kJ Л) = 1, если к* =j* n i* = j*, l* =/*Г!1*<}*чп*=]*Г1 i* = 0).
Легко проверить, что каждому отношению (формуле) силлогис-
тики Васильева соответствует определенное отношение векторной
структуры над замкнутой нижней полуструктурой. Устанавливается
это индукцией по длине формулы со следующим базисом:
1.	отрицанию —>а соответствует дополнение вектора а;
2.	конъюнкции а л Р соответствует пересечение векторов а и /3,
дизъюнкции a v /3 - объединение векторов а и /3;
3.	общеутвердительному суждению S а Р соответствует пересече-
ние скаляров 5* n Р* = 5”, общеотрицательному суждению
S е Р - пересечение скаляров У n Р* = 0, частноутвердигельно-
отрицательному суждению S т Р пересечение скаляров
У n Р* < Р* (в связи с коммутативностью пересечения мы мо-
жем также рассматривать S* С\ Р* < 5*).
Таким образом, силлогистика Аристотеля и силлогистика Василь-
ева выступают вариантами критического мышления на дедуктивном
уровне, поскольку они строятся исключительно на логических отно-
шениях, т.е. на таких семантических отношениях, которые образуют
минимальное подмножество во множестве всех семантиченских от-
ношений.
Упражнения
2.2.1.	Используя тавтологии логики высказываний (в частности,
аксиоматическую систему ,(/pL предыдущего раздела) и аксиомы
(2.108)— (2.115) исчисления ifsv, докажите все перечисляемые ниже
закэны силлогистики:
Законы чогического треугольника (см. рис.2.2.1):
Нсчсткая силюгистика
69
Sa Р
Рис. 2.2.1
(2.134)	SaPvSePvSrr	Р закон исключенного четвертого.
(2.135)	—1(5 а Р л S е Р)	
(2.136) (2.137) Модгсы	-i(5 а Р л 5 т Р) -i(5 е Р л 5 т Р)	- законы противоречия.
(2.138)	(Р а М aS е Л/) э	SeP— Camestres.
(2.139)	(Ра М лМ е S) о	SeP — Camenes.
А также (2.140) (2.141)	следующие тавтологии: 45 е 5), —i(S т S).	
2.2.2.	Постройте векторную структуру над линейной нижней
полуструктурой.
2.2.3.	Постройте векторную структуру над полулинейной нижней
полуструк турой.
2.2.4.	Докажите, что в векторной структуре над замкнутой нижней
полуструктурой реализуются все отношения силлогистики Васильева
2.3. Нечеткая силлогистика
В отличие от обычной нечеткая силлогистика рассматривает не
только истинные или ложные суждения, но также и правдоподобные.
Например, суждение “Все джентельмены носят цилиндр” не явля-
ется истинным, но на этом основании мы не обязательно должны счи-
тать его ложным — ведь мы можем наделить его статусом правдопо-
добного высказывания.
Определение 2.3.1 (вероятностная мера). Вероятностной ме-
рой или^просто вероятностью высказывания ср называется функция
/’(ф) = ~, где т — число возможных результатов испытания, благо-
приятствующих появлению события ф, ал число всех возможных
результатов испытания, как благоприятствующих, так и не благопри-
70
Нечеткая силлогистика
ятствующих появлению события <р. Возможна и такая итерпретация
т
вероятностной меры: Р(<р) =—, где т — число возможных миров, в
п
которых имеет место ср, а п — число всех возможных миров.
Например, если в качестве высказывания ср взять следующее: “При
подбрасывании монеты выпадет решка”, то его вероятностная
мера Р((р) = 1/2.
1.	Высказывание ср считается истинным тогда и только тогда, когда
Р«Р) = 1.
2.	Высказывание ср считается южный тогда и только тогда, когда
Л<р) = 0.
3.	Высказывание ср считается правдоподобный тогда и только
тогда, когда 0 < Р(<р) < 1.
Например, Р(<р v —,<р) = 1, Р(<рл-<<р) = 0.
Определение 2.3.2 (условная вероятность). Пусть <ри ул — ка-
кие-то высказывания. Условной вероятностью называется вероят-
ностная мера Р^ср), которая вычисляет влияние условия t/на исход ср
или, что аналогично, гипотезу ср относительно наблюдаемого собы-
тия ул.
Если I//Z) <р, то РуСф) = 1. Другими словами, импликация означает,
что одновременно выполняются условия:
(1)	среди ул всегда присутствует ср,
(2)	условие ^полностью определяет исход ср,
(3)	гипотеза <р полностью описывает наблюдаемое событие ул.
Если ср несовместимо с ул, т.е. их конъюнкция является ложным
высказыванием (а значит, Р(ср л ул) = 0), и Р(ул) > 0, то PJ.<p) = 0. Это
означает, что одновременно выполняются условия:
(1)	среди ул не присутствует ср,
(2)	условие ул никак не определяет исход <р,
(3)	гипотеза <р никак не описывает событие ул.
Определение 2.3.3 (вероятностная мера конъюнкции). Веро-
ятностной мерой конъюнкции Р(<р л ул) называется вероятностная мера
высказывания срл ул.
Пусть <р и ул — независимые высказывания, т.е. из истинности или
ложности одного не следует истинность или ложность другого. Тогда
Р(ср л ул) = Р(<р)- Р(ул). Если ср и ул являются все же зависимыми, го
Р(срл ул) = Р( уд Р„(<Р) =	V)-
Определение 2.3.4 (вероятностнаямера дизъюнкции). Вероят-
ностной мерой дизъюнкции Р(<р v ул) называется вероятностная мера
высказывания <р v ул.
Если ср несовместимо с ул. то Р(<р v ул) = Р(<р) + Р(у/). Если ср и ул
являются все же совместимыми, то P(<pv ул) - Р(<р) + Р(ул) - Р(<рл уЛ).
Нечеткая силлогистика
71
Определение 2.3.5 (вероятностная мера отрицания). Вероят-
ностной мерой отрицания Р(—<(р) называется верояз ностная мера
высказывания —><р.
Р(-><р) = 1 - Р((р).
Таким образом, любым выражениям логики высказываний мож-
но сопоставить некое значение вероятностной меры. Тем выраже-
ниям, которые принимают значение “истинно” при любой оценке,
будет сопоставлено значение 1, тем, которые принимают значение
“ложно” при любой оценке, будет сопоставлено значение 0 и, нако-
нец, всем остальным — любое значение из отрезка действительных
чисел (0, 1).
Определение 2.3.6 (алфавит нечеткой силлогистики). Алфа-
витом нечеткой силлогистики является упорядоченная система
Vp. = <Q, Lt, L2, L v K>, где
1.	Q — множество силлогистических переменных S, P, M, ....
2.	L — множество унарных пропозициональных связок, которое
состоит из одного элемента —i, называемого знаком отрица-
ния;
3.	L, множество бинарных пропозициональных связок, кото-
рое состоит из одного элемента л, называемого знаком конъ-
юнкции,
4.	L\ множество вероятностных мер, которое содержит
вероятностную меру конъюнкции и вероятностную меру
отрицания, а также две операции — сложения и умножения
вероятностных .мер;
5.	К — множество вспомогательных символов, образуемое из
левой и правой скобок (, ).
Причем Q, Lv L,, L\ — непересекающиеся множества, множество
Q счетно, а объединение множеств L, L, и Z.~3 не пусто.
Определение 2.3.7 (формализованный язык нечеткой силлоги-
стики). Формализованным языком нечеткой силлогистики называ-
ется упорядоченная система 5^. = <ЛК, -Р^>. где
1.	.-/ге — алфавит нечеткой силлогистики,
2.	— множество всех формул, образованных из знаков в ;
оно содержит элементы, определяемые так:
(а)	если S и Р — силлогистические переменные, то выражения
P(S л Р), P(S л —iP) будут собственными формулами нечеткой
силлогистики, причем P(S л Р) называется вероятностью
утвердительного суждения, P(S л -,Р) — вероятностью
отрицательного суждения;
(Ь)	если P(S а Р) собственная формула нечеткой силлогистики
с силлогистическими переменными S и Р без знаков отрица-
72
Нечеткая силлогистика
ния, то выражения Р(—$ л Р), Р(—$ л —1Р) также будут форму-
лами нечеткой силлогистики;
(с)	если P(S л М), Р(Р лМ) — формулы нечеткой силлогистики,
причем силлогистические переменные S, Р, М могут стоять
под знаком отрицания, то умножение и сложение этих фор-
мул также будет формулой нечеткой силлогистики.
Определение 2.3.8 (нечеткая силлогистика). Нечеткой
силлогистикой называется упорядоченная система .‘Pps = <
где
1.	— алфавит нечеткой силлогистики;
2.	.?к — множество всех формул, образованных из знаков в .7^;
3.	— операция присоединения следствия к элементам ./ps. В
нечеткой силлогистике четыре правила вывода:
А1 Пусть Р(Р л М) и P(S л М) посылки, PCS л Р)— заключение:
Р(РлМ)
P(S л Л/ )
P(S л Р)
Тогда P(S л Р) = P(S л М) • Р(Р л М) + P(S л-М)  Р(Р л -ЛИ).
А2 Пусть Р(-.Р л М) и P(S л М) - посылки, P(S л -.Р) заключение:
P(-iP л М )
Р(5лМ)
P(S А-.Р)
Тогда P(S л -J>) = P(S л М) • Р(-.Р л М) + P(S л-ЛГ) - Р(-.Р л -М).
АЗ Пусть Р(Р л М) и P(-iS л М) — посылки, P(-S л Р) — заключение:
Р(РлМ)
P(-,S А М )
Р(—iS л Р)
Тогда P(-.S л Р) = Р(-6 л М) • Р(Р л М) + Р(-6 л-п/И) • Р(Р л -ЛИ).
А4 Пусть Р(-Р л ЛИ) и P(—S л ЛИ) — посылки, P(-S л -Р) — заключение:
Р(-1Рл Л/)
Р(—.S А М )
P(-,S Л-.Р)
Тогда P(—S л —Р) = P(—S л М) • Р(—Р лМ) + P(—S л—М)  Р(—Р л —ЛИ).
Итак, нечеткая силлогистика является одним из вариантов кри-
тического мышления на вероятностном уровне, так как она моде-
лирует рассуждения, истинные не обязательно во всех возможных
мирах.
Неформальная силлогистика 73
Упражнения
2.3.1.	С учетом того что в пространстве признаков {S, Р, М} имеется
всего восемь возможных миров (S г Р л М, S /\ Р л —М, .—S л —Р л
л—iM), вычислите значения заключений при следующих посылках:
(1)	“Все М есть Р", причем это является истинным, и “Все S есть
М", что также является истинным;
(2)	“Все М есть Р'\ что является истинным, и “Некоторые 5 есть
М" , что является уже правдоподобным;
(3)	“Ни одно М не есть —Р", причем это является правдопо-
добным, и “Все 5 есть —ЛГ', что является истинным;
(4)	“Все —М есть —Р", что является истинным, и “Все —>5 есть —Л/”,
что является правдоподобным,
(5)	“Некоторые М не есть —Р”, что является истинным, и “Все М
есть —iS”. что является правдоподобным;
(6)	“Все М есть Р", причем это является правдоподобным, и “Все
S есть ЛГчто также является правдоподобным,
(7)	“Ни одно М не есть Р", причем это является истинным, и “Ни
одно S не есть ЛГ’, что также является истинным
2.4. Неформальная силлогистика
Первый вариант неформальной силлогистики был предложен
Аристотелем [IV в до н.э., “Топика”, “О софистических опровержени-
ях”, III в до н.э., “Риторика”].
Определение 2.4.1 (формализованный язык неформальной сил-
логистики). Формализованным языком неформальной силлогистики
называется упорядоченная система i/|s = <-7ls, Jjs>, где
1.	.-/1S — алфавит силлогистики Аристотеля .'/SA или алфавит
нечеткой силлогистики а также множество элементов Пр
П„ Пп, называемых перформативными глагоюми*5;
2.	— множество всех формул, образованных из знаков в .-/1S;
помимо множества всех формул, полученного по правилам
построения множеств УБД и .?к, оно содержит также элементы,
определяемые так;
если ср е ,^А или Уге, то П (<р) принадлежит ^s;
Определение 2.4.2 (истинностная оценка на множестве фор-
мул неформальной силлогистики). Истинностной оценкой на мно-
жестве формул неформальной силлогистики называется функция /,
45 Примерами таких глаголов служат следующие: “думаю, что.. ”, “считаю, что...”, “полагаю,
что...” и т.д. - все они выражают самим фактом своего произнесения, что в данный момент
совершается какое-то действие.
74
Неформальная силлогистика
имеющая областью определения множество и областью значения
множество {1, 0}. Задается данная функция условиями:
	1, если Р(<р) > 0;
(а)	1(у» =-	^0 в противном случае; 1, если Р(П (ф)) > Р(<рУ,
(Ь)/(П(р))= -	.0 в противном случае,
где <р — формула нечеткой силлогистики и Р — вероятностная мера.
Определение 2.4.3 (тезис, обоснование, опровержение,
подтверждение, оспаривание). Тезисом ср называется любое
выражение, которое образовано по правилам построения множества
и может быть выведено одним из следующих способов:
(а)	если при некотором yf е истинна формула yf о (р, то имеет
место (р,
(Ь)	если при некотором yf е .^s истинна формула yf о —><р, то имеет
место —i<p,
(с)	если при некотором у/ е истинна формула yf л <р, то имеет
место <р,
(d)	если при некотором yf е истинна формула у/ л —>(р, то имеет
место —i<p,
Способ (а) называется обоснованием ср, способ (Ь)
опровержением (р, способ (с) — подтверждением <р и, наконец,
способ (d) — оспариванием <р.
Говоря неформально, обоснование имеет место тогда и только
тогда, когда тезис (р вытекает из основания у/ по импликации,
опровержение — когда антитезис (отрицание тезиса) —>ср вытекает из
основания yr по импликации, подтверждение — когда аргумент у/ не
противоречит тезису <р, оспаривание — когда аргумент yf не
противоречит антитезису —i<p.
Определение 2.4.4 (неформальная силлогистика). Неформальной
силлогистикой называется упорядоченная система !/’ls = <	.^s, Tls>,
где
1.	.-/	- алфавит неформальной силлогистики;
2.	.^s — множество всех формул, образованных из знаков в .7|S;
3.	Z' — частичная операция присоединения следствия к
элементам одним из способов определения 2.4.3.
В том случае, если множество не содержит никаких элементов
множества
(i)	обоснование <р е ./SA есть опровержение —•ср.
(ii)	обоснование —>ср есть опровержение <р,
Неформальная силлогистика 75
(iii)	подтверждение ф есть оспаривание —>ф;
(iv)	подтверждение —1фесть оспаривание ф;
(v)	всякое обоснование является подтверждением, но не наоборот,
(vi) всякое опровержение является оспариванием, но не наоборот;
(vii) обосновано ф равносильно тому, что не подтверждаемо —>ф;
(viii) опровергаемо ф равносильно тому, что не оспариваемо —1ф;
(ix> подтверждаемо ф равносильно тому, что не опровергаемо ф;
(х) оспариваемо ф равносильно тому, что не обосновано ф.
Неформальная силлогистика является одним из вариантов
критического мышления на дискуссионном уровне, так как она
моделирует рассуждения с учетом не только семантических, но и
прагматических отношений.
В данной главе в качестве примера моделирования рассуждений
на трех уровнях критического мышления были рассмотрены различ-
ные виды силлогистики. Было отмечено, что неформальная силлогис-
тика включает в себя нечеткую силло! истику, а последняя силлоги-
стику Аристотеля или силлогистику Васильева.
Упражнения
2.4.1.	Прокурор изложил судье аргументы, из которых следовал
тезис о виновности подсудимого. Адвокат доказал ложность некоторых
из этих аргументов. Можно ли считать, что адвокат:
обосновал невиновность подсудимого;
J опроверг виновность подсудимого;
J подтвердил невиновность подсудимого;
J оспорил виновность подсудимого.
2.4.2.	Прокурор изложил судье аргументы, которые не противо-
речили тезису о виновности подсудимого. Адвокат доказал ложность
всех этих аргументов. Можно ли считать, что адвокат:
J обосновал невиновность подсудимого;
J опроверг виновность подсудимого;
J подтвердил невиновность подсудимого;
J оспорил виновность подсудимого.
2.4.3.	Докажите, что если множество все же содержит элемен-
ты множества .?’5, то не подтверждаемость ф вовсе не равносильна
обоснованности -1ф, оспариваемость ф не равносильна тому, что не
обосновано ф.
ГЛАВА 3. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИИ
Критическое мышление должно уметь обосновывать те или иные
положения. Способы обоснования при этом должны отвечать
принципам минимализма и универсализма. Логика высказываний и
задает способы обоснования, отвечающие этим принципам, поэтому
на ее основе и строится практически вся логика. Причем если
моделирование семантического следования в большей мере подводит
обоснование под действие принципа универсализма, то моделирование
логического следования — под действие принципа минимализма.
3.1.	Интерпретация и семантическое следование
Определение 3.1.1 (высказывание). Пусть V — множество
пропозиционазьных переменных р, q, г. .... L множество
пропозициональных связок, которое состоит из —i, л, v, z>. Тогда можно
дать следующее формальное определение высказывания:
(i)	всякая пропозициональная переменная р есть высказывание;
(ii)	если (р - высказывание, то и —<(р - высказывание;
(iii)	если фиф высказывания, то и фл ф - высказывание;
(iv)	если ф и ф — высказывания, то и ф v ф - высказывание;
(v)	если ф и ф - высказывания, то и ф э ф - высказывание;
(vi)	конечная последовательность символов является высказывани-
ем тогда и только тогда, когда это можно показать с помощью
конечного числа применений пунктов (i) — (v).
Данное определение высказывания относительно некоторого мно-
жества пропозициональных переменных может быть переформули-
ровано как определение с рекурсией по длине конечной последова-
тельности символов.
Символ является высказыванием тогда и только тогда, когда он
пропозициональная переменная; последовательность символов ф
длины п ' 1 явчяется высказыванием тогда и только тогда, когда
Интерпретация и семантическое следование
77
существуют такие высказывания фи ft, что их длины меньше п и фесть
либо —.ф, либо фл ft, либо yfv ft либо фО ft
Заметим, что высказывание называется также пропозицией или
формулой, а пропозициональная переменная атомом.
Используя определение 3.1.1, можно доказывать любые свойства
высказываний индукцией по длине формулы. Так, мы можем показать,
что всякое высказывание (р обладает некоторым свойством Р.
установив следующие факты:
(1)	всякая пропозициональная переменная р обладает свой-
ством Р',
(2)	если ф есть —.фи фобладает свойством Р, то и ф обладает свой-
ством Р;
(3)	если фесть фл в и фи в обладают свойством Р, то и ф обладает
этим свойством;
(4)	если ф есть ф v в и ф и в обладают свойством Р, то и ф обладает
этим свойством:
(5)	если фесть фэ в и фи в обладают свойством Р, то и фобладает
этим свойством.
На основе связок —., л, v, о можно определить некоторые
производные связки:
ф<=> 0 = (фо 6) л{0^> V).
1 " ф\/ —.ф,
О = фл—.ф.
Символ <=> называется эквивалентностью. Символ 1 будет
обозначать истину, а символ 0 — южь.
Определение 3.1.2 (интерпретация). Интерпретацией
множества высказываний £ называется функция / из Е в {1, 0},
причем в данном случае символы 1, 0 называются истинностными
значениями высказываний из Е. Для любой формулы ф из Е и
любой интерпретации / истинностное значение ср', назначенное
формуле ф интерпретацией I, рекурсивно определяется
следующим образом:
(а)	если ф— пропозициональная переменная, то (р1 - 1(<р):
(Ь)	если фесть -.ф, то (—>ф)7 = ~.(ф7);
(с)	если фесть фл 0, то (фл ft)7 = ф7 л ft7;
(d)	если фесть фv ft, то ft)7 = ф7 v ft7;
(е)	если фесть фо ft, то (фо б)7 = ф7о ft7.
Пусть X такое множество высказываний, что все его
пропозициональные переменные содержатся среди п + 1 символов pff
pt....р Пусть а0, аг .... ап - - конечная последовательность,
построенная из символов 1 и 0. Данная последовательность и
называется интерпретацией.
78 Интерпретация и семантическое следование
Определение 3.1.3 (истинностное значение). Истинностное
значение высказывания (р при интерпретации ав, ..., ап рекурсивно
определяется так:
1.	если ср — пропозициональная переменная рт (т < п). то значе-
ние высказывания (р есть а ;
2.	если <р есть —lyr, то высказывание ср имеет значение 1 тогда и
только тогда, когда значение высказывания у/ равно 0, и имеет
значение 0 тогда и только тогда, когда значение высказывания
нравно 1;
3.	если <ресть 1//л в, то значением высказывания (р служит 1 тогда
и только тогда, когда значения обоих высказываний (//и ©суть
1, и 0 в противном случае;
4.	если <ресть угч в, то значением высказывания <р служит 0 тогда
и только тогда, когда значения обоих высказываний у/и ©суть
О, и 1 в противном случае;
5.	если <р есть t//z> 0, то значением высказывания <р служит 0 тогда
и только тогда, когда значение высказывания (//равно 1 и значение
высказывания 0 равно 0, и 1 в противном случае
Если множество Е высказываний конечно, то интерпретация мо-
жет быть определена в виде конечной таблицы. Эта таблица называет-
ся таблицей истинностных значений (или просто истинностной таб-
зицей). Для построения такой таблицы необходимо сопоставить каждой
пропозициональной связке истинностную функцию из {1, 0} в {1, 0(.
Так, унарной связке—1 мы сопоставим функцию из <1.0> в <0, 1>ииз
<0, 1> в <1, 0>, а каждой бинарной связке л, v, z> — соответствующую
функцию из {1, 0}х{1, 0} в {1, 0}. Пусть р и q — пропозициональные
переменные. Тогда истинностные функции станем определять следу-
ющими таблицами:
Табл. 3.1.1.
р	ч	РМ
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1
Табл. 3.1.2.
Интерпретация и семантическое ледование
79
Таким образом, высказыванием называется всякое выражение <р,
которое является истинным или ложным.
Определение 3.1.4 (истинная или выполнимая формула). Фор-
мула ф называется истинной при интерпретации I или выполнимой в
I. если ф' = 1. Обозначается это через I t=(p.
Определение 3.1.5 (тавтология или общезначимая формула).
Формула ф называется тавтологией или общезначимой формулой,
если ф' = 1 при любой интерпретации 1. Обозначается это через ф.
Тавтология называется также тождественно истинной формулой
Используя определение 3.1.4. мы будем говорить, что множество
Е формул выполнимо, если существует интерпретация, при которой
истинны все формулы Е. Точно так же множество Е формул общезна-
чимо, если существует интерпретация, при которой общезначимы все
формулы Е.
Отношение 1= будем называть семантическим следованием. Се-
мантическое следование рекурсивно определяется следующим обра-
зом, что вытекает из предыдущих определений:
1.	если ф — пропозициональная переменная р, то I 1= ф тогда и
только тогда, когда = 1;
2.	если фесть -пф, то 11= ф тогда и только тогда, когда 1 ht ус,
3.	если фесть фл в, то 11= фтогда и только тогда, когда 11= фи 1 ь= ft,
4. если фесть фу ft то 11= фтогда и только тогда, когда /1= фили 1 ь ft
5. если фесть фо ft то 11= фтогда и только тогда, когда I <= О или
когда 11# ф и /1# в.
Теорема 3.1.1. Множество Е формул выполнимо тогда и только
тогда, когда не существует пропозициональной переменной р, такой,
что р и —р принадлежат Е.
80
Логическое следование
Доказательство. Предположим, что р и —р принадлежат Е и
множество Е выполнимо. Но тогда одновременно I 1= р и 1 №р, что
противоречит однозначности интерпретации. Значит, если множество
Е выполнимо, то р и —р не принвдлежат X. Верно также и обратное
отношение: если р и —р не принадлежат одновременно Е, то
интерпретация является однозначной, поэтому множество Е
выполнимо.
Определение 3.1.6 (семантическое следование). Формула <р
семантически следует из множества формул Е, символически: Е 1= ср,
если Е'=1 влечет (р1 =1 для любого /, т.е. если для каждой интерпретации
/, при которой все формулы Е истинны, формула <р также истинна.
Если Е 1= 0, т.е. не существует интерпретации /, такой, что Е' =1, го
говорят, что множество Е формул семантически противоречиво. В
противном случае множество Е семантически непротиворечиво.
Упражнения
3.1.1.	Докажите, что формула ip эквивалентна формуле в в том и
только в том случае, если у1 = в' для любой интерпретации 1.
3.1.2.	Определите, какие из следующих формул являются
тавтологиями:
(3.1)	(р z> q) v (q z> р),
(3.2)	((р э ?) эр) □ р,
(3.3)	((р v q) z> г) л (р z> (q л г)).
3.1.3.	Докажите, что для любых формул ср, в.вп (и > 1) формула
<рсемантически следует из {0..0	} тогда и только тогда, когда (0, л..
а б)з (р— тавтология.
3.1.4.	Докажите, что формула ср общезначима тогда и только тогда,
когда ее отрицание —>(р не выполнимо.
3.1.5.	Докажите, что формула (р выполнима тогда и только тогда,
когда ее отрицание —<(р не общезначимо.
3.1.6.	Докажите, что ср семантически следует из Е тогда и только
тогда, когда множество Е о {—><р} не выполнимо.
3.2. Логическое следование
Определение 3.2.1 (выводимая формула). Высказывание ср
называется выводимым из Е тогда и только тогда, когда существует
такая конечная последовательность высказываний у0.у*, что ср = у*
и каждое высказывание уп
1.	либо является тавтологией,
2.	либо принадлежит множеству Е,
Логическое следование
81
3.	либо выводится с помощью правила отделения из двух выс-
казываний, стоящих в этой последовательности где-то до
4.	либо выводится с помощью правила подстановки из высказыва-
ния, стоящего в этой последовагельносги где-то до у/.
Последовательность 1/0. уг называется в этом случае выводом
высказывания ф из множества Е. Заметим, что ф выводимо из пустого
множества высказываний тогда и только тогда, когда ф — тавтология.
Выводимость высказывания ф из множества Е символически
обозначается через Е Н ф.
Определение 3.2.2 (доказуемая формула). Высказывание ф
называется доказуемым тогда и только тогда, когда существует такая
конечная последовательность высказываний ф0, .... уп, что ф = и
каждое высказывание
1.	либо является аксиомой,
2.	либо выводится с помощью правила отделения из двух
доказуемых формул,
3.	либо выводится с помощью правила подстановки из доказуемой
формулы.
Последовательность фа, .... фп называется в этом случае доказа-
тельством высказывания ф. Доказуемость высказывания ф символи-
чески обозначается через t-ф. Доказуемая формула называется также
теоремой.
Отношение н будем называть логическим следованием. Данное
отношение называется также синтаксическим или дедуктивным
следованием.
Теорема 3.2.1 (теорема адекватности). Всякая теорема является
тавтологией.
Доказательство. Посредством индукции можно показать, что
все аксиомы общезначимы и что все правила вывода сохраняют
общезначимость. •
Множество выполнимых формул будем называть теорией. Мно-
жество высказываний Д называется множеством аксиом теории Г,
если Г и Д имеют одни и те же теоремы. Теория называется конечно
аксиоматизируемой, если она обладает конечным множеством акси-
ом. Поскольку из конечного множества аксиом можно построить их
конъюнкцию, всякая конечно аксиоматизируемая теория может быть
задана единственной аксиомой.
Опредезение 3.2.3 (разрешимая теория). Теория Тразрешима,
если существует алгоритм, позволяющий за конечное число шагов
решить, является ли произвольная формула ф g Т теоремой или
отрицанием теоремы или ни тем. ни другим.
82
Логическое следование
Определение 3.2.4 (непротиворечивая теория). Теория Тнепро-
тиворечива, если доказуемость формулы <р g Т влечет недоказуе-
мость формулы —i<p. а доказуемость формулы —мр g Т влечет иедоказу
емость формулы <р.
Определение 3.2.5 (полная теория). Теория Тполна, если всякая
формула g Т есть теорема или отрицание теоремы.
Очевидно, что всякое непротиворечивое множество Е формул являет-
ся непротиворечивой теорией. Непротиворечивое множество Е формул
называется также совместным тожеством Теория Т называется макси
мольным непротиворечивым множеством, если Т непротиворечиво и
единственное непротиворечивое множество, содержащее Т, есть само Т.
Теорема 3.2.2 (теорема Линденбау ма). Всякое непротиворечи-
вое множество Е может быть расширено до максимального непроти
воречивого множества высказываний Т.
Доказательство. Расположим все высказывания языка в виде
некоторой последовательности (ро, <pt, <р,.<ра, ... Образуем теперь
возрастающую цепь Е = Ео а Е, а Е2 а ... а Еа а ... непротиворечивых
множеств высказываний. Если Е о {<р(|} непротиворечиво, полагаем
Е(=Еи {ф0}. В противном случае принимаем Е, = Е. На а-м шаге мы
полагаем Ео | = Еа о {<ро}, если Еа о {<ра} непротиворечиво, и Ео | = Ес
в противном случае. Для предельных ординалов а (см. определения
U2
а р - За Тпринимаем объе-
динение всех множеств Еа.
По утверждению теоремы, множество Т непротиворечиво. Предпо-
ложим обратное. Тогда существует вывод 1/£, у/,.... ipn высказывания р л
л-у? из множества Т. Пусть 0..0я - все высказывания из множества
Т, учас вующие в этом выводе. Мы можем так выбрать а, чтобы все
высказывания 0О, 0..0п принадлежали множеству Еа. Но это означает,
что Е противоречиво, что противоречит построению множества Еа.
Таким образом, множество Т непротиворечиво. Убедимся теперь,
что это максимальное непротиворечивое множество. Для этого пред-
положим, что множество Д непротиворечиво и Г cz Д. Пусть <р G Д.
Тогда Еа о {<ра} непротиворечиво и потому Е^ = Еао {<РО}- Следова-
тельно, <р g Г и, значит, Д = Г.»
Следствие 3.2.2. Пусть Т — максимальное непротиворечивое
множество высказываний. Тогда
(i)	для каждого высказывания фточно одно из двух высказываний
<р и —i<p принадлежит множеству Т\
(ii)	для каждой пары высказываний ip и ip высказывание ip л ip
принадлежит множеству Т тогда и только тогда, когда и <р, и ip
принадлежат множеству Т;
Логическое следование
83
(iii)	для каждой пары высказываний <р и у/ высказывание <р v у/
принадлежит множеству Т тогда и только тогда, когда и —,<р, и
—>у/не принадлежат множеству Т;
(iv)	для каждой пары высказываний <р и у/ высказывание (р э ip
принадлежит множеству Ттогда и только тогда, когда и (р, и — (//
не принадлежат множеству Т.
Доказательство. Пункт (i) является очевидным и без пояснений
Рассмотрим пункт (ii). Покажем, что если <р и у/ не принадлежат
одновременно множеству Т. то из того, что <рл \р принадлежит множе-
С1ву Т, следует противоречивость Т. Предположим, что <р не принадле-
жит Т(в силу симметричности результат будет распространяться и на
случай выбора у). По условию теоремы 3.2.2 это будет означать, что
—Т. Если при этом у/принадлежит Т, то по правилам выводимости
(см. упражнение 4.2.3 задача (4.77)) имеем: —арл (//принадлежит мно-
жеству Т. Отсюда уже заключаем, что <рл —ирл (//принадлежит Т. т.е. Т
противоречиво.
Пункты (iii), (iv) рассматриваются аналогично. •
Теорема 3.2.3 (теорема о полноте). Множество £ высказыва-
ний непротиворечиво тогда и только тогда, когда оно выполнимо.
Доказательство. Предположим, что Е выполнимо, п пусть
/ t= Е Покажем, что всякое выводимое из множества Е высказыва-
ние истинно при интерпретации /. Пусть у/п, у/.(// вывод выс-
казывания у/ из множества Е. Если для т<п формула у/, принадле-
жит X или (// является тавтологией, то у/, истинно при I. Если же
выводится по правилу отделения из двух высказываний у/ и у/ э (//,.
истинных при /, или у/ выводится по правилу подстановки из выска-
зывания у/, истинного при /, то (//га также должно быть истинным при
/. Индукцией по т проверяется, что каждое из высказываний у/п, у/.
.... у/ истинно при /. Поскольку р л —р не является истинным при /.
оно и не выводимо из Е. и, значит, множество Е непротиворечиво.
Предположим теперь, что Е непротиворечиво. Со1ласно теореме
3.2.2, мы можем расширить Е до максимального непротиворечивого
множества Т.
Рассмотрим теперь интерпретацию множества Е. Пусть / — ин-
терпретация множества всех пропозициональных переменных рп, та-
ких, что рп е Т и / 1= рп. Используя индукцию, можно показать, что для
всякого высказывания <р
(а) (ре Ттогда и только тогда, когда / )= (р.
В силу допущения, условие (а) верно, если <р пропозициональ-
ная переменная р„. На основании следствия 3.2.2 пункт (i) если утвер-
ждение (а) верно для <р= (//, то оно верно и для <р= —(//. В силу следствия
3.2.2 пункт (ii) если утверждение (а) верно для <р= у/и для <р = в, то оно
84	Логическое следование
верно и для <р = у/ л в. На основании следствия 3.2.2 пункт (iii) если
утверждение (а) верно для <р= для <р= в, то оно верно и для <р= i//v в.
И, наконец, на основании все того же следствия 3.2.2 пункт (iv) если
утверждение (а) верно для <р= (//и для <р= в, то оно верно и для <р= в
В результате из (а) вытекает, что 11= Т, а так как Е а Т. получаем, что
/1= X»
На базе логики высказываний строится вся математическая логи-
ка, поэтому все определения и теоремы данной главы являются фун-
даментальными положениями для дедуктивного уровня критического
мышления.
Упражнения
3.2.1.	Докажите, что если Е непротиворечиво, а Г — множество
всех высказываний, выводимых из Е, то и Г непротиворечиво.
3.2.2.	Докажите, что если Е максимальное непротиворечивое
множество и Е Н <р. то <р g Е. Покажите тем самым, что максимальное
непротиворечивое множество является полной теорией.
3.2.3.	Докажите, что Е непротиворечиво тогда и только тогда, когда
для произвольного <р имеет место: неверно, что Е Н <р.
3.2.4.	Докажите пункты (iii), (iv) следствия 3.2.2.
ГЛАВА 4. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Логика предикатов является основной логической теорией, моде-
лирующей рассуждения на дедуктивном уровне На языке югики пре-
дикатов можно формализовать всю современную математику Вмес-
те с тем логика предикатов строится на базе логики высказываний
4.1.	Интерпретация и структура
Определение 4.1.1 (алфавит языка первого порядка). .Алфавитом
языка первого порядка является упорядоченная система . / = <V, Qr,
Qr, L. K>, где
1.	V— множество предметных переменных х, у, z,
2.	множество предикатных симвозов Рц‘"'0.........Р^"1'
различной местности (арности);
3.	множество функционазьных симвозов fj"' .....
различной местности (арности);
4.	Qc	множество предметных констант с0,	cz,
5.	L множество логических симвозов. которое содержит
элементы: —i, л, v, о, V, 3, называемые соответственно знаком
отрицания, знаком конъюнкции, знаком дизъюнкции, таком
импликации, знаком квантора общности и знаком квантора
существования;
6.	К множество вспомогательных символов, образуемое из левой
и правой скобок: (, ).
Местность, или арность, предиката означает число его
аргументов. Местность предиката фиксируется верхним индексом в
скобках. Так, предикат Р,1"’ может иметь п аргументов. Если предикат
записывается вместе со своими аргументами, то верхний индекс не
ставится Например, предикат Р(х. у) является двухместным
(бинарным), что видно по одной его записи, поэтому верхний индекс
можно опустить.
86
Интерпретация и структура
Аналогично местностью, или арностью, функции называется
число аргументов данной функции. Местность фиксируется верхним
индексом в скобках. Если функция записывается вместе со своими
аргументами, го верхний индекс опускается.
Нульместными предикатами являются пропозициональные
переменные, нульместными функциями - предметные константы.
Квантор общности V читается “для всех...", а квантор сущест-
вования 3 — “существуют...” Если в качестве аргументов для кванто-
ров выступают только предметные переменные, то язык называется язы-
ком первого порядка. Если в качестве аргументов могут служить также
предикаты и функции, то язык называется языком второго порядка.
На всем протяжении книги мы будем рассматривать только язык
первого порядка, т.е. иметь дело с выражениями вида Х/х Р(х) (читается:
“для всехх выполняется свойство Р”) и Зл Р(х) (читается: “существует
такое х, что выполняется свойство Р”).
Определение 4.1.2 (сигнатура языка первого порядка). Сигна-
рой языка первого порядка называется множество Q, состоящее из
множеств Q .
Определение 4.1.3 (терны сигнатуры П). Термы сигнатуры Q
образуют минимальное множество л выражений языка первого
порядка, такое, что
(1) множество предметных переменных V и множество предмет-
ных констант £2 принадлежат .г,
(2)если /•"’ принадлежит множеству функций а / tn
принадлежат л, то/’"'(^.t„) принадлежит .F.
Неформальный смысл терма состоит в том, что он является
именем элемента структуры. Так, если . ta — термы, являющиеся
именами некоторых предметов из структуры, то выражение .t)
понимается как терм, служащий именем значения функции,
именуемой/ для данных п значений аргументов.
Определение 4.1.4 (нелогические символы). Функциональный или
предикатный символ, отличный от знака равенства =, называется
нелогическим символом. Остальные символы называются логическими.
Определение 4.1.5 (язык исчисления предикатов первого
порядка). Если сигнатура Q языка первого порядка состоит только из
логических символов, то данный язык называется языком исчисления
предикатов первого порядка.
Определение 4.1.6 (язык теории первого порядка). Если сигнатура
Q языка первого порядка состоит не только из логических символов, то
данный язык называется языком теории первого поряока.
В качестве примеров теории первого порядка можно привести
формальную арифметику (см. определение 8.3.4) и элементарную
Интерпретация и структура 87
теорию групп (см определение 7.1.18), для первой нело! ическими
символами являются 0, s, +, , для второй — ®.
Определение 4.1.7 (атомарная формула теории первого
порядка). Пусть Р1'" принадлежит C1R и .Г; принадлежат множеству
л. Атомарной формулой теории первого порядка называется
выражение P(tl, tj.
Определение 4.1.8 (формула теории первого порядка).
Множеством формул теории первого порядка называется минимальное
множество .>т выражений языка предикатов такое, что
(а)	каждая атомарная формула принадлежит ./т;
(Ь)	если Р и Q принадлежат •*’, то —iP, PaQ, PvQ, Pz>Q принад-
лежат ./т;
(с)	если Р принадлежит >т и х принадлежит V, то Нт Р(х) и Vx Р(х)
принадлежат .?г
Если в формуле Эх Р или Vx Р переменная х входит в формулу Р,
то вхождение переменной х в Р называется связанным в Р. Вхождение,
ие являющееся связанным, называют свободным. Переменная х
называется свободной переменной формулы Р, если в Р имеется
свободное вхождение х, и связанной переменной формулы Р. если в Р
имеется связанное вхождение х.
Определение 4.1.9 (предложение или замкнутая формула).
Предложением или замкнутой формулой называется формула, ие
содержащая свободных вхождений ни одной переменной.
Опредезение 4.1.10 (формализованный язык теории первого
порядка). Формализованным языком теории первого порядка
называется упорядоченная система /т = < .-/1, .f^>, где
1. ,-/т — алфавит языка первого порядка;
2. ,>т — множество всех формул, образованных из знаков в .Ц..
Определение 4.1.11 (формализованный язык логики предикатов
первого порядка). Формализованным языкам логики предикатов первого
порядка называется упорядоченная система 9j г = <	>, где
1.	—алфавит языка первого порядка без нелогических символов;
2.	— множество всех формул, образованных из знаков в
без нелогических символов.
Определение 4.1.12 (структура формализованного языка
теории первого порядка). Структурой формализованного языка
теории первого порядка называется алгебраическая система 21 = <Л;
£2> сигнатуры Q (см. определение 2.1.9), где каждому «-местному
предикатному символу из Q сопоставлен «-местный предикат на А.
каждому «-местному функциональному символу из Q сопоставлена
«-местная функция на А, а каждой предметной константе из Q
сопоставлен некоторый элемент из А
88
Интерпретация и структу
Предикаты, функции и элементы, сопоставленные символам из
Q. станем обозначать теми же символами. Саму процедуру
сопоставления будем называть интерпретацией.
Определение 4.1.13 (интерпретация сигнатуры языка первого
порядка). Интерпретация 1 сигнатуры Q состоит из непустого
множества Ар называемого пространством I, и принимает на области
определения Q о J'o .У следующие значения:
1.	если пропозициональная переменная Р принадлежит Q, то
принадлежит множеству {I, 0};
2.	если предикат Р арности л > 0 принадлежит Q, то Р' есть
функция из Л "во множество {1, 0};
3.	если предметная константа с принадлежит Q, то счесть элемент Л,;
4.	если функция/арности п > 0 принадлежит Q, то/есть функция
из Л" в Л,;
5.	если терм t принадлежит .7, то / принадлежит множеству Ар
6.	если формула Р принадлежит .f, то Р принадлежит множеству {1,0}.
Интерпретация удовлетворяет также условиям:
7.	если функция /арности п > 0 принадлежит О., а термы t..г
принадлежат .7, то
я..................О:
8.	если предикат Р арности п > 0 принадлежит Q, а термы t.г
принадлежат .Т. то
................
9.	если формула Р принадлежит У, то (—iP / = —i(P') = 1 - Р1;
10.	если формулы Р и Q принадлежат .f. то (Р л Qy = Р1 л О =
= min(P', (У);
11.	если формулы Р и Q принадлежат .У, то (Р v С)'= Р V О =
= тах(Р', (У);
12.	если формулы Р и Q принадлежат У, то (Р о ОУ = Р э (У =
= max( 1 - Р1, ОУ,
13.	если х принадлежит V, Р принадлежит.Р, то (Vx Р(х))' = 1 тогда
и только тогда, когда для всех аеА/ имеет место Р(аУ = 1;
14.	если х принадлежит V, Р принадлежит .7. то (Эх Р(х)У = 1 тогда и
только тогда, когда для некоторого a g Af имеет место Р(аУ = 1.
Условие 13 в развернутом виде формулируется так:
Пусть <р(хУ есть множество всех интерпретаций Г, совпадающих с
/ на области определения O.R и о V, кроме, быть может, значения
аргумента х. В таком случае (Vx Р(х))' = 1 тогда и только тогда, когда
Р(а)' = 1 для всех Г из ф(х)'.
Условие 14 в развернутом виде формулируется так:
Пусть <р(хУ есть множество всех интерпретаций /’, совпадающих с
/ на области определения	и V, кроме, быть может, значения
Интерпретация и структура
89
аргумента х. В таком случае (Эх P(x))z = 1 тогда и только тогда, когда
P(aY = 1 для некоторой Г из <р(хУ.
В качестве примера интерпретации / произвольного предикатного
символа Р можно сослаться на такую интерпретацию, что Af = N (т.е.
пространство интерпретации состоит из натуральных чисел) и
'1, если п — четное,
Р'(п)=.
О, если п — нечетное.
Определение 4.1.14 (выполнимость). Предложение Р выпо ihumo
тогда и только тогда, когда существует интерпретация, при которой Р
истинно. Множество Е предложений выполнимо, если существует ин-
терпретация, при которой истинны все предложения из Е.
Теорема 4.1.1. Пусть t — терм, а / и Г — две интерпретации,
совпадающие для каждого входящего в t символа. Тогда У = У
Доказательство. Рассмотрим множество U всех термов, для
которых утверждение справедливо. Поскольку Uс.1, остается показать,
что .) с U. По определению множества .Ттермов, V с U, так что
необходимо показать, что если /•'" принадлежит QF, а ....
принадлежат U, то и ..... t) принадлежит U. Если I и Г совпадают
для любых входящих в t символов, то/' =/' и, кроме того, I н Г
совпадают для всех символов, входящих в t.г. Поскольку tf..tn
принадлежат U, то t'l = У ,.... У = У п. Из условия 7 определения 4.1.13
получаем:
=/'«,.
Я.....О' =Г(У\......О-
Следовательно, У = У .•
Теорема 4.1.2. Пусть Р— формула, а 1м Г — две интерпретации,
совпадающие для каждого входящего в Р символа, за исключением,
быть может, переменных, не входящих в Р свободно. Тогда Р1 = Р1.
Доказательство. Рассмотрим множество V формул, для которых
утвержд ние теоремы справедливо. Доказательство того, что —J\ Р л
л Q, Р v Q, Р о Q принадлежат U, осуществляется на том основании,
что если Р и Q принадлежат U, то в связи с тем, что Р1 = Р1, Q = Q, по
условиям 9, 10, 11, 12 определения 4 1.13 имеем: (—,Р)' = (—>Р)',
(Р л Q)' = (Р л QY, (Р v Q)' = (Р v QY , (Р о QY = (Р^ QY .
Остается доказать, что если Р принадлежит U, то Vх Р(х) и Эх Р(х)
также принадлежат U. Рассмотрим случай Эх Р(х) (для Vх Р(х)
доказательство строится аналогично). Докажем, что (Эл P(x)Y = 1 влечет
(Эл P(x)Y = 1 (ввиду симметричности утверждения относительно / и /’
это будет также означать, что (Эл P(x)Y = 1 влечет (Эх P(r))f = 1).
Известно, что (Эх P(r))f = 1 влечет Р1 = 1. где J интерпретация,
отличающаяся от / на множестве	и V разве что для значения
90	Интерпретация и структура
аргумента х Построим J', отличающуюся от быть может лишь для
значения аргумента х, положив х1 = х1. Toi да J nJ' будут совпадать для
всех/из и для всех Р из Оя, входящих в Р, для всех а из V, свободно
входящих в Эл Р(х), а также для х. Таким образом. J nJ' удовлетворяюг
утверждению теоремы по отношению к Р и Р1 = Р1. Следовательно,
Р1 = 1 и (Эл Р(х)}’ = 1.»
Квантор общности можно определять как бесконечную конъюнк-
цию, а квантор существования — как бесконечную дизъюнкцию. Пред-
положим, что множество Ар будучи пространством интерпретации /
предикатного символа Р, состоит только из двух элементов а и Ь. Тогда
можно построить следующую таблицу истинности для формул
Vx Р(х) и Эл Р(х):
Р(а)	Р(Ъ)	Vx Р(х)	Эх Р(х)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1
Табл. 4.1.1.
Нетрудно заметить, что значения Vx Р(х) совпадают со значениями
Р(а) л Р(Ь), а значения Эх Р(х) совпадают со значениями Р(а) v Р(Ь).
Если мы по-прежнему воспользуемся множеством Ар состоящим
только из двух элементов а и Ь, но станем его рассматривать как
пространство интерпретации двухместного предиката Р(х, у), то можно
построить следующую таблицу истинности для формул VxVyP(x, у),
3xVy Р(х, у). Vy3x Р(х, у), ЭхЭу Р(х, у):
Табл. 4.1.2.
Интерпретация и структура 91
Упражнения
4.1.1.	Определите, являются ли выполнимыми предложения:
(4.1)	а = Ь;
(4.2)	VxVy (х = v);
(4.3)	VxVy(x#y).
4.1.2.	Пусть t и и — термы, х - переменная, t' герм, получаю-
щийся в результате замены х на и в каждом вхождении х в/. Докажите,
ню если / и Г две интерпретации, совпадающие для всех входящих в
t символов, кроме, быть может, х, такие, что х1 = и’, то г1 = г’'
4.1.3.	Докажите, что если / и Г — две интерпретации, совпадаю-
щие для всех символов из и О,, входящих в Р(х), и всех переменных,
входящих свободно в Р(х), кроме, быть может, х, причем xJ = и'. го
Р(д / = Р(и)'.
4.1.4.	В качестве следствия упражнения 4.1.3 докажите, что если
Р некоторое предложение, то Р1 имеет одно и то же значение для
всех интерпретаций /. имеющих одну и ту же структуру. Иными слова-
ми, Л определяет лишь значения / для элементов о но не для
элементов V.
4.1.5.	Рассматривая замкнутые двухместные предикаты с ишер-
претацией /, пространство At которой состоит только из двух элемен-
тов а и Ь, докажите следующие отношения:
(4.4)	VxVyP(x, у) <=> VvVгР(х, у);
(4.5)	ЗхЗу Р(г, у) <=> ЗуЗх Р(х, у);
(4.6)	3xVy Р(х,	у) 2э Vy3x Р(х, у), но не наоборот;
(4.7)	VxVyP(x. у) 25 Vx3v Р(х. у);
(4.8)	VxVyP(x,	у) 25 3xVv Р(х, у);
(4.9)	VxVyP(x, у) 25 ЗхЗу Р(х, у):
(4.10)	3xVy Р(х.	v) 25 ЗхЗу Р(х, у);
(4.11)	Vx3y Р(х.	у) 25 ЗхЗу Р(х. V);
(4.12)	VxVv Р(х, у) 25 Vx Р(х. х);
(4.13)	Зх Р(х. х) 25 ЗхЗу Р(х, v);
(4.14)	VxVv Р(х, V) 25 Р(а. by,
(4.15)	VxVv Р(х, у) 25 Р(Ь. о);
(4.16)	Р(а, Ь) 25 ЗхЗу Р(х. у);
(4.17)	Р(Ь. а) 25 ЗхЗу Р(х, у).
4.1.6.	Докажите, что формула тогда и только тогда общезначима в
непустой области Аг когда в этой области общезначимо ее замыкание
всеобщности.
4.1.7.	Докажите, что формула тогда и только тогда выполнима в
непустой области Д;, когда в этой области выполнимо се замыкание
существования.
92 Исчисление предикатов гильбертовского типа
4.2. Исчисление предикатов гильбертовского типа
Существует огромное множество различных вариантов аксиома-
тизации исчисления предикатов первого порядка. Среди них исчис-
ление предикатов гильбертовского типа. Основным его достоинством
является удобство использования при доказательстве теорем.
Определение 4.2.1 (аксиомы исчисления предикатов гильбер-
товского типа). Пусть А, В, С произвольные формулы логики
предикатов первого порядка, л — произвольная переменная и I
некий терм. Аксиомами исчисления предикатов гильбертовского
типа являются следующие выражения:
(4.18)	А =э (В =э А):
(4.19)	(А В} о ((А (В О) (A z> С)),
(4.20)	(А л В) =э А:
(4.21)	(АлВ)^>В;
(4.22)	(А => В) =э ((А =>С)=>(А^(Вл С)));
(4.23)	А (A v В);
(4.24)	В =э (A v В);
(4.25)	(А о С) о ((В о С) о ((A v В) z> С));
(4.26)	(А В) о ((А -иВ) -г-1);
(4.27)	-r-А о А;
(4.28)	Xfx Д(,г) Д(г);
(4.29)	A(t) о Эл Д(л).
Все эти формулы являются доказуемыми.
Правилами вывода данного исчисления являются:
(а)	правило отделения (modus ponens). согласно которому из
любых двух формул логики предикатов А и А В всегда можно получить
формулу В:
А,А^> В
В
(Ь)	правило введения квантора общности, согласно которому
если а не является свободной в А. то из выводимости A z> В(а) следует
выводимость A z> Vy В(у):
А В(а)
A	V у В (у) ’
(с)	правило введения квантора существования, согласно которому
если а не является свободной в В, то из выводимости А(а) 23 В следует
выводимость Эу Л(у) z> В:
Д(а) гэ В
3\Д ( v) z> В ’
Исчисление предикатов гильбертовского типа 93
(d)	правило подстановки, которое можно применяв в том и толь-
ко в том случае, если выполнены следующие два предварительных
условия:
i. свободные и связанные переменные, входящие в формулу,
обозначены разными символами.
ii. если какой-либо квантор находи i ся в области действия други о
квантора, то переменные, связанные этими кванторами, обо-
значены разными символами
Согласно правилу подстановки, если формула а содержит пере-
менное высказывание А, то символ Л, можно во всех его вхождениях в
формулу а заменить на формулу Д удовлетворяющую условиям:
а.	свободные переменные в /3 обозначены символами, отличны-
ми от связанных переменных в о, и связанные переменные в
/3 — символами, отличными от свободных переменных в а,
Ь.	если Ава находится в области действия квантора, то А не
входит в Д
Таким образом, имеем:
а( А... А..А.)
а'(А... А ,Р(В......В.), А ... А.)
Согласно правилу подстановки, если формула а содержит пере-
менный предикат А, то символ 4 можно во всех его вхождениях в
формулу а заменить на формулу Д удовлетворяющую условиям:
с.	свободные переменные в /3 обозначены символами, отлич-
ными от связанных переменных в а, и связанные перемен-
ные в /3 - символами, отличными от свободных перемен-
ных в а,
d если Ава находится в области действия квантора, связываю-
щего какой-то символ, то этот символ не входит в Д вместе с
тем при замене предиката А/(х1..... х„) формулой Дг).Гп), где
.... г — термы, символы tf..... t* переименовываются соот-
ветственно символами х„..., х .
Таким образом, имеем:
а(А,,..., А (л.х„).. At)
а’(А,...А .,Р(х.....л„),	А Ak) ’
Применение правил (a), (b), (с), (d) к доказуемым формулам снова
дает доказуемые формулы.
Если удалить из исчисления предикатов гильбертовского типа ак-
сиомы (4.28), (4.29) и правила вывода (b), (с), (d), то мы будем иметь
исчисление высказываний.
Предложение 4.2.1 (закон тождества). Формула Я зЛ является
доказуемой.
94
Исчисление предикатов гилъбертовского типа
Доказательство. Воспользуемся аксиомой (4.18) и сделаем под-
становку на месте переменной В формулы В 23 А. В результате:
l.H (A 2э ((В гэ А) о А)).
Затем воспользуемся аксиомой (4.19) и сделаем подстановку на
месте переменной В формулы В А, получим:
2.1- (A Z3(Bt> A)) ((А гэ ((В о А) С)) гэ (А С)).
Далее из аксиомы (4.18) и формулы 2 по правилу отделения имеем:
3. I- ((Я гэ ((В гэ А) гэ С)) (А э О).
Потом делаем подстановку на месте переменной С — перемен-
ной А.
4. н (А гэ ((В z>A)^ A)) (А А).
Из 1 и 4 по правилу отделения заключаем, что Н А А. •
Предложение 4.2.2 (производное правило введения квантора
общности). Если I- Д(х) и х входит в А свободно, то I- Х/лД(л).
Доказательство. По предположению н Д(х). Значит, существует
произвольная формула В, такая, что I- й д Д(х). По правилу введения
квантора общности имеем: н й з Vx Д(х). Вместо В делаем подста-
новку Д(х) и по правилу отделения получаем: I- Vx Д(х). •
Предложение 4.2.3. Формула Vх (А В(х)) (А Vx В(х))
является доказуемой.
Доказательство. По аксиоме (4 28) формула Vx (А В(х)) о
(А о В(х)) является доказуемой. Дважды применяя определение (2.5),
получаем I-->Vx (А о В(х)) v —A v В(х).
Воспользуемся теперь доказуемой формулой —1(Д л В) <=>
(—Л V—1В), выводимой из доказуемых формул (4.51) и (4.52) (см.
упражнение 4.2.1). Имеем: I->( Vx (А о В(х)) л A) v В(х).
Опять применяем определение (2.5) и приходим к выражению:
(Vx (А о В(х)) л А) о В(х).
Используем правило введения квантора общности и получаем:
I- (Vx (А гэ В(х)) л А) Vx В(х).
Снова применяем определение (2.5). В результате: I->( V л (4 о
о В(х)) л A) v Vx В(х).
Затем воспользуемся доказуемой формулой —1(Д л В) <=> (—Л v —iB)
и дважды применим определение (2.5). В итоге: I- Vx (А о В(х)) о
2э (А 2э Vx В(х)). •
Теорема 4.2.1 (теорема дедукции). Пусть Н множество фор-
мул и Д, В - формулы. В этом случае Н,А н В тогда и только тогда,
когда Н н Д д В.
Доказательство.
<=. Покажем достаточность условия, а именно то, что из Н ь- Д z> В
следует H,At- В.
Цсчисчение предикатов гильбертовского типа 95
Действительно, если имеется вывод формулы А о В из множества
формул Н, то вывод формулы В может быть получен из множества
Ни {Д} по правилу отделения
=>. Покажем теперь необходимость условия, а именно то, что из
Н,А*~ В следует Н н А В.
Пусть Bv В,..В^, В есть вывод из Н, А, удовлетворяющий усло-
вию теоремы. Доказательство строится по индукции.
1.	При и = 1 утверждение справедливо. Действи гельно, если В есть
вывод из Н, А, то возможны три случая:
(а)	либо В G Н,
(Ь)	либо В — доказуемая формула,
(с)	либо В есть А.
В случаях (а) и (Ь) на основании Н I- В и доказуемости формулы
В о (А В) по правилу отделения получаем Н I- А о В.
В случае (с) формула А В есть формула А А, которая всегда
доказуема по предложению 4.2.1, а значит, выводима из Н.
2.	Предположим теперь, что утверждение справедливо для любого
вывода длины к < и. и докажем его справедливость для вывода длины
п. Так какBt, В2 есть вывод из Н, А,то возможны пять случаев:
(а)	В G Н,
(Ъ)	В — доказуемая формула.
(с)	В есть А,
(d)	В получается из предшествующих ей в выводе формул В и В
(i <j< и) по правилу отделения,
(е)	В получается из формулы в, предшествующей ей в выводе
(I < п), по правилу введения квантора общности.
Для случаев (а), (Ь), (с) доказательство утверждения полностью
совпадает с доказательством, проведенным для и = 1. Рассмотрим слу-
чаи (d). Поскольку формула В получается из формул В и В при i < j < и,
то В должна иметь вид в о В, причем справедливы по предположе-
нию утверждения:
(1) НЬА^В,,
(2) Н н А =э (В =э В).
Используя аксиому (4.19), получаем
(3 ) Н н (А гэ В ) о ((А о (В' о В)) о (А В)).
К формулам (3), (1), (2) применим двойное правило отделения. В итоге:
Н н А =э В.
Рассмотрим, наконец, случай (е). Пусть в выводе из Н, А есть фор-
мула В (х) (i < и), такая, что В есть Vx В (х), где х не входит свободно ни
в одну из формул Н, А. Тогда
Н'-Агз Д (х).
По правилу введения квантора общности Н ь- А Vx В (х).
96 Исчисление предикатов гильбертовского типа
Пусть теперь в выводе из Н, А есть формула В (х) (i < и), такая, что
В есть Vx В(х), где х уже входит свободно в формулу А. Тогда
(4) НI- А о В (х).
В силу предложения 4.2.2 Н I- Vx (А т>В). По предложению 4.2.3
имеем
(5) Н Ь Vx (А о В.(х)) э (Л д Vx В(х)).
Используя правило отделения к (5), (4), получаем
Н I- А Vx В(х).»
Будем считать два исчисления дедуктивно эквивалентными, если
они имеют одно и то же множество доказуемых формул (одно и то же
множество теорем).
Определение 4.2.2 (исчисление предикатов первого порядка). Ис
числением предикатов первого порядка называется всякое исчисление,
дедуктивно эквивалентное исчислению предикатов гильбертовского типа.
Определение 4.2.3 (исчисление предикатов с равенством). Ис-
числение предикатов с равенством образуется за счет добавления к
аксиомам исчисления предикатов первого порядка следующих аксиом:
(4.30)	Vx (х = х);
(4.31)	(х = }')з(«(х,х)2>а(х,у)),
где х, у — предметные переменные, сфх, х) — произвольная фор-
мула, причем а(х, у) получается из а(х, х) заменой каких-нибудь (не
обязательно всех) свободных вхождений символа х символом у с усло-
вием, что у было свободно для тех вхождений х, которые заменяются.
Определение 4.2.4 (логические аксиомы). Логическими аксио-
мами называются формулы, истинные во всех структурах сигнатуры
языка первого порядка.
Так, логическими аксиомами являются все теоремы исчисления
предикатов гильбертовского типа.
Определение 4.2.5 (нелогические аксиомы). Нелогическими ак-
сиомами называются формулы, истинные в некоторых, но не во всех
структурах сигнатуры языка первого порядка.
В качестве примера нелогических аксиом можно привести аксио-
мы (8.8) — (8.15).
Определение 4.2.6 (теория первого порядка). Теорией первого
порядка называется формальная система Т, такая, что
(а)	языком формальной системы Т является язык первого порядка.
(Ь)	аксиомами системы Т являются логические аксиомы и некото-
рые другие формулы, играющие роль нелогических аксиом,
(с)	правилами вывода системы Т являются правила вывода исчис-
ления предикатов первого порядка.
Язык первого порядка V называется расширением языка первого
порядка ‘Г. если каждый нелогический символ из Ч (см. определение
Исчисление предикатов гильбертовского типа
97
4.1.4) является нелогическим символом из V. Теория 1” является рас-
ширением теории Т, если язык теории Г является расширением языка
теории Т и каждая теорема теории Т является теоремой теории Г.
Определение 4.2.7 (консервативноерасширение теории). Кон-
сервативным расширением теории Т называется расширение Г' тео-
рии Т, такое, что каждая формула теории Г, являющаяся теоремой тео-
рии Т\ является также теоремой теории Т.
Упражнения
4.2.1.	Установите доказуемость формул:
(4.32)	A v —Л;
(4.33)	Wv4)d4;
(4.34)	Аз (Av А);
(4.35)	(АлА)зА;
(4.36)	Аз (А л А);
(4.37)	(AvB)3(BvA);
(4.38)	(fivA)DMvfi):
(4.39)	(А л В) (В л AY.
(4.40)	(В л А) (А л BY.
(4.41)	(А л (В л О) з ((А л В) л С);
(4.42)	((А л В) л О з (А л (В л О);
(4.43)	(A v (В v Q) о ((A vB) vC);
(4.44)	((A v В) v О з (A v (В v Q);
(4.45)	(А л (В v О) о ((А л В) v	(А л С));
(4.46)	((А л В) v (А л О) з (А л	(В v О);
(4.47)	(A v (В л С))з ((A v В) л	(A v С));
(4.48)	((A v В) л (A v О) =5 (A v	(В л О);
(4.49)	-ЧА v В) з (—А л —BY.
(4.50)	(—А л —iB) о —i(A v BY,
(4.51)	—i(A л В) з (—A v —iB);
(4.52)	(—A v —iB) о —i(A л В).
4.2.2.	Установите доказуемость формул:
(4.53)	(Vx А(х) з В) з Эх (А(х) о В);
(4.54)	Эх (А(х) з В) з (Vx А(х) з В);
(4.55)	(Эх А(х) з В) з Vx (А(х) з В);
(4.56)	Vx (А(х) з В) з (Эх А(х) з В);
(4.57)	(В з Vx А(х)) з Vx (В з А(х));
(4.58)	Vx (В з А(х)) з (В з Vx А(х));
(4.59)	(В з Эх А(х)) з Эх (В з А(х));
(4.60)	Эх (В з А(х)) з (В з Эх А(х));
(4.61)	-iVx А(х) з Эх —А(х);
(4.62)	Эх -А(х) з -1 Vx А(х);
4 Зак. 784
98	Исчисзение предикатов гильбертовского типа
(4.63)	—13л Д(л) о Va —Л (а);
(4.64)	Vr —Л (л) z> -13л Д(х);
(4.65)	(Vx Д(г) л В) z> Va (Д(х) л В);
(4.66)	Va (Д(х) л В) z> ( Va Д(х) л В);
(4.67)	( Va Д(а) vB)d Vx (Д(х) v В);
(4.68)	Va (Д (х) v В) о ( Va Д(л) v В);
(4.69)	(ЗлД(х)лВ)гэЗл(Д(х)лВ);
(4.70)	Зл (Д(х) л В) гэ (Зх Д(х) л В);
(4.71)	(Зл Д(л) v В) z> Зл (Д(л) vB);
(4.72)	Зл (Д(х) v В) гэ (ЗхД(х) v В);
(4.73)	Va Д(л) о Va ((Д(л) В(х)) Va В(х)):
(4.74)	( Va (Д(л) В(х)) Vx В(х)) Va Д(х).
4.2.3.	Докажите правомерность следующих производных правил
вывода:
(4.75)	если Н, А I- В и Н I- А, то Н н В.
(4.76)	если Н. А I- В и С Н А, то Н. С Н В,
(4.77)	если Нь- Ан Н\- В, то Hr- A t\B — правило введения
конъюнкции,
(4.78)	если Н, A t- С и Н. В ь- С, то Н, Д v В I- С — правило
введения дизъюнкции,
(4.79)	если н (А (В о С)), то н (В гэ (А о С)) — правило
перестановки посы юк,
(4.80)	если I- (А (В С)), то н ((Д л В) з С) — правило
соединения посылок,
(4.81)	если ь((Д л В) С), то Н (А (В :□ С)) — правило разъе-
динения посылок.
4.2.4.	Используя теорему дедукции, установите доказуемость формул:
(4.82)	(А => В) =э ((В =э О =э (А => Q);
(4.83)	(AjB)d((AvQj(Bv О);
(4.84)	UdB)3 ((С А) (С В)).
4.2.5.	Покажите доказуемость следующих формул в исчислении
предикатов с равенством:
(4.85)	t = t для любого терма t;
(4.86)	х = у о у = л;
(4.87)	х = у =э (у = z о л = г);
(4.88)	t =t t,, ..., t ,,t„t  ....t t,..........t t, t ,,...,
t ) для любой функции/(1 < i < n);
(4.89)	t =t	...,t ,,t,i „ ...,t	....t ,,t,t
' j t '12’ j-г j j+Г n' '12 j-г । y+l
Гп) для любого предиката Р (1 < i < л).
4.2.6.	Используя понятие расширения, определите эквивалент-
ность произвольных теорий Т и Т’
Исчйс зение предикатов гейтинговского типа
99
4.3. Исчисление предикатов гейтинговского типа
Исчисление Рейтинга является неклассической системой исчис-
ления предикатов. Построено оно таким образом, что в нем не явля-
ются общезначимыми закон исключенного третьего (Д v —И), закон
снятия двойного отрицания (—i—v4 А) и другие, родственные двум
данным законам выражения. Это исчисление получило название ин-
туиционистской зогики предикатов первого порядка.
Интуиционистская логика возникла в качестве логической фор-
мализации математических рассуждений в рамках интуиционизма. В
интуиционизме, разрабатываемом Брауэром [1923], была поставлена
под сомнение целесообразность экзистенциальных доказательств
различных теорем, в выводимых высказываниях которых утверждается
существование объектов определенного сорта и в то же время не ука-
зывается никакого конкретного способа построения данных объектов.
Например, классическое доказательство теоремы о том, что всякая
непрерывная действительная функция, заданная на замкнутом огра-
ниченном множестве, имеет максимум, не сопровождается указанием
на метод построения искомого максимума. Однако любые истинные
логико-математические суждения должны быть конструктивны-
ми представлять собой сообщение о выполненных построениях.
В экзистенциальных же доказательствах без соответствующих по-
строений предполагается, что или все элементы некоторого множе-
ства обладают определенным свойством, или существует какой-то
элемент, не обладающий этим свойством. Другими словами, предпо-
лагается, что для доказательства дизъюнкции A v В можно не указы-
вать ее верный член, а достаточно опровергнуть утверждение о не-
верности обоих ее членов — установить, что —(—А л —£). При таком
варианте закона исключенного третьего неявно вводится абстрак-
ция актуальной бесконечности, позволяющая рассматривать беско-
нечные совокупности одновременно существующих объектов как за-
вершенные, целиком предъявленные. Представители интуициониз-
ма. в противоположность этому, говорят о правомерности одной
лишь абстракции потенциальной осуществимости. С данных пози-
ций суждение вида A v —А не может считаться истинным, если про-
блема А до сих пор не решена или не опровергнута.
Требование эффективности проводимых построений и отказ от
идеи актуальной бесконечности привели к созданию так называмой
интуиционистской математики. Ее объектами выступают главным
образом конструктивные объекты следующего типа: натуральные
числа, рациональные числа, последовательность, заданная своим
списком, и т.д. Основным объектом при этом являются свободно ста-
100 Исчисление предикатов гейтинговского типа
новящиеся последовательности (последовательности выбора). Сво-
бодно становящейся последовательностью называется функция,
определенная на натуральном ряде и эффективно принимающая ка-
кие-то значения.
В зависимости от степени информации, которой можно распола-
гать относительно свободно становящейся последовательности, разли-
чают несколько видов последней. В случае, когда закон ее образова-
ния полностью известен, например, задан в качестве соответствующей
рекурсивной функции, такая последовательность называется опреде
ленной законом. Если же в каждый момент времени известным явля-
ется лишь некоторый начальный путь последовательности, а инфор-
мация о ее дальнейшем поведении отсутствует, то она называется
беззаконной свободно становящейся последовательностью. В тер-
минах последовательностей особым образом эксплицируется поня-
тие числового континуума — в виде потока измельчающихся рацио-
нальных интервалов. При этом каждое отдельное действительное число
определяется как свободно становящаяся последовательность, значе-
ниями которой являются постоянно уменьшающиеся вложенные
друг в друга рациональные интервалы.
Как и в математическом интуиционизме, в интуиционистской ло-
гике экзистенциальное доказательство, т.е. вывод вида “существует х.
такой, что А(х)", только тогда считается надежным, если возможно
приведение в качестве примера некоторого объекта t — такого, что
А(1). Это ограничение является требованием конструктивности при
построении доказательства. В результате выполнения данного требо-
вания из выводимости формулы вида Зд Д(%) должна следовать выво-
димость формулы А(г) при некотором I, в частности, из выводимости
формулы вида A v В - выводимость одной из формул А или В.
Тем не менее, в классической логике зачастую применяется экзи-
стенциальное доказательство, не являющееся эффективным, — выво-
дятся экзистенциальные выражения с привлечением следующей тео-
ремы классического исчисления предикатов: —iV% —Л(л) о Зх Д(%).
Выражение —iVx —Д(л), в свою очередь, может быть легко доказано
средствами любого исчисления, поскольку выражение Vx —iA(%) вме-
сте с исходным ведет к противоречию. При данном способе экзистен-
циального доказательства оказывается возможной ситуация, когда мы
не в состоянии указать пример объекта описываемого в теореме вида.
Таким образом, главное интуиционистское ограничение сводится к
сомнению в приемлемости отрицания общих высказываний для эк-
зистенциальных доказательств.
Исчисление высказываний, удовлетворяющее основным интуи-
ционистским требованиям, было построено Гентингом [1930].
Исчисление предикатов гейтинговского типа
101
Определение 4.3.1 (аксиомы исчисления предикатов гейтин-
говского типа). Пусть А, В, С — произвольные формулы логики пре-
дикатов первого порядка, х — произвольная переменная и t - некий
терм. Аксиомами исчисления предикатов гейтинговского типа яв-
ляются следующие выражения:
(4.90)	А 25 (В 25 А);
(4.91)	(А 25 В) 25 ((Л 25 (В 25 Q) 2> (А 25 Q);
(4.92)	Л 25 (В 25 (Л л В));
(4.93)	(Л л В) 25 Л;
(4.94)	(Л л В) 25 В;
(4.95)	А 2) (A v В);
(4.96)	В 25 (Av В);
(4.97)	(Л 25 о 25 ((В z>	о 25	((Л	V В) 25 О);
(4.98)	(Л 25 В) 25 ((Л 25-В1О-Л);
(4.99)	Л 25 (-Л 2> В);
(4.100)	VxA(r) 25 A(t);
(4.101)	A(z)25 3xA(x)
Отрицание - в интуиционизме трактуется более узко, чем в клас-
сических системах, а именно в следующем виде: -Л = Л 25 0
Правилами вывода исчисления предикатов гейтинговского типа
являются:
(а)	правило отделения (modus ponens), согласно которому из
любых двух формул логики предикатов Л и Л 25 В всегда можно полу-
чить формулу В:
А, А 25 В
В '
(Ь)	правило введения квантора общности, согласно которому
если а не является свободной в Л, то из выводимости А 25 В(а) следует
выводимость Л 25 Vy В(у):
А 25 В(а)
А 25 VyB(y) ’
(с)	правило введения квантора существования, согласно которо-
му если а не является свободной в В, то из выводимости А(а) 25 В
следует выводимость Зу Л (у) 25 В:
А(а) 2) В
3 vA ( у) 25 В
В интуиционистском исчислении не используется правило под-
становки, поэтому аксиомы представляют собой не конкретные фор-
мулы, а некоторые схемы, которые приложимы ко многим формулам.
Это практически не меняет ход доказательства за одним исключени-
102 Исчисление предикатов гейтинговского типа
ем — каждая формула получает индивидуальное доказательство с ис-
пользованием аксиом как неких схем.
Если удалить из исчисления предикатов Рейтинга аксиомы (4.100),
(4 101) и правила вывода (Ь), (с), го мы будем иметь интуиционистс
кое исчисление высказываний.
В интуиционистском исчислении высказываний вместо закона
исключенного третьего и эквивалентного ему закона снятия двойного
отрицания, т.е. вместо формул A v —Ч и —r-А 25 А, используется сла-
бый принцип противоречия А 25 (-А 25 В). Отсюда в таком исчислении
не могут быть теоремами выражения: A v —А; -г-А 25 A; (—A nA) nA;
(-£ 25 -Л) 25 (А 25 В) и т.д.
В интуиционистском исчислении предикатов не является теоре-
мой, к примеру, высказывание —>Х/х —Л(х) 25 Зх4(х).
Классическое и интуиционистское исчисления предикатов разли-
чаются с позиции исчисления высказываний, но имеют одинаковую
часть исчисления предикатов — образуются посредством одинаково-
го расширения соответствующего пропозиционального исчисления.
Определение 4.3.2 (интуиционистское исчисление предикатов
первого порядка). Интуиционистским исчислением предикатов пер-
вого порядка называется всякое исчисление, дедуктивно эквивалент-
ное исчислению предикатов гейтинговского типа.
Определение 4.3.3 (интуиционистская теория первого поряд-
ка). Интуиционистской теорией первого порядка называется фор-
мальная система Г, такая, что
1.	языком формальной системы Т является язык первого порядка,
2.	аксиомами системы Т являются аксиомы интуиционистского
исчисления предикатов первого порядка, а также некоторые другие
формулы, играющие роль нелогических аксиом,
3.	правилами вывода системы Т являются правила вывода интуи
ционистского исчиления предикатов первого порядка.
Упражнения
4.3.1.	Установите доказуемость следующих формул в исчислении
предикатов гейтинговского типа:
(4.102)	-(Ал-А).
(4.103)	Л 25--Л,
(4.104)		А=>-А.
(4.105)	-Л 25----А.
(4.106)	-(A v В) 25 (-Л л -В),
(4.107)	(-Л л -В) 25 -(Л v В),
(4.108)	(-Л v -В) 25 ЧА л В).
Предваренная нормальная форма и теорема о полноте	103
(4.109)	(-А v В) 25 (A z> В),
(4.110)	(А 25 В) 25 (-В 25 -А).
4.3.2.	Установите доказуемость следующих формул в исчислении
предикатов гей гинговского типа:
(4.111)	-Эх -А(х) 25 Vx А(х);
(4.112)	Эх (А(х) 25 В) 25 (Vx А(х) 25 В)\
(4.113)	Зх (Z? 25 А(х)) 25 (В 25 Эх А(х)).
4.4. Предваренная нормальная
форма и теорема о полноте
В данном разделе будет доказана теорема о полноте исчисления
предикатов первого порядка, но для этого нам понадобится некое уни-
фицированное представление формул данного исчисления, а именно
все его формулы мы станем рассматривать в предваренной нормаль-
ной форме.
Определение 4.4.1 (предваренная нормальная форма или пре-
нексная форма). Формула Qlxl Qja, ... Qxn а^, х...... xj, где Q
квантор общности или существования (1 < i < и), х и х различны для
i *j и а не содержит кванторов, называется формулой в предваренной
нормальной форме или пренексной форме, причем выражение
QJxl Qj, Qx„ называется кванпюрной приставкой, а выражение
а(хр х., .... хг) матрицей.
Теорема 4.4.1. Всякая формула исчисления предикатов перво-
го порядка может быть приведена к предваренной нормальной
форме.
Доказательство. Пусть /3 — произвольная формула, для кото-
рой мы хотим получить предваренную нормальную форму. Если /3 не
имеет данной формы, то это означает, что внутри нее содержатся кван-
торы. Пусть Q — такой квантор. Через Q' станем обозначать квантор,
двойственный квантору Q, а именно такой, что если Q = V, го Q' = 3, и
если Q = 3, то Q' = V. Тогда алгоритм получения предваренной нор-
мальной формы формулы /3 таков:
(а)	замена (5 дедуктивно эквивалентной формулой;
(Ь)	если в /3 встречается формула —а. мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Q х —>а;
(с)	если в /3 встречается формула Qxa v у, мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Qx (a v у);
(d)	если в /3 встречается формула у v Qxa. мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Qx (у v а);
(е)	если в /3 встречается формула Qxa 25 у, мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Q’.x (а 25 у);
104	Предваренная нормальная форма и теорема о полноте
(Г>	если в ft встречается формула /25 Qxa, мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Qx (/25 а);
(g)	если в Р встречается формула Qxa л у, мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Qx (а л у>;
(h)	если в Р встречается формула ул Qxa, мы ее меняем на
дедуктивно равносильную формулу Qx (ул а).
Дедуктивная равносильность всех упоминаемых формул установ-
лена в упражнении 4.2.2. •
Определение 4.4.2 (универсальная формула или V-формула)
Универсальной формулой или -формулой называется такая форму-
ла в предваренной нормальной форме, что кванторная приставка со-
стоит только из кванторов общности.
Определение 4.4.3 (экзистенциальная формула или 3-формула).
Экзистенциальной формулой или 3-форму лой называется такая фор-
мула в предваренной нормальной форме, что кванторная приставка
состоит только из кванторов существования.
Определение 4.4.4 (сколемовская нормальная форма). Форму-
ла Q-Л-,  Qx„ <Ххр •••’ Х„У имеющая вид предваренной нор-
мальной формы, называется формулой в сколемовской нормальной
форме, если в ее кванторной приставке все кванторы существования
предшествуют всем кванторам общности.
Теорема 4.4.2. Всякая формула исчисления предикатов первого
порядка может быть приведена к сколемовской нормальной форме.
Доказательство. Пусть Р — произвольная формула, для кото-
рой мы хотим получить сколемовскую нормальную форму. Постро-
им доказательство по индукции. Пусть число г обозначает число кван-
торов общности, предшествующих всем кванторам существования.
Если г = 0, то Р имеет сколемовскую нормальную форму. Предполо-
жим, что для всех г формула Р уже преобразована к сколемовской
нормальной форме. Покажем, что для г + 1 мы можем получить ско-
лемовскую нормальную форму. Пусть Vx — первый квантор общно-
сти. предшествующий всем кванторам существования в формуле Vx3y
Р(х, у). Формулу Vx3y Р(х, у) можно преобразовать к следующей де-
дуктивно равносильной формуле (см. задачи (4.73), (4.74) упражнения
4.2.2) с условием, что А не встречается в Р)х, у):
Vx(3y Р(х, у) э Ап1(х)) 25 Vx Л„,(х).
Используя правило (е) теоремы 4.4.1, получаем:
3х((3у Р(х. у) z> Ап1(х)) 25 Vx HrJx)).
Затем, снова применяя правило (е):
Зх( Vy (Р(х. у) => Аг1(х)) 2> VxЛ.+1(х)).
Повторное применение правила (е) даст в итоге формулу:
ЗхЗу ((/Хх, у) 25 Ап1 (г)) 25 Vx Л~,(х)).
105
Предваренная нормальная форма и теорема о полноте
Теперь применяем правило (f) теоремы 4.4.1, предварительно
переименовав символ х на символ и-:
3x3vVw ((р(х, у) э Л„,(х)) z> Л„, (*’))•
В результате для r + 1 имеем сколемовскую нормальную форму •
Теорема 4.4.3 (теорема Гёделя о полноте). Всякая общезначимая
формула исчисления предикатов первого порядка является доказуемой.
Доказательство. В силу теоремы 4 4.2 достаточно рассмотреть
формулу /3 в сколемовской нормальной форме
Зх, Зх2... Зхи Vy, Vy, ...Vyn afrpX,........«„.у,. v2. --.у;),
где а — бескванторная формула, содержащая только индивидные
переменные х,, х,, .... хт, у,. у,, ..., уп-
Пронумеруем все упорядоченные ти-ки положительных целых
чисел согласно следующему правилу. Если i, + i, + ... + im <j,+ j, + ... +
+j , то w-ка <i, i„ .... / > предшествует т-ке <j .jm>; если же i +1, +
+-" + «„ =7,+7. + - +4 и при этом i, i =j,...ik =je <jM, to <i,.
i,..im> предшествует т-ке ........Jm>.
Так, первая /и-ка в нашей нумерации есть <1, 1, ..., 1, 1, 1>, вторая
/п-ка — <1,1,1, .., 1,1,2>, третья — <1,1,1,..., 1,2,1>, четвертая — <1.
1,1.....2,1,1>ит.д.
Мы обозначим k-ю т-ку в этой нумерации через <[Л, ], [Л].[&J>
Таким образом, l-е положительное целое число в k-й т-ке обозначается
через [£(]. Пусть теперь формула В получена из формулы а подстанов-
кой вместо х,, х,, .... хга, у,, у2, .... уп соответственно символов
с..,, с,. .с.»	„ г,.,, Z, Такую подстановку оказалось
возможным сделать благодаря нашей нумерации, поскольку все симво-
лы г.»	zr, ,,z,	в последовательности и ме-
*1* I’»- * |» ' Ч*„ I ’ (*-1>л+2	<*-1|л+Г Чл+1
ют индивидуальный номер, отличный от номеров других символов.
Формулу В v В v... v В станем обозначать через Се а формулу
V;, V^ .. Vc^, С. — через Dt Таким образом. D имеет следующий вид
V; V- V- (В	)v5(-,...z - ,г )v...v
1 Ч ~tn»l ' 1'4’ •••Ч’Ч......?'Ч’	2’^л-»2’ ЧллГ
V ^»/ч*,1’ ‘"1*1. ’l*.	I ,'‘«-1>л»2’ ' г*п+1^'
Лемма. Докажем, что для всякого к
В силу аксиомы (4.29) исчисления предикатов гильбертовского
типа и теоремы дедукции:
V> , Vy2 ... Vy; (И ’ , z,........с,. Ур у,.у„) н Д
где все переменные х,, х,, .... хт переименованы на с,, С.с,.
В силу аксиомы (4.28) исчисления предикатов гильбертовского
типа и правила отделения:
V4 Vy, Vy,... Vy; crt z,. с.с,.у,, у,.......у;) н Д
Применяя теперь п раз замену связанных переменных у,, у,...у;,
мы получаем, что
106 Предваренная нормальная форма и теорема и полноте
D^p.
Таким образом, лемма доказана для случая к = 1.
Предположим теперь, для некоторого к > 1 имеет место
Ц-ЛА
Применяя п раз правило (с) теоремы 4 4.1, мы получаем, что
•••	V Bl) *“ G-l V	"•
Поскольку Ct <=> C v то, применяя аксиому (4.28) исчисления
предикатов гильбертовского типа и правило отделения (к - 1) п + 1 раз,
мы получаем:
*“ Ct-i v
Теперь п раз повторяя замену связанных переменных, имеем:
Ч Н С*-. v Vvi v>2 - V>„ “(чм’ЧЫ--	...V
Кроме того, т раз применяя аксиому (4.29) исчисления предика-
тов. получаем:
н Vy, Vy,.. Vy„	..............ул)эД
Следовательно,
о^с^р.
Затем через введение квантора общности (к - 1) п + 1 раз для
переменных и используя правило (с) теоремы 4.4 1, мы получа-
ем. что
В силу предположения D* } н р по теореме дедукции мы заключа-
ем, что Н Dtр Отсюда можно показать, что D* н Д Лемма доказана
Рассмотрим теперь два случая
Случай 1. Для некоторых к формула Ck есть теорема. Тогда, по-
средством введения квантора общности кп + 1 раз, получаем, что Dt
есть теорема. Следовательно, в силу леммы р есть теорема.
Случай 2. Ни для какого к формула Сд не является теоремой. Тогда
можно для каждого к найти такое распределение истинностных значе-
ний по элементарным частям формулы Ск, что значением матрицы Се
вычисленным по истинностным таблицам, будет 0. Такое вычисление
мы будем называть опровергающим распределением истинностных
значений по элементарным частям формулы С*.
Пусть Е, Е^, Ev ... — различные элементарные части, встречаю-
щиеся в Ср Сг Су .... перенумерованные в следующем порядке: сначала
различные элементарные части формулы С( в порядке их первых вхож-
дений в Ср затем различные элементарные части формулы С,, не встре-
чавшиеся в формуле Ср в порядке их первых вхождений в С; и т д.
Если Е, получает значение 1 в бесконечном числе опровергающих
распределений истинностных значений по элементарным частям фор-
мул Ср С„ С,, .... то Е, получает значение 1 и в итоговом распределении
значений. В противном случае Е должно в бесконечном числе опро-
Предваренная нормальная форма и теорема о полноте	107
вергаюших распределений истинностных значений по элементарным
частям формул С, С,, С?, ... получать значение 0, и тогда мы приписы-
ваем £, значение 0 и в итоговом распределении значений. После этого
мы рассматриваем ту бесконечную совокупность опровергающих рас-
пределений истинностных значений по элементарным частям формул
С С,. Cv ..., в которых Е} получает то же самое истинностное значение,
что и в итоговом распределении значений. Если в бесконечном числе
этих распределений Е, получает значение 1, то мы приписываем Е, зна-
чение 1 и в итоговом распределении, в противном случае мы приписы-
ваем Е, значение 0 в итоговом распределении значений. Данный про-
цесс приписывания значений мы продолжаем для всех элементарных
частей Ер Ер ЕЛ.....Е 0 > 1), при этом мы постоянно рассматриваем
бесконечную совокупность опровергающих распределений истиннос-
тных значений по элементарным частям формул Ср С,, Cv .... в которых
Ер Е,, Е3...Е получают те же самые истинностные значения, что и в
итоговом своем распределении. Если в бесконечном числе этих распре-
делений очередная элементарная часть Е получает значение 1, то мы
приписываем Е значение 1 и в итоговом распределении, в противном
случае Е приписывается значение 0.
Предположим теперь, что при итоговом распределении значений
какая-нибудь из формул Ср С^, С3, ... принимает значение 1. Но с уче-
том того, что Ср Ср С3, ... имеют вид дизъюнкций, никакое распреде-
ление истинностных значений по частям формул не может быть опро-
вергающим распределением (по истинностной таблице для дизъюнк-
ции). А это противоречит правилу, согласно которому мы приписывали
истинностные значения элементарным частям Е при построении ито-
гового распределения значений.
Из этого следует, что при итоговом своем распределении все С4
принимают значение 0 — одновременно являются ложными. Следо-
вательно, и В* принимает при данном распределении значение 0, по-
скольку Ct есть Ск j v В*. Поэтому значение 0 получает и формула
V; V; .. V- В
(4-1)л+2	““tn+l с*
а значит, и формулы
Vv, Vy, ...Vyn Ве
^-Vl ^V2	4»,|- <|*.|—-» '|*, I’^l’ V2’
Это верно для всех к, и поскольку <;|4 f,; ,...> пробегает
всевозможные m-ки переменных и тем самым совершаются всевоз-
можные подстановки переменных z вместо хг х,.......хт, формула
Эх Зх,... Зх Vy, Vv,... Vv <z(x,, x,..x , y„ v,, .... v )
«	2	m -'I	•'2	- n 1	2 m - I’ - 2	n'
принимает значение 0, так что формула fi не общезначима. •
Согласно теореме 4.4.3 логика предикатов первого порядка
является полной теорией. Это значит, что она задает границу дедук-
108 Модальная логика предикатов
тивному уровню критического мышления — если что-либо проти-
воречит логике предикатов первого порядка, то оно тем самым на-
рушает принципы минимализма и универсализма — фундаменталь-
ные принципы критического мышления. Поскольку дедуктивный
уровень является границей уровня вероятностного, а последний —
дискуссионного, логика предикатов первого порядка задает границу
всему критическому мышлению. На этом основании Гильберт пред-
положил, что все математические рассуждения можно формализо-
вать уже в рамках теории первого порядка. Но это оказалось слиш-
ком сильным допущением.
Упражнения
4.4.1.	Преобразуйте следующие формулы в сколемовскую нор-
мальную форму и затем преобразуйте получившуюся матрицу в
СДНФ (см. определение 5.2.5). По одному внешнему виду установите,
является ли формула тождественно истинной.
(4.114)	Vx -,Р(х) 2> (Р(х) 2> Vy С(у));
(4.115)	((VxP(x)v0(y))253>’^(y))25(Vx(P(x)v/?(x))253>'(2(y)v/?tv)));
(4.116)	P(z) л (Vx Q(x) v 3y R(y)) 25 ((3; Pfc) л Зх Q(x)) v R(y));
(4.117)	VxVv ((P(x) 25 Q(y)) v 3z /?(z));
(4.118)	Vx (A(x) 25 Vy (P(x, y) z> -i V; Q(y, ;)));
(4.119)	P(x, y) 2> 3y (A(y) 2> (3x A(x) 2> A(y)))
4.5. Модальная логика предикатов
В модальной логике предикатов наравне с обычными предложе-
ниями логики предикатов первого порядка рассматриваются также
предложения, обладающие определенной модальностью. В естествен-
ном языке модальность предложения выражается посредством таких
высказываний: “необходимо, что...”, “возможно, что...” и т.п.
Подробнее о модальной логике см. Крипке [ 1963], Монтегю [ 1960],
Фейс [1965].
Определение 4.5.1 (алфавит модальной логики предикатов).
Алфавитом модальной логики предикатов является упорядоченная
система .-/ML = р, М>, где
1.	— алфавит логики предикатов первого порядка;
2. М— множество операторов, которое содержит два элемента:
। , 0, называемых соответственно оператором необходимости и опе-
ратором возможности.
Определение 4.5.2 (формализованный язык модальной логики
предикатов). Формализованным языком модальной логики предика-
тов называется упорядоченная система УМ1 =	, .>м1 >, где
1. .-/М1 - алфавит модальной лотки предикатов;
Модальная логика предикатов
109
2. У — множество всех формул, образованных из знаков в ,-/М1.
Элементы .# определяются по индукции следующим обра-
зом:
i.	если а — формула р, то а - формула .УМ1;
ii	если а формула •>’м|, то формулами ./М1 будут также выраже-
ния а, <>а;
iii.	формулой модальной логики предикатов называется выраже-
ние, отвечающее только двум предыдущим условиям.
Определение 4.5.3 (.модальная логика предикатов). Модальной
логикой предикатов называется упорядоченная система i/'w = < ,VML,
1.	,-/м1 — алфавит модальной логики предикатов;
2.	,/4|L — множество всех формул, образованных из знаков в
3.	г( - операция присоединения следствия к элементам .Хмр ко-
торая для любого произвольного множества формул с )L строит
множество т.е. множество всех следствий из получаемых с
использованием правил вывода. В различных системах модальной
логики предлагаются различные правила вывода.
Определение 4.5.4 (модель Крипке или модель для формул язы-
ка модальной логики). Моделью Крипке или моделью для формул
языка модальной логики ^tL называется упорядоченная система
Т? = <А, R. D. V >, где
1.	А — множество элементов произвольной природы;
2.	R бинарное отношение на множестве А;
3.	D — отображение, которое сопоставляет каждому элементу а
из множества А некоторую непустую область D(a) таким образом, что
если <а, b> е R, то D(a) a, D(b);
4.	V - отображение из множества формул .FQ с: ./м| во множество
2Л, сопоставляющее каждой формуле <р из подмножество V((p) из А
таким образом, что
(а)	всякой индивидной константе с сопоставлен элемент V(<?) е
Q D(o), те каждому с может быть сопоставлен любой эле-
ас А
мент а из множества А, такой, что имеет место D(a);
(b)	всякой индивидной переменной х сопоставлен элемент У(х) е
те каждому х может быть сопоставлен некоторый
«А
элемент а из множества А, такой, что имеет место D(dY,
(с)	всякой пропозициональной переменной р сопоставлен
элемент а из множества А, такой, что VJp) е {О, 1};
(d)	всякой и-местной предикатной константе Р сопоставлено
подмножество VJ.P) С (D(a)Y;
110 Модальная логика предикатов
(е)	всякой и-местной функциональной константе f сопоставлена
функция V(f) из множества D(a)" во множество D(a)4*’.
В дальнейшем элементы из множества А будем называть точками
и будем интерпретировать У^/ф) как множество точек из А, в кото-
рых формула (р оказывается истинной. Множество элементов D(a)
будем называть возможным миром.
Пусть а — элемент из А и <р — модальная формула, не содержащая
кванторов. Запись Т? 1=я ф означает, что ср истинно в точке а в модели Т?
Определение 4.5.5 (истинность формулы <рв точке а в модели
Истинность формулы (р в точке а в модели Т? определяется по
индукции следующим образом:
(4.120)	$г#п0;
(4.121)	9Wi=o"l;
(4.122)	Т? i=o <р, если Vu(<p) = 1;
(4.123)	Т? 1=п	-|ф, если Ti # а ф;
(4.124)	Ti	фл ф, еслиЭД t=u фи Т? »=оф,
(4.125)	Т? t=o	ф v ф, если Ti t=u <рили Т? t=ayr,
(4.126)	Т? ь=я	фэ ф, если из Т? >=я <р следует Ti «=яф
(4.127)	Ti 1=я Vx ф(х), если для всех V(x) е U У(ф)=1;
А
(4.128)	Т? f=o 3 х ф(х), если для некоторого V(x) е НР(о)
А
Ч,(Ф)=1;
(4.129)	Т? 1=я I ф, если из <а, t> е R следует Т11=г фдля всех t е. А;
(4.130)	Т? 1=я Оф, если из <а, t>e R следует Т? t= фдля неко-
торого t е А.
На основании (4.129) и (4.130) нетрудно заметить, что ф <=> —10 —,(р.
Определение 4.5.6 (формула, истинная в модели). Формула ф
называется истинной в модели Т?, если она истинна во всех точках
этой модели, т. е. если Т? t= фдля всех t е А. Обозначается это посред-
ством Т? 1= ф.
Определение 4.5.7 (формула, истинная в структуре). Формула
ф называется истинной в структуре R = <А, R>, если ф истинна в
любой модели СИ = <А, R, V>, т. е. если СИ t= фдля всех моделей <А, R, V>
Это обозначается следующим образом: Я t= ф.
Определение 4.5.8 (оощезначимая формула). Формула ф назы-
вается общезначимой, если она истинна во всех структурах Я = <А. R>.
Это обозначается так: t= ф. В
В интуиционистской логике условие (с) имеет следующий смысл: если <а. b> е R и V(p) =
= 1, то Vb(p) = 1, условие (d) понимается так: если <а, Ь> е Я, то V (Р) q Vt(P). и- наконец,
условие (е): если <а. Ь> е Я. то VjJ) определена на множестве D(a) как функция VfJ}'
Отношение Я в интуиционистской логике является отношением частичного порядка.
Модальная логика предикатов_______________________________ИД
В качестве аксиом модальной логики высказываний выступают
все аксиомы пропозиционального исчисления, а также некоторые из
следующих выражений (слева стоят их традиционные названия):
К. М Д В) □ ( A I В);
D: A z> ОА;
Т. АэА;
4:	Аэ А-,
В: A i (>А;
5:	ОА д> г ОЛ;
L: ((А л A)^B)v ((Вл B)z>A);
W: ( А д> А) д> А.
Модальная логика предикатов получается путем добавления к ак-
сиомам и правилам вывода модальной логики высказываний аксиом
и правил вывода исчисления предикатов. Но помимо этого иногда
добавляют следующие выражения в качестве дополнительных аксиом:
Х/л Л(л) о Х/лЛ(л);
03л Л(л) д> Эл 0Л(л).
Данные выражения называются формулами Баркан.
Определение 4.5.9 (модальное исчисление К). Модальным ис-
числением К называется такое исчисление, в котором, помимо аксиом
исчисления предикатов первого порядка, в качестве аксиомы исполь-
зуется также выражение К.
Определение 4.5.10 (модальное исчисление Т). Модальным ис-
числением Т называется такое исчисление, в котором, помимо аксиом
исчисления предикатов первого порядка, в качестве аксиом использу-
ются также выражения К, Т.
Определение 4.5.11 (модальное исчисление В). Модальным ис-
числением В называется такое исчисление, в котором, помимо аксиом
исчисления предикатов первого порядка, в качестве аксиом используют-
ся также аксиомы системы Т и, кроме того, выражение В.
Определение 4.5.12 (модальное исчисление S4). Модальным ис-
числением S4 называется такое исчисление, в котором, помимо акси-
ом исчисления предикатов первого порядка, в качестве аксиом ис-
пользуются также выражения К, Т, 4.
Определение 4.5.13 (модальное исчисление S5). Модальным ис-
числением S5 называется такое исчисление, в котором, помимо акси-
ом исчисления предикатов первого порядка, в качестве аксиом ис-
пользуются также выражения К, Т, 4. 5.
Во всех этих системах дополнительным правилом вывода сэужит
следующее:
(а) из выводимости А следует выводимость А — правило
введения.
112
Модальная югика предикатов
В модальной логике предикатов используются семантические
отношения “необходимо, что...” и “возможно, что...”, которые очевид-
но не являются логическими отношениями — во множестве всех се-
мантических отношений они не принадлежат минимальному подмно-
жеству. Это делает невозможным построение такого единственного
исчисления модальной логики предикатов, которое охватывало бы все
модальные суждения, рассматриваемые нами интуитивно в качестве
истинных.
Упражнения
4.S.1,	Докажите, что следующие формулы истинны во всех струк-
турах:
(4.131)	Г (Л =>Д)о( А о I В);
(4.132)	О (Л z> В) z> (0/1 z> ОД);
(4.133)	(ЛлВ)о(Лл В);
(4.134)	0 (A v Д) <=> (0А v ОД);
(4.135)	(А дО(ДдС))эО(Дд( AzjOQ).
4.5.2.	Докажите, что имеют место отношения:
(4.136)	если К н А z> В, то К Н I А э В и К н 0А z> ОД;
(4.137)	если К\- А В, то /С Н А <=> В и К t- 0А <=> ОД;
(4.138)	/СН(( Ал В)^> (А л В));
(4.139)	К Н ((0/1 v ОД) <=> 0 (Л v Д));
(4.140)	К\-(( Av B)z> (Avfl));
(4.141)	К Н (0 (А л В) z> (0А л ОД)).
4.5.3.	Докажите, что формула <р является теоремой логики Т тогда
и только тогда, когда <р истинно во всех структурах, в которых R рефлек-
сивно.
4.5.4.	Докажите, что формула <р является теоремой логики S4 тог-
да и только тогда, когда <р истинно во всех структурах, в которых R
рефлексивно и транзитивно.
4.5.5.	Докажите, что формула <р является теоремой логики S5 тог-
да и только тогда, когда ф истинно во всех структурах, в которых R
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
ГЛАВА 5. АЛГЕБРА ЛОГИКИ
Алгебра логики позволяет рассматривать логические отноше-
ния в качестве особых дискретных функций. В результате алгебра
логики имеет широкое практическое применение. Одно из них —
дискретная структура данных, используемая в ЭВМ. Так, при созда-
нии материального носителя информации в системах дискретного
действия используются обычно квантовые сигналы, имеющие два
фиксированных значения. Двум попарно различным значениям сиг-
нала сопоставляются символы 0 и 1, причем 1 обозначает наличие
сигнала, 0 — его отсутствие. Такая система сигналов предполагает
двоичное кодирование дискретной информации. При этом попарно
различным символам х и х должны сопоставляться попарно раз-
личные наборы 0 и 1.
5.1. Булевы функции
Поскольку в логике первого порядка любая формула может рас-
сматриваться в качестве разрешимого предиката, т.е. такого, для кото-
рого существует эффективный способ демонстрации его истинности
или ложности, все «-местные логические отношения логики первого
порядка можно представить в качестве «-местных функций, аргумен-
ты и значение которых принадлежат множеству {0, 1}. Такие функции
в дальнейшем будут называться булевыми. по имени их создателя —
Буля [1847]. Подробнее о булевых функциях см. Яблонский С.В., Гав-
рилов Г.П., Кудрявцев В.Б. [1966], Марченков С.С. [2000].
Определение 5.1.1 (булева функция). Булевой функцией fix 1,..„
хп) от п аргументов .хп называется функция из «-й степени множе-
ства {0, 1} во множество {0, 1], т.е. функция, принимающая значение
L 0 и аргументы которой также принимают значение 1, 0.
114
Булевы функции
Булеву функцию от п аргументов можно рассматривать как п-
местную алгебраическую операцию на множестве {0, 1}. При этом
алгебра £' = <{0, 1}; £2>, где £2 — множество всевозможных булевых
функций, называется алгеброй логики.
Конечность области определения булевой функции имеет важное
преимущество — такие функции можно задавать перечислением зна-
чений при различных значениях аргументов. Для того чтобы задать
значение функции Дх1..хп) от п переменных ....хп, надо опреде-
лить значения для каждого из 2" наборов длины и истинностных значе-
ний х(..хп. Таким образом, функция fixl..... хп) задается своей истин-
ностной таблицей:
X]	Х2	...	Х„-1	х„	хп)
0	0		0	0	ДО, 0,..., 0, 0)
0	0		0	1	ДО, 0	0, 1)
0	0		1	0	ДО, 0,..., 1, 0)
0	0		1	1	ДО, 0,..., 1, 1)
...					
1	1		0	0	Д1.1	0,0)
1	1		0	1	Д1,1	о, 1)
1	1		1	0	Я1.1	1,0)
1	1		1	1	«1,1	1,1)
Табл. 5.1.1.
В силу того что у нас есть стандартный порядок записи наборов,
для задания функции нам достаточно только выписать значения ДО,
0,...,0,0).Д0,0,...,0,1).Д0,0,..., 1,0),Д0,0,..., 1,1),...,У(1,1,...,О,О),У(1,1.
О, 1),/(!, 1,..., 1,0), Д1, 1,..., 1, 1). Этот набор называют вектором значе-
ний функции. Приведем векторы значений наиболее употребимых
функций алгебры логики: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, имп-
ликации, сложения по модулю 2, эквиваленции и штриха Шеффера
соответственно:
*1	Х2	-.X,	Х]ЛХ2	X] vx2	X] ох2	Х!©Х2	Xj <=>х2	Xi 1х2
0	0	1	1	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1	0	1	0
Табч. 5.1.2.
Бучевы функции Н5
Кроме этих основных функций выделяются также константы 1 и
О, а именно булевы функции от пустого множества переменных, и
функция, совпадающая со своим аргументом (тождественная фун-
кция). Приведем их истинностные таблицы соответственно:
X	1	0	X
1	1	0	1
0	1	0	0
Табл. 5.1.3.
Определение 5.1.2 (равносильность булевых функций). ПустьJ и
g — булевы функции и х(..хп — совокупность аргументов, входящих
по крайней мере в одну из этих функций. Если при всех значениях х(.
х значения функций/и g совпадают, то/и g - равносильны: f= g.
Следствие 5.1.2. Совпадение истинностных таблиц булевых фун-
кцийу^....хп) и ^Хр..., хл) на наборе истинностных значений Хр.... хл
свидетельствует о том, что/= g.
На примере таблицы 5.1.3, отражающей вектор значения функции
1 и 0, видно, что функции от некоторого числа переменных можно
рассматривать как функции от большего числа переменных (функции
1 и 0 от нулевого числа переменных представляются в качестве функ-
ций от одной переменной). При этом значение функции не меняется
при изменении этих добавочных переменных. Такие переменные на-
зываются фиктивными, в отличие от остальных существенных. Так,
если к аргументам функции f добавить новый аргумент, в результате
получится функция g, имеющая фиктивную переменную, то f= g.
Определение 5.1.3 (фиктивные и существенные переменные).
Переменная х называется фиктивной (несущественной) переменной
функции/(х хп), если/(х1 х р 0, х	х) = Дх, х 1, х_, 
xj для любых значений х ,..., х , х(+1,..., хп. Иначе переменная х, назы-
вается существенной.
Пример 5.1.3. 1 = 1 (0) = 1 (1), где 1 — константа.
Основной операцией алгебры логики является суперпозиция фун-
кций — операция получения сложной функции на основании про-
стых.
Определение 5.1.4 (суперпозиция функций). Функция f0 называ-
ется суперпозицией булевых функций f ...J* тогда и только тогда, когда
существует булева функцияуЦ, ...,хга), такая, что/(г,. -,хт) =/,(gl(xI,....
хи)..g4(\(...xm)), где каждая из функций g(xp ...,xm) либо совпадает с
одной из переменных (тождественная функция), либо с одной из
функций .....
116
Бучевы функции
Строгое определение суперпозиции получается на основании
трансфинитной индукции. Пусть Q =	...х|т ), g,(x,.x,m )...
gk(xu...xt )} - конечное множество булевых функций. Функция /
является суперпозицией ранга 1 (символически:/е Q11’), если ее мож-
но получить одним из следующих двух способов
1. из какой-либо функции ge О переименованием ее перемен-
ной х : f = е (х.х ,, у, х ...х Л, где у может совпадать с одной из
переменных л/п;
2. подстановкой некоторой функции е Q вместо какого-то ар-
гумента х одной из функции j G £1
/=у;(хх ДЦ,.........xlk), х1+1.х ).
Если дан класс О!"' функций, являющихся суперпозициями ранга
и функций из системы Q, то класс Q1"*1' состоит из элементарных су-
перпозиций функций из Q'"’.
Пример 5.1.4. Функция fix, у) = —>(х лу) является суперпозицией
функций —1 и л. Функция g(x, у) = х Ф (х v у) является суперпозицией
функций Ф и v Функция Л(х, у, г) = (х л у) ф z является суперпозицией
функций Фил
Следствие 5.1.4. Если функции/и g имеют одинаковые истинно-
стные таблицы и отличаются только обозначением переменных, то
каждая из них является суперпозицией другой.
Следующие соотношения могут быть проверены посредством
построения истинностной таблицы, т.е. прямым сравнением значе-
ний функций в левой и правой части соотношения на всевозможных
наборах аргументов.
(5.1)	хлх = х,
(5.2)	х v х = х,
(5.3)	х л у = у л х,
(5.4)	х v у = у v х,
(5.5)	х Ф у = у Ф х,
(5.6)	х л (у л z) = (х л у) л z,
(5.7)	х v (у v ;) = (х v у) v z,
(5.8)	х Ф (у Ф г) = (х Ф у) Ф г,
(5.9)	х v (у л z) = (х v у) л (х v с),
(5.10)	X Л (у V Z) = (X А у) V (X Л Z),
(5.11)	—> (х л у) = -IX V -iy,
(5.12)	-1(xvy) = -lTA-,y,
(5.13)	-n-x = x,
(5.14)	xa-iX = 0,
(5.15)	xaO = 0,
(5.16)	X A 1 = X,
(5.17)	xv-x=l.
Булевы функции 117
(5.18)	xvO = x,
(5.19)	av 1 = 1,
(5.20)	х ® у = (х л —у) v (—я л у),
(5.21)	xz>y = -ixvy,
(5.22)	х <=> у = (х л у) v (-л л —.у) -
Своеобразная симметричность элементов 0 и 1 в множестве (0, 1}
подводит нас к понятию двойственности.
Определение 5.1.5 (двойственная функция). Функция #(xf xj =
= —т/~(—ix( —л) называется двойственной функцией к функции f и
обозначается /*
Пример 5.1.5.1. Дизъюнкция является функцией, двойственной к
конъюнкции: (х л у)* = -> (—я л —.у) = х v у. Конъюнкция является
функцией, двойственной к дизъюнкции: (х v у)* = — (—ix v —у) = х л у.
Предложение 5.1.1 (функция, двойственная к двойственной).
Функция, двойственная к двойственной функции f, равна самой функ-
ции/
Доказательство. /*(х1 хл)* =	......—ixn))* = --/(->—л, 
—...........v
Предложение5.1.2(самодвойственная функция). Отрицание—л
и функция х, совпадающая со своим аргументом, являются само-
двойственными функциями, это значит, что для них верна равносиль-
ность /=/*.
Доказательство. Пусть -а =/х). Тогда/х)* = —fl—ix) = —>—х =
= -iX=/x). Пусть x=/x). Тогда/х)* = —/(—ix) = ——ix = x=/x) •
Пример 5.1.5.2. (вектор двойственной функции). Функции х л у
и х v у, задаваемые векторами значений (0, 0, 0, 1) и (0, 1, 1, 1), двой-
ственны друг к другу. Также двойственными являются х ® у их о у,
задаваемые векторами (0, 1, 1,0) и (1,0,0, 1). Каждая из функций х и —>х
на любом векторе двойственна сама себе.
Теорема 5.1.1 (принцип двойственности). Функция, двойственная
к суперпозиции функций, равна суперпозиции двойственных функций:
ш.......................и* ............
Доказательство, /(/.(х,...хл), .... /га(х.хл))* = ^/0(Д(-л.
-^Хл). -../„Нх, -ПХ„)) =	...-Х„), .... —Х„(^, “* )> =
=	......Ч’Ч  Л),.... /то*(х. *„))• •
Определение 5.1.6 (полная система функций). Полной называ-
ется система булевых функций/	если любую функцию алгебры
логики можно представить в виде суперпозиции функций/..f.
Перед тем как установить критерий функциональной полноты,
рассмотрим свойства произвольной булевой функции.
Определение 5.1.7. Произвольная булева функция/х,, .... х) обла-
дает
118
Нормальные формы
1.	свойством сохранения нуля, еслиДО,0) = 0;
2.	свойством сохранения единицы, если/(1, 1) = 1;
3.	свойством са иодвойственности, или нечетности, если
Л-*...................
4.	свойством монотонности, если х, < у., .... х < у влечет
1	1’	’ я -Г п
-Л*,...........•i',);
5.	свойством линейности, если возможно представление
fix,х ) = а ®(а лх,)® ... ®(а л л ), где а — постоянные,
т.е. 0 или 1.
Теорема 5.1.2 (функциональная полнота системы). Для того
чтобы система функций алгебры логики была полной, необходимо и
достаточно, чтобы она одновременно содержала:
1)	функцию, не сохраняющую константу 0,
2)	функцию, ие сохраняющую константу 1,
3)	функцию, не являющуюся самодвойственной,
4)	функцию, не являющуюся линейной,
5)	функцию, не являющуюся монотонной.
Следствие 5.1.2. Если обнаружена полная система, насчитываю-
щая более пяти элементарных функций, то из нее можно извлечь под-
систему, содержащую не более пяти функций и также являющуюся
полной.
Упражнения
5.1.1.	Покажите, что число различных булевых функций от п пере-
менных равно 2 в степени 2"
5.1.2.	Приведите примеры для каждого свойства из определения 5.1.7.
5.1.3.	Докажите, что система {л, v, —,} является функционально
полной.
5.1.4.	Докажите, что система {л, v} не является функционально
полной.
5.1.5.	Докажите, что системы {л, —1} и {v, —,} являются функцио-
нально полными.
5.1.6.	Докажите, что система алгебры логики, состоящая только из
одной функции штрих Шеффера, является функционально полной.
5.2. Нормальные формы
В разделе 4.4 мы уже столкнулись с задачей унифицированного
представления формул исчисления предикатов первого порядка, пос-
ле чего установили, что все формулы этого исчисления имеют пред-
варенную нормальную форму. В данном разделе мы покажем, что
все булевы функции могут иметь унифицированное представление —
ту или иную нормальную форму.
Нормальные формы 119
Введем обозначение:	,
—л если о = 0:
х°=
I л, если СТ = 1.
Теорема 5.2.1 (разложение в дизъюнкцию). Любую булеву функ-
ииюДл! хт) для любого п (1 < п < т) можно представить в виде fix....
V = (a	Л-Л<”	............Хга),гдесимвол ,03-
начает дизъюнкцию по всем стр СТп.
Доказательство. Покажем, что для любого набора значений пе-
ременных (х....... х.....хт) значения левой и правой частей совпа-
дают. Возьмем фиксированный набор (х,.....хп, х ..........хт). Рассмот-
рим выражение х"' А — лх°' Если одно из значений ха' равно 0, то и
все выражение равно 0. Тогда и выражение хр а ... лх“' a/Ict,. .... Стп,
х . ..., хт) равно 0. Выражение х’’ л ... лх“' равно 1 только в том
случае, если CTj = х(.Стп = хп. При этомДст,,.... СТп. х^.хп) =fixt.
хп, х ...хш). Таким образом, значение правой части всегда равно/^,
.... хга), т.е. значению левой части. •
Следствие 5.2.1 (совершенная дизъюнктивная нормальная
форма).
Любая функция/'может быть представлена в следующей форме:/Ц.....
х)= V х“'л...лх°- лДст........CTJ = , V	х’’ л...лх°' . •
ПГ (О С»,)	m	I ш ..... <Т„. ).	О, '-1 1	т
Теорема 5.2.2 (разложение в конъюнкцию). Любую функцию
fix{...хт) для любого и (1 < и < т) можно представить в виде/tx,.хт)=
= , А . хГа' v ... vx?a" v/(ct... СТ . х .х), где символ А
(о/... ,0„) 1	п J 1 я п+1 т	(ст,..—сг„ )
означает конъюнкцию по всем о .
Доказательство теоремы 5.2.2 аналогично доказательству теоре-
мы 5.2.1. •
Следствие 5.2.2 (совершенная конъюнктивная нормальная
форма).
Любая функция f может быть представлена в следующей
форме:
/Гх....х )= А v .. vx"0' v ffo............СТ ) = , А
1	nr (О]. .о. ) Л •	т	' I	лг	(а,. а, ) /<а,.. . а .  = О
120	Нормальные формы
Определение 5.2.1 (элементарная конъюнкция). Элементарной
конъюнкцией называется формула вида х°' л ... л х°’.
Определение 5.2.2 (дизъюнктивная нормальная форма). Дизъ-
юнктивной нормальной формой (сокращенно ДНФ) называется вся-
кая дизъюнкция элементарных конъюнкций.
Определение 5.2.3 (элементарная дизъюнкция). Элементарной
дизъюнкцией называется формула вида х’1 v ... v х°'
Определение 5.2.4 (конъюнктивная нормальная форма). Конъ-
юнктивной нормальной формой (сокращенно КНФ) называется вся-
кая конъюнкция элементарных дизъюнкций.
Элементарная конъюнкция (элементарная дизъюнкция) называ-
ется правильной, если в нее каждая переменная входит не более одно-
го раза (включая ее вхождения под знаком отрицания). Правильная
элементарная конъюнкция (элементарная дизъюнкция) называется
полной относительно переменных х(.х , если в нее каждая из этих
переменных входит один и только один раз (быть может, под знаком
отрицания).
Определение 5.2.5 (совершенная дизъюнктивная нормальная
форма). Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокра-
щенно СДНФ) относительно переменных х, .... хп называется дизъюн-
ктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных
конъюнкций и все элементарные конъюнкции правильны и полны от-
носительно переменных х, .... хт.
Определение 5.2.6 (совершенная конъюнктивная нормальная
форма). Совершенной конъюнктивной нормальной формой (сокра-
щенно СКНФ) относительно переменных х,.... хт называется конъюн-
ктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных
дизъюнкций и все элементарные дизъюнкции правильны и полны от-
носительно переменных х....
Алгоритм преобразования формулы в СДНФ (СКНФ)
1)	Используя равносильности (5.1) — (5.22) предыдущего раздела,
преобразуем формулу гак, чтобы в ней были только операции
дизъюнкции, конъюнкции и отрицания с условием, что отрица-
ния могут стоять только над аргументами;
2)	преобразуем формулу так, чтобы все конъюнкции (дизъ-
юнкции) выполнились раньше, чем дизъюнкции (конъюнк-
ции);
3)	если в ДНФ (КНФ) имеется несколько одинаковых элементар-
ных конъюнкций (элементарных дизъюнкций), то мы оставля-
ем только одну;
Нормальные фор мы
121
4)	делаем все элементарные конъюнкции (элементарные дизъ-
юнции) правильными путем следующих двух преобразова-
ний:
(а)	если в элементарную конъюнкцию (элементарную дизъюнк-
цию) входит некоторая переменная вместе со своим отрицани-
ем, то мы удаляем эту конъюнкцию (дизъюнкцию) из ДНФ
(КНФ);
(Ь)	если некоторая переменная входит в элементарную конъюнк-
цию (элементарную дизъюнкцию) несколько раз. причем или
во всех случаях без отрицания, или во всех случаях под знаком
отрицания, то мы оставляем только одно вхождение;
5) если в некоторую конъюнкцию л... л не входит перемен-
ная у, то нужно рассмотреть равносильное выражение х’1 л... л
л х°" л (у v —iv) и вновь применить преобразование 2). Если не-
достающих переменных несколько, то нужно добавить несколько
конъюнктивных членов вида (у v —iy) (если в некоторую дизъюн-
кцию х,СТ| v ... v х°’ не входит переменная у. то нужно рассмот-
реть равносильное выражение х°' v ... v х°' v (у л —iv) и вновь
применить преобразование 2). Если недостающих переменных
несколько, то нужно добавить несколько дизъюнктивных чте-
нов вида (у л —у)).
6) если после применения преобразования 5) вновь появились оди-
наковые конъюнкции (дизъюнкции), то нужно вновь применить
преобразование 3).
СДНФ (СКНФ) некоторой функции/можно получить, используя
лишь истинностную таблицу f
Чтобы получить СДНФ функции f необходимо взять все наборы,
на которых функция/принимает значение 1, и записать для каждого из
них конъюнкцию переменных и их отрицаний, руководствуясь прави-
лом: если в наборе значение переменной 0, то переменную надо взять
с отрицанием, если же 1 — без отрицания. Из получившихся элемен-
тарных конъюнкций следует построить дизъюнкцию.
Чтобы получить СКНФ функции /, необходимо взять все набо-
ры. на которых функция /принимает значение 0, и записать для
каждого из них дизъюнкцию переменных и их отрицаний, руковод-
ствуясь правилом: если в наборе значение переменной 0, то пере-
менную надо взять без отрицания, если же 1 — с отрицанием. Из
получившихся элементарных дизъюнкций следует построить конъ-
юнкцию
122 Нормальные формы
Пример построения СДНФ по истинностной таблице
Построим СДНФ функции, заданной следующей таблицей:
х	У	Z	/
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0
Табл. 5.2.1.
Наборы, на которых функция равна 1 - это(0,0,0), (О,1,0), (0, 1. 1),
(1,0, 0). Первый набор дает элементарную конъюнкцию —а л —iv л —с,
второй-----а л у л —с, третий--а л у л четвертый - хл —iy л —с. В
результате получаем СДНФ (—а л —iv л —с) v (—а л ул —с) v (—а лул;) v
V (хл —1V Л -с).
Если область, на которой предикат Р принимает значения, являет-
ся конечной (< к), то квантор существования мы можем рассматри-
вать как соответствующую дизъюнкцию, а квантор общности — как
соответствующую конъюнкцию:
(5.23) Зх Р(х) = Pte) v Р(а2) v ... v P(ot);
(5.24) Vx P(x) = Pte) * P(a) a ... a P(at).
Введем теперь следующие обозначения:
(i) Pte)l = -<	—Pte), если CTt = 0 в точке an (1 <n<k)\ Р(а), если O( = 1 в точке ап (1 < n < к). —P(x), если CTt = 0 на наборе а,..., at;
(u) P(x)°‘ = -	P(x), если СТ = 1 на наборе а	а,. к-	*	1 Vx —iP(x). если CTt = 0 для любого CTt на наборе о,	ак.
(iii) Vxp(x)°‘ = ”	Vx P(v). если СТ( = 1 для любого CTt на наборе а	ак.
Нормальные формы
123
Зх —Р(х), если = 0 для некоторого at на наборе а...ак\
(iv) 1г Р( г)°‘ =-«
Эх Р(х). если CTt = 1 для некоторого at на наборе р.ак.
В таком случае можно построить разложение кванторной при-
ставки некоторой формулы .... РД, представив ее в качестве буле-
вой фу нкпии/(Р|, ...,Pm,at а^.гдеР^ ,РЯ- одноместные преди-
каты. определенные на наборах д . ... ак.
Теорема 5.2.3 (разложение по кванторной приставке Э\/). Лю-
бую булеву функцию f(Pr .. Рп, а...а ) для любого п (1 < п < т)
можно представить в виде:
....»v=y 0 ................................°.,
...°*)47-
Доказательство. Покажем, что для любого набора <а,.... а>, на
котором предикаты Р,...Рп принимают свои значения, выполняется
условие теоремы. Возьмем фиксированный набор <Р, ... Рп, Pnt..
Р"> Рассмотрим выражение A (Pf, .. . Р„, а.....Если с некото-
рым аргументом значение предиката Р° (где i < k,j < и) равно 0, то и
все выражение равно 0. Тогда и выражение Q (Рр ..., Рп, а..ак) л
k ....О ,Pnt....P„,a,...ot)равно0. Выражение Q (Рр ...Р,
ajf .... ak) равно 1 только в том случае, если о = Р (х1),.... ст, = Рл(хп)
для некоторого Gt При этом/(СТ ....ст, ,Pf.....Pm, at..а() = f(Pt.
.... Pm, a... at). Таким образом, значение правой части всегда равно
fiPt,.... Рт, а... nJ, т.е. значению левой части. •
Следствие 5.2.3 (сколемовская нормальная форма).
Любая булева функция ДР^ ..., Рго, а,, .... ал) может быть представ-
лена в следующей форме.
....о.)=У 0	.....«Д’
Можно таким образом пронумеровать предикаты Рг ,.Рп и элементы набора <а{. .. а^>
б' 1евой функции/(Р], .... Ря(. ах. .... ак), что значениями всех предикатов будут наборы
a,	.... ,ahi >, где [nJ обозначает/-е положительное целое число в п-м A-те Наборы
са( .а	> станем обозначать символом кп. Таким образом, кванторная приставка
означает, что существует функция	которая на наборе кп принимает значение I для
всех функций ск. которые принимают те же значения для набора <а, .... а^>
124 Нормальные формы
Теорема 5.2.4 (разложение по кванторной приставке V3). Лю-
бую функцию J(P   Р", а   ак) для любого л (1 < п < т) можно
представить в виде: р.  ।
....У (ре .................«t)v/(ati,..,at,
Р„’ °...V
Доказательство теоремы 5.2.4 аналогично доказательству теоре-
мы 5.2.3. •
Следствие 5.2.4 (предваренная нормальная форма для выпол-
нимости).
Любая булева функция/[Рр ..., Рт, аг ..., а*) может быть представ-
лена в следующей форме:
^р.............У (р.......................«л-
Как видим, каждая булева функция имеет нормальную форму. А
поскольку булевы функции представляют собой соответствующие
формулы логики высказываний, все формулы последней можно пред-
ставить в виде КНФ или ДНФ.
Итак, алгебра логики рассматривает логические отношения, т.е.
минимальные семантические отношения, в качестве булевых функ-
ций, которые всегда могут иметь некое унифицированное представле-
ние.
Упражнения
5.2.1.	Докажите, что необходимое и достаточное условие тожде-
ственного обращения в нуль ДНФ состоит в том, что в каждую эле-
ментарную конъюнкцию какая-нибудь переменная входит вместе со
своим отрицанием.
5.2.2.	Докажите, что необходимое и достаточное условие тожде-
ственного обращения в единицу КНФ состоит в том, что в каждую
элементарную дизъюнкцию какая-нибудь переменная входит вместе
со своим отрицанием.
5.2.3.	Докажите, что у тождественно истинной формулы не суще-
ствует СКНФ.
5.2.4.	Докажите, что у тождественно ложной формулы не суще-
ствует СДНФ.
5.2.5.	Какой вид должна иметь СКНФ для тождественно ложной
формулы логики высказываний, состоящей из пяти переменных?
5.2.6.	Какой вид должна иметь СДНФ для тождественно истинной
формулы логики высказываний, состоящей из пяти переменных?
5.2.7.	Постройте СДНФ и СКНФ, эквивалентные следующим фор-
мулам:
Нормальные формы
125
(5.25)	(р v (q л г)) о (р v г);
(5.26)	((р v q) о г) о ((р v г) э (q v г));
(5.27)	(р л (q v г)) о ((р л q) v г);
(5.28)	-,((pA^)op)v(pA(^vr)).
5.2.8.	Постройте СДНФ, эквивалентную следующим формулам:
(5.29)	-р о (р о q),
(5.30)	Нр о р) => р;
(5.31)	((р л q) о г) <=> ((р л -ir) о —>q);
(5.32)	(-р л -р) <=>(<?=> р).
5.2.9.	Постройте СКНФ, эквивалентную следующим формулам:
(5.33)	—.(р о ((р о q) <=> <?));
(5.34)	—.(р о (q о (р л q)));
(5.35)	(р <=> q) л (q л -р);
(5.36)	рЗ (((/□ Г)л((р Л<?)Л -1Г)).
5.2.10.	Докажите теорему о полноте логики высказываний, ис-
пользуя понятие нормальной формы.
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Понятие множества является первичным неопределяемым поня-
тием математики и логики. Предполагается, что имеется некая интуи-
тивная ясность относительно того, что такое множество. Вместе с тем
необходимо всегда помнить, что множество не является сугубо эмпи-
рическим понятием. Например, если я вижу сад, то это значит, что я
прежде всего вижу некие деревья. Сам по себе сад как некое множе-
ство, состоящее из деревьев, я не вижу. Поэтому под множеством мы
обычно понимаем совокупность элементов, выделяемых на основа-
нии какого-то признака или свойства.
Основу теории множеств заложил Кантор [ 1895 - 1897]. Аксиома-
тизация данной теории была построена следующими математиками:
Цермело [ 1908], фон Нойман [ 1925], Бернайс [ 1937-1954], Гёдель [ 1940],
Френкель [1922, 1961]. Подробнее о теории множеств см. Александ-
ров П. С. [ 1948], Бурбаки [ 1956], Коэн П. [ 1966], Мрувка [ 1956], Сколем
[1922], Хаусдорф [1914], Цермело [1908, 1908а]. В качестве учебного
пособия по данному разделу можно рекомендовать книгу Куратовс-
кий, Мостовский [1952]. Обзор различных подходов к теории мно-
жеств содержится в книге Френкель, Бар-Хнллел [1958]. При постро-
ении теории множеств обычно используют аксиоматическую систему
Цермело- Френкеля ZF.
6.1. Операции над множествами
Элементы множества будем записывать в фигурных скобках. Если
при этом мы захотим указать также свойство Р, благодаря котором)
была выделена данная совокупность элементов х, воспользуемся та-
ким обозначением: {х|Р(х)}. Например, множеством всех четных чи-
сел является множество {х|2х и х — ненулевое целое число].
Отношение принадлежности элемента х множеству А обознача-
ется посредством х е А Если же х не является элементом множества
Операции над множествами
127
ю записывается это так: хе А. Два множества А и В считаются
равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же эле-
ментов. Обозначается это посредством А = В. Если же имеется хотя бы
один элемент одного множества, не содержащийся в другом, то такие
множества уже не считаются равными. Обозначается это посредством
А * В. Отношение включения множества А во множество В имеет ме-
сто в том и только в том случае, если каждый элемент множества А
является элементом множества В Обозначается данное отношение
через А с В. 11ри этом А называется подмножеством В. а В — над-
множеством А. Если же А с В и А В. то А называется собственным
подмножеством множества В. Такое отношение называется отноше-
нием строгого включения и записывается А с В. При этом А называ-
ется собственным подмножеством множества В, а В — собствен-
ным надмножеством А.
Сразу же можно предположить существование двух особых мно-
жеств’ пустого и универсального. Пустым называется множество, не
содержащее никаких элементов, обозначается оно через 0. Универ-
сальным — множество, содержащее все другие множества, записыва-
ется оно через I/48. Заметим, что 0 является подмножеством любого
множества, a U — надмножеством любого множества. Постулируем
существование еще одного особого множества множества всех
подмножеств данного множества А. Обозначать его станем через
Р(А).
Определение 6.1.1 (объединение множеств). Объединением мно-
жеств А и В называется множество А и В элементов, принадлежащих
по крайней мере А или В: А «и В = {х| х 6 А или х 6 В}.
Определение 6.1.2 (объединение семейства множеств). Объе-
динением семейства множеств А , где i принадлежит множеству ин-
дексов 1, называется множество UA элементов, принадлежащих
множеству Д при некотором i: U А = {х| существует i е / такое, что
AJ-
Опредехение 6.1.3 (пересечение множеств). Пересечением мно-
жеств А и В называется множество А п В элементов, принадлежащих
одновременно А н В: А В = {х! хе А нхе В}.
Опредехение 6.1.4 (пересечение семейства множеств).
Пересечением семейства множеств А, где i принадлежит мно-
жеству индексов /, называется множество А А элементов, принад-
лежащих множеству Д для всех i: А А = {%| % g Д для всех i е 1].
1 »€/ '
48 Иными словами, каждое множество есть элемент универсального множества
128
Операции над множествами
Определение 6.1.5 (разность множеств). Разностью множеств
А и В называется множество А \ В элементов, принадлежащих А и не
принадлежащих В: А\В= {xl хб А и х е В}.
Определение 6.1.6 (допочнение множества). Дополнением мно-
жества А до множества U называется множество —iA элементов, не
принадлежащих А и принадлежащих U: —iA = {xl х е U и хе А}.
Определение 6.1.7 (симметрическаяразность множеств). Сим-
метрической разностью множеств А и В называется множество А — В
элементов, принадлежащих А. но не принадлежащих В, и элементов,
принадлежащих В, но не принадлежащих А\ А — В = (А \ В) <-> (В \ А)
Теорема 6.1.1. Пусть имеется последовательность множеств Х( 2
X, 2 X, 2 ... 2 Хп 2  Пересечение любой бесконечной последова-
тельности этих множеств совпадает с пересечением всей последова-
тельности.
Доказательство. Пусть / — бесконечное подмножество множе-
ства N,A= А , В = А . Если х принадлежит Л, то х принадлежит X
для всех i 6 N. Следовательно, х принадлежит X для всех i е /, так что
А с В. С другой стороны, если х принадлежит В, то х принадлежит X
для всех i 6 1. Возьмем произвольное j е N. В силу бесконечности /
найдется i е 1, такое, что j < i. Поэтому х принадлежит X сХ,. В резуль-
тате х принадлежит X для всех j е N, так что В с А. •
Теорема 6.1.2. Пусть имеется последовательность множеств X с
X, сХ, с ... сХ с ... Объединение любой бесконечной последова-
тельности этих множеств совпадает с объединением всей последова-
тельности. •
Доказательство теоремы 6.1.2 аналогично доказательству теоре-
мы 6.1.1, поэтому предоставляется читателю.
Определение 6.1.8 (характеристическая функция множества).
Пусть U — непустое множество. Для любого подмножества А множе-
ства U имеет место характеристическая функция-.
1, если х 6 А,
сЧм=
О, если х 6—iA.
ч.
Согласно определению 6.1.8, всякое множество Л является чет-
ким — с точностью до элемента х можно определить, принадлежит он
А или нет.
Если же мы захотим задать нечеткое множество, то его характе-
v
ристическая функция сл должна принимать любые значения интер-
вала действительных чисел [0, 1], которые характеризуют степень
Операции над множествами 129
и
принадлежности элементов х g U множеству А. При сл (х) = 1 элемен-
ты х заведомо принадлежат А, при cvA (х) = 0 они заведомо не при-
надлежат А и при 0 < сл (х) < 1 лишь отчасти принадлежат Л.
Пусть А — носитель нечеткого множества, т.е. такое подмноже-
ство U, для всех элементов которого (х) > 0. Тогда отношение вклю-
чения между двумя нечеткими множествами оределяется так:
А^В^сил(х)< сив (х).
В свою очередь, операции дополнения —А. объединения A \j В и
пересечения А п В нечетких множеств определяются в виде:
(6.1)	c>) = ^'W,
(6.2)	СдиВ (х) = с-д (х) \>cvB (х),
(6-3)	с^в(х)=^(х)а^(х),
где —I, v, л представляют собой операции дополнения, дизъюнк-
ции и конъюнкции непрерывной логики (о данной логике см. Вол-
гин Л.И., Левин В.И. [1990]).
Логические операции в непрерывной логике определяются сле-
дующим образом:
(6.4)	VaG [0, 1] VZ>g [0, 1] (a v b = max(a, b));
(6.5)	Vug [0, 1] V/>g [0, 1] (a a b = min(o. b));
(6.6)	Vgg[0, 1](-й = 2Л/ о],
А + В	
где М =	>	таких, что [Д, В] с [0, 1 ] и А В 0;
(6.7)	VaG [0, 1 ] VZ>g [0. 1] (аз4 = тах(2Л/ - a, b) = —>а v b).
Подробнее	о нечетких множествах см. Кофман [1977].
Определение 6.1.9 (замыкание). Замыканием множества А назы-	
вается такое множество СА, которое удовлетворяет следующим аксио-	
мам	
(6.8)	С(А «и В) = СА и СВ;
(6.9)	А с СА;
(6.10)	ССА = СА;
(6.11)	С0 = 0.
Причем С	называется операцией взятия замыкания.
Определение 6.1.10 (замкнутое множество). Замкнутым мно-
жеством называется такое множество А, что А = СА.
Определение 6.1.11 (внутренность). Внутренностью множества
А называется такое множество IA, которое удовлетворяет следующим
аксиомам:
(6.12)	1(Лпй) = 1Лл1й;
5 Зак. 784
130
Операции над множествами
(6.13)	ИсЛ;
(6.14)	114 = 14;
(6.15)	\U=U.
Причем I называется операцией взятия внутренности.
Определение 6.1.12 (открытое множество). Открытым мно-
жеством называется такое множество А, что А = 1А.
Упражнения
6.1.1.	Пусть даны множества Л = {1,2,6,8,11} нВ = {3,6,11,27,31}.
Постройте пересечение, объединение, разность и симметрическую
разность А н В.
6.1.2.	Докажите, что {{1, 2}, 3} * {1,2, 3}.
6.1.3.	Докажите отношения’
(6.16)	А с А;
(6.17)	еслиАсВиВсА. со А = В (с допущением, что А и
В — конечные множества);
(6.18)	если А с В и В с С, то А с С;
(6.19)	ЛпйсЛсЛиВ;
(6.20)	А\ВсА.
6.1.4.	Докажите, что для любого А и для любого В:
(6.21)	Ас0=>А = 0;
(6.22)	U с А => А = U;
(6.23)	А О 0 = А, А П 0 = 0, А о (7 = (7, А П (7 = А;
(6.24)	(Дий)сС«ЛсСиВсС;
(6.25)	Л	с (йп С) « Л с й и Л сС;
(6.26)	Л	ей (Л и С) с (й и С);
(6.27)	А	с В (А п О с (В П С).
6.1.5.	Докажите следующую равносильность:
АсВ<=>АиВ=В»АпВ = Л«Л\В = 0<=> -Л «и В = U
6.1.6.	Докажите тождества:
(6.28)	А«иЛ=АпЛ=Л;
(6.29)	A<jB = B\jA;
(6.30)	АпВ = ВоА;
(6.31)	Аи(ВиС) = (АиВ)иС;
(6.32)	А п (В п О = (А п В) n С;
(6.33)	А и(йпС) = (А ий) п(Л иС);
(6.34)	A n (ВиС) = (А п й) и (Л n С);
(6.35)	-,(А и В) = -А	П -тВ;
(6.36)	—>(А п В) = —А	«и —J3;
(6.37)	-т-А = А;
(6.38)	А и -А = U;
(6.39)	А п -А = 0;
Операции над множествами 131
(6.40)	А \ В = А \ (А П В);
(6.41)	(А\В)\С = (А\О\(В\С);
(6.42)	АиВ = Аи(В\А);
(6.43)	(А и В) \ С = (А \ О о (В \ О;
(6.44)	А - В = В - А;
(6.45)	Я - (В - О = (Я	-	В)	- С;
(6.46)	Я п (В - О = (А	П В)	(А П О;
(6.47)	А (А В) = В;
(6.48)	А \ В = Я (А П В);
(6.49)	Я-0 = А;
(6.50)	А - А = 0;
(6.51)	A — U = —A.
6.1.7.	Докажите тождества:
(6.52)	U U А*> = U U А*>;
| I	keKteT	leTkK
(6.53)	ААА*>=ААА*>;
*бКгеГ	/еГ*ЕК
(6.54)	—.(U А< )= А-'А>;
teT	кТ
(6.55)	-,(А А- )= U-,А<;
Гб Г	ГеГ
(6.56)	UA»uU*. = U<A^*<>;
ге Г	геГ /еГ
(6.57)	U(Bn A>) = Bn(U А<);
Гб Г	>6 Т
(6.58)	А(Ви А-) = Ви А А-;
tel	re Г
6.1.8.	Докажите, что для любых К, Т, Ati имеет место включение
UAa*£AIK,
ке К геТ	teT К
причем знак включения нельзя заменить знаком равенства.
6.1.9.	Докажите, что в случае нечеткости множеств Я, В. С по-
прежнему выполняются тождества (6.28) — (6.34) и не всегда выполня-
ются тождества (6.35) — (6.39). В каких случаях тождества (6.35) —
(6.39) все-таки выполняются?
6.1.10.	Докажите, что операция замыкания двойственна опера-
ции взятия внутренности
6.1.11.	Докажите следующие отношения:
(6.59)	А с В => IA с 18 и СА с СВ;
(6.60)	С(Я п В) с СЯ п СВ;
132
Отношения и функции
(6.61)	1(А о В) с IA и 1В.
6.1.12.	Докажите, что если А — замкнутое (открытое) множество,
и В — открытое (замкнутое) множество, то А \ В — замкнутое (откры-
тое) множество. В качестве следствия докажите, что U и 0 одновре-
менно замкнутые и открытые множества.
6.1.13.	Докажите, что объединениеU (пересечение А^>)
№Т	КТ
любого числа открытых (замкнутых) множеств А открыто (замкнуто).
6.2. Отношения и функции
Определение 6.2.1 (упорядоченная пара). Упорядоченной парой
<а, Ь> называется множество j{a 6), b]
Данное определение можно обобщить на случай п элементов
используя трансфинитную индукцию. Пусть имеется упорядоченная
л-ка <хр ..., х>. Тогда можно построить упорядоченную (п + 1)-ку
следующим образом: «х^ .... х>, х^>. Обозначать ее станем по-
средством <хр .... хп, хпт >.
Определение 6.2.2 (декартово произведение). Декартовым (пря
мым) произведением множеств А}, ..., А„ называется множество
А. х ... х А = П А" ' {<а ,..., а >1 а, е А„ .... а е А }.
I	п и	v I л 1	1	Л
Если Af = ...= Ап, то множество Л, х ... хА, называется декартовой
(прямой) степенью множества А и обозначается через А”
Определение 6.2.3 (п-арное отношение), п-арным отношением
между элементами множеств Аг .... А„ называется любое подмноже-
ство R множества А, х ... х А . Если А = ...= А , то отношение называ-
I	и	1	п
ется п-арным отношением на А .
Рассмотрим бинарные отношения.
Определение 6.2.4 (область определения бинарного отноше-
ния). Областью определения бинарного отношения R называется
множество
Dom(/?) = {х I существует у такое, что <х, у> е R}.
Определение 6.2.5 (область значения бинарного отношения).
Областью значений бинарного отношения R называется множество
R.in(/?) = {у I существует х такое, что <х. у> е /?}.
Дополнением бинарного отношения R между элементами мно-
жеств А и В считается множество -J? = (А х В) \ R
Обратным отношением для бинарного отношения R называется
множество /?“' = {<х. v>| < у, х> е R}.
Образом множества X относительно R называется множество
R(X) = {у I существует х е X такое, что <х. у> е R } Соответственно
б азом элемента х является этсмен г /?(х). Прообразом множества Y
Отношения и функции 133
относительно R называется множество = {л существует у е У
такое, что <х, у> е /?}. Соответственно прообразом элемента у являет-
ся элемент R~'(y).
Определение 6.2.6 (произведение отношений, композиция). Про-
изведением (композицией) отношений	R,cBxC называ-
ется отношение R ° R, = {<х, у> , существует г такое, что <л, с> е /?,
и у> G Я, }
Определение 6.2.7 (функция или отображение). Функцией (ото-
бражением) f из А в В называется такое отношение R на А х В, что
Dom(R) = A. Ran(/?) cS и для всех х у, г из <х. v> е /и <х с> е /следует
V = г Функция из А в В обозначается /: А — В.
Определение 6.2.8 (проекция). i-Й проекцией «-местного отно-
шения <а... а >. где а, е А..а е А и 1 < i < п, называется
1 п	11	ни
отображение /:
Пд
п — а, где а е А.
л	'
Неформальный смысл функции таков. Функция — это такое отно-
шение на А х В, что А является ее областью определения, а областью
значения служат для нее только элементы В. причем всякому элемен-
ту из области определения можно сопоставить лишь единственный
элемент из области значения. Если f— функция, то вместо <х. у> е /
обычно записывают у =/(х) и говорят, что у является значением функ-
ции/ при значении аргумента х.
Множество всех функций из А в В обозначается через В4. Функ-
цию / А" — В называют n-местной функцией из множества А в В.
Вместо у =	, ..., хп>) записывают у = Дх|.хп) и говорят, что у
является значением функции /при значении аргументов хр .... хп.
Определение 6.2.9 (инъекция). Инъекцией называется функция/
А — В. такая, что каждый элемент из В имеет не более одного прообра-
за, T.e./fx,) =fix,) влечет за собой х( = х,.
Определение 6.2.10 (сюръекция). Сюръекцией называется функ-
ция f А — В, такая, что каждый элемент из В имеет хотя бы один прооб-
раз, т.е. Ran(/) = В.
Определение 6.2.11 (биекция или взаимно однозначное соот-
ветствие). Биекцией или взаимно однозначным соответствием на-
зывается функция / А — В, такая, что она одновременно является и
инъекцией и сюръекцией.
Тождественным отображением (тождественной функцией)
называйся функция 1л: А — А, такая, что 14(х) = х. Данная функция
является биекцией. Проверьте, что для всякой функции/из А в В имеет
место композиция: 1, °t=f =/° 1„.
A J J J В
134
Отношения и функции
Упражнения
6.2.1.	Докажите, что {a, fe} = {6, а}, но <а, Ь> * <Ь, а>. Обобщите
результат на случай АхВ/ВхА.
6.2.2.	Определите, на каких рисунках изображены инъекция,
сюръекция и биекция, с учетом того, что слева изображаются элемен-
ты множества А, а справа — элементы множества В, и мы предполага-
ем, что/ А — В.
‘	f
Рис. 6.2.1.
6.2.3.	Докажите ассоциативность композиции.
6.2.4.	Докажите следующие зависимости:
(6.62)	/‘ °/ с lfi и/°/1 = 1Д <=>/- инъекция;
(6.63)	_Л1о/=1ви/°/' □ 1А <=>/- сюръекция;
(6.64)	/’ °/= 1в и/°/1 = 1Д <=>/- биекция.
6.2.5.	Докажите, что если А, В, С не пусты, то
(6.65)	АсВиСсйоАхСсВхД;
(6.66)	A = BnC=DaAxC = BxD.
6.2.6.	Докажите, что для любых бинарных отношений:
(6.67)	ЯиЯ = ЯпЯ = Я;
(6.68)	(Я-1)-1 = Я;
(6.69)	(Ri и /?,)-* = Я,-1 о Я/1;
Отношения эквивалентности и порядка
135
(6.70)	(R, П Л,Г‘ = n R-'\
(6.71)	—./г-1 = (-,/?)-'.
6.2.7.	Докажите, что для любой функции /:
(6.72)	fiA о В) = fiA) ufiB);
(6.73)	fiA п В) cf(A) п fiB);
(6.74)	f'(A и В) =/ч(А) ^f'(B);
(6.75)	f'(Ar\B)cfl(A)r>f'(B).
6.3.	Отношения эквивалентности и порядка
Определение 6.3.1. Бинарное отношение R, определенное на мно-
жестве А называется:
1.	связным, если VaG A V6gA (а * b => (<а, b> е R или <Ь. а> е /?));
2.	рефлексивным, если Х/аеА (<а. а> G R);
3.	антирефлексивным, если VaG A (<а. а> й R);
4.	симметричным, если VacA V6e I ка, b> e R => (<b. a> g R)Y.
5.	антисимметричным, если V aeA V beA ((<a, b> g R и
<6. a> g R) => a = b):
6.	асимметричным, если Х/aeA Х/beA (<a. b> e R => (<h, a> ё R));
7.	транзитивным, если Х/aeA X/beA X/ceA ((<a, b> e R и
<b, c> e R) => <a, о e R).
Определение 6.3.2 (эквивалентность). Эквивалентностью называ-
ется любое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение.
Определение 6.3.3 (класс эквивалентности). Классом эквива-
лентности (смежным классом) элемента х е А по эквивалентности R
называется множество
I х = {у g A I <х. у> е R}.
Теорема 6.3.1. Эквивалентность R на множестве А определяет
разбиение множества А на попарно непересекающиеся непустые под-
множества.
Доказательство. Для каждого х е А совокупность тех v G А, что
<х, у> g R, образует смежный класс |х I Из рефлексивности R следует,
что х е I х I Если у е I х I то I у I = I х I Предположим, что элементы х и
у не эквивалентны. Вместе с тем классы эквивалентности I х I и I у I
имеют общий элемент с. Это значит, что : g lx I и з g |у I В силу
транзитивности R имеем: lx I с | v I В силу симметричности — ly I с
I х [ Следовательно, х и у должны быть все же эквивалентны. Пришли к
противоречию. •
Множество классов эквивалентности элементов множества А по
эквивалентности R называется фактормножеством А по R и обозна-
чается через А / R.
Теорема 6.3.2. Пусть/ А — В — произвольная функция. Отноше-
ние R =f of-1 является эквивалентностью на множестве А.
136
Отношения эквивалентности и порядка
Доказательство. По определению функции/° f~' о 1А. Значит,
R— рефлексивное отношение. Далее (/° 7м)-1 = (/1)-1 °f~' =/°/'|,так
что отношение R симметрично. И, наконец, f~' ° / G 1в, поэтому
/° f~' ofl cf ° 1 of1 =f »/', что показывает транзитивность R. •
Эквивалентность из теоремы 6.3.2 называется ядерной и обозна-
чается кег/	. .
Теорема 6.3.3. Пусть А = U — разбиение множества/! на по-
re Г
парно непересекающиеся подмножества. Тогда существует одна и
только одна эквивалентность, которая определяет это разбиение.
Доказательство. Определим функцию/ А — Т, сопоставив каж-
дому хе А тот единственный индекс г е Т, при котором хе А. Функ-
ция / будет задавать ядерную эквивалентность кег / так что классы
эквивалентности будут подмножествами А. Эквивалентность кег/бу-
дет единственной такой эквивалентностью. •
Определение 6.3.4 (отношение предпорядка). Отношением
предпорядка называется любое рефлексивное и транзитивное отно-
шение.
Определение 6.3.5 (отношение частичного порядка). Отноше-
нием частичного порядка называется любое рефлексивное, антисим-
метричное и транзитивное отношение. Обозначается оно через <. По-
рядок <_| называется двойственным к < и обозначается символом >.
Определение 6.3.6 (частично упорядоченное множество). Ча-
стично упорядоченным множеством называется множество А вмес-
те с отношением порядка <, которое удовлетворяет аксиомам:
(6.76)	Va е А (а < а);
(6.77)	VaeA XfbeA (если а < b и b < а, то а = Ь);
(6.78)	VaeA XfbeA Х/сеА (если а < b и b < с, то а < с).
Строгим порядком называется такое отношение между а и Ь. что
а < b и а Ь.
Определение 6.3.7 (отношениелинейного порядка). Отношени-
ем линейного порядка называется отношение частичного порядка со
свойством связности.
Определение 6.3.8 (линейно упорядоченное множество). Линей-
но упорядоченным множеством называется множество А вместе с
отношением порядка <, которое удовлетворяет аксиомам (6.76) — (6.78)
определения 6.3.6 и, кроме того, следующей аксиоме:
(6.79)	VaeA XfbeA (а < b или b < а).
Об элементах а и b (6.79) говорят, что они сравнимы. Если для
частично упорядоченного множества А никакие два его элемента а и
b не сравнимы, то данное множество называется вполне неупорядо-
ченным. В этом случае отношение а < b имеет место тогда и только
тогда, когда а = Ь.
Отношения эквивалентности и порядка
137
Если В — подмножество множества А, то частичный порядок в А,
ограниченный множеством В (формально: < П В2}. будет частичным
порядком в В. В этом смысле каждое подмножество частично упоря-
доченного множества считается частично упорядоченным множе-
ством. Если частичный порядок на В. определенный таким способом,
оказывается линейным, то В называется цепью в А.
Определение 6.3.9 (верхняя грань). Пусть В — некоторое под-
множество частично упорядоченного множества А. Элемент а е А,
обладающий тем свойством, что
х < а для всех хе В.
называется верхней гранью множества В в А. Если такие элементы
существуют, то говорят, что В ограничено сверху в А.
Если подмножество В имеет наименьшую верхнюю грань, то она
называется точной верхней гранью множества В и обозначается sup В.
Определение 6.3.10 (нижняя грань). Пусть В — некоторое под-
множество частично упорядоченного множества А Элемент а е А,
обладающий тем свойством, что
х > а для всех х е В.
называется нижней гранью множества В в А. Если такие элементы
существуют, то говорят, что В ограничено снизу в А.
Если подмножество В имеет наибольшую нижнюю грань, то она
называется точной нижней гранью множества В и обозначается inf В.
Если упорядоченное множество А само обладает верхней гранью
а, то а будет единственной верхней гранью. Этот элемент называется
наибольшим элементом множества А.
Если элемент а е А таков, что ни одна из верхних граней одноэле-
ментных подмножеств {а} множества Я не превосходит а, то элемент
а называется максимальным в А. Другими словами, а будет макси-
мальным в А, если и только если
(i)	для всех х е А неверно, что а < х.
Таким образом, А может иметь более одного максимального эле-
мента. Если же множество А обладает наибольшим элементом, то он
будет также единственным максимальным элементом. Обратное ут-
верждение верно не всегда.
Если упорядоченное множество А само обладает нижней гранью
а, то а будет единственной нижней гранью. Этот элемент называется
наименьшим элементом множества А.
Элемент а называется минимальным в А, если и только если
(ii)	для всех х е А неверно, что а > х.
Определение 6.3.11 (частично упорядоченное множество с усло-
вием минимальности). Частично упорядоченным множеством с усло-
вием минимальности или просто множеством с условием минимально-
138
Отношения эквивалентности и порядка
сти (индуктивным множеством) называется множество А, у которого
каждое непустое подмножество обладает минимальным элементом. Дан-
ному условию эквивалентно условие индуктивности, согласно которо-
му если для любого элемента а е А из справедливости произвольного
свойства R для всех элементов, строго меньших а, вытекает справедли-
вость R для а. то свойством R обладают все элементы множества А.
Если выполняется условие минимальности и, кроме того, число
минимальных элементов любого подмножества множества А конеч-
но, то А называется частично вполне упорядоченным.
Определение 6.3.12 (вполнеупорядоченное множество). Вполне
упорядоченны м множеством называется множество с условием мини-
мальности А, если каждое его непустое подмножество обладает единст-
венным минимальным элементом. Данному условию эквивалентно
следующее. Частично упорядоченное множество будет вполне упоря-
доченным тогда и только тогда, когда оно линейно упорядочено и каж-
дое его непустое подмножество обладает наименьшим элементом
Для множеств с условием минимальности имеет место
Теорема 6.3.4 (обобщенный принцип индукции, или нётерова
индукция). Пусть А — упорядоченное множество с условием мини-
мальности и В — подмножество множества А, содержащее элемент
а е А , как только оно содержит все элементы х е А, такие, что х < а.
Тогда В = А.
Доказательство. Действительно, разность А \ В не имеет мини-
мального элемента и поэтому должна быть пустой. •
Следствие 6.3.4 (трансфинитная индукция). Пусть А - - вполне
упорядоченное множество и В — подмножество множества А, содер-
жащее элемент а е А, как только оно содержит все элементы х 6 А,
такие, что х < а. Тогда В = А. •
Пусть А и В — частично упорядоченные множества и f— функ-
ция из Я в В./называется монотонным отображением, если из л < л,
следует fix^ <fi.x2) для любых элементов хр х, е А.
Если/есть биекция из Я в В,/и/‘ — монотонные отображения, то
/ называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств А и
В, а множества Я и В называются подобными.
Каждому упорядоченному множеству Я сопоставим некоторый
объект, называемый его порядковым типом и обозначаемый через
о(Я), так, что
(iii)	о(А) = о(В) тогда и только тогда, когда Я и В подобны.
В соответствии с данным условием мы разбиваем класс всех упо-
рядоченных множеств на классы попарно изоморфных множеств и
каждому классу сопоставляем элемент, называемый порядковым ти-
пом.
139
Отношения эквивалентности и порядка
Заметим, что порядковый тип множества N= {0, 1, 2,...} обознача-
ется (D.
Определение 6.3.13 (кардинальное число, или мощность).
Пусть А — частично упорядоченное множество, которое считается
вполне неупорядоченным. Мощностью, или кардинальным числом,
называется порядковый тип о(А) В этом случае мы будем писать
д вместо о(А).
Если два множества обладают одним и тем же кардинальным чис-
лом, то говорят, что они равномощны.
Каждое множество А, равномощное для некоторого я множеству
{О, 1..п - 1}, называется конечным, ип— числом элементов множе-
ства А. Множество, не являющееся конечным, называется бесконеч-
ным.
Каждое множество А. равномощное множеству /V = {0, 1, 2, ...},
называется счетным. и его мощность обозначается через Кп.
Каждое множество А. равномощное множеству действительных
чисел, называется континуальны и, и его мощность обозначается с.
Кардинальное число с называется иногда мощностью континуума.
Определение 6.3.14 (ординальное число, или порядковое чис-
ло). Пусть А — вполне упорядоченное множество. Тогда о(А) называ-
ется ординальным, или порядковым числом множества А.
Назовем начальным отрезком, отсекаемым элементом а е А ли-
нейно упорядоченного множества А. множество
Ао = {х I хе А их < а}.
Если а и Р — порядковые числа, то говорят, что а < Р, если любое
множество А порядкового типа а изоморфно некоторому начальному
отрезку множества В порядкового типа Р, причем а< Р означает, что
а<Рнпна= р.
Определение 6.3.15 (предельное ординальное число). Порядко-
вое число а называется предельным, если а / 0 и
а = sup {Р I Р — порядковое число и Р < а}.
Теорема 6.3.5 (теорема Цермело). Каждое множество можно
вполне упорядочить.
Доказательство. Заметим, что если подмножество В вполне
упорядоченного множества А определяется неким отрезком Ва, то В
состоит из всех элементов, строго предшествующих минимальному
элементу дополнения А\ В.
Пусть дано произвольное множество М. Предположим, что под-
множества множества М попарно непересекаются. Из каждого такого
подмножества W выберем по одному элементу fiN). Будем называть
непустое подмножество А из М отмеченным, если оно может быть
вполне упорядочено следующим образом:
140
Отношения эквивалентности и порядка
(a)	f(M\Аа) = а для всякого а е А.
Отмеченные подмножества в М существуют — например, таким
подмножеством, состоящим из одного элемента, будет ДЛ/)
Пусть А и В - два отмеченных подмножества, удовтетворяющих
условию (а). Тогда оба эти подмножества имеют ftМ) в качестве перво-
го элемента и поэтому обладают непустыми совпадающими началь-
ными отрезками. Объединение С всех совпадающих отрезков этих двух
подмножеств будет наибольшим начальным отрезком среди совпада-
ющих отрезков. Если бы отрезок С был отличен и от А. и от В, то, по
определению отмеченною подмножества, отрезок С определялся бы
и в А, и в В элементом ftM' С), так что А нВ обладали бы большим, чем
С, совпадающим начальным отрезком, состоящим из С и элемента
ftM С). Мы пришли к противоречию, следовательно, одно из двух
отмеченных подмножеств А и В является отрезком другого.
Покажем, что объединение L всех отмеченных подмножеств из М
само будет отмеченным. Если элементы а и Ь из L принадлежат соот-
ветственно к отмеченным подмножествам А и В, то они оба лежат в
большем из этих подмножеств, например в А. Полагая а > b в L. если
а > b в этом А, мы получим в L линейную упорядоченность, которая
будет также полной упорядоченностью, поскольку всякая убываю-
щая цепь в L целиком содержится в некотором отмеченном подмно-
жестве А. Наконец, если а е L. то а содержится в некотором отмечен-
ном подмножестве А и определяет в L и в А один и тот же начальный
отрезок Ап, причем a =ftM \ AJ. Отсюда множество L является отме-
ченным.
Предположим теперь, что L отлично от М. В этом случае, присое-
диняя к L элемент ftM \ L) и считая этот элемент следующим за всеми
элементами из L. мы должны были бы иметь большее, чем L. отмечен-
ное подмножество, а это противоречит определению L. •
Неформальный смысл теоремы следующий. С позиции условия
(а) все, что не меньше а, рассматривается как класс эквивалентности
элемента а. Чем больше а, гем меньше класс этого элемента. Таким
образом, по данному отношению множество всех элементов а являет-
ся вполне упорядоченным. В доказательстве теоремы 6.3.5 использу-
ется так называемая аксиома выбора, функция же /называется функ-
цией выбора.
Аксиома 6.3.1 (аксиома выбора). Для каждого семейства ,4 непу-
стых непересекающихся множеств существует множество В. имею-
щее один и только один общий элемент с каждым из множеств X.
принадлежащих А.
Было замечено, что теорема 6.3.5 эквивалентна аксиоме выбора.
Следующие утвер”’тения также эквивалентны аксиоме 6.3.1:
Отношения эквивалентности и порядка
141
1.	Аксиома выбора. Для любого множества А существует такая
функция выбора f из Р'(А) = Р(А) \ 0 в А, что f(B) е В, если
только В е Р’(А).
2.	Аксиома выбора. Пусть Х° — непустое множество для любого
а е А. Тогда существует функция выбора f. А — U % ° такая,
А
что fia) е % для любого а е А (здесь используется результат
теоремы 6.3.3).
3.	Лемма Цорна. Непустое частично упорядоченное множество,
в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет макси-
мальный элемент.
4.	Принцип максимачьности Куратовского—Хаусдорфа Каж-
дая цепь частично упорядоченного множества содержится в
некоторой максимальной цепи.
5.	Аксиома Цермело. Для любого семейства 5 непустых попарно
нспересекающихся множеств существует такое множество С,
что А п С для каждого А е 5 состои г ровно из одного одноэле-
ментного множества.
6.	Всякая невырожденная решетка с нулем имеет максимальный
фильтр (см. определение 7.2.6 и теорему 7.3.6).
Упражнения
6.3.1.	Докажите, что отношение, одновременно обладающее свой-
ствами симметричности и антисимметричности, является транзитив-
ным
6.3.2.	Докажите, что отношение R на множестве А является одно-
временно эквивалентностью и частичным порядком тогда и только
тогда, когда R = 1
6.3.3.	Покажите, что для произвольных множеств А и В существу-
ет общее кардинальное число А = В тогда и только тогда, когда между
А и В можно установить биекцию. Докажите, что данное отношение
является эквивалентностью.	_	_
6.3.4.	Покажите, что если имеется инъекция из А в В, то А В
6.3.5.	Докажите, что множество кардинальных чисел линейно упо-
рядочено.
6.3.6.	Докажите, что пересечение эквивалентностей на А также
является эквивалентностью на А.
6.3.7.	Докажите, что композиция эквивалентностей Rf ° R2 являет-
ся эквивалентностью тогда и только тогда, когда Rt ° R, = R, ° Rf
6.3.8.	Докажите, что объединение Rf и /?, эквивалентностей Rl и Я,
является эквивалентностью тогда и только то: । 	 та R} о /?, = R} ° R..
142
Онтология Лесьневского
6.3.9.	Докажите, что непустое множество А является счетным или
конечным тогда и только тогда, когда оно есть множество значений
некоторой функции из N в А
6.3.10.	Докажите, что если из счетного множества удалить конеч-
ное подмножество, то оставшееся множество будет счетным.
6.3.11.	Докажите, что
1)	множество целых чисел счетно;
2)	множество рациональных чисел счетно.
6.3.12.	Докажите, что множество тогда и только тогда бесконечно,
когда оно эквивалентно (в смысле упражнения 6.3.3) некоторому
собственному подмножеству.
6.3.13.	Пусть Аа и Bfi — линейно упорядоченные множества. До-
кажите, что если а = [3, то д = В , но обратное неверно. В качестве
примера рассмотрите множество целых чисел и множество натураль-
ных чисел.
6.3.14.	Используя понятие обобщенной индукции, докажите, что
упорядоченное множество с условием минимальности само является
замкнутым и любое его подмножество является замкнутым.
6.4. Онтология Лесьневского
Онтология Лесьневского создана на базе прототетики — спе-
цифического исчисления высказываний, в котором встречаются кван-
торы для пропозициональных переменных. Было доказано, что прото-
тетика дедуктивно эквивалентна логике высказываний (см. об этом
Чёрч [1956]). Поэтому станем рассматривать исчисление Лесьневско-
го как расширение обычного пропозиционального исчисления. Важ-
ная особенность онтологии заключается в том, что она представляет
собой метод, альтернативные теории множеств “в деле обоснования
математики” (см. Френкель, Ыр-Хиллел [1958]). Подробнее с онто-
логией Лесьневского можно познакомиться в книгах: Лесьневскнн
[1927-1931,1929,1930], Слупецкнн [1953].
Определение 6.4.1 (алфавит онтологии Лесьневского). Алфа-
витом онтологии Лесьневского является упорядоченная система =
<V,Q,L},L2,O~yK>,rD£
1.	V— множество пропозициональных переменных р, q, г, ...;
2.	Q — множество онтологических переменных А, В, С, ...;
3.	Lt — множество унарных пропозициональных связок, которое
состоит из одного элемента —i, называемого знаком отрица-
ния;
4.	Ьг — множество бинарных пропозициональных связок, которое
содержит три элемента: л, v, о, называемых соответственно
знаком конъюнкции, знаком дизъюнкции и знаком импшкации;
Онтология Лесьневского 143
5.	0~1 — множество бинарных онтологических связок, которое
содержит только один элемент: £, называемый знаком функто-
ра "... есть...
6.	К — множество вепомагательных символов, образуемое из
левой и правой скобок: (,).
Причем V, Q, Lv L2, О~} — непересекаюшиеся множества, множе-
ства V и Q счетны, а объединение множеств Lt и L,, О~, не пусто.
Определение 6.4.2 (формализованный язык онтологии Лесьнев-
ского). Формализованным языком онтологии Лесьневского называ-
ется упорядоченная система /')L = <.-/OL, где
1. ,r/oi — алфавит онтологии Лесьневского;
2. ,fOL — множество всех формул, образованных из знаков в .-/OL;
помимо множества всех формул .f, полученного по правилам
(а), (Ь) и (с) определения 2.1.2. оно содержит также элементы,
определяемые так:
(d) если А и В — онтологические переменные, то выражение А ЕВ
будет собственной формулой онточогии Лесьневского',
(d") если а и Д — собственные формулы онтологии Лесьневского,
то формулами будут также выражения —>а, а л /3, a v Д аэ Д
Таким образом, формулой онточогии Лесьневского называется
выражение, образованное в алфавите по правилам (а), (Ь) и (с)
определения 2.1.2, а также по правилам (d) и (d’) определения 6.4.2.
Формулы, образованные по правилам (d) и (d’) определения 6.4.2. бу-
дут в дальнейшем называться собственными формучами онточогии
Лесьневского для того, чтобы подчеркнуть их отличие от формул ло-
гики высказываний.
Определение 6.4.3 (онтологияЛесьневского). ОнтологиейЛесь-
невского называется упорядоченная система .7()L = < .V()L, .f , 'О, где
1.	.-/OL — алфавит онтологии Лесьневского;
2.	,^L — множество всех формул, образованных из знаков в .-vJ)L;
3.	V - операция присоединения следствия к элементам .?ог Пра-
вилами вывода онточогии Лесьневского являются:
(а)	правило подстановки, согласно которому из любой формулы
логики высказываний ofp^ ...,р1) всегда можно получить форму-
лу а'(р........ ftq...... qk),prl, -.р,) или а’(рр ...,Р/ДЛГ 5J,
...,рп) соответственно путем замены пропозициональной
переменной р формулой логики высказываний ft(q..qk) или
путем замены пропозициональной переменной р собствен-
ной формулой онтологии Лесьневского f3(Ar Вт)'.
___________а(р>....р„-. р-)...
а'(р,„.., р.. ,,P(q.........q.),	....р.)
или
144
Онтология Лесьневского
_______Р'.......... Р-}________,
«'(р..... р7-|,Д(Д«,В-), р, р.)
а также из любой собственной формулы онтологии Лесьневского о^А., В)
всегда можно получить формулу а’(Лр В.) или а’(А^ Bf) путем замены
соответственно А на А. или В на В;.
а(А,,В)	а(А„В.)
а'(А.,В.) или а'(А„В<);
(Ь)	правило отделения (modus ponens), согласно которому из лю-
бых двух формул онтологии Лесьневского а и а э Д всегда
можно получить формулу /J:
а,а э р
Р ;
(с)	правило введения квантора общности — если из формулы
онтологии Лесьневского а, в которой нет свободной перемен-
ной А, следует формула онтологии Лесьневского Р, в которой
встречается свободная переменная Л. то из формулы Р следует
формула \/А Р:
а
~Р~.
VA Р ’
(d)	правило удаления квантора общности — из формулы онтоло-
гии Лесьневского Х/Я а следует формула а:
Х/Аа
а
(е)	правило введения квантора существования — из формулы
онтологии Лесьневского а следует формула ЗА а.
а
ЗА а ’
(f)	правило удаления квантора существования — из формулы
онтологии Лесьневского ЗА а следует формула а, в которой
переменная А переименовывается:
ЗА а
а
Аксиомами онтологии Лесьневского являются аксиомы исчис-
ления высказываний и, кроме того, следующее утверждение:
Онтология Лесьневского
145
(6.80) А еВ<=>(ЗС(СеЛ) Л VC VD((CeA aDeA^Ce
D)aVC(CeA dCeB)).
Данное утверждение было получено в процессе содержательно-
го анализа смысла связки “есть” (польское ,jest“), широко используе-
мой в естественном языке. Лесьневский выделил шесть исходных те-
зисов, из которых, как он считал, можно вывести все определения,
касающиеся этой связки:
(1)	некоторое а есть b тогда и только тогда, когда для некоторого А
“X есть а м X есть 6”;
(2)	если А есть Ь, то А есть объект;
(3)	каждое а есть b тогда и только тогда, когда “некоторый объект
есть а, и для всякого X, если X есть а, то X есть 6”;
(4)	А является тем же объектом, что и В тогда и только тогда, когда
“А есть В и В есть Л”;
(5)	самое большее один объект есть а тогда и только тогда, когда при
всех А и В, если А есть а, а также В есть а, то А есть тот же объект, что и В;
(6)	А есть а тогда и только тогда, когда “каждое А есть а и самое
большее один объект есть А".
В этих определениях заглавные буквы выражают единичные име-
на. строчные - единичные и общие.
Определение 6.4.4 (истинностная оценка на множестве фор-
мул онтологии Лесьневского). Истинностной оценкой на множе-
стве формул онтологии Лесьневского с ./()L называется функция I,
имеющая областью определения множество .?0 и областью значения
множество {1, 0}. Задается функция индукцией по длине формулы на
основании условий (а) — (е) определения 2.1.7 (причем в (b), (с), (d),
(е) переменные а и Д пробегают не только по формулам логики выска-
зываний, но и по собственным формулам онтологии Лесьневского), а
также следующего условия:
1, если ДА) = а, где а — некий денотат, и пересечение
(f) ДА еВ) = Ч ДА) и -ЦВ) = 0;
0 в противном случае.
В онтологии Лесьневского можно ввести новые связки в качестве
производных:
(6.81)	ех(А) <=> ЗВ (В ЕА),
(6.82)	А=В«=>(АеВлВеА),
(6.83)	sol(A) <=> VB VC ((В Е А л С Е А) => В Е С),
(6.84)	exJA) «=> (ех(А) л sol(A)),
(6.85)	АаВ*=> ЧС(СеА зСеВ),
(6.86)	А = В<^> УС (Се А « СЕ В).
Связка ех(А) читается: “существует по крайней мере А", связка
А~ В — ‘'А равно В”, связка sol(A) — “существует не более чем Л”,
146
Онтология Лесьневского
связка ех,(А) — “существует в точности А", связка А а В — “все А есть
В", и, наконец, связка А = В — “объемы А и В совпадают”
С привлечением функторов, вводимых посредством дефиниций
(6.81), (6.83), (6.84), (6.85), аксиома (6 80) может быть записана в более
очевидной форме:
(6.87)	А £ В i=> (ех(А) л sol(A) л А а В) <=> (ехДА) л А а В).
Если же мы хотим получить новые константы или новые имяобразу-
ющие функторы, то мы должны воспользоваться следующим правилом
(688)....А £/(В ... Вп) «(А £А л£(А, Вр .... BJ),
где/0 есть вводимый функтор от и именных аргументов (п>1) и
£(А, В}...В ) - выражение онтологии, в котором свободными пере-
менными являются А, В„ .... В .
В частности, если / есть именная константа, выражение преобра-
зуется в А £ В <=> А £ А л £(А). где В — вводимая константа и £(Л)
выражение онтологии со свободной переменной А.
Также имеется другое правило введения имяобразующих функторов:
(6.89)	А £/0(В,.Вп) « (А £ С л £(А, В,.BJ).
В системе, образованной замыканием на аксиоме (6.80), правила
(6.88) и (6.89) считаются эквивалентными. В онтологии с использова-
нием правил (6.88), (6.89) вводится целый ряд констант и новых имяоб-
разующих функторов.
(6 90) А £ 1 ЭВ (А £ В).
Константа 1 называется “предмет” и имеет схожий смысл с поня-
тием “истина”. Согласно (6.90), именная константа А обозначает пред-
мет 1 только в том случае, если имеется в наличии некоторое В. при-
чем такое, что А есть В.
(6.91)	А £0 <=> (А еА а —(А £/()),
(6.92)	А £ -Л <=> (А £ А л —i(A £ В)),
(6.93)	А £ (В о С) <=> (А £ В л А £ О,
(6.94)	А £(Ви С)« (А £ В \/А £ С).
В качестве иллюстрации дедуктивной выразительности онтологии
Лесьневского рассмотрим доказательство формулы:
(6.95)	XfC VD((CeA aD £A)^CeD)&>VC4D((C£A а
aDeA):d С = D):
1. VC XfD ((C £ A a D £ А) э C £ D), CeAaDeA
____________________2.	C £ D______________
3. (DeAaCe A) z^DeC
4 ~D~e C
________________5,	C D_________________
6. VC VD ((C £ A A D E A) => C = £>)
Онтология Лесьневского
147
На шаге 1 левая часть формулы (6.95) полагается в качестве допу-
щения если формула в целом истинна, го из левой ее части мы
должны вывести правую. Вместе с тем в качестве допущения полага-
ем антецедент импликации левой части формулы (6.95), руководству-
ясь теми же соображениями. если левая часть формулы (6.95), бу-
дучи импликацией, истинна, то истинным окажется и консеквент
данной импликации. На шаге 2 получаем вывод, используя правила
(d) и (Ь) применительно к формуле rnaia 1. На шаге 3 используем пра-
вило (d) и (а) опять применительно к формуле шага 1. На шаге 4 ис-
пользуем правило (Ь) к формуле шага 3 и шага 1. На шаге 5 использу-
ем определение (6.82), делая заключение из формулы шага 2 и формулы
шага 4. На последнем шаге используем теорему дедукции к формуле
шага 1 и формуле шага 5, а также правило (с). Аналогично доказывает-
ся, что правая часть формулы (6.95) имплицирует ее левую часть.
Как показал Слупецкий [1953], собственной частью онтологии
Лесьневского выступает силлогистика Аристотеля. Аксиомы силло-
гистики переходят в теоремы онтологии, если задать связки а и i по-
средством таких дефиниций:
(6.96)	Sa Р^ЗА (A eS) л VA (А е5=> А еР);
(6.97)	SiP«3A(AeSAAeP).
Но, кроме того, вместо аксиомы (2.7) (см. раздел 2.1.) необходимо
воспользоваться следующей аксиомой:
(6.98)	ех(5) э 51 5.
Расширения онтологии Лесьневского могут использоваться в ка-
честве метаязыка алгебры, при этом будет сохраняться некая ин1уи-
тивная очевидность, поскольку по-прежнему принципиальную роль
будет играть связка “есть”, заимствованная из естественного языка
Это позволяет формулировать на языке различных расширений онто-
логии многие философские положения (см., например, Васюков В.Л.
[1999]).
В данном разделе мы рассмотрели экзотический вариант теории
множеств, который до сих пор не утратил своей актуальности для фи-
лософской логики.
Упражнения
6.4.1.	Покажите, что вместо аксиомы (6.80) можно использовать
следующую теорему:
(6.99)	АеВ^ (А еА лЗС(А ЕС лС ЕВ)).
Но тогда единственным правилом введения имяобразуюших
Функторов будет (6.88).
6.4.2. Покажите, что вместо аксиомы (6 80) можно также исполь-
зовать теорему:
148
Онтоюгия Лесьневского
(6100) А еВ«ЭС(А ЕС л Се В)
И тогда единственным правилом введения имяобразующих функ-
торов станет (6.89).
6.4.3. Докажите следующие теоремы
(6.101)	(А еВл ВеО =>А	еС;
(6.102)	А ЕА exJA);
(6 103)	АеА^ЭВ(АеВ);
(6 104)	А еВ^ А еА;
(6.105)	А еВ <=>(АеА	лАЕВ).
(6.106)	А = В э В = А;
(6107)	(А=ВлВ = О=>Л=С,
(6.108)	Afil=>A=A;
(6.109)	А £ 1 <=> А ЕА;
(6110)	А е 1 эЛ E(Bu-iB);
(6.111)	А £ 1 А £ —>(В п —1В);
(6.112)	Л = В «(Л а Вл В в Я);
(6.113)	А = А.
(6	114)	А = ВпВ = А-,
(6.115)	(А = ВлВ = С)п А = С;
(6.116)	Я=ВэЯ = В;
(6.117)	А £ 1 zd (А = В <=> А = В);
(6.118)	Я = В <=> (А £ 1 л А = В).
6.4.4. Докажите, что аксиомы булевой алгебры являются теоре-
мами в онтологии Лесьневского в том случае, если в булевых аксио-
мах заменить знаки <, =, 0 соответственно на а. =, 0. Покажите при
этом, что мы не сможем определить, будет ли булева алгебра невы-
рожденной.
ГЛАВА 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Алгебраический язык с конца XIX в. становится одним из основ-
ных языков математики. Связано это с тем. что семантические отно-
шения (см. главу 2), используемые в математике, представимы в каче-
стве п-местных отношений, определенных на множестве элементов
произвольной природы. Отсюда и возникло понятие ачгебраической
системы - упорядоченного набора, куда входят какие-то «-местные
отношения и множество, на котором они определены.
Подробнее об алгебраических системах см. Ван лер Варден
[ 1930—1931], Бурне, Санкананавар [1981], Калужннн Л .А. [ 1973], Кон
[1965, 1977], Кострнкин А.И. [1977, 2000], Курош А.Г. [1962], Маль-
цев А.И. [ 1970], Нечаев В.И. [ 1975], Робинсон А. [ 1951 ].
7.1. Общие понятия
Введем специальные обозначения. Символами A'. Z. Q. К будем
соответственно обозначать множества натуральных, целых, рациональ-
ных и действительных чисел. Положительные числа будем выделять
посредством нижнего индекса. Например, Rt — множество положи-
тельных действительных чисел.
Определение 7.1.1 (операция), п-арной («-местной) операцией, оп-
ределенной на множестве А, называется «-местная функция f: А" А.
Определение 7.1.2 (отношение), и-арным («-местным) отноше-
нием г на множестве А называется подмножество п-й декартовой сте-
пени А" множества А.
Определение 7.1.3 (предикат), п-арным (п-месшым) преОика-
том, определенным на множестве А, называется //-местная функция
Р.А<- {1.0}.
Определение 7.1.4 (отношение, отвечающее предикату), n-wp-
ным отношением на множестве А. отвечающим предикату ' назы-
150
Общие понятия
вается совокупность тех упорядоченных наборов <ар а> е А”, для
которых
Р<а...«„)= L
Определение 7.1.5 (предикат, отвечающий отношению), л-ар-
ным предикатом, определенным на множестве А, отвечающим от-
ношению г, называется такой предикат Р, который задан следующим
образом:
Р(а},
•• «„) =
1,	если <а.,.... а> е г,
’	Г	* п
О, если <а,,а > Й г.
к.	1 п
Число п для л-арной операции /(соответственно л-арного отно-
шения г, л-арного предиката Р) называется арностью операции f (со-
ответственно отношения г, предиката Р) и обозначается л(/) (соответ-
ственно л(г), п(Р)).
Арности отношений — это числа, большие нуля. Арности преди-
катов — это числа, большие или равные нулю. Предикаты арности О
представляют собой функции, отождествляемые со своим значением,
т.е. 1 (“истина”) или 0 (“ложь”). Арности операций — это числа, боль-
шие или равные нулю. Операции арности 0 представляют собой фун-
кции с областью определения, состоящей из одного элемента (л-ки
длины 0), и отождествляются со значением функции. Называются та-
кие функции константами
Поскольку предикаты и отношения, заданные на одном множе-
стве А, могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие,
мы можем их отождествлять. Поэтому в дальнейшем, если это не бу-
дет иметь принципиального значения, мы не станем различать отно-
шения и предикаты.
Определение 7.1.6 (алгебраическая система). Алгебраической
системой 2! называется упорядоченный набор 21 = <А; QK>, где
1.	А — непустое множество, называемое носителем или основ-
ным множеством алгебраической системы',
2.	— множество алгебраических операций /0, ..., Д, ..., опреде-
ленных на А, т.е. Qf = {/0,... ,Д,...};
3.	O.R — множество отношений rQ,..., г^,..., определенных на А, т.е.
£2Я= {г0,..., ...}.
Символы алгебраических операций и отношений (каждый из ко-
торых имеет определенную арность) составляют сигнатуру алгебра-
ической системы. Так, сигнатурой Q алгебраической системы 21 бу-
дет и . Поскольку нульарная операция с на множестве А являет-
ся фиксированным элементом А. можно уточнить определение
сигнатуры Q = </0,... г0.....г,,..., с..
Общие понятия 151
Если алгебраическая система не содержит операций, она называ-
ется моделью, если нс содержит отношений, то - алгеброй. Другими
словами, алгебраическая система является моделью, если Q, = 0. и
алгеброй, если = 0.
Покажем, что множество вещественных чисел R со сложением и
умножением является алгеброй. Действительно, сумма и произведе-
ние определены для любых двух вещественных чисел и являются снова
вещественными числами. Таким образом, сложение и умножение
вещественных чисел — алгебраические операции и ''Я; +, • > — алгебра.
Определение 7.1.7 (тип алгебраической системы). Типом ал-
гебраической системы 21 = <А; ft,ft; rt, гр- называются упорядо-
ченные наборы <n(ft)....n(fty> и <n(rt).п(г)>, состоящие из арнос-
тей операций и отношений соответственно. Тип алгебраической сис-
темы записывается в виде <n(ft),n(ft); nirj...n(rt)>.
Пример 7.1.7. Упорядоченная система <N; +, •; >>, где /V — мно-
жество натуральных чисел, является алгебраической системой типа
<2. 2; 2>, так как операции +, • определены для любых двух натураль-
ных чисел и результат снова является натуральным числом. Упорядо-
ченная система <V; +,	>> не является алгебраической, так как ре-
зультат операции вычитания -, примененной к натуральным чис-
лам — не всегда натуральное число.
Определение 7.1.8(гомоморфизм). Пусть21 = <A:ft.....fprt..... гр- и 23 -
= <В; g gp pt..... рр- - алгебраические системы одного типа <т тр
nt, .... пр-. Отображение tp: А — В называется гомоморфизмом алгебраи-
ческой системы 21 в 23, если выполняются следующие два условия:
1) для любых Jtj, Jt,,	G А и для любых i, таких, что 1 <i<k, имеет
место (рЩХ',....	)) = g.ftfx,),..., <р(хт )),
2) для любых л,, х,,..., хп е А и для любых j, таких, что 1 <j < /, имеет
место <p(rj(xl.... х„	..., <р(хп )).
Пример 7.1.8. Любое отображение любой модели <Л; р> типа
<2> на модель <Д; 0> (где 0 — пустое бинарное отношение) является
гомоморфизмом, так как первое условие выполняется ввиду отсут-
ствия операций, а второе — из-за того, что антецедент импликации
всегда ложен
Определение 7.1.9 (изоморфизм). Изоморфизмом алгебраичес-
кихсистем 21 = <A',ft fp, г г,> и 23 = <В;  gp,pt рр» одного
типа <mt, .... тр п, .... пр- называется взаимно однозначное отображе-
ние <р множества А на В, такое, что выполняются условия:
1) для любых х|Г х2,... е А и для любых 1, таких, что 1 < i< к. имеет
место <р})х.......xm )) = g (фСг,).<р( х„, )),
152
Общие понятия
2) для любых л,, х„ ...,хпе А и для любых j, таких, что 1 <j<l, имеет
место фг/х,.......хП/ )) <=> р/фЦ).<P(xnj ))•
Таким бразом, изоморфизмом называется такой гомоморфизм <р,
который является биекцией, и его обратное отображение ф' является
гомоморфизмом. Алгебраические системы, для которых существует
изоморфизм, называются изоморфными.
Поскольку в алгебрах отсутствуют отношения, условие 2 опреде-
ления 7.1.9 автоматически выполняется, поэтому для алгебр изомор-
физмы — это просто гомоморфизмы, являющиеся биекцией.
Пример 7.1.9.1 (изоморфизм алгебр). Алгебры <R; +> и <Ry, >
изоморфны. И действительно, если определить отображение ср:
R R как фх) = е\ то это отображение — биекция, для которой
фх+у) =	= е* • е' = фх)  фу).
Пример 7.1.9.2 (изоморфизм моделей). Покажем, что модели
<R; <> и <R: >> изоморфны. Определим отображение фх) = —а. Это
отображение — биекция и фх) > фу) <=> —а > —iy <=> х < у.
Определение 7.1.10 (автоморфизм). Автоморфизмом называет-
ся изоморфизм алгебраической системы на себя. Автоморфизм, яв-
ляющийся тождественным отображением, называется тривиальным.
Определение 7.1.11 (подсистема). Подсистемой алгебраической
системы <А; £1^ £1R> называется алгебраическая система <Л’; О/;
Qr’>, в которой А ’ с: Л, значения всех операций из на А ’ совпадают
со значениями операций из Qf и отношения из на А’ совпадают с
отношениями из G1R. При этом подмножество А’ называется замкну-
тым в системе <А\	O.R>.
Подсистема алгебры называется подалгеброй, а подсистема мо-
дели — подмоделью. Заметим, что алгебра может быть изоморфна
своей подалгебре.
Пример 7.1.11 (подалгебра, изоморфная алгебре). Алгебры
<N; +> и <{2, 4, 6,...}; +> изоморфны. Если определить отображение
ф N —• {2, 4, 6,...} как фх) = 2-х, то это отображение — биекция, для
которой фх + у) = 2 • (х + у) = 2- х + 2- у = фх) + фу).
Теорема 7.1.1 (пересечение подсистем). Пересечение произволь-
ной совокупности подсистем любой алгебраической системы 21 с но-
сителем А либо пусто, либо является подсистемой.
Доказательство. Рассмотрим пересечение X произвольного се-
мейства {Лр ..., Ат} замкнутых подмножеств (см. определение 7.1.11 и
определение 6.1.10). Условие теоремы выполняется, если X либо пус-
то, либо замкнуто. В качестве результата упражнения 6.1.13 известно,
что пересечение любого числа замкнутых множеств является замкну-
тым множеством.
Общие понятия 153
И действительно, предположим, что X * 0. Произведем над про-
извольными элементами а....ап из X операцию Д из 21. В результате
получим элемент а е А. Поскольку произвольное множество А, е {Д(,
Л,,» замкнуто относительно операции Д и содержит элементы ар ...,
д , то а е А,, а значит, и а е X. •
Пусть 21 = <А‘. Q> и В с А. Обозначим через 25 пересечение всех
подсистем, содержащих множество В. По условию теоремы 7.1.1 23
является подсистемой. Но, кроме того, 23 есть наименьшая алгебраи-
ческая подсистема, содержащая множество В.
Определение 7.1.12 (подсистема, порожденная множеством,
система образующих, порождающее множество). Пусть 23 есть
наименьшая алгебраическая подсистема системы 21, содержащая мно-
жество В. 23 называется подсистемой системы 21, порожденной мно-
жеством В. а элементы множества В называются системой образую-
щих для подсистемы 23. Если подсистема 23 совпадает с 21, то В называ-
ется порождающим множеством для системы 21.
Определение 7.1.13 (замыкание множества в алгебраической
системе). Носитель наименьшей алгебраической системы 23, содер-
жащей множество В, называется замыканием множества В в алгеб-
раической систе.ме 23.
Теорема 7.1.2 (единственность продолжения до гомоморфиз-
ма). Если отображение ф. А — В может быть продолжено до гомомор-
физма <р алгебраической системы 21 в однотипную ей алгебраичес-
кую систему S3, то это продолжение единственно.
Доказательство. Пусть А — система образующих алгебраичес-
кой системы 21, и <рг <рг — гомоморфизмы 21 в однотипную ей алгебра-
ическую систему 23. Нужно доказать, что если <р,(а) = <р2(а) для всех
а е А, то <pt = <р,.
Множество всех а е А, таких, что <pt(a) = <р,(а) является подсисте-
мой алгебраической системы 21. Эта подсистема содержит систему
образующих А, поэтому она совпадает со всей алгебраической систе-
мой 21. •
Определение 7.1.14(^-свободнаяалгебра, системаХ-свободных
образующих). Пусть М — какой-нибудь класс однотипных алгебр. Я-
свободной, или свободной в классе X, называется алгебра 21 е К, если
ее носителем является такое множество А, что А порождает 21 и любое
отображение ф: А — В. где В— носитель любой алгебры 23 е X. может
быть продолжено до гомоморфизма <р алгебраической системы 21 в
В этом случае А называется системой Х-свободных образующих
для 21.
Определение 7.1.15 (прямое произведение систем). Прямымпро-
и гдением алгебраических систем 21 = <А; ft.ft; г.г(> и 23 = <В;
154
Общие понятия
g gt; р, р,> типа <т mk; п лг,> называется алгебраическая
система 21 х 23 = <А х В; ht, .... ht; q...qt> того же типа, такая, что
выполняются условия:
1)	для любых х,, хг ..., хт е Л. у,, у,.ут е В и для любых i, таких,
что 1 < i < к, имеет место h^x^ у,>........<хт , у„ >) =
= <f,(xl.J, g,(y...... ym, )>;
2)	для любых х,, х,..хт е Л, у,, у,.....ym 6 В и для любых j, таких,
что 1 < j < I, имеет место ^(<х,, у,>......<х„ , У„, >) <=>
<г,(х,...x„t ).Pj(yt. ymj )>.
Прямое произведение алгебраических систем 21,. 21,,	.. 21п
обозначается П ", а прямое произведение алгебраической системы
п
21 на себя п раз называется степенью алгебраической системы 21 и
обозначается 21".
Пример 7.1.15. Рассмотрим прямое произведение алгебраичес-
кой системы 21 = <R; +; < > на себя. Носителем алгебраической систе-
мы 212 является множество пар вещественных чисел <х. у> с операци-
ей покоординатного сложения и отношением порядка <, таким, что
<х,, у,> < <х„ у,> <=> х, < х, и у, < у„ так что одна пара меньше или равна
другой тогда и только тогда, когда каждая координата первой пары мень-
ше или равна соответствующей координате второй пары.
Определение 7.1.16 (полугруппа). Полугруппой называется ал-
гебра <А; ®>, в которой операция ® удовлетворяет свойству ассоци-
ативности:
VаеА VbeA УсеА (а ® (Ь ® с) = (а ® Ь) ® с).
Определение 7.1.17 (моноид). Моноидом называется алгебра
<А; ®, 1>, в которой операция ® удовлетворяет свойству ассоциатив-
ности и существует элемент 1, такой, что
Х/деЛ (1 ® а = а ® 1 = а).
Константа 1 называется единичным элементом (иногда говорят
нейтральным элементом) относительно операции ®.
Пример 7.1.17. Покажем, что множество всех последовательнос-
тей символов а. Ь, с, ... (включая пустую последовательность) с опера-
цией конкатеналщи (приписывания слов) и с пустой последовательнос-
тью в качестве единичного элемента является моноидом. Действитель-
но, данное множество замкнуто относительно операции конкатенации;
операция конкатенации ассоциативна: пустое слово является единицей
относительно операции конкатенации (приписывание пустого слова не
меняет исходного слова) Множество всех таких последовательностей
называется множеством слов в алфавите {а. Ь, с. ... [.
Общие понятия
155
Определение 7.1.18 (группа). Группой называется алгебра
<А; ®. Л 1 >. если операция ® удовлетворяет свойству ассоциативно-
сти. 1 - - единичный элемент относительно операции ®.	— унарная
операция, обладающая свойством:
Мае А (а ® а~‘ = а~' ® а = 1).
Элемент а 1 называется обратным элементом относительно опе-
рации ®.
О теории групп подробнее см. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И.
[ 1972], Ку рош А.Г. [ 1970], Понгряз ин Л.С. [ 1954], Ротман [ 1965], Ха ы [ 1959].
Упражнения
7.1.1.	Покажите, что следующие алгебры: <Q; +, • >, <Z; +. • >.
<Z ; +, •>, <N: +, • >, являются подалгебрами <R: +. • >.
7.1.2.	Используя определение 6.2.6, докажите, чю множество ото-
бражений образует моноид.
7.1.3.	Покажите, что если <р— гомоморфизм ал1ебры 21 в одно-
типную ей алгебру 23, то образ <р(21) алгебры 21 является подалгеброй
алгебры Ж.
7.1.4.	Покажите, что если <р— гомоморфизм алгебры 21 в одно-
типную ей алгебру 3 и р есть сюръекция из некоторой системы обра-
зующих алгебры 21 в систему образующих алгебры 23, то <р есть сюръ-
екция алгебры 21 в алгебру 03.
7.1.5.	Покажите, что гомоморфные образы алгебр всегда изомор-
фны подалгебрам, но гомоморфные образы моделей — ие обязатель-
но изоморфны подмоделям данной модели.
7.1.6.	Покажите, что замыканием множества {-1,1} в алгебре
<Q: +> будет множество Z целых чисел.
7.1.7.	Покажите, что если G — множество биекций, для каждой
пары которых существует композиция, то G является группой.
7.1.8.	Докажите для полугруппы следующие утверждения-
(7.1)	ef=g h=»e = g knh = kf для некоторого к либо
g = е  к nf= к  h для некоторого к;
(7.2)	£•/=/-£>=> для некоторого g и для некоторых натуральных
чисел т и п имеем е = g"' и/= g";
(7.3)	e2/2 = g2 =>e-f=fe.
7.1.9.	Множество термов Л может быть рассмотрено в качестве
алгебры термов, перенумерованной можеством (см. раздел 4.1).
Для этого необходимо определить операции и-(/) этой алгебры в сле-
дующем виде: для всех/"'е О.г и всех гр ..., tn е Л имеет место .
2„)) =/(/,, ..., гп). Покажите, что Л— свободная алгебра с порождающим
множеством V.
156
Дистрибутивные решетки
7.1.10.	Если рассматривать структуру 21 сигнатуры Q формализо-
ванного языка первого порядка той же сигнатуры как алгебру с основ-
ным множеством А( и операциями f, перенумерованными множе-
ством то условия 4, 5, 7 определения 4.1.13 означают, что 1 осуще-
ствляет гомоморфизм алгебры Jтермов в 21. Исходя из того, что л есть
свободная алгебра, докажите, что произвольную функцию опреде-
ленную на Vо такую, что /’(V) сЛг и удовлетворяющую условию
4, можно однозначно расширить до функции /, определенной на .Т о
Qf и удовлетворяющей условиям 4, 5, 7.
7.1.11.	Докажите, что произвольная функция определенная на
множестве атомарных формул и принимающая значения во множе-
стве {1,0}, допускает единственное расширение до функции 1, опреде-
ленной на множестве всех бескванторных формул и удовлетворяю-
щей условиям 9. 10, 11, 12 определения 4.1.13.
7.1.12.	Докажите, что произвольная функция Г. определенная на
Vuflf и(2ви принимающая значения в соответствии с условиями 1,
2, 3, 4, 5 определения 4.1.13, допускает единственное расширение до
интерпретации I.
7.2. Дистрибутивные решетки
Среди дистрибутивных решеток для логики особую роль шрают
булева и псевдобулева алгебры. Подробнее о них см. Биркгоф [1948],
Владимиров Д. А. [ 1969], Генкин [ 1950а, 1954,1954а], Мостовский [ 1937],
Расёва, Сикорский [ 1963], Сикорский [ 1960], Стоун [ 1934,1937,1937а],
Халмош [1954],Яглом И.М.[1980].
Определение 7.2.1 (решеточно упорядоченное множество).
Решеточно упорядоченным называется такое частично упорядочен-
ное множество <А; <>, для любых двух элементов а, b е А которого
существует точная нижняя грань inf {a, b} е А и точная верхняя грань
sup{a, £>} е А.
Вспомним, что верхней (нижней) гранью подмножества В час-
тично упорядоченного множества А называется любой элемент а. та-
кой, что b < а (а < Ь) для любого b е В. Точной верхней (нижней)
гранью подмножества В называемся наименьшая верхняя (наиболь-
шая нижняя) грань для В.
Определение 7.2.2 (решетка). Решеткой называется ал1ебра
<А; о, П>, операции о, П которой удовлетворяют следующим аксиомам:
(7.4)	Va е А (а и а = а),
(7.5)	Мае А (а п а = а),
(7.6)	МаеА МЬеА (а и b =	b и	а).
(7.7)	МаеА MbeA (a n b =	Ь	а).
Дистрибутивные решетки 157
(7.8)	Vae A	VbeA VceA (а и |/> и с)	= (а	и А) и с),
(7.9)	VaeA	VbeA VceA (а СУ (b су с)	= {а	су Ь) П	с).
(7 10)	VaeA	VbeA (а и (а п Ь) = а).
(7.11)	Vae A	VbeA (a n (a ub) = а).
Заметим, что если алгебра <А: и, г» является решеткой, го мо-
дель <А; <>, где отношение < определено следующим образом:
х < у <=>х п у = х и х и у = у,
представляет собой решеточно упорядоченное множество. С другой
стороны, если модель <А; <> является решеточно упорядоченным
множеством, то алгебра <А; и, г>>, где операции определены так:
х и у = sup{x. у} и х П у = inf{x. у}.
является решеткой.
Однако для подсистем решеток и подсистем частично упорядо-
ченных множеств данное соответствие может не сохраняться. Так,
подалгеброй любой решетки снова является решетка, а подмоделью
решеточно упорядоченного множества не обязательно является ре-
шеточно упорядоченное множество
Onpedeienue 72.3 (решетка с бесконечными объединениями и
пересечениями). Решеткой с бесконечными объединениями и пересече-
ниями называется решетка <А; и, П, (J , Q >, в которой для любых эле-
ментов a е А (I е Т) определены операции (J таким образом, что:
U а' = а, ... ej ar = sup{a,};
0я' = а, П... су a, = inf{a}.
re Г	*
Определение 7.2.4 (дистрибутивная решетка). Дистрибутив-
ной решеткой называется такая решетка <А\ о, п>, в которой опера-
ции ии п дистрибутивны одна относительно другой, т.е. выполняют-
ся тождества:
(7 12)	V аеА VbeA V се А (а о (Ь п с) = (а и Ь) су (а и <?)),
(7.13)	VaeA VbeA VсеА (а су (b с) = (а п Ь) и (а п с)).
Определение 7.2.5 (нуль и единица решетки). Нулем решетки
<А; и, гт> называется наименьший элемент множества А. Обознача-
ется он посредством 0. Ноль решетки существует тогда и только тогда,
когда для любого элемента а е А выполняется тождество
0 и а = а .
Единицей решетки <А; и, п> называется наибольший элемент
множества А. Обозначается он посредством 1. Единица решетки су-
ществует тогда и только тогда, когда для любого элемента а е А выпол-
няется тождество I су а = а
158 Дистрибутивные решетки
Если в решетке <А; и, п> существуют 0 и 1, то ее записывают в
виде <А; и, п, О, 1>
Предложение 7.2.1. Для любого элемента а е А выполняются
тождества 0 п а = 0 и I и« = 1.
Доказательство. Действительно, 0 п а = 0 п (0 и а). А по усло-
вию (7.11) определения 7.2.2 имеем: On (Оиа) = О. Тождество 1 и а = 1
доказывается аналогично. •
Определение 7.2.6 (фильтр решетки). Фильтром решетки на-
зывается непустое множество V с А в решетке <А; и, П>, если выпол-
няется условие
а г\Ь е V <=> а е V и b е V.
Данное условие эквивалентно тому, что
(i)	если a. be V, то a r\b е V,
(ii)	если а е V и be А. тоаи t Е V.
Определение 7.2.7 (идеал решетки). Идеалом решетки называ-
ется непустое множество ДсЛ в решетке <А; и, п>, если выполняет-
ся условие
аиЬеДоае А и b е А.
Данное условие эквивалентно тому, что
(i)	если а, b е А, то а и b е А,
(ii)	если а £ А и be А, то а о b е А.
Определение 7.2.8 (главный фильтр, главный идеал). Главным
фильтром (идеалом), порожденным элементом а0, называется мно-
жество V (А) всех элементов а > а0 (а < ап) для любого фиксированного
элемента а0 е А в решетке <А: о, п>, такое, что V (А) является фильт-
ром (идеалом).
Пример 7.2.8. Если решетка <А; и, т> имеет элемент 1 (элемент
0), то множество, составленное только из одного 1 (0), является фильт-
ром (идеалом), называемым единичным фильтром (нулевым идеа-
лам). Это — главный фильтр (идеал), порожденный элементом 1 (0)
Для каждого непустого множества Ао элементов из Л в решетке
<А; и, гу> существует наименьший фильтр V (наименьший идеал А),
содержащий Ао. А именно этот фильтр V (идеал А) является пересече-
нием всех фильтров (идеалов), содержащих А Наименьший фильтр V
(идеал А) называется фильтром (идеалом), порожденным множе-
ством Ао. Если в решетке <А; о, п> есть 1 (0), то условие непустоты
множества Ао может быть опущено: если Ав пусто, то единичный
фильтр (нулевой идеал) является фильтром (идеалом), порожденным
пустым множеством
Теорема 7.2.1. Фильтр (идеал), порожденный непустым множе-
ством А ’ решетки с основным множеством А, является множеством
Дистрибутивные решетки
159
всех таких элементов а е А, что а >а, п ... П ат (а < а, и ... и ат) при
некоторых элементах at, .... ат е А’.
Доказательство. Множество всех элементов а, удовлетворяю-
щих условию теоремы, содержится в любом фильтре, который содер-
жит А С другой стороны, это множество само является фильтром (в
силу определения 7.2.6) и содержит А ’, так что оно является наимень-
шим фильтром, содержащим АОтносительно идеала теорема дока-
зывается аналогичным образом. •
Элементы а....... е А’ данной теоремы называются системой
образующих фильтра (идеала).
Фильтр (идеал) в решетке <А; и, п> называется собственны и.
если он является собственным подмножеством А. Если в решетке
<А;о, П> присутствует 0 (1), то фильтр V (идеал А) является собствен-
ным тогда и только тогда, когда Ой V (1 й А).
Определение 7.2.9 (максимальный фильтр, максимальный иде-
ал). Максимальным называется такой фильтр (идеал), который явля-
ется максимальным элементом в упорядоченном множестве всех
фильтров (идеалов), являющихся собственным подмножеством мно-
жества А в решетке <А; и, п>.
Определение 7.2.10 (нижнее дополнение, или псевдодополне-
ние). Нижним дополнением, или псевдодополнением, элемента а в
решетке <А\ и, п, 0> называется такой элемент с е А, который являет-
ся наибольшим элементом со свойством а п с = 0. Нижнее дополне-
ние обозначается через -.
Определение 7.2.11 (решетка с псевдодополнением). Решеткой с
псевдодополнением называется такая решетка <А; и, п, -, 0>, в кото-
рой для каждого элемента а е А существует псевдодополнение а е А.
Понятие псевдодополнения можно обобщить до понятия относи-
тельного псевдодополнения.
Определение 7.2.12 (относительное псевдодополнение). Псев-
додополнением элемента а относительно элемента b в решетке
<А; и, гэ> называется элемент с 6 А, если с — наибольший элемент со
свойством а п с < Ь. Относительное псевдодополнение обозначается
через а => Ь.
Согласно определению 7.2.12, в решетке <А; и, г» для каждого
* 6 А имеет место
г < а => b тогда и только тогда, когда а П х < Ь.
Определение 7.2.13 (импликативная решетка). Импликативной
называется решетка <А; и, п> тогда и только тогда, когда а => b суще-
ствует для любых a, be А. Такая решетка имеет вид алгебры <А: и, п.
Импликативная решетка удовлетворяет следующим аксиомам:
160
Дистрибутивные решетки
(7.14)	Va е А (а и а = а),
(7.15)	Va е А (а П а = а),
(7.16)	XfaeA XfbeA (а о b =	b	и а),
(7.17)	XfaeA XfbeA (a n b =	b	п а),
(7.18)	XfaeA XfbeA XfceA (a	(b и с)	= (а и	Ь) и с),
(7.19)	XfaeA XfbeA XfceA (а	n	(b n c)	= (a n	b) n c),
(7.20)	XfaeA XfbeA (a<J(ar\b) = a),
(7.21)	XfaeA XfbeA ((а гл (a <jb)) = a),
(7.22)	XfaeA XfeA ((а Гл (a => £>)) = а гл b),
(7.23)	XfaeA XfbeA (((a => b) n b) = b),
(724} XfaeA XfbeA XfceA (((a => b)n(a =><?)) = (a => (bnc))),
(7.25)	XfaeA XfbeA (((о => a) n b) = b).
Определение 7.2.14 (фильтр импликативной решетки). Филь-
тром импликативной решетки называется непустое множество V с А
в решетке <А; о, п, =>>, если 1 е V и выполняется условие
если а е V и а => b е V, то be V.
Покажите, что данное условие в случае импликативной решетки
тождественно условию определения 7.2.6.
Определение 7.2.15 (псевдобулева алгебра). Псевдобулевои ал-
геброй называется импликативная решетка <А: и, п, =>> тогда и толь-
ко тогда, когда она содержит 0, т.е. если для каждого а е А существует
такое -а, что а = а => 0. Псевдобулева алгебра предстает, таким обра-
зом, как алгебра <А; и, п, =>, -, 0>. Она удовлетворяет всем аксиомам
импликативной решетки, а также двум следующим:
(7.26)	XfaeA XfbeA ((-(а => а) и Ь) = Ь),
(727)	XfaeA XfbeA (а => (-(а => а)) = -а).
Определение 7.2.16 (верхнее дополнение). Верхним дополнением
элемента а в решетке <А; о, г>, 1> называется такой элемент с е А,
который является наименьшим элементом со свойством а и с - 1.
Верхнее дополнение обозначается через —.
Определение 7.2.17 (решетка с верхним дополнением). Решет-
кой с верхним дополнением называется такая решетка <А; и, п, 1>, в
которой для каждого элемента а е А существует верхнее дополнение
~а е А Обозначается она через <А: и, п, —, 1>.
Определение 7.2.18 (дополнение). Дополнением элемента а в решет-
ке <А; и, п> называется такой элемент —а, что a v —а = 1, а л —а = 0.
Элемент с е А считается дополнением элемента а в решетке
<А; о, г\> в том и только в том случае, если с одновременно является
нижним дополнением и верхним дополнением элемента а.
Определение 7.2.19 (решетка с дополнением). Решеткой с до-
полнением называется такая решетка <А; о, п, 0, 1>. в которой для
Дистрибутивные решетки
161
каждого элемента а е А существует дополнение -та е А. Обозначается
она через <А\ и, п, О, 1>.
Определение 7.2.20 (булева решетка). Бхлевой решеткой назы-
вается дистрибутивная решетка с допо нением
Пример 7.2.20. Рассмотрим асе подалгебры некоторой алгебры с
конечным носителем и две операции: пересечение даух подалгебр и
нахождение минимальной алгебры, содержащей две данные алгебры.
В общем случае такой объект не является решеткой, так как пересече-
ние двух подалгебр может быть пусто. Но если к подалгебрам мы
добавим пустое множество, получим решетку.
Определение 7.2.21 (булева алгебра). Бхлевой алгеброй называ-
ется алгебраическая система <А; т, , —ч 0, 1 > с бинарными операци-
ями +. , унарной операцией -т и константами 0. 1, удовлетворяющими
следующим условиям:
(7.28)	VaG/1 (а - а = а),
(7.29)	VaeA (а + а = а},
(7.30)	VaeA VbeA (а  b = b  а),
(7.31)	VaeA VbeA (а + b = h + а).
(7.32)	VaeA	VbeA	VceA (а	- (Ь - с) = (а • Ь) с),
(7.33)	VaeA	VbeA	VceA (а	+ (Ь + с) = (а + Ь) + с),
(7.34)	VaeA	VbeA	VceA (а	• (Ь + с) = (а  6) + (а • с)),
(7.35)	VaeA	VbeA	VceA (а	+ (Ь  с) = (а + Ь)  (а + с)),
(7.36)	VaeA	VbeA	(-т(а  Ь)	= -та + -Л),
(7.37)	VaeA VbeA (-.(а + b) = -л  -Л),
(7.38)	VaeA (-т-л = а),
(7.39)	VaeA (а • -та = 0),
(7.40)	VaeA (а 0 = 0).
(7.41)	VaeA (а  1	= а),
(7.42)	VaeA (а +	-та = 1),
(7.43)	VaeA (а +	0 = а),
(7.44)	VaeA (а +	1 = 1).
Условия (7.28), (7.29) называются свойствами идемпотентности
операций •, + соответственно. Условия (7.30), (7.31) называются свой-
ствами коммутативности операций -. + соответственно. Условия
(7.32), (7.33) называются свойствами ассоциативности операций . +
соответственно. Условия (7.34), (7.35) называются свойствами дист-
рибутивности операций -, + соответственно.
Заметим, что если алгебра <А;	—ч 0, 1> является булевой, то она
является также булевой решеткой (покажите это). С другой стороны, если
алгебра <А; о, п, —ч 0, 1 > — булева решетка, то она также булева алгебра
(покажите это). На этом основании можно не различать сигнатуру буле-
вой алгебры и булевой решетки, что мы и будем делать в дальнейшем.
6 Зак. 784
162 Дистрибутивные решетки
Булева алгебра называется вырожденной, если 1 = 0.
Пример 7.2.21. Для произвольной теории первого порядка Т вве-
дем понятие конгруэнтного отношения или конгруэнции на множе-
стве формул Т. Символически это отношение станем обозначать че-
рез Пусть (р и \р произвольные формулы теории Т
<р= у/тогда и только тогда, когда формулы <р^> у/н (р являются
теоремами Т.
Формулы, конгруэнтные формуле (р. станем рассматривать как
класс эквивалентности I <р I Таким образом, множество У формул тео-
рии Т преобразуется в фактормножество .ft - (см. теорему 6.3.1).
Пусть v, л, э. —I, О, 1, 3, V операции теории Т Тогда множесгво всех
формул теории первого порядка Т преобразуется в булеву алгебру.
Данная разновидность булевой алгебры называется алгеброй Лин-
денбаума—Тарского 2l( Т) = <> / ~. о, п, =>. -i, 0. 1, |J , Q >. В этой
алгебре для любых формул <рн у/, таких, что I <р [ | \р |е .f/~ выполняют-
ся следующие тождества
(7.45)	I <р Ы у/1=1 <р и у/1
(7.46)	I (р |п| у/1=1 <рг> у/ [
(7.47)	1у)1=>|у/|=1у>=>уД
(7 48)	<р1=1-лр1
(7.49)	| U |=иНЛ)1,
teK	*еА
(7.50)	| Г)^*>| = Г1НМ.
ke К	кеК
В алгебре 21(7) отношение I <р I < I у/ I имеет место тогда и только
тогда, когда о у/ — теорема в Т Формула <р является теоремой в 7 в
том и только в том случае, если элемент I <р | является единицей в 21(7)
Формула <р неопровержима в Г а гом и только в том случае, если
I у>1*0. Теория Т непротиворечива тогда и только тогда, когда булева
алгебра 21(7) не вырождена.
Определение 7.2.22 (атом). На элементах булеаой алгебры вве-
дем порядок, понимаемый так: х< у у = х . Атомами назовем
наименьшие ненулевые элементы булевой алгебры относительно это-
го порядка.
Рассмотрим все подмножества некоторого множества А. те. Р(А).
Операции объединения и пересечения двух произвольных подмно-
жеств, а также операция дополнения множестаа X с А до множества А
являются алгебраическими операциями. Действительно, они опреде-
лены для любых подмножеств множества А. и результат этих опера-
ций снова подмножестао множества А Пустое множество и само
множество А тоже подмножества множества А. Данная алгебра
Дистрибутивные решетки
163
<P(A); U, n, —ч 0, A > называется алгеброй по д множеств (или ио те и
множеств) множества А.
Теорема 7.2.2 (теорема Стоуна). Любая булева алгебра изомор-
фна алгебре подмножеств подходящего множества (см. Стоун [1936]).
Например, если взять множество 3 = {1, 2. 3} и семейство всех его
подмножеств Р(3), то получится упорядоченное множество (см. рис. 7.2.2).
В этом множестве 0 будет играть роль нуля, {1,2,3} - роль 1, причем для
любых а. b е 3 будет существовать наименьшая верхняя грань а и /> и
наибольшая нижняя грань а П Ь, и для любого а е 3 можно будет найги
его дополнение -та. Данное множество будет изоморфно булевой алгеб-
ре 2’ (сравните диаграммы на рис. 7.2.1 и 7.2.2).
Рис. 7.2.1. Диаграмма для булевой алгебры 23
Э {1-2.3}
J 0
Рис. 7.2.2. Диаграмма частично упорядоченного множества Р(3)
164
Дистрибутивные решетки
Упражнения
7.2.1.	Покажите, что если ноль и единица существуют в решетке,
то они единственны.
7.2.2.	Покажите, что в решетке <А; п, 1> для любых а, b е А
а< b тогда и только и тогда, когда а => b= I.
7.2.3.	Покажите, что в решетке <А; сд, п, 0> для любых а, b е А
-а = а => 0.
7.2.4.	Покажите, что в дистрибутивной решетке <А; о, П, 0, 1>, в
которой определено дополнение, для любых а, b е А
а=> b = -^a<j Ь.
7.2.5.	Докажите, что каждая импликативная решетка является дис-
трибутивной, т.е необходимо показать, что
если а => ((« n b) и (а пс)), тоап (i>uc) = (anh)u(an с).
7.2.6.	Покажите, что модальный оператор “возможно, что.. ” мы
можем трактовать как операцию взятия внутренности. Тогда если для
произвольной формулы 0<р имеет место С <р 1= I С<р [ то для модально-
го исчисления высказываний можно построить алгебру Линденбау-
ма - Тарского.
7.2.7.	Используя псевдобулеву алгебру, построите алгебру Лин-
денбаума Тарского для интуиционистского исчисления предикатов
пераого порядка
7.2.8.	Покажите, что идеал двойствен фильтру.
7.2.9.	Докажите, что в решетке с бесконечными объединениями и
пересечениями выполняются отношения
(7.51)	°' < U а‘ для любого г„ е Т, ггТ	О’
(7 52)	Q а> - для любого fp е Т,
(7.53)	если а,< b для любого г е Т, го U а> - ,
(7.54)	если Ь<а для любого г е Т. то b < Q д„
(7.55) (7.56) (7.57) (7.58)	re Г	геТ uik=uik jgS геГ	кТ seS ПГИ.=ПГК, jeS /еГ teT seS UrwniR. sc 5 кТ	16T »eS
дистрибутивные решетки
165
(7.59)	(Ja, o|Jb, =|J(«, Uh,), теГ	reT	кТ
(7.60)	Qfi. nQb, = Q(a, ).
	кТ	№Г	reT
(7.61)	[J(a, nb,) <|Ja, n[Jb,,
	16 Г	re T	к 1
(7.62)	uQb, <Q(«, ubr)
	re Г	геТ	ГёГ
7.2.10.	Докажите, что в импликативной решетке с бесконечными
объединениями и пересечениями выполняются отношения:	
(7.63)	|J(«, => Ь) < (П«,) => ь'
	tcT	геТ
(7.64)	U (а => Ь,) < а => U Ь,
	1^1	1*Т
7.2.11.	Докажите, что а псевдобулевой алгебре с бесконечными
объединениями и пересечениями имеет место отношение	
	-и-^гь
	ге Г	геТ
и знак порядка нельзя заменить знаком равенства.	
7.2.12.	Докажите, что в псевдобулевой алгебре выполняются от-
ношения:	
(7.65)	-1 =0и-0= 1,
(7.66)	а п -а = 0,
(7.67)	-(а п -а) = 1,
(7.68)	а <—а.
(7.69)		а = - а.
(7.70)	-(а и b) = -а п -Ь,
(7.71)	-a<j -b< -(а п Ь),
(7.72)	-а и b < а => h.
(7.73)	а => b <-h => -а.
7.2.13.	Докажите, что в булевой алгебре с бесконечными обьеди-
нениями и	пересечениями выполняются отношения:
(7.74)	ЧЬ^А".,
	геТ	/еГ
(7.75)	
	геТ	/еТ
(7.76)	(J (о, => b) = (Q о,) => b
166
Модели теорий первого порядка
(Т.П)	U (а => Ь,) = а => U Ь, ItT	КТ
7.2.14. ния:	Докажите, что в булевой алгебре выполняются отноше-
(7.78) (7.79) (7.80) (7.81) (7.82) (7.83) (7.84) 7.2.15.	а и —та = 1, -	т(а п -та) = 1. —I—>а = а. —	i(o о Ь) = —л п —А, -	м и -тЬ = -т(а п 7>). —	та и b = а => Ь, а => b = —ib => —та. Покажите, что относительное псевдодополнение а => b
можно трактовать как 1(—м о Ь), а псевдодополнение -а — как 1-па.
7.3. Модели теорий первого порядка
Пусть У язык первого порядка, 21 — булева алгебра <А; и, п.
=>. —1, 0. 1. Р), (J >. Каждой «-местной функции/в У сопоставим и-
местную операцию в J. т.е. отображение /л: J' — J. Соответственно
индивидной константе в У сопоставим фиксированный элемент J. Каж-
дому «-местному предикату Р в У сопоставим «-местную функцию,
определенную на J со значениями в А, т.е. отображение Pt: J" — А. где
А — основное множество 21. Каждой логической связке -i. л, v, z>, V, 3
в У сопоставим соответственно операции п, и, =>,Q, (J булевой
алгебры 21. В результате каждую формулу <р в У будем рассматривать
как отображение <рА: Р9 — А (это следует из упражнений 7.1.9 — 7.1.12),
где V — множество всех встречающихся в <р свободных предметных
переменных. Заметим, что если <р — замкнутая формула, а значит,
множество V пусто, то <pt является постоянным элементом в А.
Определение 7.3.1 (оценка). Пусть V— множество пропозицио-
нальных переменных логики высказываний Г, и 21 — невырожденная
булева алгебра. Отображение г. V — А, сопоставляющее каждой пропо-
зициональной переменной р е V элемент из А. называется оценкой в А.
Пусть V — множество предметных переменных теории первого
порядка Т. и 21 — невырожденная булева алгебра. Отображение
г: Р9 — А называется оценкой в А.
Определение 7.3.2 (каноническая оценка). Пусть V — множе-
ство пропозициональных переменных логики высказываний Т. и
21(7)— невырожденная алгебра Линденбаума- Тарского (см. при-
мер 7.2.21). Отображение rn: V — 21(7), сопоставляющее каждой про-
позициональной переменной р е V элемент Ip 1g 21(7). называется
канонической оценкой для Т.
Mode in теорий первого порядка
167
Пусть V— множество предметных переменных теории первого
порядка Т, и 21(7) — невырожденная алгебра Линденбаума -Тарского.
Отображение г0: Т'9 — 91(7) называется канонической оценкой для Т.
Пусть .Т — множество всех формул теории первого порядка Т.
Каждая формула <р е .f однозначно определяет следующее отображе-
ние:
Фз(п: ro ~~-flт- едля каждой формулы <римеет место <р^п(г^ = I <р I.
Определение 7.3.3 (модель для множества формул). Моделью
для множа tea формул Е называется такая оценка г (см. определение
7.3.1) в невырожденной булевой алгебре 21, что для каждой формулы
(р е Е имеет место
Ф((г)=1.
Определение 7.3.4 (модель для теории). Пусть L множество
нелогических аксиом теории первого порядка Т. Моде чью для теории
7" называется такая оценка г (см. определение 7.3.1) в невырожденной
булевой ал1ебре 21, что для каждой формулы <ре L имее! место
фл(г)= 1.
Заметим, что если <р — теорема теории первого порядка Тс нелоги-
ческими аксиомами L. то каждая модель для Т является моделью для (р.
Определение 7.3.5 (формула, общезначи мая в булевой алгебре).
Формула <р называется общезначимой в булевой алгебре 91, если каж-
дая оценка г является моделью для ф в булевой алгебре 91.
Определение 7.3.6 (общезначимая формула). Формула <р называ-
ется общезначимой, если она общезначима в любой булевой алгебре 91.
Теорема 7.3.1. Пусть Т — теория первого порядка с нелогически-
ми аксиомами L и 7" теория первого порядка с нелогическими
аксиомами L и {ф[. Формула фявляется теоремой в теории Г’тогда и
только тогда, когда формула фо (//является теоремой в теории Т.
Доказательство. Если формула ф э ф — теорема в Г. то она
также теорема в Г' и по правилу отделения ф - теорема в Г’.
Если формула <р о ф — не теорема в 7", то существует оценка г в
двухэлементной булеаой алгебре, такая, что г не является моделью для
фэ ф. Следовательно,
фл(г) => ф/г) = (ф=> ф)л(г) = 0.
Поэтому фл(г) = 1, а ф/г) = 0, так что г является моделью для ф, а не
Для ф В результате фне является теоремой теории Т'. •
Теорема 7.3.2. Формула фявляется теоремой в теории Тс нелоги-
ческими аксиомами L в том и только в том случае, если существует
такая конъюнкция ф конечного числа аксиом из L, что формула ф о ф
общезначима.
168
Modem теорий первого поряока
Доказательство. Предположим, что у - теорема теории Т. Тог-
да существует конечное непустое множество L’ с L, такое, что у сле-
дует из L'. Пусть <р — конъюнкция всех формул в L’. В силу правила
отделения и законов коммутативности конъюнкции у выводимо из (р.
Значит, у является теоремой в теории с нелогическими аксиомами
{ф} и по теореме 7.3.1 у о у является теоремой в теории с пустым
множеством нелогических аксиом. Следовательно, фз у— общезна-
чима в любой булеаой алгебре 21.
И наоборот, если существует такая конъюнкция у аксиом из L, что
фз у общезначима, то ф является теоремой теории Т, а значит, в силу
правила отделения у также является теоремой теории Т. •
В данном разделе будем использовать более широкое понятие
фильтра.
Определение 7.3.7 (^-фильтр). Фильтр V g 21(7) называется Q-
филыпром, если I ф(х) I g V влечет то, что элемент I | также
принадлежит V.
Таким образом, если | ф I принадлежит V и имеется универсаль-
ное замыкание Vx ф формулы ф, то I Vxф I также принадлежит V.
Теорема 7.3.3. Пусть L — множество нелогических аксиом тео-
рии Т, 21(7) — невырожденная алгебра Линденбаума Тарского. Пусть
также для каждого множества L формул в языке Т множество V0£
будет множеством асех элементоа I ф |g 21(7), таких, что ye L, а мно-
жество V£ будет множеством всех элементов I ф I g 21( Т). таких, что ф
является теоремой теории Г с нелогическими аксиомами L:
(1) I ф |е V£ в том и только в том случае, если ф теорема теории Т.
является Q-фильтром в булевой алгебре 21(7). a V0L - - его сис-
темой образующих (см. теорему 7.2.1). Теория Т с нелогическими ак-
сиомами L непротиворечива в том и только в том случае, если фильтр
V£ является собственным.
Доказательство. В силу теоремы 7.3.2 формула ф является тео-
ремой теории Т в том и только в том случае, если существует такая
конъюнкция формул <pf. ..., <рт из L, что формула z> <р явля-
ется общезначимой (это верно и в том случае, если формулы (о,.<рт
являются замкнутыми), т. е. I о <р 1=1.
т
На этом основании у является теоремой теории Т тогда и только
тогда, когда существуют такие формулы .а>, е L. что
Пк1< |ф1
>п
теорий первого порядка	169
-------
По теореме 7.2.1 это доказывает первую часть теоремы.
Известно, что теория Т непротиворечива в том и только в том
случае, когда существует формула, не являющаяся теоремой теории Т
(см упражнение 3.2.3). В силу (1) это эквивалентно утверждению, что
Q-фильтр VL является собственным. •
Теорема 7.3.4. Формула /р неопровержима в теории Т с нелоги-
ческими аксиомами L тогда и только тогда, когда теория Г' с нелоги-
ческими аксиомами L о {^} непротиворечива.
Доказательство. Q-фильтр, порожденный V и I <р L является
собе I венным в том и только в том случае, если -J (р <t V, (см раздел
2).»
Теорема 7.3.5. Теория Т' в языке Ч с нелогическими аксиомами
£' является расширением теории Т а том же языке У с нелогическими
аксиомами L тогда и только тогда, когда Vtc V£.
Доказатезьство. По определению Т' является расширением те-
ории Т в том и только в том случае, если все теоремы, вытекающие из
множества L, содержатся среди теорем, вытекающих из множества L ,
и по условию теоремы 7.3.3 это эквивалентно включению V£ с . •
Теорема 7.3.6 (теорема Линденбаума для собственных фильт-
ров). Теория первого порядка Т с нелогическими аксиомами L являет-
ся полной тогда и только тогда, когда Q-фильтр VL является макси-
мальным.
Доказатезьство. (Используется теорема 3.2.2). Расположим все
высказывания языка в виде некоторой последовательности <р,, <pt, ip,,
.... <ра, ... Образуем теперь возрастающую цепь Q-фильтров
(Ь ^о=^сУиС%С~С?£.С"
Строится данная последовательность так. Если Lo О {(0(.( непроти-
воречиво, полагаем Lt = Lo и {<р0}. В противном случае принимаем
7., = Z.G. На а-м шаге мы полагаем , = La и {(Эо [, если Lo U непро-
тиворечиво, и Ld+1 = Lo в противном случае Для предельных ордина-
лов а(см. определения 6.3.14 и 6.3.15) строим объединения: 7-а = ^^ -
За L принимаем теперь объединение всех множеств Lu. Следователь-
но, в силу теоремы 7.3.4 имеем максимальный Q-фильтр V,. •
Все теоремы данного раздела можно доказать и применительно к
интуиционистским теориям первого порядка (см. определение 4.3.3).
Для этого во всех определениях и теоремах вместо булевой алгебры
необходимо рассматривать псевдобулеву алгебру, а вместо атгебры
Линденбаума Тарского 21(7) = О, П, =>, —, 0, 1, Q, (J>, строя-
щуюся на базе булевой алгебры, — такую, что все операции О, П. =>,
-• 0. 1. Q, Q являются уже операциями псевдобулевой алгебры.
170 Modem теории первого поряс)кд
Подробнее о моделях теорий первого порядка см Расёва, Сикорский
[1963]
Теории первого порядка яаляются простейшими математически-
ми теориями. Все они строятся на дедуктивном уровне критического
мышления.
Упражнения
7.3.1.	Докажите, что каждая формула, доказуемая в логике выска-
зываний, общезначима (см. определение 7.3.6).
7.3.2.	Используя понятие фильтра, докажите, что формула <р не
является теоремой теории Т с нелогическими аксиомами L тогда и
только тогда, ко!да теория Г с нелогическими аксиомами L и {-40}
непротиворечива.
7.3.3.	Докажите, что теория Т' в языке 9 с нелогическими аксио-
мами L' является эквивалентной теории Т в том же языке 9 с нслоги-
ческими аксиомами L тогда и только тогда, когда VL = V
7.3.4.	Пусть Т — максимальное непротиворечивое множество
высказываний. Тогда докажите, что
1.	для каждого высказывания (р точно одно из двух высказываний
<р и —j <р I принадлежит V,
2.	для каждой пары высказываний у> и yj высказывание <р л yj I
принадлежит множеству V тогда и только тогда, когда и I I и
I у/ I принадлежат множеству V;
3.	для каждой пары высказываний у> и yj высказывание I <р v у I
принадлежит множеству V тогда и только тогда, когда и —J <р 1 и
—J у/ не принадлежат множеству V:
4.	для каждой пары высказываний <р и у/ высказывание I <р о у/ I
принадлежит множеству V тогда и только тогда, когда и I <р и
—1| у/ I не принадлежат множеству V.
7.3.5.	Докажите все теоремы раздела 7 3 применительно к интуи-
ционистским теориям первого порядка.
7.3.6.	Докажите, что формула — <р не является теоремой интуи-
ционистской теории первого порядка Т с нелогическими аксиомами
L тогда и только тогда, когда теория Т' с нелогическими аксиомами
L О { у>} непротиворечива.
ГЛАВА 8. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Занимаясь обоснованием, критическое мышление стремится при-
держиваться аксиоматического метода, т.е выводить новое знание
из уже имеющегося с помощью одних только правил логики Тем са-
мым критическое мышление полагает в основе используемого комп-
лекса знания конечный или бесконечный список постулатов, опреде-
ляемый явно, и некоторый набор логических правил вывода, предус-
матриваемый явно или неявно и служащий для образования всех
утверждений, вытекающих из введенных постулатов. На базе аксиома-
тического метода выстраиваются все математические теории
В предыдущей главе были рассмотрены модели теорий первого
порядка, а теперь мы рассмотрим произвольные аксиоматические
теории и их модели. В последнем разделе данной главы будут доказа-
ны теоремы о неполноте, устанавливающие жесткие границы приме-
нимости аксиоматического метода
8.1. Аксиоматизируемые классы моделей
Определение 8.1.1 (формула, истинная на классе X, и формула,
выполнимая на классе Si).
(1) Пусть задан какой-нибудь класс алгебраических систем X сиг-
натуры Я Замкнутая формула <р сигнатуры Я называется истинной
на классе X, если <р истинна на каждой алгебраической системе класса
X. Замкнутая формула <р называется выполнимой на классе X, если <р
истинна на некоторой алгебраической системе класса X.
(2) Пусть формула (р сигнатуры Я содержит свободные пере-
менные Она называется истинной на классе X, если <р истинна на
каждой алгебраической системе Т? класса X, при любом задании в 71
свободных переменных формулы <р, не входящих в сигнатуру X Фор-
мула <р называется выполнимой на классе X. если <р истинна на неко-
172 Аксиоматизируемые классы моделей
торой алгебраической системе Ui класса Я. на которой можно так
задать значения всех свободных переменных формулы <р, не входя-
щих в сигнатуру Т?, чтобы при этих значениях формула <р была ис-
тинной на Т?.
Определение 8.1.2 (формулы, эквивалентные на классе ft). Про-
извольные формулы (р, у сигнатуры Q называются эквивалентными
на классе ft' алгебраических систем сигнатуры Q, если на каждой сис-
теме класса ft истинной является формула
Определение 8.1.3 (формулы, конгруэнтные на классе ft). Про-
извольные формулы <р, у/ сигнатуры <2 называются когруэнтными на
классе ft алгебраических систем сигнатуры Q, если на некоторой сис-
теме класса ft истинной является формула <р <=>1/. Тогда отношение <=>
является отношением конгруэнции.
Определение 8.1.4 (соответствие Галуа). Пусть А и В - некото-
рые множества и R — подмножество произведения Ах В Для любого
X с Л определим подмножество X* множества В равенством
X* = {у е В I <х, у> е R для всех г е X)
и для любого У с В определим подмножество Y* множества А равен-
ством
У* = {jc е A I <х. у> е R для всех у е К}
Соответствием Галуа называются отображения
Х-Х*, У —У*.
обладающие следующими свойствами:
		если X, с Х2. то X* о X*
(1)		если У, с У,, то У,* a Y*.
(2)		X с X**. У с У**.
(3)		Jf*** _ Jjpjc
Таким образом, соответствие Галуа задает отображение множеств
Р(А). Р(В) друг в друга с выполнением условий (1), (2), (3).
Определение 8.1.5 CL- модель). Пусть Е некоторая совокупность
замкнутых формул сигнатуры О. Класс всех алгебраических систем
сигнатуры Q, на каждой из которых истинны все формулы из Е, будет
обозначаться Е*. Всякая алгебраическая система сигнатуры Q из Е*
называется моделью для Е или Е-.иодедью
Определение 8.1.6 (аксиоматизируемый класс). Класс алгебра-
ических систем сигнатуры Q вида Е* для некоторого множества Е
Условие (3) является производным от (1) и (2).
Аксио матизируемые классы моделей
173
предложений называется аксиоматизируемым классом, а Е называ-
ется множеством аксиом.
Если Е конечно, го аксиоматизируемый класс Е* называется эле-
ментарный. Заменяя конечное множество Е конъюнкцией его эле-
ментов, видим, что элементарный класс всегда может быть определен
одной аксиомой.
Определение 8.1.7 (элементарная теория). Пусть ft — произ-
вольный непустой класс алгебраических систем сигнатуры Q. Сово-
купность всех замкнутых формул теории первого порядка сигнатуры
<1, истинных на классе ft, называется элементарной теорией класса ft'
и обозначается ft*.
Определение 8.1.8 (модельно-замкнутое множество формул).
Множество формул вида ft*, где ft — некоторый класс алгебраических
систем сигнатуры Q, называется модельно-замкнутым.
Заметим, что модельно-замкнутое множество Е будет элементар-
ной теорией тогда и только тогда, когда оно является собственным под-
множеством множества всех производных предикатов над некото-
рым алфавитом (т.е. является собственным подмножеством множе-
ства П всех правильно построенных формул). Действительно, теория
Е истинна для некоторой модели, так что (ре Е. И наоборот, модельно-
замкнутое множество, не являющееся теорией, имеет вид 0* = Q
Следовательно, Е будет теорией тогда и только тогда, когда <р е Е.
Определение 8.1.9 (Q-теорема). Всякое предложение из ft* назы-
вается теоремой в ft или Q-теоремой.
В определениях 8.1.5 - - 8.1.8 установлено соответствие Галуа
Е — Е* и ft — ft*, такое, что
(|) любому множеству Е формул соответствует класс Е* всех тех
алгебраических систем сигнатуры Q, в которых все формулы из
Е истинны;
(ii) любому классу ft алгебраических систем сигнатуры Q соответ-
ствует множество ft* всех формул, истинных на каждой систе-
ме класса ft.
Поэтому имеют место отношения:
1. если Е, с Е2, то Е,* □ Е,*;
2. если ft, с ft,, то ft,* □ ft,*.
Заметим также, что ft с ft**.
Теорема 8.1.1. Класс ft алгебраических систем сигнатуры Q акси-
оматизируем тогда и только тогда, когда существует такая совокуп-
ность Е замкнутых формул теории первого порядка сигнатуры О, что
ft = E*.
Доказательство.
=>. Если ft = ft**, то в качестве Е можно взять ft*. Тогда ft = Е*.
174
Аксиоматизируемые классы моделей
<=. Пусть Е — такая совокупность замкнутых формул теории пер-
вого порядка chi натуры £2, что ft = Е*. Так как Е с .ft*, то Е* □ ft**. С
другой стороны, ft с ft**. Следовательно, ft = ft** •
Следствие 8.1.1. Модельно-замкнутые множества формул сш-
натуры £2 образуют систему замыканий множеств, которым посред-
ством биекции
£ - £*, ft — ft*
сопоставлены аксиоматизируемые классы алгебраических систем
сигнатуры £2. •
Теорема 8.1.2. Пусть V-формула сигнатуры £2
(8.1)	Vx, ... Vx„p(x,..хл, у,,..., уя),
где все переменные кроме х,. ..., хл входят свободно в <р, истинна на
некоторой алгебраической системе 3)1 класса ft сигнатуры £2 для неко-
торых значений у, = у ,о ..уп = у„о в ЗИ. Тогда для этих значений у,
.... уЯо формула (8.1) истинна и на любой подсистеме 31 с 3)1. содержа-
щей элементы у. ....у_ .
Доказательство. Истинность формулы (8.1) в точке у, = у,о.
уя = уЯо означает, что бескванторная формула <р(х,, .... хл, у,п, ..., у )
истинна для любых значений переменных х...... в ЗЯ. Но тогда эта
бескванторная формула истинна и для всех значений х........ из 31, т. е.
формула (8.1) истинна на системе 31 в точке у1л, ..., уЯо. •
Следствие 8.1.2. При т = 0 теорема 8.1.2 обращается в следую-
щее утверждение: если универсальная замкнутая формула истинна на
какой-либо алгебраической системе, то она истинна и на любой ее
подсистеме. •
Теорема 8.1.3. Пусть 3-формула сигнатуры £2
(8.2)	Зх, ... Зх„ <р(х.хл,у„...,уя),
где все переменные, кроме х,, ..., хл, входят свободно в <р, истинна на
какой-то алгебраической системе 31 класса ft сигнатуры £2 в точке у, =
= у1о,..., уя = уЯо. Тогда формула (8.2) истинна на каждой системе 3)1.
содержащей 31 в качестве своей подсистемы, в той же точке у, = у(о,...,
Уа = У 
Доказательство. Отрицание формулы (8.2) эквивалентно V-фор-
муле
(8.3)	Vx, ... Vxn—.<р(х........уя).
Если бы формула (8.2) была ложна в точке у1о. у на системе
3)1, то V-формула (8.3) была бы истинна на 3)1 в точке у,о,.... уЯс Тогда
по теореме 8.1.2 формула (8.3) была бы истинна в точке у,о...., уЯо на
системе 31, т. е. формула (8.2) была бы ложна в точке у, . у на X
что противоречит предположению. •
Аксиоматизируемые классы моделей
175
Следствие 8.1.З.1. При т = 0 теорема 8.1.3 обращается в следую-
щее утверждение: если экзистенциальная замкнутая формула истинна
на какой-либо алгебраической системе, то она истинна и на любой ее
надсистеме •
Следствие 8.1.3.2. Существуют V-формулы (Э-формулы), не эк-
вивалентные никакой Э-формуле (V-формуле). •
Казалось бы, весьма простые теоремы 8.1.2 и 8.1.3 лежат в основе
доказательства локальных теорем Мальцева А.И. [1941] — наиболее
принципиальных теорем теории моделей.
Упражнения
8.1.1.	Покажите, что если бескванторные формулы истинны на
какой-то алгебраической системе 3? класса ft сит натуры Q, то они ис-
тинны и на подсистеме системы Л и на надсистеме системы Л.
8.1.2.	Покажите, что при любом соответствии Галуа отображение
X — X** есть оператор замыкания в А, а У — У** есть оператор замы-
кания в В, при этом соответствие Галуа определяет биекцию между
этими двумя системами замыканий.
8.1.3.	Используя определение 8.1.1, установите, что имеют место
следующие зависимости:
(а)	Формула лр тогда и только тогда невыполнима (истинна) на
классе ft. когда на классе ft истинна (невыполнима) формула —.лр.
(Ь)	Формула лр тогда и только тогда неистинна (выполнима) на
классе St, когда на классе ft выполнима (неистинна) формула —.лр.
(с)	Формула лр, л... л фп тогда и только тогда истинна на классе St,
когда на классе ft' истинна каждая из формул лр,, .... лрп, в противном
случае формула лр, л... л лрп неистинна на классе St.
(d)	Формула лр, л... л лрл тогда и только тогда выполнима на классе
ft, когда на некоторой алгебраической системе класса ft истинна каж-
дая из формул лр..ф^ а если нет такой алгебраической системы, то
она невыполнима.
(е)	Формула ф, v... v лрл тогда и только тогда выполнима на классе
ft, когда на классе ft выполнима хотя бы одна из формул лр,.ф„, и
невыполнима в противном случае.
8.1.4.	Покажите, что всякая модель является упорядоченным мно-
жеством с условием минимальности.
8.1.5.	Докажите, что формула лр принадлежит ft* тогда и только
тогда, когда ее универсальное замыкание является ft-теоремой
8.1.6.	Докажите, что теорема Гёделя о полноте эквивалентна тому,
что £ = £**.
8.1.7.	Покажите, что класс ft систем сигнатуры Q является аксио-
матизируемым тогда и только тогда, когда ft = ft**.
176	Элементарные теории
8.1.8.	Покажите, что алгебра всех предложений является алгеброй
Линденбаума Тарского, если ее основное множество рассматривать
как фактормножество по конгруэнции.
8.2.	Элементарные теории
Определение 8.2.1 (множество свидетелей). Пусть Г— некото-
рое множество предложений в языке У, а С — некоторое множество
константных символов языка 9. Множествам свидетелей для Т в язы-
ке У называется такое множество С. что для всякой формулы <р языка 9,
содержащей не более одной свободной переменной х, существует
такая константа с е С, что
(8.4)	Гн Зх (р о <р(с).
Будем говорить, что Г имеет свидетелей в языке У, если для
Г в У существует некоторое множество свидетелей С
Теорема 8.2.1. Пусть Г— непротиворечивое множество пред-
ложений в языке У. С — множество константных символов, мощ-
ность С которого равна 9 , и пусть У = С — обогащение языка У.
полученное добавлением к У7всех констант из множества С. Тогда мно-
жество Г можно расширить до такого непротиворечивого множества
Г предложений языка У., что С является множеством свидетелей Г в
языке 9 с.
Доказательство.\\уель ci=<j . ПоложимС= {ср I Р<а},гдеср—
некоторый константный символ, не принадлежащий языку У, и пусть
9с = 9 о С Очевидно, что / = а. На этом основании все формулы <р
(где %< а) языка У, которые удовлетворяют условию (8 4) определения
8.2.1, можно расположить в некоторую последовательность.
Определим теперь по индукции две последовательности:
1	последовательность предложений (где § < а) в языке 9р такую,
что Т= Го с Г, с...с Г? с...,
2	. и последовательность d (где £ < а) констант из множества С
Индуктивное определение следующее:
(i) каждое множество Т, непротиворечиво в языке У.,
(i) если £ = £+1,то Г?= Г.о {3x. <p z> <рУг7.)}, где
формула Зх. <р. о (p)d.) удовлетворяет условию (8.4) определе-
ния 8.21,
(ii) если — предельный ординал, отличный от 0, то
г.= ил-
’ i<i
Пусть теперь d. — первый элемент множества С, не фигурирую-
щий в предложениях из Г. Покажем, что множество
Эле иентарные теории 177
непротиворечиво. Допустим, что это не так. Тогда Т. I-r(3x. <р z>
tp\d )). По правилам логики высказываний получаем Т н Зх. <р л
л —Символ d не входи г в предложения из Г, поэюму по прави-
лам логики предикатов получаем
Г I- V х. (Эх <р. л —,<рА х.)),
V I- Эх; tp. л —i3x <pXd ).
Мы пришли к противоречию. хо<я Т — непротиворечивое мно-
жество. Следовательно, множество непротиворечиво.
Если же £ — ненулевой предельный ординал и каждое множество
из возрастающей цепи Г. (где £< £) непротиворечиво, то непротиворс-
I I Г	I I Т
чиво и множество Л = Сэ - Положим теперь Т = ’-> -.Тогда Т —
расширение множества Т, непротиворечивое в языке •
Теорема 8.2.2. Пусть Е - произвольное множество предложе-
ний в языке •/. Множество Е непротиворечиво тогда и только тогда,
когда оно имеет модель.
Доказат ел ьство.
<=. По определению модели, всякое множество предложений, име-
ющее модель, является непротиворечивым.
=>. Предположим, что Е непротиворечиво. Воспользовавшись те-
оремой 8.2.1, рассмотрим такое расширение Е множества формул Е
и такое расширение языка '/ (по-прежнему у = у ), что Е имеет в
7г множество свидетелей. Пусть Т? — модель для Ел. которая определя-
ется следующим образом:
1	М = {I с 1Л I с е С}, где М — носитель ЭИ, и С — множество
константных символов для Ег.
2.	Для каждого п-местного предикатного символа Р языка 7 опре-
делим n-местное отношение на множестве С: P(ct,... сл) е Е
тогда и только тогда, когда Р^с,,... сл), т.е.	с, I*.... I сп 1Л).
3.	Для каждого п-местного функционального символа/языка У оп-
ределим п-местную функцию/w на множестве С:	... сп) = с) е
Ег тогда и только тогда, когда//<?,,.... сл) = с, T.e./v/(l с,  I сл л) = с.
Легко проверить, что Т? модель для Е(. И действительно, для
любого предложения <р языка Ч' можно установить посредством ин-
дукции по длине формулы, что Т? f= <р тогда и только тогда, когда <р е Е
Поскольку VI — модель обогащенного языка 'fc. рассмотрим так-
же модель Э? языка V, представляющую собой обеднение модели Т? до
модели языка Ч. Поскольку в предложения из множества Е не входят
константы языка Че не принадлежащие языку Ч', получаем, что 9?
модель множества Е. •
178 Эле ментарные теории
Следствие 8.2.2. Всякая непротиворечивая теория Т, сформули-
рованная в языке У, обладает моделью, мощность которой не пре-
восходит” .
Доказательство. В доказательстве теоремы 8.2.2 можно так по-
строить модель ЭД, что каждый ее элемент является некоторой кон-
стантой Пусть М — носитель модели ЗД и W - носитель модели 31.
Тогда мы получаем, чтоМ =~N ~9c=~<j *
Согласно следствию 8.2.2, если некоторое предложение имеет мо-
дель, то оно имеет не более чем счетную модель.
Теорема 8.2.3 (теорема Гёделя о полноте). Предложение фязы-
ка 9’является теоремой тогда и только тогда, когда оно истинно.
Доказательство.
=>. Если предложение <р является теоремой, то <р истинно по тео-
реме адекватности (теорема 3.2.1).
<=. Если предложение ф не является в языке / теоремой, то {—>ф[
непротиворечиво в 9. По теореме 8.2.2 предложение —,<р имеет мо-
дель, в которой фне является истинным. Следовательно, если ф истин-
но. то ф — теорема. •
Теорема 8.2.4 (теорема компактности). Множество предло-
жений Е имеет модель тогда и только тогда, когда обладает моделью
всякое его конечное подмножество.
Доказательство. Если всякое конечное подмножество множе-
ства Е имеет модель, то всякое такое подмножество непротиворечи-
во. Значит, непротиворечиво и множество Е и в силу теоремы 8.2.2 Е
имеет модель. •
Теорема 8.2.5. Теория Т, обладающая сколь угодно большими
конечными моделями, имеет и бесконечную модель.
Доказательство. Пусть Т — теория в языке 9, обладающая сколь
угодно большими конечными моделями. Рассмотрим обогащение
9’’ = 9\J {<?n I пе со}, где {с,} —список различных константных симво-
лов, не принадлежащих языку 9. Рассмотрим множество Е предложе-
ний в языке 9", определяемое равенством
Е = Ти {—'(с, <=> cm) I п < m < со}.
Во всяком конечном подмножестве Е’ множества Е присутствует
лишь конечное число констант са .... сп. Пусть ЭД - модель теории Т,
содержащая не менее m + 1 элементов, и пусть m + 1 элементов а0, .... ат
модели ЭД попарно различны Тогда модель <ЭД, а„ ... а> служит мо-
делью для множества Е’. Но тогда, согласно теореме 8.2.2, и множе-
ство Е имеет модель. Обеднение этой модели до модели языка 9 дает
нам модель множества предложений Т. являющуюся бесконечной,
поскольку {cj является множеством свидетелей •
формальная арифметика и теоремы о неполноте
179
Теорема 8.2.6 (теоремаЛёвенгейма—Сколема). Если теория Т
имеет бесконечные модели, го она имеет бесконечные модели про-
извольной заданной мощности а > </ .
Доказательство. Пусть с (где £ < а) список различных кон-
стантных символов, не принадлежащих языку Ч'. Рассмотрим множе-
ство предложений
2 = Т и {-.(с? <=> сп) I %<т]<а}.
Во всяком конечном подмножестве Е’ множества Е фигурирует
не более конечного числа констант с^. Поэтому всякую бесконечную
модель множества предложений Т можно обогатить до модели мно-
жества Е’. По теореме 8.2.4 множество Е имеет модель Т?, а, согласно
следствию 8.2.2, мощность этой модели не превосходит У и {с-} = а.
С другой стороны, интерпретациями констант с? в модели Т? слу-
жат попарно различные элементы множества М, поэтому М >а. Та-
ким образом. М = «• •
Теоремы разделов 8.1 и 8.2 составляют фундамент теории моде-
лей Подробнее о теории моделей см. Биркгоф [1948], Генкин [1955],
Генкин, Тарский [1957, 1961], Хейслер, Чен [1973], Лось [1951,1955а],
Мостовский [1952а], Расёва [1951], Расёва, Мостовский [1952], Расё-
ва, Сикорский [1963], Робинсон А. [1963], Сикорский [1962], Тай-
цлнн М.А, [1970], Халмош [1962].
Упражнения
8.2.1.	Докажите, что множество непротиворечиво тогда и только
тогда, когда непротиворечивым является любое его конечное подмно-
жество.
8.2.2.	Докажите, что полная теория имеет единственную модель
мощности а (“категорична в мощности а”) с точностью до изомор-
физма.
8.2.3.	Докажите, что каждое непротиворечивое множество может
быть подмножеством какого-то другого непротиворечивого множества.
8.2.4.	Используя определение 4.2.7, докажите, что множество Г,
такое, что С— множество свидетелей Г в языке Тс, является консерва-
тивным расширением множества Т.
8.3. Формальная арифметика и теоремы о неполноте
Аксиоматизацию формальной арифметики предложил Пеано [1889].
Его формализацию целесообразно представлять в виде алгебры <Л’, 0,
Элементы основного множества N называются натуральными чис-
лами. Одно из натуральных чисел является константой, называется оно
180	Форма лъная арифметика и теоремы о неполноте
нулем и обозначается 0. Для любого натурального числа и существует
другое натуральное число, называемое следующим за числом п, обо-
значается оно посредством s(n) = п'. Термы 0, О', 0", ... называются циф-
рами. Традиционная запись числа 0' — 1, числа 0" - 2 и т.д.
Определение 8.3.1 (система Пеано). Системой Пеано называет-
ся упорядоченная система <N. 0, $>, где Д' — основное множество,
0 - константа, 5—одноместная функция из N в N, такая, что s(n) = п',
причем имеют место следующие аксиомы:
(8.5)	Х/хеД (s(x)*0);
(8.6)	Х/хеД Х/уеД ((s(x) = s(y)) => (х = у));
(8.7)	Х/Д с N ((0е Д л (хеА => s(x)e Д)) => (Д = N)).
где А некоторое свойство, определенное на одних натуральных чис-
лах и не всегда определенное на других.
Предложение 8.3.1. п' * п.
Доказательство. Рассмотрим множество А натуральных чисел
п таких, что п' * п. Наша цель — показать, что А = N. Это можно
сделать, используя аксиому (8.7) определения 8.3.1. Сначала нам надо
проверить, что 0 е А, т.е. О' * 0. Это следует из аксиомы (8.5). Теперь
возьмем любое натуральное число п и предположим, что п е А, т.е.
п' Ф п. Нам надо вывести из этого предположения, что п' е Л, а это
будет значить, что п" Ф п' Предположим, что п"= п'. Тогда, по аксиоме
(8.6), п'= п. а это противоречит допущению, что и' Ф п. •
Чтобы построить формальную арифметику натуральных чисел,
возьмем теорию первого порядка S. такую, что она отвечает следую-
щим трем определениям.
Определение 8.3.2 (алфавит формальной арифметики). А лфа-
витом формальной арифметики S является упорядоченная система
Чл=<-<Р,Лс,Г>, где
1.	,-/1Р — алфавит исчисления предикатов первого порядка;
2.	Р— множество предикатных символов, состоящее из единствен-
ного элемента — знака равенства =;
3.	с- множество предметных констант, состоящее из единствен-
ного элемента - константы 0;
4.	F — множество функциональных символов, состоящее из трех
элементов — знака следования ', знака сложения + и знака ум-
ножения
Определение 8.3.3 (формализованный язык формальной ариф-
метики). Формализованным языком формальной арифметики S на-
зывается упорядоченная система У|А = <-/JA, -^А>, где
1.	алфавит формальной арифметики;
2. ./hA - множество всех формул, образованных из знаков в .-/ГА;
помимо множества всех формул ./, полученного по правилам
формальная арифметика и теоремы о неполноте
181
построения формул исчисления предикатов первого порядка.
./|Л содержит множество термов .1. определяемое 1ак:
(а)	0 принадлежит./;
(Ь)	всякая переменная принадлежит ./;
(с)	если/принадлежит множеству {'.+.}.at...tr - множеству
то s(t y.t+t.tpt (где 1 < i < п) принадлежат множеству .т.
(d)	множество ./является минимальным множеством, отвечающим
приведенным выше условиям;
содержит также такое множество атомарных формул, что
t = t (где 0 < i < п и Г,.принадлежат множеству .У) является
атомарной формулой и никакое другое выражение не является
атомарной формулой.
Определение 8.3.4 (формальная арифметика). Формальной
арифметикой называется упорядоченная система S = <.-/,Л,	6>. гае
I.	./ьл - алфавит формальной арифметики;
2.	.У^Л множество всех формул, образованных из знаков в .-/|Л;
3.	V — операция присоединения следствия к элементам .У^, при-
чем правилами вывода системы S являются все правила выво-
да исчисления предикатов первого порядка.
Множество аксиом формальной арифметики состоит из аксиом
исчисления предикатов первого порядка и следующих утверждений,
называемых нелогическими или собственными аксиомами формаль-
ной арифметики'.
(8.8)	VxVy ((5(х) = 5(у)) => (х = У));
(8.9)	Vx(-,(j(x) = O));
(8.10)	Vx (-. (х = 0) z> Зу (х = v(y)));
(8.11)	Vx(x+0 = x);
(8.12)	VxVy (x + s(v)	= s(.r +	v));
(8.13)	Vx(x-0 = 0);
(8.14)	VxVy (x-.v(y) = x-y + x);
(8.15)	Vy ((F(0) a Vx (F(x) z> F(s(x)))) z> F(y)).
Утверждение (8.15) называется аксиомой трансфинитной индук-
ции для F, где F(x) — произвольная формула формальной арифметики
Определение 8.3.5 (стандартнаямодель арифметики). Модель
3)? формальной арифметики стандартна, если для каждого / е М
существует цифра Ь. такая, что bv = %.
Однако существуют модели формальной арифметики, которые
не обладают этим свойством. Они называются нестандартными (под-
робнее ем. Робинсон А. [1961]). Чтобы доказать существование не-
стандартной модели, необходимо рассмотреть следующую теорию
первого порядка Т (см. также упражнение 8.3.3). Сигнатура Т получа-
ется из сигнатуры арифметики добавлением буквы b в качестве новой
182
Формальная арифметика и теоремы о неполноте
объектной константы. Множество аксиом Т получается из множества
аксиом формальной арифметики добавлением формул b * О, b * О',
b 0",... в качестве новых аксиом. Можно показать, что теория Т будет
непротиворечива.
Теорема 8.3.1. Формальная арифметика S может быть линейно
упорядочена30.
Доказательство. Необходимо так определить отношение поряд-
ка для константы 0, операций следования, сложения и умножения, что-
бы это отношение оказалось линейным.
Константа 0, операции следования, сложения и умножения явля-
ются монотонными отображениями:
(8.16)	а > 0;
(8.17)	а> b =>	s(a)	> s(b);
(8.18)	а > b =>	(((а + с) > (Ь	+ с))	л ((с + а) >	(с + 6)));
(8.19)	а>Ь=>	(((а	 с)>(Ь	с)) л ((с	а)>(с		6))).
Доказательство данного утверждения предоставляется читателю.
Поскольку множество натуральных чисел является линейно упорядо-
ченным, формальная арифметика в силу монотонности своих основ-
ных операций является линейно упорядоченной. •
Определение 8.3.6 (арифметическое множество). Арифмети-
ческим множеством называется такое подмножество множества на-
туральных чисел N, которое состоит из наборов натуральных чисел
<а0, ар...>, для которых суждение формальной арифметики S'a„ а Ф
истинно, где 5 Ф — результат подстановки в формуле (р на места
свободных переменных чисел о0, ар...
Определение 8.3.7 (сечение арифметического множества), п-м
сечением арифметического множества .Н с N' называется множе-
ство всех х, таких, что <п, х> е .И, т.е.. rtn = {х I <п, х> е ./().
Теорема 8.3.2. Каково бы ни было арифметическое множество
.Н с /V2, существует арифметическое множество '<) = {х I <х, х> £ ./(} а
N, которое отлично от всех сечений множества .И.
Доказательство. Поскольку .Нп = л (({nJxW) п .К) и = л ((Л” \
.//) гл {<х, v> 1х = у}), где л является проекцией (см. определение 6.2.8),
то множества .Нп и '<) арифметичны. тем не менее, множество J не
является сечением. К. Если бы совпадало с. Л, то по определению. Лл
мы имели бы
л 6	<=> <п, п> е .«.
Однако n е $ « <л. п> е . Л.
Пришли к противоречию, следовательно, множество отлично
от всех сечений множества ,Н. •
'г Точнее принято говорить о том, что полукольцо натуральных чисел линейно упорядочено
формальная арифметика и теоремы о неполноте	183
Теорема 8.3.3 (теорема Тарского). Несмотря на то что множе-
ство всех формул формальной арифметики является упорядоченным
множеством с условием минимальности, семсйс1во всех арифмети-
ческих множеств X с. N- не является упорядоченным множеством с
условием минимальности.
Доказательство. Рассмотрим следующую таблицу:
	0	1	2	3		п	
0	<0,0>	<0, 1>	<0, 2>	<0, 3>		<0, п>	
1	<1,0>	<7, 1>	<1, 2>	<1, 3>		<1, п>	
2	<2, 0>	<2. 1>	<2, 2>	<2, 3>		<2, п>	
3	<3, 0>	<3, 1>	<3, 2>	<3,3>		<3, п>	
		...			...		
п	<п, 0>	<п, 1>	<п, 2>	<п. 3>		<л, п>	
	...						...
Табл. 8.3.1.
В ней изображены все сечения произвольного арифметичес-
кого множества ./(. По теореме 8.3.2 существует арифметическое
множество = {х I <r, v> е ./<) с Л', которое отлично от всех сече-
ний множества .К. Предположим, что множество X всех арифмети-
ческих множеств .Н,, .... таких, что .Л, < .И. < ... а №, является
упорядоченным с условием минимальности (будем считать при
этом, что .Л1 < .Н тогда и только тогда, когда все сечения множества
• Л, содержатся в сечениях множества ,Н). Возьмем произвольное
подмножество множества X. Пусть Y будет таким подмножеством.
В Y должен существовать минимальный элемент. Но если в Y име-
ются элементы арифметического множество f9- отвечающего ус-
ловию теоремы 8.3.2, то такого минимального элемента не суще-
ствует. И действительно, если = {х I <х, х> е ./1} на является
минимальным элементом 5- то ° не является минимальным эле-
ментом для элементов ./<, и если а является минимальным элемен-
том .н, то а не является минимальным элементом для элементов ‘9.
Отсутствие минимального элемента в Y показывает противоречие.
Следовательно, множество X не является упорядоченным с усло-
вием минимальности. •
Теорема 8.3.3 показывает, что существуют неиндуктивные множе-
ства - множества, которые не подчиняются условию минимальности.
184
Формальная арифметика и теоремы о неполноте
Стоит отметить, что в доказательстве теорем 8.3.2 и 8.3.3 использо-
валась так называемая диагональная конструкция Кантора, имею-
щая колоссальное значение для современной математики. Ее суть от-
ражает следующая манипуляция с таблицей 8.3.1. Выбираем ячейки
таблицы, располагающиеся по диагонали. Затем задаем новый объект,
отличный от тех значений, которые содержатся в диагональных ячейках.
Согласно теореме Тарского, понятие истины формальной ариф-
метики невозможно выразить в рамках самой формальной арифме-
тики. Это одно из самых принципиальных суждений логики и матема-
тики. Используя теорему Тарского, можно доказать не менее замеча-
тельные положения — теоремы Гёделя [1931] о неполноте.
Теоремы о неполноте произвольной аксиоматической теории Т
возможны благодаря кодированию51 в системе формальной арифмети-
ки S синтаксиса Т. при этом теория Т должна содержать арифметику
S, т.е. в Т должна присутствовать интерпретация всех предложений S.
Введем особый предикат для формул теории Т — предикат дока-
зуемости для Т. Станем обозначать его посредством Prov^f tp ]) и
вкладывать в него следующий смысл:
Prov/Г p])<=>3r(Pr/r. f <?])).
где [ tp ] — гёделев номер tp, т.е. код формулы tp, и Зг (Рг^г, [ <р ]))
читается так: “существует число г, которое есть гёделев номер доказа-
тельства для [ (р ]”, т.е. г есть номер вывода в Т формулы с номером
Г ф1-
Для произвольной формулы <р из Т выполняются следующие ус-
ловия выводимости:
D1	если Т t-tp, то S I- Prov^F <р ]);
D2	если S н Provr([ tp ]), то Т Н<р;
D3	S Н (Prov/F tp ]) z> Prov/F Prov/F tp ]) ]));
D4	Si-fProv/f tp z> tp 1) z> (Prov/ [ tp ]) oProv/f ф]))).
Условие DI говорит о том, что если имеет место Т Нф. то существу-
ет доказательство tp, а значит, его гёделев номер, т.е. S н Provyf tp ]).
Согласно условию D2, если имеет место S *- Prov^F tp ]), то существу-
ет гёделев номер доказательства предложения ф, а значит, tp доказуемо
в Т. Условие D3 основывается на том факте, что для любых чисел а. Ь.
таких, что а является доказательством Ь, имеет место S •- Рг(а. Ь). Со-
гласно условию D4, доказательство предложения tp может быть полу-
чено из доказательств предложений tp и tp z> tp таким образом, что
вначале строится доказательство <р, затем к нему приписывается дока-
зательство tp о tp.
Пример такого кодирования дает нам теорема 9.3.1 и теорема 9.3.2 с учетом того, что
всякая программа есть форму та.
формальная арифметика и теоремы о неполноте	185
Доказательство георем о неполноте основывается на существова-
нии такого предложения у, что имеет место
Гн (у <=> -iProv/ f у 1)).
Теорема 8.3.4 (первая теорема Гёделя о неполноте). Пусть Г
является непротиворечивой теорией и Г н (<р <=> —iProvr([ у 1))
Тогда, во-первых, в Г не выводится у и, во-вторых, в Гне выводится
-,<р.
Доказательство. Во-первых, поскольку Г >~увлечет Гн РгогД у ])
в си ту D1, то Г ।-|ф, хотя теория Г непротиворечива. Во-вгорых, из
того,чтоГ|—i<p, следует, что ГI——Provr([ 1), в июге Гн Provr([ tp ])
В силу D2 имеем Т у. Итак, несмотря на непротиворечивость тео-
рии Г, имеем Г i--->у и Г н<р. •
Согласно первой 1еореме о неполноте, у <=> Prov^T ~^у 1).
Теорема 8.3.5 (вторая теорема Гёделя о неполноте). Предло-
жение о непротиворечивости 5 невыводимо. Так, —iProvr([ 0 ]), где
О - любое противоречивое предложение, не выводится в Г.
Доказательство. Для доказательства необходимо показать, что
А (<р«=> —>Provr([ 0 ])) для у, которое удовлетворяет условию первой
теоремы о неполноте.
Предположим, что Г и (у <=> -.Prov/ Г у ])). Пусть Сопг обознача-
ет -iProv^f 0 1) Тогда требуется показать, что Ан и (у <=> Сопг).
=>. Покажем, что имеет место 5 н (у о Сопг).
1.	В силу D1 очевидное утверждение Г н (0 о у) влечет 5 н
Prov/f 0 о у ]).
2 Согласно D4, имеем 5 н (Provr(| 0 о у 1) z> (Provr([ 0 1) о
Prov/Г <?]))).
3 По правилу отделения из 1 и 2 получаем А *- (РгонД 0 1)
Prov/ Гф1 ))-
4 Используя контрапозицию, из 3 получаем А н (—РгоуД у ]) о
-Ргоу,. ( Г 0 1)), т.е. А н (у э СопД.
«=. Покажем, что имеет место А н (Сопг о у).
1 В силу D3 А н (Prov/f у ]) z> Prov/[ Prov/Г у 1) ])).
2.	Ai-(Provr(r у ]) z> Provr([ —])) согласно DI, D3 из 1, поскольку
<р<=>-Prov/Г <р]).
3.	Так как мы всегда имеем А н (Prov/ [ у 1) о Prov/ [ у 1)). то по
правилам логики из 2 получаем А н (Prov/ Г у ]) z> (Prov/f у ])л
лРгоуД -.ф!))).
4	Согласно D3, имеем A i- ((Prov/f у ]) л Prov/ [ -,у ])) о
Prov/f Prov/Г р])лРгоуД -,у ]) 1)).
5	По правилам логики из 3 и 4 имеем А — (Prov/f <р] ) э
РгоуД [ Prov/ [ у 1) л Prov/ Г -.ф 1) 1)).
186	Формальная арифметика и теоремы о неполноте
6.	11оскольку <р <=> —Provy [ ср ] ) и (р <=> Provy [ ->ф 1), из 5 получаем
Si-(Provy[ (р 1) д> Proxy [ ср л —,(р 1)). Отсюда S и (Provy [ ф1)г>
Provy f О 1)).
7.	По правилу контрапозиции из 6 S н (—iProvT([ 0 1) о
—,Provy [ ср 1)), а значит, 5 н (Сопгэ ер). •
В теоремах о неполноте ключевую роль играет (р — предложение,
утверждающее свою собственную недоказуемость. Можно доказать
теорему о предложениях, которые утверждают свою собственную
доказуемость Эта теорема станет обобщением теорем Гёделя. При
этом будет введено такое предложение (р что имеет место
Гн (ф <=> Provy[ф ])).
Теорема 8.3.6 (теорема Лёба). Т н (Proxy [ ср 1) <=> ф) для замкну-
той формулы <р в том и только в гом случае, если Т (р
Доказательство.
<=. Отношение “если Г!-ф, то Гн Prov7 (f ср ]) <=> ф' очевидно, так как,
с одной стороны, выводимость (рвлечет выводимость Provr ([ (р ]) э <р и,
с другой, в силу D1 выводимость <р влечет выводимость Provyf ср 1).
что, в свою очередь, говорит о выводимости <р z> Provyf (р ]).
=>. Отношение “если Г н Proxy [ (р 1) <=> (р, то Г н ср" доказывает-
ся так. Допустим, (р не выводится в Г Тогда расширение Г хд {-.ф}
непротиворечиво и по второй теореме Гёделя о неполноте в Г не
выводится Conyj{—,(р}, например, не выводится формула
—iProvy Г—э 0 1). Для гёделева номера [—,<р о 0 1 применяем пра-
вило контрапозиции, в итоге из —iProvy [ —>ф д> 0 ]) получаем
—iProvy[—Л z> <р 1), т.е. —.Provy[ ip ]). Если в Ги {—>ф| не выводится
.Proxy" [ (р ]), то в Гпо теореме дедукции не выводится —\(р о —Provy [ tp]).
а значит, не выводится Provy [ф]) э (р Таким образом, имеем “если
Г Н Provy Г <р 1) э (р, то Г н ip”. Далее, если ф не выводится в Г, то в Г
не выводится доказательство ф, т.е. Provy [ф]), применяя D3, в ре-
зультате имеем: в Г не выводится <р э Provy [ф]). Следовательно,
если Гн фд Provy Г ф]), то Г н ф. •
Согласно теоремам о неполноте, свойство непротиворечивости
теории является более широким понятием, чем свойство полноты.
Это означает, что критическое мышление при обосновании тех илн
иных явлений не может ограничиваться тишь логикой первого
порядка
Первая теорема о неполноте (теорема 8 3 4) показывает, что для
любой теории всегда существуют какие-то предложения, которые нс
принадлежат самой теории. Только в этом случае теория остается не-
противоречивой — отвечает принципам минимализма и универса-
лизма. В частности, всякая непротиворечивая теория имеет макси-
формальная арифметика и теоремы о неполноте	187
мальное расширение, все модели которого являются категоричными52
Свойство непротиворечивости теории, формализуемое посредством
какого-то выражения, не может принадлежать самой теории потому,
что в противном случае всякая теория оказалась бы полной, что про-
тиворечило бы первой теореме о неполноте.
Таким образом, согласно теоремам о неполноте, любая непроти-
воречивая теория должна предполагать логические процедуры своего
опровержения — всегда найдутся такие предложения, с которыми она
может войти в противоречие. Поэтому непротиворечивость критиче-
ского мышления сводится к тому, что оно предполагает в отношении
себя процедуры опровержения и именно этим отличается от других
форм мышления. В качестве иллюстрации покажем, что психоанализ
не является критическим мышлением. Так. он вовсе не предполагает в
отношении себя никакого опровержения. «У Вас комплекс Эдипа,
как и у любого человека», - констатирует психоаналитик. «Нет,
Вы ошибаетесь, - говорит посетитель. - я его не ощущаю». —
«Дело в том, что он является бессознательным комплек-
сом». - возражает психоаналитик. «Но я не обнаруживаю его
проявления». «Своим упорством Вы только подтверж-
даете мой диагноз». Данный диалог можно продолжать сколь угод-
но долго. Ничто не разубедит психоаналитика, констатируемый им
диагноз не может быть опровергнут ни при каких обстоятельствах.
Упражнения
8.3.1.	Докажите следующие тождества:
(8.20)	(к + т) + п = к + (т + п):
(8.21)	(к  т)  п = к  (т  п):
(8.22)	т + п = п + т;
(8 23) т  п = п • т:
(8.24)	0 + п = п:
(8.25)	0 • п = 0:
(8.26)	т' + п = т + п'.
8.3.2.	Докажите следующие отношения:
(8.27)	к + т = к + п=ьт = п\
(8.28) кт = кп=^т = п;
(8.29)	т < п =>	т	< п’:
(8.30)	0 < п;
(8.31)	п < п\
(8.32)	п < п’;
(8.33)	х + v = 0	=>	(х = 0 л v = 0);
‘ Это утверждение аналогично по смыслу аксиоме 6.3.1.
188 Формальная арифметика и теоремы о неполноте
(8.34)	ху = 0 => (i = 0 v у = 0).
8.3.3.	Определите константу 0 и функции +, так, чтобы моделью
формальной арифмс1ики стало множество:
(8.35)	W={0,1,2,...};
(8.36)	N {«} = {0, 1, 2. ..; а}, где а е N;
(8.37)	Л' о {а, Ь} = {0, 1, 2, .; а. Ь}, где a, bi N.
8.3.4.	Докажите, что для арифметики натуральных чисел всякая
модель бесконечна.
8.3.5.	Докажите, что семейство арифметических множеств не яв-
ляется линейно упорядоченным.
8.3.6.	Докажите, что теория Т противоречива, если в Т выводимо
PrOVff Г <р 1 ) ZD tp для любого tp.
ГЛАВА 9. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Исследования в области оснований математики стали проводить
только с конца XIX начала XX в. Они были инициированы множе-
ством появившихся в то время парадоксов, которые ставили под
сомнение всю достоверность математических оснований. Обосно-
вание математического знания, которое сразу же стало полномас-
штабно осу ществляться. оформилось в итоге в три различные тради-
ции: формализма, логицизма и интуиционизма. В рамках формализ-
ма. основу которого заложили главным образом Гильберт [1904,
1928]. Гильберт. Бернайс [1934 1939], фон Нойман [1927] и Карри
[1942], математика представлялась в качестве комбинаторной игры в
символы, поэтому основная задача по обоснованию математичес-
кого знания сводилась к вопросу о непротиворечивости. В рамках
югицизма. основателем которого явился Карнап [1934, 1947], было
предложено с помощью явных определений редуцировать матема-
тические понятия к понятиям логики, так что математические теоре-
мы должны были получаться из логических аксиом с помощью ло-
гических выводов. Карнап предложил отказаться от понятия модели
и использовать вместо него понятие описания состояния (см. раздел
10.2). Поэтому можно сказать, что суть логицизма состоит в том.
чтобы рассмотреть математику с позиции единого логического язы-
ка, который был бы автореферентным. В рамках интуиционизма (его
основатели — Брал эр [1923,1923а, 1928] и Гейтинг [1934,1955,1956])
предлагалось обосновать математику на базе интуитивно очевид-
ных понятий, а в качестве таковых выступают упорядоченные мно-
жества е условием минимальности. В настоящее время господству-
ющей традицией обоснования математики является конструкти-
визм — своеобразный симбиоз формализма и интуиционизма. Его
представители Ершов ЮЛ. [1980], Кушнер Б.А. [1973], Марков А.А.
[1950, 1972], Мостовский [1969] и многие другие.
190 Парадоксы
Подробнее остановимся на интуиционизме. В интуиционистской
семантике для всякого л-местного предиката (формулы с л переменны-
ми) вводится вид - набор из л конструкций а}.ал, определенный
конструкцией s, где s(c, ар ., an) = 1, если с есть доказательство того, что
<др а> принадлежит к виду и л(с, ар ап) = 0 в противном случае.
Основную задачу интуиционизма Крейсел [ 1962] сформулировал так: дать
обоснование введения видов с помощью обобщенных индуктивных оп-
ределений, для которых, в свою очередь, могут быть выведены соответ-
ствующие принципы доказательства по индукции. Таким образом, со-
гласно интуиционизму, такие объекты, как формулы, модели формул
(виды), доказательства этих формул, должны представлять собой упоря
доченные множества с условием минимальности. При этом для каждого
подмножества множества формул существует такой минимальный эле-
мент, что ему можно сопоставить минимальный элемент соответствую-
щего подмножества множества видов, а также минимальный элемент
соответствующего подмножества множества доказательств. Одной из
попыток решения данной задачи является работа Клини, Весли [1965].
Подробнее об интуиционизме см. Бет [1956, 1959], Брауэр [1908,
1923,1923а, 1924,1928], Вейль [1918], Рейтинг [1930,1930а, 1934,1955.
1956], Дайсон, Крейсел [1961], Драгалин А.Г. [1979], Иогаиссои [1936],
Клини [1947, 1958], Клини, Вести [1965], Крейсел, Патнэм [1957], Мак-
Кинси,Тарский [1944], Нельсон [1947], Ригер [1949], Сикорский [1959],
Скотт [1961], Чаидрасекхаран [1941], о конструктивизме см. Воробь-
ев Н.Н. [1952], ЕршовЮЛ. [1977,1980, 1996], Лоренцен [1950], Мар-
ков А.А. [1950,1951,1972], Новиков П.С. [1986], Шанин Н.АД1958].
9.1.	Парадоксы
Парадоксы, с которыми столкнулись логики и математики в нача-
ле XX в., показали, что в основаниях математики что-то неблагополуч-
но. Никогда ранее парадоксы не затрагивали так сильно наиболее фун-
даментальные понятия двух самых точных наук — логики и ма-
тематики. Многие математики стали говорить: «нас лишили рая». Так,
если Фреге [1884, 1893] вначале был полностью уверен в том, что ему
открылся путь к окончательному осмыслению всей природы логико-
математического знания, то после открытия парадоксов его уверен-
ность была совершенно поколеблена.
Обратимся сперва к так называемым семантическим парадоксам.
Парадокс лжеца
Наиболее известным из всех семантических парадоксов является
парадокс лжеца, придуманный Эпименидом, который жил на остро-
Парадоксы
191
ве Крит еше в VI в. до н.э. Звучит он следующим образом: “Я лгу”, или:
“Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным”. Если
человек, произнесший эту фразу, говорит правду, го он лжет, а если он
лжет, то говорит правду. Выходит, что утверждение “Я лгу” не может
быть ни истинным, ни ложным. Но это противоречит закону исклю-
ченного третьего. Несмотря на свою лаконичную формулировку, па-
радокс производил сильное впечатление на греков. Ходила легенда,
что нерешаемость данной проблемы привела к самоубийству некое-
го Фили га Косского.
Модернизированная формулировка данного парадокса следую-
щая. Допустим, что на одной стороне тетрадного листа можно про-
честь только слова: “На другой стороне этого листа написано истин-
ное высказывание”. Переворачивая лист, мы обнаруживаем на его
обороте только одну фразу: “На другой стороне этого листа написано
ложное высказывание”. Если утверждение на одной стороне (неваж-
но какой) истинно, то оно ложно благодаря высказыванию на другой
стороне, а если оно ложно, то оно истинно благодаря тому же выска-
зыванию на обороте. Как бы мы ни вращали лист бумаги, все время
будем получать противоречие.
Парадокс Греддиша
Данный парадокс был высказан К. Греллингом в 1908 г. Прилагатель-
ное станем называть автологическии, если свойство, которое оно обо-
значает; присуще ему самому. Если это не имеет места, назовем прилага-
тельное гетерологическим. Например, прилагательное “русский” само
является русским, а прилагательное “голубой” само, конечно же, голу-
бым не является. Только прилагательные первого вида описывают самих
себя и являются поэтому автологическими. Рассмотрим теперь прилага-
тельное “гетерологический”. Если оно гетерологично, то оно не гетеро-
логично, а если оно не гетерологично, то оно гетерологично.
Парадокс брадобрея
Авторство данного парадокса принадлежит Б. Расселу. Допустим,
что в некоторой деревне живет только один брадобрей и он бреет всех
жителей деревни из числа тех, кто не бреется сам, но, разумеется, не
бреет тех жителей, которые бреются сами. Спрашивается: бреет ли он
самого себя? Если брадобрей бреет самого себя, то он относится к
категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, по определе-
нию, он не должен брить. Значит, он вовсе не должен бриться. Если же
брадобрей не будет брить самого себя, то он относится к категории
тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Зна-
чит, он должен и сам бриться.
192
Парадоксы
Парадокс мэра
В одной стране существует множество отдельных областей, где
каждая имеет своего мэра. Мэр при этом не обязательно должен жить
в той области, которой он управляет. На этом основании всех мэров
можно разделить на две категории: хорошие и плохие. К хорошим от-
носятся те, которые живут в той области, которой они управляют, к
плохим все те, которые не живут в той области, которой они управ-
ляют. Предположим, что президент страны выделил для плохих мэров
отдельную область и издал указ, обязывающий их всех переселился
именно в эту новую область. В указе было также сказано, что в новой
области никто, кроме плохих мэров, проживать не может. Но данная
область должна иметь собственного мэра. Уместен вопрос: каким будет
этот мэр - хорошим или плохим?
Если он хороший, то он должен жить в той области, которой он
управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только
для плохих мэров. Если же он плохой, то, с одной стороны, из этою
следует, что он не должен жигь в той области, которой он управляет, а.
с другой стороны, он должен жить именно в этой области, так как она
специально создана для плохих мэров.
Парадокс Берри
Парадокс был сформулирован Д. Берри, который занимал долж-
ность библиотекаря Оксфордского университета. Известно, что мно-
жество натуральных чисел бесконечно. Однако множество тех имен
натуральных чисел, которые встречаются в русском языке и содержат
меньше, чем, скажем, сто слов, является конечным. Поэтому утверж-
дение о бесконечности множества натуральных чисел должно озна-
чать, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском
языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевид-
но, наименьшее число. Оно невыразимо посредством предложения,
содержащего менее ста слов. Но выражение “наименьшее натураль-
ное число, для которого не существует в русском языке названия, сла-
гающееся из менее чем ста слов” является именем этого числа. Назва-
ние получило то число, для которого его не должно было быть.
Традиционное решение перечисленных выше парадоксов состо-
ит в требовании различения предметного языка и метаязыка. На од-
ном мы говорим о предметах, существующих в мире, на другом — о
самих языковых выражениях. Так, истинность или ложность некоторо-
го высказывания <р устанавливается в рамках метаязыка, поэтому ис-
тинность или ложность (р невыразима в рамках предметного языка.
Покажем, как с учетом сказанного легко можно избежать парадокса
Парадоксы 193
лжеца. Предложение “Высказывание, которое я сейчас произно-
шу, ложно” относится к метаязыку, поскольку в нем говорится о лож-
ности некоторого высказывания. Соответственно высказывание, лож-
ность которого утверждается, должно относиться к предметному язы-
ку. Но в парадоксе высказывание утверждает ложность самого себя, в
результате рассматриваемое предложение относится как к предмет-
ному языку, так и к метаязыку. А это является нарушением требова-
ния различать предметный язык и метаязык.
Другим решением парадоксов выступает разделение семантичес-
кой суперпозиции на минимальную и максимальную (см. определе-
ние 2.3 и утверждение 2.1). Рассмотрим парадокс лжеца. Даже в том
случае, если образование новых выражений некоторого языка подчи-
няется условиям минимальной семантической суперпозиции, выра-
жения, говорящие об истинности или ложности других выражений,
будут подчиняться условиям максимальной семантической суперпо-
зиции. Например, предложения арифметики натуральных чисел явля-
ются истинными или ложными. Сами эти предложения задаются как
упорядоченные множества с условием минимальности (а значит, под-
чиняются условиям минимальной семантической суперпозиции).
Однако те предложения арифметики, которые говорят об истинности
или ложности арифметических предложений, нельзя задать в качестве
упорядоченного множества с условием минимальности (см. теорему
8.3.3). Следовательно, арифметические выражения, говорящие об ис-
тинности или ложности предложений арифметики натуральных чи-
сел, не подчиняются условиям минимальной семантической супер-
позиции.
То обстоятельство, что выражения, говорящие об истинности или
ложности каких-то предложений, подчиняются условиям максималь-
ной семантической суперпозиции, можно проиллюстрировать на сле-
дующем парадоксе, известном еще в Древней Греции. Пусть <р есть
высказывание: “Вчера небо было безоблачным", и это положение
вещей действительно имело место. Из смысла высказывания ср не сле-
дует, что оно истинно, поскольку необходимо дополнительное выска-
зывание ф,: “Высказывание <р истинно”. В свою очередь, истин-
ность высказывания ф, не очевидна на основании одного лишь смыс-
ла ф, - необходимо новое высказывание ф,: “Высказывание ф,
истинно”, и так до бесконечности. Получается, что понятие истинно-
сти выразимо только в том случае, если полагается максимальная се-
мантическая связь, полагающая предел дурной бесконечности.
Все вышеназванные парадоксы сводятся к диагональной конст-
рукции Кантора. Покажем это применительно к парадоксу брадоб-
рея. Пусть п — число жителей деревни. Построим таблицу из п строк
7 Зак. 784
'94 Парадоксы
и п столбцов. Посредс1вом номеров строк будем фиксировать всех
тех, кто бреет, а посредством номеров столбцов — всех тех, кого бре-
ют. В каждой клетке таблицы поставим 1 или 0, руководствуясь таким
общим правилом: если житель деревни номер / бреет жителя номер j,
то в клетке, находящейся в строке номер / и столбце номер j, поставим
1, в противном случае 0 (см. табл. 9.1.1). Например, согласно таблице
9.1.1, житель номер 2 не бреется сам, но бреет жителя номер 3.
	1	2	3		п
1	1	1	0		1
2	0	0	1		0
3	0	0	1		0
...			...	...	
п	1	0	1		0
Табл. 9.1.1.
Пусть Т [i. j] — это элемент таблицы, находящийся в строке номер
I и столбце номер j Введем функцию d, определенную для всех столб-
цов п. Она будет выражать действие брадобрея. Так, если брадобрей
бреет жителя номер /, то d(i) = 1, во все остальных случаях d(i) = О
Условие “Брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые
не бреются сами” будет выражаться посредством следующего диаго-
нального суждения:
(О для всех i функция d(i) принимает значения, отличные от T[i, /].
Согласно условию (i), для табл. 9 1 1 значением функции d( 1)
будет 0, значением функции d(2) — 1, значением функции </(3) - О,
значением же функции d(n) — 1. Данное условие показывает, что
брадобрей является виртуальным жителем деревни — для него не
существует номера среди номеров строк И действительно, если
его номер i, то тогда, согласно правилу построения таблицы Т, фун-
кция d в своих значениях должна целиком совпадать со строкой но-
мер i таблицы Т. а этого быть не может в силу условия (i) для эле-
мента «].
Редукция семантических парадоксов к диагональной конструк-
ции Кантора показывает, что существуют семантические объекты,
невыразимые посредством минимальной семантической суперпо-
зиции, — объекты, которые не являются упорядоченными множе-
ствами с условием минимальности В частности, теоремы К Гёдезя
Парадоксы
195
0 неполноте (Гёдель [1931]) демонстрируют существование выра-
жений теории, имеющих эффективное построение и не отвечающих
условиям минимальной семантической суперпозиции. Требование
же полноты системы предполагает только минимальную семанти-
ческую суперпозицию. Следовательно, от свойства полноты такой
теории приходится отказываться, чтобы не утратить ее непротиворе-
чивость.
Таким образом, семантические парадоксы являются неустрани-
мыми и свидетельствуют о том, что наравне с минимальной семанти-
ческой суперпозицией существует также максимальная семантичес-
кая суперпозиция.
Помимо рассмотренных парадоксов существует еще один их об-
ширный класс — теоретико-множественные парадоксы. Все они
показывают, что понятием “множество” нельзя пользоваться без силь-
ных ограничений. В противном случае парадоксы оказываются неми-
нуемыми.
Парадокс множества всех множеств,
не содержащих себя в качестве собственного элемента
Придуман данный парадокс Б. Расселом. Рассмотрим множество
А всех множеств X, таких, что X не есть элемент X. Согласно определе-
нию, если А есть элемент А, то А не есть элемент А, а если А не есть
элемент А, то А есть элемент А.
Парадокс множества всех одноэлементных множеств,
содержащегося в одноэлементном множестве
Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств Е. Пост-
роим теперь множество {£}, единственным элементом которого яв-
ляется множество Е. Из этого определения следует: Е есть элемент
{£}. Но, поскольку {£( является одноэлементным множеством, а £ -
это множество всех одноэлементных множеств, {£} есть элемент £
Оказалось, что множество £, являясь совокупностью одноэлемент-
ных множеств, в то же время содержится в качестве элемента в одном
из своих подмножеств.
Парадокс Кантора
Рассмотрим множество всех множеств U. Будем считать его уни-
версумом. Кантор доказал, что VА( д < Р(А) ) Следовательно, при
Л = U мы должны получить, что (у < P((J) Однако U — это множе-
ство всех множеств, поэтому оно должно обладать максимальной
мощностью, так что P(U)<LJ - Пришли к противоречию.
196
Парадоксы
Парадокс Бу рати—Форги
Для любого порядкового числа существует порядковое число, его
превосходящее. Однако порядковое число, определяемое множеством
всех порядковых чисел, является наибольшим порядковым числом.
Данные парадоксы устраняются в том случае, если выстраивать
теорию множеств аксиоматически. Существует огромное количество
аксиоматических систем теории множеств. Первую такую аксиомати-
зацию предложил Цермело [1908]. Наиболее распространенной являет-
ся система Ноймана -Бернайса Гёделя (см. фон Нойман [1925], Бер-
мане [1937-1954], Гёдель [1940]) и ее частный случай, представленный
системой Цермело Френкеля ZF (см. Цермело [ 1908], Френкель [ 1922,
1961]). Среди «экзотических» можно назвать new fundaiions Куайна (см.
Куайи [ 1937], Россер [ 1939,1953], Шпеккер [ 1953]) и онтологию Лесьнев-
ского (см. Лесьневскин [ 1927—1931, 1930], Слупенкмй [ 1953]).
Одна из аксиом системы ZF — аксиома выбора (см. аксиому
6.3.1), по мнению многих логиков, является весьма спорной. Дело в
том, что она не считается конструктивной. Согласно ее условию, вся-
кое множество 4 может быть вполне упорядочено. Но если взять в
качестве А неиндуктивное множество, то при полном порядке элемен-
тов А мы не сможем указать на минимальные элементы каждого под-
множества А, несмотря на их предполагаемое существование.
Возьмем, к примеру, множество всех формул .f. Данное множе-
ство частично упорядочено с условием минимальности, при этом оно
не является вполне упорядоченным. Тем не менее, мы можем раз-
бить множество формул на классы эквивалентности, в которые будут
входить формулы, тождественные друг другу. Классы эквивалентнос-
ти либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому если формула <р
входит в класс эквивалентности I (р I, а формула ф — в класс эквивален-
тности I 1/1, то фи у/соответственно либо имеют одинаковое значение
истинности, либо различное. Каждому классу эквивалентности I ф I
сопоставим пару — другой класс эквивалентности I у/|, такой, что <р
истинно (ложно) тогда и только тогда, когда у/ ложно (истинно). Оче-
видно, что I ф I = —11 у/| =| —1ф|. По условию аксиомы выбора, из каждой
пары непересекающихся классов эквивалентности можно выбрать по
одному элементу53. Другими словами, существует функция выбора
f & — U % “ , где X — произвольный класс эквивалентности, в кото-
А
рыч входит некоторая формула <р.
51 Процедура выбора такого элемента будет совпадать с процедурой построения вывода (или
ю> чательства)
Парадоксы
197
Это равносильно тому, что семейство классов эквивалентности
будет вполне упорядоченным множеством. И действительно, для ло-
гики первого порядка семейство классов эквивалентности ее формул
имеет вид вполне упорядоченного множества собственных фильтров
булевой алгебры (для интуиционистского варианта — псевдобулевой
алгебры) - см. теорему 7.3.6. Но как быть с логикой, гораздо более
выразительной, чем логика первого порядка? Множество ее формул
не может быть вполне упорядочено конструктивным образом
В теоретико-множественных конструкциях логики вместо аксио-
мы выбора можно использовать более конструктивное утверждение
так называемую аксиому детерминированности.
Пусть а некоторое порядковое число, f отображение из а во
множество {V, 3}. Тогда Qx<a (где х<а обозначает последовательность
~ квантор арности а. Если в формуле Qx а ([Их) он принимает
вид либо V, либо 3, он называется однородным Однако функция/
может принимать одновременно как значения V, так и 3. Такие кван-
торы называются неоднородными. Аксиома детерминированности
определяется следующим образом:
(9.1) для всякого квантора Q и для побой формулы (? истинна в
точности одна из двух формул
Ч\х<а, а или Q"x<a^(p(x<a, a<J,
где/* функция, двойственная функции/54.
Отношение контрадикторности силлогистики Аристотеля являет-
ся частным случаем этой аксиомы для формул конечной длины:
V v (р(х) или Эл —>(р(х).
Согласно аксиоме детерминированности, всякое множество А
можно упорядочить с условием минимальности.
Упражнения
9.1.1.	Редуцируйте к диагональной конструкции Кантора парадок-
сы лжеца. Греллинга и мэрг
9.1.2.	Докажите неконструктивность закона исключенного тре-
тьего.
9.1.3.	Покажите, что аксиома детерминированности распростра-
няется и на логику высказываний.
9.1.4.	Докажите, что условие аксиомы детерминированности тож-
дественно утверждению о том, что всякое множество А можно упоря-
дочить с условием минимальности
54 Функции/и/* двойственны тогда и тотько тогда, когда/*(у) = V. ест и Ду) = 3. и/*(у) = 3.
если /(у) = V.
198
Теория доказательств
9.2.	Теория доказательств
Избежать парадоксов в математической теории Т можно только в
одном случае — когда существует конструктивный способ установле-
ния непротиворечивости данной теории. Такой способ мы можем
получить только при тщательном исследовании системы доказательств
теории Т, а именно того, насколько данная система доказательств бе-
зупречна. Проводить подобное исследование можно лишь в рамках
более выразительной теории, чем теория Т. Такая теория была назва-
на Гильбертом [1918, 1928] метаматематикой или теорией доказа-
тельств (см. также Гильберт, Бернайс [1934 1939]). Идея Гильберта
состояла в том, чтобы показать в результате изучения строения
формул теории Т. — что в Т нельзя получить противоречия.
Генценом [1934 -1935] была предложена весьма плодотворная
формализация процедур доказательства, получившая название нату-
рального вывода. На базе своего исчисления Генцен [1936, 1939] дока-
зал непротиворечивость формальной арифметики. Основным поня-
тием исчисления натурального вывода является понятие секвенции.
Рассмотрим теорию доказательств логики первого порядка, вос-
пользовавшись ее языком.
Определение 9.2.1 (секвенция). Секвенцией называется выраже-
ние вида S —у Т или S —» 0, где S.T- произвольные конечные множе-
ства формул логики первого порядка, S —уТ читается: “7" при посылках
S”, S —» 0 читается: “посылки 5 противоречивы”. При этом S и Т
называются соответственно антецедентом и сукцеденто.м.
Будем считать, что секвенция S —» Т, где S состоит из формул <рр .... <р
и Т состоит из формул ..., общезначима в том и только том слу-
чае, когда общезначима формула z>U^<. Отсюда неформаль-
ный смысл секвенции состоит в том, что из одновременного принятия
всех посылок </> выводится по крайней мере одно из заключений
Аксиомой или начальной секвенцией является любая секвенция S —» S.
Определение 9.2.2 (непосредственный вывод). Непосредствен-
ным выводом называется всякая фигура вида ~т- или
5 ~, где Sp 5,,
5 - секвенции.
Непосредственный вывод строится с использованием одного из
правил вывода (см. (9.2) - (9.20)).
Структурные правила вывода:
(9.2)
S -у Т
P.S -> Т
ослабление слева:
Теория доказательств
199
(9.3)	S —> Т	nriafiiPHue cnnaaa"	
	S	Т.р		
(9.4)	p,p,S -н> Т _ p,S	Т	сокращение cieea:	
(9.5)	S -н> Т,р,р _ S	Т,р	сокращение справа.	
(9.6)	S^p.q.S, —» Т	~ перестановка cieea;	
	S'.q,p,S2 -» Т		
(9.7)	S -> Tt,p,q,T2		
	S -> T\,q.pJ\		
Логические правила вывода'.			
(9.8)	S	Т,р S.—<p -> Т	—i-cieea;	
(9.9)	S,p	Т S -> Г.-,р	—i-справа;	
(9.10)	p,q,S -» Т _ p/\q,S -» Т	л-слева;	
(9.11)	S	Т,р S	-> T.q	\-справа;
	S	Т ,р А	4	
(9.12)	S -н> T,p,q _, S —» Т,р\/ q	v-справа;	
(9.13)	S,p —> Т S,q	-> т	v-cieea;
	S.p->jq	т	
(9.14)	S' -> T’l.p 9-	s2	т2	— Z)-cieea;
	p о q,St,S. —J	• т'^т1	
(9.15)	p,S -+T,q 	— — ^справа; S-*T,p^>q		
(9.16)	p(t).S -> T	— V -сзева.	
	Vx p(x). S -> T		
гДе t произвольный терм;			
200
Теория доказательств
v -справа.
3-сзева.
3-справа
S -> Т,р(а)
(917) S Т.Х/х р(х)
где а не входит в нижнюю секвенцию;
p(a),S -> Т
(9.18) Ч----------7Т7---------т
Эх p(x),S -* Т
где а не входит в нижнюю секвенцию;
5 -> T,p(t}
(9.19)	7------—~
'	S —» Т, Эх р(х)
где t произвольный терм
Сечение'.
St -* Tt, р p.S, —* Т.
(9-20)	S,.S,	7’1,7',
Выводом из множества секвенций И некоторой секвенции D мы
будем называть конечную последовательность С, ... С, секвенций,
такую, что Сп = D, а каждая секвенция С (« < и) есть либо аксиома,
либо принадлежит И7, либо является заключением по одному из пра-
вил вывода из некоторых посылок, вывод которых встречается ранее в
этой последовательности. Доказатезьство секвенции D это вывод
D из пустого множества посылок. Секвенция, для которой существует
доказательство, называется теоремой.
В качестве иллюстрации рассмотрим доказательство секвенции
р л (q v г) -> (р л q) v (р л г):
Р -> Р я	Я	r	r	
р,я	Р P-Я	я	p,r		p p.r	r	
р,я -> р Р-Я	Я	p.r		P	Р'Г ->	r
р,Я -» Р^Я	p,r	—>	рлг	
Р-Я -> рлд	p,r	—»	рАГ	
P-Я -» po.q,p p,q -> рщг	p,r	—»	рАГ,р	р,Г —>	pAr.q
P-Я -» pr-q,p p,q -> p^q.r	P,r	—»	p^r.p p,r	p^r.q
p,q —> рщрлг	Pd-	—»	p/\i\p/\q	
Р-Я -» p/\q.p^r	p,r		PA	.r.p/\q	
p.qv r —> p /\q, p,qv r —> p л q. p л r	po.r			
p^(qx/r) -» (pA^)v(pAr)				
Теория доказатечьств
201
На шаге 1 были использованы правила (9.2), (9.6), на шаге 2 —
правило (9.11), на шаге 3 — правила (9.3), (9.7), на шаге 4 - снова
правило(9.И), на шаге 5 - правило(9.13) и на шаге6 - правила(9.10),
(9.12).
На основании примера можно заметить, что выводы строятся как
деревья доказательства, так что корнем дерева выступает выводи-
мая формула. Дерево доказатечьства определяется по индукции:
1	Деревом доказательства являйся пустое дерево доказатечь-
ства. состоящее только из корня - аксиомы.
2.	Пусть Г,, Т деревья доказательства с корнями /?,, ... R.
Т... Тк
Тогда ----—----. где Г - некоторая секвенция, является дере-
вом доказательства, если Z может быть получена из /?,, , /?, с
помошью одного из правил вывода. Корнем такого дерева яв-
ляется Z
3.	Дерево доказательства является минимальным множеством,
отвечающим двум приведенным выше условиям.
Определение 9.2.3 (доказуемая и выводимая секвенция). Если
существует дерево доказательства с корнем R. то R называют доказге-
S
мой секвенцией. Если этот корень имеет вид — , то говорят о вывоое
форму чы Т из S.
Подробнее о теории доказательств см Идельсон А.В., Мини Г.Е.
[1967], Манин [1979], Такеути [1975] и Шютте [1960].
Упражнения
9.2.1. Элиминируйте в правилах вывода (9 2) — (9 20) знак секвен-
ции, пользуясь преобразованием с помощью правила (9.9) Покажите,
что аксиомой теперь будет называться любая секвенция 0 -» S”,
содержащая некоторую формулу р вместе с ее отрицанием -р
9.2.2. Докажите следующие секвенции
(9.21)	(AvA)—>А;
(9.22)	А (A v А);
(9.23)	(А л А) -> А:
(9.24)	А (А л А);
(9.25)	(A v В) —> (В v А);
(9.26)	(В v А) —э (A v В);
(9.27)	(А л В)—э (В л А);
(9.28)	(ВлА)-з(АлВ),
В данном случае выражение 0 —> можно опустить.
202 Рек\рсивные функции и машины с неограниченными регистрами
(9.29)	(А л (В л О) -> ((А л В) л С);
(9.30)	((А л В) л О -» (А л (В л Q);
(9.31)	(A v(BvC))->((AvB)vC),
(9.32)	((A v В) v Q -> (A v (В v Q),
(9.33)	((А л В) v (А л О) -> (А л (В м О);
(9.34)	(А л (В v С)) -> ((А л В) v (А л С));
(9.35)	(A v (В л О) -> ((A v В) a (A v О);
(9.36)	((A v В) a (Av О) (Av (В а О);
(9.37)	—.(A v ЙИ ( ч4 л -^);
(9.38)	(—А а -тВ) —> —.(A v В);
(9.39)	—.(А а В} -> (-А v S);
(9.40)	(—A v	—> —.(А а В);
(941)	(Vx А(х) з В) -» Зх (А(х) з В).
(9 42)	Зх (А(х) з В) —> (Vx А(х) 3 В);
(9.43)	(Зх А(х) з В) -> Vx (А(х) з В);
(9.44)	Vx (А(х) з В) —> (Зх А(х) з В);
(9.45)	(В з Vx А(х)) -> Vx (В з А(х));
(9 46)	Vx (В з А(х)) —> (В з Vx А(х)),
(947)	(В з Зх А(х)) —> Зх (В з А(х)),
(9.48)	Зх (В з А(х)) -> (В з Зх А(х));
(9.49)	-.Vx А(х) -> Зх —А(х);
(9.50)	Зх —А(х) -» -.Vx А(х);
(9.51)	-.Зх А(х) -> Vx -А(х);
(9.52)	Vx —А(х)	-Зх А(х)
9.2.3.	Докажите следующие секвенции:
(9.53)	р -> (q з р),
(9.54)	р -> {-р з q),
(9.55)	(-.р з р) —> р,
(9 56)	(р з <?) -> (-q з -р),
(9.57)	((р a q) з г) -> (р з (q 3 г)),
(9.58)	((р л q) з г) -> ((р л —.г) 3 ->q),
(9.59)	((р a q) з г) -> ((-.г a q) 3 -р).
9.2.4.	Докажите, что если дерево доказательства секвенции 5 бес-
конечно или среди его вершин не все являются аксиомами, то В нс
общезначима.
9.3. Рекурсивные функции и машины
с неограниченными регистрами
Одной из важнейших установок метаматематики явлется так на-
зываемая финитная установка, сформулированная Гильбертом (см
Гильберт, Бериаис [ 1934 39]). Согласно данной установке, допустимы
рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами
203
только конечные комплексы действий над конечным числом объек-
тов. В настоящее время выяснение того, какие объекты и действия над
ними следует считать точно определенными, какими свойствами и
возможностями обладают комбинации конечных действий, стало пред-
метом теории рекурсивных функций. В рамках данной теории точ-
ную экспликацию получает понятие алгоритма — одно из фунда-
ментальных понятий всей математики.
Свойства алгоритма
1.	Детерминированность. Алгоритм должен представлять собой
точное предписание, построенное так, что его исполнение одно-
значно осуществимо и не требует никаких свободно принимае-
мых решений, т. е. последовательность действий алгоритма долж-
на быть однозначно определена.
2.	Понятность. Алгоритм должен быть таким предписанием, что
каждое предусмотренное им действие выполнимо только теми
исполнителями (компетентными людьми, ЭВМ и т. п.), которым
адресовано предписание. Другими словами, данное действие дол-
жно принадлежать системе команд исполнителя. Для этого, во-
первых, предписание должно быть выражено с помощью конеч-
ного текста. Во-вторых, для своего размещения оно потребует
памяти.
3	Массовость. Алгоритм призван решать любую задачу из класса
однотипных задач. Это означает, что каждый алгоритм предназна-
чен для решения не одной единственной задачи, а любой задачи из
некоторого бесконечного класса однотипных задач.
4.	Результативность. Алгоритм должен решать задачи за конечное
число шагов, т.е. он состоит из таких отдельных элементарных
шагов, что их множество конечно, и в конце обязательно указыва-
ется, что именно должно считаться результатом произведенных
действий.
5.	Дискретность. Алгоритм задается предписанием с упорядочен-
ным множеством шагов, т.е. его действия обладают точной пос-
ледовательностью, в которой последующие шаги вытекают из
каких-то предшествующих Поэтому после каждого шага необ-
ходимо либо указывать, какой шаг делать дальше, либо давать
команду остановки, после чего работа алгоритма считается за-
конченной.
6.	Конструктивность. Исходные объекты, а также промежуточные
и окончательные результаты любого алгоритма являются точно
определяемыми объектами, представляющими собой упорядо-
ченные множества с условием минимальности.
204 Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами
Пример алгоритма
Алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего deiu-
теля (НОД) двух положительных целых чисел т и п.
1.	Поместить в участок памяти с именем х число /и; перейти к вы-
полнению пункта 2.
2.	Поместить в участок памяти с именем у число и; перейти к выпол-
нению пункта 3.
3.	Если выполняется условие х * у, то перейти к выполнению пункта
5,	иначе перейти к выполнению пункта 4
4.	Поместить в участок памяти с именем НОД значение из блока
памяти х; перейти к выполнению пункта 8.
5.	Если выполняется условие х > у, то перейти к выполнению пункта
6, иначе перейти к выполнению пункта 7;
6.	Если x = yl+kuk*0, поместить в участок памяти с именем х
значение у, а в участок памяти с именем v — значение к и перейти
к выполнению пункта 3; если х = vl + к и к = 0, поместить значение
из блока памяти у в участок памяти с именем НОД и перейти к
выполнению пункта 8.
7.	Если у=х/ + к и к 0, поместить в участок памяти с именем у значение
х, а в участок памяти с именем х — значение к и перейти к выполне-
нию пункта 3; если у = х/ + к и к = 0, поместить значение из блока
памяти х в участок памяти с именем НОД и перейти к выполнению
пункта 8.
8.	Закончить работу.
Строгое математическое определение алгоритма, согласующееся с
интуитивными представлениями о его свойствах, было предложено сразу
несколькими логиками: Чёрч [1936], Пост [1936, 1943, 1944], Тьюринг
[ 1936], Марков А.А. [ 1951,1954] и др. Впоследствии выяснилось, что все
эти определения равносильны и, следовательно, определяют одно и то
же понятие. Ал> оритм при этом понимается как вычислимая функция.
Рассмотрим экспликацию алгоритма в виде рекурсивной функ-
ции. Среди рекурсивных функций существуют базисные, из которых,
используя определенные правила, можно получить все алгоритмы,
т.е. все вычислимые функции.
Определение 9.3.1 (базисные функции). Базисными функциями
называются функции 0, s(x) и[/,п где 0 - одноместная функция, кото-
рая на любом п принимает значение 0, 5 — одноместная функция,
принимающая на числе п значение п + 1, и [/," — n-местная функция,
принимающая на наборе <х,...х> значение х.
Введем теперь оператор регулярной суперпозиции, оператор при-
митивной рекурсии и оператор минимизации, благодаря которым из
Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами 205
базисных функций можно получить абсолютно все алгоритмы.
Определение 9.3.2 (операторрегулярной суперпозиции). Пусть
у — (и + 1)-местная функция, g0. gn — ^-местные функции. Опреде-
лим теперь Л-местную функцию Л: значение h(mt, mJ не определе-
но, если хотя бы одна из функций ..gn не определена на <тр ..
т >, и если все g0, .... gn определены на <т}.т>,	то h(mt, .... mJ =
-fig0(m,...mJ....gn(m.....mJ). Будем говорить, что h получена
регулярной суперпозицией из/, g0, .... gn, т.е. h = с* "if, gB, .... gj, где
О " — оператор регулярной суперпозиции.
В последующем условие, что n-местные функции / и h либо не
определены, либо равны — принимают на наборе .......х> одно
значение, станем обозначать следующим образом:/Ц, • XJ -	-•••
V
Определение 9.3.3 (оператор примитивной рекурсии). Пусть/—
A-местная функция, которая определена на наборе <mt.mk>, g —
(k + 2)-местная функция, которая определена на наборе <т{, mt. у,
->. Тогда можно ввести (к +1)-местную функцию h, которая определе-
на на наборе <т..тк, у>:
(9.60)	h(mt...mk,0)—fiml...mJ;
(9.61)	him...... у + 1) - g(m}.mk, y, h(ml..mt. y)).
Будем говорить, что h получена примитивной рекурсией из фун-
кций/ и g, т.е. h =	g), где р'*1 — оператор примитивной рекурсии.
Определение 9.3.4 (оператор минимизации). Пусть/— (k + 1 )-
местная функция, которая определена на наборе <т.... у>. Опре-
делим теперь A-местную функцию g, считая, что она равна наимень-
шему у, такому, что fimt тк, у) = 0:
иУ8(Л«1р ...,mt,y) = 0) = ч
наименьший у, такой, что/Он,, ... тк, ;)
определено для всех ; <у иД/И].тк, у) =
= 0, если такой у существует;
^не определено в противном случае.
Будем говорить, что g получена минимизацией из функции /, т.е.
g = Ц*(/), где Ц* — оператор минимизации.
Определение 9.3.5 (рекурсивная функция). Рекурсивной называ-
ется функция/, если существует такая конечная последовательность
Функций gQ, .... gn, что gn = /и каждая gr, где i < п, либо является
базисной функцией, либо получается из некоторых предыдущих по-
средством регулярной суперпозиции, примитивной рекурсии или
минимизации.
Предложение 9.3.1. Сложение является рекурсивной функцией.
206 Рекурсивные функции и машины с неограниченнымирегистрами
Доказательство. Для любых х, у имеем:
Гх + 0 = х;
Цх + (у + 1) = (х + у) + 1.
Таким образом, функция h(x, у) = х + у определяется посредством
примитивной рекурсии над функциями fix) = х и g (х, у, z) = г +1,
причем fix) =1?! (х) и g (х, у, z) = s( (х, у. (х + у))). •
Рассмотрим применение рекурсивных функций на идеализиро-
ванном материальном носителе информации, получившем название
машин с неограниченными регистрами (МНР). Это позволит нагляд-
но продемонстрировать свойства рекурсивных функций. Идеализа-
ция же будет состоять в том, что каждый отдельный материальный
носитель информации ограничен как величиной чисел, которые по-
ступают на вход, так и размером памяти, необходимой для запомина-
ния промежуточных результатов, МНР же лишена всех этих ограниче-
ний.
Каждый алгоритм имеет дело с данными — входными, проме-
жуточными и выходными. В качестве данных для МНР выступает
множество натуральных чисел N. Ячейки памяти МНР называются
регистрами и обозначаются посредством R , R„ R},... Каждый ре-
гистр в любой момент времени содержит некое натуральное число.
Число, содержащееся в Rn, мы будем обозначать через г (см.
рис. 9.3.1).
R}	Ri	R3	Rc
I Г> I Г2 I Ъ I Ъ I -	1
Puc. 93.1. Регистры МНР
МНР может изменять содержимое регистров под действием
команд, которые соответствуют операциям над натуральными чис-
лами. Конечный список команд, начинающейся с команды с номе-
ром 1, образует программу. Производя вычисления по данной про-
грамме, МНР изменяет содержимое регистров памяти в точном
соответствии с командами данной программы. Исходное состоя-
ние памяти, т.е. последовательность чисел г,, г3,... в регистрах
R', R,, Rr... перед началом вычислений, называется начальной кон-
фигурацией. Для МНР существуют всего четыре команды: коман-
да обнуления Z(n); команда прибавления единицы S(n); команда
переадресации Т(т, п) и команда усювного перехода J(m, п, q)
(см. табл. 9.3.1).
Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами 207
"Обозначение команды	Действие, производимое МНР
Дп)	Заставляет изменить содержимое /?„ на 0, т.е. г„: = 0
’ S(n)	Увеличивает содержимое регистра /?„ на 1. т.е. r„: = г„ + 1
Т(т. и)	Заставляет заменить содержимое /?„ числом г„„ содержащимся в регистре т.е. г„: = гт
J(m, п, q)	Если содержимое регистров Rm и R,, совпадает, то необходимо перейти к выполнению q-й команды; если же содержимое регистров Rm и R„ не совпадает, то необходимо перейти к выполнению следующей команды, т.е. если гт = г„, то перейти к q-и команде, в противном случае перейти к следующей команде
Табл. 9.3.1. Список команд МНР
Каждая программа Р состоит из последовательности команд
/,, /„ .. . /. МНР начинает вычисление с команды /р затем выполняются
команды Ц и т. д. до тех пор, пока не встретится команда вида
J(m, п, q). В этом случае МНР выполняет команду, предписанную
J(m, п, q), и тогда, когда гт = гп, переходит, нарушая последовательность,
к команде К
Пример программы
Рассмотрим программу Р{, которая состоит из следующей после-
довательности команд:
/|	7(1, 2, 6)
h	5(2)
h	5(3)
h	7(1,2, 6)
h	7(1, 1,2)
/б	T(3, 1)
Табл. 9.3.2.
Применим программу к такой начальной конфигурации:
208 Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами
Rt Ri Ry R^ R^
I 5 I 3	|	0	[	0	|	0	|	... ~J
Рис. 9.3.2.
Ход вычисления по программе Р с начальной конфигурацией,
изображенной на рисунке 9.3.2, можно представить в виде таблицы,
записывая последовательно сверху вниз конфигурации, которые были
изменены под действием очередной команды.
Р|	R?	Ry	/?4	/?5			Команда
5	3	0	0	0			Л
5	3	0	0	0			/2
5	4	0	0	0			Л
5	4	1	0	0			А
5	4	1	0	0			Д (так как * /?2)
5	4	1	0	0			/2 (так как /?,=/?,)
5	5	1	0	0			1у
5	5	2	0	0			h
5	5	2	0	0			Ib (так как Z?, = /?2)
2	5	2	0	0			Л
Табл. 9.3.3. Вычиаение по программе Pt
МНР выполняет программу Р, состоящую из команд /р ..., /, до
тех пор, пока вычисление не останавливается, а останавливается оно
тогда и только тогда, когда нет следующей команды, т.е. когда МНР
только что выполнила команду Ik, и следующая команда в вычислении
есть /р где v>s. Это может произойти одним из способов:
1) если Ik = /, т.е. выполнена последняя команда в Р;
2) если lt = J(m, п, q), Rm = Рп и q> s.
В этом случае будем говорить, что вычисление остановилось пос-
ле выполнения команды It и заключительная конфигурация есть пос-
ледовательность цифр <гр г,, г}, ...>, получаемая на этом шаге.
Бывают вычисления, которые никогда не заканчиваются, какую
бы начальную конфигурацию мы не имели (см., например, програм-
му, изображенную на табл. 9.3.4).
Л	5(1)
/2	Д1.1,1)
Табл. 9.3.4.
Рекурсивные функции
и машины с неограниченными регистрами 209
Результатом применения алгоритма к начальной конфигурации
будем считать число г, из регистра Я, заключительной конфигурации.
В случае если вычислительный процесс не заканчивается получени-
ем результата, говорят, что программа неприменима к начальной кон-
фигурации.
Для удобства обозначим через Р(др ау ап) вычисление по про-
грамме Р с начальной конфигурацией <ау а,, ..., ап, 0, 0, ...>. Если вы-
числительный процесс заканчивается с результатом Ь, будем писать
Р(ау а,, ..., а„) I Ь.
Определение 9.3.6 (МНР-вычислимая функция). Функция f из
множества N" во множество Л' называется вычислимой с помощью
МНР (МНР-вычис зимой), если существует такая программа Р, чго
вычисление Р(ау а,.ап) I b останавливается тогда и только тогда,
когда
(а)	последовательность <ау а,, .... а> принадлежит области опре-
деления/,
(Ь)	в заключительной конфигурации в регистре /?, находится нату-
ральное число b , такое, что flat, а,, .... а„) = Ь.
В дальнейшем под вычислимой функцией мы станем подразуме-
вать только МНР-вычислимую функцию.
Предложение 9.3.2. Функция х + у является вычислимой.
Доказательство. Значение х + у получается прибавлением у раз
числа 1 к числу х. Начальной конфигурацией программы служит <х+ к,
i, к, 0,0, ...> (см. рис. 9.3.3).
/?,_______R?_______R.________Rt________/?s
I лИ I У I к |	0	|	0	|	- 1
Рис. 9.3.3.
Определим теперь программу следующим образом:
Л	ЛЗ, 2, 5)
/2	5(1)
Л	5(3)
/4	Д1. 1, 1)
Табъ 9.3.5.
Она и будет вычислять функцию х + v. •
Установить, насколько исчерпывающе теория рекурсивных функ-
ций эксплицирует понятие алгоритма, в частности насколько исчер-
210 Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами
пывающе его эксплицирует понятие МНР-вычислимой функции, не
представляется возможным. Поэтому существует обобщенная гипо-
теза, согласно которой всякая содержательно вычислимая функция
рекурсивна. Данная гипотеза получила название тезиса Чёрча. При-
менительно к МНР этот тезис можно перефразировать следующим
образом: всякая функция, для которой существует алгоритм вычисле-
ния ее значений, является МНР-вычислимой функцией. Однако суще-
ствуют разделы интуиционистского анализа, в которых тезис Чёрча
даже опровергается - см. Драгалии [1979].
Определение 9.3.7 (характеристическая функция). Характс
ристической функцией и-местного предиката М называется функция
cjx), где х = (х,, ..., хп), определяемая так:
см(х)
1, если М(х) истинен.
О, если М(х) ложен.
Например, свойство “быть четным числом” является одномест-
ным предикатом на множестве натуральных чисел, а свойство “быть
равными” — двухместным.
Определение 9.3.8 (разрешимый предикат). Разрешимым назы-
вается такой предикат Л/(х), что его характеристическая функция с^х)
вычислима.
В контексте вычислимости предикаты часто называют проблема-
ми. Так, разрешимый предикат считается разрешимой проблемой, а
неразрешимый предикат — неразрешимой проблемой.
Определение 9.3.9 (счетноемножество). Счетным называется
множество X, если существует биекция ft: N — X.
Определение 9.3.10 (нумерация). Перечислением или нумераци-
ей множества X называется сюръекция Д: N — X.
Перечисление /3 определяет на множестве X некоторую бесконеч-
ную последовательностьxv х,, х2,... элементов из Xтакую, что Д(/) = х,
поэтому каждый из элементов множества X встречается в этой после-
довательности по крайней мере один раз. Если /3 биекция, то /3 являет-
ся перечислением без повторений.
Определение 9.3.11 (эффективно перечислимое множество).
Эффективно перечислимым называется множество X, если существует
функция /3: N — X, устанавливающая взаимно однозначное соответ-
ствие между множествами N н X , такая, что Д и Д"1 — вычислимые
функции.
Теорема 9.3.1. Множество К всех команд МНР эффективно пере-
числимо.
Рекурсивные функции и машины с неограниченными рсгис трами 211
Доказательство. Множество К насчитывает четыре типа команд:
7(н), S(n), Т(т, п), J(m, п, q). Определим биекцию р К — N следующим
образом.
Д2(л)) = 4 (л-1);
Д5(л))=4 (и - 1) + 1;
р(Т(т,п)) = 4 (firn- 1, л- 1) + 2,
frfim, п, q)) = 4 8(т - 1, л - 1, q- 1) + 3,
где а — это отображение ос. NxN — N, которое является биекцией56,
и 8 это отображение & NxNxN - N, которое также является
биекцией57.
Поскольку функции Ди р-1 вычислимы, множество К команд МНР
является эффективно перечислимым •
Теорема 9.3.2. Множество Р всех программ МНР эффективно
перечислимо.
Доказательство. Пусть Р = <1Г 12..../> — произвольная про-
грамма для МНР Определим биекцию р: Р — N следующим образом:
Р(Р) = Р(/,. /2,.... /,) = иД/,), ДЛ).Д/, ))•
где Р — это отображение, определенное в теореме 9 3 1, а у
отображение, которое задается так58:
х,...*,) = э' +2Л,+Л”‘+... +
Эффективная счетность множества Р всех программ МНР следу-
ет из вычислимости функций р и /г1 •
Определение 9.3.12 (гёделев номер). Гёде/евым номером про-
граммы Р или просто номером программы Р называется число
р(Р)=\ Р].
Обычно программа Р с гёделевым номером п обозначается че-
рез Р
Определение 9.3.13 (номер функции). Пусть f — л-местная функ-
ция, вычислимая по программе Р с геделевым номером т = [ Р 1.
Число т будем называть номерам функции f. Вычислимую функцию
от п аргументов с индексом т будем обозначать символом
Теорема 9.3.3 (простая s—т—п-теорема). Пусть fix. у) — вы-
числимая функция Тогда существует всюду определенная вычисли-
мая функция к(х) , такая, чтоДх, у) —
56 Тот факт, что а может быть биекцией, показывается следующим перечне тением всех пар
натуральных чисел: <0, 0>, <1, 0>, <1, 1>, <0, 1>. <2, 0>, <2,
57 Отображение 5 может быть биекцией, если его задать посредством такого определения:
у, z) =	о(у, г)), гае а — это биекция.
58 Подобную нумерацию программ предложил Гёдеть (1931]
212 Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами
Доказательство. Для каждого фиксированного а через А(«) обо-
значим номер программы Ра. которая вычисляет fia. у). Ее начальная
конфигурация изображена на рис. 9.3.4.
Р\	R	Ry	Ry
У	0	0	0	
Рис. 9.3.4. Если Р’ - программа, вычисляющая функцию/ то Ра получается из Р’ приписыванием спереди команд, преобразующих конфигура- цию, изображенную на рис. 9.3.4, в следующую конфигурацию: /?,	R2	Ry	Ry				
а	У	0	0	...
Рис. 9.3.5.
Отсюда программу Р можно определить на основании такой пос-
ледовательности команд:
Л 1,2)
гл)
S(D 'I
I а раз
S(l) Г
Значение функции k(a) = [ PQ ]. Функция к всюду определена, ее
вычисляет программа Р’. следовательно, по тезису Черча она вычис-
лима. По построению/^Су) -fia. у) для каждого а. •
Другое название .?—т—и-теоремы — теорема параметриза-
ции. Ведь благодаря этой теореме по заданной вычислимой функции
fix, у) и фиксированному параметру а мы всегда можем найти геделев
номер к(а) программы, вычисляющей функцию fia, у). Теорему 9.3.3
можно обобщить таким образом.
Теорема 9.3.4 (общая s—т—п-теорема). Пусть/(х, хт, у, 
ул) — вычислимая функция с геделевым номером а. Существует всю-
ду определенная вычислимая функция s” (а, х,.хт) , такая, что
ЛЛ|....^>’|....>'„) = Л.-Ч.Ж,. .х.)Ор У„)- •
О проблемах вычислимости и теории рекурсивных функций см.
Бёрд [ 1976], Блюм [ 1967], Ван Хао [ 1960], Гудстейн [ 1957], Клини [ 1936.
Рекурсивные функции и машины с неограниченными регистрами
213
1936а, 1956], Кобринский Н.Е., Трахтенброз Г.А. [1962], Марков А.А.
[ 1951,1954], Марков А.А., Нагорный Н.М. [ 1984], Минский [ 1967], Не-
тер [1951], Поп [1943,1944], Рабин, Скотт [1959], Рнчн [1963], Робин-
сон Дж. [1965], Тьюринг [1936 1937], Успенский В.А. [1960] и др. В
качестве учебных пособий можно рекомендовать книги: Катленд [1980],
Мальцев А. И. [ 1966], Роджерс X. [1967]
Упражнения
9.3.1.	Докажите, что следующие функции рекурсивны:
(9.62)	х-у;
(9.63)	х‘;
0, если х = 0.
(9.64)	sg(x)	= 5
I 1, если х * 0;
I х - у, если х > у,
(9.65)	х — у =-х
I 0 в противном случае;
(9.66)	пйп(х, у) = х - (х - у).
9.3.2.	Докажите, что отношение = является эквивалентностью иа
множестве функций
9.3.3.	Составьте программы, вычисляющие следующие функции:
(9.67)	fix} =	-	х делится на 2, если х четно, не определена, если х нечетно
(9 68)	sg(x) = <	0, если г = 0,
(9 69)	fix) = Ч	1. еслих *0 0, если х = у.
		1, если х у.
9.3.4.	Покажите, что вычисление по программе из табл. 9.3.2 с
начальной конфигурацией <6, 7, 0, 0, 0, .„> никогда не остановится.
9.3.5.	Докажите, что множество действительных чисел не является
счетным множеством.
9.3.6.	Докажите разрешимость следующих предикатов на множе-
стве натуральных чисел:
1)	х = v;
2)	х < у;
214
Неразрешимые проблемы
3)	х - четное число.
9.3.7.	Вычислите программу Рт по ее геделеву номеру т для сле-
дующих случаев:
1)/и = 0,
2)т= 1.
9.4. Неразрешимые проблемы
В математике существует множество неразрешимых проблем, в
качестве наиболее важной можно назвать проблему тождества слов в
теории групп (см. Новиков П.С. [1955]). В данном разделе мы рас-
смотрим лишь простейшие неразрешимые проблемы.
Будем различать всюду определенные (тотальные) и частичные
функции. Так, A-местная функция f из множества В во множество N
называется тотальной, если В = N', и она же называется частичной,
если В с TV.
Теорема 9.4.1 (невычислимая тотальная функция). Существу-
ет невычислимая всюду определенная (тотальная) функция.
Доказательство Пусть Z, — некоторое перечисление всех вы-
числимых функций/,/,/,, ... Введем новую функцию g:
I fn(n) + 1, если/(и) определено,
g(")= -s
I 0. если/(и) не определено.
Нетрудно заметить, что функция g отличается от любой вычисли-
мой функции fn при аргументе п. Так, если функция / определена при
аргументе п, то g(n) *fn(n). Если/ ие определена в п, то g отличается от
/ тем, что значение g(n) определено. Таким образом, g е Т, и, следова-
тельно, функция g и есть невычислимая всюду определенная (тоталь-
ная) функция. •
Метод построения функции в теореме 9.4.1 является примером
диагональной конструкции Кантора.
Проиллюстрируем метод построения функции g с помощью сле-
дующей бесконечной таблицы:
	0	1	2	3	
/о	/о(0)	/о(1)	/о(2)	/о(3)	
/>	/.(О)	/1(1)	Л(2)	л(3)	
/з	/2(0)	/2(1)	/(2)	/2(3)	
л	/40)	/41)	/42)	/43)	
					
Табл. 9.4.1. Диагональная конструкция Кантора
Неразрешимые проблемы 215
При построении функции g для определения значений при аргу-
менте п выбираются диагональные элементы таблицы /о(О),/( 1
Затем выбранные значения система 1ически изменякися - ко всем
прибавляется 1. Стоит отметить, что новые значения функции g
можно выбирать сравнительно свободно. Главное - систематически
изменять значение fn(n).
Пример 9.4.1. Докажем, что множество всех подмножеств мно-
жества натуральных чисел Л' невозможно перечислить, поскольку ну-
мерация задается невычислимой тотальной функцией.
Доказательство. Пусть Мп, М, М„ ... - перечисление всех под-
множеств множества /V. Определим новое подмножество В множе-
ства Л следующим образом:
для любого п е Л' имеет место п е В <=> п е Мп.
Очевидно, что существование подмножества В противоречит
предположению о существовании нумерации всех подмножеств мно-
жества Д'. Следовательно, множество всех подмножеств множества .V
нельзя перечислить. •
Из доказанного вытекает, что множество всех подмножеств мно-
жества N несчетно (см. определение 9.3.11).
Определение 9.4.1 (универсальная функция). Универсальной
функцией для «-местных вычислимых функций называется (п+11-мес-
тная функция
V'u'f.m.x....х„) =	(х,, ...,хп).
Для примера рассмотрим функцию^1’. Эта функция реализует
все одноместные вычислимые функции^,/,,/,, ... Действительно, для
произвольного натурального числа т функция g(x) ^y/'J'f.m. х) со-
впадает с функцией /J1’ (х).
Теорема 9.4.2. Для каждого натурального числа п универсальная
функция у/^" вычислима.
Доказательство. Покажем, как можно вычислить значение
функции у/["‘(т, хр ..., хл) для заданного числа т и фиксированного
набора <х....х>. Неформальная процедура вычисления значения
y/(L"' (т, х.хп) состоит в следующем: “Декодируйте число т и вос-
становите программу Р Затем имитируйте вычисление по этой про-
грамме. Если вычисление по программе заканчивается, требуемое
значение у/^ (т, хр ..., хп) содержится в регистре R". По тезису Черча
заключаем, что функция ^п) вычислима. •
Определение 9.4.2 (универсальная программа). Универсальной
программой называется любая программа /*(п), вычисляющая функ-
цию у,™'.
216
Неразрешимые проблемы
Универсальная программа Р(п) позволяет вычислить любую п-
местную вычислимую функцию, поэтому она заменяет абсолютно
все программы для вычисления n-местных функций.
Теорема 9.4.3. Проблема “функция / всюду определена” нераз-
решима.
Доказательство. Пусть g - характеристическая функция этой
проблемы:
A*W =
1, если/х всюду определена.

О, если / не всюду определена.
Покажем теперь, что функция g невычислима. Предположим от
противного, что g является вычислимой функцией. Рассмотрим фун-
кцию
h(x) =
/(х) + 1, если/ всюду определена.
О, если/ не всюду определена
Функция h всюду определена и отличается от каждой вычисли-
мой функции/. Применяя g и универсальную функцию у/,1' в зада-
нии области значений h, запишем h в следующем виде:
^7‘ U х) + 1. если g(x) = 1,
h(x) =	«
О, если g(x) = 0.
к.
Из вычислимости функций g и ^7’ по тезису Черча следует вы-
числимость функции h. Получаем противоречие, что доказывает не-
вычислимость функции g. •
Обозначим область определения Dom(/) и множество значений
Ran(/) функции/ через FF и £ соответственно.
Теорема 9.4.4 (проблема самоприменимости). Проблема
“х е IV'” (или “функция g(x) определена”) неразрешима.
Доказательство. Характеристическая функция этой проблемы
задается следующим образом:

1, если х е W,
7	л7
0, если <г IV'.
Предположим, что функция g вычислима. Рассмотрим функцию /
0, если g(x) = 0,
fix) =
не определена, если g(x) = 1.
Неразрешимые проблемы-I7
На том основании, что функция g вычислима, по тезису Черча,
функция / также вычислима. С другой стороны, для любою л область
определения Dom(/) функции/ отлична от области определения IV. а
значит,/ */. Следовательно, предположение о вычислимости харакге-
ристической функции g ошибочно •
Проблему “х е IV” называют проблемой самоприменимости в
связи с тем, что она имеет такой неформальный смысл “Применима
ли программа к своему кодовому номеру?” Или: "Остановится ли
МНР. работая по программе Р(х)?”.
Теорема 9.4.5 (проблема остановки). Проблема “т е IV/' (или
“функция g,(y) определена”) неразрешима.
Доказательство. Если бы проблема “v е IV” была разрешима,
то была бы разрешима более простая проблема “х е IV ’’, что противо-
речи1 теореме 9.4.4 •
Проблему “у е IV” интерпретируют как проблеме остановки.
поскольку ее решение предполагало бы существование общею мето-
да, устанавливающего, остановится ли некоторая конкретная програм-
ма /*,. запущенная с некоторым конкретным набором начальных дан-
ных :у>.
В доказательстве теоремы 9.4.5 мы свели вопрос о неразрешимо-
сти одной проблемы к вопросу о неразрешимости другой. Этот при-
ем называется методам сводимости. Так, если в результате некото-
рых рассуждений удалось показать, что решение проблемы А приво-
дит к решению другой проблемы В. то из разрешимости проб темы А
следует разрешимость проблемы В и. наоборот, из неразрешимости В
следует неразрешимость А. Для сведения проблемы “х 6 IV” к другим
проблемам часто используется .г—т—и-теорема.
Теорема 9.4.6. Проблема “/ = 0” неразрешима.
Доказательство. Рассмотрим функцию g от двух аргументов:
I 0, если х е VV,
g(x. у) =	-<
[не определена, если х g IV.
По тезису Черча, функция g(x, у) должна быть вычислимой. От-
сюда по з—т—и-теореме вытекает существование всюду определен-
ной вычислимой функции к(х) такой, что g(x, у) — /W1)(y). По определе-
нию функции g(x, у), имеем:
хе «/«^по-
следовательно, истинность условия г е IV можно установить,
определив справедливость равенства/И1|(у) = 0. Тем самым мы свели
проблему “х е IV ” к проблеме “/ = 0”. •
218
Неразрешимые проблемы
Согласно теореме 9.4.6. не существует алгоритма проверки того,
будет ли программа вычислять нулевую функцию.
Теорема 9.4.7. Проблема “f =f" неразрешима.
Доказательство. Предположим, что проблема “/ =f" разреши-
ма. Тогда разрешима и проблема =/”, где/ = 0. Однако это противо-
речит условию теоремы 9.4.6. •
Основной смысл теоремы 9.4.7 состоит в том, что не существует
алгоритма, позволяющего установить, вычисляют ли две программы
одну и ту же одноместную функцию.
Теорема 9.4.8. Пусть ./? — это непустое подмножество множе-
ства одноместных вычислимых функций Гр ие совпадающее со всем
множеством Гг Тогда проблема «/ е .А» неразрешима.
Доказательство. Проблема «fi е .А» разрешима тогда и только
тогда, когда разрешима проблема «/ е ГД .А». Поэтому без потери
общности можно считать, что нигде не определенная функция /0 не
принадлежит .А (в противном случае мы бы доказывали это утвержде-
ние для ГД j6).
Выберем некоторую функцию g е .А и на ее основе построим
функцию/:
Лх,у) =
g(y), если х е VV,
не определена, если х е Wx.
По тезису Черча, функция fix, у) вычислима. Отсюда по s—т—п-
теореме заключаем, что существует всюду определенная вычислимая
функция к(х) , такая, что fix. у) = ftufiy)- По определению функции
fix, у), имеем:
ХЕ	=	Л
х<£ ft
С помощью вычислимой функции к(х) мы свели проблему
“х е 1¥” к проблеме “/ е .А". Следовательно, проблема “/ g .А" не-
разрешима. •
По теореме 9.4.8 проблема сушествования общего алгоритма,
позволяющего распознавать свойства вычислимых функций по их
программам, является неразрешимой. Обобщим результат теоремы
9.4.8. Пусть Q — некоторое свойство одноместных вычислимых функ-
ций. Назовем свойство Q нетривиальным, если существуют функции,
обладающие свойством Q, и функции, не обладающие этим свойством.
Примерами нетривиальных свойств служат следующие:
1)	функция тождественно равна нулю;
2)	функция нигде не определена;
Неразрешимые проблемы
219
3)	функция всюду определена;
4)	функция взаимно однозначна
Теорема 9.4.9. Каково бы ни было нетривиальное свойство Q од-
номестных вычислимых функций, задача распознавания зтого свой-
ства неразрешима.
Доказательство. Пусть .ft — множество одноместных вычисли-
мых функций, обладающих свойством Q. Множество .Л не пусто и не
совпадает со всем множеством одноместных вычислимых функций
( . По теореме 9.4.8 проблема е ./?” неразрешима. •
Согласно данной теореме, по программе вычисления функции
нельзя узнать, обладает ли соответствующая ей функция заданным
нетривиальным свойством. Другими словами, если имеется некото-
рая программа, то по ней. вообще говоря, ничего нельзя сказать о
функции, реализуемой программой.
Определение 9.4.3 (частичноразрешимый предикат). Частич-
но разрешимым, или рекурсивно перечне немым, называется такой пре-
дикат М(х), что его характеристическая функция си(х) задается следу-
ющим образом:
I 1, если М(х) истинен,
= -{
I не определена, если М(х) ложно.
Пример 9.4.3. Проблема остановки (см теорему 9.4.5) является
частично разрешимой.
Доказательство. Характеристической функцией данной пробле-
мы служит следующая:
Лл. У) =
1, если у е W,
не определена, если у £ IV.
По тезису Черча, заключаем о вычислимости Дх, у). •
Определение 9.4.5 (рекурсивное множество). Рекурсивный на-
зывается множество А, если его характеристическая функция задается
следующим образом:
1, если хе А,
с/х) =
I 0, если х е А.
Очевидно, что множество рекурсивно То1да и только тогда, когда
предикат “х е А” разрешим. В том случае, если предикат "х е А"
частично разрешим, множество А называется рекурсивно перечисли-
мым.
220
Неразрешимые проблемы
Определение 9.4.6 (продуктивноемножество). Продуктивным
множеством называется не рекурсивно перечислимое множество А,
содержащее рекурсивно перечислимое множество W.
Покажем, что продуктивное множество действительно существу-
ет. Пусть/1 = {х| х £ W}. Если VV сЛ, то х е А \ IV.
Определение 9.4.7 (креативное множество). Креативным
множеством называется рекурсивно перечислимое множество А,
дополнение которого —iA есть продуктивное множество.
Пусть гГ— множество всех утверждений, истинных в формальной
арифметике, и Л— множество всех утверждений, ложных в формаль-
ной арифметике.
В силу теоремы 9.3.2 множество .7и ./является эффективно пере-
числимым: ./и.>= {0„ ..., 0,...}.
1 О * л’ J
Теорема 9.4.10 (теорема Тарского). Множество ./является про-
дуктивным.
Доказательство. Пусть Т = {и | вп е .У}. Рассмотрим всюду
определенную вычислимую функцию g, такую, что для любого п ут-
верждение 0?|л) имеет номер п е Т \ Wn, где Wn — креативное множе-
ство. Имеем:
g(n) е п £ Wn « 0 е ./
Поскольку множество Т не является рекурсивно перечислимым,
рекурсивно перечислимым нельзя считать и множество л. •
Теорема 9.4.11. Множество доказуемых утверждений .Л в рекур-
сивно аксиоматизируемой теории рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Все доказательства можно эффективно пере-
числить. Предикат М(п, г), определяемый так: “г есть доказательство
утверждения 0л из аксиом является частично разрешимым54. По-
кажем это:
Г) =
1, если существует г, такое, что М(п. t) истинен,
не определена в противном случае. •
Теорема 9.4.12 (теорема Гёделя о неполноте). В рекурсивно
аксиоматизированной формальной системе, в которой все доказуе-
мые утверждения истинны, существует утверждение ф, которое ис-
тинно, но не доказуемо.
Доказательство. Множество Л по теореме 9.4.11 рекурсивно
перечислимо и по определению содержится во множестве./ Следова-
тельно, существует утверждение ср е Л\ Л. •
” Разрешающей процедурой служит, например, нумерация натурального вывода Генцена
tfepaзрешимые проблемы
221
Неразрешимые проблемы показывают, что если алгоритмы
строятся на одном лишь принципе минимализма, как это предпо-
лагается в тезисе Чёрча, то в результате манипуляций с вычисли-
мыми функциями неизбежно возникают уже невычислимые фун-
кции.
Подробнее о неразрешимых проблемах, а также о связи логики и
вычислимости см. Булос и Джефри [ 1974], Гёдель [1931], Ершов Ю.Л.
[1996], Клини [1952b], Лавров И.А. [1970], Манин Ю.И. [1979], Матия-
севич Ю.В. [1970], Нагель, Ньюман [1956,1958], Пильчак Б.Ю. [1950],
Рабнн [1958, 1958а], Смальян [1961], Хартманне, Хопкрофт [1971],
Шанин Н.А., Давыдов Г. В., Маслов С.Ю., Мннц Г.Е., Оревков В.П.,
Ошсенко А.О. [ 1965], Шёнфилд [ 1971 ] и др.
Упражнения
9.4.1.	Используя диагональный метод, докажите, что множество
всех функций из N в N несчетно.
9.4.2.	Докажите, что множество всех невычислимых всюду опре-
деленных функций из N в /V несчетно.
9.4.3.	Докажите, что не существует алгоритма, определяющего по
тексту программы, будет ли эта программа вычислять некоторую кон-
кретную вычислимую функцию.
9.4.4.	Покажите, что не существует всюду определенной вычис-
лимой функции fix, у), обладающей следующим свойством: если про-
грамма Pfiy) останавливается, то это происходит за fix, у) или меньше
шагов. Покажите, что если бы такая функция существовала, то про-
блема остановки была бы разрешима.
9.4.5.	Покажите, что проблема “х £ VV” не является частично раз-
решимой.
9.4.6.	Покажите, что метод сводимости в доказательстве многих
неразрешимых проблем предполагает, что сводимость является отно-
шением частичного порядка. Пусть множество А сводимо к множе-
ству В'. А В. Будем считать, что это означает существование всюду
определенной вычислимой функции /, такой, что областью ее опреде-
ления служит А, а областью значения — В60. Докажите следующие
отношения (см. Катленд [1980]):
(9.70)	А В тогда и только тогда, когда —А —J3;
(9.71)	если множество В рекурсивно и Л В, то множество
Л рекурсивно;
(9.72)	если множество Л рекурсивно и В *0, N, то Л В;
ю В научной литературе в таком виде определяемая сводимость называется т-аюдимостью
222
Неразрешимые проблемы
(9.73)	если В рекурсивно перечислимо и А В, то А рекур-
сивно перечислимо;
(9.74)	А W имеет место тогда и только тогда,	когда А = IV;
(9.75)	А10	имеет место тогда и только тогда,	когда Л = 0;
(9.76)	МВ имеет место тогда и только тогда,	когда Вф0\
(9.77)	0~i В имеет место тогда и только тогда,	когда В Л
9.4.7.	Покажите, что креативное множество является упорядочен-
ным множеством с условием минимальности.
9.4.8.	Дайте определения множеств, к которым сводимо креатив-
ное множество
9.4.9.	Докажите, что множество А рекурсивно перечислимо тогда
и только тогда, когда А сводимо к креативному множеству
9.4.10.	Докажите, что предикат М(х) разрешим тогда и только тог-
да, когда предикаты М(х) и —М(х) частично разрешимы.
9.4.11.	Докажите, что предикат М(х) частично разрешим тогда и
только тогда, когда существует вычислимая функция g(x), такая, что
М(х) тогда и только тогда, когда х е Dom(i?).
ГЛАВА 10. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА
В вероятностной югике значение высказывания получает рас-
ширительную трактовку. Так, если значение “истинно” математичес-
кой логики обозначить посредством 1, а значение “ложно” — посред-
ством 0, то возможными значениями высказывания (р в вероятност-
ной логике будут все действительные числа интервала [0, 1], причем
значение 1 станет выражать достоверность высказывания, а значение
0 — его противоречивость. Такое понимание значения высказывания
(р сближает вероятностную логику с непрерывной логикой. Уникаль-
ная же специфика вероятностной логики состоит в том, что широкий
набор методов теории вероятностей позволяет применять данную
логику во многих эмпирических исследованиях. Именно поэтому ве-
роятностная логика называется также логикой науки.
Основы вероятностной логики были заложены в работах. Бар-
Хиллел, Карнап [1952, 1953—1954], Джефрис [1939], Кайберг [1961,
1969], Кайгер [1957], Карнап [1945,1950,1955b, 1957, 1959,1962], Кар-
нап, Джефри [1971], Карнап, Штегмюллер [1959], Кейнс [1952], Кеме-
ни [1963а], Лакатос [1968], Нагель [1949,1963], Нейман [1950], Поппер
[1959-1960], Райхенбах [1932 1933,1949], Хинтикка [1970,1973а],Хин-
тикка,Супс [1966] и др.
Наиболее распространенными подходами внутри вероятностной
логики считаются те, которые, во-первых, базируются на частотной
интерпретации вероятности, когда вероятность рассматривается
как свойство последовательности событий, во-вторых, которые осно-
вываются на интерпретации вероятности как югического отноше-
ния .между высказываниями. Подробнее об этих подходах см. Руза-
вин Г.И. [1964].
К первому типу систем относится исчисление Райхенбаха [1932-
1933, 1949]. В нем помимо основных логических связок математи-
224
Вероятностная логика
ческой логики — конъюнкции (произведения), дизъюнкции, имплика-
ции и отрицания — используется особая логическая связка, выража-
ющая вероятностную имликацию: z>p. Так, если бросается монета с
вероятностью выпадения решки 1/2, то антецедентом такой имплика-
ции будет бросание монеты, а консеквентом — один из двух возмож-
ных результатов бросания. Символически вероятностная импликация
обозначается так: Vi (х е A z>p yt е В) и читается: для любых соответ-
ствующих событий, принадлежащих приведенным во взаимно-
однозначное соответствие классам событий А и В, при истинности
антецедента консеквент вероятен в степени р.
В вероятностной логике Райхенбаха имеются три аксиомы:
(10.1)	((A z> В) z> Зр (A z>p В))(р = 1);
(102)	(((Я ВКА ^зч СХАВ=>-О)эЗг(А т>г(В v О)(г=р+<?);
(10.3)	(((Л В)(А В О) 3w (A о B-O)(w = pu).
Выражения x e А и у e 8 можно рассматривать соответственно
как высказывания hug. Тогда связывающая их вероятностная имплика-
ция может быть обозначена посредством зависимости P(hxt, gy) = р,
где р е [0, 1]. Данная зависимость и будет исполнять роль истинност-
ной функции hug
Высказывание gy, понимается как последовательность. Поэтому
вероятность определяется как свойство такой последовательности, а
л
ее частота будет вычисляться по формуле: P(gy)=lim ^N(gy,) .Для
подобных пропозициональных последовательностей можно ввести
дизъюнкцию, конъюнкцию, импликацию и отрицание:
(10.4)	(hx) v (gy) = (hx v gy);
(10.5)	(^)Ate'y,) = (ftx,Agy,):
(10.6)	(Л x) => (g у) = (hxt z> gy);
(10.7)	—>(hx) * (-Jix).
В соответствии с этими определениями, по частоте отдельных
последовательностей вычисляется вероятность сложных пропозицио-
нальных последовательностей. Если значение последовательности
P(hx) = р, а значение P(gv) = q, то можно задать таблицу истинности
для последовательностей пропозициональных функций (см табл. 10.1).
P(hx)	P(gv)	P(-Jix)	P(hx„ gy)	P(hx, v gy)	P(hx, a gy)	P(hx, гз gv)
Р	Ч	1-р	и	p + q-pu	pu	1 - p + pu
Табл. 10.1.
При этом значения вероятностей должны удовлетворять следую
шим двум условиям:
Вероятностная булева алгебра	225
—
(p + q — \)	q
(ю.8)	---------
Р	Р
(10.9)	Р(Лх,,Лх1)= 1.
При такой интерпретации значений последовательностей пропо-
зициональных функций вероятностная логика Райхенбаха включает в
себя классическую двузначную логику.
Второй тип систем вероятностной логики предполагает иную ин-
терпретацию понятия логической вероятности Кейнс [1952] одним нз
первых обратил внимание на то, что вероятность может быть истолко-
вана как форма логического отношения между двумя высказывани-
ями. Если представить заключение правдоподобного условного выс-
казывания как а, данные, на которые опирается заключение, как Л, то
а
вероятностное утверждение приобретет вид —= р, где ре [0, 1]. Дан-
ный подход получил название теории подтверждения, поскольку в
его рамках вероятность трактуется как степень эмпирическою под-
тверждения той или иной гипотезы. Классиком теории подтверждения
считается Карнап [1945,1950,1955b, 1957,1959.1962].
10.1. Вероятностная булева алгебра
Мы привыкли о многих событиях говорить как о правдоподоб-
ных. а не заведомо истинных или ложных. Например, о выпадении
решки при подбрасывании монеты мы утверждаем лишь с известной
долей предположения. Правдоподобность наших высказываний удоб-
нее всего рассмазривать как некую вероятностную меру, определен-
ную на множествах. Ведь любое гипотетическое высказывание неяв-
но содержит ссылку на множество возможных исходов. В качестве
операций, определенных на таких множествах, целесообразно исполь-
зовать операции булевой алгебры.
Определение 10.1.1 (регулярная булева алгебра). Регулярной
называется булева алгебра ЭД, если для любых элементов а, b е ЭД
найдется такой гомоморфизм ф из ЭД в двухэлементную булеву алгеб-
ру, что ф(а) ф фф).
Если ЭД — регулярная булева алгебра, то ее элементы называются
событиями. Единицу, как константу булевой алгебры, станем обозна-
чать через 1, а нуль — через 0. Будем считать, что событие 1 происхо-
дит всегда, а событие 0 — никогда.
Определение 10.1.2 (вероятностная мера). Функция Р(х), задан-
ная на регулярной булевой алгебре ЭД, называется вероятностной
мерой или просто вероятностью, если она в качестве значений при-
8 Зак. 784
--6 Вероятностная булева алгебра
нимаст любое действительное число интервала (0. 1] и удовлетворяет
следующим аксиомам:
(1010)	0 < Р(х) для всех х е ТК.
(10.11)	Р(1)=1;
(10.12)	если х л у = 0, то Р(х vy) =Р(х) + Р(у).
Проиллюстрируем условие (10 11). Возьмем множество событии,
смысл которых состоит в том, что кость выпала на грань с определен-
ным числом от 1 до 6. Очевидно, единице равны: “Вероятность мно-
жества исходов, дающих в результате 1 или любое другое чис-
ло”; “Вероятность множества исходов, дающих в результате чис-
ло, меньшее 10” и г. д
Определение 10.1.3 (вероятностная булева алгебра). Вероятно-
стной булевой алгеброй называется упорядоченная пара <Т?, Р >, где
1.	D? — pei улярная булева алгебра;
2.	Р — вероятностная мера.
Если х л у = 0, то события х и у называются несовместимыми.
Неформальный смысл несовместимости заключается в том, что если
одно из высказываний аналитически или по другим причинам счита-
ется истинным, то другое — ложным
Определение 10.1.4 (условная вероятность). Пусть а
фиксированный элемент "И?, причем Р(а) * 0. Условной вероятнос-
тью события х относительно события а называется функция
_ г Р(а ах) _	_
го(х) =--------для любого х е
Р(а)
Определение 10.1.5 (полная система несовместимых событий). Си-
стема событий аг а,, .... ап называется полной системой несовместимых со-
бытий, если эти события попарно несовместимы и а1 v а7 v... v ап = 1.
Предложение 10.1.1 (формула полной вероятности). Пусть а .
а2, ..., ая— полная система несовместимых событий. Тогда
(10.13)	Р(х) = PiaJ. Ра< (х) + Р(«,). Ра (х) + . + Р(а ) Р. (х) =
=£Р(а,)С.(х).
Доказательство. Действительно, х = (а, лх) v («, л т) v... v (а лх)
и события а л х несовместимы. •
Предложение 10.1.2 (формула Байеса). Если одна и только одна
из гипотез а , а,, ., , ап истинна (полная система несовместимых собы-
тий), то
(10.14)
р(а)= Р(а.)Р^
У Р(а,) Р, (х)
вероятностная булева алгебра_____________________________227
Доказательство. На основании определения 10.1.4. зависимос-
ти Р№) ' Р(х) = Р(а)  Ра (х) и формулы (10.13) получаем (10.14). •
Формула (10.14) называется формулой Байеса или формулой под-
счета вероятностей гипотез при данном свидетельстве. Согласно
предложению 10.1.2, чтобы найтн апостериорную вероятность любой
гипотезы, необходимо знать лишь априорные вероятности всех про-
тивопоставляемых ей альтернатив.
Определение 10.1.6 (независимые события). События хит назы-
ваются независимыми, если Р(х) = 0 или Р(.г) = Р(х).
Чтобы продемонстрировать неформальный смысл понятия неза-
висимости, рассмотрим результаты подбрасывания пары костей. Обо-
значим через у такое множество исходов испытания, в которых первая
кость показывает 2, а через х — множество исходов, в которых вторая
кость показывает 3. Поскольку подобные события полагаются незави-
симыми, мы должны приписать множеству исходов, в которых вторая
кость выпадет на 3, такую же меру, как и множеству исходов, в которых
вторая кость выпадет на 3, при условии, что первая выпала на 2, т.е.
имеем Р (х) = Р(х).
Пусть Т?п = 9Л(а.ап) — свободная булева алгебра, порожденная
конечным числом элементов а,, .... ап. Тогда состоит из 2" элемен-
тов, каждый из которых имеет вид Да г ..., ап), где f— функция алгебры
логики от п переменных. Все функции алгебры логики имеют различ-
ные значения, и в вероятностной булевой алгебре им соответствуют
различные действительные числа интервала [0, 1]. В частности, значе-
нию/^ 0 соответствует 0, а значению/= 1 соответствует 1. Для каждого
а е И?л положим Р(а,) = р(, где р, е [0, 1 ].
Рассмотрим свободную булеву алгебру 9Л,. В качестве порожда-
ющего множества мы можем взять множество элементов, из которых
состоят все пары TJ, Например, если взягь множество шаров различ-
ного цвета, то во время испытания по вытаскиванию шара черного
цвета мы можем получить:
1.	множество пар, в которых первый и второй шары черные;
2.	множество пар, в которых первый шар черный, а второй — нечер-
ный;
3.	множество пар, в которых первый шар нечерный, а второй
черный;
4.	множество пар, в которых оба шара нечерные61.
Если бы мы задавали множество всех порождающих злементов не как булеву алгебру, то
возможные комбинации пар выглядели бы так:
1  множество всех пар шаров;
— множество пар шаров, первый из которых черный, а второй любого цвета:
228
Вероятностная булева алгеора
Каждую функцию от и переменных /будем считать представлен-
ной СДНФ. События, отвечающие элементарным конъюнкциям
а°' л ... л а°>. являются несовместимыми и образуют полную систе-
му несовместимых событий. Каждый элемент алгебры .........ап) яв-
ляется объединением некоторого числа таких событий. Тогда в силу
условия (10.12) определения 10.1.2 вероятность Р(х) на однозначно
определяется заданием вероятностей
Р(а°'л... ла°")=
По условию (10.11) определения 10.1.2 сумма действительных чи-
сел ра а. из интервала [0, 1] должна равняться 1. Поскольку заранее
заданы вероятности событий а, должны выполняться условия
У, Ра, а о, = Р, , где 1 <1 < п.
ot=l
Слева вероятность события а/ выражается через ра а.» причем
Ч = Х (яГ'Л • л аг"'>-
Определение 10.1.7 (вероятностная мера на конечных свобод-
ных булевых алгебрах). Вероятностной мерой на конечных свобод-
ных булевых алгебрах называется мера Р(а) = р:, такая, что
(10.15)	а = V (а«.л ... ла°’ У.
‘	0,-1	1	"
(10.16)	Pi = Ц, Ра, а,..а, _
(J —I
Предложение 10.1.3. Пусть Р(а) = pt (где 1 < i < и), события а
независимы и х — множество и-ок, в которых на к определенных мес-
тах стоят элементы, принадлежащие о, а на и — к оставшихся мес-
тах ---я Тогда
(10.17)	Р(х) = р,‘(1-р,)”-*.
Доказательство. Если на первых к местах стоят элементы, при-
надлежащие а, то, используя независимость, получаем
P(X,A.r, Л_ л XtA —iXj.jA	Л... Л —i Jtj = Р(Х,) - Р(Х,)
Р(хк) Р(-аЬ1) Р(-аь2) Р(-ап) = Р(а Г - Р(-л1)"-*=р,‘(1-р()"-‘. •
3	множество пар. в которых первый шар нечернын. а второй — любого цвета.
4	множество пар в которых второй шар черный, а первый — любого цвета,
5	. множество пар, в которых второй шар нечернын а первый — любого цвета
6	. множество пар, в которых первый н второй шары черные,
7	. множество пар, в которых оба шара нечерные,
8	множество пар в которых первый шар черный а второй нечерный;
9	множество пар. в которых первый шар нечернын, а второй — черный,
10	и наконец, пустое множество
Вероятностная булева алгебра
229
Условия предложения 10.1.3 называются схемой Бернулли, или ис-
пытаниями Бернулли.
Введем новую функцию и! (читается: “л-факториал”) с определе-
нием по рекурсии
Го'.= 1;
-<
п\ = п ((п- 1)!)
Предложение 10.1.4 (число к-элементных подмножеств про-
извольного п-злементногомножества). Числом к-зле.иентных под-
множеств произвольного п-элементного множества является фун-
кция
л!
<1018)
Доказательство. Согласно предложению 10.1.3, для того чтобы
подсчитать число ^-элементных подмножеств произвольного «-эле-
ментного множества, необходимо узнать, сколько существует л-ок, в
которых к элементов принадлежат а и п - к элементов принадлежа!
-in Пусть С — такое искомое чисто способов сочетания в л-ке к
объектов типа а с п к объектами типа —<а
Если мы поменяем местами объекты одного типа, то наше соче-
тание останется прежним Такие перестановки можно совершить А!
способами для объектов типа а и (л - А)! способами — для объектов
типа —<л Полное число перестановок, не влияющих на выбранное со-
четание. равно (я — ку к' Если умножить ио число на искомое
число сочетании С, то должно получиться полное число перестано-
вок из л! объектов, т. е. (п — к)!  к!  С = л!. •
Упражнения
10.1.1.	Покажите, что:
(10.19)	Р(—а) = 1 - Р(х) для всех х е 14.
(10.20)	Р(х) < 1 для всех г е Т?;
(10.21)	Р(0) = 0;
(10.22)	если (х z> v) = 1. то Р(х) < Р(у);
(10.23)	Р(х v у) =Р( г)+Р(у) Р(х л у);
(10.24)	P(xt v...vt) = P(x|)+ ... +Р(х)=У'„	. еслих лд =
= 0 для всех । j;
(10.25)	Р(х л у) < Р(х) для любых х, у е 14;
(10.26)	Р(х v у) < Р(х)+Р(у) для любых х. у е 14.
10.1.2.	Покажите, что если события независимы, то Р(х л у) =
= р(х) Р(У).
230 Теория подтверждения
10.1.3.	Покажите, что если события х и у независимы, то х и - v
также независимы.
10.1.4.	Выразите РДа) через Р, (х) и Р(а) (1 <j < п).
10.1.5.	Чему равна вероятность выпадения четырех решек при
десяти испытаниях некоторой достаточно симметричной монеты?
10.1.6.	Какова вероятность получения в сумме семи очков при
подбрасывании двух игральных костей?
10.1.7.	Из колоды карт вытаскиваются одновременно две карты.
Какова вероятность того, что обе карты будут червонной масти?
10.1.8.	Покажите, что С ° = С" = 1 и С' = п .
п п	п
10.1.9.	Докажите, что » = 2
10.1.10.	Докажите, что С*= С"~к и С* + С*“'= С*
п	п	п	п	П+1
10.2. Теория подтверждения
Карнап [1945, 1950. 1955b. 1957,1959. 1962] интерпретирует ве-
роятностное утверждение как индуктивный вывод, т.е. как услов-
ное высказывание, консеквент которого имеет определенную сте-
пень подтверждения. Поэтому исходным отношением теории
подтверждения является формула Байеса. Пусть результаты эм-
пирического наблюдения или экспериментирования обозначаются
через е. Эти данные подтверждают гипотезу h с определенной до-
лей вероятности. Очевидно, что отношения между е и h не являют-
ся фактическими. Данное отношение может выражаться опреде-
ленным числом, которое составляет степень подтверждения гипо-
тезы h в отношении ее эмпирических данных е. Таким образом,
степень подтверждения представляет собой некоторую функцию
с(Л, е) = р, где р 6 [0, 1 ].
Основное отличие теории подтверждения от вероятностной буле-
вой алгебры состоит в том, что вероятностная мера задается не на
одной модели, а на аксиоматизируемом классе моделей.
Определение 10.2.1 (описание состояния). Пусть язык /теории
первого порядка содержит п индивидных констант а,, ..., ап и к преди-
катов Рр ..., Pt. Описаниями состояния в языке 9 называется семей-
ство различных конъюнкций, состоящих из всех к предикатов от каж-
дой и-й константы, причем данные конъюнкции различаются между
собой лишь тем, стоит или нет знак отрицания перед к-м предикатом
от n-й константы.
Заметим, что:
1.	атомарное предложение выполняется в некотором описании
состояния тогда и только тогда, когда оно в него входит;
Теория подтверждения
231
2.	предложение —>ф выполняется в некотором описании состоя-
ния тогда и только тогда, когда <р не выполняется в нем;
3	предложение ф v у/ выполняется в некотором описании состоя-
ния тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из предло-
жений ф и V выполняется в нем;
4.	предложение <р л у/ выполняется в некотором описании состоя-
ния тогда и только тогда, когда <ри у/одновременно выполняют-
ся в нем;
5.	предложение <р о у! выполняется в некотором описании состо-
яния тогда и только тогда, когда ф и у/ одновременно выполня-
ются в нем; когда ф не выполняется и у/ выполняется; наконец,
когда ф и у/ одновременно не выполняются в нем;
6.	предложение Vx ф(х) выполняется в некотором описании со-
стояния тогда и только тогда, когда фвыполняется для всех инди-
видных констант данного описания состояния;
7.	предложение Эх ф(х) выполняется в некотором описании со-
стояния тогда и только тогда, когда фвыполняется для некоторых
индивидных констант данного описания состояния.
В качестве примера воспользуемся языком в котором имеет-
ся только две индивидных констан гы а и b и два одноместных предика-
та F и G. Описаниями состояния в этом языке будут следующие:
1.	F(a) л G(a) л F(b) л G(b);
2.	F(a) л G(a) л F(b) л -,G(b);
3.	F(a) л G(a) л —iF(b} л G(6);
4.	F(a) л G(a) л —\F(b) л —<G(b):
5.	F(a) л —iG(a) л F(b) л G(4>);
6.	F(a) л —>G(a) л F(b) л —>G(fe);
7.	F(a) л —iG(a) л —>F(b) л G(fe);
8.	F(o) л —iG(a) л -<F(b) л -.G(fe);
9.	—iF(a) л G(a) л F(b) л G(fe);
10.	—<F(a) л G(a) л F(b) л —>G(fe);
11.	—<F(a) л G(a) л —iF(b) л G(b);
12.	—F(a} л G(n) л —<F(b) л —iG(ft);
13.	—<F(a) л —iG(a) л F(b} л G(b):
14.	—F(a) л —iG(a) л F(b) л -^G(b):
15.	—iF(a) л —iG(a) л	л G(b);
16.	-iF(a) л —iG(a) л —<F(b) л —^G(b).
Данные описания состояния составлют класс всех возможных
моделей языка , построенных в языке '/?. Приведем соответствен-
но эти модели:
1.	JR.=<{a,b};{a,b}.{a.b}>:
2.	Т?2 = <{я,/>); {fl.fe}, {а}>;
232
Теория подтверждения
3.	Т?, = <{а,6}; {а}, {а. Ь}>\
4.	Т?4 = <{а, Ь}; {о}, {а}>;
5-	Т?, = <{а, Ь}; {а, Ь}, {/?}>;
6.	Т?6 = <{а, Ь}\ {а, Ь}, {}>;
7.	Т?7 = <{а, Z?}; {а}, {/?}>;
8.	Tt8 = <{fl,6};{fl}, {}>;
9.	Д. = <{а,6}; {6}, {а, Ь}>;
10.	Т?10 = <{а, b}; {/>}, {а}>;
11.	Т?„ =<{«,/>}; {}, {а,6}>;
12.	Т?р = <{а, 6}; {}, {а}>;
13.	T?n = <{a, Z?}; {£}, {£>}>;
14.	T?,4 = <{a, b}' {/>},{}>;
15.	T?15 = <{a, b}; {}, {/>}>;
16.	T?|6 = <{«,*}; {},{}>.
Определение 10.2.2 (описание структуры). Описаниями струк-
туры в языке(/ называется семейство различных дизъюнкций тех опи-
саний состояния, которые различаются между собой перестановками
индивидных констант.
В языке 7 описаниями структуры являются:
1.	F(a) л G(a) л F(b) л G(b);
2.	(F(a) л G(a) л F(b) л -,G(b)) v (F(a) л -.G(a) л F(b) л G(b));
3.	(F(a) л G(a) a -F(b) л G(b)) v (~F(a) л G(a) л F(b) л G(Z>));
4.	(F(a) л G(a) л -F(b) л -iG(Z>)) v (-iF(a) л -,G(a) л F(b) л G(b));
5.	F(a) л —<G(a) л F(b) л ->G(6);
6.	(F(a) л —iG(a) л -F(b) л G(b)) v (-F(a) л G(a) л F(b) л —.G(fe));
7.	(F(a) л —iG(a) л -F~(b) л —.G(£>B v (-F(a) л -.G(a) л F(b) л —.Gf*));
8.	(-F(a) л G(a) л -F\b) л -.G(6)) v (~F(a) л -.G(a) л -F\b) л G(6));
9.	-F(a) л G(a) л -,F(6) л G(b);
10.	-F(a) л —iG(a) л -,F(b) л -,G(Z>).
В соответствии с описаниями структуры в языке '/,2 модели языка
У; разбиваются на следующие классы:
1.	Т1,;
2.	Т?2 и Т?5;
3.
4.
5-
6-	^Т?10;
7.	Т?8иТ?14;
8.	Т?12 и
9.	Т?и;
ю. т?,6.
Теория подтверждения 233
Нелогические аксиомы теории определяют естественную ин-
терпретацию / предикатов F и G. Данная интерпретация выделяет из
всех возможных моделей теории У; некий класс, который является
аксиоматизируемым классом моделей. Соответственно теория /; ока-
зывается на этом классе модельно замкнутой. Аксиоматизируемый
класс моделей теории У* будет представлять собой некоторое число
описаний состояния, в которых могут быть представлены нелогичес-
кие аксиомы <J .
Пусть, к примеру, предикат F имеет интерпретацию “натуральное
четное число”, а предикат G — “натуральное нечетное число”, что
отражается в каких-то нелогических аксиомах, записанных в языке У;,
а константы а и b имеют такой смысл: а = 3. b = Vi. Тогда аксиоматизи-
руемый класс моделей будет состоять только из одной модели Т?|Г
Определение 10.2.3 (вероятностная мера на описаниях состо-
яний). Вероятностной мерой на описаниях состояний языка /' одно-
местных предикатов называется мера m(Qi(a)) = р, такая, что
(10.27) С/ол)= о,\ (Р,(О1)°'л ... л Р1(а„)а-л... лрда1)а—л
л ... л Р4 (а, )°‘" ), где 1 <j < 2"‘, Pt.Р, — все предикатные
символы языка Ч, и о,, .... ап — все индивидные константы
языка Ч\
(10.28)	Р = Z Ро,- о о,Л .
Следует заметить, что сумма действительных чисел P0l...o ..о,Л из
интервала [0, 1] должна равняться 1, если вероятностная мера пробега-
ет по всем описаниям состояния. Очевидно, что вероятностная мера
и(С/я„)) будет также вероятностной мерой на всех моделях языка У
той же сигнатуры.
Определение 10.2.3 (вероятностная мера на описаниях струк-
туры). Вероятностной мерой на описаниях структуры языка У од-
номестных предикатов называется мера m*(h), которая всем описани-
ям структуры приписывает одинаковую вероятность, а затем делит
чту вероятность поровну между описаниями состояний, входящими в
Данное описание структуры.
Например, в языке У;
т*(~^(а) л —iG(a) л -F\b) л —.G(b)) = —.
m*(F(a) л G(a) л -^F(b) л -nG(Z>)) =
Определение 10.2.4 (степень подтверждения). Степенью под-
тверждения предложения h на основе предложения е называется
вероятность h при условии е. Пусть т(е) — вероятностная мера пред-
234	Теория подтверждения
ложения е, a c(h, е) — степень подтверждения h на основе е. Тогда
m(hoe)
c(h.e) =-----------
т(е)
Степень подтверждения удовлетворяет следующим условиям:
(10.29)	Если выражение е <=> е' истинно в любом описании
состояний, то c(h, е) = c(h, е’).
(10.30)	Если выражение h <=> h’ истинно в любом описании
состояний, то с(й, е) = c(h е).
(10.31)	Еслий — истинно в любом описании состояний (й = 1)
и е не является противоречием (е * 0), то с(й, е) = 1.
(10.32)	Если едй и язык имеет конечное число моделей, то
с(й, е) = 1.
(10.33)	с(й л i, е) = c(h, е)- с(1, е л й).
(10.34)	Если выражение ел й л i ложно в любом описании
состояний, то с(й v I, е) = c(h, е) + c(i, е).
(10.35)	Величина с(й. е) не меняется при любой конечной
перестановке индивидных констант.
(10.36)	Величина с(й. е) не меняется при любой перестанов-
ке предикатов из произвольного семейства.
(10.37)	Величина с(й. е) не меняется при любой перестанов-
ке семейств с одинаковым числом предикатов.
(10.38)	Величина с(й, е) не меняется, если расширяется инди-
видная область языка, при условии, что ни в й, ни в е не входят кванторы.
(10.39)	Величина с(й, е) не меняется, если в язык входят но-
вые семейства предикатов.
Степень подтверждения имеет одно и то же значение для всех опи-
саний состояния, изоморфных друг другу, а также одно и то же значе-
ние для всех описаний структуры, изоморфных друг другу.
Предложение 10.2.1. Пусть А- — число одноместных предикатов
в языке Т, и t — число индивидных констант в том же языке. Пусть е
утверждает, что из пг индивидов некоторые тг индивидов обладают
свойством F, а й утверждает, что из числа индивидов (не входящих в
е) некоторые mh индивидов обладают свойством F. Тогда
(Jt-Плт, (*-1Хи,-т, )
S = С*1”* = 7**”^т* . 9
й л* Z	‘ Z
5"	—	zr	^(*-1Хл,-тг+пЙ-тЙ) к(г-л ГДС S —
£лЛ	И,	Л* х.	х.	’	С
число описаний состояний, в которых истинно е. Sh — число описаний
состояний, в которых истинно й, S — число описаний состояний, в
которых истинны одновременно е и й.
f ория подтверждения	235
Доказательство. Число возможных Q-предикатов, утверждаю-
щих, что F имеет место для каких-то индивидных констант, равно 2*
где 2* общее число -предикатов в языке Число способов припи-
сывания каждому из фиксированных тг индивидов какого-либо
^-предиката с F без отрицания равно	Число способов припи-
сывания каждому из оставшихся пг — те индивидов какого-нибудь
0-предикага с отрицанием F равно 2‘*	Число ли.-этементных
подмножеств произвольного поэлементного множества равно С"
Оставшимся t — пг индивидам можно приписать произвольные
g-предикаты способами Таким образом, суммарное число
описаний состояний, в которых е истинно, вычисляется так:
5" =	-у	п,-т, )
Аналогично устанавливаем суммарное число описаний состоя-
ний, в которых Л истинно:
£ = £’"’* =	в *}(*-!)(и»-яц ) 'уки-пь)
ft	Яд х.	‘Л	х.
а также суммарное число описаний состояний, в которых истинны
одновременно е и й:
S h — С”1' С™'’ =	i В 2**’ ОСЯ,	. 2*О-п	) •
Используя теорию подтверждения, можно вычислить семанти-
ческую информацию произвольного предложения Понятие семанти-
ческой информации было введено в работе Бар-Хиллел, Карнап [ 1952,
1953 —1954]. К видам семантической информации относятся содержа-
тельная мера и перенесенная информация. Содержатаьная мера
предложения, будучи каким-то количественным показателем, фикси-
рует содержание предложения таким образом, что оно считается тем
информативнее, чем большее число возможных альтернатив им ис-
ключается. Данное понятие было обосновано еще Поппером [1934] и
соответствует его идее фальсификации содержания научных теорий.
Определение 10.2.5 (содержательная мера). Пусть т(<р) = р.
Содержательной мерой предложения <р называется мера
сош( <р)= 1 р.
Согласно данному определению, для <р = 1 содержательная мера
равна 0, для ф = 0 она равна 1.
Например, пусть к — число всех предикатов языка '/ и 1 < j < 2'*,
гдеп число всех индивидных констант языка У Toiда вероятностную
меРУ произвольного предложения <р можно определить следующим
I	j	— j
ооразом; т«р)=-^р. В таком случае contitp) =~^i—•
236 Теория подтверждения
Определение 10.2.6 (условная содержательная мера). Усювной
содержательной мерой называется вероятностная мера contfyp / у/)
предложения <р по отношению к предложению <//, такая, что
cont(<p/ yf) = cont(<pл уд - cont(yf).
Определение 10.2.7 (информационная мера). Пусть т(<р) = р.
Информационной мерой предложения ф называется мера
, 1 1
infltp) =l°g .	, . = .	= - log р.
I - cont (<р) log/?
Определение 10.2.8 (условная информационная мера). Услов-
ной информационной мерой называется вероятностная мера infltp / уд
предложения <р по отношению к предложению yf, такая, что
infi<р/ yf)- infi<рл yf) — infiyf).
Определение 10.2.9 (перенесенная информация). Пусть посред-
ством <р выражается какое-то новое знание, а посредством yf— то, что
было известно предварительно. Перенесенной информацией называ-
ется степень transinf (<р/ уд новизны (р по отношению к yf, такая, что
,	с(у>,<р) , m(w<р)
transinf (tp/ уд = tnfiyd - inflyf! <p) = log ——— = log ———-—
m(y/) m(yf)m(<p)
Понятие перенесенной информации впервые использовал Хин-
тикка [1968а]. Данный вид семантической информации он назвал так-
же нетривиальной дедукцией.
Перенесенная информация показывает, насколько уменьшается
наша неопределенность для yf в связи с тем, что мы получаем <р, или,
иначе говоря, что нового дают результаты наблюдений или экспери-
ментирования (консеквент индуктивного вывода — ф) по отношению
к предметной области, которую описывает гипотеза (антецедент ин-
дуктивного вывода уд
Итак, вероятностная логика задает методы моделирования рас-
суждений на вероятностном уровне критического мышления. При
этом вероятностный уровень не должен противоречить законам де-
дуктивного уровня, поэтому нами и были рассмотрены две части
вероятностной логики: вероятностная булева алгебра и теория под-
тверждения Если первая надстраивается над пропозициональным
исчислением, то вторая — над исчислением предикатов первого
порядка
Вероятностный уровень критического мышления отвечает за об-
работку эмпирических данных, а также последующее объяснение и
предсказание феноменов. Отличие критического мышления от других
форм производства знания состоит в том, что оно способно объяс-
Теория подтверждения 237
нять феномены, которые уже имели место, и предсказывать феноме-
ны. которые рано или поздно должны произойти. По данному крите-
рию критическим мышлением не является, к примеру, астрология,
даже если мы и представим ее в виде какой-то содержательной теории.
,4а основании закономерностей мира явлений она стремится объяс-
нять и предсказывать события, находящиеся за пределами феноме-
нального мира.
Упражнения
10.2.1.	Предложите такую интерпретацию предикатов F и G, что-
бы аксиоматизируемый класс моделей теории у- состоял из всех
моделей данной теории.
10.2.2.	Предложите такую интерпретацию предикатов F и G, что-
бы аксиоматизируемый класс моделей теории у; не состоял ни из
одной модели данной теории
10.2.3.	Чему равна вероятностная мера т*(—<F(a)) в языке у;, в
языке у3 ?
10.2.4.	Пусть — вероятностная мера, которая каждому описа-
нию состояния приписывает одинаковое значение. Покажите, что в
этом случае c\h. е) = mf(h).
10.2.5.	Вычислите в языке У* меры с\Р(а), F(a) v —F(a)) и c*(F(a),
F(a) v —iF(a)), а также cd(F(a) v —F(a\ F(aj) и c*(F(a) v —iF(a), F(a)).
10.2.6.	Вычислите в языке у; меры cf(Vx (F(x) z> G(x)), F(a) л
л G(a)) и c*( V.r (F(x) G(x)), F(«) л G(a)).
10.2.7.	Пусть Я — класс всех моделей сигнатуры Q, У — язык
исчисления одноместных предикатов сигнатуры Q и Т — некая тео-
рия. построенная в языке У, такая, что L — ее нелогические аксиомы.
Пусть фиф — некоторые предложения языка У. Покажите, что имеют
место отношения:
(10.40)	Если1= (р, то Гн (р.
(10.41)	Если не существует модели Tie ft, такой, что Т? 1= <р,
то неверно, что Г Н <р.
(10.42)	Если £ н фо ф, то Г1- <р о ф.
(10.43)	fti= ф □ фтогда и только тогда, когда ^выполняется в
каждой модели сигнатуры Q, в которой выполняется ф.
(10.44)	ф « фтогда и только тогда, когда ф и фвыполня-
йся в одних и тех же моделях сигнатуры Q.
10.2.8.	Формула ф, такая, что X 1= ф(см. упражнение 10.2.7), назы-
вается Карнапом [1947] L-истинной (логически истинной). Вместе с
тем F-истинной (фактически истинной) называется такая формула <р.
что имеет место Г н ф и не имеет места Л н ф. Покажите, что суше-
238 Вероятностная двойственно нормированная булева алгебра
ствуют F-истинные выражения62. Покажите, что если класс эквивален-
тности и класс L-жвивалентности (логически истинной эквивалент-
ности) содержат один общий элемент, то класс /.-эквивалентности яв-
ляется подклассом класса эквивалентности
10.2.9.	По результатам упражнения 10.2.7 обоснуйте следующие
зависимости:
(10.45)	если М' 1= ф <^> у/, то т(<р) = т(у/);
(10.46)	если £ 1= фи у/, то т(<р) < т(ух);
(10.47)	m(y>v у/) = ли(у>) + лп(уг)-ли(у>л у/):
(10.48)	т(—лр) = 1 - т(<р);
(10.49)	если $ 1= —i(y> л ух), то с(ф, ух) = 0;
(10.50)	с(-1ф, ух) = 1 - с(<р. ух):
(10.51)	с(ф, у/) = с(0л ф, у/) + с(-.0л ф. ух);
(10.52)	если t= ф z> у/, то с(ф, 0) < с( у/, 0);
(10.53)	если $ t= ((0 лф) о ух), то с(флух. 0) = с(ф, 0);
(10.54)	если £ 1= ф <=> ух, то cont(<p) = cont( ух);
(10.55)	если $ 1= фо у/, то соит(ф) > соих(ух);
(10.56)	соит(фл ух) = cont(<p) + cont(y/)~ contftpv ух);
(10.57)	еслифиух— независимые события, то infitpA y/) = infi<p) +
+ infly/).
10.2.10.	Определите, в каком случае cont(tpl ух) = cont(<p) и в каком
случае contftpl ух) = 0.
10.3. Вероятностная двойственно
нормированная булева алгебра
Помимо интерпретации вероятности как логического отношения
между высказываниями, интерпретации, восходящей главным обра-
зом к работам Кейнса [1952] и Джефриса [1939], существует, как мы
уже отмечали, частотная интерпретация вероятности, инициирован-
ная работами Мизеса [1941, 1957]. Первый тип интерпретации основы-
вается на определении 2.3.1. Данная интерпретация используется в
теории подтверждения, которую мы рассмотрели в предыдущем раз-
деле. Второй тип интерпретации основывается на следующем опреде-
лении:
Определение 10.3.1 (вероятностная мера). Пусть Т - бесконеч-
ный коллектив, состоящий из исходов испытаний, Н - подпоследова-
тельность благоприятствующих испытаний в этом коллективе. Через
62 В качестве указания заметим, что выражения “человек” и “разумное существо” являются
^.-эквивалентными, а выражения “человек” и "бесперое двуногое существо” являются F-
эквивалентными. И действительно, в первом случае эквивалентность устанавливается безот-
носительно индивидуумов, а во втором — относительно всех индивидуумов.
Вероятностная двойственно нормированная бхгева алгебра 239
/(Я) обозначим относительную частоту элементов Н среди первых п
цленов Т. Вероятностной мерой называется предел относительной
частоты Н.
Так, формула
Ve 37V Vw (и > TV о Ifjtf) - q l< £)
говорит о том, что в Т существует предел относительной частоты Н и
этот предел равен q.
В современной математике используется в основном частотная
интерпретация вероятности. Нетрудно проверить, что определение
10.1.2 совместимо с определением 10.3.1. Таким образом, вероятнос-
тная булева алгебра предполагает не только интерпретацию вероятно-
сти как степени следования, но также и частотную интерпретацию
вероятности. Однако вероятностная булева алгебра не способна выра-
зить все логические отношения, имплицитно вводимые при частот-
ной интерпретации вероятности. Покажем это.
Зададимся сперва таким вопросом. Какова вероятность того, что
где-нибудь на городской свалке Нью-Йорка как своеобразный резуль-
тат чисто природных процессов сам собой соберется “Боинг”? Наша
интуиция утверждает, что данное событие никогда не может насту-
пить, поэтому его вероятность равна нулю. Однако в вероятностной
булевой алгебре будет неправильным приписывать событию непро-
извольной самосборки “Боинга” вероятностную меру, равную нулю,
поскольку нет никакого логического противоречия в нашем допуще-
нии этого, казалось бы, невероятного события. И действительно, выс-
казывание “При однократном подбрасывании монеты одновременно
выпадет орел и решка” отличается от высказывания “Боинг” соберет-
ся сам собой на куче мусора” тем, что первое содержит логическое
противоречие, тогда как второе от него свободно.
С другой стороны, вероятностная мера высказывания “Завтра взой-
дет солнце” не равна единице, в то время как наша интуиция здесь не
менее настойчива в своем несогласии с вероятностной булевой алгеб-
рой Никто ведь не сомневается в том, что поутру взойдет солнце.
Отличие высказывания “При однократном подбрасывании игральной
кости выпадет цифра в интервале от единицы до шестерки” от выска-
зывания “Завтра взойдет солнце” заключается в том, что первое явля-
ется тавтологией, второе же выражает некое состояние дел физическо-
го мира, которое должно произойти с необходимостью.
Прийти к утраченному здравому смыслу можно только одним
способом — построить вероятностное исчисление, в котором бы учи-
тывались внешние (физические) обстоятельства, влияющие на распре-
деление вероятностных мер.
240 Вероятностная двойственно нормированная булева алгебра
...... ‘ 1	—.
Так, в статьях Хренникова А.Ю. [ 1993,1995,2000] разрабатывается
р-адическая теория, базирующаяся на частотной интерпретации, при.
чем вероятностные меры событий распределяются уже не в интерва-
ле [0, 1], но могут принимать как отрицательные значения, так и позо-
жительные значения больше единицы, р-адическая теория вероятнос-
тей использует следующее определение вероятностной меры.
Определение 10.3.2 (р-адическая вероятностная мера). Пусть
Т - бесконечный коллектив, состоящий из исходов испытаний, Н
подпоследовательность благоприятных испытаний в этом коллективе.
Через f\H) обозначим относительную частоту элементов Н среди пер-
вых п членов Т. р-адической вероятностной мерой называется предел
относительной частоты Н по р-адической норме.
Так, формула
Ve 3W Vn (и > N о lfn(/7) - q I, < е)
говорит о том, что в Т существует предел относительной частоты Н по
р-адической норме и этот предел равен q.
Как оказалось, р-адическая теория вероятностей, отвечающая всем
установкам частотной интерпретации, нарушает одно из требований
вероятностной булевой алгебры: в ней невозможно выделить наиболь-
ший и наименьший элементы. Это подтверждается уже одним тем
обстоятельством, что вероятностные меры здесь могут принимать как
отрицательные, так и положительные значения, большие чем едини-
ца. Это и позволит нам в конечном счете построить некоторую систе-
му, аналогичную по своему назначению вероятностной булевой
алгебре, систему, в которой можно было бы различать вероятности
нулевых событий (например, противоречий) и физически неосуще-
ствимых, а также вероятности единичных событий (например, тавто-
логий) и физически всегда осуществимых. Нетрудно заметить, что
всякое нулевое событие является физически неосуществимым, обрат-
ное же отношение верно не во всех случаях, точно так же всякое еди-
ничное событие является физически всегда осуществимым, ио опять-
таки обратное отношение верно не во всех случаях.
Напомню, что вероятностной булевой алгеброй называется упо-
рядоченная пара <Г?, Р>, где Т? — регулярная булева алгебра, Р -
вероятностная мера, а именно вещественная функция, отвечающая
условиям:
(10.58)	0 < Р(х) для всех х 6 Т?;
(10.59)	Р(1)=1;
(10.60)	для любого несовместимого множества элементов
Т? выполняется равенство ^Ux^ = 5^х\
Вероятностная двойственно нормированная булева алгебра 241
Пусть р - мера на булевой алгебре ЭД, удовлетворяющая только
двум условиям:
(10.61)	0 < р(х) для всех х 6 ЭД;
(10.62)	для любого несовместимого множества элементов
ЭД выполняется равенство = 51Л,(х)
ы-Р	vet
Наличие меры р позволяет ввести в ЭД метрику, определив рас-
стояние между элементами а. b е ЭД формулой р(«, b) = pi\ а - b Ь-
Подробнее см. Владимиров Д.А. [1969].
Определение 10.3.3 (нижне нормированная булева алгебра).
Пусть ЭД - булева алгебра. Нижне нормированной булевой алгеброй
называется алгебраическая система <ЭД, v>, для которой выполняются
следующие условия:
(10.63)	Va е ЭД (а > v(a)),
(10.64)	Vo е ЭД Vfe е ЭД iivia) п vib))>v(a п Ь)).
(10.65)	Vo е ЭД ((- v(a)) > v(- я)),
где-----операция нижнего дополнения63,
(10.66)	е ЭД Vfe е ЭД (via и b) > (v(a) и vib))).
(10.67)	Vo е ЭД (v(~ а) > (- via))).
где-----операция верхнего дополнения64,
(10.68)	Vo е ЭД Vfe е ЭД ((via) => vib)) > v(a => b)).
где => — операция относительного псевдодополнения6’.
(10.69)	Voe ЭД(1.1у(А )>v(IJ°« )),
«	4	«
(10.70)	Va е ЭД (v(Uac ) > U v(a )).
« « «
Функцию v(fl) станем называть нижним нормированием элемента а.
Смысл нижнего нормирования v(a) состоит в следующем: строго убыва-
ющая последовательность v(a) верхним пределом имеет элемент а.
Заметим, что в системе <ЭД, v> элемент 0 не может считаться наи-
меньшим, поскольку 0 > v(0) (по условию (10.63)) и вместе с тем (v(a) п
- v(fl)) > v(a п - а) = v(0) (на основании условий (10.64) и (10.65)).
Однако в системе <ЭД, v> элемент 1 является по-прежнему наиболь-
шим. И действительно, в силу условия (10.63) имеем 1 > v(l), и в силу
условий (10.66) и (10.67) — v(a и - а) = v( 1) > (v(a) о - v(a)).
61 Нижним дополнением (или псевдодополнением) элемента а называется элемент с, если с—
наибольший элемент во множестве таких х, что а х = 0.
*“ Верхним дополнением элемента а называется элемент с. если с - наименьший элемент во
множестве такихх, что о из = I.
Относительным псевдодополнением элемента а относительно элемента Ь называется эле-
мент с, если с - наибольший элемент во множестве таких х. что а х < Ь.
242 Вероятностная двойственно нормированная булева алгебра
Определение 10.3.4 (физически неосуществимое событие).
Любой элемент v(0) < 0 системы <Ti, v> будет называться физически
неосуществимым событием.
Определение 10.3.5 (верхне нормированная булева алгебра).
Пусть Т? - булева алгебра. Верхне нормированной булевой алгеброй
называется алгебраическая система <-Э?, 6>, для которой выполняются
следующие условия:
(10.71)	Va е СИ (6(a) > а),
(10.72)	Va е Т? V6 е Т? (6(а П Ь) > (6(а) П ©(£>))),
(10.73)	Va е СИ (6(-а) > (-б(а))).
(10.74)	Va е	СИ V6 е СИ ((6(а) и 0( ЬУ) > 6(а и 6)),
(10.75)	Va е	СИ ((-0(a)) > 6(- а)).
(10.76)	Va е	СИ V6 е СИ (6(а => 6) > (0(a) => 6(6))),
(10.77)	Va е	СИ (6( Аа4) > А 0(а )),
«	*	4
(10.78)	Vae CH(Uo(a )>0(Ufl; ))•
"	4	«
Функцию 6(a) станем называть верхним нормированием элемента а.
Смысл верхнего нормирования 6(a) состоит в следующем: строго возра-
стающая последовательность 6(a) нижним пределом имеет элемент а.
Заметим, что в системе <СИ, V, 6> элемент 1 не может считаться наи-
большим, поскольку 6(1) > 1 и вместе с тем (6(a) и - 6(a)) > 6(а и - а) =
= 6(1). Однако в системе <СИ, 6> элемент 0 является по-прежнему наи-
меньшим. И действительно, 6(0) > 0 и 6(а п - а) = 6(0) > (6(a) п - 6(a)).
Определение 10.3.6 (физически всегда осуществимое событие).
Любой элемент 6(1) > 1 системы <СИ, V, 6> будет называться физически
всегда осуществимым событием.
Определение 10.3.7 (двойственное нормирование, двойственно
нормированная булева алгебра). Замыкание элементов множества Е
относительно функций v и 6 станем называть двойственным нормиро-
ванием элементов множества Е, а алгебраическую систему <СИ, V, 6> -
двойственно нормированной булевой алгеброй.
Операции п. -, и, -, =>, Q, |J, определенные на элементах систе-
мы <СИ, V, 6>, имеют радикально отличный смысл от соответствующих
операций булевой алгебры. В частности:
(v(a) и - v(a)) * 1;
(v(a)n-v(a))*0;
(6(a) и- 6(a)) *1;
(6(a) п — 6(a)) *0.
Определим эти операции Строго возрастающая последовательность
6(a) и 6(6) нижним пределом имеет элемент а или элемент 6. Аналогии-
^^юятностная двойственно нормированная булева а чгебра 243
но определяется строго возрастающая последовательность U 0(а4). Стро-
го убывающая последовательное! ь v(a) и v(£>) верхним пределом имеет
элемент а или элемент b Аналогично определяется строго убывающая
последовательность Uv(ap. Строго возрастающая последовательность
0(a) п 0(b) нижним пределом имеет одновременно элемент а и элемент
Ь. Аналогично определяется строго возрастающая последовательность
П0(а,). Строго убывающая последовательность v(a) п v(b) верхним пре-
делом имеет одновременно элемент а и элемент Ь. Аналогично опреде-
ляется строго убывающая последовательность A v(a(). Строго возраста-
ющая последовательность - 6(a) нижним пределом имеет элемент - а
Строго возрастающая последовательность - 0(a) нижним пределом имеет
элемент - а. Строго убывающая последовательность ~ v(a) верхним пре-
делом имеет элемент - а. Строго убывающая последовательность - v(a)
верхним пределом имеет элемент - а. Если строго возрастающая после-
довательность 6(a) => 0(b) нижним пределом имеет элемент а, то в каче-
стве такового она имеет также элемент b Если строго убывающая после-
довательность v(a) => v(b) верхним пределом имеег элемент а, то в каче-
стве такового она имеет также элемент Ь.
Таким образом, последовательность 0(a) о — 0(a) может и не со-
держать элемент 1 в качестве нижнего предела, а последовательность
v(a) u - v(a) может и не содержать 1 в качестве верхнего предела.
Однако последовательность 0(a) п - 0(a) содержит элемент 0 в каче-
стве нижнего предела, а последовательность v(a) п - v(a) содержит 0 в
качестве верхнего предела.
Определение 10.3.8 (вероятностная двойственно нормированная
булева алгебра). Вероятностной двойственно нормированной булевой
алгеброй называется упорядоченная система <Т?, V, 0, Z>, где Z — р-
адичсская вероятностная мера, а именно функция, принимающая значе-
ния на множестве р-адических чисел'и отвечающая условиям:
(10.79)	если последовательность UA e <Т?, v, 0> содержит
ле£
элемент 1 в качестве предела, то для соответствующего множества
элементов выполняется равенство = 51^(х), в противном слу-
ле£ ге£
чае выполняется равенство Z((_Jx) _max(Z(x));
244 Вероятностная двойственно нормированная булева алгебра
(10.80)	Z(Qjr) = f]Z(jr).
(10.81)	если х > 0, то Z(x) > 0.
Пусть р мера на булевой алгебре <Т?. V. 6>, удовлетворяющая
только двум условиям:
(10.82)	если последовательность Ux е <Ti, v, 6> содержит
Л€ £
элемент 1 в качестве предела, то для соответствующего множества
элементов выполняется равенство	, в противном слу-
ie£ хе£
чае выполняется равенство	= rnax(p(.r));
(10.83)	если х > 0, то р(х) > 0.
Наличие меры р позволяет ввести в <21?, V. 6> метрику, определив
расстояние между элементами a, b е Т?формулой Рр(а, Ь) = р(\ а-b р.
Итак, р-адическая теория вероятностей является расширением
обычной теории вероятностей66. Основным достоинством новой тео-
рии является возможность учета внешних (физических) обстоятельств,
влияющих на ход распределения вероятностных мер.
Упражнения
10.3.1.	Найдите наименьшее объединение элементов системы
<Ti, v, 6> и наибольшее объединение элементов системы <Ti, v, 6>.
10.3.2.	Найдите наименьшее пересечение элементов системы
<Ф?. V, 6> и наибольшее пересечение элементов системы <ЭД. V, 6>.
10.3.3.	Определите в общем случае логическую функцию (по типу
функции алгебры логики) на элементах системы сЭД. v. 6>.
10.3.4.	Докажите, что в алгебре <ЭД, V. 6> не может быть систе-
мы образующих (см. определение 7.1.12), поэтому двойственно
нормированная булева алгебра никогда не может быть свободной.
66 Данное обстоятельство показывается следующим образом. Рассмотрим поле рациональ-
ных чисел Q = <Q: -t-. , 0, 1>. Пусть Q множество эквивалентных фундаментальных по
нетривиальной архимедовой норме г последовательностей рациональных чисел. Тогда Q -
= <£); +, -, 0, 1, t> есть поле действительных чисел. Пусть Qp множество эквивалентны?
фундаментальных по нетривиальнойр-адической норме г последовательностей рациональны?:
чисел Тогда Qp = <Qp, + , , 0, 1, t> есть поле р-адических чисел. Пусть, далее, Т? - булева
алгебра, Ф(Т?, Q) - некоторая топологическая алгебра функций Р Т? — Q{. Алгебра Ф(ТЯ. Q)
является вероятностной булевой алгеброй. Возьмем теперь алгебру v. 6>, Ф(<Ж V, 6>.
QJ- некоторая топологическая алгебра функций Z: <£Й, V, в> — Q . Алгебра Ф(<Т?, V. 6>=
Q) явзяется вероятностной двойственно нормированной булевой алгеброй.
ГЛАВА 11. НЕФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Свое название неформальная логика получила в связи с тем. что
она изучает речевые акты — высказывания, которыми пользуется
человек в своей повседневной практике. Они заметно отличаются от
тех выражений, которыми пользуется математик или на!уралисг: ос-
новное отличие состоит в том, что вывод в случае речевых актов не
всегда строится эффективно, т.е. с использованием конкретного алго-
ритма, отсылающего к каким-то аксиомам и правилам вывода. Имен-
но это свойство и послужило основанием называть логику, моделиру-
ющую речевые акты, неформальной. В остальном же данная логика
достаточно ‘‘формальна”. Ее синтаксис и семантика задаются в рам-
ках так называемой иллокутивной логики, строящейся с использова-
нием основных понятий теории речевых актов. Следует заметить, что
теория речевых актов является базовой для неформальной логики. Под-
робнее о теории речевых актов см. Бальмер, Бренненштуль [1981],
Барт, Краббэ [1982], Бах, Харниш [1979], Вундерлих [1976], Дэ-
вис С. [1980], Морган [1978], Остин [1976], Сёрль [1969, 1971, 1975],
Сёрль, Кифер, Бирвиш [ 1980], Хольдкрофг [ 1978], Шекер [ 1977]. Час-
тичная операция присоединения следствия в неформальной логике
рассматривается в рамках двух подходов: иллокутивной логики убеж-
дения и иллокутивной логики влияния.
Неформальная логика является довольно быстро развивающейся
дисциплиной. Ее теоретическая значимость подчеркивается тем обсто-
ятельством. что данная логика давно завоевала себе право считаться
подлинным органоном теоретической социологии и теоретической
культуроло! ии (см. Бергер, Лукман [1971], Бёдесон [ 1979] Боас [ 1949],
Гимес[1962,1967], Думай [1974], Хабермас [1971]). У истоков создания
неформальной логики стояли работы: Витгенштейн [1953], Бенвеннст
[ 1966], Берк [ 1979], Гу мб [ 1972], Кахаиа [ 1969, 1971], Л и-Уорф [ 1957],
Нэсс [1966]. Олынлагер[ 1979], Перельман [1952.1970.1970а]. Перель-
ман, Ольбрехт-Титека [ 1958], Решер [ 1977], Тулмии [ 1958,1976], Шэррн
[1957] и мн. др. Во многом неформальная логика реанимирует тради-
246
Иллокутивная логика
ционную логику, особенно это касается Аристотеля [IV в. до н.э., “То-
пика”, “О софистических опровержениях”; III в до н.э.. “Риторика”].
11.1.	Иллокутивная логика
Иллокутивная логика строится на базе множества пропозиций
Prop, причем каждое ср е Prop является выражением математической
или вероятностной логики. Важнейшими понятиями иллокутивной
логики являются понятия локуции. иллокуции и перлокуции. Подроб-
нее об иллокутивной логике см. Сёрль, Вандервекен [1984].
Определение 11.1.1 (локутивная структура, локуция). Локу-
тивной структурой называется система возможных миров 4Й. локу-
цией, или локутивным актом пропозиции <р е Prop, — интерпрета-
ция <р в системе возможных миров Я). В частности, формальной локу-
цией называется интерпретация (р е Prop в структуре математической
логики (например, в булевой алгебре), неформальной локуцией назы-
вается интерпретация tp е Prop в системе возможных миров различ-
ных состояний дел.
Неформальный смысл локуции таков: локуция — это некий рече-
вой акт. Примерами локуции служат любые рассуждения, о которых
всегда можно сказать, что они осмыслены.
Множество Я! всех возможных миров содержит выделенный эле-
мент т, который является действительным миром. Можно считать,
что возможный мир — это такой мир, в котором некоторые объекты
действительного мира имеют какие-то особые свойства. Будем гово-
рить. что возможный мир же Я) достижим из мира л<е £0 если все
отношения, реализуемые в л<, реализуются также и в я, т.е. если ни
одно состояние дел мира ж не нарушает никаких отношений мира л>.
Отношение достижимости задает отношение порядка на множестве
£0 Так, отношение достижимости
1.	рефлексивно: каждый мир достижим из самого себя;
2.	антисимметрично: если л> достижимо из мира ж и л> достижи-
мо из мира ж, то миры л> и ж эквивалентны;
3.	транзитивно: если ж достижимо из мира ж и ж достижимо из
мира жр то да достижимо из мира жк.
Итак, локутивная структура Я! благодаря отношению достижимо-
сти является частично упорядоченным множеством.
С тем чтобы упростить рассуждения Сёрля, Вандервекена [1984],
введем новое понятие - “иллокутивная норма”, не используемое
никем ранее.
Определение 11.1.2 (иллокутивная структура, иллокуция).
Иллокутивной структурой 3 называется нормирование локутивной
Иллокутивная логика	247
структуры £3. т.е. упорядоченная пара 3 = <£А v>, где £3 локутивная
структура, v — иллокутивная норма, отвечающая следующим усло-
виям:
(11.1)	V£3e£3(» >v(m».
(11.2)	V л>е £3 Vте £3((V(a>) П v( л»)) > v(in П т)),
(11.3)	Vine й> ((—v(/r>)) > v(—л*)),
где - - операция нижнего дополнения,
(11.4)	Vте £3 V/nG £3(v(in U т) > Мт) U У(т))).
(11.5)	V те S0 М~в>,) (~V())).
где----операция верхнего дополнения,
(11.6)	VmG £3 Vine £3((v(in) => Vim)) > vim => in)),
где => — операция относительного псевдодополнения,
(11.7)	XfmeXOi Ov(mJ>v(	П "'’’)).
(11.8)	VmG£3(v(
(11.9)	V»G£3([JV(»)>V([}F)),
где [] — оператор необходимости,
(11.10)	Vme£3 (v(0 m)>0v(mi)),
где 0 — оператор возможности.
Иглокуцией, или иллокутивным актом, называется иллокутивное
нормирование конкретной локуции т данного высказывания ср, т.е
упорядоченная пара <(р, v>.
Неформальный смысл иллокуции состоит в том, что всякое выс-
казывание ср рассматривается вместе с прагматической оценкой того
положения вещей, которое описывается в ср. Например, высказыва-
ние “Сегодня хорошая погода" понимается уже таким образом, что
я думаю или я утверждаю, что сегодня хорошая погода. Пропозиции
(ре Prop являются содержаниями иллокутивных актов, т.е. содержа-
ниями утверждений, приказаний, обещаний, заявлений и т.д. Говоря-
щий, который совершает иллокутивный акт с тем или иным пропози-
циональным содержанием, выражает тем самым некоторую пропо-
зицию с соответствующим иллокутивным нормированием.
Существует обширное множество различных иллокутивных норм
{v,. v2,. . Vn}, каждая из которых имеет различную степень интенсив-
ности. Это значит, что любая норма V* характеризуется неким чис-
лом к, которое принадлежит интервалу вещественных чисел (0, 1). Так,
иллокутивный акт “Посоветовать, чтобы слушатель вышел из ком-
наты” слабее в своей интенсивности, чем “Приказать, чтобы он
вышел из комнаты”, в той же мере иллокутивный акт “Констатиро-
вать, что идет дождь” слабее, чем “Поклясться, что идет дождь”
248
Иллокутивная логика
Для любых двух иллокутивных норм V1 и V* ,отличаюшихся друг от
друга лишь показателем степени интенсивности, имеет место V ' >
V* в том и только в том случае, если / > к. Так, например, говорящий,
который отдает приказание, предпринимает более сильную попытку
речевого воздействия, чем говорящий, высказывающий просьбу, точ-
но так же интенсивность утверждения сильнее, чем интенсивность
предположения.
Число 0 не может быть нижней точкой в последовательности сте-
пеней интенсивности — не существует иллокутивного акта, лишенно-
го какой бы то ни было степени интенсивности. В той же мере число 1
не является верхней точкой в последовательности степеней интенсив-
ности — не существует иллокутивного акта, обладающего абсолют-
ной интенсивностью.
Степень интенсивности задает отношение порядка для каждой от-
дельной нормы. Проиллюстрируем лишь свойство транзитивности
отношения j. Если имеет место иллокутивное нормирование с
некоторой степенью интенсивности, значит, оно имеет место и с лю-
бой меньшей степенью интенсивности. Например, если говорящий
требует, чтобы некто что-то сделал, то говорящий тем самым уже
достиг директивной иллокутивной цели с интенсивностью, соответ-
ствующей просьбе или совету.
Два иллокутивных акта V (<р) и v (у/) тождественны в том и только
в том случае, если v = V и <р = у/. Тождество пропозиций <р = у/понима-
ется следующим образом. Во всех местах вхождения пропозиции (р в
соответствующий иллокутивный акт ее можно заменить пропозицией
у/ тогда и только тогда, когда для всех да е Я) пропозиция истинна в
мире in в том и только в том случае, если пропозиция у/ истинна в
мире ш. Следует заметить, что если имеют место выражения v.(yi),
V (у/) и <р = у/, то для замены пропозиции ср пропозицией у/ необходимо
также, чтобы V(ф) и v(y/) имели одинаковую степень интенсивности,
т.е. чтобы в V' (ср) и V * (<р) мы имели бы I = к. Во всех местах вхожде-
ния пропозиции <р в соответствующий иллокутивный акт v пропози-
цию <р можно заменить пропозицией у/ тогда и только тогда, когда для
всех v иллокутивные акты v(<p) и v(y/) имеют одинаковую степень
интенсивности.
Степень интенсивности зависит от психологического состояния
говорящего. Данные состояния имеют вид так называемых пропози-
циональных установок.
Определение 11.13 (пропозициональная установка). Пропози-
циональной установкой называется психологическое состояние, об-
ладающее пропозициональным содержанием срс характерным для него
иллокутивным нормированием, например верование, желание, на-
Иллокутивная логика 249
мерение, сожаление и т. п. Станем рассматривать пропозициональ-
ную установку как упорядоченную тройку р = <т, ср.у' >, где
I.	т — психологическое состояние, а именно функция, сопос-
тавляющая каждому <р некоторое конкретное иллокутивное
нормирование v‘ ((Р) с определенной степенью интенсивнос-
ти А67;
2.	(р - - пропозиция;
3.	v ‘ — иллокутивная норма со степенью интенсивности к.
Таким образом, каждое р принадлежит множеству (3 х {0,
Определение 11.1.4 (контекст произнесения). Контекстом про-
изнесения иллокутивного акта v* (<р) называется упорядоченный на-
бор <?>, S*.' , т>, где
1.	?/ — говорящий и его психологическое состояние;
2.	— слушающий и его психологическое состояние;
3.	t — время произнесения;
4.	— место произнесения;
5.	т — физическое событие, которое может быть воспринято со
стороны и в момент времени г и описание которого вхо-
дит в локутивную структуру пропозиции <р.
Одно и то же высказывание может быть произнесено в различных
контекстах, так что посредством этих произнесений будут совершены
различные иллокутивные акты, не сводимые друг к другу. Например,
произнесение предложения “Я скоро вернусь” в одном контексте мо-
жет оказаться предсказанием, а в другом — обещанием; вместе с тем,
будучи произнесенным в разное время и в разном месте, оно также
будет иметь отличный смысл.
Определение 11.1.5 (возможные миры произнесения). Возмож-
ными мирами произнесения называются возможные миры ве 3,
фиксируемые посредством локуции, вместе с их иллокутивным нор-
мированием.
Необходимо строго различать контекст произнесения и возмож-
ные миры произнесения. Так, если говорящий, слушатель, время,
место и физическое событие предполагаются неизменными, то, к
примеру, произнесение предложения “Выйдите из комнаты!” мо-
жет выражать все же различные миры произнесения — оно может
оыть приказом, просто просьбой, мольбой и т.д. Кроме того, по-
пытка отдать приказание может быть успешной в одном мире про-
изнесения и неудачной в другом мире, в зависимости от наличе-
ствующих в этих двух мирах отношений между говорящим и слу-
шателем.
^ак видим, психологическое состояние понимается как отображение
250
Иллокутивная логика
Определение 11.1.6 (событие произнесения). Событием произ-
несения 3 называется собственное подмножество декартова произве-
дения шести множеств
?<= ?/х «кхгх ‘ х шхЗ,
причем каждый i-й компонент упорядоченного набора называет-
ся координатой произнесения — это говорящий -7, слушатель 2<,
время t место физическое событие от и возможный мир отеЗ.
На множестве 3 действует отношение псевдоэквивалентности,
т.е. рефлексивное и симметричное отношение. Выражается оно как
отношение совместимости 3 ~ 3". если 3 с. 3 vi 3 а 3, ю 3 ~ 3
' 1 ' 1 ' 1
означает, что всегда имеется такое возможное событие произнесения,
в котором одновременно совершаются все иллокутивные акты, со-
вершаемые в 7, и все иллокутивные акты, совершаемые в 7. Таким
образом, говорящий может совершать все эти акты посредством раз-
личных событий произнесения.
Некоторые иллокутивные акты накладывают ограничения на про-
позициональное содержание. Эти ограничения называются иллоку-
тивными условиями пропозиционального содержания. С формаль-
ной точки зрения, иллокутивное условие пропозиционального содер-
жания задается функцией из множества 3 во множество всех
подмножеств множества Prop, т.е. во множество Р(Ргор). Простей-
ший пример ограничения со стороны иллокутивной силы пропози-
ционального содержания — полагание каких-то пропозиций, относя
щихся к будущему, в контексте события произнесения 3.
Таким образом, встречаются случаи, когда говорящий ?! уже пред
варительно предполагает, что некоторые положения вещей уже нали-
чествуют в возможном мире произнесения от при совершении илло-
кутивного акта v* (ф) в 3. Предполагать, что имеет место некоторое
положение дел, значит предполагать, что истинна пропозиция, реп-
резентирующая данное положение дел. С формальной точки зрения
предварительное условие задается функцией из множества 3 х Prop
во множество всех подмножеств множества Prop.
Определение II. 1.7 (степень искренности говорящего). Степе-
нью искренности говорящего называется функция из множества 3 х
Prop во множество Р((3 х {0, 1т.е. во множество всех подмно-
жеств множества (3 х {0, 1 Так, говорящий Д', побуждающий
слушателя посредством события произнесения 3 нечто совершить,
искренен тогда и только тогда, когда с некоторой степенью интенсив-
ности действительно хочет, чтобы 5$ это сделал.
Теперь введем понятие перлокутивной нормы, которое позволит
упростить анализ перлокуций. Оно также будет введено впервые.
'Иллокутивная логика
251
Определение П.1.8 (перлокутивная структура, перлокуция).
Перлокхтивной структурой Р называется нормирование иллокутив-
ной структуры 3. т.е. упорядоченная пара Р = <3. 0>, где 0 — перлоку-
тивная норма, отвечающая следующим условиям:
(11.11)	Х/даеЗ (0(да) > да).
(11.12)	VдаеЗ Х/даеЗ (0(да П да) > (0(л>г) о 0(да))).
(11.13)	Х/даеЗ (0(-да) > (-0(л>)П,
где _ _ операция нижнего дополнения.
(11.14)	VдаеЗ VдаеЗ ((0(да) о 0(да)) > 0(да о да)).
(11.15)	Х/даеЗ ((~0(да)) > 0(~да)),
где - - операция верхнего дополнения,
(11.16)	Х/даеЗ Х/даеЗ (0(да => да) > (0(да) => 0(да))).
Где => - операция относительного псевдодополнения.
(11.17)	Х/даеЗ (0( Г) в>4)> П0(даД).
(11.18)	Х/даеЗ (Uo(b> ) > 0(U *')),
(11.19)	Х/даеЗ (0(Д да) > Q 0(да)).
где Д оператор необходимости.
(11.20)	Х/даеЗ (0 0(да) > 0(0 да)),
где 0 — оператор возможности.
Перлокуцией, или перлокутивныи актом, называется перлоку-
тивное нормирование конкретной пропозициональной установки
v* (tp). т.е. упорядоченная пара <v* (<р), 0>.
Неформальный смысл перлокуции состоит в том, что говорящий
5Y (или слушающий S’) реализует на практике пропозициональное
содержание ср иллокутивного акта V* (<р). Так, если иллокуция v' (<р)
была адресована говорящим ?/ самому себе и реализуется им же са-
мим на практике, то имеет место перлокутивное нормирование ил-
локутивного акта V* (<р); если же иллокуция v‘ (ср) была адресована
говорящим ?/ слушателю S’ и реализуется гем на практике, то имеет
место перлокутивное нормирование иллокутивного акта V* ((р). На-
пример, высказывание “Стреляй!” является локуцией, если под этим
высказыванием понимается некоторое положение вещей. Данное
высказывание является уже иллокуцией, если говорящий настаива-
ет (советует, приказывает и т.д.) слушающему S’, чтобы тот застрелил
кого-то. И. наконец, данное высказывание является перлокуцией, если
говорящий SV убеждает (заставляет, принуждает и т.д.) слушающего S’
застрелить кого-то.
Перлокуция, так же как и иллокуция, имеет различную степень
интенсивности, но этот показатель полностью зависит от степени ин-
252
Иллокутивная логика
тенсивности иллокутивного акта — число к в0‘ (v'y((p)) равно или
меньше числа /. Существует, таким образом, множество различных
перлокутивных норм {0р 0,,... 0„}, каждая из которых имеет различ-
ную степень интенсивности.
Остин [1976] в качестве примеров перлокутивных актов приводит
информирование, предупреждение об опасности, убеждение и т.д.
Локутивный акт характеризуется Остиным как “акт произнесения
чего-то”, иллокутивный — как “акт, произведенный во время про-
изнесения чего-то” и перлокутивный акт как “акт, произведенный
путем произнесения чего-то”. Именно то обстоятельство, что го-
ворящий посредством речевого акта надеется достичь различного рода
эффектов, характеризует различие между иллокутивными и перлоку-
тивными актами. Иллокутивный акт успешен, если с помощью своего
речевого высказывания говорящий добивается того, что слушающий
понимает иллокутивную силу и пропозициональное содержание выс-
казывания. См. Остин [1976, с. 117]: “Обычно эффект означает то,
что достигается пониманием значения и силы иллокуции. Та-
ким образом, выполнение иллокутивного акта включает обес-
печение схватывания”. Перлокутивный акт “успешен”, если на слу-
шающего производится другой желаемый эффект — навязывание ка-
кого-то плана действия или поведенческого стереотипа.
Элементарными иллокутивными актами являются (см. Сёрль
[1975], другая классификация см. Остин [1976]):
1)	репрезентативы,
2)	директивы,
3)	комиссивы,
4)	экспрессивы.
5)	декларативы.
Определение 11.1.9 (репрезентативы, репрезентации). Репре-
зентативами1* называется такое иллокутивное нормирование, кото-
рое для неформальной локуции фиксирует ответственность говоря-
щего за сообщение о некотором состоянии дел, для формальной же
локуции фиксирует ответственность говорящего за истинность или
ложность полагаемого высказывания <р. Репрезентациями называют-
ся конкретные репрезентативы, относящиеся к конкретным локуци-
ям. В естественном языке репрезентация имеет следующий вид: "Я -
глагол + (что) — предложение”.
Выражаемое посредством репрезентации психологическое состо-
яние — убеждение с различной степенью иллокутивного нормирова-
ния, что (р. где (р — некое высказывание, имеющее дедуктивный или **
** Репрезентативы называются также ассертиваии.
ц-мокутивная югика	253
вероятностный характер. Между “выводимо, что ср" или “полагани-
ем в качестве гипотезы, что ср". с одной стороны, и "настаивани-
ем на том, что ср” или “торжественной клятвой, что ([Г. с другой,
имеется существенное различие, тем не менее, все эти перформатив-
ные глаголы являются иллокутивным нормированием такой оценоч-
ной шкалы высказывания, как “истинно - ложно”, поэтому все они
являются репрезентативами.
Примеры соответствующих иллокутивных глаголов, являющихся
репрезентативами, в их перформативной функции: “Я констатирую,
что идет дождь”, “Я предсказываю, что ваш знакомый придет”. Дру-
гие такие глаголы: “описывать”, “утверждать”, “заявлять”, “уверять”,
“называть”, “сообщать”, “рассказывать”, “докладывать”, “извещать”,
“классифицировать” “свидетельствовать”, “подтверждать”, “удостове-
рять”, “доказывать”, “признаваться”, “предполагать”, “догадываться”,
“выдвигать гипотезу”, “клясться”, “настаивать” и “идентифицировать”.
Определение 11.1.10 (директивы, дирекции). Директивами на-
зывается такое иллокутивное нормирование, которое выражает ту или
иную попытку со стороны говорящего добиться того, чтобы слушаю-
щий нечто совершил. Дирекциями называются конкретные директи-
вы, относящиеся к конкретным локуциям. В естественном языке ди-
рекция имеет следующий вид: “Я — глагол — тебе + ты — глагол в
будущем времени — (объект)”. Например, предложение “Я приказы-
ваю тебе уйти” представляет собой поверхностную реализацию для
структуры: “Я приказываю тебе + ты уйдешь”.
Директивы могут иметь как слабую степень иллокутивного нор-
мирования, как в случае, когда я приглашаю вас сделать нечто или
предлагаю вам это ненавязчивым образом, так и сильную степень,
доходящую до агрессивного речевого воздействия, когда я, например,
настаиваю на том, чтобы вы непременно совершили это. Пропозици-
ональное содержание дирекции всегда говорит о том, что слушающий
совершит некоторое будущее действие.
Примеры соответствующих иллокутивных глаголов, выражающих
Директивы, в их перформативной функции: "Я приказываю тебе уйти”
и “Я командую тебе стать по стойке смирно”. Другие такие глаголы:
запрашивать”, “просить”, “заклинать”, "распоряжаться”, "предла-
гать ’, “ходатайствовать”, “побуждать”, “подстрекать”, "молить”, "умо-
лять”, “позволять”, “требовать”, “склонять”, “соблазнять”, “рекомен-
довать”, “подавать прошение”, "приглашать" и “советовать”.
Стоит отметить, что частным случаем директив являются вопро-
сы, поскольку они представляют собой попытки со стороны говоря-
щего сделать так, чтобы собеседник ответил, т.е. произвел некоторый
Речевой акт.
254
Иллокутивная логика
Определение П.1.11 (комиссивы, комиссии). Комиссивами на-
зывается такое иллокутивное нормирование, которое возлагает на го-
ворящего обязательство совершить некоторое будущее действие или
следовать определенной линии поведения Комиссиями называются
конкретные коммиссивы, относящиеся к конкретным локуциям. В ес-
тественном языке комиссия имеет следующий вид: “Я — глагол
(тебе) + я — глагол в будущем времени, выражающий желание
(объект) — (наречие)”.
Пропозициональное содержание комиссий состоит в том, что го-
ворящий выполнит некоторое будущее действие. Примеры соответ-
ствующих иллокутивных глаголов, выражающих комиссивы, в их пер-
формативной функции; “Я обещаю заплатить тебе деньги”, “Я
присягаю на верность флагу”, “Я клянусь отомстить”. Другие
такие глаголы “давать слово”, “угрожать”, “быть согласным”, “давать
зарок”, “ручаться”, “давать обет”, “отрекаться”, “намереваться”, “со-
глашаться”, “одобрять”, “обдумывать”, “принимать на веру”.
Определение 11.1.12 (зкспрессивы, экспрессии). Экспрессивами
называется такое иллокутивное нормирование, которое выражает пси-
хологическое состояние говорящего, задаваемое искренним или не-
искренним его отношением к положению вещей, определенному в
рамках пропозиционального содержания. Экспрессиями называются
конкретные зкспрессивы, относящиеся к конкретным локуциям. В
естественном языке экспрессия имеет следующий вид: “Я — глагол
тебе + я/ты — глагол в будущем времени герундиальное имя”.
Производя экспрессивный акт, говорящий не соотносит высказы-
вание с реальностью, как это имеет место в репрезентативах, и не выс-
казывается о возможных стратегиях воздействия на реальность, как
это имеет место в директивах, он скорее констатирует истинность вы-
ражаемого суждения с иллокутивным нормированием состояния дел.
Например, когда я извиняюсь за то, что наступил вам на ногу, тем
самым я не сообщаю с некоторой вероятностью о том, что я наступит
вам на ногу, и не стремлюсь сделать так, чтобы на вашу ногу наступи-
ли. В экспрессиях пропозициональное содержание приписывает не-
которое свойство либо говорящему, либо слушающему Так, я могу
поздравить вас не только с победой на скачках, но и с тем, что вы
хорошо выглядите
Примеры соответствующих иллокутивных глаголов, являющихся
экспрессивами, в их перформативной функции: “Я извиняюсь за
свое плохое поведение”, “Я благодарю вас за оказанную по-
мощь”. Другие такие глаголы: “поздравлять”, “сочувствовать”, “со-
жалеть”, “приветствовать”, “хвалить”, “говорить комплименты”, “со-
болезновать” "злорадствовать”, “выражать безразличие”.
tf-покутивная логика 255
Определение 11.1.13 (декларативы, декларации). Декларатива-
ми называется такое иллокутивное нормирование, которое устанавли-
вав! актуальное соответствие между пропозициональным содержа-
нием и реальностью. Декларациями называются конкретные деклара-
тивы, относящиеся к конкретным локуииям. В естественном языке
декларация имеет следующий вид: “Я — глагол — объект! +
объект2 — связка “быть” — предикат”.
В отличие от экспрессив в декларативах выражается воздействие
на реальность, в отличие же от директив данное воздействие констати-
руется как совершаемое в настоящий момент. Например, если я ус-
пешно осуществляю акт выдвижения вас кандидатом, то вы станови-
тесь кандидатом; если я успешно произвожу акт объявления состоя-
ния войны, то начинается война; если я успешно осуществляю акт
бракосочетания с вами, то вы связаны брачными узами. В деклараци-
ях положение вешей, представленное в пропозициональном содержа-
нии, реализует или получает свое осуществление посредством конк-
ретного иллокутивного нормирования. В таких предложениях нет по-
верхностно-синтаксических различий между пропозициональным
содержанием и иллокутивным нормированием. Например, “Я заяв-
ляю, ваш трудовой договор (настоящим) расторгается”, "Я за-
являю, мой пост (настоящим) объявляется свободным”.
Примеры соответствующих иллокутивных глаголов в перформа-
тивной функции: “Я нахожу вас виновным в предъявленном об-
винении”, “Я объявляю вас мужем и женой”, “Я назначаю вас
председателем”, “Настоящим объявляется война” и “Объявзяю
собрание прерванным”. Другие такие глаголы: “отлучать”, “про-
возглашать”, “утверждать”, “санкционировать”, “увольнять”, “преда-
вать анафеме”, “начинать”, “заканчивать”, “выносить приговор”, “ви-
зировать”, “давать имя”, “нарекать”, “сдаваться”, “благословлять”.
Некоторые элементы класса деклараций являются одновременно
и членами класса репрезентатив. Объясняется это тем, что в опреде-
ленных ситуациях для того, чтобы удостоверить факты, необходимо
наличие авторитета, который решал бы, каковы факты на самом деле и
как можно применять знание о них с учетом внеязыковых ресурсов.
Например, роль такого авторитета приписывается арбитру и судье,
они соответственно могут констатировать: “Вы вне игры”, “Вы ви-
новны”
Декларации вносят изменения в статус или условие упоминае-
мых объектов только в том случае, если декларирование было осуще-
ствлено успешно. Для успешного осуществления декларации еще не-
достаточно владения теми правилами, которые составляют языковую
компетенцию говорящего и слушающего. Помимо языковой компе-
256	Иллокутивная логика
тенции должен существовать внеязыковой ресурс, а именно говоря-
щий и слушающий должны занимать соответствующие социальные
положения, позволяющие осуществлять непосредственное речевое
воздействие на состояния дел. Благодаря таким внеязыковым ресур-
сам, как церковь, частная собственность, государство, и конкретной
возможности их использования говорящим и слушающим, можно
соответственно отлучать от церкви, завещать имущество, объявлять
войну — производить речевые акты, непосредственно воздействую-
щие на реальность.
Социальная коммуникация всегда осуществляется посредством
иллокутивного нормирования, отсылающего к внеязыковым ресур-
сам. Как правило, такое нормирование имеет вид соответствующих
деклараций. Например, государство не является каким-то состоянием
дел — его нельзя увидеть, к нему невозможно прикоснуться и т.д. и
в этом плане оно лишено какой бы то ни было реальности, но оно все
же существует как сложная система иллокутивного нормирования,
непосредственно соотносимая с человеческой деятельностью — био-
логической, трудовой, игровой и т.д.
Любое иллокутивное нормирование соотнесено с человеческим
поведением и определяет его цели. Различным иллокутивным целям
соответствуют разные условия их достижения. Рассмотрим основные
иллокутивные цели.
•	Целью репрезентации является такое произнесение, при котором
говорящий подразумевает, что пропозиция репрезентирует дей-
ствительное состояние дел в возможном мире произнесения.
•	Целью дирекции является такое произнесение, при котором гово-
рящий пытается побудить слушателя реализовать линию действий,
репрезентированную пропозициональным содержанием.
•	Целью комиссии является такое произнесение, при котором гово-
рящий принимает на себя обязательство реализовать линию дей-
ствий, репрезентированную пропозициональным содержанием.
•	Целью экспрессии является такое произнесение, при котором го-
ворящий выражает ту или иную психологическую установку от-
носительно положения вещей, репрезентированного пропозици-
ональным содержанием.
•	Целью декларации является такое произнесение, при котором го-
ворящий воздействует на положение дел, репрезентируемое про-
позициональным содержанием, исключительно в силу успешно-
го совершения им данного речевого акта.
Каждую иллокутивную цель будем отождествлять с отношением
П, однозначно определенным на множестве 3 х (3 х {0, 1и пока-
зывающим условие достижения соответствующей цели, выраженной
Иллокутивная логика	<-57
р—----------------------
в конкретной пропозициональной установке р. Пусть П(<р) обозначает
произвольную иллокутивную цель. Будем считать, что она выполня-
ется в том и только в том случае, если говорящий Й посредством
события произнесения J добивается успеха в достижении данной ил-
локутивной цели в соответствии с пропозициональным содержанием
лре Prop.
Условия достижения репрезентативных, директивных, комиссив-
ных, экспрессивных и декларативных иллокутивных целей задаются со-
ответственно отношениями Пр П,, П,, П4 и П5 на множестве 3 х Prop'.
•	Для репрезентативной иллокутивной цели П,:
Говорящий Д' добивается успеха в достижении репрезентативной
иллокутивной цели в соответствии с пропозицией ср посредством со-
бытия произнесения 3 в том и только в том случае, если в данном
контексте он репрезентирует положение вещей в качестве действи-
тельного положения в возможном мире произнесения да.
•	Для директивной иллокутивной цели П,:
Говорящий добивается успеха в достижении директивной илло-
кутивной цели в соответствии с пропозицией <р посредством события
произнесения 3 в том и только в гом случае, если при данном произ-
несении он совершает попытку побудить слушателя 2$ реализовать в
будущем линию действий, репрезентированную пропозицией (р.
•	Для комиссивной иллокутивной цели ГЦ:
Говорящий ТУ добивается успеха в достижении комиссивной ил-
локутивной цели в соответствии с пропозицией <р посредством собы-
тия произнесения 3 в том и только в том случае, если он принимает на
себя обязательство реализовать в будущем линию действия, репрезен-
тированную пропозицией <р.
•	Для экспрессивной иллокутивной цели П4:
Говорящий S7 достигает экспрессивной иллокутивной цели П4 в
соответствии с пропозицией (р посредством события произнесения 3
в том и только в том случае, если он выражает в произнесении свои
чувства или установки относительно положения вещей, репрезенти-
рованного пропозицией <р.
•	Для декларативной иллокутивной цели ГЦ:
Говорящий ;У добивается успеха в достижении декларативной
иллокутивной цели в соответствии с пропозицией лр посредством со-
бытия произнесения 3 в том и только в том случае, если он посред-
ством своего произнесения реализует в возможном мире произнесе-
ния да положение вещей <р.
В дальнейшем в тех случаях, где это играет существенную роль,
станем фиксировать в иллокутивной силе П(<р) того говорящею ТУ.
который к ней прибегает: П, (лр).
9 Зак 784
258
Иллокутивная чогика
Определение 11.1.14 (действие). Действием ф называется
собственное подмножество декартова произведения трех мно-
жеств:
ф а 2 х хР.
причем каждый i-й компонент упорядоченного набора называется
координатой действия это событие произнесения 2, изменение
физического события иг е 2 говорящим ?/, обозначаемое т , , и воз-
можный мир ip е Р69.
Определение 11.1.15 (перлокутивное действие). Перлокутивный
действием (<р) называется отношение Е, однозначно определен-
ное на множестве (Рх (3 х {0, 1 })Frop и показывающее условие совер-
шения действия, т.е. условие, выраженное в конкретной пропозицио-
нальной установке р, а также показывающее описание самого хода
реализации данного условия.
Каждая иллокутивная сила может сопровождаться соответствую-
щим перлокутивным действием. Для двух иллокутивных сил П s (<р) и
П„_ (ср) таких, что ty и 2< исполняют в отношении друг друга роли
слушающего и говорящего, имеет место перлокутивное действие
L, (ф) и (ф) в том и только в том случае, если
1)	П. (<р) о (<р). когда пропозициональная установка говоря-
щего ?У была направлена на себя самого;
2)	П, (ср) о (<р), когда пропозициональная установка говоря-
щего ?У была направлена на слушающего 2?.
Условие 1 выполняется тогда и только тогда, когда для некоторого
6* (ср) и некоторого V* (tp) имеет место v* (tp) => 6^ (V* (ф)), а
условие 2 выполняется тогда и только тогда, когда для некоторого
0р (<р), некоторого V* (<р) и некоторого v* (tp) имеет место V* (<р) =>
е'п (Ф)>-
Итак, речевой акт одновременно содержит в себе два аспекта
коммуникативный и интеракциональный. Коммуникативный несет в
себе соответствующую иллокутивную силу. Интеракциональный ас
пект выражается в перлокутивном действии. В табл. 11.1.1 собраны
примеры речевых актов с различением коммуникативных и интерак-
циональных аспектов.
В этом определении утверждается. что всякое действие содержит в себе событие произнесения
Это ие значит, что всякое действие сопровождается событием произнесения, смысл данного
апрелетения в том. что тюбое действие может быть прокомментировано.
вшивная логика
259
Речевой	Ко нмуникативный аспект		Интерикциональный аспект		
1		иллокуция	нллокутив- v ан сила	перлокуция	непосредст- венное пер- локут. дей- ствие	последующее перлокут. действие
Пример 1	Совет	Понимание совета	Подбадрива- ние	Принятие совета	Следование совету
Пример 2	Аргументи- рование 		Понимание аргументации	Убеждение	Принятие ар- гументации	Отказ от воз- ражений про- тив точки зрения
__ Пример 3	Манипули- рование v‘(<p) по- средством иллокуции v‘(<p)	Понимание иллокуции V* (ф)	Влияние v‘(fl>) посред- ством илло- куции v‘ ( ф)	Неосознан ное принятие	Следование *‘(ф)
Пример 4	Просьба	Понимание просьбы	Убеждение	Принятие просьбы	Удовлетворе- ние просьбы
Пример 5	Информи- рование	Понимание информации	Инструкти- рование	Принятие информации	Использова- ние инфор- мации в практике
Пример 6 | L	Предупреж- дение	Понимание предупреж- дения	Встревожен- иость	Принятие предупреж- дения	Следование предупреж- дению
Табл. И 1 I
Определение 11.1.16 (формализованный язык иллокутивной
логики). Формализованным языком иллокутивной логики называется
упорядоченная система = <7^ где
1.	— алфавит множества Prop вместе с множеством иллоку-
тивных функций Пр П,, .... Пп и множеством перлокутивных
функций Z , L,.t.',
2. .f* — множество всех формул, образованных из знаков в .7^
помимо множества всех формул, полученного по правилам
множества Prop, оно содержит также элементы, определяемые
так:
(а)	если Prop, то П(<р) и Х(<р) принадлежат./^;
(Ь)	если П (д>) и П (I/) принадлежат множеству .f то —>Г1(<р).	л
лПад, П(ф) V П(ф). П(<р) z> П(у/), Vx П(ф(х)), it niipW),
□ П (<р), 0 П (<р) принадлежат множеству
(с)	если Z(^p) и Z(V<) принадлежат множеству то —5Лур). Е(<р) л
лЕ/ф/, Н(Р) v уо, Х(<р) z> Vxl(p(x)), Эх 1(фх)), □ Е(ф).
0£(ф) принадлежат множеству
260
И гчокутивная логика
Определение 11.1.17 (истинностная оценка на множестве
формул иллокутивной логики). Истинностной оценкой на множе
стве форму! иллокутивной югики называется функция /, имеющая
областью определения множество .f и областью значения множество
{1, 0}. Задается данная функция условиями:
(а) /(<р) =	«	1, если (p истинно в мире я>еР70; 0 в противном случае;
(Ь) /(—.<£>) =	«	1, если 1((р) = 0 в мире и>еР; 0, если /(<р) = 1 в мире а>еР;
(с)/(фл^= •<	1, если одновременно /(<р) и /(ф) = 1 в мире л>еР: 0 в противном случае;
(d) I(<pv ifi = i	1, если /(<р) = 1 или /(ф) - 1, или и то, и другое = 1 в мире ®еР; 0 в противном случае;
(e)/(<pz>y/) = "	0, если I((f>) =1 и /(ф) = 0 в мире я>ер, 1 в противном случае: ч.
(f)/(Vx0)) = <	1, если для всех индивидов а из Prop 1(фа)) = 1 в мире ре Р; 0 в противном случае; •ч
(g) /(3л фх)) = «	1, если существует индивид а из Prop такой, что /(<р(а)) = 1 в мире даеР; 0 в противном случае; ч.
(h) /(□ <p) =	.	1, если /(<р) = 1 во всех возможных мирах а>еР; 0 в противном случае;
с Пропозиция (р истинна в мире г, если положение вешей . репрезентируемое ею, имеет мест о
з да ином мире.
цпокутивная логика_________________________________261
(i) 1(0 <Р> = (j) /(11,(ДО) = * (к)/(1(ДО) = - (1) /(—.П,(ДО) = -< (ш)ЛП(ДОлП,(ДО)= (п)/(П(фКП(до)= (о) Z(11 (<р) =5 Г 1( 1/7)) (фЯЭгП(ДОг)))=-< (0/([]П(ДО) = .	1, если !((/>) - 1 по крайней мере в некотором возможном мире /пеР; 0 в противном случае; 1, если для некоторого / выражение П ( <р) истинно в мире V * (л>)е Р и положение вещей <р истинно в мире л>еР71; 0 в противном случае; 1, если для некоторого /' выражение Х(ДО истинно в мире 0' (л>)еР и положение вещей <р истинно в мире л>еР72; 0 в противном случае; «. 1, если /(ГТДф)) = 0 в мире v' (л>)еР: 0 в противном случае; 1, если одновременно /(П (ДО) и ЯП, (ДО) = 1 в мире = 5 v‘(/n)eP; 0 в противном случае; 1, если ЯП (до) = 1 или /(П (ДО)) = 1. или и то, = < и другое = 1 в мире v* (»)gP; 0 в противном случае; 0, если /(П, (<рУ) = 1 и /( П (ДО)) = 0 в мире v ‘ (ш)е Р; 1 в противном случае; ъ. 1, если для всех индивидов а из Prop ЯП (Дои))) = 1 , в мире v* (л>)еР; 0 в противном случае; 1, если существует индивид а из Prop такой, что ЯП(ДОа))) = 1 в мире v* (л>)еР; 0 в противном случае; 1, если /(П, (ДО) = 1 во всех возможных мирах v ‘ (/л)бР; 0 в противном случае;
По
существу, в определениях 11.1.3 -11.1.7 задаются правила приписывания индекса t
У*окУТи®Н°й CMie П (ф) с учетом таких параметров, как р. 7. Prop, (3 х {0. I и т.д.
।. илекс i приписывается перлокутивному действию Х(ф) с учетом также определения
262	Иллокутивная логика
	1, если 7(П(ф)) = 1 по крайней мере в некотором
(s) 7(0 П(ф)) = -<	возможном мире v*(«>)gP; 0 в противном случае;
(t) 7(-il(<p)) =
1, если 7(Z(<p)) = 0 в мире 0^ (л>)е Р;
О, если 7(1 (<р)) = 1 в мире 0 (л>)еР;
(ц)/(Е(ф)л1(у/))=
(v)7(l(<p)vZ(y/))=
(x)/(Vx£(<p(x)))=
(у) 7(3x1 (<#х))) =
1, если одновременно 7(Е(ф)) и 7(Z(i/)) = 1 в мире
- 0J(j>)gP;
О в противном случае;
I 1, если 7(£(ф)) = 1 или /(£( </)) = 1, или и то, и
S другое = 1 в мире 0' (л>)еР;
I 0 в противном случае;
(w)7(E(p)z>I(y/))=
О, если 7(1(<р)) = 1 и 7(Т(у/)) = 0 в мире 0j (л>)еР;
J в противном случае;
1, если для всех индивидов а из Prop 1(£((р(а)У) = 1
в мире 0? (л>)е Р-
О в противном случае;
1, если существует индивид а из Prop такой,
-> что I(L((p(a))) = 1 в мире 0 (л>)еР;
О в противном случае;
(z) 7(Q !(<?)) =
1, если /(Т(ф)) = 1 во всех возможных мирах 0J (да)еР;
О в противном случае;
(аа) Kfi 2,(ф)) =-<	1, если 7(Е(ф)) = 1 по крайней мере в некотором возможном мире 0' (тп)сР; 0 в противном случае.
Таким образом, 7(П (<р)) = 1 тогда и только тогда, когда говорящий
посредством события произнесения 3 достигает иллокутивной цели
П в соответствии с пропозицией <р способом, подразумеваемым ил-
локутивным нормированием (р. Например, пусть в формуле 11,/ф)
значением П, является директивный глагол “приказывать”, тогда
/(П^ф)) = 1 имеет место в том и только в том случае, если говорящим
Иллокутивная
логика	263
•Y посредством события произнесения J достигает директивной ил-
локутивной цели в соответствии с (р благодаря обращению к своему
с уж-бному положению или иному социальному ресурсу, дающему
ему власть над слушателем 5* Вместе с тем ICL ( ср)) = 1 тогда и только
тогда, когда говорящий посредством события произнесения 7 дос-
тшает перлокутивного действия £ в соответствии с пропозицией ср
способом, подразумеваемым перлокутивным нормированием илло-
кутивного нормирования ср. Например, если соответствующим илло-
кутивным глаголом был глагол "приказывать”, то /(£^(<р)) = 1 имеет
место в том и только в том случае, если говорящий 17 посредством
события произнесения 7 достигает директивного перлокутивного дей-
ствия в соответствии с ср — отныне слушатель руководствуется
иллокутивной целью говорящего в своем поведении, т.е. 5* беспре-
кословно подчиняется приказанию.
Если предположить существование только одного возможного
мира, то для языка иллокутивной логики легко можно построить соот-
ветствующую структуру.
Определение 11.1.18 (структура для языка иллокутивной ло-
гики, пергокутивное нормирование иллокутивного нормирования
булевой алгебры). Структурой для языка иллокутивной логики явля-
ется перлокутивное нормирование иллокутивного нормирования бу-
левой алгебры. Пусть ® = <В; гт, la —1, 0> — булева алгебра, иллоку-
тивным нормированием булевой алгебры называется упорядоченная
система 3 = <В; гт, о, —i, 1, 0, v>, где V подчиняется условиям:
(11.21)	VaeB (а > v(a)),
(11.22)	VaeB VbeB ((v(a) гт v(b)) > v(a n b)),
(11.23)	VaeB ((-v(a))>v(-a)), где----операция нижнего
дополнения,
(11.24)	VaeB VbeB (v(a u/>)> (v(a) о v(b))),
(11.25)	VaeB (v(~a) > (~v(a))), где----операция верхнего
дополнения,
(11.26)	VaeB ( I ’ v(a?) >	Ц)),
(11.27)	VaeB(V(U ap>UV(a4)).
Перлокутивным нормированием иллокутивного нормирования
булевой алгебры называется упорядоченная система Т = <В: гт, о, —
1- 0, v. 0>, где 0 подчиняется условиям:
(И-28) Vae 3 (0(a) > а),
(11.29)	Vae3 Vbe3 (0(а n b) > (0(a) п 0(b))),
(Н.30) Vae3 (0(-а) > (-0(a)), где----------операция нижнего
Дополнения.
264
Иллокутивная югика
(11.31)	Vog3 Vte3 ((0(a) О 0(Л)) > в(а и b)).
(11.32)	Х/аеЗ ((-0(a)) > 0(~а)), где--операция верхнего
дополнения,	z-,
(11.33)	Vae3 (0(1 Lp > I '0(ap),
(11.34)	VaG3(Ue(flp>0(Uap).
Частым допущением при разработке различных информацион-
ных пакетов, исполняющих роль социальных технологий конкретного
назначения, является утверждение, что структура повседневной речи
прагматически релевантна, т.е. каждый обыватель в равной мере наде-
лен речевой компетенцией, причем считается, что данную компетен-
цию можно проанализировать как некий объект. Иллокутивная логика
строится на отрицании данного допущения. В ней прагматические
контексты определяются в рамках иллокутивной или перлокутивной
структуры, которая и задает в конечном итоге всю логику повседнев-
ной коммуникации, поэтому структура повседневной речи не рас-
сматривается как прагматически релевантная.
До сих пор прагматические контексты рассматривались с позиции
семантики возможных миров. Иными словами, имело место вышеназ-
ванное допущение, поскольку утверждалось, что прагматические кон-
тексты не влияют на логические отношения (булеву алгебру), а связаны
лишь с фактическими истинами (возможными мирами). Эпистеничес-
кий парадокс всезнания трактовался таким образом, что семантические
отношения реализуются в строго определенном мире и не могут рас-
сматриваться как имеющие особые логические законы. Суть этого пара-
докса состоит в следующем. Пусть некто N знает, что V, и по законам
логики V 2э W. Тогда это еще не означает, что N знает, что W. В данном
случае явно напрашивается сказать: N не просто отсылает к какому-то
возможному миру, в котором есть только V, но в большей мере детерми-
нирован особой логикой, в которой не всегда выводимо W.
В случае отказа от допущения прагматической релевантности ока-
зывается, что сознательная коррекция иллокутивной или перлокугив-
ной структуры, которой пользуется обыватель, может привести к пря-
мой манипуляции сознанием последнего. Например, можно сделать
так, чтобы он никогда не знал о W. Данной особенностью иллокутив-
ной или перлокутивной структуры повседневного общения пользу-
ются зачастую в рекламе. Так. фраза “Мы не из тех, кого что-либо
способно напугать”, рекламирующая сигареты, задает специфичес-
кое аргументативное поле, в котором невозможно образовать импли-
кации “Если это вредно для здоровья, то я этого не буду делать”
Данный пример показывает, что W не вытекает из V не потому, что W
ц-покутивная ___________ 265
попросту ничего не знает о W, а исключительно по тем причинам, что
по Л7 данного логического закона не существует, хотя, казалось бы,
ДЛЯ . • «
только по определению вредное есть то, что является избегаемым, и
наооорот.
На базе иллокутивной логики можно разрабатывать конкретные
информационные пакеты, которые могли бы применяться как при
создании социальных технологий, так и при их купировании. В частно-
сти это позволило бы по-новому взглянуть и на проблемы виртуали-
зации и глобализации социальных институтов, и на проблемы соци-
альной стратификации — представители различных страт безусловно
пользуются различной повседневной логикой.
Упражнения
11.1.1.	Проделайте следующую интерпретацию понятия иллоку-
тивной нормы. Представьте таковую в виде пропозициональной уста-
новки “я верю...” и покажите, что какую бы локуцию мы ни подста-
вили в данную пропозициональную установку, все условия (11.1) —
(11.10) определения 11.1.2 будут выполняться (под теоретико-множе-
ственными операциями в этих определениях следует понимать соот-
ветствующие логические операции, а отношение порядка интерпре-
тировать как отношение “если..., то...” в смысле определения 11.1.15).
11.1.2.	Представьте перлокутивную норму в виде выражения
“было приказано...” и покажите, что независимо от подстановки
конкретной локуции все условия (11.11) — (11.20) определения 11.1.8
будут выполняться (под теоретико-множественными операциями в этих
определениях следует понимать соответствующие логические опера-
ции, а отношение порядка интерпретировать как отношение “если.. ,
то...” в смысле определения 11.1.15).
11.1.3.	Определите на локутивной структуре iff пересечение, объе-
динение, нижнее дополнение, верхнее дополнение и относительное
псевдодополнение.
11.1.4.	Постройте перлокутивное нормирование иллокутивного
нормирования псевдобулевой алгебры.
11.1.5.	Сформулируйте для каждой иллокутивной силы (опреде-
ления 11.1.9 —11.1.13) соответствующее перлокутивное действие.
11.1.6.	Рассмотрите коммуникативные и интеракциональные ас-
пекты следующих речевых актов: клевета, похвала, проклятье, пропо-
ведь.
11.1.7.	Каковы перлокутивные эффекты иллокутивно-актовых ком-
плексов приказа, выражения угрозы, инвектива?
11.1.8.	Определите, можно ли рассматривать и 25 как дополни-
тельные параметры, если существует только один возможный мир.
266
Иллокутивная югика убеждения
11.1.9.	Докажите, что перлокутивная норма двойственна иллоку-
тивной норме (см. определение 5.1.5).
11.1.10.	Если не рассматривать f? и как дополнительные пара-
метры иллокутивной и перлокутивной нормы, можно ли сказать, что
для любого /, для любого j и для любого d 6'(V* (^p))>vj (<pY? Какую
роль играют возможные миры в задании отношений порядка между
иллокутивной и перлокутивной нормой?
11.1.11.	Пусть для всякого предложения <р языка V сигнатуры Q
определена вероятностная мера т(<р) на классе всех моделей сигнату-
ры О. Представьте иллокутивную норму предложения ер в качестве
особой вероятностной меры, аргументом которой служит т(<р). За-
дайте условия новой вероятностной меры, аналогичные по смыс iy
условиям (11.1) — (11.8) определения 11.1.2.
11.1.12.	Выполните задание упражнения 11.1.11 для перлокутив-
ной нормы предложения <р.
11.2. Иллокутивная логика убеждения
В иллокутивной логике вывод можно задавать различными спо-
собами. Наиболее распространенный из них состоит в такой трактов-
ке частичной операции присоединения следствия, при которой каж-
дый вывод сводится к иллокуции “аргументировать” и перлокуции
“убеждать”. Достижение иллокутивного эффекта “понимание” и дос-
тижение перлокутивного эффекта “принятие” можно считать наме-
рениями, присутствующими в любых разговорах между носителями
языковой компетенции. Так, принятие, по мнению ван Еемерена, Гро-
тендорста [1983], является общим перлокутивным эффектом всех ре-
чевых актов, поэтому оно называется ими “неотъемлемым перло-
кутивным эффектом”. Однако мы всегда можем сказать, что вывод
содержится в речевом акте тогда и только тогда, когда в нем предпола-
гается иллокутивная сила аргументирования и перлокутивный эффект
убеждения”. Иллокутивно-актовый комплекс аргументации Па_ (<р) и
перлокутивный акт убеждения (ер) (или£? (ер)) всегда связаны меж-
ду собой посредством следующего отношения:
(11.35)	□(П,1(Ф)э1.^),
(11.36)	□(!!, (<p)z> Z, (<р)),
” Мы могли бы не различать иллокуцию “аргументировать” и перлокуцию “убеждать ,
поскольку можно предположить, что убеждение является одновременно иллокутивным и
перлокутивным эффектом. Раз в убеждении фиксируется максимальная степень искренности
говорящего, то соответствующие иллокуции, выражающие убеждение, явтяются также
прямыми призывами к совершению каких-то поступков.
Цгюкутивная логика убеждения	267
те для любого /, для любого j и для любого d (во всех возможных
мирах)V* (<р)=> е;(У*(ф)).
Выполнение (11.35) и (11.36) является необходимым и достаточ-
ным условием того, что мы имеем дело с аргументацией П, |<р) и
убеждением 1. (<р) (или 2„((р)).
Впервые Сёрль [1970] обратил внимание на то, что иллокутивный
акт аргументации предполагает перлокутив убеждения. Эту мысль
всесторонне развил затем Коэн Т. [1973]. И.тюкхтивная логика убеж-
дения называется чаше теорией аргументации, так как изучает аргу-
иентативные дискуссии — речевые акты, в которых обязательно со-
держится иллокутивная сила аргументирования и перлокутивное дей-
ствие убеждения, что выражается в построении явного или скрытого
вывода, который непременно находит одобрение или неодобрение у
слушателя и воспринимается тем как призыв к определенному дей-
ствию. Наиболее систематические работы по теории аргументации:
Берк [1979], ван Еемерен, Гротендорст [1982,1983], ван Еемереп, Гро-
геидорст, Круигер [ 1983]. ван Еемерен, Гротендорст. Хенкеманс [ 1996],
Сми г, Xv нсакер [ 1972].
Выполнение иллокутивно-актового комплекса аргументации на-
правлено не только на то, чтобы заставить слушающего понять, каким
образом и что именно говорящий пытается обосновать или опровер-
гнуть. но и на то, чтобы убедить слушающего в приемлемости или
неприемлемости того выраженного мнения, которого придерживает-
ся говорящий. Это означает, что анализ речевого акта аргументации
должен заключать в себе рассмотрение не только коммуникативных,
но и интеракциональных аспектов такой формы использования языка,
какой является аргументативная дискуссия — тех аспектов, которые
отвечают за соотношение между выполнением иллокутивной силы
аргументации и перлокутивным действием убеждения. Поэтому ар-
гументация всегда осуществляется с учетом не только конкретной ил-
локутивной структуры, но и какой-то перлокутивной. Можно сказать,
что перлокутивная структура Р составляет базу знаний индивида
Коммуникант ожидает от аргументации определенного перлоку-
тивного эффекга, который есть нечто большее, чем просто принятие
его точки зрения оппонентом. Так. если в случае экспрессив интерак-
пия кажется полностью завершенной, как только слушающий принял
высказывание, то. скажем, в случае речевых актов, в которых задается
вопрос, выражается просьба или приказ, за принятием со стороны
слушающего должны следовать определенные действия. В успешно
проведенной аргументативной дискуссии предполагается, что со сто-
роны слушателя прозвучит обязательство во всем следовать тому про-
позициональному содержанию, о необходимости которого говори-
268	Иллокутивная логика убеждения
лось в аргументации. Таким образом, слушатель обязуется во всех
своих действиях руководствоваться той точкой зрения, которая была
аргументирована надлежащим образом. Выполнение перлокуции
принятия или непринятия в аргументативной дискуссии всегда дает
слушающему определенные права и налагает на говорящего опреде-
ленные обязательства — слушающий может заставить говорящего
отвечать за его точку зрения относительно выраженного мнения.
Успешная иллокутивная перлокуция аргументировать/убеждать
должна сопровождаться вербально выраженным эффектом принятия.
Обычно один из коммуникантов выражает принятие речевого акта
своего собеседника посредством особой фразы — он произносит одну
из “формул принятия”: “Я принимаю...”, “Хорошо”, “Договори-
лись” и т.д. Произнесение подобных формул само является особым
иллокутивным актом принятия, который, в свою очередь, накладыва-
ет определенные интеракциональные обязательства в отношении
дальнейшего поведения (вербального или иного) того, кто выразил
принятие в вербальной форме. Например, тот, кто во всеуслышанье
принял собственную иллокуцию обещания, не может затем просто
отказаться от своих слов, заявив, что ему не нравятся акты, посред-
ством которых был выполнен речевой акт обещания. Обязательства,
которые появляются в результате иллокутивного акта принятия, сход-
ны с теми, которые налагаются говорящим в результате выполнения
иллокутивного акта обещания. Вербальное выражение иллокутива
принятия (или отвержения) некоторой иллокуции означает, что взаим-
ные обязательства между собеседниками изначально четко и твердо
определены. Данные обязательства определяются системой соци-
альных ролей и усваиваются в процессе социализации.
Аргументация складывается, как правило, из элементарных илло-
куций, которые составляют один или несколько сложных актов аргу-
ментации и обычно принадлежат к категории репрезентатив (см. оп-
ределение 11.1.9). Однако в повседневной практике роль аргумента-
ции могут исполнять иллокутивные акты, которые не принадлежат к
этой категории. В частности, директивы способны составлять иллоку-
тив аргументации. Тем не менее в рациональной дискуссии вовсе
нельзя встретить экспрессивы, а также декларативы, за исключением
тех, посредством которых выражается договоренность по поводу ре-
чевых стратегий и правил употребления тех или иных выражений.
В аргументативной дискуссии участвуют, по крайней мере, два ком-
муниканта, один из которых выдвигает теорию h. Эта теория выступает
затем в качестве выраженного мнения спорящих коммуникантов.
Определение 11.2.1 (выраженное мнение). Выраженным мнени-
ем индивида называется теория Л, отвечающая условиям:
// 7 локут ивная логика убежден ия	269
(а)	Л состоит из конъюнкции элементов (ре истинных в одной
из перлокутивных структур называемой перлокутивной моделью
/! (см. определение 11.2.4);
(b)	h является теорией сигнатуры О;
(с)	для h и всех его элементов имеется иллокутивное нормирова-
ние v(/i) и перлокутивное нормирование 0(Л) (см. определение И. 1.2
и определение 11.1.8).
Определение 11.2.2 (вынуждение). Вынуждением называется
признание истинности теории Л74 на основании возможного мира
л, G р. Обозначается вынуждение посредством л> II- Л. Будем считать,
что если л> II- Л, то для всех л> < л> имеет место л> II- Л.
Если представить перлокутивную структуру в качестве алгебры
'р = <В; П, и, —I, 1, О, V, 0> (см. определение 11.1.18), то можно постро-
ить модель для теории h.
Определение 11.2.3 (модель иллокутивной логики). Пусть 7) —
класс перлокутивных структур коммуниканта i¥. Поскольку 1? - ал-
гебры с общей сигнатурой, они могут отличаться только количеством
элементов основного множества. Каждая пропозициональная фор-
мула (р е однозначно определяет следующее отображение:
где V, множество