Text
                    СБОРНИК
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора А. П. Рябушко
Часть 2
Допущено Министерствём
народного образования БССР
в качестве учебного пособия
для студентов инженерно-технических
специальностей вузов
Минск
«Вышэйшая школа»
1991


ББК 22.11я73 С23 УДК 51@75.8) Авторы: А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть Рецензенты: кафедра высшей математики Московского энерге- энергетического института; зав. кафедрой высшей математики Минского радиотехнического института, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас Сборник индивидуальных заданий по высшей ма- С23 тематике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2/А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под общ. ред. А. П. Рябушко.— Мн.: Выш. шк., 1991.—352 с: ил. ISBN 5-339-00327-2. Книга является составной частью комплекса учебных посо- пособий по курсу высшей математики, направленных на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов вузов. Содержат- Содержатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и инди- индивидуальных заданий по следующим разделам: комплексные чис- числа, неопределенные и определенные интегралы, функции не- нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные урав- уравнения. Для студентов инженерно-технических специальных вузов. 16020J0000—132 С 11—90 ББК 22.Пя73 М304@3) — 91 ISBN 5-339-00327-2 (ч. 2) ©Коллектив авторов, ISBN 5-339-00483-Х 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая вниманию читателя книга является второй частью комплекса учебных по- пособий под общим названием «Сборник индиви- индивидуальных заданий по высшей математике». Он написан в соответствии с действующими про- программами курса высшей математики в объеме 380—450 часов для инженерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс может быть использован в вузах других профилей, в которых количество часов, отведенное на изуче- изучение высшей математики, значительно меньше. (В последнем случае из предполагаемого мате- материала рекомендуется сделать необходимую вы- выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов вечерних и заочных отделений вузов. Настоящий комплекс пособий адресован преподавателям и студентам и предназначен для проведения практических занятий, само- самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи индивидуальных домашних заданий по всем разделам курса высшей математики. Во второй части «Сборника индивидуальных заданий по высшей математике» содержится материал по комплексным числам, неопреде- неопределенным и определенным интегралам, функциям нескольких переменных и обыкновенным диф- дифференциальным уравнениям. Структура второй части комплекса анало- аналогична структуре первой его части. Нумерация
глав, параграфов и рисунков продолжает соот- соответствующую нумерацию в первой части. Авторы выражают искреннюю благодар- благодарность рецензентам — коллективу кафедры выс- высшей математики Московского энергетического института, возглавляемой членом-корреспон- членом-корреспондентом АН СССР, доктором физико-матема- физико-математических наук, профессором С. И, Похожаевым, и заведующему кафедрой высшей математики Минского радиотехнического института, док- доктору физико-математических наук, профессору Л. А. Черкасу, а также сотрудникам этих ка- кафедр кандидатам физико-математических наук, доцентам Л. А. Кузнецову, П. А. Шмелеву, А, А. Карпуку — за ценные замечания и советы, способствовавшие улучшению книги. Все отзывы и пожелания просьба присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Машеро- ва, 11, издательство «Вышэйщая школа». Авторы
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Охарактеризуем структуру пособия, методику его использования, организацию проверки и оценки знаний, навыков и умений студентов. Весь практический материал по курсу высшей мате- математики разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения (основные опреде- определения, понятия, формулировки теорем, формулы), исполь- используемые при решении задач и выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. (Начало решения примеров отмечается сим- символом > , а конец— -4.) Затем даются подборки задач с ответами для всех практических аудиторных занятий (A3) и для самостоятельных (мини-контрольных) работ на 10—15 минут во время этих занятий. Наконец, приводятся недельные индивидуальные домашние зада- задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой главы помещены дополнительные задачи повышенной трудности и прикладного характера. В приложении приведены двухчасовые контрольные работы (каждая по 30 вариантов) по важнейшим темам курса. Нумерация A3 сквозная и состоит из двух чисел: первое из них указывает на главу, а второе — на поряд- порядковый номер A3 в этой главе. Например, шифр АЗ-9.1 означает, что A3 относится к девятой главе и является первым по счету. Во второй части пособия содержится 26 A3 и 12 ИДЗ. Для ИДЗ также принята нумерация по главам. На- Например, шифр ИДЗ-9.2 означает, что ИДЗ относится к девятой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следующая нумерация: первое число означает номер задачи в данном задании, а второе — номер варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-9.2:16 озна- означает, что студент должен выполнить 16-й вариант из ИДЗ-9.2, который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16, 4.16.
При аыдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов можно менять от задания к заданию по ка- какой-либо системе или случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, комбинируя однотипные задачи из разных вариантов. Например, шифр ИДЗ-9.2:1.2; 2.4; 3.6; 4.1 означает, что студенту следует решать в ИДЗ-9.2 первую задачу из варианта 2, вторую — из варианта 4, третью — из варианта 6 и четвертую — из варианта 1. Такой ком- комбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариан- вариантов получить большое количество новых вариантов. Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых втузов (Белорусский институт механизации сельского хозяйства, Белорусский политехнических институт, Дальневосточный политехнический институт и др.) показало, что целе- целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого A3 (которых, как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее в себя основной материал двух A3 данной недели. Дадим некоторые общие рекомендации по организа- организации работы студентов в соответствии с настоящим по- пособием. 1. В вузе студенческие группы по 25 человек, прово- проводятся два A3 в неделю, планируются еженедельные необязательные для посещения студентами консульта- консультации, выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систематического контроля с выставлением оценок, ука- указанием ошибок и путей их исправления могут быть исполь- использованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов и бэн" листов решений, которые кафедра заго- заготавливает для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы решений разрабатываются только для тех задач и вариантов, где важно проверить правильность выбора метода, последовательности действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы решений. Листы решений (один вариант располагается на одном листе) используются при само- самоконтроле правильности выполнения заданий студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще всего при комбинированном контроле: преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент по листу решений — свои вычисления. Эти методы позволяют про- проверить ИДЗ 25 студентов за 15—20 минут с выставле- выставлением оценок в журнал.
2. В вузе студенческие группы по 15 человек, прово- проводятся два A3 в неделю, в расписание для каждой группы включены обязательные два часа в неделю самоподго- самоподготовки под контролем преподавателя. При этих условиях (которые созданы, например, в Белорусском институте механизации сельского хозяйства) организация индиви- индивидуальной, самостоятельной, творческой работы студентов, оперативного контроля за качеством этой работы значи- значительно улучшается. Рекомендованные выше методы при- пригодны и в данном случае, однако появляются новые возможности. На A3 быстрее проверяются и оценива- оцениваются ИДЗ, во время обязательной самоподготовки мож- можно проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, принять задол- задолженности по ИДЗ у отстающих. Накапливание большого количества оценок за ИДЗ, самостоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать качество усвоения изучаемого материала. Все это дает возможность отказаться от традицион- традиционного итогового семестрового (годового) экзамена по материалу всего семестра (учебного года) и ввести так называемый блочно-цикловой (модульно-цикловои) метод оценки знаний и навыков студентов, состоящий в сле- следующем. Материал семестра (учебного года) разделяется на 3—5 блоков (модулей), по каждому из которых выполняются A3, ИДЗ и в конце каждого цикла — двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная рабо- работа, в которую входят два-три теоретических вопроса и 5—6 задач. Учет оценок по A3, ИДЗ и коллоквиуму- контрольной позволяет вывести объективную общую оценку за каждый блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра (учебного года). Подобный метод внедряется, например, в Белорусском институте механизации сельского хозяйства. В заключение отметим, что пособие в основном ориен- ориентировано на студента средних способностей, и усвоение содержащегося в нем материала гарантирует удовлет- удовлетворительные и хорошие знания по курсу высшей мате- математики. Для одаренных и отлично успевающих студен- студентов необходима подготовка заданий повышенной слож- сложности (индивидуальный подход в обучении!) с перспек- перспективными поощрительными мерами. Например, можно разработать для таких студентов специальные задания на весь семестр, включающие задачи настоящего посо-
бия и дополнительные более сложные задачи и теоре- теоретические упражнения (для этой цели, в частности, пред- предназначены дополнительные задачи в конце каждой гла- главы). Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра, установить график их выполнения под своим контролем, разрешить свободное посещение лекционных или практических занятий по высшей математике и в слу- случае успешной работы выставить отличную оценку до экзаменационной сессии.
7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ наоборот, всякой точке iy. Между множествами x-i-iy 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ Комплексным числом называется число вида z — х + iy, где х и /—г у — действительные числа; i—\ — 1—так называемая мнимая еди- единица*, т. е. число, квадрат которого равен — 1 (корень уравнения г2 -|- 1 = 0); х называется действительной (вещественной) частью комплексного числа, а у — мнимой его частью. Для этих чисел приняты обозначения: х = Rez, г/ = 1тг. Если у = 0, то z = x?R; если же х = 0, то число г = iy называется чисто мнимым. С геометрической точки зрения, всякому комплексному числу г = х + iy соответствует точка М(х, у) плоскости (или вектор ОМ) и, М (х, у) соответствует комплексное число z = x -f комплексных чисел и точек плоскости Оху установлено взаимно однозначное соответ- соответствие, поэтому данная плоскость назы- называется комплексной и обозначается симво- символом (г) (рис. 7.i). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой С. Отметим, что RcC. Точки, соответствующие действи- действительным числам z = x, расположены на оси Ох, которая называется действительной осью комплексной плоскости, а точки, со- соответствующие мнимым числам z = iy,— на оси Оу, которую называют мнимой осью комплексной плоскости. Два комплексных числа равны, если действительные и мнимые части. Числа вида г = х + iy и z ¦- называются сопряженными (см. рис. 7.1). Если z, = X, + iy,', z2 = х2 + iy2 — два комплексных числа, то ариф- арифметические операции над ними выполняются по следующим правилам: z, + z2 = (х -f iy,) + (хг + iyi) = (х, + х2) + i(y, + г/г), z, — z2 = (xi + iy,) — (х2 + iy2) = (xi — х2) + i(y, — г/2), z,z2 = (xi + iy,) (x2 + iyi) = (xix2 — у,уг) + i(x,y2 + х2у,), z, x,+iy, z{zf Xix2 +у,уг . х,у,—х,у2 У У 0 -у м (г) М Z-X А X Л 1 соответственно равны их х — iy г2 х2 + гг/2 z2z2 xi + г/г х| + г/J (последняя операция имеет место при условии, что г2ф0). В резуль- результате получаем, вообще говоря, комплексные числа. Указанные опера- операции над комплексными числами обладают всеми свойствами соот- * В технической литературе для мнимой единицы используется также обозначение / = V—1.
ветствующих операций над действительными числами, т. е. сложение и умножение коммутативны, ассоциативны, связаны отношением "дистрибутивности и для них существуют обратные операции вычита- вычитания и деления (кроме деления на нуль). Пример I. Даны комплексные числа z\ = 2 + 3/, Z2 = 3 — 4/, Z3 = 1 + i. Найти _ Z, +ZiZ2 + ZJ Z| + Zi У Последовательно вычисляем: z, + z3 = B + 30 + A+0 = 3 + 4/, г,г2 = B + 30 C - 40 = F + 12) + /(9 - 8) = 18 + i, z| = C — 4/J = 9 — 24« — 16 = —7 — 24/, z, + z,z2 + z\ = 2 + 3/ + 18 + i — 7 — 24/ = 13 — 20/. C9-80)+ /(—€0-52) 2гГ Тогда 13-20/ 3 + 4/ A3- C + 20/) C - 40C- — 41 25 40 ) 112 95 Число г = I ОМ | = -yzz называется модулем комплексного числа z. Угол ф, образованный вектором ОМ с положительным направле- направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозна- обозначается ф = Arg z. Очевидно, что для всякого комплексного числа z = х + iy (см. рис. 7.1) справедливы формулы: г = ~ух2 + у2, cos ф = х/г, sin ф = у/г, где главное значение аргумента q> = argz удовлетворяет следующим условиям: —п < arg z ^ л или 0 ^ arg z <. 2л. Всякое комплексное число z = х + iy может быть представлено в тригонометрической форме z = r(cos ф + ( sin <p) G.2) или в показательной форме z = re" G.3) (так как по формуле Эйлера е'ф = cos ф + i sin ф). Формулы G.2) и G.3) целесообразно применять при умножении комплексных чисел, а также возведении их в степень. \ Если Z\ = ri,(cos ф| + i sin ф|), Z2 — r2(cos ф2 + i sin фг), то спра- справедливы формулы: 2iz2 = r,r2(cos (ф, + ф2) + i sin (ф, + ф2)) = Г|/-2е'Сч" + ф!), — = — (cos(q>i — 92) +«sin (91 ^92))= — е'4»'-4 (z2^0). Z2 Г2 ''г z" =Y"(cos пф + i sin яФ) = rV"'f. G.4) Формула G.4) называется формулой Муавра. Для извлечения корня п-й степени (я > 1, я ? Z) из комплексного числа в форме G.2) используется формула, дающая п значений этого кория: 10
zk = ~Jz = ! 1 = = V^e'4" + 2;lt)/" (ft = 0, я — 1). G.5) (Под ~vr понимается арифметический корень.) Пример 2. Вычислить A +()'2- > Представим число г = 1 + i в тригонометрической или показа- показательной форме, используя формулы G.1): г = УГ+Т= -^2, cos tp = 1/V^. sin ф = 1 /-ф, ф = л/4, г = V2/cos -Л. + i sin ^) = 72ея174. Тогда по формуле Муавра 12 • -?¦) +« sin A2 • -j)) = - = 64 • (cos Зл + ( sin Зп) = — 64. -4 Пример 3. Найти кории уравнения z6 + 1 = 0. > Данное уравнение можно переписать так: z6 = — 1 или z = = V—'• Согласно формулам G.1), число —1 в тригонометрической форме имеет вид: — 1 = 1 • (cos л + г sin л). С учетом формулы G.3), корни исходного уравнения: б/ ~ / л + 2?л . . л + 2Ал \ ,, ,,llVn zft = -у— 1 = 1-1 eos -z h ( sin — I = e'{v + 2яЧ/", где k = 0, 5. Придавая & последовательно значения 0,1 5, нахо- находим все шесть возможных корней данного уравнения z6 + 1 =0: л . . л уЗ 1 . ш76 zo ¦= cos — + г sin — = — г- -j ' = е . л ... л . ,., 2i = cos — + i sin — = г = е"'\ z2 = cos — л + j sin — л = 1-—( = е~5л'/6, о b J. * г | 1 ^ 1 i = е7л1/6 = е-5™/6 z3 = cos |- л + / sin -1 л = - -^ - -1 i = е7л1/6 = . ш"/2 = —г = е ' = л = ^ ... . ш/2 Чл//9 Z4 = cos-^- я + isin — я= —г = е ' = е ' , 11 11 л[з i ,. ... ... z5 = cos — л + г sin -—- л = — / = е' '"'/ь = e~-""/6. ^ Пример 4. Найти корни уравнения г3— 1 +«-\/3 = 0. > Так как г3 = 1 — j-y/3 = 2 •( cos-^- — i sin -^- V то по форму- формуле G.5) 11
3 Г 3 /77/ л/3 + 2nk . . л/3 + 2л& zk = i/z = V2(cos g (Sin J (ft = 0,2). 3 Следовательно, корнями данного уравнения являются: з г~/ л . . л \ з г~/ 7л . . 7л\ zo = V2(^os — -1 sin — J, z, = V2 (^cos — -1 sin —J, з r~/ 13л . 1 Зл \ Z2 = Д/2 I COS — ( Sin —~ I . -4 A3-7.1 1. Найти значение выражения B1+222J3, если Z\ = = 2 + Зг, 22 = 3 + 2г\ 23 = 5 — 2г. (Ответ: 54 + 19г). 2. Даны комплексные числа Zi=-3 + 5t, 22 = 3 — 4г, 2з = 1 —2г. Найти число z = (B1 +23J2)/23. ( Ответ: — + 3. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные числа Z\ = 2 — 2г, 2г = — 1 + г, 23= —г, 24 = —4. 4. Найти корни уравнения 28 — 1=0. (Ответ: 2о = 1, л/5~ . -v^". . л/5" , л/5"- ! zi = -у- + -у- г, Z2 = г, 2з = — -|- + -у- г, 24 == — 1, 25 = Самостоятельная работа 1. 1. Найти значение выражения 21B2 + 23O22, если Zl = 4 + 5г\ 22 = 1 + г, 2з = 7 — 9г". (Ответ: 40 — 32г".) 2. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные числа z\ =-y3 + i, 2г = —1 +-уЗг, 2з= -1/2. 2. .1. Найти значение выражения (zi + 2г2з)/22, если 2, = 4 + 8г, 22 = 1 — г, 23 = 9 + 13/. {Ответ: 7 + 19г.) 2. Решить уравнение 22 — г = 0. (Ответ: ± A + 0/V 2-) 3. 1. Найти значение выраженияB? + 2г +2з)/2г, если г, = 2 - г, 22 = - 1 + 2г\ 23 = 8 + 12г. (Ответ: 2 + 2г.) 2. Представить в тригонометрической и показатель- показательной формах комплексные числа zx = 2/A+ г), z2 = = —Уз —i. 12
7.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 7 1. Представить в показательной форме следующие комплексные числа: a) z= -vyi2 — 21; б)-z= — cos-p- +« sin-?L (Ответ: а) 4е7л'у6; б) <?бш/7.) 2. Доказать формулу A + cosa + tsin aJn = ( 2 cos |VV"a (n ? N, a 6 R). 3. Найти сумму 2 e''**. (Ответ: е'("^"'Р~' .V 4. При каких целых значениях я справедливо равен- равенство A + if = О — 0"? {Ответ: n = 4k, k? Z.) 5. Используя формулу Эйлера, найти сумму cos х + cos 2х + cos Зл: +... + cos nx Ответ: (sin-^cos-^±J-x) sin ~Л 6. Доказать тождество хъ — 1 = (х — 1) (х2 — 2* cos 72° + 1) (х2 — 2х cos 144° + О- Найти и построить на комплексной плоскости (z) области, которым принадлежат точки z = x-\-iy удовлет- удовлетворяющие указанным условиям. 7. \z — Zi|<4, где z\ = 3 — 5/. (Ответ: внутренность круга радиусом R = 4 с центром в точке z\.) 8. |z + Zil>6, где Z2 = 1—i. (Ответ: внешность круга радиусом /? = 6 с центром в точке —2г.) 9. 1 < \z — i\ <. 3. (Ответ: кольцо между окружностя- окружностями с центром в точке z = i, радиусы которых rt = \, г2 = 30 10. 0< |z-|-'l < 1- (Ответ: внутренность круга радиу- радиусом R = 1 с выколотым центром в точке z= —i.) 11. 0<ReCi2)<2. (Ответ: горизонтальная полоса, заключенная между прямыми у = 0, у = —2/3.) 12. Re(l/z)>a, где а = const, a ? R. (Ответ: если a = 0, то л: > 0 — правая полуплоскость без границы; если а > 0 или a < 0, то получаем точки, лежащие со- соответственно внутри или вне окружности (х— 1/Bа)J-\- 21/D2)) у/()) 13. Re ((z — ai)/(z + at)) = 0, где a = const, a ? R. (От вет: точка z = ai.) 14. Im(tz)<;2. (Ответ: полуплоскость, лежащая левее прямой jc = 2.) ГЗ
8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 8.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пусть на интервале (а; Ь) задана функция f{x). Если F'(x) = = /(*), где х 6 (а; Ь), то функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на интервале (а; Ь). Любые две первообразные данной функции f(x) отличаются друг от друга на произвольную постоянную. Совокупность первообразных F{x)-\-C, где С — произвольная постоянная, функции f(x), x 6 (а; Ь), называется неопределенным интег- интегралом функции f(x): \f{x)dx = F{x) + С. Приведем основные правила интегрирования: \ \ ) \f() \f() f() + , d \f(x)dx = d{F(x) + С) - j{x)dx- 2) \ (/(*) ± <f(x))dx = $ f(x)dx ± \ (p(x) 3) \af(x)dx = a\f(x)dx (a = const); 4) если \f(x)dx = F(x)+ С, то прн условии, что а, Ь — постоянные числа, а ф 0; 5) если \f(x)dx = F(x)+ С и и = ц>(х) — любая дифференцируе- дифференцируемая функция, то $/(«)<*« = F(u) + С. Правильность результата интегрирования проверяется дифферен- дифференцированием найденной первообразной, т. е. {/7(лс)+ С)' = f{x). На основании определения неопределенного интеграла, правил интегрирования и таблицы производных основных элементарных функ- функций можно составить таблицу основных неопределенных интегралов: 1) lu'du^-^j (аф-l); 4) \ e"du = eu + C; 5) \ sin udu ¦= —cos и + С; 6) J cos udu = sin и + С; 14
8) Г du 1_ ) a'-u2 ~ la In 1 и —а u + a C; du = In \u + V«2 ± a2 I + С (а ^ 0); 9) 10) \ dU = arcsin — + С = — arccos — + С (a > 0); ,,) Jf_ltgu+C; J cosJ u 12) • ctg u + C; In •»f C=ln 1 ctgu Г du __ J sin2 u 13)U*-- J sin u ,4)f-f^-=ln J cos u 15)' \ sh udu = ch u + C; 16) Jch «rfu = shu + C; 17)(-^i_ = thu + C; J ch'u Интегралы 1 —18 называются табличными. Отметим, что в приведенной таблице буква и может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию и = ф(х) аргумента х. П 1. Найти неопределенный интеграл \Dх3 — 2д/х2 + \Dх3 -2л]х2 + 2/х3 + \)dx = ¦ + 2- 4 5/3 Пример 2. Найти \ — 2 + х+ С. 1+2х2 . -dx. Х2A+Х2) +X2) ¦dx = dx 1+x2 x2(l+x2) Пример З. Найти \Z'e2xdx. *¦ \ 3xe2'dx = \ Ce2)'dx = Ce2Y In ГЗе2) x2(l+x2) С. dx = 15
Пример 4. Найти \{2x-7fdx. ¦ > \ {2х - Tfdx = -1 \ Bх - 7f • 2rf* - -i- BX ~7)'8 + С = JL X Пример 5. Найти JcosGjc—3)dx. »¦ \ cos G* — 3)dx = 4- S cos Gx - 3)dGx - 3) = 4" sin Gi — 3) + С 4 7 7 Пример 6. Найти \ :—i^^—dx. J 1 ~p X > Г л — arctgx Г x Г \ r— «f Jt = V T- dx — \ ) l+x2 ) l+x2 ) arctgx s dx = l+x2 x) = -i In A + x2) - -i arctg2 Пример 7. Найти J ctg ^ ( * о j f cos 3x , 1 Г cos 3x • 3rfx > ctg ЗхЛс = V . rfx = -^ \ ¦ J sin Зх о J sin d(sin 3x) 1 . . . , „ v ; = — In Ism 3x| + C. sin Зх 3 Для того чтобы в примерах 4—7 применить правило 5, некото- некоторые сомножители подынтегральной функции мы «подводили» под знак дифференциала, после чего использовали подходящий таблич- табличный интеграл. Такое преобразование называется подведением под знак дифференциала. Так, например, для любой дифференцируемой функции /(х) имеем 7^$-dx = Пример 8. Найти \ 5— dx. J 4 + siir x Ssin 2x , Г 2 sin x cos x . Г 2 sin x T~,—^~T~ dx=\ ~r~,—~ dx = \ T~,—7~T~ rf(sln x) = 4 + sin x J 4 + sin x J 4 + sin x = In D + sin2 x) + C. Sx + 2 —r—— dx. x2 + 4x + 5 > \ *~. \". ^ dx=-k\^X, . * } dx= In" 1 f 2j C. Найти указанные интегралы, результаты интегриро- интегрирования проверить дифференцированием. 16
2. \ «>s2*. dx. 4. 5. ¦ dx. cos*' Ax W Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы, результаты интегри- интегрирования проверить дифференцированием. 1. a) J (.3* —л/хТ+ 2 sin х — 3) dx; в) ; В) -dx. 3. a) 6) [ (—jJL= — cos7 x sin x\ dx; в) $ctgC;e — 2)djc. 8.2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого можно достичь путем алгебраических тождественных преобразова- преобразований подынтегральной функции f(x) или подведения части ее множи- множителей под знак дифференциала. 17
Пример 1. Найти \ig3xdx. Пример 2. Найти \ Х "j" x + 5 + 5-2 Г х + З Г х \ p-r- rfx = \ Jx+5 J x+5 dx — Г . f 2 , frf(x + 5) = \dx—\ ——-dx = x — 2 \ ч ' ' = J J*+5 j x+b = x-21n U+5| +C. 4 Пример 3. Найти Л - X? _ Ax + 8 x2-4x + 8 )x2-4x+4- c Для отыскания интегралов вида J sin mx cos nxdx, ] sin mx sin nxdx, J cos m* cos nxdx используют следующие формулы: sin mx cos nx = -^-(sin (m + n)x + sin (m — n)x), sin mx sin nx = —(cos (m — n)x — cos (m -j- n)x), cos mx cos nx = -„-(cos (m — n)x + cos (m + n)x). Пример 4. Найти JcosBa:— 1) cos Cx + 5)rfx. > \ cos Bx — 1) cos Cx + 5)rfx = 4- \ (cos (x + 6) + cos Ex + 4) = ~ ^ cos (x + 6)rf(x + 6) + -1 ^ cos Ex + 4)rfEx + 4) = = -j sin (x + 6) + ij sin Ex + 4) + С 4 При нахождении интегралов вида \ cos"' х sin" xrfx (m, n 6 Z) возможны следующие случаи: 1) одно из чисел т или п — нечетное, например /л = Тогда S cos х sin" xrfx = S cos2* x sin" x cos xdx = = S A — sin2 xJft sin" xd (sin x), 18
т. е. получили интегралы от степенных функций; 2) оба числа тип — четные. Тогда рекомендуется использо- использовать следующие формулы, позволяющие понизить степень тригоно- тригонометрических функций: 2 cos2 ах = 1 + cos 2ах, 2 sin2 ах = 1 — cos2 2ах (а ? R). Пример /элНайти \ cos7 x sin3 xdx. > ) cos7 * sin3 xdx = j cos7 x sin2 x sin xrfx = = —\ cos7 x(l — cos2 x)rf(cos x) = —\ cos7 xrf(cos x) + \ + \ cos9 xrf(cos x) = — — cos8 x + -rz cos10 x+C. -4 Пример 6. Найти \cos2 3xdx. f 9 f 1 + COS 6x dx = If i 6xrfx = -y-x ¦ 1 + 72sin6jH rA С. Пример 7. Найти j 5 — 4x - x2' > Для отыскания данного интеграла в знаменателе подынтеграль- подынтегральной функции выделим полный квадрат. В результате получим dx 5 - Ax - x2 J 9 - (x2 + 4x + 4) d(x + 2) ) - (x + 2J —Lin ~2-3ln х + 2+3 х + 2 —3 1 х + 5 С. Пример 8. Найти > Воспользовавшись правилом деления многочлена на много- многочлен, будем делить числитель подынтегральной функции на ее знамена- знаменатель до получения остатка, степень которого меньше степени знаме- знаменателя. Это позволит представить подынтегральную функцию в виде суммы целого многочлена и некоторой правильной дроби. Выполнив необходимые преобразования, получим f*5+l -dx = АЗ-8.2 Найти данные неопределенные интегралы. " —7x3x2dx. 4. \ cos3 2x sin4 2xdx. 19
5. \ cos2 3x ¦ sin2 Zxdx. 6. \ ctg3 2xdx. 7. С 4—^*- 8- J sin 7* • sin J x2 + 9 J 9 С dx to С rfx ' Jx2 + 6x+13' " Jx2-6x + 7' -dx. 11." \-4—dx. 12. \x +хЛ J ch2 3x J x + 1 Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы. 1. а) \ Sln xdx; б) [ cos 2x • sin \0xdx; J COS X ' ¦> в) Jtg27xdx. 2-а) \x-rtrbdx' 6)Ssi"G— в) i^TT^dx- 1 х -4- ч 3. а) Сф^^; б) Uin3(l- J x2 + 1 J в) " 8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Рассмотрим интеграл вида Г Ах + В ,^dx. (8.1) J x2 + bx + с К ' Если А Ф 0, то из числителя можно выделить слагаемое 2х-\-Ь, равное производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Тогда в результате простых преобразований полудим Ах + В А[ Bx + b) + BB/A-b) АС 2х + Ь dxT) dX) + b + + (B-Ab/2) dx _A dx I x2 + bx + с Для отыскания последнего интеграла выделим в квадратном трехчлене полный квадрат, т. е. представим трехчлен в виде х2 + bx + с = (х + b/2f + c — 62/4 20
и в зависимости от знака выражения с — 62/4 получим один из f du табличных интегралов вида X —5 =. Ja' + a Пример I. Найти W Зх — 2 ¦4х+ 13 -dx. ЗГ " 2) 2х + 4 — 4 — 4/3 2х + 4 4х+ 13 -dx — 8 ' (х + 2J х2 + 4х+13 dx _ 3 2 - 2 Ш \х 131 — Пример 2. Найти Г 5х-7 Ь2 - 8х 4 3 dx. 5 Г " 2 Jx2 8х + 7 5 Г 2х —8 + 8 —.14/5 2*-8 + Г Jx2-2. х2 — 8х + 7 dx 4х+16 —9 2 -In x —4 — 3 — 7 х —4 + 3 С. -4 Замечание. Если в интеграле (8.1) квадратный трехчлен имеет вид ах2 + Ьх + с (а ф 0), то для отыскания этого интеграла коэффициент а в знаменателе выносят за скобки: ах2 + Ьх + с = а\ х2 -I х -J V . \ а а ) Пример 3. Найти \ -—- J —2 3 2х2+ 12*— 10 4х —3 J dx. -2х2+ 12х— 10 Г 2х — 6 + 6 — 3/2 ~) х2 - 6х + 5 dx= — 4х —3 к2 — 6х+5* 2х-6 . dx ' 2 + X-3 2 — x Методы нахождения интеграла вида Ах + В аналогичны рассмотренным выше, однако в результате получаются другие табличные интегралы. При А ф 0 имеем A f 2ах + Ь — Ь + 2Ва/Л , + их + с 2ах+ь + их + с dx 21
dx Тогда при с ф — и а > 0 последний интеграл можно привести к виду du , | г~к 71 _ Jy^ ±^ а при с>-на<0 — к виду Sdu и , _ = arcsm 1- С. V-?2 - «2 9 Пример 4. Найти \ — ' —Л г Зх~ 1 У*2 - 4х + 8 2 \х 4- 8 2 J т/х2 - 4л: + 8 3 f 2* -4 . cf t = Т \ -j==dx - 5\ -7= J Ул:2 — 4л: + 8 J л/С * — — 5 In Пример 5. \ —т^ 4л: + 8 J У(л: - 2J + 4 5 In U —2 + У(л: —2J + 4х — 5 К/гт: — 2 :-(Х-1J Рассмотрим интеграл вида — arcsin— \-С. х, (8.2) где к — целое, к > 0; /г — 4<? < 0. При Л Ф 0 (й=1) по аналогии со случаем (8.1) выделим интеграл А (. ' 2 J (х -f- P^ + <?) 2 — А + 1 Тогда задача отыскания интегралов вида (8.2) сводится к нахождению интеграла dx f dx С du =S; (8.3) где и = х + р/2; а = -\/Dq — р'2) /4; 4q — р2 > 0. 22
Интегралы вида (8.3) находят с помощью рекуррентной формулы понижения степени знаменателя: f du и I „2\k— 1 ~г f 2a2{k- \)(и2 2k-3 Г du K ' Пример 6. Найти \ — ."Л~г"— j -i\ 2-2+10/3 2 _ 3 Г d(x2 + 2х + 5) Г 2 J (л;2 + 2^ + 5J J((x-f 4J ?±i+± У 8 4 х2 ¦ (8.4) Запись = означает, что при переходе к последующим вычисле- вычислениям -использована формула (8.4). (Подобная краткая и удобная за- запись будет встречаться и в дальнейшем.) АЗ-8.3 Найти указанные определенные интегралы. 1. [ ——*? . (Ответ: -I arctg-i±l + С.) ) х2 + Ах + 20 \ 4 s 4 / 2. [ 23х~7 dx. (Ответ: i. In \х2 + х+ 1| - J х2 + х + 1 \ 2 3. j/~2+?^- (Ответ: ±-\п\х2 - 8х + — 9arctg(x 3 л/х2-6х+ 18 5. [ 3x~l .dx. (Ответ: Н- 5 In U — 3 +-\/л:2 — 6л: + 18| +. 23
[ ;8*~" dx. (Ответ: - J V5 + 2x — x2 \ . (Oreer: 2 In |x-f Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы 1. а) С Jx + 9 dx; б) С *~3 2. a) f 2 х~7 dx; б) J^210x + 9 ; Q'\f 7jc + 3 « й\Г 4л: —5 , 3. а) \ J dx; б) \ ~ dx. 8.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ПОДСТАНОВКОЙ) Если функция х = ф@ имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле \f{x)dx всегда можно перейти к новой переменной t no формуле \f(x)dx = \l(,p(t)W(t)dt, ¦ (8.5) затем найти интеграл из правой части формулы (8.5) (если это возможно) и вернуться к исходной переменной х. Такой способ на- нахождения интеграла называется методом замены переменной или ме- методом подстановки. Отметим, что при замене х = ср(/) должно осуществляться взаимно однозначное соответствие между областями D, и Dx определения функций ф(<) и f(x), такое, чтобы функция <р(<) принимала все значения x^Dx (оно обозначается D,-*->-Dx). Пример 1. Найти \x~\x— \йх. ^ Введем новую переменную t no формуле t = "ух — 1. Тогда x = t'2+l, dx = 2tdt, Dt: 0< 1 < с», Dx: 1<х<<», D,+-+Dx и, 24
согласно формуле (8.5), имеем Пример 2. Найти -dx. ^ Воспользуемся подстановкой х = ср(/) = a tg t, где область опре- определения D,: —л/2 < t < л/2 удовлетворяет следующим условиям: Di*->-Dx'. (—со, +оо) и в D, производная <f'{t) непрерывна. Тогда adt dx = и, согласно формуле (8.5), имеем cos t dt = Пример 3. Найти \ -\Ja2 — x^dx. ^ Применим тригонометрическую подстановку * = asin/. Тогда : = acostdt, Dr. — л/2 < / < л/2, Dx: —a^x^a, D,++Dx.u cos idt = а2 \ |cos i\ cos tdt = 2 2 sin 2/ + С = -у- < + ~- sin / cos / + С В полученном выражении перейдем к переменной х, использовав равен- равенства имеем = arcsin— и cos / = "yl—sin21 = "yl—х2/а2. В результате При интегрировании некоторых функций часто целесообразно осу- осуществлять переход к новой переменной с помощью подстановки t = tp(jc), а не х = <р(/). Пример 4. Найти J ~у 1 -)- sin x cos *dx. ^ Применим подстановку 1 + sin x = t. Тогда cos xdx = dt и 25
Пример 5. Найти \e~x'x2dx. > Воспользуемся подстановкой —х3 = t. Тогда имеем —3x2dt = = dt, x2dx = — ~dt и О Пример/Ы Найти J; dx 2х+ 10 > В этом случае целесообразно применить подстановку t = х -f- 1 Тогда х — —— 1, dx= jdt и dx .. Г dt Г J t-Jt~2 + 9 J dt + С.-4 Замечание. Для нахождения неопределенных интегралов мето- методом замены переменной (методом подстановки) предлагается схема вычислений, которая дает возможность компактно и последовательно изложить ход решения задачи. Воспользуемся этой схемой при решении уже рассмотренного примера 3: х = a sin/, Г п> 2 ~ = \ -\]а —<г sin dx = a cos tdt = a2\ |cos/| cos tdt = tdt = a2[ cos2 tdt = a2[ sin2 ta cos tdt =¦ l+cos2/ -dt = С = . X . X t = arcsm —, sin / = -—, • a a = ir'+irsin/cos'+c== cos t = VI —sin't = VI — хЧа Здесь и далее при записи решений примеров, в которых исполь- используются методы замены переменной и интегрирования по частям, все промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями. 26
АЗ-8.4 Найти неопределенные интегралы. dx 1 + У* + з (Ответ (У* + з — in 11 + У*+ з|) + с.) 2. [ x'\[(bx2-2,Idx. (Ответ: iVE/-3I2 + C.) of dx / „ У*2 + а2 , r>\ 3. \ , ( Ответ: v J + C.) 4. f ~V "|" rfjc. (Ответ: 2л/1 +ln x — lnlnj: + J x In л: v v ' . \ dx (Ответ: 2rfi- 4^+4A +Щ + C.) 6. 7. г. ( Ответ: —In — ^2^- (Ответ: 72arcsin-^ 8. \ ??_. (Ответ: С — }. f__?=d*. (Ответ: l(ex-2)^Jex+ 1.) + c.) Ответ: ln Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы. 1 +х х. (Ответ: а) — -^--д/D ~ Зх4K + с~> б) ^л/х* — х + 2. a) \T?=^=dx; б) J У9 — 2.t3 dx 27
(Ответ: а) - -2x3f + С; б) - -I In 3. а) (Ответ: a) — arcsin x.) ; б) -dx. ^(l+cos2 xf + С; б) С —- 8.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле: )udv = uv — ) vdu, (8.6) где и(х), v(x) — непрерывно дифференцируемые функции. Формула (8.6) называется формулой интегрирования по частям. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. Отметим, что в некоторых случаях формулу (8.6) необходимо применять несколько раз. Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функций хк sin ax, xk cos ax, хке", х" In* х, хк ch ax, a^x sin ax, apx cos ax, arcsin*, arctg* и т. д., где п, k — целые положительные постоянные, а, р ? R, а также для отыска- отыскания некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригоно- тригонометрические и логарифмические функции. Пример 1. Найти )xe~2xdx. > Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим 1 и = х, dv = е dx. Тогда du = dx, v = \ е xdx = —jr-i С (всегда можно считать, что С = 0). Следовательно, по формуле (8.6) имеем (8.6) — \ тге dx = Пример 2. Найти \(х2 + 2х) cos~2xdx. * \(х2 + 2х) cos 2xdx = и ~ х2 + 2х, du = Bх + 2) dx, dv = cos 2xdx, v = \ cos 2xdx = -=- sin 2x (8-6) 1 Г = — (x2 + 2x) sin 2x— \ (x+ 1) sin 2xdx = и = x-\-1, du = dx, dv = sin 2xdx, V = rr COS 2x (8.6) 28
= -1(^2 + 2x) sin 2x — ( — (x + 1)-^- cos 2x + V^ cos 2xdx\ = 4-(*2 + 2x) sin 2x + -i-(x + 1) cos 2x + -j sin 2x + С 4 Пример 3. Найти \х arctg xdx. arctg xdx = и = arctg x, du = dx Л+Х2 dv = xdx, v = x2 1 f x2dx = -к- arctg x -\ z = __ arctg x-—\rf*+ — 1 1 g-j;+-y arctg 1 f *2+l-l 14-*2 dx dx = Пример 4. Найти )e2x sin ^ \e2x sin xd* = и = sin x, du = cos . dy = e2xdx, v = — e =-ye2* sin x — -Л e cos xdx = u = cos x, du = — sin xdx, dv = e2xdx, v = -„-e2" 1 2, • 1/1 j, f U. Л = -т-е sinjr —д-i -p-e cos x — \—д-е sin ^dx I = 1 2, sin x Te cos . 4 -~r\ e2" s'n Перенеся последний интеграл в левую часть равенства, получим 3 f 2х . 1 ь . 12;[ , 3 _ -j-\ е sin л:йл: = -я-е Sin л: Те cos х "Г" X Следовательно, Se2'sin 2 1 = -5-е2* sin л: g-e2jr cos л: + С. <3 о Пример 5. Найти )х2 In2 xdx. \x2\n2xdx = u = In x, du = 2 In x • — dx, x dv = x2dx, v = r*/3 r3 9 f I v3 9 f 3 3 J x 3 3 J u ^ In x, du = d*/. In *dx = 29
Найти данные неопределенные интегралы. 1. •$ дс cos Ъхйх. (Ответ: -Lx sjn Зх +-I cos Зх + С.) 2. J arccos xrfx. (Oreer: х arccos х~л[Г^х~2+ С) 3. J (х2 - 2х + 5)e-*rfx. (Ответ: —в"* (х2 + 5) + С.) 4. J In2 xrfx. (Ответ: х In2 х — 2х In х + 2х + С.) 6.\x3e-*2dx. (Ответ-.- - i- е~*\х2 + 1) + С Л 7. J e^dx. (Огвег: 2е^(л/1_ 1) + С.) 8. ^ sin (In x) rfx. ( Ответ: -?. (sin In х — cos In x) + С.) Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы. 1. a) \-^-dx; б) в) J х arcsin xdx. 2. a) $xelu+ldx; б) $1пA+х2)^; в) $xcos(x/2+l)dx. 3. a) Jln(x-3)rfx; б) ^ х cos Bx- в) \ х • 2Zxdx. 8.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отноше- отношению двух многочленов: 30
где т, п — целые положительные числа; 6„ О; 6 R; i = 0, m, j = О, п, Если т <. п, то R(x) называется правильной дробью, если т ^ л,— неправильной дробью. Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знамена- знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и пра- правильной дроби: где Мп^т(х), Qi(x)—многочлены; ^ . - — правильная, дробь; 1<п. Например, -; — неправильная дробь. Разделив ее числи- хг + Зл; — 1 тель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим *4 + 4- = ^-з,+ ю+ Т33*+14 . 1 ' ' ..2 i о.. 1 Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать функции R(x) при условии т <. п. Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четы- четырех типов: 2) -1-; 2) НЧ=; х — а (х — а) Mx+N ' Mx + N ; 4) ' 2 \ \ ' f X + рх + q (, где А, а, М, N, p, q — постоянные числа; ft — целое, ft 2э= 2; р2 — 4<? < 0. Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко: \ —^— dx = A In \x — а\ + С, J х — а АС А jrfx = А \ (х — a)~kdx = ^-j 1- С. Методика нахождения интегралов от простейших дробей третьего и четвертого типов рассмотрена в § 8.4. Таким образом, всякая простей- простейшая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементар- элементарных функциях. Известно, что всякий многочлен Рп{х) с действительными коэффи- коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде Рп(х) = ао{х — а,)*1 -(х - ар)*'(х2 + р,х + + «?,)"...(*2 + ps* + ,,)'-, . (8.8) где ai, ..., ар — действительные корнн многочлена Рп(х) кратностей k,, ..., ftp, а p?-4?v<0 (? = 77~s); ft, + ... + ftp + 2/, + ... + 2ts = n; числа ftj, ..., ftp, Л, ..., ts — целые неотрицательные. Тогда верна Теорема (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь (8.7) со знаменателем, представленным в виде (8.8), можно разложить в сумму простейших 31
рациональных дробей типа 1—4. В данном разложении каждому корню аг кратности k, (/-=1, р) многочлена Р«{х) (множителю (х — &r)k') соответствует сумма k, дробей вида Ах Аг А/, Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности ty многочлена Р„(х) (множителю (х2 + р?х + <?-,)'') соответствует сумма ty элементарных дробей MiX-\-Ni Mгх -f Ni M,,x-\-Nt —5 Г7~о «-г-.-тт^о : г- (°-'") х + рух + <?v \х + Рчх + <7т) \х + Pvx + 9т) Для вычисления значений1 А, М, N в разложении функции. A!(jt) на сумму простейшнх рациональных дробей часто используют метод не- неопределенных коэффициентов, суть которого заключается в следующем. С учетом формул (8.9), (8.10) данную дробь R(x) представим в виде суммы простейших рациональных дробей С неопределенными коэффи- коэффициентами А, М, N. Полученное равенство является тождеством. Поэтому, если привести все дроби к общему знаменателю Я„(х) в числителе получим многочлен Q*_,(x) степени п—1, тождественно равный многочлену Qn{x), стоящему в числителе выражения (8.7). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в этих многочленах, получим систему п уравнений для определения п неизвестных коэффициентов А, М, N (с индексами). В некоторых случаях с целью упрощення вычислений можно восполь- воспользоваться следующим соображением. Так как многочлены Qm(x) и Q*-i(x) тождественно равны, то их значения равны при любых числовых значениях х. Придавая х конкретные числовые значения получаем систему уравнений для определения коэффициентов. Такой метод на- нахождения неизвестных коэффициентов называется методом частных значений. Если значения х совпадают с действительными корнями зна- знаменателя, получаем уравнение с одним неизвестным коэффициентом. Пример 1. Найти > В соответствии с формулой (8.9) разложение на элементарные дроби имеет вид 2х-г ,(89)Г/л , в , с \,. Если привести дроби нз данного разложения к общему знамена- знаменателю, то он совпадет со знаменателем исходной подынтегральной функции, а числители подынтегральных функций в левой и правой частях формулы A) будут тождественно равными, т. е. 2х — 3 = А(х — 1) (х — 2) + Вх(х — 2) + С(х — 1)х. B) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества B), получаем систему уравнений х1 0 = А + В + С, х1 2 = —ЗЛ — 2В — С, х° -3= 2Л, решение которой: А = —3/2, В—\, С= 1/2. Теперь найдем коэффициенты разложения методом частных зна- значений. Подставим в тождество B) вместо х частные значения, равные корням знаменателя ai = 0, аг=1, аз = 2. Получим равенства —3 = 32 )
= 2Л, — 1 = —В, 1=2С, откуда следует, что Л = —3/2, В=1, С=1/2. Подставив в равенство A) найденные значения коэффи- коэффициентов, окончательно имеем \ х(х-\)(х-2) dX==)(—^ + Т^ = --|lnU| + ln|*-l| +i-lnU-2| + С*, где С* — произвольная постоянная интегрирования. -^ Пример 2. Найти \ {х _ ** + у . > На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей имеем xdx М Г / А В С {x-\)(x+\f )\x-l + (x+lf + (x+ Приведя дроби в обеих частях последнего равенства к общему знаменателю, имеем x = A(x+lf + B(x-l)+C(x2-l). A) При х = 1 и х = — 1 находим, что АА = 1, — 1 = —26, т. е. А = = 1/4, В =1/2. Для вычисления значения С приравняем в тождестве A) коэффи- коэффициенты при х1. Получим 0 = Л -f- С, т. е. С== —1/4. Окончательно имеем 1/4 Г 1/2 -¦!¦¦» Примерр) Найти \ 9 2 д; + 1 С*. > Согласно формулам (8.9), (8.10), разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей; выполнив приведение к общему QUdXiiouaToniQ ПОЛУ11*'1*'1 фу уу р знаменателю, получим xdx Следовательно, х = Л(х2 + 1) + (М* + ЛО (х — 1). При х = 1 получаем 1 = 2А, т. е. Л = 1/2. Далее, д-2 I Л + М = 0,' х, [ Л — N = 0, откуда М = — Г/2, N = i/2. 2—2968 33
Окончательно имеем xdx Пример 4. Найти J(x) + 2х2 + Ъх > В данном случае подынтегральная функция является непра- неправильной дробью. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь: *< + Зх2-5 =^2+2*2+10*-5 х3 + 2х2 + 5х х3 + 2х2 + 5х ' Следовательно, с учетом формул (8.9) и (8.10) Юх —5 , (х — 2J ¦ dx == i^ ! + 2х + 5) 2 Приведя к общему знаменателю дроби в последнем интеграле н приравняв числители подынтегральных дробей в левой и правой частях записанного равенства, получим 2хг + Юх - 5 = А (х2 + 2х + 5) + Мх2 + Nx. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем: ,.2 X' хх х° — 5 = ЪА, откуда A = —\,M = Z,N=\2. Окончательно получаем 1{х)= 2 , . , 3 Г 2х + 2 + 6 (х-2): 2i v^ Л 9 v Л- ^ 9 J X -\- АХ -\- О Z 2* + 2 ... , „Г dx _ [x-2f + -| In U2 + 2x + 5| + -| arctg itl + С 4 A3-8.6 Найти данные неопределенные интегралы. 1. [ х~4 dx. (Ответ: In {x~2f + С.) Jx2-5x + 6 V U-3| ¦ / 34
2. ( *5 + *4'8 dx. (Ответ: *- + *- + 4 + J Х3-4х \ 3 2 ln x2(x — 2M 3. [ *3+l dx. (Ответ: J Л Л \ - + In (x~1J x \x\ + C.) ) A.\ — J (x- 2 dx. f 1)(д:3-4д:2 + 3х) \ x-\ ui 5. С Bx2-3x-3)rfx / j J (x-l)(x2-2x + 5) \ "V{x2-- 2x + 5K |x-l| + Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы. I. a* f •" (Ответ: а). — In 12 (x - 1) (x + 3K 2. М^ (х + 2 с —91 4) C; 6) In к I dx (Ответ: a) In ln 3)(х-4) """" ""' J x(x+ 1J + С; б) г+1 ¦С/ 3. a) (x + 3O ; 6) х+1 13) 35
(Ответ: a) In , , ' + С, б) In х — + V Ul V^2 + 6x+l3 8.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Не для всякой иррациональной функции можно найти первооб- первообразную в виде элементарной функции Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определен- определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной. Интеграл вида Г где R — рациональная функция, а, Ь, с, d — постоянные, г,-, s, — целые положительные числа, /=1, v, приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной и с помощью подстановки ax + b __ m cx + d ~U (здесь число m — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей —, .., —- т е m = НОК (-si, .., sv). S, Sv В частности, интеграл вида \R{x, х""\ .., xr'/s')dx приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной и с помощью подстановки х = и Пример 1. Найти Так как НОКB, 4) = 4, то h -\Jxdx ~{x~dx X = U dx == 4u3du = 4 \ —; u3du = 4 \ -— — = 4 \ I u3 = 1 du = — u3 — поскольку и — ~\]x -^ Пример 2. Найти \- 36
Так как НОКB, 3, 6) = 6, то Интегрирование некоторых функций, рационально зависящих от -\Jax2 +j>x + с, описано в § 8.3, 8.4. Рассмотрим интеграл вида Pn{x)dx J л/ах2 + Ьх + с где Я„(х) — многочлен степени п. Оказывается, что данный интеграл всегда можно представить в виде 8.11) где X?R; Qn_i(x) — многочлен степени п — 1 *с неопределенными коэффициентами, которые находят следующим, образом. Дифферен- Дифференцируем равенство (8.11), в результате получаем тождество, из кото- которого определяем коэффициенты многочлена Qn~i(x) и число X. f х4 + 4х2 Пример 3. Найти \— dx. Согласно формуле (8.11), имеем х4 + 4х2 . г + 4 Продифференцируем последнее равенство. Получим х + 4х __ (г^Дх2 _)_ 2Вх + С) л!х2 + 4 + -\jx2 + 4 . . 1 + (Лх3 + Вх2 + Сх + ?>)- A) ! + 4 л/*2 + 4 Умножим обе части равенства A) на ~ух2 + 4. Тогда х4 + 4х! = (ЗЛхг + 2Вх+С) (х2 + 4) + (Лх3 + Дх2 -f Сх + D)x + X. 37
Воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов, полу- получим систему уравнений = ЗА+А, = 2В + В, 4= 12А + С+ В, О = АВ + D, х° х2 решение которой: А = 1/4, В = О, С= 1/2, D = 0, к= —2. Следовательно, х2 + 4 - 2 In |х + л/х' + 4 | + С*. -4 Интеграл от дифференциального бинома где а, Ь — постоянные, отличные от нуля, т, п, р — рациональные числа, можно привести к интегралу от рациональной функции с по- помощью подстановок Чебышева в следующих трех случаях: 1) если р — целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций; 2) если (т + 1)/п — целое число, то применяется подстановка а + Ьх" = и5, р = r/s, s > 0; 3) если (т-\-\)/п-\-р — целое число, то используется подста- подстановка a -f- bx" = и'х". Пример 4. Найти \ J г7- + *4 > Так как т =—7, п = 4, р = —1/2, то (т+1)/п+р = = —3/2—1/2=—2—целое число. Имеем третий случай интегри- интегрируемости дифференциального бинома. Тогда ЛЗ-8.7 Найти данные неопределенные интегралы. dx ^ ( Ответ: 41п|Зд/^+4| + С.) 1. 2. -II +С.) 38 (Отеег:
3. (Ответ: A-(±-J3x + 4 — \ о \ 2 2^3* + 4 + 4 In (-^3* + 4 + 21)) + С.) 4. С rf* (Oreer: 4A^+7л/х + 49 In J л/г — ?\7* \ \ 2 5. аЛ. (Ответ: In ( х х \ +х — Vl — 2arctg- 6. l+. . (Ответ: 1^( 1 + д:3)8 - Самостоятельная работа Найти неопределенные интегралы. 1. а) \-JL_rfx; б) \ ¦ COreer: a) -if^/r5 — In (-\/^3 + l)) + C; 2. а) Г i*-J&dx. б) Г 4xdx (Oreer; a) I-V^-JI'- С; б) Зд/д:+ 1 -4(*+ 1) + 3. a) б» — 8J — 2д/3х —8+ 4 : a) 6(-^- 6) i-^/Cx-8L+|Cx- 39
8.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Интегралы вида \R(cosx, sin x)dx, (8.12) где R — рациональная функция, приводятся к интегралам от рацио- рациональных функций новой переменной и с помощью универсальной под- X становки tg — = и. В этом случае cosx = lz^!, sinJC = _*i_ dx = JE!L- (8.13) l+u2 l+u2 l + u2 K (см. § 8.6). Г dx Пример 1. Найти \- . J 1 + sin x + cos x > Полагаем tg -~- = и. Тогда, согласно равенствам (8.13), f dx _ — [ 2du/(\ + tr) _ f du _ -sinx + cosx J I I 2u 1—к2 ) l + u ~~l i ~ ~~t 2~ = ln |1 + u| +C=ln 2 ¦¦*¦ В случае, когда имеет место тождество R( — cos х, —sin x) = R(cos x, sin x), для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощенную подстановку tg x = и. При этом -, cosx=—p=, dx=T-T^. (8.14) Пример 2. Найти \ - J 3 + sin x > Положив tgx = u, согласно формуле (8.14), получим du С dx _C du/{l + u2) j3 + sin2x J 3 + u2/(l +u2)~" = arctg^+c=arctg^ 2V3 V3 2д/3 V3 Пример З. Найти Jtg52xdx. > Применим подстановку tg 2x = и. Тогда:
При нахождении интегралов вида \ /(cos x) sin xdx и \ /(sin х) cos xdx целесообразно применять подстановки cos х = I и sin х = t соответственно. " ' 3 х Пример 4. Найти \ —'—- J cos4 х > Положим, cos x = t, тогда f sin3 x Г \ —г- dx = \ J cos' x J — COS" X sin xdx = COS X 1 Пример 5. Найти / COS X COS X cos 2xdx = f + 3 sin 2xf Положим, 2 + 3 sin 2x = l3. Тогда cos 2xdx = — t2dt и \> (8.15) (8.16) ЛЗ-3.3 Найти данные неопределенные интегралы. 1. ^-^ . fOTfier: 4-In 3 + 5 cos x \ 4 I. [ 5—^ —. fOreer: J 3 sin" x + 5 cos" x \ 3. dx i — 4 sin x + 7 cos jt ' \ . ( Ответ: In 4. \ cos3 x sin10 xdx. (Огает: co^ x - 13 5. dx sin x + 3 sin x cos x + cos 41
Ответ: In 2 tg x + 3 + V3 6. f sin4 Sxdx. f Ответ: |- л: — -L sin 6л: + gg sin 12л: + С.) 7. cos2 x — sin2 x . (Ответ: ± In \ 4 ( 1 — tg л: + — Sin X COS X'-\- C.\ J cosxsmJA; . (Ответ: ln|tg*|-_ \ 2 si 2 sin л: Самостоятельная работа енны ; б) W-5sinx • (Ответ: a) -i cos5/3a: —3 cos~1/3a: +С; Найти неопределенные интегралы 1. a) f six J- *ч f dx 2. a] cos 2x ¦ dx; 6) sin xrfx V3 + 4 sin 2x ' ' J sin. (Ответ: a) i--^3 + 4 sin 2x + С; б) - 3. a) sin 3xdx "VC + 2 cos 3xJ 1 6) f si^f ' J 1+cos2. ( Ответ: a) — -\/з + 2 cos Зх + С; 6) V2arctg(il^)-x + V Л/2 / 42
8.9. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 8 ИДЗ-8.1 Найти неопределенные интегралы (в заданиях 1—5 результаты интегрирования проверить дифференциро- дифференцированием). I.I. y + ^-^dx. 1.2. \2x + lf~l dx. 1.3. \^~-г ~dx- !A 1.5. \ ——^ dx. 1.6. J x 4 j 1.7. UA[x'-^t + b\dx. 1.8. 1.9. j^-f+^x. 1.10. 1.11. ^~5/ + 3dx. 1.12. ^x^--L+l)dx. i.\3.\(x2^-3\dx. 1.14. 1.15. 1.17. U2x3-3^/xb + ^)dx. 1.18 1.19. p*2-V*3 + 7^ L20 1.21. 43
1.25. 1.26. 1.30. -\Jx \dx. 44
31' $fe 3.2. J^. 3.3. 2-Зх' 3 4 \ ил 3 5 \ ах 3 6 [ dx : —4 : — 2' 3.13. f_*L-. 3.14. f_^_. 3.15. J 5 3x J 4 I 15 —Эх" .14-7*' J5x^3- 3.16. \^V. 3.17. \^V. 3.18. f *L-. J й — UX 3.22. (-p^-. 3.23. 5t4V- 3-24- (o J 1 - 7x J 1 + 6x J 2 3.25. [T^r. 3.26. f^-^r-. 3.27. f- J ' — ** J5 — 2-х J2 3 28 ° on ° ол + 5x dx + 7x' rfx 6x+ 1 4.1. \sinB — 3x)dx. 4.2. \ sin C — 2x)dx. 4.3. j sin E — 3x)dx. 4.4. J cos B + 3x)dx. 4.5. J cos C' + 2x)dx. 4.6. j sin D - 2x)dx. 4.7. \ cos E — 2л:)dv. 4.8. \ cos Gл: + 3)йл:. 4.9. I sin (8л- — 3)dx. 4.10. ( sin C + 4x)dx. 4.11. J sin C — Ax)dx. 4.12. J cos Dл: + 4.13. J cos C — 4x)dx. 4.14. \ cos B + 4.15. jjcosCjc + 5)dje. 4.16. \ sin Ex — 3)dx. 4.17. J sin E - 3x)dx. 4.18. \ sin (Зл: + 6)rf*. 4.19. \ cos Eл- — 8)dx. 4.20. ( cos (Зл: — 7)dx. 4.21. J cos Eл- - 6)dx. 4.22. j sin Gx +\)dx. 4.23. J cos Gл- + 3)dx. 4.24. jj sin G — 4л-)йл:. 4.25. \ cos (Зл- — 7) Ле. 4.26. J sin (8x — 5)dx. 4.27. J cos (8л- — A)dx. 4.28. \ sin (9л: — 1)йл:. 4.29. )J cos A0* — 3)dx. 4.30. ( sin (9л: + 7)dx 45
5.1. 5.4. 5.7. 5.10. Шх dx 9x2-3 9dx фх2 - 3 3dx Фх2 -'4 dx 5.16. [ 5.19. 5.22. 5.25. 5.28. dx -f 1 Hrfx 2x2-7 dx 4x2 + 3 dx [ dx 8x2 5.5. \—t J -л/з — '9x2 + 3 dx 5.8. J , f ^ . 5.11. ( 3 -,/з-Б,-2 3 rfx rfx 5.14. f 5.17. 5.20. 5.23. /5x2 + 3 dx dx '3xTTi dx 8x2 + i ^rfx f fx . 5.29. (- 3 4x2 + 7 J 53 С dx 3 9x2 + 3" 5.6. [ d2x . 3 7*2-4 dx 5.12. 5.15. 5.18. 5.21. 5.24. dx 2x2 + 7 - 2x2 3x2-2 д/з - 4x2 5.27. ( fx . 3 8x2-9 2dx 5.30. J4x2 - 3 6.1. 6.4. 6.7. fi 10 s- Y. V. [ 2xdx д/5 - 4x2 4xrfx V3 - 4x2 ' xrfx V9 - 8x2 ' 2xrfx ¦2x2 6.2. 6.5. J 6.8. ,-3x2 2xrfx /8x2 - 9 i- J3x2 - 2 6.П. \^T. 6.!2. J .6.3. 6.6.5 6.9. 6 J- 4x2 + 1 4xrfx V4^2 + 2xrfx УЗх2 - 2 xrfx 3x2 + 8 46
6.13. [ 2xdx . ) Зх2 - 7 6.16. 6.19. {¦ xdx 2x2 + 9 bxdx 2 + 3 6.22. { 5xdx J 5x2 - 3 ' 3xdx 6.25. 6.28. 7.1. 5x2-3 5x2 7.7. {—?_. i 2x -I- 9 7.10. [ dx . J 5x2-4 7.13. 7.16. 7.19. 7.22. [ 7.25. [ dx 6x' - 7 rfx ' 6x2+l dx 2-3x2 rfx 2 + 2 dx 6.14. ( 6.!7. \^ + 5 5x2 6.20. 6.23. 6.26. 6.29. [ xdx . J 3x2-2 7.2. 7.5. 7.8. !¦ 2a2-5 2x2 + 3 dx /9~2x2 7.11. 7. Г rfx J 3x2-7 ' 14. f f , J 7x2 + 6 ,..7. J 7.20. rfx '5x2 - dx 7.23. (—i 3 2x2 7.26. -3? dx dx - 9 6.15. 6.18. 6.21. 6.24. 6.27. 6.30. 7.3. " 7.6. xdx + 8 xdx 3xrfx 7xdx 7x2 + 1 7.12 7.15. 2,. J 7.21. J -, \- c •J J- f. dx /5x2 + dx /9x2 + rfx 3x2 + dx dx ¦3 . 1 2 7 3x2 ( dx J 4x2-3 - 7.27. dx 47
7.28. dx 8.1. J e2x~7dx. 8.4. \e2x+idx. 8.7. J e5jc+7dx. 8.10. $ e1Oj:+2d;t:. 8.13. $ e4jt+5d;e. 8.16. \e4~3xdx. Э2~Ъхп „2-6xr 8.22. j e2~bxdx, 8.25. J e*-5xdx. 8.28. e2x +3dx. 7.29. 8.2. 'J e3+5j:djc. 8.5. \ elx-2dx. « 8.8. 5е7^л:. 8.11. \e2x-[0dx. 8.14. Je^-'djc. 8.17. \e3~5xdx. 8.20. $ e6x~4dx. 8.23. S e2-4xofA:. 8.26. S е5"^л:. 8.29. \eBx+ldx. 7.30. Г dx J 3x2-: 9.3. dx Bx+l)Vln2Bx+l) rfx dx. dx 9.2. ..4. t_ J м — dx A -х)д/1п3A —x) 9.6. J>B«-!) 9.8. 9.10. 9.12. J 9.14. 9.16. 2x- 1 dx Vln2(x+1) x+1 rfx. rfx 48
9.17. [JsUSi+Rdx. 9.18. f dJL J . 3x + 1 J (x - 3) In4 9.19. . 9.21. (x + 5)ln3(x + 5) dx. 9.20. x + 4 Vin3(x + 3) 9.23. [ v"'7 ' "' dx. J x+3 9.25. 9.27. [ 9.29. f- dx (x+3) in4 (x + 3) n3 (x + 6) x + 6 dx. x + 9 10.1. t sin4 2* cos 10.3. (x-3) dx. 9.24. 9.26. (x - 5) x —5 dx. f In5(x- 3 x-i ¦ dx. 9.28. f d± . J (x - 4) In5 {x - 4) 9,30. 10 10.2. Scos 2x 2x -10.4. [-2±L /cosx 10.6. \ cos7 2л: sin 10.8. [ cosxdx . J 3 — sin x 10.10. sin xdx 10.12. f 5'п,3д: dx. J cos 10 ..4.J cos23x cos 4x sin3 4x dx. 10.15. \ sin3 4л- cos 4xdx. 10.16. J ^/cos 2л: sin 2л-^х. 10.17. tVcos32A:sin2A-dA-. 10.18. f sin 4x dr. J ^/cos 4x 10.19. \ sin3 5л- cos bxdx. 10.20. ( ^os 5* dr 4»
10.21. 21. [ sin4 J cos4 5* 5x dx. 10.23. \ sin6 2>x cos 10.22. J -д/cos 7л: sin 10.24. [ COS76* J sin 6x 10.25. \-yJcos32x sin 2xdx. 10.26. $ sin4 8л: cos 8xdx. 10.27. \ sin5 Ax cos 4xdx. 10.28. 10.29. С sin2* dx. i/cos4 2л- 10.30. sin 4л: л/cos 4x sin 6x dx. 11.1. 11.3. 11.5. J 11.7. 11.9. 11.11. ¦ dx. sin x ctg x tg34x cos2 4x dx. 3x /ctg 3x 11.13 ctg5 6x sin2 6л- 11.15. [ct^x dx. sin 3x 11.17. rfx 11.19. [- J si 11.21. [ sin2 3x ctg3 3x dx sin2 x ctg3 л: ctg5 4л: sin 4x -dx. 11.2. 11.4. [«? J sin2 dx COS' ctg5 2x 11.6. П.8. 22x 5x cos2 5x dx. rfx sin2 x ctg3x 11.10.1 MVX dx. 11.12. 11.14. 11 .16. [ sin2 7x tg47x cos2 7x cos 4x cos2 4л: "ytg 4л: 11.18. 11.20. 11.22. cos 6x sin 4x cos2 7x ¦ dx.. 50
11.23. 11.25. h W_3x_ cos2 3x dx dx. 11.27. J 11.29. sin2 x~yctg4 x dx. cos2 2a; 5/"T~2 Л/ctg2x dx. 11.24. 11.26. /ctg3 5л: . „ rf*. sin11 5x dx ' 11.28. 11.30. rj/c J si 'ctg5 x dx. tg73* cos2 3x dx. 12 12.11. f arccos3 2x 12.13. Г arccos 4x J Vl - 16x2 12.15. 12.19. ^arctg^^. J -1+*2 12.2. [.^агЫпх dx. /1-АГ2 arccos tg3 2x 1 +4at2 dx dx. 12.4. J 12.6. [ . . J (l+AT2)arctg3A: 12.8. [УЩ±ах. 12.10. f ^ ^ v' —^ arcsin4 a: 12.12. (arcctg7f d^. J 1 + 9*2 12.14. j\-x2 . \arcsl" zxdx.: 12.16. V - JVT^4? JO +**) . arctg7 a; 12.18. 12.20. [ dx (l+AT2)-VarctgAT 51
12.21. dx x2)arctg5*' dx. 12 22 f arccos7 xdx 12.24. f "cctg^ 5x J 1 + 25x2 12.28. 12.30. 1 + 64x2 ^ 13-2. 13.3. 13.4. $ecos* si 13.6. f iillirf*. 13.8. J e"*\dx. 13.10. 13.12. 13.14. 13.16. cos-1 13.18. \e4sinx-[ cos xdx. 13.20. \ e'-^'xdx. 13.22. " 13.24. 13.26. 13.28. ' + 3- Je*3+>" lo.5. \ €r X uX. 13.7. \ e7x'+2xdx. 13.9. \ 13.11. 13.13. 13.15. 13.17. 13.19. 13.21. 13.23. \el~6x'xdx. 13.25. 13.27. [ x*dx . 13.29. [^-. 13.30. e*~s 52
14.1. J X— 1 7a;2+ 4 dx. 14.3. \ 2x+ ' dx. l 5a;2 + 1 14.5. \^f±dx. J 2a;2 + 7 3jc2 + 1 dx. 14.7. [ 14.9. 1411 14.13. {ii±irfjc. J 5a;2 + 2 14.15. ,4.17. ! —4a;" at2+ 9 -dx. 14.19. \ '~2* dx. 14.21. J 14.23. 14.25. д/За;2 + 2 2a; —3 d*. i/4-a;2 5 — 2a;2 14.27. 14.29. C- 8 —4a;2 3a;+ 2 ^2a;2 - 1 dx. 14 \'—2х 14-2- S^r 14.4. p + 3 14.6. \ 14.8. J rfjc. rrfjC. V*2 + 4 5 —jc 3x2+l 2a;-5 Vx2 + з dx. dx. 14.10.(-^^ J Здг2 + 1 14.12. C|?: 14.14. J dx. 14.18. djc. 4a;'+ 1 14.16. [b=\dx. J 4-х* 2x +5 V5a;2 + 1 14.20. Р2х-4^: 14.22. ( 2x~' //r J -\fc —: S 14.24. С /5 - За;2 За; —3 dx. 14.26. jl^^. 14.28. у 14.36. С * JV4 а;—5 -9а;2
Решение типового варианта Найти неопределенные интегралы (в заданиях 1—5 результаты интегрирования проверить дифференциро- дифференцированием). ^ Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель и использовав второе и третье правила инте- интегрирования, а также таблицу основных неопределенных интегралов, получим 3 - 2*« + №d 79~ ' \1 Проверим полученный результат: Выполним проверку результата: = D —8х)/5. 54
Проверим полученный результат: 4. fcosB — bx)dx. > ) cos B — 5*)d* = — i- sin B - 5x) + C. Выполним проверку результата: —± sin B - Ъх) + <}Y = —i- cos B - 5jc) ( —5) = = cosB — bx). -4 3dx Проверим полученный результат: 2 Bx + л/4х2 — 3)У4*2 — 3 Ixdx ix2 + 4 > Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя: 55
9. 2) + 2 = Г J 10 sin 6x — ±-[ (sin Зл: - 4)-'/5uf(sin 3x — 4) = о J — 4) 4/5 "S- J SII dx --¦vj —L-dx smJ 4x ) = 1 + 4x4 3 3/ = -f"Vctg4^+C < -dx. 2x = _ i Г 5/3 2x/_ 2 J & V l+4x2 J l+4x2 ¦ 2 J = -i-f arcctg5/3 2xd(arcctg 2л:) = -i-|- arcctg8/3 2л: + /3. f e3ccs,[+2sin д-^^ _i.f e3™^ + 56
14 [3x+i ¦ ' )бх2- б*2-4 \2xdx = ± In |6*2- : —2 ИДЗ-8.2 Найти неопределенные интегралы. 1.1. (Ответ: 1.2. (Ответ: 3 arcsin х + 5д/1 — х2 + С.) j 3 f 8 — 13* (Oreer: 8 In | x+sjx2-\ \ — 1-4. —1 + C.) (Ответ: -iln |2^2-1| +^1п 1.5. К^~ у/2 —jc2 (Ответ: —л/2 — х2 — 2 arcsin 1.6. J л/1 — - (Ответ: -| arcsin 2*+ -1^1 — 4x2 + СЛ 57
1.7. С5* dr. J -\Ьг2 4- I (Ответ: -4= In |->/2x + л/2х2 + 11 — i- ^ V2 2 + СЛ 1.8. у/2-х2 (Ответ: arcsin———V2 —. dx. 2x2 Ответ: i- In 12*2 + 11 + ф arctg ф.х + С.) l.ld. [ x~b\dx. J 1 + 2bx2 ¦: .1 arctg bx —^ In 11 + 25x2| + C.\ 111 \ 2±H^dx -. /o — /o., о + c (Ответ: — In 1.12. {Ответ: Ъ-^х2 - 6 + In | jc +Vx2-6| + C.) 1.13. rfjg. 9дг2 + 7 : ± in |9^2 + 7| - -L arctg^ + C.) V7 V7 y ± 1.14. С 5~3^ rfr. J -./4 _ Зл:2 arcsin 58
1.15. [ 4~2* dx. J -v/l —' 4x2 (Ответ: 2 arcsin 2x + -i--\/1 — 4л:2 + С Л 1.16. С 5~*af;t. _'ln|2 + *2| + arctg^ д/2 д/2 1.17. (Ответ: ~ In 3jc dx.- +4x2| +A 1.18. [ 5~4x dx. J^l-x2 (Ответ: 5 arcsin л: + 4~\j\ — х2 + С.) 5х — 1 . 1.19. —3 (Ответ: 5д/х2 — 3 — In | дг +-д/л:2 —3| + С.) 1.20. 4jc2 — 1 (Ответ: — In V 4 1.21. 2лг —I In |4x2-l 2 3 — 2x2 : — J-ln |3 — 4 In -) 1.22. 2д/б" J2x - л/3 (Ответ: —-\J9 — x2 + 4 arcsin — + \ з 1.23. С 2f ~ 7 ^. J дг — 5 : In |лг2 —5| —-^- In дг+л/5 С .) 59
1.24. <Jx2-l dx. (Ответ: 7л/'х2 — 1 — 2 1п | *+л/л:2-11 + С.) + Зл/^Tl + С.) 1.25. [±t*Ldx. (Ответ: In 1.26. (: ' In |x2 + 7| -A arctg ^ V 2 уГ л/7 1.27. : 3 arctg x — ^ In |1 +л:2| + С.) arctg л/3* -^ ln 11 + 3*2 i + c) 1.29. (Ответ: Зл/л;2 + 4 + 7 ln 1.30. j 2x~' ^r /3*2 - 4 (Ответ: 4-л/Зх2 — 4 U In С.) -4| + ы. J "f+3cos2x~'v" : —i-ln |1 +3cos2a:| + C.\ 2.2. : —iln |1 -x*\ + C.) 60
г-3- И >in3* dx. cos Зх (Ответ: 4-In |3 — cos Зл:| + С.) 2.4. U' J2e* 2 л \ e'dx + 3 1 (Ответ:-! In |2e* + 3| + С.) 2.5. С s[n2x dx. J cos jr — 4 (Ответ: — In |cos2x — 4| + C.) 2.6. f e'dx . J 4 - 3ex f Ответ: — i- In |4 — 3^| + СЛ (Ответ: - ' In |7 - 5x3| + СЛ 2.8. [ sin22x dx. J 3sin2x + 4 (Ответ: L\n |3 sin2 x +4| + C.\ 2.9. (Ответ: i-In |5 + e2"f + C.) 2.10. 7 + 2x* (Ответ: i-ln |7 + 2ж4| + C.\ 2.11. {i?5 2a:2 — 5л: + 17 (Ответ: In 12л-2 - 5* + 171 + С.) (Ответ:-Lin |2л4-5| + С.) 61
2.13. С cos3x .Hr (Ответ: -|-Уsin Зл: — 2 + С. 2.14. ML sln2* dx. (Ответ: -2У1 + cos2 x + C) L j sin х 1 + 3 cos л: -dx. (Oreer; — i- In 11 + 3 cos *| + C.) 2.16. f sin 2x J4-sin2. ¦dx. (Ответ: — In 14 — sin2*| + C.) S~3x (Ответ: i-ln \e3x — 5\ + C.\ 2.18. -Ах. : i. In 3x3 Л 2.19. x2 + 2x (Ответ: i. In |x2 + 2x| + C.\ 2.20. (Ответ: л]е2х + 3 + С.) 2.21. С 33x2+\ndx. (Ответ: In \х3 + х — 10| + С.) J х + х— 10 ' 2.22. [ f dx. (Ответ: -L In |3x6 — 7| + C.) J3X6 —7 \ 1» . / 2.23. [-!—=. (Ответ: ^x5 + 3+C.) 62
2.24. [ 2.25. { cos 7 J -л/5 — si '2л:3 — 4л: 7x sin 7л: 2 dx. (Ответ: -\/2x3 — 4x + С.) .dx. ( Огвег: —ул[^— sin 7л: + С. 2.26. sin 3 + C 2.27. 4л:3 + 3 <fr- (Oreer: In ч ¦•J C.) 2.28. [ 4e2" rtr (Ответ: —4^/l-e2x+C.) J Vi - e2' 2.29. [ sin2x dx. (Ответ: 2">/б - cos2 x + C.) J -у6 ~ cos2 •* 2.30. С , 7jr -rfy. (Ответ: ^л/Ьх2 — 4 + С.) J -л/r*-2 — 4 V 5 ' ,,. Ji - 2x - \+x2 (Ответ: -^-i. .dx. : * +x - 6 In 11 -x\ + C.) 2 J ¦.¦-|+i-ln|x2-l|+ln V 2 "FT 3.4. л-— 1 x+l (Ответ: ±x3 —x2 + x —In |2x+l| + СЛ ¦dx. !-4 63
(Ответах* + 2х2 + 8 In \х2 -4| з.б. —I In + c.) (Ответ: 1х3 — 2х — arctg * + с ' 3.8. \j^dx. {Ответ: -^х3-± In |1 -х3\ + С.) 3.9. fJ^ ( (Ответ: х— -^3 arctg-^- + С.) зло. (Ответ: х3 + л:2 + -1 In 12л: - 11 + С. 3.12. [x\+5xdx. (Ответ: ? + 2 In \х2 + 11 + С.) (Ответ; л: —| In U2 - 41 + arctg -J. + С.) (Ответ: -j 3.15. 3.16. 64 -i-д:2 + 9x - 28 In \x + 3| + C.) Отвег: i-x2 + i- - f Ответ: ±-х3-х + 2 arctg л: + С.)
3.17. (Ответ: у — Зл: + 2 arctg x + с 8.18. 3.19. C. :^j— -Jл:2 + 25л:— 128 In |* + 5| 3 20 [ Jf3+ * a (Ответ: i-л:2 —-i- In |л:2 + 11 + arctg x + сЛ 3.21. V-=L^dx. (Ответ: — -|-л:3 + 2л:-arctgл: + С. 3.22. (Ответ: -|л:3 + 2л:2 + 8л: + 13 1п \х — 2| + сЛ 3.23. B-*L+±.dx. (Ответ: 2х + 3 arctg * + С.) J x + i 3.24. (Ответ: |+i. \ 2 2 3.25. J?±jd*. (Огвег: -^ - Зл: - 6 In \x - 2| + С.) 3.26. С^Л. (Отвег: л:2 + 14л: + 103 In \x — 7| + С.) 3.27. x-l (Ответ: 1-х3 + л:2 + 2л: + 5 In \х - 11 + С.) 65
3.28. (Ответ: -? + Ах-Щ arctg ± + С.) 3.29. \*lT~idx- (Ответ: ~+ Зх + 13 In \x- 3| + С.) 3.30. ( Ответ: 4 4.1. [ sin2{l-x)dx. (Ответ: 1-х-}- -J-sin2(l — x) + c\ 4.2. \sm3(l—x)dx. ( Ответ: cos A — x) — -i cos3 A - x) + C.) \ 6 / 4.3. Ml -2sin^-) dx. (Ответ: Зх + 20 cos 4 — 5 sin Ц- + C.) 4.4. J cos3 5x sin блгЛе. (Ответ: — ^ cos4 5x + с 4.5. Scos3(l-A:)dA:. (Ответ: — sin A — x) + i- sin3 A - л:) + G.) 4.6. $C-sin2*Jd*. (Ответ: ^x + 3 cos 2* —i- sin 4* + C.\ 4.7. \ sin2 ^ с?лг. (Oreer: i- x - -i sin Зл: + С.) 4.8. 5(cosA: + 3Jdx (Ответ: -^A: + 6sinA: + -i-sin2 4.9. J cos3(* + S)dx. (Ответ: siri (лг + 3) — -i-sin3(A: 66
4.10. ( sin3-±L dx. (Ответ: - ± cos^- + 4- cos3^ + J&\ 4 о 1 z о 4.11. [(I — cosxfdx. (Ответ: -| x — 2 sin x + 4.12. [ sin2 Bл: - \)dx. (Ответ: ± — i- зтDл: — 2) + С.) J \ 2 О / 4.13. [ sin3 6xdx.(Ответ: —-i cos 6л: +-1 cos3 6л: + С.) J \ Ь 18 / 4.14. [ sin2 0,5л:с?л:. (Ответ: -i л: —-i- sin л: + сЛ 4.15. f sin2(-J. + l) dx. (Ответ: i- * -i- sin (л: + + 2) +С.) 4.16. [ cos2 2л:Лс. (Ответ: i- л: + -1 sin 4л: + сЛ J \ г ° / 4.17. f^l +2 cos-^Л dx. (Ответ: 3A: + 8sin^- + + 2 sin x + сЛ 4.18. f cos2 Зл:с?л:. ^Отвег: i. x + JL sin 6л: + сЛ 4.19. f sin4 2л:с?л:. (Ответ: i. д: _ -L sin 4л: + ±-sm8x + C.) 4.20. f sin2 Зл:с?л:. (Ответ: i. л: — -i- sin 6л: + C.\ 4.21. f(l —cos Зл:Jс?л:. (Ответ: -|-л: — -|- sin Зл: + J \ 2 6 -Lsin6x + C.) 4.22. [ cos2-^ dx. (Ответ: ±.x + ^- sin i^- + C.) Jo \ Zoo/ 4.23. [ sin3 5л:с?л:. ( Ответ: —lr cos 5л: +-JL cos3 5л: + j \ a it>
i. л: + -^- sin 14л: + C.\ 4.24. J sin4 xdx. (Ответ: -i дг _ J. sin 2л; + ^ sin 4л: + С. 4.25. j cos4 ( Ответ: Jj- x + -j-sin 2x + 4> sin 4лг+c- 4.26. $ cos3 4л:Ле. (Ответ: -i- sin 4л; —-!— sin3 4л: + сЛ 4.27. J cos2 7л:^л;. (Ответ: —х + -^- sin 14л; 4.28. J (sin л: - 5JсГл:. (Ответ: Ц-х— -i-sin 2л:+10созл:+СЛ 4.29. J sin3 4л:с?л:. ( Ответ: — -i- cos 4л: +—L cos3 4л: + СЛ 4.30. (sin2iicfr. (Oreer: ±л:-^-sin-J- + С.) 5 5.1. J tg2 лгс/л:. {Ответ: tgA: —л: + С.) 5.2. j)ctg3(x — &)dx. (Ответ: — i- ctg2^ - 6) — In |sin (* - 6)| + C.\ 5.3. J tg4 Зл:Лс. ( Ответ: i. tg3 Зл: -1 tg Зл: + x + C.) 5.4. J tg2 7л:с?л:. ( Ответ: -1 tg 7л: - x + C.) 5.5. ^ tg5 л:с?л:. ^Ответ: -I tg4 л: —i- tg2 л: — In |cos x\ + C.) 5.6. \ x tg2 л:2сЬс. (Oreer: i. tg л;2 ^ -1- x2 + C.) 5.7. 5 ctg3 68
5.9. J tg3±dx. f Ответ: — i-ctg2* — In |sin лг| + C.\ 5.8. J tg2±dx. {Ответ: 2tg±-x ( Ответ: tg2 ± + 2 In | cos ± | + C.) 5.10. J tg2 4xdx. {Ответ: -L tg \x — x + C.) 5.11. $ctg3*d*. (Ответ: —-^-ctg2 дг —In |sin д:| + C.j 5.12. J ctg2 bxdx. (Ответ: — -i- ctg 5x — x + СЛ 5.13. (Ответ: |-tg2i + 3 ln|co8i| + C.) 5.14. $(l-tg2*Jrf*. ^Ответ: In |cos 2*| + i- tg 2* + C.) 5.15. J tg5 2дгс/лг. (Ответ: -Ltg42*—ltg22Ar—i-In |cos2a:|+C.) 5.16. \{2x + tg2lx)dx. ( Ответ: x2 + -1 tg 7x — x + СЛ 5.17. Jtg4^.rfx. {Ответ: ltg3^.-2tg-|L+*+C.) 5.18. J (tg 2x + ctg 2лгJсГлг. ( Ответ: i. tg 2л: -i- ctg 2x + C.) 5.19. $(l-ctg-j:Jrf*. (Ответ: —2 In |sin x\ — ctg x + C.) 5.20. j ctg3 Zxdx. 69
(Ответ: —I ctg2 Зл: -i- In |sin Злг| + C.\ 5.21. \ctg4xdx. (Ответ: -± 5.22. J tg2 ± cfx (Ответ: 6 tg -|- - x + C.) 5.23. J tg4 (лг — 6)rf*. : i- tg»(* - 6) - tg(* - 6) + x + C.) 5.24. \ tg3 4лгсГлг. : i- tg2 4л: + ^ In |cos 4лг| + C.\ 5.25. (tg4^-rfx 5.26. $ g3( -i tg3 ± - 4 tg ± + x + C.) . $tg4(x + 5)rf*. ; tg3(^3+5) - tg (x + 5) + л- + C.) 5.27. Jtg3(A:-3)rfA:. Ответ: ± tg2 (x - 3) + In |cos (л: - 3)| + C.) 5.28. Jtg2EA: ( Ответ: -i tg Eл: +1)- x + C.) 5.29. Jtg2^^. (Oreer: ytg-J- - 5.30. $ tg5 4xdx. Oreer: -I- tg4 \x —i tg2 Ax + 6* + C. 6.1. \ sin Зл: cos xdx. Ответ: — 4- cos 4л; —l- cos 2x + C.\ 8 4 / 6.2. \ sin5 2x cos 2xdx. f Ответ: -L sin6 2x + C.\ 70
6.3. 5 sin2 3* cos 3xdx. (Ответ: -1 sin3 3jc + C.) 6.4. 5 cos3 5x sin 5xdx. f Ответ: — -1- cos4 5x + СЛ 6.5. С sin -j cos -?¦ rfx. Ответ: — -| cos -^ — 2 cos -?. + C.\ 6.6. J cos x sin 9xdx. : — _L cos 1 Ox — -L cos 8jc + СЛ 20 lo / 6.7. J sin4 2x cos (Ответ: -jLsin5 2x + C. 6.8. tsin-lcos-^dx. ^ Oreer: — -1 cos 2x + i- cos jc + СЛ 6.9. J cos5 x sin jcdx. f Ответ: —-i- cos6 jc + C.\ 6.10. J cos 2x cos 3xrfjc. /Oreer: JL sin 5x + -i- sin x + C.\ 6.11. J sin 5jc sin 7xdx. (Ответ: — sin 2jc —L sin 12л: + СЛ \ 4 24 ' / 6.12. J sin 4x cos 2xdx. ^ Ответ: — -L cos 6jc — -i- cos 2jc + C.) 6.13. J cos3 4jc sin 4jcrfx. (Ответ: —-L cos4 4jc + C. 6.14. J cos~3 2x sin 2xrfjc. (Ответ: -i- cos~2 2jc + C.) 6.15. J cos jc sin 9xdx. ( Ответ: — ^. cos 1 Ojc — -JL cos 8jc + C.) 6.16. J sin 4jc cos 2jcdx. f Ответ: — -i- cos 6jc — i- cos 2jc + СЛ 71
6.17. j sin 3jc cos 2xdx. {Ответ: — -1- cos 5jc — i- cos x + СЛ 6.18. J sin3 7x cos 7xdx. f Ответ: JL sin4 7x + СЛ 6.19. [Л0*-Aх. (Ответ: ± cos'2x+C.) J cos3 л: \ 2 ' / 6.20. ( «i^L. (Ответ: L_ + C.) J sin4 2л: \ 6 sin3 2л: п / 6.21. J cos 2л: cos 5xdx. (Ответ: -i sin 3jc +-1- sin 7jc + C.\ 6.22. J sin2 2л: cos xdx. (Ответ: -i sin3 x — -i sin5 л: + сЛ 6.23. {-S2"rfx. fOreer: ' + C.) J sin4 л: \ Зэш3л: / 6.24. J sin 2л: sin Зл:с/л:. ( Ответ: — sin jc —4- sin 5jc + C.^ 6.25. J sin л: cos3 xdx. ( Ответ: — co^* + C.) 6.26. J sin 5л: cos xdx. ( Ответ: — cos 6x — -i- cos 4jc + сЛ 6.27. J sin jc cos 4xdx. Ответ: — -1. cos 5jc + -1 cos 6.28. J cos Зл: cos xdx. Ответ: -1 sin 2л: + -1 sin 4jc + C.\ 6.29. \ cos4 2л: sin 2л:с/л:. ( Ответ: —1- cos5 2jc + C.\ 6.30. J cos 7л: cos 5xdx. (Ответ: -^ sin 2л: —~ sin 12* + C.) 72
7.1. dx \хг — Ьх + 4 2 arctg-8*-5 7-2. — 4л: + 10 (Ответ: -L.arctg -?-±1 + v л/е л/б »¦ !-7л: + ( Ответ: —— v л/41 In 4jc — 7 — 4х —; 2jc —3 2jc + 4 7'5' *-* + 2х + 7-\ ^ 7.6. [ 2х2_^2х Г" (°ТвеТ: 7.7. J ' arctg J*±± + с 2л:2 — 11л: + 2 ( Ответ: 1 In 4л: — 11 — УпM 4x — J 2л: +х + 2 \ ^15 у,5 7.9. ( Ответ: 7.10. 7.11. dx '¦- 12л:+ 3 In л:_2+7з От . ( Ответ: c. : т
7.12. [ ^ . J 2л:-3-4х2 (Ответ: — 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. [ Ьх - х2 - 6 dx х" + 4х+ 25 dx : - In х — 3 . ( Ответ: jc —2 arctg + с.) 7-"-\^-.t+3o-@"eT:T7ffr"^ 2л/ГГ 7.18. 7.19. 7.20. 7.21. [ t dx . 3 2л:2 - Ьх + 1 (Ответ: V 9-л/ 2л: — 3 — 7.22. 7.23. х2 + 7х + 11 /„ 1 , 2х + 7 — л[ь ( Ответ: —— In v л/5 2л: + 7 + л/б 7.24. f—j-i 3 2л^- 7.25. -. (Ответ: In 2л: —2 2л:—1 dx ! — Юл: + 25 74
7.26. dx 2x2 + 6jc + 3 (Ответ: 2-\/з : + 3 + - 7.27. f-5—*L . ( 3 x2 — 6л:+ 8 \ 7.28. \ — ¦6л:+ 8 dx . ( Ответ: — In x — 4 7.29. 7.30. [ ¦ 2x — 3jc2 dx 2jc2 + 3jc + 6 dx x — 1 1 „ I Злг — 1 Oreer: 3jc2 + 5x l Ответ: In 3* + 3 arctg + c.) + c.) [ dx —- (Ответ: arcsin^—- J л/4 + 8х — x2 \ -y/io V7 7 L + C.) 7 75
8.8. [ , dx (Ответ: arcsin 2*~' +C.\ J л/1+Л:-л:2 V У? ' 8.9. ^ dx _ — \Qx + 4 8.10. 8.11. [ dx — 8л: + 3 : i- ln|je - 1 4—y/x2 — i- 8.12. [ dx (Ответ: arcsin *"' + C.) J V + 2л: — x2 V V2 7 8.13. (Ответ: -11п[л: —1 +У^2-±л:+l| + C.) 8.14. f dj; (Oreer: ' arcsin 3j;~2 + C.) J л/2 + 4л:-Зл:2 ^ V3 л/iO ' 4л: — Зл:2 8.15. f + 2jc + 4 : i- 1п|дс+4. +^JX2 + ^x+ l| + C.) 8.16. С ^ fOreer: ' arcsin + C.) / 8.17. $-=^ — 8л: + 1 8.18. V»:2 - bx + 6 -5jc + 61 + C.) 76
8.19. [ dx . (Ответ: 8.20. + С.) У2*2 — x + 3 v?'"'"~J -c.) 21. [ dx (Ответ: -Laresin 4<+' +C. J У2 — x — 2jc2 ^ У2 УТГ \ dx J Ус2 + 3jc — 1 8.21. 8.22. 8.23. 8.24. V5 J- rfx fOreer: -Laresin 6x + 7 +C.) -7jc-3jc2 V V3 09 ' - jc + 5 -Lln|*-4- 8.25. С rf* J Vi-jc-jc2 8.26. : arcsini^ + L + с У f rf* fOreer: a resin x+1 + C.) ) yi_2jc-jc2 ^ Уг / 5 / 8.27. \— (Ответ: 8.28. f arcsin Ус2 + 5jc + 1 (Ответ: In 8.29. С rf* ^Oreer: a resin 2x+1 +C. 8.30. f dx Ус2 + 4jc + 1 (Ответ: 1 I + С.) 77
9.1. \ -4 In 4 л/41 4x + 3 — 4jc + 3 + 9.2. [ * + 6— dx. (Ответ: -L In |3a:2 + x + 11 + J 3.r + x +1 \ 6 ¦ I О , Зл/П Л/11 9.3. [ —2x~l dx. ( Ответ: — In | За:2 - 2a: + 61 J 3jc2-2jc + 6 \ 3 — —!= arctg Зх— 1 9.4. [ — . (Ответ: — In \2x2 + лг + 51 - Jx2 + x + 5 \ 4 1 arctg-4*+1 9.5. s / rfjtr. {Ответ: — In U2 + a: — 2| + 9.6. [ 3*~2— dx. ( Ответ: — In | 5a:2 — 3a: + 21 - J 5л:2 — Зл: + 2 \ 10 11 .arctg-10*-3 9.7. ( / + 4 dx. ( Ответ: — In | 2a:2 — 6x — 81 + J 2jc2 — 6jc — 8 \ 4 — 4 9.8. Г x + 4 ) 2jc2-7jc- 7x + 1 : -1 In | 2a:2 - 7x + 1 4 23 In 4jc — 7 — 4л: —7 + Л/4 9.9. 5*~2 - 5x + 2 :. f Oreer: i- In |2a:2 - 5x + 21 \ 4 .. 17 |„|2л:-4 ln| 78
9.10. [ *x~l— dx. (Ответ: ± In \4x2 - 4jc + 5| + J 4jt — 4x + 5 \ 2 9.11. [ *+1—dx. (Ответ: — In |2л:2 + x+ 11 J 2x2 + x + I \ 4 + arctg+ 2V7 V7 9.12. ( /+' dx. (Ответ: ±In |3jc2 -2x- 31 + J ox — 2x — о \ о 9.13. d*. fOe; -1 In \4x2 + 6x - 131 + - 13 \ 2 4x + 3 - 9.14. f —5?±J—^л:. /'Oreer: i. In l^2 - 4л: + 11 + J x* — 4x +1 \ <= 11 In x — 1—~ xdx 9.15. 9.I6. f t *~3 J x2 — 5jt + 2V3 Ответ: -I In 12.x2 + 2л:+ 51 --g-arctg t. ( Ответ: -^ In \x* — 5х + 41 — х—4 л:— 1 л7- $ 79
9.18. 9.19. Z 9.21. л: —4 t 9.25. -121+ 'in 2V7 t. (Ответ: -i-11113*2 —6л: —9! - (Ответ: -\ Ответ: Тln'3x2 + x ~ 25 6л: + 1 — C.) : 4In l^2- 21 • In c — 2— л: — 2+V6 4V33 (Ответ: y бУ22 In 3л:+1+-у/22 4л:2 + 2х — 3 (Ответ: ±ln In I 4*+1-УТз I F31"
9.26.^ 3/_+Д5<**- (Ответ: i-ln1З^- 13 Зл/59 9.27. f 3x~2 dx. ( Ответ: 4 In I jc2 + 5* - 1 ) x2 + 5x-l V ? 19 9.28. 9.29. jr-7 In -dx. (Ответ: i-lnl^ + Bx— 1| 40 8jt —2 8л+ 8 2x+\ 10 dx. (Ответ: —1п\5хг + 2х— 5л/49~ л/49" 9.30. [ *~4— d*. f Ответ: — In 15x2 — x + 7\ - J 5a:2 — x + 7 \ 10 39 arctg-10' 5л/139 '139 10.1. ¦¦•S " 13 — 3jc — 16 <**.(( Ответ: !V3*2-3*-16- 10.2. f x 3 dx. (Ответ: ~ I -» /О у* ^^ д „ ^^ I \ J U4A ^^ 1Л ^^ 1 —л/21п|х— 1- Ю.З. С —! rfx. (Ответ: -L-^/Зх2 — . 3 л/з^-л: + 5 V 6 81
10 i.4. [ l2x+l -dx. (Ответ: -iVl +х — Зх2 + J /Г+Т-з? V 3 arcsin 10 ,,$ *+ 9 -) 10.6. f 2x~m dx. (Ответ: J л[\+х-х2 \ —2rJ\-\-x — x2- — 9 arcsin 2x ~ ' 10.7. f ,2Af rfr. -7 In Ю.8. Ч- 6x4-13 . (Ответ: 3У*2 + блг + 13 - - 5 lnjjt + 3 13| + С.) 10.9. ( 3x l — rfy. (Ответ: ~-у/2х2 — 5x + 1 + /2a:2 — 5л: 4- 1 V 10.10. — "in 10.1 11. f —, x, , — fifjf; /Ответ: —-\/2x2 — jr + 7 — J л/2х2 — x 4- 7 V 2 —11=111 82
10.12. Г 2х ~ ' -dx. (Ответ: 2^/х2 - 3* + 4 + 3 л]хг - Зх + 4 V У*' - Зх + 4 V + 21n*- 4-' 10.13. ' dx. (Ответ: -4^/2+ х-х2 + ( - х2 V 3 arcsin-^=i + СЛ 10 .,4. $ Уг*2 + 4л- - 5 V dx (Ответ: ^2x2 + Ax - 5 - 2x- -| С.) 10.15. 10.16. Злг ¦ dx. (Ответ: — 2х — х2 х — 7 + 5 arcsin x ' ' — 2л- + 1 --20 In dx. (Ответ: —-уЗх2 — 2х -f- 1 — ^ — 4- 10.17. f x + 5 _dx. (Ответ: —-yj3 — 6x — x2 + + 2 arcsin -i±J- + СД -yi2 •/ S -J& + X- 5 ^ 10.18. 10.19. С-ДГ 2 3 У?^ У*2 - 5x + 1 V : 7"V^2-5a:+1 + C.)
10.20. x~8 dx. (Ответ: -i-V^2 + x- 5 - \ 4 -5'» X + — t—т+с-) 10 i.21. f J + dx. (Ответ: — Зл/2 + 3* — л:2 + 3x-x2 \ + y arcsin - 10.22. f * b -rfy. (Ответ: — л/3 — 2* — л:2 — J ^J3 — 2x — x2 \ -7arcsin-^±l +СЛ 10.23. Г 2jc + 3 rfjc. /Ответ: у2лг2 - л: + 6 + J л/2х2 — x + 6 V In *- т 10.24. f—-f~9 rfjc, /Ответ: - J4-i-2x-x2 \ — 8 arcsin——L -i_ с 10.25. 2л:+ 7 л!х2 + Ьх — 4 . (Ответ: 2л/х2 + 5х — 4 + + 2 In .) 10.26. f 3j:~4 rfjc. ^Ответ: ^2x2 - 6x + 1 ¦ 6* + 1 V In 2-\/2~ 10 •27. f J . /Ответ: ^л/Зх2 + 9х -4 + 84
10.28. f 4* + 3 -dx. (Ответ: 2-yJ2x2 — x + 5 + J -yj2x2 — x + 5 V 10. .29. f 3x~7 -dx. (Ответ: 3-^x2 — 5x + 1 + Tln 10.30. f Z^ rfjg. (Ответ: -7л/2-Зл:-л:2- J V2-3a:-a:2 V -^arcsin2jc + 3 +СЛ 2 лА^ ' Решение типового варианта Найти неопределенные интегралы. L\±=2*-dx. -7 xdx _ 3 f ~ 2J 7 Г bxdx __ 8J4*2 + 5 > Воспользуемся подстановкой и = 2 — e . Тогда 3 «• > Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель, выделим целую часть неправильной дроби, стоящей под знаком интеграла. Получим интеграл от алгебраической суммы: 85
4. \ cos3Gx + 2)dx. ^ Используя тригонометрическое тождество cos2Gx + 4- 2) = 1 — siirGx + 2), получаем \ cos3G* + 2)dx = \ cos2G* + 2)cosG* -f 2)dx == = JA - sin2G* + 2))cosGx + 2)dx=\cosGx + 2)dx - — [ sin2Gx + 2)cosGx + 2)dx = i- sinGa: + 2) — - -if sin2Gjf + 2)d(sinGj»r + 2)) = -i sinGx + 2) - -lsin3G^ + 2)+C. ^ 5. ^ ctg4 ¦4 Так как ctg25x==—-— — 1, то sin 5x 5 7 3 sin yxsin- xdx. > I sin-|-A;sin-|-A;dx = 1.1 (cos 2л: — cos 5x)dx — = -i sin 2x — -1 sin 5л; + С. 7. С *L J 6л:2 -Зх -Злг + 2 k- Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат. Тогда С ^ J 6л:2 —Злг + 2 86 -Итгх
6 J (x - dx l/4J+ 1/3— 1/16 dx У'3/D Уз) 8. С 3*~6 dx. J 2-5л:-л:2 ^ Выделив в числителе подынтегральной функции слагаемое, равное производной знаменателя, получим Зл: —6 !-5л-- = _ 3 Г -2Л- + 4-5 + 5 . 2 J 2 - 5л: - х2 -_ ЗГ -2х-5 rf 3 2 J 2 - 5л- - л-2 2 2 - 5л- - xl 2 J (x — 5/2J — 2 — 25/4 (х- 5/2J - 3 I i о с 21 i 27 i = — — In |2 — 5* — x2\ +——In У л: — 5/2 — Уй/2 x — 5/2 + УзЗ/2 = -±\п\2-Ьх-х2\ 9 УГ In 2л- — 5 — 2л- — + C. 4 9. + 2х - 7 ^ Выделив в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, получим dx =_!_{. ~ + 2л- - 7 -trX-7/5 У(ж+1/5J-7/5-1/25 лг+ 87
5vrfe= ¦ dx. ^ Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов, предварительно выделив в числителе подын- подынтегральной функции слагаемое, равное производной под- подкоренного выражения из знаменателя: 2х-7 А lr -fa + 21- 3 If -te + 21-4 + 4 ^ 6 3 ->J\ - 4x - 3x2 dx зуз J /±_±x_x2 зУз" з-\/з~ ЯДЗ-в.3 Найти неопределенные интегралы. ...J. 1.3. dx. ( Ответ: —In x \ 2 . ¦ dx. (Ответ: -ух2 — 1 — arccos 1- C \ V X / dx. /Ответ: ln 2 - V4 + 88
1.5. С-у/4 — x2dx. (Ответ: 2arcsin -?- + —л/Т^х1 + 1.6."t"^4"9 <**• (Oreer: У*2+ 9 + т1п 3 + V-*2 + 9 l.7.[Jl?+±dx. (Ответ: In х + V4 + л: — V4 + л:2 1.9. J V(i +•*) ^ . /Ответ: + c: X dx ,. (Ответ: 20 _x _ J_ i i U" 3 1.11. \ ""' dx. (Ответ: С- J x6 \ 1.12. f 1.13. f "^~9 dx. (Ответ: л]х2 — 9 - 3 arccos-1 + С.) 1.14. 1.15. . (Ответ: С — ггг) dx : / Ответ: С — Jx2-l !-lK \ U7. S хЧх2-\ Jx2-\ 1+C.) 89
1.18. \^**~9 dx. (Ответ: _L In J t* • \ 2 \lx* — 9 + x \Jx2 — 9 — x !-9 1.19. С J : -arccos-L+ ^T1 + c 2 л: '2л:2 Id, (Ответ: С-± 1.21. {—ii—. СОгвег: С - ~ 1.22. f jcV1 — *2rf*- (Ответ: -1 arcsin л; — - i- j^V1 — ^2A - 2л:2) + СЛ 1.23. fjc3Vl-^2^- (Ответ: i-V(l -a:2M - S ¦ [Ответ: arcsin—+ \ 2 1.25. 1.26. 1*7.5 1.28. 1.29. -.. (Ответ: —JL V. 4л'~ C> . (Ответ: С-± \ 27 dx -..(Ответ: ' -Л. 9 ^ In T ». /Ответ:-C—L V. 48 90
1.30. jL dx. (Ответ: С —arcsin—— /16 -X2 2.1. :. (Ответ: С-~1п|—!—- J) 2.2. I 2.3. dJL===. (Ответ: + С 2.4. f "^ (Ответ: С-In 2.5. dx г. (Ответ: С —In V2 \ 2.6. С—p=. (Ответ: С — arcsin-I- \ 2.7. С — dx (Ответ: С — In I-L + — + 2.8. J- dx -. (Ответ: С — In ¦¦-x+l \ dx + J«r + I l+л/х2 — x+l 1 -r\) 2.9. f— (Ответ: С —arcsin 3 x^ + x-\ \ :„ 2-лг 2.10. (— dx (Ответ: С-arcsin rf-) 91
J 2.11. dx . (Ответ: С + л/l+x- 2.12. С— dx (Ответ: С-- L arcsin 4~* 2.13. ¦Ч 2.14. dx -. (Ответ: C-J-ln х+\ 1 л/х2-х + 2 ' 4) -^- I г. (Ответ: С — In i _ 3 Т ¦ 7+Т ;l) 2.15. 2.16. г. (Ответ: С — In s-'( 2 Ответ: С — arcsin 2.17. [ dx ( (Ответ: arcsin + c.) 2.18. dx -. ( Ответ: С — —I 2.19. dx + т + -. (Ответ: С — In x— l "¦" 2 """ S4-) 92
2.20. f dx f Ответ: С — In j—Ц- + J (х-1)л&+х-1 \ I* - 2-2U\z- 2.22. dx (Ответ: С-arcsin ъ~х Л "V^— *—I ^ -\/5(х-\) J -. (Ответ: С — In I ~\J\ * x x ~ T """ x~^\ 2.23. dx -. (Ответ: С — In x+l I I |_ У1 л "•" 2 "¦" jt+I sin Ъх~х .24. С dx (Ответ: С-arcsin лх~1 Л j (x—i)Vi—л-х2 v -ф>.(Х-\)) dx /n гу i_ I I 2.25. , ( (Ответ: С - In U- - «7. . (Ответ: С— -L. arcsin-5—i-Л * . /^ Ответ: С — - ' arcsin -) 2.28. л/х2 — Зх + 2 \ -. (Ответ: С V2 --- + Ix* — 3x + 2 93
2.29. dx ( (х+1)ф-х-х2 V --Win (Ответ: С- 2.30. dx I x + rr: 1 С . I """ 4 — In -1- I X Л V2- *- _ 3 2 ^1—За: x-x1 + -2x2 I) 3.1. [ '"^y *} dx. (Ответ: tg x In (cos x) + tg x - -x + C.) 3.2. f cos (In x)dx. (Ответ: -1 (sin (In x) + cos (In x)) + с 3.3. f J^L dx. (Ответ: С - lnx+l ) J x2 \ x / 3.4. J In (x + 2) dx. (Ответ: x In (x + 2) — x + + 21n(x + 2) + 3.5. f '" : С - ctg x In (cos x) — x.) 3.6. [ JjL^Lil dx. (Ответ: In x In (In x) — In x + C.) 3.7. J In2 xdx. (Ответ: x In2 x — 2x In x + 2x + C.) 3.8. f-^-dx. (Ответ: 2~^х\п х-4^[х +С.) 3.9. Jx In l^dx. (Ответ: 4 +x -x- 3.10. I In (x +Vl+*2) dx. (Ответ: x In(x +- 3.11. J In (x + 4)dx. (Ответ: x In (x + 4) - x + + 4 1n(x 94
г» «л f x in (x + л/Г + х2) , I -. г. ; г", / , 3.12. \ v ; —- dx. (Ответ: л/ 1 + xr In (x + J л/i+x2 3.13. Г In (si J sin sin x) . C_x_Qtgx_ — ctg x In (sin x).) 3.14. f x2ln(x+l)dx. f Ответ: 4-1п(х+1)- 3.15. [ ln*'"(ln*) dx. (Ответ: -1 In2 x In (In x) — -±ln2x- 3.16. J In (х2 + 1) dx. (Ответ: х In (х2 + 1) - 2х + + 2 arctg х 3.17. \^-dx. (Ответ: С- -|-1 - J-Л 3.18. f^ln2xdx. (Ответ: ^-л/х^1п2х — 3.19. Un-i-^-dx. (Ответ: xlni^ -In(x2-1)+C.) 3.20. Wx2 — х + 1) In xdx. ( Ответ: (^- — -^- + -^-+^- -x + C.) 3.21. (л/xlnxdx. f Ответ: ±^Jх* \п х — ^--^х* + С. 3.22. t '" (si" x) dx J cos л; 3.23. [ x In (x2 + l)dx. /Ответ: ~ ln (x2 + 1) - -?- 3.24. \ x In2 xdx. (Ответ: ±-\n2 x~ ~^n x+
3.25. [ x2 In xdx. (Ответ: -^ In x— -J- + C\ 3.26. [ x In (x + 1) dx ( Ответ: ~ In (x + 1) — -?- 3.27. f sin (lnx)dx. (Ответ: -i (sin (In x)— - cos (In x)) + C\ 3.28. [ (x2 — 4) sin 5xdx. ( Ответ: JL x sin 5x — - *2~21 cos 5x + C.) 3.29. J ln(x + 5)dx. (Ответ: xln(x + 5)-x + + 5 1n(x + 5) + C.) 3.30. [ In l^f. dx. ( Ответ: x In -izi- — 2 In |4 — 4.1. V -\l—x arccos -\fxdx. (Ответ: — -yp — -j~\fx — — -|-д/A-хK arccos 4.2. V yl—x arcsin -\fxdx. (Ответ: ~ T^3 ~ T VO3^ arcsin V^+ C.) 4.3. f x arctg 2xdx. / Ответ: -у. arctg 2x — ^- + + | arctg 2x + C.) 4.4. f arcsin x dx. (Ответ: 2i/x+l arcsin x + 4.5. f arcsinx dx. {Ответ: 4-y/l-x - .5. f arcsinx dx. {Ответ: 96
4.6. г 1 J arcsin /l— dx. (Ответ: 2-\fx — — 2-Jl — x arcsin x Ц-С.) f~ ' — 2V1 — jt arcsin V* + C) 4.7. f JLHS^f. rfje. (Огвёг; -\/Г-И? arctg x - 3 Vl+? r- _v -lп\x+^^JT+J2\+C.) 4.8. fiS.^. (Oreer: jr.'—y/l -*2 arcsin x + C.) 3 лД—j? 4.9. \ x arctg xdx. ( Ответ: ~ arctg x — -^ + + i- arctg * + 4.10. \ x arcctg xdx. (Ответ: -i- arcctg x -+- -i- + 4.11. Г * arccos 2x dy / -1-arcctg jc + C. ¦ dx. ( Ответ: С — -^ — — —л[I —ix2 arccos 2x.) 4 / 4.12. J arccos 2xdx. (Ответ: arccbs2jc — 4.13. | arctg xdx. (Ответ: х arctg jc — 4.14. dx, /I—; ¦M v - — 2y[\—x a rccos -\[x.) 4.15. f хлтажх dx (Oreer. c.-x-yi-*4rceosx.) 4.16. f aipif rfx. (Ответ: С -4-yJl+x - — ¦2-\/V—'x arccos x.) 97
4.17. | arcetg 2xdx. (Ответ: х arcctg 2x + 4.18. f xal^Lx dx. (Ответ; УТ~+72 arcctg x J л/i+x2 4.19. \ arcsin 2xdx. ( Ответ: х arcsin 2x 1 r ^arcs J V- / Ответ; -ijc- — -—У 1 —4x2 arcsin in 2x + СЛ 4.21. arccos^ dx. (Ответ: 2-\j\ +xarccosx — J V +x , — 4У1 — x + C.) f x2 arctg xdx. ( Ответ: -i- arctg x — -1 x2 + + -iln(x2+ 4.23. ^ x arctg 2xdx. ( Ответ: ¦— arctg 2x + ±- 4.22. i-arctg 4.24. \ arctg (x + 5)dx. ( Ответ: х arctg (x + 5) — ¦l 2 26|+5arctg(x 4.25. J x2 arcctg xdx. ^ Ответ: ¦?— arcctg x + ^- — i-l 4.26. 4.27. x arctg2 xdx. ( Ответ: *L arctg2 x + + i- arctg2 x - x arctg x + 1 In (x2 + 1) + C.) [ x2 cos 4 dx. { Ответ: Зх2 sin Л + 18x cos 4 — J 3 \ о 3 - 54 sin | + С.)
4.28. { x arcctg^ xdx. ( Ответ: -у- aircctg2 'X -f- + 1 arcctg2 x + x arcctg x + i- In (*2 + 1) + C.) 4.29. С x2 sin 2xdx. ( Ответ: -j sin 2x — — -j cos 2x + i- cos 2x + СЛ 4.30. ( (x2 + 4) e2jcdx. ^ Ответ: i- (x2 + 4) e2x + 5 5.1. С x2 cos 2xdx. ( Ответ: -?- sin 2x + -|-cos 2x — — i-sin 2x + C.) 5.2. \ x sin2 xdx. (Ответ: — — 4- sin 2x — J V 4 4 5.3. I x sin x cos xdx. ( Ответ: — sin 2x — — -i- cos 2x + C.) 5.4. [ x2(sin 2x — 3)dx. ( Ответ: -|- sin 2x — _ JL cos 2x + i- cos 2x — x3 + сЛ 5.5. [ -^(sin x + l)dx. ^ Ответ: 2x sin x — x2 cos x + + 2 cos x + JL + C.) 5.6. J (x2 + x)e~*dx. (Ответ: С - (x2 + 3x + 3)e~x.) 5.7. ((x2 + x)exdx. (Ответ: (x2 - x + l)ex + C.) 5.8. ]| (x2 — x + 1) e-*dx. (Огвег: С - (x2 + x + 2) е~х) 5.9. j (x2 - x + 1) Л?х. (Ответ: (х3—Зх + 4) в* + С.) 5.10. J x ctg2 xdx. ( Ответ: In |sin x| — x ctg x — 99
$й? Щтвет: С 5.12. Г-^-. (Ответ: In |sin х| — х ctg * + С.) J Slfl X 5.13. [-^fj- (Ответ:-xigx +Jn |cosx] + C.) 5.14. | x tg2 jcrfjc. С Ответ: x tg * + In |cos *| — 5.15. |(jc24-2)e^xdje. (Ответ: С-(х2+!2х ' 5.16. ( jc2 sin2 xdx. (Ответ: ~ — -?¦ sin 2x + + 4- cos 2* + i- sin 2x ¦+• СЛ 5.17. f jc2 (cos 2* + 3) rfjc. / Ответ: х3 + -^- sin 2x,+ + -i cos 2x — ± sin 2x + C.V 5.18. J (jc2 + 2) e-'rfjc. (Ответ: (jc2 - 2jc + 4) e* + C.) 5.19. \ (x3 + 3)sin jcrfjc. (Ответ: 2х sin jc — — (jc2+1)cosa: + C.) 5.20. ]j (x2 — 3>cos ?cd^ (Ответ: (jc2 — 4) sin x + + 2xcosx + C.) 5.21. | (jc2 + l)e-'dx. (Ответ: С — (х2 + 2х + 3) *-*;) 5.22. \ (x2 - \) e*d*. (Ответ: (x - 1 )V + C.) 5.23. ( x2 cos2 xrfx. ( Ответ: ~ + -^- sin 2x + + ^- cos 2* — -i sin 2jc + C.\ 5.24. |(^2+jc)sinjcdjc. (Ответ: B* + 1) sin *— — (x2 + x — 2) cos x + C.) 5.25. $(*2 + *)cosxdx. (Ответ: (x2 + jc— l)sinx + + Bjc + 1) cos x + C.) 5-26. J (jc2>f I) e'rfjc. (Ответ: (x2 - 2x + 3) e* + C.) 5.27.\0—l)e-'dx. (Ответ: C-(x4-lfe~x.) 5.28. ( x sin2 xdx. (Ответ: ¦—¦ — ^ sin 2x — -=- i- cos 2x -|- C.) too
5.29. \ arcsinQjw**. fОтвет: x arcsin9.»-4- 5.30. ( x arctg 2xdx. ( Ответ: -j- arctg 2x — 6.1. $(* + ,1)Л/л:. ..... 6.2. \Qc-2)exdx, .. 6.3. $ (лг — 7) cos 2jcrf*. 6.4. [(x — \) cos 6.5. J (x + 2) cos Zxdx. . 6.6. f(* — 2) cos 4xdx. 6 J. | (jc — 4) sin 2jed*. 6.8. $ (jc — 3) cos xdx. 6.9. J (jc + 4) sin 2xdx. 6.10. $ * sin 3*d*. 6.11. J (x + 5) sin *di. / 6.12: J (x^ 5) cos jr 6.13, $ (jc + 9) sin xdx. 6.14. J (x + 7) sin 6.15. J (jc -f 4) sin 3jcdx 6.16. $ (x -f 3) sin 5xdx. 6.17. ^ (ж-4) cos 2xdx. 6Л8. \ {x--Sf sin xdx. 6.21. f(^ + 6)eos4jcdjc. 6.22. 6.23. X (зс -Ь L) cos 7лг4хг. r 6.24., ^(* +:2).sin -J- 4x., 6.25. ( jc sin -1 rfjc. 6.26. f fx +¦ 4) cos -J ofjc. 6.27, ( (x + 1) sin j: dx. 6.28. [ (x + 2) cos -J- rfjc. 6.29. [ (x + tysiR-^dx. 6.30i [ (x~-%\sin-jdx. .-7- 7.1. ]1п(дс.-?()^. 7-2. J arctg2xdif, 7.3.\x2e-xdx. 7A.\lx-\-V)e-$xdx.\ 7.5. J jc2e~2^jc. 7.6. ( arctg ^j 7.7. \ x cos 8Ыж. f 18. ) arctg 7.9, f arcsm 5xdx. 7.10. J (jc + \)e~xdx. 101
7.11. \ x aretgxdx* 7.13. I x cos (x + 4) dx. 7.15. jxcos(x-t-3)dx. 7.17. \xe-lxdx. 7.19.'Jx sin (x- 7,21. \ xsin (x- 7.23. l(x + 3)e~'dx. 7.25. \(x2-3)e*dx. 7.27. Jxcos(x + 7)dx. 7.29. I xex+3dx. 7.14. [xcos(x-^2)dx. 7.16. \xeK+idx.. 7.18. J a resin 2jfc(jc. 7.20. j x cos (x — 4) dx. 7.22. 5 7.24. | arccos xdx. 7.26. J xe-**dxr 7.28. (xe-**dx. 7.30. j 8.1. f arctg 8.3. J arcsin Sxdx. 8.5. j arctg 8.7. $ arcsin 8.9. j*cos(.x:-f-4)fl?jc. 8.11. Jjc,cos.(jc — 7)dx. 8:13. j(x —4)Wx. 8.15. j arctg 7xd;c. 8.17. J In (л: — 7)-djf.- 8.19. f arctg у dx. 8.21.1 arctg-|-rfx. 8.23. ( arcsin -|- dx. 8.25. flnBx + 3)dx. 8.27Л arctg idx, 8.29. ( arctg 6xdx. 8.2. \ x cos 6xdx. 8.4. \ arccos 2xdx. 8.6. \ x sin (x — 2) dx. 8.8. \ x sin (x + 3) dx. 8.10. J arccos 7xc?x. 8.12. \ x sin (x — 5) dx. 8.14. \xe~exdx. 8.16. \ arcsin 5xdx.\/ 8.18. Jxcos(x + 6)dx. 8.20Л ln(x + 8)cfx. 8.22. ( \n(x'+l2)dx. 8.24. [\nBx-\)dx. 8.26. f arccos-|-rfx. 8.28. [ arcsin ~ dx. 8.30. farccos^-dx. 102
Решение'типового варианта Найти неопределенные интегралы. x = 4 sin t, dx = 4 cos tdt, = x/4, t = arcsin x/4 16sin2*yi6-l6sin2f 4cos /d/ = 256$ sin2/cbs2fcft 64$ sin2 2Ш = 32^{1 - cos 4t)dt = 32/ — 8 sin 4/ 4- С = 32 arcsin -^ — 8 sin 4/ arcsin — V*2 / ' (8.5) (p.5| i» = _f ± HD5 V'2 + 5< — J dt 21 = -In = C-ln 3. \(x — 7)sin > f (jc — 7)sin 5*d* = x "^ 2 "*" м = x — 7, d« = dx, dv = sin 5jcrfjc, v = — -i- c6s5jc 5 ^ - • (jc — 7)cos 5jc + i-1 cos 5jcdjc = 5 5 J 103
1.9. f i_J?l±Ji^JL_ dx. ( 4 In |* - 1) 4 2 In \x 4 2| 4 C.) 1.10. С x2 37xX~^x_4 dx. (Ответ: 41п1*- 1)- — 7 In |jc 4 31 43ln|jc-4| 4C.) 4К 4С.) 1.12. t ^-T^ + 3, + 20 dx {Ответ. j + j (*-2)(лг2-2ж-3) Л — 4lnU —2| + 31п1лг — 3| 4- 3 In |лг 4- Ц + С.) 1.13. ( ^ ~ |5 d*. F)твет: In |x 4-2I- — In |лт— —.\n\x—l\ — 16 In U 4 2| +C.) + 3InU4 11 -4In\x42| 4C.) 1.16. f 4^ + 32^ + 52 dx ф 31n}jc4 H 4 1.17. f 2^ + 4tx-9l d {Q 4ЫХ- lj - 3 (^ + 2^-3)^-4) V — 71п|дг + 3| 45!nix-4| 4lnijc42| -2 In U 4 3| (. (** +a*+15) 431nU41|43Inijf43| -3lnljc45| 4 С.) 1.20. ( ^ — dx. (Ответ: In|x— 1 ( — 3<*l)(x* + 3* + 2) X — 3 In |jc 4 11 4 8 In |* 4 2| 4 C.) 4 In U - 11 — 3 In lx 4 11 4 321n \x + 2| 4 C.)
1.22. - 3 In \x + 11 + 3 In \x + 5| + C.) 1.23. С 2лг2+'2дс~6 dx. {Ответ: 6 In |x + 31 - J (*+1)(л:2 + 8л:+15) v , - 2 In [x + 1 ( - 2 In \x + 51 + C.) 1.24. t ^f3 15' + 4 Ink—1| -lnU + 3| +2ln|jc-4| 1.25. [2хГ7^ + 2х2+13 dx. {Ответ: x* + x+ ^ 1.2». [ J (x2 + x-2)(x+\) + 21nU;— 1|,—3ln|x+ 11 + 10 In U +2| +C.) 1.27. Г2^-з^-2и2-2б (Qrggr. ^ + x+ . . + 4 In U — 11 + In \x + 3| - 2 In \x — 4| + C.) 1.28. ( 7jf2~'7jf ^ dx. (Oreer: 2 In|x — 2Ц- J (л: -2) (л:2- 2х - 3) • ^ :+31n|x —31+21nU+l|+C.) — 1п|*—1)—161п|* + 2[ + 2 2.1. Г-?±Ldx. {Ответ: х.+ -1 - In |д:| + -b2inU-l| + 2.2. j *~yjj*+1 dx. /От-eer: л:+ In |x\.
2.4. ^ ? + *, dx. С0твет:2- —3In \x\ -f-31n|*-11 -f С.) 2.6. J ^±i-rf^. (Oreer; In U + 11 - In |x| - -1 + c\ 2.8. ( i^Z±Lzl djcl (Ответ: ± — 31n ^ J ' Xя —je3 V. x 2.9. [ ^~^l dx. (Ответ: In |jc| + Injjtr- 1 2.10. [±l±*isz±-Ldx. (Ответ: 2jc2^2ln|jc| -2lnU+lf-_|T X\X —* 1J[ j > (Ответ: 2.12^f 3jLt"^^2 rfjt. /" Ower: In | x +¦ 11 — 2 In j x | J jc(jc + If \ 2.13. . С У4"' rfx. (Ответ: Ux - In |jc| - i 108
+2\n\x-l\-ln\x+l\+C) 2.15. [ *2-3*8+2 d*. (Oreer 2In |x| + -4~ - 3 +2* + \ +\ 2.16. [ , x+,2 djc. fOreer: 2 In |x| - 2 In |jc — 1 J x? — 2x2 + x \ 2.17. [Jpt^=±.dx. (Ответ: 2x2-In \x\- -Slnljf+ll-^+ 2Л8- S-F^TTT• (Ответ: ln u "-1'"In lx +! 2.19. ( p?i_.. (Oreer: In |* -f- 11 - ln \x\ - 1 + C.) 2.20. x3— x2 \ --L-2ln\x-l x x 2.21. t6**2 dx. (Ответ: -\n\x\—\n\x - \\ } xs—2x2 + x \ 2.22. \^+tf+^*3ix. (Oneri'U+iti\xl- J JC3 + JC2 \ _A_ln|jc+l| 2.23. i f~,^ + 5n rf«- (Oreer; дг - In U - 11 - 2.24. J_^±^.^. .(Oreer; 2ln|jc| 109
( ^_^xl dx.( Ответ: fn|* +1| - ) 2.25. 2'26' \ (У-~O^) dx- (Ответ: 2inM + In 1-х - 11 + 2.27. Ji!+^ldjc. (Oreer: 21n|x+Ц - 2'28- S ~? (Ответ: 7 - 'n W + In U - 11 + C.) 2-29. J /_f2y+x dx. (Ответ: In U| + In |* - 11 - 2.3Q. t 2*3 + 5х*~1 dx- (Ответ: 2x + In \x\ + — + + 21nU+l| + 5 3.2. +8 - In U2 + 2x + 51 - ^.arctg-i±i + C.) dx fOreer: 2 InU + 2| - -L In U2 - - 2a; + 4| - J- arctgii^l + c 3.3. ( 12~6* dx (Ответ: ln\x+l\ — - 1 In U2 - 4x + 131 - arctg^H. + c. 3.4. t ^ + " + » dx. (Ответ: 31п,к- 1| - ;. - i- In |*2 + 2x + 51 - 2 arctg^±i + C.) lie
3,5. [ **+,***~6 dx. (Ответ: In U2 + вх -f + 131 - In \x + 11 + ± arctg-?±l + C.) 3.6. С **^*2 dx. (Oreer: 2In\x- If - i- In + x + 11 + -L arctgii±l + C.) 5.7. С -&Ё5. . (Ответ: 2lnU + 2| - J (х + 2)(д:2-2л:+10) V + 2)(д:2-2л:+10) - In |*2 — 2x 3.8. J S*~9 dx. (Ответ: ±ln\x2- 4x + + 13| - In U + 11 + 2 arctg-^. + С.) 3.9. ( 7^~ {8° dx. (Ответ: 1п|л:2—2х + 4| - 2 lri|je+ arctg^ i- In U2 + 2jc + 51 - A arctg^l + C.) - In U2 - 2x + 1Q| + arctg-1^1 + C.) 3.13. f 4^-^-12 dx (Ответ. _Lln U2 —2x + 4t — Jjc-|-8 \'2 - 2 In U + 21 - J- arctgi^i- + C) т/з -ф ' Ml
¦ — In U2 ¦+- 4* + 131 — arctg-Lz! -f- C.) 3.15. J ±^ rf*. @r«*r: in U* + x + 11 - 2 It*J* ^ 3.16. С Др2|- d^. (Oreer: 2 In \x + 21 — In U2 - - 2x + 4| - + 101 _ In \x + 2|[•+ 1 arctg^l! + C.) 3.18. t—:—^-t^ dx. (Ответ: 31nU+ I| - - In Ix2 + 6x + 13| - 5 arctg^ti- + C.) 3.19. С 2*2+7* + 7 d^. toreer; 2 In U - 1J + } (лг _ 1) (jc2 + 2дс + 5) V IT 3.20. Г ia*~/-34 rfjc. /Ответ: 3 (+i)B4+ia) V —3 ln|jc+ t| >"- (Ответ: 3.22. + i- In |jc2 - 2x + 101 + 4 arctg^ll + C.) (Ответ: ln|*+ 1| — 1 - i- In 11»
ln•** - 4je + Ia*'+ 3 arctg-^j14- C. - -Llri 4*«+ 6х + 131 + i-arctgiL±i + С.) 3.25. [4** + x + l° dx. (Ответ:, 2 In U + 2\ 4- In I*2 - - 2ж -f 4f+ V3 arctg^l + C.) ¦& ' + In | ж2 + 2л: + 5| +1 arctg-?±i + C.) 3.27. [ s^ + 2x+l dx. (Ответ: 2 In I * — 11 + J Л — 1 \ / + > in\x2 + jM- 1 ( + Jp^ctgiiiL^- 3.28. J -p^- (Ответ:- 2 In }* - 1J. — In Ix2-)- x + 11 3.29. С—5^2-f l7x + 36—d (Ответ: 3Iiifx+ 3 (x+i)(^+te-+i3> V ... + In |x2 + 6* 4-131 -1 arctg-?±i 4- C. 3.30. С 2х + ж d (Ответ: In |лг + 2| — - -L In \x2 - 2x 4-10| 4- у arctg-iziL 4- c.) '+IV-.'-I. »п|дс* +4|+C.)
4.2. { 2*^2*JM dx. (Отёет: I'M* + 1 j - x2 - 3 i—x4 \ 4 - i-In U - 11 +i-arctg л: + C.) l|-i-arctg-|-+C.) 4.7. ( ^±iln4ni dx. (Ответ: lnU|-i-ln|x- -11+lnU+H+C.) *~x~l 4.9. ( *~x.~l dx - 1 h-f i-In U2 + 41+1 arctg-i + C.) . (Ответ: In |x| — i- -,1 In \x -, 4.10. — x2 T+- 4x — 4) 4.11. С 4/ + 2, dx. (Ответ: ln\x]X ) x* + 4x2 \ 2x 2 114
4.12.C *>~X+J dx. (Ответ: In \x\ + — + In-f*-—1\ - J x* + xr \ * l 4.14. { &-** + *' dx. ( Ответ: i- In \x + 1 4.16. C*3~2* + 5 dx. (Ответ: \n\x- 1| --ln|jc+ + 11 + I In U2 + 11 - -1 arctg ^ + C.) 4.17. f х3|4х13 dx- (Ответ: Injxj + ^- + 4.18. f Z*Z* ^. fOreer: 1п|дг— 1|— x-\ 4.20. (i^l=4^-fOreer:ln|x—11—A J 4 — дг^ \ x - \ In U - 11+ In U2 + 4| + у 115;
" V1 -±arctg 4JM.-J4xS?* dx.* (Ответ; In I*2 + 4| - 2 In \x\ J x4 + 4x2 \ 4.25. С x3~^4jf dx. (Ответ: In U,— Ц + |-ln U+11 -i.ln|jc2+lj--iarctgA: + C. 426-.f 2^ + 8^-3,^-27 ^ /0 ., J V +13^ + 36 \ 4-27- ¦ J "j+itf+T*.dx- (Ответ: тln- ^+*' + ln f2^5-2^-^ dx_ (Ответ: i- In U - 11 — J 1 — x4 \ 4 4.28. 4-29- J ^^-^ (Owr; 4-ln <x2.+41 4.30.1- <^ + ^ /0 _ J (l)(^2 + 44) V 116.
5.1. f; dx ¦ (Отвйт- 2-V'x + 3 — 3 2 + л/г + З" V + 21+C.) 5.2. f xrf* . (Ответ: ^sf( v.v. l ¦' —— I KJTOcTt -^- у ^А ""¦ D^ ¦""¦" ^y V-* ':^ 4/ сЛ 5.4. 5.5. f H Ответ: i 4^4 — 4 In| .У Ответ: * V 7 + IK - 54V(* + 1) + C.) 5.6. С x+v dx. (Ответ: ^x-f-2-f / ; 3 x-\jx + 2 V 5.7. f ^/_: 5.8. {di±Ldx. (ответ: 2^lx + % + 5.9. J-#— • (Огвег: гУ^-б^^+З! +С.\ 5.10. . (Ответ: —— arctg-y/-!- It7
5.11. f '+* dx. (Ответ: \л[х? — х + 4л/х— 3 х + л/х V -4 1n|V^+H + C.) 5.12. f *d* - fOreer: i.y(;c—1)»1+2->/* — 1 + С.\ 3 -лДг— 1 V 3. / + с.) _ . „ f л/xdx / _ 5.13. \ v_ (Ответ: 5.14. f 5.15. f- 3 i d* (Ответ: 2л[х~+Ъ — З + л/х + Ь .—6\п\л/х~+~5- dx -. (Ответ: 2л/х— I — -2 1п|1- 5.16. С—р—. (Ответ: 2arctgY* — 3 x^\/jc — 7 5.17. f x+1 dx. (Ответ: 2л/х- l" + 3 x~yx — 1 ¦ v + 2 arctg"Vx— 1 + C.) 5.18. f **dx . (Ответ: l^(x- 3 -tJx-7 \ ' 5.19. С ^rfx . (Ответ: ^л/(х — 4M +Л-л/(х — 4K + + 2Ул: — 4 + СЛ 5.20. l-^—— rfx. (Ответ: 2л[х+~1 — J X —2 arctgV*-M + С.) 5.21. 2N .) Ш
5.22. \ x*~*~Q . {Ответ: 2i/Jt —2-/lO arctg 5.23. [—zM . (Ответ: In f + С.) — 1 5.24. 5.25. f 5.26. dx -. (Ответ: 2л[х~—2 — — 2 In f 1 - : -y2 arctg¦ -21 +C.) 5.27. f ^f1 dx. (Ответ: 2-y/x — 2 - J x-tJx — 2 ^ - V2 arctg y 5.28. 5.29. 5.30. 7 + ^ V(* + 6M + 6K + 1бУл: + 6 + С.) г. (Ответ: . (Ответ: — 8 + 2| "¦h :. (Огвег: -tV(*+ ^2 +6^^+1-3 —6 arctg^ + 1 + С.) 119
6.2. 2 In У* + C.\ 6.3. gl dx ,QmeT: |j . (Ответ: $ c. -7-v 2 6.7. С fJE^f* .(Ответ: -fV^Q5- 1— 6 In j-^/je—1 + 1 6.8. г V-*— i—2A/*— i- — 1- -j / ,, dx, ( , ( Ответ: (x — 1) — _ **-?/(*_IM + -384-V*- 1 -f 768 In \tyx- 1 + 2| + C.) 120
6.10. -1 + V^-ч : + 3-61n|-V* + 3+l|+C.) (Ответ: ^r^J{x— IJ — .11. \ 7, • f Ответ: -Z- Щх + 3O — J |+4/x4-3 V 7 — 6 6.13. . (Ответ: —6-^л:+ 3 + 6 In И+С.) 6.14. Ответ: ±^J(x+lf + 6 arctg - 6.15. С f~l^dx. (Ответ: Цр-зф- }№Щ V 2 :; -6^+3 in|-V«+i|+6 arctg^ 12Г1
6.16. /a* +1 + 2 ¦ dx. (Ответ: .1C*+1) — 1 M IJ - »•$ 6.17. -48д73л: + 1 +96 in , dx . • (Ответ: *Ч JBx+lf--^2x + 1 ч z С. + ЗдТгТ+Т + 3 In | $j2x~+l- 11 + С.\ 6.18. [—^—?t-~dx. (Ответ: ^-^[х1 + -|- J V7-VT-1 V 7 5 54 . In +-24 -il+c.) iA9.[-^-. (Ответ: — l^-x- -|л/^ — -2Vjc-4^-4 lnj 1 —- 6.20. $¦ 6.21. t ^ . ( J х — Ал[х* ^ . (Ответ: 1п|д73л:+1-1| Ух'-2 + 24 In 122
6.22. Д- dx.( Ответ: -|*2/34- ,xl/6-6 C. 6,23. С ^f . ( Ответ: 2-y[x~ + 4-3 In 6.24. 6.25. 1-W •( Ответ: 3 In 6.26. ( x~3~Jj dx. (Ответ: *%?— 6.27. . (Ответ: ~А1х^ — х 4- i-ifx1 — l + 6.28. ^. ( hx + i — г •,//•> 1 t '—. dx. ( Ответ: — i /Зх + 1 + V3* + ! ^ +4 In 4лг — 32 2УГ-1
6.30. . (Ответ: * dx J 5 — 4 sin x -f 2 cos x 7.3. ) 1 1 + cos x 4, /jj 2 t x \ & 2 ' ¦±+c) 7.5. J dx 5cos^t-|- 10 sXnx (Ответ: - c) 7.8. \8^^+7Шх ¦ (Ответ: inl |((^I^ 1 7.10. f—, *S _. (Ответ: ±ln|2tg4 + J 2 sm x + 3 cos ж + 3 \ 2 f Б 2 ' 124
7.13. L ¦ "*/ • (Ответ: ±\п\ЦЩр1?\ + с J 3 sin х — 4 cos * V 5 I tg (x/2) + 2 | T 7 14 f d* /•14» I i . - ' J 7 sin x — — 3 cos x In зt«(*/«) +7-У5Г / 7..5.J ¦" 2 + 4 sin x + 3 cos x ' V2T (Ответ: - - ' In 4 I cos x + 3 sin x 7.17. 1 + cos x 7.18. J rf* 5 + sin x + 3 cos x " (Ответ: 4= arctg 2 «У №+ l + C.) 7. 21 Л ' J —— 3 + cos x + sin x (Ответ: -^ arctg 2tg^ + 1 + C.) 125'
Ответ: г 6sin*+coS*^ , J 1 + cosx \ 7.23. [- ^-r-.—. (Ответ: С J 3 cos x — 4 sin x \ 2 ' 5 '"I tg(x/2) + 3 Г/ 7.25. С . d\ j 4 s«n x — 6 6 COS X Ответ: ¦ In 3 tg (x/2) +2+ 7.26. С ¦ . . dx - . (Ответ: ±- >n15 tg-i + J 3 + 5 sm x + 3 cos x \ 5 | Б 2 ' 7.27. [ ¦ d\ . . (Ответ: ' J cos x — 3 sin x \ 3 IT L + с 7.29. 4 — 4 sin x + 3 cos л: 3 sin л: — cos x 7.30. ( Ответ: —L_ in rfx ! — 3 cos x + sin x (Oi»«r:-Lln 5tg(x/2)+l+V6 C.) 8.1. 8 sin2 x — 16 sin x cos x 126
J2 С Ef_ '3 16 sin2 x — 8 i 8 sin xcos x arctg 8.5. 8.6. ¦2 v _!_ И »>!r»2 v 3 cos2 x + 4 sin / Ответ: -i— arctg А11Л 4. c.) \ 2-ф ф ' —^- 1 — ctg2 x 8.7. С dx } 4 sin2 лг — 5 cos2 x . (Ответ: -L In |tg4 л: - 11 + C\ ( Ответ: —!— In 2 tg x - -y/$ 8.8. dx 7 cos2 x + 2 sin2 [Ответ: ——= arctg 8.12 Л J 4 sin^ x + 8 sin x cos x 127
8.14, Г—, J sm2* —4 dx . (Ответ: arctg (tg jt — 8. 15. С J 4 cos2 x + 3 sin2 x ( Ответ: —— arctg og* + СЛ 8.16. 8.17. 3cos2*-2 ' ^ Ответ: In : -Larctg V2 + с.) 8.18. ( ^ J 5 sin x — 3 cos^ x (Ответ: In 8.19. sin2 х + 3 sin x cos x — cos2 x Ответ: —— In / -у/13 2 tg + с) + с.) с) 8.21. (-—2 f е . , . (Ответ: -L= arctgЩ± + С.) J 7 cos2 x + 16 sm2 х \ 4у^ & ^ / T——. (Ответ: __ arctg-*-!_ + C.j 8.20. [ . 4 »;-f 4 <fcc. (Ответ: ' arctg J sm4 x + 4 cos4 x \ 2 в 8.22. 2cos2 8-24- 8-25-5-5Т^7(Огвет;-^=агс^ 2-VicT + С.) 12a
8.26. [ cos2* dx. (Ответ: -L arctg(V2 tg *) -f Г.) J 1 — sin x \ /2 •/ 8.27. (-—= — J 2 sin2 x — sin 2 8'28- j—. (Ответ: arctg B tg лглГ_ sin 2x + cos2 x v s v ft -П + С. J -63^77- (O«wr: i arctg B tg x) + C.) Vi 9.1. [ cos4 Зд; sin2 Ъхйх. (Ответ: -^x — -j^- sin 12л; -f- 9.2. \ "Vsin4 д; cos3 xdx. (Ответ: -ji-^sin9* — -A^/iin1^- 9.3. f cos3 x sin8 xdx. ( Ответ: ~ sin9 x — -1 sin " x -f C.) 9.4. f cos4 д; sin3 дг^д;. ( Ответ: \ cos7 д; — -i- cos5 x -f C. 9.5. -. (Ответ: С —Я ' — — 9.6. f -\/sin3 2x cos3 2xrfx. ( J \ Ответ: — л/sin8 2д; 16 9.7. 129
9.8. [ -^=L dx. ( J л/cos4 x * Ответ: 3 —1= + ± + С) 9.9. [ ^pL dx. (Ответ: _J_ - -J_ + c) J cos4 л: \ cos3 x cos x / 9.10. \ sin5 x cos4 xdx. ( Ответ: -?- cos7 x — V si l«i 1 Q — — cos x —K cos x о У + C) 9.11. 9.12. ( ^/cos2 a: sin3 xdx. (Ответ: -^-^/cos" д; — 9.13. \ -л/sin2 д; cos3 xdA;. ( Ответ: -^л/sin5 д; — I 1 9.14. f -л/cos3 2д; sin3 2д:с?д:. (Ответ: — -\/cosl82x — j \ 36 v 9.15. : -2- •M 9.16. ( sin2 2x cos4 2xrfx. (Ответ: \х — 9.17. 7 9.18. f -yjcos4 x sin3 д;с?д;. (Ответ: А -д/cos19 x — 130
9.19. [ sin4 2x cos2 2xdx. (Ответ: \х — 9.20. 9.21. С 3 . (Ответ: A V 2 . (Ответ: А 9.22. [ sin4xcos3xdx. (Ответ: i-sin5* — — sin7* 4- C\ J \ 5 I ) 9.23. \ sin2x cos4 xdx. (Ответ: -^ x — J- sin Ax 4- J \ 16 64 9.24. \ sin4 x cos2 xdx. (Ответ: — д: — J-sin 4д;— J \ 16 64 ± 9.25. [smzxcos*xdx. (Ответ: JLcos"x — i-cos9x4- C\ 9.26. ( Ответ:-*- i sin x sinJ x 9.27. f sin5 x-v/cas3 л: ^л:. ( Ответ: A-^cos18 x J \ A + c.) 9.28. ( sin4 x cos5 д:с?д:. (Ответ: i- sin5 д: — 4- sin7 л: 4- J \ 5 7 9.29. t sin4 Зд: cos2 Зд;^д;. (Ответ: -L -_sml^ - __l_sin36x4-C.) 131
9.30. [ sin x dx. (Ответ: 3 4/^77 V Решение типового варианта Найти неопределенные интегралы. . / Г " 3 (х > Подынтегральная функция представляет собой ра- рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множи- множители-: (л: 4- 1)(х — 2)(х — 3). Согласно формуле (8.9), в разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида х — а соответствует слагае- слагаемое . Поэтому в данном случае имеем 7х — х2 — 4 7х — л:2 — 4 . _ А , В , С — x+i ~г х_2 "Т"-^Гз"- Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество 7х — х2 - 4 = А(х — 2)(х — 3) -f В(х + 1)(х — 3) + Коэффициенты А, В, С определим с помощью метода . частных значений (см. § 8.6): х= —1 -12 = 6=- 8 = 4С \2А ^ ос \ откуда Л=—1, В=—2, С = 2. Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим + х+1 х-2 х-Ъ П — 2InU — 2| +2 In U-31 -f C* = = In (J:" 3J + С*, -• l+lK2J ^ lx+lKx-2J где С* — постоянная интегрирования. 132
• dx. \bx-x2 — (х- x= 1 *.= -2 =\ \5х-хг-\\ dx («¦») (X- .=Л(х-1> 3 = 36, 6=1, -1 = А + С, Л =4 4,1 5 - IJ = 41nU— II — I :^ 1 — 51nU +C*. Ответим, что для нахождения коэффициентов мы ис- использовали комбинированный метод: метод частных зна- значений и метод неопределенных коэффициентов (см. §8.6). « 3. Цх) = ^ Так как подынтегральная функция является не- неправильной дробью, то путем деления числителя на зна- знаменатель можно представить ее в виде суммы целого мно- многочлена и правильной рациональной дроби: 13 + S(: . х - 2 ' х2 - 2х + 5 - 2х2+ Зх - 13 =з Л (х2 - 2х + 5) + (flJC + С)(* - 2), -15 = 5Л, Л = -3, — 13 = 5Л — 2С, С= -^\ [ J х-2 —3\п\х — 2\ + -L\n\x2 2^-5^ + 8,-32 ^ С*. 133
2л:3 - Ьх> + Их -22 Av _ \ 2х - 5х2 + 8х - 22 ^— йХ~) аХ 2х3 - Ъх2 + 8х - 22 = (Ах + В)(х2 + 5) + „з — 22 = 56 1=0, В= -2, •4С, f С = 2, ?»= -3 arctg^ Л/5 Л/5 3 — V* — 2 J 3 — 3 - V* - 2 /х-2 = /, x — 2 = t 2, dx = 2tdt = -2(± /3 + i- *2 + 12/ + 36 In | / - 3|) + С = = _ ly(x-2K — 3(х - 2) - 24-Jx - 2 - О — 72 ln|V* - 2 - 3| + С. ^ $8.7 : —2 4 лА — 2 — -\]х — 2, §87 л/»: — 2 + 2 л/* — 2 = НОКB, 3, 6) = 6, х-2 = /6, = 6tD/5 - 8/4 + 15/3 — 30t2 + 60/ - 120 + 134
— Ю/3 + 30/2- 120/ + 240 In \t + 2|) + С = Цх — 2) - ^ — 2J - 60V^ — 2 + -2+1440 lnj-^лг — 2 + 2\+С М dx 3 sin * — 2 cos x -(- 1 (8.13) 3 sin * — 2 cos x (8 13) x ' 2t 1 ' = tg —, sinx = -, cosx = — ix=J*L-, x = 2 arctg/ ' - 2 + 2/2 - 2 f rf< - 2 f 3 J <2 + 2<-l/3 3 J 3/2 + 6< - 1 dt _ 2 \/з i ~T 4 " In V3~tg(j:/2) + л/з~- 2 c. dx 2 sin2 * — sin 2x -\- 3 cos2 * (8.14) (8.14) 2 sin2 x — sin 2x -(- 3 cos = tgx, sin2x = i_, cos2x = —L sin x cos x = < ,d*= f l+t* _f rf< == 1 Г dt = J_f d^ j2(!-2( + 3 2J<2-< + 3/2 2j/ IV V-t) + 5/4 Л/5/2 135
9. j cos34* dx. "Vsin Ax cos3 Ax j Vsin Ax (8.16) — 4 — ' f 4 J 5 r л/Ъ 5 = -^"^sin4 Ax - -^л/sin14 Ax + С. А 8.10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 8 Найти неопределенные интегралы. 1. f х2л1А-х2йх. (Ответ: ± (х2 — 2)д/4 - х2 + 2. + 4) ( Ответ: In 3. {(*.+ J 4. . (Ответ: ^(х2 + ЗхK + С) . (Ответ: х\п(х+-^\ + х2)— 5. I arccos-\7—^—-dx. (Ответ: xarccos- x+l V + x — arctg-\/x + C.) 6. J_J|i__ (Ответ: , ^' - i- 7. + 1 (In \x + 11 - 2) + С.) f 8. J er*dx. (Ответ: 3e*(tf? — 2^[x + 2) + С.) у* +1 136
9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 9.1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Пусть функция у = !(х) определена на отрезке [о; ft]. Разобьем произвольным образом этот отрезок точками а = хо < х, < хг <...< <хп = Ь на п частичных отрезков длиной AXj = Xi — *,_i, i—l,n Выберем в каждом из них точку J,, *,_i <!;<*, (рис. 9.1) Сумма вида Sn = называется п-й интегральной суммой функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]. Геометрически сумма Sn представляет собой, алгебраическую сумму площадей прямоугольников, заштрихованных на.рис. 9.1, в осно- основании которых лежат частичные отрезки А*,-, а высоты равны /A4 Р и с. 9.1 Предел интегральной суммы Sn, найденный при условии, что дли- длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, называется определяемым интегралом от функции у = f(x) в пределах от х = а до х = Ь ь и обозначается \f(x)dx, т е. по определению Urn 2 max Алг,-«-0 i=\ \f(x)dx. (9 1) Функция {(х) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подын- подынтегральным выражением, [а; Ь] — отрезком интегрирования, а и Ь — 137
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, х — пе- переменной интегрирования. Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь\, то она интегрируема на [а; Ь\ т е. предел интегральной суммы (9.1) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь] на частич- частичные отрезки Axi и выбора на них точек ?,. Если f(x) ^ 0, х 6 [а; Ь], то геометрически определенный интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = /(*), осью Ох и двумя прямыми х = а, х — Ь Эта фигура называется криволинейной трапецией. В общем случае, когда функция у = f(x) на отрезке [а; Ь\ принимает значения разных знаков, определенный интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, рас- расположенных над осью Ох и под ней, так как площадям криволинейных трапеций, расположенных под осью Ох, присваивается знак «—». Например, для функции, график которой изображен на рис. 9.2, A С ! /7/У Ж 0 в Ь х Рис 9.2 Перечислим основные свойства определенного интеграла (пред- (предполагаем, что функции f(x) и <f(x) интегрируемы на соответствующих отрезках) ь ъ ь (*)±q>W)<**= \t(x)dx± \<?(x)dx; b b 2) \ cf(x) = с $ f(x)dx (c = const); a a Ь а 3) \f(x)dx=- \f(x)dx; a b b с b 4) \f(x)dx= \j(x)dx+ \f(x)dx; а а с 5) если f(x) > 0 на [a; d] и а < b, то ft \f(x)dx>0; a 6) если <p(x)^.f(x), x ? [a; b], и a < 6, то 138
ft ft $Ф(*)Лг< \f{x)dx- a a 7) если m = min /(*), M = max f(x) и a <.b, то xe[a, ft] *e[a; 6] 6 \f(x)dx a — а); 8) если функция f(x) непрерывна на отрезке fa, b], то на этом отрезке существует хотя бы одна точка х = с, а ^ с ^ 6, такая, что верно равенство ft 9) если функция /(*) непрерывна и ф(*)= J f(t)dt, то имеет место равенство Ф'(*) = /(*). т. е. производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу х равна значению подынтегральной функции при том же х Следовательно, Ф(х) является первообразной для функции f(x), 10) если F(x) — какая-либо первообразная функции f(x), то спра- справедливо равенство ь которое называется формулой Ньютона—Лейбница или формулой двойной подстановки. Ее целесообразно использовать для вычисления определенных интегралов в тех случаях, когда известка первообраз- первообразная F(x), нахождение которой при х = а и х — Ь ие вызывает затруд- затруднений. 2 Пример 1. Вычислить определенный интеграл \з(х— \Jdx 8 Пример 2. Вычислить \(-у2х -\-~yjx)dx. о 8 8 8 > \(^/2x~+MI)dx= \^/2xdx+ \\[xdx = 6/2 л/2 Пример 3. Вычислить \ sin о 139
л/2 ^ \ sin3 •">«• = COS3 ф л/2 5A — cos2 о л/2 2 Пример 4. Вычислить -Аг. > Подынтегральная функция представляет собой правильную ра- рациональную дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби (см. §8.6): , 2х - 1 = А(х2 + I) + Вх2 + Сх, 2* — 1 + 3 А X i— х2 1 *° Вл:+ С *2+1 0 = I Q „ откуда А = — 1, В = 1, С = 2. Следовател ьно, 2ж- I dx -V-1 1+х2 ^- In 2 — 2 arctg Г= y In — -f 2(arctg 2 — arctg 1) ж 0,38. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь\ функция х = ф(<) непрерывна вместе с<з своей производной и монотонна на отрезке [а; р], ф(а) = а, ф(р) = Ь и сложная функция f(y(t)) непре- непрерывна на [а; р]. Тогда справедлива формула замены переменной для определенного интеграла: \f(x)dx= \f(v(t))<p'{t)dt. а а (9.2) Пример 5. Вычислить > Сделаем замену переменной по формуле ~у 1 -(- х = t. Тогда x = t2— I, dx — 2tdt. При.л: = 3 получим t = 2 = а, а при л: = 8 t = = 3 = р. Все перечисленные выше условия, при которых верпа фор- формула (9.2), выполнены. Следовательно, 140
я/2 Пример 6. Вычислить dx 2 cos x + 3 > Положим tg(*/2) = u. Тогда cos * = (I — u2)/(I -f u'2), dx = = 2rfu/(l + u2), a = tg 0 = 0, p = tg(n/4) = 1- Следовательно, я/2 I Г dx __ Г Ыи J 2cosx+3 ~ J 2A —и2 о о + ы2 2du 2 , u -arctg- - arctg- о : 0,38. Л/5 V5 V5 V5 Если функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; Ь], то ь ь \u{x)dv(x) = u{x)v(x) \ьа- \v(х)du(х). (9.3) а а Формула (9.3) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. я/2 Пример 7. Вычислить \ х cos xdx я/2 и = х, du = dx, х cos xdx = = cos xdx, v = sin я/2 -J- sin *d* = -2- sin -2. — 0 -f cos x я/2 л О = Т Пример 8. Вычислить J* In2 xdx l u = In л, du = 2 In * dx, х dv = xdx, v —-=- i xdx — и = In x, du = — a 1 dv — xdx, v = ^ ¦ 2 ^ HI
АЗ-9.1 Вычислить определенные интегралы. 2 1. \Bх?-\--\dx. (Ответ: —? J \ х ) \ 4 j 1 2. \sfxdx. (Ответ: -^ е3 3. С—dx (Ответ: 2.) •* W1 + In х о л/2 5. \ -\jcosx — cos3 xdx. (Ответ: -^. -л/2 4 6. ( dx (Ответ: 2 - In 2.) J 1 I -ц/Оу I 1 О \ 105 . 2 8. ^-у4 — x dx. (Ответ: л.) о з п 9. \— -. ( Ответ: In v .) J л:-ул:2 + 5л:+ 1 ^ 9 / 5 t • ^ fOreer: -L I" П2Л J 2л: + -УЗ* + 1 ^ ' I 5 10. о Самостоятельная работа Вычислить определенные интегралы. 1. a) \Bx+J-)dx; б) \-fi-dx. D2
{Ответ- а) 21; б) 7 + 2 In 2) 9 4 2. а) \—^—dy; б) (Ответ: а) 23/3; б) 16/3-2 In 3.) 9 9 г— 3 а) С **** • 61 С ~V* л 4 о ' + VХ (Ответ: а) 3/16; б) 3+4 In 2.) 9.2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если функция y = f(x) непрерывна при д^х< + оо, то в \f(x)dx = 1(В)—некоторая непрерывная функция В (рис 9.3) Тогда а предел в lim \f(x)dx + (9.4) называется несобственным интегралом с бесконечным верхним преде- пределом функции у — }(х) на интервале [о, -f- oo) и обозначается f(x)dx (9.5) О а в Рис 9.3 Следовательно, по определению + °° в \ f(x)dx= lim \f(x)dx а В— + oo „ Если предел (9.4) существует, то интеграл (9.5) называется сходящимся, если же'предел (9.4) не существует, в частности беско- бесконечен,— расходящимся. Аналогично определяются несобственный интеграл с бесконечным 143
нижним пределом и несобственный интеграл- с обоими бесконечными пределами: h Ь \ ]{x)dx = lim \f(x)dx, — оо А-* — оо Л + ОО С В \ f(x)dx= lim \f(x)dx + lim \f(x)dx, — oo A —*¦ — оо Д В-*- -foo с + ОО где —оо<с<+оо. Если сходится интеграл \ \f(x)\dx, то а интеграл (9.5) называется абсолютно сходящимся. Для установления сходимости интеграла (9.5) можно пользоваться следующими призна- признаками сравнения. Теорема I. Пусть для всех х J> а справедливо неравенство О ^ < /(*) < q>(*). Тогда: 1) если интеграл \ y(x)dx сходится, то сходится и интеграл а + оо ) f(x)dx, причем а • . -}- оо + °° \ Hx)dx< \ y(x)dx; а а 2) если интеграл ) f(x)dx расходится, то будет расходиться а и интеграл \ <p(x)dx. а Отметим, что всякий абсолютно сходящийся интеграл сходится. Пример 1. Дай интеграл \ —j-(a>0). Установить, при каких i x значениях а этот интеграл сходится, а при каких — расходится. > Предположим, что а ф 1. Тогда в dx — a х" В— 1 в 1 (в1—-i). — а Следовательно, если a > 1, то + 0О J x" a — 1 ' 144
т. е. даииый интеграл сходится; если а <. 1, то + 0О J х" I т. е. интеграл расходится. При а = 1 имеем В i i т. е. данный интеграл расходится. f dx ,. Cdx \ —= lim \.—= lim lnB=+oo, J X B—+ 00 J X в— +00 I I ггеграл расходится. Отметим, что рассмотренный интеграл \ — отиоситеи к таб- I личным. 4 Пример 2. Вычислить несобственный интеграл 1 — J X ~y~ 4JC ~у~ 10 I или установить его расходимость. > Имеем + °° в dx .. ' l 2 Пример 3. Доказать, что интеграл V —^ — сходитси.^ I У Так как <-1 пры х > 1 и интеграл в dx ,. С dx ,: \В — = lim 1-5 = lim arctg x\ = i л л л = " lim (arctg 5 — arctg |) = = В "*¦ -(- OO *• * ^ сходится, то исходный интеграл также сходился- 4«а ое*и>ван«и мо- ремы 1). 4 Замечание. При вычислении несобст^ня»х интегралов с беетв»- иечиым промежутком интегрирования часто пользуются символическим равенством где F(x) = f(x) и F(+oo)= lim F(x). 145
Пусть функции у = j(x) непрерывна во всех точках отрезка [а, Ь], за исключением точки х = с, где оиа терпит бесконечный разрыв (рис. 9.4) Тогда по определению Ь с — е, Ь \f(x)dx = lim J e,—0 f(x)dx+ lim [ 82 — 0 J f(x)dx, (9.6) где ei > 0; ?2 > 0. Интеграл (9.6) называется несобственным интегра- интегралом от разрывной функции. Если оба предела, стоящие в правой части равенства (9.6) существуют, то даииый интеграл называется сходящимся, а если хотя бы один из иих не существует,— расходя- расходящимся. В случае, когда с = а или с = Ь, в правой части равенства (9.6) будет только одни предел. Рнс. 9.4 Пример 4. Найти условия сходимости и расходимости нёсобствен- i ного интеграла \— а = с( const > 0) > Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при х — 0. Если а Ф 1, то Cdx \ — = lim ) xa О o + o 1 [dx *-«+1 It / 1 j/ E-o+o-a+IU e —o+o\—a+t при « > 1 Если а = 1, то "dx T= lim In =— lim lne=+oo. e-.-0 + O Итак, данный интеграл (который также относится к табличным в теории несобственных интегралов от разрывных функций) сходится при 0 < a < 1 и расходитси при a J> I M 146
I Пример 5. Вычислить несобственный интеграл \—¦ ^ Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке х—\. Следовательно, по определению I 1-Е dx Г !'-• _ |jm I /j x)~'^2dx = lim( 2)A ^с)'''2 = О = — 2 lim(Vl- 1+е —Vl—0)=2 lim (l — л/е)=2 (е >0), ?->0 Е-+0 т. е. данный интеграл сходится. 4 Теорема 2. Пусть на отрезке [а; Ь\ функции f(x), ф(лг) терпят бес- бесконечный разрыв в точке х = с и во всех точках отрезка [а; Ь], кроме х = с, выполняется неравенство ф(лг) J> j(x) J> 0. Тогда ь 1) если интеграл \(${x)dx сходится, то сходится и интеграл а Ь \f(x)dx; а Ь 2) если интеграл \f(x)dx расходится, то расходится и интеграл а Ь \ <f(x)dx. а Утверждения 1 и 2 называются также теоремами сравнения. Пример 6. Исследовать, сходится ли интеграл { dx > Подынтегральная функции терпит разрыв в точке х =0. Очевид- Очевидно, что при х ^ О 1 ^ 1 Так как несобственный интеграл I 1 dx .. С dx 2 Г11 —— = lim V —=^= lim-^--ул: = = 4 lim(l т. е. сходится, то сходится и исходный интеграл (на основании утвержде- утверждения 1 из теоремы 2). 4 147
АЗ-9.2 Вычислить данные определенные интегралы. е 1. \ \nxdx. {Ответ: 1.) л 2. \ х2 cos xdx. (Ответ: — 2л.) о 3. \cos\xdx. (Ответ: —4.) л/3 /Г 4. \ х arctg xdx. (Ответ: -^ — -^- \ 5. J ^V^. (Ответ: е — 2.) о Вычислить несобственные интегралы или установить IX расходимость. оо 6. [ dx ,. (Ответ; 0,5.) е с» 7. | *3e-^Gf*. (Ответ: 0,5.) оо 8. [2 + SWJCrfA:. (Ответ: расходится.) 9- [-^L-2. (Отеет: 1.) J л:Aп х)г 0 2 10. [_1^__ (Ответ: 8/3.) J V — 1 1 Самостоятельная работа 1. 1) Вычислить интеграл \ xe~xdx; 148
2) вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: f dx )хл1\п (Ответ: 1) 1-2/е; 2) 2.) 2. 1) Вычислить интеграл л \ х sin xdx; о 2) вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .S о xdx (l+xf (Ответ: 1) л; 2) 0,5.) 3. 1) Вычислить интеграл i \ xe3xdx; о 2) вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 2 f dx J X IП X I (Ответ: 1) Bе3+1)/9; 2) расходится.) 9.3. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ Вычисление площадей плоских фигур. Как отмечалось в § 9.1, определенный интеграл в случае, когда f(x) > 0, х ? [а; Ь], с геометри- геометрической точки зрения определяет площадь криволинейной трапеции. Но площадь всякой плоской фигуры можно рассматривать как сумму или разность площадей некоторых криволинейных трапеций. Это озна- означает, что с помощью определенных интегралов можно вычислять пло- площади различных плоских фигур. Прямер 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной. кривой у = х2 — 2х, прямыми х = — 1, х = 1 и осью Ох. > Вначале построим фигуру, ограниченную данными линиями (рис. 9.5). Искомая площадь S = |Si| + |S2I =Si — S2, поэтому о 1 S= \ (х2 — 2x)dx - \ (х2 - 2x)dx = .49
В более общем случае, когда данная фигура ограничена двумя кривыми у = 1\{х), i/ = /2(*) и двумя вертикальными прямыми х = а, х=Ь, причем /i(jt)</2D х 6 [а; Ь\ имеем (рис. 9.6). * ь Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Зх — х и у = —х. ^ Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру (рис. 9.7): у = Зх — х2, \ (у = —х, Решая последнюю систему, получаем: х\ = 0, лг2 = 4, #i = 0, уг——4. Следовательно, согласно формуле (9.7), имеем 4 4 S = $Cx-x2-(-*))<**= $Dл:-*V* = о о Если кривая ЛВ, ограничивающая криволинейную трапецию (рис. 9.8), задана параметрическими уравнениями лг=ф(/), 1/ = г|)(/), то площадь криволинейной трапеции (9-8) где аир определяются из уравнений <р(а) = а и г|)(Р)=& на отрезке [а; р]). Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ? 6 ^ Запишем параметрические уравнения эллипса: х = a cos /, i/ = 6sin<. С учетом свойств симметрии фигуры и формулы (9.8) получаем (рис. 9.9) а 0 л/2 S = 4 \ ydx = 4 \ a sin /( — b sin t)dt = 4а6 J sin2 tdl = О л/2 О Г 1 cqc О/ / I \ J"^ = 4а*\- ^ rf/ = 2afef/ —у5т2П = лай. 4 о В случае^ когда непрерывная кривая задана в полярных коорди- координатах уравнением р = р(<р), площадь криволинейного сектора OM\Mz (рис. 9.10), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами OMi и ОМ^, соответствующими значениям <pi и ф2 полярного угла, выражается интегралом 45Ф- (9.9) 150
-/ о -f f /2 x Рис. 9.5 Рис. 9.6 В Рис 9.7 Рис. 9.8 Рис 9.9 Рис. 9.10 151
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бериулли (х2 + у2J = а2(х2 — у2) (рис. 9.11). ^ Запишем уравнение данной кривой в полярных координатах. Для этогоэаменим х и у в исходном уравнении выражениями х = р cos ф, у = р sin q>. Получим: р2 = a2 cos 2<j> илн р = a~\cos 2q). С учетом свойств симметрии фигуры Искомая площадь S может быть вычислена по формуле (9.9): л/4 S = 4~ Г/4 1 Г = 2а2 • — sin 2ф = а2. ^ |о Вычисление длины дуги кривой. Пусть дуга АВ кривой задана уравнением у = f(x), где f(x) — вепрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги АВ (рис. 9.12) ?dx. (9.10) Рис. 9.11 У, Рис. 9.12 В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями х = (p(t), у — г|)(/>, где <р@, Ф@ ^ непрерывно дифференцируемые- функ- функции, длина дуги / вычисляется по-форжуле (9.11) Здесь а, E — значения параметра t, соответствующие концам дуги А и В. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением р = р(ф), то длина I дуги вычисляется по формуле (9-12) где ф, и фг соответствуют концам дуги М] и М2- 2 г-• ' Пример 5. Вычислить длину дуги кривой у = —-ух3, абсциссы концов о которой xi = -уЗ их2= "у8. 152
> Согласно формуле (9.10), имеем у? Л/? A+K/2^3 3/2 I уз 3 ¦ * Пример 6 Вычислить длину одной арки циклоиды у = а(\ —cos t), x = a(t — sin /) > Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр t изменяется от 0 до 2л Тогда, согласно формуле (9.11), имеем /= \ Уа2A - cos tf + a2 sin2 tdt = о 2л )ал]} — 2 cos t + cos21 -f-sin2 tdt — 0 2л 2л = a\ V2(l — cosO<ft = 2a\ sin уЛ= — 4a cos о о = 8a.« Пример 7. Вычислить длину первого витка логарифмической спи- спирали р = е*. ^ Из формулы (9.12) следует, что Вычисление объемов тел. Пусть в пространстве дано некоторое тело, проектирующееся на ось Ох в отрезок [a; b]. Всякая плоскость, перпендикулярная к осн Ох и проходящая через точку х ? [a; b], в сеченни с телом образует фигуру площадью S(x) (рис. 9.13) Тогда объем V этого тела вычисляется по формуле ь V = \S{x)dx (9.13) а В частности, прн вращении вокруг осн Ох криволинейной трапе- трапеции аАВЬ (рис. 9.14) площади поперечных сечений равны: S{x) = = n(f(x)J Поэтому объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг осн Ох, выражается формулой ь Vx = n\(l(x)fdx . 9 14 4 а Пример 8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью 153
У, Рис. 9.13 Рис. 9.14 Рис. 9.15 > По данному уравнению строим эллипсоид (рис. 9.15) Рассмотрим сечення эллипсоида плоскостями, перпендикулярными к оси Оу и про- проходящими через произвольную точку </?[— Ь; Ь\. В сечении с по- поверхностью получим кривые 154
или, если 1 — < а' с' !>0, у1 b2 •V-S) -V-W = !,(/ = const, т. е. эллипсы с полуосями а, = a~\Jl—y2/b2, Ci=c^Jl Площади этих сечеиий S(y) = яа,с, = пас{\ -у2/Ь2). Тогда из формулы (9.13) следует, что Пример 9. Вычислить объем тела, получеиного вращением вокруг оси Оу фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями у2 = 4 — х, х = 0. > Очевидно, что {рис. 9.16) d 1 2 Vy = n\x*dy = я $ D - yjdy = 2я$D - y2fdy = с —2 0 Рис 9.16 155
Вычисление площади поверхности тела вращения. Если дуга А В кривой y = f(x), где функция f(x) непрерывно дифференцируема и A (a, f(a)), В(Ь, f(b)), вращается вокруг оси Ох, то площадь описанной ею поверхности выражается формулой t = 2л J/WV1+ (/'(xjffdx. (9.15) Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги параболы у2 = 2х -\- 1, заключенной между точками с абсциссами х I лг = 7 2 = 7 Рис. 9.17 > Как видно из рис. 9.17 и формулы (9.15), искомая площадь поверхности вращения 7- 2л J фх + 1 + 1 dx = 2л \ i . . I 2 3/2 АЗ-9.3 . 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями У2 = 9х, у = 3х. (Ответ: 0,5.) ; 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 + 4х, у = х + 4. (Ответ: 125/6.) 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у= 1/A + х\ у = х2/2. (Ответ: л/2 - 1/3.) . 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкну- замкнутой линией у2 — х2 — х4. (Ответ: 4/3.) 156
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды у = а(\ — cos t), x = a(t — sin t) и осью Ох. (Ответ: Зла2.) 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей линии x = 3t2, y = 3t — t3. (Ответ: 72^3/5.) 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = хе~/2 и ее асимптотой. (Ответ: 2.) *¦«¦¦ 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кар- кардиоидой р = аA —cos ф). (Ответ: Зла2/2.) 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х2 4~ и2 = 4 х2 -4- и2 = 9 и = х о= х/-\13 {Ответ 25л/24.) Самостоятельная работа V 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у2 = х + 5, у2 = —л: + 4; б) р = a cos 2ф. {Ответ: а) 9-^2; б) ла2/2.) 2. Вычислить площадь фигуры: а) ограниченной линиями у — (х — 4J, у =16 — х2; б) заключенной между первым и вторым витками спи- спирали Архимеда р = аф (а > 0). (Ответ: а) 64/3; б) 8nV.) W. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линнямн: а) Ау = 8х - х2, Ау = х + 6; б) у = 4/2 — 6/, х = 2t и осью Ох. (Ответ: а) Ц ж 2,04; б) 9/2Л АЗ-9.4 1. Вычислить длину дуги параболы y = 2~\jx между точками с абсциссами хх=0 и Xi—\- (Ответ: ^2 + + 1п A + V^) ^ 2,29.) 2. Вычислить длину астроиды х = a cos31, у = а sin3 /. (Огеег: 6а.) 3. Вычислить длину кардиоиды р = аA — cos ф). (Ответ: 8а.) 4. Вычислить длину дуги кривой ¦у=-~-у(х—IK от точки с абсциссой xt = 1 до точки с абсциссой ^2 = 9. {Ответ: 56/3.) 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя- • ¦ 2 2 ми z = ?- + 4-', z=l, (Ответ: л 157
6. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями у = х2, х = у2. (Ответ: Зл/10.) 7. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t — sin/), y = a(l—cost) и осью Ох. (Ответ: 5а2л2.) 8. Вычислить площадь поверхности вращения, полу- полученной при вращении дуги кривой у — 4-"V4jc — 1 от точки Х\ = 1 до точки Xi = 9. (Ответ: 104л/3.) 9. Вычислить площадь катеноида — поверхности, об- образованной вращением цепной линии y = ach— вокруг оси Ох от точки Х\ = 0 до точки Х2 = а. (Ответ: л—(е2— Самостоятельная работа 1. 1. Вычислить длину дуги кривой у='-т- \{2х—IK о между точками Mi и Мг с абсциссами х\ = 2 и х2 = 8. (Ответ: 56/3.) 2. Найти площадь поверхности вращения, полученной при вращении отрезка прямой у = 3*, заключенного между точками с абсциссами X| = 0 н х2 = 2, вокруг оси Ох. (Ответ: 12УТ()л.) 2. 1. Вычислить длину дуги кривой у = —х, заключен- ной между точками с абсциссами xt = 2 и х2 = 5. (Ответ: 5.) 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя- 2 Z2 MHt/ = i- + -j-,t/=l. (Ответ л.) 3. 1. Найти длину дуги кривой у=\пх между точками с абсциссами х\ =~\/3 и Хг="\/8. (Ответ: 1+-^-1п-|-« «1,2.) 2. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями у = 2х — х2 и у = 0. (Ответ: 158
9.4. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Вычисление пройденного пути по скорости. Если v = fit) — скорость движения материальной точки по некоторой прямой, то путь S, пройденный ею за промежуток времени [ti; t2], вычисляется по формуле <2 S =$/{/) Л. (9.16) t, Пример I. Материальная точка Af движется прямолинейно со скоростью v@ = Ы2 -j- 2t -f- I м/с. Найти ""путь, пройденный точкой за промежуток времени [0; 3]. ^ Согласно формуле (9.16), имеем Вычисление работы переменной силы. Пусть под действием силы F(s) материальная точка М движется по прямой Os. Работа этой силы на участке пути [а; Ь] определяется по формуле ь A = \F(s)ds. а Пример 2. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если известно, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить силу в 1 кН. ^ Согласно закону Гука, сила F, растягивающая пружину, иро- пврциональна ее растяжению, т. е. F = kx, где х — растяжение пру- жины (в метрах), k— коэффициент пропорциональности. Так как по условию прн х = 0,01 м сила F = 1 кН, то из равен- равенства I =0,01fc получаем: k= 100 и F = 1О0х. Следовательно, искомая работа 0,1 А = \ lOOxdx = 50л;2 № = 0,5 кДж. -4 о Пример 3. Котел, имеющий форму эллиптического параболоида х1 у2 2 = -j--f--Q- высотой // = 4 м, заполнен жидкостью плотностью 6 = = 0,8 т/м3. Вычислять работу, которую нужно затратить на лерека- чнваиие жидкости через край котла. ^ Выделим на высоте г, элементарный слой жидкости толщиной Дг, (рнс. 9.18), объем которого hV, = л ¦ 2yzt ¦ 3"\^Дг„ а масса Am,- яз блбг/Az/, так как в горизонтальном сечеиин получается эллипс с полуосями а = 2~уг„ 6 = 3~уг,. Равота, затраченная на перекачивание жидкости, „ _> A— Hm 2i I 6ng6z,(#— г,)Дг,-= 159
z -6 Рис. 9.18 6ng&z(H - z)dz = = 64gn6 « 1575,53 кДж. 4 Вычисление силы давления жидкости иа пластинку. Метод решения дайной задачи покажем на конкретном примере. Пример 4. Треугольная пластинка с основанием а = 3 м и высотой Н = 2 м погружена вертикально вершиной вниз в жидкость так, что основание параллельно поверхности жидкости и иаходится иа расстояиии d = 1 м от поверхности. Плотность жидкости б = 0,9 т/м3. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки. > Для определения силы давления жидкости воспользуемся зако- законом Паскаля, согласно которому давление Ар жидкости на площадку AS, погруженную на глубину Л: Ар = bghAS, где б — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения. Прямыми, параллельными поверхности жидкости, разобьем тре- треугольник на элементарные полоски шириной dy (рис. 9.19), отстоя- — —~ A ——Зм Чршш \\Щ IP у d=1 t M Рис. 9.19 160
щие о? поверхности жидкости на расстоянии у + d. Из подобия треугольников ABC и AiB[C\ имеем: ¦ .. " . т. е. площадь вырезанной полоски dS а давление на каждую из сторон полоски треугольной пластины Интегрируя обе части последнего равенства, получаем н . 2 ±- 6g J B + y- y*)dy =, о ¦ '. . , о , ^ \ 44,1kH. . Вычисление моментов инерции. С помощью определенного интегра- интеграла также можно вычислять моменты инерции плоских фигур. Пример 5. Вычислить момент инерции однородного круга массой М и радиусом R относительно его центра. ^ Момент инерции материальной точки массой т относительно точки О равен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до точки О. Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции всех точек этой системы. Концентрическими окружностями с центром в точке О разобьем круг на п колец шириной dr, площадь каждого из которых dS = = 2nrdr, а масса dm = 2nrdr6, где плотность б = M/(nR2) (рис. 9.20). Рис. 9.20 Элементарные моменты инерции выделенных колец rf/o = 2nbridr. Суммируя (интегрируя) элементарные моменты инерции, получаем г 4 о Вычисление координат центра масс плоской фигуры. Рассмотрим следующие случаи. 6-296© 161
I. Координаты центра масс С(хс, ус) плоской материальной дуги А В графика функции у = [(х), имеющей линейную плотность 6 — 6(х), определяются по формулам (см. рис. 9.12): 2. Если фигура ограничена снизу линией y = ft(x), а сверху — </ = M*)> T- e. I,(x)^.f2(x) на отрезке [а; Ь) (ем. рис. 9.6), поверх- поверхностная плотность фигуры 6 = 6(х), то вычисление ее центра масс С(хп г/с) выполняется по формулам." ь ь • \x6(x)(h(x)-(l(x))dx- 4- \b{x)(jl(x)-n(x))dx 2 i' Ус = (9.17) jб(х) (f2(x) - а Пример 6. Найти координаты масс однородной дуги окружности радиусом R с центральным углом 2а. ^ Выберем систему координат так, как показано на рнс. 9.21. Тогда, вследствие однородности и симметричности расположения дуги, имеем рс=0. Находим хс по формуле xc = -а так как б = const. Рис. 9.21 Воспользуемся пapa^teтpичecкими уравнениями окружности х = = R cos t, у = R sin Л Тогда J R2 cos tdt sin t'|i. = R«*!L ч Rdt Пример 7. Вычислить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями у = 6 — х2,,-у — 2. > Из однородности и симметричности данной фигуры следует, что хс=0 (рис. 9.22) Для определения ус воспользуемся формулами 162
(9.17). Имеем 2 " «б-*2J-: 1 — 2 — 2 C2 — 12jc2 -2 D-x2)dx 1 j D - *2)е/л: 1 2 Djc — дг'/З) j§ 1 192/5 2 16/3 = 3,6. Рис. 9.22 АЗ-9.5 1. Скорость прямолинейного движения материальной точки v = te~°-mi м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения-де полно» остановки; (Ответ: Ш4 м.) 2. Найти момент инерции однородного стержня дли- длиной / и весом Р относительно его конца. (Ответ: -д-— /2Л 3. Вычислить работу, которую необходимо затратить на сооружение конического кургана, радиус основания которого R = 2 м, а высота Н = 3 м, из однородного строительного материала плотностью б = 2,5т/м3. (Ответ: A ng8H2R2 — Abng « 1477,8 кДжЛ 4. Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м. Плотность воды б = 1 т/м3. (Ответ: 656g я» 6428,8 кН.) 5. Найти координаты центра масс однородной дуги цепной линии у = a ch — от точки х= —а до точки х = а. (Ответ: хс = 0. ис = 4- 2 +, ^'" 163
6. Найти координаты центра масс однородной дуги первой арки циклоиды x — a(t —-sin t), y = a(l—cost) (О < t < 2л). {Ответ: хс = па, ус = 4а/3.) 7. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной линиями у = х и у = х2 — 2х. (Ответ: C/2, 3/5).) Самостоятельная работа 1. 1. Вычислить силу давления воды на пластину, име- имеющую форму параллелограмма с основанием а = 2 м и высота Н — 3 м, опущенную вертикально вниз на глубину 4 м, если основание параллельно поверхности воды. Плотность воды 1 т/м3. (Ответ: 16^ ж 156,8 кН.) 2. Найти координаты центра масс однородной дуги окружности радиусом R с центром в начале координат, расположенной в первом квадранте. (Ответ: BR/n, 2R/n).) 2. 1. Скорость движения материальной точки v = — 4te~'2 м/с. Какой путь пройдет точка от начала движе- движения до полной остановки? (Ответ: 2м.) 2. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями у = sin х, у = 0 @ ^ х ^ < л). (Ответ: (л/2, л/8).) 3. 1. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр кото- которого 20 м, если плотность воды б = 1 т/м3. (Ответ: 2,5яЮ3лж76969 кДж.) 2. Найти координаты центра масс однородной плос- плоской фигуры, ограниченной линиями у2 = 20л:, х2 = 20у. (Ответ: (9,9).) 9.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 9 ИДЗ-9.1 Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой. '1 +x2dx. (Ответ: 1,78.) о
' I2-/T 1.2. [ 1?хЫх . {Ответ: 2,60.) J -л г6 -4- I о I 1.3. С^ . (От-вег: 0,21.) я/2 .4. ) sinxcos2 1.4. ) sinxcos2xdx. {Ответ: 0,33.) о л/2 1.5. f ¦ cos x dx. {Ответ- 0,57.) J 1 + COS X V - - ; О - 4/3 1.6. f -j^L_ (Огбег: 0,41.) J -^ i" ' 3/4 -3 1.7. С rfj: . {Ответ: -0,67. о 2 1.8. \ хЧх . {Ответ: 1,24.) J^ + 4 e 1.9. f >+Jnjcdx.-,(Oragr: 1,50.) 1.10. t-^L-dz. {Ответ: 0,20.) о 1.11. С—*L_. (Огвег: 0,50.) J 1 — COS^ X 1.12. [ dx {Ответ: 1,57.) J-\jb + ix — x2 i 1.13. \x3^j4 + 5x4dx. {Ответ: 0,63.) 0 165
Т.Н. С sin2±dx. (Ответ: 3,14.) — л 2 1.15. \^-dx. (Ответ: 1,07.) =. (Ответ: 0,13.) 2 i 1/2 1.16. 1.17. \3(x2 + x2e*3)dx. (Ответ: 2,72.) о 1.18. f c «V9 1.19. . (Ответ: 1,73.) ^L. (Oreer: 0,20.) ^n*<ta. (Oreer: 0,46.) 21. f rfx (От-вег; 0,52.) 1.20. 1.21. 8 1.22. \-y[x+\dx. (Ответ: 12,67.) з л/2 j / 1.23. j sin a cos3 ada. (Ответ: 0,14.) л/6 л/6 1.24. $ 12ctg3xdx (Огвег: 2,77.) л/18 1 1.25. С rfj: . (Ответ: 0,67.) [ 1.26. [ *dx . (От-eer; 0,32.) JV4-72 Ififi
1.27. t^pd*. {Ответ: 0,33.) i о 1.28. {-?_. {Ответ: -0,13.) J 4лг — 9 — l 1.29. \ cosasin3ada. (Ответ: 0,23.) n/6 1.30. t -igL-. (Oreer: 0,50.) J COS2(JC2) 0 2 3 2.1. $t/ln(y-l)<fy. (Ответ: 1,02.) 2 0 2.2. \ х2е~х/Чх. (Ответ: 5,76.) -2 n/2 2.3. J xcosjtflfjsr. (Ответ: 0,57.) 2.4. \ x2 sin xdx. (Ответ: 5,86.) о 1/2 2.5. \ arccos 2^x. (Ответ: 3,14.) -1/2 2 2.6. j (У — 1) In ydy. (Ответ: 0,25.) i о 2.7. j лге-2*Лс. (Ответ: -0,25.) -1/2 Л 2.8. J л: sin x cos xdx. (Ответ: 1,57.) — Л -2/3 2.9. С 4-Лс. (Огвег: 0,82.) J « - i/з 167
2.10. V-^dx. (Ответ: 0,16.) i e2 2.11. \^jx\nxdx. (Ответ: 18,33.) i 2.12. \arctg^fxdx. (Ответ: 0,57.) 2.13. [(x + 2)cos^-dx. (Ответ: 6,28.) X т о я/8 2.14. \ х2 sin 4xdx. (Ответ: 0,17..) о 2 2.15. \ у2 In ydy. (Ответ: 1,07.) i 2 2.16. Г '"(¦»+0 dx (Ответ: 0,15.) 1 2 2.17. \ arctg Bл: — 3)Ле. (От-вгг: 0,21.) 3/2 2.18. I) (х + 3) sin xdx. (Ответ: 4,00.) о 2.19. \x\x\2 xdx. (Ответ: 1,60.) 1 о 2.20. \ (х — 2)e~x/3dx. (Ответ: —19,32.) — з 2.21. [ xd* . (Ответ: 0,12.) J cos2 Зх к ' о i 2.22. \ arcsin(l — x)dx. (Ответ: 0,13.) \ 1/2 2.23. [ arctg-Ldx. (Ответ: 1,37.) i 168
2.24. \ x\n(\—x)dx. (Ответ: —0,25.) -i ¦ ¦ 2.25. fa resin (*/2)^ (Ответ: 2,32.) J -v/o у . 0 V X 2 2.26. \ In Cx + 2)dx. (Ответ: 1,87.) • i 4 2.27. \ x^x2 + 9dx. {Ответ: 282г40л) о о 2.28. \(x+l)e-2xdx. (Ответ: 1,10.) — i я/4 2.29. \xtg2xdx. (Ответ: 0,13.) 2.30. \ x arctg xd*. (Ответ: 0,29.) i о 3 3.1. j3*4 + yi+'^. (Oreer: 1,79.) о 3 3.2. x — 1 2 3 3.3. (f+i—Лс. (Огвег: 0,53.) 2 I 3.5 \-i*M- (Ответ: -0,09.) J У + 2 -i 169
3.6. 3.7. 3.8. .3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. j с к 3.16. f 8 f 8.17. [ i Г 3xl + 2х ) Х3-Х 2 1/2 Г xdx \(х— h3' J \л if 1/3 5 dx J(*-l)(*- 4 4 f dx 3 f Bx + 3)c J C*-2K 0 3 f dx )(x-lJ(x 2 J(-« + lJ(^ 3 1 rx* + 3x3- 3 (^+iJ 0 0 f x5 — 2x2 4 J (a:-2J _i i 1 x2 + 3x + 2 i ) (x2 + 3)dx x3 — x2 — 6x dx @, —ax. {итвет: \,о2.) (Ответ: —1,25.) г-ж. (итвет. U,U4.j ^щ~. (Ответ: 0,16.) —. {Ответ: —1,63.) —-. (Ответ. 0,15.) ——. {итвет: 0,50.) ldx. (Ответ: —0,20.) —их. (итвет: У,оо.) . (итвет: 0,12.) . (Огвег: 0,29.) гвег-- 0,16.) 170
3.18. \y~ ¦ (Ответ: -15,34.) 2 3 3.19. \^г. (Ответ: 0,02.) J X ~~~ 1 2 0 3.20. (^-. (Ответ: 0,37.) J X 1 — I т/з/з 3.21. ( 3 2j;+4 . (От-еет-: 0,88.) ) х3-х2 + х+1 х ' о 5 4 3-23- о 9 3.24. t **~* + 2 dx. (Ответ: 0,04.) 3.25. (_ ?*L . (Ответ: 0,51.) 4 2 3.26. [——¦ (Ответ: 0,25.) i 3.27. [*L±Ldx. (Ответ: 1,44.) i з 3.28. [x3+/+*dx. (Ответ: -0,12.) J x{x If 2 5 3.29. ff ~2x2 + A dx. (Ответ: 0,35.) з 171
i/л/з" С 3.30. С 4±L. (Ответ: -0,08.) J X 1 4.1. \x2-y/x — x2dx. (Ответ: 3,14.) о i , 4.2. f "V ~x-dx. (Ответ: —0,47.) • J X 6 r- 4.3. yx ~9dx. (Ответ: 0,02.) J X 4.4. — x2dx. (Ответ: 1,91.) V5" 4.5. [ x\+l dx. (Ответ: 1,02.) -f. 4.6. $V3-*2flf*- (От-в^г: 2,36.) о 3 4.7. J x2V9-x2dJC.(O7-eer;31,79.) -3 i 4-8. yL-Ldx. (Ответ: 0,53.) 4.9. 4.10. V5/3 2 r: 0,59.) p (Ответ: — 0,( 4.11. (ответ: o,68.) 172
4.12. \ 2 dx ,„ (Oreer: 0,5 x2dx. (Ответ: 1,29.) f /— 4.13. W2 — - (°твет: °>14-) 15. ( ^= . (Ответ: 0,04.) 3*2л/л:2-9 4.15. 4.16. (Огбег: 0,59.) л/з/2 4.17. J sj\-x2dx. (Ответ: 0,26.) 1/2 3 —- 4.18. [—^ J (9 4- *2) (Ответ; 008-) 4.19. t"^~4dx. (Огвет: 0,68.) 4.20. 1/2 ( dx. (Ответ: 1,16.) J П _Л-,| — х2- V^5 0 1/2 4.22. t хЫх 2з- (Ответ: —0,20.) о V\ / 2 4.23. f ^==. (Отвег- 0,05.) Jjc4 л/»;2 — 3 173
4.24. С V 6^4 х dx. (Ответ: 0,11.) 2- 4.25. [ лгзУ7 + x2dx. (Ответ: —502,09.) о 4.26. ( ~^E±dx. (Ответ: 0,01.) 4.27. ( р.—. (Огвег: 0,29.) 4.28. jxA^9—x2dx. (Ответ:. 71,53.) ??=. (Ответ: 5,31.) 4.29. .30. ) V6 — о -л/4 -л/2 л/2 . (Ответ: 4,71.) 5 _-Л*. (Ответ: 0,26.) i/sin лг 5.2. 2. f —J±—. (Ответ: 0,60.) J 2 + cos л: v ' ' о л/4 5.3. \ sin3 2xdx. (Ответ: 0,33.) о л 5.4. f sin4— dx. (Ответ: 1,18.) о л/3 5.5. ] cos3 л: sin 2xdx. (Ответ: 0,39.) 17*
л/3 5.6. \ tg2 xdx. {Ответ: 0,68.) о л 5.7. ( —sln* , dx. {Ответ: 0,38.) J A — cos л:K л/2 я/4 5.8. ) 2 cos х sin 3xdx. {Ответ: 1,00.) о л 5.9. [ cos 4-cos 4 d*- {Ответ: 1,80.) J 2. 6 0 л/32 5.10. \ C2 cos2 4*— I6)dx. {Ответ: 1,41.) о л/2 5.11. С cos*d* ¦ (Ответ: 3,14.) J sin x + 1 о я/3 5.12. j tg4 cpdcp. (Ответ: 0,93.) л/4 л 5.13. (cos-icos-|^djc. {Ответ: 0.) о л/4 5.14. J sin Зд: cos 5xdx. {Ответ: —0,25.) о л/3 5.15. [ -^f-^dx. {Ответ: 1,33.) J COS4 X о л/6 5.16. [ -^~. {Ответ: 0,55.) ) COS X К ' о л/2 5.17. \ ctg3 xdx. {Ответ: 0,81.) л/6 л/2 5.18. \ cos х cos Зд: cos bxdx. {Ответ: 0,16.) о я 5.19. \ cos* х sm2 xdx. {Ответ: 0,20." о 175
Д/2 5.20. J sin6xdx. {Ответ: 0,4$) о 5.21. f yr+sinxd*. {Ответ: 2.) л/2 л/4 5.22. [ 1+tg* {Ответ: 0,38.) J sin 2x v > л/6 л/3 5.23. \ sin ¦' dx. {Ответ: 1,69.) J COS3 л: л/6 л/8 5.24. \ sin л: sin 3xdx. {Ответ: 0,05.) о л 5.25. \ sin xsm2x sin 3xdx. {Ответ: —0,21.) л/4 л/2 5.26. [ —^—. (Огвег: 0,55.) J sin x ч ' я/3 л/2 5.27. j cos5 xdx. {Ответ: 0,53.) 5.28. \ cos2A;sin4A:dA:. {Ответ: 0,10.) л/2 • -. - л/2 5.29. \ -^—. {Ответ: 0,60.) J sin3 л: ч ' л/3 л 5.30. Csin4-^-djc. {Ответ: 1,18.) 6.2. f rfx . ,. {Ответ: 1,10.) —г 116
— 2 6.5. 1/2 J « ¦ - (Oreer: 0,29.) -1/2 1 6.7. ( _f/2- ** (Oreer: 0,52.) 1 6.10. x~5 „ — x2 — 2x + 2 . (Ответ: -2,79.) ¦ l J — 1 8 1 6.13. [ dx . (Ответ: . 1,57.) 1/2 ЧХ-X* О 6.14. f 2*-8 ^ (Отврт. 3(99.) 177
2 6.15. ( dx (Ответ: 1,11.) J V2 + 3x - 2x2 .5/4 1/6 4 6.17. [ - ^2rfx (Огвел- 9,35.) Jjc2 — 6л;+10 v ; з 3,5 3 6.19. [ 23*~2 . (Oreer: 3,19.) J л: — 4л; + 5 2 2 6.20. [ }x~lJ •. (Ответ; 2,41.) J л-2 + Зл- + 4 V - .. ; — 3/2 4 1 6.22. f -j-^ dx. (Ответ: 0,08.) J xl + x + 1 -1/2 10 7 5 6.24. C_=^==. (Ответ: 51,81.) J J — x2— 15 6-25- о 0 6.26. ( rfj; (Ответ: 0Д1.) .>У2-6*-9*2 F78
4 4/3 6.28. [ 1/3 3 dx -.. (Ответ: 0,52.) V8 + 6* — 9х2 6.29. \ dx (Ответ: 1,57.) J -\kx — 3 — г2 6.30. J *2 + 2x + 3 : 0,61.) 29 ¦ dx. (Ответ: 16,16.) з Гп2 7.2. J. & 5 7.3. i- 2x + -фх + 1 t±l±± -. (Ответ: 0,13.) ,. (Ответ: Q,94-) 7.4. f У'т-т. dx (ртвет. i1>77>) J -v/r4- 1 1 о 7.5. С *** . (Огвег: 10,67.) In 5 i — 7.6. [ *y~X dx- (Ответ: 0,86.) о 2 In 2 7.7. [ dx . (Ответ: 0,41.) J e* — 1 In 2 In2 7.8. J ^ex—\dx. (Ответ: 0,43.) 179
7.9 7.10. '. \ xdx [Ответ: 4,67.) 4 ( dx [Ответ: 1,31.) J 1 + '- ¦ о 7/3 [ 7.11. ,. [Ответ: 0,96.) 2/3 in 3 7.12. 12. f —^— (Ors^r: 0,20.) J e" — e~x In 2 .- 0,04.) ¦M 7.14. dx г. [Ответ: 0,58.) T'n2 7.15. .15. С fdx_r- (Ответ: 0,20.) о 7.16. ^ z'dz ; . (Огвег: 0,67.) 17. С J 7.17. xdx 7.18. -. [Ответ: 4,00.) = . (Ответ: 0,52.) rfx 7.19. fJ-ZLfldjt. (Огвег: 0,29.) In 3 7.20. f cos^_. [Ответ: 0,22.) i 4 + Vsin u 180
7.21 . ( хЧх {Ответ: 8,44.) J (х — 1)лх — 1 2 v In 2 7.22. dx {Ответ: 1,05.) e 7.23. \—dx {Ответ: 2,00.) J хлП + \пх 7.24. 7.25. - {Ответ: 0,41.) г Г 7.26. \ ~lx dx. [Ответ: 8,39.) 7.27. 7.28. 7.29. : 22>88-) 13 о ' In 12 I2X + I dx r: 38,06.) -. {Ответ: 0,26.) In 5 1 7.30 •i xrfx S. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. оо 1 Р г . 8.1. а) 181
8-2- 8.3. a О ' "*" J -06л;4-1 8.5. a) С xdx б) о 6х 8.4. a б) 1пCл;— 1) dx- 1/3 1 8.6. a) 8.7. a> h J 20x2 - 9л- + 1 " /4 1 J A-л-Iп'A-л-)- 1/4 8.8. a \ f *<ix -. f -л/'пB ) \ =^; б) \-Ц5— Зл: 8.9. a) л(л:2 + 4л: + 5) ' 8.10. a oo > J- О л/6 cos Зл: хг + 4л: + 5 ' (I -sin3*M dx. 8.12. а) 8.13. a) 1/2 ; б) xdx ж2 + 4л- + 5 ' 3/4 1S2
8. 14. a) ? 3 <* ; б) 8.15. a) 6) ( ^"ДТ" «to. 8.16. a) [JI Varctgj* rfx; 6) 8.17. a) о — 1 1/3 8.21. a dx 8.22. а) + 2x) In3 sin xdx 8.18. a) ] xsmxdx; 6) л/2 О dx -3/4 2 1/3 г>_9лг-|~2 л/2 -; б) 3 sin3 xdx 8.23. a) J e~3xxdx; 6) f 3frfx . о J ~\j\ —x5 8.24. а) ^(^ 1/2 -2х 183
8.26. i: a) J 8.27. a) 8.28. a) dx х2(х+\) о 6) [ хЧ* I 3/2 6) \ , d_\_ oc 1/4 8.29. a) \ , dx ; б) С- 8.30. a) 0 1/2 •4-i- 6) f—*L_. J Bx-lJ Решение типового варианта Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой. '•$¦ dx хA+х2) > Используя формулу Ньютона — Лейбница * : \ f(x)dx = F{b) — F(a), вычисляй* а ционально» функции: от дробно-ра- dx = \(± *2) )\х Вх+С i i = A{\+x x X 2 = с, 184
= In 2-i-In 5+4"lri 2 =-| In 2-~ In 5 = = .| .0,69—J- • 1,61 =0,24. 4 2. \\n2xdx. ^ Дважды применив метод интегрирования по ча- частям, получим In2 и = In2 л:, du = 2 In x— dx, dt? = dx, v = x — л: In2 л: If - — 2 ы = In x, du = — dx, dv = dx, v = x = e\n2e — 2(x\nx — x) Ц = e — 2e + 2e — 2 = 0,72. 4 ' 1 ¦x + 2 ¦ dx. 3 Г 9^2-14л: ¦¦ J X» - 2** - j з ¦ . ^ Подынтегральная функция представляет собой пра- правильную рациональную дробь. Разложив знаменатель на простые множители, а за- затем полученную дробь — на простые дроби, имеем 4 4 f 9а-2- 14а: +1 ^ _( 9а2- 3 3 А-1)(А-2) 9д:2— 14л: +1 =А(х— 1) (jc - 2) + В{х+ 1)Х B)СA)A) := 2 = -2В,\ = 3C,J 24 = -4= - 9 С = 3 2 1п|х— II +3 ln|jc — 2|)|S = 4 In 5 + 2 In 3 + 185
+ 3 In 2-4 Jn 4-2 In 2 = lnE4 • 32 • 2) - In 44 = I О *о - Z i 1 i ZOK. ~ 4* 256 хЧх f x3dx _ №77 ~ у/л:2 + 1 = t, x2 + I = t\ xdx = tdt, ' = 1 при x = 0, / = "v 2 при ж = 1 -ft _ л/§ я/4 J 4 —3cos2jc + 5 sin2jc ' > Подынтегральная функция является четной отнаеи- теяьн© sm х и cos ж (равсшз«аяьио зависит от sin2je и cos?r), поэтому примегшм «адетшювжу i=tgx (с», формулы f8:14^|: я/4 ( j 4 — 3 cos x -\- 5 sin . 0 -, COS X = sin2 л: = , t = 0 при x = 0, / = 1 при х = л/4 5<2 l+<2 dt = 4- arctg 3/ ' = -i- (arctg 3 — arctg 0) = 0,42. о 3 6. ф-2х- x2 186
> Разобьем данный интеграл иа два интеграла та- таким образом^ чтобы получить в чисжнтеле первоио? произ- производную от квадратного трехчлена, стоящего под знаком радикала в знаменателе, и проведем необходимые пре- преобразования. В результате имеем J "V3 - 2х - - 1Д С J-V4 dx 2}1 ~ 8л/3-2х-х2 -^-л + -^-пя! —6,05. 10/3 > Данный интеграл приводится к интегралу от рацио- рациональной функции с помощью подстановки ~у Зх — \=t. Имеем 10/3 xdx л/Зх-l = t, Зх - 1 = t2, x=-L(t2 + 1), dx = ^tdt, t=\ при л: = 2/3, / = 3 при х =10/3 tH 8. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: а) б) dx dx dx 187
и = lim [- -^ + lim f dx J (x + 2)\+ 5 о ..n. ( ' arctgl±i-_Larctg-f) = _L arcte — - L( W L lim \Cx4/3 + 2x-2/3)dx+iim\ P-0- Jl . «-0+ J a-0+ Р-О- a-»0+\ II /7 ИДЗ-9.2 1. Вычислить (с точностью до двух знаков после запя- запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными ли- линиями. .1. р = З-V'cos 2ф. (Ответ: 9,00.) .2. у = х2, у = 3 — х. {Ответ: 10,67.) .3. 1/=Ул:, w = a:3. (Ответ: 0,42.) ,4. х = 7 cos^ t, y = 7 sin3 /. (Oreer: 57,70.) .5. р = 4соэЗф. (Огвег; 12,56.) .• .6. p = 3 cos 2ф. (Огвег: 14,13.) .7. p = 2(l — cos<p). (O7*eer.- 18,84.) 188
.8. p2 = 2 sin 2ф. (Ответ: 1,00.) .9. x = 4(t — sin t), у = 4A —cos t). (Ответ: 150,72.) .10. р = 2A+соэф). (Ответ: 18,84.) .11. р = 2этЗф. (Ответ: 3,14.) .12. p = 2 + cosm. (Ответ: 14,13.) .13. i/= 1/A + А у = х2/2. (Ответ: 1,23.) .14. </2 = х,+ 1, </2 = 9 —х. (Огвег: 29,87.) .15. <у2 — х3, х = 0, у = 4. (Ответ: 6,05.) .16. р = 4 sin2 ф. (Ответ: 18,84.) .17. л: = 3 cos /, у = 2 sin *.. (Oreer: 18,84.) .18. у2 = 9х. «/ = 3*. (Ответ: 0,50.) .19. л: ='3(eos / + / sin t), у = 3(sin / — / cos t), y = 0 @ < / < л). (Oreer: 29,25.) . .20. y2 =*= 4x, x2 = 4y. (Ответ: 5,33.) .21. y2 = x\ x = 2. (Ответ: 4,5 Г.) .22. y = x2, y = 2-x2. (Ответ: 2,67.) .23. у2 = D — r5), x = 0. (Ответ: 25,60.) .24. р = 3 5т4ф. (Ответ: 14,13.) .25. у = x3, у = 1, х = 0. (Ответ: 0,75.) .26. ху = 6, х + У — 7 = 0. (Ответ: 6,76.) .27. «/ = 2Х, </ = 2х — х2, х = 0, х = 2. (Огвег: 3,02.) .28. х2 = 4</, у = 8/(х2 + 4). (Oreer: 4,95.) , .29. i/ = х + 1, У = cos х, ы = 0. (Ответ: 1,50.) .30. x = 2cos3/, i/ = 2sins/. (Ответ: 4,71.) 2. Вычислить (с точностью др двух знаков после запя- запятой) длину дуги данной линии. 2.1. x = 2cos3/, y = 2sin3t. (Ответ: 12,00.) 2.2. х = 2(cos t + ts'm t), у = 2(sin / — / cos /) @ < < / < л). (Ответ: 9,86.) 2.3. p = sin3 (ю/3) @ < ф < л/2). (Ответ: 0,14.) 2.4. p=2sin3(?/3) @<ф<л/2). (Ответ: 0,27.) 2.5. -г/х2 +Х2 =-v/9. (Ответ-: 18,00.) 2.6. х2/3 + (/2/3 = 4^/3. (Огвег: 24,00.) 2.7. «/2. = (xrh 1K, отсеченной прямой х = 4. (Ответ 24,81,) ...... ... ' . 2.8. </ = 1 — In cos x @ < х < л/6). (Ответ: 0,55.) 2.9. р = 6 cos3 (ф/3) @ < ф < л/2). (Ответ: 8,60.) 2.10.' х = 4 cos3 /, у = 4 sin4 /. (Ответ: 24,00.) 2.11. у1 = (х— IK от точки /4A, 0) до точки В(б,-\/l25) (Огвег: 8,27.) 2.12. i/2 = x5, отсеченной прямой х^^ 5. (Ответ: -24,81.) 2.13. р = 3 cos ф. (Ответ: 9,42.) 2.14. р = 3A—cos ф). (Ответ: 24,00.) 2.15. р = 2 cos3 (<p/3). (Ответ: 9,42.)
2.16. x = 5cos2t, у = 5sin21 @</<я/2). (Ответ: 7,05.) 2.17. 9г/2 = 4C — xf между точками пересечения с осью Оу. [Ответ: 9,33.) 2.18. p = 3sinq>. [Ответ: 9,42.) 2.19. у = In sin * {л/3 < х < л/2). (Ответ: 0,55.) 2.20. л: = 9{i — sin t),y = 9(l— cos /) @ < * < 2л). (От- (Ответ: 72,00.) 2.21. р = 2A — cos<p). (Ответ: 16,00.) 2.22. у2 = {* — Ifm точки ЛB, — 1) до точки 6E, —8). (Ответ: 7,63.) 2.23. x = 7(t — sin 0, у = 7A — cos /) Bя < t <-4л). (Ответ: 56,00.) 2.24. у = ех/2 + е~х/2 (О <jc < 2). (Ответ: 2,35.) 2.25. * = 4 cos3 t,y = 4 sin3 /. {Ответ: 24,00.) 2.26. х=Уз/2, j/ = * —i3 {петля). (Ответ: 4,00.) 2.27. р = 5йпф. (Ответ: 15,70.) 2.28. p = 4cosq>. (Ответ: 12,56.) 2.29. р = 5A +cos ф.) {Огвег: 40,00.) 2.30. у2 = х* от точки /4@, 0) до точки В D, 8). {Ответ: 9,07.) 3. Вычислить (с точностью до двух знаков после запя- запятой) объем тела; полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. 3.1. Ф: уг == 4 - х, х = 0, Оу. (Ответ: 107,17.) 3.2. Ф: V* + V#=y2, jc=O, y = 0, Олг. (Огв«г: 1,68.) 3.3. Ф: х2/9 + у2/4=1, Оу. (Ответ: 150,72.) 3.4. Ф: у3 = х2, у= 1, О*. (Ответ: 3,59.) 3.5. Ф: х = 6(t — sin t), у = 6A — cos /), Ох. {Отвег: 1064,88.) 3.6. Ф: x = 3cos2/, у = 4 sin2/ @ < ? < я/2), Ot/. (Огвег; 37,68.) 3.7. Ф: у2 = х, х2 = у, Ох. (Ответ: 0,94.) 3.8. Ф: у2 = (х- If, x = 2, Ох. (Ответ: 0,78.) 3.9. Ф: x = Vl— у2, y=-yj±x, у=0, Ох. (Ответ: 1,24.) •3.10. Ф: у = sin х, у = 0 {0 < х < л), Ох. (Ответ: 4,93.) 3.11. Ф: t/2 = 4x, x =4(/, Ох. (Ответ: 60,29.) 3.12. Ф: x = 2cos#, у = 5 sin t, Оу. (Ответ: 83,73.) 3.13. Ф: у = х2, 8х = у\ Оу. (Ответ:. 15,07.) 3.14. Ф: ^ = 6*. х = 0, у = 0, х= 1, Ох. (Ответ: 10,05.) 3.15. Ф: г/2 = 4х/3, х = 3, Ох. (Ответ: 90,43.) 190
3.16. Ф: у = 2х — х2, t/ = 0, Ох. (Ответ: 3,35.) 3.17. Ф: р = 2A + cos ф), полярная ось. {Ответ: 66,99.) 3.18. Ф: x = 7cos*t, y = 7sinAt, Oy. (Ответ: 328,23.) 3.19. Ф: x*/l6 + tf/l = \, Ох. (Ответ: 16,75.) 3.20. Ф: xz = (y—\f, х = 0, у = 0, Ох. (Ответ: 6,44.) 3.21. Ф: ху = 4, 2х + у — 6 = 0, Ох. (Ответ: 4,19.) 3.22. Ф: л; = Уз cos?, у = 2 sin/, O#. (Огв«г; 25,12.) 3.23. Ф: у = 2 —л:2, у = х2, Ох. (Ответ: 16,75.) 3.24. Ф: у=—х2 + 8, </ = х2, О*. (Огвег: 535,89.) 3.25. Ф: y2 = (x + 4f, x = 0, Ох. (Ответ: 200,96.) 3.26. Ф: у = х2, х = 0, у = 8, Ot/. (Ответ: 60,29.) 3.27. Ф: л: = cos* t, у = sin3 f, Ox. (Ответ: 0,96.) 3.28. Ф; 2у = х2, 2х + 2у — 3 = 0, Од:. (Отеет: 57,10.) 3.29. Ф: # = х — х2, у = 0, Ох. (Ответ: 0,10.) 3.30. Ф: у = 2 — ^/2, х + у = 2, Ог/. (Огвег.- 4,17.) 4. Вычислить (с точностью до двух знаков после за- запятой) площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг указанной оси. 4.1. L: у = х*/3 (-1/2<х<1/2), Ох. (Ответ: 4,25.) 4.2. L: р = 2 сбз ф, полярная ось. (Ответ: 12,57.) 4.3. L: x=№(t — sint), у = 10A — cos f) @ </<-2я), Ojc. (Oreer: 6698,67.) 4.4. L: у — х2/2, отсеченная прямой у = 3/2, Оу. (От- (Ответ: 14,65.) 4.5. L: Зу = х2 @ < х < 2), Ох. (Огв-ег: 24,09.) 4.6. L: y=^jx, отсеченная прямой у—х, Ох. (Ответ: 5,34.) ¦ 4.7. L: x = 2(t-sint), j/ = 2A! —cosi) @</<2я), Ох. (Ответ: 267,95.) 4.8. L: x = cos /, «/ = 3 + sin /, Ox. (Ответ: 118,32.) 4.9. L: 3x = y3 @<i/<2), Oy. (Ответ: 24,09.) 4.10. L: y = x3/3 (—1 <x< 1), Ox. (Ответ: 1,27.) 4.11. L: x == cos/, «/=l+sin/, Ox. (Oreer: 32,28.) 4.12. ?; jc2 = 4 + </, отсекаемая прямой у = 2, Oy. (Ответ: 259,57.) л=- 4.13. L: x=3(f — smt), y = S(l—cosf) @</<2я), Ox. (Ответ: 602,88.) 4.14. L: л: = со53/, y = sin3/, Ox. (Ответ: 7,54.) 4.15. L: p = ~ycos 2ф, полярная ось. (Ответ: 14,82.) 4.16. L: у2 = 4-\-х, отсекаемая прямой х — 2, Ох. (Ответ: 64,89.) 4.17. L: у =2х, , отсекаемая прямой 2^ = 3, Ох. (Ответ: 14,65.) 191
4.18. L: 3y 4.19. L: рй = 4.20. L: р = 4.21. L: x = (Ответ: 66,99.) 4.22. L: р = 4.23. L: р= L: L: L: L: 4.24. 4.25. 4.26. 4.27. (Ответ: 0,84.) 4.28. L: х 4.29. L: д: 4.30. L: р ( 1), Ox. (Ответ: 0,63.) 4соэ2ф, полярная ось. (Ответ: 14,80.) 6 sin ф, полярная ось. (Ответ: 354,96.) t — sint, у =1—cost @ < t < 2л), Ох. 2 sin ф, полярная ось. (Ответ: 39,44.) -5-созф, полярная ось. (Ответ: 7,07.) 3cos3/, y = 3sin3t, Ox. (Ответ: 67,82.) 2 cos /, у = 3 + 2 sin *, О*. (Ответ: 236,64.) 9 cos 2ф, полярная ось. (Ответ: 16,38.) х3 между прямыми х 23 O = 2 cos3 t, J/= sin3 ti Ox = cos t, у = 2 + sin ?, O#. '( = 4 sin ф, полярная ось. (Ответ: Решение типового варианта ) 157,76.) 1. Вычислить (с точностью до двух знаков после за- запятой) площадь фигуры, ограниченной линиямиЧ# == In x и у = In2 х A>нс. 9.23.) . ; Рис. 9.23 > Найдем точки пересечения данных кривых: Mi(l, 0), М2(е, 1). Теперь воспользуемся формулой ^9.7). Имеем:» \In2 xdx = S=\(\nx — \n2x)dx, и = In2 х, du = 2 In x—dx, dp = dx, v = x = x In2 x —1\ In xdx, 192
\ In xdx = Тогда и = In x, du =—dx, dv = dx, v = x = x In x — x + C. = x In x — \ dx — e e S =\ In xdx — \ In2 xdx = (x In x — x)\e — (x\n2x — — 2x In x + 2x)\ = e In e — e + 1 — (e In2 e — 2e In e + + 2e) + 2 = 3 — e ж 0,28.ч4 2. Вычислить (с точностью до двух знаков после запя- запятой) длину дуги линии х = (t2 — 2) sin t + 2t cos t, y = = B - ^2) cos f + 2< sin t @ < < < л). > Воспользуемся формулой (9.11): Находим подынтегральную функцию: -? = 2t sin t + (t2 — 2) cos t -f 2 cos < — 2< sin f = /2 cos t, -jj = —2^ cos ^ — B— t2) sin t-\- 2 sin < + 2/ cos < = /2 sm *, Vu) . Окончательно имеем |J = Vi* cos2* + *• sin2 < = f2. = " «10,32. 3. Вычислить (с точностью до двух знаков после за- запятой) объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной параболами у = = 3 — х2 и у = х2+ 1. > Находим точки пересечения парабол: М\(— 1, 2), Л12A, 2). Объем V данного тела получаем как разность объемов V2—V\, где, согласно формуле (9.14), У2 = л\ C-x2fdx, Vi = n\(x2+lfdx. 193
Таким образом, V = V2-V = я $ C-x2fdx-n\ (x2+\fdx = i = я J (C — х2J - (х2 + \f)dx = л [ (8 - 8x2)dx = -i-)» 33,50. На рис. 9.24 изображены плоская фигура в плоскости Оху и тело (из него вырезана четвертая часть), полу- полученное вращением данной фигуры вокруг оси Ох. У 3 Щ N. a =$ 1 M X f Рис. 9.24 Рис. 9.25 4. Вычислить (с точностью до двух знаков после за- запятой) площадь поверхности, полученной вращением окружности р = 10 sin ф вокруг полярной оси 01 (рис. 9.25.) > Воспользуемся формулами (9.15) (записанной в по- полярной системе координат) и (9.12): 194
где у = р sin ф. Далее находим: р, = 10 cos ф, у = р sin m = = 10 sin2 ф, ф1 = 0, фг = л, S = 2n$ 10 sin2 фУ 100 cos2 ф + 100 sin2 фс/ф = о п к = 200л С sin2 фйф = 200яС1~ ™1???/ф = о о = 100л(ф — ~ sin 2ф)|*« 985,96. 4 ИДЗ-9.3 1. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды принять равным 9,81 кН/м^, л = 3,14. (Результат округлить до целого числа.) 1.1. Р: правильная четырехугольная пирамида со сто- стороной основания 2 м и высотой 5 м. {Ответ: 245 кДж.) 1.2. Р: правильная четырехугольная пирамида, обра- обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6 м. (Ответ: 118 кДж.) 1.3. Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5 м и радиус 1 м. (Ответ: 22 кДж.) 1.4. Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, длина 5 м. (Ответ: 33 кДж.) 1.5. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 3 м. (Ответ: 393 кДж.) 1.6. Р: желоб, перпендикулярное сечение которого является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глу- глубина 4 м. (Ответ: 837 кДж.) 1.7. Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания которой 1 м, длина 5 м. (Ответ: 154 кДж.) 1.8. Р: правильная треугольная пирамида с основа- основанием 2 м и высотой 5 м. (Ответ: 106 кДж.) 1.9. Р: правильная треугольная пирамида, обращен- обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высо- высота 6 м. (Ответ: 204 кДж.) 1.10. Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5 м. (Ответ: 578 кДж.) 1.11. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1 м, высота — 3 м. (Ответ: 416 кДж.) 195
1.12. Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м. (Ответ: 770 кДж.) 1.13. Р: правильная четырехугольная усеченная пира- пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижне- нижнего — 4 м, высота — 2 м. (Ответ: 576 кДж.) 1.14. Р: параболоид вращения, радиус основания ко- которого 2 м, глубина 4 м. (Ответ: 329 кДж.) 1.15. Р: половина эллипсоида вращения, радиус осно- основания которого 1 м, глубина 2 м. (Ответ: 31 кДж.) 1.16. Р: усеченная четырехугольная пирамида, у кото- которой сторона верхнего основания- равна 2 м, нижнего — 4 м, высота — 1 м. (Ответ: 56 кДж.) ¦ 1.17. Р: правильная шестиугольная пирамида со сто- стороной основания 1 м и высотой 2 м. (Ответ: 26 кДж.) 1.18. Р: правильная шестиугольная пирамида с вер- вершиной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6 м. (Ответ: 306 кДж.) 1.19. Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м. (Ответ: 139 кДж.) 1.20. Р: правильная усеченная шестиугольная пира- пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м. (Ofeer: 144 кДж.) 1.21. Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1 м, длина Ж1елоба 10 м. (Ответ: 65 кДж.) 1.22. Р: правильная усеченная шестиугольная Пира- Пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1 м, высота ¦— 2 м. (Ответ: 93 кДж.) 1.23. Р: полусфера радиусом 2 м. (Ответ: 123 кДж.) Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление си- силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого материала, удельный вес которого у. (Результат округлить до целого числа.) 1.24. Q: правильная усеченная четырехугольная пи- пирамида, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего — 4 м, высота 2 м; у — 24 кН/м3. (Ответ: 352 кДж.) 1.25. Q: правильная шестиугольная пирамида со сто- стороной основания 1 м и высотой 2 м; у = 24 кН/м3. (Ответ: 21 кДж.) 1.26. Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2 м и высотой 4 м; у = 24 кН/м3. (Ответ: 128 кДж,) " 1.27. Q: правильная шестиугольная усеченная пира- пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, 196
со сто- кН/м3. нижнего —2 м, высота — 2 м; у = 2А кН/м*3 (Ответ: 229 кДж.) 1.28. Q: правильная треугольная пирамида роной основания 3 м и высотой 6 м; 7= 20 (Ответ: 234 кДж.) 1.29. Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; 7 = 20 кН/м3. (Ответ: 188 кДж.) 1.30. Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м; 7 = 21 кН/м3. (Ответ: 88 кДж.) 2. Вычислить силу давления воды на пластину, верти- вертикально погруженную в воду, считая, что удельный вес воды равен 9,81 кН/м3. (Результат округлить до целого числа.) Форма, размеры и расположение пластины указа- указаны на рисунке. 98 кН.) 85 кН.) 248 кН.) 105 кН.) 167 кН.) 26 кН.) 131 кН.) 23 кН.) 2.1. Рис. 9.26. (Ответ: 2.2. Рис. 9.27. (Ответ: 2.3. Рис. 9.28. (Ответ: 2.4. Рис. 9.29. (Ответ: 2.5. Рис. 9.30. (Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: 2.6. Рис. 9.31. 2.7. Рис. 9.32. 2.8. Рис. 9.33. 2.9. Рис. 9.34. (Ответ: 523 кН.) 2.10. Рис. 9.35. (Ответ: 33 кН.) 2.11. Рис. 9.36. (Ответ: 31 кН.) 2.12. Рис. 9.37. (Ответ: 62 кН.) 2.13. Рис. 9.38. (Ответ: 24 кН.) 2.14. Рис. 9.39. Ответ: 22 кН.) 2.15. Рис. 9.40. Ответ: 239 кН.) 2.16. Рис. 9.41. Ответ: 123 кН.) 2.17. Рис. 9.42. Ответ: 78 кН.) 2.18. Рис. 9.43. (Ответ: 13 кН.) 2.19. Рис. 9.44. (Ответ: 52 кН.) 2.20. Рис. 9.45. (Ответ: 3 кН.) 2.21. Рис. 9.46. (Ответ: 23 кН.) 2.22. Рис. 9.47. (Ответ: 16 кН.) 2.23. Рис. 9.48. (Ответ: 251 кН.) 2.24. Рис. 9.49. (Ответ: 31 кН. 2.25. Рис. 9.50. (Ответ: 13 кН. 2.26. Рис. 9.51. (Ответ: 6 кН.) 2.27. Рис. 9.52. (Ответ: 6 кН.) 2.28. Рис. 9.53. (Ответ: 39 кН.) 2.29. Рис. 9.54. (Ответ: 20 кН.) 2.30. Рис. 9.55. (Ответ: 272 кН. 197
Параллелограмм Рис. 9.26 Равнобочная трапеция Рис. 9.28 — Парабола Рис. 9.30 дм-—— Равнобочная трапеция Рис. 9.27 Равнобочная трапеций Рис. 9.29 Чолуэллипс Рис. 9.31 Равнобочная трапеция Рис. 9.32 Четверть кольца Рис. 9.33 Равнобедреннь/п треугольник Рис. 9.34 Равнобедренный треугольник Рис. 9.35
Круг Рис. 9.36 Полукруг Рис. 9.38 Полукруг Рис. 9.40 Рис. 9.42 Полукруг — Рис. 9.44 '—Г/>7~ Г" Круг Рис. 9.37 1М ^Г~_3~ Полукруг Рис. 9.39 Эллипс Рис. 9.41 —?л*-«- _1м Равнобедренный треугольник Рис. 9.43 Н 2м Равноведрениый треугольник Рис. 9.45
Прямоугольный треугольник Рис. 9.46 -4м-*-\ — Парабола Рис. 9.48 Полуэллипс Рис. 9.50 ¦2м Прямоугольный треугольник Рис. 9.52 Квадрат Рис. 9.54 : треугольник Рис. 9'.47 — ч?— JmZ~_ 1м Тм Параллелограмм Рис. 9.49 -2м — — Прямоугольныи треугольник Рис. 9.51 Дуга параболы Рис. 9.53 Парабола Рис. 9.55
3. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L. 3.1. L: полуокружность х2 + у2 = R2', расположенная над осью Ох. (Ответ: хс = О, ус = 2R/n.) 3.2. L: первая арка циклоиды х = a(t — sin t), у = — a(l—cost) @<<<2л). (Ответ: хс = па, ус= — а.\ 3.3. L: дуга астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3, располо- расположенная в третьем квадранте. (Ответ: хс = ус = = -0,4а.) 3.4. L: дуга окружности радиусом R, стягивающая центральный угол а. (Ответ: центр масс находится на биссектрисе центрального угла, стягивающего дугу, на расстоянии 27?S1" ^ ' от центра окружности.) 3.5. L: дуга цепной линии у = а сп (х — а) ( — а ^ х ^ <п). (Ответ: хс = 0; Ус=±Ш п). ( 3.6. L: дуга кардиоиды р = аA+со8ф) @ (Ответ: хс =ус = 4/5а.) 3.7. L: дуга логарифмической спирали р'= аеф (л/2 3.8. L: одна арка циклоиды л: = 3(< — sin <), i/ = = 3A — cos t). (Ответ: хс = Зл, ус = 4.) 3.9. L: дуга астроиды л; = 2 cos3 (t/4), у = 2 sin3 (f/4), расположенная в первом квадранте. (Ответ: хс = ус — -4/5.) 3.10. L: дуга кривой x — e'sint, y = e'cost @^.t = = Я/2). 3.11. L: кардиоида р = 2A+cos ф). (Ответ: хс=\,6, Ус = 0.) 3.12. L: кривая р = 2 sin ф от точки @, 0) до точки (V2, л/4). (Ответ: лгс = 2/л, i/с = (л- 2)/л.) 3.13 L: дуга развертки окружности x = a(cos^ + + ^sin t), y = a(s\n t — t cos t) @<^<л). (Ответ: хс = 2B + 4)/(% 6/) ( )( ) 3.14. L: кривая р = 2-\/3cos ф, заключенная между лучами ф = 0 и ф = л/4. (Ответ: хс=-\/3(л + 2)/л, Ус = 2Уз/л.) 201
3.15. L: кривая х=-\[зt2,y = t — <3@<<< 1). {Ответ: /5, ус =1/4.) Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями. 3.16. Ф — треугольник, стороны которого лежат на прямых х -\- у— а, х = 0 и у = 0. (Ответ: хс = ус = = а/3.) 3.17. Ф ограничена эллипсом х2/а2 + у2/Ь2 = 1 и осями координат (х>0, t/>0). (Ответ: хс — Аа/(Зп), ус = 46/C)) () 3.18. Ф ограничена первой аркой циклоиды х = = (i(t — sin t), y = a(l—cost) и осью Ох. (Ответ: хс = па, ус = Ъа/6.) 3.19. Ф ограничена кривыми у — х2; у=-\[х. (Ответ: хс = Ус = 9/20.) 3.20. Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрез- отрезком оси Ох @ <: х < л). (Ответ: хс = я/2, t/c = л/8.) 3.21. Ф ограничена полуокружностью у =-\/r2 — х2 и осью Ох. (Ответ: хс = 0, yc = 4R/(Sn).) 3.22. Ф ограничена дугой параболы у = Ьух/а (а > 0, Ъ > 0), осью Ох и прямой х = Ь. (Ответ: хс = За/5, ус = = 36/8.) 3.23. Ф ограничена дугой параболы у = Ьух/а (а > 0, 6>0), осью Оу и прямой у = Ь. (Ответ: хс = За/\0, ус = 36/4.) 3.24. Ф ограничена замкнутой линией у2 = ах3 — х4. (Ответ: хс = 5а/8, ус = 0.) 3.25. Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте. (Ответ: хс = ус = = 256а/C15я).) 3.26. Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а. (Ответ: центр масс лежит на оси симметрии сектора на расстоянии -^ R ^^ от центра круга. О ОС Если центр круга находится в начале координат, а ось симметрии сектора — на оси Оу, то хс = 0, ус =-TR^-^^\ О (X / 3.27. Ф ограничена кардиоидой р = аA -|-cos(p). (От- (Ответ- хс = 5а/6, ус = 0.) 3.28. Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернул- ли p2 = a2cos2q). (Ответ: xc=~\j2na/8, ус = 0.) 202
3.29. Ф ограничена осями координат и параболой У* + + -\[у=-\[а. (Ответ: хс = ус= а/5.) 3.30. Ф ограничена полукубической параболой ау = = х3 и прямой х = а (а > 0). (Ответ: хс = 5а/7, ус — 0.) Решение типового варианта 1. Определить работу А, которую необходимо затра- затратить на выкачивание воды из резервуара, представляюще- представляющего собой лежащий на боку круговой цилиндр длиной L и радиусом основания R, через находящееся вверху от- отверстие (рис. 9.56). Удельный вес воды у = 9,81 кН/м3. Вычислить работу А в случае, когда L = 5 м, # = 1 м. (Результат округлить до целого числа.) >- На высоте г выделим слой воды dz (см. рис. 9.56). Его объем dV = 2 | ОхВ | Ldz = 2L^jR2-(R-zfdz = = 2Z.-y/zB/? — z)dz. Отверстие Отверстие Рис. 9.56 Этот слой нужно поднять на высоту Н = 2R — z. Эле- Элементарная работа dA, затраченная на выкачивание слоя dz, определяется формулой dA =HydV = 2yLBR - z)sjzBR — z)dz. Работа А по выкачиванию всей воды равна сумме всех элементарных работ: 2R 2R A=\dA= \2yLBR — z)-M о о 2yL\z l/2 BR-zK/2dz. 203
Теперь вычислим интеграл A), который представляет собой интеграл от дифференциального бинома при т = — 1/2, л = 1, р = 3/2. Так как (т + \)/п + р = 3 ? Z, то для вычисления интеграла A) воспользуемся подстанов- подстановкой а + Ьхп — usxn (см. § 8.7). Имеем 2R A = 2yl\zl/2BR-zf/2dz = о 2R-z = u2z, dz = -4Ru(u2 + \)~2du, z = 2R/(u2+\), если 2 = 0, то м = =оо, если z — 2R, то м = 0 Подынтегральная функция в последнем несобственном интеграле является правильной рациональной дробью, которую, согласно формуле (8.10), можно разложить в сумму простейших дробей четвертого типа (см. § 8.6). Интегралы от, этих дробей легко находятся с помощью ре- рекуррентной формулы (8.4). Последовательно получаем Г «4rf» -f/ ' _ J(«2+D4 JV(«2+iJ («2 0 л О."* л_|_5 3 л я Таким образом, А = 32yLR3n/32 = nyLR3. Если L = 5 м, R = I м, то Л = 3,14 • 9,81 • 5 • 1 ж 154 кДж. 4 2. Вычислить силу давления воды иа пластину, верти- вертикально погруженную в воду, считая, что удельный вес воды равен 9,81 кН/м3. Форма, размеры и расположе- расположение пластины указаны на рис. 9.57. >- Выбираем систему координат относительно пласти- пластины так, как показано на рис. 9.57. Тогда простейшее урав- уравнение параболы имеет вид х2 = —2ру. Так как парабола проходит через точку А(\/2, — 1), то р = 1/8 и х2 = —у/4. Выделим на глубине х горизонтальную полоску шири- шириной dx и площадью ds = (\ — \y\dx. Давление воды на эту полоску АР = ухA — \y\)dx = ух{\ — 4x2)dx. 204
Рис. 9.57 Тогда давление воды на всю пластину будет При Н= 1/2 м и y = 9,81 кН/м3 получим 3. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми у = х2 и у = ух. > Координаты центра масс данной фигуры (рис. 9.58) вычисляются по формулам (9.17), где /i (х) = х2, f2(x) =~\x. Рис. 9.58 \ \ \ \ \ \ \ \ У 1 0 y-x в / У Xc ' X Так как точки пересечения кривых О@, 0) и В(\, 1), то а = 0, Ь=\. Тогда имеем: J {y2- x(y2 - 20 ' 205
\ 5)\o 20' откуда хс = ус = 9/20. -4 9.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 9 1. Решить уравнения: X X ) [ dx — л • б) [ dx _ п v я) V2 In 2 v (Ответ: а) * = 2; б) л; = 1п4.) 2. Доказать справедливость равенства 1/Х к/4 3. Пусть /„= J tg"xdx (л>1, л — целое). Дока- о зать, что /„ + /„_2= 1/(«— !)¦ 4. Вычислить площадь криволинейной трапеции или фигуры, ограниченной заданными линиями: а) у = *УУ(*-3)E-*), *?C; 5); б) у = (arcsin -\/jc) /-\/1 — *, д:6[0; 1); в) P = tg9, Р = ^, ф6[0; л/2); г) у^дге-^72, х?[0; оо); Д) y=V/() [ ) е) ху =8 — 4х и ее асимптотой; ж) (х-\- \)у2 = х2 (х < 0) и ее асимптотой. (Огвег: а) З'Зя/2; б) 2; в) л/4; г) 1; д) л/4+1/2; е) 4л; ж) 8/3.) 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверх- поверхностью, полученной вращением указанных линий: а) у — е~х* и у = 0 вокруг оси Оу; б) D — х)у2 — хъ = 0 вокруг ее асимптоты; в) у = 1/A +*2) вокруг ее асимптоты'; г) у = е~* sin лх и х ^ 0 вокруг оси Ох. (Ответ: а) л; б) 16л2; в) л2/2; г) л3/DA + л2)).) • 206
6. В цилиндрическом баке, наполненном водой и рас- расположенном вертикально, имеется малое отверстие в дне. Половина воды из бака вытекла за t мин. За какое время вытечет вся вода? (Считать |х == 1 и v = \i~\2gh, где v — скорость истечения жидкости из отверстия. (Ответ: B+д/2)<мин.) 7. На резистор с постоянным сопротивлением R подано переменное напряжение U = Uo sin a>t. Какое постоянное напряжение следует подать на резистор R, чтобы вы- выделяющееся в нем за время Т = 2л/w количество теплоты было равно количеству теплоты, выделяющемуся за тот же период при подаче переменного напряжения? (Ответ: t/o/Уг.) 8. Электрическая цепь имеет в начальный момент вре- времени сопротивление R Ом, которое в дальнейшем равно- равномерно возрастает со скоростью v Ом/с. В цепь подано постоянное напряжение U В. Найти заряд, прошедший через цепь за t с. (Ответ: —In „ Л 9. Вычислить массу земной атмосферы, полагая, что ее плотность р меняется с увеличением высоты по закону р = poe~ah, где h — расстояние от поверхности Земли до рассматриваемой точки. (Земля считается шаром ра- радиусом R). (Ответ: Dnpo(a*R2 + 2aR + 2))/а3.) 10. Тело окружено средой с постоянной температурой Т = 20 °С. За 20 мин температура тела в результате охлаждения понизилась от 100 до 60 °С. За какое время с начала охлаждения тела его температура снизится до 30 °С? (Ответ: 1 ч.) 11. Материальная точка массой m расположена на расстоянии / от однородного бесконечного стержня линей- линейной плотностью р. С какой силой стержень притягивает точку? (Ответ: лурт/1, у — гравитационная постоян- постоянная.) 12. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от vi до v 2. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости, найти время движе- движения пули внутри доски. (Ответ: h(v\ -^- «2)/( V\Vi In — J. J 207
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 10.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть каждой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторой области D(x, у) соответствует определенное число г 6 Е с R. Тогда z называется функцией двух переменных х и у, х, у — независимыми переменными или аргументами, D — областью определения или су- существования функции, а множество Е всех значений функции — областью ее значений. Символически функция двух переменных записы- записывается в виде равенства z = f(x, у), в котором f обозначает закон соответствия. Этот закон может быть задан аналитически (формулой), с помощью таблицы или графика. Так как всякое уравнение z = f(x, у) определяет, вообще говоря, в. пространстве, в котором введена декартова система координат Oxyz, некоторую поверхность, то> под гра- графиком функции двух переменных будем понимать поверхность, обра- образованную множеством точек М(х, у, z) пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f(*, у) (рис. 10.1). Геометрически область определения функции D обычно представ- представляет собой некоторую часть плоскости Оху, ограниченную линиями, которые могут принадлежать лли не принадлежать этой области. В первом случае область D называется'замкнутой н обозначается D, во втором — открытой. Пример 1. Найти область определения D и область значений Е функции z = 1п (у — х2 + 2х). ; Р- Данная функция определена в тех точках плоскости Оху, в ко- которых у,— х2 + 2х> 0, или у~> х2 — 2х. Точки плоскости, для которых у — х2 — 2х, образуют границу области D. Уравнение у = х2 — 2х задает параболу (рис. 10.2; поскольку парабола не принадлежит об- области D, то она изображена штриховой линией). Далее, легко про- проверить непосредственно, что точки, для которых у > х2 — 2х, распо- расположены выше параболы. Область D является открытой (на рис. 10.2 она заштрихована) и ее можно задать с помощью системы неравенств: D: {— оо < * < + оо, х2 — 2х < у < + оо). Так как выражение под знаком логарифма может принимать сколь угодно малые и сколь угодно большие положительные значения, то область значений функции Е: {— оо <z< +oo). 4 Определение функции двух переменных легко обобщить На случай тоех и большего числа переменных. Величина у называется функцией переменных х\, х%, ..., хп, если^каждой совокупности (х\, хгг ..., хп) пере- переменных Х\, хч хп из некоторой области n-мерного простран- пространства соответствует определенное значение у, что символически запи- записывается X. виде у — \{х\, хг, -.., х„). Так как'совокупность значе- значений независимых переменных Xi, хг, ¦¦¦, х„ определяет точку «-мерного 208
¦п у°хг-2х Рис. 10.1 Рис. 10.2 пространства M(xi, x2, ..., х„\ то всякую функцию нескольких пере- переменных обычно рассматривают как функцию точек М пространства соответствующей размерности: у = f{M). Число А называется пределом функции г = f(x, у) вточке Мо(*о, Уо), если для любого г > 0 существует б > 0, такое, что при всех х, у, удовлетворяющих условиям I* — хо\ <. б и \у—i/ol < б, справедливо неравенство \1(х,у)-А\<ъ. Если А — предел функции f(x, у) в точке Afo(*o, Уй), то пишут: А= lim f(x, y)= lim f(x, у). ¦ У^-Уо ¦ - Пример 2. Вычислить предел А = \irn- Преобразовав выражение под знаком предела, получим А = lim —¦•—' О 0=2. Функция z = f(x, у) называется непрерывной в точке Мо(хо, уо), если справедливо равенство lim f(x, y) = f{xa, {/о). Х--ХЦ У — Уа Например, функция z= l/Bx2 + y2) непрерывна в любой точке плоско- плоскости, за исключением точки М@, 0), в которой функция терпит бесконеч- бесконечный разрыв. 209
Функция, иепрерывнаи во всех точках некоторой области D, называется непрерывной в данной области. Если переменной х дать некоторое приращение Л*, а у оставить постоянной, то функция z = f(x, у) получит приращение Д*г, называемое частным приращением функции z no переменной х: Д,2 = К* + Л*. У)~Пх, У). Аналогично, если переменная у получает приращение Д</, а х остается постоянной, то частное приращение функции z по переменной у Asz = f(x, y + Ay) — f(x, у). Если существуют пределы: ,. ДУ2 dz , г,. . - lim -f— = = z'y = /?(дс, u), они называются частными производными функции z = f(x, у) по пе- переменным х а у соответственно. Аналогично определяются частные производные функций любого числа независимых переменных. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что осталь- остальные переменные — постоянны, то все правила и формулы дифферен- дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных. Пример 3. Найти частные производные функции z = arctg —. ^ Находим: dz_ _ дх ¦(-*)- dz_ ду 1 \+(y/xf x x2 + y2' " Пример 4. Найти частные производные функции ш = 1п2(д:2 Находим: х1 + у1 + г' -2х, ¦ 2у, + z 2.2г. Дифференциал функции z = /(-с, у), найденный при условии, что одна из независимых переменных изменяется, а вторая остается постоянной, называется частным дифференциалом, т. е. по определению dxz = f'x(x, y)dx, dyz = f'y{x, y)dy, где dx = kx, dy = Д(/ — произвольные приращения .независимых пере- переменных, называемые их дифференциалами. Это справедливо и для функции трех переменных w = j(x, у, г). 210
Пример 5. Найти частные дифференциалы функции w — (ху2)*'. ^ Имеем: dxw = z\xy2)*' ~ ly2dx, dyw = z\xy2)*' ~ l2xydy, dzw = (ху2)*' In (xy2) ¦ 3z2dz. 4 Пример 6. Вычислить значения частных производных функции w=^Jx2 + y2 + z3 — xyz в точке МB, —2, 1). > Находим частные производные: dw х dw и - xz, dw — ху. В полученные выражения подставляем координаты данной точки: dw dz 3 п 3 ' — ' ду 3 ' АЗ-ЮЛ 1. Найти области определения следующих функций: ' ; б) z=. ' а) 2=д/у2- -yjx + l в) z = Inx + In cosy; г) z=-\x2 -\-у2 — 9. 2. Найти частные производные указанных функций: f — xy2f; б) z = arcsin-^-; г) z = \n(x- е) м = arctg(j:y/z); a) z = i в) z = Д) z = ж) м = 1п-\/(х2 + #2)/(;с2 + z2; з) и = (ху)г'. 3 Вычислить их + и'у-\-и'г в точке Afo(l, 1, 1), если u = In A + х + у2 + z3). (Ответ: 3/2.) 4. Вычислить значения частных производных функции z — х-\- у -\--\Jx2 + у2 в точке AfoC, 4). (Ответ: 2/5, 1/5.) 5. Найти частные дифференциалы следующих функций: a) z=ln-\jx2 -\- у2; б) z = ; в) и = 444 г*1 — х' — у 211
Самостоятельная работа 1. Найти: а) области определения и значений функции б) частные производные функции z = sin2(;t cos2 у + у sin2 x); в) частные дифференциалы функции » = 1п з ху" ,. х + у + z 2 Найти: а) области определения и значений функции б) частные производные функции и = arcsin -yxy2z3; в) частные дифференциалы функции V( + /W/) 3. Найти: а) области определения и значений функции z~ уху.+ л/х — У, б) частные производные функции u = tg2(x-y2 + z3); в) частные дифференциалы функции 10.2. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Полным приращением функции z = j(x, у) называется разность /±z = f(x+/±x, y + by)-f(x, у). Главная часть полного приращения функции z = j(x, у), линейно зависящая от приращений независимых переменных Ах и &у, на- называется полным дифференциалом функции и обозначается dz. Если 212
функция имеет непрерывные частные производные, то полный диффе- дифференциал существует и равен ^dx + ^-dy, A0.1) дх ду ' где dx = Ax, dy = Ау— произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. Для функции п переменных y = f(x\, хг, ..., хп) полный диффе- дифференциал определяется выражением Пример 1. Найти полное приращение и полный дифференциал ФУНКЦИИ 2 = X2 — ху + <Л > По определению Дг = (х + АхJ -(х + Ах) (у + Ау) + (у + АуJ - х2 + ху - у2 = = х2 + 2кАх + Ах2 — ху — хАу — у Ах — АхАу + у2 + 2уАу + Ау2 — — х2 + ху — у2 = 2л:Лл: — хАу + 2уАу — у Ах + Ах2 — АхАу + + Д/ = Bх - у) Ах + Bу — х) Ау + Ах2 — АхАу + Ау2. Выражение Bх — у)Ах + Bу — х)Ау, линейное относительно Ах и Ау, есть дифференциал dz, а величина а = Ах2 — АхАу + Ау2 — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Др = = ~sJAx2 + Ау2. Таким образом, Az = dz + a. -4 Пример 2. Найти полный дифференциал функции и = 1п2 (х2 + + у2-Л ^ Вначале находим частные производные: ^. = 2\n(x2 + y2-z2^^—1 -2.2х, дх х2 + у2 — z2 ду ч ' ' x2 + y2-z2 •" ^- = 2\а{х2 +y*-z2)-T-\ 5-(-2г). dz хг + уг — г Согласно формуле A0.2), получаем du = 4 In (л:2 + i/2 — z2)-^ !j -jixdx + ydy - zdz). 4 x -\- у — z Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений зиачений функции, так как Дг « dz, т. е. 1(хо-\-Ах, уо + Ау) ж /(*о, (/о) +dz(*o, (/о)- Пример 3. Вычислить приближенно A,02K01. ^ Рассмотрим функцию г = г*. При хо = 1 и (/о = 3 имеем го = = 13=1, Дл:== 1,02—1 =0,02, Д(/ = 3,01 —3 = 0,01. Находим полный дифференциал функции г = х" в любой точке: dz = (/л;9"' Дл: + х" 1п л:Д(/. Вычисляем его значение в точке МA, 3) при данных прираще- приращениях Ах = 0,02 и Д(/ = 0,01: dz = 3 • I2 • 0,02 + I3 • In 1 • 0,02 = 0,06. Тогда z = A,02K01 да z0 + dz = 1 + 0,06 = 1,06. 4 213
Функция z = f(u, v), где и = <p(x, у), v = ^(x, у), называется слож- сложной функцией переменных х и у. Для нахождения частных производных сложных функций используются следующие формулы: dz дг ди dz dv дх ~~~дп~д~х ~dv дх ' ... „, дг_ = дг_ ди_ + dz_ dv_ [Ш^> ду ди ду dv ду ' В случае, когда и = <р(х), v — ty(x), вторая из формул A0.3) исчезает (т. е. превращается в тождественный нуль), а первая пре- преобразуется к виду ^?_?Ё?^ + — — П04) dx~du dx+dvdx- (WA) Если же и=х, v — y = ^{x), то формула A0.4) имеет вид dz=dzdzdy_ dx дх ду dx v ' В последней формуле -т- называется полной производной функции | в отличие от частной производной -j- )• Пример 4. Найти частные производные функции z = sin (uv), где и = 2х + Зу; v = ху. ^ Имеем: -_ = v cos (uv) • 2 -f- и cos (uv)y = cos Bx2y + Zxy2) ¦ (Axy + 3r/2), dx _- = v cos (ми) • 3 + и cos («y)x = cos Bx2y + 3x(/2) • Fxy + 2x2). ^ Пример 5. Найти полную производную функции и = х + г/2 + г3, где (/ = sin *; 2 = cos x. > Имеем: dz ди ди dy ди dz , . -r- = 3- + '3-^r- + 3-^r=1+2(/cos + 3z2( —sin x) = dx дх ду dx dz dx v ' = 1 + 2 sin ^ cos * — 3 cos2 * sin x. 4 Если уравнение F(x, y) = 0 задает некоторую функцию у(х) в неявном виде и /^(*- у)фО, то dx F',(x, у) Если Уравнение F(x, у, z) = 0 задает функцию двух переменных z(x, у) в неявном виде и F's(x, у, z) = 0, то справедливы формулы: dz _ Fj(x, у, г) dz _ Fj(x, у, z) dx F'z(x, у, z)' dy~ F',(x, y, z) ¦ (WJ) Пример 6. Найти производную функции у, заданной неявно уравне- уравнением х3 + у3 — е"" — 5 = 0. 214
> Согласно формуле A0.6), имеем dy_ Зл:2 — exvy dx~ 3</2-Л' Пример 7. Найти частные производные функции г, заданной неявно уравнением xyz + х3 — у3 — z3 + 5 = 0. > Воспользуемся формулами A0.7). Получим: dz _ yz + Зл:2 dz _ xz — Зу2 дх ~ xy — iz2'dy~ xy — Zz2' АЗ-10.2 1. Найти полные дифференциалы следующих функций: a) z = x3fxy2fx2y; б) z = ^~^ в) ы = sin2 (xy2z3). 2. Вычислить приближенно данные выражения, заме- заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами: а) A,02K@,97K; б) VD,05J + B,93J. (Ответ: а) 0,97; б) 4,998.) 3. Найти частные производные функции z = - если и = х sin г/, у = г/ cos x. 4. Найти частные производные функций w = In (ы3 + + у3 — /3), если и = ху, v = x/y, t = еед. 5. Найти производную функции z = tg2 (x2 — у2), если у = sin / 6. Найти производную функции у, заданной неявно уравнением sin ху — х2 — у2 = 5. 7. Найти частные производные функции z, заданной неявно уравнением xyz — sin2 xyz -\- x + у3 + z3 = 7. 8. Вычислить значения частных производных функции г, заданной неявно уравнением х*+у3-{-z3— xyz = 2, в точке МоA, 1, 1). (Ответ: —1, —1.) Самостоятельная работа 1. Найти: а) полный дифференциал функции и = z arctg (x/y); б) производную функции у, заданной уравнением sin3 ху2 + cos3 yxi = 1. 2. Найти: а) полный дифференциал функции z = ctg3(xy2 — y3 + + х2у); 215
б) производную функции г = arctg -цх2 -+- у2', если у = 3. Найти: а) полный дифференциал функции z = ecosV-/). б) частные производные функции г, заданной уравне- м x2y2z2 + 7/- 8xz3 + z4 = 10. нием 10.3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Частными производными второго порядка называют частные произ- производные, взятые от частных производных первого порядка: д2г д д3г __ д /dz\ _ -dJ-dj\dj)-Mx'y>' d*z _ д /дг\ дхду~ду\дх)-1"/{х'у)' д2г _ д (дг\_ д1~~д~\~д~)-'уЛХ' У) Аналогично определяются частные производные третьего и более о д"г «. ' высоких порядков. Запись — n_k означает, что функция z k раз про- продифференцирована по переменной х и л — k раз по переменной у. Частные производные f"y(x, у) и fgX(x, у) называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны. Прнмер I. Найти частные производные второго порядка функции z = exV- ^ Вначале найдем частные производные первого порядка: VZ гг г - л dZ V2,,2 - 9 Тх = е -2ху'д-у = е -2ху- Продифференцировав их еще раз, получим: ^1 = ^ дх2 — = e'V • 4л:У д2 дхду ?z_ дудх = е"'»' ¦ 4хъуъ + e"v ¦ 4ху. д2 л2 Сравнивая последние два выражения, видим, что = м дхду дудх 216
Пример 2. Доказать, что функция z = arctg— удовлетворяет уравнению Лапласа —--| 5- = 0. дх2 ду2 > Находим: дг_ у dz _ х дх х2 + у2' ду~х2 + у2' d2z _ 2ух д2г _ 2ху дх2~(х2 + у2Г ду'~ (х2 + уТ Тогда d2z d2z = 2ух 2ху _Q Полный дифференциал второго порядка d2z функции z = f(x, у) выражается формулой ,, д2г , 2 , с, д2г . . , d2z , 2 d2z =—dx2 + 2-—dxdy + —jdy2. дх2 дхду ду Пример 3. Найти полный дифференциал второго порядка функции г = х3 + г/3 + х2у2. > Находим частные производные второго порядка: ==6x + 2!?,g=6y + 2x,?4xy. дх2 ду2 дхду Следовательно, d2z = Fх + 2у2) dx2 + bxydxdy + Fi/ + 2л:2) dy2. -4 Есл» поверхность задана уравнением z — f(x, у), то уравнение касательной плоскости в точке Мо(хо, Уо, ^о) к данной пощерхности: 2 — zo = f'x(xo, Уо) (х — Хо) + f'vixo, Уо) (У — Уо), (Ю.8) а канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(хо, г/о) поверхности: X — Хр _^ У — УО _Z — Z0 1х(хо, Уо) f'Axo, Уо) — 1 В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде: F(x, у, г) = 0, и Р(хй, у0, го) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке Мо{хо, уо, zo) имеет вид F'x(xo, у о, zo) (х — Хо) + F'y(xo, у о, г0) (у — у о) + Щхо, Уо, z0) (г — г0) = 0, A0.10) а уравнение нормали — х-хо = у-уо = г-го F'x(x0, у о, zo) F'y(xo, у о, zo) Fi(x0, у0, z0) Пример 4. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности х + у3 + г3 + .п/г — 6 = 0 в точке МоA, 2, — 1). > Вычисляем значения частных производных в точке МоA, 2, —1): F',(x0, у о, Zo) = (Зх2 + у г) F'y{xo, уо, Zo) = Cy2 + xz) F'z{xo, у о, Zo) = (Зг2 + ух) «„=11, м. = 5. 217-
Подставляя нх в уравнения A0.10) и A0.11), получаем соответственно уравнение касательной плоскости и канонические уравнения нормали *-1 _ у-2 г+1 1 И ~ 5 - * ЛЗ-/0.3 1. Найти частные производные второго порядка ука- указанных функций и проверить, равны ли их смешанные частные производных: а) г=-л]{х2 + у2)л; 6) z = в) z = e*(sin у + cos x); г) z = arctg-p-± 2. Доказать, что функция z = e*(x cos у — г/ sin y) удовлетворяет уравнению —§• +—1 = 0. 3. Доказать, что функция z = e~cos (*+ 3г/) удовлетворяет уравнению 9«^-|=^-|. 4. Найти уравнение касательной плоскости и уравне- уравнения нормали к поверхности xyz2 + 2у2 + Зг/z + 4 = 0 в точке Мо(О, 2, —2). 5. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=-^-x2 — -i-г/2 в точке М0C, 1, 4). (Ответ: — и-г — у z- х~3 j 6. Для эллипсоида х2 + 2у2 + г — 1 записать уравне- уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости x — y + 2z = 0. (Ответ: x — y + 2z= ±^/l\/2.) Самостоятельная работа 1. 1. Найти частные производные второго порядка функции z = \п(х2 + у2). 2. Записать уравнения касательной плоскости и нор- нормали к поверхности х2 -\- 2у2 + 3z2 = б в точке М0 A, — 1, 1). 2. 1. Найти частные производные второго порядка функции z = еху\ 2. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = 1 + х2 + у2 в точке МоA, 1, zo). 218
3. 1. Найти частные производные второго порядка функции г = (х + у)/{х — у). 2. Записать уравнения касательной плоскости и нор- нормали к поверхности x2z — xyz -\-у2 — х — 3 = 0 в точке М0(-2, 3, г0). 10.4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Точка Мо(х0, (/о) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f(x, у), если для всех точек М(х, у), отличных от Mo(xq, уо) и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство К*о, Уо)Х(х, у) (f(x0, yo)<f(x, у)). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстре- экстремума функции. Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если точка Мо(хъ, уо) является точкой экстремума функции f(x, у), то f'x(xo, Уо) = = f'y(xo, (/о) = О или хотя бы одна из этих производных не существует. Точки, для которых эти условия выполнены, называются стацио- стационарными или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума. Для того чтобы сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных, введем следующие обозначения: А = = №о, у», в = fMxo, уо), с = г;„(Хо, г/о), д = ас - в1. Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция г = — f(x, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку Мо(хо, Уо)- Тогда: 1) если Д > 0, то точка Мо(хо, у0) является точкой экстремума для данной функции, причем М<> будет точкой максимума при А < 0 (С < 0) и точкой минимума при А > 0 (С > 0); 2) если Д < 0, то в точке Mt>(xo, Уо) экстремума нет; 3) если Д = 0, го экстремум может быть, а может и не быть. Отметим, что случай 3 требует дополнительных исследований. Пример 1. Исследовать на экстремум функцию г = х3 -f у3 — Зху. . _ dz дг > Так как в данном случае ^— и ^— всегда существуют, то дх ду для нахождения стационарных (критических) точек получаем систему уравнений (см. теорему 1): ^ = Зу2 - Зх = 0. ду Решаем систему уравнений х2 ~ у = 0, ¦> у* - х = О, J откуда ^,=0, *2=1, (/i=0, (/2=1. Таким образом, получили две стационарные точки: Mi@, 0) и ЛЬО, 1). 219
Находим: д2г д2г д2г 6 В=—3, С=—Т = д2 А= — = 6х, В=—-=—3, С=—Т дх2 дхду ду2 Тогда Д = АС — В2 = Збху — 9. В точке Mi@, 0) величина Д = —9 <С О, т. е. в этой точке экстремума нет. В точке М2(\, 1) величина Д = 27 >¦ 0 и А = 6 > 0; следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума: Zmin= — 1. •* Экстремум функции z = f(x, у), найденный при условии ф(х, у) = 0, называется условным. Уравнение <р(х, у) = 0 называется уравнением связи. Геометрически задача отыскания условного экстремума сво- сводится к нахождению экстремальных точек кривой, по которой поверх- поверхность z = f(x, у) пересекается с цилиндром ф(х, у) = 0. Если из уравнения связи ф(х, у) = 0 найти у = у(х) и подставить в функцию z = f(x, у), то задача отыскания условного экстремума сво- сводится к нахождению экстремума функции одной переменной z = = /(*.</«)• . . Пример 2. Найти экстремум функции z = x —у при условии, что у = 2х — 6. ^ Подставив у = 2х — 6 в данную функцию, получим функцию одной переменной х: z = x2-Bx- бJ, г = -З*2 + 24* - 36. Находим z' = —6* + 24; z' = 0, откуда * = 4. Так как z" =—6<0, то в точке МгD, 2) данная функция достигает условного максимума: Zmax= 12. ^ Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области D достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарной точке, лежащей внутри области D, либо на границе этой области. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области D необходимо найти все критические точки, лежащие внутри данной области и на ее границе, вычислить значения функции в этих точках, а также во всех остальных точках границы, а затем путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них. Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = *2 + </2 — ху-\-х-\-у в области, ограниченной линиими * = 0, (/ = 0, х + у= -3. ^ Находим стационарную точку Mi из следующей системы: | = 2,-, + 1=0, откуда ,= —1, ;/=—1. Получили точку М\{—1, —1) в которой г, = 2(-1, -1)=-1. Исследуем данную функцию на границе области. На прямой ОВ (рис. 10.3), где х = 0, имеем z = у2 + у и задача сводится к отыска- отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [ — 3; 0]. Находим z? = 2(/+l=0, (/=—1/2, г& = 2. Получили точку условного локального минимума Ма{0, —1/2), в кото- которой z2 = 2@, -1/2)= -1/4. На концах отрезка OB z3 = z@, — 3) = 6, z4 = z@, 0) = 0. 220
Рис. 10.3 Аналогично на прямой ОА, где у = 0, имеем: z = х2 + x, z'x = 2х + + 1 = 0, х=—1/2, z", = 2, т. е. Мз(—1/2, 0) — точка локального минимума, в которой Z5 = z(—1/2, 0) =—1/4. В точке А гв = = г(-3, 0) = 6. На отрезке АВ прямой х + у = —3 имеем, исключив у из z в соответствии с уравнением у =—х — 3: г = Зх2 + 9х + 6, г* = = 6х + 9 = 0, х = —3/2, отсюда находим стационарную точку М4( — 3/2, — 3/2), в которой z7=z( —3/2, —3/2)=—3/4. На концах отрезка АВ значения функции уже найдены. Сравнивая все полученные значения функции г, заключаем, что 2наиб = 6 достигается в точках А( — 3, 0) и В@, —3), а г„аи„ = —1 — В стационарной точке М[_(— 1, —1). Ц Пример 4. Определить размеры прямоугольного лараллелепипеда наибольшего объема,, полная поверхность которого имеет.данную плр,- щадь S. > Объем прямоугольного параллелепипеда V = xyz, где х, у, z — измерения параллелепипеда, а площадь его поверхности S = 2(ху + + хг + уг), откуда „_S-2xy' „_S*?-2jcV . у vA> У/- 2{д:+¦«/)- Найдем экстремум функции V = V(x, у): dV__!f(S-2x2-' дх~ dV__x2(S- дх~ — 2х* — 4ху) _ 2(х + г/J Ч - 2у2 - 4ху) j S — 2y2 — 4xy = 0. Так как х > 0, у > 0, то из последней системы следует, что х = у = = ~\S/6. Получили единственную стационарную точку Mo(~\S/6, "\/S/6), которая является точкой максимума функции К= V(x, у) (т. е. задача имеет решение!), поэтому проверять выполнение достаточных условий максимума иет необходимости. Далее находим 221
Таким образом, наибольший объем имеет куб с ребром, равным АЗ-10.4 1. Исследовать данные функции на локальный экстре- экстремум: а) z = х3-\-Зху2 — \Ъх — \2у; б) z = х2 + ху + у2 — 2х — у; в) z = Зху — х2 — у2— \0х + 5у. (Ответ: a) zmin = zB, 1)= —28, zmax = z( — 2, —1) = 28; б) zmm—z(\, 0) = —1; в) точек экстремума нет.) 2: Найти экстремумы функции z = x -\- 2у при условии х2-\-у2 — Ь. (Ответ: zmin = — 5 при х=— 1, у = —2; Zmax = 5 При Х=1, У = 2.) 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = х2 — 2у2 + \ху — Ьх + 5 в области, ограниченной пря- прямыми х = 0, у — 0, х + у = 3. (Ответ: г„аии = zC, 0) = —9, гнаиб = 2@, 0) = 5.) 4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2у(А — х — у) в области, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, х + г/ = 6. (Огаег: г„а„м = zD, 2)=—64, 2„аиб = = 2B, 1) = 4.) 5. Определить размеры прямоугольного параллеле- параллелепипеда данного объема V, имеющего поверхность наимень- наименьшей площади. (Ответ: куб с ребром, равным у V.) Самостоятельная работа 1. Исследовать на экстремум функцию z = x3-\-y2 — — Зх + 2у. (Ответ: zmin = z(l, — 1) = — 3.) 2. Исследовать на экстремум функцию z = хуу — — х2 - у + 6х + 3. (Ответ: zmax = zD, 4) = 15.) 3. Исследовать на экстремум функцию г = Зх2 — — х3 + Зу2 + 4«/. (Огвет: zmm = z@, - 2/3) = - 4/3.) 10.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 10 ИДЗ-10.1 1. Найти область определения указанных функций. 1.1. z = Зху/Bх — Ъу). 1.2. z = arcsin (x — у). 1.3. z=^/y2-x2. 1.4. z = \nD-x2-y2). 1.5. z = 2/F - х2 - г/2). 1.6. г = л]х2 + у2 — Ъ. 222
1.7. 2 = arccos (x -f y). 1.9. 2 = У9-д-2^У. 1.11. 2=У2д-2-у2. 1.13. z=-yfxj/(x2fy2). 1.15. 2 = 1п(у2-Д 1.17. 2 = arccos (jc -j- 2y). 1.19. 2 = 1п(9-д-2-у2). 1.21. 2 = 1.8. 2 = 3. 1.10. 2 = 1.12. 2 = 4д-у/(д- — Зу + 1). 1.14. 2 = arcsin (x/y). 1.16. 2 = *3y/C + *-y). 1.18. 2 = arcsin Bд- — у). 1.23. z=^y/( 1.24. 2 = 5/D - x1 — y2). 1.25. z = \n{2x — y). 1.27. 2 = Vl —x — y. 1.29. 2 = 1 /(л;2 + у2 - 6). 1.20. г=ф-х2-у2. 1.22. z = 4x + y/Bx - 5y). 2 + 4). 1.26. 2 = 7*3y/(x — Ay). 1.28. 2 = 1.30. 2 = 4д;у/(д;2 - у2). 2. Найти частные производные и частные дифферен- дифференциалы следующих функций. 2.1. г = In (у2-О- 2.3. 2 = arctg (x2 + у2). 2.5. 2 = sin- 2.7. 2 = ctg У*; 2.9. 2 = In (Зд-2 — у4). 2.11. 2 = arcctg (xy2). 2.13. 2 = sin Уд- — у3. 2.15. 2 = ctg (Зд- - 2y). 2.17. 2 = In (У^у" - 1). 2.19. 2 = arctg(*2/y3). 2.21. 2 = sin- х-у 2.23. 2 = ctg 2.25. 2 = 1п(Зд-2-у2). 2.27. 2 = arcctg —. 2.29. 2 = sin 2.2. 2 = arcsin- 2.4. z = cos (д-3 — 2д-у). 2.6. 2 = tg(*3 + y2). 2.8. z = e~x2 + «\ 2.10. 2 = arccos (у/л:). 2.12. 2 = cos Уд:2 + у2. 2.14. z = te(*y). 2.16. z = e&-»\ 2.18. 2 = arcsin Bд:3у). 2.20. 2 = cos(* — yjcy3). 2.22. 2 = tg 2j: ~ y2 . 2.24. 2 = e-^4V. 2;26. 2 = arccos (x — y2). 2.28. 2 = cos * ~ У. . Х2 + У2 2.30. z = e-^ + »3\ 5. Вычислить значения частных производных /?(А1о), ^о), f'z(Mo) для данной функции /(д:, у, 2) в точке 223
Мо(хо, Уо, zo) с точностью до двух знаков после запятой. 3.1. /(*, у, z) = z/^x2 + y2, Mo@, -1, 1). (Ответ: /5@, -1, 1) = 0,/5@, -1, 1)=1,/5@, -1, 0=1.) 3.2. f(x, у, г) = 1п(* + ?), МоA, 2, 1). (Ответ: f'x(l, 2, 1) = 0,5, f'y(\, 2, 1) = 0,25, /5A, 2, 1)= -0,5.) 3.3. f(x, у, z) = (sinxy\ Мо(?, 1, 2). (Ответ: f'J^L, 1, 2) =0,87, f'J^IL, I, 2) = -0,35, /j(iL, 1, 2) = -0,17.) 3.4. f(x, у, z) = \n(x3 + 2y3-z3), MoB, 1, 0). (Ответ: f'xB, 1, 0)= 1,2, ftB, 1, 0) = 0,6, /5B, 1, 0) = 0.) 3.5. f(x, у, г) = х/л1у2 + г\ Moil, 0, 1). (Ответ: /5A, 0, 1)=1, /5A, 0, 1) = 0, /5A, 0, 1)=-1.) 3.6. fix, у, z) = \ncos,(x2y2 + z), Мо(О, О, -J-Y (Ответ: /5@, 0, i)=0, /j@, О, -J) = O, ^@, 0, ^)= -1.) 3.7. /(х, у, 2) = 27-^+7+23, AfoC, 4, 2). (Ответ: /5C, 4, 2)= 1, /5C, 4, 2) = 8,/5C, 4, 2)= 12.) 3.8. fix, у, z) = arctg (х/+г), AfoB, 1, 0). (Ответ: /5B, 1,0) = 0,2, /1B, 1,0) = 0,8, /5B, 1,0) = 0,2.) 3.9. /(*, у, г) = arcsin (х2/у — z), AfoB, 5, 0). (Ответ: /5B, 5, 0)= 1,33, /JB,5, O)= -0,27, /JB, 5, 0) = —1,67.) 3.10. fix, у, «) = V« sin (уД), AfoB, 0, 4). (Отвег: /5B, 0, 4) = 0, /5B, 0, 4)= 1, /5B, 0, 4) = 0.) 3.11. /(x, y, 2) = y/V^2 + 22, Afo(—1, 1, 0). (Ответ: /5(-l, 1, O)=l,/I(-1, 1, 0)=l,/5(-l, 1, 0) = 0.) 3.12. /(x, y, 2) = arctg(x2/y2), AfoB, 1, 1). (Ответ: /5B, 1, l) = 0,2, /SB, 1, 1)= -0,8, /5B, 1, l) = 0,4.) 3.13. /(x, y, 2) = lnsin(x-—2^ + 2/4). Afo(l, 1/2, я). (Ответ: /5A, 1/2, я) = 1, /J(l, 1/2, я)= -2, /5A, 1/2, я) = = 0,25.) 3.14. fix, у, z)=JL+JL-±, Moil, 1, 2). (Ответ-: /5A, 1, 2)=-1,5, /5A, 1, 2)=-l, /5A, 1, 2)= 1,25.) 3.15. /(x, у, 2)=1/л/^2 + У2-22, Moil, 2, 2). (Отвег: /5A, 2, 2)=-l, /5A, 2, 2)=-2, Щ1, 2, 2) = 2.) 3.16. /(x, y, 2) = ln(^ + y2)-V^?, MoE, 2, 3). 224
(Ответ: /5E, 2, 3) = -1,14, ftE, 2, 3) = 0,44, fiE, 2, 3) = = 0,75.) 3.17. f{x, у, г)=л[гху, M0(l, 2, 4). {Ответ: /5A, 2, 4)-4, ft(l, 2, 4) = 0, /5A, 2, 4) = 0,25.) 3.18. /(x, y, z)=-z/^x2 + y2, М0Ы2, V2, л/2)- (Ответ: /J(V2, V2. л/2) = 0.ВДG2. V2". V2") = °>25' V2- V2". V2)=-0,5.) 3.19. f{x, y, z) = \n(x3+^fy-z), MoB, 1, 8). (Ответ: /5B, 1, 8) =-12, ДB,- 1, 8) = 0,33, /5B, 1, 8)= -1.) 3.20. fix,- у, z) = z/(x* + y% MoB, 3, 25). (Ответ: fiB, 3, 25)=-1,28, f'yB, 3, 25)=-0,24, ?B, 3, 25) = = 0,04.) 3.21. /(x, у, г) = 8-л/л:3 + у2 + 2, МоC, 2, 1).-(Ответ; /JC, 2, 1) = 2,7, ГУC, 2, 1) = 0,4, f,C, 2, 1) = 0.1.) 3.22. f(x, г/, г) = In (-УТЧ-Й*— г), МоA, 1, 1). (Ответ: /5A, 1, 1) = 0,2, ^A, 1, 1) = 0,25, %A 1, 1)=-1.) 3.23. /(х, г/, г)= —2х/л1у2 + г\ МоC, 0, 1). (Ответ: /5C, 0, 1)=-2, ^C, О, 1) = О, -/5C, 0, 1) = 6.) 3.24. fix, у, z) = ze-^ + ^'2, Afo@, О, 1). (Ответ: /5@, О, 1) = 0, ^@, 0, 1) = 0, /5@, 0, 1)= 1.) 3.25. /(х, у, z)=EliizJ), M0(f, ^, Уз). (Ответ: = -0,17.) 3.26. /(д:, у, z) = yzln-(yjc+y^, УИвD, 1, 4). (Ответ: /5D, 1, 4) = 0,17, ЯD, 1, 4) = 0,33, /5D, 1, 4) = 0,27.) 3.27. /(*, у, z) = xz/{x — y), AfeC, 1,1). (Ответ: /5C, 1, 1)=-0,25, /JC, I, l) = 0,75, /iC, I, 1)=1,5.) 3.28. /(дс, у, 2)=y^2 + y2-2^cosz, AfoC, 4, -J). (Ответ;/5C; 4, |-) = 0,6, /jC, 4, i) = 0,8, /5C, 4, |) = = 2,4.) 3.29. /(х, у, г) = ге-*», Afo@, 1,1). (Ответ: /5@, 1, 1) = = -1,/?@, О, 1) = 0, Гх(О, 1, 1)=1.) 3.30. f{x, у, z) = arcsin(;tyy)-yz2, Мв(О, 4, 1). (Ответ: /5@, 4, 1) = 2, /i@, 4, 1)= -1, /5@, 4, 1)= -8.) 4. Найти полные дифференциалы указанных функций. 225
4.1. z = 2x3y — 4xy5. 4.2. z = x2y sin x — 3y. 4.3. z = arctg x -j-~\Jjj- '4.4. z = arcsin (л;у) — Зху2. 4.5. z = 5*y4 + 2*У. 4.6. 2 = cos(*2-y2) + *3. 4.7. 2 = In (Зл:2 - 2y2). 4.8. 2 = 5*y2 - 3x3y*. 4.9. 2 = arcsin (x + y). 4.10. z = arctg Bдс — у). 4.11. z = 7x3y — ^/xy. 4.12. z = -\Jx2 + у2— 2ху. 4.13. z = e*+*-4. 4.14. z = cos (Зх + у) - ж2. 4.15. 2 = tg((* + y)/(*-y)). 4.16. 2 = Ctg (#/*). 4.17. z = xy* — 3x2y+\. 4.18. 2 = In (* + xy — г/2), 4.19. 2 = 2д;2|/2 + д:3— у9. 4.20. z = ^J3x2 - 2/ + 5. 4.21. 2 = arcsin((;t+ #)/*)). 4.22. 2 = arcctg (jc — у). 4.23. 2=УЗл;2—V + л;. 4.24. 2 = у2 — Зл:у — х\ 4.25. 2 = arccos (х + у). 4.26. z = In (у2 — х2-\-3). 4.27. 2 = 2 -л:3 -у3 + 5*. 4.28. 2 = 7х - гУ + у*. 4.29. г = е*-\ 4.30. 2 = arctg Bд: — у). 5. Вычислить значение производной сложной функции и = и(х, у), где х = *(*), У = у@> ПРИ ' = 'ос точностью до двух знаков после запятой. 5.1. и = ех~2у, x = sint, u = t3, to = O. (Ответ: 1.) 5.2. и = In (ex + е~я), x=F, y = t3, to= — 1. (Огвет: 2 5) 5.3. м == 3х, * = In (/ - 1), у = е'/2, *в = 2. (Ответ: 1.) 5.4. и = еу~2х+2, x = s\nt, у = cost, to = л/2. (Ответ: 5.5. и*=х2еу, x = cast, y=sint, to==n. (Ответ: —1.) 5.6. и = Ще*-\-е»1 x = t2, y = t\ ta=l. (Ответ: 2,5.) 5.7. и = х», х^е1, у = In *, ^ = 1. (Ответ: 1.) 5.8. и = е*-&, л: = sin t, y = f, t0 = 0. (Ответ: - 2.) 5.9. и — х2е~ву х = sin t, у = sin2 /, /о = я/2. (Ответ: 0.) 5.10. и = In (е-* + е»), x = t2, y = t3, to=—\. (Ответ: 2,5.) 5.1k u = ey-2x-\ x — cost, y = sint, t^o==n/2. (От- (Ответ: 2.) 5.12. и = arcsin (x/y), x = sin t, у = cos t, t0 = я. (От- (Ответ: 1.) 5.13. и = arccos Bx/y), x = sin *, у = cos ^, <o = я, (Ответ: —2.) 5.14. ы = л:2/(у+1), x = 1 — 2^, y=-arctg/, /0 = 0. (Ответ: —5.) 226
5.15. u^x/y, x = e', y = 2-e2', t0 — 0. (Ответ: 3.) 5.16. и = 1п(е-* + е-2*). x = t2, y=~t3, /0 = 1 (От- вет: —2.) 5.17. м =V* + y2 + 3, x = In f, у = *2, /o = 1. (Ответ: 1,25.) 5.18. ы = arcsin,(*2/y), * = sin t, у = cost, to = n. (Ответ: О.) 5.19. u = y2/x, x=l—2t, y = t-farctg/, /0 —0. (Ответ: 4.) 5.20. u = ^——, x = sint, y = cost, /o=^-- (Ответ: -4.) * 5.21. и =V*2 + y + 3> JC = In ^, у = ^2, /o = 1 • (- 0,5.) 5.22. ы := arcsin ?-, x = sin t, у = cos i, ^o = я. (Ответ: 0,5.) 5.23. м = i - JL, x = sin 2<, у = tg? /, /0 = -i. (Ответ: -8.) У 5.24. «=-v/* + «/ + 3, x = ln/, y = P, 4=1- ( 0,75.) 5.25. u = y/x, x = e',.y=l—e2', to = 0. (Ответ: —2.) 5.26. и = arcsin Bx/y\ x = sin /, ^ = cos t, h == я. (Ответ: 2.) 5.27. и = In (e2* + ey), x = t2,y = t\ to=l. (Ответ: 4.) 5.28. м = arctg'(x + у), л: = Г -f 2, у = 4 —1\ to—I. (Ответ: О.) 5.29. и = V*2 + У2 + 3, x = lnt, y = t3, to=l. (Ответ: 1.5.) 5.30. ы = arctg (xy), * = / + 3, y = e', /O = O. (Ответ: 0,4.) 6. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке УИо(д:о, У о, 2о) с точ- точностью до двух знаков после запятой. 6.1. x3 + y3 + z3-3xyz = 4, М0B, 1, 1). (Ответ: 25B, I, 1) = 3 Щ 1, 1)=-1.) 6.2. ** + y2 + z2-xy = 2, Afo(-1, 0, 1). (Ответ: 25(-1, 0, 1)=-1, z'y(-l, 0, 1) = 0,5.) 6.3. 3x — 2y + z = xz + 5, AfoB, I, -1). (Ответ: 25B, 1, -1) = 4, 2iB, I, -l)=-2.) 227
6.4. ez + x + 2y + 2 = 4, Mo( 1, 1, 0). (Ответ: 2^( 1; 1, 0) = -0,5, 4A, 1, 0)=-l.) 6.5. x2 + #2 + z2-2-'4 = 0, Afo(l, 1, -1). {Ответ: z'x(\, 1, -l) = 0,67, z'y(\, 1, -l) = 0,67.) 6.6. z3 + 3xyz + 3y = 7, M0 = (l, 1, 1). (Ответ: 4A, 1,1)= —0,5, 4A, 1, 1)= —0,5.) 6.7. cos2* +cos2у + cos22 =-|, Mo(^, ^> -J-V (Ответ: г;(я/4, Зл/4, л/4) = —1, 2;(л/4, Зл/4, л/4).= I.) 6.8. ег~1 = cos л; cos г/+ 1, УИ0@, л/2, 1). (Ответ: 0, л/2, 1) = 0, 2i@, л/2, 1) = - 1.) 6.9. x2 + y2 + zi — 6x = 0, УИоA, 2, 1). (Ответ: 2i(-l, 2, 1) = 2, z'y(\, 2, 1)=-^2.) ¦ ¦ .. 6.10. xy = z2—l,M0@, 1, -1). (Ответ: 2i@, 1, -1) = = -0,5, 2Ж 1, -1) = 0.) 6.11. д;^-2г/2 + За2-г/2 + г/ = 2, МоA,. I, 1). (Ответ: z'x(\, 1, 1)= —0,4, z'(l, I, l)-0,8.) 6.12. х2 + #2 + 22 + 2лгг = 5, Мо@, 2, 1). (Oteer: z'x@, 2, 1)=-1, 2^@, 2, 1)=-2.) 6.13. xcosy + ^f cos 2 + 2 cos д: = л/2, Л10@, л/2, л). (Огвег: 2^@, л/2, л) = 0, 2'@, л/2, л)= 1.) 6.14. Зх2у2 + 2xyz2 — 2j?2 + 4y3z = 4, Мо B, 1,2). (Ответ: zU2, 1, 2) = 7, 4B, 1, 2) = -16.) 6.15. х2 - 2у2 + 22 - 4-х + 22 + 2 = 0, Мо( 1, 1, 1). (Ответ: 2i(l, 1, 1) = 0,5, 4A, 1, 1)=1.) 6.16. x + y + z + 2 = xyz, МоB, —1, —1). '(Ответ: 4B, -1, -Г) = 0, 4B,--1, -1)=-1.) 6.17. х2 + у2 + 22 - 2лг2 = 2, 2И0@,- 1, -1). (Ответ: 2^@, 1, -1)-1, 2^@, 1, -l)=f.) 6.18. ег-~xyz — х+ 1 =0, МоB, 1, 0). (Ответ: 4B, 1, 0)=-1, 2^B; 1,0)^0.) 6.19. х3 + 2у3 + 23-Зд;«/2-2у-15 = 0, МоA, -1,2). (Ответ: 2i(l, -1, 2)=-0,6, 4A, -1, 2) = 0,13.) 6.20. х2 - 2л# - Ъу2 + бж - 2у + 22 - 82 + 20 = 0, Afo@,--—2; 2). (Ответ: z'x@, -2, 2) = 2,5, 2^@, —2, 2)== = 2,5,.) ' -¦' ¦ 6.21. x2 + y2 + 22i=y—2 + 3, Afo(l, 2, 0). (Ответ: 2i(l, 2, 0)= -2, 4A, 2, 0)= -3.) 6,22..х2 + y? + z2 + 2xy — г/2 - 4ж — Зу - 2 = 0, M0(l, -1, 1). (Ответ: zl(\; -1, 1) = 2, 4A, -1. 0 = 2-) 6.23. д;2-г/2-22 + б2 + 2х-4г/+12 = 0, УИо@, 1, -1). (Ответ: z'x@, 1, — 1) = —0,25, 2^@, 1, -1) = = 0,75.) 228
6.24. л}х2 + у2 + z2 — 3z = 3, AfoD, 3, 1). (Ответ: z'xD, 3, 1) = 0,8, 4D, ,3, 1) = 0,6.) 6.25. х2 + 2у2 + 3z2 = 59, М0C, 1, 4). (Ответ: z'xC, 1,4 = = -0,25, 4C, 1, 4)=-0,17.) 6.26. х2 + у2 + z2 - 2ху — 2xz — 2yz=l 7, Мо( - 2, - 1,2). (Ответ: z'x(-2, - 1, 2) = 0,6, z'y(-2, -1,2) = 0,2.) 6.27. х3 + 3xyz — z3 = 27, AfoC, 1, 3). (Ответ: ZxC, 1, 3) = 2, z'yC, 1, 3)— 1,5.) 6.28. \nz = x + 2y — z-f In3, Afo(l, 1, 3). (Ответ: 4A, 1,3) ==3/4, 4A, 1.3) = 3/2.) 6.29. 2x2 -f 2y2 + z2 - 8*z - z + 6 = 0, AfoB, 1, 1). (Ответ: 4B, 1, l) = 0, ziB, 1, l) = 0,27.) 6.30. z2 = xy — z + x2 — 4, AfoB, 1, 1). (Ответ: Решение типового варианта * /. Найти область определения функции z = In (x2 — -Зу + 6). > Логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента, поэтому х2 — Зу-\- ' +6>0, или Зу<х2 + 6. Значит, границей области будет линия х2 — Зу+6 = 0, или х2 = Зу — 6, т. е. пара- Рис. 10.4 бола. Область определения данной функции состоит из внешних точек параболы (рис. 10.4). 4 2. Найти частные производные и частные дифферен- дифференциалы функции z == е *х*+ 5у2. > Вначале найдем частные производные функции, использовав формулу дифференцирования сложной функ- функции одной переменной: 229
Теперь находим частные дифференциалы; дх Ту 3. Вычислить значения частных производных fx(Mo), ), ?г(М0) для данной функции }{х, у, z)=yxy cos z в точке Afo(l, 1, я/3) с точностью до двух знаков после запятой. > Находим частные производные данной функции, затем вычисляем их значения в точке Afo(l, 1, я/3): Гу(х, у, z) = -^=?os г, №, 1. я/3) = 0,25, 2ф Гу{х, у, z)=-^~cosz, «(I, 1, я/3) = 0,25, 'fi(x, у, z)=—^fxysinz, /J(l, 1, я/3) =-0,86. 4. Найти полный дифференциал функции z = > Находим частные производные данной функции: дг _ l i i _ у л[у i дх 1+х/у ~ ~ dz ду У2/ * + #2У;Л У Согласно формуле A0.1), имеем л^ — ^У1* л~ ~J*/y 2(х dy. 230
5. Вычислить значение производной сложной функции 2 2 2 = arccos —, где х= 1 -fin /, у = —2е~' +', при to= 1 с точностью до двух знаков после запятой. > На основании формулы A0.4) имеем dz dz dx _|_ dz dy 1 2х 1 При to = 1 получаем, что х= 1, у =—2, 4 ЛЬ,.." ^- - 6. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно уравнением 4л:3 — Зу3 + 2xyz — — 4x2 == 3 — z2, в точке Afo(O, 1, — 1) с точностью до двух знаков после запятой. > В данном случае F(x, у, z) = 4л — Зу3 -|- 2xyz — — 4xz -\-z2 — 3, поэтому F'x = 12л:2 + 2уг — 4г, F'y = — 9у2 + 2л:.г, Следовательно, по формулам A0.7): dz _ __ F'x 12x2 + 2yz — 4z dz _ _F'y —9y2 + 2xz dx Fi ~ 2xy — Ax + 2z ' dy F* 2x(/ — 4x + 2г ' Вычисляем значения 2? и.^ в точке Afo(O, 1, —1): dz@, 1, — 1) | дг(О, 1,-1) л с ^ дх ' ¦ ду ' ИДЗ-10.2 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 5 в точке М0(х0, уо, Zo). 1.1. S: *2 + у2 + 22 + б2 — 4дс + 8 = 0, МоB, 1, —1). 1.2. S: x2 + z2-4y2= —2xy, Afo(-2, 1, 2). + у ( ) 1.3. S: х2 + у2 + г*-ху + Зг = 7, Afo(l, 2, 1). 1.4. S: x2 + y2 + z2 + 6y + 4x = 8, M0(-l, 1, 2). S 222 24 13 MB 1 1) + y + + y + ( ) 1.5. S: 2x2-u2 + z2-4z + y=13, M0B, 1, -1). 1.6. S: x2 + / + z2-6y + 42 + 4 = 0, M0B, 1, -1). 1.7. S: x2 + z2-5yz + Sy = 46, Afo(l, 2, -3). 231
1.8. S: 1.9. S: 1.10. S 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. x2 + y2 — xz — yz = 0, M0@, 2, 2). 2 2 + 22 2 S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: S: у Mo(l, ! 2-z2 + ?-2a;z + 2a; = z, M0(l, 1, 1). -1. , О- -О- fyy 2x2 - y2 + 2z2 + xy : + 4 Mo(l, -1, 1). 2y, Mo(— 1, 1, 1). x' — 2y* + z* + xz — 4y=13, MoC, 1, 2). 4y2 — z2 + 4xy — xz + 3z = 9, M0(l, —2, 1). + У + 2, M0{2, 1, 0). a:z = 3, MoA, 2, 1). x' — y* + z* — 4x + 2y= 14, MoC, 1, 4). x2-y2-z2 + xz + 4x=-5, Mo(-2, 1, 0).  + y2 — xz + yz — 3x = 11, Afo(l, 4, — 1). '2 + z2 - 4a:z = 8, Afo(O, 2, 0). — 2z2 —2г/ = 0, Afo(—1, — 1, 1). — 3z2 + xy= —2z, M0(l, 0, 1). 2 -j- z2 — 6л: + 2г/ + 6 = 0, Mo(l, — 1, 1). — z2 + 6xy — z = 8, Mo(l, 1, 0). - 15,' Afo(—1,' 3," 4)! ,. , ,. - i/~ 10, Mo(-7, 1, 8). = 2x2-3y2 + xy + 3x+l, Mo(l, -1, 2). указанных x2 + ( ) 2.4. z = cos \xy2). 2.6. z = arctg (x + y). 2.8. z = arccos Bx + г/). 2.10. z = In (Зл:2 - 2y2). 2.12. z = 2. Найти вторые частные производные функций. Убедиться в том, что z"y = z?i. 2.1. z = ex*-y\ 2.2. z = ctg(x + 2.3. z = tg(x/y). 2.5. z = sin(x —у). 2.7. z = arcsin (x — г/). 2.9. z = arcctg (* — 3y). 2.11. z = e2j;2 + !'\ 2.13. z = tg^[xy. 2.14. z = cos (л:V — 5). 2.15. z = sin V^V- 2.16. z = arcsin (jc — 2y). 2.17. z = arccos Dл: — у). 2.18. z = arctg Eл: + 2y). 2.19. z = arctg Bл: — у). 2.20. z = In Dл:2 — 5г/3). 2.21. z = , 2.23. z = arccos (л: — by). 2.24. z = s\n-\jxy. 2.25. z = cos (Зл:2 — yZi. 2.26. z = arctgCA: + 2y). 2.27. z = In Eл:2 — Зг/4). 2.28. z = arcctg (л: •— 4y). 2.29. z = In Cxy — 4). 2.30. z = tg(xy2). 3. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция и. 232
3.1. х*?± + 2ху*± + у2ЁЛ = 0, u=JL. air дхду ду х 3.2. хд? + д 3.3. ^ +0 = 0, и = In (х> + {у + IJ). 3.4. */-Й- = A + у In л:)-^-,, ы = л:1'. yd^i/ v ' у ' дх' 3.5. *i дх 3.8. ^_ ,Л 3.9. ^ + ^+^ 3.10. а2— =— дх2 ду2 | + 1 = 0' и = (х-у)(у-г)(г-х). 3.14. *^-^| + i/2 = 0, «=^ +arcsin 3.15. ^-2^ + ^0 + 2,,, Ы=:0, « = 1 — ху 3.17. gi + 0 = O, U = ln( 3.18. x— + y— дх ду 233
3.20. ^ 3.21. 9-g- + |^- = 0, и = e-«* + *) sin (x + 3y). 3.22. x2pL ^ p дг дхду 3.25. **-***=(>, u = \n дх дхду ду дхг 3.26. л:^ + уд± = 0, M = arcsin- ' ди , I ди и —_У 3.28. *L + <* = д д дх ду х — у х — у 3.30. |^-0 = О, « = 1п(^2 —|/2). 4. Исследовать на экстремум следующие функции. 4.1. z=*tn[x-2t?-x+\4y. {Ответ: zmaxD, 4) = 28.) 4.2. z = *3 + 8#3-6;«/ + 5. (Ответ: ^,„A; 0,5)^4.) 4.3. г = 1 + 1 Ъх - 2х2 - ху - 2у\ {Ответ: zmax (- 4, -1)=-97.) 4.4. 2=1+6л:— х2 — ху~у2. (Ответ: zmax{4, —2) = = 13.) 4.5. z = x3 + y2 — 6xy — 39* +18у + 20. (Огвег: zminE, 6)=-86.) 4.6. z = 2x3 + 2y3-6xy + 5. (Ответ: zmin(l, 1) = 3.) 4.7. 2 = 3*3 + 3y3-9^+10. (Ответ: ^-,„A, 1) = 7.) 2 2 1 (О A 1) + y^( ( ) ) 4.8. 2 = л:2-)-л:1/ + у2 + л: — j/+ 1. (Ответ: 2mm(—1, 1)= = 0.) 4.9. z = 4(x-y)-x2-y2. (Ответ: zmB'B, -2) = 8.) 4.10. z = 6(x-y)- 3x2- ЗуЧ (Огвег: zmax(l, - 1) = 6.) 234
_ 4.11, z = x2 + xy + y2-6x-9y. (Ответ: zmin(l, 4) = 4.12. z = (x-2f + 2y2- 10. (Огвет: 2minB, 0)= -10.) 4.13. z = (лс - 5J + / + 1. (Oreer: zmin E, 0) = 1.) 4.14. z = x3 + y3-3xy. (Ответ: zmin(l, 1)=-1.) 4.15. z = 2xy-2x2-4y2. (Ответ: ^„@, 0) = 0.) 4.16. z = ry[y-x2-y + 6x + 3. (Ответ: 2maxD, 4) = — 15.) 4.17. 2 = 2xy - 5x2 — 3y2 + 2. (Ответ: 2max@, 0) = 2.) 4.18. z = xy(\2 — x — y). (Ответ: 2maxD, 4) = 64.) 4.19. z = xy-x2-y2 + 9. (Ответ: ^„@, 0) = 9.) 4.20. z = 2xy- 3x2 -2y2+l 0. (Ответ: 2max @, 0) = = 10.) 4.21. z = x3 + 8y3-6xy+l. (Ответ: zminA; 0,5) = 0.) 4.22. z = tpfx — у2 — х + 6у. (Ответ: 2maxD, 4)= 12.) 4.23. z = x2 - xy + y2 + 9* - 6y + 20. (Ответ: zmin (- 4, ¦4.24. z = xyF-x-y). (Ответ: zmaxB, 2) = 8.) 4.25. z = л* + y2 ~xy + x + y. (Ответ: zmin(- 1, - 1) = = -1.) 4.26. z = x2 + xy + y2-2x-y. (Ответ: zmin(l, 0) = !) 4.27. z = (jc- IJ + 2y2. (Ответ: zmin(l, 0)= 0.) 4.28. z — xy - 3x2 — 2y2. (Ответ: zmax @, .0)"= 0.) 4.29. z = x*+3(y + 2f. (Ответ: zmin @, - 2) = 0.) 4.30. г = 2(х + у)-х*-у2. (Ответ: 2max(l, 1) = 2.) 5. Найти наибольшее и наменьшее значения функции z = z(jc, «/) в области Д ограниченной заданными линиями. 5.1. z = 3x + y — xy, D: у — х, у = 4, х = 0. (Ответ: 2„анбB, 2) = 4, 2„анм@, 0) = 2D, 4) = 0.) 5.2. z = xy — x — 2y, D: х = 3, у = х, у = 0. (Ответ: 2„анб@» 0) = 2C, 3) = 0, 2„аимC, 01= - 3.) 5.3. 2 = х2 + 2ху — 4х + 8у, D: л: = 0, *—1, у = 0, у = 2. (Огвег: zM.e(l, 2)= 17, 2„а„„A, 0)= -3.) 5.4. z = bx2 — 3xy + y2, D: х = 0, х=1, у = 0, у=\. (Ответ: 2„ан6A, 0) = 5, zHaHM@, 0) = 0.) 5.5. 2 = х2 + 2ху — у2 — 4х, D: х — у+1=0, х = 3, у = 0. (Ответ: г„аябC, 3) = 6, 2„а„„B, 0)= -4.) 5.6. 2 = *2 + у2 — 2х — 2у + 8, D: х = 0, у = 0, л: + у — — 1=0. (Ответ: 2„авб@, 0) = 8, 2„ая„@,5; 0,5) = 6,5.) 5.7. 2 = 2л:3 — ху2 + у2, D: х = 0, х=1, у = 0, у = 6. (Ответ: 2„анб@, 6) = 36, zHaHM@, 0) = 0.) 235
5.8. z = 3x + 6y-x2-xy-y2, D: х = О,х=Ъу = О, y=\. {Ответ: 2иаибA, 1) = 6, 2иа„м@, 0) = 0.) 5.9. г = х2 — 2у2 + 4ху — 6л: — 1, D: х = 0, у=0, х + + у-3 = О. {Ответ: 2„а„б@,_0) = - 1, z.m«@, 3) = — 19.) 5.10. z- х2 -\-2xy -10, D: у = 0, у = х2 — 4. (Ответ: 2».нв(—i. ~4) = -§, ?нанмA, — 3)= — 15.) 5.11. z = xy — 2x — y, D: * = 0, х = 3, у = 0, у = 4. {Ответ: 2„аибC, 4) = 2, 2ианмC, 0)= -6:) 5.12. z = -L х2 - ху, D: у = 8, у = 2дг2. (Огвег: 2„аиб(- 2, 8)= 18, 2иаимB, 8) =-14.) 5ЛЗ. z = 3x2 + 3y2 — 2x — 2y + 2, D: х = 0, у = 0, х + у-1 =0. {Ответ: гиаиб{0, l) = z(l, 0) = 3, гна1Ш(-1, 1) ±) 5.14. 2 = 2a:2 + 3i/2+1, D: y=-yj9-l.x2, y = 0. {Ответ: 2„ан6@, 3) = 28, 2„анм@, 0)= 1.| 5.15. z = x2 — 2xy — y2 + Ax+\, D: х=—3, у = 0, х + у + 1 = 0. {Ответ: 2„анб (- 3, 2) = 6, гшш (- 2, 0) = = —3.) _ 5.16. 2 = Зл:2 + 31/2-л:-1/+1> D: х = 5, у = 0, х — -у- 1 =0. {Ответ: 2„анбE, 4)= 115, 2„а„„A, 0) = 3.) 5.17. z = 2x2 + 2ху-±-у2 - Ах, D: у = 2х,у = 2,х = 0. {Ответ: 2„а„б@, 0) = z(l, 2) = 0, 2„а„„@, 2) = - 2.) 5.18. г = х*-2ху+±у*-2х, D: х = 0, х = 2, у = 0, у = 2. (Огвег; 2наи6@, 2)= 10, 2„ан„(-|-, -|.J = —1,67.) 5.19. z = xy — 3x — 2y, Ъ: х = 0, х = 4, у = 0, у = 4. (Ответ: 2„аиб@, 0) = 0, гяю«_{4, 0)= -12.) 5.20. z = х2 + ху — 2, D: у = 4х2 — 4, */ = 0. (Ответ: 2иаиб( —|, - 2,22) = - 0,07, 2„а„„ @,5, - 3) = - 3,25.) 5.21. z = x2y{4 — x — y):, Ъ: х = 0, у = 0, у = 6 — х. {Ответ: 2иаибB, 1) = 4, zHaHM(_4, 2)= -64.) 5.22! 2 = х3 + у3 — 3*1/, D:x = 0,x=*2,y=—l,y = 2. {Ответ: 2наи6B, — 1) = 13 ^„„(О, —1)=-1.) 5.23. z = 4{x — y) — x2 — у2, D: х + 2у=4, х — 2у = 4, х = 0. {Ответ: 2„анб(|-, -|). = |5 г„анм@, 2)=-12.) 236
5.24. z = x2 + 2xy - у2 — Ax, D: x = 3, у = О, у< = х + 1. (Ответ: г„аи6C, 3) = 6, 2иаи„B, 0)= -4.)_ 5.25. z = 6xy — 9x2 - 9y2 + 4x + Ay, D: x = 0, x=l, у = 0, у — 2. ( Oreer: гйаи6 (i-, -L) = -t, 2наим @,2) = - 28.) 5.26. г = x2 + 2xy — y2 — 2л: + 2y, D: у = л: + 2, г/ = 0, * = 2. (Oreer: zHau6B, 3) = 9, гнавм{ 1, 0)= —I.) 5.27. z = 4 — 2x2 — y2, D: г/ = 0, у = л/\ —х2. (Ответ: 2„аиб@, 0) = 4, 2HaHM(-l, 0) = 2(l, 0)=2.) 5.28. z = 5x2 — 3a:i/ + y2 + 4, ?): x—— 1, зе=1, i/=-l, у =1.. (Ответ: гнаиб(-1, l) = z(l/ -1)=13, 2„аим@, 0) = 4.) - • _ 5.29. z = x2 + 2*г/+ 4x — у2, ?): л: + г/ + 2 = 0, л: = 0, г/ = 0. (Oreer: гиаи6@, 0) = 0, zH.™(-2, 0) = z@,.-4) = = -4-) _ , 5.30. z = 2x2y — x3y — x2y2, D: x = 0s у = 0, x + у = 6. (Ответ: ги.ибA, 0,5) = 0,25, г„а„мD, 2)= -128.) Решение типового варианта 1. Найти уравнения/касательной плоскости и нормали к поверхности S: 2 = х2 — у2 -\- 2>ху'— 4х -\- 2у — 4 в точке Мо(-1, 0, 1>. . . . ' - - ¦ . > Находим частные производные: Подставляя в полученные выражения ^координаты точки Мо( — 1, 0, 1), вычисляем, согласно формуле A0.8), координаты вектора п, перпендикулярного к поверхности S в данной точке: . > -. ¦ А — дг дх м„ ' ду\м„ . ' ¦ Следовательно, касательная плоскость имеет урав- уравнение . -" " —«/ —(z— 1) = 0 или а уравнение нормали на основании формулы A0.9) за- запишется в виде 1 _у_ _ г— 1 1 ~~ 1 237
2. Найти вторые частные производные функции z = = arccos-^Jx/y. Убедиться в том, что гЦу = z'y'x. > Вначале находим первые частные производные дан- данной функции: /1-х/у 2У*/</' Дифференцируя каждую из полученных производных по х- и по у, находим вторые частные производные данной функции: 1 2-\/x 2x(y-x) — x{y — х) У~2х — х) ~yi/ — х у" V-1 / Суу )\ _ _ л/хBх + Зу) ) 2уЧу-х) ' -+¦ _^ у-х У~Х Как видно, смешанные частные производные гЦу и z'yX равны. -4 3. Проверить, удовлетворяет ли уравнению д*и —2х11^и -И'" _ V ^ дх2 Удхду'Тду2 х' + у2 дх функция и = In (jc2 + у2). > Находим частные производные первого и второго порядка: 238
ди _ 2х ди _ 2у д*и _2{у2 — дх х2+у2' ду х2 + у>' дх2 ~ д2и _ _ 4ху д2и _ 2{х2 - у2) дхду (хг + уТ ду2 (x' + yf Подставляем полученные значения производных в ле- левую часть исходного уравнения: 2(*/2-*2) , 8*У , 2(х2-у2)_ 8хУ (х> + уУ "•" (х2 + y*f "•" (х2 + y'f (х2 + y*f • Тогда в первой части уравнения имеем 4у2 2х 8ху2 ?+7 х2+у2~(х2 + уТ Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция не удовлетворяет исходному уравнению. -^ 4. Исследовать на локальный экстремум функцию z = ху(х + у — 2). > Находим первые частные производные данной функции: Приравнивая их нулю, получаем систему уравнений . уBх + у - 2) = х(х + 2у -2) = 0,) из которой определяем стационарные точки данной функции: М,{0, 0), М2B, 0), М3@, 2), М4B/3, 2/3). С по- помощью теоремы 2 из $ 10.4 выясним, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого вначале найдем вторые частные производные данной функции: z'y'y Подставляя в полученные Выражения для производных координаты стационарных точек и используя достаточные условия экстремума (см. § 10.4), имеем: для точки Mi А = —4 < 0, т. е. экстремума нет, для точки Л1а Д = —4< < 0, т. е. экстремума нет, для точки Мз А = — 4 < 0, т. е. экстремума нет, для точки М* А=12/9>0, А = 4/3 > 0, т. е. имеем точку локального минимума функции, в которой г,™ = zB/3, 2/3)= —8/27. 4 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z — ху — у2 + 3* + 4у в области D, ограниченной линиями * = 0, у = 0, х + у— 1=0 (рис. 10.5). 239
Рис. 10.5 > Выясним, существуют ли стационарные точки, ле- лежащие внутри данной области D, т. е. внутри треуголь- треугольника ОАВ. -Имеем: Решая полученную систему уравнений, находям ста- стационарную точку М(—10, —3). Она лежит вне области Z), следовательно, при решении задачи мы ее не учитываем. Исследуем значения функции на границе области D. На стороне ОА (у — 0, 0 < х <; 1) треугольника ОАВ функция z имеет вид 2 = 3*. Стационарных точек на отрезке ОА нет, так как г' == 3. В точках О и А соответственно ?@, 0) = 0, 2A, 0) = 3. На стороне ОВ{х = 0, 0<#<1) треугольника функция z= —у2 -\-4у, г' =— 2у + 4. На- Находим стационарную точку из уравнения —- 2у -f- 4 == 0; получаем, что у = 2. Таким образом, точка Afi(O, 2) не принадлежит области D. Значение функции в точке В г@, 1) = 3: Находим наибольшее и наименьшее значения на стороне АВ: х + у = 1. Здесь y = l — x,z=--~2x2 + + 2^ + 3, тогда z' = — 4х + 2 и из z1 = 0 следует х= 1/2, т. е. стационарная точка М^{1/2, 1/2) принадле- принадлежит границе области D. Значение функции в ней 2г{1/2, 1/2) ==3,5. Срайнйвая все полученные значения функции, видим, что ,. , 2„аиб == 2A/2, 1 /2) = 3,5, 2ианм = 2@,0) = 0. А ЮЛ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 10 1. Найти область определения функции и = • -I- In D - х2) - Зу. (Ответ: \х\ < 2, 0 < 2< 2.)
2. Доказать, что функция _{тТ?' если /(*. У) —\* о* если х = у = 0, разрывна при х = у = 0, но имеет частные производные в точке О@, 0). 3. Доказать, что для функции А*. У) — { 0 f если л: = у = 0) выполняется неравенство /?у@, 0)^/^@, 0). 4% Доказать, что функция г = хуух удовлетворяет урав- уравнению ' : 5. Найти наибольшие и наименьшие значения функции 2— \х-^у\ —-yl —х2 — у2 в области ее непрерывности. (Ответ: 2„аиб=У2, 2на„„= — 1.) 6. Через точку Л D, 1, 5) пространства проведена плоскость параллельно плоскости 2х Ц- 6t/ + 3z — 12=^. Описать системой неравенств область, отсекаёмуto этой плоскостью от параболоида вращения 2 = ж2--р"'{/2. (Отёет: Xx4-y2^z^2x+$y + 3z/- 29.) * 7. Записать уравнение «/zjy ^ г? = z/я в новых менных и — х/уш v = x — y, (Ответ: 8. Записать в полярных координатах выражение Ф V Ф p2d<p2 p dp/. }:, - . , . 9, Найти уравнение касательной плоскосда к э^лип- 2 2 2 сойду ^г+-^+-^=1, отсекающей на оейх ко^дииат О, i и" С равные отрезки. (Ответ: ±x±y±z — -\/а24- b2-f cfy 10. Доказать, что касательная плодКость к поверхности xyz = a3 в любой ее точке образует с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема. Вычислить этот объем. (Ответ: V=-^a3.
11. Найти стороны треугольника данного периметра 2р, который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема. (Ответ: а = Ь = Зр/4, с = р/2.) 12. На эллипсе х2-\-Ау2 = А даны две точки А( — ^[з, 1/2) и ВA, -уЗ/2). Найти на этом эллипсе третью точ- точку С, такую, чтобы треугольник ABC имел наибольшую площадь. {Ответ: Cl-*—^—I —-$ )•) 13. Исследовать на экстремум функцию г = х3 + у3 — - 9ху + 27. (Ответ: zminC, 3) = 0.) 14. Доказать, что—^— =—ди Л , если u = xz + dx'dydz дхдудгдх у 15. Найти условный экстремум функции и = х + у + z при условиях xyz = 8, xy/z = 8. (Ответ: х = у = 2-у6, 2=V2A) 16. Найти второй дифференциал d2z в точке B, 1 2) для функции, заданной неявно уравнением Зх2у2 + 2xyz— — 2x3z + 4y3z -4 = 0. (Ответ: — 31,5dx2 + 206dxdy — - 306dy2.) 17. Квадратная доска состоит из 2 белых и 2 черных клеток, расположенных в шахматном порядке. Сторона каждой клетки равна единице длины. Рассмотрим прямо- прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам доски, один из углов которого совпадает с черным углом доски. Площадь S черной части этого прямоугольника является функцией длин его сторон х и у. Записать эту функцию аналитически. (Ответ: S(x, у) — {ху, если 0<*< 1, 0<у< 1, \ х, если 0<*<1, 1<у<2, 1 У, если 1 <л:<2, 0<#< 1, J l+(x—l)(y — l), если 1<*<2, 1<#<2. / 18. Касательная плоскость к поверхности х2/3 + + у— z2 = — 1 проходит через точки А(\, 0, 0) и В(\, t\ 0). Записать уравнение этой плоскости. (Ответ: х+ 2z а. 1 = 0 или х — 2z — 1 = 0.) 242
11. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 11.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ИЗОКЛИН Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции. Порядок дифференциального уравнения совпадает (по опреде- определению) с порядком наивысшей производной, входящей в это уравнение. Если искомая функция у является функцией одного аргумента х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциаль- дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. На- Например, уравнение 2ху' — 3(/ = О, где у = у{х), является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а и'х — и'у-\- ху + + 1=0, где и = и(х, у),— дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. (В этой главе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, поэтому в дальнейшем для краткости слово «обыкновенные» будем опускать.) В общем случае дифференциальное уравнение п-го порядка может быть записано в виде Ф(х, у, у', у" (/»-'), </»>) = 0. A1.1) Если уравнение A1.1) удается разрешить относительно наивысшей производной, то получаем уравнение в нормальной форме: ; yW = f(x,y,y',!/',...,!/"-l)). A1.2) Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называет- называется интегрированием уравнения. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения A1.1) (илн A1.2.)) называется любая действительная функция у=^у(х), определенная на некотором интервале (а; Ь) и вместе со своими про- производными обращающая данное дифференциальное уравнение в тожде- тождество. (При этом производные функции у = у(х) предполагаются существу ющи ми.) Пример 1. Доказать, что функция у = хе2", определенная на всей числовой оси, является решением дифференциального уравнения " 0 уу у > Подставив в данное уравнение саму функцию и ее производные у1 = е2х(\ + 2х), у" = 4е2*A + х), получим тождество: 4е2*A + х) — 4e2*(l + 2х) + 4хе2х = 4e2*(l + х — 1 — 2х + х) з= 0. 4 Пример 2. Доказать, что функция у = у(х), заданная в неявном виде: F(x, (/) = In — 5 + ху = 0, обращает дифференциальное урав- уравнение (х + хгу)у' = у — ху* в тождество, т. е. является его решением. ^ Действительно, согласно правилу дифференцирования неявной функции F(x, у) = 0 (см. формулу A0.6)), имеем У ~ F'? V х)/\Х+ у) х l+ху х + х*у- 243
Подставив найденную производную у' в исходное дифференциаль- дифференциальное уравнение, получим тождество. ^ Если функция, являющаяся решением дифференциального уравне- уравнения, определена в неявном виде: F(x, у) = 0, то F(x, </) = О называется интегралом (а не решением) данного дифференциального уравнения. Так, в примерах 1 и 2 имеем соответственно решение и интеграл заданных дифференциальных уравнений. График решения (или интеграла) дифференциального уравнения A1.1) (иди A1.2)) на плоскости Оху называется интегральной линией. Следовательно, каждому решению или интегралу соответствует инте- интегральная линия. Вопрос о существовании и единственности решения дифференциаль- дифференциального уравнения A1.2) разрешает Теорема 1 (Коши). Если правая часть уравнения (It.2) является непрерывной функцией в окрестности значений . Хо, до, У», ¦¦;., <#"", ¦¦¦ A1.3) то уравнение A1.2) имеет решение у=^у(х) в некотором интервале (а; Ь), содержащем хо, такое, что Если в указанной окрестности непрерывны еще и частные производные этой функции по аргументам у, у', ..., (/" , то решение у = у(х)— единственное. Числа из совокупности A1.3) называются начальными данными, а равенства A1.4) - начальными условиями. -'*.¦. : Задача Коши для дифференциального уравнения п-го порядка - формулируется следующим образом. Найти решение у = у(х) дифферен- дифференциального уравнения A1.1) или A1.2), удовлетворяющее начальным данным A1.3), т. е. такое решение, чтобы выполнялись начальные условия A1..4). . . . ;•.-. .-¦.-¦"; .',. „Любое дифференциальное уравнение A,1,2) в области, удовлетво-- ряющей теореме Кощи, имеет бесчисленное множество решений. Во1 обще говоря, это справедливо и для дифференциального уравнения A1.1). Для описания этих множеств решений вводится понятие общего решения. . '.' "• ' Общим решением дифференциального уравнения A1.1) или A1.2) называется функция вида";/ = ср(х, С\, Сг, ..., С) или короче у = ф(лг, С), где С(/= 1, п) — произвольные постоянные, удовлетворяющие следую- следующим .двум условиям: . , ¦ 1) она является решением дифференциального уравнения A1.1) или A1.2) при любыд значениял С; . . , . > ,, ,„ 2) для любых .начальных данных хщ уо, у'о, ,..', .yb"~'\ лри, которых дифференциальное уравнение имеет решение, мождо указать значения, постоянных .С,-¦¦¦= Со, такие, что будут выполнены начальные условия «pfro, Сю) = уо, ф'(дс0', Cio) = gh, ._.., f("rl)(xo, C,o) = 4"^"- . . , ,Общее решение, полученное в неявном виде: Ф(х,,у, С) = О, называется общим интегралом дифференциального уравнения. . Решение или интеграл, полученные из общего решения или общего интеграла при фиксированных значениях произвольных постоянных С, называется соответственно частным решением или частным интегралом дифференциального уравнения. 244
Замечание. У дифференциального уравнения может существо- существовать решение (интеграл), которое невозможно получить из общего решения ни при каких значеииих произвольных постоянных С,. Такое решение (интеграл) может оказаться особым в том смысле, что в любой его точке нарушаются какие-либо условия теоремы Коши. Например, дифференциальное уравнение у" — 3"\/(i/' — IJ имеет общее решение у = х + -j- (х + CiL + С2, где С|, Сг — произвольные постоянные. Функция у = х + С, где С — произвольная постоянней, также является решением данного уравнения, но это решение не может быть получено из общего ни при каких значениях С\ и Сг. Кроме того, у' = 1 для любой точки решения, что приводит к нарушению условия единственно- единственности из теоремы Коши, ибо частная производная правой части данного уравнения по у' при у' = 1 разрывна. Следовательно, решение у = х + С ивляется особым. В дальнейшем особые решения, как правило, рассматриватьси не будут. Отметим, что теория неопределенного интеграла по существу явлиется теорией класса простейших дифференциальных уравнений вида у' = f(x), общее решение которых где F(x) — первообразная для функции f(x), т. е. F'(x) = f(x); С — произвольная постоянная. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде F(x, y,y') = О A1.5) или, если разрешить его относительно у', в нормальной форме Справедлива Теорема 2 (Коши). Если функция f(x, у) непрерывна в точке Мв(хо, (/о) и в ее окрестности, то существует решение у = у(х) уравнения A1.6), такое, что у(хо) = уо- Если непрерывна также частная производ- производная -^- данной функции, то это решение единственно. Отметим, что иногда дифференциальное уравнение первого порядка удобно записывать в так называемой дифференциальной форме: P(x,y)dx+Q(x,y)dy = O. A1.7) Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение у = <р(л) (интеграл Ф(х, у) — 0) дифференциального уравнении A1.5) или A1.6), удовлетворяющее начальному условию <р(хо) = уо (Ф(*о, #о) = О). С геометрической точки зрения это означает, что среди всех интегральных линий данного уравнении необходимо иайтн ту, котораи проходит через заданную точку ЛЬ(лго, Уо). Геометрнческаи интерпретация дифференциального уравнении A1.6) состоит в том, что оно в каждой точке М(х, у), принадлежащей области D, в которой выполняются все условия теоремы 2 (Коши), 245
задает направление у' = tg a = k касательной к единственной интеграль- интегральной линии уравнении A1.6), проходящей через точку М(х, у), т. е. поле направлений в области D (рис. 11.1). В области D для уравнения A1.6) можно выделить однопара- метрическое семейство линий f(x, у) = k = const, каждая из которых называется изоклиной. Как следует из определения, вдаль каждой изоклины поле направлений постоянно, т. е. у' = k = const. Рис. 11.1 Нахождение изоклин и направлений вдоль них позволяет упорядо- упорядочить поле направлений и приближенно построить интегральные линии данного дифференциального уравнения, т. е. графически проинтегри- проинтегрировать это уравнение. Пример 3. Методом изоклнн приближеино построить интегральные линии дифференциального уравнения у" == —2у/х. ^ Полагая —2y/x=k (k = const), находим изоклины и= —^-х данного уравнения. Оня представляют собой проходящие через начало координат прямые линии, вдоль которых поле направлений определяется равенством у1 = k = tg ос. Придавая k различные значения, находим соответствующяе изоклины, вдоль которых направление поля характери- характеризуется углом а наклона к оси Ох касательной к интегральной линии. Необходимые вычисления запишем в виде таблицы (см. табл. 1). Таблица 1 k а У = _ * 0 0 у = 0 ±30° У — 2V3 ±1 ±45°. У = ±V3 да ±60° У = = .#« ±2 ±64° У = ±3 «±72° У = 3 ±оо :±90° «:=0 По данным этой таблицы стронм поле направлений (рис. 11.2) и за- затем приближеино вычерчиваем интегральные линии. Положительное или отрицательное значение угла а указывает на то, что он отсчитывается от оси Ох против хода или по ходу часовой стрелки соответстВеино. -^ 246
ух/Ш ¦cC-JO' Рис. 11.2 11.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными перемен- переменными. Его общим интегралом будет A1.8*) елей- A1.8) где С — произвольная постоянная. Уравнение вида Mi(x)Ni(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0 или A1.9) (НЛО) а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразова- преобразований приводятся к уравнениям A1.9) или A1.10), называются уравне- уравнениями с разделяющимися переменными. Разделение переменных в уравнениях A1.9), A1.10) выполняется 247
следующши.'образом. Предположим, что Ni(y) Ф О, М2(х) Ф 0 и разделим обе части уравнения A1.9) на Ni(y}M2(x). Обе части уравнения A1.10) умножим на dx и разделим на }2(у)ф0. В результате получим уравнения с разделенными переменными "(т. е. уравнения вида A1.8*)): М2(х) ^N,(y) y ( > f2(y которые интегрируются, согласно формуле A1.10): с. h(y) Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения (ху + y)dx + (ху + x)dy = 0. A) ,> Предположив, что хфО, уфО и разделив обе части данного уравнения на ху, получим уравнение с разделенными переменными: Интегрируя его, согласно формуле A1.8), последовательно находим (произвольную постоянную можно представить в виде In |C|): x + In Ul +y + In \y\ = In |C|, In |jh/| + 1пе*+» = 1п |C|, ^е*+» = С. Последнее равенство является общим интегралом уравнения A). При его нахождении были приняты ограничения х Ф 0, у Ф 0. Однако функции лг = 0 и у = 0 также являются решениями исходного уравне- уравнения, что легко проверяется; с другой стороны, они получаются из обще- общего интеграла при С = 0. Следовательно, х = 0, у = 0 — частные решения уравнения A). <4 Пример 2. Найти частное решение уравнения A+е2')у2у' = е', удовлетворяющее начальному условию (/@)= 1. ^ Запишем данное уравнение в дифференциальной форме (см. формулу A1.7)): A + e2x)y2dy — e'dx = 0. Теперь разделим переменные: 2 е" Проинтегрируем последнее уравнение: е* J Су3 4 х С т^*=т-т-агс^е =т5 у = Ус + 3 arctg ex. Получили общее решение исходного уравнения. Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной: 248 .
4 4 Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид </ = ~yl—j-я + З arctge*. 4 Функция f(x, у) называется однородной функцией измерения а относительно аргументов х и у, если равенство f(tx, ty) = taf(x, у) справедливо для любого t ? R, при котором функция Шх, ty) определена, а = const. Например, функция f(x, у) = 3х4 — ху2 + 5у* является однородной четвертого измерения (а = 4), так как f(tx, ty) = 3- (txf — (txJ (tyJ + 5 • (ty)< = <"(&4 — x2y2 + 5(/4) = t4f(x, y). Функция f(x, y) = ^Jx2 — 2^Jxy + 4~^y2 является однородной изме- измерения a = 2/3, поскольку f(tx, ty) = M(txY- 2\j{tx) {ty) + i\[(tyY = \[ё(\[S- 2\[x~y + Если a = 0, то функция будет однородной нулевого измерения. Например, f(x, у)= ¦ 1п(^-+ 1 ) — однородная функция нулевого х + У \у2 ) измерения, так как где t Ф 0. Дифференциальное уравнение в нормальной форме называется однородным относительно переменных х я у, если f(x, у) — однородная функция нулевого измерения относительно своих аргу- аргументов, т. е. f(tx, ty) = Pf(x,y) = f(x,y). A1.12) Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме Р(х, y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет однородным в том и только в том случае, когда Р(х, у), Q(x, у) — однородные функции одного и того же измерения а, т. е. P{tx, ty) = = Г*Р(х, у), Q(tx, ty) = t*Q(t, у). Действительно, переписав его в нормальной форме: Р(х, у) легко заключаем, что f(x, у) — однородная функция нулевого изме- измерения, поскольку 249
Hix fart- P{tX' ty) - fix u\ f{tX- ty)- Q(tx, ty) ~ rQ(x,y)-f{X' У>- Так как однородное дифференциальное уравнение A1.11) в нормаль- нормальной форме всегда можно записать в виде у' = f(x, у) = f(tx, ty), то, положив t= l/x, получим Следовательно, уравнение A1.11) с помощью замены у = хи (и = у/х, у1 = ы + хи') сводится к уравнению с разделяющимися пере- переменными относительно х и новой функции и(х): и+хи' = <р(и), х j-x = ф(и) — и. , Пример 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2х2у' = = х2 + у2 и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию (/A) = 0. ^ Так как функции 2дг2 и х2 + у2 — однородные второго изме- измерения, то данное уравнение — однородное. Сделаем замену у = хи, у' = и + хи'. Тогда 2х2(и + хи') = х2 + (хиJ, 2х2(и + хи') = х2A + и2). Предполагая, что х Ф 0, сокращаем обе части уравнения на х2. Далее имеем: %и + 2х^ = 1 + и2, Ixdu = A + и2 — 2u)dx. Разделяя переменные, последовательно находим: du d? 1 + u2 — 2« ~ 2х ' du [dx fd(u-l) 1, ,. -¦^-^- = -^-^1x1 +In С, 1=A-ыIп(С-\/п[)- В последнее выражение вместо и подставим значение у/х. Получим общий интеграл ' Разрешив его относительно у, найдем общее решение исходного диф- дифференциального уравнения: Использовав начальное условие уA) = 0, определим значение С: 0=l--=-L, In С=\, С = е. 1п С Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид 250
АЗ-11.1 1. Является ли функция у(х, С), где С — произвольная постоянная, решением (интегралом) данного дифферен- дифференциального уравнения: -а) у = х\\ + Се1/Х), х2у' + A - 2х)у = х2; б) у = Сех — е~\ ху" + 2у' — ху = 0; . в) х2 + у4 = Су2, xydx = (x2-yi)dy? {Ответ: а) да; б) нет; в) да.) 2. Методом изоклин построить поле направлений и при- приближенно начертить интегральные линии каждого диффе- дифференциального уравнения: а) у' = х + у; б) 2ху' = у2/х; в) ху'=\—у. 3. Найти общее или частное решение (общий или част- частный интеграл) дифференциального уравнения: а) ху' = уЬ+1; б) (x + xy)dy + (y-xy)dx = O () 1 в) 3y' = ? + 9JL ¦* г) ху' = у + У^Ту2, уA) = 0. (Ответ: a) arctgу= 1п \Cx\\ б) г/ — х-\- In |jcy| = 0; в) у = х-Зх/(С + \п\х\); г) г/= ^-(л:2 — I).) Самостоятельная работа 1. 1. Является ли функция у = Сх + 1 /С решением дифференциального уравнения ху' — у + 1 /г/ = 0? (Ответ: нет.) 2. Найти общее решение дифференциального урав- уравнения 4(х2у + y)dy + V^-H/2 dx = О/Ответ: у= ± -^(С — — arctg яJ — 5.) 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения ху' — xsm^--\-y, уB) = п. (Ответ: у = = 2х arctg (х/2).) 2. 1. Является ли функция у=у(х), заданная неявно уравнением еу/х = Су, интегралом дифференциального уравнения хуу' — у2 = х2у'? (Ответ: да.) 2. Найти общий интеграл дифференциального урав- уравнения ydx+(-yfxy—-\x)dy = O. (Ответ: -\х + -л/у = = \пСл[у~ (С>0).) 251
3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения ydx+(^fxy — x)dy = O, y(l)=l. (Ответ: 2 — 3. 1. Является ли функция у = х решением диффе- дифференциального уравнения 2A -\-х2у') = у — ху'? (Ответ: да.) 2. Найти общее решение дифференциального урав- уравнения A + ех)у' = уех. (Ответ: у = С(\ -\- ех).) 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения xy' = y(l + In у — In*), y(\)z=e2. (Ответ: у = = хе2х 11.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Уравнение у'+ Р(х)у = Q(x), A1.13) линейное относительно неизвестной функции у и ее производной у' (а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразо- преобразований приводящееся к виду A1.13)), называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции Р(х) Ф 0 и Q(x) Ф 0 должны быть непрерывными в некоторой области, например иа отрезке [а; Ь], для того, чтобы выполнялись условия теоремы Коши существования и единственности решения (см. теорему 2 из § 11.1). Общее решение уравнения A1.13) всегда можно записать в виде у = e-\pW'(\Q{x)e\pWdx + С), A1.14) где С — произвольная постоянная. Таким образом, общее решение уравнения A1.13) всегда представимо в квадратурах, т. е. выражается через интегралы от известных функций Р(х), Q(x). Отметим, что при нахождении интегралов из уравнения A1.14) произвольные по- постоянные можно считать равными нулю или, что то же самое, считать их включенными в произвольную постоянную С. Если в уравнении A1.13) Q(jc) = O или Р(х) = 0, то получим дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, общее решение которых определяется из уравнения A1.14) при Q(jc) = O или />(.#) = О соответственно. В случае, когда Q(jc) = O, уравнение A1.13) называют однородным линейным дифференциальным уравне- уравнением. Пример 1. Найти общее решение уравнения (х2 — х)у' + у — = х2Bх-1).г Решить задачу Коши при начальном условии у( — 2) = 2. > Приведем данное уравнение к виду A1.13), разделив обе его части на х2 — х Ф 0. Получим , у _х2Bх-1) У +т= ?=7~ 252
Здесь P(x) = - Х\2х-\)__хBх-\) х — 1 x2 — x x(x — 1) x(x — 1) Общее решение исходного уравнения в соответствии с формулой A1.14) имеет вид A1.15) Найдем входящие в это решение интегралы. Им«ем: А_ В _ \_ х + х— 1 х— 1 1 х— 1 х{х-\) -\dx= — In 1*1 +1п \х— И = In , A = — 1, B= X-l :-1) х — 1 x— 1 dx = '.— \)dx = где знаки « + » и « — » появляются в силу равенства х— 1 = ±- X— 1 Подставляя найденные интегралы в решение A1.15), окончательно по- получаем общее решение исходного уравнения: х— 1 = ± х— 1 х-\ Из него выделяем частное решение, соответствующее начальному условию у( — 2) = 2: Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т. е. может <5ыть при- приведено к виду Его общее решение находится по формуле .A1.16) Пример 2. Найти общий интеграл уравнения Bх — у2)у' = 2у, , dy dx ^ Данное уравнение является линейным относительно функции х(у). Действительно, 2 dy _ „ „ г _ dx dx х _ у dx ' dy' dy у 2 253
т. е. получили уравнение вида A1.16). Согласно формуле A1.17), общее решение исходного уравнения имеет вид Отметим, что линейное дифференциальное уравнение A1.13) можно также проинтегрировать методом Бернуллй, суть которого заклю- заключается в следующем. Введем две неизвестные функции и(х) и и(х) по формуле у = u(x)v(x) (подстановка Бернуллй). Тогда у' = u'v + uv'. Подставив выражения для у и у' в уравнение A1.13), получим уравнение u'v + uv' + P(x)uv = Q(x), которое преобразуем к виду {v' + P(x)v)u + u'v = Q(x). (П.18) Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например v, может быть выбрана достаточно произвольно (поскольку только произве- произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению A1.13)), вы- выбираем в качестве v любое частное решение у = у(х) уравнения v' + P(x)v = 0, обращающее в нуль коэффициент перед и в уравнении A1.18)). После этого уравнение A1.18) превращается в уравнение u'v = Q{x). Найдя общее решение и=и(х, С) последнего уравнения, придем к общему решению уравнения A1.13): у = и(х, C)v(x). Таким образом, интегрирование уравнения A1.13) сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными. Пример 3. Проинтегрировать уравнение ' + t методом Бернуллй и решить задачу Коши при начальном условии > Сделав подстановку Бериулли у = uv, у' = u'v + uv', получим: u'v 4- uv' + uv tg x = , (V 4- v tg x)u 4- u'v = & cosx v & / i cos x Находим частное решение уравнения v' + о tg x = 0: da + о tg xaU = 0, — + tg xdx = 0, tg xdx = 0, In | с I — In |cos x\ = In Ct. Полагая C\ = 1, выбираем частное решение о = cos x. Далее ищем общее решение уравнения u'v = 1/cosx, где v = gds^. Имеем: Общее решение исходного уравнения у = uv = (tg х + С) cos х. 254
Из него выделяем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(л)=\: 1=@ + С)(—1), откуда С=—1. Подставляя значение С — — 1 в общее решение, получаем частное решение исход- исходного уравнения: г/ = (tg jc — 1) cos x = sin x — cos x. -4 Дифференциальное уравнение y' + P(x)y = Q{x)y\ A1.19) где а = const ? R, а ф 0, а Ф 1, а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящееся к уравнению A1.19), называется уравнением. Бернулли. Путем введения новой функции z(x) по формуле г — ух~а уравне- уравнение Бериулли сводится к линейному уравнению относительно этой функции: z' + (l-a)P(x)z = (]-a)Q(x). (I1.20) Решив уравнение A1.20) одним из описанных выше методов, найдем z = z(x, С), а затем и у = г'/С-*). Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение A1.13), можно решить с помощью подстановки Бернулли у = и(х)о(х) (см. пример 3). Пример 4. Найти общее решение уравнения Бернулли у' + + 2еху = 2ех -у/у. > Так как.для данного уравнения а= 1/2, можно сделать замену г = (/'"" = -уу. Согласно уравнению A1.20), получим уравнение г' + e"z = e", общее решение которого в соответствии с формулой A1.14) имеет вид = e~''{\exee'dx + С) = e-e'{\e''dex + С) = = e-e\ee'+Q=] + Ce-s. Общее решение исходного уравнения y = z* = (l+Ce-*y.< Пример 5. Найти общее решение уравнения ху' + У = ху21п х. > Разделив обе части данного уравнения на х ф 0, получим урав- уравнение Бернулли с а = 2. Решим его методом подстановки Бернулли {у = uv, у' = u'v + ио'): x(u'v + uv') + uv = x(uvf In x. Легко получаем частное решение а = лг~' уравнения xv' + v = 0. Теперь необходимо найти общее решение уравнения xvu' = xu2v2 In x, где v — х~\ т. е. уравнения и' — и2 . Разделяем переменные в последнем уравнении и интегрируем его: du , dx С du С , dx —5- = In х , \—г = \ 1п х , и2 х J и2 J х _ .1 = 'п2 * с _ 2 и 2 2'" 2'" С+1п2*' 255
Следовательно, общее решение исходного уравнения 2 4 = uv = х(С+\п2х) Ч АЗ-11.2 1. Указать типы дифференциальных уравнений и мето- методы их решения: а) ху' + 2л[ху=у, б) yf cos x =-JL.; В) у'=2х1Пу + у-х- r) V+e2x)y21y-e*dx = 0; д) у' = е2х - еху; _ е) jq/' + у - у2 = 0; ж) 2х cos2 ydjc + Bу — jc2 sin 2y)dy = 0; з) у2 + х2у'= хуу'. 2. Найти общее решение дифференциального урав- уравнения: а) у' + JL = 1 + 2 In х; б) у'+ 4ху = (Ответ: а) у = х\пх + С/х; б) г/ = ±е-^2(С -\-х2/2).) 3. Решить задачу Коши: а) 2xydx + (y~ x2)dy = 0, у(-2) = 4; б) г/' = 2г/-д: + ^ (: а) д:2-г/1пDе/г/); б) г/ =ljc-^ + Самостоятельная работа Решить задачу Коши. 1. а) у' + 3у = е2ху2, у@)=1; б) у' -\- У tg х — 1 /cos д:, г/(л) = 5. (Ответ: а) у — е~2х\ б) » = — 5 cos дт + sin д:.) 2. а) г/2^ = (jc + ye*'*)dy, уф) = - 3; б зУ ) б) У'-7у==;У. У() (Ответ: а) лг^-'^З + г/); б) г/= 10е77(е10дс —6).) 3. a) xdy = {e^'-)d (\)U б) ^- (Огвет: а) у=Ц\ +± - -±-); б) y=-^ 11.4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Уравнение вида Р(х, y)dx + Q{x, y)dy = 0 A \.Щ 256
называется уравнением в полных дифференциалах, если в области D определения функций Р(х, у), Q(x, у) и существования решений урав- уравнения A1.21) выполняется равенство дР(х, у) д(Цх. у) ду дх \ ¦ ) Общий интеграл уравнения A1.21) определяется одной из сле- следующих формул: X у $ Р(х, yo)dx + $ Q(x, y)dy = С, A1.23) "о У» * У \ Р(х, y)dx + $ Q(xo, y)dy = С, A1.24) х« уо где точка Мц(хо, уо) 6 D. Пример. Найти общий интеграл уравнения (х*-\-у— 4)dx-\- ( + + !>)d 0 y + )y Введем обозначения Р = х + у — 4, Q = х + у + еу. Так как -J— = 1, —— = 1, т. е. условие A1.22) выполнено, то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл можно найти по формуле A1.23) или A1.24), положив для простоты х0 = 0, уо = 0. Выбор этих значений хо, уо допустим, так как функции Р(х, у), Q(x, у) и их частные производные определены, т. е. точка Мо@, 0N D. По формуле A1.23) имеем х У \(х2 + 0- 4)dx + \(х + у + e*)dy = С, о о По формуле A1.24) получаем общий интеграл: * у \(х2 + у - 4)dx + 5@ + у + e»)dy = С, о о ^l+jrj,-4*+-?-+«»-!= С, который совпадает с уже найденным. -4 АЗ-11.3 1. Найти общий интеграл дифференциального урав- уравнения: а) (е* + У + s'n y)dx + {еу + х + х cos y)dy = 0; б) Bх + e"*)dx + (l —~\ex/ydy = 0; в) у' = (у-3х2)/Dу-х). (Ответ: а) ех + е» + ху + х sin у = С; б) х2 + уех/у = С; в) х3-ху + 2у2 = С.) 257
2. Решить задачу Кошм: б) xdx + ydy = (xdy - ydx)/(x2 + у2), у(\)= 1; в) х + ye" + (y + ex)y' = 0, y@) = 4. [Ответ: a) xe'» + y2 + 3 = 0; 6) i- (x2 + y2) + arctg-| = = i +-J; в) > 3. Найти уравнение линии, проходящей через точку /1B, 4), зная, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке М в три раза больше углового коэф- коэффициента прямой, соединяющей точку М с началом коор- координат. ( Ответ: у =-Lx3.\ 4. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окру- окружающей среды. Температура вынутого из печи хлеба снижается от 100 до 60 °С за 20 мин. Температура возду- воздуха 25 °С. Через какой промежуток времени (от начала охлаждения) температура хлеба понизится до 30 °С? (Ответ: 71 мин.) Самостоятельная работа 1. 1. Решить задачу Коши: Bх + У + Зх2 sin y)dx + + (jc + х3 cos у + 2y)dy = 0; t/@) = 2. ( Ответ: х2 + xy + 2. С высоты падает тело массой m с начальной скоростью у@) = 0. Найти скорость тела v = v(t) в любой момент времени /, если на него, кроме силы тяжести Р = tng, действует сила сопротивления воздуха, про- пропорциональная скорости v(t), с коэффициентом пропор- пропорциональности, равным 3/2. (Ответ: v — -| -2--L 2 2. 1. Найти общий интеграл дифференциального урав- уравнения (Зх2у + sin x)dx + (лс3 — cos y)'dy = 0. (Ответ: х у — •cosx — sin у = С.) 2. Скорость распада радия пропорциональна коли- количеству нераспавшегося радия. Вычислить, через сколько 258
лет от 1 кг радия останется 650 г, если известно,гчто за 1600 лет распадается половина первоначального количе- количества. (Ответ: через 1000 лет.) 3. 1. Найти частное решение дифференциального уравнения ( 2х In у + -Дг-Л dx + (— + tg x + еу\ dy = \ cos2 х / \ у / = 0, у@) = 1. (Ответ: х2 In у + у tg x + еу = еЛ 2. Записать уравнение линии, проходящей через точку А(\, 0), если известно, что отрезок, отсекаемый касательной в любой точке этой линии на оси Оу, равен расстоянию от точки касания до начала координат. (Ответ: у=±.A-х2).} 11.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допуска- допускающих понижение порядка. I. Общее решение уравнения вида yw = f(x) A1.25) находим методом n-кратного интегрирования. Умножая обе его части на dx и интегрируя, получаем уравнение (п — 1)-го порядка: A1.26) Повторяя эту операцию, приходим к уравнению (п — 2)-го порядка: ,/»-2>= \ff-^dx= \D>i(x)+C,)dx= Ui(x)dx+ \ctdx = C,x + C2. A1.27) После n-кратного интегрирования получаем общее решение уравне- уравнения A1.25): у = Ф„(Л) + dx"-1 + C2*"-2 +••¦+ Сп-хх + С„, A1.28) где С,((=1, п) — произвольные постоянныег связанные определен- определенным образом с произвольными постоянными С\, С2, ..., С„. Пример 1. Найти общее решение уравнения > Согласно формуле A1.26) и правилам интегрирования, имеем Далее в соответствии с решением A1.27) находим 259
Проинтегрировав последнее равенство еще два раза, получим общее решение исходного уравнения A): + у Ctx2 + С?х + Сз, L с 3(лг —3) ^ 6 ~'Л ^ТЛ ^™ ' ~4~~ 3(*-3) ^ .. + С,*3 + С2х2 + С3х + С,. 4 JI. Пусть дифференциальное уравнение n-го порядка не содержит искомой функции и ее производных до (к — 1)-го порядка включи- включительно (I <| к <| п): F(x, (/*>, (/*+'>, .... (/">) = 0. A1.29) Вводя новую неизвестную функцию z(x) по формуле z = i/*' н учи- учитывая, что (/*+l) = z', i/*+2) = z", ..., (/"' = г("~*', приходим к уравне- уравнению (п — й)-го порядка относительно функции z(x): F(x, z, г', z" zc"-*>) = 0, A1.30) т. е. понижаем порядок уравнения A1.29) на к. Если удастся отыскать общее решение уравнения A1.30) в виде z = q(x, С\, С2, ..., С„_а), получим дифференциальное уравнение z = (/*) = ep(jc, Си С2 С_*) вида A1.25), решение которого находят й-кратным интегрированием. В частности, если п = 2, А=1, то уравнение A1.30)—первого по- порядка. Пример 2. Найти частное решение уравнения ху" = у'\пХГ,у{\) = е, у'A) = е2. > Данное уравнение является уравнением II типа (п = 2, А=1), т. е. не содержит у. Понизим порядок этого уравнения на 1, положив z = у'. Тогда у" = z', и исходное уравнение превращается в однород- однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции z: xz' = z\n(z/x). A) Решаем его известным образом. Делаем подстановку z = xu(x). Тогда z' = и + хи', и уравнение A) принимает вид и + хи' = и In и. B) Разделяя переменные в уравнении B) и интегрируя, последо- последовательно находим: du =—, !n|lnu-l|=ln*-+!nCi, u(ln и — 1) х \nu — l = Cix u = e' + c" z = xel+c" 260
Так как z = t/, то последнее уравнение является дифференциаль- дифференциальным уравнением первого порядка, которое решается однократным интегрированием: у' = хе1 + с", у = [ хе1 + c"dx = -^- [ xd(el + с") = ClX~l Получили общее решение исходного уравнения. Определяем значения произвольных постоянных С\ и С2, исполь- используя начальные условия у{\) = е, у'A) = ёг. Получаем систему урав- уравнений из которой легко находим, что С\ = 1, С2 = е. Следовательно, частное решение исходного уравнения определяет- определяется формулой у = {х-\)ех+'+е. 4 Пример 3. Найти общее решение уравнения у"' ctg x -f- у" = 2. ^ Данное уравнение является уравнением II типа, где п = 3, k = 2. Вводим новую функцию 2 = у" и получаем из исходного уравнения линейное уравнение z' ctg x + z = 2, которое записываем в виде г' + z tg * = 2 tg *. Его общее решение (см. § 11.2) z = е~ !'*""(J2 tg ^'«^d* + С,) = е lcos" X X B \ tg хе -ln |cos "d* + С,) = |cos x\ (i [ tg^ dx + сЛ = = 2 cos x \ =— dx + Ci cos x = 2 cos ^ (- Ci cos * = J cos' л: cos x = 2 + Ci cos *. Так как z = у", то приходим к дифференциальному уравнению I типа, которое легко решается: у" — 2 + С, cos х, у1 — 5B + Ci cos x)dx = 2x + Ct sin л: + C2, i/ = 5B* + Ci sin x + C2)dx = *2 — Ci cos * + C2* + C3. -* III. Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащее явно аргумент х: F(y, у', у" у(">)=0. A1.31) В этом случае порядок уравнения всегда можно понизить на единицу, введя новую функцию р(у)~у', где у рассматривается как ее аргумент. Для этого у', у" yw нужно выразить через производные новой функции по аргументу у. Использовав правило дифференцирования сложной функции, получим: , dy_ _ dp_ = dp_ dy_ _ dp_ y dx P' У dx dy dx v dy' \'' ¦<**) 261
•—?-¦?('?)-¦??+• и т. д. Из проведенных вычислений ясно, что (/*' выражается через производные функции pay, порядок которых не превышает k—1. В итоге вместо уравнения A1.31) получаем уравнение вида dy dy2 dy" Если уравнение A1.33) имеет общее решение р = ер((/, С,, С2 Са-\), где р = —г-, то для нахождения общего интеграла уравнения A1.31) остается разделить переменные в последнем уравнении и решить его: Си С, С„_,) = *+С„. Если в уравнении A1.31) п = 2, то уравнение A1.33) — первого порядка. Пример 4. Решить задачу Коши уЗу'у" + 1 = 0, iy(l)=l, i/'(l) = > Данное уравнение является уравнением III типа, так как не содержит явно аргумент х и п = 2. Поэтому, согласно формулам A1.32), путем замены р(у) = у' его можно понизить на единицу и по- получить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое легко решается. Имеем: УУ -^- + 1=0, рЧр = -y-3dy, \рЧр = - \у~Чу, С учетом того, что р = у' = -j—, последнее уравнение перепишем в виде • --y-jf—7-+3C,. A) Прежде чем решить его, определим значение произвольной постоян- постоянной С\, воспользовавшись начальными условиями. Подставив их в уравнеине A), получим: , С, = 0. 1/3 C \ /3 — у2 ) . которое легко решает ся путем разделения переменных: 262
, /3 Д. dy . dy = ("y ) dK' 7з—^^dx> K } (§) 7з Из начального условия y(l)= 1 находим Сг: l = (i + c2Oi8, c2 = Vis"- l. Следовательно, искомое частное решение определяется формулой 0= .!-(* +VTs-iK. 4 Пример 5. Решить задачу Коши у'" —(y"f/y' = 6(y'fy, yB) = О, у'B)=1, у'"B) = 0. ^ Имеем уравнение вида A1.31), где л = 3. Вводя новую функцию р(у) в соответствии с равенствами A1.32), последовательно находим: dp \2 / dp откуда 2- = 6(/. Это уравнение I типа, оно легко решается двукрат- двукратным интегрированием: j- = ^ 6*^ = 3(/2 + С,, р = J C(/2 + C,)rf«/ = у3 + Су + С2. Получили уравнение у' = у3 + Су + С2, для которого с учетом начальных условий и связей i/B) = p@)= 1, у"B) — р@) ^' ' =0 находим: Ci =0, Сг= 1. Теперь проинтегрируем уравнение у' = у3-\- 1: л/ л/ л[уу+ Используя начальное условие (/B) = 0, получаем, что С3=—2 — С б-\/з . Следовательно, искомое частное решение л/з~ 263
АЗ-11.4 1. Проинтегрировать следующие уравнения: а) у'" = х2 - sin х; б) t?v=y'"/x; в) УУ" = У'\ 2. Решить задачу Коши: а) У"=^ б) ху'"-у" = () 0 () в) у" = е2, у() ,у() 3. Автомобиль движется по горизонтальному участку пути со скоростью v = 90 км/ч. В некоторый момент вре- времени он начинает тормозить. Сила торможения равна 0,3 от веса автомобиля. В течение какого промежутка времени он будет двигаться от начала торможения до остановки и какой путь пройдет за это время (какова длина тормозного пути)? (Ответ: 8,5 с; 106,3 м.) Самостоятельная работа 1. 1. Проинтегрировать уравнение х2у'" = у" . 2. Решить задачу Коши 2у'2 = (у — 1 )у", у@) = 0, У'@)=1- 2. 1. Проинтегрировать уравнение ху" — у' = хех. 2. Решить задачу Коши у3у" -j- I —0, ыA)=1, У'A) = 0. 3. 1. Проинтегрировать уравнение ху" -\-ц' = у . 2. Решить задачу Коши 2у" = 3у, г/B)=1, 'BI 11.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Общий случай. Уравнение вида (/"> + а, (.%<"-]) + а2 (*)</"-2) +... + а„-, {х)у> + ап{х)у = / (х), A1.34) где a,-(jc)(i=l, л), /(*)— заданные в некоторой области D функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением п-го порядка. Если правая часть уравнения A1.34) /(*) = 0 в области D, то получаем уравнение г/'Ча.Й!/"-" + а2М(/"-2> +...+ а„_,(x)i/ + а„(х)у = 0, A1.3S) называемое линейным однородным дифференциальным уравнением, соответствующим уравнению A1.34). Если сц(х), f(x) непрерывны в области D, которая представляет собой интервал (а; Ь), то верна теорема Коши существования и един- 264
ственности решения любых уравнений вида A1.34), A1.35) (см. теорему 1 из § 11.1) для начальных условий где (/о, уо, ••-, f/Si"' — любые числа. При отыскании общего и частного решений уравнений A1.34) и A1.35) важную роль играет понятие линейной зависимости и линей- линейной независимости функций у\(х), (/г(*)> •••> </«(*)¦ Функции i/i, 1/2, •••, Уп называются линейно зависимыми в интер- интервале (а; Ь), если существуют постоянные числа \ц, ц2> ..., цп, не все равные нулю, такие, что = 0 для любых х?(а; Ь). Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда все ц, = 0, то функции t/i(x) называются линейно независимыми в интервале (а; Ь). Определителем Вронского (или вронскианом) называется опреде- определитель вида Уз, .... Уп) = У* i Уп У'п A1.36) Критерий линейной зависимости и линейной независимости функ- функций. Если функции yi(x)(i—l, п) класса С^"~{) в интервале (а; Ь) (т. е. функции, имеющие в (а, Ь) непрерывные производные до (п — — 1)-го порядка включительно) линейно зависимы, то lf = 0 в (о; Ь). Если W фО, то функции yi(x) линейно независимы. Например, для функций 1, х, х2 х*~1 1У=/=0, поэтому они линейно независимы. Совокупность п линейно независимых решений yi(x), У2(х), ..., Уп(х) уравнения A1.35) называется фундаментальной системой реше- решений. С ее помощью строится общее решение однородного уравнения A1.35). Справедлива следующая Теорема 1. Если уи 1/2 Уп — любая фундаментальная система решений уравнения A1.35), то функция у = Cii/i + С2у2 +...+ Спу„ = 2 С,у,(х), 1= 1 A1.37) где Ct — произвольные постоянные, является общим решением уравне- уравнения A1.35). Пример 1. Показать, что система функций е", е~", е2' является фундаментальной для уравнения у'" — 2у" — у1 -\-2у = 0, и записать его общее решение. > Подстановка функций у\ = е", 1/2 = е~", уз = е2лг и их производ- производных в исходное уравнение показывает, что они являются его реше- решениями. Их вронскиан имеет вид A1.36): W(e\ в' Следовательно, е", е ', ё*х линейно независимы и образуют фунда- фундаментальную систему решений исходного уравнения. Его общее реше- решение, согласно формуле A1.37), имеет вид ex ex e* e e-' e" 2eix Aeix = exe-'e2x 1 1 1 1 -1 1 1 2 4 265
Теорема 2 (о структуре общего решения уравнения 11.34). Общее решение линейного неоднородного уравнения A1.3,4) имеет вид у = = (/ + </*. где у — общее решение (вида A1.37)) соответствующего ему однородного уравнения A1.35), а у* — одно из частных решений уравнения A1.34). Пример 2. Записать общее решение уравнения у'" — 2у" — у' Л- + 2у = 2х+ 1, если одним из его частных решений является функция > Так как общее решение у соответствующего однородного урав- уравнения найдено в примере 1, то общее решение данного уравнения имеет вид у=у + у* = С1е' + С2е" + С3е2' + х+ 1. 4 Если известна фундаментальная система решений уравнения A1.35)', то частное решение у* уравнения A1.34) в любом случае можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), согласно которому у* всегда представимо в виде у* = С, (х)у, (х) + Сф)у2(х) +... + Сп(х)Уп (*), A1.38) где yt{x) образуют фундаментальную систему уравнения A1.35), а неизвестные функции С,(х) определяются из системы C\yi +С2У2 +...+ С'пуп =0,ч " = о,^ (п.39) которая является линейной системой алгебраических уравнений от- относительно л неизвестных С,'. Определитель системы является опре- определителем Вронского (см. формулу A1.36)), который в случае фунда- фундаментальной системы решений yt(x) отличен от нуля. Поэтому система A1.39) имеет единственное решение Q = yi(x). Интегрируя последние равенства, являющиеся дифференциальными уравнениями первого порядка, находим d{x)= \<fi(x)dx. . Следовательно, частное решение у* уравнения A1.34) имеет вид У*=уЛ «Pi (x)dx + ^ \ yi(x)dx +... + у„ \ у„{х)йх. A1.40) Замечание 1. При нахождении интегралов в формуле A1..40) появляются л произвольных постоянных. Их можно считать равными нулю. Пример 3. Найти общее решение уравнения -\- A) > Общее решение однородного уравнения, соответствующего урав- уравнению A), известно: у = С,е' + Cte~x + С3еи (см. пример 1). Чтобы получить общее решение уравнения A), найдем его частное решение у* методом Лагранжа. Согласнаформуле A1.38), у* = С, (х)е* + С2(х)е~* + С3(х)е3' Система A1.39) в нашем случае имеет вид 266
C\e* — С'ге-* + гСк2* = 0, У B) С',е* + Cie-' + 4С'зе2* = е/(е* + !)¦ / Ее определитель W=—бе2* Ф 0 (см. пример 1). Решая систему B) по формулам Крамера, находим: t е* \ р3х II Интегрируя выражения C), получаем (см. замечание 1): _ 1 ~ 2 'П( If e'dx _ 1 r '- 2} е*+1 ~ 2) 6 3 e*+I , 6 е*+1 Записываем частное решение уравнения A): \е**{х- fn{e*+ 1))= Общее решение уравнения A) имеет вид Cie' + de" + С3е2* + -1- Dхе -^-(е-* - Зе* - 2<?2*) In (e* + !)¦ + е* - 2) + я фундаментальной т. Поэтому в общем Замечание 2. Метода для нахождения системы решений уравнения A1.35) не существует. Поэтому случае невозможно найти частное решение у* уравнения A1.34) и, следовательно, его общее решение. Других методов решения уравне- уравнения A1.34) также не существует. Только в частном случае, когда в уравнении A1.34) все коэффициенты щ(х) являются постоянными числами, существует метод нахождения фундаментальной системы решений и общего решения уравнения A1.34). Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами. Положим в уравнениях A1.34) и A1.35) а<(х) = р1 = =* const, pi 6 R. Тогда соответственно имеем: j/"> + p,(/n-" + p2(/("-2) +... + р„-ч/ + РпУ = f(x), A1.41) 0W + pi</("-1) + P2</'-2)+ ... + рп-,у' + РпУ = 0. (Н.42) 267
Фундаментальную систему решений уравнения A1.42) можно найти, используя только алгебраические методы, следующим образом. Исходя нз уравнения A1.42), составляем алгебраическое уравнение Я" + р,Г-1+р2Г-2 + ... + р„_1>. + ря = 0> A1.43) которое называется характеристическим уравнением для уравнения A1.42). Оио имеет п корней, среди которых могут быть действитель- действительные простые и кратные кррии, а также пары комплексио-сопряжен- ных корней (простых и кратных). Если все корни Я,- характеристического уравнения A1.43) — простые и действительные, то получаем следующую фундаментальную систему решений уравнения A1.42): eUx, ek", .... еЧ A1.44) Извертно, что каждому действительному корню Я кратности k харак- характеристического уравнения A1.43) соответствует ровно k линейно независимых решений уравнения A1.42) вида yi=e1', уъ = хеи, ..., ук = х"-1еХх. A1.45) Каждой паре комплексно-сопряженных корней а ± р, кратности m характеристического уравнения A1.43) соответствует ровно 2/л линейно независимых решений уравнения A1.42) вида ?, = еах cos fix, уг = еах sin $x, y'3 = xeaxcos$x, у< = хеах sin $x, A1.46) уь = JtV" cos рдг, уа = х2еах sin fix, у2т-1=хт~ 'еах cos fix, yim = хт~ 1е«х sin fix. Обобщая проведенные рассуждения, получаем, что п корням ха- характеристического уравнения A1.43) соответствует ровно п линейно независимых решений однородного уравнения A1.42), образующих фундаментальную систему решений, линейная комбинация которых с произвольными коэффициентами дает общее решение уравнения A1.42) в соответствии с формулой A1.37). Пример 4. Найти общее решение линейного однородного диффе- дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными коэффи- коэффициентами: y'v—l6y = 0. > Обставляем характеристическое уравнение для данного урав- уравнения и находим его корни: Я4—16 = 0, (Я2 — 4)(Я2 + 4) = 0, Я2 = 4, Я1,2= ±2, Я2 = —4, Я3.4 — ±2/. Получили четыре простых корня: два действительных и два комплексно-сопряженных (а = 0, р = 2). С уче- учетом частных решений A1.44) — A1.46) получаем фундаментальную систему решений: i/i = е2х, у2 = е~2*, уз = еОх cos 2х= cos 2х, у* — еОх sin 4.x = sin 2x. На основании формулы A1.37) общее решение исходного урав- уравнения имеет вид у = С,е2х + С2е~гх + С3 cos 2x + Ct sin 2x. 4 Если в уравнении A1.42) п —2, то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэф- коэффициентами У" + Р>У' + Р2У = 0. (П.47) 268
Корни его характеристического уравнения 0 A1.48) могут быть: 1) действительными и различными: А.| ф \i\ 2) действительными и равными: Х\ = \г = Я; 3) комплексно-сопряженными: Xi,2 = a±Pf. Им соответствуют следующие фундаментальные системы решений и общие решений уравнения A1.47): 1) у, = el", i/j = ех", у = Ciex" + C2ehx; 2) i/i = ev*. У* = *ev*; у = C,<?v* + (W; 3) у, = e" cos $x, y2 — ea" sin px; j/ = <?"(Ci cos рд: + C2 sin рл:). Пример 5. Найти общие решения следующих уравнений: а) у" - 15(/ + 26(/ = 0; б) у" + 6у' + 9у = 0; в) у" — 2у' + Юу = 0. > Для каждого случая составляем характеристическое уравне- уравнение, находим его корни, фундаментальную систему решений и общее решение: а) X2 - I5A. + 26 = 0, Я, = 2, Я2 = 13; б) X2 + 6Х + 9 = 0, Xi = Х2 = —3; (/, = е-31, «/г = у==е-3'(С, в) X2 — 2Я + Ю = 0, А.,,2 = t ± 3i; (/i = е* cos Зх, i/2 = е* sin Зх; у = ex(Ci cos Зх + С2 sin Зх). 4 Таким образом, для того чтобы решить линейное уравнение с по- постоянными коэффициентами, необходимо: 1) найти его фундаментальную систему решений; 2) составить общее решение у однородного уравнения A1.42); 3) по методу Лагранжа найти частное решение у* уравнения A1.41); 4) по формуле у = у-\-у* получить общее решение у уравнения A1.41). В различных инженерных приложениях правая часть f(x) урав- уравнения A1.41) во многих случаях имеет специальный вид: f(x) = eax(P,(x) cos bx+Qs(x) sin Ьх), A1.49) где Pr(x), Qs(x) — многочлены степени г к s соответственно; а, Ь - некоторые постоянные числа. Частными случаями функции j(x) являются: f(x)=Pr(x)eas F = 0); A1.50) f(x) = Р, (х) cos Ьх + Qs (x) sin bx (а = 0); A1.51) f(x) = ea'(A cosbx + B sin bx)(A =const, fi = const); A1.52) f(x) = A cosbx + B sin bx (a = 0, P,{x) = Л, Qs(x) = B); A1.53) f(x) = Pr(x) (a = 0, b = 0). A1.54) 269
Доказано, что во всех этих случаях, а также в общем случае (см. фор- формулу A1.49)), частное решение у* уравиеиия A1.41) имеет аналогич- аналогичную этим правым частям структуру. Для общего случая функции f(x) y*=xkeax(Pm(x)cosbx+Qm(x)s\nbx), A1.55) где Рт(х), Qm(x)—многочлены степени /л = max (r, s}; k равно числу корней характеристического уравнения A1.43), совпадающему с чис- числом г = а 4- bi. Таким образом, k = 0, если среди корней А*(/=1, п) нет числа z; k=l, если существует один корень, совпадающий с г; k = 2, если существует двукратный корень, совпадающий с г, и т. д. Следовательно, согласно формуле A1.55), сразу можно опре- определить структуру частного решения у*, в котором неизвестными явля- являются только коэффициенты многочленов Рт(х) и Qm(x). Подставляя решение у* и его производные в уравнение A1.41) и приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходи- необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов. Такой способ нахождения коэффи- коэффициентов и, тем самым, у* называется методом неопределенных коэф* фициентов. Следовательно, зная структуру у* (см. формулу A1.55)), можно найти частное решение с помощью элементарных операций, таких, как дифференцирование и решение систем линейных алгебраи- алгебраических уравнений, не применяя операцию интегрирования, возникаю- возникающую при решении уравнения методом Лагранжа. Пример 6. Найти общее решение уравнения y'v-3y" = 9x2. A) р- Составляем характеристическое уравнение, находим его кории, фундаментальную систему решений и общее решение у соответствую- соответствующего однородного уравнения: я4 — зя3 = о, я2(я2 - з) = о, я, = я2 = о, я3>4 = ± Уз- (/i =еОх= 1, У2=хе<* = х, у3 = е^\ yi = e~^; ? = С, В уравнении A) правая часть — специальная, относящаяся к частному случаю A1.54), поэтому 2 = 0. Двукратный корень харак- характеристического уравнения Xi = Яг = 0 совпадает с г = 0, откуда сле- следует, что k = 2. Частное решение (/*, согласно формуле A1.55), имеет вид так как правая часть уравнения A) является многочленом второй степени. Подставляя у*" и у' в уравнение A), мы получим тождество {у* — решение уравнения A)). Здесь и далее для удобства вычислений будем выписывать выражения для у*, у*', у*", у*'", у*1/, ... в отдельные строки и слева за вертикальной чертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэф- коэффициенты, складывая и приводя подобные члены, имеем: 270
0 0 — 3 0 I У* У*' и*" У*'" y*'v = Ах* = ААг? = 12Л*2 = 24Лх = 24/1, + Вх3+ Сх2, + ЗВх2 + 2Сх, + 6Вх + 2С, + 6В, y*'v - Зу*" = -36Л*2 - 18Вх -6С + 24Л за 9х2. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего тождества, получаем систему алгебраи- алгебраических уравнений для определения Л, В, С: х2 — 18В = 1 —6С + 24Л =< — 1. Следовательно, х х[ х° , в. С: 9 \ -О, > 24Л = О, J откуда А = —1/4, В = О, С ¦ Общим решением уравнения A) является функция 4е-^— -j-x* — хг. -4 Пример 7. Решить задачу Коши у" - 7у' + 6у = {х- 2)е', </@) = 1, у'@) = 3. A) > Так как характеристическое уравнение Я2 — 7Я + 6 = 0 имеет корни Л.1 ^= I, ^2 = 6, то общим решением соответствующего однород- однородного уравнения у" — 7t/ -f- 6y — 0 является функция у = С,е* + &е6х. Правая часть уравнения A)—специальная, вида (Н.50), где а=1; ft = 0; P\(x) = x — 2; г^1. Так как z является корнем харак- характеристического уравнения, то k = 1 и частное решение уравнения A определяется формулой у* = хе*{Ах + В). Далее, как и в примере 6, находим: — 7 1 у* = у*' = х) + е'BАх + В), </*"= е"(Ах2 + BА + В)х + В) + е*BАх + 2А + В), у*" — Ту*' 4- 6у* = е"(FА -7А+ А)х2 + FВ— 7В — НА+ 2А + В+ + 2А)х — 7В+2А+ 2В) = (?{х — 2). Сокращая обе части последнего тождества на е" Ф 0 и прирав- приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к в левой и правой частях, имеем: 0 = 0 — 10Л = 1 2Л — 5В = —2, откуда Л = — 1/10, В = 9/25; 271
Общим решением уравнения A) является функция У = У + У* = С,е' + Cte6' + е*( - -1. х> + J Для того чтобы решить задачу Коши, находим у': Используя начальные условия, получаем линейную систему урав- уравнений для определения значений произвольных постоянных С\ и С2: 1/@) = С, + С2 = 1, у'ф) = С, + 6С2 + 9/25 = 3, откуда находим: Ci — 84/125, С2 =41/125. Следовательно, частное решение, удовлетворяющее данным на- начальным условиям, имеет вид 84 * , 4| в* , Для линейных дифференциальных уравнений вида A1.41) спра- справедлив так называемый принцип суперпозиции решений, суть которого заключается в следующем. Если в уравнении A1.41) /(*) = /iM + + /2(*), У*(х) и </*(*) — решения двух уравнений вида A1.41) с пра- правыми частями /i(x) и fi(x) соответственно: </") + Р1</"-') + ... + Рг.</ = Ы*). (П.56) у(-) + pi(fi«-1) +... + рау = щ A j .57) то функция y* = yt Л-yt является решением уравнения A1.41) с пра- правой частью 1(х). Функции fi{x) и fi(x) могут быть специальными (вида A1.49), но разных типов A1.50) — A1.54)). Тогда следует воспользоваться структурой частного решения A1.55) применительно к каждому типу и методом неопределенных коэффициентов найти частные решения уТ и yt уравнений A1.56),. A1.57). Кроме того, может оказаться, что U(x) — специального вида, a /2(jf)—иет. В этом случае частное реше- решение у* уравнения A1.41) можно найти сразу методом Лагранжа или, что рациональнее, разделить на два этапа: для решения уравнення A1.56) использовать структуру A1.55), а для решения уравнения A1.57) применить метод Лагранжа. Пример 8. Найти общее решение уравнения у" + У = х sin х + cos 2x. A) р- Так как характеристическое уравнение Я2 + 1 = 0 имеет мни- мнимые кории Я|=/, Хг=—/, то общее решение однородного уравнения у" + у = 0 определяется функцией у = С, cos х + С2 sin х. Правая часть уравнения A) представляет, собой сумму двух функ- функций специального типа A1.51) и A1.53): ji(x) = xb\nx, /г(л) = cos 2x. Поэтому, используя структуру A1.55), методом неопределенных коэф- коэффициентов находим частное решение yf уравнения (/' + <, = * sin х B) 272
и частное решение yt уравнения у" + у = cos 2x. C) Для уравнения B) а = О, 6 = 1, г — i = Xt, поэтому fe = V н i/f = х((Ах + В) cos х + (Сх + ?>) sin х). Вычислим неопределенные коэффициенты А, В, С, D по схеме, приведенной в примере 6, н найдем yt. Имеем: уТ = (Ах2 + Bx)cos х + (Сх2 + Dx)sin x, yt' = BАх + B)cos х — (Ах2 + Bx)sin х + B Сх + D)sm х + (Сх2 + + Dx)cos х = (Сх2 + 2Ах + Dx + B)cos x + (— Ах1 — Вх + 2Сх + + D)sin х, yt" = BСх + 2А + D)cos x — (Сх2 +~2Ах + Dx + B)sin x + ( — 2Ах — — В + 2C)sin х + (—Ах2 — Вх + 2Сх + D)cos x. yf + iff = (Ах2 + Вх + 2Сх + 2А + D — Ах2 — Вх + 2Сх + ?>)cos x + + (С2 + Dx — Сх2 ~2Ax — Dx — B — 2Ах — В + 2C)sin х = х sin x. Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях последнего тождества, находим А, В, С, D и yf: X COS COS х sin sin X X X X AC 2A —AA -2B = 0, + 2D = = 1, + 2C = откуда A = — 1/4, В = 0, С = 0, D = \/A. Следовательно, /1 , 1 . \ 1 , . . yt = x I j- x cos x + — sinxl = — x {sin x — x cos x). Для уравнения C) a = 0, 6=2, z = 2i, поэтому k=.O и У% = М cos 2x + Л^ sin 2x. Далее находим: f = M cos 2x + N sin 2x, "' = — 2M sin 2x + 2N cos 2x, '" = —AM cos 2x — AN sin 2x, yf + yf = — ЗУИ^^cos 2x — 3N sin 2x = cos 2x. Очевидно, что — ЗЛ1 = 1, — 3N = 0, поэтому yi — 5- cos 2x. о Окончательно получаем, что у* = yf -\- j/f == —- x(sin x — х cos x) — cos 2x и общее решение исходного уравнения A) определяется функцией у = у + у* = С\ cos х + Сг sin х + — x(sin x — х cos х) — cos 2x. 4 А . о Пример 9. Решить задачу Коши у" - 2у' + Ьу = Ze* + e1 tg 2х, 1/@) = 3/4, у'@) =2. A) 273
^ Сначала найдем общее решение данного уравнения. Соответ- Соответствующее характеристическое уравнение Я2 — 2Я + 5 = 0 имеет корни Х« =? 1 rfc2i. Общее решение однородного уравнения у" — 2у' + 5i/ = = 0 определяется функцией у = e*{Ci cos 2x + С2 sin 2*). Правая часть уравнения A) представляет собой сумму двух функ- функций. Первая нз них /](л:) = 3е* относится к спеииалыюму типу A1.50), для которого Р,(х) = 3, а=1, 6=0, г—\фХ\.2. Поэтому частное решение yt уравнения у" — 2у' + 5у = 3е" имеет внд yt = Ае", где о А определяется нз тождества (А — 2А + 5Л)в* = Зе": А = —, yt = = —jr e". Вторая функция fi{x) = e" tg 2x не является специальной, и частное решение у* уравнения у" — 2у' + % = в1 tg 2x необходимо искать методом вариации произвольных постоянных (методом Лаграи- жа). Согласно формуле A1.38), имеем yf = ex{Ci {x) cos 2x + С*(х) sin 2x). В нашем случае система вида A1.39) состоит нз двух уравнений (i/i = e" cos 2x, i/2 = e" sin 2л:): С1еж cos 2л: + Cie* sin 2л: = 0, Cie"(cos 2л: — 2 sin 2x) + C^Csin 2л: + 2 cos 2л:) = в* tg 2л:. Сократив уравнение этой системы на е", получим: С, cos 2х + С2 sin 2л: = 0, \ C1(cos 2л: — 2 sin 2л:) + C^(sin 2л: + 2 cos 2х) = tg 2л:. ) Определитель (вронскиан) последней системы cos 2л: sin 2л: I _ cos 2л: — 2 sin 2л: sin 2л: + 2 cos 2л: | ' По формулам Крамера находим: 0 sin 2л: | 1 tg 2л: sin 2х + 2 cos 2х \~ 2 S1" 2x tg *' Г'- ' С,- — 1 I cos 2jk 0 1 1 C'2==T|cos2x — 2 sin 2л: tg 2л: | = T S'" 2x' Теперь проинтегрируем полученные равенства: <J- • r 1— cos2 2x . _ 1 f sin2 2л: л _ 1 [ ~ Т) cos 2л: dX Т) = -я- $ sin 2лс(л: = j- cos 2л:. Следовател ьно, yt = е*(-7-ln *g (т — лс) cos 2л + -т- sin 2дг cos 2jc — 274
— -j- sin 2x cos 2x J = — e" In tg ( — — x J | • cos 2x. Таким образом, частное решение исходного уравнения A) имеет вид -: х ] • cos 2x а его общее решение определяется функцией cos 2x + С2 sin 2x) + Чтобы решить задачу Кошн, вычислим значения произвольных постоянных С\ н С2 в общем решении B), используя начальные уело-» вия i/@) = 3/4, i/'@) = 2. Находим у1: у' = e*(Ci cos 2x + С2 sin 2л:) + е'(—2С, sin 2x + cos2x Подставляй значение х = 0 в выражения для у и у', с учетом на- начальных условий получаем: у@) = 3/4 = С, + 3/4, '@) 2 2С + 3/41/2 откуда С, = 0, С2 = 7/4. Следовательно, искомое частное решение у = -^ е'C + 7 sin 2х + In | tg (^ - ^ | • cos 2x\. АЗ-И.5 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для следующих однородных линейных диффе- дифференциальных уравнений второго порядка: а) у"-2у'-4у = 0; б) у" + 6у' + 9у = 0; в) у"-6у'+18 0 (Ответ: а) ул = + C2e('-V5),. б) у1== в) у, = е3х cos Зд:, уг = е3х sin Зл:; у = е3х (С, cos Зд: + + C2s\n3x).) 275
2. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для следующих однородных линейных диффе- дифференциальных уравнений высших порядков: ; а); у'" — Ъу" Ч- 16*/' — \2у = 0; б) y*v — 8у" + 7у = 0; в) yv — 6*Л + 9*/'" = 0; г) yv'-3/ + 3i/1/ = 0. (Ответ: а) у\=ех, у2 = ?2*cos2лр.х, у3 = е2хsin2д/2х; у = С,е* + <?2лг(С, cos 2-\/2х + С2 sin 21/2.*:); б) yt = в*, у2 = = е~\ уг = е^*, У4 = в-^*; у = С,е* + С2е-^ + С3е^^ + + С4<?-^; в) у, = 1, у2 = х, у3 = х2, у4 = е3х, у5 = хе3х; х; г) ух = \, у2 = х, ^-x, у6 = е3х/2 sin-^- x; y С3х2 + Са3 + <?3( Самостоятельная работа Найти фундаментальные системы решений и общее решение данных однородных линейных дифференциаль- дифференциальных уравнений. 1. а) Зу" — 2у'-8у = 0; б) у"' + 9у' = 0. (Ответ: а) у = С%е2х + С2е-Ах/3\ б) у = С, + С2 cos Ъх + С3 sinЗх.) 2. а) у" — 6у'+13у = 0; б) у/к — 8г/"+ 16у = 0. (Ответ: а) у = e3jr(Ci cos 2x + С2 sin 2х); б) у = (С, + 2 2 3. а) 4/" - Ъу' + 5у = 0; б) у'" — 3#" + Зу' — у = 0. (Ответ: a) y = ex(^Ci cos-J + C2sin-0; 6).y = e*(Ci + АЗ-11.6 Найти частные решения следующих неоднородных уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям (решить задачу Коши). \. у" — Зу' + 2у = е3х(х2 + х), у@) = 1, у@)= —2. f Ответ: y = 4(ex-e2t)+- L (х2 - 2х + 2)е3х.\ 2. у'" — у'= —2х, у@) = 0, у'@) = у"@)=2. (Ответ: п z=z ех е~х -4- х2.) 3. y'v-у = &ех,у@) = -1,у'@) = 0,у"@)= 1,у'"@)= = 0. (Ответ: у = 2хех — Зех-{-е х + cos д; + 2 sin x) 276
-; 4. у" — 2у' + 2у = Аех cos х, у (л) — леп, у'(п) — е*. (От- (Ответ: у = ех(Bх — л — l)sin х — л cos x).) 5. у" + \у = 4(sin 2x + cos 2x), у(л) = у'(л)=2л. / От- Ответ: у — Зл cos 2х + ^ s'n 2jc ¦+- x(sin 2x — cos 2x). j Самостоятельная работа Найти частные решения уравнений, удовлетворяю- удовлетворяющие указанным начальным условиям. 1. у"-2^ = 26*, */A)=-1, у'A) = 0. {Ответ: у = = е2х~1 —2ех-\-е-\- 1.) 2. у" + 4у = х, у@)=1, /@) = л/2. (Огвег: у = = ± х + cos 2* + (-J - -i) sin 2дг.) 3. у" + 6/ + 9у = 10 sin х, 0@) = - 0,6, у'@) = 0,8. (Ответ: у = 0,8 sin л: — 0,6 cos x.) АЗ-11.7 Для каждого из данных неоднородных линейных диф- дифференциальных уравнений определить и записать струк- структуру его частного решения. (Числовых значений неопре- неопределенных коэффициентов не находить.) 1. у" — 8/ + 16*/ = е4*A - х). 2. у" — Зу' = е3х - 28*. 3. у" + 16у — х sin 4х. 4. у'" + «Л = 2х + е~*. 5. у" - 4/ = 2 cos2 4x. 6. y'v — y = 3xex-\-smx. 7. у" — 7у' = (х - IJ. 8. !/v + y" = x2 + 2x. 9. /' _ Ау' + 13у = е2х(х2 cos Зд: + sin Зд:). 10. yv-i/v = 2xex — A. Найти общие решения данных линейных уравнений. П. у" + \у — cos2 х. 12. у" + 5у' + 6у = е~* + е-2х. 13. Ау"-у = х3-2Ах. 14. у'" + у" = бд: + е~*. 15. у" + Ау = 1/sin2 х. 16. у'" + у' = tg х Самостоятельная работа Найти общие решения данных уравнений. 1. у" + Ay' + Ay = e~2x In л:. (Огвег: у( 277
2. y"+y + cig2x = 0. (Ответ: y = 2 + С, cos + C2 sin x -f cos x In tg y I. 3. y"-2j/' + */ = е7(д:2 + 1). (Огвег: у = e*(C, + C2 — In -\]x2 -\-\ -\-x arctg x).) 11.7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Система вида yi = h(x, y>, (/2 «/»), I A1.58) где функции /i(i= 1, я) определены в некоторой (я + 1)-мерной обла- области D переменных х, у,, у?, ..., уп, называется нормальной системой п дифференциальшх уравнений первого порядка с неизвестными функциями yt(x), у2(х), ..., уп(х). Число уравнений, входящих в систему A1.58), называется ее порядком. Решением системы {11.58) в интервале (а; Ь) называется сово- совокупность функций 1/, =у\(х), у2=у2(х), ..., уп = Уп(х), непрерывно диф- дифференцируемых в (а; Ь) и обращающих вместе со своими производ- производными каждое уравнение системы A1.58) в тождество. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение yt = у\ (х), У2 = Уъ(х) У» = Уп(х) системы A1.58), удовлетворяющее начальным условиям: У\(хо) = у\а, У2(хо) = у2о, .¦¦„ Уп(хо) = упо, A1.59) где (/ю, 1/2о, •••, у„о — заданные числа; хо?(а; Ь). Имеет место Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если функции f,(i=l, n) непрерывны в окрестности точки (ха, </ю, J/20 </noND и имеют непрерывные частные производные ¦—- (j — 1, п), то всегда найдется некоторый интеграл с центром х0, в котором существует единственное решение системы AJ.5S), удов- удовлетворяющее начальным условиям A1.59). Общим решением системы A1.58) называется совокупность я функций 1/, = ф,(дс, С\, С2, ..., С„) (/= 1, я), зависящих от п произволь- произвольных постоянных Ci, Сг, ..., Сп и удовлетворяющих следующим усло- условиям: 1) функции <р, определены в некоторой области изменения пере- переменных х, Ci, С2, ..., С„ н имеют непрерывные частные производный д<р, ' •• дх ' 2) совокупность ф( является решением системы A1.58) при любых значениях С; 278
t 3) для любых начальных условий A1.59) нэ области D, где выпол- выполняются условия теоремы Кошн, всегда найдутся такие значения про- произвольных постоянных Сю, Сю, ..., С„о, что будут справедливы равен- равенства (/(о = <pi(JCo, Сю, Сю, ¦ ¦¦, Со). Частным решением системы A1.58) называется решение, получен- полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных по- постоянных. Одним из методов решения системы A1.58) является сведение ее к решению одного или. нескольких дифференциальных уравнений высших порядков (метод исключения). Все сказанное выше верно н для частного случая системы A1.58) — системы линейных дифференциальных уравнений, которая имеет вид у\ =au(x)yl +ai2(x)y2+ У* = O2I {х)у\ + Я22(х)уг +... + а2п{х)у„ + h{x), У'п — ani (x)yt + апч{х)у2 +... + апп(х)у„ где функции Oij(x), fi(x) (i, (/=1, п) обычно предполагаются непрерыв- непрерывными в некотором интервале (а; Ь). Если все fi(x) з= 0, то система A1.60) называется однородной, в противном случае — неоднородной. Если ац{х) = const, то система называется линейной с постоянными коэффициентами. Существуют методы, позволяющие проинтегрировать такую систему. Рассмотрим два из них. I. Составляем характеристическое уравнение ац — Я, апп о„2 •¦¦ Опп — А, A1.61) где aij = const. Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степени п относительно Я, с действительными постоянными коэффициентами, которое имеет п корней (с учетом их кратности). При этом возможны следующие случаи. 1. Корин характеристического уравнения A1.61)—действитель- A1.61)—действительные и различные. Обозначим их через Я,ь Я.2 К. Известно, что каждому корню h{i= 1, я) соответствует частное решение вида yf = c^V", yf = <*№' t/i> = а<?еЧ A1.62) где коэффициенты а?', orfP, ..., ai? определяются из системы линейных алгебраических уравнений: 0, I ' A1.63) Все частные решения вида (И.62) образуют фундаментальную систему решений. Общее решение однородной системы с постоянными коэффициен- коэффициентами, получаемой из системы A1.60) прн ац = const, /,-(лс) = О, пред- представляет собой следующую совокупность функций, являющихся ли- линейной комбинацией решений A1.62): 279
yt = 2 Q/P = CoC 1 = 1 л i/2 = 2 dyf = Ca^ +... + Cna\n)el-X, ... + C,oiV", A1.64) 3 I 2 ' ?•$> = где С, — произвольные постоянные. Пример I. Найтн общее решение однородной системы 1/1 = 3(/1 — У2+ УЗ, </2 = — 1/1 + 5|/2 — 1/3, Уз = ух— (/2 + 3«/3. > Характеристическое уравнение данной системы 3-Я, —1 1 — 1 5 —Л — 1 =0 • A) 1 —1 3-Я, имеет различные действительные корнн: A,i =2, А.2 = 3, А,3 = 6. Для каждого из них составляем систему вида A1.63): B) Так как определители этих систем, согласно формуле A), равны нулю, то каждая нз них имеет бесчисленное множество решений. В данном случае можно выбрать те решения, для которых <xi1) = ai2) = o^3)= 1. Тогда получим следующие решения систем B): если cti = 2, то а{1)— = 1, ak'^O, a31)=— 1; если Я2 = 3, то аг=1, <х22)= 1, а^2)=1; если Я,3 = 6, то М3)=1, ос23)=— 2, аз3)=1. Это приводит к следую- следующей фундаментальной снстеме решений: </<" = е2*, i/21>=0, №=-e2x; Линейная комбинация этих решений с учетом совокупности функций A1.64) дает общее решение исходной системы: 1/2 = С2е3х — 2С3е6х, > 4 2. Корин А.|, Яг, ..., К характеристического уравнения A1.61) — различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно-сопряженных корней Л1.2 = А,±?р ха- характеристического уравнения A1.§4) соответствует пара частных решений: 280
ji^ei'V+W', A1.65) tf> = aW-1»*, ¦ A1,66) где /= 1, я; коэффициенты <zj4 af> определяются из системы A1.63) соответственно для к — fa = к + i$ и к = fa = а — ф. Коэффициенты <4Ч 42) оказываются, как правило, комплексными числами, а соответ- соответствующие им функции ifi'\ г/f' — комплексными функциями. Выделяя мнимую и действительную части функций у\х) и ур н пользуясь тем, что для линейных уравнений с действительными коэффициентами и мнимая, н действительная части решения также являются решениями, получаем пару частных действительных решений однородной системы. Пример 2. Найти общее решение системы > Характеристическое уравнение = *2+i — 7 — к 1 i ,2 ( —7 — — 2а, +( — 5 — A,)a2 = 0. -2 -5-; системы A) имеет корни A.i.2 =—6±г. Согласно формулам A1.63), получаем: '>, аB": 4"=i+'- Согласно формуле A1.65), получаем частное решение: i/,1) = a\xVa+tt\* — e<e+i>>x = e<-6+<)* = e -6j[(cos х + i sin x), Корню Я,| = —б + i соответствует система для вычисления ": (-Т-ЯОа^ + аУ^О, 1 /(-l-Oe^+eA'^O. _2а<1) + (-5-Я1L') = 0; 1-2а("+A-041) = 0=^ : + sin x)). (Здесь мы воспользовались формулой Эйлера: е(а+'м* = ^(cos Eх + + i sin Eх).) Взяв в отдельности действительные н мнимые части в решении B), получим два решения в действительной форме, обра- образующих фундаментальную систему решений системы A): ifP = е ~6*cos х, «У* = е "~6*(cos х — sin x), Ц _&х . = _бх . C) Тогда общее решение системы A) имеет вид: i cos х -\- d sin x). - - I D) Уч. = Ci{/2 + С2У2 = е 6'(С\ (cos х — sin x) + C2(cos x + sin дс)).-1 Заметим, что использование второго корня fa =—6 — i излишне, так как получим те же решения A) — D). Этот факт верен для лю- 281
бых систем однородных линейных дифференциальных уравнений., <i 3. Среди корней к,, А.2, ..., К характеристического уравнения (Й.61) имеются кратные. В этом случае поступаем следующим об- образом. Пусть А. — корень кратности к характеристического уравнения A1.61). Тогда решение системы A1.60) (для которой a,7 = const, /,(лс)?зО (i, /= 1, п)), соответствующее этому А-кратному корню, ищем в виде: : у, =(а[о + аих + а\2Х +... + а, к->х" ')е", Уч. = (аго + ацх + аых2 + ... + oft *-f**~ ')«**, _. . . . (Н.67) уп — (а»о + a«iJ? + <х»2*2 + .- + а„ *- i**~ l)eu. Числа ац (/=1, я, 1 = 0, к — 1) находим так: подставляем функции (/, из A1.67) и их производные J/,' в исходную систему A1.60) прн указанных ограничениях на ац н ft(x), а затем (после сокращения на е*х ф 0) приравниваем коэффициенты прн одинаковых степенях х в левых и правых частях полученных равенств. В результате про- проведенной процедуры из всех чисел hi к всегда остаются в качестве свободных параметров, которые принимаются за произвольные постоян- постоянные. Решения нз фундаментальной системы, соответствующие простым (некратным) корням характеристического уравнения A1.61), опреде- определяются так, как было показано в случаях 1 и 2. Пример 3. Найти общее решение системы У\ = </2 + Уз, Л yi = </1 + </2 — Уз, > A) 1/3= У2 + УЗ-) > Характеристическое уравнение — А, 1 1 1 1-Я, —1 0 1 1-Я, = —(А.— 1JА. = 0 B) системы A) имеет двукратный A,i.2=l и однократный Яз = 0 корни. Согласно формуле (И-67), двукратному корню А,|,2 = 1 соответствует решение вида ^'2) ( +а, ,*)* Коэффициенты а» (/=1,3, / = 0,1) определяются нз системы, полученной подстановкой выражений для у>, </2, Уз, t/\, </2, у'з в исходную систему A). После сокращения на е'фО имеем 1 \X — азо — &з\Х, > i x = аю + ai \Х -\- аго + агь аз1 -f- азо ~Ь &з\Х = аго ~Ь &%\Х -\- азо ¦ Приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х слева и справа, получаем систему аи ~Ь аю = аго ~Ь азо, ац = аг| + <Хз1, аг1 ~Ь аго:== аю ~Ь аго — азо, аг| = ац + а.2\ — азь аз! + азо = аго + азо.
из которой находим, чтоа2о = «31 = an, a3o = аю, a2i =0: Числа м можно считать произвольными параметрами. Обозначим их через С, и Сг соответственно. Тогда решение C) запишется в виде у\к2) = (С, + С2х)е*, $•*> = С,е*, $» = (С, + С2*)е\ D) Корню Яз = 0, согласно формуле A1.62), соответствует решение </43> = afV = aP>, # - a23V>* = a23), t/?> = aiV« = a33), E) где числа a?1, aS>3), a33) определяются из системы (см. систему A1.63)): Ее решение: аР = 2Сз, а23) = — С3, а^3) = С3. Следовательно, соответ- соответствующее корню Х3 = 0 решение вида E) исходной системы A) имеет вид где Сз — произвольная постоянная. Общее решение исходной системы записывается в виде J = (С, + С2х)е* + 2Сз, J/2 - «# ^ + # = С,^ - Сз, № = */з'-2) + # = (С, + С Если система — неоднородная, то, зиая общее решение вида A1.64) соответствующей однородной системы, можно найти общее решение исходной неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных С|, С2 С„ в решении A1.64). Рассмотрим этот вопрос подробнее. Доказано, что общее решение неоднородной системы всегда можно записать в виде A1.64), заменив произвольные постоянные Ci, С2, ..., С„ соответственно функциями С\(х\ С2(*), ..., Сп(х) (вклю- (включающими в себя аддитивно произвольные постоянные Ct, C2 С„). Эти функции определяются с помощью данной неоднородной системы: в Мее подставляют у\, #2, ..., у„, у\, i t/n, получают линейную систему п алгебраических уравнений относительно С\(х), Ci(x), ..., С'„(х), решение которой всегда существует и представимо в виде где ф,(л:) (i=l, n)—известные функции. Интегрируя эти равенства, находим где Ci — произвольные постоянные. Подставляя в решение A1.64) имеете С,-= const найденные значения G(jt), получаем общее решение неоднородной системы уравнений. 4 Пример 4. Решить задачу Коши =,} ( y() J A) = i/i— 2г/2 + х, > Прежде всего найдем общее решение соответствующей одно- однородной системы 383
Корни ее характеристического уравнения: Xt = — 1, А,2 = 3, а общее ре- решеиие ищем в виде (см. случай 1): ;: Считаем, что в решении C) С, и С2 являются неизвестными функ- функциями Ct(x) и Сг(х) (в этом суть метода вариации произвольных по- постоянных!). Потребуем, чтобы у\ и уг были решением исходной системы A). Находим: у\ = С\(х)е-" — С,(х)е-' + 5С2(*)е3' + 15С2(*)е3', yi = С, (д:)е-' - С, (*)е-' + С'2 We3' + 3C2We3'. Подставляем выражения для у,, у2, у\, у'г в систему A). Приводя подобные члены, получаем систему: С, We~* + 5C2 We3' = 4х + 1,1 С'1(х)е-*+ С'2(*)е3'= х, ) откуда Проинтегрировав последние равенства, имеем: С, W = -i(x - 2)е' + С,, С2(*) = - -1C* + 2)е' + С2. Подставляя Ci (дс) и С2(дс) в равенства C) вместо С\ и С2) получаем общее решеиие исходной неоднородной системы A): у, = Се" + ЬС*?' + ±(х - 2) - -|C* + 2), у, = С,е+ С2е + -1(д:-2)-1 Используя начальные условия, получаем систему для определения постоянных С\ и Сг: 1=С, + 5С2— 1/2 — 5/6,1 2*=Ct+ Сг- 1/2- 1/6,/ откуда С, = 11/4, С2=—1/12. Таким образом, решением задачи Кош и будет следующее частное решеиие: yt=^e~l^ + -L(*_2)--l( II. Второй метод интегрирования системы A1.60) (метод исклю- исключения) состоит в следующем. При выполнении некоторых условий всегда можно исключить все неизвестные функции, кроме одной, например у\, и получить для у\{х) одно линейное неоднородное диффе- дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (если в системе A1.60) а,-; = const) порядка п. Решив его, найдем все остальные неиз- неизвестные функции у2{х), уз(х), ..., у„(х) с помощью операции диффе- дифференцирования. Делается это следующим образом. Дифференцируем по 284
«saf-обе части первого уравнения системы A1.F0) (сшгаая. ay^cj затем вместо у\, у'2, ..., у'„ подставляем их значения из системы A1.60). Получаем у'! = апу\ + at2yi + ... = L2(yhy2 yn) + F2(x), A1.68) где L2(tfu y2, ..., уп) обозначает известную линейную комбинацию с постоянными коэффициентами функций уи у2, ..., уп, a F2{x)— линейную комбинацию функций fi(x), fi(x), ..., fn(x) и }'\(х). Дифференцируя обе части уравнения A1.68) по х, опять получаем линейное неоднородное уравнение г/2, Продолжая этот процесс, находим y\n) = Ln(yi, г/г, ..., yn)+Fn(x). В результате получаем систему п уравнений: У\ =- У" =L2(yu У2, A1.69) J/V~0 = ?«-i(yi, У2, ..... {/») + /v,-[(*), г/Р =Ln(y,, y2, ..., (/„)+FnW- Первые я — 1 уравнений системы A1.69) разрешаем относительно функций г/г, Уз, ..., Уп (это, как правило, возможно). Очевидно, что эти функции выражаются через.*, yi, y\, у", ..., yS"~'^'- г/2 = ф2(*, Уи У'\, У", .», «/V*"'*), Ь = фз(дс, «/1, г/1, г/Г, ..., ^"-°), A1.70) уа = Ч>п(х, у,, у',, у1!, ..., у\"-1)). Подставляя выражения для у2, уз, ..., уп из системы A1.70) в последнее уравнение системы A1.69), приходим к линейному неодно- неоднородному дифференциальному уравнению п-го порядка с постоянными коэффи циеита ми общее решение которого определяется с помощью известных методов (см. § 11.5): «/, = 4>,(л:, С,, С2 С). A1.71) Дифференцируя последнее выражение п — 1 раз по х, находим производ- производные у',, у", ..., у["~1\ подставляем их в систему A1.70) и получаем вместе с функцией A1.71) общее решение исходной системы: У2 = Ы*. Си С2 С„), {/з = Ч>з(*. Си С2 С„), A1.72) Уп = Ы*, Си С2 С„). Для решения задачи Коши с учетом системы A1.71) — A1.72) и заданных начальных условий находим значения произвольных постоян- постоянных С|, С2, ..... С„ и подставляем их в систему A1.71) — A1.72). 285
Примерб. Методом исключения найти общее решение: системы y'i = Зг/i — г/г + г/з + е'Л • {/2 = г/! + г/2 + г/з + л, \ ' A) г/з = 4г/,—г и частное ее решение, удовлетворяющее начальным условиям: г/, @) = 0,34, (/2@) = -0,16, у3@) = 0,27. B) ^ Дифференцируем по д: первое уравнение системы A) и под- подставляем вместо J/i, г/г, </з их выражения из этой системы. В резуль- результате имеем ; г/Г = Ъу\ - и + г/5 + е" = 3C</, - г/2 + г/з + О - (у, + у2 + у3 - х) + + 4 4 х=12у,- 5</2 Ч- 6{/з + 4<?* + х. Дифференцируем у" по х и опять заменяем г/{, г/г, г/з их выраже- выражениями из системы A): у'! = 12г/1 - 5</2 + 6</3 + 4^ + 1 = 12Cг/, - </2 + г/3 + ) + У г + Уз - х) + 6 D</, - г/2 + 4г/3) + 4^ + х = 55г/, - -23г/2 + 31г/3+ Следовательно, для данного случая система A1.69) имеет вид г/i = 3(/i — г/г + {/з + е', \ y'{=\2yi- 5(/2+ 6г/з+ 4е* + *, } C) «/Г = 55*/, - 23г/2 + 31г/3 + 16е* + 6х. ) Из первых двух уравнений находим 1/2 и г/з: г/2 = г/Г-6{/5 + 6г/,+ 2е'-д:, Уз = г/Г-5(/5 + Зг/,+ е'-дт. w Выражения для г/г и г/3 подставляем в третье уравнение системы C): у'!' = 55*/, — 23(t/1 — бг/i + 6«/, + 2е' - х) + 31 (yf - Ьу\ + Зг/, + + е' - х) + 16е* + бд: = 8(/1' - 17(/{ + 10 Получили неоднородное линейное уравнение третьего порядка с по- постоянными коэффициентами: у>» — 8у>{ +17у'1 — 10у,=ех — 2х. ' E) Решаем его известным методом (см. § 11.5). Составляем характери- характеристическое уравнение А,3 — 8А,2+17Я— 10 = 0, F) корни которого: X, = 1, Х2 — 2, Хз = 5. Общее решение у\ однородного уравнения, соответствующего уравнению E), имеет вид у, = Се" + С2е2" + С3е5'. Правая часть уравнения E) есть сумма двух специальных функций вида A1.50) и A1.54): f(x) = /,(*) + f2(x), /,(*) = e\ f2(x)= -2x. Для fi(x) = e* число z=l, т. е. совпадает с корнем Xi = 1, поэтому 286
'*= I. Для fa(x)=—2x число z = 0 н его нет среди корней характе- характеристического уравнения F), поэтому k = 0. Итак, частное решение yf уравнения E) следует искать в виде + С, где неизвестные числа А, В, С находят с помощью метода неопреде- неопределенных коэффициентов. Определяем у\, yf, у*'" и вместе с у* под- подставляем их в уравнение E). Имеем: у*' = Ае" + Ахе" + В, yf = 2Аех + Ахе", ЪАе* + Ахе' — 8BАех + Ахе') + 17(Ае* + Ахе' + В) — 10(у4*е* + + Вх+С) = е'-2х, 4Ае'+17В—10Вх—10С = е* — 2х, АА = 1, — 10В = — 2, 17В — ЮС = 0, откуда А = 1/4, В = 1/5, С = 17/50. Таким образом, у* = ±.хе>+±х + ^. Общее решение уравнения E) определяется формулой Уг = ?¦ + У1 = С*' + С**' + С3е5' + ^хе' + ±x + jl. Найдем производные y't, >/{ и подставим их в равенство D): у\ = С,е* + 2Cieix 4- ЬС3еЪх + -jxe" + -i-, х + 25С3е5' + ^е" + l-xtf, -i-е" + -^хе" - l-i? ¦+ -1 -LxS+± + — 51 Ce* + 2C2e2x + 5C3e5x + \-e" + ^-xe' + -i- 4 4 0 1 1 1 |- С*?5* + -r-xe1 + -r-x + - 4 О *. —ЗС2е2* + ЗСе5* + -^-е" —\-хех —%х + ш. 4 4 . О 0U 287
Следовательно, общее решение системы A) найдено: у, 1 17 е' + Се*х +- Се5" + —хе" + -^х + —, 4 "~ ' 5 " ' 50' y2 = Се" - 2C2e2" + Се5" - е" + -^хе" + ^х +1|, 11 2 1 4 4 5 50 Для решения задачи Кош и воспользуемся начальными условиями. Получим систему для определеиия произвольных постоянных С|, С2, Сз: откуда Ci =0, С2 = 0, С = 0. Искомое частное решение имеет вид: 21 1 , у д (y'i=—7yi+y2, б) ff/i= I f/2 = — 2t/i — 5y2; \ f/2 =: A3-II.8 1. Найти общие решения данных однородных систем уравнений, не пользуясь методом исключения: a) /f/i= —7yi+y2, б) f/2l в) (Ответ: a) t/i =e~6jc(Ci cosx+ C2sinx), f/2 = e~6jc((( + C2)cos x — (C[ — C2) sin x)\ 6) t/i = ^(Ci cos 3jc -f- C2 sin 3x), y2 = ex(C\ sin 3x — C2 cos Зх); в) yi = * + C2e2jt + С3е~~*, f/2 = C,e* — ЗСъе~х, y3 = Ci^ + C2e2x — -5Сзв"*.) 2. Методом исключения найти общее решение каждой из следующих систем уравнений: а) 288 [У\ =
: a) y{ = Cle-4x 6 7 l i2; б) yl = l^ + -i 3х-тх-Т2' в) у, = Суех + Сае2* + С3е3\ у2 = С,ех + 2С3е3х, у3 = 2С{е* + + С2е2' + 2С3е3х.) 3. Решить задачу Коши для следующих систем диффе- дифференциальных уравнений: (У'\ = У% у\ = Уз, У, @) = i/2@) - уз@) = 1; #3 = 1/1, (у'\=У2 + Уъ, \ ,, ,, ,, пх, г;\ 4, п — х 4, л—х |, (\ \ 1) У\ ^^ У2 ==i/3 z==z е , \JJ у\ = — с , у2 — t- , i/3 — v/*y Самостоятельная работа Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. (Ответ: у\ = С\ cos х + С2 sin х + tgх, у2= — С\ sin + С2 cos х + 2.) /\ = У\— У2, (Ответ: ух —(d cosx + C2 sin x— \)ex, y2 = (C\S\nx — — С2 cos x)ex.) \y2=—2yi—'y2-\-sinx-\-cosx. (Ответ: у\ = С\ cos x-\- C2 sin x — x cos х, У2 — — С[) cos х — (Ci + С2) sin x + x(cos x + sin x).) 289
П.8. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ.П ИДЗ-11.1 Найти общее решение (общий интеграл) дифферен- дифференциального уравнения. 1.1. ex+3»dy = xdx. {Ответ: е3у = ЦС— хе'х— е-х).) 1.2. у' sin х = у In у. (Ответ: In у = С tg(х/2).) 1.3. у' = Bх — 1) ctg у. (Ответ: In | cos у | = х — х2 + С.) 1.4. sec2 х tg ydy -\- sec2 у tg xdy = 0. (Ответ: С = = tgr/tgx.) 1.5. A + ^)i/fi?y — *HWx = 0. (Oreer: —e~y(y + 1) = = In g* +СЛ 1.6. (г/2 + 3)й?х--уф = 0. (Oreer: In(y2 + 3) = 2(C — x x)) x (/ + ) — xe~x — e~x).) x ) 1.7. sin у cos xc?r/ = cos у sin am?x. (Ответ: С = cos x/cos y.) 1.8. y' = By + 1) tg x. (Ответ: -^2y + 1 = C/cos x.) 1.9. (sin (x + r/) + sin (x — y))dx + ^~ = 0 (Ответ: cosy tg у = С + 2 cos x.) 1.10. A + e*)yy' = ex. (Ответ: у2 = 2 In C(e* + 1).) 1.11. sinxtgydx — -$t-=O. (Ответ: In|siny| = 1.12. 3e* sin ydx + A — ex) cos yrfy = 0. (Ответ: sin у = = C(^-1K.) 1.13. y' = e2x/\ny. (Ответ: у(\п у - l) = -Le2x + 1.14. З^2 + ^у + хй?х = 0. СOreer: 3y = -i3-*!' + С In 3.) 1.15. (cos (x — 2y) 4- cos (x + 2y))y' = sec x. (Ответ: sin 2y = tg x + C.) 1.16. y' = e'2x(l+y2). (Ответ: arctgy = С+ ±-ех\\ 1.17. ctgx cos2 ydx 4- sin x tg ydy = 0.- (Ответ: tg2 у = = ctg2x4;2C.) 1.18. sinx-r/' = ycosx4- 2cosx. (Ответ: y = Csinx —2.) 290
1.19. 1+A +у')еу = 0. (Ответ: С{е» — \) = e~x.) 1.20. y' ctg x + у = 2. (Ответ: у = С cos x + 2.) 1.21. COS2 f/ = 0. (Ответ: -Ly +~ sin 2r/ == 1.22. ex sin ydx + tg ydy = 0. (Ответ: In = e3gdy. ( Ответ: ?- =i- In A + 1.23. A + 1.24. (sinBx + ;/)— sin Bx — y))dx = -^~. (Ответ: ctg у = С — sin 2x.) 1.25. cos r/fi?x = 2~yl + *2dy + cos y-yl + л:2йу. (Ответ: 2 In 1.26. y'\\ — x2 — cos2 у = 0. (Ответ: tg у = arcsin + C.) 1.27. e1 tg ydx = A — ex) sec ydy. (Ответ: tg у = C/(* 1.28. y' -f sin (x + y) = sin (x — у). (Ответ: In tg-|- — = С — 2 sin x.\ 1.29. cos3 у • y' — cos Bjc + y) = cos Bx — у). (Ответ: ±y +-1 sin 2y = sin 2x + C.) 1.30. З"'- = yy'/x. (Ответ: 3^ = 3"*' - 2C In 3.) 2.1. (ху + х3у)у'=1+у2.(Ответ: Сх =д/( 1 + x2)( 1 + y2). 2.2. у'/7у-х = 3. (Ответ: 7~у = 3 • 7~* + С In 7.) 2.3. у — xy' = 2A + x2y'). (Огвег: у = Cjc/-y/l + 2л:2 + + 2.) 2.4. у — xy' = 1 + x2y'. (Oreer: у = Cx/(x + 1) + 1.) 291
2.5. (x + A)dy — xydx = 6. (Ответ: у = Сех/(х + 4L.) 2.6. y' + у + у2 = 0. (Огеег: у/(у + 1) = С - х.) 2.7. у2 \nxdx — (у— l)xdy = 0. (Ответ: — + In у = 2.8. (х + xy2)dy + ydx — y2dx = 0. (Ответ: у + ¦f In (y~1J =C+lnx.\ 2.9. у' + 2у - у2 = 0. (Oreer: У(г/ - 2)/у = С^.) 2.10. (ж2 + *Hdx 4- (У2 +l)dy = 0. /Ответ: ^ 4- In у = 2.11. (лгу3 4- *)rf* 4- (А2 - y2)dy = 0. (Ответ:^/у3 +1 = 2.12. (I + y2)dx - (у + yx2)dy = Q. (Ответ: ±.\п(у2 2.13. y' = (Ответ: i-In 12y + 11 = x2/2 + C.\ 2.14. y-xy' = 3A 4- x2y'). (Ответ: у = Сл/х/^/х 4-3 4- 4-3.) 2.15. 2xyy' =l—x2. (Ответ: у2 = In |x| —-^ + C.) 2.16. (x2 —\)y'—xy = 0. (Огвег: у = Ci/*2 — 1.) 2.17. (i/2 V 3 2.18. A 4-х3)y3dx-(y2—l)x3dy = 0. COreef: Iny4- 2.19. xy' — y = y2. {Ответ: y/(y+l) = Cx.) 2.20. -\ly2 4" 1 dx = xydy. (Ответ: у у2 4т 1 = In 2.21. у' — ху2 = 2ху. (Ответ: In \y/(y + 2)| = С-\-х2.) 2.22. 2х2уу' 4- У2 = 2. (Oreer:' In 12 - у21 == С + 1 /х.) 292
2.23. у' = A + у2)/(\ + х2). {Ответ: arctg у = С + t + arctg х.) 2.24. t/'У1 + у2 = х2/у. {Ответ: 2.25. (у + \)у' = Д_ + ху. (Ответ: у + In у = = arcsin x + х2/2 + С.) 2.26..A + х2)у' + ysj\ +х2 == ху. (Ответ: у = 2.27. xyy'= x + -\Jl+x2 ' .. (Огвет: 2у2 —у4 = 4 1п |х|+2х2 + 2.28. (ху — xJ<iy ln |^|=ln|x|+ 2.29. (х2у - уJу' = х2у - у + х2 - 1. ( Огеег: У- - у + — x)<ix = 0. (Ответ: <L — 2y-\- 1п-|у+1|=±1п л: — x+l 2.30. д/1 —y2dx + уд/l — x2dy = 0. (Огвег: -д/l —у2 = arcsin x + C.) 3.1. у — ху' = х sec-^-. (Ответ: sin — = In ¦?-. Л 3.21 (у2 - 3x2)dy + 2xydx = 0. (Огвег: (у2 - хуСх2у3.) 3.3. (х + 2y)<ix — xdy = 0. (Ответ: у — Сх2 — х.) 3.4. (х — yWx + (x -\-y)dy = 0. ( Ответ: arctg —+ 3.5. (y2 — 2xy)dx + x2dy = 0. (Ответ: y/(x — y) 3.6. y2 + x2y' = xyy'. (Ответ: ey/x = Cf;.) 3.7. xy' — у = x tg (y/x). (Ответ: sin (y/x) = Cx.) 3.8. xy' = y — xeylx. (Ответ: е~у1х = In Cx.) 3.9. xy'-y = (x + y) In ((x + У)Л). {Ответ: In 11 + + y/x|= == Cx.) Cx.) 293
3.10. xy' = у cos In (y/x). (Ответ: ctg (±- In !-) = = In Cx.\ 3.11. (y+-yfxy)dx = xdy. (Ответ: y=±\n2 Cx.\ 3.12. xy' =aJx2 — y2-\-y. (Ответ: arcsin (y/x) = In Cx.) 3.13. y = x(y'—ifey). (Ответ: -e-y/x = In Cx.) 3.14. y'=y/x— 1. (Oreer: y = xln(C/x).) 3.15. y'x + x + y = 0. fOreer: у =?-*.) 3.16. ydx+B^fxy — x)dy = 0. (Ответ: -д/Z—_|_ = = In СхЛ /'х2 + у2 = 3.18. Dх2 + Зху + y2)dx + Dt/2 + Ъху + x2)dy = 0. ( От- 3.17. xdy — ydx — д/х2 + у2dx. (Ответ: у +д/'х2 + у2 = 3.19. (x — y)ydx — x2dy = 0. (Ответ: у==х/\п Сх.) 3.20. ху + у2 = Bх2 + ху)у'. ( Ответ: JL + 2 In A = \ Л? JC ) 3.21. (х2-2ху)у' = ху-у2. (Ответ: JL+2 1n-^- = = -1пСхЛ 3.22. B-у[ху — y)dx + xdy = 0. (Ответ: у = x In2 \Cx\.) 3.23. ху'+у( In ¦?. — А = 0. (Огвег; у =, хес/х.) 3.24. (х2 + y2)dx + 2xydy = 0. (Ответ: у2 = С3/3х -х2/3.) 3.25. (u2 — 2xy)dx — x2dy = 0. (Ответ: (у — Зх)/у = = 1п*(С*).) 3.26. (х + 2y)<ix + xdy = 0. (Ответ: у = С3/Cх2) — х/3.) 3.27. Bх — y)<ix + (х + y)dy = 0. ^Огвег: -1 1п(у" + х') + arctg A = In Cx\ 3.28. 2х3у'= уBх2 - у2). (Ответ: у2 = х2/\п(СхL.)
3.29. х2у' = у(х + у). (Ответ: у = — x/ln(Cx).) 3.30. у' = -i- + М-. {Ответ: у2 = х2 \п(СхJ.) У х 4. Найти частное решение (частный интеграл) диффе- дифференциального уравнения. 4.1. (х2+1)у' + 4ху = 3, 0@) = 0. (Ответ: у = (х34- + 3x)/(x2+\f.) 4.2. у' + у tg х = sec х, у@) = 0. (Ответ: y = sinx.) 4.3. A - х) (у' + у) = <?-¦*, у@) = 0. ( Ответ: у = = в1п 1 — 4.4. ху' — 2у = 2х\ 0A) = 0. (Огвег: у = х4 — х2.) 4.5. у' = 2x(x2 + у), у@) = 0. (Ответ: у = х2 + 1 — 4.6. у' -у = ех, у@) = 1. (Огвег: у = (х + 1)ех.) 4.7. ху' + у + хе-*2 = 0, 0A) = ^- (Огвег: у= ^ 4.8. cos ydx = (x + 2 cos у)sin ydy, у@) = л/4. Z' Огвег: х = ( sin2 у — -1Д -L- \ \ ¦ \ 2/ cosy / 4.9. х2у' + ед + 1 = 0, уA) = 0. (Ответ: у = — (In x)/x.) 4.10. ух' + х = 4у3 + Зу2, УB) = 1. (Ответ: х = у3 + у2.) 4.11. Bх + y)dy = ydx + 4 In ydy, y@) = 1. (Ответ: х = = 21ny+l-y.) 4.12. у' = у/Cл:-у2), у@)=1. (Ответ: х = у2-у3.) 4.13. (l-2xy)y' = y(y-l), у@)=1. (Огвег: х(у- -lJ = (y-lny-l).) 4.14. x(y' — y) = ex, 0A) = 0. (Ответ: у = e* In .v.) 4.15. y — x(yr — x cos х), у(я/2) = 0. (Ответ: у = = (sin л: — l)x.) 4.16. (xy'—l)lnx = 2y, у(е) = 0. (Ответ: у = (\п5х — -ln2x)/3.) 4.17. Bey — x)y'=l, 0@) = 0. (Огвег: л; = е» —е-у.) 4.18. лгу'+ (х+1H = Зх2е-\ уA) = 0. (Ответ: у = = (х2-1/х)е-;.) 4.19. (x + y*)dy = ydx, у@)=1. (Ответ: х = у2-у.) 4.20. (sin2 у + х ctg 0H' = 1, 0@) == я/2. (Ответ: х = = —sin у cos у.) 4.21. (х+1)у' + у = х3 + х2, 0@) = 0. ( _ Зх4 + 4л:3 \ 12(х+1O 4.22. (ху' — 2у + х2 = 0,0A) = 0. (Ответ: у = — х2 In x.) 295
4.23. xy' + y = sin x, у(я/2) = 2/л. (Ответ: у = (\ — — cosx)/x.) 4.24. (x2 — \)y' — xy = x3 — x, y(-yJ2) = l. (Ответ: у = = x2—1.) 4.25. A — x2)t/' + xy = 1, #(())= 1. (Ответ: у = х + 4.26. t/' ctg x — у = 2 cos2 x ctg x, 0@) = 0. (Ответ: у = 6 sin x — 2 sin3 x \ \ ') 3 cos x ) 4.27. х2у' = 2ху + Ъ, t/(l) =—1. (Oreer: y=—\/x.) 4.28. 0' + 2x0 = xe-*\ 0@) = 0. (Ответ: у = 0,5x2e~x\) 4.29. 0' — 3x20 — xV = 0, 0@) = 0. (Ответ: 0 = 4.30. xy' + 0 = In x+ 1, 0A) = O. (Ответ: 0 = lnx.) 5. Найти общее решение дифференциального урав- уравнения. 5.1. у' + у = х^[у. (Ответ: у = (хех/2 — 2ех/2 + СJе~х.) 5.2. ydx + 2xdy = 2ул[х sec2 0<i0. (Ответ: х = (у tg у + + 1П|СО5 0|+СJ/У2.) 5.3. у' + 2у = 0V. (Огвег: 0 = 1 /(Се2лг + < 5.4. 0' = 0 cos х + 0 tg х. (Ответ: у = tgx).) 5.5. xydy = (y2 + x)dx. (Ответ: y = x^j2(C— 1/x).) 5.6. Х0' + 20 + x50V = 0. (Ответ: у = 5.7. 0'х3 sin 0 = Х0'— 20. (Ответ: х=уу/(С — cos 0).) 5.8. Bх20 In 0 - хH' =#. (Огвет: х = \/(у(С — In2 0)).) 5.9. 2у' ——=-^—. {Ответ: у = 5.10. ху' — 2х2-л[у = Ау. (Ответ: у = ^(С + In xJ.) 5.11. Х0V = х2 + 03. (Ответ: у = х^/з(С — 1/х).) 5.12. (х + 1) @' + 02) = -0. (Огвег: 0= 1/((х + 1) (С + 5.13. у'х-\-у= — Х02. (Отвег: 0= 1/(х(С + In х)).) 5.14. у'-ху=-у3е~х\ (Ответ: у = ех2/2/-^2(С-j-x).) 5.15. ху' — 2л[х3у = у. (Ответ: у = х(х2/2 + СJ.)
5.16. у' + ху = х3у3. (Ответ: у = 5.17. у' = — е2х + у. (Ответ: у = ex^Jx2 + С.) 5.18. ух' + х= —ух2. (Ответ: х= \/(у(С + In у)).) 5.19. х(х — \)у' + У3 — ху. (Ответ: у = 5.20. 2х3уу' + 2х2у2 + 1 =0. (Огвег: у =^JC — х/х3/2.) 5.21. ^=(±-2x)df/. (Огвег: х = у/(у2 + С).) 5.22. у' + х^[у = 3у.(Ответ: у = е3х^е~2х +-Le~2 ч 3/2 + С) .) 5.23. ху' + у = у2 \п х. (Ответ: у = 1/Aп*+ 1 + 5.24. xdx = (x2/y ~ y3)dy. (Ответ: х = tf\jС — у2) 5.25. t/' + 2xt/ = 2*У. (Ответ: у~ е~2х2 + е'2х' + АС) 5.26. у' + у = х/у2. (Ответ: у = 5.27. у' — у tg х + у2 cos х = 0. (Ответ: у— 1 / ((х + С) cos x).) 5.28. 0'+^=^Ж. (" л: cos л: \ _/*tgx + ln Icosxl + C\2 \ 5.29. у' — у + У2 cos х = 0. (Ответ: y=2ex/(ex(cos x-\- + sin x) + С).) 5.30. f^ Решение типового варианта Найти общее решение (общий интеграл) дифферен- дифференциального уравнения. / B )d + ( x2y)dy = 0. 297
> Преобразуем данное уравнение: y(l-x2)dy=-x(y2+\)dx. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разде- Разделяем переменные: ydy —xdx Интегрируем обе части последнего равенства: Следовательно, общим решением исходного уравнения является У=±-\]С\х2—\\ -1. -4 2. sec2 х tg ydx + sec2 y tg xdy = 0. > Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем их и интегрируем уравнение: sec2 ydy sec2 xdx Г d(tg у) f rf(tg x) tg</ tg х ' J tg f/ J tgx ' In itgyl = —In |tgjc|+ln \C\, tgy = C/tgx, tgy-tgx = C, т. е. получили общий интеграл дифференциального уравнения. ^ 3. у-х^ = v dx > Из данного уравнения находим ~: dy_ _ У — х dx х + у Исходное уравнение является однородным уравне- уравнением первого порядка. Решаем его с помощью под- подстановки у = хи(х). Далее находим: и + 1 и + 1 dx и + 1 Получили уравнение с разделяющимися переменными. 298
Решаем его: -г —5 *¦ -i- 1п(ы2 + 1) + arctg ы = In | С/х|, arctg и = In arctg— = ln- ici т. е. нашли общий интеграл исходного уравнения. ^ 4. Найти частное решение дифференциального уравне- уравнения dy — e~xdx + ydx — xdy = xydx, y@) = In 5. ^ Преобразуем уравнение, выделив производную: _ ху dx dy , 1-х е~" ' 1 — х у 1 — dx Уравнение -/+{/ = - линейное первого по- порядка. Решаем его с помощью подстановки у = u(x)v(x). Имеем: у' = u'v + uv', u'v + uv' + uv = [_ , A) Находим функцию v(x) из условия -^--{-v = 0: dl = -v,d-^ = -dx, J - = -J dx, dx v J у J In \v\ = —x, v = e~x. Подставляем полученное выражение для v(x) в уравне- уравнение A): du —х е ' du 1 ~dx ~~ 1 — х' die' ~1-х' du =- и = In- > и In И— ?99
Тогда является общим решением исходного уравнения. Находим С, используя начальное условие: у@) = In С = In 5, С — 5. Окончательно получаем, что частное решение исходно- исходного уравнения имеет вид » - -" 11 _Х| ¦ -^ 5. Найти общее решение дифференциального урав- уравнения > Преобразуем уравнение для того, чтобы опре- определить его тип. Получим dy ¦ х ; х2 2 dx l+x2 l+x2 Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решаем его с помощью подстановки у = u(x)v(x). Тогда 2 у' = u'v + v'u, u'v + v'u x-— uv = ——7- u2v2, l+x2 l+x2 / i /dv xv \ x2u2y2 /.4 U V -\- U\ 5l= =-. A) ^ \dx l+x2; l+x2 W Находим v(x) из условия -^ ?^. = 0, которое является дифференциальным уравнением с разделяющи- разделяющимися переменными: dv xv dv xdx 7х ~~ 1 + х2' V ~ 1 + х2' Полученное выражение для v(x) подставляем в урав- уравнение A): d« x2dx dx "- ' - l+x2 ' и2 П/ГТ72' l+x2 du f x2dx ЗОФ
щ (х) = x, du\ = dx, Из последнего равенства получаем: / Следовательно, -i.=-Mn|x+Vl+*! —i- Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяется формулой 4-m ИДЗ-Н.2 1. Найти частное решение дифференциального уравне- уравнения и вычислить значение полученной функции у = <р(х) при л: = хо с точностью до двух знаков после запятой. 1.1. у'" = sin х, хо = я/2, 0@) = 1, у' @) = 0, у"@) = 0. (Ответ: 1,23.) 1.2. у'" = \/х, хо = 2, уA)= 1/4, у'A) = у"A) = 0. (Ответ: 0,38.) 1.3. t/"=l/cos2x, хо = я/3, 0@)= 1, 0'(О) = 3/5. (От- (Ответ: 2,69.) 1.4. у'" = Ь/х\ хо = 2, 0A) = О, 0'A) = 5, у"(\)=\. (Ответ: 6,07.) 301
1.5. у" = 4 cos 2х, xo = я/4, у@) = 1, у'@) = 3. (Огвег: 4,36.) 1.6. 0" = 1/A + х2), хо= 1, 0@) = О, у'@) = 0. (Ответ: 0,44.) 1.7. ху'" = 2, хо = 2, уA)=1/2, у'A) = у"A) = 0. (От- (Ответ: 0,77.) 1.8. у'" = ^,хо=|)У(О)=-|-,у'(О) = 4-,У"(О)= ~. (Ответ: 1,22.) 1.9. у'" = cos2 х, хо = я, у@)=\, у'@)=-1/8, у"@) = 0. (Ответ: 3,58.) 1.10. у" = l/Vl -х2, хо = 1, 0@) = 2, t/'@) = 3. (Огвет: 5,57.) (Ответ: 3,93.) 1.12. у" = х + sin х, хо = 5, 0@)=—3, у'@) = 0. (От- (Ответ: 5,31.) 1.13. у" = arctg х, хо = 1, t/@) = у'@) = 0. (Огвег: 0,15.) 1.14. f/"=tgx-—L-, Хо-я/4, f/@)=l/2, у'@) = 0. (Ответ: —0,39.) 1.15. у'" = ех/2 + 1, Хо = 2, у@) = 8, у'@) = 5, t/"@) = 2. (Oreejv 25,08.) 1.16. у" = х/е2*, хо = - 1/2, 0о(О)= 1/4, у'@) = - 1/4. (Ответ: 0,34.) 1.17. t/" = sin23x, хо = я/12, t/@)= -я2/16, t/'(°) = 0- (Ответ: —0,01.) 1.18. у'" = л; sin х, х0 = я/2, уф) = 0, t/'@) = 0, у"@) = = 0. (Отвег: 0,14.) 1.19. t/'" sin4 х = sin 2х, х0 == 5я/2, у(л/2) = л/2, у' (я/2) = 1, у" (я/2) = -1. (Огвег: 7,85.) 1.20. у" = cos х + в"*, хо = л, у@)=-е-*, у'@)=1. (Ответ: 1,00.) 1.21. у" = sin3 х, хо = 2,5я, у(п/2) = -7/9, у'(л/2) = 0. (Ответ: —0,78.) 1.22. t/w =yj— sin 2л;, лг„ = 1, t/@)=-l/8, t/'@) = = i-cos 2, t/"@)=4-- (Ответ: 0,08.) О ^ Ь23. у" =-^д, хо = 4я, 0@) = 0, у;@) = 1. (От- (Ответ; 12,56.) 302
1.24. у" = 2 sin x cos2 x, x0 = л/2, y@) = —5/9, у' @) = = —2/3. {Ответ: —1,00.) 1.25. у" = 2 sin2 x cos *, *0 = n, y{0) = 1 /9, y'@) = 1. (Ответ: 4,14.) 1.26. у" = 2 sin * cos2 * — sin3 x, x0 = л/2, у@) = 0, у'@)=1. (Ответ: 1,90.) 1.27. у" = 2 cos * sin2 * — cos3 x, *0 = л/2, y@) = 2/3, y'@) = 2. (Ответ: 3,47.) 1.28. y" = x-lnx, xo = 2, y(l)=-5/12, y'(l) = 3/2. (Ответ: 1,62.) 1.29. у" = I/*2, xo = 2, y(l) = 3, y'(l) = 1. (Ответ: 4,31.) 1.30. у'" = cos4л:, хо = я, у@) = 2, у'@)= 15/16, y"@) = 0. (Ответ: 5,14.) 2. Найти общее решение дифференциального уравне- уравнения, допускающего понижение порядка. 2.1. A — х2)у" — ху — 2. (Ответ: у = arcsin2 x + + С\ arcsin x+ С2.) 2.2. 2ху'у" = у'2 — 1. (Ответ: 9С2(у - C2f = А(Схх + 1)\ С) )\у + ) 2.3. л-3у" + л:2у' = 1. (Ответ: у = С, In х + 1 /* + С2.) 2.4. у" + у' tg л: = sin 2лг. (Ответ: у = С\ sin л: —.л: — i-sin2x + C2.) 2.5. у"х \пх = у'. (Ответ: у = Схх(\п х — 1) + С2.) 2.6. ху" — у' = х V. (От-eer: у = ех(х-1) + С а2 + С2.) 2.7. у"х In л: = 2у'. (Огвет: у = С\(х In2 х — 2л: In x + 2.8. л:2у" + х/ = 1. (Ответ: у = (In2 jc)/2 + С, In x + С2.) 2.9. у" = —х/у. (Ответ: у= О- 2.10. ху"=уг. (Ответ: у = С,х2/2 + С2.) 2.11. у" = у' + х. (Ответ: у = —х2/2 — х + С{ех + С2.) 2.12. жу"=у' + л:2. (Ответ: y = x3/3 + CiX2/2+C2.) 2.13. ху" = t/ In (у'/х). (Ответ: y = ±eClX+l — 2.14. л:у" + у' = 1пл:. (Ответ: y = (x + Ci)lnx — 2x + С2.) 2.15. у" tg х = у' + 1. (Ответ: у = — С\ cos л: — х + С2.) 303
2.16. у" + 2xt/2 = 0. (Ответ: y = -l-ln*~^' + С2.) 2.17. 2ху'у" = у'2+1. (Ответ: y = JL(ClX-lf/2 + 2.18. у" — -У-у = х(х - 1). (Ответ: у = х*/8 - х3/6 + - С]Л:2/2 — Cix + С2.) 2.19. у'" -\- у" tg х = sec х. (Ответ: у = — sin л: — - С, cos х + С2х + С3.) 2.20. у" — 2у' ctg л: = sin3 х. (Ответ: у = — sin3 */3 + - Ci*/2 — Ci sin 2x/A + С2.) 2.21. у" + Ау' = 2л:2. (Огвег: у = г*/6 - л:2/8 + JC/I6 - - С,е-474 + С2.) 2.22. л:у" - у' = 2л-V. (Огвег: у = 2ех(л: - 1) + 4- С,д:2/2 + С2.) 2.23. л:(у" + 1) + у' = 0. (Ответ: у = —л:2/4 + С, In л: -f 2.24. у" + 4у' = cos 2л\ ( Ответ: у = -L sin 2л: — -^cos2^-^e-4jr + C2.) 2.25. у" + у' = sin л:. ( Ответ: у = —-1 cos л: — — i-sin* — С^-^ + Сг.) 2.26. л-2у" = /. (Ответ: у = Са— С? In (х + Ci) + С2.) 2.27. 2ху"у' = у/2 — А. (Ответ: у =J-(Cxx + 4K/2 + 2.28. у'"х 1п * = у". СОгвет: у = ^B In je - 3) + + С2х + С) 2.29. у" ctg л: + у' = 2. (Ответ: у = 2х + С\ sin л: + С2.) 2.30. A + *2)у" = 2*у. (Ответ: у = С,л:3/3 + &х + С2.) 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. . 3.1. у" = у V, у@) = 0, у'@) = 1. (Ответ: у = - In 11 - -х\,у = 0.) 3.2. у'2 + 2уу" = 0, у@) - 1, у'@) = 1. (Ответ: у = = (l±3x/2f'\y=\.) 304
3.3. yy" + у'2 = 0, у(О)=1, у'(О)=\. (Ответ: у = 3.4. у" + 2уу/3 = 0, у@) = 2, у'@)=1/3. (Ответ: х = у3/3-у-2/3, у = 2.) 3-5. у" tg у = 2у'\ уA) = л/2, /@ = 2. (Ответ: у = arctg B - 2х), у = л/2.) 3.6. 2уу" = у'\ у@)=1, у'@)-1. {Ответ: У = (у + 3.7. уу" —у'2=у\ у@) = 1, у'@) == 1. С Огвет: л: ln(l+V2)±ln f Л 1 + V Ф + 1 у ±(+V)f + V Ф + 3.8. у" = —1/ Bу% у @) = 1 /2, у' @) = V2"- ( VW) 3.9. у" = 1 - у'2, у@) = 0, у'@) = 0. (Огвег: л: = ±ln le^ + VZ-ll.) 3.10. у'/2=у', у@) = 2/3, у'@)=1. (Огвег: у = (х + 2)*/121 у = 2/3.) 3.11. 2уу"-у' +1,,у@) = 2, у'@)=1. (Огвег: у = () 3.12. у" = 2 —у, у@) = 2, i/(O) = 2. (Огвег: у = 2 sin л: + 2.) 3.13. у" = 1/у3, у@) = 1,у'Щ = 0.(Огвег: х = л[уТ+~\) 3.14. уу" - 2у-2 = 0, у@) = 1, i/@) = 2. (Огвег: у = 3.15. у" = у' + у'2, у@)-0, у'@)=1- (Огвег: д: = 3.16. у" + -Y^-У'2 = 0, у@) = 0, у'@) = 1. (Огвег: 3.17. у"A +У) = 5у'2, у@) = 0, у'@)= 1. (Огвег: 1 - 30S
3.18. y"By + 3)-2y'2 = 0, y@) = 0, y'@) = 3. f Ответ: 3.19. 4y"*=l+y'\ y(O)=l, y'@) = 0. (Ответ: х = 3.20. 2yf% = (y-\)y", y@) = 2, y'@) = 2. [Ответ: у = 3.21. \+y'%=yy', y@)=l, y'@) = 0. (Orser: * = ln|y+Vy2-l|-) 3.22. y" + yy'3 = 0, у@) = 1, y'@) = 2. (Ответ: у = ЦЬх+\,у=\) 3.23. yy" — у'* = 0, у@)=1, у'@) = 2. (Огвег: у = e2j[, у=1.) 3.24. уу" - у'2 = у2 In у, уф) = 1, у'@) == 1. (Ответ: \п |lny + Vln2y+l|-) 3.25. у{\ -\пу)у" + A + In у) у'2 = 0, уф) = 1, 3.26. у"A+У)==У'2 + у', ^@) = 2, у'@) = 2. (Огвег: = 2ех,у = 2.) 3.27. у" = у'Ыу, уф)=\, У'@) = 2. (Ответ: у = (х + + 1J, У=1-) 3.28. у//= 1A +у"), уф) = О, у'ф) = О. (Ответ: х = = 2arctgVe!/—1.) 3.29. уу"-2уу'\пу = у'\ уф)-\, Уф)=\. (Ответ: ^\\) 3.30. у" = \/л[у, уф) = у'ф) = О. {Ответ: х=^уг 4. Проинтегрировать следующие уравнения. 4.1. ±.dy--JLdx = 0. (Ответ: у/х = С.) X х 4.2. "to-vf1 ^0. (Ответ: arctg(x/y)=C.) 4.3. Bл; — у + \)dx + Bу — х — \)dy. (Ответ: х2 + у2 — С) 306
4.4. xdx + ydy+ydx-xdty = O. (Ответ: 4.5. (—* — \л/х>-и> \lx--U L=0. [Ответ: л/х2-у2-х = С) = 0. ( Orser ¦ х% - 1 —с\ • 7" у ~ ) 4.7. Ц dx + y ~ 3j 4.8. A — ex/y)dx + «*/»( 1 - x/y)dy = 0. [Ответ: х + yex/» = C.) 4.9. л:Bл:2 + у2) + у[х2 + 2y2)y' = 0. (Oreer: л:4 + х2у2 + 4 С) 4.10. 4.Н. = 0. [Ответ: хъ + = 0. (Oreer: 4.12. \ху\ +— = С.) (Огвег: д:3 tg у + У4 +4 4.13. 4.14. = ^±^dy. (Ответ: х2 +± xif \ у = 0. ( . (Ответ: 4.15. [3x2 — + у* 4.16. = 0. [Ответ: х2 307
4.17. (Зх2у + y3)dx + (x3 + 3xy2)dy = 0. (Ответ: xy(x2 4 У2) = С.) 4.18. y(x24-y2 + a2)dy + x(x2-y2-a2)dx = 0. (Ответ: + y2J + 2a2(y2-x2) = C.) 4.19. ("sin у -\~ у sin x 4— )dx 4 (x cos у — cos x + + —) dy = 0. (Ответ: tgxy — cos л; — cos у = С.) У / W dy + /_L_ - sin y) dy = O. \ cos л:г/ / y + cos yx \ cos л:г/ (Ответ: tg л:у — cos x — cos у == С.) 4.21. (Зх2 — у cos xy + У)й?л: + (л: — х cos xy)dy = 0. (Ответ: х3 — sin xy + xy = С.) 4.22. Л 2л:3 - eVy -1) Лс + (" 1 бу + 4 e*/y) ^ = °- (Ответ: Зх4 + 8у2 — ех/у= С.) 4.23. (-^=.+ 2Щ sin x2y + 4) dx sin = 0. (Ответ: л/ху — cos x2y + 4х = С.) 4.24. у ¦ Зху In 3dx + (x • 3х* In 3 - 3)dy = 0. (Orser: 3х» - Зу = С.) 4.25. (-L7 + 3x2y7yX+Gxy-T:L--yy = 0. (От- (Ответ: In \x — у\ 4- х3у7 = С.) 4.26. (Щ + У cos xy) dx + (^ + х cos xy) dy = 0. (Or- eer: sin xy — JL = C.) 4.27. f ff - 2x) dx + xrfj/ = 0. (Ответ: arcsin xy — x2 = C.) 4.28. Ex4y4 + 28x6)dx + Dx5y3 - 3y2)dy = 0. (Ответ: xy _ y3 + 4x7 = C.) 4.29. Bxe*2 + y* + 2)dx + By^2+!'1 — 3)dy = 0. ( e*4** + 2x — 3y = C.) 4.30. Cy3 cos 3x + 7)dx + Cy2 sin 3x — 2y)dy == 0. (От- (Ответ: у3 sin Зх — у2 + 7x + С.) 5. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(хо, уо), если известно, что угловой коэффициент 308
касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. 5.1. Л (О, 2), * = 3. {Ответ: у = — 2е3х.) 5.2. Л (О, 5), к = 7. (Ответ: у = 5е7х.) 5.3. Л(-1, 3), k = 2. (Ответ: у = 3е2х+2.) 5.4. Л(-2, 4), k = 6. (Ответ: у = 4е6х+12.) 5.5. Л(-2, 1), k = 5. (Ответ: у= -е5х+10.) 5.6. ЛC, —2), ? = 4. (От-ser: у= -2е4х-1*.) Записать уравнение кривой, проходящей через точку Л(хо, уо), если известно, что угловой коэффициент каса- касательной в любой ее точке в п раз больше углового коэффи- коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. 5.7. АB, 5), п = 8. (Ответ: у=Л^х 5.8. АC, -1), п = 3/2. (Ответ: у = -^/ 5.9. А (-6, 4), п-9. (Ответ: у= -лг9/Ибб4.) 5.10. Л ( — 8, —2), /г = 3. (Ответ: у = х3/256.) Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(хо, уо), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. 5.11. А@, 4), (Ответ: у= -±л:2 + 4Л 5.12. А@, -8). (Ответ: у = х2/32 — 8.) 5.13. А@, 1). (Ответ: у= -х2/4+ 1.) 5.14. А@, -3). (Ответ: у = х2/12-3.) Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(хо, уо) и обладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на каса- касательную к кривой, равна абсциссе точки касания. 5.15. Л B, 3). (Ответ: (х— 13/4J + у2 = 169/16.) 5.16. Л -4, 1). (Ответ: (х + 17/8J +/ = 289/64.) 5.17. ЛA, —2). (Ответ: (х — 2,5J + /= 6,25.) 5.18. А(-2, —2). (Ответ: (х + 2J + у2 = 4.) 5.19. Л D, -3). (Ответ: (х — 25/8J + у2 = 625/64.) 5.20. Л E, 0). (Ответ: (х - 2,5J + у2 = 6,25.) Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(хо, уо) и обладающей следующим свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки касания. 5.21. ЛD, 1). (Ответ: у=\7х/4 — х2.) 5.22. А( — 2, 5). (Ответ: у= -9л:/2-*2.) 309
5.23. ЛC, -2). (Ответ: у = 7х/3-х2.) 5.24. А ( — 2, -4). (Огает: у = 4л:-х2.) 5.25. ЛC, 0). (Ответ: у = 3х-х2.} 5.26. Л B, 8). (Огвег: г/ = 6лг —х2.) Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(хо, уо), если известно, что отрезок, отсекаемый каса- касательной к кривой на оси ординат, равен полусумме коорди- координат точки касания. 5.27. Л(9, -4). (Ответ: у=1л[х' — 5.28. ЛD, 10). (Ответ: у = 7-у/х-х.) 5.29. ЛA8, -2). (Огаег: у = Ал[х — х) 5.30. ЛA, —7). ( Решение типового варианта 1. Найти частное решение дифференциального урав- уравнения и вычислить значение полученной функции при х = —3 с точностью до двух знаков после запятой. > Найдем общее решение данного уравнения (см. § 11.5, уравнение I типа): 2M dx Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С\ и d: C, + C2=1/12, C2-C,=0, /(-1)=-1/4 +С, = -1/4, С,=0,'С2 = 0. Частное решение исходного уравнения, удовлетво- удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид Вычислим значение функции у(х) при х = — 3: у(_3)= ! ^—2.= —0,08. < I2( —3 + 2K 12 2. Найти общее решение дифференциального уравне- 310
ния у"{ех + 1) + у' = 0, допускающего понижение порядка. ^ Данное уравнение является уравнением II типа (см. § 11.5 и пример 2). Поэтому сделаем подстановку \" = -Д и ( _ Crfz ——Г rf* 1 ' J г 3 е* + 1 ' Путем замены переменной ех-\-l=t находим: In \z\ =ln(ej:+l) — ine' + lnC,. Потенцируя последнее выражение, получаем: у = С, J ^!r^* = C,(jc - О + C2, т. е. нашли общее решение исходного уравнения. ^ 3. Найти решение дифференциального уравнения у3у" =—1, допускающего понижение порядка, которое удовлетворяет заданным условиям: уA)=1, у'A) = 0. ^ Данное уравнение относится к III типу (см. § 11.5 и пример 4). Поэтому понизим порядок уравнения с помощью подстановки у' = р(у). Тогда у" = р-^. Далее, 5 <-*—$?• !- 31 i
т. е. получили общее решение исходного уравнения. Оп- Определим значения С\ и С2, использовав начальные дан- данные. При * = 1, </ = 1 и у' = 0 имеем: 1 = ± откуда 1 + 2С, = О, С, = — 1/2, С2 = 1. Следовательно, искомое решение имеет вид Геометрически оно представляет собой левую или правую половину окружности (* — IJ + у2 = 1. -4 4. Проинтегрировать уравнение > Введем обозначения: Р(х, у)— \/х — у3 -\-4, x, у) =—\/у — Зху2 (см. уравнение A1.26)). Тогда: дР 2 dQ — Так как — = S, то исходное уравнение является уравне- уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл находится по формуле A1.24): Имеем: — — \ у' Xo Xa In У У d* — \ — — 3*0 4x In |*| —In |*0| — xy3 + Xoy3 + 4* — 4*o — In \y\ + -fin 11/01 — *o«/3 + *o«/o = Co, In — — xy3 + 4x = C, где С = Co + In p + 4*o - *oyo- < I Uo 312
5. Записать уравнение кривой, проходящей через точку АB, 2), если известно, что площадь трапеции (рис. 11.3), ограниченной осями координат, любой каса- касательной к кривой и ординатой точки касания, есть ве- величина постоянная, равная 3. Имеем: \МС\ =у, \DO\ = ± \DB\ + \ВО\ = ± \DB\ + \МС\ = = =±\DB\+y, IOCI = ж, ± \DB\ = - \ВМ\ tg а = - \ВМ\ у' = -ху', где перед \DB\ ставится знак « + », если y' = tga<;0 (х < х\, см. рис. 11.3), и знак « —», если y'==tga>0 (х>х\). Поэтому в обоих случаях \DO\ = —xtf -\-y. Да- Далее находим: Получили линейное уравнение первого порядка. Решаем его: у = uv, у' = u'v + uv', u'v + uv' — —— = ——, A) 313
dv 2у л du 2dx dx x 'и х ' , v = x2. Подставим найденное выражение для v = х2 в уравне- уравнение A): и'х2 = —6/х2. Отсюда находим и: Тогда Так как кривая проходит через точку АB, 2), то 2 = = 2/2-j-4C, С =1/4. Искомая кривая имеет уравнение у=— +4-> 0 <с х ^. хо =у16. Она изображена на з /— рис. 11.3. При х\=у4 имеем точку минимума. ^ ИДЗ-П.З Найти общее решение дифференциального уравнения. 1.1. а) г/" + 4г/ = 0; б) у" — Юу' + 25г/ = 0; в) г/"+ 1.2. а) у" — у' — 2у = 0; б) г/" + 9у = 0; в) г/"+ 1.3. а) у" — 4у' = 0; б) г/" — 4г/'+ 13г/= 0; в) г/" — $г/' + 2г/ = 0. 1.4. а) у" — 5г/' + 6г/ = 0; б) г/" + Зг/' = 0; в) t/" + .5. а) у"-2у' + Юу = 0; б) у" +у' — 2г/ = 0; в) у" — 2у' = 0. 1.6. а) г/"-4г/ = 0; б) г/" + 2г/' + 17у = 0; в) г/"- — у'— 12у=0. 1.7. а) г/" + г/'-6у = 0; б) г/" + 9г/' = 0; в) г/"- 1.8. а) г/"-49г/ = 0; б) г/" - Ау' + 5у = 0; в) у" + + 2г/'-Зг/ = 0. 1.9. а) г/" + 7г/' = 0; б) у" - Ъу' + 4у = 0; в) у" + + 16г/ = 0. 1.10. а) у" — 6у' + 8г/ = 0; б) г/" + 4г/' + 5г/ = 0; 314
в) у" + 5у' = 0. 1.11. а) 4у"-8у' + Зу = 0; б) у" - Зу' = 0; в) у" - 2' 10 у 1.12. а) у" + 4у' + 20у = 0; б) у" - Зу' в) у"-16у = 0. 9 ' 0 " 4' - Зу' - Юу = 0; 1.13. a) 9у" + 6у' + у = 0; б) у" - 4у'- 21у = 0; " 0 в) 1.14. а) 2у" + Зу' + у = 0; б) у" + 4у' + 8у = 0; в) У" — 6у' + 9у = 0. 1.15. а) у"-10у' + 21у = 0; б) у" - 2у' + 2у = 0; в) у"+4у' = 0. 1.16. а) у" + 6у' = 0; б) t/" + Юг/' + 29г/ = 0; в) г/" - 8' + 7 0 1.17. а) г/" + 25у = 0; б) г/" + 6у' + 9у = 0; в) г/"+ 2у' + 2у = 0. 1.18. a) t/"-3t/' = 0; б) у" - 7у' ~ 8у = 0; в) у"+ 4' + 13 0 1.19. а) у"-Зг/'-4г/ = 0; б) г/" + 6у' + \3у = 0; в) у" + 2у' = 0. 1.20. а) г/" + 25г/' = 0; б) i/" — Юг/' + 16^ = 0; в) г/" — 8 + 16 0 1.21. а) у" — Зу'— 18г/ = 0; б) у" — 6у' = 0; в) у" + + 2t/' + 5t/ = 0. 1.22. a) t/" —6t/'+13t/ = 0; б) у"— 2у'~ 15у = 0; в) г/"-8г/ = 0. 1.23. а) г/" + 2у' + г/ = 0; б) у" + 6г/'+ 25у = 0; в) у"-4у' = 0. 1.24. а) у" + Юг/' = 0; б) г/" - 6г/' + 8у = 0; в) 4у" + + 4у' + г/ = 0. 1.25. а) г/" + 5у = 0; б) 9г/" - 6г/' + г/ = 0; в) у"+ + 6г/' + 8г/ = 0. 1.26. а) у"+6г/' + 10г/ = 0; б) г/" - 4у' + 4г/ = 0; в) г/"-5г/' + 4г/ = 0. 1.27. а) у"-у = 0; б) 4г/" + 8г/'- 5г/= 0; в) у"— — 6г/' + 10г/ = 0. 1.28. а) у" + 8у' + 25у = 0; б) у" + 9у' = 0; в) 9у" + + Зу'-2у = 0. 1.29. а) 6г/" + 7у' - Зу = 0; б) у" + 16у = 0; в) 4у" - -4у'+у = 0. 1.30. а) 9у" - бу7 + У = 0; б) у" + 12у' + 37у = 0; в) у"-2у' = 0. 2 2.1. у" + у' = 2х— 1. (Oreer: у = С, + С2е-" +х2 — — Зх.) 2.2. у" — 2у' + 5у = 10e-Jccos2x. (Ответ: у = 315
= ex(d cos 2x + C2 sin 2x) + e~x cos 2x.) 2.3. u" — 2y' — 8y = 12 sin 2x — 36 cos 2x. (Ответ: у = = Схе~*х + C2e4x + 3 cos 2x.) 2.4. г/" - \2y' + Збг/ = 14e6\ (Ответ: у = Cie6x + + C2xe6x + 7л"У.) 2.5. y" ~ 3y' + 2t/ = C4 - 12л>~*. (Oreer: у = Cxex + + O2* + D2)*) + O + D2x)?.) 2.6. y" - 6г/' + Юу = 5\e~x. (Ответ: у = e3x(Cl cos л; + + C2 sin ж) + Зе~х.) 2.7. г/" + г/ = 2 cos x — (Ах + 4) sin л;. (Ответ: у = = С\ cos х -f- C2 sin х + (*2 + 2л;) cos л;.) 2.8. г/" + 6г/' + Юг/ = 74e3jt. (Ответ: у = <?-3x(Ci cos x + + С2 sin ж) + 2е3х.) 2.9. г/" — Зг/'Ц- 2t/ = 3 cos x + 19 sin x. (Ответ: у = = Схех + С2е2х + 6 cos x + sin ж.) 2.10. у" + 6г/' + 9г/ = D8* + 8)е\ (Огвет: t/ = Схе~3х + + C2^-?Jt + Cx-l)^) + 2 + ()) 2.11. у" + Ъу' = 72^х. (Огвег: у = С, + С2?>-5* + Зе2х.) 2.12. г/" — 5г/' — 6y = 3cosx+ 19 sin x. (Ответ: у = = Схе~х + С2е^ + cos х — 2 sin x.) 2.13. у" - 8г/' + 12г/ = Збх4 - 96л:3 + 24л + 16ж — 2. (Ore^r: г/ = Схе2х + С2е6* + Зл;4 - х'\) 2.14. г/" + 8г/' + 25г/ = \ЪеЪх. (Ответ: у = = е-4*(С, cos Зл: + С2 sin 3x)+-Le5x.) О 2.15. у" — 9г/' + 20г/ = 126^х. (Ответ: у = С,е4л: + + С5* + 32\) + С2?> + 3?>\) 2.16. г/" + Збг/ = 36 + 66л- — 36л. (Oreer: t/ = = Сх cos 6л- + С2 sin 6л- — л-3 + 2л- + 1.) 2.17. у" -\-у= —4 cos л: — 2 sin л:. (Ответ: у = = Сх cos х + С2 sin х + л-(со8 л: — 2 sin л:).) 2.18. г/" + 2г/' — 24г/ = 6 cos Зл- — 33 sin Зл\ (Ответ: у = = Схе~6х + С2е4х + sin Зх.) 2.19. у" + 6г/'+ 13у = — 75 sin 2л\ (Огвег: г/ = = е~3х(Сх cos 2л- + С2 sin 2л-) + 4 cos 2л" — 3 sin 2л".) 2.20. у" + Ъу' = 39 cos Зх — 105 sin Зх. (Ответ: у = = С, + С2е~5х + 4 cos Зл- + 5 sin Зх.) 2.21. у" — 4г/'+ 29г/ = 104 sin 5л\ (Ответ: у = = е2х(Сх cos 5л- + С2 sin 5л-) + 5 cos 5л- + sin 5л-.) 2.22. у" — Ay' + 5t/ = B4 sin x + 8 cos x)e-2x. {Ответ: у = е2х(Сх cos х + С2 sin х) + e~~2*(cos л" + sin x).) 2.23. г/" + 16г/ = 8 cos 4л:. (Ответ: у = Ci cos 4л: + + Сг sin 4л: + х sin 4л:.) 2.24. у" + 9г/ = 9л + 12л — 27. (Ответ: у = = Ci cos Зл: + С2 sin 3* + л-4 — 3.) 316
2.25. у" — \2у' + 40г/.= 2е6х. (Ответ: у = = евх(С, cos 2л- + С2 sin 2л") + -1 еЬх) 2.26. у" + 4у' = ехB4 cos 2л" + 2 sin 2л"). (Ответ: у = = Ci + C2e-4x + 2exsin2x.) 2.27. и" + 2и' + и = 6е-х. ( + С2л* + Зле\) 2.28. г/" + 2у' + 37 у = 37л:2 — 33л: + 74. (Ответ: у = = е~*(С, cos 6jc + C2 sin 6л:) + х2 — х + 2.) 2.29. 6у" -у' — у = Зе2х. (Ответ: у = С{ех/2 + + С2е~х/3 + е2х.) 2.30. 2у" + Ту' + Зг/ = 222 sin Зх. (Ответ: у = С\е~3х + + С2е~х/2 + 7 cos 3^ + 5 sin Зх.) 3 3.1. у" — 8у'+ 17у = 10е2х. (Огвег: г/ = е4х(С, cos x + + С2 sin ж) + 2^2\) 3.2. у" +у'-6у = Fж + 1)е3*. (Огвет: г/ = С,^-Зх + 23 3.3. у" —7у' + 12у = Зе4х. (Ответ: у = Схе3х + C2e4jt + 34х) 3.4. у" — 2у' = 6+12х — 2Ах2. (Ответ: у = С, + + С2е2* Ч- 4л:3 + Зл:2 + Зх.) 3.5. г/" — 6у' + 34г/ = 18 cos 5х + 60 sin 5л\ (Огвег: у = = еЪх(С\ cos 5л- + С2 sin 5л-) + 2 cos 5л-.) 3.6. у" — 2у' = Dл- + А)е2х. (Ответ: у=С{ + С2е2х + B J*) + )) 3.7. у"+ 2у' + у = 4х3 + 24х2 + 22х — 4. (Ответ: у = = С,е-Х + С2л*-* + 4л-3 - 2л-.) 3.8. у" — 4у' = 8— 16л\ (Ответ: у = С, + С2е4* + + 2л-2 — х.) 3.9. у" — 2г/' + г/ = 4ех. (Ответ: у = dex + С2хех+ + 2х2ех.) 3.10. г/" — 8г/' + 20г/ = 16(sin 2л" — cos 2л"). (Ответ: у = = e*x(Ct cos 2л- Ч- С2 sin 2л") + sin 2л:.) 3.11. у" — 6г/' + 13у = 34ех sin 2л". (Ответ: у = = ??3jt(Ci cos 2л- + С2 sin 2л-) + 2е~3х cos 2л-.) 3.12. у" + 2у' — Зу = A2х2 + 6х — 4)ех. (Ответ: у = — de-3x + С2ех + (х* — х)ех.) 3.13. у" + 4у' + 4г/ = 6е~2х. (Ответ: у = Схе~2х + + С2хе~2х + Зх2е-2х.) 3.14. г/"+Зг/' = Ю-6л-. (Ответ: у = С1 + С2е-3х- -л:2 + 4л-.) 3.15. у" + lOt/ + 2Ъу = 40 4- 52л" - 240л-2 - 200л:3. (От- (Ответ: у = Схе~Ъх + С2хе~Ъх — 8л:3 + 4л".) 317
3.16. у" 4- 4г/' 4- 20г/ = 4 cos 4л" — 52 sin 4х. (Ответ: у = = е~2х(С\ cos 4л- 4- С2 sin 4л-) 4 3 cos 4л- — sin 4л-.) 3.17. у" 4- 4г/' 4- % = 5л- —32л: 4-5. (Ответ: у = = ??~2jI(Ci cos л- 4- С2 sin л-) + л — 8л- 4 7.) 3.18. г/-2г//4-г/ = О2л--1О)е-*. (Огвет: у = = Схе~х 4- Сгл-е"' 4- Bл-3 — 5х2)е~х.) 3.19. у"— 4у = ( — 24х—\0)е2х. (Ответ: у = = Сх cos 2л- 4 С2 sin 2л: — (Зл:2 4- х)е2х.) 3.20. у" 4- 6г/' 4- 9г/ = 72е3*. (Огвет: г/ = С>-3*4- + С2л-?>-3*4-2е3\) 3.21. г/" 4- 16t/ = 80е2*. (Ответ: у = Сх cos 4л" 4- + С2 sin 4л- 4- 4е2х.) 3.22. г/" 4- 4г/' = 15е*. (Огвег: г/ = С, 4- С2е~*х + Zex.) 3.23. у" + г/' — 2г/ = 9 cos л" — 7 sin л". (Ответ: у = ~ Схе~2х 4- О* 4- 3 sin л: — 2 cos л-.) 3.24. г/" 4-2м'4-У = 08*4-8)е~*. (Огвет: г/ = С,??-*4- + С2л-е~х 4- (Зл* 4- 4л-2)е-\) 3.25. у" - \4у' 4- 49г/ = 144 sin 7х. (Ответ: у = Схе1х + 4 С2хе7х 4- 2 cos 7л-.) 3.26. у" + 9у= Юе3х. (Ответ: у = С,-cos Зл: 4- + С2 sin Зл- 4- е3х.) 3.27. 4у" — 4t/ + у = —25 cos x. (Ответ: у = Ске?12 + + С2хех/2 4- 3 cos л- 4- 4 sin л-.) 3.28. Зг/" — 5ц' — 2у = 6 cos 2л" 4- 38 sin 2л\ (Ответ: у = = Схе~х/3 + C2eix + cos 2л" - 2 sin 2x.) 3.29. у" 4 4г/' 4- 29у = 26е-\ (Огвет: г/ = = е~2х(Сх cos 5л: 4- С2 sin 5л:) 4 е~х-) 3.30. 4у" + Зг/' — г/ = 11 cos х — 7 sin л:. (Ответ: у = = Схех/4 4- С2е~* 4- 2 sin л: — cos л:.) 4. Найти частное решение дифференциального урав- уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям. 4.1. у" — 2у' + у=—12 cos 2л- — 9 sin 2л", у@) = —2, t/@) = 0. (Ответ: у = — 2ех — 4хех 4 3 sin 2x.) 4.2. у" — 6г/' + 9у = 9л-2 — 39л" 4- 65, у@) = - 1, у'@) = = 1. (Ответ: у = - 6е3х 4- 22*е3* + х2-~3х + 5.) 4.3. у" + 2у' 4- 2у = 2х2 4 8л- + 6, г/@) = 1, у'@) = 4. (Ответ: у = е '(cos л: 4- 3 sin x) 4- ^2 4- 2л:.) 4.4. t/" — 6t/'4 25у = 9 sin 4л-— 24 cos 4л-, «/@) = 2, у'(О) = — 2. (Ответ: у = е3дсB cos 4* — 3 sin 4л:) 4 sin 4л\) 4.5. у" — 14у' 4 53t/ = 53л-3 — 42л:2 4 59л: — 14, у@) = = 0, 1/@) = 7. (Oreer: у = Зе7х sin 2л: 4- х3 + х.) 4.6. y" + Qy = ex(cos4x — 8sm4x), y@) = 0, у'@) — 5. (Ответ: у = sin 4л: — cos 4л: 4 ^ cos 4л:.) •' 4.7. у" — 4у' + 20у = 16л-е2х, о@) = 1, t/'@) = 2. (Огвег: у = <?2jc(cos 4лг — 1 /4 sin 4л-) 4- ^ •) 318
4.8. у" — \2у' + Збг/ = 32 cos 2л: + 24 sin 2x, уф) = 2, у'ф) = 4. (Ответ: у = еЬх — 2хе6х + cos 2л\) 4.9. у"-\-у = х3 — 4л-2 + 7л-— 10, уф) = 2, у'@) = 3. (Ответ: г/ = 4 cos х + 2 sin х + *3 — 4х + л: — 2.) 4.10. г/" -у = A4- 16л-)?>-*,г/@) = 0, г/'@)=-i: (От- (Ответ: у = ех — е х + Dл-2 — Зл:)е *.) 4.11. у" + 8г/' + 16у = 16л-2 — 16л: + 66, уф) — 3, у'ф) = 0. (Ответ: у = — 2е~4х — 6хе~4х + л — 2л" + 5.) 4.12. у" + Юу' + 34г/ = —9е~5х, уф) = 0. у'ф) = 6. (Ответ: у = ??-5x(cos Зл- + 2 sin Зх) — e~tx.) 4.13. у" — 6у' + 25г/ = C2л- — 12) sin х — 36л: cos Зл", уф) = 4, у'@) = 0. (Ответ; у = е3хD cos 4л" — 3 sin 4л:) + 4 2л- sin Зл-.) 4.14. у" + 25у = ^(cos 5л- — 10 sin 5х), уф) = 3, у'ф) = = —4. (Ответ: у = 2 cos 5л- — sin 5л: -f- ^x cos 5л-.) 4.15. у" + 2у' + 5г/ = -8е~х sin 2л:, уф) = 2, г/'@) = 6. (Ответ: у = е~хB cos 2л" + 3 sin 2х) + 2хе~* cos 2л-.) 4.16. у" - Юу' + 25г/ = в6*, г/@) = 1, у'ф) = 0. (Ответ; у = Зе5х — 2л:е5х + х2еЪх) 4.17. г/" + г/' —12г/ = A6л- + 22)е4х, г/@) = 3, у'ф) = 5. (Ответ: у = е3х-\- е~4х + Bх + l)^4*.) 4.18. у" - 2t/' + 5г/ = 5л + 6х — 12, уф) = 0, t/'@) = 2. (Ответ: у = е*B cos 2л" — sin 2x) + х2 + 2х — 2.) 4.19. у" + W + 16г/ = 16л-3 + 24л-2 - Юх + 8, уф) = 1, у'ф) = 3. (Ответ: у = 4хе~4х + х3 — х+1.) 4.20. у" — 2у' + 37г/ = ЗЬех cos 6л", г/@) = 0, г/'@) = 6. (Ответ: у = ех sin 6л- + Зхех sin 6л-.) 4.21. у" — 8у' == 16 + 48л:2 - 128л, уф) = - 1, у'ф) = = 14. (Ответ: у = 2ейх — 3 + 4х4 — 2х.) 4.22. у" + 12у' + Збу = 72л-3 - 18, уф) = 1, у'ф) = 0. (Ответ: у = cos 6л- + 8 sin 6л" + 2л — 2л\) 4.23. у" + Зу' = D0л- + 58)е2*, уф) = 0, у'ф) = 2. (От- (Ответ; у = 4е~3* — 7 + Dл- + Ще2х.) 4.24. у" — 9у' + 18у = 26 cos л: — 8 sin Л", у@) = 0, у'@) = 2. (Ответ: у = 2е6х — Зе3х — sin х + cos x.) 4.25. у" + 8у' = 18л-4-60л-2 —32л-3, у@) = 5, у'@) = 2. (Ответ: у = 3 4- 2<?~8* — л-4 4- Зл-3.) 4.26. у" — Зу' 4 2у = — sin x — 7 cos x, уф) = 2, у' @) = 7. (Ответ: у = ех + 2е2х — cos x + 2 sin л-.) 4.27. у" 4- 2у/ = 6л-2 4- 2л- 4- 1, г/@) = 2, у'ф) = 2. (От- (Ответ: у = 3 - в"* 4- х3 — л-2.) 4.28. у-16у = 32е4\ уф) = 2, у'@) = 0. (Ответ; у = cos 4л: — sin 4л- 4 е*х-) 4.29. у" + 5у' 4 6у = 52 sin 2х, уф) = —2, у'ф) = ~2. 319
{Ответ: у = 2е~2х + е~3х — 5 cos 2х + sin 2х.) 4.30. у" — Ау = 8е2х, у@) = 1, г/'@) = -8. (Ответ: у = 3е~2х — 2е2х + 2хе2х.) 5. Определить и записать структуру частного решения у* линейного неоднородного дифференциального урав- уравнения по виду функции ftx). 5.1. 2у" — Ту' + Зг/ = ftx); a) f(x) = Bх + \)е3х; б) ftx) = cos3x. 5.2.3y"-7y' + 2y = f(x); a) ftx) = Зхе2х; б) ftx) = = sin 2х — 3 cos 2л;. 5.3. 2/' +у'-у = /(*); а) /(ж) = (х2-5)^"*; б) ft*) = = л; sin х. 5.4. 2у"-9*/'+ 4*/= /(*); a) f(x)=-2e4x; б) ftx) = = ех cos 4x. 5.5. t/" + 49г/ = /(*); а) /(*) = х3 + 4х; б> f (х) == 3 sin 7x. 5.6. 3y" + }0y' + 3y = f(x); а) /(х) = ^3^; б) /(*) = = 2 cos Зх — sin Зх. 5.7. у"-Зу' + 2у = Пх); a) ft*) = x + 2e*; б) /(х) = = 3 cos Ax. 5.8. г/" — Ау' + 4г/ = ftx); a) f(x) = sin 2x + 2ех; б) /(х) = х2-4. 5.9. у"-у' + у = ftx); a) ftx) = e* cos х; б) ftx) = = 7*+ 2. 5.10. у"— 3y' = f{x); a) ftx) = 2х2 - 5х; б) ftx) = = е~х sin 2x. 5.11. y" + 3y'-4y = ftA:); a) ftx) = Эхе*; б) ftx)=- ^ л: sin х. 5.12. t/" + Збу = /(х); а) /(х) = Ахе~х; б) f(x) = 2 sin 6x. 5.13. y"-6y' + 9y = ftA:); a) ftx) = (x-2)ete; б) ftx) = 4 cos x. 5.14. 4г/" -5у' + у = ftx); a) ftx) = Dх + 2)ех; б) f(x) = — ех sin Зх. 5.15. Ay"+7y'-2y = f(x); a) f(x) = 3e~2x; б) ftx) = = (х— I)cos2x. 5.16. jT - У' - 6у = f(x); a) ftx) = 2х^; б) f(x) = .— q pqc y sin х 5.17. у" — 16г/ = ftx); a) ftx) = — Зе*х; б) ftx) = cos x — — 4 sin x. 5.18. у"-Ау' = ftx); a) ftx) = (х- 2)е*'; б) ftx) = = 3 cos 4x. 5.19. y"-2y' + 2y = f(x); a) ftx) = Bх - 3)е4*; б) /(х) =: ех sin х. 5.20. 5г/"-б1/' + г/ = /(х); a) ftx) = xV; б) ftx) = = cos x — sin x. 320
5.21. by" + 9y' — 2y = f(x); a) f(x) = x3 — 2x; 6) f(x) = = 2 sin 2x — 3 cos 2x. 5.22. y" — 2y'— I5y = f(x); a) f(x) = 4xe3x; 6) f(x) = = x sin 5x. 5.23. y"-3y' = f(x); а) f(x) = 2x3 - 4x; б) f(x) = — 2^ cos x. 5.24. y" — 7y' + l2y = f(x); a) /(x) = xe3x + 2ex; 6) f(x) = 3x sin 2x. , 5.25. y"+9y' = f(x); а) f(x) = x2+ 4x-3; б) f(x) = -.— xc sin x. 5.26. г/" - 4г/' + 5г/ = f(x); a) f(x)=-2xex; 6) f(x) = = x cos 2x — sin 2x. 5.27. y" + 3y' +2y = f(x); а) Дх) = Cx — 7)e~x; 6) f (x) = cos x — 3 sin x. 5.28. г/" — 8г/' + 16г/ = /(х); a) f(x) = 2xe4jt; 6) /(x) = = cos 4x + 2 sin 4x. 5.29. y" + y' — 2y = f(x); a) f(x) = Bx — l)e~x. 6) f (x) = 3x cos 2x. 5.30. у" + Зг/' — 4y = f(x); a) f(x) = 6xe~x; 6) f(x) = = x2 sin 2x. Решение типового варианта Найти общее решение дифференциального уравнения. /. а) Ау" — 11 у' + 6г/ = 0; б) 4г/" - 4г/' + у = 0; в) у" — 2г/' + 37г/ = 0. Р- Для каждого из данных уравнений составляем ха- характеристическое уравнение и решаем его. По виду полу- полученных корней характеристического уравнения (см. фор- формулу A1.48) и пример 5 из § 11.6) записываем общее решение дифференциального уравнения: а) 4А.2 — 11 Я. + 6 = 0, корни А., = 3/4, Х2 = 2 — дейст- действительные различные, поэтому общее решение уравнения у = Cxe3x/i + С2е2х; б) 4А.2 — АХ + 1 = 0, корни Л., = А.2 = 1 /2 — действи- действительные равные, следовательно, общее решение уравнения в) А.2 — 2А. + 37 = 0, корни A.i,2 = 1 ± 6/ — комплексно- сопряженные, поэтому общее решение уравнения у = е"(С\ cos 6* + С? sin 6x). 4) 2. у" — Зу' — Ау = 6хе~х. 321
> Характеристическое уравнение А.2 — ЗА,— 4 = 0 имеет корни A.i=4, А.2 =—1. Следовательно, общее ре- решение однородного уравнения определяется формулой По функции f(x) = 6xe x, стоящей в правой части исход- исходного уравнения, записываем структуру его- частного решения (см. формулу A1.50)): у* = (Ах 4 В)е~хх = (Ах2 4 Вх)е~х. Выражение (Ах-\- В)е~х домножили иа х, так как z = ='a-\-ib=—1 является корнем характеристического уравнения. Коэффициенты А и В определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим: у" = BАх 4 В)е~х — (Ах2 4 Вх)е~*, у*" = 2Ае~х 4 {Ах2 4 Вх)е~х — 2BАх 4 В)е~х. Подставим найденные выражения для у*' и у*" в исход- исходное уравнение и, разделив обе его части на е~х, прирав- приравняем коэффициенты при х2, х и х°. Получим систему, из которой найдем А и В. Таким образом, в соответ- соответствии с изложенным, имеем: 2А 4 Ах2 + Вх- 4Ах — 2В- 6Ах -ЗВ + ЗАх2 4 4 ЗВх — 4Ах2 — АВх = 6х, х2 А 4 ЗЛ - АА = 0, ^ х В — \А — 6А 4 ЗВ — 4В = 6Д х° 2А-2В-ЗВ = 0, ) откуда А = —3/5, В = —6/25. Тогда и общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой 3- у" + Уг = 5х + cos 2x. > Находим корни характеристического уравнения А.2 4- А. = 0: А.1 = 0, А.2 = — 1. Следовательно, общее реше- решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Функция f (х) = 5х 4- cos 2x, стоящая в правой части 322
уравнения, представляет собой сумму функций ^(д:) = = 5х и /г(*) = cos 2х. Им соответствуют два частных решения: уЧ = Ах2 + Вх, yf = A i cos 2x -\- В i sin 2x, т. е. y*=yf -\-у$. Находим: у*' = 2Ах + В — 2Л, sin 2х + 2Bi cos 2x, у*" = 2А — 4А< cos 2x — 4B{ sin 2x. Подставляем выражения для у* и у*" в исходное уравне- уравнение и вычисляем коэффициенты А, В, Аи В\: 2А — 4Л| cos 2х — 4B| sin 2х + 2Ах + В — 2А, sin 2x + + 2B| cos 2л: = 5* + cos 2x, х .0 2Л = 5, \ 2А + В = О,) -4Л,+2В, = 1 -2Л.-4В В,=0Г cos 2x sin 2x откуда Л = 5/2, В =-5, Л, = -1/5, В, = 1/10. Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид у* ==4-л:2 — Ъх — -i- cos 2jc +-^ s'n 2x, а его общее решение — У = У + У* = С! + Сзе-" +|-jc2 - 5* —L cos 2x + + ±sin2*. ^ 4. Найти частное решение дифференциального уравне- уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: у" + 16i/ = C4* + 13)е-*, 1/@) = -1, у'@) = 5. > Характеристическое уравнение К +16 = 0 имеет мнимые корни: A,i,2=±4i. Общее решение соответ- соответствующего однородного уравнения определяется фор- формулой у = С\ cos 4jc + Сг sin Ax, а частное его решение имеет вид у* = {Ах + В)е-х. Находим: у*' =Ае~х — {Ах + В)е-Х, у*" = -2Ае~х + (Ах + В)е~х. 323
Подставим выражения у* и у*" в исходное уравнение и из полученного тождества -2А + Ах + В + Шх + I6B = 34* + 13 найдем А = 2, В = 1. Тогда y* = Bjt+l)e-* и общее решение исходного уравнения имеет вид у = Г, ros Ах + С2 sin Ах + B* + 1N"*. . Используя начальные условия у@)=—1, у'@) = 5, составляем систему для вычисления значений Ci и Сг: 1/@) Г=С,+ 1, '@) 5 4С 2 решение которой: Ci — —2, Сг= 1. Подставив значения Ci и Сг в общее решение, найдем частное решение исходного уравнения: у = sin 4х — 2 cos 4х + Bх + 1)е~х. 4 5. Определить и записать структуру частного решения у* линейного неоднородного дифференциального уравне- уравнения y" — 9y = f(x) по виду функции f(x), если: a) f(x) = E - х)е3х; б) f(x) = х sin 2x. > Находим корни характеристического уравнения: Х2-9 = 0,-Я,, = -3, Х2 = 3. а) Так как Ддг) = E — дг)е3*, то частное решение имеет вид у* = (Лж + В)е3хх = (Лх2 + Вх)е3х. Здесь множитель х появляется потому, что г = а + ib = 3 и & = 1; б) Поскольку /(лс) = х sin 2л:, то *(^ BJ (^ B)i2 < ИДЗ-11.4 1. Найти частное решение линейного однородного диф- дифференциального уравнения. 1.1. у"' - 1у" + 6у' = 0, уф) = 0, у'@) = 0, у"@) = 30. (Ответ: у = 5 - бе* + е6*.) 1.2. / - 9у'" = 0, i/@)= 1, у'(°) = — 1, У"@) = 0, у'" @) = 0, yw @) = 0. (Ответ: у = 1 - х.) 1.3. #'"-#" = 0, i/@) = 0, у'@)-0, у"@)= -1. (От- (Ответ: у = 1 + х — е*.) 324
1.4. у'" - Ay' = О, у@) = О, у'@) = 2, у"@) = 4. [От- [Ответ: у = е — I.) 1.5. у'" + у' = О, у@) = 0, у'@)=1, у"@)=1. [Ответ: у — \ — cos х — sin x.) 1.6. у'"-у' = 0, i/@) = 0, у'[0) = 2, у"ф) = 4. [Ответ: у=-4 + е~х + Зех.) 1.7. ylv + 2у'" - 2у' — у = 0,1/@) = 0, у'@) = 0, у"@) = = 0, у'"Щ = 8. [Ответ: у = 2е-х — 4хе'х — 4х2е'х — 2ех.) 1.8. у'" + у" - Ъу1 + Зу = 0, у @) = 0, у' @) = 1, у" @) = = — 14. [Ответ: у = ех — Зхе* — е~3*.) 1.9. у"' + у"=О, у@) = 0, у'@) = 1,У'@)=-1. (Ог- вег; у=\—ех-.) ¦ . 1Л0. у'"-5у" + 8у' — 4у = 0, у@)= 1, у'@)==-1, У"(О) = О. ( Ответ: i/=^.e'+i.e2*-|.xe 1.11. у"' + Зу" + 2у' = 0, у @) = О, у'<0) = О, у" @) = 2. [Ответ: 1— 2в~х + в ~*х.) 1.12. у'" + Зу" + Зу' + у = О, у{0) = - 1, у' @) = О, у"@) = 1. (Ответ: у = - е ~ *( 1 + *).) 1.13. у'" - 2у" + 9у' - Щ = О, у(О) = -2,5, у'@) = О, у"ф) = 0. (Ответ: у = -ge2* --[jjcos 2х + j| sin 2л:Л 1.14. i/" + 9y' = O, у(О) = О, у'@) = 9, у"@) =—18. [Ответ: у = — 2 + 2 cos Зх + 3 sin Зх.) 1.15. у"' — 13у" + 12у'=О, у(О) = О, «/(О) =* 1, у^<0) = = 133. [Ответ: у= 10 - 1 le* + el2j:.) 1.16. ylv — 5у" + 4у = 0, у@)= —2, у'@)= 1, у"@) = = 2, у'"@) = 0. (Ответ: у= -6^-^-6-^ + ^^ + +4«-2") 1.17. ylv - Юу" + 9у = 0, 1/@) = 0, у'@) = 0, у"@) = 8, у'"@) = 24. [Ответ: у = — 2е* + е~х + е3\) 1.18. у'" — у" + у' — у = 0, у@) = 0, у'@) = 1, у"@) = = 0. [Ответ: у = sin x.) 1.19. у'" — Зу" + Зу' - у = 0, у@) = 0, у'@) = О, у"ф) = 4. [Ответ: у = 2х2ех.) 1.20. у'" - у" + 4у' - 4у = 0, у @) = - 1, у' @) = О, у"ф) = — 6. [Ответ: у= —2ех-\- cos 2x -\- sin 2x.) 1.21. ylv — 2у'" + у" = 0, у@) = 0, у'@) = 0, у"@)=1, у'"@) = 2. (Ответ: у=\-ех + хех.) 1.22. yl<>-y = 0, у@) = 0, у'@) = 0, у"@) = 0, у"'@) = = — 4. [Ответ: у = е х — ех + 2 sin x.) 1.23. ylv - 16у = 0, уф) = 0, у'@) = 0, у"@) = О, 325
у'"@) = — 8. YОтвет: у = -1 е2х — -1 е~2х + -L sin 2х.\ 1.24. у'" + у" - Ау' - 4 = 0, у@) = 0, */@) = 0, /'@) = = 12. (Ответ: у = е2х + 3е~2х -4е~\) 1.25. «Г + 2«/" + V + 18j/ = 0, у @) = 1, у'@) = — 3, у"@) = —9. (Ответ: у = cos Зх — sin Зл\) 1.26. у4 - 6ylv + %'" = 0, 1/@) = у'@) = у"@) = = у'" @) = 0, у" @) = 27. С Ответ: у = 1 + 2х + -i х2 — е3л; + + хе3х.\ 1.27. У" + 2у" + у' = 0, 1/@) = 0, у'@) = 2, у"@) = = — 3. (Ответ: у = 1 — е~* + хе".) 1.28. у'" — у" — у' + у = О, i/@) = - 1, у'@) = 0; у"@) = 1. (Ответ: у = — Аех + 7хех + Зе~*.) 1.29. у™ + 5у" + 4у = 0, у@) = 1, у'(О) = 4, у"@) = — — 1; 0»'(О) = _ 16. (Ответ: у = 2 sin 2л; + eos x) 1.30. у1^ + 1 Оу" + 9у = 0, у @) = 1, */'@) = 3, у"@) = = — 9, у'"(О) = —27. (Ответ: у = cos Зх + sin Зх.) 2. Решить систему дифференциальных уравнений дву- двумя способами: а) сведением к дифференциальному урав- уравнению высшего порядка; б) с помощью характеристи- характеристического уравнения. 2 , 1х' = 2х + у, (Q (х = C^eы + С2е' \ 2Л- \ у' = Зх + 4(/. \итвет- [у = ЗС.е5' - С2е'.) 2 fx' = x-y. (ответ- Iх = С{е3' + С2е', 2- \у'= -4х + у. \итвет- \у=-2С{е3' + 2С2 *{/=. 2.4. • (Ответ: (*=<>-» +<V, Ч у (Ответ [х = С + С2е5' = _ 4х + 4Д Ureer- \у = С, - AC2ei .6. {Х'Г - (у — — Зх -\- 2у. .8.{Х'Г2х + У> (Ответ: {* = С* + С*-\Г Л (у '=— 6х — Зу. \ \у—— 2С| — ЗСге ./ 326
=de' + С2е ' = С1е>-С* г, (х = Схё + С2е2/, Ответ: {„ _ _ м -1 у' = (Ответ: : = С1е-' + С2е7', ' + [х = С, + С2е7', 2Ж (;-=;;." 2Л9-(;'=: 2ж1х'г%х-*уло™ет:\ 2.21. К = Х + *У> ( Ответ:\х = 2.22. К = 7Х¦¦ + *У' ( Ответ: Iх = С^' + С^ 2.23. К = ix-У' (Ответ: Iх = С*1 + С** \у' = — х-\-4у. \ \у = С\ем — С2е . 327
2.24. К = 2х+?У> ( Ответ: (х = С> + 2.25. {К = Ъх 2 26 2.27. К = -х - Зу 2.28. К = -5^2^ (^ 2.29. К = 6х + \ (Ответ: Iх = С = 4х - 8i/, /Ответ. (х = \Ответ- { + С^¦ . \ 3. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных. 3.1. у»-у = -^т. (Ответ: у =( - ?. + -1 In\ex + 3.2. у" + 4у = ^1^. ( Ответ: у = (i- In | cos 2x\ + + С2) cos 2х + (jx.+ C2) sin 2л:.) 3.3. у" — 4у' + 5у = -^— . {Ответ: у = Aп |cosx| + » » i v cos ^ . \ 3.4. у'" + У' = -^-- (Ответ: у = —L_ + С, + у ^ cos2x \ cos л; + (In |cos х\ + C2)cos х + (х — tg х + C3)sin х 3.5. #" + 9# = -Д5-- (Ответ: у=( — ±-х +Сi)cos3x + ±. In | sin Ъх | + С2) sin Злг) 328
3.6. ц" + 2у' + у = хех + —. (Ответ: у = Схе~х + + С2хе~х + ±ех — ~ех — хе~х + хе~х In x\ 3.7. у" + 2у' + 2у = ^. (Ответ: у = (ln |cos x\ + + Ci)e-X cos х + (х + С2)е-х sin x.) 3.8. у"-2у' + 2у = -^-. (Ответ: у = (ln(ctg-|) +• + сЛех cos х +(-JL_+ C2W sin дг.У 3.9. у" + 2у' -+- 2# — е~х ctg л:. (Ответ: у = = С\е~х cos дг + С2е~х sin х + е~х sin x • In |tg (ж/2)|.) ЗЛО. у" — 2у' + 2у = eVsin л:. (Ответ: у = (—х + + Ci)e* cos x + (In |sin x\ + C2)ej: sin x.) 3.11. y"-2y' + y = ex/x\ (Ответ: у = (-\пх+ . + Cly + {-\/x+C2)xex.) ЗЛ2. y"-\-y = tg x. (Ответ: у = Ci cos x + C2 sin x — — cos x • In |tg (x/2 + я/4)|.) 3.13. у" + 4y = ctg 2x. ( Ответ: y = CiCos2x + + C2sm2x-\-±-&m2x-\n\tgx\.) 3.14. у" + у = ctg x. (Ответ: у = Ct cos x + C2 sinx + + ii |t(/2)|) g()) 3.15. y" — 2y' + y = ex/x. (Ответ: у = (—x + Ci)ex (\nx + C2)xex.) 3.16. у" + 2у' + у = е~х/х. (Ответ: у = ( — х + C)x (\ C) ) ( )) 3.17. #"-f-y=l/cosx. (Ответ: у = (tntcos Jtl -f + Ci)cos jc + (x + C2) sin дг.) • 3:18. y" + y=l /sin x. (Ответ: y = (—x + d) cos л: + + (In | sin x\ -\- C2) sin x.) 3.19. y" + 4y= l/sin2j;. (Ответ: у = (—^-\- + С Л cos 2x -\-(~ In | sin 2x| + C2\ sin 2хЛ 3.20. у" + Ay = tg 2x. (Ответ: y = Ci cos 2x + C2sin2x — i-ln|t 3.21. у" + 4/ + 4y = e~2x/x3. (Ответ: y = (Ci + C2x + l/Bx))e~2x.) 3.22. y" — Ay' + Ay = e27*3. (Ответ: у = C,e2* + + C2xe2x + е272л:.) 329
3.23. у" + 2у' + у = Зе =( —|V(* + О5 + W(* + О3 + 3.24. у" + у= — ctg2 *. (Ответ: у — С\ cos * + + C2sinx + cosA:-ln|tg(x/2)| +2.) 3.25. у" — у' = е2х • cos (ех). (Ответ: у = С{ + С2е* — cos (ex).) 3.26. у" -у' = е2х sin(e'). (Ответ: у = С, + Сге^ — — sin (ex).) 3.27. у" + у = tg2 jc. (Ответ: y = CiCOsx + C2 sin л: + 3.28. у" + У = 2/sin2 л:. (Ответ: y = CiCosx + + С2 sin л: + 2 cos x In | ctg (дг/2) I — 2.) 3.29. у" + 2у' + Ъу =-^1-. (Ответ: у =( --? + + cAe-*cos2x+(i-ln |sin 2л:| + C2W* sin 2л:Л 3.30. у" + 9у = ^i^. ( Ответ; у = (± In | cos Зх | + + С,) cos Здс + (-J + С2) sin Зл:.) 4. Решить следующие задачи. 4.1. Записать уравнения кривых, обладающих следую- следующим свойством: площадь треугольника, образованного касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, равна Ь2. (Ответ: у = 2Ь2/(С±х).) 4.2. Записать уравнение кривой, если известно, что точка пересечения любой касательной к кривой с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. (Ответ: у = С(х2 + у2).) 4.3. Записать уравнения кривых, обладающих следую- следующим свойством: площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной к кривой и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, есть ве- величина постоянная, равная За2. (Ответ: у— Сх + 2а2/х.) 4.4. Записать уравнения кривых, обладающих следую- следующим свойством: площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала коорди- 330
нат до точки касания, есть величина постоянная, равная а2. (Ответ: х = а2/у -\- Су.) 4.5. Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания. (Ответ: Сх = х + у2.) 4.6. Записать уравнения кривых, обладающих следую- следующим свойством: точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. (Ответ: у = Сх2.) 4.7. Записать уравнения кривых, для которых сумма катетов треугольника, образованного касательной, пер- перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, рав- равная а. (Ответ: ±х = С -\- a In у — у @ <Су < а).) > 4.8. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/3 абсциссы точки касания. (Ответ: У = Сх\) 4.9. Записать уравнения кривых, обладающих следую- следующим свойством: длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равна 21. (Ответ: х = С-\-1\пA± 4.10. Зйписать уравнение кривой, проходящей через точку АB, 4) и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания. (Ответ: y = 2-\j3x/-\Jx2— 1.) 4.11. Записать уравнение кривой, проходящей через точку ЛA, 5) и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой каса- касательной, равна утроенной абсциссе точки касания. (Ответ: у = Зх In x + Ьх.) 4.12. Записать уравнение кривой, проходящей через точку /4A, 2) и обладающей следующим свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касатель- касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэф- Коэффициент пропорциональности равен 3. (Ответ: у3 = 8*.) 4.13. Записать уравнение кривой, проходящей через точку АB, —1), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональ- пропорциональности равен 6. (Ответ: у = е6х~12.)
4.14. Записать уравнение кривой, проходящей через точку ЛA, 2), если известно, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке и суммы координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. (Ответ: у = 2(у — xf.) 4.15. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А@, *—2), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен утроенной ординате этой точки. (Ответ: у= —2е3х.) 4.16. Записать уравнение кривой, обладающей следую- следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания: (Ответ: у2 = Сх— х2.)- 4.17. Записать уравнение кривой, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо ее точке в п раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту точку с началом координат. (Ответ: у=±Схп.) 4.18. Записать уравнение кривой, обладающей следую- следующим свойством: отрезок касательной к кривой, заклю- заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. (Ответ: ху = С.) 4.19. Записать уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведен- проведенной в какой-либо точке кривой, раана расстоянию от этой точки до начала координат. (Ответ: у =—(Сх2 — 4.20. Записать уравнение кривой, для которой произве- произведение абсциссы какой-либо ее точки и длины отрезка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси Оу, равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат. (Ответ: vx2 -(- у2 = Сх4.) 4.21. Записать уравнение кривой, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной и радиу- радиусом-вектором точки касания, является равнобедренным. (Ответ: *Ч- у2 = Су, у2 = С2- 2Сх, ху = С.) 4.22. Записать уравнение кривой, проходящей через точку АB, 0) и обладающую следующим свойством: отрезок касательной между точкой касания и осью Оу имеет постоянную длину, равную 2. (Ответ: ±у = 2 — V4— *2 v 4.23. Записать уравнение кривой, все касательные к 332
которой проходят через начало координат. (Ответ: у = Сх.) 4.24. Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. (Ответ: у = С/х+1.) 4.25. Записать уравнение кривой, обладающей следую- следующим свойством: если через любую ее точку провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой на две части, причем площадь одной из них вдвое больше площади другой. (Ответ: у=Сх2.) 4.26. Записать уравнение кривой, если касательная к ней отсекает на оси Оу отрезок, равный по длине —-й сумме координат точки касания. (Ответ: у== П ) 4.27. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого нормалью в точке М(х, у) на оси Ох, равна у2/х. (Ответ: у = лгу 2 In (С/х)) 4.28. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого касательной на оси Оу, равна квадрату абсциссы точки касания. (Ответ: у = Сх — х2.) 4.29. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка отсекаемого нормалью в точке М(х, у) на оси Оу равна х2/у. (Ответ: С = х2/Bу2) + In у.) 4.30. В точке с ординатой 2 кривая наклонена к оси Оу под углом 45°. Любая ее касательная отсекает на оси абсцисс отрезок, равный по длине квадрату ординаты точки касания. Записать уравнение данной кривой. (Ответ: х = (Ъ-у)у) \ Решение типового варианта 1. Найти частное решение линейного однородного диф- дифференциального уравнения yIV - у =0, У(О)= 5, t/'@) = 3, у"@) = у"'@) = 0, > Составляем характеристическое уравнение и ре- решаем его: Я4-1 =0, (К2— 1)(А,2+1) = 0, Я, = — 1, Л.2 = 1, А.3,4 = ±/. Общее решение исходного уравнения имеет вид у = Схе~х + С2ех + Сз cos х + С4 sin x. 333
Находим у' = — de~x + Cie* — Съ sin x + С4 cos Jt, у" = Cie~* + С2е* — Сг cos a: — С4 sin х, у'" = — Ci*?-* + С2ех + С3 sin х — С4 cos лт. Используя начальные условия, составляем систему для определения значений С\, С2, Сз, С4 и решаем ее: , + 2 + 4 , С, + С2 - Сз = О, откуда С, = 1/2, С2 = 2, С3 = 5/2, С4 = 3/2. Частное решение исходного уравнения имеет вид 2. Решить систему дифференциальных уравнений х? = -, 1х + у, х = x(t), х' = dx/dt,\ у'=-2х-Ъу, у = y{t), у' = dy/dt } двумя способами: а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка; б) с помощью характери- характеристического уравнения. > а) Дифференцируем первое уравнение данной системы. Получаем: х" =—7х'-\-у'. Затем заменяем в последнем уравнении у' его выражением из второго урав- уравнения данной системы: х" = —7х' — 2х — Ъу. В последнем уравнении у заменяем выражением у = х' + 7х, найденным из первого уравнения системы. В итоге приходим к дифференциальному уравнению второго порядка относи- относительно неизвестной функции x(t): х" = —7х' — 2х — 5(х' + 7х), х" + 12л:' + 37* = 0. Решаем последнее уравнение известным методом (см. § 11.7): .2 ±У — 37= —6±i, х = е-ы(С\ cos t + С2 sin О- Отсюда находим х" = -6e-6'(Ct cos t + С2 sin t) + e~6'(- С, sin t + + C2 cos t.) 334
Подставляя полученные выражения для х и х' в у = х' + + 7х, имеем у= —6е-6'(С, cos t + C2 sin t) + e-6'( — C\ smt + + C2 cos t) + 7e~6t(Ci cos t + C2 sin t). Следовательно, искомым решением являются функции: х = e-6l(Ci cos t + C2 sin t), у = e~6'(Ci (cos t — sin t) + C2(cos t + sin t))\ б) Составляем характеристическое уравнение и ре- решаем его: — 1-Х 1 -2 -5 — Я, =0, G + + =0, Я,1д=—6±i. Для Xi = —6 + г получаем систему (ср. с примером 2 из § 11.7): -0P=o,1 — 2a ( — 5 + 6 -2a + A-0 Полагая a= 1, p = 1 +/, находим первое частное ре- решение исходного уравнения: Для %2 = — 6 — i имеем систему () р -2а + (l+i)p = Полагая а = 1 и р = 1 — i, получаем второе частное реше- решение исходного уравнения: Переходим к новой фундаментальной системе решений по формулам: *,=(*,+ Х2) /2, ?2 = (*! — Х2) I B0, У\ = (t/i + У*)/2' У2 = (У1 — Уг)/B0- Используя формулу Эйлера е(«± W = e-'(cos p^ ± i Sin fit), 335
находим: Х\ = е~ы cos t, X2 = e~6' sin t, г/i = e~6'(cos t — sin t), y2 = e~6'(cos t + sin t). Общее решение исходной системы имеет вид х = Cixi + С2х2, у = Сху\ + С2г/2, т. е. х = e~6/(Ci cos t + Сг sin 0, у = e-6'(Ci (cos ^ — sin t) + C2(cos t + sin 0)- 3. Решить дифференциальное уравнение e* - 1 методом вариации произвольных постоянных. > Решаем соответствующее однородное уравнение: у" — у = о, X2 — 1 = 0, h = -1', Х2 = 1. Общим решением однородного уравнения будет Считаем, что С\ и Съ — функции от х, т. е. Определяем С\(х) и С2{х) из системы (см. систему A1.39)) C'i {x)y\ + С 2 (x)y2 = f (x),) которая для данного уравнения имеет вид - С\ (х)е-х + Се2(х)ех= 2ех/(ех - 1). Находим из нее Ciix), С\{х), а затем и Сг(*), С\{х): 2С'2{х)ех-«-К- С',(х\— —С'->(х\е2х = — е /(ех — I) 336
r (r\ — Следовательно, согласно формуле A1.38), общее ре- решение исходного уравнения имеет вид = С\е~* + С2ех + ех 1п е'~\ \ех-\\ 1. 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку РA, 2) и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиусом-вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2. У 2 и \ Р ¦ Щу1 ' В А х Рис. 11.4 *¦ Как видно из рис. 11.4, \ОА\ = \ОВ\ + \АВ\ = \АВ\. Из треугольника ВМА получаем: di = ctg(*-a)=-ctga, \ВА\ =-у ctg a, dx y =0,5 \ОА\ \МВ\=2. 337
. Подставляя в последнее равенство выражения для | ОА | и \МВ\, приходим к дифференциальному уравнению dx _x_ dy У т. е. получили уравнение первого порядка, линейное относительно функции х = х(у). Решаем его с помощью подстановки х = uv. Имеем: А. У2 ^-±=0, *L=dy fdv=(dy ,п ,0|=1п |у| dy У v у ' J v ) у ' 1Э" Искомая кривая проходит через точку Р(\, 2), поэтому 1^2С+1, С = 0. Следовательно, ее уравнение х = 2/у или ху = 2, т. е. данная кривая — гипербола. •< 11.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 11 1. Ускорение локомотива прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда т. На- Начальная скорость локомотива уо, сила тяги F = b — kv, где v — скорость; b, k — постоянные величины. Найти силу тяги локомотива по истечении времени t, если в начальный момент времени при < = 0 F = Fo = b — kvQ. (Ответ: F = Foe-kt/m.) 2. Стальная проволока длиной / и площадью попереч- поперечного сечения S растягивается с силой, значение которой постоянно возрастает до Р. Найти работу силы растяже- растяжения, если удлинение проволоки определяется по формуле А/ = kylo, где k — коэффициент удлинения; /0 — перво- первоначальная длина проволоки. (Ответ: А = -^,Р 3. Моторная лодка движется по озеру со скоростью vo = 20 км/ч. Через 40 с после выключения ее мотора 338
скорость лодки уменьшается до v\ — 8 км/ч. Определить скорость лодки через 2 мин после выключения мотора. (Сила сопротивления воды движению лодки пропор- пропорциональна ее скорости.) {Ответ: 1,28 км/ч.) 4. Наполненный водой цилиндрический сосуд высотой Н и площадью дна S\ имеет в дне отверстие пло- площадью S2. Определить время полного истечения воды через отверстие. (Скорость истечения определяется по формуле v =~\/2gft, где h — высота слоя воды в данный момент; g— ускорение свободного падения.) ( Ответ: 8 5. Концы каната цепного моста находятся на вы- высоте Н = 5 м, а его середина — на высоте h = 4 м от проезжей части моста. Длина моста 2/ = 20 пг. Найти кривую провисания каната. (Ответ: у — 4 = х2/100.) 6. В куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Определить возраст горной породы, если известно, что период полураспада урана составляет 4,5 • 109 лет и при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. (Считать, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных продуктов распада урана и свинца, который распадается гораздо быстрее.) (Ответ: 975 • 106 лет.) 7. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива — пг, скорость истечения продуктов горения из ракеты — с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, прене- пренебрегая силой ее тяжести и сопротивлением воздуха. (Ответ: с \п(М/ш).) 8. С высоты 18 м над уровнем Земли брошено верти- вертикально вверх тело со скоростью 30 м/с. Найти высоту, на которой тело находится в момент времени /, как функ- функцию времени. Определить наибольшую высоту подъема тела. ( Ответ: S = h = — i- gt2 + 30< + 18, Лнаиб = 63,9 м.) 9. Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Температура тела в течение 20 мин снижается от 100 до 60 °С. Температура воздуха равна 20 °С. Определить вре- время, за которое температура тела понизится до 25 °С. (Ответ: 1 ч 20 мин.)
ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Контрольная работа «Неопределенные интегралы» B часа) Найти неопределенные интегралы. 1. J 2х • 32xdx. 1.3. J -\/sin x cos5 xdx. 1.15. \x2-2xdx. J r2 -v/r2 4- 1.19. Jsin 5x cos xdx. „ f sin 5x 1.21. \ — j J 1 + cos2 5* 123 dx. ¦•«•$ dx A + x2) (arctg * - 3) „s sin xdx ,.4. f x + (arccos3xJ^ '•6-Srr? flf-C. 1.10. -dx. 1.18. 1.20. 1.22. 1.26. J -dx. x3 — 2-е2 + 2. 3-2 ctg2 -c COS2*A 340
1.27. J e4* - 5 1.29. J (л- + 2) In л-ол:. 2.1. ) arcsin xdx. 8л:— 11 dx. + 3)(x-2) 1.28. ,.3o. 2.2. \x\n(x2 +\)dx. 2.4. I.}**3..**. Зл:2 + 2л: 2.6. 2.8. V arcsln*^. Jl+x -dx. x2 + Vl + -йл:. Зл:-1 2.14. [ 2.16. [ 4/- Se2* йл:. e*-l б(л:. + 2л: -f 2 2.22. х + 2 =dx. д/4л-2 - 4л- + 3 2.24. $ (л-2 + 3) cos xdx. 2.26. \ —— 2.28. ' + 6л- - л:2 2.30. Ъ — х — х' 2л-+1 + 6л: - Зл:2 341
x+l -dx. 3.3. 3.5. 3.7. 3.9. 3.11. 3.13. 3.15. 3.17. 3.19. 3.21. 3.23. Зое 3.27. -л:4 x3e*'dx. 4л:2— 12л:+ 3 dx 4л:3 — х \-2х dx. /1 - 4л:2 Зл:-7 ' + х2 + 4х + 4. -dx. 2jc2 + 2л: + 3 J -\^ - 2jc -dx. + 3 =dx.. 5 - л:2 x + 3 -dx. 4.2. 342
4.3. 4.5. 9 —л:4' Зх-1 х2 — 6х+ 10" -dx. •7- Ьз+*2 4 4.9, 4 4.13. 4 + 2x + 2 dx. 3 sin x + 4 cos x ,11. t f 3 5x2 - л: + 2 3*~7 з x3 + x2 + 4x + 4 dx. — X , _ f sin3 .15. \ 3 J COS 4.17. L f. ¦ J 5 — 4 sm д: 4.19. /За: +1 — 1 dx 4—16' 4.23. \ -—^- 34sir dx \ sin х + 3 cos x -f- 5' 4.25. \ ,_ ~*,rfs. 4.27. 4 .29. \ dx 4.4. 4.6. х3 + 4х — х2 — 4' dx - S: 2л:2+1 2х2 + 2х 4.10. \ х2 cos %xdx. х— 1 л: — arctg 2л: йл:. .14. { J 1 + 4л:2 16 f 4.12. 4 4 4.18. \ х2 ¦ bsl2dx. 4.20. \\[x~2\nxdx. 4.22. f rf' dx. .24.J 4 4.26. 4.28. 4.30. 2л:2 + 2л: + 5 X2 — 2х+\ dx. 5.1. 5.3 M 5.5. COS л: 1 + sin л: 1 - 2л:2 + 2л: 2* 5.2. 5.4. J cos Зл: cos xdx. 5.6. 343
5.19. 5A — sm2xfdx. J V4-. 5.18. Jsin «sin Zxdx. 5.20. 5.22. 5.24. 5.26. 5.28. 5.30. л:2) arcsin x -dx. 4-16 dx > — 3 cos x ' X ~ ' At. /2л: -1 A О -dx. 6.11. J sin 2л: cos bxdx. г —2 ^^ J 6.2. 6.4. 6.6. 6.8. ¦$ sin3 x cos2 A-dx. 6.10. 6 344
x+l 6.21. \ J" V dx. J COS X 6.23. \(x+\)exdx. 6.25. 5A +sin4A:)dA:. dx '27' J 6 6.29. 3 + 5sin dx dx. ¦ 2x3 + 2x2 ' 6.20. \ sin 5л: cos 3xdx. 6.20. \ sir fi 99 -dx. 6.24. J sin2 л: cos4 xdx. S\fx dx. 6.30. (—^ J 2 sin л: — 2. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения» B часа) Решить данные дифференциальные уравнения. 1.1. .2. .3. .5. .6. .7. .8. .9. .11. .13. .15. .17. .19. .21. .23. .24, .25. .27. .29. y'-y/x-l/(sm(y/x)) = 0. xdy — ydx = ~\jx2 -\- y2dx. x2y' =xy+ y2. 1.4. xdy = (xf — 2y)dx. y' + 3y/x — 2/x3 = 0. x2dy + y2dx = Цх2 — y2)dx. y' = 4 + y/x + (y/xJ. (x2 + y2)dx-xydy = 0. xy1 — у = x cos x. y' + 2xy = 2xy3.2 jn/' — у = х tg (//) i/' -f у tg л: = 1/cos л:. xi/ = у + хе9/". л: In (x/y)dy — yd* = 0. (хуе"« -\-y2)dx = x2ex/ydy. х2у' = 2xi/ + 3. (х2 — \)i/— ху = хг — х. ' 3 42 1.10. (/'-—(/ = *. .12. х3у' + х2у + х + 1=0. .14. #' +2;п/= *<?-< .16. ху' -\- у = sin л:. .18. !/-у/х = е*". .20. i/ cos л: — 1/ sin л: = sin л:. .22. у' + ху = л:3. .26. Л(/ = (/ + У .28. у' — 2ху = хе .30. (/' — (/ = е*
2.1. 2.3. 2.4. q С л.ь. 2.7. 2.9. 2.10. 2.12. 2.14 2.15 2. 7 2.19. 2.21. 2.23. у' cos2 л: + у = tg *. In cos ydx + x tg </d</ = 0. J/' = tg x ¦ tg y. ^ y' = 2'-'. 3e" tg ydx = A + e") sec2 </ , i/i/A + e» = 0. . {x + y)dx + xdy = 0. . X COS —(i/dx -f- л:^!/) = л:2 .y'+J/{x+X) + x2 = 0. x2 , xy' — у — xy. . x + у = xy'. . y'x + y=-xy\ 2 2.2. t/ 2.5. i/'( 2.8. A - 2.11. y' 2.13. 1 sin — dx. X 2.16. у ¦ ¦ У 2.20. (л 2.22. У 2.24. х\ + i/ cos д: = cos x. :os л: In у = i/. f e2')y2dy = e'dx. ' + у = e" sin л:. + A +(/')«* = 0. 2dx = {xy — x2)dy. + x2 + \ x2+\' ¦2-2y2)dx + 2xydy = 0 , , 3 2 л: *3' /1п-? = х + у1п-?. 2.25. y2 + x2y' = xyy1. 2.26. y = y'\x\ y. 2.27. {x? - *W + y2 + xy2 = 0. 2.28. 3e" tg ydx = A — e*) sec2 </d</. 2.29. A + y2)dx — -^crfi/ = 0. 2.30. x + xy + y'{y + xy) = 0. 3 3.1. y" cos2 л: = 1. 3.2. у" tgy = 2(y'J. 3.3. (/"* In x = y'. 3.4. A + x2)y" = 3. 3.5. y" + 2i/(i/'K = 0. 3.6. y" + y' tg x = sin 3.7. y" = 4 cos 2x. 3.8. i/i/" + i//2 = 0. 3.9. x3y" + x2t/ = 1. 3.10. *V" = 6. 3.11. y'" sin4 x = sin 2x. 3.12. yy" +l=y'\ 3.13. x2y'" = y"\ 3.14. i/'2 + 2i/i/" = 0. 3.15. (/" = 2i/t/'. 3.16. 2xyfy" = i/'2 — 1. 3.17. 2да" = 1 + i/'!. 3.18. y = y''+\. 3.19. xi/" — y' = x2e". 3.20. x2y" + y'2 = 0. 3.21. x(i/' + 1) + y' = 0. 3.22. xy" = y1 + x2. 3.23. y" + —y' = 0. 3.24. x2y" = 4. 3.26. i/V — 3 = 0. 3.28. 1 + </'" + да" = 0. 3.30. y" = 2 — y. 4.1. i/" — 5i/' + %y = x, i/@) = 0, i/'@) = 1. 4.2. 1y" — 8y' + by = 5 cos x, y(Q) = 0, </'@) = - 1/13. 346
4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18. 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28, 4.29 4.30 у" + 6i/ + Щ = 26л: - 1, 1/@) = 0, i/@) = 1. 2у"-у' = 1 + х, 1/@) = 0, у'@) = 1. у" - 4i/ = 2 - х. 1/@) = 11/2, у'{Щ = 1/4. у"-у = cos 2х, 1/@) = - 1 /5, у'@) = 1. у" - 2i/ + by = 5х2 -4х + 2, i/@) = 0, у'@) = 2. «" + 3i/ - Юу = хе'2", i/@) = 0, 1/@) = О- ^" _ 2i/ = <?*(х2 + х - 3), 1/@) = 2, у' @) = 2. 1/" — 4i/ + 4i/ = sin x, i/@) == 0, у' @) = 0. 1/" - 3i/ + 2i/ = -е*, 1/@) = 1, /@) = 0. у" + у = cos Зх, у(я/2) = 4, (/(я/2) = 1. » гх @I '@) 2 уу у _ 4(/ У" +.4у у» _ 2i/ 2y" + t/ 1/' - 4i/ 4 У" + by' У" + У = у" — у = у"-у = у" - 6у' У" + 4у У" - 4у' У" - Зу' У" - Зу' У" + 2i/' У" + У = = Zxe~\ i/@) = 0, i/@) = 0. = sinx, i/@) = 0, i/@) = 0. + 2j/ = 2x, i/@) = 0, i/'@) = 0. -у = 2ех, i/@) = 0, i/@) =1. + 3# = е5*, 1/@) = 3, i/@) = 9. + 8i/'= Зх2 + 2х + 1, 1/F) = 17/64, 1/@) = 0. --хе", 1/@) = 0,5, i/@) = •¦ = 2A-х), i/@) = 0, i/'@)=l. = 9хе2х, 1/@) = 0, i/@)= -5- + 9i/ = e4 i/@)= 1,1/'@) = 0. = е~2х, i/@) = 0, 1/@) = 0. +.5у = хе2*, i/@) = — 1, у'@) = 0. — 4i/ = 17 sin х, 1/@) = 4, у'@) = 0. + 2у = ел'C - 4х), 1/@) = 0, у'@) = 0. + у = 9е2' + х, i/@)= 1, «/(О) = 2. = sin 2x, i/@) = 0, i/'@) = 0. 5.1. у" + 4у' + 4у = 5.2. i/" + 3i/' + 2i/= 5.3. 1/" + 4i/ = . о . " ^ " sin 2x 5.5. у" + 5у'+6у = у~ 5.7. 1/" — у = sh х. 5.9. у" — 4у' + 5г/ = ——. " cos х 5.10. у" + 4i/ = cos3 x. 5.11. i/" — 6i/'+ 9i/= 5.12. y" + 2i/ + i/ = 5.13. i/" + i/' = tgx. 5.15. y" —y = 5.17. i/" + у = 5.19. i/" — у' =- 5.4. 1 д/cos 2x 5.6. i/" + 4y = ctg 2x. 5.8. i/" — 3y' + 2y = 2'. 9x2 + 6x + 2 x3Cx-2) + ех 347
5.21. у" ¦ 5.23. у" +у = l = ~- 5.22. у" -2xf +y = /7f ¦¦¦ J4 - х2 2 + cos3 х 5.24. у" + у = tg2 х. 5.25. y"- 5.26. y" + 1+e* 5.27. y" -2y'+y =- 5.29. (/" + </ = ctg x. 5.28. /'+# = COSJ X 5.30. i/" + 4i/' + 4y = e~2* In x.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Учебники и учебные пособия 1. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа.— М.: Наука, 1969.— 736 с. 2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное н интеграль- интегральное исчисление.— М.: Наука, 1988.— 432 с. 3. Бугров Я. С., Никольский СМ. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— М.: Наука, 1989.— 464 с. 4. Долгов Н. М. Высшая математика.— Киев: Вища шк., 1988.— 416 с. 5. Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.: Выш. шк., 1984.—1988.—Ч. 2.—1985.—221 с; Ч. 3.—1985.—208 с. 6. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 т.— М.: Наука, 1981.—Т. 1.—543 с. 7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч.—М.: Наука, 1971 —1973.—Ч. 1.— 1971.—600 с; Ч. 2.— 1973.— 448 с. 8. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Высш. шк., 1983.— 128 с. 9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т.— М.: Высш. шк., 1988.—Т. 1.—712 с; Т. 2 — 576 с. 10. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисле- исчисления: В 2 т.—М.: Наука, 1967.—1970.—Т. 1.—1967.—7Q4 с; Т. 2.— 1970.— 671 с. 11. Пискунов Н. С. Дифференциальное н интегральное исчисления: В 2 т.— М.: Наука, 1985.— Т. 1.— 432 с; Т. 2.— 576 с. 12. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1980.— 350 с. Сборники задач и упражнений 13. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического ана- анализа.—М.: Наука, 1985.—446 с. 14. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я- Высшая матема- математика в упражнениях н задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с. 15. Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математи- математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с. 16. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефнменко и др.; Под ред. Б. П. Демндовнча.—М.: Наука, 1978.—380 с. 17. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978.—288 с. 349
18. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.—М.: Высш. шк., 1983.— 176 с. 19. Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической стати- статистике.— Мн.: Выш. шк., 1976.— 456 с. 20. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с. 21. Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарниа, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с. 22. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа: В 2 ч./В. А. Болгов, Б. П. Демидо- вич, В. А. Ефимеико и др.; Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демндовнча.— М.: Наука, 1981.—Ч. 2.—368 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Методические рекомендации 5 7. Комплексные числа и действия над ними 7.1. Основные понятия. Операции над комплексными числами 9 7.2. Дополнительные задачи к гл. 7 13 8. Неопределенный интеграл 8.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл ... 14 8.2. Непосредственное интегрирование функций 17 8.3. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 20 8.4. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) ... 24 8.5. Интегрирование по частям 28 8.6. Интегрирование рациональных функций 30 8.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций . . 36 8.8. Интегрирование тригонометрических выражений .... 40 8.9. Индивидуальные домашние задания к гл. 8 43 8.10. Дополнительные задачи к гл. 8 136 9. Определенный интеграл 9.1. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов 137 9.2. Несобственные интегралы 143 9.3. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии 149 9.4. Приложение определенных интегралов к решению физи- физических задач 159 9.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 9 164 9.6. Дополнительные задачи к гл. 9 206 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 10.1. Понятие функции нескольких переменных. Частные про- производные 208 10.2. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных н неявных функций 212 10.3. Частные производные высших порядков. Касательная плос- плоскость и нормаль к поверхности 216 10.4. Экстремум функции двух переменных 219 10.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 10 . . . . 222 10.6. Дополнительные задачи к гл. 10 . 240 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения 11.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод изоклин ... 243 351
11.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися пере- переменными. Однородные уравнения . 247 11.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли ........ 252 11.4. Уравнения в полных дифференциалах 256 11.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допу- допускающие понижение порядка 259 11.6. Линейные дифференциальные уравнения второго н высших порядков 264 11.7. Системы дифференциальных уравнений 278 11.8. Индивидуальные домашние задания к гл. 11 290 11.9. Дополнительные задачи к гл. 11 338; Приложения .340 Рекомендуемая литература 349 Учебное издание Рябушко Антон Петрович, Бархатов Виктор Владимирович, Державец Вера Владимировна, Юруть Иван Ефимович СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ В трех частях Часть 2 Заведующей редмшйеймЛ. Д. Духвалое. Редактвр М- ?¦ Молчанова. Младший редактор В. М. Кушилевич. Художник переплета и..худ$мкест- вениый редактор Ю. С. Сергачев. Технический редактор М. Н. Кисля- кова. Корректор В. П. Шкредова . ИБ № 2892 Сдано в набор 05.10.89. Подписано в печать 21.12.90. Формат 84ХЮ8/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 18,48. Усл. кр.-отт. 18,48. Уч.-нзд. л. 23,77. Тираж 36 000 экз. Заказ 2960. Цена 1 р. 20 к. Издательство «Вышэйшая школа» Государст-венного комитета БССР по печати. 220048, Минск, проспект Машерова, П. Минский ордена Трудового Красного Знамени полнграфкомбинат МППО им. Я. Коласа. 220005, Минск, ул. Красная, 23.