Г. КАРСЛОУ и Д. ЕГЕР
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Перевод
со второго английского издания
под редакцией
проф. А. А. ПОМЕРАНЦЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964

536
К 26
УДК 536.21
CONDUCTION
OF HEAT IN SOLIDS
By
H. S. CARSLAW
Emeritus Professor of Mathematics
in the University of Sydney
and
J. C. JAEGER
Professor of Geophysics
in the Australian National University
SECOND EDITION
OXFORD
At the Clarendon Press
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода 7
Из предисловия ко второму изданию 9
Из предисловия к первому изданию 9
Глава I. Общая теория 11
§ 1. Введение (И). § 2. Теплопроводность A1). § 3. Тепловой поток через
произвольную поверхность A3). § 4. Изотермические поверхности A5).
§ 5. Теплопроводность изотропных тел A5). § 6. Дифференциальное уравне-
уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела A7). § 7. Дифферен-
Дифференциальное уравнение теплопроводности для движущейся среды B1). § 8. Пре-
Преобразование координат B3). § 9. Начальные и граничные условия B5).
§ 10. Безразмерные параметры C1). § 11. Экспериментальные методы опре-
определения теплопроводности C2). § 12. Математическая интерпретация началь-
начальных и граничных условий C3). § 13. Родственные дифференциальные уравне-
уравнения C4). § 14. Упрощение общей задачи теплопроводности C5). § 15. Задачи,
решения которых можно выразить в виде произведения решений более про-
простых задач C9). § 16. Единственность решения задачи теплопроводности D1).
§ 17. Теплопроводность анизотропных твердых тел D3). § 18. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение теплопроводности для анизотропных твердых тел D6).
§ 19. Теплопроводность тонкой кристаллической пластины D8). § 20. Изме-
Изменение теплопроводности и вектор теплового потока в анизотропных твердых
телах E1).
Глава II. Линейный поток тепла. Неограниченное и полуограниченное
твердое тело 57
§ 1. Введение. Простые решения уравнения для линейного потока тепла E7).
§ 2. Неограниченное твердое тело. Решение Лапласа E9). § 3. Использова-
Использование интегралов Фурье и преобразований Фурье F2). § 4. Полуограниченное
тело с начальной температурой f (х) и нулевой температурой поверх-
поверхности F4). § 5. Полуограниченное твердое тело. Начальная температура
равна нулю. Поверхность находится при температуре <р (t) F7). § 6. Полу-
Полуограниченное твердое тело. Температура поверхности является гармониче-
гармонической функцией времени G0). § 7. Полуограниченное твердое тело. Тепло-
Теплообмен на поверхности в среду с нулевой температурой. Начальная темпе-
температура постоянна G5). § 8. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на
поверхности в среду с температурой / (t). Начальная температура равна
нулю G8). § 9. Полуограниченное тело. Тепловой поток на границе х = 0
является заданной функцией времени. Начальная температура равна
нулю G9). § 10. Применение полученных результатов к определению тепло-
теплопроводности (82). §11. Полуограниченное твердое тело, внутри которого
находится источник тепла (82). § 12. Температура Земли и колебания тем-
температуры на ее поверхности (85). § 13. Геотермический градиент и поток
тепла (87). § 14. Возраст Земли. Анализ Кельвина (89). § 15. Неограниченное
составное твердое тело (91). § 16. Случай зависимости термических харак-
характеристик вещества от температуры (92).
Глава III. Линейный тепловой поток в твердом теле, ограниченном двумя
параллельными плоскостями 97
§ 1. Введение (97). § 2. Установившаяся температура (97). § 3. Область
0 < х < I. Границы поддерживаются при нулевой температуре. Начальная
температура f (х) (98). § 4. Область 0 < х < I. Начальная температура /(-*)•
Границы поддерживаются при постоянной температуре или изолированы A03).
§ 5. Область 0 < х < I. Температуры границ равны <fi (t) и <р2 (f). Начальная
температура f (х) A06). § 6. Пластина с периодически изменяющейся
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
температурой поверхности A09). § 7. Установившаяся периодически изменяю-
изменяющаяся температура в составных пластинах A13). § 8. Пластина с заданным
тепловым потоком на ее границе A15). § 9. Область 0 < х < /. Теплообмен
на границах в среду с температурой, равной нулю. Начальная температура
равна /(х) A17). § 10. Область —I < х < I. На границах jc= ± / происхо-
происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Начальная темпера-
температура f (х) A21). § 11. Частные случаи и численные результаты для пластины
с граничным условием третьего рода A23). § 12. Область —I < х < I с ну-
нулевой начальной температурой и теплообменом на границах со средой, имею-
имеющей температуру <р (t) A27). § 13. Пластина, одна из поверхностей которой
соприкасается со слоем идеального проводника или хорошо перемешиваемой
жидкости A28). § 14. Пластина с внутренним источником тепла A30).
Глава IV. Линейный тепловой поток в стержне 134
§ 1. Введение A34). § 2. Дифференциальное уравнение распределения тем-
температуры в тонком стержне A34). § 3. Полуограниченныи стержень. Случай
установившейся температуры. Метод Форбса A36). § 4. Полуограниченный
стержень. Периодически изменяющаяся температура. Метод Ангстрема A37).
§ 5. Ограниченный стержень, концы которого находятся при фиксированных
температурах. Случай установившейся температуры A39). § 6. Стержень
переменного сечения с охлаждающимися ребрами. Случаи установившейся
температуры A41). § 7. Ограниченный стержень при наличии теплообмена
на его поверхности. Случай неустановившейся температуры A44).
§ 8. Ограниченный стержень с периодически изменяющейся температурой
концов. Метод Неймана A47). § 9* Задачи по теплопроводности в движу-
движущемся стержне A48). § 10. Уравнение теплопроводности для тонкой про-
проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током A49). § 11. Устано-
Установившаяся температура. Определение коэффициента теплопроводности A51).
§ 12. Сильно нагретая проволока, по которой протекает электрический
ток A54). § 13. Установившийся поток тепла в составной проволоке A56).
§ 14. Неустановившаяся температура в проволоке, по которой течет элек-
электрический ток A57). § 15. Кольцо Фурье A59).
Глава V. Поток тепла в теле с прямоугольным сечением 163
§ 1. Введение A63). § 2. Неограниченное твердое тело прямоугольного сече-
сечения. Установившаяся температура A64). § 3. Установившаяся температура
в неограниченном теле прямоугольного сечения 0 < х < а, 0 < у < b A67).
§ 4. Тонкая пластина с прямоугольным сечением при наличии теплообмена
на ее поверхности A70). § 5. Установившаяся температура в теле прямо-
прямоугольного сечения — а < х < а, — Ь < у <Ь при наличии источника
тепла A71). § 6. Неустановившееся состояние. Решение в виде произведения
решений A72). § 7. Неустановившееся состояние. Произвольные начальные
и граничные условия A75).
Глава VI. Тепловой поток в прямоугольном параллелепипеде 176
§ 1. Введение A76). § 2. Установившаяся температура A77). § 3. Двойные
и кратные ряды Фурье A80). § 4. Неустановившаяся температура. Решение
в виде произведения решений A83). § 5. Определение коэффициента тепло-
теплопроводности и экстраполяция кривых охлаждения A85). § 6. Неустановив-
Неустановившаяся температура. Тройной ряд Фурье A86).
Глава VII. Тепловой поток в неограниченном цилиндре кругового сечения 187
§ 1. Введение A87). § 2. Установившаяся температура. Радиальный по-
поток A88). § 3. Установившаяся, периодически изменяющаяся температура
в круговых цилиндрах A92). § 4. Неограниченный цилиндр. Радиальный по-
а
ток. Неустановившаяся температура A93). §5. Интегралы J rJn(ar)Jn($r)dr
о
а
и Г г [Jn («г)]2 dr A95). § 6. Неограниченный цилиндр с температурой по-
о
верхности <р (t) и начальной температурой / (г) A97). § 7. Неограниченный
цилиндр с теплообменом на поверхности A99). § 8. Неограниченный цилиндр
с постоянным потоком тепла на поверхности B01). § 9. Неограниченный
цилиндр с внутренними источниками тепла B02). § 10. Неограниченный полый

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
цилиндр. Радиальный поток B03). § 11. Неограниченный цилиндр. Устано-
Установившаяся температура. Общий случай B05). § 12. Неограниченный цилиндр.
Неустановившаяся температура. Общий случай B07).
Глава VIII. Тепловой поток в областях, ограниченных координатными
поверхностями цилиндрической системы координат 212
§ 1. Введение B12). § 2. Установившееся распределение температур в не-
неограниченной и полуограниченной среде, обусловленное подводом тепла
через круг B12). § 3. Установившаяся температура в ограниченном и полу-
полуограниченном цилиндрах B15). § 4. Неустановившееся состояние. Решения
в форме произведений B22). § 5. Определение теплопроводности вещества
в форме цилиндра B24). § 6. Ограниченный цилиндр — / < z < /, 0 <; г < а
с начальной температурой /(г, 0, z) B25). § 7. Полу ограниченный ци-
цилиндр B26).
Глава IX. Поток тепла в шаре и конусе 227
§ 1. Введение B27). § 2. Установившаяся температура. Радиальный тепловой
поток B27). § 3. Шар 0 < г < а с начальной температурой / (г) и темпера-
температурой поверхности <р (t) B30). § 4. Шар 0 < г < а. Начальная темпера-
температура / (г). На поверхности сферы происходит теплообмен B33). § 5. Опре-
Определение коэффициентов теплопроводности плохих проводников B35).
§ 6. Случай шара, находящегося в контакте с хорошо перемешиваемой
жидкостью B36). § 7. Шар с заданным тепловым потоком на поверх-
поверхности B38). § 8. Шар 0 < г < я, внутри которого выделяется тепло B38).
§ 9. Полый шар а <г <Ь B42). § 10. Область, ограниченная изнутри сфе-
сферической поверхностью г = я B43). § 11. Шар с начальной температурой
/ (л 9, <р). Температура поверхности г = а равна нулю B44). § 12. Поверх-
Поверхность шара г = а поддерживается при температуре F @, <р) B46). § 13. Часть
шара, вырезаемая конусом 0 == 0О. Температура поверхности равна нулю,
начальная температура равна /(г, 0, <р) B46). § 14. Температура внутри
Земли B48).
Глава X. Применение метода источников и стоков к задачам с неуста-
неустановившейся температурой 251
§ 1. Введение B51). § 2. Мгновенный точечный источник B51). § 3. Мгно-
Мгновенные источники; линейный, плоский и поверхностные цилиндрический и
сферический источники B54). § 4. Непрерывные и периодические источ-
источники B56). § 5. Поверхностный нагрев полуограниченной области B59).
§ 6. Выделение тепла в неограниченной среде B60). § 7. Движущиеся источ-
источники тепла B61). § 8. Дублеты B65). § 9. Метод последовательных волн B67).
§ 10. Метод изображений. Линейный тепловой поток B67). § 11. Применение
метода изображений к двумерным и трехмерным задачам B71). § 12. Обоб-
Обобщение метода изображений Зоммерфельдом B73).
Глава XI. Изменение физического состояния 276
§ 1. Введение B76). § 2. Одномерные случаи плавления и затвердевания.
Решение Неймана и его обобщение B77). § 3. Область х > 0 при других
граничных условиях B85). § 4. Методы интегрального уравнения. Рассмо-
Рассмотрение задач затвердевания, предложенное Лайтфутом B86). § 5. Решения
в цилиндрических и сферических координатах B88). § 6. Осесимметричные
задачи о замерзании и плавлении B89).
Глава XII. Преобразование Лапласа. Задачи для линейного теплового
потока 292
§ 1. Исторический обзор B92). § 2. Преобразование Лапласа. Основные
свойства B93). § 3. Решение уравнения теплопроводности методом преобра-
преобразования Лапласа B96). § 4. Полуограниченная область х > 0. Решения, по-
получаемые из таблицы изображений B98). § 5. Ограниченная область
0 < х < I. Решения, получаемые из таблицы изображений. Решения для не-
небольших значений времени C03). § 6. Ограниченная область 0 < х < I.
Применение теоремы обращения C06). § 7. Полу ограниченная область х > 0.
Применение теоремы обращения C12). § 8. Составные твердые тела C14).
Глава XIII. Преобразование Лапласа. Задачи для цилиндра и шара .... 322
§ 1. Введение C22). § 2. Цилиндр кругового сечения 0<г < а с различными
граничными условиями C22). § 3. Решения, применимые для малых интер-

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
валов времени C25). § 4. Полый цилиндр а < г < b C27). § 5. Область огра-
ограничена изнутри цилиндром кругового сечения г = д C29). § 6. Решения,
применимые при больших значениях времени C34). § 7. Область г > я,
ограниченная изнутри круговым цилиндром из идеального проводника C35).
§ 8. Составная цилиндрическая область C39). § 9. Шар. Радиальный тепло-
тепловой поток C41).
Глава XIV. Применение функций Грина к решению уравнения тепло-
теплопроводности 347
§ 1. Введение C47). § 2. Линейный тепловой поток. Полуограниченное твер-
твердое тело х>0 C51). § 3. Линейный тепловой поток в области 0 < х < а C53).
§ 4. Двумерные задачи. Тела с прямоугольным сечением C54). § 5. Прямо-
Прямоугольный параллелепипед 0 < х < ау 0 < у < Ь, 0 < z < с C55). § 6. Линей-
Линейный тепловой поток. Составные твердые, тела C56). § 7. Шар. Радиальный
поток тепла C59). § 8. Цилиндр. Радиальный тепловой поток C61). § 9. По-
Полуограниченное твердое тело х > 0. Трехмерные задачи C63). § 10. Область,
ограниченная двумя параллельными плоскостями C64). § 11. Полуограничен-
Полуограниченное твердое тело г>0с тонкой пленкой на плоскости z = 0 из материала,
имеющего значительно большую теплопроводность. В точке @, 0, z') распо-
расположен единичный мгновенный источник C67). § 12. Неограниченное состав-
составное твердое тело. В точке @, 0, zr) действует мгновенный единичный источ-
источник C68). § 13. Области, ограниченные цилиндрической поверхностью
г = я C69). § 14. Клин 0 < 0 < б0 C71). § 15. Цилиндрическая область C73).
§ 16. Области, ограниченные сферической поверхностью г = а C74).
§ 17. Конус 0<6 < 0О C76). § 18. Непрерывные источники C78).
Глава XV. Дальнейшие применения преобразования Лапласа 381
§ 1. Введение C81). § 2. Теплопроводность в движущемся теле C81).
§ 3. Тепловые регенераторы и теплообменники C85). § 4. Тепловой поток
в слоистых системах C92). § 5. Установившийся периодический режим C93).
§ 6. Линейная асимптотика и запаздывание C96). § 7. Выделение тепла C98).
§ 8. Система автоматического регулирования температуры D01). § 9. Неодно-
Неоднородные тела D05). § 10. Нагревание «цепочки» пластин, между которыми
происходит теплообмен. Слоистые материалы D07). § 11. Прямое применение
метода преобразования Лапласа к двумерным и трехмерным задачам D09).
Глава XVI. Установившаяся температура 415
§ 1. Введение D15). § 2. Источники и стоки .при установившейся темпера-
температуре D15). § 3. Установившийся поток к почти плоской поверхности. Топо-
Топографические поправки для геотермического потока D18). § 4. Установив-
Установившийся тепловой поток в составном теле D19). § 5. Практические задачи D23).
§ 6. Использование сопряженных гармонических функций в задачах с уста-
установившейся температурой D24). § 7. Приложения этого метода D26).
§ 8. Установившийся тепловой поток в многоугольнике D33). § 9. Тепловой
поток между изотермическими поверхностями* D37).
Глава XVII. Интегральные преобразования 445
§ 1. Введение D45). § 2. Интегральные преобразования и формулы их обра-
обращения D46). § 3. Неустановившийся тепловой поток D48). § 4. Установив-
Установившийся тепловой поток D50). § 5. Конечные преобразования D51). § 6. После-
Последовательные преобразования D53).
Глава XVIII. Численные методы 455
§ 1. Введение D55). § 2. Конечные разности D55). § 3. Линейный тепловой
поток в неограниченном пространстве D58). § 4. Граничные условия D62).
§ 5. Выделение тепла, переменная температуропроводность и скрытая теп-
теплота D64). § 6. Релаксационные методы D64).
ПРИЛОЖЕНИЯ 467
1. Контурные интегралы и проверка решений, полученных при помощи пре-
преобразования Лапласа D67). 2. Функция ошибок и родственные функции D70).
3. О функциях Бесселя D77). 4. Корни некоторых трансцендентных уравне-
ний D80). 5. Таблица преобразований Лапласа v(p) = Г e~ptv(t)dt D83).
о
6. Термические свойства некоторых веществ D86).

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Книга Карслоу выдержала много изданий. Первоначально — в 1906 г.—
она составляла одно целое с другой книгой Карслоу по теории рядов и инте-
интегралов Фурье *). Это в известной степени предопределило содержание книги—
как первого, так и последующих ее изданий. Настоящая книга пред-
представляет собой как бы вторую часть первоначальной, в которой излагается
применение математических методов, приведенных в первой части, к соответ-
соответствующим задачам теплопроводности. В последующих изданиях A946 и
1959 гг.) число разбираемых задач значительно возросло, но приемы разбора
и глубина рассмотрения изменились незначительно. Как отмечают авторы
в предисловии к изданию 1946 г., материал книги разобран методами Фурье.
В этом и состоит ее главная особенность.
После опубликования первого издания книги наступил период интенсив-
интенсивного развития методов математической физики. Для характеристики их глу-
глубины достаточно упомянуть о ряде фундаментальных трудов, например
о книгах Н. Poincare, Theorie de la propagation de la chaleur, Paris, 1895;
В. А. Стеклова, Основные задачи математической физики, ч. 1 —1922 г.,
ч. 2—1923 г., Петербург; Ф. Франка и Р. Мизеса, Дифференциальные и инте-
интегральные уравнения математической физики, ч. II, ОНТИ, 1937; Р. Куранта
и Д. Гильберта, Методы математической физики, т. I—1933 г., т. II— 1945 г.
В указанных трудах разобраны основные вопросы теории теплопровод-
теплопроводности, а именно: 1) общие свойства решений задач теплопроводности, 2) обос-
обоснование метода разделения переменных, 3) развитие метода источников тепла,
4) теория плавления.
Работы редактора перевода по этим вопросам, задуманные как дополне-
дополнения к настоящей книге, публикуются отдельно от нее.
Следует отметить, что в настоящем издании автор книги существенно
изменил свое отношение к операционным методам решения задач теплопро-
теплопроводности. В первом издании книги Карслоу характеризует операционный ме-
метод Хевисайда следующим образом:
«Операционный метод Хевисайда можно назвать своего рода стенографией.
Его фэрмулы можно получить с помощью контурных интегралов, которыми
мы будем пользоваться на следующих далее страницах. Результаты, которые
здесь получаются, сведены в этой главе. Но за выводами формул Хеви-
Хевисайда трудно следить, и можно смело сказать, что сам он мало заботится
о строгости своих выводов. Действительно строгое обоснование его метода **)
*) Н. S. С а г s I a w, Introduction to the theory of Fourier's series and Integrals,
Lnd., 1921.
.**) Математически строгое обоснование метода Хевисайда дано в работе
G. Doetsch, Theorie und Anvendung der Laplace-Transformation, J. Springer, Berlin, 1937.
С операционными методами можно ознакомиться по следующим книгам: Г. Деч, Руко-
Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, Физматгиз, 1960;

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
можно провести, пользуясь контурными интегралами, как показано
ниже» *).
В последнем издании Карслоу пересмотрел свое отношение к опера-
операционным методам. Он их принял в качестве рабочих методов решения задач
теплопроводности и изложил — как сами методы, так и их применение — в гла-
главах XII, XIII и XV. В 1941 г. Карслоу выпустил специальную книгу по опе-
операционному исчислению **).
В главе XI «Изменение физического состояния» дается обзор работ
по теории плавления. Глава написана Егером недостаточно полно и глубоко.
В основном автор изложил в ней работы, вышедшие до 1950 г. После 1950 г.
появились работы принципиального характера, в которых а) исследовались
общие свойства решений задачи плавления—существования и единственности
и б) развивались эффективные методы решения задачи. При этом в общем
случае задача плавления рассматривалась нелинейной—в неоднородном веще-
веществе, плотность и теплопроводность которого изменяются с температурой.
Укажем эти работы:
а) 1. Kyner W. Т. An Existence and Uniqueness Theorem for Nonlinear
Stephan Problem. 2. Friedman A. Free boundary problem for parabolie equa-
equation I. J. of Math. a. Mech., 8, No. 4A959). 3. Sestini G. Rivista Math.
Univ. Parma 3, 3—23, 103—130 A952). 4. Дацев А. ДАН СССР, 87, № 3
A952). 5. Рубинштейн Л. И. Серия работ о единственности решения задачи
Стефана: ДАН СССР, 77, J* 1, 37—40 A951); 79, № 1, 45—47 A951);
117, № 3, 387—390 A957). 6. Олейник О. А. ДАН СССР, 113, № 6 A957).
7. Douglas J. A uniqueness theorem for the solution of a Stephan Problem,
Proc. Am. Math. Soc. 8, 402—408 A957). 8. Evans G. W. II,' Quart. J. AppK
Math. 8, 312—319 A950); 9, 185—193 A951).
б) 1. Landau X. T. Quart. J. Appl. Math. 8, No. 1 A950). 2. Miran-
ker W. L. Quart. J. Appl. Math. 16, 121—130 A958). 3. Citron St. J. Aero-
Aerospace Soc. 27, No. 3 A960). 4. Sounders P. J. Am. Rocket Soc. 30, No. 11,
1030—1032 A960). 5. Померанцев A. A. Tp. I Совещания по тепло- и мас-
сообмену 1961 г., т. Ill, 1963.
Главы I и И и приложения настоящей книги переведены канд. техн.
наук Ю. Н. Петровым, главы III — VIII — канд. техн. наук В. М. Ерошенко>
главы IX — XVIII — канд. техн. наук М. Г. Морозовым.
Редактирование и проверку математического текста перевода книги
выполнили Г. И. Басе и Г. А. Шадрин.
В. А. Диткин и А. П. Прудников, Интегральные преобразования и операционное
исчисление, Фитматгиз, 1961; Б. Ван-дёр-Поль и X. Бреммер, Операционное исчисле-
исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952; В. А. Диткин и
А. П. Прудников, Операционное исчисление по двум переменным и его применения,
Физматгиз, 1958; А. В. Лыков, Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1952.
*) Г. Карслоу, Теория теплопроводности, Гостехиздат, М., 1947.
**) Г. Карслоу и Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной математике,
ИЛ, М., 1948.
А. Л. Померанцев

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Смерть профессора Карслоу заставила меня самостоятельно готовить
новое издание настоящей книги. При этом я старался — по возможности
сохраняя форму и дух изложения Карслоу — наиболее полно изложить все
точные решения и разрешимые задачи теории теплопроводности. Для этого
пришлось ввести дополнительно очень много новых решений и значительно
расширить изложение ряда вопросов, в частности вопросов генерирования
тепла, поверхностного нагрева, плавления и затвердевания. Более подробно
рассмотрены также применение теории теплопроводности к геофизике, ани-
анизотропные среды, движущиеся среды и вещества с переменными термиче-
термическими коэффициентами.
Добавлены также новые таблицы и рисунки, где приведены численные
данные по наиболее важным проблемам.
При этом оказалось, что число литературных ссылок превысило 700.
Поскольку невозможно перечислить всю литературу, посвященную вопросам
теплопроводности, мне пришлось ограничиться только теми статьями, с кото-
которыми я мог ознакомиться лично; однако при этом я пытался дать правильное
представление о литературе по всем интересующим нас разделам.
В настоящую книгу введены еще две обзорные главы. В одной из них
излагается как введение в метод интегральных преобразований, так и связь
этого метода с классическим методом Фурье. В другой главе приведен обзор
численных методов, получивших в последние годы широкое распространение,
и указана связь полученных результатов с точными решениями, изложенными
выше в тексте.
1959 г. Л. Егер
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Книга Карслоу «Введение в теорию рядов Фурье и интегралов Фурье
и математическая теория теплопроводности» (Carslaw, Introduction to the
Theory of Fourier's Series and Integrals and the Mathematical Theory of the
Conduction of Heat) была опубликована в конце 1906 г. В 1920—1921 гг.
она была полностью переработана и разделена на два тома. Второй том
этого труда под названием «Введение в математическую теорию теплопро-
теплопроводности твердых тел» (Carslaw, Introduction to the Mathematical Theory
of the Conduction of Heat in Solids)*) был издан в 1921 г. За последние
25 лет было выполнено столько работ как теоретического, так и приклад-
прикладного характера, содержащих применение полученных результатов, что книгу,
отражающую достижения и успехи в этой области, следует считать новой,
а не переработанным изданием старой. В данной книге, призванной заменить
*) В русском переводе эта книга вышла в 1947 г. под названием «Теория тепло-
теплопроводности» (Гостехиздат, М., 1947). (Прим. ред.)

10 из предисловия к первому изданию
изданную ранее, весь материал трактуется в рамках современных математи-
математических методов. В частности, в нее включено полное изложение метода пре-
преобразования Лапласа и его применение к задачам теплопроводности. Этот
метод заменил собой метод использования контурных интегралов, изложен-
изложенный в гл. X и XI издания 1921 г. Хотя в принципе эти методы родственны
друг другу, первый из них даже проще и глубже. При написании этой книги
мы стремились сделать ее по возможности полезной инженерам и физикам,
не изменяя ее математической сущности. Так, в ней приводятся подробные
решения целого ряда задач практического характера и множество данных
в виде таблиц и графиков. Значительно расширено изложение теории систем,
применяемых в экспериментальных работах; другие вопросы, представляющие
практический интерес, изложены довольно кратко (например, теория авто-
автоматической регулировки температуры; до сих пор в книгах математического
характера такие вопросы не рассматривались).
Можно считать, что первое издание настоящей книги (кроме последних
глав) посвящено в основном изложению методов Фурье, рассматриваемых
классически. В первых десяти главах нового издания мы придерживались
той же схемы. В них точно воспроизведена значительная часть материала,
изложенного в главах I — IX старого издания, но обращено большое внима-
внимание на вопросы, интересующие инженеров и физиков.
В главах XII — XV метод преобразований Лапласа вводится и применяется
к более сложным задачам. Прочитав главу XII, читатель увидит, что приме-
применение этого метода значительно упрощает решение задач, изложенных в пре-
предыдущих главах, и, вероятно, привыкнет пользоваться им.
Много интересных решений напечатано петитом; часто они приводятся
без доказательств и их можно считать примерами. Все главы снабжены биб-
библиографическими ссылками на работы, посвященные как математической тео-
теории теплопроводности, так и физическим применениям теории. Мы надеемся,
что они послужат полезным введением к литературе. Число таких статей вы-
выросло за последнее время настолько, что привести их все невозможно.
Г. Карслоу,
Д. Егер

ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Введение
Если различные части тела находятся при различных температурах, то
тепло течет от более горячих частей к более холодным. Следует различать
три механизма распространения тепла: 1) теплопроводность, в результате
которой тепло передается через само вещество; 2) конвекция, в результате
которой тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого
тела, и 3) передача тепла излучением, при котором перенос тепла между про-
пространственно разделенными частями тела происходит за счет электромагнит-
электромагнитного излучения.
В жидкостях и газах конвекция и излучение играют первостепенную
роль, тогда как в твердых телах конвекция вообще отсутствует, а излучение
обычно пренебрежимо мало. В настоящей книге мы будем рассматривать
только теплопроводность и, вообще говоря, твердое тело, хотя при опреде-
определенных обстоятельствах полученные результаты остаются справедливыми
и для жидкостей или газов.
В данной главе излагается общая теория теплопроводности; последую-
последующие главы посвящены специальным задачам и методам их решения.
§ 2. Теплопроводность
Можно сказать, что математическая теория теплопроводности основы-
основывается на гипотезе, подсказываемой следующим экспериментом.
Пусть задано некоторое твердое тело в виде пластины, ограниченное
двумя параллельными плоскими поверхностями таких размеров, что при рас-
рассмотрении точек, расположенных в середине плоскостей, эти ограничивающие
поверхности можно считать бесконечными. Обе поверхности пластины под-
поддерживаются при различных температурах, причем разность между ними не
должна достигать таких больших значений, при которых может возникнуть
какое-либо заметное изменение свойств исследуемого твердого тела. Верх-
Верхнюю поверхность пластины можно, например, поддерживать при темпера-
температуре тающего льда, помещая на нее толченый лед, а нижнюю — при неко-
некоторой постоянной температуре, заставляя поток теплой воды непрерывно
обтекать поверхность. Если эти условия сохраняются достаточно долго, то
в каждой данной точке температура пластины достигает определенного зна-
значения, причем в точках, расположенных в какой-либо плоскости, параллель-
параллельной ограничивающим поверхностям пластины, и достаточно удаленных от ее
краев, температура будет оставаться одинаковой.
Рассмотрим часть пластины, ограниченную воображаемым цилиндром
с поперечным сечением S и с осью, перпендикулярной поверхности пластины.

12 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 2
Предполагается, что этот цилиндр выделен в середине пластины, и поэтому
тепловой поток через его образующие отсутствует. Пусть температура ниж-
нижней поверхности равна vQ °C, верхней vx °C (v0 > г^), и пусть толщина пластины
равная? см. Результаты экспериментов над различными твердыми телами приво-
приводят к гипотезе, что при достижении установившегося температурного состояния
количество тепла Q, протекающего за t сек через площадку S пластины, равно
где К — константа, зависящая от свойств вещества и называемая коэффи-
коэффициентом теплопроводности данного вещества. Другими словами, тепло-
тепловой поток между двумя поверхностями пропорционален разности температур
между ними.
Нельзя считать, что такой вывод доказывается подобными эксперимен-
экспериментами; они скорее подсказывают этот закон. Более точной проверкой этого
закона служит соответствие экспериментальных данных с расчетными дан-
данными, полученными в математической теории, основанной на предположении
о справедливости указанного закона.
Величина, обратная значению коэффициента теплопроводности, назы-
называется удельным термическим сопротивлением вещества.
Строго говоря, коэффициент теплопроводности К для данного веще-
вещества не остается всегда постоянным, а зависит от температуры. Однако
в ограниченном диапазоне температур этим изменением К можно пренебречь»
и в обычной математической теории предполагается, что коэффициент тепло-
теплопроводности не изменяется с температурой. Более близкое приближение
к действительному положению вещей можно получить, полагая К линейной
функцией температуры vt т. е.
где р мало и для большинства веществ отрицательно.
Из выражения B.1) коэффициент теплопроводности получается в виде
Отсюда следует размерность коэффициента К и природа единиц, в которых
он выражается.
В качестве системы единиц, наиболее часто применяемых в физике,
используется система СГС; в ней температуру измеряют в градусах Цель-
Цельсия (°С), а за единицу тепла принимают калорию, т. е. такое количество
тепла, которое требуется для повышения температуры воды ¦) массой в 1 г
на 1°С. В этой системе К имеет размерность кал/(сек) (см2)(°С/см). В
тех случаях, когда в этой книге даются численные значения, используется
указанная система единиц**).
*) Опыты показывают, что количество тепла, необходимое для повышения тем-
температуры 1 г воды на Г С, не одинаково при различных температурах, и для точного
определения калории должна быть установлена температура воды. Обычно за эту
температуру принимают 15° С, и такая калория определяется как количество тепла»
необходимое для повышения температуры 1 г воды от 14,5 до 15,5° С.
**) В октябре I960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам утвердила
и рекомендовала всем государствам новую Международную систему единиц (систему СИ),
единую для всех областей науки и техники. В СССР она введена в качестве пред-
предпочтительной с 1 января 1963 г.
Новая система единиц основана на шести основных величинах — длине, массе,
времени, температуре, электрическом токе и силе света.

§ 3] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 13
В приложении б приведены значения величин (в частности, К), харак-
характеризующих термические свойства некоторых типичных веществ, дающие
представление о порядке этих величин [1].
Из выражения B.2) следует, что в системах, где единицей тепла является
такое его количество, которое вызывает у единицы массы воды увеличение
температуры на одну единицу, К имеет размерность
l B.3)
О
так как отношение —- имеет размерность массы.
с/0 — vx
Если желательно измерять количество тепла работой, необходимой для
получения этого количества, то в качестве единиц используют обычно эрг
или джоуль. Число джоулей У, соответствующее одной калории, называется
механическим эквивалентом тепла. Для определенной выше калории У =4,186.
В основном эксперименте, из которого выведено наше определение
теплопроводности, предполагалось, что исследуемое твердое тело однородно
и что при нагревании какой-либо точки внутри этого тела тепло распро-
распространяется одинаково хорошо во всех направлениях. Такие твердые тела
называются изотропными, в противоположность кристаллическим и другим
анизотропным телам, у которых теплопроводность в одних направлениях
больше, чем в других. Существуют также неоднородные твердые тела,
в которых условия теплопроводности меняются от точки к точке и, кроме
того, в каждой данной точке зависят от направления.
§ 3. Тепловой поток через произвольную поверхность
Количество тепла, передающееся через произвольную поверх-
поверхность S в точке Р и рассчитанное на единицу поверхности в еди-
единицу времени, называется тепловым потоком *) через данную поверх-
поверхность в данной точке и обозначается через /.
Сначала мы покажем, что тепловой поток через плоскость в точке Р
непрерывно изменяется при изменении положения точки Р, если направле-
направление нормали к этой плоскости остается постоянным. Пусть бесконечно малая
площадка а> в плоскости, включающая точку Я, служит основанием цилиндра,
образующие которого равны-и параллельны отрезку РР' длиной е, где е —
бесконечно малая более высокого порядка, чем линейные размеры площадки а>
<рис. 1).
Пусть /jO) и /2а> — величины тепловых потоков через основания цилиндра,
включающие точки Р и Я'. По сравнению с этими потоками тепловой поток
В частности, за единицу температуры в ней принят градус Кельвина (°К).
Из производных единиц в системе СИ отметим следующие:
джоуль (дж)— количество теплоты, эквивалентное работе в 1 дж;
дж/кг • град — удельная теплоемкость вещества, для нагревания 1 кг которого
на 1 град требуется количество теплоты, равное 1 дж;
вт/м • град = дж/м • сек • град — коэффициент теплопроводности вещества,
в котором через 1 м2 сечения при градиенте температуры в 1 град/м в 1 сек прохо-
проходит количество теплоты в 1 дж.
Эти единицы связаны с соответствующими единицами в системе СГС следующим
образом:
количество теплоты'. 1 кал~ 0,239 дж; 1 дж = 4,1868 кал;
удельная теплоемкость: 1 кал/г-град = 2,39-10~4 дж/кг-град; 1 дж/кг-град =
= 4,1868 • 103 кал/г • град;
коэффициент теплопроводности: 1 кал/см - сек - град = 2,39 • 10 вт/м - град;
1 вт/м • град — 418,68 кал/см • сек • град. (Прим. ред.)
*) Численные значения теплового потока обычно даются в кал/см2 • сек.

14
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[§ 3
через криволинейную поверхность цилиндра пренебрежимо мал. Приращение
количества тепла в цилиндре, таким образом, составит m(Ji — /2). Обозна-
Обозначим теперь среднюю температуру вещества в пределах нашего цилиндра
через v, расстояние между основаниями цилиндра — через о, а плотность и
удельную теплоемкость вещества — соот-
соответственно через рис; тогда приращение
fp' ^ количества тепла в цилиндре должно рав-
равняться следующей величине:
'* dv
Приравнивая
получим
обе величины друг другу,
Рис. 1.
Если а—>0, то выражение в правой части стремится к нулю, и следова-
следовательно, /j—>/2.
Важно отметить, что приведенная выше аргументация не требует, чтобы
термические свойства среды изменялись непрерывно; достаточно того, чтобы
они были конечны. Это позволит нам в дальнейшем утверждать, что на
поверхности раздела двух сред тепловой поток непрерывен (см. § 9 данной
главы).
Покажем теперь, что если величины / даны для трех взаимно перпен-
перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в некоторой точке, то можно
определить значение / для любой другой плоскости, проходящей через
ту же точку.
Рассмотрим элементарный тетраэдр РАВС, три грани которого РВС,
РСЛ, РАБ параллельны координатным плоскостям, а перпендикуляр, опу-
опущенный из точки Р на грань ЛВС, имеет на-
направляющие косинусы (X, [1, v) и длину р
(рис. 2). Пусть площадь грани ABC равна А;
тогда площади граней РВС, РСЛ и РАВ со-
соответственно равны ХД, [аД, vA.
Если обозначить величины тепловых по-
потоков через элементарные площадки РВС,
PC А, РАВ и ABC через f x% frfzn /. то
приращение количества тепла в тетраэдре
можно записать в виде '
Рис. 2.
С другой стороны, если р и с — соответ-
соответственно плотность и удельная теплоемкость
твердого тела, a v — средняя температура
вещества в пределах нашего тетраэдра, то
это приращение количества тепла должно равняться следующей величине:
1 л dv
Отсюда вытекает, что
C.1)
Далее, если р стремится к нулю, то правая часть соотношения C.1) также
стремится к нулю и /х, /у, /г и / становятся равными потокам тепла,

§ 51 гл. i. общая теория i5
протекающим в точке Р через плоскости, параллельные координатным пло-
плоскостям, и через плоскость, включающую точку Я, нормаль к которой имеет
направляющие косинусы (Х„ jx, v). Таким образом, мы имеем
/ = */* + !*/, + */,• C-2)
Если в точке Р известны значения трех тепловых потоков fx, /y, fz
через плоскости, параллельные координатным плоскостям, то из соотноше-
соотношения C.2) можно определить тепловой поток через любую другую плоскость,
проходящую через точку Р.
Каждой точке Р твердого тела соответствует вектор f, составляющие
которого равны fx, /y, fz. Его модуль равен
/ш = УЩ+Уг+fl)' (з-з)
а направлен он вдоль линии, направляющие косинусы которой равны
А 4- А C 4)
/m /m /m
Такой вектор можно назвать вектором теплового потока в точке Р.
Тепловой поток в точке Р через плоскость, нормаль к которой определяется
отношениями C.4), как раз и равен fm\ поток в точке Р через плоскость,
нормаль к которой образует угол б с направлением, определенным отноше-
отношениями C.4), равен /mcos6.
§ 4. Изотермические поверхности
Рассмотрим твердое тело, в котором распределение температур в момент
времени t задано соотношением
У. г* О-
Выберем теперь в этом твердом теле поверхность таким образом, чтобы
в какой-либо момент времени температура всех ее точек была одинаковой
и равной, скажем, V. Такая поверхность называется изотермической по-
поверхностью температуры V; можно считать, что эта поверхность отделяет
части тела с температурой, большей V, от частей с меньшей температурой.
Мы можем представить себе изотермы, проведенные в данный момент вре-
времени для различных температур, отличающихся друг от друга на целые
градусы и на доли градуса. Эти изотермические поверхности могут распо-
располагаться любым образом, но две такие поверхности не могут пересекаться,
так как никакая часть тела не может иметь две температуры одновременно.
Таким образом, можно считать, что изотермические поверхности раз-
разделяют твердое тело на тонкие слои.
§ 5. Теплопроводность изотропных тел
В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы будем рассматривать
только изотропные среды, т. е. такие среды, структура и свойства которых
в непосредственной близости от какой-либо точки одинаковы "во всех напра-
направлениях. Вследствие такой симметрии вектор теплового потока в какой-либо
точке должен быть направлен вдоль нормали к изотермической поверхности,
проходящей через эту точку, в сторону меньшей температуры.
Соотношение между скоростью изменения температуры в направлении
нормали к изотерме и вектором теплового потока, имеющим такое же

16 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 5
направление, можно вывести из основного эксперимента, описанного в § 2
данной главы. В этом случае изотермы представляют собой плоскости,
параллельные поверхностям пластины. Предположим, что изотермы темпе-
температур v и v -f- bv распоюжены на расстоянии Ьх друг от друга. Тогда,
согласно соотношению B.1), количество тепла, проходящее в единицу вре-
времени через единичную площадку в положительном направлении х, равно
bv
или при 8лг—>0
/, = -*?• • E.1)
Обобщим этот результат для любой изотермической поверхности и
в качестве основной гипотезы математической теории теплопровод-
теплопроводности примем, что величина теплового потока через любую изотер-
изотермическую поверхность изнутри наружу (т. е. количество тепла,
рассчитанное на единицу площади и единицу времени) равна
где К — коэффициент теплопроводности вещества, а символ -т— озна-
означает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверхности.
Приступим теперь к нахождению теплового -потока через любую, не
обязательно изотермическую, поверхность в некоторой ее точке Р. Пусть
изотерма в точке Р касается плоскости XY; тогда тепловые потоки в
точке Р через плоскости, параллельные координатным плоскостям, будут
равны
?
Пусть теперь нормаль в точке Р к заданной поверхности имеет напра-
направляющие косинусы (X, [х, v); тогда, согласно соотношению C.2), тепловой
поток через эту поверхность будет равен
„ dv „ dv
где символ -тгт- означает дифференцирование в направлении (X, ja, v), так как
dv > dv . dv . dv dv dv Л
Таким образом, величина теплового потока в данной точке через любую
поверхность равна
где символ -^j- означает дифференцирование в направлении внешней
нормали.
В частности, тепловые потоки через три плоскости, перпендикулярные
координатным осям, соответственно равны
/,—*&• /,—«?. /.—*?•• <м>
При использовании вектора f* введенного в § 3 настоящей главы, получен-
полученные результаты можно представить в виде
/= — Kgtadv.

§ 6] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 17
§ 6. Дифференциальное уравнение теплопроводности
для изотропного твердого тела
Рассмотрим сначала случай, когда тепло течет через твердое тело,
причем внутри тела источники тепла отсутствуют. Температура v в точке
Р(х, у у z) является непрерывной функцией х, yt z и t\ как показано в § 3,
то же утверждение справедливо и для теплового потока.
Выделим в данном твердом теле элемент объема — прямоугольный
параллелепипед с центром в точке Р и ребрами длиной 2dxt 2dy и 2dz>
параллельными осям координат. Пусть ABCD и A'B'C'D'— грани, перпен-
перпендикулярные оси х и отстоящие от центра параллелепипеда соответственно
на расстоянии —dx и -\-dx. Тогда количество тепла, поступающее в парал-
параллелепипед через грань ABCD, записывается в виде
где fx — величина теплового потока в точке Р через плоскость, параллель-
параллельную ABCD. Аналогичным образом количество тепла, вытекающее через
грань A'B'C'D', равно
Тогда приращение количества тепла в параллелепипеде, обусловленное
тепловым потоком через эти две грани, равно
— Sdxdydz-^-.
Точно так же находят аналогичные выражения для приращения коли-
количества тепла, обусловленного потоком тепла через остальные пары граней.
Суммируя эти выражения, мы получим общее приращение количества тепла
в параллелепипеде в виде
F.1)
где /—вектор, определенный соотношением C.4). Вместе с тем это же
увеличение количества тепла в параллелепипеде можно представить в виде
Spc^-dxdydz, F.2)
где р — плотность, а с — удельная теплоемкость *) (при температуре V)
твердого тела.
*) Удельная теплоемкость вещества с при температуре v определяется как bQ/bv,
где bQ — количество тепла, необходимое для повышения температуры единицы массы
вещества в пределах узкой области температур от v до v-\-bv. Теплоемкость зави-
зависит как от температуры, так и от способа нагрева; этот последний мы будем считать
таким, чтобы деформации были постоянными. В данной книге теплоемкость выра-
выражается в единицах #дл/г • г/?дд, причем теплоемкость воды при 15° С равна 1 кал/г*град.
Следует отметить, что в определениях удельной теплоемкости имеются значительные
расхождения. Так, например, некоторые авторы определяют удельную теплоемкость
как отношение количества тепла, повышающего температуру единицы массы вещества
на 1° С, к аналогичному количеству тепла для воды.
Для твердых тел изменением удельной теплоемкости в зависимости от способа
нагрева пренебрегают, и поэтому с можно заменить на ср, т. е. на удельную тепло-
теплоемкость при постоянном давлении. К этому вопросу мы вернемся ниже (см. стр. 21).
2 Г. Карслоу, Д. Егер

18 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ б
Приравнивая выражения F.1) и F.2), получаем*)
dv (dfx д/у д/2\
Полученное уравнение справедливо для любой точки твердого тела при
условии, что в этой точке отсутствует источник тепла. При использовании
этого уравнения не требуется, чтобы твердое тело было однородным или
изотропным. Уравнение F.3) соответствует уравнению неразрывности в гид-
гидродинамике.
Для однородного изотропного тела, у которого коэффициент теплопро-
теплопроводности не зависит от температуры, fx, fy и fz даются соотношениями E.3)„
и уравнение F.3) приобретает следующий вид:
d2v , d2v . d2v Lj^_o ,* а\
где
Константу у. Кельвин назвал коэффициентом тепловой диффузии, а Мак-
Максвелл— коэффициентом температуропроводности **), так как х харак-
характеризует то изменение температуры, происходящее в единице объема вещества,
которое обусловлено количеством тепла, протекающим в единицу времени
через единичную площадку в слое единичной толщины и при единичной раз-
разности температур на его поверхностях.
Уравнение F.4) известно как уравнение теплопроводности. В случае
установившейся температуры, когда v не изменяется со временем, это урав-
уравнение превращается в уравнение Лапласа
_9 d2v , d2v . d2v л
V2v = -т-т + -3-F+ -5-т = 0. F.6>
ОХ2 ду2 OZ2 х^'^г
Если в точке Р(х, у, z) твердого тела существует источник тепла, выде-
выделяющий в единице объема за единицу времени количество тепла Л(лг, у, z, t)»
то в соотношение F.1) следует ввести дополнительный член SAdx dy dz и
в случае постоянного К соотношение F.4) принимает вид
>. "F.7)
% dt К
Для установившегося режима, т. е при -^- = 0, уравнение F.7) превра-
превращается в уравнение Пуассона.
Почти во всех задачах, имеющих точное решение, а также в задачах*
рассматриваемых в настоящей книге (если нет специальных указаний), терми-
термические характеристики вещества К, р, с считаются постоянными, т. е. не за-
зависящими от положения выбранной точки и от температуры тела. Если это
не так, то соотношение F. 3) все же остается справедливым, причем при
*) В проводниках тепла, например в волокнистых или других материалах с боль-
большой пористостью, перенос тепла вследствие излучения может оказаться значительным,
что приведет к появлению дополнительного члена в соотношении F.3) [3, 4].
**) Значения коэффициентов температуропроводности для различных веществ при-
приведены в приложении 6. Для того чтобы найти размерность этого коэффициента, обо-
обозначим размерность теплового потока и температуры соответственно через [О] и [v]^
Тогда размерности [К] = [Q] [L~l] [T~l] [v~1]; [с] = [Q] [M~l] lv"lY» М = 1^1 U~31 и,
следовательно, [%] = [L2] [Т~1].

§ б] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 19
наличии источника тепла к правой его части добавляют член Л(х, у, z, t),
а соотношение F.7) принимает следующий вид:
д („ dv \ , д („ dv \ . д („ dv \ . . /с оч
)+)+)+А F'8)
Если К и Л являются функциями только положения, то при решении
уравнения F.8), в принципе, не приходится сталкиваться с большими труд-
трудностями, и для тел, в которых термические характеристики имеют разрыв
(составные тела), и тел, в которых изменение К с положением подчиняется
простому закону, пригоден целый ряд решений. Если же термические свой-
свойства зависят от температуры, то ситуация значительно усложняется, так как
уравнение становится нелинейным. Таких случаев, связанных с теплопровод-
теплопроводностью, исследовано очень мало, что объясняется относительно слабым изме-
изменением термических свойств с температурой, а имеющиеся данные по этому
вопросу весьма скудны и неточны. Между тем подобные задачи приобре-
приобретают все большее значение в тех случаях, когда приходится рассматривать
значительные изменения температуры, как, например, при застывании отли-
отливок. Кроме того, те же уравнения играют важную роль в теории диффузии,
когда имеет место резкое изменение коэффициентов диффузии в зависимости
от концентрации (см. [71], гл. IX—XI). Для решений в большинстве случаев
были использованы численные методы; несколько общих результатов и слу-
случаи, для которых возможно точное решение, будут изложены ниже.
I. Термические характеристики изменяются с температурой и не зависят
от положения *).
В данном случае соотношение F.8) принимает следующий вид:
V2 i ( dv V2 i / dv \2 ) /я пч
) +(w) +(w) f. F.9)
Как мы видим, это уравнение нелинейно. Соотношению F.8) можно придать более
простую форму [5—7], вводя новую переменную
V
= -^- f Kdv, F.10)
е
где Ко — значение К при v = 0. Ко и нижний предел интегрирования вводят только
для того, чтобы придать величине О размерность температуры и определенное зна-
значение. Из соотношения F.10) следует, что **)
дО К dv G0 К dv v0 К dv v0 К dv
'Ж=='К0"ЬТ'9 17 =~Ко~~дх'у W=='Ko'W'9 ~оЧ ==~Ko"d7*
и соотношение F.8) принимает вид
V20_l^- = _-^L, F.11)
is
где А и х = — выражены через новую переменную 0. Таким образом, при исполь-
использовании этой новой переменной сохраняется форма уравнения теплопроводности F.7),
но коэффициент температуропроводности х становится зависимым от в. В большинстве
случаев изменение х с температурой значительно менее важно, чем аналогичное
изменение К и, таким образом, с достаточным приближением можно считать х по-
постоянным. Например, для металлов, находящихся при температурах, близких к абсо-
абсолютному нулю, как /С, так и с приблизительно пропорциональны абсолютной темпе-
температуре. В таких случаях, если А не зависит от vt то уравнение F.11) принимает
тот же вид, что и F.7). Для случая постоянной теплопроводности можно сразу же
*) Несколько других методов для одномерного случая будет изложено в § 16
гл. II.
**) 0 является по существу потенциалом, градиент которого пропорционален
тепловому потоку [8].

20 ГЛ. L ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 6
получить решение, заменив v на 9, но при этом граничные условия должны опреде-
„ dv
ляться только v или л -5—; если они записываются в виде
on
¦%L + hv = 0,
дп '
где h — постоянная, то это замечание не имеет силы.
Случай установившегося теплового потока представляет особый интерес, так как
при А= const уравнение F.11) превращается в уравнение Пуассона, а при Л = 0 —
в уравнение Лапласа. Таким образом, решения задач об установившемся тепловом
потоке при теплопроводности, являющейся произвольной функцией температуры, и
с граничными условиями для температуры или теплового потока, можно непосред-
непосредственно получить из соответствующих решений для случаев постоянной теплопро-
теплопроводности.
Другую удобную форму уравнения легко получить, вводя переменную W — тепло-
теплосодержание единицы массы вещества, измеренное относительно некоторого произ-
произвольного нулевого значения температуры. Подставляя W в уравнение F.8), получим
dW д tKdv\ д („dv\ д (/rdv\ fil9
[K) + K)+K) + A FЛ2)
или, воспользовавшись соотношением F.10),
Ь?« <613>
где W связано с в каким-то определенным образом.
Введение величины W имеет ряд преимуществ при решении задач, в которых
учитывается скрытая теплота.
II. Источник тепла внутри твердого тела.
Случаи, когда внутри твердого тела имеется источник тепла, приобретают все
большее и большее значение в технике. Внутри твердого тела тепло может образо-
образовываться в результате следующих процессов: а) пропускание электрического тока,
б) диэлектрический или индукционный нагрев [9—12]; в) радиоактивный распад
([13, 14]; см. также библиографию к гл. II и IX); г) поглощение излучения *), д) пере-
переход механической энергии в тепловую при вязких или пластических деформациях;
е) химические реакции ([71], гл. VIII; см. также библиографию к гл. XV настоя-
настоящей книги), в том числе ряд самых различных процессов, начиная от гидратации
цемента [15—19] **) и кончая созреванием яблок [20].
Во всех случаях, кроме последнего, количество выделяемого тепла в первом
приближении не зависит от v\ в более точном приближении оно обычно соответствует
формуле
A +b F.14)
где а и b — постоянные, которые могут иметь любой знак ***).
Следует отметить, что уравнение F.7) с величиной А, соответствующей выра-
выражению F.14), можно точно решить многими способами (см. § 14 гл. I и § 7 гл. XV).
Количество тепла, выделяющегося в результате химической реакции нулевого
порядка, обычно рассчитывают по формуле Аррениуса
_А
А = Аое Т> F.15)
*) Например, инфракрасные лучи сильно поглощаются слогм сетчатки глаза
и могут повысить ее температуру до величины, вполне достаточной, чтобы повре-
повредить глаз.
**) В первом приближении количество выделяемого в этом случае тепла можно
записать в виде ke~at, причем количество тепла, выделенного 1 г цемента в тече-
течение 3 дней, примерно равно 50—100 кал\ это позволяет принимать важнейшие техни-
технические решения, в частности при проектировании больших дамб.
***) Как известно, для большинства веществ температурный коэффициент элек-
электрического сопротивления положителен и, следовательно, Ь в соотношении F.14)
положительно; однако для некоторых материалов, в частности для графита и для
расплавленных солей, Ь отрицательно. Значения b оказываются также отрицательными
в задачах о диффузии с одновременно протекающей химической реакцией. Помимо
этого, соотношение F.14) с отрицательной величиной b служит грубым приближе-
приближением для случая тела, отдающего тепло жидкости, циркулирующей в решетчатой
системе трубок [21].

§ 7] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 21
где Ао и k—постоянные, а Т — абсолютная температура [22—24]. Для реакций более
высокого порядка следует использовать аналогичное, но более сложное выражение.
В некоторых случаях его находят экспериментально, и оно имеет вид *)
А = AQ exp (bv).
Для всех описанных выше случаев не существует аналитических решений, и поэтому
следует применять численные методы. Выражением F.14) можно пользоваться как
самым грубым приближением, но, по-видимому, точные решения очень сильно отли-
отличаются от перечисленных приближений.
III. Эффекты термического расширения.
Уравнение F.3) выведено в предположении, что в результате деформации
твердого тела работа не совершается, и поэтому с является удельной теплоемкостью
только при постоянной деформации. Если напряжения в твердом теле вызывают
деформацию, т. е. совершается работа, то это надо учесть, соответственно изменив
уравнение F.3). Если возможно неограниченное расширение при постоянном давле-
давлении, то уравнение F.3) все еще имеет силу при условии, что с считают равным ср, т. е.
удельной теплоемкости при постоянном давлении. Если же это расширение ограничено,
то в уравнении появляются дополнительные члены. Так, в случае напряжений, обу-
обусловленных, например, гидростатическим давлением /?, в правую часть уравнения F.3)
следует добавить член
где Т — абсолютная температура, а— термический коэффициент линейного расшире-
расширения, а под с в уравнении F.3) следует понимать ср, т. е. теплоемкость при постоян-
постоянном давлении. Общий случай напряжений разобран в работах [28, 29] **).
§ 7. Дифференциальное уравнение теплопроводности
для движущейся среды
Рассмотрим сначала твердое тело, движущееся со скоростью, компоненты кото-
которой равны иХУ Uy, uz. При вычислении теплового потока через произвольную пло-
плоскость к тепловому потоку в неподвижном теле следует добавить член, обусловлен-
обусловленный конвекцией, с составляющими pcvux, $cvuyy $cvuz. Тогда компоненты вектора
теплового потока можно записать в виде
/г = — К -gj + ?CVUX, fy = — К -jj- + fCVUy, /г=—К-?. + ?CVUZ. G.1)
Подставив эти величины в уравнение F.3), получим для случая постоянного К и
отсутствия источника тепла внутри тела следующее выражение ***):
dv . dv , dv . dv _„ Л ,-n.
dt ' х дх ' у ду ' z dz y '
Уравнение G.2) можно записать в виде
%l—*V*v-0, G.3)
где D/Dt обозначает так называемую субстанциональную, или полную, производ-
производную [37]. Если внутри твердого тела имеется источник, выделяющий в единице
объема в единицу времени количество тепла, равное А, т. е. источник мощностью Д
то к правой части уравнения G.3) нужно добавить член —.
*) Такое соотношение встречается при решении некоторых химических задач [25],
а также в теории теплового пробоя диэлектрика [26—27] (см. также § 7 гл. XV).
**) Эффект увеличения потенциальной энергии вследствие сжатия был впервые
исследован Дюамелем [30].
***) Подобное обсуждение применительно к жидкости было проведено Вильсо-
Вильсоном [31], который решил ряд интересных задач, связанных с установившимися распре-
распределениями температур. Следует также указать на некоторые другие работы [32,33,34].
Известен целый ряд точных решений для случая ламинарного течения вязких жидко-
жидкостей, в частности для течения в трубе при пуазейлевском распределении скоро-
скоростей [35,36].

22 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 7
Следует отметить, что уравнение G.2) можно получить путем преобразования
системы координат к системе, движущейся со скоростью {их, иу, uz), в отношении
которой справедливо обычное уравнение теплопроводности F.4).
Вывод уравнений теплопроводности для случая течения сжимаемой жидкости
будет изложен в сокращенном виде, так как эта задача аналогична задаче о тепло-
теплопроводности в деформируемом твердом теле [38, 39]. Ясно, что термодинамические
н гидродинамические величины, встречающиеся в наших исследованиях, должны
быть определены совершенно точно. В дальнейшем мы будем использовать плот-
плотность р, абсолютную температуру Т и внутреннюю энергию единицы массы U. Кроме
того, мы введем подстрочные индексы, например, примем для координат обозначения xit
где / = 1, 2, 3; повторение индексов означает, что нужно производить суммирование;
например, в выражении G.4) Ify означает 1ХЬХ -f- 1?г + h^z- Воспользуемся формулой
Грина*) [37, 40], согласно которой, если функции ^ (/== 1, 2, 3) и их первые произ-
производные внутри замкнутой поверхности «S являются непрерывными функциями jt/, то
//•*«-///¦&*¦
где 1[ (/=1, 2, 3) — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, левая
часть — двойной интеграл по поверхности «S, а правая часть — тройной интеграл
по объему, ограниченному этой поверхностью.
Пусть «S — некоторая малая замкнутая поверхность в жидкости, причем объем,
ограниченный указанной поверхностью, всегда содержит одни и те же частицы
жидкости. Обозначим элемент этой поверхности через dS, а элемент объема, ограни-
ограниченного поверхностью «S, через dz. Сохранение массы р^в произвольном элементе
объема dz означает, что
Dt
Как показал Ламб [37], соотношение G.5) приводит к уравнению неразрывности.
Пусть Xi — сила, отнесенная к единице массы, Ец— тензор напряжений, а щ —
компоненты скорости; тогда уравнение движения для указанного элемента можно
записать в виде
/=1,2,3, G.6)
где поверхностные и объемные интегралы берутся соответственно по всей поверх-
поверхности 5 и по всему ограниченному ею объему.
Используя соотношения G.4) и G.5), уравнение G.6) можно записать в форме
Согласно первому закону термодинамики для указанного элемента получим
IfffXlUldx+f IEijUiljdS~ff fihdS> G'8)
где /(— компоненты вектора теплового потока на поверхности S, т. е.
/ K ' 123
G9)
При использовании соотношений G.4), G.5) и G.7) уравнение G.8) приобретает
следующий вид:
*) В русской литературе эту формулу называют формулой Остроградского.
Прим. ред.)

§ 8] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 23
где eij — компоненты тензора скоростей деформации, т. е.
Вц = ~ рЬи + 2{х ( ец - у hjekk) . G.12)
Уравнение вязкости дает связь между Ец и ец, а именно
Вц = ~ рЬи + 2{х ( ец - у hjekk) .
fO при *=?./,
еде р — гидростатическое давление, fx — коэффициент вязкости, а Ъу = < . . —
^ 1 при / = j
символ Кронекера. Используя G.12) и G.9), можно записать уравнение G.10) в виде
?;)- GЛЗ)
совпадающем по форме с уравнением G.3).
Первые двд члена в правой части соответствуют теплу, выделяемому вследствие
процессов сжатия и трения в жидкости, третий член представляет собой обычную div/.
Б левой части G.13) стоит р D , заменяющее величину ?c—jjt b уравнении G.3).
Разумеется, можно выполнить дальнейшие преобразования уравнения G.13), основан-
основанные на термодинамике; в частности, его можно выразить через энтропию.
§ 8. Преобразование координат
Приведенные выше уравнения можно легко преобразовать к другим
системам ортогональных координат *). Наиболее удобными из них являются
сферические координаты, в которых положение точки определяется расстоя-
расстоянием г от начала координат, широтой б и азимутом ср, а также цилиндри-
цилиндрические координаты, в которых положение точки определяется полярными
координатами (г, 6) ее проекции на плоскость (лг, у) и координатой z.
Эти системы координат являются частными случаями общей системы
ортогональных координат, в которой положение точки задается пересечением
трех ортогональных поверхностей
? = const, у\ = const, С = const.
Покажем теперь, как легче всего осуществить это преобразование.
Рассмотрим элемент объема, ограниченный поверхностями k±d?, v\± di\%
С ± rfC, и допустим, что A'B'C'D' и ABCD лежат на поверхностях ? ± d{.
Пусть уравнение
ds2 = X2 d$ -f- [х2 dr? + v rfC2
определяет длину элементарной дуги, соединяющей точки (?, т], С) и
C + Q
^ + Q
Тогда площадь участка поверхности ?, вырезаемого поверхностями
=7] ± d-q и С ± d(> в точке Я(?, у\, С), равна
а количество тепла, протекающее через эту площадку в единицу времени,
равно
где Д — величина теплового потока через поверхность $ в точке Р.
*) В настоящей книге мы не будем рассматривать эллиптические координаты.
Эллиптический цилиндр рассмотрен в работах Мак-Лахлана [41, 42]. Область, огра-
«иченная изнутри эллиптическим цилиндром, рассмотрена в работе Трантера [43].
Вопрос об эллипсоидах изложен в работах [44, 45].

24 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 8
Следовательно, количество тепла, втекающее в элемент объема через
поверхность ABCD, окончательно равно
4 {^Д_^(
а количество тепла, вытекающее через поверхность A'B'C'D', равно
Отсюда полный прирост количества тепла в элементе объема, обусло-
обусловленный тепловым потоком через эти две поверхности, равен
Для остальных поверхностей получим соответственно
и — S-
Подставляя вместо Д, / , /с их выражения, а именно:
К dv , _ К dv _ К dv
и приравнивая сумму полученных таким образом выражений величине
8Xp,v dt dri d(,cp -^-,
находим
» /^ dv \ , d ( v\ ,. dv
к
Если К — постоянная и, как обычно, мы можем написать, что х = —, то
это соотношение принимает следующий вид:
Сферические координаты. В этой системе
jc = rsin6 coscp,
у — г sin Gsincp,
z = г cos б
и
ds2 = dr2 H- r2db2 + г2 sin20 df.
Таким образом, уравнение для v принимает следующий вид:
L д (cinfi dv
dt—гПдгУ dr)^ smO
Его можно написать так:
dv _ rd*v , 2 dv , 1 д(п ..2Ч dv \ , 1
' (8-3)
где t* = cos0.
Цилиндрические координаты. В этой системе
х = г cos 6, у = г sin 6

§ 9] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 25»
и
Таким образом, уравнение для v принимает следующий вид:
dv х г д ( dv \ , д (I dv \ д ( dv
Его можно записать иначе:
dv \d2v , 1 dv , 1 d2v
§ 9. Начальные и граничные условия
Прежде чем приступить к математическому рассмотрению задач теории
теплопроводности, необходимо сформулировать начальные и граничные усло-
условия, которым должна удовлетворять температура. Эти условия определяются?
частично непосредственными результатами экспериментов, а частично мате-
математической трактовкой гипотез, основанных на этих результатах.
Пусть внутри твердого тела температура v является непрерывной функ-
функцией х, у, z и t\ пусть ее первая производная по t и первые и вторые про-
производные по х, у и z также непрерывны. Указанные предположения не рас-
распространяются на границу твердого тела, а также на некоторый момент
времени, с которого, как предполагается, начинается поступление тепла.
I. Начальные условия.
Предполагается, что в некоторый момент времени, принятый нами за на-
начало отсчета координаты t, температура по всему телу задана произвольно.
Если эта произвольная функция непрерывна, то мы должны найти такое
решение задачи, которое по мере приближения t к нулю стремилось бы к за-
заданной величине. Другими словами, если начальная температура задана в виде
v = f(x, у, z),
то наше решение уравнения
dv
должно быть таким, чтобы для всех точек твердого тела выполнялось условие
\im(v) = f(x, у, г).
Если начальное распределение температуры разрывно в некоторых
точках или на поверхностях, то эти разрывы должны исчезнуть через
очень короткое время, и тогда наше решение должно стремиться к задан-
заданной величине начальной температуры во всех точках, где распределение
непрерывно.
II. Граничные условия, или условия на поверхности.
Перечислим условия на поверхности, обычно встречающиеся в теории
теплопроводности.
А. Задана температура на поверхности. В этом случае темпера-
температура может быть либо постоянной, либо зависеть от времени, либо от поло-
положения, либо, наконец, зависеть и от времени и от положения. Подобный
случай граничных условий наиболее прост и уже достаточно хорошо изучен.
Следует, однако, отметить, что на практике часто очень трудно задать
температуру на поверхности, и поэтому существующие в действительности-

26 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 9
условия лучше всего описываются граничными условиями, рассматриваемыми
« пункте Г (см. ниже).
Б. Отсутствует тепловой поток через поверхность исследуемого
тела, т. е. во всех точках поверхности имеет место соотношение
dv -О
где д/дп обозначает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверх-
«ости.
В. Задан тепловой поток через поверхность.
Г. Теплопередача на поверхности линейна или происходит теп-
лообмен «излучением» по закону Ньютона,
Если тепловой поток через поверхность пропорционален разности тем-
лератур между поверхностью и окружающей ее средой, то он равен
H(v — v0), (9.1)
где v0 — температура среды, Н — константа; тогда граничные условия запи-
записываются в виде
^ — *0) = 0. или -*! + *(* —*0) = 0. (9.2)
где
*=х- (9-3)
Если h —> 0 *), то указанные условия обращаются в граничные условия типа
Б, если же Л—>оо, то они обращаются в условия типа А.
Величина Н была названа внешней, или поверхностной, теплопровод-
теплопроводностью, но теперь ее обычно называют коэффициентом поверхностной
теплопередачи или теплоотдачи **). Очень часто удобно пользоваться вели-
величиной поверхностного термического сопротивления, отнесенного к еди-
единице площади, т. е. величиной, обратной Н, /? = —.
Если к тому же задан тепловой поток F на поверхности, то выраже-
выражение (9.2) примет следующий вид:
i) O. (9.4)
Соотношение (9.4) совпадает с соотношением (9.2), в котором v0 заменено
77
Это граничное условие называется в классических работах граничным
условием при теплообмене излучением (см. соотношение (9.12)). Однако
в действительности такое название приводит к некоторому заблуждению,
так как, когда речь идет о передаче тепла излучением, тепловой поток про-
пропорционален четвертой степени абсолютной температуры; все же, ради крат-
краткости, в настоящей книге мы обычно будем определять граничное условие
Г как «теплообмен излучением в среду с температурой z;0» вместо громозд-
*) Всегда подразумевается, что h > 0; случай h < 0 соответствует наличию источ-
источника тепла, причем количество поступающего на поверхность тепла пропорционально
^е температуре. Математические решения для случая h > 0 обычно не действительны
для случая h = 0.
**) С нашей точки зрения, наиболее подходящим названием величины Н является
-«коэффициент теплообмена». В дальнейшем мы всюду будем называть величину Н
•коэффициентом теплообмена. (Прим. перев.)

§ 9] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 27
кого, но более точного «линейная теплопередача в среду с температурой v0».
Иногда это условие называют законом Ньютона, так как закон Ньютона го-
говорит, что при охлаждении тела обдувом (т. е. в условиях вынужденной кон-
конвекции, см. ниже) количество теряемого тепла выражается соотношением (9.1).
Ниже будет кратко изложено несколько различных физических явлений, при
которых тепловой поток через граничную поверхность выражается соотношением
<9.1). В каждом случае дается несколько численных значений, что позволяет грубо
оценить порядок величины Н для практических задач; точные значения И можно
найти в работах по теплопередаче [35, 36, 46, 47].
/. Вынужденная конвекция. Экспериментально установлено, что если жидкость
{или газ) с температурой v0 быстро движется по поверхности твердого тела, то коли-
количество тепла, теряемого с его поверхности, выражается формулой (9,1), причем коэф-
коэффициент теплообмена Н зависит от скорости движения и природы жидкости, а также
от формы поверхности. Большинство экспериментов было проведено с жидкостью,
движущейся внутри трубок с круговым сечением, и с жидкостью, обтекающей цилин-
цилиндры с круговым сечением в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. На осно-
основании полученных результатов были найдены соотношения, приближенно определяемые
-степенными законами следующих типов:
Для случая турбулентного течения воздуха со скоростью и см/сек внутри трубки
диаметром d см находим
И = 5,5.10-6и0'8<*-0'2 кал/см2. сек °С; (9.5)
для воды в аналогичном случае было получено такое же выражение, но большее
в 500—1000 раз.
Для случая турбулентного течения воздуха со скоростью а, направленной пер-
перпендикулярно оси цилиндра с диаметром сечения d см, находим
Н = 8 • 10- 5 i^j) 2 кал/см2 • сек °С; (9.6)
для воды эта величина оказывается примерно в 100 раз больше.
Очевидно, что во всех случаях потеря тепла с единицы поверхности в единицу
времени значительно увеличивается с уменьшением диаметра цилиндра. Для плоской
поверхности величина И имеет тот же порядок, что и для цилиндра очень большого
диаметра.
Зависимость типа (9.1) приближенно справедлива для случая теплопередачи
в результате комбинации вынужденной конвекции и испарения.
2. Случай тонкой оболочки из плохо проводящего материала. Очень часто
оказывается, что на поверхности тела имеется тонкая пленка плохо проводящих
материалов, например окалины (накипи), смазочных масел, окислов. Кроме того, при
охлаждении тела газом или жидкостью, текущей по его поверхности, к последней
обычно прилипает тонкий слой невозмущенной жидкости, а так как этот слой не
движется, то отдаваемое им количество тепла относительно мало.
Если теплопроводность указанной пленки толщиной d равна К' и если в каче-
качестве первого приближения мы пренебрежем ее теплоемкостью *), то количество тепла,
протекающего через эту пленку, отнесенное к единице площади в единицу времени,
равно
~(v-v0), (9.7)
где v и v0 — температуры на внутренней и наружной стороне пленки соответственно.
Это соотношение равносильно граничному условию
*-?+4-(v-v<>)=() (9-8)
для среды с внутренней стороны пленки.
*) Это эквивалентно отбрасыванию члена dv/dt в уравнении теплопроводности;
тогда мы имеем случай установившегося течения, для которого справедливо выра-
выражение B.1). Было показано [48], что во втором приближении, в котором учитывается
теплоемкость пленки, мы получим граничное условие типа (9.14) (см. также § 8
гл. XII).

28
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[§
Ниже приводятся значения*) K'/d в единицах СГС и градусах Цельсия для
слоев различных веществ разной толщины.
Вещество
Воздух . . .
Вазелин . . .
Вода ....
Ртуть1) . . .
Теплопроводность при разной толщине слоя, d
1 см
0,000053
0,00044
0,00144
0,020
0,1 см
0,00053
0,0044
0,0144
0,20
0,01 см
0,0053
0,044
0,144
2,0
0,001 см
0,053
0,44
1,44
20
1) Слой ртути или амальгаму часто используют
для обеспечения хорошего теплового контакта.
Типичная толщина пленки накипи равна 0,1 см.
Если с внешней стороны пленки не поддерживается температура v0 и про-
происходит потеря тепла, величина которой равна произведению Н на разность между
v и температурой окружающей среды vu то граничное условие примет вид
1
(9.9)
Д. Теплопередача нелинейна. В большинстве практических задач тепловой
поток с поверхности не является линейной функцией разности температур между
этой поверхностью и окружающей ее средой. Однако для малых диапазонов темпе-
температур он может быть аппроксимирован зависимостью типа (9.1). Ниже приведены
типичные примеры.
/. Излучение черного тела. Твердое тело с абсолютной температурой Т, окру-
окруженное черным телом с абсолютной температурой TQt будет терять количество тепла,
отнесенное к единице поверхности и в единицу времени, равное
оЕ(Т*-Т§, (9.10)
где а — постоянная Стефана — Больцмана, а ? — относительная излучательная способ-
способность поверхности (степень черноты), т. е. отношение количества тепла, излучаемого
указанной поверхностью, к количеству тепла, излучаемого черным телом при той же
температуре.
Для полированных металлов величина Е меняется от 0,02 до 0,05; для оксидирован-
оксидированных металлов она примерно равна 0,6—0,7, для других веществ, например для кра-
красок, стекла, бумаги, древесины, она равна 0,7 — 0,9, для копоти, ламповой сажи и т. п.
она может достигать 0,98.
Подставляя численное значение величины с в (9.10), получим
1,37. Ю-12 Е (Т4 — Г*) кал/см2 • сек.
(9.11)
Если разность (Т—То) не очень велика, то в первом приближении находим
5,48. Ю-12ЕТ%(Т—Т0), (9.12)
а если 70 = 300°, то указанная величина становится равной 1,48 • 10"~4?G*—То).
Таким образом, применительно к этому случаю выражение (9.1) с константой И
является весьма приближенным, а если Т—То велико, то оно может даже привести
к серьезным ошибкам. Известно лишь несколько точных решений задач теплопро-
теплопроводности с точным граничным условием типа (9.10) **).
*) Обратная величина djK' называется термическим сопротивлением пленки.
Примеры использования этой величины см. в § 2 гл. III.
**) Егер [49] рассмотрел случай полуограниченного твердого тела с граничным
условием (9.11) или (9.13). Манн и Вольф E0] проанализировали общий случай, исполь-
использовав интегральные уравнения.

§ 9] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 29
В обычных условиях потеря тепла твердым телом обусловлена как конвекцией,
так и излучением, и поэтому в коэффициенте Н в выражении (9.1) должны быть
учтены оба эти фактора.
2. Естественная конвекция. Когда нагретое твердое тело окружено жидкостью,
то более нагретые части жидкости, находящиеся поблизости от тела, стремятся под-
подняться вверх и таким образом устанавливаются сети конвекционных токов. Такой
процесс называется естественной конвекцией. Экспериментально установлено, что
в данном случае количество тепла, теряемое твердым телом (с единицы площади
в единицу времени), пропорционально разности температур v — v0 между телом и
окружающей жидкостью в степени, приблизительно равной ^ • Например, для поверх-
поверхностей толщиной несколько сантиметров потеря тепла в воздух, отнесенная к еди-
единице площади в единицу времени, приближенно равна
5. Ю-5 (v — Vof4 кал/см2 . сек. (9.13)
Для очень тонких проволок, находящихся в воздухе, эта величина в 20 раз больше.
6 воде те же величины оказываются примерно в 100 раз больше.
Для этого случая, так же как и для случая теплопередачи излучением, нельзя,
пользуясь выражением (9.13), найти точные решения, и поэтому в выражении (9.1)
используется приближенная величина //. Следует отметить, что для тела, находяще-
находящегося в воздухе при нормальной температуре, соотношения (9.12) и (9.13) дают вели-
величины одинакового порядка и поэтому оба они могут быть использованы в расчетах.
Е. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью или с идеальным
проводником. В калориметрии и в других методах измерения, связанных
с теплопередачей, часто оказывается, что поверхность твердого тела сопри-
соприкасается с жидкостью, перемешиваемой настолько хорошо, что температура
жидкости всюду одинакова. Пусть твердое тело имеет теплопроводность К,
площадь поверхности 5 и температуру поверхности vt причем v сохраняет
постоянное значение на всей поверхности. Пусть, далее, хорошо перемеши-
перемешиваемая жидкость, соприкасающаяся с твердым телом, имеет массу М и удель-
удельную теплоемкость с', и пусть ее температура равна V. Для общности предпо-
предположим, что в жидкость с массой М поступает в единицу времени от внеш-
внешнего источника количество тепла Q и что потеря тепла вследствие излучения
в среду с температурой vQ (отнесенная к единице площади в единицу вре-
времени) составляет Hl(V — vQ). Если bV — увеличение температуры жидкости
с массой М за время bt, то мы можем написать
Qbt —HX(V — v0) bt — Kbt jj^dS = Mc'bV,
т. e.
ff^^ V-v0)-Q = 0. (9.14)
Если предположить, что с некоторого момента времени />0, темпера-
температура поверхности твердого тела равна температуре жидкости (при t — 0 они,
разумеется, могут быть не равны), то в дополнение к соотношению (9.14)
получим
v = V, t>0. (9.15)
Если же вместо этого между твердым телом и жидкостью имеет место
теплопередача по закону типа Г, то условие (9.15) заменяется другим,
а именно
K^ + H(v-V) = 0. (9.16)
Другие физические условия приводят к граничным условиям типа (9.14);
например, для случая, когда поверхность твердого тела соприкасается с хо-
хорошо перемешиваемой жидкостью массы Ж, из которой в единицу времени

30 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 9
удаляется масса т и замещается той же массой жидкости с температурой -ро>
находим
МС'ЧГ + К ff^rdS + mc'<y-v0) = 0. (9.17)
Такие же граничные условия (9.14), (9.15) и (9.16) имеют место для
идеально проводящего твердого тела с массой М. Если неметалл соприка-
соприкасается с металлическим проводником со значительно большей теплопровод-
теплопроводностью, то последний с достаточно хорошим приближением можно считать
идеальным проводником. Такая задача решается значительно проще, чем
задача для составной области.
Существенная разница между этими граничными условиями и условиями*
определенными в пунктах А, Б, В и Г, заключается в появлении члена dVjdt,
а в некоторых случаях — члена dv/dt. При использовании классических мето-
методов не всегда можно обойтись без их видоизменения, но преобразование
Лапласа, изложенное в гл. XII, одинаково пригодно для обоих случаев. В
этой главе будут приведены некоторые примеры *).
Ж. Поверхность раздела двух сред с различными коэффициен-
коэффициентами теплопроводности Кх и К2. Пусть vx и v2— температуры двух
сред. В § 3 данной главы было показано, что тепловой поток непрерывен
на поверхности раздела двух сред, т. е. что
*i4? = *.-&" (9.18)
где д/дп означает дифференцирование вдоль нормали к поверхности раздела.
Если предположить, что на поверхности раздела температуры обеих сред
одинаковы, то в добавление к соотношению (9.18) имеем
vx = v2. (9.19)
Это предположение справедливо только для очень тесного контакта, как,
например, в спаях; во всех других случаях, даже в двух оптически плоских
поверхностях, слегка прижатых друг к другу **), теплопередача между двумя
средами осуществляется главным образом согласно механизму, изложенному
в пунктах Г B) и ДA), т. е. тепловой поток между этими двумя поверх-
поверхностями пропорционален разности их температур и, следовательно,
^ -v2). (9.2Q)
Для этого случая граничными условиями служат соотношения (9.18) и (9.20)»
3. Контакт вещества с тонкой оболочкой из значительно лучшего провод-
пика. Подобная задача встречается прл изучении, например, тонкого металлического
листа или проволоки, соприкасающихся с относительно плохим проводником, таким,
как грунт, пищевые продукты или изолирующие материалы. Этот случай рассматри-
*) Задачи с граничными услозиями этих типов рассматривались в ряде работ
[51—61].
Авторы последних четырех работ использовали преобразование Лапласа,
остальные — классические методы. В работе [62] рассмотрен случай линейной зави-
зависимости количества жидкости от времени. Эти задачи имеют большое значение также
и для работ, связанных с диффузией (см. § 4.35 гл. IV книги Крэнка [71] и книгу
Бэррера [63]).
**) Якоб и Стар [64] измерили величину Н для оптически гладких поверхностей,
прижатых друг к другу в вакууме. Когда поверхности просто касаются, величина Н
очень мала, и теплопередача осуществляется только вследствие излучения; по мере
увеличения давления, прижимающего поверхности, растет и величина И. Например»
для серебряных поверхностей при давлении 2 кГ/см2 N = 0,07,

§ 10] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 3f
вается также в задачах о поверхностной диффузии или о диффузии по границам зере»
[65, 66] *). Предполагается, что оболочка настолько тонка, что по всей ее толщине,
равной dy температура в любой точке одинакова. Если V — температура в произволь-
произвольной точке оболочки, а К\ и %{— соответственно коэффициенты теплопроводности и
температуропроводности вещества оболочки, то уравнение теплопроводности для обо-
оболочки, выведенное из рассмотрения баланса тепла в элементе ее площади, записы-
записывается в виде
д& + дт? %, dt dKx дп ~~U'
где д/дп — обозначает дифференцирование по направлению внешней нормали к твер-
твердому телу, а д/дг и д/д-ц — соответственно по двум перпендикулярным ей напра-
направлениям.
При идеальном тепловом контакте между оболочкой и твердым телом граничные
условия имеют вид (9.21) и v= V. Если же между оболочкой и внутренней (ил»
внешней) средой происходит теплопередача по линейному закону, эти условия не-
несколько усложняются.
Для случая проволоки с радиусом а, расположенной вдоль оси г в твердом теле-
(г > а), соотношение (9.21) принимает вид
dz* x, dt + aKi dr
f922V
Если оболочка настолько тонка, что ее теплоемкостью можно пренебречь, то»
соотношение (9.21) записывается следующим образом:
JL_^-(> (9 23).
§ 10. Безразмерные параметры
Решение задач теплопроводности всегда можно выразить через безраз-
безразмерные параметры. Например, рассмотрим уравнение, описывающее линей-
линейный тепловой поток,
в области — /<а:</ с граничными условиями типа (9.2), а именно:
-з \-hv = 0, х = I; -5 /w?=0, jc = — L A0.2)
Положение точки х можно определить отношением
а время — величиной т:
которая, как было показано в § 6 данной главы, является безразмерной
величиной. Наконец, вместо h в граничном условии A0.2) тоже можно вос-
воспользоваться безразмерной величиной**)
L = lh. A0.5)
Решения задач, определяемых соотношением A0.Г), с граничными усло-
условиями A0.2) всегда можно выразить через три переменные ?, т, L вместо
*) Егер [65] рассмотрел случай хорошо проводящей проволоки, а Уипл [66] — слу-
случай плоского листа (см. также § И гл. XIV). В работе Уипла» кроме того, приведен
вариант вывода соотношения (9.21).
**) Величину х иногда называют модулем, или числом, Фурье, a Z. — числом Нус-
сельта. При изучении теплопередачи, обусловленной конвекцией, сталкиваются Ил
с другими важными параметрами подобного рода.

32 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§11
исходных величин /, х, х, t, h. Подобную замену всегда желательно проде-
проделать до выполнения численных расчетов. Впоследствии мы покажем, что для
очень многих случаев можно найти специальные формы решений, пригодные
для малых, средних и больших величин т.
Диапазон величин L и т, с которым приходится встречаться на практике,
огромен. При значении х = 0,01 (что соответствует плохому проводнику)
для тонких листов с толщиной, не превышающей 1 мм> т становится боль-
большим после 1 мин, тогда как для тела с размером Земли т остается малым
в течение целых геологических эпох (см. формулу A0.4).—Прим. ред.).
Написанное выше дифференциальное уравнение и граничные условия
можно выразить через безразмерные переменные. Например, подставив соот-
соотношения A0.3), A0.4) и A0.5) в A0.1) и A0.2), получим
d2v dv Л * . „ . * /in e\
^- = 0, —1<с<1, (Ю.б)
S^. + Lv = 0, когда 5=1 и ~--Lv = 0, когда $ = —1. A0.7)
Эта замена переменных привлекательна с чисто математической точки
зрения, так как она приводит к некоторому упрощению математических
выкладок. Однако в настоящей книге мы не будем ею пользоваться, ибо
¦физический смысл формул более ясен, если они выражены через исходные
физические переменные.
§ 11. Экспериментальные методы определения теплопроводности
Для измерения теплопроводности в прошлом использовалось очень много мето-
методов [67—69]. В настоящее время некоторые из них устарели, однако их теория и
сейчас представляет интерес, так как они базируются на решениях уравнений тепло-
теплопроводности для простых систем, которые часто встречаются в практике.
Прежде всего следует отметить, что термические свойства любого материала
проявляются в разнообразных сочетаниях; однако если рассматривать их как харак-
характеристики материала, то их можно определить из различных экспериментов. Пере-
Перечислим основные термические характеристики тел и эксперименты, из которых они
определяются: а) коэффициент теплопроводности /С, измеряемый при стационарном
режиме эксперимента; б) теплоемкость, отнесенная к единице объема, рс, которую
измеряют калориметрическими методами; в) величина (/СрсI/*, измеряемая при перио-
периодическом стационарном режиме экспериментов; г) температуропроводность х, изме-
измеряемая при нестационарном режиме экспериментов. В действительности большинство
экспериментов, проводящихся в нестационарном режиме, в принципе, допускает как
определение /С, так и определение %.
Мы кратко опишем здесь наиболее распространенные методы и укажем разделы,
в которых они рассматриваются. По существу эти методы делятся на те, в которых
измерения ведутся в стационарном режиме (методы стационарного режима), при пе-
периодическом нагреве и в нестационарном режиме (методы нестационарного режима);
далее они подразделяются на методы, применяемые при исследовании плохих про-
проводников и при исследовании металлов.
/. Методы стационарного режима; плохие проводники. В данном методе
следует точно выполнять условия основного эксперимента, изложенного в § 1 на-
настоящей главы, причем исследуемый материал должен иметь форму пластинки [70].
В других вариантах метода можно исследовать материал в виде полого цилиндра
<см. § 2 гл. VII) или полой сферы (см. § 2 гл. IX). Иногда исследуемый материал, по
которому проходит тепло, имеет форму толстого стержня, однако в данном случае
теория оказывается более сложной (см. §§ 1, 2 гл. VI и § 3 гл. VIII).
2. Термические методы стационарного режима; металлы. В этом случае
обычно используется металлический образец в форме стержня, концы которого под-
поддерживают при различных температурах. Полуограниченный стержень рассматри-
рассматривается в § 3 гл. IV, а стержень конечной длины — в § 5 гл. IV.

§ 12] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 33
3. Электрические методы стационарного режима; металлы. В этом случае
металлический образец в виде проволоки нагревают, пропуская через него электри-
электрический ток, а его концы поддерживают при заданных температурах (см. § 11 гл. IV
и пример IX § 3 гл. VIII). Можно использовать также случай радиального потока
тепла в проволоке, нагреваемой электрическим током (см. пример V § 2 гл. VII).
4. Методы стационарного режима; движущиеся жидкости. В этом случае
измеряется температура жидкости, движущейся между двумя резервуарами, в кото-
которых поддерживается различная температура (см. § 9, гл. IV).
5. Методы периодического нагрева. В этих случаях условия на концах стержня
или пластинки изменяются с периодом Т\ по достижении установившегося состояния
измеряют температуры в определенных точках образца. Случай полуограниченного
стержня рассматривается в § 4 гл. IV, а стержня конечной длины — в § 8 той
же главы. Подобный метод используется для определения температуропроводности
грунта при температурных колебаниях, вызываемых солнечным нагревом (см,
§ 12 гл. II).
В последнее время эти методы стали играть важную роль в измерениях низких
температур; они обладают также тем преимуществом, что в теории относительно
сложных систем можно пользоваться методами, разработанными для исследования
электрических волноводов (см. § б гл. II).
6. Методы нестационарного режима. В прошлом методы нестационарного
режима использовались несколько меньше, чем методы стационарного режима. Их
недостаток заключается в трудности установления того, насколько действительные
граничные условия в эксперименте согласуются с условиями, постулируемыми тео-
теорией. Учесть подобное расхождение (например, когда речь идет о контактном сопро-
сопротивлении на границе) очень трудно, а это более важно для указанных методов, чем
для методов стационарного режима (см. § 10 гл. II). Вместе с тем методы нестацио-
нестационарного режима сами по себе обладают известными преимуществами. Так, некоторые
из этих методов пригодны для проведения очень быстрых измерений и для учета
малых изменений температуры; кроме того, ряд методов можно использовать «на
месте», без доставки образца в лабораторию, что весьма желательно, особенно при
исследовании таких материалов, как грунты и горные породы. В большинстве старых
методов используется лишь последний участок графика зависимость температуры
от времени; при этом решение соответствующего уравнения выражается одним
экспоненциальным членом. В § 7 гл. IV, § 5 гл. VI, § 5 гл. VIII и § 5 гл. IX рас-
рассматривается случай охлаждения тела простой геометрической формы при линейной
теплопередаче с его поверхности. В § 14 гл. IV рассматривается случай нестацио-
нестационарной температуры в проволоке, нагреваемой электрическим током. В некоторых
случаях используется весь график изменения температуры в точке (см. § 10 гл. II
и § 3 гл. III).
В последние годы все большее внимание уделяют возможности одновременного
определения К и % из одного эксперимента. В одном из таких методов измерялась
некоторая величина, которая в конце концов начинала линейно увеличиваться со
временем (например, количество тепла, проходящее за время t через пластину,
поверхность которой имеет постоянную температуру) и из параметров этой линей-
линейной асимптоты определялись /Сих (см. пример II § б гл. XII и § б гл. XV). В дру-
другом методе использовался нагревающийся зонд, температура которого в конце концов
изменялась линейно относительно \nt (см. § 7 гл. XIII).
§ 12. Математическая интерпретация начальных
и граничных условий
При математическом рассмотрении граничные и начальные условия не следует
рассматривать как условия, которым температура v обязана удовлетворять на самой
поверхности или в момент времени t = 0. Их следует считать предельными условиями.
Граничные условия нужно понимать в том смысле, что для фиксированного t > 0
данная комбинация температуры и ее производных стремится к заданной величине
при приближении точки к поверхности. Начальные условия следует понимать в том
смысле, что для фиксированной точки внутри определенной области температура
должна стремиться к заданной величине по мере того, как t стремится к нулю.
Для примера рассмотрим задачу, которую можно кратко сформулировать сле-
следующим образом. Пусть теплообмен происходит в области 0 < х < I. Темпера-
Температура в точке х = 0 поддерживается на нуле для t > 0, а при х = I происходит
теплообмен со средой нулевой температуры. Начальная температура твер-
твердого тела равна единице. При этом уравнения, которые должны удовлетворяться,
3 Г. Карслоу, Д. Егер

34 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§13
записываются в виде
v->0 при .* -> О для фиксированного t > 0;
-^--|-/ш->0 при jc->/—0 для фиксированного t > 0;
с/ -> 1 при / -> 0 для фиксированного х в области 0 < х < L
§ 13. Родственные дифференциальные уравнения
3 сущности вся эта книга посвящена решению уравнений
div/+Pc-|^ = A A3.1)
/= — Kgradv, A3.2)
или
"-т тг~4 «'•*
для областей различных форм с граничными условиями, обычно выраженными через
v и /. Величины /(, р и с обычно являются константами, а Л может зависеть от поло-
положения или от времени.
Запишем несколько обобщений выражения A3.3), а именно:
где Uy А и В — константы. Эти выражения уже встречались в §§ 6 и 7 данной главьи
Как отмечалось ранее, случаи зависимости термических параметров /С, с и т. п. от v
приобретают все большее значение, хотя эти функции все еще плохо изучены для
достаточно большого диапазона изменения v.
Те же уравнения и те же граничные условия встречаются в целом ряде других,
разделов физики, и поэтому в них часто удается использовать многие из приведен-
ных здесь решений (с изменением обозначений). Вместе с тем имеется много задач,,
имеющих практическое значение, которые мало отличаются от типовых. Некоторые?
основные приложения приведенных соотношений будут кратко изложены ниже.
I. Диффузия.
Это явление подробно рассмотрено в работах Крэнка [71], Бэррера [63] и Джо-
ста [72]*). Если С — концентрация диффундирующего вещества, a F—скорость его
передачи, то соотношения A3.1) и A3.2) принимают вид
divF = — -^ и F = — D grad С. A3.6>
Если D — константа, то уравнения диффузии совпадают с уравнениями тепло-
теплопроводности при # = x=D и, следовательно, задача упрощается. На поверхности
раздела двух сред соотношения (9.18) и (9.19) принимают вид
где k — константа, i Итак, результаты, полученные ниже для составной среды, также-
можно отнести к этому случаю, соответствующим образом изменив обозначения.
Уравнения типов A3.4) и A3.5) используются значительно чаще. Например, они
встречаются в задачах диффузии, происходящей одновременно с химической реакцией
(см. [7Г] гл. VIII, [7 6]), в исследованиях, связанных с диффузией в биологических
тканях [77], в теории консолидации почв [78] и в генетике. Задачи одновременной»
диффузия тепла и водяного пара приводят к системе двух дифференциальных уравне-
уравнений (см. [71], гл. X III, [79]).
*) Много задач, приводящих к уравнению диффузии, рассмотрено в работе Бэб-
бита [73]. Целый ряд приложений этого уравнения к физиологии описан в [74, 75].

§ 14J гл- L ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 35
II. Диффузия в силовом поле; седиментация.
В этих задачах мы получаем уравнение типа *)
-i-
где U—постоянный вектор. Указанное уравнение по существу представляет собой
уравнение теплопроводности A3.5) для движущейся среды.
III. Замедление нейтронов.
При некоторых предположениях указанная задача сводится к задаче теплопро^
водности [84, 85]; при ее решении обычно пользуются функцией Грина.
IV. Вязкое движение.
Уравнение теплопроводности встречается в двух родственных, но несколько
отличающихся друг от друга задачах. Во-первых, многие задачи одномерного ламинар-
ламинарного течения приводят непосредственно к уравнению A3.3) с одной переменной [37].
Во вторых, дифференциальные уравнения, описывающие вихревые движения, являются,
уравнениями типа уравнения диффузии [37, 86, 87].
V. Задачи, рассматриваемые в теории электричества.
Дифференциальное уравнение для потенциала в безындуктивной линии пере-
передачи [88] имеет форму A3.4) с одной пространственной переменной при наличии
утечки или форму A3.3) при отсутствии утечки (см. также § 6 гл. II).
VI. Течение жидкостей через пористую среду.
Дифференциальное уравнение, характеризующее течение сжимаемой жидкости че-
через пористую среду [89] **), полностью соответствует уравнению A3.3). Это уравнение »
уравнения A3.4) и A3.5) встречаются во многих других задачах этого типа [90, 91]-
§ 14. Упрощение общей задачи теплопроводности
В данном параграфе будет изложено несколько классических методов,,
которые приводят общие задачи теплопроводности к более простым. Следует
отметить, что при использовании преобразования Лапласа (см. гл. XII—XV)
применять их не нужно, так как все задачи решаются одним и тем же спо-
способом.
I. Условия на поверхности, не зависящие от времена.
Предположим, что требуется удовлетворить уравнению
V2v-±-^- = A(x, у, г) A4.1)
внутри твердого тела при v = f(x. z) в начальный момент и v = <p(x, у, z}
на поверхности. Пусть
v = u + w% A4.2)
где и является функцией только х, у, z и удовлетворяет уравнению
V2u = А(х, у, z) внутри твердого тела A4.3)
и
м=ср(л:, у, z) на его поверхности, A4.4)
a w есть некоторая функция х, yf z, t, которая удовлетворяет уравнениям
V2w -^- = 0 внутри твердого тела, A4.5)
w = f(x, у, z) — и в начальный момент A4.6)
и
«о> = 0 на поверхности. A4.7)
*) В работах [80] — [83] приведено уравнение диффузии ионов в ионосфере»
**) В гл. X цитируемой книги [89] приведено множество-решений задач такого
типа, в том числе задач для линейного источника и цилиндрических поверхностей
раздела.

36 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 14
Ясно, что v, заданная выражением A4.2), удовлетворяет всем условиям
задачи и, таким образом, решение последней сводится к решению двух задач.
Одна соответствует случаю установившейся температуры, а другая—случаю не-
неустановившейся температуры при заданной начальной температуре и нулевой
температуре на поверхности. Случай линейной теплопередачи с поверхности
в среду при постоянной температуре можно упростить подобным же образом.
II. Условия на поверхности являются заданными функциями вре-
времени. Источники тепла отсутствуют.
В данном случае решение можно вывести из решения задачи для по-
постоянных условий на поверхности, используя для этой цели теорему Дюа-
меля [92], которая формулируется следующим образом.
Если v — F(xt у, z, X, t) соответствует температуре в момент
времени t в точке {х, у, г) твердого тела, начальная температура ко-
торого равна нулю, а температура на поверхности равна ср(лг, у, z, X),
то решение задачи в случае начальной температуры, равной нулю,
и температуры на поверхности, равной ср(лг, у, z, t), записывается
в виде
, у, zt X, t — \)d\.
Приведем доказательство этой теоремы.
Если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени
от ? = — оо до * — 0 и равна ср (л:, у, z, X) в промежуток от t == 0 до t = t,
то можно сказать, что начальная температура равна нулю, а температура
на поверхности равна ср(л:, у, z, X) и, следовательно, в момент времени t
температура тела v равна следующей величине:
v = F(x, у, z, X, t) для t > 0.
Таким образом, если температура на поверхности равна нулю в проме-
промежуток времени от * =— оо до *=Х и равна ср(лг, у, z, X) в промежуток
от ? = Х до t — t, то для ?>Х можем написать
v = F(xt у, г. X, t— X).
Кроме того, если температура на поверхности равна нулю в промежуток
времени от t = — оо до t = l~\-d\ и равна ср(лг, у, z, X) в промежуток
от ? = Х-|-Л до t = t, то для ?>Х—(~rfX получим
v = F(x, у, z, X, t — 1 — dl).
Отсюда следует, что если температура на поверхности равна нулю
в промежуток времени от t = — оо до t = Х, равна ср (л:, у, z, X) в проме-
промежуток от ?=Х до ? = X-|-dX и равна нулю в промежуток от ?=X-|-dX
до t = t, то мы получим
v — F(x, у, z, X, t — X) — ^(л:, у, z, X, t — X — rfX),
или окончательно
д
Таким путем, разбивая интервал от ? = 0 до t = t на малые интервалы
и затем суммируя полученные результаты, мы находим решение задачи для
случая температуры на поверхности, равной ср(х, у, z, t), в виде
v =
о

§ 14] гл. i. общая теория 37
Соответствующая теорема для случая теплообмена с поверхности по ли-
линейному закону формулируется следующим образом.
Если v = F(x, у, z, X, t) соответствует температуре в момент
времени t в точке (х, у, z) твердого тела, начальная температура
которого равна нулю, а на поверхности происходит теплообмен со
средой, имеющей температуру ср(лг, у, z, X), то решение задачи в случае
начальной температуры, равной нулю, и температуре среди, равной
ср (л:, у, z, t), записывается в виде
v-= f-^-F(x, у, z, X, t — l)dl. A4.9)
о
Если температура на поверхности или температура среды, с которой
происходит теплообмен, не изменяется от точки к точке, а зависит только
от времени, то получаемые результаты можно сформулировать в следующей
несколько более простой форме.
Если v = F(x, у, z, t) соответствует температуре в момент вре-
времени t в точке (х, у, z) твердого тела, начальная температура ко-
торого равна нулю, а поверхность поддерживается при температуре,
равной единице (или в случае теплообмена поверхности с окружающей
средой последняя имеет температуру, равную единице), то решение
задачи при условии, что поверхность поддерживается при темпера-
температуре <p(t) (или что происходит теплообмен со средой, имеющей тем-
температуру ср(?)), записывается в виде
v= f9(X)-LF(x, у, z, t — \)d\. A4.10)
Это соотношение сразу же получается из приведенного выше, так как
F(x, у, z, X, t) принимает более простую форму
F(x, у, z, 0?(Х).
Возвращаясь снова к общей задаче с переменной температурой на по-
поверхности, попытаемся решить уравнение A4.1) при v = f(x, у, z) в на-
начальный момент и v = y(x, у, z, t) на поверхности. Ему удовлетворяет
функция v = u-\-w, где
V'«—1^=Л(х. у, z), A4.11)
u = f(x, у, z) в начальный момент, A4.12)
и = 0 на поверхности A4.13)
<и; = 0 в начальный момент, A4.15)
«а; = ср (лг, у, z, t) на поверхности. A4.16)
Уравнения для w мы только что разобрали, а уравнение для и мы рас-
рассмотрели в примере I. Задачи с другими граничными условиями можно разо-
разобрать аналогичным способом.

38 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 14
В самом деле, уравнение A4.8) справедливо и в более общих случаях, чем ука-
указано выше. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение
<* >¦ * <>-"?• <Ш7>
причем К\У К2у Кг> К4 и рс могут быть функциями х> у, z. Согласно §§ 6 и 17 дан-
данной главы это уравнение является уравнением теплопроводности *) для неоднородного
анизотропного .твердого тела, в котором в единице объема в единицу времени вы-
выделяется количество тепла, равное А (ху у, г, t). Предположим, что граничные условия
записываются в виде
dv , , dv , , dv , , , ,ч /1il1OY
+k+ks-^ + ktV^glx, yt z,t)t A4.18)
где ku ..., kA — функции только х, у и z. Предположим также, что начальное усло-
условие имеет вид
v -><p (jc, у, z) при *->0. A4.19)
Теперь пусть F (jc, yy z, X, f) служит решением той же задачи, но при условии,
ято A (jc, у, z, t) и g (х, у, z, t) заменены А (ху у, z, \) и g (jc, yt z, X), т. е. зна-
значениями этих функций при t = X. Тогда решение **) уравнений A4.17), A4.18) и A4.19)
записывается в виде
t
х/(лг, у, z, 0 = -^-У F(*. У> *, К t-\)d\ =
fF{x9y,z,l,t — \)dkt A4.20)
т. е. в такой же форме, как и уравнение A4.8) при <р (xt yt z) = 0. Следует добавить,
что полученный результат справедлив ив тех случаях, когда термические характе-
характеристики среды имеют разрывы.
III. Случай, когда справедливо уравнение
V2V _ bv _ 1 ^L = а {Ху у, 2)у
где b — постоянная, которая может иметь любой знак. При подстановке выражения
v=ue-xbt A4.22)
уравнение A4.21) принимает вид
V2h — JL J^L = exbtA (jc, у, г), A4.23)
« его можно рассматривать описанными выше методами.
Другим важным случаем, который можно проанализировать даже более простым
способом ***), является случай, описываемый уравнением
V2t,— fo,__ JLj^.= o, A4.24)
где b — постоянная (которая может иметь любой знак), начальная температура равна
нулю, а граничные условия соответствуют либо постоянной температуре, либо тепло-
*) Член /С4 добавлен для большей общности. Он появляется в тех случаях, когда
каждый элемент объема твердого тела теряет в единицу времени количество тепла,
пропорциональное его температуре, как, например, в 31 дачах, разобранных в гл. IV,
а также в других физических задачах.
**) Доказательство, использующее преобразование Лгпласа, приведено в [93]. Его
можно распространить на более общие граничные условия (см., например, пункт Д
$ 9 данной главы).
***) В работе [94] приведены подробные формулы для плиты, сферы, цилиндра
и полуограниченного твердого гела.

$ 15] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 39
обмену на поверхности. Тогда, если и является решением для случая Ь = О при тех же
граничных условиях, то дифференцированием можно проверить, что
t
v = *b I е~ш'и (Г) dt' + ue~xbt A4.25)
о
удовлетворяет уравнению A4.24) и принятым в данной задаче граничным условиям.
Таким образом, решения для этого случая можно получить простым интегрированием
-полученных выше решений.
¦§ 15. Задачи, решения которых можно выразить в виде произведения
решений более простых задач
Рассмотрим уравнение теплопроводности
для прямоугольного параллелепипеда
01<*1<*1. я2<*2<^2' az<xz<bz. A5.2)
Для некоторых важных типов начальных и граничных условий его ре-
решением является произведение решений трех задач с одной переменной;
таким образом, если последние известны, то можно сразу же написать и ре-
решение нашей задачи.
Предположим, что vr(xr, t), г=1, 2, 3, служит решением уравнения
с граничными условиями
arl?;-ter = 0- *r = <*r '>0. A5.4)
где аг и рг и т. п. — постоянные, каждая из которых может быть равна
«улю (таким образом, включены случаи нулевой начальной температуры и
•отсутствия теплового потока на поверхности); пусть начальные условия имеют
«вид
vr(xr, t) = Vr(xr), t = 0, ar<xr<br A5.6)
Тогда решением уравнения A5.1) в области A5.2) при
v = Vx (х,) V2 (x2) V3 (*g), когда t = О, A5.7)
« при граничных условиях
аг-г-^ ^ = 0, хг = аг, />0, г=1, 2, 3, A5.8)
= 0, хт = Ьг, />0, г = 1. 2, 3, A5.9)
служит
v t). A5.10)

40 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 15
При подстановке выражения A5.10) в уравнение A5.1) и при исполь-
использовании A5.3) получим
vo
При этом очевидно, что удовлетворяются начальные и граничные условия
A5.7), A5.8) и A5.9).
Аналогичный результат остается справедливым и для случая комбиниро-
комбинированного радиального и осевого потока тепла в сплошном или полом цилиндре*
Дифференциальное уравнение (8.5) настоящей главы принимает вид
1 д ( dv \ , d2v I dv /1к 1 iY
Vn <15Л1>
поскольку мы полагаем, что все величины не зависят от 0.
Предположим, что его нужно решить в области
a<r<bt zl<z<z2. A5.12)
Пусть vl(r, t) служит решением уравнения
1 д ( dvx \ 1 dvx . . л . . .
при граничных условиях
1TF — P^i = 0, r = a, t>0.
И
vl = Vl(r) при ^ = 0.
Пусть также v2(z, t) служит решением уравнения
t>0' zi<z<z
d2v2 I dv2
при граничных условиях
«2-^г — feeb = O, z =
¦о = К2 (z) при г = 0.
Тогда v = vv(r, t)v2(z, t) является решением уравнения A5.11) в об-
области A5.12) при граничных условиях
*i-jtr — $iV = 0, r = a, zl<z<z2, t>0,
lHi^0' r = d. zx<z<z2, t>0,
= 0, z = zv a<r<b, t>0.

$ 16] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 4Ъ
и при начальном условии
v = Vx (г) V2 (z) при t = 0.
Такой же прием может быть использован и для других областей, напри-
например в случае неограниченного прямого двугранного угла х > 0, у > 0, полу-
полуограниченного цилиндра и т. п. Соответствующие примеры будут приведены
в § 6 гл. V, § 4 гл. VI и в § 4 гл. VIII. В случае анизотропного твердого*
тела с осями, выбранными таким образом, что дифференциальное уравнение
имеет форму A8.4) (см. стр. 46), указанный метод остается применимым,
если ограничивающие поверхности перпендикулярны осям.
Эти результаты имеют практическое значение, так как они позволяют
очень легко получать численные значения температур в упомянутых выше
твердых телах, если их начальная температура постоянна, а с поверхности,
происходит теплообмен в среду с постоянной температурой [95, 96].
§ 16. Единственность решения задачи теплопроводности
Рассмотрим задачу теплопроводности в конечной замкнутой области при.
заданных начальной температуре и температуре на поверхности.
Допустим, что имеется два независимых решения vl и v2 уравнений
-r^- = xV2<y внутри твердого тела,
v = f(x, у, z) внутри твердого тела при ? = П ' Aо.1>
v = y(x, у, z, t) на поверхности.
Пусть V = vx — v2. Тогда V удовлетворяет уравнениям
dV
-—- = xV2K внутри твердого тела,
V = 0 внутри твердого тела при ? = 0,
V = 0 на поверхности.
Если уравнения A6.1) имеют единственное решение, то vx^v2, т. е. V^O»
Рассмотрим объемный интеграл
где интегрирование производится по всему объему твердого тела.
Тогда
A6.4)-
Приняв в формуле Грина (см. соотношение G.4))
дх ' ду dz
и полагая, что V удовлетворяет условиям, достаточным для того, чтобы тео-
теорема Грина была справедлива (например, непрерывность V и ее первой
и второй производных), получим
-//'/

42 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 16
<где интегрирование производится по всей поверхности и по всему объему
твердого тела. Тогда
Поскольку на поверхности V равно нулю, первый интеграл обращается
.ъ нуль при условии, что dV/дп ограничена на поверхности, и мы получаем
-&-=-* J J J 1Ы +Ы +Ы
'Поэтому
Если мы можем утверждать, что
У=0 при * = 0. A6.7)
то из соотношения A6.6) следует, что У<]0 при t > 0. При этом, согласно
;<16.3), мы имеем У=0, и поскольку V непрерывно, то, следовательно, V = 0.
Это классическое доказательство единственности решения приводится во
многих работах.
Было отмечено [97—99], что для выполнения соотношения A6.7) необхо-
необходимы дальнейшие допущения, касающиеся V. В самом деле, из условия
!/(х, yt z, t)->0 при t—>0 для любых фиксированных х, у, z в иссле-
исследуемом объеме не вытекает, что У->0 при ?->0. В качестве простейшей
иллюстраци-и этого положения рассмотрим случай одномерной полуограничен-
«ой области х > 0. .
Рассмотрим функцию
_2 *2
V(x, t) = xt 2e ш. A6.8)
Она удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности
d2V
дх2 ""
при
dV
" dt
x =
Кроме того,
V(x, t) = 0 при а: = 0 и
сИ
V(x, t)—>0 при t—>0 для любого фиксированного х > 0.
Таким образом, функция A6.8) удовлетворяет уравнению теплопровод-
теплопроводности и обращается в нуль при t = 0 и на границе области, однако она не
обращается в нуль тождественно. Физически эту функцию можно предста-
представить себе как температуру, обусловленную дублетным источником тепла
<см. ниже § 8 гл. X). Она не стремится к нулю равномерно по х при ?-*()
>и не ограничена в окрестности л: = 0, ? = 0, например при x==t^2.
Интеграл, соответствующий A6.3), записывается в виде
оо 2
— — f хЧ"^ dx — ( гс*3 У
о
>«, следовательно, У->оо, если t—>0. Таким образом, условие A6.7) не
выполняется, и в этом случае приведенное выше доказательство единствен-
единственности решения теряет силу.

§ 17] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 43
Для выполнения условия A6.7) должны быть сделаны дополнительные
предположения относительно функции V, исключающие функции, подобные
приведенной выше. Очевидно, что условие A6.7) оказывается справедливым,
если мы примем, что V равномерно стремится к нулю при t->0 для лг, у, z
dV dV dV
no всему объему или что каждая из производных -^—, —х—, -->— меньше
постоянной Ж, которая не зависит от х, у, z по всему объему и от t
в интервале 0 < t ^ t0.
Следует отметить, что было все же сделано несколько попыток устано-
установления более общих условий, при которых решение единственно; кроме того,
доказывалась единственность полученного решения в каждой специальной
задаче. Аналогичное рассуждение*) можно применить и к иным граничным
условиям, к анизотропной среде **) и к случаю установившейся температуры.
Доказать существование решения приведенных выше уравнений еще
Труднее, чем доказать единственность решения. Физическая интерпретация
этих уравнений требует, чтобы решение существовало. Вопросы математи-
математического доказательства таких теорем существования относятся к области
чистого анализа.
§ 17. Теплопроводность анизотропных твердых тел
Анизотропные среды ***) представляют значительный интерес для практики.
Типичными примерами анизотропного вещества служат кристаллы, встречающиеся
в природе некристаллические вещества (например, осадочные горные породы или
древесина), а также слоистые материалы (например, используемые в технике транс-
трансформаторные сердечники).
Для указанных веществ результаты, приведенные в §§ 3 и 4 данной главы, не
изменяются, но оказывается недействительным общепринятое положение о том, что
направление вектора теплового потока в какой-либо точке нормально к изотерме,
проходящей через эту точку. Простейшее основное предположение, обобщающее
допущение E.3) для изотропного тела, заключается в том, что каждая компонента
вектора теплового потока в точке является линейной функцией компонент темпера-
температурного градиента в этой точке, т. е. что
dv , „ dv_ , „ dv
ду dz
dv . _, dv
A7.1)
dv
Величины Krs называют коэффициентами теплопроводности; они являются
компонентами тензора второго ранга. Уравнения A7.1) можно решить относительно
*) Более подробно этот вопрос обсуждается в ряде книг и статей [40, 100—112].
**) При этом использовались формула Грина G.4) данной главы для ? = Vfx и
т. п., и соотношения F.3) и A7.1) той же главы. Кроме того, мы пользовались тем,
что 2Ф, определенное выражением B0.3), всегда положительно.
***) Математическая теория теплопроводности кристаллов была впервые разрабо-
разработана Дюамелем [113, 114] и Ламе [115] на основе гипотезы о механизме молекуляр-
молекулярного излучения. Современной разработкой теории в форме, излагаемой в настоящей
книге, мы, по существу, обязаны Стоксу [116]. Более полная аналитическая трактовка
теории дана Буссинеском [117]. Вопросы, связанные с физикой кристаллов, подробно
излагаются в работе [118]; более краткое, но зато и более современное их рассмотре-
рассмотрение можно найти в книге Вустера [119]. Вследствие трудности точного измерения
теплопроводности (в частности, теплопроводности кристаллов) даже в настоящее время
мы располагаем лишь очень малым количеством достаточно надежных эксперимен-
экспериментальных данных, и поэтому до сих пор решено лишь весьма ограниченное число спе-
специальных задач.

44
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[§
dv n
-- - и т. п. В этом случае мы получим
— — = R f
— — =R
dv
A7.2)
где /?Г5 — коэффициенты сопротивления. Они могут быть записаны в виде определи-
определителей, элементами которых служат величины /Сг5. Например,
К 2 3^V32
где
К31К23 — Къ\Кз
/См
42 =
К12К,
12А, 33
К2
К,
Кзз
A7.3)
A7.4)
A7.5)
Аналогичным образом величины Krs можно выразить через Rrs. Следует отметить,
что для некоторых задач наиболее употребительна запись через Krs* а Для ДРУГИХ —
через Rrs. Если уравнения A7.2) считать основными, то их можно решить относи-
относительно fXf /у, /2, выразив последние через -г—, -т—, -^—; получающийся опреде-
определитель
*\\\ ^<12 ^13
/?21 ^22 ^23 A7.6)
#31 #32 #33
равен произведению A/А3) на присоединенный для А (или взаимный) определитель»
Согласно общей теореме [120]
Д'=4- A7.7)
и миноры Д' равны произведению 1/Д на алгебраические дополнения соответствующих
миноров А, например
^11^22 ^12^21=—д—•
В первую очередь следует отметить, что в выражениях A7.1) знаки fx, fy и /г
изменяются, если все компоненты температурного градиента изменяют свои знаки.
Иными словами, теплопроводность вещества во взаимно противоположных направ-
направлениях одинакова. Для кристаллов с центральной симметрией последнее полО/кение
вытекает из соображений симметрии. К этому классу относятся 21 из 32 классов
кристаллов. Кристаллы остальных И классов не имеют центра симметрии, и следует
считать, что для них уравнение в форме A7.1) подтверждается экспериментами *),
которые показали примерное равенство теплопроводности во взаимно противопо-
противоположных направлениях.
Соотношение в форме A7.1) часто применяют для описания связи между двумя
векторами в анизотропной среде. Вследствие симметрии кристаллов его легко упро-
упростить, выбрав оси в соответствующих кристаллографических направлениях. Резуль-
Результаты, полученные для различных кристаллических систем, приведены ниже; подробное
изложение этих вопросов можно найти в § 4 гл. I книги Вустера [119].
*) Эксперименты проводились с двоякопреломляющими кристаллами, например
с турмалином. Сначала предполагалось, что результаты экспериментов указывают на
существенную разницу в теплопроводности, но впоследствии было установлено, что
эта разница очень невелика или вообще отсутствует [121, 122].

§ 17] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 45
Триклинная система кристаллов. Упрощение невозможно.
Моноклинная система кристаллов. Все классы этой системы имеют
либо ось симметрии (такую, что при повороте вокруг нее на 180° кристалл принимает
положение, конгруэнтное первоначальному), либо плоскость зеркальной симметрии.
Если ось z является осью симметрии или нормальна плоскости зеркальной симмет-
симметрии, то коэффициенты теплопроводности образуют следующую схему:
Кп Kit 0
Ktx K22 0 A7.9)
0 0 /Сзз
Ниже будет показано, что, по-видимому, справедливо также равенство К2\ = /С12»
но это не вытекает из соображений симметрии.
Ромбическая система. Кристаллы всех классов этой системы имеют
либо две перпендикулярные оси симметрии, либо ось симметрии и плоскость сим-
симметрии. Если одна из осей координат выбирается вдоль оси симметрии, а другая —
вдоль второй оси симметрии или в плоскости симметрии, то схема коэффициентов
теплопроводности запишется в виде
Кп 0 0
0 К22 0 A7Л0>
0 0 /Сзз
Кубическая система. В этом случае возможен циклический обмен осей
ромбической системы, и схема коэффициентов теплопроводности примет вид
Кп 0 0
0 Кп 0 A7.11)
0 0 Кп
Тетрагональная, тригональная и гексагональная системы.
Если ось z является осью симметрии третьего, четвертого или шестого порядка,
т. е. соответствует поворотам на 90°, 120° или 60°, то мы получим следующую схему
коэффициентов теплопроводности:
Кп Kit 0
A7.12)
Кроме того, в кристаллах некоторых классов этих систем имеется ось симмет-
симметрии, перпендикулярная оси zt или соответствующая плоскость симметрии; если ось х
выбрана так, что она совпадает с этой осью или лежит в этой плоскости, то в выра-
выражении A7.12) /С12 = 0. Существует несколько классов, принадлежащих к таким
системам, для которых равенство К\2 нулю вытекает не только из соображений
симметрии; однако, как будзт показано ниже, это соотношение, по-видимому, оказы-
оказывается справедливым.
Все приведенные выше результаты можно вывести из соображений макроско-
макроскопической симметрии. Но в действительности, вероятно, можно считать, что Krs
в выражениях A7.1) симметричны, т. е. Krss=Ksr для всех г и s. Отсюда следует,
что /<12=0 в выражении A7.12) и К2\ = К\2 в выражении A7.9).
Во многих разделах физики кристаллов, в которых встречается закон типа A7.1),
классическая термодинамика позволяет сделать вывод о симметричности коэффициен-
коэффициентов теплопроводности, т. е. о том, что Kr$== KSr В данном случае общее доказа-
доказательство такого положения невозможно, и поэтому, чтобы показать симметричность
коэффициентов теплопроводности, следует обратиться к эксперименту. По этой при-
причине математическая теория обычно развивается без использования предположения
о симметрии; рассчитав эффекты асимметрии, их сравнивают с экспериментом (см.
§ 19 данной главы). Недавно было опубликовано доказательство закона симметрии,
основанное на принципе Онзагера о микроскопической обратимости [123—126] *).
Кп
— К\2
0
Ki2
Кп
0
0
0
/Сзз
*) Необходимо отметить, что уравнение теплопроводности (см. A8.1)), которое,
по существу, является выражением первого закона термодинамики, содержит вели-
величины Krs только в виде (Krs-\-KSr)> и поэтому симметрия последних или отсутствие
ее не влияют на выводы из этого уравнения. Эффекты антисимметрии выявляются
только при определении направления вектора теплового потока.

46 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 1&
Часто приходится пользоваться формулами преобразования координат. Предпо-
Предположим, что мы хотим перейти к новой системе прямоугольных осей х', у', zr, на-
направляющие косинусы которых, отнесенные к старой системе, соответственно равны
(Сц, с21, c3i), (с12, с22, с32), (с13» с23, Сзз)- Тогда коэффициенты теплопроводности K\k%
отнесенные к системе (х'у у', zr), запишутся в виде
з з
^*=2 liWskKrs* A7ЛЗ>
Г=1 5=1
тогда как Krs будут выражаться через K'ik следующим образом:
3 3
2 «г а**»- A7Л4>
Эти выражения являются законами преобразования для тензора второго ранга
(доказательство и приложение изложены в книге Вустера [119]). Те же законы пре-
преобразования применимы и для Rrs.
Наиболее важным примером некристаллического анизотропного тела является
ортотропное твердое тело, которое имеет различные коэффициенты теплопро-
теплопроводности К\у К2> Къ в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Приняв их за
оси Ху у и 2У получим
'*—*•&• '»--*•?. '•--*•&• A7Л5>
С другой стороны, для таких веществ, как древесина, коэффициенты теплопро-
теплопроводности которой Ки Кг и Къ в направлениях г, 0, z системы цилиндрических коор-
координат [70] (т. е. в направлении по лучам, кольцам и по оси дерева) неодинаковы,
тепловые потоки в указанных направлениях соответственно равны
§ 18. Дифференциальное уравнение теплопроводности
для анизотропных твердых тел
Теперь приступим к разработке теории, основанной на общем допущении A7.1).
В данном случае остается справедливым уравнение F.3), и, подставляя в него выра-
выражения A7.1), мы получим следующее уравнение теплопроводности при условии, что
среда однородна и что в ней отсутствуют источники тепла:
dv .. d2v . j. d2v , j, d2v . ... , ^ d2v .
^. A8.1)
Распространение указанного уравнения на другие случаи производится так же, как
и в § б настоящей главы.
Рассмотрим теперь квадратичную форму *)
Кпх2 + К22У2 + Кзз*2 + («23 + К32) У2 + (Ksi + Kis) zx + (К12 + К21) ху = const. A8.2)
Известно, что соотношение A8.2) можно преобразовать к новой системе прямо-
прямоугольных координат 6, т), С таким образом, чтобы его левая часть превратилась
в сумму квадратов
К^2 + К2 + К^ A8.3)
Пользуясь теми же переменными, приведем уравнение A8.1) к виду
dv .. d2v , .. d2v , .. d2v l1OiK
*c-dr = Kl-W + K2-W+K3-dV" <1&4)
Эти новые оси называют главными осями теплопроводности, а коэффициенты
Ки %2* Къ — главными коэффициентами теплопроводности. Из соотношений
*) Ниже будет показано, что /Сц^-0, /С22>-0>

§ 18] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЪ
A7.9) — A7.12) следует, что если кристалл обладает осями симметрии, то-они служат
также главными осями теплопроводности.
Если мы проведем дополнительное преобразование системы координат, а именно
положим
К у/2 / К \1/2 г г( К\1/2
где К можно выбрать произвольно, то уравнение A8.4) запишется следующим образом:
dv К ( d2v d2v d2v\
+ + )
т. е. примет тот же вид, что и уравнение F.4) для случая изотропного твердого
тела. Итак, это преобразование позволяет свести решение задач для анизотропных
твердых тел к решению соответствующих задач для изотропных твердых тел в сле-
следующих случаях: когда тело не ограничено, когда оно ограничено плоскостями,
перпендикулярными главным осям теплопроводности, и (в случае /B = /Сз) когда тело
ограничено плоскостями, перпендикулярными оси 5 и круговыми цилиндрами, ось
которых совпадает с осью 6. В большинстве других случаев ограничивающие поверх-
поверхности искажаются; например, сечение кругового цилиндра с осью, направленной вдоль
одной из главных осей, становится эллиптическим.
Для однородных ортотропных твердых тел, для которых справедливо соотно-
соотношение A7.15), уравнение теплопроводности имеет вид
pc'dr=0' A8J)
тогда как для твердых тел с цилиндрической симметрией, т. е. когда справедлива-
выражение A7.16), уравнение теплопроводности примет вид
dv\ K2 d2v d*v dv
J+ + /fpe0
Ниже будет описан ряд важных специальных случаев, для которых дифферен-
дифференциальное уравнение сохраняет только одну или две пространственные переменные.
I. Температура зависит только от х.
Вследствие симметрии этот случай можно свести к случаю потока тепла в по-
полуограниченном твердом теле или в пластине с поверхностями, перпендикулярными
_, dv dv Л
оси ху и с граничными условиями, не зависящими от) и z. Тогда -^— = -^— = 0 и-
соотношения A7.1) примут следующий вид:
— /"г = ^i 1 3с" * —^y=z^2l'djci —^г ==^31 ~5лГ# A8.9)'
Кроме того, дифференциальное уравнение A8.1) преобразуется к виду
Таким образом, вся теория, излагаемая в гл. II и III, оказывается правильной
для анизотропного твердого тела при условии, что
Если для оси х направляющие косинусы относительно главных осей-теплопро-
осей-теплопроводности равны /, /и, п, то из выражения A7.13) следует, что
Кп = l2Ki + т2К2 + п*Кг. A8.12).
После того как найдено v, из A8.9) определяются тепловые потоки /г, /у, /г и
тогда оказывается, что вектор теплового потока направлен не по нормали к изотер-
изотермам. Эти результаты следуют из общей теории, приводящей к. соотношению B0.15).
данной главы.

48 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 19
II. Тепло течет только в направлении х.
Это имеет место в тонком стержне, ось которого совпадает с осью х. Тогда
/y = /2 = 0 и из соотношения A7.2) получим
Л/ 0Л«/х. —^-=Л31/Ж. A8.13)
Воспользовавшись соотношением F.3), можно записать теперь дифференциаль-
дифференциальное уравнение A8.1) в виде
1 d2V dv л ,лолл\
*сж=°- (Ш4)
Тогда мы получим уравнение линейного потока тепла, где
1 A8.15)
Следует отметить, что /?п не равно -тт—, а определяется соотношением A7.3).
Если для оси х направляющие косинусы относительно главных осей равны /, т, п,
то из A7.13) мы получим для Rrs выражение
Rrs = -— -\~-7r—г"~77~ ПРИ f = $ и ^г5 = 0 при г Ф s. A8.16)
Это выражение выводится в общем виде (см. B0.25)).
Таким образом, теорией о распространении тепла в стержне, изложенной в гл. IV,
можно пользоваться для кристаллических стержней при условии, что величина х
определяется соотношением A8.15).
III. Температура зависит только от х и у.
Это имеет место в случае распространения тепла в неограниченном цилиндре
с осью, параллельной оси z, и при граничных условиях, не зависящих от z. Так как
dv
—т— = 0, то уравнение A8.1) принимает вид
и тепловые потоки определяются соотношениями A7.1) при -^— == 0. Следует отме-
отметить, что /гфО. Этот случай менее важен, чем случай двумерного течения тепла
в тонкой пластине (/2 = 0), который подробно рассматривается в следующем
параграфе.
§ 19. Теплопроводность тонкой кристаллической пластины
Двумерный случай проводимости интересен тем, что он иллюстрирует основные
черты общего случая; кроме того, в нескольких важных методах определения тепло-
теплопроводности используются тонкие кристаллические пластины. В данном параграфе
будет рассмотрена общая теория распространения тепла в такой пластине без каких-
либо предположений о ее симметрии.
Выберем оси хну так, чтобы они лежали в плоскости пластины, т. е. предпо-
предположим, что поток тепла в направлении z отсутствует (/2 = 0); тогда выражения A7.2)
принимают вид
Решая их относительно /х и /у и используя соотношения A7.3), A7.4) и A7.8),
получим
где
#31^13 is' КпКгЪ — ^13^32 /iq о\
' *12= КГ ' ( }
/iq a\

§ 19] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 49
Эти четыре величины Кп и т. д. можно назвать коэффициентами теплопровод-
теплопроводности для тонкой пластины в плоскости ху\ они сводятся к /Сц и т. д. только тогда,
когда одна из величин Кп и Кг\> а также одна из величин /С2з и Кы превращаются
в нуль.
Подставляя соотношения A9.2) в F.3), мы получаем уравнение теплопроводности
при установившемся состоянии
Можно записать его и в другом виде, а именно в виде
гJ <rt д2ч) rJff
Я221?-№2 +Д21)-^ + Ям-|J=0. A9.6)
Относя уравнение A9.5) к главным осям ?, г\ (как и в § 18), получим
где ATj и /Сз можно назвать главными коэффициентами теплопроводности в пло-
плоскости (здесь штрих используется для того, чтобы отличать эти коэффициенты от
главных коэффициентов теплопроводности в трехмерном случае (см. § 18), с кото-
которыми они могут совпадать в специальных задачах). Компоненты теплового потока,
отнесенные к тем же главным осям, должны принять вид
так как уравнение теплопроводности A9.7) в этих координатах не содержит члена
¦ g d э сравнивая полученные уравнения с уравнением A9.5), мы видим, что для их
удовлетворения сумма коэффициентов при ду/д-ц в соотношении A9.8) и при dv/dt
в соотношении A9.9) должна быть равной нулю. К[, К% и А могут быть, в принципе,
определены из коэффициентов в соотношениях A9.1) и A9.2).
В качестве примера, имеющего большое практическое значение, определим
изотермы и линии тока тепла для случая постоянного притока тепла к пластине
в начале координат.
Напишем соотношения, аналогичные A8.5):
() ' (
Тогда уравнение A9.7) примет вид
при радиальной симметрии его решение запишется в виде
+ 714 mln(X + XY 09.12)
где т — константа. Подставляя это выражение в соотношения A9.8) и A9.9), получим
Общее количество тепла, проходящее через круг радиусом а с центром в начале
координат и рассчитанное на единицу толщины пластины, равно
Q = f (Д cos 0 + /^ sin 6j a rfO.
о
4 Г. Карслоу, Д. Егер

50
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[§
Используя выражения A9.13) и считая € = a cos 0, т\ = a sin О, получим
A9.14)
т. е. находим, что Q не зависит ни от а, ни от А. Подставляя в выражение A9.12)
величину /и, определяемую соотношением A9.14), мы получаем установившуюся тем-
температуру, обусловленную наличием в начале координат источника тепла мощностью Q.
Изотермы образуют семейство эллипсов
-Ц- + -V = const.
К[ ^ К'2
Направление вектора теплового потока определяется соотношением
A9.15)
A9.16)
Если Л = 0, то он направлен радиально от источника (но не перпендикулярна
эквипотенциальным линиям). На рис. 3, а показаны эквипотенциальные линии, а также
а)
б)
Рис. 3.
линии тока тепла, т. е. кривые, направление которых в каждой точке совпадает
с направлением вектора теплового потока.
Если А ф 0, то дифференциальное уравнение линий тока тепла имеет вид
A9.17)
Решение его записывается следующим образом:
-^ A In
const.
A9.18)
Кривые, соответствующие соотношению A9.18), образуют семейство спиралей,
которые показаны на рис. 3, б. В плоскости (glt t\x) при К[ = К^ спирали изогональны
к окружностям. Следовательно, если так называемый «вращательный> член А не
равен нулю, то направление течения тепла от точечного источника в неограниченной
пластине будет таким, как показано на рис. 3, б. Если в пластине имеется радиаль-
радиальная трещина, то тепло не сможет течь по этим спиралям и, следовательно, между
двумя сторонами трещины должна возникать разница температур. Тот факт, что
в экспериментах подобного типа не было обнаружено никакого различия температур,
указывает, что А мало. Другие методы показали [127], что А составляет менее одной
тысячной К\ или АГ2.
Эллиптическая форма изотерм (см. соотношение A9.15)) была использована
для определения отношения главных коэффициентов теплопроводности —;¦» причем

§ 20] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 51
для демонстрации изотерм на поверхность кристаллической пластинки наносилась
тонкая пленка воска [128—130].
Для случая линейной теплопередачи между поверхностью пластины и внешней
средой при нулевой температуре и теплового потока, равного Hv, уравнение для
стационарного режима (которое находят так же, как в § 4 гл. V), написанное относи-
относительно главных осей в плоскости, имеет вид
где D — толщина пластины. Решением этого уравнения, соответствующим установив-
установившемуся потоку тепла от точечного источника, служит
A9.20)
где /Со — функция Бесселя, определенная в приложении 3. И в этом случае изотермы
имеют вид эллипса (см. соотношение A9.15)), и проведенное выше рассуждение
остается справедливым.
§ 20. Изменение теплопроводности и вектор теплового потока
в анизотропных твердых телах
В анизотропной среде направление вектора теплового потока /т в какой-либо
точке, вообще говоря, не совпадает с направлением нормали к изотерме, проходящей
„ dv dv
через эту точку. Пусть -т— и -^ скорости изменения температуры вдоль нормали
к изотерме, проходящей через точку Р и вдоль направления вектора теплового
потока в точке Р соответственно.
Рассмотрим сначала направление вектора теплового потока в точке Я. Его на-
направляющие косинусы имеют вид
-й-, -г-- т1 B01>
/да J да J тп
и, следовательно, используя A7.1), можно написать
dv fx dv fy dv fz dv 2Ф
~dm ~~ 7даГ + 7да~ 7 + 7да~ ~5F ~~ ~~ Тда"
я
§^ ^г^. B0.3)
Однородная квадратичная форма B0.3) равна — fm(dv/dm), и из физических сообра-
соображений ее величина не зависит от выбора осей. Далее, поскольку производная dv/dm
должна быть отрицательной, если /т положительно, форма B0.3) будет положи-
положительно определенной. Для этого необходимо, чтобы
/<22>0, /Сзз>0. B0.4)
Из соотношения B0.2) следует, что
. „ dv „ 2Ф /ОЛСЧ
/да = —^да^—» где Km = / л ч» * B0.5)
dm /Jv\*
\dm)
Km можно назвать коэффициентом теплопроводности в направлении вектора
теплового потока в точке Р.
Теперь рассмотрим нормаль к изотерме, проходящей через точку Р. Напра-
Направляющие косинусы X, fx, v задаются соотношениями
, 1 dv I dv I dv B06)

52 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 20
{(?)(?)№)}•
Отсюда следует, что
dv . dv . dv . dv A /ПЛО.
Кроме того, из соотношения C.2) следует, что тепловой поток /л в направлении,
перпендикулярном к изотерме в точке Р, записывается в виде
fn =* Wx + M-/y + v/2 = — — B0.9)
или в виде
/„ = —/С„^~, где /<я = __. B0.10)
Коэффициент /С/1 можно назвать коэффициентом теплопроводности по нормали
к изотерме в точке Р. Величины Кт и Кп, определяемые соотношениями B0.5)
и B0.10), не зависят от выбора осей.
Теперь посмотрим, каким образом Кп меняется в зависимости от направляющих
косинусов (X, fx, v) нормали к изотермической поверхности. Подставляя их величины,
определяемые B0.6), в соотношения B0.3) и B0.10), получим
Кп = /С, ,Х2 + /<22(х2 -f /<33v2 + (/C23 + Кг2) ^ + (Кы + Кп) vX -f (Kl2 + K2i) X{x. B0.11)
Если отложить отрезки kK^2 (где k — константа) в направлении (X, p., v), то
геометрическое место их концевых точек Q с координатами
х = k\K~ Ч у = kiiK~ Ч * = Ь/С"Vz B0.12)
имеет вид эллипсоида
+ Кгз) *¦* + (*11 + *2i> *У = ^2, B0.13Г
с которым мы уже встречались в § 18 (см. соотношение A8.2)). Как можно видеть,
в таком эллипсоиде квадрат радиуса-вектора, проведенного в точку эллипсоида,
в которой направление нормали к эллипсоиду совпадает с направлением радиуса-
вектора, обратно пропорционален коэффициенту теплопроводности по нормали.
Так же как и в § 18, можно найти систему прямоугольных координат ?, т), С,
относительно которой соотношение B0.13) примет вид
К?2 + К2у\2 + /С3С2 = *2, B0.14)
где /Сь Къ Кз — главные коэффициенты теплопроводности. Тогда коэффициенты
теплопроводности по нормали к изотермам (направляющие косинусы нормали относи-
относительно главных осей теплопроводности равны (/, т> п)) окажутся равными ?2/г2,
где г — радиус-вектор в направлении (/, /и, п). Другим способом это можно записать
следующим образом:
Кя = l2Ki + т*К2 + пЩ* B0.15)
Обычно при проведении основного эксперимента (см. § 2 настоящей главы)
на плоской тонкой пластине кристалла (вырезанной таким образом, что нормаль
к нему имеет направляющие косинусы относительно главных осей теплопроводности
кристалла, равные /, /и, п) измеряется именно этот коэффициент Кп-
Для очень важного специального случая, когда К\ = К2 и п = cos 6 (т. е. для
любого направления, образующего угол в с осью симметрии эллипсоида), соотноше-
соотношение B0.15) принимает вид
Кп = Кх + (Кг — Кх) cos2 в. B0.16)
Обратимся теперь к тепловым потокам через плоскости, перпендикулярные глав-
главным осям теплопроводности. Если переход из системы jc, у, z (см. соотношение B0.13))
в систему ?, т), С (см. B0.14)) записывается в явном виде, то величины тепловых
потоков Д, / , /с через новые координатные плоскости можно получить из соотно-
соотношений A7.1) и C.2). Однако и без этого ясно, что новые соотношения для тепловых

§ 20] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 53
потоков должны иметь вид
dv rdv dv
B0.17)
так как, повторяя вывод соотношения B0.13) из A7.1), приходим к выражению B0.14),
которое состоит из суммы квадратов. Таким образом, при переходе к главным осям
теплопроводности в линейной зависимости между тепловыми потоками и производ-
производными температуры появляется самое большее шесть независимых коэффициентов.
Далее, так же как и в двумерном случае, рассмотренном в § 19 настоящей главы,
есть все основания полагать, что так называемые «вращательные» члены А В, С
стремятся к нулю, и следовательно, соотношения B0.17) принимают вид
Из формулы для перехода к новым осям легко показать, что равенство
А = В = С = 0 означает симметрию коэффициентов теплопроводности, т. е. для
любой системы прямоугольных осей в формуле A7.1) мы должны считать, что
Kl2 = K2i, К2з=К*2, АГз! = Ki3. B0.19)
Наконец, определим направление вектора теплового потока и выясним, каким
образом изменяется в этом направлении теплопроводность Кт\ ПРИ этом мы пред-
предполагаем, что справедливо соотношение B0.19) и, следовательно, тепловой поток
определяется соотношениями B0.18).
В соотношении B0.14) точка (?, т), С) была выбрана на радиусе-векторе, перпен-
перпендикулярном изотерме, проходящей через точку Я, т. е.
с г dv dv dv
S:i):C==-g!-:i^:ir-
Используя этот результат, а также B0.18), получим
dv dv dv
6 т) С Kfi /V27) АГзС v
Квадрат каждого отношения в соотношении B0.20) равен
dv . х dv . , dv
+Ч+Л А+А+Л B021)
Используя B0.2) и B0.14), получим
где OR — радиус-вектор точки с координатами (Х= К& К = АГа^, Z= АГзС). Согласно
соотношениям B0.20) направление OR совпадает с направлением вектора теплового
потока. Следовательно, теплопроводность Кт в этом направлении равна
B0.23)
Итак, из соотношения B0.14) следует, что (Х> К, Z) лежит на эллипсоиде
? + ?.+ ** B0.24)
Ал *\2 Аз
Таким образом, если направление вектора теплового потока относительно глав-
главных осей теплопроводности задается направляющими косинусами /, т> л, то тепло-
теплопроводность Кт в этом направлении определяется соотношением
4 -1Г + ТГ + 1Г- B025)
Km Ai Аг Аз

54 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 20
Это и есть теплопроводность, которая обычно измеряется в экспериментах с длин-
длинным тонким стержнем, вырезанным в направлении (/, /и, п). Если /С, = /С2, а п = cos 0,
то соотношение B0.25) принимает следующий вид *):
B026>
Эллипсоид, описываемый B0.24), был назван Ламе главным эллипсоидом;
иногда его называют термическим эллипсоидом. Он дает геометрическое предста-
представление об изменении теплопроводности.
Из рассмотрения эллипсоидов, описываемых соотношениями B0.14) и B0.24),
можно сделать множество геометрических выводов о свойствах теплопроводности,
направлениях вектора теплового потока и нормалей к изотермам. Например, из по-
последних трех уравнений B0.20) следует, что если нормаль к изотерме в некоторой
точке имеет направление (?, tj, С), то направление вектора теплового потока в ука-
указанной точке перпендикулярно плоскости, касательной к эллипсоиду B0.14) в точке
(?, •»!, С). С другой стороны, если в некоторой точке известно направление вектора
теплового потока (X, К, 2), то нормаль к изотерме, проходящей через указанную
точку, перпендикулярна плоскости, касательной к эллипсоиду B0.24) в точке (Х> К, Z).
ЛИТЕРАТУРА
1. International Critical Tables, vol. V, McGraw-Hill, 1929. /
2. Birch, Schainer, Spicer, Handbook of Physical Constants, Geol. Soc. of
America, Special papers, No. 36 A942).
3. Van derHeld, Appl. Sci. Res. A3, 237—249 A953).
4. Van der Held, Appl. Sci. Res. A4, 77—99 A954).
5. Van Dusen, J. Res. Nat. Bur. Standards 4, 753—756 A930).
6. Eyres, Hartree, Ingham, Jackson, Sarjaut, Wagstaff, Phil.
Trans. Roy. Soc A240, 1—58 A946).
7. Kirchhoff, Vorlesungen fiber die Theorie der Warme, 1849.
8. Vernotte, С R. Acad. Sci. 218, 39—41 A944).
9. Curtis, High Frequency Induction Heating, McGraw-Hill, 1944.
10. Brown, Proc. IRE 31, 537—548 A943).
11. M a d dock, J. Sci. Instr. 23, 165—173 A946).
12. Brown, Hoyler, Bierwirth, Radio Frequency Heating, van Nostrand, 1947.
13. Jeffreys, The Earth, Cambridge, ed. 3, p. 276, 1952.
14. Low an, Phys. Rev. 44, 769—775 A933).
15. Proc. Am. Concr. Inst. 31, 113 A934).
16. Proc. Am. Concr. Inst. 34, 89, 105, 117, 477, 497 A937).
17. Temperature, its Measurement and Control in Science and Industry, Am. Inst.
Phys., 1941.
18. Davey, Fox, Building Research Technical Paper, No. 15, London, H. M. S. O^
1933.
19. Ra whouser, J. Am. Concr. Inst. 16, 305 A945).
20. A wbery, Phil. Mag. 4, 629—638 A927).
21. Jaeger, Brit. J. Appl. Phys. 3, 221—222 A952).
22. С г a n k, Nicholson, Proc. Camb. Phil. Soc. 43, 50—67 A947).
23. Nichols, P г e s s о n, J. Appl Phys. 25, 1469—1472 A954).
24. Goheen, J. Math. Phys. 28, 107—116 A949).
25. Rice, J. Chem. Phys. 8, 727 A940).
26. G о о d 1 e t, E d w а г d s, P e г г у, J. Instn. Elect. Engrs 69, 695 A931).
27. Hartree, Mem. Manchr. Lit. Phil. Soc. 80, 85 A935).
28. J e f f г е у s, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 101—106 A930).
29. Lap wood, Month. Not. R. Astr. Soc, Geophys. Suppl. 6, 402—407 A952).
30. D u h a m e 1, J. Ec. polyt., Paris, 15, Can. 25, 1—57 A837).
31. Wilson, Proc. Camb. Phil. Soc. 12, 406—423 A904).
32. В о u s s i n e s q, Theorie analytique de la chaleur, т. II, Gauthier-Villars, 1903.
33. Jef f reys, Phil. Mag., 35, 270—280 A918).
34. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, Oxford, 1938, v. II.
(С. Гольдштейн, Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жид-
жидкости, М., 1948, т. II).
35. G г б b е г, Е г k, G г i g u 1 1, Warmeubertragung, Springer, ed. 3, 1955, p. 179.
*) Это соотношение было экспериментально подтверждено Бриджменом [131, 132].

ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 55
36. Jakob, Heat Transfer, Wiley, 1949, p. 451. (M. Якоб, Вопросы теплопередачи,
ИЛ, 1960, перев. с изд. 1957 г.)
37. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge, ed. 4, 1916. (Г. Л а м б, Гидродинамика, Гос-
техиздат, 1947, перев. с 6-го изд.)
38. S у n g e, Quart. Appl. Math. 13, 271—278 A955).
39. Е с к а г t, Phys. Rev. 58t 267—269 A940).
40. Gours at, Gnirs d'Analyse, Gauthpier-Villars, ed. 3, 1917. (Э. Гурса, Курс
математического анализа, ГТТИ, 1933, перев. с 5-го изд.)
41.McLachlan, Phil. Mag. 36, 600 A945).
42. М с L а с h 1 a n, Phil. Mag. 37, 216 A946).
43. Tranter, Quart J. Mech. Appl. Math. 4, 461—465 A951).
44. M a t h i e n, Cours de Physique Mathematique, Paris, 1873, Chap. 8, 9.
45. N i v e n, Phil. Trans. Roy. Soc. 171, 117 A879).
46. Fishenden, Saunders, Heat Transfer (Oxford, 1950).
47. M с A d a m s, Heat Transmission, McGraw-Hill, ed. 2, 1942. (В. Мак-Адаме,
Теплопередача, ОНТИ, 1936, перев. с 1-го изд.)
48. Fox, Phil. Mag. 18, 209—227 A934).
49. J a e g е г, Ргос. Camb. Phil. Soc. 46, 634—641 A950).
50. М a n n, W о 1 f, Quart. Appl. Math. 9, 163—184 A951).
51. P e d d i e, Proc. Edin, Math. Soc. 19, 34—35 A901).
52. M а г с h, W e a v e r, Phys. Rev. 31, 1072—1082 A928).
53. Schumann, Phys. Rev. 37, 1508—1515 A931).
54. Peek, Ann. Math. Princeton B) 30, 265 A929).
55. L anger, Tohoku Math. J. 35, 260—275 A932).
56. Low a n, Phil. Mag. 17, 849—854 A934).
57. J a e g e r, J. Proc. Roy. Soc N. S. W. 74, 342—352 A940).
58. J ae g e r, J. Proc. Roy. Soc. N. S. W. 75, 130—139 A941).
59. J a e g e r, Aust. J. Phys. 9, 167—179 A956).
60. В 1 а с k w e 1 1, J. Appl. Phys. 25, 137—144 A954).
61. G a s k e 1 1, Am. J. Math. 64, 447—455 A942).
62. Chao.Weiner, Quart. Appl. Math. 14, 214—217 A956).
63. Barrer, Diffusion in and through Solids, Cambridge, 1941. (P. Бэр pep, Диффу*
зия в твердых телах, ИЛ, М., 1948.)
64. J а с о b s, S t а г г, Rev. Sci. Instr. 10, 140 A941).
65. Jaeger, Quart. J. Mech. Appl. Math. 8, 101—106 A955).
66. W h i p p 1 e, Phil. Mag. 45, 1225—1236 A954).
67. I n g e г s о 11, J. Opt Soc. Am. a. Rev. Sci. Instr. 9, 495 A924).
68. Griff it hs, Proc. Phys. Soc. 41, 151 A928).
69. Dictionary of Applied Physics.
70. G г i f f i t h s, К а у e, Proc Roy. Soc. A104, 71 A923).
71. Crank, The Mathematics of Diffusion, Oxford, 1956.
72. Jos t, Diffusion, Academie Press, 1952.
73. Babbitt, Canad. J.» Res. A28, 449—474 A950).
74. Hill, Proc. Roy. Soc. В104, 39—96 A929).
75. Thews, Acta Biotheoretica A10, 105—138 A953).
76. Danckwerts, Trans. Faraday Soc. 47, 1014—1023 A951).
77. Keynes, Proc. Roy. Soc. B142, 359—382 A954).
78. G i b s о n, H e n k e 1, Geotehcnique 4, 6—15 A954).
79. Henry, Proc. Roy. Soc. A171, 215 A939).
•80. Riemann-Weber, Die Differential und Integralgleichungen der Mechanik und
Physik, ed. Frank, Vieweg, 1927, Bd. 2. (Ф. Франк и Р. Мизес, Дифферен-
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. II, ОНТИ, 1937.)
81. Furth, Geofis. Рига ё Appl. 31, 80—89 A955).
82. D a v i e s, Proc. Roy. Soc. A200, 100—113 A949).
83. Hulburt, Phys. Rev. B) 31, 1018 A928).
84. M а г s h a k, Rev. Mod. Phys. 19, 185—238 A947).
85. S n e d d о n, Fourier Transforms, McGraw-Hill, 1951. (Снеддон, Преобразова-
Преобразование Фурье, ИЛ, М., 1955.)
вб. Goldstein, Proc Lond. Math. Soc. 34, 51 A932).
87. М с Е w e n, J. Marine Res. 7, 188—216 П948).
88. С а г s 1 a w, Jaeger, Operational Methods in Applied Mathematics Oxford, ed. 2,
1947, Chap. 9. (Г. К а р с л о у и Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной
математике, ИЛ, М., 1948, перев. с 1-го изд. 1941 г.)
89. Musk at, The Flow of Homogeneous Fluids through Porous Media, McGraw-Hill,
1937, Chap. 10
90. Rosenhead, Miller, Proc Roy. Soc. A163, 298—317 A937).

56 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
91. Hantush, Jacob, Trans. Am. Geophys. Union. 36, 95—112 A955).
92. Memoire sur la methode generate relative au mouvement de la chaleur dans les
corps solides plonges dans les mileux dont la temperature varie avec le temps, J.
Ec. polyt. Paris 14, Cah. 22, 20 A833).
93. Bartels, Churchill, Bull. Am. Math. Soc. 48, 276 A942).
94. Danckwerts, Trans. Faraday Soc. 47, 1014—1023 A951).
95. Newman, Ind. Eng. Chem. 28, 545 A936).
96. О 1 s о n, S с h u 11 z, Ind. Eng. Chem. 34, 874 A942).
97. Doetsch, Math. Z. 22, 293 A925).
98. Doetsch, Math. Z. 25, 608 A926).
99. Doetsch, Enseign. math. 35, 43 A936).
100. Titchmarsh, Fourier Integrals, Oxford, 1937, pp. 281—283. (Э. Титчмарш,
Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948, перев. с 1-го изд.)
101. Тихонов, Математический сборник 42, 199—216 A935).
102. Churchill, Am. J. Math. 61, 651 A939).
103. Mersman, Bull. Am. Math. Soc. 47, 956 A941).
104. Widder, Trans. Am. Math. Soc. 55, 85—95 A944).
105. Widder, Trans. Am. Math. Soc. 75, 510—525 A953).
106. Coop e r, J. Lond. Math. Soc. 25, 173—180 A950).
107. В i г k h о f f, К о t i k, Proc Am. Math. Soc. 5, 162—168 A954).
108. К a m p ё de F ё г i e t, С R. Acad. Sci. 236, 1527—1529 A953).
109. Fulks, Pacific J. Math. 2, 141—145 A952).
110. Fulks, Pacific J. Math. 3, 387—391, 567—583 A953).
111. H а г t m a n, W i n t n e r, Am. J. Math. 72, 367—395 A950).
112. Rayner, Quart. J. Mech. Appl. Math. 6, 385—390 A953).
113. Duhamel, J. Ec. polyt. Paris 13, Cah. 21, 356 A832).
114. Duhamel, J. Ec. polyt. Paris 19, Cah. 32, 155 A848).
115. Lame, Lecons sur la theorie de la chaleur, Paris, 1861.
116. Stokes, Camb. and Dublin Math. J. 6, 215—238 A851).
117. В о u s s i n e s q, Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1901.
118. Voigt, Lehrbuch der Krystallphysik, Leipzig, 1910.
119. Wooster, Text-book on Crystal Physics, Cambridge, 1949.
120. В б с h e r, Higher Algebra, Macmillan, 1924.
121. Thomson, Lodge, Phil. Mag. E) 8, 18 A879).
122. Stenger, Wied. An. 22, 522 A884).
123. С г a n d a 11, Physica 21, 251—252 A955).
124. Casimir, Rev. Mod. Phys. 17, 343—350 A945).
125. Onsager, Phys. Rev. 37, 405 A931).
126. Onsager, Phys. Rev. 38, 2265 A931).
127. Voigt, Gott. Nach. 223 A896).
128. S e n а г m о n t, С R. Acad. Sci. 21, 459, 707, 829 A847).
129. Von L a n g, Pogg. Ann. 135, 29 A868).
130. Roentgen, Pogg. Ann. 151, 603 A874).
131 В r i d g m a n, Proc. Am. Acad. Arts. Sci. 61, 101 A925).
132. H u m e - R о t h e г у, The Metalic State, Oxford, 1931, Chap. IV*

ГЛАВА И
ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА.
НЕОГРАНИЧЕННОЕ И ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛ©
§ 1. Введение. Простые решения уравнения
для линейного потока тепла
В этой главе мы рассмотрим различные задачи, в которых изотерми-
изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоско-
сти л; = 0, поток тепла линеен и линии тока параллельны оси х. Получаю-
Получающиеся результаты применимы и к задаче о потоке тепла вдоль прямолиней-
прямолинейного стержня малого поперечного сечения в отсутствие теплообмена на его
боковой поверхности. Задачи, в которых это условие не выполняется, рас-
рассматриваются в гл. IV.
После того как мы найдем решение для неограниченного тела, мы при-
приступим к детальному изучению многих важных задач о линейном тепловом
потоке в полуограниченном твердом теле, т. е. в твердом теле, которое
ограничено плоскостью х = О и простирается до бесконечности в положи-
положительном направлении оси л:. Во всех случаях предполагается, что терми-
термические характеристики тела во всех его точках одинаковы и не зависят от
температуры. Распространение этой задачи на переменные термические харак-
характеристики рассматривается в § 16 настоящей главы.
Уравнение для линейного потока тепла записывается в виде
Сначала укажем ряд простых решений этого уравнения *). В дальнейшем
все они будут встречаться во многих местах настоящей книги одновременно
с истолкованием их физического смысла.
I. Истокообразное решение.
Рассмотрим выражение
u=f2e"Axt. A.2)
Поскольку
dt
_ * с
ш
i!fi= * e-& | - c
dx2 2^V, ^ 4x3t4,
*) Связь между различными решениями уравнения A.1) дается в работе^!]*

58 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 1
выражение A.2) является частным решением уравнения A.1). Для этого
решения справедливы следующие соотношения:
а—*0 при t—>0 для фиксированного хфО,
#—>оо при t—>0 для л; = 0
и
оо
Г и dx = 2 (icx)Vl при всех t > 0.
—оо
Таким образом, его можно считать решением, соответствующим случаю
выделения количества тепла 2pc(icxI/l с единицы площади в плоскости х = 0
в момент времени / = 0.
Ясно, что ряд других решений уравнения A.1) получается дифферен-
дифференцированием (или в некоторых случаях интегрированием) выражения A.2)
по х или по t.
II. Решение в виде функции ошибок.
Как мы видим, уравнению A.1) удовлетворяет также
х
X 1 Х2 i 2(rt)xlt
0 0
Введем обозначение *)
X
Ф(х) = -ф=- f e-z2db A.3)
6
которым мы в дальнейшем всегда будем пользоваться, и покажем, что
дфГ х
где А — произвольная постоянная, является решением уравнения A.1).
Для «функции ошибок», определенной A.3), справедливы следующие
соотношения:
ф@) = 0, Ф(оо)=1, Ф(—х) = — Ф(х). A.5)
В приложении 2 приведены еще некоторые данные, а также таблицы
числовых значений. Мы будем часто пользоваться, кроме того, следующими
обозначениями:
ф* (jc) = 1 — Ф (а:), A.6)
оо
i<&*(x) = №*(x) = f <&*$)dt% A.7)
X
оо
i«O*(jc)= J i"-i<$*(l)dl n = 2, 3, 4, ... A.8)
X
III. .Решения вида tmf\ x .. 1.
LD^I/2J
Можно доказать, что выражение такого типа удовлетворяет уравне-
уравнению A.1), если /(г),служит решением дифференциального уравнения
*) Эту функцию иногда обозначают также символом erf. (Прим. ред.)

§ 2] гл. :т. линейный поток тепла 59
Это уравнение совпадает с уравнением A6) приложения 2, и поэтому,
если п — целое число, то выражение
п\Л\ A.10)
служит решением*) уравнения A.1).
IV. Решение в виде экспонент.
Простое дифференцирование сразу же показывает, что выражение
Рехр(хЛ2* ± Ах) A.11)
(где Р и А — постоянные), как действительное, так и комплексное, удовле-
удовлетворяет уравнению A.1).
V. Решение для установившегося состояния.
Для случая, когда v не зависит от времени, решение уравнения A.1)
записывается в виде
Ах-{-В, A.12)
где А и В — постоянные.
Было показано [6], что выражения A.4), A.11) и A.12) служат (если
не считать тривиальных их модификаций, например при замене х на х + а)
единственными решениями уравнения A.1), имеющими вид 0
VI. Решение в виде двойного степенного ряда.
Легко проверить путем подстановки, что выражение
12х2*2) + а5 (х5 + 20хл;3*
+ а6 (х6 Н- ЗОха:4^ + 180х2л:^2 + 120x3^3) + .. ., A.13)
где а0, av ...—постоянные, удовлетворяет уравнению A.1).
VH. Решение, содержащее две произвольные функции времени.
Выражение
^ Й " •- AЛ4)
где ср и ф — произвольные функции времени, а точки означают дифференци-
дифференцирование по t, удовлетворяет уравнению A.1). Для этого решения характерно
следующее: если л: = 0, то t/ = cp(?), а -г^- = ф (t).
§ 2. Неограниченное твердое тело. Решение Лапласа
Требуется найти решение уравнения линейного теплового потока A.1)
в бесконечной области — сю < х < оо с начальным условием
v = f(x) при ? = 0.
Обычное формальное рассмотрение этой задачи заключается в следую-
следующем: согласно A.2) данной главы
1
1
2 (тс*)
является частным интегралом уравнения A.1).
*) Рибо [2] и Нордон [3] отмечали, что для всех значений п решениями уравне-
уравнения A.9) служат функции Вебера. Эти вопросы, а также ряд других вопросов анало-
аналогичного типа рассматриваются Аппелем [4] и Гурса [5].

60
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
[§2
Далее, так как уравнение является
линейным, то сумма любого числа ча-
частных интегралов также является инте-
интегралом. Следовательно, функция
Рис. 4. Распределение температур в не-
неограниченной области, одна часть кото-
которой в начальный момент времени имеет
постоянную температуру V, а другая
часть — нулевую температуру.
а) Область | х | < а с начальной температурой,
равной V', б) внутренность цилиндра радиусом
г=а при начальной температуре v; в) внутрен-
внутренность сферы радиусом г*=а при начальной тем-
температуре V. Во всех случаях числа на кривых
указывают величины xt/a2.
(X-XrO
v—*ksffW~ ~Ш dx'
также удовлетворяет указанному урав-
уравнению при условии, что этот интеграл
сходится *).
Пусть
Тогда
сю
у tz •'
оо
В пределе, когда ^->0,
/ \х + 2 Y%t l) = f (x), если эта функ-
функция непрерывна; предполагается, что
предельное значение этого интеграла
дается выражением
оо
Л=. ff(x)e-Pdl.
которое равно f(x).
Итак, в момент времени t тем-
температура неограниченного твердого
тела, имевшего начальную температуру
v = f(x), записывается в виде
оо
Мы можем написать [11]
fe-*-
*2*2 cos 2bx dx =
—
«2
и, следовательно,
оо
cos a (Х' x)dd =
ехР
г
*) Для того чтобы функция v служила решением A.1), необходимо, чтобы этот
интеграл, а также интеграл от ее производных сходились равномерно. {Прим. ред.}

§ 2] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 61
Отсюда выражение для v можно записать в форме
со оо
¦I I dxr I f{x')cosa(xf — x)e~xaitdat B.2)
-оо О
которая напоминает форму интеграла Фурье C.2) для f (х).
Проведенное выше рассуждение было формальным, и поэтому необходимо рас-
рассмотреть условия для f(x), при которых оно справедливо. Было показано [10J, что
если функция f (х) ограничена и интегрируема в любом заданном интервале, а инте-
оо
грал I \f(x')\dx' сходится, то при t->0 функция с/, заданная выражением B.1),
— оо
имеет предел f(x), если эта функция непрерывна в точке х> или предел
¦о" [/ (х "г" Ф ~г" / (х — ^)], если она имеет в точке х разрыв первого рода. Кроме
того, если / (х) непрерывна в интервале [a, fj], то в этом интервале v равномерно
стремится к / (х) при t -> 0.
На самом деле полученные результаты справедливы и при менее строгих усло-
условиях для / (х)У например, если / (х) — любой полином или экспоненциальная функция,
т. е. если
где К и с — постоянные *).
Ниже приводятся некоторые практически важные результаты, полученные на
основе уравнения B.1).
1. Если в начальный момент времени область —а < х < а имеет постоянную
температуру, равную К, а область | х | > а — нулевую температуру **), то
На рис. А, а приведены некоторые численные значения величины v/V, получен-
полученные из выражения B.3) при различных значениях параметра rf/a2. Аналогичные
результаты, найденные для цилиндра с радиусом поперечного сечения а и сферы
радиусом а, находящихся прл постоянной начальной температуре, приведены соот-
соответственно на рис. 4, б и 4, в.
2. Если в начальный момент времени область — а < х < а имеет нулевую тем-
температуру, а область \х\ > а — температуру, равную V, то
-oo<x<oo. B.4)
3. Если в начальный момент времени область \х\ > а имеет нулевую температуру,
область а > х > 0 — температуру v = V (а — х)/а и область — а < х < 0 — темпера-
температуру v = V (а + хIа> то
*) Более общее обсуждение этих вопросов приведено в работах [5] и [7].
**) В работе [8] функция B.3) использована в качестве приближения для тем-
температуры в случае, когда плоский слой расплавленной горной породы вторгается
в другую породу при нулевой температуре. В этой работе приводятся графики функ-
функции B.3) в форме, пригодной для практического применения. Кроме того, в ней
используются функции B.9) и B.10) для случая цилиндрических и массивных интру-
интрузивных пород, а также выражение D.14) для случая течения лавы по поверхности
других пород (см. также [9]). О влиянии теплоты застывания горных пород
см. § 2 гл. XI.

62 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА J§ 3
4. Если плоскость х = О непроницаема для тепла, то решение принимает форму
оо оо
~ I dx' If (xf) cos ax' cos axe'™*' da. B.6)
6 6
6 6
5. Для двумерного и трехмерного случаев решения уравнения B.1) прини-
принимают вид
оо оо
v = -^ f f / (*', У') ехр [- (" "^^^ УJ] djc' rfy'. B.7)
—oo —oo
oo oo oo
v== III f (xf\ у'\ z') ex
— ОО — ОО —ОО
B.8)
6. Если в начальный момент неограниченный цилиндр | х ] < а, | у | < 6 имеет
постоянную температуру V» а окружающая его неограниченная область — нулевую
температуру, то
f/^L*) /?±*)Jff^) /J±y)l B.9)
7. Если в начальный момент параллелепипед \ х\ < а, \ у\ < b, \ z\ < с имеет
постоянную температуру V, а окружающая его неограниченная область — нулевую
температуру, то
( ) + ( a+x)\U( *-у
(e + *)]. B.10)
§ 3. Использование интегралов Фурье и преобразований Фурье
В § 2 настоящей главы отмечалось, что решение Лапласа может принять
форму B.2), которая связывалась с интегралом Фурье для f (х). Указанное решение
можно вывести также из интегральной теоремы Фурье. Для этого удобнее всего,
по-видимому, использовать преобразование Фурье. Мы приведем здесь краткое изло-
изложение данного метода и покажем, как он приводит к решению Лапласа.
Согласно интегральной теореме Фурье (см. [11], § 119), если f (х) определена
для всех jc, удовлетворяет условиям Дирихле *) в любом конечном интервале и если
существует интеграл **)
оо
f\/(x)\dx, C.1)
— ОО
оо оо
/ (х) = 1 f d4 f f(x') cos g (x — x') dx', C.2)
TO
*) Об условиях Дирихле см. § 93 в книге Карслоу [11]. Они удовлетворяются
функцией с конечным числом максимумов, минимумов и разрывов первого рода.
**) Это чрезвычайно жесткое условие сильно затрудняет использование инте-
интегральной теоремы Фурье в этой форме для практических приложений. Результаты
для более широкого класса функций можно получить при использовании обобщенных
интегралов Фурье [7] или преобразования Лапласа, причем последнее удобнее всего
применять в целом ряде задач, связанных с теплопроводностью.

§ 3] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 6 3
ИЛИ
оо оо
1 Г Г
/(*) = _ / drz I f(x')tost(x — xf)dx' C.3)
— OO —OO
во всех точках, в которых f (x) непрерывна, а в точке разрыва первого рода
1 г..
Так как
оо оо
— оо —оо
>) sln г (х - х>) dx' -0> C-4>
то из выражений C.3) и C.4) следует, что
оо оо
f (x)=i f e~iUcd* If (x>)ei%x'dx'- C5)
—oo —oo
Указанное соотношение является математическим выражением комплексной
формы интеграла Фурье. Ее можно записать следующим образом: если
оо
F (S) = -~ f elwf (x') dx', C.6)
— ОО
ТО
C.7)
Здесь функции F(t) и / (х) являются преобразованиями Фурье друг для друга; если
одна из них известна, то другая следует из соответствующей формулы C.6) или C.7).
Большое практическое значение имеют следующие два случая. Если / (х) —
нечетная функция х, то соотношение C.2) принимает вид
со оо
f(x)=^-j sin Чх ft I f (x') sin х'Ч dx'. C.8)
6 6
Иными словами, выполнение любого из соотношений:
оо
Fs (?) = |/"|- [ f С*') sin jc'S dx', C.9)
6
оо
»]/"^ /* ^,F) sin Ьс Л, C.10)
6
6
подразумевает справедливость другого. Функции Fs(?) и f (х) называются синус-
преобразованиями Фурье друг для друга.
Если же f (х) — четная функция jc, то выражение C.2) принимает вид
оо оо
= |- I coslxdt J f(x')<:osx'Zdx. C.11)
о о

64 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 4
Иными словами, выполнение любого из соотношений:
с»
F* (О = |/~ / / (*') c°s x'l dx\ C.12)
6
/ <Э cos g* rfg, C.13)
о
подразумевает справедливость другого. Функции Fc(?) и f(x) называют косинус-
преобразованиями Фурье друг для друга.
Теперь мы покажем, как соотношения C.6) и C.7) можно формально применить
к задаче, поставленной в § 2 настоящей главы, т. е. для решения уравнения
d2v I dv
1х1[="Ч~Ж' —<х><х<со, *>0, C.14)
при
t/ = /(jc), —oo<jc<oo, * = 0. C.15)
Отметим, что функция
ехр(—&* — rJzH) C.16)
удовлетворяет уравнению C.14) при любых значениях g. Примем, что общее решение
C.14) и C.15) записывается в виде
оо
1 Г
v (jc, t) = —— I exp (— ibc — %S20 cp (g) dg. C.17)
— CO
При * = 0 получим
оо
/ (x) = -|=- У exp (- Их) <t E) d5.
— оо
Поэтому, согласно выражению C.6),
оо
<Р(?) = -Т=- [exp{iix')f(x')dx'.
Подставляя его *в C.17), получим
v(JC> f) = ^г /ехр("хе2'~/U)rfe /(expiixt)f {х)dx'
—
оо
2^ [/(x')dx'
Конечно, для обеспечения строгости нашего анализа необходимо провести даль-
дальнейшие рассуждения. В книге Титчмарша [7] рассматривается случай, когда f (х)
является экспоненциальной функцией.
§ 4. Полуограниченное тело с начальной температурой f(x)
и нулевой температурой поверхности
Пусть твердое тело ограничено плоскостью х = 0 и простирается до бес-
бесконечности в положительном направлении оси х, причем его начальная тем-
температура задана соотношением v = f(x), а плоскость х = 0 поддерживается
при нулевой температуре. Решение такой задачи можно получить из решения,
найденного для неограниченного твердого тела.

§ 4] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 65
Пусть исследуемое тело продолжено в отрицательном направлении оси х
и пусть его начальная температура в точке —л:/(х/>0) равна —/С*')»
а начальная температура в точке xf равна / (х'). При таком распределении
температур температура плоскости х = О остается равной нулю. Тогда
из соотношения B.1) получим
v=—Д=г| ff(x')exp\—
2/™/ F *•
о
fi-f (-
Ясно, что эта величина г; удовлетворяет всем условиям задачи о полу-
полуограниченном твердом теле, ограничивающая плоскость которого поддержи-
поддерживается при нулевой температуре.
Выражение D.1) для температуры можно преобразовать, как и в § 2, следую-
следующим образом:
оо оо
v = y I dx' j f(x')[cosa(x' — x) — cos а (х'-\-х)]е-хаЧ da =
0 6
OO OO
= — / dx' I f (x') sin ax'sin axe-xaV da, D.2)
о о
т. е. в форму, подсказываемую соотношением C.8). Так же как и в § 3 (неограни-
(неограниченное тело), этот результат легко получить и в данном случае, используя синус-
преобразования Фурье C.9) и C.10).
Если начальная температура постоянна и равна V, то соотношение D.1)
можно упростить, подставляя xr = x -\- 21 y*t в первую его часть,
—во вторую. Тогда мы получим
Vxt 2Vxt
V I"
V-
V
f
2Vxt
Этот интеграл совпадает с A.3) данной главы, и поэтому решение
задачи о полуограниченном твердом теле, поверхность которого поддержи-
поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура равна V, имеет вид
D.3)
Полученный результат можно вывести непосредственно из выражения A.3),
так как из свойств функции ошибок следует, что она удовлетворяет нашему
дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям.
Важно отметить, что в этом случае, т. е. в случае постоянной начальной
температуры и нулевой температуры поверхности, полученный результат D.3)
5 Г. Карслоу, Д. Егер

66 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
зависит только от одного безразмерного параметра
X
[§4
D.4)
Это позволяет легко сравнивать температуры в различные моменты вре-
времени и в различных точках твердых тел, обладающих различной темпера-
температуропроводностью. Аналогичные результаты справедливы и для часто ветре-
чающихся величин скорости охла-
охлаждения и градиента температуры
в любой точке.
Скорость охлаждения в любой
точке записывается в виде
0,6
0,2
J
/
г
/
X
^—
ч
—
dv
dt
Vx -4т
D.5>
Температурный градиент в лю-
любой точке — в виде
V --J-7
= г е
dv
дх
Переходя к параметру
получим
D.6)
V
dv
dv
Рис. 5. Графики функции Ф [х/2 У~тЗ] (кри-
(кривая /) и функции [х/2 У^уп] ехр [— x2/4tt]
(кривая //).
dt
2V дх
ir^ —^——- 0
X'
' 4%t
D.7>
D.8>
Численные значения этих величин приведены в приложении 2; кроме того*
они показаны в виде кривых / и // на рис. 5. Кривая // имеет максимум*
равный
V*
=0,4288
V2 '
D.9>
Из соотношения D.7) следует, что для любого вещества время, необ-
необходимое для достижения заданной температуры в какой-либо точке тела*
пропорционально квадрату расстояния этой точки от поверхности тела.
Кроме того, время, необходимое для достижения в данной точке заданной
температуры, обратно пропорционально температуропроводности.
Например, из рис. 5 или из таблицы приложения 2 следует, что
._!„
при
iy*t
В серебре, для которого х=1,72, температура достигает указанной
величины на глубине 1 см через 0,64 сек\ в висмуте, для которого х = 0,07,
это произойдет через 15,7 сек, а в грунте, для которого х== 0,0047, — через^
234 сек. Для глубины 10 см соответствующие промежутки времени окажутся
в 100 раз больше.

§ 5) ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 67
Наконец, мы приведем некоторые результаты, имеющие большое значение для
практики. Их легко получить из соотношения D.1).
1. Если на границе jc = O поддерживается постоянная температура V, а началь-
начальная температура равна нулю, то
- ф Т77=- ) = Уф* -7^7=Г • DЛ°)
Это легко получить, вычтя из v = V прет х > 0, t > 0, которое является решением
дифференциального уравнения теплопроводности, решение D.3) для начальной тем-
температуры V и нулевой ^температуры поверхности. ' '
Тепловой поток на поверхности равен
*' D.11,
причем при t->0 это выражение стремится к бесконечности.
2. Если в начальный момент времени область х > 0 имеет постоянную темпе-
температуру V, а область х < 0— нулевую температуру, то
— V {
2 1
1 + Ф^=Ч, -со<л:<аэ. D.12)
3. Если в начальный момент времени область х > О имеет температуру V-\-kx,
а плоскость х = 0 поддерживается при нулевой температуре, то
_
D.13)
4. Если в начальный момент времени область 0 < х < d имеет постоянную тем-
температуру V, а область х > d — нулевую температуру, причем для t > 0 поверхность
х = 0 сохраняет нулевую температуру, то
1/ = — Ю 2Ф л Ф л Ф -J—— I. D.14)
2 1 2(*)V* 2@/2 2@/2 )
Ф -J—— I
2(*0/2 )
5. Если в начальный момент времени область а< х < b имеет постоянную тем-
температуру V, а области 0<jc<a и х > Ь — нулевую температуру, причем для t > 0
поверхность х — 0 сохраняет нулевую температуру, то
— KJ Ф — 4-Ф !— Ф Ф L_— I D.15)
2 I 2 (*)V* 2 (ОV» 2 (х*I/* 2 (iI^ J
§ 5. Полуограниченное твердое тело. Начальная температура
равна нулю. Поверхность находится при температуре ср(О
Выше мы видели (см. § 14 гл. I), что из решения для случая постоян-
постоянной температуры поверхности можно, пользуясь теоремой Дюамеля, получить
решение и для случая переменной температуры поверхности.
Для полуограниченного твердого тела, когда v должно удовлетворять
уравнениям
dv d2v
dt — х дх* '
v = 0 при * = 0
и
v= 1 при х = 0
решение D.10) принимает вид
2Vxt

68 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 5
Если же
dv _ d2v
dt ~ * дх2 f
v = О при t = О
при * = 0,
то из соотношения A4.10) гл. I следует, что решение имеет вид
t
д
о
оо
где
В этом случае
— г (а:, г — К) = —. ехр —
dt V* V 4х(^ —X) J ^
(^ — X)»
Следовательно, решение нашей задачи записывается следующим образом:
Положив
получим
со
1^^ ./ У\
2Vxt
Отсюда ясно, что наше решение удовлетворяет дифференциальному
уравнению, а также начальным и граничным условиям.
Ниже приводятся некоторые специальные случаи, представляющие практический
интерес *).
1. <р (t) = Vo (постоянная) при 0 < t < 7\ <р (t) = Vx (постоянная) при t > Т,
^) . 0 < t < Т. E.2)
*) Эти результаты проще всего получить при помощи преобразования Лапласа
(см. § 4 гл. XII).

§ 5] гл. и. линейный поток тепла 69
2. <р (t) = ktt где k — постоянная *)
H(i?MwOir} E-4>
т. е.
() E-5)
Обозначения, используемые в соотношениях E.5), E.7) и E.8), см. в прило-
приложении 2.
3. <р (t) = к№, где k — постоянная.
{^ }} E.6)
т. е.
Как будет показано в § 9 настоящей главы, приведенное выражение соответ-
соответствует температуре поверхности при постоянном тепловом потоке с этой поверхности.
7 п
4. y{t) = kt , где п — любое положительное целое число (четное или не-
нечетное).
При использовании выражения E.8) температуру на любой глубине для случая, когда
температура поверхности является полиномом от t или от *1уЧ можно записать в виде
табулированных функций. Следует отметить, что полиномом от fl* можно пользо-
пользоваться при эмпирическом представлении наблюдаемой температуры поверхности,
так как член, содержащий ^2, соответствует постоянному тепловому потоку с по-
поверхности (см. § 9 данной главы).
5. ср (t) = ext, где X — постоянная (положительная или отрицательная).
е'Х ^ Ф* \-4= -УП] +/^Ф* Г—^ + yjt] 1. E.9)
L2^ J^ L2^^r JJ v
jt] 1.
JJ
Функции ошибок с комплексным аргументом, используемым в очень важном
случае отрицательной X, были совсем недавно затабулированы (см. приложение 2).
Решение для положительных значений X используется в гл. IV.
Мы можем решить задачу о полуограниченном твердом теле с начальной тем-
температурой / (х) и температурой поверхности <р (t)t положив
v = u-\-w.
Здесь и удовлетворяет уравнению
при условии
a w — уравнению
да
dt
а
и
д2и
дх2
= 0в начальный
: = <р (t) при х =
dw d2w
F~"X дх2
момент,
= 0,
*) Линейное увеличение температуры поверхности представляет большой инте-
интерес для некоторых практических приложений (см. [12, 13]).

70 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ б
при условии
w = / (х) в начальный момент,
w = 0 при л: = 0.
Иными словами, а служит решением задачи, рассмотренной выше, a w — решением
задачи, приведенной в § 4 данной главы.
§ 6. Полуограниченное твердое тело. Температура поверхности
является гармонической функцией времени
Задачи о теплопроводности твердого тела с периодически.изменяющейся
температурой на поверхности представляют весьма большой практический
интерес. Подобные задачи встречаются в следующих случаях: а) при иссле-
исследовании колебаний температуры коры Земли, периодически нагреваемой
Солнцем (см. § 12 настоящей главы); б) при работе на различных экспери-
экспериментальных установках для определения температуропроводности (см. § 12
настоящей главы, а также §§ 4 и 8 гл. IV); в) при вычислении периодически
изменяющихся температур (а следовательно, и соответствующих термических
напряжений) в стенках цилиндров паровых машин [14, 15] и двигателей
внутреннего сгорания и, наконец, г) в теории автоматических систем регу-
регулировки температуры.
Если температура на поверхности полуограниченного тела х > 0 задается
выражением v = A cos (о>/ — е), а начальная температура равна нулю, то
из E.1) следует, что наше решение запишется в виде
оо
Как мы знаем,
и поэтому F.1) можно записать в следующей форме:
l
-jl
<6-2'
Второй член в правой части соотношения F.2) соответствует нестацио-
нестационарному возмущению *), обусловленному началом колебаний температуры
поверхности в момент времени /^0; при достаточно большом t этот член
*) В § 7 гл. XII приведена другая форма. Если начальная температура твердого
тела равна не нулю, a f (х), то в соотношение F.1) нужно добавить член, соответ-
соответствующий решению задачи о полуограниченном твердом теле при заданной начальной
температуре и нулевой температуре на поверхности (см. § 4 данной главы); при до-
достаточно больших t этот член также должен становиться пренебрежимо малым.

§ 6] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 7\
исчезает. Оставшийся первый член соответствует установившимся колебаниям
с периодом —. Прежде чем приступить к дальнейшему обсуждению, при-
приведем другой вывод [16, 17], в котором мы будем исходить из дифферен-
дифференциального уравнения
d2v I dv n /R ~
Будем искать решение уравнения F.3) в виде
v = uel «°'-шК F.4)
где и — функция только х. Это решение должно иметь период, равный 2тс/о).
Подставляя F.4) в F.3), мы находим, что и должно удовлетворять урав-
уравнению
d2u /<о /с Сч
-I—* = — «• F.5)
dx2 х v J
Уравнение F.5) имеет следующее решение, ограниченное при х—>оо:
и = Аехр [-х |/^Г ] = Лехр [-*A +/) ]/"-? ] .
Таким образом, решения уравнения F.4) с периодом 2тс/со запишутся
в виде
v = Ae~k*x cos (Ы — е — k*x) F.6)
или
v = Ae~k*x sin (o>/ — е — /г*д;),
где
*=(?)*- F-7)
решение, которое при л:==0 соответствует величине Acos(wt — е), имеет вид
v = Ae~k*x cos (Ы — Л*д; — е). F.8)
Соотношение F.8) представляет температурную волну с волновым
числом k* и длиной волны X, которая определяется выражением
где п — частота, равная — .
Для типичных горных пород, для которых х = 0,01, длина волны при-
приблизительно равна 2,7 см при частоте 1 колебание в 1 мин, 1 м при 1 ко-
колебании в 1 день и 20 м при 1 колебании в 1 год. Для металлических
проводников, для которых х=1, длина волны равна 3,5 см при 1 колеба-
колебании в 1 сек и 27 см при 1 колебании в 1 мин, а для металлов при темпе-
температуре, близкой к абсолютному нулю, для которых х равно по порядку
величины 104, длина волны равна II см при 1000 колебаниях в 1 сек. Эти
данные очень важны для измерений методами, основанными на периодическом
нагреве. Обычно наблюдения проводят на расстоянии порядка длины волны,
что и определяет требуемую частоту. Использование области звуковых частот
для металлов при очень низких температурах привело в последнее время
к значительному развитию этих методов [18].
Перечислим важнейшие свойства периодической функции температуры
е установившемся режиме.

72 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
1. Амплитуда колебаний температуры уменьшается по закону
-ххле: jul
л — k*X — о * 2х о ^
[§6
F.10)
и, следовательно, падает тем быстрее, чем больше со. Если на поверхности
тела задать температуру в виде ряда Фурье (см. F.17)), то по мере пере-
перемещения внутрь тела более высокие гармоники исчезают чрезвычайно быстро.
На расстоянии одной длины волны амплитуда уменьшается в ехр[—2тс] =
= 0,0019 раз и, значит, волны очень быстро затухают. Отсюда следует, что
для полуограниченного тела
10
данное решение можно исполь-
использовать для проводника, тол-
толщина которого составляет одну
или две длины волны.
2. Фаза температурной
волны запаздывает по закону
1
О
-as
-го
Рис. 6. Изменение температур на различных глу-
глубинах тела при температуре поверхности, являю-
являющейся гармонической функцией времени.
k*x = x \~
F.11)
Это запаздывание увеличи-
увеличивается с возрастанием со.
3. Температурные колеба-
колебания (например, положение ма-
максимума и минимума темпера-
температуры) распространяются внутри
твердого тела со скоростью
BхсоJ
F.12)
Из выражений F.10), F.11) и F.12) следует, что для определения тем-
температуропроводности х достаточно измерить амплитуды или ф^зы волны на
расстоянии х или скорость распространения волны.
Тепловой поток F на поверхности исследуемого тела равен следующей
величине:
FЛЗ)
Таким образом, в установившемся режиме температура в полуограни-
полуограниченном твердом теле, которое нагревается в результате поступления на
его поверхность х = 0 периодически изменяющегося теплового потока
Fo cos (Ы — е), выражается в виде
v =
cos Lt — k*x — e — -
[ 4
F.14)
Амплитуда данной функции содержит термические параметры в комби-
комбинации /Срс, что позволяет измерить эту величину.
В соотношение F.8) входят безразмерные параметры
х = ш/.
F.15)

§ 6]
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
73
Следовательно, если мы выберем начальный момени времени так, чтобы
8 = 0, то соотношение F.8) можно записать в виде
/($, t) = ?-ScOS(t $). F.16)
На рис. 6 приведен график зависимости /(?, т) от т для величин ?,
равных 0, -?-, .... -д-. По мере возрастания ? увеличивается как отставание
по фазе, так и затухание
амплитуды, что отмечалось
уже выше.
На рис. 7 представлен
график зависимости /E, т)
от ? для величин х, равных 0,
4г,..., тс- Эти кривые по-
о
казывают распределение
температур по глубине тела
в различные моменты вре-
времени. Семейства кривых,
аналогичных указанным на
рис. 6 и 7, часто полу-
получаются как результаты
экспериментов (см. ссылки
в § 12 настоящей главы).
Если температура по-
поверхности является перио-
периодической функцией вре-
времени ср (t) с периодом —, то мы можем получить решение нашего уравне-
уравнения, разлагая эту функцию в ряд Фурье:
Рис. 7. Распределение температур по глубине тела
в различные моменты при температуре поверхности,
являющейся гармонической функцией времени.
ср(t) =AQ-\-Al cos (at — Sj)-f- A2 cosBotf — e2) + ...
Используя формулу F.8), получим решение в виде
F.17)
F.18.
при условии, что, как и раньше,
мало.
В качестве примера рассмотрим случай, когда температура поверхности
задается следующим образом:
2гТ
= 0, 1, 2, ...
3.19)
Тогда
я=0

74
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
Отсюда следует, что при установившемся состоянии периодически изме-
изменяющуюся температуру можно записать в виде
4V \Г\
1
ехр —
л=0
X
ГBя
L
+1)«*
F.20)
Г . ~\ 2*7-
На рис. 8 представлен график зависимости v/V от ? для величин
V x7" ' Равных ^; О»^; *'0; ^.0. На графике ясно видно, как по мере
О
продвижения в глубь твердого
тела более высокие гармоники
исчезают и «прямоугольная» волна
постепенно становится синусои-
синусоидальной.
Наконец, можно указать на ана-
аналогию с теорией передающих ли-
линий. Для общности мы рассмотрим
стержень с сечением Q при отсутст-
отсутствии потерь тепла с боковой поверх-
поверхности *). В этом случае темпера-
температура v и тепловой поток в стержне/
должны удовлетворять уравнениям
^ dv д/ . .,_ dv
Рис. 8. Изменение температур на различных
глубинах тела при температуре поверхности,
описываемой «прямоугольной» волной.
F.21)
Эти уравнения совершенно иден-
идентичны уравнениям, которым удовле-
удовлетворяют потенциал v и ток / в пере-
передающей линии с последовательным
1
сопротивлением -т~г и параллельным
емкостным сопротивлением Qpc на единицу длины, а также в линии с нулевой индук-
индуктивностью и неидеальной изоляцией («подводный кабель»).
Теория такой линии в установившемся периодическом режиме хорошо известна
и ею можно сразу же воспользоваться. Это означает, что усложненную термическую
схему можно описать методами теории электрических цепей. При выбранных нами
обозначениях **) последовательный импеданс на единицу длины линии запишется
в виде Z= -QJ7-> а шунтирующий адмиттанс — в виде К = /со2рс. Характеристический
импеданс линии Zo задается соотношением
ZQ=\ — \' =
1
1
F.22)
а постоянная распространения 7 — соотношением
Величины / и v в любой точке полуограниченной линии получаются из выра-
выражений
F.23)
выра-
F.24)
*) Случай, когда имеет место теплопередача с поверхности, пропорциональная
температуре, аналогичен случаю утечки в подводном кабеле.
**) См. любую работу по теории электрических цепей, например книгу Слей-
тера [19].

§ 7] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 75
Эти результаты совпадают с полученными нами ранее (см. F.8) и F.13)). Дан-
Данный метод был очень подробно разработан Маркусом [20], который использовал ме-
методы, развитые в теории волноводов, для исследования влияния изменения попереч-
поперечного сечения проводника на температурную волну.
§ 7. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на поверхности
в среду с нулевой температурой. Начальная температура постоянна *)
Когда начальная температура постоянна и равна V, уравнения для v
имеют вид
dv_ d2v
dt ~~- * dx2 '
v = V при ? = 0,
' = 0 при л; = 0.
Пусть
1 dv
T h дх
Тогда
cp = V при ? = 0,
ср = 0 при л: = 0.
Поэтому на основании соотношения D.3)
мы замечаем, что при х—>оо функция ср (л:, t) имеет предел V.
Для определения v мы имеем уравнение
их
Отсюда, интегрируя это уравнение обычным путем, находим
х
v = Cehx — hehx fcp(?, t)e~Kdt
оо
Положив ? = лг + т}, получаем
оо
v = Cehx + h Г ср(л:-)-7), t)e-h4d*r\.
о
Однако при л;->оо, ср(лг, t) имеет пределом V и, кроме того, v должно
оставаться конечным; поэтому С должно равняться нулю. Следовательно,
*) Случай, когда начальная температура является функцией /U). разобран
$ 2 гл. XIV.
в §

76 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
решение нашей задачи запишется в виде
[§ 7
= 1™ fe->
лГъ J
2V%T
>,-u* du
Отсюда
.„о
2V
2V7F
— e-hri j e-a2
J dt\
f e-u2du
2Vxt
CO
o4. , V Г Г /и] — (лг + т)I .
— a?)da-\— / exp ¦—~т-^—— \dy\ =
от/ /* i/
= 4= / exp(-flVg+ /•—
1 0
Положим во втором интеграле
тогда
X
2V
= 2
v = -===- / exp (— a2) da -f- тт^ exp (Aa: + h4t) / exp (— w2) da =
1/ ТС е/ Г Я ']
2V Г
6
Поэтому
X+2fixt
2Vxl
ут
2VxT
j e~u*da— f e-u2da
) GЛ)
где Ф(л:) и Ф*(^) — интегралы, определенные в приложении 2.
Температура на поверхности твердого тела vn, которую можно получить»
положив ^ = 0 в соотношении G.1), записывается в виде
_^п = еыф* (Д Y^f). G.2)
В приложении 2 приведена краткая таблица значений этой функции. Для
больших значений времен величина vJV определяется, согласно выражению E)
приложения 2, по приближенной формуле
рп _ 1 f 1 ^. 1 | 3 1 п
V hV™* \ 2кЫ "^ 4hHH2 '")
Таким образом, по истечении значительного времени после начала охла-
охлаждения температуру поверхности можно считать равной
V G.4)
с ошибкой, меньшей, чем V/2A3 (rcx3/3)!/l.

§7]
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
77
Для задачи о полуограниченном твердом теле с нулевой начальной
температурой, которое нагревается вследствие теплообмена на гра-
границе х = 0 со средой, имеющей температуру V, решение записывается
в виде
Это решение можно выразить в виде функции любых двух из следую-
следующих безразмерных параметров:
fix.
G.6)
Любая из выбранных пар обладает своими преимуществами. На рис. 9
представлен график зависимости отношения v/V от lg[*(*O)l/f] для величин
x/2Y%t , равных 0; 0,1; ...; 1,5.
В § 9 гл. I отмечалось, что граничные условия третьего рода, харак-
характеризующиеся теплообменом на границе, имеют место в различных случаях,
а именно при теплоотдаче вслед-
вследствие вынужденной конвекции или г-°
излучения, а также при теплопе- v/v
редаче через тонкую поверхно-
поверхностную пленку. В первых двух 41
случаях величины h можно полу-
получить из формул, аналогичных при-
приведенным в § 9 гл. I, и тогда 4t
температуру полуограниченного
твердого тела в любой его точке
и в любой момент времени можно ^
найти из соотношения G.5).
Представляет интерес оценить
эффект тонкой поверхностной пленки
из плохого проводника и сравнить
результаты, полученные из соотно-
соотношения G.5) для этого случая, с ре-
результатами, найденными в предполо-
предположении, что поверхность je = O под-
поддерживается при температуре V при
всех t > 0 (см. § 4 настоящей главы).
Граничное условие, требующее по-
постоянной температуры на поверхно-
поверхности исследуемого тела, использова-
0,2
к
///////
у
-
^-—1
1
*-—
=====
0.7
0.2
О.Э
ОА
0,6
0.7
О,д
0,9
7.0
1. 1
S"
Рис. 9. Распределение температур в полу-
полуограниченном твердом теле при теплообмене
на его поверхности.
лось в теории теплопроводности значительно чаще, чем любое другое граничног
условие. Однако на практике оно обычно не выполняется, так как, вообще говоря,
при х = 0 контакт не идеален, и поэтому температура V на этой поверхности устана-
устанавливается не мгновенно. Желательно знать, с какими ошибками нам приходится иметь
дело в таком случае.
Рассмотрим на твердом теле поверхностные пленки воздуха, вазелина, воды и
ртути толщиной 0,001 см\ величины коэффициента теплообмена Н указаны в таблице,
приведенной на стр. 28. В качестве твердых тел рассмотрим хороший проводник,
серебро (К =1,001, %= 1,716), плохой металлический проводник, висмут (/(= 0,020,
ос = 0,0699) и плохой неметаллический проводник, стекло (К =0,0028, % = 0,0058).
Пусть х = 1 см во всех трех случаях, а время t выберем равным 0,64 сек, 15,7 сек
и 189 сек соответственно; тогда для всех трех твердых тел величина —?=г равна 0 477
2V*t
а величина v/V для постоянной температуры поверхности равна 0,5. Ниже приведены
величины v/V, найденные по формуле G.5) для различных поверхностных пленок.

78
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА
[§ 8
Вещество
Серебро . . .
Висмут . . .
Стекло . . .
Величины vIV
постоянная
температура,
#»оо
0,5
0,5
0,5
*) См. примечание на
воздух,
Я = 0,053
РРР
стр. 28.
контакт под не-
небольшим давле
нием *),
#=0,07
0,029
0,394
0,483
вазе-
вазелин,
#=0,44
0,145
0,481
0,497
вода,
#-1,44
0.295
0.494
0,499
та
0,479
0.500
0,500
Из этой таблички видно, что в случае хорошего проводника с поверхностной
пленкой из плохо проводящего материала влияние пленки оказывается весьма замет-
заметным; в случае же плохо проводящего твердого тела влияние поверхностной пленки
на результаты становится значительно меньше.
§ 8. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на поверхности
в среду с температурой f(t). Начальная температура равна нулю
В этом случае температура v должна удовлетворять уравнениям
dv_ d2^
dt * dx2 *
-т— -+- hv = hf (t) при х = О,
v = 0 при ? = 0.
Поступая так же, как и в предыдущем параграфе, положим
1 dv
Тогда получим следующие уравнения для определения ср:
дер д2ср
при х = 0,
ср = 0 при t = 0.
Эти уравнения уже рассматривались в § 5 настоящей главы, и мы ви-
' дели, что
Отсюда, так же как и в § 7, имеем
(8Л)
Представляют интерес следующие специальные случаи.
1. / (t) = А (постоянная), 0 < / < Т, f(t) = B (постоянная), t > Т.

§ 9] гл. и. линейный поток тепла 79
Здесь
{^^[^ }. 0<t<T, (8.2)
v=A<b*[ *-) + (В — А)Ф*(— X ) —
- A exp (hx + h**t) Ф»( —?=- + h V^f ) -
] <>Г. (8.3)
2.
Здесь
k «-"''•rsin (mt + t — ы'х — Ь) +
22
2х/г /* (q> cos s — %tf2 sin s) (ц cos tfjc -{- h sin
"Т~./ (х2а4 + С02)(
0
где .' - /? , a » [i^T]
Первый член в соотношении (8.4) представляет собой установившееся периоди-
периодическое решение и обладает теми же свойствами, что и решение F.6).
§ 9. Полуограниченное тело. Тепловой поток на границе х = 0
является заданной функцией времени. Начальная температура равна нулю
7. Тепловой поток Fo (в единицу времени через единицу площади)
постоянен. Функция
& <9Л)
удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению для V,
т. е.
Воспользовавшись соотношением D.10), мы получим решение уравне-
уравнения (9.2) при условии
f = F0 (постоянная), х = 0, t > 0, (9.3)
в виде
Таким образом, используя соотношения (9) и A1) из приложения 2,
получим из выражения (9.1) /
или
(9.6)

80 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 9
или, наконец,
Таблица значений функций i<P*(jc) приведена в приложении 2. Темпера-
Температура при х = О оказывается равной
'"'%\ (9.8)
Граничное условие, характеризуемое постоянным тепловым потоком,
представляет значительный практический интерес. Оно встречается при гене-
генерировании тепла в результате пропускания электрического тока через плоский
нагревательный элемент, при выделении тепла вследствие трения; кроме того,
оно приближенно выполняется в ранних фазах процесса нагрева печи или
помещения. Это граничное условие имеет также большое значение в задачах
диффузии. Процесс охлаждения поверхности Земли после захода Солнца
в ясную безветренную ночь [21] весьма похож на процесс отдачи тепла при
постоянном потоке тепла (в единицу времени через единицу площади), и,
следовательно, выражение (9.8) показывает изменение температуры поверх-
поверхности Земли после захода Солнца.
Приведенные выше результаты применимы также к области —оо < х < оо,
когда в плоскости х = 0 тепловой поток равен 2/70. Соответствующие
результаты для случая, когда области х > 0 и х < 0 состоят из различных
материалов, будут приведены в § 15 данной главы.
2. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. На плоскости
х = 0 тепловой поток равен f (t). В данном случае
Это следует из соотношения (9.5) и из теоремы Дюамеля (см. § 14 гл. I).
3. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. В течение некото-
некоторого времени Т на плоскости х = 0 тепловой поток поддерживается постоянным
и равным Fo. По истечении этого времени поступление тепла прекращается, и
граница х = 0 термически изолируется. Если 0 < t < 7\ то температура в момент
времени t определяется по формулам (9.6) или (9.7); если же t > 7\ то она равна
следующей величине:
_ {f - Т)Ч> \Ф* l—rj—^ и-) }. (9.10)
Указанная температура будет наблюдаться в опыте, в котором в неограничен-
неограниченную среду погружен плоский электронагревательный элемент, выделяющий в единицу
времени через единицу площади количество тепла, равное 2F0, и включенный в те-
течение времени 7\ а затем выключенный.
4. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. В течение некото-
некоторого времени Т на плоскости х = 0 тепловой поток *) поддерживается рав-
равным Kfrntyt*. По истечении этого времени поступление тепла прекращается
и ограничивающая поверхность изолируется. В момент времени t температура
*) Это соответствует количеству тепла, которое должно поступать в единицу
времени через единицу площади для того, чтобы поддерживать температуру на по-
поверхности, равной единице (см. D.11)). Интеграл (9.12) затабулирован в работе [22].
Вопрос о минимальном количестве тепла, которое необходимо для заданного повы-
повышения температуры в расчетной точке применительно к методам нагрева, рассмотрен-
рассмотренным в пунктах 3 и 4, разобран в [23].

§ 9] ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 81
на границе х = 0 будет равна
t/=l, 0<t<Tt \
2 (Т \Т <9Л1>
v = — arcsin -—I » *>Г.
Эта температура совпадает с температурой поверхности полуограниченного
твердого тела для случая, когда его граница х = 0 в течение некоторого времени Т
поддерживается при температуре, равной единице, а затем изолируется.
Температуру v для любого х при t > Т можно получить из выражения (9.9)
в виде определенного интеграла:
1 Г Г х2 1 dx 2 Г
v~j expr"i^^"J^(^,)Va=^ /
—У
t-T)
х2 A + и2) 1 da
— \Т
j /
(9.12)
5. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. Тепловой поток
на плоскости х = 0 для * > 0 равен sin (о>* -f~ e). В данном случае
си
х.^2 sin ? — о) cos s) cos ц^ ^_хи2/ du
Как и прежде, первый член в правой части (9.13) представляет собой устано-
установившееся периодическое решение, а второй — неустановившееся.
6. Тепловой поток на плоскости х = 0 записывается в виде
~(±) при
= — sino)^ — I— при
Тогда периодическая компонента температуры для любого jc в момент времени t
равна следующей величине:
пК* пDя1)
/1= 1
Полученный результат можно рассматривать как некоторое приближение [21] *),
описывающее нагревание Солнцем поверхности Земли в равноденствие; первая строка
в соотношениях (9.14) соответствует условиям в ночное время, вторая — условиям
в дневное время.
7. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. При t > 0 тепловой
поток внутрь твердого тела равен Fot , где п может равняться —1, 0 или
какому-нибудь положительному целому числу. В этом случае
1п+1Ф* Х-ТГ. (9.16)
2 (*O*
/С
*) В работе [24] получены результаты для любых высот и любых времен года.
Егер рассмотрел случай, когда поверхность излучает тепло как абсолютно черное
тело [25, 26].
6 Г. Карслоу, Д. Егер

82 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 1 1
Функция 1пФпх определяется в приложении 2. Температура на поверхности равна
<9Л7>
§ 10. Применение полученных результатов к определению
теплопроводности
В математической задаче о полуограниченном теле с начальной температурой,
равной нулю, и границей х = 0, поддерживаемой при единичной температуре, темпе-
температура в момент времени t, согласно D.10), записывается в виде
Таким образом, из наблюдения температуры в любой точке хх в момент вре-
времени tx можно по таблице функции ошибок (см. приложение 2, табл. 1) определить
величину — * , а следовательно, и величину %. Трудность использования этого
метода заключается в следующем: обычно конец стержня х = 0 нагревают, омывая
его потоком жидкости постоянной температуры; однако эксперименты показали, что
он при этом не сразу принимает температуру жидкости. Таким образом, математи-
математическое выражение условий эксперимента следует рассматривать только как некоторое
приближение [27, 28]. Учитывая приведенные выше соображения (см. стр. 77), можно,
по-видимому, считать, что указанное приближение оказывается вполне приемлемым
для плохих проводников, но для хороших проводников оно может привести к значи-
значительным ошибкам, и в этом случае при организации эксперимента следует принимать
специальные меры предосторожности, например значительно увеличивать скорость,
с которой жидкость обтекает твердое тело [29].
Было сделано множество попыток избежать подобных трудностей. Кирхгоф
и Ганземанн [30, 31] предположили, что температуру при х = 0 можно представить
в виде суммы С + <р(О, где С —константа, а <р@ — функция времени, которой
можно пренебречь во всех случаях, за исключением случая малых t. Величину С
следовало определять из данных о температуре в непосредственной близости от на-
нагреваемой границы, не считая ее равной температуре нагревающей жидкости. В одной
из модификаций этого метода предполагалось, что температуру поверхности можно
представить в виде С A — eat), причем а должно быть велико.
В другом методе рассмотрения той же задачи [32—34] исследовалось изменение
во времени температуры в двух точках. Действительные условия на границе х = 0
использовались только для получения решения в удобной математической форме.
Целый ряд математических решений, приведенных в предыдущих разделах,
можно использовать в качестве основы для экспериментальных методов измерения
температуропроводности. Так, например, если твердое тело нагревается плоской на-
нагревательной спиралью с пренебрежимо малой теплоемкостью или излучением источ-
источника с очень высокой температурой, то с некоторым приближением реализуется
граничное условие, характеризуемое постоянным тепловым потоком на поверхности.
Поэтому можно соответственно преобразовать соотношение (9.6) и найти величину *
из двух результатов измерения температуры. Кроме того, можно преобразовать соот-
соотношение G.5) так, чтобы по двум наблюдаемым температурам определить как /г,
так и х.
§11. Полуограниченное твердое тело, внутри которого
находится источник тепла
Для линейного теплового потока дифференциальное уравнение F.7)»
приведенное в гл. I, принимает вид
d*v I dv _ А П1 п
Здесь А — количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу
времени, которое, вообще говоря, зависит от х> t и v. Пока мы рассмотрим

§11] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 83
только случай, когда А не зависит от v. В этом случае *) для решения
уравнения A1.1) пригодны следующие три способа: 1) интегрирование исто-
истокообразных решений (см. гл. X и XIV); 2) использование преобразования
Лапласа (см. гл. XII); 3) приведение уравнения A1.1) к однородной форме
путем замены переменной. Первые два способа являются наиболее сильными.
Здесь мы просто кратко проиллюстрируем третий способ и приведем ряд
результатов, представляющих интерес в связи с тепловыделением в коре
Земли, обусловленным радиоактивным распадом (см. §§ 13 и 14 данной
главы). Некоторые дополнительные сведения изложены в § 4 гл. XII и в § 7
гл. XV. Следует отметить, что случаи, когда количество выделяющегося
в единицу времени тепла является линейной функцией температуры, можно
исследовать методами, приведенными в § 14 гл. I и в § 7 гл. XV.
Решение для случая зависимости количества выделяющегося в единицу
времени тепла от времени можно получить, воспользовавшись теоремой
Дюамеля (см. § 14 гл. I) для случая, когда это количество не зависит
от времени; поэтому вполне достаточно рассмотреть последнее, хотя не так
трудно найти точные решения для простых типов зависимости от времени **).
1. В области #>0 начальная температура равна а-\-Ьх. При
?>0 в единице объема за единицу времени выделяется постоянное
количество тепла Ао. Плоскость х = 0 поддерживается при нулевой
температуре. Здесь мы должны решить уравнение
дх2 х dt ~ К
при условиях
v= a-\-bx при ? = 0
и
v = 0 при jc = O, t > 0.
Положив
¦An п
« «?*«
получим эти уравнения в виде
д2и 1 да А . л
¦Ш--Ж-0' х>0'
и
u = 0 при jc = O,
Из соотношения D.1) следует, что
^ К 2К ! 1.2/-W К
и, следовательно,
+ ^) + y e + bx
x-^^. A1.2)
2К
*) Многочисленные результаты, полученные для полуограниченного твердого
тела, пластины, сферы и цилиндра при постоянной скорости выделения тепла и при
различных граничных условиях, можно найти в литературе [35—37].
**) Некоторые результаты для случая, когда количество выделяющегося в единицу
времени тепла пропорционально t2 , где п = — 1; 0; 1; 2; ..., приведены в § 4 гл. XIL
См. также [38].

84 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 11
2. Условия те оке, что и в задаче 1, но количество тепла, выделяющегося
* единицу времени на единицу объема, равно А^е'**. В данном случае
- ± exp <*«* +«О ^[«»^+—?=¦]}. (И.З)
3. Условия те же, кто и в задаче 1, но тепло выделяется только в слое *)
О < х < I. В данном случае
при 0<х<1 A1.4)
tjc±t\ _ 412ф, 1_х\ |
VJ \2V-dl)
j
\2VxtJ
^±А при х>1. A1.5)
Температурный градиент на поверхности х = 0 равен следующей величине:
При определении температуры в коре Земли нужно помнить, что тепло вы-
выделяется только в поверхностном слое толщиной, меньшей чем 50 км, и следова-
следовательно, в A1.5) / мало по сравнению с 2|/^. Поэтому, воспользовавшись теоремой
Тейлора, мы можем разложить выражение A1.5) по степеням /. Тогда для темпера-
температуры в слоях, расположенных ниже радиоактивного слоя [39], получим **)
2/C
Температурный градиент на поверхности приближенно равен
— ('/
A1.7)
К \ 2\Г* ^ ] '
4. В области х > 0 начальная температура равна нулю. В области 0 < х < I
при t > 0 в единице объема за единицу времени выделяется постоянное количе-
количество тепла Ао. На поверхности х = 0 тепловой поток отсутствует. В данном
случае
*Л* Г / 1±) / 1 + *\ }0 < х < /, A1.9)
A^)^) X>L (НЛО)
Это также является решением для случая неограниченного твердого тела, в котором
тепло выделяется в полосе толщиной 21.
5. В области х > 0 начальная температура и температура на поверхности
равны нулю. В области а < х < b при t > 0 количество тепла, выделяющегося
*) Случай, когда области 0<jc</ и х > I имеют различные термические кон-
константы, рассмотрен в § 8 гл. XII.
**) Распространение полученных результатов для случая, когда термические кон-
константы изменяются с глубиной, проведено в работах [40, 41].

§ 4] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 299
В настоящей главе мы будем рассматривать главным образом задачи,
в которых vo(x) равно нулю; тогда D.1) будет иметь вид
S-^ = 0, *>0. D.3)
Если vo(x) постоянно, то легко найти решение D.1); если vo(x)— про-
простая функция*) х, то легко получить решение уравнения D.1) в явном виде;
если она является произвольной функцией, то уравнение D.1) следует решать
методом вариации произвольных постоянных или каким-либо иным анало-
аналогичным методом; в конце концов получаются результаты, эквивалентные ре-
результатам, найденным в гл. II. Однако в настоящее время полагают, что
лучше всего искать решения при помощи функций Грина, применению ко-
которых посвящена гл. XIV; в ней и будут рассматриваться эти решения.
Во всех случаях при х —> со функция v, а значит, и функция v должны
быть ограничены. Таким образом, из двух решений уравнения D.1) или
D.3), Ве+чх и Ae~qx, следует использовать только второе.
Рассмотрим теперь различные граничные условия при х = 0.
I. Температура поверхности задана. Начальная температура
равна нулю.
Предположим, что задана функция
и, следовательно,
x = 0.
Решение уравнения D.3), конечное при л:->оо и принимающее при
х = 0 значение v = ср (/?), будет иметь вид
-«x. D.4)
1) Если ср (^) = Vo, где Vo — величина постоянная, то 4 = VqIp* и реше-
решение D.4) принимает вид
v — — е
Из соотношения (8) приложения 5 следует, что
D.5)
— п
2) Если ср(?) = 1Л/2 , где п — любое положительное целое число, то,
согласно B) приложения 5,
¦(¦+*»)
<р=-
1
1+Тп
2
р
В данном случае, в соответствии с A1) приложения 5, получим
^у) D.6)
(см. соотношения E.5), E.7) и E.8) гл. II).
*) Например, vQ (х) может быть комбинацией многочлена от xt ekx и sin lx9
cos lx. {Прим. ред.)

300 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 4
3) Если ср(О — произвольная функция, то из B.10) данной главы и F)
приложения 5 следует, что
V=W^J ^ —(*-*>* dx' D'7)
Этот результат был уже получен ранее (см. E.1) гл. II).
Таким же путем, воспользовавшись A9) приложения 5, можно найти
решение для случая температуры поверхности, меняющейся по закону еи
(соотношение E.9) гл. II). Случай гармонического изменения температуры
поверхности рассматривается в § 7 данной главы, а случай периодического
изменения температуры поверхности — в § 5 гл. XV.
II. Граничное условие третьего рода *).
Пусть начальная температура твердого тела равна нулю, а при л: = 0
оно нагревается вследствие теплообмена со средой, имеющей постоянную
температуру V. Тогда граничное условие при х = 0 запишется в виде
L=h(v — V), x = 0, t>0.
Граничное условие для вспомогательного уравнения имеет вид
а решение уравнения D.3), удовлетворяющее условию D.8), записывается
следующим образом:
- НУе-*х
Тогда из соотношения A4) приложения 5 следует, что
) V СХР (kX + h4t) Ф* (
III. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью (или идеальным про-
проводником).
Соответствующие граничные условия рассмотрены в примере Е § 9 гл. I, однако
решение задач подобного типа отнесено к данной главе, поскольку излагаемые здесь
методы особенно удобны для этого. Обозначим через с' удельную теплоемкость
жидкости, через и — ее температуру, а через М — массу жидкости, соприкасающейся
с единицей поверхности х= 0 твердого тела. '
/. Начальная температура твердого тела равна нулю, а начальная темпе-
температура жидкости постоянна и равна V [16]. При t > 0 температура поверх-
поверхности твердого тела равна температуре жидкости. В данном случае для t > О
граничное условие при х = 0 имеет вид и = v и
4jL^ 0, jc = O, *>0. D.9)
Отсюда соответствующее граничное условие для вспомогательного уравнения
запишется в виде
Mc'pv — K^ = Mc'V.
*) Оно соответствует теплообмену на поверхности по закону Ньютона.
{Прим. ред.)

§ 4] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 30!
Тогда
где
Отсюда из выражения A3) приложения 5 получим
v = V exp {h'x -f ti 2xt) Ф* (—%=¦ + h' УЧ). D.11)
\2yxt j
2. Та же задача, но начальная температура жидкости равна нулю и коли-
количество тепла, сообщаемое жидкости в единицу времени на единицу массы, равно
постоянной величине Q/M. В данном случае граничные условия при х = 0 имеют
вид и = v и
Отсюда получаем _
Mc'jw — K-j? = —,
Следовательно,
где А' определяется равенством D.10). Из выражения A5) приложения 5 следует, что
» = —— (— ехр ——¦ Ф* I —-==
К U / L 4^ J Kh' \У
. exp {h'x + h'\t) Ф* [^=, + Л' V^?J. D.12)
+
3. Та же задача, но между жидкостью и поверхностью твердого тела про-
происходит теплообмен, причем в единицу времени жидкость отдает твердому
телу количество тепла, равное произведению Н на разность температур между
ними. Обозначая температуру жидкости через и, получим граничные условия при
х = 0 в виде
Mc'-^r + H(u-v) = 0, x = 0, t>0, D.13)
— K^ = H(u — v), x = 0, t>0. D.14)
ox
Дифференциальное уравнение для v надо решить при этих граничных условиях,
причем начальная температура и равна V, а начальное значение v равно нулю. Для
вспомогательного уравнения граничные условия, полученные из D.13) и D.14),
имеют вид _
(Afc'p -f Н) п— Hv= Me' V,
Отсюда обычным путем находим
D.15)
D.16)
где А' определяется D.10), а Л = И/К- Если написать
D.17)

302 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 4
то соотношение D.16) принимает вид
hVe [ J
v
и, согласно A3) приложения 5,
v=-l?— Гехр (ax + *ta*) Ф* {
- ехр фх + х/»р») Ф* j —^ + р ^"г 11. D.18)
IV. Полу ограниченное твердое тело, внутри которого выделяется тепло.
Для таких задач и, в частности, для весьма сложных случаев излагаемый метод
особенно удобен. Этим путем можно получить все результаты, приведенные в § И
гл. II. Для пояснения описанного метода мы приведем здесь несколько дополнитель-
дополнительных результатов.
/. Область х > О имеет нулевую начальную температуру. При х = 0 про-
происходит теплообмен со средой нулевой температуры. При t > О в твердом теле
т п
в единицу времени на единицу объема выделяется количество тепла, равное kt ,
где п может равняться —1, 0, или любому положительному целому числу.
В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид
при граничном условии
4 /ш = 0, jc = O, *>0. D.20)
Используя изображение B) приложения 5, получим соответствующее вспомога-
вспомогательное уравнение
Г- х>0'
Кр
при граничном условии
D.22)
как всегда, при х->оо v имеет конечное значение. Решение уравнения D.21) при
условии D.22) имеет вид
1/ = -
Таким образом, используя A6) приложения 5, получим
1-
л+2
{ ^}г ^ |D.23)
Частный случай /г = — 1, соответствующий выделению в единицу времени коли-
количества тепла, пропорционального t~xh, дает грубое приближение, полезное в задачах,
в которых велико выделение тепла в начальный момент (например, при гидратации
цемента).

§ 5] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 303
2, Область х > 0. При t > 0 поверхность х = 0 поддерживается при нулевой
температуре. В области а < х < b при t > 0 в единицу времени выделяется по-
постоянное количество тепла, равное k [17]. В данном случае вспомогательные урав-
уравнения имеют вид
d2v —
_— — q2v = o в области 0 < х < а и х > b D.24)
и _
d2v — k
-т—2 — q2v = -jt— в области а < х < Ь. D.25)
Они должны быть решены при следующих условиях:
v = 0, х = 0 D.26)
и _
— tft/
v и -^— непрерывны при х = а и jc = b. D.27)
Решения уравнений D.24), D.25) и D.26) имеют вид
Be-***, 0<x<a,
СеЯХ + De-«x, a<x<b,
у = Ее-чх, х>Ь.
Здесь четыре постоянные В, С, D и ? находят из четырех условий непрерыв-
непрерывности D.27). После вычисления этих постоянных можно записать решение* Например,
градиент температуры на поверхности [dv/dx]x=0 имеет изображение
и, следовательно, используя (И) приложения 5, получим
2k Ы)Ч2 [ . ( а \ ( Ь \ \
—-— \ 1Ф | —- J — i Ф* I — J I # D.28)
§ 5. Ограниченная область 0 < х < /. Решения, получаемые
из таблицы изображений. Решения для небольших значений времени
I. Рассмотрим сначала область 0 < х < I с нулевой начальной тем-
температурой при отсутствии потока тепла через поверхность х = 0.
При t > 0 поверхность х = I поддерживается при постоянной тем-
температуре V,
В этом случае вспомогательное уравнение имеет вид
при граничных условиях
и
Его решение имеет вид
fc EЛ)
Так как в таблице изображений величина т/, определяемая E.1), отсут-
отсутствует, мы получим решение v, воспользовавшись теоремой обращения (см.

304 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 5
C.8) данной главы) *). Это будет сделано в следующем параграфе и при-
приведет к обычному результату D.2) гл. III. В данном параграфе используется
метод, позволяющий при помощи таблицы изображений получить решение
в другой форме. Эта форма часто оказывается удобнее приведенной ранее,
особенно для небольших значений времени.
Выразим гиперболические функции в решении E.1) через показательные
функции и разложим их в ряд по степеням e~2(*nl. Тогда вместо E.1) мы
получим
V{«* + ***) ^V_ t_x _q{l y^ _2nql =
Р л=0
оо оо
______ у ( \\п ?—q[Bn+l)l—jr] [ __ \ ( \\n g — [Bn + l)l+x) /g 2)
Таким образом, воспользовавшись (8) приложения 5, получаем результат,
совпадающий с C.9) гл. III,
Этот ряд **) всегда сходится довольно быстро, за исключением случая
больших значений х?//2. Таким образом, он является дополнением к реше-
решению D.2) гл. III, которое лучше всего сходится при больших значениях
времени. В диапазоне средних значений х?//2, при которых пригодными ока-
оказываются как E.3), так и D.2) гл. III, первым, вероятно, несколько удобнее
пользоваться. Например, если х?//2=1, то из E.3) получим для л; = 0
... =0,4795 — 0,0339 + 0,0004— ... =0,4460.
Если средняя температура пластины равна и, то, используя A1) прило-
приложения 5, получим
E.4)
II. Область 0 < х < / с нулевой начальной температурой. Пло-
Плоскость х = 0 поддерживается при нулевой температуре, а плоскость
х = 1 (при t > 0) — при постоянной температуре V.
*) Выражение E.1) есть изображение функции, которую можно выразить через
тета-функции. Некоторые примеры можно найти в работе [9].
**) Последовательные члены данного ряда указывают температуры на глубинах
1-х, I + jc, 3/ — jc, 3/ + х, ... в полуограниченном теле. Таким образом, этот
результат аналогичен решениям задач о колебании струн, стержней и линий передач,
выраженным в терминах многократно отраженных волн.
Следует отметить, что эти решения для малых значений времени можно также
считать решениями для случаев небольших изменений средней температуры (см., на-
например, [18]).

§ 5] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 305
В данном случае
? E-5)
Общее количество тепла, проходящее через плоскость л; = 0 за проме-
промежуток времени от t = 0 до t = t, равно
E.7)
III. Область 0 < х < I с нулевой начальной температурой. При х = 0 тепло-
вой поток отсутствует. При х=1 поток тепла Q в твердое тело [19] постоянен.
В данном случае
- Qchqx
Kpqshql f
L 2\Tt \]'
IV. Область 0 < л: < / с постоянной начальной температурой Vo.
На поверхности х = 0 тепловой поток отсутствует. На поверхности
х = 1 происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
В данном случае вспомогательное уравнение C.5) данной главы имеет
вид
при граничных условиях
-*--¦?. •<*<«.
-?=<>• *=»•
_
~dx~+hv =
Его решение записывается в виде
h v*ch Я*
р p(qshql+hch ql) '
или
hV°
Последовательные экспоненциальные члены ряда E.10) имеют коэффициенты,
являющиеся сложными функциями q, и поэтому для г; простой ряд написать нельзя.
Однако для этого ряда можно сразу же записать несколько первых членов и, таким
образом, получить решение [20], пригодное для малых значений времени. Итак, вос-
воспользовавшись A4) приложения 5, получим
(!+ ... E.11)
20 Г. К«рслоу, Д. Егер

306 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ б
Аналогичным методом можно воспользоваться при решении задач, приведенных
в §§ И и 13 гл. III.
V. Область 0 < х < / с нулевой начальной температурой. При t > 0 пло-
плоскости лг = 0 и х = I поддерживаются при температуре, равной нулю. При t > О
в твердом теле в единицу времени на единицу объема выделяется количество
Т п
тепла [21], равное at , где п = — 1, 0, 1, 2, ...
В данном случае дифференциальное уравнение A4.1) гл. III записывается в виде
Вспомогательное уравнение имеет вид
d2v o- '
Кр^"
Это последнее должно быть решено при условии, что при х = 0 и jc = / v-
Искомое решение записывается в виде-
v =
,
1 X' ( 1\т\р-д(х+т1)_^р-д[(т + 1I-л
• кр +"Л
:(.+*¦)
- EЛ2>
§ 6. Ограниченная область 0 < x < /. Применение теоремы обращения
I. Рассматривая снова задачу I предыдущего параграфа, перейдем теперь
к определению функции v по ее изображению E.1), т. е. по
Согласно теореме обращения (см. C.8) данной главы)
J
1-i со
где величина f должна быть настолько большой, чтобы все особые точки v (k)
лежали слева от линии G—/oo, f-j-foo). Здесь и везде далее будем по-
полагать
где берется главное *) значение квадратного корня.
*) Известно, что Wn = Y2 =-V\z\e n » причем ^ = 0, 1, ...» /г—1; при
k = 0 значение корня считается главным. (Прим. ред.)

6] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 307
Функция v(X) имеет простые полюсы при Х = 0 и при тех значениях X,
при которых chjx/ обращается в нуль. Эти значения X определяются соот-
соотношениями
р= B*+1Н* t л = 0. 1, 2, ... F.4)
Иными словами,
х_ *B/г+1J*2 л_0 1 о q /65\
Напомним, что
сЬ[хд:=1 + -^Г+D1)^2-+ ...
является однозначной функцией X; отсюда следует, что tf(X) тоже является
однозначной функцией*) X, и мы можем использовать контур, показанный
на рис. 39, большая окружность которого не должна проходить ни через
один из полюсов F.5) подынтегральной функции. Например, можно взять
радиус этой окружности равным х//Ас2//2, где т — любое большое целое
число.
Из теоремы Коши следует, что интеграл по замкнутому контуру равен
произведению 2тс/ на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной
функции внутри контура.
Легко показать (см. приложение 1), что по мере стремления радиуса
большой окружности к бесконечности интеграл по дуге АСВ этой окруж-
окружности стремится к нулю. Таким образом, в пределе интеграл F.2) равен
произведению 2тс/ на сумму вычетов его подынтегральной функции относи-
относительно полюсов Х = 0 и функции F.5). Вычет относительно Х = 0 равен
единице. Вычет относительно полюса Х = —хBя+ 1Jтс2/4/2 равен следую-
следующей величине:
ехрГ--Bл+1J^]ск[--<2л+1>-]
4(—\)п+1 Г %Bп+\)пЧ1
— тсB/г+1) 6ХР L 472 J ^» 27"
Подставляя эти выражения в F.2), мы, наконец, получаем
* Bя + IJ ^ 1 CQC B/1 + 1) *x
/2 = 0
Если при лг = / температура является функцией времени ср(?), то вместо
F.1) получим
— — ch qx
т ch ql
В данном случае мы находим функцию f(t), изображение которой
имеет вид
chqx
ch ql '
*) Представляя таким способом гиперболические функции в виде рядов, можно
показать, что все изображения, встречающиеся в данном параграфе, являются одно-
однозначными функциями X.
20*

"808 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 6
и используем равенство B.10) данной главы. Применив, как и выше, контур,
доказанный на рис. 39, получим
fit) =f-| (-
[ ]cos .
п = 0
Таким образом, как и в E.3) гл. III, получим из B.10) данной главы
соотношение
я0
х cos Щ^ f ехр[ *е-ИУ"]?(,0^. (б.7)
о
При линейном увеличении температуры поверхности или ее гармоническом
изменении v лучше всего находить непосредственно по v.
II. Задача, совпадающая с задачей II предыдущего параграфа, а именно:
область 0 < х < / имеет нулевую начальную температуру. При t > 0
плоскость лг = О поддерживается при нулевой температуре, а пло-
плоскость х = 1— при температуре V. Здесь v определяется выражением
E.5) данной главы; воспользовавшись теоремой обращения, получаем
V Г°° ektsh iixdl Q4
Полюсы подынтегральной функции F.8) находятся при Х = 0 с выче-
вычетом х/1, а также при
p = nnt/l, n=l, 2,
т. е.
X = — xnW/P, п = 1, 2, .... F.9)
с вычетом
2 (-1)" ехр [- ^-^] sin (Л«//)
/гтс
Таким образом, используя, как и раньше, рис. 39, находим
F.10)
и L L~ J *
/1 = 1
Пусть Q — общее количество тепла на единицу поверхности, проходящее
через плоскость л: = 0 за промежуток времени от ? = 0 до t=t, равное
t
о
Тогда из соотношений E.5) и B.4) данной главы получим

§ 6] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК
Отсюда
KV
' FЛ2)
В последнем соотношении подынтегральная функция имеет полюс вто-
второго порядка при Х = 0 с вычетом
й FЛЗ>
Другие полюсы определяются выражением F.9), и, действуя, как и прежде,
мы найдем
При больших значениях времени члены в этом выражении, содержащие
показательные функции, пренебрежимо малы и Q имеет значение, соответ-
соответствующее стационарному потоку для времени [t — (Р/бх)]. Путем измере-
измерения /2/6х, т. е. запаздывания наступления стационарного состояния, можно
экспериментально определить величину х [22, 23]. Если мы хотим найти только
эту величину, нужно знать лишь вычет F,13) относительно полюса Х = 0.
Дальнейшее обсуждение этого метода изложено в § 6 гл. XV.
III. Область О < х < I с нулевой начальной температурой. При
/>0 плоскости лг = О и х = 1 поддерживаются при нулевой темпе-
температуре. При />0 в единице объема за единицу времени выделяется
количество тепла, равное ae~at.
В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид
0-T&--X'-"' °<*<'« <>О- FЛ5>
Поэтому вспомогательное уравнение записывается следующим образом:
^^ «. F.16)
Его следует решать при условии, что v = 0, когда х = 0 и x = L
Решение имеет вид
— ах
Таким образом,
^^
Полюсы подынтегральной функции находятся в следующих точках:
Х = 0, вычет равен 1/а,
a/cos(y/ —л:] (а/т.I/*
— а, вычет равен
a COS ^

310 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ б
Х== — [хBя+ 1Jтг2//2], я = 0, 1, 2, .... вычет равен
41» sin [Bл + 1) «//] ехр [- »<2"+*>'"*]
Bл + 1) [% Bл + IJ *2 ~ <
F.19)
Если окажется, что а имеет нулевое аначение или одно из значений
х Bп +1 J1С2//2, то при Х = — а имеется полюс второго порядка и необхо-
необходимо произвести отдельный расчет. Если это не имеет места, то мы окон-
окончательно получим
B11+1)« (б20ч
Подобным же образом можно рассмотреть случай с выделением постоян-
постоянного количества тепла в единицу времени. Решение для случая выделения
в единицу времени количества тепла, являющегося какой-либо произвольной
функцией времени, получается так же, как и F.7) из соотношения B.10)
данной главы.
IV. Граничное условие третьего рода.
В качестве примера рассмотрим задачу IV предыдущего параграфа.
По значению v из E.9) данной главы находим при помощи теоремы обраще-
обращения решение в виде
f— / ОО
Здесь полюсы подынтегральной функции находятся при Х = 0 с выче-
вычетом A//0, и при
Х=^ —ха2 |* = /ал. /г=1, 2, 3 F.22)
где ± ая, п = 1, 2, ..., — корни (все простые и вещественные, см. § 10 гл. III)
уравнения
a sin а/ = h cos а/
или
aigai=:h. F.23)
Чтобы найти вычеты относительно этих полюсов, необходимо выполнить
следующие вычисления:
= - у a» {A + /*) sin /а„ + Zan cos /an} = -1 {/ (A2 + 4) + h) cos /an.
Воспользовавшись этим результатом в F.21), окончательно получим
v = 2А1/0 V . /f"c°SY • F-24)

§ 6]
ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК
311
Это решение было уже найдено в § 11 (см. соотношение A1.12) гл. III).
Подобным же образом можно получить все результаты §§ 11—13 гл. III.
V. Другие граничные условия. Контакт с хорошо перемешивае-
перемешиваемой жидкостью.
В примере Е § 9 гл. I было отмечено, что задачи, в которых поверх-
поверхность твердого тела соприкасается с хорошо перемешиваемой жидкостью,
имеют определенное практическое значение. Задачи этого типа для пластины
проще всего решать обычным методом с использованием преобразования
Лапласа. Классические методы не всегда можно использовать в неизменной
форме. В § 13 гл. III уже было дано несколько решений без доказательства.
В качестве примера, поясняющего новые особенности таких задач, рас-
рассмотрим следующую задачу:
Область О < х < /; тепловой поток на плоскости х = 1 отсут-
отсутствует. Плоскость х = 0 соприкасается с хорошо перемешиваемой
жидкостью с удельной теплоемкостью с', причем на единицу поверх-
поверхности этой плоскости приходится масса жидкости, равная М'.
Между жидкостью и поверхностью твердого тела происходит те-
теплообмен, и количество тепла, которое отдает жидкость твердому
телу в единицу времени, равно произведению Н на разность темпе-
температур между ними. Начальная температура жидкости равна Vo,
а твердого тела — нулю.
Обозначим температуру жидкости через и, з. температуру твердого тела
через v\ тогда граничные условия (9.14) и (9.16) гл. I при х = 0 запишутся
в виде
dt
dv
F.25)
Функция v удовлетворяет дифференциальному уравнению
и граничное условие при х = I имеет вид ->— = 0, х = /, t > 0,
Начальные условия записываются в виде
u = V0, t = 0
Составляя обычным путем вспомогательные уравнения, соответствующие
дифференциальному уравнению и начальным и граничным условиям, получим
d2v
dx2
— q^v = 0,
0 < x < /,
dv
dx
dv
= 0,
M'c'pu-K^ =
dx
x =
x = 0,
dv
dx
F.26)

312 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 7
Поскольку в граничное условие F.25) входит член с du/dt, в правой части
F.26) появляется член M'c'VQ, содержащий начальное значение и.
Решая приведенные выше уравнения обычным путем, получим
hVochq(l-x)
V hp ch ql + [p+ (hKlM'c')] qshql9
- V0(hch
U ~
hp ch ql+ [p + (hK/M'c')]qsh qC ^'Zb)
где h = H/K. v и и находят теперь обычным путем при помощи теоремы
обращения. Так
v = -^ - 2LVQ 2 pss~sk«s е~ & cos а, A - х/1), F.29)
jj- е~ а-Г, F.30)
5=1
где L = lh, k = lpc/M'c\ T = xt/P, as — положительные корни уравнения
La
§ 7. Полуограниченная область х> 0. Применение теоремы обращения
В качестве примера задачи, в которой, пользуясь таблицей изображений,
нельзя получить непосредственно ответа, рассмотрим случай полуограни-
полуограниченного твердого тела х > 0 с нулевой начальной температурой.
При ?>0 температура поверхности л; = 0 этого тела меняется
по закону Vosin(a)/-f-s).
В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид
-q2v = 0, x>0. G.П
При лг = О мы должны иметь
v = Vo (sin Ы cos e -f- cos mt sin e),
и, следовательно,
v= 0(<»cos^+psin?)e G2)
Решение уравнения G.1) при условии G.2), имеющее конечное значение
при лг—>оо, записывается в виде
Так как в таблице изображений такого выражения нет, применим тео-
теорему обращения и получим
2%i J
t
7— too
Подынтегральная функция G.4) имеет при Х = 0 точку ветвления и обла-
обладает простыми полюсами при Х=±/а). Рассмотрим интеграл по контуру»

§ 7] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 313
показанному на рис. 40, т. е. интеграл
+ Ume)^^^ G5)
На этом контуре и внутри него подынтегральная функция является одно-
однозначной функцией X. Аргументом X на EF служит тс, а на CD этим аргу-
аргументом служит —тс.
По теореме Коши интеграл по такому замкнутому контуру равен произ-
произведению 2тс/ ria сумму вычетов относительно полюсов внутри контура. Эти
полюсы находятся в точках X = ± /ю. Вычет относительно полюса X = /ц>
равен
-^ ехр {Ш + U — х
Отсюда сумма вычетов относительно полюсов Х = /<й и Х = — /о> равна
— Аг(о)/2хI/2}, G.6)
Рассмотрим теперь интеграл по контуру ABFEDCA при переходе к пре-
пределу, когда радиус большой окружности R стремится к бесконечности, а ра-
радиус малой окружности — к нулю- При /?->оо интеграл по дугам BF и CD
стремится к нулю *). По мере того как радиус малой окружности с центром
в начале координат приближается к нулю, интеграл по этой окружности
также стремится к нулю. При /?—>оо интеграл по АВ становится равным
интегралу в соотношении G.4). В интегралах по EF и CD мы полагаем
Х = р?/я и \ = pe~ix соответственно и получаем
/
» + r.We-""sin(ux)uda. G.7)
о
U
oo
-. Г о) cos e—%u2 sin e
о
где p = %#2.
Итак, используя G.4), G.6) и G.7), окончательно получим
v = VQe~x Y1^Tx sin {ы + e — x (а>/2х)'/2} +
+-пг*- /мсо:::У •--'sin ^ * **• G-8>
6
Первый член соотношения G.8), полученный из вычетов G.6) относи-
относительно полюсов ± /о», представляет собой часть решения, соответствующую
стационарному состоянию, и, если необходима только она, рассматривать
интеграл G.7) нет необходимости (ср. § 5 гл. XV). Результаты (8.4) и (9.13)
гл. И можно получить таким же путем.
Все решения, приведенные в § 4 данной главы, которые были получены
при помощи таблицы изображений, можно, конечно, найти, как и в настоящем
параграфе, воспользовавшись теоремой обращения.
*) Дальнейшее рассмотрение этого вопроса см. в приложении 1. Во всех слу-
случаях, когда используется теорема обращения, справедлив тот же результат и приме-
применимо аналогичное доказательство.

314 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 8
§ 8. Составные твердые тела
Задачи теплопроводности в составных твердых телах *) обычно лучше
всего решаются методом преобразования Лапласа. Как изображения, так и
решения могут оказаться достаточно сложными, однако при этом не появляется
никаких новых правил. В § 15 гл. II изучалось несколько задач, в которых
рассматривается составное твердое тело. Их можно также решать данным
методом. Здесь будут рассмотрены полуограниченные и конечные составные
области.
Рассмотрим сначала полуограниченную область —/ < х < оо, в которой
при —/ < х < 0 находится одно вещество, а при х > 0 — другое. Обозначим
теплопроводность, плотность, удельную теплоемкость, коэффициент темпера-
температуропроводности и температуру в области —/ < х < 0 через Kv pv cv xA
иг/j, а соответствующие величины в области х > 0 — через К2> р2» сч* *2 и V2*
Требуется найти решения следующих дифференциальных уравнений:
дх2 х2 М * ^ * "^
Если допустить, что на поверхности раздела х = 0 контактное тепловое
сопротивление отсутствует (ср. пример Ж § 9 гл. I), то граничные условия
запишутся в виде
dtJi dt/o
v1 = v2, x = 0, t>0. (8.2)
I. Для описанного выше твердого тела с нулевой начальной тем-
температурой и плоскостью лг = — /, поддерживаемой при t^>0 при
постоянной температуре, вспомогательные уравнения имеют вид
-^г — ф = 0, *>0, (8.4)
где
Эти уравнения должны быть решены при условиях
(8.7)
при л:->схэ. (8.8)
*) Составные пластины рассмотрены в [24—26]. Составные шары — в рабо-
работах [27—30]. Составные цилиндры рассмотрены в [31]. Дополнительные ссылки* на
работы, в которых рассматриваются составные цилиндры и шары, приводятся в сле-
следующей главе. Полуограниченное составное твердое тело с постоянным тепловым
потоком на поверхности рассматривается в статьях [32, 33]. В работе [34] рассмотрена
пластина, состоящая из п слоев, как с постоянной температурой поверхностей, так
и с граничными условиями третьего рода: там же приведены формулы в явном виде
<см. также [35, 36]).

§ 8] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 315
Решение уравнения (8.3), удовлетворяющее условию (8.7), имеет вид
Ъх = (У/р) ch qx (/ + х) + A sh qx (I + x)\
решение уравнения (8.4), удовлетворяющее условию (8.8), имеет вид
Неизвестные А и В находят из (8.6), и окончательно мы получим
- _ Vjchq.x — oshq.x) g g>
тао^ (8Л0)
здесь используются следующие обозначения:
Л1 a -j- 1
Для оценки v1 и г/2 можно использовать либо теорему обращения, либо
метод разложения в ряд, описанный в § 5 данной главы. Согласно теореме
обращения можно написать
v+i
V С
V<1 = ~bu J
i
J
у— ico
где jxj =: У \/хх. Подынтегральная функция в соотношении (8.12) имеет
при Х = 0 точку ветвления; поэтому, как и в предыдущем параграфе, мы
используем контур, изображенный на рис. 40; тогда интеграл в (8.12) ока-
окажется равным сумме интегралов по малой окружности с центром в начале
координат и по прямым CD и EF.
Интегрируя по малой окружности, получаем V.
Полагая, что на EF \ = хги2еы, а на CD X = x1#2?-/rc, получим, что вклад
со стороны CD и EF равен
V
оо
e-XxU4'ikxu du Г e-*x*t+ihxu du
л e-xxu4-ikxu du /»
./ и [cos a/ -f- iq «in a/] ,/ i~ [cos a/ — /a sin ul] I
о о I
oo
2V Г _XiU*t <J cos kux sin ul -f- sin ^ал: cos a/ .
~ ^TJ в l a [cos2 a/ + a2 sin2 tt/]
Таким образом,
oo
jr 2V Г -%,ti4 a cos kux sin ul-\~ sin kux cos ul , /o 1O4
2 n J tt[cos2tt/ + a2sin2a/] ч '
0
Аналогичным образом получим
oo
Vl~V n Je и [COS2 ul + a2 sin2 ul]' №Л*'
0
Изложенный в § 5 данной главы метод дает решение в форме, которая зача-
зачастую оказывается более удобной. Используя обозначения (8.11), можно из (8.10)

316
получить
ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК
[§ 8
Из (8) приложения 5 следует, что
Подобным же образом
<816>
(8,7)
Используя G) приложения 5, таким же путем находим градиент темпе-
температуры на поверхности в виде
n-\
8.18)
Для очень больших значений времени все показательные функции в (8.18)
можно заменить единицей, и мы приближенно получим
' (8Л9)
Если поверхность поддерживается при нулевой температуре, а начальная темпе-
температура всего твердого тела равна V, то, очевидно, что градиент температуры при
х = — / будет равен написанному выше выражению с обратным знаком. Этот резуль-
результат был использован Перри и Хевисайдом при определении возраста Земли ¦). Кель-
Кельвин в своей классической работе (см. § 14 гл. II) установил, что градиент температуры
равен У/Упх^. Теперь известно, что плотность и физические свойства ядра Земли
значительно отличаются от соответствующих величин для наружной оболочки. Приняв
это, мы увидим, что время, необходимое для уменьшения температурного градиента
до существующего в настоящее время уровня, в (/Gc2P2)/(^(iciPi) раз больше времени,
получающегося из теории Кельвина. По данным, принятым Перри и Хевисайдом, эта
отношение примерно равно 450, и оценку Кельвина, равную 108 лет, следует увели-
увеличить до 4,5 • 1010 лет.
Представляет некоторый интерес случай малого /, т. е. случай тонкой
пленки иного материала, находящейся на поверхности полуограниченного
твердого тела. Разлагая гиперболические функции в знаменателе решения (8.10)
по возрастающим степеням /, найдем
v2 =
(8.20)
Учитывая только первую степень I, получим
где h = Кг/К21- Это равно значению v2* полученному с учетом приближен-
приближенного граничного условия (9.7) гл. I, в котором мы полностью пренебрегали
теплоемкостью пленки. Во втором приближении, учитывающем также член с /2,
*) См. ссылки на литературу к гл. II и IX.

§ 8] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 317
получим
где hr = Kil/2x1K2- Изображения такого типа появлялись в примере III § 4
данной главы. Выражение (8.21) является изображением решения задачи
о полуограниченном твердом теле с нулевой начальной температурой и гра-
граничным условием в виде
Таким образом, это условие можно считать приближенным граничным усло-
условием, учитывающим теплоемкость пленки *).
II. Описанное выше составное твердое тело с нулевой начальной темпера-
температурой* При t > 0 в области — / < х < О в единицу времени на единицу объема
выделяется постоянное количество тепла Ао, В области х > О тепло не выде-
выделяется. Плоскость х = — / поддерживается при нулевой температуре.
В данном случае, используя обозначения (8.11), получим следующие решения:
со
_ 4. (*' — *') 2Ло° С .-„,« A - cos ul) sin и (l + x)
"' Щ ЖГ J «3[c0S2u/ + a2Sin2M/]
(8-23)
«ли
»*] ¦< *o" * «i ¦* *y ^k ' и I 2 9ЛЧ* I \^'^ I II t I Л I о-a I \jLTt ' I Alt "~~ иГ I *
" /(, ^ I L 2 Kv J L 2 Km I
. (8.24)
— ^o^2 2-A0 Г _х,м2г A — cos ul) (a sin и/ cos kux -f- cos и/ sin
или
III. Пластина конечных размеров. Область пластины — / < х < 0 содержит
материал с параметрами К\, Pi, сь %ь vit а область 0<х<а — другой мате-
материал, с параметрами К2, Рг. С2. ^2. V2- Начальная температура равна нулю. При
t > 0 плоскость х = — / поддерживается при постоянной температуре V, а пло-
плоскость х = 0 — при нулевой температуре.
Вспомогательными уравнениями здесь служат уравнения (8.3) — (8.7), но усло-
условие (8.8) заменяется на условие
v2 = 0, х = а.
Решая эти уравнения, находим
— V {ch q\X sh q2a — з sh q^x ch q2u}
1 ~~ p {ch qxl sh q2a + c sh qxl ch gy*}
- Vshg2(a — ^)
*) Случай многослойной оболочки рассматривался в [37].

318 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 8
Разложение этих выражений в ряды типа (8.15) довольно сложно, и поэтому мы
рассмотрим только решения, получаемые при помощи теоремы обращения. В данном
случае подынтегральные функции являются однозначными функциями X с простыми
полюсами при Х=0 и Х= — ж$2т, где ± Рт, /га=1, 2, 3,...,— корни *) уравнения
cos p/ sin k$a + a sin p/ cos k$a = 0. (8.29)
Применяя обычным образом теорему обращения, найдем
cos $mx sin кфт — о sin §mx cos ka§m - »j &< _ ,.
i sin fJm/ sin ka$m — (a/ -j- ka) cos $ml cos
V2 — —j7
nl sin ka$m — (a/ -j- ka) cos $ml cos ka^m
Ряды в решениях (8.30) и (8.31) можно немного упростить, используя снова (8.29),
Следует отметить, что корни уравнения (8.29) служат корнями уравнения
(8.32)
и общими корнями (если вообще они имеются) уравнений
sin р/ == 0 и sin?pa = 0. (8.33)
Последние уравнения имеют общие корни тогда и только тогда, когда отноше-
отношение kail есть рациональная величина. Таким образом, если
kail = rIs (8.34)
есть несократимая рациональная дробь, то общие положительные корни (8.33)
равны rins/l, /i= 1, 2, 3, ..., и эти корни уравнения (8.29) дадут для vx и v2 соот-
соответственно ряды
сю
l sinep[Lj (8.з5>
2V vi cos /zstc . nnzx г y.{n2s2n41
2—7T-"Sin-^exP[ "-p—J- <8'36>
Если дробь ka/l иррациональна, эти ряды не появятся.
Во всех случаях существует ряд членов, соответствующих положительным кор-
корням **) рл, л= 1, 2, 3, ..., уравнения (8.32).
Воспользовавшись уравнением (8.32), можно представить члены рядов (8.30)
и (8.31), соответствующие этим корням, в виде
sin2 ka$n sin (Зл
, (/ sin2 ka$n + oka sin2 l$n)
*) Ниже в примере IV будет показано, что все эти корни действительны и
просты.
**) В их число входят простые корни уравнений cos р/ = 0 и cos ka$ = 0, кото-
которые могут появиться, если ka/l является рациональной величиной. В этом частном
случае справедливы рассуждения, приводящие к выражениям (8.37) и (8.38).

§ 8] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 319
И
лт^^ГЧ sin /рл sin ka$n sin k (я — x) рл ~xi°
^^ Рл (/ sin2 kci$n -4- g?# sin2 /P/»)
соответственно для t^ и v2.
IV. Характер корней уравнения (8.32) а уравнений, появляющихся в анало-
аналогичных задачах.
При получении решений в виде бесконечных рядов с помощью теоремы обра-
обращения мы обычно еще должны доказать, что все корни определенного трансцендент-
трансцендентного уравнения действительны и просты. В примере III таким уравнением была
уравнение (8.32); в задаче о твердом теле в виде составного шара им является урав-
уравнение (9.35) гл. XIII; в случае более общих граничных условий появляются другие
типы уравнений, например уравнение (9.25) гл. XIII и т. п.
В § 9 гл. III было исследовано очень простое уравнение. Обобщение применен-
примененного там метода [27, 38] можно использовать во всех случаях. Здесь же в качестве
примера мы рассмотрим уравнение (8.32).
Очевидно, что оно не может иметь чисто мнимого корня р = nj, так как
cth TjZ + o cth kt\l > 0.
Покажем теперь, что оно не может иметь комплексного корня вида 5 ± ii\. Рассмот-
Рассмотрим функцию U, определяемую следующим образом:
IUX = sin р (/ + ¦*)> — / < jc < 0, (8.39)
U =-
где Р — корень уравнения (8.32).
В таком случае получим
= 0, 0 < х < а. (8.41)
Кроме того,
Ui = 0 при х = — /; U2 = 0 при х = a; UX = U2 при х = 0 (8.42)
и
=0, (8.43)
так как р — корень уравнения (8.32).
Пусть теперь Р и а — два различных корня уравнения (8.32), и пусть Vx и V2 —
величины, соответствующие величинам Ux и U2 при замене р на а.
Тогда из соотношений (8.41) и соответствующих уравнений для Vx и V2 получим
о о
(Р2 - «2) J Ux Vx dx + j {Uf[vx - У';иг) dx = 0,
a a
?2 (p2 __ a2) С (J2V2dx+ J (U2 V2 — V'zU2) dx = 0.
0 0
Отсюда, используя соотношения (8.42) и (8.43), находим
0 а
Кх J Ux Vx dx + &K2 j U2V2 dx
-i о
о
= *i / {РУх - uWi)d*+K2 f (U2V'2' - V2U'2) dx =
-/ о
= *i [UiV[ - VtU[f^ + K2 [U2V2 - V2U2f0 = 0. (8.44)

320 ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК [§ 8
Из последнего соотношения следует, что а и р не могут иметь вид ? ± и|, поскольку
Uu Vx и U2t V2 были- бы тогда сопряженными комплексными величинами и величина
о а
UiVldx+k*K2
-i о
была бы положительной.
Таким образом, мы доказали, что все корни уравнения (8.32) являются веще-
вещественными. Их симметричное расположение относительно начала координат и то
обстоятельство, что они не повторяются, следует в данном случае из рассмотрения
кривых у = ctg х и у = ctg (kax/l). Другие случаи можно рассмотреть путем обоб-
обобщения описанного выше метода (см. [38]).
V. Составная пластина из произвольного числа слоев.
При написании изображения любой требуемой функции для общего случая п слоев
трудностей не встречается. Легче всего это сделать при помощи описываемого ниже
метода матриц. Вследствие сложности получаемых решений рассмотрение корней зна-
знаменателя в изображении решения и численная оценка температур требуют проведе-
проведения очень сложных вычислений. Следует отметить, что, когда изображение найдено,
оно непосредственно дает стационарное периодическое решение; кроме того, в тех слу-
случаях, когда рассматриваемая величина имеет прямолинейную асимптоту в виде (a-\-bt),
ее легко найти простым хорошо известным численным методом (ср. § б гл. XV).
Для определения изображения рассмотрим сначала пластину 0 < х < I. Тогда,
если ~vx и Yx — изображения температуры и теплового потока в точке х, то из вспомо-
вспомогательных уравнений сразу же получим
vx = щ ch qx — Yo (MKq) sh qx, (8.45)
7x = — v0Kq sh qx -f /o ch qx, (8.46)
или в матричном обозначении, определенном в § 7 гл. III,
/**\_/ chV* —(l/Kq)shqx\(vo\
[fx)-[-Kqshqx chqx ){/)'
Рассмотрим теперь пластину, состоящую из п слоев, (/,, /2), (/2, /3), ..., Aп,
Пусть Кг и *т — теплопроводность и температуропроводность r-го слоя, vr тк Yr —
изображения температуры и теплового потока на границе этого слоя х = /г, a ~vr
и 7г~их значения на границе слоя x = lr+l. Тогда из (8.47) получим
где
Ar= ch(lr+l — lr)qr> Br = — (l/Krqr)sh (/г+1—lr) qn ^
Cr = — КгЯг sh (/r+i -lr) qr, Dr = ch (/r+I - lr)qr ) (849)
и
ArDr — BrCr=l.
Если между пластинами имеется идеальный тепловой контакт, то повторное при-
применение (8.49) дает
А в1
Если теплопередача происходит по линейному закону, контактные сопротивления
равны /?ь ..,, /?я+1 при 1и 12> .... /щ-ь область х<1х имеет температуру v0,
а область х > /я+, —температуру vn+l9 то
^iU/1 —Лв+Л/41 ВлП —Rn\ (At ВЛ/1 —/?Л/^\
Jn+l) [о 1 ){сп dJ[o ir-Чс, dJlo iA7o/

§ 8] ГЛ. XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК 321
Таким способом определяются изображения для температуры или тепловых по-
потоков при любом из 1{ ln-u a значения для промежуточных точек можно найти
затем из уравнений (8.45) и (8.46). Этим способом можно, например, вывести соотно-
соотношения (8.27) и (8.28).
VI. Область 0 < х < I состоит из одного материала, а область х > / — из
другого. Тепловой поток при х = 0 отсутствует. Начальная температура
в области О < х < I постоянна, а в области х > I равна нулю.
Решение этой задачи и численные значения температур при х = О приведены
в статье [39].
ЛИТЕРАТУРА
1. Carslaw, Jaeger, Operational Methods in Applied Mathematics, Oxford, 1948.
(Г. Карслоу и Д. Егер, Операционные методы в прикладной математике, ИЛ,
Мм 1948, перев. с 1-го изд. 1941 г.)
2. В г от wi ch, Proc. Lond. Math. Soc. 15, 401 A916).
3. Wagner, Arch. Elektrotech. 4, 159 A916).
4. Jeffreys, Operational Methods in Mathematical Physics, Cambridge, ed. 2, 1931.
5. Carslaw, Introduction to the Mathematical Theory of the Conduction of Heat in
Solids, Macmillan, ed. 2, 1921. (Г. Карслоу, Теория теплопроводности, Гостех-
издат, М., 1947.)
6. С а г s I a w, J e f f r e у s, Math. Gaz. 14, 216, 225 A928).
7. Doetsch, Math. Z. 22, 285, 293 A925); 25, 608 A926); 26, 89 A927); 28, 567
A928).
8. Churchill, Modern operational Mathematics in Engineering McGraw-Hill, 1944.
9. Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Springer, 1937.
10. Gardner, Barnes, Transients in Linear Systems, vol. 1, Willey, 1942.
11. Campbell, Foster, Fourier Integrals for Practical Applications, Bell System
Techn. Monographs, No B-584.
12. McLachlan, Humbert, Formulaire pour le calcul symbolique, Gauthier-Vil-
lars, 1941.
13. Er d ё 1 у i, Tables of Integral Transforms, McGraw-Hill, 1954.
14. Humbert, Le calcul symbolique, Actualites scientifiques et industrielles, No 147,
1934.
15. С h u г с h i 11, Math. Z. 42, 567 A937).
16. T r a n k 1 e, Frequenz 8, 334—338 A954).
17. V a n О r s t r a n d, J. Wash. Acad. Sci. 22, 529 A932).
18. Lochs, Z. angew. Math. Mech. 34, 79—80 A954).
19. Mace y, Proc. Phys. Soc. 52, 625 A940).
20. G о 1 d s t e i n, Z. angew. Math. Mech. 12, 234 A932).
21. Hartree, Mem. Manchr. Lit. Phil. Soc. 80, 85 A935).
22. Barrer, Trans. Faraday Soc. 35, 628 A939); 36, 1235 A940).
23. Barrer, Phil. Mag. 28, 148 A939); 35, 802 A944).
24. L о w a n, Duke Math. J. 1, 94 A935).
25. Churchill, Duke Math. J. 2, 405 A936).
26. С h u г с h i 11, Am. J. Math. 61, 651 A939).
27. Bromwich, Proc. Camb. Phil. Soc. 20, 411 A921).
28. Carslaw, Proc. Camb. Phil. Soc. 20, 399 A921).
29. С a r s 1 a w, J a e g e r, Proc. Camb. Phil. Soc. 35, 394 A939).
30. Bell, Proc. Phys. Soc. 57, 45 A945).
31. Jaeger, Phil. Mag. 32, 324 A941).
32. M a t r i с о n, J. Phys. Radium 12, 15 A951).
33. G r i f f i t h, H о r t о n, Proc. Phys. Soc. 58, 481—487 A946).
34. S aka i, Sci. Rep. Tohoku Univ. 11, 351—378 A922).
35. Jaeger, Quart. Appl. Math. 8, 187—198 A950).
36. Levy, Trans. ASME 78, 1627—1635 A956).
37. Fox, Phil. Mag. 18, 209 A934).
38. Ince, Ordinary Differential Equations, Longmans, 1927.
39. Lovering, Bull. Geol. Soc. America 47, 87 A936).
21 Г. Карслоу, Д. Егер

ГЛАВА XIII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА
§ 1. Введение
В настоящей главе мы рассмотрим несколько задач для шара и беско-
бесконечного цилиндра кругового сечения, которые гораздо легче решаются не
классическими методами, а методом преобразования Лапласа. Мы займемся
здесь задачами [1, 2] с усложненными граничными условиями, задачами для
полого и составного цилиндров, а также решениями, применимыми для малых
интервалов времени, решениями для областей, ограниченных изнутри цилин-
цилиндрическими поверхностями, и, наконец, соответствующими задачами для шара.
§ 2. Цилиндр кругового сечения 0 < г < а
с различными граничными условиями
В настоящем параграфе в качестве примера применения преобразования
Лапласа при решении задач для цилиндрической области приведено сокра-
сокращенное решение нескольких задач, уже рассмотренных в §§ 6—9 гл. VII.
Используемые здесь выражения для изображений потребуются также в § 3
гл. XIII, где находят решения, применимые при малых значениях v.t/a2.
I. Нулевая начальная температура. Температура поверхности
постоянна.
В данном случае нужно решить уравнение
при условии, что v = V при г = а, t > 0.
Вспомогательное уравнение имеет вид
^ + 7#-^=0' °<г<а. B.2)
где q2 = /?/x. Его следует решать при
B.3)
и при г/, имеющем конечное значение при г = 0. Из двух решений уравне-
уравнения B.2), I0(qr) и K0(qr), последнее при г—>0 стремится к бесконечности,
и поэтому его следует исключить. Таким образом, решение уравнения B.2)
при условии B.3) имеет вид

§ 2] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 323
Отсюда, используя теорему обращения, получим
—я- /*•"
у— i оо
где, как обычно, (д. обозначает |ЛХ/х.
Подынтегральная функция в соотношении B.5) является однозначной
функцией X (см. [3] или ряд, в который разлагается функция I0(z))t и
поэтому мы воспользуемся контуром, изображенным на рис. 39. Нули функ-
функции 10(\ъа) располагаются в точках Х = — ха^, где ± ал, /г=1, 2, ..., слу-
служат корнями уравнения
У0(аа) = 0.
Тогда обычным путем получаем, что интеграл в соотношении B.5) равен
произведению 2ni на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной
функции. Вычеты оцениваются по следующей формуле (ср. B6) приложе-
приложения 3):
[к ± /0(t*«)]x=xa2 = [у Р«А О"»)] = - j аа„У, (aan). B.6)
Для полюса при Х = 0 вычет равен 1, поскольку I0(z)=\ при z = Q.
Таким образом, окончательно получим
*-К « ij6 «„У, (аая) • ^7>
/1 = 1
Мы получили решение, совпадающее с решением F.8) гл. VII, но здесь
мы не принимаем допущения F.1) той же главы, и можно, как в приложе-
приложении 1, показать, что соотношение B.7) удовлетворяет условиям нашей за-
задачи. Аналогичное замечание применимо ко всем решениям, приведенным
в данной главе.
II. Нахальная температура равна нулю. Температура поверхности равна kt.
Аналогичным путем находим, что
* f
i
-ioo
Единственным отличием служит существование в данном случае полюса второго по-
порядка при Х = 0.
III. Нулевая начальная температура. Тепловой поток на поверхности по-
постоянен и равен Fo.
Вспомогательное уравнение B.2) следует здесь решать при граничном условии
-*#-т- B-9>
Таким образом,
Воспользовавшись теоремой обращения, получим решение в виде
Рр \ 2*4 г2 1
21s1

324 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 2
где as — положительные корни уравнения
J\ («) = 0. B.12)
IV. Нулевая начальная температура. Граничное условие тре-
третьего рода.
Вспомогательным уравнением остается уравнение B.2), и если на гра-
границе цилиндра происходит теплообмен со средой, имеющей постоянную тем-
температуру 1/, то граничное условие имеет вид
dv , - hV
—-±-hv — .— 9 когда r = a. B.13)
Следовательно, решение запишется следующим образом:
-= hVIQ(gr)
p{qli(qa)-\~hlo(qa)}
Воспользовавшись теоремой обращения, находим решение в виде
к «(*ч<икг BЛ5)
где ап — положительные корни уравнения
aJx (аа) = hJ0 (аса). B.16)
V. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью *) или идеальным про-
проводником тепла.
В качестве примера рассмотрим следующий случай: цилиндр 0 < г < я, имев-
имевший в начальный момент t = 0 постоянную температуру V, помещают в хорошо
перемешиваемую жидкость с удельной теплоемкостью с' и температурой, рав-
равной в начальный момент времени нулю. Пусть на единицу длины цилиндра при-
приходится масса жидкости, с которой он соприкасается, равная М. Пусть, далее,
температура жидкости при t > 0 равна температуре поверхности твердого
тела и тепло, теряемое жидкостью в окружающую среду, равно произведе-
произведению Н на температуру жидкости.
В этом случае вспомогательное уравнение записывается следующим образом:
Граничное условие при г = а имеет вид (ср. (9.14), (в.15) гл. I)
^ ^ г = а, B.18)
где и — температура жидкости, причем и = v при t > 0.
Отсюда получим следующее граничное условие для вспомогательного уравне-
уравнения B.17): _
^ ^О, г = а. B.19)
Следовательно,
c'p + H)I0(qr)
XJ
р \ 2%aKqIx (qa) + (MC p + H) /0 (qa)
}
f *
2V{H'-ka^n)JQ{ran) .„it
_ о О ОчОТ 1
*) Решения ряда таких задач для областей, ограниченных изнутри и снаружи
цилиндрическими поверхностями, и для малых цилиндров приведены в статьях [4, 5].
Подобные задачи возникают, например, при рассмотрении нестационарного нагрева
одножильных кабелей [6].

§ 3] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 325
где ± ant /i=l, 2, ..., — корни уравнения
aaj, (aa) = (Hf — kaW) Jo (aa), B.21)
H' = Я/2тс/С, ? = Мс'12ка*?с.
VI. Выделение тепла при t > 0 в цилиндре О <^ г < а. Начальная темпера-
температура равна нулю.
Если начальная температура цилиндра равна нулю и если при />0 в цилиндре
выделяется в единицу времени на единицу объема постоянное количество тепла Ло,
а поверхность г = а поддерживается при нулевой температуре, то вспомогательное
уравнение имеет вид F.7) гл. I
Решение этого уравнения с величиной v, равной при г = а нулю и имеющей
при г = О конечное значение, записывается в виде
Отсюда, пользуясь B.8), получим
Ао (а2 — г2)
где oin — положительные корни уравнения JQ (aa) = 0.
§ 3. Решения, применимые для малых интервалов времени
I. Постоянная температура поверхности.
Рассмотрим сначала задачу / предыдущего параграфа, в которой темпе-
температура поверхности постоянна. Ранее, в § 6 гл. VII, уже отмечалось, что
решением B.7) предыдущего параграфа неудобно пользоваться при малых
значениях х?/а2, например при значениях, меньших 0,02. Аналогичное затруд-
затруднение встречалось и в задачах для пластины и шара. В этих случаях дру-
другие решения можно найти, как и в § 5 гл. XII, разлагая v в ряд по экспо-
экспоненциальным функциям с отрицательным показателем. В задачах для цилиндра
метод решения еще сложнее; он заключается в использовании асимптотиче-
асимптотического разложения функций Бесселя, вводимого с тем, чтобы получить фор-
формулу с показательными функциями, коэффициенты которых служат членами
рядов по 1/? [1,7].
Таким образом, используя решение B.4) предыдущего параграфа и соот-
соотношение A2) приложения 3, получим для случая, когда (г/а) не мало, соот-
соотношение
рг1г [l + (l/8qa)-{-(9/l28q2a2) + ...]-f О [е~2да] ' '
или
-д(а-г), (з.2)
pr'* \ Sqar
причем членами, содержащими ехр[—q(ba — г)] и т. д., которые соответствуют
многократному отражению (см. E.2) гл. XII), пренебрегают. Используя (i 1)

326 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§
приложения 5, получим из C.2)
Поскольку мы пренебрегаем последними членами, ряд C.3) неприменим
в таком широком диапазоне значений (xt/a2), как в § 5 предыдущей главы,
но он вполне годится для xt/a2 < 0,02 при условии, что г/а не слишком
мало.
Для температуры в центре, т. е. при г = 0, в соотношении B.4) дан-
данной главы /0(дт)=1, и, применяя, как и раньше, асимптотическое разло-
разложение IQ(qa), найдем
"*)*е-Ча =
}
//«*'/< {1 + (l/8qa) + (9/128^2) + .
Пользуясь выражением B0) приложения 5, найдем, что первый член
в разложении v имеет вид*)
Ч?] (?)
II. Постоянный тепловой поток на поверхности.
Рассмотрим тем же способом решение B.10) данной главы при условии,
что, как и ранее, отношение г/а не мало. Тогда
III. Теплообмен на поверхности.
Принимая, как и раньше, что г/а не мало, и подставляя в соотношение
B.14) данной главы асимптотические разложения /0 и Iv получим
=
pqrll* 1 + [ah - C/8)]/aq + [ah — A5/16)]/8aV + ...
дг I 8/" 8д J i
pqr
Следовательно,
Если отношение г/а мало, то следует использовать метод, приводящий
к соотношению C.4).
*) Этот случай и его обобщение на малые значения г подробно рассмотрены
в статье [8]. Там же приведена таблица функций Бесселя К\^ Кь/4> К*цА и Кг^ необ-
необходимых при решении наших задач.

§ 4] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 327
§ 4. Полый цилиндр a<r <b
Рассмотрим эту область при нулевой начальной температуре*) и при
следующих граничных условиях:
D.1)
где kv kv k'v k'2— постоянные коэффициенты, которые потуг быть поло-
положительными величинами или равняться нулю (при условии, что kx и k2 или
k\ и k'2 равны нулю не одновременно), a kz и k'z — любые постоянные вели-
величины. При соответствующем выборе этих постоянных мы получим в общем
решении задачи решения для случаев постоянной температуры, постоянного
теплового потока, нулевого потока и теплообмена на любой из поверхностей.
Вспомогательное уравнение имеет вид
-^. + ^ — -4^ = 0, а<г<д.
а решение получается в форме
D.2)
где А к В выбираются так, чтобы v удовлетворяло изображениям функ-
функций D.1), а именно:
*;-3f+*?=t- r=b-
Подставляя в них решение D.2) и решая получающиеся уравнения отно-
относительно А и В, окончательно получим
k'2K0 (qb)\ /Q (qr) + [k[qlx (qb) + ftj/o (qb)] Ko (qr)) -
- К [[Wi (Я*) + b2K0 (qa)] IQ (qr) + [k.ql, (qa) - Vo (?«)] * о (?')}. D-3)
где
A (p) = [kxqlx (qa) — fe/0 (Я*)] [k[qKx (qb) — k'2K0 (qb)] —
- [kxqKx (qa) + k2K0 (qa)] [k[qlx (qb) + Щ, (qb)]. D.4)
Теперь v определяется при помощи теоремы обращения. Подынтег-
Подынтегральная функция является однозначной функцией X с простым **) полю-
полюсом при Х = 0 и простыми полюсами при Х = — ха?п, где ±ап — корни (все
*) Случай произвольной начальной температуры рассмотрен в § 8 гл. XIV.
**) Если /fg = ^ = 0, то при X = 0 имеется двойной полюс. Мы опускаем этот
случай, который легко исследовать таким же образом*

328 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 4
действительные и простые) уравнения [7] *)
— [k1aY1 (аа) + k2YQ (аа)] [к[а^ (fat) — ^ (йа)] = 0. D.5)
Используем обычным образом контур, показанный на рис. 39. Вычет
относительно полюса Х = 0 равен
/b)}+b^{kl+ak2\n(r/a)\
Чтобы найти вычет относительно полюса Х = — ха^, нужно, чтобы
dA I Г 1 dA
1№
= т/а Л а [Wo (t*fl) - Vi
- b [ftlP
- b [klV.K, (jxa) ] [ ]}?-|e
Здесь мы использовали соотношение D.4) и рекуррентные формулы (см. A3)
и A5) приложения 3). Чтобы упростить это выражение, отметим, что, на-
например, при (х = /а„
__ Аг^п/, (дап) -f- АгУ0 (aan) _ kxanYx (gan) + k2V0 (mn)
Используя этот результат и соотношение B2) приложения 3, найдем
Х = ~хап Р
Р (г* \
г- D-8)
где
F (а„) = (k JVn + k*) [kpA {aa
n
Таким образом, окончательно получаем
— akz \k[ — bk2 In (r/b)] + ^ [^i + cik2\xi (r/a)]
ak2k[ + bkxk^ + abk2k2 In (b/a)
Ъ -x»2' 1 , ,
*) Отметим, что мы неоднократно используем формулы /0 (ix) = /0 W и т. д.>
приведенные в приложении 3 (см. B5) и B6)).

§ 5] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 329
где ап— корни уравнения D.5), функция F(ап) определена D.9), а
(г. ап) = Уо ('«я) [к^пУх (а*п) + k2Y0 (аап)] —
nJl{aan) + k2J0(aan)]. D.11)
Из этого общего решения можно получить целый ряд решений для част-
частных случаев [9, 10). Последние можно также получить непосредственным
использованием изложенного метода. Предположим, например, что приг = а
мы имеем постоянный тепловой поток FQ, а при г = Ъ — нулевую температуру.
В таком случае в граничных условиях D.1) имеем /&2 =/&| =/&? = 0; kx=\\
&3 = — FqIK\ *2=1. и решение D.10) принимает вид*)
'**2*' j2°(Ч) ^° (г*п) Yl (а"п) ~~ Y°{ran) Jl (да^
к г * ? п[А(пL{п)\
D.12)
где ап — положительные корни уравнения
Jx (аа) Ко фа) — Уг (аа) Jo фа) = 0. D.13)
Более сложные задачи, например задачи, приведенные в § 9 гл. I с гра-
граничными условиями, соответствующими контакту с хорошо перемешиваемой
жидкостью или идеальным проводником на одной или обеих поверхностях **),
могут рассматриваться точно таким же образом. Случай периодического
изменения температуры поверхности рассмотрен в [13]. Задача о выделении
тепла в изолированной проволоке, по которой протекает электрический
ток [14], по существу представляет собой задачу для цилиндра с конечными
размерами, но, кроме того, при ее рассмотрении можно пользоваться различ-
различными приближенными решениями, полученными из анализа теплового потока
в полом цилиндре.
Несколько значений корней уравнения D.5) для случая k — k[ = O при-
приведено в приложении 4. Корни этого уравнения для случая &2 = &j = 0, т. е.
корни уравнения D.13), приведены в [15]. Задача при k2 = 0 также была
решена численным методом ***).
§ 5. Область ограничена изнутри цилиндром кругового сечения r= a
Несмотря на несомненную важность этого случая в связи с задачами
о распространении тепла от проложенных в земле кабелей и труб, об охла-
охлаждении шахт и т. д., области такой формы изучаются сравнительно недавно.
Николсон [18] первым предложил решение E.6), однако его аргумента-
аргументацию нельзя считать безупречной. Титчмарш использовал интеграл Фурье;
Смит [19] применил метод контурных интегралов, изложенный в книге [20].
Ряд решений, для получения которых использовались операционный метод и
метод преобразования Лапласа, можно найти в работах Гольдштейна [1] и
Карслоу и Егера [7]. Некоторые численные результаты опубликованы Еге-
ром [21, 22].
I. Начальная температура равна нулю. Поверхность г = а нахо-
находится при постоянной температуре V.
*) Фишер [11] использовал это решение для определения теплопроводности.
**) Решение для этого случая приведено в [5]. В некоторых экспериментальных
установках возникают случаи аналогичного типа (см., например, [12]).
***) Корни уравнения D.5) для этого случая сведены в таблицу в [16]. Несколько
численных значений температуры дано в [17].

330 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 5
Для такого случая вспомогательное уравнение имеет вид
d2v , 1 dv 9— ~ . /р (.
-dPr+T-jr-№ = 0' r>a- <5Л)
Его нужно решить при условиях, что v имеет конечное значение при г—>оо
и, кроме того,
v = V/p, r = a. E.2)
Решение имеет вид
Далее, используя теорему обращения, получим
Y—too
где {х = ух/х. Подынтегральная функция в соотношении E.4) имеет при
Х = 0 точку ветвления, и поэтому следует воспользоваться контуром, пока-
показанным на рис. 40; известно (см. § 15,7 книги [3]), что в этом контуре
нулей функции К0(ра) нет, и поэтому интеграл в соотношении E.4) можно
заменить суммой интегралов по CD, EF и по небольшой окружности с цен-
центром в начале координат.
Интеграл по небольшой окружности дает в пределе (при стремлении ее
радиуса к нулю) 2тс/.
На линии EF мы принимаем \ = %и2еы; тогда
Г -к» Ко\гие2* ) da _ 2 Г ч J0(ur)-iY0(ur) da
J I 1ж1\ и —*J J0(ua)-iY0(ua) и '
о
так как
Интеграл по CD дает выражение, сопряженное с E.5), с отрицательным
знаком. Объединяя эти результаты, окончательно получим
v = V-±— f с-™1* У°{иг) Уо{иа)~Уо{ar)h{aa) da E 6)
* 'J 4(аи)+У20(аи)
При небольших значениях времени мы поступаем так же, как и в § 3
данной главы, используя асимптотические разложения функций Бесселя в ре-
решении E.3), и получаем
¦ ¦ ¦ }¦
Тогда из A1) приложения 5 находим
Уа* / г-а \ ¦ У(г-а)ЫУ' №«
V(9*-2ar-.7r*)*t /_r-^N
32a' »/¦'/• \2// /^

§ 51 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 331
На рис. 41 показаны графики зависимости температуры от г для раз-
различных значений времени *).
Наибольший практический интерес имеет величина теплового потока на
поверхности, т. е.
an*
J e B[y2((
du
au)+Y20{au)] '
E.8)
Вводя обозначение 7 = xf/a2, получим, что тепловой поток /напове х-
ности определяется также соотно-
шением
v/V
E-9)
для небольших значений Т и соот-
соотношением
1
—2?
J ~
для больших значений Т. В соотно-
соотношении E.10) 7 = 0,57722 ...—по-
...—постоянная Эйлера.
Численные значения интеграла
E.8) сведены Егером и Кларком [22]
в таблицу Графически он предста-
влен рис. 4z.
II. Начальная темпера-
тура V ПОСтОЯННа. На ПО-
верхности г==0 происходит
теплообмен со средой, имеющей нулевую
Вспомогательное уравнение имеет вид
Рис. 41. Распределение температуры
в области, ограниченной изнутри цилиндром
г = а\ начальная температура равна нулю,
а температура поверхности равна постоян-
постоянной V.
Числа у кривых указывают значения xtja2.
температуру.
d2v
1 dv
а граничное условие записывается следующим образом:
dv
dv .
— = hv при r = a.
—
E.11)
E.12)
*) Наиболее полные сведения опубликованы Егером [23], который приводит ре-
результаты с точностью до трех десятичных ^накоз для (г/а)= I, @,1), 2, A), 10, A0),
100 и %*/а2 = 0,001, @,001), 0,01, @,01), 0,1 @,1), 1, A), 10, A0), 100, A00), 1000. Более
точная таблица с точностью до 5 десятичных знаков для (г/а)= 1, A), 10их*/а2 = 0,1,
@,1), 1, A), 10 приведена в [24]. Перри и Бергрен [25] провели широкое исследование
теплопроводности в цилиндрических областях. В процессе анализа они использовали
некоторое количество численных величин, полученных по методу Шмидта. Гольден-
берг [26] привел результаты для (г/а) = 2, 10, 100 и данные о суммарном тепловом
потоке.

332 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 5
Тогда
и
Т+/оо
E.13)
1
Подынтегральная функция имеет при Х = 0 точку ветвления, и поэтому
мы используем контур, показанный на рис. 40. На этом контуре или внутри
1.0
f
1
1
ц-2 -7
Рис. 42. Тепловой поток / на по-
поверхности области, ограниченной
изнутри цилиндром г = а\ началь-
начальная температура равна нулю,
а температура поверхности равна
постоянной V.
\
7,0
0,6
0,6
0,4
0,2
0
\~
V
у \
'—¦—
*—
4
J15
5
т 7д "
6
— —
-
д
>¦ 1-
70
xt/a*
Рис. 43. Распределение температуры
поверхности vn в области, ограни-
ограниченной изнутри цилиндром г — а\
начальная температура равна по-
постоянной V, а на поверхности про-
происходит теплообмен со средой, имею-
имеющей нулевую температуру.
Числа у кривых указывают значения ah.
него полюсов нет [7,27]. Поступая далее так же, как и в предыдущем при-
примере, получим
(иа)]<1и
\
—_ 2?L Г #-
тс J
E.15)
Графики температуры поверхности для величин ah = 0,2, 0,5, 1, 2,5, 5 и 10
показаны на рис. 43.
III. Нулевая начальная температура. Тепловой поток на поверх-
поверхности г = а постоянен и равен Q.
В данном случае решение имеет вид *)
QKo(qr)
V =
KpqKx (qa)
E.16)
*) Здесь можно применить контур, изображенный на рис. 40, однако искомый
интеграл C.8) гл. XII есть интеграл по разрезу (см. F.2) и F.6) данной главы). Фор-
Формула E.17) получена применением к выражению для pv обычного метода с дальней-
дальнейшим использованием теоремы B.4) гл. XII.

§ 5] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 333
И
V=-§- f A-е-*') Jo(ur)YAua)-Yo(ur)Jx(ua)
*KJ u*\j\(ua)+Y\{ua)\ У }
Решение, пригодное для небольших значений xt/a2, имеет вид
(Зг + д) («*)'/' р
Г г-а 1
L I/2 J "
4ar L 2 (vi)v*
E.18)
Отсюда, привлекая метод, излагаемый
в следующем параграфе, находим, что при
больших значениях времени можно напи-
написать
Qa
f V" jn ^" I Q ^
0,5
/
(
E.19)
^
<9 ^
xt/a*
где 1пС=7» а 7=0,57722 . . . —постоян-
—постоянная Эйлера. Соотношение E.19) анало-
аналогично также соотношению D.6) гл. X для
линейного источника, выделяющего на
единицу длины в единицу времени коли-
количество тепла, равное 2izaQ.
Некоторые значения температуры поверхности приведены на рис. 44 *).
IV. Нулевая начальная температура. Температура поверхности меняется
по закону sin (o)^-f-е).
Рис. 44. Распределение температур
поверхности t/n в области, ограни-
ограниченной изнутри цилиндром г = а;
начальная температура равна нулю,
тепловой поток на поверхности равен
постоянной величине Q.
oo
2% Г
-шЧ [Jo (ur) Ko (иа) — Vp (ua) Yo (ur)] [o> cos ? — ъи2 sin e) и du
E 20)
где о)' =
у а Ко (геЫ1А) = ker г + / kei г = Л^о
V. Области z > 0, г>а иО<г</,г>ас начальной температурой, равной
единице. Решения в виде произведения **).
Очевидно, что решения для этих областей можно получить так же, как и в § 4
гл. VIII, воспользовавшись методом, описанным в § 15 гл. 1. Таким образом, для об-
области z > 0, г > а с начальной температурой, равной единице, и нулевой температу-
температурой поверхности решение будет иметь вид
t;= <
(иг) Ко (иа) — Ко (иг) Уо (цд)
E.21)
Численные значения искомой температуры можно найти из рис. 41.
*) Другие значения температуры, а также некоторые результаты при г/а = 2;
5 и 10 приведены в [28]. Там проводится также тщательное сравнение решений
этого типа с решениями, полученными для непрерывного линейного источника в не-
неограниченной области.
**) Другие задачи для области г > 0, в которых рассматривается нерадиальный
тепловой поток, обсуждаются в [29].

334 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 6
§ 6. Решения, применимые при больших значениях времени
В задачах для ограниченных областей решения обычно получаются в виде рядов,
которые сходятся тем быстрее, чем больше величина t. Вместе с тем решения задач
для неограниченных областей обычно принимают следующую форму:
>
е"иЧ f(u)du, F.1)
где Т — параметр (например, **/я2), и при больших значениях Т такие решения, по-
пожалуй, еще труднее для оценки. Обычно оказывается важным знать приближенные
решения при больших значениях Т. Эти решения можно получить, воспользовавшись
интегралом F.1), но_для многих практических задач проще применить метод, излагае-
излагаемый ниже *). Если г7(/?) есть изображение решения v, то это решение можно найти,
воспользовавшись теоремой обращения
t,(*) = -L. / ekt'v(X)dX. F.2)
2iti J
у—/оо
В задачах рассматриваемого класса v (X) имеет точку ветвления в начале коор-
координат и первый шаг при оценке величины v состоит в преобразовании контура
G — /оо, 7 + *'°°)» по которому интегрируют в F.2), в контур CDEF, изображенный
на рис. 40; последний начинается в — оо на нижней полуплоскости, один раз огибает
в положительном направлении точку ветвления в начале координат и заканчивается
в —оо на верхней полуплоскости. Поэтому такой контур можно обозначить символом
(—оо, 0+). Тогда F.2) запишется в виде
@+)
?Xtv(X)dX. F.3)
Во всех рассмотренных задачах это преобразование оказывается вполне закон-
законным; иными словами, можно показать, что интегралы по дугам АА'С и FB'B боль-
большой окружности на рис. 40 стремятся к нулю, когда радиус этой окружности стре-
стремится к бесконечности. При записи в явном виде выражения для v (X) вдоль пути CDEF
контурный интеграл F.3) сводится к действительному интегралу с бесконечным пре-
пределом F.1). Чтобы найти решения, применимые при больших значениях времени, мы
исходим из соотношения F.3), разлагаем v (X) по возрастающим степеням X и инте-
интегрируем этот ряд почленно, предполагая, что последний процесс может быть обосно-
обоснован. Типичные интегралы, которые нам потребуются в дальнейшем, записываются
следующим образом:
@+) @+)
L. f Л-*" еи dX = —J- • _L fxnextdX = O, л = 0, 1, 2,...; F.4)
ш J ГA -j- v) ' 2ш J
— оо
1 Г 1
_ / J_ e l In (kX) dX = — In (Ct/k); F.5)
ni J К
— oo
@+)
i- / eKt [\n(kX)fdX = 2-\n(Ct/ky, F.6)
ш J t
-oo
@+)
j eu [In (kl)? d\ = -g. _ .3 [in (Ct/k)f. F.7)
*) Здесь мы имеем в виду один из основных методов операционного исчисления
Хевисайда (см. [30]); контуры интегралов F.2) и F.3) являются в обозначениях Мак-
Лахлана Вгх и Вг2 контурами. Гольдштейн [1] применил этот метод для решения
целого ряда задач в цилиндрических координатах.

§ 7] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 335
Здесь In C = 7 = 0,5772 ...—постоянная Эйлера, k предполагается действительной и
положительной величиной, a v — любая комплексная величина, причем v Ф — п.
В написанных выше соотношениях F.4) вытекает из определения гамма-функции,
F.5) — из изображения In t, a F.6) и F.7) можно получить обычным методом, исполь-
используя путь интегрирования CDEF. Другие необходимые формулы получаются путем
дифференцирования по t, как по параметру. Тогда из F.5) получим
@+)
-L f eKt\n(k\)d\ = — \/tt F.8)
— oo
@+)
oo
и т. д.
В качестве примера рассмотрим область г > а, в которой тепловой поток
постоянен и равен Q.
Воспользовавшись соотношением E.16) предыдущего параграфа, соотношениями
(9), A0) приложения 3 и положив fx == (X/%I/2, получим
@+)
Q Г еиК0 (fir) dk __
@+)
/
@+)
где, как и выше, inC = 7 = 0,5772 ... —постоянная Эйлера.
Пользуясь F.4) — F.6) и F.8), получим
Таким же путем можно получить решение G.18) и аналогичные решения для
всех задач, рассмотренных в § 7 данной главы. Дополнительные теоретические сообра-
соображения, необходимые для получения соотношений E.3) и E.13) данной главы, развиты
в статье [31].
§ 7. Область г > а, ограниченная изнутри круговым цилиндром
из идеального проводника
Во многих задачах, имеющих практическое значение, например в задачах
о нагреве подземных электрических кабелей, а также при измерении тепло-
теплопроводности методом «зонда» металлический цилиндр окружен неограниченной
средой (такой, как почва или горная порода) со значительно меньшей тепло-
теплопроводностью. С хорошим приближением металл может рассматриваться как

336 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 7
идеальный проводник тепла — влияние конечности коэффициента теплопро-
теплопроводности можно оценить из более сложных результатов, приведенных в § 8 дан-
данной главы. В большинстве задач наиболее интересным оказывается вопрос о
температуре материала внутри цилиндра. Последний либо имеет вначале темпе-
температуру, равную единице (область вне цилиндра имеет температуру, равную
нулю), либо в единицу времени к нему подводится постоянное количество
тепла. Аналогичные задачи возникают в тех случаях, когда область г < а
содержит хорошо перемешиваемую жидкость.
Во многих практических задачах между цилиндром и окружающей средой
имеется контактное сопротивление. Такие задачи будут рассмотрены ниже
(см. примеры III и IV данного параграфа). Однако в первую очередь мы
обсудим более простой случай, когда контактное сопрстивление отсутствует.
1. Область г > а имеет в начальный момент времени темпера-
температуру, равную нулю. На границе г = а эта область соприкасается
с идеальным проводником в виде цилиндра, обладающим тепло-
емкостью S {на единицу длины цилиндра). Начальная температура
проводника равна VQ. На границе г = а контактное сопротивление
отсутствует *).
Обозначая температуру в области г > а через V, получим, как и в при-
примере V § 2 данной главы,
-_ аУрКо(дг) -
*q[aqKoW + "Ki(aq)\ ' к'' }
где
0L = 2na2pc/S G.2)
является параметром, равным удвоенному отношению теплоемкости эквива-
эквивалентного объема среды к теплоемкости идеального проводника. Отсюда сле-
следует, что
«*l* [J0(ru/a) [uYQ(u) — аК, (и)] —
- Ко (иг/a) [uJ0(и) - аУ, (в)]} ~-, G.3)
где
u) — aLYl(u)]*. G.4)
Температура V в области г < а* равная значению G.3) при г = а, за-
записывается в виде
со
у - 4aVQ fe-xtu>la> du G.5)
о
График зависимости V от xt/a2 для различных значений а изображен
на рис. 45.
II. Та же задача, но цилиндр имеет нулевую начальную темпе-
температуру и при t > 0 в него поступает количество тепла, равное
в единицу времени на единицу длины величине Q.
*) Небольшая таблица интегралов G.3) приведена в [32, 33].

§ 7] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 337
Тогда
G.6)
V =
aQKojqr)
v =
iSpq [aqKo (aq) + olKx (aq)] '
- «-XB2'/a2) M>(«'/«) luY0(a) — aK, («)]
- Ko(ar/a) [ujo (a) - a
G.7)
где a и Д(и) определены соответственно выражениями G.2) и G.4). При
нахождении решения G.7) из G.6) следует использовать метод, приводящий
0,6
0,6
ОА
0,2
О
4,0
Рис. 45. Распределение температуры в цилиндре из
идеального проводника; в начальный момент времени
его температура равна Vo; температура неограни-
неограниченной среды, в которой он находится, равна нулю.
Числа у кривых указывают значения параметра а.
к решению E.17) данной главы. Температура V в цилиндре, представляющая
собой значение G'.7) при г = а, равна
-1,0-
2
6
\
\
\
\
1,0
V
_2Qa2 Г
(\ —
du
(и)
G.8)
На рис. 46 построен график зависимости V от xt/a2 для различных зна-
значений а.
III. Нагревание электрического кабеля, проложенного в земле.
Электрический кабель состоит из трех основных частей: сердечника* по кото-
которому течет ток, изоляции, отделяющей сердечник от защитной металлической обо-
оболочки, и этой оболочки. Поэтому в простейшей идеализированной схеме кабеля*)
сердечник и оболочка должны считаться идеальными проводниками с теплоемкостями
соответственно Sx и S2 на единицу длины кабеля. Теплоемкость изоляции должна
считаться равной нулю, а ее термическое сопротивление на единицу длины кабеля
*) Достаточно полное рассмотрение этого вопроса с технической точки зрения
можно найти в работе [34]. В статье [35] дано несколько приближенных решений
для случая нагрева при коротком замыкании (что соответствует решению задачи I).
В рамках современных представлений этот вопрос рассмотрен в [33, 36, 37].
22 Г. Карслоу, Д. Егер

338 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 7
равным R. Пусть внешний радиус оболочки равен а, причем кабель проложен в почве,
с термическими коэффициентами /С, %, р и с. Кроме того, мы пренебрегаем контактным
сопротивлением между оболочкой и почвой.
Практический интерес имеют две задачи: 1) нагревание установившимся током,
проходящим по сердечнику, и 2) нагревание током короткого замыкания, при котором
температура сердечника внезапно возрастает на конечную величину; в последнем случае
требуется исследовать, каким
путем это тепло рассеивается.
Н
0,4
0.2
-у
-1,0 О 1,0
Рис. 46. Распределение температуры V в цилиндре
из идеального проводника, окруженном неограни-
неограниченной средой, при наличии поверхностных источ-
источников постоянной мощности.
Числа у кривых указывают значения параметра а.
Нагревание током ко-
короткого замыкания. Если в на-
начальный момент времени тем-
температура сердечника равна Vo,
а соответствующая начальная
температура оболочки и окру-
окружающей среды равна нулю, то
температура V в сердечнике
в момент времени t будет равна
V=z VQF(h, alt a2, x), G.9)
где
сс2 = 2%a2?c/S2, х = -xi/я2, G.10)
и
ехр (— u2z) da
аД,(и) "
G.11)
Д, (tf)=[«(«i + «2—hu2) Jo (и)—
— M«i — л**2)/, (и)]2+
. G.12)
Нагревание обычным током. Если в начальный момент времени вся система
находится при нулевой температуре и количество тепла, выделяемого в сердечнике
на единицу длины в единицу времени, равно Q, то температура в сердечнике в момент
времени t будет равна
где
О (Л, <zlf a2, х) :
2а\а\ р[\-
-W-J —
а2» т)»
¦ ехр (— и2
du
(и)
G.13)
G.14)
определение остальных символов приведено в G.10) и G.12).
Мы не располагаем таблицами интегралов G.11) и G.14), но Егер [33] приводит
графики F A, а, со, х), ^B, а, оо, х), G A, а, оо, х) и G B, а, оо, х), которые соответ-
соответствуют кабелю без оболочки.
Если кабель окружен не бесконечной средой, а погружен на глубину а, считая
от поверхности земли, то на равном расстоянии над землей должно быть помещено
его «изображение». Этому изображению будет соответствовать непрерывный постоян-
постоянный линейный источник (см. соотношение D.7) гл. X).
IV. Определение теплопроводности методом «зонда».
Пусть цилиндр из идеального проводника радиуса а окружен неограниченной
средой и при t > 0 в нем выделяется количество тепла, равное на единицу длины
в единицу времени Q, причем начальная температура всей системы равна нулю; тогда
температура V идеального проводника в момент времени t при наличии контактного
сопротивления R (на единицу длины) между цилиндром и окружающей средой, будет,
в соответствии с G.13), равна
G.15)

§ 8] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 339
Отсюда, как и в § 3 данной главы, следует, что для небольших значений %
: — ^Г+°№}> если Л=?°' GЛ6>
или
Для больших значений времени т (как и в предыдущем параграфе) можем на-
написать
где С = 1,7811 = ехр 7 (Т = 0,5772 ... — постоянная Эйлера).
Из соотношения G.18) следует, что во всех случаях кривая зависимости V
от \nt имеет прямолинейную асимптоту с угловым коэффициентом, равным Q//C
Поэтому, если известно Q, то можно сразу же определить /С Если %=0,01 и а = 0,1,
то к концу промежутка времени 10 мин ъ = ti/a2 будет равняться 600, и следова-
следовательно, в этом случае быстро получается асимптота. Вместе с тем, если д=1, та
х = %t/a2 равно 6 и время, необходимое для достижения асимптотического значения,
оказывается существенно большим.
Методы зонда [38—41] *) очень удобны при измерении теплопроводности грану-
гранулированных материалов, почв и горных пород. В последнем случае зонд следует по-
помещать в отверстие, просверленное в горной породе, и поэтому можно ожидать, что
его радиус должен иметь порядок 1 см, и ввиду наличия воздушного зазора между
зондом и породой термическое сопротивление окажется довольно значительным. Блэ-
куэлл [29, 42] подробно рассмотрел этот случай и указал на то, что, воспользовавшись
соотношениями G.16) и G.18), можно из экспериментальных данных определить все
три параметра /?, % и К>
§ 8. Составная цилиндрическая область
Задачи теплопроводности в случае составных или пустотелых цилиндров
кругового сечения легко решаются при помощи преобразования Лапласа,
но получаемые решения оказываются довольно сложными [43—48] **). Здесь
мы рассмотрим два случая неограниченных составных областей.
I. Область 0 < г < а (в цилиндрических координатах) содержит
материал с термическими коэффициентами Kv *2 и т. д., а область
г > а — материал с термическими коэффициентами К2, *? и т. д. На-
Начальная температура V в области 0 ^ г < а постоянна, а в области
г>а — равна нулю.
Обозначим через vx и v2 температуры в обеих областях и запишем вспо-
вспомогательные уравнения
# + 7#-«& = 0. г>а, (8.2)
где qx = YJj*l и q2 = Ypfo •
Если принять, что на поверхности г = 0 контактное сопротивление от-
отсутствует (ср. пример Ж § 9 гл. I), то граничные условия запишутся в виде
vt = v2 и Kvrsj~= ^2~&г~ * К0ГДа г = а. (8.3)
*) Влияние конечной длины нагреваемого зонда рассмотрено в [29] и [42]; в них
был сделан вывод, что длина зонда должна составлять по крайней мере 25-—30 его
диаметров.
**) В статье [49] приведены функции Грина для неограниченных составных
областей.
22*

340 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 8
Решения следует находить из условий, что при г = 0 vx имеет конечное
значение, а при г—>оо величина v2 ограничена. Искомые решения имеют вид
V VKod*
^f<I (8.4)
где
A = K2*ixlo (qxa) Kx (q2a) + K\*<?h (qxa) Ko (q2a)- (8.6)
Тогда, используя теорему обращения и контур, показанный на рис. 40,
окончательно получим
/-
_ 2У/С^ f _хиЧ Jx (аа) [/р (*цг)
_%т /р (иг) Л 4иа) du
„2 Гса2/,Л-1_.Ь2/,Л1 * ^О/;
( )
где х = Y%\l%2 и
ф («) = KiifrJi (аи) Jo (хаи) — K**{'J0 (аи) J, (хаи), J
ср («) = /dx^Vi (ав) Ко (хае) — /fot'M (а«) Уг (ми) \
J
II. 7"а же область, что и в задаче /. В обеих областях начальная
температура равна нулю. При ?>0 в области 0 <; г < а в единицу
времени на единицу объема выделяется постоянное количество тепла Ао.
В этом случае уравнение (8.1) заменяется уравнением
Остальные уравнения не изменяются. Уравнения (8.4) и (8.5) заменяются
на уравнения
^^^КЛЯ2аIо(д1Г)' (8Л1)
Решения будут иметь вид *)
о
У, (ид) [Уо (хаг) у (а) - К„ (хат) ф (ц)] du
о
A - с-ж-«'О У, (ид) [Уо (хаг) у (а) - К„ (хат) ф (ц)] du
1
о
где ср(#) и ф(а) определены соотношениями (8.9).
*) Искомые решения получаются из (8.7) и (8.8) при помощи B.4) гл. XII. Если
к (8.11) и (8.12) применить теорему обращения, то мы получим только интеграл по
(— оо, 0-|-) (ср. примечание на стр. 333).

§ 9] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 341
Полученные выражения являются точными решениями задач, приближен-
приближенные решения которых приведены в предыдущем параграфе (см. стр. 337),
и поэтому они позволяют проверить в частных случаях пригодность при-
приближений, использованных в этом параграфе.
Нетрудно записать и изображения для температур в составных цилин-
цилиндрических областях, воспользовавшись для этой цели методом матриц, раз-
разработанным в § 8 гл. XII для пластин. Проводимый в данном случае анализ
аналогичен анализу, выполненному в § 3 гл. VII, для установившихся тем-
температур в составных цилиндрах, причем величина kt'* заменяется величиной q>
Решения, пригодные для больших или малых значений времени, можно по-
получить при помощи метода, использованного в §§ 3 и б данной главы.
§ 9. Шар. Радиальный тепловой поток
Напомним, что задачи с радиальным тепловым потоком в шаре сводятся
подстановкой a = vr к задачам с линейным потоком в стержне, а последние
исследованы достаточно полно; поэтому повторять здесь необходимые расчеты
нецелесообразно. Однако если требуется получить решения для шара, а соот-
соответствующие решения для стержня отсутствуют, то лучше применить пре-
преобразование Лапласа непосредственно к задаче для шара. Ниже приводятся не-
несколько примеров.
I. Шар 0О<а (в сферических координатах) с постоянной на-
начальной температурой V и нулевой температурой поверхности.
В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид
ИЛИ
^0L-q4rv) = -rY-, 0<r<«. (9.2)
Его следует решать при условии
v = 0, когда г = а (9.3)
и v при г = 0 имеет конечное значение.
Общее решение уравнения (9.2) имеет вид
rv = A sh qr + В ch qr +^y-; (9.4)
для того чтобы получить конечное значение v при г->0, следует принять В
равным нулю. Тогда
-=:V__aVskqr
р rpshqa к '
Использование теоремы обращения дает решение примера IV § 3 гл. IX.
Кроме того, поступая так же, как и в § 5 гл. XII, можно найти решение,
пригодное для малых значений времени* Из соотношения (9.5) получаем
V =-К JLL V le-q[B/2+1)a-r\ e-q[B/2+1)a+rjl
p rp AA l '
/2=0
и поэтому
}

342 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 9
При г = 0 оно принимает вид
II. При t>0 в области 0<;г<д, находящейся в неограниченной среде
с нулевой начальной температурой, в единицу времени на единицу объема вы-
выделяется постоянное количество тепла Ло [50] *).
В данном случае, как и выше (см. (9.2)), вспомогательные уравнения записы-
записываются следующим образом:
—*{nii — r*Lt 0<r<a, (9.7)
0, r>a. (9.8)
Решение уравнения (9.7), конечное при г->0, имеет вид
rv = ljj$-+Asbqr. (9.9)
Решение уравнения (9.8), конечное при г->оо, записывается в виде
rtT= Be~qr. (9.10)
А и В следует находить из условия непрерывности v и diT/dr при г = 0. Отсюда
Температуру при г=0 находим из соотношений (9.9) и (9.11):
и, следовательно,
Кроме того, при 0 < г < л имеем
а при г > i
v =
*) В работе [51] рассмотрен случай, когда среда в областях г > а и г < а имеет
различные теплопроводности. Там же приведены некоторые численные результаты.

§ 9] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 343
Таким же путем можно получить решения для случая, когда количество тепла,
выделяющегося в единицу времени, равно Aotn, где п может принимать значения
-72;0; v2; I; ...
III. В области 0 < г < а находится идеальный проводник с массой М и
удельной теплоемкостью сх. Он окружен неограниченной областью с теплопро-
теплопроводностью К и температуропроводностью %. На поверхности г = а контактное
сопротивление на единицу площади равно 1/Н. Начальная температура равна
нулю. Внутри области г = а в единицу времени выделяется количество тепла Q.
Обозначая температуру идеального проводника через vit а температуру в области
г > а через и, находим
r*.Mlclp[a*q* + a2q2(l+ah) + ka2hq+kah] 9
где
и h = H/K. (9.17)
Если известны численные значения k и ah, то знаменатели в решениях (9.15)
и (9.16) можно разложить на множители, a vx и v выразить через сумму простых
дробей со знаменателями типа p(q-{-b)\ vx и v можно затем найти из A2) и A4)
приложения 5.
Кроме того, можно воспользоваться теоремой обращения; тогда мы получим
l+ah 2a*k2h2 f е-™*« da I
ah ъ J \a2(\ + ah) — kah]2 + [u3 —kahu]2 Г ^Лб)
) —- kah]2 + [и3 — kahu]2
о )
При малых значениях времени отсюда, как и в § 5 гл. XII, следует, что
_ Q
Щ ~ А1,с,
{,_.**?.+...}. (9.19)
тогда как при больших значениях времени метод, изложенный в § б данной главы,
дает
Q [ \-\- ah a
~ali
Эта задача соответствует задаче, приведенной в § 7 данной главы, в которой
цилиндр заменен шаром. Аналогичным образом можно поступить и при определении
теплопроводности.
IV. Та же задача, что и III *), но Q = 0 и начальная температура шара
равна Vq.
Температура шара vx в момент времени t равна
f
f «-"Wg'rfg
J [u2(l-\-ah) — kahY-\-[u* — kahuY% y }
_ 0
о
Для малых значений времени получим
- **f+...}; (9.22)
для больших значений времени найдем
V. В области 0 < г < а находится идеальный проводник с массой Mi и удель-
удельной теплоемкостью с,. В области а < г < b находится твердое тело с тепло-
*) В работе [52] рассмотрен случай выделения тепла в области г > а.

344 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 9
проводностью К и температуропроводностью %. На границе г — а контактное
сопротивление отсутствует. Начальная температура всей системы постоянна и
равна Vo, а при t > О поверхность r=b поддерживается при нулевой температуре.
Если обозначить температуру в области a^r^b через v, то
ШУ0 у sin*п(Ъ- г)
^ «л sin2 <*„(? — л)— ksiu2(b — а) ап
где ап (/г=1, 2, ...) — положительные корни уравнения
kaa cos a (b — а) = (я2а2 — Л) sin a(b — a) (9.25)
(9.26)
VI. Га ле? задача, что и V, яо начальная температура равна нулю, а в шар
а поступает в единицу времени количество тепла, равное Q.
В данном случае
М
v ' '
„ sin2 ал F — а) — ? sin 2а„ (Ь — а)]
где ал — положительные корни уравнения F.25).
VII. Составные сферические твердые тела.
Рассмотрим задачу для шара радиуса b из твердого материала, в котором цен-
центральная часть, 0<;г < а, имеет теплопроводность, температуропроводность и темпера-
температуру Ки xi» vu в наружной оболочке, а < г < 6, соответствующие величины равны /С2»
Х2 и v2- Примем, что при г = а контактное сопротивление отсутствует.
Пусть в начальный момент времени температура твердого тела равна постоян-
постоянной величине V, а при t > 0 наружная поверхность г = b поддерживается при ну-
нулевой температуре.
Введем, как обычно, обозначения ul = rvl, u2 = rv2\ тогда подлежащие решению
уравнения принимают вид
** *? r<a, t>Oi *<L _*,**-. a<r<*, * > 0, (9.28)
(9.29)
при условиях
дах их\ /1 ди
и2 = 0, г = b, t > О,
ttl = rV, u2=rV, t = О
и #! имеет при г = О конечное значение.
Необходимо отметить, что вследствие формы граничного условия (9.30) решения
для составных шаров не вытекают непосредственно из соответствующих решений
для составных пластин.
Вводя обозначения q\ — р/ъг и q\ = pfo* получим вспомогательные уравнения
в виде
-1277 - rV Л d2u~2 о- rV .
и граничные условия
Jj = и2 при г = л, а2 = 0 при г =
в^-^) при г
а 1?! при г = 0 имеет конечное значение.

§ 9] ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА 345
Решая эти уравнения, получим
abVK2q2shrqi
l~~ P r
-¦ V ЬУ {К2Ыг) sh Яха + КМ (*)sh q2 (г-а)}
2~ Р rp{K2*<2(b)sbqxa + KAx(a)s\iq2{b-a)}
где
ф, (г) = aqx chqxr — sh qxry (9.33)
ф2 (г) = aq2 ch q2 (r — a) + sh ?2 (г — я). (9.34)
Далее рассуждения очень похожи на рассуждения для случая составной плас-
пластины, рассмотренной в § 8 гл. XII. Ко вторым членам соотношений (9.31) и (9.32)
применяется теорема обращения, в результате чего мы получим интегралы, подынте-
подынтегральные функции которых имеют простые полюсы при X = О (дающие вклады — V)
и простые полюсы при Х = — *iam> где ±ат (^=12, ...) — корни уравнения
K2{kaacos k(b — а) а-\-sin k(b — a) a] sin aa-\- К\ {aacos aa — sin да} sin k (b — a)a=0,
(9.35)
k = УТ&^ъ * = Ki/kK2. (9.36)
Корни уравнения (9.35) служат корнями уравнения
К2 {kaa ctg k (b — a) a + 1} -f Kx {aa ctg aa — 1} = 0 (9.37)
и общими корнями уравнений
sin aa = 0, sin k (b — a) a = 0. (9.38)
Если k(b — a)/a — величина иррациональная, то последние уравнения общих
корней не имеют, и из (9.31) и (9.32) получим
sin Га« йп дая sin Л (* - а) апе Va* t (9.39)
оо 2
v2 = ^~ 2 —^ sin2 лал sin k(b — r) <*ne~Xl*n , (9.40)
л=1
где ±ап (я = 1, 2, ...) —корни уравнения (9.37) и
<р (ал) = ааап Sin2 ^ал (^ — a) -f- ^ (^ — а) ап sin2 аал -J ^ Sin2 aan sin2 ^ F — а) ап.
(9.41)
Если ^ (^ — а)/а — рациональная величина, то можно предположить, что она
является несократимой дробью, равной 1/т. В таком случае уравнения (9.38) имеют
общие положительные корни
a = J^H, Л=1, 2, 3, ... (9.42)
а
Эти корни уравнения (9.35) приводят к появлению в выражениях для vx и v2
дополнительных членов
2bV V (-l)(/*m)* sin rnnnr e-x
a
) ЛЛ n
l
гтс(/а+/и) jU п Ь — а
соответственно.
Ы (b — Г) g_ xx

346 ГЛ. XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА [§ 9
ЛИТЕРАТУРА
1. G о 1 d s t e i n, Proc. Lond. Math. Soc. 34, 51 A932).
2. Carslaw, Jaeger, Proc. Lond. Math. Soc. 46, 361 A940).
3. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge, ed. 2, 1944
(Г. Ватсон, Теория бесселевых функций, ИЛ, М„ 1949.)
4. Low a n, Phil. Mag. 17, 849 A934).
5. J aeger, Proc. Roy. Soc N. S. W. 74, 342 A940); 75, 130 A941).
6. Goldenberg, Engineer 197, 779—780 A954).
7. Carslaw, Jaeger, Operational Methods in Applied Mathematics, Oxford, ed. 2,
1948. (Г. Карслоу и Д. Егер, Операционные методы в прикладной математике,
ИЛ, 1948, перев. с 1-го изд. 1941 г.)
8. Carsten, McKerrow, Phil. Mag. 35, 812 A944).
9. W a 11 e г s, PhiL Mag- 38, 70—78 A947).
10. Comenetz, Quart. Appl. Math. 5, 503—510 A947).
11. Fisch.er, Ann. Physik 34, 669 A939).
12.Stephens, Phil. Mag. 15, 857 A933).
13. Awbery, Phil. Mag. 28, 447 A939).
14. Bu ch h о 1 z, Z. angew. Math. Mech. 9, 280 A929).
15: Bogert, J. Math. Phys. 30, 102 A951).
16. L i p о w, Z w i<: k, J. Math. Phys. 34, 308—315 A955).
17. Geckler, Jet Propulsion 25, 31—35 A955).
18. Nicholson, Proc. Roy. Soc A100, 226 A921).
19. Smith, J. AppL Phys. 8, 441 A937).
20. Carslaw, Introduction to the Mathematical Theory of Conduction of Heat in So«
lids, Macmillan, ed. 2, 192L (Г. Карслоу, Теория теплопроводности, Гостехиздат,
М., 1947.)
21. Jaeger, Proc. Roy. Soc. Edin. A61, 223 A942).
22. Jaeger, Clarke, Proc. Roy. Soc. Edin. A61, 229 A942).
23. J a e g e r, J. Math. Phys. 34, 316—321 A956).
24. Computation Laboratory oi Harvard University, Problem Report No. 76, 1954.
25. Perry, Berggren Univ. California Publ. in Engng 5, 59 A944).
26. Goldenberg, Proc. Phys. Soc. B69, 256—260 A956).
27. E г d ё 1 у i, К е г m а с k, Proc. Cambr. Phil. Soc. 41, 74 A945).
28. Ingersoll, Adler, Plass, Ingersol, Heat Pip. Air. Condit. 22, 113—122
A950).
29. В 1 а с k w e 11, Canad. J. Phys. 31, 472—479 A953).
30. McLachlan, Complex Variable and Operational Calculus, Cambridge, 1939.
31. R i t с h i e, S a k a k u г a, J. AppL Phys. 27, 1453 A956).
32. В u 11 a r d, Proc Roy. Soc. A222, 408—429 A954).
33. Jaeger, Aust. J. Phys. 9, 167—179 A956).
34. W h i t e h e a d, H u t с h i n g s, J. Instn. Elect. Engrs 83, 517 A938).
35. W h i t e h e a d, Proc. Phys. Soc. 56, 358—366 A944).
36. Jaeger, Newstead, Instn. Elect. Engrs Monograph No. 253S, 1957.
37. S ch u b e г t, Z. angew. Phys. 2, 174—179 A950).
38. D e V г i e s, Soil Sci. 73, 83—89 {1952).
39. Van der Held, Hardeboi, Kalshoven, Physica 19, 208—216 A953).
40. Buettner, Trans. Am. Geophys. Union 36, 831—837 A955).
41. В lack well, J. AppL Phys. 25, 137—144 A954).
42. В 1 а с k we 11, Canad. J. Phys. 34, 412—417 A956).
43. Jaeger, Phil. Mag. 32, 324 A941).
44. Penner, Sherman, J. Chem. Phys. 15, 569—574 A947).
45. S с h a a f, Quart. Appl. Math. 3, 356—360 A945).
46. Tranter, Phil. Mag. 38, 131—134 A947).
47. Thiruvenkatachar, R a m a k г i s h n a, Quart. Appl. Math. 10,255—262 A952).
48. Levy, Trans. ASME 78, 1627—1635 A956).
49. J a e g e r, Phil. Mag. 35» 169 A944).
50. Goldenberg, Brit. J. Appl. Phys. 2, 233 A951).
51. G о 1 d e n b e г g, T г a n t e r, Brit. J. Appl. Phys. 3, 296—298 A952).
52. Paters on, Proc Glasgow Math. Ass. 1, 164—169 A953).

ГЛАВА XIV
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 1. Введение
Применение функций Грина в теории потенциала известно очень хорошо.
Удобнее всего определить эту функцию внутри замкнутой поверхности S как
потенциал, который обращается в нуль на данной поверхности, а в точке
Р(х*\ у', zf)t находящейся внутри нее, стремится к бесконечности как 1/г,
когда г->0. Обозначим такое решение уравнения V2# = 0 через G(P); тогда
решение этого уравнения, не обращающееся в бесконечность внутри данной
поверхности и принимающее на ней произвольное значение V, запишется
в виде
где д/дп означает дифференцирование по внешней нормали [1—4].
Мы покажем, что подобную функцию можно с успехом применить и
в теории теплопроводности. Мы определяем в этом случае функцию Грина
как температуру в точке (х, у, г) в момент времени t, обусловлен-
обусловленную действием мгновенного точечного источника единичной мощности,
помещенного в точку P(xf, y\ z') в момент т, полагая, что начальная
температура тела равна нулю и его поверхность поддерживается
при нулевой температуре.
Такое решение можно написать следующим образом:
u = F(x, у, z х', /, z\ t — z) (t>%).
Оно удовлетворяет уравнению
Однако поскольку t входит только в форме (t — т), то мы получим
также
Кроме того, \imu = G во всех точках внутри 5, за исключением точки
Р(х\ у, zf). Внутри 5 решение имеет вид
1 ехо Г— (•*-*'
8 [тех (t -т))
Наконец, на поверхности 5 и = 0 (х < t).

348 ГЛ. XIV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА [§ 1
Пусть v — распределение температуры в твердом теле в момент времени t,
обусловленное температурой поверхности <р(лг, у, z, t) и начальной темпе-
температурой f(x, у, г).
Тогда v удовлетворяет уравнению
и условиям
v = f(x, у, z) в начальный момент внутри S,
v = y(x, у, z, t) на поверхности S при t > 0.
Кроме того, поскольку время т в приведенных формулах лежит внутри,
интересующего нас интервала времени, мы можем написать
t; = ср (л:, у, 2, т) на поверхности.
Отсюда
д / dv . ди г _9 _9 _
-fc(uv) = и -^ -{- v-^ = y.[uV2v — vV2u]
^-8 t-9
f [f f f 7^ (uv>}dx dy dz\ dz = % f [fff W2<v—vV2u)dxdydz\ di
6 6
Тройной интеграл берется по всему твердому телу, а е — некоторая поло-
положительная, сколь угодно малая величина, меньшая чем t.
Меняя порядок интегрирования в левой части равенства и применяя фор-
формулу Грина к правой части, получим
j j j (uv)*=t-*dxdydz — j j j (uv)x=odxdydz —
где d/dnt означает дифференцирование по внутренней нормали; мы восполь-
воспользовались здесь тем, что и = 0 на поверхности.
Перейдем теперь к пределу при е—>0. Левая часть равенства прини-
принимает вид
[vp\t [/ / / Ит=*-о dx dydz^ — J J J (и)х=о (v)x=0 dx dy dz.
Первый интеграл берется по элементу объема, внутри которого находится
точка Р(х\ у', zf). В этой точке функция и в момент времени t = z ста-
становится бесконечной. Второй интеграл берется по всему объему тела.
[Vp]t является значением v в точке Р(х', у', z') в момент времени t.
Напомним, что и — это температура в момент времени t, обусловленная
действием единичного источника в момент т в точке Р(х', yf% z')\ тогда
(#)x=f_o dx dy dz — 1,

§ 1] ГЛ. XIV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА 349
и мы получим
о
t
,x)-^ds]dT. A.1)
Этой формулой выражается температура в точке (х\ у', zf) в момент
времени t при начальном распределении температур /(*, у, z) и при темпе-
температуре на поверхности*) <р(лг, у, z, t).
Если на поверхности происходит теплообмен, то мы определяем функцию
Грина и как температуру в точке (лг, у, z) в момент tt обусловлен-
обусловленную действием в момент х мгновенного точечного источника еди-
единичной мощности, помещенного в точке Р(х', yfY z') тела, на поверх-
поверхности которого происходит теплообмен со средой нулевой темпе-
температуры.
Температура в точке Р(х\ у', z') в момент t, обусловленная начальным
распределением температур f (х, у, z) и теплообменом со средой, имеющей
температуру у(х, у, z, t), определяется из рассуждений, аналогичных при-
приведенным. В конце концов, поскольку на выбранной поверхности du/dnt = hu,
получим
t==jjj ^x=0 f (*'y* ^ dx dydz+h% f [j j i
6
= j J j (и)т=о/(*> У» z)dxdydz +
t
+ * flf'f Ы^)/ ? (^- У- ^»T) rf5lrfT- (] -2)
Таким образом, найденный нами результат имеет такой же вид, как и A.1).
Итак, решение общей задачи теории теплопроводности сводится к опре-
определению функции Грина для тела, температуру которого требуется найти.
Для случая линейного или двумерного теплового потока можно сразу же
получить результаты, аналогичные A.1) и A.2). Вместо бесконечности
порядка
1 г R21
expL~ W
мы получим соответственно
*) Этот вывод принадлежит Минигероду и был опубликован в его диссертации [5]
(см. также [6—14]). О применении вывода к уравнению (V2-J-%2)h = 0 cm. [15, 16].

§ 2] гл XVI- установившаяся температура 417
(г, б, z), согласно A0.11) гл. XIV, будет равна
со
Ж Zism-T-sin-i-Ko(-r-)' B-5)
m-\
где
/?2 = r2 + r/2 _ 2rr' cos F — 00. B.6)
Аналогичным образом, если цилиндрическая поверхность г = а поддер-
поддерживается при нулевой температуре, а в точке (г', б', 0) внутри цилиндра
в секунду выделяется Q единиц тепла, то, используя A3.5) гл. XIV, получим,
что температура в точке (г, б, z) запишется в виде
B-7)
где суммирование по а проводится по положительным корням уравнения
Согласно A5.1) гл. XIV соответствующее решение для источника
в точке (г', б', z') ограниченного цилиндра 0 < z < /, 0 < г < а с нулевой
температурой поверхности равно
cos п (б — 6'),
О < г < г', B.8)
где
Fn(x, у) = /п (х) Кп (у)— Кп(х)/п(у), B.9)
и
вп = 1 при я = 0 и еп = 2 при п = 1, 2, 3, ...
Если г' < г < а, то в соотношении B.8) мы меняем местами г и г'.
В качестве примера использования этих решений определим температуру
в цилиндре О^г < а, 0 < z < /, поверхность которого поддерживается при
нулевой температуре и в котором вдоль линии, параллельной оси цилиндра
и проходящей между точками (г', б', Ь) и (г', б', / — #), расположен ли-
линейный источник мощностью Q. Эта температура равна
udz',
ь
где и определено выражением B.8). Следовательно, при 0 < г < г' она равна
2Q
Bт-1)
/Я=1
B/и-1Iс6 Bт-1)«
C0S / Sin I X
Итак, мы получили температуру в цилиндре, нагреваемом проволокой,
параллельной его оси [2].
27 Г. Карслоу, Д. Егер

418 ГЛ- XVL УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 3
§ 3. Установившийся поток к почти плоской поверхности.
Топографические поправки для геотермического потока
Как отмечалось в § 13 гл. И., при движении в глубь Земли имеет место при-
приблизительно линейное увеличение температуры с расстоянием от земной поверхности,
нарушаемое локальными неровностями этой поверхности. Определение влияния таких
неровностей и внесение поправки на них в наблюдаемый градиент температуры пред-
представляет большой интерес для геофизиков *).
Для решения этой задачи пользуются двумя методами. В первом из них [4, 5]
рассматривается поверхность Земли на уровне моря, причем ее температура в каждой
точке принимается равной h (g — g')t где h — высота над уровнем моря в данной
точке, g — геотермический градиент, a gf — адиабатический вертикальный градиент
в атмосфере, так что средняя температура поверхности на высоте h над уровнем
моря меньше ее значения на уровне моря примерно на hg'.
Такая задача становится задачей об установившейся температуре в полуогра-
ничейном теле z > О с температурой поверхности, равной F (х, у); решается
она так же, как и ранее.
Если в соотношении (9.3) гл. XIV *->оо, то для температуры v в точке @, 0, z)
получим **)
J
^ ' <ЗЛ>
— oo —oo
где
R2 = *2 4. г'2 и r'2 = x'2 + y'2. C.2)
В данном случае нужно узнать величину dv/dz; она равна
— oo —oo
Если записать F (х\ у') в полярных координатах (г', 0') и среднее значение
F(*ri Уг) по окружности радиуса г' с центром в начале координат в виде
оо
V = JL / F (r1 cos 0', г' sin в') db\ C.4)
о
то уравнение C.3) примет вид
оо оо
-^- = I R-5 (Я2 — Зг*) Vr' dr' = I Я (Я* — 3*2) V dR =
г
** 1 \Г» /V 1 г» 1 dV f r'2 dV Fr'2 dV
Z 2 0
Z 2
Когда 2 = 0 и, следовательно, R=r', мы получаем
оо
dV dr'
ir-p-' C-6)
которое легко найти для любого грунта. Чтобы получить правильное значение гео-
геотермического градиента, эту величину следует вычесть из измеренного значения g.
Были проведены точные расчеты изотерм и градиента температур для различных
почти плоских поверхностей, форма которых приближается к форме обычного рельефа
*) Полное изложение этого вопроса, включая исторический обзор, можно
найти в [3].
**) Эта задача была обобщена на случай линейного изменения температуры по-
поверхности, вызываемого эрозией [3J.

§ 4] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 419
поверхности *). Если рассматривать только двумерный случай и принять, что ось z
направлена вертикально вниз, то следует искать такое решение уравнения Лапласа
ЧТОбЫ ПрИ 2->СО V->gZ И ЧТобы
v = Vo -f- g'z на поверхности z = / (л:). C.8)
Здесь, как и ранее, g — геотермический градиент, a g/ — адиабатический вертикальный
градиент. Наиболее интересен расчет Лиса [9] **), который отметил, что функция
C.9)
удовлетворяет уравнению C.7), ведет себе требуемым образом при 2->оои удовле-
удовлетворяет условию C.8), если поверхностью исследуемого тела служит
Функция C.10) имеет минимум при х = 0, а при л:->оо монотонно приближается
к нулю. Она дает достаточно правильное представление одиночной горной цепи.
Если Н—высота горы, а 2Ь — ее ширина на половине высоты, так что поверхность,
описываемая C.10), проходит через точки @, —Я) и (б, —о"^Ч» то паРаметРы ^
и а определяются соотношениями
V\ (!)'*. C.11)
Тогда изотермы определяются C.9) при различных значениях v и в этом случае
легко найти градиент температуры.
§ 4. Установившийся тепловой поток в составном теле
Задача о нарушении установившегося линейного теплового потока
в однородной среде погруженным в нее объектом с другой теплопровод-
теплопроводностью очень важна в технике. Математически она точно соответствует
задаче о наведенном магнетизме тела такой же формы, помещенного в одно-
однородное внешнее поле, и ее решения можно найти в учебниках по электричеству
и магнетизму. Однако основные решения вследствие их важности кратко
излагаются ниже. Решения для шаров и эллипсоидов можно использовать
для оценки изменений геотермического градиента, вызываемых погружением
массы с теплопроводностью, отличной от теплопроводности всей среды, и
они представляют очень большой интерес для термических методов разведки.
Кроме того, точное решение для одиночного шара или эллипсоида используется
статистически при расчетах теплопроводности гранулированных материалов.
Последние рассматриваются как ряд частиц одного материала, вкрапленных
в основную породу из другого материала. Ниже, в примере IV, приведен
простой пример использования этого метода.
Изучение поведения теплового потока и температуры вблизи поверхности
соприкосновения двух материалов представляется важным в связи с изуче-
*) В ряде работ [6—8] рассматривается система сменяющих друг друга холмов
и долин.
**) Последний член формулы C.9) дает температуру, облусловленную действием
линейного дублета. Можно также использовать ряд типа 2 An(d/dz)n\n \х2 +
+ (z-\-anJ]; помимо этого, для описания гористой области с параллельными хреб-
хребтами следует прибавить дополнительный ряд, в котором х заменяется на х-\- с.
27*

420 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 4
нием геотермического потока тепла. Идеализированные задачи для тел, огра-
ограниченных плоскостями, пересекающимися под прямым углом, можно рас-
рассматривать методами, изложенными в гл. V (см. ниже пример V). Кроме
того, использованы простые решения уравнения Лапласа в виде многочленов
(см. пример VI).
I. Область внутри шара 0 О < а имеет коэффициент тепло-
теплопроводности К'> а область вне его — коэффициент К, На больших
расстояниях температура стремится к величине Vz.
Пусть температуры v' и v, внутри и вне шара г = а, описываются
функциями
v = Vr cos 0 + -^- cos 6, D.1)
*/ = i4rcos6, D.2)
где А и В — неизвестные коэффициенты, а г, 0 — сферические координаты.
Функции D.1) и D.2) удовлетворяют уравнению Лапласа, vf при г->0
ограничено, a v—>Vz при г->оо, как и требуется. Граничные условия
при г->а, т. е.
, tJr, dv' r, dv r\ ^ r\ ^
дают
Разрешая эти уравнения относительно А и В и подставляя их значения
в D.1) и D.2), окончательно получим
\ D.3)
_3KVrcosb_ ЖУг
v — 2К + К' ~~ 2К+К' ' { }
Градиент температуры в шаре равен 3KV/BK -\-К').
II. Цилиндр 0 <; г < а с коэффициентом теплопроводности К'\ ось этого
цилиндра перпендикулярна оси z. Область вне цилиндра имеет коэффициент
теплопроводности /С, а ее температура на больших расстояниях равна Vz.
Температуры v' и v внутри и вне цилиндра равны следующим величинам:
D.5)
III. Эллипсоид с коэффициентом теплопроводности К' находится в среде
с коэффициентом теплопроводности К.
Рассмотрим эллипсоид
2 v2 z2
i 1 D7)
и предположим, что температура среды на больших расстояниях от него стремится
к величине
Vxx+V2y + Vzz. D.8)
Пусть для любой точки (л:, у, z) X служит положительным корнем уравнения
х2 у2 z2
+ + 1

§4]
Тогда как хА\,
, так
1
2
ГЛ. XVI.
и уВх и z
оо
аЬс / ¦
./ (л2 -
X
А (и)
УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
Съ где
— ^ ас/
= [(аЧ
ОО
с f
CJ (с-
X
-а)(^2-
du
г + «)А(
fa)(c2H
ао
X
¦ v »
h ц)]%
421
D.10)
D.11)
удовлетворяют уравнению Лапласа *).
Путем рассуждений, аналогичных рассуждениям, приведенным в примере I, на-
находим, что температуры vi внутри и v0 вне эллипсоида имеют вид
где
г = К'/К, D.14)
а Ло, Во, Со — интегралы Аъ В^, Сх при Х = 0. Следует отметить, что
Ао + Во + Со = 1. D.15)
Для различных эллипсоидов вращения, в которых две оси равны, интегралы D.10)
можно выразить через элементарные функции. Ниже приводятся полученные резуль-
результаты (расчеты см. в книге [13]).
Вытянутый эллипсоид вращения, Ь = с < а, е' = [(а2 — Ь2)/(а2 + X)]1/2 —
эксцентриситет софокусного эллипса, проходящего через рассматриваемую внешнюю
точку, и е' при X = 0 равно е, т. е. эксцентриситету образующего эллипса
(ln. DЛ7)
2<?3 \1— е'2 2 1 — *'J v '
Сплющенный, эллипсоид вращения, а= Ь> с.
Ах - Дх = ° ^Р* { arcctg v - ^-Ly |, D.18)
D.19)
где
(а2 _ С2)
В качестве простого примера рассмотрим длинный вытянутый эллипсоид вра-
вращения а ^> Ь (которым может служить зонд для измерения теплопроводности или
часть кожуха) с коэффициентом теплопроводности К'\ его ось совпадает с направле-
направлением градиента температуры в материале с коэффициентом теплопроводности К-
В соответствии с формулой D.12) градиент температуры в эллипсоиде вращения
равен V\l\\ -f- Ао (дг—К)/К]. Кроме того, поскольку отношение Ь/а мало, из D.16)
приближенно получим
*) Эти интегралы рассматриваются во многих трудах по гидродинамике и элек-
электричеству [10]. Впервые они рассматривались еще в 1837 г. [11, 12].

422 гл. xvi. установившаяся температура [§ 4
Таким образом, градиент температуры внутри эллипсоида вращения приблизи-
приблизительно равен
IV. Теплопроводность простой гранулированной среды.
Предположим, что в маточной породе с коэффициентом теплопроводности К
размещаются шары с коэффициентом теплопроводности /С', занимающие в ней часть
объема а. Предполагается, что шары находятся настолько далеко друг от друга, что
их взаимное влияние исключается. Допустив, что эти шары имеют радиус а, рас-
рассмотрим больший шар с радиусом Ъ, в котором находится п маленьких шаров так,
что па3 = ab3. Согласно соотношению D.3) температура на большом расстоянии, обу-
обусловленная наличием п шаров, при линейном градиенте температуры будет равна
z
r*BK+K') '
если /Сср — средний коэффициент теплопроводности материала шара радиусом Ь, то
эта температура должна также равняться
Приравнивая эти выражения, получаем *)
V. Установившийся поток в составной неограниченной области О < у < /,
— оо < jc < оо, — оо<2г<оо; в области х > О коэффициент теплопроводности
равен Ki, а в области х < О он равен К2- Граничные условия имеют вид
и = О, у = О, — оо < л: < оо,
v=Vl9 y = l, лг>0,
v = V2, у => Л jc < О.
Если V] и v2 — температуры в областях х > О и х < О соответственно, то от-
отсюда, как и в § 2 гл. V, следует, что
/.. _ ,.т/ _ 2l(V2— Vi)#2 Y (—IO1 . /ггсу (
л=з
—Н-
л=1
Если Vx и И2 таковы, что К\ Vx = /С2 К2 = — Z7/, т. е. при |jc|->oo тепловой
поток в обеих областях стремится к /\ то тепловой поток через плоскость у = О
равен
D.24)
причем положительный знак берется, если х < 0, а отрицательный — если х> 0. Это
указывает на наличие разрыва теплового потока на границе двух материалов.
VI. Решения в виде многочленов.
Известно, что многочлены ах -f- by, ax-\- by -\- cxy -\-d(y2 — jc2), ... первой,
второй и т. д. степени удовлетворяют уравнению Лапласа. Они могут оказаться по-
полезными в простых задачах о составных областях. Например, многочлены
г». = у (х + л), v2 = у {(К,х/К2) + а) D.25)
*) Этот простой вывод получен из [12]. Более точные выводы приводились мно-
многими авторами, в частности Рэлеем [14], который рассматривал решетку из шаров
кубической симметрии. Обзор и список литературы можно найти в [15].

§ 5] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 423
удовлетворяют уравнению Лапласа и следующим условиям:
Vi — v2 = 0 при у — О
Таким образом, они служат элементарным решением для составной области,
в которой материал справа от плоскости х = О, у > О имеет коэффициент теплопро-
теплопроводности Къ а материал слева от нее — коэффициент К2. Изотермы имеют вид дуг
равнобочных гипербол *).
§ 5. Практические задачи
Как отмечалось в § 1 данной главы, в технических и лабораторных за-
задачах области с установившимся тепловым потоком значительно сложнее
областей, рассмотренных до сих пор.
Перечислим простые задачи, имеющие практическое значение и не
исследованные в настоящей книге.
1. Тепловой поток между цилиндром и плоскостью, например между
проложенной в земле трубой или кабелем и поверхностью земли.
2. Поток между двумя концентрическими цилиндрами.
3. Поток от решетки труб.
4. Поток между двумя полосами, находящимися в неограниченной среде.
5. Поток через стенки печи.
Из этих примеров в первых трех рассматриваются геометрически про-
простые границы, так что для них можно надеяться найти полные теоретические
решения. Два последних примера сложнее.
В последнее время большое внимание уделяется разработке численных
методов решения таких задач (см. гл. XVIII).
Вначале отметим, что в случае изотермических поверхностей тепловой
поток между ними можно найти из теоретического или экспериментального
определения их электрической емкости ¦*). Предположим, что тепло пере-
передается от поверхности Sx с температурой vx к поверхности 52 с темпера-
температурой v2 через среду с коэффициентом теплопроводности /С. Тогда, опре-
определяя термическое сопротивление R исследуемой системы как отношение
разности температур поверхностей к количеству тепла, проходящему между
«ими в единицу времени, находим
R= «>-*» , E.1)
К J I (du/dn)dS2
где символ д/дп обозначает дифференцирование по нормали к 52, направлен-
направленной внутрь среды.
В этом случае температура v, служащая решением уравнения Лапласа,
принимающим на границах значения v1 и vv численно равна электростати-
электростатическому потенциалу, возникающему между поверхностями S2 и S2, разделен-
разделенными материалом с диэлектрической проницаемостью, равной единице, и
заряженными до потенциалов г/, и г/2. Емкость такого конденсатора равна
г
—v2)
s9
E.2)
*) Этот метод был разработан для изучения изотерм вблизи поверхности
Земли [16].
**) Рассмотрение некоторых простых систем приведено в [17].

424 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 6
Отсюда, сравнивая E.1) и E.2), получим
* E3>
Аналогично, если пространство между двумя поверхностями заполнено
электролитом и при известной разности потенциалов измерен электрический
ток между ними, то можно определить термическое сопротивление между
поверхностями. Этот метод был использован для получения эмпирической
формулы термического сопротивления стенки печи толщиной /, окружающей
прямоугольный параллелепипед со сторонами 2а, 2Ь, 2с, в случае, предста-
представляющем значительный интерес, а именно при /, имеющем тот же порядок
величины, что и а, Ь и с [18] *).
Трехмерные задачи подобного типа довольно сложны. Если их можно
упростить и привести к двумерным, то становится полезным метод конформ-
конформного отображения, оказавшийся весьма плодотворным в других областях
науки. В наших исследованиях этот метод применим к трем типам задач.
Во-первых, он позволяет получить точные решения простых задач, например
задач, изложенных в пунктах 1 и 2; во-вторых, он дает приближенные
решения некоторых задач типа 3 в том смысле, что он дает точные значе-
значения для решеток овальных кривых, которые имеют почти (но не совсем)
круглую форму; наконец, его можно использовать для исследования некото-
некоторых областей простого типа, которые очень часто встречаются на практике»
например стенки, изогнутой под прямым углом, стенки переменной толщины,
изолирующего кольца и т. д.
Этот метод подробно рассматривается в учебниках по электричеству и
гидродинамике. Здесь же мы дадим только краткое введение к приложению
этого метода, сначала к задачам для установившегося теплового потока, когда
температура поверхности является произвольной функцией положения, а затем
к более простому случаю теплового потока между изотермическими поверх-
поверхностями.
§ 6. Использование сопряженных гармонических функций
в задачах с установившейся температурой **)
Пусть ?, т\ — действительные функции х и у, причем такие, что ***)
В этом случае !¦ и г\ называют сопряженными гармоническими функциями х
и у. Тогда мы имеем
дх ^' дх
Следовательно,
<62)
*) Краткое изложение этого метода можно найти в книге Мак-Адамса [19].
**) В этом и в следующих параграфах настоящей главы задачи с установив-
установившейся температурой рассматриваются для пространственных тел; при этом везде
предполагается, что распределение температуры не зависит от одной из координат.
Иными словами, задачи формулируются не для самого тела, а для его сечения*
(Прим. ред.)
***) Здесь, конечно, f (z) является аналитической функцией. (Прим, ред.)

§ 6] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 425
Отсюда вытекает, что кривые !¦== const и т] = const ортогональны.
Кроме того, поскольку
d2t д2
дх2 дх ду
и
дЧ _ д*у\
ду2 ~ дхду*
ТО
S+fr = 0 F.3,
и аналогично
?+?-•• <">
Далее, если v является такой функцией ? и 7], что
то можно показать, что
d2v , d2v _ п
д.*2 ' ду* ~
Так,
~дх ~~ Ж~дх^г"Ц дх
и
_^_^Ч^/_ае_\2 a2t; dg ^т) a2tr / ду\ \2 . ^t; ^2e . ^t/ a2^
^д:2 ~~ д& [дх ) "•" ае dij d;c дл: "*" dija \ ^л: / "+" д? дх2 "+" dij (?jc2 *
Аналогично,
. a2t; / ^7) \2 ^t; d2S . ^t/ d2t\
~т~ дт\2[ду ) ^ dt ду2 "+" ^т) ^у2 ч
ду2 ~ ae2 l ду ) "^ ae ^7] ду ду
Складывая эти два выражения и используя соотношения FЛ)—:F.5),
получим
d2v . d2v _ п
д*2 "•" ay2 ~
Итак, если мы можем получить решение уравнения
д2у . ^2t; _ п
ai2 "•" ^тJ ~Ui
удовлетворяющее некоторым граничным условиям на кривых
то это решение на плоскости (Е, т\) можно преобразовать в решение на пло-
плоскости (х, у), причем границами служат кривые в плоскости (л:, у), которые
при преобразовании
будут срответствовать кривым1 ? = $1э и т. д.; температуры на этих границах
будут соответствовать температурам на границах в плоскости (?, т]).
Рассмотрим прямоугольник в плоскости (?, т]), определяемый следующим
образом:
7] = 7]!, 7] = 7]2,

426 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 7
причем
v = fi(n) при ? = hiC*h < У < тJ)'
^ = Л С7!) ПРИ 5 =
1^ = ^@ при 7] =
* = />а© при i7 =
Решение этой задачи получается разбиением ее на четыре случая,
в каждом из которых три границы поддерживаются при нулевой темпера-
температуре. Таким образом, как и в задаче I § 3 гл. V, найдем
F —6l)
1L
и
D72 —
I F,-6.)
где а , а\ Ь и У — коэффициенты в рядах синусов
Находя ? и т] из соотношения
получаем температуру в области, ограниченной кривыми, которые соответ-
соответствуют $ = $!, и т. д., причем на этих кривых температуры соответствуют
/г(г1) и т. д.
§ 7. Приложения этого метода [20, 21]
I. Сектор круга *).
Рассмотрим преобразование
25iL±fi G.1)
В этом случае, обозначая z = reiB, получим
а сектор радиуса а с углом а соответствует области в плоскости (?, г\)
0 < т], 0 < 5 < те.
Тем самым уравнение
*) См. примечание к § 6. (Прим. ред.)

§ 7] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 427
при условиях
v = 0, когда ? = 0 и 5 = те,
и
v= 1, когда ?] = 0,
приводится к виду
v = 0, когда 6 = 0 и 0=а,
и
<о = 1, когда г = а.
Это уравнение в плоскости (?, tj) уже встречалось при рассмотрении
неограниченного тела с прямоугольным сечением, и его решение, согласно
формуле B.11) гл. V, имеет вид
2
Поэтому температура в рассматриваемом нами секторе дается выра.
жением
sin (гсб/а)
2_ \ sin (гсб/а) )
V ~ 1Г аГС g I sh [(it/a) In (a/r)] f '
Если граница г = а поддерживается при температуре г/= /(9), то за-
задача сводится к решению уравнений
; = 0 при Е = 0 и Е =
v = f — при т] = U.
\ тс у
Это решение уже рассматривалось в § 2 гл. V.
Подобным же образом, если граница 0 = 0 поддерживается при задан-
заданной температуре /(г), а другие границы имеют нулевую температуру, то
решение вытекает из соотношения B.18) гл. V.
Если мы аналогичным путем воспользуемся формулой G.1), то угол
0 < 0 < а, г>0 преобразуется в неограниченную полосу —со < т] < 0,
0 < 5 < ъ и, следовательно, решение для установившейся температуры в клине
с произвольной температурой границы непосредственно вытекает из соотно-
соотношения B.19) гл. V.
И. Круг.
Рассмотрим преобразование
7j = —Пп V • G.3)
В этом случае
а круг г < а соответствует области
0 < ч. 0 < 6
ПЛОСКОСТИ (i, TQ).

428 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 7
Тем самым решением */(?, т]) уравнения
G.4)
l) = v Bтс, 7j), когда 7] > О,
служит решение уравнения
^ = /(?)• когда 17 = 0,
v@, 7|) = t;Bic, 7j), когда 7j > 0,
дх*^ду* • G.5)
г/= /F), когда r = a. J
Решение уравнения G.4) имеет вид
?Л sin л5).
оо
2 Л
о
где
2*
SO cos я^ */?',
о
2тс
6
Таким образом, получаем
О
2*
1 /» 1 ^-21)
А 1 А g
2тс ./ \ 2е~^ cos (i ?')~f~?~^
о
Отсюда температура в круге запишется в виде
2тс
Интеграл G.6) есть интеграл Пуассона (см. [22]).
III. Область между двумя концентрическими окружностями.
Решение в этом случае можно получить при помощи того же преобразо-
преобразования в виде

§7]
где
ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
Л (9 = 2 («„ cos п\ + bn sin «?),
о
429
являются рядами Фурье для /г(%) и /2(?) в интервале от 0 до 2тс.
IV. Область между двумя пересекающимися или непересекающимися
окружностями.
Рассмотрим преобразование
G.7)
В этом случае
где гх и г2 — расстояния от точек А A, 0) и В (—1, 0) до точки Р(х, у),
а бр 82 — углы, образованные отрезками АР и ВР с положительным напра-
направлением оси х (рис. 49).
F х
Рис 49.
Тогда при Е = const мы получим систему окружностей с центрами
на одной прямой, для которых А и В служат предельными точками, а при
7] = const — систему окружностей, проходящих через точки А и В. Эти две
системы кривых, как и во всех случаях сопряженных функций, являются
ортогональными. При таком преобразовании плоскости (л;, у) соответствует
— :гс<т7<тс и — оо<$< оо; нижней стороне участка В А вещественной
оси соответствует ч\ = — тс; лучам Ах и Вх' соответствует т}=0; верхней
стороне участка В А соответствует т} = те; области у > 0 — положительные
значения т], а области у < Q — отрицательные ее значения. Кроме того,
точке А соответствует точка ? = + °о, точке В — точка 5 = — оо, а ли-
линии у'Оу соответствует 5 = 0.
Перейдем к применению этого преобразования к некоторым случаям,
когда область в плоскости (х, у) ограничена дугами окружностей.
1) Рассмотрим область, ограниченную линиями
? = ?! И ? = ?2 @<7}<ТС),
7] = 0 И 7} = ТС (?, < 5 < У
и показанную на рис. 49 жирными линиями.

при 5 =
430 ГЛ XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
Пусть г> = 0 при $ = 52. ^ = 0ит] = 1си
v = f(
Тогда мы получим
оо
Ssh n (?2 —
i а»8ЬяF,-6
где
[§ 7
Легко распространить это решение на случай:
*=/>!© при т]=о ai<s<y-
tF = ^ (g) ПРИ 7] = 7U (Цг < g < у.
2) Рассмотрим область, ограниченную двумя окружностями 5 = ^ и $ = $2,
охватывающими предельную точку А.
Пусть v = fx(rj) при ? = ?! и г; = 0 при ? = ?2- Тогда решение,
очевидно, запишется в виде
р
где
'*
тс
** = -i f f
Рис. 50.
Подобным же образом, если v = f2(ri) при ? = ;2 и,г> = 0 при ? = $!, то
где а^ и &^ — коэффициенты ряда Фурье для /2 (?]) в интервале — те 1- те.
Складывая эти два выражения, получим решение для случая, когда гра-
граничные окружности i-j и $2 поддерживаются при температурах соответственно
/iOq) и /2(т]).
Ясно, что если /^(т}) и /2(т7) постоянны и равны соответственно vx и v2t
то следует только решить уравнения
v=Vi при 5 =
t; = v2 при 5 ав

§ 7] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 431
Искомое решение имеет вид
Стационарный тепловой поток в области между двумя заданными окруж-
окружностями будет, кроме того, рассматриваться в § 9 данной главы.
3) Рассмотрим область с границами:
т) = тI @<? <оо),
7] = ТJ @ < g < СО),
? = 0 (т), < т) < тJ),
показанную на рис. 50.
Предположим, что
l/=/l(Y)) ПРИ ? = 0 (YJi < Y) < Y]2),
г/ = 0 при т) = y)i @ < $ < со),
г/ = 0 при т) = тJ @ < ? < со).
Тогда, как и в § 2 гл. V, решение имеет вид
Г nnz 
— Г"
G) Y),)
^Г
где
Предположим далее, что
^ = /2 (^) при т) == 7]i @ < е < оо),
V = 0 ПрИ 7) = 7J @ < ? < СО),
г/ = 0 при ? = 0 (т^ < y) < тJ).
Из соотношения B.18) гл. V следует, что
х1 '
COS [ТС GJ - Т))/^ - 7),)] + СП [ТС (g - ?')/(Ч2 -
1
cos [тс (тJ — 7])/(тJ — т),)] + ch [те (? + ?)/{ъ — i
;, когда все тр
:одят сложением
4) Рассмотрим'область с границами
G.11)
Решение для случая, когда все три границы (см. рис. 50) поддерживают при
заданной температуре, находят сложением решения G.10) и двух решений типа G.11).
*)=7I (—со<?<со),
71=7J ( СО<?<СО).
Пусть
*/ = /(?) ПрИ 7]= 7],
и
V = 0 ПрИ 7) = 7J.
Тогда, используя, как и выше, соотношение B.19) гл. V, найдем
2D,-4.) ЯП <Ъ—4i)
— ОО
G.12)

432 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 7
V. Софокусные эллипсы или гиперболы.
Рассмотрим преобразование
или
Тогда
х = с ch ? cos т), у = с sh 5 sin tj
и
ch2e n
v2 V2
COS2 7) Sin2 7)
Следовательно, кривые е = const и т) = const образуют ряд софокусных эллип-
эллипсов и гипербол, а плоскость (jc, у) соответствует — тс < т) < тс и 0 < ? < оо, причем
для нижней части этой плоскости г\ < 0, а для верхней ее части г\ > 0.
1) Два софокусных эллипса. Рассмотрим область с границами 5 = ?i и ? = ?2-
Пусть
v = /iG)) при 5 = Si,
/2A) ПРИ ? = ^2-
Тогда, как и выше,
оо оо
sh n (?2— ?) . it, ч I V1 sh п (с—?i) / /
(й C°S Щ + К Si" П1)) + 2 hBfeg) (а« C0S
где ап, Ьп, а'п и b'n — коэффициенты рядов Фурье для f1 (т)) и /2 (т)) в интервале
от —те до -f-те.
2) Дед полуэллипса и отрезок большой оси между ними. В этом случае
область имеет границы
6 = 5i и Б = с2 @ < т) < тс),
7) = 0 И Y) = 7C (^<?< ?2)-
Пусть
1/ = /!(тг)) при S=glf
v -= /2 С7)) при 5 = ?2»
и
V = 0 ПрИ 7) = 0 И 7) ¦= ТС.
Очевидно, что в данном случае решение имеет вид
;fi) ^
где дл и д^ — коэффициенты рядов по синусам для /j (тг)) и /2 (тг]).
3) Полуэллипс. В этом случае область имеет границы
Пусть 1/ = /(к]) при c=Si, и пусть на большой оси температура равна нулю.
Тогда
оо
Ssh n\
ап sin пъ —г—г—,
п ' sh /г§,
l
где ап — коэффициент ряда по синусам для / (т)).
4) Полный эллипс. В этом случае решение должно удовлетворять уравнению
d2v d2v
при б = Si (— те < т] < тс).

§ 8] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 433
Кроме того, при переходе через большую ось или при движении вдоль нее не
должно возникать разрыва непрерывности температуры или теплового потока.
Всем этим условиям удовлетворяет выражение
п = 0
где ап и Ьп — коэффициенты ряда Фурье для /0?) в интервале от —тс до л.
5) Четырехугольник, ограниченный дугами двух софокусных эллипсов и
гипербол. Он приводится к прямоугольнику в плоскости ($?]). Отсюда и получается
соответствующее решение.
§ 8. Установившийся тепловой поток в многоугольнике
Решения, приведенные в предыдущем параграфе, найдены путем исполь-
использования хорошо известных преобразований, соответствующих рассматривае-
рассматриваемым областям. Общий метод нахождения преобразования различных областей
отсутствует. Для двумерного установившегося потока в области, ограничен-
ограниченной многоугольником, теоретически возможно найти соответствующее преоб-
преобразование путем использования приведенной ниже теоремы.
Теорема Шварца — Кристоффёля [23, 24] гласит, что любой много-
многоугольник, ограниченный в плоскости z(z — x-{-ly) прямыми, можно преоб-
преобразовать в ось ? плоскости t(t = b-\-if[) и что точки внутри многоугольника
на плоскости z преобразуются в точки на полуплоскости t. Преобразование,
с помощью которого это достигается, получается из соотношения
4L = C(t-W''-1(t-W*''-1 ¦ ¦ ¦ (t-%nfnl«-\ (8.1)
где alf a2, ..., ап — внутренние углы многоугольника, $lt ..., ?л— точки
на вещественной оси, в которые преобразуются вершины углов, С — посто-
постоянная; кроме того, если одна из вершин углов соответствует бесконеч-
бесконечному значению ?, то соответствующий множитель в соотношении (8.1)
опускается *).
Какими бы ни были значения %v ..., ?л> преобразование (8.1) отобра-
отображает ось ? в многоугольник с внутренними углами аг, ..., ал; если он
должен быть подобным заданному многоугольнику, то можно произвольно
выбрать только три значения из ?v ..., ?л; остальные должны определяться
размерами заданного многоугольника.
Если преобразование известно, то температуру в любой точке можно
вывести из известного решения для температуры в полуплоскости г\ > О,
обусловленной температурой /(?) на границе т] = 0. По аналогии с соотно-
соотношением B.20) гл. V получаем для этой температуры
1 Г /(*')
тс J E-?')
*) Доказательства этой теоремы приводятся в большинстве курсов электри-
электричества и гидродинамики (см. также [25—27]). В последней работе содержится много
примеров, представляющих интерес для рассматриваемых здесь случаев.
Доказательство основано на том, что, согласно соотношению (8.1), аргумент
функции dz/dt постоянен, если t лежит между двумя произвольными точками
?i» ?г» •••» и» следовательно, отрезки [?/, ?/+1] плоскости t соответствуют прямым
линиям на плоскости г. Кроме того, когда t переходит из ?г — е в ?г-+"е по полу-
полуокружности с бесконечно малым радиусом е, аргумент функции dz/dt увеличивается
на я — ап что соответствует внутреннему углу <хг многоугольника. (См. также, напри-
например, М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, Методы теории функций комплекс-
комплексного переменного, Физматгиз, 1958. Прим. ред.)
28 Г. Карслоу, Д. Егер

434 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 8
Если при $>0 /(?) = V1 = const, а при % <о /(?) = 0, то это выра-
выражение принимает вид
y{\ + ^rctg\). (8.2)
Приведенное выше преобразование можно использовать для изучения
тепловых потоков в прямоугольнике, а также в области, находящейся между
квадратами с параллельными сторонами и общим центром [28, 29]. В общем
случае решения будут содержать эллиптические или другие специальные
функции. Наиболее простые и вместе с тем наиболее важные результаты
получаются при использовании этого метода в случае вырожденных много-
многоугольников с несколькими углами на бесконечности; в ряде таких случаев
решение содержит только элементарные функции и делает возможным изуче-
изучение двумерных задач, которые являются идеализацией таких широко рас-
распространенных систем, как изогнутая стенка, стенка переменной толщины,
впадина в стенке, изолирующее кольцо и т. п. Рассмотрим несколько при-
примеров такого типа *).
I. Тепловой поток между неограниченной плоскостью АВ и полу-
полуограниченной плоскостью CD (рис. 51).
Рассмотрим многоугольник в плоскости 2, обозначенный ABCDEA.
Он имеет угол, равный нулю при ВС на бесконечности, внутренний угол 2тс
при D; если принять, что точки, соответствующие А и Е, находятся на
бесконечности в плоскости Л то углы В А и DE здесь рассматривать не надо.
ВС
t=-oo t=O t = 1 t=oo
А в
Рис. 51. Рис. 52.
Поскольку в плоскости t три точки можно выбирать произвольным образом,
примем, что точки А и Е располагаются в бесконечности, В и С — в точке
? = 0, a D — в точке t=l. Фигура, полу-
]^ чающаяся в плоскости Л показана на рис. 52.
Тогда соотношение (8.1) принимает вид
— = C-j—. (8.3)
Сокращенный метод с использованием
внутренних углов 0 и 2тс, примененный выше
для получения соотношения (8.3), оказы-
оказывается наиболее удобным. Если угодно, мно-
Рис. 53. гоугольник, показанный на рис. 51, можно
рассматривать как предельный случай много-
многоугольника ABCDD'EFGA (рис. 53) при D'->D и вершинах Л, В, С, Е. F и О,
удаляющихся на бесконечность. Записывая соотношение (8.1) для многоуголь-
многоугольника, показанного на рис. 53, и переходя к пределу, мы снова получим (8.3).
Интегрирование соотношения (8.3) дает
' (8.4)
*) Другие примеры использования этого метода можно найти в [26, 27, 29—32].
Задачи аналогичного типа с закруглением некоторых углов рассмотрены в [33]. Дру-
Другие задачи с закругленными углами изложены в [34]. Метод Шварца был также
обобщен на многоугольники с криволинейными сторонами [35].

§ 8]
ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
435
Произвольные постоянные С и k находят путем точного задания много-
многоугольника в плоскости z. Постоянную С всегда можно считать действитель-
действительной; придание ей комплексного значения просто поворачивает многоугольник.
Если отрезок АВ служит участком оси л;, то величина z при действитель-
действительном и отрицательном t должна быть действительной. Это требует, чтобы
к = ЫС, и тогда (8.4) принимает вид
= C{t — \nt-\-in}.
(8.5)
Теперь в точке D t=\, и, следовательно, z = CA +/ти). Отсюда
следует, что расстояние между данными плоскостями равно тиС.
II. Тепловой поток между неограниченной плоскостью и прямым
двугранным углом.
Здесь рассматриваемым многоугольником служит ABCDE (рис. 54),
и мы преобразуем точки А, В, точку CD и точку Е в точки —оо, —1, О
и -f со на оси ?. Внутренние углы при
точке В и точке CD равны соответственно
Зти/2 и 0; тогда соотношение (8.1) прини-
принимает вид
что дает
-оо
°°
(8.6) Рис* 54*
Чтобы определить произвольные постоянные С и &, воспользуемся тем,
что при переходе t через нуль z уменьшается на НС. Кроме того, при
t > 0 z действительно, т. е. DE является
действительной осью в плоскости z. Таким
образом, если расстояние между ВС и DE
равно Л, то nC = h. Далее, при t = —1,
z = tCTz-{-k. При выборе & = 0 начало ко-
координат фиксируется на пересечении DE и
продолжения АВ.
Hi. Изолирующее кольцо.
Многоугольник, показанный на рис. 55,
можно использовать для исследование влия-
влияния изолирующего кольца на изотермы между
параллельными плоскостями. Пусть А переходит в 6 = — оо, а В переходит
в \ = —1. точка CD — в ? = — а, где а будет определено позднее, EF —
в? = а, О-1—в $=1 и Н — в ? = -f-oO' Внутренние углы в вершинах CD
и EF равны нулю; в вершинах В и О они равны Зтс/2. Тогда
.7?
О-
Е
Рис. 55.
Интегрируя, найдем
dz
dt
+ .С1^Е?1, ,8.7)
где постоянную интегрирования следует выбрать так, чтобы при ? = 0 z = 0.
DE служит отрезком оси у, а ось х располагается посередине между АВ
28*

436
ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
§ 8]
и HG. Чтобы найти а и С, мы предполагаем, что 2k есть расстояние между
плоскостями ЛВ и HG и что h есть расстояние между плоскостями GF
и DE\ тогда точка О имеет координату z = h — Ik. Полагая в соотноше-
соотношении (8.7) /=1. z = h — Ik, найдем
—2
Отсюда
= — >
тс
о
IV, Стенка, согнутая под прямым углом.
Схематическое изображение такой стенки показано на рис. 56. Точки А,
В, CD, E, F отображаются в —оо, —а, 0, 1, ~\-оо в плоскости /. Исполь-
Используемое преобразование определяется уравнением
3 А
dz _
dt -
Чтобы проинтегрировать его, положим
t —
-а
7
О
?
D
А
к
оо
Г
тогда
Рис. 56.
(8.8)
(8.9)
где постоянная интегрирования обращается в нуль в результате выбора z = 0
при t = 1, т. е. выбора в качестве начала координат в плоскости z точки Е.
Соотношение (8.9) можно написать в другом виде
(8.10)
Ца+1)
Полагая в соотношении (8.10) t = — а, найдем значение z для точки В\
оно будет равно — ъСа-Ч*^{-1ъС. Теперь, если расстояние между верти-
вертикальными границами стенки (рис. 56) равно h, а расстояние между ее гори-
горизонтальными границами равно k, то для точки В получаем z = — h-\-ik
при t = — а. Поэтому из (8.10) находим
«Г
-a
-7
Рис. 57.
k = tzCt h = nCa~'*, a = -j~2. (8.11)
V, Скачкообразное изменение тол-
толщины стенки [36, 37, 41].
Схематическое изображение такой стен-
стенки показано на рис. 57, причем значения ?
в плоскости t отмечены у вершин углов. Используемое преобразование опре-
определяется выражением
dz _
dt "
Полагая
находим
= C\n
I
(8.12)

§ 9]
ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
437
Произвольные постоянные интегрирования выбираются таким образом, чтобы
при t = — a z = IkC. Кроме того, полагая в соотношении (8.12) * = —1,
находим z = iKCa-xl*.
Наконец, при t > 0 z действительно. Поэтому EF является отрезком
действительной оси в плоскости z, а начало координат лежит на пересече-
пересечении ВС и EF. Если толщины стенки слева и справа от начала координат
равны h и &, то мы получим
(8.13)
— оо оо
k2
VI. Перегородка в стенке [38] *).
Значения 5, соответствующие вершинам углов, указаны на рис. 58.
Используемое преобразование определяется
соотношением
dz
dt
Ct
(t2—l)(t2 — a2)l/* '
-1
2V \—a>
In
V.T=tf
-a
h
i
l_02_l/*2_
(8.14)
Рис. 58.
где постоянная интегрирования выбрана так, что z = 0, когда t= ± а, т. е.
начало координат в плоскости z находится у основания перегородки. Далее»
из соотношения (8.14) получим
при
при
± оо z-> —
z — —
¦ arctg ¦
Таким образом, если расстояние между стенками равно А, а высота
перегородки k, мы должны получить
= Л, a = sinj±. (8.15)
тсС
§ 9. Тепловой поток между изотермическими поверхностями
Метод, изложенный в §§ 6—8 данной главы, весьма общий, и он при-
емлем для изучения задач, в которых температура поверхности является
произвольной функцией положения. Из теории конформного отображения
здесь используется только преобразование заданной области в плоскости z
в простую область в плоскости t, для которой может быть написано решение.
Из наиболее важных практических задач легче всего решаются задачи,
в которых границы области в плоскости z поддерживаются при постоянной, а не
при произвольной температуре, и решение в плоскости t принимает простую
форму (например, имеет вид G,9) и (8,2) данной главы). Вместо такого
метода получения решения этих задач здесь мы рассмотрим несколько отлич-
отличный метод, точно соответствующий методу, используемому в теории электри-
электричества [43] или гидродинамике. Сама температура v берется в виде одной
из пары сопряженных гармонических функций; затем путем исследования
*) В работе [39] приведено множество решений задач подобного типа. Тепло-
Теплообмен на плоской границе рассматривался в [40]. Выступ на плоскости рассмотрен
в [41, 42].

438
ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
[§9
функции и, сопряженной с v, мы можем найти тепловой поток через любой
участок одной из граничных поверхностей и, следовательно, выражение
для термического сопротивления (см. E.1) настоящей главы) в установив-
установившемся потоке между границами с постоянными температурами.
Пусть, как и выше (см. стр. 426),
w = u + lv = f(x + ly) = f(z).
Тогда все решения § 6 имеют силу при замене ? и т\ на и и v. В частности,
дх2 ~ ду2 к }
Отсюда следует, что мнимая часть (или аналогичным образом действи-
действительная часть) любой функции f (z) служит решением уравнения для уста-
установившейся температуры и, в частности, определяет температуру в области
между кривыми v = vx и v = v2 (где vx и v2 — постоянные) в плоскости z.
Например, если
1 1 ;й
(9.2)
i • ] 1 l I i ft
и-\- iv =— In z = — In г Н ,
тс к к
то мы получим v = b/n, что определяет установившуюся температуру в обла-
области между плоскостью 6 = 0, поддерживаемой при нулевой температуре,
и плоскостью 6 = тс, поддерживаемой при единичной температуре (ср. (8.2)
данной главы).
Отметим далее, что кривые и = const и v = const в плоскости z орто-
ортогональны (согласно F.1) и F.2)). Поэтому, так как линии v = const являются
изотермами, кривые и = const являются ли-
линиями тока. Кроме того, мы можем написать
а
дп Поэтому модуль вектора потока (ср. § 3
гл. I) в любой точке равен
- <9-4)
Рис. 59.
Так же просто можно получить вели-
чину теплового потока через любой участок
изотермической поверхности. Обозначим че-
через д/дп дифференцирование по нормали к поверхности, а через d/ds — диф-
дифференцирование по касательной к ней (рис. 59).
Тепловой поток через поверхность в любой точке записывается в виде
Таким образом, тепловой поток через участок поверхности от sx до s2
равен
К f ^-ds = K(u7~-ux),
(9.5)
где их и и2 — значения и при sx и s2 соответственно.

§9]
ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
439
Как мы видим, введение функции и, сопряженной с v, значительно упро-
упрощает расчет теплового потока через изотермическую поверхность и, следо-
следовательно, расчет теплового сопротивления между изотермическими поверх-
поверхностями.
С этой точки зрения плоскость t = Z-\-iri (см. § 7) можно рассматри-
рассматривать как плоскость w настоящего параграфа. В более сложных задачах пре-
предыдущего параграфа мы отображаем плоскость z в плоскость t, как и раньше.
В простом случае двух изотермических границ записываем решение для пло-
плоскости t при помощи соотношения (9.2), т. е.
W-— In t,
(9.6)
или соответствующей его модификации и получаем из него решение в пло-
плоскости г. Для нахождения модуля вектора потока в любой точке восполь-
воспользуемся соотношением
dw
~Jz~
=
dw
~df
X
dt
dz
=
dw
~df
dz
dt
(9.7)
Перейдем теперь к изучению термического сопротивления между неко-
некоторыми рассмотренными ранее границами.
F. Установившийся тепловой поток между цилиндрами кругового
сечения.
Соответствующее преобразование уже приводилось в § 7 настоящей
главы. Для практических расчетов решение можно записать в самой про-
простой форме. Используя соотношение G.7) данной главы и вводя некоторые
изменения в обозначения, полу-
получим
u-\-iv — i In
, (9.8)
так что
In
rf
и и =
6, (9.9)
с
у
0
[
л
/
/г'
/в'
А
\
)
а,
F
рис 60.
где г кг' — расстояния точки
Р(х, у) до точек (т- с, 0), а 0 и
6х — углы PCX и PDX (рис. 60).
Предположим теперь, что мы хотим найти термическое сопротивление
между двумя цилиндрами с радиусами ах и а2, центры которых находятся
на расстоянии d друг от друга. Подробно рассмотрим случай, когда цилиндр
радиуса аг окружает цилиндр радиуса а2. Обозначим на рис. 60 ли-
линию, проходящую через центры, через ОХ. Следует выразить значение с и
отношение (r/rf) для каждой из окружностей через заданные значения
av a2 и d.
Предположим, что центр А окружности радиуса а расположен на рас-
расстоянии dx от точки О. Обозначим через kx постоянное значение отношения
(г/г') для такой окружности. Тогда, записывая значение этого отношения
соответственно для точек Е и /\ получим
Отсюда следует, что
(9.10)
(9.11)

440 гл. xvi. установившаяся температура [§ 9
Аналогичным образом, для окружности радиуса а2 с центром, располо-
расположенным на расстоянии d2 от О, получим
</2_а2 = А (9.12)
Вычитая (9.12) из (9.11), находим
d\ — d\=a\ — a\. (9.13)
Кроме того, поскольку расстояние между центрами окружностей равно d,
dl — d2 = d. (9.14)
Отсюда следует, что
al-4-d2
^^й(9Л5>
Кроме того, подстановка (9.11) в (9.10) дает
lL. (9.16)
t—а, ах
Таким образом, учитытая (9.9), получим для этого цилиндра
P1 = lnfe,=Arch-^- = Arch{ 2д27 }. (9.17)
а для цилиндра с радиусом а2
{2 9 1 \
ul~~2a27d Г (9Л8)
Помимо этого, из соотношения (9.9) следует, что при полном обходе
любого из цилиндров и увеличивается на 2я. Поэтому, согласно (9.5), теп-
тепловой поток между цилиндрами (на единицу длины) равен 2я/С. Разность
температур между ними, равная v2 — vv определяется (9.17) и (9.18), и, еле-
довательно, термическое сопротивление между цилиндрами на единицу длины
записывается в виде
(v2 — vx)
-2^Г--2^[АГСНД1 2М d Arch^ 2М+" } =
(9.19)
Для цилиндра радиусом ах с осью, расположенной на расстоянии
dx от плоскости* причем и цилиндр и плоскость представляют собой
изотермические поверхности *), как и раньше, справедливо соотношение
(9.17), и для термического сопротивления (на единицу длины) между цилин-
цилиндром и плоскостью получим
(9-20>
Если цилиндры находятся снаружи друг от друга, то мы пред-
предполагаем, что цилиндр с радиусом ах окружает предельную точку D*
*) Это решение находит применение при нахождении постоянных тепловых
потерь кабелями, проложенными в земле [44]. Случай теплообмена на плоской по-
поверхности обсуждается в [40, 45]. Другие задачи с граничными условиями, третьего
рода рассматриваются в [46].

§ 9] ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 441
а цилиндр с радиусом а2 содержит точку С. Будем действовать так же, как
и выше, но в данном случае выражение (9.14) следует заменить на dl-\-d2 = d.
Тогда у1 определяется (9.17), a v2— из соотношений
—-* --i iiM г (9-21)
Таким образом, термическое сопротивление (на единицу длины) между
двумя цилиндрами равно
II. Другие задачи с круговыми границами.
Следующими по трудности и весьма важными для практики системами
являются цилиндр между параллельными плоскостями и решетка, образо-
образованная регулярно расположенными цилиндрами *). Точные решения задач
с помощью конформного отображения получить не удалось, однако известны
решения для овальных кривых; соответствующим выбором параметров можно
получить хорошее приближение к окружностям **).
III. Тепловой поток под непроводящей полосой.
Пусть область —оо < х <—с поддерживается при постоянной темпе-
температуре тс, область х > с — при нулевой температуре, и при этом тепловой
поток через полосу —с < х < с отсутствует. Положим, что
и -f iv = Arch (x + ty)/ct
так что
x = cch ucosv,
у — с sh г/ sin г/.
Эквипотенциальными линиями служат гиперболы
=1
У2
с2 sin2 v
а линиями тока — эллипсы. Эквипотенциальной линией v = 0 служит линия
x = cch и> с, у = 0; —оо<я<0 соответствует нижней стороне луча
?<х<оо, а 0<#< оо —верхней его стороне. Аналогичным образом,
эквипотенциальной линией v = k служит линия х = — cchu< — с, у = 0;
— оо < и < 0 соответствует нижней стороне луча — оо < х < с,
а О < и < оо— верхней его стороне. Согласно (9.5) тепловой поток Q
из участка —X < х <—с нижней стороны оси х равен
K[u\xxZZex=K кхсЪ^-.
IV. Тепловой поток между пластинами АВ и CD (см. рис. 51).
Температура АВ равна единице, температура CD — нулю.
Здесь, как и в (9.2) или (9.6), полагаем
w = — Int.
*) То есть цилиндрами с параллельными осями. Сечение этой системы имеет
вид решетки из окружностей. (Прим, ред.)
**) Цилиндр между параллельными плоскостями рассмотрен в [47], а решетки —
в [48]. Цилиндр между параллельными плоскостями рассмотрен другим методом в [49],
ряд таких цилиндров — в [50]; другие задачи с цилиндрами между параллельными
плоскостями обсуждаются в [51].

442 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА [§ 9
Кроме того, используя соотношения (8.5) данной главы, получим
^ ^ , (9.23)
где d — расстояние между пластинами.
Модуль вектора потока в любой точке равен следующей величине:
К
dw
~dz
„ dw | /| dz
= К
dt \l dt
К
d(t-\) •
При ?—>0, т. е. близ точек на ВС, он стремится к величине K/d,
которая равна установившемуся потоку между двумя параллельными пло-
плоскостями. В точке D, t=\, поток бесконечно велик.
На линии CD (поскольку здесь г> = 0), имеем
Далее, поскольку D является точкой d(\ —f-/ir)/ic, величина и в точке D
равна нулю. Ее значения в точках на CD и DE, удаленных от D на рас-
расстояние /, служат корнями уравнения
^—f 1=^«_ ки. (9.24)
Отрицательный корень этого уравнения соответствует точке на нижней
стороне CD (так как здесь 0 < t < Z, см. рис. 52), а положительный
корень — точке на верхней стороне DE.
Если / велико, отрицательный корень (9.24) приближенно равен
, 1\
- + 1TJ'
и поэтому величина теплового потока (рассчитанная на длину /) через
нижнюю сторону DC полосы запишется в виде
Эта величина на АТ/тс больше соответствующей величины потока между
неограниченными плоскостями.
Для больших значений / положительный корень (9.24) приблизительно равен
Таким образом, тепловой поток на расстоянии / от точки D через
верхнюю сторону DE равен
?(^-+l). (9.26)
V. Тепловой поток в стенке, изогнутой под прямым углом
(см. рис. 56).
Пусть температура поверхности DEF равна нулю, а температура поверх-
поверхности ABC равна единице. Тогда, как и ранее, положим, что
w = ~\nt. (9.27)
При вершине Е, t = 1, мы имеем и = 0. Будем искать тепловой поток
(на единицу длины вдоль угла) на длине х стороны EF, отмеряемой

§ 9] ГЛ. XVI УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА 443
от угла ?\ принимая, что длина х велика. Для этого, воспользовавшись (8,8),
(8.9) и (8.11) данной главы, получим значение t, соответствующее х, т. е.
^^ ^p2)f (9.28)
где
Теперь, если х велико, то t также велико, а р примерно равно еди-
единице. Полагая C=1 в первых двух членах правой части соотноше-
соотношения (9.28) (напомним, что они малы сравнительно с х и 1пA —Р2))и исполь-
используя (9.29), получим в качестве первого приближения
Так как ? велико, мы можем заменить In (^ —j— а) на \nt (допуская при
этом ошибку порядка a/t); тогда соотношение (9.30) приближенно дает
2h . k , , k2+h2 /n oi4
TarcigT + ln 4h2 ' (9*31)
Поскольку на Z;/7 v = 0, то, согласно соотношению (9.27), tzu== In t и,
следовательно, тепловой поток на длине х, отмеряемой от Е через сторону EF,
равен
Первый член соответствует установившемуся потоку между плоскостями,
находящимися на расстоянии к друг от друга. Прибавляя соответствующий
член, для DE найдем, что влияние прямоугольного изгиба заключается
в увеличении теплового потока вдоль угла на величину
k , 2k . h . 2 , k2+h2 \ /ft ООЛ
Если стенки имеют одинаковые толщины (т. е. k = Л), то это выра-
выражение сводится к
J I _lin2[ = 0,559A:. (9.34)
ЛИТЕРАТУРА
1. Gray, Ma thews, Treatise on Bessel Functions, Macmillan, ed. 2, 1922. (Э. Грэй,
Г. Мэтьюз, Функции Бесселя и их приложения к физике и механике, ИЛ, М.,
1953.)
• 2. L e e s, Phil. Trans. Roy. Soc. A204, 433 A905).
3. Birch, Bull. Geol. Soc. Am. 61, 567—630 A950).
4. Jeffreys, Mon. Not. R. Astr. Soc. Geophys. Suppl. 4, 309—312 A940).
5. В u 11 a r d, Mon. Not. R. Astr. Soc. Geophys. Suppl. 4, 360—362 A940).
6. Volterr a, Nuovo Cim. 4, 111—126 A912).
7. Thoma, Diss. Karlsruhe, 1906.
8. A n d г е a e; Ann. Ponts et Chaussees 128, 37 A958).
9. Lees, Proc. Roy. Soc. A83, 339—346 A910).
10. Livens, Theory of Electricity, ed. 1, 1918.
11. Lame, Liouvilles J. 2 A837).
12. Maxwell, Electricity and Magnetism, ed. 2.
13. В e s a n t, R a m s e y, Hydrodynamics, ed. 2, 1920.
14. R а у 1 e i g h, Phil. Mag. 34, 481—502 A892).
15. De V r i e s, The thermal conductivit> of granular materials, insi. international du
Froid, Paris.

444 ГЛ. XVI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ТЕМПЕРАТУРА
16. Sbrana, Bossalasco, Geofis. Рига ё Appl. 23, 3—8 A952).
17. R и d е п b е г g, Elektrotech. Z. 46, 1342 A925).
18. Langmuir, Adams, Meikle, Trans. Am. Electrochem. Soc. 24, 53 A913).
19. M с A d a m s, Heat Transmission, ed. 2, 1942. (В. Мак-Адам с, Теплопередача,
ОНТИ, перев. с 1-го изд.)
20. М a t h i e u, Cours de physique mathematique.
21. Kober, Dictionary of Conformal Representations, Dover, 1952.
22. С а г s 1 a w, Fourier's Series and Integrals, Macmillan, ecL 3, 1930.
23. С h r i s t о f f e 1, Sul problema delle temperature stazionarie, Ann. Mat. Рига ё Appl.
1, 89 A867).
24. S с h w а г z, Crelle 70, 105 A869).
25. В a t e m a n, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, § 4.62.
26. Carter, J. Inst. Elect. Engrs 64, 1115 A926).
27. Thomson, Recent Researches in Electricity and Magnetism, Chap. III.
28. M о и 1 t о n, Proc. Lond. Math. Soc. 3, 104 A905).
29. Bowman, Proc. Lond. Math. Soc. 39, 211 A935); 41, 271 A936),
30. Love. Proc. Lond. Math. Soc. 22, 337 A924).
31. Davy, Phil. Mag. 35, 819 A944); 36, 153 A945).
32. Bowman, Introduction to Elliptic Functions, London, 1953.
33. С о с k г о f t, J. Inst. Elect. Engrs 66, 385 A928).
34. Page, Proc. Lond. Math. Soc. 11, 314 A912).
35. Richmond, Proc. Lond. Math. Soc. 22, 483 A924).
36. Lees, Phil. Mag. 16, 734 A908).
37. С a s t о 1 d i, Geofis. Рига ё Appl. 23, 27 A952).
38. Lees, Proc. Phys. Soc. 23, 361 A911).
39. S с h о f i e 1 d, Phil. Mag. 6, 567 A928).
40. Awbery, Phil. Mag. 7, 1143 A929).
41. Lee s, Proc Roy. Soc. A91, 440 A915).
42. L a n g t о n, Davy, Brit. J. Appl. Phys. 5, 405 A954).
43. Jeans, Electricity and Magnetism, Cambridge, ed. 5, 1925.
44. M e 1 s о m, В о о t h, J. Inst. Elect. Engrs 52, 779 A915).
45. Ч а р н ы й, ДАН 48, 27 A945).
46. S с h о f i e 1 d, Phil. Mag. 31, 471 A941).
47. S с h о f i e 1 d, Phil. Mag. 12, 329 A931).
48. Richmond, Proc. Lond. Math. Soc. 22, 389 A924).
49. Knight, Proc. Lond. Math. Soc. 39, 272 A935).
50. К n i g h t, M с Ми 11 e n, Phil. Mag. 24, 35 A937).
51. Howland, McMullen, Proc Cambr. Phil. Soc 32, 402 A936).

ГЛАВА XVII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Введение
Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахо-
нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения
и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются
из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне при-
пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении
неограниченных областей соответствующий метод с использованием инте-
интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей,
связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица,
не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория дей-
действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены
a posteriori; ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобра-
преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще исполь-
используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье
(см. § 3 гл. II).
За последние три десятилетия метод преобразования Лапласа был зна-
значительно усовершенствован. При его применении к одномерным задачам
этот метод обладает следующими преимуществами перед более старыми
методами Фурье: 1) он дает стандартную методику, применяемую ко всем
задачам одинаковым образом; 2) он применим ко всем граничным условиям
и не зависит от последних, что устраняет необходимость разработки новой
теории для каждого типа граничных условий; 3) он позволяет доказать очень
много простых теорем, например теоремы, приведенные в § 2 гл. XII,
которые можно использовать для получения новых результатов и новых
преобразований, и 4) в большинстве случаев трудности, связанные со схо-
сходимостью, не возникают, и решение простых частных задач (например, задачи
с постоянной начальной температурой и постоянной температурой поверх-
поверхности) обычно можно считать совершенно строгим. В случае двумерных и
трехмерных задач положение не столь удовлетворительно, и в методе, исполь-
используемом в данной книге, после исключения времени с помощью преобразо-
преобразования Лапласа мы всегда вынуждены применять классические методы Фурье.
За последнее время для решения таких задач разработана теория неко-
некоторых других интегральных преобразований *), позволяющая рассматривать
все переменные с единой точки зрения. Подобный подход в значительной
степени обладает упомянутым выше преимуществом A) преобразования Лап-
Лапласа, т. е. тем, что использование стандартной методики, применимой
ко всем случаям, позволяет избежать необходимости отыскивать частные
*) Этот вопрос кратко и достаточно хорошо изложен в [2].

446 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [§ 2
решения, что облегчает проведение конкретных расчетов. С другой стороны,
эти преобразования не обладают изложенными выше преимуществами B)—D).
С их помощью нельзя рассмотреть все граничные условия с единой точки
зрения, и каждая область и граничное условие требуют разработки нового
преобразования и новой теории. Обычно для них нет таких хороших таблиц,
какие имеются для преобразования Лапласа, а их теория оказывается очень
сложной. Что касается интегральных теорем, то здесь обычно возникают
серьезные трудности, связанные со сходимостью, и большая часть вычислений
является чисто формальной. Наконец, следует подчеркнуть, что в настоящее
время теория интегральных преобразований применима лишь в некоторых
частных случаях, и поэтому она оказывается не более эффективной, чем
преобразование Лапласа.
Итак, если можно решить задачи теплопроводности с одной координатой
путем преобразования по этой координате, то наиболее мощным и наиболее
подходящим методом следует считать преобразование Лапласа по времени.
Вместе с тем при решении задач с установившимся тепловым потоком нас
привлекает стройность методов интегральных преобразований. Они, по-види-
по-видимому, должны стать весьма важными и для задач с несколькими коорди-
координатами, причем последовательные преобразования (в том числе, вероятно,
преобразования Лапласа) можно провести очень изящно.
Ниже приводится краткое описание некоторых простейших интегральных
преобразований с тем, чтобы указать, какого типа анализ при этом исполь-
используется, и дать возможность провести сравнение с классическими методами
Фурье, применявшимися в настоящей книге.
§ 2. Интегральные преобразования и формулы их обращения
В данном параграфе и в следующих v является функцией х или г, ее
преобразование обозначается прописной буквой V, а вид преобразования —
либо индексом, либо новой переменной w, s или о. Во всех случаях мы
примем (без объяснения), что рассматриваемые интегралы существуют; кроме
того, если потребуется, мы допустим, что функции и их производные стре-
стремятся к нулю при стремлении переменного к бесконечности.
I. Преобразование Фурье в комплексной форме*).
Обозначим через F[v(x)] операцию преобразования функции по Фурье
в комплексной форме, которое определяется соотношением
оо
)] = V(m)=-^ fe''"v(x)dx. B.1)
— оЭ
Согласно выражению C.7) гл. II формула обращения имеет вид
сю
-lmxV{«>)du. B.2)
*) Большая таблица преобразований по Фурье приведена в [3]. Точная матема-
математическая теория, а также многочисленные приложения изложены в [1]. Много практи-
практических приложений можно найти в [4] (гл. V посвящена задачам теплопроводности).
У Титчмарша и Снеддона [1, 4] рассматриваются и другие интегральные преобразо-
преобразования, изложенные в этом параграфе. Следует отметить, что не существует таблиц
этих преобразований, которые по своей полезности равнялись бы таблице Кзмпбелла
и Фостера [3] или каким-либо опубликованным таблицам преобразования Лапласа.
Наиболее полной из вышедших в последнее время таблиц интегральных преобразо-
преобразований служит таблица, приведенная в [5].

§ 2] ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 447
Интегрируя по частям, получим
F B-3>
<2-4>
при условии, что v(x) и -^- стремятся к нулю при х->±оо.
II. Преобразование Фурье по синусам.
Обозначим через Fs[v(x)] операцию преобразования функции по сину-
синусам, а через К5(о>) — ее значения; это преобразование определяется сле-
следующим образом:
] = V,((fi) = (^\l2 f v(x)sinu>xdx; B.5)
формула обращения, согласно соотношению C.10) гл. II, имеет вид
оо
= (^\k I ^(^sincoxflfa). B.6)
Кроме того, если при х—>оо как v(x), так и -^— стремятся к нулю,
то, интегрируя по частям, получаем
—°^(««). B-7)
где Vc(co) определяется ниже (см. соотношение B.9) данной главы).
III. Преобразование Фурье по косинусам.
Обозначим через Fc[v(x)] операцию преобразования функции по коси-
косинусам, а через Vc(a>) — ее значения; тогда
оо
Fc [v (х)] = Vc (со) = {^!2 I v (x) cos сод: dx> B.9)
6
и, согласно соотношению C.13) гл. II, формула обращения имеет вид
сю
v(x) = {^\k f Vc(u>)cosv>xdu>. B.10)
6
Помимо этого, если при х-> ~ю как v(x), так и -^— стремятся к нулю,
то

448 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [§ 3
IV. Преобразование Ганкеля.
Преобразование Ганкеля порядка v > — г/2 от функции V (г) обозначается
через Hs[v(r)\ или Vy(o); оно определяется соотношением
оо
Нч [v (г)] = Kv (о) = J гУ, (or) v (г) dг; B.13)
о
формула обращения *) для него имеет вид
v(r) = f оУ? (or) Уы (о) do. , B.14)
о
Далее, двойное интегрирование по частям и использование формулы B)
(см. приложение 3) дает
при условии, что rvj[(or) и г^(аг)\~хр-) стремятся к нулю, когда г—>0
и г—>оо.
V. Преобразование Меллина.
Преобразование Меллина от функции v(r) обозначается через M[v(r)]
или Vm(s); оно определяется выражением
оо
M[v(r)] = Vm(s) = f r*-*v(r)dr; B.16)
о
формула обращения для него имеет вид [1]**)
/ B.17)
у — / оо
Интегрируя по частям, получим
при условии, что rsv и rs+1 \-jf-) стремятся к нулю, когда г->0 и г->оо.
§ 3. Неустановившийся тепловой поток
Этот случай можно проиллюстрировать рядом типичных задач.
I. Область***) — оо < х < оо с начальной температурой f (х).
Ищем решения уравнения
в области —оо < х < оо, ? > 0. Согласно B.4) данной главы для уравне-
уравнения C.1) преобразование Фурье в комплексной форме имеет вид
*) Это и есть интегральная теорема Ганкеля [6, 7].
**) Этот результат связан с формулами обращения для преобразований Фурье
и Лапласа; его часто называют «теоремой Фурье — Меллина».
***) То есть неограниченное пространственное тело; распределение температуры
зависит от одной координаты х. (Прим. ред.)

§ 3] ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 449
где Vr(a)) = /7(o)), когда ? = 0. Отсюда следует, что
V (и) = F (и) е-ха*
и, воспользовавшись формулой обращения B.2) данной главы, получим
—ij- / exp (— шх — tisfit) F (о
что точно соответствует решению C.17) гл. II.
II. Область х > 0 с нулевой начальной температурой. При t > 0
плоскость х = 0 имеет температуру v = vQ.
Здесь следует решать дифференциальное уравнение C.1) в области х > 0.
Отметим, что из преобразованных по синусам и косинусам функций (обе они
пригодны для области х > 0) первая вводит в соотношение B.8) предыду-
^ г dv 1
щего параграфа температуру vQ, а вторая — неизвестное значение г^Н
в соотношение B.12). Поэтому мы воспользуемся преобразованием по сину-
синусам; применив его к уравнению C.1), получим
dVs , 9Т7 /2\'/2
Это уравнение нужно решать при условии Vs = 0 при t = 0. Отсюда сле-
следует, что
Воспользовавшись формулой обращения (см. B.6) данной главы), получим
решение
оо
V = 21T f (l ~е'%ш'OsincoA C.2)
о
после некоторых вычислений это соотношение приводится к обычному резуль-
результату г/0Ф* [*/2 (*0'/2]-
Рассмотренная выше задача очень хорошо иллюстрирует сходство между
методами преобразований Фурье и Лапласа в одномерных задачах подобного
типа. Во-первых, если в нашем распоряжении имеются соответствующие
таблицы преобразованных функций, то работа, которую необходимо проде-
проделать при расчетах по одному и другому методу, одинакова. Во-вторых, если
таблиц преобразованных функций нет, то в любом случае необходимо про-
провести определенное количество расчетов с интегралами, полученными из фор-
формулы обращения. Существенное преимущество преобразования Лапласа для
задач этого типа проявляется в связи с граничными условиями, поскольку
в нем рассматриваются одинаковым образом все граничные условия. Однако
ранее было необходимо использовать преобразование по синусам, так как
при лг = О была задана температура тела v\ если бы был задан тепловой
поток на граничной поверхности, следовало бы использовать преобразование
по косинусам; в случае граничного условия третьего ряда ни одно из этих
преобразований не подходит и следует разработать преобразование нового
типа; в случае граничного условия типа Е, приведенного в § 9 гл. I, потре-
потребуется уже другое преобразование и т. л.
III. Неограниченная область г > 0, — оо < z < оо, 0 < 6 < 2тс.
Начальная температура f(r) зависит только от г.
29 Г. Карслоу, Д. Егер

450 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [§ 4
В этом случае следует решить уравнение
d2v . 1 dv 1 dv л /о о
при условии, что v = f(r), когда ? = 0. Согласно B.15) данной главы для урав-
уравнения C.3) преобразование Ганкеля нулевого порядка имеет вид
C.4)
его следует решать при условии, что V0(o) = F0(a), когда ? = 0. Отсюда
находим
V0(o) = e-<F0(o).
Воспользовавшись формулой обращения B.14), получим
-^F0 (о) оУ0 (or) do;
о
вычислив этот интеграл, получим решение C.11) гл. X.
§ 4. Установившийся тепловой поток
Вероятно, самое важное свойство перечисленных в § 2 преобразований
заключается в том, что во многих важных частных случаях они сводят
уравнение Лапласа с двумя переменными к обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению. Поэтому, если мы имеем уравнение
d2v d2v л А л
то применение комплексного преобразования Фурье по х дает
d2V
= 0. D.2)
То же уравнение получается в результате применения к D.1) преобразований
по синусам и косинусам.
Используя преобразования Ганкеля нулевого порядка к уравнению
1 d ( dv \ , d2v Л ,А оч
получаем
d ° —a2Vл = 0. D.4)
Применение преобразования Meллина к уравнению
LJ-(r*L\ + L^L = 0 D5)
г dr \ dr / ' г2 db2 \^'^J
дает
™ _|- s2Vm = 0. D.6)
В качестве примеров рассмотрим следующие задачи.
I. Область z > 0, 0 < г < оо, ? постоянным потоком Q через
поверхность 0^г<а, 2 = 0 и нулевым потоком при г>а, 2 = 0.

§ 51 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 451
Следует решить уравнение D.3) с граничными условиями
-*Ыг=о=\о, г>а)' D'7)
Применим к уравнению D.3) преобразование Ганкеля нулевого порядка.
При этом Vo должо удовлетворять уравнению D.4) и стремиться к нулю
при 2—>оо; граничным условием для этого уравнения при z = О служит
преобразование Ганкеля условия D.7), т. е. соотношение
Отсюда следует, что
Теперь, воспользовавшись формулой обращения B.14) данной главы,
получим
со
cf "ZJ°(аг) Jl (аа) "Г"' D-8>
6
что соответствует решению B.7) гл. VIII.
Решения, приведенные в § 2 гл. VIII, были получены при помощи инте-
интегралов B.3) и B.4) той же главы с тем, чтобы привлечь внимание к про-
простому, но важному методу; если же воспользоваться интегральной формулой
Ганкеля в классическом виде, то требуемый анализ оказался бы аналогичным
изложенному выше.
II. Клан — а<6<а, г > 0 при условии, что v = 1 в области 0 < г < а
и v = 0 в области г > 0 при 6 = ± а.
Следует решить уравнение D.5) при заданных граничных условиях. Если
воспользоваться преобразованием Меллина, то Vm должно удовлетворять
а
уравнению D.6) при условии, что Vm= J rs~l dr = as/s, когда б=±а.
о
Отсюда следует, что
», as cos sb
т'
s cos sa
Тогда применение формулы обращения B.17) данной главы дает
т+* °° оо Г / а4
1_ Г asr~s cos s6 ds _1 . 1 Г sin[cln\7r
V ~ 2tc/ ,/ $ cos set 2 ' тс ,/ С ch
1-i со О
§ 5. Конечные преобразования
Аналогичным методом можно воспользоваться для представления *) рядов Фурье
и аналогичных им рядов через преобразованные функции. Для согласования с преды-
предыдущими результатами возьмем промежуток 0 < х < /, хотя чаще применяется проме-
промежуток 0 < х < те.
Обозначим через fs[v(x)] операцию конечного преобразовения функции по
синусам, а через V5(/i), л=1, 2, 3,..., —значение преобразованной функции; тогда
*) О конечных преобразованиях по Фурье см. [8—14]. О конечном преобразова-
преобразовании Ганкеля см. [15].
29*

[§ 5
E.1)
sin
452 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
по определению
fs [v (х)] ^ Vs (n) = I v (*)sln ^f- dx.
о
Формула обращения, которая является рядом Фурье по синусам, имеет вид
оо
Ъ — — V V
п=\
Интегрируя по частям, получим
^-lf@)-(-
I
Аналогичным образом обозначим операцию конечного преобразования функции
по косинусам через fc[v(x)]t а через Vc(n), /г=1, 2, ..., —значение преобразован-
преобразованной функции; тогда
E.4)
fc [v (х)] = Vc(n) = fv (x) cos ~ dx,
а формула обращения принимает вид
v(x) = l-
Кроме того,
E.5)
Из соотношения E.3) следует, что преобразование по синусам оказывается
полезным для решения задач с заданной граничной температурой, а из соотноше-
соотношения E.6) вытекает, что преобразование по косинусам пригодно для решения задач
с заданным тепловым потоком. Для граничного условия третьего рода следует при-
применять новый тип преобразования, основанный на разложении, приведенном в § 9
гл. III. Аналогичным образом для радиального теплового потока в областях 0 < г < а
и а < г < b могут быть определены конечные преобразования по Ганкелю, однако
для граничного условия третьего рода необходимо применять другое преобразование.
I. Пластина 0 < х < I с нулевой начальной температурой; при t > 0 поверх-
поверхности х = 0 и х = / поддерживаются при температуре, равной единице.
Поскольку в данной задаче рассматривается температура граничных поверхно-
поверхностей, применим преобразование по синусам к уравнению
которое, согласно E.3), примет вид
его следует решать при условии, что Vs = 0, когда t = 0. Искомое решение имеет вид
/[1_(_1уп
Следовательно, воспользовавшись E.2), получим решение
4 V [l-exp(-^i±i>i^
v = —
m=0
Bm 4-1)
Sin
Bт
которое сводится к соотношению D.1) гл. III. (Для получения этого соотношения
нужно воспользоваться разложением единицы в ряд по синусам.)

§ 61 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 453
II. Установившийся поток в теле прямоугольного сечения 0 < х < а, 0 < у < Ь.
Граничная поверхность у = 0 поддерживается при температуре и (х), другие
поверхности—при нулевой температуре.
Применяя синус-преобразование Фурье по переменной х, получим уравнение
= 0,
которое следует решать при условии, что Vs = Us, когда у = 0 и 1/^ = 0, когда
у = Ь. Искомое решение имеет вид
у _ г т sh n7Z iP — УIа
s~ s sh nnb/a '
В таком случае, воспользовавшись E.2), получим
оо
2 V4 тт / ч sh пп(Ь — у)/а ппх
v = — >. Us(n) т~—гг^— sin =
a jL± sh ппЬ/а а
п=\
со а
2 VI sh пп (Ь — у)/а , пкх Г . /ч ппх' , ,
a ^J sh /гтс^/a a J y ' a
л = 1 о
что соответствует решению C.9) гл. V.
§ 6. Последовательные преобразования
В задачах с несколькими переменными можно достичь большой экономии
в используемых обозначениях путем последовательного применения интегральных
преобразований относительно этих переменных. Можно либо сначала использовать
преобразование Лапласа по времени с последующим применением других интеграль-
интегральных преобразований относительно координат, либо использовать последовательные
интегральные преобразования относительно координат *).
Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим уже решенную задачу VIII
§ И гл. XV, которая использована в качестве примера в работе [18], а именно
задачу о теплопроводности в клине г>0, 0<8<80с начальной температурой,
равной нулю, и температурой поверхности, равной единице.
Здесь следует решить уравнение
d*v I dv I d^v 1 dv
при условиях
v = o, г = о, r>o, o<e<eo, F.2)
v = 1, е = о и е = е0, t > о. (б.З)
Обозначим через Vs конечное синус-преобразование функции v относительно 0;
тогда, согласно соотношению E.3) данной главы, Vs удовлетворяет уравнению
#v,_ , 1*У,  и 1 ?У* v[I-(-I)"] ^ F4)
где
v = пк/%. F.5)
Обозначим через VSt v преобразование Ганкеля порядка v функции Vs; тогда,
согласно B.15) этой главы, VSf v удовлетворяет уравнению
Х^~Г°5, vvl J / .. К ) b
*) Несколько примеров использования последовательных преобразований приве-
приведено в статьях [16, 17].
30 Г. Карслоу, Д. Егер

454 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [§ 6
поскольку 16]
оо
/ Aifl dz = —. F.7)
J z v v '
0
Решение уравнения F.6) при условии VSy v = О, когда t = О, имеет вид
VSt v = ^""^Г1^ {1 — ^"Х<т2/Ь F8)
Обращая с помощью B.14) преобразованную по Ганкелю функцию и используя
F.5) и F.7), находим
оо
Vs e Ml—(—1)Л1 _ [1 __ (_!)«] I I ^-^2VV (or) da. F.9)
О
Наконец, производя с помощью E.2) обращение конечного синус-преобразования»
получим
/1=1 л=1
V f T^^ F.10)
0
Мы пришли к решению A1.24) гл. XV. Интересно сравнить оба метода. В обоих
случаях время, затрачиваемое на вычисления, примерно одинаково. Оба метода тре-
требуют знания интеграла F.7). Однако если в методе, изложенном в § 11 гл. XV, пред-
предполагается, что для v решение имеет вид A1.21) той же главы, то изложенный здесь
метод применяется непосредственно без каких-либо предположений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Titchmarsh, Theory of Fourier Integrals, Oxford, 1937. (Э. Титчмарш, Вве-
Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, М., 1948.)
2. Tranter, Integral Transforms in Mathematical Physics, Methuen, 1951. (К. Т р а н-
т е р, Интегральные преобразования в математической физике, Гостехиздат, М.,
1956.)
3. Campbell, Foster, Fourier Integrals for Practical Applications, Bell Telephone
System Monograph B-584, 1931.
4. S n e d d о n, Fourier Transforms, McGraw-Hill, 1951. (И. Снеддон, Преобразо-
Преобразования Фурье, ИЛ, М., 1955.)
5. Erdelyi, Magnus, Oberhettinger, Iricomi, Tables of integral Trans-
Transforms, McGraw-Hill, 1954. ,
6. W a t s о n, A Treatise on the Theory of Bessel Functions. (Г. Ватсон, Теория
бесселевых функций, ИЛ, М., 1949.)
7. Gray, Mathews, Treatise on Bessel Functions, Macmillan, ed. 2, 1922 (Э. Г р э й,
Г. М э т ь ю з, Функции Бесселя и их применение в физике и механике, ИЛ, М.,
1953.)
8. К п i e s s, Math. Z. 44, 266—291 A939).
9. В го wn, Bull. Am. Math. Soc. 48, 522 A942); 50, 376 A944).
10. Brown, J. Appl. Phys. 14, 609 A943).
11. Koschmieder, Dtsch. Math. 5, 521—545 A945).
12 Roettinger, Quart. Appl. Math. 5, 298—319 A947).
13. Jacobson, Bull. Am. Math. Soc. 55, 804—809 A949).
14. Jacobson, Quart. Appl. Math. 7, 293—302 A949).
15. S n e d d о n, Phil. Mag. 37, 17—25 A946).
16 D e 1 a v a u 1t, С R. Acad. Sci. 236, 2484—2486 A953); 237, 1067—1068 A953).
17. S n e d d о n, Proc. Glasgow Math. Ass. 1, 21—27 A952).
18. Cooke, Am. Math. Mon. 62, 331—334 A955).

ГЛАВА XVIII
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. Введение
В последние годы много внимания уделялось разработке численных ме-
методов решения задач теплопроводности. Это обусловлено отчасти растущим
интересом к численному анализу, а отчасти — возможностью решения важных
практических задач при помощи электронных и других вычислительных машин.
Из предыдущих глав следует, что точные решения практически имеются
лишь для линейных задач, в которых рассматриваются области простейшей
формы. Для исследования тел сложной формы или нелинейных граничных
условий приходится обращаться к численным методам *). Здесь, конечно,
нельзя дать что-либо, похожее на полное изложение, однако желательно
привести обзор состояния вопроса и указать удобные методы решения встре-
встречающихся задач. Ученые, использующие точные решения, часто достигают
в своей работе стадии, на которой желательно проверить пригодность сде-
сделанных допущений (например, линеаризации) или решить простые задачи,
для которых точные решения отсутствуют. В самом деле, использование
простых численных методов (например, методов, описанных в § 3 данной
главы) представляется очень простым делом, поскольку они не требуют
изучения численного анализа. Поэтому наибольшее место в настоящей главе
отведено простейшим методам последовательных приближений. Поскольку
такие методы применяются при расчетах на машине, именно они лучше
всего изучены теоретически. Наконец, следует указать, что, хотя в теории
конечных разностей описанные в настоящей главе методы оказываются наи-
наиболее очевидными, их никак нельзя считать единственными**).
§ 2. Конечные разности***)
Предположим, что нам известны значения vm функции v(x) при значе-
значениях аргумента х — те, т= ..., —2, —1, 0, 1, 2, ... В таком случае
первая, вторая, третья, ... последующие (forward) разности kvm, A2^,
*) Полное изложение этого вопроса, произведенное с практических позиций,
дано в [1]. Более краткие изложения можно найти в большинстве работ по теплопе-
теплопередаче, а также в [2]. Методы, используемые при решении задач с переменной тем-
температуропроводностью, описаны в [3].
**) Например, в работе Кинга [4] используются методы Монте-Карло. Интерес-
Интересный метод, в котором применяются ступенчатые значения i/, разработан Филипом [5].
В книге Кранка [3] описаны другие методы, используемые при переменной темпера-
температуропроводности.
***) Теория конечных разностей изложена в [6, 7]. Классическими работами
по применению разностей к решению уравнений в частных производных считаются
работы Ричардсона [8]. Следует отметить, что, хотя знание основ теории конечных
разностей очень желательно, в данном случае оно не обязательно, поскольку необ-
необходимые результаты (например, C.4) данной главы) можно получить непосредственно
из теоремы Тейлора. (См. также А. О. Г е л ь ф о н д, Исчисление конечных разностей,.
Физматгиз, 1959.)

456 ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 2
Д3<ут, ... функции vm определяются соотношениями
B.1)
vm, B.2)
vm B.3)
и т. д. Они называются «последующими» разностями потому, что содержат
значения vm, vm+v ... с возрастающими индексами т. Аналогичным обра-
образом можно определить и предыдущие (backward) разности (т. е. разности
с убывающими индексами т), но здесь они нам не потребуются. Однако
ясно, что иногда удобно пользоваться системой обозначений, содержащей
точки, симметричные относительно т. Для этого вводится система обозначе-
обозначений центральных разностей. Первая, вторая, ... центральные разности
определяются следующим образом:
81vm4.»=Avm = "« + l— «*• B-4)
VvM = Vvm+± — ^m_i = bvm — Lvm_x = vm+l — 2vm + vm_l B.5)
и т. д. Можно видеть, что в разности нечетного порядка, как и в B.4),
входят точки, распределенные симметрично относительно /и-{--о-, а не отно-
относительно т. Для получения формулы, симметричной относительно т, вво-
вводятся так называемые средние разности, определяемые соотношениями
J^ +^ l{("v.I B-6)
i+ г B.7)
\ m+T mi
где {л укрывает на операцию усреднения величин для m ± -^.
Вся теория теперь основывается на предположении, что известны вели-
величины ..., г»_2, v_v v0, vv vv ... и что составлена «таблица разностей»
этих величин и их последовательных разностей B.1), B.2), ... В принципе
в данном случае можно найти такой полином, например Р(х), что P(n) = vn
в любом заданном числе точек (его коэффициенты можно выразить через vm
или их разности), и над этим полиномом выполняют любые операции, напри-
например интерполяцию, дифференцирование или интегрирование. Поэтому первая
производная [dv/dx]m означает первую -производную интерполируемого поли-
полинома в точке те. В этом смысле, если известны значения функции в точ-
точках те, то можно указать много формул, позволяющих выразить ее произ-
производные в любой точке или через ее табличные значения, или через их раз-
разности. Например,
или
]_
3
или

§ 2] ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 457
или
¦+-•••. B.12)
или
или
Доказательства этих результатов, а также ряда других можно найти
в трудах, посвященных конечным разностям. В данном же случае, когда е
считается малой величиной, разности #-го порядка имеют порядок ел. Таким
образом, пренебрежение #-й разностью дает ошибку порядка О(ел). В при-
приводимых ниже упрощенных расчетах разности более высоких порядков счи-
считаются пренебрежимо малыми и используются только первые члены в пра-
правых частях соотношений B.8) — B.14). Вносимая при этом погрешность
будет зависеть от порядка первого пренебрегаемого члена; так, формулу B.11),
в которой опускают разности третьего и более высоких порядков и ошибка
в определении dvldx имеет порядок О(е2), следует предпочесть формуле B.8),
в которой мы пренебрегаем уже разностью второго порядка, и поэтому
ошибка в определении dvjdx имеет порядок О (е). При очень важных числен-
численных расчетах всегда сохраняют и используют разности более высоких поряд-
порядков. При этом можно уменьшить время, требуемое для решения задачи,
и повысить точность результатов, но это достигается за счет усложнения
применяемого математического метода.
Приведем еще два результата, которые понадобятся нам при вычисле-
вычислениях в цилиндрических или сферических координатах. Пренебрежем разно-
разностями третьего и четвертого порядков; тогда из B.11) и B.14) следует, что
при т Ф О
^ B.15)
Если (dv/dx) = 0 при д: = 0, то
Подобным же образом, если т Ф 0, то
если (dv/dx) = 0 при д: = 0, то
При рассмотрении функций двух или большего числа переменных можно
совершенно аналогичным образом определить частные разности. Например,
если v(x, у) является функцией х и у и мы выбираем одинаковые интер-
интервалы е по х и у, т. е. vmtn = v(me, пг), то из соотношения B.14)

458 ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 3
следует, что
[S] . ' B.19)
Отсюда мы получаем
+0] =e2(^-i,n +
B.21)
что потребуется нам при изучении уравнения Лапласа в плоской задаче.
§ 3. Линейный тепловой поток в неограниченном пространстве
Следует решить уравнение
при условии, что при ? = 0 температура v задана. Здесь х может быть
функцией v. В § 6 гл. 1 было показано, что в общем случае, когда К
является функцией v, соответствующее уравнение можно привести к фор-
формуле C.1) путем замены переменной.
Выберем теперь на оси х интервал е и обозначим через vm(t) значения
v(x, t) в точке х = те, т = .. ., —2, —1, 0, 1, 2, ... Заменим *) в урав-
уравнении C.1) dhf/dx2 на конечную разность, используем B.14) предыдущего
параграфа и пренебрежем разностями высших порядков; тогда мы получим
систему уравнений
(О - 2f т (О + *ж_, (t) - ~ ^fP~ = 0, C.2)
которые следует решать при условии, что известны значения vm@). Эта
система в точности соответствует системе уравнений A0.2) гл. XV при
Мгсг = рсг, Нг = К/е, и (при постоянном х) ее можно решить при помощи
методов, изложенных в § 10 гл. XV.. Итак, теперь мы видим физический
смысл сделанных приближений. Система C.2) соответствует разделению твер-
твердого тела на пластины толщиной е и замене их пластинами из идеального
проводника той же теплоемкости. Термическое сопротивление **) между этими
пластинами равно е/К> т. е. совпадает с термическим сопротивлением пла-
пластины из исходного материала толщиной е.
Если х постоянно, то сравнение решений C.2), получаемых методами,
приведенными в § 10 гл. XV, с точными решениями позволяет изучить ре-
результаты приближения. В случае переменного х, а также нелинейных гра-
граничных условий система C.2) решается при помощи дифференциального ана-
анализатора [13]***). Проведенные исследования показали, что в ряде случаев
хорошие результаты можно получить не только для малых значений е; так,
для пластины толщиной а хорошие результаты получаются при е = а/6.
*) Производную по времени в уравнении C.1) можно заменить конечной раз-
разностью. Тогда мы получим систему дифференциальных уравнений по лг, которые можно
решать последовательно [9].
**) То же допущение делается при изучении тепловых потоков на ряде вычи-
вычислительных машин непрерывного действия- Наиболее совершенна резистивно-емкостная
система, известная под названием «анализатора тепло- и массообмена» [10], при по-
помощи которой к настоящему времени уже выполнено много работ (см. также [11, 12]).
***) В этой статье приведен обзор важнейших задач и методов их решения-

§ 3] ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 459
Для того чтобы описанный выше метод стал чисто численным, необхо-
необходимо в системе C.2) заменить производную по времени разностью. Для этого
мы выбираем промежуток времени х и обозначаем v(me, nz) через vmtn.
Ни е, ни х пока не определены, и к их выбору мы вернемся позднее.
Здесь можно воспользоваться различными формулами для dv/dt; наиболее
проста формула B.8) данной главы, которая, если пренебречь разностью
второго порядка, имеет вид
\^i] = vm>n+\—Vm,n ^ ъз
L dt ]t=nx x
Подставляя ее в систему C.2), получим
где величину
М = ~ C.5)
иногда называют модулем *). Следует отметить, что в соотношении C.4) зна-
значения v в момент времени (n-f-l)i выражены через его значения в момент #х,
что позволяет использовать это соотношение для дальнейших расчетов, исходя
из известного значения при ? = 0. Поскольку в соотношении C.3) мы пре-
пренебрегаем разностью третьего порядка, можно ожидать, что этот метод
не очень точен. Однако он оказывается достаточно точным; практически он
является самым простым из всех существующих методов, и мы здесь будем
рассматривать только его.
Теперь следует рассмотреть величины е и х и оценить устойчивость
метода. Конечно, е до некоторой степени определяется уже самой за-
задачей. Как отмечалось выше, в случае системы C.2) для пластины тол-
толщиной а величина е=-^-а дает вполне хорошие результаты. В любом
случае е не слишком мало по сравнению с а. В формулах C.4) и C.5) е и х
вместе входят в М\ поэтому, чтобы получить решение через разумное число
операций, желательно выбрать х настолько большим, насколько это допу-
допустимо. Необходимость некоторого ограничения значения х вытекает из сле-
следующих рассуждений**). Пусть при t = nz максимальная ошибка для любого
значения vmt n равна ?]; тогда, согласно C.4), если dvmtn+l — малое измене-
изменение tomn+v вызванное малым изменением dvmn величины vmi п, и если М
постоянно, то
или
Далее, если здесь применим описанный выше метод, то ошибка не должна
возрастать ***), т. е. должно быть справедливым соотношение \dvm% л+1| < ч\\
тогда, согласно C.6), нужно, чтобы было справедливым соотношение
*) Часто рассматривают случай х = 1; величину т/е2 называют характеристи-
характеристикой сети.
**) Этот вопрос обсуждается в статье [14], где рассматривается также влияние
граничных условий на устойчивость метода.
***) Помимо случайных ошибок, в последние цифры используемых десятичных
дробей входят ошибки округления.

460 ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 3
Это и есть требуемое ограничение для т, называемое обычно условием
устойчивости. Ясно, что это условие достаточно, но отнюдь не необходимо.
В настоящее время имеется много работ, основанных на решениях разностных
уравнений, в которых очень тщательно разбирается вопрос об устойчивости *).
Другой простой метод исследования устойчивости и точности численных
решений заключается в изучении случая г>0>0=1, г>т>0 = 0, тФО. При этом
мы либо исследуем распространение по системе единичной ошибки, либо рас-
рассматриваем функцию Грина, соответствующую выделению при t = 0 в начале
координат количества тепла ере. Согласно C.4) гл. X точное решение для
этого случая имеет вид
( }
Для иллюстрации этого метода приведем часть таблички значений vmt n>
получающихся при рассмотрении указанного выше случая; величины М по-
полагают равными 0,25, 0,5 и 0,6; во всех случаях приводят только числа,
соответствующие 0 ^ т < 5. Результаты, конечно, симметричны относи-
относительно т = 0 **).
М = 0,25
1
0,5
0,375
0,312
0,273
0,246
0,226
0,209
0,196
0,185
0,176
1
0
0,5
0
0,375
0
0
0,25
0,25
0,234
0,219
0,205
0,193
0,183
0,175
0,167
0,160
0
0,5
0
0,375
0
0,312
0
0
0,062
0,094
0,109
0,117
0,121
0,122
0,122
0,121
0,120
0
0
0,25
0
0,25
0
0
0
0
0,016
0,031
0.044
0,054
0,061
0,067
0,071
0,074
0
0
0
0,125
0
0,156
0
0
0
0
0,004
0,010
0,016
0,022
0,028
0,033
0,037
0
0
0
0
0,062
0
0
0
0
0
0
0,001
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0
0
0
0
0
0,031
*) Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем иссле-
исследовалось главным образом уравнение C.4) с линейными граничными условиями.
Следует подчеркнуть, что имеется несколько различных, но взаимосвязанных вопро-
вопросов, в частности вопрос о сходимости, т. е. о том, стремятся ли решения разностных
уравнений к решению нашего уравнения в частных производных, когда е и т->0„
и вопрос об устойчивости, т. е. вопрос о той, уменьшаются ли численные ошибки
и ошибки округления с увеличением времени или увеличиваются. Фаулер [15] рас-
рассматривает вопрос о сходимости, изучая точные решения разностного уравнения C.4).
В работе [16] устойчивость уравнения C.4) изучается методом, разработанным Ней-
Нейманом; в ней отмечено характерное превосходство «неявных» соотношений типа C.11).
В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях*
в которых условие устойчивости не выполняется. Соотношения между сходимостью и
устойчивостью рассматриваются также в работах [18, 19]. Последняя статья содержит
довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами.
В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устой-
устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются труд-
трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач.
В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались.
**) В столбцах фиксирован первый индекс т; в строках — второй индекс л-
(Прим. ред.)

§ 31 гл. xviii. численные методы 461
1
—0,2
0,76
—0,44
0,952
—0,836
0
0,6
—0,24
0,72
—0,538
1,042
0
0
0,36
—0,216
0,605
—0,548
0
0
0
0,216
—0,173
0,476
0
0
0
0
0,130
—0,130
0
0
0
0
0
0,078
, , , ,
1,418 —1,039 1,020 —0,502 0,358 —0,093
Рассматривая случай Л1 = 0,6, находим, что ошибка в одной цифре
на единицу в конце концов приводит к большим ошибкам с чередующимися
знаками. При практических расчетах такой эффект быстро становится явным.
Согласно критерию C.7) этот случай является неустойчивым.
В случаях Л1 = 0,25 и Л1 = 0,5, которые, в соответствии с C.7), должны
быть устойчивыми, из соотношения C.8) следует, что величины, стоящие
в одиннадцатом ряду таблицы для первого случая и в шестом ряду для вто-
второго, должны равняться A0тс)-!/:2ехр(—/я2/10), т. е.
0,178 0,161 0,120 0,073 0,036 0,015
Как мы видим, интересующие нас величины при Ж = 0,25 очень хорошо
с ними совпадают (имеются лишь небольшие расхождения в последних зна-
значащих цифрах). При М = 0,5 в таблице чередуются нули и величины, вдвое
превосходящие точные значения (можно считать, что это обусловлено таким же
общим количеством тепла, сконцентрированным в чередующихся через одну
пластинах). Действительно, кривая, проведенная через точки с координатами,
равными половине этих величин, служит по мере увеличения п все лучшим
и лучшим приближением к точному результату. Если vmtQ — точки на непре-
непрерывной кривой, то наблюдаемые колебания сглаживаются.
В данном случае (т. е. при М = 0,5) уравнение C.4) принимает осо-
особенно простой вид
«т. я + 1 = \&т-\. я + ^т+Ья)- C'9)
и, следовательно, значение v при те, (п-\-\)х точно равно среднему ариф-
арифметическому от значений v при (т ± 1)е, /гт. Этот процесс определения сред-
среднего арифметического можно выполнить либо численным, либо графическим
методом; последний, называемый методом Шмидта [20, 21]*), применяется
уже довольно давно при исследовании теплообмена.
В большинстве практических случаев, когда достаточна точность порядка
нескольких процентов, уравнения C.4) и C.9) оказываются одинаково при-
пригодными. Их преимущества заключаются в повторяемости очень простых
операций, и поэтому эти уравнения очень удобны при использовании как
простых, так и сложных электронных вычислительных машин.
Рассматривая далее возможность отыскания разностных уравнений, ко-
которые более точно представляли бы дифференциальное уравнение, естественно
заменить неточное выражение B.8) данной главы выражением B.18) этой же
главы, в котором опущены только третьи разности. Подстановка B.11) пре-
предыдущего параграфа в C.2) дает
. (ЗЛО)
где, как и раньше, Л1 = хх/е2. Это соотношение, так же как и C.4), опре-
определяет vmt n+1 непосредственно через известные величины, хотя последние
*) В работах [22, 23] этот метод распространен на тела цилиндрической и сфе-
сферической формы.

462 ГЛ. XVTTT. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 4
теперь находятся в двух предшествующих рядах. К сожалению, эта система
оказывается неустойчивой. Поэтому, если, как и раньше, мы рассчитаем рас-
распространение единичной ошибки, то для М = !/г получим
1
—2
7
0
1
—4
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Выражение B.11) используется в весьма удачном методе, разработан-
разработанном в [24] (см. также [3]). В этом методе дифференциальное уравнение для
+у)! заменяется разностным уравнением. Используя соотношение B.11)
для представления (dv/dt) при (/г+у)х и среднее значение величин B.14)
при nz и (tt-f-l)T для представления (d2v/dx2) при t = i n -\- ур» получим
я + 1
Приведенный метод обладает тем преимуществом, что в случаях пере-
переменной температуропроводности, источника тепла переменной мощности или
переменных граничных условий эти изменения можно учесть физически удо-
удовлетворительным образом, а именно, считая, например, х равным не величине,
соответствующей vmtn, а среднему значению по области. Однако уравнение
C.11) не так легко использовать, как C.4), так как оно не дает непосред-
непосредственного выражения vmtn+l через vmn, а позволяет только написать ряд
алгебраических уравнений, которые должны быть решены. Их решение можно
получить при помощи обычных приемов, основанных на методе релаксации
или аналогичных методах. Этот вопрос достаточно полно изложен в лите-
литературе [3]. Дальнейшее уточнение метода с использованием разностей более
высоких порядков выполнено Дугласом [25, 26].
Наконец, следует отметить, что случаи радиального потока в шарах
или цилиндрах можно рассматривать почти таким же способом при помощи
соотношения B.17) или B.15) настоящей главы.
§ 4. Граничные условия
Мы будем рассматривать здесь только левую граничную поверхность;
тогда нас будет интересовать область д;>0и значения v^ n при т = 0, 1,2,...
Аналогичным образом можно рассматривать и только правую граничную
поверхность.
В случае заданной температуры задается и вводится в систему раз-
разностных уравнений функция vOtn. Как отмечалось в § 3 настоящей главы,
характер этой функции может влиять на устойчивость уравнений.
Во все другие граничные условия входит тепловой поток
— K^ = F(v,t) при х = 0. D.1)
Если в задаче с твердым телом используется разностное уравнение C.4)
и для любого п нам известны vmtn, m = 0, I, 2, . .., то из этого уравнения
можно найти значения vmtn+v m=\, 2, ..., и остается найти vOtn+l из
условия D.1) на граничной поверхности. Это можно сделать несколькими
способами.

§ 4] ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 463
I. Подставляя выражение B.8) данной главы в условие D.1) и прене-
пренебрегая вторыми разностями, получим
Это уравнение можно решить относительно t/Ofrt+1.
II. Более точный результат аналогичного типа можно получить, используя
соотношение B.9) вместо B.8). Это дает
ы = т/Кя+1' (л+1)т}. D.3)
Ни один из этих методов нельзя считать достаточно удовлетворительным,
поскольку они требуют экстраполяции функции в область, в которой она
может быстро меняться.
III. Этот метод проще всего изложить, воспользовавшись схемой, раз-
разработанной Шмидтом. Ее особенность заключается в задании совокупности
температур v_hn в фиктивной точке х = — е. Если для т^>—1 известно
vm%n, то из C.4) можно найти vOt n+v Для нахождения г/_ь„ соотношение
B.11) подставляют в условие D.1). Пренебрегая третьими разностями, получим
/ (* . пх). D.4)
В этом случае v_Un, а следовательно, и vOtn+1 определяются непосред-
непосредственно, без решения таких уравнений, как D.2; или D.3).
При отсутствии теплового потока на границе уравнение D.4) при-
принимает вид
IV, Следует отметить, что в методах I и II рассматриваются величины
теплового потока при (п-\- 1)х, тогда как в методе III — его величина при пх.
Если тепловой поток быстро меняется с изменением температуры или во вре-
времени, то можно ожидать, что указанные методы дадут различные результаты,
что можно учесть, вводя в D.4) значения потока при (# + "9")г» тогда при-
приближенно получим выражение
«-1. п = «i. „ + х { / К •• пх ) + y («ь я+1 - «ft „) [-|f]o> n } • D.6)
Объединяя его с C.4), снова получаем для vOi л+1 линейное уравнение.
Приведенные выше формулы, а также ряд других рассматриваются
в работе [14], где исследовались их устойчивость и точность для случая тепло-
теплообмена по линейному закону.
Далее следует остановиться еще на одном, довольно интересном прак-
практическом моменте, а именно на использовании начального решения. Пусть,
например, на тело с постоянной температурой внезапно накладываются гра-
граничные условия; тогда тепловой поток вблизи поверхности окажется боль-
большим и величины dvjdXy рассчитанные на первых нескольких шагах по вре-
времени, будут очень неточными. Поэтому желательно начинать не с постоянных
значений при ? = 0, а с вычисленного решения, например при t = x или 2т,
даже если это решение найдено с учетом приближенного (линеаризованного)
граничного условия. Такие решения легко получить из точных решений,
приведенных ранее. Для важных граничных условий можно, вероятно,
найти новые решения. Например, для случая, когда тепловой поток через

464 ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ б
поверхность является степенной функцией ее температуры, известно решение,
пригодное для небольших значений времени [27] *).
Ряд сравнений точных решений при различных методах рассмотрения
граничного условия был сделан в статье [14] для случая теплообмена по
линейному закону.
§ 5. Выделение тепла, переменная температуропроводность
и скрытая теплота
В случае выделения тепла к левой части уравнения C.1) настоящей главы сле-
следует добавить член A (i/, x, f)/K- При использовании метода конечных разностей
к правой части уравнения C.4) нужно прибавить член wA (t/m> n, те, лх)//С, или, для
получения лучшего приближения, член
у (vm, n+l — Vm, n) \-^\m }• EЛ)
В формуле Кранка — Никольсона C.11) к правой части следует прибавить член
тщ{А(ът, п, те, /гх)-f- A (vm, n+lt me, (n-f-l)*)}. E.2)
Над задачами этого типа до настоящего времени работали еще мало. В статье [24]
обсуждался случай выделения тепла при химической реакции. В статье [28] рассмат-
рассматривались вопросы устойчивости и был дан ряд численных примеров.
Случай переменной температуропроводности кратко упоминался в § 3 настоящей
главы. Чтобы учесть ее изменение, в соотношении C.5) % следует приписать величину,
соответствующую vm, n, тогда как в C.11) ей следует приписать величину, соответ-
соответствующую v т, л+Л. Этот случай, имеющий большое значение при рассмотрении
диффузии, достаточно полно изложен в книге [3].
Перечислим теперь наиболее важные задачи этого типа в теории теплопровод-
теплопроводности: 1) задачи, в которых температуропроводность является ступенчатой функцией
температуры (это соответствует также выделению скрытой теплоты в диапазоне тем-
температур плавления), и 2) родственная им задача выделения скрытой теплоты в точке
плавления. Эти задачи имеют большое техническое значение. Кроме того, хотя из-
известны точные решения задач такого рода для полуограниченного тела, для пластины
и для цилиндра они отсутствуют. Для последних случаев решения должны полу-
получаться при помощи численных методов, однако в качестве «начальных решений>
чрезвычайно полезными оказываются точные решения, приведенные в гл. XI [29].
Влияние скрытой теплоты изучалось в [30, 31]. В работе [30] указывается, что
в задачах этого типа удобнее производить расчеты с О, теплосодержанием единицы
массы тела, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению
Соответствующая формула в конечных разностях, полученная с помощью C.4), имеет
вид
От, л+1 = От. л + -р" (»т+ь л+ »т-ь я —2»т.л)- E-4)
Расчет проводится так же, как и ранее, причем в точке плавления имеется
разрыв непрерывности О. или на конце интервала температур плавления — разрыв
непрерывности с.
§ 6. Релаксационные методы
В предыдущих параграфах рассматривались методы последовательных прибли-
приближений для решения уравнений в бесконечной области t > 0. Релаксационные ме-
методы [32] применимы к установившимся процессам, заданным в конечной области
с известными условиями во всех точках границы. В течение многих лет эти методы
*) В этой работе, в частности, рассматриваются излучение черного тела и естест-
естественная конвекция.

§ 6] ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 465
использовались для решения уравнений Лапласа и Пуассона; они особенно полезны
для решения таких задач теплопроводности, как задача об установившемся потоке
через стенку, изогнутую под прямым углом, или через область, находящуюся между
кубами с параллельными гранями и общим центром симметрии; подобные задачи
трудно (или вообще невозможно) решить аналитическими методами. Этот метод
слишком хорошо известен, чтобы его нужно было здесь излагать. В литературе
можно найти много достаточно полных его описаний (см., например, [6]) *).
При двумерном установившемся тепловом потоке необходимо решить уравнение
d2v d2v
1F- + I^ = 0' <61>
в данной области при заданных условиях на ее граничной поверхности. Используя
соотношение B.21) настоящей главы и пренебрегая разностями более высоких по-
порядков [37], заменим уравнение F.1) разностным уравнением
fm, n + i + vm, n-\ + Vm-u n + ^m+u n — 4^m, n = 0, F.2)
которое должно быть решено при заданных условиях в точках сети на самой гра-
границе или близ нее. Именно для таких задач и были первоначально разработаны
релаксационные методы; только недавно были сделаны попытки использовать их для
рассмотрения неустановившихся процессов (например, для задач с переменным теп-
тепловым потоком).
Чтобы применить релаксационные методы к дифференциальному уравнению
рассмотрим область 0 < х < I при 0 < t < Т при заданных условиях на линиях **)
х = 0, х = /, t = 0, t = Т.
Один из методов, которым можно воспользоваться, заключается в введении [39]
новой функции w, определяемой соотношением
ю = -ЗГ+*!Р- F4>
при условии w = О, когда х = 0, w = О, когда х = / и dw/dt = 0, когда t= Т. Эти
условия не являются несовместимыми и не накладывают никаких ограничений на v.
Подставляя соотношение F.4) в F.3), получим
с рядом граничных условий, к которым применимы релаксационные методы.
Помимо этого, используется ряд методов, которые считаются релаксационными;
однако на самом деле они являются методами последовательных приближений и в них
релаксационные методы используются для решения системы уравнений для значений v
в любой заданный момент времени. Таким образом, релаксационные методы исполь-
использовались для решения системы уравнений C.11) данной главы, что позволило выра-
выразить vm,n+i через vm> n в методе Кранка — Никольсона ***). Важный метод подобного
типа был предложен Либманом [41] ****), который подставлял в соотношение C.2)
вместо C.3) равноценное выражение
=i{Vmtn~~Vmt n~l)i F*6)
*) В большинстве работ по теплопередаче дается краткое изложение этого
метода с точки зрения теории теплопроводности. Подробно он рассмотрен в< ра-
работе [1]. Хорошее краткое введение в метод дано в [33]. В работе [34] рассматривается
решение уравнения Пуассона для трехмерного случая. Совместное использование
релаксационных методов и интегральных преобразований излагается в [35]. Приме-
Применение релаксационных методов к задачам со скрытой теплотой рассмотрено в [36].
**) В работе [38] отмечается, что здесь можно использовать конечное устано-
установившееся состояние, если оно существует.
***) Этот вопрос изложен в статье [40]; там же рассматривается член А (х, t),
соответствующий выделению тепла.
****) Данный метод [41] легко применить к двумерным задачам.

466 ГЛ. XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 6
и, таким образом, получал разностное уравнение
Mvm_Un-BM+\)vmtn+Mvm+Un + vmtn_l = 0, F.7)
где Л! = хт/е2. Эту систему уравнений для значений vm, n, выражаемых через vm%n-U
затем решают релаксационными методами. Эти методы обладают тем преимуществом,
что они устойчивы при всех значениях М.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dusinberre, Numerical Analysis of Heat Flow, McGraw-Hill, 1949.
2. Ingersoll, Zobel, Ingersoll, Heat Conduction, University of Wisconsin
Press, 1954.
3. С г a n k, The Mathematic of Diffusion, Oxford, 1956.
4. King, Ind. Eng. Chem. 43, 2475 A951).
5. Philip, Trans. Faraday Soc. 51, 885 A955).
6. H a r t r e e, Numerical Analysis, Oxford, 1952.
7. Milne, Numerical Calculus, Princeton, 1949.
8. Richardson, Phil. Trans. Roy. Soc. A210, 307 A910); A226, 299 A927).
9. Hartree, Womersley, Proc. Roy. Soc. A161, 353 A937).
10. Paschkis, Baker, Trans. ASME 64, 105—112 A942).
11. Paschkis, Heisler, Elect. Engng 63, 165 A944); J. Appl. Phys. 17, 246—254
A946).
12. Moore, Ind. Eng. Chem. 28, 704 A936).
13. Eyres, Hartree et al., The Calculation of Variable Heat Flow in Solids, PhiL
Trans. Roy. Soc. A240, 1—57 A946).
14. P r i с e, S 1 а с k, Brit. J. Appl. Phys. 3, 379—384 A952).
15. Fowler, Quart. Appl. Math. 3, 361—376 A946).
16. O'Brien, Hyman, Kaplan, J. Math. Phys. 29, 223—251 A950).
17. Leutert, Proc. Am. Math. Soc. 2, 433—439 A951); J. Math. Phys. 30, 245—251
A951).
18. H i 1 d e b г a n d, J. Math. Phys. 31, 35—41 A952).
19. Evans, Brousseau, К e i r s t e a d, J. Math. Phys. 34, 267—285 A955)
20. Schmidt, Foppl's Festschrift, Springer, 1924.
21. Nussbaum, Z. angew. Math. Mech. 8, 133—142 A928).
22. N e s s i, N i s о 1 1 e, Chal. et Industr. 9, 193 A928J.
23. P a 11 о n, Ind. Eng. Chem. 36, 990—996 A944).
24. С г a n k, N i с h о 1 s о n, Proc. Cambr. Phil. Soc. 43, 50—67 A947).
25. D о u g 1 a s, J. Math. Phys. 35, 145—151 A956).
26. С r a n d a 1 1, Quart. Appl. Math. 13, 318—320 A955).
27. Jaeger, Proc. Camb. Phil. Soc. 46, 634—641 A950).
28. В 1 a nch, J. Res. Nat. Bur. Stand. 50, 343—356 A953).
29. Jaeger, Am. J. Sci. 255, 306 A957).
30. P г i с e, S 1 а с k, Brit. J. Appl. Phys. 5, 285—287 A954).
31. Crank, Quart. J. Appl. Math. 10, 220 A957).
32. Southwell, Relaxation Methods in Engineering Science, Oxford, 1940; Relaxa-
Relaxation Methods in Theoretical Physics, Oxford, 1946.
33. E m m о n s, Trans. ASME 65, 607—615 A943).
34. A 1 1 e n, D e n n i s, Quart. J. Mech. Appl. Math. 4, 199—208 A951).
35. Tranter, Quart. J. Mech. Appl. Math. 1, 125—130 A948).
36. A 11 e n, S e v e r n, Quart. J. Mech. Appl. Math. 5, 447—454 A952).
37. Fox, Proc. Roy. Soc. A190, 31—59 A947).
38. Gilmor, Brit. J. Appl. Phys. 2, 199—204 A951).
39. A 11 e n, S e v e r n, Quart. J. Mech. Appl. Math. 4, 209—222 A951).
40. Mitchell, Appl. Sci. Res. A4, 109—119 A954).
41. Lib ma n n, Brit. J. Appl. Phys. 6, 129—135 A955).

ПРИЛ0ЖЕНИЕ1
КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ
ПРИ ПОМОЩИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В § 3 гл. XII отмечалось, что с точки зрения чистой математики решения, по-
полученные методом преобразования Лапласа *), являются по существу формальными;
иными словами, различные операции, например перемена порядка дифференцирования
и интегрирования, производятся без достаточного обоснования. Там же указывалась
необходимость проверки того, что все полученные решения
(для линейного потока) удовлетворяют дифференциальным
уравнениям, а также начальным и граничным условиям.
Метод обоснования заключается в следующем. Во
всех случаях **) мы ищем v, a v находим при помощи
формулы обращения (см. C.8) гл. XII)
2те/ j
A)
т— ico
y+ioo
y-ioo
где 7 так велико, что все особые точки v (к) лежат слева
от линии G — /со, 7 + /оо).
В рассмотренных в настоящей книге задачах этими
особыми точками служило конечное число полюсов и точек
ветвления, а также, быть может, бесконечное число полю-
полюсов в изолированных точках на отрицательной вещест-
вещественной полуоси. Таким образом, мы можем всегда вы-
выбрать новый путь интегрирования L' (рис. 61), который
начинается в бесконечности в направлении arg А = — (^
0 1 \ ' Рис. 61.
> р > — тс I, проходит справа от начала координат и
уходит в бесконечность в направлении arg \ = р, причем все особые точки подынте-
подынтегральной функции остаются слева.
Для функций v(k), с которыми мы встречались ранее, можно всегда показать,
что
Т-Ыоо
B)
Г eKt v (\) d\ = Г еи v (К) d\.
U i
*) То же замечание применимо почти ко всем общим решениям, полученным
при использовании более ранних методов. В самом деле, их значительно легче рас-
раскритиковать, так как при их использовании обычно предполагают, что произвольную
функцию можно разложить в ряд по некоторой системе функций, но не проверяют
эту систему на полноту; таким образом, возникает опасность исключения части ре-
решения (см. сноску к стр. 201). В настоящее время строго проанализировано лишь
очень мало даже сравнительно простых задач, в которые входят произвольные функ-
функции. (Вопрос о радиальном тепловом потоке в цилиндре кругового сечения рассма-
рассматривается в заметке Мура [1].)
**) С этой точки зрения использование таблицы преобразований является во-
вопросом удобства. Так, все приведенные в ней результаты можно получить, применяя
формулу обращения.

468
ПРИЛОЖЕНИЕ I
в'
Для этого рассмотрим замкнутый контур ABB"А"А на рис. 62, который состоит
из отрезка АВ линии Re (X) = 7, из отрезка А"В" контура U и из дуг ВВ'В" и А"А'А
большой окружности с радиусом R и с центром в начале координат. Внутри этого
контура особые точки отсутствуют. Формула B) следует из теоремы Коши, если
в пределе, по мере того как /?->оо, интегралы вдоль
дуг А АА"^ и ВВ'В" стремятся к нулю. Рассмотрение подын-
подынтегральной функции показывает, что это справедливо в лю-
любом из специальных разобранных в данной книге случаев *).
Таким образом, в этих случаях мы получаем
C)
Далее можно показать, что интеграл C) сходится равно-
равномерно по пространственной переменной в заданной области
при фиксированном t\ он сходится также равномерно по t
для t :> О при фиксированной пространственной переменной.
Дифференцирование под знаком интеграла является закон-
законным и, таким образом, легко показать, что данное дифферен-
дифференциальное уравнение удовлетворяется. Аналогичным путем на-
находят, что удовлетворяются начальные и граничные условия.
Преимущество пути U перед путем по прямой (f— /оо,
7 + /оо) заключается в том, что в первом случае мы полу-
получаем множитель типа
Рис. 62.
1
ехр
{ —
где тс>р>-^тс, а ? — положительная величина, содержащая пространственную пере-
переменную. Этот множитель обеспечивает требуемую равномерную сходимость. Если
в соотношении C) произвести замену переменной , а = Х1/г еы/2, то мы должны будем
производить интегрирование по пути Р (рис. 63), который начинается в бесконеч-
бесконечности в направлении arg a = в, где
О < 6 < -? тс, и уходит в бесконеч- \ /
ность в направлении arg а = тс — 8.
Очевидно, что интегралы вдоль ука-
указанного пути можно рассматривать
таким же образом, как и интегралы
вдоль пути L't и мы получим
тег ./
D)
О
Рис. 63.
В книге Карслоу [7] контурные интегралы этого типа считаются фундаменталь-
фундаментальными, и их использование позволило решить целый ряд задач. Следует отметить, что
при этом применялся такой же метод, как и используемый здесь, но производилась
указанная выше замена переменной.
Для обоснования метода с использованием функций Грина (см. гл. XIV) мы по-
поступим таким же образом; правда, здесь мы должны лишь доказать, что w удовлет-
*) Здесь, а также в других случаях необходимо исследовать порядок величины
подынтегральной функции на окружности с большим радиусом R. Теоретически это
следует делать для каждой специальной задачи, однако на самом деле можно сов-
совместно рассматривать обширные классы задач. Подробности для задачи I, приведен-
приведенной в § 6 гл. XII, изложены в §§ 41 и 58 книги Карслоу и Егера [2]; для задачи
§ 7 гл. XII — в § 47 той же книги; для задачи о составном сферическом твердом
теле — в работе [3]; для некоторых задач о круглых цилиндрах — в работе [4]; по-
подробные решения достаточно полного набора задач о цилиндрических областях
0<г<а, а < г < b и г > а с граничными условиями, приведенными в § 9 гл. I, из-
изложены в [5]. Использование параболического контура интегрирования имеет некоторые
преимущества по сравнению с применением кругового контура [6].

КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 469
воряет нашему дифференциальному уравнению и стремится к нулю при ?=0 и чго у
удовлетворяет граничным условиям.
Окончательные формы решений, которые мы обычно давали, были представлены
в виде рядов или интегралов путем использования контуров, изображенных на
рис. 39 и рис. 40 соответственно. Проведенной вышэ проверкой мы установили, что
соотношение A) удовлетворяет всем условиям задачи, и для того чтобы окончатель-
окончательные решения оказались вполне строгими, необходимо тщательное обоснование при-
приведения A) к его конечной форме. Это требует доказательства того, что в пределе
по мере стремления радиусов больших окружностей контуров к бесконечности (в слу-
случае необходимости набор значений радиусов может оказаться дискретным, так что
окружности не проходят через полюсы подынтегральной функции) интегралы вдоль
этих окружностей стремятся к нулю. Последнее положение можно доказать для всех
приведенных здесь решений, используя изложенный выше анализ; дальнейшие под-
подробности можно найти в приведенной литературе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Moore, Bull. Amer. Math. Soc. 51, 650 A945).
2. Carslaw, Jaeger, Operational Methods in Applied Mathematics. (Г. К а р с л о у,
Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, М., 1948.)
3. Carslaw, Jaeger, Proc. Camb. Phil. Soc 35, 394 A939).
4. Carslaw, Jaeger, Proc. Lond. Math. Soc. 46, 361 A940).
5. Carslaw, Jaeger, Proc. Roy. Soc. N. S. W. 75, 130 A942).
6. Churchill, Math. Z. 43, 743 A938).
7. Carslaw, Introduction to the Mathematical Theory of the Conduction of Heat in
Solids Macmillan, 1921. (Г, Карслоу, Теория теплопроводности, Гостехиздат,
1947.)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ФУНКЦИЯ ОШИБОК И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Введем обозначение *)
х
Ф(Х)=^=Г /«"*<«, О)
так что
Ф(сх>)=1, B)
а
Ф (_ х) = — Ф (*).
Кроме того, мы можем написать
оо
Ф* (х) = 1 — Ф (х) = -4=r / e-^dl. C)
|/ тс •/
тс
Будем теперь искать приближения для Ф (х) при малых и больших значениях х.
Для малых значений х используем разложение в ряд е~^ в выражении A); тогда
Так как этот ряд равномерно сходится, то его можно почленно проинтегриро-
проинтегрировать, и следовательно,
Для больших значений х мы поступим следующим образом. Простое интегриро-
интегрирование по частям дает
-AJ VM
*) Первая таблица этих интегралов была приведена в [1], где указываются зна-
значения Ф(*), вычисленные до седьмого знака после запятой, для х с шагом 0,01
в интервале от jc = 0 до х = 2. В работе [2] эти значения вычислены до х = 3. В ста-
статье [3] приведены новые пятизначные таблицы для интервала от *=0до.* = 3
с шагом 0,0001. Самые новые таблицы можно найти в [4, 5]. В работах [6] и [7] при-
приведены более краткие таблицы значений функций Ф(*), причем в последней указаны
также значения ее производных. Для функции A) применяется множество различных
обозначений [8].

функция ошибок и родственные функции 471
Повторяя этот процесс п раз, получим
X
2 U 2^з ^ 2V
Этот ряд не сходится, так как отношение л-го члена к (л — 1)-му при увеличе-
увеличении п не остается меньшим единицы. Однако если мы возьмем п членов этого ряда,
то остаток, т. е.
будет меньше п-го члена, так как
оо оо
<>
!§¦
Таким образом, мы можем остановиться на любом члене ряда; тогда сумма всех
членов до него служит приближением для нашей функции, причем допускаемая
ошибка меньше абсолютной величины последнего еще не отброшенного нами члена.
С такой точностью значения Ф* (х) для больших х можно вычислить по формуле
Функция ех7Ф*(х) часто встречается в задачах теплопроводности.
Укажем некоторые другие важные интегралы, также сводящиеся к функции
ошибок [9] *):
оо
е б g-i- dg =-5- *Ф (у), F)
б
у*Ф (у). G)
Производные и интегралы функций ошибок.
Последовательные производные функции ошибок обозначаются следующим
образом:
Ф Iх\ *"~ —~—^^ Ф Tjc^ f8)
и, следовательно,
к™
*) О других интегралах смотри [10].

472 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
и т. п. Их значения затабулированы и приведены в [7]. В задачах теплопроводности
интегралы функции ошибок играют очень большую роль *). Введем обозначения
оо
1«Ф* (х) = J i«- 1Ф*? tf?, /г = 1,2,... (9)
х
причем
РФ* (х) = Ф* (х). A0)
Для краткости мы часто будем писать вместо 11Ф*(лг) тоже 1Ф*(х). Тогда, интегри-
интегрируя по частям, получим
1Ф* (*) = -L. е~х2 — хФ* (х\ A1)
У п
2х2) Ф* (х) ?=г хе~Л , A2)
4 L V* J
или
12Ф* (х) = ^ [Ф* (jc) — 2*1Ф* (х)]. A3)
Общая рекуррентная формула имеет вид
2п1пФ* (х) = 1«-2ф* (jc) — 2дг1л" 1Ф* (*), A4)
причем A3) для случая, когда п = 2, легко получить методом индукции.
Из соотношения A4) следует, что
2пГ
(!¦+•)'
A5)
Кроме того, из A4) следует, что у = 1ЛФ* (х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
pL+2xJlL-2ny = 0. A6)
dx2 ' dx J K '
Функция ошибок при комплексном аргументе.
Эта функция, имеющая огромное значение для задач теплопроводности, лишь
недавно затабулирована Фадеевой и Терентьевым [13] **). Они определили ее следую-
следующим образом:
Z
¦+?/•4
A7)
где
так что
®(/2Г)
Некоторые значения функций и (х, у) и v(x, у) приведены в табл. 2 и 3 на-
настоящего приложения.
Соотношения D) и E), полученные выше для действительного г, справедливы
также и для комплексного z.
*) Они изучены и затабулированы Хартри [11]. Значения, приведенные в табл. 1
данного приложения, заимствованы из его статьи. В работе [12] указаны значения
для п от 1 до 11, для х от 0 до 0,2 (шаг 0,01), от 0,2 до 1 (шаг 0,05) и от 1 до 3
(шаг 0,1).
**) В этой работе приведены значения с 6 десятичными знаками и с шагом аргу-
аргумента, равным 0,02. В книге Карпова [14] приведена аналогичная таблица с аргумен-
аргументами в полярных координатах. В работах [15] и [16] приведены затабулированные
значения функции w (z) для действительного z. Если х = у, то интересующий
нас интеграл можно выразить через интегралы Френеля; таблица его значений при-
приведена в [17].

ФУНКЦИЯ ОШИБОК И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 473
ЛИТЕРАТУРА
L Encke, Method of Least Squares, Astronomisches Jahrbuch, 1834.
2. De M о г g a n, Essay on Probabilites, 1838.
3. Burgess, Trans. Roy. Soc. Edin. 39, 257 A899).
4. Sheppard, The Probability Integral, Brit. Ass. Adv. Science, Math. Tables.
Vol. VII, 1939.
5. Sheppard, Tables of the Probability Function, Works Projekt Administration,
New York, 1941.
6. Milne — Thomson, Comrie, Standard Four-Figure Mathematical Tables, Mac-
millan, 1931. (Милн — Томсон и Комри, Четырехзначные математические
таблицы, Физматгиз, 1961.)
7. Jahnke—Emde, Tables of Functions, Teubner, ed. 2, 1933. (E. Янке, Ф. Эмде,
Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостехиздат, 1948.)
8. Jeffreys, Operational Methods in Mathematical Physics, Cambridge, ed. 2, 1931,
p. 110.
9. С a f s 1 a w, Fourier's Series and Integrals, Macmillan, ed. 3, 1930.
10. H о r e n s t e i n, Quart. Appl. Math. 3, 183 A945).
11. Hartree, Mem. Manchr. Lit. Phil. Soc. 80, 85 A935).
12. К а у e, J. Math. Phys. 34, 119—125 A955).
13. Фадеева, Терентьев, Таблицы значений функции w(z) для комплексного
аргумента, Гостехиздат, 1954.
14. Карпов, Таблицы функций w(z) в комплексной области, Изд-во АН СССР, 1954.
15. Dawson, Proc. Lond. Math. Soc. 29, 519 A897—1898).
16. М i 1 1 е г, G о г d о n, J. Phys. Chem. 35, 2785 A931).
17. С 1 e m m о w, M u n f о r d, Phil. Trans. Roy. Soc. A245, 189—211 A952).
31 Г. Карслоу, Д. Егер

474
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
К
в;
2
ев
I
CO
о
a.
о
о
s
о
ОС
5
а:
-<e-»^NO»«iO^«NN«-0000000
«в^СЧ—-<-<-<ОООООООООООООООООО
ооооооооо © о^о^о о о^о о о о о о^о о^о о
*" о^сГсГо* ©* о4 о" сГсГсГ сГсГсГо* о" ©* о' сГ
ОЮ-«^'¦^•«О — Ю00О}<О00и'5<©©Г"»<ОГ"»©'*'О}СЧГ»'*'С*ЭЯ«
©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©с
© © © © © с
* 00 Ю СО — Oi С
^«C4—« — ©©©©©©
- - -
©©©©©©<
¦^«©¦^¦ч*»© — г»оос^05©сооо«ою«ооосч?о — •^•oito^'CJ — — ©©о©
СО ^У^ 00 f^ O'J 00 ^ij* ^^ I4* 1^5 ^^ ^*^ ^?^ Х~^ ^О ^^5 ^}* СО 00 ^^ ^^ ^"^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^
O^^fM«M(MN —_— --ООО © ©^© © ©,© Я°.О.О-О.°.О.С!^° Z
•-htrtN-
сГ ©"©" ©~
1 сГ сГ©4 ©"сГ ©^ © сГ с
. . _ -_3©«*5COt--*S4
5С»«СО»00 — «ОчгСЧ — ©©©
-. Jr^-^еч—.—.©©о©©©©
?««;-eoeo|oopocop
Го'о'о'сГо""
5*
— — м ei
©"сГ ©"©*©* ©'
»lOr»«»f О- Ж — —
С^С^ — ©OOCOC^OS^CJIrOOOC
—. — —. -^© ©_© 0^05 О 00^00 t- l
i^j-Oi^©^ — С*5«О©Ю — Q
Ч— ©©©©
©©©©©
»00»Г^ООМ00>ЛМСЧ ©©©©
©Ю — QOtO^COCJ—.©©©О©©©©©
"^ — — ©© © © ©^© © © © © © © О © ©_
¦о.
О O> 00 00 00 Г
>©©©©©©©©c
Г©"©*©"©**©4
© P^""!.-"!.6* сч w w ^< чв^ю
сГсГ©*4©"*©"©©"'©"*©"'©"'

ФУНКЦИЯ ОШИБОК И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
475
ost-ooeNoo^e*—«•-*с*эоо»лю©оосче*г-С1Г'*с*«о©»©*^о»оо«>еоо»<о<мооюсчв»
- _. » _^. ^ _ л _.» «. -^ __ - - .^^. .^fc .^^. ч .^fc. .^^. .^». .^^ .^^. ^а^ fT^ ^Ji ?tf^
о о о ©
г^юоог- — el — г- — ^ЗЙиэ^с^ог-^ечлЗдаго^ — «0)*»-#0«- оо^> —
г-©С1'*«ог^оооо<ло»о>о>о>а>о><7>осоооог'Г-<о«оиэиэ^«Лс1С1С1 — ^-©о©
S
S
S
ф
ВТ
.ФЮб>
OOOOOOOOOOOOOOOOOO
Z* ?^ ^ Jf ^ Х^ ^ ^4Г* Г^^T^SI* ^*^*Т* ?*
>ооооооооооо
©©©©©©о©
jiO ©
ГсГ© ©*© ©~сГ
»Ф«ОМП«<0«Ф10«)ФМ><0Ф@ФОФ1Л1С««ППМММ<^<^ОООФ
>оооооооос
о* о о4 о* о" о" о" о~о" о* сГо" сГ
©** ©сГ©4©©""©* сГ ©* ©"©*©"*©""©** ©**сч©ло"ч©"чсГ ©"с
r0>rC5<*>«000000
aOMi/H)^o)tco@
^^пмсч-•—• — о
5oo«'*'Ci'-NCsr-o^esi — O00r^»o^«rt- ©оог^«>«0 1Л^в«;«<мс» — — ©
Г©©"©*"©"©" сГ ©* ©"©"©" сГсГ о*©*©*©* ©* о4 сГ ©"©*
>©©©©©©с
5МООООО
NOtfl
««в»оо5
— «ОЙ- ОО-Ч'С
) ^^> ^^ ^^
E?°,S
— ©©©©©©©© сГ© © © © <
с» ^ о ао о в^ н»
31*

476
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ее
СГ
К
•9-
0>
В"
се
со
>оооооооооооос
4 о" сГ сГ сГо* о*сГ сГсГ сГсГсГсГ сГ сГсГ сГ о* <
со со oi *^ ^^! ^^^ ^^ о^ ^^^ ^^* ^^ ^^^ ^4) »*^ oi ^т* оо с^ ^о i^^ оо
гсч©05г^Ю'^"сч-^©с:оог*сою'^?ссч«^©!Г>оог-г^«с
©о©©©©©©©©©©©
>oooooooooo<
©"©**©*о©о**©©"©"©*¦© с
J- CSI © Г-
. . _ . .j-^^соЛсососч
> © © ©^о^© ©^© о^о © © ©
> © ©~ ©~©~ ©* о4 ©" о*©*4©* сГ © о4 © ©*
>сос-10«ечсосоеч"ч*«
Ir^COOtOC^OOOCO'*
__. -^^^«СОСОСОСЧСЧСЧ
*-«©©©©©©©©©©©©©©©
о'сГо'сГсГсГсГо'сГсГсГо'сГсГсГо сГсГо сГо о" о" о4 о4 о4 сГ о* с
>ооооооооо
0ic0^«c*?
©'*d>»o«-*OicOi^«c*?i—•©о>оог>»сосою>01^'1^'1*1<Лсовчсч<м«^«^ — — т-«^«^©©©
•ч*«СОСЧСЧСЧ-<-<-<^-<^©0©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©
©©©©©©©©<
>©©©©©©©©

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
О ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ
Здесь мы отметим некоторые свойства функций Бесселя, используемые в настоя-
настоящей книге *).
Функция Бесселя /v (z) определяется соотношением
r=0
где v — действительное число, а 2 может быть комплексным; из различных возмож-
возможных значений комплексной функции /v (г) выбирают главное значение. Функция
Л С2') удовлетворяет уравнению Бесселя порядка v
Если v не равно целому числу, то функции /v (z) и /_v(^) служат линейно неза-
независимыми решениями уравнения B), но когда v — целое число, равное п, то
В качестве второго решения уравнения B), пригодного для всех значений v,
выбирают функцию **)
YB)= JA*) cos ™-J-Л*) C)
функцию Yn (z) (когда п — целое число) определяют как lim Kv (z). При таком опре-
делении
где 7 = 0,5772 — постоянная Эйлера.
*) Более полные данные по этому вопросу можно найти в книгах: В а т с о н,
Теория функций Бесселя (ИЛ, 1949) или Грэйи Мэтью з, Функции Бесселя и их
применение в физике и механике (ИЛ, 1953), а также в книге Мак-Лахлана (М с L а с h 1 а п,
Bessel Functions for Engineers, Oxford, 1934).
**) Эта функция называется функцией Неймана порядка v; ее обозначают также
N4(z). (Прим. ред.)

478 ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Итак, если л— любое положительное целое число, то
\П+2г
/ 1 \
оо I * I
|«) + T}^(«)-]g(-y г|(||
П+Г
л-1
г=0
I 2Л1~1"'Л1) следУет заменить суммой V/n-i
\m=l msl / m=l
где при г = 0 сумму
Уравнение Бесселя вида
удовлетворяется функцией *)
1 \v4
00
(-4'
г=0
Если v не равно целому числу, то /_v (г) служит независимым решением урав-
уравнения F); в качестве второго решения, пригодного для всех значений v, выбираем
функцию
функцию Кп (z) (когда п — целое число) определяют как lim /Cv (г). При таком опре-
делении
если л — любое целое положительное число, то
I/i+r r
л-1
г=0
(л+г г \ л
S т~! + S ml ) следУет заменить суммой 2j m~l-
т =1 mel / m=sl
*) Эту функцию называют функцией Бесселя от мнимого аргумента. (Прим. ред.)

О ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ 479
Для больших значений z
1
I 1^2 12 Г4м2 1 2\ D.^2 Я2\ / 1 \ *
A1)
ехр — г± (V + -S- \т\
L V ^/ J i 1 . ^/_L) I A2)
положительный знак берется тогда, когда — "о"те < аг? * < "о" те' а отрицательный —
3 1
когда — y n < arg z < -~ я.
Ниже приводятся наиболее часто используемые соотношения между функциями
Бесселя:
<B')-v/v(^)=2'/v4.1(^), A4)
^< (^) + **, (^) = - ^v-1 (^). A5)
г< (г) - v/Cv (г) = - гК,+1 (г), A6)
*/; (г)+ v/v (*) = */,_!(*), A7)
^ (г) - v/v (г) = - */v+1 (г). A8)
Функция Ку(г) удовлетворяет тем же соотношениям A7) и A8), что и функция
/v (г). В случае v = 0 эти соотношения принимают вид
*> = -7- <21>
/v (г) Kv+1 (г) + К, {г) /,+, (*) = !, B2)
Z
(zemKi) ^e™1 У, (г), B3)
(^m«) = e - тш1 у^ ^ _|_ 2/ sin mv^. ctg v^y^ (^^ B4)
l
7 '* [— y,(*)±'y.(^)]. B5)
:2" |_л 2W Л(г) B6)
B7)
'«-г, B8)
У ?/„ (ri) «"«"Л = -^е-''»" , B9)
) > 0. C0)

ПРИЛОЖЕНИЕ 4
КОРНИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Первые шесть корней *) лп уравнения
Таблица 1
с
0
0,001
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
15,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
80,0
100,0
оо
*)
0
0,0316
0,0447
0 0632
0,0774
0,0893
0,0998
0,1410
0,1987
0,2425
0,2791
0,3111
0,4328
0,5218
0,5932
0,6533
0,7051
0,7506
0,7910
0,8274
0,8603
0,9882
1,0769
1,1925
1,2646
1,3138
1,3496
1,3766
1,3978
1,4149
1,4289
1,4729
1,4961
1,5202
1,5325
1,5400
1,5451
1,5514
1,5552
1,5708
3,1416
3,1419
3,1422
3,1429
3,1435
3,1441
3,1448
3,1479
3,1543
3,1606
3,1668
3,1731
3,2039
3,2341
3,2636
3,2923
3,3204
3,3477
3,3744
3,4003
3,4256
3,5422
3,6436
3,8088
3,9352
4,0336
4,1116
4,1746
4,2264
4,2694
4,3058
4,4255
4,4915
4,5615
4,5979
4,6202
4,6353
4,6543
4,6658
4,7124
6,2832
6,2833
6,2835
6,2838
6,2841
6,2845
6,2848
6,2864
6,2895
6,2927
6,2959
6,2991
6,3148
6,3305
6,3461
6,3616
6,3770
6,3923
6,4074
6,4224
6,4373
6,5097
6,5783
6,7040
6,8140
6,9096
6,9924
7,0640
7,1263
7,1806
7,2281
7,3959
7,4954
7,6057
7,6647
7,7012
7,7259
7,7573
7,7764
7,8540
9,4248
9,4249
9,4250
9,4252
9,4254
9,4256
9,4258
9,4269
9,4290
9,4311
9,4333
9,4354
9,4459
9,4565
9,4670
9,4775
9,4879
9,4983
9,5087
9,5190
9,5293
9,5801
9,6296
9,7240
9,8119
9,8928
9,9667
10,0339
10,0949
10,1502
10,2003
10,3898
10,5117
10,6543
10,7334
10,7832
10,8172
10,8606
10,8871
10,9956
12,5664
12,5665
12,5665
12,5667
12,5668
12,5670
12,5672
12,5680
12,5696
12,5711
12,5727
12,5743
12,5823
12,5902
12,5981
12,6060
12,6139
12,6218
12,6296
12,6375
12,6453
12,6841
12,7223
12,7966
12,8678
12,9352
12,9988
13,0584
13,1141
13,1660
13,2142
13,4078
13,5420
13,7085
13,8048
13,8666
13,9094
13,9644
13,9981
14,1372
Все корни этого уравнения действительны, если С > 0.
15,7080
15,7080
15,7081
15,7082
15,7083
15,7085
15,7086
15,7092
15,7105
15,7118
15,7131
15,7143
15,7207
15,7270
15,7334
15,7397
15,7460
15,7524
15,7587
15,7650
15,7713
15,8026
15,8336
15,8945
15,9536
16,0107
16,0654
16,1177
16,1675
16,2147
16,2594
16,4474
16,5864
16,7691
1^6,8794
16,9519
17,0026
17,0686
17,1093
17,2788

КОРНИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 481
Таблица 2
Первые шесть корней*) а„ уравнения actga
с
—1,0
—0,995
—0,99
—0,98
—0,97
—0,96
—0,95
—0,94
—0,93
—0,92
—0,91
—0,90
—0,85
—0,8
—0,7
—0,6
—0,5
-0,4
—0,3
—0,2
—од
0
ОД
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
15,0
20,0
30,0 -
40,0
50,0
60,0
80,0
100,0
оо
*) Все
0
0,1224
0,1730
0,2445
0,2991
0,3450
0,3854
0,4217
0,4551
0,4860
0,5150
0,5423
0,6609
0,7593
0,9208
1,0528
1,1656
1,2644
1,3525
1,4320
1,5044
1,5708
1,6320
1,6887
1,7414
1,7906
1,8366
1,8798
1,9203
1,9586
1,9947
2,0288
2,1746
2,2889
2,4557
2,5704
2,6537
2,7165
2,7654
2,8044
2,8363
2,8628
2,9476
2,9930
3,0406
3,0651
3,0801
3,0901
3,1028
3,1105
3,1416
КОрНИ ?
4,4934
4,4945
4,4956
4,4979
4,5001
4,5023
4,5045
4,5068
4,5090
4,5112
4,5134
4,5157
4,5268
4,5379
4,5601
4,5822
4,6042
4,6261
4,6479
4,6696
4,6911
4,7124
4,7335
4,7544
4,7751
4,7956
4,8158
4,8358
4,8556
4,8751
4,8943
4,9132
5,0037
5,0870
5,2329
5,3540
5,4544
5,5378
5,6078
5,6669
5,7172
5,7606
5,9080
5,9921
6,0331
6,1311
Ь,1606
6,1805
6,2058
6,2211
6,2832
>того уравнения
ные значения С встречаются при
7,7253
7,7259
7,7265
7,7278
7,7291
7,7304
7,7317
7,7330
7,7343
7,7356
7,7369
7,7382
7,7447
7,7511
7,7641
7,7770
7,7899
7,8028
7,8156
7,8284
7,8412
7,8540
7,8667
7,8794
7,8920
7,9046
7,9171
7,9295
7,9419
7,9542
7,9665
7,9787
8,0385
8,0962
8,2045
8,3029
8,3914
8,4703
8,5406
8,6031
8,6587
8,7083
8,8898
9,0019
9,1294
9,1987
9,2420
9,2715
9,3089
9,3317
9,4248
10,9041
10,9046
10,9050
10,9060
10,9069
10,9078
10,9087
10,9096
10,9105
10,9115
10,9124
10,9133
10,9179
10,9225
10,9316
10,9408
10,9499
10,9591
10,9682
10,9774
10,9865
10,9956
11,0047
11,0137
11,0228
11,0318
11,0409
11,0498
11,0588
11,0677
11,0767
11,0856
11,1296
11,1727
11,2560
11,3349
11,4086
11,4773
11,5408
11,5994
11,6532
11,7027
11,8959
12,0250
12,1807
12,2688
12,3247
12,3632
12,4124
12,4426
12,5664
действительны, если С
рассмотрении сферы (см.
14,0662
14,0666
14,0669
14,0676
14,0683
14,0690
14,0697
14,0705
14,0712
14,0719
14,0726
14,0733
14,0769
14,0804
14,0875
14,0946
14,1017
14,1088
14,1159
14,1230
14,1301
14,1372
14,1443
14,1513
14,1584
14,1654
14,1724
14,1795
14,1865
14,1935
14,2005
14,2075
14,2421
14,2764
14,3434
14,4080
14,4699
14,5288
14,5847
14,6374
14,6870
14,7335
14,9251
15,0625
15,2380
15,3417
15,4090
15,4559
15,5164
15,5537
15,7080
>—1.
§ 4 гл.
17,2208
17,2210
17,2213
17,2219
17,2225
17,2231
17,2237
17,2242
17,2248
17,2254
17,2260
17,2266
17,2295
17,2324
17,2382
17,2440
17,2498
17,2556
17,2614
17,2672
17,2730
17,2788
17,2845
17,2903
17,2961
17,3019
17,3076
17,3134
17,3192
17,3249
17,3306
17,3364
17,3649
17,3932
17,4490
17,5034
17,5562
17,6072
17,6562
17,7032
17,7481
17,7908
17,9742
18,1136
18,3018
18,4180
18,4953
18,5497
18,6209
18,6650
18,8496
Отрицатель-
IX).

482
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица 3
Первые шесть корней лп уравнения ajt (а) — CJ0 (а) = О
С
0
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,15
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
15,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
80,0
100,0
оо
0
0,1412
0,1995
0,2814
0,3438
0,3960
0,4417
0,5376
0,6170
0,7465
0,8516
0,9408
1,0184
1,0873
1,1490
1,2048
1,2558
1,4569
1,5994
1,7887
1,9081
1,9898
2,0490
2,0937
2,1286
2,1566
2,1795
2,2509
2,2680
2,3261
2,3455
2,3572
2,3651
2,3750
2,3809
2,4048
3,8317
3,8343
3,8369
3,8421
3,8473
3,8525
3,8577
3,8706
3,8835
3,9091
3,9344
3,9594
3,9841
4,0085
4,0325
4,0562
4,0795
4,1902
4,2910
4,4634
4,6018
4,7131
4,8033
4,8772
4,9384
4,9897
5,0332
5,1773
5,2568
5,3410
5,3846
5,4112
5,4291
5,4516
5,4652
5,5201
а8
7,0156
7,0170
7,0184
7,0213
7,0241
7,0270
7,0298
7,0369
7,0440
7,0582
7,0723
7,0864
7,1004
7,1143
7,1282
7,1421
7,1558
7,2233
7,2884
7,4103
7,5201
7,6177
7,7039
7,7797
7,8464
7,9051
7,9569
8,1422
8,2534
8,3771
8,4432
8,4840
8,5116
8,5466
8,5678
8,6537
«4
10,1735
10,1745
10,1754
10,1774
10,1794
10,1813
10,1833
10,1882
10,1931
10,2029
10,2127
10,2225
10,2322
10,2419
10,2516
10,2613
10,2710
10,3188
10,3658
10,4566
10,5423
10,6223
10,6964
10,7646
10,8271
10,8842
10,9363
11,1367
11,2677
11,4221
11,5081
11,5621
11,5990
11,6461
11,6747
11,7915
а5
13,3237
13,3244
13,3252
13,3267
13,3282
13,3297
13,3312
13,3349
13,3387
13,3462
13,3537
13,3611
13,3686
13,3761
13,3835
13,3910
13,3984
13,4353
13,4719
13,5434
13,6125
13,6786
13,7414
13,8008
13,8566
13,9090
13,9580
14,1576
14,2983
14,4748
14,5774
14,6433
14,6889
14,7475
14,7834
14,9309
«в
16,4706
16,4712
16,4718
16,4731
16,4743
16,4755
16,4767
16,4797
16,4828
16,4888
16,4949
16,5010
16,5070
16,5131
16,5191
16,5251
16,5312
16,5612
16,5910
16,6499
16,7073
16,7630
16,8168
16,8684
16,9179
16,9650
17,0099
17,2008
17,3442
17,5348
17,6508
17,7272
17,7807
17,8502
17,8931
18,0711
Таблица 4
Первые пять корней ая уравнения Jo (a) Yo (ka) — Yo (a) Jo (ka) — 0
ft
1,2
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
15,7014
6,2702
3,1230
2,0732
1,5485
1,2339
1,0244
а2
31,4126
12,5598
6,2734
4,1773
3,1291
2,5002
2,0809
47,1217
18,8451
9,4182
6,2754
4,7038
3,7608
3,1322
62,8302
25,1294
12,5614
8,3717
6,2767
50196
4,1816
а5
78,5385
31,4133
15,7040
10,4672
7,8487
6,2776
5,2301

ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА v(p) = f e~ptv(t)dt
о
Обозначим q = У р/х. хил; всегда действительны и положительны.
а и h — любые
v(p)
1.
о
3-
1
5-
6.
7.
9.
I
р
«-«*
e-QX
11.
7
г , /г—0, 1,2,..
1 * V
1
sin с
COS
2*/
* j X

484
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Продолжение
v(p)
v(t)
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
e~qx
pq(q+h)
*-**
p{q+hy
p — a
pi*
22. I,(qx')KAqx)>*
23. /
24.
< x' J
%ехр(/иг + х*/12)Ф*
1 /^_V/j в-**« -
h \ « /
(-Л)"
exp {hx + %*Л2) Ф*
I 2 Vtt )
n-l
— V [- 2
_ 2Л (^-V/J e-*m%t + % A + hx + 2h\t) X
1 ^ % 2 /'
A2 2]/*^ Л \
X

ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА 485
Продолжение
v(p)
v{t)
25 ехр \хр — х[(р + а) (р + Ь)]1**
1( + )(+Ь)]1'
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
2* l
KA*V7)
ехр {х \(р + аIг -
(р-а)
q(p —
Г—«)(*+*)
oo
l Ce-«u>
X>j4t
(xt)/t
>е*р[4
(e —ft
•A»
Bt)'
,-,+1

ПРИЛОЖЕНИЕ 6
ТЕРМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ВЕЩЕСТВ
Эта таблица приведена только для того, чтобы показать порядок величин тер-
термических коэффициентов, встречающихся на практике. Более полные данные, а также
изменения термических коэффициентов с температурой можно найти в книге Inter-
International Critical Tables или в других работах по стандартизации физических констант.
Значения коэффициентов теплопроводности для неметаллов следует считать весьма
приближенными средними значениями, так как между их величинами для различных
образцов, изготовленных из одного и того же вещества, могут наблюдаться большие
расхождения.
В приведенной таблице использованы единицы системы СГС, калории и градусы
Цельсия.
Вещество
Плотность
Р
Удельная
теплоемкость
с
Коэффициент
теплопро-
теплопроводности
К
Коэффициент
температуро-
температуропроводности
Металлы
Серебро
Золото
Медь
Магний
Алюминий
Цинк
Олово
Латунь G0:30)
Платина
Свинец
Мягкая сталь @,1% С) . . .
Чугун
Висмут
Ртуть
Неметаллы
Воздух
Гранит
Известняк
Песчаник
Горные породы (в среднем)
Лед
10,49
19,30
8,94
1,74
2,70
7,14
7,30
8,5
21,46
11,34
7,85
7,4
9,80
13,55
0,00129
2,6
2,5
2,3
0,92
0,0556
0,0308
0,0914
0,240
0,206
0,0917
0,0534
0,09
0,0315
0,0302
0,118
0,136
0,0292
0,0335
0,240
0,21
0,22
0,23
0,502
1,00
0,70
0,93
0,38
0,48
0,27
0,15
0,25
0,17
0,084
0,11
0,12
0,020
0,020
0,000058
0,006
0,004
0,006
0,0042
0,0053
1,71
1,18
1,14
0,91
0,86
0,41
0,38
0,33
0,25
0,25
0,12
0,12
0,070
0,044
0,187
0,011
0,007
0,011
0,0118
0,0115

ТЕРМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ВЕЩЕСТВ
487
Продолжение
Вещество
Плотность
Р
Удельная
теплоемкость
с
Коэффициент
теплопро-
теплопроводности
К
Коэффициент
температуро-
температуропроводности
Стекло (кронглас)
Бетон A:2:4)
Кирпич (строительный) . . . .
Снег (свежий)
Грунт (в среднем)
Грунт (песчаный, сухой) . . . .
Грунт (песчаный, влаж-
влажность 8%)
Древесина (еловая, вдоль во-
волокна)
Древесина (еловая, поперек во-
волокна)
Вода
Земная кора
2,4
2,3
2,6
0,1
2,5
1,65
1,75
0,41
0,41
1,0
0,15
0,20
0,23
0,20
0,5
0,2
0,19
0,24
0,30
0,30
1,0
0,48
0,0028
0,0022
0,0020
0,00025
0,0023
0,00063
0,0014
0,00055
0,00030
0,00144
0,0001
0,0058
0,0042
0,0038
0,0050
0,0046
0,0020
0,0033
0,0045
0,0024
0,00144
0,0014

Г. Карслоу, Д. Егер
Теплопроводность твердых тел
М., 1964 г., 488 стр. с илл.
Редактор И. Л. Райская
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор О. А. Сигал
Сдано в набор 13/IV 1964 г. Подписано к печати 21/IX 1964 г.
Бумага 70xl08Vie- Физ. печ. л. 30,5. Условн. печ. л. 41,79.
Уч.-изд. л. 38,11. Тираж 6500 экз. Цена книги 2 р. 11 к.
Заказ № 344.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени
Евгении Соколовой «Главполиграфпрома»
Государственного комитета Совета Министров СССР
по печати. Измайловский проспект, 29.