/
Text
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
СПРАВОЧНИК
по
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ, С1 F-РРОТИПНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЙРА'1 УРЫ
МОСКВА 5977
517@83)
В 92
УДК 510 @83)
20203 - 002
В БЗ-77
053 @2)-77
ОГЛАВЛЕНИЕ
Что можнв найтИ в справочнике 15
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
S Т. Понятие о предмете аналитической геометрии 17
4 2. Координаты 18
§ 3. Прямоугольная система координат 18
§ 4. Прямоугольные координаты 19
§ 5. Координатные углы 20
| R. Косоугольная система координат 21
§ 7. Уравнение линии 21
$ 8. Взаимное расположение линии и i очки 22
5 9. Взаимное расположение двух линий 23
§ 10. Расстояние между двумя точками 23
§11. Деление отрезка в данном отношении 24
$ 11а. Деление отрезка пополам 25
5 12. Определитель второго порядка 25
jt 13. Площадь треугольника 25
§ 14. Прямая линия, уравнение, разрешенное относительно орди-
ординаты ((С угловым коэффициентов-) 2S
S 1 г>. Прямая, параллельная оси 28
§ 16. Общее уравнение прямой 29
§ 17, Лостроенир прямой по ее уравнению 30
§ 18. Условие параллельности прямых , 30
5 19. Пересечение прямых 32
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых 33
§21. Угол между двумя прямыми . 34
§ 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой 37
§ 23 Уравнение прямой, проходящей через две точки 37
S 24. Пучок прямых 39
§ 25 Уравнение пряч^й, проходящей через данную точку парал-
параллельно данной прямой 40
5 2R, Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпен-
перпендикулярно к данной прямой .,,...... 4'
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары точек 42
$ 2Я Расстояние от точки до прямой , 42
$ 20 Полярные параметры прямой 4°,
§ 30. Нормальное уравнение прямой 45
jj 31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду 46
§ 32. Отрезки на осях , 47
§ 33. Уравнение прямой в отрезках , 48
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса) 48
I 35. Перенос начала координат 49
5 36. Поворот осей 50
§ 37. Алгебраические линии и их порядок 52
§ 38. Окружность 53
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
5 39 Разыскание центра и радиуса окружности R4
§ 40 Эллипс как сжатая окружность 56
S 41 Другое определение эллипса 58
S 42. Построение эллипса по его осям 60
§ 43. Гипербола 61
§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси 63
§ 45 Построение гиперболы по ее осям 64
§ 46 Асимптоты гиперболы 64
§47 Сопряженные гиперболы 65
g 48 Парабола 66
§ 49 Построение параболы по данному параметру р 67
5 50. Парабола как график уравнения у = ах^+Ьх+с ., ... 67
g 51 Директрисы эллипса и гиперболы 70
$ 52 Общее определение эллипса, гиперболы и параболы 71
§ КЗ Конические сечения , 74
§ 54 Диаметры конического сечения 75
| 55. диаметры эллипса 76
g 56. Диаметры гиперболы ,,, 77
jj 57. Диаметры параболы ,.,, 79
§ 58. Линии второго порядка , 80
§ 59 Запись общего уравнения второй степени 81
§ 60. Упрошение уравнения второй степени общие замечания 82
5 61 Предварительное преобразование у равнения второй степени 82
§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени 85
§ 63. О приемах, облегчающих Упрощение уравнения второй сте-
степени ■ 91
§ 64. Признак распадения линий второго порядка • 02
§ 65. Разыскание прямых, составляющих распадающуюся линию
второго порядка .. . . 93
§ 66 Инварианты > равнения второй степени Об
§ 67. Три типа линий второго порядка ... чя
<5 68 Центральные и нецентральные линии второго порядка . . 101
§64 Разыскание центра централ! ной линии второго порядка .. Т02
§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка 103
§ 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения у и —,, 105
§ 72, равносторонняя гипербола как график уравнения у
§ 73 Полярные координаты , 10S
S 74 Связь между полярными координатами и прямоугольными ПО
g 75 Архимедова спираль , 113
§ 76 Полярное уравнение прямой ,, 114
§ 77. Пспяоное уравнение конического сечения 115
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 7S, Понятие о векторах и скалярах ,, 116
§ 79 Пектор в геометрии 116
§ 80 Векторная алгебра 117
$81 Коллинеарные векторы ., ... 117
5 82 Нуль-вектор 118
§ 83 Равенство векторов 118
? 84 Приведение векторов к общему началу 119
§ 85 Противоположные векторы 119,
g 86 Сложение векторов 119
Ц 87 Сумма нескольких векторов , 121
5 88. Вычитание векторов 122
5 S9. Умножение и деление вектора ^а число 123
ОГЛАШЕНИЕ 5
§ 90 Вэшмная связь ноллннсариих векторов Деление вп тора
нт ве <тор) . _ U4
§ 91 Проекция ючки на ось ' 124
9 92 Проекция вектора на ось 125
^ ЧЧ Основные теоремы о проекциях векюра 127
^ 04 ПрячоУГольп ш система коор (ино1 п простртнет tie 129
J» 9т Координаты точки .... . .... ., 110
§ 96 Координат! t Eei Topi , 13]
5 97 Выражения пеьтора черсч компоненты и через координаты П2
6 Q8 ДейС1ВИянчд векторами, зтпнннми споими координатами 132
§ ЧЭ Выражение вектор i череч радиь-сы Векторы его нач.ша и
конш ... . J33
^ 100 Длина вектора Расстояние л-ежду двумя точками ' 133
§ 101 Vron между oci да координат и вет тором 134
J) 102 Признак коллинеарности (м.фаллетьпостн) вечтпров C5
(, )C1J Деление отрезка в ланноч отношении , # C5
1, 104 Скалярное проил!едсни(. двух векторов ' I3fi
5 104а Физический смыст екчлярно! о проипиедспия . 147
5 105 Свойства скалярного произведения ' 138
^ Юб Скялярныл лроизасдения основных вецторов , J39
^ 107 Выражение скалярно! о произведения через коорлинагы
сомножителей . . 140
S 108 Условие перпещцтулярлести векторов '. ' . HI
g 100 Угот между векторъчи . '..'. 141
4^ 110 Пр шая и левая системы трех векторов *** 142
5 111 Векторное произведение Двух векторов . 144
5 112 Свойства векторного проп'гпедения ' . ]45
5 1И Векторные произведения основные пектор >в ' ]46
§ 114 Выражение пекторпого проичветеиия через коор ишатн
сомножителей ■ . 147
5 114 Компланарине векторы ... __ 14<э
^ 116 Смешанное гроизве ieHnc . ' ' j40
? 117 Свойства смишанного произведения 1г,о
5 118 Опретелитель третьего порядк.1 ]^\
§119 Выражение смешанного произве {ения череч коорлинагы
сомножителей ... . J54
S 120 Признак компланарности в коор!инатной форме ' 144
$ 121 Объем парателепипела . # ^д
5 122 Двойное векторное произведение , , 156
5 123 Уравнение глоскости . ,. ' 156
§ 124 Особые случаи положения плоскости относительно си-
системы координат .... . . # , , , 157
Ц 125 Услопие параллельности плоскостей I5R
5 126 Условие перпридикул? риоегч плоскостей ,. 154
$127 Угол чежду двумя плоскостями 159
§ 128 Плоъкость, проходтщя через данную точку парал1елыю
данной плоскости . 160
$ 129 ТНоскость рроходяппя через три точки . lfi()
? НО Отрезки hi осях .. . . ]61
S !Ч1 Уравнение плос! ос~и в отрезках . 1RI
g 132 Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно
к дтнной плоскости IG2
g 133 Плоскость прохояяппя череч дшпио точку герпен \h-
КУЛЯрНО К TRVM ПЛОСКОСТЯМ . . .... 163
? 1 "ЭД Точка Пересечения трех плоскостей \ 163
!j П5 Взаимное расположение плоскости и тары точек .... . . 165
4 Пб DiccTOflHHe от точки ч<> плоскости 16^
5 137 Полярные параметры плоскости . .... . 166
5 1Ч8 Нормальное уравнение плоскости . ., 167
§ 139 Приведение уравнения плоскости у нормальному вид> 163
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 140. Уравнения Прямой в пространстве ПО
§141. Условие, при котором два уравнения первой степени
представляют прямую , 171
в 142. Пересечение прямой с нлоскостью 172
5 143. Направляющий вектор , 174
§ 144. Углы между прямой и осями координат 175
§ 145. Угол между двумя прямыми 175
§ 146. Угол между прямой и плоскостью , 176
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой
и плоскости 177
§ 148. Пучок плоскостей 177
§ 14Э. Проекции прямой па координатные плоскости 179
§ 150. Симметричные уравнения прямой 180
§ 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду .., 182
§ 132. Параметрические уравнения прямой 183
6 153 ПересечениеплоскостиспрямоЙ.заданпойпарамстрнчески 184
& 151. Уравнения прямой, проходящей черел две данные точки . 1S5
S 135. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой " 185
$ 136- Уравнение прямой, проходящей 4epej данную точку пер-
перпендикулярно к данной плоскости 185
5 157. Уравнение плоскости, проходящей через д.чнпую точку и
данную прямую 18G
§ 158, Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и
параллельной двум данным прямым ,. 187
§ 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
и параллельной другой данной прямой 1S7
§ 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
и перпендикулярной к данной плоскости 188
§ 101, Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки
на данную прямую 1SS
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на
данную прямую 190
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат
в одной плоскости ., , 191
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным пря-
прямым , 192
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми 194
g 165а. Правые и левые пары прямых 195
g 166. Преобразование координат 197
§ 167. Уравнение поверхности 198
5 16S. Цилиндрические поверхности, у которых образующие па-
параллельны одной из осей координат 198
§ 164. Уравнения линии 200
§ 170. Проекция линии на координатную плоскость , 201
в 171. Алгебраические поверхности и их порядок 203
§ 172. Сфера 204
8 173. Эллипсоид 204
| 174. Однополостпый гиперболоид , 208
§ 175. Двуполостный гиперболоид .., , 210
6 176. Конус второго порядк.1 , 211
S 177. Эллиптический параболоиц , 213
§ 178. гиперболический параболоид 214
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка 216
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго по-
порядка 219
§ 181. Поверхности вращения 220
g 182. Определители второго и третьего порядка 221
§ 183. Определители высших порядков 224
jj.184. Свойства определителей 22«
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 185. Практический прием вычисления определителей 229
§ 186. Применение определителей к исследованию и решению си-
системы уравнений 231
J 187 Два уравнения с двумя неизвестными 232
§ 1MB. Два уравнении с гремя неизвестными 233
jj' 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными 233
t) 190. Три уравнения с тремя нейjbестиыми , 237
| 190а. Система и уравнений с п неизвестными 240
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§101. Сводные замечания ..•,.....• 243
^ 192. Рациональные числа 244
Й 193. Действительные (вещественные) числа 244
§ 194. Чистопая ось 246
§ 195. Переменные и постоянные величины 24б
S 196. Функция 247
§ 197. Способы задания функции , 249
S 198, Область определения функции 251
5 199. Промежуток , 253
f, 200. Классификация функций 254
§ 201, Основные элементарные функции 255
6 202. Обозначение функции 256
§ 203. Предел последовательности 257
% 204, Предел функции 259
& 205. Определение предела функции , 260
§ 206. Предел постоянной величины , 261
I 207. Бесконечно малая величина 2G1
$ 208. Бесконечно большая величина 262
tj 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
величинами , , 263
§ 210. Ограниченные величины 263
g 211. Расширение понятия предела 264
§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин 265
Й 213. Основные теоремы о пределах ..,.,....., 26S
§214. Число е 268
i
§ 215. Предел-Sllii при х-э- О 269
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины 269
g 217. Сравнение бесконечно мплых пеличип ,.. 271
§ 217а. Приращение переменной величины 273
§ 218. Непрерывность функции в точке 273
g 219. Спойства функций, непрерывных в точке , 274
g 219а.-Односторонний предел; скачок функции 275
jj 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке .... 276
§221, Свойства функций, непрерывных на замкнутом проме-
промежутке 276
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 222. Вводные замечания 279
§ 223, Скорость , 280
§ 224. Определение производной функции 281
§ 22.1 Касательная 282
g 226 Производные нскот орых простейших функций 284
I 227. Свойства производной 2S5
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 228. Дифференциал 2S5
g 229. Механическое истолкование дифференциал.i 287
g 230. Геометрическое истолкование дифференциал.! 287
g 231. Дифференцируемые функции 288
g 232. Дифференциалы некоторых простейших функций 290
| 233. Свойства дифференциала 291
§ 234. Инвариантность выражения /' (х) dx 291
!} 235. Выражение производной через дифференциалы 292
§ 236. Функция от функции (сложная функция) 293
S 237. Дифференциал сложной функции 293
§ 233. Производная сложной функции 294
§ 239. Дифференцирование произведения 295
§ 240. Дифференцирование частного (дроби) 296
§ 241, Обратная функция 297
§ 242. Натуральные логарифмы 298
| 243. Дифференцирование логарифмической функции 300
§ 244. Логарифмическое дифференцирование 301
g 245. Дифференцирование показательной функции 302
| 246. Дифференцирование тригонометрических функций 303
§ 247. Дифференцирование обратных ;ригонометрических
функций 304
§ 247а. Некоторые поучительные примеры 305
5 24<S. Дифференциал в приближенных вычислениях 307
§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул 309
§ 250. Дифференцирование неявних функций 311
£ 251. Параметрическое задание лиегии 313
5 252. Параметрическое задание функции 315
^ 253. Циклоида 310
§ 254. Уравнение касательной к плоской линии ЗГ8
§ 254а. Касательные к кривым второго порядка 319
Й 255. Уравнение нормали 320
g 256, Производные высших порядков 32 1
jj 257. Механический смысл второй производной 322
£ 258. Дифференциалы щлсших порядков 322
§ 259. Выражение высших прои^одных через дифференциалы . 325
8 2G0. Высшие производные от функций, заданных параметри-
параметрически ,, , 326
§201. Высшие производные неявных функций 326
§ 262. Правило Лейбница 328
$ 263. Теорема Ролл я 329
g 2R4. Теорема Лагранжа о среднем значении , 330
S 265. Формула конечных приращения 333
§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коша) 334
§ 267. Раскрытие неопределенностей вида -— 33G
§ 268. Раскрытие неопределенности вида ~ 339
§ 269. Неопределенные выражения других видов 340
§ 270- Исторические сведения о формуле Тейлора 342
S 271. Формула Тейлора 346
§ 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений
функции 348
§ 273. Возрастание и Убывание функции 356
§ 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке . .., 357
g 274а. Признаки возрастания и убывания функции в проме-
промежутке 358
g 27j. Максимум и минимум , 359
§ 276. Необходимое условие максимума и минимума 360
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
j 277. Первое лопаточное условие максимума и минимума .... 3SI
5 278. Правило разыскания максимумов и минимумов 362
: 279. Второе- достаточное условие максимума и минимума 365
} 280. Раллсклпис наибольших и наименьших значений функции 368
| 281. Выпуклость гпшских Кривых, точка перегиба 374
} 282. Сторон.1 погнутости 375
5 283. Правило для разыскания i очек перегиба 376
| 284. Асимптоты „ 377
| 28Г». Отыскание .кимнгот, параллелышх коордипатым осям 378
| 286. Разыскание асимптот, не параллельных оси ординат .... 380
| 287. Приемы not трос ния графики» 383
; 288 Решение уравнений Общие .имечапия 386
| 289 Решение уравнений. Способ хорд 388
, 290. Решение уравнений Способ касательпнх 390
; 241. Комбинированны!! метод хорд и касательных 392
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
i 292, Вводные замечании 395
г 293. Первообразная функция 397
■ 291 Неопределенный интеграл 39S
29Г> Геометрическое истолкование интегрирования 400
290. Вычисление постоянной интегрирования по начальным
данным 403
297- Свойства неопределенного интеграла 404
248. Таблица интегралов 4О.т
299. Непосредственное интегрирование 407
300. Способ подстановки (интегриронапиа через вспомогатель-
вспомогательную переменную) 40S
301. Интегрирование по частям 412
302. Интегрирование некоторых тригонометрических выра-
выражений 415
303. Т рнгонометрические подилповкп 418
304. Рациональные функции 420
304а Исключение лд'лой члеш 420
305 О приемах интегрирования рациональных лробей ....... 421
306. Интегрирование простейших рациональных дробей 422
307. Интегрирование рациональных (Ьункцнй (общий метод) . . 426
: 308, О р.иложениц миги очлепа на множители 433
309. Об ичтегрирусмоа и в элементарных фу нкииях 434
310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов 435
311. Интеграл от биномиального дифференциала 436
312. Интегралы пила Г Л (х, Ya\Z-\ fee-FT) dx 438
313. Интегралы вида R (ыи х, cos x) iix 440
314 Определенный интеграл 441
315. Свойства определенного интеграла 445
316. Геометричс( кое истолкование определенного интеграла . . 447
3 I 7. Механическое истолкоп„ние определенного интеграла . . . 448
318 Оценка определенного интеграла 450
318а Неравенство Пуннкоиского 451
310. 1 сорг ма о cpf'jniejn интеграл:.hoi о исчисления 451
320 Определенный интеграл как ф^ннция верхнего предела . . 453
321. Дифференциал интеграла , 455
322. Интегрлл дифференциала. Формула Ныотопа—Лейбница 457
323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопре-
неопределенного ,, ,, , 459
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 324. Определенное интегрирование по чистим 461
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле 462
§ 326. О несобственных интегралах 466
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами 467
§ 328. Интеграл от функции, цмеюшсй разрыв 472
§ 329. О приближенном вычислении интеграла 475
§ 330. Формулы прямоугольников 478
§ 331. Формула трапеций 480
§ 332. Формуле Симпсона (параболических трапеций) 481
§333. Плошали фигур, отнесенных к прямоугольным координатам 483
§ 334. Схема применения определенного интеграла , 485
§ 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам . .. 487
§ 336. Объем тела но поперечным сечениям 489
§ 337. Объем тела вращения 490
§ 338. Длина дуги плоской линии 491
§ 339. Дифференциал дуги 493
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал и полярных координатах 494
§ 341. Площадь поверхности вращения 496
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ
342. Кривизна 498
343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии 499
344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плос-
плоской линии 500
345. Эполюта плоской линии " 504
346. Свойства эволют:.! плоской линии . . 505
347. Развертка (эвольвента) плоский линии 506
348. Параметрическое аадание пространственной линии 507
349. Винтовая линия 509
350. Длина дуги пространственной линии . 510
351. Касательная к пространственной линии 511
352. Нормальная плоскость 513
353. Вектор-функция скалярного аргумента 514
354. Предел вектор-функции 515
355. Производная вектор-функция 516
356. Дифференциал вектор-функции '. 517
357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции 518
358. Соприкасающаяся плоскость 520
359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник , , . 522
360. Взаимное расположение линии и плоскости 523
361. Основные векторы сопутствующего трехгранника 024
362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии . 525
363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны про-
пространственной линии 526
364. О знаке кривизны , 528
365. Кручение 529
РЯДЫ
366. Вводные замечания .' 532
367. Определение ряда , 532
368. Сходящиеся и расходящиеся ряды 533
369. Необходимое условие сходимости ряда , 535
370. Остаток ряда ,.,.,,,,.,.,,,,., i.. • 11, (, t ■ i., ■. ■. 537
ОГЛАВЛЕНИЕ 11
§ 371. Простейшие действия над рядами 5 39
§ 372. Положительные рлды 540
§ 373. Сравнение положительных рядов 541
§ 374. Признак Даламбера для положительного ряда 543
§ 375. Интегральный признак сходимости 545
§ 376. Знакопеременный ряд. Пцизнак Лейбница 547
§ 377. Абсолютная и условная сходимость 548
§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда 550
§ 379. Перестановка членои ряда , 550
§ 380. Группировка членов ряда 551
§ 381. Умножение рядои 553
§ 382. Деление рядов 556
§ 383. Функциональный ряд 557
§ 384. Область сходимости функционального ряда , 558
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости 560
§ 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости 562
§ 387. Геометрическое истолкование равномерной и неравномер-
неравномерной сходимости 563
g 3SS. Признак равномерной сходимости; правильные ряды .... 564
й 389. Непрерывность суммы ряда 5У5
Й 390. Интегрирование рядов 56И
S 391. Дифференцированно рядои 570
S 392. Степенной ряд .571
§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда 572
§ 394. Разыскание радиуса сходимости 573
§ 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням
х—х0 575
§ 396. Теорема Абеля 576
§ 397. Действия со степенными рядами 576
5 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда 579
S 399. Ряд Тейлора 581
§ 400. Разложение функции в степенной ряд 582
§ 401. Разложение элементарных функций и степенные ряды , .. 585
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов 589
§ 403. Гиперболические функции , 591
§ 404. Обратные гиперболические функции 594
§ 405. Происхождение наименонаннй гиперболических функций 596
§ 406. О комплексных числах 597
§ 407. Комплексная функция действителыюго'аргумента 598
S 408. Производная комплексной функции 600
§ 409. Возведение положительного числа в комплексную сте-
степень 601
§ 410. Формула Эйлера . 602
§411, Тригонометрический ряд 603
§ 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах .... 604
§ 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx .'. 605
S 414. Формулы Эйлера—Фурье 607
$ 415, Ряд Фурье 609
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции 610
S 417. Ряд Фурье дня четной и нечетной функции 614
§ 418, Ряд Фурье для разрывной функции 61S
дифференцированней интегрирование функций
нескольких аргументов
§ 419. Функция двух аргументов .,.., 622
§ 420. Функция трех и большего числа аргументов 623
§ 421, Способы задания функций нескольких аргументов 624
12 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 422. Предел функции нескольких аргументов 627
§ 423. О порядке малости функции нескольких аргументов .... 628
§ 424, Непрерывность функции нескольких аргументов 630
5 425. Часшие производные 631
§ 426. Геометрическое истолкование частнмх производных для
случая дйух аргументов 632
§ 427, Полное и частное приращение 632
8 428. Частный дифференциал . .. , (Ш
§ 429. О выражении частной производной через дифферен-
дифференциал 634
§ 430. Полный дифференциал 635
§ 431. Геометрическое истолкование полного дифференциала
(случай двух аргументов) 636
§ 432. Инвариантность выражения i'xdx-\-j'dy+f'tdz полного
дифференциала 637
§ 433. Техника дифференцирования , 63S
§ 434. Дифференцируемые функции 639
§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 640
S 436. Уравнение касательной плоскости 641
§ 437. Уравнения нормали 642
§ 438. Дифференцирование сложной функции 64;i
{? 439. Замена прямоугольных координат полярными 644
S 440. Формулы для производных сложной функции 644
S 441. Полная производная 645
§ 442. Дифференцирование неяиной функции нескольких пере-
переменных 646
§ 443. Частные производные инших порядков 649
§ 444. Полные Дифференциалы высших порядков 651
S 445. Техника повторного дифференцирования 653
§ 446. Условное обозначение дифференциалов 653
§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов 654
§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких
аргументов 6Л0
g 449. Правило разыскания экстремума 657
§ 450. Достаточные условия окстрему.ча (случай двух аргумен-
аргументов) 659
§ 451. Днойной интеграл 660
§ 452. Геометрическое истолкование двойного интеграла ...... 661
§ 453. Свойства двойного интеграла 662
§ 4Г>4. Оценка лпойноГо интеграла В61.5
§ 455. Вычисление двоЯно''о интеграла (простейший случай). , . . 663
§ 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) 667
S 457. Функция точки 670
§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные коорди-
координаты 1O1
§ 459. Площадь куска поперяностн 67">
I 460. Тройной интеграл E77
§ 4С1. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) , . . 678
§ 462. Вычисяение'тройпого интеграла (общий случай) 679
§ 463. Цилиндрические координаты 68]
§ 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические ко-
координаты 681
§ 465. Сферические координаты .'. 682
§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические коор-
координаты 682
§ 467. Схема применения двойного и тройного интеграла 684
§ 468. Момент инерции ." 685
§ 469. Выражение некоторых, физических и геометрических вели-
величин через двойные нптстралм 687
ОГЛАВЛЕНИЕ 13
470. Выражение некоторых физических и геометрических вели-
величин через тройные интегралы 689
471. Криволинейный интеграл 691
412. Механический смысл криволинейного интеграла 693
473. Вычисление криволинейного интеграла ВОЗ
474. Формула Грина , 695
475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зави-
зависит от пути 696
476. Другая форма условия Предыдущего параграфа .,..;.. 698
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
477. Основные понятия 701
478. Уравнение первого порядка 703
479. Геометрическое истолкование уравнения первого порядка 703
480. Изоклины 70G
481. Частное и общее решение уравнения первого порядка ... 707
482. Уравнения и разделенными переменными 708
483. Разделение переменных. Особое решение 710
4S4. Уравнение в полных дифференциалах 711
484а. Инте'грирующий множитель 712
485. Однородное уравнение 713
486. Линейное уравнение первого порядка 715
487. Уравнение Клеро ~' 8
488. Огибающая 719
489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений 721
490. Приближенное интегрирование уравнений первого поряд-
порядка по метолу Эйлера ■ 721
491. Ингегриропание дифференциальных уравнений с помощью
рядов 723
492. О составлении дифференциальных уравнений 725
493. Уравнение нторого порядка 729
494. Уравнение л-го порядка 731
495. Случаи понижения порядка 732
496. Линейное урапнение второго порядка 733
497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами 735
498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами без правой iiiiCTn '3G
498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 739
499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами с праной частью 740
500. Линейные уравнения любого порядка 746
501. Метод вариации постоянных ■ ?48
502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы 749
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
503. Строфоида . , 751
504. Циссоида Диокла 753
505. Декартов лист ' 755
506. Верзьера Лньези .. 758
507. Конхоида Никомеда ' 760
508. Улитка Паскаля; кардиоида 765
Н ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 509. Линия Кассини , , 770
§ 510. Лемниската Бернулли .,., , 776
§ 511. Архимедова спираль 777
§ 512. Эвольвента (развертка) круга 781
§513. Логарифмическая спираль 784
§ 514. Циклоиды 791
§ 515, Эпициклоиды и гипоциклоиды 805
§ 516. Трактриса ,...., 822
§ 517. Цепная линия ,., , 829
ТАБЛИЦЫ
I, Натуральные логарифмы 834
Л. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к деся-
десятичным S38
Ш, Таблица для перехода- от десятичных логарифмов к нату-
натуральным • ,,,....... 83S
IV. Показательная функция сх 839
V. Таблица неопределенных интегралов 841
Алфавитный Указатель , , , 852
ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
Эта кншй составляет продолжение Справочника по эле-
элементарной математике того же автора и включает весь мате-
материал, входящий в программу основного курса математики
высших технических Учебных заведений (механико-маши-
(механико-машиностроительных, строительных, авиационных, транспорт-
транспортных, электротехнических, энергетических и горнометал-
лургических).
Книга имеет двоякое назначение.
Во-первых, она дает фактическую справку: что такое
векторное произведение, как ьайтн поверхность тела вра-
вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд
и т. п. Соответствующие определения, теоремы, правила и
формулы, сопровождаемые примерами и практическими
указаниями, находятся быстро; этой цели служат детальная
рубрикация и подробный алфавитный указатель.
Во-вторых, книга предназначена для систематического
чтения. Она не претендует на роль учебника, и потому
доказательства проводятся здесь полностью лишь в исклю-
исключительных случаях. Однако она может служить пособием
для первого ознакомления с предметом. С этой целью
здесь подробно разъясняются основные понятия, как-то:
понятие скалярного произведения {§ 104), предела (§§ 203-
206), дифференциала (§§ 228 - 235), бесконечного ряда
(§§ 270, 366 — 370). С этол же целью все правила иллюстри-
иллюстрируются большим числом примеров, которые составляют в
этой книге органическую ее часть (см. §§ 50 — 62, 134, 149,
264-266, 369, 422, 498 и др.). Они уясняют, как надо при-
применять правила, когда правило теряет силу, каких ошибок
надо избегать (§§ 290, 339, 340, 379 и др.).
Теоремы и правила сопровождаются также различного
рода пояснениями". Иногда имеется в виду наглядно вы-
выявить содержание теоремы, чтобы учащийся мог по-настоя-
по-настоящему1 усвоить доказательство. Иногда пояснение сопрово-
сопровождает частный пример и содержит такое рассуждение.
16 ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
которое явится полным доказательством теоремы, если его
применить к общему случаю (см, §§ 148, 149, 369, 374).
Иногда пояснение ограничивается указанием тех парагра-
параграфов, на которых основывается доказательство. Мелким
шрифтом выделен тот материал, который можно опустить
при первом чтении, что вовсе не всегда означает его мало-
маловажность.
Сознательное усвоение математических идей чрезвычайно
облегчается при ознакомлении с обстоятельствами их за-
зарождения и развития. Вот почему большое внимание уде-
уделено здесь историческим сведениям. Так, §§ 270, 366 в
связи с §§ 271, 383, 399, 400, надеюсь, позволят уяснить
теорию ряда Тейлора лучше, чем при обычном формаль-
формальном изложении. Наряду с историческими сведениями даны
биографические справки об ученых, имена которых связаны
с излагаемым материалом.
Других методических особенностей, книги нет смысла
касаться: учащийся будет судить о них по степени доход-
доходчивости, преподавателю же достаточно указания на ряд
характерных параграфов: 28,60 - 62,92,184-190,203 - 200,
228-234, 237, 258-260, 271, 343-347, 430-438, 459.
Настоящее издание печатается без существенных
изменений по сравнению с предыдущим изданием.
Исправлены лишь замеченные опечатки.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрии
В школьной (элементарной) геометрии изучаются свой-
свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль
играют построения, вычисления же, хотя практическое зна-
значение их и велико, в теории играют подчиненную роль.
Выбор того или иного построения обычно требует изо-
изобретательности. Это и составляет главную трудность при
решении задач методами элементарной геометрии.
Аналитическая геометрия возникла из потребности
создать единообразные средства для решения
геометрических задач с тем, чтобы применить их к изуче-
изучению важных для практики кривых линий различной
формы.
Эта цель была достигнута созданием координатного
метода (см. ниже §§ 2-4). В нем ведущую роль играют
вычисления, построения же имеют вспомогательное значе-
значение. Вследствие этого решение задач методом аналитиче-
аналитической геометрии требует гораздо меньшей изобретатель-
изобретательности.
Создание координатного метода било подготовлено
трудами древнегреческих математиков, в особенности
Аполлония .C — 2 в. до и. э.). Систематическое развитие
координатный метод получил в первой половине 17 века
в работах Ферма1) и Декарта2), Они, однако,
]) П ь е р Ф е р м а A601 -1655)-знаменитый французский мате-
математик, один цз предшестпенников Ньютона и Лейбница в разработке
дифференциального нечисления; внес большой вклад и теорию чисел.
Большинство раПст Ферма (в том лисле по аналитической геометрии)
не публиковалось при жизни автора.
!) Репе Дек эрг A536 — i6fiO)-знаменитый французский фило-
философ и математик. Опубликование его «Геометрии» (одно из приложе-
приложений к философскому трактату «Рассуждение о методе») в 1637 г. счита-
считается (условно) fl;iToft рождения аналитической геометрии.
2 М. ft, Выгодский
18 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
рассматривали только плоские линии. К систематическому
изучению пространственных линии и поверхностей коорди-
координатный метод был применен впервые Л. Эйлером1).
§ 2. Координаты
Координатами точки называются такие величины, кото-
которые определяют положение этой точки (в пространстве, на
плоской пли на кривой поверхности, на прямой или кри-
, вон линии). Так, если, например, точ-
0 м ка Л! должна лежать где-иибудь иа
—. ' '—J" прямой линии Х'Х (черт. 1), то ее
положение можно определить одним
Черт, i числом, например, следующим обра-
образом: выбрав на Х'Х какую-либо иа-
чалыгую точку О, измерим отрезок ОМ, скажем, в сантимет-
сантиметрах. Мы получим число х, положительное или отрицатель-
отрицательное, смотря по тому, куда направлен отрезок ОМ (вправо
или влево, если прямая горизонтальна). Число х есть ко-
координата точки М,
Значение координаты х зависит от выбора начальной
точки О, от выбора положительного направления на пря-
прямой и от того, какой отрезок принят за единицу масштаба.
§ 3. Прямоугольная система координат
Положение точки на плоскости определяется двумя
координатами. Простейший способ таков.
Проводятся дн^заимно перпендикулярные прямые Х'Х,
Y'Y (черт. 2). (ЯИ называются осями координат. Одна
из них Х'Х (обычно ее проводят горизонтально) назы-
называется осью абсцисс, другая Y'Y - осью ординат. Точка О
их пересечения называется началом координат, или,
короче, началом. Для измерения отрезков иа осях коорди-
координат выбирается некоторая единица масштаба, произволь-
произвольная, но одна и та же для обеих осей.
На каждой оси выбирается положительное иаправлсиис
(обозначаемое стрелкой). На черт. 2 луч ОХ даст аоло-
жительное направление на оси абсцисс, а луч OY — на
оси ординат.
*)Леонард Эйлер A707-1783) родился в Швейцарии.
В 1727 г. прибыл в Россию; работал сначала в качестве адъюнкта
(научного сотцудника) Петербургской академии наук, «затем (с 1733 г.)
в качестве ее академика. Написал свыше 800 работ. Во всех физико-
математических науках сделал важнейшие открытия. Много содейство-
содействовал развитию русской науки.
4. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
19
Принято выбирать положительные направления так,
чтобы (черт. 3) положительный луч ОХ после поворота
на 90° против часовой стрелки совмещался с положитель-
положительным лучом ОУ
Черт. 2.
f
Черт. 3.
Оси координат Х'Х, У' У (с установленными положи-
положительными направлениями н выбранным масштабом) обра-
образуют прямоугольную систему координат.
§ 4, Прямоугольные координаты
Положение точки М иа плоскости в прямоугольной
системе координат (§ 3) определяется следующим образом.
Проводим МРЦУ'У до пересечения с осью Х'Х в точке р
(черт. 4) и MQNX'X до пере-
пересечения с осью У' х в точке Q, Чис-
Числа х и у, измеряющие отрезки
ОР и OQ в избранном масштабе
(а иногда и сами эти отрезки),
называются прямоугольными
координатами (короче, коор-
координатами) точки М. Эти числа
берем положительными или от-
отрицательными в зависимости от
направления отрезков OP, OQ.
Число х называется абсциссой точ-
точки М, число у-ее ординатой.
На черт. 4 точка М имеет абсциссу з:=2и ординату
у = 3 (при единице масштаба 0,4 ел). Это записывается
так: М B; 3). Вообще запись М (а; Ь) означает, что точка М
имеет абсциссу
х — а
и ординату
X'
Г
Черт. 4.
2*
20 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примеры. Отмеченные на черт. 5 точки регистри-
регистрируются так; ЛД+2; +4), А,{~2; -1-4), Л3(+-2; -4),
А (-2; -4), Вг{ + 5;0), Вй@;~~6), О @; 0).
Замечание. Координаты данной точки М будут
иными в иной прямоугольной системе координат.
5
Г
Черт. 5.
ft
Ш
Черт. б.
§ 5. Координатные углы
Четыре Угла, образованные осями координат, носят
название координатных углов. Они нумеруются, как
показано на черт, 6. Следующая таблица показывает,
какие знаки имеют координаты точки в различных коор-
координатных углах:
~—-~—^Координатные
Ко ординатьг1^^^
Абсцисса
Ордината
I
+
+
II
-
+
III
-
IV
+
-
На черт. 5 точка Д лежит в первом координатном
углу, точка Л2-во втором, точка Aj~B третьем и точка
А3 — в четвертом.
Если точка лежит на оси абсцисс (например, точка Вх
на черт, 5), то ее ордината у равна нулю. Если точка
лежит на оси ординат (например, точка В2 на черт. 5), то
ее абсцисса равна нулю.
S 7. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§ 6. Косоугольная система координат
21
ж'
г1/
Кроме прямоугольном системы координат, употребля-
употребляются и другие системы. Косоугольная система (она наиболее
сходна с прямоугольной) строится так: проводятся (черт. 7)
дпе иеперпенднкулярпые прямые Х'Х
и У У (оси координат) и дальше по-
поступают так же, как при построении
прямоугольной системы (§ 3). Коор-
Координаты х - ОР (абсцисса) и у ^- РМ
(ордината) определяются так же, как
объяснено и § 4.
Прямоугольная и косоугольная
системы объединяются под назва-
названием декартовой системы коор-
координат.
Наряду с декартовой применяются и другие системы
координат (наиболее Употребительна полярная система;
см. § 73).
§ 7. Уравнение линии
Рассмотрим уравнение х + у — 3, связывающее абсцис-
абсциссу х и ординату у. Ему удовлетворяет множество пар
значений х, у, например, х = 1 и у - 2, х ~ 2 и у = 1,
х=Зиу = 0,х^4иу= -1 и т. д. Каждой паре коор-
координат (о данной системе координат) соответствует одна
Черт. 7.
JC
\
0
Y
\
\
Д,
a,
\
~x P
/
/s
/
/
Y
/
U
r
I
/
Черт, в..
точка (§ 4). На черт. 8, а изображены точки А, A; 2),
Аг B; 1), А3{3; О), А4 D; ~1). Они лежат на одной пря-
прямой UV. На той же прямой лежит всякая другая точка,
координаты которой удовлетворяют уравнению х+у = 3.
Обратно, у любой точки, лежащей на прямой UV, коор-
координаты х, у удовлетворяют уравнению х+у = 3.
22 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Сообразно с этим говорят: уравнение х-}-у = 3 есть
уравнение прямой линии UV. Говорят также: уравнение
х+у = 3 представляет прямую UV. В аналогичном
смысле надо понимать вы-
выражения: «уравнение пря-
й5Т(^ )
1
\
/
\
/
к-
К.
I
У
,'
Y
i
-^
/
й
s
\
/
X
Черт. 9.
у = 2х», уравнение х2+у2 =
= 49 представляет окруж-
окружность (черт. 9), радиус кото-
которой содержит 7 масштабных
единиц, а центр совмещается
с началом координат
(см. § 38).
Вообще уравнение, свя-
связывающее координаты х, у,
называется уравнением ли-
линии L, если соблюдены два
условия*. 1) коорди)шты х, у
всякой точки М линии L
удовлетворяют этому урав-
уравнению, 2) координаты х, у всякой точки, не лежащей
на линии L, не удовлетворяют зтому уравнению.
Координаты точки М, взятой иа линии L произвольным
образом, называют текущими к оординатами, так как линия/-
может быть образована перемещением («течением»)точки М.
Пусть Ми М%, М3,„. (черт. 10) --последовательные положения
точки М на линии L, Построим ряд перпендикуляров Л1,Р,, AJaPSl
МЯР*1 ■•■ к оси ОХ. Получим идущие друг
за другом отрезки Р^Ми РгМ~, Р^М^... На
оси ОХ отсекш^кя при этом отрезки ОР,,
ОР%> ОР3,... С^Лудут абсциссами. С этим
связано происхождение терминов «абсцисса»
и «ордината». Латинское слоло «абсцисса»
(abscissa) в переводе означает «отсеченная»;
слово «ордината» есть сокращение термина
*ординатим дукта» (ordinatim ducta), что оз-
означает «подряд проведенная».
Представляя каждую точку плоскости ее
координатами, а каждую линию-уравне-
Черт, 10.
иием, связывающим текущие координаты, мы сводим геометричес-
геометрическую задачу к «аналитической» (т. е. вычислительной). Отсюда наз-
название «аналитическил геометрия.*
§ 8. Взаимное расположение линии и точки
Чтобы ответить на вопрос, лежит ли точка М на неко-
некоторой линии L, достаточно знать координаты точки М и
уравнение линии L. Если координаты точки М удовлетво-
удовлетворяют уравнению линии L, то М лежит на L; в противном
случае ие лежит.
§ 10. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ 23
При м е р. Лежит ли точка М E; 5) на окружности
х* + у* = 49 (§ 7)?
Р е ш е п и с. Подставим значения х =- 5, у = 5 в уравне-
уравнение х-+у2 = 49. Так как уравнение ие удовлетворяется,
то точка М не лежит на рассматриваемой окружности.
§ 9, Взаимное расположение двух линий
Чтобы очистить иа вопрос, есть ли у двух линий общие
точки и если да, то сколько, достаточно знать уравнении
зтих линий. Если уравнения совместны, ю общие точки
есть, в противном случае их нет. Число общих точек равно
числу решений системы уравнений.
Пример 1. Прямая линия х + у = 3 (§ 7) и окруж-
окружность гЧу* - 49 имеют две общие точки, ибо система
х + у = 3, Xs + у» = 49
имеет два решения:
y - з+Узд _ fi ™ з-УШ _ ,, 99
3
Пример 2, Прямая линия x-i-y = 3 н окружность
х2+у2 = 4 не имеют общих точек, так как система
x-i-y = 3, х2 + ys - 4
ис имеет решений (действительных).
§ 10. Расстояние между двумя точками
Расстояние d между точками А1(х1; yj и Аг{х«\ ув)
выражается формулой
Пример. Расстояние между точками М{-2,Ъ; 4,0)
и N (8,5; 0,7) составляет
d = ^(875 + 2,3)» + @,7"^4F - /10,8а + зЖ^ 1 ЬЗ
(масштабных единиц).
Замечание 1. Порядок точек М и N не играет
роли; можно N считать первой, а М-второй.
Замечание 2. Расстояние d считается положитель-
положительным; поэтому в формуле A) корень берется с одним знв-
ком (плюс).
24 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 11. Деление отрезка в данном отношении
Даны точки A(*i> Ур. Az(xi> b) (чеРт- И)- Требуется
найти координаты х, у точки К.,
У ^й; делящей отрезок А, А. в отношении
0)
Решение дается формулами
х - т"*1-
Черт. П.
тгу,
1^ (
Если отношение /7^ : тг ооозначить буквой X, то фор-
формулы A) примут несимметричный вид
П-римср 1. Даны точка В F;-4) и точка О, совпа-
совпадающая с началом координат. Найти точку К, делящую ВО
в отношении 2 : 3-
Решение. В формулы A) ладо подставить:
тг = 2, тг = 3, Xi = б, у, -- -A, xs = 0, yt = О.
Получае^М
х = 4т = 3,6, у = -~ = - 2,4.
Это — координаты искомой точки К.
Замечание 1. Выражение «точка К делит отре-
отрезок А. А; в отношении тх: т.2о означает, что отношение
т, : тг равно отношению отрезков AtK. : KA2, взятых
именно в этом (а не- в обратном) порядке, В примере 1
точка /<C,6; -2,4) делит отрезок ВО в отношении 2:3,
а отрезок Ой -в отношении 3 : 2.
Замечание 2. Пусть точка К делит отрезок Л,А2
внешним образом, т. е. лежит на продолжении отрезка
А А; тогда формулы A) и B) сохраняют силу, если вели-
величине т,: пи -= X приписать отрицательный знак.
Пример 2. Даны точки АО; 2) " Л C; 3). Найги
на продолжении отрезка АХА2 точку, отстоящую от А
вдвое дальше, чем от А.
\
f 13. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
25
Р е in е и и е. Имеем "X = т,: пи = -2 (так что можно
положить т, = -2, т., = 1 или т1 -2, тг ^- -1). По
формулам A) находим;
х =
-2+1
= 5, y =
-2 + 1
- = 4.
§ 11a. Деление отрезка пополам
Координаты середины отрезка АХА.Л равны полусуммам
соответственных координат его концов:
х -=
Эти формулы получаются из формул A) и B) § 11, если
положить т, = т,, = 1 или \ - 1.
§ 12. Определитель второго порядка >)
а Ь
Запись
с d
Примеры.
обозначает то же, что ad-be.
2 7
3 5
3 -4
6 2
а Ь
с d
= 2-5-3-7 = -11;
- 3-2-6-(-4) - 30.
[
называется определителем второго
Выражение
порядка.
§ 13. Площадь треугольника
Пусть точки А1 (х,; у}), Ая(х,; у2), А,(х3; у3) - вер-
вершины треугольника, тогда его площадь выражается *~
мул ой
в правой части стоит определигель второго порядка (§ 12).
Площадь треуюльника мы считаем положительной. По-
Поэтому перед определителем Gepcw знак плюс, если значе-
значение определителя положительно, и минус, если оно отри-
отрицательно.
Подробнее об определителях см. §§ 182—185.
26
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами
АA;3), Б B; -5) и С (-8; 4).
Решение. Принимая А за пероую вершину, В за
вторую, С за третью, находим:
3-4
-*з Уь-Уа
-5-4
71.
-|lO Ze[- -81
В формуле A) надо взять знак минус; получаем:
S= -~(-7l) *= 35,5.
Если же счшать первой вершиной А, второй С и
третьей В, то
= 71.
1-2 3+5 - 1 8
-8-2 4+5 ^ -10 9
В формуле A) теперь нужно взять знак плюс; получим
снова S = 35,5.
Замечание. Если вершина А, совпадает с началом
координат, то площадь треугольника представляется фор-
формулой
B)
2
(частный случай формулы A) при х3 = Уа — 0).
§ 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное
относительно ординаты («с угловым коэффициентом»)
Всякую прямую, не параллельную оси ординат, можно
представить уравнением вида
у = ах+ Ъ; A)
здесь а есть тангенс угла а (черт. 12), образованного
прямой с положительным направлением оси абсциссJ)
э) Начальным лучом угла а считается луч ОХ. На прямой SS'
можно взятьлюбой из лучей l,S, LS'. Угол Xl^S считается положите it-
ным, если попорот, совмещающий луи LX с лучом LS, совершается и
том же направлении, что поворот на 90° olh ОХ, совмещающий ее с
осью ОУ (т. е. при обычном расположении — против часовой стрелки).
g 14. ПРЯМАЯ; УРАВНЕНИЕ СУГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 27
(а = tg а ~ tg ^ XLS), а число & по абсолютному значению
равно длине отрезка ОК, отсекаемого прямой на осн
ординат; число Ь положительно или отрицательно в зави-
зависимости от направления отрезка ОК- Если прямая прохо-
проходит через начало, то Ь = О.
Величину а называют угловым коэффициентом, вели-
величину Ь —начальной ординатой.
Пример 1. Написать уравнение прямой (черт. 13),
образующей с осью ОХ угол а — —45° и отсекающей на-
начальную ординату Ь = — 3.
Решение. Угловой коэффициент а — tg (- 45°) = -1.
Искомое уравнение есть у = ~х~3.
v ■* -
1 1 3
Черт. 12.
Черт. 13,
Пример 2. Какую линию представляет уравнение
Зх - ^3 >■?
Решение. Разрешив уравнение относительному, на-
находим, у = f3x. По угловому_ коэффициенту а = УЗ най-
найдем угол а: так как tg а = 1^3, то а = 60° (или а = 240").
Начальная ордината b ~ 0; поэтому данное уравнение
представляет прямую UV (черт. 14), проходящую через
начало и образующую с осью ОХ угол 60° (или 240°).
Замечание 1. В отличие от дрУ1 нх видов уравнения
прямой (си. ниже §§ 30, 33) уравнение A) называется
разрешенным относительно ординаты или уравнением
с угловым коэффициентом1).
*) Первое название предпочтительно, так как уравнение вида
х = ay-t-b' (разрешенное относительно абсциссы) тоже представляет
прямую (не параллельную осн абсцисс); так как координаты х, у равно-
равноправны, то число а' можно было бы назвать угловым коэффициентом
с тем же правом, что и число а.
28 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замечание 2, Прямую, параллельную оси ординат,
нельзя представить уравнением, разрешенным относи-
относительно ординаты. Ср. § 15.
§ 15. Прямая, параллельная оси
Прямая, параллельная оси абсцисс (черт. 15), предста-
представляется уравнением1)
у = ъ, A)
где величина Ъ по абсолютному значению
равна расстоянию от оси абсцисс до
прямой. Если Ъ > 0, то прямая лежит
«над» осью абсцисс (см. черт. 15); если
Ь ■< О, — то «под» ней. Сама ось абсцисс
представляется уравнением.
у =* 0. Aа)
Прямая, параллельная оси ординат (черт. 16), пред-
представляется уравнениемг)
х = /. B)
Абсолютное значение / дает расстояние от оси ординат
до прямой. Если / =- О, прямая лежит «справа» от оси
.
ь
0
Y
X
Черт. 15.
черт. J6.
Черт. 17.
Черт. 18.
ординат (см. черт. 16); если / -с 0, - «слева» от нее. Сама
ось ординат представляется уравнением
х = 0. Bа)
Пример 1. Написать уравнение прямой, отсекающей
начальную ординату Ь ^ 3 н параллельной л"
(черт. 17).
О т в е т. v = 3.
оси ОХ
') Уравнение A) есть частный вид урявнения у^ах + Ь, разре-
разрешенного относительно ординаты (§ И). Угловой коэффициент о=0.
*) Уравнение B) есть частный вид уравнения х=а'у+Ь', разре-
разрешенного относительно абсциссы (см. § 14, сноска). Угловой коэффи-
коэффициент а' = 0.
5 16. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ 29
Пример 2. Какую линию представляет уравнение
Зх+5 = О?
Решение. Разрешая данное уравнение относи-
относительно х, получаем, х = ~ ~. Уравнение представляет
прямую, параллельную оси OY н лежащую «слева» от нее
на расстоянии ~ (черт. 18). Величину / = --^ можно
назвать «начальной абсциссой».
§ 16. Общее уравнение прямой
Уравнение
Ах+Ву+С = О A)
(где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы ко-
коэффициенты А, В ие были нулями оба сразу *)) предста-
представляет прямую линию (ср. §§ 14, 15). Всякую прямую можно
представить уравнением этого вида. Поэтому его назы-
называют общим уравнением прямой.
Если А = О, т, е. уравнение A) не содержит ,г, то оно
представляет прямую, параллельную 2) оси ОХ (§ 15).
Если В = 0, т. е, уравнение A) не содержит у, то оно
представляет прямую, параллельную 2) оси OY.
Когда В не равно нулю, уравнение A) можно разре-
разрешить относительно ординаты у; тогда оио преобразуется
к виду
у=ах+б(где а= -™, *--£)• B)
Так, уравнение 2х-4у+5 = О (А = 2, В = -4, С = 5)
преобразуется к виду
у = 0,5х+1,25
^а _ _^__. _- од b = -^4- = 1>2б), разрешенному относи-
относительно ординаты (начальная ордината Ь = 1,25, угловой
коэффициент а = 0,5, так что a =s 2бс34'; см. § 14).
1) При А=В=0 получается либо тождество 0=0 (если С=»0),
либо бессмыслица вроде 5 =0 (при С ^0).
*) К прямым, параллельным оси ОХ, причисляется и сама эта ось.
Точно так же к прямым, параллельным оси ОУ, причисляется сама
ось О У.
30 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналогично, при А * 0 уравнение A) можно разре-
разрешить относительно х.
Если С = 0, т. е. уравнение A)не содержит свободного
члена, то оно представляет прямую, проходящую через
начало (§ 8). ,
§ 17. Построение прямой по ее уравнению
Для построения прямой достаточно отметить две ее
точки. Например, можно взять точки пересечения с осями
(если прямая ие параллельна нн одной оси и ис проходит
через начало; в случае, когда пря-
прямая параллельна одной из осей
или проходит через начало, мы
имеем только одну точку пересе-
пересечения). Для большей точности
лучше найти еще одну-две кон-
контрольные точки.
Пример. Построить прямую
Ах + Зу = 1. Положив у = 0, най-
найдем (черт. 19) точку пересечения
прямой с осью абсцисс: aJ—; о).
Положив х = 0, найдем точку
пересечения с осью ординат:
Черт. 19, ^(°'з")- ^ТИ точки СЛИШКОМ
близки друг к другу. Поэтому
дадим абсциссе еще два значения, например х = -3
и х= +3. Найдем точки Д,(-3; I3n * /п U
водим прямую AiAlA3Ai.
, ААC; -~). Про-
Про§ 18. Условие параллельности прямых
Условием параллельности двух прямых, заданных Урав-
Уравнениями
y=alx+b1, A)
у = агх+Ь21 B)
служит равенство угловых коэффициентов
C)
§ 18. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ 31
т. е. прямые A) и B) параллельны, если угловые коэффи-
коэффициенты равны, и не параллельны, если угловые коэффици-
коэффициенты ие равны1).
Пример 1, Прямые у = Зх-5 и у — Зх+4 парал-
параллельны, так как у ннх угловые коэффициенты равны
(ах ^ аг « 3).
Пример 2. Прямые у — Зх-5 и у = 6х-8 ие па-
пааллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны
=*г,а2т= 6).
Пример 3. Прямые 2у = Зх-5 и 4у = 6х-8 парал-
параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны
(«j «"j» «г = -4: = -г)"
Замечание 1. Если уравнение одной из двух пря-
прямых ие содержит ординаты (т. е, прямая параллельна оси
О У), то эта прямая параллельна другой прямой при условии,
что уравнение последней также ие содержит у, Напри-
Например, прямые 2х+ 3 — О и х = 5 параллельны, а прямые
х-3 = О и х—у ~ О не параллельны.
Замечание 2. Если две прямые представлены урав-
уравнениями
/ U
то условие их параллельности есть
A\Bt-AtBk^ 0 E)
или в другом обозначении (§ 12)
А
= о.
Пример 4. Прямые
2х-7у+12 = О
И
Х-3,5у+10 = О
I) Две совпадаюшие прямые здесь, как и всюду в дальнейшем, счи-
считаются параллельными.
32 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
параллельны, так как
Ах
В2
2 -7
1 -3,5
= 2.(-3,5)-1.(-7)«0.
П р и м е р 5. Прямые
2x-7y+12 = О
и
Зх+2у-6 - о
ие параллельны, так как
2 ~7 = 25 * О,
3 2
ЗамечанисЗ, Равенство E) можно записать в виде
т. е. условием параллельности прямых D) является про"
порциональношь коэффициентов при текущих коорди"
патах1). Ср. примеры 4 и 5, Если сверх того н свободные
члены пропорциональны, т. е. если
& - Ё1 - £i /7\
At Щ С%> w
то прямые D) ис только параллельны, но н совпадают.
Так, уравнения
ЗлН-2у-6 s о
и
6х+4у-12 = О
представляют одну и ту же прямую,
§ 19. Пересечение прямых
Для разыскания точки пересечения прямых
О
(О
B)
') Может оказаться, что одна из величин Ай, Б2 (но не обе вместе;
см. § 1E) равна нулю. Тогда пропорцию (С) нужно понимать в том смыс-
смысле, что соотоетс!пугощий числитель тоже равен нулю. Тот же смысл
имеет пропорция GJ при С2 5=0.
f SO. УСлбВИЁ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ 33
надо решить систему уравнений A) и B). Эта система,
как правило, даст единственное решение, н мы получим
искомую точку (§ 9). Исключение возможно лишь при ра-
равенстве отношений - ^ и •£-, т. е. в случае параллельно-
сти данных1 прямых (см. § 18, замечания 2 и 3).
Замечание. Если данные прямые параллельны и не
совпадают, то система A)-B) не имеет решений, а если
совпадают, то решений бесконечно много.
Пример 1. Папти точки пересечения прямых
у = 2х~3 и у = -Зх+2. Решая систему уравнений, на-
находим х= 1, у= -1. Прямые пересекаются в точке
A; -1).
П р и м е р 2. Прямые
2х-7у+12= 0, х-3,5у+10 = О
параллельны н не совпадают, так как отношения 2; 1 и
(-7): (-3,5) равны между собой, ни не равны отноше-
отношению J2 : 10 (ср. пример 4 § 18). Дайнам система уравнений
не имеет решения.
Пример 3. Прямые Зхч-2у-6 = 0, 6х + 4у-12 = 0
совпадают, так как отношения 3:6, 2:4 н (-6); (-12)
равны друг другу. Второе уравнение получается из пер-
первого умножением на 2, Данная система имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений.
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых
Условием перпендикулярности двух прямых, заданных
уравнениями
у « axx-Ybly A)
у = агх+Ь2, B)
служит соотношение
-1, C)
т. с. две прямые перпендикулярны, если произведение нх
угловых коэффициентов равно - 1, и не перпендикулярны.
если оно не равно — 1.
3 М. Я- Выгодский
34 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 1. Прямые у = Зх и у = --% х перпендику-
перпендикулярны, так как ахал - 3-(- у) = -1
П р и м е р 2. Прямые у = Зх и у ~ у х не перпендику-
перпендикулярны, так как'сод = 3-~ = 1.
Замечание 1. Если уравнение одной из двух пря-
прямых ис содержит ординаты (т. ,е. прямая параллельна
осн OY), то эта прямая перпендикулярна к другой прямой
при условии, что уравнение последней не содержит абсцис-
абсциссы (тогда вторая прямая параллельна осн абсцисс). В про-
противном случаепрямые не перпендикулярны. Например, пря-
прямые х=5иЗу + 2 = 0 перпендикулярны, а прямые х = 5
и у — 2х не перпендикулярны.
Замечание 2. Если две прямые представлены урав-
уравнениями
Агх+ Bjy + Ct - 0, А2х+ Bty+C* = О, D)
то условие их перпендикулярности есть
Л1А2+В1В3 = 0. E)
Пример 3. Прямые 2х+5у = 8 и 5х-2у = 3 пер-
перпендикулярны; действительно, здесь Лх = 2, Л2 « 5, Вх = 5,
В2 ~ ~2, значит, A1A2+B1BZ = 10- 10 = О.
Пример 4. Прямые ~ х—^ у = 0 и 2х~-3у = 0 не
перпендикулярны, так как здесь АуА^В^о » 2.
§ 21. Угол между двумя прямыми
Пусть две неперпенднкулярные прямые Lu h% (взятые
в данном порядке) представляются уравнениями
A)
у = o3x-f bz. B)
Тогда формула')
1) О применимости ее в случае, когда прямые £д, £а перпендику-
перпендикулярны, см. нижб замечание 1,
§ 21. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
35
дает угол, на который надо повернуть первую прямую,
чтобы она стала параллельной второй.
Пример 1. Найти угол между прямыми у = 2х-3 и
у = -Зх + 2(черт. 20).
Здесь ах -1,az~ -3. По формуле C) находим;
в
отсюда 6 = +45°. Это значит, что прямая у =* 2#-3
(АВ на черт. 20), повернутая на угол +45° около точки
пересечения МA; -1) Данных пря-
прямых (пример 1 § 19), совместится с
прямойу = -3x+2(CD на черт. 20),
Можно взять также 6 = 180°+45° =
- 225°, 0 = -180° + 45п = —135°
и т. д. (Эти углы обозначены 61д 02
на черт. 20.)
Пример 2. Найти угол между
прямыми у — -Зх + 2 и у ~ 2х-3.
Прямые здесь - те же, что в
примере 1, но теперь прямая CD
(см. черт. 20)-первая, а прямая
АВ — вторая. Формула C) дает
tg 8 — -1, т. е о = -45а (или
6 -= 135°, или 6 = -225° и т. Д.).
На этот угол надо повернуть пря-
прямую CD до совмещения с АВ.
П р и м с р 3. Найти прямую, проходящую через начало
координат и пересекающую прямую
у = 2Х-3 под углом 45°.
Решение. Искомая прямая пред-
представляется уравнением у = ах (§ 14).
Угловой коэффициент а можно найти
из C), взяв вместо at угловой коэффи-
коэффициент дайной прямой (т. е. положив
с/, = 2); вместо а2 возьмем угловой коэф-
коэффициент а искомой прямой, а вместо
О-угол +45° или -45°, Получаем:
Черт. 21. _ <?~2,. _ . -
1+2а ~ ^ **
Задача имеет два решения: у = — Зх (прямая АВ
па черт. 21) и у = -g-x (прямая CD).
Замечание 1. Если прямые A) и B) перпендику-
перпендикулярны @= + 90°), то выражение 1 + ахаг, стоящее в
3*
36 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
знаменателе C), обращается в нуль (§ 20) и частное -?2~-а'-
перестает существовать*). Одновременно перестает суще-
существовать («обращается в бесконечностью) tg 0. Формула C),
понимаемая буквально, теряет смысл; но в этом случае ее
нужно понимахь условно. Именно, всякий раз, как в зна-
знаменателе C) появляется нуль, угол 8 надо .считать равным
± 90° (как поворот на +90°, так и поворот на -90° сов-
совмещает любую из перпендикулярных прямых с другой).
П р и м е р 4. Найтн угол между прямыми у ^ 2х-3 н
у = — — x+7(«i = 2, я2 = — тг). Если предварительно
поставить вопрос: перпендикулярны лн этн прямые, то по
признаку C) § 20 получим утвердительный ответ, так что
и без формулы C) получаем 6 = ± 90°, То же дает и фор-
формула C). Мы получаем:
-L 1
44)'
В соответствии с замечанием 1 это равенство нужно по-
понимать в том смысле, что 0 = ± 90".
Замечание 2, Если хотя бы одна из прямых Lu L2
(или обе) параллельна оси OY,1 то формула C) вовсе
неприменима, ибо тогда одну из прямых (или обе) нельзя
представить (§ 15) уравнением вида A). В этом случае
угол 0 определяется следующим образом:
а) когда прямая L2 параллельна оси OY, a l^ не парал-
параллельна, применяем формулу
;
б) когда прямая 1^ параллельна осн OY, a hz ие парал-
параллельна, применяем формулу
tge--i;
в) когда обе прямые параллельны оси OY, они парал-
параллельны и между собой, так что tg 6 = 0.
Замечание 3. Угол между прямыми, заданными
уравнениями
ДхХ+Bjy+Ci-O D)
И
Q, E)
*) Числитель й£— «! не равен нулю, так как только у параллель-
параллельных прямых угловые коэффициенты alt as равны (§ 18),
8 23.УРАВ. ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ 37
можно найти по форлшге
При 4X/Vf-fijtf., = О формула F), понимаемая услов-
условно (см. замечание 1), дает 0 ~~ ± 90°. Ср. § 20, фор-
формула E).
§ 22. Условие, при котором три точки
лежат на одной прямой
Три точки Ах (хх; yt), Л2 (х2; уг), А3 (х3; у3) лежат на
одной прямой в том и только в том случае, когдах)
Ч У г-Ух
- 0.
A)
Эта формула выражает также (§ 13), что площадь «тре-
«треугольника» А2А3А-, равна нулю.
Пример 1. Точки Ai(-2; 5), Д.. D; 3), ЛэAб; -1)
лежат на одной прямой, так как
4+2 3-5
16 + 2 -1-5
б -2
18 -6
« 6-(-6) - (-2)-18 = 0.
Пример 2. Точки Ах (-2; 6), ДгB;5), Л3E; 3) не
лежат на одной прямой, так как
Уи-yi
Хз~Хг
2-1-2 5-0
5+2 3-6
-1
— 3
= -5.
§ 23, Уравнение прямой, проходящей
через две точки
Прямая, проходящая через две точки Аг (х^ yt) н
Аг (х2; уа), представляется уравнением1)
= 0.
(I)
1) Левая часть равенства A) записана в риле определителя
(см. § 12).
38
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Оио выражает, что данные точки Аъ Л2 и «текущая»
точка А (х; у) лежат иа одной прямой (§ 22).
Уравнение A) можно представить (см, ниже замечание)
в виде
Это уравнение выражает пропор-
пропорциональность катетов в прямоуголь-
прямоугольных треугольниках A^RA и A^Az,
изображенных иа черт. 22, где
xj = ОР^ х2 = ОР2> х = ОР,
у, = рГаь к'= *РгАл, у = РА,
у~У1 = RA, у3 ~yL = SA2
Пример 1, Составить уравнение прямой, проходящей
через точки A; 5) и C; S).
Решение. Формула A) дает:
Р, Р
Черт. 22.
9-5
у-Ъ
= 0, т. е.
2
х-1
4
у-Ъ
= О.
т.е. 2(у-5)-4(х-1) = 0или2х--у + 3 = О.
Формула B) дает -~~ = -^т^-. Отсюда снова нахо-
дим 2х-у+ 3 = 0.
Замечание. В случае, когда х» = xY (или у, = у,),
один из знаменателей равенства B) равен нулю; тогда
уравнение B) надо понимать в юм смысле, что соответ-
соответствующий числитель равен пулю. См. ниже пример 2 (а так-
также сноску на c-ip. 32).
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей
через точки Л1(А; -2) и Аа D; 5). Уравнение A) дает:
О
х-4 у+2
= 0,
C)
D)
т. е. 0(у + 2)-7(х-4) - 0, т. е. х-4 = 0.
Уравнение B) запишется в виде
зс-4 _ у + 2 .
О ~ 7 >
здесь знаменатель левой части равен пулю. Понимая урав-
уравнение D) в вышеуказанном смысле, полагаем числитель
левой части равным нулю. Получаем прежний результат
#-4 = 0.
S 24. ПУЧОК ПРЯМЫХ
39
§ 24. Пучок прямых
Через одну точку А1 (xi, yt) (черт. 23) проходит множе-
множество прямых, именуемое центральным пучком (или про-
просто пучком). Точка Д[ называется
центром пучка. Каждую из пря-
прямых пучка (кроме той, которая
параллельна оси ординат; см. за-
замечание 1) можно представить
уравнением
Черт. 23
Здесь fc— угловой коэффициент
рассматриваемой прямой (ft = tg a).
Уравнение A) называют уравне-
уравнением пучка. Величина к (па-
(параметр пучка) характеризует
направление прямой; она меняется от одной прямой
пучка к другой.
Значение параметра к можно иайти, если дано еще
какое-либо условие, которое (вместе с условием принадлеж-
принадлежности прямой данному пучку) определит положение пря-
прямой; см. пример 2.
Пример 1. Составить уравнение пучка с центром
в точке Д, (-4; -8).
Решение. Согласно A) имеем:
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку ДхA; 4) и перпендикулярной к прямой
Зх-2у = 12.
Решение. Искомая прямая принадлежит пучку с цен-
центром A; 4). Уравнение этого пучка у-4 = к(х-1).
Чтобы найтн значение параметра к, учтем, что искомая
прямая перпендикулярна к прямой Зх-2у = 12; угловой
коэффициент последней есть -^. Имеем (§ 20) -^ к = ~ I,
т, е. к = —у. Искомая прямая представляется уравнением
у-4 = _-j-(x-l) ИЛИ у = —з^+4"з *
Замечанием Прямая, принадлежащая пучку с цен-
центром в Лх^; ух) и параллельная оси 0Y, представляется
уравнением х-хх = 0; это уравнение не получается
40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
из A) ни при какомзначснии к. В с е б е з и с к л ю ч е н и я
прямые пучка можно представить уравнением
. '(y-yiV^mCx-Xj), B)
где I и /п-произвольные числа (не равные нулю одно-
одновременно). Когда I ?* О, мы можем разделить уравнение B)
на I, Тогда, обозначив ~- через к, получим A). Еслн же по-
положить I = 0, то уравнение B) принимает вид х-хх = 0.
Замечание 2. Уравнение пучка, в состав Которого входят дпе
пересекающиеся прямые Llt Ьг, заданные уравнениями
AiX + Btf + Ci^Q, А>*+вгУ-[-Сг=0,
имеет вид
tn^AjX + Bty + Ct) -f т2(Агх + B£y -f С3) -0. C)
В нем mi, ms —произвольные числа (не равные нулю одновременно),
В частности, при nil к0 получаем прямую Lit при т. ^0 —прямую J.J,
Вместо C) можно написать уравнение
Atx + Й!у + Cj -f \ (Л2х + В2у + Си) =0, D)
й котором всевозможные значения даются только одной букве )., но из
D) нельзя получить уравнение прямой L»,
Уравнение A) есть частный вид уравнения D), когда приямые Ц И
L2 даны уравнениями. y=yj, x=Xx (тогда они параллельны осям
координат).
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2х-3у —1=0, Зх-у-2=0 и перпенди-
перпендикулярной к прямой у =у.
Решение. Искомая прямая (она запедомо не совпадает с пря»
мой Зх~у~-2=О) принадлежит пучку
2к-Зу-1+х(Зх->'-2)=0. E)
ЗХ+2
Угловой коэффициент прямой E) есть к м -,~r-vr * Та1! как искомая
прямая перпендикулярна к прямой у=эс, то (g 20)к = —I. Следова-
Следовательно, -—-■;;- = -I, т. е. \ = --г , Подстаалян J. в - — и E), находим
после упрощений:
7+7б с= О,
Замечание 3. Если прямые Llt Z.2 параллельны (но не со-
совпадают), то уравнение C) при всевозможных значениях mlf m2 пред-
представляет все прямые, параллельные двум данным. Множество пря-
прямых, параллельных между соСой, именуется параллельным пучком.
Таким образом, уравнение C) представляет либо центральный, лиоо
параллельный пучок.
§ 25. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку параллельно данной прямой
1. Прямая, проходящая через точку Мх (хх; ух) н парал-
параллельная прямой yzzQx+b, представляется уравнением
y-yi = а(х-х,). A)
Ср. § 24.
S26. УРАВ.ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙКДАННОЙ 41
Пример!. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку ( — 2; 5) н параллельной прямой
5х-7у-4 = о.
Р е ш е н и с. Данную прямую можно представить Урав-
Уравнением у = ^ х"у (здесь а = ~\. Уравнение искомой
прямой есть у-5 = у [х-(-2)], т. с. 7 (у-5)- 5(х+2)
нлн 5х—7у + 45 = О.
2. Прямая, проходящая через точку Ml (x^ уг) и парал-
параллельная прямой Ах+Ву-\-С — Oj представляется урав-
уравнением
A(x-xl)+B(y-yl) = 0. B)
Пример 2. Решив пример 1 (Л = 5, В= -7) по
формуле B), найдем 5(х+2)~7(у-Ь) — О.
П р н м с р 3. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (-2; 5) и параллельной прямой 7x4-10 = 0.
Решение. Здесь А = 7, В = 0. Формула B) дает
7(х+2) = 0, т. е. х+ 2 = 0. Формула A) неприменима,
так как данное уравнение нельзя разрешить относительно у
(данная прямая параллельна оси ординат, ср. § 15).
§ 26. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку перпендикулярно к данной прямой
1. Прямая, проходящая через точку Мг (хг; yL) н перпен-
перпендикулярная к прямой у = ахл-b, представляется уравне-
уравнением
У-У1= -Trfr-xx). A)
Ср. § 24, пример 2.
Пример!. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку B; -1) и перпендикулярной к прямой
4х-9у к 3.
Решение. Данную прямую можно представить урав-
уравнением у = -Q- х — тг (а — -д-) . Уравнение искомой прямой
есть у+1 = —|(х-2), т. е. 9х + 4у-14 = 0.
2. Прямая, проходящая через точку Mt (x^ ух) и пер-
перпендикулярная к прям01Ч Ах+Ву + С = 0, представляется
уравнением
4(y-yi)-B(x-Xi)«0. B)
42 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
П р и м е р 2, Решая пример 1 (Л - 4, В = - 9) по фор-
формуле B), найдем 4(у+1) + 9(х-2) = О, т. е. 9х+4у-
-14 « О.
ПримерЗ. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку (~-3; -2) перпендикулярно к прямой
2у+1 = О.
Решение. Здесь А = О, В = 2. Формула B) дает
-2(х+3) = О, т. е. л: + 3 = 0. Формула A) неприменима,
нбо а = О (ср. § 20, замечание 1).
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары точек
Взаимное расположение точек M^Xi; уД Мг(х<>; уг) и прямой
Ах + Ву + С = О A)
можно определить по следующим признакам:
а) точки Л-fj il M2 лежат по одну сторону от прямой A), когда
числа Axt + Byi + С,, Ах2 + Ву2 + С2 имеют одинаковые знаки;
G) ЛГХ и М2 лежат по разные стороны от прямой A), когда эти
числа имеют противоположные знаки;
в) одна из точек Ми Мг (или обе) лежит на прямой A), если одно
из этих чисел (или оба) равно пулю.
Пример 1. Точки B; -6), ( -4; -2) лежат по одну сторону от
прямой
З 51 = О,
так как числа З-2+5-t)" I = — 25 и 3-(-4)+5.(-2)-1**
= —23 оба отрицательны,
Пример 2. Начало координат @; 0) и точка E"г 5) лежат по раз-
разные стороны от прямой х + У — 8=0, так как числа 0 + 0— 8"=— 8
н 5 +5 -8 = -12 имеют разные знаки.
§ 28. Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки Мх (xv yL) до прямой
Ах+Ву + С~О A)
равно абсолютному значению величины
g ~
Пример, Найти расстояние от точки (-1; +1) до
прямой
З45 0
1) Формула C) обычно выводится с помощью искусственного по-
построения; ниже (а«. замечание 2) указан чисто аналитический вывод.
6 29. ПОЛЯРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРЯМОЙ
Решение,
43
Замечание I. Пусть прямая A) не проходит через начало О и,
значит, С ^0 (§ 16). Если при этом знаки в и С одинаковы, то точки
А^иОлежатпо одну сторону отпрямойA); если противоположны, —
то но разные стороны (ср. § 27); если же 6=0 (что возможно лишь
при Ахх -J- Byi+C —0), то Мг лежит на данной прямой (§ 8).
Величина S называется ориентированным, расстоянием от
точки А1Д до прямой A). В рассмотренном примере ориентированное
расстояние 8 равно -а/5. а С =5. Знаки В и С противоположны; зна-
значит, точки Ali( —lj +1)иО лежат по разные
стороны от прямой Зх~4у+5 =0.
Замечание 2. ФормулаC)выводится
проще всего следующим образом.
Пусть А1^(^; У<) (черт. 24) — основание
перпендикуляра, опущенного из точки Му
(Xj; y{) на прямую A). Тогда
d = Y^x-i-Xi)'14-(у2-У1J' D)
Координаты ха, Уз найдем как решение си-
Лх+ By + C =0,
A)
черт. 24.
где второе уравнение преде гаиляет прямую MtM2 (§ 2G). Для облегче-
облегчения выкладок преобразуем первое уравнение системы к виду
А (х -х,} + В (у ~Ух) + Ахх + Byt -f С = 0. t^)
Решая E) и (б) относительно (ж-х,), (у-И), находим:
А ' ' " " ■ С), G)
В
Подставив G) и (8) в D), найдем:
(8)
§ 29. Полярные параметры прямой1)
Положение прямой на плоскости можно задать двумя
числами; такие числа называются параметрами прямой.
Так, числа Ь (начальная ордината) н а (угловой коэффи-
коэффициент) являются (ср. § 14) параметрами прямой. Но пара-
параметры b к а пригодны не для всех прямых; прямую, па-
параллельную ОУ, нельзя имн задать (§ 15). В противопо-
противоположность этому полярными параметрами (см. ниже) можно
задать положение всякой прямой.
Этот параграф является вводным для §§ 30 н 31,
44 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Полярным расстоянием прямой UV (черт. 25) на-
называется длина р перпендикуляра ОК, проведенного
к прямой нз начала О. Полярное рас-
расстояние положительно или равно ну-
нулю (р £= 0).
Полярным углом прямой UV на-
называется угол а = Л. ХОК между
лучами ОХ и ОХ (взятыми в дан-
данном порядке; ср. § 21). Если прямая
UV не проходит через начало (как
на черт. 25), то направление вто-
рого луча вполне определено (от О
черт. 2j. k ^j. если же jjy црОХодит через
О (тогда О и К совпадают), то луч,
перпендикулярный к UV, проводится в любом из двух
возможных направлений.
Полярное расстояние и полярный угол называются по-
полярными параметрами прямой.
Еслн прямая UV представляется уравненнем
Ах+Ву-1-С == О,
то ее полярное расстояние определяется по формуле
а полярный угол а-по формулам
А . _ В ,т
cos а = т -т^ ■"> sin а = Т- -/ -.. -■-, Ы)
где верхние знаки берутся, когда С ?- О, а нижние — когда
С •< 0; еслн же С = 0, то по произволу берутся либо
только верхние, либо только нижние знаки').
') Формула U) получается из C) % 28 (при xt =yj =0), Формулы
B) получаются так: из черт. 25
Oh х LK у „.
cos ««.—...-, в,п « = -OK-J- О)
Согласно G), (8) g 23 (при xt =ух =0) имеем:
АС ^ _ ВС .„
Из A), C) и D) следует:
С А
COS (С *а *--—
ы E) совпадают с B), ибо -" = +1 при С^Ои -p^j- *= -1
приС<0.
g 30. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Пример 1. НаЙтн полярные параметры прямой
Зх~4у-\-10 = 0.
45
Решение. Формула A) дает р =
ю
+ 42
= 2. фор-
мулы B), где нужно взять верхние знаки (ибо С = +
дают
cos a = - -;™
-1- 43
Следовательно, а ^ 127° (или с? ^ 487° н т. д.).
Пример 2. Найтн полярные параметры прямой
Зх-4у = 0.
Формула A) даьт р---0; в формулах B) можно взять либо
только верхние знаки, либо только нижние. В первом
случае cos а = - —, sin а =-g-n, значит, а ^ 127°; во вто-
втором случае cos а - у, sin а ~ --^ и, значит, а *= -53°.
§ 30. Нормальное уравнение прямой
Прямая с полярным' расстоянием р (§ 29) и полярным
угжш а представляется уравнением
X cos к + у sin cL — p = 0.
A)
Оно называется нормальным уравнени-
уравнением примой.
Пример. Пусть прямая UV отсто-
отстоит от начала на расстояние
Черт. 26.
(черт. 26) и пусть луч ОК составляет
с лучом ОХ угол а-225°. Тогда нормальное уравнение
прямой UV есть
т. с.
х cos 225° +у sin 225°-/2"^ О,
46 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Помножив на — ^2. получим уравнение прямой UV в
виде х + у+2 ~ О, но ато уравнение уже не является
нормальным.
Вывод уравнения A). Обозначим координаты точки К
(черт, 27) через х-, fa. Тогда x»—OL^p cos a, y± = LK—p sin а.
Прямая OK, проходящая через точки О @; 0) и К (х2; у.), предста-
представляется C 23) уравнением ^ ^ = 0, т. с. (sin«) X - (cos a) y=0.
Прямая UV проходит через К (х2; ys) и перпендикулярна к прямой
0/0 Значит (§ 26, п. 2), ока представляется у равнением sin *{у-~у--) —
—(— cos a)(x~xa) =0. Подставляя сюда
xs = р cos а и у, = р sin в, получаем
. X COS a+y sin a-jj=O.
§ 31. Приведение
уравнения прямой
К нормальному виду
Чтобы найти нормальное ура-
вненне прямой, заданной уравне-
Черт- г1- нием Лх-ЬЛу+С-О, доста-
достаточно разделить данное уравне-
уравнение на + У А2 + в-', причем верхний знак берется, когда
С >■ 0, и нижний — когда С -= 0; если же С = 0, то можно
взять любой знак. Получим уравнение
у- ■
Оно будет нормальным1).
Пример 1. Принести уравнение Зх-4у+10 = 0
к нормальному виду.
Здесь_Л=3, В~~4 и С=10 ?- 0. Поэтому делим на
-)/32 + 4г - -5. Получаем
Это - уравнение вида х cos а+У sin а-р = 0, Именно
р = 2, cos а L- --|, sina -= + ~ (значит, а * 127°).
Пример 2. Привести уравнение Зл:-4у = 0 к нор-
нормальному виду.
1) Ибо коэффициенты при х, у соответственно равны cos в, sin a
В силу B) § 29, а свободный член равен ( —р) я силу A) § 29,
§ 32, ОТРЕЗКИ НА ОСЯХ 47
Так как здесь С=0, то можно разделить либо на 5,
либо на —5. В первом случае получаем
з 4 „
(р=0, а. ^ 307°), во втором случае имеем
(р=0, а да 127°). Двум значениям а. соответствуют два
способа выбора положительного направления на луче ОК
(см. §29).
§ 32. Отрезки на осях
Для разыскания отрезка OL-a (черт. 28), отсекаемого
прямой UV на оси абсцисс, достаточно в уравнении пря-
прямой положить у~ 0 н решить уравнение относительно х.
Аналогично ищется отрезок
ON=b на оси ординат. Значе-
Значения anb могут быть как положи-
положительными, так и отрицательны-
отрицательными^ Если прямая параллельна
одной из осей, то соответствую-
соответствующий отрезок не существует
(«обращается в бесконечность»),
Если прямая проходит через на-
чало, то каждый отрезок вы-
рождается в точку (а= b — 0).
Пример 1. Найти отрезки а, Ь, отсекаемые прямой
3x-2y-s-l2 = Она осях.
Решение. Полагаем у = 0 и из уравнения Зх +12 = О
находим х=~4. Полагая я=0, из уравнения
— 2у+12 = 0 находим у = 6. Итак, a=-At b = 6.
Пример 2. Найти отрезки а, Ь, отсекаемые на осях
прямой
5y-f 15 = 0.
Решение. Эта прямая параллельна оси абсцисс (§ 15).
Отрезок й не существует (положив у = 0, получим про-
противоречивое соотношение 15 = 0), Отрезок b равен —3.
Пример 3. Найтн отрезки а, Ь, отсекаемые на осях
прямой
Зу-2х = 0.
Решение. По изложенному способу найдем а=0,
b = Q. Конец каждого из «'отрезков* совпадает с его на-
началом, т. е. отрезок вырождается в точку. Прямая прохо-
проходит через начало {ср. § 14).
48 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 33. Уравнение прямой в отрезках
Если прямая отсекает на осях отрезки а, Ь (не равные
нулю), то ее можно представить уравнением
' S+S-i- (•>
Обратно, уравнение A) представляет прямую, отсекаю-
отсекающую на осях (считая от начала О) отрезки а, Ь.
Уравнение A) называется уравнением прямой в от-
отрезках.
Пример. Найти уравнение прямой
Зх-2у+12 = 0 B)
в отрезках.
Решение. Находим (§ 32, пример 1) а=-4, Ь = б.
Уравнение в отрезках есть
Оно рапиосилыш уравнению B).
Замечание 1. Прямую, отсекающую на осях отрез-
отрезки, рапные пулю (т. е. проходящую через начало; см. при-
пример 3 § 32), нельзя представить уравнением в отрезках.
3 a jw е ч а н и е 2, Прямую, параллельную оси ОХ (§ 32, пример 2),
у
можно предстапить уравнением — = 1, где Ь-отрезок па оси OY,
Аналогично, прямую, параллельную оси ОУ, можно представить
уравнением — «1. Считать ли эти уравнения «уравнениями в отрезках»
или нет—дело соглашения (общепринятого соглашения в литературе
нет) 1).
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса)
Одна и та же линия представляется различными урав-
уравнениями в разных системах координат. Часто требуется,
зная уравнение некоторой линии в одной системе коор-
координат («старой»), найти уравнение той лее линии в дру-
другой системе (шовош). Этой цели служат формулы прсоб~
разования координат. Они устанавливают связь между
старымн и новыми координатами какой-либо точкн М.
ос у
*) Существенно то, что уравнение — = 1 или-г-= I можно по-
rt v а
лучить из уравнения — + ~ = I, ио не как частный его случай, а с
помощью предельного перехода (при Бесконечно большом 6 или а),
5 35. ПЕРЕНОС НАЧАЛА КООРДИНАТ
49
Любую новую систему прямоугольных координат Х'О' У
можно получить из любой старой системы XOY (черт. 29)
с помощью двух движений: 1) сначала совмещаем начало О
сточкой О1, сохраняя неизменными исправления осей; по-
лучасм ■вспомогательную систему ХО' Y (обозначенную
пунктиром); 2) затем поворачиваем вспомогательную
систему около точки О' до совмещения с новой си-
системой Х'О' V".
Y
О\
Черт. 29.
Черт. 30.
Эти же два движения можно выполнить и в обратном
порядке (сначала поворот около О, дающий вспомогатель-
вспомогательную систему XOY, затем перенос
начала в точку О', дающий новую си-
систему Х'О' Y", черт. 30).
В соответствии с этим достаточно
зн.чть формулы преобразования коор-
координат при переносе начала (§ 35) н
при попорото осей (§ 30).
О'
Р'\
OR P X
§ 35. Перенос начала координат
Черт. 31.
Обозначения (черт. 31):
старые координаты точки М: х=ОР, у~РМ;
новые координаты точки М: х' = О'Рг, y=*P'JVf;
координаты нового начала О' в старой системе XOY:
Формулы переноса:
л: =-- X' ■
нлм
X' = X-
\-хп, у~
-х0, у ■■
У'+Уо,
= У-Уч-
О)
B)
4 М. Я. Выгодский
50 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Словами: старая координата равна новой, сложенной с
координатой нового начала (в старой системеI).
Пример 1. Начало координат перенесено в точку
B; -5). Найти новые координаты точки М(-3; 4).
Решение. Имеем:
По формулам B) находим:
Х'=-3-2=-5, у = 4+5 = 9.
Пример 2. Уравнение некоторой линии есть
xs + ys-4x-l-6y - 36.
Каково будет уравнение той же линии после переноса
начала координат в точку О' B; - 3)?
Решение. Согласно формулам A) имеем:
х = х' + 2 и у = у' - 3.
Подставим эти выражения в данное уравнение. Получим:
(х' +2L (У - ЗK - 4 (х-+ 2) + 6 (у - 3) = 36,
нли после упрощений
x'- + ys = 49.
Это - нопое уравнение нашей линии. Из него видно,
что эта лннип есть (§ 38) окружность радиуса R = 7 с цент-
центром в точке О'.
§ 36. Поворот осей
Обозначения (черт. 32):
старые координаты точки М:х = ОР, у = РМ;
новые координаты точки М:х'-ОР', у-Р'М;
угол поворота осей 2) а - ^- ХОХ' = ^ УОУ.
Формулы поворота а):
X = х' cos «-у sin a, "(
( к*)
у = X' sin а + у cos к, ;
') Для запоминания правила не чшайте слов н скобках; они суще-
существенны, но легко восстапашжпаются по смыслу,
2) О знаке угла а см. § 14, подстрочное примечание.
3) Для запоминания формул A) заметьте, что в выражении для х
имеем шолный беспорядок- (косинус стоит раньше синуса, между чле-
членами правой части—знак минус). Напротив, в выражении для умы
имеем «полный порядою (сначала синус, потом косинус, а межлу чле-
членами—знак плюс).
Формулы B) получаются из A), если заменить а на -* и поменять
обозначения х, у на х' ,У\ и наоборот.
или
36. ПОВОРОТ ОСЕЙ
ia+ysiria, ^
Jin a+У Cos a. /
51
B)
X' = X COS
у' = -xsin ct+y
Пример 1. Уравнение 2xy = 49 представляет лииню,
состоящую из двух ветвей LAN il VAN' (черт. 33) (она
р
Черт. 32.
называется равнобочной гиперболой). Найти уравнение
этой линии после поворота осей на угол 45°.
Решение. Формулы A) при а-=45° принимают вид
^2
х = х -%—
Подставим этн выражения в данное уравнение. Получим;
нли после упрощений
-уг = 49.
П р и м. е р 2, До поворота осей на угол —20е точка М
имела абсциссу х=6 и ординату у = 0. Найти коорди-
координаты точки М после поворота осей.
Решение. Новые координаты х1, у точки М найдутся
по формулам B), где надо положить х~6, у = 0, a = -20°.
Получим:
X' = б cos (-20°) w 5,64,
у = -б sin (-20°) » 2,05,
4*
52 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 37. Алгебраические линнн и их порядок
Уравнение вида
Ах+Ву + С^О, A)
где по крайней мере одна из величин Л, В не равна пулю,
есть алгебраическое уравнение первой степени (с двумя
неизвестными х, у). Оно всегда представляет прямую
линию.
Алгебраическим уравнением второй степени называется
всякое уравнение вида
Ах- + Вху + Су- + Dx + Еу Л- F = О, B)
где по крайней мере одна из величин А, В, С не равна
НУЛЮ.
Уравнение, равносильное уравнению B), также назы-
называют алгебраическим.
Пример 1. Уравнение у = 5х2, равносильное уравне-
уравнению Ъх2~у = О, - алгебраическое уравнение второй сте-
степени (А = 5, В=0, С = О, 0 = 0, Е= -1, Fs=O).
Пример 2. Уравнение ху=1, равносильное уравне-
уравнению ху-1 = 0, есть алгебраическое уравнение второй
степени (Л-О, В^1, С = 0, D = 0, E = 0, F = -1).
Пример 3. Уравнение (х+у-1-2)г-(х+у+ IJ = О
есть уравнение первой степени, так как оно равносильно
уравнению 2х+2у + 3 = 0.
Аналогично определяются алгебраические уравнения
третьей, четвертой, пятой и т. д. степеней. Величины Л,
В, С, D и т. д, (в том числе свободный член) называются
коэффициентами алгебраического уравнения.
Нсли некоторая линия L представляется в какой-либо
одной декартовой системе координат алгебраическим урав-
уравнением п-й степени, то и во всякой другой декартовой
системе она представится алгебраическим уравнением той
же степени. При этом, однако, коэффициенты уравнения
(все или некоторые) изменят свои значения; в частности»
некоторые могут обратиться в нуль.
Линия L, представляемая (в декартовой системе) урав-
уравнением п-й степени, называется алгебраической линией
п-го порядка.
Пример 4. Прямая линия представляется в прямо-
прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением
первой степени вида Ах+Ву+С = 0 (§ 16). Поэтому пря-
прямая есть алгебраическая линия первого порядка. Для одной
§ 38. ОКРУЖНОСТЬ 53
и -гой же прямой коэффициенты А, В, С имеют различные
значения в различных системах координат. Так, пусть
в «старой» системе прямая представляется уравнением
2х + Зу-5 = О (А=2, В = 3, С= -5). Если повернуть
осп па угол 45°, то (§ 36) в «новой* системе та же прямая
представится уравнением
т. е.
--б).
Пример5. Если начало координат совпадает с цент-
центром окружности радиуса R='i, то окружность представ-
представляется уравнением (§ 38) х'л+у2-9 - 0. Это -~ алгебраи-
алгебраическое уравнение второй степени (Д=1, В = 0, C~l, D = 0,
Е г= 0, !•' — -9). Значит, окружность есть линия
второго порядка. Если начало координат перенести в точку
( — 5; -2), то п повои системе та же окружность предста-
представится (§35) уравнением (г-5)г-|-()"-2)г-9 - 0, т. е.
X'z-\.y2~ Шх'-4у' + 20 = 0. Это уравнение тоже лтороН
степени; коэффициенты Л, В и С остались прежними,
но О, Е и F изменились.
П р и м с р 6. Линия, представляемая уравнением
у = sin х (синусоида), - не алгебраическая.
§ 38. Окружность
Окружность радиуса R с центром в начале координат
представляется уравнением
Оно выражает, что квадрат расстоя- ' -^ *
ния О А (см. черт. 9 на стр. 22) от на-
начала координат до любой точки А,
лежащей на окружности, равен /?2.
Окружность раднуса R с цен-
центром в точке С (а; Ь) представляется
уравнением Черт. 34.
(.t-fl)s + (y-&)s-/?2. A)
Оно выражает, что квадрат расстояния МС (черт. 34)
между точкалш М (х; у) н С (о; Ь) (§ 10) равен R2.
Уравнение A) можно переписать в виде
^2 = 0. B)
54 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение B) можно помножить па любое число А;
тогда оно примет вид
Ах*+Ау*-2Аах-2АЬу+ А((Г- + Ь2-Я2) = 0. C)
Пример 1. Окружность радиуса R = 7 с центром
С D; — б) представляется урапнением
(х-4)*+(у I-6)8 = 49илиха + уг-8х-М2уч-3 = О
или (после умножения на 3)
9 = О.
3 а м е чан и е. Окружность есть линия второго порядка
(§ 37), так как представляется урапнением второй степени.
Однако уравнение второй степени представляет окружность
далеко не всегда. Для этого необходимо:
1) чтобы в нем не было члена с произведением ху;
2) чтобы коэффициенты при х2 и у- были равны (ср.
уравнение C)).
Но эти условия не вполне достаточны (см. § 39),
П р и м с р 2. Уравнение второй степени х2 + 3ху+у5 = 1
не представляет окружность: в нем есть член Зху,
Пример 3. Уравнение второй степени 9х*-\-4у2 - 49
не представляет окружность; коэффициенты при х- и при
у- не равны.
П р и м е р 4. Уравнение
5.x- - 1 Ох -Ь by- + 2Оу - 20 = О
удовлетворяет условиям 1) и 2). В § 39 показано, что оно
представляет окружность.
§ 39. Разыскание центра и радиуса окружности
Уравнение
АхЧВх+ Ayt + Cy+D = О A)
(оно удовлетворяет условиям 1 и 2 § 38) представляет
окружность при условии, что коэффициенты А, В, С, D
Удовлетворяют неравенству
B*+C!-4AD P- 0. B)
Тогда центр {а; Ъ) и радиус ^ окружности можно найти
по формулам!)
Ё h Л DJ
Нет нужды их запоминать; ср, пример I (второй способ),
§ 39. РАЗЫСКАНИЕ ЦЕНТРА И РАДИУСА ОКРУЖНОСТИ 55
Замечание. Неравенство B) выражает, что квадрат
радиуса должен быть положительным числам; ср. послед-
последнюю формулу C). Если неравенство B) не выполняется,
то уравнение A) не представляет никакой линии (см. ниже
пример 2).
Пример 1, Уравнение
Ч20у~20 = 0 D)
подходит под вид A); здесь
А « 5, В = -10; С = 20, D = - 20.
Неравенство B) выполняется. Значит, уравнение D) пред-
представляет окружность. По формулам C) находим:
а= \,Ь= -2, 1?*= 9,
т. е. центр есть A; -2), а радиус R = 3.
Другой способ. Разделив уравнение D) па коэф-
коэффициент при членах второй степени, т. е, па о, получим:
х'-2х + у* + 4у>-4 = 0.
Дополним суммы х--2х и у2 + 4у до квадратов. Для
этого прибавим к первой СУм.ме \, а ко второй 4. Для
компенсации прибавим те >ке числа к правой части урав-
уравнения. Получим;
(xs-2x+l)H-()'3 + 4v+4)-4 = 1 + 4,
Пример 2, Уравнение
х*-2х f-y* + 2 = о E)
подходит под вид A), но неравенство B) не выполняется.
Значит, уравнение E) не представляет никакой линии.
К этому выводу можно придти и так (ср. пример 1):
Дополним сумму х- - 2х до квадрата, прибавив к ней 1.
Для компенсации прибавим 1 также и к правой части.
Получим (х-1K \-у2+2 =* 1, т. е. (х-1K+у8 = -1.
Но сумма квадратов (действительных) чисел не может
равняться отрицательному числу. Поэтому нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяли бы данному
уравнению.
56 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ -.
§ 40. Эллипс как сжатая окружность
Через центр О окружности раднуса а (черт. 35) проис-
дем взаимно перпендикулярные диаметры A'A, D'D. На
радиусах OD, ,OD' отложим от точки О равные отрезки
О В, ОБ' длиной Ь (меньшей, чем я).
Из каждой точки N окруж-
окружности опустим перпендикуляр NP
на диаметр А' А н на этом перпен-
перпендикуляре отложим от его осно-
основания Р отрезок РМ так, чтобы
PM-.PN = Ъ\а.
A)
Эго построение преобразует
каждую точку N в другую
соответственную ей точку М,
лежащую на том же пер-
перпендикуляре NP, причем РМ
получается из PN уменьшением
в одном н том же отношении к = -•«. Такое преобразо-
преобразование называется равномерным сжатием. Прямая А'А
называется осью сжатия.
Линия АВА'В', в которую преобразуется окружность
после равномерного сжатия, называется эллипсом1).
Отрезок AM = 2а (а часто и прямая А'А, т. е. ось
сжатия) называется большой осью эллипса.
Отрезок В-В *= 2b (а часто и прямая В'В) называется
малой осью эллипса (по построению 2а > 2Ь). Точка О
называется центром эллипса. Точки А, А', В, В' назы-
называются вершинами эллипса.
Отношение к — Ь : а называется коэффициентам сжа-
сжатия эллипса. Величина l — k=^-~— (т. е. отношение
BD ; OD) называется сжатием эллипса. Она обозначается
буквой а.
Эллипс симметричен относительно большой и малой
осей, а значит, и отпоетелыю центра.
Окружность можно рассматривать как эллипс с коэф-
коэффициентом сжатия к — 1.
Каноническое уравнение эллипса. Если
оси эллипса принять за оси координат, то эллипс
Другое определение эллипса см. и § 41,
§ 40. ЭЛЛИПС КАК СЖАТАЯ ОКРУЖНОСТЬ
представляется уравнением1)
B)
Оно называется каноническим2) уравнением эллипса.
Пример 1. Окружность радиуса о = 10 см подверг-
подвергнута равномерному сжатию с коэффициентом сжатия 3 ; 5.
После преобразования получится эллипс с большой осью
2д = 20 см и .малой осью
2Ъ = 12 см (полуоси a = 10 см,
b =я 6 см). Сжатие этого эл-
эллипса а = 1 -k = -yj~ = ОД
Каноническое уравнение его
есть
ха у*
Too" + аз"
= 1.
Пример 2. При проекти-
проектировании окружности на какую-
нибудь плоскость Р диаметр
AiAt (черт. 36), параллельный
ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ, прОСКТИруеТСЯ Черт. 36.
в натуральную величину, а все
хорды, перпендикулярные к диаметру, сокращаются в
отношении, равном cos <p, где ср—угол между плоскостью
окружности Pi н плоскостью Р. Поэтому проекция окруж-
окружности есть эллипс с большой осью 2а = Л'А и коэффици-
коэффициентом сжатия А »* cos а.
*) Мы имеем:
В силу A) имеем:
Подставляя в C), находим;
PN т ~ РМ.
т, с.
х»+•
а".
C)
<4>
Ф)
F)
Разделив на аг, получим равносильное уравнение B). Итак, если
М(х, у) лежит на эллипсе АБА'В', то х,у удовлетворяют уравнению
B). Если же М не лежит на этом эллипсе, то равенство D), a
значит, и урапнеиие (Ь) не удовлетворяются (ср. § 7).
I) От греческого слова «канош-образец. Таким образом, назва-
название «каноническое) равнозначно названию «типовое».
58 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 3. Земной мерндиан точнее принять не за
окружность, а за эллипс. Земная ось есть малая ось этого
эллипса. Длина ее (округленно) 12 712 км. Длина большой
оси равна (округленно) 12 754 км. Найти коэффициент
сжатия к и сжатие а этого эллипса.
Решение.
а~ь _ 2а-2Ь 12 754- 12712 _ п пао
ОС —
2а
к = 1-а
12 754
0,997,
§ 41. Другое определение эллипса
Определение. Эллипс есть геометрическое место
точек (М), сумма расстоянии которых до двух данных
точек F', F (черт. 37) имеет одно и ю же значение 2а:
F'M+FM -2a. A)
Точкн PhF называются фокусамиJ) эллипса, а расстоя-
расстояние F'F-фокусным расстоянием; оно обозначается 2с:
F'F = 2с. B)
Так как F'F < F'M + FM, то 2с -< 2а, т. е.
с ^ а. C)
Определение настоящего параграфа равнозначно с опре-
определением § 40 [ср. уравнение G) с уравнением B) § 40J.
я —i—№у)
Черт. 37.
Черт. 38.
Каноническое уравнение эллипс а. При-
Примем прямую F'F (черт. 38) за ось абсцисс и середину О отрез-
отрезка F-F-за начало координат. Согласно определениюэллип-
саиA)§ 10имеемР'(~с, 0), F (с, 0). Согласно § 10
-V2 + Y(x^7j*+y* = 2a. D)
*) Фокус —латинское слово; означает «очаг». Если в точке F
(или F') поместить источник света, то после отражения отэлллпеавсе
лучн соберутся в точке F' (или F) и помещенное там воспламеняющее-
воспламеняющееся вещество загорится. Это зрелище поражало зрителей; поэтому сло-
слово «фокус» получило тот смысл, в котором его употребляют ныне
р обиходе.
§ 4i. другое определение эллипса 59
Освободившись от радикалов1), получим равносильное
уравнение
(а2-с2)хЧя2У3 = а2(а3-с2) E)
или
Вследствие C) величина а2-с2 положительна. Поэтому
F) можно написать в виде
3£.л Л - 1 m
да "г fcs ~ х> \Ч
где
Ь2^а2-с3. (8)
Уравнение G) совпадает с B) § 40.
Значит, линия, названная в на-
настоящем параграфе эллипсом, дей-
действительно тождественна с линией, Черт. 39.
названной эллипсом в § 40. При
этом оказывается, что центр О эллипса (черт. 39) совпадает
с серединой отрезка F'F, т. е. OF = с. Большая ось 2а = А'А
эллипса, согласно равенству A), оказывается равной неиз-
неизменной сумме расстояний F'M+FM (черт. 38). Малая
полуось Ь — ОВ (черт. 39) и отрезок с = OF являются
катетами прямоугольного треугольника BOF; гипотенуза BF
этого треугольника равна а. Это видно из равенства (8),
а также из того, что равные отрезки F'B и FB составляют
в сумме 2а (по определению эллипса). Таким образом,
расстояние от фокуса до конца малой оси равно длине
большой полуоси.
Отношение -g,-g фокусного расстояния к большой оси,
т. е. величина ™, называется эксцентриситетом эллипса.
Эксцентриситет обозначается греческой буквой s («эпси-
(«эпсилон»):
.-■£. О)
Вследствие C) эксцентриситет эллипса меньше единицы.
Эксцентриситет е и коэффициент сжатия к эллипса (§ 40)
в силу (8) связаны соотношением
**=1-е2. A0)
1) Один из радикалов переносим п правую часть и возводим урав-
уравнение в квадрат; в новом уравнении будет только один радикал.
Уединив его, снова возведем в квадрат. После упрощений получим E),
60 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример. Пусть фокусное расстояние эллипса 2с=8 см,
а сумма расстояний произвольной его точки до фокусов
составляет 10 см, Тогда большая ось 2а ■= 10 см, эксцентри-
эксцентриситет s^-= ОД Коэффициент сжатия к ~ ^1 — sa — 0,6.
6 см. Каноническое
a
Малая ось 2Ь — 2ак = 2
уравнение эллипса есть
jf4- g" = I.
Замечание. Если окружность рассматривать как
частный вид эллипса Ь — а, то с = О, т. е. фокусы F' и F
нужно считать совпавшими. Эксцентриситет окружности
равен нулю,
§ 42. Построение эллипса по его осям
Первый способ. На перпендикулярных прямых
Х'Хи У У (черт. 40) откладываем отрезки О А' = О А = аи
ОВ' ~ ОВ = Ь [половины данных осей 2а, %Ь (а > Ъ)\.
Точки А', А, В', В будут вершинами эллипса.
Y
Л'
Черт. 40. Черт. 41.
Из точки В радиусом а описываем дугу uv; она пере-
пересечет отрезок А'Л я точках F't F; это будут фокусы эллипса
[согласно (8) §41J. Разделим отрезок А' А = 2а произвольно
на две части: А'К = г и К А = г, так что г'-\-г = 2а.
Из точки F описываем окружность радиуса г, а из
F'~ окружность радиуса г. Эти окружности пересекутся
в двух точках М и М', причем по построению F'M~\-FM =
= 2а н F'M'+FM' = 2я. Согласно определению § 41 точки
М и М' лежат на эллипсе. Меняя г, будем получать новые
точки эллипса.
Второй способ". Проводим две концентрические
окружности радиуса О А ■= а и ОВ — Ъ (черт. 41). Через
центр О проводим произвольный луч ON. Через точки К и
43. ГИПЕРБОЛА
61
Mu в которых ON встречает две окружности, проводим пря-
прямые, соответственно параллельные осям Х'Х, У' У. Эти пря-
прямые пересекутся в точке М. Ее ордината РМ (~ KD) короче
ординаты РМХ точки Ми лежащей на окружности радиуса а,
причем РМ: PMt = Ь : а. Значит (§ 40), точка М лежит
на искомом эллипсе. Меняя направление луча ON, получим
новые точки эллипса.
§ 43. Гипербола
Определение. Гипербола (черт. 42) естг» геометри-
геометрическое место точек (М), разность расстояний которых до
Черт. 42,
Черт, 43.
двух данных точек F't F имеет одно и то же абсолютное
значение (ср. определение эллипса § 41);
\F'M-FM\ = 2а. ' A)
Точки F' n F называются фокусамиJ) гиперболы, рас-
расстояние F'F-фокусным расстоянием; оио обозначается
через 2с:
F'F ** 2с B)
Так как F'F > 1 F'M-FM\, то [ср, формулу C) § 41]
с > а. C)
Если М ближе к Фокусу F', чем к фокУСУ F, т, е, если
F'M ■< FM (черт. 43), то вместо A) можно написать:
FM-F'M* 2а. Aа)
Если же М ближе к F, чем к F', т. е. F'M >- FM (черт. 42),
то мы имеем:
2a. A6)
1) Если в одном из фокусов поместить источник света, то после
отражения от гиперболы лучи образуют расходящийся пучок с цент-
центром в другом фокусе. Ср. сноску иа стр. 58.
62 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Те точки, для которых F'M-FM = 2а, образуют одну
ветвь гиперболы (при обычном расположении чертежа -
«правую*); тс точки, для которых FM-F'M = 2а, обра-
образуют другую ветвь («левую»).
Каноническое уравнение гиперболы.
За ось ОХ принимаем (черт, 44) прямую F'F, за начало ко-
координат-середину О отрезка F'F. Согласно B) имеем
F(c; О), F'(~c; О). Правая ветвь
у согласно A6) и § 10 представ-
представляется Уравнением
fMix-у)
- У(х-с)*+у* = 2а. Dа)
Для левой же ветви согласно
Aа) и § 10 имеем уравнение
Черт, 44.
- Цх+су+у* = 2а. D6)
Освобождаясь от радикалов, получим в обоих случаях:
31x24-asv1 = a2 fa3 — cB1 Cil
Х I У2 _ 1 ((л\
пЗ f /J_ rZ " *' Vu/
или
Это уравнение равносильно паре уравнений Dа), D6) и
вредставляет оое ветви гиперболы сразу1).
Уравнение F) имеет тот же внешний вид, что уравне-
уравнение эллипса [ср. F) § 41], но это сходство обманчиво, так
как теперь вследствие C) величина а2 —с* отрицательна,
так что Уа2-с2—мнимая величина. Поэтому обозначим
через Ь величину +]fc*-a?, так что 2)
Ъ* = с*-а\ G)
Тогда нз F) получаем каноническоеа) уравнение гиперболы
J) Две ветви гиперболы можно быпо бы считать не за одну линию,
а за две. Но тогда ни одна из этих линий и отдельности не представ-
представлялась бы алгебраическим уравнением шорой степени.
г) О геометрическом смысле величины b см. § 46.
3) См. сноску *) на стр. 67,
§ 44. ФОРМА ГИПЕРБОЛЫ; ВЕРШИНЫ И ОСИ
63
Пример. Если разность расстояний F'M-FM по
абсолютной величине равна 2а = 20 см, а фокусное рас-
15 (см). Канони-
1.
стояние 2с = 25 см, то Ь = /с2-а* =
ческос уравнение гиперболы есть
100
2
225
4
§ 44. Форма гиперболы; вершины и оси
Гипербола симметрична относительно точки О-сере-
О-середины отрезка F'F (черт. 45); она симметрична относительно
прямой F'F и относительно прямой У'У, проведенной
через О перпендикулярно к F'F. Точка О называется
центром гиперболы. Прямая F'l{
пересекает гиперболу в двух точках
А( + а; 0) и А'(-а; 0). Эти точки
называются, вершинами гиперболы.
Отрезок А'А = 2а (а часто и прямая
Л'Л) называется действительной
осью гиперболы.
Прямая У'У не пересекает гипер-
гиперболу. Тем не менее принято откла-
откладывать на ней отрезки В'О = OB cs Ь
и называть отрезок В'В = 2& (а так-
также и прямую У У) мнимой осью ги-
гиперболы.
Так как АВг = 0А* + 0В* =
= а*+Ьг, то из G) § 43 следует,
что АВ = с, т. е. расстояние or вершины гиперболы до
конца мнимой оси равно полуфокУсиому расстоянию.
Черт,
Д' О
У'
Черт, 46.
■г •
ч
Черт. 47.
Мнимая ось 2Ь может быть больше (черт. 45), меньше
(черт. 46) или равна (черт. 47) действительной оси 2а. Если
64 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЙ НА ПЛОСКОСТИ
действительная и мнимая оси равны (а — ft), то гипербола
называется раеностороннеи (или равнобочной).
Отношение -тгт - 4 Фокусного расстояния к действи-
тельной оси называется эксцентриситетом гиперболы и
обозначается е [ср. (9) § 41]. Вследствие C) § 43 эксцен-
эксцентриситет гиперболы больше единицы, Эксцентриситет рав-
равносторонней гиперболы равен у!Г.
Гипербола лежит целиком сие полосы, ограниченной
прямыми PQ и RS, параллельными У'У и отстоящими от
Y' У на расстояние О А - А'О = а (черт. 45,46,47). Вправо
и влево от этой полосы гипербола простирается неогра-
неограниченно.
§ 45. Построение гиперболы по ее осям
На перпендикулярных прямых Х'Х и Y'Y (черт. 48)
откладываем отрезки О Л = О А' = а иОВ ~ OB' = ft (дей-
(действительные и мнимые полуоси).
Затем откладываем отрезки OF
и OF', равные АВ. Точки ir' и
F-фокусы (согласно G) § 43).
На продолжении отрезка А'А за
точку А берем произвольно точ-
точку К. Из точки F радиусом г = АК
онисываемокружность. Из точки t'f
описываем окружность радиусом
г' = А'К = 2а+г. Эти окружно-
окружности пересекутся в двух точках М,
М', причем по построению F'M—
-FM=.2a и F'M'-FM' ~ 2a.
Согласно определению (§ 43) точки
МпМ' лежат на гиперболе. Меняя
г, получим новые точки «право-»
ветви. Аналогично строятся точки
«левой» ветви.
§ 46. Асимптоты гиперболы
Прямая у = кх (она проходит
через центр гиперболы О) при
| к j -= — пересекает гиперболу в двух точках D', D
(черт, 49), симметричных относительно О. Если же
S 47. СОПРЯЖЕННЫЕ ГИПЕРБОЛЫ 65
[ ft j s> —, то прямая у = kx (E'£ иа черт. 50) ие имеет
общих точек с гиперболой.
Прямые у - — х и у - -— л: (U'U и V'V на черт. 51),
для которых |л| = —, обладают следующим (только им
Черт. 50.
Черт. 51.
присущим) свойством; при неограниченном продолже-
продолжении каждая из них неограниченно сближается с гипер-
гиперболой.
Точнее: если прямую Q'Q, параллельную оси ординат,
неограниченно удалять от центра О (вправо или влево),
то отрезки QS, QS' между гиперболой и каждой из
прямых U'U, V'V неограниченно уменьшаются.
Прямые У = — х и у = - — л: называются асимпто-
асимптотами гиперболы 1).
Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно пер-
перпендикулярны.
Геометрический смысл мнимой оси. Че-
Через вершину А гиперболы (черт. 51) проведем прямую L'L,
перпендикулярную к действительной оси. Тогда отрезок
L'L этой прямой, заключенный между асимптотами гипер-
гиперболы, равен мнимой осп гиперболы В'В = 2Ь.
§ 47. Сопряженные гиперболы
Две гиперболы называются сопряженными (черт. 52),
селн они имеют общий центр О и общие осп, но действи-
действительная ось одной из них являечея мнимой осью другой.
*) t Асимптот а» —греческое слово; означает «не попадающая»
5 М. Я. Выгодский
66
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
На черт, 52 А'А-действительная ось гиперболы / и
мнимая ось гиперболы 11, В' В -действительная ось
гиперболы 11 и мнимая ось
гиперболы /.
Если
£l_It - i
fl2 ft*
есть уравнение одной из сопря-
сопряженных гипербол, то другая
представляется уравнением
U'
1
Сопряженные пшерболы имеют общие асимптоты {U'U
и V'V на черт. 52).
§ 48. Парабола
Определение. Парабола (черт. 53) есть геометри-
геометрическое место точек (М), равноудаленных отданной точки F
и данной прямой PQ:
FM = КМ. A)
Точка F называется фокусом1), а
прямая PQ - директрисой параболы.
Расстояние FC = р от фокуса до дирек-
директрисы называется параметром параболы.
Примем за начало координат сере-
середину О отрезка FC, так что
СО ^ OF = f-.
B)
к
с
Q
0
р
Y
D .._.
/
((
F
У
/
За oci. абсцисс примем прямую CF;
положительным направлением будем черт. 53.
считать направление от О к F.
Тогда имеем: F(-f; 0),КЛ1= KD + DM = |-+хи(§10)
FM = v(tt-x) +у3. Вследствие A) имеем:
Р \ 2 Р {*%\
Освободившись от радикала, получим равносильное урав-
уравнение
уз = 2рх. D)
I) Параллельный пучок лучей, перпендикулярных к директрисе,
после отражения от параболы обратится в центральный пучок с
центром в фокусе. Ср. сноску на стр. 58.
§ 50. ПАРАБОЛА
67
Это - каноническое1) уравнение параболы.
Уравнение директрисы PQ (в той же системе координат)
есть х +1г = 0.
Парабола симметрична относительно прямой FC (ось
абсцисс при пашем выборе системы координат). Эта прямая
называется осью параболы. Парабола проходит через се-
середину О отрезка FC. Точка О называется вершиной
параболы (ее мы приняли за начало
координат).
Парабола лежит целиком по одну
сторону от прямой У' У (касательная в
вершине) и простирается в эту сторону
неограниченно.
§ 49. Построение параболы
во данному параметру р
Проведем (черт. 54) прямую PQ (ди-
(директрису параболы) и на данном расстоя-
расстоянии р = CF от нес возьмем точку F
(фокус). Середина О отрезка CF будет
вершиной, а прямая CF-осью параболы. На луче OF
возьмем произвольную точку R и через нее проведем
прямую RS, перпендикулярную к оси. Из фокуса Р, как из
центра, опишем окружность радиусом, равным CR. Она
пересечет RS в двух точках М, М-. Точки М и М' при-
принадлежат искомой параболе, так как по построению
FM — CR ■= КМ (см. определение, § 48). Меняя положение
точки R, будем находить новые точки параболы.
§ 50. Парабола как график уравнения у~вх" + Ьх + е
Уравнение
х« = 2ру A)
представляет ту же параболу, что и уравнение у2 = 2рх
(ср. § 48), только теперь ось параболы совпадает с осью
ординат; начало координат по-прежнему совпадает с вер-
вершиной параболы (черт. 55). Фокус находится в точке
f@;-|). Директриса PQ представляется Уравнением
черт.
') См. сноску г) иа стр. 57.
5*
68 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
- Если за положительное направление на оси ординат
О
Черт.
Черт. 56.
принять не направление OF, а направление FO (черт. 56),
то уравнение параболы будет:
-х2 = 2ру B)
(см. черт. ЪЪ, где осям координат приданы o6i.i4in.ie на-
направления). Сообразно с
этим графиками функций
у - ах2
C)
служат параболы, обра-
обращенные ВОГНУТОСТЬЮ
вверх, когда а > 0, и
вниз, когда а -= О. Чем
меньше абсолютное зна-
значение а (на черт. 57 име-
имеем а = 2, а =з ± I, а =
- ± о", о = -g), тем бли-
ближе Фокус от вершины,
тем больше «раствор»
параболы.
Всякое уравнение
у = ах2 + Ьх + с D)
графически изображает-
изображается той же параболой,
что и уравнение у = ах3
(для обеих парабол рас-
стояние ~ от вершины до фокуса равно
Обе об-
обращены вогнутостью в одном и том же направлении. Но
§ 50. ПАРАБОЛА
69
вершина параболы D) лежит ие и начале, а в точке Л
(черт, 58) с координатами
Пример. Уравнение
= РА =
__ 1 „ з 1
У ~ -ТХ'+ 4 Х"
E)
Dа)
= -(;= -у) представляет (черт. 59)ту же
параболу, что и уравнение у = - — Xs. Вершина лежит в
точке А с координатами
Eа)
_
6 *
Фокус находится снизу от вершины на расстоянии
р. _
?■ ~
|4а
Следовательно, координаты фокуса суть
16
16 '
Замечание 1. Нет нужды запоминать формулы E).
Для вычисления хА, уА можно применить следующий
прием. Уравнение Dа) перепишем в виде
F)
70
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Дополним выражение в скобках до полного квадрата, при-
прибавив -£. Для компенсации прибавим --^--^ = ~-jq к
левой части. Получим:
Уравнение G) примет вид
у' = -~х'\
если выполнить преобразоваиие пере-
переноса осей (§ 35):
(8)
у = у-
16
(9)
Черт. 60. „
Вершина параболы (т. е. точка
х' = 0, у = 0) имеет координаты х = -^ • >' = "W
Замечание 2. Общие формулы E) можно вывести из D) тем
же приемом, какой был применен в замечании 1 к уравнению Dа).
Замечание 3. Уравнение
X = ay* + by + С
представляет параболу (черт. 60) с вершиной н точке
Лас - 6»
V 4а р 2а/.
Ось ее параллельна оси абсцисс; вогнутость обращена «вправо*, если
а =-0, и «влево», если а-«:0.
§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы
а) Директрисы эллипса. Пусть дай эллипс
(черт. 61) с большой осью А'А = 1а и эксцентриситетом
(§ 41) 5^=-j = е- Пусть г ^ О
(т. е. эллипс не является окруж-
окружностью). Отложим от центра
О эллипса на его большой оси
отрезки OD = OD1, равные
~ (т. е. 0D:OA =-- О A: OF).
Прямые PQ, P'Q', проходящие
соответственно через D, D' и
параллельные малой оси, назы-
называются директрисами эллипса.
Каждой из директрис поставим в соответствие тот фо-
кус эллипса, который лежит по ту же сторону от центра,
т. е. директрисе PQ-фокУС F, а директрисе P'Q'-фокус
Черт. 61.
S S2. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
71
F'. Тогда для любой точки М эллипса отношение ее рас-
расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей
директрисы равно эксцентриситету е, т. е.
MF-.MK = MF". МК' = е-
0)
\
У
a'
—-
& 0
p'
Y
U
a
w
\F X
P
Так как для эллипса е -= 1, то всякая точка эллипса ближе
к фокусу, чем к соответствующей директрисе.
Если большая осьэллипса остается неизменной, а эксцен-
эксцентриситет стремится к нулю (т. е. эллипс все меньше отли-
отличается от окружности), то ди-
директрисы пео1 раниченно удаля-
удаляются от центра.
У окружности директрис нет.
б) Д и р е к т р и с ы гипер-
гиперболы. Пусть А А (черт. 62) есть
действительная ось гиперболы, а
OF с
е = тгт = —ее эксцентриситет
(§ 44). Откладываем
OD = OD' = £ Черт. 62.
(т. е. OD.0A = О A: OF). Пря-
Прямые PQ, P'Q1, проходящие соответственно через D,
D' и параллельные мнимой оси, называются директрисами
гиперболы. Для любой точки М гиперболы отношение
се расстояния до фокуса к расстоянию до соответст-
соответствующей директрисы [см. пункт а)] равно эксцентриситету
е, т. с.
MF ; МК = MF': МК' = •. B)
Так как для гиперболы г > 1, то всякая точка гиперболы
ближе к директрисе, чем к соответствующему Фокусу.
§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы
и параболы
Все эллипсы]), гиперболы и параболы обладают следующим свой-
свойством: для каждой из этих линий остается неизменным отношение
(черт. 63)
FM : МК, (»)
где FM - расстояние произвольной ее точки М до данной точки F (фо-
куса), а МК~расстояние точки М до данной прямой PQ (директрисы).
Кроме окружности.
72
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Для эллипса (черт. 64) ото отношение меньше единицы (оно равно
эксцентриситету эллипса —; ср. §§ 41, 51). Для гиперболы (черт. 65)
оно больше единицы (оно равно эксцентриситету гиперболы — ;
ср. §§ 43, 51); для параболы (черт. 66) оно равно I (§ 48).
Обратно, всякая линия, обладающая указанным свойством, есть
либо эллипс (если FM : МК -=1), либо гипербола (если FM : МК =-1),
Черт. 63.
Черт. 64.
либо парабола (если FM: МК =1). Поэтому упомянутое свойство
можно принять эл общее определение эллипса, гиперболы и параболы,
а неизменное отношение FM : МК = е назвать эксцентриситетом.
Эксцентриситет е параболы равен единице, для эллипса е-;1, для ги-
гиперболы :>1.
Заданием эксцентриситета £ и расстояния FC^d от фокуса до ди-
директрисы полностью определяются величина и форма эллипса, гипер-
гиперболы и параболы. Если при данном
е изменять d, то все получаемые кри-
Dbie будут подобны друг другу.
Черт. 05.
Черт. 66.
Хорд;» RR'эллипса, гиперболы или параболы (черт. 64,65,66), про-
проходящая через фокус F и перпендикулярная к оси FC, называехся <£о-
кальной хордой и обозначается 2р:
RR' = 2р. B)
Величина р а= FR = FR' (т. е. дли^а фокальной полухорды) называется
параметром эллипса, гиперболы или параболы. Она связана с d соотно-
соотношением
р « rf«, C)
так что для параболы (s =1)
р = (I. (За)
§ 52. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
73
Вершины эллипса, гиперболы и параболы (а на черт. 64, 65, Об)
делят отрезок FC в отношении FA : АС = е. Вторая вершина эллипса
и гиперболы (Л'на черт. 64,65) делит FCn том же отношении внешним
образом (§ 11).
В соответствии с новым определением эллипс, гипербола и пара-
болч представляются единым уравнением. Если за начало принять
вершину А (черт. 67) и ось направить по лучу AF, то это уравнение
будет:
Я=2рх-A -е*)Х*; D)
здесь р -параметр, а е-эксцентриситет.
Вблизи от вершины парабола и по форме мало отличается от эл-
эллипсов н гипербол, имеющих эксцентриситет, близкий к 1. На черт. 68
С
х-с
Р
А
у
к'
Черт, 67.
Черт. 68.
изображены эллипс с эксцентриситетом е ч=0,9, гипербола ') с эксцен-
эксцентриситетом е*=1,1 н парабола (s = l), имеющие общий фокус F и об-
щую вершину А.
Полуоси а, Ь и полуфокусное расстояние с эллипса и гиперболы
выражаются через е следующим образом:
Эллипс
Гипербола
а =
1
£
Р
Р
г _
■"
1
Ъ s=
Ь ~
VI
р
~
р
2 _
Е«
1
С
с
= ЦЕ
- р
= р
1
е
Е
е
Е-
1
Расстояние 8 =AF от фокуса F до вершины А во всех трех слу-
случаях выражается формулой
1) Вторая йершина эллипса и гиперболы (а вместе с тем и вся вторая
ветвь гиперболы) тем дальше от первой вершины, чем е ближе к 1,
74 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 53. Конические сечения
Эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями,
так как их можно получить на поверхности круглого') конуса в пере-
пересечении с плоскостью F, не проходя-
проходящей через вершину конуса. При
этом поверхность конуса мыслится
неограниченно продолженной в обе
стороны от вершины.
Черт. 70.
Черт. 71.
Если плоскость Р не параллельна цч одной образующей конуса
(черт. 69), то коническое сечение есть эллипс s).
Если плоскость Р параллельна только одной из образующих ко-
кому са (КК' на черт. 70), то коническое сечение е(.ть парабола.
Если плоскость Р параллельна двум образующим конуса (КК' и
I.L' на черт. 71), то коническое сечение есть гипербола.
Если плоскость Р проходит через вершину конуса, то вмесю эл-
эллипса мы получим точку, вместо гиперболы —пару пересекающихся
прямых (черт. 72), а вместо параболы —прямую касания плоскости Р
с конусом (черт. 73). Эту прямую можно рассматривать как две слив-
слившиеся в одну.
') Л также на поверхности некруглого кругового конуса.
-) В частности, эллипс может быть окружностью. На круглом ко-
иУсе круговые сечения образуются только плоскостями, параллель-
параллельными основанию; некруглый же конус имеет еще одно семейство кру-
круговых сечений.
§ 54, ДИАМЕТРЫ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
Черт. 72.
Черт. 73.
§ 54. Диаметры конического сечения
Середины параллельных хорд всякого конического сечения лежат
на одной прямой; эта прямая называется диаметром конического
сечения. Каждому направлению параллельных хорд соответствует
свой диаметр (<сопряженпый* с данным направлением). На черт. 74
(/ '
Черт. 74.
Черт. 75,
изображен один из диаметров U'U эллипса. На нем лежат середины
К1( Къ... параллельных хорд MtMi, МгМ'г, ... Геометрическое место
этих середин есть отрезок L L диаметра U'U.
На черт. 75 изображен диаметр U'U гиперболы, соответствующий
параллельным хордам AIjAIJ, MtM't к т. д. На нем лежат середины
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Ki,Ki,... этих хорд. Геометрическое место точек К|,К2(... есть пара
лучей L'W и LU.
Замечание. В элементарной геометрии диаметром окружности
называется отрезок (наибольшая хорда). В аналитической гео-
геометрии слово 'диаметр» иногда тоже употребляется для обозначения
отрезка LL' (черт. 74, 75). Но чаще этим словом называют всю
Прямую LL'.
§ 55. Диаметры эллипса
Все диаметры эллипса проходят через его центр.
Диаметр, соотлетстпуюшнй хордам, параллельным милой оси, есть
большая ось (черт. 7В). Диамел рр соответствующий хордам, параллель-
параллельным большой оси, есть малая ось.
Черг. 76.
Черт. 77.
Хордам с угловым коэффициентом к (к^О) отвечает диаметр у-
где ki определяется из соотношения
т.е.
Пример I. диаметр U'U эллипса
A)
A3)
1
(черт. 77), отвечающий хордам с угловым коэффициентом А » — -^- ,
представляется уравнением у = ft1x; значение hx определяется из соот-
ношения — -q- fti = —ц , так что уравнение диаметра U'U есть
у =
Пример 2. Диаметр VV (черт, 77)того же эллипса, соответ-
соответствующий хордам с угловым коэффициентом fr = —, представляет-
представляется уравнением у = — ~^х.
Если диаметр U'U эллипса делит пополам хорды, параллельные
диаметру VV, то диаметр v'V всегда делит пополам хорды, параллель-
параллельные диаметру U'U
56. ДИАМЕТРЫ ГИПЕРКОЛЫ
77
8 х2 Vs
Пример 3. Диаметр у — — -х-х эллипса —-+-£- = 1 (ср. при-
примеры 1 и 2) делит пополам хорды, параллельные диаметру у~ - - х.
В свою очередь диаметр у = -=-х делит пополам хорды, параллельные
8
диаметру у = —-^ х.
Диаметры, из которых каждый делит пополам хорды, параллель-
параллельные другому, называются взаимно сопряженными.
Два диаметра, сопряженных друг с другом и вместе с тем взаимно
перпендикулярных, называются главными диаметрами. У окруж-
окружности всякий диаметр —главный. У эллипса, отличного от окружнос-
окружности, есть лишь одна пара главных диаметров—большая и малая оси.
Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений
имеют со1ласно (la) противоположные знаки, г. е. два сопря-
сопряженных диаметра эллипса принадлежат раз-
различным парам вертикальных углов, образуе-
образуемых осями (на черт. 77 диаметр VV лежи г ^о И и IV четверш,
а U'U —а I и Ш четверти). При врашенни диаметра U'U сопряжен-
сопряженный диаметр W врашаеюя а ту же сторону, чго и U'U.
§ 56. Диаметры гиперболы
Все диаметры гиперболы проходят через ее центр.
Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси
(черт, 75), есть действительная ось (геометрическое место середин хорд
есть пара лучсн А'Х' и АХ); диаметр, соответствующий хордам, па-
параллельным действительной оси (черт. 79), есть мнимая ось (середины
хорд заполняют ось Y'Y целиком).
Г
V
S.
/
s.
\
/
/
У
Y
d
\
\
/
У
X
\
\
х Л' №'-0
Черт. 78. Черт.
Для гиперболы, как и для эллипса, угловой коэффициент к парал-
параллельных хорд (А^О) и угловой коэффициент kL соответствующего
диаметра связаны соотношением
ftft, « e»-l. A)
Но соотношение Aа) § 55 заменяется соотношением
62
= +-
A6)
78
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 1. Диаметр U'U гиперболы-^—~ = 1 (черт. 80), coot-
** 4 10
ветствующий хордам с угловым коэффициентом h я-<г> представляется
.у уравнением y=kjx; значение ki
1 *v . определяется из соотношения
4
кк± = -Q-, так что уравнение
диаметра U'U есть у = -=• X.
О
Пример 2. Диаметр V'V
(черт. 80) той же гиперболы,
соответствующий хордам с угло-
о
вым коэффициентом ft = — , пред-
10
ставляется уравнением у= -<г- х.
Ксли диаметр U'U делит по-
пополам хорды, параллельные диа-
диаметру VV, то диаметр и^всегдаделитпополамхорды,параллельные
диаметру (J'U.Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.
У всякой гиперболы есть лишь одна пара главных (т. е. соп-
сопряженных и вместе с тем взаимно перпендикулярных) диаметров —
действительная и мнимая оси.
Если угловой коэффициент параллельных хорд по абсолютному
значению больше, чем угловой коэффициент асимптоты, т. е.
1 ' а
(см, пример 1, где — = - ), то геометрическое место середин хорд
есть пара лучей (I.'W и LU), Если же
(см. пример 2), то середины хорд заполняют диаметр (W па черт. 80)
целиком. Из двух сопряженных диаметров один всегда принадлежит
к первому типу, другой—ко второму.
Замечание 1. Угловой коэффициент параллельных хорд не
может по абсолютному значению равняться —, ибо прямые у ==
= ± — х (асимптоты) не пересекают гиперболы, а прямые, параллель-
параллельные асимптоте, пересекают гиперболу лишь в одной точке.
Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений име-
имеют согласно AС) одинаковые знаки, т. е. два сопряженных диа-
диаметра гиперболы принадлежат одной и той же
паре верти к а ль ныхугло в, образованных осями.
Напротив, по отношению к асимптотам два сопряженных диа-
диаметра принадлежат различным парам вертикальных углов.
Замечание 2. При вращении диаметра U'U гиперболы сопря-
сопряженный диаметр VV вращается в противоположную сторону. При
этом, когда U'U неограниченно приближается к одной из асимптот,
VV неограниченно приближается к той оке асимптоте. Поэтому об
асимптоте говорят, что она является диаметром, сопряженным самому
себе. Это выражение условно, ибо асимптота не является диаметром
(ср. замечание 1). Кроме асимптот, всякая другая прямая, проходя-
проходящая через центр гиперболы, является одним из ее диаметров.
§ 57. ДИАМЕТРЫ ПАРАБОЛЫ
§ S7. Диаметры параболы
79
Все диаметры параболы параллельны ее оси; см. черт. 81 и 82 (гео-
(геометрическое место середин параллельных хорд параболы есть луч LU).
Диаметр, соответствующийхордам, перпендикулярным к оси пара-
параболы, есть сама ось (черт. 83).
Черт. 81.
Черт. 82.
Диаметр параболы у&-=2рх, соответствующий хордам с угловым
коэффициентом к (ft ^0), представляется уравнением
У =
(чем больше наклон хорды к оси, тем диаметр дальше от оси *)).
Пример. Диаметр параболы у* =2рх, соответствующий хордам,
наклоненным к оси под углом а 45° (А = 1), представляется урав-
уравнением у*р, т. е. его расстояние от оси АХ (черт. 84) равно фокаль-
Черт. 83-
Черт. 84.
ной полухорде FR <§ 52). Значит, диаметр пересекает параболу в точ-
точке R, лежащей над фокусом F.
Все прямые, параллелыше какому-либо диаметру параболы, пере-
пересекают параболу только в одной точке. Поэтому взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров у параболы нет.
1) Угловой коэффициент всякого диаметра параболы равен нулю,
т. е. удовлетворяет ураанениго к!с,_ = е3 — Т, которое имеет место
(§§ 55, 56) для эллипса и гиперболы (для параболы с = 1).
80 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 58. Линии второго порядка
Эллипс (в частности, окружность), гипербола и пара-
парабола являются линиями второго порядка, т. е. во всякой
системе декартовых координат представляются уравне-
уравнениями второй степени. Но не всякое уравнение второй
степени представляет одну из упомянутых линий. Может,
например, случиться, что уравнение второй степени пред-
представляет пару прямых.
Пример 1, Уравнение
4х!-9у3 = 0, A)
распадаюшееся на два уравнения 2х~3у - 0 и 2х+3у = О,
представляет пару прямых, пересекающихся в начале коор-
координат.
П р и м е р 2. Уравнение
x2-2xy+y*-Q = 0, B)
распадагошееся на уравнения х-у + 3 = 0и х-у-3 - О,
представляет пару параллельных прямых.
Пример 3. Уравнение
ха-2ху+у2 = 0, C)
т. е. (х-уУ = 0, представляет одну прямую х—у = 0;
ио ввиду того, что в левую часть C) двучлен х-у вхо-
входит множителем дважды, принято считать, что C) пред-
представляет две слившиеся прямые.
Может случиться, что уравнение второй степени пред-
представляет только одну точку.
П р и м е р 4. Уравнение
хйч4уй = 0 D)
имеет только одно действительное решение, именно х — О,
у = 0. Оно представляет точку @; 0). Впрочем, D) распа-
распадается на два уравнения х+-^ iy = 0, x-^iy = 0 с мни-
мнимыми коэффициентами. Поэтому говорят, что D) пред-
представляет «пару мнимых прямых, пересекающихся в дей-
действительной точке».
Наконец, может оказаться, что уравнение второй сте-
степени не представляет никакого геометрического места.
П р и м е р 5. Уравнение
-э ^ — ie *- '
§ 59. ЗАПИСЬ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 81
не представляет ни линии, ни даже точки, так как вели-
чина -^g-+-zrnr ие М0Жет иметь положительного значения.
Однако ввиду внешнего сходства уравнения E) с уравне-
уравнением эллипса говорят, что уравнение E) представляет
«мнимый эллипс».
Примерб. Уравнение
хи-2ху+уя + 9 = 0 (б)
тоже ие представляет ни линии, ни даже точки. Но так
как оио распадается на уравнения x-y+3i = 0 и х-у-
-3( = 0, то говорят (ср. пример 2), что F) представляет
«пару мнимых параллельных прямых».
Коническими сечениями и парами прямых исчерпыва-
исчерпываются все линии, которые могут представляться уравнением
второй степени в декартовой системе координат. Иными сло-
словами, имеет место следующая теорема.
Теорема. Всякая линия второго порядка есть либо
эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара пря-
прямых {пересекающихся, параллельных или совпавших).
План доказательства. С помошью преобразо-
преобразования координат данное уравнение второй степени приво-
приводится к более простому виду, и тогда мы либо получаем
одно из канонических уравнений
■^г+-^- = ± 1 (эллипс, действительный или миимый),
"fr""^" ~ * * (гипербола), у- = 2рх (парабола),
либо обнаруживаем, что уравнение второй степени разла-
разлагается на два уравнения персон степени. Вместе с тем мы
находим размеры линии второго порядка и расположение
ее относительно первоначальной системы координат (на-
(например, для эллипса —длины осей, их уравнения, положе-
положение центра и т. п.).
В §§ 01-02 упомянутые преобразования проведены
полностью.
§ 59. Запись общего уравнения второй степени
Общее уравнение второй степени обычно пишут в виде
Ax* + 2Bxy + Cy°- + 2Dx+2Ey+F = 0. A)
Обозначения 2В, 2D, 2Е (а ие В, D, Е) введены потому,
что во многие формулы входят половины коэффициентов
при ху, при х и при у. Пользуясь обозначениями 2В, 2D,
2Е, мы устраняем дробные выражения.
6 М. Я. Вьн одский
82 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примерь Для уравнения
хЧху-2уг + 2х-ь4у + 4 = О
имеем:
А=\, В = ±, С ~ -2, D=l, £=2, F = 4.
Пример 2. Для уравнения 2ху±х+5 - 0 имеем:
Л = О, В = 1, С = О, D = 4- £ = °' F=5-
Замечание. Величины А, В, С, D, E, F могут иметь
любые значения, лишь бы величины Л, В, С ие были равны
нулю все вместе, ибо тогда A) есть уравнение первой
степени.
§ 60. Упрощение уравневия второй степени;
общие замечания
Преобразование уравнения второй степени
А& + 2Вхуь Cy2+2Dx+2Ey±F = 0 A)
к одному из простейших видов (см. § 58) мы выполним по
следующему плану2).
а) Предварительное преобразование.
С его помощью мы освободимся от члена, содержащего
произведение координат (это достигается поворотом осей;
см. § 61).
б) Завершающее преобразование. С его
помощью мы затем освободимся от членов, содержащих
первые степени координат (это достигается переносом на-
начала; см. § 62).
§ 61. Предварительное преобразование
уравнения второй степени
(Если В = 0, то это преобразование становится не-
ненужным-)
Поворачиваем оси координат на угол а, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию *)
tg2* = :^. B)
1) Излагаемый здесь способ-не самый быстрый, но он не требует
никаких вспомогательных теорем. Другой способ, ведущий к цели
быстрее, объяснен а §§ 69, 70.
*) Если A SB С (величина \ _г «обращается в бесконечность) 1,
то (§ 21, замечание) 2« = ± 90е, т. е. «. » ± 45°.
S 61. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 83
Формулы преобразования будут (§ 36):
х = х' cos а - у" sin а, у = х' sin а + у' cos а. C)
Члены с ху взаимно уничтожатся *), и новое уравнение
будет иметь вид
Ах'2 + Су2 + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0. D)
Пример 1. Дано уравнение
2х2 — 4ху + 5у2 — х+5у-4 = 0. Aа)
Здесь Л = 2, В = -2, С = 5, D =-^, Е = ~, F = -4.
Из условия B) находим:
t? 9а = —— — — BaJ
Если угол 2а взять в первой четверти Ba ^ 53°8',
а « 26°34'), то получим:
COS 2а = :/^_1-,_ = 4 ,
. _ i/l-cos 2я _ _1_
_ |/"l+CQs2ac _ _Н_
"• Г 2 ~ Кб
COS Я
Формулы C) принимают вид
Подставляя в Aа), находим новое уравнение
зг*+6у'| + -р:Х/ + —у-4 = 0, Dа)
где
А = 1, В' = О, С = 6, D' = -—=, £' а ~~=. F' = -4.
Коэффициент при х'у' имеет вид
2В' = (С - А) 2 sin *COS a+2B(C0S* я -sin' «)
(C4>I2+2BOS2
В силу B) этот коэффициент равен нулю,
6*
84 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ"
Если взять угол 2а в третьей четверти Bя w 233°8',
а^= П6°34'), то аналогично получим уравнение
где
2^ 2YT'
Пример 2. Дано уравнение
=. 0. A6)
Здесь
Л=1, В=1, С = 1, D=l, Я=4» F => 0.
Так как Л = С, то (см. сноску '-) на стр. 82) можно взять
а = 45°. Подставив в A6) выражения
х = X' cos45° -у sin45° = ~{х'~у), \
i C6)
у = х' sin 45° +у cos 45° = ~7=z(x' + y),
находим:
Здесь
А' = 2, В' = О, С = О, D- = ~, Ь' = 1-=, F' = 0.
' ' ' 2У2' 2/2'
Если взять а = —45°, то получим:
2y»+^x' + JLy «0. D6')
Здесь
Д' = 0, В' = О, С =2, D' = -i=, Е' = -3-z, F' = 0.
П р и м е р 3. Даио уравнение
-8у-17 = 0. Aв)
§ 62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 85
Так как А= С, то можно взять а = 45°. Подставив в Aв)
выражения C6), найдем:
17 = 0. Dв)
Взяв а = -45°, получим:
4х'2 + 8^г-17 = 0. Dв')
§ 62. Завершающее преобразование
уравнения второй степени
Здесь нужно различать два случая:
1) ни один из коэффициентов Л', С' в уравнении
Л'х'* + Су'+2О'х' + 2Е>у + Р' = 0 D)
не рлпен нулю (так было в примере 1);
2) один из коэффициентов А', С' равен нулю (так было
ч примерах 2 и 3)*).
Случай 1. Уравнение
= 0 D)
преобразуем так. Сумму A'x>2+2D'x' - Л'(х'г + 2~хЛ
дополняем членом ~; получаем А' (х' + -^-У. Сумму
Су* + 2Е'у' дополняем членом -^-; получаем С' (уЧ-т^У*
К правой, части D) для компенсации прибавляем -тт+-гг.
Получаем уравнение вида
*(*+%у+с-(у+§у = к: E)
где
Переносим начало в точку (~д-,\ -яг)» т- е- преобра-
преобразуем координаты (§ 35) по формулам
х-=х-%, У = У~^. (б)
!) Коэффициенты А' и С не могут оба вместе равняться нулю
(иначе уравнение D) будет первой степени).
86 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Получаем уравнение
А'Г- + Су* = К' (А' * О, С* 0). G)
Если К' ? 0, то разделим это уравнение на К'. Получим:
А' С'~
а) Если оо~с величины-Д7, Q- положительны, то имеем
эллипс,
б) Если обе величины ^р, ^т- отрицательны, то имеем
миимый эллипс (ср. пример 5 § 58).
в) Если одна из этих величин (вес равно какая) поло-
положительна, а другая отрицательна, то имеем гиперболу.
Если же К' = 0, то уравнение G) имеет вид
А'жЧС'Я = О. G')
Возможны два случая:
г) Если А' и С' имеют различные знаки, то А'хг + С'уа
разлагается на множители первой степени, как разность
квадратов. В обоих множителях коэффициенты действи-
действительны, и мы имеем пару пересекающихся прямых (ср.
пример 1 § 58).
д) Если А и С имеют одинаковые знаки, то А'$*+С'у*
тоже разлагается иа множители первой степени, ио оба
множителя содержат члены с мнимыми коэффициентами,
и мы имеем пару мнимых пересекающихся прямых, т. е.
одну действительную точку (ср. § 58, пример 4).
Пример 1. Уравнение (U) примера 1§ 61 после пово-
поворота осей преобразовалось к виду
+ ^x- + j±y-4 = 0. Dа)
Это уравнение запишем в виде
46(r+
у/" у + 4) Eа)
u
у
2YT)
+б
/ u у
S 62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
87
Переходя к новой системе с началом координат в точке
(—?=; -—Ц=Л по формулам
л — л ™~
получаем:
или
1/' ^ V ■_■
у — j ^
131
11
}_
24
-+■
24
= 1.
Fа)
Gа)
(8з)
_
Н4
Исследуемое уравнение представляет эллипс с полуосями
" = f'ic * 2'3' Ь = /Иг ** 1'°" На ЧСРТ" 85 (г^е 0Е-
единица масштаба) а = О' Л, Ь = О' В.
Центр эллипса находится в точке О' с координатами
х = о, у = 0. С помощью
формул Fа) найдем коорди-
координаты центра в промежуточ-
промежуточной системе X'OY".
х- —
На черт.
*' =
--
85
ОР
2 ^5 W
II
12^5" ^
', v' =
-0,7,
-0,4.
Р'О:
По формулам (За) § 61 иайдем координаты центра в перво-
первоначальной системе XOY:
и
12
2
3
-0,4,
-0,7.
На черт. 85 хц = ОР, уп = РО'.
Найдем уравнеиия_осей эллипса в первоначальной си-
системе. Б системе XO'Y большая ось предстарляется ураз-
88 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
пением у = 0, в системе X'OY' та же ось в силу второго
уравнения Fа) представляется уравнением у' = ~.
\л у о
Решив систему (За) относительно х1, у, найдем:'
Нам нужно только второе из этих уравнений; положив в
нем у' = -=., получим уравнение большой оси в си-
стеме XOY; имеиио
_2_ 1- п_
У 5"^ ft ~ 12 /б
ИЛИ
12х-24у-11 = 0.
Тем же способом найдем уравнение малой оси
4x+2y±S = 0.
С л у ч а и 2, Один из коэффициентов Л', С равен нулю.
Уравнение D) имеет вид
F' = 0 (9)
или
Cy'- + 2D'x' + 2Ey±F> = 0. (9')
Рассмотрим уравнение вида (9) [для уравнения вида (9')
вычисления те же, только х' и у меняются ролями].
а) Если Е'^0, то уравнение (9) можно разрешить
относительно у; получим:
Имеем параболу. Координаты вершины определяются фор-
формулами E) § 50 при
D'
б) Если Е' = 0, то уравнение (9) примет вид
= 0.
62. ЗАВЕРШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Разложив левую часть A1) на множители перпой степени,
получим *):
==O. A2)
Уравнение A2) [а значит, и A1)] при D's~ A'F' =- О пред-
представляет пару параллельных прямых, при DrS— A' F' ■< О —
пару мнимых параллельных прямых, при DrS- A'F' ~ О -
две слившиеся прямые (§ 58, примеры 2, 6 и 3).
Пример 2. Уравнение A6) примера 2 § 61 после по-
поворота осей иа угол 45° преобразовалось к виду
-~у' = О.
D6)
Разрешив относительно у, получим:
у = 2^2~х
A06)
Уравнение (Юб) [а значит, и A6)] представляет параболу
(черт. 86); координаты х', у
ее вершины Л находим по
формулам E) § 50:
х'. - - —~ - - 0 й
Черт. 86.
Координаты вершины
можно найти и без помощи
формул E) § 50 (см. § 50,
замечание 1).
По формулам C6) § 61 находим координаты вершины
в первоначальной системе:
- Ш.{ ' лЛ ~ У~2 ( 3 i _Н_\ - А ~ ПО
Хд — 2 \Х ~ У ) ~ 2 \ ■ •'"- --'~ 1 ^ 1R "" и> >
- "з"^ +У ) -
f) 16
~ ~\i-^- \ — "~ 1 ft *" О, J.
*) Величины '-
Уравнения (П).
суть корни
90
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Найдем уравнение оси AU параболы. В новой системе эта
ось представляется уравнением
4^2"'
Разрешив уравнения C6) относительио х-, у, найдем:
х> = Ц-(х+у),
Подставив в первое из этих уравнений (второе нам не
нужно) х' — ~, получим:
или
** 4х+4у+3 *= 0.
Это ~ уравнение оси параболы в
х первоначальной системе.
Пример 3. Уравнение Aв)
примера 3 § 61 после поворота
осей на угол -4,5° преобразова-
преобразовалось к виду
4r2 + 3J/2V-17 = 0. Dв')
Разложив левую часть уравнения Dв') на множители, по-
получим; _ _
B|£i)(it|ll)o. A2.)
т. е. имеем пару параллельных прямых (UV и U'V' на
черт. 87):
5р^2 5+2У2 A3)
Найдем уравнения этих прямых в системе ХОУ. Так как
система ХОУ получается из X'OY' поворотом на +45°,
то
х>
A4)
S 63. О ПРИЕМАХ УПРОЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ91
Подставляя в первое из этих уравнений сначала одно, а
потом другое значение A3), находим:
5+2/2- _Уг ,
2 ~ 2 ^
ИЛИ
= О.
Это - уравнения прямых UV, U'V в первоначальной си-
системе.
§ 63. О приемах, облегчающих упрощение
уравнения второй степени
Способ упрощения уравнения второй степени, изложен-
изложенный в §§ 61 -62, имеет перед другими способами два пре-
преимущества: 1) он дает полную классификацию линий вто-
второго порядка (теорема § 58); 2) он единообразен и прост
по идее. Однако этот способ требует довольно утомитель-
утомительных выкладок.
Во многих случаях выкладки можно облегчить.
1. Для линий второго порядка, распадающихся иа пару
прямых (§ 58, примеры 2, 3, 4, 6), можно легко иайти
уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию
координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно
(§ 64) дается признак распадения.
2. Нераспадающаяся линия второго порядка может
быть или эллипсом, или гиперболой, или параболой. Эллипс
н гипербола имеют центр, а парабола не имеет. Поэтому
упрощение уравнений эллипса и гиперболы удобно начать
с переноса начала в центр. Можно заранее узнать, к ка-
какому нз этих трех типов принадлежит линия второго по-
порядка. Соответствующий признак дай в § 67, в § 68 уточ-
уточняется понятие центра и в § 69 объяснено, как найти
координаты центра. В § 70 объяснен способ упрощения
уравнений эллипса и гиперболы.
3. Что касается параболы, то для нее способ упро-
упрощения, изложенный в § 61, остается наилучшим. Впрочем,
размеры параболы (т. е. величину параметра р) можно
легко найти при помощи так называемых инвариантов.
О них сказано в § 66.
92
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 64. Признак распадения линий второго порядка
Если линия второго порядка
Axz±2Bxy+Cy2 + 2Dx-h2by+ F = О A)
распадается на две (различные или совпадающие) прямые
(оии могу г бьпь и мнимыми), то определитель третьего
порядка (§ 118)
Л В D
Д « В С Е B)
D E F
(«большой дискриминант» *)) обращается в нуль. Обратно,
если Д = о, то линия A) распадается на две прямые.
Доказательство см. в g 65 (замечание 2).
Пример 1. В § 61 (пример 3) была рассмотрена ли-
линия второго порядка
2х2-4ху+2у*+8х-8у- 17 = О
(А=2, В = -2, С-2, D = 4, h = -4, F = -17).
В § 62 (пример 3) было установлено, что эта линия рас-
распадается на две параллельные прямые:
№x-f2y-5±2f2 = 0 C)
и
^2x~f2y+5+2f2 = 0. D)
В соответстпии с этим большой дискриминант Д равен
нулю. Действительно,
Д =
2 -:
г 4
-2 2-4
4 -4 -17
— 2
2 -
-4 -
=
4
17
+ 2
• 2-4
4 -17
+ 4
-2 2
4 -4
■» 2-(-50)+2-50+0 = 0.
П р и м е р 2. Линия второго порядка
2х2-4хи+5уг-х+5у-4 = 0
не распадается, так как большой дискриминант
Д =
— 2
--L И _4
131
4
]) Дискриминант —латинский термин, дословно «различитель».
Дискриминант Д называется большим в отличие от мадого, о котором
№. § 66,
§ 65. РАЗЫСКАНИЕ ПРЯМЫХ РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ЛИНИИ 93
ис равен нулю. В §§ б], 62 (пример 1) было показано, что
эта линия — эллипс.
Правило для запоминания выраже-
выражения B). Впервой строке выписываются подряд тебуквы,за
которыми следует х в уравнении A), во второй — те, за
которыми (непосредственно или после х) следует у, в
третьей — три последние буквы.
\
§ 65. Разыскание прямых, составляющих
распадающуюся линию второго порядка
Чтобы найти уравнения двух прямых, вместе составляю-
составляющих распадающуюся линию второго порядка
Ax2±2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey+ F = 0 A)
(условие распадения см. § 64), достаточно разложить ле-
вуго часть A) на множители первой степени. Когда хотя
бы один из коэффициентов А, С не равен нулю, лучше
всего прямо решить уравнение A) относительно той из букв
х, у, которая входит туда во второй степени. Два решения
(оии могут и совпадать) представят две искомые прямые.
Пример 1. Линия второго порядка
-8у-17 = О B)
является распаддющейся, так как большой дискриминант
Д =
2-2 4
-2 2 -4
4 -4 -17
равен нулю. Уравнение B) можно решать относительно
любой из букв х, у (обе входят do второй степени). Пред-
Представив B) в виде
решаем его относительно у; получаем:
У =
т. е.
94
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Одна из прямых представляется уравнением у =
+ -^L, другая - уравнением y=x+2--|L. Эти пря-
прямые параллельны (ср. пример 3 §§ 61-62).
П р и м е р 2. Линия второго порядка
2хЧ-7ху-15у2-10х4-54у-48 = О
C)
распадается, так как
д =
2
Л
2
-5
i -5
-15 27
27 -48
= 0.
Представив C) в виде
находим:
У
-1Qx-4S)
30
Подкоренное выражение равно 1б9х3+15бх+3б =
= A3x+6)s. Следовательно, у = ?*±5*_±^±^. Одна из
прямых представляется Уравнением у = Щг^, другая -
уравнением у = ~"*5+8 . Эти прямые пересекаются в точке
V 13' 13/'
П р и м е р 3. Линия
10ху-14х+15у-21 « О
распадается, так как
0 5-7
D)
Д =
-7
О
— -21
2 *1
= 0.
В уравнение D) как х, так и у входят только в первой
степени. Поэтому разлагаем левую часть D) на множи-
множители, группируя члены. Получаем:
Юху- 14х+15у-21 = 2хEу-7) + 3Eу-7) =
B
Линия D) распадается на прямые: 2х+3 = 0 и 5у-7 = 0.
S 65. РАЗЫСКАНИЕ ПРЯМЫХ РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ЛИНИИ 95
Замечание 1.В случае А = С = 0 можно тоже ре-
решать данное уравнение относительно х или у; так, в при-
примере 3 получим (Юх+15)у = Н.г+21, но дальше делить
обе части на 10х+ 15 можно лишь в том случае, когда
14 21
10х+15 ис равно нулю. Тогда получаем у =
7 Bх + 3> 7 7
= -г-Уо—тоТ ~ т> и Уравнение одной из прямых есть у = —
т. е. 5у-7 = 0. В случае, когда 10*+15 = 0, т. е.
X = -:k, уравнение A0х+15)у = 14х+21 удовлетво-
удовлетворяется при любом значении у; таким образом, получаем
другую прямую х = -g-, т. с. 2х + 3 = 0.
Замечание 2. Вычисления, проделанные в приме-
примерах 1 и 2, можно выполнить для любого уравнения вида A),
если только С^О. Проделав эти выкладки в общем виде,
получим под радикалом квадратный трехчлен
CF. E)
Он будет полным квадратом в том и только в том случае,
если
(BE-CDy-(B*-AC) (Ea"-CF) = 0. (б)
После простых преобразовании увидим, что левая часть
равенства F) равна С'Д, где Д-большой дискриминант.
Так как, по предположению, С * 0, то признак распадения
есть Д = О, В случае, когда С = 0, но А * 0, мы прихо-
приходим к тому же выводу, иименяв ролями х и у. Так дока-
доказывается признак § G4 для общего случая. В исключитель-
исключительном же случае, когда А = С = О (и, стало быть, В ^ 0),
левая часть уравнения A) принимает вид
Представим этот многочлен в виде 2х (y)
+ BEy+F). Это выражение разлагается на множители
первой степени только в том случае, когда у двучленов
By+D и 2£y-i-F соответственные коэффициенты равны
или пропорциональны (см. пример 3), т. е. когда 2DE—
- BF = 0. Но в рассматриваемом случае большой дискри-
О В D
мииант Д имеет вид
ВОЕ
а отсюда следует, что
D E F
2DE- BF — -g-. Так доказывается признак § 64 в исклю-
исключительном случае.
56 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 66. Инварианты уравнения второй степени
При переходе от одной системы прямоугольных коор-
координат к другой мы заменяем уравнение
Ax* + 2Bxy+Cyn- + 2Dx + 2Ey+F = 0 A)
линии второго порядка другим уравнением
которое получается из A) с помощью формул преобразо-
преобразования координат (см. примеры §§ 01 и 62). При этом зна-
значения Л', В', С', D', E', F' (все илн некоторые) отличаются
от значений одноименных величин А, В, С, D, E, F.
Однако три нижеприведенных выражения, составлен-
составленных из величин А', В', С', Dr, E', F1, всегда остаются
равными одноименным выражениям, составленным из
величин А, В, С, D, E, F. Эти три выражения называются
инвариантами*) уравнения второй степени.
а) Первый инвариант А±С.
А В
б) Второй инвариант S =
В С
(малый дискриминант).
в) Третий инвариант
А В D
А = ВСЕ (большой дискриминант).
D E F
Пример 1. Уравнение
-4 = О
(Д я 2, В = -2, С = 5, D = -1, Я = |, F = -4)
мы преобразовали в § 61 (пример 1) к виду
соответственно повороту осей на угол arcsin — ^ 26°34\
а) Выражение А + с в старой системе равнялось
2+5 = 7, в новой системе одноименное выражение
А' + С' равняется 1 + 6 = 7, так что
Инвариант-латинский термин, а переводе-«неизменный..
S бб. ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ 97
б) Малый дискриминант в старой системе был равен
&
2 -2
-2 5
в новой системе имеем:
так что
= 2-5-(-2)-(-2) = б,
= 6,
1 О
О 6
S = $'.
в) Большой дискриминант в старой системе был равен
в новой
так что
Д =
2
-2
системе
Д' =
1
6
3
-2
5
1
О
6
И
2 У 5
2
-4
= -
3
'и
Vlf
4
131
4
>
131
4
Д = Д'.
Пример 2. Уравнение
мы затем преобразовали в § 62 (см. пример 1) к сиду
131
= 0 соответственно переносу начала в точку
X' =:
будет;
24
3
Д =
12У5
1 О
О 6
. Большой дискриминант теперь
о о -£
131
4
т. е.
Д = Д' = Д.
7 М. Я. Выгодский
98 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Два других инварианта, очевидио/гоже сохранили преж-
прежние значения.
Для доказательства неизменности каждой из величин
а), б), в) достаточно составить выражения величии Л', В',
С',... через Л, В, С, ... (эти выражения будут содержать
также угол поворота я п координаты нового начала). Под-
Подставив их, например, в выражение А' + С', мы после упро-
упрощений найдем Ал~С н т. д. Однако эти выкладки очень
громоздки*),
Замечание. Если обе части уравнения A) помно-
помножить (или разделить) па какое-нибудь число к, то новое
уравнение представляет ту же линию второго порядка.
Однако теперь величины а), 6"), в) изменяются: первая по-
помножится на к, вторая на к2, третья ш к\ Вот почему вели-
величины а), б), в) называются инвариантами уравнения вто-
второй степени, а не инвариантами линии второго порядка.
§ 67. Три типа линий второго порядка
Л1алый дискриминант 8 (§ бб) для эллипса положителен
(см. пример 1 § 66), для гиперболы отрицателен, для лара-
болы равен иулго.
Доказательство. Эллипс представляется уравне-
уравнением ~+^-1 = О. У этого уравнения малый дискрими-
дискриминант S = ^«^ > О. Прн преобразовании координат S
сохраняет свою величину, а при умножении обеих частей
уравнения иа какое-либо число к дискриминант умножается
на ks (§ 66, замечание). Следовательно, дискриминант эл-
эллипса положителен в любой системе координат. В случае
гиперболы и в случае параболы доказательство анало-
аналогично.
Сообразно с этим различают три типа линий второго
порядка (и уравнений второй степени):
а) Эллиптический тип, .характеризующийся условием
S= АС-В* > О.
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также
мнимый эллипс (§ 58, пример 5) н пара миимых прямых,
пересекающихся в действительной точке (§ 58, пример 4).
1) Существуют искусственные приемы, облегчающие доквза-»
тельство.
§ 67. ТРИ ТИПА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 99
б) Гиперболический тип, характеризующийся условием
S= АС-В2 * О.
К нему относится; кроме гиперболы, пара действитель-
действительных пересекающихся прямых (§ 58, пример 1).
в) Параболический пит, характеризующийся условием
S = АС - В*- =г. О.
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных
(действительных или мнимых) прямых (они могут сов-
совпадать).
Пример 1, Уравнение
=*0 A)
принадлежит к параболическому типу, ибо
Так как большой дискриминант
1 1 1
1 1 Д
1 4- о
не равен нулю, то уравнение A) представляет нераспада-
нераспадающуюся линию, т. е. параболу (ср. §§ 61-62, пример 2).
П р и м е р 2. Уравнение
принадлежит к гиперболическому типу, нбо
$ = АС-В* = 8-1-12* ~ -136 < 0;
так как
д =
8 12 -28
12 1 9
28 9 -55
то уравнение B) представляет пару пересекающихся пря-
прямых. Их уравнения можно найти по способу § 65,
Пример 3. Уравнение
4«о
100 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
принадлежит к эллиптическому типу, ибо
S = АС-В* = 5-2-2' ^ б > 0.
Так как
Д =
2 -2 --£
-2 5 4
/О,
то линия ие распадается и, значит, является эллипсом.
Замечание. Однотипные
*" линии геометрически связаны
так: пара пересекающихся мни-
мнимых прямых (т. е. одна дей-
действительная точка) есть прс-
.дельный случай эллипса, «стя-
*гиваюшегося в точку» (черт. 88);
пара пересекающихся действи-
действительных прямых- предельный
случай гиперболы, приблнжаю-
Черт. 88. шейся к своим асимптотам
(черт. 89); пара параллельных
прямых - предельный случай параболы, у которой ось и
одна пара точек М, М', симметричных относительно оси
Черт. 89.
Черт. 90.
(черт. 90), неподвижны, а вершина Удаляется в бесконеч-
бесконечность.
g 68. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ 101
§ 68. Центральные и нецентральные линии
второго порядка
Определение. Точки А и В (черг. 91) называются
симметричными относительно точки С, если С делнт по-
пополам отрезок АВ. Точка С называется центром симмет-
симметрии (короче, центром) фигуры, если у фигуры наряду
с каждой ее точкой М имеется
также точка N, симметричная с ^ у,, „ J\
М относительно С.
Точка, названная нами (§ 40) Черт. 91.
центром эллипса, а также точка,
названная {§ 44) центром гиперболы, очевидно, подходят
под определение настоящего параграфа. Центром линии
второго порядка, распадающейся на две пересекающиеся
Черт. 92,
прямые (§ 58), является, согласно определению настоя-
настоящего параграфа, точка пересечения этих прямых (L на
черт. 92).
Каждая из рассмотренных выше линий второго по-
порядка обладает единственным центром. Если же линия
второго порядка состоит из дпух параллельных прямых
(Ав и CD на черт, 93), то иод определение центра подхо-
подходит любая точка прямой MN, равноотстоящей от АВ
и CD.
Парабола вовсе не имеет центра.
Линии второго порядка, имеющие единственный центр
(эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых), назы-
называются центральными; линии второго порядка, имеющие
множество центров или вовсе их ие имеющие (парабола,
пара параллельных прямых), называются нецентральными.
Замечание. Мнимые эллипсы и пары мнимых пря-
прямых, пересекающихся н действительной точке (см, § 58),
102 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
причисляются к центральным линиям. По отношению к
мнимому эллипсу это причисление условно, фигура же,
состоящая из одной действительной точки, подходит под
определение центральной «линии» (эта точка сама является
центром). Пары мнимых параллельных прямых (§ 58) при-
причисляются к нецентральным линиям.
Таким образом, линии второго порядка, принадлежа-
принадлежащие к эллиптическому и гиперболическому типам (для них
АС-В2 ?* 0; см. § 67),-центральные; линии параболиче-
параболического типа {Ас-В2 = 0)-нецентральные.
§ 69. Разыскание центра центральной лннни
второго порядка
Чтобы найти координаты х0, у0 центра центральной
линии
= 0,
надо решить систему уравнений
Вхо+Суо+Е
= 0. /
О)
B)
Эта система совместна и имеет единственное решение
(§ 187)
Лп — ~*
D
Е
А
В
В
С
в
с
C)
А В
В С
0 (это-условие центральности; § 68).
так как
Пример 1. Центр линии (пример 2 § 67)
8х* + 24ху+у2~5$х+1$у~55 *= О
найдем, решив систему
D)
Получим:
0-2S = О,
+9 = 0.
-28
9
8
12
12
1
12
1
-1, У* = —
8 -28
12 9
8 12
32 1
§16, упрощение уравнения центральной линии 103
Так как D) есть распадающаяся лниия гиперболического
типа, то точка (-1; 3) есть точка пересечения прямых,
составляющих линию D).
Л р и м е р 2. Центр лилии (пример 1 § 61)
2xs-4xy + 5y3-x+5y-4 « 0 E)
иаЙдеМ; решив систему
2хч—2у0 — -% — 0,
оуо ~ 0.
Получим:
Линия E) есть эллипс (так как S ^ 0 и Д ^ 0).
Вывод уравнений B). Если перенести начало в
искомый центр С(х0; yQ), то уравнение A) с помощью
формул переноса
(б)
преобразуется к виду
Ах'*+2Вх'у'+Cy's+2 (Ахо+ Вуо+П) xf+
+ 2(Bx+Cy+B)'+F<=0, G)
где для краткости положено
Если й«, уа будут удовлетворять уравнениям B); то G)
примет вид
Ax's+2Вх'у'+Су'3 + F' ■= 0. (8)
Эго уравнение можно переписать в виде
F = 0.
Поэтому наряду с каждой точкой М (х1; у), принадлежа-
принадлежащей лииин (8), эта линия содержит н точку N (—х'; —у')»
симметричную с М относительно нового начала С. Сле-
Следовательно (§ 68), С есть центр линии (8).
§ 70, Упрощение уравнения центральной линии
второго порядка
Преобразоваиие уравнения центральной линии к про-
простейшему виду можно выполнить быстрее, чем по общему
способу § 60j если сначала совершить перенос начала в
центр (вследствие чего исчезнут члены первой степени;
104 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
см. § 69), а затем поворот осей (вследствие чего исчезнет
член, содержащий ху). Угол а этого поворота заранее
известен (§ 61); он определяется из уравнения
A)
Замечание. Этот способ применим ко всякой цен-
центральной линии второго порядка, но для распадающейся
линии лучше применить способ § 65.
Пример. Даио уравнение (пример 1 §§ 61 - 62)
Переносим начало в центр хи = -~, у0 = --| (§ 69,
пример 2).
С помощью формул переноса
X = X 4-Х' V = V -4-V C}
получаем [ср. (8) § 69]:
2к'х—4xy' + 5y's—24* = ^' №
Из A) находим tg 2а — -$, и если взять*утол а в первой
четверти (ср. § 61), получаем формулы поворота
Подставляя в D), находим:
Щ- F)
или
? у*
24 144
Данная линия есть эллипс с полуосями а = U~- w 2,3
и 6 — jl'iii ** Ь0* ^ первоначальной системе его центр
§ 71. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА
105
имеет координаты ха= --^, у0 = -у, большая ось
(она является осью абсцисс в системе х, у) представляется
уравнением у-у0 = t£a (x-Xq) или У + -3 = Tv^H/'
т. е. 12х-24у-П = О (ср. § 62, пример 1).
Замечание. Размеры эллипса можно найти и ие
выполняя преобразования координат. Мы знаем заранее,
что в результате преобразования должно полупиться урав-
уравнение вида Axz + Cp+F = О. Величины А, С и F
можно найти с помощью инвариантов (§ 66). В первона-
первоначальном уравнении они равны
А + С = 2+5 = 7. 8 = АС-В* ^ 2-5-(-2J = б.
Ш-
4
Те же значения они должны иметь в Упрощенном урав-
уравнении. Следовательно,
А+С = 7, АС = 6,
А
В
D
В
С
Е
D
Е
F
А
0
0
0
С
О
0
0
F
откула
А = 1, С = 6,
131
и мы снова получаем уравнение F).
§ 71. Равносторонняя гипербола как график
уравнения у — —
Уравнение
У =
A)
(к * О) представляет равностороннюю гиперболу (§ 44);
ее асимптоты совпадают с осями координат. Полуоси ее
а= Ь = ЩЦ.
B)
1CS АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Если к >■ 0, то ветви гиперболы расположены одна в
первой, другая в третье}* четверти; сслн же я ~* О, — то
во второй и четвертой {черт. 94), В первом случае дей-
действительная ось гиперболы со-
составляет с осью абсцисс угол
45°, во втором-угол-45°.
Bee это выводится по спо-
способу § 61, если уравнение A)
записать в виде
ху = к. C)
Замечание. В случае, когда
h =0, уравнение C) представляет
пару прямых у = 0 {ось абсцисс) и
х=0 (ось ординат). Когда | к \ неог-
неограниченно уменьшается, гиперболы
C) все теснее примыкают к этим пря-
прямым (так что пару перпендикуляр-
Черт. 94. ных прямых можно рассматривать
как вырожденную равностороннюю
гиперболу).
Уравнение (I) при Л = 0 представляет только одну прямую у=0
(ось абсцисс) и притом не всю целиком, а без начала координат, ибо
при й=о и х*=0 выражение у ■= — становится неопределенным.
Если же этой неопределенной величине давать всеаозможпые значе-
значения, то мы и получим «пропавшую» ось ординат.
§ 72. Равносторонняя гипербола как график
уравнения ?/
р
Расслштрнм уравнение
A)
при р * 0 (при р - 0 имеем прямую у = ~,
Если определитель
т п
Р Ч
« mq-np
не равен нулю, то уравнение A) представляет ту же
равностороннюю гиперболу, что и уравнение A) § 71:
где А = ""' с той лишь разницей, что центр смещается
§ 72. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 16?
из начала косшдинат в точку г (—■§-' ^) (upjst од Qfi,\
-Знячит (§ 71), полуоси равны а — & = Г^1.
В случае, когда Z) ^ 0 (тогда к =- О), действительная
ось составляет с осью абсцисс угол +45° (черт. 95),
если же D ^ 0, — to угол - 45° (черт. 96).
П р и м е р 1. уравнение
(здесь т^4, л= -9, р=2, ^= -б, D =*
предегаоляет раиностороннюю гиперболу'
4 -9
2 -6
(черт.
)
95) с
■
V
Y
-^
-С
Л
11
г
-
/
0
п
1
1
Y
ё
Черт. 95.
Черт. 98.
центром СC;2) и с полуосями а=6=
1,73.
Ось А'А образует с ОХ угол 45°, так как D ■< 0. Коорди-
Координаты вершины А будут;
= хо+а cos 45° = 3+
Ул -
Так же найдем:
4,2,
3,2.
Л р и м с р 2. Уравнение
х-М
108 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
(здесь m=l, n~ -1, p=\f g=1f D=2) представляет
равностороннюю гиперболу (черт. 96) с центром с (-1; 1)
и с полуосями а = Ь = У-^- = 2, Ось А'А составляет
с ОХ угол -45°, так как D > 0.
т п
Замечание 1. Если определитель D =
Р Я
равен нулю, то
величины т, пкр, д пропорциональны (— = —\ так что тх + п де-
делится на рх + д; частное равно —. Уравнение (I) представляет в этом
т в г в
случае прямую у = —, лишенную точки х — ~—(при х = ——
выражениеA) неопределенно; см, §7^заме-
§7^замечание).
Зх + 6/
Например, уравнение у= -—-т^- ("i=3,
3 6
л=6, n = l, ?=2,j
V
и'
п
И
к
V
0
Y
и
X
1 2
-)
пред-
Черт. 97.
ставляет прямую у=3. лишенную точки
х = ~2. Сели неопределенной величине у
давать всевозможные значения, то, кроме
прямой у =3, получим сше прямую х = —2.
Замечание 2. <Выпаление> точки
х <= —2 иэ прямой у—3 можно наглядно
представить себе следующим образом. Рас-
Зх + бВ
смотрим уравнение у =— ^-: здесь
х + £
D
1 2
= СA~р), так что при
мы имеем гиперболу с
асимптотами х = -2 и у=3. Но когда величина р близка к I, эта
гипербола (черт. 97, где р —1,1) очень тесно примыкает к своим асимп-
асимптотам U'U и VV, пересекающимся в точке К ( -2; 3), Можно было бы
ожидать, что При р = 1 мы получим пару прямих U'U (y=3) и
VV {х = —2). Однако прямая VV выпадает, так как она параллель-
параллельна оси OY и,значит (g 14, замечание 2), ее нельзя представить урапие-
иием, разрешенным относительно ординаты. Вместе с прямой V'V
выпадает и лежащая на ней точка /<.
§ 73. Полярные координаты
Возьмем па плоскости (черт. 08) произвольную точку О
(полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). Примем
какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо
угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов.
Тогда положение любой точки М на плоскости можно за-
задать двумя числами: 1) положительным числом р, выра-
выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус), 2) чис-
числом ф, выражающим величину угла ХОМ (полярный угол).
Числа р и ^ называются полярными координатами точки М.
§ 73. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 109
Пример 1. Полярные координаты р = 3, 9 = -—■
определяют точку N (черт. 98), полярные координаты
р=3, ф = -£■ - ту же точку N, полярные координаты
р=1, 9 = 0 (а также р=1, 9 = 2^ или р=1, 9-~2л
и т. д.) — точку Д.
«^ _
ЧУ
Черт. 98. - " Черт. 99.
Каждой паре значений р. 9 отвечает только одна точка,
ио одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество
значений полярного Угла, отличающихся друг от друга
на число, кратное 2~ (ср. пример 1). Если же точка М
совпадает с полюсом, то значение полярного Угла остается
совершенно произвольным.
Можно условиться выделять только одно из значений
полярного угла, например брать 9 в пределах
Такое значение полярного угла называется главным.
Пример 2. Точке N (черт. У») соответствуют поляр-
полярные координаты р = 3, 9 = -^- + 2^тг; главное значение
полярного угла есть -~.
Точке L отвечают полярные координаты р = 2, ф=*
= ти + 2йти; главное значение 9 согласно условию A) есть я
(а не -ти).
При введении главных значений каждой точке (кроме
полюса) отвечает одна пара полярных координат. Для по-
полюса же р = 0, а 9 остается произвольным.
Замечание 1. Когда точка М, описывая окружность с
ром в полюсе О (черт. 99). пересекает в точке К продолжение поляр-
полярной оси, главное значение полярного угла изменяется скачком (в точке
Mi оно близко к it, в точке Л1г—к —я). Поэтому во многих случаях
нецелесообразно ограничиваться только глшшыми значениями 9.
1Ш АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Замена и ме2. Когда точкам, описывая прямую PQ (черт. 100),
проходит через полюс О, значение <? изменяется скачком. Напри-
Например, если <d ХОР=-~, то для точки М, (на луче OP) <f=~-i-2kit, а для
точки Мг (на луче OQ) f = --д- + 2тг (к и л-целые числа). Во из-
избежание этого можно приписать всем точкам прямой PQ одно и то же
О
Р
Д X
с
Черт. 101.
значение у, например f~^ ХОР, а полярные радиусы считать поло-
положительными на луче ОР и отрицательными на jivte OQ. Например,
полярные координаты
тг 1
определят точку М,, а полярные координаты
я 1
-точку Mt.
Те и<е точки можно задать координатами
3 1
¥ » - Т *. ? = 2"
(точка Мл и
■' 3 1
*-~4 "• «- -
(точка М,). При этом мы приписываем всем точкам прямой PQ значе-
значение <f — js; XOQ, так что о положительно на луче OQ и отрицательно
на ОР.
Пример 3. Построить точку М о полярными координатами
Q ~ ~3> ? = ~-|
Полярному углу ?=-—• отвечает луч ОС (черт. 101). На его про-
продолжении OD откладываем ОМ =3 О А, Получаем искомую точку М,
Той же точке соответствуют полярные координаты рг=3, ер *= '.у •
§ 74. Связь между полярными координатами
и прямоугольными
Пусть полюс О (черт. 102) полярной системы соипадает
с началом прямоугольной* системы и полярная ось ОХ
совпадает с положительно направленной осью абсцисс.
S 74. ПОЛЯРНЫЕ И ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ Ш
Пусть М - произвольная точка плоскости, х и у — ее пря-
прямоугольные координаты, а р, <р - полярные. Тогда
х = р cos tp, у = р sin <p.
Обратно *),
cos tp = --—
У
sin m =
A)
B)
C)
*B» = J. D)
Но одной формулы D) [а также только одной из формул C)]
недостаточно для определения угла <р (см.
пример 1).
Пример 1. Прямоугольные коорди-
координаты точки равны х = 2, у = -2. Найти
ее полярные координаты (при указанном
выше взаимном расположении обеих си-
систем).
Решение. По формуле B)
р =
2)"* = 2
Черт" 102-
по формуле D) tg 9=-^-= -1. Значит, либо <р= ~-|
либо <р = ~+2кт:. Так как точка лежит в четвертой чет-
четверти, то лишь первое значение правильно. Главное зна-
значение <р есть — -г •
Если воспользоваться формулой cos 9 - -s-^=r-, то
получим cos<p =
& f А
1^2
= —. Следовательно, либо у —
r, либо 9 = -^-+2ft7r. Только нторое значение
правильно.
i) В формулах B) и C) предполагается, что полярный радиус е
всегда положителен. Если рассматривать и отрицательные значения g
(§ 73, замечание 2), то вместо B) и C) нужно написать е = ±Ух*+уг,
cos <р — — х ■ ■, sin 9 - — (знаки либо все верхние»
либо все нижние). Формулы A) и D) остаются неиаменными,
112 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМСТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 2. в прямоугольной системе XOY окруж-
окружность, изображенная на черт. 103, представляется урав-
уравнением <§ 38) (x-R)M у* = R2. Фирмули A) и B)
позволяют найти се уравнение в полярной системе
(О- полюс. 0Л -полярная ось). Получаем рг — 2/?р cos у — О.
Это уравнение распадас1сн на два: 1)р = 0,2)р -2R cos tp = O.
Первое представляет (при любом значении tp) полюс О,
Второе дает все точки
окружности, в том числе
полюс (при tp = ~ и
9 -- ^v)- Поэтому пер-
первое уравнение можно
отпросить; получаем:
р = 2R ^ ^ E)
Черт. ЮЗ.
Это уравнение получается непосредственно из треуголь-
треугольника 0-ViK с прямым углом при вершине M {OK-2R,
ОМ KOAJ)
Замечание. Сели не вводить отрицательных значений с, то в
уравнении E) угол □ можно брать в четвертой и первой четвертях,
3
а во второй и третьей—нельзя. Так, при <р =* — ^уравнение E) дает
с = — R\2. Действительно, луч ON (черт. 103), кроме полюса, не
имеет точек, общих с окружностью. Если же ппести отрицательные
значения с> (§ 73, замечание 2), то координаты р =— R\T2, q> =-^- it
дают точку L иа продолжении прямой ON.
Пример 3. Определить, какую линию представляет
уравнение
р = 2а sin 9- F)
Р е ш е н и е. Переходя к прямоугольной системе, на-
находим:
т. е.
или
х- + у2-2ау = О
х2+(у-ау - а*.
Уравнение F) представляет окружность радиуса а
(черт. 104), проходящую через полюс О и касающуюся
полярной оси ОХ.
S 75. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ
§ 75. Архимедова спираль1)
ИЗ
1. Определение. Пусть прямая UV (черт. 105),
исходя из начального положения Х'Х, равномерно враща-
вращается около неподвижной точки О, а точка М, исходя из
начального положения 0, равномерно движется вдоль UV.
Линия, описываемая точкой М, называется архимедовой
спиралью — в честь великого древнегреческого ученого
А р х и м е д а C в. до н. э.), впервые изучившего эту линию.
Замечание. Входящие в определение кинематиче-
кинематические понятия можно устранить, заменив их условием, чтобы
расстояние р = ОМ было пропорционально углу поворота у
прямой UV.
Повороту прямой UV из любого ее положения на дан-
данный угол соответствует одно и то же приращение
■ V
Черт. 105.
Черт. 106.
расстояния р. В частности, полному обороту соответствует
одно н то же смешение ММ1=а. Отрезок а называется
шагом архимедовой спирали.
Данному шагу а соответствуют две архимедовы спиралн,
различающиеся друг от друга направлением вращения пря-
прямой UV. При вращении против часовой стрелки получаег-
ся правая спираль (черт. 106, жирная линия); при враще-
вращении по часовой стрелке ~ левая (черт. 106, пунктирная
линия).
Правую и левую спирали с одним и ткм же шагом
можно совместить, но для этого надо у одной из иих лице-
лицевую сторону сделать оборотной.
Как видно из черт. 106, правую и левую спирали одного
и того же шага можно рассматривать как две ветви линии,
*) Более подробные сведения оО архимедовой спирали см. на
стр.777.
8 М. Я. Выгодский
114 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
описываемой точкой М, когда последняя пробегает нею
прямую UV, проходя точку О попутно.
2. П о л я р н о е уравнение (О - полюс; направле-
направление полярной оси Ох совпадает с направлением движения
точки М, когда она проходит через точку О; а - шаг
спирали):
Положительным значениям <р соответствует правая
ветвь; отрицательным значениям — левая.
Уравнение A) можно записать в виде
где ft {параметр архимедовой спирали) есть смещение "-
точки М по прямой UV при повороте последней на угол
в один радиан.
§ 76. Полярное уравнение прямой
Прямая АВ (черт. 107), не проходящая через полюс,
представляется в полярных координатах Уравнением
р
СОЬ (<р — а) ' > '
где р = ОК н а = ^ ХОК - полярные параметры прямой
АВ (§ 29).
Уравнение (I) получается из треугольника ОКМ (где
ОМ-р и ^ КУМ = ф-а).
\
Черт. 107.
Черт. 108,
Прямую CD (черт. 108), проходяшую через полюс,
нельзя представить уравнением вида A) [для такой пря-
прямой р = 0 и tp — а -= ±-|, так что сез (ф - &/ — 0]. Ее
177. полярное Уравнение конического Сечейия 115
луч OD представляется уравнением tp - tp0 (где 90= -^ XQD),
л луч ОС - уравнением 9=9i (где tp, = ^: XOC), Каждое
из этих уравнение! может представить всю прямую, если
ввести отрицательные значения р (§ 73, замечание 2).
§ 77. Полярное уравнение конического сечення
Поместим полюс в фокусе F (черт, 109) конического
сечения (эллипса, гиперболы или параболы), а полярную
ось совместим с осью Ь'Х конического сечения, напра-
направив се в сторону, противоположную той,
где лежит соответствующая директриса
PQ. Тогда коническое сечение предста-
представится уравнением
р
1 ~ t COS
(О
Черт. 109.
где р - параметр, as- эксцентриситет
конического сечения (§ 52).
Замечание. Если рассматривать
только положительные значения р, то в
случае гиперболы (е =- 1) уравнение A)
представляет лишь одну ветвь - ту,
внутри которой лежит фокус. При этом для 9 должно вы-
выполняться неравенство 1-е cos 9 > О. Если же рассмат-
рассматривать и отрицательные значения р, то q> может иметь
любое значение, и при 1-е cos <p -= О получаем вторую
ветвь.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 78. Понятие о векторах и скалярах
Векторной величиной, илн вектором (в широком смысле),
называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной, или скаляром, называется величина,
ие обладающая направлением.
Пример 1. Сила, действующая на материальную точ-
точку, есть вектор, так как она обладает направлением. Ско-
Скорость материальной точки - тоже вектор.
Пример 2. Температура тела есть скаляр, так как
с этой величиной ие связано никакое направление. Масса
тела и плотность его — тоже скаляры.
Если отвлечься от направления векторной величины,
то ее, как и скалярную величину, можно измерить, выбрав
соответствующую единицу измерения. Но число, получен-
полученное после измерения, характеризует скаляр-
скалярную величину полностью, а векторную -
частично.
Векторную величину можно полностью
охарактеризовать направленным о т -
„i /w|jV резком, предварительно задав линейный
1 ' масштаб.
черт. по. Примерз. Направленный отрезок Ав
иа черт. 110 при масштабе MN, изобра-
изображающем единицу силы A кГ), характеризует силу в
3,5 кГ, направление которой совпадает с направлением
отрезка АВ (указанным стрелкой).
§ 79. Вектор н геометрии
В геометрии вектором (в узком смысле) называется
всякий направленный отрезок.
Вектор, началом которого служит точка А, а концом -
точка В, обозначается АВ (черт. 110).
S 81. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ 117
Вектор обозначается также одной буквой, как показано
на черт. Ц1. Эту букву печатают жирным шрифтом (а),
а в письме ставят над буквой черту (о).
Длина вектора называется также его моду-
модулем. Модуль есть скалярная величина.
Модуль вектора обозначается двумя верти-
кальными чертами — слева и справа: \АВ[, или
\а\> или \а\ Черт. ш.
При двуоуквснном обозначении вектора
его модуль иногда обозначается теми же .—^
буквами, но без стрелки (АВ — модуль вектора А§), при
однобУквенном обозначении — той же буквой, напечатан-
напечатанной светлым шрифтом (Ь~ модуль вектора Ь).
§ 80. Векторная алгебра
Над векторами производят действия, называемые сло-
сложением, вычитанием и умножением векторов (см. ниже).
Эти действия имеют много общих свойств с алгебраиче-
алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения.
Поэтому Учение о действиях над векторами называется
векторной алгеброй.
§ 81. Коллинеарные векторы
Векторы, лежащие иа параллельных прямых (или на
одной и тон же прямой), называются коллинеарнылш.
Векторы а, Ь, с па черт. 112 коллинеариы. Векторы
AC, BD и СВ на черт. ИЗ коллинеарны.
Черт. 112. Черт. ИЗ.
Коллицеарггые векторы могут иметь одно и то же
направление (равнонапра&мпные векторы) или противопо-
противоположные. Так, векторы он** (черт. 112) равнонаправлены,
векторы а и b (а_также b и «;) противоположно направ-
направлены. Векторы АС и BD иа черт. 113 равнопзправлепы,
векторы АС и С В противоположно направлены.
118 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЙ & ПРОСТРАНСТВЕ
§ 82. Нуль-вектор
Если начало Л и конец В отрезка АВ совпадают, то
отрезок, АВ обращается в точку и теряет направление.
Но для общности правил векторной алгебры пару совпа-
совпадающих точек надо тоже причислить к векторам. Этот
особый вектор называется нуль-вектором и считается
ко л линеарным с любым вектором.
Нуль-вектор обозначается так же, как число нуль
(знаком 0).
§ 83. Равенство векторон
Определение. Два (ненулевых) вектора аиЪ рав-
равны, если они равнонаиравлеиы и имеют один и тот же мо-
модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех
остальных случаях векторы не равны.
Пример!. Векторы АВ и CD (черт. 114) равны.
Пример 2. Векторы ОМ и ON (черт. 115) не равны
(хотя у иих длины и одинаковы), ибо их направления раз-
различны. Векторы ON uJ£L тоже
Н ие равны, а лекторы ОМ н KL
J* В fy* M равны,
/^ Предостережение.
fr jfL Нельзя смешивать понятие «ра-
0 ^00^ венство векторов* с понятием
к «равенство отрезков*. Говоря:
чевт in чеЭТ И", *0ТРез*<и ON и Kt равны», мы
черт. ич. черт, п.». утверЖДЭСМ, ЧТО ОДИН ИЗ НИХ
можно совместить с другим.
Но для этого может понадобиться поворот совмещаемого
отрезка (как в расположении черт 115). В таком случае
согласно определению векторы ON u KL не равны^ Два
вектора будут равны лишь в том случае, когда нх можно
совместить без поворота.
Обозначения. Запись о — ъ выражает, что век-
векторы а и Ъ равны. Запись а^Ъ выражает, что векторы
а и Ь не равны. Запись \а\ =\Ь\ выражает, что модули
(длины) векторов оиЬ равны; при этом сами векторы а
и Ъ могут равняться, а могут и не равняться друг другу.
Примерз. AB=CD (черт. 114), ON^KL (черт. 115),
\ON\ = \KL\ (черт. 115), ОМ = KL (черт. 115).
g 86. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 119
§ 84. Приведение векторов к общему началу
Всякие векторы (в любом числе) можно «привести к
общему началу?, т. е. построить век-
векторы, соответственно равные дан-
данным и имеющие общее начало в не-
некоторой точке О. Такое приведение
показано иа черт. 116. Чс ъ>*
§ 85. Противоположные \d дг "■»' \
векторы
П-
Определение. Два вектора, *
имеющие равные модули и противо- р1' '
положив направленные, называются
противоположными.
Вектор, противоположный векто-
вектору а, обозначается ~ я. __
Пример 1. Векторы LM и NK
на черт. 117 - противоположные^^ Че ,,?
Пример 2, Если вектор LM
(черт. 117) обозначить буквой а, то NK — ~a, ML = -a,
KN = о.
Из определения следует: ~(-о) = а, |-а|*=|а|.
§ 86. Сложение векторов
Определение. Суммой векторов а и Ь называется
третий вектор с, получаемый следующим построением:
из произвольного начала О
(черт. 118) строим вектор OlT,
равный о (§ 83); из точки L, как
из начала, строим вектор LM~,
равный Ь. Вектор с=ОМ есть
сумма векторов а и Ь («пра-
Черт. 118. Черт. 119. вшю треуг0ЛЬННка&).
— Запись: а+Ь s= с.
Предостережение. Нельзя смешивать понятие
«сумма отрезков* с понятием «сумма векторов*. Сумма
отрезков OL и LM получается следующим построением:
продолжив прямую Oh (черт. П9), откладываем отрезок
LN, равный отрезкУ 1-М. Отрезок ON есть сумма отрез-
отрезков OL и LM. Сумма еешоров OL и LM строится иначе
£см. определение).
120 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
При сложении векторов имеют место неравенства
\а+Ь\-*\а\+\Ь\, A>
I«+b|s-||o[-|b||, B)
выражающие, что сторона ОМ треугольника 0ML (черт. 118)
меньше суммы и больше разности двух других сто-
сторон. В формуле A) знак равенства имеет место только
Черт. 120. Черт. 121.
для равноиаправленных векторов (черт. 120), в формуле
B) - только для противоположно направленных векторов
(черт. 121).
Сумма противоположных в е к т о р о в. Из
определения следует, что сумма противоположных век-
векторов равна нуль-вектору:
а+(-а) = 0.
Свойство переместительности. От пере-
перестановки слагаемых сумма векторов не меняется:
а+ Ь = Ь+а.
Правило параллелограмма. Если слагае-
слагаемые о и Ь не коллинеарны, то сумму а+Ь можно наПти
следующим построением: из любого начала О (черт. 122)
строим векторы 0А = а и ОВ = Ь; на отрезках ОА, ОВ
строим параллелограмм О АС В. Вектор диагонали ОС^ч
есть сумма векторов о и Ь (так - как АС = ОВ = 1> и
ОС = ОА\аЪ).
К коллинеарным векторам (черт. 120 и 121) это постро-
построение неприменимо.
Замечание. Определение сложения векторов уста-
установлено в соответствии с физическими законами сложения
векторных величин (например, сил, приложенных к мате-
материальной точке).
§ 87. СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ
121
§ 87. Сумма нескольких векторов
Определение. Суммой векторов а1( аг, а3, ... , а„
называется вектор, получающийся после ряда последо-
последовательных сложений:
к вектору ах прибав-
прибавляется вектор а2, к
полученному вектору
прибавляется вектор
оа и т. д.
Из определения
вытекает такое по-
строение {правило о аг
многоугольника или черт.23.
правило цепи).
Из произвольного начала О (черт. 123) строим вектор
QAt - aJf из точки Av как из начала, строим вектор
AtAu = а2, из точки А2 стронм вектор А2А3 = ая и т. д.
Вектор ОАЛ (на черт. 123 п = А) есть сумма векторов аи
Щ, • ■ • , <V
Сумма векторов «i, as, a3l at обозначается
Свойство сочетательности. Слагселые век-
векторы можно группировать как угодно. Так, если найти
сначала сумму векторов аг+а3-\-аЛ (оиа равна век-
вектору А^Аь не изображенному на черт. 123) и к ней
прибавить вектор щ ( = ОАг), то получим тот же вектор
(a2-\-as-\-at) =
Правило параллелепипеда. Если три век-
вектора а, Ъ, с после приведения к общему начала (§ 84) не ле-
лежат в одной плоскости, то сумму a-\-h-\-c можно иайти
таким построением. Из любого начала О (черт. 124) строим
векторы ОЛ =-■ а, ОВ = Ь, ОС = с. На отрезках О А, ОБ,
ОС, как на ребрах, стронм параллелепипед. Вектор диа-
диагонали OD есть с^лша векторов а, Ь н с (так как ОА- а,
АК = ОЙ = Ь, KD = ОС = с и OD = ОА+ АК+ KD),
К векторам, которые (после приведения к общему
началу) лежат в одной плоскости, это построение непри-
менимо.
122 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕбМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 88. Вычитание векторов
Определение. Вычесть вектор «i (пычитаемое) из
вектора а2 (уменьшаемое) значит иайти новый вектор х
(разность), который в сумме с вектором щ дает век-
вектор а2.
Короче: вычитание векторов есть действие, обратное
сложению.
Обозначение: а2~а1г
Из определения вытекает такое построение: из произ-
произвольного начала О (черт. 125, 126) строим векторы
ОД = av ОАг - а... Вектор ДД (проведенный из конца
вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть раз-
ИОСТЬ Oa!*-
ДД = ОД-ОД.
Действительно, сумма ОД + ДД равна ОД.
Замечание. Модуль разности (длина вектора АуАг) может
быть меньше модуля «уменьшаемого», но может быть и больше и равен
ему. Эти три случая показаны на черт. 125, 126, 127.
Черт. 125.
Черт. 126.
Черт, 127. Черт. 128.
Другое построение. Чтобы построить разность
а2- ах векторов а2 и «1, -можно взять сумму векторов
а2 и -аи т. е.
Пример. Пусть требуется найти разность «v-a,
(черт. 128). Согласно первому построению а,-^ = ДД.
Построим теперь вектор A%L = -вх и сложим векторы
ОД = а2 и A2L = -at. Получим (§ 8fi, определение) век-
вектор Oh. Из чертежа видно, что OL = ДД-
§ 89. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 123
§ 89. Умножение и деление вектора иа число
Определение 1. Умножить нектор а (множимое)
на число х (множитель) значит построить новый вектор
(произведение), модуль которого получается умножением
модуля вектора а на абсолютное значение числа х, а
направление совпадает с направлением вектора а или
противоположно ему, смотря по тому, положительно
число х или отрицательно. Если же х = О, то произведе-
произведение есть нуль-вектор.
Обозначе и и е: ах или ха,
П римеры. О В = ОА-А или Ов = АО А (черт. 129),
ОС = З-j О A, OD = -20 А, ОЕ = -1,50А (черт. 130).
Черт. 129.
Определение 2. Разделить вектор а иа число х
значит найти такой вектор, который, будучи умножен
на число х, даст в произведении вектор а.
Обозначение: а;х или ~,
Вместо деления ~ можно выполнить умножение «■■£-•
Умножение вектора иа число подчиняется тем же за-
законам, что и умножение чисел:
1. (x-f у) а = ха-\-уа (свойство распределительности
по отношению к числовому
множителю),
2. х(а-\-Ь) s= xa+xb (свойство распределительности
по отношению к векторному
множителю),
3. х(уа) — (ху)а (свойство сочетательности).
В силу этих свойств можно составлять векторные
выражения, имеющие тот же внешний вид, что и много-
многочлены первой степени в алгебре; эти выражения можно
преоразовывать так же, как преобразуются соответствую-
соответствующие алгебраические выражения (приводить подобные члены,
раскрывать скойш, выносить за скобки, переносить члены
124 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
из одной части равенства в другую с обратным знаком
и т. д.).
Примеры. 2а+3а = 5а (в силу свойства 1),
2(«+Ь) = 2д-\-2Ь (в силу свойства 2),
5-12с = 60с (в силу свойства 3);
4Bо-ЗЬ) « 4[2а+(-ЗЬ)] = 4[2«+(-3)Ь] =
= 4-2а + 4(-3)Ь = 8а+(-12)Ь = 8а-126,
-3Bо+Ь-Зс) = б«-8Ь-f 2с-6а-ЗЬ + 9с =
= -11Ь+Пс = \Цс-Ь).
§ 90. Взаимная связь коллинеариых векторов
(делеиие вектора на вектор)
Если вектор а - не нулевой, то всякий вектор Ь,
колли неарный с ним, можно представить в виде х«,
где х-число, получаемое так: оно имеет абсолютное
ь.
У
Черт. 131. Черт. 132.
значение\Ь\: |а\(отношениемодулсй);'оио положительно,
если вектор & райионаправлен с вектором а, отрицательно,
если Ь и а противоположно направлены, и равно нулю,
если Ь — иуль-вектор.
Примеры. Для векторов а и Ь на черт. 131 имеем
Ъ = 1а {х = 2), на черт. 132 имеем Ь = -1а.
Замечание. Разыскание числа х называют делением
вектора I* на вектор а. Иеколлинеарные векторы делить
друг на друга нельзя.
9
§ 9]. Проекция точки на ось
Осью называется всякая прямая, иа которой выделено
одно из двух ее направлений (все равно какое). Это
направление называется положительным (на чертеже оно
обозначается стрелкой); противоположное направление
называется отрицательным.
§ 92, ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ 125
Каждую ось можно задать любым вектором, лежащим
на ней и имеющим то ж ена правление. Так, ось черт. 133
можно задать вектором АН или АС (но ие вектором в А).
Пусть дана ось ОХ (черт. 134) и некоторая точка М
(вне оси или на ней). Проведем через М плоскость, пер-
перпендикулярную к оси; она пересечет ось в некоторой
точке М'. Точка М' называется проекцией точки М на
2L
Черт. 133. Черт. 134.
ось ОХ (если точка М лежит на оси, то она сама является
своей проекцией).
Замечание. Иными словами, проекция точки М на
ось ОХ есть основание перпендикуляра, проведенного из
точки М к оси ОХ. Данное выше определение подчерки-
подчеркивает, что построение выполняется в пространстве.
§ 92. Проекция вектора на ось
Выражение «проекция вектора Л В на ось ОХ» упо-
употребляется и двух разных смыслах: геометрическом и
алгебраическом (арифметическом).
1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ
называется вектор А'В' (черт. 135),
начало которого Л' есть проекция
начала Л на ось ОХ. а конец В'-
проекция конца В на ту же ось.
Обозначение: Про^ЛВ или,
короче, Пр АВ.
Если ось ОХ задана вектором с, черт. 135.
то вектор А'В' называется также
проекцией вектора^ А В на направление вектора с и обо-
обозначается Прс А В.
Геометрическая проекция вектора на осг, ОХ называется
также компонентой вектора по оси ОХ.
2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ
(или на направленне вектора с) называется длина вектора
126 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
А'В', взятая со знаком + или -. смотри по тому, имеет
ли вектор А'В' то же направление, что ось ОХ (вектор <-■).
нли противоположное.
Обозначение:
пр0ХАВ или ирсАВ.
Замечание, Геометрическая проекция (компонента)
вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора
есть число,
П р и м е р 1. Геометрическая проекция-вектора OK - a
(черт. 136) на ось ОХ есть вектор OL. Его направ-
направление противоположно направлению осп, а длина (при
единице масштаба Oh) равна 2. Значит,
алгебраическая проекция вектора ОК
на ось ОХ есть отрицательное ч и с-
ло -2:
О С
Черт. 136.
ПрОК = Oh, пр ОК = -2.
Если векторы АВ и CD (черт. Ш)
равны, то нх алгебраические проекции
но одной и той же оси тоже равны (пр АВ = пр СО ~ -~п-
То же для геометрических проекций.
Черт. 137.
Черт. 138.
Алгебраические проекции одного и того же вектора на
две разнонаправленные оси (ОЛ и ОСХ2 на черт. 138)
равны 2) (про^ЛШ = npOiXiNM ?=■ - 2). То же для гео-
геометрических проекций.
1) Если оси параллельны, -ко противоположно направлены, то
алгебраические проекции не равны; они отличаются знаком.
§ 93. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ ВЕКТОРА 12?
3. Связь между компонентой (геометриче-
(геометрической проекцией)«алгебраической проекцией
вектора. Пусть гд есть вектор, разнонаправленный с
осью ОХ и имеющий длину 1. Тогда геометрическая проек-
проекция (компонента) какого-либо вектора а по оси ОХ равна
произведению вектора ct на алгебраическую проекцию
вектора а по той же оси:
Пр а = пр «-Cj.
Пример 2. При обозначениях черт. 136 имеемс^ОЕ.
Геометрическая проекция вектора Ок = а иа ось ОХ
есть вектор OL, алгебраическая проекция того же век-
вектора есть число-2 (см. пример 1). Имеем 01, — —20Е.
§ 93. Основные теоремы о проекциях вектора
Теорема!. Проекция суммы векторов па какую-либо
ось равна сумме проекций слагаемых векторов пату же ось.
Теорема справедлива при обоих
смыслах термина «проекция вектора»
и при любом числе слагаемых; так,
при трех слагаемых
ПГ>(а1 + а,,-\-а3) =
^-Пра., A)
с в' х
нр(а1+оа + «3)= ч ,39.
= пр а, + нр щ + пр а3. B)
Формула {1) вытекает из определения сложения векторов, форму-
формула B) -из правила сложения положительных и отрицательных чисел,
Пр име р 1. Вектор АС (черт. 139) есть сумма векто-
векторов АВ и ВС. Геометрическая проекция вектора АС на
ось ОХ есть вектор АС\ а геометрические проекции век-
торои АВ и ВС суть АВ' и В'С', При ЭТОМ
~АС' = AB'4-iFc',
так что
Пр (АВ-\-ВС) = Пр АВ + Щ ВС.
Пример 2. Пусть О£ (черт. 139) есть единица мас-
масштаба; тогда алгебраическая проекция вектора АВ на ось
128 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ОХ равна 4 (длина АВ', взятая со знаком плюс), т. е.
пр АВ = 4. Далее пр ВС = -2 (длина В'С', взятая со
знаком минус) и пр АС ~ -\-2 (длина АС1, взятая со зна-
знаком плюс). Имеем
пр АВ+пр~ВС = 4-2 = 2;
с другой стороны,
пр (АВ+~ВС) = пр ~АС = 2,
так что
пр(ЛВ+ВС)= пр~АВ + прВ~С,
Теорема 2, Алгебраическая проекция вектора на
какую-либо ось равна произведению длины вектора на
косинус угла между осью и вектором:
праь = | Ь | cos (<О»), C)
Пример 3. Вектор Ь = MN (черт. 140) образует с
осью ОХ (она задана вектором а) угол в 60°. Если ОЕ
есть единица масштаба, то | Ь \ = 4, так что
прйЬ = 4-cos6G0 = 4-|-= 2.
Действительно, длина вектора M'N' (геометрической проекции
вектора Ь) равна 2, а направление совпадает с направлением оси ОХ
(ср. S 92, п. 2).
у\
ОЕ tS N' X ОЕ V U X
Черт. Т40. Черт. 141.
Пример 4. Вектор Ь = UV на черт. 141 образует
с осью ОХ (с вектором о) угол (а, Ь) — 120°. Длина ( b \
вектора Ь равна 4. Поэтому пр„Ь = 4-cos 120" = -2.
Действительно, длина вектора UV равна 2, а направление проти-
противоположно направлению оси.
94. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 129
Черт, 142.
§ 94. Прямоугольная система координат
в пространстве
Основные векторы. Три взаимно перпендику-
перпендикулярные оси ОХ, ОУ, OZ (черт. 142), проходящие через неко-
некоторую точку О, образуют прямоугольную систему коор-
координат. Точка О на-
называется началом ко-
координат, прямые ОХ,
ОУ, OZ-осями ко-
координат (ОХ-ось
абсцисс ОУ-ось
ординат, OZ- ось
апликат *)), а пло-
плоскости XOY, YOZ,
ZOX — координатны-
координатными плоскостями. Ка-
Какой-либо отрезок UV
принимается за единицу масштаба для всех
трех осей.
Отложив на осях ОХ, ОУ, OZ в положительном на-
направлении отрезки О А, ОВ, ОС, равные единице масштаба.
получим три вектора О А,
ОВ, ОС. Они называются
основными секторами и
обозначаются соответствен-
соответственно /, з, к.
Положительные направ-
направления на осях принято выби-
выбирать так, чтобы поворот на
90°, совмещающий положи-
положительный луч ОХ с лучом ОУ (черт. 142), казался происходя-
происходящим против часовой стрелки, если наблюдать его со сто-
стороны луча OZ. Такая система координат называется правой.
Иногда пользуются и левой системой координат. В ией
упомянутый поворот совершается по часовой стрелке
(черт. 143).
Замечание 1. Трехгранные углы, образованные лучами ОХ,
OY, OZ в правой и левой системе, нельзя совместить так, чтобы совпали
соответственные оси.
Замечание 2. Названия «правая» и «левая» происходят от
того, что большой, указательный и средний пальцы правой руки, если
их расположить наподобие осей ОХ, ОН, OZ (черт. 144), образуютпра-
вую систему. На левой же руке (черт. 145) получаем левую систему.
Черт. 144.
Черт. 143.
1) О происхождении термина «апликата» см. $ S5.
9 М. Я. Выгодский
130 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В
проводим плоскости МР
ветственно параллельные
У
§ 95. Координаты точки
Положение любой точки М в пространстве можно Опре-
Определить тремя координатами следующим образом. Через М
MQ, MR (черт. 146), соот-
плоскостям YOZ, ZOX, ХОУ.
В пересечении с осями по-
получаем точки Р, Q, R.
Числа х (абсцисса), у (орди-
(ордината), z (аплпкага)*), изме-
измеряющие отрезки OP, OQt OR
в избранном масштабе, на-
называются (прямоугольными)
координатами точки М.
Они берутся пиложитель-
иыми или отрицательными,
смотря по тому, имеют ли
векторы OP, OQ, OR соот-
соответственно те же направле-
направления, что и основные векто-
векторы i, з, 'ej или протицопо-
ложные.
Пример. Координаты точки М на черт. 146 суть:
абсцисса
х= 2,
ордината
У= -3,
апликата
г = 2.
Запись:
МB; -3;2).
Вектор ОМ, идушнй от иачала О к некоторой точке М,
называется радиусом-вектором точки М и обозначается
буквой г; чтобы отличать друг от друга радиусы-векторы
разных точек, при букве г ставят значки: так, радиус-вектор
точки М обозначается гм. Радиусы-вскторы точек Аи
At, ..., А, обозначаются
Черт. 146,
*) Латинское слово «апликата» (appHcata) в переводе означает «при-
ложениая» (точку М можно построить так: сначала взять »а плоскости
XOY точку L с координатами х=гОР, у—PL, а затем «приложить»
ртрезок LM~z, перпендикулярный к плоскости ХОУ).
S 96. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 131
§ 96. Координаты вектора
Определение. Прямоугольными координатами
вектора т называются алгебраические проекции (§ 92)
сектора т иа осп координат. Координаты вектора обозна-
обозначаются большими буквами X. У, Z (координаты точки -
малыми).
Запись:
т{Х, Y,Z] или т = {X, Y,Z}.
Вместо того чтобы проектировать вектор т на осн
ОХ, ОУ, OZ, можно проектировать его на оси М^А, МХВ,
М^ (черт. 147), проведенные че-
через начало Л1, вектора m и равно-
направлеииые с осями координат
(§ 92, п. 2).
Приме р 1. Найти коорди-
координаты вектора МХМ, (черт, 147) от-
относительно системы координат
OXYZ.
Через точку М1 проводим оси
MtA, MIB, MjC, соответственно
равнонаправленные с осями ОХ
OY,OZ.
Через точку Mz проводим
плоскости М2Р, M..Q, M2Rt па-
параллельные координатным пло-
плоскостям. Плоскости М<.Р, MnQ,
M3R пересекут оси МХА, Л^Д.*'МХС соответственно а точ-
точках Р, Q, /?. Абсцисса X вектора МхМ.г есть длина вектора
МХР, взятая со знаком минус (§ 92, п. 2); ордината V вектора
«I есть длина вектора MXQ, взятая со знаком минус; апли-
ката Z - длина вектора М,/?, взятая со знаком плюс.
При масштабе черт. 147 X *= -4, У = ~3,Z=2.
Запись: _____
М4М,{-4; -3; 2}
ИЛИ* ^
AM?,- {-4; -3; 2}.
Еслн два вектора ntt и тг равны, то их координаты
соответственно равны
ipepr, 147
(ср. § 92, п. 2>,
132 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора не меняются при парал-
параллельном перенесении системы координат. Напротив, ко-
координаты точки при параллельном перенесении системы
координат меняются (см. ниже § 166, п. 1).
Если начальная точка О вектора ОМ совпадает с па-
чалом координат, то координаты вектора ОМ соответ-
соответственно равны координатам конечной его точки М (§ 95).
Пример 2. У вектора ОМ на черт. 146 абсцисса
Х=2, ордината К = -3, апликата Z = 2. Те же коорди-
координаты имеет точка М.
Запись: ОМ {2; -3; 2} или ОМ = {2; -3; 2}.
§ 97* Выражения вектора через компоненты
и через координаты
2. Каждый вектор равен сумме tro компонент (геоме-
(геометрических проекций) по трем осям координат:
m = Пр(,хт+Прогт-ьПрО2т. A)
Пример 1. При обозначениях черт. 147 имеем:
2. Каждый вектор т равен сумме произведений трех
основных векторов на соответствующие координаты век-
вектора т:
т = Xi+ Yj+Zk. B)
Пример 2. При обозначениях черт. 147 имеем:
§ 98. Действия над векторами, заданными
своими координатами
2. При сложении векторов их координаты склады-
складываются, т. е. если о = «h+a^ то X = X^Xj, У = V^-l- Ys,
z = zt+zt.
2. Аналогичное правило для вычитания векторов: если
a = щ-щ, то X = Х,-Хъ Y = Ys~ Yu Z = £г-гх.
3. При умножении вектора на число все координа-
координаты множатся на то же число, т. е. если т% и хт,, то
Х| = ХХ„ У, = XVi, Z% = XZ[.
g 100. ДЛИНА ВЕКТОРА 133
4. Аналогичное правило для деления вектора на число:
если тг = ~, то Х2 = -j~, Уъ = -£-, Zs = ~,
§ 99. Выражение вектора через радиусы-векторы
его начала и конца
Следует заметить важную формулу
— ДД = *•=-»!, A)
где rl-OA1 (черт. 148) есть радиус-вектор (§ 95) начала Д
вектора ДД, а гг=ОДг — радиус-
нектор его конца Д.
Из A) в силу § 9~8, п. 2 вытекают
формулы
B)
Здесь X, У, Z - координаты век-
вектора ДД, xv ylt гх - координа-
координаты точки Д (они соответствеиио Черт. 148.
равны координатам радиуса-вектора
г(=ОД) и xs, уг, гг - координаты точки Д (онн jcoot-
встственно равны координатам радиуса-сектора г„ = ОА2).
Словами: чтобы найти абсциссу вектора, надо из
абсциссы конца вычесть абсциссу начала вектора.
Аналогичные правила для ординаты и апликаты.
Пример. Найти координаты вектора ДД, если
ДО; -2; 5) иД (-2; 4; 0).
Решение. X = -2-1 = -3, У = 4-(-2) ** б,
Z = 0-5 = -5, так что ДД = {-3, 6, -5}.
§ 100' Длина вектора. \
Расстояние между двумя точками
Длина вектора а{Х, У, Z) выражается через его ко-
ордниаты формулой
J а ] = ^Х2+ У*+'£*, (I)
Пример 1, Длина вектора а {-А, -3, 2} равна
(ср. черт. 147)
| о | = ^(_4р + (-3L-2' = |/29 а* 5,4.
134 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Расстояние d между точками Al(txl; yt; zx), А2(х3; Уг1 ze)
представляется формулой
(/ - K(A'2-Jfi)s + (>la->'i)a+(za-2'i)i!' B)
Она получается из A) в силу формул B) § 99 (ср. § 10).
Пример 2. Расстояние между точками Л, (Н^_3; ,8),
Л, F; -1; 9) есть d~ ^(ё^8)я + < - 1 + 3)» +~(9 - 8)" - 3.
§ 101. Угол между осью координат
и вектором
Углы V, р, у (черт, 149), образуемые ппложительпими
направлениями ОХ, ОУ, OZ с пек-
тором а {X, Y, Z}, можно найти по
формулам')
^^ ! COS « « 7—4= Г- -у^А, (О
Черт. 149. COS Y = ^Г. ' . • ( = ТТГ 1 ■ <3)
Если вектор а имеет длину, равную единице масштаба,
т. е, если | а [= I, то
ccsa=X, ccsP-У, ccsy = Z.
Из A), B), C) следует:
a + ccsap+ccs- у = 1. D)
Пример. Найти углы, образуемые осями координат
с вектором {2, -2, - 1}.
2 2°
Решение, cos a = .__^__ _ cos е = - ~ ,
К2* + ( - 2)= + 1 3 Г 3 '
cos у => -4-, откуда a ъ 48°11', р эд 13149', у *■ 109°28'
1) Из прямоугольного треугольника OMR имеем:
ОД Z Z
C0ST " \Ш\ " !а1
Аналогично получаются формулы (I) и B),
£ 1(Й. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 135
§ 102. Признак коллинеарности (параллельности)
векторов
Если векторы а, {X,, Y,, Z,}, щ {Х2, У„, Z2] кол-
линеарны, то их соответственные координаты пропорцио-
пропорциональны
Хг:Х, = Y2:Yl = Z,:Z1 A)
и обратно.
X Y Z
Если коэффициент пропорциональности X - •]~ = -^=-^
положителен, то векторы аГ и а., равнопаправлены;
если отрицателен - противоположно направлены. Абсо-
Абсолютное значение X выражает отношение длин | я, | ; | а, |.
Замечание. Если одна из координат вектора щ
равна нулю, то пропорцию A) надо понимать и том смысле,
что соответствующая координата вектора ай тоже равна
НУЛЮ.
Пример I. Векторы {-2, 1, 3} и {4, -2, -6}
коллииеарны и противоположно дапрашижы (X = -2).
Второй вектор вдвое длиннее первого.
Пример 2. Векторы {4, 0, 10} н {б, 0, 15 } колли-
неарны н равнонаправлеиы (х = -^) ■ Второй вектор в пол-
полтора раза длиннее первого.
Пример 3. Векторы {2, 0, 4} и {4, 0, 2} не кол-
линеарны.
§ ЮЗ. Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор г точки А, делящей отрезок AtAt в отно-
отношении AtA : AAS — m,: т.2, определяется формулой
_ m-
где i"j и г., - радиусы-векторы точек At и Да.
Координаты точки А находятся по формулам
(ср. § П).
В частности, координаты середины отрезка A As суть
136 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Замечание. Точка А может быть взята и иа про-
продолжении отрезка AtA2 в ту или, другую сторону, тогда
одно из чисел т,, тг иужио взять со знаком минус.
Пример. Найти координаты точки А, делящей отре-
отрезок А, А2 в отношении А.А : АА„ =2:3, если Д B; 4; — 1),
Лг(-3; -1;6).
Ло формулам B) находим;
v _ з.а+а-(-з) _ г, „ _ з-4 + 2-c-i) _
2+3
§ 104. Скалярное произведение двух векторов
Определение. Скалярным произведением вектора
а иа вектор Ъ называется произведение их модулей иа
косинус угла между ними.
Обозначение: а-Ъ или аЬ.
Согласно определению
аЬ = \а\ • [ Ь | cos (<Сь). A)
В силу теоремы 2 § 93
| b I cos (а, ь) = пр„ь,
так что вместо A) можно написать:
аЬ = | а | пр„Ь. B)
Аналогично
аЬ = [ Ь [ пр4а.
Словами: скалярное произведение двух векторов равно
модулю одного из них, помноженному на алгебраическую
проекцию другого вектора на направление первого.
Если угол между векторами аиЬ острый, то аЬ > 0;
если тупой, то аъ -=: 0; если прямой, то аЬ — 0.
ВытекаеГ из формулы A).
Пример. Длины векторов аиЬ соответственно равны
2 м и 1 м, а угол между ними 120°. Найти скалярное про-
произведение аЬ.
По формуле A) аЬ = 2-1 • cos 120° = -1
§ 104а. ФИЗИЧ. СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 137
Вычислим ту же величину но формуле B). Алгебраи-
Алгебраическая проекция вектора Ь (черт. 150) на направлении
вектора а равна \ ОВ { cos 120° = - ^ (длине вектора ОВ',
взятой со знаком минус). Имеем: 3
аЬ = | а 1 пр.Ь = 2- (-1) = - 1 (л1). |
Замечание 1. В термине «екнляр-
иос произведение» первое слово ука-
указывает на то, что результат депстия
есть скаляр, а не вектор (в противоположность вектор-
векторному произведению; см. ниже § 111). Второе слово под-
подчеркивает, что для рассматриваемого действия имеют силу
основные свойства обычного умножения (§ 105).
3 а м е ч а и и е 2. Скалярное умножение нельзя распро-
распространить па случай трех сомножителей.
Действительно, скалярное произведение двух векторов
оиЬ есть число; если это число помножить из вектор с
(§ 89), то в произведении получим вектор
(аЬ) с = | а | ■ ] Ь | cos (а, Ь) с,
коллннеарнып с вектором с.
§ 104а. Физический смысл скалярного произведения
Если вектор а = ОА (черт. 151) изображает смещение
материальном точки, а вектор F—OF — силу, действую-
действующую на эту точку, то скалярное произведе-
произведение aF численно равно работе силы Р.
Действительно, работу совершает только ком-
компонент;! OF', Значит, работа по абсолютному зна-
знамению равна произведению длин векторов а и OF'.
При этом она считается положительной, если век-
векторы OF' а а раннонаправлены, и отрицательной в
противном случае, Стало быть, работа раина мо-
модулю вектора а, помноженному на алгебраическую
проекцию выпори У по направлению вектора а, т. е. работы раина ска-
скалярному произведению «F,
Пример. Вектор силы /•' имеет модуль, равный 5 кг.
Длина вектора смещения а равна 4 м. Пусть сила F дей-
действует под углом « = 45° к смещению а. Тогда работа
силы F есть
Fa= IFHalcosa = 5-4-*?= 10/2"* 14,1 (кГм).
138 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 105. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение аЪ обращается в куль, если
одни из сомножителей есть нуль-вектор пли если всморы
а и Ь перпендикулярны.
Вытекает из A) § 104.
Пример. 3i-2j = 0, так как основные векторы *', j,
а значит, и векторы 3*\ 2J перпендикулярны.
Замечание, В обычной алгебре из равенства ab = О
следует, что либо с=0, либо Ь = 0. Для скалярного про™
доведения это свойство не имеет силы.
2. ab = ba (свойство переместительности).
Вытекает иэ (I) § 104,
3. («j-i-a^b = ajb + tfjjb (свойство распределитель-
распределительности).
Это свойство имеет место для любого числа слагаемых;
, при трех слагаемых
+Og) Ь s
Вытекает из B) § 104 и из C) § 93.
4, (та) Ъ sss га (аь) (свойство сочетательности относи-
относительно скалярного множителя) х)«
Примеры.
Bа)Ь = 2аЬ, (~За)Ь » ~ЗаЬ, 2>(-б^) -
Сяойство 4 выводится из A) § 104 (удобно рассмотреть отдельно
случаи т>0ит<0),
4а. (та) (ЛЬ) = (тп) аЬ.
Примеры.
Bа) (-36) = - (| )
Свойство 4a вытекает из предыдущего свойства.
Свойства % 3, 4а позволяют применять к скалярным
произведениям те н<е преобразования, какие выполняются
в алгебре над произведениями многочленов.
*) Относительно векторного множителя свойство сочетательности
не имеет места: выражение (сЬ) а есть вектор, коллицеарный с а (§ 104,
замечание 2), а о A»о) есть вектор, коллинеарный с е, так что
{сЪ}а? с{Ьа}.
§ toe. скалярные произведения
Пример 1.
(в силу свойств 3 и 4).
Пример 2.
(в силу свойств 3 н -4а).
Пример 3. Вычислить выражение (i+k) (j-k), где
i, j, к — основные векторы.
Решение. Так как векторы i, $, к взаимно перпен-
перпендикулярны, то ij = ik=jkt=O; кроме того,
кк s | к | j к I CDS (О*) = I * I2 cos 0 « 1
(модуль основного вектора равен единице). Поэтому
(J+ft)(J-ft) = ij-ik+kj-kk = -1.
5. Если векторы а и Ь коллинсарпы, то аЪ = ± j о j ■ [ Ь |;
(знак +, если щ Ь имеют одно и то же направление,
знак —, если противоположное).
5а. В частности, аа = | а \К
Скалярное произведение аа обозначается а2 (скалярный
кеадрат вектора а), так что
а» ш, J а |* A)
(скалярный квадрат вектора есть кеадрат его модуля),
3 а м е ч а п н е 1. Скалярного куба (и тем более высших
степеней) в векторной алгебре нет (ср. § 104, замечание 2).
Замечание 2. а3 есть положительное число (квадрат
длины вектора); из него можно извлечь_коревь любой
степени, в частности, квадратный корень }fas (длина век-
вектора а). Однако нельзя вместо 1^ писать а,
так как а - вектор, a fa* - число, Правильный результат
будет:
^!«I. B)
106, Скалярные произведения основных векторов
Из окределеиия § 104 вытекает, что
ц=&=1, jj-p-\t ftfc^fci-^
ij=ji=Q, jfe=fc,/=0, fci=ifc=0
ср. § 105, пример 3).
140 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Б ПРОСТРАНСТВЕ
Эти соотношения можно представить в виде «таблицы
скалярного умножения*:
"~~~~—-_^^^ Множимое
Множитель "~~""~*-~^__^^
i
S
ь
i
1
0
0
i
0
1
0
h
0
0
1
§ 107* Выражение скалярного произведения
через координаты сомножителей
Если at = {Хи Ylt ZJ и «а « {Хя, Yt1 Z»}, то ')
В частности, если т = (X, У, Z), то
откуда
A)
С2)
Ba)
(ср. § 105, замечание 2 и § 100).
Пример 1, Найти длины векторов «^{З, 2, 1},
о2{2, —3, 0} и скалярное приизведеиие этих векторов.
Решение. Искомые длины суть
Скалярное произведение
atas = 3-2+2(-3}+l-0 = 0.
Значит (§ 105, п. 1), векторы ях и as перпендикулярны.
») Имеем в, о X,* + V,i + Z1fc, ог = Xzi+ Y"Ei+Zaft. Перемно-
гкаем, учитывая свойства 3, 4 § 105 ч таблицу § 106,
8 109. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ 141
П р и м е р 2. Найти угол между векторами
ах{-2, 1, 2}и«г{-2, -2,1}.
Решение. Длины векторов суть
1^1= /(-2L14-2^3,
Скалярное произведение aLaz~ (-2)(-2)+1(-2}+
+2 Л = 4. Так как «yi- = | щ | | а31 cos (g^ аг), то
т. е. ^
(а^а,) ^ 63°37
§ 108. Условие перпендикулярности векторов
Если векторы ai{Xlf Ylt Zx}, a2{Xz, У», Zt} взаимно
перпендикулярны, то
Обратно, если ХгХа+ Y1YS + Z1ZS = 0, то векторы а,
и аг перпендикулярны или один нз них (например, щ)
есть нуль-векторх} (тогда Хх- ^l = ^ = О).
выводится из п. 1 S 105 и A) § Ю7.
§ 109. Угол между векторами
z {X2, YSf
)
П)
Угол ? между векторами щ {Хи Yv Z,}, az {X2, YSf Zt}
можно найти по формуле (ср. пример 2 § 107)
+z
Выводится из A) и Bа) § 107.
Пример 1. Найти угол между секторами П. 1, 1} н
2, 0, 3).
Р С Ш С II И С.
... m
COS ш = —
откуда 9 » 36°50'.
i) Нуль-всктор можно считать перпендикулярным к любому век-
вектору; ср. | 82.
Ш АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 2. Вершины треугольника ЛВС суть
ЛA;2; -3);£@; I; 2); С B; 1; 1}.
Найти длины сторон АВ и АС н угол А.
Решение.
fS = (@-1), A-2), B+3)} « {-1, -1, 5},
j4C « {B-1), A-2}, A+3)} = {1, -1, 4),
^(-ty + (-l)'+5a = 3 ft,
«з у%
cos Д
д
Замечание. Формулы A)-C) § 101 являются ча-
частными случаями формулы A) настоящего параграфа.
§ ПО. Правая и левая системы трех векторов
Пусть а, ь, е-три (ненулевые) вектора, пе парал-
параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке
(т. с. а-первый вектор, b-второй и с —третий.) При-
Приведя их к общему началу О
(черт. 152), получим трн век-
вектора О А, ОВ, ОС, не лежа-
лежащие в одной плоскости.
Система трех векторов
а, Ь, с называется правой
(черт. 152), если поворот
Черт. 153. вектора О А, совмещающий
его по кратчайшему пути с
вектором OS, совершается против часовой стрелки для
наблюдателя, глаз которого помещается в точке С.
Если же упомянутый поворот совершается по часовой
стрелке (черт. 153), то система трех векторов а, Ь, с на-
называется левой1).
Пример 1. Основные векторы %, j, к в правой си-
системе координат (§ 94) образуют правую систему. Си-
Система же^, i, к (векторы те же, но порядок нх другой) —
левая.
Если имеем две системы трех векторов и каждая из
них правая или каждая левая, то говорят, что эта системы
*) О происхождении иазваний шравая> и «левая» см. § 94, заме-
замечание 2.
§ 111. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ ИЗ
имеют одинаковую ориентацию; если же одна система
правая, а другая левая, то говорят, что системы имеют
противоположную ориентацию.
При однократной перестановке двух векторов система
меняет ориентацию (ср. пример I),
Система сохраняет ориентацию при круговой переста-
перестановке векторов, показанной на черт. 154 (второй вектор
становится первым, третий — вторым, а первый - третьим,
т. е. вместо системы а, ь, с получаем систему Ь, с, а).
Пример 2. Из правой системы /, j, ft круговой пе-
перестановкой получаем правую систему j, k, г, из послед-
последней-правую систему А\ i,j.
Пример 3. Если векторы а, Ь, с
образуют правую систему, то следующие
три системы —правые:
a, Ь, с, Ь, с, а, с, а, Ь,
остальные же три системы
b, а, с, а, с, Ъ, с, Ь, а,
составленные из тех же векторов,—левые.
Правую систему трех векторов нельзя совместить ии
с какой лепой.
При зеркальном изображении правая система становится
левой и наоборот.
§ III. Векторное произведение двух векторов
Определение. Векторным произведением вектора
а (множимое) на не коллинеарный с ним вектор Ь (мно-
(множитель) называется третий век-
вектор с (произведение), который
строится следующим образом:
1) его модуль численно равен
площади параллелограмма (AOBL
на черт. IS5), построенного на
векторах а и Ь, т. е. он равен
| « I ■ | Ь 1 sin (а, Ь);
Че т 155 2) его направление перпепдн-
КУЛярно к плоскости упомянутого
параллелограмма;
3)-при этом направление вектора с выбирается (из двух
возможных) так, чтобы векторы а, Ь, с составляли пря-
систему (§ 110),
144 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Обозначение: с = ахЪ или с = [аЬ].
Дополнение к определению. Если векторы а
и Ъ коллинеарны, то фигуре AOBL, считая ее (условно)
параллелограммом, естественно приписать нулевую пло-
площадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных век-
векторов считается равным нуль-вектору.
Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление)
это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.
Замечание 1. В термине «векторное произведение»
первое слово указывает на то, что результат действия есть
вектор (в противоположность скаляр-
скалярному произведению; ср. § 104, замеча-
замечание 1).
Пример I. Найти векторное про-
произведение г х j, где ir i — основные
J~7 У векторы правой системы координат
"% (черт. 156).
Решение. I) Так как длины осноа-
черт. 156. иых векторов равны единице масштаба,
то площадь параллелограмма (квадрата)
AOBL численно равна единице. Зиачнт, модуль вектор-
векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости AOBL есть
ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор,
коллинеарный с вектором ft; а так как оба они имеют
модуль 1, то искомое векторное произведение равно
либо к, либо -к.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать
первый, так как векторы i, j, к образуют правую систему
(а векторы г, j, -к -левую).
Итак,
i х j = к.
Пример 2. Найти векторное произведение j х».
Решение. Как в примере I, заключаем, что вектор
j х i равен либо к, либо -к. Но теперь надо выбрать
— к, ибо векторы у, i, -fe образуют правую систему
(а векторы j, г, к- левую).
Итак,
j х г = -к.
Пример 3. Векторы а и Ь имеют длины, соответ-
соответственно равные 80 см и 50 см, и образуют угол в 30°.
Прннян за единицу длины метр, иайти длину векторного
произведения а х Ь,
§ 112. СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 145
Решение. Площадь параллелограмма, построенного
на векторах а н 6, равна 80-50 sin 30° = 2000 (см*), т. е.
0,2 м*. Длина иском ого векторного произведения равна 0,2 м.
Пример 4. Найти длину векторного произведения
тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.
Решение. Так как площадь параллелограмма, по-
построенного на векторах а н Ь, равна 2000 смх, то длина
векторного произведения равна 2000 см, т. е. 20 м.
Из сравнения примеров 3 н 4 видно, что длина вектора
а х Ь зависит не только от длин сомножителей а и Ь, но
также и от выбора единицы длины.
Физический смысл векторного проиэведе-
н и я. Из многочисленных физических величин, изображаемых вектор-
векторным произведением, рассмотрим только момент силы.
Пусть А есть точка приложения силы F. Моментом силы Р отно-
относительно точки О называется векторное произведение fM X F Тлккак
модульэтого векторного произведения численно pa- U
вен площади параллелограмма AFLO (черт. 157), у* ,
то модуль момента равняется произведению осно- * i
вання AF на высоту ОК, т. е. силе, помноженноина *' ■
расстояние от точки о до прямой, вдоль которой *
действует сила.
В механике доказывается, что для равновесия
твердого тела необходимо, чтоОы равнялась нулю
не только сумма векторов F,, Ft, Ft представ-
представлявших силы, приложенные к телу, но также н
сумма моментов сил. В том случае, когда все силы
параллельны одной плоскости, сложение векторов, Черт. 157.
представляющих моменты, можно заменить сложе-
сложением и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях
сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное про-
произведение определяется именно как вектор, а не как число.
§ 112. Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение а х Ъ обращается в нуль
лишь тогда, когда векторы а и Ь коллннеарны (в частно-
частности, если один из них или оба — нуль-некторы).
Вытекает из первого пункта определения § 111.
la. а х а = 0.
Равенство а х а = 0 исключает необходимость вводить
понятие «векторного квадрата» (ср. § 105, п. 5а).
2. При перестановке сомножителей векторное произве-
произведение умножается на -1 («меняет знак на обратный*):
Ъ х а = -(а х Ь)
(ср. примеры 1 и 2 § 111).
Таким образом, векторное произведение не обладает
свойством переместительности (ср. § 105, п. 2).
10 м, я. Выгодский
146 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3. (а+Ь) xl = а х I + Ь х I (свойство распредели-
распределительности).
Это свойство имеет место для любого числа слагаемых;
например, при трех слагаемых имеем:
(а + 6 + е) х I = а х l+Ъ х l+c x /.
4. (та) xb-ffl(exb) (свойство сочетательности от-
относительно скалярною мно-
множителя).
4а. (то) х (nb) = тп (а х Ь).
Пр и ме ры: I) -За х Ъ = -3 (а х Ъ),
2) 0,3а х 4Ь = 1,2 (а х Ъ).
3) Bа-ЗЬ) х (c + 5'J) =
= 2 (а х с)+10(а X d)-3(b x с)-15(Ь xd) =
= 2 (а х с)+10(а х d) + 3(c х Ь)+15(<1 х Ь) -=
= 2 (а х с)-10 (а" х а) + 3(с х Ь)+15(Д х Ъ).
4) (а4-Ь)х(а-Ь) = аха-а
Первое и четвертое слагаемые раины нулю (п. 1). Кроме
того, Ь X а = -а X Ь (п. 2). Значит,
(а+Ь) х (а-Ь) » -2 (а X Ь) « 2 (^ х а).
Стало быть, площадь OCK.D (черт. 158) вдвое больше
площади О ЛСВ.
§ 113. Векторные произведения основных векторов
Из определения § Ш вытекает, что
г х i = 0, i X j = к, i х к ~ -j,
j х i = -/г, j х j = 0. j xk = i,
ftx*=i, fcxj= -»', fe x ft = 0,
§ 114. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ Ш
Чтобы не ошибаться в знаках, полезно держать в уме
следующую схему (черт. 159), Пользоваться сю надо так:
Если направление кратчайшего пути от первого век-
вектора (множимого) ко второму (множителю) совпадает
с направлением стрелки, то произведение равно третьему
сектору; если не совпалает, то третий век-
вектор берется со знаком минус.
Пример 1. Найти к х i. На схеме
направление кратчайшего пути от It к i
совпадает с направлением стрелки. Поэто-
Поэтому ft х i = j.
Пример 2. Найти h x j. Теперь на-
направление кратчайшего пути противопо-
противоположно направлению стрелки. Поэтому
к X j => -i.
Пример 3. Упростить выражение B1—3J+6&) х
х Di-6/+12Ai). Раскрывая скобки и пользуясь таблицей
или схемой, находим:
х Dl-6i+l2fc) = 8(i x i) -
-12 (i x J) + 24(i x ft)-12(J xi)+\8(j xib
-36 (j x h) }-24(fc x *)-36(ft x j)+72(fc x ft) =
= -12fc-24i+12fc-36l+24j+3Cf = 0.
Так как векторное произведение обращается в нуль
только в случае коллинеарности сомножителей (§ 112,
п. 1), то векторы 2(-3j+6fc и 4i-6j-f-12fe коллинеар<
ны. Это показывает и признак § 102,
§ 114. Выражение векторного произведения
через координаты сомножителей
Если ад = {Xv Ylt Z,} и «2 = {Х2, У„ ZJ, то1)
\
|
) * 2 2
2 Я
2 й
\
Выражения, окаймленные вертикальными чертами, —
определители второго порядка (§ 12).
1) Нахолим векторное произведение (Xtt , ,) {г
+ y;i-^Zift), пользуясь таблицей § НЗ и свойствами 2, 3, 4 §112 (ср.
пример 3 § 113),
10*
148 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Практическое правило. Чтобы получить ко-
координаты вектора щ х аг, составим таблицу
Л» У т Z»
B)
Закрыв в ней первый столбец, находим первую коор-
координату
YtZx
Закрыв второй столбец н взяв оставшийся определи-
X Z
1 1 нли, что то же,
тель с обратным знаком I-
zx x
X, Z,
)
находим вторую координату.
Закрыв третий столбец (оставшийся определитель бе-
берется снова со своим знаком), находим третью координату.
Пример I. Найти векторное произведение векторов
Ol{3, -4, -8}Hof{-5,2. -1}.
Решение. Составляем-таблицу
3 -4 -8
-5 2 -1
Закрыв первый столбец, получаем первую координату
-4 -8
2 -I
Закрыв второй столбец, находил; определитель
3 -8
-5 -1
Переставляя в нем столбцы (при этом знак меняется на
-8 3
обратный), получаем вторую координату =43.
— I — о
Закрыв третий столбец, получаем третью координату
3 -4
« -14.
-5 2
Итак, я, х о, = {20, 43, - \А}.
S 116. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 149
Замечание. Чтобы не ошибиться Б знаке при вы-
вычислении второй координаты, можно вместо таблицы B)
пользоваться таблицей
Хх У г Zt X, Yx
получаемой из B) приписыванием первых двух столбцов.
Закрыв в C) первый столбец, берем подряд следующие
два. Затем, закрыв еще и второй столбец, берем подряд
следующие два. Наконец, закрыв н третий столбец, берем
последние два. Ни в одном нз трех полученных опреде-
определителей не надо переставлять столбцы.
Пример 2. Найти плошадь 5 треугольника, задан-
заданного вершинами А, C; 4; -1). Лг B; 0; 4), Ла(-3; 5; 4).
Решение. Искомая плошадь равна половине пло-
площади параллелограмма, построенного на векторах АхАа и
ДЛ3. Находим (§ т^А1А2= (B-3), @-4), D+ I)} «
= {-1, -4. 5} и АХАЯ*= (-6. I, 5}. Плошадь парал-
параллелограмма' равна модулю векторного произведения
AjA2 х AlA.i, а последнее равно {-25, -25, —25}. Сле-
Следовательно,
S = 11 ЛХ2 х ЛД31 = ~ |/(-25L(-25)=+(~25F=
« ~ ^1875 » 21,7.
§ 115, Компланарные векторы
Три вектора (или большее число) называются компла-
компланарными, если они, будучи приведены к общему началу,
лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов - нулевой, то три
нектора тоже считаются компланарными.
Признак компланарности см. в §§ И6, 120.
§ 116. Смешанное произведение
Смешанным (или векторно-скаллрным) произведением
трех векторов а, Ь, с (взятых в указанном порядке) назы-
называется скалярное произведение вектора а на векторное
произведение Ъ х с, т. е. число а (Е> х с), или, что то же,
(Ъ х с) а.
Обозначение: abc.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В
Признак компланарности. Если система1 а,
Ь, г-правая, то abv ^ 0; если левая, то abc -= 0.
Если же векторы а, Ь, г, компланарны (§ 115), то ofrc = 0.
Иными словами, обращение в нуль
смешанного произведения иЪс
есть признак компланарности
векторов а, Ь, с.
Геометрическое ис-
истолкование с.мешан но г о
произведения. Смешанное
произведение abc трех некомпла-
некомпланарных векторов а, Ь, с равно объ-
объему параллелепипеда, построен-
построенного иа секторах а, Ь, с,взятому со
знаком плюс, если система а, Ь,
с -правая, и со знаком минус,
если эта система левая.
Пояснение. Построим (черт. 160,
1G1) вектор
05"=аХЬ. A)
Тогда площадь основания OAK, В равна
О о А
черт. 160.
S = | оН"|.
B)
о
Высота Н (длина вектора ОМ), взятая со
знаком плюс или минус, есть (§ 92, п. 2)
алгебраическая проекция вектора с по
Черт. 161. направлению 0D, т. е.
Н = ± пр—-»-е. C)
Знак плюс берется, когда ОМ и OD равнонапразлены (черт. 160),
а это будет в случае правой системы о, Ь, с. Знак минус отвечает
левой системе (черт. 161). Из B) и C) получаем;
V - SH = ± ™*
но ] OD | пр
Значит.
OJJ\ пр-^- с>
есть скалярное произведение OD-c (§ 104), т, е.
§ 117. Свойства смешанного произведения
1. При круговой перестановке (§ ПО) сомножителей
смешанное произведение не меняется, при перестановке
двух сомножителей-меняет знак на обратный:
abc = bca =s cab = — (buc) = -(cba) = ~(«cb).
Вытекает из геометрического истолкования (§ 116) и из 5 110.
§ 118. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 151
2. («+b)cd = aed+bed (свойство распределитель-
распределительности).
Распространяется па любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения и 5 112, п. 3.
3. (ma) be = щ (abc) (свойство сочетательности отно-
относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения и g 112, п. 4.
Эти свойства позволяют применять к смешанным про-
произведениям преобразования, отличающиеся от обычных
алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножи-
сомножителей можно только с учетом знака произведения (п. 1).
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два рав-
равных сомножителя, равно нулю:
aab = 0.
Пример I.
abCo + 2b —5c) s= 3aba+2abb-5abc г= -5abe.
Пример 2.
(о + Ь) (Ь+с) (с + а) =
(x + I)(f)
= abc-j-aec + aco-i-aba+bec+bca.
Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того,
Ьса = abc (свойство 1). Поэтому
= 2abc.
§ 118. Определитель третьего порядка1)
Во многих случаях, в частности при вычислении сме-
смешанного произведения, удобно пользоваться записью вида
Она представляет сокращенное обозначение выражения
а.
Ья ся
B)
Подробнее об определителях си.
152 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Выражение A) называется определителем третьего
порядка.
Определители второго порядка, входящие в B), со-
составлены следующим образом. Вычеркнем из таблицы A)
ту строку и тот столбец, где стоит я,, как показан» на
схеме:
Остающийся определитель входит в B) множителем при
нычеркнутой букве av Аналогично получаются два других
определителя формулы B):
Яг--fa--
а2 h
а2
а3
Ъ2
b3
Надо помнить: средний член в формуле B) снабжен
знаком минус]
Пример I. Вычислить определитель
-2 -I -3
Имеем:
~2 -1
-I 4
I 5
-1
1
= -2
4
5
6
9
+ L
„1
1
6
9
-3
-1
г
4
5
Замечание 1. Так как
= _2-6+Ь(~15)-3-(-9) = 0.
£
то оп-
определитель третьего порядка можно представить еще так:
C)
«i h ех
О3 Ь-> С,
Ь3с3
сг а2
с, а,
а2 Ь2
й3 Ь3
5 ИЗ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 153
Здесь все определители второго порядка снабжены зна-
знаком плюс.
Замеч а н и е 2. Вычисление по формуле C) можно механизиро-
механизировать следующим образом. Припишем к таблице A) два первых ее
столбца; получим таблицу
al &1 cl "l b,
аг Ьг Ci at bt
a9 Ь9 с3 а3 Ьа
D)
Берем из первой строки букву а, и спускаемся от нее по диаго-
диагонали направо, как показано стрелкой на тайлице E):
\
a, l\
E)
Определитель второго порядка, на который указывает стрелка, мно-
множится на а,. Получаем а±
Ьа са
Затем закрываем первый столбец, берем нэ первой строки букву fci.
(первую из оставшихся) и поступаем аналогично, как показано на
таблице F):
\
Ь,
(G)
Получаем:
«я
Наконец
Приме
гавляем т
закрываем
второй
столбец
р 2. Вычислить определитель
аблицу D)
\
D =
1
-I
2
2
3
5
I
]
■Л
3
4
2
2 3
3 4
5 2
1
л получаем
1
-1 3
2
3
и находим:
О =
3
5
4
2
+ 2
4
2
-I
2
+ 3
™ 1
2
3
5
-14+20-33 = -27.
lj>4 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 119. Выражение смешанного произведения
через координаты сомножителей
Если векторы щ, а3, «3 даны нх координатами
„ /V" V V \ *• /V V \ п {V V ? 1
то смешанное произведение щам^ вычисляется по фор-
формуле
х\ y\ z\'. A)
v v 7
Вытекает из формул A) § 107 и A) § 114.
Пример 1. Смешанное произведение щщ^ векто-
векторов tfi{ -2, -1, -3}, «2( -1, 4, 0}, «3{1, 5, 9} равно
-2 -1 -3
-1 4 6=0
1 5 9
(ср. § 118, пример 1). Значит (§ 116), векторы о, Ь, с ком-
компланарны.
П Р н м е р 2. Векторы {1,2,3}, {-1,3,4}, {2,5,2}
образуют левую систему, ибо нх смешанное произведение
(§ 118, пример 2)
1 2 3
• 1 3 4 = -27
2 5 2
отрицательно (см. § 116).
§ 120. Признак компланарности
в координатной форме
Условие (необходимое и достаточное) компланарности
векторов о, {Хи Yt, ZJ, щ (Xtl Y2, Zt}, щ {Хя, Ya, Zd}
есть (см. § 119, пример 1)
2£
X»
Za
= 0.
Вытекает из g 116.
§ 121. ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
§ 121. Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на векторах
а, {Хи Ylt Z,}, щ {Xit Yt, Zx), щ {Х3, Ys, Zs),
равен
153
V = ±
У ч Li-i
где знак плюс берется, когда определитель третьего по-
порядка положителен, и минус - если определитель отрица-
отрицателен (ср. § 13).
Вытекает из 55 110, 119.
Пример \. Найти объем параллелепипеда, построен-
построенного на векторах { 1, 2, 3 }, { - 1, 3, 4 }, { 2, 5, 2 }.
Р е ш е и и е. Имеем;
V = ±
1 2 3
-13 4
2 5 2
--. ±(-27).
Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак
минус. Находим V = 27.
Пример 2. Найти объем V треугольной пирамиды
ABCD с вершинами ЛB; -1; 1), ВE; 5; 4), СC; 2; -1),
D D; 1; 3).
Решение. Находим (§ 99):
АВ = {E-2), E+ 1), D- 1)} - {3, 6, 3}.
Таким же образом АС- {1, 3, -2}, Ло"= {2, 2, 2}. Ис-
Искомый объем равен -g- объема параллелепипеда, построен-
построенного на ребрах АВ, AC, AD, Поэтому
± ±
3 6 3
X 3 -2
2 2 2
Отсюда получаем V = 3,
156 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 122. Двойное векторное произведение
Двойным векторным произведением называется выра-
выражение вида
ах(Ьхс).
Двойное векторное произведение есть вектор, компла-
компланарный с векторами Ь н с; оно выражается через векторы
Ъ н с следующим образом:
ах(Ьхс)= Ь(ас)-с(аЬ}. A)
§ 123. Уравнение плоскости
А. Плоскость (черт. 162), проходяшая через точку
М>(*«; Уо> 2о) н перпендикулярная к вектору N {А, В, С},
представляется уравнением первой
степени *)
А(х-хо)+В(у-у0)+
+ СB-20) = 0, A)
или
Ax+By+Cz+D = 0, B)
где через D обозначена величина
Вектор N{A, В, с) называется нор-
нормальным вектором плоскости Р.
Замечание 1. Выражение «плоскость Р представ-
представляется уравнением A)в означает, что: 1) координаты х, у, z
всякой точки М плоскости Р удовлетворяют уравнению A);
2) координаты х, у, z всякой точки, не лежащей иа пло-
плоскости Р, ие удовлетворяют этому уравнению (ср. § 8).
Б. Всякое уравнение первой степени Ax+By + Cz+
+D «= О (А, В и С ие равны нулю все сразу) представляет
плоскость.
Уравиения A) и B) в векторной форме имеют вид
JV(r-n) = O, (la)
Nr+D = O Ba)
(г0 и г - радиусы-векторы точек Af0 и Af; D s= -A>0).
») Уравнение A) есть условие перпендикулярности векторов
"{А В, С) и А<|Л1 ■ {*-»(. y-yor z-Zo). См. SS 103 И 99.
§ 124. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 157
Пример. Плоскость, проходящая через точку B; 1; — I)
и перпендикулярная к вектору {-2, 4, 3}, представ-
представляется уравнением
или
= 0.
Замечание 2. Одну и ту же плоскость можно представить мно-
множеством уравнений, у которых все коэффициенты и свободный член
соответственно пропорциональны (см. ниже § 125, замечание).
§ 124* Особые случаи положения плоскости
относительно системы координат
1. Уравнение Ах+By I-Cz = 0 (свободный член D = 0)
представляет плоскость, проходя-
проходящую через начало.
2. Уравнение Ax+By+D - О
(коэффициент С = 0) представляет
плоскость, параллельную оси OZ,
уравнение Ax + Cz+D = 0 - пло-
плоскость, параллельную оси OY, урав-
уравнение By+Cz + D = О — плоскость,
параллельную оси ОХ.
Полезно запомнить: если в урав-
уравнении нет буквы z, то плоскость
параллельна оси OZ и т. п.
Пример. Уравнение
х+у-1 => О
представляет плоскость Р (черт. 163), параллельную оси OZ.
Замечание. В аналитической геометрии на плоскости уравне-
уравнение x+j>-1e=0 изображает прямую (KL, на черт. 163). Разъясним,
почему в пространстве то же уравнение представляет плоскость.
Возьмем на прямой KL. какую-либо точку М. Так как М лежит на
плоскости XOY. то для неег=О. Пустьв системе XOY точкам имеет
координаты x="o"i У *—% (они удовлетворяют уравнению X +у — 1 -0).
Тогда в пространственной системе OX YZ координаты точки М будут
**—5" • У— -п1* *=0. Эти координаты удовлетворяют уравне-
уравнению х + у — 1 =0 (для большей ясности запишем его в виде 1х+ 1у +
+ 0.2-1=0).
1 1
Рассмотрим теперь точки, для которых Х=тг, у = -^> но 2^0,
Z Z
например, точки Mt (у; — ; —^V Мг (-^; -^ ; -^\ Мш (-^ J -^; 1 j
158 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
и т. п. (см. черт. 103). Координаты их тоже удовлетворяют уравнению
х+у + О-г —1 =0. Эти точки заполняют «вертикальную» прямую* UV,
проходящую через М. Такие же вертикальные прямые можно постро-
построить для всех точек прямой KL. В совокупности они заполнят плос-
плоскость Р.
О том, как представить и пространственной системе координат пря-
прямую KL, сказано ниже (§ 140, пример 4).
3. Уравнение Ax-i-D = О (£=О, С=0) представляет
плоскость, параллельную как оси О У, так и оси QZ (см. п. 2),
т. с. параллельную координатной плоскости YOZ.
Аналогично уравнение By + D = 0 представляет пло-
плоскость, параллельную плоскости XOZ, а уравнение Сг +
+ D = 0 - плоскость, параллельную ХОУ (ср. § 15).
4. Уравнения .Х = 0, У-0, Z=0 представляют соот-
соответственно плоскости yOZ, XOZ, ХОУ,
§ 12S. Условие параллельности плоскостей
Если плоскости
Ax+B^+CiZ+DjL = 0 и A2x+B2y + C2z+D2 = О
параллельны, то нормальные векторы Лг, {Ли В,, С,} и
Л'3{А2, Ва, CJ коллинеарны (и обратно). Поэтому (§ 102)
условие параллельности (необходимое и достаточное) есть
^i — Si — £l
At ~ Вх Сг *
Пример 1. Плоскости
2х-Зу-4г+11 « 0 и -4x+6y-l-82-f-36 = О
параллельны, так как^- = -^ = --j.
Пример 2. Плоскости 2х-Зг-12 = 0 (^i = 2,
ВХ=О, Ci^-З) и 4x+4y-6z+7 = 0 (At*=4, В2~4,
Сг = -6) не параллельны, так как /^=0, а В2^0 (§ 102,
замечание).
Замечание. Если lie только коэффициенты при
координатах, но и сверх того и сбоСодныс члены пропор-
пропорциональны, т. е. если
л* - ё* - СЛ. _ В*
Ai Bi Ct-'Di'
ТО плоскости совпадают. Так, уравнения
бг+4 = 0 и 6х+14у-102+8^ О
npeflctao^iHKJT одну и ту же плоскость, Ср. § 18, замечание 3,
& lh. УГОЛ МЕЖДУ ДЙУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ 159
§ 126, Условие перпендикулярности плоскостей
Если плоскости
Aix+Bxy~\-C1z+Dl - 0 и Л2х+Вгу+Спг+£>2 = О
перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные
векторы ЯЗг{Ах% Вь С\}, М2{А2, В2, С,} (и обратно).
Поэтому (§ 108) условие перпендикулярности (необходимое
и достаточное) есть
A^3+Bji^+qca :--■ о.
Л р и м е р 1. Плоскости
3x-2y-2z+7 - О и
перпендикулярны, так как 3-2 + (-2)-2-И-2)-1 — 0.
Л р и м е р 2. Плоскости
перпендикулярны.
§ 127. Угол между двум* плоскостями
Две плоскости
Лхх-{- Bjy+C^-!- D^ « о A)
и
A2x+B2y+Czz+D2 » 0 B)
образуют четыре двугранных угла, равных попарно.
Один из них равен углу между нормальными векторами
л^{ль ви cj и х£{А2, в2, cs}. Обозначая лрбон из
двугранных углов через <р, имеем;
COS q> - ± -.-■ ^^+Д-Д£±С»С» . C)
Выбирая верхний знак, получаем cos (Д^, Лт2), выбирая ниж-
нижний, - получаем cos [180°- (a£V*)L
160 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Угол между плоскостями
х-у+У2г+2 = 0 и х + у+^г-З = О
определится из равенства
со8ф в ± _ь^(-1)-1+^_^^_ = ± 1
П+1+tfS)' Kltf2 *
Получаем ф = 60° или ф=120°
Еслн вектор NL образует с осями OX, 0Y. 02 угли о^
Pi, fv а вектор JVjj - углы аг, ра, у2, то
cos <р = ± (cos <xx cos aa+ cos pt cos p2+ cos Ti tQs y2) D)
Вытекает из C) и формул A)-C) § 101
§ 128. Плоскость, проходящая через данную точку
параллельно данной плоскости
Плоскость, проходящая через точку Мг {xi} y\, г,) и
параллельная плоскости Ax-bBy+Cz+D = 0. предста-
представляется уравнением
A(x-x1)-{-B(y-yi)-\-C{z-~zl) = О
Вытекает н3 §§ 123 и 125.
Пример. Плоскость, проходящая через точку
B; -1; 6) н параллельная плоскости Л.-+У-22+5 = О,
представляется Уравнением (х-2)+(у-И)-2(г-0) = о.
т. е. x+y-2z+H = О.
§ 129. Плоскость, проходящая через три точки
Еслн точки M0(x,t; уа; г0), М,(^ь Ун* «О, Л1,(х,; у2; га)
не лежат на одной прямой, то проходящая через ннх пло-
плоскость (черт. 164) представляется
уравнением
-Уо Z-V
У г ~
(/)
Оно выражает компланарность векторов МлМ, М0М,, М0М, (см.
SS 120 и 99).
g 131 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ Ш
Пример. Точки МоA; 2; 3), М,B; 1; 2).[М2C; 3; 1)не
лежат на одной прямой, так как векторы МпМ1 { 1, - 1, - 1 }
и ~MVM*{2, 1, -2} не коллинеарны. Плоскость М^МцМ*
представляется уравнением
-1 у-2 2-3
1 -1 -1=0,
2 i -2
т. е.
x+z~4 = 0.
Замечание. Если точки MQ, Mlt M3 лежат на одной
прямой, то уравнение A) становится тождеством.
§ 130. Отрезки на осях
Если плоскость Ax+By + Cz + D = О не параллельна
оси ОХ (т. ei если Л^О; § 124), то она отсекает на этой
оси отрезок о — —-д-. Аналогично, отрезки на осях О У,
OZ Судут Ь= —£(если Д^О) и с= —£■ (если С^О)
(ср. §32).
Пример. Плоскость Зх-ь5у-4г~-3 = 0 отсекает на
осях отрезки а = -|- = 1, ft = -g-, с = --^-.
§ 131. Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость отсекает на осях отрезки а, Ъ, с (не
равные нулю), то ее можно представить уравнением
которое называется «уравнением плоскости в отрезках*.
УравнениеA) можно получить какуравнение плоскости, проходя-
проходящей через три точки (а; 0; 0), @; Ъ\ 0) и @; 0; с) (см. § 129).
Пример. Написать уравнение плоскости
Зх-бу + 22-12 ^ О
в отрезках.
11 1Л. я. Выгодский
162 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Находим (§ 130) а-А, Ь - -2, с^б. Уравнение в от-
отрезках есть
Замечание 1. Плоскость, проходящую через начало коорди-
координат, нельзя предстапить уравнением в отрезках (ср. §33, замечание 1),
Замечание 2. Плоскость, параллельную оси ОХ, но не парал-
параллельную двум другим осям можно представитьу равнением—+—=1,
ос
где Ь и с-отрезки на осях OY и 07,. Плоскость, параллельную оси
аСсцисс и оси ординат, можно представить уравнением — п 1. Анало-
Аналогично представляются плоскости, параллельные другим осям, одной
или двум (ср. § 33, замечание 2).
§ 132. Плоскость, проходящая через две точки
перпендикулярно к данной плоскости
Плоскость Р (черт. 165). проходящая через две точки
JH (хо! У\', 20) и Mi (хх; ус, Zj) перпендикулярно к плоскости
Q, заданной уравнением Дх-ь By-bCz-l-D ^ 0, представ-
представляется уравнением
7
х-хй у~у0 z-zv
ABC
= 0.
A)
Черт. 165.
Оно выражает (§ 120) компланарносп.
векторов МВМ, М^К?! и N{A, П,С) = М„К.
Пример. Плоскость, проходящая через две точки
A; 2; 3) и М1B; 1; 1) перпендикулярно к плоскости
-6 ь- 0, представляется уравнением
х-1 у-2 z~3
2-1 1-2 1-3
3 4 1
= О,
т. е. х-у + 2-2 = 0.
Замечание. В случае, когда прямая М,^ перпен-
перпендикулярна к плоскости Q, плоскость Р неопределенна.
В соответствии с этим уравнение A) обращается в тож-
тождество.
§ 134. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ 163
§ 133. Плоскость, проходящая через данную точку
перпендикулярно к двум плоскостям
Плоскость Р, проходящая через точку М„ (х„; у0; г„) н
перпендикулярная к двум (непараллельным) плоскостям
QQ
A]X \
федстав
BiV + C
iZ+Dj
= 0,
ляется уравнением
л,
A
У-J
в,
B,
- 0,
= 0.
Оно выражает (черт. 166) компланарность векторов
МцМ, A'j{Ai , Bit CjJ, A'j^A», Вц С;} J).
П р и м е р. Плоскость, проходящая через точку A; 3; 2)
и перпендикулярная к плоскостям х-f2у + г-4 = О и
2х+у + Зг+5 = О, представляется
уравнением
т. с.
-1
1
2
5х
У
~У
-
2
1
3 z
-32 +
-
1
3
4
2
О.
Черт. 166.
3 а м с ч а и и е. В случае параллельности плоскостей Q,,
Q2 плоскость Р неопределенна; в соответствии с этим
уравнение (I) обращается в тождество.
§ 134. Точка пересечения трех плоскостей
Три плоскости могут не иметь пи одной общей точки
(если по крайней мере две из них параллельны, а также
если прямые их пересечения параллельны), могут иметь
бесчисленное множество общих точек (если все они про-
') Векторное произведение N, ХА'2 (черт. 166) служи г нормальным
вектором плоскости Р. Значит [§ 123, Aа)], уравнение плоской кР есть
(JVj X'Vj) (»■-»•„) =0, что снова даст уравнение A).
И*
164 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ходят через одну прямую) или иметь только одну общую
точку В первом случае система уравнений
1 = О,
= о,
= О
не имеет решений, во втором имеет бесчисленное множе-
множество решений, в третьем - только одно решение. Для
исследования удобнее всего применить определители (§ 183,
190), но можно обойтись н средствами элементарной алгебры.
Пример 1. Плоскости
7x-3y + z-6 = О, A)
14x-6y+2z-5 - 0, B)
х ьу-5г --= О C)
не имеют обшнх точек, так как плоскости A) и B) парал-
параллельны (§ 125). Система Уравнений несовместна [уравне-
[уравнения A) и B) противоречат друг другу].
Пример 2. Исследовать, есть ли общие точки у грех
плоскостей
х-i-y + z = 1, _ D)
X - 2у - Зг - 5, E)
2x~y-2z = 8. (б)
Ищем решение системы D)-(б). Исключив г из D) и
E), получаем 4х-ьу = 8; исключив z из D) и (О), получаем
4х+у = Ш. Эти два уравнения несовместны. Значит, трн
плоскости не имеют общих точек. Так как среди ннх нет
параллельных плоскостей, то три прямые, по которым
плоскости попарно пересекаются, параллельны.
Примерз. Исследовать, есть ли общие точки у пло-
плоскостей
x+y + z = 1, x-2y~3z = 5, 2x~y-2z = 6.
Поступая, как в примере 2, получим оба раза 4лч
4- у = 8, т. е. фактически не два, а одно уравнение. Оно
имеет бесчисленное множество решений. Значит, три пло-
плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е.
проходят через одну прямую.
П р н м е р 4. Плоскости
0, х|-2у-1 = 0, .xi-y-z+2-O
имеют одну общую точку (-1; 1; 2), ибо система уравне-
уравнений имеет единственное решение х "== -1, у— 1, 2 = 2.
§ 136. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 165
§ 135. Взаимное расположение плоскости
и парад точек
Взаимное расположение точек ML (jq; .ViJ гА Mt (-V2! Ух', Zs) и пло-
плоскости
Ax+By + Cz+ D = 0 A)
можно определить по следующим прнлнакам (ср. § 27):
а) Точки Мк и Л1И лежат по одну сторону от плоскости A), когда
числа Ax1-\-ByI +Czl+D и Ах^ + Ву2+Сг^ + В имеют одинаковые
знаки.
б) Мг и М2 лежат по разные стороны от плоскости (I), когда эти
числа имеют противоположные знаки.
в) Одна из точек ЛТЬ Л!* (или обе) лежит на плоскости, если одно
из эзих чисел (или оба) раппо нулю.
Пример I, Точки B; 3; 3) и A; 2; — 1) лежат по одну сторону от
плоскости 6x + 3y + 2z-C>=iO, ибо числа 6.2 + 3-3+2.3-6=21
ч 6-1+3-2 + 2 ( — 1)— G--4 оба положиiелынл.
П р и м £ р 2, Начало координат @; 0; 0) и точка B; 1; ]) лежат По
разные стороны от плоскости 5x+-3v — 2z— 5=0, так как числа
5-0 + 3.0-2.0-5= -5 и 5-2+3.1-2-1-5 «= 6 имеют про-
противоположные знаки.
§ 136. Расстояние от точки до плоскости )
Расстояние с/ от точки Мк (х^, у,; гх) до плоскости
Ax-1-By + Cz+D - О A)
равно (ср. § 28) абсолютному значению величины
S - Л.У|+£>■,+С?!+i3 ,<у.
т. е.
П р и м е р. Найти расстояние от точки C; 9; 1) до пло-
плоскости .х - 2у ■+■ 2г - 3 — 0.
Решение.
S У1-2>',+2г,-3 ЬЗ-2-0+2.1-3 _ gj
-2J +2Е
'3'
Замечание 1. По знаку величины S можни судить о взаим-
взаимном расположении точки Мх и начала О относительно плоскости A)
(ср. § 28, замечание 1).
Замечание 2. Формулу C) можно вывести аналитически, рас-
рассуждая, как » замечании 2 § 28. Ураинения прямой, проходящей через
точку Mv перпендикулярно к плоскости A), удобно взять» параметри-
параметрической форме (см. §{* 153, 156),
166 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 137. Полярные параметры плоскости1)
Полярным расстоянием плоскости UVW (черт. 167)
называется длина р перпендикуляра ОК, проведенного
К плоскости из начала О. Полярное расстояние положи-
положительно или равно нулю.
Если плоскость UVW не проходит через начало, то на
перпендикуляре ОК за положительное направленне прини-
принимается направление вектора ОК. Если же UVW проходит
через начало, то положительное направление на перпенди-
перпендикуляре выбирается по произволу.
Полярными углами плоскости
UVW называются углы
а = ^ ХОК, р = ^ YOK,
Y - ^ ZOK
между положительным направле-
направлением прямой ОК и осями коорди-
координат (эти углы считаются поло-
положительными н ие превосходящими
180°). Углы а, р, y связаны (§ 101)
соотношением
Черт. 167.
Y -
Полярное расстояние р н полярные углы а, р, у назы-
называются полярными параметрами плоскости UVW.
Если плоскость UVW дана уравнением Ах+Ву+
-ЬСг+Я = О, то ее полярные параметры определяются
формулами
р »
COS « =
cos C =
cos y =
A)
У А* + S» + С* '
где верхние знаки берутся, когда D > 0, и нижние, когда
D -с 0. Если же D — 0, то по произволу берутся только,
верхние илн только нижние
Ср. 5
§ 138. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ 167
Пример 1. Найти полярные параметры плоскости
-2y + 2z-3=0 (Д=1, В =-2, С = 2, D - -3).
Решение. Формула A) дает
I -з
Р -
Формулы B), где нужно взять нижние знаки (ибо D =
3 «= 0), дают;
1 i
cos a = -т====== = ~,
-2 _ _ 2
cos ^ ~ Vim (-2)'+ 2! ~ з '
2 2
cos у = ■ д=^ = — ,
Следовательно,
а к 70°32', р « 131°4i)', y « 48°Н'.
Пример 2, Найти полярные параметры плоскости
ФopмУJIa A) дает р — О (плоскость проходит через на-
начало); в формулах B) можно взять либо только верхние
знаки, либо только нижние. В первом случае
следовательно,
a ** 109°28'; C » 48°1I'; y « I31°49'7
во втором случае
a и 70°32', р«131°49'; y*48°11'.
§ 138. Нормальное уравнение плоскости
Плоскость с полярным расстоянием р (§ 137) и поляр-
полярными углами а, р, у (cos2a-bcossp + cosay = 1; § 101)
представляется уравнением
xcos a + y cos p. f-scos у-р = 0. A)
Оно называется нормальным уравнением плоскости.
16& АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 1. Составить нормальное уравнение пло-
плоскости, у которой полярное расстояние равно -р, а все
полярные углы — тупые и ратшы между собой.
Решение. Прн а -^ р = у Условие cosa« -f cos2p +
+ cos2 у = 1 дает cus а = cos р — cos у — ±—, а так как
КЗ
углы а, р, у-тупые, то надо взять знак минус. Искомое
уравнение есть —~х—~у—^z—~ - 0.
г Уз УзJ Уз Уз
3 а м е ч а н и е. Та же плоскость представляется урав-
уравнением
x+y + z+l = О
(обе части предыдущего уравнения помножены на — у'З),
но это уравнение - не нормальное, ибо коэффициенты
при координатах не являются косинусами полярных углов
(сумма их квадратов не равна 1) и к тому же свободный
член положителен.
Пример 2, Уравнение ~х+-|-у-|-г-ь5 = 0 - на
нормальное, так как хотя (у)"+ (■§■)"+ (-■§■)" = ^ но
свободный член положителен.
Пример 3. Уравнение --jX+^y-^z-5 ~ 0-нор»
мальное; cos я = -~, cos р - -р cos у = -«-, р — Ь (а ^
» 109Q2S', р » 48°П', у ~ Ш°49').
Вывод уравнения A). Рассматриваемая плоскость (UVW
на черт. 107) проходит через точку К (pcos a, pc&sp,pcos у) перпенди-
перпендикулярно к вектору ОК. Вместо ОК можно взять вектор а того же
направления с длиной, равной единице масштаба, Координаш вектора
а суть cos a, cos p, cos у (§ ]01)- Прнмешо уравнение A) § 101,
получаем нормальное уравнение A).
§ 139. Приведение уравнения плоскости
К нормальному виду
Чтобы найти нормальное уравнение плоскости, задан-
заданной уравнением Ax-bBy-\-Cz+D = 0, достаточно раз-
делить обе части данного уравнения иа т у^-Ь-^ + С^
причем верхний знак берется, когда D>0, и нижний,
когда D •=: 0; если же D = 0, то можно взять ;шбой знак.
§ 139. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ 169
ПолУчаем уравнение
у а3 + ва + с* V дм- н* +с*
= о.
Оно нормально, ибо коэффициенты при х, у, г в силу B) § 137 соот-
соответственно равны cos a, cos p, cosyj а свободный член в силу (I) § 137
равен -;).
Пример 1. Привести к нормальному виду уравнение
x-2y+2z-6 = 0. A)
Делим обе части уравнения на + /13+(-2)г + 2* = 3
(перед радикалом-плюс, так как свободный член -б
отрицателен). Получаем;
т§4
1 2 2
Следовательно, р = 2, cosa ~ -j, cos p = --у, cos у = ■=•
(а м 70°32', р « 131°49', у « 48е 11').
Пример 2, Привести к нормальному виду уравнение
O. B)
Свободный член положителен. Поэтому делим на
/it + (-2L:2*= -3. Получаем:
Ч|у1
Следовательно, р — 2, cos <х = - у, cos Р = -§-, cos г = - -3-
(« « 109^28', Р «* 4841% г * 131 °49').
Пример 3. Принести к нормальному виду уравнение
z= 0.
Так KSA' D — 0 (плоскость лроходиг через начало), то
можно разделить либо па +3, либо на —3. Получаем
либо Лх—|у + |-г = 0, либо —jx+-|y-|-z = 0.
В обоих случаях р = 0. Величины а, р, у в первом слу-
час-те же, что в примере 1, во втором-те же, что в
примере 2.
Замечание. Если в уравнении Дх+Ву+С2+О = О
свободный член отрицателен и Д2+ В2 + С2 = 1, то это
ураииение нормальное (§ 138, пример 3) и преобразовы-
преобразовывать его не надо,
170 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 140. Уравнения прямой в пространстве
Всякая прямая линия UV (черт. 168) представляется
системой двух уравнений:
= О,
= 0,
A)
B)
представляющих (если их рассматривать по отдельности)
какие-либо две (различные) плоскости Рх и Р,,, проходя-
проходящие через UV. Уравнения A) и B) (взятые s совокупности)
называются уравнениями прямой UV.
Черт. 168.
Черт. 169.
3 а м с ч а н и с. Выражение «прямая UV представляется
системой A)-B).> означает, что 1) координаты х, у, z
всякой точки М прямой W Удовлетворяют обоим урав-
уравнениям A) и B); 2) координаты всякой точки, не лежашей
на UV, не удовлетворяют сразу обоим уравнениям A), B),
хотя могут удовлетворять одному нз них.
Пример 1. Написать уравнения прямойО/С (черт. 169),
проходящей через начало О и точку К D; 3; 2).
Р е ш е н и с. Прямая OR есть пересечение плоскостей
KOZ и КОХ. Взяв на оси OZ какую-либо точку, напри-
например L(O; (>; 1), составляем уравнение плоскости KOZ (как
проходящей через три точки О, К, L; § 129). Получаем:
X
4
0
У
3
0
2
2
1
=> 0, т, е. Zx-Ay = 0.
C)
g 14Г. ДВА УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 171
Таким же образом найдем уравнение
2y-3z = O D)
плоскости КОХ. Прямая ОК представляется системой
уравнений C)-D).
Действительно, всякая точка М прямой ОК. лежит и в плоскости
KOZ и в плоскости КОХ; значит, ее координаты удовлетворяют сразу
обоим уравнениям C) и D). С другой стороны, точка N, не лежащая
на ОК, не может принадлежать сразу обеим плоскостям KOZ и КОХ;
значит, ее координаты не могу г удовлетворять сразу обоим уравне-
уравнениям C)-D).
Пример 2. Прямую ОК примера 1 можно предста-
представить также системой уравнений
f Зх-4у = 0, C)
\ 2x-4z = 0. E)
Первое нз них представляет плоскость KOZ, второе -
плоскость KOY.
Ту же прямую ОК можно представить системой
2у-3г ■= 0, 2х-4г = 0.
Пример 3. Определить, лежат ли точки Мх B; 2; 3),
ЛГ2(-4; -3; -3), Л1я(-8; -G; -4) на прямой О/С, рас-
рассмотренной в примере 1.
Координаты ючкп Мх не удовлетворяют ни Уравие-
нпш C), ни уравнениюD);точка Mv не лежит на прямой UV.
Координаты точки М% удовлетворяют C), но не Удовле-
Удовлетворяют D); точка ЛС лежит в плоскости KOZ, по не ле-
лежит в плоскости КОХ; значит, М2 не лежит на ОК.
Точка М3 лежит на ОК, ибо удовлетворяются оба уравне-
уравнения C) и D).
П р и м е р 4. Уравнение z = 0 представляет плоскость
А'ОУ. Уравнение х+у—1 = 0 представляет плоскость Р,
параллельную оси OZ (§ 124, пример). Прямая, по которой
пересекаются плоскости АО У и Р (KL на черт. 163), пред-
представляется системой
х + у-1 = 0, г- 0.
§ 141. Условие, при котором два уравнения
первой степени представляют прямую
Система
/ AiX+Bty + dz+Di^ 0, A)
\ Дгх+В2у-}-С2г+О2 = 0 B)
представляет прямую линию, сслн коэффициенты Ах, BlfCt
172 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
не пропорциональны коэффициентам А«, В2, C2 [а этом
случае плоскости A) н B) не параллельны (§"l25)J.
Если коэффициенты Ли Biy Ct пропорциональны коэф-
коэффициентам Аг, В2, С,, но свободные члени не подчинены
той же пропорции
Аг ■ А - В2: В, - С2: Сх * Da: Dlt
то система несовместна и не представляет никакого гео-
геометрического образа [плоскости (l) if B) параллельны и
не совпадают].
Если все четыре величины Аи Ви С,, D, пропорцио-
пропорциональны величинам А2, В2, С2, D2:
Az: А1= Ва: Bt= С3; Сх = D,: D,,
то одно ил уравнений (I), B) есть следствие другого и
система представляет плоскость [плоскости A) и B) сов-
совпадают].
Пример 1. Система
2х-7у+12г-4 = 0, Ах- 14у + Збг-8 = О
представляет прямую линию (во втором уравнении коэф-
коэффициенты А и В вдвое больше, чем п первом, а коэффи-
коэффициент С —втрое).
Пример 2. Система
12г-4 = 0, 4x-l4y + 24z-8 ^ О
представляет плоскость (все четыре величины А, В, С, D
пропорциональны).
П риме р.З. Система
2х-7у+12г-4 - 0, 4х-14у-ь24г-12 = О
не представляет никакого геометрического образа (вели-
(величины А, В, С пропорциональны, a D не подчинена той же
пропорции; система несовместна).
§ 142. Пересечение прямой с плоскостью
Прямая L
( ^JM-B^ + Cjz + Di = 0, A)
\ A2x-\-B2y-\-C2z-\ D2 - 0 B)
н плоскость Р
Ax+By + Cz+D - 0 C)
g 142. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ 173
могут нс иметь ни одной общей точки (если L \\ Р), могут
иметь бесчисленное множество общих точек (если L ле-
лежит на Р) или иметь только одну общую ч'ичку. Вопрос
сводится1) к разысканию общих точек трех плоскостей
A), B), C) (см. § 134).
Пример 1. Прямая
х+y+z-l = О, x-2y-3z-5 - О
не имеег общих точек с плоскостью
2x-y-2z-8 = О
(они параллельны) (см. пример 2 § 134).
11 р и м с р 2. 11ряман
x-2y-3z-5 = О, 2х-у~2г =■ 6
лежит в плоскости „v-i-y-t 2 = 1 (см. пример 3 § 134).
Пример 3. Прямая x' + y-z+2 = O, х-у + 2 = О
пересекается с плоскостью х+2у — 1 =0 в точке
(-1; 1; 2) (см. пример 4§ 134).
П р и м с р 4, Определить координаты какой-либо точки
на прямой L:
( 2л:-3>'-2+3 = О,
\ -8 = 0.
Дадим координате х какое-либо значение, например
х = 3. Получим систему -Зу-г + 9 ^ 0, -y + z + 7 = 0.
Решив ее, найдем: у = 4, z = -3. Точка C; 4; —3) лежит
на прямой L (в пересечении ее с плоскостью х = 3, парал-
параллельной YOZ). Таким же образом, взяв х = 0, найдем
точку (о; --^-; —т\ в пересечении L с плоскостью YOZ
и т. д. Можно также давать различные значения коорди-
координате у пли г.
П'р и м е р 5. Определить координаты какой-либо точки
на прямой L:
( 5х-Зу + 2г-4 = О,
\ 8х-6у+4г-3 = О,
R противоположность предыдущему примеру коорди-
координате х здес!. нельзя дать произвольного значения. Так, прн
") Выкладки облегчаются, когда уравнения прямой пзятЫ в пара-
параметрической форме (§ 152 и замечание в § 153J.
174 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
х = 0 получаем несовместную систему — Зу + 2г~4 — О,
-6у4-42-3 = 0, Прямая L параллельна плоскости ZOY.
Координате у (или г) можно давать произвольные значе-
значения; например, положив 2=0, получим точку fe -g~; о) .
Для х будет получаться всегда одно и то же значение
х - -2-, так что прямая L лежит в плоскости х = i>, парал-
параллельной ZOY.
§ 143. Направляющий вектор
А, Всякий (ненулевой) вектор о {/, т, л}, лежащий на
прямой UV (или параллельный ей), называется направляю-
направляющим сектором этой прямой. Координаты /, т, п напра-
направляющего вектора называются направляющими коэффици-
коэффициентами прямой.
3 а м с ч а н и е. Помножив направляющие коэффициен-
коэффициенты /, т, п на одно и то же число К (не равное нулю),
получим числа Ik, mk, nk, которые том;е будут направля-
направляющими коэффициентами (это кс-
ifjf^^-^A/ ординаты вектора ак, коллннсар-
Б. За направляющий вектор
прямой UV
Черт, 170.
= 0, A)
= 0 B)
можно принять векторное произведение Л^ х NZl где
-^1 = {^ь -6ц ci) и iV3 = {А2, Bs, С2) - норл1альные
векторы плоскостей Рх и Р2 (черт. 170), представляемых ура-
уравнениями A) и B). Действительно, прямая UV перпендику-
перпендикулярна к нор.чальным векторам Л\, N2.
При м е р. Найти направляющие коэффициенты прямой
2x~2y-z\-8 = 0; х+2у-2г+1 = 0.
Решение. Имеем Л7, « {2, - 2, - 1}, Nz - {I, 2, - 2),
Примем а = Nt х ЛГ2 за направляющий ве1<тор данной пря-
прямой. Находим:
2^1
*~* J.
2 -2
-1 2
-2.1
= {6, 3, 6}.
Направляющие коэффициенты будут / ~ б, т = 3, п = 6.
S 145. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 175
Замечание. Помножив эти числа на -у, найдем на-
направляющие коэффициенты V = 2, т'= 1, п' —2. За на-
направляющие коэффициенты можно также принять числа
-2; -I; -2ИТ.Д.
§ 144. Углы между прямой и осями координат
Углы а, 0, у, образуемые прямоЦ L (в одном из дцух ее
направлений) с осями координат, находятся из соотношений
cos a =
cos 0 = -=^=
п
COS у = - . Ч
\Р + тз + па
где 1,1X1,71- направляющие коэффициенты прямой L.
Вытекает из g 101.
Величины cos a, cos p, cos у называются направляющими
коитусами прямой L.
Пример. Нантн углы, образуемые прямой
2x-2y-Z+8 s= О, x+2y-2z-H = О
с осями координат.
Решение. За направляющие коэффициенты данной
прямой (§ 143, пример) можно принять 1=2, т=1, п-2.
2 2 1 2
Значит, cos а — ■-- — — - -, cos 0 = —, cos у = —; от-
V22 + 12+22 3 3 3
сюда а м 48°П', C » 7О°32', у ге 48°11'.
§ 145. Угол между двумя прямыми
Угол ср между прямыми L и V (точнее, одни из углов
между нимн) находится но формуле
Cos 9 = tf + mm + nn^ j.
где /, иг, п ч V, т.', пг - направляющие коэффициенты пря-
прямых L и V, или по формуле
cos <p = cos« cos a' + cos 0 cos P' + cos y cos у'. B)
Вытекает из @ 109,
176 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Найти угол между прямыми
2x-2y-z+8 = 0, I 4х + у+Зл-21 - О,
=- 0, \ 2х + 2у-Зг+15 ^ 0.
Решение. Направляющие коэффициенты первой пря-
прямой (§ 143, пример) равны 1^2, т=1, п=2. Если за
направляющий вектор второй прямой принять векторное
произведение {4, 1, 3}х{2, 2, -3}, то направляющие
коэффициенты ее равны -9, 18, б. Помножив их (чтобы
иметь дело с меньшими числами) на -^ (§ 143, замечание),
получим / = -3, т = 6, п~2. Имеем:
COS 9 « 2-(
V23 + la+2aV{-3)*+6«+2* 21
отсюда ср ^ 79°0Г.
§ 146. Угол между прямой и плоскостью
Угол ф между прямой L (с направляющими коэффи-
коэффициентами I, т, п) и плоскостью Ах+ By+Cz + D = 0 на-
находится по формуле
sin ф = \Ai+Bm+Cn\__
У A* + BS+ с- fp + т* +13
Вытекает из § 145 (если <р есть угол между Прямой L u нормальным
вектором {Л, В, С}, то ?= 90°± ф).
Пример, Найти угол между прямой
Зх-2у = 24, Зх-z = -4
н плоскостью бх+15у-10г+31 =0. Имеем 1 = 2, т = 3,
п = 6(§143). Находили
sin а, =
откуда f и 101§',
§ 148. ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ 177
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости
Условие параллельности прямой с на-
направляющими коэффициентами I, m, n и плоскости
Ах+ By-hCz + D - О сеть
Al-vBm + Cn = 0. A)
Оно выражает перпендикулярность прямой и
нормального вектора {А, В, С}.
Условие перпендикулярности прямой и
пло скости (обозначения те же) есть
1 — Л1 — SL о\
А~ я ~ с W
Оно выражает параллельность прямой и нормаль-
нормального вектора.
§ 148. Пучок плоскостей1)
Множество всех плоскостей, проходящих через одну
и ту же прямую UV, называется пучком плоскостей. Пря-
Прямая UV называется осью пучка.
Если известны уравнения двух различных плоскостей
Г Р
^ 0, A)
А»х + В2у + Czz + Ds = 0, B)
принадлежащих пучку (т. е. уравнения оси пучка; см. § 140),
то каждую плоскость пучка можно представить уравне-
уравнением вида
= 0. C)
Обратно, уравнение C) при любых значениях ти т2
(не равных нулю одновременно) представляет плоскость,
принадлежащую пучку с осью UV2). В частности, при
тх=0 получаем плоскость Р3, а при mg —0 — плос-
плоскость Рг. Уравнение C) называется уравнением пучка
плоскостей 3).
Когда ту и 0, мы можем разделить уравнение C) на mv
Обозначив m3: mt через Л, получим уравнение
= 0. D)
») ср. s 24.
*) См. ниже пояснение к примеру 1.
э) Если плоскости A) и B) параллельны {но не совпадают), то урав-
уравнение C) при всевозможных значениях ти ms представляет все пло-
плоскости, параллельные двум данным {параллельный пучок плоскостей),
J2 М. Я- ВыгодскиЦ
178 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Здесь всевозможные значения даются только одной букве
?.; но из D) нельзя получить уравнения плоскости Р2.
Пример 1. Пуст1. даны уравнения
5х-Зу = О, E)
Зг-4х - 0 F)
двух плоскостей пучка, т. е. уравнения оси пучка. Урав-
Уравнение пучка есть
mtE;t-3y)+m,Cz-4x) =- 0. G)
Например, ваяв mj = 2, m2 = -3, будем иметь:
Уравнение (8) нли
22х-6у-9г = 0 (8а)
представляет одну из плоскостей пучка.
Пояснение. Возьмем на пряной UV какую угодно точку
М(х; у; z). Ее координаты х, у, г удовлетворяют уравнениям E) и F),
а следовательно, и уравнению (8). Значит, плоскость (8) проходит
через всякую точку М прямой UV, т. е. принадлежит пучку.
Пр н м е р 2. Найти уравнение плискости, проходящей
через прямую UV примера 1 и через точку A; 0; 0).
Решение. Искомая гглоскость представляется уравне-
уравнением вида G). Последнее должно удовлетворяться при
х— 1, у-0, 2 = 0. Подставляя эти значения в G), находим
5т1-4т2 = 0, т. с. т1: т2 ~ 4 ; 5. По-
Получаем уравнение
4 1 ^tv — ^tu\ _т_ ^Я f л ■?'_-. A. y\ — О
т. е.
5г-4у - О.
Пример 3. Найти уравнения про-
проекции прямой L:
2х+Зу+4г+5- 0, 1
Зг-7 = 0 / U
на плоскость Р
Черт. 171.
* " г+15 = 0. A0)
Решение. Искомая проекция V (черт. 171) естг.
прямая, по которой плоскости Я пересекается с пло-
плоскостью Q (проведенной через L перпендикулярно к Я).
Плоскость Q принадлежит пучку с осью L и представ-
представляется уравнением вида
7) = 0, A1)
S 149. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ 179
Чтобы найти X, представим A1) в biuc
B + >)х+C-6Х)у+D+ЗХJ + 5-7Х = 0 (Па)
и запишем условие перпендикулярности плоскостей A0)
и A1а):
2B+Х) + 2C-бХ)+1 -D-1 ЗХ) = 0.
Отсюда Х=2, Подставляя в A1а), получим уравнение пло-
плоскости Q. Искомая проекция представляется уравнениями
4x-9y+10z-9 = О,
2л.- + 2у + г+15 = 0.
§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости
Пусть прямая представляется уравнениями
/ ДдХ+Лду+CiZ | D, = 0, A)
\ A3x+Bsy + C&+D2 = 0, B)
где Ct и С2 не равны нулю одновременно (случай С^
= CS = O рассмотрен ниже в примере 3). Чтобы найтн
проекцию прямой на плоскость XOY, достаточно исклю-
исключить z из уравнений A) —B). Полученное уравнение (вме-
(вместе с уравнением г —0) будет представлять искомую про-
проекцию '). Аналогично находятся проекции на плоскости
YOZ н ZOX.
Пример 1. Найти проекцию прямой L
( 2х+4у-32-12 = 0, C)
\ х-2у + 4г-10 - 0 D)
на плоскость XOY.
Решение. Чтобы исключить z, помножим первое из
данных уравнений на 4, а второе — на 3 н сложим. Полу-
Получим:
4Bx + 4y-3z~12) + 3(;t-2y-j-4z~10) = 0, E)
т.-е.
11х+10у-78 = 0. F)
Это уравнение ]вместе с уравнением
' г = 0 G)
представляет проекцию V прямой L на плоскость ХО Y.
1) См. ниже пояснение к примеру 1.
12*
180 аналитическая Геометрия В пространстве
* Пояснение. Плоскость (Г») проходит через прямую L (§ 148).
С другой стороны, как видно из @) (где не содержится г), эта пло-
плоскость (§ 124, п. 2) перпендикулярна к плоскости ХОУ. Значит, пря-
прямая, по которой плоскость F) пересекается с плоскостью G), есть
проекция прямой L на плоскость G) (ср. § 148, пример 3).
П р и .ч е р 2. Проекция прямой L
| H.Y-5y-| 4г- 12 = О,
\ 2х-5у- 4-0
(8}
(9)
на плоскость г = 0 представляется (в плоской системе
координат ХОУ) уравнением (!)). Исключать координату z
не требуется, так как п уравнении @) она уже не содер-
содержится. Плоскость (9) перпендику-
перпендикулярна к плоскости ХОУ; она
проектирует прямую L на ХОУ.
П р и м е р 3. Найти проекции
примой L
2х-3у - 0,
x-l-V-4 = о
A0)
(П)
на координатные плоскости.
Р с щ е [I и е. В обоих уравне-
черт. 172. ниях г отсутствует, так что обе
плоскости Р, п Р2 (чьрт. 172) пер-
перпендикулярны к плоскости ХОУ. Прямая L перпендику-
перпендикулярна к ХОУ и проектируется на плоскость ХОУ в т о ч-
ку N с координатой zA- = Q. Из епаемы A0)-A1) нахо-
12 S
ДИМ Ху = — , ys = -5-.
Уравнение проекции V па плоскость У О'/, можно найти
по общему способу, исключая х из A0 п (П). Получим
о
У~ —, т. е. то же равенство, которое выше найдено
для уN (из чертежа видно, что прямая V отстоит от OZ
на расстояние ОВ, равное уя~-AN). Уравнение проек-
проекции L" па плоскость ХОТ есть х = -'Г2-.
§ 150. Симметричные уравнения прямой
Прямая L, проходящая через точку Ма (х„; у0; г0) и
имеющая направляющий вектор а {[, т, п} (§ 143), пред-
представляется уравнениями
$ 150. СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. 161
выражающими коллинеарность векторов а {I, т, п} и
МиМ {х — х0, у— }'(,, z-z0} (черт. 173). Они называются
симметричными (или каноническими)
уравнениями прямой.
Замечание 1. Так как за
точку Мо можно взять любую из то-
точек прямой L, а направляющий пек-
тор а можно заменить направляющим
вектором ка (§ 143), то каждой из ве-
величин х0, у0, г„, I, m, n по отдельности
можно дать произвольное значение.
Пример 1. Написать симметрич-
симметричные уравнения прямой, проходя-
проходящей через точки Л E; -3; 2) и ДC; 1; -2). В ка-
качестве Мо можно взять точку Л, за вектор а можно при-
принять АВ = {-2, 4, -4}. Симметричные уравнения будут:
зс-5 _ у + 3 _ z-2
-2 ~ 4 "" -4~ '
Черт. 173.
B)
Если же в качестве Мо взять В, а за « принять вектор
- - АВ = {1, -2, 2}, то симметричные уравнения будут:
у-\
2+2
2
I -2
Замечание 2. Из трех уравнений
х-5 у + 3 г-5 z-2 у + 3 _ z-2
-2
-2
-4
C)
D)
содержащихся в B), только два (какие угодно) независимы, а третье
является их следствием; например, вычтя из первого уравнения вто-
второе, найдем третье. Каждое из уравнений D) представляет плоскость,
проходящую через прямую А В перпендикулярно к одной из координат-
ных плоскостей; вместе с тем оно представляет проекцию прямой АП
па соответствующую координатную плоскость (§ 149).
П р и м е р 2. Симметричные уравнения прямой, прохо-
проходящей через точки Мо E; 0; 1), Mt E; 6; 5), будут:
х-В _ у-0 __ z-1 ,сч
"О 6~ ~ ~~4~ ' W
Выражение ~~ условно; оно означает (§ 102, замечание),
что х-5 = 0, так что емссто E) надо написать систему
х ~ °' 6" ~ ^~ " \ >
Прямая МйМ1 перпендикулярна к оси ОХ (так как 1=0)-
182 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПримерЗ. Симметричные уравнения прямой, прохо-
проходящей через точки А B; 4; 3) и В B; 4; 5), будут:
х-2 _ у~ 4 _ 2-3
О ~ " О " ~ 2
Эта запись означает, что х=2 и у = 4.
Величина г принимает различные (любые) значения для
различных точек прямой ЛЯ. Прямая АВ параллельна оси
OZ (так как* = т-0).
§ 151. Приведение уравнений прямой
К симметричному виду
Для того чтобы привести уравнения прямой
AxX+Biy + e^+D! = О, A)
Asx+Bty+Csz+Ds = 0 B)
к симметричному пиду (§ 150), надо определить координаты
*о> Уи< 2<) какой-либо точки, .чежашей па прямой (примеры
4 и Г) § 142) и направляющие коэффициенты [t m, n (§ 143).
П р им с р 1. Привести уравнения прямой
2х-3>'~г+3 = 0, 5x~y + z~S = О
к симметричному виду.
Решение. Как в § 142 (пример 4), найдем на данной
прямой точку МоC; 4; -3), л-,,-3. уо = 4, г0 = -3. Вы-
Вычислив направляющие коэффициенты
— о — 1
-1 1
= -4; т =
-1 2
1 5
= -7 п =
2 -3
5 -1
получаем симметричные уравнения
х-З _ у-4 _ г + З
-4 ~ -7 ~ 13 *
П р и м е р 2. Привести к симметричному виду уравнения
х+2у~Зг-2 = 0, -Зх+4у-6г+21 = 0.
Зададим координате у или г какое-либо значение (ко-
(координате х произвольиое значение задать нельзя; ср. § 142,
пример 5); например, положим у = 0. Получим точку
§ 152. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 183
Мо E; 0; 1). Направляющие коэффициенты будут /= 0,
т=\5, п=10 или (помножая иа ~) 1=0, т = 3, п = 2.
Получаем симметричные уравнения
х -5 __ у_ ___ z-1
О ~ 3 ~ 2
(ср. § 150, пример 2).
Пример 3. То же для прямой
х+у~6 = 0, х-у + 2 = О. C)
Значения х^ и у0 вполне определяются уравнениями C):
хо = 2, уо = 4. Координате z0 можно дать любое значение,
например го = 3. Далее находим направляющие коэффици-
коэффициенты 1=0, т = О, п = 2. Получаем симметричные уравнения
(ср. § 150, пример 3):
х-2 _ у-4 __ г^з
О "~ 0 2 '
§ 152. Параметрические уравнения прямой
Каждое из отношений ^\ ^>, ~» (§ \щ равно
частному (§ 90) от деления вектора
М0М(х-х0, у~Уа, z-z0)
на (коллинеариый) вектор а{1, т, п}. Обозначим это
частное через t. Тогда
х =
у = yt + mt, } A)
Эти уравнения называются параметрическими уравне-
уравнениями прямой; когда величина / (параметр) принимает
различные значения, точка М(х; у; z) движется по прямой.
При /=0 она совпадает с Мо; положительным н отрица-
отрицательным значениям t отвечают точки, расположенные на
прямой по разные стороны от Ми-
В векторной форме трн уравнения A) заменяются
одним;
г - ro+at B)
184 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 153. Пересечение плоскости с прямой,
заданной параметрически
Общая точка (если таковая существует) плоскости Р
Ах | By л Cz+D = 0 A)
it прямой L
x = xo[tt, y = yu+mt, z = zu + nt B)
находится по формулам B), если туда подставить значе-
значение t, определяемое нз уравнения 1)
Axo+ByQ+Czo+D -- 0. C)
Последнее получается, если выражения B) подставить и A),
Пример 1. Найти точку пересечения плоскости
+ y+-8 - О
с прямой
Р с ш е п п е. Параметрические уравнения прямоп будут:
х - -5 + 3/, у--=3-1, 2=-3 + 2/. D)
Подставив в уравнение 2x-f Зу-тЗг-8 - 0, получим
Ш-18= 0, откуда t = 2. Подставляя это значение в D),
получаем х=1, у=\, г-1. Искомая точка есть A; 1; 1).
II р и м е р 2. Найти точку пересечения плоскости Зх-ь
+ y-4z-7 = 0 с прямой примера 1.
Реше и и е. Таким же образом получаем O-f-7 - 0;
это уравнение не имеет решения. Точки пересечения иьт
(прямая параллельна плоскости).
При м е р 3. Найти точку пересечения плоскости Зх-ь
-j-y-4z _0c прямой примера 1.
Решение. Таким же образом получаем О-М-0 - 0;
это уравнение имеет бесчисленное множество решений
(прямая лежит в плоскости).
Замечание. Воспользовавшись параметрическими
уравнениями D), мы ввели четвертое неизвестное f и по-
получили четыре уравнения (вместо данных трех). Это услож-
усложнение окупается большей легкостью решения системы.
*) Уравнение C) в исключительных случаях может не иметь реше-
решения (см. ниже пример 2) или иметь бесчисленное цчющеазо решений
(см, ниже пример 3),
§ 156. прямая, прбходятля через точку 185
§ 154. Уравнения прямой,
проходящей через две данные точки
Прямая, проходящая через точки М1 (х^, уй; г±) и
; (xs'> Уг> *2)> представляется уравнениями
,*-*! = У-Ут _ z-*i /i\
x---xl y»_-yt -2-?i ' х '
Примеры см. в § 150.
§ 155. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой
Плоскость, проходящая через точку Мо (х0; )'„; 20) и
перпендикулярная к прямой
h mL n, »
имеет нормальный вектор {[„ mv, л2} и, значит, предста-
представляется уравнением
'1(ж-зсо) + '(у-уо) + Л1(г-г0) - О
или в векторной форме
ex(r-r0) = 0.
Пример. Плоскость, проходящая через точку
(-1; -5; 8) и перпендикулярная к прямой -^ = ~ = ~-,
представляется уравнением 2 (у+ 5) +5 (г-8) = 0, т. с.
5г-30 - 0.
§ 156. Уравнения прямой,
проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной плоскости
Прямая, проходящая через точку Мо (х0; у0; г0) и перпен-
перпендикулярная к плоскости Ах+ By + Cz+D = 0, имеет
направляющий вектор {Л, В, С} и, значит, представляется
симметричными (§ 150) уравнениями
У-Уо
186 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример. Прямая, проходящая через начало коорди-
координат и перпендикулярная к плоскости 3x + 5z-5 = О,
представляется симметричными уравнениями -^ = ~ = —■
или параметрическими (§ 152) уравнениями х — 31, у = О,
2 - 5Л
§ 157. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку н данную прямую
Плоскость, проходящая через точку Мо (х0; у0; г0) и
через прямую L
? > (D
У-У1
т
не проходящую через Мо, представляется уравнением
— V 11—11 7—7 — П /СЛ
/ т п
или в векторной форме
черт. 174. (г _ г0) (гх - г0) а = 0. Bа)
Уравнение B) или Bа) выражает компланарность векторов
(черт. 174) М0М, М^Ми и а { /, т, П ).
Пример. Плоскость, проходящая через точку
Мо E; 2; 3) и прямую
х + 1 _ y + i _ г-5
2 ~ i ~ з »
представляется уравнением
х-5 у-2 г-3
-6 ^3 2
2 1 3
= 0,
т. е.
ж-2у-1 = 0.
Замечание. Если прямая A) проходит через точку
Мо, то уравнение B) становится тождеством и задача
имеет бесчисленное множество решений (получаем пучок
плоскостей с осью I; § 148).
§ 159. ПЛОСКОСТЬ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ
187
§ 158. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
и параллельной двум данным прямым
Плоскость, проходящая через точку М„ (хо\ у0; г„) и
параллельная данным (непараллельным между собой)
прямым LL н L» (или векторам t^ и аг), представляется
уравнением
x—x0
к
к
У-Уо г-;
m,
= 0,
A)
где lv mlf щ и 1г, тг, пг-направляюшие коэффициенты
данных прямых (или коордииаты данных векторов). В век-
векторной форме
(г-го)«!«г = о. Aа)
Уравнение (I) или Aа) выражает компланарность векторов М0М,
«I, аг (М —произвольная точка искомой плоскости).
Замечание. Если прямые Lt и Lz параллельны, t. e.
щ и щ коллннеарны, то уравнение A) становится тожде-
тождеством, и задача имеет бесчисленное множество решений
(получаем пучок плоскостей с осью, проходящей через
точку Мо лараллельно данным прямым).
§ 159. Уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую
и параллельной другой данной прямой
Пусть Lx и Lz-непараллельные прямые. Тогда пло-
плоскость, проходящая через прямую 1Х и параллельная пря-
прямой L2 представляется уравнением
х~х±
к
h
Z-Z!
= 0,
где xv Уц tx-координаты какой-либо точки Мх прямой Lv
Здесь имеемчастиыйслучай § 158 (ролыочки №циграетМх).
ЗйМ-ечание к § 158 тоже остается в силе.
188 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 160. Уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую
и перпендикулярной к данной плоскости
Плоскость Р, проходящая через данную прямую
х-х, v-Vi z-z.
"(I)
и перпендикулярная к дайной плоскости Q
Ax+By + Cz+D = О B)
(не перпендикулярной к Ьк), представляется уравнением
■ Л1 У Ух *
к
А
В
= 0.
В векторной форме
{r~Tx)axN = 0.
C)
(За)
Пояснение. Плоскость р проходит через прямую £.j ц парал-
параллельна нормали N{ А, В, С } плоскости Q (ср. § E9).
Замечание. Если плоскость B) перпендикулярна
к прямой A), то уравнение C) становится тождеством и
задача имеет бесчисленное множество решений (см, § 158,
замечание).
Проекция прямой на любую плоскость.
Плоскость C) проектирует прямую Lx на плоскость Q.
Стало быть, прямая L', являющаяся проекцией прямой 1^
на плоскость Q, представляется системой уравнений
B)-C)(ср.§ 149).
§ 161. Уравнения перпендикуляра,
опущенного нз данной точки на данную прямую
Перпендикуляр, опущенный из точки М„(х0; у„; г0) иа
прямую Lx
не проходяшую через Мо), представляется уравнениями
о У >о *
Уь zi — ги
и
т.
^ О-
C)
§161. УР-НИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НЛ ПРЯМУЮ 189
или в векторной форме уравнениями
( <h(r-ro) = O, Bа)
\ (^-*'„)('-1-П)«1 = 0. (За)
Взяток отдельно, уравнение B) представляет плоскость
Q (черт. 175), проведенную через Мо перпендикулярно
к t-i (§ 155), а уравнение C)-плоскость /?, проведенную
через точку Мо и пря.чую Ii (§ 157),
Замечали е. Если прямая Lt про-
проходит через точку Л1„, то уравнение C)
обращается (§ 120) в тождество (через
точку, взятую па прямойLy,можно про-
провести бесчисленное множество перпеп-
дикуляроп kL,).
Приме р. Найти уравнение перпен-
перпендикуляра, опущенного из точки A; 0; 1)
на прямую
х = Зг+2, у = 2г. Aа)
Черт. 175.
Найти также основание перпендикуляра.
Решение. Уравнения Aа) можно записать в симме-
симметричном виде (§ 151) так:
х-2
з
A6)
Искомый перпендикуляр представляется уравнениями
3(х-1)+2(у-О)+1(г-1) -О,
х-\ у z-
2-1
3
0-1
1
= О
или после упрощений
Зх+2у+2-4 = О,
x_2y+z-2 = 0.
B6)
C6)
Bв)
(Зв)
Координаты основания К перпендикуляра найдем, решив
систему трех уравнений A6), Bв). Уравнение (Зв) должно
удовлетворяться само собой. Получаем К (~; -у; -у)-
Замечание. Система трех урапнений A б), (Зп) имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений (ибо плоскость R прхиодит через прямую I.lt
а не пересекает ее).
190 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного
из данной точки на данную прямую
Дань; течка Мо (х0> у0, г0) и прямая Lu рцставлсМ
наи уравнением A) § 161. Требуется найти расстояние от
точки Мо до прямой Llt т. е, длину перпендикуляра М0К
(черт. 17.ri), опущенного из точки Мо на прямую 1Д.
Можно сначала найти основание К перпендикуляра
(§ 161, пример), затем длину отрезка М„/<. Проще приме-
применить формулу (при обозначениях § 161)
A)
(la)
т. е.
/
Уо~У1 ^>—*i
/л, щ
В
+
в векторной форме
У
+
(го-г,)Хй,3*
m,
Числитель выражения Aа) есть (g 111) площадь параллелограмма
МгМ0ВА (черт. 176, где М1Л=я1), а знаменатель -длина основания
М\А. Следовательно, дробь р;шни высоте М0К параллелограмм;!.
Пример. Найти длину перпендикуляра, опущенного
из точки МоA; 0; 1) иа прямую х - Зг + 2, у = 2г.
Решение. В примере § 161 мы
а —
В
нашли
Значит,
Черт. 176. =
Прнмеинм теперь формулу A). Согласно A6) § 161 имеем
xi = 2, ух = О, ?! = 0, /i = 3, тг = 2, nt = I, так что
V1
Z
1
1
-1
3
=
0
= 4
1
1
=
-*i
i
— 2
Уо"
-yi
2*
xv
— 1
3
-хх
0
2
§163.ДВЕГГРЯМЫЁ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ 101
Получаем:
d — —— ——— = 2 1/ — .
УЗ* +2= 4-12 ' 7
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются
или лежат в одной плоскости
A)
B)
Если
те жат в
прямые
h
х~х*
U
ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ,
Х2 — Х1 У 2
у-у,
т1
Л72
ТП
г
г
Л,
-г,
-*,
«г
Z '
= О
или в векторной
C)
(За)
('r*i)"A = 0.
Ооратио, если выполняется условие C), то прямые лежат
и одной плоскости.
П о я с и е и и е. Ксли прямые A) и B) лежат в одной плоскости,
то в последней лежит прямая М,Л1а(черт. 177), т, е. век'горь( MjM^,
а,, о2 компланарны (и обратно). Это и выражает уравнение C)
(см. g 120).
Замечание. Если J- = — - — [при отом C) обяза-
li mi "г
телыю удовлетворяется], то прямые параллельны. В про-
противном случае прямые, удовлетворя-
удовлетворяющие условию C), пересекаются.
При м е р. Определить, пересека-
пересекаются ли прямые
х _ у _ z
Т ~ ~2 ~~ " '
х + 1 __ у-1 __ z+l
2 ~ 1 ~ 4
A)
B)
Черт, 177,
Л если да, то в какой точке.
Решение. Прямые A) и B) лежат в одной плоскости,
-11-1
так как определитель C), равный
оора-
102 аналитическая Геометрия в Пространстве
щается в нуль. Эти прямые ис параллельны (направляющие
коэффициенты не пропорциональны). Чтобы найти точку
пересечения, надо решить систему четырех уравнений A),
B) с тремя неизвестными. Как правило, подобная система
не имеет решений, но в данном случае [вследствие выпол-
выполнения условия C)] решение есть. Решив систему каких-
либо трех уравнений, получим х = 1, у = 2, г — 3. Четвер-
юс уравнение удовлетворяется. Точка пересечения есть
A; 2; 3).
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра
к двум данным прямым
Прямая UV, пересекающая две непараллельные прямые
(L, и L, на черт, 178)
и перпендикулярная к ним, пред-
представляется (в векторной формо)
уравнениями
Черт. 178.
(r-v^OjU = О,
(г-г2)а2а = О,
A)
B)
где щ = {[и mlt п^}, щ = {lz, т2, п..} на- в^хщ.
Взятое и отдельности, уравнение A) представляет пло-
плоскость Рь проведенную через прямую 1г параллельно
вектору а = а^у.а^ (§ 159). Аналогично B) представляет
плоскость Р2, проведенную через L2 пара^шлыю а.
Точка Ki, тде UV пересекает Lu найдется в пересе-
пересечении Lx с плоскостью Р2. Аналогично найдется точка /С2,
после чего можно найти длину общего перпендику-
перпендикуляра KiKv
Замечание. В случае параллельности Lt и 12 (тогда
а = 0 иуравиения (i), B) становятся тождествами) имеется
б"есчнслеииое множество прямых UV. Чтобы получить
уравнение одной из них, берем па Lj (черт, 179) произ-
произвольную точку Кх и составляем уравнение прямой, про-
проходящей через Кг по направлению вектора «^хЬ, где
S 164. ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДВУМ ПРЯМЫМ 193
Пример!. Найти уравнения общего перпендикуляра
К прямым
#=2+2/, у=1 + 4/, z^ -l~i, C)
х=-31 + 3/', у = б + 2/', z = 3 + 6/'. D)
Р е щ е н н е. Имеем *h = { % 4, -1 }, «г = { 3, 2, 6 },
._я у- _.ifi —15 —81.
Искомый перпендикуляр представляется уравнениями
Х-2 у-1 24-1
2
26
4
■15
-1
-8
х+31 у-6 2-3
6
= 0,
«О,
3 2
26 -15 -8
нлн после упрощений
/ 47х+ 10у+1342+ 30 = О,
\-74х+ ХЮу- 972+ 1505 = О,
Точку Kt пересечения общего перпендикуляра с прямой C)
Найдем из системы C)-F). Получим /Ci(-2; -7; 1).
Аналогично получим /С2(-28; 8; 9). Длина d общего пер-
пеидикуляра равна
E)
(б)
П р и м е р 2. Найти уравнения общего перпендикуляра
к прямым
х = 5+2/', у = 4+2/', 2= l+t'. (8)
Прямые параллельны: а1==а2={2) 2, 1}, г^-гх =
= {3, 1, 1}, ъ =* «! x^a-^i) = О, 1, -4}. Направляю-
Направляющий вектор общего перпендикуляра % х 6 — {-9, 9, 0}
нли, помножая на -^-, {-1,1, 0}. За начальную точку при-
примем произвольную точку K"iB + 2/; 3 + 2/; i) прямой G).
Получим уравнение общего перпендикуляра
У-B+20. __ y-C+2Q , ,Q,
13 М. Я. Выгодский
Ш АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТЙЙ
где /-произвольное число. Чтобы найти точку Кг пере-
пересечения общего перпендикуляра (9) с прямой (8), надо
подставить выражения (8) в уравнение (9), Получим;
-1
Любое нз содержащихся здесь уравнений дает V « /-1;
подставляя в (8), находим 2CsC + 2f; 2+2/; t), так что
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
Кратчайшее расстояние между прямыми Lx H Х2 есть
длина d их общего перпендикуляра. Ее можно иайти, со-
составив уравнения общего перпендикуляра (§ 164, при-
примеры 1 и 2). Но проще найти d непосредственно.
1) Если прямые Li н Lz не параллельны (черт. 180), то
**2-радиусы-векторы точек
т^ 180.
Черт. 181,
Мя; «j, oa-Hanpa-
вляющие векторы
прямых Li, Lz).
Числитель дроби
A) есть (§ 121) объем
параллелепипеда, по-
построенного на ве1?го-
рах М1М2, щ, at. Зна-
Знаменатель — площадь
его основания (§ П1).
Следовательно, вся
дробь есть высота
g
Для пересекающихся прямых (векторы KxKi, %. oj компланарны)
формула (I) дает d=о. Для параллельных прямы* (векторы at, ог кол-
линеарны) оианепригодна [дает -?А.
2) Если прямые l^, t% параллельны (черт. 181), то
ri_
B)
(вместо i^ можно взять «а).
§ 165а- ПРАВЫЕ И ЛЕВЫЕ ПАРЫ ПРЯМЫХ
195
Числитель дроби B) есть площадь параллелограмма МуМгОС, зна-
знаменатель-длина осноиания MtC. вся дробь есть высота KiKtf
Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между пря-
прямыми примера 1 § 164 [rt ~ {2, 1, - \\, гг = {-31, 6. 3}.
^ = {2,4, -1},«3 = {3,2,6}].
Решение. Данные прямые не параллельны, имеем:
X «2 =
-J
4 -
-1 2
6 3
24
3 2
1Ь
= {26, -15, -8},
OWaK^ = -3
Формула A) дает:
=r -965.
965
П р и м е р 2. Найти кратчайшее расстояние между пря-
прямыми примера 2 § 164 [ах = аг = {2, 2, 1}, »I2~ri —
ешение. Прямые параллельны; формула B) дает;
1
2
1
1
2
''
1
1
3
2
''
3
2
1
2
K2" +2» +1
Замечание. Кратчайшему расстоянию между пря-
прямыми (если они ие перпендикулярны н не параллельны)
можно приписать знак (см. § 165а).
§ 165а. Правые и левые пары прямых
Определение. Пара скрещивающихся неперпенди-
КУЛярных прямых L±, L2 (черт. 180) называется правой,
если для наблюдателя, помещающегося на продолжении
какой-либо секущей К±Кг за прямую L2, кратчайший по-
поворот прямой Li в положение, параллельное L2, совер-
совершается против часовой стрелки. В противном случае пара
Llt L% называется левой.
Замечание 1. Правая пара остается правой, а ле-
левая-левой вне зависимости не только от выбора точек
Дь Кг йа прямых 1^, L2, но также и от обозначения этих
прямых (первую можно назвать L2i а вторую Lx). Дей-
Действительно, хотя Ирн этом вращение будет происходить
13*
196 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
d обратном направлении, но наблюдатель поместится те-
теперь на продолжении секущей за прямую Lu так что для
него направление вращения остается прежним.
3 а м е ч а и и е 2. Для прямых Li, L2, лежащих d одной
плоскости, а также для перпендикулярных прямых поня-
понятия правой н левой пары теряют смысл.
Пример. Если при ввинчивании или вывинчивании
штопора его ручка поворачивается на угол 60°, то началь-
начальное и конечное положения оси ручки образуют правую
пару прямых (если па прямую 1Л принять ось ручки в ее
верхнем положении, то наблюдатель, о котором говорится
в определении, должен смотреть снизу; в противном слу-
случае—сверху). При повороте ручкн штопора иа угол 120°
начальное и конечное положения ее оси образуют левую пару.
Признак п р а в и з н ы и левизны. Пусть аи а2 —
какие-либо (ненулевые) векторы, коллииеариые с пря-
прямыми Llt L.,. Если смешанное произведение KiK-fl^ имеет
тот же знак, что и скалярное произведение а^щ, то пара
Llt L2~ правая; если знаки противоположны, то-левая.
Когда КгК^Щ = 0, прямые Lb I2 лежат в одной
плоскости; когда а,аг = 0, прямые Lu I2 перпендикулярны.
В обоих отих случаях пара l^, h% не является ни правой,
ни левой (см. замечание 2).
Знак кратчайшего расстояния между
двумя прямыми. Кратчайшему расстоянию между
скрещивающимися неперпендикулярными прямыми можно
приписать знак, считая это расстояние положительным,
если пара-правая, и отрицательным, если она —левая.
Обозначая буквой § кратчайшее расстояние между
прямыми с учетом его знака, имеем вместо A) § 165 сле-
следующую формулу:
Она пригодна также для пересекающихся (но не перпен-
перпендикулярных) прямых и дает в этом случае 8=0. Для
перпендикулярных прямых формула A) непригодна, так
как первый сомножитель -Я[Ягг становится неопределен-
1 °1а2 I
ным, принимая внд q- (если прямые не перпендикулярны,
то первый сомножитель равен либо +1, либо — 1).
Для параллельных прямых формула A) также непригодна,
так как второй сомножитель становнтся неопределенным,
См, замечание 2.
§ |66. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 197
§ 166. Преобразование координат
1. Перенос начала координат. При замене системы
Координат ОХ У\2новойсистемой O'X'K'Z' с равнонаправленными ося-
осями старые координаты (х; у; г) точки выражаются через новые(х';у'; г1)
формулами
х=а + х', у=Ь+у, г^с+г', • (I)
где а, Ь, с—координаты нового начала О' в старой системе (ср. § 35).
Координаты всякого вектора при этой замене остаются неизмен-
неизменными,
2. Поворот о с е й, ПризаменесистемыОХУг Новой системой
O'X'y'Z'c тем же началом старые координаты точки, выражаются
через новые формулами
X = X' COS ((', () + }>' COS Q', i) +2' COS (ft', i),
y = x' cos (i',S) +y' cos {i',i) +z' cos (ft',i)j
z = x' cos (i', ft) +y cos W> ft) +2' cos (ft', ft),
где (i't i) есть угол между векторами i' и i, т. е, между новой и ста-
старой осью абсцисс, {У, *)-угол между новой осЬю ординат и старой
осью абсцисс и т. д,)').
Координаты всякого вектора при этой замене преобразуются по
тем же формулам.
Замечание. Из девяти величин cos ({', i), cos (Jr, j) и т. д.
любые три можно задать произвольно, остальные шесть удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
cos* (*, С) + cos2 (*, JO f соьз (*, ft') = 1
cos2 (ft, {') +cos= (ft,iO +coss (h, ft') = 1
cos (ijr) cos(jjr) + cos (ijO cos (J\f) -I- cos (£fc') cos (£%') к 0,
cos(f, i') cos (kfir) + cos (ijr) cos (k,f) + cos(i, ft') cos (ft, ft') = 0,
cos (i, i') cos (ft, i') + cos (i, y) cos (ft, i') + cos (i, ft') cos (.ft. fe1) = 0..
Соотношения (З) вытекают из D) § 101, соотношения D) -из B)
§ 145,
]) Каждый из коэффициентов при новых координатах есть коси-
косинус угла между соотпетствуюшей новой осью и той старой осью, кото-
которой отвечает координата, записанная р левой части.
198 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
г § 167. Уравнение поверхности
Уравнение, связывающее координаты х, у, z, назы-
называется уравнением поверхности S, если соблюдены сле-
следующие два условия: 1) координаты х, у, z всякой точки
поверхности S удовлетворяют этому уравнению, 2) коор-
координаты х, у, г всякой точки, ие лежащей иа поверхности S,
не удовлеизоряют этому уравнению (ср. § 7).
Замечание. Если изменить систему координат, из-
изменится и уравнение поверхности (новое уравнение полу-
получится из старого с помощыо формул преобразования
координат, § 166).
Пример 1. Уравнение x+y+z—l ~ О есть уравне-
уравнение плоской поверхности. Ту же поверхность при надле-
надлежащем выборе прямоугольной системы координат можно
представить любым другим уравнением первой степени.
Пример 2. Поверхность шара (сфера) радиуса Я с
центром в начале координат представляется уравнением
x*+y4z2 = R3, (О
ибо 1) если точка М(х, у, z) лежит на этой поверхности,
то расстояние ОМ = Ух2+у2+г2 равно радиусу /?, стало
быть, уравнение A) удовлетворяется; 2) если М не лежит на
поверхности, то ОМ * R, и уравнение A) не удовлетворяется.
Пример 3. Сфера радиуса R с центром в точке
С (а; Ъ; с) представляется уравнением
&)ЧB-с>а == К2- B)
Уравнение, связывающее координаты х, у, г, может представлять
не поверхность, а другие геометрические образы, или не представлять
никакого геометрического образа (ср. § 58).
Пример 4. Уравнение x*+y*+z* + lt=Q не представляет ни-
никакого геометрического образа, ибо оно не имеет (действительных) ре-
решении.
Пример 5. Уравнение хг+у*+г< =0, имеющее единственное
действительное решение х=0, у = Ъ, 2 = 0, представляет одну точку.
Пример 6. Уравнение (х-У)а+(г-у)з=О удовлетворяется
лишь тогда, когда одновременно х-у = 0 и z—y = O; оно предста-
представляет прямую линию х =у =2.
§ 168, Цилиндрические поверхности, у которых
образующие параллельны одной из осей координат
Поверхность, порождаемая движением прямой ли-
линии (образующей), параллельной неподвижной прямой,
называется цилиндрической. Всякая линия, которую обра-
образующая пересекает в любом своем положении, называется
направляющей.
§ 168. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 109
Всякое уравнение, не содержащее координаты г и пред-
представляющее на плоскости XOY некоторую линию L,
представляет в пространстве цн-
линдрическую поверхность, у
Черт. 182.
Черт. 183.
коюрой образуют ая параллельна оси QZ, а направляющей
служит линия L.
Пример 1. Ур«„яение
представляет на плоскости ХОУ эллипс АВА'В' (черт. 182)
с полуосями а=ОА, Ь=ОВ. В про-
пространстве оно представляет цилиндри-
цилиндрическую поверхность S, у которой обра-
образующие параллельны оси OZ, а направ-
направляющей служит эллипс АВА'В' (эллип-
(эллиптический цилиндр).
Пример 2. Уравнение f^f
представляет цилиндрическую поверх-
поверхность (черт. 183), у ко горой образующие
параллельны оси ОТ., а направляющей
служит гипербола CDOD' (гиперболи-
(гиперболический цилиндр).
Пример 3. Уравнение у*=2рх.
представляет параболический цилиндр
(черт. 184).
!,• — * »г -
черт. 184.
Уравнение, не содержащее координаты х (или у), пред-
представляет цилиндрическую поверхность, у которой обра-
образующая параллельна сси ОХ (или OY).
200 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 4, Уравнение у- = 2pz представляет параболи-
параболический цилиндр, расположенный, как показано на черт. 185.
Замечание. Если направляющая - прямая линия,
то цилиндрическая поверхность - плоская. В соответствии
с этим уравнение Ах+ By + D = О представляет в про-
пространстве плоскость, парал-
kZ лсльную оси OZ (ср, § 124,
\ , ] замечание),
§ 169. УраЕнення линии
Линию можно рассматри-
рассматривать как пересечение двух по-
поверхностей и соответственно с
этим представлять системой
дпух уравнений.
Два (взятых вместе) урав-
уравнения, связывающие коорди-
координаты х, у, z, называются уравнениями лшши L, если со-
соблюдены следующие два условия: 1) координаты всякой
точки М линии L удовлетворяют обоим уравнениям;
2) координаты всякой точки, не лежащей на линии L, не
удовлетворяют обоим уравнениям
сразу (хотя могут Удовлетворить
одному из них; ср. § 140).
Пример 1. Два уравнения
y — z = О, х-г ~ О представляют
прямую линию как пересечение двух
плоскостей (ср. пример 1 § 140).
П р и м е р 2. Два уравнения
x2+y2-\-z2 = о?, y = z
представляют в отдельности: пер-
первое - сферу радиуса а (черт. 186) с черт. ise.
центром в точке О, второе — пло-
плоскость LOX (прямая OL делит пополам угол YOZ). Взя-
Взятые вместе, эти уравнения представляют окружность боль-
большого круга ALK.
Замечание 1. Одна и та же линия может предста-
представляться различными (равносильными друг другу) систе-
системами уравнений, ибо ее можно получить как пересечение
различных пар поверхностей.
Замечание 2. Система дв^х уравнений может представлять не
только линию, но и другие геометрические образы; она может также
не представлять никакого геометрического образа.
§па проекция линии на плоскость 201
Пример 3. Система уравнений х* 4-^3+2* ^25, г*= 5 пред-
представляет точку @; 0; 5), в которой плоскость я = 5 касается сферы
*2-hv2+23 -25,
Пример 4. Система уравнений хЕ+уг+2' = О, x+y+z = 1
не представляет никакого геометрического образа, ибо первому уран-
нению удовлетворяют только значения х=* 0, у=0, а они не
удовлетворяют второму уравнению.
§ 170. Проекция линии иа координатную плоскость
1. Пусть линия L представляется двумя уравнениями,
из которых одно содержит г, а другое не содержит 1).
Тогда второе представляет «вертикальную» цилиндриче-
цилиндрическую поверхность, а на плоскости ХОУ — направляю-
направляющую Lj этой поверхности (§ 168); проекция линии Ь на
плоскость ХОУ лежит на линии Lx (покрывая ее всю или
частично).
П р и м с р 1. Уравнения
■представляет (черт. 187) линию АВАХВХ (эллипс), по ко-
которой пересекаются плоскость z~y-\-~ (плоскость Р на
Черт. IS 7.
черт. 187) и круглая цилиндрическая поверхностьx2+yz = 1.
На,плоскости ХОУ уравнение х"+у2 = 1 представляет
окружность A'B'AiB'j,. Проекция линии ABAs.Bt совпадает
с линией А'В'А'ХВ'Х,
*) Если оба уравнения не содержат г, то линия £~-ве()тикальная
прямая (или несколько такнхпрямых); она проектируетсяНаЛОУ точ-
точкой (ср. § 149, пример 3),
202 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В TIP OCTPAHCtBE
П р и м е р 2. Уравнения
[■ xs+j-2+22-а2, у = тх
представляют (черт. 188) большой круг («меридиан») ЛРА'Р*
сферы О как пересечение этой сферы с плоскостью у=тх
(плоскость R на черт. 188). Уравнение у~тх представ-
представляет на плоскости XOY прямую иу. Проекция мери-
меридиана АРА'Р' на плоскость
XOY лежит на прямой UV, но
покрывает лишь ее часть,
именно отрезок А А'.
2. Пусть оба уравнения,
представляющие линию L, со-
содержат г; тогда для разыскания
проекции линии L на плоскость
XOY надо исключить z из
данных уравнений х). Уравне-
Уравнение, полученное в результате
исключения, представляет на
Черт, 188,
Черт, 189.
плоскости XOY линию V, на которой лежит искомая
проекция (покрывая ее всю или частично). Аналогично
находятся проекции линии на плоскости XOZ и YOZ.
Вытекает из п. 1,
Пример 3. Рассмотрим окружность (ALK. на
черт.. 189), представляемую (ср. § 169, пример 2) уравне-
уравнениями
ХЧ уЧ z* = а\ A)
, . У* B)
1) Исключить z из двух уравнений-значит найти третье уравие,
ние, не содержащее z и удовлетворяющееся при всех тех значениях X
у, которые удовлетворяют системе двух данних уравнений.
§ 171. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 203
Для разыскания ее проекции на плоскость XOY исклю-
исключим z из A) и B). Получим уравнение
*Ч^ав», C)
Оно представляет иа плоскости XOY эллипс AL'K' с по-
полуосями О А = a, OL' = ф=. Проекция окружности ALK
покрывает эллипс AL'K' целиком.
Длят разыскания проекции окружности ALK на пло-
плоскость XOZ надо нз A) и B) исключить у. Получим урав-
уравнение
о2, D)
представляющее на плоскости XOZ эллипс тех же раз-
размеров, что AL'K'. Проекция окружности покрывает этот
эллипс целиком.
Для разыскания проекции окружности ALK на пло-
плоскость YOZ нет иужды выполнять исключение х, нбо
одно из данных уравнений (y=z) и без того не содер-
содержит х. Уравнение у=г представляет на плоскости YOZ
всю прямую UV, но искомая проекция покрывает лишь
ее отрезок (JVL).
- А
§ 171. Алгебраические поверхности и их порядок
Алгебраическим уравнением второй степени (с тремя
неизвестными х, у, г) называется всякое уравнение вида
где по крайней мере одага из шести величин А, В, С, D,
Е, F не равна нулю. Аналогично определяется алгебраи-
алгебраическое уравнение любой степени (ср. § 37).
Если некоторая поверхность S представляется в какой-
либо прямоугольной системе координат уравнением л-Й
степени, то и во всякой другой прямоугольной системе она
представится уравнением той же степени (ср. § 37).
Поверхность, представляемая уравнением л-й степени,
называется алгебраической поверхностью л-го порядка.
Всякая поверхность первого порядка есть плоскость. По-
Поверхности второго порядка рассмотрены в нижеследующих
параграфах.
204 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 172. Сфера
Уравнение второй степени
xt+yi+z'r-.R* A)
представляет (§ 167, пример 2) сферу радиуса R с цент-
центром в начале координат. Если начало iie совпадает с цент-
центром сферы, то последняя представится тоже уравнением
второй степени, именно
(х- аJ + (у - Ь)~ + (z - сJ = R2, B)
где а,Ь,с- координаты центра сферы (ср. § 38).
Уравнение второй степени
Axs+ Byz-\-Cz2-\- Dxy+Eyz+ Fzx-l- Gx-f
представляет сферу только при условиях
А = В = С, D)
D « О, В = О, F = О, E)
G4#2-f Кг-4ЛГ s- О F)
(ср. § 39). При этих условиях имеем:
— О . _ И _ К D2 _°2 ь№+К*-4Д£ /7ч
а- -2Д, О 2А» С~ ~2А» * ~" 4А« '^^
Пример, Уравнение
(Д = В = С « 1, D = К = F = О, G ^ -2, Я » -4,
^ _ О £, = — 4)
Представляет сферу, Дополнив выражения хг~2х и
уа-4у до полных квадратов и прибавив для компенсации
числа Р, 22 к правой части, получим уравнение
т. е. а = 1, 6 = 2, с = О, Я = 3,
То же найдем по формулам G).
§ 173. Эллипсоид
Поверхность, представляемая уравнением%)
я*
*) Здесь и в дальнейшим буквами а, Ь, с обозначены длины неко-
некоторых отрезков, так что числа о, й, с положительны,
§ 173. ЭЛЛИПСОИД
205
называется эллипсоидом *) (черт, 190), Линия перссеченит
ABA'В'эллипсоида A) с плоскостью KOY представляется
(§ 169) системой
Она равносильна системе
а*
~ О,
так что АВА'В' есть эллипс с полуосями ОА=а, ОВ = Ь.
Сечеиия эллипсоида A) плоскостями YOZ, XOZ суть
эллипсы М'СМВ с полуосями г)
ОВ = Ь, ОС~с и JL'CLA с по-
полуосями ОА-а, ОС = с.
Сечение эллипсоида пло-
плоскостью z=h (LML'M' иа
черт. 190) представляется си-
системой
C)
lso-
Однако если \ h \ =- с, то
уравнение B) не представляет
никакого геометрического места («мнимый эллиптический
цилиндр»; ср. § 58, пример 5). В этом случае плоскость
не пересекает эллипсоида. При | h \ =с уравнение B)
представляет ось OZ{x~O, y = 0; ср. § 58, пример 4),
Значит, плоскость z=c имеет с эллипсоидом одну общую
точку С @; 0; с) (точка касания); таким же образом пло-
плоскость z = -с касается эллипсоида в точке С @; 0; -с)
(иа чертеже не показана).
*) Греческое слово *эллипсонд» означает «эллипсовидный, Оно
мало подходит для называния поверхности, но очень укорени-
укоренилось. Древнегреческие геометры именовали эллипсоиды вращения
(других они не рассматривали) сфероидами (т, е. *сферовидны«и>). Это
наименование употребляется и ныне.
2) Прежде (§41) буквой с обозначалась половина фокусного рас-
расстояния [с = Ya* — b2, так что с ■< а]. Здесь с имеет иной смысл и
«ожет иметь любое значение.
206 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если же 1 h 1 ■< с, то искомое сечение есть эллипс с
полуосями
, Mvn**btfl^, D)
пропорциональными anb.
По мере удаления от плоскости XOY размеры сеченнй
уменьшаются (причем все они подобны).
Та же картина для сеченнй. параллельных плоскостям
YOZ, ZOX.
Точка О есть центр симметрии эллипсоида A). Плоско-
Плоскости XOY, YOZ, XOZ - плоскости симметрии, осн OX, OY,
OZ — оси симметрии *).
Трехосный эллипсоид. Если все три величины
а, Ь, с различны (т. е. ни один из эллипсов АСА, В'СВ,
ABA' не обращается в окружность), то эллипсоид A) на-
называется трехосным. Эллипсы АСА, В'СВ, А'ВА назы-
называются главными; нх вершины [А(а; 0; 0), А'(~-а; О; О),
В(О; Ь; О), В'(О; -Ь; О), С (О; 0; с), С @; 0; -с)] на-
называются вершинами трехосного эллипсоида. Отрезки
АЛ', ВВ', СС (оси главных эллипсов), а также их длины
называются осями эллипсоида.
Если а г- Ъ ?- с, то 2а — большая
ось, 2Ъ-средняя и 2с - малая.
Эллипсоид вращения. Если какие-либо две из
величин а, Ь, с, например an Ъ, равны между собой, то
соответствующий главный эллипс А'ВА и все параллель-
параллельные ему сечения обращаются в окружности. Любое сечение
CS проходящее через ось OZ, можно получить поворо-
1) О центре симметрии н плоскости симметрии см. «Справочник по
элементарной математике», IV, В, § 16.
§ 173. ЭЛЛИПСОИД
том эллипса CLA около оси OZ, т. е. эллипсоид есть по*
верхность вращения (эллипсы CLA, CRS, СМВ и т, д. —
меридианы, окружность А'В А — экватор). Такой эллип-
эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Его уравнение
имеет вид
Если в *• с, то эллипсоид вращения называется сжа-
сжатым (черт. 191, о), если а •< с, то вытянутым (черт. 191,6),
У эллипсоида вращения положение двух его осей неопре-
неопределенно.
Если а=Ь~с} эллипсоид обращается в сферу, и
положение всех трех осей становится неопределенным.
Замечание 1. Эллипсоид вращения можно определить как по-
поверхность, получаемую равномерным сжатием сферы к ее экватору
(ср. § 40). Сжатый эллипсоид вращения получается, когда коэффици-
коэффициент сжатияЛ: -= I, вытянутый— когда ft =- 1.
Трехосный эллипсоид можно определить как поверхность, полу-
получаемую равномерным сжатием эллипсоида вращения к его меридиану.
Замечание 2. Эллипсоид представляется уравнением A), если
оси координат совпадают с осями эллипсоида, В других случаяхэллип*
соид представляется иными уравнениями.
Пример t. Определить, какую поверхность пред-
представляет Уравнение
Решение. Данное уравнение приводится к виду
Оно представляет нытянутый эллипсоид вращения с полу-
полуосями а=с=][з1ь~4. Осью вращения служит Оу.
Пример 2. Определить, какую поверхность представляет
уравнение я»- 6х+ 4y* + 9z* + 36z-99 = О.
Решение. Приведем данное уравнение К ВИДУ
(X-3)!-H^+9<z+2)s ^ 144,
Перенесем начало координат в точку C; 0: -2); тогда (§ 166) полу-
получим уравнение х'г+4у'а+9г'а « 144 или
Данное уравнение представляет трехосный эллипсоид с полуося-
полуосями а =12, &«6,с=4; центр его лежит я точке C; 0; -2), оси парап-
лельнь*.осям координат.
208 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 174, Однополостный гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением
называется одпополостным гиперболоидом (черт. 192).
Наименование «гиперболоид» г) происходит от того, что
среди сечений этой поверхности есть гиперболы. Таковы,
в частности, сечения плоскостями х=0 (MNN'M' на
черт. 192) и у=0 (KLL'K.1)- Эти сечеиня представляются
(в своих плоскостях) уравнениями
Название «однополостиый» подчер-
подчеркивает, что поверхность A) в противо-
противоположность поверхности двуполостного
гиперболоида (см, § 175) не разорвана
на две «полости», а представляет сплош-
сплошную бесконечную трубку, вытянутую
вдоль оси 0Z.
Плоскость
z = h D)
при любом значении h (ср.
§ 173) дает в сечении с поверхностью A)
эллипс3)
5 + S- = 1 + Щ' E)
с полуосями ау 1+-£, by Ц—L Все оллипсы E) по-
добиы, вершины их лежат на гиперболах B) и C); раз-
размеры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения
от плоскости XQY. Сечение плоскостью XOY есть эллипс
—■ J.
E')
эллипс АВА'В').
Д) То есть чгиперболовидный». См. сноску *) на стр. 205,
>> Здесь предполагается, что а^Ъ, В случае а=Ь эллипсы E)
обращаются в окружности; см. ниже уравнение F),
g 174. ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД 209
Гиперболы B) и C), а также эллипс E') называются
главными сечениями, их вершины А (а; О; 0), Л' ( — а; О; 0),
В @; Ь; 0), В' @; — Ь; 0)- вершинами однополостного ги-
гиперболоида. Отрезки АА' = 2а, ВВ' — 2Ъ (действительные
оси главных гипербол), а часто и прямые АА', ВВ' назы-
называются поперечными осями. Отрезок СС' = 2ОС = 2с, от-
откладываемый иа оси OZ (мнимая ось каждой из главных
гипербол), называется продольной осью одиополостного
гиперболоида.
Точка О есть центр симметрии однополостиого гипер-
гиперболоида A), плоскости ХОУ, YOZ, Z0X-плоскости сим-
симметрии, оси OX, OY, OZ—оси симметрии.
Однополостный гиперболоид враще-
вращения. Если а — Ь, то уравнение A) принимает вид
5* + S "~ 3* ~ *' ^
Горловой эллипс АВА'В' обращается в горловую окруж-
окружность радиуса а. Вес сечения, параллельные АОУ,-тоже
окружности. Сечения KLL'K' и MNN'M' (и вообще все
сечения через продольную ось) становятся равными гипер-
гиперболами, и поверхность F) можно образовать вращением
гиперболы KLL'K' около продольной оси. Поверхность F)
называется одпополостным гиперболоидом вращения. По-
лсжение двух ее (поперечных) осей становится неопреде-
неопределенным, третья (продольная) ось совпадает с мнимой осью
вращающейся гиперболы, В отлнчие от гиперболоида вра-
вращения (а = Ь) однополостный гиперболоид A) при а ^ Ъ
называется трехосным.
Замечание. Однополостный гиперболоид вращения можно оп-
определить как поверхность, порожденную вращением гиперболы около
ее мнимой оси, трехосный однополостный гиперболоид—как поверх-
поверхность, получаемую равномерным сжатием однополостпого гипербо-
гиперболоида вращения к плоскости какого-либо меридиана.
Пример. Определить вид поверхности
= о.
Решение. Данное уравнение приводится к виду
4а 2s *** 2s
Оно представляет однополостный гиперболоид вращения
с центром в точке @; 0; 0), осью врашення служит ОХ
(так как отрицательный коэффициент стоит при ха). Ра-
Радиус горлового круга г = 2, продольная полуось равна 4.
14 К, Я. Выгодский
210 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 175. ДвуполостныЙ гиперболоид
Поверхность, представляемая уравнением ***'
ца т № ' с' * * *
называется двуполостным гиперболоидом (черт, 193).
Сечення плоскостями XOZ н YOZ представляются урав-
уравнениями
-Л5-1 i"-*j~-*>«v1,-;е« р __ _^ 1 -, ■_ ,- J2|
; ■ С* О* ' » - . ' * *
'"* *' ■ '' ■"' ' ** 3я — 1 ■ ~ *-'- " /ч\
^ ^ с, — 6Я — i. *■- ■-> \о}
Это-гиперболы (KK'L'L и MM'N'N на черт. 193). Для
каждой из них ось OZ является дей-
действительной осью (ср, § 174).
Плоскости z = h не встречаются
с гиперболоидом A) при ] h \ -* с (ср.
§ 174). Прн К— ±с они касаются
гиперболоида в точках С@; 0; с) и
С @; 0; -с). При | h \ >■ с в сечеини
получаются эллипсыJ
У»
са
D)
Черт. 193.
подо бные друг другу {КМ К'М'г
LNL'N' и др.)> Размеры их увеличи-
увеличиваются по мере удаления от пло-
плоскости XOY.
Таким образом, поверхность A)
состоит из двух разобщенных поло-
полостей, откуда и название д в у п о-
лостный гиперболоид.
Гиперболы B) н C) называются главными сечениями,
их общие вершины С и С' — вершинами двуполостного
гиперболоида, нх действительная ось СС' —продольной
осью двуполостного, гиперболоида, мнимые осн А А' ~ 2а
н ВВ' => 2&-поперечными осями симметрии.
ДвуполостныЙ гиперболоид имеет центр О, оси симмет-
симметрии OX, QY, 0Z и плоскости симметрии XOYt YOZf
*) См, подстрочное примечание иа стр, 208,
$ 1?6. КбнУС ВТОРОГО ПОРЯДКА Ш
ZOX. Две полости гиперболоида симметричны друг другу
относительно плоскости XOY.
Двуполостный гиперболоид нращеиня.
Уравнение A) при а = Ь принимает внд
?£ X ^! — ~ = —1
и представляет поверхность, порождаемую вращением
гиперболы около ее действительной оси. Она называется
двуполостным гиперболоидом вращения. Двуполостный
гиперболоид с неравными поперечными полуосями а н Ь
называется трехосным. т
Пример 1. Определить внд поверхности \
3x!-5ys-22B-30= 0.
Решение. Данное уравнение преобразуем к виду
б т 15 10 х'
Имеем двуполостный гиперболоид (трехосный). Продоль-
Продольная ось равна /Ю и_ совпадает с осью ОХ, одна попе-
поперечная ось равна У& н направлена по осн 0Y, другая
равна fl5 и направлена по осн 0Z.
Пример 2, Уравнение !
представляет оЬпополостный (а не двуполостный) гипер-
гиперболоид (хотя в правой части стоит — t, а не +1, но в
левой части два отрицательных слагаемых). Представив
данное уравнен-ie в виде y2+zz-x* = 1, видим, что ги-
гиперболоид порожден вращением равносторонней гиперболы
около ее мнимой оси (совпадающей с осью ОХ).
§ 176. Конус второго порядка
Конической поверхностью называется нсякая поверх-
поверхность, порождаемая движением прямой линии (образующей),
проходящей через неподвижную точку (вершина кониче-
конической поверхности). Всякая (не проходящая через вершину)
линия, которая пересекает образующую в любом положе-
положении последней, называется направляющей.
Поверхность
212 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
которая, как показано ниже, является конической, назы-
называется конусом второго порядка (черт. 194).
Сеченне ее плоскостью XOZ (у = 0) представляется
уравнением -f-
т. е.
Это-пара прямых (KL и K'V), проходящих через начало
(§ 58). В сечении плоскостью YOZ
*L получаем пару прямых (MN н M'N'):
И
Сечеиие всякой другой плосксстью
у = кх, проходящей через ось OZ,
представляется (§ 169) системой
У-*, S + ^-5-o. D)
Это-тоже пара прямых-.
У-
-О E)
Черт.194.
l + g-i^O, (б)
проходящих через начало. Значит, поверхность A)-кони-
A)-коническая; точка О-ее вершина.
Сечение конуса A) всякой плоскостью г = h (прн Л и 0)
есть эллипс
*! 4- ^ — — *
он обращается в точку О @; 0; О) при h = О, Все эллипсы
G) подобны, вершины нх лежат на сечениях B) и C),
Прн а = Ь эллипсы G) обращаются в окружности и
конус второго порядка-в круглый конус
'Та т л1 7Г — ^* % /
§ 177. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
213
Коиус второго порядка можно определить как псперх-
ность, полученную равномерным сжатием круглого конуса
К плоскости особого сечения.
Сечения конуса A) плоскостями, параллельными пло-
плоскости XOZ (или плоскости YOZ), суть гиперболы.
Замечание. Сечения всякого конуса второго порядка плоско-
плоскостями, не проходящими через иершину, являются окружностями i),
эллипсами, гиперболами и параболами. Каждая из этих линий может
Сыть принята за направляющую. Ввиду этого целесообразно называть
конус второго порядка «эллиптическим».
Пример 1. Уравнение хг + у- = z- представляет круг-
круглый коиус; сечение плоскостью XOZ есть пара прямых
х = ±z. Образующие составляют с осью угол 45°.
Пример 2. Уравнение - х2 + 9у2 + Зг2 = 0 предста-
представляет (иекруглый) конус второго порядка. Сеченне всякой
плоскостью 2 = h (ftp*0) есть гипербола х2-9у3 = 3ft2;
при h ~ О она обращается в пару образующих. Та же
картина для сечений у = /. Сече-
Сечения х ~ d(d ?* 0)-эллипсы,
§ 177. Эллиптический
параболоид
Поверхность, представляе-
представляемая Уравнением
2 = * + У1 П)
2р т 2q \ '
(р =~ О, q > 0), называется эл-
эллиптическим параболоидом
(черт. 195).
Сечения плоскостями XOZ
и YOZ (главные сечения) —
параболы {АОА', БОН)
Ха = 2PZ, B) Черт. 195.
Г - 2qz; C)
обе/обращены вогнутостью в одну сторону («вверх»).
Плоскость г — 0 касается параболоида в точке О, пло-
плоскости z - h при h > 0 пересекают параболоид по подоб-
подобным между собой эллипсам
— 1
2р + 2Я
D)
1) У круглого конуса - одна система параллельных круговых сече-
сечений, У некруглого -две,
214 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
с полуосями \[2ph, Y2qk. При А -« 0 зтн плоскости не
всгречаюг параболоида.
Эллиптический параболоид не имеет пентра симметрии;
он симметричен относительно плоскостей XQZ и YOZ и
относительно оси OZ, Прямая OZ называется осью эллип-
эллиптического параболоида, точка О-его вершиной, величины
р н q-параметрами.
При р = q параболы B) и C) становятся равными, эл-
лнпсы D) обращаются в окружности и параболоид A) ста-
становится поверхностью, порождаемой вращением параболы
около ее оси {параболоид вращенияI).
Эллиптический параболоид можно определить как по-
поверхность, получаемую равномерным сжатием параболоида
вращения к одному из его меридианов.
Пример, Поверхность z = л;а+уг есть параболоид
вращения, образованный вращением параболы г — ха около
ее оси (ось OZ). Поверхность х = уъ+гг есть тот же
параболоид, иначе расположенный (ось вращении совпа-
совпадает с ОХ).
Замечание. В сечении эллиптического параболоида
плоскостью у = / получаем лииию Z = ~ +. ^ (CDC);
это-парабола, равная (§ 50) параболе АО А' (я-|§);
ось ее тоже направлена «вверх*, а вершиной является
точка D (о; /; ^\. Координаты точки D удовлетворяют
уравнениям х = 0, у2 = 2qz, т. е. D лежнг иа пара-
параболе ВОВ'. Значит, эллиптический параболоид есть по-
поверхность, порождаемая параллельным перенесением пара-
параболы (ЛОЛ')» при котором ее вершина движется по другой
параболе (ВОВ')- При этом плоскости подвижной и не-
неподвижной парабол перпендикулярны, а оси равнона-
правлеиы. ^
/
§ 178. Гиперболический параболоид
Поверхность, представляемая уравнением
(р s-J0, q *■ 0), называется гиперболическим параболоидом
(черт. 196).
») Форму параболоида вращения имеют зеркала рефлекторов (они
обращают пучок лучей, исходящих из фокуса, в параллельный пучок).
g 178, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
215
Сечения плоскостями XOZ и YOZ (главные сеченая)
суть параболы {АОА', ВОВ1)
х2 = 2pz,
у2 = - Iqz,
B)
C)
В противоположность главным сечениям эллиптического
параболоида (§ 177) параболы B) и C) обращены вогну-
вогнутостью в противоположные стороны (пара-
(парабола АО А' - «вверх», пара-
бола ВОВ' - «вниз»). По-
верхность (I) имеет седло-
седлообразный вид.
Сечение гиперболическо-
гиперболического параболоида A) пло-
плоскостью XOY (г = 0) пред-
представляется уравнением
2р
D)
Это -пара прямых1) Черт, 196.
OD, ОС (§ 58, пример 1).
Плоскости г = ft, параллельные XOY, пересекают ги-
гиперболический параболоид по гиперболам
2р
Л-А
z = Л.
E)
При Л ;- 0 действительная ось v этих гипербол (на-
(например, у гиперболы UW'U') параллельна оси ОХ; при
h < 0 (гипербола LNN'L1) действительная ось парал-
параллельна 07. Все гиперболы E), лежащие по одну сторону
от плоскости XOY, подобны друг другу; они попарно со-
сопряжены (§ 47) с гиперболами E), лежащими по другую
сторону от XOY.
Гиперболический параболоид не имеет центра; ои сим-
симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ н отно-
относительно осн 0Z, Прямая 0Z называется осью гиперболи-
гиперболического параболоида, точка О —его вершиной, величины
р и q-параметрами.
Замечание!, Ни при каких значениях р и q гипер-
гиперболический параболоид (в отличие от вышерассмотренных
1) На гиперболическом параболоиде имеется бесчисленное мно*
жество прямых линий; см. § 180,
216 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
поверхностей второго порядка) не является поверхностью
вращения.
Замечание 2. Гиперболический параболоид, как и
эллиптический, можно образовать параллельным перене-
перенесением одного главного сечения (например, BOB ) вдоль
другого (ЛОЛ'). Но теперь подвижная и неподвижная
параболы обращены погнутостями в противоположные
стороны.
Пример. Поверхность z — х- —у'* есть гиперболиче-
гиперболический параболоид; оба главных сечения суть параболы,
равные между собой, но обращенные в противоположные
стороны. Поверхность можно образовать параллельным
смещением одной из этих парабол вдоль другой. Сечение
плоскостью z = h (h ^0) — разносторонняя гипербола с
полуосями а = f\h~\, b^tf\h\. При h = 0 она обра-
обращается в пару перпендикулярных прямых (х+у = О,
х-у = 0). Если эти прямые принять за координатные оси
ОХ', О У', то рассматриваемый гиперболический параболоид
представится (§ 36) уравнением z = 2ху.
XV
Вообще Уравнение г = — представляет т(,т же гипер-
гиперболический параболоид, что и уравнение г = -^ ~- ,
только в первом случае оси OX, OY совпадают с прямо-
прямолинейными образующими (§ 180), проходящими через вер-
вершину,
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка
Всякое уравнение второй степени
Ах2 + By2 + Сг- + Dxy + Eyz -\- Fzx + Gx+
= О
можно с помощью формул преобразования координат
(§ 166) преобразовать в одио из нижеперечисленных
17 уравнений, называемых каноническими. При этом урав-
уравнение — + ~ = 0 (№ 14) представляет не поверхность, а
прямую линию (х — 0, у = 0). Однако говорят, что оно
представляет пару мнимых плоскостей (пересекающихся
по действительной прямой) (ср. § 58, пример 4). Уравнс-
ние § + S + % = ° Сш 13) представляет только одну
точку @; 0; 0). Однако (по сходству с уравнением № 4)
g 179. ПЕРЕЧВНЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2-ГО ПОРЯДКА 217
№
п/п
Каноническое IСхематическое
уравнение изображение
а* Ы с=
i. f У--1- = 0
*
31
2,/
i
2p
Название
поверхности
Пара-
Параграф
Эллипсоид(в
частности,эл-
частности,эллипсоид враще-
вращения и сфера)
Однополостный
гиперболоид
Дву полост ный
гиперболоид
Конус второго
порядка
Эллиптический
параболоид
Гиперболический
параболоид
Эллиптический
цилиндр
Гиперболический
ЦИЛИНДР
173
174
175
176
177
178
168
168
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Продолжение
П/п
9
10
Н
12
13
14
13
16
17
Каноническое
уравнение
у* = 2рх
fll ~" &Й ~
х*
— = 1
а* й* "с^" ""
а* + ь*' ""
Схематическое
изображение
§
с Г
Г1 -
]
п
Название
поверхности
Параболический
цилиндр
Пара пересекаю-
пересекающихся плоско-
плоскостей
Пара параллель-
параллельных плоскостей
Пара совпадаю-
совпадающих плоскостей
Мнимый конус
второго поряд-
порядка сдействнтель-
ной вершиной
@; 0; 0)
Пара мнимых
плоскостей (пе-
(пересекающихся
по действитель-
действительной прямой)
Мнимый эллип-
эллипсоид
Мнимый эллип-
эллиптический ци-
цилиндр
Пара мнимых
параллельных
плоскостей
Пара-
Параграф
16S
§ 180. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ
219
говорят, что уравнение № 13 представляет мнимый конус
второго порядка (с действительной вершиной).
Уравнения ЭД 15, 16, 17 не представляют никакого
геометрического образа. Однако говорят, что онн пред-
представляют соответственно мнимый эллипсоид (ср. ЛЬ I),
мнимый эллиптический цилиндр (ср. Ж 7) н пару мни-
мнимых параллельных плоскостей (ср, № 11).
Пользуясь этой условной терминологией, можно ска-
сказать, что всякая поверхность второго порядка является
одной из 17 перечисленных иа стр, 217-218 поверхностей.
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядна
Поверхность называется линейчатой^ если ее можно
образовать движением прямой линии (образующей). Из
поверхностей второго порядка линейчатыми являются ци-
цилиндры и конус второго порядка и, сверх того, однопо-
лостный гиперболоид м гипербо-
лнческий параболоид.
Как на однополостном гипер-
гиперболоиде (черт. 197), так н на
Черт. 197.
Черт, 198.
гиперболическом параболоиде (черт, 198) через каждую
точку проходят две прямолинейные образующие. Так, на
черт, 197 через точку А проходят образующие UU' и УУ',
через точку V-образующие VA и vB.
У эллипсоида, двуполостного гиперболоида н эллипти-
эллиптического параболоида прямолинейных образующих (дей-
(действительных) нет.
Пример. Сеченне однололостиого гиперболоида
220 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
плоскостью х = а (плоскость Р на черт. 197) предста-
представляется уравнением ~ + ^ - -*,■ — 1, т. е.
Это-пара прямых (UV и VV1). Они проходят через
вершину А (а; 0; 0) горлового эллипса. Точно так же через
вершину /3@; Ь; 0) проходит пара нрялюлипейных обра-
образующих
? - £ = о, у = 6. C)
Однонолостньш гиперболоид вращения {а = Ь) можно
образовать'1) вращением прямой UU' (или
VV) около оси OZ.
Замечание, Линейчатость одно пол ости ого
гиперболоида использована инженером!В. Г. Шухо-
Шуховым л ля строительпой конструкции, называемой
«башней Шухова». Она строится из железных полос,
располагающихся по прямолинейным образующим
однополостного гиперболоид:^ Полосы склепыва-
склепываются в местах пересечения даух систем образую-
образующих. При малой затрате материала конструкция
В, Г. Шухопа обладает большой прочностью.
§ 181. Поверхности вращения
Пусть L есть линия, лежащая в плоско-
плоскости XOZ. Тогда уравнение поверхности,
порождаемой вращением линии L около
черт. 199. оси OZ, получается из уравнения линии L
заменой х иа Ух* + у3.
Пример 1. Пусть прямая г = 2х, лежащая в плоско-
плоскости у = О (прямая РР' на черт, 199), вращается около OZ,
Тогда уравнение конической поверхности, порождаемой
вращением прямой РР', имеет вид г = 2 Ухг+У^ т. е.
Аналогичные правила имеют места, когда линия L ле-
лежит в другой координатной плоскости н осью вращения
Является другая ось координат.
П р и м е р 2. Найти уравнение поверхности, порождае-
порождаемой вращением параболы уа = 2рх (LOL' на черт. 200)
около оси ОХ.
') Если проколоть булавкой две спички, не лежащие в одной пло-
плоскости, и, взяв одну из спичек за ее конец, быстро вращать около лее
всю модель, то другая спичка явственно начертит однополостный ги-
гиперболоид.
§ 182. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА 221
Решение. Заменяя у на Уу2 + Л т- е- У1 на У
получаем y* + zs = 2рх (параболоид вращения с осью ОХ).
Пример 3. Найти уравнение поверхности, порождае-
порождаемой вращением параболы z* = 2px (КОК' иа черт. 201)
около оси Z.
Черт. 200.
Черт. 201.
Решение. Заменяя х на Yx2 + ys, получаем урав-
уравнение гг = 2р Ух2 + у3 или z* = 4p2(xs+y2) (поверх-
(поверхность четвертого порядка).
§ 182. Определители второго и третьего порядка
1 1
Определителем второго порядка
(§ 12) выражение
Определителем третьего порядка
Д =
называется (§ 118) выражение
или, что то же,
называется
h
h
ч
1
1
Ч
а3
h
A)
B)
C)
222 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Буквы щ, blt clt аъ bit с.,, а3, Ьм са называются эле-
элементами определителя.
М и и о р ы. Определители
К
входящие в формулу C), называются минорами х) эле-
элементов аъ ьи q.
Вообще минором какого-либо элемента называется
определитель, получаемый из данного определителя вы-
вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении
которых стоит элемент.
Примеры. Мииор элемента Ьг определителя (I) есть
определитель
а3 cs
схема:
а3
Минор элемента ЪЛ ecib
«1 Сг
а,, с.
мииор элемента сЛ
есть
Замечание. В определителе второго порядка
минором элемента оА является элемент Ьа; его
можно" считать «определителем первого порядка*. Элемент
Ь2 получится из определителя второго порядка вычерки-
вычеркиванием верхней строки и левого столбца. Аналогично ми-
минором элемента аа является элемент Ъг и т. д.
Алгебраическое дополнение. В формуле C)
Ь2 е%\ _ а% с2
&я Ся\' «а С3
элементы аи bv ct множатся на
а2
. Этн выражения называются алгебраическими
дополнениями элементов aD bu с1ш
Вообще алгебраическим дополнением элемента назы-
называется его минор, взятый со своим или с противополож-
противоположным знаком согласно следующему правилу:
Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении
которых стоит элемент, есть число четное, то минор бе-
берется со своим знаком, если нечетное, — то с противопо-
противоположным.
*) От латинского «лова minor-меньший,
§ №. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА 223
Алгебраические дополнения элементов о,, 6lt съ а2
и т. д. будем обозначать соответственно Av Въ Сь Л*
и т. д.
Пример 1. Элемент й, определителя (I) стоит на
пересечении первой строки и второго столбца. Так как
1 + 2 = 3 есть нечетное число, то Вх = - 2 2
Пример 2. Нанти алгебраическое дополнение эле-
элемента сг.
Решение. Вычеркивая вторую строку и третий стол-
столбец, находим мииор 1 * элемента с2. Номер строки
этого элемента есть 2, номер столбца -3. Сумма 2+3
нечетное число. Поэтому Са = — 1 *
Пример 3. В определителе A) алгебраическое допол-
дополнение Bs элемента Ьг есть +j 1 x B+2-четное
число).
Теорема I. Определитель (J) равен сумме произведе-
произведений элемеитов какой-либо строки на их алгебраические до-
дополнения, т. е.
Д = GiAl+b1B1 + clCi, D)
Д = а3А3+Ь3В3±с3С3'. (б)
Формула D) тождественна с C), формулы E) и (б) про-
проверяются непосредственным вычислением.
Теорема 2. Определитель (I) равен сумме произведе-
произведений элементов какого-либо столбца на их алгебраические
дополнения, т. е.
ii ЕЗ? Д| *rli -4- Mo -rig "Г" О.'к **%% \ ' /
Д = qCt +c»Cs +СзС3.' (9)
Эти две теоремы облегчают вычисление определителя,
когда среди элементов есть нули.
П р и м е р 4. Для вычисления определителя
2 5-2
Д = 3 8 0
1 3 5
удобно применить E) или (9),
224 АНАЛИТИЧЕСКАЯ TFOMETPHfl В ПРОСТРАНСТВЕ
Формула E) даст:
д = -з " -J +з
6 о
Формула (9) дает:
3 8
Д = -2
I 3
+ 5
2 -2
I 5
2 5
3 8
= -3-31+8-12 = 3.
1+5- 1 = 3.
П р и м е р 5. Для вычисления определителя
4-3 2
Д
6 II 1
0 3 0
лучше всего применить F):
4 2
Д = -3
6 1
= - 3 - - 8 - 24.
§ 183. Определители высших порядков
Определителем четвертого порядка '-
д =
«3
называется выражение
Д = 01Al-\-blBl-\-CiC1+diD1, B)
где Л1( В3, С], Dt-алгебраические дополнения (S 182) элементов а,,
К с1У dlt т. е.
«з 63
Пример I. Вычислить определитель
6 3 0 31
а2 с
а3 с
а, с
п2
я.
■ ^
4 rfl
C)
д =
4 4 а 1
0 4 4 2
7 7 8 5
{ 183. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 225
Решение.
А,=
4
4
7
2
4
8
1
2
5
D
= 8,
= *~
4
0
4
4
7
2
4
8
4
0
7
2
4
8
72
1
2
5
= -16,
(так как с, =0, то Сд вычислять не надо),
Д ~ 6-8 + 3 (-16)+3(-72) = -216.
Для определителя четвертого порядка остаются в силе теоремы 1
и 2 § 182. Их объединяет следующая теорема.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов
какой-либо строки (или какого-либо столбца) на их алгебраические
дополнения, т. е.
Д =
Д = a1Ai+a2A2+a3A3+aiAi,
Д = btBL + hBt + b^lis + btBt,
D)
Первая из формул D) совпадает с формулой B), принятой за опре-
определение. Остальные можно проверить непосредственным вычислени-
вычислением, хотя оно и громоздко. Есть и более короткие выводы.
П р и м е р 2. Вычислим определитель примера 1, разлагая его по
элементам второго столбца. Имеем:
Д =
где
В, = -
В* = —
4
0
7
2
4
8
1
2
5
6
4
7
0
2
8
3
1
5
= -16, Вг
-66, Bt =
6
0
7
0
4
8
3
2
5
6
4
0
0
2
4
3
1
2
-60,
48,
так что Д = 3-(» 16)+4.(-60)+4-(-86)+ 7.48 = -216.
Пример 3. Вычислим тот же определитель, разлагая его по
элементам третьей строки:
д
15 М- Я. Выгодский
= 0. А
= —4
я +
6
4
7
4
0
2
8
3
1
5
+-4С8
+ 4
+
6
4
7
21
3
4
7
h
3
1
5
-2
6
4
7
3
4
7
0
2
8
-216.
226 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Определителем пятого порядка
я1 ^i ci &1 *i
Д =
ai\h
«■в
E)
называется выражение
Д
F)
где At, By, Clt Dt, Et— алгебраические дополнения элементов о,, bt,
<*i. (/]> *ь эти алгебраические дополнения сами являются определи-
определителями четвертого порядка.
Аналогично определяется определитель шестого порядка через
определитель пятого порядка и т. д.
Теорема -настоящего параграфа остается в силе для опреде-
определителя любого порядка. ,
% 184. Свойства определителей
1. Велнчииа определителя не изменится, если каждую
строку заменить столбцом с тем же номером.
Пример 1.
ах
П р и м е р 2.
ь,
<*2 Ьг
из h
2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-
либо двух столбцов абсолютное значение определителя
остается прежним, а знак меняется иа обратный.
Пример 3.
h
Ьг
«1
(переставлены вто-
вторая и третья стро-
строки; ср. § Ш, п. 1).
Приме
2
3
-4
Р
1
6
2
4.
5
0
1
= -
5
0
1
1
6
2
2
3
-4
(переставлены пер-
первый н третий столб-
столбцы).
164, СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
:227
3. Определитель, у которого элементы одной строки
(илн столбца) соответственно пропорциональны элементам
другой строки (столбца), равен нулю. В частности, опре-
определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)
равен нулю. N
П р и м е р 5.
2 2 2
-5 -3 -3
О -1 -1
Пример 6.
а а' а"
b b' b" =0
За За' За1
(второй и третий столбцы
одинаковы).
(элементы третьей строки
пропорциональны элемен-
элементам первой строки; ср.
§ 117, пп. 1, 3, 4).
4. Общий множитель всех элементов одной строки (или
одного столбца) можно вынести за знак определителя.
Пример 7.
(ср. § 117, п. 3).
5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки)
есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме
двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит
только первое слагаемое, в другом - только второе
(остальные элементы в обоих определителях те же, что
в данном).
та
b
с
та'
Ь'
с
та"
Ъ"
С"
= т
а
b
с
а'
Ь'
С
а"
Ь"
с"
Пример 8.
bx + сх dj
b2 + cs d2
dl
(ср.§П7,п.2).
6. Если ко всем элементам какого-либо столбца приба-
прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим эле-
элементам другого столбца, то новый определитель равен
старому. То же для строк.
Вытекает из пп. 5 и 3.
15*
228 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
2-1 3
Пример 9. Определитель
I -3
О 2
равен 12.
Прибави/и к элементам первой строки элементы второй.
6 0 0
Получим
4 I -3
. Этот определитель тоже равен 12,
5 0 2
но вычисляется проще (в разложении по элементам первой
строки два слагаемых равны нулю).
Пример 10. Для вычисления определителя
4 2 3
■13 5
6 3-1
прибавим к элементам первого столбца элементы второго,
0 2 3
помноженные иа -2. Получим
-7 3 5
0 3-1
ределитель легко вычисляется разложением по элементам
первого столбца [§ 182, формула G)]. Получаем;
Этот оп-
2 3
3 -I
= -77.
Пример 11. Для вычисления определителя
6 3 0 3
4 4 2 1
0 4 4 2
7 7 8 5
вычтем из элементов второго столбца элементы третьего. Получим:
6 3 0 3
4 2 2 1
О 0 4 2
7-185
185. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
229
Теперь вычтем из элементов третье! о столбца элементы четвертого,
умноженные на 2. Получим:
6
4
О
3
2
О
-6
0
0
3
1
2
7 -I -2
Разлагая по элементам третьей строки, получаем (как в примере 1
183):
6 3-6
4 2 0
7 -1 -2
-216.
§ 185. Практический прием вычисления
определителей
Нижеописанный прием особенно Удобен, когда элементы
определителя - целые числа.
Намечаем строку '), по элементам которой будем вести
разложение. Желательно, чтобы там был нуль. Прием имеет
целью создать в избранной строке новые иулн. Для этого
применяется свойство б § 184.
Пример!. Вычислить определитель
Д =
5 3
6 2
3 -I
Разложим его по элементам второй строки (в ней есть
нуль). Создадим там (иа месте элемента 6) еше одии нуль.
Для этого вычтем из элементов второго столбца утроен-
утроенные элементы третьего. Получим:
Д »
2
0
7
-4
0
6
3
2
-I
= — 2
2
7
-4
б
= -80.
Будем теперь вести разложение по элементам первого
столбца, где уже есть одии нуль. Создадим в этом столбце
(на месте элемента 7) еще один нуль. Для этого вычтем
Или столбец.
230 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
из элементов третьей строки элементы первой, помножен-
помноженные на тт. Получим;
2
0
0 -
5
6
29
2
1
~~~2
-
J
2
23
2
■ 2
=
6
29
2
23
1
1
й
2
0
0
—
5
6
29
80.
3
2
23
д =
Замечание. Можно Оыло предвидеть, что первый способ удоб-
удобнее: во второй строке элемент G есть кратное элемента 2, тогда как
в первом столбце элемент 7 не кратен элементу 2. Желательно, чтобы
в избираемой строке (или столбце) по возможности все элементы были
кратны одному. Если один из элементов равен I или — I, то следует
избрать ту строку или тот столбец, где стоит этот элемент.
П р и м е р 2. вычислить определитель
-1 -2
4 1
О 6
2-2 14
3 1-2-1
Избираем третий столбец (там есть и нуль и единица). Чтобы
создать нуль на месте элемента 4, вычтем учетверенные элементы
третьей строки (там находится элемент 1 избранного столбца) из эле-
элементов первой строки. Первая строка примет вид
- 9 6 0 - 15.
Чтобы создать в третьем столбце нуль на месте элемента -2, при-
прибавим удвоенные элементы третьей строки к элементам четвертой. По-
Последняя примет вид
7-30 7.
Теперь, разлагая по элементам третьего столбца, имеем:
Д =
В определителе третьего порядка все элементы второго столбца
кратны элементу —3. Поэтому прибавляем элементы третьей строки
(где стоит элемент —3) к элементам второй, а затем, предварительно
удвоив нх, — к элементам первой строки. Получим:
-9
2
2
7
6
3
-2
-3
0
0
1
0
-15
6
4
7
= 1
— 9
2
7
6
3
-3
-15
6
7
д =
5
9
7
0
0
-3
-1
13
7
5
9
-1
13
(-3) = 222,
§ i88. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Пример 3. Вычислить определитель
3 7-24
-3 -2 6 -4
5 5-32
2 6-53
Здесь нет нулей, но во второй строке легко создать сразу два нуля;
к элементам ее надо прибавить элементы первой строки. Получим.
Д г^
Теперь во второй строке можно создать еще один 1гуль, вычтя из эле-
4
ментов третьего столбца элементы второго, помноженные на -г-. Но
удобнее предварительно создать во второй строке единицу. Для этого
достаточно вычесть из элементов второго столбца элементы третьего.
Получим:
3
0
5
2
7
5
5
6
-2
4
-3
-5
4
0
2
з
9
I
8
II
-2
4
-3
-5
-38
О
-35
-49
(мы вычли из элементов третьего столбца учетверенные элементы вто-
второго). Теперь имеем;
' 3 -38 4
-35
-49
= -303.
§ 186. Применение определителей к исследованию
и решению системы уравнений
Определители впервые были введены для решения си-
системы уравнений первой степени. В 1750 г. швейцарский
математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие
неизвестные через определители, составленные из коэф-
коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория опре-
определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала при-
применяться во всех математических науках.
В нижеследующих параграфах даны основные сведения
об исследовании и решении систем уравнений первой сте-
степени; для большей наглядности всюду указывается связь
с геометрическими фактами. _ —-—
232 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 187. Два уравнения с двумя неизвестными
Рассмотрим систему уравнений
а& + Ъху = hlt A)
агх + Ь2у = Ла B)
(каждое из них представляет прямую на плоскости XOY;
ср. § 19).
Введем обозначения
Д =
(определитель системы),
h h
C)
D)
Определитель Д„ получается из Д заменой элементов
первого столбца свободными членами системы; аналогично
получается Дв.
Возможны три случая.
Случай I. Определитель системы ие равен иулю:
О
E)
Тогда система имеет единственное решение
X =
——
[прямые (I) и B) пересекаются, формулы E) дают коор-
координаты точки пересечения].
Случай 2. Определитель системы равен нулю: Д=О
(т. е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны).
Пусть при этом один из определителей Агг Av не равен
нулю (т. е. свободные члены не пропорциональны коэффи-
коэффициентам при неизвестных).
В этом случае система не имеет решений [прямые (I)
и B) параллельны, но не совпадают].
Случай 3. Д = О, Дг=О, Д„=О (т. е. и коэффи-
коэффициенты и свободные члены пропорциональны).
Тогда одно из уравнений A), B) есть следствие другого;
система сводится к одному уравнению с двумя неизве*
стиыми и имеет бесчисленное множество решений [пря-
[прямые A) и B) совпадают].
§ 188. ДВА УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 233
Пример I.
8, 7х-5у =
Здесь
А =
2 3
7 -5
= -31,
2 8
7 -3
Система нмеет единственное решение
3.
8 3
-3 -5
-62.
= -31,
1. - L" - 9
Пример 2,
Здесь Д =
2х+3у - 8, 4х+бу = 10.
2 3
= 0. При этом Ах =
8 3
10 6
= 18*0.
Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не
подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.
Пример 3.
2х+'3у = 8, Ах+Ьу = 16.
Здесь
Д =
2
4
3
6
= о,
дл =
8
16
3
6
= 0 Д —
2
4
8
16
0.
Одно из уравнений есть следствие другого (например,
второе получается из первого умножением иа 2). Си-
Система сводится к одному уравнению и имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле
у=
нлн
х= -f
).
§ 188. Два уравнения с тремя неизвестными
Рассмотрим систему уравнений
fl,x + by + CxZ = Ль A)
а2х + b2y + с2г = ft, B)
(каждое представляет плоскость в пространстве; ср. § 141).
Возможны три случая.
Случай 1. Из трех определителей
C)
-
с, а.
234 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
хотя бы один не равен нулю, т. е. коэффициенты прн не-
неизвестных не пропорциональны. Тогда система имеет бес-
бесчисленное множество решений, причем одному нз неиз-
неизвестных можно дать любое значение. Например, если
; О, то неизвестному г можно дать любое значе-
значение; неизвестные х, у определятся единственным образом
(§ 187, п. 1) из системы
ajX-b bxy = hi-CiZ,
fl^x-j- v«y — Н2~с$
[плоскости (I) н B) не параллельны, система представляет
прямую, величины C) — направляющие коэффициенты
<§ 143)].
Случаи 2. Все определители C) равны нулю, но один
нз определителей
D)
ие равен нулю, т. е. коэффициенты при неизвестных про-
пропорциональны, но свободные члены ие подчинены той же
пропорции. В этом случае снстема ие имеет решений [пло-
[плоскости A) и B) параллельны, но не совпадают].
Случай 3. Все определители C) н D) равны нулю,
т. е. н коэффициенты и свободные члены пропорциональны.
Тогда система сводится К одному уравнению н имеет бес-
чнелеииое множество решений, причем любые значения
можно дать двум неизвестным. Например, если с,.?*О, то
любые значения можно дать неизвестным х, у [плоскости
A) и B) совпадают].
Пример 1. Решить систему
а2
h
*
h
Ьг
hi
h
Cx
c2
К
Здесь
х-2у-2 = 15,
= 2.
<*i bx
пг Ьг
1 -
2
2 -4
I
a2
h e»
&a C2
-1 1
2 2
-2 -1
-4 2
— 4.
Среди этнх определнтелей есть не равные нулю. Значит,
система имеет бесчисленное множество решений. Любое
§ 189. однородная система двух уравнений 238
значение можно дать одному неизвестному х или одному
неизвестному у, так как / * и О а ~х х
вестному г любого значения
дать
с, а,
0. Неиз-
пример 5).
Решищ систему относительно у и г. Имеем:
-2y-z = 15-х, -*4y+2z = 2~2х.
Отсюда
нельзя (ср. § 142,
У =
15-х -1
2-2Х 2
-х, z =
-2 15-Х I
-4 2-2Х
-S
W
(Система представляет прямую, перпендикулярную к оси
OZ.)
И р и м е р 2. Система
= 12
не имеет решений, так как все определители C) равны
нулю (коэффициенты при неизвестных пропорциональны),
7 5
а определитель = не равен нулю (свобод-
иые члены не пропорциональны коэффициентам).
(Плоскости параллельны, но не совпадают.)
Пример 3. Решить систему
7x-4y+z = 5, 21х-12у+3г = 15,
Здесь и коэффициенты и свободные члены пропорцио-
пропорциональны. Система сводится к одному уравнению. Любой
паре неизвестных (скажем, х и у) можно дать произволь-
произвольные значения (тогда z ^= 5-7х+4у).
(Плоскости совпадают.)
§ 189. Однородная система двух уравнений
с тремя неизвестными
Система уравнений первой степени называется одно-
однородной, если в каждом уравнении свободный член равен
НУЛЮ.
Рассмотрим однородную систему
= О, A)
-О. B)
236 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Это-частный случай системы § 188, Особенность
состоит в том, что случай 2 не может иметь места
[определители D) § 188 всегда равны нулю]. Система (I)-
B) всегда имеет бесчисленное множество решений.
[Плоскости (I) н B) проходят через начало координат и,
значит, либо пересекаются, либо совпадают.]
Случай 1. Коэффициенты не пропорциональны, т. е.
хотя бы один из трех определителей C) § 188 не равен
нулю. Тогда решение можно записать в симметричном
виде
b2
Ci
c2
t,
cl
ui !
t,
z =
al &1
aa &a
C)
(параметр (-произвольное число; ср. § 152). [Параметри-
[Параметрические уравнения C) представляют прямую пересечения
плоскостей (I) и B).]
Случай 2. Коэффициенты пропорциональны, т. е.
все определители
bi c,
Сг "а
at bt
равны нулю.
Система сводится
, Iff (ДПЛ 1.
При
Здесь
Ь\ Су
bz сг
Согласно
к
ОДНОМУ
^равнеиик
мер 1, Решить систему
2x-5y-\-8z
-
-5 8
4 -3
C)
=
имеем:
= 0, x+4y~3z
-17,
t, У
2 -5
1 4
= \At,
= 13.
z =
13
(плоскости сов-
- 0.
8 2
-3 1
- 14,
В этом примере произвольное значение можно дать одиому
(любому) неизвестному. Например, положив z = 39, найдем
( — 3; значит, х = -51, у = 42,
Пример 2. Решить систему
Ьх
Ьг
Здесь
сг
— 2
— 4
-I
2
x-2y-z = 0, 2х-4у+22 = 0.
: ~4
О.
§ 190. ТРИ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 237
Значит,
х = - 8(, у = - At, г = 0.
Произвольное значение можно дать одному из неизвест-
неизвестных х или у, но не неизвестному г. Последнее может рав-
равняться только нулю (прямая лежит в плоскости XOY).
Примерз. Система
7x~4y + z = 0, 2lx- 12y + 3z = О
сводится к одному уравнению. Произвольные значения
можно дать любой паре неизвестных.
§ 190. Три уравнения с тремя неизвестными
Рассмотрим систему
= hi,
= Hs,
= hs.
Введем
д
—
К
Аа
*з
обозначения
=
«г
«а
ь3
h
&з
> д
с2
=
A)
B)
C)
{определитель системы), D)
% К с,
йя (U Сч
at К
E)
Определитель Ах получается из Д заменой элементов
первого столбца свободными членами. Аналогично полу-
получаются Ду н Д2.
Если бы оказалось, что в определителе Д соответствен-
соответственные элементы каких-либо двух строк, скажем первой и
второй, пропорциональны, то уравнения A) и B) либо
были бы несовместны (§ 188, п. 2), либо сводились
к одному уравнению (§ 188, п. 3). В первом случае данная
система не имеет решений, во втором - вместо данной
системы получаем систему двух уравнений A) н C)
(она в свою очередь может свестись к одному уравнению).
Так как вес это уже рассмотрено в § 188, то можно огра-
ограничиться предположением, что в определителе Д нет ни
одной пары строк с пропорциональными элементами
238 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[среди трех плоскостей A), B), C) нет нн одной пары
параллельных].
В этом предположении возможны три случая.
Случаи 1. Определитель системы не равен нулю:
Д * 0.
Система имеет единственное решение:
Х- ^ V- &
х~ д ' У~ д
F)
(Три плоскости пересекаются в одной точке.)
С л у ч а Й 2. Определитель системы равен нулю; Д = 0;
при этом одни нз определителей Дя, Д„, Аг ие равен нулю,
тогда и два других определителя не равны нулю1):
Д. * О, Д, * О, Д, ^ 0.
В этом случае система не имеет решений.
[Равенство Д = 0 означает, что нормальные векторы
плоскостей (I), B), C) компланарны, значит, все три
плоскости параллельны одной прямой. В рассматриваемом
случае трн плоскости образуют призматическую поверх-
поверхность (черт. 202).]
Черт. 202.
Черт. 203.
С л у ч а й 3. Д = О, Ая = О, А¥ = О, Дг = О. В этом
случае одно нз трех уравнений (любое) является следст-
следствием двух других. Система сводится к двум уравнениям
с тремя неизвестными и имеет бесчисленное множество
решений (§ 188, случай 1; случаи 2 и 3 не могут предста-
представиться в силу сделанного выше предположения).
(Три плоскости, как и в предыдущем случае, парал-
параллельны одной прямой, но теперь они образуют пучок;
черт. 203.) ^
*) Если в двух строках определителя Д соответственные элементы
пропорциональны (этот случай мы исключили из рассмотрения), то
может оказаться, что нз трех определителей Дл, Д,, Де только один
или только два равны нулю.
§ 190. ТРИ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 239
Пример 1. Решить систему
Зх+ 4y-f2z = 5, 5x-6y-4z = -3, -4x+5y+3z = 1.
Здесь
3 4 2
Д= 5 -6 -4
-4 5 3
3 5 2
5-3-4 я -24, Да = 5 -6 -3 = 60.
-4 1 3
Система имеет единственное решение;
^l, x+z = 2.
= 0.
=5—2
(определители А„ и Дг нет иужды вычислять1». Система
не имеет решений. Это видно и непосредственно: сложив
почленно первые два уравнения, получим 2x+2z=6,
т. е. x + z = 3, что протнворечит третьему уравнению.
Пример 3. Решить систему
5
-3
1
3
5
-4
ше
==
4
-6
5
4
-6
5
л,
д ~
2
-4
3
5
— 3
1
D.
Пример
x-i-y
Здесь
I ЭТОМ
2. Решить
+zs= 5,
Д =
д«-
систему
1
1
1
5
1
2
у+
1
-1
0
1
-1
0
Z =
1
1
1
1
1
1
Здесь
x-i-y+z = 5, x-y+z = 1, x+z = 3.
= 0.
1
1
1
1
-1
0
г
1
i
1) Строки определителя Д попарно не пропорциоиальны; см. пре-
предыдущую сноску.
240 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
При ЭТОМ
5 1 1
1 -1 1
3 0 1
= 0.
Определители Д„ и А„ заведомо равны нулю 1).
Данная система сводится к системе двух уравнений
(любая пара из трех данных, третье является следствием)
и имеет бесчисленное множество решений. Произвольное
значение можно дать одному неизвестному х или одному
неизвестному z (но не у; см. § 188, п. 1).
Возьмем первое и третье уравнения и решим их отно-
относительно х и z. Имеем:
Отсюда
х+у = 5-г, х = 3-г.
x-3-z, у = 2.
Замечание. Если система трех уравнений с тремя неизвест-
неизвестными однородна (hi ■= Лг = Ля = 0). то второй случай невозможен. В пер-
первом случае единственное решение будет зс = О, у = О, z = О (плоскости
пересекаются в начале координат). В третьем случае, ваяв любые два
Уравнения системы, скажем (I) и B), находим все решения данной
системы по формулам C) § 189 (три плоскости образуют пучок, ось
которого проходит через начало координат).
П р и м е р 4. Решить систему
x-Zy = 0.
Здесь Л
1 I I
3-12
1 -3
= 0.
Одно из уравнений есть следствие двух других. Произвольное
значение можно дать одному из неизвестных (любому). Взяв первое и
третье уравнения, находим по формулам C) § 189:
I I
-3 О
( = 3/, у =
I I
О I
t = t, Z:
I I
1 -3
(= -41.
§ 190a. Система п уравнений с п неизвестными
Исчерпывающий перечень возможных: случаев слишком сложен.
Поэтому ограничимся следующими сведениями,
Пусть дама система п уравнений с п неизвестными
l
= ht
J) Строки определителя i попарно не пропорциональны; см. снос-
сноску на стр. 238.
I I90a. СИСТЕМА л УРАВНЕНИЙ С п НЕИЗВЕСТНЫМИ 241
1. Если определитель л-го порядка
(определитель системы)
-Л
■•Л
i ** сп ... /„
не равен нулю, то система имеет единственное решение
= -г-, у
B)
C)
где Дд, — определитель, полученный из Д заменой элементов щ, а3,.... ая
соответствующими свободными членами /itJ ht,.,., Л„; аналогично
получаются определители Д,,, Дг,..., Дн.
2. Если Д =0, а среди определителей Д2, Др,..., Ди есть не рав-
равные нулю, то система не имеет решений,
3. Пусть теперь Д =\ =&v^ ... =Ди =0, причем один из мино-
миноров (п — 1}-го порядка определителя Д (напри-vep, минор, получаемый
вычеркиванием второй строки и третьего столбца) не равен нулю.
Тогда система сводится к п ~ 1 уравнениям; одно из уравнений (вто-
(второе—соответственно номеру строки) есть следствие остальных. Одному
из неизвестных (неизвестному z— соответственно номеру столбца)
можно дать произвольное значение. Остальные п — 1 неизвестные
определяются единственным образом из системы л —I уравнений.
Замечание. В случае, когда все определители (л — 1)-го
порядка, являющиеся минорами определителя Д, равны нулю, система
может не иметь решений, а может сводиться к л—2 уравнениям
или меньшему их числу.
Пример 1. Решить систему
Зх + 7у - 2г 4- 4й = 3,
-Зх~2у + 6z- 4и= II,
5к + 5у - Зг + 2и = 6,
2х + бу - Ъг + Зи = О.
Определитель системы Д, (см. § 185, пример 3) равен-303, Поль-
Пользуясь приемами, объясненными в § 185, найдем:
9О9.
Согласно формулам C) имеем:
х=1, У=2, z=l,
Пример 2. Решить систему
X-
3.
Здесь
у + 2г — и.
х+ у+ z + и
2х + Зу - 5и ■■
5х + 2у + 52 - 6ц :
I -1
1 1
а з
5 2.
2 -1
1 1
О -5
5 -6
■1,
о'
=.0.
16 "М, Я. Выгодский
242 Аналитическая геометрия в пространстве
Между тем
i -I 2 -1 1-1 2-1
Л 1 1 1 Л К _1 К
144 /0.
I
4
0
0
-1
1
3
2
2
1
0
5
-1
1
-Б
-6
1
0
0
0
-I
5
3
2
2
-7
0
5
-1
5
"■£
-6
Поэтому система не имеет решений (если первое уравнение почлен-
почленно помножить на 2и полученное уравнение почленно сложить со вто-
вторым и третьим, то получим 5x + 2y+5z~6n**6, что противоречит чет-
четвертому уравнению).
Примерз. Решить систему
X <- У + 22 — «а 1,
х+ у + г+ и=4,
2х + Зу - 5« = О,
5х + 2у + 5г — 6Ц**6.
Здесь
Вычеркнув четвертую строку к четвертый столбец, получим минор
1 -I 2
1 I 1 «~3?!
2 3 0
Система сводится к трем уравнениям;
х - у +2z - ц=1,
х+ у + г
2* +3у
Четвертое уравнение есть их следствие (ср. пример 2), Неизвестно-
Неизвестному и можно дать любое значение. Из D) находим:
_ -24ц+21
нениям;
+ и=.4, j-
<- Би - 0. J
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
§ 191. Вводные замечания
Математическим анализом называют систему дисциплин,
объединенных следующими характерными чертами.
Предметом их изучения являются количественные соот-
соотношения действительного мира (в отличие от геометриче-
геометрических дисциплин, занимающихся пространственными его
свойствами). Этн соотношения выражаются с помощью
числовых величин, как н в арифметике. Но в арифметике
(и в алгебре) рассматриваются преимущественно постоян-
постоянные величины (они характеризуют состояния), в анализе
же - переменные величины (характеризующие процессы;
§ 195). В основу изучения зависимости между перемен-
переменными величинами кладутся понятия функции (§ 196) н
предела (® 203-206).
В этой кинге рассматриваются следующие разделы
анализа: дифференциальное исчисление, интегральное
исчисление, теория рядов и теория дифференциальных
уравнений. О предмете каждого раздела сказано в своем,
месте.
Зачатки методов математического анализа были у древ-
древнегреческих математиков (Архимед). Систематическое раз-
развитие этн методы получили в 17-м веке. На рубеже 17 и
18-го вв. Ньютон1) и Лейбниц2) в общем н целом завер-
завершили создание дифференциального н интегрального ис-
исчисления, а также положили основу учения о рядах и о
1)ИсаакНьютон A642-1727)-великий английский мате-
математик и физик. Открыл закон всемирного тяготения, сформулировал
основные законы механики и применил нх к изучению движения зем-
земных и небесных тел, исследовал экспериментально и теоретически за-
законы оптики.
*)Готфрид Вильгельм Л е йёниц A646-1716)-зна-
менитый немецкий философ и математик.
IS*
244 ОСНОВЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
дифференциальных уравнениях. В 18-м веке Эйлер разра-
разработал последние два раздела и заложил основу других дис-
дисциплин математического анализа.
К концу 18-го в. накопился огромный фактический
материал, но ои был недостаточно разработан в логиче-
логическом отношении. Этот недостаток был устранен усилиями
крупнейших ученых 19-го в., таких, как Коши во Франции,
Н. И. Лобачевский в России, Абель в Норвегии, Риман
в Германии и др.
§ 192. Рациональные числа
Первые представления о числе возникли из счета пред-
предметов. Результатом счета являются числа 1, 2, 3 и т. д.
Они теперь называются натуральными. Впоследствии
возникло понятие о дробях; источник его есть измерение
непрерывных величин (длины, веса и др.). Отрицательные
числа и вместе с ними число нуль вошли в математику1)
в связи с развитием алгебры.
Целые числа (т. е. натуральные числа 1, 2, 3 и т. д.,
отрицательные числа —1, —2, —3, и т. д. и нуль) и дроби
называются рациональными числами (в противоположность
иррациональным; § 193). Всякое рациональное число можно
записать в виде — (где р и q- целые числа).
§ 193, Действительные (вещественные) числа
Измерение осуществляется н а практике с помошью
какого-либо инструмента. Результат измерения выражается
некоторым рациональным числом (например, толшина
металлического волоска, измеренная микрометром, выра-
выразится в миллиметрах, скажем, числом 0,023). Всякий
инструмент обладает ограниченной точностью. Поэтому
для практической деятельности запас рациональных чисел
не только достаточен, но даже избыточен. Однако в мате-
математической теории, где измерения предполагаются абсо-
абсолютно точными, одними только рациональными числами
обойтись нельзя. Так, никаким рациональным числом
нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если
его сторону принять за единицу измерения; рациональным
t) В Китае около 2000 лет назад и в Индии около 1500 лет назад.
В Европе отрицательные числа завоевали право гражданства лишь
В 17-м в. См. Л1. Я- Выгодский, Справочник по элементарной
математике, изд. 8-е, 1955, Ш, 2 (стр. 127 -128).
S 193. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 245
числом нельзя точно выразить синус угла 60°, косинус
угла 22% тангенс угла 17°, отношение окружности к диа-
диаметру и' т. д. Вообще отношение несоизмеримых отрезков
нельзя точно выразить рациональным числом.
Чтобы точно выразить отношение несоизмеримых
отрезков, надо внести новые числа—иррациональные1).
Иррациональное число выражает длипу отрезка, несоиз-
несоизмеримого с единицей масштаба. Рациональные н ирра-
иррациональные числа, взятые в совокупности, называются
действительными нли вещественными (в противополож-
противоположность мнимым числам; см. замечание 2). С помощью
действительных чнсел можно точно выразить длину любого
отрезка.
Иррациональное число не может точно равняться рацио-
рациональному. Но для всякого иррационального числа можно
найти рациональные (в частности, десятичные) числа,
приближенно равные ему (с избытком и с недостатком),
при этом погрешность можно сделать сколь угодно
малой.
Пример. Для числа lg 3 (оно и ррацн опально) можно
найти приближенные значения 0,4771 (недостаточное) и
0,4772 (избыточное); они разнятся иа 0,0001, так что
погрешность каждого из них по абсолютной величине ие
превосходит 0,0001, Если требуется, чтобы погрешность
не превышала 0,00001, то можно найти значения 0,47712
(недостаточное) и 0,47713 (избыточное). О способах вычи-
вычисления логарифмов см. § 272, а также § 242.
3 а м е ч а и и е 1. Рациональные числа тоже приходится
выражать приближенно. Так, вместо дроби i- часто берут
ее недостаточные значения 0,33, 0,333 и т. д. (смотря по
требуемой степени точности) или избыточные значения
0,34, 0,334 и т. д.
Замечание 2. Мнимое число имеет вид Ы, где
Ъ—действительное число, a i — «мнимая единица», опре-
определяемая равенством i2 = — 1 (этому равенству не
*) Отношение соизмеримых отрезков можно выразить отношением
целых чисел, несоизмеримых —нельзя, в древнегреческой математике
первоначально рассматривались отношения лишь целых чисел. По-
Поэтому, когда были открыты несоизмеримые величины, их стали назы-
называть иррациональными, т. е. «не имеющими отношения» (латинский
термин «иррациональный» есть перевод греческого слова <алогос»).
Позднее (в 4 в. до н. э.) греческие математики (Евдокс и вслед за ним
Евклид) стали рассматривать и отношения несоизмеримых величин.
Когда для выражения этих отношений были введены новые числа, их
тоже стали называть иррациональными.
246 ОСНОВЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Удовлетворяет ии одно действительное число). Выражение
вида а~\-Ы называется комплексным числом. Комплекс-
Комплексные числа введены в алгебру в середине 16-го в. в связи
с решением кубического "уравнения1). С конца 17-го в.
они применяются и в анализе.
В этой книге всюду, где ие оговорено противного,
все числа предполагаются действительными.
§ 194. Числовая ось
На прямой Х'Х (черт. 204) выберем начало О, еди-
единицу масштаба ОА и положительное направление (ска-
(скажем, от X' к X). Тогда каждому
_ -t_j—., г -^. действительному числу х соответ*
х о а н х ствует определенная точка М,
абсцисса которой равна х.
черт. 204. ^ jj аиализе (ДЛя наглядности)
чй ела изображаются указанным
образом точками. Прямая Х'Х, на которой берутся эти
точки, называется числовой осью.
§ 195. Переменные н постоянные величины
Переменная величина-ото такая величина, которая
в условиях данного вопроса может принимать различные
значения. В противоположность переменной постоянная
всличина-зто такая, которая в условиях данного во-
вопроса сохраняет одно и то же значение. Одна и та же
величина в одном, вопросе может быть постоянной, в дру-
другом-переменной.
Пример 1. Температура Г кипения воды в боль-
большинстве физических вопросов есть величина постоянная.
Но там, где надо считаться с изменением атмосферного
давления, Т есть величина переменная.
Пример 2. В уравнении лараболы уг = 2рх коор-
координаты х, у-переменные величины. Параметр р есть
величина постоянная, если мы рассматриваем только одну
параболу. Если же рассматривается множество парабол
с общей осью ОХ и общей вершиной О, то параметр р
является переменной величиной.
Переменные величины обычно обозначаются послед-
последними буквами латинского алфавита {х, у, Z, и, v, w), a
постоянные-первыми1, а, Ь, с, ...
(Справочник по элементарной математике», ш, 2 (стр. 125 -126),
§ 196. ФУНКЦИЯ
247
§ 196. Функция
Определение 1. Величина у называется функцией
переменной, величины х, если каждому из тех значений,
которые может принимать х, соответствует одно или не-
несколько определенных значений у. При этом, переменная
величина х назьшается аргументом.
Говорят также: величина у зависит от величины х;
сообразно с этим аргумент называют независимой пере-
переменной, а функцию — зависимой.
П р н м е р 1. Пусть Т — температура кипения воды, а
р — атмосферное давлевие. Наблюдением установлено, что
каждому значению, которое может принимать р, соответ-
соответствует всегда одно и то же значение Т. Стало быть,
Г есть функция аргумента р.
Зависимость Т от в позволяет, наблюдая температуру
кипения воды, без барометра определить давление по
таблице (приводится в сокращенном виде):
Таблица 1
рмм
70
234
75
269
80
355
85
434
90
526
95
634
100
760
В свою очередь р есть функция аргумента Г; зависи-
зависимость р от Г позволяет, наблюдая давление, без термо-
термометра определить температуру кипения воды по той же
таблице 1. Но удобнее пользоваться таблицей такого типа:
Таблица 2
рмм
Т "С
300
75,8
350
79,6
400
33,0
450
85,9
500
83,7
550
91,2
600
93,5
650
95,7
700
97,7
Здесь аргумент р растет через равные промежутки
(как аргумент Г в таблице 1).
Замечание!. Таблицу 1 можно пополнить другими
значениями аргумента Г, скажем 65°, 73°, 104°, Но есть
значения, которых температура кипения не может прини-
принимать; так, она не может быть меньше «абсолютного нуля»
(-273°). Невозможному значению Г в -300°, конечно.
248 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
нс соответствует никакое значение р. Вот почему в опре-
определении 1 сказано: «каждому из значений, которые может
принимать х...» (а не «каждому значению*...»).
Пример 2, Тело брошено кверху; s - высота
его над землей, t - время, протекшее с момента бро-
бросания.
Величина s есть функция аргумента /, ибо в каждый
момент полета тело имеет определенную высоту. В свою
очередь t есть функция аргумента s, ибо каждой высоте,
иа которой тело может находиться, соответствуют два
определенных значения / (одно при поднятии, другое при
спуске).
Определение 2. Если каждому значению аргу-
аргумента отвечает одно значение функции, то функция назы-
называется однозначной; если два или больше, - то много-
многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.).
Во втором примере s - однозначная функция аргу-
аргумента t, а величина 1 — двузначная функция аргумента $.
Если особо не оговорено, что функции многозначна,
подразумевается, что она однезначна.
Пример 3. Сумма (s) углов многоугольника-функ-
многоугольника-функция числа (л) сторон. Аргумент п может принимать только
целые значения, не меньше чем 3. Зависимость s от п
выражается формулой
5 = Г (Я-2)
(за единицу измерения углов принят радиан). В свою оче-
очередь л-функция аргумента s; зависимость л от s выра-
выражается формулой
Аргумент s может принимать только значения, кратные %
(тг, 2тг, Зтг и т. д.).
П р и м е р 4. Сторона х квадрата —функция его пло-
шади S(x=is). Аргумент может принимать любые по-
положительные значения.
Замечание 2. Аргумент — всегда переменная вели-
величина. Функция, как правило, —тоже переменная величина.
Но не исключена возможность ее постоянства. Так, рас-
расстояние двнжушейся точки от неподвижной есть функция
времени пребывания в пути и, как правило, меняется. Но
при движении точки по окружности расстояние от центра
постоянно,
§ 197. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
249
В случае, когда функция является постоянной вели-
величиной, аргумент и функцию нельзя менять ролями (в на-
нашем примере продолжительность движения по окруж-
окружности не является функцией расстояния от центра).
§ 197. Способы задания функции
Функция считается данной (известной), если для каж-
каждого значения аргумента (из числа возможных) можно
узиать соответствующее значение функции. Наиболее упо-
употребительны три способа задания функции: а) табличный,
б) графический, в) аналитический.
а) Табличный способ общеизвестен (таблицы логариф-
логарифмов, квадратных корней и т. д.; см. также пример 1 § 196).
Он сразу дает числовое значение функции. В этом —его
преимущество перед другими способами.
Недостатки: I) таблица трудно обозрима в целом; 2) она
часто ис содержит всех нужных значений аргумента.
б) Графический способ
состоит в проведении ли-
линии (графика), у которой
абсциссы изображают зна-
значения аргумента, а ордина-
ординаты — соответствующие зна-
значения функции. Для удоб-
удобства изображения масштабы
на осях часто берутся раз-
21,5
ял
20,5
20.0
50 Ю0 t50 Ш 250 С
Черт. 205,
иыми.
Пример 1. На черт, t
205 графически изображена
зависимость модуля упру-
упругости Е кованого железа
(в т/см2) от температуры 1
железа. Масштабы абсцисс
(t) и ординат (£) обозначены числовыми пометками. Начало
координат н ось абсцисс не начерчены для экономии места.
По графику можно прочесть, например, что при *=170°
модуль упругости Е й= 20,75 т/см2.
Преимущества графического способа — легкость обо-
обозрения в целом и непрерывность изменения аргумента;
недостатки: ограниченная степень точности и утомитель-
утомительность прочитываиия значений функции с максимально воз-
возможной точностью.
в) Аналитический способ состоит в задании функции
одной или несколькими формулами.
250 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Функциональная зависимость между ра-
радиусом г окружности и се длиной s выражается формулой
s = 2тгГ. (I)
Приме р 3. Функциональная зависимость между обье-
мом V (л3) н давлением р (т/мъ) 1 кг воздуха при тем-
температуре 0° выражается формулой
pV « 8,000.
B)
Если зависимость между х и у выражена уравнением,
разрешенным относительно у, то величина у называется
явной функцией аргумента х, в противном случае — не-
неявной. В примере 2 величина s- явная функция аргу-
аргумента г, а г—неявная функция аргумента s. В примере 3
величина р — неявная функция
аргумента V и величина V - неяв-
неявная функция аргумента р. Если
уравнение B) написать в виде
3,000 ™
р » -р- j C)
то р станет явной функцией ар-
аргумента V.
П р н м е р 4. Функцию, задан-
черт.206. НуК) графически (черт, 206) ло-
ломаной линией ABC, можно пред-
представить двумя формулами. Именно, при х < 2 (т. е. для
участка В А) берем формулу
с
у
а при х >• 2 (т. е, для участка ВС) - формулу
При ж=2 обе формулы даюту=1 (течка В).
П р и м е р 5, Расстояние (по шоссе) между пунктами А
и В составляет 90 км. Автомашина прошла первую по-
половину пути от А до В со скоростью 0,0 км/мин, вто-
вторую-со скоростью 0,9 км/мши Пусть s(km) —расстоя-
—расстояние машины от пункта А. Время t (мин.) пребывания
§ I9S. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 251
в пути ость функция аргумента s. Ее можно задать двумя
формулами:
1 * ^6 прн 0 ^ s ^ 45,
45 *s s -й 90.
§ 198. Область определения функции
1. Совокупность всех значений, которые может прини-
принимать (в условиях вопроса) аргумент х функции f(x), на-
называется областью определения этой функции.
Замечание. Значению х, ие входящему в упомяну-
упомянутую совокупность, ие соответствует никакое значение
функции.
Пример 1. В условиях примера 5 § 197 область опре-
определения функции t = j(s) есть множество всех чисел от О
до 90 (включая границы 0 и 90):
О ^ s ^ 90.
Действительно, каждому расстоянию от 0 до 90 км соот-
соответствует определенное время t пребывания машины
в пути, а* расстояниям s ■< 0 н s >■ 90 не соответствует
никакое значение t.
11 р н м с р 2. Сумма членов арифметической прогрессии
s = 1+3 + 5+ ... +Bл-1)
есть функция числа членов «; она выражается формулой
s = л3.
Сама по себе эта формула имеет смысл для любого п.
Но в данном вопросе п может принимать лишь значения
1, 2, 3, 4,... Область определения есть множество всех
натуральных чисел (значениям п = ■%, п = -5, п==Уз"
и т. п. не соответствуют никакие значения функции).
2, Часто функция задается формулой без Указания
области определения; тогда подразумевается, что область
определения есть множество всех значений аргумента,
при которых формула имеет смысл.
ПримерЗ. Функция s дана формулой $ = п2 (без ука-
указания области определения). Подразумевается, что область
определения есть множество всех действительных чисел
(ср. пример 2). .
252 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 4. Функция у дана формулой
которая имеет смысл только при 2 == х =s 7. Область опре-
определения есть множество всех чисел от 2 до 7 (включая
Границы). График (черт. 207)
располагается лишь над от-
отрезком Л'В\ '
А'\
I
г з * $
Черт, 207.
7 х
Черт. 208.
Область
Черт. 209.
Пример 5. Функция у задана формулой у = —.
определения — множество всех чисел, кроме
нуля. При значении х= 0 у гра-
графика (черт. 208) нет точки.
Пример 6. Область определе-
определения функции у=Ух есть совокуп-
совокупность положительных чисел и нуля
(черт. 209).
3. Когда область определения
функции есть совокупность нату-
натуральных чисел, функция называется
целочисленной; о значениях целочисленной функции го-
говорят, что опн образуют последовательность илн являются
членами последовательности.
Пример 7. Функция /„ = 1-2-3...п-целочислеи-
иая. Значения 4=1, гг=1-2=2, t3 = 1-2-3 = 6,...
образуют последовательность.
Произведение 1-2-3...п обозначается п\ (читается
«эн факториал»), так что даииую функцию можно пред-
представить формулой
и = «1
g 199. ПРОМЕЖУТОК 253
П р д м е р 8. Функция а = -^, где л принимает значе-
значения 1, 2, 3, ..., -целочисленная. Значения и
ц2= -j, ц3= у> ■•• (члены геометрической прогрессии) об-
образуют последовательность.
Пример 9, Функция s = -а- + т + -g- + - + gr
(сумма п членов геометрической прогрессии) — цслочислеи-
, 1 S 7
иая. Зиачення s1= -2-, s2 = -^, s3 = -^, ... образуют по-
последовательность.
§ 199. Промежуток
Областью определения функций, рассматриваемых в ана-
анализе, часто является один или несколько «промежутков*.
Промежутком (или интервалом) (а, Ь) называется со-
совокупность чисел х, заключенных между числами а и Ь;
в записи (а, Ь) первая буква обычно
обозначает меньшее число, а вто-
вторая-большее, так что
а -= х -= Ь.
Числа д и Ь называются концами J, "™
I X
промежутка. Часто к совокупности
точек промежутка присоединяются рТг
концы а и Ъ илн один из концов.
Промежуток, к которому присоединены оба конца, назы-
называют замкнутым промежутком (или отрезком).
Промежутком (с, оо) называется совокупность все?: чи-
чисел, ббльшнх а; Промежутком (-оо^)- совокупность всех
чисел, меньших а; промежутком (-°°, <»)-совокупность
всех действительных чисел.
П р и м е р 1. В условиях примера 5 § 197 область опре-
определения функции t есть замкнутый промежуток (О, 90), т, е.
аргумент s может принимать все значения, удовлетво-
удовлетворяющие неравенству
О =s s =s 90.
П р и м е р 2. Область определения функции у = У 1-х2
есть замкнутый промежуток (—1, 1). График (полуокруж-
(полуокружность) располагается над этим промежутком (черт. 2X0).
254 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Примерз. Область определения функции
v
есть промежуток (-Y2, )[2) (незамкнутый). На концах
промежутка функция ие определена («обращается в беско-
бесконечность»). График (черт. 211) располагается над внутрен-
внутренними точками промежутка.
Над концами промежутка и вне
его у графика нет точек,-
-v7-/ 0 t
Черт. 211,
Черт. 212.
П р и м ер 4. Область определения функции
у = -уха-1
есть пара промежутков (—°°, — 1) н A, +°°) с присоеди-
присоединенными концами-1 и 1. График (инжняя половина ги-
гиперболы х2-уя ~ 1, черт. 212) располагается под этими
промежутками.
§ 200. Классификация функций
а) Функции подразделяются на однозначные и много-
многозначные (§ 196, определение 2).
б) Функции, представленные формулами, подразделя-
подразделяются па явные и неясные (§ 197).
в) Функции подразделяются на элементарные н неэле-
неэлементарные г).
Перечень так называемых основных элементарных
функций дан и § 201; каждая нз них представляет неко-
некоторое «действие» над аргументом (возведение в квадрат,
извлечение кубического корня, логарифмирование, отыска-
отыскание сниуса и т. д.). Путем повторного выполнения этих
действий, а также четырех действий арифметики (в огра-
1) Последнее подразделение носит скорее исторический, чем мате-
математический характер.
} 201. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 255
Ничейном числе) получаются новые функции; онн также
причисляются к элементарным.
Пример 1.Фуикцииу= Д**^ , y=lgsin ^l-
у = Iglg C + 2 Vsin ж)-элементарные.
Функции, которые нельзя выразить указанным спосо-
способом, считаются неэлементарными.
Пример 2, Функция s = 1 + 2+3+ ...^-эле-
...^-элементарная, ибо ее можно выразить формулой s а= ■ 2" -,
содержащей ограниченное число элементарных действий.
Пример 3. Функция s = 1 • 2-3 ... п — неэлемеи-
тарная, ибо ее нельзя выразить ограниченным числом эле-
элементарных действий (чем больше п; тем больше умножений
надо выполнить, а преобразовать выражение 1-2*3,..п
к элементарному виду невозможно).
Замечание. Мы сознательно воздерживаемся здесь от подраз-
подразделения функций на алгебраические и трансцендентные, так как точ-
точное определение алгебраической функции можно дать лишь на основе
более т<шких понятий (непрерывности или дифференцируемое™).
Сверх того, различать алгебраические и трансцендентные функции
в рамках данной книги излишне.
. ' I
Г § 201* Основные элементарные функции
1) Степенная функция у=х* (п- постоянное дей-
действительное число).
При п~0 степенная функция есть постоянная вели-
величина (у— 1) (ср. § 196, замечание 2).
2) Показательная функция у—ах, где а-положи-
тельное число г) (основание степени).
3) Логарифмическая функция y=logax, где а-поло-
а-положительное число, не равное единице а) (основание лога-
логарифмов).
4) Тригонометрические функции y=sinx, y=co$x,
tt
yg,yg,y ,y
5) Круговые (обратные тригонометрические) функции
у м arcsln х, у ~ arccos х, у = arctgx,
у = arcctg х, у = arcsc х, у = arccsc x.
Определения и графики элементарных функций см.
«Справочник по элементарной математике», раздел VI
(стр. 382-394).
^Некоторые авторы исключают случай а = \ (в этом случае
у есть постоянная величина).
*) При основании й=1 ни одно число, кроме единицы, не имеет
логарифма.
256 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 202. Обозначение функции
Знак / (х) (читается «эф от икса) есть сокращенная
запись словесного выражения «функция от х».
Если рассматриваются две или несколько функций от х,
которые могут быть различны между собой, то наряду
с записью / (х) используются другие, например, /г (х),
/2(x),F(x),9(x),O(x).
Запись
У=/(х) О)
выражает, что величина у равна какой-то функции от х,
т. е. что у есть функция аргумента х.
Знак / (х) может употребляться для обозначения как
неизвестной, так и известной функций.
Примеры. 1) Запись / (х) = lg x выражает, что функ-
функция / (х)-логарифмическая.
2) Запись ср (х) = х" выражает, что функция 9 (х) ~
степенная.
3) Запись F(x) = 9 (х)+/(х) езначает, что функция
F (х) есть сумма функций <р(х) и f(x). Если f(x) = lgx
иф(х) = х", то F (х) = lgx + х".
4) Запись }t(x) = fa(x) означает, что функции Д (\>
и /2 (х) равны (либо тождественно, либо лишь при неко-
некоторых значениях х).
5) Запись ц = 9 (и) означает, что величина и есть некс-
торая функция аргумента v.
Буква / (или F, 9 и т. д.), употребляемая в этих запи-
записях, называется характеристикой функции.
Если надо выразить, что у находится в той же самой
зависимости от х, в какой и находится от v, то при за-
пнеи этих зависимостей пользуются одной и той же харак-
характеристикой, т. е. пишут;
и = tp (v) и у = ср (х) B)
или
а = F (v) и у = F (х) C)
и т. д.
Так, если зависимость и от v выражается формулой
u = r.vz, то зависимость у от х в силу B) выразится фор-
формулой у = тгх2. Если же и = ^~ , то у - у~^ и т. д,
Прн меры. 6) Если / (х) = У1 + х-г то / (/) =
ТТ
S 203. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 257
7) ЕСЛИ F(«) - l-tg2a, TO F(|3) = l-tgap, F(y) =
= l-tg2y П т.-д.
8) Если f(x) = 4 (т. с. при всех значениях аргумента
функция имеет одни и то же значение; ср. § 196, замеча-
замечание 2),, то / (V) = 4, Цг) = 4 и т. д.
Записи /A), /(у'З), {(а) и т. д. пыражают, что бе-
берутся значения функции / (х) при х = 1, при х — у'З,
при х = а и т. д. или значения функции /(у) при у = If
у = ^ 3, у' = « п т. д. ^
Примеры. 9) Если / (х) ~ ^х2 \-i, то
/A) = f2, f(f3) - 2, /(«) = Уа*П.
10) Если 9(в) = _|-а(-, то 9@) =1, ?(i) = T>
§ 203. Предел последовательности
Числе/ Ь называется пределом последовательности
(§ 198, п. 3) у,, у2, . .., у„, . . . , если но мере возрастания
номера п член )■„ неограниченно приближается к Ь.
Точный смысл выражения «неограниченно прибли-
приближается» объяснен ниже (вслед за примером 1).
Записьх):
Iim у„ = Ь
или подробнее
Нт у„ = Ь.
П->оо
Значок п -*■ со подчеркивает, что номер п неограниченно
аозрастает («стремится к бесконечности»).
Пример 1. Рассмотрим последовательность
' Уг = 0,3, уг - 0,33, у3 := 0,333, ... A)
Член у„ неограниченно прнблин<ается к -^ (десятичные
дроби 0,3, 0,33,... дают все более точные выражения
дроби -j), Стало быть, -j есть предел последователь-
последовательности A)
Нт у„ = ~.
J) Обозначение Iim—сокращение латинского слова limes («ли-
лес»— предел) и равнозначного французского limite (лимит).
17 М. Я. Выгодский
258 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание. Разность уп~ -у последовательно равна
У^~ Т = ~ зо ' У*~~ И ~ ~ зоо ■ Уз- -з" ~ - "зооб > №)
т. е.
Неограниченность приближения у„ к -^ выражается в том, что аб-
абсолютная величина разности C), начиная с некоторого номера N,
остается меньше любого (заранее данного) положительного числа г.
Так, если задать е =0,01, то N = 2, т. е,, начиная со второго номера,
абсолютная величина уп—^ остается меньшей 0,01- Если задать
z = 0,005 (<= -jfifi) , то по-прежнему N--=2. Ысли е=
г =0,00001, то JV =5 II т. д.
Теперь будет понятна следующая точная формулировка опре-
определения, приведенного н начале параграфа.
Определение. Число Ь назынается пределом последователь-
последовательности уи ys, ... , уп если абсолютная пеличина разности уп—Ь,
начиная с некоторого номера N, остается меньшей любого заранее
данного положительного числа t:
\Уп~ Ь | -= £ при п> N
(номер N зависит от величины е).
Пример 2. В последовательности у„ = 2 + ~Г1-—
(т. е. У1 = 1, у2 = 2-}£ , у3 = 11-, У* = 2i , . ..) член уп по
мере возрастания номера л стремится к 2. Стало быть,
2 есть предел последовательности.
В самом деле, имеем | уп — 2 | = — ; а величина — , начиная с не-
некоторого номера, остается меньшей любого заранее данного положи-
положительного числа е(если s =2, то начиная с первого номера; если с =0,02,
то с 51-го и т. д.).
Пример 2 показывает, что члены последовательности
могут 0ыть то больше, то меньше предела. Они могут и
равняться пределу (ем. пример 3).
Пример 3. Последовательность
У\ = 0, уа = 1. Уз - 0. У4 - " > Уз = 0, Уб = -д-, • • ■,
заданная формулой у„ ~ -■ + -~"-, имеет предел & = 0.
Действительно, величина 1ув-0| =
начиная с не-
некоторого номера, остается меиыце любого заранее данного положи-
(-1)"
§ 204. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 259
тельного числа е (если е= -^-, то начиная с седьмого номера; если
с = 0,01, то с 201-го и т, д.).
Пример 4. Последовательность уа = (— 1)" ие имеет
предела: члены у± = - 1, у2 = 1, у3 = - 1, ул = 1 и т. д.
не стремятся ни к какому числу.
§ 204. Предел функции
Число Ь называется пределом функции / (х) при х ~> а
(читается: «при х, стремящемся к «»), если, по мере того
как х приближается к а-будь то справа или слева, -
значение / (х) Неограниченно приближается1) («стремит-
(«стремится») к Ь.
Запись:
lim / (х) = Ь.
Замечание 1. Предполагается, что функция / (х)
определена внутри некоторого промежутка, содержащего
точку х = а (во всех точках справа и слева от а); в са-
самой же точке х = а функция / (х) либо определена, либо
нет (последний случаи не менее важен, чем первый).
Пример 1. Рассмотрим функцию / (х) = -^—у (она
определена во всех точках, кроме х = ^Л . Возьмем х = 6.
Тогда /(х) --276-11" = 13- По меРе приближения х к 6
(справа или слева) числитель 4х--1 стремится к 143,
а знаменатель - к П. Вся дробь стремится к -jj- = 13.
Число 13 (равное значению функции при х = 6) есть вместе
с тем предел функции при х ~> 6:
lim l£=l = ,з.
П р и м е р 2. Рассмотрим ту же функцию / (х) = |
ио возьмем х ~ -^, Функция / (х) Здесь не определена
3) Математический смысл выражения «неограниченно приближа-
ется* разъясняется в § 205. Однако настоящее определение (с уче-
учетом замечания 1) вполне достаточно для понимания дальнейшего
материала.
17*
260 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
(формула дает неопределенное выражение -^). Но предел
функции при х-^-g существует. Он равен 2.
Действительно, выражение -Jr£y неопределенно толь-
только при х, равном у, но при приближении к 4- оно впол-
вполне определено и всегда равно 2х+1. А последнее выра-
выражение стремится к числу 2. Значит,
llm
= 2,
■ 1
Замечание 2. График функции у = -^~f есть
прямая UV (черт. 213), лишенная точки А (у, 2) . График
функции у = 2х+ 1 есть та же прямая UV, взятая целиком.
г
1
/\
1°
о/
А
i
' 1 X
Черт. 213.
Пример 3. Функция / (х) = cos ~ (оиа определена
во всех точках, кроме х ~ 0) не имеет предела при х -± 0.
Это видно на графике (черт. 214): когда абсцисса стремится
к нулю, ордината ни к чему не стремится (точка графика
совершает бесчисленные колебания с постоянным размахом).
§ 205. Определение предела функции
Неограниченность приближения переменной величины к посто-
постоянной сказывается (ср. § 203) в том, что нх разность с некоторого мо-
момента будет оставаться по абсолютному значению меньшей любого
заранее данного положительного" числа. В соответствии с этим опре-
определению § 204 можно даль следующую точную формулировку.
§ 207. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА 261
Определение. Число 5 называется пределом функции /(х) при
х->я, если абсолютное .жмчение разности f(x)— Ь остается меньшим
любого заранее данного положительного, числа е всякий раз, как абсо-
абсолютное значение разности х — а при х, не равном а, меньше некоторого
положительного числа ') 8 (зависящего от s).
Короче (но менее точно): число ft есть предел функции/(х) при
х-э-я, если величина ]/(х>— Ь\ сколь угодно мала при достаточной
малости величины \х — а\.
4х2 — I I
Пример. Число 2 есть предел функции Дх) = ■=—^-р при х—> ~
(ср. § 204, пример 2).
Действительно, потребуем, чтобы величина
4л-з -1
2х-1 ~
(при % А -хЛ была меньше е- Получим неравенство
Оно равносильно иерапенству
1
Х~2
4х2 — 1
Зн<1чит, абсолютное значение разности ■=——:— 2 оС1ается мень-
меньтельного числа е
— меньше, чем - -
2 л
шим любого заранее данного положительного числа е всякий раз,
как абсолютное значение разности х —— меньше, чем - -. В данном
2 л
примере S — -7J-.
§ 206. Предел постоянной величины
Определение. Пределом постоянной величины Ъ
называется сама величина Ь.
Это определение вводится для того, чтобы основные
теоремы о пределах (§ 213) были верны во всех случаях
без исключения. Оно согласуется с определениями § 203
и 205 (величина | Ь — Ь [ = 0 меньше любого положитель-
положительного числа е).
§ 207. Бесконечно малая величина
Бесконечно малой величиной называется величина, пре-
предел которой равен нулю.
Пример 1. Функция х2—4 есть бесконечно малая
величина при х -> 2 и при х -> - 2. При х -> 1 та же функ-
функция не является бесконечно малой.
8 -греческая буква «дельта> (малая).
262 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
П р и м е р 2. Функция 1 - cos а есть бесконечно малая
величина при а->0, ибо Hm(l-cosa) = 0.
Говорят также: «величина 1 - cos« бесконечно мала при
бесконечно малом а».
Пример 3. Величина ^~^ при х -> -^ не является
бесконечно малой, ибо ее предел равен 2 (§ 204, пример 2),
Пример 4, Целочисленная функция у = -^ (§ 198,
пример 7) есть бесконечно малая величина, ибо предел
последовательности-,-, -г^. тл^з» "'' равен нулю.
Замечание 1, Утверждевия «число Ъ есть предел
величины уь и «разность у - Ъ есть бесконечно малая
величина* равнозначны.
Пример 5, Имеем Hm ^~j = 2. Тот же факт вы-
ражается фразой «величина ^-гг~^ бесконечно мала».
Замечание 2, Из постоянных величин лишь нуль
является бесконечно малой величиной (ср, § 206),
% 208. Бесконечно большая величина
Всеконечно большой величиной называется переменная
величина, абсолютное значение которой неограниченно
возрастает.
Точный смысл выражения «неограниченно возрастает»
разъясняется в конце параграфа.
Пример 1. Целочисленная функция у — п\ есть бес-
бесконечно большая величина, нбо члены последовательности
1, 1 -2, 1 -2-3, .,. неограниченно возрастают.
Пример 2. Функция — есть бесконечно большая ве-
величина при бесконечно малом х, ибо по мере приближе-
приближения х к нулю абсолютное значение величины — неограни-
неограниченно возрастает.
Пример 3. Функция tg x есть бесконечно большая
величина при |
Никакая постоянная величина не является бесконечно
большой.
§ 210. ОГРАНИЧЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
263
Замечание. Выражение »абсолютное значение величины у
неограниченно возрастает) означает, что |у| с некоторого момента
остается большим любого заранее данного положительного числа-
В соответствии с этим понятие бесконечно большой величины точно
определяется следующим образом:
Определение I. Целочисленная функция у есть бесконечно
большая величина, если абсолютное значение у„, начиная с некоторого
номера N, остается большим любого заранее данного положительного
числа М (ср. § 203),
Определение 2. Функция /(х) есть бесконечно большая вели-
величина при >;-> а, если абсолютное значение / (х) остается большим лю-
любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как абсо-
абсолютное значение разности х—а меньше некоторого положительного
числа в (зависящего от М) (ср. § 205).
§ 209. Связь между бесконечно большими
и бесконечно малыми величинами
Если у-бесконечно большая величина, то --- беско-
бесконечно малая; если у-бесконечно малая величина, то —-
бесконечио большая.
Пример 1. Величина ^гг" бесконечно большая при
х->2. Обратная дробь ~- (= 1:-^г) пРи х->2 бес-
бесконечно мала.
П р и м е р 2. Велнчива tg х бесконечно мала при х -> 0,
величина т—- = ctg х бесконечно велика при х -> 0.
§ 210. Ограниченные величины
Величина называется ограниченной, если абсолют-
абсолютное ее значение не превосходит некоторого (постоян-
(постоянного) положительного числа М.
Пример 1. Функция sin х есть
ограниченная величина на всей
числовой оси, ибо | sin х | =s= 1,
Пример 2. Функция -^-^
ограничена в промежутке C, 5),
но не ограничена в промежутке
B, 5), ибо аргумент х, оставаясь
в промежутке B, 5), может стре-
стремиться к 2, а тогда функция
бесковечно велика (черт. 215),
Черт. 215.
Всякая постоянная величина является ограниченной.
Всякая бесконечно большая величина не ограничена.
264 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание. Неограниченная величина может не быть бес-
бесконечно большой. Так, целочисленная функция п +( — i)" n не явля-
является бесконечно большой величиной, ибо при нечетных и она всегда
равна нулю; но она и не ограничен,!, ибо при четных л, начиная
с некоторого номера, остае!ся больше любого положительного
числа М.
§ 211. Расширение понятия предела
Если переменная величина s бесконечно велика, то
(условно) говорят, что s «стремится к бесконечности» илн
«имеет бесконечный предел».
Запись:
5 -> со ИЛН Hm S = со. A)
Если бесконечно большая величина s с некоторого мо-
момента !) остается положительной, то говорят, что оиа
«стремится к плюс бесконечности» и пишут:
s -> I- оо или lim s -- -f со. B)
Если бесконечно большая величина с некоторого мо-
момента остается отрицательной, то говорят, что она «стре-
«стремится к минус бесконечности» и пишут:
s -> - со или lim s = - со. C)
Вместо записи A) для большей выразительности иногда
пишут:
s-> £ оо или lim s -- ± оо. D)
Пример 1. Функция ctgx при х->0 имеет беско-
бесконечный предел;
lim ctgx = °о.
Чтобы подчеркнуть, что функция ctg х прн х-> 0 может
принимать как положительные значения (при х =» 0), так
и отрицательные (при х «= 0), пишут:
lim ctg x - ± °о.
Пример 2. Запись Иго — = 0 означает, что когда
абсолютное значение х неог раииченно возрастает,
функция — стремится к нулю.
') Выражение «с некоторого момента» Уточняется таким же обра-
образом, как в § 208 (определения 1 и 2).
§ 212. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН 265
ПримерЗ. Можно написать;
lim 2* = 4- «
*->4-™
или
lim 2* = «.
Вторая запись оставляет открытым вопрос о апаке функции 2». Но
нельзя в левых частях вместо х—> + «> написать х->оо. Последняя
запись включала бы и тот случай, когда у-> — «э, а тогда функция 2*
стремится не к бесконечности, а к нулю, т, е,
lim 2* = 0.
Замечание. Бесконечно большая величина не имеет
предела в раисе установленном смысле (§§ 203-205), нбо
никак нельзя сказать, например, что «разность между / (х)
и °о остается меньшей заранее данного положительного
числа*. Таким образом, введение бесконечного предела
расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного
предсла'предел, определенный ранее, называется конечным.
§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин
Здесь предполагается,, что рассматриваемые величины
являются функциями одного и того же аргумента.
Теорема I. Сумма двух, трех и вообще любого неиз-
неизменного числа бесконечно малых величин есть величина
бесконечно малая-.
Замечание t.'Если число слагаемых ие остается
неизменным, а меняется вместе с изменением аргумента, то
теорема I может потерять снлу. Так, если имеемп слагаемых,
по отдельности равных —, то при п ~> со каждое слагае-
слагаемое бесконечно мало, но сумма —f-—|- ... 4-—=ai-.n
II II П П
равна 1.
Замечание 2. Разность двух бесконечно малых ве-
величин есть величина бесконечно малая (частный случай
теоремы I).
Теорема II. Произведение ограниченной величины
(§ 2Ю) на величину бесконечно малую есть бесконечно
малая величина.
В частности, произведение постоянной величины на вели-
величину бесконечно малую, а также произведение двух бес-
бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
266 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Теорема III. Частиое от делеиия бесконечно малой
величины на переменную величину, стремящуюся к пре-
пределу, не равному нулю, есть бесконечно малая величина.
Замечание 3. Если предел делителя равен нулю,
т. е, если и делимое и делитель бесконечно Ъгалы, то
частное может и не быть бесконечно малым. Так, вели-
величины хг и х3 бесконечно малы при х ~> 0. Частвое х3: х2 = х
тоже бесконечно мало, а частиое х2: х3 = — бесконечно
велико. Величины 6х3 + х3 и 2х2 бесконечно малы при
х -> 0, а предел частного Fх3 + х3): 2х3 равен 3.
§ 213. Основные теоремы о пределах
Здесь предполагается, что все данные величины (сла-
(слагаемые, сомножители, делимое и делитель) зависят от одно-
одного и того же аргумента х и обладают конечными пределами
(при х -> а или при х -> со).
Теорема I, Предел суммы двух, трех и вообше лю-
любого неизменного числа слагаемых равен сумме пределов
отдельных слагаемых (ср, § 212, замечание 1).
Короче: предел суммы равен сумме пределов
lim («!+«!+ . *. +Uj) = HmUi + Hm a,+ ... 4- Hm uk, A)
Здесь при всех знаках lim подразумевается значок х -> а
(или х ->«>).
Теорема 1а (частный случай теоремы I):
lim (uL~u2) = Hm их~ Urn u2, B)
Теорема II. Предел произведения двух, трех н
вообше любого неизменного числа сомножителей равен
произведению их пределов:
lim (UiU-j.,. i^) = Hm tvllm u3.,. Hm uk. C)
Теорема На, Постоянный множитель можно вынести
за знак предела:
lim си = с lim и, D)
Теорем'а III. Предел частного равен частному пре-
пределов, если предел делителя ие равен нулю:
§ 213. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 26?
Пример 1.
ит|зт= И™ (x+4):lim(x-2) = 9:3 = 3.
Если предел делителя равен иулвд, а предел делимого
не равен нулю, то частное имеет бесконечный предел.
Пример 2.
здесь
Ит(х-2)
Замечание 1. Если и делимое и делитель стремятся
к нулю, то частное может иметь как бесконечный, так и
конечный предел (§ 212, замечание 3). Оно может и ие
иметь предела.
Так, lim x! cos — ■= 0 и lim х1 = 0, но частное Xs cos — : х1 = cos —
не имеет'предела при х~>0 (g 204, пример 3).
Замечание. 2. В случае, когда lim и =0, но llm ы^О, теорема III
останется верной, если ее истолковать в более широком смысле. Имен-
Именно надо понимать запись Нш /(х) =■ тг (с-число, не равное нулю)
%~Ъа и
в том смысле, что lim/(x) « <»
г—у а
ПримерЗ. Найти llm
-2 '
Предел делителя равен нулю, а предел делимого равен 6. Понимая
эдпись -т- в указанном смысле, получаем:
Нт
х-2
(ср. пример 2).
Замечание 3. В случае, когда lim v = 0 и Um u = О, теорема Ш
неприменима, так как выражение -тг- неопределенно. Но неверного ре-
результата теорема Ш не может дать и в этом случае. Пусть, напри-
например, надо найти
4 1
Применив (формально) теорему Ш, получаем -тт щ Это неопределенное
выражение служит сигналом, закрывающим прямой путь и заставля-
заставляющим искать обходный (см. § 204, пример 2), .
«Сокращать» на нуль н писать 1 вместо тг > конечно, нельзя.
268 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 214. Число ft
Целочисленная функция ип = (l-ь-^-Т при п-><х> воз-
возрастает, но остается ограниченной1). А всякая возрастаю-
возрастающая, но ограниченная величина имеет предел (конечный).
Предел, к которому стремится A -f— Y*, при п->°° обо-
обозначается е:
Число е (оно иррационально) с точностью до шестой
значащей цифры равно
е - 2,71828.
Число е цо многих случаях выгодно брать за основание
логарифмов (ср, § 242).
Функция [}+—)" имеет пределом число е не только
при целочисленных значениях п, но и тогда, когда п стре-
стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую не-
непрерывно. Более того, аргумент п может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, лишь Оы п
неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы
') Может показаться, что неограниченное возрастание показа-
показателя степени должно повлечь неограниченное возрастание функции
1 1 \п
I Н—1 . Но рост показателя компенсируется тем, что осноинше
1 + — стремится к 1, Полезно проверить это на опыте; с помощью таб-
таблицы пятизначных логарифмов найдем, например, что
Доказать ограниченность f I -j— i можно с помощью формулы
Сииома. Первый ее член есть 1, второй—тоже 1, третий, равный
п(п -1I 1
—~ ■ — , при всяком п меньше чем — , четвертый всегда мчньше
—, пятый—меньше — и т, д. Поэтому всякое значение и„ меньше чем
т. е, меньше чем 3.
§ 216. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЕЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ 269
оттенить это обстоятельство, заменим букву п буквой х
н напишем:
lim (i+lY=e B)
(см, § 211) или короче:
lim (i+l)" = c. C)
§ 215. Предел ^-- при я -> О
Еслнх есть радианная мера угла, то
Нт -■:■ --■ — 1 и lim ■ ■■ - = 1 A)
Пояснение. Примем радиус ОЛ (черт. 216) за единицу длины.
Тогда х^АВ, $inx=BD. Имеем: х :sm x—
<= AB:BD=B'AB:B'B. Дуга В'АВ боль-
больше хорды В'В, Поэтому х : sin х > I. С Дру-
Другой стороны, дуга В'АВ меньше, чем
ВС Л-В'С = 2ВС, т. е. АН < ВС. Стало
бить, х : stnx < ВС : BD = si' x (из треуголь-
треугольника DBC),
Значит, отношение——-заключено ме- Черт. 216.
sin х
жду единицей и sex. Но при лг-> 0 величина sex сами стршится к
X
единице, а значит, —— и подавно,
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины
Определение. Две бесконечно малые величины на-
называются эквивалентными1), если предел нх отношения
равен единице.
Пример 1. Величины х и sin x, бесконечно малые при
х-*0, эквивалентны, ибо {§ 215) lim Щ~- = 1, Величины
ж—> О
2х и sin 2x эквивалентны, Величины ха н sina x тоже эк-
эквивалентны.
*) Латинский термин «эквивалентный* означает «равноценный).
270 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Бесконечно малые величины а3 + ЗаЕ и
а* - 4а3 (« -> 0) эквивалентны, ибо
.. <*2 4-3*3 .. 1+3* ,
am -х—-r-s — urn -.—.- к= 1.
Эквивалентность бесконечно малых величин обозна-
обозначается тем же знаком =*, что и приближенное равенство.
Таким образом,
sinx« х, sin 2х « 2х, sin2 х = ха, аг + 3кэ « аг-4а3.
Замечание. Эквивалентные величины и в самем деле прибли-
приближенно равны (равенство тем точнее, чем ближе к нулю энвивален тыс
величины).Так, при а=0,01 величина аг + 3:<з равна 0,000103, а«"—4а:|=
=0,000096. Разность составляет 0,000007, т. е. около 7% одной из экви-
эквивалентных величин. Чем они ближе к нулю, тем меньше этот процент.
Теорема. Предел частного {отношения) двух беско-
бесконечно малых величии не изменится, если одну из них
(или обе) заменить эквивалентной величиной.
Пример 3. Найти llm ^^.
я->0 х
Заменяя sin 2x эквивалентной величиной 2х, получаем.
Пример 4.
Нш
а —> О
,. sili 2x ,. 2x 2
hm -T—=- = lim s- = -е-
П р и м е р 5. Найти
Решение. Имеем:
1-cosx = 2sina~-,
а так как
то
/х \s
Hm !=££!«. = Hm !i|L = 0.
x it>0
g 217. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН 271
§ 217. Сравнение бесконечно малых величин
Определение !. Если отношение — двух беско-
бесконечно малых величин само бесконечно мало [т. е. если
lim~~0, а значит (§ 209), lim--=<*•], то р называется
величиной высшего порядка малости относительно а; при
этом а называется величиной низшего порядка малости
относительно р.
Определение 2. Если отношение — двух бесконеч-
бесконечно малых величин стремится к конечному пределу, не
равному нулю, то а и р называются бесконечно малыми
одного и того же порядка малости1).
Замечание. Эквивалентные бесконечно малые вели-
величины всегда имеют один и тот же порядок2).
Пример 1. При х-> 0 величинах5 имеет высший поря-
порядок малости относительно х3, нбо lim ~=0, Наоборот,
х9 имеет низший порядок относительно х5, ибо Um ^- °°-
Пример 2. Прн х-> 0 величины sin x и 2х имеют
один и тот же порядок малости, ибо (§ 215)
Нт««* * lim««* »
Пример 3. При х->0 величина l~cos x имеет выс-
высший порядок малости относительно sin x, ибо (§ 216,
пример 5)
в а
1) Вместо отношения — можно взять и обратное — , ибо оно тоже
л р
будет иметь конечный предел, не равный нулю (если lim— = m, то
Urn i = ±V
В* т/
s) Обратное предложение не верно. Так, величины 2х и Зх при
Bх 2 \
Цш — = ■--1, но не экви-
валеитну.
272 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
При ос->0 каждая из величин ос, а2, а3, а*, а3,... имеет
низший порядок относительно любой следующей за ней.
Поэтому в основу дальнейшей классификации бесконечно
малых величии кладется следующее определение.
Определение 3. Бесконечно малая величина Э
имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой
а, если 3 имеет тот же порядок малости, что а™, т. е.
(см. определение 2) если отношение -^ имеет конечный
предел, не равный нулю.
Пример 4. При х->0 бесконечно малая-^х3 имеет
третий порядок относительно х, ибо Нгп (\х3: х3) = ~^,
бесконечно малая -=-хг — второй порядок, бесконечно малая
fx-порядок^.
Пример 5. Бесконечно малая 1- cos а. {а. ->0) имеет
второй порядок относительно а, ибо (см. замечание к опре-
определению 2)
Пример б. Бесконечно малая-^ a3+1GGO а1 (а->0)
имеет третий порядок малости, т, е. тот же, что и слагае-
слагаемое -£-аэ, порядок которого ниже порядка другого слагае-
слагаемого. Так будет с каждой суммой двух нли нескольких
слагаемых.
Пр н мер 7. Бесконечно малая величинах3 sin3 х(л»О)
имеет 5-й порядок малости относительно х (число о есть
сумма порядков сомножителей; так будет с каждым произ-
произведением двух или нескольких сомножителей).
Теорема 1. Разность a-р двух эквивалентных бесконечно
>;алых аир имеет высший порядок как относительно «, так и относи-
относительно р.
Пример 8. При х,~> 0 имеем х r=* sin x. Поэтому к -sin x имеет
высший порядок относительно х(а также относительно sitix).
Теорема 2 (обратная). Если разность бесконечно малых
величин я и р имеет высший порядок относительно одной из них
(тогда она имеет высший порядок и относительно другой) то я«ар,
Пример 9. Бесконечно малые а£ + За' и а? (« —> 0) разнятся на
3<хй; это -величина высшего порядка относительно *?. Поэтому
218. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
§ 217а. Приращение переменной величины
273
О' п р е д е л е н и е, Если переменная z принимает сна-
сначала значение z~zlt а затем z=zZl то разность г^~гх назы-
называется приращением величины z. Приращение может быть
положительным, отрицательным и равным нулю. Слово
«приращение* обозначается Д '), запись Аг {читается
«дельта зет*) обозначает «приращение величины z», так что
Дг = Zi-ty.
Приращение постоянной величины равио нулю.
Пример. Начальное значение аргумента х —3, прира-
приращение аргумента Ах = -2. Найти соответствующее при-
приращение Ау функции у = х2.
Решение. Так как хх = 3 и x£~xL = -2, то хя=1.
Функция у=х2 принимает сначала значение у1:=32 = 9,
а затем у,= 1а=1.
Приращение функции есть Ау = у2-Ух = 1-9 = -8.
§ 218. Непрерывность функции в точке
Определение. Функция /(х) называется непрерыв-
непрерывной в точке х=а, если соблюдаются следующие два
условия:
1. При х-а функция /(х) имеет определенное значе-
значение Ь.
2. При х-*- а функция имеет предел, тоже равный Ь.
При нарушении хотя бы одного из этих условий функ-
ния называется разрывной в
точке х=а.
Пример 1. Функция
Дх)= -^Tg" непрерывна в точ-
точке х—5 (М на черт. 217), ибо
1) при х=5 она имеет опре-
определенное значение / E) = -^;
2) прн х-> 5 она имеет предел,
тоже равный -^. Функция раз-
разрывна в точке х=3; здесь не
выполнено первое условие (функция не имеет опреде-
определенного значения). Второе условие тоже не выполнено.
*) Д -греческая буква «дельта» (прописная).
18 М. Я. Выгодский
-
1
N,
—1-
J
у
,
■ ^
р
н
X
Черт. 217.
274 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Пример 2. Зададим функцию <р (х) следующим
образом:
Ф (х) = -^з" при х и 3,
Ф (х) = 2 при х = 3.
Эта функция (ее график получается из графика при-
примера 1 присоединением точки N] см. черт. 217) тоже раз-
разрывна в точке х=3. Первое усло-
условие теперь выполнено, но вто-
второе-нет: при х->3 функция ф (х)
имеет бесконечный предел.
Пример 3. Количество Q
тепла, сообщаемого телу, есть
[ функция температуры Г тела, На
, черт. 218 показан график этой
1д функции. Линия RB соответствует
-^ у твердому состоянию G\ — началь-
'* * ная температура, Т2 - температура
черт. 218. плавления), линия СЕ~жндкому
(Т3— температура газообразева-
ния), линия FS - газообразному. Функция Q разрывна прн
Т= Т2 и Т— Т3; в этих точках она не имеет определенного
значения. Так, температуре плавления Т2 соответствуют
всевозможные значения количества тепла от Q= AB
до Q=AC.
§ 219. Свойства функций, непрерывных в точке
Свойство 1. Сумма, разность н произведение двух
функций, непрерывных в точке х=а, непрерывны в этой
точке. Частное -^ двух функций, непрерывных в точке
х=а, непрерывно, если делитель v не обращается в нуль
прн х=а.
Свойство 21). Если функция /(х) непрерывна при
некотором значении х, то приращение функции бесконечно
мало при бесконечно малом приращении аргумента.
Пример. Функция / (х) = —^ непрерывна в точке
х=5, причем /E) = 1 (§ 218, пример 1). При х = 5 + Дх
1) Свойство 2 можно принять за определение непрерывности функ-
функции в точке (равносильное определению § 218).
g 219a. ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ; СКАЧОК ФУНКЦИИ 275
функция получает значение
Приращение функции равно
Оно бесконечно мало при бесконечно малом Ах.
§ 219а. Односторонний предел; скачок функции
Если .значение функции f(x) стремится к числу bt по мере стрем-
стремления х к а со стороны меньших значений, то число Ь, называют
левосторонним пределом функции/ (х) в точке х ~а и пишут:
Ilm
х—>в—О
A)
Если f(x) стремится к Ъ2 по мере стремления х к а со стороны
бблыиих значений, то Ь2 называют правосторонним пределом функции
/ (х) при х-> а и пишут:
Urn /(х) - bs.
ж-> о+о B)
Величина J 6г —М называется скачком или разрывом.
Левосторонний и правосторонний пределы объединяются наимено-
наименованием "односторонний предел».
Пример 1, Функция Q, изображенная на черт. 218, имеет г точ-
точке 'Jj. левосторонний предел АЙиправосторопнийпредел АС. Скачок
изображается отрезком ВС = АС — ЛВ.
Пример 1, Функция f(x) = -■■-"■■-—- (черт. 219) в точке »"= О
имеет правосторонний предел 62=0 и левосторонний предел 6j, = h
Скачок равен единице.
■ У
So
Черт. 219.
Черт. 220.
Два односторонних предела функции f(x) в Точке х=а могут
быть равными. Если при этом функция определена в самой точке х=а,
то она непрерывна в этой точке.
яг—4
Пр им е р 3. У функции/(х) = -—-у оба односторонних; пре-
предела в точке х = 2 равны 4. Но в самой точке х =>2 функция не опре-
определена и потому разрывна. График (черт. 220) есть прямая у=х-\-2,
18*
276 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
лишенная точки МB; 4). Если же добавочно условиться, что
/B) &4, то функция/(х) станет непрерывной. График пополнится
точкой М.
Если с помощью добавочного условия, определяющего функцию
/ (х) в точке а, можно разрывную функцию превратитьв непрерывную,
то разрыв называется устраним ы-м. В примере 3 разрыв устраним,
в примерах 1 —2 неустраним.
§ 220. Непрерывность функции
на замкнутом промежутке
Определение, Функция называется непрерывной
на замкнутом промежутке, если она непрерывна в каж-
каждой точке этого промежутка,
включая оба конца.
Аналогично определяется
непрерывность функции в не-
незамкнутых промежутках.
Пример. Рассмотрим фу ш<-
Ь 221>-
2 х непрерывна на замкнутом про-
промежутке A 2~, 2), но разрывна
на замкнутом промежутке
(О, 1), ибо оба конца х=О и х =
= 1 — точки разрыва. Она раз-
разрывна и на замкнутом проме-
Черт. 221. ЛО'Тке A, 2), И0О ОДИН КОПСЦ
х-1-точка разрыва. Она раз-
рывиа также на замкнутом промежутке (-^, 2\, ибо внутри
промежутка лежит точка разрыва (х= I).
§ 221. Свойства функций, непрерывных
на замкнутом промежутке
Пусть функция / (х) непрерывна на замкнутом проме-
промежутке (а, Ь). Тогда она обладает следующими свойствами.
1. Среди значений, которые функция принимает в точ-
точках данного промежутка, имеется самое большое и самое
малое.
Замечание !. Среди значений, которые принимает
функция /(х) в точках незамкнутого промежутка (а, Ь),
может не быть самого большого или самого малого.
g 221. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 277
Так, в незамкнутом промежутке (I, 3) функция 2х
не обладает пи наименьшим значением, ни наибольшим
(она жила бы принять эти значения на концах х=1
и х=3, но из незамкнутого промежутка концы исклю-
исключены).
2, Если т есть значение функции / (х) при х=я и
л-значение / (х) при х=&, то функция / (х) принимает
внутри промежутка (а, Ь) по крайней мере по одному
разу всякое значение р, заключенное между т и п.
Геометрически; всякая прямая, проведенная
параллельно осп абсцисс выше точки А, но ниже точки В
а
Y
Г\
0
,3
ь
р
11
X
Черт. 222,
(черт. 222), встретит по крайней мерс Один раз график АВ
(на черт. 222-три раза).
Замечание 2. Разрывная функция может не обла-
обладать свойством 2 (см. черт. 218 и 219).
2а. В частности, если на одном конце промежутка функ-
функция имеет положительное, а на другом -отрицательное
значение, то внутри промежутка она по крайней мере один
раз обращается в нуль.
Геометрически: если одна из точек А, В
(черт. 223) лежит выше оси ОХ, а другая ниже, то
Ь х
Черт. 223.
график АВ по крайней мере один раз встречает ОХ (на
черт, 223-два раза).
3. Если переменные х и х' изменяются так, что раз-
разность х - х' бесконечно мала, то разность / (х) - / (х')
тоже бесконечно мала.
278 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Замечание 3. Если х' есть постоянная величина с,
то разность /(х)~/(с) является бесконечно малой
по свойству 2 § 219, В силу свойства 3 настоящего пара-
параграфа прн бесконечной малости х-х' разность f(x)-f(x')
бесконечно мала не только тогда, когда х' постоянна,
но и тогда, когда х' переменна.
Замечание 4. При иепрерывиости функции в незам-
незамкнутом промежутке свойство 3 может не иметь места.
Так, функция — непрерывна в промежутке (О, 1), лишен-
лишенном конца х=О. Пусть х и х' изменяются так, что
х' = 2х и х->0. Тогда разность х-х' бесконечно мала,
но разность fix)-Цх1) = ~--^r = ^г бесконечно велика.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 222. Вводные замечания
Источником дифференциального исчисления были два
вопроса:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
(§225),
2) о разыскании скорости при произвольном законе
движения (§ 223),
Оба они привели к одной и той же вычислительной
задаче, которая и легла в основу дифференциального ис-
исчисления. Эта задача состоит в том, чтобы по даи-
иой функции /(/) отыскать другую функцию /'@, полу-
получившую позднее название производной и представляю-
представляющую скорость изменения функции /{/) относительно
изменения аргумента (точное определение производной
см. § 224).
В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном
н в сходной форме Лейбницем в 70-х и 80-х годах 17-го в.
Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие
ученые фактически дали правила для разыскания производ-
производных для многих функций.
Ныотои и Лейбниц завершили это развитие; они ввели
общие понятия производнойх) и дифференциала 2), а также
обозначения, очень облегчавшие вычисления; онн развили
аппарат дифференциального исчисления до максимальных
пределов и применили дифференциальное исчисление
к решению многих задач геометрии и механики. Недоста-
Недостаток логической строгости был восполнен только в 19-м в.
(см. § 191).
1) По Ньютону «флюксия», Термин шроиэводная» введен(Арбога-
стом) в конце 18-го в.
*) термин <дифференцнал> (от лат. differentia) введен Лейбницем.
280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 223. Скорость1)
Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на
каком километре пути он находился в момент t~tlt
а затем в момент t = /2. Пусть это будут расстояния
s^s± и s=s2. Приращение (§ 217а) пути As = sz-s1 мы
делим на приращение времени At ■=- ts~tk. Частное
— A)
At У '
даст среднюю скорость поезда за промежуток (fi, f2). При
неравномерном движении средняя скорость недостаточно
характеризует быстроту движения в момент t — tv Но чем
меньше At, тем точнее характеризуется эта быстрота.
Поэтому скоростью в момент t = tt называют предел,
к которому стремится отношение -~ при Д/->0:
v = lim -д/ ■ B)
Д(-»-о
Пример. Свободное падение тела. Имеем:
s^-~gt\ . , C)
Так как U = h+At, то
Значит,
г» = Jim £_ j f D)
Вычислив предел, найдем:
v = &г. E)
Обозначение 1г мы пвели, чтобы оттенить постоян-
постоянство t при вычислении предела. Так как U есть произволь-
произвольное значение времени, значок 1 лучше отбросить; тогда
из формулы
w-gf Ea)
видно, что скорость v, как н путь s, есть функция вре-
времени. Вид функции v всецело зависит от вида функции s,
так что функция s как бы «производит* функцию v. Отсюда
название «производная функция».
>) Этот параграф служит введением к § 224.
§ 224. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ 281
§ 224. Определение производной функции х)
Пусть у~ /(х) есть непрерывная функция ар1Умснта х,
определенная в промежутке (а, Ь), и пусть х-какая-либо
точка этого промежутка. Дадим аргументу х приращение
Дх (положительное или отрицательное). Функция y = f(x)
получит приращение Лу, равное
Ду = /(х-|-Дх)-/(*)■ (I)
'При бесконечно малом Дх приращение Ду тоже бесконечно
.мало (§ 219).
Предел, к которому стремится отношение -.у при
.. /(х + Лх)-/(У)
Iini ^ , B)
Д*—>о
сам является функцией от аргумента х (ср. § 223). Эта
функция называется производной от функции /(х) и обо-
обозначается /' (х) или >■'.
Короче: производной функцией называется предел 2),
к которому стремится отношение бесконечно малого
приращения функции к соответствующему бесконечно
малому приращению аргумента.
Замечание. В процессе разыскании предела B)
величина х рассматривается как постоянная.
Пример 1. Найти значение производной от функции
у~х2 при х=7.
Решение. При х ~ 7 имеем у = 7г =■ 49. Дадим
аргументу х приращение Дх. Аргумент станет рапным
7ч-Дх, а функция получит значение G + Дх)г.
Приращение Ду функции равно
Ду = G+Дх)--73 = 14Дх+Дх*.
Отношение этого приращения к приращению Дх есть
Дх Ах
Находим предел, к которому стремится-г^ при Лх-э-О;
lim ^= Iim A4+Лх) - 14.
Рекомендуется сначала прочесть § 223,
О случаях, когда этот предел не существует, см, § 231-
282 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Искомое значение производной равно 14.
Пример 2. Найти производную от функции у = х2
(при произвольном значении х). Дае.и пртумепту прираще-
приращение Дх. Аргумент получает значение \* ! Дх. Приращение
Ау функции есть (х + ДхJ-х2 = 2хДх ] Дх". Отношение
—■ равно iIi_^i-~-xS - 2х+Дх. Производная функция
есть предел этого отношения при Ах---О:
у' = Iim ~ ^ Iim Bx-i-A.v) = 2х.
Ах -> (I йХ Да- —у 11
Искомая производная у' ~ 2х. При х - 7 получаем
у'=14 (ср. пример 1).
Пример 3. Найти производную от функции у —sin x
(аргумент выражается в радианпой мерс).
Р е ш е и и е. Даем аргументу приращение Дх. Прира-
Приращение функции есть
/ Д v\ Д v
Ду = sin (х-ьДх)- sin х = 2 cos {х+~) -sin -^ .
Отношение ~- равно
= cos (* +т)
Предел этого отношения при Дх >О (§§ 213, 215) равен
2 sin—
Iim т^ = Hm cos (х-г-.г) lini 'л^ ~ = cos x-
Д^->0 ЛХ Д,;^0 V 1 ' Д^->0 ЛХ
Стало быть, у'= cos x.
§ 225. Касательная
Касательной к линии L в точке М (черт. 224) назы-
называется прямая Т'МТ, с которой стремится совпасть секу-
секущая ') ММ', когда точка М', оставаясь на L, стремится
к М-будь то справа нли слева.
Замечание. Из черт. 225 видно, что касательная
может, кроме точки касания, иметь с кривой другие общие
точки.
!) Выражение «стремится совпасть» означает, что острый угол
между неподвижной прямой Т'МТ и вращающейся прямой МЛ1' стре-
стремится К НУЛЮ,
225. КАСАТЕЛЬНАЯ
283
Если линия L есть график функции у = / (х), то угло-
угловой коэффициент касательной равен значению производной
функции в соответствующей точке1).
V
Черт. 224.
Черт. 225.
Это видно нз черт. 226. Угловой коэффициент к секу-
секущей равен к = ■—- = —^-. Если М' стремится к М, то Л
имеет пределом угловой коэффициент т касательной.
Значит, т = lim -^-, т. е. (§ 224) m = /' (х).
Пример 1. Найти угловой коэффициент и Уравнение
касательной к параболе у = х2 в точке М A; 1) (черт. 227).
Черт. 227.
Черт. 228,
Р е in е н ие. Имеем у' = 2х(§ 224, пример 2). При х = 1
лолучае-м у ~ 2. Искомый угловой коэффициент касатель-
касательной т = 2. Уравнение касательной будет у—1 = т(х— 1),
т. е. у = 2х- 1.
Пример 2. Найти уравнение касательной к линии
у = sin х (синусоида, черт. 228) в точке О (О, 0).
») Если график не имеет касательной, функция f(x) ие имеет
производной н наоборот.
284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Решение. Имеем у = cos х (§ 224, пример 3). При
х = 0 получаем у' --- 1. Уравнение касательной есть у = х.
Отмстим, что синусоида располагается по обе стороны
от касательной Т'О'Г.
Пример 3. Угловой коэффициент прямой линии
у=ах+Ь (он равен а) есть производная от функции
у = ах+b (касательная к прямой линии есть она сама).
§ 226. Производные некоторых простейших функций
1. Производная постоянной величины равна пулю
(а)' = 0. A)
Физический смысл (§ 223): скорость неподвижной точки
равна пулю.
Геометрический смысл; угловой коэффициент прямой
у = a(UV на черт. 229) равен нулю (ср. § 225j пример 3).
3 а м е ч а и и е. При некоторых значениях х функция
может иметь нулсбую производную и не будучи постоян-
постоянной. Так, производная (sin х)' = cos х (§ 224, пример 3)
равна нулю при х --= -£, х = — ■—- и Т. д.
Но если производная /' (к) равна ну-
нулю тождественно, то функция / (х) обя-
обязательно постоянна (§ 265, теорема 1).
2. Производная независимой пере-
ленной равна единице:
(х)' =1. B)
Геометрический с.мисл: угловой коэффициент прямой
у = х равен единице.
Фнаический смысл: если путь, пройденный телом, чи-
численно равен времени пребывания в движении, то ско-
pocib численно равна единице.
3. Производная линейной функции у = ах-\-Ь есть
постоянная величина а:
(ах+ЬУ = а. C)
4. Производная степенной функции равна произведению
показателя степени на степенную функцию, у которой
показатель на единицу меньше:
—-.. (*")' = лх"-1. D)
и
О
Y
X
§ 228. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 285
п
1)
2)
3)
4)
р и м с
(X2)' ^
(X3)' -
(М-
рьг.
2.Y.
Зх*.
/ 1
- Vx2
1
2
§ 227. Свойства производной
I, Постоянный множитель можно выносить за знак
ПрОиЗВОДНОЙ;
П р и м е р ы.
1) (Зх2)' - 3(х3)' = 3 ■ 2х = бХ.
2. Производная от алгебраической суммы нескольких
функций (взятых в неизменном числе) равна алгебраической
сум.ме их производных
[А (х) + П (х) - U (х)]' - Я (х) + й (х) - /з (х).
Пример ьг.
4) @,Зха-2х + 0,8)' = (О,3х2)' - Bх)' 4- @,8)' » 0,бх-2
(производная последнего слагаемого равна нулю; § 226,
§ 228. Дифференциал
Определение. Пусть приращение (§ 217а) функции
у = f (х) разбито на сумму двух членов;
Ау = АЛх+а, A)
где А не зависит от Дх (т. е. постоянно прн данном, зна-
значении аргумента х) и а имеет высший порядок (§ 217)
относительно ;1х(при Дх-*0).
286 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тогда первый («главный») член, пропорциональный Дх,
называется дифференциалом функции / (х) и оОсзначается
dy или d/(x) (читается: «дэ игрек», «дэ эф от икс»).
Пример 1. Возьмем функцию у ~ х3. Тогда1)
&у = ЗхаДх + (Зх Дх^ + Дх1). B)
Здесь коэффициент А = Зх2 не зависит от Дх, так что
первый член пропорционален Дх, другой же член
« = ЗхДха + Дх3 имеет высший (второй) порядок относи-
относительно Дх. Стало быть, член ЗхаДх есть дифференциал
функции х3:
dy - Зх2 Дх или d (х3) = Зх2 Дх. C)
Теорема 1. Коэффициент А равен производной /' (х);
иными словами, дифференциал функции равен произведе-
произведению производной на приращение аргумента:
dy ~ у' Дх D)
илн
di(x) = /'(х) Дх. Dа)
П р н м е р 2. В примере 1 мы нашли, что (/ (Xs) = ЗхаДх-
Коэффициент Зх2 есть производная функции х3.
Пример 3. Если у = v> т0 У = ~i (§ 226, п- 4)-
Поэтому dy = --^г*
1 1 -Дх
Проверим это, Имеем Ду =т———г-— = —--.-. -т. Если разбить
лторой будет —y?—1Г~\ • Второй член имеет высший (второй) по-
порядок относительно Дх 2).
Теорема 2. Если производная lie раина нулю, то
дифференциал функции и ее приращение эквивалентны
(при Дх -*- 0); если производная рапна нулю (тогда и диф-
дифференциал равен нулю), то не эквивалевтны.
Пример 4. Если у ---• хг, то Ау = 2хДх-|-Дхг, а
dy = 2хДх. При х = 3 величины Ау = 6Дх + Дх2 и
dy = 6Дх эквивалентны, при х = 0 величины Ау = Дх3 и
dy = 0 не эквивалентны.
1) Запись Дх2 обозначает то же, что (Дх)э (скобки опускаются)
Если же нужно обозначить приращение функции хг, то пишут Д (хг).
^Предполагается, что Xf^O (при х=0 сама функция — не,
определена).
§230. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 287
Эквивалентность дифференциала и приращения часто
используется в приближенных вычислениях (как правило,
вычислить дифференциал легче, чем производную).
Пример 5. Имеем металлический куб с ребром
х = 10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на
Ах = 0,01 см. Насколько увеличился объем V куба?
Решение. Имеем V - x'J, так что dV ~ Зх2 Ах =
= 3 -Ю2 -0,01 3 (см3). Увеличение объема &V эквива-
эквивалентно дифференциалу dV, так что AV ^ 3 см3. Полное
вычисление дало бы AV =- 10,01а-103 = 3,003001. Но
в этом результате все цифры, кроме первой, ненадежны;
значит, все равно надо округлить до 3 см2.
Другие примеры применения дифференциала в прибли-
приближенных вычислениях см. § 243 (пример 4) н § 248.
§ 229, Механическое истолкование дифференциала
Пусть s = /(() —расстояние прямолинейно движущейся
точки1 от начального положения (t — время пребывания в
пути). Приращение As —это путь, пройденный точкой за
промежуток времени At, а дифференциал ds .- f'(t) At (§ 228,
теорема 1)-это путь, который точка прошла бы за то же
время At, если бы она сохранила скорость /' (t), достигну-
достигнутую к моменту /. При бесконечно малом At воображаемый
путь ds отличается от истинного As на бесконечно малую
высшего порядка относительно At.
Если скорость н момент / не равна
нулю, то ds дает приближенную ве-
величину малого смещения точки
(ср. § 228, теорема 2).
§ 230. Геометрическое
истолкование дифференциала
Пусть линия L (черт. 230) есть
график функции у = / (х). Тогда
Ах = MQ, Ay = QM'.
Касательная MN разбивает отрезок Ау на две части,
QN и NM'. Первая пропорциональна Ах и равна
QN = MQ-tg^QMN ~ Дх/'(х) (см. § 225), Т. е. QN есть
дифференциал dy.
Вторая NM' даст разность Ay— dy; она имеет высший
порядок относительно Ах. В данном случае, когда /' (х) * О
(касательная не параллельна ОХ), отрезки QM' и QJV
288
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
эквивалентны (§ 228, теорема 2); иными словами, NM' имеет
высший порядок также относительно Ay = QMr. Это видно
на чертске (с приближением Л1' к М отрезок Л'М' соста-
составляет все меньший процент отрезка QM'),
Итак, дифференциал функции графически изображается
приращением ординаты касательной.
§ 231. Дифференцируемые функции
Непрерывная функция, имеющая (в данной точке) диф-
дифференциал, называется дифференцируемой (в рассматри-
рассматриваемой точке).
Разрывная функция не может иметь в точке разрыва
ни производной, пи дифференциала (график не имеет каса-
касательной; ем. черт. 214 па стр. 2G0 и черг. 219 на пр. 275).
Функция, непрерывная в даипол точке, можег не иметь
дифференциала в эти точке, Ниже рассмотрены чри харак-
характерных случая.
Случай 1. Функция \.<=f(x) имеет в рассматриваемой точке
Оескопечиую проимшдпую, т. е.
IIm -~— = -j. со
пли
lim -~ = — со
(т. е. Ду имеет низший порядок относи-
относительно Дх). Г'рафик имеег вертикальную
касательную.
Запись (условная):
/' (х) - со.
з_
Пример 1. Функция/(х) = Ух (черт, 231) не дифференцируема
. точке х =0. Величина
Ду
Черт. 231.
з
Дх
имеет при Дх->0 бесконечный предел 4 со.
Касательная в точке х —О совпадает с осью OY.
Замечание 1. функция, имеющая (в данной точке) конечную
производную, дифференцируема. Обратно, дифференцируемая функ-
функция имеет конечную производную,
Av
Случай 2. Отношение '— не имеет предела при Дх—»-О
(т. е. функции у !=/ (х) не имеет производной), но имеет правосторон-
правосторонний предел (при Дх—^-+0, § 219а) и левосторонний (при Дх-> —0).
Первый называется правосторонней производной и обозначается
' (*-t 0), второй-левосторонней и обозначается/' (х —0).
g 231. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
289
В рассматриваелюй точке (М на черт. 232) у графика нет касатель-
ной, но есть npaeocmopoHHiri касательная Л-iTj и левосторонняя каса-
касательная M'l'i, т, е. секущая ММ' стремичся к совпадению с MTt,
когда ЛГ стремится К М справа, и с МТг, когда М' стремится к Л(
слева.
■ Y МП;))
Черт. 232.
Черт. 233.
Пример 2. функция /(х) =1-| 1— х\ (черт. 233) не дифферен-
дифференцируемая в точке х = ]. Линия Д'/И/< не имеет касательной в точке
Л1A; 1). Правосторонняя производная/'A+0)= — 1, левосторонняя
производная/' A - 0) = 1.
Случай 3. У функции у~/(х) нет правосторонней или лево-
левосторонней производной (или нет ни той, ни другой). График не имеет
соответствующей односторонней касательной.
Черт. 234.
Пример 3. ФункдщГ, заданная формуnaft f(x) = x sin —
(черт. 234), при дополнительном/@)«О (выражение sin— не имеет
смысла при х =* 0) непрерывна в точке х = 0.
19. М. Я. Выгодский;
290 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Однако, когда ЛГ стремится к О справа (или слепа), секущая ОМ'
колеблется между прямыми UV(y= х) и U'V'(y^ х) и не
стремится ни к какой прямой. График ле имеет в точке О ни право-
правосторонней, ни левосторонней касательной, а функция/ (jx)—ни право-
правосторонней, ни левосторонней производной.
Замечание 2. Можно придумать даже такие непрерывные
функции, которые ни в одной точке не имеют производной i). Значит,
существование производной не вытекает логически из непрерывности
функций. Это было впервые указано великим русским математиком
Н. И. Лобачевским 2).
§ 232. Дифференциалы некоторых простейших
функций
1. Дифференциал постоянной величины равен нулю:
da = 0. A)
2. Дифференциал независимой переменной равен ее
приращению;
dx = Дх. B)
3. Вообще дифференциал линейной функции рапен се
приращению;
d (ах + Ь) = Д (ах+ Ь) = а Дх. C)
Для остальных функций дифференциал и приращение
не равны. (По они разнятся на величину высшего порядка
малости относительно Дх; § 228).
4. Дифференциал степенной функции х" равен nx"~l Дх
[ср. D) § 233]:
dxn = пх" х Дх. D)
') Линию, графически изображающую такую функцию, мы не
можем ни построить, ни даже вообразить; педь представление о линии
мы получаем, отвлекаясь от свойств реальных предметоп, и оно оказы-
оказывается неразрывно связанным с понятием о направлении. Уже в при-
примере 3 «линия» у — х sin — лишена направления в точке х = 0.
Но элесь нашему воображению помогает то, что в любой близости
от точки О график имеет определенное направление.
г) Ни кол аи Иванович Лобачевский A792-1ЯЩ
обессмертил свое имя созданием неевклидовой геометрии. В области ал-
алгебры и анализа ему принадлежат выдающиеся работы. Мировоззрение
Н. И. Лобачевского носит ярко выраженный материалистический ха-
характер. Велики заслуги Н. И, Лобаченсного как передового общест-
общественного деятеля, педагога» организатора народного проспещения. Вся
жизнь великого Ученого связана с Казанским университетом, где он
воспитывался сам и где потом был профессором и ректором.
S 234. ИНВАРИАНТНОСТЬ ВЫРАЖЕНИЯ f(&dx 291
t § 233. Свойства дифференциала
1. Постоянный множитель можно вынести за знак Диф-
Дифференциала:
= artf(x). (I)
2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких
функций (взятых в неизменном числе) равен алгебраиче-
алгебраической сумме их дифференциалов:
d [к <х) + /а (*) - h (x)J = dh (*) + dft (x) - df, (x). B)
3. Дифференциал функции равен произведению произ-
производной на дифференциал аргумента;
<!f(x) = i'(x)dx. C)
Вытекает из £ 22Й (теорема I) и § 232, п. 2.
С частности (Ср. § 232, rf. 4),
(/(хм) = пф-Чх. D)
§ 234. Инвариантность выражения /' (ж) rfee
Выражение /'(х)Дх представляет (§ 228, теорема 1)
дифференциал df(x), когда х рассматривается как аргу-
аргумент. Если же сама величина х рассматривается как фУнк-
цня некоторого аргумента /, то выражение /' (х) Ах, как
правило, не представляет дифференциала (см. ниже при-
пример 1); исключение составляет лишь случай линейной за-
зависимости х = cit+b.
Напротив, формула C) § 233
(//(х) = /'(х)^ A)
верна как в том случае, когда х есть аргумент (тогда
их = Дх), так н о случае, когда х есть функция от t
(см. ниже пример 2).
Это свойство выражения /' (х) dx называется его ин-
инвариантностью (неизменностью).
Пример 1. Выражение 2х Дх представляет дифферен-
дифференциал функции у = х3, когда х есть аргумент.
Положим теперь
х = t2 B)
и будем считать / аргументом. Тогда
у = х3 = Л C)
19*
292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из B) находим:
Ах = 2/Д/+ДЛ D)
Значит,
2хДх = 2BB/ДМ-Д/2). E)
Это выражение не пропорционально At и потому
теперь 2хах не является дифференциалом. Дифферен-
Дифференциал функции у находим из C):
dy = 4/3Д/. (б)
Сопоставляя E) и (б), пидим, что 2х Ах и dy разнятся на величину
ZP АР, имеющую второй порядок относительно Д(.
П р н м е р 2. Выражение 2х dx представляет дифферен-
дифференциал функции у = х2 при любом аргументе t. Пусть, на-
например, х = р. Тогда
dx = 2/ At,
Значит,
2d 2*2A = APAL
Сравнив с F), видим, что
dy = 2x dx.
§ 235. Выражение производной
через дифференциалы
Производная от функции у по аргументу х равна отно-
отношению дифференциала переменной у к дифференциалу пе-
переменной х:
Значок х при символе у' подчеркивает, что при отыска-
отыскании производной аргументом является х. Дифференциалы
же dy и dx можно брать по любому аргументу
(см. §234).
Удобнейшим обозначением производной часто являются
выражение ~ и ему подобные, как-то;
~4х~ (производная от функции /(х) по х),
(производная от функции ф (/) по t),
§ 237. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 293
Употребляются также условные записи
нт..Д,
особенно удобные, когда берется производная от сложного
выражения.
§ 236. Функция от функции (сложная функция)
Величина у называется функцией от функции (или
сложной функцией), если она рассматривается как функ-
функция от некоторой (вспомогательной) переменной и, кото-
которая в свою очередь зависит от аргумента х:
у «/(«), а = ср(х). A)
Тем самым у оказывается функцией от х, что можно
записать так:
У «/[*<*)]. B)
Если /(«) и ср (х)~ непрерывные функции, то функция
/ftp (x)] также непрерывна.
Пример. Если у = и3 и и = 1 + хг, то у есть слож-
сложная функция от х, что можно записать так:
§ 237. Дифференциал сложной функции
Разыскание дифференциала сложной функции не требует
особых правил (вследствие инвариантности выражения
/'(x)dx;§234).
Пример 1. Найти дифференциал функции у = (l + xsK.
Решение. Рассматривая у как сложную функцию
(у = ц3, и ■= 1 + х2), имеем;
йу = За2 du, du =* 2х dx.
Отсюда
Тот же результат получим непосредственно:
t/y = d A + Зха + Зх* + х«) « Fх + 12х3 + 6х5) rfx.
Замечание. На практике не вводят особого обозна-
обозначения для вспомогательной переменной и. В примере 1
действуют так:
)* « 3 (l+x2)*-tf(l + x«) = 3 (!+tfJ 2xdx.
294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2. Найтн d i аа —х*.
Решение.
§ 238. Производная сложной функции
Производная функции от функции равна производной
функции по вспомогательной переменной, помноженной
на производную этой переменной по аргументу;
<ix du dx * ^
Пример 1. Найти производную от функции
у =Уа*~х*
(по аргументу х).
Полагая
у= и*, и = й3-х3,
имеем:
dy 1 в" 1 du г.
По формуле A) получаем:
Замечание. При пользований обозначением (№-х=)' "а"
чинающне часто допускают ошибку. Зная, что (fx)' « ™p=i i они пи-
пишут результат в виде ■ л. ..~_|) забывая помножить на (аг-д?)'^
= —2х, Ошибка связана с несовершенством обозначения (не видно, по
какому переменному берется производная). Поэтому на первых порах
лучше нести запись так:
При достаточном навыке промежуточное преобразование выполняет-
выполняется в уме.
g 239. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 295
Наилучшую гарантию от ошибки дает предварительное вычисление
дифференциала dyaz-x*. Получив (§ 237, пример 2) ■■ ,- ....л—,
берем коэффициент при dx (т. е. делим на Ас) и находим для произ-
—х
водной выражение -7=='
V «3-х*
П р и и е р 2. Найти производную от функции у = sin*2x.
Решение. Здесь имеем цепочку трех зависимостей;
у = us, u = sin v, v = 2х.
Аналогично с A) имеем: гр —"р-^--;г- Учитывая, что
^ = i^. = cos v (§ 224, пример 3), находим:
^ = 2u.cose-2= 4sin2x-cos2x =
Bi> избежание ошибки лучше действовать так:
d sin* 2x=2 s|n 2x-d si
Деля на dK, получаем:
dsln^2x „ . „
• -T--— м 4 81Л 2x COS 2X.
§ 239. Дифференцирование произведения
Правило. Дифференциал произведения Двух функций
равен сумме произведений каждой из функций на диффе-
дифференциал другой:
(/(ш>) = udv-i-vdu. (I)
Для трех сомножителей имеем:
d (tmv) = aw-du + utvdv+uv'dw B)
и аналогично для большего числа сомножителей.
Производная произведения вычисляется по тому же
правилу (слово «дифференциал* оба раза заменяется словом
«производная»):
(up)' = uv'+vii' (la)
(«гад)' = vwu'-i- uwv'+iivw'. Ba)
Пример Ь Найти дифференциал и пронзводвую от
функции Bх* + 3х) (х?-2).
Решение.
2)] =
d (х3 - 2) + (х3 - 2) й Bх2 + Зх) =
З/C2) D 3)/
296 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Коэффициент Юх?4-12х3-8х-б есть производная.
По формуле Aа) мы нашли бы:
=- Bx2+зх) (х* - 2)'+(х3 - 2) Bxs + Зх)'
и т. д.
Пример 2.
d(xsm ^) = xdsin— -f sin— -dx =±
l
= xcos~d(~)+ sin~dx = - xt x dx+ sin- rfx =
« C-lcos-i+ sin i^rfx.
Отсюда
£(* ) «»• £+•■»¥• P)
Замечание. Предполагается, что х^О. При х=0 функция
xsin — не определена. Но даже, если се доопр еде лить (§ 231, пример 3),
она при х»0 не дифференцируема (при эс-э-Опроиаводная(З) ке стре-
стремится ни к какому пределу; см. черт. 234).
§ 240. Дифференцирование частного (дроби)
Правило. Дифференциал дроби равен произведению
знаменателя иа дифференциал числителя минус произведе-
произведение числителя на дифференциал знаменателя, все делен-
деленное на квадрат знаменателя:
То же правило для производной дроби (слово «диффе-
«дифференциал» все трн раза заменяется словом «производная»)
П р и и с р 1. Найти у', если у
Имеем:
т. е<
241. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 297
П р и м е р 2. Найти d
Сначала рассматриваем данное выражение как сложную
функцию (у = iu; и = -£-*-
1+x
После упрощений получим:
§ 241. Обратная функция
Если го соотношения y = f(x) вытекает соотношение
х = <р(>'). то функция 9 (у) называется обратной [относи-
[относительно функции / (х)].
Пример 1. Для функции y=xz обратной является
(двузначная) функция х = ± }/у.
Пример 2. Для функции y = sm x обратной является
(бесконечно многозначная) функция x=Arcsin у (опреде-
(определенная для всех значений у, меньших единицы по абсо-
абсолютному значению).
Замечание. Обратная функция, как правило, многозначна»).
От многозначности можно освободиться, если суаить область измене-
изменения аргумента для исходной функции. 'Гак, в примере 1 можно устра-
устранить отрицательные значения аргумента х, и тогда обратная функция
х=-$-Уу будет однозначной.
Если сохранить прежние обозначения переменных, то
график функции y=f(x) служит одновременно графикой
обратной функции х=(р (у).
Но обычно обозначения переменных меняют ролями и
аргумент обратной функции обозначают буквой х, как и
аргумент прямой функции.
Пример 3. Для функции У=^ обратной (однознач-
(однозначной) функцией является y=fx, для функции у =2*
обратной функцией является y = Iog2x,
!) Исключение составляют только те случаи, когда по мере увели-
увеличения аргумента значение прямой функции либо непрестанна увеличи-
увеличивается, либо непрестанно уменьшается (такие функции называются
монотонными).
298
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При этих обозначениях графики исходной и обратной
функций симметричны относительно прямой у=х (черт. 235).
Производ-
Производная обрати ой
функции. Про-
Производная обратной
функции равна еди-
единице, деленной на
производную ис-
исходной функции1):
Черт. 235.
Черт. 236.
Пример 4.
Рассмотрим функ-
функцию у~х" при положительных значениях х. Обратная
функция (черт. 236) есть x=iy. Имеем:
rfy _ ov dx- - -1 = * 1
~dx ~ > dy 2x 2 fy '
§ 242. Натуральные логарифмы
Формула дифференцирования логарифмической функ-
функции (§ 243) имеет простейший вид, когда основанием служит
число
е= Jim (J+7-Y » 2,71828
(§ 214). Тогда логарифм называется натуральным и обо-
обозначается In 3).
1) Если производная -j- обращается в нуль, то формулу A) надо
лодимать н том смысле, что обратная функция имеет в рассмятриаае-
«ой точке Бесконечную производную, т. е. lim -г- = «5 (см. § 231,
. Ду_> о ДУ
случай 1; ср. % 213, замечание 2).
2) Начальные буквы латинских слов logarithmus (логарифм) «atu-
ralis (натуральный). Число е иррационально; более того, оно транс-
цендентно! т- е- не может быть корнем никакого алгебраического
Уравнения с рациональными коэффициентами. Трансцендентны также
натуральные логарифмы всех целых чисел, а также и десятичные
логарифмы всех целых чисел (кроме 1, 10, 100, 1000 и т.д.). Транс-
цендентнось числа е доказана в 1871 г. французским математиком
Э р м и т о м, трансцендентность логарифмов - советским математиком
А. О, Гельфондом в 1934 г.
§ 242. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 299
Чтобы перевести натуральный логарифм в логарифм по
любому основанию а, надо помножить его на «модуль пе-
перехода», равный log,, e:
log,, х = loga e In x. A)
Обратно, для перепода логарифма по основанию а н
натуральный, надо помножить его на In а (т. е, на logeo)г):
\пх ~ In alogax. B)
Мнемоническое правило. Записав формулу A) п полном
виде, получим log,, x = logo elogex. Если отбросить знаки log, а из
X В X
остающихся букв составитьедроби»-~, —, —, то первая есть произ-
произведение лвух последних. Аналогично для формулы B).
Модуль перехода от натуральных к десятичным ло-
логарифмам обозначается М:
M = lg e =0,43429 C)
(легко запоминаются первые четыре знака М = 0,4343).
Формулы A), B) принимают вид г)
lgx = Minx, D)
In x = -jg- Ig x, E)
где
-L « In 10 * 2,3026. F)
Для умножения на М и -^ можно пользоваться спе-
специальными таблицами (стр. 838).
Пример 1. Найти In 100.
По формуле E) находим In x * 2,3026 -2 w 4,605.
П р и м с р 2. Вычислить с3 с помощью таблиц десятич-
десятичных логарифмов.
Имеем: Ig(e3) = 3lge = ЗМ = 1,3029, отсюда es « 20,09.
Можно воспользоваться таблицей натуральных лога-
логарифмов (стр. 834-837). Имеем: In (е3) = 3; для разыскания
четырех знаков числа с3 надо выполнить интерполяцию.
Пример 3, Десятичный логарифм некоторого числа
равен 0,5041; найти его натуральный логарифм.
1) Величины Jog-,, e и loge а взаимно обратны (log* e ■ \oge a = 1).
а) Чтобы не спутать, когда надо множить на М, а когда на -jt- ,
полезно учесть, что десятичный логарифм всякого числа .меньше нату-
натурального (например, In 10 га 2,3, aJg 10 ~ 1).
300 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Имеем:
^ 2,303-0,5041 * 1,161.
Это произведевие можно найти с помощью таблицы на
стр. 838; именно
■£■0,50 * 1,1513
-£•0,0041 <* 0,0094
£.0,5041 л 1,161
243. Дифференцирование логарифмической функции
A)
Дифференциал и производная натурального логарифма
(§ 242) выражаются формулами
~Inx=1-. B)
dx x * '
Если основание логарифма-пронзвольное число, то *)
dlog,x~Io&e-^, C)
•—lo&x^Iog.*'!-. D)
В частносги, для десятичных логарифмов
*Ig* = ^, (За)
■£lg*-M.£- Da)
Здесь М * 0,4343 - модуль перехода от натуральных ло-
логарифмов к десятичным (§ 242).
Пример 1,
П р и м е р 2.
,i 1+х . i /1 . \ ч /•< ч dx , dx 2 da
dln T^ = d In <l + x)-d In (I -x) = j^+(^ = t^
Формулу (З) можно получить из A) с учетом формулы (I) 5 242.
244. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 301
Пример 3. Найти значение производной от Igx при
х=1ОО.
Формула Dа) дает (Ig х)' = ~ * ^^- * 0,0043.
Пример 4. Найти без таблиц Ig I0J.
Приращение Д \%х приближенно равно дифференциалу
^. При х=100 и Дх=1 получаем: AIgx*=
0,0043. Следовательно,
Ig 101 = Ig 100+Д Ig 100 * 2-1-0,0043 = 2,0043,
что совпадает с табличным значением,
§ 244. Логарифмическое дифференцирование
При дифференцировании выражений, имеющих вид,
удобный для логарифмирования, можно предварительно
выполнить логарифмирование.
Пример 1. Продифференцировать функцию у--хе~х*.
1) Логарифмируя по основанию е, находим:
In у = \nx-x-. A)
2) Теперь дифференцируем обе части равенства A):
3) Подставляя вместо у выражение хе~**, находим:
dy = хе~'х (~ 2х) dx = е~** A - 2х«) dx.
Пример 2. Продифференцировать функцию y=sf.
Последовательно получаем:
) Il
2) ¥- = х{\пх)'+\пх = 1+1пх,
3)y^=y(l + Inx) = ^A + Inx).
Пример 3. Продифференцировать функцию
1-х
(ср. § 240, иример 2).
302 Дифференциальное исчисление
1) Iny = lln(l + x)-iln(l-x),
О\ t^ = 1 -J—4-1 -J *
'у 2 I+x" 2 1-х 1-х* '
У
1 1
1-х 1-х* (i_
П р и м е р 4. Продифференцировать функцию
l)lny = 2In(x+l)-3In(x+2)-4In(x + 3)f
= Л ^_
у xbl х+2 х+3 '
<')г (Л -3
V х+2
Изложенный способ называется логарифмическим диф-
дифференцированием, а производная от логарифма функции
/()
- логарифмической производной от функции / (х).
§ 245. Дифференцирование показательной функции
Дифференциал и производная показательной функции
е*[гдее= Hm (l + —У =* 2,71828] выражаются форму-
лами1)
^ = e (I)
(производная функции е1 равна самой функции). При про-
произвольном основании а имеем:
В частности.
d
Здесь -^ =
dax =
10* =
In 10 р
a* In а {/х,
10^~"dx,
s 2,3026.
tfx
dx
10я =
'In
10*
a.
l
B)
Ba)
») Формулы A) и B) можно получить логарифмическим дифферен-
дифференцированием (§ 244) или рассматривая показательную функцию как
обратную для логарифмической (§ 241).
246. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОН. ФУНКЦИЙ 303
Пример 1. -*- (е*) = е" ± (Зх) = Зг».
Пример 2.
rf (xe~x') = х de-**4 e-1' rfx =
= хе **d(-xJ)H е-*1*: = е~*\\ -2х!) dx.
Пример 3.
., =
П р н м е р 4. (i 7'! = 7'1 In 7 rf (B) = 2/ 7'* In 7 df.
§ 246. Дифференцирование
тригонометрических функций 1)
Дифферспцма.п.! Производные
I. d sin x = cos x dx, --j- sin x = cos x,
II. d cos x — -sinxtfx, -— cos x = -sinx,
Эти формулы надо знать на память. Следующие дне нет
надобности запоминать'
V. d SC X = tg X ■ SC X С/Х, ~r SC X = tg X ■ 5C X,
VI. rfesex = -ctgx-cscxrfx; ^ - esc x = -ctgxcscx.
Пример 1. d sin 2x - cos 2x rf Bx) = 2 cos 2x dx.
П р и м е р 2.
ПримерЗ.
—г~ In tg ф = -т^~ ' ~тг Щ ф =
J) Вывод формулы I см. g 224, пример З; формула П выводится
аналогично. Формулы Ш и IV-с помощью соотношений
, Ctg X
304 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 4. ~xaia* =. xsi^(cosxlnx+-s-^).
Получается логарифмическим дифференцированием
(§ 244). Полагая y = xsiax, находим In у = sin х 1п х, от-
\ d , , sin x
куда у-^-у = cosxtnx + —х—,
§ 247. Дифференцирование
обратных тригонометрических функций ')
Дифференциалы Прснзводные
I. d arcsin x = -=JL=r, ~г- arcsin x '— —__ -,
У 1-х*. dx У 1-х'-
П. rfarccosx ^ !
III. ^
IV. rfarcctgx^ -I^r; ^-arcctgx =
dx
Эти формулы надо знать на память. Следующие две нет
надобности запоминать:
V. d arcsc x = ——-—, -'?- arcsc x = - ,. __ ^,
VI. d arccsc x = ~—; ~ arccsc x = —
Пример 1. rf arcsin ^ = —=^4=-=-?^=- ■ (l)
г г а Г ,v\i Ya*x*
П Р н м e p 2. d arctg *- = S*) e -^- . B)
Пример 3.
~ 2
i) Формулы I —VI выводятся из соответствующих формул g 246
см. § 241).
§ 247а. НЕКОТОРЫЕ ПОУЧИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ 305
Пример 4.
d arccos -4 А_. = d (ч
_ _ 3-4-dx . _ УDх-1)г -9 _ Gdx
~ ' ~ У
3
Замечание. Функция arccos -^ определена только при
I, т. е. либо при х > 1, либо при х < —тг . В промежут-
4х-1
ке (—-^"i 1) она не определена. Если формально подставить какое-
либо неподходящее значение (например, х = 0) в выражение диффе-
дифференциала, то последнее окажется мнимым.
§ 247а. Некоторые поучительные примеры
Нижеприводимые примеры служат для уяснения более тонких во-
вопросов, возникающих при дифференцировании обратных тригоно-
тригонометрических функций.
Пример \.d arctg ■'- « -_L-. d (—\ = - ~ ,
v * x . I \x/ 1+x*
Полученное выражение совпадает с дифференциалом функции
arcctg х. Однако только дли положительных х имеет место равенство
arctg— = arcctgx. _ A)
Для отрицательных х имеем !>:
arctg iircctg x = —тт. B)
J) Формулу B) легко проверить для точки х = -1, для которой
имеем:
, Зти ,1 тс
arcctg *--£-, arctg— = —j-.
С другой стороны, разность arctg arcctgx при отрицательных
значениях х постоянна, ибо ее производная (-. — т ;) при
\1 4-Xs 1 +ж!/
всех x-cfl равна нулю (см. § 226, п. \). Значит, формула B) справед-
справедлива для всех отрицательных значений х; положив х=+1 и
рассуждая так же, убедимся, что для всех положительных значений х
справедлива формула A). При х=О функция arctg — не определена
и, значит, не имеет производной. Вот почемг нельзя утверждать, что
функция afctg — - arcctg x постоянна на всей числовой прямой
(ср. S 265, теорема 1).
20 М. Я. Выгодский
306
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При х =0 функция arctg — (черт. 237) разрывна (ее предел слева
равен — -ц-, а справа + -; ср. § 21Я) и, значит, педифференцируема,
тогда как функция arcctg x (черт. 238) непрерывна н производная ее
при х~0 равна — !. Правая ветвь графика у = arctg — совпадает с np,i-
я
-%
-ft
г
Черт. 237.
Черт. 238.
вой половиной графика y=arcctg x, а левая ветвь—с левой половиной
пунктирной линии черт. 238 (последняя дает неглавное значение мно-
многозначной функции у —Arcctg x).
Пример 2.
1+х d/l+x\ r, /I + xVi
Полученное выражение совпадает с производной от функции
arctg х.
При х~<1 эта функция связана сданной соотношением1)
-т-зг= arctg x + T
черт. 239), а при х>-1—соотношением
. 1+х . Зя
arctg-j-V
При х = 1 функция arctg -^ имеет разрыв
дает производной.
Пример 3.
— arcsJn (sin x)
х dx
C)
не обла-
d . cos х
— sin х =
cosx I
l) Доказательство -такое же, как в предыдущем подстрочном при-
примечании.
5 248. ДИФФ. В ПРИПЛиЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 307
Эта производная равна +1, когда cos х > О, и —1, когда
cosx ■< 0. При х - Bп + 1)—-, когда cos x — 0, производная не
существует.
Замечание. В промежутке —,у"* х <^- имеем: arcsin (sin x) =
т. Зг:
—х, в промежутке — s^ x *z, — имеем: arcsin (sin x) = it— xt в про-
Згг 5 т:
мсжутне — ^ д < имеем: arcsin (ып х) — х -2п и т. д.
Черт. 239.
Черт. 240.
(черт. 240). Поэтому внутри первого промежутка производная равна 1,
внутри второго — I н т. Д. В точках х = Bft -М) тг прси-ччод*1' имеет
ртрыв; it каждой из этих точек существуют односторонние производ-
производные (ср. § 231, пример 2).
§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях
Час ю иываст, что функцию / (х) и ее производную
/' (х) лепсо нычислить при х = а, а для значений х, близ-
близких к о, непосредственное юлчисленнс функции затрудни-
затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой
(a) + f'(a)h.
A)
Она выражает, что приращение / (a + li)-f (а) функции
f(x) при малых значениях h приближенно равно г) диффе-
дифференциалу /' (a) h (ср. § 228, теорема 2).
Ниже (§ 265) указан способ оценки погрешности 2) фор-
формулы (I), но часто оценка связана с громоздкими подсче-
подсчетами, При грубых вычислениях часто довольствуются фор-
формулой A).
*) Если/' («) —о, то формула (I) выражает, что приращение функ-
функции мало но (.равнению с Л; тогда для достаточно малых значений Л
практически межно считать, что/(« + Л) =/(«)■
2) См. также § 271, замечание,
20*
308 Дифференциальное исчисление
П р и м е р 1. Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции / (х) = /х
при х = 3654. Легко вычисляются значения / (х) и
/' (х) = ~~ при х = 3600. Формула A) при а = 3600,
Л У X
Л = 54 дает: (^3654 « 60 |-^-54 ^ 60,45. Здесь все
знаки верны.
Пример 2. Найти 10я-1.
Решение, Полагаем / (х) =■ 10", так что (§ 245)
? W = 7л 10*6й" ** 2>3026) • Формула (I) при а = 2,
h = 0,1 дает:
10" * ЮО+^-ЮО-О,! и 123,0.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой
значащей цифры 1Огл = 125,9),
Если таким же образом вычислить Ю--01 (теперь Л = 0,01),
получим 102,3. Здесь все знаки верны.
И р и м е р 3. Найти без таблиц tg 46P.
Решение. Полагаем / (х) = tg х, а = 45°, h = 1° =
= 0,0175 радиана; тогда имеем: /' (а) = —,45* - 2- Зна"
чит, tg46° * 1+2-0,0175 = 1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем
tg46° = 1,0355.
Полезно заметить следующие приближенные формулыг)
(а-малая величина):
_!_- ,_- _J 1 ,«■ (О)
1-2а, "(Г^O^ l + 2*> W
14-—а УТ-~а ~ 1 —— и' D)
l_i.«, j=^=* 1 + -«; E)
1) Формулы B) -F) являются частными случаями формулы
A + а)" я: 1 +!ы;
последняя получается из A), если положить /(х) ■ х«, в= 1, Л = «.
S 249. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ 309
Я ' з
f IT» в 1+ . Я, F 1 — В « 1 — Ч * « '
1пA+а)^а, 1пA-а)*= -а; ' G)
^ ^ j а IQa л 1+Хв- (8)
Sina^a, cos « ^ l-4-a*> *£а « «• (9)
§ 249. Применение дифференциала
к оценке погрешности формул
Данные, получаемые измерением, содержат ошибку,
проистекающую из неточности измерительных инструмен-
инструментов. Положительное число, заведомо превышающее эту
ошибку по абсолютному значению (или в худшем случае
равное этой ошибке), называется предельней абсолютной
погрешностью, нли, короче, предельной погрешностью.
Отношение предельной погрешности к абсолютному зна-
значению измеряемой величины называется предельной отно-
относительной погрешностью.
Пример I, Длина карандаша измерена линейкой
с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см.
Ошибка неизвестна, но ока заведомо меньше чем 0,1 см.
Поэтому можно, принять 0,1 см за предельную погреш-
погрешность. Относительная предельная погрешность равна jj-g.
Округляя в сторону увеличения, иаходнм 0,6%.
Разыскание предельной погрешности.
Пусть функция у вычисляется по точной формуле y = f(x),
но значение х получается измерением и потому содержит
ошибку. Тогда предельная абсолютная погрешность |Ду|
функции находится по формуле
[ Ау \ =« \dy\ = \ f (x)\\Ax\, (I)
где |Дх| есть предельная погрешность аргумента. Вели-
Величина | Ay \ округляется в сторону увеличения (ввиду не-
неточности самой формулы).
Пример 2. Сторона квадрата, найденная измерением,
оказалась равной 46 м. Предельная погрешность равна О, I м.
Найти предельную погрешность для площади квадрата.
Решение. Имеем; у = х3 (х-сторона квадрата,
у-площадь). Отсюда |Ду| ъ 2{х\ \Ах\. В нашем при-
примере х = 46 и \Ах\ =0,1. Значит, \Ау { « 2-46-0,1 = 9,2.
310
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предельная абсолютная погрешность равна (округлен-
(округленно) 10 м-. Предельная относительная погрешность рав-
Л * 0.5%.
Предельную относительную погрешность
Лу
можно
найти также с помощью логарифмического дифференциро-
дифференцирования (§ 244) по формуле
■■ Jrflnyj.
В частности, при у = хп (тогда (/ In у = ^^) имеем:
B)
C)
т. с. предельная относительная погрешность степени хн
равна п-кратиой предельной относительной погрешности
аргумента.
Пример 3. При условиях примера 2 предельная отно-
относительная погрешность площади равна 2-~ ^ 0,5%.
Пример 4. Измерение ребра х куба дало х= 12,4 см.
Предельная погрешность 0,05 см, Какоиа предельная отно-
относительная погрешность для объема куба?
Решение. Предельная относительная погрешность
для х равна ~~ и 0,004; для xJ она равна 3-0,004-
- 0,012.
Правило 1. Предельная относительная погрешность
произведения двух или нескольких сомножителей равна
сумме предельных относительных погрешностей сомно-
сомножителей.
II р а в и л о 2. Предельная относительная погрешность
дроби равна сумме предельных относительных погрешно-
погрешностей числителя и знаменателя.
Эти правила вытекают из §§ 239, 240 х).
, ч .^ ,, » da dv
') Формула rfln— - — — дает предельную относительную
da
v
и
погрешность -^- + —
da
и
+
dv
—
V
, а
не
da
а
dv
V
— , ибо величины
dv
и — могут иметь разные знаки.
§ 250. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 311
Пример 5. Для разыскания удельного веса тела
найден его вес р = 20 г и вес вытесненной им воды
v = 40 г- Предельная абсолютная погрешность для р
равна 0,5 г, для о она равна 1 г. Определнть предельную
относительную погрешность для удельного веса.
Решение. Удельный вес у равен ■£. Имеем:
= V +
П р и м е р 6, Высота ft и радиус основания г цилиндра
измерены с точностью до 1% каждая. Найти предельную
относительную погрешность I) для боковой поверхностн S,
2) для объема V цнлнндра,
Решение. Имеем: S = 2кгН. Множитель 2тг —точное
число; погрешность его равна нулю. Относительная по-
A_S_
S~
грешность для S есть
= 2%, а для
V = кГ-li она равна 2 -~ + -~ =3%.
§ 250. Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение, связывающее х н у и удовлетворяю-
удовлетворяющееся значениями х = х0 и у = у0, определяет у как
неявную функцию от х. Для разыскания производной ~-
в точке х = xQ, у = у0 нет нужды
искать явное выражение функции. До-
Достаточно приравнять дифференциалы
обеих частей уравнения и из получен-
полученного равенства найти отношение йу : dx.
Замечание. Уравнение, связы-
связывающее х и у, может определять у как
.многозначную функцию F (х) от х. Но
задание пари значений х = ха и у = у0
выделяет из многих значений функции
одно.
Геометрически: прямая, па-
параллельная OY (черт. 241), может пере- ЧеРт- 24]-
секать линию L в нескольких точ-
точках Мо, Мъ Mir ..., ио задание точки Мо выделяет про-
проходящую через нес дугу ЛМоВ, которая представляет
однозначную функцию.
312
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 1. Найти производную от неявной функции,
заданной уравнением х2 + у2 — 25, в точке х ~ 4, у = -3.
Первый способ. Решив уравнение, получим:
у = — \f25-x* (выбираем онак минус, ибо при х = А
должны иметь у = -3). Теперь находим:
dy _ х _ _4_
~ " ~ 3 '
dx
Y25-X*
Второй способ. Приравнивая дифференциалы пра-
правой и левой части, находим: ■
откуда
2xdx+2ydy ■■= О,
dx
i.
3 '
A)
Мы нашли угловой коэффициент касательной МаТ к ок-
окружности x2 + yz ^ 25 (черт. 242) в точке Мо D; -3).
Черт. 242.
Черт. 243.
Угловой коэффициент радиуса ОМО есть —~. Произведе-
Произведение угловых коэффициентов равно —1, т. е. ОМ0 ±_ М0Т.
П р н м с р 2. Найти производную -~ неявной функции,
заданной уравнением *)
=1. B)
а*
Дифференцируя, находим:
Ixdx , 2уйу _
a*
1) Уравнение B) определяет у как двузначную функцию от х, но
коль скоро будут известны значения обеих переменных, из двух значе-
значений функции выделяется одно (ср. пример 1).
§ 251. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ЛИНИИ 313
отсюда
dx as у ' \°t
Уравнение B) представляет эллипс. В силу C) угловой коэффици-
коэффициент касательной МТ (черт. 243) есть --'-—. Угловой коэффициент
диаметра ММ' есть ™ . Произведение угловых коэффициентов равно
- -j. Значит (§ 55), направления МТ и AIM'-сопряженные, т. е.
диаметр ММ' делит пополам хорды, параллельные МТ.
Тем же свойством обладает диаметры гиперболы и параболы.
§ 251. Параметрическое задание линии
Всякую переменную величину t, определяющую поло-
положение течки на некоторой линии, называют параметром*).
В механике в качестве параметра рас-
рассматривается чаще всего время. **"
Координаты точки, лежащей на ли- Д^.^
пии L, являются функциями параметра:
У = 9 @- B)
Уравнения A) - B) называются пара-
параметрическими уравнениями линии L
(ср. § 152).
Если желательно иайти уравнение, ерт'
связывающее координаты х, у линии /,.
надо исключить t из уравнений A)-B) (см. примеры
1 и 2).
Может, однако, случиться, что уравнение, полученное после иск-
исключения /, представляет такую линию, которую линия L покрывает
только частично (см. пример 3),
Пример 1. Пусть О (черт. 244) есть наивысшее поло-
положение материальной точки, брошенной под углом к гори-
горизонту, a t- время, отсчитываемое от момента наивысшего
подъема. Положение точки М на траектории АОВ опреде-
определяется величиной t, так что t есть параметр. Параметри-
') Термин <параметр> употребляется еще и в другом смысле, обо-
обозначая величину, которая для данной линии неизменна, но меняется
при переходе от одной из линий рассматриваемого типа к другой. Так,
величина р в уравнении параболы у~ = 2рх постоянна для данной
параболы, но меняется при переходе к другой.
314
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ческне уравнения траектории, отнесенной к системе XOY,
будут:
х = 0Р = «У, C)
у = РМ= -1#«. D)
Они выражают, что по горизонтальному направлению
точка М движется равномерно со скоростью v0, а по вер-
вертикальному - равномерно-ускоренно (# - ускорение зем-
земного тяготения).
Исключил t, найдем уравнение
V = ~—
E)
показывающее, что движение происходит но параболе.
П р и м е р 2. Положение точки М на окружности Л В А В'
радиуса R (черт, 245) определяется пелнчнной угла
получим:
9 => -^ AOM, так что 9 есть параметр. Расположив оси,
как на черт. 245, имеем параметрические уравнения
окружности
х = R cos ф, F)
у = Rsin<p. G)
Чтобы исключить 9, возведем F) и G) в квадрат и сложим;
газ /Я\
— t\ . \°/
Пример 3. Рассмотрим линию, представляемую параметри-
параметрическими уравнениями
х = ft, у = 11 (9)
Исключая /, получаем уравнение у = — хг, представляющее параболу
ЛОВ (черт. 246). Линия (9) есть половина этой параболы {ОВI отве-
отвечающая положительным значениям х.
§ 252. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ 315
§ 252. Параметрическое задание функции
Пусть даны две функции аргумента V.
х- № у-9 (О- О)
Тогда одна из них, например у, есть функция другой1).
Задание этой функции с пбмощыо равенств A) называется
параметрическим, вспомогательная величина t называется
параметром..
Чтобы получить явное выражение у в функции х, надо
решить уравнение х = / @ относительно t (это не всегда
удается) и подставить найденное выражение в уравнение
У = <? (О-
Часто, наоборот, удоонее переходить от нсиараметриче-
ского задания к параметрическому. Пользуясь произволом
выбора одной из функций / (t), <p ((), стараются обеспечить
однозначность и, по возможности, простоту обеих функций.
Производная '-.^ выражается через параметр t формулой
dy_ rf?@ = фЧО ,п\
dx df(t) f(t) ■ W
При параметрическом представлении обе переменные х, у
ставятся в равноправное положение (ср. § 251).
Пример 1. Даны две функции:
х = Rcost, у = Rsint. C)
Они параметрически задают у как двузначную функцию х
(и наоборот). Из первого уравнения находим: cos*=^-,
так что sin / = +|/1-^. Подставляя во второе урав-
уравнение, получаем:
у = ±у^-х"-. D)
Это-уравнение окружности (ср, § 251, пример 2),
Параметр t есть уюл ХОМ (см. черг. 245). Производная
~, выраженная через параметр /, равна
dy dJRjinJ) _
dx
Это-угловой коэффициент касательной МТ.
') Как правило, она многозначна даже при однозначности /(О
И ? (')■
316 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2. Уравнение
F)
представляющее
эллипс, задает двузначную функцию
Для параметрического ее задания
можно по произволу выразить одну из переменных, на-
например х, в функции t. Положив -^ =
= cos t, найдем -г = ± sin t. Знак
г можно выбрать по произволу. Возь-
Возьмем плюс. Получаем параметрическое
задание
х = a cos t, у = b sin t. G)
Геометрический смысл параметра
t усматривается ИЗ черт. 247, где
черт, 247. ЛА/А'-окружность радиуса а и
N — точка, взятая на одной верти-
вертикали с точкой М эллипса по ту же сторону1) от оси А А'.
Имеем t = л AON. Производная •-?- выражается через t
формулой
dy _ d (Ь sin t) _ Ь . .
dx ~ d (a cos /) ~~ a *
Это-угловой коэффициент касательной МТ.
Замечание. Обычное задание функции у=/(х) можно рас-
рассматривать как частный случай параметрического, именно можно за-
записать его в виде
x=f, y=f(t).
§ 253. Циклоида
Циклоидой называется линия, описываемая точкой М
окружности, когда последняя катится без скольжения по
прямой лниин (направляющей). Катящаяся окружность на-
называется произвадящей.
На черт. 248 направляющей является прямая ОХ; про-
производящая окружность дана в двух положениях: в «на-
Если взять — =
о
sin f, то N- надо взять по другую сторону.
§ 253. ЦИКЛФИДА
317
чальном» (ODB), когда точка М попадает иа направляю-
направляющую ОХ, и в «промежуточном» (NME),
Замечание. Выражение «катится без скольжения»
означает, что точка касания N отстоит от ее начального
положения О на расстояние, равное дуге JVJV1:
ON = NM.
О)
Параметрические уравнения циклоиды.
Если оси координат расположить, как на черт. 248, и взять
—%-
'B
i
n
Y
7
/
N
r
\ /
x
Черт. 248.
в качестве параметра угол ( = ^ MCJV, то получим сле-
следующие параметрические уравненияг) циклоиды:
х = a(t-sint), B)
у = a (I- cos t), C)
где а-радиус производящей окружности.
Если решить C) относительно t н подставить в B) получим х
как бесконечно многозначную функцию от у:
± (
a arccos ^^ ~ у у Bа-у)
/4)
где к — любое целое число s).
Ордината у есть однозначная, но ис элементарная
функция от х (см. черт, 248).
!) Значение угла t может быть положительным и отрицательным и
иметь любую абсолютную величину; при 0 <(<-"- уравнения B)-C)
легко прочитываются из черт. 248:
X = OP = ON-PN= N~M~MQ = al-asinf,
у = РМ = NC-QC = а~а cos/.
!> На черт. 248 точкам М, Mt и т. д. соответствует знак Плюс
перед скобкой, точкам Мг, Л13 и т. д, -знак минус.
318 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Угловой коэффициент к касательной равен
dx a A-cos, /) ' v '
а угловой коэффициент к' прямой NM равен
£. „ У~У.ч_ _ а A-соь f) ,g,
х—Ху —« sin t ^ '
Следовательно, к к' - - 1, т. е. МТ A. MN. Значщ, для по-
построения касательной к циклоиде достаточно соединитi. M
с наивысшей точкой производящей окружности (угол
jVAf/:-прямой, как вписанный, онираклшшея на диаметр),
§ 254. Уравнение касательной к плоской линии
Пусть МТ (черт, 249)- касательная к линии L в точке
М (х; )'). Обозначим текущие координаты точки N, лежа-
лежащей па касательной, через X, Y.
При любом задании линии L (явном, пеяппо.м пли па-
параметрическом) уравнение: касательной можно записать
в следующей симметричной форме:
dx dy \ '
Если линия L задана уравнением у = /(х), то из A)
получаем 1):
Y~y = f (x)(X-x). B)
Еели линия L задана параметрически,
то получаем:
Х-х _. У-у п.
х' ~ у ' W
Черт. 249.
где х', у —производные по параметру.
При неявном задании линии L приравниваем дифферен-
дифференциалы обеих частей уравнения (ер. § 250) и в полученном
равенстве заменяем dx, йу пропорциональными величинами
Х-Х, Y-y.
*) Предполагается, что производная/' (х) в точке М конечна, Если
же /' (х) — «= (§ Й31, случай 1), то вместо B) имеем уравнение
Х-х = О
(касательная параллельна Оси ординат).
S 254a. КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ НтОРОГО ПОРЯДКА 319
Пример 1. Найти уравнение касательной к параболе
у -= х»-Зх+2 в точке (О; 2).
Имеем: у - 2х-3 = -3. Согласно B) искомое урав-
уравнение есть У-2 = — ЗХ.
.Пример 2. Найти уравнение касательной к эллипсу
х = 5 ^2"cos t, у = 3 ^2"sin t D)
в точке М (-5; 3) (ср. § 252, пример 2).
Решение. Данной точке соответствует значение
t = -£•. Из D) иаходнм:
х' = -5 Fsin t = -5, у' - 3 K^Tcos f = -3.
Согласно C) уравнение касательной есть
Х+5^ __ у-_з
-5 ~ -з •
т. е.
ЗХ-5К + 30= 0.
П р н м е р 3. Найти уравнение касательной к равносто-
равносторонней гиперболе ху — т2 н точке D^; 2mj .
Решение. Приравнивая дифференциалы обеих частей
уравнения, получаем:
xdy-vy dx = 0.
Заменяя dx, dy величинами Х—х, У -у, находим:
эс(К-у) + у(Х-х) = о' E)
Так как ху - т1, то E) можно переписать в виде
хУ + уХ = 2тК (б)
Подставляя х = -^ , У = 2т в E) илн в F), находим:
К + 4Х = Am.
§ 254а. Касательные к кривым второго порядка
Уравнение линии Уравнение касательной
Эллипс £+£ = 1, f+^ - 1,
Гипербола £-£-!, f"^=l-
Парабола уг = 2рх, уК =
320 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 255. Уравнение нормали
Нормалью в точке М линии L (черт. 250) называется
перпендикуляр MN к касательной МТ.
Соответственно уравнению (I) § 254 уравнение нормали
имеет вид
{X-x)dx+(Y-y)dy - 0. A)
Соответственно уравнениям B) и C) § 254 получаем
уравнение нормали в следующих фор-
формах:
(Х-х)х'+(У-)-)У'~0. C)
При неявном задании линии L при-
равииваем дифференциалы обеих частей
уравнения и исключаем dx и dy с по
мещыо (I).
Пример 1, Найги уравнение нормали к параболе
у - —Xs в точке (-2; 2).
Имеем: у' = х — —2; согласно B) искомое уравнение
есть
Y-2 = ~(X-1 2).
П р и м е р 2. Уравнение нормали к циклоиде
х = я ((-sin Г), у - a(l-ccsf) D)
(§ 253) согласно C) имеет вид
(X-x)(l-ccsO+(V-y)siiU = 0 E)
или, используя D),
ХA-СО8Г)Ч-У81П*-в*A-СОв0 = 0. F)
Это уравнение удовлетворяется при X = at,Y~ 0; значит,
нормаль проходит (см. черт. 248) через точку опоры
N (at; 0) производящей окружности.
Пример 3. Найти уравнение нормали к эллипсу
Дифференцируя, находим:
0
Я2 + bl - U-
Исключая дифференциалы из G) и A), находим:
(Х-х)у (У-у)х
§ 256. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 321
§ 256. Производные высших порядков
Пусть /' (х) есть производная от функции / (х), тогда
производная от функции /' (х) называется второй произ-
производной от функции / (х) и обозначается /" (х).
Вторая производная называется Р1акже производной
второго порядка. В огличие от нес функцию /' (х) назы-
называют производной первого порядка, или первой производной.
Производная от второй производной называется треть-
третьей производной функции / (х) (или производной третьего
порядка); оиа обозначается /'" (х).
Таким же образом определяются производные четверто-
четвертого порядка /IV (x), пятого порядка /v (х) и т. д. (цифровые
обозначения вместо штрихов употребляются для кратко-
краткости, римские цифры-для отличия от показателей степени)
Производная л-го порядка обозначается /(п) (х).
Если функция обозначается одной буквой, например у,
то ее последовательные производные обозначаются:
у',у",у'",у1у,уу,..,уьо.
Пример 1. Найти последовательные производные от
функции /(х) = х*.
Решение. /' (х) - 4х3, /" (х) = Dх3)' - 12хг;
/'" (х) = 24х, /IV (х) - 24, р (х) = 0.
Дальнейшие производные тоже равны нулю.
Пример 2. Если у = sin x', то
у' - cos х - sin (х+тг) , у ^ - sin х = sin (x + rc),
у'" - - cosx = sin (х+-тг), ■ ■ • > У<я> - sin (x+n-j)-
Значения производных при данном значении аргумента
х- а обозначаются У (а), /"(«), f" (а) и т, д. В приме-
примере 1 имеем: /' B) = 32, /" B) = 48 н т. д.
Пример 3. Если / (х) = In A -1-х), то
f (у\ — l i"(\-\ — *- i"'(v\ — ]'2
' W ~ l-vx' i (X) - (I+x)>' ' W -A+Я)з'
Значит, / @) = 0, /' @) -- 1, /" @) = - 1, /"' @) - 2!,
/iv@) = -3!, /<-> @) - (~1)"^ (n-1)!
21 M. Я. ВыгодскиП
322 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 257. Механический емысл второй производной
Пусть точка движется прямолинейно и, пройдя путь s
за время (, приобретает скорость v. Пусть эта скорость
меняется и за промежуток времени ((, t-\-At) получает
приращение Av. Тогда отношение - ^ дает изменение ско-
скорости, приходящееся (в среднем) на единицу времени, и
называется средним ускорением. Это отношение характе-
характеризует быстроту изменения скорости в момент * тем точ-
точнее, чем меньше At. Поэтому ускорением (в момент ()
называют предел отношения -дт при At ->■ 0, т. е. про-
dv ds
изводную -^г. Но сама скорость t> есть производная —.
Поэтому ускорение есть вторая производная пути по
времени.
Пример. Движение незатухающего колебания мем-
мембраны представляется уравнением
s = osin^ A)
(Т - период колебания, а — амплитуда колебания, s -
отклонение точки мембраны от положения покоя).
Скорость движения равна
v = 8' = &F-cqs2£. : \ B)
Ускорение равно
« = S" = —fi— S'" "г" ' C)
Сравнивая A) и C), виднм, что
." - -^». D)
т. с. упругая сила колебания (она пропорциональна ускорению по
второму закону Ньютона) пропорциональна отклонению и имеет про-
противоположное направление.
i
I § 258. Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим ряд равноотстоящих значений аргумента
Х,х+Ах, х+2Ах, х + ЗАх,...
и соответствующие значения функции
У = fix), У! = }(х + Ах), у, = }(х-\ 2 А*),
§ 238. ДИФФИРЬНЦНЛЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 323
Введем обозначения
Ду = /(х+Дх)-/(х),
ДуА - /(X ! 2Л.\-Ь/(*Н-Лх).
Ду, = /(x-f ЗДх)-/(х+2Дх)
и т. д Величины Ду, Дуц Ду2, ■ ■ ■ называются первыми
разностями функции / (х). Вторыми разностями назы-
называются величины Дух-Ду, Дуд-Ду! и т. д. Они обозна-
обозначаются Д'*у (читается: «дельта два пгрэк»), Д!у! и т. д.:
Дгу- Д>1-Ду,
ДгУ1 = Д)'=- Дуг
Аналогично определяются третьи разности Д3у = Дгу1~Дгу
и т. д.
Пример I. Пусть / (х) = х3 и х = 2. Первые разности
будут:
Ду = B | ДхK-23 - 12Дхч бДхМ Дг3,
Ду! =-- B [ 2ДхI-B | ДхK = 12Дх- | 18 Дхг-| 7Дх3,
Ду. = Bf ЗДхK-B | 2ДлK = 12Дх4 30 Дх*+ 19 Дх3.
Вторые разносш:
Дгу =- Дух-Ду = 12Д.\М 6Дх3, * .
Третьи разности:
Д-*у = Д^-Д'у = ОДх3,
При бесконечно малом Дх первая разность имеет, как
пранило, первый порядок относительно Дх, вторая раз-
разность — второИ порядок, третья — третий и т. д.
Главный член первой разности A2 Дх в примере I) мы
назвали (§ 228) дифференциалом функции- Теперь будем
называть его первым дифференциалом. Вторым диффе-
дифференциалом мы назовем итвный член второй разности,
пропорциональный Дх- A2 Дхг в примере 1), третьим диф-
дифференциалом— главный член третьей разности, пропор-
пропорциональный Дх3 FДх3 в примере 1), н т.д. Сформули-
Сформулируем это точно.
Определение. Пусть вторая разность Дгу функции
у=/(х) разбита на сумму двух членов:
21
324 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где В не зависит от Дх и член {J имеет высший порядок
малости относительно Дхг. Тогда член в Axs называется
вторым дифференциалом функции у и обозначается (Ру
или d2f(x). Аналогично определяются дифференциалы
высших порядков.
Теорема 1. Коэффициент В прн Дхг о выражении
второго дифференциала равен второй производной /"(х).
Коэффициент С при &х3 и выражении третьего дифферен-
дифференциала С Дх3 равен третьей производной f'"{x) и т. д.
Пример 2. Если /(х) = х3, то /"(*) = 6х. В соответ-
соответствии с этим d2(xs) = бх Ахг. При х = 2 имеем: <Я(х3) =
= 12Дх2 (ср. пример 1), Далее f'"(x) - 6 (при любом
значении х); в соответствии с этим da (х3) = 6 Дх3.
Теорему 1 можно иначе сформулировать так:
Теорема 1а. Дифференциал л-ro порядка равен про-
произведению л-Й производной иа л-ю степень приращения
независимого переменного:
d"/(x) = /"ч(х)Дх\ A)
Так как для независимого переменною имеем:
Дх - dx,
то
/w(x)dx»1). B)
ПримерЗ. d (х1) = 4х3 dx, d* (x*) = 12ха dx2; d3 (x*) =
= 24х dx3, £/*(х*) = 24 dx*, d6 (x*) = 0, de(x*) = d1 (x4)
. .. = 0 (ср. § 256, пример 1).
Пример 4. dn (sin x) - sin (x + n~) dx" (ср. § 256, i
пример 2).
Теорема 2. Если считать дифференциал dx аргумента х вели-
величиной, независящей от*(то второй дифференциал функции/(х) равен
дифференциалу от первого ее дифференциала:
d(df(x)) =rf2/(x). C)
При Том же условии третий дифференциал есть дифференциал второго
и т. д.
J) Если х не является независимым переменным, то формула A),
как правило, не верна ни при каком значении п, даже при л = I (ср. f
5 234). Но для дифференциалов высшего порядка (п=2, 3, ...), как|
правило, не верна в этом случае и формула B), которая при л=1|
всегда справедлива. Иными словами, выражения/" (х) dxa,/'" (x) dx3,...
не инвариантны.
Так, если Дх) = х3, то выражение 6х dx ^представляет а* (х3),
когда х есть независимое переменное. Если же положить х = '1 и при-
принять за независимое переменное не х, a t, то/(х) =1В, и мы получиИ:
их rfx* = 24t* di*, тогда как dy (x) « 30/» dP.
§259. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 325
ПримерЙ. Пусть / (х) = х'. Имеем, df (x) =4xJ dx. Если считать
dx не зависящим от х, то при дифференцировании его нужно рассма-
рассматривать как постоянную. Значит, d{4xJdx) — d DxJ) dx = \2хг dx%.
А зто— второй дифференциал от функции х* (пример 3). Далее
d [i/B(x3>] =-rf A2x-: dx*) = d A2x*) </x2 = 24x dx*, а это -третий диффе-
дифференциал от х* и т. д.
Второй дифференциал от линейной функции независи-
независимого переменного равен пулю:
d*(ax+b) = 0.
В частности, второй дифференциал независимого пере-
переменного равен пулю: йЪс-^О.
Третий дифференциал от квадратичной функции равен
нулю:
d3(axz + bx + c) = 0.
Вообще, (п +1 )-й дифференциал от многочлена л-й
степени равен нулю. ^j ,ф
§ 259. Выражение высших производных
через дифференциалы
Выражение второй производной через дифференциалы])
имеет вид
dxdiy~dyd*x /п
Оно пригодно при любом выборе аргумента.
Если за аргумент принять х (тогда <1&х = 0), то
Это выражение вытекает также из B) § 258 (при п-2).
Из той же формулы вытекают выражения
при условии, что х есть независимое переменное. Общие
их выражения сложны2).
1ч т. ,, fly' йУ . х
!) Имеем: у = - ; сюда подставляем у' = - —; при дифферен-
дифференцировании применяем георему 2 § 258.
2) Имеем: у'" = -^— ; сюда подставляем пыр 1жение A). Результат
удобнее всего представить в пиде
[dx dy \dx dy l
dx - 3d<x :dxs. D)
Дальнейшие выражения еще сложнее.
326 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. Производная n-iо порядка часто обо-
обозначается -г~ безотносительно к тому, какая величина
принята за^ргумснт. Но в это выражение нельзя под-
подставлять выражения переменных у н х через какой-
либо параметр.
§ 260. Высшие производные от функций,
заданных параметрически
Пус1ь у есть функция от х, заданная уравнениями
х = <И0, >•-/(')• A)
Производные первого и второго порядков находятся по
формулам1)
'(О
л," -
у -
Выражения последующих производных сложны2), когда
функции /(() и <р (() даны, вычисление проще выполнять
шаг за шагом, как в нижеследующем примере.
П р и м е р. Пусть
х = a cos (, у = b sin (.
Тогда (ср. § 252, пример 2) ***
у' =- й {Ь sin (): и (a cos () - - ~ .ctg (.
Далее
4
у = d(— *) : d (fl cos 0 = - ^Ц
•" \ й! bin1 // v ' a1 sin' I
н т. д.
§ 261. Высшие производные неявных функций
Чтобы нанги последовательные производные от функ
ции у аргумента х, заданной неявно каким-либо уравне-
уравнением, надо последовательно дифференцировать эго урав-
*) Формула C) выводится, как формула (t) § 254, и может быть
получена из последней заменой дифференциалов соответствующими
производными по параметру.
г) См. вторую сноску | 259.
§ 2GI. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 327
иенис, т. е. приравнивать дифферецицалы (или производ-
производные) правой и левой частей. Получим ряд равенеш; из
первою равенства найдем выражение у' через х и у, вто-
второе (с учетом найденного выражения у') даст выражение
у" через х и у, третье (с учетом найденных выражений
У, У") Даст )'"' " '■ А- В частных случаях возможны упро-
упрощения.
Пример. Наши производные до трегье-iо порядка or
функции у — /(х), заданной уравнением
х* + У2 = 25, е • О)
п определить значения этих производных в точке C; 4),
Решение. Приравнивая дифференциалы, получаем:
xdx + ydy = 0, B)
откуда
хн уу' = О. Bа)
Приравнивая дифференциалы обеих частей Bа), находиу
dx + y'dy + yy"dx = О, C>
откуда
Дифференцируем «це раз
2/ dy' + y' dy-^yy"' dx = О, D)
откуда
Зу'у" + уу'" = О. Dа)
Из Bа) находим:
У--$. E)
Из (За) находим: у''= ~—; учитывая E), получаем*
Из Dа), учитывая E) и F), находим:
Подставляя
У
X
=
3
У
У
=
У
4
у5
в E), F)
25
64 '
н G),
у"
находим:
. 225
~ 1024 "
328 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание 1. В данном случае можно упростить вычисление.
25
В силу уравнения х2 i у1 = 25 формула (fi) принимает вид у" ~ .
Отсюда у-"- -^(|i) = ^y'=-^-f-
Замечание 2. Нет необходимости выводить (За) из C), Dа) и?
D) и т д. Можно ерлэу брать производные. Но презрительное вычи-
вычисление дифференциалов страхует от неьоюрых ошибок, свой»,!венных
начинающим (для производной от у'* пишут 2у' вместо 2у'у" и т. п.,
ср. ^ 238, замечание).
«*-* § 262. Правило Лейбница
Чтобы составить выражение производной л-ю порядка
от произведения uv (по любому аргументу), надо разло-
разложить (ц+г>)" по формуле бинома Ныоюна и в полученном
разложении заменить все степени производными соответ-
соответствующего порядка, причем нулевые степени (uo~v°=\),
подразумеваемые в крайних членах разложения, заменить
самими функциями.
По этому правилу получаем:
(uv)' = u'v+uv', A)
(uv)'' = u"v-\-2u'v'4 uv", B)
(«»)'"= u'"w + 3u'V-f Zu'W + wo"', C)
Это'правило, подмеченное Лейбницем, доказывается мето-
методом полной математической индукции.
Пример 1. Haiiin десятую производную от функ-
функции (?Х*.
Решение. По формуле D) (при и = ех, v- хг, п- 10)
имеем:
(<?Х2)Х = (е')ххв+ 10(еу<(х*у-} 45(е*УП1{х*)" + . .
Следующие ела! аемые нет иужды выписывать, так как про-
производные от х-1 третьего и высших порядков равны нулю
Учитывая, чю все производные oi ex равны е\ получаем
(еЕх2)х'= е'(х2
Пример 2. Найти значения всех пргпав< дных от
/ (х) - arctg х при х = 0.
S 263. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ 329
Р е ш е н и е. Имеем.
так что
/@) = 0, /'@)= 1. F)
Непосредственное вычисление высших производных
очень громоздко. Но если представить E) в виде
и примениib правило Лейбница (н = /' (х), v = 1 + х2),
то получим;
/ом-»(х)A+х2)Н л/(")(хJх+п(п-1)/с-1>(х) = 0.
При х = 0 имеем:
/<«ii>@) {-п(п-1)^-^@) = 0. G)
Так как /1(|>@)_/@)-0, то значения всех пронзиод-
ных четного порядка равны нулю:
/" @) = Г @) = Г @) = . . . = 0. (8)
Так как //@)=1,то нз G) находим последовательно:
Г'@)= -1-2/'@)= -B!),
/v@)= -3-4/'" @)= +D!),
) - — Bft— 1) 2Л/<В*—»> @) = (-1)* Bft!).
§ 263. Теорема Ролля J)
Теорема. Пусть функция /(х), дифференцируемая
в замкнутом промежутке (а, Ь), обращается в нуль на кон-
концах промежутка. Тогда производная /'(х) по меньшей мере
опии раз обращается в нуль внутри промежутка.
1) М, Ролль A652-1719), современник Ньютона и Лейбница,
считал дифференциальное нечисление логически противоречивым и,
естественно, не мог высказать *теоремы Ролля». Роллю принадлежит
одна алгебраическая теорема, из которой вытекает такое следствие:
если «.и Ь—корни уравнения хп + р.х"" + р2\п—% + ... +р„_,х + рте=0,
то между а и ft лежит корень уравнения лхч~1 + (л — lj^x»1"* + ...
...+pn—i=0. Это предложение есть частный случай «теоремы
Роляя' (левая часть второго уравнения есть производная левой части
первого уравнения). Отсюда название (исторически неточное) теоре-
теорема Ролля*.
330
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
На черт. 251 между точкам» х = а и х — Ь, где графин
функции / (х) пересекает ись ОХ, есть три точки L, Л1,
Л', где касательная параллельна оси ОХ (т.е. /'(х) = 0).
На черт. '252 между х—а п х = Ь пег ни одной точки с -горизон-
-горизонтальной» касательной. Причина в том, «го а точке С у график,! чет
Касательной, т. е. функция /(х) не дифференцируема в точке х-с
[здесь есть две односторонние производные (§ 231)].
мА
0 0. I т л
> Черт. 251.
О а. с Ъ X
Черт. 252.
Замечание 1. Если дифференцируемая функция /(х) имеет
при х — а и х —Ь одпн.жоные значения, хотя Ru и не равные нулю, го
производная/' (х) равным образом обращается в нуль внутри проме-
промежутка (а, Ь).
Замечание 2, Теорема Ролля остается в силе и в том случае,
когда/(х) дифференцируема лишь во внутренних точках промежутка!
(а, Ь), нд концах же функция/(\) может быть и не дифференцируе-1
мой, а только непрерывной.
Обычно теорема Ролля высказывае1СЯ щ-<\\ этих наиболее оПщия
условиях, что усложняет ее формулировку и затрудняет усвоение ос
пивного ее содержания. В дальнейшем (§ 2(i4, 266, 283) мы формулиру-
формулируем условия ряда теорем также не в самых общих предположениях,
последние приводятся но вторую очередь н виде замечаний.
§ 264. Теорема Лагранжа ]) о среднем знамении
Формулировка теоремы, Если функция / (х
дифференцируема в замкнутом промежутке (а, Ь), то от-
отношение ^if)_ ^ - - равно значению производной /' (*!
в некоторой точке х=^ 2), лежащей внутри пролгежути
(а, Ь):
/'E)-
Ь-а
I) Ж о а е ф Луи Л а г р а н ж A73G — I Si 3) -великий фр
ский ученый, создатель аналитической механики, один на творц'
вариационного исчисления.
и) Греческая буква % (кси) —стандартное обозначение для
него значения- аргумента (т. е. значения, содержащегося внутри да]
ного промежутка).
264. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 331
Геометрическое истолкование. Отноше-
Отношер
ние ^Ц~ — ак (чеРт> 253) есть Углов°й коэффициент
хорды А В, а /' E) -угловой коэффициент касательной NT1,
Теорема Лагранжа утверждает, что между Аи В на. дуге
Л В найдется по меньшей мере одна точка N, где каса-
касательная параллельна хорде А В при условии, что в каждой
точке дуги АВ существует касательная.
о a g ь х
Черт. 253.
О а с Ь х
Черт. 254.
Из черт. 254 видно, что при несоблюдении этого условия теорема
может быть неверной. В точке С нет касательной (существуют лишь
односторонние касательные —правая и левая). Функция/ (х), изобра-
изображаемая графиком АСВ, недифференцируема при х=с, и теорема
Лагранжа оказывается неверной: ни при каком промежуточном значе-
значении 5 производная /' (х) не равна отношению ~-^~1—- -.
о — а
Механическое истолкование. Пусть /(() -
расстояние точки в момент / от начального положения.
Тогда/(&)-/(й) есть путь, пройденный с момента t~a
по момент t ~ Ь, отношение *{Ь\~_?а^ ~ средняя ско-
скорость за этот промежуток времени. Теорема Лагранжа
утверждает, что в какой-то промежуточный момент ско-
скорость точки равна средней скорости движения при усло-
условии, что в каждый момент точка обладает определенной
скоростью.
Теорема может оказаться неверной при невыполнении этого усло-
условия. Так, если точка движется первый час со скоростью 20 м/час, а
второй —со скоростью 30 м/час, то средняя скорость движения равна
25 м!час; такой скорости точка не имела ни разу в течение двух часов.
Причина нарушения теоремы —в том, что в конце первого часа точка
не обладала определенной скоростью *),
]) На самом леле переход от скорости 20 м/час к скорости 30 м/час
обычно происходит не мгновенно, а постепенно в течение незаметного
промежутка времени, и тогда есть такой момент, когда скорость равна
25 м/час.
352 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Другая формулировка теоремы Лагран-
ж а. Уравнение
i w - b _a
(при выполнении условия теоремы) имеет по меньшей
мере один корень х= % внутри промежутка (я, Ь).
Положение этого корня (или корней) зависит от вида
функции /(х). Если она -квадратичная (график-пара-
Сола; черт. 255), получаем уравнение
* gt первой степени; его корень лежит в
точности иа середине (а, Ь), т. е.
Для остальных функций это свойство
осуществляется приблизшельно; именно,
^ если а имеет постоянное значение, а Ь
а ' g (, х стремится к а, то один из корней, как
правило *), стремтся к середине отрезка
Черт. 255. ,а> м т. е. Vim \ = -х- при
Пример 1. Пусть }(х)=х2. Тогда /' E) = 25. Фор-
Формула A) принимает вид
откуда
т. е. 5 лежит в точности на середине промежутка (а, Ь).
Пример 2. Пусть /(х) = х3, тогда j'(x) = 3x2. Возь-
Возьмем а=10, 6=12. Имеем:
-/(а) ^364
Согласно теореме Лагранжа урапненне Зха = 364 должно
иметь корень, лежащий между 10 и 12. Действительно,
его положительный корень х — V 121-^- « 11^015 лежит
па отрезке A0, 12) и притом близко к середине.
Замечание. Теорема Лаграпжа остается в силе и в том случае,
когда функция/(х) дифференцируема лишь во внутренних точках
промежутка (я, Ь) (на концах же не дифференцируема, а только непре-
непрерывна).
1) Исключение составляют лишь случаи, когда вторая производ-
производная j"(q) равна нулю или не существует.
§ 265. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ 333
- § 265. Формула конечных приращений
Формулу A) § 264 можно переписать в виде
/(&)-/(а) = /'(£) (Ь-а) A)
или прн иных обозначениях
/ (в + А)-/(а) = /'($) А. B)
Это - формула конечных приращений; ее пишут также
в виде
Применение к приближен и ы м вычн с-
л е ни я м. в § 248 мы применили для вычисления / (а + 1г)
приближенную формулу
f (a + h) « / (о) + /' (a) ft. D)
Точная формула C) (хотя значение £ неизвестно) позво-
позволяет оценить погрешность формулы D). Если >ке в фор-
формуле C) положить 5 = ^т~г то хотя оиа и перестает
быть точной, но дает, как правило (ср. § 264), гораздо
лучшее приближение, чем D).
Пример. Найти без таблиц lg 101.
Полагая / (х) = Ig х, имеем /' (х) = —■ (М = 0,43429).
При а = 100 и h = 1 формула D) дает:
Ig 101 ^ lg 100+M-—Q *1 = 2,0043429. E)
Для оценки погрешности применим точную формулу C);
получим:
lg 101 = iglOO-fM.j-.l. F)
Здесь % лежит между 100 и 101, так что -=- >■ у^у. По-
Погрешность формулы E) составляет М ц^-т > а эта ве-
величина заведомо меньше, чем М{-^-~), т.е. меньше,
чем 0,00004. Такова предельная погрешность формулы E)
(истинная погрешность вдвое меньше).
Если же в формуле F) положить % = \ A00+101) =
~ 100,5, то получим:
Ig 101 * lg 100-I-М-0,00995025-1 « 2,0043213. G)
334 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Здесь неверна лишь последняя цифра; истинное ее значе-
значение на единицу больше.
Следствия и з формулы A). Из определения
производной непосредственно следует, что производная по-
постоянной величины равна нулю. Из формулы A) вытекает
следующая обратная теорема.
Теорема 1. Если производная /'(х) н промежутке
(т, л) всюду рашш нулю, то л этом промежутке функция
}(х) есть постоянная величина [г. е. для любых значений
(а, Ь) в этом промежутке1) значения функции / (х) оди-
одинаковы].
Пояснение. Функция / (х) по условию дифференцируема в
промежутке (т, л) и тем более в промежутке (а, Ь). Значит, к ней мож-
можно (§ 264) применить формулу A). В последней по условию надо поло-
положить/' (I) = 0. Получим/((I) =/(а).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает
Теорема 2. Поли вроизподные двух функций / (х),
9 (х) в промежутке (т, л) всюду равны, то в этом про-
промежутке зн&чътя обеих функций разнятся на постоянную
величину.
§ 266. Обобщенная теорема
■*- -* о среднем значении (Коши)
Теорема Коши»). Пусть производные/'^) и ?' (I) дпух функ*
1дий/(()и £ (I), дифференцируемых в замкнутом промежутке (а, 1>), не
обращакнея одновременно в пуль нигде внутри этого промежутка.
Пусть при этом о;дпа из функдии/@» 9 @ ".^бет неравное значения
ма кцнцух: ннтераала [например, ч> (°> Ич> (ft)]. Тогда приращения
/С') -/(а) и ? (b)~t? (а) данных функций относятся каких лрошнод-
ные в некоторой точке *=-3), лежащей внутри промежутка (и, b)i
Формула Лагранжа {формула A) § 264) есть частный случай фор.
мулы A) при ф (() = /.
1) Функция/(х) по условию определена во всем промежутке (т, п),
иначе она не всюду имела бы проилподцую. Если, вопреки условию,
функция/ (х) будет определена во всех точках промежутка (т, л), кро-
кроме, скажем, двух точек х =/.■ и х — I (ft -=: I), то может оказаться, что
функция является постоянной лишьи каждомиз (незамкнутых) проме-
промежутков (т, А), (/,-, /) и ([, л) пр отдельности, по при переходе от одного
из Них к другому меняет свое значение (см. примеры 1 и 2 § 247а),
ЧОгюстеп (по другому чтению Августин) Кош и A789 —
1857) —знаменитый французский математики физик. Коши поставил
задачу построить матема гическии анализ Hti строгом логическом осно-
основании и в основном разрешил эгу задачу.
3) т—греческая буква («тау»), соответствующая русской Еукве »т>
н латикскоИ t.
§ 26S. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
335
Геометрическое истолкование — такое же, как тео-
теоремы Л а гранжа. Только линия АС И (черт. 256) представляется пара-
параметрическими уравнениями
*V В
I Гмеем:
Отношение - (ЬГ_ ? г -угловой коэффи-
коэффициент хорды АВ, отношение ~~ = -?- — угло- Черт. 256.
вой коэффициент касательной N7'.
На черт. 25(> касательная NT параллельна хорде АВ, точка JV ле-
лежит па дуге An (но ее проекция W па ось ОХ не лежит на отрезке
А'И'; то же для проекции на ось OY).
Замечание 1. Если, вопреки условию теоремы, мы имели бы
/(о) =/(£>) и qj (а) —<р (Ь), то левая часть A) была бы неопределенна.
Замечание 2, В условии теоремы Коши требуется, чтобы/' (О
и ф' (t) не обращались одновременно в нуль внутри промежутками, Ь),
по па одлоч из концов (или па обоих) они могут одиоиременно обра-
ишься и нуль (и даже не существовать-лишь бы/(х) и $ (х) были
Мечрер1даны в обоих, концах).
Пример 1. Рассмотрим функции
/(/) «СИ 9@ ='=
п промежутке @, 2). На конце /^0 производные
/'(О =3** и ,'@ =2t
обращаются п нуль, но внутри промежутка обе отличны от нуля.
Каждая из функций /(/), q> (/) имеет неравные значения на концах ( = 0
и t=2. Условия теоремы Коши выполнены. Значит, отношение
/(*)-/(а)
должно равняться отношению
/'(О
B)-
2
в некоторой точке t=%, лежащей межлу а=0 и Й=2. Действительно,
уравнение
4
имеет корень /= —-, лежащий внутри промежутка @, 2).
Пример 2. Рассмотрим тс же функции /(/)=/» и гр (()
в промежутке ( — 1 — ■ 2 J. При а = — 1—, й=2 имеем:
f(h)~f(a) _ 6»-g» = 6»+й6 + аа = 1^
\b) — «р (a) ~ Ъ*-а?- (>+а 2 *
Уравнение
13
2
336
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
имеет единственный корень t~i-^ , ко он лежит вне промежутки
1—1-^-, 21. Теорема Коши оказалась неприменимой
по той причине, что точка (—0, где оОе производ-
производные /'@, 9'@ равны нули, лежит теперь внутри
промежупса (о, Ь), Геомефическая картина таков,):
параметрические уравнениях =B, у -— f3 представля-
представляют полукубичсскуго параболу АОП (черт. 257);
значениям а — — lVs, Ь2 соответс шуют точки
АBЧ4;~'Л31а)и В D; 8). На дуге АОП линии* = (*,
у=Р (полу кубическая п. ф.чбол а) нет точек, где каса-
касательная была бы параллельна хорде АИ (такая
точка есть за пределами ДУ1И АВ выше точки В).
Механическое истолкование. Пусть
t-время, а
— расстояния двух прямолинейно движущихся тел
}' и Q от их начальных положений. Tor,>(,t/'(/) н
ЧепТ 257 f С) суть скорости Vj- и Vq тел Р и Q. По условию
' * " ' теоремы Коши vp и vq не ршшы пулю одновременно.
Теорема утверждает, что 1:уги, пройденные телами
в промежуток времени (и, ь), относятся, как скоро-
скорости в какой-то промежуточный момент1) (один и тот же для обоих тел).
§ 267. Раскрытие неопределенностей вида
о
Если какая-либо функция не определена о точке х = а,
но обладает пределом при х -> а, то разыскание этого
предела называется раскрытием неопределенности. В ча-
частности, раскрытием неопределенности вида -^ называют
разыскание предела отношения ■:-.-;, где функции / (х),
ср (х) бесконечно малы при х -» а.
I) Поясним это наглядно. Пусть за промежуток времени (а, Ь)
тело Р прошло вдвое больший путь, чем Q (Sp = '2sq). Если оба движе-
движения равномерны, то в любой промежуточный момент имеем; vp = 2щ.
Пусть теперь одно из движений (или оба) нераиномерно. Невозможно,
чтобы всегда было \~р ;- 2vq (ибо тогда путь тела !• превосходил бы
путь тела Q более чем вдвое). Невозможно также, чтобы всегда было
Vp -=; 2vq. Поэтому, если сначала vp превосходит 2vq, то потом vp
меньше, чем 2v(i (и наоборот). Значит, в какой-то промежуточный мо-
момент должно быть vp=2vq. В этот момент имеем: vp : vq = sP : sq,
ибо no условию случай, когда Vp = vq = 0, исключается (в этом слу-
случае отношение Vj>; Vq было бы неопределе!гным).
g 267. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ВИДА ~ 337
Правило Лопиталя1).. Для разыскания предела
отношения --Щ- дпух функций, бесконечно малых при
х ~> а (или при х -> °°), можно рассматривать отношение
их производных ^-rfl ■ Если оио стремится к пределу (ко-
(конечному или бесконечному), то к тому же пределу стре-
f (х)
мится " отношение ^ 'и).
Пример 1. Найти lim l—^.
Функции / (я) *= ха -1 н © (х) = х3 -1 бесконечно
малы при хн- 1, Рассмотрим отношение :!7-^ = —. Оно
стремится при х-> 1 к пределу ~. Согласно правилу Ло-
пнталя к тому же пределу стремится ^tti • Д^нстви-
телыю,
Если не только функции /(х), ср (х), по и их производ-
производные /' (х), ©' (х) бесконечно малы при х -*■ а, то для
f (х)
разыскания предела ~~ можно повторно применить
правило Лопиталя.
Пример 2. Найти lira -^
Числитель и знаменатель бесконечно малы. По пра-
правилу Лопиталя
") Лопиталь A661 — 1704)|— автор первого печатного руковод-
руководства по дифференциальному исчислению A696 г.), где и сформулиро-
сформулировано правило (в менее точной форме, чем здесь приведенное). При
составлении атого руководства Лопиталь пользовался рукописью сво-
егоучителя Ивана Еернулли. В рукописи содержалось и упомянутое
правило. Поэтому название травило Лопиталя> исторически неточно,
') В формулировку правили обычно включается требование,
чтобы производная ф' (х) не равнялась нулю в некоторой окрестности
точки х=я. Это требование излишне, так кащ в правиле уже сказано, что
отношение ■ , , I имеет предел при х->о, а в силу определения
предела (§ 205) это возможно лишь тогда, когда ?' (х) ?*0 вблизи *с=й.
22 М, Я- Выгодский
338 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Здесь числитель и знаменатель снова бесконечно малы.
Применяем правило Лопиталя повторно:
Пример 3. Найти lim £z^*
Последовательно применяя правило Лопиталя, мы
дважды получим отношение бесконечно малых величии
Г
<?' (х) Г— COS X ' <?" {X)
В третий раз получил) отношение
COS X
При х-э- О оно имеет предел 2. Значит,
Mm elT_?Z*-2l - 2.
х ь п к
о
х- ь п к
3 а м е ч a ii н с I. Теоретически не исключена возможнос-п,, чш
все проиаиодпые обеих функции /(х), $ (х) Оудут бесконечно липы
На практике такие случаи не встречаются.
Применение правила Лопиталя бьпзает полезно комби-
комбинировать с преобразованиями, облегчающими разыскание
предела.
Пример 4. Найти Ит
Следуя правилу Лопиталя, Ищем предел отношения
Здесь /'(х) н 9'(х) бесконечно малы, но искать lim ~т^
f (х)
нецелесообразно Лучше преобразовать -- ■ к виду
и' замстив» чт0 lim (cos3x)=l, искать
hm -v——.По правилу Лопиталя этот предел равен
*81П х
3cosax.slnx ,. I „ 1
= Iltn COSX^
§ 268. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА — 339
Можно с самого начала заменить sin3 x эквивалентной
бесконечно малой х3, То1да
Повторное применение правила Лопиталя дает:
и« 3 cos^ х-sin x I ..„.sfnx I
Urn- g- =T Hm -—- = v.
Замечание 2. Может случиться, что отношение £-Щ при
х-*- а (или х-*- ») не стремится ни к какому пределу, в таких слу-
случаях отношение ~~ может тоже не иметь предела, но может и
иметь. Так, если /(t)=x+Sinx и <р (х) = X, то отношение
f (}
1 +со$ хпрпх-> оо не имеет предела. Однако отношение
/(а:) _ X 4- sin v _ . sin к
f (х}
при а ->- ™> стремится К единице.
§ 268. Раскрытие неопределенности вида ^
Правило Лопиталя (§ 267) имеет силу также и для
отношения £~О~ двух функций, бесконечно больших при
х -> а (или при х -*■ «>).
Пример 1. Найтн Hm ^.
Функции f(x) = In х н р (х) - х2 бесконечно велики
при х-»■■», Отношение 4-рг = тр- при х^-со стремится
К пределу 0. К тому же пределу стремится -~^,
Замечание. Сели f(x) и <р (х) имеют бесконечные пределы
при х—> а, го пределы /' (х) и у' (х) (если oira существуют) тоже
бесконечны, и правило Лопиталя приносит пользу лишь тогда, когда
f (x)
выражение ——-i удается преобразовать к более удобному виду
fM
легче, чеч выражение i-н.
9 W
22*
340 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 2. Найги ilm ——.
3 I
Функции tg Зх и tg х, а также их производные —— и —
бесконечно велики при х—> -£■. Представив отношение производных
*_ / COS X \ a* COS j£ ,
в виде 3( „-) , ищем lim -—^г- (теперь числитель и знаме-
\cos Зх/ я cosJx г
натель бесконечно малы). Применив правило § 267, получим
cos х ,. — sin x 1 „
ljm -—■=— = lira —7г-- ■=- = —.г . Следовательно.
те cos Зх п — 3 sin Зх d '
Но исходное выражение еще проще преобразуется к удобному
t З t
ttf Зх cty х
виду. Именно —— = -1— ,г- > таК чт<>
tg эе ctg Зх
.. tg3x ctgx llm sinS3x 1
K'Wx= nCtg3x~x^]L!=
a a
§ 269. Неопределенные выражения других видов
I. Неопределенность внда0• ■»,т.е.произве-
■»,т.е.произведение / (х) 9 (х), где / (х) -> 0 и ф (.\) -> оо. Это выражение
можно привести к виду -^ нли ^:
и затем применить правило Лопиталя.
Пример 1. Найти lim x ctg ™.
Преобразуем х ctg -• — х : tg Щ- и находим:
lim х ctg -J- = lim 1 1: y-~ I = 2.
Пример 2. Найти lim x4 In x.
Имеем:
lim x1 In x — lim [in x : -A — lim f— : -—-] ~ 0.
§ 269. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДРУГИХ ВИДОВ 341
11. Неопределенность вида оо -оо, т. е.
разность двух функций, каждая из которых имеет предел
+ оо (или каждая имеет предел — оо). Это выражение
также приводится к виду -^ или ^.
Пример 3. Найти lim [—- x(eJ+n] •
Приводим дроби к общему знаменателю; искомая ве-
величина есть lim —гггтт' т- е- пмеем неопределенность
вида Тг. Так как Jim (*■*+1) = 2, ти
V аг-»О
lim г-гттг = "о ''in — lim -=- ~ -=-.
Ш. Неопределенности в и д аО°, оо°, 1°°*, т. е.
функции вида j(x)fw, где lim/(x) -Он lim <p(x) = 0 или
lim f{x) = со, lim <p(x) = 0 или lim / {х) =■ I, lim 9 (х) = оо.
Здесь сначала нщсм предел логарифма данной функции.
Во всех трех случаях получаем неопределенность вида
Пример 4. Найти lim Xх (неопределенность 0°).
Полагая у = Xх, имеем In у = х Jn x. Далее,
lim In у = lim (inx :—) = lim (-i : -— \ = 0.
Отсюда
lim у = 1.
я—Э-0
Пример 5. Найти Jim A + 2х)х (пеопределен-
X—?- ОО
ность ™°).
1
Полагаем у = A + 2х)х ; имеем: 1п у = — In A -1 2х).
Далее,
lim In у = lim —к~—'- = lim у—^- = 0.
Значит, Jim у = 1.
342 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 6. Найтн lim (tgx)tgZ* (неопределен-
._„._
ность 1°°). _ ,
Имеем:
limlny= iim tg2xlnigx - Jim 1%Ц
it л
«я
( ' 2 \ _ _,
Значит,
u lim
§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора О
I. Бесконечные ряды у Ньютона. Для
отыскания производной от данной функции и главным обра-
образом для решения обратной задачи Ньютон заменял данную
функцию бесконечным степенным рядом, т. е. выражением
ai)-\-alx+a2x2 + a3x3+ ... +о„х"+ ... A)
с неограниченно растущим числом членов. Коэффициенты
аь, йь «21 ... брались так, чтобы выражение A) по мере
роста числа членов давало все более точные значения
функции. Так, функцию у—^ Ньютон заменял выраже-
выражением 1-х+х2-х3+ ... +(-1)"х"+ ... н писал2):
х3-ь ... B)
J) Настоящий параграф служит введением к § 271 и 272; последний
Можно читать и независимо.
а) Разложение B) получается, если к частному 1: A +х) применить
правило деления многочленов, расположенных по возрастающим сте-
степеням. До Ньютона формула B) была применена Николаем Мерка-
тором (в 1665 г.) в связи с вычислением логарифмов I производная от
In A +х) равна .г—-! , у Меркатора разложение в бесконечный ряд
ограничилось этим единичным случаем. У Ньютона оно стало об-
общим методом.
S 270. ИСТОГПЧЬСКИЕ CHf-.ДННИЯ О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА 343
Если 1 х | -= 1, то члены 1, —х, х1, . . . образуют беско-
бесконечную Убывающую геометрическую пршрессию, и сумма
ее равна -,-т-- Если же | х | = 1, то сумма 1-х +
+ X1-xd-r ... + (- 1)"V при л -> со не стремится
к —■, Учи/швая эю обстоятельство, Пыогон всегда огра-
ограничивался достаточно малыми значениями х.
Для разложения функций в бесконечные ряды Ньютон
пользуется разнообразными приемами. Так, формулу
A+х)" =
m(m —1) , m(m —1)(ш—2) , ,~.
■ \.2 -Хл + —^—ь27д х + ■ ■ ■ . C)
установленную ранее Паскалем1) для целых положитель-
положительных т, Пыотоп применяет к дробным п отрицательным
значениям т. Тогда число членов неограниченно возра-
возрастает. При т = -I получается формула B), при т = -2
получас1ся J):
\rky = 1-2х;Зл-^-4ха+ ... D)
Чтобы пай п[ производную от -гт-, Ныоюн диффе-
дифференцирует почленно 3) выражение B). Сопоставление с D)
показывает, что
2. Ряд Тейлора. В 1715 г. Тейлор1) сложным и
краппе нестрогим способе vt нашел общий вид выражения
A) для данной функции / (х), В нынешних обозначениях
результат имеет вид
f'$>x+£f^tf+?$>*+ ... (б)
1)Блез Паскаль A623 — 1662)—знаменитый французский
философ, лигемагик и физик.
s) CojHan.iH, что ею пь|Воды не строги, Ньютон проверял их h.i
примерах. Так, пыполи л л почленное умножение A — х + х2—xJ+ ■..) X
ХA -х + х2 -xJ + ..,), он находил 1 —2х + Зх2 ~4х'+ ... и этим
проверял формулу D).
J) Ньютон не знал, что теорема о производной суммы может
оказаться неверной для неограниченно растущего числа слагаемых.
Впрочем, для рядов вида A) эта теорема (при достаточно малых зна-
значениях х) справедлива, iai< чго ошибок не получалось,
') Б р v к Тейлор (lt>85 -1731) -английский математик, уче-
ученик Ньютона,
344 ДИФФЕРЕНЦИАЛ!,НОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Так, если /(Х) = 1Л_, то /<«> (*) = (~^п1\ • Зпа-
чит, /@) — 1 и —щ-^- = (- 1)п, так что формула (б) дает
разложение B). Если / (х) = тгт-п, получим разложе-
ннс D).
3. В ы в о д М а к л о р е н а'. Через 30 лет Маклорсн 1)
дал следующий простой вывод формулы Тейлора. Он
рассматривает равенство
/ (х) = а0 + акх f о2хг ч я3х3 ■!- аАх* + ... G)
и, желая определить коэффициенты «,„ «t, о2) . . . , после-
последовательном дифференцированием находит:
(8)
/' (х) - Oj
/" (х) .з
/"' (х) ^ 2 -Зв3 + 2 -3 -Аа4х + . . . ,
Подставляя в G) и (8) х = 0, он последовательно полу-
получает2):
а» = /@), в1 - /' @), аг = Ц®., а3 = ^ и т. д. (9)
4. Ряд Тейлора в общем виде. Таким же обра-
образом выводится формула
/(*)= /(а)+^(х-а)+£М(х-п)*+ ..., (Ю)
дающая разложение функции по степеням {х-а). Эта
формула тоже била известна Тейлору; но существу она
не дает ничего нового в сравнении с F).
') К о л и н Маклорсн A698 — 1746)—английский математик;
степенной ряд F) ньше называют (без досгавочцого основания) рядом
Маклорена.
*) Если доказать законность почленного дифференцирования ряда
G), то вывод Маклорена безукоризненно доказывает такую теорему;
если f(x) разлагается в ряд G), то коэффициенты а0, ах, аг>... выра-
выражаются формулами (9). Однако есть функции, которые не разлагаются
в ряд G) [хотя их производные/'' @),/" @),... существуют]. Пример
такой функции дан в последнем подстрочном примечании настоящего
параграфа.
§ 270. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА 345
Так, для функции / (х) ^ 1 п х при а = 1 формула A0) дает:
Если же взять функцию /(х) =1п A +_\), то по формуле F) найдем:
1-2 v3 y<
-:-^ jn<l+x)=x-^-+*—^-+... A2)
Положив l+x=z, получим формулу
1112 - 1 2 + 3 4 +-'" AЛ)
коюрсш отличается от A1) только обозначениями.
5. Остаток ряда Тейлора. Функции, которые
были известны в 18-м веке, допускают разложение в ряд
Тейлора A0) (при любых значениях а, кроме тех, при
которых функция или одна из ее производных обращается
в бесконечность). Основываясь на своем ограниченном
опыте, математики 18-го века не сомневались в том, что вся-
всякая непрерывная функция разлагается в ряд Тейлора. Одна-
Однако ощущалась потребность в точной оценке погрешности,
которую дает формула A0), если ее оборвать на члене,
£?-<&-(х-а\*
В 1799 г. Лагранж вывел для «остатка ряда Тейлора»,
т. е. для разности /?„
" а)"],
следующее выражение:
Здесь ^-некоторое число, лежащее между а и х.
Доказательство Лагранжа предполагало разложимость
функции / (х) и ряд Тейлора '). Четверть века спустя Коши
доказал формулу A5), не опираясь на это предположение;
он также дал другое выражение остатка. По выражению
остатка стало возможным судить и о разложимости функции
в ряд Тейлора: если lim /?„ - 0, то функция f (х) разла-
гастся в ряд Тейлора, в противном случае не разлагается.
•) Лагранж даже доказывал, что такое разложение возможно для
всякой непрерывной функции, но доказательство было неудовлетвори-
неудовлетворительно.
346 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Коши дал первый пример функции х), которая хотя и
обладает в точке х ~ а всеми производными, но не раз-
разлагается в ряд A0) по степеням х — а (практического
значения такие функции не имеют).
';, § 271. Формула Тейлора3)
Теорема. Если функция / (х) обладает в замкнутом
промежутке («, 6) производными до (n-fi)-ro порядка
включительно 3), то
где ^-некоторое число, лежащее между о и Ь.
Формулу A) называют формулой Тейлора.
Последнее слагаемое-—-^ {Ь - а)^п+1>, называемое
остаточным членом в форме ЛагранжаА), дает точнее
выражение разности Rn между / (Ь) и выражением
Тейлора»):
•) Эта Функция задается формулой /(х) — е при добавочном
усповни/@) =0 (при х~О формула теряет сд^ысл). Функция / (х)
имеет в точке х—0 производные любого порядка, Все они раены
нулю в этой точке, так что правая члеть формулы A0) гождесшенпо
равна нулю. Однако/(я) нигде, кроме точки х=0, не обращается
в нуль.
г) Рекомендуется предварительно прочесть § 270,
;i) Ma концах промежутка {п+ 1)-я производная может не суще-
существовать, лнщь Ой п-я производная была непрерывна не только ицут-
ри, по и на концах промежуцга.
*) В отличие от других форм остаточного члена.
§ 271. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 347
Формула Тейлора устанавливает, что уравнение A),
в котором за неизвестное принимается %f имеет по меньшей
мерс одно решение1), лежащее между л и 6 (ср. § 264).
Когда а рассматривается как постоянная, а Ь как пере-
переменная неличина, вместо 6 пишут х:
fix) - !(a) \-^{x~a)+ . . . -f ^~}- (х-а)Ч-
При й = О получаем так называемую 2) «формулу Макло-
Пример. Применим формулу D) при п = 2 к функции
Значит,
^ 1
if" '. 21
D) принимает вид
Здесь ^ лежит между нулем и х. Важно отмстить, что
формула верпа только при х >■ — 1. В этом случае условие
теоремы выполнено: функция у-- в замкнутом промежут-
промежутке @, х) обладает всеми производными.
Решая C) относительно >-, /мходнм:
F)
Легко проверить, что при х > - 1 первой корень
действительно лежит между нулем и х.
1) При неизменных значениях а \л Ь величина £, как правило, ме-
меняется с изменением л,
■О Ср. % 270, п. 3.
348 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если же х *sz - 1, то условие теоремы не выполняется,
ибо функция у— не имеет производных в точке-1, а эо
* "Г А
точка либо оказывается внутри промежутка @, х) (если
х < — 1), либо совпадает с его концом (если х — ~ 1).
Формула E) становится неверной: при х — - 1 левая
часть теряет смысл, при х -= -1 уравнение E) имеет
мнимые корни.
Замечание. При п = 0 формула Тейлора B) [в ко-
которой вместо fIOi (а) надо напнеать / (а)] дает формулу
конечных приращений (§ 265)
/(*)-/(«) = /'E) (*-а). G)
При п ~ I получаем,-
(Я)
нли при других обозначениях:
Черт. 258. , , . ^J^ (8a)
Эта формула дает выражение разности между приращением
функции н ее дифференциалом (отрезок СВ на черт. 258).
Если пторая производная/" (х) непрерывна при расемдтрипаемом
значении х, то разность между приращением функции и ее дифферен-
дифференциалом имеет второй порядок относительно Дх [когда/" {х)^0] или
более пысокий [когда /" (х) =0]. Ср. § 230-
§ 272. Применение формулы Тейлора
к вычислению значений функции
Формула Тейлора часто позволяет вычислять значения
функции с любой точностью.
Пусть известны значения
/(а), Г {а), Г {а), Г (а), ...
функции / (х) и ее последовательных пронзводных в «на-
«начальной» точке х = а. Требуется же найтн значение функ-
функции / (х) при ином значении х.
Во многих случаях для этого достаточно вычислить
значение многочлена Тейлора
Ца)+£*р (х-а) +ГЬ1(Х-ау I- ...
.+££). {х-аГ, A)
g 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 349
взяв здесь два, трн нлн больше членов в зависимости от
требуемой степени точности. Конечно, мы допускаем при
этом некоторую ошибку Rn; она равна
R. = /() [/()^Р ()^()
Но часто оказывается, что ошибка Rn неограниченно
уменьшается (по абсолютному значению) с увеличением
числа членов (т.е. Нт /?„ = 0). Тогда многочлен Тейлора
может дать искомое значение / (х) с любой степенью точ-
точности.
Число членов, обеспечивающее требуемую степень точ-
точности, существенно зависит от того, как велико расстояние
jx-a от начальной точки я до точки х. Чем больше
|х — о. , тем больше членов приходится брать (см. при-
пример 1). Нередко случается и так, что стремление RH к нулю
не только замедляется с ростом расстояния | х~а \, но при
дальнейшем росте и вовсе прекращается (см. пример 2).
Тогда многочлен A) пригоден для вычисления / (х) лишь
на ограниченном расстоянии от начальной точки.
Значит, надо уметь ответить на следующие вопросы:
приюден ли многочлен A) для вычисления /(х) на данном
расстоянии |х-я[ от начальной точки а и если да, то
сколько членов надо взять для достижения требуемой
точности? Важно также знать, для всякого лн расстояния
|х~я| ошибка /?„ стремится к нулю с ростом числа чле-
членов, а если не для всякого, то где его граница.
Для решения этих вопросов применяются различные
приемы. Один из них1) основывается иа теореме § 271,
позволяющей представить ошибку /?„ в следующем виде 2):
Число 5 здесь неизвестно; мы знаем лишь то, что 5 лежит
между я и х. Но и этого бывает достаточно, чтобы оценить
ошибку /?„ и ответить на поставленные выше вопросы.
1) Этот прием не является наилучшим; иной раз он н вовсе не до-
стигйет цели. Другие приемы указаны ниже (§ 401),
*) Предполагается, что функция/ (х) удовлетворяет условиям тео-
теоремы § 27]; во множестве практически важных случаев так и бывает.
350 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 1. Пусть / (х) = ег. Все производные этой
функции равны ё°. Нам известно значение с1 в точке х = 0
(именно е°=1). Эту точку мы и примем за начальную.
Условия теоремы § 271 соблюдены при всех значениях х.
В многочлене Тейлора A) надо положить;
/'(<!)=... = /<»> (а)=1, . D)
и он принимает такой вид:
l+lx^xM... + ^эс".* * " E)
Заменив значение е* значением многочлена E), мы до-
допустим некоторую ошибку R,,', она равна
Так как /<»+1>(х) = е1', ю ошибку Rn согласно фор-
формуле C) можно представить в таком виде:
Чело ^ лежит где-то между иулел\ и х (оно зависит и
от х и от л). Значит, е^ лежит между е°= 1 и ег. Этого
достаточно, чтобы оценить ошибку.
Пусть, например, надо вычислить значение е* при
х=—, т. е. шплечь квадратный корень из числа е. Так
как число с заключено между 2 и 3, то е '- меньше чем 2.
а е5 и подавно. Из G) следует, что \Rn\-= (ТГ+пЛ2/ '
т. е.
С ростом п величина г^гиг^ (пРеДелЬ11ая погреш-
погрешит,
(91
ность) стремится к нгглю, а ошибка Rn и подавно. Значит
многочлен E), который теперь принимает значение
112
пригоден для вычисления /<Гс любой точностью.
Определим теперь, сколько членов должна иметь сумма
(9), чтобы обеспечить точность, скажем, до четвертого
десятичного знака (т.е. до ±0,5-10-*). Для этого вычи-
S 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 35l
слясм предельную погрешность -.—- 1>]2- при п ^ 1, 2, 3
и т. д.1):
2! 2" ~ Т*
0 - 24»
ft- 1
° ~ 192»
1П_ *
ди ~ 1920 '
12 « ~i-
Здесь можно остановиться, так как а3040 ^ °'^ >10~4'
Итак, для обеспечения точности 0,5 -10"* достаточно,
чтобы сумма (9) имела шесть членов. Находим2):
1 в 1,00000,
-j^- «0,50000,
W = Tr2-: 4 = 0,12500,
1
3122
1
412*
1
312* ~
1
6! 25 ~
I
212
1
31 2*
1
412J
I
6-0,02083,
: 8
1,64869
В итоге получаем:
)Т= 1,6487.
Таким же образом найдем, что для обеспечения точно-
точности до±0,5-10~8 сумма (9) должна иметь 10 членов, ибо
1012я
п
>
i) Начиная со второй строки нижеследующей выкладки, мы прибе-
прибегаем к последовательному делению на четные числа 6, 8, Ю,..., осно-
основываясь на тождестве
s) Каждый член вычисляем до пятого дейггичного знака во избежа-
избежание накопления погрешностей.
352 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вычисление дает:
У^= 1 + 'Ш!+2T» + - ■ •+ 9Г2Г = 1.64872127.
Взяв 15 членов, можно вычислить е1'8 с точностью до
O,5-10~iG и т.д. Точность результата быстро возрастает
с ростом числа членов.
Точность возрастает медленнее, если вычислять е" при
66льшихзначениях |х|, например прнх=1 или при х~ — 1.
Положим х~1. тогда многочлен E), принимающий вид
даст приближеннее значение числа е. Ошибка Rn согласно
G) равна
Число е^ теперь заключено между £° и е1, т. е, между
1 и е, а гак как е ■< 3, то
Ошибка по-прем<нему стремится к нулю с ростом п.
Но теперь для обеспечения точности до 0,5-1O~* надо
взять девять членов (вместо шести), ибо предельная по-
погрешность 77>Thr лишь ПРН п = & становится меньше
0,5 -10~4. Вычисление дает:
Тт4пТ !!
Если надо обеспечить точность до 0,5-10"8, придется
взять 13 членов (вместо Ю); вычисление даст:
е - 1 + ТГ1-5г4+- * ■+ Ж = 2Д1828183.
Взяв 15 членов, можно вычислить е лишь с точностью до
0,5 ■ 10~10 (а не до 0,5 -10~16, как при вычислении fej.
Положим теперь х=™1. Тогда многочлен E), прини-
принимающий ВИД
5 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
333
дает приближенное значение числа е мг. е, —). Ошибка
Ra согласно G) равна
"» \ Ч (/1+1I-
Число % заключено между минус единицей и нулем; значит,
е5 „, eof Tt e< eS ^. jt Следовательно,
Предельная погрешность здесь втрое меньше, чем
дыдущем случае. Благодаря этому число членов,
чикающее требуемую
точность, может сни-
снизиться, ио не более чем
на единицу.Так,точность
до 0,5 -Ю^10 обеспечи-
обеспечивается теперь не 15 чле-
членами, а 14, что дня вычи-
вычислительной практики не
имеет существенного
значения.
Если вместо х= ± 1
мы будем брать значения
х, еще большие по абсо-
абсолютной величине, то
ошибка приближенного
равенства
в пре-
обеспе-
обеспе=г+г
X2
л!
A3)
Черт. 259.
будет стремиться к нулю еще медленнее. Однако, исполь-
используя формулу G) н рассуждая, как выше, мы убедимся,
что ошибка #„ будет стремиться к нулю при всяком
значении х.
На черт, 259 изображены график АСВ функции у=ег
н графики ее многочленов Тейлора
за начальную. Усло-
Пример 2. Пусть
Как в примере 1, примем точку
23 М. Я. Выгодский
354 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вня теоремы § 271 соблюдаются лишь при х =—1 [при
х*£ — 1 функция 1п A + х) теряет смысл]. Последова-
Последовательные производные выражаются следующим образом:
— * /" (х\ ~ 1 ь» ty\ *'2
- 1 +х > I W ~ A +X)s»/ W - A +Х)з »
так что (§ 256^ пример 3) будем иметь:
1Ш1 n
Многочлен Тейлора A) даст приближенное равенство
Тяккак /t"*1' [ln(i + x)]s=-^^~, то погрешность^
равенства A4) согласно формуле C) можно представить
в виде
где I лежит где-то между нулем н х.
Вычислим, например, значение ln(l-fx) при х=--0,1.
Получаем приближенное равенство
1110,9 * -0,1-|.0,1*-|.0,1*-... -~-0,\\ A6)
Его погрешность равна
Так как 5 лежит между нулем и -0,1, то
Значит, [^[(у^
§ 272. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
355
Предельная погрешность, очевидно, стремится к нулю
с ростом п, т. е. формула AG) способна дать 1п 0,9 с любой
точностью. Так, для обеспечения точности до 0,5-10~*
надо взять л=4; и ми получим:
in0,9 * -[оД + ~-0,01+-|.0,001+^-0,0001] * -0,1054.
Таким же образом убедимся, что формула A4) пригодна
всякий раз, как —% ^ х ■«: 1 *). Но при увеличении | х |
стремление ошнбкн Rn к нулю замедляется. Слабее всего
это стремление при х= 1. Тогда формула A4) дает:
in 2 *1-|-+£-...+(-!)•-*£. I
Чтобы обеспечить, например, точность до 0,5*10~*,
надо взять 19 999 членов.
1 г\ х
Черт. 260,
Когда же х хотя бы немного превосходит единицу
ошибка вовсе не стремится к нулю; напротив 1/?»|неогра
ничейно возрастает с ростом п.
На черт. 260 изображены графики функции у = In (I -f x)
(линия ЛСВ) н трех первых многочленов Тейлора.
з) Она пригодна и для всех у, лежащих мвжду — I и - -^, но вы-
выражение A5) не позволяет в этом убедиться
23*
к т а 1 b Ice
Черт. 261.
356 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 273. Возрастание и убывание функции
Определение 1. Функция / (х) называется еозра-.
стающей е точке х = а, если в достаточной бли-
близости от этой '(Очки значениям х, ббльшим а, соответст-
соответствуют значения f (х), большие /(й), а меньшим-меньшие.
функция / (ж) называется убывающей в точке х = а,
если в достаточной близости от этой точки зна-
значениям х, большим о, соответствуют
значения / (х), меньшие / (о), а мень-
меньшим—бблыпие.
Пример 1. Функция, изобра-
изображенная на черт. 261, возрастает в
точке х = а, ибо вправо от А точки
графика лежат выше, чем А, а вле-
влево — ниже. При этом рассматриваются
лишь те точки графика, ординаты
которых достаточно близки к орди-
ординате аЛ; в данном примере — это те
точки, которые не выходят за пре-
пределы дуги KL. За пределами последней Укапанное соотно-
соотношение нарушается; так, точка С лежит правее точки А,
по ниже се, точка U — левее, но выше.
Та же функция убывает в точке x = d, ибо в достаточной
близости от D точки графика справа лежат ниже, чем
D, а слева-выше.
Рассматриваемая функция убывает также о точке х = с.
В точках х = Ъ, х — е, х = т функция не является
нн возрастающей, ни убывающей (н точке х— Ь она имеет
максимум, а п точках х — е и х=т-мишшум; § 275).
Определение 2. Функция называется возрастаю-
возрастающей в промежутке (а, Ь), если она возрастает в каждой точ-
точке внутри промежутка (на концах она может не возрастать).
Аналогично определяется функция, убывающая в про-
промежутке (а, Ь),
Пример 2. Функция, изображенная на черт. 261, Убы-
Убывает в промежутке (I, d), ибо она убывает в каждой -ючке
внутри промежутка (и на его концах). В промежутке {Ь, е)
данная функция также убываег, ибо она убывает в каждой
точке внутри промежутка (на концах Ь и е функция не
убывает). В промежутке (т, Ь) функция возрастает, в про-
промежутке (a, d) она не является пи возрастающей, ни убы-
убывающей. Если же этот промежуток разбить на два: (а, Ь)
и (&, d), то r первом функция возрастает, во втором —
убывает.
g 274. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 357
Если функция возрастает в промежутке (о, Ъ), то в этом
промежутке большему значению аргумента соответствует
всегда большее значение функции; обратно, если в проме-
промежутке (а, Ь) большему значению аргумента соответствует
всегда большее значение функции, то функция возрастает
в промежутке {а, ЬI).
Если функция Убывает в промежутке (о, &), то большему
значению аргумента соответствует всегда меньшее значе-
значение функции, и обратно.
Геометрически: в тех промежутках, где функция
возрастает, ее график (прн движении направо) подымается,
в промежутках, где функция убывает, график опускается
(ср. пример 2).
ОпределениеЗ. Как возрастающая, так и убывающая (в дан-
данном промежутке) функция называется монотонной (в рассматрива-
рассматриваемом промежутке).
§ 274 Признаки возрастания и убывания функции
в точке
Достаточный признак. Если производная f'(x)
положительная в точке х=а, то функция 1{х) в этой
точке возрастает, если отрицательная, то убывает.
Геометрически: если угловой коэффициент каса-
касательной МТ (черт. 262) положителен, то вблизи от М
У_
Черт. 262.
Черт. 263.
график лежит выше точки М справа и ниже-слева; селн
угловой коэффициент отрицателен (черт. 263), то вблизи
от М график лежит ниже М справа и выше - слева.
J) Это свойство часто принимается за определение функции, воз-
возрастающей в промежутке. Аналогично определяют функцию, убы-
рающую в промежутке.
358 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. Если /'(а) = 0, то при х=а функция
может быть возрастающей (точка N иа черт. 262); она
может быть н Убывающей (точка L на черт. 263). Но, как
правило, функция не будет при х=а ни Убывающей, ин
возрастающей (точки В и-с на черт. 264). Способы разли-
различения этих случаев указаны в §§ 278 и 279.
Пример. 1. Функция у = х--^ х3
(черт. 265) возрастает в чгочке х = О, ибо
Черт. 264,
Черт. 265.
Черт. 266.
у' = 1-#=1>0. Та же функция убывает в точке х=2,
где у = -1 -< О. В точке х=1, где у' = О, функция не
убывает н не возрастает.
Необходимый признак. Если функция /(х)
не убывает в точке х = о, то ее производная 1) в этой
точке положительная (как в точке М на черт. 262) нли
равна нулю (как в точке N на черт. 262):
/'(а) £= О,
Аналогнчно для убывающей функции; ее производная
отрицательна нлн равна нулю в точке х—а\
/'(в)-SO.
Пример 2. Функция у=х3 (черт. 266) возрастает
во всякой точке. Ее производная у = 3хг положительна
всюду, кроме точки х-0, где у' = 0.
§ 274а. Признаки возрастания и убывания функции
в промежутке
Достаточный признак. Если производная функция
/'(х) в промежутке (а, Ь) всюду положительна, то функция/(х) в
этом промежутке возрастает; если/' (х) всюду отрицательна, то/(х)
убывает (ср. § 374).
s) Предполагается, что / (х) дифференцируема в этой точке.
§ 275. МАКСИМУМ И МИНИМУМ 359
Замечание. Признак остается в силе и тогда, когда производ-
производная принимает в промежутке (а, Ь) и нулевые значения, лишь бы/(х)
не обращалась тождественно в нуль во всем промежутке (а, Ь) или
в каком-либо промежутке (а', &'), составляющем часть (а, Ь) (на таком
промежутке функция / (х) была бы постоянной величиной).
Пример. Функция у = х —=■ хг (черт, 265) Возрастает в про-
промежутке @, 1), ибо производная у' = 1 — х принимает нулевое значе-
значение только в точке х = 1, в остальных же точках промежутка @, 1)
положительна. Та же функция убывает в промежутке A, 2), ибо
здесь производная у всюду отрицательна, кроме точки х = 1, где j/=O.
Необходимый признак. Если функция/ (х) возрастает в
промежутке {а, Ь), то производная>)/ (х) в этом промежутке положи-
положительна или равна нулю:
/' (х) 3= 0 при а ^ х =ss Ь.
Аналогично для убывающей функция
/' (х) ч£ 0 при а ^ х ^ Ъ.
§ 275. Максимум и минимум
Определение. Говорят, что функция f(x) имеет
максимум в точке х~а, если в достаточной бли-
близости от этой точки всем значениям х (как ббль-
шим, так и меньшим о) соответствуют значения / (х),
меньшие, чем / (а).
Функция / (х) имеет минимум в точке х = а, если
в достаточной близости от этой точки всем
значениям х соответствуют зна-
значения / (х), ббльшне, чем / (о).
Короче: функция /(х) имеет
максимум (минимум) в точке
х = а, если значение / (о) больше
(меньше) всех соседних значений.
Максимум н минимум объеди-
объединяются наименованием экстре- Черт. 267.
мум2).
Пример. Функция f(x) = ~ х*-х* + ^- (черт. 267)
имеет максимум в точке х = 0 [точка А (О; ~) выше
всех соседних] н минимум в точке х = 2 [точка В B; —1)
ниже всех соседних].
г) Предполагается, что функция дифференцируема в промежут-
промежутке (а, Ь).
*) Латинское слово «экстремум» означает «файнее».
360
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. В обыденной речи выражения «макси-
«максимум* и «наибольшая величина» рапнозначны. В анализе
термин «максимум* имеет более узкий смысл. Именно
максимум функции может и ис быть ее наибольшим зна-
значением. Так, функция / (х) = -^ х3- х2+~ (см. черт. 267),
рассматриваемая, скажем, в промежутке (—1; 4), имеет в
точке х = О максимум, ибо вблизи от этой точки
[а именно в промежутке (-1; 3)] всем значениям х соот-
соответствуют значения / (х), меньшие, чем / @), т. е. чем -^
(в указанном промежутке график расположен ниже точ-
точки А). Тем ие менее максимум / @) не является наиболь-
наибольшим значением функции в промежутке (-1; 4), нбо при
х *- 3 имеем:
(справа от С график расположен выше точки А), Однако ра-
разыскание наибольшего значения функции в данном проме-
промежутке тесно связано с разысканисмее максимумов (см. § 280).
Аналогичное замечание для минимума.
§ 276. Необходимое условие максимума
и минимума
Теорема. Если функция / (х) имеет экстремум (т. е.
максимум илн минимум) в точке х = а, то в этой точке
производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не
существует.
Геометрически: если график имеет в точке А
максимальную ординату, то в этой точке касательная либо
V -'О
/X
1 г
В
Черт. 269.
О ах
Черт. 270.
горизонтальна (черт. 267), либо вертикальна (черт. 268),
либо не существует (черт. 269). То же для минимальной
ординаты (точка В на черт. 267, точка А на черт. 270,
точки В и С иа черт. 269).
§ 277. ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛООИК МАКСИМУМА 361
Замечание. Условие экстремума, высказанное в
теореме, необходимо, но не достаточно, т. е. производная
в точке х = а может обращаться в нуль (черт. 271), в
у
Черт. 272.
Черт. 273.
бесконечность (черт. 272) или не существовать (черт. 273)
без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.
§ 277. Первое достаточное условие
максимума и минимума
Теорема. Если в достаточной близости от точки
х — а производная /' (х) положительна слева от а н отри-
отрицательна справа от а (черт. 274), то в самой точке х = а
функция / (х) имеет максимум прн условии, что функция
/ (х) здесь непрерывна *).
Черт. 274.
Черт, 275.
Если, наоборот, слева от а производная /' (х) отрица-
отрицательна, а справа положительна (черт. 275), то / (х) имеет
в точке а минимум при условии, что она здесь непре-
непрерывна 2).
Теорема выражает тот факт, что / (х) при переходе от
возрастания к убыванию имеет максимум, а прн переходе
от убывания к возрастанию —минимум.
3> Однако / (х) может и не быть дифференцируемой прн х = а
(см. черт. 268).
г) Однако / (х) может и не быть дифференцируемой прн х ■» о
(см, черт. 270).
362
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание. Согласно теореме признаком экстре-
экстремума функции / (х) является перемена знака производной
/' (х) при прохождении аргумента через рассматриваемое
значение х = а.
Если же при прохождении через х = а производная
сохраняет знак, то / (х) возрастает в точке х = а, когда
производная положительна как справа, так и слева от х = о
(черт. 271, 272, 273), и убывает, когда производная отри-
отрицательна (черт. 276). [Снова предпо-
предполагается, что / (х) непрерывна при
Ч х = а,]
■Ч
Черт. 276.
§ 278. Правило разыскания
максимумов и минимумов
Пусгь функция /(х) днффереяци-
руема в промежутке (а, Ь). Чтобы
найти все ее максимумы и миниму-
минимумы в этом промежутке, надо;
1) Решить уравнение /' (х) = О (корпи этого уравнения
называются критическими значениями аргумента; среди
них надо будет искать значения х, дающие экстремум
функции / (х); см. § 276).
2) Для каждого критического значения х — а иссле-
исследовать, меняет ли знак производная /' (х) при перехеде
аргумента через это значение. Если /' (х) переходит от
положительных значений к отрицательным (при перо-
ходе от х <: а к х > а), то имеем максимум (§ 277), если от
отрицательных значений к положительным, то минимум.
Если же /' (х) сохраняет знак, то пет ни максимума
ии минимума: при /' (х) =- 0 функция / (х) в точке а воз-
возрастает, при /' (х) ^ 0 Убывает (§ 277, замечание).
Знак производной
при х<а
при х =- а
Пид графика близ
точки «
Л
максимум
возрастание
убывание
§278. ПРАВИЛО РАЗЫСКАНИЯ МАКСИМУМОВ 363
Замечание 1. Если функция / (х) непрерывна в
пршежутке (я, Ь), но в отдельных его точках не диффе-
дифференцируема, то эти точки надо причислить к критическим
и произвести аналогичное исследование.
Замечание 2. Максимумы и минимумы непрерыв-
непрерывной функции следуют друг да другом, чередуясь.
Пример 1. НаЙтн все максимумы и минимумы функ-
функции }(Х) - Х--£ Xя-
Решение. Данная функция всюду дифференцируема
(т. с. всюду имеет конечную производную) /' (х) = 1-х.
1) Решаем уравнение 1-х = 0. Оно имеет единствен-
единственный корень х - 1.
2) Производная /' (х) = 1-х меняет знак при переходе
аргумента через значение х = 1. Именно, при х -= 1 про-
изведная положительна, при х > 1—отрицательна. Значит,
критическое значение х = 1 дает максимум. Других экст-
экстремумов у функции нет (см. черт. 265 на стр. 358).
П р и м е р 2. Найтн все максимумы н минимумы функции
f(x) = (x-iy (х-Н)з. A)
Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема.
Имеем:
/' (х) - 2 (х- 1) (х+ 1K+3 (х- IJ (х+ IJ =
= (х-1) (Х+1У Eх-1).
1) Решаел! уравнение /' (х) — 0. Его корни (располо-
(расположенные в порядке возрастания) будут:
хА= -1, хя = |, Х3= 1. B)
2) Представив производную в виде
f(i) = 5(x+l)*(i4){*-l), C)
исследуем каждое из критических значений.
а) При х -* — 1 все трн двучлена формулы C) отрица-
отрицательны, так что слева от х = — 1 имеем:
/'(х) = 5(-)« (-) (-)= +. D)
Пусть аргумент перешел через значение хх — -1, но ие
дошел до следующего критического значения х2 = -^,
Тогда двучлен х+1 стал положителен, а два других дву.
члена формулы C) остаются отрицательными, и мы имеем-
(-) (-)= +. E)
364
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ IО К ИСЧИСЛЕНИЕ
Срацнпв D) и E), ипдим, что при переходе через кри-
критическое значение .\-t — — 1 производная не ме-
меняет знака, оставаясь положительной. Значит, в точке
х — — I экстремума нет; здесь функция / (.*) возрастает
(черт. 277).
G) Исследуем ближайшее большее критическое значе-
значение л\ = >-. В достаточной б-шзостп слепа (т. с. между
хх = - I п л:а = —) производная
в силу E) положительна. В до-
достаточной близости справа (между
X, -"- т U X» -- \rl\ BTOpOl't СО.МИО-
'г"~ \ гчз р\ v v~i я житель положителен, п мы имеем;
Сравнив E) и F), видим, что лпац ироизподной при
переходе через х2 = — .меняется с плюса па ммнус [функ-
[функция /(х) иг возрастания переходит к убыванию]. Значит,
в точке х -- ~ функция имеет максимальное значение;
оно равно
в) Исследуем последнее критическое значение xs = I.
В достаточной олизости слева производная в en.iy (fi) от-
отрицательна. Справа or x = 1 имеем:
( + )=
При переходе через х =- 1 производная .меняет знак с ми-
нУса на плюс [функция / (х) переходит от убывания к
возрастанию]. Значит, при х = 1 функция имеет минималь-
минимальное значение; оно равно
Пример 3. Найти все экстремумы функции
}(х) = (x-
§ 279. ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ: ЭКСП'ЬМУМЛ 3G5
Ре in ей не. Данная функция дифференцируема при
всех положительных и отрицательных значениях х, и мы
имеем:
В точке же х - 0 функция / (х) не дифференцируема
(се производная бесконечна). Поэтому (см. замечание 1)
г, 2
имеем два критических значения: хх = 0 и х; = —,
При х -= О имеем;
•7
При О «: х -- — имеем;
При х > v н.меем:
Значит, в точке х — О функция / (л) = (х— 1)
имеет максимальное значение
/ @) " О,
2
а в ючко х • .. - минимальное значение
§ 279. Второе достаточное условие
максимума и минимума
Когда знак производной вблизи критических точек (§ 278)
распознается с трудом, можно пользоваться следующим
достаточным условием экстремума.
Теорема 1, Пусть в точке х ~ а первая производ-
производная /'(х) обращается в нуль; если при этом вторая про-
производная /"(а) отрицательна, то функция / (х) имеет в
точке х = а максимум, селн положительна, то — минимум.
О случае /" («) = 0 см. теорему 2.
Збб ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Второе условие следующим образом связано с первым. Судом
рассматривать /" (х) как производную от /' (х;. Соотношение
/" (а) -г О означает (§ 274), что /' (х) убывает в точке х — а.
А так как /' (а) = О, то /' (х) положительна при х «: о и отрица-
отрицательна при х >■ а. Значит (| 277), / (х) имеет максимум при х '= а.
Аналогично для случая /" («) =- 0.
Пример 1. Найти максимумы и минимумы функции
Решение. Решив уравнение
?(х) = 2х*~2х = 0,
получаем критические значения
Xj = — 1, ха — 0, х3 = 1.
Подставив их в выражение второй производной
/"(х) = 6х3-2 = 2(Зхг-1),
находим, что
/"(-1) -0, /"@)- t), /"(l)->0.
Значит, при х = — 1 их=1 имеем минимум, при
х = 0-максимум (черт, 278).
Может случиться, что вместе с нерпой проиэводной обращается в
нуль и вторая; может обратиться в нуль и ряд последующих произ-
производных. Тогда можно воспользоваться следую-
следующим обобщением теоремы 1,
Теорема 2. Если в точке х = а, где пер-
первая производная равна нулю, ближайшая не
равная нулю производная имеет четный порядок
2А, то функция/(х) имеет при х = а максимум,
когда/2*1 (а) -г 0, и минимум, когда /(г*' (а) > 0.
Если же ближайшая не равная нулю произ-
производная имеет нечетный порядок 21с +1, то функ-
функция/^) в точке а не имеет экстремума; она
возрастает, когда /(гА1'(а) =» 0, и убывает,
когда /2*+х> (о) *: 0.
Замечание. Теоретически ие исключе-
исключено, что у функции/ (х) (не являющейся постоян-
постоянной величиной) есе производные в точке
х « а будут равняться нулю *). Однако практического значения этот
случай не имеет.
Пример 2. Найти максимумы и минимумы функции
f(x) ss sin Зх-3 sin x.
i) Такова, например, функция, рассмотренная в последнем под-
подстрочном примечании к § 270 (стр. 346).
S 279. ВТОРЗЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА 367
Р е ш е пи с. Имеем:
/' (х) = 3 cos Зх -3 cos х.
Решая ypafiieune
3 cos 3 х-3 cos x = О,
найдем:
1С
где к — любое целое число.
Так как данная функция имеет период 2тг, то достаточно исследо-
-вать четыре корпя:
у = О * = — Y = —
2 2
берем вторую производную
/" (х) = -9 sin Ззс+3 sinx.
Подставляя критические значения xlt xs, x3, xt, находим:
/" @) = О, /" (~) = 12,
В точке эг2 = — ближайшая не равная нулю производная имеет
второй (четный) порядок, причем /"(у) >■ 0. Значит, при х == -w
Зге
имеем минимум. Аналогично заключаем, что при х = -=■ имеем ма-
л
ксимум 1и0о/"(-^-1 ■< ol ,
Экстремальные значения будут;
/(-£Л=* sin З-^-З sin-£ = -1 -3 =з -4 (минимум),
/(^)-sin~-3s!n^ = 1- (-3) = 4(максимум).
Чтобы исследовать критические значения Xi = 0 и х3 ~ я, найдем
третью производную
/'"(х) = -27 cos 3x + 3cosx. t
Имеем: ^
/'" @) = -24, /'" (я) = +24.
В точке х = 0 ближайшая не равная нулю производная имеет тре-
третий (исчетный) порядок, причем/"' @) -= О. Значит, при х = 0 экстре-
экстремума нет. Здесь функция / (х) Убывает. Аналогично заключаем, что
и при х = тс экстремума нет; но здесь функция f(x) возрастает [ибо
Г" (*) > 0].
368
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕРИЕ
§ 280. Разыскание наибольших и наименьших значений
функции
1. Пусть по условию вопроса аргумент нспрерьвной функ-
функции / (х) изменяется в бесконечном, промежутке, например
в промежутке (а, |- ™). Тогда может случиться, что среди
значений функции / (х) нет наибольшего; см. черг. 279, а),
где f (х) неограниченно возрастает при х-> + со. Если же
функция / (х) обладает наибольшим значением, то последнее
непременно является одним нз экстремумов функции; см.
черт. 279, б), где наибольшее значение функции есп> / (с),
Пусть теперь ло условию вопроса аргумент х изменяется
в замкнутом промежутке (а, Ь). Тогда / (х) непременно
принимает наибольшее значение (§ 221). Однако последнее
Черт. 279.
может не принадлежать к экстремумам, а достигаться на
одном из концов промежутка (в точке х - (Л) на черт. 279, в)).
Аналогично для наименьшего значсния.
2. Пусть требуется разыскать наибольшее (или наимень-
наименьшее) значение геометрической или физической величины,
подчиненной определенным условиям (см. ниже примеры).
Тогда надо представить эту величину, как функцию ка-
кого-лнбо аргумента. Из условия задачи определяем про-
промежуток изменения аргумента. ^атем находим все крити-
критические значения аргумента, лежащие в этом промежутке,
и вычисляем соответствующие значения функции, а также
значения функции на концах промежутка. Из найденных
значений выбираем наибольшее (наименьшее).
Замечание 1. Часто аргумент можно выбирать
по-разному; удачный выбор может упростить решение,
Учет особенностей задачи тоже может упростить решение.
*) Если исключить из рассмотрения конец .\ — Ъ, то на остав-
оставшемся незамкнутом промежутке функция/(х) наибольшего
значения не будет иметь.
§280. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 369
Так, если внугрп данного промежутка имеется лишь
одно критическое значение ар]умента и оно, на основании
того или иного признака (см. §§ 277, 279) должно давать
максимум (минимум), то и без ерапнепия с граничными
значениями функции мы впрапе заключить, «по этот макси-
максимум (минимум) является искомым
намболыпим(паименьшим);шаченисм. hr—-—-J1 ——-^
Пример I. Отрезок АВ = а дс- л^рП в
лнтся на дое части точкой Г; па от-
отрезках АС и СВ (черт. 280), как сторо черг. 280.
нах, строится прямоугольник ACBD.
Определит!, наибольшее значение его площади S.
Решение. Примем за аргумент х длину АС; тогда
С В = а -~ х и S — х(а-х).
Аргумент х непрерывной функции S изменяется в проме-
промежутке @, а).
Из уравнения
находим (единственное) критическое значение х = -^ . Оно
принадлежит данному промежутку (О, а). Вычисляем зна-
значение S D) = -"г и граничные, значения /@)z=0, / (а)^0.
Сопоставляя эти три значения, заключаем, что искомым на-
наибольшим значением является -А .
Б этом сопоставлении не будет необходимости, если
заметить, что в единственной критической точке х = ~
вторая производная функции S (х) отрицательна, т. е, (§ 279)
функция S (х) имеет здесь максимум.
Переменный прямоугольник ACBD всегда имеет один
и тот же периметр Bа). Значит, из всех прямоугольников
данного периметра квадрат имеет наибольшую площадь.
Замечание;;. Удобнее всего принять за api умент расстояние г
точки С от середины О отрезка АН (см. черт. 280). Тогда
АС = АО+ОС = ~ + z, С В = О В-ОС = ~-z
2, А,
24 М, Я. Выгодский
370 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теперь нет нужды искать экстремум, ибо ( -,у I ~г!, очевидно, не пре-
восходит ( — 1 .
П р им е р 2. При условиях примера 1 найти наименьшее значение
площади S,
Решение, Примем за аргумент х = АС. Сравниваем единствен-
(аа \
--г-1 функции S = х (а —х) с ее значением (S = О) на
концах промежутка х = 0 и х = а. Находим, что нуль есть наимень-
наименьшее значение S[e замкнутом промежутке @, а)\.
Однако при х = О и х =■ а мы не имеем прямоугольника в собст-
собственном смысле (он превращается R отрезок АВ). Если рассматривать
только «иастоящио прямоугольники, то концы промежутка @, а) надо
исключить из рассмотрения, и тогда S не имеет наименьшего значения
[в незамкнутом промежутке @, а)\.
Пример 3. Найти наименьшую и наибольшую вели-
чпныполупериметрарпря.моугольникасдапнойплошадыо^
Решение. Обозначим стороны прямоугольника че-
через х, у. По условию
ху = S A)
(х н у-положительные величины). Требуется найти на-
наименьшее и наибольшее значения величины
Р = х+у. B)
Примем за аргумент х; тогда
Р-*+|. C)
Аргумент х изменяется в бесконечном промежутке @, )
(в него не входит конец х—0). В этом промежутке функ-
функция р (х) непрерывна и имеет производную
Из ураонения
находим единственное (в данном промежутке) критическое
значение
х = }'S.
Из D) видно, что при 0<х< YS производная -^j^-
отрицательна, а прн х =- УН — положительна. Значит (§ 277),
имеем минимум. Будучи единственным, он является (см.
§280. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 371
замечание 1) наименьшим значением полуперимстра 1):
^A /S, F)
т. е. из всех прямоугольников с данной площадью S наи-
наименьший полупериметр имеет квадрат (x=V~S, y=YS).
Наибольшего значения величина р не имеет [данный
промежуток @, + оо) - незамкнутый].
Пример 4. Найти наименьшее количество жести, из
которого можно изпэтовнть цилиндрическую консерэнуго
банку вместимостью У=2л (запас на швы не учитывать).
Решение. Пусть поверхность байки S, радиус осно-
основания г, высота ft. Требуется найти наименьшее значение
величины
S = 2-Krh + 2тгг2 G)
при условии, что
тгг*й - V. (8)
За аргумент удобно принять г. Из G) и (8) находим:
S = 2(^-+ifl*)f (9)
где аргумент изменяется в промежутке @, °q). По смыслу
задачи ясно, что величина S достигает наименьшего зна-
значения где-то внутри этого промежутка. Поэтому доста-
достаточно рассмотреть значения функции в критических точках.
Решаем уравнение
£H. A0)
Единственный его корень
соответствует наименьшему значению S. Из (8) и A1) нахо-
э
дим: й = —i — V— = 2г, т. е. высота банки должна
ЯГ* f JT
1) Задачу можно решить и без разыскания экстремума. Равенства
B) и A) дают: р= =(x+y)z=(x-y)=+4xy =(Х-у)! + 4S. Так как
4S — постоянная величина, а наименьшее значение (х—у)г есть нуль
(при х=у), то наименьшее значение р* есть 4S; значит, наимень-
наименьшее значение р есть 2 C's,
Этот способ проще (в том смысле, что не требует высшей матема-
математики) и короче. Но он основывается на догадке, и в этом смысле труд-
труднее наложенного общего способа,
24*
372
дифференциальное исчисление
равняться диаметру основания. Наименьшее количество
жесш, потребное для изютовлешш банки, равно
3 _ _
- бтгг3 = 3 V^-V2 ^ 879 см-.
Пример 5 (парадокс Декарт а). В 163S г Декарт по-
получил (через М. Мерсенна) пж ьмо Ферма, где последний сообщил без
доказательства открытое им правило разыскания экстремума. В пере-
переводе па современная язык правило Ферма
сводится к разысканию значениях, обрашаю-
ще] о в нуль произво,111Ую// (х) исследъ емой
функции f (х)
В отлетном письме Дегсарт привел ниже-
нижеследующий пример, доказывающий, как он
полагал, ложность правила Ферма.
X Пусть дана окружность
х'+у* = г* A2)
Черт, 281. (черт 281) и точка А ( — а, 0), отличная от
цетр.ч (т. е. а & 0), Требуется найти на ок-
ружности A2) точку, ближайшую к А.
Квидрл! расстояния произвольной точки
W \\ ЛЧ*. У) от точки А выражается так:
200 I '•
° \ AM1 —(х+а)*+у-. (I3)
too I *
$ в' Если же 11 лежит на окружности A2), то
о т ж хо т 5W
т.и< что
Черт. 282. AM"
ЧгоНы найти значение х, дающее минимум ве-
величине AMS, Декарг следует правилу Ферма и получает нелепое ра-
равенство 2а =0.
Между тем 1еометрическн ясно, что искомая точка сущестпует и
совпадает с точкой Р( —г\ 0) Из этого Декарт заключает, что признак
минимума ненерен. На самом деле точка Р (х = —г) не обнаруживается
по другой причине- соответствующее ей наименьшее значение АМ-
не является минимумам Деиствитечьно, х пленяется только в про-
промежутке ( —г, +г), Pdtt-матриваемяя функция принимает наименьшее
значение на конце промежутка
Примерь Группа соревнующихся пловцов направляется с лод-
лодки А (чер1.2Н2) и расположенный на берегу пункт В. Условия сорев-
соревнования разрешают часть пути сделать по суще Лодка стоит против
пристани О на расстоянии О А—а =360 м, пункт назначения В о i стоит
ог пристани па расстоянии ОВ =& =420 w Какой наилучший резуль-
результат мо>!(ет показать участник соревнования, если он будет покрывать
90 м и минуту вплавь и 150 м в минуту бегом?
Решение. Пусть пповец выходит на берег в точке Mt находя-
находящейся на расстоянии ОЛ1=х от пристани. Достаточно рассмотреть
изменение х в промежутке @, Ь)').
') Подплывать it fTepery за пределами Участка ОВ ппапцу нет
смысла: до точки В' плыть дольше, чем до В, к тому же придется
пробежать путь В'В.
§280. РАЗЫСКАН 141 Н АИБОЛЬШИХЗНАЧПНИЙ ФУНКЦИИ 373
Время i (в минутах), затрачиваемое на путь АМВ, равно
Здесь « = 360, Ь =420. Требуется найти наименьшее значение функции /
в промежутке (О, Ь),
Имеем:
^_-* _—_i_. A5)
dx 90^«*+х* 150
Гешпв уравнение
-* — -0, A6)
150
н.|Идем единственное критическое значение х = — а=270 At 3i о зна-
значение лежит в рассматриваемом промежутке (О, Ь). 1,ш как вторая
производная
— = _L A ^ х_ \ - _
dx* 90 rfx Vpx2 + «V 90 /(а*+х*)<
3
в точке х — -J- о (как и во всех других точках) положительна, то <§ 279,
теорема I) в этой точке имеем минимум. Будучи едижлненным, этот
минимум дает (см. замечание 1) искомое наименьшее значение функ-
функции !:
'н
Путь пловца показан на черт. 282 пунктирной линией
Пример ба. Решить ,у и<е зздзчу, чго и и примере (I, изменив
& условии значение h тг-420 м н,1 Ь =225 м (черг. 283).
Р е ш е н и е. Достаточно рассмотреть изменение х в проме-
промежутке @, 225). Тас к.нг корень х =270 уравнении (Ifi) падает за пре-
пределы этого промежутка, то функция / ienepb не имеет минимума внут-
рн промежутка, Наименьшее значение она принимает на конце х — Ь =
=223. Здесь
/ог + ft* ЮО
t = —i^r— = 4 мин. 43 сек. ./1
Пловец должен плыть прямо к финишу.
3 ■! м е ч .1 и и е 3 При решении послед- *да
ней задачи мы, руководствуясь здравым 1д^
смыслом, рассмотрели ичмеиепие аргумента
ЮО гее хо т soo
Черт 283
(где а =360, 6=225) лишь в промежутке
(О, 225).
Но мы могли бы и расширить область изменения аргумента и рас-
рассмотреть, скажем, промежуток @, 325). Тогд.1, рассуждая, как в при-
примере 6, мы нашли бы, что функция A4) имеет минимум в точке х =270
(ибо эта -гочка лежит в рассматриваемое промежутке, является единст-
единственным критическим значением функции A4) и дает минимум для
этой функции).
374
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Отсюда, казалось бы, можно заключить, что пловцу надо плыть к
пункту D, более далекому, чем финиш В, что явно нелепо.
Ошибка в том, что функция A4) выра-
выражает зависимость t от х л и ш ь на участке
О В, на участке же ВС зависимость выра-
выражается формулой _
rt* I »_ч u h
A4-)
t
лмн
90
150
М .С
loo т зон
Черт. 284.
(см. схематический график на черт. 284).
При х = & обе формулы A4), A4') дают
одно и то же значение, так что функция f (x)
непрерывна при х=Й, но производная —т-
прих = Ь не существует. Поэтому точка х=-Ь
является теперь критической для функции /(зс)(ср. § 278, замечание 1).
Других критических точек в промежутке @, 325) нет,
§ 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба
Плоская линия L называется выпуклой в точке М
(черт. 285), если в достаточной близости от М линия L
лежит по одну сторону от касательной МТ (сторона вогну-
вогнутости линии L). Противоположная сторона называется
стороной выпуклости.
Черт, 285. Черт. 286.
Если же линия L вблизи точки М лежит но обе сто-
стороны от касательной МТ (черт. 286), то М называется
точкой перегиба липни L.
Черт. 287.
Черт. 288.
Черт. 289.
Черт. 290.
Лри переходе через точку перегиба сторона выпуклости
становится стороной вогнутости и наоборот.
I 282. СТОРОНА ВОГНУТОСТИ
375
Пусть линия L представляется уравнением y=^f(x).
Если производная /'(х) возрастает в точке х=а, то ли-
линия L обращена здесь вогнутостью вверх (черт. 287), если
убывает, то вниз (черт. 288). Если же производная /' (х)
имеет экстремум в точке х=а (черт. 289, 290), то ли-
линия L имеет здесь точку перегиба.
§ 282. Сторона иогиутости '
1. Если вторая производная /" (х) в точке х=а поло-
положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью
кверху, если отрицательна, то кинзу (схематический чер-
чертеж 291).
Пояснение, Если /" (в) >-О, то f (х) возрастает в точке х =а
(§ 274); значит (§ 281), вогнутость обращена кверху. Аналогичное рас-
рассуждение для случая/"(а) «г О,
Черт. 291.
Черт. 292.
'Л
2. Пусть вторая производная /" (х) в точке х=а
равна нулю, бесконечна или вовсе не существует.
Тогда, если при переходе через х— а вторая произ-
производная *) меняет энак, то линия y = f(x) имеет здесь
точку перегиба (черт, 292). Если же /" (х) сохраняет знак,
то линия y = f(x) обращена во-
1 нутостыо в соответствующую сто-
сторону (см. п. 1) (ср. §§ 277 и 281),
Пример 1. Линия
у = Зх*-4х3
(черт, 293) в точке А(~|-;~)
обращена вогнутостью кверху, а
в точке В (тр1 -д-)-книзу, ибо
вторая производная
у" = 36х2-24х = 12х(Зх-2)
-Й
Черт. 293.
положительна при х = --^ [оба множителя 12хи (Зх-2)
О
отрицательны] н отрнцательна при х = у •
Предполагается, что она существует вблизи точки а,
376
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Б точке 0@; 0), где у-0, имеем перегиб, ибо при
переходе через х^О вторая производная меняет знак
с плюса (при х -: 0) на минус (при х >■ 0). Слева от О
линия обращена вогнутостью вверх, справа- вниз.
Пример 2. Линия у=^х4 (черт. 294) в точке О @; 0),
где у" = 0, обращена вогнутостью кверху, ибо при про-
прохождении чер(.з х = 0 функция у"=\2х2 сохраняет знак
плюс.
Черт. 295,
Пример 3. Линия у = -х3 (черт. 295) в точке
О @; 0), где вторая производная бесконечна, имеет пере-
перегиб, ибо при переходе через х = 0 вторая производная
у" — +-Q-X
меняет знак с минуса на плюс. Слева от О
лнния обращена вогнутостью вниз, справа-вверх.
§ 283. Правило для разыскания точек перегиба
Чтобы найти вес точки пераиба jihhhh y = f(x), надо
испытать все те значения х, для которых вторая произ-
производная /" (х) равна нулю, бесконечна или не существует
(только в таких точках перегиб возможен; § 282).
ЕСли при переходе через одно из этих значений лто-
рая производная меняет знак, то линия имеет в этой
точке перегиб. Если же не меняет то перегиба нет
(§ 282, п. 2).
Пример!. Найти точки перегиба линии у = Зх* - 4х3,
Решение. Имеем:
у" = ЗСх2-24х = 12х(Зх-2).
284. АСИМПТОТЫ
377
Вторая производная существует всюду и всюду конечна;
оиа обращается в нуль в двух точках х = -., их = О. Рас-
■3
смотрим точку .t = 3-. F.cm x несколь-
■л
з"
О ^ х ~= —} . то
ко меньше, чем -3- (г
л именно, если
если я несколько 6o.r:i,:-ic, чем —
(в данном случае за х можн.) i j; ть лю-
бое число, большее -^-J , то
I К
у
Черт. 296.
При переходе через х -- 3 пторлл проюподная меняет
знак; значит, в еоотлетствующей ючкг графика (точка С
па черт. 293) имеем перегиб. Прч л-О —т.'кже перешб
(§ 282, пример 1).
II р I! м с р 2. Найти точки nepei ;-,Сл лпнг;1
у -= х+2х*.
Решение. Имеем: у— 24ха.
Вторая производная всюду конечна и обращается с
нуль лишь при х = 0. При переходе через х-0 вторл>[
производнал сохраняет, как и всюду, знак lurac. Значит,
ни здесь, пи в других точках перег лба нет. Лини i обращена
вогнутостью вверх (черт. 296).
§ 284. Асимптоты
Пусть точка М, исходя из положения ^Ц,. движется
вдоль линии L в одном направлении. Если при этом рас-
расстояние МЬМ (считаемое по прямой) неограниченно воз-
возрастает, то i оворят, что точка М удаляется в бесконеч-
бесконечность.
О п р е д с л е н и е. 11рямая АВ называется асимптотой
линии L, если расстояние МК (черт. 297) от точки М ли-
линии L до прямой АВ стремится к нулю при удалении точки
М в бесконечность.
зге
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Замечание 1. Расстояние от м до ДВ можно изме-
измерять не только по перпендикуляру, но и по любому по-
постоянному направлению МК', ибо если МК^-0, то также
МК' ->0и наоборот.
Черт. 297.
Черт. 298.
Замечание 2. Содержащееся в § 46 определение
асимптот гиперболы (U'U и VV на черт. 298) подходит
под данное здесь общее определение.
Замечание 3. Не всякая линия, вдоль которой точка
может удаляться в бесконечность, обладает асимптотой.
Так, у параболы и у архимедовой спирали асимптот пет.
§ 285. Разыскание асимптот,
параллельных координатным осям
1. Асимптоты, параллельные оси абсцисс. Для разы-
разыскания горизонтальных асимптот линии y=f (х) ищем
пределы / (х) при х -> -ь ■» и при х -* — о=.
Если litn f(x)~b, то прямая у=й-асимптота (при
бесконечном удалении вправо; черт. 299).
г
1
Черт. 299. Черт. 300.
Если Пт / (х) = Ъ', то прямая у — Ъ'~ асимптота
(при бесконечном удалении влево; черт. 300).
285. АСИМПТОТЫ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОСЯМ
379
Если f(x) не имеет конечного предела ни при х-> + ■*>,
ни при х-»- - °°, то у линии y=?f(x) нет асимптот,
параллельных оси ОХ.
Пример 1. Найти тс асимптоты линии у = 1+ё",
которые параллельны оси ОХ.
Решение. Прн *-> + ■» функция 1 + ё" ие имеет
конечного предела [Пт (I | е1) = +■*>], а при х->-=*•
-г чо t г
Черт. 301.
Черт. 302.
стремится к единице. Поэтому прямая у = 1 есть асимп-
асимптота при удалении влево (черт. 301).
Пример 2. Найти горизонтальные асимптоты линии
у = arctgx.
Решение. Имеем:
lim arctgx ^ Ц-, Пт arctgx = -■£
у =
■ - асимптоты
Черт. 303.
где / (х) имеет
Прямые у = 2-,
(черт. 302).
2. Асимптоты, параллельные оси
ординат. Для разыскания вертикальных
асимптот линии у = / (х) надо найти
те значения хь х2| х3, ... аргумента ;
бесконечный предел (односторонний нли двусторонний).
Прямые х=хь х-х2, х=хя, ... будут асимптотами.
Если / (х) нн при одном значении х не имеет бесконеч-
бесконечного предела, то вертикальных асимптот иет.
Пример 3. Рассмотрим линию у = 1пх (черт. 303).
Функция In х имеет правосторонний бесконечный предел
при х-э-0 (Inn In х = - ■*>). Прямая х = О (ось ординат)
служит асимптотой при бесконечном удалении вниз.
380
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 4. Найти вертикальные асимптоты линии
_ 2х
У ~ х* -4 ■
2х
Решение. Функция -^-^ имеет
предел при х-^-2 и
А'
бесконечный
х->-2.
Значит, лрямые
х =2 и
!Д
Черт. 304.
lim
х=-2
и А'В' иа черт, 304)-асимл-
тоты. Прямая АВ служит асимптотой
для двух ветвей, UV и KL. Вдоль
первой бесконечное удаление направ-
направлено вверх, вдоль второй-вниз (иби
и lim -г^гл = ~ °°)' Аналогич-
Аналогично для прямой А'В'.
Заметим, что прямая х = 0 служит горизонтальной
асимптотой (для ветвей UV и VV1) (ср. п. 1).
§ 286. Разыскание асимптот, ие параллельных
оси ординат ')
Для разыскания асимптот линии у=/ (х), ис параллель-
параллельных оси OY, надо сначала искать lim^^- при х-± + °° и
при'х->-оо. Если в обоих случаях нет конечного пре-
предела, то нет и искомых асимптот.
Если же lim *—Q ~ с, то надо затем искать
lim [f(x)-cx]. Если этот предел равен d, то прямая
у — cx+d есть асимптота при бесконечном удалении впра-
вправо. Аналогично, если lim £Ю- —с и lim [f(x)-cx] = d't
то прямая у = cx-1-d' есть асимптота при удалении влево.
Если величина / (х) — сх [или / (х) - с'х] пе имеет
конечного предела при х-> -{ со [при X">-<=o], то соот-
соответствующей асимптоты нет.
') Нижеизложенный способ обнаруживает, в частости, горизон-
горизонтальные асимптоты, если они есть. Но если пас интересуют только гори-
горизонтальные асимптоты, то проще применить способ § 285, п. 1. Верти-
Вертикальных асимптот нижеизложенный способ не обнаруживает.
% Ж. АСИМПТОТЫ, НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОСИ ОРДИНАТ 381
Выражение /(х) —(ос +</) дает вертикальное отклонение LM
(черт. 305) данней линии от ее асимптоты АВ, уравнение которой
d
y
Если это выражение при х-> +™ с некоторого момента сохраняет
знак плюс, то точка М приближается 1С асимптоте АН сверху
A/
0
г
\
V
V
/
/и
f
Черт. 305.
(чррт. 305, я), если минус —силау (черт. 305, б). Если знак не сохра-
сохраняйся, го точка М колеблскя около асимптоты (черт. 305, с).
Аналогично для асимтопл y=c'x+d'.
Пример 1. Найти асимпто1Ы гиперболы
9 4 1- \1;
Решение. Урапнепию A) к'
соответствуют дне однозначные
функции
у - 3 YX J {Л)
и
C)
Черт. 306.
Рассмотрим ттерпую (ей отвечают бесконечные ветви AN
п А'К' черт. 306), Имеем:
lim — ^ -V liin
Далее,
к->+'
*-> + -
lim (у-сх) = lim ("-| У^^9 —| х) = 0 ( = d).
Стало быть, прямая у = ~х есть асимптота ветви AN.
2 ,. 2
Выражение у— (cx+d) =— ^х3 — 9-——х сохраняет при
>+™ знак, минус. Поэтому ветвь AN приближается к асимптоте
зу
382 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее находим:
Hm |
Hm (v~c'x) = Hm
Стало быть, прямая у= -ух-асимптота ветви
Выражение
сохраняет при
-« знак минус.
Поэтому и ветвь А'К' приближается к асимптоте снизу.
Y Исследуя таким же образом
функцию у = —д- Ух3
(ей
О
Черт. 307.
отвечают ветви ДК и A'N'), най-
найдем, что прямая у = ух есть
асимптота ветви AKt а прямая
У " тг х " асимптота ветви A'JV.
Каждая из ветвей АК, A'N' прибли-
приближается к своей асимптоте сверху.
Пример 2. Найти все асимптоты линии
Функция / (х) =
ни при каком значении х
+
не имеет бесконечного предела. Значит, асимптот, парал-
параллельных OY, нет. Чтобы найти асимптоты; ие параллель-
параллельные О У, ищем сначала
Пш ^« Нт
= - Нт
Следовательно, прямая у = х есть асимптота правой бес-
бесконечной ветви. Вычисляя те же пределы при х-*- — =»,
найдем с' = -1, d' ~ 0, т. с. левая бесконечная ветвь
имеет асимптоту у = -х (черт. 307).
g 287. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ 383
§ 287. Приемы построения графиков
График функции, заданной формулой у = / (х), строится
по точкам, которые затем соединяются плавной линией.
Но если брать точки, как попало, то можно допустить
грубую ошибку 0-
Чтобы вычертить график с большой точностью при
небольшом числе точек, полезно предварительно выяснить
его характерные особенности. Для этого надо:
1. Установить, в какой области функция /(х) опреде-
определена и пет ли v нее разрывов. Для каждого бесконечного
разрыва учесть знак / (х) справа и слева; получим верти-
вертикальные асимптоты графика (§ 285).
2. Найти первую и вторую производные /' (х), /" (х),
а также определить, нет ли точек, где /' (х) нли /" (х) ие
существует.
3. Найти все экстремумы функции / (х) (§§ 278 и 279);
получим наивысшие точки горбов и наииизшис точки
впаднн.
4. Найти все точки перегиба (§ 283) и наклон каса-
касательной в этих точках.
5. Если рассматриваемая область изменения аргумента
бесконечна, то установить, нет ли горизонтальных и на-
наклонных асимптот (§ 286).
Найденные результаты по мере их получения полезно
заносить и таблицу (см. примеры). Перенеся их на коор-
координатную сстку, получим общую картину графика. Доба-
Добавив немногие промежуточные точки, начертим график
с достаточной точностью.
Пример 1. Построить график функции 2)
1. Функция определена и непрерывна всюду, верти-
вертикальных асимптот нет.
2. Находим:
Обе производные всюду существуют и конечны.
]) Так, если 1рафик функции y = Vs (x-i-2)* (x — IK (см. ниже
черт. 308) строить по точкам F, В, L, К (соответствующим значениям
аргумента —2,5; —0,8; 0; ] ,5;> то на участке FB график пойдет совер-
совершенно неверно.
*) Рекомендуется, читая примеры, попутно составлять таблицу.
384 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Для разыскания экстремумов решаем уравнение
/'(х) = 0. Находим кршические значения
х± ~ — 2, х2 = —0,8, х3 = 1,
Заносим в таблицу эти значения, а также соответст-
соответствующие значения функции
/(*!> = О, /(х*)* -4,20, /(ха) = 0.
В графе у ставим нули.
Для исследования иа экстремум здесь удобно приме-
применить вторую производную, поэтому откладываем исследо-
исследование до п. 4.
4. Для разыскания точек перегиба решаем уравнение
/" (х) = 0. Получим найденное прежде значение х3 = 1 и,
кроме того,
Хл = -1,5, Ха = -0,07.
Заносим в таблицу эти значения, а также соответствующие
значения функции и ее нерпой производной:
/(х4)= -2,0, /(х5) = -2,3;
/'Ы- -5,5, /'(*«>*= 4,0.
В графе у" ставим пули.
Определяем знак /" (х) до н после перехода через
каждое из значении
X = Х%, X = X], X = Xj
и вносим пометки в соответствующие клетки таблицы.
Так, в третьей строке графы у" пометки —0 -f означают,
что /" (х) меняет знак с минуса на плюс при переходе
чер<з х ~ х3 слева направо. Так как в каждой из точек
Xsi -■ к хз иторая производная меняет знак, то во всех
трех точках имеем перегиб.
Тепгрь определяем знаки /" (х) в критических точках
Xj.= -2 и v, = -0,8:
В первой CTf-;;j графы у" ставим минус, во второй —плюс.
При х — хх иу.ссч максимум, при х --- xz — минимум.
5. Горизонтальных и наклонных асимптот пет, ибо
§ 587. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
385
Наносим (черт. 308) найденные точки (А, В, С, D, Е)
на сетку и намечаем направления касательных. Добавив
еще три точки ха ~ -^,5, х7 = 0, xs = 1,5 (F, L, K)r
получаем довольно точный график функции.
Номер
точки
I
2
3
4
5
(!
7
8
X
*—*?
-0,8
Г
-1,5
-0,07
-2,5
0
1,5
У
0
-4,2
0
-2,0
-2,3
-5,4
-2
0,8
у'
0
0
0
-5,5
4,0
26
4
5
Л-
-0 +
-0 +
+ 0-
Экстремум,
перегиб
максимум
МИНИМУМ
перегиб
перегиб
перегиб
Обозначе-
Обозначения точек
А
В
С
D
Е
!■■
L
К
%
Пример 2. Построить график функции У — -%+h
1. Функция определена н непрерывна всюду, крометочки
= -1, где она имеет бесконечный разрыв. Как справа,
л
/|
Ж
■о
1
д
г
г
(
/
/ 2
С
X
-i
**•
N2
\
с
.Г
J В
-*
£
Черт. 308.
Черт. 309.
так и слепа от точки разрыва функция и.меет знак минус
(в графу у заносим — со), получаем асимптоту х = -1.
Обе бесконечные ветви направлены вниз (черт. 309).
2. Находим:
<*-*■* У ^ 12i
Обе производные, существуют всюду, кроме точки разрыва;
25 М. Я, Выгодский
38& ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Уравнение /' (х) = 0 имеет два корня:
Хх = — 5, Х% — 1.
Соответствующие значения у;
yL~ -6,75, у2 = 0.
По знаку /' (х) вблизи критических точек .(см. ниже таб-
таблицу) видим, что в точке х = —5-максимум, а в точке
х = 1 нет экстремума.
4. Уравнение у" (х) = 0 имеет единственный корень
xz = 1; по знаку второй производной (см. таблицу) можно
видеть, что здесь - перегиб,
5. Ищем наклонные асимптоты; как при х-> + <*>, так
и при х -> — с* имеем:
Iim Hm(y4 *)§
Значит, прямая у — 2°с~§- служит асимптотой для
двух бесконечных ветвей.
Правая ветвь лежит выше, левая—ниже асимптоты, ибавыраже-
лие у— (■о'х~'о') ПР1Т х~> + ™ сохраняет знак плюс, а при х-»-— м
минус. Впрочем, это обнаружится и из чертежа, когда будут отме-
отмечены точки С, D, JE, F, К, L.
Номер
ТОЧКИ
I
2
3
4
5
6
7
8
9
X
-1
-5
1
-9
-3
-0,5
0
3
9
У
— оо
-6,75
0
-7,83
-8,00
-6,75
-0,50
0,25
256
У
+о-
+ 0 +
У
-0 +
Экстремум,
перегиб,
разрывы
разрыв
максимум
перегиб
Обозначе-
Обозначения точек
А
п
с
р
в
F
К
L
\ §.288. Решение уравнений. Общие замечания
Алгебраические уравнения первой и второй степени
решаются по формулам, известным из алгебры. Для Ура-
Уравнений третьей и четвертой степени формулы сложны,
а общее уравнение пятой или более высокой степени ие-
g 288. решение уравнений, общие замечания 38?
разрешимо в радикалах. Однако как алгебраическое, так
и неалгебраическое уравнение можно решнть с требуемой
точностью, если предпарнтельно иайти грубые приближе-
приближения. Последние затем постепенно уточняются.
Грубое решение можно найти графически по одному
нз следующих способов.
Первый способ*. Для решения уравнения / (х) = О
строим график y = f(x) (см. § 287) и прочитываем абсциссы
тех точек, где график пересекает ось ОХ.
Пример 1. Решить уравнение X3~9xa + 24x-18 = 0.
Строим (черт. 310) график у - x3-9x3-f 24х-18;
прочитываем абсциссы х± = 1,3, х2 = 3, х3 = 4,7. Подста-
Подстановка покажет, что второй
корень—точный, первый .и
третий -приближенные.
Y
i
0
/
h
h
ft f
\
\
3
\
\
|
I
As.
7
/
л
1
0
/ I4
X
Черт. 310.
Черт. 311.
Второй способ. Уравнение / (х) = 0 можно пред-
представить в виде /j (х) = /2 (х), причем одна из функций /х (х),
U (*) произвольна. Произвол используется так, чтобы гра-
графики у = /j. (x) и у = /3 (х) строились возможно легче.
Находим точки пересечения графиков. Прочитав их абс-
абсциссы, получаем приближенно корни уравнения / (х) = 0.
Пример 2. Решить уравнение Зх - cos X — 1 = 0.
Представим данное уравнение в виде
Зх-1 = cosx.
Строим (черт. 311) графики функций у = Зх-1 ну = cosx.
Они пересекаются в одной точке. Прочитав ее абсциссу,
получаем, приближенный корень xt — 0,6.
В gg 289 -291 изложены три способа уточнения корней. Они тре-
требуют, чтобы искомый корень х был отделен, т. е. чтобы был известен
некоторый промежуток (я, Ь) {промежуток изоляции), где содержится
ж и где нет других корней данного уравнения. Концы а, Ь сами ялля-
ются приближенными значениями корня (недостаточным и избыточ-
избыточным). Их можно найти графически по одному из вышеуказанных
способов. Чем короче промежуток (а, Ь), тем лучше,
25*
388
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 3. Отделить иорни уравнения .Vs— 9х2+24х- -18 =0*
По графику (черт. 310), если он сделан грубо, прочитываем для
наименьшего корня промежуток изоляции A; 1,5); при более точном
построении получим более короткий промежуток, например A,2; 1,4).
Для наибольшего корня получим промежуток D,15; 4,8). Корень х =3
не нуждается в отделении: он —точный.
3 а м с ч a и и е. Для алгебраических уравнений существуют спе-
специальные методы решения. Из них заслуживав г особого упоминания
метод Н. И. Лобачевского; он позволяет с помощью алгебраических
действий над коэффициентами уравнения найти с любой степенью
точности все корни, в том числе и мнимые.
Метод Лобачевского не требует отделения корней.
§ 289. Решение уравнений. Способ хорд
Пусть на концах промежутка (а, Ь) функция / (х) имеет
противоположные знаки (черт. 312). Если при этом /• (х)
сохраняете промежутке (и, Ь) неизменный знак1), 5° внутрп
промежутка лежит один-единственный кореш, х уравне-
уравнения /(х) = 0 (если /' (х) не сохраняет знаг<а, ти корень
тоже есть, но он может быть не единственным).
a S/ ft
Черт. 3J.
Черт. 313.
За первое приближение корня х принимаем точку х — х„
где хорда АВ (черт. 313) пересекает ось ОХ:
или, что то же2),
х, = а —
xi = Ь —
(b-a)f(a)
О)
B)
, ,.„ линия графика идет всюду вверх или
ВСЮДУ ВНИЗ.
. В симметричном виде 3^=-^' {^-Ш, но формулы (I) и B)
1) То есть на участке АВ
ору вниз.
2) В симметричном виде хх=- '.:■■-
удобнее для вычислений.
§ 289. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ;. СПОСОБ ХОРД 389
Затем вычисляем / (xL) и берем тот из промежутков
(a, Xj), (xub), на концах которого /(х) имеет противопо-
противоположные знаки [промежуток (хи Ь) на черт. 313]. Искомый
корень лежит в этом промежутке Применив формулу,
аналогичную (l)f получаем второе приближение х3. Про-
Продолжая процесс, найдем последовательность хи х»} ...
... к х„, ...; она имеет пределом искомый корень х.
Степень приближения на практике можно определить
следующим образом. Пусть требуется точность до 0,01.
Тогда останавливаемся на том приближении хя, которое
разнится от предшествующего меньше чем на 0,01. Впро-
Впрочем, не исключено (хотя и мало вероятно), что точность
окажется недостаточной. Гарантия будет полной, если
убедиться, что знаки / (х„) и / (*» ± 0,01) противоположны.
Приме р. Функция / (х) = Xs — 2х2~~ 4х-7 на кон-
концах промежутка C, 4) имеет противоположные знаки;
/ C) - - 10 -с 0, / D) = 9 >■ 0.
Производная /'(.v) =i Зх2-4х —4 сохраняет в проме-
промежутке C, 4) знак плюс. Значит, внутри промежутка C, 4)
лежит один корень уравнения
xs~2xs~4x~7 = 0.
Найдем его с точностью до 0,01. Формула A) дает:
Теперь вычисляем:
/C,53) * -2,05.
Из двух промежутков C; 3,53), C,53; 4) выбираем вто-
второй, нбо на его концах знаки / (х) противоположны.
Находим второе приближение;
V = Ч 5ч 0,47-/C,ЙЗ) ,, _,. 0,47-2,05 _ о до
' - ~ л'ад- "Л-/C,53) ^ Jiw+ 13,05 ~ djD '
Значение
/C,62)= -0,24
отрицательно, поэтому берем промежуток C,62; 4). На-
Находим:
О,3&-0,24
И /C,63)« -0,04
390
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
По ходу выкладки надо ждать, что х4 будет отличаться
от х3 менее чем иа 0,01 и что х3 дает искомое приближе-
приближение. Поскольку для полной гарантии мы все равно будем
вычислять / C,64), не станем определять xit а сразу найдем:
/C,64) = 0,17.
Знаки / C,63) и / C,64) противоположны. Значит, х3 есть
искомое приближение.
Замечай'ие. Способ хорд, как и все способы последователь-
последовательных приближений, «не боится ошибок»: ошибка в промежуточной
выкладке автоматически исправится при следующем шаге. Но окон-
окончательную выкладку надо выполнить со всей тщательностью. Чтобы
пев озниклд ошибка от округлений, полезно сохранять запасные цифры
§ 290. Решение уравнений. Способ касательных
Пусть на концах промежутка (а, Ь) функция / (х) имеет
противоположные знаки (черт. 314 и 315), а производные
/' (х)> /" (х) сохраняют в промежутке (а, 6) неизменный
Черт. 314.
знак1). Для разыскания корня х} лежащего в промежутке
(а, Ь) (§ 289), поступаем так.
В том конце дуги АВ, где знаки / (х) и /" (х) одина-
одинаковы2), проводим касательную (ВК на черт. 314, Ah иа
черт. 315). За первое приближение искомого кория при-
принимаем точку х — х{ъ), где касательная пересекает ось ОХ.
*) То есть на участке АВ линия графика идет всюду вверх или
всюду вниз И обращена вогнутостью всюду вверх или всюду вниз.
*) То есть в верхнем, если АН обращена вогнутостью кверху, и
в нижнем, если книзу.
з) Обозначения xj, *J,.., отличают приближения по методу кара-
карательных от приближений xj, Хд..,. nq методу хорд.
§ 590. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. СПОСОБ КАСАТЕЛЬНЫХ 391
Если касательная взята в точке х = Ъ, то
Л1 " и Т~-
если же - в точке х =■ а, то
fiP) *
В обоих случаях второе приближение находится по фор-
муле
Продолжая процесс, найдем последо-
последовательность xj, х'г% х'э, ... (черт. 316|.
Она имеет пределом искомый корень х-
Степень приближения можно определить
так же, как в способе хорд.
Замечание 1. Если касательную Черт. ззе.
провести в том конце дуги, где / (х)
и /" (х) имеют противоположные знаки, то х{ может выйти
за пределы промежутка (а, Ь) и ухудшить приближения
(черт. 317, а).
Замечай не 2. Если /" (х) ие сохраняет знака в про-
промежутке (а, 6), то касательные в обоих концах дуги могут
пересечь ОХ зд пределами промежутка (черт. 317, б).
if л
Л а
ъ ^
Черт. 317.
Пример. Вычислить с точностью до 0,01 корень
уравнения
/(х) = х3-2х2-4х-7« О,
содержащийся (см. пример § 289) в промежутке C; 4).
Решение. Имеем:
/C)- -Ю;
(х) « Зх2 - Ах - 4; /" {х) =*6х-4.
392 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Обе производные сохраняют в промежутке C; 4) знак
плюс. Поэтому берем тот конец данного промежутка, где
f(x) -- О, т, е. конец 1> - 4. Но формуле A) находим, пер-
первое приближение:
Дллее находим;
/C,08)- 1,03, /'C,08) = 21,9
и по формуле C) получаем второе приближение
■< - 3>68-/^Щ - 3,68-0,047 = 3,633
(с избытком).
Последующие приближения будут все меньше и меньше,
причем по ходу выкладки можно предвидеть, что дальней-
дальнейшие уточнения корня не повлияют на цифру сотен. Поэтому
подсчитаем только /C,633) и /C,630).
Вычисление дает:
/C,633)^0,020, /C,630)- -0,042,
так что (с точностью, трое больше
*_\_ ь требуемой") х = 3,63.
§ 291. Комбинированный метод
хорд и касательных
При выполнении условий § 290 при-
приближения хл (по методу хорд) и при-
приближения х'п (по методу касательных) подходят к корню
х с противоположных сторон (первые — со стороны вогну-
вогнутости, вторые —со стороны выпуклости графика; см.
черт. 318). Совместное применение обоих методов дает
сразу избыточное и недостаточное приближения, и степень
точности оценивается непосредственно.
Пусть а ость тот конец промежутка (a, ft), где знаки
{(х) и /" (х) одинаковы. Тогда по формулам A) § 289 и
B) § 290 находим 1):
у _ п
f(b)-f{a)> Xl~U Па)'
i) Для случая, KOi^a знаки / (х) и /" (х) одинаковы на конце Б,
вторая формула заменяется формулой х/=я Ъ—
§ 291. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД
393
Искомый корень заключен между х1 и х{. Прн этом
/(xi) имеет тот же знак, что /"(xi) (см. черт. 318). Сле-
Следовательно, мы можем снова применить формулы A)
настоящего параграфа, заменив в них а иа х[, а 6 на Xj.
Получаем вторые приближения
— х, —
V Y
1 /'<*!>
Для вычисления ха применяем
те же формулы, заменив в них ху
и х[ па х, и X; и т. д. Продол-
Продолжая процесс, найдем х с требуе-
требуемой ючнисчью.
П р м м с р. Решить уравнение
2* = Ах.
Следуя второму способу § 288,
строим 1 рафики у = 2х н у = Ах
* s s х
Черт. 319.
(черт. 319). Помимо точки -А,, дающей точный корень
х ~ 4, получаем только одну точку пересечения В.
Ее абсцисса хлежнт между а — 0 и b ~ 0,5.
Вычислим х с точностью до 0,0001. Имеем:
/ (х) = 2х-Ах, /' (х) = 2е 1п 2-4, /" (х) = 2х 1п= 2,
/@)= 1, /@,5)= ^0,586.
Первая производная сохраняет в промежутке @; 0,5)
знак минус1), вторая-знак плюс. Для вычисления х'х
надо взять конец а = 0, ибо там знаки / (х) и /" (х) оди-
одинаковы. Находим:
Xl = fl-/W-/W = "ода- - °>316 Сс избытком),
1
v' - /T-
1 ~
0.302
/'(я) In 2-4 0,69315-4
(с недостатком).
С помощью пятизначных таблиц логарифмов получим:
/ @,302) = 0,0249, /' @,302) = -3,14544,
/@,316)= -0,0191.
1) Из чертежа видно, что в промежутке (ft, 0,5) у графика у =2*
наклон меньше, чем у графика у = 4х.
394 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это дает вторые приближения:
= 0,3099
(с избытком),
= 0,302—ШШ- = 0,302+0,0079 « 0л3099
(с недостатком).
Искомый корень х лежит в промежутке (х'г, хг) и по-
поэтому х = 0,3099 но меньшей мерс с точностью до
0,5'10~*. На самом деле точность еще больше (пользуясь
семизначными таблицами логарифмов, мы при тех же зна-
значениях xt, xi получим для х границы 0,30990 и 0,30991).
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 292. Вводные замечания
1. Исторические сведения. Интегральное
исчисление возникло из потребности создать общий метод
разыскания площадей, объемов и центров тяжести.
В зародышевой форме такой метод применялся еще
Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м
веке в работах Кавальери1), Торричелли1), Ферма,
Паскаля н других ученых* В 1659 г. Барроу 2)
установил связь между задачей о разыскании площади и
задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц
в 70-х годах 17-го нека отвлекли эту связь от упомянутых
частных геометрических задач. Тем самым была установлена
связь между интегральным и дифференциальным исчисле-
исчислением (см. ниже п. 3).
Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и
их учениками для развития техники интегрирования.
Своего нынешнего состояния методы интегрирования
в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды
М. В. Остроградского 3)и П. Л. Чебышева*)
завершили развитие этих методой.
2. Понятие об интеграле. Пусть линия MN
(черт. 320) даиа уравнением
и надо найти площадь F «криволинейной трапеции» а-АВЬ,
>)Бонавентура К аваль ери A591 —1647) и Еванге-
Евангелиста Торричеллн A608 —1647)—итальянские ученые, уче-
ннки Галилея.
*)Исаак Барроу AбЗО-1677)-английскийматематнк,учи-
AбЗО-1677)-английскийматематнк,учитель Ньютона,
я) Академик Михаил Васильевич Остроград-
с к н й A801 —1861) —выдающийся русский математик.
«)Академик Пафнутий Львович Чебышев A821 —
1894)-великий русский математик, приложивший новьге пути во
многих областях наукн. ^
396
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Разделим отрезок ab иа п частей axlt xxx2, . ..,х»_]&
(равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру,
показанную штриховкой на черт. 320. Ее площадь
равна
(О
<»-1, B)
C)
Искомая площадь есть предел суммы C) при бесконечно
большом, п. Лейбниц ввел для это! о предела обозначение
Если ввести обозначения
то формула A) примет вид
■ •■■ -I y»-idxn.
jydx,
D)
ь 'х
Черт. 320.
в котором Г (курсивное s)-началь-
s)-начальная буква слова summa (сумма), а вы-
выражение у dx указывает типичную
форму отдельных слагаемых1).
Выражение Г у dx Лейбниц стал
называть интегралом — от патин-
ского слова integralis - целостный2).
б Лйб
ского слова integralis целостный).
Фурье3) усовершенствовал обозначение Лейбница, при-
придав ему вид
E)
Здесь явно указаны начальное и конечное значения х.
3. Связь между интегрированием и диф-
фереицировапием. Будем считать а постоянной,
аи — переменной величиной. В соответствии с этим
') Понятие предела тогда еще не сформировалось, и Лейбниц гово-
говорил о сумме бесконечного числа слагаемых.
*) Это название было предложено учеником Лейбница Иваном
Бернуллн, чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых> ст
обычной суммы,
1)Жан Баптист Фурье A768-1830)-французский ма-
математик и физик основатель математической теории тепла.
§ 5&3. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 397
изменим обозначение Ь на х. Тогда интеграл
J
(т. е. площадь аАВЬ при неподвижной ординате аА и
подвижной ЬВ) будет функцией от х.
О фф й
Оказывается, что__ дифференциал этой
функций равен / (х) dx *)
iY
f/(x)tfx =
F)
0
в№
b с
4. Основная задача инте- черт. 321.
трального исчисления. Таким
образом, вычисление интеграла E) сводится к разыска-
разысканию функции по данному выражению ее дифференциала.
Отыскание такой функций и составляет основную задачу
интегрального исчисления.
§ 293. Первообразная функция
Определение. Пусть функция / (х) есть производ-
производная от функции F(x), т. е. f(x)dx есть дифференциал
функции F(x):
f(x)dx=dF(x).
Тогда функция F (х) называется первообразной для функ-
функции / (х.)
Пример 1. Функция Зхг есть производная от х3,
т. е. Зх2 dx есть дифференциал функции х3;
3x*dx=d(x*).
По определению функция Xs является первообразной для
функции 'Лх4'.
Пример 2. Выражение Зх2 dx есть дифференциал
функции х3+7:
3x2dx= d(xs+7).
') Это видно из черт. 321. Приращение ДГ плопыди аАВЬ есть
площадь ЬВСс. Последнюю можно представить в виде суммы
пл. bBDc+mi. BDC. Здесь первый член равен ЬЬ-Ьс—/(х) Д«, а вто-
второй имеет высший порядок относительно Дрс (он меньше, чем
пл. BDCK-Ьх-Ау). Значит (§ 228), f(x) Ax есть /(ифференциал пло-
щади F,
398 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Стало быть, функция х3+7 (как и функция Xs) - перво-
первообразная для функции Зха.
Любая непрерывная функция f (х) имеет бесчислен-
бесчисленное множество первообразных. Если F (х) есть одна из
них, то всякая другая представляется-'выражением
F (х) + С, где С-постоянная величина. Последнюю можно
задать произвольно.
Пример 3. Функция Зх2 имеет бесчисленное мно-
множество первообразных. Одна из них (см. пример 1)
есть х3, всякая другая представляется выражением
х3+С, где С-постояииая величина. При С=7 получаем
первообразную хэ + 7 (пример 2), при С = 0 получим
снова первообразную х5.
Пример 4. Одна из первообразных функций Зх2 есть
х3ч-7. Всякая другая представляется выражением х3+
Ч-7 + С.ПриС = -7 получаем первообразнуюх3.
Предостережение. Всякую первообразную от
функции Зхг можно представить как в виде хэ + С, так
н в виде х3+7 + С. Но эти выражения нельзя приравнять,
ибо постоянные С в них неодинаковы. Так, первое выра-
выражение дает первообразную х3+10 при С =10, а второе-
прнС=3.
Если, вопреки предостережению, мы приравняем х3+С
н ха+7 + С, то получим нелепое равенство 0=7* Однако
можно написать:
где С и Cj — постоянные. Они связаны соотношением
С = Сх+7.
§ 294. Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом данного выражения
/ (х) их [или данной функции / (х)} называется наиболее
общий вид его первообразной функции.
Неопределенный интеграл выражения / (х) их обозна-
обозначается
jf(x)dx.
Постоянное слагаемое подразумевается включенным в это
обозначение.
Происхождение знака { и наименования «интеграл»
объяснено в § 292, пп. 2 и 3. Слово «неопределенный»
подчеркивает, что в общее выражение первообразной
§ 294. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 399
функции входит постоянное слагаемое, которое можно
взять по произволух).
Выражение / (х) dx называется подынтегральным выра-
выражением, функция / (х) - подынтегральной функцией, пере-
переменная х-переменной интегрирования. Разыскание не-
неопределенного интеграла данной функции называется
интегрированием 2).
Пример 1, Наиболее общий вид первообразной
функции для выражения 2xdx есть х2 + С. Эта функция
является неопределенным интегралом, выражения 2х dx:
J
х- + С. A)
Можно также написать:
J 2хйх = х'--5+Сх. B)
Различие в обозначениях постоянных (С и С,) подчерки-
подчеркивает, что они неодинаковы (С = Сг~5; ср. § 293, пре-
предо ci с реже иие).
Пример 2. Найти неопределенный интеграл выра-
выражения cos х dx.
Решение. Функция cos x является производной от
sin х. Поэтому
J
cos xdx = sin x+C.
Примерз. Найти неопределенный интеграл выраже-
ш,я§.
Решение. Функция — разрывна прн х=О. Будем
рассматривать сначала положительные значения х. Так как
<Лпх =»•$-, то
&-~1пх + С. C)
Так как d In Зх = —, то можно также написать:
^■=1пЗх+С1. D)
J
J) В противоположность неопределенному интегралу предел сум-
суммы у0 dx,, ну, dxt+ ...4-yn_l dxH—r (g 292, п. 2) называется определен-
определенным интегралом. Неопреде ленный интеграл есть функция. Опреде-
Определенный интеграл еоть число.
2) Интегрированием называют также разыскание определенного
интеграла.
400 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Постоянные С и С\ связаны соотношением.
Аналогично можно написать:
J
E)
и т. д. Для отрицательных значений х функция In х ие
определена, и формулы C), D) и E) непригодны. Зато
функция In ( —х) определена: ее дифференциал тоже равен
—. Теперь имеем:
/£ = *<-*). С
и аналогично:
и т. Д. Формулы C) и (б) можно объединить:
G)
Формула G) пригодна для любых значений х, кроме х = 0
(ср. § 295, пример 3).
§ 295. Геометрическое истолкование интегрирования
Пусть /(х)~даниая непрерывная функция, a F (х) -
какая-либо ее первообразная. Если построить график PQ
функции y = F (x) (черт. 322), ю
угловой коэффициент касательной
МТ будет выражаться данной функ-
функцией f (х).
Пусть F, (х)-другая первообраз-
первообразная той же функции / (х). Тогда угло-
угловые коэффициенты касательных МГ
и МкТг (точки касания М, Мх имеют
одну и ту же абсциссу х) одина-
одинаковы, т. е. МТ ][ MiTf.
График первообразной функции
F (х) называется интегральной ли-
линией функции /(х) [или уравнения dy=f(x)dx]. Каса-
Касательные к двум интегральным линиям в соответственных
Черт. 322.
§ 295. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
401
точках параллельны. Вместе с тем две интегральные линии
отстоят друг от друга (по вертикали) на постоянное
расстояние С (ММ^ иа черт. 322), так что, имея одну
интегральную линию, легко построить
другие.
Через каждую точку проходит одна-
едннствеппая интегральная линия.
Интегральные лннни строятся (при-
олижешю) следующим образом. Из не-
нескольких десятков точек (см., например,
черт. 323), густо покрывающих кэкую-
либо часть плоскости, проводим короткие
отрезки (илн стрелки), указывающие
направление касательной.
Получаем «поле направлений*. Затем Черт. 323.
проводим иа глаз плавную линию так,
чтобы она в ряде своих точек касалась стрелок. Полу-
Получим одну интегральную линию. Таким же образом построим
и ряд других.
Пример 1. Нанти интегральные линии уравнения
dy = dx.
Данная функция f(x) п рассматриваемом примере есть
постоянная величина 1. Угловой коэффициент всех стре-
стрелок равен единице, т. е; наклон касательной всюду 45°.
Интегральные линнн (черт. 323)-параллельные прямые.
Уравнение каждой из них есть у = J dx, т. с, у = Х+С.
Y л Величина С, постоянная для каждой
и прямой, меняется от одной прямой
/</. к'другой.
//7/ П р и м е р 2. Найти интегральные
'//'» линии для функции -~х (т. е. для
уравнения dy = -^ х dx\.
Вдоль оси ОУ (х=0) берем гори-
_^ зоитальные стрелки (-^х=0), вдоль
х ординаты х = 1 берем стрелки с угло-
черт. 324. вьш коэффициентом ^х = ^ит, д.
Проведя на глаз интегральные линии, получаем «параллель-
«параллельные» параболы (у = J ~ x dx = ~ х2+с; черт. 324).
26 м. я. Выгодский
402 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При мерЗ. Начерт. 325 показаны интегральные липни
функцни —. Ни одна из них не пересекает ось ОУ,
так как при х=0 первообразные функции не определены
(функция ~ разрывна при x~ti\. Вследствие этого лишь
Черт. 325.
те интегральные линии отстоят друг от друга на равные
расстояния, которые лежат по одну сторону от оси
ординат. Лежащие справа представляются уравнением
у » Ых+С, слева-Уравнением у = In (-x)-i-t'. He-
определенный интеграл I —выражается
(для всех х, кроме х=0) формулой
Jf-ln|x|+C.
a b
Черт. 326.
m л
Замечание. Другое геометриче-
геометрическое истолкование интегрирования по-
получится, если начертить график KL
(черт, 326) данной функции / (х). Пусть дуга КЬ целиком
лежит выше оси ОХ. Проведем две ординаты пА и тЫ.
Левую ординату пА будем считать неподвижной, а пра-
правую тМ - подвижной. Площадь аАМт будет одной из
первообразных для функции /(х) аргумента х=0т
(ср. § 292, п, 2). Взяв вместо аА неподвижную орди-
ординату ЬВ, получим другую первообразную-площадь ЬВМт.
Эти две первообразные разнятся на постоянную величину
С=пд. ABfc
I 2б& ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 403
§ 296. Вычисление постоянной интегрирования
по начальным данным
Из множества первообразных данной функции f(x)
только одна может принимать данное значение Ь при дан-
данном значении аргумента х=с. Если известен неопределен-
неопределенный интеграл
то соответствующее значение постоянной С находится из
соотношения
& = F(a)+C.
Пример 1. Найти ту первообразную от функции
^х, которая принимает значение 3 при х=2.
Решение, Имеем:
6 J-|*rfx=4*4C. A)
Постоянную С находим из соотношения 3»-j»2*+C.
Получаем С = 2. Подставляя в A), находим искомую
первообразную функцию
у =1*42. B)
Геометрически задачу можно сформулировать так: иайти
ту интегральную линию функции ~ х, которая проходит
через точку B, 3). Искомая линия есть парабола UV
(черт. 324).
Пример 2, Найти ту первообразную от функции
- , которая принимает значение -^ при х — — 1.
Решение. При отрицательных х неопределенный
интеграл функции ~ (§ 294, пример 3) имеет внд
J C)
По условию имеем:
{■«Ittl + C, D)
- 26*
404 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
откуда
Искомая функция есть 1п(-х)+у. Ей соответствует
интегральная линия PQ на черт. 325.
§ 297. Свойстна иеопределеиного интеграла
1. Знак дифференциала перед знаком интеграла уничто-
уничтожает последний:
d$f(x)dx~f(x)dx
(по определению неопределенного интеграла).
Иначе: производная неопределенного интеграла равна
подинтегральной функции
««К*)- B)
Пример.
d j" 2xdx « d(x*-\-C) = 2x#t, (la)
-™ I 9v rfv ^^ vv
Ш ) *xax- лс.
Q.. Знак интеграла перед знаком дифференциала уничто-
уничтожает последний, но при этом ваодится произвольное
постоянное слагаемое.
Пример.
Jdsinx = slnX-j-C. C)
множитель можно выносить за знак
aj(x)dx = ajj{x)dx. D)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
Пример.
J" Gxdx = GJ
где Сг=6С.
§ 298. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ 405
4. Интеграл алгебраической суммы раоеи сумме интегра-
интегралов от каждого слагаемого в отдельности. Для трех сла-
слагаемых
= j" h(x)dx+$f2(x)dx-f h(x)dx; E)
аналогично для всякого другого (неизменного) числа сла-
слагаемых.
Пример.
где
Замечание. Нет нужды выписывать при промежу-
промежуточных вычислениях для каждого интеграла свое посто-
постоянное слагаемое; достаточно приписать его по выполне-
выполнении всех интегрирований.
§ 298. Таблица интегралов
Из каждой формулы дифференцирования, если ее обра-
обратить, получается соответствующая формула интегрирова-
интегрирования. Так, из формулы
.jfy A)
получается формула1)
Из десяти нижеследующих формул первые девять полу-
получаются обращением основных формул дифференцирования
I) Величина х+\?а*+х* положительна при любом х, поэтому
в B) не пишем In [ x -f-J^+x* \.
406 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
десятая совпадает с B). Вывод ее дан н примере I § 312.
Н.
ш.
IV. j"sinxtfx>= -cosx-J-C,
V. f cosxrfx = sinx+C,
VIII. f ~^= arcsinx+C,
Viiia. f ^^^ «
Этн формулы надо знать на память (в каждой из трех
пар формул III, VIII, IX достаточно запомнить одну-
лучше ту, что обозначена литерой «а»).
В формуле 1Ха в отличие от Villa перед знаком arc стоит множи-
тель —. Это связано с размерностью выражения -~YZvi *' в числи"
теле стоит первая степень величины rfx, в знаменателе—вторые
степени а и х. размерность равна — I; т^ же размерность имеет
правая часть благодаря множителю —.
Ср. § 294, пример 3.
I 299. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 407
Выражение ■ в формуле Villa имеет нулевую размерность,
так же как правая часть.
Замечание 1. Формулы 1-Х лучше заучивать по-
постепенно, по мере их закрепления упражнениями. В даль-
дальнейшем полезно заучить еще следующие пять формул 1):
, XI- f tgxdx^ -Injcosxl + C,
j XII. j ctgxdx *= In j sinx
[ Х1П. f-7~ - ■
Замечание 2. Интегралы ХШ и XIV можно выразить также
следующим образом*
ХП1а. f -^. elt
J sin x
XlVa
. I
J
COS X
В этой форме их взаимная связь виднее, но для вычислений удобнее
формулы, данные в тексте.
§ 299. Непосредственное интегрирование
Используя свойства 3 и 4 § 297, можно в ряде случаев
свести интегрирование к табличным формулам § 298,
Пример I.
J C fx-4x)dx = 3jx* dx-
з
При первом преобразовании использованы свойства
§ 297, при втором—табличная формула I. Постоянная С
появляется с того момента, когда исчезают знаки
интеграла.
1) Все они, равно как формулы, помещенные в приложении
(стр. 841 —851), выводятся ш формул I —X по правилам, изложенным
⧧ 300-302, * i
408 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П р н м с р 2.
j" Bslnf-3cosf)<tf = 2 j sin tdt~3 § cost dt =.
= -2cosf-3sin/+C
(использованы формулы IV и V).
ПримерЗ.
(использованы формулы IV и VI).
Пример 4.
-Х- - VG
, 3 А
§ 300. Способ подстановки
(интегрирование через вспомогательную переменную)
В подпнтегральнос выражение / (х) dx можно ввести
вместо х вспомогательную переменную г, связанную с х
некоторой зависимостью1)- Пусть преобразованное выра-
выражение есть д(г)(/г8); Т01да J / (x) dx = J Д (г) (/г. Если
интеграл f Д B) cfz принадлежит к табличным или сводится
к иим дегче, чем исходный, то преобразование достигает
цели.
На вопрос: как выбрать удачную подстановку, общего
ответа нельзя дать (ср. § 309); правила для важных част-
частных случаев даны ниже в связи с примерами.
Пример 1. J /2x^Trfx.
Среди табличных интегралов подходящего нет, ио по
формуле I можно вычислить интеграл f ix dx, сходный
с данным. Поэтому пробуем плести вспомогательную пере-
переменную г, связанную с х зависимостью
2х-1 - г. A)
5) Предполагается, что функция х = у (г), выражающая эту зависи-
зависимость, имеет непрерывную производную.
*) Имеем.'Л (г) dz =/[? (гI ?' (г) dz.
§ 300. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 409
Дифференцируя A), получаем:
2 dx = dz. B)
Подинтегральнос выражение }'2x^idx преобразует-
преобразуется с помощью A) и B) к виду iz ^ , и мы получаем:
= J
2
Возвращаясь к переменной х, находим:
J
Проверяя дифференцированием, получаем:
(I [ ^-(Зх-г^^+с] = —■~{2x-iIkd{2x-\) = Y2x=\dx,
Здесь функция 2х — 1 снова использопана как вспомогательная
(ср. § 237).
Замечание 1. В простых случаях нет нужды вво-
вводить новую букву. Так, в примере 1, где взята вспомога-
вспомогательная функция 2,v-l, находим в уме ее дифференциал
d Bх-1) = 2({х. Вводим в подиптегральное выражение
перед dx множитель 2; для компенсации ставим — перед
интегралом. Получаем:
""
Правило 1. Если подинтегральная функция (как
в примере 1) гшеет вид / (йх+&), то может оказаться
полезной подстановка ах [-6 = г.
Пример 2. J^^.
Вводим вспомогательную функцию 8-Зх = г; отсюда
с(х = -7f« Находим:
f . Де _ Г
3(8-3х)
410 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример s/fg^-
Берем Qx-7 в качестве вспомогательной функции. Не
вводя для нее буквенного обозначения (см. замечание 1),
находим (с помощью II):
Г dx _ 1 Г Qdx _ 1 f <f<GK-7) _.l
J 6x-7 G J 6x-7 ~ G J Ox-7 ~ 6
Пример 4. f e3* tfx (вспомогательная функция Зх).
J" e3*cta я ij" e^cf (Зх) = ~e**+C.
Примс.р 5. *ь ■ • • ■
J" с
П р а в и л о 2. Пусть подинтегральиое выражение раз-
разбито на два сомножителя и п одном из них легко распо-
распознать дифференциал некоторой функции ф (х). Может ока-
оказаться, что после подстановки 9 (x) ~ z второй сомно-
сомножитель превратится в такую функцию от z, которую мы
умеем интегрировать. Тогда подстановка будет полезной.
Пример 6. J^.
Разобьем подинтегральное выражение на сомножители
и 2х <1х. Сомножитель Ox dx оказывается дифферен-
дифференциалом функции 1+хг, стоящей в знаменателе другого
сомножителя.'После подстановки l+xz — z сомножитель
■j—i примет вид ~. Эту функцию мы умеем интегриро-
интегрировать. Вычисление можно вести так:
Замечание 2. Внешнее сходство данного интеграла
с табличным J" J-™ обманчиво. Наличие в числителе
множителя Ох существенно меняет вид первообразной
функции.
Пример 7. J sin д: cos3 x dx.
Разбиваем подннтегральнос выражение на сомножи-
гелн cos8x и slnxdXt* -dcosx, Подстановка cos # = 2
I 300. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 411
преобразует cos3 х и функцию 23, которую мы умеем ин-
интегрировать. Вычисление ведется так:
fsinxcos3xtfx = - J" cos3 х d cos x = -
ПрнмсрЗ.
Сходство с табли^ым интегралом Villa обманчиво.
Вводим вспомогательную функцию a2-*2 = z. Имеем
-2xdx = dz, т. с. xdx— —■—. Интеграл принимает
вид
Вычисление ведется так:
С xdx 1_ г -2xdx
J уЪ*~^Х* 2 J /as^^
Примера f
K<Jx
Вспомогательная функция х!. Имеем:
f 5x rfy . „ ^. f %xdx _Ji С tt (xe
Пример 10.
J^ j 4
He всегда легко отличить удачную подстановку от не-
удачиой. Это видно из примеров И и 12.
Пример 11. J(xs + l)*x3dx.
Здесь хороша подстановка x2+l = z. Подинтеграль-
ное выражение разбиваем иа сомиожнтелн xdx==-jdz
и (x2+l)*xf = z*(z-l). Получаем:
J (х=Ч 1)* x*dx = ^ J" z* (г-
(ср. пример 4 § 299, где тот же интеграл был найден без
подстановки).
412 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П р и м е р 12. J (х2 + II х- их.
Здесь подстановка х3 1-1 = г нехороша: она даег ии-
тсграл -^ f z* iz -1 dz, более трудный, чем исходный.
Данный интеграл лучше всего вычислять непосредственно,
как в примере 4 § 299. Получим: ~ х11 + ~х9 + ~ х7 +
'A+^jarctgx = In I arctS Х\ + С
могательная функция arctg x).
Пример 14. Г-^~ = — arcsin г3 + С (вспомогатель-
пая функция у3).
Пример 15. f JJJ^g-= _1|/ьГ^*+с (вспомога-
тельная функция 1-й1).
Пример 16. | ^~^</х = In (e*+e-*) + C (вспомо-
(вспомогательная функция £г-1-е~а).
Пример 17. J^gf = з^в^+С (вспомогательная
функция cos х).
Пример 18. J -^^^ ■=4"t84x + c (вспомогатель-
(вспомогательная функция tgx; подинтегральное выражение равно
t3 d
tg3 a: dx\
COS* X / *
§ 301. Интегрирование по частям
Всякое подинтегральное выражение можно бесчислен-
бесчисленными способами представить в виде и dv (и н «—функции
переменной интегрирования).
Интегрированием по частям называется сведение
данного интеграла Г и dv к интегралу ( vdu с помощью
формулы
f и dv = uv - f v du. A)
§ 301. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 413
Этот прием ведет к цели, если Г vdu находится легче,
чем Г и dv (примеры 1-4) или если одни из этнх инте-
интегралов выражается через другой (пример 5).
Пример 1. f exxdx.
Представляем подынтегральное выражение в виде
х (ех dx) = х dex. Здесь роль и играет х, роль да-функ-
да-функция ех. Применяем формулу A):
Г xdex = хех- { ех dx.
Интеграл f e'dx-табличный. Вычисление ведется
так:
|т е х dx - f x dex - хех - J e dx - хе* ~ е." + С.
Замечание 1. Если подинтегральное выражение
представить в виде ed (^ х2^, т. е. взять и = е,
v =-гсХ2, -ю по формуле (I) получим:
$e*d(±x>)=±x«-e*~S±x*e*dx.
Интеграл f ~ x2 e" dx не легче исходного.
Выражение ех х dx можно представить в виде и do бесчисленными
способами, беря за v какую угодно функцию. Гак, если взять и =х1,
то dv=^x5dx. Тогда e*xdx = -г-- DxJdx), т. е. и = —- . Но фор-
формула A) снова приведет к интегралу, который труднее исходного.
Прежде чем интегрировать по частям, надо в уме при-
прикинуть, что может дать тот или иной выбор функции -в.
Пример 2. | х In х dx.
Здесь хорошо представить подннтегральнУЮ функцию
в виде In х tf (у х2) . Формула A)(прн и = In x, v = тг*2)
дает;
х-J у
414- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ji dx i г 1
~2"х2~ж"^"kixdx Равен -4**+с»так
д:Чпх^х+С.
Пример 3. fxsinxtfx.
Имеем:
f хsin xdx = {xd(-cos x) =
= - x cosx- J (-cosx)cfx =: -xcosx+sInx+C,
П р и м e p 4. f x2 cos x cfx.
Имеем:
f хг/С08 x cfr = J x2dsln x = xs sin x-2 f xsinxcfx.
К полученному интегралу тшовь применяем интегриро-
интегрирование по частям (см. пример 3). Окончательно получаем:
J x2sinx+2xcosx-2sInx + C.
Прнм.ер 5. J е* cos х сГх.
Представим подинтегральное выражение в виде
d sin x:
[ e^cosxefx = e^sinx-J1 sinxeMx+Cj. B)
Полученный интеграл не проще исходного, но его
можно выразить через исходный. Для этого снова инте-
интегрируем по частям:
- J" sin х & dx = i ё* d cos x =
= e° cos x - f cos x e* dx+Ca. C)
Подставляя (З) в B), получаем уравнение
f e* cos x dx =
= e'slnx+^cosx-J ^cosxtfx+C^-bCj,, D)
из которого находим неизвестное f^cosxefx:
J e^cosxrfx = ye^tsi
где С обозначает °1l'Ci!.
g 302. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМ. ВЫРАЖЕНИЙ 415
3 а м е ч а н и е 2. Можно представить подынтегральное
выражение в виде cos х de. Тогда и прн втором интегри-
интегрировании надо будет новое выражение с sin x dx предста-
представить в виде sin х dex (а не в виде ez d cos х), иначе урав-
уравнение для определения Г е* cos x dx обратится в тождество.
§ 302. Интегрирование
некоторых тригонометрических выражении
Правило 1. Для вычисления интегралов вида
f cos2ll+1 x dx, f sInlM+1 x dx A)
(n-целое положительное число) удобно ввести вспомо-
вспомогательную функцию sin х в первом случае и cos x — во
втором.
Пример 1.
Г cos^xdx^ \ A — sin2 x) rfsin x =■-
= sin х - -т sin3 л: + С.
П р и м е р 2,
|slnfix</x = | sin^xsinxdx = -f (l-cos2x)a dcosx ~
— -J" A -2cos2x+ cos*x)dcosx -
= - COS X +-s-COS3X-— C0S5X + C.
Для четных степеней sin х или cos x правило 1 не ве-
ведет к цели (см. правило 2).
Правило 2. Для вычисления интегралов вида
J cos2" х dx, J sin2» x dx B)
удобно пользоваться формулами
соч2 v - 1+cos2* n\
^ D)
огательную функцию cos 2x.
J" sin3 xdx « J '
и вводить пепомогательную функцию cos 2x.
Пример 3.
41б ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 4.
= ~ f dx+~ f cos 2x dx-\~ f cosa 2x dx.
Первые два интеграла вычислим сразу, к третьему по-
повтори^ применим формулу C), переписав ее в виде
Получаем:
Г cos4 xdx ■=% _.x+-rsin 2х+-% J (I +cos 4x) dx
Остается привести подобные члены.
Правило 3. Для вычисления интегралов вида
f cosm x sin" x dx, E)
где по крайней мере одно из чисел т, п- нечетное,
удобно ввести вспомогательную функцию cos x (если m
нечетно) или sin x (если п нечетно) и поступать, как в
примерах 1, 2.
Пример 5. f cosB x sin5 x dx.
Здесь имеем нечетную степень синуса. Представляем
подинтегральное выражение в пиде
cose х sin* x d (— cos x) — - cos6 x A — cos2 х)г d cos x.
Получаем:
f cos6 x sinG x dx =
= - f cos0 x d cos x + 2 f cos8 x d cos x - Г cos10 x cf cos x =
= - ycos7x+-|cos9 x-~-cosllx+C.
Когда оба числа m, л-четные, правило 3 не приводит
к цели (см. правило 4).
§ 302. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМ. ВЫРАЖЕНИЙ 417
Правило 4. Для вычисления интегралов вида E), где
т н п-четные числа, удобно пользоваться формулами
^f C)
1 —cos 2х ,Л\
—з , D)
sin х cos х = 5^ . F)
Пример 6. f cos* х sin2 x их.
Представляя подынтегральное выражение в внде
(cos х sin х)а cosa х их
и применив (б) и C), получим:
f cosdxsin2xtfx = l~{ sin22x(l + cos2x)(/x =
= ~ J si'nE 2x dx±^ J sin3 2x cos 2x dx.
Первое слагаемое преобразуем по формуле D), пере-
переписав ее в виде
Второе вычисляем через вспомогательную функцию sin 2x.
Получаем:
J cos* х sina x dx = ■^■x~^sin4x+^si
П p a r и л о 5. Для вычисления интегралов вида
f sin mx cos nx dx, G)
J" sin mx sin nx dx, (8)
f cos mx cos nx dx (9)
удобно пользоваться преобразованиями
sin mx cos nx ~ — [sin (m — n) x + sin (m + n) x), G')
sin mxsin nx = -^-[cos(m-n) x-cos (m+п) x], (8')
cos mx cos nx » i- [cos (m - n) x + cos (m + л) х]. (9')
27 M. Я. Выгодский
418 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П р н м е р 7. '
f sin 5х cos Зх dx = -^ f [sin E-3) х+sin E + 3) х] dx =
- -j cos 2x—^q cos 8x+ C.
Правило б. Для вычисления интегралов вида
| tg" x dx, J ctg» x tfx
(л-целое число, большее 1) удобно выделить множитель
tgs х (или ctg2 х).
Пример 8. J" tgfi х dx.
Выделяя множитель tg2x = scax-I =-^^-1, по-
получаем
Первый интеграл равен -v tg4 x. Второй вычисляется тем
же приемом:
J" tg3 х dx = J" tg x ^^-1 tg x dx - -i- tg= x + In [ cos x \.
Окончательно;
Jtgfixdx = itg4x~-^-tg2x-ln 1 cosx j + C.
§ 303. Тригонометрические подстановки
Для подинтегральных выражений, содержащих ради-
радикалы
(а также квадраты этих радикалов а2—хг, ха±а2), часто
удобны следующие подстановки:
для случая Уа2~х2 подстановка х = a sin t,
» » К^Тй5 » х = й tg <,
» » I'x2 - а2 » х = a sc f.
§ 503. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ 4l§
П р и м е р 1. f У a3-*3 dx.
Полагая x=c8in t, получаем1):
ilf^x* — с cos Г, dx ~ a cos f #. A)
Следовательно,
| f^ J Ш = -£(*+±-в1в2*) + с B)
см. C) § 302). Возвращаясь к переменной х, находим:
t = arcsin £, 1 sin a - sin / cos ( = ^~=?-. C)
Окончательно:
J YaP^x* dx = ~arcsin^+-| ('e'
"Ри«ер2. f-^
Полагая x = о tg t, получаем:
Следовательно,
Возвращаясь к перемсииой х, находим:
Окончательно;
Пример^, -f -^Sx .
Полагая х = a sc t, получаемl):
— a? = a tg t, dx = atgtsct dt.
i) Знак радикала взят в предположении, что -
27*
420 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следовательно,
f -0= = ± f dt = U + C = larcsc* +C =
= — arccos "+С.
а х
§ 304. Рациональные функции
Целой рациональной функцией аргумента х называется
функция, представляемая многочленом
аохп + а1хп~1+ ...+ак_1х + ап. A)
Дробной рациональной функцией называется отноше-
отношение целых рациональных функций
&оХ» + 6,Х«-1 + ... + &ст-1 X + Ът ,£\
> + ...+%_iX+«n v '
Если степень числителя меньше степени знаменателя,
дробь B) называется правильной, в противном случае-
неправильной.
О Зх2 4- V~^ х
Примеры. Функция ——~ целая рацио-
т 3
иальная. Функции ^^Ь"> "^'^4 -дробные рациональ-
рациональные. Первая дробь-правильная, вторая-неправильная.
2 Ух"
Функция —зу —нерациональная.
§ 304а- Исключение целой части
Из неправильной дроби можно с помощью деления с
остатком исключить целую часть, т. е, неправильную
дробь можно представить в виде суммы целой раниоиаль-
ной функции и правильной дроби. Может оказаться, что
деление выполняется без остатка; тогда неправильная
дробь есть целая функция.
Пример 1. Неправильная дробь~*-~~G*-лосле ис-
4 15 4' *
ключения целой части принимает нид ткХ~«v-r-n
§ 305. О ПРИЕМАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 421
(■prX—частное, — 15-^-х есть остаток от деления числи-
числители иа знаменатель).
Пример 2. Ц
Этот результат получается делением — xG-fx5H-l на
-x+t, или, короче, следующим, образом:
Пример 3. Исключая целую часть из дроби ^ггу-,
получаем целую рациональную функцию х2 (деление вы-
выполняется без остатка).
§ 305. О приемах интегрирования
рациональных дробей
При интегрировании неправильной рациональной дроби
сначала исключаем из нее целую часть (§ 304а).
Пример 1.
(ср. § 304а, пример 2).
Так как целая часть интегрируется непосредственно,
то интегрирование всякой дробной рациональной функции
сводится к интегрированию правильной дроби. Для этого
существует общий метод (§ 307). Но он часто связан с
длительными вычислениями. Поэтому полезно, где ьоз-
можно, использовать частные особенности подиитеграль-
ного выражения.
Так, если числитель подиптегрального выражения
равен дифференциалу знаменателя (илн отличается от
него постоянным множителем), то знаменатель надо при-
принять за вспомогательную функцию.
Пример 2.
~ 2 J ~^i
») Можно было бы применить подстановку 1-х = z и не исключая
предварительно целой части, но вычисление было бы длиннее.
422 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ '
Аналогичный прием, когда в числителе — дифферен-
дифференциал некоторого многочлена, а в знаменателе — степень
того же многочлена.
При мер 3.
е (Зх* +1) dx с djxt+x)i
J (х3+х)* хз+х*1
Если числитель и знаменатель имеют общий множи-
множитель, бывает полезно произвести сокращение.
Здесь дробь сокращается на х+ 1. Получаем:
= тШ (^2+ l)-2arctgx+C.
J Ц=
Замечание 1. Иной раз сокращать дробь иет смысла.
Так, в примере 2 можно представить дробь в виде
BХ2+4Х + 3)
и сократить иа х+ 1. Но интеграл
J
вычислить труднее, чем исходный, не говоря о том, что
разложение иа множители представляет немалую труд-
трудность.
Замечание 2. Общий метод интегрирования рацил-
нальиых дробей состоит в разложении данной дроби на
сумму так называемых простейших Оробей. В § 306
объяснено, что это за дроби и как их интегрировать. В
§ 307 указано, как разложить данную дробь на простейшие.
§ 306. Интегрирование
Е " простейших рациональных дробей
Простейшими рациональными дробями называются
дроби, приводящиеся к следующим двум типам:
"• .„ (л- натуральное число),
п* (хч^х+g)" (п-натуральное число),
S зоб. интегрирований Рациональных дроёёЙ 423
где хг \-px-vq не разлагается на действительные
множители первой степени 1т. е. <7-(■§■)" >■ о] ; если
/КС л'Ч-p-v+i/ разлагается на действительные множите-
множители nepnoii степени [т.е. ([ ~ (уУ ^ 0\ , то дробь II не
считается простейшей.
Дроби -—, —У~=—простейшие первого типа,
' х+2 ' (х-У2у '
дроби -— - -^^- —-^^-~ простейшие второго типа,
1 х* + 1 ' хг+2 » х*+У~5
1 Ях —2
Дроби , -■' ■■ ,_—не простейшие, ибо выражения
X=-l '__(*«-^3)э J Г
х2-1, x2~- ^З разлагаются па действительные множи-
множители первой степени.
з
Дробь у-^ —простейшая, так как ее можно привести
_з
к виду — —-д-. Дробь ■■ -3 х ~ ^т ~ простейшая, ибо оиа
х~~2
вида II.
А) Простейшие дроби первого типа интегрируются по
формулам
Adx
B)
В) Простейшие дроби второго типа е случае п=1
интегрируются до конца подстановкой
x+f- = z,
приводящей знаменатель
к виду г2 + А2 [где/с2
424 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример I.
| ^5 ** [Р= ~*> Я- 25; q-(gf = 9] .
Подстановка
х-4 = г
преобразует интеграл к внду
-■|ln (z4 9) + l-arctg I + С.
Возвращаясь к аргументу х, получаем:
3v —5 , 3 .,..-. „, 7
Формула (запоминать ее не надо) имеет вид
г Mx + N ,
М . . о 2N—Mp , *л i у „
= —1п (х*+рх+д) + —г — arctg • ,__ + С.
В) Простейшие дроби второго типа в случае п >■ 1
интегрируются той же подстановкой
Она преобразует интеграл \ ■r~~-^--,- dx к виду
Г J^E+Il. dz C)
Первое слагаемое | --^~|~-. интегрируется сразу через
вспомогательную функцию 22+/с2
Второе слагаемое L J -/a-rfz---- вычисляется тригоно-
тригонометрической подстановкой (§ 303, пример 2) или по
5 306. ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 425
формуле приведения *)
г dz
п ~3) J
(ее можно проверить дифференцированием). Она сводит
Jdz
- —-,-2, - к интегралу того же типа, ио показа-
те.чь л в знаменателе уменьшается на единицу. Повторяя
процесс, придем в конце концов к интегралу
г, ,, f Cx-2)dx
Пример 2. J (tf-2,+3). ■
Подстановка я- 1 =z приводит интеграл к виду
гЗг + 1 . _„ f г dz Г dz
J "(zM^ ' J (z«+2)a+j B»T2)«'
Первый член равен
£ f d(
2 J (г-
гг +2) 3 ,yj
+ 2)* 4(г^+2)^-
Постоянное С опускаем, относя его ко второму члену,
который вычислим по формуле E) (полагая в ней /с2 = 2,
J (г*+ 2)а ¥ B*+2J*1"8" J (z*~+2)a * V ;
Применяем повторно формулу E), полагая Л2 = 2,
л ^
Г <^_ = JL z д 1 Г _£Ё_ =
J) Так именуется всякая формула, поражающая какую-либо вели-
величину, зависящую от числа п [в нашем случае 1 -, .- тя-| i через
I J (г2 4- A3)nJ
ту же величину при меньшем абсолютном значении п. Формулы при-
приведения называются также рекуррентными (т. е. возвратными).
•426 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из формул F)-(9) находим:
J B* +2K йг =
8 (гг+2)г 32 z*+2
arctg-==+C.
з arctg *+с =
32 (г» +2J 32 y2
Возвращаясь к переменной х, получаем:
f
3 д
32^У
§ 307. Интегрирование рациональных функций
(общий метод)
Рациональные функции интегрируются по общему ме-
методу следующим образом;
1, Из дайной функции исключаем целую часть; она ин-
интегрируется непосредственно (§ 305, пример 1).
2. Знаменатель остающейся правильной дроби разлагаем
на действительные множители типа х—а и х2 + рх+д,
причем множители второго типа должны быть неразложц'
мыми на действительные множители первой степени1).
Разложение имеет оид
.. (I)
Такое разложение всегда существует 2);оио единственно.
3. Числитель правильной дроби пробуем делит!, на
каждый множитель выражения A). Если деление выпол-
выполняется без остатка, сокращаем дробь на соответствующий
множитель (§ 305, пример- 4).
4. Разлагаем полученную дробь на сумму простейших
дробей и интегрируем слагаемые по отдельности (§ 306).
*) Если получился множитель x2+px + q, разложимый на дей-
действительные множители х— т и х — п, то его заменяем двумя этими
множителями.
г) Е простейших случаях оно выполняется группировкой членов
и другими приемами, известными из алгебры. ОС общий случае
см. § 308.
5 307. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 427
Замечание I. Всякая правильная дробь разлагается
единстве иным образом на сумму простейших. Способ раз-
разложения объяснен ниже. Для лучшего его понимания
рассмотрены 4 случая, исчерпывающие все возможности.
Случай 1. В разложение знаменателя входят только
множители первой степени и ии один из них ие повто-
повторяется.
Тогда правильная дробь разлагается на простейшие по
формуле
ао(х-а)(х-Ь). ..(Х-/) х-а^Х-Ь^ ' ' * + х-1 * "■ '
где постоянные А, В, .. ,,L находятся (по методу неопре-
неопределенных коэффициентов) следующим образом.
а) Освобождаемся в равенстве B) от знаменателей.
б) Приравниваем коэффициенты при одинаковых степе-
степенях х в правой и левой части (может случиться, что
а левой часш нет соответствующего члена; тогда под-
подразумеваем его с коэффициентом О). Получаем для неиз-
неизвестных А, В, ..., L систему уравнений первой степени.
в) Решаем систему (она всегда имеет единственное
решение).
Пример 1. Найти J^=^-rfx.
Решени с. Данная дробь - правильная. Разлагаем
оиамепатель па множители:
х»+х*-6х = ;с(х-2)(х+3). C)
Числитель не делится ни на один из этих множителей, так
что дробь не сокращается. Вес множители —первой сте-
степени и ни один не повторяется.
Согласно формуле B)
Для разыскания постоянных Л, В, С освобождаемся
от знаменателей. Получаем:
7х~5= А (х-2) (х+3)+ В (х+3) х+С (х-2) х, E)
или
7х-5=*(Д+В + С)х8 + (Д+ЗВ-2С)х-6А F)
Приравниваем коэффициенты при Одинаковых степенях х
428 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(в левой части подразумеваем член 0 -Xs). Получаем сие тему
А+ В+ С -0,
G)
-6A- -5.
Решив ее, находим
А~— В ^ — С = —26- * (8)
и из D) получаем следующее разложение данной дроби
на простейшие:
7х-_5 ? } i JL ' 26 '
( 6 х ' 10 х-2 15 эс + 3 '
Интегрируя пoчлeшio, находим искомый интеграл
Замечание 2. Постоянные -А, В, с можно иайтн
еще так: берем три любых значения х и подставляем их
в E). Получим систему трех уравнений, из которой снова
найдем те же значения (Н).
Это замечание относится и к случаям 2, 3 и 4. Нов слу-
случае 1 указанный прием можно еще упростить, взяв такие
значения х, которые обращают в нуль знаменатели простей-
простейших дробей; в данном примере -значения х=* 0, х= 2,
х= -3. Тогда получаем систему -5= —6Д, 9-10В,
— 26=15С, из которой сразу получаем значения А, В, С.
Случай 2. В разложение знаменателя входят лишь мно-
множители первой степени и некоторые из них повторяются.
Пусть множитель х — а повторяется к раз. Тогда в
разложении B) надо заменить соответствующие к одина-
одинаковых членов суммой простейших дробей вида
Аналогично для других повторяющихся множителей.
Простейшие дроби, отвечающие неповторяющимся мно-
множителям, остаются прежними. Постоянные, входящие в
разложение, определяются как в случае 1.
Пример 2. Найти f-tSg^
Решение. Разложение знаменателя имеет вид
§ 307. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 429
Все множители —первой степени. Множитель х не по-
повторяется, множитель х—1 повторяется трижды. Непо-
Неповторяющемуся множителю соответствует, как в примере 1,
простейшая дробь вида —, повторяющемуся множителю
(х-1)-сумма Трех простейших дробей вида
Разложение данной дроби имеет вид
*3 -И а в с d
+ + +
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
хэН-1 « А(х-1K+ Bxi-Cx(x~l).i-Dx(x-iy- A0)
или
( )
+ (ЗД+В-С+Л)х-А (II)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х;
полу/асм:
ЗЛ+В-Сч-D -О,
Решив эту систему, находим:
Л = -1, В ^2, С= 1, D =2.
Получаем разложение данной дроби
х (х- 1)з х + (х-1)а+ (х- 1J +х-1
Интегрируя почленно, находим:
Г (
3 Xi-
Другой вариант. Если положить в A0) сначала
х=0, затем х=1 (см. замечание 2), то получим сразу
А^ — \, В = 2. Подставив в A0) еще два значения, на-
например х=2 и х=-1, и учитывая найденные значения
А и В, получим систему 2C + 2D = 6, 2C-4D = -6, из
которой найдем С = 1, D = 2.
430 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Этот способ особенно удобен, когда в разложении зна*
меиателя много неповторяющихся множителей, а крат-
кратность повторяющихся членов невелика.
Случай 3. В разложение знаменателя входят множители
второй степени (не разложимые на действительные мно-
множители первой степени), и ии одни из них не повторяется.
Тогда п разложении дроби каждому множителю
соответствует простейшая дробь ^
(типа И). Множителям первой степени (если они есть)
по-прежиему соответствуют простейшие дроби типа I.
Пример 3. Найти J
Р
J +
Решение. Разлагаем знаменатель на множители:
Получили два множителя вида %z + px + q, но из них лишь
первый не разлагается на действительные множители пер-
первой степени
Второй же
[,-(!)'- -3-1'= -
разлагается:
хй + 2х-3-(х-
Поэтому разложение дроби на простейшие имеет вид 1)
Э _ А В Cx+D ,j,.
Не будет ошибки, если искать разложение вида
А'х + В' Cx + D
+
в данном примере вычисление даже упростится: мы получим А' =2,
В'=2 и найдем:
А'х-~ В'
В общем случае все равно пришлось бы разлагать дробь -jt.tzz3
А П
на сумму простейших ——,-+—=-,
х ~ i х 4" ^
5 307. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 431
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
7х*+26х-9 = (
). A4)
Приравниваем коэффициенты одинаковых степеней х:
А+ В + С = 0, \
5А+В+2С + D-7, |
9A+B-3C+2D '--- 26, I
OA-3B-3D = -9. J
Решая систему A5), находим
А - 1, К - 1, С - -2, D - 5,
так что
x-\~ х+3 Х2
Интегрируя (см. § 306, случай Б), находим:
-1п(ха+2х+3)+-1
]/2
= Щ
I 7
| У2
Д р у i о и вариант. Для определения А и В пола-
полагаем в A4) сначала х= 1, затем х— -3 (см. замечание 2).
Получаем простые уравнения 24 = 24Л, - 24 = - 24В и
находим:
А = 1, В = 1.
Полагая в A4) х = О, получаем -9=9/l-3B-3D, ОТ-
кудя D-5. Полагал х= - I, находим С'= —2.
Случай 4. В разложение знаменателя входят множи-
множители второй степени (неразложимые на действительные
множители первой степени) и некоторые из них повто-
повторяются.
Тогда в разложении дроби каждому множителю хг+
+ px+q, повторяющемуся к раз, соответствует сумма
простейших дробей вида
432 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 4. Найти J^J — .
Решение. Разлагаем знаменатель на множители:
х5 + 2х3 + х - х (х4 + 2х2 +1) = х (х2 + \)-.
Множтель хг+1 не разлщается па действительные
множители первой степени; он повторяется дважды. По-
Поэтому разложение дроби имеет вид
Зх+_5_ _ А Вх+С Рх + Е
Освобождаемся от знаменателей.
Зх+5 - A(\*+iy b(Bx\ C)\ [ {D\ + E)\(\2 t I).
Приравниваем коэффициенты одинаковых степенен \,
Л \ D - 0, £-0, 2A+B + D = 0,
С | Е -- 3, А + Е = 5.
Решая систему, получаем:
А = 5, В = -5, С = 3, D = -5, Е = О,
так '1то
JCx-}-5)dx- _ с Г dx I* (-jx+3)rfx с f >-rfx
Вычислив срединй инте! ра.ч, как объяснено в § 306
(случай В), найдем.
С Cx + 5)rfx _ к,
J x»+"Sca+x ~ °
УамечаниеЗ, Интеграл всякой рациональной функции теоре-
теоретически пыр.ЕЖается (ср. примеры 1 —4) 4epej логарифмы рациональ-
рациональных функций, аркфункции и «алгебраическую ч^сть. (т. е. рациональ-
рациональную функцию). Но множители вида х — а,х£+рх + д(на которые разла-
разлагается знаменатель всякой рациональной функции), как правило,
можно найти лишь прибтиженно (см § 308)
Впрочем, по способу, открытому М В. Остроградским, алгебраиче-
алгебраическую часть можно всегда выразить точно, ибо для разыскания ее нет
нужды разлагать знаменатель.
§ 308 О РАЗЛОЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ 433
§ 308. О разложении многочлена на множители
Разложение многочлена
QoX^ + QjX™-1 1- ... +Д„, |йоИ0. A)
на множители сводится к решению уравнения
aox»+a1\»-i+ .. +а„ = 0. B)
Действительно, если шпестен какой-либо коре[[Ь х, уравнения B), то
мноючлен A) разделится без остатка на х —х,, и мы получим разло-
разложение БИД.1
«oV+u,-*»-1 I ■ in,, ■=
-ао(\-^)(х»-Н M'^-f ... + V-j>- C)
По способам, нзлаиемым и ныешеи алгебре, В1.е1да можно к,1йги
(приближенно, но с любой точностью) один из корней всякого число-
числового <,чгебраического урав[!е[[ия 2) О^н.шо [<opeHd Xj может быть и
мнимым
Получив разложение C), мы можем далее найти корень \, уравне-
уравнения x'l-l+blx'l-"-\- .,.+&,(_, = О 4hcj[O х2 6уд<?1 вместе с тем корнем
уравнения B) Для мноючлепа A) пп<и чиня тшчое рдзюжение*
щ\Ч ir +я
~во(>--^)(\-ла)(^-г+С1*в--Ч ■■• U»-J D)
и т,д В цонцс концов получим р.иложепце iui 'J (дейсизнтсчьпых или
мнимых) множителей первой (тепени.
такое разложение е [ин(,твен[[о Числа \j, х,, . , х„—корни уравне-
уравнения B) Эти Ч[1сла иг1зыва[огти1кже корнями многочлена A) Не исклю-
исключена воз«ож[Шсть, чго некоторые корни равны между собой. Но и
в этом случае считают, чю уравнение B} имеет п ьорней, только
каждый из корней надо считать ja один, за два, за три и т д , смотря
по тому, сколько раа поптормеп.я соответствующий множитель и р,и-
ложеиии E)
Если все коэффициенты мнпючлен.1 A) действительны, то всякому
комплексному корню а + 'fit отвечает щ>у i ой комплексный корень а — рг
(сопряженные корчи) Если один ил сопряженных корней повторяет-
1Я, го столько же раз повторяется другой
Два сопряженных комплексных множшеля х—(а + pi) и х — (а— $i)
да [от л цроил*едении действите аьный многочлен вида
J) При делении многочлена A) из дпуч,)?» л —х', где \' ~п р и -
ближеиное значение корня, получится п oi i ,1тке некоторое чи-
числа q (равное значению многочлена при х =х') По мере приближения
х' к хт остаток g будет стремиться к нулю.
28 М. Я, Выгодский
434 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Здесь
Значит, всякий многочлен (с дейсЕвительными коэффициентами)
разлагается на действительные множители типа х—х$ и х2+px+q
(множители второго типа не разложимы hj действительные множите-
множители первой степени).
Замечание. Хотя числа xk, p, д, входящие в множители вида
х-х%, х2 -f px -yq, действительны, но, как правило, они являются ир-
иррациональным». Полее того, п том случае, когда многочлен A) имеет
пятую или более высокую степень, эти числа, как правило, нельзя точ-
точно выразить даже с помоше.ю радикалов. Поэтому далеко не всегда
возможно точно разложить рациональную Фуеекцию ни простейшие
дроби.
§ 309. Об интегрируемости
в элементарных функциях
Интеграл рациональной функции, как правило, не явля-
является рациональной функцией (например, (*—- Inx + C).
Подобным же образом интеграл элементарной (нерацио-
(нерациональной) функции, как правило, не является элементар-
элементарной функцией.
Так, инте] ралы , ,r r ^,_
JJLd5L f dx С
xdx
In x1 Jinx
J
ие выражаются элементарными функциями1), хотя сходный
на вид интегралы 1
^=, (Inxdx, (xlnxdx
являются элементарными функциями. j
По правилам дифференциального исчисления .можно для*
любой элементарной функции найти се производную (также
элементарную). В интегральном исчислении подобные
правила для разыскания первообразной принципиально не-
невозможны.
Но для некоторых классов элементарных функций ин-
интеграл всегда является функцией элементарной (хотя под-
подчас имеет сложное выражение). В § 307 был изучен один
такой класс (рациональных функций). В §§ 310-313 рас-
1) Тем не менее для всякой непрерыаной функции неопределенны^
интеграл существует (н притом, является непрерывной функцией).
S 310, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ РАДИКАЛОВ 435
смотрены другие важные классы и указаны общие правила
для вычисления их интегралов. Впрочем, во многих слу-
случаях предпочтительны частные приемы. Они подсказы-
подсказываются навыком.
§ 310. Некоторые интегралы, *
зависящие от радикалов
Символ #(х, у) здесь и в дальнейшем обозначает дробь,
числитель и знаменатель которой —многочлены относи-
относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной
функцией двух переменных х, у (ср. § 304). Если знамена-
знаменатель-постоянная величина (многочлен нулевой степени),
рациональная функция называется целой.
Аналогично определяется рациональная функция трех
переменных R (х, у, z), четырех и т. д.
Интеграл вида1)
( ( /у
\гх+а) • Krx+s)* ••■] "*' K)
где a, J3-рациональные числа, а р, q, r, ^-постоянные
величины (числовые или буквенные), приводится к ин-
интегралу рациональной функции и, значит, выражается
вэлементарных фулкциях. Этой цели служит подстановка 2)
Н±£ =f«f где л-общий знаменатель дробей а, C, ...
В частности, интеграл
/= JR{x, X«, xP, ...]dx B)
вычисляется подстановкой x=-tn.
Замечание. Приведение данного интеграла к инте-
интегралу рациональной функции называют рационализацией
Пример 1. 1= |*5—^^ .
Здесь р = q = s = I, r=0, a = -g-,p = ~. Общий зна-
знаменатель л=6. Интеграл рационализируется подстановкой
(■, dx =
]) Буква I здесь и в дальнейшем -сокращенное обозначение инте-
интеграла.
и) Ппедп<?лагае(Ся, что —^~ ■ в случае ~ = — дробь J^—л.
' Р s ' г s rx+s
сводится к постоянной, и тогда не требуется никакой подстановку
28*
436 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Получаем:
где t = У1 + х.
Пример 2. 1= jx 2(x3 + l)~Vx.
Это - интеграл вида B). Полагаем х = t". Получаем:
где t --=
§ 311. Иитеграл от биномиального дифференциала
дифференциалом1) называется выраже-
выражение
где т, п, р~рациональные числа, а, 6-постоянные, не
равные нулю. Интеграл
/ = Jx-(e+6x»)»dx A)
выражается через элементарные функции в следующих
трех случаях.
Случай 1. р-целое число. Тогда интеграл подходит
под тип § 310.
См. пример 2§ 310, где m = —j , n - -3-, р - -2.
Случай 2. р-дробь (р = —), но Я1±2_целое число.
Тогда интеграл рационализируется подстановкой
(я-знаменатель дроби р).
*) Некоторые авторы употребляют термин «дифференциальный
бином».
S 311. БИНОМИАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 437
Пример I.
I = Jx5 (^3-2;c5j 2 dx. B)
4 f>
Здесь т = —, л = ~, ~~- = 2-целое число. Пола-
J D It
гаем
з
Можно выразись х через 2 и подставить в B). Но про-
проще продифференцировать C):
х 5 (/х = - ~ z dz D)
и преобразовать I с помощью C) и D) следующим обра-
образом:
3-
- - 2"г + -1Й г3 hC,
где г = (з-2хт)т.
Случай 3. Оба числа р = — и -1 дробные, но их
сумма —±_ + р- целое число.
Тогда интеграл рационалнзируется подстановкой
ах-* + Ь = 2»
(s-знаменатель дроби р).
Пример 2.
Здесь т=~6, п-3, р =|-(дробь),-—-= -|-(дробь),
-^~+р— ~1 (целое число).
Полагаем
v-3iO _ У3
Л- -J- i. == (С"(
438 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Представив 1-1 2л.3 в виде х3(х~л+2), получаем;
/ = | х-*(х-3 + 2уйх - J Z2 {-z4z) ^ -~r+C ^
Рассмотренные три случая были указаны еще Ньюто-
Ньютоном. Эйлер, которого никто из когда-либо живших мате-
математиков не превзошел в искусстве преобразований, без-
безуспешно искал новые случаи интегрируемости биномиаль-
биномиального дифференциала. Он пришел к убеждению, что эти
три случая единственные. Но лишь II. Л. Чебышев в 1853 г.
доказал Утверждение Эйлера. Д. Д. Мордухай-Болтовской
в 1У20 г. доказал соответствующую теорему для интеграла
вида A) при иррациональных показателях т, р, р.
§ 312. Интегралы вида [ H(x,\fajc*+hx+c)djr>
Интегралы этою вида1) рационализируются одной из
подстановок Эйлера.
Первая подстановка Эйлера применима
при а>0. Полагаем й)
Уах* + Ьх+с+хУа - /. A)
Тогда
ax2+bx+c = Q-хУаУ.
Члены, содержащие х2, взаимно уничтожаются, и х (а
значит, и dx) выражается через t рационально. Подставив
это выражение в A), найдем рациональное выражение и
для радикала fax2 + bx + с.
Пример 1.
I — С dx
Полагаем
1) Можно считать, что а ^0, ибо при а=0 получаем случай g 310.
2) С тем же успехом можно положить
5 312. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА { R (x, Yax*+~bx+c) *с 439
Отсюда
2p
= 1-Х -
It
Следовательно,
' = J ~~~2P :~W -JT=In
Третья подсталовка Эйлера (о второй см.
ниже замечание) применили всякий раз, как трехчлен
ах2-\-Ьх + с имеет действительные корпи, и, в частности,
при а-:О1).
Петь корни будут xlt х... Тогда полагаем
Ш£ = и B)
откуда находим рациональное выражение х через V.
. Х Р—а •
Рациональное выражение радикала находим так:
- ia{x-x1){x~xi) =
D)
Пример 2. J-f ——--—^-' .
1 J (x-l)V-x*+3x-2
Трехчлен — х- + Зх — 2 имеет корни хх — 1, хг — 2;
Подкоренное выражение положительно при \^х^2
(при х=1 и х=2 подинтегральная функция обращается
в бесконечность).
1) При а ■< 0 трехчлен аХ* + Ьх+с мог вы иметь и комплексные
корни (если 4ас-Ь2 > 0), но тогда в силу тождества ax^+bx + с =
= -j--{Bax + &J4-Dйс— №)] трехчлен имел бы всегда отрицательные
значения, так что корень Yax2 + bx + с был би мнимым при всяком
значении х.
440 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полагаем 1)
1/ ~(Х~*> — I /К\
у х-~2 "~ ^ '
Отсюда
2/г+1 . 2tdt .„,
- (|х-2| = -/(х-2)
{и силу неравенства 1-^x^2 величина х-2 отрица-
отрицательна). Подставляя в правую часть выражеиие х через t,
находим:
В силу (G) и G) имеем:
. ^ Г tfx Г 2dt _ _ '2_ _
~~ J (х-1) 1/-(х-2) (х-1) J (i '
(х-1) 1/-(х-2) (х
Замечали е. Первая и третья подстановки Эйлера
достаточны, чтобы вычислить любой интеграл рассматри-
рассматриваемого вида. Для полноты приведем и вторую под-
подстановку Эйлера
Уах*П>х+~с =tx+ fc. (8)
Оиа применима при с=-0. Возводя в квадрат н деля на х,
получаем рациональное выражеиие а: через I; затем (8)
даст рациональное выражение радикала.
§ 313. Интегралы вида f Л (sin эр, cos ж) da;
Интегралы этого вида рационализируются подстановкой
tg|- = z, A)
откуда
*'тх СО8ХЙ B)
]) Можно положить Xi=2, агг = 1. Тогда третье подстановка
Эйлера видоизменяется (надо будет положить V ■ — = м.
5 314. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример. / = f отт^--- •
1 J 3+5 cos x
С помощью {2) и C) получаем:
1 - Г- —г^-г-^г - / - - = -'"
441
2+7
2-г
Подставляя сюда z — tg ^ , находим:
In
§ 314. Определенный интеграл')
Пусть функция / (х) непрерывна внутри промежутка
(а, Ь) и на его концах. Внутри промежутка возьмем п по-
последовательных точек х1,х2,
xs, х4, .. -, хя {черт. 327,
где л ^5); для единообра-
единообразия обозначим а через х„, а
b через хя+г. Промежуток
(а, Ь) разобьется иа л+1
частичных промежутков д
Черт. 327.
В каждом из частичных
промежутков {внутри или на
одном из концов) возьмем но точке [точка §i в
межУгке (х0, Xj), %2 — в промежутке (xit x2) и т. д.].
Составим сумму
про-
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если при неограниченном возрастании
числа промежутков {л'о, хх), (xlt x2),. .. наибольшая из их
длин стремится к нулю, то сумма Sn стремится к некоторо-
некоторому пределу S, Число S-одно и то же при любом способе
образования частичных промежутков и при любом выборе
точек £„ 5>,...
I) Рекомендуется предваригельно прочесть § 292, п. 2.
442
ЙНТЕГРАлЬНбЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Наглядное пояснение теоремы дает черт. 328. Сумма $„
численно равна площади заштрихованной ступенчатой фи-
фигуры [основание левой ступеньки равно хх— х0> высота
ее KL = f(Z,i); значит, площадь равна /(§j) (xl-xQ) и т.д.].
Чем уже ступеньки, тем бли-
ближе площадь ступенчатой
фигуры к площади «криволи-
«криволинейной трапеции» х0АВхп+11
так что предел S суммы
Sn численно равен площади
фигуры хаАВхя+1.
Сумму A) часто обозначают
сокращенно
=f-i>- B)
Черт. 328.
Здесь знак £ (прописная греческая буква «сигма», соответствую,
щая русской букве «С>) указывает, что выражение B) есть сумма одно-
однотипных членов. Выражение / (!,•) {xs —x,-_i) указывает закон образо-
образования членов: при j= 1 получается первый член, при 1=2 -второй и
т. д. Употребляется также более подробная запись
Bа)
Здесь отмечено, что первый член соответствует значению i = 1, а по-
последний —значению i = п +1.
Определение. Предел, к которому стремится
сумма A), когда наибольшая из длин всех частичных про-
промежутков стремится к нулю, называется определенным
интегралом функции f(x). Концы а, Ъ данного проме-
промежутка (промежутка интегрирования) называются преде-
пределами интеграла — нижним (о) и верхним (ft).
Определенный интеграл обозначается
j/(*)<*.
C)
Эта запись читается: интеграл от а до b эф от икс
дэ икс.
Значение определенного интеграла зависит от вида
функции f(x) и от значений верхнего и нижнего преде-
пределов. Аргумент функции можно обозначить любой буквой,
§ 314. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Например у, так что выражение
443
D)
представляет то же число, что C).
Замечание. Верхний предел b может быть больше
пли меньше нижнего а. В первом случае
Во втором случае
... >-xn_,>xn>b. (ft)
Д о и о л н е и и е к определению. В определении
предполагается, что а^Ь. Но ионшие определенного ин-
интеграла распространяют и на случай а=Ь; именно инте-
интеграл с равными пределами считается
равным нулю:
jf(x)dx = O
G)
[ото соглашение оправдано тем, что
интегра.1 C) стремится к нулю при сбли-
сближении а и ь, ср. черт. 327].
ь
Пример. НаЙги f 2xdx. Здесь
Ь X
1 (х) - 2х.
(8)
Черт. 329.
Решение. Разобьем промежуток (а, Ь) на равные
части {черт. 329); тогда абсциссы
V — /TVV VV h
л0 — "i Ali Л2' ■ ■ ■ 1 Лп> лп + 1 ~~ "
образуют арифметическую прогрессию с разностью
х, х0 х2 хг- ... _ п+1 . (У)
За точки 5i. 5at • • • примем правые концыг) последо-
t) То есть ступеньки прилегают справа к ординатам прямойу =2х.
444 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вательпых промежутков (и, Xj), {хх, х2), ... , так что
Si " Х1> %-1 — Х2> • • •> Ъя — Хп> Чп+1 = Ь)
/<5i) = 2хь /{Ы = 2х„, ..., /E.) = 2хН1 /Eи+1) = 26. A0)
В силу (8) и A0) сумма A) принимает вид
Суммируя арифметическую прогрессию, находим:
H" = (Ьа)(х+Ь) A1)
При неограниченном увеличении числа равных проме-
промежутков длины их стремятся к нулю; при этом хг стре-
стремится к а. Поэтому
lim Sn= (b~
стало быть,
f 2xdx = ft2-a2.
A2)
Точно так же
ь
2уйу = &3-а2,
f 2t dt = ft2 - a2
Черт. 330. i
и т.д.
Величина Ь2 — а2 есть площадь S трапеции А'АВВ'
(черт. 329); действительно,
S = ■^(А'А+В'В)А'ВГ = у Ba + 2ft) (ft — a) = ft3-a2.
Второй способ. Разобьем промежуток (а, Ь) на
неравные части так, чтобы точки х0, х,, х2,...,хя, х„+1
образовали геометрическую прогрессию') (черт. 330)
х0 = а, Хх = aqt.,., х„ = aq1", xrt+, = ft = aq*. A3)
J> Это возможно, если оба предела a, b имеют одинаковый знак
(ни один из них не должен равняться нулю). В предыдущем способе
числа аи Ь могут быть любыми.
§ 315. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 445
Из последнего равенства находим:
<Г+1 = ~. A4)
За точки £ъ %2t— примем левые концы') последова-
последовательных промежутков (а, хх) {хь хг),..., так что
?i ~ а> 5а — xi>"> 5n = x«-i> 5n+i = *п.
Сумма (I) примет вид
SB = 2xo(x1-xo)+2xi(x2-x1)+ ...+ 2хя(хп+1~х„) =
В квадратных скобках —геометрическая прогрессия со
знаменателем q2. Суммируя ее, находим:
или в силу A4)
1У
При неограниченном Увеличении числа л знаменатель q1,
как явствует из A4), стремится к единице:
Yimq = 1. A6)
Длины всех частичных промежутков стремятся к нулю.
В силу A5) и A6) имеем:
limSn = b°-a2,
т. е.
J 2x dx - Ь- - о2.
§ 315. Свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов определенный интеграл
сохраняет абсолютное значение, по меняет знак на обрат-
обратный:
ъ а
$f(x)dx = -j f(x)dx. A)
') То есть ступеньки прилегают слева к ординатам прямой у=2х.
446
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вытекает из сопоставления сумм Snt соответствующих. обоим
интегралам.
2.
f/<*)<te =
Это свойство поясняется черт. 331 (пл. яАВб=пл. аАСс+
+ пл. cCBb), но оно имеет место и тогда, когда точка с
лежит вне промежутка {а, Ь).
2а. Вместо одной добавочной точки с можно взять
несколько; так, при трех точках к, I, m имеем:
Ъ к t m Ъ
ft(x)dx= J/(x)rfx+J/(x)dx+J/(x)(fx+ ff(x)dx.
a a i I m
Порядок точек безразличен; практически важен случай,
когда а, к, I, т, Ь взяты в порядке возрастания (черт. 332)
или убывания.
В
Черт. 331,
а к im.
Черт. 332.
Ь X
3..Интеграл алгебраической суммы неизменного числа
слагаемых равен алгебраической сумме интегралов отдель-
отдельных слагаемых; так, при трех слагаемых
C)
4. Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла:
J mj(x)dx= m J f(x)dx.
D)
§ 316. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
§ 316. Геометрическое истолкование
определенного интеграла
Рассмотрим интеграл
ft(x)dx,
447
A)
у которого нижний предел меньше верхнего (я-=&)').
Если при этом функция / (х) положительна внутри
промежутка {а, Ь) {черт. 333), то интеграл численно равен
(§ 314) площади, покрываемой ординатами графикау=/(х)
{аАПЕВЬ на черт. 333).
г
ill
а 0
V
ш
1 1L
Jtfflfll
1
1 ,
Черт. 333.
Если функция f(x) отрицательна внутри (а, Ь)
{черт. 334), то интеграл по абсолютному значению равен
площади, покрываемой ординатами, ио имеет отрицатель-
отрицательное значение.
Пусть теперь f(x) один или несколько раз меняет знак
в промежутке (а, Ь) (черт. 335). Тогда интеграл равен
Черт. 335.
разности двух чисел, одно из которых (уменьшаемое) вы-
выражает площадь, покрытую положительными ординатами,
а другое (вычитаемое) — площадь, покрытую отрицатель-
Случай ар-Ь сводится к рассматриваемому в силу § 315, п. 1.
448 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛННИЕ
ными ординатами (ср. § 315, п. 2а).-Так, для случая, изо-
изображенного на черт. 335,
ь
J 1(x)dx =
0
I
Пример. Интеграл | 2xdx равен (§ 314, пример)
— 2
I2 - {— 2J — . Это число равно разности площадей
{черт. 336)
Ob В = ~ОЬ-ЬВ = 1
ОаА = ~аО-.Аа -- 4.
§ 317- Механическое истолкование
определенного интеграла
1. П у т ь материальной точки.
Пусть материальная точка движется в
одном направлении со скоростью
« = /@ .
[I- продолжительность движения]. Требуется найти путь s,
пройденный точкой с момента t~Tx по момент t=T2.
Если скорость постоянна, то
Если же скорость меняется, то для разыскания s надо
разбить промежуток времени на частичные промежутки
Пусть ту-какой-либо момент промежутка {Г,, Q, г3-
какой-либо момент промежутка (tu t2) и т. д.
Величина / (т,) есть скорость и момент т,; произведе-
произведение /{т,) (^-7\) выражает приближенно путь, пройден-
пройденный за первый промежуток времени. Точно так же
/(тз) {'г—М приближенно выражает путь за второй про-
промежуток и т. д. Сумма
(та) (fa-M+ •
fj 317. МЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА 449
выражает путь s тем точнее, чем меньше частичные про-
промежутки. Предел суммы sn, т. е. интеграл
дает точное значение пути s.
Пример. Скорость материальной точки растет про-
пропорционально времени, протекшему от началыюго-момента:
v = mt.
Найти путь, пройденный от начального момента до мо-
момента Т.
Решение. Искомый путь выражается интегралом
функции nit; нижний предел равен нулю, верхний равен Т
s = J mtdt = ni J tut
и
ь
(§ 315, п. 4). Мы знаем (§ 314, пример), что f 2frff =
= &!-ог. Значит (§ 315, п. 4), J tut = —-. При а = 0,
а
Ь = Т имеем:
т
s*=m\tut=s~ mT:
2. Р а б о т а силы. Если постоянная сила Р действует
на материальную точку, движущуюся по направлению силы,
то работа А силы на участке (su sz) находится по формуле
Если же сила Р сохраняет направление движения, ио
величина ее меняется в зависимости от пути s,.t. e.
P=f(s), то работа находятся по формуле
А= $ f(s)ds.
29 М. Д. Выгодский
450
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 318. Оценка определенного интеграла
Теорема 1. Если т есть наименьшее, а М~наи-
М~наибольшее значение функции / (х) в промежутке (а, ь), то
ь
значение интеграла j / (х) </хзаклю-
чено между т (Ь — а) л М {Ь - а).
При а -= b имеем:
m
(I)
Черт. 337.
При а ^ b знаки неравенства заме-
заменяются противоположными.
Геометрически: фигура, заштрихованная на
черт. 337, по площади больше прямоугольника аЫк и
меньше abLK-
Пример. Оценить интеграл f 2x dx.
Решение. Наименьшее значение функции 2х в
промежутке {4, б) есть т = 2-4 = 8, наибольшее зна-
значение М = 2■ б = 12. Наконец, Ь~а = 6-4 = 2. Зиачнт,
интеграл содержится между 8-2=16 и 12-2^24;
16
2xdx < 24.
Точное его значение {§ 314, пример)
равно 20.
Теорема 2. Если в каждой точке проме-
промежутки (а, Ь) соблюдаются неравенства
ф (х) dx < Г / (х) dx < f ? (х) dx. C) Чер г. 338.
Геометрически (черт. 338) пл. а А ВЬ -== пл. aCDb ■< пл. aEFb.
Теорема 1 есть частный случай теоремы 2(ф(х)=т, <?(*)=Л1).
Замечание. Теорема 2 утверждает, что неравенства можно
интегрировать. Дифференцировать же неравенства нельзя.
§ 319. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 451
§ 318а. Неравенство Буняковского
Оценка интеграла по формуле (I) § 318 обычно очень груба. Суще-
ывует ряд формул для более точной оценки; среди них важную роль
играет неравенство Ьуцлковского ')
J Ь
Пример. Оцепить интеграл/ = |
Представим подинтегральную функцию в виде 1 • l^l +ys, так что
/(х) = 1, ? (х) = )[i Н х2. Неравенство Буняковского дает:
1 1 i
f« < I* I* dx- f {yi + x»)s rfx ^ f A } x*) dx = ~ ,
0 0 0
откуда
/<-?_-: 1.155.
Формула A) ^ 318 пала бы (М = )Л>); /< ^2"-= 1,415. Истинное
значение интеграла (найденное по способу § 32,4) есть
= itl47"'
§ 319. Теорема о среднем интегрального исчисления
Определенный нитеграл а) равен произведению длины
промежутка интегрирования {а, Ь) на значение подинтег-
ральнон функции в некоторой точке £ промежутка {а, Ь):
(a *=?<&). A)
>) Академик Виктор Яковлевич Буняковский
AЯ04 —1889) —выдающийся русский математик, работавший пре-
преимущественно в области теорий вероятностей и теории чисел.
-) При распространении понятия интеграла на случай разрывной
функции (§ 328) теорема о среднем теряег силу,
29*
452
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пояснение. Будем смещать прямую KL (черт. 339)
от положения CD к положению EF. В начале движения
площадь AK.LB меньше чем f / (х) dx
а
(ср. § 318, теорема 1), в конце —боль-
—больше. В некоторый промежуточный мо-
момент должно иметь место равенство
ь
, ил. AKLB = f f(x)dx. Основанием пря~
*х i
Черт. 339. моугольника AKLB служит АВ — Ь — о,
а высотой — ордината NM, соответст-(
вующэя точке N (£) промежутка А В. Стало быть'
Замечание 1. Теорема о среднем устанавливает,
что уравнение A), где % рассматривается как неизвестное,
имеет по меньшей мере один корень, заключенный между
аи Ь.
Пример. При / (х) = 2х формула A) принимает вид
ь
J2xdx = (б-о)
B)
Теорема утверждает, что % лежит между
а и 6. Действительно, интеграл равен
№ - а2, и формула B) дает:
Ь* — а*
2{Ь-а)
а+Ь
т. е. ^ —среднее арифметическое ') ме-
между а и Ь.
Ь X
Черт. 340.
Замечание 2. Теорема о среднем диф-
дифференциального исчисления (§ 264) отличается
от теоремы настоящего Параграфа по существу только обозначе-
обозначениями. Обозначим подннтегральную функцию формулы A) через/' (х).
J) Геометрическая формула B) выражает известную теорему о плэ-
щадитрапеции (ACFВ на черт. 340; АВ - b -а есть высота, NM =-25 -
средняя линия).
§ 320. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ 453
Формула A) примет вид
»
о
Здесь левая часть равна /(&) - / (а) (см. ниже § 322), и мы полу-
чаем формулу Лагранжа
[в применении к функции/(я), обладающей непрерывной производ-
производной].
§ 320. Определенный интеграл как функция
верхнего предела
При неизменных пределах а, Ь интеграл f / (.v) dx от
а
данной функции / (х) имеет определенное числовое значе-
значение. Если же верхний {или нижний) предел способен при-
принимать различные значения, то интеграл становится функ-
функцией от верхнего {или нижнего) предела. Вид се зависит
от вида подинтегральной функции / (х) {а также от зна-
значения постоянного нижнего предела). О характере зави-
зависимости см. § 321, теорема 2.
t
Пример 1. Интеграл f 2idt имеет числовое значе-
0
я з
1, интеграл f % dt - значение 4, интеграл f 2t di -
ние
значение 9 и т. д. Стало быть, f 2tdt есть функция от х;
о
она выражается формулой
X
J x5. A)
Замечание. В формуле A) переменное интеграции
и переменный верхний предел обозначены разными бук-
%ами (i и х), ибо эти переменные играют разную роль
454 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в процессе интегрирования. Именно, сначала мы вы-
вычисляем (§ 314) предел суммы
$* = 2п & - 0) + 2т2 ((, -*,)+,..+ 2тл+1 (х - f Д
где fIf fj, . , гя взяты между 0 и х, а числа rlf т2, ...
принадлежат промежуткам @, (,), {*,, t2)... В этом про-
процессе х остается постоянным.
Затем х подвергается изменению, и теперь мы уже не
имеем дела с переменной t.
Если вместо A) написать:
J 2x dx = х3, B)
то упомянутое различие затушевывается.
Тем не менее часто пользуются записью B) и вообще
пишут:
х
x C)
[а также f / (t) dtt f / (s) ds и т. п.]. Дело в том, что после
выполнения интегрирования переменный предел имеет
тот же смысл {геометрический, механический и т. д.),
что и переменная интеграции {см. примеры 2 и 3).
Пример 2. Площадь S треуголь-
МА ника ОРМ (черт. 341) выражается ннте-
а
гралом J х dx:
Черт. 341.
= f xdx = %. D)
Пусть ордината РМ подвижна: тогда интеграл D) есть
функция верхнего предела; в соответствии с этим напи-
напишем t вместо а:
i
$%. E)
§ 321. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ИНТЕГРАЛА 455
Запись E) безупречна, но неудобна, ибо в форд1Уле
S = у буква / представляет абсциссу, а последнюю мы
обозначили через х. Поэтому часто предпочитают не
вполне точную запись
S = J"xtfx = f. F)
о
Пример 3. Скорость г' свободно издающего тела
выражается формулой
»-#. G)
Путь s, пройденный падающим телом за промежуток вре-
SP
мени (О, Т), равен {§ 317, п. 1) интегралу f gt dl:
(S)
Запись (8) безупречна, но в формулах G) и (8) аргу-
аргументы имеют различные обозначения, то[да как их физи-
физический смысл-один и тот же. Поэтому вместо (8) пишут:
s - J gtdt = { gt3.
о
§ 321. Дифференциал интеграла
Теорема 1. Дифференциал интеграла с переменным
верхним пределом J) совпадает с подинтегральным выра-
выражением
X
dj/{x)dx = /{x)dx. A)
a
х
' Формулу A) точнее записать d Г / {t) dl -f (x) dx (см. § 320).
]) Интеграл с переменным верхним пределом х всегда является
дифференцируемой функцией от х.
456 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример.
d J 2x dx = 2x dx.
а
Проверим это равенство. Мы имеем (§ 320):
X
f 2x dx = х2.
Дифференцируя, получаем Aа).
3 а м е ч а н и е. Из A) получаем:
(la)
B)
а
Y
а
м
р
Z
Q
Я
X
х+йх
т. е. производная интеграла по верхнему пределу совпа-
совпадает с подинтегралътй функцией. Эю предложение
можно высказать еще в такой форме.
Теорема 2. Иитег рал с пере-
переменным верхний лределод! есть одна
нз первообразных (§ 293) подинте-
гральной функции.
Пояснение формулы A).
Площадь ALMP (черт. 342) выра-
черт. 342. жается интегралом f / (х) dx. Когда х
а
возражает на dx=PQ, площадь ALMP получит приращение
PMNQ, Это приращение разбивается на прямоугольник
PMRQ и криволинейный треугольник MNR. Площадь
прямоугольника равна PM-PQ = }(x)dx; она пропор-
пропорциональна dx, а площадь треугольника MNR имеет высший
порядок относительно dx (на черт. 342 оиа меньше чем
MRRN = dx Ду). Значит (§ 230), подинте! ральпое выра-
х
жение / (х) dx есть дифференциал интеграла f / (x) dx.
a
Пояснение формулы B). Если / (t) - скорость
точки в момент i, то f f(t)dt есть (§ 317, п. 1) путь ч,
g 322. ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА 457
пройденный точкой за время, отделяющее момент t от
начального момента а.
t
s= j1(t)(U. C)
а
t
Производная ~ = -^ f / @ dt есть скорость точки {§ 223).
а
t т „ ■
Стало быть, ~ J / @ <ft = / (О-
§ 322. Интеграл дифференциала.
Формула Ньютона—Лейбница
Нижеследующая теорема сводит вычисление определен-
определенного интеграла к разысканию неопределенного интеграла
(ср § 323).
Теорема. Интеграл от дифференциала функции F (х)
равен приращению функции F (х) на промежутке инте-
интегрирования: ;
ь _
/dF(x)=FF)-F(a). A)
Иными словами: если F (х) есть какая-либо первооб-
первообразная подинтегральной функции / (х), то
f/<x)rfx= F(b)~F(a). B)
Формулу B) у нас часто называют формулой Ньютона —
Лейбница J).
Пример 1. Имеем {§ 314):
*
J 2xdx = 6г~ог, C)
О Название справедливо лишь постольку, поскольку Ньютон и
Лейбниц первые использовали связь дифференцирования с интегриро-
интегрированием для разыскания интегралов. Но формулы B) у них нет (ни
в буквенном, ни в словесном выражении). В геометрической форме
теорема настоящего параграфа (равно как теорема I g 321) была уста-
установлена Рарроу, учителем Ньютона.
458 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Подиитегралт.ное выражение есть дифференциал функ-
функции х2 {dx1 - 2х dx). При переходе от х = а к х = b
фуиЕсция х2 получает приращение Ь2 — а'2. Формула C)
выражает, что интеграл равен этому приращению.
Пример 2. Найти интеграл f Зх* dx.
Решение, Заметив, что подынтегральное выражение
есть дифференциал фулкции хэ, получаем по формуле B);
J 3xa dx = J d (xs) = &3~ а3. D)
а а
Ь
Пояснение. Интеграл I 3x2 dx равен (g 314) пределу суммы
а
*а -*i) + - + Зх*_i<*" ~ *»-О +
+ 3^(хи+1-х„). E)
Первое слагаемое есть дифференциал функции х3 для промежутка
(*о, *i)» второе-для промежутка (xlt x2) и т.д. Заменим каждый
дифференциал соответствующим приращением. Получим сучму
(*i-*оИ*>-*0+ ■■■+(*»-*«-i)+(x«+i-*")- ^
Раскроем скобки. Все члены, кроме х =аэ и xnii=&ai уничто-
уничтожатся, так что сумма F) в точности равна Ьэ -aJ.
При переходе от E) к F) допущен ряд погрешностей, но каждая
из них имеет высший порядок относительно соответствующего прира-
приращения аргумента. Поэтому, несмотря на накопление погрешностей,
сумма последних бесконечно мала. Значит, выражение E) при неогра-
неограниченном возрастании числа его членов разнится от Ь3—иэ па бес-
бесконечно малую величину. Иными словами, Ьъ—а^ есть предел суммы
E), т. е.
,ь
f 3x2 ах = *?з - аз,
а
Таким же образом выводится общая формула A).
Механическое истолкование. Пусть точка
движется в одном направлении и пусть F (С) - расстояние
5 323. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 459
точки от начального положения в момент t. Производ-
Производная ^^ = / (t) есть (§ 223) скорость. Значит, инте-
ь
грал f / (t) dt выражает {§ '317) путь s, пройденный с мо-
момента t = a по момент t=b:
ь
s= fi{t)dt. G)
Но в момент t = a расстояние от начального пункта есть
F (а), в момент t = b оно равно F (Ь). Значит,
s=F(b)-F(a). (8)
Сопоставляя G) и (8), получаем:
f/<*)Л= F(b)-F(a).
а
§ 323. Вычисление определенного интеграла
с помощью неопределенного
Правило. Чтобы вычислить определенный инте-
ь
грал f / (x) dx, достаточно найти неопределенный интеграл
J / (х) dx, подставить в найденное выражение вместо х
сначала верхний предел, затем нижний и вычесть вторую
величину из первой.
Это правило основано на теореме § 322.
Замечание. Постоянное слагаемое неопределенного
интеграла можно не выписывать: оно все равно уничто-
уничтожится при вычитании.
s
Пример 1. Найти J 3xsdx.
-2
Решение. Находим неопределенный интеграл
J 3x*dx = х» + С.
460
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Подставив х = 3, находим 27+С; при х= -2 получаем
-8 + С. Вычитая вторую величину из первой, находим:
J ЗхМх-= B7 + С)-(-8 + С) = 27-(-8) = 35. A)
-2
Постоянное слагаемое С при вычитании уничтожилось.
Пример 2. Найти Jsinxdx.
о
Решение. Имеем: J sin x dx ~ - cos x (постоянное
слагаемое опускаем). Следовательно,
f sin x dx = - [cos т: - cos 0] = 2.
Обозначение подстановки. Запись
Fix)
или [F (х)]
B)
C)
(читается: «.F (х) с двойной подстановкой от а до Ь»)
обозначает то же, что F(b)-F(a). Например, вме-
СТО - [COS 7Т — COS 0] ПИШУТ — COS X
а
Пример 3. Найти J ^г& ■
о
Решение.
или [- cosx] .
Пример 4.
f dx 1_
5 - _!л.А - 1
з ~ 3+ 1 "" 3
S 324. ОПРЕДЕЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 461
§ 324. Определенное интегрирование по частям
Интегрирование по частям (§ 301) можно применять
непосредственно к определенному интегралу, пользуясь
формулой
J и dv =г uv *а - J v du. A)
Применение формулы A) выгоднее, чем предварительное вычисле-
вычисление неопределенного интеграла, особенно, когда интегрирование по
частям выполняется повторно.
Пример
Полагая
« _ х, uv - (
находим: ;
г- f trfT '
arctg f3 я -^+^ « 0,307.
2
Пример 2. J = Jxsin
Имеем;
J « Jxd(-cosx) = -xcosx a + J cosxrfx.
о о
Первое слагаемое обращается в нуль; получаем;
462 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле
Правило. Для вычисления интеграла U(x) dx можно
ввести вспомогательную переменную г, связанную с х
некоторой зависимостью. Подннтегряльнсе выражение пре-
преобразуется, как при неопределенном интегрировании (§ 300),
к виду }г (z) dz. Сверх того, надо заменить пределы х1г
хп_ новыми пределами zv гг с таким расчетом, чтобы этим
значениям переменной г соответствовали данные значе-
значения хи х2 переменной х. Если это возможно, то имеем L):
f/(x)tfx = jjl(z)dz. .. - (J)
Пример J. Найти
J f2x^ldx.
5
Решение. Введем вспомогательную переменную zr
связанную с х зависимостью
z=2x-t. Bi
Выражая х через г, получаем:
х = ^. C)
Подинтегральное выражение У2х—1 их преобразуется
к виду
Л-
^z2dz.
Пределы х,= 5, х2=13 надо заменить новыми zlt z2 no
формуле B):
Zj = 2xL- I = 9, z3 = 2х2-1 = 25.
*) Предполагается: I) что зависимость между жиг можно выра-
выразить формулой х = ф <г), где функция г? (z) имеет непрерывную произ-
производную в промежутке (z,, z2); 2) что функция f (х) непрерывна для
всех значений, которые принимав г х, когда z изменяется в промежутке
< )
§ 325. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 463
Согласно (J) имеем:
13 25
25
5 а
Пример 2, Найти | У а3 - хг dx.
Решение, Подстановка
х = as'mt D)
приводит (§ 303, пример 1) подинтегральное выражение к
ВИДУ
а2 УТ- sin21 cos tdt = ± a2 cos2 / tf/. E)
Верхний знак берется, если t принадлежит первой илу
четвертой четверти, нижний-если второй или третьей.
Новые пределы tlt /3 надо выбрать так, чтобы
— а = a sin f1( a = a sin /2.
Это возможно, н притом двояким образом. Можно взять:
Тогда f изменяется в пределах четвертой и первой
четвертей, поэтому в E) берем верхний знак; получаем:
= a* J cos4rf/ = -f-(f+lsin2/)
г"
Можно также взять:
h - 2 » г2 - 2 »
ио тогда в E) берем нижний знак; получаем:
■х
+ 1 Я
Jl/лЗ л-2 f/v л2 1 гпчЗ * /// ffCf
У И — Л ил — — И I V^USj I UI — А ,
J л
464 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если взять в E) верхний знак, получим неверный ре-
репа*
зультат —2~.
Замечание. Способ подстановки может привести
к ошибке, если не соблюдено условие, высказанное в пра-
правиле, а именно, если нет таких значений zlt г2, которым
соответствовали бы данные значения xlt x2 пределов инте-
интегрирования. С подобными ошибками мы встретимся в при-
примере 3.
Примерз. Вычислить интегралы
г -И
^ dx, Is = f |T^x*dx
(они отличаются друг от друга только значениями верхнего предела.)
Попробуем ввести вспомогательную функцию у
х* =* г. F)
При преобразовании подинтегрального выражения VI— хг dx со-
сомножитель УГ^х* заменяется выражением УГ^г. Чгобы преобразо-
преобразовать сомножитель dx, выразим х через 2; получим:
х = ± УТ. G)
Казалось бы, проще всего взять подстановку (,
х - + Y7. : "" V (8)
Однако тогда невозможно заменить в интегралах I, и 1г нижний пре-
предел Xj = —I новым пределом zt, которому соответствовало бы по
формуле (8) значение х= — 1. Возьмем поэтому Подстановку
х = - У1 (9)
и попробуем применить ее сначала к интегралу J(. Теперь значения
пределов xj= —1, ха = —— соответствуют значениям z% = U
1
z2 =s -г. Из (9) мы находим:
и по формуле (() получали:
h - f Я=
§ 325, способ подстановки 465
или, переставляя пределы,
l
i
"*"
Вводим новую вспомогательную функцию
дающую новые пределы
/■ =
Соответствующая подстановка будет;
1 . _ 2t dt ,- ....
и мы получаем:
о " YT
2/di 1 с Pat
/ „ JL f f Г
Jl 2 J 4
Как в примере 1 § 324, найдем:
/,,. J^+3* 0,307.
Если вместо (9) применнт& подстановку (8), не обратив внимания на
нарушение условия, высказанного в правиле, то вместо A2) получим:
■"" f У '~~" dz и для Jl ка**Яем "евеРное значение (-0,307). i
\
Что каслется интеграла /г, то для него непригодны ни подстанов-
подстановка (8), ни подстановка (9), ибо первая не дает нижнего предела, а вто-
вторая -верхнего. Если по ошибке применить, скажем, подстановку (8),
< i
1 е -ж/ 1 — z
I 1/
1 е -ж/ 1 — z
то am h получится: ~ I 1/ • ■ - rfz, т. е. нуль. Это нелепо, так
A J T *
1
к подийтегральная фун
рования положительна.
30 М. Я- Выгодский
лак подийтегральная функция ^1 — х2 во всем промежутке интег-
интегрирования положительна.
466 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Для вычисления интеграла 1г можно его разбить на два слагаемых
« \ /Г^х* <ix + J" YT=& dx.
К первому слагаемому применим подстановку (9)» а ко второму -
подстановку (8). Каждое из двух слагаемых примет вид
' dz.
A5)
Этот интеграл —несобственный (§ 32Я), так как подынтегральная
функция имеет разрыв и точке 2=0. Однако и теперь можно приме-
применить подстановку A4) (ибо функция z = -^Тп монотонна; см. § 328,
замечание 3).
Найдем, что
J (I-МО2'
Этот интеграл тоже несобственный (§ 327). Несмотря на это к
можно применить (§327, замечание I) интегрирование по частям, так
что, поступая, как в примере I § 324, найдем
t
2A-И2)
dt
Первое Слагаемое равно нулю, и окончательно получим:
~2" J Г
= ~ « 0,785.
4
§ 326. О несобственных интегралах
Понятие определенного интеграла было введено (§ 314)
для конечного промежутка {а, Ь) н для непрерывной функ-
функции / (х). Ряд конкретных задач (см. примеры §§ 327 И 328)
приводит к расширению понятия интеграла на случаи бес-
$ 327. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 467
конечных промежутков и разрывных функций. Для этою
сисрх предельного перехода ^ 314 выполняется еще один.
Ин(С1ралы, получаемые двукратым переходом к пределу,
называются несобственными; в противоположность несоб-
несобственным интегралы, введенные в § 314, называются соб-
собственными. В *? 327 рассмотрены несобственные интегралы
первого типа (с одним или двумя бесконечными преде-
пределами), в i} 328-простейшие несобственные интегралы вто-
второго типа (от разрывной функции).
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами
Определение 1. Если интеграл
а/
jf(x)dx A)
«
1-
при х'-> 1 оо имеет конечный предел, то этот предел на
зывается интегралом функции /(х) от а до бесконеч-
бесконечности и обозначается
J /<x)d*. B)
в
Итак, по определению
f f(x)dx = Um f f(x)dx. C)
; ^-> + ~ i
Если интеграл A) npH.-v'^- + co имеет бесконечный предел1)
или повсе не имеет предела, то говорят, что несобствен-
*) Когда интеграл \f(x)dx имеет при х'-> + » бесконечный
а
+ <*>
предел, говорят (условно), что несобственный интеграл Г f(x)dx
имеет бесконечное значение, и пишут: I f(x)dx=°°.
468
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ный интеграл B) расходится. При наличии конечного
предела иншрала B) говорят, что несобственный инте-
интеграл B) сходится.
Пример 1, Найти интеграл J 2~* dx.
о
Решение. Имеем:
af
Щ21 * ' ~V
При х'-> + оо это выражение имеет пределом
Значит,
ч О
Черт. 343.
ar->+f
Геометрическое истолкование. Интеграл
B~xdx изображается площадью OBB'D (черт. 343) подли-
0
нией у=2~г. По мерс удаления ординаты ВВ' площадь
OBB'D возрастает, но не безгранично. Она стремится к^,.
Говорят, что площадь бесконечной полосы под линией у = 2~*
равна ,-^.
Пояснение, Рассмотрим ступенчатую фигуру черт.
343. Ее первая ступень OACD имеет площадь OD-OA =
= 1-1 = 1, вторая-площадь AK'AN =* ~% •! = -%>
третья - площадь -^ и т, д. С возрастанием числа ступе-
ступеней общая их площадь стремится к 2 (сумма бесконечно
убывающей прогрессии). Число 2 естественно считать ме-
мерой площади бесконечной ступенчатой полосы. Пло-
Площадь бесконечной криволинейной полосы еще
Меньше.
§ 327. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 469
Пример 2. Найти | —-.
Решение. Интеграл J — = In х' имеет бесконечный
предел при %' -> + °°. Искомый несобственный интеграл
расходится*)■
Геометрически: площадь полосы АА'В'В (черт.
344)под,гиперболойу = — неограни-
неограниченно возрастает (бесконечная криво-
криволинейная полоса имеет бесконечную
площадь).
П р и м е р 3. На плоской поверх-
поверхности закреплены два наэлектризо-
наэлектризованных шарика с положительными
зарядами elt е2 электростатических
единиц, Расстеяиие между цен-
центрами R см. Шарик с зарядом е2 освобожден и удаляется
от гх под действием силы отталкивания F = -~ (г - пере-
переменное расстояние между центрами в сантиметрах, F—
величина силы в дниах).
Работа силы F иа участке (R, г') выражается (в эргах)
интегралом (§ 317):
черт. 344.
-**(*-?■)■
Несобственный интеграл
выражает полный запас работы рассматриваемой системы.
В физике эта величина называется потенциалом.
+<*>
')При этом ои имеет бесконечное значение ( f -^
См. сноску на стр. 467»
470 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 2. Интегралом функции /(х) от
а
- оо до а иазывается предел интеграла f f(x)dx при
х"-> ~ оо;
f f(x)dx = lim f f(x)dx.
D)
Сходимость и расходимость несобственного интеграла
а
f / (x) dx понимаются, как в определении 1.
— во
Определение 3. Интегралом функции / (х) от
— оо до -f- оо;
f i(x)dx
E)
иазывается сумма
J /(X)dX|- J /(X)
F)
Она ие зависит от выбора а. Предполагается, что оба не-
несобственных интеграла (б) сходятся.
А К
Черт. 345.
Интеграл E) выражает площадь полосы под линией
у = } (х), бесконечно простирающейся в обе стороны (лн-
иия VАи на черт. 345).
Пример 4. Найти площадь бесконечной полосы под
линией у = дз+уа (вермера Аньези, черт. 345; см. § 506).
§ 327. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 471
Решение. Искомая площадь представляется инте-
интегралом
f ,а**?х, _ f a3dx • С aS fa /7\
— no -»oo О
Так как f ^~ - a2arctg£, то
Аналогично вычисляется первое слагаемое, и получаем:
f
J
Замечаннеь Основная формула
ь
+ <*>
в применении к сходящемуся интегралу f f(x) dx имеет вид
Символ F (~>) обозначает Hm F (*?).
i Аналогично применяется формула интегрирования по частям.
во
Для вычисления несобственного интеграла f f(x)dx ложно при-
а
менять и способ подстановки, но при условии, что функция х» <p(z)
монотонна.
' Замечание 2. Иной раз собственйый интеграл выгодйо Пре-
Преобразовать в несобственный. Так, для вычисления интеграла
п
2
С sin2 х cos* x dx
472 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
лучше всего ввести вспомогательную функцию
tgx-ft (ГО)
Получим:
3A+2
Преобразуя интеграл (9) к виду A1), мы данный интеграл рассма-
рассматриваем как предел интеграла
г 3ln"xcos»xrfx , . it
J " (gj цу v л. r-*~ и .л а ' при
2 '
g 328. Интеграл от функции, имеющей разрын
Определение 1. Пусть функция / 00 имеет разрыв
в точке х = Ь, а в остальных точках промежутка (а, Ь)
непрерывна.
Если интеграл
J f(x)dx '- A)
в
имеет конечный предел, когда х' стремится к Ъ (оставаясь
меньше Ь), то этот предел называется несобственным инте-
интегралом от а до Ь от функции f (x) и обозначается так же,
как одноименный собственный интеграл:
f/(x)dx« Ilm f/COrfx. B)
Формула B) для собственных интегралов доказывается',
для несобственных она принимается за определение.
Аналогично определяется несобственный интеграл, когда
/(х) имеет разрыв только на конце х^ а промежутка
{а, Ь).
Сходимость и расходимость несобственного интеграла
понимаются, как в § 327.
Определение 2, Если /(х) имеет разрыв только
во внутренней точке с промежутка (а, Ь), то
C)
§ 323. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩЕЙ РАЗРЫВ 473
Предполагается, что в правой части оба несобственных
интеграла сходятся.
Формула C) для собственных интегралов доказы-
доказывается; здесь же она служит определением нссоб-
ь
ь
ственного интеграла f / (х) dx.
а
Замечание 1, Определение 2 распространяется на
случай, когда внутри промежутка {а, Ь) есть две, три и т. д.
точки разрыва. Так, для двух точек с, с" имеем:
f / (х) dx = J / (х) tfx+ J / (х) dx+ J / (x) dx. Ca)
« ее'*"
Пример J. Найти
Ja*dx
Данный интеграл-несобственный, ибо подинтеграль-
иая функция разрывна (обращается в бесконечность) при
х = й. Интеграл сходится, ибо функция
arcsm --
стремится к пределу
Стало быть,
D)
^р при х' -> а.
а
г a2dx _ та*
Геометрически: площадь бесконечной полосы
KAOBL1) (т. е. предел площади LSOB при стремлении
точки S к А; черт. 346) равна площади полукруга ВОВ'А;
зцачит, заштрихованная фигура, уходящая в бесконечность,
равновелика сектору АОВ'.
*) Радиус а окружности О есть средняя пропорциональная между
ординатой линии L'BL, и соответствующей ординатой полуокружнос-
полуокружности А'ВА; это позволяет легко построить линию L'BL,
474
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
. . з
Пример 2. Найти J aV~dx.
Интеграл —несобственный, ибо подинтегральиая функ-
функция внутри промежутка (-а, + я) обращается в беско-
бесконечность при х = 0. Согласно определению 2 имеем:
б О
б а
f й У % dx = а
J" х~т их. F)
По определению 1
0 а
fx~Trfx=Iim f x &dx~ Hm3 (a8-f-x'3) = За3.
—я —*»
Аналогично для второго слагаемого формулы F). Окон-
Окончательно получаем:
-j-а а
—а
Геометрически: пло-
площадь бесконечной полосы
ADLL'D'A' (черт. 347) втрое
больше площади прямоуголь-
прямоугольника A'ADD' (так что «беско-
«бесконечный шпиль* DLL'D' равно-
.„_ велик квадрату, построенному
Черт. 347. на DD,^
Пример з. В выражении f ~ подинтегральная функция раз-
о
рывна в точке х=0. При dtom несобственные интегралы f -~ и
1'
j
А' 0
г
~~п А А
J€tX t* I
—г расходятся (ибо интегралы 1 ■
к J
О -I
i
§ 32Й. О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛА 416
имеют бесконечные пределы при х/->-0 и х''~> 4-0). Стало быть
данное выражение не представляет никакого несобственного интег-
интеграла (в смысле определения 2). Бесконечная полоса ADLL'D'А' (черт.
348) под линией у = -^ имеет бесконеч-
бесконечную площадь.
Замечание 2. Применив основ-
основную формулу интегрального исчисле-
исчисления
ъ
к выражению Г —^, мы получили бы Л1 О
~ Чеот 348
отрицательное число —2; этот нелепый F *
результат (подынтегральная функция
-j всюду положительна!) получается потому, что выражение I
не имеет смысла. Если же несобственные интегралы
2*
ь
входящие в C), сходятся, то для несобственного интеграла Г / (X) dx
а
формула G) всегда верна.
Замечание 3. Относительно интегрирования по частям и спо-
способа подстановки можно повторить сказанное в замечании 1 § 327.
§ 329. О приближенном вычислении интеграла
На практике часто встречаются интегралы* которые ие
выражаются через элементарные функции (§ 309) или вы-
выражаются очень сложно. Нередко подинтегральная функ-
функция задается таблицей или графиком. В этих случаях инте-
интегралы находят приближенными методами.
Исторически первым был разработанный Ньютоном
метод бесконечных рядов (см. § 270). Он применяется и
поныне (иа более строгой основе; см. ниже § 402),
476 Интегральное исчисление
Другой метод, называемый часто метсдом механиче*
ских квадратур *), состоит в замене подинтегральной функ-
функции у = / (х) таким многочленом п-й степени
Р (х) = аох?1+а1хй~1+ ... -HfV-iX-j-йж, A)
который при данных значениях х = х0, х = xls..., х = х„
(число их равно п-Н) имеет тс же значения, что и функ-
функция / (х).
Геометрически: лнння у = /(х) заменяется епа-
раболон п-й степени» у - aox*+aLxn-l-\- ... +а„, прохо-
проходящей через п-Н точек даииой
линии.
Приближенное вычисление зна-
значений функции /(х) по нескольким
данным ее значениям f(x0), /(х^), ...
• • •» / (хп) называется интерполя-
интерполяцией2), а многочлен A)~интерпо-
ляциоппым многочленом.
„ „4Э Интегрируя интерполяционный
черт. йвд. многочлен, получаем приближенно
интеграл функции / (х).
Пример 1. Прн одном данном значении у0 = /(х0)
получаем интерполяционный многочлен нулевой степени
Р(х)-у0. ' B)
Линия у =з / (х) заменяется горизонтальной прямой UV
(черт, 349), проходящей через данную точку Мо (х0, у0).
Приближенное значение, интеграла
J / (х) tfx « J* Уо dx к yjt C)
h h
дает? площадь прямоугольника AUVB (вместо площади
криволинейной трапеции АЛ'В'В).
Пример 2. При двух данных значениях у0 — f fa),
Уг = /(^)+Л) получаем интерполяционный многочлен пер-
первой степени
1) Он основан тоже на идеях Ньютона и Ры/Гвпервые развит Тей-
Тейлором, Симпсоном и др. Новейшие работы принадлежат советским
ученым (В. П. Ветчинкину и Ф. М. Коган).
*) Этот латинский термин означает шетавление внутрь>.
I &§. о ПрИелижг-.ном вычислении интеграла 4??
Он представляет прямую ЛТ0ЛТ, (черт. 350), проходящую
через точки My(vy, y0), Mx(xa + h; уг). Соответствующее
Приближенное значение интеграла
j f(x)dx* J P (x) rfx = i.
E)
дает площадь прямолинейной трапеции 0
Примерз. При трех данных значениях
Уо = f(xo), Ух - /(хо + Л); у2 =
получаем интерполяционный многочлен второй стспсин
F)
В справедливости формулы F) убедимся, подставив
Последовательно
х =
= -vf-Л, зс = хо-н2Л.
Получим:
Если расположить Р (х) по степеням ж, формула усложнится.
Выражения у, —уа(= &Уо) и ya-2j/1-ty0(= д>у0) суть первая и
вторая разности (§ 258) функции/ (х)
Черт. 350.
Черт. 351.
Многочлен F) представляет параболу с вертикальной
осью (черт. 351), проходящую через три точки: Мо (х0; у„),
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Приближенное значение1)
G)
дает площадь параболической трапеции AftMQK.'MiL'M2Ai
(вместо площади криволинейной трапеции А\МаМЬМА
Формулы D), F) обобщаются на произвольное число равноотстоя-
равноотстоящих значений х. Для четырех значений имеем:
или сокращенно:
Соответствующая общая формула называется интерполяционной фор-
формулой Ньютона. Нестрогим способом Тейлор получил из нее разложе-
разложение функции / (х) в степенной ряд (он положил Xi =xo, x& b=xq и т.д.
и заменил разности Дх0, Дуо, Д^'о и т. д. дифференциалами йХе,^Уй.
d=y0 и т. д.) (ср. § 270).
§ 330. Формулы прямоугольннкон
Промежуток интегрирования (а, Ь) делим точками х1(
• г
О а=хд х, хг xn.i .?„=£>
Черт. 352.
Черт. 353,
х3, .... хп„х (черт. 352, 353) иа п равных частей; длина
каждой
*) Вычисление интеграла f P{x) dx облегчается, если ввести
вспомогательную переменную х-(Хо+Л) = г.
§ ззо, формулы прямоугольников 479
Для единообразия полагаем а = х0, Ь = х„. Через Хщ,
x3j, x5js, ... (черт. 354) обозначаем середины участков
(% хх), (xlt x2)t (хг, х3), ... Полагаем
/ Ы - У«, / &) = Ух, / (хг) = у2, ... ;
/ (xi/s) = У|/8- / (хз/3) = Уз/Я. / (хв/а) « У5/2, ...
Формулами прямоугольников называются следующие
приближенные равенства:
ь
f/(x)tfx«^[yli+yl+...+yn~1l, A)
J fipc) dx ^~
B)
C)
Выражения A), С2), (З) дают площади ступенчатых фи-
фигур черт. 352, 353, 354 (ср. § 329, пример 1).
0
у
PI*
i
11
i
i
? гй j« rg *# ijf
Черт. 354.
В большинстве случаев при данном п формула C) точ-
точнее, чем A) и B). С увеличением п точность формул A),
B), C) неограниченно возрастает.
■Замечание. Предельная погрешность формулы C) составляет:
где Л1г-наи0ольшее значение !/"(*) I в промежутке (а, Ь). Для
эмпирических функций вместо Мъ берут Наибольшее значение вели-
480 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример. Вычислим по формуле C) на 10 ординат
(п = 10) приближенное значение интеграла
(=£= 0,785398...).
D
xJ/2 = 0,05 Уз/3 = 0,9975
ха/г =0,15 , . , Ущ = 0,9780
x4s = 0,25 ' , Ув/а = 0,9412
х7[л = 0,35 ! Ут/3 = 0,8909
*8/а ^ 0,45 - У9/г = 0,8316 ь-а ^ \
хи{х = 0,55 tl t Ун/2 = 0,7678 n" 'Iy"
«и/, = 0,65 ' У1з/2 = 0,7020
ж]6/а = 0,75 У15/2 = 0,G400
х1?/2 = 0»fi5 Уд5/2 = 0,5806
*»/2 = 0,95 Уи/а = 0,5256
сумма ^у = 7,8561
; та ^1Г Е У = Q.78561.
Погрешность составляет примерно 0,0002.
Зх'— 1
Имеем! /" (х) = 2 tj-t~^ • Наибольшее значение \f> (x) 1
в промежутке (О, 1) равно 2 (оно достигается при х=0). Подставляя
р D) п=10, Ma=2, найдем предельную погрешность 0,00085. Значит,
нет смысла вычислять у%<, у3г2 н т. д. больше чем на четыре знака.
По формулам A) и B) (значения у0( уи yz, ... приве-
приведены в § 331) мы получим: / и 0,8099 и / * 0,7599, т. е,
погрешность примерно в 50 раз больше,
§ 331, Формула трапеций
При обозначениях § 330 имеем:
р+й+уя+ ... +^J, A)
g 332. ФОРМУЛА СИМПСОНА
431
Это -формула трапеций. Она дает общую площадь
трапеций, показанных иа черт. 355 (ср. § 329, пример 2).
Замечание. Предельная погрешность формулы A) составляет
■ tn—i— Л1а, где Мя ~ наибольшее
значение ]/" (х) | в промежутке
(а, £>) (ср. § 330, замечание).
Пример. Вычислим интс-
1 do
грал / = J-rf^r (-=0,783398...)
о
черт. 355.
по формуле трапеций на 11 ординат (п = 10). Имеем:
= 0,1
- 0,2
=■ 0,3
- 0,4
= 0,5
= 0,6
= 0,7
= 0,8
= 0,9
Ух = 0,9901
уг = 0,9615
У, = 0,9174
у* = 0,8621
Ув = 0,8000
}\ = 0Д353
уч = 0,6711
уа = 0,6098
У» = 0,5525
*= 0,0
= 1,0
у0 = 1,0000
у10 ^ 0,5000
^ 1,5000
)
(=9
сумма S yt *= 7,0998.
Погрешность составляет примерно 0,0004, как и по
формуле C) § 330. Но там мы нашли нзбыточное, а здесь -
недостаточное приближение.
§ 332. Формула Симпсоиа
(параболических трапеций)
При обозначениях § 330 имеем:
jf(x)dx *$£.
31 М.Я- Выгодский
482
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это — формула Симпсона. Она дает общую площадь
криволинейных трапеций x^^Mi^M^, х^МуМг^Мгхг, ,..
(черт. 350), у которых вместо дуг MaMi!tMlt M^Vl»/»^*, • •.
м данной линии у = / (х)
, у/ взяты одноименные
$г/ ДУ1и парабол с вер-
тикалЕ.ными ссями.
На черт. 356 пикаьа-
па лить парабола
МоМ./.ЛГ, (ср. § 329,
пример 3).
При одном и том
же числе ординат фор-
формула Симпсона в боль-
большинстве случаев мно-
много точнее, чем форму-
формулы прямоугольников
(§ 330) и трапеции
Черт. 356. <§ 331)-
Замечание. Предельная погрешность формулы A) составляет
Здесь Mi -наибольшее значение I/Iv(x) ] в промежутке {а, Ь).
П р и м е р. Вычислим интеграл
7=
= 0,785398...)
по формуле Симпсона на пять ординат
(" 2 J
xttt = 0,25
хх ~ 0,50
Хч, = 0,75
Xz = 1,00
1у„ = 0,50000
2yi,, = 1,88235
У! = 0,80000
2yv, - 1,28000
у уг == 0,25000
сумма 4,71235
I ~ ™.4,71235 = 0,78539.
§333, ПЛОЩАДИ ФИГУР В ПРЯМОУГ. КООРДИНАТАХ 483
Погрешность составляет примерно 0,00001, т. е.
в 40 раз меньше, чем н примерах §§ 330, 331, хстя там
число ординат было вдвое больше.
Полезно сопоставить формулу Симпсона с формулой трапеций.
В первой имеется лишнее слагаемое 2 (yi/ +yait+- -.). которое при-
примерно вдвое больше, чем сумма остальных членов. Значит, выражение
в квадратных скобках формулы Симпсона примерно втрое больше,
чем соответствующее выражение в формуле трапеций. Сообразно с
Ь—а Ь—а
этим множитель —— втрое меньше множителя —— ,
он ft
§ 333. Площади фигур, отиесеииых
К прямоугольным координатам
Площадь криволинейной трапеции {аАВЬ иа черт. 357),
расположенной над осью ОХ, выра-
выражается (§ 316) интегралом
S= jf(x)dX.
A)
Для трапеции, лежащей под осью ОХ,
ъ
В
О в
ь х
Черт. 357.
/f
Фигуры другой формы разбивают иа
трапеции (или дополняют до трапе-
трапеции) и, находят площадь, как сумму
(или разность) площадей трапеций.
Вычисление облегчается подходящим
выбором прямоугольной системы.
Пример 1. Найти площадь
параболического сегмента АО В
(черт. 358) по основанию АВ~2а и
высоте KO = h.
Выберем оси, как на черт. 358. Разобьем сегмент АОВ
на равные криволинейные траиецин ОКВ н ОКА:
пл. ОКВ=
B)
Координаты х, у связаны уравнением
у" = 2рх.
31*
C)
484 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Параметр р определяется из условия, что парабола
проходит через точку В (Л; а):
а2 = 2ph. D)
Из C) н D) находим:
У-fgK- ГО
Подставляя в B), получаем:
а_
lit
пл. ОКВ г-. -% f ix dx - -I ah,
]/h J A '
пл. АОВ - 2 пл. ОКВ - ~ Bа) h,
т. е. площадь параболического сегмента составляет
j площади прямоугольника ЛВВ'А', имеющего то же
основание и ту же высоту.
Другой способ. Дополняем сегмент ЛОВ до пря-
прямоугольника АА'В'В. Площадь дополняющей трапеции
равна
+
f xdy или в силу E)
0\ 1 л Значит,
Черт. 359. „ Ап„ о , 1 ,
пл. АОВ = 2оЛ—тт.;
Пример 2. Найти площадь S фигуры, заключенной
между параболами у2=2рх и х2=2ру (черт. 359).
Площадь S есть разность площадей ONAL и К
Параболы пересекаются в точках О @; 0) и А B/>;
Имеем:
о о
т. е. S составляет треть площади квадрата1) OLAR.
1) Опираясь на результат примера I, можно найти S элементар-
элементарным путем.
534. СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕН, ИНТЕГРАЛА 485
Пример 3. Площадь э л л и и с а -^+^ = 1:
S — 2 \ — i~a2 - х? dx ~ izab.
•—а
Пример 4. Гипербола ^г-fH ~ 1 (черт. 360);
at
пл.
-i ab
пл. О.Ш н лл. ОРМ-пл. AMP ■- "£- In
4epi. 360.
Черт. 361.
Пример о. Циклоида (черт. 361):
* х = a (/-sin/), у = a(l-cosf),
ит: 2ff
пл. 0NAL0 = J у dx = aa~ J A - cos /)a £« = Зтта2,
т, е, площадь циклоиды отрос больше площади произво-
производящего круги,
)
< § 334. Схема применения определенного интеграла
Определенным интегралом можно выразить многооб-
многообразные геометрические и физические Беличнны (см.
§§ 335-338), при этом применяется следующая едино-
единообразная схема. ,
486
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЙ
1) Искомая величина U ставится в соответствие с про*
мокутком. (а, Ь) изменения некоторого аргумента.
Так, чтобы выразить интегралом площадь аАВЬ иод
линией АВ (черт. 362), мы ставим ее в соответствие с про-
промежутком {а, Ь) изменения абсциссы х.
2) Промежуток (а, Ь) разбивается на участки (а, а*,),
(х1т х2), ,.., (х„, Ь) (в дальнейшей число участков будет
стремиться к бесконечности, а длины их— к нулю).
Пусть искомая величина U распадается на части Ufl,
*Л> *Л> ■■■ (черт. 362), в сумме дающие U.
О а X, X; хп Ь
Черт. 362.
Величины, обладающие этим свойством, i
Бывают и неаддитишше величины. Так, угол между образующими ко-
конической поверхности— не аддитивная величина. Угол АОВ (черт.
363) можно цостапить в соответствие с промежутком (я, Ь), где a—RA
и Ь =RB —дуги направляющей, отсчитываемые от какой-либо началь-
начальной точки R, Ни если разбить (а, Ь) на участки (а, с) и (<\ Ь), то соот-
соответствующие углы АОС и СОВ в сумме не дают угла АОВ,
Аддитивную величину можно пыразитг, интегралом, нсаддигив-
ную —нельзя.
3) В качестве типичного представителя частей U,,, Г/,,...
берется ,одна из них U,; она выражается (исходя из Усло-
Условий вопроса) приближенной формулой вида
Ui* /<*)(*+,-*i), 0)
причем погрешность должна иметь высший порядок отно-
относительно х(+1 — х;.
Выражение i(x()(xi^1-xi) или сокращенно
/(*)Д* B)
называется элементом величины U.
Элементом площади аАВЬ (черт. 364) является пло-
площадь прямоугольника xtKQxi+l; погрешность формулы A)
«сть площадь треугольника /CQL, заштрихованного на
t 335. ПЛОЩАДИ ФИГУР В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 487
чертеже; она имеет высший порядок относительно
xi+1-JC| = Axs (площадь KQL меньше площади K.NLQ =
= KQ -KN — Дх, Ду(, а последняя
имеет внешни порядок относитель-
относительно Дх,).
4) № приближенно!-о равенства
A) вытекает точное равенство
C) о
Черт. 3G4,
Пояснение. С увеличением числа п погрешность
СУММЫ
(несмотря на накопление ошибок) стремится к нулю, так
как погрешности отдельных слагаемых убывают быстрее,
чем возрастает число слагаемых. Поэтому и есть предел
суммы D), т. е.
ъ
9,
Черт. 363.
§ 335. Площади фигур, отнесенных
К полярным, координатам,
Площадь S сектора АОВ, ограничен-
ограниченного линией АВ н лучами ОА н ОБ
(черт. 365), выражается формулой
A)
где г-полярный радиус переменной точки М линии АВ,
<р — ее полярный угол.
Пояснение. Схема § 334 применяется здесь сле-
следующим образом.
1) Площадь АОВ ставим в соответствие с промежут-
промежутком (cpj, <p2) изменения полярного угла.
2) Промежуток (<pi, 9a) разбиваем на части, при этом
сектор АОВ распадается на секторы вида АОМи МХОМЪ
и т. д.; их площади в сумме дают площадь АОВ.
4Й8 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3) В качестве типичного представителя секторов АОМи
JVfiOMg и т. д, берем один из них {М^ОМ^ на черт. 365).
Заменяем его круговым сектором M°OQ; площадь по-
последнего
Г8Дч>
есть элемент площади АОВ. Погрешность приближенной
формулы
пл. МгОМй « ~r2 Д? B)
имеет высший порядок отяо-
енгслыю Д<р-
Погрешность равна площади кри-
криволинейного треугольника Мг<ул13,
<i последняя меньше пл. QMnRM3 =
4) Из приближенного равен-
равенства B) вытекает формула A).
черт. 366. Пример. Найти площадь
фигуры OCD А (черт. 366),
ограниченной первым завитком архимедовой спирали (§ 75)
и отрезком ОА=а {шаг спирали).
Выбрав полярную систему, как иа черт, 366, имеем:
'-■&»•
Началу завитка О и концу Л соответствуют значения
По формуле A)
C)
т. е. площадь первого завитка втрое меньше площади
круга, имеющего радиусом шаг спирали. Этот результат
найден Архимедом г).
1) Хотя Архимед в явной форме не вводил ни понятия интеграла,
пи понятия предела, но его метод по существу совпадает с етодом
интегрального исчисления.
336. ОБЪЕМ ТЕЛА ПО ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЯМ
§ 336. Объем тела по поперечным сечениям
48$
Рассмотрим, тело произвольной формы (черт. 367).
Пусть известны площади F (х) всех его сеченнй, парал-
параллельных плоскости R (х~ расстояние сечення от плоско-
плоскости R). Тогда объем тела
V - J F(x) dx.
A)
II о я с и е н и е. Разобьем тело на параллельные слон;
тело NMKQmP—типичный представитель этих слоев*
в.
Черт. 367.
Стронм цилиндр NMKntnk. Его объем, равный F(x) Дх,
есть элемент объема V. Отсюда вытекает формула A)
(ср. § 334 и § 335, пояснение).
Пример 1. Найти объем V пирамиды UABCDE
(черт. 368) по площади основания S и высоте JJO — H.
Решение. Площадь F (х) сечення AlBJClDxEl иа-
ходим из пропорции
F (х): S = UO\: UO2 =
Согласно формуле A)
: IP,
J F (x) dx = -^ J
dx = ~SH.
B)
Эта формула известна из элементарной геометрии, но там
вывод много сложнее.
П р и м е р 2. Найти объем эллиисонда (§ 173) с осями
2а, 2Ь, 2с,
490
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Решение. СечениС КЬК'Ь' (черт. 369), параллельное
главному эллипсу ВСВ'С' и отстоящее от него иа расстоя-
расстояние h = OM, есть (§ 173) эллипс с полуосями
.Площадь Г (Л) сечения равна (§ 333, пример 3)
По формуле A)
4-я а
V = } *' (Л) dh = 2j тг
C)
Конус с эллиптическим основанием ВСВ'С' и высотой
ОД=а имеет объем
(выводится, как rt при-
примере 1), т. е. Vx =» —тгЬс.
Значит, эллипсоид по объ-
объему вчетверо больше кону-
конуса, имеющего основанием
ооио из главных сечений, а
вершиной - противополож-
противоположную вершину эллипсот-а.
Этот результат найден Ар-
Архимедом (для эллипсоида
вращения).
Когда эллипсоид становится шаром (а—Ь = с), получаем
известную формулу V = тг тег3.
Черт. 369.
§ 337. Объем тела вращения
Объем V тела (черт. 370), ограниченного поверхностью
вращения и двумя плоскостями Ри Р2, псрпендикУляр-
иымн к осн вращения ОХ, выражается формулой
V = тс J уя dx,
где у=/ (х) - ордината меридиана Л
A)
338. ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ
491
Замечание. Величина тгу2 есть площадь попереч-
поперечного (кругового) сечения (ср. § 336).
Черт. 371.
При .и е р. Найти объем сегмента параболоида враще-
вращения (черг. 371) по радиусу основания Ав^г и высоте
OA=h.
Решение. Как в § 333 (пример 1), находим, что ме-
ридиан (парабола) представляется уравнением
у h
По формуле A)
у - *
т. е. сегмент параболоида составляет по объему поло-
полотну цилиндра с тем же основанием и той же высотой.
Этот результат найден Архимедом,
§ 338. Длина дуги плоской линии
Длина s дуги АВ плоской линия выражается (в прямо-
прямоугольных координатах) формулой
A)
где t - какой-либо параме гр, через который выражены
текущие координаты х, у (t2 > *х).
492
ИНТШТАЛЬНОК ИСЧИСЛЕНИЕ
Если параметр еще
записать так:
выбран, то формулу A) удобнее
(Я)
B)
Обозначения (A), (Fi) указывают, что в качестве пределов
интегрирования должны быть
взяты такие значения пара-
параметра, которые соответствуют
концам дуги А В.
В частности, за параметр
часто удобно принять абецпо
су х. Тогда имеем;
C)
Черт.
Пояснение. Бесконечно малая дуга MN эквпва
лентна хорде MN (черт. 372). С другой стороны.
MN=
Стало быть,
MJV
Значит, выражение ^dxs+dy2 (оно пропорционально
приращению Д/ аргумента 0 есть элемент (дифференциал)
дуги АВ. Согласно п. 4 схемы § 334 мы получаем фор-
формулу B).
Разыскание длины дуги называют спрямлением дуги.
Пример. Найти длину дуги одной ветви циклоиды
23) (i/) (
) (
Решение.
= о f2(\~cosl) = 2а ! sin !Г)-
D)
s = J 2a sin 4 dt - 8«.
§ 339. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ
■493
Длина одной ветви циклоиды равна учет&ереиншу
диаметру производящего круга.
Если вычислить общую длину двух ветвей циклоиды по формуле
4тс ■ ' ; ' 'i • ■ •.
с f
s = I 2а sin — dl, получим нуль. Ошибка вызвана тем, что в проме-
жутке Bп, 4тг) Имеем:
^- 1 = -sin —(а яе + sin—\ .
Замечание. Когда мы промеряем длину кривой тро-
тропинки шагами или длину нанесенной на карту извилистой
реки с помощью масштаба, мы по существу исходим нз
Убеждения об эквивалентности дуги и хорды. Таким обра-
образом, это свойство подсказывается повседневным опытом.
Но если мы не хотим принимать это свойство за аксиому,
а желаем доказать математически, то нам надо исходить
из какого-либо определения длины дуги. Это понятие
обычно определяют так.
Определение. Длина дуги плоской или простран-
пространственной линии есть предел, к которому стремится
периметр ломаной линии, вписанной в дугу, когда число
звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины
звеньев стремятся к нулю.
Исходя из итого определения, можно доказать, что MN в* MN.
Из него же непосредственно выводится и формула A), так что схема
§ 334 как будто вонсе не используется. Но по существу эта схема
«спрятана» в самом определении.
Длину дуги можно определять и иначе, —например как
предел о и и о а и и о и ломаной
линии.Это определение равносиль-
равносильно предыдущему.
§ 339. Дифференциал дуги
Дифференциал длины дуги (ко-
(короче: дифференциал дуги) выра-
жасгся (§ 338, пояснение) формулой
rfs =^йхг-\-йуг. A)
, у
Черт. 373.
Ясли за аргумент принять х, то (черт. 373)
dx = MQ, dy = QP,
ds = yMQl + QP* = MP,
т. е. дифференциал дуги выражает длину отрезка каса-
касательной от точки касания до пересечения с приращен-
приращенной ординатой..
494
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При м е р. Дифференциал дуги циклоиды равен (ср.
пример § 338)
ds = fdrf + dy* = a fk (I -cosl) dt =
@ ^ ( == 2я).
- la sin ~ dt
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал
в полярных координатах
Длина дуги АВ (черт. 374) выражается через полярный
координаты г, ф интегралом
A)
Дифференциал душ выражается формУлсй
Us = fdiZ+rid?*. B)
Пояснение. Из точки О, как из центра, проведем
(черт. 374) окружность радиуса ОМ =~ г. Ее дуга М К( = г Дер),
отрезок K.N(= Дг) и дуга МЛ/ (= As) линии Ли составляют
криволинейный треугольник с прямым углом при вер-
вершине К. Хотя для такого треуюлышка теорема Пифа-
Пифагора не соблюдается в точности, однако при бесконечной
малости дуги MN квадрат «гипоте-
«гипотенузы» экниоалентен суммс квадра-
квадратов «катетов»:
MN
т. е.
Черт. 374.
есть элемент (диф-
(дифСтало быть, выражение id^ + r
ференциал) дуги s.
Замечание. Формулу B) настоящею параграфа,
можно получить из B) § 338 подстановкой
dx = d (г cos ф) = cos у ilr-r sin 9 dy,
dy = d (r sin ф) = sin «pt/r + r ecs
§ 340. ДЛИНА ДУГИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 495
Пример. Из точки О на окружности радиуса а про-
проводится луч ОК (черт. 375), из точки L, где прямая ОК.
вторично встречает окружность, откладывается отрезок
LM-2а по направлению лУча ОК1). Линия, описываемая
точкой М при вращении луча, называется кардиоидой1}.
Наитн ее длину.
Черт, 375.
Р е ш е н и е. Выберем полярную систему, как на
черт. 375. Имеем.
OL = О A cos <р - la cos <р, 1
г = OL + LM = 2а (cos ф+I). J
C)
Кшда ф 1фобегает про.межуток (-тт, +«), кардиоида
описывается полностью. Длина ее согласно A) есть
= 2« f ^2+2 cos 9t/cp - 4a J cos |- rf<p = Kja. D)
Замечание. Кардиоиду можно получить как траек-
траекторию точки окружности Opq (черт. 375), катящейся без
'скольжения по окружности ONAL того же радиуса.
!) Когда прI,»ы17 клиаетсл окружности в точке О, то отрезки, рав-
равные 2а, игкллдыгыготея от О п обе стороны (OMj =OM* =2ы).
sj В переводе .сердцеобразная». Подробнее см, § 508,
496
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из D) видно, что длина кардиоиды равна восьмикратному
диаметру производящего круга.
Кардиоиду можно описать, изменяя <р от нуля до 2п. Но, если
зя
вычислить ее длину по формуле я — Ла I cos -^ df, получим нуль.
о
Источник ошибки указан в § 338 (мелкий шрифт).
g 341. Площадь поверхности вращения
Площадь S поверхности, образованной вращением дуги
АВ около оси ОХ, выражается
интегралом
(В)
S = J fccytfs, A)
(Л)
где у-ордината меридиана АВ,
ds=Ytix- + dy2 — дифференциал
его дуги (§ 339), (А) и (R)-
крайнне значения параметра,
через который выражены ко-
координаты.
Пояснение. Разбиваем поверхность АВВ'А' (черт.
376) на параллельные пояса и каждый пояс MNN'M' заме-
заменяем боковой поверхностью усеченного конуса с теми же
основаниями. Площади этих поверхностей эквивалентны.
Поэтому
пл,
n(PM+QN)MN.
B)
Так как РМ + QN = 2у + Ay, -W.V ^ MN = &s, to
пл. MNN'M' = 7vBy+ Ay) As ъ 2-ку As. C)
Отсюда вытекает формула A).
Пример. Найтн площадь поверхности, образованной
вращением циклоиды около ее основания.
§ 341. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 497
Р с ш е и и е. Имеем (§§ 338, 339):
ds = 2а sin ~ dt @ < ( ^ 2п),
а:
с
2
- tos 0
Для сравнения возьмем площадь осевого сечения (т. е.
двойную площадь циклоиды) 6тсйа (§ 333). Плошадь по-
поверхности вращения превышает ее в З-g- раза.
Замечание. Чтобы доказать эквивалентность пло-
площади пояса MNN'M' h площади боковой поверхности усе-
усеченного конуса, надо определить понятие «площадь 'кри-
'кривой поверхности». Такое определение дано в § 459. Ввиду
его сложности часто вводится следующее частное опре-
определение (согласующееся с общим).
Площадь поверхности вращения есть продел, к кото-
которому стремится площадь поверхности, образованной вра-
вращением ломаной линии, вписанной в меридиан, koi да число
зленьев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев
стремятся к нулю.
Из этого определения можно непосредственно вывести
формулу A) (ср. § 338, замечание 1).
32 м. я. Выгодский
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ
§ 342. Кривизна "
Пусть при переходе от точки М линии /, к точке М*
(черт, 377) касательная, направленная в сторону движе-
движения, переходя ил положения МТ в положение М'Т', пово-
поворачивается на угол со1). Очношение -^^,
ММ'
угла со к длине душ ММ' характеризует
искривленность линии /. на участке ММ'
11 называете>ирсднтлгр1шш;ой дуги ММ*.
Унл о принято измерять в радианах.
Средняя кривизна любого отрезка
черт. 377, прямом линии (ее касательная совпадает
с самом прямой) равна нулю, сред-
средняя кривизна любой дуги окружности радиуса R равна— .
Размерность средне]} кривизны обратна размерности
длины, т. е. при изменении масштаба числовая мера кри-
кривизны меняется обратно пропорционально числовой мере
длины отрезков.
Определение. Кривизной линии L в точке М назы-
называется продол, к которому стремится средняя кривизна
дуги ММ', ко1да точка М' стремится к М. Кривизна обо-
обозначается буквой К:
К- tim ^, A)
Кривизна характеризует искривленность линии в рас-
рассматриваемой точке. Кривизна прямой всюду равна пулю,
ы —греческая буква «омега» (строчная).
343. ЦЕНТР И РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ 499
кривизна окружности радиуса R всюду равна _-. Для пся-
кои иной линии кривизна .меняется от точки к точке.
В отдельных точках оиа может равняться нулю; такие
точки называются точками спрямления. Вблизи точки
спрямления кривая походит на прямую.
Замечание. Кривизну (если она не равна нулю) мы
считаем величиной положительной. Кривизне плоской ли-
линии можно приписать знак, пространственной —нельзя
(см. § 3G4).
§ 343. Центр, радиус и круг кривизны
плоской линии
Пусть точка М' (черт. 378), двигаясь по плоской ли-
линии /., стремится к неподвижной точке М, где кривизна К
не равна нулю. Тогда точка С', i дс неподвижная нор-
нормаль Л/.V пересекается с нормалью М N", стремится
к точке С, отстоящей от М на расстояние МС =■ ' 1).
При этом луч МС направлен в сто-
сторону вогнутости линии L.
Отрезок МС называется радиусом
кривизны, точка С —центром кри-
кривизны линии L (для точки М).
Радиус кривизны обозначается R
пли греческой буквой р («ро»). Вели-
Величины R и К взаимно сбратны, т. е.
R =
К
(О
B)
Черт. 378.
Радиус кривизны окружности равен ее радиусу, центр кри-
кривизны совпадает- с ее центром.
!) В треугольнике МСМ' (черт. 378) угол С рапен углу ы (угли
со взаимно перпендикулярными сторонами), ^ С'М'М =УО° — >., где
угол 1 —^ AIM'D бесконечно мал (он меньше, чем ы). По теореме
sin (90°-1) ..,_,, , ММ' п
ММ'= cos \ . Перехолим к пределу,
синусов МС = --
ММ'= cos
Sill <i>
учитынал, что MM'
32 я
sin ы s- ы и cos 7,-> 1. Получаем:
= 1 : К.
ММ'
500
ПЛОСКИЕ II ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ЛИНИИ
Окружность, описанная из центра кривизны С (черт. 379)
радиусом R = МС, называется соприкасающейся окруж-
окружностью или кругом кривизны линии L (для точки М).
В направлении возрастания радиуса кривизны (на
черт. 379-вправо от М) линия L располагается вие круга
кривизны, в направлении убывания (на черт. 379-влево
от М)-внутри круга кривизны. Поэтому, как правило,
Черт. 379.
Черт. 380.
4epi. 381.
круг кривизны, касаясь линии /,, в то же время пересе-
пересекает ее.
В исключительных случаях, когда радиус кривизны
в точке М имеет экстремум, линия L по обе стороны
точки М располагается внутри круга кривизны (при ма-
максимуме, черт. 380) или вне его (при минимуме, черт. 381),
Первый случай имеет место, например, для конца малой
осн эллипса, второй-для конца большой его оси.
Замечание. Если в точке М кривизна линии L равна нулю,
то точка пересечения нормалей MN и M'N' неограниченно удаляется
от М, когда точка М' стремится к М. В соответствии с эшм говорят,
что в точке спрямления радиус крипизпы бесконечен, и пишут /? = «>.
§ 344. Формулы для кривизны,
радиуса и центра кривизны плоской линии *)
Кривизна линии у = / (х) вычисляется по формуле
v __ \У'\ /и
+y'2
2fl2
О Соответствующие формулы для просграпственной линии даны
в § 363,
§ 34-1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ 501
ряднус кривизны-гю формуле
координаты центра кривизны С-по формулам
Если у" ~ 0, то кривизна равна нулю, радиус кривизны
бесконечен и центра кривизны Нет. Так всегда бывает,
например, в точках перегиба (ср. § 283).
Формулы A)-C) заменяются симметричными форму-
формулами, если линию задать параметрическими уравнениями
х = Л @. y = h @- Т
Штрихи обозначают дифференцирование по параметру f.
Формулы A)~C) получаются из A)-(Ш), если поло-
положить х ='t (тогда х' ~ 1 и х" ~ 0). Если же положить
у - t (тогда у = 1, у" = 0), т. е. если уравнение линии
взять и виде x = f(y), то вместо A) —C) получим сле-
следующие формулы:
К = -U^V , (la)
' Существование производных*', у', х", у" п точке А данной линии
обеспечивает существование кривизны в этой точке. Обратное предло-
предложение неверно: бывает и так, что при Наличии кривизны в точке А
производные х\у, х", у" (одна или несколько) не существуют. Тогда
формулы С1)-(Ш) непригодны, н это свидетельствует о неудачном
выборе параметра. См. пример I (мелкий шрифт).
502
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Пример 1. Найги кривизну, радиус и центр
визны С в вершине А@; 0) параболы у- =_ 2рх (черт.
I1 е ш е н и е. Проще всего принять за аргумент
нату у, из данного уравнения находим
л — ■,.
X' =
2р ' -' р
В вершине параболы имеем
х'1 = -—•
р '
кри-
кри381).
орди-
ордиD)
E)
По формулам Aа)-(За) находим
К = ~, R = Р, х0 = р,
= 0.
Радиус кривизны в сершиие параболы равен ее пара-
параметру, т. е. фокус F делит пополам отрезок АС.
Если принять за лр|умснт абсциссу х параболы у*=2рх, то вме-
вместо A) получим (см. § 250)
y.R
у л- —
В вершине параболы (»*-0, ^-0) производные у', у" i(e суше-
yjoT, т<1к чго формулы (I)—C) использовать непосредственно
нельзя. Однако для нсех остальных
точек параболы формулы (I)-C) го-
годятся, и после подстановки G) они пре-
преобразуются так;
(8)
З-'о " -р-. (9)
Пели сюда пог(стапить х=0, у=0, то
снопа получим значения F). Смысл этой
выкладки состоит в том, что мы нашли
пределы, к которым стремятся гелкчины К, R, ?:», Ус, когда точка
пэраСолы стреми»ся к вершине последней.
11 р и м е р 2. Найти радиус и центр кривизны в верши-
вершинах эллипса с полуосями a, b (черт. 382),
§ 344. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ 503
Решение. Проще; всего воспользоваться параметри-
параметрическими уравнениями эллипса (§ 252)
х = a cos t, у = Ь sin /.
Из них находим:
х' = -a sin /, у ^ ь cos /;
х" ~ —a cos/, у" - - & sin f.
По формулам (II) и (III) полумаем:
ь=03/2 т ПО)
( '
В вершине Л («; 0), где ^ = 0, имеем:
В вершине В @; Ь), где ^ = ~ , имеем:
в = т, -Л'с = 0, ус = —г-. A3)
Замечание. Составив уравнение касательной к эл-
эллипсу (§ 252)
Ь cos / ■ Л' I- a sin г F - «& = О,
найдем, что расстояние ее от центра (§ 28) равно
. аЪ
а =
f + b* cos2
Сопоставив с A0), находим:
■f, e. радиус кривизны эллипса обратно пропорционален
кубу расстояния от центра до касательной в соответ-
соответствующей точке, В частности, из A2) и A3) находим;
504
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
§ 345. Эволюта плоской линии
Геометрическое место L' центров кривизны плоской
линии L называют эволютой 1) линии L. Формулы (Ш), C) и
(За) § 344, дающие координаты хс, ус центра кривизны,
вместе с тем являются параметрическими уравнениями
эволюты [в формулах C) и (За) роль параметра играют со-
соответственно х и у]. Исключив параметр, получим уравне-
уравнение, Связывающее координаты эво-
y i люты.
П р и м с р 1. Найтиэволюту пара-
параболы
у* = 2рх. A)
Решение. Примем за параметр
ординату у. Подставив в формулы (За)
§ 344 выражения
получим
х" = -
Черт. 383.
C)
Это - параметрические уравнения эволюты (роль пара-
параметра играет у). Чтобы исключить у, представим систему
B)-C) в виде
4-Р(*е-Р) = У2' Р*Ус = -У"-
Обе части первого уравнения возведем в куб, а второго —
в квадрат. Приравняв левые части, получим уравнение
эволюты
= 8(хо-р)».
Эволюта есть полукубическай парабола (черт. 383).
Пример 2, Найти эволюту циклоиды.
Решение. Из параметрических уравнений циклоиды
(§ 253)
x = a(t~sint), y = a(l~cost) D)
находим по формулам (III)§344:
Хс= a(t + &lnt), ус = -a(l-cosO- E)
1) «Эволюта» означает «развернутая!. Происхождение названия
выясняется в § 347.
S 346. СВОЙСТВА ЭВОЛЮТЫ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ 505
Сходство уравнений D) и E) не случайно; если ввести
новый параметр V с помощью соотношения
t = t' + it, (б)
то уравнения E) преобразуются к виду
ха — isa+a(tr~s'mt'),
уа = ~-2a+a(l~-co$t').
G)
Значит» эволюта V циклоиды L (черт. 384) есть ци-
циклоида, конгруэнтная с данной, но смещенная вдоль
Черт. 384.
основания OB на половину основания и опущенная под
основание на расстояние КСЬ рав-
равное высоте..
Из F) видно, что повороты производя-
производящих кругов в соответственных точках об-
общих циклоид разнятся на 180°; в частности, 0\\ '—f(j
нершине одной из циклоид соответствует
точка смыкания ветвей у другой. ру
§ 346. Свойства эволюты
плоской линии
Свойство 1. Нормаль линии L
касается ее эволюты У и соответст-
соответствующем центре кривизны.
Пример 1. Нормаль МаС3 циклоиды L (черт. 384)
касается циклоиды V в центре кривизны с3 первой цик-
циклоиды.
Пояснение, На нормалях РР', QQ' линии L (черт. 385) возь-
возьмем центры кривизны р, q. Пусть точка Р неподвижна, a Q к ней
стремится. Тогда точка q описывает дугу qp эволюты V и стремится
к р. Точка а, где неподпижная нормаль пересекается с подвижной,
тоже стремится к р (в силу определения центра кривизны). В тре-
треугольнике pqa угол р меньше внешнего угла <с£Ра£} = ы и потому
506 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
бесконечно мая. Значит, секущая qp стремится к совпадению с РР',
т. с, РР' —касательная к гшшиоте; точка касания —центр крипизш.1 р,
соответствующий точке И.
Свойство 2. Пусть радиус кривизны R линии L
возрастает при движении от точки Р к точке U (черт, 385).
Тогда длина дуги ри эволюты V равна приращению ра-
радиуса кривизны линии L:
ри = Ru-Rp.
Пример 2, У циклоиды L (черт. 384) радиус крп-
вшиы в точке О ранен пулю; он возрастает на дуге ОМй
и в точке М4 равен MtC\ = Аа (см. пример 1). По свой-
свойству 2, длина дуги О(\ циклоиды V раина 4я-0 = Аа
(ср. § 345, пример 2).
Пояснение. Разобьем дугу ри эволюты /.' на части pq, </,
И т.д.; число их будет потом стремиться к бесконечности. Положим-
что все дуги pq, qt,... —одинакового порядка малости. Того же по-
порядка будут соответствующие дуги PQ, QT,... линии L. Разности же
Ра — Qu, ТЬ —Qb и т. д. будут высшего порядка. Так как
pa+aq =» (Pa -Pp) +(Qq -Qa)=Qq -Pp+(Pa~Qa)
и аналогично для ломаных qbi, ku, , то периметр ломаной р</1и
отличается от величины
Qg)-\ (Uu~Tt)+ ... = Ua-Pp
на бесконечно малую величину (получающуюся от накопления беско-
бесконечно малых высшего порядка).
Значит, длила дуги риаволюты, являющаяся пределом длины опи-
описанной ломаной, равна Uu-1'p.
Замечание. Если между концами дуги линии L есть
точки с экстремальным радиусом кривизны, то свойст-
свойство 2 нарушается. Так, в точках Мя и М5 (черт. 384) ци-
циклоиды L радиусы кривизны одинаковы, тогда как длина
дуги С'3С4С5, конечно, не равна нулю. Свойство 2 нару-
нарушено потому, что в точке М4 радиус кривизны имеет .мак-
.максимум. Дуга СзС, равна МАСЛ~М3С3, дуга С^С5 тоже рав-
равна MiCi-M.fiz (а не MsCs-Mid).
§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии
Плоскую линию L можно получить из ее эволюты V
следующим механическим построением.
Натянем на эволюту V гибкую и нерастяжимую нить,
которая, сходи с эволюты в точке р (черт, 385), имела бы
свободный конец в точке Р лннни L. Если теперь сматы-
сматывать нить с эволюты, то свободный конец опишет линию /,.
$ 34S, ПАРЛМЕТРИЧ. ЗАДАНИЕ ПРОСТРАНСТВ. ЛИНИИ 507
Пояснение. I Гатяпутая пить псе премя остается касательной
к L'. 1<огда она Судет сходить с Ьволюгм п точке q, ее свободная часть
возрастет на Длину дуги pqt т.е. {% 346, свойство 2) на Qq—Pp.
Свободная часть станет рапной Pp + (Q<]—f'p)=Q'l и конец нити
соиладет с точкой Q,
Это построение приводит к следующему геометриче-
геометрическому определению.
Определение. На данной линии V (черт. 385) выбира-
выбираем направление возрастания дуг (любое из двух возможных,
например от и к р); по этому направле-
направлению откладываем на касательных от-
отрезки (uU,tT, Qq,., .), длины которых
убывают настолько же, насколько воз-
растает длина дуги, Геометрическое
место L концов этих отрезков назы-
называется разверткой (эвольвентой)
данной линии.
Всякая плоская линия V имеет бес-
бесчисленное множество разверток (PS,
PiSu PtSs на черт. 386). Для каждой JcpT"
ш них. линия 1/ является эволютой,
Развертки линии V являются ортогональными траек-
траекториями ее касательных (т. е. пересекают вес касатель-
касательные под прямым углом; ср. § 346, свойство 1),
О развертке пространственной линии см. § 362, заме-
замечание 2.
§ 348. Параметрическое задание пространственной
линии
Линия в пространстве, рассматриваемая как пересече-
пересечение поверхностей, представляется системой двух уравне-
уравнений, связывающих х, у, г (см. § 170).
Линия в пространстве, рассматриваемая как след дви-
движущейся точки, представляется системой трех уравнений:
x = }(t), у = ф(Г), г = ф(О, A)
выражающих координаты точки через параметр t (в ме-
хапике за параметр часто принимают время). Уравнения
A) называются параметрическими уравнениями простран-
пространственней линии (ср. § 251,.).
За параметр часто принимают одну из координат, напри-
например х. Тогда Уравнения линии имеют вид
У-9 (х), г = ф (х) B>
(первое из уравнений A) обращается в тождество х = х).
508 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Уравнениями ('2) нельзя представить линию, лежащую s плоскости,
перпендикулярной к оси ОХ (у т<жЪй линии все точки имеют одну и
ту же абсциссу).
Если уравнение какой-либо поверхности после подста-
подстановки выражений A) обращается в тождество, то линия
A) лежит па этой поверхности.
Всякую линию можно представить параметрически бес-
бесчисленными способами. Ecjni известна одна система пара-
параметрических уравнений, то .пооую другую получим, заме-
заменив / некоторой функцией нового параметра V.
Проекция линии A) на плоскость г — с (в частности,
па координатную плоскость XOY) представляется уравне-
уравнениями
х- /(О, У-9@, г = с. C)
Уравнение z = с часто опускают, подразумевая его. Ана-
Аналогично для проекций на плоскости х = а и у = Ь.
Пример. Параметрические уравнения
х - -2 + 1, у = 3 + 2f, г = l-2f (la)
представляют прямую линию.
Ecjiii за параметр принять х, то та же прямая пред-
представится уравнениями
зс = 2х + 7, z = -2х-3. Bа)
Прямая Aа) лежит на поверхности
(гиперболический параболоид), ибо равенство D) станет
тождеством, когда в него подставим выражения Aа).
Прямая Aа) лежиг также иа плоскости
v + z-4 = O. E)
Значит, прямая Aа) принадлежит пересечению поверхно-
поверхностей D) и E).
Отсюда не следует, что поверхности D) и E) пересекаются
только в точках прямой Aа). Плоскость E) пересекает параболоид
D) по двум прямолинейным обр^иущщим (§ 1 КО), одна иа них ест|.
прямая (l;i).
Взяв выражение / — 2 + -g? параметра / через новый
параметр V, получим другие параметрические уравнения
той же прямой:
*=a-f, }'-7 + Г, 2=~3-Г. (Ю)
g 349. ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
509
Проекция прямой A а) иа плоскость ХО У представляется
параметрическими уравнениями
х = -2 + /, у - 3 + 2* (За)
(подразумевается уравнение г — 0). Уравнение той же
проекции получим из A6) в виде
x-±V, y-7 + f C6)
и т. д. Исключив параметр, получим в обоих случаях
у = 2х + 7.
§ 349. Винтовая линия
Пусть точка М (черт. 387) равномерно движется по
образующей QR круглого цилиндра, а сама образующая
равномерно вращается по поверхности цилиндра. Тогда
точка М описывает кривую АМС, называемую винтовой
линией. Радиусом винтовой линии называют радиус а ци-
цилиндра, па который нанесена винтовая линии.
Черт. 387,
a) 6J
Черт. 388.
, Если наблюдать движение точки М со стороны основа-
основания, к которому она движется, то вращение образующей
будет либо положительным (против стрелки часов), либо
отрицательным (по стрелкеI). В первом случае винтовая
линия называется привой (черт. 388, а), во втором —ле-
—левой (черт. 388, б).
1) Если точка М будет двигаться по винтовой линии в обратном
направлении, то и наблюдать ее мы будем со стороны другого осно-
основания, но и образующая будет вращаться в обратную сторону. Стало
бить, положительное вращение останется положительным, а отрица-
отрицательное—отрицательным.
510 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Прямолинейный путь АС = h (черт. 387), проходимый
точкой М по образующей за время полного оборота по-
последнем, называется шагом винтовой линии. Шаг правой
buhtoboj'i линии считается положительным, левой-отри-
левой-отрицательным.
Правую и левую винтовые линии (одного и того же
радиуса и с одним и тем же абсолютным значением шага)
совместить нельзя. Они зеркально симметричны.
Замечание. Если развернуть цилиндрическую по-
поверхность на плоскость, то окружность AQB (черт. 387)
превратится в прямую линию, перпендикуляр-
перпендикулярную к образующим. Так как отрезок QM
пропорционален дуге AQ:
QM: AQ = ft : 2га, A)
Черт. 389. т0 винтовая линия превратится в прямую (ДМ
на черт. 389), Угол у ее наклона к образую-
образующим определяется по формуле
te y — —- = — B.)
где Ь--2^.
Параметрические уравнения винтов ой
лини и. Ось цилиндра примем за ось OZ (черт. 387), ось ОХ
направим в произвольно выбранную точку А винтовой ли-
линии. За параметр / примем угол поворота плоскости осевой)
сечения OQMR из начальна о положения О АС. Тогда
х = OP = a cos /, у = PQ = a sin t, z = QM = Ы. (.4)
Два уравнения у — о sin t, г == Ы представляют проек-
проекцию винтовой линии на плоскость YOZ. Эта проекция
есть синусоида. Проекция иа плоскость Х(>Х —тоже сину-
синусоида, на плоскость XOY- окружность.
§ 350. Длина дуги пространственной линии
Длина дуги А~В пространственной линии выражается
интегралом
U
или
s -
J KdxHdy' + dz*. B)
£ 351. КЛСЛТГЛЬНЛЯ К ПГОСТРЛНСТВИШЮЙ ЛИНИИ 511
Дифференциал душ ранен (ср. § 3,49)
ds * Ydx'1+'tlyT+<izIJ = Ух'2-i у*Т7*Ш. C)
Пример 1. Найти длину sl одного шика винтовой
лилии.
Р е ш е н и е. Формула B) с учетом формул C) § 340
даст:
2тг
st = J
a'-' sin- f Го!Гсо8аЛ:ТгЛ -- 2л К^ТН5, ■ D)
т. е. длтш одного витка винтовой линии раина гипоте-
гипотенузе треугольника, один катет которого B-^а) равен
окружности основания, а другой Bт:Ь) - шагу винтовой
Afiiiuu (ср. § 349, замечание).
Если начальная точка дуги неподвижна, а конечная ме-
меняется, то длина дуги есть функция параметра / и, значит
(§ 348), сама может быть принята за параметр,
П р и м е р 2. Написать уравнения винтовой линии, при-
приняв за параметр длину дуги, отсчитываемую от начальной
тлчки ?=--0.
Р е ш с н п с. Как п примере 1, находим:
t
s = J fa2 sln=T+fla cos4+ 6* dt = Уп*Ть* t. E)
Выражая г через s и подставляя в C) § 349, получаем:
х - a cos -_-4z= , у = a sin -т~^= , г = -= s, F)
§ 351. Касательная к пространственной линии
Касательная к лишш (L) в точке М (х; у, г) есть пря-
ан МТ, к которой стремится секущая ММ', когда точка
' стремится к М (ср. § 225).
Если линия (L) задана параметрическими уравнениями
г = ф(О, (I)
M2
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
■го за направляющий вектор (§ 143) касательной можно
принять вектор !)
г- -
B)
C)
или коллииеарный с ним вектор
. __ (dxt tfy dz\
~ \~ds ' iis"» ds}'
Модуль его равен единице 2). Поэтому вектор f называется
единичным вектором касательной.
Координаты вектора f суть направляющие косинусы
(§ 144) касательной
D)
cos ot = ^ , cos fl = tfy
COS Y ^
ds ' ' ds
(на черт. 390 a = ^ AMT, ^ = ^ BMT, y =
Пояснение. За направляющий вею ор секущей можно при-
нять_вектор ММ'*= [Дх, &у, Дг), а значит, и коллинеарные с ним векторы
MM' f&x Ay Дг1
— = Ч-г- , -.- i -. I • Формулы B) и
C) получаются предельным переходом.
Из черт. 390 имеем cos ^ СММ'=
МС
AЬ
-, Предельный пере-
dz
ММ'
ход дает cos Y - - d
лучаем две другие формулы D).
■, Аналогично ю-
7
Симметричные уравнения
касательной (§ 150) имеют вид
х-х
х'
У'
Черт. 390.
Штрихи обозначают производ-
производные по любому параметру.
Приме р. Рассмотрим винтовую линию (§ 349)
х = a cos /, ' у = a sin t, г = ft*.
Aа)
') Вектор г' есть производная ог радиуса-векгора v {х, у, г]
(см. теорему § 3fin).
dsj
\ds)
I 352. Нормальная плоскость 513
Вектор
r' = {-asint, a cost, b} = {-у, x, b) Ba)
есть направляющий вектор касательной. Из уравнений (б)
§ 350 находим единичный вектор касательной:
л .
- —ц: . .. ~ SIM _ z |
У а- + № K'i3 4- 6-
COS
'}'
Ca)
так что
cos a =
sin
—=■ - = —z=r= sin t,
z b* V2 + B
cos p =
: cos t, cos у — 7-
Последняя формула дает: tg y = x (CP- § 349).
Уравнения касательной имеют вид
X-acos/ Y-asint Z-Ы
ИЛИ
— с bin t
X-x
-y
В параметрическом виде
Da)
Ea)
E6)
F)
В начальной точке (f = 0, x=a, y = 0, 2=^0) касатель-
касательная представляется уравнениями X-a, Y = an, Z= bu.
§ 352. Нормальная плоскость
Плоскость Р (черт. 391), проходящая через точку М
линии L перпендикулярно к касатель-
касательной МТ, называется нормальной плос-
плоскостью лпннн L,
Направляющий вектор касательной
(§ 351) г' = {х\ у, г} является нормаль-
нормальным вектором плоскости Р. Уравнение
нормальной плоскости имеет вид (§ 123)
или в векторной форме Черт 3qi
(Н-г)»" = 0.
П р и м е р. Уравнение нормальной плоскости к винто-
винтовой линии
х = a cos t, у = a sin t, z = bt
33 М, Я. Выгодский
S14 плоские и Пространственные линий
имеет вид
(Х-a cos t) (-а sin t)+(Y-a sin t) (a cos f)-f
(Z
или
Нормальная плоскость в начальной точке (а; 0; 0) пред-
представляется уравнением
Всякая прямая, проходящая через точку М простран-
пространственной линии L и перпендикулярная к касательной МТ,
называется нормалью линии L (в точке М). Пространст-
Пространственная линия имеет бесчисленное множество нормалей.
Все оии лежат в нормальной плоскости.
Если линия L лежит в одной плоскости, из множества
нормалей выделяется одиа (главная нормаль), лежащая
в этой плоскости. У иеплоской линии тоже можно выде-
выделить главную нормаль (§ 359).
§ 353. Вектор-функция скалярного аргумента
Определение. Вектор р называется векторной
функцией (вектор-функцией) скалярного аргумента и,
если каждому "численному значению, которое может при-
принимать и, отвечает определенное значение вектора р (т. е.
определенный модуль и определенное
направление этого вектора).
В противоположность векторной
функции скалярная величина, зави-
зависящая от и, называется скалярной
функцией.
Пример 1. Точка М движется
по линии L (черт. 392). Скорость v
(рассматриваемая как вектор) есть
вектор-функция скалярного ар-
Черт. 302. гумеита t (времени, окчитываемою
от начального момента), ибо в каждый
момент вектор v имеет определенный модуль и опреде-
определенное направление (он коллииеарен с касательной к ли-
линии L). Вектор v можно также рассматривать как функцию
(скалярного) аргумента s (длины дуги МаМ). Модуль
скорости есть скалярная функция аргумента t (или s).
Пример 2. Радиус-вектор (§ 95) OJA зочки М, опи-
описывающей линию L (черт. 392), есть век то р-функция
§ 354. ПРЕДЕЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 515
длины дуги s = M0M. Координаты х, у, z вектора ОМ (т. е.
координаты точки М) суть скалярные функции от s
(ср. § 350, пример 2).
Замечание. Если начальная точка вектора р по-
движиа (как в примере 1), то можно выбрать какую-ли0о
неподвижную точку О (черт. 393) и принять
ее за начало вектора ОР, равного вектору
р. Геометрическое место конца Р (кдк<
правило, это~линия) называется годогра-
годографом вектор-функцин р.
Обозначение вектор-функцни.
Запись
Р = р(а)
означает, что р есть вектор-фупкция скалярного аргу-
аргумента и.
§ 354. Предел сектор-функции
Определение. Постоянный вектор Ь называется
пределом вектор-функции р (и) при и-~*а (или при «->■»),
если модуль разности £екторов р(и) н Ъ бесконечно мал
при и -> а (при а -> со).
Запись:
Hmj>(u) = Ъ. Ds
Пояснение. Отнесем переменный вектор р (и) к не-
неподвижному началу О (черт. 393). Если при «->а по-
подвижный конец Р стремится к совпадению с неподвижной
точкой В, то вектор ОВ=ь есть_ предел вектора р (и).
Разность р(и)~ Ь есть вектор ВР, а модуль последнего
бесконечно мал.
Замечание 1. Если модуль вектор-функции р (t)
бесконечно мал, то и сам вектор р называется бесконечно
малым. Порядком малости вектора называется порядок
малости его модуля.
Замечание 2, Непрерывностьвектор-фуикцниопре-
Непрерывностьвектор-фуикцниопределяется так же, как для скалярной функции (§ 218.) На-
Наглядно непрерывность вектор-функции выражается в том,
что се годографом является сплошная линия. Если век-
вектор р есть непрерывная функция аргумента t, то коор-
координаты его-тоже непрерывные (скалярные) функции от*
и обратно.
33*
516
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНС1 ПЕННЫЕ ЛИНИИ
Замечание 3. Теоремы о пределе суммы и произ-
произведения распространяются и на вектор-функции, причем
можно рассматривать всевозможные произведения (ска-
(скалярной функции на векторную, скалярное произведение
двух вектор-функций, векторное их произведение и сме-
смешанное произведение трех всктор-фупкцпй). Теорема
о пределе частного применяется к единственному виду
деления, рассматриваемою в векторной алгебре (деление
вектор-функции на скалярную).
§ 355. Производная вектор-функция
Определение. Производной от вектор-функции
р (и) называется вектор
Вектор р' сам является всктор-фулкцией аргумента и.
Отсюда название производит вектор-функция и обозна-
обозначение р'{п).
Геометрическое истолкование. Пусть по-
подвижный конец вектора ОМ = г (н) (черт. 394) описывает
линию L [юдограф вектор-функции г (и)].
Тогда вскюр г'(и) направлен по касатель-
касательной МТ в сторону возрастания параметра
(см. при-
при_ Дг MM'
Вектор v- = —:-■■-
Дц Дн
и; его длина j*"(u)[ равна
мер I). Если за аргумент'принять $, то
длина производной вектор-функции равна
единице (см. пример 2).
Пояснение. При переходе от точки М(и) к
точке Л1'(к+Ди) пектор г (о) получает приращение
Дг = г (и fAw)-r(u) = ОМ'-"ОМ **~М~М'.
направлен по секущей Л1Л1'; длина его равна
ММ' ММ'
, При Ли -> 0 секущая М Л1' стремится к совпа-
ds
дению с касательной, а отношение — стремится К пределу
Дц г
da
Координаты производной р'(и) вектора р(и) соответ-
соответственно равны производным от координат вектора р(и),
т. е,
B)
g 356. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВР.КТОР-ФУНКЦИИ 517
пли у других обозначениях
Прим е р 1. При обозначениях § 349 радпус-векгор v
BmiTOBoii линии выражается через параметр / следующий
образом:
j* = {a cost, asm t, bt}.
В силу C)
v = {-asint, acost, b).
Вектор г' направлен по касательной к винтовой линии
[ср, § 351, формула Ba)J; его длина iaz\-b- равна ~S:
[ср. E) §350].
Пример 2, Если за аргумент радиуса-всктора »* вии-
товой линии принять дугу s, то (§ 'ЛЪО, пргшер 2)
я cos , a sin ^==, - ^=sl,
{—u.s a s Ь \
-jz. ~Sirl-7=^^, ■, :z= COS ~ , : ~\
Удз !■ № \& + № Yat + b* fas+b* Уа* + b»)
Модуль вектора v равен
-+-—— cos8- ■+ -= 1.
Производные высшего порядка. Они опре-
определяются так же, как для скалярных функций, и обозна-
обозначаются !>"(«), р'"(и) и т. д. Выражения производных через
дифференциалы дани в § 356,
Механическое истолкование производ-
и ы х. I 1усть г (t) есть вектор-функция, выражающая
радиус-вектор движущейся точки через время t. Тогда
*" @ есть вектор скорости точки М, а »"'(/)-вектор ее
ускорения.
р § 356. Дифференциал вектор-функции
Дифференциал вектор-фуикцип р(и) определяется так
же, как дль скалярной функции (§ 228), и обозначается dp.
Дифференциал вектор-функции р (и) есть вектор; он
равен произведению производной вектор-функции р'(и) на
приращение аргумента:
dp = р' (и) Аи A)
или
itp -- p'(ll)(ttl. B)
518 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Геометрнчес ко ежисто л коваиие. Дифферен-
Дифференциал dr (и) есть вектор ~М~N (черт. 395), направленный по
касатсльисй МТ; координаты вектора dv суть дифферен-
дифференциалы координат х, у, г точки М:
dr = {dx, dy, dz}t C)
Длина вектора df равна дифферен-
дифференциалу дуги s = М0М:
Fz=ds, D)
dr* = rfs!. E)
ЗЭ5, Если дуга s является аргументом
вектор-функции г (s), то [ dt | = As *=
ММ'. В общем же случае | Д»* ] разнится от дуги ММ'
(равно как от хорды ММ') на величину высшего по-
порядка малости относительно Аи.
Инвариантность выражения B). Формула B)
верна и в том случае, когда и рассматривается как функ-
функция какого-либо аргумента. Формула A) не обладает этим
свойством (ср. § 234).
Дифференциалы высшего порядка. Они
определяются так же, как для скалярных функций (§ 258),
и обозначаются dzp, dzp и т. д.
Выражения производных через диффе-
дифференциалы:
В формуле F) и может быть как независимой, так и зави-
зависимой переменной; формулы G) £ерны, когда «-незави-
«-независимая переменная; в противном случае оии, как правило,
неверны (ср. § 259).
§ 357. Свойства производной и дифференциала
вецтор-функции '
1, Производная постоянного вектора а равна нулю,
дифференциал тоже равен нулю;
£ = 0, tfa = O. A)
Обратно, если производная вектора тождественно равна
нулю, то вектор-постоянный. ^ь
5 367. СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА 51й
Замечание. Постоянный вектор имеет не только
постоянную длину, но и неизменное направление. Произ-
Производная -^ переменного вектора р постоянной не равна
пулю (она перпендикулярна к сектору р; см. свойство 6).
2, Дифференциал суммы нескольких лекторов равен
сумме их дифференциалов. Аналогичное свойство для
производных:
d\p (и) + «(и) - * (ы)] = dp (и) + dq (и) - dv (и), B)
dr. т dp , dq dr ,„ .
3. Для всех видов умножения векторов имеют место
формулы дифференцирования, аналогичные формулам §239,
с тем отличием, что в векторных и смешанных произ-
произведениях соблюдается надлежащий порядок сомножите-
сомножителей (ср. I 112, п. Я § П7, п. 1):
d (mp) ~ mdp+p dm, C)
dip Xq) =pxdq + (ip xq, D)
d(Pq) =pdq + qdp, E)
d(pqv) — dp q*+p dqv+pq dr, F)
Соответствующие формулы для производных:
£m£+p£. (За)
4. В качестве частного случая формул E) и Eа) имеем:
а(р*) = ъ>ар, ^-(р2) = 21>ж- <7>
5. Постоянный множитель (скалярный или векторный)
можно вынести за знак дифференциала (производной):
d (ар) = a dp (a = const), C6)
d(axq) —axdq (a = const), Dб)
t d(aq) = adq (a = const), E6)
d(aqr) = ad(qxr) (a = const). F6)
Вытекает из свойств 1 и з.
6. Если вектор р («) сохраняет постоянную длину, то
он перпендикулярен к вектору р' (и), а также к вектору
520
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
dp (")j 'г- е-
то (ср. п. 4)
р2
const,
(8)
(9)
Вытекает из G).
Г е о м с т р и ч с с к и: годограф вектора р (и) - сфери-
сферическая линия; ее касательная перпендикулярна к радиусу
сферы.
§ 353. Соприкасающаяся плоскость
Определение, Соприкасающейся, плоскостью кри-
кривой L (в точке М) называется плоскость Р, к совпадению
с которой стремится плоскость КМК' (черт. 396), когда
две (не совпадающие друг с дру-
у Г""\ <t гом) точки К и К', оставаясь ш
линии L, стремятся к точке М.
Замечание 1. Для кривой
линии L, лежащей в одной плоско-
плоскости Q, соприкасающаяся плоскость
совпадает с плоскостью Q. Для
прямой линии соприкасающаяся
плоскость остается неопределен-
неопределенной.
Пояснение. На проволоч-
проволочной модели линии L отметим три
точки М, К, К'. Если они не
слишком далеки друг от друга,
/ то дуга К^К' практически уло-
_,,■■•' житеяв плоскости КМК' (хотя дуга
„.--'"'■' будет значительно уклоняться от
прямолинейной формы). Сопри-
1 черт. 396. касающаяся плоскость есть отвле-
отвлеченный образ плоскости КМК'.
Если на модель положить листок бумаги так, чтобы он
практически совпал с соприкасающейся плоскостью, то он,
несмотря на некоторый наклон, сохранит равновесие (за
счет трения па участке К-МК')- Во всех же иных поло-
положениях листок не удержится на модели.
Уравнение соприкасающейся плос-
плоско с т н, «Вектор плоскости»г'(о) и «вектор ускорения* г"(и)
оба лежатв соприкасающейся плоскости. Если они не колли-
неарны, то векторное произведение
В«г'Х*" A)
S ЗСЗ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ 521
есть нормальный вектор соприкасающейся плоскости 1)
и уравнение последней есть
(Н~г)г-г"--0 B)
или с координатной форме
Х~х Y~v Z-z
X' у' Z'
х' у" z"
= 0. C)
Пример. Найти соприкасающуюся плоскость винто-
винтовой линии
а' = {a cos it, a shut, bit].
Решение, Находим:
a" (a) = {-asin u, «cos u, b),
г" (н) ■= {-я cos u, -яsin it, 0},
r' {») x r" (u) = {й& sin и, - ab cos «f н2} s=
— я {& sin «, — & cos «, a}.
В силу (З) уравнение соприкасающейся плоскости есть
(X~acosu)bsii\a-(Y-asmtt) b cos u+(Z-bu) a = О,
или
fcjin uX-b cos
Угол ф, образуемый соприкасающейся плоскостью с
осью внптовоГг линии, находится (§ 146) из формулы
SHI ш =
sin5" н + W cos2 « + аг Уа3 + й1
Отсюда tg 9 = -f-, т. с. соприкасающаяся плоскость обра-
образует с осью винтовой линии тот же постоянный угол,
что и касательная (§ 351, пример).
Соприкасающаяся плоскость обладает следующими
свойствами.
1) Плоскость ТМК (черт. 390), ироходяи(ая через каса-
касательную МТ и точку К линии L, стремится к совпадению
с "соприкасающейся плоскостью Р, когда точка К. стре-
стремится к М.
х) Если г' и г" коллинеарны и если г(*> —первый из производных
векторов, не коллннсарных с г', то аа нормальный вектор соприка-
соприкасающейся плоскости можно принять г' X r<fc>.
522 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
2) Плоскость Р' (черт. 396), проходящая через каса-
касательную МТ и параллельная касательной KS, тоже стре-
стремится к совпадению с плоскостью Р, когда точка К стре-
стремится к М.
Замечание. Каждое из этих свойств можно принять
за определение соприкасающейся плоскости.
§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник
Нормаль MN линии L (черт, 396), лежащая в сопри-
соприкасающейся плоскости Р, называется главной нормалью]
нормаль MB, перпендикулярная к соприкасающейся пло-
плоскости,— бинормалью. Плоскость ТМВ, проходящая через
касательную и бинормаль, называется спрямляющей пло-
плоскостью.
Три взаимно перпендикулярные плоскости TMN (сопри-
(соприкасающаяся), NMB (нормальная) и ВМТ (спрямляющая)
образуют сопутствующий трехгранник, три взаимно пер-
перпендикулярные прямые МТ, MN, MB {ребра сопутствую-
сопутствующего трехгранника) часто принимают за оси координат
(касательную МГ-за ось абсцисс, главную нормаль MN-
за ось ординат, бинормаль JVf 2?-за ось апликат). О выборе
положительных направлений см. § 361.
Направляющие векторы ребер в общем случае удобно
вычислять в следующем порядке:
Т — г' (вектор касательной; см. § 351), A)
В = v xv" (вектор бинормали; см, § 358), B)
N = ВхТ = (i"х.г")хг' (вектор главной нормали}, C)
Выражение C) вектора N упрощается, когда за пара-
параметр принята дуга s линии L. Именно
Пример. Найти сопутствующий трехгранник винто-
винтовой линии
г ~ {a cos и, a sin и, Ьи}.
1) С помощью формулы двойного векторного произведения E 122)
получаем:
N = (г' X*") Хт' *= г" (г'г) -г' (г'г"у,
так как в данном случае »'з = I и v'r" = 0, то Лт =■ у",
d-r
Геометрически: вектор ускорения -т^ лежит в сопри-
соприкасающейся плоскости и перпендикулярен к вектору касательной
dv
-г-. Значит, он направлен по главной нормали.
1336. ВЗАИМНОЕ РАСПбЛйЖЕМИЕЛИМИИ И ПЛОСКОСТИ 523
Решение. Вектор касательной (§ 355, пример 1)
есть
Т = t' = {-asiitH, a cos и, b}.
Вектор бинормали (§ 358, пример) есть
В - 1" х fw = {йб sin и, - об cos н, ва}.
Вектор главной нормали есть
JV = BxT = {-a(es+6s)cos«, -й(вН61)в1пи, 0}.
Уравнения главной нормали имеют вид
^ X-acoso _ У-a sin а _2-&ц
Из них видиог что главная нормаль перпендикулярна
к оси винтовой линии н пересекает эту ось в точке
@; 0; Щ. Значит, главная нормаль идет вдоль радиуса
цилиндра, несущего винтовую линию. Спрямляющая пло-
плоскость совпадает с касательной плоскостью цнлнндра.
: § 360. Взаимное расположение линии
^ и плоскости
1. Если плоскость Q, проходящая через точку М, ие
проходит через касательную МТ линии L, то эта линия
вблизи точки Ы располагается по обе стороны плоскости.
В частности, нормальная плоскость всегда рассекает
линию L.
Расстояние d от соседней точки М' линии L до пло-
плоскости Q в рассматриваемом случае имеет тот же порядок
малости, что и дуга МЫГ.
2. Если плоскость Q проходит через касательную МТ,
но не является соприкасающейся, то линия L вблизи точки
М располагается, как правило, по одну сторону от плос-
плоскости (сторона вогнутости линии L). Исключение возможно
лишь при коллинеарности векторов t', r".
В частности, линия L располагается, как правило, по
одну сторону от спрямляющей плоскости.
Расстояние d имеет в рассматриваемом общем случае
второй порядок относительно дуги ММ'.
3. Если плоскость Q-соприкасающаяся, то линия L
вблизи точки М располагается, как правило, по обе
524 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
стороны от плоскости. Исключение возможпо лишь при ком-
компланарности векторов г1, г", г'".
Расстояние d имеет в рассматриваемом случае, как
правило, третьи порядок относительно ММ'. Лишь в упо-
упомянутом исключительном случае порядок п выше третьего,
§ 361. Основные векторы
сопутствующего трехгранника
За положительные направления па ребрах сопутствую-
сопутствующего трехгранника принимают напрапленпя следующих
единичных векторов (играющих роль лектории i, j, к
в прямоугольной системе координат)
1. Основной вектор касательной (, Он направлен по
касательной п сторон\ нозрастаппя параметра;
у.гt Yr-2 (H) " W
Если за па|)амстр принята ду[а s линии L, то
« = £■ ('а>
2. Ocnoniioii исктор гланнои нормали п. Он направлен
по главном нормали в сторону вогнутости ,'тнии /.:
.0,
Если за параметр принята дуга s, то ото щлражснис
значительно упрощается:
3. Основной вектор бинормали Ь. Он направлен но
бинормали так, чтобы тропка векторов f, и, h была прл-
- . C)
При параметре s имеем:
if-'
J as~
§ зе5. Центр кривизны пространстйённой линии §25
Замечание. Направление основного вектора главной
нормали не зависит от выбора параметра, т. е, имеет объек-
объективный геометрический смысл. Основной вектор касатель-
касательной может иметь любое из двух противоположных направ-
направлений в зависимости от параметризации. В частности, если
за параметр принять время, то направление вектора* сов-
совпадает с направлением движения точки М но линии L. Если
параметром ' служит дуга, то направление вектора t
совпадает с направлением отсчета положительных дуг.
Таким образом, объективного геометрического смысла на-
направление вектора t не имеет. Когда направление вектора*
установлено, направление вектора Ь вполне определено,
§ 362. Центр, ось и радиус кривизны - :]
пространственной линии ' ':.
Пусть точка М' (черт. 397), двигаясь по пространствен-
пространственной лшши L, стремится к неподвижной точке М, где кри-
кривизна К не равна пулю. Тогда прямая А'В', по которой
неподвижная нормальная плоскость Q пересекается с под-
подвижной нормальной плоскостью
Q', стремится совпасть с прямой АВ,
перпендикулярной к соприкаса-
соприкасающейся плоскости Р п отстоящей
отточки М на расстояние МС~ •— ,
При атом луч МС направлен в
сторону вогнутости линии h.
Прямая АВ называется осью
кривизны, точка С, где АВ пере-
пересекает соприкасающуюся пло-
плоскость Р, называется центром
кривизны, отрезок МС—радиу-
МС—радиусом кривизны.
Радиус кривизны обозначается
р, величины р и /< взаимно об-
ратны, т. е,
Г P = ^t К=у 0) Черт. 307.
Для плоской кривой (ее плоскость является соприка-
соприкасающейся) центр и радиус кривизны можно получить по-
построением, указанным, в § 343'
Окружность, описанная нз центра кривизны С радиусом
СМ=р, называется соприкасающейся окружностью или
кругом кривизны линии L (для точки М).
526 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Замечание 1, Если кривизна линии L в точке М
равна нулю, то говорят, что радиус кривизны бесконечен,
и пишут р=<» (ср. § 343, замечание)
Замечание 2. Определение развертки, данное в
§ 347, относится не только к плоским, Но и к иеплоским ли-
линиям. Неплоская линия L' тоже имеет бесчисленное мно-
множество разверток (все они ~ неплоские). Но в противополож-
противоположность случаю плоской линии (ср. § 347) центр кривизны
каждой из разверток L описывает линию, не совпадающую
с V, Поэтому геометрическому месту центров кривизны
иеплоской линии не присваивается наименование эволюты.
\
1 § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра
кривизны пространственной линии
Кривизна К выражается формулой
В координатной форме
Если за параметр принята дуга, формулы (I) и B) упро-
упрощаются: _ _
(la)
Щ. Bа)
В соответствии с формулой Aа) вектор ^-называется
вектором кривизны. Этот вектор равнонаправлен с век-
вектором МС, ведущим от точки М линии L к центру кри-
кривизны С.
Раднус кривизны р находится по формуле
r-k- C)
Сюда надо подставить одно из выражений A), B), Aа), Bа)*
Радиус-вектор y0 центра кривизны равен
D)
5 363. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВ. ЛИНИИ 527
и выражается [в силу B) § 361] следующей формулой:
В соответствии с этим координаты х0, уа, za центра кри-
кривизны выражаются формулами
F)
где для краткости введены следующие обозначения:
А = у'2"~г'у", 5 = 2'х"-х'2", С = x'y''-у'х". GJ
Если за параметр принять дугу, то формулы E) и F)
после упрощений примут вид
Eа)
(Г-Х
ds'-
Ус -
(/5s
= 2 + P3
.,y
rfa«/
Fa)
Замечание. Формулы для кривизны, радиуса и
цсшра кривизны плоской линии (§ 344) получаются отсюда,
'если положить z=г—г"*=*О.
Пример. Найти кривизну, радиус и центр кривизны
винтовой линии L:
r-{acos/, aslnt, bt). (8)
528
ПЛОСКИЕ И nPOCTPAHLlBLUHLIL ЛИНИИ
Решение, Приняв за парами р длину душ, имеем
(§ 350);
г — ) a cos a sin
cos
s
a sin , ,
Дифференцируя дважды, находим:
v>> e f _r^ cos _£ <L
Sin =
}■
Формулы Bа) и C) дани:
=^ " —■ — а \ —■,
(9)
т. е. кривизна и радиус кривизны постоянны. Формулы Fа)
дают;
s яЧ №
х„ = a cos
cos —
У
У,
A0)
Из A0) видно, что для построения цетра кривизны надо
радиус цилиндра, несущею винтовую линию, продолжить
за ось цилиндра па носюяппсе рассюяние — . Значит,
центр кривизны винтовой линии L огшшег ниптовую ли-
линию LY с тем же шаюм /i^2tc&, нанесенную на цилиндр
радиуса аг = — (с той же осью). Симметрия соотношения
ааг = Ьй показывает, мто линии L и LY изаимпы, т, е. нешр
КрИВМЗИЫ ЛИНИИ Lt 0ПИШС1 ЛИНИЮ L.
§ 364. О знаке кривизны
Кринизне плоских линий, лежащих е одной и mvu ml- n юсцостпи,
можно следующим образом приписатьзн-lk Ьсли при янижении точки
М в сторону возрастания параметра и вращение вектора касательной
происходит против часовом стрелки, то кривизна считается положи-
положительной, если по часовой стрелке,—отрицательной.
Знак крипизньт меняется на противоположный, t'cjin пар^чеф и
заменить друт им параметром и', убывающим, когда и возрастает. Ко[да
§а параметр принимается ii6uuicca( возрос lairnro парлметра соотиет-
S 365 К1'УЧЫ1ИЬ 529
(.iiiveT (.мощение ючки ЛГ <впрапо» В этом случае крмвилы положи
тел1,ня, когда линия обращена вогнутостью пверх, И отрицательна
м>гда вниз (§ 2Я2)
Формулы (I) и (I) § 344 заменяются следутощими:
К = ^у . (I)
* - jw^L. со
f! р и м с р Кривизн-! окружности
х — a cos и, v = a ьш и,
пычнелениая по формуле (I), раина —(возрастанию параметра соот-
вектвует обход против часовой орелки, в ту ji<e сторону врзшается
вектор касате (ыгий) Пели ту же окружность представить уравпени-
H.VIH
х = а соь и', у = — a sin W,
то форм! ла A) лас К = — — .
Рели о<рУЖпос|Ь jtifldTb удлинением
2 3
и применить формулу A), то дчя верхней полуокружности получим
/С = (обход будет соверш,ш (.я против стрелки часов, вогнутость
обращена книзу), для нижней цолуокружносш получим К = - .
Этот пример показывает, ч ю сам по себе зи,ш кривизны не имеет
геометрического t mi 1сла, имеет значение лишь и^мепетще знака при
переходе через некоторую точку (точка nejiei hG.\) или, напротив,
сохранение знака <и некотором участке.
Кривизне пространственных линий (б том числе и плоских) соосем
Tiejifj^i приписать ^нака, Ибо в пространстве пег пи вращения по ч.ко-
вой стречке, НИ вращения протии часовой стрелки Для линий, лежа-
лежащих о одноЯ плоскости, эти два направления различепотся потому, что,
выбрав на плоскости «лицевую» ее сторону, мы имеем в виду наблюда-
наблюдатели, созерцающе! о именно эту сюроиу. Если же мы по какому либо
признаку станем различать лицепую и оборотную стороны на сопри-
соприкасающихся плоскостях произвольной кривой в пространстве, по пи с
какой позиции наблюдатель но сможет созерцать все плосчости с
лицевой стороны
§ 365. Кручение
Кручение пространственной линии характеризует сте-
степень отк (онсния линии от плоской формы (подобно тому
как кришона характеризует степень склонения oi прямо-
прямолинейной формы).
, Определение. Кручением линии L в точке М назы-
называется величина, определяемая следующим образом по
абсолютному значению она равна пределу, к которому
стремится отношение угла со', составленною бинормалями
MB и М'В', к дуге ММ1, г<О1да точка М', осгиваясь на
34 м. Я, Вы1 одский
530
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
линии L, стремится к М. Знак крУчения (а также знак
угла.ы') считается положительным, когда пара бинормалей
MB, M'В' — правая (см. § 165а), и отрицательным, когда
эта пара-левая. Кручение обозначается а:
I
а~
MM'
Замечание. Бинормаль плоской линии сохраняет
постоянное направление, так что кручение плоской липин
всюду равно нулю. Обратно, если кручение линии всюду
равно нулю, то линия плоская. У нсг; оской линии круче-
ние может равняться нулю лишь в отдельных точках
(точки сплщения).
Радиус кручения. Величина т = —, обратная
кручению, называется радиусом кручения по аналогии
с радиусом кривизны р *= —. Но эта аналогия - неполная:
процесс, аналогичный построению центра кривизны, не дает
никакого «центра кручения».
Кручение выражается формулой
или в координатной форме
х" у" г"
х"' У" г'"
Если за паралгетр прииять дугу s, то форлгулы A) н B)
несколько упрошаются:
(ft1 d*r d^y
a =
или в координатной форме
dx _: dy dz
ds ds ds
d*x d2y d?z
ds* ds2 ds*
с =
S 388. КРУЧЕНИЕ
Пример. Найти кручеиие винтовой линии
х = a cos и, у = a sin n, z~ bu.
Решение. Имеем:
-а или a cos а Ь1
- a cos и -a sin a 0
a sin и - о cos и О;
По формуле A) находим:
531
«•ти-
Отсюда видно, что кручение правой винтовой линии
(Ь =- 0) положительно, левой-отрицательно.
РЯДЫ
§ 366. Вводные замечания
Для преодолении трудное! ей. связанных с интегриро-
интегрированием, Ньютон и Ле-жшиц иьфажялц иодиптегральнУш
функцию и пиде мши очлена с бесконечным числом членов
(см. § 270). Применяя к таким ныражепням обычные ира-
нпла а;» ебри, математики lS-ro века сделали мпожостис
аал1ечачельш.1х (iii.-pi,iTnii. Однако обнаружилось, что если
бежI*онороч»о применять правила алгебры к бесконечным
суммам, то можно прийти к оптикам. Стало необходимым
точно сфор,чулиропать оспоцныс гюняшя и стросо дока-
доказать свойства бесконечных рядов. Эга задача была решена
математиками 19-го печеа, имена г^оторы^ мы ncrpciini is
последующих параграфах.
§ 367. Определение ряда
Пусть дана пис.'К'доиагельность чисел
н„ нй1 н:1, .... ия, ... A)
Будем складывать эти числа в данном их порядке. Полу-
Получим новую последовательноегь s,, sz. srt, ..., ,ч„, ..., где
-i- и„.
§ 368. сКОДЯШИЕСЯ Й РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 533
Процесс ее составления сокращенно обозначается выра-
выражением
которое называется бесконечным рядом или, короче, рн-
Чом, Числа щ, гь, н3, ... называются членами ряда. Сумма
называется частичной (или частной) cvmmou ряда (s,=
— Hi —первая частичная сумма, s, = мх + г/2 — вторая
([астичная сумма, s5 - »i+H2+Ha- третья и т. д.)-
Пример Г. Выражение
ц.(-1)+1+(-1)+ ,.. +(_l)»+i ; .... D)
или, как обычно пишут,
I — If 1 - 1 + ..., Dа)
являемся рядом, Смысл выр£Г,ке!шя D) состоит и том, что
ИЗ 4JiOHOB
1,-1,+1,-J. ., (-1)»+\...
составляются частичные c^mmli
st - 1, s. ^ 1 - 1 - О, s3 =- 1 - Н-1 - 1, ■ ■ ■
...,5„=1-14-...-!( !).«,. i+^HL... E)
II р п \\ с р 2. Выражение
яилястся рядом. Оно означает, что из ч.чено»
1, 2' 4'-"' V2; ' ■■•
составляются частичные
.',= 1, ■<*- 4. *а- if-.-, *в = 2-(Л)"-1,... G)
§ 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды
Определение. Ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм ивдет конечный
преде.ч, Этот предел называется суммой сходящегося
ряда.
534
Если последовательность частичных сумм иС имеет
конечного предела, то ряд называется расходящимся.
Расходящийся ряд ие имеет суммы1).
Пример 1. Ряд
1 + 2+3 + 4+ ... +п+ ... A)
-расходящийся, ибо последовательность его частичных
СУММ
e«« с .yt /9*
*! — i, й2 — Of ь3 — и, ,,., б„ 2 » • ■ • \с)
имеет бесконечный предел.
Пример 2. Ряд
1-1 + 1-1+ ...+(-l)«+i+ ... C)
-расходящийся, нбо последовательность его частичных
СУММ
$1 — 1, 5г — U, *3 — 1, ..., Ь„ — 2 ' • * * VV
ср. § 367, пример 1) не имеет никакого предела.
Замечание 1. Когда последовательность slf s2, s3,...
не имеет никакого предела, расходящийся ряд называется
неопределенным.
Пример 3. Ряд
—сходящийся, ибо последовательность
5i=l, sa = lX, 5э=1-|,..., ^-2-d)",... F)
имеет предел, равный 2:
' lim 5Я = 2.
Число 2 есть сумма ряда E).
Замечание 2. Запись
... +и„+ ... = S G)
означает, что ряд «i + «2-f- ... +««+ ...-сходящийся
I) Спово <сумма> понимается в смысле, установленном определе-
определением. Понятие суммы ряда можно расширить, и тогда некоторые рас-
расходящиеся ряды будут тоже обладать суммами (в расширенном
смысле).
g 369. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА 535
и сумма его равна S, т. е. запись G) равнозначна с за-
записью
lim («i+«4+ ... +и„) = S.
к—>- ее
Пример 4. Запись
означает, что последовательность частичных сумм
имеет предел, равный ~, т. е, что
§ 369. Необходимое условие сходимости ряда
Ряд
«1+и2+ ... +ия+ ... П)
может сходиться лишь в том случае, когда член ип
{общий член ряда) стремится к нулю:
Нт и„ = 0. /о\
Иначе говоря: если общий член и„ не стремится к нулю,
то ряд расходится.
Пример 1. Ряд
0,4+0,44+0,444-1-0,44444- ... C)
заведомо расходится, нбо общий член (ои имеет преде-
пределом |-) ие стремится к нулю.
Пример 2. Ряд
I 1-1 + 1-1+ ... D)
заведомо расходится, нбо общий член не стремится к
йулго (и вообще не имеет предела).
Предостережение. Условие B) недостаточно
для сходимости ряда: ряд, у которого общий член стре-
стремится к Нулю, может сходиться, а может и расходиться
(см. примеры 3 и 4).
•"$36 ' РЯДЫ
П р л м е р 3. Так называемый гармонический ') ряд
расходится, хотя его общий плен стремится к
Чтобы убедиться а расходимости ряда, рассмотрим часшч-
НЬ[С СУМ «lit
Мы видим, .что гщсчпчиая ел мча hcoi рапиченно возра-
возрастает, т. с. ряд (о) расходится.
Пример 4. Ряд
получаемым ju ырмопическою переменой знака у членов
с четными номерами, сходится. Чтобы убедиться в этом,
0,* 1?г qJ 3,4 25 0t6 3,7 Ofi C9 1
Черт 398.
отметим на числовой оси (черт, 398) ]очки, предаавляю-
7-,
, рд
щие частичные суммы а\ = 1, s, — -j, i3 - i7
47 37 ,-
s5= 60, sn =-g^-. Каждая ну «нечетных» точен slf s3, sai
окажется левее предыдущей, и каждая иа «четных» точек!
s2. S4> s6-правее предыдущей, т. е. четные и нечоные]
точки движУ1ся навстречу друг дрУ1У. Можно доказать/
') Название связано с тем, что струна при делении ее h,i 2, 3, 4, ...
равные части дает звуки, гармонируюшме с основным тоном,
§ S?6. ОСТАТОК РЯДА
53?
что подмеченный закон верен ') и что точки sin,s2nii
сближаются неограниченно 2). Значит, как четные, так и
нечетные точки стремятся к некоторой точке S(нечет-
S(нечетные -справа, четные —слепа). CiaJio быть, последо-
последовательность частичных сумм ряда F) имеет пределом
4Iicjio S, т. е. ряд @) сходи 1ся nS-ею сумма.
Частичные суммы slt $Jt s% дают избыточные прибли-
приближения для S, a s«, ,?4, sG — недостаточные. Подсчитав
$9 = 0,745 и Sic, — 0,645, получим для S один верный знак:
S = 0,7. Вычислив sfl99 и s1000, мы нашли бы S = 0,G93 с
|_ремя иерными знаками. Точное значение S ость In 2-
=In2-
G)
Формула G) получается из разложения
Xi
при-\-1 (tp §270, л 4 и § 272, пример 2).
§ 370, Остаток ряда
lic.nu oi бросить первые m членов ряда
то получим ряд
A)
который сходится (или расходится), если сходится (или
расходится) ряд A). Поэтому при исследовании сходи-
сходимости ряда можно оставить без внимания несколько
}{ачальных членов.
1) Разпост!,
1 1
' 2 л 2л
отрицательна,
з) Разность
1
+ 1
разность sSl
положительна.
стремится к нулю при л —> <».
В случае, когда рядA) сходится, сумма -> -
. C)
ряда B) называется остатком (или остаточным членом)
первого ряда (R% = и2 + ия+ ... —первый остаток, i?2=
= И3+И14- ... -второй и т. д.). Остаток Rm есть по-
погрешность, совершаемая при замене суммы S ряда A)
частичной суммой sm. Сумма ряда S и остаток Rm связаны
соотношением
S = sm+RM. ' D)
При т->со остаток ряда стремится к нулю. Практически
важно, чтобы это стремление было «достаточно быстрым»,
т. е. чтобы остаток Rm стал меньше допустимой погреш-
погрешности при не слишком большом т. Тогда говорят, что
ряд A) сходится быстро, в противном случае говорят,
что ряд сходится медленно. Разумеется, быстрота илн
медленность сходимости - понятие относительное.
Пример 1. Ряд
сходится крайне медленно. Просуммировав двадцать
его членов, мы получаем значение суммы ряда лншь с точ-
точностью до 0,5-Ю-1; чтобы достичь точности до 0,5*10-*,
надо взять ие менее чем 19 999 членов (см. пример 4 § 369).
Пример 2. Ряд
(геометрическая прогрессия) сходится гораздо быстрее
ряда E); уже пятнадцатый остаток его -^з+^s-
-т£}+... по абсолютной величине меньше чем (^■)М<
-=0,5-10-*, так что точность до 0,5*10-* обеспечивается
пятнадцатью членами.
П р и м ер 3. Ряд
(сумма его равна е; ср. § 272, пример 1) сходится еще
быстрее: точность до 0,5 -10~4 обеспечивается восемью
членам/гряда.
§ 371. ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 539
§ 371. Простейшие действия иад рядами
!.Почяеняое умножение иа число. Если
ряд
Иг+Ы3+...+«„+•" A)
сходится и сумма его есть S, то ряд
«№1+М>Ия + . .. + «>«„ + . .. , B)
полученный почленным умножением ряда A) иа одно и
то же число w, тоже сходится, и сумма его равна wS, т. е.
•)' C)
Пример 1. Ряд
сходится и сумма его равна 0,693.„=hi 2 (§ 369, при-
пример 4). Стало быть, ряд
сходится и сумма его равна 0,346... = ~ Ы 2.
2. Почленное сложение и вычитание.
Если ряды
F)
G)
сходятся и суммы их соответствеиио равны V и V, то ряд
(«i± »i) + (tfe ±«Ъ)+ ...+&. ± €ь)+ ..., (8)
полученный почленным сложением (илн вычитаннем), тоже
сходится и сумма его равна {/+ V (или V — V), т, е.
» (+ «2+ ...) ± (Vi+Vt+ ...). (9)
Пример 2. Ряд
i 0,11+0,0101 + 0,001001+... J
'сходится и сумма его равна gg. Действительно, этот ряд
получается почленным сложением сходящихся рядов
0Д+0Д2+0,18+... и 0,01+0,013+0,018+..., а суммы
последних соответственно равны ■£■ и щ.
540 РЯДЫ
П р с д о с т е р е ж с н it e. Не все свойства конечных
сумм остаются в силе для сходящихся рядов. Так, от
перестановки членов Сходящийся ряд может приобрести
иную сумму и даже стать расходящимся. Переставим,
например, члены сходящегося ряда
1 lj_ l Lj * _lj 1-1 . 1_ ' _
1 ~ 2 + 3 4 + 5' е 7 8 + 9 10+ * ■ " ~
= 0,693... A0)
так, чтобы за двумя положительными шел один отрица-
отрицательный (порядок положительных членов остается преж-
ним; то же для отрицательных). Получим ряд
1+1-1+1,1„1,1+1_1,
^3 2Г5+7 4+9ТН 6^
Он сходится, но сумма его в полтора раза больше преж-
прежней. Действительно, мы имеем (см. пример 1):
о+1+о~1+о+1+о-!+о+1+... *
= 1-0,693 A2)
(вставление пулей не изменяет суммы ряда!). Сложив
почленно ряды A0) и A2) (п. 2), получим:
= 1-0,693...
Сократив дроб]1 и отбросив пули, получим слева ряд A1).
§ 372. Положительные ряды
Положительный ряд (т. с. ряд, все члени которого
положительны) не может быть неопределенным (§ 368,
замечание 1). Его частичные суммы всегда имеют предел —
конечный или бесконечный. В первом случае ряд схо-
сходится, во втором-расходится.
Положительный сходящийся ряд прн перестановке
членов остается сходящимся н сумма его не изменяется
(ср. § 371, предостережение), расходящийся положитель-
положительный ряд остается расходящимся.
§ 373. СРАВНЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ 541
§ 373. Сравнение положительных рядов
Для исследования сходимосш данного положительного
ряда
«u + ^i+'VI- • ■• A)
его часто сравнивают с другим положительным рядсш
о0 и Vj+Vj.-i- ..., B)
о котором известно, что он сходится или расходится.
Если ряд B) сходится и су.мма его равна V, а члены
данного ряда не превосходят соответствующих членов
ряда B), то данный ряд сходится, и сумма его не пре-
превосходит V. При этом и остаток данного ряда не превос-
превосходит о'статка ряда B).
Если ряд B) расходится, а члены данною ряда не
меньше соответствующих членов ряда B), то данный ряд
расходится.
Пример. 1. Исследовать сходимость ряда
i.i. 1
и, если он сходится, найти четыре значащие цифры его
СУММЫ S.
Решение. Сравним данный ряд с геометрической
прогрессией .
1 + ~+~+...+—+... D)
Ряд D) сходится; сумма его равна 1,25. Члены данного
ряда не превосходят соответствующих членов ряда D).
Значит, данный ряд сходится, и S -^ 1,25. Остаток
ряда C) меньше л-го остатка ряда D), т. е.
п« 5» ' 5»+iT5»+«T ••• — 4-5"—* '
Для лучшей оценки сравним остаток E) с рядом
1 1 1
&5«-* ' ' '
542 РЯДЫ -^
Рассуждая, как выше, получим неравенство
Я <
Полагая последовательно л=1, 2, 3,..., найдем, что вы-
выражение '4(n + lM»-i станет меньше 0,0005 при л = 4
Суммируем четыре члена данного ряда. Получаем недо-
недостаточное (с точностью до 0,5 *10) приближение
Пример 2. Для исследования сходимости ряда
сравним его с гармоническим рядом
Последний расходится (§ 369, пример 3), а члены данного
ряда ие меньше соответствующих членов ряда (9). Значит,
ряд (8) расходится.
Пример 3, Для исследования сходимости ряда
сравним его с рядом
члены которого, начиная со второго, больше соответ-
соответствующих членов ряда A0). Ряд A1) сходится и сумма его
равна S-2, ибо л-ю частичную сумму можно предста-
представить в виде
A2)
Ряд A0) и подавно сходится и сумма его меньше чем 2.
Остаток Я» ряда A1) равен (§ 370)
I 374. ПРИЗНАК ДАЛАМБЁРА ДЛЯ ПОЛОЖИТ. РЯДА ^43
Остаток ряда A0) лишь немногим меньше, так что
ряд A0) сходится медленно: чтобы найти четыре знача-
шие цифры суммы, надо сложить около 2000 членов.
Точное значение суммы ряда A0) равно ~ (см. ниже § 417,
пример 3),
§ 374. Признак Даламбера для положительного ряда
Теорема. Пусть в положительном ряде
.. +и„+ ... A)
отношение ■--"—- последующего члена к предыдущему при
/;-> со имеет предел д. Возможны три случая:
Случай 1. q -= 1. Тогда ряд сходится.
Случай 2. q >■ 1. Тогда ряд расходится1)-
Случай 3. q = 1. Тогда ряд может сходиться, а мо-
может и расходиться.
Эту теорему называют признаком Даламбера2).
Пример 1, Рассмотрим доложительный ряд
2-0,8+3-0)8а + 4-0,83+ ... +(Л+ 1)-0,8*+ ...
Вначале наблюдается возрастание членов3) (дл = 1,6,
as = 1,92, д3 = 2,048, ..,). Однако ряд сходится, ибо
fli+i: ort = 0,8(l + -^ry), а предел этого отношения ра-
равен 0,8, т. е. меньше чем 1.
Пояснение. Пусть для некоторого положительного
ряда oJ+oa+n3+ ... +«„+ ... предел отношения
«я+1:и„ равен 0,8. Тогда с некоторого номера JV отноше-
отношение ия+1: и„ разнится от 0,8 менее, чем иа ± 0,1. Значит,
оно будет оставаться меньшим, чем 0,9, так что
B)
г) Сюда включается и случай, когда Jim «M-fi' ип = оо,
Е) Название оснооано на недоразумении. Теорему пперпые выска-
высказал и доказал Коши.
3) Оно потом сменяется убыванием, „ ^-^-«-
544
и т. д. Сравнение ряда M^+i+»A-+a+"jv+a+ . ■. с ря-
рядом 0,9u^ + 0,9auJV + 0,9;1»jv4- ■ ■ • (убывающая геометри-
геометрическая прогрессия) показывает (§ 373), что данный ряд
сходится.
Вместо 0,9 можно взять любое число, лежащее между
0,8 и 1. (Если гаять единицу или большее число, рассу-
рассуждение лотеряет силу.)
По тому же плану ведется общее доказательство тео-
теоремы для случая ?<1.
Пример 2. Рассмотрим положительный ряд
Начальные члены убывают, но ряд расходится, ибо предел
отношения
равен 1,1, т. е. больше чем 1.
Пояснение. Так как lim (ий+1: ия) = 1,1, то с неко-
некоторого но.мера N отношение ия+1: мя больше чем 1,09.
Сравнивая ряд (г^.|+и^+г4-"л-+з+ •■• с расходя-
расходящимся рядом 1,09нд--Н,09гиЛГ+1,О93Цу+... и рассу-
рассуждая, как в предыдущем пояснении, мы докажем (§ 373),
что данный ряд расходится.
Вместо 1,09 можно езятг, любое число между 1,1 и 1
(ио не единицу).
По тому же плану ведется общее доказательство тео-
теоремы для случая q >■ 1.
П р и д1 с р 3. Рассмотрим ряды
Для обоих имеем
q- lim (unil:un) = 1.
Но ряд D) расходится (§ 369), a E) сходится (§ 373).
Замечание. В случае 1 (q ^ 1) сходимость тем бы-
быстрее, чем меньше q. В случае 2 (? >■ 1) расходимость тем
быстрее, чем больше q. В случае 3 (q = 1) ряд, если схо-
сходится, то медленно, и потому мало пригоден для вычис-
вычислений.
§ St5. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 545
§ 375. Интегральный признак сходимости
Если каждый член положительного ряда
.. +ал+ ... A)
меньше предшествующего, то для исследования сходимости
можно рассмотреть несобственный интеграл
jf(n)dn, B)
где /(/г)-непрерывная убывающая функция от п, прини-
принимающая при л = 1, 2, 3. ... значения щ, и2, и3, ...
Ряд A) сходится iiJik расходится, смотря по тому, схо-
сходится или расходится несобственный интеграл B). В слу-
случае сходимости остаток Rn ряда A) удовлетворяет нера-
вепствадг
J / (п) йп < Rn ^ J / (я) cln. C)
Замечание. Интегральный признак Удобен в тех
случаях, когда член ик задан выражением, имеющим смысл
не только для целых значений п, но и для всех п, боль-
больших единицы.
Пример 1. Исследуем сходимость гармонического
ряда
1-4+^+...+^+... D)
Этотряд-лоложптельиып; каждый его член меньше пред-
предшествующего, и общий член ил задан выражением —,
имеготщш смысл для псех значений п (кро.мс пуля). Функ-
Функция / (/i) ~ — » иромежуп;е A, &->) ненреривна и уСыпает.
Рассмотрим песобстпеппый интеграл f-"-. Он расходится,
ибо имеет бесконечное значение: ?
Um Г^= lim \пх ^ со. ■
Значит, расходится и ряд D) (ср. § 369, пример 3).
35 м. я. Выгодский
546
Пример 2. Исследуем сходимость ряда ((Обратных
квадратов»
ц.^+...+^+... E)
Здесь / (п) = -s. Соответствующий несобственный ин-
интеграл
f <*" _ 1 ■ щ f dtt __ j
1 *■* 1
сходится. Значит, сходится и ряд E). Взяв 10 членов,
Щ
s e 7 х
5 6 ? х
Черт. 399. Черт. 400.
найдем Sl0 = 1,5498. Остаток Riu Удовлетворяет неравенству
т. е. г.
1
0*
11 ID
Значит, погрешность приближенного равенства
+
'"* 1'5498
не превышает 0,1.
Пояснение. График черт. 399 изображает функцию/(«); чле-
члены щ, «а, ... изображаются ординатами Р\МЛ, I'^M^, ..., последние
численно равны площадям ступенек PiJVJiNsPE> f'u
Расходимость интеграла f /(«) dn означает, что площадь полосы
1
под линией MiMiMs ... бесконечно велика. Площадь описанной сту-
ступенчатой фигуры и подавно бесконечна, т. е. ряд tirf ih+ ■ ■ ■ Рас"
ходится.
S 376. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ РЯД. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА 547
Если же интеграл .J f(n) dn сходится, то площадь полосы под
1
^аз ■ •. конечна. Площадь вписанной фигуры, заштрихованной
на черт. 400, и подавно конечна, т. е. ряд us+v$+... сходится. Зна-
Значит, сходится и ряд щ + щ + ы3 +
Неравенство C) поясним на частном примере fi=2. Остаток
Ri = "з + #*+■■• численно равен площади описанной фигуры
по
XPaMaNtMtNu ... (черт. 399); Значит, J?a 3*J/(n)tfn (по УСЛОВИЮ
3
этот интеграл сходится). Тот же остаток равен площади фигуры
ХР^КгМъКзМл ... (черт. 400); Значит,
§ 376. Знакопеременный ряд* Признак Лейбница .
Ряд называется знакопеременным, если его члены по-
поочередно положительны и отрицательны. Ряд
••» A)
где буквы iii, u2t uz, ... обозначают положительные чис-
числа,-знакопеременный.
ПризнакЛеЙбница. Знакопеременный ряд схо-
сходится, если члены его стремятся к нулю, все время Убывая
по абсолютному значениюJ). Остаток такого ряда имеет
тот же знак, что и первый отбрасываемый член, н меньше
его по абсолютному значению.
Рассуждения, на которых основано доказательство при-
признака, проведены для частного случая в примере 4 § 369.
Пример. Знакопеременный ряд
») Члены знакопеременного ряда могут стремиться к нулю, но убы-
убывать не все время. Тогда нет гарантии, что ряд сходится. Так, ряд
1 L2 К2 'х2 !х2
+ + + +
члены которого стремятся к нулю, но убывают не все время, расхо-
расходится. Действительно, группируя члены попарно, найдем, что stn =
«= ТГ+-Г 1- ■ ■ ■ +— . так что (§ 369, пример 3) Шп
35* ~ - ~ -
548 " ряды
сходится, нбо члены его стремятся к нулю, все время убы-
убывая по абсолютному значению. Пятнадцатый остаток
«13 — 16+17 18^ '"
отрицателен, так что частичная сумма sls дает для суммы
ряда B) приближение с избытком. По абсолютному значе*
нию остаток меньше чем jq . ■ , -,
§ 377. Абсолютная и условная сходимость <
Теорема. Ряд . А
мх + и2+ ... ч «„+ ... " A)
заведомо сходится, если сходится положительный ряд
i "г И- ! ма i + . - ■ + \\ ия | + ..., B)
составленный из абсолютных значений членов данного
ряда.
Остаток данного ряда по абсолютному значению не
превосходит соответствующего остатка ряда BI),
Сумма S данного ряда по абсолютному значению не
превосходит суммы S' ряда B)
| S | *s S'. [
Равенство имеет место только тогда, когда все члены
ряда A)-одного знака.
Замечание 1. Ряд A) может сходиться н тогда,
когда ряд B) расходится.
Пример 1. Ряд
члены которого через два иа третий отрицательны, схо-
сходится, ибо сходится (§ 373, пример 3) ряд
составленный из абсолютных значений членов данного
ряда. Сумма S ряда C) меньше суммы S' ряда D)г).
Ход доказательства указан ниже (см. пояснение).
В данном случае S= -jr S'(cm. пояснение).
I 377. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ 549
П р и м е р 2. Знакопеременный ряд
сходится (§ 369, пример 4), несмотря на то, что ряд, со-
составленный из абсолилных значении членов, данного ряда,
расходится (§ 369, пример 3).
Определение 1. Ряд называется абсолютно схо-
сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных
значений его членов (в.зюм случае схидится н данный
ряд; ср. прн.мер ]).
Определение 2. Ряд называется условно сходя-
сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсо-
абсолютных значений его членов, расходится (ср. пример 2).
Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все
члены юиложптельны пли псе члены отрицательны,-абсо-
отрицательны,-абсолютно сходящиеся.
Пояснение к примеру I. Сохраним в ряде C) положи-
положительные члены, а отрицательные заменим нулями. Получим сходящий-
сходящийся положительный ряд
(сходимотть его следует из сравнения с рядом A0) § 373), Заменим
теперь нулями положительные члены ряд,! C), ,i отрицательные возь-
возьмем с обратным знаком. Получим сходящийся положительный ряд
' 0+0+1+0+0+1+0+0+1+...- V. F)
Вычтем почленно ряд F) из ряда E). Получим, ряд C). В силу § 371
(п, 2) от сходится и сумма его S равна, jimxWE в
S = U-V. iU* <ГГК1ШЕТ0(8)
Каждое из положительных чисел U, V меньше (S 37з)г'чем СУМмЛ 3^
ряда D). Поэтому ' -' д
я .niiToqnBH
Пукв^льно так же доказывается общая теореМЙРНЭКК £ЛЯОНВТЭ
3 а м е ч а н и е. Сложив E) и (б), находим: ЭОМНДОХЭ ЭЖБД Ы
S' = C7 + V. f q SMliqn (8)
Вранном же примере имеем сверх того (§ 371, п.ЕГ^з
VB 1+1+1 ь .. =
Из (">, (8) и (9) вытекает, что
B 1+1+1 ь .. = lri+l+^+..^=-S'.
l
9
550 РЯДЫ
§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда
Положим, что в ряде
... +ип+ ... A)
наряду с положительными членами есть и отрицательные
(или все члены отрицательны). Пусть абсолютное значение
отношения ыя+1: ип имеет предел q\
lim \utt+l:un\ = q.
Тогда при q -= 1 ряд сходится, при q > 1 расходится,
при q = 1 он может сходиться и расходиться.
Это следует из §§ 374, 377.
Пример. Ряд
1л* * J j1 J i I1 U1 л A\
где за каждыми двумя положительными членами следуют
два отрицательных, а за ними снова два положительных,
q = Hm | иЛ+1: о„ | = 0, т. е. q < 1.
сходится, ибо | ив+1: ип \ = ^; ~^ = ~; значит,
$ 379. Перестановка членов ряда 1
В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно пе-
переставлять члены; при этом абсолютная сходимость не
нарушается и суммэ не меняется (в частности, сумма схо-
сходящегося положительного ряда не зависит от порядка
членов).
Напротив, в условно сходящемся ряде не всякая пере-
перестановка членов допустима, ибо сумма может измениться
И даже сходимость может нарушиться.
Пример 1. Ряд
получаемый лерестаиовкой членов абсолютно сходящегося
ряда
§ 380. ГРУППИРОВКА ЧЛЕНОВ РЯДА 551
тоже сходится и имеет ту же сумму St что и геометриче-
геометрическая прогрессия B), Стало быть,
- ~гт —^'
Формулу C) можно проверить, рассматривая частичную сумму
Sin ряда A) как сумму членов геометрической прогрессии с первым
членом 1-Tj-l - — = —-г и со знаменателем ( — 1 =х*
Пример 2. Ряд
1 2 + 3 4 + 5 6 ' 7 8 + ' • • W
сходитсд условно (§ 377). Ряд
полученный перестановкой членов ряда D), сходится, но
сумма его в полтора раза больше суммы данного ряда
(§ 371, предостережение).
Замечание. В каждом условно сходящемся ряде можно т.ж
переставить члены, чтобы новый ряд имел суммой любое на-
наперед заданное число (можно также заставить ряд рас-
расходиться).
§ 380. Группировка членов ряда
в
В противоположность лереместительному свойству (которое имеет
Мбсю лишь для абсолютно (ходнщихся рядов; ср. § 379) сочетатель-
сочетательным свойством обладает всякий сходящийся ряд.
Именно во всяком сходящемся ряде можно, не меняя порядка чле-
членов, объединять их в какие у i одно группы. Сложив члены внутри
всех групп, получаем новый ряд. Он тоже сходится и сумма его - пре-
прежняя.
Пример 1. В сходящемся (по признаку Лейбница) ряде
l-g+y-y-i-g-JJ-t- ••• A)
можно сгруппировать члены следующим образом:
Сложив члены внутри групп, получим:
552 - РЯДЫ
Этот знакоположительный ряд имеет ту же сумму *), что и знакопере-
знакопеременный ряд A).
П>римср 2. В ряде A) можно сгруппировать второй член с
третьим, четвертый с пятым и т. д. Получим сходящийся ряд
имеющий ту же сумму.
Замечание, Обратное действие (раскрытие скобок) безуслов-
безусловно допустимо лишь в том случае, если после раскрытия скобок полу-
получается сходящийся ряд (тогда данный ряд—заведомо сходящийся).
Однако возможен случай, когда данный ряд сходится, а после раскры-
раскрытия скобок получается расходягцийся ряд.
Пример 3. Ряд
A-0,9)+ A-0,99L-A-0,999) + ,.. E)
(геометрическая прогрессия 0,1 ( 0,01 +0,001 + ...) сходится и имеет
СУММУ --, t a
Если открыть скобки, получим ряд
1 . 1 -0,9 +1 -0,99 +1 -0,999 +..., E')
он расходится, иСо частичные суммы с четными номерами имеют преж-
прежний предел -, ас нечетными номерами—предел 1 -jp
I П р и м е р 4. Рассмотрим ряд
Y
Его можно представить в виде
04Н*Ч)+О4)+-
Здесь скобки открыть можно, ибо полученный ряд
■44444—
—сходящийся. Действительно, всякая частичная сумма s^n— i равна
единице, а частичная сумма
IL
стремится К единице. Сумма S -1 ряда (S) является также суммой
ряда F):
Ч Она равна -г; см. § 398, пример 3.
§ 381. умножение рядов 553
§ 381. Умножение рядов
Теорема. Два абсолютно сходящихся ряда
■.. = V, A)
=- V B)
можно перемножить,- как многочлены. Каждый член ряда
(I) помножается на каждый член ряда B) и произведения
складываются в любом порядке. Получим абсолютно схо-
сходящийся ряд, сумма которого равна UV:
Ufr + upi J-tt2g1+a1e3+«sgs+a3g1+ ... = UV. C)
Замечание 1. Чтобы в ряде C) ни одни член не
был пивторен дважды или опущен, рекомендуется группи-
группировать члены u,vh с одной и тон же суммой указателей
i, к (эту сумму называют весом члена «,«*). Тогда ряд по-
получает вид
где
E)
Эта группировка соответствует умножению по схеме:
С6)
Пример 1. Рассмотрим два абсолютно сходящихся
ряда:
554 ряды
Перемножая нх по схеме F), находим:
J 1 _J
4 S "" 16
TTT + TTT
1
16
(9)
1+0+1+0+^+...
Закон составления полученного ряда выражается фор-
формулами г)
Опуская нули, получаем абсолютно сходящийся ряд
Его сумма есть произведение сумм рядов G) и (8). Это
легко проверить, ибо сумма прогрессии G) равна 2, сумма
прогрессии (8) есть —, а сумма прогрессии A0) есть -g-.
Пример 2. Ряд *
1+|+^+--.+7^г+- (И)
абсолютно сходится (по признаку Даламбера). Найти его
СУММУ.
Решение. Искомая сумма есть произведение сумм
двух одинаковых абсолютно сходящихся рядов
UU...+-+.,. =
!) В каждом столбце схемы (9) слагаемые имеют одно и то же
абсолютное значение, а по знаку чередуются. Столбец четного номера
(где число слагаемых четное) дает нуль. В столбце нечетного номера
2n~J первое слагаемое есть ■q--—, а остальные взаимно уничто-
уничтожаются,
§ 381. УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ 555
Действительно, по схеме F) получаем:
1 + Y + 7S+75+ •• ■
Значит, сумма ряда A1) равна
7 7 _ 49
о * е ~ 36 *
Замечание 2. Если один из рядов A); B) сходится абсо-
абсолютно, а другой—условно, то ряд D), найденный по схеме F), —
сходящийся, и сумма его по-прежнему равна UV. Но он может
оказаться условно сходящимся; тогда не всякая перестановка членов
допустима (§ 379).
Если оба ряда A), B) сходятся условно, то ряд D) может
оказаться расходящимся *). Но если он сходится, то его сумма
равна UV.
Ряд
f2
сходящийся (по признаку Лейбница, § 376), но он сходится условно,
т. е. положительный ряд
f2 jT fi Yn
расходится (§ 373, пример 2). Если применить формулы D), E) к двум
рядам, каждый из которых совпадает с (U), то получим ряд
у которого каждый член по абсолютному значению больше единицы,
Действительно, формула E) дает:
+...
I щ I - -г—+ —
Yl-n У2(п-1) Ynl
Здесь каждое из п слагаемых больше чем ■■ ■ ■ = —. Стало быть,
УП'П П
и>я не стремится к нулю, и ряд (W) расходится C 369).
556 ряды
§ 382. Деление рядов
Теорема. Пусть имеем два сходящихся ряда:
... +И.+ ...= U, (I)
. . . ]-у»+ . . . = V. B)
Применив к ним схему деления многочлена Ut+u2+ ...
... + ип на мноючлен и1 + ий+ - ■ ■ -) «'ш получим ряд
ы>1+ы».+ .. .,+«*>„ + ■ • - C)
Если ряд C) ~ сходящийся 1), то его сумма W равна U : V.
Пример. Применим к сходящимся рядам
1
2
-"-+ -V Bл)
схему деления мноючлена па многочлен. Имеем:
2 2^+21 2*^25
J 1_^__1_ 1 , 1
•2 2* ' 2з~2* 25*
23 2*
J
2»
23+ 0 +2»"'" * *'
i) Он может оказаться расходящимся даже при абсолютной сходи-
сходимости рядов A), B). Так, если разделить по упомянутой схеме ряд
1+0 + 0 + 0+ ... (все члены, кроме первого, —нули) на ряд
1 + 1+0 + 0 + 0+.., (все члены, кроме двух первых,—нули), по-
получим расходящийся ряд 1 — 1 +1 — 1 + ...
§ 3S3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД 557
В данном примере члены ряда C) образуются по такому
закону:
(п з> 2)
Действительно, второй остаток получается почленным
умножением первого остатка на 1/а. следовательно, третий
член ряда C) получается из второго члена умножением
на f/a. При третьем вычитании как и уменьшаемом, так
и в вычитаемом псе соответственные члены вдвое меньше,
чем прн втором вычитании. Следовательно, третий остаток
получается из второго умножением на 1/2. Значит, четвер-
четвертый член ряда C) получается из третьего умножением на
7i и т. д.
Итак, члены ряда C), начиная со второго, образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2. Значит,
ряд C) сходится. Сумма его W равна U: V.
В самом деле, мы имеем: *
U = 1 V = ~ 1^=1 + —~ - 3
таю что '
U : V = W.
§ 383. Функциональный ряд
Функциональным рядом называется выражение
«1 W + «2 С*) + • • • + «. (Х)+ . . . , A)
где Mi(x), аг(х), ... (члены ряда) суть функции одною
и того же аргумента х, определенные в некотором про-
промежутке (я, Ь).
Смысл выражения (I) разъяснен в § 367. Только теперь
члены ряда являются функциям nf тогда как в § 367
рассматривался ряд, члены которого —числа; такой ряд
в отличие от функционального называется числовым.
Частичные суммы функционального ряда определяются
так же, как для числового.
Если в ряде A) аргументу х дать какое-либо значение
[принадлежащее промежутку (а, Ь)], то из функциональ-
функционального ряда получав!ся числовой.
558 РЯДЫ
§ 384. Область сходимости функционального ряда
Может случиться, что при любом значении х, взятом
в промежутке (а, &), функциональный ряд сходится. Может
случиться и так, что при любом значении х ряд расходится.
В типичном же случае функциональный ряд сходнтся при
одних значениях х и расходится при других. Совокупность
значений х, прн которых ряд сходится, называется об-
областью сходимости функционального ряда.
В области сходимости каждому значению х соответст-
соответствует определенная сумма ряда, так что последняя есть
функция аргумента х, определенная в области сходимости.
Вие этой области функциональный ряд ие имеет суммы.
Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд
1-х+1-2x41 «2.Зх*+ ... + 1-2...лх" + ... A)
Члены его суть функции
щ (х) « х, щ (х) = 2х\ щ (х) = 6х3, ..., B)
определенные в промежутке (-■», +«=). Но лишь при
х - О ряд A) сходнтся, а при любом другом значении х
ряд расходится. Действительно, дадим аргументу х какое-
либо значение х0, не равное нулю. Получим числовой ряд
ЬХо+1-2x8+ ...+1-2...лхУ+... C)
Отношение
\ия+1-.ия\ = \{п + 1Iхъ+1:п\хъ\± {п+1)\хо\
имеет бесконечный предел при л ~> оо. Стало быть (§ 378),
ряд C) при х т& 0 расходится. Область сходимости состоит
из одной точки х = О.
Пример 2..Функциональный ряд
[члены его суть функции, определенные в промежутке
(-со, +оо)] сходится при любом значении х = х0. Дей-
Действительно, отношение
I "*+1 •"» I - ТТЛ"
стремится к нулю при л -*- °° (§ 378). Областью сходимости
является весь промежуток (-°о, +«>). Сумма ряда D)
есть функция, определенная в этом промежутке (эта функ-
функция равна е*; ср. § 272, пример 1).
§ 384.
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ
559
Пример 3. Найти область сходимости и выражение
суммы для ряда
j
2-f--7j- X\L — Х^-Ь
Решение, Запишем частичную сумму ряда E) в виде
1 i „ 1
*" 2 2 ~к ~ 2 2 ' ' ^ '
Если jxj >• 1, то sn при л->со не имеет конечного пре-
предела (слагаемое -Tj-x* есть бесконечно большая величи-
величина), т. е. ряд E) расхо-
расходится. При х= — 1 ряд
тоже расходится> ибо
тогда -г-
1-
-1
\b
+/ X.
"-"*"" 2
Отсюда видно, что sa по-
попеременно принимает
значения 2 и 1.
При остальных зна-
значениях х (т. с. при
- 1 < х «в 1£ ряд E)
сходится. Действительно,
если х=1, то все члены
ряда EУ, кроме первого,
обращаются в нуль, и
мы имеем
S<1) = 2. G)
Если же ! х [ ^ 1, то в формуле F) слагаемое —g-x*
при л-г-«> и при неизменном х стремится к нулю, так что
ix-~x*) = 2+ix. (8)
Область сходимости ряда E) есть промежуток (-1, +1)»
из которого исключен конец х = -1 (иа черт. 401 отре-
отрезок аЪ без точки а), В втой области сумма S ряда ^
о
Черт. 401.
560 РЯДЫ
есть функция от х, определяемая следующими равенст-
равенствами:
$(*) = 2(-уХПРИ -1 ^Х^ 1,|
[ S(x) = 2 при х= 1. J
Функция S (х) разрывна при х-1 и непрерывна в осталь-
остальных точках области сходимости. Вне области—1 «= х -< 1
функция S (х) вовсе не определена. График ее представляет
(черт. 401) отрезок АВ, из которого удалены концы Л и В
и к. которому (взамен точки В) добавлена точка С,
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости1)
Пусть функциональный ряд
сходится в каждой точке (замкнутого пли незамкнутого)
промежутка (а, Ь)") и пусть требуется приближенно найти
сумму 6* ряда A) с точностью до е (т. е. остаток R№ no
абсолютному значению не должен превышать положитель-
положительного числа е). Для каждого определенного значения х ого
требование удовлетворяется, начиная с некоторого номера
л=Лг. Величина JV, как прлпило, зешиспт от х, и может
случиться, что на одни номер п не обеспечивает требуемой
точности для всех х сразу. Тогда говорят, что ряд A)
сходится в промежутке (а, Ь) неравномерно. Если же ije-
6усмую степень точности всегда можно обеспечить cpajv
для всех х, начиная с одного и того же номера .V, то
говорят, что ряд A) сходится в промежутке (а, Ь) равно-
равномерно.
Пример 1. Функциональный ряд
2+^х{\~х)^~хЦ\-х)Л- ... ■1-|г-1A-х)+ ... B)
(см. § 384, пример 3) сходится и каждой точке замкнутого
промежутка (О, 1). Покажом, что в этом промежутке он
сходится неравномерно.
Потребуем, чтобы частичная сумма
s,, = 2+yx-yx» C)
') Определение см. в § 3S6.
-) Ряд может сходиться пит очках вис промежутка (it, h),
мы оставляем бев шшлцшля.
§ 385. О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 561
давала сумму ряда B) с точностью до -,,--0,1. При х ■-= 1,
а также при х=0 этому требованию удовлетворяют все
частичные суммы (получается точное значение S = 2). При
остальных значениях х сумма ряда равна
S=2+±x, D)
так что остаток ряда равен
Я» — <э л,( — 2 х-. \Э)
При а*=0,1, или при х=0,2, или при х—0,3 требуемая
точность обеспечивается, начиная
с номера N = 2; например, при
.\=0,3 имеем:
Но при #=0,4 днух членов мало;
надо шять по меньшей мерс три.
Тогда
Дальнейшие пробы покажут,
что при х=О,5 требуемая точ-
точность обеспечивается, начиная
лишь с номера Л7 =4, при х=
= 0,6 - начиная с номера N= 5,
а при х~ 0,8 придется взять
N=11'. По мере приближения х
к 1 число Лг неограниченно возра-
возрастает, тш< что для всех значений
х сраау никакой помер N не может обеспечить точность
до 0,1 (а большую точность и подапно). Ст.чло быть, ряд B)
в промежутке @, 1) сходится неравномерно.
На черт. 402 изображены графики частичных сумм
2
Остаток изображается при х и 1 отрезками
между соответствующим графиком и прямой у =
Зв М. Я- Выгодский
ординат
562 РЯДЫ
[представляющей сумму ряда B) для исех значений х,
кроме я=1].
Сходимость ряда B) проявляется в том, что графики
частичных сумм все теснее прилегают к прямой DB на
все большем ее протяжении. Неравномерность сходимости
сказывается в том, что вблизи от В каждый из графиков
sn отходит от прямой DB. Но по мере роста п заметный
отход совершается на все меньшем участке.
Пример 2, Покажем, что тот же ряд B) сходится в
промежутке @; 0,5) равномерно.
Потребуем точность до -^'0,1. При х=0,5 эта точ-
точность обеспечивается, начиная с номера JY=4, ибо
| Я* 1 « ~" 0,5* «■£• 0,0625-= i-0,1.
Для всякого другого значения х в промежутке @; 0,5)
требуемая точность и подавно обеспечивается, начиная
с номера 4.
Потребуем точность до *%• 0,01; тогда при х=0,5 до-
достаточно взять JV=7, ибо
|Я71=-1.0,5'* ~-0,0078-< i.0,01.
Для всякого другого значения х в промежутке @; 0,5)
семн членов и подавно достаточно. Вообще, тот номер N,
который обеспечивает точность до е при х=0,5, всегда
обеспечивает ту же точность сразу для всех значений л
в промежутке @; 0,5). Стало быть, в этом промежутке
ряд B) сходится равномерно.
На черт. 402 равномерность сходимоеш проявляется в
том, что в промежутке @; 0,5) наибольшее отклонение гра-
графика sn от прямой DB стремится к нулю по мере роста п.
В промежутке @; 1) этого не происходит.
§ 386» Определение равномерной и неравномерной
сходимостиJ)
Функциональный ряд
Hi (х) + и2 (х) + ... + ип (х) + ..., (I)
сходяшийся в (замкнутом или незамкнутом) промежутке (а, Ь), шэы-
ваегся равномерно сходящимся в этом промежутке, если остаток Rn (x),
начиная с некоторого номера N, одного и того же дли всех рассма-
Рекомендуется предварительно прочесть § 335.
S 3S7. Геометрическое истолкование сходимости 563
триваемых значений х, остается по абсолютному значению меньшим
любого заранее данного положительного числа =:
I **<*>!
при
B)
(номер N зависит толг-.ко от е).
Если же для некоторого с условию B) нельзя удовлетворить (д л я
всех х сразу) ни при каком значении N, то говорят, что ряд A)
в промежутке (а, Ь) сходится неравномерно.
Примеры см. в § 385.
§ 387. Геометрическое истолкование
равномерной и неравномерной сходимости
Пусть АВ (черт. 403) есть график суммы S (л:) ряда, схо-
сходящегося в промежутке (а, Ь), а линии АпВ„, А„+1В„+ь ...
-графики частичных сумм $п (х), sntl(x), ... Заклю-
Заключим АВ в полосу А'А" В" В', i -
у которой каждая из границ [ 1\ «- '1 '
Черт. 403.
Черт. 404.
А1 В' и А'1 В" отстоит от АВ (по вертикали) иа постоянное
расстояние е. При равномерной сходимости ряда все линии
АаВа, начиная с некоторого номера Ще), помещаются
(в пределах рассматриваемого промежутка) целиком
внутри полосы.
Этого не будет при неравномерной сходимости. Нагляд-
Наглядным пояснением может служить черт. 404; здесь у всех
графиков sn (x) есть по два «языка», выбивающихся из
полосы А'А"В"В' (они по мере роста п придвигаются к
точке С). Между тем над каждой отдельной точкой D
участка аЬ графики $п (х) неограниченно приближаются к
графику $(х) (после того как язык миновал точку D).
36*
564 ряды
§ 388. Признак равномерной сходимости;
правильные ряды
Если каждый член ип (х) функционального ряда
М*) +«а (*Н. •■• + "«(*)+•» О)
при любом х, взятом в промежутке (а, Ь), по абсолютному
значению не превосходит положительного числа Ап и
если числовой ряд
А1+А1+ ...+Д.-1-... B)
сходится, то функциональный ряд A) в этом промежутке
равномерно сходится.
Пояснение. Сходимость ряда A) вытекает из §§ 377 и 373.
Остаi(Ж ряда (I) по абсолютной величине ие превосходит остатка
ряда B). Начиная с того номера N, котрый обеспечивает точность
до £ для ряда B), и подавно обеспечиваете;! точность до е для ряда A)
для всех х сразу.
Пример. Функциональный ряд ь"!
cos х сой 2х cos Зх . j. cosn» «,■,
равномерно сходится в промежутке (-со, +°о), nGo его
члены при любом х не превосходят по абсолютному зна-
значению соответственных членов положительного числового
ряда ^ ^
Т*"*2 ■*" ;Р "г" ■" ^ «г^* ■■* ^
Последний же сходится (§ 373, пример 3). Точность до ОД
обеспечивается для ряда D), начиная с номера n = J0.
Для ряда C) та же точность н подавно обеспечивается,
начиная с десятой частичной суммы.
В замкнутом промежутке ( - к, it) сумма ряда C) равна **
При эе = ± я функциональный ряд C) обращается в числовой ряд D);
сумма последнего равна ^ (см. § 417, пример 3).
Замечание. Функциональный ряд, подходящий под
признак настоящего параграфа, называется правильным.
Всякий правильный ряд сходится равномерно. Неправиль-
Неправильные же ряды сходятся в одних случаях равномерно, в
других- неравномерно.
g 389. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ РЯДА 565
§ 389, Непрерывность суммы ряда
Теорема. Если вес члены функционального ряда
Щ(х) + и£(х)+ ... + ия (х) + ..., A)
равномерно сходящегося в промежутке (а, Ь), являются
(в этом промежутке) непрерывными функциями, то и сумма
ряда A) есть непрерывная функция в промежутке (а, Ь).
Пример 1. Все члены ряда
COS X COS 2X COS ЗЛГ - 1 ^„ COS ПХ try.
равномерно сходящегося в промежутке (-00, -l-^) (§388),
являются непрерывными функциями. Стало, быть, сумма
ряда B) есть функция, непрерывная при всяком значении х.
Замечание. Сумма неравномерно сходящегося ряда
непрерывных функции в одних случаях непрерывна, и дру-
других разрывна.
Пример 2. Все члены ряда
2+^x(l-x)+~xs(l~xH... + ~xr-1(i~x)+..., C)
сходящегося в замкнутом промежутке @, 1) неравномерно
(§ 385), являются непрерывными функциями. Но сумма
ряда есть функция, разрывная при х^1 (см, § 384, при-
пример 3).
Пр и м с р 3. Ряд
+[(х3-хе)-(хг-х*)]+... D)
с общим членом
ил(х) = (Xя -х2и)-(хн-1-х2'1-2) E)
сходится в замкнутом промежутке @, 1) неравномерно,
но имеет непрерывную сумму S (х), тождественно равную
НУЛЮ.
, Действительно, Мц имеем sn (х) = Xя — х2", и для каж-
каждого отдельного значения х промежутка @, 1) ото выра-
выражение стремится к нулю, так что ряд сходится и имеет
сумму S (х) = 0.
Но остаток ряда /?n(x)-S(x)-sB (х)=Xя-х2п нельзя
сделать меньшим чем-т сразу для всех рассматриваемых
Ш
значений х, ибо, каково бы ни было п, остаток ра-
п
-у при х = у -^.
вен у
Стало быть (§ 385), сходимость ряда (^-неравномер-
(^-неравномерная. Между тем сумма его
S (х) = 0 есть непрерывная
функция.
Геометрически: гра-
графики всех частичных сумм
? ЦЩ Щ1х (черт. 405) имеют «горбы» иа
Черт. 405. прямой у - -^, так что ни
один график не помещается
целиком внутри полосы между прямыми у = ± -^. Это
не мешает сумме ряда (изображаемой жирным отрезком
оси ОХ) быть непрерывной функцией.
§ 390. Интегрирование рядов
•я
Теорема, Если сходящийся ряд ъ
*)+.» + Mx)+... = S(x), A)
составленный из функций, непрерывных в промежутке (а, Ь),
сходится в этом промежутке равномерно, то его можно
интегрировать почленно. Ряд
$ j. B)
равномерно сходится в промежутке (а, 6), и сумма его
равна интегралу f S (x) dx от суммы ряда A):
« а а
(J"ut(x)dx+ ... + f Un()
я
- J S(x)dx. C)
§ 390. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ
567
Пояснение. Частичная сумма sn (х) ряда B) есть интеграл
частичной суммы sn (х) ряда A)
as
s'n(x) ш J sn(x)(tx
а
и изображается площадью аАлС,&
X
(черт. 406). Интеграл Г S (x) dx
а
суммы S (х) ряда A) изображается
площадью аАСх.
Теорема утверждает, во-первых,
что ряд B) сходится и сумма его
а
равна Г S (х) dx.
а
Геометрически: площадь аАСх (черт. 406) есть предел пло-
площади аАлСпх при п-*«.
Действительно, при равномерной сходимости ряда A) график
АаС№ помещается внутри полосы А'А"С"С (§ 387). Значит, пло-
площадь аАнС„х заключена между площадями ал'С'х и ал"С"х. Л обе
они имеют пределом площадь аАСх.
Теорема утверждает, во-вторых, что ряд B) сходится равномерно.
Геометрически: сразу для всех, положений ординаты хС"
величину
1 пл. аАСх -пл. аАпСях\, D)
начиная с некоторого номера п, можно сделать меньше любой заранее
данной площади Е. Действительно, полосу А'А"В"В' можно сузить
настолько, чтобы ее площадь быламеньше Е. Тогда площадь А'А"С"С
и подавно меньше Е, а величина D) еще меньше.
Пример 1. Ряд
Черт. 406.
■+... E)
в промежутке (Ot q), где q - правильная дробь, сходится
равномерно (по признаку § 388), ибо его члены ие пре-
превосходят соответствующих членов сходящегося (§ 374)
положительного ряда
\ + 2q+3q*+ ,,. + nifi~1 + „. F)
При этомх)
S(x) = 1 + 2х+ ...+пхЛ-1+ ...= ,, г ... G)
Формулу G) можно получить почленным умножением ряда
1 /.
на самого себя (ср. g 381, пример 2).
56S ряды
Согласно теореме настоящего параграфа ряд
J йх+ J
(8)
равномерно сходится в промежутке @, ?) и сумма его
равна
о о
Это легко проверить, ибо ряд (8) есть прогрессия
Замечание. Если ряд A) сходится неравномерно,
то почленное интегрирование в одних случаях допустимо,
в других нет (см. примеры 2 и 3).
Примерз. Неравномерно сходящийся в промежутке (О, 1) ряд
=0 A0)
(см. § 380, пример 3) можно интегрировать почленно в пределах (п
О до 1:
1 1 1
Г (зе-х*)</х+ f {{xi~-x*)-(x~x^)'\dx+ ... = f O-dx = 0. (П)
0 0 О
Действительно, частичная сумма sn ряда A1) равна
1
Она с Еремится к нулю при п—>».
Геометрически: плошадь, ограничетгая графиком sa(x)
(черт. 405) и отрезком (О, ]), стремится к нулю, несмотря на наличие
iropGa». (По мере росы п »горб> неограниченно суживается, а высота
его oi/гается постоянной.)
ПримсрЗ. Ряд j
%
+[3 (хз -х*) -2 (х= -х»)] + ... A3)
С общим членом
«„(х) = п^»-х5я)_(л-1)(зеп-1-хг»-г) A4)
§ 3S0. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ
560
сходится в промежутке @, 1) и лмее] непрерывную сумму S(\) — О
[доказывается гак же, как для ряда (И))]. Следовательно,
f S (х) dx =0.
A5)
Между Тем почленное интегрирование в пределах от 0 до 1 дает не
пул)., а -^ . Действительно, получаем ряд
111
Г (х - &) dx + [2 f (x2 - х*) dx ~ J (x -
A6)
с частичной суммой
I
s' = л f (х*>- —х2^) d
■• (П)
Следовательно, сумма его S' равна
S'= lim si=-l. <18>
Несогласие между A5) и (IS) вы-
вызвано неравномерноft сходимостью
ряда A3) (неравномерность доказы-
доказываем», как а примере 3 § 389).
Геометрически: график я„
(черт. 407) стремится к слиянию
с осью абсцисс над любым куском
отрезка (О, 1), не содержащим точки Черт, 407. <
х = 1. Но нблизи этой точки обра-
образуется юрб. Он неограниченно при-
приближается к концу хь=1. При атом он сужипается по горизонтали, но
одновременно растет вверх 1). В результате компенсации площадь
sn и отрезком @, 1) стремится не к нулю, а к -^-.
J X
J) Графики черт. 407 получаются из одноименных графиков
черт 405 растяжением по вертикали п отношении п t 1.
Замечание. Если пидоизменить ряд A3), взяв ряд с общим:
членом
ип (х) =л* (x"-x8»)-(t -1)' (х» -*!»-«), <14а)
то по-прежнему будем иметь:
f s(x)dx = о, ■ A6а
но после почленного интегрирования получим ряд с частичной суммой
5" " (п +1) Bп +Tf ' <18в)
Он Судет расходящимся, ибо lim sn = г» (рост горба вверх будет
более быстрым, чем сужение по горизонтали).
§ 391. Дифференцирование рядов
Даже при равномерной сходимости ряда почленное
его дифференцирование не всегда допустимо. Нижеследую-
Нижеследующая теорема дает признак, обеспечивающий возможность
ПОЧЛСННО1 о дифференцирования.
Тс о ]> е м а. Если функциональный ряд
x)+ ... + ия(х)г - 0)
сходится в промежутке (а, Ь) и производные его членов
непрерывны к этом промежутке, то ряд A) можно почленно
дифференцировать при условии, что полученный ряд
и[ (х) \-ц'г (х)+ ... + «; (х)+ ... .B)
будет равномерно сходящимся в данном промежутке.
Сумма ряда B) будет производной от Суммы ряда A).
Доказательств основано на взаимной обрапюсти дифференцирова-
дифференцирования и интв! рировапия и опирается на теорему g 390.
Пример. Ряд
г . C)
сходится в промежутке @, q), где ^-правильная дробь.
При этом
Х + Х2+ ...+х»+... = у^: (O^xtsq). D)
Производные членов непрерывны в промежутке @, q), и
составленный из них ряд
+*.. E)
§ 392. СТЕПЕННОЙ РЯД 571
равномерно сходится в этом промежутке (§ 390, пример 1).
Стало быть, сумма ряда E) есть производная от суммы
Т~ ряда C):
1 + 2х+.. . + пхп~Ч - = 4:(т^-) = тг^-ъ • F)
' r ' dx\l—x/ A-х)'' х '
Замечание I. В теореме не высказано требование, чтобы ряд
A) сходился равномерно. При условиях теоремы это требование само
собой выполняется (в силу теоремы § 390).
Замечание 2. Даже при равномерной сходимости ряда A) и
непрерывности производных ип (*) ряд B) может оказаться неравно-
неравномерно сходящимся и тогда сумма его иногда равна, а иногда не равна
производной от суммы ряда A). Более того, ряд B) может оказаться
расходящимся. Так, ряд
sin 2*x sin n*x . ,^
+ ++.. (Г)
сходится равномерно на всей числовой прямой (ср. пример § 388),
тогда как ряд производных
cos х + 2* cos 21 X +.,.-f-rt* созл*х+... (8)
расходится при х-0 (а также для бесчисленного множества значе-
значений ж).
§ 392. Степенной ряд
Важнейшие для практики функциональные ряды-это
степенные (об их происхождении см. § 270). Степенным
рядом называется ряд вида
., A)
а также ряд более общего вида
-х0У+„., B)
где х0—постоянная величина. О ряде A) говорят, что ои
расположен по степеням х, о ряде B) —что он располо-
расположен по степеням х—х0.
Постоянные а0, alt..., аа,.., называются коэффициента-
коэффициентами степенного ряда.
Если обозначить х-х0 через г, то ряд B) окажется
.расположенным по степеням z, т. е. примет вид A).
Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степен-
степенным рядом именуется ряд вида A). Степенной ряд всегда
сходится при х=0. Относительно сходимости его в дру-
других точках могут представиться три случая, рассмотрен-
рассмотренные в §393.
572 ряды
§ 393. Промежуток и радиус сходимости
степенного ряда ""ч
1. Можсг сдучигься, что степенной ряд расходится во
всех точках, кроме х—О. Таков, например, ряд
у которого общий член п"х" = (nx)tt hcoi ранпченно уве-
увеличивается по абсолютному значению, начиная с момента,
когда пх становится больше единицы. Такие степенные
ряды практического значения не имеют.
2. Степенной ряд может сходиться во всех чочках.
Таков, например, ряд
сумма которого при всяком значении х равна е* (§ 272,
пример 1).
3. В типичном случае степенной ряд сходится в одних
точках и расходится в других.
Пример 1. Геометрическая профессия
... + х"+... A)
сходится при [ х \ ■< 1 и расходится при ] х \ > I.
Здесь областью сходимости (§ 384) является промежуток
(-1, Ч-1), из которого исключены оба конца х ~ +1
и х=-1. Сулит ряда A) (в области сходимости) есть
Пример 2. Степенной ряд
сходится при | х ] «а 1 и расходится при [ х \ >■ 1 (ср. § 374,
пример 2). Область сходимости —промежуток (—1, +1)>
о ко-iopbiii включены оба конца х= + 1 н х= —1. Сумма
ряда B) не выражается через улемептарпые функции.
Пример 3. Степенной ряд
«-I+f -...+(- ir«f+... О)
сходится при |х{-= 1 и расходится при [х]>1. При
ж=-1 он также расходится (| 369, пример 3), при
х=1-сходится (§ 369, пример 4). Область сходимости-
промежуток (-lt +1), включая точку х= 1; тачка х= -1
исключается.
§ 394. РАЗЫСКАНИЕ РАДИУСА СХОДИМОСТИ 573
Сумма ряда C) (в области сходимости) есть 1пA + х)
(§ 272, пример 2). Ряд C) получается почленным интегри-
интегрированием ряда
Теорема. Область сходимости степенного ряда '
ali+alx+azx2 + ... + апх? + ... D)
есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный отно-
относительно точкч х=О. Ино1да в него надо включить оба
конца x^R и x—-R, иногда только один, а иногда
надо оба конца исключить.
Промежуток (-R, R) называется промежутком
сходимости, положи гельное число R - радиусом сходи-
сходимости степенного ряда. Если степенной ряд сходится
только в точке х=0, то R = O. В примерах 1-3 радиус
сходимости равен единице. Если ряд сходится во всех
точках, то говорят, что радиус сходимости равен беско-
бесконечности (/? = <*>).
§ 394. Разыскание радиуса сходимости
Теорема. Радиус сходимости R степенного ряда
i , aa + a1x+a2xi+ .., + апх1(+... A)
равен пределу отношения | ап | : | art+1 j при условии, что
этот предел (конечный или бесконечный) существует:
R - Иш I й» : ап+11. B)
Пример 1. Найти радиус и область сходимости ряда
■* O,1x O.Olxa 0,001x3 (- 0,1)»х» .
1 "*~ 2 + 3 •" П + '" W
Решение, Здесь ав = - ^ -j-^. Имеем:
^ = Iim | ап : йи+1 | = 10. D)
П —>г»
Радиус сходимости равен 10, промежуток сходимости
есть (-10,10). Внутри этого промежутка ряд C) сходится,
574 РЯДЫ
вие его - расходится. При х = 10 ряд C) принимает вид
Этот ряд сходится (§ 369, пример 4). При х ~ -10 полу-
получаем расходящийся (§ 369, пример 3) ряд
Стало быть, область сходимости есть промежуток
(-10, +10), в который включается конец х = +10; другой
конец исключается.
Пояснение. Будем рассматривать х как данное число Н при-
применим к ряду C) признак Даламбера (§ 378). Имеем:
? ■ lim | «rt4.i %un\m Urn (| * |. 0,1 -iJ) = J x |. 0,1.
По признаку ДаламСера ряд C) сходится, когда |x|-0,l-cl, Т.е..
когда | х ] ^ 10, и расходится, когда | х | -0,1 а-1, т. е. когда | х | > 10,
Буквально повторяя это рассуждение применительно к ряду A),
Получим формулу B).
Замечание 1. Сумма ряда C) (в области сходимости)
равна in A + 0,1 х) (ср. § 393, пример 3).
Пример 2. Найти радиус сходимости ряда
/ 1 ^tt
Решение. Здесь й„ = --~. По формуле B) имеем:
Ряд F) сходится во всех точках. Сумма его равна е~*
(ср. § 272, пример 1).
Замечание 2. Если ряд A) содержи* бесчисленное
множество коэффициентов, равных нулю, то отношение
[ ая 1: [ а„+1 [ ие имеет предела, н формулу B) применять
нельзя, даже если выкинуть нулевые коэффициенты изаново
занумеровать остальные по порядку.
ПримерЗ. Найти радиус сходимости ряда
' 0,12* 0,01 2« 0,001 7* ,Й1
~Т 2 + 3 *"' *■ ■*
долучающегося из ряда C) подстановкой х=гг.
£ §95. ОБЛАСТЬ СКОДИМОСГИ РЯДА ПО СП ЬПЕНЯМ х—х0 575
Решение. Так как ряд C) сходшея при ] х \ < 10 и
расходшеяпри] х \ >■ 10, то ряд (8) сходится при \ z \ ~= 1^10
и расходится при [ z \ =- У"ш. Значит, радиус сходимости
ряда (8) есть /](). Формула B) неприменима: если учи-
учитывать нулевые коэффициенты при нечетных степенях z, то
ошошсиие | о» |'. |яя-,11 не имеет смысла при четных л;
если же выкинуть нулевые коэффициенты и зашифровать
остальные по порядку, то предел отношения | о» [: | «я+1 [
будет равен 10 и не даст радиуса сходимости.
Сушщ ряда (8) (в области сходимости) есть In (Iч-г2).
§ 395. Область сходимости ряда»
расположенного по степеням л—~с0
Область сходимости степенною ряда
есть некоторый промежуток (xo — R, xo + R), симметрич-
симметричный относительно точки х0. Иногда п пего надо включить
оба конца, иногда один, а иногда надо оба конца исключить.
Промежуток (xo-R, xo+R) называется промежут-
промежутком сходимости, положительное число R —радиусам схо-
сходимости ряда A). Если ряд сходится во всех точках, то
радиус сходимости —бесконечный (#=оо).
Если отношение | ап \: \ оя+1 [ имеет предел (конечный
iuih бесконечный), то радиус сходимости находится но
формуле
Я= Iim |йя:йпН1[. B)
и —^-оо
Пример. Найти радиус и область сходимости ряда
► ,2 (х + 0,2)в , (х-Ь0,2)|» ,,,,
j + 2 + ■■• + п + "■ V3'
Здесь х„ = -0,2, ол = —. По формуле B) находим:
R = Iini
= 1.
Область сходимости есть промежуток (—1,2; 0,8), из
которою исключен один конец я = 0,8. Сумма ряда C)
(в области сходимости) есть — In Г1 — (х + 0,2I = In jn»—•
§ 396. Теорема Абеля1)
Теорема. Если степенной ряд
-\- ... + аяхп + ... A)
сходится (абсолютно или условно) в какой-либо точке х0,
то он сходится абсолютно и равномерно во всяком замк-
замкнутом промежутке (а, Ь), лежащем внутри промежутка
(~ I х01, + | х01).
Замечание 1. Слопо «внутри» понимается в узком
смысле, т. е. по условию теоремы ни один из концов
отрезка {о, Ь) не совпадает ни с точкой |х„1» ни с Точ-
Точкой - \хо\.
Пример. Ряд
сходится (условно) в точке х= — 1, обращаясь в ряд
(§ 3G9, пример 4)
По теореме Абеля ряд B) сходится абсолютно и равно-
равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри
промежутка (-1, 1), например в замкнутом промежут-
промежутке {-0,99; 0,09).
Если и качестве левого конца отрезка (а, ь) взять точку
х0 = — 1, то нарушится абсолютная сходимость (в самой
точке-1). Если в качестве правого конца {а, Ъ) взять
точку x,t = 1, то ряд B) станет расходящимся.
Замечание 2. Ксли в качестве одного из концов замкнутого
промежу гка {а, Ь) взять х0, то сходимость л таком промежутке оста-
остается р<|нио«ерной. То же относится и к точке —Хц, ссла в непряд О)
сходится.
I § 397. Действия со степенными рядами ,
Пусть даны два степенных ряда:
... = SL{x)t A>
... = Ss(x). B)
J) Н. ЛбельA802—1829) — норвежский математик. Он прожил
только 27 лет, по создал работы первостепенной важности. Утверж-
Утверждение о равномерной сходимости ряда A) представляет позд-
позднейшее добапление (различение равномерной и неравномерной схо-
сходимости введено ВеЬерштраиом в 7;онце 40-х годов 19-го в.).
§ 3Q7. ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ 577
Пусть А-рзднус сходимости ряда A) и В-радиУС схо-
сходимости ряда B). Обозначим через г меньший из них
(если они раины, то г-общее их значение).
Если ряды A), B) почленно сложить, вычесть
или перемножить (по схеме умножения многочлена
на многочлен; ср. § 381), то получим новые стспсииые
ряды. Их радиусы сходимости в худшем случае равны г,
а могут и превосходить г. Их суммы соответственно равны
S, (х) I S, (х), S, (x)-Ss (х), Sj_ (x) S2 (х) (ср. §§ 371,
381, 396).
Почленное деление ряда A)нарядB)выпол-
A)нарядB)выполнимо по схеме § 3S2 при условии, что Ъ^аЬ. Если г^О,
то радиус сходимости г, полученного ряда отличен от
нуля, но не превосходит А; может даже случиться, что гх
меньше каждого из радиусов Л, В [см. пример 4 н заме-
замечание к формуле D) § 401]. Сумма нового ряда (в про-
промежутке его сходимости) равна Sx (х): S2 (x).
Если tjeC, то почленное деление вовсе невозможно при а Ф О
(ибо частное S, (х): S2 (х) бесконечно велико при х —*■ О и его нельзя
представить рядом, расположенным по степеням х). Если же Ь„ — О
и «о = 0, го iiuvjuHHoe деление невозможно, когда низшая степень
делимого меньше низшей степени делителя (по той же причине). В про-
противном же случае деление возможно, и новый ряд в промежутке
(-ги г{) имеет сумму St (x): S2 (x)').
Пример 1. В промежутке (-1, +1) имеем:
+... = т^, C)
+... =~. D)
Складывая почленно, находит:
. ..=-£?. E)
Вычитая почленно D) из C), получаем:
..=-г^-я. F)
Перемножая почленно (ср. § 381, пример 1), имеем:
^+.-.-y-Lj. G)
]) Для х = 0 эта сумма (т. е. свободный член нового ряда) есть
предел частного St {у); Ss (x) при х~> 0. »
37 М. Я. Выгодский ._-— - "'
578 РЯДЫ
Разделив почленно ряд C) на ряд D) (ср. § 382, при-
пример), находим:
Ряды E)-{8) имеют'по теореме § 394 раднус сходи-
сходимости /?=-■!, как н ряды C) и D). Формулы E) -(8) легко
проверить: их левые части —геометрические прогрессии
[в (У), начиная со второго члена].
Пример 2. В промежутке (-*=, -]-«>) имеем [§ 272,
пример 1)
Заменяя хна -х, получаем;
Так как £*.£-* = 1, то при почленном умножении все
члены, кроме свободного, должны взаимно уничтожиться,
что и происходит на самом деле.
Пример 3. При почленном делении ряда (9) па ряд A0)
получаем ряд
1 + 2х+2х?+уХя+|-**+... (И)
Закон следования коэффициентов не усматривается сразу,
ио, зная, что ряд A1) сходится в некотором промежутке
и имеет там сумму е*: е х = е2х, можно представить
ряд A1) в виде
l + frx-i-f x4^*4f хЧ...+~-хМ-... A2)
Ряд A2), как и ряды (9), A0), имеет .по теореме § 394
бесконечный радиус сходимости.
Пример 4. Будем рассматривать двучлены 1 + х и
1-х как степенные ряды, у которых коэффициенты всех
членов, кроме двух первых, раоны нулю. Радиусы сходи-
сходимости Ли В этих рядон бесконечны. Прн почленном де-
делении 1 + х на 1-х получится степенной ряд
1 + 2х+ 2*42*4 2х*+ ... A3)
Члены его, начиная со второго, образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем х. Сумма ряда A3) в проме-
промежутке его сходимости равна A+х): A-х), но радиус
сходимости гх не бесконечен; од равен единице.
§ ЗЭ8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА 570
§ 398. Дифференцирование и интегрирование
степенного ряда
Теорема 1. Если степенной ряд имеет радиус сходи-
сходимости R и сумму S (х):
ao + aix + azxz+ ... +д„х"+ ... = S(x), A)
то ряд, полученный его почленным дифференцированием,
имеет тот же радиус сходимости R и сумма его есть
производная функция от S (х):
а1+2а2х+3а3х2+ ... +лап*'-1+ ... = S'(x). B)
Стало Сыть, сумма степенного ряда есть дифференцируемая
функция; притом она имеет производные любого порядка [ибо к ря-
ряду B) снова можно применить теорему 1 и т. д.].
За vt еча н ис.1. Если ряд A) расходится на каком-
либо конце промежутка (~R, R), то на этом конце ряд (i)
тоже расходится. Сходимость же ряда A) на конце про-
промежутка (-R, R) может сохраниться в ряде B), но может
и нарушиться.
За м е ч а н и е 2. Сходимость ряда B) несколько хуже,
чем ряда A) (ибо /шя по абсолютному значению больше,
чем ап).
Пример 1. Последовательно дифференцируя ряд
. +х"+... =~^(-1 -SX* +1), C)
у которого /?~1, получаем ряды с тем же радиусом схо-
димосш. Их суммы суть последовательные произьодныс
+ "• " A-х)*/ ^
6 + 24x+....hn(n-l)(n-2)x«-4... ="(П~|г. F)
, Ряд C) расходится на обоих концах промежутка схо-
сходимости, ряды D) - F) - тоже.
Пример 2. Ряд C) получается дифференцированием
ряда
37*
Ряд G) расходится при х= 1 и сходится при х ^ -1, но
после дифференцирования сходимость на конце х = -1
нарушается.
Т е о р с м а 2. Ряд, Полученный почленным интегриро-
интегрированием ряда A) в пределах от нуля до х, имеет тот же
X
радиус сходимости и сумма его равна J 5 (х) dx:
(8)
1 3 а м.е ч а н и е 3. Если ряд A) сходится на одном из
концов промежутка (-/?, R),- то на этом конце ряд (Ь)
тоже сходится, н формула (8) остается в силе, Расходи-
Расходимость же ряда A) на конце промежутка (-/?, R) может
сохраниться в ряде (8), но может и нарушиться. Сходи-
Сходимость ряда (8) несколько лучше, чем ряда A).
Пример 3. радиус сходимости геометрической про-
грессни
равен единнце, Интегрируя почленно, получаем (при I х [ч 1);
Радиус сходимостн ряда A0) тоже равен единнце. На кон-
конце х= 1 ряд (9) расходится, а ряд A0) сходится (по признаку
Лейбница), и мы имеем *):
i_J-4-~-~.j- 4-(-\у —I + = arete 1 => —.
На конце х= -1 ряд A0), как и (9), расходится (по
интегральному признаку).
результат найден ЛеЙбяидем.
g S99. РЯД ТЕЙЛОРА 581
Пример 4. Интегрируя почленно ряд
Y_i-4-— ■——f- = sin у
Л 3! ^ 5! 7! + •" 1 Л ■ .
(§ 272, пример 2), для которого R= oo, получаем:
. [_ . . , L — I ein v HV — 1 _ ГЛС v
^>| Jl P j?i ^ о» т . 11 '—" I Д111 Л ЦЛ ■—■ 1 ^ VVO Л-
Z\ 4j Oi ol J '
где х-любое число. Отсюда находим разложение функ-
функции cos x:
COS А — 1 " о| + Д! «Г + "• \Uf
Здесь тоже /?=
§ 399. Ряд Тейлора»)
Определение. Рядом Тейлора (расположенным по
степеням х-хц) для функции f (х) называется степенной
ряд
з:0^0 ряд Тейлора (расположенный по степеням х)
имеет вид
f (O'S f" (G) f^ @)
Пример 1. Состапить для функции / (х) = ^^- ряд
Тейлора, расположенный по степеням х— 2.
Решение. Вычислим значения функции / (х) и се
последовательных производных при х=2. Получаем;
/B)-
C)
]) Настоятельно рекомендуется предварительно ярочесть g 270.
5Й ' РЯДЫ
Искомый ряд есть
1Л±(зе-2)«-(....+11Г1(х-2)-+... D)
Пример 2. Для той же функции составнть ряд Тейло-
Тейлора, расположенный по степеням х.
Р е ш с и и с. Как в примере 1, находим:
/ @) « 1, /' @) = ± , f> @) = ?1, ..., /W @) - -^,...
м - ■ * E)
Искомый ряд имеет вид
П р н м е р 3. У функции -^^ нет ряда ТсГпора, распо-
расположенного по сштеиям л-5, ибо функция п точке х=5
не определена (обращается в бесконечность),
3
Пример 4. У функции / (х) = fix нет ряда Тейлора,
расположенною по степеням х, ибо производная /' @)
бесконечна. Но у нее есть ряд Тейлора, расположенный по
степеням х — 1. Он имеет вид
§ 400. Разложение функции в степенной ряд
Разложить функцию / (х) в степенной ряд, располо-
расположенный ио степеням х-хо,-значит составить ряд вида
aa+al(x-x^)+ az(x~xoy+ ... +а„{х-хо)Л+ ,.., A)
у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма
тождественно равна данной функции всюду внутри про-
промежутка сходимости.
Теорема. Если функция / (х) разлагается в степенной
ряд A), то разложение единственно, и ряд A) совпадает
с рядом Тейлорал расположенным по степеням х ~ х0.
Пояснение. Tib условию в промежутке сходимости имеем
то?кдественно:
S 400. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ Р#Д 583
нкция / (х) обладает произво
: Промежутка сходимости мы
: —хо)аН-4а4 (х—хоK+ ..., |
+ 2-3-4ал{х-х0)-{-... )
Значит (g 398, теорема 1), функция /(х) обладает производными
любого порядка, и во всех точках Промежутка сходимости мы имеем:
f'(x)= 2аг +2.3a3{x-x0)+3-4ai(x-xli)s + ..., У C)
/'"(х) = 2- За3 J
я т, л. При х =X(i формулы B) и C) дают:
06 - Г Ы, «1 - Г (*о),
т.е. разложение B) единственно и совпадает с рядом Тейлора для
функции f{x).
Пример 1. Найти значение пятой производной от
функции f (х) = 1 *xi при х=О.
Непосредственное вычисление утомительно. Но функцию
/(х) легко разложить в ряд, расположенный по степе-
степеням х, выполняя деление х:{\~х2) (§ 397). Получается
разложение
х+хЧхЧгЧ E)
в промежутке (-1, +1). Но ряд E) есть ряд Тейлора
функции f(x), расположенный по степеням х. Значит,
коэффициент" а5=1 дает значение /^1°) , т. е. /V(O) =
я» 51= 120. Так же найдем:
Р**1) @) = Bл +1)!, /Cп) @) = 0. F)
Определение, Функция / (х), разлагающаяся в ряд,
расположенный по степеням х~х0, называется аналити-
аналитической е точке х^. \
3
Пример 2, Функция Ух"—не аналитическая в точ-
точке х=О (§ 399, пример 4); та же функция—аналитическая
в точке х= i (н в любой точке х$ ^ 0).
Замечание, Функция f(x), определенная в 'точке х-=х0,
может быть неаналитической в этой точке по одной из трех причин:
1) Она может не иметь при х~х<, конечной производной какого-
з_
либо порядка; так, функция Ух-не аналитическая в точке х=0,
так как здесь первая производная бесконечна.
2) Ряд Тейлора функции / (х), обладая ненулевым радиусом сходи-
сходимости, может иметь суйму, /()
584
РЯДЫ
3) РадиУс сходимости ряда Тейлора функции/(х) может pan-.
ПЯТЬСЯ НУЛЮ.
Пращическое значение имеет лишь первый тип, В примере 3 рас-
рассмотрена функция втрого типа.
Известные в настоящее время примеры функций третьего типа
слишком сложны.
Примерз. Определим функцию f(x) (черт. 408)|1юрмулои ср(хK5
«=е а (при х^О), При а:=0 положим <?@)=0. У этой функции
все производные в точке х=0 равны нулю *). Значит, у функции
-1 0 1
Черт. 408.
(эс) все производные
f{n) Ф),
() (
иметь те же значения, что и соотвриствующик производные от сх, т, е,
ряд Тейлора для функции /(х) будет;
Этот ряд обладает ненулевым радиусом сходимости (^=
сумма (она составляет е1) не рипца f(x).
)( но его
имеем
При х =0 это выражение непригодно, здесь
llm
(по правилу Логшталя). Далее,
пм
л-з.0
О И Т. Д.
§ 401, РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 585
§ 401. Разложение элементарных функций
в стеленные ряды
Предварительные замечания, Для разло-
разложения функции /(х) в ряд, расположенный по степеням
х-х{1, можно искать последовательные производные
/'(*о), /"(*<>)»•••> }{п)Ы,— Если они существуют и ко-
конечны, получаем ряд Тейлора
Ввиду сказанного в § 400 надо еще доказать, что этот
ряд имеет ненулевой радиус сходимости и дает в сумме
именно /(х), а не другую функцию. Иногда удается
оценшь «остаточный член» Ra = f (х) ~-sn (х) и доказать,
что lim Rn^O, С этой целью Rn представляют в форме
Лагранжа (§ 272, примеры 1 и 2) нли в других видах.
В большинстве случаев такая оценка трудна или не
выполнима на практике. Тогда можно получить разложе-
разложение иными способами, минуя вычисление производных / (х0),
}'(xv),.,. (последние сами собой получаются из найденного
разложения, как в примере 1 § 4С0).
Ниже даны разложения простейших функций по сте-
степеням х. ОСщпи член, кома его нид легко усмотреть,
опускается. '
Показательные функции.
1 г*~1~*.+ $-§ !-...(/?-со). Aа)
Оба разложения можно получить оценкой остаточного
члена (§ 272, пример 1). Формула Aа) получается нз A)
заменой х на-х.
Тригонометрические функции,
"ВТ ~ 71
C)
586 РЯДЫ
Оба разложения можно получить оценкой остаточного
члена (§ 272, пример 2). Одно из них можно получить из
другого почленным дифференцированием (или интегриро-
интегрированием).
Почленным делением B) на C) получаем:
Закон следования коэффициентов не выражается элемен-
элементарной формулой и потому разыскать радиус сходимости
по теореме § 394 затруднительно. Но ясно, что # не пре-
превосходит—; ведь уже при х^^ — ряд D) расходится,
поскольку tg (±£) ~ °°- - I
Замечание. Рариуссходимости рядаD) оказывается меньшим,
чем каждый из радиусов сходимости рядоп B), C), из которыч ряд D)
получается почленным делением. Ср. g 397, пример 4.
Функция ctg х не разлагается по степеням х (ибо
Ctg 0 = со). . ' - ■ ■
1 Гиперболические функции1).
(гиперболический синус; обозначение: sh x),
(гиперболический косинус; обозначение: ch x),
(гиперболический тангенс; обозначение: th x).
Разложения Bа) н (За) получаются вычитанием н сло-
сложением A) н Aа), разложение Dа)-почленном деле-
делением Bа) на (За). Ср. замечание к формуле D),
Разложения гиперболических функций отличаются от
разложений одноименных тригонометрических функций
только знаками.
l) 0 гиперболических функциях см. § 403.
§ 401. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 587
Логарифмические функции.
ln(l-i*) = f-£b£_£h... (*=1), E)
ma-^-^-f-^- ... (R=i). F)
Формулы E), F) получаются почленным интегрирова-
интегрированием разложений у-^ = 1 т х>1-х3 т х3-{- „. Почленным
вычитанием находим:
Ш f£ = 2 [*+£+£ |£|-...] (/?=1). G)
С помощью рядя G) удобно вычислять логарифмы
целых чисел. Например, при х ~ -тг получаем быстро схо-
сходящийся ряд для In 2. ~ - >
Биномиальные ряды. » '" Ч. .-,*-:• >; ■-
1-2
, m (m-'.
(8)
При целом положительном /и ряд обрывается на члене
tn-ti степени (последующие коэффициенты —нули). Полу-
Получаемая формула называется биномом Ньютона1). Разложе-
Разложение (й) справедливо при любом деПствигельном т.
При —-д. -<х^1 для доказательства можно нсполь-
зовагь остаточный член Лаграижа. Другими средствами,2)
можно доказать справедливость формулы (8) для всего про-
промежутка (-1, 1).
!) Это наименование следовало бы отнести к общей формуле (8)
(ср. S, 270, п. 1).
2) Для функции /(х)=A+а) имеем тождественно: т/(х) =
=(' +*)/' (х). Непосредственная проверка (почленное дифференциро-
п.шис н УМ1»ожспие) показывает, что для суммы 5 (х) ряда (8) справед-
справедливо такое же соотношение: mS (х) =A +х) S'(x), Значит,
Тан как функции In S (х) и 1н/(эс) имеют одинаковые производные и
равные значения при х = 0, то они равны. Значит, 5 (х) =/(х), что и
требовалось доказать, t
588 РЯДЫ
Частными случаями (8) являются следующие разло-
разложения1.
* (9)
...| A0)
..., (И)
(\\ %У -
A4-х)
1 , 1-3 „ ЬЗ.З , 1-3-5-7
Обратные тригонометрические функции.
1 X3 1.3 х' 1-3.5 х? ,
=l), A6)
Разложения A6) и A7) получаются соответственно из A5)
и A2) почленным интегрированием и пределах от нуля до х.
Разложения
arccosx = —-arc-sin х и arcctgx = —-arctgx
получаются из A6) и A7).
5 402. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ 589
Обратные гиперболические функции1).
(гиперболический арсасцнус; обозначение: Arsh х).
lln>±-* = «-f^f+^+... (U-I) (Па)
(гиперболический ареатапгенс; обозначение: Arth х).
Функции
1п(х+ Ух*^1) = Archx
{гиперболический ареакосинус) н .-
^.lnI±A = Arcthx
(гиперболический ареакотангенс) не разлагаются в ряд
по степеням х [они не определены ни в Одной точке про-
промежутка (— 1; I), n частности в точке х—0].
Разложения A6а) и A7а) отличаются от разложений
A6) и A7) только знаками.
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов г)
Мнение инте!ралы, не выражающиеся через элементар-
элементарные функции в конечном виде, представляются быстро
сходящимися бесконечными рядами. Есть смысл разлагать
в ряди! даже такие интегралы, которые можно представить
конечными выражениями (если эти выражения сложны).
Ведь погрешность возникает и при пользовании «точными»
выражениями, нбо значения последних находятся, как
правило, с помощью таблиц.
П р_и мер 1. Иитс! рал J e~^% dx нельзя выразить в
конечном виде через элементарные фуикцнн. Воспользо-
Воспользовавшись рядом
^" = »-?г+1г- •■■ +(-»)"^г+ - • 0)
]J Об обратных 1ипер5олических функциях см. § 404.
з) Бесконечные ряды исторически возникли в связ" с задачей инте-
интегрирования (ср. f 270),
590 РЯДЫ
сходящимся fi промежутке (-оо, -1-=»), получим:
B)
Промежуток сходимости здесь тоже (-*°, +*») (§ 398).
Пример 2. Вычислить f e-lBt/x с точностью до
0,5 • 10-*.
Р е ш е н и е. Подставляя в B) значение х = I, получаем:
j* e
LJ
_l+ L-J 4.J—-^+- 14- <Ъ
1 3^10 42^216 1320^9360 75600i"'" V'
Член - 7^600 и П0СЛСДуюц'ие отбрасываем, так как воз-
возникающая при этом hoi решность много меньше чем
0,5-Ш [ряд C)-знакопеременный с убывающими члена-
членами; § 376] Вычисления ведем на пять-шесть знаков,
Получаем;
e-xtdx ^ 0,7468.
Пример 3. Вычислшь интеграл f ^-~ их с точ-
о
ностью до 0,5-Ю.
Решение. Неопределенный Hmei рал f ~~ dx ие бе-
берется в конечном лидс. Разлагая sin x с ряди деля по-
почленно на х, получаем ряд
х ' Л ^5! 7! ( ' W
сходящийся при любом значении х (пи теореме § 394)
g 403. гиперболические функции 591
Hhici рируя, имеем1
J AХ Х ' +
J "^
1 / -\9
iii О1брошснный член д--^- (у) (по груоому под-
подсчету) много меньше, чем 0,5-10~3 Находим
у -1,5708 ^ ^(iT- 0,2153
1,5867 0,2160
f sinvdt_ 1,3867-0,2160*: 1,371.
о
§ 403. Гиперболические функции
Степенные ряды
+ь +
8f
+ '
сходные С разложениями sin x, cosx, имеюг суммы, соот-
соответственно равные е...гс-— , ?-^—, Эти функции иапы-
ваются; первая -гиперболическим синусом1) (sh), вте-
$ая-гиперболическим косинусом (chI
Sll Л7^ ^
D)
') Обозначение sh —сокращение латинских слоп sinus hyperbolicus
(синус гиперболический), ch — cosinus hyperbolitus,
592
РЯДЫ
Гиперболическим тангенсом (th) и гиперболическим
котапгетом (cth) называются функции
thx =
clh x --.
sh x
ch x
ch x
sh x
е* ~е-"
E)
F)
Функции sh x, ch x, th x, cth x именукнся гиперболиче-
гиперболическими функциями'). Графики дани иа черт. 40(J - 412.
-Z -■
\T ^
i x
Черт. 409. у = sh х.
-г -i о ' 2 >
Черт. 410. y = ch x.
Гиперболические функции имеют определенные значе-
значения для всех значений х (кроме cth ,x при х=0, где эта
функция обращается в бесконечность).
Функция sh x принимает всевозможные значения,
ch х- только не меньшие единицы (ch 0= 1), значе-
значения функции thx содержатся между -1 и +1, зна-
значения cth х больше I при х =- 0 и меньше — 1 при х ^ 0.
Прямые y=-fl и у= — I служат асимптотами для
обеих линий у = th х, у = cth x.
Гиперболические функции связаные отношениями
thx-cthx= 1, (8)
ch x
cth x -
ch x
sh x
Связь с шперболой выясняется a g 405,
g 403. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
593
и дру! ими, аиалО1 ичными тригонометрическим. Так,
sh(\-+y) = shxchy ! ch xshy, A0)
ch(x +у) = ch xchy + shxshy, A1)
Все они пытекают из формул C) —F).
Вообще каждой чриюиомиричсской формуле, не содер-
содержащей постоянных вели-
величин под знаками триго-
тригонометрических функ-
функцийI, соответствует ана-
Jioi ичное соо гношеиие
между гиперболическими
функциями. Последнее по-
лучастся, если заменить
всюду cus « па ch cc, a sin a
1
4-
J-
2-
-4 -j -г -х о
\
... \
У
1
V
1 2 3 Ч'К
-г
~з
-ч
I Черт. 411. у=\\\х, "_ ^ Черт. 412. y
на i sh a (i-мнимая единица); мнимости устранятся
сами собой:
Пример I. Из тригонометрической формулы
sin (x+y) ~ sin х cos у + cos xsiny
с помощью Указанной замены получаем:
z sh (x+y)=i sh x ch y+chxi sh y.
Разделив обе части равенства иа i, получаем A0).
Пример 2. Из формулы
получаем:
cos3x+sin2x = 1
Полагая 12^ ~\, получаем G).
*)Эта оговорка существенна. Так, формулу s\nf~—»\ = cos «
нельзя преобразовать по Указанному здесь правилу,
38 М. Я. Выгодский
A3)
A4)
A5)
594 РЯДЫ
Формулы дифференцирования
и интегрирования
1 ' (ishx chxi/x, fchxrfx -shxfC;
"' '^ d ch x — sh x tix, f sh x dx ch x+ 0;
,.-^- d thx ^ -££- , f f* = thx +C;
- J ch* x ' J chJ x T '
" - d cth x ^ —^fx , J -s-™-- = - cth X4 С A6)
Эти формулы получаются из (оотвегствующих тригонометрич ее
кнх, если проплести указанную выше замену и сверх того Hajincaib
i" tix вместо dx.
§ 404. Обратные гиперболические функции
Для гиперболических функций sh x, ch x, th x, cth x
существуют обратные функции1
Arsh х (гиперболический ареасинус; черт. 413),
Arch х (гиперболический ареакосинус; черт. 414),
Arth х (гиперболический ареатангеис; черт. 415),
Arcth х (гиперболический ареакотангеш; черт. 416).
Ср, графики гиперболических функций на черт. 409-412,
Латинское слоцо «apea» (area) означает площадь. Основание для
такого наименования выясняется в § 405.
функция Arsh х однозначно определена иа всей число-
числовой оси. Функдия Arch x определена лишь на отрезке
-J -2 ~
О 1 2 3 X
Черт. 413. y=Arshx.
г'-
1-
0
-1-
-г
У 1
Y ? ■?
*
i
^——
« 5 S
Черт. 414 у -. Arch x.
A, «) и здесь двузначна (значения ее равны по абсо^пот-
иой величине и отличаются знаком). Обычно рассматри-
рассматриваются лишь положительные значения; соответствующая
иствь графика (главная ветвь) обозначена на черт, 414
§ 404. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 595
сплошной" линией. При этом условии функция Arch х ста-
становится однозначной.
Функции Arth хи Arcthx однозначны; первая опреде-
определена лишь в (иезамкнуюм) промежутке (-1, 1), вторая
лишь вис промежутка (-1, 1). Прямые х— ± I служат
асимтотамп для обеих линий у —Arth x, y = Arctli x.
4epL, 415. у = Artii х.
Черт 416. y — Arcth х.
Обратные гиперболические функции выражаются через
основные элементарные следующим образом:
Arshx- ln(x+Jte-H), ,_ A)
Arch x - In (x± \'х2- l) =
= ±ln (x+ f'x2'-!) (xs*l); B)
верхние знаки в формуле B) соответствуют главному зна-
значению Arch x;
j Ш -г-—— ()* [ -С 1), C)
Arcth х = ~ In
x+l
I).
Формулы дифференцирования
и интегрирования1)
d Arsh x = -0==-;
I);
D)
E)
F)
') Под Arch x разумеется положительное значение этой функции
38*
596
РЯДЫ
i);
( dx
f -^= = Arch
J уЧ-г—лв
Arsh * f c;
=- a);
G)
(8)
Ea)
(ба)
Ga)
(8a)
§ 405. Происхождение наименований
гиперболических функций
Рассмотрим равностороннюю гиперболу (черт 417)
A)
Обозначим через -^ площадь гиперболического сектора АОМ и при-
припишем величине б (т е площади двойного сектора M0N) тот jhqk,
\
\\
\\
\ \
\ N
\\
\ N
1 /
/ •
/ /
/ /
Y
m$
\
■
//
/ /
' /
<t Jin
T\
i !
%]„
X
Черт. 417.
Черт 418.
которой имеет угол попорота от ОХ к ОМ. Тоща отношения напра-
направленных отрезков РМ, OP, AK (построенных для точки -VI гипсрСоты
аналогично линиям синуса, косинуса и тангенса; ср, черт. 418) к
I 40Й. О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ 597
полуоси о выражаются через s следующим образом ~>у.
а ~ а*' а ~ ай* а ~~ а*'
Boslmcm тепррь вместо гиперболы A) окру>кноС|Ь (черт 418)
Если сохранить пре -кипе обозначения, i о взятая с надлежащим зна-
знаком величина — (s— площадь кругового сектора ЛЮ^Л) даст ъ гол
«= ^ АОМ, т<1К что вместо (.2) придется написать.
АК ^ s ,. .
— = tg-. Ba)
Сравнение формул B) и B<|) объясняет наименопанип sunej болический
синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс.
§ 406. О комплексных числах
Комплексное числа 5) полу чили правя гражданства в лагечйглье
вследствие того, чго с их помощью облетается разыскание многих
связей между действительными величинами.
Пример 1 Последовательно умножая комплексное число
cos 9 + j em ф само на себя, получаем формулу Муавра
(COS 9 + 1 Sin 9)n = (COS ЯфЧ i Sill Л?) A)
для целого полежите чьного 3) п. Применяем к левой части формулу
РМ
— =i
л
Slrt-t;
OP
——- ^
а
s
cos —„,
i) Имеем (g 333, пример 4)
s ■= 2 лл. AOM = o- In ^^-'
a
Решая 8jo угивнение совместно с (I), находим
14 I J
a* a1 e1 а1
х е +е , 5 у е —е , s
a 2 a- a 2 a-
Иа подобия треугольников OAK, 0PM имеем*
АК РМ y_ = t[ s
О ™ OF = х Ш
!) Действия нал комплексными числами и геометрическое истолко-
истолкование этих действий см. «Справочник по элементарной математике»
§§ 34-48 раздела Ш
3) Отрицательную степень комплексного числа можно определить
так же. как для действительного числа, и тогда формула A) распро-
распространится и на от ри4.1тельиые* показатели Для дробных и иррацио-
иррациональных показателей формулу A) можно принять в качестве опреде-
определения. Пр» этом результат попучается многозначным {ввиду того, что
yroi ? определяется многозначно' ? = <ро+2Атг, где Л—любое целое
число). Правила действий со степенями остаются те же, что при дей-
действительном основании.
598 РЯДЫ
бинома и приравниваем соответственные координаты обеих частей
(у двух равных комплексных чисел абсциссы и ординаты соответст-
соответственно равны). Получаем выражения cos n$ и slti л<р через степени
cos ip и $т <р. Например, при п ^4 имеем:
cos 49 =■ cos* (p-6 cos* <p sln2 rp+siilJ ep, B)
sin 4<j> = 4 cos3 <p sin 9—4 cos $ sin3 9. C)
Сюда входят только действительные величины.
Прнмер2, Пользуясьформулойсуммыгеометричеснокпрогрес-
сии, находим:
1 + (cos <? +^ sin ф) Ч (cos 9 + i sin 9K 4- - • ■ + (cos 9 + j sin 9)" =•
_ 1-fcOS ф + /Sill ?)n+l
Применим к обеим частям D) формулу A) и выполним в правой части
деление. Получим две формулы.
J-(cos 9+/sin 9)
ыполним в
у
CQS<p+COS2<?-i-COS3?+ ,,. )COSHp= ■ , E)
2 sin-|
COS ^-COS
Sin 9-{-sin 2? f sin З9+ ... -{-sin /i? =
2shi
F)
Введя в рассмотрение комплексные переменные величина а опре-
определив для них понятия фу нкции, преде л а, произио.щои и т. Д , мы нахо-
находим много нопых связей между действительными переменными вели-
величинами.
В §§ 407 —410 в отступление от обшего пл.эна книги рассматрива-
рассматриваются комплексные функции дейспкигг,елът?о аргумента; функций
комплексного аргумента мы не касаемся вовсе.
§ 407. Комплексная функция действительного аргумента
Комплексная величина
i
A)
(х, у— действительные числа) назыпается функцией действительного
аргумента t, если каждому из значений f (в рассматриваемой области)
соответствует определенное Значение 2 (т с определенное значение х
и определенное значение у).
При -этом каждая из координат х, у является (действительной)
функцией аргумента /,
Запись:
Z =/(<)+'"? (О , B)
равносильна следующим двум-
Если изображать комплексное число x + iy точкой (х; у) плоско-
плоскости XOY} то функция г изобразится множеством точек, обособленных
8 407. КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ
599
или эаполкнюших линию [эта линия параметрически представляется
уравнениями C)]
Понятия предела и бесконечно малок величины для комплексных
функций определяются так же, н«акдтя действительных (за абсолют-
абсолютное значение комплексного числа x-iiy принимают его модуль
1 х i iy I ~Y хг+у*) Точки, изображающие значения функции
неограниченно приближаются к точке, изображающей предел,
когда аргумент t стремится к дэнному значению (или к бесконеч-
бесконечности) Чтобы найти предел с комплексной функции г, достаточно
найти предельга и 6 ее координат х, у Тогд^ с = a + bi.
Пример 1 Последовать льность
11
12
1 п-1 .
= ,. /
D)
изображается (черт. 419) множеством обособленных точек С<п'Уп)'
Они лежат на прямой X+J1 = 1 Имеем:
Ига xrt = 0, Пш
F)
Соотношение G) означает, что модуль J zn-i \ разности гй-1 неогра-
неограниченно уменьшается при л—>■».
Черт. 419,
Черт, 420.
Геометрически: точки zn неограниченно приближаются к
точке С @; 1).
П р и м е р 2. Комплексная функция
г = е~о.« (cos t+i sfn f) <8)
аргумента t изображается (черт, 420) линией
х « е~°i» cos t, у т в-о,и sin t <8)
боо ряды
{логарифмическич спираль), 1-З.меем:
lim х = О/ lim у ~ 0;
lim z =а Пш (.x+iy) = О,
При /->(» переменная точка комплексной плоскости, двшлясь
вдоль спирали по направлению стрелки, неограниченно прпи.шжа-
ется к течке О, изображающей предел функции.
§ 408. Производная комплексной функции
Определение, Произподная F' (t) комплексной
действительного аргумента / ее i ь предел отношения —г-— при At~>0.
Координаты производной ли.члшчея производными координат/ ((),
9 @ данной функции:
0- " B)
Вектор, Изображающий Г' (t), есть вектгр карательной в сооизет-
ствующей точке графика
Вели t~время, то модупь производной ранен абсолютному значе-
значению скорости дрижецил ючки вдоль графика C)-
Дифференциал камилек<.}шй функции определяется так же, как
для действительной, и обладает теми же свойствами.
Ьсли комплексная функция F (t) представляется многочленом
F @ « йо+atz+a^+ ... +anz», D)
где г —комплексная функция действительною <ф|умента /, то
" (О =
E)
Формулы проиаволиой произведенил и частно-
I о — re же, что и для действительных функций.
П р и м с р 1. Производная от функции
F(t) = a (cos 2n~
F)
равна
Черт. 421.
'@ - Д^ (-sJ.i 27.^+z cos 2ff у) . О)
Функция F) изображается множеством точек окружности (черт. 421)
радиуса а;
= Я Sill 2л-
(8)
§ 409. ВОЗВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНУЮ СТЕПЕНЬ 601
Произподная (?) изображается вектором касательной МК с координа-
координатами
%' = у- sin 2*г у , у' = —у- cos 2* у . @)
Модуль производной (иыражающий скорость, если f—время)
равен
lF401-^'»+y'»«^.. ~ AС)
Стало быть, скорость движения точки по окружности постоянна,
'fan что \ Fr (f) l есть дуга окружности, проходимая в единицу вре-
времени. Значит, Т есть период полного оборота окружности.
Из F) и G) следует, что
F'(.t) = F(t).?£i. A1)
Геометрически; вектор Л\К получается из вектора ОЛ1 уд-
линениеч(укорочснием)й -—- раз и попоротом на 90° (Улитожение на /
равносильно повороту на 90°).
П р и м е р 2. Производная от функции
F(t) *=(x + iy)t A2)
где х и у— функции от /> равна
Тот же результат получим, если предварительно представим A2)
в виде
J? @ ( й) 2/ A4)
§ 409. Возведение положительного числа
в комплексную степень
при йеех действительных значениях и сходится всюду и имеет
суммой е«.
При любом комплексном значении и ряд A) тоже сходится, т. е,
его частичные суммы sn (которые теперь являются комплексными чи-
числами) стремятся к конечному пределу (котоpun также является ком-
комплексным числом).
Наэтоиосяовано следующее определение нового действия — еоз-
ведения поло магтелыюго числа е комплексную степень i).
Определение. Возвести число г (основание натуральных ло-
логарифмов) в комплексную степень и = х+ 6'—значит взять сумму
ряда A). За комплексную степень ц всякого другого положительного
числа а принимается целнчина с»1п« (при действительном значении и
она тождественна с а").
*) О возведении комплексного числа т\ действительную степень ска-
сказано в § 406 (сноска з) на сгр. 597), Можно определить и иозведение
комплексного числа в комплексную степень, но это сложнее.
602 РЯДЫ
Замечание. На комплексные степени положительных чисел
распространяются все правила действия со степенями. Но их надо до-
доказать особо.
Пример 1. Возвести е в степень ш".
Решение. По определению
"" *+ II 21 Я~+ 41 +~5I "" 61 7Г+ '
Абсцисса суммы равна
т ТГЯ 7Г* jfl
ср, g 272), Ордината суммы равна
Значит,
В данном случае получилось действительное число.
П р и м е р 2. Вычислить 1О(.
Решение. По определению
10' = е'"'п W = е^ *
где гг? « 2,302G (см. | 242);
71Л1'
Л
21Л13+41Л1*
" cos Та +' s'm Та ~ cos 2'3026 + *sIn 2.3026 ^
ft; cos J31056' + f3iii 131°56' « -0,6680 + 1-0,7440.
Примерз. Вычислить Ю!+'.
Решение. Имеем (ср. пример 2):
10=+ * = 10'. 10* я} -66,80 + 74,40/.
§ 410. Формула Эйлера
Соотношение
eft* e cos <p + /sln<p A)
называется формулой Эйлера. Оно является следствием определени я
g 409 (выводится, как в примере 1 § 409).
I 411. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 603
Если определить cos <р, sin <p при комплексном ? с помощью тех же
рядов, суммы которых по доказанному дают cos <p, sin ер для дей-
действительных 9> го формула A) будет справедливой при любом,
комплексном 9-
Из формулы A) получаем:
е-'¥ cs cos 9-isin <?, B)
а из A) и B) находим:
е'9л.£—^9 e[f—.e—[v
cos 7 = ^- 1 sin $ = _____ , C^
Эти формулы очень сходны с выражениями гиперболических функций
cli f = ■ т; , sh т = ■ ц ■.
Из A) вытекает также формула
и у) D)
(tp, 5 409, ssMC'iamte).
Если х и у в формуле D) суть функции аргумента (, то формулу D)
можно дифференцировать так же, к,и< если бы i было действительное
постоянное число:
€*+'"*(х'-V/у') = х'е* (cosy +1 sinyj+y'e1 (-sfny + i cosy). E)
Справедливость формулы E) проверяется непосредственно.
Пример. Найти производную от функции
Решение. Представим F (t) в виде
F(t) =
Получаем:
F' @ = @,1 +2i
sin20 (-i @,1 sin 2( b2Cos2()].
§ 411. Тригонометрический ряд
Тригонометрическим рядом называется ряд вида
cos a
... +ап cos nx+6nsinnx-b ,:-• A)
Здесь д0, a,, a2,..., Ьъ Ь2,... —постоянные, называемые
коэффцц аентами'ряца.
Замечание 1. Свободный член (его можно записать в виде
■—cos 0 s) обозначается через —■ (а не через ег0) с той целью., чтобы
формулы для коэффициентов (ср. § 414) были единообразными.
РЯДЫ
Замечание 2. Все члены ряда A) являются перио-
периодическими функциями с периодом 2т;. Это значит, что
ксгда ар]умент х возрастает па величину, кратную 2г., все
члены сохраняют свои значения.
Заме ч а и и е 3. Тригонометрическим рядом называют
также более общее выражение
... +а„ cos «—■+&„sin n~+ ..., B)
где I- положительная постоянная, называемая пвлупе-
раодом [все члены ряда B)-периодические функции
с периодом 21; ср. замечание 2]. Ряд A) есть частный слу-
случай ряда B), когда полупериод 1~ъ.
•-,.,, § 412. Исторические сведения
о тригонометрических рядах
Тригонометрические ряды были введены Д. Берпулли1)
в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны. Возник-
Возникший при этом вопрос о возможности разложения данной
функции в тригонометрический ряд породил горячие споры
между первоклассными математиками того времени (Эйлер,
Даламбер, Лагранж). Разногласия порождались тем, что
понятие функции в то время не было отчетливо устано-
установлено. Упомянутые споры содействовали уточнению поня-
понятия функции.
Формулы, выражаюшие коэффициенты ряда A) через
данную функцию (§ 414), были даны Клерог) в 1757 г., но
не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти
формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти
Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье
в 1823 г. Развивая идею Фурье,'Дирихле3) в 1829 г. уста-
установил и строго доказал достаточный признак разложи-
разложимости функции в тригонометрический ряд (§ 418).
*) Даниил Есрнулл и A700 —1782), швейцарец, выдающий-
выдающийся математик и механик, один из основоположников гИдродинамики.
С 1725 по 1733 г. работал в Петербургской академии наук, впослед-
впоследствии состоял се почетным членом.
г) Алексис-Клод Клеро A713 г-1765)-выдающийся
французский математик, астроном и геофизик. В возрасте 16 лет был
избран членом Парижской акаделши наук.
я) Петер Густав Л ежен -Дирихле A805-1859)-
выдающнйся немецкий математик.
4K. СИСТЕМА ФУНКЦИЙ cos nx, sin nx
605
Впоследствии были установлены другие достаточные
условия и исследованы функции, не удовлетворяющие
упомянутым условиям. В разработку теории тригонометри-
тригонометрических рядов н их практических приложении важный вклад
внесли мис1ие русские и советские ученые: Н. И. Лоба-
Лобачевский, А. Н. Крылов A863 — 1945), С. Н. БерншасЙн
(род. 1880), Н. Н. Лузин A883-1950), Д. Ь. Меньшов
(род. 1892), Н. К. Бари A901-1961), А. П. Колмогоров
(род. 1903) и др. ,
1 г
§ 413. Ортогональность системы функций
cos пху sin nx
Определение 1. Две функции <р (х), ф (х) назы-
называются ортогональными в промежутке (а, Ь), если инте-
интеграл произведения <j> (х)ф (х), взятый в пределах от а
до Ь, равен нулю.
Пример 1. Функции
Ф (х) = sin 5x
ф (х) == cos 2х
ортогональны в промежутке (-«, к), ибо
J
Пример
и
ортогональны
2.
в
Функции
ф (X) =
$(х) =
промежутке
14
sin
= sin
cos 7x--g- cos 3x
2x
, 77), Иб"О
= 0.
J sin 4x sin 2x rfx = ■— J (cos 2x - cos Gx) dx = 0. -
1 —л —if
Теорема, Любые две различные функции, взятые из
системы функций
1, cosx, cos 2x, cos Зх, ..,, sinx, sin 2x, sin Зх,.,.; A)
606 РЯДЫ
ортогональны в промежутке ( —тг, к), т. е.
J l-cosmxdx= 0 (т * 0), J 1-sIn/rocrfJC ~ 0, B)
—« — я
J cos mx cos nx rfx = 0, J sin тх sin пх tfx = 0 C)
*■«■ —я
(при т ^ п),
Г sin mx cos лх tfx = 0 D)
—гс
(т, п-любые натуральные числа).
Доказательство-по образцу примеров 1, 2.
Замечание I. Если вместо двух различных функций
системы (I) вз>пь две одинаковые, то интеграл в пределах
от-г до тт равен ъ для всех функций A), кроме первой,
для которой он вдвое больше:
■к
Jl.tae«2jt, E)
J cos! nx dx = я, Jsin3/ixcfx = n(n = 1, 2, 3, ...)■ F)
Формулы (б) получаются с помощью преобразований
cos3 nx = 4-(l + ct>s2nx), sins nx = ^-A-ci
Замечание 2. Формулы B)-F) сохраняют силу
для любого интервала длиной 2л. Например,
J sin 4x sin 2x dx = J sin4x5in2^tfx = 0.
4
J C0S!3xtfX= Г COS1 3x dx = 7Г.
§ 414. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-ФУРЬЕ 607
Определение 2. Если в какой-либо системе функ-
функций каждые две функции ортогональны, то и сама система
называется ортогональной. В силу теоремы настоящего
параграфа система A) ортогональна в промежутке (—п, к)
(а также в любом промежутке длиной 2я).
§ 414. Формулы Эйлера—Фурье
Теорема. Пусть тригонометрический ряд
YJ'ax cosx+&j.sin x+chcos2x-hb2sin 2x-J- ...
... -f «„cos nx+&«sinnx-f- ... A)
сходится для всех значений х к пекоторий функции f(x)
(эта функция-периодическая, с периодом 2я). ,Если для
этой фулкцнн (она может быть и разрывной) существует
интеграл \ \f(x)\dx (собственный или несобственный),
то для коэффициентов ряда A) имеют место следующие
формулы Эйлера-Фурье (см. § 411):
ах = ~ J / (х) c°s х clx, Ъх = -* J / (х) sin х dx,
~Т! —ТС
■к я
^i J }(x)cos2xdx, b,^~ $ }(x)sit\2xdx,
—n — it
it я
аз = -■ f / (*) cos Зх ^х» ^з — ~ J / (x) s'
н вообще
■ e« = ~ J / (x) cos nx clx, b» - ~ J / (x) sin nx clx. B)
Замечание. Выражение для do получается из общей формулы
для ап, если и последней положить п=0. Это единообразие нару-
нарушается, если через а0 обозначить свободный член ряда A), д не его
удвоенную величину. Ср. § 411, замечание 1.
608 РЯДЫ
Пояснение, Мы имеем:
f(x) = ~°+a1cosx + &1sinx-f ... -! ал соз пх + Ьп sin пх+ ■... C)
Проинтегрируем это равенство в пределах от-те до тт. Предпо-
Предполагая, что данный ряд допускает почленное интегрирование1),
Получаем:
(f(x)dx— Г ~£dx+ai f cos xdx + bi f siitxtfx-f ... D)
—rt —« —jt » —тс
Все интегралы правой части, кроме первого, равны нулю в силу B)
§ 413, и мы находим:
J/(x) rfx «s тгсго, т. е. «о = — f f(x) dx.
Мм получили первую из формул B) для случая п =0, остальные
формулы получатся тем же способом, если предварительно помно-
жи-п> равенство C) на cos пх или на sin пх.
Так, помножая C) на cos 2x и интегрируя почленно, по-
ЛУчаем:
Г/(x)coa2xrfxK ■— Г cos 2xrfx^ ах Г cos
—ТГ —JT —JT
+*! Г sinxcos2xrfx+a2 Г cos3 2xrfx+62 Г sin. 2x cos 2xtfx.|- ... E)
Справа все интегралы, кроме четвертого, равшл нулю в си-
силу B), C) и D) § 413. Четиертый равен к а силу F) g 413. Следо-
Следовательно,
ль
-— Г
ТС J
') При сходимости интеграла Г | / (х) | dx тригонометрический
—я
ряд A), сходящийся к функции/ (х), допускает почленное интегриро-
интегрирование.
■ -"" g 415. PflR ФурьЕ 609
Тригонометрический ряд с произволь-
произвольным п е р и о д о м. Пусть тригонометрический ряд с пе-
периодом IV.
sin
+ Ь sin л
... +йд cos п ~+ Ьп sin л ~ + ... (G)
сходится для всех значений х к некоторой функции / (х)
(эта функция тоже имеет период 21). Если существует ин-
аеграл $\f(x)\dx (собственный нлн несобственный), то
-;
для коэффициентов ряда F) имеют место следующие фор-
формулы Эйлера-Фурье:
а„ - у J / (х) cos л ~ tfx (л г= О, 1, 2, 3, .,.),
-I
I
-I
0)
Формул»! B) получаются из G) при 1=ъ.
§ 415. Ряд Фурье
В § 414 рассматривалась сумма } (х) данного сходяще-
сходящегося тригонометрического ряда. На практике важна сле-
следующая обратная задача: дана функция /(х) с перио-
периодом 2т;1); требуется найги псюду сходящийся тригономе-
тригонометрически ряд
-^° -[ йх cos х-i bL sin ,\Ч- ... -!- ая cos nx-i-
+ Ья sin лх-г.-., A)
имеющий сумму /(х).
Если эта задача имеет решение, то оно единственно,
и коэффициенты искомого ряда A) находятся по форму-
формулам Эйлера -Фурье (§ 414):
я к
«« = 4" J / (х) cos nx dx, h~~ J / (x) sin лх rfx. B)
J) Предполагается, что для этой функции существует (собствш-
ный или несобственный) интеграл f [ / (Д1 dx.
-7! '
39 м. Я. Выгодский
610 РЯДЫ.
Полученный ряд называется рядом Фурье для функ-
функции f(x).
Не исключено,, что поставленная здесь задача пс имеет
решения: ряд Фурье [даже при непрерывности функции
/ (х)] можег оказаться расходящимся в бесчисленном
множестве точек на промежутке ( — л; т.). Поэтому связь
между функцией }(х) и ее рядом Фурье обозначают так:
+ 62sin2x-h..., C)
избегая знака равенства.
Однако для всех практически важных непрерывных
функций задача имеет решение, т. е. ряд Фурье непре-
непрерывной периодической функции f(x) на практике оказы-
оказывается всюду сходящимся и сумма его равна данной функ-
функции, а не какой-либо иной. Это видно нз § 416, где дано
досрочное условие разложимости непрерывной функции
п ряд Фурье.
Более того, разрывные периодические функции, имею-
имеющие практическое значение, тоже разлагаются в ряд Фурье,
но с одной оговоркой: в точках разрыва функции / (х) ее
ряд Фурье может иметь сумму, отличную от cootbci-
ствующего значения самой функции (см. § 418).
3 а м е ч а и и е. Непериодические функции, определен-
определенные в промежутке {-::, тг), тоже можно разлагать в ряд
Фурье, но со следующей оговоркой: за пределами проме-
промежутка (-::, г,) и иа его концах ряд Фурье функции }(х)
будет иметь сумму, которая, как правило, будет отличаться
от соответствующего значения самой функции [чю и естест-
естественно, поскольку сумма тригонометрического ряда ее п.
периодическая функция (см. § 417, пример 2)]. Но это
несущественно, поскольку нас интересуют значения функ-
функции лишь внутри промежутка (-т:, :т).
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции
Теорема. Пусть функция / (х) непрерывна в замкну-
замкнутом промежутке ( — тс, zz) и либо не илгеет здесь экстрему-
экстремумов, либо micer их конечное число1). Тогда ряд Фурье
!) Примером непрерывной функции, имеющей на конечном проме-
промежутке бесконечное множество максимумов и минимумов, можег слу-
служить / (х) = х sin —, рассматриваемая в любом промежутке, охваты-
охватывающем ■» очку X ~О (в этой точке функции приписывается значение 0;
ср. S 231).
§ 416, РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ бП
для этой функции сходится всюду. Сумма его равна / (а-)
для всякого значения х внутри промежутка ( — тс, v). На
обоих же концах су.мма равна
т. е. среднему арифметическому между /(-~) и
/()
Пример. Рассмотрим функцию /(х) = х; она непре-
непрерывна в замкнутом промежутке ( — г, —) и не имеет
экстремумов. Коэффициенты а0) alf a,., ... ее ряда
Фурье-нули. Действительно,
тс
ая = — Г х cos nx dx =
—тс
о я
~ ~ Г х cos лх rfx-f — Г д; cos /a- rfx. A)
— 77 О
Первое слагаемое после подстановки х = —хг пре-
преобразуется в — Г X' cos nx' dx' и в судше со вторым дает
нуль:
ап = О (Л = 0, 1, 2, 3, ...)• B)
Коэффициенты Ья находятся интегрированием по частям:
тс
Ья = -■ j х sin лх cfx =
я+^ J cos лх (/х — C)
—тг
2jt COS rtf! 1/1 W4.I ' //\
. COo '(л
Т-.П
—■к
2C1V.
ЯП ~ ^ ^ Я
Ряд Фурье для функции х имеет вид
2[у sin Х"-~ sin 2л+^* sin Зх--^- sin
„ Ш пх+ ...\ . E)
39* ' '
G12
РЯДЫ
Согласно теореме ряд E) всюду сходится; при
его сумма равна
о rsin х sin 2x
n i 2
При х= ± 7Г сумма равна
1 w-i I sin nx
™1; —r
). F)
Это очевидно, ибо все члены ряда обращаются в нуль.
я X
Черт. 422.
При х = f- формула F) дает ряд Лейбница (§ 398)
Черт. 422, где изображен график 5-й частичной
ряда Фурье для функции f(x) = x
$& —
stn 2x sin Зх
о "г ~5
sin
sin
даст представление -о степени близости между частичной
суммой sn ряда E) внутри промежутка (— т:, п) и самой
функцией /(х). График y=ss(x) колеблется около пря-
прямой у = х; для одних значений х получаются недостаточ-
недостаточные значения, для других-избыточные.
§ Ш. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 613
Линия У — sa(x) проходит через точки ( — ■&, 0), (тт, 0) и
поэтому вблизи этих точек резко отрывается от. прямой
У = х.
Картина остается той же и для последующих частич-
частичных сумм sn. Только размер промежутка, где наблюдается
резкий отрыв, неограниченно уменьшается с ростом п. На
концах промежутка (-тг, тт) все частичные суммы равны
нулю и, значит, не приближаются к значениям функции
}(х) — х в точках х= +7г. Во всяком же внутреннем
промежутке, концы которого не совпадают с точками
х=±п, ряд E) сходится, и притом равномерно, к- функ-
функции /(х) = х. Но сходимость — плохая; так, взяв значение
х = |-, получим ряд G), который (по признаку Лейбница;
§ 376) сходится крайне медленно.
Замечание 1. Функция/(х)-.ж определена и вне
промежутка ( —тг, тг), но так как она-не периодическая,
то при хг^г. и при х^ — т: сумма ряда E) не равняется -х
г
(ср. § 415, замечание). График суммы ряда E) состоит
(черт. 423) из множества отрезков, полученных горизон-
горизонтальным смещением отрезка АВ па ±2кт: (к—О, 1, 2, 3,.,.).
Все отрезки A_rB__^t ABt A^B), ,,. лишены концов и вместо
последних взяты точки С_ь Ct Cs,.,., делящие пополам
отрезки В_гЛ, BAV В,А2 и т. д.
Замечание 2. Рассмотрим периодическую функцию
Д(х) = 2 arctg (tg-~); период се равен 2лг. Внутри проме-
промежутка (--, г) оиа совпадает с функцией /(х) = х
(черт, 423). В точках ±т: эта функция не определена и
имеет разрыв. Ряд Oypi.e дли Д (х) совпадает с рядом
Фурье для / (х), и теперь сумма ряда Фурье равна Д (х)
ие только внутри промежутка (~тг, л), но и всюду за исклю-
исключением, конечно, точек разрыва х=±тг, х— ±3п и т.д.
В этих последних Она равна нулю.
614 ряды
§ 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции
Определение. Пусть функция / (х) определена
в промежутке ( — а, а). Она называется четной, если при
изменении знака аргумента значение функции не меняется:
/<-*) =/<х). 0)
Такова четная степень х2т (откуда н термин «четная
функция»), таковы функции cos nx, x3 sin их и др.
Функция называется нечетной, если при изменении
знака аргумента меняется только знак функции, а абсо-
абсолютное значение остается тем же:
/<-*)- -/<*). B)
Такова нечетная степень х-'"-1, таковы функции sin nx,
х cos nx, tg х н др.
График четной функции симметричен относительно
оси OY, нечетной-относительно начала О.
О а
Замечание 1. Интегралы Г / (х) dx и f / (х) dx
— а О
для четной функции равны между собой, для нечетной-
разнятся знаками. Поэтому для четной функции- нмее.м:
я а
J/(*)rfx = 2j/<x)ifcf C)
—а о
а для нечетной
а
J/(*)</* = 0. D)
Замечание 2. Ряд Фурье для четной функции не
содержит синусов; коэффициенты Фурье равны
те
ап = - [ f (х) cos nx dx, Ьл ~ 0 E)
(ср. замечание 1). Ряд Фурье для нечетной функции не
содержит косинусов и свободного члена; коэффициенты
§l41f. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ 615
Фурье равны
а„ = О, Ь„ = — I / m sin лх cfx, (б)
Пример I. Функция /(х) = х, рассмотренная в при-
примере § 416,-нечетная. Ее ряд Фурье не содержит коси-
иусов и свободного члена. Коэффициенты Ьп равны
тс
*„ = -Ц* * sin л* tfx * 2 (- l)"t* Л.
и
Пример 2. Функция / (х) ~ | х f - четная; значит, ее
ряд Фурье не будет содержать синусов. Коэффициент аа
равен
G)
При л 5й 0 получаем:
— Г х
тс j
cos
— — X-
т. е.
я» - 0, ff,,_t = ~щ^: (^ - I. 2, 3, ...)■ (9)
Стало быть, ряд Фурье для функции/(x) = Jxj будет
JT 4 /COS X COS_3£ CQ3 B/t~l) X . \ ..г..
Функция f(x) — \x\ удовлетворяет условию теоремы
§ 416.' Значит, ряд (Ю) сходится всюду. Сумма его равна
[х] для всякого значения х внутри промежутка ( — тг, ^).
Более того, поскольку функция / (х) — j х [ — четная, сумма
ее ряда Фурье равна }(х) также и на концах проме-
промежутка (-тс, тс). Действительно, для четной функции имеем
f (--')=f (г.), так что среднее арифметическое между
616
РЯДЫ
значениями Ц~тс) и f (г:) совпадает с каждым из smst
значений. Таким образом, имеем:
■ ■ те 4 /cos х , cos Зж , \ , ■. ,,„ .
1ж1ва-¥^1Г.+ -3т-+-) (-я^ж^г). (Юл)
В частности, подставляя в (Юа) одно из значений х- ±п
Или х=0, найдем, что
Ряд A1) и вообще ряд (Юа) сходится плохо, хотя и лучше,
чем ряд E) § 416 (ср. график» черт. 422 н 424).
г
-я о
Черт. 424.
На черт. 424 дан график частичной сулшы s4 ряда A0)
—» Л /fine Vм fftQ ^V РАС fiV\
■ я » I ^ J_ , __ . - _J_ , ,, I
u ' О — V 12^ ^Fl *~ R™ /
в промежутке (-r> tz). Ломаная линия, около которой ко-
пеблется линия У-^(х), есть график суммы Д(х) ряда (!0).
\/
-2Я
1
1
-1С
Черт
Y
f
0
425.
П 2n 'X
На черт. 425 изображен график сулшы ft(x) в промежьг-
ке (~Зт:Л Зтг). Там же изображен (двумя лучашг, исходящи-
исходящими из точки О) график функции /(х)=|:с]. В замкнутом
промежутке (-;:, к) функции f(x) д it(x) совпадают,
S 417. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИИ 617
Замечание 3. Функцию Д(х) можно предсгавшъ
формулой
!t(x) — arccos(cosx).
П р н м е р 3. Разложить в ряд Фурье функцию / (х)=х~
(черт. 426).
-5л
5« X
-Jit ~Zn —я 0 я 2п Jff
Черт. 426.
Решение. Данная функция четная; поэюму имеем:
2 Г
CIq -^ — I Х~ иХ ^
2г.*
3 '
Для вычисления ап при п / О дважды интегрируем по
частям:
cos 'I1:
A2)
В промежутке (~т:3 я), включая концы (ср. пример 2),
имеем:
V* — 2Г Л ГС0Ь Х C0S 2Х CQS ^Х C0S *** 1 /(Q\
При х=ъ и х-0 получаем соответственно:
1 1,1
it
J2 '
12 ^3^3^ 43 H т /js +
Почленно складывая A4) » A5), снова получим A1).
618 РЯДЫ
§ 418. Ряд Фурье для разрывной функции
Теорема § 416 л опускает следующее обобщение.
Т-е о р е м а Дирихле. Пусть функция / (х) непре-
непрерывна во всех точках промежутка ( — г, ъ), кроме точек
хи х2, ха,..., хк (в конечном, числе), где она ямеет скачки
(§ 2] 9а). Если при этом в промежутке (-тс, тс) имеется
лишь конечное число экстремумов (или их вовсе ног), то
ряд Фурье для функции / (_v) сходится всюду. При этом1):
1) на обоих концах -тг, тс сумма ряда равна
-$■[/<-*)+/<*)]; A)
2) в каждой точке разрыва x~xt сумма ряда равна
у1/(-^0)-|/(х<10)], B)
где символ /(xj-0) обозначает предел, к которому стре-
стремится /(х), когда х стремится к xL слева, а /(х( + 0)-
предсл f(x) при x-t*xt справа;
3) в остальных точках промежутка { — т., тс) сумма ряда
равна /(х).
Замечание 1. Интегралы
J / (х) cos пх их,
— 7С
г.
f /(.*) sin nx((x,
входящие в коэффициенты Фурье, в рассматриваемой c_iv-
чае — несобственные (§ 328).
Пример. Рассмотрим функцию / (х), определенную
в промежутке (-тс, тс) следующим образом:
t(x)=-f при О
г) Дальнейший текст допускает более короткую формулировку
(СМ. замечание 2).
§ 4l8. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 619
Эта функция разрывна при х=0, где у нее-скачок.
Действительно, имеем [см. черт. 427, где изображена
Черт.- 427,
функция /(*), периодически продолженная за пределы
промежутка {-т., тт)]:
/(-О)= -f /(+0)---J. D)
Находим коэффициенты Фурье [функция /(х) —нечетная]:
*„ =- 0, |
E)
Стало быть,
7-*-1 - 2А--1 ' I (Jfc _ 1^ 2, 3, ...)• (б)
h* = о J
!о всех внутренних точках промежутка (-т:, jr), кроме
точки разрыва х — 0, сумма ряда Фурье равна /(х), т.е.
при --^х-=0 имеем:
^+^+ ... +^-g^+ ... « -f G)
а при О^х«=:г имеем:
В точке разрыва х-0 сумма ряда Фурье равна
(все члены ряда-нули). На концах промежутка (-я, 7t)
сумма тоже равна
4f4
620
РЯДЫ
На черт. 428 видно, как частичные суммы si(x), sa(x),
s3(jc), $t(x) постепенно подходят к / (х). В первой (сверху)
полосе дан график sL(x); во второй полосе сплошной ли-
линией изображен график s2(.v):
, \ , v , sin Зх
sa(x)-s1(.v) + --3—.
Здесь же дан (штриховым пунктиром) график-^—, а так-
также воспроизведен (точечным пунктиром) график st (x),
Ь, _... \У.. ,/
Черт. 428.
Ниже следует график Sj (*), причем пунктиром изображены
Аналогично построен последний график,
, , sin Г>х
s,(x) п — .
У a w е ч л и и е 2, В теореме Дирихле пункты 1 и 3 по существу
являются чаопьши случаями пункта 2. Действительно, если/( -7;)^
^/(-), -id концы промежутка являются точками разрыва периоди-
периодически продолженной функции/ (х). Исли же ^ есть ннутренняя точка
§ 418. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ 621
непрерывности, то оба предела—левый/(х-0) и правый/(ж+ 0) рав-
равны/(х), так что
(9)
Таким образом, теорему Дирихле мо'жно сформулировать короче
так:
Пусть периодическая функция f(x) непрерывна во всех
точках промежутка {—я, к), кроме точек xlf хи, х^, — , хь (в конечном
числе), где она имеет скачки. Если при этом в промежутке ( —it, тг)
имеется лишь конечное число экстремумов (или их вовсе нет),
то ряд Фурье для функции/(х) сходится всюду, и сумма его всюду
равна
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 419. Функция двух аргументов
Определение. Величина z называется функцией
двух переменных величин х, у, если каждой паре чисел,
которые могут (по условию вопроса) быть значениями пе-
переменных х, у, соответствует одно или несколько опреде-
определенных значений величины z. При этом переменные
величины х, у называются аргументами (ср. § 196, опре-
определение 1).
Однозначные и многозначные функции различаются,
как в определении 2 § 196.
Пример 1. Высота h пункта на земной поверхности
(над уровнем .моря) есть функция географических коорди-
координат—ширены 9 и долготы ф. Широта может меняться
в пределах от -90" до + 90°, долгота -от-180с до+180'.
Пример 2. Произведение сомножителей х, у ест;,
функция двух аргументов х п у. Значения аргументов х
и у могут быть произвольными.
Числовая плоскость. Для наглядности пара
значений х, у изображается геометрически точкой М (i; у),
отнесенной к прямоугольной системе координат XOY,
Плоскость, па которой взята эта система, называется
числовой плоскостью.
Выражение «точка М (х; у)» равнозначно с выражением
(шара значений аргументов х и }^. Например, выражение
«точка ЛТA; — 3)* означает то же, что и выражение «пара
значешШ х--], у— — 3». В соответствии с этим, функция
двух переменных называется функцией точки (ем. § 457).
Чаето значение функции и по своему физическому смыслу
определяется выбором тучки на плоскости или на кривой
поверхности (ср. пример 1).
Область определения функции. Пары тех
чисел, которые (по условию вопроса) могут быть значе*
§ 420. ФУНКЦИЯ ТРЕХ АРГУМЕНТОВ 623
ниями аргументов х, у функции /(.г, у), п совокупности
составляют область определения этой функции.
Геометрически область определения изображается не-
некоторой совокупностью точек плоскости XOY.
В примере 1 область определения функции h аргумен-
аргументов ф и ф есть множество точек числовой плоскости, ле-
лежащих внутри и па границе некоторого прямоугольника.
Последний имеет 360 масштабных единиц в длину и 180 в
ширину; стороны его параллельны осям координат, а центр
совпадает с началом координат. В примере 2 область опре-
определения функции есть вся числовая плоскость.
Обозначения. Запись
г= f(x,y)
(читается: «2 равно эф от х, у*) означает, что г есть функ-
функция двух переменных х, у.'Запись /C, 5) означает, что
рассматривается значение функции f(x, у) в точке М C; 5),
т.е. то значение функции, которое соответствует значе-
значениям аргументов х = 3, у =Ъ (См. § 202). Вместо / Упо-
Употребляют и другие бУквы.
Иногда в качестве характеристики функции употребляют
ту же букву, которой обозначается сама функция, т. е.
пишут; z--z(x, у), w-—w (и, г>) и т. д.
Замечание. Не исключено, что значение функции
f(x, у) меняется в зависимости, от х, но остается одним
и тем же при изменении аргумента у. Тогда функцию двух
аргументов можно рассматривать как функцию одного
аргумента (х). Если же значение / (х, у) остается одним и
чем же при любых значениях обоих аргументов, то функ-
функция двух аргументов оказывается постоянной величиной.
Пример 3. Суточное количество осадков (Л мм) на
территории Московской области есть функция широты ф
и долготы ф места наблюдения. Однако не исключено, чти
суточное количество осадков в направлении'с юга на се-
север остается неизменным и меняется только в направлении
с востока на запад. Тогда h можно рассматривать как
функцию одного аргумента ф.
Если в-течение суток но всей области осадки не вы-
выпадали, та Л - постоянная величина (равная нулю).
, § 420. Функция трех и большего числа аргументов
Понятия' функции трех, четырех и т. д. аргументов и
области ее определения вводятся так же, как в случае
двух аргументов (§ 419).
624 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ *■*...
Область определения функции трех аргументов изобра-
изображается некоторой совокупностью точек в пространстве.
В соответствии'с этим функция'трех (а по аналогии-и
большего числа) переменных называется функцией точки.
Запись
« = /(*, У, z) ^
означает, что и есть функция трех аргументов х, у} 2,
3 а м е ч а н и е. Не исключена возможность, что значе-
значение функции / (х, у, z) меняется в зависимости от х и у,
а при изменении z остается одним и тем же. Тогда функция
трех переменных / (х, у, z) вместе с тем есть функция
двух переменных х, у. Функция / (х, у, г) может оказаться
также функцией одной переменной и даже постоянной ве-
величиной (ср. § 419, замечание).
Вообще функция п переменных может оказаться функ-
функцией меньшего их числа.
§ 421. Способы задания функции нескольких
аргументов
1. Функцию двух или большего числа apt у ментов можно
задать формулой (или несколькими формулами). Функ-
Функция, заданная формулой, может быть явной или неявной
(ср. § 197, п. «в»).
Пример 1. формула
pv = А B73,2 1 t), A)
где А=О,О2927, выражает зависимость между объемом v
одного килограмма воздуха (в м*), его давлением р (в—Л
и температурой t (по Цельсию). Каждая из переменных
p,'v, t есть неявная функция от двух других.
Формула
Р к '
задает v как явную функцию двух аргументов р и t.
Область определения этой функции есть совокупность фи-
физически возможных значений давления и температуры
(t может принимать лишь значения, превышающие-273°,
р-лцшь положительные значения).
Замечание. Часто функция нескольких аргументов
задается формулой без Указания физического смысла вхо-
S 421. способы Задания функций
625
дящих в нее величин. Если при этом не сделано никаких
указаний относительно области определения функции, то
подразумевается, что область определения охватывает все
те точки, для которых формула имеет смысл.
Пример 2. Пусть функция двух аргументов х, у за-
задана формулой
z = у R' — (х~ + v~) C)
без указания области определения функции. Формула C)
имеет смысл лишь тогда, когда х2 + у- ^ R2. Стало быть,
область определения есть совокупность всех точек, лежа-
лежащих внутри и на границе круга радиуса R с центром в на-
начале координат. _____
Пример 3. Формула и— Уа- — (хг + у2 + 23) задает
функцию трех переменных. Формула имеет смысл лишь
при условии, что яЧуЧ^^й5; область определения
есть совокупность псех точек, лежащих внутри и на по-
поверхности шара радиуса а с центром в начале координат.
2. Функцию двух или большего числа аргументов можно
задать таблицей. При двухаргументахтаблицу удобно
располагать в виде прямоугольника. В верхней строке
проставляют значения одного нз аргументов, б левом
столбце-значения другого. Б пересечении соответствую-
соответствующих строки и столбца записывают значение функции
(таблица с двойным входом).
Пример 4. Нижеследующая таблица дает объем 1 кг
воздуха как функцию давления и температуры (см.
пример 1): ,
10,0
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
-20
0,7411
0,7338
0,7266
0,7195
0,7126
0,7058
-10
0,7704
0,7628
0,7553
0,7480
0,7408
0,7337
0
0,7997
0.7918
0,7840
0,7764
0,7689
0,7616
10
0,8289
0,8207
0,8126
0,8048
0,7970
0,7894
20
0,8582
0,8497
0,8414
0,8332
0,8252
0,8173
3. Функцию двух аргументов можно представить про-
пространственной моделью (пространственным графиком).
Пространственная модель функции / (х, у) есть некоторая
поверхность S, отнесенная к прямоугольной системе
40 м, я. Выгодский
626
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
координат OXYZ; проекция точки М поверхности S на
плоскость ХОУ служит изображением пары значений аргу-
аргументов х, у, апликата г точки М изображает соответствую-
соответствующее значение функции / (х, у).
Для функции трех и большего числа аргументов этот
способ неприменим.
Пример 5. Функция, заданная формулой
представляется полусферой (черт. 429; ср. пример 2).
Черт. 42Э.
Черт. 430.
4. Функцию двух переменных можно представить па плоскости го
способу пометок. Пар;) значений х, у изображается точкой М (х; }),
а значение г—числовой пометкой. (Этот способ применяется в карю-
графии для обозначения высоты пункта,) Точки, для которых z имеег
одно и то же значение, соединяют линией (линия уровня); при ней
ставится соответствующая числовая пометка. Когда точка (х; у) ле-
лежи г на одной из линий уровня, то значение функции прочитывается
непосредственно; если не лежи г, то берем ближайшие две линии
уровня, между которыми лежит точка (х; у), и выполняем интер-
интерполяцию (ни глаз).
Примере, На черт. 430 изображены линии уровня функции
г = Уа2 —ха —у2 , соответствующие нарастанию функции на 0,2а
(ОВ —а). Значение г и точке М @; —0,8@ прочитывается по пометке:-
0,6а. Чтобы найти значение г в точке N (~ а; -^ а\ прочитываем по-
пометки О,6и н 0,8а при ближайщих линиях уровня. Так как N находится
Примерно на равном расстоянии от обеих этих линий, то z я;0,7и.
Замечание. Если пересечь поверхность z—f(x, у) плоскостью
z=k и спроектировать сечение па плоскость ХОУ, то получим линию
уровня с пометкой к. Так, если пересечь полусферу z =У«а —х! — у»
плоскостью z=O,Sa, то получим сечение А'В'С'(черг. <129). Его проек-
проекция А"В"С" (чер/. 429 и 430) па плоскость XOY есть линия уровня
с пометкой 0,8а.
g 422. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 627
Функцию трех переменных и=/(х, у, z) можно аналогично пред-
представить по способу пометок в пространстве. Роль линий уровня игра-
играют поверхности уровня,
§ 422. Предел функции нескольких аргументов
Понятие предела функции нескольких аргументов уста-
устанавливается так же, как для функции одного аргумента.
Для определенности рассмотрим случай функции двух
аргументов.
Число / пьзыаается пределом функции z = / (х, у) в
точке Мо (а; Ь), если z неограниченно приближается к /
всякий раз, как точка М (х;у) неограниченно приближается
кЛ1„ (ср. § 204).
Запись: . ■
Urn f(x,y) = t
ИЛИ
lim f{x,y) = I.
Заме ч а н и е 1. Предполагается, что внутри некоторо-
некоторого Kpyia, охватывающего точку Мо, функция / (х, у) опреде-
определена во всех течках, не совпадающих с Мо; в самой же
точке Мо функции / (х, у) либо определена, либо нет
(ср. § 204, замечание I).
Замечание 2. Математический смысл выражения
«неограниченно прнблпжаеч ся» выясняется яз нижесле-
нижеследующего течнего определения.
О и р е д е л е н и е. Число / называется пределом функ-
функции / (,\-, у) в точке Мо (а; Ь), если абсолютное значение
разности f(x, у)—1 остается меньшим любого заранее
данного положительного числа г всякий раз, как расстояние
МаМ = у'(х-а)'* \-(у— I')'1 от точки Мо (о; Ь) до точки
М(х; у) (не совпадающей е Мо) меньше некоторого поло-
положительного числа S (зависящего от е).
Геометрический с м ы с л. Апликата поверх-
поверхности г —- / (х,у) отличается от/меньше чем на е всякий раз,
как проекция точки, лежащей на поверхности, попадает
внутрь окружности радиуса S с центром r точке М„ (а; Ь).
3 а м е ч а н и и 3. Для случая функции трех аргументов
'} (х, У, z) расстояние М„М представится выражением
У(х- а)-■[- (у ~ЪJ + {z^cy. Для случая четырех аргу-
аргументов, когда геометрическое истолкование выраже-
выражения К(й"-й)а + (у~Ь)* + (г-с)а"+ («~A)* .становится «своз-
40* ■ - -
628 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
можным, оно по аналогии все же называется расстоянием
между точками М (х; у; г; и) и М{1 (а; Ь; с; d).
Понятие бесконечно малой и бесконечно большой ве-
величины устанавливается так же, как для функции одного
аргумента (§§ 207, 208). О порядке малости см. § 423.
Расширение понятия предела осуществляется, как в'§ 211.
":' г § 423, О порядке малости
функции нескольких аргументов
При сравнении двух бесконечно малых функций аир
от одного аргумента мы различали (§ 217) следующие
случаи:
1) отношение y имеет конечный предел, отличный от
нуля, тогда бесконечно малые величины а и $ имеют оди-
одинаковый порядок;
2) Нт ~ = 0, тогда а имеет высший порядок отно-
относительно (};
3) Нт -|- = оо, тогда а имеет низший порядок отно-
относительно $;
4) отношение 4" нС имеет предела, тогда « и р ие-
р
сравнимы.
Случай 4 при изучении элементарных функций одно-
одного аргумента является исключительным. Для функций
двух и большего числа аргументов исключительным
является случай 1, а практическую важность имеют слу-
случаи 2, 3, 4.
Таким образом, отношение двух бесконечно малых
функций нескольких аргументов в типичном случае не
имеет предела (см. пример 1). В иных случаях одна ш
двух бесконечно малых функций (например, а) имеет выс-
высший порядок относительно другой (см, примеры 2 и 3).
Тогда вторая имеет низший порядок относительно первой.
Пример 1. При х-^0, у->0 величины 2х"+у- и
х2+у* бесконечно малы, но их отношение не имеет'пре-
имеет'предела.
Действительно,точка М (х; у) может стремиться к М0@; 0)
по линии, касающейся в точке Мо прямой у = ^х (линия
ВМ0 на черт. 431), или прямой у = 3х, или прямой у=х
И т, д. В первом случае отношение ~- стремится к -х , во
1 § 423. О ПОРЯДКЕ МАЛОСТИ ФУНКЦИИ 629
втором —к 3, в третьем —к 1. Значит, отношение
9 И
в первом случае стремится к -?-, во втором-к т~ , в тре-
гьем~к т2- if г. д.
3 а м с ч а н и с. Бесконечно малая величина х"-]-у2
есть квадрат расстояния MVM от точки Мо до точки М,
стремящейся к Мй @, 0). Вообще, случай, когда одна из
черт, 431,
Черт. 432.
сравниваемых бесконечно малых является какой-либо сгс-
пеш.ю расстояния между точкой М и ее пределом Мо,
имеет особенно важное значение (ср. §§ 430, 444).
И р и м е р 2. Функция 2jt2-y3 имеет при М-*- Mlt @; 0)
высший порядок малости относительно расстояния
Действительно, отношение Bхг—у'1)\ Ух3 +
образуется так:
пре-
преКаждая из величин ~-%=z,
по абсолютно-
му значению не превосходит единицы (см. черт. 432), а
каждая из величии 2х, у стремится к нулю. Следовательно,
оба члена в правой части A) стремятся к нулю. Значит,
стремится 1< нулю н отношение Bхг—у*): ^хг+уг.
Пример 3. Функция / (х, у) = (х - хо)а (у - у0) имеет
высший порядок относительно квадрата расстояния MMOl
630 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
т. е. относительно (х-х„У | (у — у0J. Действительно,
Jix, У) __ ,„ _, ч х~х0 у-у„
Первый сомножитель стремится к нулю, а каждый из
двух друг их не превосходит единицы (ср. пример 2).
§ 424. Непрерывность функции
нескольких аргументов
Определение 1. Функция / (х, у) называется не-
непрерывной в точке Ма (а*,,; >■„), если соблюдаются следую-
следующие два условия:
1) в точке Мо функция / (х, у) имеет определенное
значение I,
2) в точке Ми эта функция имеет предел, тоже рав-
равный I,
При нарушении хотя бы одного из этих условий функция
называется разрывной в точке Мо.
Аналогично для случая трех и большего числа apiv-
ментов.
Определение 2. Функция / (х, у) называется не-
непрерывной в некоторой области, если она непрерывна
в каждой точке этой области.
Пример 1. Функция / (,y, у), заданная формулами
/ @, 0) = О,
непрерывна в точке Мо(<); 0). Действительно, она имеет
в точке Мо значение пуль; кроме того, она имеет здесь
предел, тоже равный нулю (ср. пример 2 § 423). Во всех
остальных точках числовой плоскости функция / (х, у)
тоже непрерывна. Поэтому она непрерывна в любой
области.
Пример 2. функция ф (х, у), заданная формулами
9 @, 0) = О,
разрывна в точке Мо @; 0). Первое условие определения 1
здесь выполнено, а второе нет: функция <р (х, у) не имеет
предела при М -> Мо (см, пример 1 § 423).
§ 4?5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 63!
§ 425. Частные производные
Определение. Частной производной функции
и = f (х, у, z) по аргументу х называется предел отноше-
отношения
Обозначения:
и' Г (х v г) д" -3/<3-^-г> - (\)
"*> !ЛХ, ), z), дх > дх • КЧ
О значении символов ди, дх см. § 429.
Замечание 1. Аргументы х, у, z в процессе оты-
отыскания предела считаются постоянными; полученная ча-
частная производная сегь функция от х, у, z (ср. § 224).
Частные производные по аргументам у и 2 определяются
и обезпачаются аналогично, например
и'у - 1у = f'y (х, у, z) =
/(*^M^2WL*Uii). B)
Замечание 2. Для отыскания частной производной
u'z достаточно найти обыкновенную производную перемен-
переменной и, считая последнюю функцией одного аргумента х.
Если надо найтл все три частные производные, то прак-
практичнее применять способ § 438.
При м е р. Найти значения частных производных от
функции
и = j(x, у, z) -.= 2х--\ y*-3z--3xy-2xz C)
в точке М„ @;0; 1).
Решение, Считая и функцией одного аргумента х.
находим, что ее производная -Л равна 4х-3у-2г. В
точке @; 0; 1) значение этой производной равно —2.
', Запись:
£@;0; 1) - 4x-3y-2z
= — 2
д: = О,р = О, 1 = 1
/Ж 0; l) = 2y-3x
/;@;0;l)= -6.
1=0, v = O, i = l
= 0,
632
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 426. Геометрическое истолкование частных
производных для случая двух аргументов
Пусп. точке Мо (хи; у0) (черт. 433) отвечает точка No
поверхности z = f (х, у) (§ 421). Проведем через Nti пло-
плоскость N0M0U, параллельную плоскости XOZ. В сечении
получим линию L,,V0, вдоль которой у остается постоян-
постоянным (у = у0). Апликата z ли-
линии LtNa есть функция одно-
одного аргумента х. Частная про-
производная f'x (x0, у0) численно
равна угловому коэффициен-
коэффициенту касательной UN,,, т. е.
тангенсу угла M0UN,it обра-
образованного касательной US
с координатной плоскостью
ХОУ.
Проведя плоскость
NtiM0V, параллельную YOZ,
получим сечение L,JV0. Част-
Частная производная /Их0, уа)
раона тангенсу угла M0VNb,
образованного касательной
VT с плоскостью XOY.
§ 427. Полное и частное
приращение
Возьмем какие-либо зна-
значения х0, у0, г„ аргументов
х, у, z и дадим нм любые ирирашення Ах, Ay, Az. Функция
н = / (х, У, z) получит полное приращение
Аи = Д/ (х, у, z) =
= f(xo+ Дх, у„ н- Ду, z0-|- Дг)-/ (xv, у„, г0).
Может случиться, что прнращення Др, Дг равны нулю,
т. е. у ц z остаются неизменными; тогда функция / (х, у, г)
получает частное приращение
Ахи = AJ (х, у, z).= f (х,,-* Дх, )v,, г,)-/ (х0, у0, г„).
Аналогично получаются частные приращения
Asu = AJ (х, у, 2) = / (х0, уо+ Ду, z0)-f(x0, у», 20),
. Аги - AJ (х, у, z) = / (д0, j^( 20-ь Дг) - / (х0, у0, z0).
§ 428. ЧАСТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 633
Замечание. Для случая двух аргументов полное
приращение функции геометрически изображается прира-
приращением аплнкаты MUNO (черт. 433) при любом смещении
точки Ыо по поверхности г — / (х, у). Частное прирагце-
ние Д,/ (х, у) получается при смещении точки No вдоль
сечения LLN0, мастное приращение Asf(x, у)-при смеще-
смещении вдоль L2Na.
Пример. Полное приращение функции
и = 2x2-y2-z
равно
Аи = A Bxa-.vs-z) =
(+)(y+yy(+Az){y +
t=. Ax Ax-2y Ay- Дг + 2Длг2- Ay2.
Частные приращения равны
Д,н = ~2у Ду-Ду1, Д,ц = - Д
§ 428. Частный дифференциал
Определение. Если частное приращение Ахи (§ 427)
функции и — } (х, у, г) можно разбить на сумму двух
членов:
Д,« = А Дх-)-«, A)
где А не зависит от Д.\, а а имеет высший порядок отно-
относительно Дх, то первый член' А Дх называется частным
дифференциалом функции / (х, у, z) по аргумен-i-y х- и
обозначается drf (х, у, 2) или йхи:
dxit = dj (х, у, z) = А &х. B)
Иначе говоря, частный дифференциал—зто дифференциал
(§ 228) функции / (х, у, z); взятый б предположении, что
величины у к г не изменяются (Ду = Дг-О). В этом пред-
предположении х есть единственный аргумент, и потому вместо
Дх можно писать dx (ср. § 234), так что
djU = dj (х, у, z) = A dx.
Аналогично определяются частные дифференциалы
dgf (х, у,. 2), uj (x, у, z) по аргументам у, z.
■ Коэффициент А ранен частной производной и'„ т. е.
частный дифференциал функции равен произведению со-
соответствующей частной производной на приращение аргу-
аргумента (§ 228, теорема })
йхи = и'х dx. C)
634 функций Нескольких аргументов
Аналогично
dvu = u'gdy, D)
dji = и\ dz. E)
Пример. Найти частные дифференциалы функции
и = х2у + у2х.
Решение. Считая сначала у, а затем х постоянным,
находим:
dja. =
dBu ---
§ 429. О выражении частной производной
через дифференциал
Частная производная и'х функции и ~ f (х, у, г) равна
отношению частно! о дифференциала dxii к дифференциалу
dx:
К = -%"- • A)
Вытекает из § 423 (ср. § 235).
В обозначении ~ символ ди нецелесообразно понимать
как частный дифференциал йхи по аргументу х, ибо в
обозначении ~ тот же символ Зи надо было бы пони-
ау
мать как частный дифференциал й„и, а в обозначении
аг--как dtu.
hit
Поэтому выражение ц- надо рассматривать как нераз-
нераздельный символ частной производной (а не как отноше-
отношение дифференциалов).
Пример. Пусть и = ху; тогда х = ~ и у = —.
Имеем:
ди __ i£___H. ?У.~_1
дх' ~ У' ду ~ у*' аи х'
Отсюда находим:
dx (*у аи ~~ У \ у2) х ~~ ху ~
Рассматривая знаки 3«, Вх, By как самостоятельные
величины, мы получили бы вместо -1 ошибочный рс-
зулктат + 1.
I 430. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 633
§ 430. Полный дифференциал
Определение. Пустыюлнос приращение Aj(x,y, z)
(§ 427) функции / (х, у, г) можно разбить на сумму двух
членов:
д/ (х, у, г) = (А Ах+ В Ау + С Дг) + е, A)
где нн одшг из коэффициентов A, В, С не зависит нн от
Ах, ни от Ду, ни от Дг, а величина е (рассматриваемая как
функция от Ах, Ду, Дг) имесг высший порядок (§ 423)
относительно расстояния р = ^Ах2 + Ау*+ Дгг.
Toi да первый член
ААх+В Ау+С Az B)
называется полным дифференциалом функции / (х, у, г)
(или просто дифференциалом) и обозначается й\ (х, у, г)
(ср. §§ 228, 42В).
П'р и м е р 1. Возьмем функцию
1(х, y,z) - 2x*-y*-z. C)
Мы имеем (§ 427, пример):
А}(х,у, z) - (Ах Ах-2у Ay-Az) + BAx--Ay*).
Коэффициенты Д = 4х, В = -2у, С — — 1 не зависят ни
от Ах, пи от Ду, ни от Дг, величина е = 2Ах2-Ау2 имеет
высший порядок относительно ^Дхг+Ду2-|-Дг2 (ср. § 423,
пример 2).'Стало быть, выражение Ах Ах—2у Ау~ Дг есть
полный дифференциал функции 2х3-у2-г:
dBxs-y2-z) = 4x Ах-2у Ду-Дг. D)
Теорема. Коэффициенты А, В, С соответственно
равны частным производным функции / (х, у, г):
А - Гх (х, У, 2), В^\; (х, у, г), С - /г' (х, у, г). E)
Иначе говоря, полный дифференциал равен сумме част-
частных дифференциалов (§ 428):
4/ (х, У, г) =
= (/,/ (х, у, z) + dj (x, у, z) + dj (х, у, z) (б)
или
'(If (X, у, Z) =
- fx {х, у, г) Ах+!'Р (х, у, z) Ду+/; (х, у, г) Az. G)
Пример 2. В формуле D) коэффициенты А = 4х,
В = -2у, С — -1 суть частные производные от функции
636 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
2хг~у2-Z по аргументам*, у, z:
(В)
Замечай» li 1. В силу формулы G) полные диффе-
дифференциалы (/х, ну, Аг аргументов х, у, z соответственно
равны Дх, Ду, Дг. Поэтому имеем;
tf/(X,)',Z) =
= ГЛх, У, z)dx + t',(x, у, z)dy+r,(x, У> г)й2. (Q)
Например (ср. пример 1),
rf Bхг - у2 - z) - 4х rfx - 2у dy -йг. A0)
Формула (9) инвариантна (см. § 432) и потому предпоч-
предпочтительна перед G).
Замечание '2. Если и есть функция одного аргу-
аргумента, то полный дифференциал обращается в обыкновен-
обыкновенный, а единственная частная производная—в обыкновенную.
§ 431. Геометрическое истолкование полного
дифференциала (случай двух аргументов)
Пусть плоскость Р касается (§ 435) в точке М (х; у; г)
поверхности S, изображающей функцию z = f(x, у) (п. 3
§ 421). Сместим проекцию -М„(х; у; 0) точки М в поло-
положение М1(х+Ах; у+Ду; 0). Тогда аплицата касатель-
касательной плоскости получит приращение, равное полному диф-
дифференциалу;
х, у) Ay. A)
Соответствующее приращение апликаты поверхности
S равно полному приращению1 Дг функции z = f(x, у),
Стало быть (§ 430, определение), расстояние между
поверхностью S и касательной плоскостью Р (считаемое
но направлению оси апликат) имеет высший порядок
малости относительно расстояния
р = М^М, ~- /ДхЧ~Ду^
(ср. §230).
§ 432. ИНВАРИАНТНОСТЬ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 637
§ 432. Инвариантность выражения
''dy+f dz полного дифференциала
Выражение }'х &x+f'v Ау + ]'г Az представляет (§ 430)
полный дифференциал функции и = / (х, у, z), если х, у, г
рассматриваются как аргументы 1). Если же переменные х,
у, 2 сами являются функциями одного, двух или большего
числа аргументов, то написанное выражение, как правило,
не представляет дифференциала. Напротив, выражение
f'xdx+fvdyi-}'sdz
всегда 1) представляет полный дифференциал функции
/(*, у, г) (ср. §234).
Пример 1, Рассмотрим функцию и = ху аргументов
х, у. Имеем:
Пи = и'х clx+u'y dy = у tlx + xdy. A)
Эта формула верпа и в том случае, когда х, у суть функ-
функции аргументов t, s, заданные формулами
X = t*-\s*, y = t*-s*. B)
Действительно, в этом случае имеем:
U^tA-s\ C)
du = и', Ш+ К (is = 4/3 dt - 4s3 rfs. D)
Тот же результат получим по формуле A), 'если в нее
вместо х, у 'подставить выражения B), а вместо </х, dy -
выражения
dx = 11 dt + 2s ds, dy ^2tdt-2s ds, E)
найденные с помощью формул B). Если же вместо A)
взять формулу
du = у Ах + х Ау, F)
то она будет неверна при аргументах /, s.
Пример 2. Формула A) верпа и в том случае, когда
х и у -функции одного аргумента.
ИрнмерЗ. Формула d arctg x - Достается вер-
I -f-Л
ной, если положить x = rst:
« arctg r^
') Предполагается, что полный дифференциал существует. О
функциях, обладающих частными производными, но не имеющих пол-
полного дифференциала, см, § -134.
G38 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 433. Техника дифференцирования
Для разыскания частных производных: в большинстве
случаев удобно предварительно найти полный дифферен-
дифференциал. Последний вычислялся по тем же правилам, чго п
дифференциал функции ит одного ар1умента (ср. § 432 и
§ 430, замечание 2).
Пример 1. Найти частные проигтодпые от функции
и - arctg-£.
Р е ш с н и е. Вычисляем полный дифференциал по пра-
правилам § § 247 п 240. Получаем.
(Ш =
* _ xdy-ydx
У1
Коэффициенты при dx, dy суть частые производные
■+£
dii у___ да _ х_ ,„,
дх ~ лМ->'; ' ду " Х*+у* • V.£)
Непосредственное вычисление производных потреСопало
Сы больше труда н внимания.
Пример 2. Найтн частные производные от функции
и = In у'х2 + у2.
Решение.
d ш Y#+y* = Л d щ (Xa+y., , ^0У-, C)
J« = .x du_ = у ,,,
dx X*+y* ' ду Х2 + У2 ' ^ '
Иной раз при дифференцировании функции одного
аргумента удобно воспользоваться полным дифференциа-
дифференциалом функции двух, трех и т. д. аргументов.
Пример 3. Найти дифференциал функции и = хх.
Решение. Ищем dy1 (у и г-независимые перемен-
переменные), для чего предварительно находим частные производ-
производные. Затем полагаем у = х, г = х:
x)dx. (GJ
При некотором навыке запись ограничивается форму-
формулой F), остальное делается в уме.
§ 434. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУЙКШЙ 639
§ 434. Дифференцируемые функция
Функция и-=,/(*, у, z), имеющая в точке Мо полный дифферен-
дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.
Дифференцируемая функция всегда обладает конечными част-
частей ди Ьи ^.
ныии производными -г~ • il— > ~к~ и частными дифференциалами
ах оу oz
сумма последрих дчет полный дифференциал E 430).
Но существование частных дифференциалов (или конечных
ных производных) не обеспечивает существования полного диффе-
дифференциала.
Пример. Рассмотрим функцию / (х, у), определяемую в тачке
Мц (О; 0) формулой
/(О, 0) = 4, A)
а в остальных точках—формулой
f(x,y) = 4\-2x+y+.J^i. B)
Эта функции непрерывна а точке Мо @, 0) и имеет здесь частные
производные
Дат-у-О йх Дг-S-
= Ilm mM=*-U
ЛУ
Но выражение/ж @, 0) Дх+/^@, 0) Ау=2&х±Ау не является
полным дифференциалом, Действительно, полное приращение имеет
вид
ДГ(О, 0)е=
Первый член не является полным дифференциалом, таг;.:".'~ ■ орой
член е = -—^—r—j' не имеет высшего порядка относительно
т.е. отношение е: р не стремится к нулю при Л1 (Дх, А;1)—»■ 0. Так,
если М стремится к Мо по лучу y~=3f, х=41г то е: р со/.раняст зна-
36
Н5
Другой пример недифференцируемой функции рассмотрен п
g 442 (пример 2).
^Замечание I. Если все частные производные непрерывны в
рассматриваемой точке, то функция дифференцируема в этой точке.
В предыдущем примере обе частные производные были разрывны
в точке М0@; 0).
Замечание 2. Элементарные функции, как правило, дифферен-
дифференцируемы. Дкфференцируемость нарушается лишь а отдельных точках
или вдоль отдельных линий.
640 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
g 435. Касательная плоскость н нормаль
К поверхности
Определение 1. Через точку М поверхности S
(черт. 434) будем проводить на поверхности линии АЛ',
ВВ', СС!, ..., имеющие в точ-
точке М касательные TV, QQ',
SS , ... Плоскость Р, в которой
лежат всевозможные касатель*
ные, называется касательной
плоскостью к поверхности S
в точке М (точка касания).
Пример 1. Пусть прямая
МТ— касательная к какой-ли-
какой-либо сферической линии. Тогда
МТ перпендикулярна к радиу-
радиусу, т. с. лежит в плоскости Р,
проходящей через точку At
перпендикулярно к радиусу. Стало быть, Р- касательная
плоскость сферы.
Пример 2. Коническая поверхность не имеет каса-
тельной плоскости в вершине /<. Действительно, если
через К проводить всевозможные линии, то их касатель-
касательные в точке К не будут лежать в одной плоскости.
Замечание, Поверхность г*=/(х, у) не имеет касательной
плоскости в точке М в том и только и том случае, когда функция
/(х, у) не дифференцируема в рассматриваемой точке. Поверхности,
реализуемые физически, могут лишаться касательной плоскости лишь
в отдельных точках (конические лючки) или вдоль отдельных линий
(рёбра) (ср. g 434, замечание 2),
Пример 3, Функция f(x, у) ы ■ ■■ _/- -}- 2х +у + 4, доопре-
доопределенная Условием /(О, 0)=4, не дифференцируема в точке х=О,
у t=0 (§ 434, пример). В соответствии с этим поверхность
A)
лишена касательной плоскости в точке А @; 0; 4)
I) Эта поверхность-конус {не круглый) с вершиной А. Действи-
Действительно, всякая прямая
«С,
(а -постоянное число) проходит через А и лежит на поверхности A),
в чем убеждаемся, подставляя выражения B) в уравнение A), Мно;
кет прямых B) образует коническую поверхность.
g -130. УРАВНЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ U4\
Определение 2. Нормалью к поверхности S
в точке М называется нормаль к касательной плоскости,
проведенной через точку М.
П р и м е р 4, Нормаль сферической поверхности в каж-
каждой ее точке проходит через центр сферы.
§ 436. Уравнение касательной плоскости
1. Касательная плоскость к поверхности z - } (х, у)
представляется уравнением
Z-Z~ p(X-x) + q(Y-y), A)
где А', У, Z-текущие координаты, х, у, z-коордипаты
точки касания, р, #-соответствующие значения частных
производных j£ , ~ .
Пояснение. Плоскость A) проходит через прямую
2-2 =- р(Х-у), У-у = О, (А)
в чем убеждаемся ис'дстлшнкей в уравнение (I). Пря-
Прямая (А) - касательная к сечению, проведенном^ через
точку (х; у; z) параллельно плоскости A'OZ (§ 426). Так
же убеждаемся, что плоскость A) проходит через каса-
касательную к сечению, параллельному ZOY. Значит (§ 435),
плеекгсть A) севпадас-т с касательно!! плосксотыо (если
пссиеднян существует; ср. § 435, замечание).
Пример I. Наптп уравнение каеательнги плпеко-
Xs — Vs
спг гиперболического параболоида z = —z-- в точке
B«;Й;АО).
Р е ш г н и е. Имеем: £ = £ - 2. § = - J = - 1.
Уравнение искомой касательной плоскости есть
Z~~a - 2(X-2a)~(Y-a),
или 7, = 2X-Y-~a.
2. Если поверхность нредстлн.чяется уравнением вида
!■' (х, у. г) ~ о, то касательная плоскость представится
урапненнем
P'x(X-x)+F'¥(Y-y)+F't(Z-z) = 0. B)
Уравнение A)-частныи вид уравнения B).
41 М. Я. Выгодский
642 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример 2. Найги уравнение касательной плоскости
рллипеонда
в точке М (х; у; г).
Решение. Имеем; F'e-~, £,--■%, **i = ^г- Ис"
ко мое уравнение есть
или, сокращая па 2 и учитывая уравнение эллипсоида,
Зачемани е. Уравнение касательной плоскости про-
проще всего получается из уравнения данной поверхности елс-
дуюшпм образом: данное уравнение дифференцируем и
вместо dx, dy, dz пишем Х—х, Y-y, Z-z, Так, диф-
дифференцируя уравнение C), получаем:
2х dx 2у tfy 2zdz _ .-,
Заменив дифференциалы dx, dy, dz разностями X - х.
Y-y, Z-z, получаем уравнение D).
§ 437. Уравнения нормали
Нормаль к поверхности F (х, у, г) = О в точке
М (х; у; г) представляется уравнениями
х-х- у-у _ z-z ,n
(ср. §§ 436 и 156). В частности, если поверхность дана
уравнением z = / (х, у), то уравнения нормали при обо-
обозначениях § 436 имеют вид
х-х _ Y~y __ z-z >2)
Пример. Уравнения нормали к эллипсоиду |i+gi +
+% " ^ (СР- § 436, пример 2) суть
а*(Х-х) __ bi(Y-y) _ са (Z~z\
х у " Z •
§ 438. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 643
§ 438. Дифференцирование сложной функции:
Величина ге называется сложной функцией, если она
рассматривается как функция от (вспомогательных) пере-
переменных х, у, ♦.., которые в свою очередь зависят от од-
одного или нескольких аргументов н, v, ... (ср. § 236).
Разыскание полного дифференциала сложной функции
ис требует особых правил (вследствие инвариантности вы-
выражения дифференциала; § 432). После того как найден
полвый дифференциал, выражения частных производных
получаются автоматически (§ 433). Общий вид этих выра-
выражений дай в § 440,
Пример. Найти полный дифференциал и частные
производные функции
го - e"»sln(«-j-i»). A)
Если представить го в виде £*siny, где x=uv н
у = я-! v, то го будет сложной функцией от аргументов
и, v. Полный дифференциал находится так же, как если
бы х и у были независимыми переменными:
(/и — es'my dx+e* cosy dy = e*(sin у dx+ cosy dy).
Подставляя сюда x=av, y = u-\-v, находим;
йге = ew [sin (и + v) (v du -f- it dv) + cos (u + v) (du+efo)]. B)
Это—ложный дифференциал данной функции; ее частные
производные суть коэффициенты при du, dv. Именно:
^= &'[vsli\{tt + V) + C08(U+v)], C)
£и'|;И81п(а + 1)) + С08(Ц + 1)]. D)
Замечание. На практике не вводят особых обозна-
обозначений для вспомогательных переменных. В примере 1 дей-
действуют так:
dw - d[ewsin (u+v)] =
= sin(u+v)de"v+e'"'dsitt(u
Если раскрыть выражения U(uv), u(u+v), получится ра-
равенство B),
41*
644 функции нескольких аргументов
§ 439. Замена прямоугольных координат полярными
Пусть z — f(x, у) есть функция прямоугольных коор-
координат х, у и пусть известны значения частных производ-
производных }'х, fv в точке М. Тогда частвые производные ~,
с- по полярным координатам находятся по формулам
~г = & cos <р+/; sin ср, Ц. = г (/; cos f - /; sin <р). (i)
Пояснение. Так как х = г cos 9, у = г sin <p (§ 73),
то z есть сложная функция от г, 9. По способу § 438 на-
находим:
dz = fc
= /; (cos 9 dr-r sin ср ^ф) + /^ (sin 9 </r+r cos 9
Производные -£-, - суть коэффициенты при dr, d<$.
П р и м е р. По данным значениям
Г. C.4) = 7, /;C,4)-2
иайти значения %, ~в точке C:4).
or of \ • t
Решение. В данной точке имеем: г = Уз2 + 42 = 5,
cos 9 = -g-, sin 9 = ~ . По формулам A) находим:
§ 440. Формулы Для производных сложной функции
Пусть го есть сложвая функция любого числа аргумен-
аргументов и, v, ..., t (§ 438), заданная через посредство вспо-
вспомогательных переменных х, у, ... , г (в любом числе).
Тогда
дю _ Вю дх Эм? Эу . Зш Ы
аи ™ дх 9и ду 6и ' ' •• "г $z зи'
Вш Bw Эх , 8w by „ Э10 bz
A)
$ 441. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 645
т. е. частая производная по какому-либо архументу равна
сумме произведений частных производных но всем всно-
мша1слышм церемонным на производные этих перемен-
переменных по соответствующему аргументу.
Пояснение. Формулы A) получатся из выражения
полного дифференциала
если сюда подставить
*x = ¥udui **,+ ...+-%* C)
и аналогичные выражения для dy, ..., dz (ср. § 438).
§ 441. Полная производная
Пусть w рассматривается как функция переменных х,
У, -, t\
w= f(x,y, ..., z), A)
Причем х служит аргументом, а остальные переменные
зависят от х1). Производная от w по аргументу х, взятая
с учетом этой зависимости, называется полной производ-
производной и обозначается -г- в отличие от частной производной
£- (§ 425). Полная производная выражается формулой
dx ™ дх+ ду <fx+ ' *' + bz dx' ^ '
Она получается из выражения полного дифференциала dw
(делением иа dx).
Пример 1. Найти полную производную от функции
1я=х3е»*, где у есть некоторая функция от х.
Решение.
= Зе»! xs dx+2x3&>* у dy,
]) Это—частный вид сложной функции (§ 438) одного аргумента и
(переменные y,,..,z зависят от и как угодно, а переменная э? свя-
связана с и равенством х~и)
646 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример 2. Найти полную производную or функции
ia=xy'.
Решение. Роль переменной у играет здесь произ-
производная у = ;р. По формуле B) находим:
dm _ bw_ Sw (/У __ , d2y
dx ~~ dx t>y dx ~~ У "*" dx2 '
To же выражение получим, разделив почленно па dx ра-
равенство
div = y'dx+xdy = у dx + xy" dx.
§ 442. Дифференцирование неявной функции
нескольких переменных
Правило 1. Уравнение
F{x,y,z)=-0 A)
при известных условиях1) задает переменную z как неяв-
неявную функцию apiVMCHToe x, у\ Чтооы найти полный диф-
дифференциал этой функции, надо продифференцировать урав-
уравнение A), т. е. приравнять нулю полный дифференциал
его левой части. Полученное равенство надо разрешить
относительно </г, и мы найдем полный дифференциал функ-
функции z. Коэффициенты при dx, dy дадут соответствуюцне
частные производные.
Таким же образом поступаем при любом числе аргу-
аргументов.
Пример I. Найти полный дифференциал и частные
производные неявной функции z аргументов х, у, задан-
заданной уравнением
-2«-9 B)
в точке x=l,y= -2,z= — 2.
Решение. Дифференцируя, находим:
2xdx+2ydy+2zdz = 0.
Разрешив это равенство относительно dz, получаем пол-
полный дифференциал функции z (в произвольной точке)
dz= -^dx^^dy. C)
1) См. ниже замечание 1.
Л 442..ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 647
В данной точке A; -2; -2) нмеем:
1 , ,,.
dz ~ -rj-ax-dy. D)
Коэффициенты при dx, dy дают значения частных произ-
производных в данной точке:
dZ _ J_ 3Z^ i fe\
Проверка Решив уравнение B) относительно z, по-
получим:
z - _ у9-хг-у5 F)
(перед радикалом берем знак мивус, ибо при х = 1,
у = -2 должны иметь г = -2). Из (б) находим:
у
I -X* -У* '
Подставляя сюда значения х= 1, у= —2, снова нахо-
находим E).
Замечание 1. В правиле 1 предполагается, что функция
F (х, у, г) дифференцируема в некоторой точке Л10 (х0; ую; Zq), удовлет-
удовлетворяющей Уравнению A), и в достаточной близости от нее (т.е. во
всех точках некоторого шара с центром в точке Л10). Кроме того (Пред-
(Предполагается, что уравнение, полученное дифференцированием, одно-
однозначно разрешимо относительно dz (т. е. что коэффициент при dz отли-
отличен от нуля), При этих условиях можно Утверждать:
1) что уравнение A) действительно задает z как неявную функцию
аргументов х, у, она определена в некотором круге с центром
(*о. Уа) и принимает значение z0 при х =ха, у =у0;
2) чт! функция z дифференцируема в упомянутом круге и, в част-
частности, в точке (Яц; у0),
В примере 1 вышеперечисленные условия выполнялись, В сле-
следующем примере рассмотрен один из разнообразных случаев их нару-
нарушения.
И р и м е р 2. Уравнение
хз-f 8у3'— z3 — 0 G)
задае г t как неявную функцию аргументов х, у. Явное ее выражение
таково:
з
Пытаясь применить правило 1 к разысканию полного дифференциала
функции г в точке х =0, у=0, 2-0, мы получили бы пз G) равен-
равенство
Зх' dx +24уя dy -32B dz =s 0. (9)
В точке *=0, у=0, г = 0 это равенство не допускает однозначного
решения относительно dz, ибо оно обращается в тождество 0=0.
Таким образом, правило 1 не длет возможности найти ни полного диф-
дифференциала, ни. частных производных функции z в рассматриваемой
648 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
точке. Дополнительное исследование, показывает, что в этой точке
функция г недифференцируема (§ 434), но имеет частные производные
JB. ~ 1 Рг- — 1 П
дх • ду" ''
Правило 2. Система двух уравнений
Ft (х, У, z, и, v) = О, Fz {x, у, z, u,v)^O A0)
при известных условиях -) задаст две переменные и, v как
неявные функции аргументов х, у, г. Чтобы найти полные
дифференциалы этих функций, надо продифференцировать
уравнения A0). Полученную систему равенств надо разре-
разрешить относительно du, dv, и мы найдем полные диффе-
дифференциалы функций и, v. Коэффициенты при dx, dy, dz
дадут соответствующие частные производные.
Таким же образом поступаем, когда число уравнении в
системе больше двух (при люСюм числе аргументов).
Пример 3. Найти полные дифференциалы и частные
производные неявных функций и, v, заданных системой
уравнений
x+y+u+v = a, xz + vs +■ иг + v- = Ъ-. (Н)
Решение. Дифференцируя, находим;
dx+dy+du + dv - О,
х dx+y dy+u du l- v dv = 0. A2)
Разрешив систему A2) относительно du, dv, получаем
полные дифференциалы функций и, v:
\T~)
з
^Действительно, полагая у = 0, получаем: z= ^х'-* = х, так. что
\T~) -о = 1' полагая х = 0, получаем: 2= fsy* = 2y, так что
"av)x=o = 2" Но ВЬ1Ражение Дх +2 ДУ не является полным дифферен-
у=0
циалом, ибо разность
Д2-(Дх+2Ду) m в
не имеет высшего порядка относительно р = удха+Дуг. Так, если
точка (х; у) стремится к тачке @; 0), скажем, по биссектрисе первого
координатного угла, то отношение — имеет значение
т, е. к нулю не стремИ1Ся.
*) См. ниже замечание 2.
§ 443. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 649
Коэффициенты при dx, dy дают частные производные
Зп_ _ о~х ди^ __ v-_y_ 3v_ _ и-х Ьу __ и-у
Ox ~ u-v ' Оу ~ и—о ' дх ~~ v-u ' ду v—u ' ' ■*
Замечание 2. В прапилс 2 предполагается, что функции
}7i (х, у, z, и, i!)=0, r"i (х, у, z, а, с)—0 дифференцируемы » неко-
некоторой точке ли (ха; у„\ zu: u0; о0) и и достаточной близости от нее.
Кроме чого, предполагается, ччо систем л уравнений, полученная диф-
ференцированием, однозначно разрешима относительно du, do (т. с.
что определитель, составленный из коэффициентов при du, do, отли-
отличен от нуля). При этих условиях можно утверч^дать:
1) что система A0) действительно задает н,у как неявные функции
аргументов х, у, z; эти функции определены и некотором шаре с цент-
центром (хи; у„; £(,) и принимаю)' значения «и, ги при х =хи, у=уо,
2) что функции и, v дифференцируемы п упомянутом шаре и,
л частности, в точке (хц; Уо; z0),
§ Affi. Частвые производные высших порядков
Определение 1. Частными производными второго
порядка (шщ вторыми частными производными) от функ-
функции г^-i (х, у) называются частные производные от
функции
Опце»: число вторых частных производных-четыре.
Частная производная от -j~ по аргументу х обозначается
■^-, или -^га~' или !*ХХ,У)- Аналогично о6"озиачают-
ся остальные, так что имеем;
дх эу
Ьх \ ду) &у ах #у дх '**1 'у}' у }
dy\syJ~ ду- ~ эу* >**{ >У}- у }
Вторые производные B) и E) называются чистыми, вто-
pbfc производные C) и {4)-смешанными.
Теорема 1.Смещанныс производные второго порядка
(они отличаются друг от друга порядком дифференцирова-
дифференцирования) равны между собой (при условии их непрерывности
в рассматриваемой течке).
650 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМРНЮВ
Пример 1. Наиде.м вторые частые производные <л
функции г~у?у%'\-2х*у-§. Имеем:
Смешанные производные --^- и -„—|- раины между собой,
tJy их ах оу г
Замечание 1. Четыре частных производных шо-
рого порядка б силу 1еорс'.мы 1 еводшея к трем: ~,
Их ду ' ду2 •
Определи н и о 2. Частные производные от частых
производных второю порядка называются частными про-
изведиыми третьего порядка (или третьими частными
производными) и обозначаются f^x, fy'y¥ (чистые ищи-
водные), £"„, /яУл, /ад и т. д. (смешанные принзаоднис)
Илн лЕЗ"» Ъ1' >^"йу' ^Гйу^ И т'я<
Теорема 2. Смешанные производные тршьью по-
порядка, отличающиеся друг от дрУ1а дшш, порядмлт диф-
дифференцирования, равны между собой (про условии их
непрерывности в рассматриваемой течке).
Например, , Д— ^^
1 ' ' (Н« Йу
Пример 2. Частные производные тречього поряд1.а
от функции z-x^y* \-2x-y-b (ср. пример 1) суть:
to» гу " "ay ^"з^-^ ~ "to"
-*2L- = I ( ^l-\ - L
fady* dy\i)xdyj дх
3 a \i e ч а и и е 2. Восемь частных производных rpeibuo
порядка в силу теоремы 2 приводятся к четырем.
j 444 ПОЛНЫ*. ДИФФЬРЬНЦИЛЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 65 1
Замечание 3. Аналогично определяются п обозна-
чашся частные производные четверюю п высших поряд-
порядков от функции Нх>)), а также oi функции трех и боль-
большею числа ар1Уменюв. Для всех случаев имеют место
теоремы, аналогичные георемам 1 и 2.
§ 444. Полные дифференциалы высших порядков
р полное приращение (§ 427) Az функции
z=f(x, \), аатеч, iохраняя те же значения Ах, Ау,
еч полное приращение Д(Д?) величины Az (рассма-
ее как функцию от х, у), Получим втор) ю разность
нкии г
фц
Пяль A-z распадается на сумму двух членов:
Д-г^ (г Ax'+2s Д*Д>ч tAv) f-к, A)
1де г, s, t не зависят пи от Дл., ни от Д>-, a a n.\ieei высший
порядок лносшельно q1^Д\^-гА}-. 1огда периьш члеи
пазываеня вторым (полным) дифференциалом функции z
п ибсличлется d-z.
Пример 1. PaccMOipmi функцию г=\3у*. Находим:
A'z = (х + 2 АхI (у+ 2 АуУ-2(x-r Axf (y+ \у)Ч-
j-X*}- - (Qxy2 Дх2+12r<y Ax Ay+2xJ Ay') + a, B)
где а имеет высший порядок относительно г/. Первый же
член иммы B) имее! вид гА\~ — 2бД\Ду i Mv-7 причем
величины r = bx\-i s=Qx-y, 1 = 2\л не элвиоп пи от Д.т,
нп ит Д1'. Стало быть, первый член ecu, вюроп дпффе-
penmid 1 функции z—xsy2:
d-z = Gxy'Ax1 + \2Vy Ax Ay + 2xJ ±}\ (J)
Теорема I. BcjiH4HHbi r, s, t н формуле A) равны
соошотс'шуклцич вторым частым проилтдпым функции г-
г - ii£ а - _ *!_ f t£.
9х* ' & ду' ' ~ »у* '
П р и ч е р 2. В предыдущем примере мы имели:
Выражение второго дифференциал а.
В силу loo ремы I имеем:
^^xAyi^V. С*)
652 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Замечание. Так как
Дх = dx, Ay = dy
(§ 430, замечание 1), то вместо D) можно написать:
й^^ау*. E)
В противоположность соответсп^ющему выражению первого
дифференциала (ср. § 432) формула (Г>), как правило, не BepHit, если
хну не являются аргументами (ср. сноску в § 25S).
Теорема 2. Если считать дифференциалы dx, dy ж
зависящими ин от х, ни от у, то второй дифференциал
it*z раиен дифференциалу от первого дифференциала dz
(ср. § 258, теорема 2):
<t\dH.xty)] = d*f(x,y). (б)
Пример 3. Пусть z=x*y*. Имеем:
dz= 3y?
Дифференцируем еще раз, считая dx, dy постоянными,
Получим:
a (dz) = d (ЗхЧ12) dx-i d Bх-"у) dy =
= Ctxy* dx2 -Ь 12x*y dx dy ->t- 2x* dy-,
А это - иторой полный дифференциал функции :<Y
(см. пример 1).
Полные дифференциалы третье! о, четвертого и т. д.
порядков (dJz, cl*z и -г. дЛ определяются аналогично и
выражаются следующими формулами;
%^^%dy*, G)
Числовые множители равны соответствующим биномиаль-
биномиальным коэффициентам.
Формулы G), (Н) и т.д., как правило, не верны, если >- и у не
являются аргументами,
Все вышесказанное распространяется на функции трех
и большего числа переменных.
S 446. УСЛОВНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 653
§ 445. Техника повторного дифференцирования
Для разыскания частных производных высшего порядка
удобно предварительно найти полный дифференциал соот-
соответствующе го порядка.
Пример. Найти частные производные от функции
z^x3y2 до Третьего порядка включительно.
Р е ш е и л е. Находим сначала первый дифференциал dz:
dz =. Зх3у" dx+2x*y dy, A)
затем второй, для чего дифференцируем A), считая dx, dy
постоянными:
d2z^- 6xy2dx*■[- 12х2уdxdy+2xsdy" B)
(ер. § 444, пример 3). Дифференцируя B), снова считая
dx, dy постоянными, получаем;
й*г = Fуя dx3 + 12ху dx2 dy) -f
+ B4ху dx-dy +12х- dx dy") + Gx* dx dy -,
или
d3? ^ by- dx3 + 3-12xy dx2 dy + 3- Qx2 dx dy". C)
По коэффициентам иыраженш'! A), B), C), учитывая фор-
формулы (Ъ) и G) § 444, находим;
ii = 3xy~, -f-
_ у,
~ y'
§ 446. Условное обозначение дифференциалов
Выражения дифференциалов усложняются по мере роста
порядка. Для упрощения вводят следующее условное обо-
обозначение дифференциала А-ro порядка от функции 2 =
-fix, У):
Его надо понимать так: сначала «возводим в А:-ю стс-
пень» двучлеи-^-(/х+-з--(/у так, как если бы символы дх,
ду, д обозначали самостоятельные алгебраические вели-
величины. Затем «открываем скобки», приписывая к каждому
654 /<£ункции нескольких аргументов
символу дь множитель г. После этого вкладываем во все
символы их истинный смысл.
Пример. Запись йъг = (~ dx+^dy^ г расшифро-
расшифровывается так: «возведя в куб», получаем:
«открыв скобки», нахеднм;
(ср. G) §444).
Замечание. Для трех, четырех и т.д. аргументов
условные записи те же; например, запись
означает, что
§ 447. Формула Тейлора
для функцин нескольких аргументов
Для функции однш'о аргумента формулу Тейлора (§ 271)
можно занисат]. в виде
/ (х+ Ах) = } (x) + TV /'(х) Дх+.jj /"(х) ДхМ- ...
1 ^X) Дх»+\ A)
где 8 —некоторое положительное число, меньшие еди-
единицы 1):
O^e^l. B)
Удесь выражения /' (л-)Дх, /" (х)Дха,.., суть дифферен-
дифференциалы первого, второго и т. д, порядков,
1) Число 5, входящее в (I) § 271; лежит между х и х \■^x■, поэтому
разность S,— х имс&т погжезнак, чго и Дх, а по абсолютному значе-
значению меньше, чем Дх. .Ччачит, частное (^~х): Ах есть некоторое поло-
положительное число ву меньшее, чем единица, Ms равенств;! (;—х): Дх=й
находим: £+0Л
g 447. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 655
Формула Тейлора для функции нескольких перемен-
переменных 1) строится аналогично, только дифференциалы берутся
полные. Так, для двух аргументов при п = 2 имеем:
, у+Ау) =
% 1/ж у) Дх* + 2/;г(х, у) Дх Ду+/;
^ Дх, у i о д;о Дха ду-ь
-|- з/;;;(л-+в дх, >■+о д>о дх дуз+
C)
где 8 удовлетворяет неравенстоу B).
Выражения п квадратных сцобках суть (§ 444) полные
дифференциалы. В последнем члене частные производные
взятм при промежуточных значениях аргументгв s).
Фср.мула Тейлора с любым числом членов обгзри.ма
(даже для диух аргУмснюв) лишь при условных обозна-
обозначениях § 440. Тигда она имеет вид
diA& £) у) D)
или
Д/ (.v, у) ^ V,// (л-, у) + ^у d3/ (х, у) + ... + ij d-/ (x, y) +
и аналогично для большего числа аргументов.
*) Условие, при котором формула верна, дано ниже в замечании.
•) Точка ЛТ(х + 0Дх; у+ЬАу) лежит на отрезке, соединяющем
точки Af (x; у) и Afj (хч-Дх; у + Ду). Число в даст отношение
MM l MMt.
656 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Замечание. Формула Тейлора верна при условии,
что функция f(x,y) обладает полным дифференциалом
(«+1)-го порядка во всех точках отрезка, соединяющего
точки М (х; у) и ML (х + Ах; у + Ау),
Пример. Проверим формулу C) на примере функции
/ (*, у) = ху>
при х = у= 1, Дх-О,1, Лу=0Д Будем иметь:
(х+Дх)(у+Д>0* = ху2+[у* Ах + 2хуАу] +
+ L [4(у + 0 Ау) Ах Ау + 2 (х ^ 0 Дх )Af J.
Подставив данные значения, получим уравнение 0,004 =
= 0,0120, откуда 0 =-|-, т. е. О действительно содержится
между нулем н единицей.
§ 448. Экстремум (максимум и минимум)
функции нескольких аргументов
Определение. Функция / (х, у) имеет максимум
(минимум) в точке Р0(и, Ь), если во всех точках, до-
достаточно близких к Р„, значение
/ (х, у) меньше (больше), ч(;м
значение / (а, Ь) (ср. § 275).
Г о о .и е т р и ч с с к и: над точ-
точкой Р» (черч-. 435) nouepxiioeib
z^)(x, у) имеет точку Мо, лежа-
лежащую выше (ниже) всех соседних,
Необходимое у с л о в не
экстрему м а. Если функция
/ (х, у) имеет экстремум в точке
Ро (о; Ь), то в этой точке полный дифференциал либо то-
тождественно равен нулю, либо не существует.
Замечание 1. Условие af (х, у) = 0 равносильно
системе двух равенств:
1*С Л
Равенство j'j, (х, у) —0, гэятое п отдельности, есть необходимое
»-*.ловие экстремума при неизменности у 1Й 276). Геометрически оно
означасг, что сечение погерхцости, пйр^ллельное плоскости XOZ,
имеет в точке Л'о касательную, гыраллельную оси ОХ (ср. § 426).
Аналогичный смысл имеет р.тенс гво /' (х, у) = 0.
§ 449. ПРАВИЛО РАЗЫСКАНИЯ ЭКСТРЕМУМА 657
Г е о м е т р и ч е с к и : в точке Ми, лсжагцей выше (ни-
(ниже) всех соседних, поверхность z = / (х, у) либо имеет юри-
зонтальную касательную плоскость (как иа черт. 435), либо
не имеет никакой касательной плоскости (как па черт. 430).
Замечание 2. Определение экстремума и необхо-
необходимое условие остаются темп же для
любого числа аргументов.
§ 449. Правило разыскания
экстремума
Пусть функция f(x,y) дифферен-
дифференцируема -в некоторой области ее
задания. Чтобы найти все ее экстре-
экстремумы в 31 ой области, надо:
1) Решить сие тому уравнений
/,0-",У)-0, /;(х,у) = О. (П
Решение даст критические точки.
2) Для каждой кршнческон -ючки Р„ (а; Ь) иссле-
исследовать, остается ли неизменным знак разности
I <х у) — / (а Ь) B)
для всех точек (х; у), достаточно близких к Ро. Если раз-
разность B) сохраняет положительный зиак, то в точке Ро
имеем .минимум, если отрицательный, —то максимум. Если
разность B) но сохраняет знака, то в точке Р„ пет экстре-
экстремума.
Аналогично находим экстрему .мы функции при большем
числе аргументов.
Замечание. При двух api ументах исследование
иш,гда облегчается применением достаточного условия
§■450. При большем числе аргументов это условие услож-
усложняется. Поэтому па практике стараются использовать част-
частные свойства данной функции.
Пример. Наши экстремумы функции
Рсшсние.1) 11риравнивая нулю частные производные
/*=3х2-3у, /J ^ Зу2 — Зх, получаем систему уравнений
х2~у = 0, уг~х = 0. C)
Она имеет два решения:
*i = ft = 0, х2- уз = 1. D)
42 М. Я- Выгодский
658 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Исследуем знак разнистн B) для каждой из двух кри-
критических точек Р, @; 0), Р.2 A; 1).
2а) Для точки Рг @; 0) имеем:
Hx,y)-f@,0) = x3+y*-3xy. E)
Разность E) не сохраняет знака, т.-е. е любой бли-
близости от Рх есть точки двух thijOb: для одних разность E)
положительна, для других-отрицательна. Так, если точку
Р(х;у) взять на прямой у = х, то разность E) равна
2х»-3х! = х2Bх~3). Вблизи от Рг (при х -с |) эта
разность отрицательна. Если же точку Р (х; у) взять на
прямой у——х, то разность E) равна Зхи, а эта вели-
величина всегда положительна.
Поскольку разность E) не сохраняет знака, в точке
Pt @; 0) экстрему.«а нет. Поверхность
2 ^ X)jry3-3xy-]- 1
в точке @; О; 1) имеет иид седла (наподобие гиперболиче-
гиперболического параболоида).
2(>) Для точки Р2 A; 1) пмеом:
}(x,y)-f(\; 1)_хЧУ3-Зх)Ч 1. F)
Докал<ем, что :>та разность п достаточной близости от
точки A; 1) сохраняет положительный знак. Положим:
х^ 1+й> у = 1 + р. G)
Разнссть @) преобразуется к виду
+ Р3). (8)
4JJWJ Hf и всех ненулевых значениях а, Э
житьлен и притом больше чем1) ■— (а2 + рг). Bropoii член
можсу бить и отрицательным, но при достаточной малости
| а | и | р | он но абсолютному -значению меньше '/шг)
ав + р:|. Значит, разность (8) положительна.
Стало быть, в точке A; 1) данная функция имеет ми-
минимум.
1) Имеем тождество 3 («2 -
Величина (а — &)* положительна или равна нулю,
*) При | а | <1, | р | <1 имеем: ] а^ | <а=, | рз |
§ 450. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 659
§ 450. Достаточные условия экстремума
(случай двух аргументов)
Теорема 1. Пусть
+ Cdy- A)
есп, второй дифференциал функции f(x,y) в критической
(§ АА13) ее точке Ро (а; Ь) (так что числа А, В, С даю г
значения вторых нрошиодных %*, Г?ч> Гу» и точки Р„).
Пели при этом имеет место иеравене-пш
АС-В* > 0, B)
то функции f (х, у) имеет в точке /Jo экстремум: макетам,
kujvvi Л (или С) шрпидтехыю, митшум ~пели Л (или С)
положительно.
а а ,ч ч ч анис 1. Числа Л и С при условии B)-всегда
имеют одинаковые знаки.
Теорема 1 даст достаточное условие существования
^котрсмума.
Примор 1. Функции f(x, у)^х:'-\'У'-'~Зху+1 (ср.
пример § 44У) имеет и гичке (I; 1) экстремум, ипо первыо
производные в угон точке равны нулю, а вторые произ-
производные --{■ = 6х, тг-{ - -3, Щг = 6j- имеют значения
их2 ' ах i)y ду* J
А~6, В~—3, С = 6, так что цоравеистпо B) удовлстно-
рено. Экег,рему.м является минимумом, ибо А и С по.'южп-
ТУЛЬНЫ.
'Г е о р е м а 2. Если в крптческол точке Ро (и; Ь) имеог
место :(прп обозначениях георемы I) неравенство
ДС-В^О, C)
ти функция / (.V, у) не имеет акетрему.ма в точке Ро.
Теорема 2 даст доепштачпое условие отсутствия
жстремумц.
Пример 2. Функции / (х, у)--=х3-1-у3-Зху+1 (ср.
пример ^ 449) в точке @; 0) не имеет экстремума: хотя
первые производные и обращаются здесь в нуль, но теперь
имеси;
А - О, В -- -3, С = О,
так что
АС - В1' ~ - 9 -= 0.
АГ-
660
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Замечание 2. Если в критической точки имеет
место равенство
ДС~В-'=0, D)
то функция может иметь здесь экстремум (максимум или
минимум), а может и не иметь. Этот случай требует допол-
дополнительного исследования.
§ 451. Двойной интеграл1)
Пусть функция / (х, у) непрерывна внутри некоторой
области D (черт. 437) и на ее границе. Разобьем область D
на п частичных областей D'u D,, ..., Dn; плошадп пх
Черт. 437.
Черт. 43Н.
обозначим через Даь Да»,..., Да„-). Наибольшую хорду
каждой из областей назове'м ее диаметром.
В каждой частичной области (внутри нли на границе)
возьмем по точке [точка Р^; у\) в области Du точка
Р«(хя> У г) в области D2 и т. д.]. Составим сумму
= f(xu
с2> у2) Д<т2+
.\',„ у„) Д<тп. A)
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если при неограниченном возрастании
числа областей Dlf D2,..., DK, ... наибольший из их диамет-
диаметров стремится к нулю а), то сумма Sa стремится к некоторому
I) Понятие двойного интеграла есть расширение понятия опреде-
определенного интеграла нц случай двух аргументов. Поэтому рекоменду-
рекомендуется предварительно прочесть § 314.
') По образцу обозначений Дхь Д*а, ... , Дх„ (§ 314) для длин
частичных промежутков. Но аналогия—только внешняя, ибо Доц
Дст2, ... не являются приращениями аргумента. Величины Доэ, Даг, ...
всегда положительны, тогца как Axt, Лх3, ... могут быть и отрица-
отрицательными (если верхний предел меньше нижнего).
я) При этом площади псеч частичных областей неограниченна
уменьшаются. Однако площадь фигуры может неограниченно умень-
уменьшаться без того, чтобы диаметр ее стремился к нулю (ширина стре-
стремится к нулю, а длина—не|; ср. черт. 438). При таком образовании
частичных областей теорема потеряла бы силу.
S 4Ь2. ГЕОМЬТРИЧЕСКОВ ИСТОЛКОВАНИЕ CGI
пределу; последний не зависти- ни от способа образования
частичных областей, пи от выбора точек Plt Р2, ..., Рл.
Определение. Предел, к которому стремится сум-
сумма A), когда наибольший из диаметров частичных областей
стремится к нулю, называется двойным интегралом от
функции I (х, у) по области D.
Обозначение:
f(x,y)da. B)
Читается: (двойной) интеграл но об лиши D эф от икс
mp3Kj).i сигма.
Другое A б о з и а ч с н п с:
f(x,y)dxdy.
C)
Оно нроиеккает из разбиения области D (черт. 439) сетью
прямых, параллельных осям координат ((/х-длина частич-
частичного прямоугольника, йу— ширина).
Черт. 439.
Обозначение двонноги интеграла по Прямоугольной
области см. § 455.
Термины. Область D называется областью инте-
интегрирования, функция / (х,у)-подицтегральной функцией,
выражение da - элементом площади, выражение их йу
в обозначении (А) ~ элементом площади а прямоугольных
координатах.
§ 452. Геометрическое истолкование
двойного интеграла
Пусть функция f(x,y) принимает в области D только
положительные значения. Тогда двойной интеграл
J J /
с/сг
062
ФУНКЦИИ Ш.СКСЬ'Н.КИХ АРГУМЕНТОВ
численно равен объему V вертикального цилиндрического
■тела (черт. 440), построенною на основании D и oi раиичсн-
нсл о сверху соо шетегнующим
м куском поверхности Z — f(x,y).
U о я с if е и и е. Разобьем цп-
липдрпчесм с тело па нерпжаль-
Ц[.тс столбики, как па черт. 44U.
Столбик с основанием
Да! = ЛВСН
^ по ооьсму приближенщ) равен
у призматическому столон ку с
тем же основанием Дст, и с высотой
0" Стало бы'и,, первое слагаемое
/ (.Ylf y\) AaL суммы &'„ (§ 431)
выражает ооъем вертикальною сюлипка, а
вся ci'M,\ui i>rt-necb объем V, Степень точности возра-
возрастает при измельчении частичных областей. Предел суммы
Ь'л, т. о. интеграл I" j (.v, у) }d<x, даст ючпое значите
объема V.
§ 453. Свойства двойного интеграла
Свойство 1. Если область D ушить на дье части
И D., ТО
f(x,y)da .-,
f(x,y)Ua
(ср. § 315, п. 2). Аналогично при разбиении области U па
трн части, на четыре и т. д.
Свойство 2. Двойной интеграл алгебраический сум-
суммы неизменного числа функций равен алюбраической сум-
сумме двойных интегралов, взятых для каждо! о слагаемого (ср.
§ 315, п. 3); так, дли трех слагаемых
JJ
J7 9 (X, У) da- J J ф (x, y) rfo.
§ 4Ь5, ЦЫЧИСЛЬНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 663
С в о ii с т в о 3. Постоянный множитель можно иынести
за знак интеграла (ср. § 315, п. 4);
f f mf(x,y)do ~ "iff f(x,y)da (w-постоянная).
§ 454. Оценка двойного интеграла
Пусть т есть наименьшее, М — наибольшее уначешге
функции f(x,y) в области D п пусть S есть площадь
области Я. Тогда
Г соме 'г р и ч е с к и: объем цилиндрического тела
заключен между объемами двух цилиндров, имеющих то
же основание; первый имеет высотой наименьшую апли-
кату, второй - наибольшую (ср. § 318, теорема 1).
§ 455. Вычисление двойного интеграла
(простейший случай)
Пусть и плачь Г) задана неравенствами
a*£i-^fr, с«.у«- d, A)
т. е. I и отражаете я прямоугольником KLMN (черт. 441).
Тогда двойной шгш рал вычисляется но
одной из формул
d Ь
j$f{x, y)dxdy = J dyjf(x,y)dx,
C) *
Выражения, стоящие в правых ча- ч 441
стях, называются повторными инте-
интегралами.
Замечание. В формуле B) сначала вычисляется опре-
ь
деленный интеграл f / (х, у) dx. В процессе этого инте-
а
грироеания у рассматривается как постоянная величина.
6E4
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Но результат интегрирования рассматривается как функ-
функция от у, н второе интегрирование (в пределах oi1 с до d)
выполняется но аргументу у. В формуле C) порядок дей-
действий обратный.
Пояснени е-. Двойной интеграл f f / (.v, у) dx dy
iKLMS)
выражает объем V призматического тела КМ' (черт. 442)
с основанием KLMN:
V= $$f(x,y)dxdy.
D)
Тот же объем получается из переменной площади F лро-
г
Черт. 442. "- ь
дольного сечении PQRS (она зависит от ординаты у — Ои)
по формуле (§ 33G)
C)
Площадь PQRS выражается формулой
F(y) = $zitx~ J f(x,y)dx.
F)
Сопоставляя D), E) и F), получаем B). Аналогично полу-
получаем C).
О б о з и а ч с и и я. Двойной интеграл f f / (х, у) их dy,
а
взятый по прямоугольнику, стороны которого параллельны
§ 45S. ВЫЧИСЛЕНИИ, ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 6ГM
осям 0А, О Г, обозначается
или
G)
(внешние знаки интеграла с<штпетстпуют ипепшпм диффе-
дифференциалам).
Пример 1. Вычислить дпоПпой интеграл f f ( Л-£г.
i з
Р с ян е н п е. Область интегрирования определяется не-
panei-стнами
и представляет прямоугольник со сторонами, параллель-
параллельными осям OX, OY. Сначала вычисляем определенный
4
С dx
интеграл — ■ —--, гдо у рлссматрииается как постоянная
величина;
С dx _ J 1
Теперь по формуле B) получаем:
П р ц At e p 2. Вычислить двойной интеграл
3 S
И Ex!y-2y*)dxfiy.
Р с ш с н и е. По формуле C) находим:
- 660.
СМ функции нескольких аргументов
Пример 3. Прямоугольный параллелепипед КМ,
(черт. 443) срезам сверху параболоидом вращения с пара-
MeipOM p. Вершина параболоида совпадает с центром ('
верхнего основании, uci> нертикальна. Определшь объем V
образовавшегося тела, если стороны ею основании
KL = a, KN = Ь,
а высота
ОС = //.
Решение. Выбираем систему
координат OXYZ} как на черт. 443.'
Уравнение параболоида будет:
г = й-
2р
Искомый объем равен двойному ни-
тегралу f f zdxdy по прямоуголь-
Черт. 443.
ной области KLMN, т. е.
а Ъ
Т V
Вместо этого интеграла можно взять учетверенный инте-
интеграл по области ОАМВ (вследствие симметрии тела отно-
относительно плоскостей XOZ, YOZ), т. е.
Находим последовательно:
'* - 4 J (Т-i?~
$ 4Ii(l. ПМЧНСЛЕНМВ ДПСШНОГО ИНТРГРАЛЛ Ш
§ 456. Вычисление дв иного интеграла
(общий случай)
1. Пили кошур опласш U нсгречнию' со ненкой пере-
пересекающей его вертикальной прямой не более чем
и двух точках (М1} М., па черт. 444), то область D задастся
перанеистпами
а *■ х ^ Ь, ?1 (х) -- >■ -4 9з(л:) A)
[а, Л-крайние абсциссы области, <j>", (.v) и <р2 (х)- функ-
функции, выражаюшиг ординаты нижней и нерхпей граничных
линии AMIB1, AMSB2),
а р
Черт. 444.
ь х о
Черт. 445,
Черт. 446.
В этой случае двойной интеграл птлчислястся по фор-
формуле
{/ f(x, у) (to-- fax J f(x,y)dy.
B)
, 2. Если контур области встречается не более чей в двух
точках со всякой пересекающей его горизонтальной
прямой, имеем аналогично (при обозначениях черт. 445):
ф, <у)
f(x,y)dx.
C)
j
ф, (и
3 а м с ч а и и е. Если контур не подходит ни под пер-
первый, ни под второй случай, то область D разбивают на
несколько частей (Dlf Лг, D% па черт. 446) так, чтобы
к каждой части была применима формула B) пли C).
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
П р и м ер I. Найти интеграл / — J f (у2+х) их (/у, если
ограничена параболами y~Xa, у^х (черт. 447;
контур подходит под оба случая 1 и 2).
Первое решение. Применим формулу B); в ней
надо положить а ~ О, Ь - 1, фх (х) = х2, ср3 (х) ~ ^
Получаем:
Л О *=
Вычисляем интеграл f (ya + x)dy, считая х постоянным:
Найденное выражение интегрируем по х; получаем;
1 3
J \3~ Х "" Х<! ~ Х ) dX ~ T40 *
и
Второе решение. Применим формулу C); в ней
надо положить с = 0, rf = 1, фх (у) = у-, фа (У) = liy.
Получаем последовательно;
/ = (dy[ (у2 + х) dx = f dy [xy2 -f-T-1 ~
О
33
П р и м е р 2. Найти объем V «цилиндрического копыта»,
т. е. тела ACDB (черт. 448), отсеченного от полуцилиндра
плоскостью ABC, проведенной через диаметр АС основа-
основания. Даны раднус основания R^OA н высота копыта
§ 456. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 669
Решение. Выберем систему координат, как на черт.
448 (тогда контур подхиднт под оба случая 1 н 2). Уравнение
плоскости ABC будет z = ~ у. Имеем: V = J J -~у dxdy.
Первый способ. В формуле B) полагаем (черт-
448):
KL).
Получаем:
+й
V= J dx j ±ydy.
—л о
Выполним интегрирование по у; иаходнм:
J -£у*у = =£<«"-*).
о
Это выражение дает площадь F сечения KLM (f=--~KLx
xLM, где KL = Yr^x*, a LAI находится из подобия
треугольников KLM, ODB). Окончательно имеем:
л
V= $~{R2-x*)dx = ^R%
т. е. цилиндрическое копыто по объему вдвое больше
пирамиды BACD1),
1) Этот результат был найден Архимедом.
670 функции нескольких аргументов
Второй способ. В формуле C) полагаем (черт.
). Получаем:
Первое интегрирование дает:
fA4
Это выражении представляет площадь S сечения PLMR.
Окончательно имеем:
§ 457. Функция точки
Пусть дано некоторое множество точек (например,
множество течек данного отрезка, данного куска поверх-
поверхности, данного тела). Если каждой точке Р этого мно-
множества поставлено в соответствие определеннее значение
величины z (скалярной или векторной), то последняя
называется функцией точки Р. Данное мпожестно точек
называется областью задания функции.
Обозначение. z = f(P).
П р и д! е р 1. Температура газа, заполняющего некото-
некоторый сосуд, есть функция точки, область задания функции-
множество точек, лежащих внутри сосуда.
П р и м е р 2. Годовое количество осадков есть функция
точки на поверхности земного шара.
Если данное множество точек отнесено к некоторой
системе координат, то функция точки становится функцией
координат. Вид последней зависит от выбора системы
координат.
Пример 3. Расстояние точки Р от фиксированной
точки О есть функция / (Л) точки Р. Если иуя'гь прямо-
g 4Й8. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ П ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ G71
уюльную. систему координат с началом в О, то {(Р) =
- fx- + y'!-\ 2-. Если же начало__1шО~рать в mioii точке,
<ш !A>)-У(х~а)*~+(У-ЬУ\&-Ту, 1до «, й, г-
координаты точки О.
П р п -м е р 4. Подннтегральиая функция f(x,y) двой-
двойного интеграла (Ч/(х, у)</гг есть функция точки Р (х; у),
ппэгпму интеграл JJ /(.\',>')(/<тзаписынаиггввиде J J f(P)tfo.
g 458. Выражение двойного интеграла
через полярные координаты
ДвойпоН интеграл § § f (P)da выражается через поляр-
D
пыч координаты точки Р формулой
jjj^^ '■■('. 9)rdrd9. A)
Здесь Г (г, ф)-та функция координат г, ф, которая
представляет данную функцию
}(Р) точки Р. Выражение г dr </cp
называется элементом пла-
щаои в полярных координа-
координатах. Оно эквивалентно шш-
шадн четырехугольника АВСО
(черт. 450, где AD^OA■ &<р-
= п/«р и AB=DC-dr).
Мшсграл A) ныражается
через iiomopiibiii (§ 435) так,
как если бы г и <р пыли иря-
моуюльнымп координатами
[при подиптегралышп функции
1-(Г, ф}г]. Черт. 450.
Если пьлюс лежит вне кон-
контура п каждый полярный луч, пересекающий контур,
встречает его не полее двух рал (черт. 450), то
F{r,9)rdr.
B)
672
функции нескопьких лргумпнтов
Здесь tp^'^XOK, <p2---^XOl., а г, и гг-функции от <р,
представляющие граничные душ FOf-', tHH. В частости,
эти функции («дна или out;) могут быть постоянными
(черт. 451).
Если полюс лежит внутри кощура (черт. 452) и каж-
каждый полярный луч встречает kohtvp однократно, то
Черт. 451.
Черт. 452.
в формуле B) можно положить rx=0, <pj.-O,
если же полюс лежит на контуре, то гх = О, ф1=
(черт. 453).
в
Черт. 453.
Если каждая окружность с центром в полюсе, переси-
кагошая контур, встречает последний не более двух раз
(черт. 450), то
'* Vt
■ =* | rdr J F(rl9)d9. C)
_45Й. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В П0Л#Р*1Ь*Х КООРДИНАТАХ 673
Здесь r! = OG, r2=OH, а ф1( ф2-фуикции от г, пред-
представляющие граничные дуги GEH, GFH.
Пример 1. Найти двойной интеграл
/ = Jf r sin <p da, D)
D
если область D- полукруг диаметра а, изображенный иа
черт. 454.
Решение. Для точек М полуокружности АКО имеем
(§ 74, пример 2): r = a cos ф. Применяем формулу B),
полагая г: = 0, r_^a cos ф, pi = 0, р2 = ~ ;
п _я
2 a cos 9 2 а сов <р
f Г г sin у (h - i rf? f rt s'n 9 rfr = f s'n 9 df f r2rfr =
2
f sin 9 (/9
о
72 •
Замечание!. Чтобы выразить интеграл D) в прямо-
прямоугольных координатах, надо положить:
г sin ф = у, da = dx- dy.
Учитывая, что уравнение полуокружности АцО есть
уг=ях-хг, получим;
J
D 0
Замечание 2. Интеграл D) дает объем цилиндри-
цилиндрического копыта (ср. § 456, пример 2), у которого высота,
равна радиусу основания.
Пример 2. Вычислить интеграл
+ ■ Уа* -
/= J" J"
43 М. Я. Выгодский
674
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Решение. Область Л-круг радиуса а с центром
в точке @; 0) (интеграл / выражает оОъси полушария
радиуса «). Вычисление н прямоугольных координатах
громоздко. Перейдем кполлрпым. За. полюс примем тонерь
центр круга, т.е. начало координат. Подтгпч ральиая
функция примет вид Ун2—г'-. Получим:
/ = J J у a*
Применив B), найдем:
J J
P г dr
2я a
2jt
Пример 3. Найти объем V тела, вырезанного из
полушария радиуса й (черт. 455) цилиндрической поверх-
поверхностью, у которой диаметр рапен радиусу шара, а одна
Черт. 4Г)Г>.
из образующих совпадает с осью полушария (тело Ви-
вааниу).
Решение. Расположим оси, как на черт. 4Г>5. Иско-
Искомый объем выражается интегралом
dy
в
>)Винченцо В и в и а и н A622 — 1703) -ученик Галилея, ма-
математик и архитектор. Контур верхнего оснонания Нивиаин использо-
использовал для окна в сферическом куполе:
g 4.>й. ПЛОЩАДЬ 1<УСКА ПОВЕРХНОСТИ 675
Вычисление п прямоугольных координатах громоздко.
Переходя к полярным е полюсом в центре О полушария
(ср. примеры 1, 2), получаем:
J </ф J
-*f-
§ 459. Площадь куска поверхности
Пусть некоторый кусок A''L'M' (черг. 456) поверхно-
поверхности S проектируется па область D плоскости ХОУ (KLM
нл uepv, 456), причем в каждою точку Лг области D про-
проектируется только одна точка
Л" рассматриваемого куска.
Тогда площадь I- куска
K'L'A'V выражается1) двойным
пптет ралом:
Г
A)
П о я с п с н и е. Пуст|. у -
угол между касательной пло-
плоскостью Р в точке Л" и пло-
плоскостью А'0 У. Тогда(§§ 127, 436)
cos у^ -—-— . Цилин-
■М1
Черт. 456.
,1рнчес7<ая поверхность, имеющая основанием элемент Да
(A13VD на черт. 4Г>б), отрезает от плоскости Р кусок
Л'BCD-. Пло(цадь последнего равна—— ■-= fl + p*+q2Aa.
Площадь того элемента abed поверхности S, который про-
проектируется на элемент A BCD, приближенно равна площади
куска A'B'C'D', так что сумма площадей кусков A'B'C'D'
') Предполагается, что поверхность имеет касательную плоскость
в каждой точке рассматриваемого куска, а также что касательная
плоскость изменяется непрерывно (г. е, угол между двумя касатель-
касательными плоскостями бесконечно мил вместе с расстоянием между точ-
точками касания).
43*
676 функции нескольких аргументов
в пределе дает1) F:
F = Hm (fTTJf+fi Дах+ ... + iUpl-\-Yi Д<0- B)
Отсюда (§ 451) получается формула A).
Пример. Найти площадь верхнего основания тела
Вивианп (§ 458, пример 3).
Решение. Имеем:
z — Уа--х--у- р = --— =- --—==■-_—,
Искомая площадь равна
Ооласчь D ограничена окружностью
х* + у»-ах = 0.
Выряжая двойной интеграл 4ept;s полярные координаты
(§ 45&), получаем:
2 а спи £ 2 «™ '■?
Я О ' О 0 '
Выполняя интегрирование, находим:
Замечание 1. Мы приняли, что су.мма площадей
A'B'C'D1 и пределе дает площадь !•'. Это свойство (они
согласуется с наглядными представлениями, порожденными
опытом) часто принимают за определение. Последнее
формулируется так.
Определение. Ра осматриваемый кусок поверхно-
поверхности разбиваем на части abed; в каждой части выипраеч
по точке N'. Через точки Л'' проводим касательные пло-
плоскости и проектируем abed на соответствующую касатель-
иую плоскость Р прямыми, параллельными 07,. Площадь
См. ниже замечание I.
S 4eo. тройной интеграл 677
куска есть предел, к которому стремится сумма площадей
проекции при неограниченном измельчении частей.
Условия, указанные в списке на tip. 675, обеспечивают существо-
существование этогс предела.
3 а м tJ ч а и и с 2. При таком определении надо не только
установить наличие предела, ио и доказать независимость
его от гшбора системы координат. Последняя задача
отпадает, если изменить определение, а именно проекти-
проектировать abed на плоскость Р по направлению, перпендику-
перпендикулярному к Р. Но тогда усложняется вывод формулы (I).
§ 460. Тройной интеграл
Определение -1). Пусть функция / (х, у, z) точки
Р (х; у; z) непрерывна внутри пространственной области D
и на ее 'границе. Разобьем D на п частей; пусть Аг\,
Д«2, ..., Д#я-их объемы. В каждой части возьмем по
точке и составим сумму:
К - f(xlr yu 2,) AvL + f(xt, уг, гг) Дя,+ ...
- + f(x», Ул> ги) Де'„. A)
Предел, к которому стремится Sn, когда наибольший из
диаметров частичных областей стремится к нулю 2), назы-
называется тройным интегралом от функции / (х, у, z) no
обмети D.
Обозначения:
j{J/(*, У, z)rf», "ли H$f(P)dv, или jljf(x,ytz)dxdy(lz.
Вырансение dx dy dz в последнем обозначении называется
элементом объема в прямоугольных координатах.
Физическое истолкование. Пусть Л-про-
Л-пространство, занимаемое физическим телом, и / (Р) —плот-
—плотность тела в точке Р (х; у; z). Тогда сумма A) дает при-
приближенное значение массы М тела D, а тройной интеграл
Р) dv~ точное ее значение.
Я/'с
в
Свойства тройного интеграла— те же, что
н'двойного (§ 453).
') Оно аналогично определению двойного интеграла (§ 451).
s) Имеет место теорема, аналогичная теореме §451.
678 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 461. Вычисление тройного интеграла
(простейший случай)
Пусть пространственная область D задана неравен-
неравенствами
a^x^b, c^yscd, e*zz*zf, A)
т. с. изображается параллелепипедом, ребра которого парал-
лелып.т осям координат. Тогда тройной интеграл вычис-
вычисляется по формуле
} А Ь
$j$f(x,y,z)dx(lydz = $dz JdyJ/(x,y, z)dx B)
или по одной ил аналошчпых (аргументы х, у, г могут
меняться ролями) (ср. § 455).
Выражение, стоящее в правой части B), называется
повторным интегралом.
Тройной иптсч рал, взятий по параллелепипеду, ребра
которого параллельны осям координат, обозначается
также
f d Ь Ь & f
Ш /(х'}|'2) dx dy dz> Ш1 <х' у>z^dz dy dx
с с а о о о
п т. д. (внешний знак интеграла соответствует внсип ew
дифференциалу, внутренний-внутреннему).
П р и м е р. Найти интеграл
1 4 3
1 = Л!
о в о
Р С TII С Н II С.
1 4 »
1 = J dz frfyj (x+y {-z)dx =
иг ог
Дальше вычисляем, как в § 455, Получаем / = 30.
§ 402. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 679
§ 462. Вычисление тройного интеграла
(общий случай)
Данную прост ране гиенцу ю облас i ь разбиваем, если надо,
на части (ср. § 456)_е таким расчетом, чтобы «горизон-
«горизонтальная» проекция D (черт. 457) каждой части D была
плоской областью простейшею типа (§ 456, пи. 1 и 2) и
чтобы каждая «вертикальная» пря-
прямая, встречающая границу области
D, имела с ней че более двух- общих
точек (Mi, Ma на черт. 457).
Тройной интеграл, взятий по
каждой частичной области D, при-
приводится к двойному по формуле
/ (х, у, z) dx dy dz =
= j$dXdy | f(X,y, Z)dZ, A) Черт. 4,J7.
где функции z, (х, у) н z2 (x, у) представляют апликаты
QM{ и QMZ. В процессе вычисления интеграла
ft(x,y,z)dz
величины х, у являются постоянными. Результат вычисле-
вычисления рассматривается как функция ар1Умснгов х, у.
После toj о как интегрирование ло леременному г вы-
выполнено, правая часть A) превращается в двойной инте-
интеграл. А последний вычисляется, как в § 456. Поэтому
в итоге тройной интеграл сводится к повторному:
= f dx f dy f /(x, y,z)dz. B)
Здесь функции у1 (х) и у2 (х) представляют ординаты PNlt
680 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример. Найти интеграл / ■-= J J f г dv, распространен-
о
ный на полушарие радиуса R,
изображенное на черт, 458.
Интеграл / выражает статический
момент полушария относительно плос-
плоскости оснопапия (плотность [t полушария
принимаемся за единицу).
Решение. Разбивать данную
область не надо. Областью Ь
является круг
Черт. 458.
так
= R, у, (х) = -
— у/?^ _ х3. Апликаты нижней и верхней границ полуша-
полушария суть 2, (х; у) - 0, 22 (х, у) = ^3-х2--у2. Но фор-
формуле B) находим:
я
= j
— It
п
С
dx
ilx
J
,f
dy I
о
2
zdz =■
(ty,
Дальше вычисление идет, как в примерах § 456. Получаем
+ njv / П2 v"W i IJ4 ify^cin I ^
~o~ t\ л IK — XI -\-~q~ t\ aiLSin -=r-1 -^ --": .
о а Я J—н 4
Замечание. Масса полушария (при ц = 1) численно равна его
2 2 3
объему -- irr1'. Частное / : ^-jtR» — — И есть высота центра тяже-
о о а
сти над плоскостью основания. Значит, це:ртн тяжести делит высоту
полунюрия в отношении 5:3.
g 464. ЦИЛИНДРИЧЕСКИ 15 КООРДИНАТЫ
§ 463. Цилиндрические координаты
GHI
Положение точки Р (черт. 459) в пространстве можно
определить ее апликатой
и полярными координатами
г =OQ, 9 = ^ XVQ
ее проекции Q на плоскость
XOY. Величины г, ср, z называ-
называются цилиндрическими или полу-
полуполярными координатами точ-
точки Р. Прямоугольные и цилиндри-
цилиндрические координаты точки Р (при
совпадении начала О с полю-
полюсом и оси ОХ с полярной осью) связаны соотношениями
х - г сой ср, у = г sin 9
(апликаты в обеих системах одинаковы).
§ 464. Выражение тройного интеграла
через цилиндрические координаты
Тронной штлрал ( ( ( f(P)dv выражаемся через цплпп-
дрическни координаты точки Р формулой
F {г, 9, z) г dr dtp dz. (I)
Здесь Fir, 9, 2)-та функция цилиндрических коорди-
координат, .которая представляет функцию / (Р) точки Р. Выра-
Выражение г dr dtp dz называется элементом объема в цилинд-
цилиндрических координатах. Оно эквивалентно объему тела
PS (черт. 439), у которого PA—dz, PB = dr, РС' = г</ф,
Интеграл A) выражается через повторный так, как
если бы г, ф', z были прямоугольными координатами при
иодинтегральной функции F (г, 9, z) r.
t П р и м е р. Вычислим с помощью цилиндрических коор-
координат интеграл, найденный и примере § 462. Имеем;
zr dr dtp dz - J dz J dr f zr dtp.
682 функции нескольких аргументов
11оследопатсльио иолучаем;
§ 465. Сферические координаты
Положение точки Р в пространстве (черт. 460) можно
определить следующими тремя вели
Z чипами: расстоянием
Черт.-460.
от -[очки О, углом 0=-^ ZOP между
лучами OZ и ОР, углом
9 -= ^ A0N
между полуплоскостями ZOX и УХ)?.
Величины о, 0, 9 называются tдори-
tдорическими пли полярными коорди-
координатами точки Р. Прямоугольные и
сферические координаты (при сов-
совпадении основных плоскостей обеих систем) связаны
соотношениями
х = р sin 0 cos 9. У = р sin 0 sin 9. z — p cos i).
§ 466. Выражение тройного интеграла
через сферические координаты
Тройной интеграл J f l7CP)df выражается чери ф-
рические координаты точки Р формулой
, 0,
0)
Здесь /г (у, 0, ср)-та функция сферических ксердипат, ко-
которая представляет функцию / (Р) точки Р. Выражение
q2 tig sin 6 t/6 dm называется элементом объема в сферш-
§ 4CG. СФ1.РИЧЦСКИ1-: КООРДИНАТЫ
683
ских координатах. Оно эквивалентно ооъсму тела1) PS
(черт. 401), у которого
В А = dp, РВ = ОР iiO - р с/0, PC = /:Р d<p = р sin 0 </<р.
Множитель ps sin 0 (/0 (icp (sa PC-PB) в выражении элемента
i/u эквивалентен площади сферической фшуры PCDli.
Множитель sin 0 dO dy эквивалентен телесному углу, под
которым четырехугольник PCDB оидеп из центра 2).
Пример. Найти интеграл /— I Г Г г-' do, где функция
I(Р) ^ г- точ^п /J естг. квадраг ее расстояния от осп OZ
Черт. 40|.
. 462.
(KlJ us. черт. 462), а область D есть тело, oi ранцчеииис
сни.чу а'онусом (у него шлсота ОС раина радиусу основа-
основания СА=^Ц), а сверху — полусферой радиуса R.
Интеграл / выряжает момент инерции тела D лиюипелыю оси
OZ (§ 4138).
Решение. Введем сферические координаты р-ОР,
О - ^ WP, ср = ^ ACN - ^ LKP. Так как г = КР -
— р sin 0, то искомым интеграл имеет вид
= 1И
= И1
') Это тело ограничено диумя сферическими поверхностями (с ра-
пиусамк г и r + d?), двумя плоскостями, проходящими через ось OZ,
двумя коническими поперхногтями, оси [ситпрых гивпадиют с cobiu OZ.
г) Телесный угол em. часть простршн-гип, ае1ключенная внутри
одной полости некоторой конической поверхнион (с замкнутой напра-
направляющей). За меру телесного угла принимают отношение площади,
вырезываемой телесным углом на сфере (с центром в вершине телес-
телесного угла), к квадрату радиуса сферы.
684 функции нескольких аргументов
Сначала интегрируем ни аргументу ср (пределы интегри-
интегрирования будут нуль и 2т:), затем-по аргументу р (пре-
(пределы оудут Pi-О и р3 = Op = ОЯ-cosO) и, наконец, но
аргументу 6 (пределы будут 0, = 0 и 0а = z. tOA = —V
11олучасм:
4 2Я сов 0 4
- 2тг J JO J p* sin» 6 Up --= 2k J sin3 6 (tf.^y^
I) 0 0
ft .
~ ^?5 J C05* ° ^ ' ~ WSi Q)d(- C(|S °) = 30 TrW'-
§ 467. Схема применения двойного и тройного
интеграла
Многообразные i сометрнческис и физические величины
выражаются двойным или тройным интегралом —смотря
по тому, относятся ли они к поверхности (плоской или
кривой) или к пространственному телу *), Схема-та же,
что и для величин, выражаемых с помощью обыкновен-
обыкновенного (однократного) интеграла, а именно (ср. § 334);
1) Искомая величина U ставится в соответствие с не-
некоторой областью D (поверхности или пространства).
2) Область D разбивается на части Да* (или Avk); число
их в дальнейшем будет стремиться к бесконечности, а диа-
диаметры - К НУЛЮ.
Пусть при этом искомая величина U распадается на
части ии us, .,., un, в сумме дающие U 2).
3) В качестве типичного представителя частей и,, иг, ...
рассматривается одна из них; она выражается приближен-
приближенной формулой вида
[или iit
') Соответствующие величины, относящиеся к линии, выражаются
обыкновенным интегралом.
г) Величины, обладающие этим свойством, называются аддитив-
аддитивными (ср. мелкий шрифт на стр. 48ti).
g 468. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 685
причем погрешность должна иметь высший порядок отно-
относительно До* (или относительно Д»\).
4) Из приближенного равенства получается точное:
U = { '
[или t/- J j§ 1(P)dv].
Примером может служить вычисление момента инерции
<§ 468).
§ 468. Момент инерции
Кинетическая оперши Т тела, вращающегося около
оси ЛИ, пропорциональна (при данном расположении осп
шш)сшелыю тела) квадрату угловой скорости <о;
Т= {2-Ш. A)
Удвоенный коэффициент пропорциональности, т. е. ве-
величина /, называется моментом инерции тела относительно
оси АВ. Если тело состоит из п материальных точек с
массами ш,, т,, ..., т„, отстоящих от оси на расстояниях
ri>r-i< ■■-, г,ч '■'J мо,\1епт инерции выражается формулой
/ _ miri + tn2rl 1 ... ! тпг1 B)
Выражение момента иперппн chjiouihoio тела полу-
получается из B) применением схемы § 467. Именно:
. I) момент инерции / ставится в соответствие с обла-
областью D, занимаемой телом;
2) область D разбивается па части D,, D2, ..-, Dn.
При этом / распадается на части /ь /2, ,.., /„, в сумме
Д(НОЩИС /.
3) Примем, что в частице D( плотность и.& всюду такая
же, как в одной из ее точек Р*. Получим приближенное
равенство
п момент цнерщш h выразится приближенной формулой
/, л. а.г2 Д«, D\
686 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
4) Из приближенного равенства D) получас сея точное
равенство
Пример см. в § 46ti
Если ось ЛВ принять уа ось аплпкат, 'ю E) прини-
принимает вид
" Ш
Нел» данное тело ecu, пластинка, плоскость p
перпендикулярна к оси АН, то и.мисто тройною интеграла
F) получим двоЙноГ! интеграл:
где ц(х, у) - поверхностная плотность пластинки.
Если данное тело есть прямолинейный стержень, пе-
пересекающий ось ЛВ под прямым углом, то, совместив его
с осью ОХ (при этим будем иметь у^О), получим вместе
тройного интеграла F) обыкновенный интеграл
ь
1 - J" у. (я) х- dx, (8)
а
где ц {х) — линейная плотность стержня.
Заменами е. Моментом инерции геометрическою
тела называется момент инерции материального тела, зани-
занимающего то же пространство и имеющего всюду плотность,
ранную единице.
Формулы F), G), (S) принимают вид
с" \-y-)dxdydz, (lia)
I = $j(x4-y2)dxdy, Ga)
§ 469. Выражение некоторых физических н геометрических величин
через двойные интегралы
Наименование
величины
Площадь плоской
фигуры
Площадь куска
поверхности
(§ 459) ')
Объем цилиндри-
цилиндрического тела, стоя-
стоящего на плоскости
XOY (§ 452)
Общее
выражение
в
J J cos т
D
V=\\zda
в
В прямоугольных координатах
J I* dx dy
J f z dx dy
В полярных координатах
Sfrdrdv
*) Область D—проекции на плоскость ХОУ; в каждую точку области проектируется только
одна точка поверхности; -*—угол между касательной плоскостью и плоскостью ХОУ.
Продолжение
Наименование
величины
Общее
выражение
В прямоугольных координатах
В полярных координатах
Момент инерции
плоской фигуры')
относительно оси
OZ >)
Момент инерции
плоскойфиЕуры1)
относительно оси
ОХ
Координаты
центра тяжести
однородной
пластинки -)
//
Уе —
JJ (х-1 \-y*)dxdy
f f у- dxdy
Ji-
Jill
x dx d\
v dx dv
]> Совмещенной с плоскостью XOY.
2) Или, что то же, относительно центра О.
{ f r3 sin-
f [
rf." tf?
J i r^ sin ? dr d<?
§ 470. Выражение некоторых фиэнчесннх и re о метрических величин
через тройные интегралы
Наименование
величины
Объем тела
Момент инерции
геометрического
тела относитель-
относительно оси OZ
Масса физическо-
физического тела ')
О&щее
выражение
л
Л '
г- dv
• 1>
Б прямоугольных
координатах
ш™
Jf f pdxdydz
1) Через [1 обозначена плотность (функция точки).
В цилиндрических
координатах
J f f г dr (/9 dz
f f f 3 rf
Г Г Г
urdrdo dz
j j j
Б сферических
координатах
JJf p5 sin 0 d? dz» dd
"" •••-
Jf j {ip=sin6dpd(pd0
-
Продолжение
s
Наименование
величины
Координаты
центра тяжести _
однородного
тела
Общее
выражение
D
■*е у
Я/-
в
у
В прямоугольных
координатах
Г|| xdxdydz
V
J f j ydxdydx
V
$Hzdxdydz
V
В цилидрических
координатах
В сферических
коордимагах
i
471. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
691
§ 471. Криволинейный интеграл
Пусть дана функция Р(х,у), непрерывная в некоторой
области числовой плоскости XOY. Возьмем в jtuh обла-
области какую-либо лпшпо1) с началом в чочкс А (черт. 4E3,
464) и концом в точке В (конец может совпадать с нача-
началом).
Разобьем АИ (черт. 46,4) на п частичных дуг АА„
ДД2,..., Ац^В и для единообразия присвоим точкам А, В
Черт. 463.
Черт. 4U4.
обозначения А„, Ан. На каждой частичной дуге
вшыче.ч но точке М;(х(, у() и составим сумму:
+ Р C-tit. Ь)
(D
где A.v, есть приращение абсциссы, соотвегстиующее пере-
переходу отточки Л(_1 к точке Д-'2).
Hmi;l't .место следующая теорема.
Теорема. Если при неограниченном возрастании
стремится к нулю,
числа п напиолыпая из величин ] Дх,-
10, сумма (I) стремится к пределу, Не зависящему ни от
способа образования участков АгА(Л1> ни от выбора про-
промежуточных точек Mt.
С)нределсние.11редел, к которому стремится сумма
$п, ког-дд наибольшая т величин [ Дх{ [ стремится к нулю,
называется криволинейным интегралом выражения
Р(х, у) dx, взятым по пути А В.
кае
') Предполагается, что линия ЛВ обладает непрерывно меняющейся
лтелыюи, но допускается исключение для отдельных точек (в ко-
неиции числе), где касательная может измениться скачком, как в точ-
клх S, Т па черт. 464.
г) Did приращение может быть и положительным (KilK иа участке
AAt) и оiрицательным (к<ч< на участке А3А5).
441
692 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Обозначение.
j>(x,y) dx. B)
АВ
Аналогично определяется криволинейный интеграл вы-
выражения Q (х, у) dy, обозначаемый
\Q{x,y)dy> C)
АН
а также криволинейный интеграл выражения Р(х, y)clx+
+ Q (х, у) dy, обозначаемый
$ P(x,y)dx\-Q(x, v)dy. D)
АЛ
Интегралы B) и C) суть часгиые виды интеграла D) (при
Q = 0 иприР-О).
Таким же образом определяется криволинейный ин-
интеграл
J Р (х, У, z)dx+Q (x, у, z) dy + R (х, у, z) dz E)
АН
пдоль пространственной линии Ли.
Замечание 1. Если, сохранив линию АВ, изменить
направление цуги на противоположное, то криволинейный
пнтс1рал, сохраняя абсолютное значение, меняет знак.
Когда точки Аи В различны, направление пути отмечается
порядком букв А, Въ записях B) - E), и мы имеем-
J Pdx+Qdy = - J Pdx+Qdy,
SA А Я
J Pclx+Qdy + Rdz = - J Pdx+Qdy + Rdz.
НА АВ
Когда точки А и В совпадают, направление пути можно
задать указанием промежуточных точек в соответствую-
соответствующем порядке.
Такого указания можно не делать в случае, когда iivrb
представляет контур К плоской области. В этом случае
запись ( Pdx+Qdy обозначает, что обход области со-
вершается против стрелки часов (прн обычном расположе-
g 473. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 693
нии осей). Если же область обходится в потивоположиом
направлении, то криволинейный интеграл обозначается
J Pdx+Qdy.
-к
Замечание 2. Криволинейный интеграл является
обобщением обыкновенного интеграла1) и обладает всеми
его свойствами (§ 315).
§ 472. Механический смысл криволинейного интеграла
Пусть материальная точка М с массой т движется по
пути АВ в силовом поле. Пусть X (х, у, г), Y (х, у, г),
Z(x, у, г)-координаты вектора напряжения в точке
М (х; у; z), т. е. силы F, действующей в точке (х;у; z) иа еди-
единицу массы. Тогда работа, совершаемая силой, действую-
действующей иа точку М, выражается криволинейным интегралом
J m(Xdx+ Ydy + Zdz), A)
A3
Пояснение. Пусть АА(+1-малый участок пути
АВ. Работа иаэтом участке приближенно выражаетсяг) ска-
скалярным произведением (§ Ю4а) т F.A^+i, где Г(-векгор
напряжения в точке At. В координатной форме получаем
(§ 107) выражение т[Х,Дх,+ У(Ду* \-ZAzt]. Суммируя, иа-
ходим приближенное значение работы вдоль пути АВ.
Предел суммы, т. е. криволинейный интеграл A), дает
точное значение работы,
§ 473. Вычисление криволинейного интеграла -■
Чтобы вычислить криволинейный интеграл
$ P(x,y)dx+Q(x,y)dy, (I)
>) Если путь интегрирования АВ есть отрезок (а, Ь) оси абсцисс,
то криволинейный интеграл | Р (х, y)dx+Q{x, y)ily обращается
АВ
АВ
ь
в обыкновенный интеграл f р (х, 0) dx.
*) Мы заменяем криволинейный участок Д,Д, .j-i хордой A,Ai+t и
принимаем, что вдоль этой хорды напряжение поля остается неизмен-
неизменным.
694
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
надо представить линию ЛВ параметрическими уравне-
уравнениями
х = 9 (О, У = Ф @ B)
и подставить выражение B) в подинтегралыюе выраже-
выражение. Обыкновенный интеграл
J {Р[9@, Ф СО] 9'
), Ф(О]Ф'(О}<"
равен криволинейному интегралу A).
3 а м е ч а н и е. Одну из функций <р (/), i]> (() можно выбрать произ-
произвольно, лишь бы обе функции <р (f), i]> (() обладали Непрерывными про-
производными на всем промежутке (tA, tK), за исключением точек, где
касательная меняется скачком, как в точках S, Т на черт, 464. При
наличии таких ючен интеграл C)—несобственный (§ 328).
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл, ьая-
■гый вдоль пространственно!! линии.
Пример I. Вычислить криволинейны!! интеграл
J -ydx+xdy
D)
А О
Черт. 463.
вдоль верхней части полуокружности
xa'+ys = а- (черт. 4G5).
Решение. Представим дугу ЛВ
параметрическими уравнениями
х = acost, у - и sin l E)
(здесь t есть угол ВОМ, так что tA = т., th = 0). Подстав-
Подставляя E) в D), находим:
о о
I - \ -usinfii(acos0 + "cosf ii (usin ()^aBJ(i( =- -т-а-. @)
Можно принят!, аа параметр абсциссу х, т. с.
уравнение полуокружности в( виде у = У'а2 —хг. Тогда
хА = -а, хв = а, и получаем:
П
U
I X
— § 474. ФОРМУЛА ГРИНА 695
Чтобы принять за параметр ординату yt надо предвари-
предварительно разбить дугу АВ па части, иначе х не будет одно-
однозначной функцией ординаты.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
/= J {x-y2)dx±2xydy G)
ОАВО
вдоль периметра треугольника ОАВ
(черт. 466),
Решение. Разбиваем замкнутый
путь ОАВО на три участка О А, АВ,
ВО. На участке О А принимаем за пара- Черт. 466.
метр абсциссу (при этом у = 0, iiy=O),
на учаегке АВ-ординату (при этом х=1, dx-O), на
ЁО-абсциссу (при этом у = х, dy = dx). Имеем:
1
h = J (x-ys) dx l 2xy dy = J" x dx =^ -J ,
ил о
t
}i ^-" f (-V-y~) dx + 2xy dy = f 2y dy =- 1,
л и
и
*з -,- J (-^ - У2) (/x + 2xy ^У --= J (>-'+ x!) dx = - -|-;
§ 474. Формула Грина
Пусть D —плоская область, ограниченная контуром К
(черг. 467), и пусть всюду в этой области функции Р(х,у),
Q{x,y) непрерывны вместе с их частными производными
8х > U' ^0ГДа имеет место следующая формула Грина1):
J P(x,y)dx+Q(x,y)dy = J J (%L-*.)dxdy. A)
^Джордж ГрИ[Г A793-1841)-английский математик и фи-
физик, внесший крупный вклад в математическую теорию электричества
и магнетизма, ■ ' *
696 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример. Вычислить криволинейный интеграл / =
— f (х - уи) dx -i- 2xy dy вдоль периметра треугольника
ОАВ (черт. 4G6) (ср. § 473, пример 2).
Решение. По формуле (]), пола-
1ая Р = х-у2, Q^2xy, находим;
I
№
Тх)
Черь 467.
- f f Ay
dx ay.
Здесь область D есть треугольник ОАВ; вычислив двойной
интеграл, найдем;
= J dx J Ay dy = J 2x2 dx =
з '
§ 475. Условие, при котором криволинейный интеграл
не зависит от пути
Пус1Ь функции Р (х, у), Q(x,y), а также их частные
производные ~, -jj~ непрерывны в
области D (черт. 468), ограниченной не-
некоторой непрерывной замкнутой линией
(не пересекающей се,бя). Возьмем в
области D две фиксированные точки
А(хо;уо), B-(Xi, у,) и будем рассматри-
рассматривать всевозможные пути интс!рирова-
иия, ведущие из Л в В и расположен-
расположенные целиком в области D (гаковы пути
ALB, AN В на черт. 468). Возможны два
случая.
Случай 1 (исключительный). В области D тождест-
тождественно удовлетворяется равенство
дх ду ~ и" ^}
Тогда криволинейный интеграл
I~- f Pdx+Qdy B)
Черк
не зависит от выбора пути, н соответственно с этим
§475. УСЛОВИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ 697
обозначается:
S
J PiIx-\-Qdy.
А
Случай 2 (общий). Равенство A) ис является тожде-
тождеством. Тогда криволинейный интеграл B) зависит от вы-
выбора ПУТИ.
Пояснение. Разность /j — /, криволинейных интегралов
/, = f Pdx+Qdy, h= \ Pdx + Qdy раве(г сумме h+i-h),
AL8 ЛИВ
т. е. (§ 4^1, замечание 1) сумме Г Р dx + Qdy+ Г Pdx + Qdy. По-
ALS ПУЛ
слецн^ч дает интеграл по контуру AI.HNA, а пн равен {% 474) двой-
двойному интегралу /3= i | ( ~1T~J ах ^У по области ALBNA. Еслира-
венство A) есть тождестио, W fa—0, значит, Г, — /й, т. е. криволи-
криволинейные интегралы вдоль путей ALTi, ANB одинаковы. Если же ра-
равенство A) не является тождестпом, то можно
подобрать пути ALB и ANB так, чтобы /3 ^0, и у
Пример 1. Рассмотрим интеграл
/= jydx + xdy. C)
АВ
Функции Р (х, у) =- у, Q (х. у) — х,
яо t яр
-^"^1, -^- = 1 ВСЮДУ Непрерывны, Черт. 469.
и равенство (I) удовлетворяется то-
тождественно. Значит, при фиксированных точках А, В инте-
интеграл C) не зависит от пути. Возьмем, например, точки
А@; 0) и ВA; 1) (черт. 469) и вычислим интеграл I вдоль
прямолинейного пути ALB(y = х). Получим
1
Ialb = J х dx+x dx = 1.
о
• Если в качестве пути взять дугу параболы ANB(x~yt),
то получим снова 1ASB ~= J У d (у-)-i ya dy - 3 f у2 dy = 1.
о о
То же значение получим, идя вдоль ломаной АСВ. Вдоль
698 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
1
звена АС имеем: у = 0, iiy — О,1ак что lAC = J O-t/x = 0;
1
в дол. СВ имеем: х = 1, dx = U, так что 1(,в = f I -dy - 1.
о
Значит, /л(.д = 1Ао+ 1?& = 1.
3 а п и с ь: J =- f j' </х Ь х rfy = I.
Пример а. Сохранив точки Л@; 0), В(\; 1), рас-
рассмотрим интеграл 1~ ( у* dx + x2 dy. Равенство A) при-
А В
нимаст вид х~у~О, т.е. не является тождеством. 'Ин-
'Интеграл I теперь зависит от пути. Так, вдоль пути ALB
г 2
(черт. 469) имеем: I - I x2 dx-\ x2 dx - -$■, а вдоль пути
интеграл имеет иное значение ,
1 1
I = f ya rf (у2) 1-у4 rfv = f Bу3 ь vl) dv = -Л .
То жс- значение 7/щ получим вдояь дуги параболы у=хъ. И
вообще в случае 2 всегда можно специально подобратп два пути, вдоль
котор!лч ннгегр.ш имеет одинаковые значения.
§ 476, Другая форма условия предыдущего параграфа
Теорема 1 (п р и з и а к п о л н о г о д ф ф е р с н-
ц н а л а). Если равенство
удовлетворяется тождественно в области D, то для каж-
каждой точки этой области выражение Pdx+Qdy является
полным дифференциалом некоторой функции F(x>y). Если
же равенство A) не является тождеством, то выражение
g 476. ДРУГАЯ ФОРМА УСЛОВИЯ § 475 699
Р ilx I Qdy не является полним дифференциалом ни для
какой функция.
Пример 1. Для выражения у ilx \-xdy (здесь Р-=у,
Q-x) равенство (I) удовлетворяется тождественно во
всякой области. Поэтому ydx + xdy есть полный диффе-
дифференциал некоторой функции F(x,y)% В даииом случае
можно взять F (х, у) = ху или ху+3 и вообще ху + С.
П'р и м е р 2, Выражение у2 dx+x2 dy не может быть
полным дифференциалом пи для какой функции, ибо ра-
равенство (I), принимающее вид 2х~2у = 0, не является
тождеством.
Пояснение. Допустим, что у2 Ас +ха dy еегь дифференциал
некоторой функции F (х, у). Тогда мы имели бы: - - = у*, —-- = х*,
.г 5 /дР\ 3 /t>F\
Но это невозможно, ибо смецшщые производные-— (-—-1 и--- I—— I
(очи непрерыв[гы) должны быть равны (jj 443), т. е. должно тождествен-
тождественно удовлетворяться равенство -— (х*) —г— (у2) = 0, а этого нет,
В силу теоремы 1 условие§475 принимает/Следующий вид.
Случай 1 (исключительный). Выражение Р dx+ Q dy
является (в данной области) полным дифференциалом не-.
KOTOpoii функции F (х, у) (она называется первообразной).
Тогда криволинейный интеграл f Pdx+Qdy не зависит
ля
от выбора1 пути (пролегающего в данной области).
С л у ч а и 2 (общий). Выражение Р dx+Q dy не
является полным дифференциалом. Тогда криволинейный
интеграл зависит от выбора пути.
В первом случае, зиая первообразную, можно вычислить
значение интеграла, опираясь иа следующую теорему.
' Теорема 2. Если подынтегральное выражение Р dx+
-rQdy есть полный дифференциал функции F(x,y), то
криволинейный интеграл f P (х, у) dx+Q (x,y) dy равен
А
разности между значениями функции в точках В и А:
J Pdx+Qdy= J dF(x,y) =
= F(xl!yi)~F(x0,yi>). B)
700 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
Пример 3. Интеграл 7 = j 2ху dx+x2 dy прн фик-
сированных точках АA; 3), В B; 4) ие зависит от выбора
пути [иСо^-^-^-^Uo]. Требуется найти
значение /.
Р с зц е н и е. Выражение 2ху dx-vx2 dy есть полный
дифференциал функции х2у. По теореме 2 имеем:
l~ j d(x2y) = 2*-4-ls.3 = 13.
Замечание. Разыскать первообразную п общем слу-
случае столь же трудно, как непосредственно вычислить кри-
криволинейный интеграл.
Но во многих случаях разыскание первообразной облег-
облегчается. Так, если каждая из функций Р (х, у), Q (х, у) есть
сумма членов вида Axmyn (Л- постоянная, т и п-лю-
п-любые действительные числа), то первообразную находим
следующим образом. Вычисляем неопределенные интегралы
§P(x,y)dx, [Q(x,y)dy, считая постоянной-у в первом
интеграле и х-во втором. Полученные два выражения
объединяем, причем каждый из членов, входящих в оба
выражения, берем лишь по разу. Произвольные постоян-
постоянные, появляющиеся прн интегрировании, можно опустить,
так как достаточно иметь одну первообразную.
Пример 4. Найти криволинейный интеграл
■8A iD
-J@; ft)
[условие A) выполнено].
Решение. Находим: Jx(l + 2y3)t/x = ~+хгу3
(у считаем постоянным), f 3y-(xs~l)dy=xzy9~y3 (x счи-
считаем постоянным).
Объединяем эти выражения, причем член х2уа берем
один раз. Получаем первообразную F (х, у) = ~-у3+
+хгуэ. Формула B) дает: /=FA, I)-F(Of O)=Va-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 477. Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение,
содержащее производные неизвестной функции (или не-
нескольких неизвестных функций). Вместо производных мо-
могут входить дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента,
то дифференциальное уравнение называетея обыкновенным,
если от нескольких, то уравнение называется дифферен-
дифференциальным уравнением е частными производными. Здесь
рассматриваются только обыкновенные дифференциальные
уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения с одной не-
неизвестной функцией таков:
Ф (х, у, Г> У", - , у<">)-0. A)
Порядком дифференциального уравнения называется
порядок наивысшей из производных, входящих в это урав-
уравнение.
Примеры. Уравнение у =~ есть дифференциаль-
дифференциальное уравнение первого порядка, дифференциальное уравне-
уравнение у" + у = о — второго порядка, уравнение уа=х3 —
первого порядка.
Функция у = 9 (х) называется решением дифференциаль-
дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество
после подстановки у = ср(х).
Основной задачей теории дифференциальных уравнений
является разыскание всех решений данного дифференциаль-
дифференциального уравнения. В простерших случаях эта задача сводится
«•вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциаль-
дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс
разыскания всех решений - интегрированием дифферен-
дифференциального уравнения.
702 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ!; УРАВНЕНИЯ
Вообще интегралом данного дифференциального у рай*
пения называют всякое уравнение, не содержащее про-
производных, из которого данное дифференциальное уравне-
уравнение вытекает как следствие.
Пример 1. Функция y--sinx ость решение (инте-
(интеграл) дифференциальною уравнения второго порядка
УЧУ-0, B)
ибо после подстановки у =sin х равенство B) принимает вид
(sin x)"-i sin x = О, C)
т. е. становится тождеством.
Функции у~ у sin х, y=cos x, y=3 cos х-тоже ре-
решения уравнения B), функция y=sinx+ тгис является
решением.
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка
ху' + у = 0. D)
Функция
у-Я ©
есть решение уравнения D), ибо последнее после под-
подстановки E) обращается в тождество
1,5 , 1,5 г,
Вместе с тем уравнение E) есть интеграл дифферен-
дифференциального уравнения D).
Уравнение
ху = 0,2 F)
тоже является нитегралом дифференциально! о уравнения
D). Действительно, из F) следует, что (ху)'-О, а отсюда
(если применить формулу производной произведения) сле-
следует D). Из интеграла F), разрешив его относительно у,
ПОЛУЧИМ
у-<£. со
Функция G) есть решение дифференциального уравнения
D). Вместе с тем уравнение G) является интегралом урав-
уравнения D), _
Уравнения ху~Уз, ху=-2, ху = п н т.д. являют-
являются интегралами дифференциального уравнения D), а функ-
—, у = --, у s — и т, д. - решениями.
£ 479. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ 703
При м с р 3. Найти все решения дифференциального
уравнения первого порядка
у = cos х. (Н)
Рсше н и с. Неизвестная функция у = ср (x) есть перво-
первообразная для функции cosx. Наиболее общий вид такой
функции есть неон ре деленный интеграл f cos xtlx. Стало
быть, лее решения содержатся в формуле
у = smx-l С. (9)
Функция y=sinx+C, содержащая произвольную по-
постоянную С, есть общее решение1) уравнения (8), функ-
функция y-sin х (а также y=sinx + -2-, y-slnx-l и т.д.)
есть частное решение.
§ 478. Уравиевие первого порядка
Общий вид дифференциальною уравнения первого по-
порядка таков:
Ф(х,у,у) = 0. (])
Уравнение, разрешенное относительно у', имеет вид
У = / (х, У)- B)
Предполагается, что функция / (х, у) однозначно опреде-
определена и непрерывна в некоторой области; ищутся инте-
интегралы, принадлежащие этой области.
§ 479. Геометрическое истолкование уравнения
первого порядка
Линия L (черт. 470), изображающая какой-либо инте-
интеграл дифференциальна о уравнения
v, „ 4(Х v\ /14
У I \гч У/г V1/
называется интегральной линией этого
уравнения.
Производная у' есть угловой коэф-
коэффициент касательной Т'Т к интегральной 0 х
линии. Еще до того, как найдена иите- черт. 470.
тральная линия, проходящая через даи-
№ю точку М(х; у), мы можем из уравнения A) найти у
и провести через М прямую Г' Т. Последняя Укажет паправ-
М Определение общего п частного решения дифференциального
уравнения см. в § 481 (для уравнения первого порядка) и в §§ 493,
494 (для уравнений высшего порядка).
704
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
леиие искомой интегральной линии. Множество прямых
Т'Т, соответствующих всевозможным точкам рассматривае-
рассматриваемой области, называется полем направлений уравнения A).
Задача интегрирования уравнения A) геометрически
формулируется так: найти линии, у которых направле-
направление касательной всюду совпадает с направлением поля.
Если поле направлений изобразить короткими и густо
расположенными черточками (черт. 471,472), то интеграль-
интегральные кривые можно построить
(приближенно) на глаз.
Пример 1. На черт. 471
изображено поле направлений
уравнения
dx
— --"' •*■
Черт. 471.
Уравнение B) выражает, что
направление поля в точке
М (х, у) перпендикулярно к
прямой ОМ (угловой коэф-
коэффициент направления поля
есть -~, а угловой коэффициент
прямой ОМ есть -^). Легко усмотреть, что интегральные
линии суть окружности с центром в точке О. Стало быть,
интегралы уравнения B) имеют вид
хЧуг = а3, C)
где аг ~ постоянная, которая может принимать любое
положительное значение. Функции
являются решениями уравнения B), что легко проверить.
Замечание. Согласно § 478, точки оси ОХ надо
исключить из рассмотрения, ибо функция f(x,y) = -j
в этих точках не определена. Однако мы и в этих точках изо-
изображаем направление поля (вертикальными черточками).
Тем самым мы расширяем смысл уравнения B) (в согла-
согласии с его геометрическим истолкованием).
Имеиио запись B) мы понимаем как совокупность двух
уравнений:
4х ~ у ' dy х ' ^ '
I 4?9. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСтОЛКОПЛПИЕ 705
Во втором ураинеиик х рассматривается как функция аргу-
аргумента у. В соответствии с этим мы считаем решениями
ие только интегралы D), но также и питстра.чы
x = Ya2-y2, x --= - у а'-ул. Dа)
Уравнения Bа) равнозначны во всех точках, не лежа-
лежащих па ослхОЛ", OY. Второе из уравнении Bа) заменяет пер-
перцу е во псех точках оси ОХ (кроме точки О). Точка О
все 'же остается исключенной. Эчо и естественно: через
нее не проходит ни одна интегральная линия (окружность
х- | у* = а'1 порождается в точку).
Уравнение B), рассматриваемое в расширением смысле,
предпочтительно записывать и виде
xdx + ydy = 0. E)
Здесь подчеркнуто равноправие переменных х,у. Уравне-
Уравнение E) можно преобразовать к виду d (х2 + у*) = О. Зна-
Значит, х2-*-у2 еегь постоянная,
и мы снова получаем интс- г
грал C). ч » ',!,'',
И р и м е р 2. На черт. 472 ч * \ » • i / ' '
плпСражепо iiojic направлений ""чЧчч \\li, '*''+*
уравнения "* - „ч Оч%о]|#/'<- *!.*"*
Интегральные лгшпи — прямыс **/* ! ч
у = Сх. Понимая уравнение ^ ' / ' ! v vч N
(G) в расширенном смысле (см. ' ' / ! \ х *
нише замечание), мы можем
изобразит:, поле направлений Черт. 472.
также и в любой точке оси OY
(кроме точки О). Получаем вертикальные черточки, распо-
расположенные вдоль нертикальной прямой. Значит, эта прямая
(х " 0) присоединяется к интегральным линиям у = Сх.
В точке О направление ноля остается неопределенным:
здесь скопляются интегральные линии всевозможных па-
правлении.
, Функции
у = Сх (С-постоянная), G)
а также функции
х = С\у (Ci-rfoci-оянная) Gа)
45 М. Я. Выгодский
706
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
являются решениями (интегралами) уравнения F). Инте-
Интегралами являются также уравнения
У „ О _ — О Г* In
Т~С' У ~L> у» ~Cj Ш
и т.д.
Уравнение F) записывается в виде
Если разделить (9) па х", получим:
,С (8)
(9)
ZQ- = 0, т. е.
(*Пг) = 0. Отсюда получаем интеграл^ = С.Разделив(9)
на у2, получим: ~~ Сг (здесь Сх = ~\.
ПримерЗ. Полу направлений Уравнения вида у'^--} (х)
рассматривалось в § 295 (примеры 1-3). Интегральные
линии у = f / (x) dx отстоят друг от друга иа равном рас-
расстоянии (по направлению оси О У).
§ 480. Изоклины
Построение поля направлений уравнения у'=^}(х,у)
облегчается, если предварительно начертить линии рав-
равного наклона (изоклины);
это —такие линии, вдоль
которых функция / (х,у>
имеет постоянное значение.
Во всех точках какой-либо
изоклины направление по-
поля -Одно и то же.
Пример. Изоклины
уравнения у = х--}-у" суть
окружности х2+у2 — йа
(черт. 473). Во всех точках
окружности х2 + у'~Х (ра-
диус ОС принят за еди-
единицу масштаба) угловой ко-
коэффициент у' направления
черт. 473. ноля раоеи единице, во
jjccx точках окружности
х3+у! = 2 (радиуса OD = f2) имеем у' — 2 и т. д. Инте-
Интегральные линии изображены жприымн кривыми,
I 481. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ 707
3 а м е ч а ы и е. На практике прн пользовании изокли-
изоклинами иетиужды изображать поле направлений черточками.
Достаточно снабдить каждую изоклину числовой пометкой,
дающей зиачеине углового коэффициента. На чертеже, где
нанесены изоклины; изображается, кроме того, густой пучок
лучей и при каждом луче помечается его угловой коэффи-
коэффициент. Решение получается построением черточек, парал-
параллельных соответствующим лучам.
§ 481. Частное и общее решение уравнения
первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
у'--=/(*, У) A)
имеет бесчисленное множество решений (см, примеры
§ 479), Как правило, через данную точку рассматриваемой
области (§ 478) проходит ойиа-единствениая интеграль-
интегральная линия1). Соответствующее решение уравнения A) на-
называется частным решением, совокупность всех частных
решений называется общим решением. Общее решение
дифференциального уравнения A) стараются представить
в виде некоторой функции
у ~ ф (х, С) (С-постоянная), B)
которая дала бы любое частное решение (при надлежаще
выбранном значении С). Такое представление иногда не-
невозможно даже теоретически, а на практике удается лишь
для немногих (но важных) классов уравнений (§§ 482-486).
Частное же решение, проходящее через данную точку
(х0; у„) можно всегда найти, если не в виде точного вы-
выражения через элементарные функции, то приближенно
(с любой точностью; §§ 490, 491). Числа ха, у„ называются
начальными значениями.
Интеграл дифференциального уравнения A) называется
общим, если он равносилен общему решению, и частным,
если он равносилен одному частному решению или не-
нескольким.
Пример 1. Найдем частное решение уравнения
хйх+ydy = 0 ■ C)
а) Исключение возможно лишь для точек, где частная производная
Jy (х> У) Разрывна или не существует,
43*
708 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(§ 479, пример 1) при начальных значениях х„ = 4, уо~ -3.
Интегральные линии уравнения C) суть окружности с цен-
центром @; 0). Через точку AioD;-3) проходит интегральная
линия х2 + у3 = 25. Это уравнение есть частный интеграл
уравнения C). Он равносилен двум частным решениям:
Второе является искомым (первое ис проходит через А10).
Пример 2. Частное решение Уравнения C), прохо-
проходящее через точку (х0; у0), имеет вид
у ~ fxl+y^-x2, если у0 >■ 0; D)
х*, если у0 <: 0. E)
В случаях, когда уо=О, т.е. когда точка (х0; у0) лежит
на оси ОХ, частное решение (согласно замечанию к при-
примеру 1 § 479) имеет вид
х = Vxg-y2, если х0 ^ 0; (б)
х = - У4-У2^ если х0 ■< 0. G)
В точке хо=О, уо=О (начало координат) частного реше-
решения нет.
Совокупность частных решений D), E), (б), G) обра-
образует общее решение дифференциального уравнения C).
Если обозначить постоянную величину xg-i-yg через С%
то общее решение можно записать в виде
у = ± Усз-ха. , ,, (8)
Уравнение - \ "^
х3+у2 = С3, (9)
равносильное общему решению (8), есть общий интеграл
уравнения C).
§ 4S2. Уравнения с разделенными переменными
Если дифференциальное уравнение имеет вид
Р (х) dx+ Q (у) йу = 0 A)
(коэффициент Р зависит только от х, коэффициент Q-
только от,у), то говорят, что переменные разделены (или
отделены).
§ 482. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 700
Общий интеграл уравнения с разделенными перемен-
переменными представляется Уравнением*)
J Р (х) dx+ f Q (у) dy ~ С (С - постоянная). B)
Чтобы иайти частный интеграл при начальных значе-
значениях xOj у0, можно поступить так: подставив х0, у0 в B),
находим соответствующее значение С — Со. Искомый ча-
частный интеграл будет f Р (х) dx i- [ Q (у) dy = Со. Когда
общее решение нас не интересует, частное решение лучше
находить непосредственно но формуле
Q(y)dy = O. C)
Пример. Найти частное решение уравнения
sinxdx+-^= О (А)
Vy
при начальных данных х0 ~ —-, у0 — 3.
Решение. Общий интеграл уравнения D) есть
Jsinxrfx + J-^:= С или -cosx+2 fy = С. E)
Полагая здесь х = у, у = 3, получаем С = 2 ][3; искомое
частное решение есть
1, - BКТ + СО5Х)* (в)
Его можно прямо получить по формуле
а) Здесь и в дальнейшем символ Г обозначает какую-либо одну
первообразною функцию, т. е. произвольное постоянное слагаемое не
учитывается. Впрочем, не будет ошибки, если в интеграл I P (x) dx
включить постоянное слагаемое Cj, а в интеграл Г Q (у) dy~слагае-
dy~слагаемое Cj. Но решение без нужды прилет более сложный вид.
710 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 483. Разделение переменных.
Особое решение
Уравнение вида X1Y1dx+X-iY2dy~0, где функции Xt
н Х2 зависят только от х1), а функции У\, Y2 — только
от у, приводится к виду A) § 482 делением иа Y^X^ Про-
Процесс приведения называется разделением переменных.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
ydx-xdy = 0. A)
Разделив на ху, получаем уравнение
f-f-O, — ■: B)
где неременные разделены. Интегрируя, находим:
\n\x\-\n\y\~C, D)
ими
X
Ы
У
= С. ■ Dа)
Если ввести новую постоянную Сь связанную с С зави-
зависимостью С в= InClf то вместо Dа) можно написать:
f - Ct D6)
(ср, пример 2 §479),
Замечание. 1. Пусть значение у = к служит корнем уравнения
У1=0. Тогда функция у = к (сводящаяся к постоянной величине Щ
служит одним из решений дифференциального уравнения XiYid\ +
+ A'sl'jdy ™ 0 (ибо при у=»Аимеем dy=O и по условию У^О). Это
решение может утеряться при делении иа ViX2. Точно так же может
утеряться решение вида х =1, где / —корень уравнения Ха =0. Так, в
примере 1, получив решение D), мы утеряли частное решение у=0
дифференциального уравнения A), а также частное решение х~0.
Вед], равенство D) лишено смысла как при у — 0, так и при х =0 (число
нуль не имеет логарифма).
■ Освободившись в равенстве Dа) от логарифмов, мы снова ввели
решение х—0 (при ^=0).
Пример 2. Найти все решения уравнения
Yl^y*dx-ydy = O. E)
Решение. В пределах полосы, ограниченной парой
прямых у- +1, по меньшей мерс одна из функций
j573=-(=■§■)• 7f^(=^) °Днозна1!НО определена и
*) Одна из них или оСе могут быть постоянными; то же для функ-
функций Уи У,.
§ 484. УРАВНЕНИЕ Й ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 711
непрерывна. За пределами этой полосы ни одна из упомя-
упомянутых функций не определена. Значит (§ 478), все инте-
интегралы уравнения E) лежат в полосе, ограниченной пря-
прямыми у -= ± 1. ___
Делим уравнение E) иа tfl-y2. Получаем уравнение
где переменные разделены. Интегрируя, находим
X~ УТ^у* = С
или
х~С= fC^-f. F)
Это уравнение представляет семейство полуокружно-
полуокружностей, изображенное иа черт. 474. Но оно содержит не все
интегральные липни уравнения .
E)|_ряаделив последнее на ц Аи (a D
^i~y2, мы утеряли решения —:—
у=1 и у— — 1 (прямые «v,
u'v иа черт. 474).
Замечание 2. Утерянные
здесь решения не Являются част- . ._ _ .
ными (в противоположность реше- и' ~7' v
пням, УТбрннным в примере 1). Ведь
частным решением мы назвали (§ 481) 4ерт. 474.
такое, которое единственно при не-
некоторых начальных значениях. Между тем через каждую точку реще-
ния у = \ проходит по два решения: например, через точку Mq @; 1)
(черт. 474), кроме прямойу = 1, проходит полуокружность х = /l —у*,
которая изображает еше одно решение уравнения E); это решение
получается из (б) при С =0,
Уравнение F), хотя оно не охватывает всех решений,
содержит все частные решения (полуокружности), н пото-
потому t является общим интегралом уравнения E). Решения
у=1,у = —1 называются особыми.
Вообще интеграл дифференциального уравнения пер-
первого порядка называется особым, если через каждую его
точку проходит i[O крайней мере еще один нитеграл.
§ 484. Уравнение в полных дифференциалах
Если коэффициенты Р (х, у), Q (х, у) в уравнении
P(x,y)dx+Q(x,y)dy = Q A)
удовлетворяют условию
ну дх' \ W
712 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
то левая часчь A) есть полный дифференциал некоторой
функции Ь" (х, у) (первообразная функция выражения
Pdx+Qdy; см. § 476). Общий интеграл урапне-ния A)
будет:
F (х, у) = С. C)
Пример. Найти частный интеграл уравнения
r=O D)
при начальных данных х0 =-1, у0 -1.
Решение. Условие B) выполняется. При этом функ-
функции Р (х, у) = 1--^-, Q = 1 1--г разлагаются на члены
вида Ахтул. Поэтому первообразную функцию находил!
(§ 476, замечание) так.
Выполняем интегрирование
f (l-^) fix = х+ ^ (при noci-ояниом у),
I A + ^) с1У ^ У"^эГ ^ПРН ппст°янном х).
Обьединяем эти выражения, сохраняя член — только
одни раз. Функция х+у+~ есть первообразная. Общий
интеграл будет:
J = С. E)
Подставляя начальные данные х=1, у=1, находим С =
Искомый частный интеграл есть х + у + ^- = 3.
§ 484а. Интегрирующий множитель
Если коэффициенты Р (х, у), Q (х, у) в уравнении
Р(х, y)dxl-Q(xl y)dy = O A)
Не удовлетворяют условию
то левая часть A) ис является полным дифференциалом.
Но иногда удается подобрать такой множитель М (х, у),
чтобы выражение М (Pdx+Qdy) стало полным диффе-
§ 483. ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 713
ренциалом некоторой функции Fx (х, у). Тогда общин ии-
теграл есть
Функция М (х, у) называется интегрирующим множи-
тилем.
Пример. Левая часть уравнения 2у dx + х dy — О
не является полным дифференциалом. Но по умножении
иа х получается:
xBydx-\-xdy) = d(x2y).
Общий интеграл данного уравнения есть
ха-у - С.
3 а м с ч а н и е. Всякое дифференциальное уравнение
имеет интегрирующие множители (и даже бесчисленное
множество их). Но общих приемов для их отыскания нет
§ 485. Однородное уравнение
Дифференциальное уравнение
Mdx+Ndy = 0 . A)
называется однородным, если отношение — можно пред-
представить как функцию отношения —■. Это отношение мы
будем обозначать буквой /:
Так, уравнение
(у + Vx^fp) dx - х dy = 0 .C)
-однородное, нбо
м
= ~t~fTTF2. D)
С помощью подстановки
у = tx (откуда dy = tdx + x dt) E)
всякое однородное уравнение приводится к Уравнению
с разделяющимися переменными,
714 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Проинтегрировать уравнение C) при на-
начальных условиях хо = 3, уг, = 4.
Решение. После подстановки E) уравнение C) при-
принимает вид
jx'+x'Pdx-x'dt •= 0 F)
или ___
|х[ yi+t*dx-xsdt = 0. G)
Переменные разделяются. Получаем
dx dt
Х\
(8)
При разделении переменных мы утеряли решение х = 0.
Однако оно заведомо ич удовлетворяет начальным условиям.
Так как интегрировать надо при начальных условиях
хо = 3, ta= — —-~ , то абсцисса х положительна (см. ни-
же замечание), и надо положить
| х | = х. (9)
Получаем
откуда
1пх-1пЗ = Ia(t+fl + p)-ln3. A1)
Заменяя t на ^ и потенцируя, nonv4aefA частный интеграл:
Соответствующее частное решение есть
У = ^- A3)
Замечание. Левая часть формулы A0) не имеет смысла, когда
верхний предел равен нулю или принимает отрицательные значения-
Поэтому мы должны были при разыскании решения ограничиться по-
положительными значениями х. Дает ли функция A3) решение урав-
уравнения C) также и при х < 0, это надо дополнительно исследовать.
Подстановка выражения A3) в левую часть C) показывает, что фунК-
хэ — 1
ция у = '-—^— дает решение для всех значений х.
П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение C) при на-
начальных условиях х0 = - 3, уо=- 4.
§ 486. линейное Уравнение перйоГо порядка 715
Решение. Последовательность действий та же, что
в примере 1. Однако вместо (9) надо положить
]х|= -х, (9а)
так что вместо A0) получаем
откуда
— In I х j +-In 3 = 1п(/+^Ш=)-1п^-. (Па)
Вместо A2) получаем
или
_ А =.£-/*+£ A26)
(знак минус перед последней дробью появился потому,
что при х •* О имеем Fс2 = —х). И.ч A26) получаем иско-
мсе частное решение
Оно совпадает с решением примера 1 (ср. замечание к
примеру 1).
Если, не обратив внимания иа (9а), мы вместо (Юа)
воспользовались бы формулой A0), то получили бы оши-
ошибочный результат.
§ 486. Линейное уравнение первого порядка
Дифферсициалыюе уравнение первого порядка
Mdx + Ndy = 0 A)
м
называется линейным.t если отношение — содержит у
лигнь в первой степени («линейно»). Лииейное уравнение
принято записывать в виде
У' + Р(х)у = Q(x); B)
здесь Р (х) и Q (х)~ какие угодно (непрерывные) функции
от х.
7i6 Дифференциальные уравнения
Если, в частности, Q(x)-O, ю уравнение B) НазЫ»
вастся линешшм уравнением без правой части 1). В этом
случае переменные разделяются, и общее решение имеет
вид
у = се-!**. C)
Пример 1. Найти общее решение линейною уравне-
уравнения без правой части
Решение, Разделяя переменные, получаем:
dy _ xdx (кк
откуда
in|y|»|ln(l + x«) + C - F)
НЛИ
у = CX fUtf, Fa)
где Сг^ес. Тот Же результат мы получили бы по фор-
формуле C)(приР= -i^r):
Замечание 1. Частное решение у = 0, получаемое
из (ба) при Cj^-O, нельзя получить из F); это решение
утерялось при делении уравнения D) на у. Освободившись
от логарифмов, входящих в F), мы снова ввели решение
у=0. Ср. § 484, пример 1.
Замечание 2. На практике применение готовой
формулы C) не дает существенного преимущества перед
последовательными преобразованиями, показаниымив при-
примере 1.
Линейное уравнение с правой частью [в нем ф(х)иО]
нитегрируется следующим образом: находим общее реше-
решение C) соответствующего уравнения без правой части;
1) Линейное уравнение без праной части называют также однород-
однородным. Но это наименование имеет еще другой смысл (§ 485).
§ 486. Линейное уравнение первого порядка 1П
в этом решении заменяем постоянную С неизвестной
функцией и. Полученное выражение подставляем в B).
После унрошеииЙ переменные и, х разделяются, и, инте-
интегрируя, мы найдем выражение и через х. Функция
у — це~'ра* будет обшпм решением г) уравнения B).
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Оишее решение соответствующего уравне-
уравнения без правой части есть (см. пример 1) у = С ^l + x^.
Заменяя постоянную С неизвестной функцией и, полу-
получаем:
у = и КТ+х", (8)
откуда
Подставляем (8) и (9) в G). После упрощений находим:
аи __ х
dx ~ ГГ+**'
Отсюда получаем выражение и через х:
В силу (8) и A0) общее решение данного уравнения бу-
будет:
Это общее решение выражается формулой
Це^^+С,]^"* (А)
!) Тот же результат [при Р = —г—-— , Q •= х\ получим по
формуле(А):
~[]
хахе
718 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание. Аналогично интегрируется уравнение
-^-iP(y)x- Q(y), A2)
получаемое из B), если поменять ролями х и у.
§ 487. Уравнение Клеро
Уравнением Клеро называется уравнение шгда
у = ху' + 9 (у')- A)
Его общий интеграл ьсть
у = хС + 9 (С). B)
Кроме того, уравнение Клеро имеет особый интеграл
(§ 483); последний получается исключением параметра t
нз уравнений
х = -9'(О, У= -/9'@+9 @- C)
Общий интеграл B) изображается совокупностью прямых
линий, касающихся некоторой кривой L. Особый инте-
интеграл изображается са-
самой кривой L[уравнения
C) представляют ее в па-
параметрическом виде].
П р и м ер. Уравнение
у = ху-у'2 Aа)
есть уравнение Клеро.
Общий его интеграл
изображается совокуп-
совокупностью прямых (черт.
475), касающихся пара-
параболы
Уравнение D) есть особый интеграл. Он получается
следующим образом. В данном примере имеем 9 @ = -Is,
9' @ = -2/, и уравнения C) принимают вид
x=2t, y = t*. (За)
Исключив t, получаем D).
£ 488. ОГИБАЮЩАЯ 719
Пояснение. Покажем иа примере уравнения Aа),
как получается уравнение особого интеграла.
Кривая L, касающаяся интегральных линий Bа), сама
тоже оудст интегральной линией (ибо направление ее всюду
совпадает с направлением поля). Чтобы разыскать кри-
кривую L, учтем, что она должна иметь с каждой из прямых
у = Сх-С* E)
по одной общей точке N (х; у). Величина С, 6удучн по-
постоянной для каждой прямой E), меняется от одной пря-
прямой к другой, так что координаты х, у суть функции от
С. Найдем эти функции. Так как точка N (х; у) лежит
па прямой E), то мы должны иметь тождество
у = Сх-С2. F)
Так как в точке Л/ направлеиия_ линии L н прямой E)
совпадают, то дифференциалы dp, dx должны иметь то
же отношение, что п дифференциалы dx, dy координат
прямой E), т. е. должно быть:
dy = С dx. G)
Вместе с тем дифференциалы dx, dy должны удовлетво-
удовлетворять равенству
dp = С dx+х dC ~ 2C dC, (8)
полученному дифференцированием тождества F). Сравни-
Сравнивая G) с (8), получаем: (x-2C)dC = 0, т. е.
х = 2С. (9)
Таково выражение функции х. Подставляя это в F), на-
находим:
у = С«. (Ю)
Уравнения (9), A0) отличаются от (За) лишь обозначе-
обозначениями.
§ 488. Огибающая
Определение 1, Множество линий называется се-
семейством (однопараметрическим), если каждой линии
можно поставить в соответствие определенное число С
(параметр семейства) таким образом, чтобы непрерыв-
непрерывному изменению параметра С соответствовало непрерыв-
непрерывное видоизменение j/ииии. Уравнение вида
720 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где / (х, у, С)-непрерывная функция трех аргументов х, у,
С, представляет семейство линий на плоскости. Отдельные
линии семейства соотвстстпуют отдельным значениям. С.
Урапнение A) называется уравнением семейита.
Пример 1. Уравнение
у = Cx-Cs
представляет семейство прямых линий, изображенное на
черт. 475. За параметр семейства принят угловой коэф-
коэффициент прямой.
Пример 2. Уравнение
(х-С)* + у« = 1
представляет семейство окружностей радиуса 1 с цент-
центрами на оси ОХ (черт. 474 на стр, 711). За параметр при-
принята абсцисса центра.
Пример 3. Урапнение
представляет семейство окружностей с центром в О (О, О).
:ia параметр принят радиус.
Определение 2. Огибающей данного семейства
называется такая линия, которая в каждой своей точке
касается одной из линий семейства.
Б примере 1 огибающая есть парабола у = -^ х3
(ср. § 487), в примере 2 огибающая есть пара прямых у = ±1,
в примере 3 огибаюшей нет.
Теорема. Огибаюшая семейства A) принадлежит так
называемой дискримипантпой линии, т. е. геометриче-
геометрическому месту точек, удовлетворяющих уравнениям
/(х,у, С) = 0, Го(х,у,С) = 0 B)
при всевозможных значениях С. Если исключить С из
уравнений B), получим уравнение днскриминантнои лнпии.
Замечание 1. Не исключено, что дискриминаитная
линия лишь частично покрывается огибающей, а может
даже случиться, что дискриминантная линия существует,
но Уг семейства A) вевсе нет огибаюшей.
Пример 4. Дискрнминантная линия семейства пря-
прямых у ~ Сх-С* представляется системой
у » Сх-Сг, х~2С = 0.
Исключив С, получаем уравнение у = -^ х2. Дискри-
минаитиая линия есть парабола, совпадающая с огнбаго-
щей семейства (ср. пример § 487).
§ 490. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
721
Пример 5. Дискриминантная линия семейства ок-
окружностей
(х-су+у* = 1
представляется системой
(х-С)г-Ьуг = 1, -2 (х-С) = 0.
Исключив С, получаем уравнение у3 = 1. Дискрими-
нантиая линия (пара прямых у. = + 1) совпадает с оги-
огибающей (ср. § 483, пример 2).
Примет 6. Дискриминантная линия
семейства полуку6ичсских парабол
(у-СJ = х3 (черт. 47t>) есть прямая х = О,
но у данного семейства нет oi ибаюшей.
Замечание 2. Если семейство (I)
изображает общий интеграл некоторого
дифференциального уравнения, то огибаю-
огибающая представляет особый интеграл. Если
нет огибающей, нет и особого интеграла.
§ 489. Об интегрируемости
дифференциальных уравнений
Б §§ 482-487 были рассмотрены важ-
важнейшие типы уравнений первого порядка,
решение которых сводится к разысканию
интегралов от известных функций1), О таких
уравнениях говорят, что они приводятся
к квадратурам.
Б практике встречаются н такие урав- Черт. 476.
нения первого порядка, которые не при-
приводимы к квадратурам. При решении уравнений высших
порядков такие случаи встречаются еще чаше. Для реше-
решения уравнений, не приводящихся к квадратурам, пользуют-
пользуются приближенными методами. О них см. ниже §§ 490-492.
§ 490. Приближенное интегрирование уравнений
первого порядка по методу Эйлера
Пусть дано уравнение
У = /(*, У) 0)
при начальных условиях х = х0, у = у0. Требуется найтн
его решение в некотором промежутке (х0, х). Делим этот
промежуток на п частей (равных или неравных) последо-
последовательными точками xv х2, ..., Xn_L (черт. 477).
1) Эти интегралы могут не выражаться через элементарные функ-
функции (| 309).
46 М. Я. Выгодский
722
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На участке (хи, хг) полагаем:
У = Уо hf(x0, уа) (х-
B)
0 берем ее
т. е. вместо искомой инте1 ральной линии
касательную MOMV
В точке х = xt получаем приближенное значение иско-
искомого решения
У1 = Уо + /(Хо, Ун) (Xi-Xo) = З'щ+/(ХО, у„) ДХ0. C)
На участке (xlf x5) полагаем:
У "= yi+f(xi, Vi) (x~Xj),
т. е. вместо искомой интегральной линии М0К<> берем ка-
сательную МгМ, к интегральной линии A^Ki (при этом
возникает двойная погрешность: касательная MtM2 откло-
у м у пяется от линии МгК-1, а послед-
MjJ^-Kt няя не совпадает с искомой ли-
■ -к, нией M0KQ). Продолжая процесс,
'К$ получаем последовательные при-
приближенные значения
Уз ■= У
Уз =
, Ух)
, Уз)
3V Х2 xi
Черт. 477.
У» -
„_1, Уп-i)
D)
При достаточном измельчении данного промежутка до-
достигнем любой требуемой точности, но ценой большого
труда. Поэтому способ Эйлера применяется лишь для
грубых приближений. Чаще всего выгодно делить проме-
промежуток (х0, х) иа равные части.
Пример. Найти приближенное решение уравнения
в промежутке @, 1) при начальных данных х0 = 0, у„ = 1
[здесь f(x, y) = ~xy].
Решение. Делим промежуток @, 1) на 10 равных
частей, так что
Дх0 = Дх^ = ... ^ AXg = 0,1,
§ 491. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ 723
По формулам C) н D) находим последовательно:
У1 = Уу + ^-ЗД ДХО^ 1 + ^-0-1-0,1 = 1,
yz = yl-h^x}y1^x1^ l+~.0,1-1-0,1 « 1,005
и т. д. Вычисления располагаются по следующей схеме:
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,3
0,E
0,7
О,«
»,я
1,0
У
1
1
1,003
1,0151
1.030J
1,0509
1,0772
1,1095
1,1487
1,1940
1,2484
&У = уг ху АХ
0
0.005
0,0101
0,0152
0,0200
0,0263
0,0323
0.0392
0,0459
0,0338
Истинное значе-
значение у
1
,0025
,0100
,0227
,0408
,0643
,0942
лМЪ
,1735
1.2244
1,2840
Из первых двух столбцов составляется таблица прибли-
приближенно! о решения. Данное уравнение допускает и точное
решение по формуле f -£■ = f vx dx, откуда у = е* .
1 ' О
Соответствующие значения у даны п последнем столбце.
Сравнение с nt-рвым столбцом показывает, что погрешность
последовательно возрастает л при х = 1 достигает 2,9%.
§ 491. Интегрнрование дифференциальных уравнений
с помощью рядов
Решение уравнения
Г = fix, У)
(О
при начальных условиях х = Xq, у = у0 можно искать в
виде рядгг, расположенного по степеням х — х0, т. е. в виде
■■■ + са(х-х„)п-\- •■• B)
Множители с1т с*, ,,., с№, ... находятся по методу неоп-
неопределенных коэффициентов (§ 307) или другими способами.
46*
724 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Метод рядов в применении к дифференциальным урав-
уравнениям систематически применялся Ньютоном (§ 292).
В противоположность методу Эйлера, даюшему решение
в виде таблицы (§ 490), здесь решение получается н виде
формулы. Но последняя не пригодна вне промежутка сходи-
сходимости ряда. Теоретически возможны и такие случаи, когда
решение не представимо рядом (ср. § 400). Теоретическое
исследование вопроса было выполнено О. Коши. С. В. Ко-
Ковалевская J) исследовала аналогичный вопрос для уравне-
уравнений с частными производными.
Несмотря на вышеуказанные ограничения, метод рядсв
имеет важное практическое значение.
П р и м е р. Найти решение уравнения
У'=^Ч C)
при начальных условиях х0 = 0, у0 = 1.
Решение. Согласно формуле B) полагаем:
у = l-hc1x+cix2 + c2yfl-\-ciy^-h ... D)
Коэффициенты еъ cSt c3t ... пока не известны. Диффе-
Дифференцируя D), находим:
у' = с1+2сгх-ь3с3хг-ь4с4ха-ь • • • E)
Подставив D) и E) в C), получаем;
Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых сте-
степенях буквы х. Получаем соотношения
Ч = 0, 2са - 1 Зс3 = у clt 4cA = У2, ... G)
Из них последовательно находнм коэффициенты
Ci = 0, с3 = \-, са = 0, с4 = -^, с5 = 0, ... (8)
Искомое решение имеет вид
1) С о ф ь я Васильевна Ковалевская A850 — 1891)-
знаменитый русский ученый. Ей принадлежат важные результаты в
области математики, механики и теоретической физики, а также ряд
публицистических и художественных произведений.
I 492. О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ 725
При х = 1 получаем: у ~ 1,2839 (ср. таблицу § 490).
Разложение (У) совпадает с разложением функции е*:
е* - 1+-+-^) +-(-) + .,. A0)
Другое решение. Дифференцируй последова-
последовательно равенство C), находим:
l =^y+^-*n (И)
У" - (' У + 1-ХУ')' - У' + ~ху", A2)
yiv = (у -v^xy") = ^у+.^ху»' A3)
и т. д. Подставляя в C) начальные значения х0 = 0, у0 = I,
находим у'о = 0, затем из (И) получаем:
„ _ i 1 , I
Таким >к^ образом находим :
и т. д. Подставляя найденные значения в ряд Тейлора
У,— Уо + /ох+2! + ЗТ +^Г + • ' • '
снова получаем ряд (9).
§ 492. О составлении дифференциальных уравнений
, Процесс составления дифференциального уравнения по
условию задачи (геометрической, физической или техни-
технической) состоит в том, что мы выражаем на математиче-
математическом языке связь между переменными величинами и их
бесконечно малыми приращениями. Иногда дифферен-
дифференциальное уравнение получается без рассмотрения прира-
приращений-за счет того, что они учтены зарацее. Так, пред-
ставляя скорость выражением v = —, мы не привлекаем
приращений As, Ы, но они фактически учтены, ибо
ds ,. As
?2б ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
При составлении дифференциальных уравнений первого
порядка бесконечно малые приращения сразу же заме-
заменяются соответствующими дифференциалами. Погрешность,
совершаемая при этом, автоматически устраняется при
переходе к пределу 1). Вообще всякую бесконечно малую
величину можно заменить ей эквивалентной, например
бесконечно малую дугу соответствующей хордой или на-
наоборот.
Исчерпывающих правил для составления дифферен-
дифференциальных уравнений дать нельзя. Как и при составлении
алгебраических уравнении, здесь часто требуется изобре-
изобретательность. Многое зависит от навыков, приобретаемых
упражнением.
Пример 1. В резервуаре имеется 100 л рассола, со-
содержащего 10 кг растворенной соли. Каждую минуту 2 л
рассола вытекает из резервуара, а 3 л пресной воды при-
притекает в него. Перемешивание сохраняет одинаковую кон-
концентрацию соли во всем резервуаре. Сколько соли оста-
останется в резсрвУаре через часУ
Р с nt e н и е. Обозначим через х количество соли в ре-
резервуаре (в кг), через /-время, отсчитываемое от на-
начального момента (в минутах).
За промежуток времени dt из резервуара уходит
(-dx) кг соли [ведь х — убывающая функция времени, зна-
значит, dx -- отрицательная величина, а (- dx) - положи-
положительная].
Чтобы составить уравнение, вычислим Убыль соли иным
путем. В момент t в резервуаре находится A00 | () л
жидкости (притекло 31 л и утекло 'Н л); в ней растворено
х кг соли. Значит, в одном лнтре рассола содержится
ШШ кг соли. За время dt из резервуара вытекает 2dt л
рассола; значит, количество солн Уменьшится па
Получаем дифференциальное уравнение
Разделяя переменные и учитывая начальные условия
Как это происходит, показано в замечании.
§ 492. О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ 727
'и ■=■ 0, х0 = 10, получаем:
J х ~ J 100 + *'
т. е.
ИЛИ
10 ,
Подставляя t =- 60 в (За), найдем искомое количество
соли х * 3,91 (кг).
При Aicnee округленных данных лучше пэять формулу C) Умно-
Умножив об*1 ее части n.i модуль А1 (§ 242), перейдем от натуральных ло-
raptuJiM'jB к деслшчным.
Замечали с. При составлении уравнения A) мы
дважды допустили погрешность: во-первых, мы ваяли Цх
и Ш вместо Дх п Д/, во-вторых, мы приняли, что за вре-
время Ш убыль соли составила yo^t^-2 tf/ft"^, т. е. что кон-
концентрация рассола равна то^~7 в теченис всего проме-
промежутка (/, t-vdt). На са.мом деле она равна 755-77 лишг' в
начале промежутка, а затем уменьшается. Но эти две по-
погрешности автоматически компенсируются.
Действительно, в течение малого промежутка времени
(t, t+At) концентрация рассола незначительно отличается
от 77W' т1-^-; значит, за это время количество соли умень-
шйтся хотя и ис в точности на -щтЛ но примерно на
такое количество. Стало быть, имеем приближенное равен-
равенство
^Х ~ 100 + f
или
м ^ шо + г
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше А/;
иными словами, — vnriT7 есть предел отношения-ту при
728
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Д(->0. А этот предел есть производная
тельно, производная ~ в точности равна -
Следова-
2х .
2х
dt
100 + 1"
Это точное равенство равносильно уравнению A).
Пример 2. Для моста строится каменный (Тык высо-
высотой н 12 м с круговыми горизонтальными сечениялш. Бык
рассчитан на нагрузку Р = 90 т (помимо собственного
веса). Плотность материала у = 2,5 ^3. Допустимое давле-
давление составляет к ~ 300 ~. Найти площади верхнего и
нижнего оснований, а также форму осевого сечения быка
(при наиболее экономном расходе
стро й матс риала).
Решение. Площадь sa верх-
f него основания при допустимом
давлении к = ЗОО™2- дюжет вы-
выдержать нагрузку ks^, а по усло-
условию ks0 = Р. Следовательно,
Площадь s горизонтального
сечения возрастает с понижением
уровня, ибо, помимо нагрузки Р,
на площадь s давит вышележа-
вышележащая часть &ыка.
Обозначим через х расстояние
Черт. 478. сечения s (MiV на черт. 478) от
верхнего основания. Выделим
бесконечно малый горизонтальный слой MNnm. Площадь
его нижнего основания тп превышает площадь верхнего
основания MiV на ds. Поэтому у нижнего основания
предельная нагрузка на k ds больше, чем у верхнего.
С другой стороны, нагрузка тп больше, чем нагрузка
сечения MiV на величину, равную весу слоя MNnm, т. е.
на ys dx1), Получаем дифференциальное уравнение
kds = ys dx,
E)
') Мы принимаем, что слой MNnm —цилиндрический (погрешность
Имеет высший порядок относительно dx).
§ 493. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 729
Разделяя переменные и интегрируя при начальных
условиях х = 0, s = Sq, получаем:
отгсуда
Чтобы найти площадь st нижнего основания, надо под-
стапить х ~ 12 (при s0 =- 0,3, у = 2,5, к = 300). Переходя
к десятичным логарифмам (§ 242), получим;
& 0,3 300 ' v '
откуда jj = 0,33 (-и2).
Форма осевого сечения характеризуется уравнением,
меридиана BD. Обозначим радиус сечения MN через у;
тогда ■- = (у) , и равенство G) дает:
Таково уравнение меридиана. Линия (9) называется
логарифмшеой.
§ 493. Уравнение второго порядка
Общий вид дифференциального уравнения второго по-
порядка таков:
Ф (х, у, у, у") = 0. A)
Уравнение, разрешенное относительно у", имеет вид
у" = f(x, у, у). B)
Предполагается, что функция / (х, у, у') трех аргументов
х> У) У однозначно определена и непрерывна в некоторой
области изменения этих аргументов.
Как правилох), задание начальных значений х = х^,
У = Уч> У = У'ч (принадлежащих рассматриваемой области)
определяет одно-единственное решение уравнения B).
>) Исключение возможно только в случае, когда хотя бы одна из
производных /fix, у, у'), f'vl(x,y,y') разрывна или не существует,
730 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Геометрически: через данную точку М (х„; у0)
в данном направлении проходитодна-единствеи-
ная интегральная линия.
Соответствующее решение уравнения B) называется
частным. Совокупность всех частных решений называется
общим решением. Общее решение стараются представить
в виде некоторой функции
у = 9 (x, Clt C2) (Cj и С2~постоянные), C)
которая дала бы любое частное решение (при надлежаще
выбранных значениях Си С»),
Замечание. Через данную точку М (х„; у0) прохо-
проходит бесчисленное множество интегральных линий-в каж-
каждом из возможных направлений по одной.
Пример. При начальных значениях х0 = 1, у„ = 1,
у'а = 2 найти частное решение уравнения
у" = х. D)
Решение. Перепишем, данное уравнение в виде
^ = х E)
ах Хй \''}
Иг я:
Учитывая начальные условия, имеем: f йу = { х clx,
х2 3
т. е. у = 2"+-2-. Снова учитывая начальные условия, по-
лучаем: f йу = f (^+т) ^х- Искомое частное решение
есть
У^-б + а-*-»1- ()
Другой с п о с о б. Из E) находим:
y'-f+Ct, G)
а отсюда
Функция (8) представляет общее решение, ибо при
надлежаще взятых значениях С1( С2 она дает любое ча-
g 404. УРАВНЕНИЕ tt-ГО ПОРЯДКА 731
стпое решение. Так, подставив в G) и (8) данные началь-
начальные значения, будем иметь:
2^-1-С!, 1=1+с1+СД1 (9)
откуда найдем;
Подставив эти значения и (8), снова получнм частное ре-
решение F).
Предостережение. Далеко не всякое решение,
содержащее дне произвольные постоянные, является
общим. Например, функция
У = £+с3*-е4(х~£) (Ю)
есть решение уравнения D), но содержит не все частные
решения; так:, из A0) ни при каких значениях С3, С4 ие
получается решение F). Стало быть, решение A0) - не
общее. Это впдио уже из того, что две постоянные Cs, C4
«не являются существенными», т. е. их можно заменить
одной, В самом деле, формулу A0) можно записать в виде
Обозначив Cs-Ct через CL, получим:
это решение получается из общего решения (8) при С3 = 1.
§ 494. Уравнение n-го порядка
' Уравнение п-ro порядка, разрешенное относительно
(И)
при данных начальных значениях у0, у0, 3'oj •■•» Уо"'
имеет, как правило (ср. § 493), одпо-единствениое реше-
решение. Такое решение называется частным. Совокупность
всех частных решений называется общим решением. Общее
решение стараются представить в виде
у = Ф (х, Си С 2, ..., С„).
Не всякое решение, содержащее л постоянных, является
общим (ср. § 493, предостережение).
732 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 495. Случаи понижения порядка
Иногда дифференциальное уравнение второго или более
высокого порядка допускает понижение порядка. Важней-
Важнейшими являются следующие два случая.
Случаи 1. Уравнение не содержит у. Тогда в каче-
качестве неизвестной функции берется величина у'.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение второго по-
порядка
A+х)у-у' = О. A)
Решение. Принимая у' за неизвестную функцию, пе-
перепишем A) в виде
A+*)^+У' = 0. B)
Это— уравнение первого порядка (с неизвестной функ-
функцией у). Помножив на dx, получим уравнение в полных
дифференциалах (§ 484), так что общий интеграл уравне-
уравнения B) есть
A+х)у = Сх. C)
Теперь вернемся К прежней неизвестной функции у и
запишем уравнение C) так:
^. (За)
Интегрируя уравнение (За), находим:
y-cnnO-j-tf-j-CV D)
Это-общее решение уравнения A).
Случай 2. Уравнение не содержит х. Тогда в каче-
качестве неизвестной функции опять берется у, но за аргу-
аргумент (вместо х) принимаем у. При этом производные вто-
второго и высших порядков преобразуем по формулам
У ~ dx — ay dx~~ <!уУ > У0/
У dx dy\dy y )dx dy\dyy )У W
И Т. Д.
П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение второго по-
порядка
у"-ьу = 0. G)
Решение. Применив формулу E), преобразуем G)
К виду
ай 0. - (8)
§ 496. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 733
Это-уравнение первого порядка (переменные у и у).
Общий интеграл уравнения (8) есть
У'М-У8~С|. (9)
Возвращаясь к прежним переменным х, у, записываем (9)
в виде
-гМ= = ± dx. A0)
Интегрируя, находим;
arc sin £ = ± (x+Cjj),
откуда
у =
(знак ± включен в постоянную Ст).
Это--общее решение уравнении (8); его можно пре-
преобразовать к виду
у =1 CaSlnX-bCjCOSX,
где
С3 = Ct cos С3, С4 = Cj sin C2,
§ 496. Линейное уравнение второго во рядка
Линейным уравнением второго порядка называется
Уравнение вида
■ y" + P(x)y> + Q(x)y = R(x), A)
где фучкцни Р (х), Q (x), R (х) ис зависят от у.
Если R(x)~0t то уравнение A) называется уравнением
без правой части1), если же # (х)^0, то -уравнением с
правой частью.
.Уравнение без правой части
y + P(x)y + Q(x)y = Q B)
обладает следующими свойствами.
Теорема 1. Если функция <pt (x) есть решение урав-
уравB), ф C() C)
фц pt () р р
нения B), то функция Cj^j_(x) (Cj,-постоянная)-также
решение.
Теорема 2. Если функции фг (х) и фа (х) суть два
решения уравнения B), то функция pi (х) + 9"а (*) - также
решение.
I) Линейное уравнение без правой части называют также однород-
однородным. Ср. сноску 1) на стр. 716.
734 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Следствие. Если ^(х), Фа (я) суть два решения
уравнения B), то Сцрх (х) + Сй<р3 (х) (Сд и С2~ постоян-
постоянные)—тоже решение.
Пример 1. Рассмотрим: линейное уравнение без пра-
правой части
Убедившись проверкой, что функции х и ~ являются ре-
решениями, заключаем, что функция
у =
также есть решеине уравнения C).
Замечание 1. Решение у = С^ (х) + С2<р3 (х) не
всегда будет общим. Так, функции 9i (х) ~ Зх и 9а (х) =
= 5х суть решения уравнений C), функция у = С1гр1(х)+
4-Са92(х) = (ЗС!-ь5Сг)х-также решение, но ие общее
(две постоянные Съ С\ не существенны; ср. § 493, предо-
предостережение).
Замечание 2. Решение у = С^ (х) -ь С&г (х) не
будет общим, если функции ^(х), q>2(x) линейно зави-
зависимы, т. е. если их можно связать соотношением:
= 0, D)
где хотя бы одна из постоянных аъ сг2 отлична от нуля.
Если же решения 9i (*)> 92 (х) Линейно независимы,
т. е. если соотношение D) возможно лишь тогда, когда
обе постоянные а1г аг равны нулю, то функция
У
дает общее решеине.
Пример 2. Решения yL (х) = Зх и <р2 (х) = 5х урав-
уравнения C) линейно зависимы, ибо при я, = 5, йг = -3, или
при о1=10/ о2 = -6, или при gi=15j й3 = —9 и т. д.
получаем а^ (х) + с,9й (х) = 0.
Решения <pi(x) = 3* и <р3 (х) - --^f лииейгш независи-
независимы, ибо соотношение D) возможно лишь при ау=а^=0,
В соответствии с этим решение у = ЗС1х±5С2х~№
общее, а решение у = ЗС1х-~-общее.
Все вышесказанное относится только к линейному уртнешы без
правой части.
-§ 497. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФ. 735
Уравнение с правой частью
y"+P(x)y' + Q(x)y = R(x) E)
обладает следующим свойством.
Теорема 3. Если функция /(х) является одним из
решений уравнения E), то общее его решение есть
У = Cl9l (x)-i-C2<p2 (х)-ь/ (х), F)
где (ft (х) и 9г(х)~Два линейно независимых: решения
уравнения B), т. е. соответствующего уравнения без пра-
правой части.
Примерз. Рассмотрим уравнение
Г + гУ'-ЗЗУ-8*- <7)
Убедившись проверкой, что функция / (х) = х3 яв-
является его решением, заключаем, что общее решение
уравнение G) есть (ср. пример 1)
у = С^+С^+х*.
Теорему 3 можно сформулировать еще так: общее ре-
решение линейного уравнения с правой частью есть сумма
какого-либо частного его решения и общего решения
соответствующего уравнения 'без правой части.
Замечание 3. Линейное уравнение второго порядка
(как с правой частью, так и без нее) приводится к квадра-
квадратурам лишь в специальных случаях. Но к числу последних
прииадлежит'особенно важный дли практики случай, когда
коэффициенты Р (х) н О (х) оба постоянны (см. ниже
§§497-499).
§ 491. Линейное уравнений второго порядка
с постоянными коэффициентами
Уравнение
У' + рУ' + qy = R(x), 0)
где р и q- постоянные, a R (х) зависит только от х
(или является постоянной величиной), называется линей-
линейным уравнением второго порядка с постоянными коэф-
коэффициентами. Уравнение A) всегда приводится к квадра-
квадратурам. А в случае, когда R (х) = О (уравнение без праной
части), решение не только приводится к квадратурам, но
и всегда выражается в элементарных функциях (см. § 498),
736 Дифференциальные уравнений
§ 498. Линейное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами без правой части
Рассмотрим уравнение
У'-hpy' + qy = 0, A)
где р, q~постоянные. Будем искать решение вида '
у~е*. B)
Подставляя B) в A), найдем, что число г должно удовле-
удовлетворять уравнению
г1 +- рт | q ™ 0. C)
Последнее называется характеристическим уравнением.
Могу г представиться три случая.
Случай 1. (?} -q >■ 0, Характеристическое ура
нение C) имеет два неравных дсйствите ilhux корпя ги г.
В этом случае имеем два лииспно независимых (§ 496,
замечание 2) решения.' у = е'^х1 у- е'*х. Общее ре/лилне
будет:
У _ cy^+Cafi'**. D)
Пример 1. Нап 1 и общее решение уравнения
8у" 1 2у-3у - 0, E)
а также частное решение при начальных условиях хо~О,
Р е ш с и п с. Характеристическое уравнение
8г" + 2г-3=0 F)
имеет два неравных действительных корня:
h - 2 > г"- ~ л-
1 3
Функции у -е2* > у -е 4 дают два линейно независи-
независимых решения. Общее решение уравнения E) есть
1 1
у = Су~2 ' \ С2е~Т*. G)
§ 498. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ 737
Для разыскания частного решения вычисляем произ-
производную у".
у -ic^-lcvT*"*. " Gа)
Подставляя в G) и Gа) начальные данные, получаем
систему
1 3
—6 = Cj+c3, 7 = -^^i"^^2'
Из иес находим; Сг~2, С2 = -8, Искомое частное ре-
решение есть
— _.£.
у = 2е2 *-8е~* *.
!к Случай 2. (£K-#=0. Характеристическое урав-
ение имеет два равных корнл (гл = rs — "■§•)•
Б этом случае решения у—eri*, у — ^1* лннсйио за-
внснмы (они совпадают). Но теперь наряду с решением
уме 2 есть линейно независимое решение у = хе ■ .
Общее решение будет;
У = (Ci + C^c)e " . (8)
Пример 2, Найти общее решение уравнения
н частное решение при начальных условиях *„=0Д уо=:
-05)У;= -4.
k Решение. Характеристическое уравнение
ги + 4г+4 - О
имеет равные корни /\ = г2 = -2. Функции у = е-И у =
=xe-2iC дают линейно независимые решения. Общее ре-
решение уравнения (9) есть
y~<Ci + CVc)e-4 A0)
Дифференцируя, находим;
у = [-2Ct+C3 A-2*)] е-2*. (Юа)
47 М. Я Выгодский
73а ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ь
Подставив н A0) и A0а) начальные данные, получим
систему
Отсюда находим: С1=2е, С3 = -Зе. искомое частное
решение есу>
у = Bе-Зех)е~Е*
или
Случай 3. (■§■)*-? -ч О. Характеристическое урав-
уравнение имеет пару комплексных корней:
где
В этом случае выражения
С* е'Р* A2)
■ие имеют действительных значений ни при каком действи-
действительном значении х, кроме ,\-0. Но теперь можно ис-
использовать функции
у = е 2 cos рх, у = е а sin px. A3)
Подставляя их в уравнение A), убеждаемся, что каждая
и га функций A3) является решением уравнения A).
В § 495а показано, как выподятся решения A3) из комплексных
решений вида A2).
Решения A3) линейно независимы, и потоку общее рс-
шенне будет;
—=- ж
у = е а (Cj cos px + C2 sin p.\), A4)
или в ином виде
__ р
у = С3е 3 sin (Cj-ьрх) A4а)
(где С3 sin С4 = С„ С3 cos С4 = Сг).
ПримерЗ. Найти общее решение уравнения
у"+у'+У « 0. A5)
§ 498а. СНЯЗЬ МЕЖДУ СЛУЧАЯМИ 1 И 3 739
Решение. Характеристическое уравнение
- О A0)
имеет мнимые корпи r1 s = --^ ±-^-i. Функции
-i- U -f" ■ Yz
у = с cos-ъ-х н у ~ е sib^x
дают линейно независимые решения. Общее решение урав-
уравнения A) есть
Ч| . ■ о * I f* РПС - V Лф f1-* 61И . _ If 1 A Т Л
ИЛН
у - CvT%in(c4+^x). A7а)
Пример 4, Найти общее решение уравнения
у-ьу = 0.
Решение. Характеристическое уравнение rz+i = 0
имеет мнимые корни г]ъ г = ±i (здесь [3=1, - £ = о).
Общее решение есть (ср. § 495, пример 2)
у = d cos х-ьСг sin x.
§ 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498
Частные решения вида
ft<*) - в"*. ¥, W = «'* [г,., = - J
которые были использованы в § 498 для случая 1, можно использовать
и для случая 3, если цвести в рассмотрение комплексные числа и опре-
определить комплексную степень числа е, как ато было сделано в § 409.
Формулы A) запишутся теперь так:
где Р I = 1/ Я~уъг) I и ~5 ~ действительные числа. Выражения
B) представляют пару комплексных функций действительного аргу-
аргумента х, Так как эти функции дифференцируются по обычным пра-
правилам (jj 404), то они являются решениями урариения у" + ру' +qv=0
также и в случаеЗ. Эти решения не удовлетноряют нас.таккаконине
являются действительными. Но из них можно вывести и действи-
действительные решения. В самом деле, применив формулу Эйлера (§410), мы
можем представить решения B) в виде
9i (х) = <?ат (соь $х + ( ein ру), C)
■Pi (x) = с5" (cos px -/ sfn
47*
740 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция CiTiOO+Ca'PsO'O является решением при любых по-
постоянных значениях Си Cs (§ 496), Положив сначала с^ -=-, СЕ= t
а в другой раз Cj ==--=-, Са= ,у , мы получим два действительных
решения:
еа1 cos рх и с*1 sin fix.
Они и были использованы в случае 3 § 498.
§ 499. Линейное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами с правой частью
Общее решение уравнения с правой частью
У' + РУ' + ЯУ = R(x) A)
получается с помощью квадратур из общего решения со-
соответствующего уравнения без правой части
y" + py' + qy = 0 B)
по общему методу, изложенному ниже в § 501. Но во мно-
многих практически важных случаях цель достигается проще
следующим образом.
Надо сначала подыскать какое-либо частное решение
f (х) данного уравнения A), затем надо прибавить f (х)
к общему решению соответствующего уравнения B) без
правой части. В суммс получится (§ 496, теорема 3) об-
общее решение данного уравнения.
Для подыскания функции / (х) пользуются следующилш
тремя правилами.
Правило 1. Если правая часть R(х) уравнения A)
имеет внд
R (х) = Р (х) е**, C)
где Р (х) — какой-либо многочлен степени т, и если число
k не является корнем характеристического уравнения
r*-i pr + q = 0, D)
то уравнение A) имеет частное решение вида
у* = Q (х) е*«, E)
где Q (х) ~ некоторый многочлен той же степени т [звез-
[звездочка при у поставлена для отличия частного решения
у* = /(х) уравнения A) от общего его решения].
{ 499. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 741
Коэффициенты и свободный член многочлена Q (х)
можно найти по методу неопределенных коэффициентов.
Замечание 1. Если множитель Р(х) есть постоян-
постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q (х) - тоже
постоянная.
Замечание 2. Правило распространяется и на слу-
случай, когда R (х) — многочлен (т. е. к=0). Тогда реше-
решение E) —тоже многочлен.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
У"~~У'-~У=Зе^Х. F)
Решение. Характеристическое уравнение
r"-i-r-i=O G)
имеет корни ^=1, г3 = ~v» так что °бщее решение
соотаететвующего уравнения без правой части есть
—г*
? = С1е»+С|е а (8)
[черточка иад у поставлена для отличия общего решения
уравнения B) от общего решения у уравнения A)].
Остается иайти какое-либо частное решение у" уравне-
уравнения F). Правая часть последнего имеет вид C), причем
Р (х) ~ 3 (многочлен нулевой степени) и число к = -^
не является корнем характеристического уравнения G).
По правилу 1 уравнение (б) имеет решение вида
i_
у* = Ас- (Л-постоянная). (9)
Подставляя (9) в F), находим:
—- JF
Приравнивая коэффициенты при е2 , получаем:
А = -6.
Искомое решение у* есть
у* = -бе3'. <12)
742 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общее решение уравнения F) есть
-т'
у = у + у* = С^ + Сф % -бе3 . A3)
Пример 2. Найти общее решение уравнения
у"-3у + 2у = эсЧЗх, A4)
Характеристическое уравнение
г2-Зг + 2 = о'
имеет корни гх=1, г2 = 2, так что (при обозначениях
примера 1)
У = Схел-С^\ A5)
Правая часть уравнения A4) имеет внд C), причем Р (х) =
= х2 + 3х и число fc=0 не является корнем характери-
характеристического уравнения. Ищем решение вида
у* - Ах*+Вх + С. A6)
Подставляя в A4), получаем равенство
2Дх2 + BВ-6Д)х + 2С-ЗВ + 2Д = х2 + 3х. A7)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях х, получаем систему
2А=1, 2В~6Д = 3, 2С-ЗВ + 2Д = 0, A8)
из которой находнм: А = ^, В = 3, С = 4, так что
Общее решение уравнения A4) есть
у = у + у* = С1е« + Сае8* + -2-х» + Зх+4. B0)
Замечание 3. Для уравнения у-Зу' = )
поиски частного решения вида A6) были 9ы бесполезны а),
ибо число Jt = O теперь является корнем характеристиче-
характеристического уравнения (rs-3r = 0). Условия правила 1 нару-
нарушены, и надо применить правило 2.
i) Оно решено ниже в примере 3.
я) Однако оиибки не получится: при попытке отыскать решение
вида у* = Ахй + Вх+С мы получим вместо A7)следующее равенство:
-GAx+BA-3B)=x'+3x,
Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х невозможно,
так как в правой части есть член второй степени, а в левой его нет. по»
пытка оказалась несрстдятельной, но к ошибке не привела.
§ 499. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 743
Правило 2. Пусть правая часть уравнения A)
имеет вид
R (х) = Р (х) t**t B1)
где Р(х)-многочлен степени т, и пусть число к является
корнем характеристического уравнения rz + pr+q = 0.
Если этот корень - однократный (т. е, один из неравных
корней), то уравнение A) имеет частное решение вида
у* = xQ (х) (?**, B2)
где Q (х) — многочлен степени т, если же А - двукратный
корень характеристического уравнения (т. е. одни из двух
равных корней), то уравнение A) имеет решение вида
у* ^x*-Q(x)e«*. B3)
Замечания 1 и 2 остаются в силе.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
B4)
а также частное решение при начальных условиях
х0 = 0, уи = 1, у'о = 3.
Решение. Здесь Р(х) = х2 + 3х и число &=О слу-
служит однократпьш корнем характеристического уравнения
г* - Зг = О
(^=--3, га = 0). Уравнение B4) имеет частное решение вида
у* - х (Ах* + Вх + С) - Да3 f- Bx* + Сх, B5)
Поступая, как в примере 2, получим систему
-9Д=1, -6В+6Д = 3, -3C + 2J3 = О.
из которой находим; А = -^-, Б ~ -j^-, С = -^у, так
что
Общее решение уравнения B4) есть
( у = c^+C-i-^-lJx'-^x. B7)
744 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
Дифференцируя, получаем:
у'-ЗС^-Лх'-^-ё- B7а)
Подставляя и B7) и B7а) начальные значения, получаем
систему
1 =С1+С2, 3 = 3CX-H.
92 11
Она дает: (\= ^, Ся = —^; искомое частное решение
Пример 4. Найти общее решение уравнения
у"-2у'+у = хе*. B8)
Здесь Р (х)~х и число /с=1 есть двукратный корень
характеристического уравнения га — 2г н-1 = 0. Уравне-
Уравнение B8) имеет частное решение нида
у* = хг {Ах+В) е* = (Аха+ Вх1) еж. B9)
Подставим B9) в B8); члены, содержащие х3 и х2, сами
собой устранятся, и мы получим равенство
FЛх + 2В)е* = хег. C0)
Приравняв коэффициенты при членах с одинаковыми
степенями х, получим систему ЬА=\, 2В-0, так что
У 6
Общее решение уравнения B8) (см. § 498, случай 2) есть
у= (d+tVOe'+i-xV. C1)
Правило 3. Пусть правая часть уравнения A) имеет вид
R (х) = eaz[P1 (x) cos px + Pj (x) sin px], C2)
где Р,(х) и Р2Сх) -многочлены степени m1 и тг.
Возможны дв,1 случая;
1) комплексные числа а±р/ не являются корнями характерис-
характеристического уравнения г% + рг +<j=O,
2) числа а±р^ являются корнями этого уравнения '),
') Случай, когда лишь одно иа чисел «±р( является корнем yps.
внепия г*+рг +д=О, невозможен (при действительных значения)
коэффициентов р, q).
g 499. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 745
В первом случае уравнение (I) имеет решение вида
у* = с*1 [<?! (х) соь рх + Qz (х) sin рх], C3)
где Qi (x), Q;> (х)—многочлены, степени которых не превышают стар-
старшей из степеней mlt тг.
Во втором случае уравнение A) имеет решение вида
у* = y.e^iQi (х) соч {ix + Qs {x) sin pxj. C4)
Пример 5. Найти общее решение уравнения
у"+у = \Оех sin 2x. C5)
,1десь Pi(x) ■= О, Ра(х) = 10 (т. е, Р, (х) и Р3 (х)-многочлены
нулевой степени), и*=1, £=2. Комплексные числа «±pi=l±2i не
являются корнями характеристического Уравнениям + 1 =0. Уравне-
Уравнение C5) имеет частное решение вида
у* =>ег (Л сое 2х + В bin 2x), C6)
Подст.шляя C6) в C5), приходим к равенству
(-2A+4S) cos 2х + (-4А -2В) sin 2x]e' = 10c»si» 2.\ C7)
и получаем систему
-2Д+4В= О, -4Л -2В= 10.
Она даст; Д = — 2, В = — 1, так что
у* = -fiat B COS 2*+ (,111 2Х).
Общее решение уравнения C5) есть
у = Cl cos х н Cs sin x -e* B Lot. 2x 4 sin 2x). ^38)
Пример 6, Найти общее решение уравнения
у-у= 4х sin х. C9)
Здесь Pi (x) —Q, Р» (х) = 4х [старшая степень многочленов Р1 (х)
и Р2 (у)—первая], а =0, р = 1. Комплексные числа «±£/ = ±i явля-
являются корнями характеристического уравнения г2+ 1=0. Уравнение
C9) имеет частное решение вида
у* = х [(Д,х + В,) cos х н (Л,х + Bs) sin x] =
= (Дйх2 + Вйх) cos x -I (Д2хе + В2х) sin x). D0)
Подставляя D0) в C9), приходим к равенству
[4Дах + BВ2 +2Д,)] cos х +[ -4Д!Х + ( -2Й, +2Д2)] sin x =
= 4Х sin х D1)
и получаем систему
4Да= 0, 2Bs+2Ai = О, -4Д, =4, -2В, +2Дг= 0.
Она дает: А, - - I, Bt = О, Д2 = О, В* = 1, так что
Ji* = — хг COS X + X Sin X.
Общее решение уравнения C9) есть
y=Ct cos x+C2 sin x + x( -х cos x + sin x). D2)
Замечание. 4, Если в правой части уравнения A) стоит сумма,
где каждое слагаемое имеет вид B1) или C2), то уравнение A) имеет
частное решение, представляющее <_умму выражений вида E), B2),
B3), C3), C4). Коэффициенты отыскиваются, как в примерах 1 -6.
746 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 500. Линейные уравнения любого порядка
Линейным уравнением порядка п называется уравнение вила
Ьс л и R(x)=0, то A) называется уравнением без правой части
(или однородным), если R (х)^°> то — уравнением с правой частью
(или неоднородным).
Свойства линейных уравнений второго порядка (§§ 496-499)
следующим оОразом распространяются на линейные уравнения выс-
высших порядков.
Если ф! (х), <рг(х),... , 9п (*) —решения уравнения без правой
части
УЫ) +Pi My-1' + ... +Р„ (х)у = 0, B)
то функция
У=С,ф1(х)+С1^(ж)+... +С„?»(х) C)
тоже яопяется решением. Последнее не будет обшич, если решения
=Pi (*)> Тг(х)>--- > ^nf3-") линейно зависимы, т, е. связаны соотношением
Где из постоянных а,, и5,..., а„ хотя бы одна отлична от нуля.
Если же решения <?i (х), ?а(х),... , <ря (^) линейно независимы,
т. е. если равенство D) иозможно лишь тогда, когда все постоянные
Oi, аа,,.. , я„ равны нулю, то C) есть общее решение уравнения B).
Общее решение уравнения A) получается из какого-либо частного
его решения прибавлением общего решения уравнения B).
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами без правой
Части
У00 + АУ0*-11 +**("-S> + ... +РЛ - 0 E)
решается с помощью характеристического уравнения
я1*±,~ +рп = 0. F)
I. Если все корни Гц гг гп характеристического уравнения
действительны и однократны, то общее решение уравнения (б) есть
у - C^'+Ct/*' + ... +С„ег< G)
II. Если какой-либо действительный корень г имеет кратность к
(r,Brj = ... = /j), то в формуле G) соответствующие к членов за
меняются слагаемым
(C1+ClX+ ...+C*x*-1)c"!, (8)
Ш. Если характеристическое уравнение имеет пару однократных
сопряженных комплексных корней (/ч,»-«±£0> то соответствующая
пара членов в формуле G) зименяется'слагаемым
?■*■ (Cj cos ppc + Cg sin рас). (9)
§ 500. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛЮЁОГЙ ПОРЯДКА 747
IV. Если какая-либо пара сопряженных комплексных корней
имеет кратность Л, то (.оотаетстиующие к пар члшоз в формуле G)
заменяются слагаемым
-l)sin?x]. (Ш)
Пример, Рассмотрим уравнение
yV+yLV+2y"+2y"+y+y m 0. A1)
Его характеристическое уравнение
« 0 О»)
имеет однократный действительный корень г = — 1 и пару двукрптнпг
сопряженных мнимых корней г *> ±t. Общее решение уравнения A1)
есть
у= C1e~*+(C2 + Csx)cosx + (Ci+r.x) sin x. A3)
Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами с пра-
правой частью
^n)+Piy(K-J)+... -1-АУ»*(х> <«>
общее решение получается с помощью квадра!ур из обтцего решения
соответствующего уравнения без правой части по меюду, обьяснен-
ному в § ЬО1. Но если правая часть F (х) имеет вид Р (х) ctx
[Р{х) -многочлен], или более общий вид
с"* [Pi (х) cos рх +Р3 (х) sin pxj,
или представляет сумму членов подобного вида, то решение упроща-
упрощается.
Г. Пусть
*, A5)
где Р (х) —многочлен степени т. Тогда уравнение A4) имеет частное
решение вида
У*-« (*)(!**, A6)
Q () — многочлен степени т—при условии, что число Ане является
корнем характеристического уравнения (б). В противном случае
уравнение A4) имеет частное решение вида
у* = x!Q (х) /*, A7)
где / — кратность, с какой к входит в число корней характеристиче-
характеристического уравнения (ср g 499, правила I, 2 и примеры 1 -4).
II. Пусть
П (х) = eai[Pj (x) cos ?x 1-Рг (х) sin pxj, A8)
где Р, fx) и Рг {x) -многочлены степени n^ и т2. Тогда уравнение A4)
имеет частное решение вида
у* ~ е** [Qi (х) cos £x + Qs(x)sin px], A9)
rmQj{x), Q-(x) суть многочлены, степень которых не превышает стар-
старшей из степеней mt и тг —при условии, что комплексные числа а ± $i
?4& ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
не являются корнями характеристического уравнения F), Впротивом
случае уравнение имеет частное решение вида
у* ш х1 е™ [<?х (х) cos px + Яг (х) sin pxj, B0)
где /-кратность, с какой пара корней к±р/ входит в число корней
характеристического уравнения (ср. § 499, правило 3 н примеры Ь, 6).
§ 501. Метод вариации постоянных
Общее решение линейного уравнения с правой частью
получается из общего решения соответствующего уравне-
уравнения без правой части с помощью квадратур, Для этого
можно применить следующий прием.
В общем решении уравнения без правой части заменяем
все произвольные постоянные неизвестными функциями.
Полученное выражение дифференцируем и попутно под-
подчиняем неизвестные функции добавочным условиям, упро-
упрощающим, вид последовательных производных. Подставляя
выражение производных у', у", у'" и т. д. в данное уравне-
уравнение, получаем еще одно условие, налагаемое на неизвестные
функции. Тогда оказывается возможным найти первые
производные всех неизвестных функций и остается выпол-
выполнить квадратуры.
Этот метод применим к линейным уравнениям любого
порядка как с постоянными, так и с переменными коэф-
коэффициентами. В § 486 он был применен к линейному ура-
уравнению первого порядка. Здесь рассмотрим уравнение
второго порядка
у + Р (х) уЧ- Q (х) у *= И (х). A)
Пусть общее решение соответствующего уравнения без
правой части есть
у^Сх^(х) + С^й(х). B)
Ищем общее решение уравнения A) в виде B), считая
теперь Сх и Са неизвестными функциями от х.
Дифференцируя B), находим:
У = С19Н*) + С2фЦх) + С191 (x)+Cfo(x). C)
Вводим добавочное условие
cfaW+e^x) *=а. D)
Тогда вид первой производной упрощается, и мы имеем:
Дифференцируя еще раз, имеем:
I 501 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАЙНЕНИЙ 749
После подстановки выражении B), E) и F) в уравнение A)
все члены, содержащие Clf взаимно уничтожатся (ибо
функция У — <?i(x) tCTb решение уравнения у" + Ру +
+ Qy — 0); точно так же взаимно уничтожатся все члены,
содержащие Cs, и мы получим еще одно условие
<-Wi(x)+Cs<pi(x) = R(x). G)
Условия D) и G) позволяют найти выражения производ-
производных С;, Сз, и остается выполнить квадратуры.
Пример. Рассмотрим уравнение
У" + У = tgx. (la)
Общее решение соответствующего уравнения без правой
части есть
у = Qcos х+С2 sin х, Bа)
где С, и Сг~произвольные постоянные. Ищем решение
уравнения Aа) в виде Bа), считая теперь Сх и С3 неизве-
неизвестны ни функциями.
Условия D) и G) принимают вид
Cicosx + Cgsinx =0, -Cj sibx +C2 cos x = tgx. (За)
Отсюда находим:
С[ - -tgxsin х, Сг = sinx;
Cl = J* — *g -^ sin xrfx + Сз, С2 = f sin xdx+Ci
(C3, Cj-постоянные). В данном случае интегрирование
выполнимо в элементарных функциях. Подставляя в Bа),
получаем- общее решение
У = (in I "In ж + Sin x + С'з) CQS X + ("COS X + Ct) Sin X =
= cos x In
§ 502. Системы дифференциальных уравнений.
Линейные системы
Системой дифференциальных уравнений называется
совокупность уравнений, содержащих несколько неизве-
СТШ.1Х функций и их производные, причем в каждое из
уравнений входит хотя бы одна производная. На практике
имеют дело с такими системами, где число уравнений равно
числу неизвестных.
Система называется линейной, если неизвестные функции
и их производные входят в каждое из уравнений только
в первой степени. Линейная система имеет нормальный
вид, когда она решена относительно всех производных.
750 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Система дифференциальных Уравнений
Ъ = х-Уфг> A)
$■= _4х-2у + 4/+1 B)
— линейная; она имеет нормальный вид.
В этом примере мы имеем лилейную систему с по-
постоянными коэффициентами (коэффициенты при неизве-
неизвестных функциях it пх производных постоянны).
Из линейной системы (присоединяя к ней уравнения,
«миедеиные дифференцированно) можно исключить пес
неизвестные (и ах лрсшиодные), креме одной. Полученное
уравнение будет содержать одну неизвестную функцию п
се производную первого и более высоких порядков. Это
уравнение тоже будет лппейпцм, а если исходная система
была системой с постоянными коэффициентами, то и пай-
денное уравнение высшего порядка будет имей-, постоян-
постоянные коэффициенты.
Разыскав неизвестную функцию этого уравнения, под-
подставляем ее выражение п данные уравнения и находим
остальные неизвестные функции.
Пример 2. Решить линейную систему примера 1.
Решение. Чтобы исключить у и ~, продифферен-
продифференцируем A). Пслучим:
d'-x __ dx dy
Из уравнения A) находим выражение у через /, х и-^-;
подставляя в B), найдем выражение ~ через те же ве-
величины. Подставляя это выражение в C), получил; линей-
линейное уравнение второго порядка
£ + £-<«-3».-«-1. D)
По способу § 490 находим его общее решение
х = CV + C-г-»1—i-t*. E)
Это выражение подставляем в уравнение A) н находим
вторую неизвестную функцию
%} F)
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
§ 503. Строфоида
1. Определение и построение. Прямая
строфоида*), шш просто строфоида, определяется так:
берем пзаимно-перпендпкулярные прямые АВ, CD
(черт, 479) и на одной из
них точку А; через нее про-
проводим произвольную пря-
прямую AL, пересекающую CD
Черт. 480.
в точке Р. На AL откладываем отрезки РМи РМ2, равные
ОР (О-точка пересечения ЛВ и CD). Строфоида (прямая)
есть геометрическое место точек Ми А1г.
Косая строфоида (черт. 480) строится аналогично с той
разницей, что АВ и CD пересекаются косоугольно.
ПОВОРОТ.
752 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ро-
бервалем1) в 1645 г. под именем птероиды"). Нынешнее
название введено Миди в 1849 г.
2. Стереометрическое образование.
Представим себе цилиндрическую поверхность с осью CD
(черт. 479) и радиусом, АО. Через точку А приведем пер-
пендикулярную к плоскости чертежа произпольную плос-
плоскость К (прямая ЛЬ-след этой плоскости). В сечении
получим эллипс; его фокусы Ми М2 описывают прямую
строфоиду.
Косая строфоида строится аналогично с той разницей,
что цилиндрическая поверхность заменяется конической:
ось конуса (OS на черт. 480) проходит через О перпенди-
перпендикулярно к АВ; прямая VV, проходящая черен В парал-
параллельно CD, —одна из образующих. Точки Ми Л12 —фо-
—фокусы соответствующего конического сечения; косая стро-
строфоида расположена на обеих полостях конической поверх-
поверхности и проходит через вершину S последней.
3. Уравнение в декартовой системе
(О-начало; ось ОХ направлена по лучу О В; АО = а,
z. AOD - а; когда строфоида-косая, система коорди-
координат-косоугольная, ось OV направлена по лучу OD):
у"- {х-а)-2х-у cos а-ьх3 (а-1-х) = 0. A)
Для прямой строфоиды уравнение A) приводится к виду
и
Уравнение в полярной системе (О —полюс,
ОХ-полярная ось):
^ a cos2y
° ~~ COS <р
Рациональное параметрическое представление
(и --= tg ф);
4. Особенности формы. Точка О - узловая3);
касательные к двум ветвям, проходящим через О, взаимно-
1)РоСервал ь —псевдоним французского ученого Г. Персонье
A602 — 1675) родом иа деревни Роберваль. Один ио основоположников
метода бесконечно малых, изобретатель весов, носящих его имя.
г) От греческого «птербт (r.Tspov) —крыло.
3) Узловой точкой некоторой линии называется такая ее точка, че-
рез которую эта линия проходит дважды (или более двух раз), имея
здесь отличные друг от друга направления.
§ 504. ЦИССОИДА ДИОКЛА 753
перпендикулярны (как для прямой, так и для косой стро-
строфоиды). Для косой строфоиды (черт. 480) прямая VV слу-
служит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме
того, UV касается косой строфоиды в точке S, равноот-
равноотстоящей от А и В.
У прямой строфоиды точка касания S «уходит в бес-
бесконечность* (при удалении вверх), так что примая VV
(черт. 479) служит асимптотой для обеих ветвей.
5. Радиус кривизны в узловой точке прямой
строфоиды
Ro = а \'2 - ON (черт, 479).
6. П л о щ а д и и о б т, е м ы для прямой строфоиды.
Площад!. 6\ петли ЛОМ^.
Объем Vx тела, произведенного вращением пстлн около
оси С К:
Vv = тш3B1п2--з) - 0,166а3.
Площадь So между ветвями OU', OV' и асимптотой (эта
площадь простирается в бесконечность, по имеет конеч-
конечную величину)
Объем тела, произведенного вращением фигуры
U'OV'VU около оси ОХ, имеет бесконечную величину.
§ 504. Циссоида Днокла
1. Определение и построение. На отрезке
О А = 2а, как на диаметре, строим окружность С (черт. 481)
и проводим через А касательную V V- Через О проводим
произвольную прямую OF, пересекающую UV в точке F;
эта прямая пересечет (вторично) окружность С в точке Е.
На прямой OF от точки F по направлению к О отклады-
откладываем отоезок FM, равный хорде ОЕ. Линия, описываемая
точкой М при вращении OF около О, называется циссои-
циссоидой Диокла — ио имени греческого ученого II века до н. э.,
который ввел эту линию для графического решения задачи
об удвоении куба1).
J) В этой задаче требуется по данному ребру куба построить ребро
другого куба, вдвое большего по объему.
48 М. Я- Выгодский
754
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
2. Исторические сведения. Диокл определял
циссоиду с помощью иного построения. Он проводил диа-
диаметр BD, перпендикулярный к ОА; точка М получалась
в пересечении хорды ОЕ с прямой GG'| | BD, проведен-
проведенной через точку О, симметричную с Е относительно Bd.
Поэтому линия Диокла распола1 алась целиком внутри
круга С, Она состояла из дуг
ОВи OD. Если замкнуть линию
BOD полуокружностью BAD,
описанною точкой £, получает-
получается фигура, напоминающая лист
плюща. Отсюда название
«циссоида»г).
Примерно в 1640 г. Робер-
валь, а позднее Слюз а) заме-
заметили, что циссоида неограни-
неограниченно продолжается и за пре-
пределы окружности, если точка
Е описывает и дру1ую полу-
полуокружность BOD; тогда М ле-
лежит на продолжении
хорды ОЕ. Однако наимено-
наименование «циссоида Слюза», пред-
предложенное Гюйгенсом, не ут-
утвердилось в литературе.
3. Уравнение в пря-
прямоугольной системе
(О-начало, ОХ-ось абсцисс):
Черт. 481.
2а -х'
В полярной системе (О-полюс, ОХ — поляр-
полярная ось):
Рациональное
(u = tg 9):
Р COS <р
параметрическое
представление
х =
И Ц2
4. Оеобеииоста формы. Циссоида симметричиа
относительно ОА, проходит через точки В, D и имеет
]) По-гречески «циссоида» — от <киссос» (ximnji;)— плющ,
Е) Р. де Слюз A622-1685)— нидерландский Ученый, последова-
последователь Декарта.
S 505. ДЬКАРТОВ ЛИСТ 755
асимптоту UV (х = 2а); О-точка возврата1) (радикс кри-
кривизны и0 = о).
Построение касательной. Чтобы построить
касательную к циссоиде о се i-очке М, приводим Мр 1 ОМ.
Пусть Р, Q- точки пересечения МР с прямыми OX, OY.
От точки /' на продолжении отрезка QP откладываем от-
репок РК = /JQ. Строим KN || МО и ON \\ QP. Точку N
пересечения KN и ON соединяем с JW. Прямая МЛ'-
нормаль к циссоиде. Искомая касательная &1Т перпенди-
перпендикулярна к /ИЛ/.
5. II л о щ а д ь S полосы, заключенной между циссои-
циссоидой и ее асичшотоп (ота полоса простирается в бесконеч-
бесконечность), конечна; она втрое больше площади производящего
Kpyia С;
S = Зтга2.
6. О б ■[, е и V тела вращения вышеупомянутой полосы
около асичптош UV равен объему V тела вращения
круга С около той же оси (С л юз):
V ^ V' = 27rV.
При вращении той же полосы около оси симметрии
получается тело бесконечного объема.
7. Центр тяжести // полосы между циссоидой
и ее асимптотой VV дс.щт отрезок О А в отноше-
отношении ОН: НА =- 5 : 1 (Гюйгенс).
8. Связь с параболой. Геометрическое место
основании перпендикуляров, опущенных из вершины па-
параболы (у2 г= 2рх) на ее касательные, есть циссоида
§ 505. Декартов лист
1. Исторические сведения- В 1638 г. Декарт,
чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило Ферма
для разыскания касательных, предложил Ферма найти
касательную к линии ха+у3 = пху. При обычном для
нас толковании отрицательных координат эта линия, кото-
которую в XVIII веке стали называть декартовым листом, со-
состоит из петли ОВАС (черт. 482) и двух бесконечных
Определение точки возврата см. § 507, п, 4.
756
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ветвей {01, OL). Но в таком виде ее представил впервые
Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию х% + у* =■ л*У пред-
представляли в виде четырех лепестков (один из них О В АС),
симметрично расположенных в четырех координатных
yi'Jiax. Поэтому ее называли «цвет-
«цветком жасмина».
2. Уравнение декартова
листа обычна записывают в ниле
х3+у3 = Заху.
A)
Коэффициент За выражает диаго-
диагональ квадрата, сторона которого
равна наибольшей хорде О А петли,
так что
Черт. 482.
О А =%.
B)
Уравнение в полярной системе (О —полюс, ОХ
полярная ось):
За cos у sin у
C)
Рациональное параметрическое представление
1+ и»
1 + на
D)
Особенности формы. Точка О —узловая. Каса-
Касательные, проходящие через О, совпадают с осями коорди-
координат. Прямая О А (у = х) есть ось симметрии. Точка
./Зо За\
\~2~' ~2~У наиоилее Удаленная от узлоиои точки, назы-
называется вершиной. 11рямая W (х + у+а = О)- асимптота
обеих бесконечных ветвей.
3. Уравнение относительно оси симмет-
симметрии. Если ось симметрии О А принять за ось абсцисс,
направив последнюю от узла О (начала координат) к асимп-
асимптоте UV (черт. 483), то декартов лист представится урав-
уравнением
У
±х
/-Зх
E)
= 2L = О А.
5 505, ДЕКАРТОВ ЛИСТ 757
Соответствующее уравнение в полярной системе:
Рациональное параметрическое представление
(«=tg9):
~, y~i-
/.
I
If
H
V
Черт. 483.
_ За
4. Радиус кривизны; в вершине RA = —р= =
= ■§■;» узловой точке /?0 = ~ ~ ■-=.
5. Площадь Sx петли и площадь S2 (бесконечной)
полосы между бесконечными ветвями н асимптотой равны
между собой и выражаются формулой
6. Наибольший поперечник петли:
ВС = ^/2^3-3* 0.448Л
Его расстояние от узла:
0,577/.
^58 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧЛТЕЛЬ^ЫЁ КРИЁЫЁ
7- Построение, Чтобы построить декартов лист
с диаметром петли I, проведем окружность А радиуса
AO^l и какую-либо прямую GH, параллельную АО. Далее
проведем прямые АЛ' и ОН, перпендикулярные к АО, и
отметим точки А, Ь] их пересечения с ОН. Наконец, от-
отложим на луче ОД отрепок OF=-3OA и проведем пря-
прямую FE. Теперь искомая линия строится по точкам сле-
следующим образом.
Через О проводим любую прямую ON и через твчку N,
где эта прямая пересекает (вторично) окружность, прово-
проводим NQ\\ АЛ1). Точку Q, где h'Q пересекает прямую OF,
соединяем с Л и отмечаем точку К, где QA' пересекает
FE. Проводим прямую ЛК до пересечения с прямой GH
в точке Q', Наконец, откладываем па прямой О А отре-
отрезок ОР, равный и равнонаправлениый с отрезком A'Q\
Прямая A^M-j, проведенная через Р параллельно АЛ', пе-
пересечет прямую ON d точке М1ч Эта точка (а также точ-
точка Mit симметричная с ней относительно АО), принадле-
принадлежит искомой линии.
Когда точка JV, исходя из О, описывает окружность А
против часовой стрелки, точка Мх описывает траекторию
LOCABOI.
§ 506. Верзьера Аньезн
1, Определение, Пусть иа отрезке 0Л= а
(черт. 484), как на диаметре, построена окружность и пусть
у
и
полухорда ВС продолжена до точки М, определяемой из
пропорции
ВМ:ВС= ОА:ОВ.
Когда точка С описывает окружность OCjC^, точка М
описывает линию, называемую верзьерой Аньези — по имени
§ 506. ВЕРЗЬЕРА АНЬЕЗИ 759
итальянского ученого М а р и и - Г а э т а н ы Аньези
A718— 1799), которая рассматрипала эту линию в руковод-
руководстве по высшей математике A748), пользовавшемся в свое
время широким распространением.
2. Построение. М. Аньези указала следующее про-
простое построение верзьеры. Пусть L-точка пересечения
прямой ОС с прямой UV, касающейся данной окружности
в точке А (вершина всрзьеры). Проводим прямые LM\\ АО
п СВ || AL. Точка пересечения М прямых LM и СВ при-
принадлежит верзьере. При построении полезно учесть особен-
особенности формы верзьеры (см. ниже).
3. Уравнение (О-начало; касательная А"'А' к про-
производящей окружности в точке О-ось абсцисс);
гиба
(с = 0Л-диаметр производящей окружности).
4. Особенности формы. Диаметр О А- ось
симметрии верзьеры. Верзьера располагается целиком по
одну сторону от прямой Х'Х. Последняя является асимп-
асимптотой верзьеры. Верзьера обладает двумя точками пере-
пере(-^=. -")> м*(-^> Щ-\ Опн строятся по вы-
вышеуказанному способу, если точку С совместить с одной
из точек Сь С.л (АСХ = ЛС2 = ■£). Углы <хи «2, составля-
составляемые касательными MtF, MUF с осью Х'Х находятся по
з у1^
формуле tg «i 2 = т —л . Для построения касательных
М^, MZF достаточно отложить отрезок AF = |- иа про-
продолжении диаметра О А.
В вершине А центр кривизны К верзьеры совпадает
с центром производящей окружности, так что радиус кри-
кривизны RA = АК = ~. Поэтому вблизи вершины А верзь-
верзьера практически сливается с окружностью.
5. 17 л о щ а д ь S бесконечной полосы между верзьерой
и ее асимптотой равна учетверенной площади производя-
производящего круга: S = 7zaz (ср. § 327, пример 4).
6. Объем К тела вращения всрзьеры около асимптоты
равен удвоенному объему V, тела вращения производя-
производящего круга около той же оси:
V - ^ у - —
760 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Тело 'вращения верзьеры около оси симметрии имеет бес-
бесконечный объем.
7. Исторические сведения. Линия, заданная
уравнением у = —Лг~, впервые встречается у Ферма,
который в 30-х годах XVII века нашел площадь, ограни-
ограниченную дугой этой линии, двумя ординатами и осью
абсцисс (задача эта тогда представляла значительные
трудности, так как методы интегрирования были еще мало
разработаны). Построение верзьеры и ряд ее свойств были
указаны итальянским ученым Гвидо Гранди в
1718 г. Ему принадлежит и термин «верзьера» (versiera);3T0
слово, не смущаясь его двусмысленностью (по-итальянски
оно означает «ведьма»), Гранди произвел от термина
sinus versus («обращенный синус»); в эпоху Гранди отре-
отрезок ВС шненовался синусом дуги ОС, а отрезок ВА —
обращенным синусом. Курьезное название слокои Аиьези»,
встречающееся в некоторых нынешних руководствах, не
имеет, по-видимому, никаких исторических оснований.
§ 507. Конхоида Никомеда
1. Исторические сведения. Никомед, древне-
древнегреческий ученый, жил в 250- 150 гг. до н. э. Линию, на-
названную им конхоидой, по сходству ее с раковиной1)
(PAQ иа черт. 485) он ввел для графического решения
задачи о разделении данного угла а на три равные части
(трисекция угла).
Как мы теперь знаем, эта задача решается с помощью
линейки и циркуля только при специальном подборе
угла а (например, при а = ~Л. Так, задача о трисекции
угла а = -£- неразрешима, если пользоваться только линей-
линейкой и циркулем, т. е. если строить только прямые и
окружности. Однако задача решается, если привлечь еще
иные линии,-в частности конхоиду. Для ее построения
Никомед сконструировал специальный инструмент (kohxqh-
дограф).
2. Определение и построение. Даны: точка О
(полюс), прямая UV (основание) и отрезок (. Из полюса О
(черт. 485) проводим произвольную прямую OiV, пересе-
пересекающую основание в точке Л'. На прямой ON откладываем
Конхе {kw/Ji) -раковш.1,
507. КОНХОИДА
761
в обе стороны от N отрезки NMx=NM2=l. Геометриче-
Геометрическое место точек Мх, М2 мы теперь называем конхоидой
Иикомеда. Линия, описываемая точкой, лежащей на про-
продолжении отрезка ON за точку N (точка М1 на черт. 485)
называется внешней ветвью конхоиды; линия, описываемая
другой точкой (М.2 па черт.
485), —внутренней ветвью.
Замечание. Сам Нико-
мед (а также позднейшие авто-
авторы вплоть до конца XVII в)
именовал конхоидой линию, на-
называемую сейчас внешней вет-
ветвью. Внутренняя ветвь рассмат-
рассматривалась как особая линия и
называлась «второй», «третьей»
или ^четвертой» конхоидой в
зависимости от особенностей
ее формы (см. ниже)J).
3. Уравнение (начало--
в полюсе О; ось абсцисс на-
направлена по лучу ОВ, точка
В-проекция полюса на осно-
основание):
(x~a)-(x- + ys) ~ ^х", (I)
где а {-О В) есть расстояние
полюса от основания.
Строго говоря, это уравне-
уравнение представляет фигуру, со- черт. 4S5.
стоящую из двух ветвей кон-
конхоиды и п о л ю с а О, который может и не принадлежать
определенному выше геометрическому месту (см. ниже
черт. 487).
Уравнение в полярной системе (О-полюс;
ОХ-полярная ось):
а
cos 9
B)
где 9 меняется от какого-либо значения ф„ до <po-j-2t:.
При этом точка М(д, <р) описывает обе ветви конхоиды.
При прохождении <р череэ-значение ~ точка М скачком
*) Ни внешняя, ни внутренняя ветвь, взятая в отдельности, не
представляется алгебраическим уравнением.
762 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
переходит с внешней ветви на внутреннюю («уходит в бес-
бесконечность» но направлению «вверх», а появляется «снизу»).
Зт:
Аналогично сопершается переход при <р = -^- с внутрен-
внутренней ветви на внешнюю1).
В огличие от (I) уравнение B) представляет фигуру,
содержащую только то точки, которые удовлетворяют
определению конхоиды.
Параметрические уравнения:
х = а +1 cos ф, у = a tg ф +1 sin ф, C)
4*. Особенности фо рмы. Конхоида симметрична
относительно прямой ОВ; последняя пересекает конхоиду
помимо точки О в двух точках А, С (вершины). Основа-
Основание UV — аемптота как для внутренней, так и для внеш-
внешней ветви. Форма конхоиды (внутренней ее ветви) суще-
существенно зависит от соот ношения между отрезками а (— О В)
н1(=ВЛ),
1) Когда 1:а>1 (черт. 485), внутренняя ветвь имеет
петлю @СМ2)', точка О - узловая.
Угловой коэффициент касательных OD, OF. в узловой
точке:
, , у7а-н*
tea = -t—-- .
° а
Для поарпеппя касательных в точке О достаточно засечь
на основании UV точки D, Я дугами радиуса ( из центра О.
Наибольший поперечник GH петли:
UH = 2(la1h-al1h):(rh + a*l'IlK D)
Ему соответствует абсцисса ха = OF = (^яI/» —( и поляр-
полярный угол ф0, определяемый формулой cos ср0 ~ — (а:()'/«.
Па черт. 485, где (: а—2, имеем
3
ОМ *= I,lla, ха = —0,59A, cos^ = - КбД, ?а « 142°30'.
*) Полярный радиус q в уравнении B) принимает как положитель-
положительные, так и отрицательные значения (см. $ 73, замечание 2). Во избежа-
избежание этого вместо уравнения B) можно пользоваться уравнением р =
= ±1. Однако в случае /s- а (черт. 435) положительность вели-
соь <?
чины о ца внутренней ветви достигается за счет того, что при перо-
ходе точки Л1? через узловую точку ее полярный угол 9 совершает
скачок на ±-к. Вследствие этого область изменения угла ср состоит из
(JT 7Т\ / 71 ЗгГ\
~7>' +"9~/И из11е1<010Рой'|астнпР°межутка( + п"> +*о" )-
Кроме toi'o, при одних значениях ф надо брать перед/оба знака ± , а
при других —только знак плюс.
5 507. КОНХОИДА НИКОМЕДЛ
763
2) Когда /:я—I, петля внутренней ветви стя1ивается
к полюсу О и превращается в точку возврата1) (черт. 486),
касательная и этой точке совпадает с ОХ.
3) Когда I'• я-= I, внутренняя ветвь не проходит через
плюс О (черт. 487); последний является изолированной
точкой2) линии (I).
5. Точки и е р е г и б а. На внешней ветви — две точки
перегиба PQ (черт. 485-487). На внутренней ветви точки
Черт. 486.
перегиба (Р% Q' иа черт. 487) имеются лишь в том слу-
случае, когда полюс является изолированной точкой. Абсцис-
Абсциссу xt нары точек Р, Q и абсциссу х2 пары точек Р', Q'
можно найтн нз уравнения
Х3-За*х+2а(а.г-Р) = О. E)
I) При (; а =~ 1 (черт. 485) уравнение E) имеет единствен-
единственный корень Xi, он заключен между а^З (= 0/?) и а+1
•) Точкой возврата некоторой линии называется такая ее точка,
где направление движения вдоль данной линии скачкообразно меня-
меняется нл противоположное.
Е) Точка, входящая в состав некоторого геометрического места,
называется изолированной (по отношению к этому геометрическому
месту), если из нее, как нз центра, можно описать окружность, внутри
*да;орой не содержится других точек данного геометрического места.
764
НЕКОТОРЫЕ ЗЛМЕ-ЧЛТЕЛЬНЫе КРИВЫЕ
( = 0А) н тем ближе к atf3, чем меньше 1:а раз-
иится от I. Так, при 1:а = 2 (черт. 485) уравнение E)
имеет вид (-) -3 (-*)-(> = 0. Корень xt заключен
между о ^3" и За. Используя эти 1рапицы и применив
(дважды) формулы § 291, найдем
jq « 2r35a ( = OS).
2) При (:а—I (черт, 486) уравнение E) принимает
вид x3 — 'Sasx = O. Оно имеет трн действительных корня
x^afl, xx=Q, xs^-af3. Первый дает абсциссу OR
точек перегиба Р, Q; второму соответствует точка воз-
возврата О; третьему не соответствует никакая точка кон-
конхоиды.
3) При 1:а-=\ (черт. 487) уравнение E) имеет три
действительных корня, из которых первый хг(=03) заклю-
заключен между а( = ОВ) и аУЛ=°Ю', он нс превосходит
также и отрезка а+1( = ОА).
Второй корень x2{ = OZ) за-
заключен между а -1 (= ОС)
н а (оба корня тем ближе к а,
чем меньше 1:а разнится от
нуля). Третий корень х3 отри-
отрицательный. Кореш. *! дает абс-
абсциссу точек Р, Q; корень х2-
абсциссу точек Р', Q'. Корню
х3 не соответствует никакая
точка конхоиды. Так, при 1;а =
= 0,5 (черт. 487) имеем уравне-
уравнение
Между а и а + 1=\г5а лежит
корень лг^ 1,38а (= OS), даю-
дающий точки персгибаР, Q. Между
д-( = 0,5й и а лежит корень
Черт. 488. *г * 0,57а (= OZ); он дает
точки Р', Q'. Третий корень
(дг3« - 1,9а) отрицательный.
6. Свойство нормали. Нормаль конхоиды в ее
точке М (черт, 488) проходит через точку N' пересечения
двух прямых, одна из которых есть перпендикуляр к ОМ,
проведенный через полюс О, а другая-перпендикуляр
g 508. УЛИТКА ПАСКАЛЯ; КАРДИОИДА 765
к основанию UV, проведенный через точку N, 1дс VV пе-
пересекается с ОМ.
7. Построение касательной. Чтобы по-
построить касательную к конхоиде в ее чочке М, соединяем
последнюю с полюсом О. Через точку N пересечения пря-
прямых ОМ, VV проводим прямую NN'±UV, а через по-
полюс О-прямую 0N'±0M. Точку Л'' пересечения этих
прямых соединяем с М. Прямая N'M будет нормалью
к конхоиде. Проведя MT±N'M, получим искомую каса-
касательную.
8. Р а д и у с ы к р и в н з н ы в точках А, С, О:
Так, при 1=2а (черт. 485)
RA = 4,5й, Rc = 0,5а, Ro =. а У~3.
9. Площадь между асимптотой и одной из ветвей
конхоиды (внешней или внутренней) бесконечна.
Площадь S петли:
S = а
Так. при t-2a (черт. 485)
(^) -^тг] « О,65аг.
10. О б о б щ е и и ы с ко н х о и д ы. Взяв вместо пря-
прямой линии VV какую-либо кривую L, а в остальном пол-
полностью сохранив определение конхоиды Никомсда, полу-
получим ноную линию, называемую конхоидой линии L отно-
относительно полюса О.
. К числу обобщенных конхоид принадлежит, в частно-
частности, улитка Паскаля (см. § 508).
§ 508. Улитка Паскаля; кардиоида
1. Определение и построение. Даны: точка
О (полюс), окружность К диаметра ОВ^а (черт. 489),
проходящая через полюс {основная окружность; она по-
показана на чертеже пунктиром), и отрезок (. Из полюса О
проводим произвольную прямую ОР. От точки Р, где пря-
прямая ОР вторично пересекает окружность, откладываем
в обе стороны от Р отрезки РЩ—pMi^L Геометриче-
766
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ское место точек Mlf ЛГ, (жирная линия па черт. 489) на-
называется улиткой Паскаля - и чесгь Этьепа Паскаля
A588-1051), отца знаменитою французскою ученого
Блеза Паскаля A623-1662).
Термин «улитка Паскаля* предложен Робервалем, со-
современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал
эту линию как один из видов обобщенной конхоиды
(см. § 507).
2. Уравнение (начало-в полюсе О; ось ОХ на-
направлена по лучу ОЙ):
(х2 + у*~ах)а - 1-(х2-\-у-}. A)
Строго говоря, эго Уравнение представляет фигуру,
состоящую из улитки Паскаля и полюса О, который мо-
может и не принадлежать определенному выше геометриче-
геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 н 4
на черт. 489).
$ 505. УЛИТКА ПАСКАЛЯ; КАРДИОИДА 767
Уравнение п полярной системе (О-полюс, ОХ~
полярная ось):
р = acos<p + t, B)
где (р меняется от какого-либо значения % до фи+2^1).
Й отличие от A) это уравнение представляет фигуру,
содержащую только то точки, которые Удовлетворяют
определению улитки Паскаля.
Параметрические уравнения:
х ^ a cos3 <р-И cos <р, \
у = a sin ф COS 9 +1 sin <p. / ^
Рациональное параметрическое представ-
представление (н = tg -*-):
3. Особенности форм и. Улитка Паскаля сим-
симметрична относительно прямой О/?. Эга Пряу.ая (ось улит-
улитки) пересекает уличку; 1) в точке О (если последняя при-
принадлежит улитке); 2) в диух точках А, С {вершины). Форма
линии зависит ог соотношения л!е;кду отрсз!са,ми а(=ОВ)
И t(--AB=BV).
1) Когда /:«<:1 (линпя 1 жирная; для нее /:а=1:3)
улшка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке и
о, . = О, cos «,„=--' sin о. , = ±'-—
ооразуя двй петли; внешнюю OIlAtGO и внутреннюю
Oli'G-fi О. Угловой коэффициент касательных OD, ОН
в узловой точке:
Для построения касательных достаточно провести хорды
OD, ОН д'пшы / в окружности К. Наибочее удаленным от
') При / -< а (жирная линия на черт. 489) полярный радиУС р
может принимать как положи!ельные, так и отрицлтельныс значения.
Во избежание этого .можно пользоваться урдаиеннем р = I±a cos 9-
Но при энил розцикают неудобства, аналогичные с отмеченными в
киоске к п. 3 § 507.
768 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
оси точкам G, Н внешней петли отвечает значение
COS ф ==; * ~1 "■ Iй* UjD^Jj
наиболее удаленным точкам G', Н' внутренней пстли-
значение
Соответствующее значение полярного радиуса:
-0,45а).
2) Когда 1\а=\ (линия 2 на черт. 489), внутренняя
петля стягивается к полюсу и превращается в точку воз-
возврата, где движение по направлению луча ОХ сменяется
движением в Противоположном направлении. Наиболее
удаленным от оси точкам ],, N отвечают значения
ф=|-, p^=|a; x=-|a, у = ±-^ а.
Линия 2 называется кардиоидой, т. е. «сердцеобразной*
(термин введен Кастиллоном в 1741 г.). Она изображена
отдельно на черт. 490.
3) Когда l<f:a-=2 (линия 3; для нее f:a=4;3),
улитка Паскаля-замкнутая линия без самопересечения;
оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя.
Наиболее удаленным от оси точкам I/, JV' отвечает значе-
значение cos q> = Vl* + *a*~l (ад Щг~ ** °'45) * Лишившись
точки возврата, улитка приобретает взамен точки пере-
перегиба R, Q, которым отвечает значение cos q>* = —^ы~*
Угол fiOQ (=27с — 2фл), под которым отрезок RQ виден
из полюса, по мере возрастания 1:а сначала возрастает
от нуля до 2arccos—^—(« 39°40'); этому значению соот-
соответствует I: й= fi. При дальнейшем увеличении I: a
угол ROQ убывает, стремясь к нулю при t: a->2.
4) При I: а=2 точки перегиба, сливаясь с вершиной С,
пропадают (причем кривизна в точке С становится рав-
1) Таким образом, полярным углом точки G' является не угол
X0G', а угол между ОХ и лучом, противоположным лучу 0G' (см.
§ 73, замечание 2).
S 508. УЛИТКА ПАСКАЛЯ; КАРДИОИДА
769
noi'r нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохра-
сохраняет ее при всех значениях 1;а=-2 (линия 4; для нее
(:й-7:3). Наиболее удаленным от оси точкам L", N"
отвечает значение
*(=*)•
4. Свойство нормали. Нормаль улитки Паскаля
в ее гочке М (черт. 490) проходит через точку N основ-
основной окружности К, диамет-
диаметрально противоположную
той точке Р, где ОМ пере-
пересекается с основной окруж-
окружностью.
5. Построение ка-
касательной. Чтобы про-
провести касательную к улитке
Паскаля в ее точке М} сое-
соединяем последнюю с полю-
полюсом О. Точку JV основной ок-
окружности К. диаметрально
противоположную точке Р,
соединяем с М. Прямая MN
будет нормалью к улитке. ч 490
Проводя MTxMN, полу-
получим искомую касательную.
6. Р а д и у с кривизны в точках А, С, О:
Последнее выражение предполагает, что t^a (при
1>а точка О обособлена от улитки). В частности, для
кардиоиды ((-а; точки О и С совпадают):
Ил = 4 а, /?с = Яо = О.
7. Площади. Площадь S, описываемая полярным
радиусом улитки при полном обороте:
s = (^-аз+г2)^ <5>
(Робе рва ль).
В случае отсутствия петли Aз*а) величина 5 выра-
выражает площадь, ограниченную улиткой. При наличии петли
имеет место равенство
49 М, Я. Выгодский
7?0 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
где Si-площадь, ограниченная внешней пеглей (со вклю-
включением площади внутренней петли), S2-площадь одной
внутренней петли; по отдельности площади S1( S3 выра-
выражаются так;
где ф!= агесов (--£);
S3 = (-[ аМ Г-) 9г -f ? )^^Р, E6)
где 9а = arccos —.
Для кардиоиды
I
т.е. площадь кардиоиды равна шестикратной площади
основного круга.
8, Д л и н а дуги улитки 11аскаля в общем случае не
выражается через элементарные функции. Для кардиоиды
длина s ду1 и, отсчитываемой от вершины А (<р — О):
8 = Аа sin -*-.
Длина всей кардиоиды составляет 8а, т. е. равна
восьмикратному диаметру основного круга.
9. Связь с о к р у ж н о с т ь ю. Геометрическое место
оснований перпендикуляров, опущенных иа касательные
к окружности радиуса г с центром В из какой-либо точки О,
есть улнтка Паскаля. Если точка О лежит в плоскости
окружности В, то полюсом улитки япляется О, основная
окружность строится на отрезке ОВ=а, как на диаметре;
постоянный отрезок (, откладываемый на полярном луче,
равен радиусу г окружности В.
Когда точка О лежи г на окружности В, улитка Паскаля
является кардиоидой.
§ 509. Линия Кассини
1. Определение. Линией Кассини называется гео-
геометрическое место точек М, для которых произведение
MF^-MFz расстояний до концов данного отрезка FiFs=
= 2с равно квадрату данного отрезка а:
§ 509. ЛИНИЯ КАССИНИ 771
Точки Fv F2 называются фокусами; прямая FtF2 назы-
называется осью лниии Кассини; середина О отрезка ~FiF2 —
центром.
2. Исторические сведения. Знаменитый астро-
астроном Джиованнн Д о м е н и к о (Жан Домсник) Кае-
снни A625—1712) полагал, что линия, носящая теперь
его имя, может точнее представить орбиту Земли, чем
эллипс. Об этом стало известно в 1749 г. из публикации
Жака Кассин и-сыпа (тоже выдающегося астронома).
Хотя гипотеза Кассини и не оправдалась, по введенная
им линия стала предметом многочисленных исследований.
Ее часто называют овалом Кассина, хотя на самом деле
она не всегда овальна *) (см. ниже).
3. Построение. На F1F2 = 2c, как на диаметре
(черт. 491), строим окружность О. На ее касательной F^K
берем отрезок FYK = a. Отложив на оси FXF2 от точки О
отрезки OAj и ОА2, равные ОК, получим точки Ли А2
линии Кассини,_ наиболее удаленные от центра (ОА1
= О А, =
Черт. 491.
Если а < с, как на черт. 491, то дополнительно строим
окружность радиуса а с центром в О (иа черт. 491 она
проведена пунктиром) и проводим к ней из At касатель-
иую ДГ. В пересечении с основной окружностью О (с)
J) Овалом называется плоская замкнутая кривая, обладающая тем
свойством, что прямая линия может иметь с ней не более двух общих
точек. Овальная линия не может иметь НИ точек перегиба, ни точек
возврата, ни узловые точек.
772
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
получим точки Ро, Qo. От одного из фокусов, скажем, от
Fb отложим по направлению к О отрезки FlBl=AlP1t и
FXB2= A^QU. Получим точки В,, Вг, наименее удаленные
от центра (OBL = 0В2 = Ус2~а2).
Если же а з= с, то наименее удаленные точки Съ С2
(черт. 492) лежат иа оси симметрии 0Y отрезка FjF2 па
расстоянии F1C1= F8C\= а от фокусов Fb F2 (ОСХ =
= 0С2 = /а2 - с2).
Аъ Az и
Черт.492.
B2 (или Сь С.) назовем вершинами
Точки Аъ
линии Кассини.
Через точку Ау (или Д2) проводим (черт. 491) произ-
произвольную секущую A^PQ основной окружности О (с), при-
причем в случае а -= с ограничиваемся теми секущими, кото-
которые пересекают также дополнительную окружность О (а).
Из фокуса Flf как из центра, описываем окружность ра-
диуса r=ALP, а из F2-окружность радиуса г'=А&.
Их точки пересечения Ми -Mz принадлежат линии Кассини.
Меняя ролями точки Fx и F2, получим еще пару точек
-М3, Mi. Искомая линия есть геометрическое место точек
Afi, Мг, Ма, М4-
4t Уравнение (О-начало; FjjFj-ось абсцисс):
(x2+ya)8-2cI(x3->'i) = а*-с*. A)
§ 509. ЛИНИЯ КАССИНИ 773
Уравнение в по ляриой системе (О - полюс, ОХ -
полярная ось):
р* - 2с2р3 cos 2ф + с1 - а1 = 0 B)
нлн
р2 = с2 cos 2ф ± У а* ~ с* sin2 2<р. C)
Двойной знак берется, когда а *= с. В противном слу-
случае берем только знак плюс (иначе р будет мнимым).
5. Особенности формы. Линия Кассини сим-
симметрична относительно прямых ОХ и О У и, значит, отно-
относительно точки О.
При а -= с линия Кассипи состоит из пары обособлен-
обособленных овалов. (На черт. 492 пара овалов LL, L\ соответ-
соответствует значению а =О,8с; пара L«, Ьд-зиачениго а=0,9с)
При а >- с это замкнутая кривая (при а=1л1с —линия Lt,
при а = cfT- линия Ls, при а = с|/3-линия Le).
В граничном случае а = с линия Кассиин есть лемниска-
лемниската L3 (ср. определение лемнискаты). Когда а, возрастая,
стремится к с, вершины Аь А2 стремятся к совпадению
с вершинами Nu N2 лемнискаты, а вершины Ви В2~
с узловой точкой О; при этом правый овал превращается
в правую петлю лемнискаты, а левый-в левую.
При дальнейшем возрастании отрезка а, когда ои пре-
превышает с, ио меньше с У~2 (с -= а ■< с ]/2), линия Кас-
сиии (L4 на черт. 492) приобретает четыре симметрично
расположенные точки перегиба Dlf D2, Da, DA; будучи
замкнутой, она, однако, не является овалом 1). Кривизна
в вершинах С\, С2 бесконечно велика при бесконечной
малости а-с. Когда же д, возрастая, стремится к с /2,
кривизна в точках Си С2 стремится к нулю.
Граничная линия Кассини, отвечающая соотношению
й = с У2_^ (L5 на черт. 492), и все остальные линии
(а г- с У2) являются овалами. Но граничный овал имеет
Hyjieavjo кривизну в вершинах £"ь Е2 (в этих точках по-
попарно сливаются точки перегиба линии Lit а в точках пе-
перегиба кривизна, всегда равна нулю).
6, Наибольший поперечник. При az=> с f2,
т. е. для всех овалов, объемлющих граничный овал Ls,
наибольший поперечник GjGz = 2 У а* - с2 лежит на
оси OY. Всякая же линия Кассини, лежащая внутри
*) Некоторые прямые, как, например, прямая D,Dit пересекают
линию Кассини в четырех тачках.
|7* НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
граничного овала (как объемлемая лемнискатой, так и
объемлющая ее), имеет два наибольших поперечника
/CiK3 = K3K4 = ^г • Они расположены симметрично относи-
относительно ОУ и отеюят 01 центра О на расстояние
ок0 = "ттт~^
2е
Концы их Ки К2, Kj, К4 лежат па основной окружности 0.
Последняя является 1еометрическпм местом тех точек,
в которых касательные к линиям Кассшш параллельны
оси ОХ. Каждая такая касаюлмшя является «двойной»,
т. е. она касается линии Кассипи в двух точках Kj, Kz,
симметричных относительно ОУ.^ .__ _
7. Ра дну с кривизны: * """^ ""\
В частности, в вершинах А (р ==
= 0), С'(р = J'o^c3,
8. Т о ч к и перегиба. Полярные координаты точек
перегиба Dlr D2, Ds, Dt определяются по формулам
4
Геометрическое место точек перегиба есть лемниската
с вершинами J^, £?й (на чертеже не изображена).
9. Построеииекасательной. Чтобы построить
касательную к линии Кассинн в ее точке N (черт. 491),
продолжим отрезок I\N за точку N, па расстояние
NF=NFV Через точки F и F3 проведем прямые FH и
F-H, соответственно перпендикулярные к FXJV и F^N.
Точку их пересечения .Н соединим с N. Прямая NH есть
искомая касательная.
Если прямые FH, F2H пересекаются в недоступной
точке, то отрезки NF, NFt можно пропорциоиалызо умень-
уменьшить.
ею. лемниската
§ 510. Лемниската Бернулли
775
1. И с 1 о р и ч е о к и е сведения. В 1ЬУ4 i. Як о в
Бернулли1) в работе, посвященной теории приливов
и отливов, использовал в качестве вспомогательного средст-
средства линию, которого он задает уравнением х2 + у3 = afx^-y'K
Он отмечает сходство этой лиишг (черт. 493) с цифрой 8
Черт. 493.
и с узл«образной повязкой, коюрую он именует «лсм-
диском» 2). Отсюда название лемниската. Лемниската пс-
лучнла широкую известность в 1718 г., когда шальянскнп
математик Джулио Карло Фаньяно A682 - ПЬЬ)
установил, что инкчрал, представляющий длину дуги
лемнискаты, не выражается через элементарные функции,
и тем не менее лемнискат можно разделить (с помощью
линейки и циркуля) на и равных дуг при условии, что
п = 2т пли 3-2"' или 5-2"', где т-любое целое поло-
положительное число.
Лемниската есть частный вид линии Касспнп (§ 509,
п. 6) Однако, хеш линии Касспни получили всеобщую из-
известность с 1749 I., тождественность «восьмерки Касснпп»
с лемнискатой Бернулли была ушановлена лишь в 1806 г.
(итальянским матемашком С а л а л и н и).
2. Определение. Лемниската есть геометрическое
место точек, для которых произведение расстоянии до
кондов данного отрезка F1F2~2t равно с3. Точки Fb Г2
называются фокусами лемнискаты; прямая FyFz — ee осью.
*) Яков Бернулли A654 —1705)-выдающийся швейцарс-
швейцарский ученый, ученик и сотрудник Лейбница в разработке исчисления
бесконечно малых и его приложений. Основоположник теории веро-
вероятностей, где он сформулировал л доказал теорему, носяшую ei с
имя (оакон больших чисел»),
*) Xv]|xv(fjxo; по-гречески—шерстяная повязка.
TW НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
3. Уравнение (начало О-середина отрезка F^;
ось ОХ направлена по F2Fi):
(х2 + у")- = 2сЦх*-у-). (I)
Уравнение в полярной системе (О-полюс, ОХ-
полярная ось):
р3 = 2с2С0Б2ф. -vi~j -ч ■ B)
Угол ф изченяегея в промежутках (-~, ~) и
/Зге 5тс\
\ 4' 4;-
Рациональное параметрическое пред-
представление:
где параметрн « связан с <р соотношением и2 = tg (■^■- ф).
4. Построение. Можно применить общий способ
построения линий Кассини, но нижеизложенный способ
(Маклорена) и проще и лучше. Строим (черт. 493) окруж-
окружность радиуса ~ с центром в точке Fx (или F2). Про-
V 2
водим произвольную секущую OPQ и откладываем на
этой прямой в обе стороны от точки О отрезки ОМ и OMlt
равные хорде PQ. точка М опишет одну из петель лем-
лемнискаты, точка Mi-другУю.
5. О с о б е н и о с 'Г и формы. Лемниската имеет две
оси симметрии; прямую FxF2(OX) и прямую ОУ х ОХ.
Точка О-узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Ка-
Касательные в этой точке составляют с осью ОХ углы ± —■
Точки Ли А2 лемнискаты, наиболее удаленные от узла О
(вершины лемнискаты), лежат на оси FXFZ на расстоянии
с |/2 от узла.
6. Свойство н о р м а л и. Полярный радиус ОМ
лемнискаты образует с нормалью MN угол у OM
вдвое больший полярного угла ф(=ХМ
Иными словами: угол г. XNM = $ между осью ОХ и век-
юром NN' внешней нормали лемнискаты в точке М ра-
равен утроенному полярному углу точки М:
§ бП. архимедова спираль 777
7. Построение к ас ат ель ной. Чтобы построить
касательную к лемнискате в ее точке М, проводил! по-
ляриый радиус ОМ и строим ^OMN= 2^.ХОМ. Перпен-
Перпендикуляр МТ к прямой Mn есть искомая касательная,
8. Наибольший поперечник ВС = ~ ргР2 = с
(черт. 493) служит основанием равностороннего треуголь-
треугольника с вершиной О.
Э.Радиус кривизны
7
10. Площадь S полярного ее к гора
s (?)=4sin 2{р= ок'Fi/<c
(К- проекция фокуса F: на полярный радиус ОМ).
Иными словами: перпендикуляр JFiK, опущенный из
фокуса лемнискаты на произвольный полярный радиус ОМ,
делит площадь сектора АгОМ пополам.
Площадь каждой петли лемнискаты
2S® = А
И. Связь с гиперболой. Геометрическое место
оснований перпендикуляров, опущенных из центра О равно-
равносторонней гиперболы с вершинами Av Л2 не ее касатель-
касательные, есть лемниската с теми же вершинами.
§ 511. Архимедова спираль1)
1. Построение. Чтобы построить архимедову спи-
спираль с данным параметром к, проводим из центра О
(черт. 494) произвольную Окружность, например окруж-
окружность радиуса ON=k2).
, Делим ее точками bQ, bu bz, bs, ... 3) на произвольное
число п равных дуг (мы взяли п=12). На луче ОЬа от-
откладываем отрезок ОА1=2пк (шаг спирали). Делим его
на такое же число равных частей. На лучах Obv Ob2,
ОЬй>...откладываем отрезки ODX = -^ ОАХ; OD2 = \ ОАи ...
») Предварительно прочитайте § 75 под таким же названием (см.
стр. 113).
*) Для построения удобнее взять окружность большего радиуса;
мы взяли окружность радиуса к лишь потому, что она нам понадо-
понадобится в дальнейшем.
а) Точка Ьг на чертеже не отмечена, так как она лежит внутри
кружка, отмечающего точку D% (расстояние bsD£ составляет около 5 %
радиуса к).
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Получаем точки Dv D2, DJt ... первого витка спирали.
Точки Е17 Вг, JS3, ... второго витка получим, отложив на
продолжениях отрезков ODit ODV OD3, ... отрезки Dj,Ev
DZE2, ..., равные шагу ОАЬ Аналогично получим точки
следующих витков.
Черт. 494.
2. Особенности формы. Любой луч OQ с на-
началом в полюсе О имеет кроме точки О еще бесконечное
лшожесгво точек Qi, Q;, .-., общих со спиралью. Две
последовательные точки ~Qt, Q1+i отстают дрм- от друга
иа расстояние, равное тагу а (- 2Агттг). Касательная к спи-
спирали в го'гке О совпадает с начальной прямой ОХ (это
полезно учесть прп построении спирали). Касательная МТ
в произвольной точке М спирали получается из прямой МО
поворотом последнем на (острый) угол ОМТ - а, для которого
"* 8 511. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ 779
При £-> » мол а стремится к 90° и ду!а спирали вблизи
точки М все более походит па ду! у окружности.
3. С в о й с ч в о нормали. Нормаль МЫ, проведен-
проведенная через точку М архимедовой спирали с шаюм а, пе-
пересекает прямую ОЛГ, перпендикулярную к полярному
радиусу ОМ, н чочки Л', отстоящей от О на расстоянии
0лг-£<=1*!>'
4. По строение касательной. Чтобы построить
каса1елы1ую в точке М а'рхи медовом спирали (см. черг. 494),
поворачиваем луч ОМ около точки О на угол +■— .
Точку N, где повернутый луч пересекает окружность ра-
диуса к с центром в О, соединяем с М. Прямая МЫ -
нормаль к спирали. Построив MTS.MK, получаем иско-
искомую касательную. Касательная к левой спирали (см. § 75
и черт 106) строщея аналогично с тем отличием, что
луч 04 поворачивается па угол -~.
5. Площадь S сектора MOM' (если полярные
углы точек М, М' разня!ся не более чем па 2^):
s-|«(p4pp'+V!). ^ 0)
где ? = ОМ, р' = ОМ', ы^^сМОМ'.
Геометрически: секюр архимедовой спирали по пло-
площади равен среднему арифмешческому из трех круговых
секторов, у которых уюл тот же, что у сектора M0M't
Причем один из радиусов равен полярному радиусу ОМ,
другой-полярному радиусу ОМ', третий-среднему про-
пропорциональному fd~Al ОМ7между ними.
6. Площади пит к об. Формула A) при е = О, д'=а,
со=2т: дает ил щадь Sx фигуры ODM^A^O (черт. 494),
ограниченной первым витком спирали и отрезком 0AX:
S, = \rMn- = ^S{, B)
где Si-площадь круга радиуса О\.
Площадь S2 фи1Уры AtEaHA2Ai, ограниченной вторым
витком и от резком AzAt (р = а, р' = 2а, ы=2л):
S2 = у та- = -jj Sr2, C)
где S^-площадь круга радиуса ОА2.
780 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Вообще площадь $п, ограниченная л-м витком Спирали
и отрезком ОАп, выражается так:
с - п3-(п-1)' ,а . »з-(„-1K
•э» — з — Зпа *" * *
где S^-площадь круга радиуса ОАЛ.
7. Площади колец. Назовем первым кольцом ар-
архимедовой спирали фигуру, образуемую движением от-
отрезка полярного луча между первым и вторым завитками
при повороте полярного луча из начального положения
па 360°. Чтобы обойти эту фигуру вдоль ее периметра,
ладо пройги отрезок AZO, затем первый виток OQtA,
спирали, затем отрезок АгА2 и, наконец, второй завиток
AMQ2At (попятным движением).
" Второе кольцо аналогично образуется отрезком поляр-
полярного луча между вторым и третьим завитками. Оно огра-
ограничено: 1) отрезком ЛгАь 2) вторым витком, 3) отрезком
А2А3, 4) третьим витком (проходимым вспять).
Таким же образом определяются третье, четвертое
и т. д. кольца.
Площадь Fn n-го кольца выражается так:
Здесь S, = ■v.-jrfl2 есть площадь первого завитка (пулевого
О
кольца).
Свойства, изложенные в этом и предыдущих пунктах,
были открыты Архимедом.
8. Длина / дуги ОМ
где « — острый угол между касательной МТ (черт. 494)
и полярным радиусом ОМ, или a^QNM
9. Радиус кривизны
- и
В начальной точке Ro = ■§•.
I 512. ЭВОЛЬВЕНТА (РАЗВЕРТКА) КРУГА
§ 512. Эвольвента (развертка) круга
781
I. Механическое образование. В близком
родстве с архимедовой спиралью находится другая спи-
раль - эвольвента круга (или эвольвента окружности). Это —
линия, описываемая концом JVf (черт, 495) натянутой нити
Черт. 495.
LM, сматываемой с круглой катушки D0Lln (или наматы-
наматываемой на катушку; в последнем случае точка М движется
в обратном направлении).
Геометрически указанное свойство выражается так:
2. Определение. Пусть точка L, исходя из началь-
начального положения Do, многократно описывает окружность
радиуса к (к - параметр эвольвенты круга). На касатель-
касательной/, //откладывается по направлению, противоположному
направлению вращения, отрезок LM, равный дуге D0L,
пройденной точкой L. Эвольвента круга есть линия, опи-
описываемая точкой JVf. Одна и та же окружность имеет
%% Некоторые замечательные Кривые
бесчисленное множество эвольвент (соответствующих все-
всевозможным положениям начальной точки Do).
Смотря по тому, вращается ли точка L по часовой
стрелке илн в противоположном направлении, получаем
правую эвольвенту круга (D0MP на черт. 495) или левую
(D0Q). Обычно две эвольвенты данно1 о круга рассматри-
рассматриваются как две ветви одной линии.
3. Построение. Данную окружность делим на п
равных дуг DbbL = btbu = b.zb3 ~ ... — &n-iD0. На каса-
касательной, проведенной через Du, откладываем отрезок
В0Еих=2пк. Его делнм на то же число равных частей:
На касательных, проведенных через последовательные
точки Ь1у Ь.г, Ь3, ..., откладываем (по направлению, проти-
противоположному смещению точки касания) отрезки bvDv
ЬЛJ, bzD3, .,., еоотстственно равные отрезкам Duax,
Doa2, D0a3, ... Получим точки Dit D3, D,, ... первого
витка DuPif„ эвольвенты Kpvra, Точки Elt Вг, Е3, ... вто-
второго витка получим, оиюжив на продолжениях отрезков
b^, b-.D,, baD3, ... отрезки D,/?!, D2E.Z, D3i,a, ..., равные
DQE0. Анали нчпо получим точки следующих витков.
4, Особенности формы. Эвольвента окружно-
окружности, в силу общих свойств эвольвенты любой линии
(ср. § 347, а также § 34G), обладаем следующими свойст-
свойствами.
а) Эвольвента окружности пересекает все касательные
этой окружности под прямым углом. В частности, эволь-
эвольвента составляет в начальной точке О0 прямой Угол с ка-
касательной DOFU.
б) Обратно, нормаль МП к эвольвенте служит каса-
касательной к окружности. При этом точка касания L является
центром кривизны эвольвенты, так что отрезок ML есть
радиус кривизны эвольвенты:
R = ML. A)
В частности, в начальной точке De радиус кривизны эволь-
эвольвенты равен нулю:
i?0 = 0. B)
в) РадиУс кривизны R эвольвенты возрастает по мере
удаления точки JVf от начальной точки; его приращение
/?!.-/?= MyLj. —ML равно длине соответствующей
дуги LLj окружности:
R1~R=LLl. C)
S 512. ЭВОЛЬВЕНТА (РАЗВЕРТКА) КРУГА 783
В частности, иа участке ОеМ эвольвенты приращение ра-
радиуса кривизны равно Rx-^o = Rm, причем
Rx = ДЛ = к<х, D)
где a=^.D(lOL~ угол поворота радиуса OL от началь-
начального положения ODO.
г) По построению эвольвента не проникает внутрь
круга О. Поэтому при прохождении точки М через на-
начальную точку А) направление движения меняется на
противоположное, т. с. Do — точка возврата эвольвенты.
5, Связь с архимедовой спиралью. Сопо-
Сопоставим правую (левую) ветвь эвольвенты круга с правой
(левой)архимедовой спиралью с тем же параметром k~OD0
(т.е. с шагом 27гя=Ц,Е0), что и эвольвента круга. Пусть
эта спираль (пунктирная линия на черт. 495) исходит из
центра О данной окружности но направлению луча ОХ',
получаемого поворотов начально! о радиуса OD0 на угол
-90° D-90°). Точка О, описывающая спираль, неограни-
неограниченно приближается к эвольвенте: кратчайшее расстояние
точки G до эвольвенты (оно измеряется отрезком GM
нормали LH эвольвенты) уже в конце 1-го витка состав-
составляет лишь 1 % от шага спирали,
С другой стороны, полярный радиус ON спирали, со-
составляющий угол -90° ( + 90°) с радиусом OL, имеет ту
же длину Ы, что отрезок LM. Это значит, что основание
перпендикуляра, опущенного из центра О на касатель-
касательную МТ эвольвенты, описывает архимедову спираль.
6. Полярное уравнение эвольвенты ок-
окружности (полюс О-центр данной окружности; по-
полярная ось ОХ направлена по начальному радиусу OD0);
_ arc
где к -радиус окружности.
7. Параметрические уравнения
х — к (cos a + a sin я); у = к (sin а - я cos а), F)
гдеа=^О0О1.
8. Длина s дуги DQM;
-W-^-i^r- со
Чтобы получить отрезок той же длины, проведем прямую
MVXOM до пересечения в точке V с продолжением.
784 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
радиуса Oh. Половина отрезка О V по длине равна дуге Ц,М;
s=: D^M =IOV. (8)
9. Площадь S сектора D0OM, описанного по-
полярным радиусом, а также площадь SL криволинейного
треугольника LMD0, основанием которого служит отре-
отрезок LM, а боковыми сторонами-дуга D0L окружности
и дуга D0M эвольвенты, втрое меньше площади треуголь-
треугольника OMV (построенного в пункте 8):
$ = $! = ! пл. OMV = ~ к2а\ (9)
10. Натуральное уравнение эвольвенты
круга. Натуральным уравнением линнн называется
уравнение, связывающее длину s ее дуги МйМ, отсчиты-
отсчитываемой от некоторой начальной точки Мо, и радиус кри-
кривизны R в точке М. Натуральное уравнение эвольвенты
круга
R2 = 2ks; A0)
оно получается из D) и G) исключением «.
И. Кинематическое свойство. На языке
кинематики натуральное уравнение A0) выражает следую-
следующее свойство: если дуга эвольвенты круга катится (без
скольжения) по прямой, то центр кривизны L, соответ-
соответствующий точке касания, .движется по параболе с пара-
параметром к.
12. Исторические сведения. Эвольвенты раз-
различных линий впервые были изучены Гюйгенсом в его
знаменитой работе о часовом маятнике A673 г.) (ср. § 514,
п. 17). Основные свойства эвольвенты круга найдены
французским Ученым ла Гнром A640-1718) низложены
в его работе 1706 г.Свойство п.5 найдено Клеро A713-1765)
в 1740 г. Свойство 9, а также кинематическое истолкова-
истолкование натурального уравнения (любой линии) указаны Манн-
геймом в 1859 г.
§ 513. Логарифмическая спираль
1. Определение. Пусть прямая UV (черт. 496)
равномерно вращается около неподвижной точки О (полюс),
а точка М движется вдоль UV, удаляясь от О со скоро-
скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ, Линия, описы-
описываемая точкой М, называется логарифмической спиралью,
g 513. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
785
1, Основное геометрическое свойство.
Повороту прямой UV из любого се положения на данный
угол о (^</М0ОМЛ отвечает одно и то же отношение
ОМ,: ОМ0 полярных радиусов. Иначе i оворя: если пара
точек Мо, М1 логарифмической спирали видгга из полюса
Черт. 496.
под тем же углом, что и другая пара точек No, Nt той же
спирали, то треугольники ОМ^Мг и QNONX подобны.
Отношение q конечного полярного радиуса (О АЛ к на-
начальному (ОА0) при повороте прямой UV на угол +2^
будем называть коэффициентом роста логарифмической
спирали,
3. Правая и левая спи р а л п. Если удаление
точка М от полюса О сопровождается вращением прямой
50 М. р. Выгодский
786 НИКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЬ!,НЫЬ KPHBLIC
UV против часовой стрелки, то логарифмическая спираль
называется правой; в противном случае— левой. Для пра-
правой спирали коэффициент роста q=-\; дли левой q<\.
П/= 1 спираль вырождается и окружность.
Правую и левую спирали, у которых коэффициенты
роста в произведении дают 1, можно совместить, но для
этого надо лицевую сторону одной из них сделать оборотной.
4. Построение. Чтобы построить правую логариф-
логарифмическую спираль с данным коэффициентом роста д1),
делим какую-либо окружность с центром О па п^2"
равных 'истей точками По, Ви В2, Вя,.~, следующими
друг за другом в направлении, противоположном ходу
часовой стрелки s). Для определенности положим п = 2' =
= 16. На луче ОВ0 берем произвольную точку Ао и от-
откладываем отрезок OAi^qOAy. На отрезке О Дь как на
диаметре, строим окружность О' и проводим AilKxOA1
до пересечения с этой окружностью в точке К. Окруж-
Окружность радиуса ОК пересечет луч ОВ8 в точке D8, при-
принадлежащей искомой спирали; та же окружность пересе-
пересечет луч СМХ в некоторой точке L. Проводим LK' xOAt
до пересечении с окружностью О' в точке К1. Окруж-
Окружность радиуса ОК' пересечет луч ODVi в точке D12, при-
принадлежащей искомой спирали, а луч ОД1 — в некоторой
точке I/. Через нес опять проводим L'K''^-ОА^ и т.д.
Таким образом получим точки Dti и Dr>.
Бесчисленное множество других точек спирали, лежа-
лежащих на прямых ВвВь, В,Ва и т.д., можно построить сле-
следующим образом. При точке Ои строим угол ^.ODHQ,
равный углу ODlbDu; в пересечении с лучом Овул по-
получаем точку О13 искомой спирали. При точке Аг строим
^.OA1Q' = ^:ODl5Ai; в пересечении с лучом ОВ1 полу-
получим ТОЧКУ F-! И Т. Д.
5. Уравнение в полярных координатах
(полюс совпадает с полюсом спирали; полярнаи ось про-
проведена через произвольно взятую точку Мо спирали):
? = puq™, (О
где р„ = ОМ0- полярный радиус точки MOl a q-коэф.
фициент роста.
Так же строится и левая спираль с коэффициентом роста— .
При построении левой спирали точки Во, Blt B2, B3l ... следуют
за другом по ходу часовой стрелки,.
§ 5i3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ Ш
Пример. Спираль, нос троенная на черт. 496 (?~3),
представляется уравнением
ф
Р = Ро 3м".
Если за полярную ось принять луч ОВ0, то р0 — ОАО.
Полагая, в частности, ф = тг, получаем р = р0 }f3 = ODS;
при ф - 2" имеем р = р0 ^i - OD4 н т. д.
Обычно сравнение A) ааппсывают в виде
Р = Ро^, B)
где ft-параметр, выражающийся через коэффициент
роста q так:
f-"■;'. о)
Обратно
?-еа«. ^ ^ D)
Геометрический смысл параметра fc прочитывается из со-
соотношения
A=ctga, E)
где е---^ОМТ-viо.ч между прямой ОМ и касательной
МГ (см. ниже черт. 4'Л).
Для правых спиралей параметр к имеет положитель-
положительные значения, для левых-отрицательные.
6. О с о 'б с н и о с т и форм ы. Прн неограниченном
количестве оборотов прямой UV против часовой стрелки
(по часовой с-релке) точка М, описывающая правую (ле-
(левую) спираль, неограниченно удаляется от полюса и опи-
описывает бесконечное количество витков. При неограничен-
неограниченном количестве оборотов в противоположном направлении
точка М неограниченно приближается к п лшсу О, но ни
при каком положении прямой UV не совпадает с О. Таким
образом спираль делает бесконечное множество витков
также около полюса. Однако длина дуги, описываемой
при этом точкой М и отсчитываемой от некоторого на-
начально! о положения До точки JVf, хотя и возрастает, но
не безгранично. Она стремится к некоторому пределу s,
который называют длиной дуга ОЛ0. Название это условно,
так как точка О, строго говоря, ие принадлежит логариф-
логарифмической спирали.
7. Касательная и длина дуги, Угол «
(~^ОМТ), иа который надо повернуть прямую UV около
50*
788
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
точки М логарифмической спирали (черт. 497), чтобы эта
прямая совпала с касательной МТ, одинаков для всех то-
точек спирали. 0-1 резок МТ касательной от точки касания
до пересечения с прямой 0W, проведенной через полюс О
перпендикулярно к полярному радиусу ОМ, имеет ту же
длину s, что дуга спирали от точки М до полюса О:
= МГ = —р—, (Q)
где р- полярный радиус ОМ.
Длина гГ любой дуги LM логарифмической спирали:
s = LM = 0M-0L =
G)
т.е. длина дуги 1,М пропорциональна разности полярных
радиусов в ее концах. Чтобы построить отрезок той же
li/ длины, достаточно отло-
отложить па большем радиу-
радиусе ОМ отрезок ОР, рав-
равный меньшему радиусу
0L, и провести через Р
прямую РН, перпендику-
перпендикулярную к ОМ. Она пере-
пересечет касательную МТ з
некоторой точке Н. От-
Отрезок МН — искомый.
Угол а выражается
ь, jfsx через коэффициент роста
q формулою
Черт. 497.
Ctga =
In q
(8)
Для спирали, изображенной на черт. 49G, где q=
= ОА^: OAQ = 3, имеем
ctga-
111
0,1748,
a *= 80°5\
8, Характеристический треугольники
секториальиая площадь. Площадь, описываемая
полярным радиусом 0L (черт. 4У7), когда точг<а L, исходя
из некоторого начального положения М, неограниченно
приближается по логарифмической спирали к полюсу О,
§ 515. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ 789
стремится к конечному пределу S (секта риалъная пло-
площадь). Сскторпальпая площадь в точке М вдвое меньше
площади характеристического треугольника ОМТ, обра-
образованного полярным радиусом ОМ, перпендикулярной к
псму прямой OW и касательной МТ:
S- iSo*f = TP*tg«, (9)
где р —полярный радиус точки М-
Площадь S любого сектора LOM (предполагаем, что
ОМ-больший радиус н что ^.LOM по абсолютной ве-
величине не превосходит 2л) вдвое меньше площади трапе-
трапеции РМТК (черт. 497), которая будет отсечена от харак-
характеристического треугольника ОМТ, если па ОМ отложить
отрезок OP^OL и провести РК || МТ:
^(9t-9l)tgo:, (Ю)
гле Pi, рг-полярные радиусы точек L, М.
9. Ради ус и центр кривизны. Центр кри-
кривизны С, соответствующий точке М логарифмической
спирали (черт. 497), лежит с пересечении нормали АТС,
проведенной через М, с прямой OW, проведенной через
полюс перпендикулярно к полярному радиусу ОМ. Радиус
кривизны
$ = -!*-• (И)
^ sin * * '
Это равенство усматривается из треугольника СОМ.
10. Эволюта. Геометрическое место центров кри-
кривизны С (эволюта) логарифмической спирали есть лога-
логарифмическая спираль, получаемая из исходной спирали
попоротом около полюса на угол
o = Brt+l)f-tga!/7tg«, A2)
где п-любое целое число. Так, если исходная спираль
пересекает полярньге радиусы под углом a = 45°, то она
совмещается со своей эволютой при повороте около по-
полюса на угол о = ~, или о> = 5 ~, или « = - 3^-и т. д.
В частности, существует бесчисленное множество лога-
логарифмических спиралей, которые сами являются своими
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
эволютами. Это те спирали, для которых угол « удовле-
удовлетворяет одному на уравнений
tg«lntg«=-BH-bl)-*,
где п~ целое число.
11. Натуральное уравнение (т. е. уравне-
уравнение, связывающее длину душ и радиус кривизны; ср § 512,
п, 10)
К « ks (= s ctg «). -; >■*- A3)
Вытекает из F) и A1); усматривается из треугольника
СЫТ.
12. К и н е м а т н ч е с к о е свойство. Па языке
кинематики уравнение A3) пыражает следующее свойство:
если ду!а логарифмической спиралн 'катится (без сколь-
скольжения) по прямой ЛВ, то центр кривизны, соответствую-
соответствующий точке касания, движется по прямой, наклоненной
К ЛВ под углом •£■-«.
13. Картографическое свойство. Сфериче-
Сферическая линия, пересекающая меридианы под постоянным
углом се (эта линия называется локсодромий1)), проекти-
проектируется из полюса сферы р иа плоскость экватора лога-
логарифмической спиралью; полюс последней находится в центре
сферы. Меридианы проектируются при этом лучами, на-
направленными по полярным радиусам спирали; эти лучи
пересекаются спиралью под тем же углом «, под которым
локсодрома пересекает меридианы.
14. Исторические с в с д с и и я. В 1638 г. Декарт
нашел, что спираль, дуга которой расчет пропорционально
полярному радиусу, обладает тем свойством, что се ка-
касательная образует постоянный угол с полярным радиусом.
Примерно в то же время Торричелли независимо от Де-
Декарта и гораздо более подробно изучил свойства «гео-
«геометрической спирали*-так он назвал линию, которую
определил с помощью построения, изложенного выше
в п. 3. Торричелли доказал i еометрически свойства, изли-
женные в пн. 6 и 7. Яковом Берпуллп в 1692 г. были от-
открыты свойства па. 8-11 и ряд других свойств «изуми-
«изумительной спирали» (spira mira His). Название «логарифми-
«логарифмическая спираль» (угол между полярными радиусами про-
*) Что значит (КосоСежтшя» - от греческих слов шокебс» -косой
и.1Дрбмос»-йег. Корабль, сохраняющий неизменный курс, движется
По локсодроме.
£ 514. ЦИКЛОИДЫ
791
порцпопалеп чомрифму их отношения) дано Варпньоном
в 1704 г. Позднее ло)арифмическая спираль была пред-
предметом многочисленных пес тедовашш. 'Гак, кинематическое
се свойство (и. 12) найдено Е. Каталани.м в 1856 г.
§ 514. Циклоиды
I. U п р е д е л е п и с. Циклоидой называется линия,
которую описывает точка (черт. 498), закрепленная в
плоскAСМ1 кряа (производящий круг), KOJ-да этот круг
П
'к .,
т'-—
катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направ-
(направляющая).
Если точка М, описывающая циклоиду, взята внутри
производящею круга (т. е. расстояние CM = d от центра С
792 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
меньше радиуса г), то циклоида называется укороченной
(черт. 498, о); если вне круга (т.е. d > r)t —удлиненной
(черт. 498, 6); если же точка М лежит на окружности
(т. е. ef-r), то линия, описываемая этой точкой, назы-
называется обыкновенной циклоидой (черт. 498, в) или чаще
просто циклоидой (ср. § 253).
Пример. Когда вагон движется по рельсам, внут-
внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду,
точка на ободе - удлиненную, а точка окружности коле-
колеса - обыкновенную циклоиду.
Начальной точкой циклоиды (Л на черт. 498, а~в)
называется такая ее точка, которая лежит на прямой (СйО),
соединяющей центр С„ производящего круга с точкой
его опоры (О), и расположена по ту же сторону от центра С'о,
что и точка опоры О. Точка В на черт. 498, а-в-тожи
начальная.
Начальные точки обыкновенной циклоиды (черт. 498, в)
лежат на направляющей и совпадают с соответствующими
точками опоры производящего круга.
Вершиной циклоиды (D на черт. 498, а-в) называется
такая ее точка, которая лежит на прямой С'О', соединяю-
соединяющей центр С' производящего круга с точкой опоры О',
но расположена на продолжении отрезка С'О- за точку С'.
Отрезок ABt соединяющий две соседние начальные
точки, называется основанием циклоиды; перпендикуляр
DF, опущенный из вершины циклоиды на ее основание, -
высотой. Дуга, описываемая точкой М между двумя сосед-
соседними начальными точками, называется аркой циклоиды;
Прямая UV, описываемая центром С производящего кру-
круга,-линией центров циклоиды.
2. Построение. Чтобы построить циклоиду по
радиусу г производящего круга и расстоянию d точки Л1,
описывающей циклоиду, от центра С производящего круга,
проводим сначала (черт. 499) линию центров LJV. Из неко-
некоторой ее точки Со, как нз центра, проводим окружность
радиуса d1). Один из концов ее диаметра, перпендику-
перпендикулярного к UV, обозначим буквой Мо. Это будет вершина
искомой линии.
Окружность Со делим на четное число 2л равных дуг
(мы взяли 2п=16), так чтобы точка Мо оказалась одно»
из точек деления, и снабжаем точки деления пометками
') Е случае обыкновенной циклоиды это окружность производя-
производящего круга. Вообще же ни производящий круг, ни направляющая в
описываемом построении не участвуют. На черт. 499 они показаны
(точечном пунктиром) только для наглядности.
§ 514. ЦИКЛОИДЫ
793
О, ±1, ±2, ..., + п (точки + л и -л совпадают). На
линии центров в обе стороны or точки С„ откладываем
отрезки С^А', С0В', равные полуокружности производящего
круга:
С0А' = СиВ' = тгг,
и делим каждый из этих отрезков на п равных частей.
Точки деления обозначим С'±1, С±3, .--, С+я, (точки С„,
С_„ совпадают соответственно с точками А', В'; положи-
положительным номером на прямой UV и па окружности Со
соответствуют точки, лежащие по одну и ту же сторону
fifMj
Черт. 499.
от прямой QMD). Через точки 1, 2, 3, ... окружности Сц
проводим прямые, параллельные линии центров (они прой-
пройдут соответственно и через точки —/, —2, — 3; .,.), а
из точек C±i, С±2, .-- проводим полуотфужностн радиу-
радиуса (I, у которых диаметры перпендикулярны к UV и ко-
которые обращены вогнутостью к точке С„.
Отмечаем точки Ml7 M_,, где полуокружности С,, С^
встречают прямую, проведенную через точкн +7, —1;
затеи отмечаем точки М.,, М_г, где полуокружности Сг,
С„2 встречают прямую, проведенную через точки +2,
~2, и т, д. Все точки Мь М_,, Мг, М_3 и т. д. лежат на
искомой циклоиде. В точках Мп> М_п находятся ее началь-
начальные точки Л, В.
Так строится по точкам одна арка циклоиды. Для
построения соседних арок надо продолжить ряд точек С,
как показано на черт. 499. Нумерацию этих точек надо
произвести заново. Окружность же С'о нет нужды вычер-
вычерчивать заново, так как прялше, параллельные линии цент-
центров, остаются прежними.
794 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
3. Параметрические уравнения [ось
абсцисс— направляющая KL; начало координат О— про-
проекция одной из начальных точек (А па черт. 498, а-в)
на направляющую KL\.
х -r<p-rfsln<p; y-r-rfcoscp, (I)
где ф — -^ МСН'— угол поворота производящего круга,
отсчитываемый от того положения, в котором точка М
совпадает с начальной точкой Л.
Дня о 6 i,i к по не иной циклоиды (d = r)
х =■ г (cp-sin <р); у - г (I-cos <p). (la)
4. Особенности ф о р м ы. По направлению пря-
прямой KL циклоида в обе стороны простирается в беско-
бесконечность. JlioOoii ее дуге, отсчитываемой от какой-либо
начальной точки А, сиотнетстпует симметричная дуга,
отсчитываемая от топ же точки в противоположном на-
направлении; АС\-ось симметрии. Циклоида симметрична
также относительно прямой Ш-\ проведенной через
какую-либо из вершин перпендикулярно к направляющей
При смещении по направлению линии центров на рас-
расстояние, кратное 2ъг (длине производящей окружности),
циклоида совмещается сама с собой. Последовательными
смещениями па расстояние + 2т.г можно получить всю
циклоиду из любой ее душ, соответствующей изменению
параметра от некоторого значения <р = <р,, до значения
Ф ■= фо + ^тг, например от ср = -я до <р —тг или от <р==0
до ф — 2тг.
Циклоида заключена внутри полосы, ограниченной пря-
прямыми у = r + tt и у = г—п. Первая из них касается цик-
циклоиды'и каждой из ее поршпн. Вторая проходит через все
начальные точки; она является касательной к циклоиде,
когда 3ia циклоида-укороченная или удлиненная. Для
обыкновенной же циклоиды вторая прямая (>' — 0) совпа-
совпадает с направляющей и перпендикулярна к касательным
(односторонний) и начальных точках циклоиды.
5. Узловые т о ч i< и. Удлиненная циклоида всегда
обладает узловыми точками. Число и расположение послед-
последних зависят от отношения (/: г ( = >). Пока это отношение
не превосходит числа >0 = 4,С(ШЗ...1), все узловые точки
расположены на прямых x = 2kv:r (k- целое число), при-
причем иа каждой из этих прямых лежит одна узловая точка:
>) Это ирр.и шона льное число равно scaOl где г0—наименьший гтпло-
жительный кпрепь уравнения tg л - ж =0.
g 514. ЦИКЛОИДЫ 795
точка Д, (черт. 498, б)-на прямой х = 0, точка вг~
на прямой .\'-2ттгц т, д.
Эти точки можно naiini, решив уравнение
Я> —Xsin ц> ^ О. B)
Которое н рассматриваемом случае X -- >.„ имеет един-
единственный положительный корень <рг; последний располо-
расположен в промежутке (О, ттг). Значения 9^<Pi и ц> - —срг
еоошетствмог точке Л, па арке ADB (О -=. q> ■< 2п) и на
соседней арке (-2тг -= <р < (О1)-
Пример I. Пусть i/^I,43r, как на черт. 408, б.
Решив уравнение
9-1,43 sin ср .;- О Bа)
(по способу §§ 288-28У), нп11дс,м значение <px =-аI°, соот-
соответствующее точке Дх (на арке АОВ). Ординату у\ точки
-\t 1гаход1глг из второго уравнения A):
у1 - О Л, = г (I - 1,43 cos фО <» 0,78г.
Узловые шчкп данной циклоиды суп.
Bг.кг; 0,7Нг).
Пусть теперь отношение ?. лежит и промежутке 9
где ^-7,7^968...-); тогда кроме рассмотренных иыше
узловых точек появляются узловые точки на прямых х —-
— Bк+1)ъг, по одной паре па каждой из этих прямых:
точки Р,, Р£ (черт, 500) на прямой х = тгг, точки Q,, Q2
на прямой х = — пг, точки Rlt R2 на прямой х = 37гг
И т. д. Эти точки можно найти, решив уравнение
<р — Л sin 9 - ~, C)
ко трое н рассматриваемом случае имеет два положи i ель-
пых корпя фи «pa- ^*0а корпя лежат и промежутке Bтт, Зл)
и соответствуют iочкам Рг, Р-. на арке BD"N, которая
пересекается здесь с аркой LD'A3), отделенной от BD"N
одной промежуточной apiion ADB.
>) Нулевому корню уравнения BJ соответствует начальная точка
■А, не являющаяся узловой.
!) Это иррациональное число равно sc «(, где aL —наименьший
положительный корень уравнения tg а. — а. = п.
3) Если Х=х0, то точки Pt и Ри совпадают, та.к что арки flZ>"N и
LD' Л KjitdioTCH друг друга.
796
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
В том случае, когда > лежит в промежутке
где \2~ 14,102..-1), у циклоиды появляются новые узло-
узловые точки-на этот раз опять на прямых х~2ккг, по
одной паре на каждой из этих прямых: точки Аг, Дя (см.
черт. 500) на прямой х = 0, точки В2, В3 на прямой х =
= 2т:г, точки 1Л, L2 на прямой х = —2кг и т. д. Эти точ-
точки можно найти, ре'шив уравнение B), которое в рассматри-
рассматриваемом случае имеет не один положительный корень, кака
Черт. 500.
примере 1, а три. Наименьший корень ^лежите промежут-
промежутке @, я) и соответствует узловой точке Ах (черт. 500),
лежащей в пересечении соседних арок ADB и LD'A.
Два других корня <ра, ^з лежат в промежутке Bг., Зя) и
соответствуют точкам А2, Д3. лежащим в пересечении
арок BD"N и LDr"S, разделенных двумя промежуточными
(LD'A и ADB).
По мере дальнейшего роста отношения X у циклоиды
появляются все новые и новые пары узловых точек: сна-
сначала по одной паре точек на прямых х = Bк+\)яг (в
этих точках пересекаются две арки, разделенные тремя
промежуточными), затем —но одной паре точек на пря-
прямых х=2кпг (здесь пересекаются две арки, разделенные
четырьмя промежуточными) и т, д. попеременно.
Пример 2. Пусть > = 8, как на черт. 500. Так как
это значение X лежит в промежутке (\, \2), то данная
*) Число %i равно вс at, где &а-йтороЙ (в порядке возрастания
абсолютнойвeличины)пoлoжитeльныйкopeньypaвнeнияtg ее-« =0.
I 514. ЦИКЛОИДЫ 797
удлиненная циклоида имеет по три узловые точки на каж-
каждой нз прямых x^2kttr н по две-на каждой из прямых
B1
()
Узловые точки Д1( Л.г, Д3 на прямой х = О найдем из
уравнения
9-8 sin 9 = О. B6)
Его корни суть
9i = 159°40'; " 9s = 36О° + 69°ЗО'; 9з = ЗбО" + 95°54'.
Ординаты точек Аи Аг, А3 находим нз второго урав-
уравнения A):
ух = ОАГ = гA-8со8<р!) * 8,50г
и аналогично
у3 = 0Аг эд 1,80г; у3=ОД3 ад 1,83Г.
Узловые точки Р1г Р2 па прямой х = к найдем из
уравнения
ср - 8 sin <р = тт. (За)
Его корни суть
9[ = 360° + 26°49'; ф£ = 360°+136°21'.
Ординаты точек Рь Рг будут
у; = ОРХ * -6,14г; Уз = 0Р2 ** 6,79г.
На каждой арке нашей циклоиды лежит по 10 узло-
узловых точек (на арке ADB — точки Q,, L3, L3, Q2, Al и
симметричные с ними точки Rlr N2, N3, R«, В,).
Ни укороченная, ни обыкновенная циклоида узловых
точек не имеют.
6. Точки возврата. По мере того как внешняя
точка М производящего круга приближается к окруж-
окружности, описываемая точкой М удлиненная циклоида (черт.
498, б) стремится к совпадению с обыкновенной циклоидой
(черт. 498, в). При этом петля с узловой точкой Д1 стя-
стягивается в точку О, которая становится точкой возврата
обыкновенной циклоиды: при переходе с арки (-2тт, 0)
на арку @, 2тг) направление движения точки М меняется
на противоположное. Точками возврата являются все
точки <р=2А.7г обыкновенной циклоиды, ii только они.
Удлиненные и укороченные циклоиды точек возврата не
имеют.
7. Точки перегиба. Укороченная циклоида имеет
ра каждой арке по две точки перегиба (L* и h% иа
798 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
черт. 498, а): соответствующие значения параметра <р опре-
определяются из уравнения
Для циклоиды, изображенной на черт. 498, а, где сЫ
=О,6г, имеем cos<p = O,6. Точке L± соответствует значе-
значение (р[ <а 52*25', точке 1,-значсние <р£=127°35'. Коорди-
Координаты Xlt Ух ТОЧКИ LL СУТЬ
. xt » r?-d sin у = г (ф-О,б sin 9) « O,43r,
* ух = г - d cos ф = г (I - 0,6 cos 9) « O,63r.
Координаты точки La:
xz = 2я-хх и 5,85г; уа - У1 ~ 0,63г.
8. Свойства нормали и касательной.
Нормаль MN (черт. 498, а-в) любой циклоиды проходит
через точку опоры Е' производящего круга. Касательная
МТ (черт. 498, а) обыкновенной циклоиды проходит через
точку 11, диаметрально противоположную точке опоры
производящего круга.
Отсюда ясен способ построения касательной.
9. Радиус кривизны. Для любой циклоиды
Р _ (** HP-Mr cos ?)8/з ш
В частности, для обыкновенной циклоиды
z= 2MB' Dа)
(черт. 498, в), т. е. радиус кривизны обыкновенной цикло-
циклоиды равен удвоенному отрезку нормали между цикло-
циклоидой и направляющей. Иными словами, для построения
центра кривизны достаточно продолжить хорду МЕг за
точку Е' на расстояние, равное этой хорде.
10. Эполюта и эвольвента обыкновен-
обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды
(геометрическое место центров кривизны) есть циклоида,
конгруэнтная с данной, но смещенная вдоль иапра&ляющей
на половину основания АВ и опущенная под основание
на расстояние, равное высоте циклоиды (см, черт. 384 на
стр. 505).
Иными словами, эвольвента циклоиды CiBD (см,
черт. 384), исходящая из вершины В этой циклоиды, есть
циклоида MiBNf конгруэнтная с данной, но смещенная
§ 514. ЦИКЛОИДЫ •?&)
вдоль направляющей на половину основания C4D и нодня-
таянад основанием па расстояние, равное высоте циклоиды.
П. Циклоида н синусоида. Геометрическое
место оснований перпендикуляров, опущенных из точки М
циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий
через точку опоры, ccib синусоида с длиной волны 2-пГ
н амплитудой-d. Ось этой синусоиды совпадает с линией
ценгров циклоиды.
12. Ц и к л о и д а какпроскцця винтовой
линии. Обозначения: /г-шаг винтовой линии;
а«ее радиус; «-угол подъема;
р - угол между осью винтовой
линии и плоскостью проекций;
(т-угол наклона проектирующих
лучей к плоскости проекций.
Косоугольная проекция
винтовой линии на плоскость, пер-
перпендикулярную к оси, есть цик-
циклоида. Если а ^«, то эта циклоида
удлиненная; если а < а, то укоро-
укороченная; если а=а, то обыкновен-
обыкновенная. Прямоу! о льиая проекция вин-
винтовой линии иа ту же плоскость
есть, очевидно, окружность.
Прямоугольная проекция вин-
винтовой линии иа плоскость, не пер-
перпендикулярную к оси, по и не па-
параллельную последней, есть «сжа-
«сжатая циклоида» (черт. 501, а—в),
т. с. линия, получаемая из цик-
лонды с помощью равномерного
СЖаТИЯ (§ 40) К КакОЙ-ЛИбО ПрЯ- Черт. 501,
мой, перпендикулярной к линии
центров циклоиды.
Коэффициент сжатия &=sin р; величины г и d, харак-
характеризующие циклоиду (до ее сжатия), выражаются так:
E)
Отсюда вндно, что при J3 >■ « проекция винтовой линии
(черт. 501, а) родственна с Удлиненной циклоидой;
при р-* к (черт. 501, б)-с укороченной; при (* = «
(черт. 501, в)-с обыкновенной.
Ортогональная проекция винтовой линии иа плоскость,
параллельную оси (черт. 501, г), есть сниУСОИда, у которой
г = —: ctg p (« a tg « ctg p); & « а.
800 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
амплитуда есть радиус а винтовой линии, а длина полны
есть проекция ft cos £J шага ft.
13. Д л и н а ду 1' и s циклоиды между точками <p=G,
ь .
s = J ff2+da_2rdcosfdip. F)
о
Эта дуга равна по длине дуге эллипса
зс« 2(с/+г) cos %, у я 2(d-r)sin-J G)
между точками с теми же значениями параметра ф.
Интеграл F) в общем случае не выражается через
элементарные функции аргумента фх. Но для обыкно-
обыкновенной циклоиды [эллипс G) вырождается в отрезок
длины 8г] имеем
s = 2rj sin Jrf9 =
В частности, одна арка обыкновенной циклоиды равна
по длине учетверенному диаметру производящего круга:
s^4*2r. (8a)
14. Натуральное уравнение обыкновенной
циклоиды (в пределах одной арки)
^+(s_4r)a « DгK (О ^ s ^ 2яг). (9)
Получается из (8) и Dа) исключением ер* Дуги отсчи-
тываготся от начальной точки. Если за начало дуг принять
вершину, то натуральное уравнение будет
R*+s* = Dr)8 (~4r ^ s < 4г). (9а)
15. Кинематическое свойство обыкновен-
обыкновенной циклоиды. Уравнение (9) выражает на языке кииематн-
ка следующее свойство: если обыкнодеиная циклоида ка-
катится (без скольжения) по прямой АВ до центр кривизны
точки касания движется по окружности. Радиус последней
вчетверо больше радиуса производящего круга, а центр ле-
лежит в той точке прямой АВ, через которую прокатывается
вершина циклоиды.
16. Площади и объемы. Площадь SJt описыва-
описываемая ординатой при изменении <$> от ф = О до
§ 614. ЦИКЛОИДЫ 801
«Полная площадь» S(npH <pt=2v:y.
S = 2rr3 + rda. (II)
Для обыкновенной и укороченной циклоид-это площадь
фигуры OADBOi (черт. 498, а, в); для удлиненной-пло-
удлиненной-площадь фигуры, остающейся от фигуры AAXDBXB после
изъятия прямоугольника OABOt (черт. 498, б).
Для обыкновенной циклонды (d=r)
S « ЗтгГ2, A2)
т. е. фигура, ограниченная аркой циклоиды и основанием,
по площади втрое больше производящего круга [Робсрваль
A634), Торричелли A643I.
Площадь Ft поверхности, образованной вращением
обыкновенной циклоиды около ее основания ЛВ:
k-£»•-? S, A3)
где S-площадь петли циклоиды.
Объем V% соответствующего тела вращения
!-V, A4)
где 7- объем описанного цилиндра.
Площадь -Р8-поверхности, образованной вращением
обыкновенной циклоиды около высоты DF:
Объем 72 соответствующего тела вращения
72 = ^(|тга-~) = | 7-27", A6)
где 7'-объем описанного цилиндра, V" — объем вписан-
вписанного шара.
17.Тавтохронное1) свойство циклоиды.
Материальная точка, движущаяся под действием силы
тяжести по обыкновенной циклоиде ADD (черт. 502),
обращенной вогнутостью вверх, достигает низшего по-
положения D за промежуток времени
t =
*) От таито; xpo'v°s - одинаковое время.
51 М. Я. Выгодский
802
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
(r-радиус производящего круга, g—ускорение силы
тяжести). Этот промежуток не зависит от начального
положения точки (Гюйгенс, 1673).
Поэтому период Т колебания циклоидального маятника
(T=4f) ие зависит от его амплигудьг (круговой маятник
практически обладает эшм свойством лишь при малых
Черт, 502,
колебаниях). Нить циклоидального маятника, сконструиро-
сконструированного Гюйгенсом, укрепляется в начальной точке К Дру-
Другой циклоиды ЛКВ, являющейся эволютой циклоиды ADB
(см. п. Ю).
18. Циклоида как брахистохрона1). Бра-
Брахистохрона точки, перемещающейся под действием силы
тяжести (в среде, сопротивлением которой можно пре-
пренебречь) из данной точки А в нижележащую точку В
(не расположенную на одной вертикалы с А), есть обыкно-
обыкновенная циклоида. Она обращена вогнутостью вверх; точка А
является ее начальной точкой. Величина производящего
круга определяется из Условия, чтобы циклоида проходила
через точку В.
Продолжительность t быстрейшего спуска определяется
по формуле
A8)
'-П-
*) Брахистохрона (от Ррзхисттс< XP°VQC -кратчайшее время) -
линия, по которой осуществляется быстрейший переход точки из од-
одного данного положения а другое. Термин введен Иваном Бернулли
A667—1748), который поставил и задачу о разыскании (линии крат-
кратчайшего спуска». В 1696 г, он одновременно с ^KOB0W Бернулли опуб-
опубликовал решение задачи.
§ 514. ЦИКЛОИДЫ - 803
где фд-угол поворота производящего круга, соответст-
соответствующий точке В.
Пример. Точка В ниже точки Л ha 0,83 м, а по
горизонтали находится на расстоянии 1,54 м от Л. Найти
продолжительность быстрейшего ската из Л в В.
Решение. Возьмем начало координат в точке А,
ось ОХ направим вертикально вниз; за плоскость XOY
примем вертикальную плоскость, проходящую через Аи В.
Направим ось OY так, чтобы точка В имела положитель-
положительную абсциссу. За единицу масштаба примем 1 м. Тогда
координаты точки В будут
Xi = 1,54; ух --= 0,83. A9)
Циклоида, обеспечивающая быстрейший скат, представ-
представляется уравнениями
' х - r(^-sin<p), у = г A —cos ф). Bо)
Из условия A9) можно найти радиус г производящего
Круга и значение <р = <рл, соотвечешуюшее точке В.
Для этого, исключая г из B0), решаем уравнение
1,34 A-cos <р) = Ол83(ф-5Шф)
по способу §§ 288-289. Получаем 'i
9 « 195° (« 3,40 радиана). &
Теперь из второго уравнения B0) находим
г ^ 0,42 (м).
Наконец, по формуле A8), полагая g — 9,8 (м/сек%
находим
Спуск из Л в В по наклонной плоскости продолжался
бы 0,87 сек, т. е. почти на 25% дольше,
19. Исторические сведения. В истории выс-
высшей математики циклоида сыграла исключительно важную
роль. Более полустолстня она привлекала внимание круп-
крупнейших ученых XVII века. Ряд ее свойств, найденных гео-
геометрическими средствами, подтвердил правильность
новых аналитических методов. ДрУ1 ие ее свойства удалось
открыть только с помошью этих новых методов.
В 1590 г. Галилей, изучая траекторию точки катяшейся
окружности, построил циклоиду (ему принадлежит и на-
наименование зтой линии). Он пытался определить площадь,
61*
804 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Не рас-
располагая средствами для теоретического решения задачи,
он пытался найти отношение площади циклоиды к пло-
площади производящего круга путем взвешивания. Вначале
он полагал, что это отношение равно 3, ио потом обратил
внимание на то, что эксперимент всегда давал ему число,
меньшее трех. Так как разность была незначительна, то
искомое отношение казалось невозможным выразить с по-
помощью небольших целых чисел, и Галилей пришел к убеж-
убеждению, что это отношение иррационально.
После смерти Галилея A642 г.) его ученики Торричеллн
н Вивиани, делившие с иим горести заточения, занялись
математическим исследованием циклоиды. Вивиаии, приме-
применяя кинематические соображения, нашел свойство каса-
касательной, изложенное в п. 5; Торричеллн, применяя приемы,
предвосхитившие интегральное исчисление, определил
площадь циклоиды (п. 14).
Площадь циклоиды была найдена также Робервалем
независимо от Торричеллн и, вероятно, иа несколько лет
раньше последнего. Метод Роберваля замечателен по остро-
остроумию и простоте (он основывался на свойстве п. ПI).
Тем же методом Роберваль нашел объемы тел враще-
вращения циклоиды около основания и около высоты, Роберваль
рассматривал не только обыкновенную циклоиду, но так-
также удлиненную и укороченную н дал метод построения
их касательных.
Как ни замечательны были эти открытия, они относи-
относились все же к задачам, которые для ряда других фигур
решались уже с давних пор. Между тем все попытки
осуществить то ч н о е спрямление криволинейных дуг
оставались безуспешными. Циклоида была первой кривой
линией, которую удалось спрямить. Впервые это сделал
]) Идея метода: из соображений симметрии ясно, что синусоида
AQD (черт, 503), о которой идет речь в свойстве 11, делит на равнове-
равновеликие части прямоугольник AFDK,
построенный па половине основания
циклоиды и на ее высо!е. Из элементар-
элементарных соображений отсюда следует, что
фигура AFDQ, образованная высотой,
половиной основания и синусоидой, рав-
ноиелика производящему кругу. Чтобы
получить площадь полуциклоиды, надо
Чепт 503 добавить площадь «лепестка» AQDP
р ' ' между полуаркой циклоиды и синусои-
синусоидой, роберваль доказывает, что этот ле-
лепесток равновелик половине производящего круга. Доказательство
состоит в применении, так называемого принципа Кавальери (полу-
(полукруг ограничен вертикальным диаметром, сечения производятся
параллельно основанию).
8 515. ЭПИЦИКЛОИДЫ И ГИПОЦИКЛОИДЫ 805
выдающийся английский астроном, физнк, математик и
архитектор Реи A632-1723). Работа Реиа была опубли-
опубликована в 1658 г. Вскоре та же задача была решена рядом
других ученых, причем Ферма, кроме того, впервые вы-
выполнил спрямление алгебраической линии (полуку-
бической параболы).
Исчерпывающее исследование геометрических свойств
циклоиды было произведено Б. Паскалем, работа которого
вышла в слет в 1659 г.
В последующее сорокалетие трудами таких первокласс-
первоклассных ученых» как Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц н братья
БернУллн, были исследованы механические применения
циклоиды (см. пи. 15 и 16). Задача о брахистохроне (п. 16)
в ее обобщенном виде явилась одним из основных истоков
созданной в XVIJI веке трудами Эйлера и Лагранжа новой
отрасш математик — вариационного исчисления.
§ 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды
1. Определение. Как эпициклоида (черт. 504, а),
так и гипоциклоида (черт. 504, б) есть линия L, которую
описывает точка М, закрепленная в плоскости некоторого
круга С раднусц г (производящий круг), когда отот круг
катится без скольжения по неподвижной окружности ра-
радиуса R (направляющая). Линия L называется эпициклои-
эпициклоидой, когда окружности С и О касаются внешним образом,
н гипоциклоидой, когда касание внутреннее.
Эпициклоида черт. 504, а и гипоциклоида черт. 504, б
описаны движением точки М, находящейся на окружности
производящего круга. Такие эпициклоиды и гипоциклоиды
называют обыкновенными в отличие от укороченных и
удлиненных. Эпициклоида (черт. 505, а) и гипоциклоида
(черт. 505, б) называются укороченными, когда точка М
взята внутри производящего круга, т. е. когда d -^ r
(d = СМ— расстояние точки М от центра С производящего
круга), п удлиненными (черт. 500, а и б), когда М лежит
вне производящего круга, т. е. когда £ =- г.
Начальной точкой эпициклоиды или гипоциклоиды (Л на
черт, 5о4- 5о6) называется такая ее точка, которая лежит
на прямой (CiBj), соединяющей центр (Ct) производящего
круга с точкой опоры (ЯД и находится по ту же сторону
от центра си что и точка опоры 24. Точки А, В, В' на
черт. 505, аи б тоже начальные.
Начальные точки обыкновенной эпициклоиды н обыкно-
обыкновенной гипоциклоиды (Л, В, К на черт. 504,а и 0) лежат
806
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
ня направляющей окружности и совпадают с соответствен-
соответственными точками опоры производящего круга.
Черт. 504,
Вершиной эпициклоиды или гипоциклоиды (D на
черт. 505, а н б) называется такая ее точка, которая лежит
иа прямой Сг£2, соеднняющей центр С2 производящего круга
с точкой опоры Еъ но находится иа продолжении отрезка
Сг£а эа точку С3.
Точки D', L, V н^ черт. 505, а к 0~тоже вершины,
Мб. ЭПИЦИКЛОИДЫ И ГИПОЦИКЛОИДЫ 807
SOS некоторые замечательные кривые
Окружность, описываемая центром производящего
круга, называется линией центров эпициклоиды (гипоцик-
(гипоциклоиды). Радиус Ос линии; центров равен
ОС = ОЕ + ЕС = R+r для эпициклоиды,
ОС — | ОН - ЕС | = [ R - г | для гипоциклоиды.
2. Построение. Чтобы построить эпициклоиду или
гипоциклоиду по данным: R (радиус направляющей), г
A'</\ A i
^c^-4,
\
t
Черт. 506, a.
(радиус производящей окружности)и<* (расстояние точкиМ,
описывающей эпициклоиду или гипоциклоиду, от центра
С производящего круга), поступаем следующим образом,
! 515. ЭПИЦИКЛОИДЫ И ГИПОЦИКЛОИДЫ
809
Проводим две окружности (на черт. 506, а и 6 онн по-
показаны жирным точечным пунктиром) О (R) и Со (г), каса-
касающиеся друг друга в точке V внешним образом, если
строится эпициклоида (черт. 506, а), и внутренним образом,
если строится гипоциклоида (черт. 506, б).
Черт. 506, б.
Из центра Со проводим также окружность радиуса U
(она обозначена сплошной линией и сиабжеиа числовыми
пометками) и обозначаем буквой Мо ту из ее точек пере-
пересечения с прямой Ос0, которая лежит на продолжении
отрезка Cov за точку Со. Точка Мо будет одной из вершин
искомой линии.
Окружность Со (d) делим на четное число 2л равных
дуг (мы взялн 2л = 16) так, что0ы точка Мо оказалась
810 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
едной из точек деления. Точки деления снабжаем число-
числовыми пометками 0, ±1, ±2, . ...±п (нулевая пометка
соответствует точке Мо, пометки п и—п соответствуют
одной и той же точке). Дли определенности положим, что
номера пометок возрастают при обходе окружности Со
по направлению движения стрелки часов.
Далее из центра О проводим окружность радиуса
ОС0-линию центров искомой эпициклоиды (гипоцикло-
(гипоциклоиды)-и на ней откладываем из точки Со дугу С0СП1
градусная мера которой определяется из пропорции
QA:I80°-r:tf (I)
н которая направлена по ходу стрелки часов, если стро-
строится эпициклоида, и в противоположную сторону, если
строится гипоциклоида. От той же точки Со откладываем
дугу CQC_n, симметричную с CQCn *). На черт. 506, а и б,
где г: R *= 1:4, дуги C0Cr и С(,С^ содержат по 9о° каж-
каждая и легко строятся с помощью линейки н циркуля гео-
геометрически точно, В других случаях такое построение
может оказаться затруднительным или вовсе невозможным.
Тогда построение выполняется приближенно с требуемой
степенью точности.
Каждую из дуг СОСН) С0С.„ делнм иа п равных частей
и нумеруем точки деления буквами C±i, С±2, ..., С±«,
начиная от точки Со.
Теперь из точки О проводим ряд концентрически:;
вкружностей, проходяших последовательно через точку Mv,
носящую пометку о, через пару точек с пометками ±1,
через пару точек с пометками ±2 и т. д. На первой из
этих окружностей будут лежать все вершины, иа послед-
последней-все начальные точки.
Из точек С1л С3, ..., Сп, как из центров, проводим
полуокружности радиуса d так, чтобы их концы лежали
»а первой н последней из концентрических окружностей
и чтобы эти полуокружности можно было после поворота
около точки О совместить с полуокружностью, носящей
пометки I, 2, 3, ... Таким же образом из центров С~ь
С„я, С_31 •.. проводятся полуокружности, которые после
поворота около точки О совмещаются с полуокружностью,
носящей пометки -1, -2, -3, ...
1) Если г >■ R, то дуги С0С„ и С6С^п перекрыпаются друг с другом,
а если г =- 2R, то, кроме того, каждая из дуг Сасп, СйС—п перекрывает
С8ма себя.
§ 515, ЭПИЦИКЛОИДЫ Н ГИПОЦИКЛОИДЫ 811
Отмечаем точки Mtl M^v где полуокружности Сг(<1),
C~i(d) встречают ту из концентрических окружностей,
которая была проведена через точки ± 1; затем отмечаем
точки М.г, M_Ef где полуокружности Сг, С_в встречают
окружность, проведенную через точки ±2, н т. д. Bet
точки M±i, М±г, М±3,. ■ ■ лежат иа искомой линии, причем
точки MSM-S совпадают с начальными точками А, В (пос-
(последние можно было получить заранее, проведя прямые
ос., ос^п).
Так строится по точкам одна ветвь эпициклоиды (гипо-
(гипоциклоиды). Для построения соседних ветвей достаточно
продолжить ряд точек С, как показано на черт. 506, а и б.
Нумерацию этих точек надо произвести заново. Окруж-
Окружность же Со нет нужды вычерчивать заново, так как она
требуется лишь fym построения концентрических окруж-
окружностей, а последние остаются теми же,
3. Параметрические уравнения (начало
коирд,йнат О-в центре направляющей окружности; ось
ОХ направлена к одной из начальных точек; ф —угол по-
поворота луча ОС из его начального положения')).
Для эпициклоиды
X « (/? + /") COS 9-cf COS ^^9; I
> Bа)
У - (/?)id: j
Для гипоциклоиды
х = (R-r) cos 9
У = (/?-/■) sin 9-cf sin— 9. J
Уравнения B6) получаются из Bа) заменой г на-г
dd*)
]> Этот угол равен ^ ХОС для всех эпициклоид и Для тех гипо-
гипоциклоид, у которых радиус производящего круга меньше радиуса
направляющей (г -= R). Если же г >■ R, то ? в= ^ КОС 4- it. Заметим,
что не существует такой гипоциклоиды, для которой г ^R, ибо в этом
случае производящий круг не может катиться без скольжения по
направляющей окружности, касаясь ее внутренним образом.
!) При указанном ныборе направления оси ОХ и параметра <р
Уравнение B6) сохраняет силу и для тех гипоциклоид, У которых
г =- R (Такие гипоциклоиды называют перициклоидами). Если же в
качестве параметра <р взять, как эрю часто делают, угол <^ХОС, то
параметрические уравнения перициклоид будут отличаться от урав-
уравнений остальных гипоциклоид.
Й12 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
4. Особеииости формы. Всякая эпициклоида
лежит в круговом кольце, ограниченном окружностями
радиусов R+r-\U и \R+r—d\. На первой нз этих
окружностей лежат вершины, а иа второй-начальные
точки эпициклоиды. Таким образом, вершины эпициклоиды
всегда дальше от центра, чем начальные точки, как это
видно на черт. 504, а, 505, а и 506, а.
Всякая гипоциклоида лежит в круговом кольце, огра-
ограниченном окружностями радиусов JR-r-rf] и \R-
—r+d\. На первой лежат вершины, а на второй - началь-
начальные точки гипоциклоиды. Таким образом, в случае, когда
R =- г, вершины гипоциклоиды ближе к центру, чем на-
начальные точки, как это видно иа черт. 504, б, 505, 6 и
506, 0. Дело обстоит наоборот в -том случае, когда ц -= г.
Гипоциклоиды этого второго типа называются перицикло-
идами. Мы ие даем для них особых чертежей по той
причине, что всякая иерицпклоида тождественна с неко-
некоторой эпициклоидой н отличается от последней только
способом порождения. Об этом подробно сказано ниже
в п. 7.
При повороте около центра О на угол, кратный -у£,
эпициклоида (гипоциклоида) совмещается сама с собой.
Так, линия черт. 504, д, где R = Зг, совмещайся сама с
собой при повороте около О на yi ол ± ^, иа угол ± ~,
± 2тс н т. д. То же на черт. 504, б. На черт. 505,. а, б и
506, а, б, где R = 4г, совмещение достигается при пово-
повороте на угол, кратный ~.
Начальные точки обыкновенной эпициклоиды (гипоци-
(гипоциклоиды) являются точками возврата (см. черт. 504, а, и б).
Если отношение И: г есть целое число т, то эпици-
эпициклоида (обыкновенная, удлиненная или укороченная) яв-
является замкнутой алгебраической линией порядка 2 (т+1),
а гипоциклоида—эаМкнУ!ой алгебраической линией по-
порядка 2 (т-1), Так, эпициклоида черт, 504, а (где #; г =
= 3:1) есть кривая 8-го порядка, а гипоциклоида
черт. 504, б (здесь тоже #: г = 3:1)- кривая 4-го поряд-
порядка. Как эпициклоида, так и гипоциклоида состоит из т
конгруэнтных ветвей.
Если отношение #: г есть дробь, которая в несокра-
несократимой форме имеет вид £-(q ^ 1), то эпициклоида (гипо-
(гипоциклоида) -тоже алгебраическая кривая [порядка 21 p±q\]
ц состоит нз р конгруэнтных ветвей. Так, обыкновенная
315. ЭПИЦИКЛОИДЫ И ГИПОЦИКЛОИДЫ
813
эпициклоида черт. 507 (R : г = 3: 2) есть кривая 10-го по-
порядка и состоит нз трех конгруэнтных ветвей.
У
Черт. 507.
Если отношение R:r есть иррациональное число, то
эпициклоида (гипоциклоида) не замкнута, оиа имеет бес-
бесчисленное множество ветвей, пересекающихся друг с
другом.
5. Частные вид и.
I) При R: г = 2: 1 как удлиненная, так и укорочен-
укороченная гипоциклоиды представляют собой эллипс с центром
в точке О. Полуоси эллипса суть а — r+d; Ъ = j т~й \;
концамн большой оси являются начальные точки, концами
малой оси—вершины гипоциклоиды. На этом способе
образования эллипса основано устройство прибора, вычер-
вычерчивающего эллипсы.
1а) Если при постоянных R и г, связанных соотноше-
соотношением R:r = 2: 1, разность r—d стремится к нулю, то
малая ось эллипса неограниченно уменьшается, а большая
ось стремится к совпадению с диаметром направляющей
окружности. Обыкновенная гипоциклоида, получаемая в
предельном случае (d = г), представляет собой отрезок
прямой, а именно тот диаметр иаправляющей окружности,
который соединяет начальные точки. При одном полном
обороте производящего круга этот диаметр описывается
814
НЬКОТОРЫЕ ЗЛМКЧАТГЛЬНЫЁ
в одном нанрапленип, при следующем обороте —в проти-
противоположном направлении. Таким образом, п в этом пре-
предельном случае начальные точки обыкновенной i ипоцик-
лоиды являются точками возврата.
2) При R = г каждая из эпициклоид представляет со-
собой улитку Паскаля (§ 508); в частности, обыкновенная
эпициклоида рассм;ирп'паемого типа есть не чго иное, как
кардиоида.
3) При R : г --- 4 : 1 обыкнопепная гипоциклоида пред-
стаиляст собой астроиду (черт. 508); эта линия характе-
характеризуется Юм, чго очреаск LF ее кастч-'льно!!, заключенный
между двумя взаимно-перпендикулярными прямыми (про-
(проходящими через две пары противоположных начальных
точек), имеет одну и ту же длину И. Уравнение астроиды
в прямоугольник системе координат, указаштк па
черт. 508, есть
или в параметрической форме
х = R cosa и, у = R sin3 и,
6. Предельные случаи.
Случай I. При бесконечном радиусе направляюща!
окружности и данном радиусе производящею крма эпи-
§ 515. ЭПИЦИКЛОИДЫ И ГИПОЦИКЛОИДЫ
815
циклоида (гипоциклоида) обращается в циклоиду (§ 514,
п. 1) с тем же радиусом производящего круга.
Случай 2. При бесконечном радиусе производящего
круга последний обращается в прямую (KL на черт. 509),
которая катится без скольжения по направляющей окруж-
окружности О; при этом эпициклоида (гипоциклоида) обращается
в линию, описываемую
точкой М, 'неподвижно
скрепленной с прямойКЬ.
Если точка М лежит
на самой прямой KL (как
точка Р на черт. 509), то
описываемая щния (АВ
на черт. 509) есть эволь-
эвольвента направляющей ок-
окружности (§ 512, шт. I
и 2).
Если точка, скреплеи-
пая с прямой А В, лежит*
по ту же сторону, что п
направляющая (как точ-
точка М на черт. 509), то про-
проекция Р этой точки опи-
описывает эволызенгу АВ,
а сама точка М—уко-
М—укороченную эвольвенту ок-
окружности. Эта линия
есть геометрическое ме-
место конца отрезка РМ
данной длины /, отклады- ЧеРт- 50Э-
ваемого ча касательной
РТ i< эвольвенте АВ; при этом направление отрезка РМ
совпадает с направлением убывания дуги АР эвольвенты.
Если же точка, скрепленная с прямой KL, лежит по
другую сторону от этой прямой, то она описывает удли-
удлиненную эвольвенту. Эта линия строится аналогично, с той
только разницей, что отрезок данной длины откладывает-
откладывается на касательной РТ в сторону возрастания дуги АР.
7. Двоякое образование гипоциклоид
иэлпциклои д. Обыкновенная гипоциклоида, получае-
получаемая с помощью производящего круга радиуса г, который
катится ко окружности радиуса R, тождественна с «гипо-
«гипоциклоидой», получаемой с помощью производящего круга
816 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
радиуса-
' rx = R-r, C)
который катится по той же окружности радиуса R.
Слово «гипоциклоида» поставлено в кавычки потому,
что в том случае, когда г =- R, под этим термином надо
понимать эпициклоиду, у которой радиус производящего
круга есть r-R.
Пример 1. Астроиду, вписанную в круг радиуса R,
которая получается (п. 5) качением круга радиуса -^ R
по окружности радиуса R, имеющего внутреннее касание
с производящим кругом, можно получить таг< же, как ги-
гипоциклоиду, для которой /?! ^ R, гх = R—^ R = ■§■ R.
П р и м е р 2, Обыкновенная гипоциклоида, получаемая
качением круга радиуса г = 4 м по окружности радиуса
R ■-= 2 м, тождественна с «гипоциклоидой», получаемой
качением круга радиуса гг ~ 2м~4м= —2м по ок-
рУжности радиуса jRj = 2 м, т. е. с э п н ц и к л о и д о н,
для которой /?2 = 2 j«, rL = 2 м. Эта эпициклоида
является кардиоидой (п. 5).
Из сказанного следует, что всякая обыкновенная эпи-
эпициклоида (R, г) тождественна с гипоциклоидой1) (R, R+r).
Так, обыкновенную эпициклоиду черт. 504, а('":=з~#)
можно получить как гипоциклоиду, соответствующую зна-
значениям Rt = R, гг = -^R.
Двоякое образование применимо также и к гипоцик-
гипоциклоидам (эпициклоидам) общего вида, а именно: гипоцик-
гипоциклоиду, соответствующую данным величинам R, г, d, можно
получить так же, как «гипоциклоиду* (RS) rir d{), где Rh
rit tfi выражаются через R, r, d следующими формулами:
Ri = т*> Г* = т №-f>> dis R"r- D)
В случае, когда R •< г2), линия (Rt, rlr dt) есть эпицик-
эпициклоида, для которой Rt~yR, h=~ (r-R), dL = r-R.
Всякая же эпициклоида (R, r, d) тождественна с ги-
гипоциклоидой
* if№+r) rf/?+r Da)
принадлежащей к типу перициклоид.
') Принадлежащей к типу перициклонд; см. п. 4.
») То есть когда исходная гипоциклоида является перициклоидой.
§ 515. ЭПИЦИКЛОИДЫ И ГИПОЦИКЛОИДЫ 817
Замечание. Гипоциклоида (эпициклоида), которая
при одной из способов своего образования была Удлинен-
Удлиненной, при другом способе оказывается укороченной (и на-
наоборот).
ПримерЗ. Удлиненную гипоциклоиду (r, -j #>■§•#),
построенную на черт. 506, 6, можно получить как (укоро-
(укороченную) гипоциклоиду (Нъ rlf cfj), где
(по формулам D)).
Пример 4#УдлиненнУю эпициклоиду (r, -jR, -g- #) >
построенную па черт. 506, а, можно получить как (уко-
(укороченную) гипоциклоиду (#ь ги йг), где (по формулам
Dа)
Ri — ^R, ri~ IT**' ^ = TR'
8. Свойство нормали и касательной.
Нормаль, проведенная через точку М люб"ой эпициклоиды
(гипоциклоиды), проходит через соответствующую точку
касания Е производящего круга с направляющей. Каса-
Касательная к обыкновенной эпициклоиде (гипоциклоиде) про-
проходит через точку Е' производящего круга, диаметрально
противоположную точг<е Е (ср. § 514, п. 8).
Отсюда ясен способ построения касательной.
9. РадиУс кривизны/? любой эпициклоиды:
R = <*+ г) i г) Рп . E)
Соответствующая формула для гипоциклоиды полу-
получается из E) заменой г на-г и d на-tf.
Для обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) полу-
получаем
27
где знак плюс соответствует эпициклоиде, а знак минус—
гипоциклоиде.
Формулу Eа) можно переписать так:
[1шИ т
52 М. Я Выгодский * ,
818 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Здесь I- хорда ME производящего круга, соединяющая
точку М эпициклоиды (гипоциклоиды) с соответствующей
точкой опоры Е производящего круга. Формула E6) дает
простой способ построения центра кривизны.
В начальных точках обыкновеинои эпициклоиды (гипо-
(гипоциклоиды) Н = 0.
В вершинах
Ъ
* ~~ IR ±2г | *
10. Эволюта. Эволюта обыкновенной онициклоиды
или гипоциклоиды (т. е. геометрическое место се центров
кривизны) есть линия, подобная исходной. Отношение
подобия для эпициклоиды есть #:(#+2г), а для гипо-
гипоциклоиды R\{R-2r). Эволюта имеет тот же центр, что
исходная зпициклои&а (гипоциклоида). Вершины оволюты
совпадают с начальными точками исходной линии (ср. § 514,
п. 10), так что одну из этих линий можно получить из дру-
другой поворотом на угол тс • ■£- с последующим пропорциональ-
ным изменением расстояний до центра.
Пример. Эволюта астроиды ABCD (черт. 508), т. с.
гипоциклоиды, для которой R ~ 4г, есть тоже астроида,
получаемая из данной поворотом около центра на угол 45°
и пропорциональным изменением расстояний до центра
в отношении R: (R-2r) — 4:2 — 2:1. Начальные точки
А, В, С, D будут вершинами эволюты,
П. Длина дуги s эпициклоиды между точками
9 = 0, <р = <р»:
<р, . ,
^ f /7 @)
Эта дуга по длине равна дуге эллипса
х м 2 У + г)Ц1 cos |f , у^ 2 (d-r)^ sin ff G)
между точками с теми же значениями параметра <р.
Интеграл F) в общем случае не выражается через
элементарные функции аргумента <pi. Но для обыкновен-
обыкновенной эпициклоиды (эллипс вырождается в отрезок, длина
которого есть 8 г) имеем
(8)
§ 5i5. Эпициклоиды и J-ипОциклйиды й\й
В частности, дУ1а между двумя соседними начальными
точками равна
Для гипоциклоиды все вышесказанное останется в силе,
если заменить d, г соответственно па —tl, —г.
12. Натуральное уравнение обыкновенной
эпициклоиды (гипоциклоиды):
f*-^-I (O-^tt), (Ю)
где а ~ А-Ц?гР?, Ъ - ^±И , ^„радиус кривизны,
5—длина дуги, огсчитыиаемаи от одной из начальных
точек. В выражениях для а, Ь верхние знаки относятся к
случаю* гшициклонды, нижние —к случаю гипоциклоиды.
Уравнение A0) получается исключением параметра <р из
(8) и (Ла).
Цели за начало отсчета дуг принять одну пл вершин,
то натуральное уравнение будет
ъ4 + Ц-- * {-b^s^b). A0а)
Ср. § 514, п. 13.
13. Кинематическое свойство. Уравнение
A0) нлн A()а) выражает на языке кинематики следующее
снойстно: если дуга обыкновенной эпициклоиды или обы-
обыкновенной гипоциклоиды катится без скольжения по пря-
прямой Ав, то центр кривизны точки касания движется по
эллипсу; центр последнего лежит в той точке прямой АВ,
4tipt3 ко горую прокатывается вершина эпициклоиды (ги-
(гипоциклоиды); одна из полуосей совпадает с прямой ЛИ
и по длине раина ri0JiyncTim эпициклоиды (гипоциклоиды)
' '' другая полуось есть радиус кривизны в вер-
шине и равна
4г {R J г)
Н \2г
Ср. § 514, п. 14.
14. С е к т о р и а л i. н а я и л о щ а д ь S, описываемая
полярным радиусом ОМ, который в исходном положении
ведет к начальной точке эпициклоиды, выражается фор-
формулой
52*
820 некоторые замечательные кривые
В частности, для обыкновенной эпициклоиды
(Ньютон).
В случае гипоциклоиды в формулах (П) и A2) надо
заменить г на -г.
В формулах A1) н A2) площадь рассматривается как
направленная величина, т. е. принимается, что в тех про-
промежутках изменения параметра tp, где полярный радиус
вращается в отрицательном направлении, он описывает
отрицательную площадь.
Площадь Si сектора, описываемого полярным радиусом
ОМ обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды), когда
точка М пробегает одну ветвь, выражается формулой
где верхние знаки берутся для эпициклоиды, а ннжние-
ДЛЯ ГИПОЦИКЛОИДЫ.
Площадь же S2 соответствующего сектора направляю-
направляющего круга есть
S2 = -kRt, (]4)
Поэтому площадь S фигуры, ограниченной одной
ветвью обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) и соот-
соответствующей дуюй направляющей окружности выра-
выражается формулой
S = l^-S, I = 7:r*|3±2-U, A5)
Пример. Рассмотрим обыкновенную гипоциклоиду,
для которой г : R = 1 : 4, т. е. астроиду ABCD (черт. 508).
По формуле A5) находим
4
Это-площадь, ограниченная одной из ветвей астроиды,
например ветвью АВ, н соответствующей дугой АВ на-
направляющей окружности О (АВ = 90°),
Но ту же астроиду можно рассматривать н как ги-
гипоциклоиду, для которой г : R = 3 :4 (п. 7). Тогда, приме-
применив формулу A5), найдем
S = т&*
3-2-4
£*#. A5а)
5 515. эпициклоиды и гипоциклоиды S2t
Этот результат может показаться нелепым. Однако
надо учесть, что теперь для вегвн Ав астроиды соответ-
соответствующей является не та дуга АВ, которая содержит 90°,
а вторая дуга (BCD А), содержащая 270°, так что формула
A56) выражаеттуплощадь, которая вместе с площадью A5а)
заполняет весь круг О. В самом деле, сложив A5а) и A56),
получаем
15. Исторические сведения. Чтобы объяснить
попятные движения планет, древнегреческие астрономы,
следуя Гшшарху'(Н в. до и. э.), приписывали нм равно-
равномерное движение по окружности (эпицикл), центр кото-
poii равномерно движется по другой окружности (дефе-
(деферент). Линия, описываемая точкой при этих условиях,
является эпициклоидой. Мы не зиаем, однако, какие гео-
геометрические се свойства были известны ученым древности.
В середине ХШ века выдающийся мусульманский астро-
астроном н математик Мухаммед Насирэддин ат-ТУСи A201 — 1274)
установил, что точка окружности, катящейся по непо-
неподвижной окружности, вдвое большего радиуса, касаясь ее
изнутри, описывает диаметр неподвижной окружности (п. 5).
Это свойство независимо от Наснрэддина было найдено
великим польским астрономом Николаем Коперни-
Коперником A473-1543); оно содержится в знаменитом его труде
«Об обращениях небесных кругов*, опубликованном в 1543 г
Теорема Насирэддина-Коперника нашла широкое приме-
применение в прикладной механике.
Начало снетематическо! о изучения эпициклоид н гипо-
гипоциклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким
художником Альбрехтом Дюрером A471 — 1528), широко
применявшим геометрические методы в изобразительном
искусстве. Однако математикам исследования Дюрера ос-
остались неизвестными.
В середине XV11 века Ж. Дезарг A593-1662), у кото-
которого глубина математических идей сочеталась с талантами
конструктора, изучал свойства эпициклоид в связи с зада-
задачей создания зубчатых колес с наименьшим трением. Ре-
Результаты этих, как и многих других, исследований Дезарга
не были нм опубликованы, но они были известны в кругу
его друзей.
Ла Гир, продолживший исследования Дезарга, опубли-
опубликовал в 1675 г, «Трактат об эпициклоидах и их примене-
применении в механике». Здесь установлен ряд важных свойств.
62$ НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
в частности, свойства, приведенные в пп. 7, 8, 10, 11, 14
и 15.
В своем бессмертном труде «Математические начала
натуральной философии* A687) Ньютон, обобщив иссле-
исследования Гюйгенса о циклоидальном маятнике (§ 514, п. 17),
установил, что в сферическом поле тяготения линией изо-
изохронного колебания маятника является эпициклоида.
Являясь естественным обобщением циклоид, эпицик-
эпициклоиды н гипоциклоиды многократно привлекали внимание
исследователей; кроме вышеуказанных авторов упомянем
еще Лейбница, Эйлера и Даниила Бернуллн A700-1782).
§ 516. Трактриса
1. Исторические сведен ня. Французский врач
К~л о д Перро в Ю93 г. предложил ряду математиков
такую задачу: один конец нерастяжнмой нитн прикреплен
к материальной точке М, лежащей на горизонтальной пло-
плоскости; другой конец движется но прямой Х'А', лежащей
в той же плоскости. Какую линию опишет материальная
точка, увлекаемая натянутой нитью?
Эга задача была решена Лейбницем, который составил
дифференциальное уравнение искомой линии, исходя из
того, что отрезок ее касательной от точки касания М до
пересечения с прямой Х'Х должен иметь постоянную длину
(равную длине нити). Независимо от Лейбница и одновре-
одновременно с ним задача была решена Гюйгенсом, который на-
назвал найденную линию тракторией1), Сейчас ее чаще
называют трактрисой*).
2. Определение. Трактрисой (черт. 510) называется
геометрическое место точек, обладающих тем свойством,
что отрезок МР касательной от точки касания М до пере-
пересечения с данной прямой Л'А' (направляющей) имеет дан-
данную величину а. Точка Л трактрисы, наиболее удаленная
от направляющей, называется вершиной, а перпендику-
перпендикуляр АО, опущенный из вершины на направляющую, -
высотой трактрисы.
3. Параметрические уравнения (ось
абсцисс-направляющая трактрисы, ось ординат направ-
направлена по высоте в сторону вершины А):
у = « sin
i) Оттого же латинского слова trahere (тянуть, увлекать), от кото-
которого образовано слово «трактор».
3) Дополнительные исторические сведения содержатся в п. 14.
§ 516. ТРАКТРИСА
823
где ср — ^.ХРМ-угол, составленный лучом РМ с поло-
положительным направлением оси абсцисс @ -= q> -= л).
4. Особенности формы. Трактриса симметрична
относительно высоты АО (последняя равна данному от-
резкУ а). Прямая АО касается трактрисы в точке А; по-
последняя является точкой возврата трактрисы. Трактриса
Черт. 510.
расположена по одну сторону от направляющей и уда-
удаляется в бесконечность в обе стороны от вершины. На-
Направляющая является асимптотой трактрисы.
5. Построение. Чтобы построить трактрису по
данной ее высоте а, проводим прямую Х'Х (направляю-
(направляющую); из какой-либо точки О этой прямой, как нз центра,
проводим окружность радиуса а. В пересечении с лучом
0Y х Х'Х находим точку Л-вершнну трактрисы. Через
точку А, а также через одну из точек, где окружность О
пересекает Х'Х, например через В, проводим касатель-
касательные AD, BD к окружности; D- точка их встречи. На от-
отрезке ВО = а берем ряд точек 1', 2', 3', ... так, чтобы
824 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
отрезки BD, ВТ', В2', ВЗ',. .. образовывали геометрическую
прогрессию
BD : В!' -= ВР : В21 ^ В2' : ВЗ' = . . . =- q.
Знаменатель q .можно взять по произволу. Во избежа-
избежание накопления погрешностей удобно поступить так: от-
отрезок BD делим пополам точкой 4'; отрезок ВФ делим
пополам точкой 8' и т. д.; занумеровав для единообразия
точку D цифрой 0', мы будем иметь ряд отрезков ВО',
В4', В8', В16',..., образующих прогрессию со знаменате-
знаменателем tj- . Теперь между точками 0', 4' построим промежу-
промежуточные точки /', 2', З'1) в следующем порядке: сначала
находим точку 2' так, чтобы отрезок В2' был средним
пропорциональным между ВО' и В4\ Заодно очмечаем
точку б', делящую пополам отрезок В2-, и точку 10', де-
делящую пополам отрезок В6'!). Тогда получим ряд отрез-
отрезков ВО', В2', В4', В61, В8', В/О',..., образующих геометри-
геометрическую прогрессию со знаменателем 1 : 21'8.
Далее строим точку /' так, чтобы отрезок ВТ был
средним пропорциональным между ВО' н В2', а затем
отмечаем точку 5- - середину отрезка В7-, точку 9' -
середину отрезка В5- и т. д. Таким же образом строится
точка 3' (конец отрезка ВЗ', среднего пропорционального
между В2' и В4'), и затем отмечаются точка Т (середи-
(середина ВЗ'), точка IV (середина ВТ) и т. д.э).
В результате мы получили ряд отрезков ВО1, BV,
В2',..., В12',..., образующих прогрессию со знаменателем
1 : 21''.
Поступая так же, мы могли построить прогрессию
отрезков со знаменателем 1 : 21'8, 1 : 21'16 н т. д.
Теперь на направляющей Х'Х в обе стороны от точки О
откладываем ряд равных отрезков
01 = 111=^11 III = 111 IV = ... = d.
!) Имея в виду разделить отрезок 0'4' на четыре части, мы заранее
занумеровали его нижний конец цифрой 4'\ для большей точности
можно делить этот отрезок на 8, на 16 и т. д. частей и тогда соответст-
соответственно изменить нумерацию.
') Номера 2, 6, 10 образуют арифметическую прогрессию с той же
разностью D), какую образовывали номера 0, 4, 8, 12, ...
3) Точки 7', 9\ IT на черт. 510 не показаны, чтобы не загромож-
загромождать построения. Вообще нет нужды отмечать те точки, которые попа-
попадают внутрь слишком малых прежде построенных отрезков. Эти точки
все равно не увеличат точность построения.
S 316. ТРАКТРИСА 825
Теоретически точное значение d определяется из пропор-
пропорции
d\a = In (а: ВГ). B)
Но если отношение а: BV близко к 1, то практически до-
достаточно взять.
■d=--O-Pl). Ba)
Дальнейшее построение протекает так: точки /', 2', 3',...
соединяем с центром О и в пересечении лучей ОТ, 02',
03',... с окружностью отмечаем точки /, 2, 3,... (на
черт. 510 эти номера проставлены внутри окружности;
для единообразия номером 0 обозначена точка пересечения
окружности с лучом 0D).
Отложим на Ду1е ВА от точки В дуги В/° = 2-В/,
дугу В2" = 2-В2 и т.д. Через концы 1°, 2°, 3°,.., удвоен-
удвоенных дуг (соответствующие номера приставлены на черт. 510
вне окружности) проведем прямые, параллельные направ-
направляющей Х'Х-), а из точек i /, ± //, ± ///, как из центров,
проведем полуокружности радиуса а, как показано на
черь 510 (полуокружности /, И, III обращены вогнутостью
п сшропу возрастания номеров центров, а полуокружно-
полуокружности -1, -II, -III- в обратную сторону).
Наконец, отмечаем пару точек, где полуокружности
+ / пересекают прямую, проведенную через 1°, пару точек,
где полуокружности ± // пересекают прямую, проведен-
проведенную через 2°, и т. д. Все эти попарно симметричные точки
принадлежат искомой линии.
6. Трактриса как ортогональная траек-
траектория; приближенное построение. Ортого-
Ортогональная траектория семейства окружностей радиуса а
с центрами на дайной прямой А''Х (т. е. линия, которая
пересекает все эти окружности под прямым углом) есть
а) В нашем случае, когда а : Д/' = 21'*, пропорция B) дает
tf = a in B^4)= -4 a in 2 к 0,173 а,
тогда как, полагая d= 0'1', мы получаем
d=0'7'= H0r~BV = а (\ ^-Л и 0,160G.
Таким образом погрешность составляет 7,5%.
!) Для этого лучше всего отложить на окружности О от точки А
дуги, симметричные с дугами А 1°, А2", и (оединить каждую из точек
7", 2" с симметричной точкой.
826 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
трактриса. Указанное семейство окружностей имеет бес-
бесчисленное множество орюгоналщых траекторий: через
каждую точку одной из окружностей проходит одна
трактриса, ортогональная к этой окружности. Одна из
траекторий изображена на черт. 510; другая симметрич-
симметрична с ней относительно Х'Х. Остальные получаются па-
параллельным смещением огоп пары трпктрис вдоль при-
примой Х'Х.
Это свойство позволяет сделать довольно точный па-
бросок трактрисы следующим образом. Начертив ряд по-
полу окружное! ей радиуса а с центрами, густо расположен-
расположенными на прямой Х'Х, и выбрав на одной из окружностей
произвольную точку, удаленную от прямой Х'Х примерно
на расстояние ^- и, проводим через нее на глаз линию,
пересекающую ряд соседних полуокружностей под прямым
углом, т. е. направленную всякий раз вдоль соответствую-
соответствующего радиуса. Можно поступить и так: отметим точку
пересечения радиуса взятой окружности (нли продолжения
этого радиуса) с соседней полуокружностью; центр по-
последней соединим с найденной точкой и отметим точку
пересечения нового радиуса со следующей полуокружне
стыо н т. д. Получим ломаную линию, которая при доста-
достаточной густоте центров практически заменяет искомую
трактрису. Точность построения уменьшается по мере
приближения к вершине.
7. Построение касательной. Чтобы построить
касательную в данной точке М трактрисы с данными
вершиной А н направляющей Х'Х, достаточно засечь на
Х'Х точку р дугой, проведенной из центра М радиусом
А0 = а. Прямая МР есть искомая касательная.
8. Радиус кривизны
R = a ctg ф. C)
Геометрически эта формула выражает (см. черт. 510),
что радиус кривизны трактрисы в точке М есть отре-
отрезок МС нормали от точки М до пересечения с прямой PC,
проведенной перпендикулярно к направляющей Х'Х через
точку Р ее пересечения с касательной в точке М.
Построенная указанным образом точка С есть центр
кривизны трактрисы в точке М.
Радиус кривизны в вершине А
RA = «. (За)
S Bie. трактриса 827
Радиус кривизны МС н отрезок нормали ME (от точ-
точки М до пересечения Е с направляющей) связаны соотно-
соотношением
МС'МЕ= а1, D)
т. е. радиус кривизны МС и отрезок нормали ME обратно
пропорциональны.
9. Эволюта. Эволюта LAN трактрисы (черт. 510),
т. е. геометрическое место се центров кривизны С, есть
цепная ланцл (§ 517). В системе координат 0XY черт. 510
уравнение эволюты нмеет вид
^•(Д+Г^)
<5>
или, что то же,
' . V = chf' <5а>
10. Длина s дуги AM выражается формулой
s ~ a In esc q> = a In ^ .
Разность s-[x| между длиной дуги AM и длиной ее
проекции на направляющую при неограниченном удалении
точки М от вершины А стремится к пределу аA— 1п 2).
Hm (s-|x|) = a(l-ln2) * 0,307а F)
11, Натуральное уравнение
12. Площадь S бесконечной полосы, заключенной
между трактрисой и се асимптотой Х'Х, вдвое меньше
площади круга, радиус которого есть высота АО трак-
трактрисы:
S = ~-7ra2. (8)
13.Тело вращения трактрисы около асимптоты Х'Х
(бесконечно протяженное вдоль Х'Х) нмеет конечную по-
поверхность Su равную поверхности шара раднУса R, и ко-
конечный объем V, равный половине объема этого шара:
St = 4ттав, (9)
828
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
14. Трактриса н псевдосфера. Поверхность
(черт. 511), образованная вращением трактрисы около ее
асимптоты, называется псевдосферой. Эта поверхность на-
названа так потому, что между ней и поверхностью шара
существует глубокая аналошя. Так, если три точки В, С,
D на поверхности шара попарно соединить кратчайшими
дугами, то в полученном сферическом треугольнике BCD
сумма внутренних углов всегда будет больше, чем п, при-
причем избыток суммы B1C + D над те равен отношению
Черт. 511
площади S сферического треугольника к квадрату радиу-
радиуса а шара:
те = £. A1)
Если же взять три точки В, С, D (черт. 511) на псев-
псевдосфере (по одну сторону от параллели UV, описанной
вершиной трактрисы) и тоже соединить их кратчайшими
дугами, то в полученном псевдосферическом треугольнике
сумма внутренних углов всегда будет меньше, чем л, при-
причем недостаток суммы B + C + D до те равен отношению
§ 517. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 829
Площади S псеодосфернческо1 о треугольника к квадрату
радиуса а параллели UV.
ir-(B|C+D)--§. A2)
Замечательно, чю свойством A2) обладают прямо-
прямолинейные Tpeyi ольникн в геометрии Лобачевского.
И вообще иа любом куске псевдосферы, не содержащем
точек параллели V V, осуществляются все без исключения
свойства, которыми обладает некоторый кусок плоскости
в 1еометрии* Лобачевского, Это открытие, сделанное
в 1863 г. итальянским геометром Е. Бельтрами A835 -1900),
устранило то недоверие к геометрии Лобачевского, с ко-
[орым к ней прежде относились почти все математики,
в том числе и очень видные.
§ 517. Цепная линия
1. Определение. Цепной линией называется ли-
линия, по которой провешивается однородная нерастяжимая
нить, закрепленная в двух ее концах.
Замечание 1.В первоначальной постановке вопроса
(см. п. 9) речь шла о линии провеса цепи, откуда и на-
название «цепная линия». Заменяя цепь ннтью, мы отвле-
отвлекаемся от ряда обстоятельств (размер звеньев, нх трение
и т. д.), затрудняющих исследование. Напряжение земного
тяготения предполагается постоянным по величине и на-
направлению. '
Замечание 2. В зависимости от положения точек Р,
Q, где закрепляются концы ннти, и от длины / самой нити
A>PQ) дуга провеса имеет различный вид. Однако иссле-
исследование показывает, что изображение дуги pQ, сделанное
в надлежащем масштабе, можно совместить с некоторой
дугой P0Q0 (черт. 512) вполне определенной бесконечной
■шнии LAN. Именно к этой бесконечной линии в целом
(а не к дуге провеса, составляющей ее часть) и относится
наименование «цепная линия».
Низшая точка А цепной линии называется ее вершиной,
2. Уравнение. Если за начало координат принять
вершину цепной линии (что представляется довольно
естественным), а ось ординаг направить вертнкально вверх,
то цепная линия представится уравнением
y = -2\e+e/-a, A)
830
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
где а {параметр цепной ;шшш) есть длина такого отрезка
интп, вес которого равен горизонтальной составляющей
натяжения нити (эта составляющая постоянна па всем
протяжении дуги провеса),
Однако обычно намяло координат берут в точке 0,
лежащей ниже точки А на расстоянии и. Тогда получаем
более простое уравнение
млн, пользуясь обозначениями птерболпчсскпх функции
(§ 403),
У- = ch — . Ш)
а а *■ '
Таким образом, цепная линия есть график функции
ch х (если отрезок а принять за еднницу масштаба).
Ось абсцисс Х'Х1 т. е. прямая, параллельная касатель-
касательной в вершине А н лежащая ниже этой вершины на рас-
расстоянии а, называется директрисой цепной линии.
3, Цепная линия и трактриса. Цепная линия
(LAN на черт. 512) есть эволюта трактрисы UAV, высота
которой равна параметру а цепной линии. Трактриса UAV
8 517. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 83-1
является той эвольвентой цепной линии, у которой началь-
начальная точка есть вершшш А ценной липни. Иначе говоря,
отрезок ММ' касательной МТ от точки касания М до пе-
пересечения с трактрисой V AV п точке М' по длине равен
дуге МА ценной линии.
4. 110СТA()С1П1С. ЧтООЫ ПОСТРОИТЬ ЦСМПУ10 ЛНШ11П
с данным параметром а, найдем предварительно ряд точек
трактрисы с высотой a (ij 510, п. 5). Попутно о удом со-
соединять каждую такую точку М' (черт. 512) с центром Р
соответствующей полуокружности. 11рямая М-Р-касатель-
М-Р-касательная к трактрисе. Теперь проводим нормаль М'М трактрисы
(ММ' 1 М'Р) до пересечения в точке М с перпендикуля-
ром РМ, восстаиленпым из точки Р к направляющей А''Л".
Точка М (центр кривизны трактрисы) принадлежит иско-
искомой цепной линии LAN.
3 а м с ч а и и е. Нормаль М'М трактрисы является ка-
касательной ее эволюты LAN (§ 346, п. f). Это свойство
облегчает проведение плавном линии через ряд построен-
построенных точек М. Вместе с тем оно позволяет проконтролиро-
проконтролировать точность построения.
5. Дли ил дуги. Длина s дуги AM цепной линии,
отсчитываемой от вершины А, равна проекции ММ' орди-
ординаты РМ па касательную МТ и выражается формулой
' = £\еа~е а)
s.^- AM = MM' = £\еа~е а) C)
или
s=,ash±. (За)
С ординатой РМ=у дуга s связана соотношением
y"~. D)
Последнее вытекает па B) и C) и легко прочитывается из
треугольника 1'М'М, где ]'М = у, MM'~s и РМ'^а
(но основному свойству трактрисы).
6. Проекция ординаты на нормаль. Проек-
Проекция МН ординаты МР цепной линии на нормаль MD
)[иеет постоянную длину а:
НМ = ОА~ а. E)
Это соотношение прочитывается из прямоугольника ММ'РИ,
где МН~М'Р=-а (по основному свойству трактрисы).
832 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
7. Р ад и У с кривизны. Радиус кривизны MK=R
цепной линии раоен отрезку MD нормали or точки М до
директрисы Х'Х н выражается формулой
R = MD = ^
ИЛН
R = ach-~. Fa)
8. П о с т р о е и и е центра кривизны; эво-
эволюта цепной линии. Чтобы построить центр кри-
кривизны цепной линии в данной ее точке М, продолжаем
нормаль MD за точку М и откладываем отрезок MK—MD.
Точка К - искомый центр кривизны. Так строится по
точкам линия К'ВК, описываемая центром кривизны, т. с.
эволюта цепной линии. Ее параметрические уравнения:
Точка В (центр кривизны для вершины А) есть точка
возврата эволюты G).
9. Натуральное уравнение цепной ли-
н и и:
*-£ + * (8)
Оио получается из (За) и (ба) исключением х. На языке
кинематики уравнение (8) означает следующее: если цеп-
цепная лнння катится без скольжения по прямой, то центр
кривизны точки касания описывает параболу; ось послед-
последней вертикальна; вершина лежит в точке В; параметр
параболы равен полупараметру -" цепной линии.
10. Площадь S «криволинейной трапеции» О AMP
(OA=;a~ордината вершины, РМ~ордината конца JVI
дуги AM = s) равна площади прямоугольника со сторо-
сторонами a, s, так что
S =* as - a2 sh2 £ . (9)
11. Исторические сведения. Когда точки за-
закрепления цепи находятся на одинаковой высоте н цепь
§ 517. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 833
ненамного дчшшее, чем расстояние между точками закреп-
закрепления, дуга провеса кажется тождественной с дугой пара-
параболы. Долгое время так п считалось! Исследования Гали-
Галилея в области механики поставили иод сомнение правиль-
правильность этого мнения, но самому Галилею не удалось ин
подтвердить, его, ин опровергнуть. В 1GG9 г. Юнгнус
установил как теоретически, так и экспериментально, что
линия провеса цепи не является параболой. Но для разы-
разыскания истинной формы этой линии математика в это
нрсмя еще не располагала необходимыми средствами.
Вскоре после того, как Ньютон и Лейбниц разработали
методы анализа бесконечно малых, оказалось возможным
решить и задачу о линии провеса цепи. Эта задача была
с формул ир она на в 1690 г. Яковом БернУлли и тотчас же
решена ею братом Инаном Ь'ернуллп, Гюйгенсом н Лейб-
Лейбницем.
Я. Вернулли поставил и другую задачу: пренебрегая
весом паруса, раздуваемого ветром, найти линию профиля
паруса. Самому Я. Бернулли удалось лишь составить диф-
дифференциальное уравнение. Иван Бернулли решил его.
Оказалось, что искомый профилг, является цепной линией.
В 1744 г. Эйлер поставил п решил такую задачу: на
плоскости даны: прямая АВ и две точки С, D (не лежащие
на АВ). Провести через С и D такую линию, чтобы но-
иерхиость, образованная ее вращением около оси АВ,
имела наименьшую площадь. Оказалось, что и эта кривая
является цепной линией (прямая АВ-сс директриса).
Поверхность вращения цепной линии около ее дирек-
ipncbi (катеноид1)) обладает и более общим свойством,
а именно: любой ее кусок по площади меньше, чем всякая
другая поверхность, ограниченная тем же контуром. Это
свойство катеноида было найдено в 1776 г. выдающимся
французским математиком, инженером н полководцем
Ж. Менье, Тем же свойством обладает целый класс поверх-
поверхностей (так называемые минимальные поверхности2)). Но
среди поверхностей вращения катеноид является един-
единственной поверхностью этого класса.
Значение цепной линии для техники обусловлено, между
прочим, тем, что собственный вес арки, имеющей форму
цепной линии, не действует на прогиб аркн.
J) От латинского cuteiia—цепь.
s) Менье указал еще одну минимальную поверхность: геликоид
(аца образуется винтовым движением горизонтальной прямой, пере-
пересекающей вертикальную ось).
53 М, Я. Выгодский
ТАБЛИЦЫ
I. Натуральные логарифмы х)
1,0
1,1
1,2
1.3
J,4
1.5
1,6
1,7
],8
1.9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0,0000
0,0953
0,1823
0,2624
0,3365
0,4055
0,4700
0,5306
0,5878
0,6419
0,6931
0,7419
0,7885
0,83^9
O.S7S5
0.9163
0,9555
0,9933
1,0296
1,0647
1
0,0100
0,1044
0,1906
0,2700
0,3436
0,4121
0,4762
0,3365
0,5933
0,6471
0,6981
0,7467
0,7930
0,8372
0,8796
0,9203
0,9594
0,9969
1,0332
1,0682
2
0,0i9S
0,1133
0,1989
0,2776
0,3507
0,4187
0,4824
0,5423
0,5988
0,6523
0,7031
0.7514
0,7973
0,8416
0,8838
0,9243
0,9632
1,0006
1,0367
1,0716
3
0,0296
0,1222
0,2070
0,2852
0,3577
0,4253
0,4886
0,5481
0,6043
0,6575
0.70S0
0,7561
0,8020
0,8459
0,8879
0,9282
0,9670
1,0043
1,0403
1,0750
4
0,0392
0,1310
0,2151
0.2927
0,3646
0,4318
0,4947
0,5539
0,6098
0,6627
0,7 129
0.-С08
0,8063
0,^502
0,8920
0,9322
0,9708
1,0080
1,0438
1,О7Й4
о
0.0488
0,1396
0,2231
0.3001
0,3716
0,4383
0,5005
0,5596
0,6152
0,6678
0,7178
ол еяз
0,8109
0,8544
0,8961
0,93fil
0.9 746
1,0116
1,0473
l,O5Ii>
——)
6
0,0583
0,1484
0,2311
0,3075
0.37Я4
0,4447
0,5068
0,5653
0,6206
0,6729
0,7227
0,7701
O.S154
X),85R7
0,9002
0,9400
0,9783
1,0152
1,0508
1,0£52
7
0,0677
0,1570
0,2390
0,3148
0,3853
0,4ft И
0,5128
0,5710
0,6259
0,6180
0,7275
0,7747
0,8198
0,8629
0,9042
0,9439
0,9821
] ,018ft
1,0343
1,0886
8
0,0770
0,1655
0,2469
0,3221
0,3920
0,4574
0,5188
0,5766
0.6313
0.6831
0,7324
0,7793
0,8242
0,S671
0,9083
0.9478
0,9858
1,0225
1,0578
1,0919
9
0,0862
0,1740
0,2546
0,3293
0,3988
0,4637
0,5247
0,5822
0.6366
0,6881
0,7372
0,7839
0,8286
0,8713
0,9123
0,9517
0,9895
1,0260
1,0613
1,0953
!) Натуральный логарифм числа, не содержащегося среди аргументов таблицы, находится следующим
образом. Пусть ищется In 753. Имеем: In 753= in G,53- 10s) =ln 7,53+2 In 10, Первое слагаемое находим по
таблице натуральных логарифмов, второе —по таблице Ш. Получаем: tn 753=2,0189+4,6052=6,6241.
Таннм же образом находим In 0,00753=-),. (Г,53 .'0-J) =2,0139-6,9078 ^ -4,8889,
ТАБЛИЦЫ
835
ГЮ ф ^ О> СЧ Ф ^Т *& ОЭ >ГПЧ СО t^ Cj Oi т^ tfj ГЧ ^ CO 1- CC to O*
f^OOOffl GO 'ГС CN GC CO со CN CO О —< CO it; tD F-- Г- l^ CO m *Г ol
CN CO r0> C*l ^T t"^1 О CO If- CC C^ C^ 4O t~ О С4! ^f CO CO CO f*J ^" CO CC 'О
'-' —-■ и CN C^ £"■! CO CO CO CO ^ *f ^" ^" Ю Ю 4П Ю if} fO ^? Ю CO CD l~-
^CicOCno -tcni--cco —- со О О со h-fo^t —^t fococjjc---.
rt fD I- 1^- N lOfycJJLri*— ФО^1-Ф i— CO ^f 1ОЮ ,O^COCN-^
r^l!^OC1--*T NO^lfJtfi OCOi^T-'Cj СЧ1Т*СГ'СЛ"|О CM^CPtOO
.—. ™ T-* СЧ f^J СЧС^С^ГОТО ■^'■^''ТтТ'"^' l"; 1П Ю 1^ © СОСО!ОЮ1^-
[—['-а^Озсм tOOI-^COCO сОфсОсС^ iOC^^O^ О^О^СР^ОП
»^lcO ^" *^ тг Сч О t^- 0^ со rO r^ ""^ H* t"^ Oi *"• <ГЧ гО СО С1"} C^ t^i О от
^Т*Л tC ""^ ^ 1^ О C^l a^ l4- О CJ Ю f— ОТ **■* *tj* !O CO О C*J ^" CC iO ^1
i^-^F-nfN ^йсо^го тТ''^'т^нтттт' oir:ioiotD срсосрф^1
*tf" CO Г^" СП СО СС Ю ^ t~~ C^l С-} ir*? Л^ Ю ~^ СО О £N О *f "^f O> ■—' ^^ ^"
00 О — — — CTir^'tfO'.O '-■in^cMiO 1-"аэО-^*- --OOOlI>
-JiOcc — Tt1 !D3sc4int- ocvi-i'r-crf — со. to ее о с^^тсо[--а^
t—■ *—' ^^ сч cn cN^^f^ct *f "*? *f т *& lOioiriLrjcci ^ococcco
— *fr v~- Q ^f Cit'-Xn-'t'' ^--—■CJJOl'JJ --Ol^^C^Tt -^Ooi-^CO
cONiOOOD CD-*^CCCO cOfOCDOCN i^CDCO<T3C7l ОТО30Э1--Ю
-^ — ^^ ^,1 ^j C^OIfOrOCO CO^T^'fi'^ iO Ю Ю Ю if) ?COCO£OCO
ciC^cDOin — O"WCN Cvii--coc?ji^ c^i'-OOT^f ^t^-o^co
--rfioOir; ^cioiiO" tooi* 1-0 cN^c^toi^ г-г-соого
»™ Tf Г^ О CO !O C?J ~^ ^t f O5 CN ^ ^Э ^* ►"* CO 1^ Г— O^ ^^ ^^ l1^ ^~~ O^
n —■ f™ £N f*J f^ c^ CO fO CO CO ^" rf ^ *t iO Ю irt 1П Ю CO ^^ -C CD CO
CO CJ JO О tO Г0 fM Tf C?J ^O1 CO CO СЧ CO *}" t^ fO ^ CO CO ^ "™ ^" "^ d
CO *— T^J CO CN —O^^OC^JCC COGOi^lOCO O^lCO'flO JO Ю ^ ^ «
i^n -'^lOI OlC^CTTOCO COTT^T'4<'T iSl^lO'^Jb*1] CDCDC^>iO^
Г0(Лч^"ОгО Ю iO t- СП — 00>COCO — iC^^fOOcOCO ^f i*4! LT] 1-0 *—■
iO i4- Ol ^J !3l C^ I'D CO C^ cO ^н Ю ^J CO CO ОС ^D n Ol CO CO CO Ol *^ О
QCOCDOCN LOCO-^^f^D OJ'-'СО^чО ОИЮГ-ОТ —' W О Г- И
™^_н^^ CNCNCOCOCO CO^f-T^rT 1П if^ Ю Ю 1Л tOtOCDCDO
OTtpCOOir- COl^-OCDlO GO *& ift <3> iji COC^Jr-t-'CO rfcN'-CfO^J
"^■сососо >п со — r-ro iOfOi—ocrJ focoqjOi-- '---ojiog
OrtOtJJCN iOCC"COCO iX»-'COCOcC O^^r-OV — COOCOCC
CO ^ C4! CT' CO tO ОТ П О w* CO О —•" ^O ^O —■* "^ ^O CD С^Ч. ^1" CN I*4 t1" ^"
^C ^** C^ CO C^ C'i ^^ CO >O *™ lO ^^ Ю CO ^— T ^> Г" "С Oi Oi C?i CC t— ^C1
OTC^CDCJJCN ЮСООГОСО cC *-< ClO CC O^J^fDCO OCN^C£)CC
C^ —■* ^^ ~^ CN СЛ1 CN CO £0 CO CO ^ ^ 'T ^t" iO Ю О J-^ iO CO ^P Ю t£l CD
COCOfOCOC'} fOCOOfifO
ИЗО
ТАБЛИЦЫ
a,
00
г-
ф
lO
-
о
7192
,7370
,7544
,7716
,7884
Sssii
7156
7334
7509
7681
7851
7120
7299
7475
7647
,7817
OtOiOnO
7084
7263
,7440
7613
7783
,7066
,7246
7422
.7596
,7766
I4- 00 If) О) О
ONfliCI.
Г- t~ Г- Г- !■-
из in io ю in
оечммг-
00 00 GO 00 00
m — t-пэоо
,3034
8197
8358
8516
,8672
,8017
8131
,8342
8500
3656
Hill
t^OOOOOOOO
сотою —
— to cot-4"
,7934
.8099
,8262
,8421
8579
en о in ** if)
О — СЧОТ*
,8856
,9006
,9155
,9301
,9445
,3340
,8991
9140
9286
9430
ill!
ЩИ
8779
,8931
9081
9228
9373
!O~CO^IO
ifliil
OC0(D-*O
MtOMMCT)
(-COO"-tO
00 —ih O) in
-— О- см со -^
t-too-n
00 0O О) О) СГ:
«<Of~e5OJ
ф!О (О tDO
сосчфрп
0HHH0
— — — мм
9573
9713
9851
9988
0122
Iliii
—-^-,-сч
(ON- WOO
Ш tp 00 0H
-M
-j»no)cotp
""■ w
Orfeooi in
OOOlOlCOOl
0HHHH
Cl — —-О) Ю
TlOt-tOO
oOOioOtOtN
OOOOO
0255
0386
0516
0643
0769
OOOOO
«NCMC4C4C4
lill!
Illll
CNMWWiN
OOOOO
(SKNC4NM
ООСЧ1ПООО
OOOOO
OOOOO
OOOOO
CSC4MC4O1
OOOOO
C4C4C4WO1
ТАБЛИЦЫ
837
GO
го
Ol
-
о
<
CD
ai
OJ
%
О
СЧ
о
Ol
ел
о
Ol
О
CM
ее
ot
а-
ot
СО
о
01
i-
о
то
о
01
о-
о
01
о
со
сч
о
сч
1-
о
см
сч
сч
о
сч
О)
Г)
-1
о
м
СП
о
сч
„
со
о
OJ
Ol
■—
о
0J
—
«1
о
сч
сч
о*
t
сч
О!
—t
*-*
01
о
О1
О1
W
сч
О!
•г
о
сч
rj
иу
t-1
OJ
сч
ID
OJ
01
Ol
«
,n
C-1
'-'
OJ
Ol
Ol
M
Ol
—'
СЧ
if
■""•
Ol
tn
■""■
Ol
CO
LO
m
CO
*—'
0J
Ol
"'
CM
CO
ГО
~-
*—I
OJ
OJ
CO
01
'П
w
I'J
СЧ
OJ
СЧ
Ol
Ol
«r
IO
СЧ
cm
w
»-'
OJ
Ol
OJ
OJ
(П
сч
OJ
-4
—•
0J
Г)
сч
Ю
00
OJ
CO
1—1
OJ
У
Ol
in
Ol
r~
•-4
сч
<!-.
»-'
Ol
ID
СЧ
Ol
m
n
0J
_
lO
01
Ci
OJ
CN
n"
IT
Ol
CC
со
r~
СЧ
t-
OJ
en
—1
OJ
ГЧ
-^_(
о
■-«
Ol
СЧ
СП
CO
сч
CD
Ol
OJ
■u
СЧ
1-
№
Cfl
—■
СЧ
CO
uw
OJ
cc
CM
in
СЧ
ot
rn
OJ
a-,
t-
Ol
h-
сч
rn
in
сч
■i-
Ol
CO
CO
-
en
•—
СЧ
СЯ
Ol
iT,
en
O)
14
on
—
OJ
t-
rn
■—
СЧ
1-1
OJ
00
OJ
1*1
CO
0J
(^
сч
to
CO
Ol
o>
CN
о
OJ
сч
*~
о
OJ
о
OJ
сч
rn
OJ
сч
Cfl
СЧ
Ol
„
T—*
Ol
OJ
(П
о
о
OJ
„
сч
h-
гч
OJ
on
OJ
гч
ГЛ
^^
OJ
сч
сч
сч
СЧ
'D
^^
OJ
СЧ 0J
t
m
O)
OJ
сч
,-м
Oi
СЧ
о
.1-1
сч
м-
о
О1
OJ
о
OJ
_
СП
о>
сч
OJ
01
(Ч
OJ
сч
сч
1-
т
OJ
О1
<.р
OJ
сч
m
со
сч
сч
OI
I-.
1.4
0J
-с
1 1
сч
О1
сч
СЛ
сч
О1
О|
Л1
сч
OJ
01
со
О1
О4
Ol
01
со
OJ
14
^t
сч
сч
■*
сч
01
ГО
сч
OJ
r>t
го
OJ
OJ
гч
со
OJ
OJ
^^
О1
'"•
Г)
о
со
а
О1
сч
см
сч
__,
ч-
сч
Ol
„
сч
сч
о
сч
сч
г>
С1
СЧ
гъ
со
сч
гч
гч
сч
OJ
OJ
*г
О)
сч
сч
in
OJ
Ol
«1
сч
OJ
1-1
Ol
Ol
in
,-1
OJ
OJ
OI
сч
t
ГО
IT
OJ
r-.
Ol
(N
lO
OJ
u»
O3
_
OJ
_
n
OJ
Ol
ГЧ
tM
r,
(O
Ol
СЧ
<-l
OJ
OJ
OJ
CM
ГТ.
CD
сч
!D
СЧ
CD
0J
CD
OJ
<o
Tf
cO
Ol
OJ
a)
Ol
СЧ
CO
0J
■^
^1
Ol
IO
t-
OJ
сч
сч
I-
СЧ
0J
1_i
01
t-
сй
o>
OJ
CM
en
OJ
СП
OJ
Ol
о
сч
If
OJ
CM
in
CO
OJ
0J
Ol
OJ
•t
СЧ
-t
ГО
CO
OI
ot
a)
CD
о
OJ
о
о
Ol
!~-
OJ
Ol.
CD
01
oi
!C
Ol
en
01
OJ
ot
Oi
CD
СЧ
29
СЧ
о
838
ТАБЛИЦЫ
£
X
к
к
MOB h
4294
а. о
3 *
l*
Sx
i- te
О X
ll
LD
cd
H
11.
О
О)
о
со
о
(-
о
to
о
о
о
о
о
о
ст. сч '0 ад n in oi ет to o>
СТ) а)" <J> Q О — — OI ся'сч
со п ГО * -г т -t f тт **
"Я-1~- 4-00 — ЧГСО — Ю
4006
8349
2692
7035
1378
5721
0064
4407
8750
3093
Iliiliiiii
ccTirTiC r- t- со ос оГоГо
lliiiliii
— сч ^1 го"п co't* ■ч1 ю"ю
ЗТ18
8061
2404
6747
1090
5433
9775
41(8
8461
2804
f-r-cOoOdciffiOO —
o^root^-cNtooio^
w м" со «* «t io in to" to" to
to — inoj'tooe4t- — ir)
iliiiliiii
ооон«сч«п«сч
=—
о w
Й -S
01
о
«,
о
о
in
о
о
а
о
138
140
142
145
147
149
151
154
156
15S
со to Oi ^J "^" to ел ^^ "^* r^
W^tOOJ'-«COinCOOcNl
OiOlCTCTOOOO ——
ОИЮОУПЙЮ- Ч1 W
(OW — ЧЮО1- -tt-OI
0ОО0-н-1"яИ
OCOtOQliMirtcO — itt-
cTo) *"© ст — nto-x о
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1VS
1,9
IV. Показательная
0
1,0000
1,1052
1,2214
1,3499
1,4918
1,6487
1,8221
2,013S
2,2255
2,4396
2,7183
3,0042
3,3201
3,6693
4,0552
4,4817
4,9530
5,4739
6,0496
6,6859
1
1,0101
1Д163
1,2337
1,3634
1,5068
1,6633
1,8404
2,0340
2,2479
2,4843
2,7456
3,0344
3,3535
3,7062
4,0960
4,5267
5,0028
5,5290
6,1104
6,7531
2
] ,0202
1,1275
1,2461
1,3771
1,5220
1,6820
1,5589
2,0544
,2,2705
2,5093
2,7732
3,0649
3.3.S72
3,7434
4,1371
4,5122
5,0531
5,5845
6,1719
6,82H
функция ех (натуральны*
3
1,0305
5,138S
1,2586
1,3910
1,5373
1,6989
1,8776
2,0751
2,2933
2,5345
2,8011
3,0957
3,4212
3,7810
4,17S7
4,6132
5,1039
5,6407
6,2339
6,8895
4
1,0408
1,1503
1,2712
1,4049
1,5527
1,7160
1,8965
2,0959
2,3164
2,5600
2,3292
3,1268
3,4556
3,8190
4,2201
6,6646
о,1552
o,6973
6,2965
6,9588
5
1,0513
1,1618
1,2840
1,4191 _
1,5683'
1,1333
1,9155
2,1170
2,3396
2,5557
2,8577
3,1582
3,4903
3,S574
4,2631
4,7115
5,2010
3,754d
6,359S
7,0287
антилогарифмы)
6
1,0618
1,1735
1,2969
1,4333
1,6841
1,7507
1,9348
2,1383
2,3632
2,6117
2,8864
3,1899
3,5254
3,8962
4,3060
4,7588
5,2593
5,8124
6,4237
7,0993
7
•
1,0725
1,1 S33
1,3100
1,4477
1,6000
1,76S3
1,9542
2,1598
2,3869
2,6379
2,9154
3,2220
3,5609
3,9354
4,3492
4,8060
5,3122
5,8709
6,4S83
7,1707
8
1,0833
1,1972
1,3231
1,4623
1,6161
1,7860
1,9739
2,1815
2,4109
2,6645
2,9447
3,2j44
3,5966
3,9749
4,3929
4,8550
5,3656
5,9299
6,5535
7,2427
9
1,0942
1,2092
1,3364
1,4770
1,6323
1,8040
1,9937
2,2034
2,4351
2,6912
2,9743
3,2871
3,6328
4,0149
4,4371
4,9037
5,4195
5,9895
6,6194
7,3155
ТАБЛИЦЫ
ч-
N
•-.
ч-
О
со
О
со
Ч1
сч
1-
о
со
со
г-
ffl
Сч
иэ
СП
СО
(—1
to
t-
<х>
со
Ш
г-
Ч1
о
1' 1
ст.
со
t
Uj
Ч1
СО
СП
с-
СО Oi
m
со
-
да
со
О)
со
О)
Ч1
00
1-4
Г"
со
00
сч
О1
со
сч
со
CN
ст>
г-
CD
га
а
от:
W
со
О)
О1
CTI
гч
СТ|
г-
—1
от
о
ш
й
сч
сч
О'
о
со
г-
о
о
in
о
ее
с
СГ|
СЗ
о
сч
о
г-
о
о
о
сч
о>
СО
сч
сч
га
"~
О)
*"
1-1
г-
™
со
to
Ч1
сч
—
ч-
сч
О
со
СО
СЧ
о
сч
сч
m
сч
сч
со
сч
п
сч
сч
if:
ч-
2;
14
ю
Ч1
о
со
г-
СО
С)
f
to
С)
to
CN
i—i
сч
to
<Q
о>
ю
СП
If)
о
го
ю
in
о
ю
о
00
ч*
•""■
с-
сч
со
г-
в.-
I-
г-
го
^>
t-
Ч"
I-
г-
сп
S
со
ш
ч^
tr>
""
со
сч
to
Ol
со
С7>
ч-
га
rf-
сч
СП
'О
о
СП
_^
га
да
гч
I-"
00
1—,
IW
и;
со
со
ч»
»-.
со
га
сч
U!
W
I--
сч
гч
т
UJ
сч
гг
со
сч
21,
ш
о
га
о
о
сч
СП
-J1
О
сч
ГУ!
СЧ
О
со
со
СЧ
ГУ
OI
Ol
Ч1
W
ч-
сч
со
1ГЛ
со
сч
со
23.
ч-
п
сч
со
OI
О4
'Л
сч
сч
сч
со
■■"
CN
с:
с:
со
1-
^»
со
сч
о
о
to
Ol
СП
сч
СП
It)
сч
сч
ю
сч
к^|
in
сч
1-
со
Ч"
сч
со
СО
со
сч
-о
Ol
СП
СТ1
сч
ГП
[-
со
сч
со
28,
га
^^
О]
OI
£-1
СЧ
27
со
СЧ
со
г-
сч
со
■—1
"-«
со
со
■п
со
*^
-о
г-
^^
сч
со
г-
00
со
о
31,
г-
со
со
г-
го
си
30
сч
о
ч-
ел
га
■■#
со
ч-
сч
w
1С,
X*-
^-
1 >
IO
го
го
ип
со
34,
г-
ГО
ч-
со
*г
Ч"
со
ч*
С1
гл
со
гл
со
с
?
со
-о
сч
со
in
??
m
со
со
Г"
г-
со
со
I-
со
ГП
to
СП
со
СП
'Р
СО
С)
(П
сч
гГ
CD
^^
со
со
СП
О)
W
42,
сч
сч
ч-
h-
t
til
о
|>
СТ1
СО
т
п
UJ
г-
Ч"
о
•т
Ч1
го
га
46,
1-1
ч-
Cfl
to
Ч1
Ч"
>о
ч-
If)
ч-
Ч"
со
ю
о
ч-
п
^-<
|П
-о
|П
1П
О_1
г-
ч-
сч
1П
£Л
^--
Щ
г-
СП
с
1П
о
о"
о
СП
со
CD
Ч1
ел
б)
ТАБЛИЦЫ
V. Таблица неопределенных интегралов
1. Функции, содержащие а+Ьх в целой степени
С.
+ аЧп(а I 6дг)]ч С.
' J i(a + fe) я
J x^ (e+fco ~ ах +й* " л: +
^] С.
С\\ Г__^ Д, ,-, ! In ,a + ;i:c , Г
> J x(ahbx)* " a(a + bx) а' ' х + *
2. Функции, содержащие «Нз-г, «!-*г, а-
или
] 4) f - — — ^ i
1 г\ С d% I
J д + йх^ j/^" • Г а
Если д и ь отрицательны, то знак (—) выносится за
интеграл, а если а и b ра.шых знаков, то пользуются Лв 1С,
842
ТАБЛИЦЫ
fa +xV~b~
J ct+bxs " 6 " ft" J a
t-fcx-'
далее см. № 15 или Нч 16.
f - dx
f _ -^£_ J A f
J x3(a+6Xaj йх a J
2П f
' J
2a
далее см. № 15 или № 1С.
f
J
далее см. № 15 или № 16.
3. Функции, содержащие Уа\Ьх
2
f х
22) J fa+bxdx =
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
Уа + bx
+ bx+Уа
xya t-бх У-a
J x!Ya~+ bx ax 2a J
4+С при
-a
xYa + bx
далее см. JVe 27 или № 28.
7
xya+bx
далее см. Jft 27 или Jfi 28.
ТАБЛИЦЫ
4. Функции, содержащие
843
31) J jte'+a' rf
32) J /(^H^j5rfx-
*
33) J*^+^dx =
34) J x* Ух2Тп*'1х =
35) f -,=^-_r - In (x
36) f-^,= = -
f- ^2
f in
37) f -Д^г- =- У к2 + а* + С.
38) Г ~^= --= ~ Ух*Т&--in (х b
J Yx'+a* 2 2
39) J
40) J
41) J
42) J
43) f
J x j
Щ f^p— = -^г^-ь ln(x+ I';
tfx
+ C.
2a*x* 2a*
Ш
B44
тльлицы
5, Функции, содержащие У<& — х*
45) \-plx~ =
45) | гт^Ц = arcsin- +C.
47) j y-J===~9 =~ ^*frfS с-
50) f ~"J^= - -— /os^x"--;-- arcsin - + C.
J Уы2 — xJ 2 2 a
' J ~2 2 a''
•JA) I Г \« —X f ЦЛ =
Г=1Ч\ f у" V/J — YJ flX —
— it f9y2 _ (?2\ i/7pi~~v£ \_a nrriciti iL i с
— ^ 1^Л — U I ¥ U — X -г-ёГ AILbUl — i L-.
& о <J
56) J -=*==_- -z^r-arcsin--fC.
57^ f —~=*-ln--^=== + C.
' J x К as — x2 a a + Ka! — xs
58) f f^ = -l^lr^! + C.
59) f —-^== -^EEE+J_jn —?r^=+c.
60) J ^^ dx =
61) ft3^dx =
ТАБЛИЦЫ
6. Функции, содержащие ifx* — аг
845
62) f
J
63) f
J
Ухг-efl
64) -*---= YV-a* + C.
65) J fxi-tfdx- J 1^с8-ал—Jln(x+^3-a-) + C.
66) J l/(x^^3d:c=^Bx2-5aJ) |/^r^
67) J x Kx-' - tfd
68) J x K(x-'-a=j
69) J x°~ Kx^a-'
5 +C.
3
/(x2 - a»N
79) 1
71) f _*1^ =
73) f-^__^l
74) f —* ~f
In (x
76) J yj^=f^L =
77) J I^A =
&Ztf- a arccos
846
ТАБЛИЦЫ
7. Функции, содержащие УЖах~х*,
Функция, содержащая J^x-x3, цнте| рируется подстагивкой
t — х—а, Тогда У2ах~х2 получит вид Уа*~(г, и интеграл на-
находят в 1 руппс 5 этой таблицы Рели еюв таблице нет, то стараются
привести eio к виду, имеющемуся в таблице
То же можно сказать и о функции, содержащей выражение
У2дх+зс2. В этом случае подстановка t = х+а гриводит радикал
К виду У/2 — aJ (группа 6 этой таблицы)
8. Функции, содержащие а+Ьх | с#г (г > Oj
( 2
4йС — iU
arctg
?4ас -
С,
7ft\ С '1Х ■
' ' J а + йх + сх-1
79) f-^^=^.—
J Уа + Ьх + сх*
80) J
если
— ±= 111 2сх + Ь-УЬ'-4йс с
Kb3 — 4«с 2сх Ь Ь + (^62 — 4ас
ССЛИ 6"^
х* dx =
~
ex--
+С.
9. Функции, содержащие n-f Ьл—еж- (с > 0)
82) f - -d±- -^J__m ^+^"г +2с*~ ь ..с
J а+ЬХ-ех* Уьг4 Yb*42Ь *
о,, с dx
83)
-cx*
arcsin
Yb*+4ас-2сх+Ь
-—т=+С.
W+4ac
84) J fa+bx-ctfdx = -х
bx-cx1-!-
85) f ,
' J Ye
таблицы 84?
xdx
У a + bx —
b . 2cx~l) ~
arcsm -7=^ +C
10. Другие алгебраические функции
86> J У'Шdx^
X
arcsin
aicsin
89) J ^\^dx ^-^1^^+arcsin x + C.
90) f-—*£ = 2 arcsin
П. Показательные и тригонометрические функции
91) J a*dx - ~4 С. 92) J e*dx=er-\ C.
93) J <?"* rfx = ~ + C. 94) J sin x dx =■ - cos дг | С
95) J cosxrtx = sinx4 C. 96) f tg x dx = ~ In cos x h C,
97) J ctg x dx = In sin л f C.
98) J sc л </v = In (sc x [ tg л) + С -
: _ =mig(i+|)+c.
99) j csc xdx ■= ln(cчc.\•-ctg^)^ С = In tg J+C.
JOO) Jsc2xrfx = tgx I C.
101) J esc2 x dx = - ctg x+ c.
102) Jscx tgxdv = scx+C.
ТАБЛИЦЫ
103) f csct ctg x dx = -cscx ! C,
104) f
105) J
106) $
Эта формула употребляется несколько раз, пока не
приведет к интегралу Г sin х dx или Г slna х dx (в зависи-
зависимости от того, четное или нечетное и), а эти интегралы см.
под№7ч« 94 и 104.
107) Г cos" х dx « ™*£1£Щ + 1=1 Г cos»-z x dx
J it it J
(см. замечание к предыдущему интегралу и №Л* 95 и 105),
1 OR\ f -JO— — 1 , cos x !^2-2 f tfx
Употребляется несколько раз, пока не приведется к ин-
Г С dx
тегралу I dx, если п — четное, или кинтегралу I ^-. ,
J J SIM А
если п —нечетное (последний интеграл дан под Мн 99).
(CM. за„е.
чание к предыдущему интегралу и Na 98).
sin x cos»
ПО) J si
111) J
112) f cos™ x sin" x dx =
Упротребляется нескояькр раз, пока степень косинуса
ие будет равна нулю (если га—четное) или единице
(если т — нечетное). В первом случае см. Mi 106, во
втором. — Mi 111, Этой формулой следует пользоваться,
Когда т-=п. Если m >п, те лучше пользоваться сле-
следующей:
113) J" cosm х sin* x dx
(см. замечание к предыдущему интегралу и №Кв 107и НО).
ТАБЛИЦЫ
849
114) J sin mxsin nxdx = -
sin (m — n) x
JJ5) J cos mx cos nxdx « si^
siu(m — и)
116) f sill mx cos nxdx — —~~
cos (m—n) x
(m ^ n)
П7, f
' J
118)
119)
120)
fl+6cosx
а + 6 cos x
2
если а =- &.
-a tg^
In
C,
i-atg-K—Кйча
dx
a+b sin x
dx
a + b sin x
dx
2
*.■-»■
1
если а ^ b.
-lft
--4 С
если а > b.
In
если а ■< /?.
bill'
121) /tf
122)
123)
124) J c^cosxdx =
I j-O) I C- LUS /i_t ил
54 М. Я- Выгодский
Sit) fix—П COS
+ C.
e«*{n sin nx + a cos nx) ,,
850 ТАБЛИЦЫ
126) J **" dx = ~ (ax -1) + С.
127) f&tfdx^—^—j&^
Формула применяется несколько раз, пока степень х не
сделается равной единице; тогда интеграл находят иод
№ 12G.
129) J
Формула применяется до тех пор, пока степень х не
сделается равной единице; тогда интеграл находят под
Na 128.
130) J е« cos-ж dx =
Формула применяется до тех пор, пока косинус не ис-
исчезнет (в случае четного п) или пока его степень не сде-
сделается равной единице (а (.лучае нечетного п). И послед-
последнем случае см. № 122.
131) j shxdx= chx+C.
132) f chxdx = shx + C
133) J th x dx = In ch x + C.
134) J"cthxd"x= lnshx+C.
135) J schxt/x = 2arctge*4-C. -
J 36) J csch x rfx = In th |- + С.
137) J sch= x dx = th x+C.
138) Jcsch3xrfx= -cthx4C.
139) f sch,t thxdx = scJijc + C,
140) f cschxcthxdx- - cschx + C.
141) Jsh*xrfx= -£+±shZx+C.
142) J ch* x dx = ~+\ sh2 2x+C.
ТАБЛИЦЫ _,- 851
12. Логарифмические функции
Даются функции, содержащие только натуральный логарифм.
Ьсли требуется н.1Й1 и интеграл от функции, содержащей логарифм при
другом основании, ю предварительно переводят его в н.пуральпый
по формуле log,, х = -j— - , а затем пользуются таблицей.
J43) tlnxdx- xlnx-X+C.
J45) i хя In x dx = x'H '
J4G) J In" x dx = x In» x- n J In* x dx.
Формула употребляется до тех пор, пока не полу-
получится интеграл I In x dx, который берется по формуле
Ла 143.
147) f xm\n"xdx = ^Ц Jnwx—4т Г х* In"-1 х rfx.
' J m +1 m | 1 J
Формула употребляется до тех пор, покл не приве-
приведет к интегралу № 145,
s
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лбеii, Я. 244, o7b
Абеля георема о76
Абсолютная предельная по-
погрешность 309
— сходимость ряда 548, 549
Абсцисса 19, 21, 22, 130
Аддитивная иечнчина 480. S84
Алгебраичеиоя линия 52
— поперхностъ 203
— лпоекция вектора 125, 1Э6,
127
Алгебраическое дополнение 222
Ана титнчбская геометрия 17, 22
— функция 583
Аньезк верзьера 758
Аньет М.-Г. 759 ,
Апликата 130
ЛрОогаст 279
Аргумент 247, 248, 622
Архимед U3, 243, ЗЮ, 488, 490,
669, 780
Архимедова спираль 113, 777
. длина дуги 780
, касательная 779
, нормаль 779
, определение 113
, особенности формы 778
, параметр 114
. площади витков, колец,
сектора 488, 779, 780
, построение 777
, правая, левая 113
— — > рддиус кривизны 780
, уравнение в полярной си-
системе 114
, шаг ИЗ, 777
Асимптота 377, 379, 380
— , способ разыскания 378, 379,
380
Асимг.тоты гиперболы 65, 79
Астроида, параметрическое пред-
представление 814
— , уравнение в декартовой си-
системе 814
Бари II 1\. 605
Яарроу II. 395, 457
Вельтрами Е. 829
Вернула Я 604, 822
Иерпулла И. 279, i'tfi, S02, 80".,
833
Бернулла Я. 775 790, 802, S05,
833
Бсрнулли лемниската 775
Ьерпштейн С. И. G05
Бесконечно большая величина
262, 263, 265
- малая величина 2G1
, основные свойства 265
, порядок малости 271,
272
- малые оквивалентные 269,
270, 271
- малый вектор 515
Бесконечный ряд 533, 589
Пином Ньютона 5S7
Биномиальные ряды 587, 588
Биномиальный дифференциал
430
Бинормаль 522, 524
Брахистохрона 802
Буиякоеский В. Я- 45]
Вариация постоянных 717, 748
Вариньон 791
Вейерштрасс 576
Вектор 116, 117
- бесконечно малый 515
- бинормали 522
-, выражение через компонен-
компоненты 132
- , координаты 132
—, радиусы-пекторы нача-
начала и конца 133
- главной нормали 522
- касательной 522
- кривизны 626
Векторная алгебра 117
Векторное произведение 143, 144
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
853
Векторнок произведение, выра-
выражение nepej координаты со-
сомножителей 147, 148, 149
,свойстпа 145, 146
, филичесций смькл 145
Вектор1гые произнедения ос-
основных векторов 146
Вектор функция 514, 515
Векторы кол линеарные 117, 124
- компланарные 144
- основные 129, 139, 146, 147
—, приведшие к общему на-
чзлу 11э
~ противоположные 118
Величина бесконечно большая
262, 263, 263
малая 261
- ограниченная 263
- переменная 246
- постоянная 246
Величины аддитивные и неад-
неаддитивные 486, 684
Верэьеоа Аньези 470, 758
, вершина 759
, исторические сведения 760
, объем тела вращения 759
, определение 758
, особенности формы 759
, площадь 470, 759
, построение 759
, уравнение 759
Вершина параболы 67
Вершины эллипса 56, гипербо-
гиперболы 63
Вес члена ряда 553
Нетчппкип Л. П. 476
Вещественные числа 245
Взаимное расположение двух
линий 23
линии и точки 22
плоскости и пары точек
165
прямой и пары точек 42
Витти В. 674, 804
Винтовая линия 509, 510
, длина витка 511
, касательная 513
, кривизна, радиус И центр
кривизны 528
, ре
, нормальная плоскость 513
, параметрическое пред-
представление 510
, соприкасающаяся плос-
плоскость 521
, сопутствующий трехгран-
трехгранник 522
Возрастание функции 356, 357,
358, 359
Вторая г.роиэводная 321, 324
Лiорал производная, механиче-
механический смысл 322
- разность 323, 6М
Бтрой дифференциал 323, 324
- полный дифференциал 651,
«52
Вторые частные производные С49
Выпуклая линия 374, 37"»
Высшие производные 321
, выражение через диффе-
дифференциалы 325
неявных функций 326, 327
функций, заданных пара-
параметрически 326
Вычисление двойного интеграла
663, 667
— интегралов с помощью рядов
' 589
— криволинейного интеграла
693, 694, 695, 699
- определителей 223, 225, 229
Вычитание векторов 122
Галилей S03, R33
Гармонический ряд 536
Геликоид 833
Гельфопд А. О. 298
Геометрическая проекция век-
вектора 125, 126, 127
Гипербола 61, 71, 72, 73, 74, 485
—, асимптоты 65, 79
—, вершины, оси, центр 63
~, директрисы 71
-.каноническое уравнение 62
—, построение по осям 64
- равнобочная (равносторон-
(равносторонняя) 51, 64
-, сопряженные г. 66, 66"
-.уравнение касательной 319
-, эксцентриситет 04, 72
Гиперболические Функции 591,
592
обратные 5S9, Л94
, разложение в ряд В86
, формулы дифференциро-
дифференцирования и интегрирования 594
Гиперболический параболоид
214, 215, 216, 219
, вершина, главные сече-
сечения, ось, параметры 215
— тип линии второго порядка
99, 102
— цилиндр 199
Гиперболоид двуполостный 210
- однополостный 208, 209, 219
Гипоциклоида 805
~, вершина 306
-, двоякое образование 815, 816
-, длина дуги 819
—, исторические сведения 821
854
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гипоциклоида, касательная и
нормаль 817
~, кинематическое свойство 819
-, линия центроп 80S
-, натуральное уравнение 819
-.начальная точка 80Г>, 8OG
- обыкновенная 805
- особенности формы 812
-, параметрическое представле-
представление 811
-, построение 808
-, предельные случаи 814, 815
-, радиус кривизны 817
", секюриальная площадь 819,
820
- удлиненная, укороченная 805
-, частые виды 813, 814
-, эволют л 818
Главная нормаль 514, 522, 524
Годограф вектор-фупкции 515
Граыди Г. 760
График функции, приемы по-
построения 383
Графический способ задания
функции 249
Графическое решение уравне-
уравнений 387
Грин Д. 6S5
Группировка членов ряда 531
Гюйгенс 756, 784, 805, 822, 833
Даламбера признак 543, 550
Двойное векторное произведе-
произведение IsG
Двойной интеграл 660, 662
, выражение через поляр-
полярные координаты 671, 672
, вычисление в полярных
координатах 671, 672, 674
, - в прямоугольных ко-
координатах 663,6S5,667,673
, геометрическое истолко-
истолкование 6G2
, обозначения 685, 6G7, 6?)
,оценка 6G3
~ -, свойства 662, 663
, схема применения 684
Двуполостный гиперболоид 210
— —.вершины, главные сече-
сечения, оси 2Ю
■—вращениями
трехосный 2U
Дезарг Ж. 821
Действительные числа 24Г>
Действия над векторами 132
— над рядами 539, 540, 553, 556
— над степенными рядами 576,
577
Декарт Р. 17, 371, 755 790
Декарта парадокс 371, 372
Декартоя лист 755
, вершина 756
, исторические сведения 755
, наибольший поперечник
петли 757
- -, особенности формы 756
, параметрическое пред-
представление 706, 757
, плошаль петли 757
, построение 758
, радиус кривизны 757
, уравнение в декартовой и
полярной системе 766, 757
, - относительно оси сим-
симметрии 75G, 757
Декартова система координат 21
Деление отрезка в данном от-
отношении 24, 135, 136
пополам 23, 135
- рядов 556
Деферент 82J
Диаметр области 660
Диаметры гиперболы 78
- конического сечения 75
взаимно сопряженные
77, 78
главные 77, 78
- параболы 70
- эллипса 76
Диокл 754
Диокла циссоида 753
Директриса параболы 66, (S7
- цепной линии 830
Директрисы гиперболы 71
- эллипса 70
Дирихле П. Г. 604
- теорема 618, 621
Дискриминант большой 02, 93,
96
~- малий 96
Диснриминантнля линия 720
Дифференциал, см. дифферен-
дифференциал функции
- вектор-функции 517, 518, 519
- в приближенных вычисле-
вычислениях 307, 308
- второго и высшего порядка
- гиперболических функций 594
- дроби 296
- ДУГИ 492, 493
в полярных координатах
494
- пространственной пинии
Б11
- интеграла 455
- комплексной функции 600
- линейной функции 2У0
- логарифмической функции
298, 30Q
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
855
Дифференциал независимой пе-
переменной 290
- обратных гиперболических
функций 595
- - тригонометрических функ-
функций 304, 305
- показательной функции 302
- полный 635, 637, 639
- постоянной величины 290
-, применение к оценке по-
погрешности 309
- произведения 295
- сложной ^упкции 293
- степенной функции 200
- суммы 29*.
- тригонометрических функций
303
- функции 279,285,286,290,291
, геометрическое истолко-
истолкование 287, 288
-, механическое истолкова-
истолкование 247
нескольких аргументов
635, E39
- члетпый 633
Дифференциальное уравнение
701
, интеграл д. у. 701, 702
, опщее и частное реше-
решение 707, 730, 731
, общий и частный Инте-
Интегралы 707
- -, особый интеграл 711
,порядок Д. у. 701
.составление д. у. 725, 720
Дифференциальные уранпе-пия
линейные 71 Г), 716, 733, 74Н
.вариация постоянных
717, 748
- обыкновенные 701
1-Го порядка:
геометрическое истолкование
703, 704, Клеро 718 линейное
715, однородное 713, с разде-
разделяющимися переменными 710,
в полных дифференциалах
711, 712, приближенное инте-
интегрирование по методу Эйле-
Эйлера 721, 723, с помощью рядов
723, 724, 725
- — 2-го и ныешето порядка
729, 731, случаи понижения
порядки 732, линейные с пра-
правой частью 733, Сез правой
части 733, линейные с по-
постоянными коэффициентами
735, Tifi
Дифференциальный бином 436
Дифференцирование гиперболи-
гиперболических функций 5{34
Дифференцирование дроби 296
- логарифмической функции
298, 300
- неявной функции 311, 312
нескольких переменных
646—649
- обратных гиперболических
функций 595, 596
тригонометрических функ-
функций 304, 305
- повторное 6г>3
- показательной функции 302
- произведения 295
- рядов 570, 571
-, связь с интегрированием 396
- сложной функции 294, 295
нескольких аргументов
643
- степенного ряда 579
- тригонометрических функций
303
Дифференцируемая функция
288, 290, 639
Длина вектора 133
- витки нинтовоЙ линии 511
- дуги в полярных координатах
494
плоской линии 491, 493
пространственной линии
510
Дюрер Л. 821
Квдокс 245
Евклид 245
Зависимая переменная 247
Знак кривизны 528, 529
Знакопеременный ряд 547
Значение, функции наибольшее,
наименьшее 360, 368
Изоклины 7Об
Инвариантность выражения
дифференциала 291, 518, 637
Инварианты уравнений второй
степени 95, 98
Интеграл 3S6
—, вычисление с помощью ря-
рядов 589
- двойной 660
- дифференциала 457
- дифференциального уравне-
уравнения 701, 702
общий 707
особый 711
частный 707
-криволинейный 691, 692, 693
- неопределенный 398, 399, 404,
•106, 407
856
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интеграл несобственный и соб-
собственный 467
-, обозначение 396
- определенный 399, 441, 442
443, 445, 447, 450
- о г функции имеющей разрыв
472, 773
- повторный 663, 678
- с бесконечными пределами
407
- тройной 677
Интегральная линия 400, 703
Интегральное исчисление, ос-
основная задача 397
Итегральный признак сходи-
сходимости pMju 545
Интегрирование 399
- биномиального дифференциа-
дифференциала 436, 437
- геометрическое истолкование
400, 402
- гиперболических функций 594
- дифферерщмального уравне-
уравнения 701, 702
приближенное 72J, 723
с помощью рядои 723,
724, 725
- обратных гиперболических
функций 596
- по частям 412, 413, 414, 4С,1
- приближенное 475, 476, 478,
480, 481, 589
- простейших рациональных
дробей 421, 423
- радикалов 435, 43S
- рациональных дробей 421,
423, 424, 42В
- - функций 426, 427, 428, 430,
431, 432
- рядов 566, 568
-,связь с дифференцированием
396
-.способ подстановки 408, 409,
410, 462, 4Ь4
- степенного ряда 580
-, тригонометрические подста-
подстановки 413
- тригонометрических выраже-
выражений 415, 416, 417, 418, 440
Интегрируемость в элементар-
элементарных функциях 434
- диффер енцна л ьиык уравне-
уравнений 721
Интегрирующий множитель 713
Интервал 253
Интерполяционная формула
Ньютона 478
Интерполяционный многочлен
476
Интерполяция 47&
Иррациональные числа 245
Исключение целой части
■120
Кавальера Б. 395
Канонические уравнения пря-
прямой 131
Каноническое уравнение гипер-
гиперболы 62
- — параболы 07
эллипса 57
Кардиоида 4!M, 496, 768
-, длина душ 495, 770
~, площадь 770
—, радиус крииизны 769
К-к-агельная к плоской линии
282, 283, 318, 3]9
К пространственной линии
512, D22, 524
- плоскость 640
Кассина Д. Д. 771
- линия 770
Касталлан 768
Каталан Е. 791
Клгеноид 833
Классификация функций 254
Кмро А. 604, 7S4
- уравнение 718, 719
Ковалевская С, В. 724
Коган Ф. М. 476
Коллинеарность векторов, при-
признак J24, 135
Кпллине«фг!Ые векторы 117, 124
Колмогоров А. Н. 605
Кольцо архимедовой спирали
780
Компланарные векторы 149, 150,
154
Комплексная степень положи-
положительного числа 601
- функция действительного ар-
аргумента 598
Комплексное число 246, 597
Компонента вектора 125
Коническая поверхность 211
~ точка 640
Конические сечения 74
, полярное уравнение 114,115
Конус пторого порядка 211, 212,
213,219
- круглый 212
-, объем 490
Конхоида Никомеда 760
- —, вершины 762
, внешняя и внутренняя ве-
ветви 761
, исторические сведения 760
- -, касательная 765
, нормаль 764
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
857
Конхоиде! Никомеда, определе-
определение 761
- —, основание 761
, особенности формы 762
-, параметрическое представ-
представление 762
—, площадь 765
—, полюс 760
-, построение 7G0
, радиусы кривизны 765
, точки перегиба 763
, у решившие в декартовой
и полярной системе 761
- обобщенная 765
Конхоидограф 760
Концы промежутка 253
Координатные плоскости 129
- углы 20
Координатный метод 17
Координаты вектора 131, 132
, связь с координатами точ-
точки 133
- середины отрезка 25, 135
- текущие 22
-точки 18, 130, 131, 132
косоугольные 21
- полуполярные 6S1
- - полярные 108, 109, ПО, 682
- - прямоугольные 19, НО, K0,
131, 132
сферические 682
цилиндрические 681
- центра кривизны 527
тяжести однородного тела
690
однородной пластинки
6SS
Коперник И. 821
Корки .многочлена 433
- сопряженные 433
Косоугольная система кооордп-
ii.it 21
Коти О. 24-1, 334, 345, 724
- 1еорема 334, 3^5, 336
Коэффициенты ряда Фурье 607,
609
- степенного ряда 571
- тригонометрического ряд;!
603, 1307, 609
Kpawp Г. 231
Кратчайшее расстояние между
ди>мя прямыми J92, 194, 195,
196
Кривая, см. линия
Кривизна, вычисление 500, гЮ1
- Пространственно» липни 498,
499, 526. 528, Г>29
Кривочинейный интеграл 691,
692, 693
- -.вычисление 693, 694,695,699
Криволинейный интеграл, меха-
механический смысл 693
, условие независимости от
■ пути 696, 697, 699
Критические значения 362
- точки 657
Круг кривизны 500, 525
Круговые функции 255, 588
Кручение 529, 530
Крылов А. Н. 605
Л« Г up 7S4, 821
Лагранж Ж. Л. 330, 345, S05
Лагранжа теорема о среднем
330, 331, 332, 335
Левая пара прямых 195, 196
- система векторов 142, 143
координат 129
Левосторонний предел функции
Левосторонняя производная 288,
289
Лейбниц Т. В. 243, 279, 328, 395,
396, 532, 580, 805, 822, 833
Лейбница правило 328
- признак сходимости 547, 549
- ряд 580, 612
Лемниската Пернулли 775
, исторические сведения 775
, касательная 777
, наибольший поперечник 777
, определение 775
, особенности формы 776
ось, фокусы 775
—, параметрическое предс1ав-
ление 77G
- -, площадь петли, полярного
сектора 777
, построение 776
" -? радиус кривизны 777
, свойство нормали 776
, снизь с гиперболой 777
, уравнение в декарювой и
полярной системе 77U
Линейная система дифферен-
дифференциальных уравнений 749
Линейное дифференциальное
уравнение бед правой" части
(■однородное) 716, 733, 734, 736,
737, 738, 746
- ■ второго и высшею по-
порядка 733, 746
- -- -, метод вариации по-
постоянных 717, 748
первого порядка 715, 716
- - - с постоянными коэффи-
коэффициентами 735,736, 737,73S, 740,
746
с правой частью 716,
733, 735, 740, 746
858
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Линейное дифференциальное
уравнение, характеристичес-
характеристическое уравнение 736, 746
Линейчатая поверхность 2!9
Линии второго порядка 80, 8], 91
■ .признак распадения 92,
93, 95
, разыскание центра 102
, упрощение уравнения
82, 85, 86, 88, 9]
центральные и нецент-
нецентральные 101
, эллиптический, гипер-
гиперболический, параболический
типы 98; 99, 100
Линия винтовая 509, 510
- выпуклая 374, 375
- интегральная 703
- и плоскость, вааимггое рас-
расположите 523
~ и точка, взаимное располо-
расположение '2.2
- Каесини 770, 775
, вершины 772
, исторические сведения 771
, касательная 774
, наибольший поперечник
773
, определение 770
-—, особенности форл1Ы 773
■ , ось, фокусы, центр 771
, построение 771
, радиус кривизны 774
,точки перегиба 774
, уравнение в декартовой
[.нстеме 772
, — в полярной системе 773
-, натуральное ураинсние 784
- уровня 626
Лобачевский Н. И. 244, 290, 605
Лобачевского способ решения
ураннений 388
Логарифм натуральный 238, 751
Логарифмическая производная
302
- спираль 784
, длине! Дуги 787, 788
, исторические сведения 790
, касательная 787, 788
- -, коэффициенг роста 7S5
, натуральное уравнение 790
, определение 784
- -, особенности формы.787
, построение 786
правая, левая 785
, радиус и центр кривизны
78'J
- -.свойства 785, 790
, секюриальная площадь
789
Логарифмическая спираль, урав-
уравнение в полярной системе
7fiS
- -, характеристический тре-
треугольник 788
, эволюта 789
- функция 255, 299, 300, 353.
354
, разложение в ряд" 587
Логарифмическое дифференци-
дифференцирование 301, 302
Локон Ачьсзи, см. иерзьера
Аньези
Локсодрома 700
Лопшпаль 337
Лопиталя правило 337, 33S, 339
Лузин Я. Я. 605
Маклорен К, 344, 770
Маклоренл формула 347
Максимум 359, 360, 656
-, правило разыскания 361, 363
-, условие достаточное 1-е У61,
362, 366
-, - - 2-е 365, 366
-,-необходимое 3G0, 3G1
Мапнгейм 784
Macci телл 6$9
Математичсскш! щыти 243
Мечье Ж- 833
Меньшое //. Е. 605
Меркатор И. 342
Метод, см. способ"
Mudu 752
Минимальная поверхпоггь 8^3
Минимум 359, 360, 65E
-, правило разыскания 362, 3t>3
- .условие достаточное 1-е 361,
362, .466
-, - - 2-е 365, 3S6
-, - необходимое 360, ЗВ1
Минор 222
Мнимое число 24э
Alnoi озвдчн.ог функция 24Н
Многочлен Тейлора .446
Модуль вектор.! И 7
- комплексного чжла 599
- перехода 299, 838
AIomcici инерции плоский фагу
ры 688
- - тела 683, 685, 6S6, 689
Монотонная функция 297
Л1ордухац-Болтовскои Д. Д. 438
М формула 597
Наибольшее значение функции
360, 368
Наименьшее значение функции
368
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
859
Направляющая конической по-
поверхности 211
- цилиндрической поверхности
199
Направляющие косинусы 175
- коэффициенты 174
Направляющий вектор 174
Насирэддин ат-Туси 821
Натуральноеуравнениелиннй784
Натуральные логарифмы 298,
299, 834
- числа 244
Начало координат 18, 129
Начальная ордината 27, 43
Независимая переменная 247
Неопределенное интегрирование
407
по частям 412, 413, 414
.способ подстановки 408,
409, 410
Неопределенные выражения 336
339, .440, 341
Неопределенный интеграл 398,
■ 394, 40В, 407
, свойства 404, 405
Непрерывность вектор-функции
515
- суммы ряда 565
- функции в точке 273
на отрезке 276, 277
нескольких аргументов (J3Q
Неравенство Буняковского 451
Неравномерная сходимость ряда
560, Г>62, 563
Несобственный интеграл 1-го
типа 467, 468
2-го типа 467, 472
' расходящийся 467, 468
способы вычисления 471,
'• 473, 474
сходящийся 468, 472
Неявная функция 250, 311, 312,
326, 327
нескольких аргументов
646-049
Никомед 760
Нпкомеда конхоида 760
Нормаль к плоской линии 320
- к поверхности 641, 642
- к лрострапстенной линии 014
Нормальная плоскость 513, 522
Нормальное уравнение плоско-
С]И 167, 168
прямой 45, 46
Нормальный вектор плоскости 156
- вид линейной системы 749
Нуль-лектор 118
Ньютон It. 243. 279. 342, 343,
395,4'SS, 47.",, 476, 532, 724, 805,
820, 822
Ньютона бином 587
- интерполяционная формула
478
Ньютона-Лейбница формула
" 157, 471
Область интегрирования 661
- определения функции 251
двух аргументов 622,
623, 624, 625
точки 670
- сходимости степенного ряда
572, 573, 575
- — функционального ряда
558
Образующая конической поверх-
поверхности 211
- линейчатой поверхности 219
- цилиндрической поверхности
198
Обратная функция 297
ОГфат иыъ гиперболические
функции 594, 595
- - —, разложение в ряд 589
- тригонометрические функции
- 255, 304, ЗОо
, разложение в ряд 588
Общее решение Дифференциаль-
Дифференциального ур.шнения 703, 707, 730,
731
- уравнение линии второго по-
порядка 80, 81, 91
прямой 29
, приведение к нормаль-
нормальному виду 46
- - эллипса, кшерболы, пара-
параболы 73
ОGщии интеграл дифференци-
дифференциального уравнения 707
- член ряда 535
Объем параллелепипеда 155
- сегмента параболоида.491
- тела 662, 687 692
вращения 490
по поперечным селениям 489
- цилиндрического тела 687
- эллипсоида 489, 49Q
Овал 771
- Кассипи 771
Огибающая 720, 721
Ограниченная величина 263
Однозначная функция 248
Однополостныи гиперболоид 208
209, 219
, вершины, главные сече-
сечения, оси 209
- вращения 209, 220
— трехосный 209
Однородная система уравнений
2.15
860
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Однородное дифференциальное
уравнение 713
Окружность S3, 54, 60, 71, 112
-, параметрические уравнения
314
Определенное интегрирование
ло частям 4G1, 471
, способ подстановки 462, 464
Определенный интеграл 390,
441, 442, 443, 467, 471
, вычисление приближенное
475, 47G, 478, 480, 481
, - с помощью неопреде-
неопределенного 4Г>9, 4E0
~ -, геометрическое истолко-
истолкование 447
как функция верхнего пре-
предела 453, 454
, механическое истолкование
448, 449
, обозначение 442
, оценка 450, 451
, свййсгвд 445, 44G
,схема применения 486
Определители, применение к си-
системам уряинеиий 231, 232
233, 235, 237, 240
Определитель второго порядка
25, 221
-, вычисление 223, 225, 229
-, свойства 223, 225, 226, 227
- системы уравнений 232 237,
241
- третьего порядка 151, 152, 221
- четеертого к любого порядка
224, 226
Ордината 19, 21, 22, 130
- начальная 27, 43
Ориентация системы векторов
142, 143
Ориентированное расстояние 43
Ортогональная система функций
ВОЗ, 607
Ортогональные траектории 507
Оси координат 18, 21, 129
Основание логарифмов 2п5
- степени 255
Основная задача интегрального
исчисления 397
Основной вектор бинормали 524
• Главкой нормали 524, 52П
■ касательной 524, 525
Основные векторы 129, 139, 146,
147
- элементарные функции 255
Особый интеграл 711
уравнения Клеро 718, 719
Остаток ряда ГK8
ТеПгюра 345
Остаточный член ряда 538
степенного ряда в форме
Лагранжа 346
Остроградскай М. И. 395
Остроградского способ интегри-
интегрирования рациональных функ-
функций 432
Ось 124
- абсцисс 18, 129
~ апликат 129
- гиперболы дейеттштельяая
63
мнимая 63, 55'
~ кривизны пространственной
линии 525
- ординат IS, 129
- параболы 67
- пучка плоскостей 177
- сжатия 56
- числовая 246
- эллипса большая, мапая 56
Отделение корней 387
Относительная предельная по-
погрешность 309, 310
Отрезок 253
Оценка двойного интеграла 663
- определенного интеграла 450,
41
Пара прямых правая, левая
195, 196
Ларлбола 66, 67, 74, 101, 502,
504
-, вершина, ось 67
-, диаметры 79
-, каноническое уравнение 67
-, общее определение 71, 72
-, параметрические уравнения
314
-, построение по параметру 67
—, радиус кривизны 502
-, уравнение, касательной 319
-, эаотота 504
-, эксцентриситет 72
- х = иуг+Ьу+с 70
- у = «х3 68
- у = ах^+Ьх+с 68, 69
Параболический тип линии вто-
второго порядка. 99
- цилиндр 199, 200
Параболоид вращения 214
- —, объем сегмента 491
- эллиптический 213, 214
Парадокс Декарта 371, 372
Параллельный пучок плоско-
плоскостей 177
прямых 40
Параметр 313, 315
- пучка 39, 40
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
8G1
Параметр эллипса, гиперболы,
параболы GO, 72
Параметрические уравнения
окружности 314
параболы 314
плоской линии 313
— пространственной линии
507, 508
—■ прямой в пространстве 183
циклоиды 317
— ~ ЭВ0ЛЮТ1фГH4
эллипса 316
Параметрическое задание функ-
функции 315, 310
Параметры плоскости поляр-
полярные 1CG
*- прямой 43
полярные 44
Паскаль Б. 27У, 343, 395, 805
Паскаль Э. 7GG
Пллсаля улитка 765
Первая производная 321
- разность 323
Первообразная функция 397,398,
699, 700
Первый дифференциал 323
Переменная величина 246
независимая, зависимая 247
- интегрирования 399
Перенос начала координат 49,
ГЮ, 197
Пересечение двух прямых в про-
пространстве 191
- линий 2
- плоскости с прямой 172, 184
-.прямых 32
Перестановка членов ряда 550
Перициклоида 811, 812
Перро К. «22
Пересам 1\ 752
Плоскость;
уравнение о отрезках 161, 162,
нормальное 167, 168, приведе-
приведение к нормальному виду 163,
и векторной форме 156, через
дне точкч перпендикулярно к
данной плоскости 162, через
прямую параллельно другой
прямой 1S7. череапрямую пер-
перпендикулярно кплоскости 18Я,
через точку параллельно двум
прямым 187, через точку и
прямую 136, через точку
параллельно данной плоскости
160, через точку перпендику-
перпендикулярно к двум плоскостям 163,
через точку перпендикулярно
к прямой 185, через три точ-
точки 160
Площади фигур в полярных ко-
координатах 487
в прямоугольных коорди-
координатах 483, 484 Ш
Площадь куска поверхности
675, 67G, 687
— плоской фигуры 687
— поверхности вращения 496,497
— треугольника 25
— эллипса 485
Поверхности второго порядка,
таблица 217, 218
Поверхность вращения 220
— коническая 211
— линейчатая 219
— цилиндрическая 198, 219
Поворот осей координат 50, 197
Попторнос дифференцирование
653
Повторный интеграл 663, 678
Подингегральная функция 399,
С<51
Подинтегральное выражение 399
11одстановки Эйлера 438,439,440
1 Указательная функция 255, 302,
350, 8ЗУ
, разложение в ряд 685
Поле направлений 401, 704
Полная производная 645
Полное приращение 632, 633
Полные дифференциалы выс-
высших порядков 652
, условное обозначение 653
654
Полный дифференциал 635, 637,
639
, геометрическое истолкова-
истолкование 636
— - неявной функции t>46—649
, признак 098, 699
Положительный ряд 540, 541
Полукубическая парабола о04
Полуполярные координаты 6М
Полюс 108
Полярная ось 108
— система координат 108
Полярное расстояние плоскости
166
прямой 44
— уравнение конического сече-
сечения 114, 115
прямой 114
Полярные координаты 108, НО,
644, 682
— параметры плоскости 166
прямой 44
Полярный радиус 108
— угол 108, 109
Понижение порядка дифферен-
дифференциального уравнения 732
862
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Порядок алгебраической линии
52
поверхности 203
- бесконечно малой величины
271
- дифференциального уравне-
уравнения 701
- малости вектора 51")
функции нескольких аргу-
аргументов 028
- произведен ил и суммы бес-
бесконечно малых 272
Последовательность 252
Постоянная величина 216,2ГM,263
- (шгегриров.-шкя ЗОЯ
, вычисление по начальным
данным 403
Построение архимедовой спи-
спирали 777
- верзьеры Аньсзи 759
- гиперболы 64
- гипоциклоиды 808
- графика функции 383, 385
- декартова листа 758
- конхоиды Никомеда 7G0
- лемнискаты Бернгллн 776
- линии Кассини 771
- логарифмической спирали 786
- параболы 67
- прямой 30
- строфоиды 75Г, 752
- трактрисы 823, 826
- улитки Паскаля 763
- ценной линии 831
- циклоиды 792
- циссоиды Диокла 703
~ эпольвепты 782
- эллипса 60
- эпициклоиды 80S
Правая пара прямых 195, 196
- система векторов 142, 143
координат J29
Правило Лейбница 328
- Лопиталя 337, 338, 339
- разыскание точек перегиба
376
окстремума 362, 363
Правильный ряд 564
Правосторонний предел функ-
функции 270
Правосторонняя
288, 289
производная
Предел вектор-функции 515
- комплексной функции 599
- последовательности 257, 258
- постоянной величины 261
- произведения 266
i x
Предел суммы 266
- функции 259, У1>1, 261
- - бесконечный 264, 2U3
- - левосторонний 275
- нескольких аргументов 627
- - правосторонний 275
- частного 2(}6, 267
двух бесконечно малых 270
Пределы интеграла 4412
Предельней погрешность абсо-
абсолютная 309
- - относительная 309, 310
Преобразование коопдпп.п 49,
50,197
Приближенное нптегрирсн.нше
4751 58Э, формул.i прямо-
прямоугольников 479,480,трапеций
480, 481, 483, Симш-она 4S1-
483, способ механических ква-
квадратур 476
- - дифференциальных уравне-
уравнений 721, 723
- решение уравнений 3&G—38Ь
Приближенные формулы дли
вычисления функций 308, 309
Признак коллинеарности векто-
векторов 135
- компланарности цекторов 150,
]М
- полного дифференциала 698,
699
- правиэны и левизны пары
прямых 196
- распадения линии второго
порядка 92, 95
Признаки возрастания и. убыва-
убывания функции 357—359
- сходимости ряда;
необходимый 535, ДаламСера
043, 550, интегральный 545,
Лейбница 647, 549, равномер-
равномерной сходимости йб4
Приращение функции 273. 28С,
290
полное 632, 633
- ~ частное 632, 633
Проекции прямой на коорди-
координатные плоскости 179, ISO
Проекция вектора алгебраиче-
алгебраическая 125, 126, 127
геометрическая 125, 126, 127
- -, основные теоремы 127, 12S
- линии на координатную
плоскость 201, 202
- прямой на плоскость 178, 18S
- точки на ось 125
Прошнеденне двойное вектор-
векторное 166
- вектора на число 123
- векторное 143
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
863
Произведение скалярное 136,137
- смешанное 149
Производная, см. производная
функция
- вектор-функции 516
, выражение через диф-
дифференциал 518
, геометрическое истол-
ковпнис 516
.механическое истолко-
пцние 517
, свойства 518, 519
- второго и высшего порядка
321, 322, 324, 326
-, геометрический смысл 283
- дроби 290
- интеграла по верхнему пре-
пределу 456
- комплексной функции 600
- левосторонняя 288
- линейной функции 284
- логарифмической функции
298, 300 -
- независимой переменной 284
- обратной функции 298
- обратных тригонометрических
функций 304, 305
- показательной функции 302
- постоянной величины 284
- правосторонняя 288
- произведения 295
-, свойства 285
- сложной функции 294
- степенной функции 284
- суммы 285
- тригонометрических функций
303
- функция 279, 280, 281, 282, 286
, выражение через диффе-
дифференциалы 292
- частная 631
Производные высшего порядка
вектор-функции 517
~ сложной функции нескольких
переменных 644
Промежуток 253
- изоляции 387
- интегрирования 442
- сходимости степенного ряда
573, 575
Простейшая рациональная дробь
422
Пространственная линия, пара-
параметрическое задание 507, 508
Прямая в пространстве:
урапненпя канонические 180,
181, параметрические 183, сим-
симметричные 180, 181, принеле-
ние к симметричному ииду
182, через две точки 185, че-
через точку перпендикулярно к
данной плоскости 185, пере-
пересечение с плоскостью 173,
проекции на координа гные
плоскости 179
Прямая на плоскости:
уравнение с угловым коэффи-
коэффициентом 26, 28, нормальное
40, 46, общее 29, 46, полярное
114, приведение к нормально-
нормальному лнду 46, через две точки
37, 38, через точку парал-
параллельно или перпендикулярно
К прямой 40, 41, параллель-
параллельно оси абсцисс или ордипаг
28, разрешенное относительно
абсциссы или ординаты 2G ~
28, построение по уравнению
30
Прямолинейные образующие по-
поверхностей второго порядка
219, 220
Прямоугольная система коорди-
координат в пространстве ia(J
на плоскости 18, 19
Прямоугольные координаты век-
вектора 131, 132
,связь со сферическими
682
, связь с цилиндрическими
681
точки 19, 110
Псевдосфера 828
Пучок плоскостей 177
параллельных 177
— прямых параллельный 40
центральный 39
Работа силы 693
Равенство вектороп 118
Равнобочная гипербола 51, 64,
105, 106
Равномерная сходимость 560,
562, 564
, геометрическое истолкова-
истолкование 563
Равномерное сжатие 56
Рлдиус-иектор точки'130
центра крилизни 52в
- винтовой линии 50Э
- кривизны 499
, вычисление KOI
- - пространственной линии
525, 026
- сходимости степенного ряда
573, 575
Развертка линии 507, 526
~ круга 781-784
Разделение переменных 710
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разложение многочлена на мно-
множители 433, 434
Разрыв функции 275
устранимый и неустрани-
неустранимый 276
Раскрытие неопределенности
336, 339, 340, 341
Расстояние между двумя точ-
точками 23, 134
- ориентированное 43
- от точки до плоскости 165
до прямой 42, 43, 190
Рационализация 435
Рациональная дробь неправиль-
неправильная 420
правильная 420
, приемы интегрирования
421
простейшая 422
, разложение на простей-
простейшие 422, 427
- функция двух переменных
435
дробная 420
целая 420
Рациональные числа 244
Ребро Поверхности 640
Рекуррентная формула 425
Рен 805
Решение уравнений 336, 387, 388
графическое 387, способ
касательных 390,хорц 388, 300,
комбинированный 392, Лоб<1-
чгвекого 388
дифференциальных 701
Общее 703, 707, 730, 731
частное 703, 707, 730, 731
1'iiMaft 244
Роберваль 752, 754, 766, 769, 804
Рояль М. 329
Ролля теорема 329, 330
Ряд вЗЗ
- абсолютно сходящийся о411
- гармонический 536
-,группировка членов 551
- знакопеременный 547
- Лейбница о80, G12
- неопределенный 534
- неравномерно сходящийся
560, 502, 563
- (обратных квадратов» 542, 546
- положительный 540, 541
- правильный 564
-, признак" сходимости, см,
признаки сходимости ряда
- равномерно сходящийся Г>60
562, Г,63, 504
- расходящийся 534
- степенной 571, 572, 076, 577
- сходящийся 533, 534
Ряд Тейлора 343, 344, 581 ,
для гиперболических функ-
функций 586
для логарифмической
функции Г)87
для обратных гиперболи-
гиперболических функций 589
для обратных тригономе-
тригонометрических функций 588
для показательной функ-
функции 585
Для тригонометрических
функций 585, 086
- тригонометрический 603, 604,
609
- условно Сходящийся 549
- функциональный 557, 564
- Фурье 609, 610
для нечетной функции 61-S,
615
для разрывной функции
- — для четной функции '614
- числовой г,32) 033, 5о7
Ряды, почленное дифференци-
дифференцирование 570, 571
-, - интегрирование 566, 568
-, — слоненке и вычитание 535
-, - умножение на число 539
-, применение к вычислению
интегралов 589
- .умножение и деление рядов
553, 556
С.аладини 775
Семейство линии (одноиараме-
трическое) 719
Сжатие эллипса 56
Симметричные уравнения пря-
прямой 180, 181
Симпсоч 476
Симпсопа формула 481, 482, 483
Система векторов левая 142, 143
правая 142, 143
- двух уравнений с двумя не-
неизвестными 232
с тремя неизвестными
233
- дифференциальных уравне-
уравнений 749
- Координат декартова 21
- - косоугольная 21
- — полуполярная 681
полярная 108, 109, 110, 682
правая и левая 129
прямоугольная IS, 19, 129
сферическая 682
цилиндрическая 681
- п уравнений с п неизвестны-
неизвестными 340
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Система однородная двух урав-
уравнений с тремя неизвестными
235
- трех уравнений с тремя ке-
известншчи 237
- функций ортогональная 607
Скаляр 116
Скалярная функция 514
Скалярное произведение 136,137
, выражение через коорди-
координаты сомножителей 140
основных векторов 139
, свойстве 138
, физический смысл 137
Скалярный квадрат вектора 139
Скачок функции 275
Скорость 280
Сложение векторов 119. 120. 121,
132
, правило многоугольника
121
, - параллелепипеда 121
, - параллелограмма 120
Сложная функция 293
нескольких переменных 643
Слюз Р. 704
Смешанное произведение 149
, выражение через коорди-
координаты сомножителей 154
, геометрическое истолкова-
истолкование 150
, свойств! 151, 152
Смешанные частные производ-
производные 649, 650
Соприкасающаяся окружность
ВСЮ, 525
- плоскость 520, 521, й22
Сопряженные гиперболы 65, 66
- корки 433
Сопутствующий трехгранник 522
, основные векторы 524
Спираль архимедова 113, 777
- логарифмическая 784
Способ бесконечных рядов 475
- вариации постоянных 717, 748
- касательных 390
- комбинированный хорд и ка-
касательных ЗЭ2
- координат 17
- Лобачевского решения урав-
уравнений 388
- механических квадратур 476
- неопределенных коэффициен-
коэффициентов 427
- Остр о граде к о го интегрирова-
интегрирования рациональных фупкций432
- подстановки в неопределен-
неопределенном интеграле 408, 409, 410
- в определенном 'Интеграле
462, 464
55 М. Я. Выгодский
Способ пометок 626
- разыскания асимптот 373, 379,
380
- хорд 388, 390
- Эйлера интегрирования урав-
уравнений 721, 724
Спрямление дуги 492
Спрямляющая плоскость 522
Сравнение бесконечно малых
величин 271
- положительных рядов 541
Степенная функция 255, 284, 290
Степенной ряд 571,572, 575, 579
, радиус сходимости 573, 574
Сторона вогнутости линии 374,
375, 523
- выпуклости линии 374, 375
Строфоида 751
- косая 750
-, объемы тел вращения 753
-, определение 751
-, особенности формы 752
-, параметрическое представле-
представление 752
-, площади 753
—, построение 751, 752
—,радиус кривизны 753
-, стереометрическое образова-
образование 752
-, уравнение в декартовой и
полярной системе 752
Сумма векторов 119, 120, 121
,свойства 120, 121
- ряда 533, 534, 538, 565
Сфера 204
Сферические координаты E82
, связь с прямоугольными
682
Сфероид 205
Сходимость знакопеременного
ряда, признак Лейбница 547,
549
- несобственного интеграла 467,
46К, 472
- ряда 633, 534
абсолютная 548, 549
, интегральный признак Й45
, необходимое условие нЗГ>
, признак даламбера 543,
550
равномерная и неравно-
неравномерная 560, 562, 063, 564
- — условная 548, 549
- степенного ряда 572, 573, 575
- функционального ряда 558
Таблица интегралов 406, 407,
841
— натуральных логарифмов 834
Таблица перехода от десятич-
десятичных логарифмов к натураль-
натуральным и обратно 838
- поверхностей второго поряд-
порядка 217, 218
- с двойным входом 625
Табличный способ задания функ-
функции 249
Тейлор Б. 343, 344, 476, 47S
Тейлора многочлен 346
- р>1Д 343, 344, 581, 585, 586, 587
- формула 346, 348
для функции нескольких
аргументов 655, tjsti
Текущие координаты 22
Телесный угол 683
Тело Вивиани 674
Теорема Абеля 576
- Дирихле 618, 621
- Коти 334, У36
, геометрическое истолко-
истолкование 335, 3:-ili
- Лаграпжа 330, 332
, геометрическое истолко-
истолкование 331
, механическое ■ истолкова-
истолкование 331
- of; интегрировании рядов 566,
Я68
- о дифференцировании рядов
570, 571
- о радиусе сходимости степен-
степенного ряда 573
- о среднем дифференциально-
дифференциального исчисления 330, 331, 332,
ЗЗо, 452, обобщенная 334
интегрального исчисле-
исчисления 451, 452
- Роллл 329, 330
Тины линий пторого порядка
DS, 99, 102
Торричелла Р.. 39.1, 790, 804
Точка возврата 763
- изолированная 763
- критическая й~л
- перегиба 374, 375
- -, правило разыскания 377
- сплощеиня йЗО
- спрямления 499, 500
- узловая 752
Трактриса 822
—, вершина, высота 822
-, длина дуги 827
—, исторические сведения 822
-, касательная S2G
-, натуральное уравнение 827
—, определение 822
—, особенности формы 823
-, параметрическое представле-
представление S22
Трактриса, Площадь Полосы В2?
-, построение 823, 826
-, радиус кривизны 826
-,тело вращения 827
-, эволюта 827
Тригонометрические подстанов-
подстановки 418
- функции 255, 303
, разложение » ряд 5Я5, 586
Тригонометрический ряд G03
С произвольным периодом
С09
Трисекция угла 760
Тройной интеграл 1577
, выражение через сфери-
сферические координаты E82
, вычисление в декартовых
координатах 678, 679
, схема применения 684
Убывание функции 35G, Зз7 358,
359
Угловой коэффициент 27, 43
Углы между прямой и осями
Координат 175
Угол м^жду векторами 141
- между осью координат и век-
■jopoM 134
- между плоскостями 159
~ между прямой и плоскостью
176
- между прямыми 34, 37, ,175
Улитка Паскаля 765
, верщины, ось 767
, длина дуги 770
. , касательная 769
, нормаль 769
, определение 766
, особенности формы 767
, параметрическое пред-
представление 767
■, площадь 769
, построение 76П
, радиус кривизны 769
, уравнение в декартовой и
полярной системе 766, 767
Умножение вектора па число
123, 132
- рядов 553
Упрощение уравнения второй
степени 82, 85, 86, 88, 91
Уравнение архимедовой спира-
спирали 114
-- астроиды 814
- верэьеры Аньеэи 759
- гипоциклоиды 811
- декартова листа 756, 757
- дифференциальное, см. диф-
дифференциальное уравнение
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
867
Уравнение касательной к пло-
плоскости линии 283, 284, 318, 319
плоскости 641, G42
- конического сечения поляр-
полярное 114, ИГ»
-конхоиды Никомеда 761, 762
- лемнискаты Бернулли 776
- линии 22
второго порядка 80, 81, 91
Кассини 772, 773
- логарифмической спирали 786
- нормали ^плоской линии 320
- нормальной плоскости 513
- общее эллипса, гиперболы,
параболы 73
- плоскости, см. плоскость
- поверхности 198
вращения 220
~ прямой на плоскости, см.
прямая на плоскости
- пучки плоскостей 177, 178
прямых 39
- семейства липни 720, 721
- соприкасающейся плоскости
520
- строфоиды 752
- трактрисы 822
- Улитки Паскаля 766, 767
- цепной линии 829, 830
- циклоиды 794
- циссоиды ДИокла 754
- эвольвенты круга 783
- эпициклоиды 811
Уравнения линии 200
- нормали к поверхности 642
- общего перпендикуляра к
двум прямым 192
- окружности, эллипса, вин-
винтовой линии и т. д., см. на-
название соответствующей линии
- параметрические плоской ли-
линии 313
пространственной линии
507, 50S
- перпендикуляра, опушенного
из точки на прямую 188
- проекции прямой на пло-
плоскость 178
- прямой в пространстве, см,
прямая в пространстве
как пересечения плоско-
плоскостей 170, 172
- сферы, эллипсоида и т. д.,
см. название соответствующей
поверхности
Ускорение 322
Условие коллинеарности векто-
векторов 12,4, 13п
- компланарности векторов 150,
154
55* • ,- ■ ■
Условие максимума и минимума
достаточное 361, 362, Г466
необходимое 158, 360,
361
- параллельности плоскостей
158
прямой и плоскости 177
- — прямых на плоскости 30-
32
- пересечения двух прямых в
пространств 191
- перпендикулярности векторов
141
плоскостей 159
примой и плоскости 177
прямых на плоскости 33,
34
-, при котором три точки ле-
лежат на одной прямой 37, 161
Условная сходимость ряда 0-18,
549
Факториал (л!) 252
Фаиълно Д. К. 775
Ферма П. 17, 279, 371, 395, 470,
760, 805
Фокальная хорда 72
Фокус параболы 66
Фокусное расстояние 58, 61
Фокусы гиперболы 61
- эллипса г>8
Формула Грина 695
- конечных приращений 333,
334, 348
-,кг?1 я:лны 500, 501
- Л* jk.iарена 347
- Муавра 597
- Ньютона-Лейбница 457, 471
- приведения интеграла
- Тейлора 346, 348
, вывод Маклорена 344
для логарифмической
функции 354
для показательной функ-
функции 350
для функций нескольких
аргументов 655, 656
, применение к вычислению
значений функции 348, 349
Формулы дифференцирования
290,294,295,296,300, 302, 303,
304, 594, 695
- для производных сложной
функции 644
центра кривизны плоской
линии 501, пространственной
линии 527
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формулы иите1 рирования 406,
407, 594, 596
- кривизны и радиуса кршпи-
ны плоской линии 501, 502,
пространственной линии 526,
Г,27
- кручения 530
- перенос,! начала 49, 197
- поворота осей 50, 197
- преобразования координ.п 4A,
50, 197
- приближенною нитрирова-
нитрирования:
прямоугольников 479, 480, тра-
трапеций 480, 481, 483, Симпсопа
(параболичеисих iранений)
481—483
- Эйлера 602, Эйлера- фурье
Ы37, 608, 609
Функции гиперболические 591,
592, 594, 596
, разложение в ряд 586
-, заданные параметрически 326
- круговые (обратные) триго-
тригонометрические 255, 304, 305,
588
- неявные 326, 327
- обратные гиперболические
594, 595
, разложение в ряд 589
, формулы дифференци-
дифференцирования и интегрирования
595, 596
тригонометрические 253,
304, 305
, разложение в ряд 388
- основные элементарные 253
- тригонометрические 255, 303
, разложение в ряд 585, 586
Функция 247, 248
- аналитическая 583
-, возрастающая в промежуше
356, 357, 358, 359
-, - в точке 356, 357, 358
- двух и нескольких аргумен-
аргументов Ь22, 623, Ь24,627, 628, 630,
обозначение 623, геометриче-
геометрическое представление 625, зада-
задание способом пометок 626,
таблицей 625, формулой 624,
625, непрерывная и разрыв-
разрывная 630, неявная 646
- дифференцируемая 288, 290
- е* 302
- логарифмическая 255.299,300,
353, 354
, разложение в ряд 587
- монотонная 297
-, наибольшее, нап-иеньшее зна-
значения 360, 368
Функция педифференцируемау
примеры 288, 289, E34, 647
- непрерывная в точке 273, 274
288, 290
на отрезке 'lib. 277
-, обоаначепие 25b
обратная 297
- однозначная,mhoiозначная248
- от функции 293
-, параметрическое задание 315,
31Ь
- показательная 255, 302, 350,
839
, разложение в ряд 585
- разрывная 273, 275, 288
- сложная 293
-, способы задания 249
- степенная 23^, 284, 290
- точки 622, 670
-, убывающая в промежутке
ЗЯ6, 357, 358, 359
-, - в точке 356, 3=7, 358
- целочисленная 252
- четная и нечетная Ы4
- явная и неявная 250, ЗП, 312
Фурье Ж Б. 396, 604
Фурье коэффициенты Ь07, 60s)
- ряд 609, 610, 614, 618
Характеристика функции 256
Характеристическое уравнение
730, 746
Центр гиперболы ЬЗ, 101
- и радиус окружности 54, 55
- кривизны плоской линии 499,
501
- - пространственной линии
525, 526, 528
- пучка 3ti
- симметрии 101
- тяжести однородной пластин-
пластинки 688
тела 690
- эллипса 56, 101
Центральная линия второго по-
порядка, разыскание центр.», уп-
рошениеуравнения!О2,103,104
Цепная линия 829
вершина 829
директриса 830
длина дуги 831
исторические сведения 832
натур,1льное уравнение 832
определение 829
, площадь криволинейной
трапеции 832
■ -, построение 831
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
8G9
Цепная линия, проекция орди-
ординаты на нормаль 831
,радиус и центр кривизны
832
, уравнение в декартовой
системе 829, S30
эволюта 832
Циклоида 485, 496, 497, 504, 791
-, арка 792
—, вершина, высота, основа-
основание 792
-, дифференциал дух и 494
-.длина диги 4У2, 800
-, исторические сведения 803
-, касательная 798
-, кинематическое свойство 800
-, линия петров 792
-., направляющая, производя-
производящий круг 791
, нагуралыюе уравнение 800
- , начальная точка 792
-, нормаль 320, 798
-, обыкновенная 792
-, определение 316, 791
~, особенности формы 794
- параметрическое предсыв-
ленис 316, 317, 794
-, площади и объемы 485, 49Ь,
800
-, построение 792
-, радиус кривизны 798
-, тавтохронное свойство 801
-.точки возврати 797
-, - пере(Иба 797
~ удлиненная 792
, узловые Точки 794
~ укороченная 792
-, -эволюта и эвольвента 504,
798
ЦинчоидальныЙ маятник 802
Цилиндр гиперболический 199
- параболический 199,200
- эллиптический 199
Цилиндрическая поверхность 198
Ципиндрнческие координаты 681
Цилиндрическое копыто 668,
tiG9, Ь70
циссоида Диокла 753, 754
, исторические сведения 754
, касательная 755
, объем тела вращения 755
, определение 753
, особенности формы 754
, параметрическое пред-
представление 7^4
, площадь 755
, построение 753
.уравнение в декартовой и
полярной системе 754
, центр тяжести 755
Частичная сумма рЯд.1 Г.ЗЗ, 557
Частная производили 631
, выражение черел диффе-
дифференциалы 634
, геомефическое истолкова-
истолкование №2
неявной функции 646
, обозначение 6J1, 634
,способы разыскания 631,
639, G43
Частное приращение 632, ЬЗЛ
- решение дифференциально! о
уравнения 703, 707, 730, 731
Частные производные второго
порядка 649, 650
но полярным координатам
644
смешанные 649, 6г>0
третьего порядка 650
- — чистые 649
Частный дифференциал G33
- интеграл дифференциального
уравнения 707
ЧсОышев П Л 395, 438
Четная функция 614
Чтла действительные (вещест-
пенные) 245
- иррациональные 245
- комплексные 246, 597
- мнимые 245
- iidiypajibUF^e 244
рациональные 244
Число е 268, 269, 298
Числовая ось 24В
- плоскость 622
Члены ряда 533, Г>57
Шаг винтовой линии 510
-г спирали 488
Шухов В, Г. 220
Эвольвента 507
- Круга 781
- -, Длина дуги 7«3
, исторические сведения 784
, кинематическое свойство
784
- -, механическое образование
781
, натуральное уравнение 784
, определение 781
- -, особенности формы 782
, параметрическое пред-
представление 783
- -, площадь сектора 784
■, построение 782
.уравнение в полярной си-
системе 783
870
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эвольвента окружности 780
Эволюта 504, 526
- параболы 504
- плоской линии, свойства 505.
506
- циклоиды 504, 505
Эйлер Л. 1В, 244, 395, 438, 604,
80D, 8'i2, 833
Эйлера метод ишегрирошшня
уравнений 72J, 724
- подстановки 438, 439, 440
- Формула 602
Эйлера-Фурье формулы 607,
608, №9
Эквивалентность дифференциа-
дифференциала и приращения 286, 28?
Эквивалентные бесконечно ма-
малые 269, 270, 271, 272
Экстремум 359
- функции:
необходимое услоние 360, шМз\,
достаточное условие 361, 3A2,
365 366, правило разыскания
3G2, 363
Двух и нескольких аргу-
аргументов 656, достаточные усло-
условия 659, правило разыскания
Г,57
Эксцентриситет гиперболы 64,
72
- параболы 72
- эллипса 59, 72
Элемент 486
- ДУ1-Н 492
- объема я прямоугольных ко-
координатах 677
- - 8 сферических координа-
координатах 682
в цилиндрических коорди-
- латах 6SJ
- определителя 222
- плошади 486, 661
- - в декартовых координатах
661
- - в полярных координатах
671
Элементарные функции 254
- -, разложение и степенной
ряд 585-588
Эллипс яб, 57, 58, 71, 72, 73, 74,
485, 502
-I вершины, иск, центр 56
-.диаметры 76, 77, 78
-, директрисы 70
-.каноническое уравнение 57,
59
Эллипс, параметрические урав-
уравнения 316
-, площадь 485
-, построение по осям 60
■ , радиус кривизны 503
-, сжатие, коэффициент сжа-
сжатия 56, 59
■ , Уравнение касательной 319
■ ,- нормали 320
, екецсшриентрт 59, 72
Эллипсоид 204, 205, 489, 490, 491
- вращения окатый, пытянутый
207
-, касательная плоскость 642
—, П(,рмаль 642
-, объем 490
- трехосный 204, 20В, 207
, главные эллипсы, верши-
вершины, оси 20fi
Эллиптический параболоид 2\'Л,
, главные сечения, вершина,
ось, параметры 213, 214
- тип линии Второго порядка
У8, 102
- Цилиндр 199
Эпицикл 821
Эпициклоида 805
■ , вершина 806
- , Двоякое образование 81г>, 816
--, Длина дуги 818
-, исторические сведения 821
-, Касательная и нормаль 817
-, кинематическое свойство 819
-, линия центров 808
—, натуральное уравнение #!9
—, Начальная точка 805, SOB
- обыкноиепная 805
-, особенности формы 812
-, Параметрическое представ-
представление 811
-, построение §08
-, Предельные случаи 814, 815
--, радиус крииианы 317
-, сецториальиая площадь 819,
820
- удлиненная, укороченная 805
-.Частные виды 814
-, 0волют,1 81,4
Ормат 298
Юпгиус 833
Явная функция 250
Латинский алфавит
Печат-
Печатные
буквы
Л
В
С
D
Е
F
G
Я
1
J
К
L
М
а
Ь
d
е
f
S
h
i
j
ft
I
m
Рукопис-
Рукописные буквы
и
(В
ё
П)
&
G
71
Q
л
ж
а
h
d
£
1
А
i
t
k
L
m
Название
a
бэ
цэ
ДЭ
э
аф
гэ (жэ)
ха (am)
к
Йот (жи)
к а
эль
ом
Печатные
буквы
N
0
Р
Q
R
S
т
и
V
W
X
Y
Z
п
о
Р
а
г
S
t
и
V
W
X
У
Z
Рукопис-
Рукописные буниы
ГЦ
0
ф
а
ш
S-
'Х*
(Ц
(J)
то
(¥
si
я.
б-
Р
Я-
г-
i
t
а
0
to
z
Название
ЭН
0
пэ
ку
эр
ас
тЗ
У
вэ
дуиль-вэ
икс
игрек
зэт
Ах
Греческий алфапит
альфа Nv ню (ни)
Гу
М
Ft
?£
Щ
не, {?
п
Кх
АЛ
М/1
гамма
дельта
опсилон
дзета
эта
тэта
йота
каппа
ЛамОда
МЮ (МП)
J/n
Ре
На
Тт
омикрон
ни
Oiii'M:i
тау
фи
хи
юнойл mi (дпгилон)
пси
Марк Яковлевич Выгодский
СПРАВОЧНИК ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
М., 1977 г., 872 стр. с илл.
Редакторы: И, М. Овчинникова и Г. /7. Пирогова,
Техн. редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Т. Д, Панъкова
Печать с матриц.
Подписано к печати 30 09. 1976
Бумага 70х90Узг.
Физ, псч. л. 27,25. Условн. печ. л. 31,88.
Уч.-нзд. л, 45,79,
Тираж 150 000 экз. T-15I65.
Цена книги 2 р. 60 к. Заказ № 20019
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография «Франклин», Будапешт, Венгрия